D IAGRAMMES

L AURENT C OPPEY
Décompositions multiplicatives directes des entiers
Diagrammes, tome S67-68 (2012), p. 53-100
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DIAGRAMMES , SUPPLEMENT AUX VOLUMES 67 + 68 , 2012, PARIS, pp. 53-100

DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES DIRECTES
DES ENTIERS

L. COPPEY

EDITE PAR L. COPPEY , F. FOLTZ , R. GUITART, C. HENRY , C. LAIR

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Décompositions multiplicatives directes des entiers
par Laurent Coppey

En hommage fidèle à Andrée Charles Ehresmann, à l’occasion de ses 75 ans

Sommaire.
Guide de lecture

p. 2

0) Précatégories et prémonoïdes.

p. 3

1) Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés.
et noyaux d’instabilité.

p. 9

2) Structures des décompositions directes additives de N

p. 15

3) Les décompositions directes non triviales de N2 en deux facteurs

p. 22

4) Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de Nk

p. 24

5) Classification générale

p. 30

6) La suite des foncteurs dérivés associée à une décomposition directe
multiplicative de N*

p. 35

7) Squelettes.

p. 41

56

Guide de lecture
Dans son état actuel, ce texte (rédigé entre 2003 et 2005) reprend et développe une petite
partie de ma thèse (il s’agissait d’un exemple), qui date de 1975. J’ai compris (un peu
tardivement certes) que j’avais fait le pas essentiel avec la dimension 2, mais surtout avec ma
méthode. Ivan Niven était parvenu 2 ou 3 ans avant moi au même résultat (toujours en dim. 2)
avec une méthode radicalement différente (opération de groupes…).
J’ai jugé « pédagogique » de donner à ce texte une forme générale graduée, liée à la
dimension, ce qui permet de s’habituer progressivement à la structure de prémonoïde bien
ordonné, pratiquement seule en cause ici. On ne doit surtout pas confondre la propriété de
« forte associativité » (dont il est question ici) avec celle de « totale associativité » qui est
assez banale et conséquence de celle-là. J’ai consacré les deux premières sections (0 et 1) à
ces questions générales de prémonoïdes (bien ordonnés) et leurs décompositions. Les
démonstrations ne figurent pas ici, mais dans un autre texte, à venir. On a donc à faire à une
sorte de « fascicule de résultats ».
J’ai respecté la chronologie de mes trouvailles, ce qui permet de bien mettre en évidence leur
véritable origine, à savoir cette partie de ma thèse qui remonte à 1975 et qui a fait l’objet
d’une conférence au Séminaire de Brême avec publication, quelque temps après. Une
classification plus fine des « squelettes », encore à l’état de brouillon, ne fait pas partie de ce
texte. Je n’y ai inclus aucune considération sur les facteurs séries des fonctions L (sous leur
forme série : à toute décomposition directe multiplicative des entiers est associée une
décomposition en produit de deux séries de même genre, dont l’une peut très bien converger
dans un domaine plus vaste que la série initiale); tous les cas connus sont, du point de vue qui
m’intéresse, assez triviaux, quant aux autres…qui ressortent des sections 5, 6 et 7, le travail
d’application est encore à l’état d’ébauche.
Pour une première lecture efficace, on peut commencer à la section 5. Par contre cette lecture
risque d’être périlleuse, bien que bourbakiment possible. La rédaction sur les graphes
(gradués, bicolores, etc.…) qui sont associés aux décompositions squelettiques, leurs
propriétés de connexité, etc.…) est très succincte ; c’est une ébauche de la section manquante
sur la classification des squelettes, laquelle ne présente pas de difficulté particulière…
Les catégories et foncteurs « dérivés » qui apparaissent à la section 6 n’ont rien à voir a priori
avec les catégories et foncteurs dérivés au sens de Verdier-Grothendieck, etc.…De plus, j’ai
omis de retranscrire tous les résultats de décompositions multiplicatives des entiers en termes
… d’entiers, ce qui serait sans doute souhaitable de faire (réinterpréter tous les ensembles P,
P(1), P(2), …P(n) comme autant de sous-ensemble de N*).

2

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0. Précatégories et prémonoïdes.
Définition 0-1.
Une précatégorie C est un graphe multiplicatif satisfaisant l’axiome dit d’associativité forte
suivant :
! x, y, z " C [ [ # z.(y.x) $ # (z.y).x ] % # [ z.(y.x) = (z.y).x ] ]
Par convention, une formule telle que # [ A(x,y,…) = B(x,y,…)] est un raccourci pour la
formule suivante : [ # A(x,y,…) ] & [ # B(x,y,…)] & [ A(x,y,…) = B(x,y,…) ].
Ainsi, dans une précatégorie, il suffit qu’un des composés (z.y).x ou z.(y.x) existe pour que
tous les deux existent et soient égaux ; on peut noter ce composé sous la forme z.y.x sans
ambiguïté possible.
Soit Dn l’ensemble des dispositions cohérentes de parenthèses à n « places », ensemble dont
le cardinal est appelé parfois le nième nombre de Catalan. Soient x1, x2, …, xn des éléments
d’un système multiplicatif et dn un élément de Dn ; la formule # dn(x1, x2,…, xn) signifie que
le calcul de l’expression dn(x1, x2,…, xn) est possible dans le système multiplicatif en
question, et le résultat de ce calcul est naturellement désigné aussi par dn(x1, x2,…, xn).
Définition 0-2.
Un graphe multiplicatif G est dit complètement associatif s’il satisfait l’axiome d’associativité
complète suivant :
! n ' 3 ! x1,x2,, xn " G ! dn , (n " Dn
[# dn(x1,x2,..,xn) & # (n(x1,x2,..,xn) ] % dn(x1,x2,..,xn) = (n(x1,x2,..,xn)
Proposition 0-1.
Une précatégorie est un graphe multiplicatif complètement associatif.
Cette proposition signifie donc que la forte associativité entraîne la complète associativité,
mais l’inverse n’est pas vrai , comme le montre l’exemple prototype suivant : le graphe
multiplicatif ayant trois flèches consécutives x,y,z (qui ne soient pas des identités) et trois
autres composés non triviaux, à savoir z.y et y.x et z.(y.x), est évidemment complètement
associatif, mais non fortement associatif.
Remarques.
1) Dans une précatégorie, une expression du genre # x1.x2…xn est valide dès lors qu’une
expression au moins du genre # dn(x1,x2,..,xn) est valide.
2) Une catégorie est une précatégorie particulière, dans laquelle y.x est défini dès lors que
)(y) = *(x), ) et * désignant respectivement les applications source et but.
3) Un graphe orienté s’identifie à une précatégorie particulière dans laquelle les seuls
composés définis sont les composés triviaux (i.e. du genre *(x).x ou x.)(x)).

3

58

Définition 0-3.
Un prémonoïde est une précatégorie à un seul objet, lequel est identifié à l’élément neutre
qu’il définit.
Un prémonoïde M est dit commutatif s’il satisfait l’axiome suivant :
! x, y " M [ # y.x % [# x.y = y.x] ]
Définition 0-4.
Un homomorphisme f : C + D entre précatégories est déterminé par la donnée d’une
précatégorie « source » C, d’une précatégorie « but » D et d’un foncteur f de C dans D, i.e.
d’une application f de C dans D satisfaisant les axiomes suivants :
! e " C0 [ f(e) " D0 ]
! x,y " C [ # y.x % [ # f(y).f(x) = f(y.x) ] ]
Ces homomorphismes se composent et constituent ainsi la catégorie PréCat des « petites »
précatégories. Elle admet la catégorie Cat des « petites » catégories comme sous-catégorie
pleine ; elle admet aussi comme sous-catégorie pleine la catégorie Gro des « petits » graphes
orientés, étant entendu qu’on identifie un graphe orienté au graphe multiplicatif trivial, dans
lequel les seuls composés définis sont du genre : x.)(x) = *(x).x = x. On dispose aussi de la
catégorie Gmca des « petits » graphes multiplicatifs complètement associatifs, dont PréCat
est une sous-catégorie pleine.
Proposition 0-2.
Tout graphe multiplicatif complètement associatif C engendre librement une catégorie C’
dans laquelle il se plonge.
On peut dire qu’à isomorphisme près, un graphe complètement associatif est un sous-graphe
multiplicatif d’une catégorie ; on obtient donc un objet de ce genre à partir d’une catégorie en
« enlevant » de celle-ci des flèches et de la composition ; on peut procéder de la manière
suivante: soit C une catégorie ; soit G un sous-graphe orienté du graphe orienté C sous-jacent
à C ; soit G*G l’ensemble de tous les couples (y,x) d’éléments de G composables dans C et
dont le composé y.x est encore dans G ; on constitue alors un graphe multiplicatif
complètement associatif G en choisissant pour ensemble G*G un sous-ensemble quelconque
de G*G contenant au moins les couples triviaux (i.e. ceux de la forme (x,)(x)) ou (*(x),x)) ,
étant bien entendu que les valeurs des composés dans G sont celles qui prévalent dans C.
En particulier, toute précatégorie engendre librement une catégorie dans laquelle elle se
plonge.
Engendrements.
Soit C une précatégorie et A une partie de C ; on dispose dans A d’une loi de composition
partielle induite par celle de C, notée « .A », définie de la manière suivante :
! x,y " A [ # y.Ax , [ # y.x " C & y.x " A ] ] ,
et on pose alors: y.Ax = y.x .
L’objet A = (A, .A ) est un graphe multiplicatif complètement associatif si et seulement si A
contient A0 = )(A)-*(A) , mais en général pas ce n’est pas une précatégorie.
4

59

Soit U : PréCat + Ens le foncteur d’oubli naturel qui « oublie » la composition partielle.
Soit C une précatégorie et A une partie de C contenant avec tout élément x ses source et but,
)(x) et *(x) (A définit donc un sous-graphe orienté de C). Notons A = (A, .A ) le graphe
multiplicatif induit par C sur A.
Proposition 0-3.
A est une sous-précatégorie de C (ou U-sous-structure de C) si et seulement si A est une
précatégorie.
.
Définition 0-5.
Soit C un graphe multiplicatif et A un sous-graphe multiplicatif de C. On dira que A est
multiplicativement plein dans C, s’il satisfait la condition suivante :
! x,y " A [ # y.x "C % y.x " A ]
Tout sous-graphe multiplicativement plein A d’une précatégorie en est une sous-précatégorie.
Bien évidemment, l’inverse n’est pas vrai, en général.
Définition 0-6.
Soit C un graphe orienté et A une partie de C ; on dit que A est pleine dans C si elle satisfait la
condition suivante :
! x " C [ x " A , )(x) , *(x) " A ]
Par définition, une partie pleine d’un graphe orienté définit déjà elle-même un graphe orienté.
Proposition 0-4.
Soit C un graphe orienté (resp. un graphe multiplicatif, un graphe multiplicatif complètement
associatif, une précatégorie, une catégorie) et soit A une partie pleine de C. Alors le système
multiplicatif A induit par C sur A est lui-même un graphe orienté (resp. un graphe
multiplicatif, un graphe multiplicatif complètement associatif, une précatégorie, une
catégorie) et c’est dans chaque cas une sous-structure.
Une sous-précatégorie pleine d’une précatégorie est multiplicativement pleine, mais la
réciproque n’est pas vraie.
Proposition 0-5.
Soit C une précatégorie et A un sous-graphe multiplicatif de C ; il est complètement
associatif ; il engendre dans C les sous-structures suivantes, relatives aux foncteurs d’oubli
usuels : précatégorie, précatégorie multiplicativement pleine, précatégorie pleine.
• Sous-précatégorie engendrée : la sous-précatégorie A/p engendrée par A est construite par
récurrence comme suit : posons A1 = A; supposons les Ak définis pour k = 1,2,…,n ; on
définit An+1 à partir de An par la formule ci-dessous, dans laquelle *X3 désigne l’ensemble des
triplets de flèches consécutives de X (la première étant notée le plus à droite) :
An+1 = { t " C . # (z,y,x) " *An3 [[z.y,(z.y).x " An & t = y.x] $[y.x,z.(y.x) " An & t = z.y]] }
Alors A/p = A1 - A2 - …- An -…est la plus petite sous-précatégorie de C contenant A.
Le plus petit entier n , s’il existe, tel que A/p = A1 - A2 - …- An est noté n(A), sinon on
pose n(A) = /.

5

60

On notera que dans un prémonoïde commutatif M la formule d’engendrement de A/p à partir
de A se simplifie en la suivante :
An+1 = { t " M . # (z,y,x) " *An3 [z.y,(z.y).x " An & t = y.x] } ;
• Sous-précatégorie multiplicativement pleine engendrée : c’est la structure induite par C sur
l’ensemble A*p suivant :
A*p = { z " C . # x1, x2,…,xn " A & # [z = xn.xn-1…x1] } ;
cette formule a bien un sens puisque, dans une précatégorie, l’associativité portant sur n
éléments résulte de celle portant sur 3 éléments (proposition 0-1) (ce qui n’est pas vrai dans
un graphe multiplicatif, même complètement associatif) .
• Sous-précatégorie pleine engendrée : la sous-précatégorie pleine App engendrée par A est
constituée de tous les x " C tels que )(x) et *(x) " A0 .
Remarque. On a : A 0 A/p 0 A*p 0 App et ces inclusions sont en général strictes . En voici un
exemple. On prend pour précatégorie C le monoïde additif N et pour A le sous-graphe additif
(ici l’addition fait office de « multiplication des flèches » !) induit par N sur l’ensemble de
nombres suivant : A = 7.B , avec B = {0, 1, 2, 3, 6}, soit A = { 0, 7, 14, 21, 42 }.
Il est clair que B/p = B1 = [0,6] et A/p = A1 = 7.B1 = 7.[0,6] = { 0,7, 14, 21, 28, 35, 42}; par
contre B*p = 7.N et Bpp = N. Bien sûr, on peut, dans ce type d’exemple, mettre à la place de 7
un nombre quelconque mais > 1.
Exemples dans le monoïde (N,+).
Dans le monoïde additif N il y a plusieurs problèmes intéressants. Certains sont résolus
(depuis longtemps déjà), d’autres non. Citons seulement ceux-ci :
(i) On peut déterminer toutes les décompositions additives de N (voir plus loin), c’est-à-dire
les familles de parties (Ak)k K de N telles que N = 1k K Ak , notation suggestive qui
signifie, précisons-le, que tout entier n s’écrit de manière unique sous la forme n = 2k K ak ,
où ak " Ak. L’ensemble d’indexation K peut être fini ou non, chaque facteur Ak aussi peut
être fini ou non (tous les cas possibles a priori se présentent effectivement !). Quelle que soit
la décomposition en cause, chaque facteur Ak détermine avec la structure additive induite un
sous-prémonoïde Ak de N. Il semble difficile de démontrer qu’un facteur direct A de N
définit un sous-prémonoïde additif A de N sans connaître «a priori » sa structure « fine » (liée
à l’existence d’une certaine base généralisée de N-voir plus loin) ; cette question reste posée.
"

"

"

(ii) Une autre question est de caractériser simplement les sous-prémonoïdes de N, et pas
seulement ceux qui sont facteurs directs de N. Parmi ces sous-prémonoïdes, il y a ceux qui
sont indécomposables, et que j’ai proposé d’appeler les « nouveaux nombres premiers » , au
moins ceux qui sont finis; en effet, les seules « parties-segments »
n = [0,n-1]
indécomposables sont celles correspondant aux entiers n premiers, et il est assez facile
d’indiquer les décompositions additives d’un segment n en fonction de la décomposition de n
en facteurs premiers (voir plus loin); par contre, il semble assez difficile de caractériser les
« nouveaux nombres premiers » A ; notons quand même qu’une condition suffisante pour que
A soit premier est que card(A) soit premier, mais c’est bien peu de chose !
(iii) Il serait intéressant aussi de savoir s’il y a pour les sous-prémonoïdes (finis) de N une
propriété généralisant l’unique décomposition en facteurs premiers des entiers (déjà, pour les

