D IAGRAMMES

J. P ENON
Convergence de suites de fonctions tangentiables
Diagrammes, tome S67-68 (2012), p. 249-256
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DIAGRAMMES , SUPPLEMENT AUX VOLUMES 67 + 68 , 2012, PARIS, pp. 249-256

CONVERGENCE DE SUITES DE FONCTIONS
TANGENTIABLES

J. PENON

EDITE PAR L. COPPEY , F. FOLTZ , R. GUITART, C. HENRY , C. LAIR

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Convergence de suites de fonctions
tangentiables
Jacques Penon

Cet article est dédié à Madame Andrée Ehresmann.
Je suis reconnaissant envers Madame Ehresmann, lors de mes premiers pas
dans la recherche, d’avoir su maintenir un climat de confiance dans le séminaire de
Charles Ehresmann qu’elle dirigeait avec lui à l’époque, laissant à chacun d’entre
nous la possibilité de creuser son sillon en théorie des catégories. Ce climat me
convenait tout à fait. Aujourd’hui, je lui suis à nouveau reconnaissant d’avoir cru
en notre travail, à Elisabeth et moi-même, et d’en avoir permis une publication
rapide.
Introduction
On prolonge les théorèmes classiques de convergence de suites de fonctions différentiables à des fonctions qui sont seulement tangentiables . On s’intéresse ensuite
au cadre plus restrictif des fonctions contactables. Mais alors, des problèmes de complétude apparaissent. C’est pourquoi on se contente de fonctions semi-contactables
pour obtenir de bons théorèmes de convergence. Enfin les fonctions continûment
contactables s’avèrent être un outil suffisamment stable pour permettre encore un
bon théorème de convergence.
Bien entendu cet article fait suite aux différents travaux réalisés conjointement avec
E. Burroni comme [2], [3] et [6]. On en trouvera aussi exposé l’essentiel, de façon
plus condencé dans [7].
1 Le cas des fonctions tangentiables
On se donne des espaces vectoriels normés (= e.v.n) E et E � , où E � est complet,
et un ouvert U de E. On se donne aussi une suite (fn ) d’applications U −→ E � et

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ϕ : U −→ Jet((E, 0), (E � , 0)) une dernière application.
Théorème 1.1 : On suppose que :
1) U est convexe,
2) Pour tout n ∈ N, fn est tangentiable sur U ,
3) Il existe a ∈ U tel que la suite (fn (a)) converge dans E � ,
4) La suite des tangentielles (tfn ) converge uniformément vers ϕ sur U .
Alors, pour tout x ∈ U , la suite (fn (x)) converge dans E � et, si on pose
f (x) = lim fn (x) , l’application f : x �→ f (x) est tangentiable sur U et
n→∞

∀x ∈ U, tfx = ϕ(x).
Preuve :
Comme (tfn ) converge uniformément vers g sur U , il existe une suite (bn ) de
nombres positifs telle que lim bn = 0 et ∀n ∈ N ∀x ∈ U � tfnx − ϕ(x) � ≤ bn .
n→∞
On en déduit que , pour tout n, m ∈ N , si on pose fnm = fn − fm , fnm est
tangentiable sur U et vérifie ∀x ∈ U �tfnmx �≤ bn + bm . On applique alors une
généralisation du théorème des accroissements finis donnée dans [2], prop.5.8. On
obtient :
∀x ∈ U � fnm (x) − fnm (a) �≤ (bn + bm ) � x − a � (car U est convexe). D’où :
� fn (x) − fm (x) �=� fnm (x) �≤� fnm (x) − fnm (a) � + � fnm (a) �≤
(bn + bm ) � x − a � + � fn (a) − fm (a) �. On en déduit que, pour tout x ∈ U, (fn (x))
est une suite de Cauchy de E � . Or, comme E � est complet, cette suite converge. On
pose f (x) = lim fn (x). Montrons que f : x �→ f (x) est tangentiable sur U et que
n→∞

∀x ∈ U tfx = ϕ(x). Fixons x0 ∈ U et choisissons g ∈ ϕ(x0 ) ainsi que, pour chaque
n ∈ N, gn ∈ tfx0 . Pour chaque x ∈ U on a les inégalités :
� f (x) − f (xo ) − g(x − x0 ) �≤� f (x) − f (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 )) � + � fn (x) − fn (x0 ) −
gn (x − x0 ) � + � gn (x − x0 ) − g(x − x0 ) �. Mais � f (x) − f (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 )) �≤
bn � x − x0 � (On l’obtient à partir de l’inégalité � fnm (x) − fnm (x0 ) �≤
(bn + bm ) � x − x0 � en faisant tendre m −→ ∞). Soit maintenant ε > 0 et N ∈ N
tel que pour tout n ≥ N, 0 ≤ bn < ε/3 . Alors n étant maintenant fixé, on a :
� f (x) − f (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 )) �≤ (ε/3) � x − x0 �. Mais aussi, par définition de
la norme sur Jet((E, 0), (E � , 0)), il existe r0 > 0 tel que :
� x − x0 �< r0 ⇒� gn (x − x0 ) − g(x − x0 ) �≤ (ε/3) � x − x0 � (car �tfnx − ϕ(x) �≤
bn ≤ ε/3 ). Enfin fn étant tangentiable en x0 , il existe r1 > 0 tel que :
∀x ∈ U � x − x0 �< r1 ⇒� fn (x) − fn (x0 ) − gn (x − x0 ) �≤ (ε/3) � x − x0 �. Ainsi
∀x ∈ U � x − x0 �< inf(r0 , r1 ) ⇒� f (x) − f (x0 ) − g(x − x0 ) �≤ ε � x − x0 �, ce
qui nous assure que f est tangentiable en x0 et que g ∈ tfx0 ou encore tfx0 = ϕ(x0 ).
Corollaire 1.2 : On suppose cette fois que :
1) U est connexe,

