D IAGRAMMES

R ENÉ G UITART
Théorie cohomologique de la logique du sens vivant
Diagrammes, tome S67-68 (2012), p. 149-176
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DIAGRAMMES , SUPPLEMENT AUX VOLUMES 67 + 68 , 2012, PARIS, pp. 149-176

THEORIE COHOMOLOGIQUE
DE LA LOGIQUE DU SENS VIVANT

R. GUITART

EDITE PAR L. COPPEY , F. FOLTZ , R. GUITART, C. HENRY , C. LAIR

151

Théorie cohomologique
de la logique du sens vivant∗
René GUITART

En hommage respectueux et amical à Andrée Ehresmann, pour ses 75 ans
“Surface est le caractère d’un discours...”
Lewis Carroll, The dynamics of a parti-cle, 18651 .

Nous proposons d’examiner le rapport du sens au vrai, de poser que
Sens
Galois
=
,
Boole
Vrai
— et ainsi donc de concevoir la théorie de Galois des corps finis comme une extension précise de la théorie de Boole du calcul propositionnel (ce qui mathématiquement est à décrire rigoureusement), qui soit semblable à la théorie du sens comme
une extension bien définie de la théorie du vrai (ce qui, indémontrable, est une
thèse définissant ce que nous appellerons le sens) ; et puis de commencer à comprendre le sens de tout discours — nous dirons même le sens vivant — comme
une classe de cohomologie d’un certain espace déterminé par ledit discours. Un
calcul ouvert du sens est alors envisageable.
in Diagrammes, supplément aux volumes 67+68, 2012, Liber Amicorum offert à Andrée
Ehresmann. D’après la conférence intitulée ”Théorie cohomologique du sens” déjà pré-publiée dans [Séminaire Itinérant
∗

de Catégories du samedi 08 novembre 2003, compte-rendu, 2004-10/Mars 2004, LAMFA-CNRS UMR 6140, 39-47]. Le texte de
9 pages d’alors était une version un peu écourtée, pour correspondre effectivement au contenu prononcé dans le temps imparti.
Il existe une version augmentée le 9 février 2004, de 22 pages, sous le même titre, et voici maintenant, en août 2012, la
version achevée, de 25 p., intitulée finalement : Théorie cohomologique de la logique du sens vivant. Cette version tient
compte de résultats obtenus depuis 2004 (signalés au cours du texte dans les Observations 1 à 4). Indiquons particulièrement,
complémentaire de celui-ci (où l’accent est mis sur le logique), notre article : Cohomological Emergence of Sense in Discourses
(As Living Systems Following Ehresmann and Vanbremeersch), Axiomathes, DOI 10.1007/s10516-009-9063-6, Published
online: 02 April 2009 [version française préalable disponible en : rene.guitart.pagesperso-orange.fr/preprints] (où l’accent est mis
sur l’émergence vivante).

1

Proposé par G. Deleuze, Logique du sens, Éditions de Minuit, 1969, p. 21, en traduction
de : “Plain Superficiality is the character of a speech, in which any two points being taken,
the speaker is found to lie wholly with regard to those two points” (The Complete Illustrated
Lewis Carroll, Wordsworth Editions Ltd, 1996, 1016-1026, p. 1018). Ici nous détournons donc
le détournement de Carroll par Deleuze, pour proposer, en exergue à notre travail, que le
sens d’un discours puisse se concevoir au titre de son inscription comme ligne sur une surface.
D’où naturellement s’ensuivraient nos propositions de modélisation mathématique du sens, en
extension géométrique de l’analyse logique.

1

152

1

Le chiasme du vrai et du sens

Tenir un discours, c’est disposer du vrai, c’est-à-dire c’est supposer que l’on aurait
à son service quelques vérités, ou soi-disant vérités, et les lier entre elles placées
dans un tissu argumentatif, ou pseudo-argumentatif : on prétend dire vrai. Le
discours proféré est censé tenir, c’est-à-dire non pas être vrai, mais être envisageable comme une architecture plausible de vérités ; et, simultanément, quelqu’un
le tient à quelqu’autre, c’est-à-dire qu’il est posé, avancé, promu, valorisé, parce
que quelqu’un y tient. Et bien sûr, en quelque sorte, le discours tient sous sa
dépendance tant celui auquel il s’adresse que celui qui le profère. Alors trouver
le sens c’est d’abord déterminer les diverses possibilités de tenues2 .
Le terme de ‘tenue’ importe grandement ici, mis en parallèle et en contraste
avec le vrai ou la vérité : les propositions sont vraies, tandis que les discours ont
de la tenue, ils tiennent. Le chiasme est la manière dont tenue et vrai s’entredéterminent l’un l’autre, jusqu’à être parfois pris l’un pour l’autre, en relation
renversée. D’un côté en produisant un discours ayant de la tenue on prétend
convaincre de vérité, de vrai, et de l’autre côté, on s’assure de la tenue d’un
discours en fonction de la façon dont il s’arrange avec le vrai. La tenue et le vrai
ou la vérité sont comme l’ouvert et le fermé, comme l’infini ou non finito et le
fini. Du côté de la tenue le discours n’en finira pas, et de celui du vrai il ne serait
jamais trop court. On pourrait forger une figure à la manière de Saussure : Tenue
,
Vrai
Vrai
à moins qu’il ne faille écrire le contraire : Tenue
, pour représenter notre vue ici du
discours.
Tenue3 (∼1165) a d’abord été un terme de féodalité, là où on disait plus
souvent tenure, puis il a désigné ce que l’on tient (1373) et exprimé la continuité,
la suite (XVIème), sens qui a vieilli sauf dans la locution d’une tenue (1636). Il
désigne spécialement en musique la continuation d’un même son sur une touche
(1680). Depuis le début du XVIIème, il fournit le nom d’action correspondant
à tenir séance (la tenue de séance). Au XIXème, on dit tenir une maison, tenir
une gestion. Il exprime aussi le fait et la manière de tenir en place, de se tenir,
spécialement en équitation (XVIème) et en marine (1680), et la manière de se
tenir, d’être habillé, comme dans grande tenue (1798) pour “uniforme de parade”.
Dans la tenue nous privilégierons ici — sous l’habit ou le protocole — la manière
de tenir, l’acte de tenir, le simple fait d’effectivement se tenir, et toujours avec
une dimension temporelle et le sens d’un acte d’un sujet. Bien entendu, plus
précisément finalement, ce sera d’abord à partir des usages de la locution tenir
un discours que nous tiendrons nos sens préférés du substantif tenue.
2

Pour une discussion détaillée de la question du sens — terme dont la polysémie fait évidemment écho à celle du terme tenue — dans la perspective esquissée ici en ce premier paragraphe,
voir : R. Guitart, Le chiasme du vrai et du sens, à la lettre, §I de la conférence Le sens comme
floraison catégorique, du 8 janvier 2003.
3
Le Robert, Dictionnaire historique de la langue française, 1998, tome 3, p. 3791.

2

153

Nous pouvons donc proposer pour notre usage, ceci : la tenue est une intervention par laquelle du même continue, ou encore : l’événement de la poursuite
continue du même.
Pour affiner encore un peu la détermination que nous préférons ici pour tenue
tournons-nous un moment vers l’exercice de sa traduction. En anglais, notre vrai
et notre vérité sont true et truth, et nous traduirons tenue par hold ou même par
holding. Du côté de l’allemand, notre vérité est Wahrheit, et notre vrai est wahr
(das ist wahr = cela est vrai = this is true), ce qui a à voir avec la fermeture d’une
persistance finie (wahren = conserver, garder, währen = durer, persister) ; tandis
que nous rapprocherons notre tenue du terme de Zusammenhang — qu’Herbert
Holl traduit en français par contexture — avec, ici, l’idée d’une cohésion en acte,
d’un mouvement qui assemble, que nous prenons sous condition d’une ouverture en devenir ; on pourrait traduire encore en français par mise ensemble ou
assemblage.
Nous symboliserons donc la question de l’analyse d’un discours vers son sens
par une graphie montrant le discours comme ce qui se glisse entre Zusammenhang
et Wahrheit ou wahr, comme la pulsation entre ces deux pôles d’assemblage actif
Z
et de persistance passive : ∆ � W
. Où bien, en anglais, nous écrirons ∆ � H
.
T
Mais, notre idée étant maintenant précisée par cet exercice, nous pouvons revenir
au français, à nos termes Tenue et Vrai, et écrire4 :
∆�

T
.
V

Par exemple — mais c’est seulement un exemple parmi de nombreux genres
de discours — une démonstration d’une proposition est un discours. Son sens est
dans l’ordre de l’exactitude, ce qu’il faut distinguer de la vérité de la proposition
prouvée. Et donc une démonstration tient en tant que démonstration à la mesure
de l’impression d’exactitude qu’elle produit, si bien qu’elle se doit à elle-même de
paraître exacte : son sens se dégagera d’après son mode opératoire pour produire
cette apparence — que celle-ci soit une illusion ou non, c’est là une autre question,
seconde. Ce qui compte c’est son style, sa tendance, la façon dont elle incline à
l’exactitude. Cette inclination sans profondeur est son sens primordial. La face
miroitante qu’elle offre à saisir ; et le sens n’est pas ce qui miroite, mais le fait
même que ça miroite, le miroitement.
Chaque genre de la rhétorique, ou genre de discours oratoire, renvoie à une
sphère de sens spéciale. Ainsi, pour reprendre les distinctions d’Aristote, le
délibératif, par exhortation et dissuasion, est tourné vers l’avenir, et a pour but
de dégager l’intérêt et le dommage ; le judiciaire, par accusation et défense, est
tourné vers le passé, et a pour but de dégager le juste et l’injuste ; le démonstratif,
4

Ici, en cette abréviation graphique ‘�’ ne signifie pas ‘beaucoup plus grand’, mais fonctionne
visuellement et indique bien, comme le ferait un coin ou la pointe d’une flèche, que ∆ s’insère
entre T et V , et vaut pour la barre horizontal qui sépare ces deux lettres.

