D IAGRAMMES

L AURENT C OPPEY
Décompositions multiplicatives directes des entiers
Diagrammes, tome 67-68 (2012), p. 1-53
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DIAGRAMMES

VOLUMES 67+68, 2012

DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES
DIRECTES DES ENTIERS
Deuxième Partie

Laurent Coppey
Sommaire de la première partie (Diagrammes, volumes 65+66, Paris, 2011)
Introduction.
0.

Précatégories et prémonoïdes.

p.

1.

Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés
et noyaux d’instabilité.

p. 21

2.

Structures des décompositions directes additives de N .

p. 30

3.

Les décompositions directes non triviales de N2 en deux facteurs.

p. 39

4.

Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de Nk .

p. 49

4 bis. Exploration en petites dimensions (3, 4 et 5).

3

p. 52

Sommaire de la deuxième partie
5.

Classification générale.

p.

6.

La suite des foncteurs dérivés associée à une décomposition directe
multiplicative de N* .

p. 19

7.

Squelettes.

p. 26

8.

Facteurs eulériens (ou le retour aux nombres).

p. 41

_______________

3

UN SQUELETTE
SAIN SEMI-TRIVIAL
DE DIMENSION 10
Combien de composantes connexes a-t-il ?

2

5 . Classification générale .
Objets irréductibles.
Soit (A,B) une décomposition directe de Nk ; parmi les parties propres de Nk, il y a les
suivantes : soit H un sous-ensemble de K = {1, 2, …,k} ayant h éléments; l’ensemble des
éléments (xp)p∈K tels que xp = 0 si p ∉ H est une partie propre relative à la décomposition
donnée (A,B) sur laquelle (A,B) induit donc une décomposition directe (A’,B’) qui est
naturellement isomorphe à une décomposition directe de Nh encore notée (A’,B’) ; la partie
supplémentaire canonique de Nh est celle des éléments (xp)p∈K tels que xp = 0 si p ∈ H ;
c’est aussi une partie propre relative à la décomposition donnée (A,B) sur laquelle (A,B)
induit une décomposition directe (A’’,B’’) qui est naturellement isomorphe à une
décomposition directe de Nℓ encore notée (A’’,B’’) (h + l = k) ; bien sûr Nk = Nh ⊕ Nℓ, mais
en général (A,B) n’est pas la somme directe (ou le produit !) des décompositions induites
(A’,B’) et (A’’,B’’).

Définition 5-1.
S’il existe une partie propre H de K ( h = H≠ 0 et K \H = l ≠ 0) telle que l’on ait :
(Nk, (A,B)) ≅ (Nh, (A’,B’)) ⊕ (Nℓ, (A’’,B’’))
on dit que l’objet (Nk,(A,B)) est réductible; dans le cas contraire on dit qu’il est irréductible.
On suppose que pour tout p, 1 ≤ p ≤ k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante :
Proposition 5-1.
Si, pour un certain ordre lexicographique L, a = infL(A*) n’a aucune composante nulle, alors
pour tout autre ordre lexicographique L’, on a infL’(A*) = a ; on peut donc écrire sans risque
de confusion : ω* = inf(A*) (ω* = a est bien défini sans référence à tel ou tel ordre
lexicographique L)
► Soit donc un autre ordre lexicographique L’ et supposons a’ = infL’(A*) ≠ a ; on a donc à la
fois et par définition : a <L a’ et a’ <L’ a.
Définissons les deux éléments suivants :
b est défini par ses composantes : bi = a’i – ai si a’i ≥ ai et bi = 0 autrement
b’ est défini par ses composantes : b’j = aj – a’j si aj ≥ a’j et b’j = 0 autrement
Remarquons d’abord que, pour tout i, on a : bi ≤ a’i . Supposons que pour tout indice i, on ait
bi = a’i ; on ne peut pas avoir a’i ≥ ai , puisque cela entrainerait : bi = a’i – ai = a’i et donc
ai = 0, ce qui est exclu par hypothèse. Il existe donc au moins un indice i tel que bi < a’i .
Supposons que cet indice i soit le plus petit possible, pour l’ordre lié à L’ ; on en déduit alors
que b <L’ a’ et donc que b ∈ B.
Remarquons encore que, pour tout j, on a : b’j ≤ aj . Supposons que pour tout indice j, on ait
b’j = aj ; on ne peut pas avoir aj < a’j , puisque cela entrainerait : b’j = 0 = aj , ce qui est exclu
par hypothèse ; donc pour tout indice j, on aurait : aj ≥ a’j , ce qui contredirait l’inégalité
3