6

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parties-segments n, la question n’est pas triviale, mais relativement aisée…en tout cas
équivalente à la question des décompositions directes générales additives de N).
(iv) Pour une partie A de N donnée, il est facile de décrire le sous-monoïde « additivement »
plein A*p engendré par A : ses éléments sont toutes les sommes finies d’entiers de la forme
n.a, où n " N et a " A et sa structure additive est la structure induite .
(v) Bien plus difficile est le problème consistant à caractériser ou à décrire A/p , ou même à
calculer n(A) !
Voici, sans les démonstrations, quelques résultats regroupés en une seule proposition
montrant bien ces difficultés, concernant l’ensemble P = {0,1,2,3,5,7,11,13,…,59,…} des
nombres premiers, auquel on a ajouté 0 et 1 :
Proposition 0-6.
0-6-1. Si U = { u0 = 0, u1 = 1,…, un ,…} 0 N, avec un < un+1 < 2un , alors U/p = N.
P/p = N (utilise le fait que pn+1 < 2pn , où pn désigne le nème nombre premier).
0-6-2. P1 = P -J où J = {n " N.n-1, n+1 " P\{0}}est l’ensemble des entiers dits jumeleurs.
0-6-3. P2 3 N , les inclusions P10 P2 0 N sont strictes donc n(P) ' 3; inf{N \ P2} = 93.
Posons P[2k] = { pn " P . pn+1 = pn +2k } et J2k =

U ] p n , p n +1 [ .

p n !P[ 2k ]

J2 = J = {2,4,6,12,18,30,42,60,72,…}
J4 = {8,9,10,14,15,16,20,21,22,38,39,40,68,69,70,80,81,82,…}
J6 = {24,25,26,27,28,32,33,34,35,36,48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,62,63,64,65,66,…}
J8 = {90,91,92,93,94,95,96,360,361,362,363,364,365,366,390,391,392,393,394,395,396,…}
…
On voit que N = P \ {2} - J2 - J4 -…- J2k -… et que cette réunion est disjointe;
l’ensemble des k tels que J2k 3 4 est infini ; on ne sait pas s’il existe des entiers k tels que
J2k soit fini ou éventuellement vide ! On ne connaît pas d’entier k pour lequel on puisse
affirmer que J2k est infini. Ces questions généralisent en quelque sorte la conjecture dite des
entiers premiers jumeaux, qui prétend que J = J2 serait infini !
0-6-4. J4 0 P2 et J6 0 P2 ; pour tout p " P[12] les entiers p+1, p+5, p+6, p+7, p+11 sont
éléments de P2 \ P1.
0-6-5. S’il existe une infinité d’entiers jumeleurs 2k tels que J2k ne soit pas vide, ou s’il
existe un entier jumeleur 2m > 2 tel que J2m soit infini, alors P2 \ P1 est infini. Comme on
ne sait pas si J4 , J6 ou J12 est infini, on ne sait toujours pas si P2 \ P1 est infini…
0-6-6. Pour que 6l+35P2 il faut et il suffit que l’un de ses voisinages immédiats au moins soit
constitué de nombres non premiers. Les voisinages immédiats sont :
gauche (6l-1, 6l+1)
milieu (6l+1, 6l+5)
droit (6l+5, 6l+7)
0-6-7. N \ P2 est infini.

7

62

0-6-8. Soit 2k ' 10 et 2k = 1 (resp.2) mod. 3 et soit 2h un entier pair tel que 4 < 2h < 2k et
2h = 2 (resp.1) mod. 3 ; alors on a : p+2h 5 P2. Exemple: pour tout p " P[10] , p+8 5 P2.
Cet énoncé équivaut presque à 0-6-6.
0-6-9. Soit r un entier > 0 ; soit (s,t) l’un des trois couples d’entiers suivants :
(6r-1, 6r+1), (6r+1, 6r+5), (6r+5, 6r+7);
soit encore ) (resp. * ) un diviseur > 1 de s (resp. de t) ; alors la progression arithmétique
{6)*.l+6r+3, l > 0} est entièrement contenue dans N \ P2 ; de plus, si ) et * sont des
diviseurs propres de s et t respectivement, la progression arithmétique {6)*.l+6r+3, l ' 0}
est entièrement contenue dans N \ P2 .
En choisissant pour (),*) l’un des couples (s,t) lui-même, on obtient ceci : pour tout r > 0 ,
les progressions arithmétiques suivantes sont dans N \ P2 :
{ 6(36r2-1).l + 6r+3 ; 6(36r2+36r+5).l + 6r+3 ; 6(36r2+72r+35).l + 6r+3 ; l > 0}
Avec r = 1, on trouve : ! l > 0, 210.l + 9 , 462.l + 9 , 858.l + 9 5 P2.
Avec r = 0, on trouve : ! l > 0, 210.l + 3 5 P2.
Voici, pour finir cette section, quelques exemples de prémonoïdes commutatifs qui se
présenteront naturellement dans la suite, la loi + étant chaque fois la loi induite par celle de N,
ou Nk.
- Si n est un entier, n = [0, n-1] est un sous-prémonoïde de N.
- Tout facteur direct de N est un sous-prémonoïde de N.
- Si n1, n2,…, nk sont des entiers, C = n1 6 n2 6…6 nk et L = {(m1, m2, …, mk) 7# i mi < ni }
sont des sous-prémonoïdes de Nk.
- Toute réunion d’ensembles tels que C ou L, dans Nk, détermine un sous-prémonoïde de Nk.
- Le foncteur d’oubli U : PréCat + Ens (qui « oublie » la composition partielle) reflète les
limites inductives filtrantes, sa restriction à la sous-catégorie pleine PréMon aussi !
Beaucoup de facteurs directs de Nk, avec k ' 2 ne sont pas des sous-prémonoïdes de Nk, et
c’est ce qui fait en partie la difficulté du problème central de cet article, pour lequel les
théorèmes de trivialité des décompositions produits ne s’appliquent pas toujours ! Cependant,
ces théorèmes sont très utiles pour « dégrossir » la situation, et c’est à eux qu’est consacrée la
section suivante.

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1. Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés.
et noyaux d’instabilité.
Définition 1-1.
Un prémonoïde commutatif (bien) ordonné (E,+,!) est constitué d’un prémonoïde commutatif
(E, +) (d’élément neutre noté 0) et d’un (bon) ordre ! sur E satisfaisant les conditions
suivantes :
si z = x + y, alors x ! z (et donc aussi y ! z ) et si x = z, alors y = 0.
Une conséquence immédiate de cette définition est la suivante : si 0 = x+y, alors x = y = 0 !
On conviendra d’employer systématiquement le symbole < pour indiquer une inégalité stricte.
Si z = x + y, on a l’équivalence entre « y 3 0 » et « x < z ».
On emploie génériquement les symboles + , < , ! , 0 quand il n’y a pas de confusion possible.
Soit (Ei ,+)i

"

I une famille de prémonoïdes commutatifs. Le produit cartésien E =

! E est
i

i"I

naturellement muni de la loi de composition + suivante :
# ((xi) + (yi)) , ! i " I # (xi + yi) et alors (xi)+(yi) = (xi + yi),
de sorte que (E,+) est un prémonoïde commutatif, produit des prémonoïdes (Ei, +).
Soit maintenant (Ei ,+, 8)i I une famille de prémonoïdes commutatifs bien ordonnés.
Etant donné un bon ordre sur I , on munit naturellement E de l’ordre lexicographique associé,
qui est donc le suivant : (xi) < (yi) si et seulement si xj < yj , en désignant par j le premier
élément de I (pour le bon ordre donné sur I) pour lequel on a xi 3 yi (on a donc, pour tout i
tel que i < j , xi = yi ). C’est un bon ordre sur E et (E ,+, !) est un prémonoïde commutatif
bien ordonné.
"

Notons qu’en général il n’y a pas de bon ordre sur E qui puisse faire de (E,+, !) un produit
des (Ei ,+, !) dans la catégorie des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés…
Définition 1-2
Soit E un prémonoïde commutatif . On dit que 9 = (A,B) est une décomposition directe de E
lorsque tout élément x de E se décompose de manière unique en somme d’un élément a de
A et d’un élément b de B. On suppose en outre que 0 " A : B. On note aussi a et b de
manière fonctionnelle, comme ceci: a = a(x) et b = b(x).
Remarques.
1) La composition + étant partielle a priori, l’ensemble A * B des couples (a,b) " A 6 B qui
sont composables pour l’addition + n’est pas nécessairement le produit A6B. Si E est un
monoïde, alors A * B = A 6 B. Mais on peut bien avoir cette égalité sans que pour autant E
soit un monoïde.
Exemples : soit E7 = [0,7] ={0,1,2,3,4,5,6,7}et E7 = (E7,+) le prémonoïde naturel avec
l’addition pour loi (limitée par 8 : 2+6, 3+5, etc…ne sont pas définis). Si A = {0,1,2,3 } et B
= {0,4}, le couple (A,B) est une décomposition de E7 pour laquelle A * B = A 6 B. Par contre,
si A’ = {0,1,2} et B’ = {0,3,6} le couple (A’,B’) est aussi une décomposition directe de (E7,+)
et pourtant A’*B’ = A’6B’ \{2,6} n’a que 8 éléments (comme E7) !
9

64

2) L’élément neutre 0 se décompose , et comme 0 " A : B, on a : a(0) = b(0) = 0. De plus , il
est clair que A : B = {0}. Le fait que 0 " A : B ne découle pas de l’unicité de
décomposition : par exemple, si E = (Z, +) , A = Z et B = {-1}, tout élément x s’écrit de
manière unique comme somme d’un élément de A et d’un élément de B : x = s(x) + (-1), où
s(x) désigne le successeur de x pour l’ordre usuel dans Z ; ici A : B = {-1}.
3) Dans le même ordre d’idées, et en se tenant à la définition ci-dessus, il est possible que tout
élément de E ait un symétrique : par exemple, toujours avec E = (Z, +) qui est un groupe, le
couple (A,B) suivant est une décomposition directe : A = {3k} et B = {0,-1,-2}.
Soit 9 = (A,B) une décomposition directe du prémonoïde commutatif E, et X une partie de E.
Les noyaux d’instabilité de 9 sont des parties de A et B qui « mesurent » en quelque sorte leur
défaut de stabilité par rapport à la loi de composition de prémonoïde de E.
Définition 1-3.
On définit les noyaux d’instabilité associés à cette décomposition 9 comme étant les sousensembles suivants de A et de B respectivement, auxquels on adjoindra {0} par convention :
N (A) = { a " A | # a’" A | a+a’ " B }
N (B) = { b " B | # b’" B | b+b’ " A };
on les désignera aussi simplement par N(A) et N(B), s’il n’y a pas de confusion possible.
9

9

Définition1-4.
On définit les noyaux d’instabilité relatifs à X associés à cette décomposition 9 comme étant
les sous-ensembles suivants de A:X et de B:X respectivement, auxquels on adjoindra {0}
par convention :
N , X (A) = { a " A : X | # a’ " A : X | a+a’ " B }
N , X (B) = { b " B : X | # b’ " B : X | b+b’ " A };
on les désignera aussi simplement par NX(A) et NX(B), s’il n’y a pas de confusion possible.
9

9

Examinons de plus près les décompositions d’un produit de deux prémonoïdes commutatifs
bien ordonnés, bien qu’à l’évidence beaucoup des considérations suivantes restent valables
pour un « produit » quelconque, et s’adaptent aussi facilement au cas d’un produit de
précatégories bien ordonnées…
Soient E1 = (E1,+,!) et E2 = (E2,+,!) deux prémonoïdes commutatifs bien ordonnés.
Munissons l’ensemble {1,2} du bon ordre usuel : 1 < 2. Ainsi , dans le produit E = E16E2 , on
dispose du bon ordre : (x1,x2) < (y1,y2) si et seulement si : soit x1 < y1 , soit si x1 = y1, x2 < y2 .
On peut identifier E1 (resp.E2) avec le sous-prémonoïde additivement plein E16{0} (resp.
E26{0}) de E = E16E2 , de sorte que E apparaît comme somme directe de E1 et E2 , ou encore
(E1, E2) est une décomposition directe de E en deux sous-prémonoïdes additivement pleins.
Cette décomposition est complètement stable (N(E1) = N(E2) ={0}). Si x = (x1,x2) " E, on
écrira aussi : x = x1+x2 .
Soit (A, B) une décomposition directe de E ; rappelons que l’élément neutre 0 est élément de
A et de B et que A : B = {0}; elle induit des décompositions directes (A1, B1) et (A2, B2) de
10

65

de E1 et de E2 respectivement. Alors tout élément x de E se décompose de manière unique en
somme de quatre éléments : x = a1 + b1 + a2 + b2 où (a1 , b1 , a2 , b2 ) " A1 6 B1 6 A2 6 B2 ,
de sorte que le quadruplet (A1, B1 , A2 , B2 ) apparaît comme une décomposition directe de E
en quatre facteurs. Plus généralement, quelles que soient les parties X 0 E1 et Y 0 E2, X1Y
est défini et égal à X 6 Y, car on a toujours : (x,y) = (x,0)+(0,y).
Théorème 1-1 (version absolue).
Supposons que [N(B1) = B1 ou N(B2) = B2 ] et que [N(A2) = A2 ou N(A1) = A1 ] , alors la
décomposition (A,B) est triviale, dans le sens que l’on a: A = A1 1 A2 et B = B1 1 B2 .
La démonstration consiste en une récurrence transfinie utilisant le bon ordre lexicographique
de E. Elle figure dans ma thèse (1975).
Application.
Nous caractériserons plus loin toutes les décompositions directes (A,B) de (N,+). On verra
qu’un facteur direct A d’une telle décomposition satisfait la condition suivante : N(A) 3 A si
et seulement si 7B7 < " .
Supposons que (A,B) soit une décomposition directe non triviale de N2 ; alors la condition :
[N(B1) = B1 ou N(B2) = B2 ] et [N(A2) = A2 ou N(A1) = A1 ]
n’est pas remplie. Donc l’une au moins des deux conditions suivantes n’est pas remplie :
[N(B1) = B1 ou N(B2) = B2 ] , [N(A2) = A2 ou N(A1) = A1 ],
c’est à-dire que l’on a :
[N(B1) 3B1 et N(B2) 3 B2 ] ou [N(A2) 3 A2 et N(A1) 3 A1 ],
soit encore :
[ 7A27 < " et 7A17< "] ou [ 7B17< " et 7B27< " ];
et ces deux conditions sont exclusives l’une de l’autre.
Raffinement de cette proposition à certaines parties de E, utilisant les noyaux relatifs.
On suppose toujours donné un prémonoïde commutatif bien ordonné E = (E,+, !) et une de
ses décompositions directes E = A 1 B.
Définition 1-5.
Une partie X de E est dite propre (relativement à la décomposition directe donnée) si elle est
non vide et si, pour tout x élément de X, a(x) et b(x) sont aussi éléments de X.
Premières conséquences de cette définition:
soit X une partie propre :
- inf(X) = 0 ; en effet, soit x0 le plus petit élément de X ; il se décompose en x0 = a0 + b0 et a0 ,
b0 " X avec a0 , b0 ! x0 , d’où x0 = a0 = b0 = 0.
- Si X* = X \ {0} n’est pas vide, x1 = inf(X*) " A - B.
- Si X** = X* \ {x1}n’est pas vide, x2 = inf(X**) "A-B : en effet, supposons que x1" A et
soit x2 = a+b la décomposition de x2 ; si b 3 0, on a : a < x2 et donc a = 0 ou a = x1 ; si a = 0,
alors x2 = b " B ; le cas a = x1 est impossible car incompatible avec « b < x2 et b 3 0 » ; et si
b = 0, alors x2 " A.
- En poursuivant, il y a une section commençante dans X, qui est dans A (resp. B) : x0 = 0, x1,
x2,…, xn ; s’il y a un premier élément, soit xn+1 (n peut être un ordinal transfini, limite ou non),
qui n’est pas dans A (resp.B), il est obligatoirement dans B (resp.A) ; en effet, xn+1 = a+b avec