3

154

par éloge et blâme, est tourné plutôt vers le présent, et a pour but le beau et le
laid moral. Il y a donc ainsi trois sphères de sens basiques qui sont l’avantageux,
le juste, le bien, que des discours visent. Mais on n’exclut pas pour les enjeux du
sens d’autres dimensions de genres discursifs, tels que le tragique, le comique, le
poétique, etc., qui emportent leur propres sphères de sens. Et en fait, dans un
discours réel les différents genres peuvent successivement intervenir, et ce n’est
pas la plus faible ressource, pour l’élaboration du sens par le discours, que ces
changements de genre.
On considérera donc que connaître le sens d’un discours c’est savoir comment
— y compris en sortant de sa sphère propre — il atteint ou il rate son but dans
sa sphère, dans son genre : comment un discours délibératif montre l’avantage,
comment un discours judiciaire dégage le juste, comment un discours démonstratif
exhibe la beauté morale, etc. Et prioritairement nous voudrions élucider dans ce
‘comment’ ce qui s’atteint en termes de vérité.
Car à la racine de toutes les sphères de sens il y a un “prétendre dire vrai”
en acte, motif prétendu d’un “vouloir intéresser”, à la manière de : ce que je
dis doit vous intéresser, puisque je dis vrai : je vous dis du vrai, et je vous le
dis vraiment et véridiquement. Entendons bien, d’abord, que celui qui profère
un discours situe toujours de fait ce discours par rapport à la prétention que le
contenu en soit vrai — et là la mauvaise foi consciente a toute la place nécessaire
à son épanouissement ! — mais surtout, ensuite, que, en permanence — et
éventuellement s’il le faut malgré lui — il asseoit la poursuite du discours sur la
présupposition qu’en maintenant sa propre cohérence intime, en persévérant dans
sa contexture, en insistant sur la continuation ouverte de sa propre découverte,
il dit vraiment ce qu’il veut dire. Ce que prouve le bougé entre les genres, et, en
chaque genre, le déplacement entre les univers de chaque proposition, entre les
points de vue successivement activés — points de vues explicites ou implicites,
dits ou non-dits ; en bref l’auto-mouvement du discours, auto-mouvement à la
fois voulu et non-voulu, dessinant la manière dont il tient — on pourrait dire la
manière dont il se défend, dont il se débat — est la composante de base du sens,
en tous les genres. Autrement dit, on se demandera, d’un discours quelconque,
comment il se débrouille avec la vérité. Que celui qui tient le discours s’en prenne
toujours à la vérité, cela est notre hypothèse, et on peut la justifier par l’illusion
spéculative5 — à savoir celle de croire qu’en parlant on finirait bien par s’expliquer
— alias le narcissisme. Si l’on tient à limiter la portée de notre tentative, on
peut dire qu’il s’agit de saisir par un calcul le sens narcissique de tout discours —
soit encore sa fascination parfois très secrète par la question du vrai — laissant
pendante la question de savoir s’il en est d’autres espèces.
Ainsi nous considérerons, sans avoir plus à entrer ici dans la spécificité des
genres, qu’un discours est un agencement de propositions ou une disposition de
présuppositions, ou encore une géométrie de logiques, et qu’il est fait pour tenir.
5

voir F. Jacques, Dialogiques, PUF, 1979, p. 40-45.

4

155

Chaque proposition dépend d’une logique où réside sa valeur de vérité hypothétique, et vaut dans le discours comme présupposition ; et l’agencement ou la disposition des proposés ou présupposés détermine une géométrie de logiques qui
expose la forme même de l’argumentation. Contrairement à la vérité de chaque
proposition — donc chacune est a-sensée — le sens du discours — qui lui est
a-logique — ne tient pas à une permanence, comme lorsqu’une proposition qui
est démontrée est par suite vraie pour toujours, mais au contraire tient aux effets
de changement que procure l’argumentation entre les logiques locales propres à
ses propositions. Le discours, dans sa linéarité, est comme un chemin voyageant
entre des logiques, organisant un jeu des vérités, effectuant une modulation du
vrai. Un assemblage vif de persistances immobiles — pour reprendre des termes
dégagés plus haut. Ou encore : un changement de mêmeté, ce qui se rapporte à
notre élaboration ailleurs du
Même&Change,
pour traiter de la logique de l’excès6 . Le Même&Change vaut pour : Vrai&Tenue.
On peut ainsi noter encore la question du sens un peu modifiée sous la forme :
∆�

Change
.
Même

Le fleuve n’est pas immobile, parce que ce n’est pas seulement un lieu, mais
aussi il est un voyage dans lui-même considéré comme lieu : c’est de ce point de
vue que nous disons que le discours est un chemin qui voyage.
Au début du porte-plume d’Alger7 , Francis Ponge situe le voyage comme suspendu entre l’action et la contemplation, comme une manière toute particulière
de voir : “c’est une vision d’un présent fugace, d’un avenir qui cesse de l’être,
d’un passé en passe de le devenir”. C’est aussi cela à quoi nous songeons avec
notre expression :
le discours est un chemin qui voyage.
Pulsation entre tenue et vrai, entre change et même, le discours est un chemin
qui voyage en l’espace que lui-même déploie, et son sens est ce mouvement, la
forme de ce mouvement.
Nous considérons donc que le discours met en place comme une sorte de
variété logique ou multiplicité logique8 — “variété” ou “multiplicité” signifiant ici
“manifold”, tout comme on parle de variété topologique ou différentielle — et
qu’en même temps il effectue un mouvement dans cette variété. Ce mouvement
vient de ce que toujours quand on parle on prétende dire vrai, si bien que la
première fonction du discours s’avère celle d’une mise en forme autour du vrai ;
6

Voir : R. Guitart, L’assimilation et l’excès de l’acte sur le logique, in Mélanges Jacques
Roubaud, Mezura 49, 2001, p. 209-227.
7
F. Ponge, Le porte-plume d’Alger, in Méthodes, folio essais 107, p.79-92.
8
Nous laissons pour une autre occasion la définition générale de ces variétés ou multiplicités
logiques, et l’étude de leur catégorie, nous contentant ici — voir un peu plus loin — de l’exemple
des corps finis de caractéristique 2, les F2n = GF (2n ).

5

156

voilà pour le motif sinon pour le moteur. Ce mouvement accompagne le fait que
le discours semble tenir, et, en quelque sorte, il rectifie la chute du sens. Aussi
saisir le sens c’est saisir la spécificité de ce mouvement, et la teneur de cette
tenue apparente ; on cherchera de quelles tenues hypothétiques et de quelles
prémisses inavouables ou innocentes on peut croire que le discours s’autorise,
quand, de fait, il tient, semble-t-il. C’est-à-dire que l’on cherche à partir de quoi
il tiendrait, s’il se stabilisait, s’il se terminait effectivement, nous voulons dire s’il
disait expressément par lui-même qu’il est terminé, qu’il a dit pile ce qu’il avait
à dire.
Le sens d’un discours proféré est prioritairement ceci : quand un discours
est dit, un mouvement dans une variété logique a lieu — ou pour mieux dire :
d’un mouvement une variété logique advient — et le sens du discours est prioritairement le sens de ce mouvement d’émergence d’une surface ; lu ensuite sur la
surface, ce sens est lui-même d’un glissement multivoque — il n’y a pas de bon sens
mais que du paradoxal — et ce sens consiste en le système de toutes les manières
possibles de faire tenir le discours en y spéculant des postures énonciatives nonexplicitées. De même que la saisie d’une surface ne tient objectivement que par la
coprésence de tous les chemins en elle-même, chaque tenue effective — quand on
croit saisir ‘le’ sens — consistant seulement à construire un chemin particulier et
singulier. Nous proposons que ce sens soit donc à construire comme décèlement
de non-dits faisant tenir le discours, dans un environnement logico-différentiel.
Thèse 1 [Auto-mouvement] Tous genres confondus, un discours est toujours
au moins un agencement de présupposés dont chacun relève d’une logique propre,
et il a pour horizon de tenir ensemble, argumentativement, ces présupposés.
Pour tenir, justement, un discours produit comme une modulation du vrai, et
s’anime d’un auto-mouvement entre les logiques locales de ses divers présupposés.
Comprendre le sens d’un discours c’est prioritairement comprendre son automouvement, le “vivant” propre qui l’anime.
Observation 1 : On notera bien cependant que son aspect "vivant" n’est pas la fin du sens,
mais sa source, d’où il s’affranchit de la positivité logique, pour faire signe d’un manque ;
l’accomplissement du sens demande de surcroît une herméneutique, un régime de lecture de
cet auto-mouvement face à un réseau d’interprètes faisant “monde”. À tout le moins, face à la
fiction d’une structure imaginée, la réalité d’une histoire vécue. Soit donc une altérité où le
voyage même du sens émis depuis le vivant d’un sujet s’imprime. Il faut ces données parce que
le sens rapproche des vérités et des faits, sans les confondre, établit des connaissances, forme
un monde, et “il n’y a pas de monde sans interprétation” 9 , sans perspectives et points de vue
interprétatifs, sans liens entre ces perspectives. Il faut donc envisager le discours sous condition
d’une mobilité dans un réseau de postures interprétatives inconnues dont la spécification fait
partie du sens possible. C’est en raison du caractère étranger (voire neuf) du réseau interprétatif
9

G. Abel, Langage, signes et interprétation, Vrin, 2011, quatrième de couverture.

6

157

vis-à-vis de l’auto-mouvement que l’on pourra soutenir que le discours est créatif et porteur de
nouveauté, fruit de l’accouplement d’une fiction émergente et d’une réalité en cours10 .