2

253

2) Pour tout n ∈ N, fn est tangentiable sur U ,
3) Il existe a ∈ U tel que la suite (fn (a)) converge dans E � ,
4) Pour tout x0 ∈ U , il existe une boule ouverte B de centre x0 contenue dans U
sur laquelle la suite (tfn ) converge uniformément vers ϕ.
Alors, pour tout x ∈ U , la suite (fn (x)) converge dans E � et, si on pose f (x) =
lim fn (x) l’application f : x �→ f (x) est tangentiable sur U et ∀x ∈ U, tfx =
n→∞

ϕ(x).
Preuve :
On montre que l’ensemble V des x ∈ U tels que (fn (x)) converge dans E � est une
partie ouverte et fermée de U en appliquant le théorème précédent à la suite (fn |B ).
Remarque 1.3 : Si, dans l’hypothèse du Corollaire 1.2 on impose, à la place
du (2) que, pour tout n ∈ N, fn est tangentiellement linéaire (en abrégé T L) sur
U (voir [6] ) alors, dans la conclusion du Corollaire, l’application f est T L sur U
(cela provient du fait que Λ(E, E � ) est une partie fermée de Jet((E, 0), (E � , 0))).
2 Le cas semi-contactable
Soit Σ un monoïde gradué et M, M � deux espaces métriques Σ-contractants
(voir [3] ). Notons Σ-Hom(M, M � ) l’ensemble des applications Σ-homogènes qui
sont semi-lipschitziennes en ω (en abrégé SLω ).
Pour h, h� ∈ Σ-Hom(M, M � ), on considère l’application C : M −→ R définie par
� (x))
C(x) = d(h(x),h
si x �= ω et C(ω) = 0 , et on pose d(h, h� ) = sup{C(x) | x ∈ M }.
d(x,ω)
Remarques 2.1 : 1) d est une distance sur Σ-Hom(M, M � ).
2) Σ-Contr(M, M � ) est un sous-espace métrique de Σ-Hom(M, M � ) (muni de d).
3) Lorsque M � est complet, Σ-Hom(M, M � ) est lui-même complet.
4) E étant un e.v.n., on le munit de sa structure Σ-contractante canonique (où
ω = 0 ). Alors, pour tout espace Σ-contractant M , l’ensemble Σ-Hom(M, E) a une
structure canonique d’e.v.n. où ∀h ∈ Σ-Hom(M, E) � h �= d(h, 0).
Définition 2.2 : Soient E, E � des e.v.n., U ⊂ E un ouvert et f : U −→ E une
application. On dit que f est Σ-semi-contactable en a ∈ U (en abrégé Σ − SConta )
si il existe h ∈ Σ-Hom(E, E � ) tel que f est tangente à A(h)|U en a, où A(h) : x �→
f (a) + h(x − a) ( ce que l’on note en abrégé f �≺a A(h)|U , voir [2] ). Un tel h
est unique (gràce à la Σ-unicité ). On le note alors κfa (comme dans le cas de la
contactibilité en a).
Remarques 2.3 : 1) Lorsque f est Σ − SConta alors f est LSLa .

3

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2) Si f1 , f2 : U −→ E � sont deux applications Σ − SConta alors f1 + f2 est encore
Σ − SConta et κ(f1 + f2 )a = κf1a + κf2a . De même, si f : U −→ E � est Σ − SConta
et λ ∈ R, alors λf est Σ − SConta et κ(λf )a = λκfa .
Proposition 2.4 : Soient E un e.v.n. , U ⊂ E un ouvert et a, b ∈ U tels que
[a, b] ⊂ U . Soit aussi f : U −→ E � une application continue telle que, pour tout
x ∈ [a, b], f est Σ − SContx et � κfx �≤ K (constante fixée). Alors :
� f (b) − f (a) �≤ K � b − a �
Preuve :
On voit que pour tout ε > 0 , f est (K + ε) − LSLx pour tout x ∈ [a, b] . D’où
l’inégalité � f (b) − f (a) �≤ (K + ε) � b − a � (en utilisant [2] , prop.1.9). Il suffit
ensuite de faire tendre ε vers 0.
Donnons-nous maintenant deux e.v.n. E et E � , où E � est complet, et U ⊂ E un
ouvert. Donnons nous aussi une suite (fn ) d’applications U −→ E � .
Théorème 2.5 : On suppose que :
1) U est convexe,
2) Pour tout n ∈ N, fn est Σ-semi-contactable sur U ,
3) Il existe a ∈ U tel que la suite (fn (a)) converge dans E � ,
4) La suite (κfn ) est uniformément de Cauchy sur U .
Alors, pour tout x ∈ U , la suite (fn (x)) converge dans E � et, si on pose f (x) =
lim fn (x) , l’application f : x �→ f (x) est Σ-semi-contactable sur U et
n→∞