11

66

b 3 0 ; si b < xn+1 alors b = xm avec m < n+1, soit b " A, donc b = 0 et xn+1 " A, ce qui est une
contradiction ; reste donc la seule possibilité : b = xn+1 " B.
- A partir de là, on peut trouver des éléments qui ne sont pas dans A-B .
- Si X est un sous-prémonoïde de E, le couple (AX,BX) = (A:X, B:Y) est une décomposition
directe de X.
On reprend les conditions générales du théorème 1-1.
Soit X (resp. Y) une partie propre de E contenue dans E1 (resp. dans E2); c’est donc aussi une
partie propre de E1 (resp. E1) pour la décomposition directe induite par (A,B) sur E1 (resp. sur
E1), soit (A1, B1) (resp. (A2, B2)).
Théorème 1-2. (version relative).
Supposons [NX(B1)=B1:X ou NY (B2) = B2 :Y] et [NY(A2) = A2:Y ou NX(A1) = A1:X] et
supposons aussi que X 6 Y est une partie propre de E .
Alors la décomposition (A : X6Y, B : X6Y) est triviale, dans le sens que l’on a:
A X Y = A : X6Y = (A1:X ) 1 (A2 :Y) et B X Y : X6Y = (B1:X ) 1 (B2 :Y) .
6

6

La démonstration par récurrence transfinie est semblable à celle du Théorème 1-1.
On aura besoin d’un autre résultat assez général, concernant la simplifiabilité.
Soit (E,+,!) un prémonoïde commutatif bien ordonné. On désigne par P0(E) l’ensemble des
parties de E contenant 0.
Etant données deux parties A et B de E , on désigne par A;B l’ensemble des éléments de A6B
qui sont des couples composables pour la loi de prémonoïde donnée.
Définition1-6.
On dit que la somme directe de A et de B est définie si la composition k définit une bijection
de A;B sur son image k(A;B) = A + B, et c’est cette somme qu’on désigne par A1B.
Il n’est pas nécessaire que 0 soit élément de A ou de B pour que A1B soit défini. Mais si 0
est élément commun de A et B, alors le fait que A1B soit défini entraîne que A:B = {0}.
Exemples.
Toujours avec le prémonoïde E7 (voir remarque 1 suivant définition 1-2).
Soient A’ = {1,2} et B’’ = {5,6}; la somme A’+B’’ est égale à {6,7} et A’;B’’ = {(1,5), (1,6),
(2,5)}; donc A’+B’’ ne peut être une somme directe ; A’1B’’ n’est pas défini.
Soient A’ = {1,2} et B’ = {3,6}; A’+B’ = {4, 5, 7} et A’;B’ = {(1,3), (1,6), (2,3)} ; A’1B’
est bien défini et pourtant A’;B’ n’est pas égal à A’6B’.
Ce n’est pas la condition « imposée » stipulant que 0 soit élément des parties concernées qui
est à l’origine de ce phénomène ; en effet A = A’ - {0} et B = B’ - {0} constituent une
décomposition directe de E7 pour laquelle A;B = A6B \ {(1,6)}, comme déjà vu.
Théorème 1-3.
La loi 1 structure l’ensemble P0(E) en un prémonoïde d’élément neutre 0 = {0}, commutatif
et simplifiable. De plus ( P0(E), 1, < ) est un prémonoïde commutatif ordonné.
Le sous-ensemble P0f(E) des parties finies de E contenant 0 détermine aussi un prémonoïde
ordonné (P0f(E), 1, < ) commutatif et simplifiable.
12

67

(P0(E), 1, < ) possèdent des inf. et des sup.quelconques, (P0f(E), 1, < ) des inf. quelconques
et des sup. finis.
Enfin, la relation X = Y définie par l’existence d’un X’ tel que Y = X1X’ est une relation
d’ordre et (P0(E), 1, =) et (P0f(E), 1, = ) sont des prémonoïdes ordonnés commutatifs et
simplifiables. Bien sûr, X = Y entraîne X < Y mais pas l’inverse en général.
La démonstration consiste en une suite (assez longue) de simples vérifications.
Définition 1-7.
Soit (A,B) une décomposition directe d’un prémonoïde commutatif (E,+) dont les noyaux
d’instabilité (voir définition 1-3) sont :
N(A) = {a " A 7 # a’ " A 7 a + a’ " B} et N(A) = {b " B 7 # b’ " B 7 b + b’ " A}.
Un élément tel que a’ (resp. b’) est appelé complément de a (resp.b).
On définit une loi de composition partielle +b dans A de la façon suivante: soient n et n’ deux
éléments de A ; n +b n’ est défini si et seulement si n+n’ est défini, et sa valeur n’est autre que
n +b n’ = a ( n+n’). On définit de même la loi de composition partielle +a dans B.
Si a’ est un complément de a, on voit que a +b a’ est défini et vaut 0 (d’où le nom de
complément !)
Proposition 1-1. (Unicité des compléments)
Si (A,B) est une décomposition directe d’un prémonoïde commutatif (E,+) et si l’ensemble
A*B des couples composables pour l’addition + est le produit cartésien A6B, alors il y a
unicité des compléments.
Ainsi, pour la loi +b , le noyau apparaît comme l’ensemble des inversibles, car a+a’ = b" B se
traduit encore par : a +b a’ = 0.
Cas particulier.
Si (A,B) est une décomposition directe d’un monoïde commutatif (E,+), il y a unicité des
compléments ; N(A) (resp. N(B)) est l’ensemble des inversibles de (A, +b) (resp. (B, +a)).
C’est le cas de toute décomposition additive directe de Nk , k ' 1.
Nous avons déjà vu qu’en général A*B n’est pas A6B tout entier, dans le cas « prémonoïde ».
Exemples.
1) Soit toujours E7 = {0,1,2,3,4,5,6,7} avec l’addition pour loi (limitée par 8 : 2+6, 3+5,
etc…ne sont pas définis) ; comme déjà vu, A = {0,1,2} et B = {0,3,6} constituent une
décomposition directe de E7 pour laquelle A*B = A6B \{2,6} n’a que 8 éléments (comme E7).
Cependant ici il y a unicité des compléments , mais cela ne résulte pas de la démonstration cidessus.
2) Soit E13 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} avec l’addition pour loi (limitée à 13 : 6+7, 3+10,
2+11, 3+11, 4+11, 10+5, 10+11, etc...ne sont pas définis ).
A = {0,1,2,3,4,10} et B = {0,5,11} constituent une décomposition directe de E13 et A*B =
A6B\ R où R = {(2,11),(3,11),(4,11),(10,5),(10,11)} n’a que13 éléments.
L’élément 1 a deux compléments : 1 +b 4 = 1 +b 10 = 0 ; le système (A,+b) n’est pas un
prémonoïde ; plus précisément la loi +b est associative en dimension 3, mais non fortement
associative, ni même complètement associative : par exemple, on a : (3+b4)+b10 est défini et
vaut 1, tandis que 3+b(4+b10) n’est pas défini (14 ' 13) ; de même 1+b(2+b10) est défini et
13

68

vaut 2, tandis que (1+b2)+b10 = 3+b10 n’est pas défini (13 ' 13) ; la loi +b est associative en
dimension 3 (i.e. si (x+by)+bz et x+b(y+bz) sont définis ils sont égaux) : en effet, d’abord si
x,y,z < 5, (x+by)+bz et x+b(y+bz) (bien définis) sont égaux, car, à iso près, on est dans Z/5Z;
supposons maintenant x = 10 ; comme 10+by est supposé défini, y = 0,1 ou 2 et donc10+by =
10,0 ou 1 ; comme x+b(y+bz) est supposé aussi défini, si z < 5, tout se passe encore comme si
on était dans Z/5Z l’élément 10 jouant le rôle de 4 = -1 ! Enfin, si z = 10 aussi, y ne peut pas
être 0 sinon 10+b10 serait défini,ce qui n’est pas, et on a bien pour y = 1 ou 2 : (10+b y)+b10 =
10+b(y+b10) ( = 10 ou 0) ; pour montrer que la loi +b n’est pas associative, donnons cet
exemple +b :
(((10 +b 1) +b (10 +b 2)) +b 3) +b (1 +b 10) = ((0 +b 1) +b 3) +b 0 = 4
((10 +b 1) +b ((10 +b 2) +b (3 +b 1))) +b 10 = (0 +b (1 +b 4)) +b 10 = 10
Ceci fait voir au passage que la notion de forte associativité est bien plus intéressante que celle
de complète associativité…
3) Soit E15 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} avec l’addition pour loi (limitée à 15:
4+11,10+5 etc…ne sont pas définis ); les mêmes ensembles qu’au 2) A = {0,1,2,3,4,10} et B =
{0,5,11} constituent une décomposition directe de E15 et A*B = A6B \ R où R =
{(4,11),(10,5),(10,11)}, n’a que15 éléments (comme E15) ! L’élément 1 a toujours deux
compléments : 1 +b 4 = 1 +b 10 = 0.
Par contre, ici la loi +b n’est pas associative, même en dimension 3 : en effet, (10 +b 2) +b 3
est défini et vaut 1 +b 3 = 4 ; de même 10 +b (2 +b 3) est défini et vaut 10 +b 0 = 10 (bien sûr,
c’est l’élimination de 15 qui provoque ce phénomène…!)
Concernant l’associativité des lois +a et +b, elle n’est donc pas acquise de manière générale
comme le prouvent les exemples précédents.
Nous montrerons au paragraphe suivant que si (A,B) est une décomposition directe de (N,+),
alors (A,+b) et (B,+a) sont des monoïdes dont les groupes d’inversibles sont les noyaux N(A)
et N(B). Ce résultat semble nécessiter la connaissance fine des décompositions de (N,+).
En dimension 2, le résultat subsiste génériquement, mais se présentent déjà une infinité
d’exceptions (décompositions non triviales et non génériques) dans lesquelles un des systèmes
(A,+b) ou (B,+a) n’est pas associatif.

14

69

2. Structures des décompositions directes additives de N.
Soit (A,B) une décomposition (additive) directe de N en deux facteurs ; tout entier n s’écrit de
manière unique comme somme d’un élément a de A et d’un élément b de B; on emploie aussi
la notation fonctionnelle : a = a(n) et b = b(n) . On remarque que A:B = {0}. Pour fixer les
idées, on supposera 1" A.
Proposition 2-1.
Il existe une unique suite dite des multiplicateurs, suite finie ou non d’entiers strictement
supérieurs à 1, soit m1 , m2 ,…, mk ,…, à laquelle est associée une autre suite dite base
généralisée de N :
b0 = 1 , b1 = m1.b0 , b2 = m2.b1 , bk = mk.bk-1 = mk. mk-1… m1 , …
de sorte que tout nombre N s’écrit de manière unique sous la forme suivante :
l

N = ! N i b i avec Ni < mi+1 , pour tout i de 0 à l .
i=0

S’il y a un dernier multiplicateur mk , on peut convenir que mk+1 = " , de sorte qu’il n’y a
simplement pas de condition de bornage sur Nk dans le terme Nkbk et on peut convenir aussi
que l’on a : l ! k.
Le lien avec la décomposition N = A1B supposée est alors le suivant :
l

A = { N = ! N i b i | N2i+1 = 0 }
i=0

l

et B = { N = ! N i b i | N2i = 0 } ,
i=0

l

de sorte que tout nombre N = ! N i b i se décompose de façon unique en N = a(N)+b(N) où
i=0

a(N) = ! N 2i b 2i " A et b(N) = ! N 2i +1 b 2i +1 " B
i =0

i =0

La suite dite des multiplicateurs peut être « vide », la « base généralisée » étant réduite alors à
son seul terme b0 = 1 (si 1 " A, alors A = N et B = {0}, si 1 " B, alors B = N et A = {0}).
Une démonstration figure dans ma thèse ou écrits antérieurs (1971-1975). Y figurent bien
d’autres résultats concernant ce problème.
Connaissant le résultat, il n’est pas bien difficile d’imaginer une démonstration, somme toute
fort simple, consistant en :
- une cascade de divisions euclidiennes d’un entier N par les éléments de la base généralisée,
commençant par le plus grand possible, laquelle base généralisée se définit aisément à partir
de la donnée de (A,B) en termes de sup. ou de inf. « relatifs »,
- des mises en défaut adéquates de l’unicité de décomposition grâce à la notion de complément
(relatif) liée à la description explicite des noyaux d’instabilité (voir plus loin).
Il est clair que ce type de décompositions comprend le cas de la division euclidienne par b (en
prenant b0 = 1, b1 = b , b2 = " ) et les divers systèmes de numérations en base b (suites
constantes de multiplicateurs mk = b ).
On remarquera aussi que si A ou B est fini, la décomposition A1B apparaît comme une
véritable division euclidienne (par le plus grand élément b de la base généralisée)
15

70

accompagnée d’une décomposition directe du reste (i.e. une décomposition directe du
segment Eb = [0,b-1] ).
Proposition 2-2.
Supposons N = A1B ; alors A et B définissent des sous-prémonoïdes (commutatifs) de N.
Remarques.
1) Les applications >i : A+ [0,mi[ qui à a"A font correspondre Ni = >i(a) déterminent des
homomorphismes entre prémonoïdes commutatifs, et que A est naturellement isomorphe au
prémonoïde somme (finie ou non) 1i [0,m2i[ via les injections naturelles s2i définies par
s2i(n) = n.b2i ; cet objet somme est aussi un produit, via les projections >2i : A + [0,m2i[
naturelles, dans le cas où A est fini, et seulement dans ce cas.
2) Entre les injections s2i et les projections >2i existent les relations bien connues dans les
catégories additives.
3) On a aussi la bijection : N ? ( 1i [0,m2i[ ) 1 ( 1i [0,m2i+1[ ), ces sommes pouvant être finies
ou non, étant entendu qu’il faut introduire le multiplicateur / une fois si nécessaire, c’est-àdire si l’ensemble des multiplicateurs est fini (voir plus loin). Ce n’est évidemment pas un
isomorphisme de prémonoïdes.
4) Pour tout entier n > 0, le segment [0,n-1] définit le sous-prémonoïde n = de N, évidemment
non plein puisque l’addition y est toujours partielle, sur lequel (A,B) induit une décomposition
directe (An,Bn) où An = A : [0,n] et Bn = B : [0,n].
Décompositions en plusieurs facteurs.
Définition 2-1.
Une famille (Ak) k K de parties de N est appelé décomposition directe additive de N en K
facteurs si tout entier n s’écrit de manière unique comme somme (à support fini dans K)
d’éléments des Ak. On écrira : N = 1k K Ak . Il est clair que l’on a :
! k"K, ! k’"K, k 3 k’, Ak : Ak’ = {0}.
"

"

Proposition 2-3.
Supposons que N = 1k K Ak .
Alors, il existe une unique suite dite des multiplicateurs, suite finie ou non d’entiers
strictement supérieurs à 1, soit m1 , m2 ,…, mi ,…, à laquelle est associée une autre suite dite
base généralisée de N :
b0 = 1 , b1 = m1.b0 , b2 = m2.b1 , bi = mi.bi-1 = mi. mi-1… m1 , …
de sorte que tout nombre N s’écrit de manière unique sous la forme suivante :
"

l

N = ! N i b i avec Ni < mi+1 , pour tout i de 0 à l .
i=0

S’il y a un dernier multiplicateur mj , on peut convenir que mj+1 = " , de sorte qu’il n’y a
simplement pas de condition de bornage sur Nj dans le terme Njbj et on peut convenir aussi
que l’on a : l ! j.
Le lien avec la décomposition N = 1k K Ak supposée est alors le suivant : il y a une partition
de l’ensemble (fini ou non) I = {0,1,2,…,i,…}des indices de la base généralisée, soit I = 1k K
Ik ayant les propriétés suivantes :
! i " I ! k " K ( i " Ik % i +1 5 Ik )
"

"