� Considérons comme premier exemple très simple le mini-discours suivant :
∆ ≡ Il fait beau, mais j’ai mal aux pieds.
On peut considérer qu’il est de la forme :
∆ ≡ BµM,
où B = ‘Il fait beau’ et M = ‘j’ai mal aux pieds’ sont des propositions, et donc
susceptibles d’être vraies ou fausses, et où µ = ‘mais’ n’est pas un connecteur
logique mais est du tissu argumentatif, non-logique, si bien que ∆ n’est pas une
proposition et n’est pas susceptible d’être vraie mais, en effet, est un discours, et
a du sens. La question du sens de ∆ se résoud spontanément par spéculation, et
il y a là plusieurs possibilités.
On peut se dire — première hypothèse — que celui qui parle veut signifier que
puisqu’il fait beau il ne devrait pas ressentir ses rhumatismes, alors que justement
il les ressent. On écrira cette interprétation sous la forme “logique imaginaire” :
(B ⇒ ¬M/) ∧ M.
On peut aussi se dire — deuxième hypothèse — que celui qui parle veut signifier
que puisqu’il fait beau on pourrait aller se promener, mais que, puisqu’il a mal
aux pieds, on ne le peut pas. En notant P = ‘nous pouvons aller nous promener’,
on écrira cette interprétation sous la forme
(B ⇒ P/) ∧ (M ⇒ ¬P/).
Les lettres barrées sont celles de propositions imaginaires, qui ne sont pas dites,
dont l’interprète ajoute l’hypothèse, et qui lui permettent de bâtir un énoncé
propositionnel imaginaire qui pourrait être ‘vrai’, et qui permet donc de supposer
qu’il y a moyen que ce qui est dit soit ‘logique’ et ‘conséquent’, alors que cela
semblait décousu, et comme un coq-à-l’âne. En bref, ainsi l’interprète fait tenir
l’énoncé.
On notera que dans la situation décrite, la supposition P (allons nous promener) soit mise au compte de celui qui prononce la phrase par celui qui veut
comprendre “logiquement” ladite phrase. Dans une autre situation il en serait
autrement. Ainsi si la phrase était donnée en réponse à la question : Irons-nous
nous promener ? Alors P ne serait plus imaginaire mais ferait réellement partie
10

La poursuite systématique de ces considérations n’aura pas lieu ici, elle serait à reprendre
ailleurs, pour une modélisation mathématique de la créativité elle-même. On trouvera d’autres
éléments nécessaires à cette poursuite dans : R. Guitart, Cohomological Emergence of Sense in
Discourses (As Living Systems Following Ehresmann and Vanbremeersch), Axiomathes, DOI
10.1007/s10516-009-9063-6, Published online: 02 April 2009. Notamment au paragraphe 1, où
il est traité du rapport entre les catégories, les discours, les vivants.

7

158

du contexte de la réponse. Il semble que, de façon assez générale, on puisse interpréter ainsi les spéculations comme éléments d’un contexte interrogatif, de sorte
qu’alors la phrase envisagée puisse devenir une réponse logique à cette interrogation.
� Considérons un second mini-exemple, où cette fois la question ne soit pas celle
d’un coq-à-l’âne, mais la question duale, d’une apparente contradiction, d’un
paradoxe.
Un jour où l’auteur de ce texte demandait (question Q) à sa fille Hélène si
elle trouvait bon ce qu’elle mangeait, elle me répondit :
Γ ≡ C’est très bon mais je n’aime pas ça.
Le paradoxal ici advient si l’on comprend ‘mais’ comme quasiment un ‘et’ logique,
comme un connecteur logique entre deux propositions contraires B = ‘C’est très
bon’ et ¬A = ‘je n’aime pas ça’, et que l’on lit : B ∧¬A ; mais plutôt il faut encore
penser qu’il s’agit d’un discours, que � = ‘et’ est plutôt du tissu argumentatif, et
lire
Γ = B�¬A.
Une spéculation faisant tenir ce discours — mais bien d’autres sont possibles —
sera par exemple : du point de vue commun C
/ c’est très bon, et de mon point
de vue individuel I/ , je n’aime pas ça. Ce que l’on écrira :
(C
/ ⇒ B) ∧ (I
/ ⇒ ¬A).

Autrement dit, par sa réponse Hélène produit du sens nouveau, incalculable à
priori par la logique du contexte, en refusant de répondre dans le contexte étroit
du “oui” ou “non” (j’aime ou j’aime pas). Le nouveau qui advient est cette sortie
du cadre prévu, par où se signifie que: 1) elle connaît le point de vue commun, et
que 2) son point de vue est autre que le commun. Elle répond donc à l’ambiguïté
même qu’elle trouve dans la question Q, en répondant en fait logiquement à une
question Q� qui désambiguïse Q en la surchargeant, la surcharge en question étant
reportée dans la réponse même, et c’est là le sens.
Enfin, si la réponse d’H́élène avait été
Γ� ≡ C’est très bon et je n’aime pas ça.
l’analyse eut été sensiblement la même, quoique le sens légèrement différent, la
constitution de la réponse comme paradoxe étant en quelque sorte alors plus
affirmée, l’affrontement entre les deux postures (la commune et celle d’Hélène)
devenant nécessaire à prendre en compte, puisque plus assumé par la locutrice.
On serait alors précisément sûr d’être dans du paradoxal plutôt que dans du
coq-à-l’âne (ce qui après tout n’était pas exclut avec la première réponse), et la
configuration du réseau des possibilités de tenue de l’énoncé plus restreinte, le
sens plus précis.
On pourra aussi rapprocher la structure de cet exemple de celle de beaucoup
d’autres phrases, comme par exemple de celle de la phrase connue prononcée par
Groucho Marx sortant d’une soirée ennuyeuse :
8

159

J’ai passé une très bonne soirée, mais ce n’était pas celle-ci.
Les discours ont du sens à la mesure de l’étonnement qu’ils suscitent, ce dont
les modèles les plus basiques sont, opposés l’un à l’autre, le coq-à-l’âne et le paradoxe. Nous saisissons ce sens, multivoque, par l’élaboration spontanée de propositions imaginaires qui donnent comme des explications logiques provisionnelles
qui font tenir le discours (soit dans nos deux exemples, la question, la réponse, et
leur rapport supposé). Ces propositions imaginaires doivent être distinguées des
propositions du discours, car elles n’y sont pas inscrites ; mais dans la spéculation
pour tenir, on les fait intervenir comme si c’étaient des propositions ordinaires,
susceptibles d’être vraies ou fausses ; ce dont il faut se départir pour enregistrer
mathématiquement le sens proposé par la spéculation : d’où l’usage des lettres
barrées11 .
On fabrique telle ou telle spéculation en imaginant quelques propositions qui
auraient été barrées, biffées, puis réellement omises in extremis ; on procède à une
reconstitution de ce qui manque. Et notamment on reconstitue les destitutions de
ce qui surdétermine, en déniant tel fragment énoncé ‘E’ que l’on trouve excessif,
en l’installant dans un ‘(E ⇒ ¬V
/) ∧ V/’, où V/ est, lui, censé être affirmé, ce qui
finalement vaut pour une correction, pour le remplacement de E par V/.
Le fait de suivre un discours, de n’en pas décrocher, dépend du processus
de production de ces propositions imaginaires manquantes ; ce qui ne demande
pas la croyance que ces propositions soient les bonnes. L’important est bien que
l’on cherche le sens dans un manque ou une incomplétude et que donc il doive
toujours manquer toujours quelque chose à ce qui peut avoir du sens, le sens apparaissant ensuite comme les manières dont ça pourrait, tout hypothétiquement,
se compléter. En effet chacune de ces complétions est révélatrice des degrés de
libertés et mouvements en cours du discours.
Dans nos exemples ci-dessus, ce qu’on a fait pour compléter et faire tenir a
été de déployer du sens argumentatif de µ et de �, jusqu’à ‘comprendre’. On aura
saisi qu’il ne s’agissait pas de connecteurs logiques mais de fragments discursifs
hypothétiques telles que µ1 = (? ⇒ ¬??
/ )∧?? ou µ2 = (? ⇒ P/) ∧ (?? ⇒ ¬P/), et
puis � = (C
/ ⇒?) ∧ (I
/ ⇒??).
On verra plus loin qu’on peut aussi y penser comme permettant de construire
des fonctions discursives associées aux discours, lesquelles fonctions débordent
expressément du cadre des fonctions logiques.
Mais pour le moment nous nous contenterons de formuler ceci, notre seconde
thèse sur le sens :
Thèse 2 [Système des tenues] Chaque discours possède un auto-mouvement,
comme si quelque chose lui manquait qu’il cherchait. C’est à la mesure d’un tel
11

Lesquelles en effet seront conduites plus loin dans nos explications à prendre éventuellement
des valeurs imaginaires, dans GF (4).

9

160

manque nécessaire que le discours peut nous étonner et donc avoir du sens. On
trouve du sens par les tenues hypothétiques que nous élaborons, tenues qui sont
les manières de compléter le discours.
Le sens d’un discours consistera en la forme du système de toutes ses tenues.
Observation 2 : Dans le fil de l’observation 1 faisant suite à la Thèse 1, on pourra se

représenter que ce qui fait saisir et comprendre la forme du système de toutes les tenues d’un
discours, c’est l’association de l’auto-mouvement de ce discours avec un réseau d’interprètes,
soit l’analyse de la forme du discours vis-à-vis dudit réseau12 .
On notera que cette conception du sens comme ce qui s’inscrit comme la forme d’une
défaillance vis-à-vis d’une grammaire, est souvent utilisée comme ressort exprès, quand la paradoxalité est exhibée à l’évidence au centre du discours. Beaucoup de phrases drôles de Groucho
Marx reposent sur ce principe. On trouve aussi de nombreux cas chez Oscar Wilde par exemple
dans les maximes13 :
– S’il est beau en soi, un sujet ne suggère rien à l’artiste. Il manque d’imperfection.
– Il ne faut jamais écouter, Écouter est une marque d’indifférence vis-à-vis de vos auditeurs.
– Ceux qui voient la moindre différence entre l’âme et le corps ne possèdent ni l’un ni l’autre.
– Si on dit la vérité, on est sûr d’être tôt ou tard démasqué.
– Seuls les grands maîtres du style réussissent jamais à être obscurs.
Nous laissons au lecteur l’exercice d’analyser le sens de ces maximes en utilisant la conception
du sens que nous proposons. Spécialement, on saura lire un schème de paradoxalité comme
dans nos deux mini-exemples ci-dessus (marqués d’un �).

On notera encore que ce dispositif d’analyse du sens en termes de logique préalable/écart
apparent à la logique/spéculation intégrante dans un réseau (éventuellement inventé), que nous
avançons pour l’analyse des discours, pourrait valoir pour l’analyse dans d’autres champs. Ainsi
le sens musical d’un objet musical, par exemple d’une interprétation d’une œuvre, peut en partie
s’entendre de même, avec : à la place de la logique initiale un dispositif grammatical donné de
la composition musicale, déterminant notamment ce qui sera réputé “harmonieux”, à la place de
l’illogique le disharmonieux ou la dissonance, et à la place de la spéculation l’intégration aprèscoup dans une tradition (éventuellement imaginaire). C’est donc dire combien peu en réalité
la théorie du sens tient à une détermination profonde spécifique de la vérité, et s’accroche
seulement à la possibilité de s’autoriser d’une soi-disant vérité ou norme qui ferait loi. Le sens
tiendrait donc au fait, au fil du discours, d’une inscription au défaut d’une loi, en un point neuf
par où une loi pourra être pervertie, et à la connaissance de la forme de cette inscription.