∀x ∈ U

κfx = lim κfnx .
n→∞

Preuve :
La preuve de ce théorème fonctionne comme celle du théorème 1.1 . On utilise
seulement la proposition précédente à la place de [2] prop.5.8 , pour montrer que
(fn (x)) converge. Ensuite, x ∈ U étant fixé, comme Σ-Hom(E, E � ) est complet, on
peut définir dans Σ-Hom(E, E � ) : h = lim κfnx , et montrer, comme au théorème
n→∞
1.1, que f est Σ − SContx et que κfx = h.
Corollaire 2.6 : On suppose que :
1) U est connexe,
2) Pour tout n ∈ N, fn est Σ-semi-contactable sur U ,
3) Il existe a ∈ U tel que la suite (fn (a)) converge dans E � ,
4) Pour tout x0 ∈ U , il existe une boule ouverte B de centre x0 contenue dans U
4

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sur laquelle la suite (κfn ) est uniformément de Cauchy.
Alors, pour tout x ∈ U , la suite (fn (x)) converge dans E � et, si on pose f (x) =
lim fn (x) , l’application f : x �→ f (x) est Σ-semi-contactable sur U et
n→∞
∀x ∈ U κfx = lim κfnx .
n→∞

3 Le cas des fonctions continûment contactables
Définition 3.1 : Soient E, E � des e.v.n. , U ⊂ E un ouvert et f : U −→ E � une
application. On dit que f est Σ-continûment contactable sur U (en abrégé Σ − CC
sur U ) si f est Σ-contactable sur U et si l’application κf : U −→ Σ-Cont(E, E � )
est continue.
Proposition 3.2 : Soit f : U −→ E � une application Σ-semi-contactable sur
U et telle que l’application κf : U −→ Σ-Hom(E, E � ) soit continue. Alors f est
Σ − CC sur U .
Preuve :
Fixons x0 ∈ U . Comme κf est continue en x0 , il existe une boule ouverte B contenue dans U et centrée en x0 telle que ∀x ∈ B � κfx �≤� κfx0 � +1 et donc, grâce
à la prop.2.4, f est LLx0 . Mais A(κfx0 )|U �≺x0 f et donc A(κfx0 ) est Lx0 (voir [3]
prop. 1.18) ou encore κfx0 est L0 . Ainsi κfx0 ∈ Σ-Cont(E, E � ).
Théorème 3.3 : Soit (fn ) une suite d’applications U −→ E � . On suppose que :
1) U est connexe.
2) Pour tout n ∈ N, fn est Σ − CC sur U ,
3) Il existe a ∈ U tel que la suite (fn (a)) converge dans E � ,
4) Pour tout x0 ∈ U , il existe une boule ouverte B de centre x0 contenue dans U
sur laquelle la suite (κfn ) est uniformément de Cauchy.
Alors, pour tout x ∈ U , la suite (fn (x)) converge dans E � et, si on pose
f (x) = lim fn (x) , l’application f : x �→ f (x) est Σ − CC sur U et ∀x ∈ U κfx =
n→∞
lim κfnx .
n→∞
Preuve :
On sait déjà, par le Coro. 2.6, que f existe et est Σ-semi-contactable sur U . Alors,
comme pour tout x0 , (κfn ) converge uniformément vers κf localement en x0 , κf :
U −→ Σ−Hom(E, E � ) est continue au voisinage de x0 . On applique alors la prop.
3.2 pour conclure.

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Références
[1] E.Burroni and J.Penon, Elements for a metric tangential calculus,
http ://fr.arxiv.org/abs/0912.1012
[2] E.Burroni and J.Penon, A metric tangential calculus,
TAC 2010 Vol 23 (10)
[3] E.Burroni and J.Penon, Representation of metric jets,
Cahiers Top.Géo.Diff.Cat Vol LI-3
[4] E.Burroni and J.Penon, Calcul différentiel revisité à la lumière d’une fonction
insolite, Conférence au SIC à Paris (Oct 2009),
http ://people.math.jussieu.fr/ guitart/docpp/ sic24octobre2009paris.pdf
[5] E.Burroni and J.Penon, Revisiting Differential Calculus in the light of an Uncanny function, Conférence au CT2010 à Genève (June 2010),
http ://ct2010.disi.unige.it/index.php ?page=4
[6] E.Burroni and J.Penon, Revisiting Differential Calculus in the light of an Uncanny function, JPAA 4572 .
[7] E.Burroni, In the heart of representable metric jets
Dans ce même volume des Cahiers Top.Géo.Diff.Cat .
.

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