16

71

la convention de l’éventuel multiplicateur " (lorsque I est fini !) permet de ne faire aucune
restriction dans cette formulation.
!k"K

l

Ak = { N = ! N i b i | ! i 5 Ik , Ni = 0 }
i=0

l

De sorte que tout nombre N = ! N i b i se décompose de façon unique en
i=0

N = ! a k ( N) où ak(N) =
k"K

! i"I k N i b i

La suite dite des multiplicateurs peut être « vide », la « base généralisée » étant réduite alors à
son seul terme b0 = 1 (si 1 " Ak , alors Ak = N et Ak’ = {0}, pour tout k’ 3 k).
Une démonstration figure dans ma thèse ou écrits antérieurs (1971-1975).
Mêmes remarques générales que dans le cas de deux facteurs.
Remarque. Chaque facteur d’une décomposition (additive) de N en plusieurs facteurs est
encore un sous-prémonoïde de N ; la démonstration est semblable au cas de deux facteurs.
Calcul des noyaux d’instabilité d’une décomposition (additive) de N.
Soit donc 9 = (A,B) une décomposition directe de N avec 1 " A.
Proposition 2-4.
On distingue deux cas : (i) |A| = |B| = " et (ii) |A| ou |B| est fini:
(i) Si |A| = |B| = ", alors N(A) = A et N(B) = B.
(ii) Si |B| < " (et |A| = "), alors N(A) = A : [0, *+] où *+ = sup(B) et N(B) = B
Si |A| < " (et |B| = "), alors N(B) = B : [0, )+] où )+ = sup(A) et N(A) = A
Démonstration.
*
(i) |A| = |B| = " . La suite des mk est illimitée, de sorte que si a = !i =0 N 2i b 2i , on peut
*

*

prendre a’ = !i =0 (m 2i +1 " N 2i )b 2i , qui est toujours défini, et on a bien a+a’ = !i =0 b 2i +1 " B
*

(Le symbole !i =0 signifie qu’on ne prend en compte, dans l’écriture même, que les indices i
pour lesquels N2i > 0, de sorte que l’on a bien aussi l’inégalité m2i+1-N2i < m2i+1 ).
(ii) 1 < |B| < " . La suite des multiplicateurs se termine avec un m2k , et m2k+1 = " , de sorte
que dans le terme N2kb2k , N2k n’est pas borné. La base est finie : b0 , b1 ,…, b2k .
k

Tout élément de A est de la forme a = ! N 2i b 2i sans borne a priori pour N2k ;
i =0
k "1

Tout élément de B est de la forme b = ! N 2i +1 b 2i +1 .
i =0

@B @ < "
0

)+

*+

b2k

17

72

k "1

k "1

k "1

i =0

i =0

i =0

Sup(B) = *+ = ! (m 2i + 2 " 1)b 2i +1 = ! b 2i + 2 - ! b 2i +1 ; donc pour tout b " B, il existe b’" B
tel que b+b’ " A, de sorte que N(B) = B (pour b ! *+ , c’est le même argument qu’en (i) )
k "1

Par contre, N(A) = A : [0,b2k[ = A : [0, *+] = A : [0, )+] , où )+ = ! (m 2i +1 " 1)b 2i est le
i =0

prédécesseur de b2k dans A, ou le sup des a dominés par un élément de B.
On vérifie sans peine l’égalité suivante : )+ + *+ = b2k - 1
On notera que sont équivalentes les conditions suivantes :
- a < B , pour signifier qu’il existe un élément de B plus grand que a,
- a < *+ ,
- a < b2k ,
k "1

- a ! )+ , ou bien est de la forme ! N 2i b 2i .
i =0

(ii) 1 < |A| < " . La suite des multiplicateurs se termine avec un m2k+1 , et m2k+2 = " , de
sorte que dans le terme N2k+1b2k+1 , N2k+1 n’est pas borné. . La base est finie : b0 , b1 ,…, b2k+1.
k

Tout élément de B est de la forme b = ! N 2i +1 b 2i +1 sans borne a priori pour N2k+1 ;
i =0
k

Tout élément de A est de la forme a = ! N 2i b 2i
i =0

@A @ < "
*+

0

)+

b2k+1

+
k

k

k

i =0

i =0

i =0

Sup(A) = )+ = ! (m 2i +1 " 1)b 2i = ! b 2i +1 - ! b 2i ; donc pour tout a " A, il existe a’" A tel
que a+a’ " B, de sorte que N(A) = A (pour a ! )+ , c’est le même argument qu’en (i) )
k "1

Par contre, N(B) = B : [0,b2k+1[ = B : [0, )+] = B : [0, *+] , où *+ = ! (m 2i + 2 " 1)b 2i +1
i =0

est le prédécesseur de b2k+1 dans B, ou le sup des b dominés par un élément de A.
On vérifie sans peine l’égalité suivante : )+ + *+ = b2k+1 - 1
On notera que sont équivalentes les conditions suivantes :
- b < A , pour signifier qu’il existe un élément de A plus grand que b,
- b < )+ ,
- b < b2k+1 ,
k "1

- b ! *+ , ou bien est de la forme ! N 2i +1 b 2i +1 .
i =0

On retiendra qu’on a toujours :
- )+ + *+ = b++ - 1 ;
*

*

- a + a’ = !i =0 m i +1 .b i = !i =0 b i +1
*

- Quand l’indice maximum i concerné par le symbole !i =0 est maximum absolu, soit i* ,
c’est que la somme a + a’ dépasse b++ = bi*+1 .

18

73

Concernant les noyaux d’instabilité pour la décomposition 9 = (A,B) donnée, on peut dire
ceci : avec A fini, on a N (A) = A et N (B) = B : [0,b++[ = B : [0, )+] = B : [0, *+]
comme vu ci-dessus, et pour la décomposition induite 9* = (A*,B*) sur [0,b++[ on voit que :
N *(A*) = A*\ A+ = A \ A+ et N *(B*) = B : [0,b++[ = B* ; la situation est inversée pour les
noyaux (maximum ou non !). Cependant il apparaîtra plus loin que les noyaux relatifs sont
plus intéressants que les noyaux absolus ; ici, en posant X = [0,b++[ , on voit que les noyaux
de A et B relatifs à X sont les suivants : N , X (A) = A et N , X (B) = B* , ce qui, par rapport
à la situation précédente, « agrandit » N *(A*) = A \ A+ en N , X (A) = A …
9

9

9

9

9

9

9

9

Remarques.
1) Pour |B| < ", l’élément b2k de A joue le rôle de l’" du cas (i) ; l’élément )+ est le
prédécesseur de b2k dans A.
2) Enfin, si |B| = 1, alors B = {0} et A = N ; N(B) = B et N(A) = A : [0, *+] car *+ = 0 ; on
peut convenir que )+ = 0, tandis que b2k = b0 = 1 (un seul multiplicateur m1 = ")
3) Pour |A| < " , l’élément b2k+1 de B joue le rôle de l’" du cas (i) ; l’élément *+ est le
prédécesseur de b2k+1 dans B.
4) Si A est fini, mais que 1" B, alors A se substitue à l’ensemble B tel que traité ci-dessus.
Tant qu’on n’aura pas vraiment besoin de statuer sur ce fait on désignera par )+ le sup(A),
par *+ le sup(B : [0, )+]) et par b++ le premier élément de B qui n’est pas dans A.
5) Si |A| = 1, alors A = {0} et B = N ; N(A) = A et N(B) = A : [0, )+] car )+ = 0 ; on peut
convenir que *+= 0, tandis que b2k = b0 = 1.
*

6) Pour a = !i =0 N i b i (que les i concernés soient tous pairs, ou tous impairs) on désignera son
*

complément par a’, c’est l’élément a’ = !i =0 (m i +1 " N i )b i (voir, dans la démonstration de la
proposition 2-4, la signification de la notation astérisque). Celui-ci n’est défini que si a # 0.
Proposition 2-5.
Soit (A,B) une décomposition directe additive de (N,+), alors les lois +a et +b sont
associatives. A = (A,+b) et B = (B,+a) sont donc des monoïdes commutatifs dont les groupes
d’inversibles sont respectivement N(A) et N(B).
Particulièrement, si |A| = |B| = ", alors A et B sont des groupes abéliens.
Démonstration.
On suppose 1, n , n’, n’’" A .
On sait que A = { n " N | ! i n2i+1 = 0 }; les indices qui interviennent ici sont donc pairs .
Si ni + n’i < mi , alors on sait que (n + n’)i = ni + n’i = (n +b n’)i ; par contre, si ni + n’i ' mi
on a : (n + n’)i = ni + n’i – mi = (n +b n’)i .
Donc,
*

*

n +b n’ = ! n + n ' < m (n i + n 'i )b i + " n + n ' # m (n i + n 'i !m i )b i ,
i

i

i

i

i

i

Nous avons alors :
19

74

(n +b n’) +b n’’ =
*

*

= ! ( n + n ' ) + n" < m ((n + b n ' ) i + n ' 'i )b i + " ( n + n ' ) + n" # m ((n + b n ' ) i + n ' 'i !m i )b i
b

=!

i

i

i

b

*
( n + n 'i + n ' 'i ) b i +
R

"

*
( n + n 'i + n ' 'i ! m i ) b i +
T

i

"

i

i

*
(n + n 'i + n ' 'i !2m i )b i
S

où R = { i | 0 < n i + n’i + n’’i < mi } , S = { i | n i + n’i + n’’i ' 2mi } et où
T1 = { i | n i+ n’i +n’’i < 2mi & n i+ n’i ' mi } T2 = { i | n i+n’i+n’’i ' mi & n i+ n’i < mi } et T
= T1 - T2
On trouve de même, simplement en échangeant les rôles de n et n’’, car on est dans le cas
commutatif :
n +b (n’ +b n’’) =
*

*

*

= ! R (n + n 'i + n ' 'i )b i + " T ' (n + n 'i + n ' 'i !m i )b i + " S (n + n 'i + n ' 'i !2m i )b i où
T’1 = { i | n i+ n’i +n’’i < 2mi & n’’i+ n’i ' mi } T’2 = { i | n i+n’i+n’’i ' mi & n’’i+ n’i < mi }
et
T’ = T’1 - T’2 .
Reste à vérifier que T = T’. Posons U = { i | n i + n’i < mi } et Uc = { i | n i + n’i ' mi };
T’1 = (T’1 : U) - (T’1 : Uc) ; mais (T’1 : U) 0 T2 et (T’1 : Uc) 0 T1 d’où T’1 0 T ;
de même T’2 = (T’2 : U) - (T’2 : Uc), (T’2 : U) 0 T2 , (T’2 : Uc) 0 T1 d’où T’2 0 T ;
on en déduit que l’on a : T’ 0 T ; on prouve de même que T 0 T’ et finalement T = T’.
Ceci achève de prouver que la loi +b est bien associative. Clairement 0 est élément neutre.
Enfin on a déjà remarqué que le noyau N(A) n’est autre que le groupe des inversibles du
monoïde (A, +b). La démonstration est analogue pour (B, +a).
On voit que dans le cas de (N, +), toujours en supposant 1 " A, on a :
(A, +b) = (N(A), +b) A ! Z / m 2i +1.Z si |B| = / ; c’est un groupe ;
i

(A, +b) A ( ! Z / m 2i +1.Z ) 6 N si |B| < / ; c’est un monoïde dont le groupe des inversibles
i

n’est autre que (N(A), +b) A ! Z / m 2i +1.Z , tandis que :
i

(B, +a) = (N(B), +a) A ! Z / m 2i .Z si |A| = / ; c’est un groupe ;
i

(B, +a) A ( ! Z / m 2i .Z ) 6 N si le type |A| < /; c’est un monoïde dont le groupe des
i

inversibles n’est autre que (N(B), +a) A ! Z / m 2i .Z
i

Nous aurons besoin d’un autre résultat technique que voici. Nous conservons les notations
précédentes pour une décomposition directe (A,B) de (N,+) donnée.
Etant donné un nombre n, on appelle hauteur de n (relative à (A,B), et on désigne par h(n),
l’entier indice maximum i pour lequel Ni 3 0 (il est donc pris en compte par le symbole de
sommation avec astérisque n = = ! * N i b i );
de plus, si n 5 A, on désigne par iB(n) le plus petit indice i tel que Ni 3 0 et bi " B; si on a
supposé que 1 " A, l’indice en question iB(n) est un entier impair 2j+1.
20

75

On pose aussi )+r = (mr+1-1).br + (mr -1-1).br-2 + …+ (mr – 2s - 1 -1).br – 2s - 2 + …, éléments
qu’on peut appeler maximas relatifs de A ; le maximum absolu, s’il existe, n’est autre que
l’élément )+r avec r maximum ; si 1 " A , ce maximum absolu est de la forme )+2r ; c’est
l’élément qu’on a déjà noté simplement )+.
Avec ces conventions, nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Proposition 2-5.
Soit (A,B) une décomposition directe de N ; soit n un entier non nul dominé par un élément
a de A (i.e. : n 8 a) ; il existe un unique entier * < a tel que :
* " B , n + * " A , n + * 8 a + )+ h(a) - 2 .
La démonstration (assez technique) utilise plusieurs cas de récurrence.
Remarques.
1) On a un énoncé analogue en échangeant les rôles de A et de B.
2) L’inégalité de la proposition 5 est la meilleure possible comme le montre l’exemple
suivant : n = ( m2k – 1).b2k-1 + (m1-1).b0 + (m3-1).b2 + …+ (m2k-1-1).b2k-2 et a = b2k ;
l’élément * " B tel que n + * " A est b2k-1 et n + * = a + )+ h(a) - 2 .
3) Lorsque le majorant a est égal à un maximum relatif )+ 2k , l’inégalité de la proposition se
simplifie dans son écriture : n + * 8 a + )+ h(a) – 2 devient : n + * 8 )+ h(a) .