2

De Boole à Galois

Si l’on cherche14 une proposition X telle que X = (X ⇒ ¬X), cela se transforme
en X 2 = X + 1, et si l’on admet la loi booléenne que X 2 = X, on aboutit à
X = X + 1, ce qui est impossible. Il n’existe pas de telle X qui soit une vraie
12

La théorie de la créativité subséquente passera donc par l’outillage de la théorie catégorique
de la forme (Shape Theory).
13
O. Wilde, Maximes et autres textes, folio 5356, 2012, pp. 14, 15, 19, 20, 23.
14
R. Guitart, Évidence et étrangeté, PUF, 2000, p. 36, 130.

10

161

proposition. Autrement dit, l’équation X 2 = X + 1 n’a pas de solution dans
GF (2) = Z/2Z, le corps des entiers modulo 2. Par contre, si l’on se place dans
le corps
GF (4) = GF (2)[X]/(X 2 + X + 1) = {0, 1, S
/, A
/},

on a deux solutions pour X 2 = X + 1, qui sont justement les éléments notés S
/
et A
/, qui vérifient donc S
/ +A
/ = 1, A
/S
/ = 1, A
/2 = S
/, S
/2 = A
/. Avec Grosjean15 ,
on considèrera que GF (4) est un corps de rupture de paradoxe logique. Avec
Vappereau16 , on considèrera que l’on peut traiter du fait de dire par un certain
calcul propositionnel modifié, qui s’avère essentiellement équivalent au calcul avec
GF (4) : alors nous penserons que S
/ et A
/ représentent des postures énonciatives,
ou encore des places de sujets. Les propositions imaginaires, marquant des points
de vues absents dans les discours, pourront donc naturellement recevoir comme
valeurs de telles entités.
À vrai dire, le premier soupçon — qui a conduit à penser que la question du
sens soit à la question de la vérité comme Galois est à Boole — est venu avec
l’ensemble des parties d’un ensemble fini n, soit l’ensemble
P(n) = 2n ,
et le fait que, d’une part, toute algèbre de Boole finie soit de cardinal 2n , et
que, d’autre part, tout corps fini de Galois de caractéristique 2 soit de cardinal
2n . D’où la question : quel rapport entre les structures d’algèbre de Boole et les
structures de corps fini de Galois sur 2n ?
Dans un sens, si l’on considère une base β = (e1 , e2 ) de GF (4) sur GF (2), on
pose t = e1 + e2 , on a une bijection β̂ : GF (4) → GF (2)2 : x �→ β̂(x) = (x1 , x2 ),
avec x = x1 e1 + x2 e2 , avec x1 , x2 ∈ GF (2) ; et si l’on note t = e1 + e2 , et que
pour x = x1 e1 + x2 e2 et y = y1 e1 + y2 e2 , avec x1 , x2 , y1 , y2 ∈ GF (2), on pose :
x ∧t y = x ∧β x = (x1 .y1 )e1 + (x2 .y2 )e2 ,
on détermine une conjonction booléenne ∧t ou ∧β — qui est donc une fonction
∧β : GF (4)2 → GF (4) — et en ajoutant comme négation ¬t ou ¬β donnée par
¬t (x) = ¬β (x) = x + t
– qui est donc une fonction ¬β : GF (4) → GF (4) – on trouve une structure
booléenne sur GF (4). Comme il y a 3 bases possibles, à savoir (S
/, A
/) pour t = 1,
(1, S
/ ) pour t = A
/, et (1, A
/) pour t = S
/ , il y a sur GF (4) ainsi 3 structures
15

P. V. Grosjean, La logique sur le corps de rupture des paradoxes, Logique et Analyse,
Nouvelle Série, 16 ème année, mars-juin 1973, p. 535-562.
16
J.-M. Vappereau, (1)- Thèses sur le ruisseau ardent, Cahiers de lectures freudiennes,13, Le
schéma optique, Lysimaque 1987, p.113-131. (2)- Ha ! Mon très Hâle (Les itinéraires du dire),
Lu, Topologie en Extension, Paris, 1998, p. 229-239.

11

162

booléennes isomorphes dont le zéro soit 0 et dont l’addition soit l’addition +
fixée dans GF (4).
On trouve une formulation algébrique de chacune des conjonctions, soit la
formule de ce que nous appellerons la conjonction mobile ∧t , définie pour t �= 0 :
Théorème 1 Toutes les conjonctions de GF (4) entrent dans la formule
x ∧t y = x2 y 2 + t(x2 y + xy 2 ),
et donc si x2 = x et y 2 = y, alors x ∧t y = x.y.
Dans l’autre sens, du booléen vers le galoisien, on démontre :
Théorème 2 Dans GF (4) on a :
�
x.y = (i,j,k)∈ {1, S/ ,A/} 3 (x ∧i 1) ∧j (1 ∧k y).

On voit donc ainsi GF (4) comme une multiplicité logique, avec un atlas à trois
cartes booléennes, la loi de corps résultant d’une combinaison globale symétrique
des lois locales booléennes.
Cela suggère aussi d’associer à toute relation ternaire T ⊆ {1, S
/, A
/}3 sur {1, S
/, A
/}
une loi binaire notée .T donnée par
�
x.T y =
(x ∧i 1) ∧j (1 ∧k y).
(i,j,k)∈T

Pour T = {1, S
/, A
/}3 on a donc .T = ., et, à l’autre extrême, si T = {(1, t, 1)}
alors .T = ∧t .
La loi de corps est donc comme au sommet d’un édifice dont la base est
formée des trois lois booléennes. L’exploration de l’édifice consistera à calculer
séparément les valeurs algébriques de ses atomes que nous verrons comme des
j

conjonctions généralisées que nous nommerons ici jonctions et noterons i ⊗k , et
données par :
j

x i ⊗k y = (x ∧i 1) ∧j (1 ∧k y),

soit, transformées en formules polynomiales, avec donc i∧j k = i2 k 2 +j(i2 k +ik 2 ) :
j

x i ⊗k y = [i ∧j k + (i2 + k 2 + 1) + j(i + k)]xy
+[i ∧j k + i2 + j(i + k 2 + 1)]x2 y
+[i ∧j k + k 2 + j(i2 + k + 1)]xy 2 + [i ∧j k + j(i2 + k 2 )]x2 y 2 .
j

On constate par exemple que l’on a identiquement x i ⊗k x = x si et seulement
t

si i = k = 1, soit exactement dans le cas des trois conjonctions 1 ⊗1 = ∧t . On
peut aussi observer que la loi obtenue est commutative exactement dans 13 cas de
12

163

j

symboles, soit 5 cas de fonctions : ou bien i = k, soit les 9 symboles i ⊗i , parmi
lesquelles donc les 3 conjonctions initiales ∧t , et en tout 5 fonctions ; ou bien l’un
S/

S/

A/

A/

des 4 cas : S/ ⊗1 , 1 ⊗S/ , A/ ⊗1 , et 1 ⊗A/ , ce qui correspond à 2 fonctions figurant
dans les 5 premières. Ainsi, évidemment, les axiomes équationnels éventuellement
j

satisfait par la loi i ⊗k expriment des relations algébriques entre les points de vue i,
j et k qui s’y mêlent. A fortiori, on imagine bien que les propriétés équationnelles
de .T exprimeront quelque chose de la disposition algébrique de T .
Soulignons que les 27 symboles donnés ne fournissent en fait que 11 fonctions
différentes. Et du reste le produit s’obtient aussi en faisant la somme de ces 11
fonctions seulement, voire en faisant la somme de 5 précises d’entre elles, à savoir
les 5 qui sont commutatives, ce que l’on peut écrire, au lieu de la formule à 27
termes du théorème 2 :
x.y = x ∧1 y + x ∧S/ y + x ∧A/ y + (x ∧S/ 1) ∧1 (1 ∧S/ y) + (x ∧A/ 1) ∧1 (1 ∧A/ y).
Mais on ne commencera pas plus ici l’exploration du système de toutes les écritures booléennes mobiles du produit de GF (4).
j

On voit que ces jonctions i ⊗k ne sont plus purement logiques, comme les conjonctions, mais sont en quelque sorte des mixtes de conjonctions et changements
de cartes logiques, des sortes de conjonctions déplacées, portant de l’information
géométrique sur leurs jeux d’indices. En tout cas on peut espérer que la seule
considération de leur système donne de l’information sur la structure géométrique
de la variété logique en jeu, et notamment sur sa cohomologie.
j

En fait toute fonction notée x i ⊗k y est un polynôme dont la somme des
j

quatre coefficients vaut 1, c’est-à-dire que l’on a 1 i ⊗k 1 = 1. Par suite il en
est de même de toute somme de telles fonctions, et donc ces sommes ne peuvent
représenter toutes les fonctions de deux variables. On est donc amené à considérer — par exemple dans le théorème ci-après — des objets un petit peu plus
j

compliqués que les x i ⊗k y = (x ∧i 1) ∧j (1 ∧k y), mais fabriqués aussi à partir de
l’écriture classique x∧y, de répétitions et rectifications, à savoir les expressions du
type suivant, où x1 = x ou x1 ∈ GF (4)\{0}, et où x2 = x ou x2 ∈ GF (4)\{0},
où aussi y1 = y ou y1 ∈ GF (4)\{0}, et où y2 = y ou y2 ∈ GF (4)\{0}, et où
enfin i, j, k, l, m, n, o, p ∈ GF (4)\{0}, que nous considérerons encore comme des
jonctions ou monômes jonctifs, plus complexes :
xJy = [[(x1 ∧i (x2 ∧j 1)) ∧k (y1 ∧l (y2 ∧m 1))] ∧n 1] ∧o p.
j

Après les conjonctions ∧i , les jonctions i ⊗k construites avec 3 conjonctions,
puis maintenant les opérateurs plus généraux du type J, on doit systématiquement considérer le jeu de toutes les superpositions par composition des diverses
conjonctions et des constantes, c’est-à-dire la clôture fonctionnelle conjonctive
13

164

�

(4) de GF (4), dont la complexité algébrique exprime donc quelque chose de la
géométrie de GF (4).
On démontre, mais nous n’entrerons pas dans les détails ici17 , les théorèmes
suivants :
Théorème 3 Sur GF (4) toute fonction d’un nombre fini de variables est booléenne mobile, soit combinaison de + et des diverses conjonctions et négations.
Ainsi toute fonction de deux variables sur GF (4) s’écrit à coefficients dans GF (2),
comme composée avec les constantes de GF (4), et les neuf fonctions booléennes
∧1 , ∨1 , ¬1 , ∧S/ , ∨S/ , ¬S/ , ∧A/, ∨A/, ¬A/.
Ainsi encore toute fonction de deux variables sur GF (4) s’écrit comme somme
avec + de monômes jonctifs du type xJy défini ci-avant.
Théorème 4 Sur GF (4), pour tout t �= 0 est déterminée l’implication booléenne
⇒t donnée par x ⇒t y = ¬t (x ∧t ¬t y) = x2 y 2 + x + t(x2 y + xy 2 + 1), et sur GF (4)
toute fonction de deux variables s’écrit à l’aide des constantes et des seules trois
fonctions ⇒1 , ⇒ S/ , et ⇒ A/.
Nous développons ailleurs18 l’idée associée de nœud discursif, soit de fonction
déterminée à partie des constantes et de la seule fonction ternaire d’implication de
y par x du point de vue t, soit : x ⇒t y. Cette notion est d’usage plus souple que
celle des fonctions utilisées dans le théorème ci-avant, car on s’y autorise l’usage
de substitutions sur la variable t aussi, comme par exemple dans l’expression
f (x, y) = (x ⇒y⇒1 x y). Une telle f se spécifiera par un schéma à la Herbrand :
�

f = x ⇒t y
t = y ⇒1 x

Cet exemple est ‘dénoué’, et l’idée générale de nœud discursif correspondra aux
schémas récursifs quelconques formés avec (−) ⇒(−) (−). Nous laissons au lecteur
l’exercice de défaire le nœud de quatre suivant :

a = c ⇒b d



b = d ⇒c a
c
= a ⇒d b



d = b ⇒a c

Observation 3 : On trouvera une formulation aboutie de l’idée de fléchage, dont les ci-avant
fléchages logiques sont des exemples, dont les mises à plat de nœuds sont d’autres exemples,
17

voir : R. Guitart, Entre Boole et Galois, le sens comme calcul de différences ou combinatoire
d’indiscernables, rédaction de deux conférences au Séminaire de Catégories, les 13 décembre
2002 et 23 mai 2003, 65 p.
18
R. Guitart, Des nœuds discursifs aux fléchages visuels, d’après deux conférences du
02/02/03 et du 28/02/03.

14

165

et les n-catégories d’autres exemples encore, dans notre article récent19 , où leur intérêt visà-vis de la sémiotique peircéenne et vis-à-vis de la modélisation catégoricienne, est examiné.
Du coup, on saura introduire des “caractères logiques” de fléchages quelconques comme des
homomorphismes vers des fléchages logiques concrets (déjà donnés avec interprétation dans un
corps fini, comme des nœuds discursifs).

En fait, les premières preuves des deux théorèmes ci-avant que nous ayons
faites reposaient sur le résultat suivant — intéressant aussi ici en lui-même — qui
met l’accent sur l’automorphisme de Frobenius
(−)2 : GF (4) → GF (4) : x �→ x2
du corps GF (4), compris alors comme une opération suffisante à ajouter aux
fonctions booléennes d’une structure booléenne pour pouvoir produire toutes les
fonctions :
Théorème 5 Sur GF (4), pour tout t �= 0 fixé, on considère les fonctions booléennes associées, ∨t , ∧t , ⇒t , ¬t , etc., à quoi on ajoute le Frobenius (−)2 et la multiplication par t, notée t.(−), et les constantes de GF (4). Alors toute fonction
f (x, y) de deux variables x et y sur GF (4) peut s’écrire par compositions de ces
fonctions-là.
Notamment, toute fonction de deux variables sur GF (4) est une somme de 16
mônomes dont chacun est produit d’un coefficient dans GF (4) par une conjonction avec ∧t de 0 à 4 des termes de {x, y, x2 , y 2 }.
Notamment encore, toute fonction de deux variables sur GF (4) peut s’écrire, à
coefficients dans GF (2), comme composée avec ∨1 , ∧1 , ¬1 , (−) ∧1 S
/ , (−) ∧1 A
/,
2
et (−) .
À partir de là une idée de calculs d’avatars s’est dégagée, qui consiste, partant
d’une fonction booléenne h où une lettre u est variable, à remplacer de façons
répétées des occurrences de cette lettre u par son carré u2 , obtenant donc des
avatars hA de h. Le résultat ci-avant se dira : toute fonction f est avatar hA
d’une fonction booléenne h. On comprend ici le rôle crucial de (−)2 , que l’on
utilise ici dans l’esprit galoisien : si x �= 0, 1, alors x et x2 sont distincts mais
indiscernables, soit, pour tout x :
x2 �= x, si x �= 0, 1, et toujours x2 ∼ x,
esprit que nous ajoutons à la thèse de Boole qui ici est
x ∧t x = x.
Si dans une fonction f , écrite comme booléenne mobile, on remplace chaque
valeur des divers t en indices par 1, on obtient une fonction booléenne proprement
19

R. Guitart, Modélisation qualitative catégoricienne : modèles, signes et formes, in À la
lumière des mathématiques et à l’ombre de la philosophie, sous la direction de M. Andreatta,
F. Nicolas et C. Alunni, Collection Musique/Sciences, IRCAM Centre Pompidou, pp. 133-147.

15

166

dite, notée b(f ). Par exemple on aura b(x ∧i ¬j x) = x ∧1 ¬1 x. De même dans
une fonction f , écrite comme avatar hA d’une fonction booléenne h d’indice 1,
soit f = hA , si l’on efface les exposants carrés on retrouve h, et l’on note :
h = b(hA ) = b(f ). Par exemple on aura b(x ∧1 ¬1 x2 ) = x ∧1 ¬1 x.
Alors la différence π(f ) = f − b(f ) représente du sens pur, et s’appelle une
fonction paradoxale.
Dès lors, l’idée est d’associer aux discours ∆ des fonctions sur GF (4) dont
nous notons une quelconque σ(∆) = σ, qui seront dites des fonctions discursives,
et seront censées représenter du sens de ∆. Dans σ(∆) les variables barrées
peuvent donc prendre leurs valeurs dans les imaginaires, soit hors de 0 et 1.
Les fonctions booléennes non-mobiles (relative à ∧1 et ¬1 ) seront dites fonctions
logiques. Une fonction σ(∆) représente l’état discursif de ∆, de sorte que du
sens pur du discours ∆ est représenté par π(∆) = σ(∆) − b(σ(∆)), tandis que
b(σ(∆)) = η(∆) est censée être ce que l’on a logiquement entendu, la trace perçue
de ∆. Chaque spéculation sur ∆ permet d’obtenir un tel sens pur, et le sens est
le système de ces sens purs, lorsque la spéculation varie. Pour qu’il y ait du sens
pur π �= 0, il faut donc que σ �= bσ, c’est-à-dire qu’il y ait, dans les indexes de σ,
de la variation. Alors π = σ − η est paradoxale donc, débarrassée de logique, et
détermine la variation qui seule intéresse pour le sens. C’est donc autour de ces
variations que l’on désire maintenant localiser la question même du sens.
Et notamment, si f est une fonction booléenne usuelle que l’on croit entendre
dans un discours ∆, soit η = f , et si fα et fβ sont les fonctions associées en écrivant
f avec les opérateurs logiques de α et de β, bien sûr on a b(fα ) = f = b(fβ ),
et donc π = fα − fβ est paradoxale. Son ‘sens’ est de marquer, à propos de f ,
l’erreur de point de vue possible la plus simple possible, entre α et β, puisque si
l’on entend η = f , il n’est déjà pas assuré qu’il ne faille pas comprendre fα ou
aussi bien fβ . La description générale que nous proposons permet de présenter
de telles erreurs non seulement globalement sur f , mais localement en divers
fragments dans f . On considèrera donc qu’un sens simple est un σ tel qu’il existe
f , α et β tels que
σ − b(σ) = fα − fβ .
Nos exercices plus haut avec µ et � (au paragraphe 1), par ‘ajouts d’hypothèses’,
produisant des tenues ‘booléennes’ avec des lettres barrées, peuvent se comprendre en termes de variables booléennes ordinaires cachées, les lettres barrées justement.
Si, étant donnée une algèbre de Boole B on désigne par B{x} l’algèbre de Boole librement engendrée par B et une indéterminée x, une expression booléenne logique
η ∈ B{x} paraît intenable, anti-logique, parce que sa fonction associée f (x) sur
B est nulle, alors par ajout adapté de paramètres dont on imagine qu’ils auraient
été omis au niveau de l’état perçu η du discours tenu, disons maintenant p etq —
pour les lettres qui étaient barrées –, on peut forger χ ∈ B{x, p, q} tenable, nonanti-logique, et dont la forme prolonge celle de η, de fonction associée F (p, q; x),
16