21

76

3. Les décompositions directes non triviales de N2 en deux facteurs.
Soit (A,B) une décomposition directe non triviale de N2. Elle induit les décompositions
directes (A1,B1) sur N 6 {0} et (A2,B2) sur {0} 6 N.
On reprendra les notations génériques des décompositions directes de N (auquel N 6 {0} et
{0} 6 N sont identifiés); entre autres :
sup(Ai) = )i+, sup(Bi : [0, )i+] ) = *i+ et inf(Bi\Ai) = bi++ , i = 1, 2
On a vu (application du Théorème 1-1) que [7B17< " et 7B27 < "] ou [7A17< " et 7A27 < "]
On supposera, pour fixer les idées, que l’on est dans la situation où 7A17< " et 7A27 < " .
Considérons les sous-prémonoïdes de N2 suivants :E1 = [0, b1++[ 6 N et E2 = N 6 [0, b2++[.
La décomposition donnée 9 = (A,B) induit sur E1 et E2 des décompositions directes. Par
application du Théorème 1-1 ces décompositions sont triviales (les bons ordres induits sur E1
et E2 ne sont pas isomorphes (en général), et on peut, si on y tient, modifier le bon ordre sur
E1, par exemple, en utilisant le bon ordre ’2<1’ plutôt que ’1<2’. L’essentiel est de s’assurer
qu’on dispose bien de bons ordres qui font de E1 et E2 des prémonoïdes bien ordonnés ; ce
genre de remarques sera systématiquement utilisé par la suite, sans mention explicite…)
Soit B le réseau engendré par e1 = (b1++, 0) et e2 = (0, b2++).
Soit C = [0, b1++[ 6 [0, b2++[.
On désigne toujours par a et b les applications qui fournissent les facteurs de décomposition :
pour tout x, on a : x = a(x)+b(x) avec a(x) " A et b(x) " B.
Proposition 3-1.
(B, C) est une décomposition directe de N2 ; B et C sont propres (définition 1-5) pour la
décomposition (A,B).
Plus précisément, tout z " N2 s’écrit de façon unique z = C+c où C" B et c" C , et on a :
a(z) = a(C) + a(c) et b(z) = b(C) + b(c), avec a(C) , b(C) " B.
La démonstration figure dans ma thèse (1975) et dans un préprint de 1973. Elle est trop
longue pour être reproduite ici, mais les idées sont toujours les mêmes que dans les
théorèmes généraux du paragraphe précédent (qui ne s’appliquent que partiellement ici !)
Nous savons donc que :
N2 = B 1 C = A 1 B 1 AC 1 BC , et que A = A 1 AC et B = B 1 BC .
Aucun parenthésage n’est nécessaire puisque P0(N2) est un prémonoïde.
B

B

B

B

Conservons toujours les mêmes notations que ci-dessus : le réseau B engendré par e1 et e2
est une partie propre de N2 et ses bords N.e1 et N.e2 sont entièrement contenus dans B.
Comme la décomposition (A,B) n’est pas triviale, il existe un premier élément de A* (pour
l’un ou l’autre des ordres lexicographiques de B D N2 c’est forcément le même élément !) soit
C* = m.e1 + n.e2 contenu dans B, ; on pose :
L = {C = m’.e1 + n’.e2 " B $ m’ < m ou n’ < n} ;
c’est, par définition de C*, un sous-ensemble de B. Enfin, on pose :
C* = [0, m.e1[6[0, n.e2[ : B
Proposition 3-2.
La « demi-droite » D = N.C* est un sous-ensemble propre de B sur lequel la décomposition
(A,B) induit une décomposition directe isomorphe à une décomposition de N, soit (AD, BD) et
la décomposition induite par (A,B) sur B est donnée par :
22

77

B : A = AD et B : B = L 1 BD ;
pour C = m’.e1 + n’.e2 " B, on obtient a(C) et b(C) comme suit :
- si m’/n’ 8 m/n , on effectue la division euclidienne de m’ par m : m’ = p.m + r, r < m ;
l’entier p s’écrit de manière unique pa+ pb , de sorte que pa.C* + pb.C* est la décomposition
dans D de p.C* et a(C) = pa.C* et b(C) = r.e1 + (n’-p.n).e2 + pb.C* ;
- si m’/n’ ' m/n , on effectue la division euclidienne de n’ par n : n’ = q.n + s, s < n ; l’entier
q s’écrit de manière unique qa + qb , de sorte que qa.C* + qb.C* est la décomposition dans D
de q.C* et a(C) = qa.C* et b(C) = s.e2 + (m’-q.m).e1 + qb.C* .
C’est sans doute cette démonstration qui est la plus délicate (voir ma thèse (1975)).
Nous savons donc que :
N2 = L 1 D 1 C = L 1 AD 1 BD 1 AC 1 BC où
A = A 1 AC = AD 1 AC et B = L 1 BD 1 BC .
Aucun parenthésage n’est nécessaire puisque P0(N2) est un prémonoïde.
B

L’ensemble N2 est naturellement en bijection avec l’ensemble L 6 D 6 C, mais ce n’est
évidemment pas un isomorphisme entre les prémonoïdes N2 et L 6 D 6 C. On pourrait
songer à appliquer les Théorèmes 1-1 et 1-2 au produit de prémonoïdes L 6 D 6 C , mais
toute la « subtilité » des Propositions 3-1 et 3-2 précédentes consiste à établir justement que
ces parties sont propres, et il faudrait en plus calculer quelques noyaux…Notre propos est en
fait inverse, et nous allons, seulement maintenant, calculer ces noyaux.
Nous conservons toutes les notations précédentes attachées à la donnée d’une décomposition
directe 9 = (A,B) de N2.
Proposition 3-3. (Calcul des noyaux d’instabilité d’une décomposition directe de N2)
- Si 9 est triviale, i.e. produit de décompositions directes de N, alors on a :
N (A) = N 1(A1)6N 2(A2) et N (B) = N 1(B1)6N 2(B2),
c’est-à-dire la trivialité des noyaux d’instabilité (ce résultat a une portée générale).
- Si 9 est non triviale, mettons avec$A1$et$A2$< " , alors on a :
N (A) = N , C (A) 1 N , D (A),
N (B) = N , C (B) 1 L 1 N , D (B) = B,
à la condition nécessaire et suffisante que $AD$ soit infini .
Par contre, si $AD$ est fini : N (B) = N , C (B) 1 L< 1 N , D (B) où L< est une certaine
partie bornée de L.
9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

La démonstration, assez longue, ne présente pas de grandes difficultés.
Proposition 3-4 (Structure des facteurs directs de N2)
- Si 9 est triviale, A et B sont des prémonoïdes produits, A D A1 6 A2 et B D B1 6 B2.
- Si 9 est non triviale, mettons avec$A1$et$A2$< " ; on trouve :
- si C* 3 e1+ e2 , ou si C* = e1+ e2 mais A1 ou A2 est réduit à 0, le facteur A est un
sous-prémonoïde de N2 isomorphe à AC 6 AD ;
- si C* = e1+ e2 et A1 et A2 non réduits à 0, alors A n’est pas un sous-prémonoïde de
N2 et le système additif A = (A, +b) n’est pas associatif
- pour que B soit un sous-prémonoïde de N2, il faut et il suffit que B % N.C* = {0}.

23

78

4. Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de Nk.
Tout ce qui a été établi jusqu’ici pour N2 est applicable pratiquement sans modification au cas
de certaines décompositions additives directes des Nk avec k & 2. Nous allons cependant
reprendre les énoncés précis concernant cette généralisation, avec les conditions précises dans
lesquelles ils s’appliquent.
Soit donc (A,B) une décomposition directe de Nk ; on désigne par (Ap , Bp) la décomposition
« induite » sur le pième facteur de la puissance Nk , qu’on identifie à une décomposition directe
de N ; on reprend les notations génériques des décompositions directes de N :
- si Ap est fini, sup(Ap) = )p+ , sup(Bp : [0, )p+] ) = *p+ et inf(Bp\Ap) = bp++ ; rappelons
qu’on a : *p+ 8 )p+ < bp++ (*p+ = )p+ seulement si Ap = {0} et alors )p+ = *p+ = 0 < bp++ = 1)
- si Bp est fini, sup(Bp) = *p+ , sup(Ap : [0, *p+] ) = )p+ et inf(Ap\Bp) = bp++ ; rappelons
qu’on a : )p+ 8 *p+ < bp++ ()p+ = *p+ seulement si Bp = {0} et alors, *p+ = )p+ = 0 < bp++ = 1)
On suppose que, pour tout p de 1 à k, on a : 7Ap7< " ou 7Bp7< "
Soit B le réseau engendré par e1 = (b1++, 0,0,..), e2 = (0,0, b2++,0,..), …, ek = (0,0,…,bk++).
Soit C = [0, b1++[ 6 [0, b2++[ …6 [0, bk++[.
On désigne toujours par a et b les applications qui fournissent les facteurs de décomposition
pour tout x, on a : x = a(x)+b(x) avec a(x) " A et b(x) " B.
Proposition 4-1 (extension de la proposition 3-1)
Si pour tout p de 1 à k, on a : 7Ap7< " ou 7Bp7< " , alors (B, C) est une décomposition
directe de Nk en parties propres relatives à la décomposition (A,B) donnée; c’est dire que pour
tout z " Nk , z = C+c avec (C,c)" B 6 C on a :
a(z) = a(C) + a(c) et b(z) = b(C) + b(c), avec a(C) et b(C) " B.
Nous avons donc :
Nk = B 1 C = A 1 B 1 AC 1 BC , et que A = A 1 AC et B = B 1 BC .
B

B

B

B

Remarque.
Certains des entiers bp++ peuvent fort bien être égaux à 1 ; dans ce cas le « segment »
correspondant [0, bp++[ est réduit à {0}. On dira aussi que C est l’intérieur de l’hypercube C =

! ( [0, b p + + ] ; on parlera aussi de la dimension de C : c’est le nombre d’entiers p 8 k tels

1" p " k

que l’on ait : bp++ > 1 ; elle peut être a priori tout nombre compris entre 0 et k ; quelle qu’elle
soit, le théorème précédent est valable (si elle est nulle, des cas évoqués dans la démonstration
ne se présentent pas, tout simplement…)
La proposition 3-2, qui complète la proposition 3-1 et conduit à la description complète des
décompositions non triviales de N2, ne se laisse pas généraliser d’aussi facile façon que la
proposition 3-1 en la proposition 4-1. Nous terminons ce paragraphe en fournissant quelques
éléments sur les décompositions additives en petites dimensions (3, 4 et 5).
Classification des décompositions non triviales de N3.
Soient e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1) les éléments de la « base canonique » de N3.
24

79

(i) Si on suppose que les facteurs A1, A2, A3 de A sur les axes Ne1, Ne2, Ne3 sont finis, la
proposition 3-1 s’applique et on est ramené à décrire la décomposition induite sur le réseau
B, qui est naturellement isomorphe à N3. On supposera donc en plus que A1, A2, A3 sont
réduits à {0}, c’est-à-dire aussi que Ne1, Ne2, Ne3 sont dans B.
On supposera aussi que la décomposition induite sur {0}6N2 D N2 est non triviale.
Il y a donc des éléments de A dont la première composante est nulle et les deux autres non
nulles et éléments de B. Il y en a un « minimum » (au sens d’un ordre lexicographique sur
{0}6N2), mettons )* ; on pose D = N)* ; c’est une partie propre de Ne21Ne3, et donc de N3.
Proposition 4-2.
- Sous les hypothèses précédentes, tous les éléments de Ne11Ne2, Ne11Ne3 sont dans B.
- Si AD est infini la décomposition (A,B) de N3 donnée est produit des décompositions
induites sur Ne1 et Ne2 1Ne3 respectivement, cette dernière étant non triviale ; on dira, dans ce
cas, que (A,B) est semi-triviale.
- Si AD est fini, le « plan » P = Ne1 1 D est une partie propre de N3 sur laquelle (A,B) induit
une décomposition (A0, B0), donc isomorphe à une décomposition de N2, non triviale.
La démonstration des points 1 et 3 ressort du cas général (voir plus loin). Celle du point 2
utilise le théorème 1-1 et le calcul des noyaux en dimensions 1 et 2.
(ii) Supposons maintenant que B1, A2 , A3 sont finis et que la décomposition induite sur
Ne21Ne3 est toujours non triviale, avec « droite exceptionnelle » D = N.)*, comme ci-dessus.
Proposition 4-3.
- Si BD est infini, la décomposition (A,B) de N3 donnée est produit des décompositions
induites sur Ne1 et Ne2 1Ne3 respectivement, cette dernière étant non triviale ; on dira, dans ce
cas, que (A,B) est semi-triviale.
- Si BD est fini et si la décomposition directe de N3 considérée n’est pas semi-triviale, alors le
« plan » P = Ne1 1 D est une partie propre de N3 sur laquelle (A,B) induit une décomposition
(A0, B0) isomorphe à une décomposition de N2, non triviale, donc avec droite exceptionnelle
D0 = N**.
La démonstration du point 2 ressort du cas général (voir plus loin) et est semblable à celle du
point 3 de la proposition 4-2. Celle du point 1 utilise le théorème 1-1 et le calcul des noyaux
en dimensions 1 et 2.
Exemples numériques.
Choix des paramètres :
Sur Ne1: 1 " A ; multiplicateurs : 2,2,3,7; b1++ = 84 " A (sup(B1) = 14)
Sur Ne2: 1 " A ; multiplicateurs : 5,3,3; b2++ = 45 " B (sup(A2) = 34)
Sur Ne3: 1 " B ; multiplicateurs : 3,2,3,2; b3++ = 36 " B (sup(A3) = 21)
Elément )* = 3 b2++ + 5 b3++ = 135 e2 + 180e2 " A
Sur D: )* " A; multiplicateurs : 3,2,3,5 ; bD++ = 90)* " AD (sup(BD) = 21)*)
Elément ** = 7b1++ + 3bD++ = 588e1 + 36450e2 + 48600e3 " B
Sur D0 : **" B ; multiplicateurs : 3,7,2 ; bD0++ = 42.** " AD0 (sup(BD0) = 22.**)
Soit 22 paramètres (c’est très peu de paramètres et ils sont petits)
Une bonne page de calculs montre, par exemple que :
25

80

a (796523, 22434083, 35684219) = (349281, 21651573, 28868763)
b (796523, 22434083, 35684219) = (447242, 782510, 6815456)

Evidemment, cet exemple n’est destiné qu’à imaginer un programme donnant toutes les
décompositions voulues des éléments de N3, en fonction des paramètres qui caractérisent telle
ou telle décomposition non triviale.
Un autre exemple, d’ordre plus théorique.
Choix des paramètres :
Sur Ne1: 1 " A ; multiplicateurs : 4 ; A1 = N
Sur Ne2: 1 " B ; multiplicateurs : 4 ; B2 = N
Sur Ne3: 1 " B ; multiplicateurs : 4 ; B3 = N
Elément )* = (1,1) " A
Sur D: )* " A; multiplicateurs : 4 ; AD = N
Elément ** = e1 + )* (1,1,1) " B
Sur D0 : **" B ; multiplicateurs : 4** ; BD0 = N
Soit 4 paramètres, tous égaux à 1 !
A= Ne1- N(e2+e3)
B = (Ne2 -Ne3) 1 N(e1+ e2 +e3)
Décomposition d’un élément (x,y,z) : en posant u = inf(x,y,z) et v = inf(y-u,z-u) on voit que :
Si u 3 x : a (x,y,z) = (x-u,0,0) , b (x,y,z) = (u,y,z)
Si u = x : a (x,y,z) = (0,v,v) , b (x,y,z) = (x,y-v,z-v)
Cet exemple est générique en un certain sens: suites vides de multiplicateurs et composantes
des éléments exceptionnels )* et ** réduites au minimum : 1. C’est un des squelettes sains
qui seront décrits plus loin en toute généralité.
Caractérisation de toutes les décompositions directes de N3.
Si les traces de A et B sont infinies sur l’un au moins des axes Ne1, Ne2, Ne3 la décomposition
de N3 considérée se présente comme produit de décompositions induites, isomorphes à des
décompositions de N ou N2 : ce sont les cas de trivialité ou de semi-trivialité. Cette condition
suffisante n’est évidemment pas nécessaire.
Pour achever la classification, il suffit de décrire les décompositions qui ne se présentent pas
comme des produits canoniques de décompositions : on les qualifie d’irréductibles dans la
classification générale. Aux permutations des axes près, et à l’échange des rôles entre A et B
près, il y a trois types « nouveaux » de décompositions qui se présentent effectivement :
(i) A1, A2, A3 = {0} après réduction (proposition 4-1); il existe un triplet d’entiers non nuls
(m,n,p) tel que :
- L = {(x,y,z) 7x<m $ y<n $ z<p}0 B
- ) = me1 + ne2 +pe3 " A ;
- D = N) est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe ;
- Tout élément z = p) + l où p) " D , l" L et a(z) = a(p)) , b(z) = b(p)) + l.
(ii) A1, A2, A3 = {0} après réduction (proposition 4-1); il existe deux couples d’entiers non
nuls (m,n) et (p,q) tels que :
- ) = me2 +ne3 " A ;
- D = N) est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe
pour laquelle AD est finie ; on pose * = inf{b" BD 7 b > AD} ;
- )’ = pe1 + q.* " A
- D’ = N)’ est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe;
26