167

non-nulle pour certains p �= q, mais identique à f (x) lorsque p = p0 , q = q0 .
On passe donc d’une fonction identiquement nulle f : GF (2) → GF (2) à une
fonction non-nulle F : GF (2)1+2 → GF (2). Si l’on note K : GF (2) → GF (2)1+2
la fonction K(x) = (x, p0 , q0 ), on a construit un F tel que F ◦ K = f = 0 et
F �= 0. Si pour toute γ ∈ B{x, p, q} on désigne par (γ)\{p,q} l’expression obtenue
en effaçant dans γ les lettres p et q et les éléments directement attachés, on a
donc construit un χ, considéré comme une tenue possible de η parce que à la
fois χ n’est pas anti-logique, et, aussi, (χ)\{p,q} = η. Dans cette procédure, on
n’a pas besoin de GF (4), sauf si l’on voulait remplacer GF (2)2 par GF (4), et le
couple de paramètres (p, q) par un seul, disons z tel que β̂(z) = (p, q). Il n’est
pas explicitement nécessaire de supposer que les variables barrées prennent chacune des valeurs imaginaires au sens de valeurs dans GF (4) différentes de 0 et 1.
Cependant comme ces variables cachées sont bel et bien imaginées, il semblerait
judicieux, par une telle supposition, de garder trace de ce caractère dans leur
statut.
Mais ces exercices avec µ et � peuvent aussi se concevoir dans l’esprit de la
Logique Spéculaire20 comme un travail de localisation sur la forme initiale du
discours. Par exemple la tenue de l’énoncé B�¬A par (C
/ ⇒ B) ∧ (I
/ ⇒ ¬A) est
composée avec des localisations qui sont ici C
/ ⇒? = (−)�C/ et /I ⇒?? = (−)�I/ ,
un opérateur X ⇒?! = (−)�X signifiant : ‘Si l’on se place du point de vue de X
alors ?!’. En termes de logique spéculaire sur un site propositionnel dont C
/ et /I
sont objets on peut écrire : (C
/ ⇒ B) ∧ (I
/ ⇒ ¬A) = B �C/ ∧ ¬A�I/ . De la sorte
on peut expliquer autrement la spéculation faite, à partir de la forme logique
paradoxale elle-même B ∧ ¬A, comme un travail de modification par localisation
des opérateurs logiques. À ce moment-là, les hypothèses ajoutées, nommées C
/
et /I , considérées au départ comme des propositions omises, imaginaires donc,
mais liées aux autres déjà présentes par un calcul logique de nature classique,
se trouvent re-qualifiées comme des modificateurs ou localisateurs des opérateurs
logiques classiques — qui du coup n’opèrent plus classiquement — modificateurs
notés (−)�C/ et (−)�I/ . Les ‘propositions omises’ ne sont pas en fait seulement de
simples propositions, mais sont rattachées au discours perçu η par un mode de
localisation ; ce sont maintenant des postures présupposées.
Que l’on puisse exprimer l’intervention de ces postures présupposées sous
forme propositionnelle, comme nous avons commencé à le faire, masque peut-être
la vraie nature de la situation. Notamment il est artificiel de traduire ‘propositionnellement’ des cas de présupositions de situations dont le sens peut être
‘géométriquement’ évident. Aussi, si l’on traduit l’idée que, du point de vue t, x
implique y par : t ⇒ (x ⇒ y) — exprimant donc la considération du point de vue
par la mise sous la condition t — on ne fait pas exactement la même opération
que si l’on traduit par : x ⇒t y dans GF (4). On pourra justement comparer les
20
voir : R. Guitart, L’idée de Logique Spéculaire, in Journées Catégories, Algèbres, Esquisses,
Néo-esquisses, Caen, 27-30 septembre 1994, 6 p.

17

168

deux manières dans le calcul sur GF (4), en interprétant la première expression
par t ⇒1 (x ⇒1 y) = (t ∧1 x) ⇒1 y, ce qui, si x2 = x et y 2 = y, vaut txy + tx + 1,
tandis, dans les mêmes circonstances, x ⇒t y vaut xy + x + t.
Si l’on se place dans le site P{S
/, A
/} à deux éléments S
/ et A
/ tels que A
/+S
/ =1
21
associé donc à la base (S
/, A
/) de GF (4), on montre que toutes les localisations sont parmi les polynômes à une variable du second degré, lesquels sont
les fonctions GF (2)-affines sur GF (4). Ceci pour dire que les localisations par
l’introduction de lettres barrées se ré-interprètent comme des changements de
bases dans GF (4), du moins si l’on interprète les lettres barrées par des éléments
de GF (4).
On se retrouve alors dans le contexte où vont fonctionner ensemble plusieurs
logiques que, in fine, on peut prendre de type booléen classique, parce que les
opérateurs altérés seront en effet exprimables en utilisant simultanément ces
logiques classiques. À ce second moment, le jeu pour faire tenir est devenu celui
de l’introduction d’une flexibilité de la logique classique que l’on autorise à se
démultiplier sur place de façons qui restent imaginaires et non-marquées, démultiplication qui fait partie du travail interprétatif. La démultiplication des
hypothèses imaginaires a donc pour équivalent l’augmentation de la taille n du
GF (2n ) où l’on va travailler. Enfin, quand on s’est donné suffisamment d’espace,
en prenant n assez grand, chaque spéculation telle que celles que nous avons
produites dans nos mini-exemples fournit des fonctions booléennes pouvant être
effectuées dans le GF (2n ) en question.
Ici, dans le cas de B�¬A, on peut arriver à la famille des fonctions f (B, A)
à paramètres C
/ et /I que l’on obtient en donnant, dans l’expression explicative
initiale (C
/ ⇒ B) ∧ (I
/ ⇒ ¬A), à C
/ et /I des valeurs c et i dans GF (4) telles
que la fonction obtenue ne soit pas une antilogie. Dans l’explication initiale
ça tenait parce que C
/ et /I étaient pensées comme incompossibles, soit tels que
C
/ ∧ /I = 0, et parce que chacune séparément, était possible mais non-nécessaire,
effectivement changeante donc, soit C
/, /I �= 0, C
/, /I �= 1. Ce que l’on peut réaliser
maintenant, dans GF (4), par des valeurs constantes à la place de ces variables,
soit les valeurs S
/ et A
/. Maintenant ça tiendra — autre explication — parce que
dans l’écriture booléenne mobile associée il y aura justement de la mobilité, de la
variation d’indices.
Considérons donc pour simplifier que B = A = X, et l’expression X ∧¬X contradictoire ou antilogique. Dans GF (4), la fonction directement associée à notre
spéculation initiale, pour des paramètres c et i, et en remplaçant la ‘proposition’
X par une variable x assujettie à GF (4) , soit
fc,i (x) = (c ⇒1 x) ∧1 (i ⇒ ¬1 x),
vaut : fc,i (x) = ¬1 [c ∧1 ¬1 x] ∧1 ¬1 [i ∧1 x] = [c ∧1 (x + 1) + 1] ∧1 [(i ∧1 x) + 1] =
21

voir : R. Guitart, Entre Boole et Galois, le sens comme calcul de différences ou combinatoire
d’indiscernables, op. cit.

18

169

[c ∧1 x + c + 1] ∧1 [i ∧1 x + 1] = i ∧1 x + c ∧1 x + c + 1 = (c + i) ∧1 x + c + 1 =
(c + i)2 x2 + 1.[(c + i)2 x + (c + i)x2 ], soit, en ayant donc utilisé le Théorème 1 :
fc,i (x) = [(c + i)2 + (c + i)]x2 + (c + i)2 x + (c + 1).
Par exemple, pour c = 1 et i = A
/, il vient : f1,A/(x) = x2 + A
/x = x(x + A
/).
Cette dernière fonction f1,A/, non-antilogique, est donc pour nous un ‘élément de
sens’ du discours proféré, un constituant de sa tenue. Au demeurant on peut la
réecrire comme booléenne mobile, par exemple en remplaçant y par ¬A/ x dans
l’expression de x.y du Théorème 2.
On en vient donc à manipuler des fonctions quelconques sur GF (4), par exemple donc f1,A/ : GF (4) → GF (4), construites si l’on veut comme extensions mobiles
de fonctions logiques booléennes, comme le Théorème 3 — ou le Théorème 4
— nous assure qu’il est toujours possible de supposer. Ou encore, variante assurée
par le Théorème 5, on en vient à considérer les fonctions sur GF (4) comme des
avatars de fonctions booléennes ; mais ici nous laisserons, dans les exemples, le
lecteur procéder auxdites variantes par lui-même.
On peut directement comprendre l’exercice que l’on a à faire pour faire tenir
un discours paradoxal — et nous essayons par ailleurs de faire entendre qu’un
discours n’a de sens que si, par un côté au moins, il est paradoxal ! — tel que
X ∧ ¬X, en y distribuant directement des indices sur les opérateurs logiques, et
en considérant donc : X ∧j ¬k X, voire, puisque que X vaut pour l’affirmation de
X et peut s’écrire Id(X), en considérant des écritures comme Idi (X)∧j ¬k Idl (X).
Du sens advient alors comme telle variation d’indices dans la séquence i, j, k, l,
nécessaire pour que la fonction ne soit pas antilogique.
Par exemple, ici, on voudra bien considérer que la fonction discursive x∧ S/ ¬A/x,
qui vaut exactement g S/,A/(x) = x2 (x + A
/)2 + S
/ (x2 (x + A
/) + x(x + A
/)2 ) = x(A
/x + S
/)
et qui ainsi n’est pas antilogique, est donc aussi un ‘élément de sens’ du discours
initalement proposé à l’analyse, un autre que celui montré ci-avant. On peut
d’ailleurs en écrire la différence : g S/ ,A/(x) − f1,A/(x) = S
/ x2 + x.
En fait on peut développer la forme générale envisagée à l’instant :
gj,k (x) = x ∧j ¬k x,
qui, en tenant compte de ce que dans GF (4) on a x + x = 0 et x4 = x, se
développe en : gj,k (x) = x2 (x + k)2 + j.[x2 (x + k) + x(x + k)2 ] = x4 + x2 k 2 + jx3 +
jx2 k + jx3 + jxk 2 , soit
gj,k (x) = (k 2 + jk)x2 + (jk 2 + 1)x.
Les deux formats de tenues (c ⇒1 x) ∧1 (i ⇒ ¬1 x) et x ∧j ¬k x s’expriment
finalement par les fonctions fc,i (x) et gj,k (x) qui sont toutes deux des fonctions
du second degré en x, soit de la forme y = Ax2 + Bx + C — des paraboles
19

170

donc — et plus généralement rentrent dans le cas de fonctions quelconques sur
GF (4), lesquelles s’expriment toujours comme booléennes mobiles (Théorème
3, Théorème 4), etc.
L’intérêt de ce cadre général des fonctions sur GF (4) est de permettre la
comparaison et le mélange des méthodes ou formats de tenues. Ici on peut constater que les formats fc,i (x) et gj,k (x) ne sont pas équivalents entre eux, puisque
fc,i (x) ≡
/ gj,k (x). Si l’on veut ajuster les paramètres pour avoir fc,i (x) ≡ gj,k (x), il
vient : c = 1, i = jk 2 , k 2 + jk = 1. On accède ainsi, par l’écriture de ce système
d’équations, à une possibilité d’expression de ce qu’il y a de commun et à ce qu’il
y a de différent dans l’usage des deux formats. La même information est déposée
bien sûr dans l’objet fc,i (x) − gj,k (x).
Ensuite, bien sûr, il est commode, dans ce type de pratique, de synthétiser ‘à
la main’ deux formats non-équivalents, en les faisant voir comme deux cas particuliers d’un format plus général. Par exemple, fc,i (x) et gj,k (x) sont trivialement
deux cas particuliers du format
ha,b;p,q,r,s (x) = (a ⇒p x) ∧q (b ⇒r ¬s x).
Ce que nous laissons le lecteur écrire comme polynôme. Rien ne nous empêche
d’élire des formes plus complexes comme (a ⇒p (d ∧u x) ∧q (b ⇒r ¬s (c ∧t x)), et
ainsi de suite. Ainsi il y a une structuration filtrante par emboîtement des divers
formats de tenue d’un même discours qui s’appuient sur la forme perçue pour ∆ —
ici la forme η = x∧¬x — et donc, au sein du système de ces formats, des éléments
minimaux à déterminer, et une organisation exacte à comprendre. Pour un état
logique perçu η, fonction de x, on considère donc toute fonction booléenne mobile
µ(m, x) de x et d’une séquence m de lettres — comme ici m = ci, ou m = jk,
ou m = abpqrs, ou ensuite m = abcdpqrsu — telle que, en effaçant dans µ toutes
les lettres de m et les signes logiques directement attachés, on retrouve η, et telle
que cette fonction µ(m, x) ne soit pas anti-logique, ne soit pas nulle pour toutes
valeurs de m et de x dans GF (4). Le système de ces µ est ce que nous voulons
comprendre.
Nous considérons qu’à une question comme ‘X ?’ ≡ ‘Est-ce Bon ?’, une
réponse du genre ‘R(X)’ ≡ ‘X ∧ ¬X’ ≡ ‘Oui et Non’ invite à entrer dans un
système de tenues à au moins deux paramètres p et q — pour pouvoir contourner
le paradoxe — dont chacune s’écrirait θ(p, q ; x), et serait une fonction de trois
variables de GF (4) à valeurs dans GF (4) telle que b(θ(p, q ; x)) = R(x). Une
réponse à X ? est donc une fonction x �→ θ(p, q ; x), ce qui est un format de
tenue où les valeurs de p et q, inconnues, pourraient être précisées en p0 et q0 de
sorte que θ(p0 , q0 ; x) ne soit pas anti-logique, et soit donc une tenue. En fait,
nous voulons voir ceci comme général, et pensons que tout discours est réponse
à une question, connue ou inconnue, notée X ; dans la mesure où il ne se réduit
pas à une proposition qui informerait purement et simplement de la vérité de son
contenu, il engage un travail de contradiction entre au moins 2 points de vue P
20

171

et Q, face à X, ce dont un format de tenue se formalise par la spécification de
l’évaluation θ(p, q ; X) d’une fonction θ(p, q ; x) en x = X suivant le schéma :
—Q:X ?
— R : x �→ θ(p, q ; x).
De ce point de vue, pour lequel chaque discours est une réponse à un X, et tient
sous la forme de fonctions θ, de mises en relations θ(p, q ; x) entre le proposé X et
des cachés P et Q. Le sens est le système de ces fonctions possibles, et la géométrie
de leur organisation. Si par aventure la question X est inconnue, alors c’est elle
— l’objet du discours — ce dont le discours parle, que le sens devrait révéler. Cet
objet, chaque tenue en révèle en effet un aspect en le proposant comme solution(s)
x de l’équation θ(p, q ; x) = u. Pour cette raison, on considèrera que la ‘surface’
finie Σu �θ� d’équation θ(p, q ; x) = u représente comme une version de l’objet du
discours, sachant que la valeur indéterminée du discours est u.
Ici nous nous sommes expliqués avec GF (4) pour de mini-exemples, où deux
paramètres p et q suffisaient. On a aussi par ailleurs effectué les calculs analogues
dans le cas de trois paramètres, pour GF (8) et ses 28 bases22 . Nous faisons la
conjecture suivante :
Conjecture � : Pour tout n les fonctions d’un nombre fini de variables sur
GF (2n ) sont booléennes mobiles.
Alors, entendant la chose pour les GF (2n ) où n = n(∆) est un exposant
variable avec les discours ∆, nous posons la thèse que voici :
Thèse 3 [Fonctions discursives et paradoxales] Les fonctions discursives
représentent les discours — ou plus exactement les tenues de discours, voire les
formats de tenues de discours — et les fonctions paradoxales représentent les sens
des discours.
Observation 4 : Depuis la première version de ce texte en 2003, la Conjecture � est démontrée23 , ainsi que les propositions qui précèdent dans ce paragraphe, dans quelques articles
maintenant parus. Précisément, une étude détaillée de la structure borroménne de GF (4) est
accomplie24 , qui permet d’utiliser aisément GF (4) pour calculer du sens.

3

Classe de cohomologie et sens

On aura compris que pour nous le discours est un objet de même nature qu’un
objet vivant qui s’auto-développe, qu’il consiste en un labeur qui s’embrouille
22

R. Guitart, Modèle galoisien de logique lacanienne, 20p.
R. Guitart, Moving logic, from Boole to Galois, Colloque International “Charles Ehresmann : 100 ans”, 7-9 octobre 2005, in Cahiers Top. Géo. Diff. Cat., vol. XLVI-3, 2005,
pp.172-175.
24
R. Guitart, A Hexagonal Framework of the Field F4 and the Associated Borromean Logic,
Log. Univers. 6 (2012), 119-147, published online October 13, 2011, DOI 10.1007/s11787-0110033-6.
23

21

172

et se débrouille avec ses propres états provisoires, ses présuppositions ; le sens
d’un discours est alors à déterminer comme la géométrie même du nœud de cette
embrouille/débrouille et du parcours ainsi formé à l’entour de la vérité. Et pour
ce faire, le discours sort littéralement de soi, de ses raisons, de son corps établi.
Également, nous avons avancé dans l’idée de concevoir un discours comme une
surface, quoique son apparence soit celle d’une ligne. Mais c’est que le discours est
un chemin qui voyage, ce dont une surface consiste ; et cette surface elle-même
reste flexible, comme une étoffe dirait Vappereau25 , quelque chose comme nos
surfaces finies Σu �θ�, mobile en effet avec les θ possibles. Et cette formulation
n’est pas très éloignée de la conception de la surface puis de l’extension des
dimensions successives chez Grassmann26 . Le calcul linéaire de cette sortie vers
les dimensions successives, constitue comme on sait l’algèbre extérieure — de
Grassmann donc — dont la reprise au plan local dans l’ordre infime des formes
différentielles fournit en effet maintenant le prototype de calcul de cohomologie
à la manière de De Rham, disons. Le discours est bien une ligne qui tend à
sortir de soi, qui s’incline dans l’autre dimension, et c’est cette inclinaison, ce
geste du discours, cette inclination aussi, qui constitue pour nous le cœur de
l’enjeu du sens. Sortie de ses gonds, pente vers l’impossible autre, dégagement,
différentiation.
Ce qui n’est donc pas sans saveur géométrique, comme nous y songions déjà,
mais en quelque sorte de façon plus statique, en présentant la Logique Spéculaire27 , quand nous disions que la vérité — mais là, aujourd’hui, nous dirions
plutôt le sens — la vérité de l’énoncé donc, consiste en les propriétés catégoriques
de sa cohérence — cohérence définie comme étant la catégorie de toutes ses tenues.
C’est donc, en Logique Spéculaire, depuis la donnée du site, la construction de la
catégorie des tenues qui était envisagée, de sorte à pouvoir ensuite interroger sa
cohomologie. Ici, dans notre contexte ‘galoisien’ nous pouvons envisager la même
stratégie sous d’autres éclairages.
On admet maintenant que le sens des discours — dont nous avons symbolisé
l’enjeu par la graphie : ∆ � VT — se détermine par l’élaboration de tenues,
et particulièrement par leurs tenues minimales et l’analyse de la géométrie des
tenues quelconques. Le sens sera produit par suite par construction de fonctions
discursives associées aux discours, soit des fonctions
δ : GF (2m ) → GF (2n ),
et l’accent dans le processus est à mettre sur la valeur pour le sens de la variation
des indices dans les fonctions discursives, quand elles sont vues comme booléennes
mobiles. Parmi ces fonctions celles qui sont paradoxales représentent le sens pur.
25

J-M. Vappereau, Étoffe, Topologie En Extension, 1988.
H. G. Grassmann, La science de la grandeur extensive, Blanchard, 1994. traduction de D.
Flament de La lineale ausdehungslehre de 1844.
27
R. Guitart, L’idée de Logique Spéculaire, op. cit.
26

22

173

Ci-avant nous avons expliqué l’idée avec de petites valeurs de m et n, à savoir
m = 1, 2, 3, 4, et n = 1, 2, sur des cas de mini-discours. Comme ces indices dans les
fonctions booléennes mobiles situent le lieu logique en jeu, leur variation marque
un déplacement dans la multiplicité logique associée, et ainsi le sens est celui d’un
cheminement, dont la courbure nous intéresse, et qu’il nous faudrait recueillir
comme classe de cohomologie. Quand les fonctions discursives sont vues plutôt
comme avatars de booléennes, par émergence d’exposants carrés, ce qui a lieu,
en vertu des exposants carrés justement, ce sont des bougés, des déplacements
indiscernables d’une variable à ses carrés successifs, faisant comme une ronde. Là
encore on doit comprendre un mouvement d’enlacement logique de rondes, et sa
courbure propre. La ronde en jeu est comme la succession de changements de
postures discursives ; comme si l’on avait une succession de sujets parlants dans
le même discours, un dialogisme généralisé.
Nous voulons donc pour conclure souligner la valeur ‘cohomologique’ de cette
variation d’indice — ou d’exposants carrés — dans la multiplicité logique GF (4),
qui marque donc une courbure logique du discours, et indiquer d’autres formes
d’apparition de cette valeur, notamment en termes de repère mobile, différentielle,
déformation, variété.
Cette valeur cohomologique, c’est ce que suggère, à un niveau plus large,
l’idée effleurée plus haut de nœud discursif, forgé de constantes et de diverses
implications, chacune à trois variables, imbriquées les unes aux autres, formant
comme un nœud visible et aussi bien un programme ou schéma de calcul ; il y
a là comme le dessin d’un contour du sens, le dessin du parcours d’un schéma
de calcul à l’œuvre. Ce qui n’est pas sans rapport du reste avec la proposition
d’une géométrie des algorithmes28 , via leurs espaces classifiants. Ou bien avec
l’idée d’analyse du discours comme la surface où s’inscrirait le schème de son
algorithme. Demander le sens c’est demander le programme.
Et à travers ce dernier rapprochement on est prié d’entendre l’indication que la
théorie des esquisses vaudrait mieux que la logique pour analyser les discours. Un
discours en effet n’a pas nécessairement à être compris prioritairement à travers
les concepts de prédications et attributions de qualités, puis les notions de connecteurs logiques. Ces éléments ne font que donner un prétexte grammatical
possible au discours, mais leur dispositif reste contingent, même si un prétexte
est nécessaire. Et d’ailleurs ici c’est expressément sur la façon dont le discours
manque aux règles du système de sa grammaire patente (soi-disant patente) que
nous avons développé notre analyse du sens : jeu auquel ladite grammaire n’est
qu’une enzyme nécessaire à l’advenue du sens.
Mais des supports nettement plus géométriques que la logique sont bien possi28

R. Guitart, On the geometry of computations, Cahiers Top. Géo. Diff. Cat. XXVII,4, p.
107-136, 1986. Republié dans : Computer-aided geometric reasoning, Workshop, INRIA, 22-26
juin 1987, Sophia-Antipolis, p. 275-306. 59. On the geometry of computations, II, Cahiers
Top. Géo. Diff. Cat. XXIX, 4, p. 297-326, 1988.