81

(iii) B1, A2, A3 = {0} après réduction (proposition 4-1) ; il existe deux couples d’entiers non
nuls (m,n) et (p,q) tels que :
- ) = me2 +ne3 " A ;
- D = N) est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe
pour laquelle BD est finie ; on pose )1 = inf{a" AD 7 a > BD} ;
- * = pe1 + q)1 " B
- D’ = N* est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe;;
Dans les cas (ii) et (iii) la décomposition d’un élément de N3 est fournie par un programme,
comme suggéré dans l’exemple numérique ci-dessus, fondé sur la proposition 4-3.
Ces trois cas d’irréductibilité ne sont pas du même niveau : on peut dire que le premier est
simple, ou d’ordre1 (cf. la droite D = N)), tandis que les deux autres sont d’ordre 2 (cf. les
couples de droites (D,D’), D’ s’appuyant en quelque sorte sur D. Nous préciserons plus loin
cette notion d’ordre d’irréductibilité.
Petite incursion en dimensions 4 et 5
La classification générale fera l’objet d’un chapitre à part. En y regardant un peu vite, les
deux derniers cas d’irréductibilité précités pourraient apparaître comme des exceptions, or il
s’agit au contraire des deux exemples qu’il faut avoir en tête pour bien saisir le cas général.
Réductions et squelettes sains.
Le premier type de réduction consiste à remplacer les décompositions induites sur les droites
« canoniques » (axes et autres droites auxiliaires) par des décompositions triviales (donc avec
A ou B réduit à {0} là où A ou B devrait être seulement fini ! Les suites de multiplicateurs
sont systématiquement vides); nous renvoyons aux propositions 3-1 et 4-1 concernées par ce
type de réduction.
Se trouvent écartées de fait les décompositions comme celle de N3 , dite de type (ii) dans le
paragraphe précédent : en effet, par essence AD est fini et non réduit à {0}; il ne saurait donc
être choisi égal à {0}! Par contre les deux autres types du paragraphe précédent, (i) et (iii),
sont représentés par des squelettes sains que l’on mentionne ci-dessous.
Se trouvent écartées aussi les décompositions qui induiraient sur une droite « canonique » une
décomposition avec A et B infinis!
Le second type de réduction consiste à choisir systématiquement égales à 1 les coordonnées
non nulles des éléments spéciaux du type ), )1, * …(générateurs des « droites » D, D’…)
Définition 4-1.
Après application des deux types de réduction, on obtient des décompositions appelées
squelettes sains.
Les squelettes sains sont entièrement déterminés par leurs traces sur le cube (ou hypercube)
de côté 1 construit sur les axes et dont un sommet est à l’origine. Ils forment une typologie de
certaines décompositions possibles (mais pas toutes !).
Nous reviendrons plus loin sur la notion générale de squelette, mais auparavant, nous
présentons la classification des squelettes sains en dimensions 2, 3 et 4, en évitant les redites
dues à l’échange des rôles de A et de B, ou à certaines permutations des axes.
27

82

Ici, les ronds blancs représentent des éléments de B, les ronds noirs des éléments de A, et les
ronds gris des éléments qui se décomposent non trivialement.
Dimension 2.
Trivial

Irréductible

Dimension 3.
Triviaux

Irréductibles
(ordre1)
Type (i)

Semi-trivial

(ordre 2)
Type (iii)

Dimension 4.
Triviaux

Semi-triviaux

Irréductibles
(ordre 1)

(ordre 2)

28

83

Un squelette sain de dimension 5 pour finir.
Données génératrices (justification au dernier chapitre):
(00100) (00010) (00001) (11000) (11111) " A
(10000) (01000) (00110) (11001) " B
irréductible d’ordre 3

Retenons essentiellement que les squelettes sains offrent une bonne typologie de certaines
décompositions directes additives des puissances de N, mais pas toutes.
Pour une typologie plus complète, on doit introduire les notions de suture et de terminaison
qui permettent de définir des squelettes plus généraux que les squelettes sains envisagés
jusqu’ici. Il paraît sage de s’habituer un peu aux squelettes « sains » avant d’aborder le cas
général.

29

84

V. Classification générale.
Objets irréductibles.
Soit (A,B) une décomposition directe de Nk ; parmi les parties propres de Nk, il y a les
suivantes : soit H un sous-ensemble de K = {1, 2, …,k} ayant h éléments; l’ensemble des
éléments (xp)p K tels que xp = 0 si p 5 H est une partie propre relative à la décomposition
donnée (A,B) sur laquelle (A,B) induit donc une décomposition directe (A’,B’) qui est
naturellement isomorphe à une décomposition directe de Nh encore notée (A’,B’) ; la partie
supplémentaire canonique de Nh est celle des éléments (xp)p K tels que xp = 0 si p " H ; c’est
aussi une partie propre relative à la décomposition donnée (A,B) sur laquelle (A,B) induit une
décomposition directe (A’’,B’’) qui est naturellement isomorphe à une décomposition directe
de N' encore notée (A’’,B’’) (h + l = k) ; bien sûr Nk = Nh 1 N', mais en général (A,B) n’est
pas la somme directe (ou le produit !) des décompositions induites (A’,B’) et (A’’,B’’).
"

"

Définition 5-1.
S’il existe une partie propre H de K ( h = .H.3 0 et .K \H. = l 3 0) telle que l’on ait :
(Nk, (A,B)) = (Nh, (A’,B’)) 1 (N', (A’’,B’’))
on dit que l’objet (Nk,(A,B)) est réductible; dans le cas contraire on dit qu’il est irréductible.
On suppose que pour tout p, 1 8 p 8 k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante :
Proposition 5-1.
Si, pour un certain ordre lexicographique L, a = infL(A*) n’a aucune composante nulle, alors
pour tout autre ordre lexicographique L’, on a infL’(A*) = a ; on peut donc écrire sans risque
de confusion : C* = inf(A*) (C* = a est bien défini sans référence à tel ou tel ordre lexico L)
Ainsi, a’ = a = C* = inf(A*) est défini indépendamment de l’ordre lexicographique L choisi
sur Nk.
Supposons toujours que pour tout p, 1 8 p 8 k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante :
Proposition 5-2.
Si l’élément C* = inf(A*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L
tel que C* (= infL(A*)) ait toutes ses composantes ai non nulles, alors l’objet ( Nk, (A,B) ) est
irréductible.
La réciproque de cette proposition est fausse dès la dimension 3 : il suffit de se référer aux
décompositions de type (ii) et (iii). Donnons encore un contre-exemple en dimension 4.
Une décomposition de N4 non descriptible en termes de décompositions de N, N2, N3.
Soient e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0) et e4 = (0,0,0,1) les éléments de la « base
canonique » de N4.
Pour une permutation (i,j,k,l) de (1,2,3,4), on pose Nij = N(ei +ej ) 1 Nek 1 Nel
Le couple de parties A = N(e3 +e4 )-N(e1 +e2 ) et B = N13 - N24 - N23 - N14 constitue une
décomposition directe de N4.
Voici la décomposition d’un élément u = (x,y,z,t) en somme a+b, avec a " A et b " B selon
la valeur de m = inf(x, y, z, t) :
30

85

- m = x et t ' z ; a = (0, 0, z-x, z-x) et b = (x, y, x, t-z+x)
- m = x et z ' t ; a = (0, 0, t-x, t-x) et b = (x, y, z-t+x, x)
- m = y et t ' z ; a = (0, 0, z-y, z-y) et b = (x, y, y, t-z+y)
- m = y et z ' t ; a = (0, 0, t-y, t-y) et b = (x, y, z-t+y, y)
- m = z et x ' y ; a = (y-z, y-z, 0, 0) et b = (x-y+z, z, z, t)
- m = z et y ' x ; a = (x-z, x-z, 0, 0) et b = (z, y-x+z, z, t)
- m = t et x ' y ; a = (y-t, y-t, 0, 0) et b = (x-y+t, t, z, t)
- m = t et y ' x ; a = (x-t, x-t, 0, 0) et b = (t, y-x+t, z, t)
Nous verrons que cet exemple est en quelque sorte générique, puisqu’il représente un nouveau
type de décomposition non triviale de N4 , c’est-à-dire non « déductible » des décompositions
directes des puissances de N inférieures à 4. On remarquera que le groupe S4 et sa
représentation sur S3 sont en cause ici!
Soit (Nk, (A,B)) une décomposition directe telle que, pour tout p, on ait : 7Ap7< ". D’après la
proposition 4-1, dont on reprend les notations, (B, C) est une décomposition directe de Nk ;
les parties B et C sont propres pour la décomposition (A,B) donnée.
Tout z " Nk s’écrit de façon unique z = C+c où C" B et c" C , et l’on a :
a(z) = a(C) + a(c) et b(z) = b(C) + b(c), où a(C), b(C) " B
On est donc ramené à décrire la décomposition induite sur B. Comme B est canoniquement
isomorphe à Nk, il s’agit de décrire les décompositions directes de Nk telles que tous les axes
Np = Nep , ep = (0,.0,., 0, 1p, 0.,.0), soient dans B, ce que nous supposons donc.
Proposition 5-3.
Si l’élément C* = inf(A*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L
tel que C* (= infL(A*)) ait toutes ses composantes bi ei non nulles, la demi-droite D = N.C*
est une partie propre, l’ensemble L = {x E # p (xp < bp)} est contenu dans B et l’on a : A = AD
et aussi B = BD1L.
Nous savons donc que si (Nk, (A,B)) est une décomposition directe telle que, pour tout p, on
ait : 7Ap7< ", alors :
Nk = L 1 D 1 C = L 1 AD 1 BD 1 AC 1 BC où
A = A 1 AC = AD 1 AC et B = L 1 BD 1 BC ,
et, lorsqu’on a opéré la première réduction, ou si l’on veut si C = {0}, alors :
Nk = L 1 D = L 1 AD 1 BD où
A = AD et B = L 1 BD .
B

Nous indiquons enfin comment calculer pratiquement p et l.
Soit x = ! x i e i ; on a C* = ! b i e i ; si x 5 L, c’est que toutes les composantes de x sont
i

i

plus grandes que celles de C* ; pour tout i, de 1 à k, on effectue la division euclidienne de xi
par bi : xi = pi.bi + ri , avec ri < bi ; si x 3 C* il existe au moins un indice i pour lequel pi 3 0 ;
soit alors p le plus petit des pi 3 0 ; alors l’élément suivant : l = ! ((p i " p).b i + ri ).e i =
i

! (x i " p.b i ).e i est dans L : en effet, soit j un indice pour lequel pj = p; on a : lj = rj < bj ;
i

31

86

l’élément l n’est autre que x – p.C* ; pour avoir la décomposition de x, il convient de
décomposer encore p sur la demi droite D = N.C*.
Définition 5-2
Soit (Nk, (A,B)) une décomposition directe telle que tous les axes Np = N.ep se décomposent
en Ap1Bp chaque Ap étant fini. Si, après réduction, existe l’élément ) = inf(A*) comme dans
la proposition 5-3 ci-dessus, un tel objet sera dit objet irréductible simple, et plus
précisément, si tous les Ap sont réduits à {0} (i.e. C = {0}) objet irréductible réduit simple.
Ce sont les objets de la proposition 5-2.
Définition 5-3.
On dira que (ei1 , ei2, …, eiq) est à la base d’un sous-objet irréductible simple de (Nk, (A,B)) si
la décomposition induite par (A,B) sur N.ei1 1 N.ei2 1 …1 N.eiq , qui est canoniquement
isomorphe à une décomposition de Nq , est un objet irréductible simple, ce qui suppose
qu’existe un plus petit élément ) de A\{0}: (N.ei1 1 N.ei2 1 …1 N.eiq) qu’on appellera le
générateur d’irréductiblité du sous-objet en question.
Définition 5-4 (sutures).
Soit (Nk, (A,B)) un objet irréductible simple, avec générateur d’irréductiblité ) dans A ;
l’ensemble D = N.) se décompose en AD 1 BD ; si AD est fini (et par essence non réduit à
{0}!) nous dirons que c’est une suture de genre a (ou que l’objet (Nk, (A,B)) présente une
suture de genre a) ; les éléments non nuls de AD sont appelés points de suture.
On définit de façon symétrique les sutures de genre b et leurs points de suture.
Notons que la seule considération des squelettes sains élimine d’office les sutures.
Dans ce qui suit, propositions 5-4 à 5-10, on travaille avec un objet (Nk, (A,B)) où chaque Np
est contenu dans B.
Proposition 5-4.
Supposons que Eq = (ei1 , ei2, …, eiq) et Er = (ej1 , ej2, …, ejr) soient à la base de deux sousobjets irréductibles distincts de (Nk, (A,B)), avec générateurs d’irréductibilité respectifs )q et
)r. Alors les ensembles Eq et Er sont disjoints.
Proposition 5-5.
Il existe une unique partition P de K = {0,1,2,…,k} ayant la propriété suivante : ! I " P
ou bien card(I) ' 2 et dans ce cas, (ei)i I est une base de sous-objet irréductible de (Nk, (A,B)),
ou bien card(I) = 1 et l’ensemble S de ces singletons est tel que S = !s"S N.es 0 B.
"

Proposition 5-6.
Supposons en plus que P ne contienne qu’un élément de base Eq = (e1 , e2, …, eq) et de
q

générateur d’irréductibilité ) = ! n i e i ; désignons par (f1, f2 ,…, fs ) les éléments de S.
i =1

Alors les supplémentaires canoniques des axes N.ei sont entièrement contenus dans B.

32

87

Proposition 5-7.
Dans le cas de deux bases de sous-objets irréductibles (de même nature), soit Ep = (e1,…, ep)
p

et Eq = (f1,…, fp) (dans B toutes deux) et deux générateurs d’irréductibilité : ) = ! n i e i et
i =1

q

)’ = ! n ' j f j (dans A tous deux), on a Lp 1 Lq 0 B.
j =1

Proposition 5-8.
Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations et posant D = N.) et D’ = N.)’,
D 1 D’est une partie propre et l’on a : A = AD D’ et B = BD D’ 1 Lp 1 Lq .
1

1

La démonstration se fait par récurrence transfinie portant sur les couples (p,p’) d’entiers
coordonnées des éléments de D 1 D’.
Proposition 5-9 (généralise la proposition 5-7)
Dans le cas de r bases de sous-objets irréductibles, soit E1, E2,...Er (toutes dans B) et leurs
générateurs d’irréductibilité : )1, )2,…, )r (tous dans A) on a : L1 1 L2 1 …1 Lr 0 B, où,
ps

rappelons-le: Ls = { ls = ! " s i e s i E #i Fs i < ns i }.
i =1

On établit ce résultat par récurrence sur le nombre r.
Proposition 5-10 (généralise la proposition 5-8)
Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations et posant D1 = N.)1, D2 = N.)2,
Dr = N.)r , alors D = D1 1 D2 1 …1 Dr est une partie propre et on a :
A = AD et B = BD 1 L1 1 L2 1 …1 Lr .
On établit ce résultat par récurrence transfinie portant sur les r-uples (p1, p2,…,pr) d’entiers
coordonnées des éléments de D1 1 D2 1 …1 Dr .
La proposition suivante concerne le cas général et « rétablit » la symétrie entre A et B.
Proposition 5-11 (cas général).
- On suppose que chaque axe est entièrement dans A ou entièrement dans B (il y a donc eu
éventuellement une première simplification par les axes sur lesquels on a:$A$=$B$= ",
grâce au théorème 1-1, et aussi une première réduction, grâce à la proposition 4-1).
- On dispose des cycles et singletons qui sont dans B :
(f1, f2 ,…, ft ) les éléments de SB ; ils engendrent le sous-monoïde SB ,
les r cyles bases de sous-objets irréductibles E1, E2,…,Er à bords dans B, avec générateurs
d’irréductibilité )1, )2, …, )r , éléments de A, générateurs des droites D1, D2, …, Dr .
- On dispose aussi des cycles et singletons qui sont dans A :
(g1, g2 ,…, gu ) les éléments de SA ; ils engendrent le sous-monoïde SA ,

33

88

les s cycles bases de sous-objets irréductibles F1, F2,…,Fs à bords dans A, avec générateurs
d’irréductibilité *1, *2, …, *s , éléments de B, générateurs des droites D’1, D’2, …, D’s ;
- On dispose encore des « régions » L1, L2 , …, Lr qui sont entièrement dans B ,
et des « régions » L’1, L’2 , …, L’s qui sont entièrement dans A .
Alors,
SA1 D1 1 D2 1 …1 Dr 1 SB 1 D’1 1 D’2 1 …1 D’s
et L1 1 L2 1 …1 Lr 1 L’1 1 L’2 1 …1 L’s
sont des parties propres.
- On pose :
L = L1 1 L2 1 …1 Lr , L’ = L’1 1 L’2 1 …1 L’s
et D = SA1 D1 1 D2 1 …1 Dr 1 SB 1 D’1 1 D’2 1 …1 D’s .
Les générateurs de D sont désignés génériquement par G i; ce sont les éléments f1, f2 ,…, ft de
SB , les éléments g1, g2 ,…, gu de SA , et les générateurs )1, )2, …, )r , *1, *2, …, *s.
Tout élément z se décompose de façon unique en z = l + l’+ ! i p i ." i , avec l" L , l’" L’ et