23

174

bles pour discourir, et notamment tout ce qui se donne à voir en diagrammes. Ce
que nous nommons ailleurs la logotopie en est un témoignage historique. Le discours est d’abord une théorie en cours (ou, ce qui revient au même, un fantasme
qui cherche à se bien écrire). C’est donc a priori d’une théorie du théorique que
nous avons besoin, plus que d’une logique au sens limité de régulation interne de
la vérité. C’est à dire que, justement, c’est de l’acte de pensée rigoureuse entre
les vérités qu’il nous faut un modèle. À cet effet, la théorie des esquisses est toutà-fait mieux venue29 . L’esquisse est — nous l’avons expliqué ailleurs30 — l’entité
unificatrice au niveau de leurs pratiques dont relèvent la théorie, l’algorithme et
l’espace, au contraire de la logique qui n’unifie qu’a posteriori et sous condition
de contrôler. La logique permet de tenir les discours ‘en vérité’ sur les disciplines
nommées ‘la théorie’, ‘l’algorithme’ et ‘l’espace’, tandis que l’esquisse permet
de les pratiquer rigoureusement en elles-mêmes. Avec l’esquisse on entre dans
la conception diagrammatique du travail mathématique, dans ce que nous pouvons appeler l’étendue libre — sans omettre d’entendre le caractère paradoxal du
terme ‘libre’ —, qui n’est surtout pas l’étendue du prétendu monde des prétendues
choses, mais le lieu naturel des pensées claires et distinctes, là où l’entendement
‘voit’ l’évidence du diagramme, du calcul, de l’écriture visible. L’étendue contrainte de la réalité du monde des choses est, elle, élaborée et mise en scène par
l’histoire des paroles et raisons. Le sens d’un discours articule en effet quelque
chose entre ces deux étendues, la libre et la contrainte, il tend là, comme une
toile, un rapport, le rapport entre l’évidence et le vrai. Son analyse demande
donc, à nos yeux, le recours précisément au moment particulier du croisement du
logique et du diagrammatique.
Mais restons maintenant, pour conclure, dans l’espace plus délimité du calcul proposé ici avec les GF (2n ) et la liaison à la logique classique, qui — nous
l’avons expliqué — envisage le calcul galoisien comme le lieu ou l’on peut résoudre la paradoxalité du logique et prendre en compte la discursivité même, et,
plus systématiquement encore, écrire et calculer comme un commentaire du logos
- des paroles et des raisons. Mais, comme il se doit, ce commentaire est muet,
c’est-à-dire consiste seulement, ultimement, en calculs bien écrits à faire et refaire.
Ce que l’on devine ainsi ici de ‘cohomologique’, se lit par exemple dans les
écritures
σ − b(σ) = fα − fβ .
Chaque variation d’indice dans une fonction σ écrite explicitement sous forme
booléenne mobile fait signe justement de la mobilité, marque un changement de
carte, effectuable ici par une transformation linéaire. En fait on peut écrire

29

x ∧t y = Mt−1 (Mt (x) ∧1 Mt (y)),

R. Guitart, Toute théorie est algébrique, in Journée Mathématique en l’honneur d’Albert
Burroni, 20 septembre 2002, Prépublication Inst Math Jussieu 368, avril 2004, 79-102.
30
R. Guitart, Esquisses, structures et algorithmes, Journée mathématique et Informatique,
Université de Picardie, 28 février 1990, vol. 1, 1990, p. 9-21.

24

175

ce qui est analogue à la formule de conjugaison dans la situation du repère mobile.
D’ailleurs, dès sa définition, la notion de conjonction mobile ∧t = ∧β est en effet
équivalente à celle d’une base mobile β = β(t) non ordonnée : connaissant t, ∧t
détermine β = β(t) — sauf son ordre — comme l’ensemble des atomes de ∧t .
Un état du sens alors est comme une spécification de changement de lieu et de
direction continuée, autrement dit comme une courbe.
La cohomologie en jeu est aussi ‘galoisienne’, dans la mesure où, justement,
la reconstruction de toutes les fonctions et notamment du produit du corps
comme avatars de fonctions booléennes admet comme ingrédient fondamental
l’automorphisme de Frobenius (−)2 générateur du groupe de Galois31 , groupe
qui, comme on sait, décrit l’ambiguité nécessaire inhérente à la situation, d’où
l’enjeu cohomologique. Puisque, comme le soutien limpidement Penon, la cohomologie peut être comprise comme produite par le manque d’axiome du choix,
et comme la mesure de ce manque. Le sens alors exprime une certaine gestion
de l’équivoque qui accompagne ce manque. Ce que nous pouvions déjà concevoir
dans le cadre de la Logique Spéculaire et de ses sites, bien sûr, voir aussi dans
la théorie du théorique avec les esquisses ; mais ici cela offre la particularité séduisante de pouvoir être saisie à la façon de l’arithmétique élémentaire, dans un
cadre que, nonobstant une culture mathématique éventuellement réduite, tout
un chacun peut mettre à l’épreuve. Et de plus, dans ce cadre là, la gestion de
l’équivoque n’est pas externe, comme en position de méta-discours, si bien que
l’on peut continuer immédiatement la suite de l’analyse de l’équivoque, à savoir
l’analyse du malentendu — soit ce qui à lieu lorsque d’un discours on croit qu’il
gère d’une certaine façon une certaine équivoque, bref qu’il a un certain sens —
et que là-dessus on se trompe, d’une façon ou d’une autre, etc. Nous n’avons
pas développé ici cet aspect, mais il est clair que l’usage des fonctions discursives
quelconques devrait y suffir.
On peut aussi voir les choses en termes de différentielles, en introduisant les
différentielles logiques
d∧t = (x2 y + xy 2 )dt.
Si à un discours est associée une fonction discursive écrite comme une fonction
booléenne mobile f (x, y, ...; t1 , t2 , ...) où l’on met en évidence les indices t1 , t2 , ...
situant les opérateurs logiques, alors la différentielle totale df exprime la variation
de f et constitue donc du sens. On est alors plutôt dans une intuition du sens à
la manière des philosophies de la différence. Ce point de vue se relie au précédent
par l’idée que s’il y a de l’équivoque, cela doit pouvoir aussi se repérer par un jeu
d’infimes ou indiscernables intempestifs, qui ajoute à la toile logique comme un
clinamen qui la brouille et initie le sens du fait de dévier les parcours prédictibles.
On voit encore un peu autrement la question en introduisant, à la place de ∧t
31

Voir les détails dans : R. Guitart, Entre Boole et Galois, le sens comme calcul de différences
ou combinatoire d’indiscernables, op. cit.

25

176

qui pour t = 0 ne fournit pas une loi booléenne, la déformation
x&t y = x2 y 2 + (1 + t + t3 )(x2 y + xy 2 ).
Pour toute valeur de t dans GF (4) la loi &t est booléenne, et donc quand t varie,
ces lois parcourent toutes les conjonctions possibles et elles seules. On doit alors
rapprocher cette donnée de la théorie des déformations à la Gerstenhaber32 — où
par contre t doit être remplacé par un T formel — et des calculs associés dans la
théorie de la cohomologie de Hochschild33 . Ici, l’intuition est un peu autrement
colorée qu’avec les infimes et les carrés, et l’on conçoit qu’il y a comme en un
retour éternel souterrain une roue qui tourne sous le discours, qui y change sans
cesse la référence logique. Il s’agit bien toujours de la seule et unique logique
classique, mais elle est toujours autre possiblement (variation de t) et toujours
strictement la même cependant encore à venir (finitude des valeurs possibles de
t) : le sens nous rattache à cette véritable relativité du logique. Ce qui n’est
plus la même chose que la perception de la question sous la forme de dialogisme
généralisé que nous indiquions un peu plus haut.
Notons enfin que ces observations commencent à indiquer, vaguement encore,
j

le rapport à la cohomologie des opérateurs de jonction i ⊗k qui s’introduisent
pour construire la structure de corps de GF (4), et dont il faudrait développer
l’analogue pour comprendre dans �
cet esprit la loi de corps de GF (2n ), en relation
donc avec la clôture conjonctive (2n ) ; et pour comprendre aussi cette clôture
en relation avec le calcul des nœuds discursifs correspondants. Là on est au plus
près de l’idée de variété logique à considérer cartographiquement.
De la sorte — et évidemment encore plus richement si l’on envisage tous
les GF (2n ) et pas seulement GF (4) — la Thèse 3, en appui sur les Thèse
1 et Thèse 2, et sur la conjecture �, propose donc un abord radicalement
géométrique, au sens moderne du terme, de la question du sens. Il s’agit —
pensé donc notamment en termes de déformation, de différentielle ou de repère
mobile — du calcul de la cohomologie des multiplicités logiques GF (2n(∆) ), et,
au-delà, de la cohomologie des multiplicités logiques les plus générales. En particulier, pour chaque discours ∆, il s’agit de construire pour chaque format
de tenue θ(p1 , p2 , . . . , pn ; x) de ∆ une analyse géométrique dans la multiplicité GF (2n(∆) )n(∆)+1 de l’hypersurface de tenue Σu �θ�, et de comprendre cohomologiquement le système des diverses hypersurfaces relatives aux diverses tenues
de ∆.
rene.guitart@orange.fr

32

M. Gerstenhaber, On the deformation of rings and algebras, Annals of Mathematics, 79-1,
January, 1964, p. 59-103.
33
G. Hochschild, On the cohomology groups of an associative algebra, Annals of Mathematics,
46-1, January, 1945, p.58-67.

26