! i p i ." i " D , et sa décomposition selon (A,B) est donnée par :
a(z) = l’+ a( ! i p i ." i ) et b(z) = l + b( ! i p i ." i ).
On établit ce résultat par récurrence transfinie portant sur les n-uples d’entiers (pi) 1 i
coordonnées des éléments de D.
8

8

n

34

89

VI. La suite des foncteurs dérivés associée à une décomposition directe
multiplicative de N*.
Définition 6-1.
Une décomposition directe du (pré)monoïde multiplicatif N* sera dite décomposition directe
multiplicative de N*. C’est donc un couple (A,B) de parties de N* tel que la multiplication des
entiers définit une bijection de A 6 B sur N*.
Remarques.
1) L’emploi du même symbole « 6 » pour la multiplication et le produit cartésien exprime de
façon « imagée » que la notation A 6 B = N* n’est pas ambiguë, dans ce cas.
2) Etant donné un bon ordre de l’ensemble des nombres premiers (par exemple, l’ordre
croissant !) le monoïde multiplicatif (N*,6) est naturellement isomorphe au monoïde somme
de N copies de (N, +) qu’on note (bizarrement) (N(N), +) : à l’entier n = pi1 1. pi2 2… pik k,
on fait correspondre l’élément ñ = (ñ i ) i N dont les composantes sont : ñ i = )m si i = im et
ñ i = 0 si i n’est pas l’un des indices i1 , i2 … , ik . Cet isomorphisme a les propriétés
formelles d’un logarithme ; on le désignera par Log et son inverse par Exp ; sur l’axe
canonique d’indice p, ce Log se restreint en le véritable logarithme de base p ; on peut
encore dire que Log est un logarithme « multi-bases » (idem pour son inverse Exp ).
3) Une décomposition directe multiplicative de N* s’identifie alors à une décomposition
directe additive de N(N), la quelle induit sur tout N(X), où X est une partie de N, une
décomposition additive, qui est du type de celles étudiées jusqu’ici lorsque X est fini.
)

)

)

"

Pour des raisons structurelles faciles à comprendre, à l’interprétation additive précédente on
préfére la description fonctorielle suivante (cf. ma thèse:1975-78), qui lui est parfaitement
équivalente :
La donnée d’une décomposition directe multiplicative (A,B) de N* équivaut à celle d’un
certain foncteur H de source la catégorie Pf(P) des ensembles finis de nombres premiers (et
inclusions entre eux) vers la catégorie des décompositions directes additives des puissances
finies de N et restrictions entre elles :
A une partie finie X = {pi1, pi2,…, pin} de l’ensemble P des nombres premiers (objet de Pf(P))
le foncteur H fait correspondre une décomposition additive directe H(X) de Nn, notée
génériquement (A,B) (c’est ici qu’il convient de disposer d’un certain bon ordre dans
l’ensemble P, par exemple l’ordre croissant !). Si Y = {pj1, pj2,…, pjm} est une partie de X à
m éléments, la décomposition induite par (A,B) sur le sous-ensemble Nj11 Nj21… 1 Njm de
Nn détermine une décomposition additive directe H(Y) de Nm.
Le foncteur H est ainsi complètement défini : l’inclusion Y 0 X doit être vue comme une
flèche I : X + Y , et H( I ) : H(X) + H(Y) est la « restriction canonique» associée.
A chaque entier premier pi on fait correspondre un symbole t(pi) qui caractérise le type de la
décomposition induite (Ai , Bi) sur Ni ( = Npi ) auquel on a à faire :
t(pi) = n si JAiJ=JBiJ= / ;
t(pi) = b si JAiJ< / (et JBiJ= / );
t(pi) = a si JBiJ< / (et JAiJ= / ).
On pose :
I = { pJ t(p) = n }; pour une raison d’homogénéïté de notations, on pose I = {{i}}i I
F = { pJ t(p) = a ou b }; plus précisément F = { pJ t(p) = b } et F = { pJ t(p) = a }.
"

*

)

35

90

Soit pi " F (resp. F ) ; on désigne par ei le plus petit élément de Npi = Ni qui ne soit pas
dominé par Ai (resp. Bi) ; c’est un élément de B (resp. A) .
*

)

On dispose d’une partition naturelle B (resp. B ) de l’ensemble F (resp. F ) : B et B ne sont
autres que les ensembles de bases d’objets irréductibles ou des singletons :
)

*

)

*

)

*

soit {pi1, pi2, …, pin} 0 F un élément de B , avec n > 1 ; alors En = (ei1 , ei2, …, ein) est une
base d’objet irréductible, ce qui signifie qu’il existe un n-uple d’entiers non nuls (mij)1 j n tel
*

*

8 8

n

que l’élément

) = ! m ij .e ij soit générateur d’irréductibilité, c’est-à-dire que la somme
j =1

n

N.ei11 N.ei11…1 N.ein se décompose en L 1 D, où L = {l = ! " ije ij E #j Fij < mij} est
j =1

entièrement contenu dans B et D = N) est une partie propre pour la décomposition (A,B)
donnée avec ) " A.
Bien sûr, si p" F ne fait partie d’aucune base d’objet irréductible, c’est le singleton {p} qui
est élément de B . On désigne par S l’ensemble de ces singletons et par B’ l’ensemble des
bases d’objets irréductibles : B = B’ - S . On définit de même B’ , S et B et on pose S =
S - S -I
*

*

*

*

)

*

*

*

)

)

)

*

Définition 6-2.
Une partie de P est dite saturée d’ordre 1 , ou plus brièvement 1-saturée, si c’est une réunion
d’éléments de B = B - B .
)

*

Toute partie finie X = {pi1, pi2, …, pik} de P engendre une partie finie 1-saturée Xf.
Toute partie X de P admet une décomposition analogue à celle de P en I - F = I - F - F ;
on en désignera les éléments par la même lettre, mais avec l’indice X ; il est clair que l’on a
les égalités suivantes : IX = I : X ; FX = F : X ; F X = F : X ; F X = F : X .
)

*

*

)

*

)

Par contre, pour une base d’objet irréductible donnée E ={pi1, pi2,…, pik}" B’ (resp. B’ ) :
- ou bien E:X = X , et dans ce cas E " B’ X (resp. B’ X),
- ou bien E:X 3 X, et dans ce cas E:X " S X (resp. S X).
Dans ce dernier cas on n’a pas d’égalité B X = B : P(X), puisqu’il y a des transferts possibles
de B’ : P(X) vers S X (les bases incomplètes dans X sont désagrégées en singletons). Une
partie X est 1-saturée si et seulement si le phénomène de désagrégation ne s’y produit pas,
c’est-à-dire si on a à la fois B X = B : P(X) et B(X = B( : P(X).
)

)

*

)

)

)

*

*

)

)

)

)

Définition 6-3.
L’ensemble P(1) = I - B est appelé ensemble dérivé d’ordre 1 de P relativement à la
décomposition directe multiplicative donnée (A,B).
On peut munir P(1) d’un quelconque bon ordre, mais aussi, si l’on y tient, d’un bon ordre
« compatible » avec celui de P, c’est-à-dire qui induit sur I le bon ordre provenant de P et qui
a aussi la propriété suivante :
36

91

! E " B !{p}" P(1) [ p < sup(E) % {p} < E ]
Ce bon ordre est parfaitement déterminé par celui de P.
Par exemple, avec P = { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …}, supposons que {3},
{17}, {29} soient des singletons et {1, 5, 11} , {7, 13} , {2, 19}, {23, 31}des bases d’objets
irréductibles, alors on pourra adopter dans P(1) le bon ordre commençant par :
{3} < {1, 5, 11} < {7, 13} < {17} < {2, 19} < {29} < {23, 31}< …
Soit X(1) une partie finie de P(1) ; il lui correspond une partie finie et 1-saturée X de P, à savoir
X = K X(1) = { p @ # E " X(1) (p " E) }. Posons @X @= n et @X(1) @= m . On distingue dans X
l’ensemble I(X) des singletons {p} et l’ensemble B’(X) des bases d’objets irréductibles E ; ce
sont les éléments de X(1) . A chaque base d’objet irréductible E correspond un générateur
d’irréductibilité )(E) . La décomposition H(X) de Nn détermine alors, par restriction à la
partie propre (1 p I(X) Np ) 1 (1 E B’(X) N.)(E) ) (proposition 5-11) et choix des bons
ordres, une décomposition directe de Nm ; c’est cette décomposition qu’on note H (1)(X(1)), ou
simplement H(X(1)) s’il n’y a pas de risque de confusion.
"

"

Soit Y(1) une partie de X(1) et Y = K Y(1); posons @Y @= n’ et @Y(1) @= m’ ; Y est une partie
saturée de X, de sorte que B’(Y) est un sous-ensemble de B’(X) et I(Y) un sous-ensemble de
I(X) ; ainsi le carré d’inclusions suivant est commutatif :

(1 p I(Y) Np ) 1 (1 E B’(Y) N.)(E) )
"

"

N m’

(1 p I(X) Np ) 1 (1 E B’(X) N.)(E) )

Nm
et H (1)(Y(1)), décomposition additive directe de Nm’, apparaît bien comme la restriction
canonique de H (1)(X(1)), de sorte que H (1) est un foncteur de source Pf(P(1)).
"

"

Définition 6-4.
Nous dirons que H (1) est le foncteur dérivé de H relativement à la décomposition directe
multiplicative (A,B) donnée.
On définit par récurrence les ensembles dérivés P(r) et les foncteurs dérivés H (r) de tous
ordres.
De même on définit les ensembles saturés de tous ordres.
Par restriction à une partie X de P, on définit de même les ensembles dérivés X(r), le foncteur
restriction H X et sa suite de foncteurs dérivés H X (r) .
Définition 6-5.
Tout ensemble N), où ) est élément de X(r), est appelé axe principal.
Description constructive d’une décomposition multiplicative (A,B) de N*.
Première étape.
C’est la donnée pour chaque entier premier p d’une décomposition directe de N qui sera celle
de l’axe Np , c’est-à-dire, pour chaque p, d’une suite (finie ou non) de multiplicateurs µ(p) , et
d’un choix pour 1 (1" A ou 1" B) ; si la suite est infinie c’est que p " I et t(p) = n ; si la
suite est finie c’est que p " F :
- p"F et t(p) = b, si 1"A et 7µ(p)7 impair ou si 1"B et 7µ(p)7 pair ;
*

37

92

- p"F et t(p) = a, si 1"B et 7µ(p)7 impair ou si 1"A et 7µ(p)7 pair ;
à ce stade, la fonction de typification t : P ) {n,a,b} est donc entièrement déterminée.
)

Deuxième étape.
Elle consiste à préciser les éléments de B’, aussi bien ceux de B’ que de B’ ; les seules règles
à respecter sont les suivantes : pour qu’un ensemble fini E = {p1, p2, …, pn} de P puisse
appartenir à B’ (resp. B’ ) il est nécessaire que ce soit un sous ensemble fini de plus de 2
éléments de F = { pJ t(p) = b} (resp. F = { pJ t(p) = a }) ; d’autre part, deux éléments de B’
ne peuvent qu’être disjoints.
Font alors partie des singletons, outre les éléments p tels que t(p) = n, les éléments p de S
(resp. S ) tels que t(p) = b (resp. t(p) = a) et qui n’ont pas été retenus pour constituer les
éléments de B’; l’ensemble P(1) = I - B est alors constitué ;
)

*

*

)

*

)

*

)

Troisième étape.
Elle consiste à fournir les multiplicateurs (entiers > 0) qui permettent de localiser les
générateurs d’irréductibilité ; c’est la donnée d’une fonction L : B + N* où B n’est autre que
l’ensemble des nombres premiers qui participent aux bases d’objets irréductibles choisies, i.e.
B = K B’ = { p @# E " B’ ( p " E)}.
Soit E = {p1, p2,…, pn}" B’; les décompositions sur les axes Ni sont fournies par la fonction
µ ; on peut étendre la définition de t en posant t(E) = t(pi) pour n’importe quel pi " E ;
supposons par exemple que t(E) = b c’est-à-dire queJAiJ< / et JBiJ= / sur chaque axe Ni ;
alors on définit, pour chaque indice i, l’entier ei qui est le plus petit entier de Bi dans Ni non
n

majoré par un élément de Ai ; « l’hyper-cube » ! [0, e i [ a une décomposition directe
i =1

complètement triviale, c’est-à-dire produit des décompositions induites sur les segments
[0,ei[ ; on sait (proposition 4-1) que le réseau B engendré par les ei doit être une partie propre
(isomorphe à Nn); le n-uple d’entiers non nuls (L(pi) i ) 1 i n constitue les coordonnées du
8

8

n

n

générateur d’irréductibilité: ) = !i =1 L(pi).ei ; B = L 1 D, où L = {l = ! " i e i E #i Fi <L(pi)}
j =1

est entièrement contenu dans B et D = N.) doit être une partie propre pour la décomposition
(A,B) à construire, et ) " A.
A ce stade, on poursuit en définissant µ (1), t(1), B’ (1), puis L (1) :
Première étape (1).
µ (1)({p}) = µ(p) pour tout p élément de I ou de S; pour E " B’, avec générateur
d’irréductibilité ), µ (1)(E) est la suite (finie ou non) des multiplicateurs qui décrivent la
décomposition de N) ~ N, sachant que le choix « 1"A ou 1"B » n’est plus à faire, puisque 1
correspond en fait à 1.), et que, par définition des éléments de B’, ) "A si E" B’ et ) "B si
E" B’ . Ainsi µ (1) « complète » la définition de µ en attribuant une valeur aux « nouveaux »
éléments (ceux de B’) .
A ce stade, la fonction symbolique de typification t(1) : P(1) ) {n,a,b} est entièrement
déterminée : la valeur de t(1)(E) est déterminée en fait par la nature de la décomposition de
N.), elle-même déterminée par µ (1)(E) et t(E) :
si Eµ (1)(E). = / , alors t(1)(E) = n ;
*

)

38

93

si t(E) = b () " A) : Eµ (1)(E). pair % t(1)(E) = a et Eµ (1)(E). impair % t(1)(E) = b;
si t(E) = a () " B) : Eµ (1)(E). pair % t(1)(E) = b et Eµ (1)(E). impair % t(1)(E) = a.
Si t(E) = b (resp. = a) le générateur d’irréductibilité ) est dans A (resp.B) ; ceci ne détermine
pas la valeur de t(1)(E); il y faut la connaissance de µ (1)(E). La décomposition !(E) présentera
une suture si et seulement si t(E) = t(1)(E) (suture de genre b si t(E) = t(1)(E) = a ou suture de
genre a si t(E) = t(1)(E) = b).
Deuxième étape (1).
On peut passer à B’(1) : un élément E1 de B’(1) doit obligatoirement contenir au moins un
nouvel élément du genre E = {p1, p2,…pn}" B’; par contre, un élément de B’(1) peut fort bien
incorporer des singletons de la première génération (plus précisément, un élément de S peut
fort bien être élément d’un élément E1 de B’(1) , de même qu’un élément de S peut fort bien
être élément d’un élément E(1) de B’(1) ; exemple: E(1) = {p,E,E’} peut être élément de B’(1) à
la condition nécessaire que p " S , et que E, E’" B’avec t(1)(E) = t(1)(E’) = b; bien noter que
ceci ne signifie pas du tout qu’on doive avoir t(E) = t(E’) ; les quatre valeurs a priori de
(t(E), t(E’)) sont possibles :
(a, a) [!(E) et !(E’) ne présentent pas de sutures ] ,
(a, b) [!(E) ne présente pas de suture et !(E’) présente une suture de genre a] ,
(b, a) [!(E’) ne présente pas de suture et !(E) présente une suture de genre a] ,
(b, b) [!(E) et !(E’) présentent des sutures de genre a] ,
et l’objet H(X), où X = ! X (1) = { p @ # E " X(1) (p " E) } = {p}-E-E’, est un objet
*

*

)

)

*

*

irréductible d’ordre ' 2.

Troisième étape (1).
Elle consiste à fournir les multiplicateurs (entiers > 0) qui permettent de localiser les
générateurs d’irréductibilité d’ordre 2; c’est la donnée d’une fonction L (1) : B(1) + N* où B(1)
n’est autre que l’ensemble des éléments de P(1) qui participent aux bases d’objets irréductibles
choisies, i.e. B(1) = K B’(1) = {E @# E(1) " B’(1) (E " E(1) )} (ici certains éléments E peuvent
fort bien être de la forme {p}).
Soit E(1) = {E1, E2,…, En}" B’(1); les axes Ni sont soit des axes canoniques de première
génération, soit des axes de type N.) , où ) est un générateur d’irréductibilité d’ordre 1 (qui
se « substitue » aux entiers premiers formant sa base). Dans tous les cas, les décompositions
induites sur les axes Ni sont fournies par la fonction µ (1) ; on peut étendre la définition de t(1)
en posant t(1)(E(1)) = t(1)(Ei) pour n’importe quel Ei " E(1) ; supposons par exemple que t(1) (E)
= b c’est-à-dire queJAiJ< / et JBiJ= / sur chaque axe Ni ; alors on définit, pour chaque
indice i, l’entier ei qui est le plus petit entier de Bi dans Ni non majoré par un élément de Ai ;
n

« l’hyper-cube » ! [0, e i [ a une décomposition directe complètement triviale, c’est-à-dire
i =1

produit des décompositions induites sur les segments [0,ei[ ; on sait (proposition 4-1) que le
réseau B engendré par les ei doit être une partie propre (isomorphe à Nn); le n-uple d’entiers
non nuls (L (1)(Ei)) 1 i n constitue les coordonnées du générateur d’irréductibilité d’ordre 2,
8

n

8

n

soit: ) = ! i =1 L (1) (Ei).ei ; B = L 1 D, où L = {l = ! " i e i E #i Fi < L (1) (Ei)} est
j =1

39

94

entièrement contenu dans B et D = N.) doit être une partie propre pour la décomposition
(A,B) à construire, et ) " A.

Et la construction de la décomposition (A,B) continue ainsi par récurrence. Il n’y a aucune
raison a priori pour que cette récurrence aboutisse à la description de (A,B) en un nombre fini
d’étapes. C’est dire aussi que la suite des foncteurs dérivés peut être infinie, auquel cas le
foncteur H n’est entièrement déterminé qu’après la donnée d’une infinité d’étapes comme
celles décrites ci-dessus.
Par contre, pour un ensemble fini X 0 P, le nombre des dérivés utiles est forcément fini : en
effet, la suite ( @X(n)@) n N est strictement décroissante tant que se présentent de nouveaux
irréductibles et dès que @X(n)@ = @X(n+1)@, cela signifie qu’il n’y a pas, à l’étape n+1, de nouvel
irréductible qui se présente, et la décomposition H(X) (ou si l’on veut le foncteur H X) est
entièrement déterminée. L’entier @X(n)@est le nombre de composantes irréductibles en
lesquelles H(X) se décompose en produit (ou somme directe).
"

40

95

VII. Les squelettes.
Définition 7-1 (Squelettes simples).
Un squelette simple est une décomposition directe additive de NX qui a les propriétés
suivantes :
- l’ensemble de départ X (l’analogue de P) est fini, c’est la base du squelette;
- les fonctions µ, µ (1), µ (2),…sont toutes à valeur minimum finie; cette valeur est vide quand il
n’y a pas de suture, par contre, s’il se présente une suture à l’ordre r sur N), on la suppose
réduite à un seul point de suture, c’est-à-dire que la suite µ (r)()) se réduit à un seul
multiplicateur de valeur minimum 2, i.e. µ (r)(N)) = (2) (division par 2) ;
- enfin, toutes les fonctions L (r) : B(r) + N* qui se présentent sont constantes et égales à 1.
Un squelette simple sans suture est dit sain; sinon il est dit suturé.
Proposition 7-1.
Un squelette sain est entièrement déterminé par sa restriction à l’hypercube canonique de
côté 1, bâti sur X. Chacun de ses axes principaux N) (définition 6-5) est entièrement dans A
ou entièrement dans B, selon que ) " A ou ) " B.
Un squelette suturé est entièrement déterminé par sa restriction à l’hypercube canonique de
côté 2k, bâti sur X, où k est le nombre des niveaux r où se présentent effectivement des
sutures (plus précisément par sa restriction à un certain parallélotope contenu dans cet
hypercube). Si ) est suture de genre a (resp. b) l’axe 2)N est entièrement dans B (resp A).
Définition 7-2 (Graphes squelettiques simples).
A tout squelette simple de base X on fait correspondre un graphe squelettique simple.
Ce graphe a les propriétés suivantes :
- c’est un graphe gradué, les objets d’ordre 0 sont les éléments de X; soit Sr-1 l’ensemble des
objets d’ordre < r ; l’ensemble M des générateurs d’irréductibilité éléments de Sr-1(1) est
réunion disjointe de l’ensemble 2 des sutures et de l’ensemble N des autres générateurs ;
l’ensemble Sr n’est autre que l’ensemble Sr-1 - N - 2.2 ; l’ensemble N - 2.2 est l’ensemble
des objets d’ordre r; les objets sont de couleur noire ou blanche;
- à tout élément irréductible ) de base {)1, )2, …, )p} 0 Sr-1 correspond un cône (arêtes):
+ de sommet ) et base {)1, )2, …, )p} de couleurs opposées, si ) n’est pas une suture ;
+ de sommet 2) et base {)1, )2, …, )p}de même couleur, si ) est une suture.
Exemples:
Suture de genre a
Sutures de genre b

Suture de genre a

Suture de genre b

41

96

Proposition 7-2.
Un squelette simple est entièrement déterminé par son graphe squelettique.
Il est irréductible si et seulement si son graphe est connexe.
Il est toujours le produit direct de ses composantes irréductibles, elles-mêmes associées aux
composantes connexes de son graphe squelettique.
Les objets d’ordre r d’un squelette sain sont les éléments de X(r) \ X(r-1).
Exemple de squelette sain irréductible, en dimension 20.
Seules les données nouvelles, à chaque ordre r, sont mises en retrait :
X = X(0) = {e1, e2,…, e20} base canonique de N20
e1, e2, e3, e4, e5 " S
e6, e7, e8 " S
c1 = {e9, e10, e11}
c2 = {e12, e13, e14, e15}" B’
c3 = {e16, e17}
c4 = {e18, e19, e20}" B’
*

)

*

)

X(1) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, c1, c2, c3, c4}
e1, e2, e3, c4 " S(1)
e7 , e8 , c1 " S(1)
d1 = {e4, e5 , c3}" B’(1)
d2 = {e6 , c2}" B’(1)
*

)

*

)

X(2) = {e1, e2, e3, c4, e7, e8, c1, d1, d2}
e1, e2, c4 " S(2)
e7 " S(2)
f1 = {e3, d2} " B’(2)
f2 = {e8, c1, d1} " B’(2)
*

)

*

X(3) = {e1, e2, c4, e7, f1, f2}
e7, f1 " S(3)
g = {e1, e2, c4, f2}" B’(3)

)

)

X(4) = {e7, f1, g}
h = {e7, f1, g}" B’(4)

*

*

X(5) = { h }
1 2 3 4 5

7 8 6

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

c1

c2

c3

c4

.

d1

d2
pour simplifier, on a donné
aux sommets le nom de leur base

f1

f2

g

h
42

97

Chacune des données correspond à un sommet de l’hypercube de dimension 20 ; il y en a 18 ;
tous les autres sommets de cet hypercube sont entièrement déterminés : il y en a exactement
220-18 = 1048558 : c’est le sens de la proposition 7-2, qui découle elle-même des
propositions 4-1 et 5-11.
On peut toujours éviter les croisements d’arêtes dans une représentation planaire, et ce de
plusieurs manières : il suffit de commencer par les éléments irréductibles d’ordre maximum.
En voici un exemple :
18 19 20 1

2

4 5 16 17

c4

8

c3

9 10 11 3

6

12 13 14 15

c1

7

c2

d1

d2

f2

f1

g

h

Autre exemple de squelette sain, en dimension 20.
Ici, le graphe squelettique a deux composantes connexes, ce qui correspond à une décomposition de cette
structure squelettique de décomposition en produit de deux décompositions irréductibles des hypercubes de
dimensions respectives 8 et 12. Ces trois squelettes sont sains.

Le lien en pointillés
indique qu’il s’agit
du même graphe squelettique.
Ce n’est pas une arête.
43

98

Définition 7-3 (Squelettes généraux).
Lorsque se présente, dans une décomposition directe additive d’un NX, une base de sous-objet
irréductible simple ()1, )2,…, )q) avec générateur d’irréductibilité ), les squelettes simples
rendent compte génériquement de ce qui se passe en ) seulement si t()) = a ou b.
Les squelettes généraux prennent en compte le cas où t()) = n, en fournissant comme
« standard » l’écriture en base 2, i.e. µ()) =(2, 2,…, 2,…). Certes, ces squelettes généraux
sont infinis, mais les branches infinies sont des terminaux: en effet, si t()) = n, aucun élément
de N) ne peut participer à une quelconque base de sous-objet irréductible d’ordre supérieur.
Nous disons que c’est un terminal.
Insistons sur ceci , en liaison avec la remarque suivant la définition 7-2 : supposons )
irréductible de base E = ()1, )2,…, )q) 0 B (resp. 0 A) et t()) = n, le tout dans un squelette
général ; alors ) " A (resp. ) " B), nécessairement.
Définition 7-4 (Graphes squelettiques généraux).
A tout squelette de base X on fait correspondre un graphe fini qui le représente et le détermine
complètement . Ce graphe est construit comme dans le cas d’un squelette simple, sauf que
peut se présenter aussi le cas où un élément irréductible ) de base {)1, )2, …, )p} 0 Sr-1 est
tel que t()) = n ; dans ce cas la couleur de ) est opposée à celle de sa base mais l’objet en
question est affecté de l’indice / rappelant ainsi qu’il ne participe plus à une quelconque
base d’objet irréductible d’ordre supérieur. Si aucun objet n’est affecté de l’indice /, c’est
que le squelette en question est simple.
Proposition 7-3 (complète la proposition 7-2).
Un squelette général est entièrement déterminé par son graphe squelettique général.
Il est irréductible si et seulement si son graphe est connexe.
Il est toujours le produit direct de ses composantes irréductibles, elles-mêmes associées aux
composantes connexes de son graphe squelettique.
Si un objet ) d’ordre r est affecté de l’indice /, sa composante connexe (ensemble des
prédécesseurs de )) détermine un squelette général irréductible ayant N) comme seul axe
terminal et il en est un facteur direct (son supplément étant de type L, cf. exemples en (0)).
Les notions de squelettes et de graphes squelettiques s’étendent évidemment au cas où X est
infini (par exemple : X = P, P(1), P(2),…) et ces structures sont elles-mêmes descriptibles en
termes de foncteurs à valeurs squelettiques finies.
Proposition 7-4.
A toute décomposition directe additive (A,B) de NX, X fini ou non, est associé un graphe
squelettique général et donc un squelette général naturel (As, Bs) (cf. propositions 7-2 et 7-3).
La construction du graphe squelettique associé est assez simple : on dispose de 4 sortes
d’objets dans X :
/

/

selon que l’objet ) en question est dans A ou B et t()) 3 n ou t()) = n . On construit alors
l’ensemble Xs(1) des objets d’ordre 1 du graphe squelettique à partir de X(1) en « sautant les
sutures » (on a déjà expliqué ce procédé dans le cas des graphes squelettes simples - définition
7-2) : les objets du genre / ou / sont inertes, tout comme les objets de genre
ou
44

99

qui ne participent à aucune base d’objets irréductibles (d’ordre 0) ; par contre toute base d’un
générateur irréductible ) s’efface au profit
- soit du générateur ) lui-même s’il n’y a pas de suture, et il est de couleur opposée à la
base et affecté éventuellement de l’indice / (si t()) = n ),
- soit du plus petit multiple possible n.) qui soit de même couleur que la base, « après »0
les points de suture.
L’ensemble Xs(1) jouant alors le rôle de X, on pose Xs(2) = (Xs(1)) s(1). En poursuivant, on
obtient tous les dérivés sains Xs(r) de X et en définitive le graphe squelettique général associé à
la décomposition (A,B) donnée. Il suffit alors de reprendre les étapes de la description
constructive d’une décomposition multiplicative de N*, comme décrite à la section (6) (en
termes additifs via le foncteur Log) pour construire le squelette (As, Bs).
Soit L(a,z) une série de Dirichlet, où a est une fonction à valeurs complexes strictement
multiplicative ; soit (A,B) une décomposition multiplicative de N* ; alors L(a,z) se décompose
en produit de deux séries de Dirichlet L(aA ,z) et L(aB ,z) où l’on a posé :
aA(n) = a(n) si n " A, aA(n) = 0 autrement
aB(n) = a(n) si n " B, aB(n) = 0 autrement.
Bien évidemment, les fonctions aA et aB ne sont plus en général strictement multiplicatives, ni
même multiplicatives.
Par exemple, à toute décomposition multiplicative (A,B) de N* correspond une décomposition
naturelle de la fonction O = L(1,z) en OA.OB où on a posé OA = L(1A ,z) et OB = L(1B ,z) ; les
décompositions « connues » de O correspondent à des décompositions (A,B) de N* vraiment
triviales par exemple, les produits quelconques de facteurs eulériens…;
Citons aussi les décompositions suivantes: à toute fonction P : P + N telle que P(p) > 1, on
peut associer la décomposition multiplicative suivante: A = { n " N* 7! p"P, Qp(n) < P(p)}
et B . = { n " N* 7! p"P, Qp(n) " P(p).N }. Sur chaque axe N.p, cette décomposition induit
la division euclidienne par P(p), et (A , B ) en est la somme directe infinie. Les séries OB sont
évidemment convergentes pour Re(z) > * ; si P est constante k, on peut préciser que la
somme n’est pas nulle dans la région 1/k 8 Re(z), de sorte que la fonction OA admet un
prolongement analytique dans cette région, qui a les mêmes zéros que O .
On dispose aussi des décompositions liées aux partitions de P en 2 ; on peut faire des
mixtures entre ces dernières et les précédentes. Dans tous ces cas, les décompositions
multiplicatives directes de N* associées sont triviales.
P

P

P

P

P

P

Comme promis dans l’introduction, je n’en dirai pas plus, ici, à ce très vaste sujet.
Voici pour finir les graphes associés aux squelettes sains de dimension 4.
Ils ont 1, 2, 3 ou 4 composantes. Le nombre de composantes indique le « degré » de
décomposition (en produit : en 1, 2, 3 ou 4 facteurs).
La théorie des groupes intervient ici, pour tenir compte des « répliques » (on en a fait figurer
seulement 2 ici, pour « visualiser » l’effet de l’échange entre A et B.
Enfin, on pourra constater de visu l’intérêt qu’il y a à se référer aux graphes squelettiques,
plutôt qu’aux squelettes ou à leur traces sur les hypercubes voulus.

45

100

Trivial
Irréductible
(ordre 1)

Semi-trivial

Irréductible
(ordre 2)

Triviaux

Semi-trivial
Réplique

Irréductible
(ordre 2)
Réplique
Semi-trivial

A SUIVRE…

46