stricte a <L a’ . Il existe donc un indice j tel que b’j < aj . Supposons que cet indice j soit le
plus petit possible, pour l’ordre lié à L ; on en déduit alors que b’ <L a et donc que b’ ∈ B.
Enfin, on vérifie que a + b = a’ + b’ ; en effet :
- ou bien a’i ≥ ai , et on a : ai + bi = ai + a’i – ai = a’i = a’i + 0 = a’i + b’i ,
- ou bien ai ≥ a’i , et on a : ai + bi = ai + 0 = ai = a’i + ai – a’i = a’i + b’i .
On aurait donc un élément avec deux décompositions. Ainsi, a’ = a = ω* = inf(A*) est défini
indépendamment de l’ordre lexicographique L choisi sur Nk . ◄
Supposons toujours que pour tout p, 1 ≤ p ≤ k , Ap = {0}. Alors on a la proposition suivante :
Proposition 5-2.
Si l’élément ω* = inf(A*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L
tel que ω* (= infL(A*)) ait toutes ses composantes ai non nulles, alors l’objet ( Nk, (A,B) ) est
irréductible.
► On suppose donc qu’existe ω* = inf(A*) et nous raisonnons par l’absurde en supposant
que la décomposition directe additive ( Nk, (A,B)) se décompose en :
( Nk, (A,B)) = ( Nh, (A’,B’)) ⊕ ( Nℓ, (A’’,B’’)), avec h et l ≠ 0 (k = l+h).
Sans nuire à la généralité, on peut supposer que les composantes ont été rangées de telle sorte
que Nh s’identifie à l’ensemble des x = (x1, x2,…, xk) tels que xh+1 = xh+2 =…= xk = 0 et Nℓ
s’identifie à l’ensemble des x = (x1, x2,…, xk) tels que x1 = x2 =…= xh = 0. L’élément ω* se
décompose en a’+a’’∈ A’⊕ A’’ = A; les éléments a’ et a’’ sont dans A, mais évidemment
strictement plus petits que ω* ; ils ne peuvent qu’être nuls, mais alors aussi d’où a = 0, ce qui
est une contradiction. ◄
La réciproque de cette proposition est fausse dès la dimension 3 : il suffit de se référer aux
décompositions de type (ii) et (iii) décrites au paragraphe 4)bis Donnons encore un contreexemple en dimension 4.
Une décomposition de N4 non descriptible en termes de décompositions de N, N2, N3.
Soient e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0) et e4 = (0,0,0,1) les éléments de la « base
canonique » de N4.
Pour une permutation (i,j,k,l) de (1,2,3,4), on pose Nij = N(ei +ej ) ⊕ Nek ⊕ Nel .
Le couple de parties A = N(e3 +e4 )∪N(e1 +e2 ) et B = N13 ∪ N24 ∪ N23 ∪ N14 constitue une
décomposition directe de N4.
Voici la décomposition d’un élément u = (x,y,z,t) en somme a+b, avec a ∈ A et b ∈ B selon
la valeur de m = inf(x, y, z, t) :

4

- m = x et t ≥ z ; a = (0, 0, z-x, z-x) et b = (x, y, x, t-z+x)
- m = x et z ≥ t ; a = (0, 0, t-x, t-x) et b = (x, y, z-t+x, x)
- m = y et t ≥ z ; a = (0, 0, z-y, z-y) et b = (x, y, y, t-z+y)
- m = y et z ≥ t ; a = (0, 0, t-y, t-y) et b = (x, y, z-t+y, y)
- m = z et x ≥ y ; a = (y-z, y-z, 0, 0) et b = (x-y+z, z, z, t)
- m = z et y ≥ x ; a = (x-z, x-z, 0, 0) et b = (z, y-x+z, z, t)
- m = t et x ≥ y ; a = (y-t, y-t, 0, 0) et b = (x-y+t, t, z, t)
- m = t et y ≥ x ; a = (x-t, x-t, 0, 0) et b = (t, y-x+t, z, t)
On a donc bien N4 = A⊕B. On peut vérifier facilement que cette décomposition n’est en
aucun cas produit de deux décompositions induites de dimensions 2 ou de deux
décompositions de dimensions 1 et 3 :
- sur (xy) et (zt), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,1,0,0)+(0,0,1,1) ;
- sur (xz) et (yt), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,0,1,0)+(0,1,0,1) ;
- sur (xt) et (yz), (1,1,1,1) serait élément de A, puisqu’égal à (1,0,0,1)+(0,1,1,0) ;
- sur (xyz) et (t), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)A+(0,0,1,1)B ;
- sur (xyt) et (z), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)A+(0,0,1,1)B ;
- sur (xzt) et (y), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)B+(0,0,1,1)A ;
- sur (yzt) et (x), (1,1,1,1) ne serait pas dans B, puisqu’égal à (1,1,0,0)B+(0,0,1,1)A ;
Nous verrons que cet exemple est en quelque sorte générique, puisqu’il représente un nouveau
type de décomposition non triviale de N4 , c’est-à-dire non « déductible » des décompositions
directes des puissances de N inférieures à 4. On remarquera que le groupe S4 et sa
représentation sur S3 sont en cause ici!
Soit (Nk, (A,B)) une décomposition directe telle que, pour tout p, on ait : Ap< ∞. D’après la
proposition 4-1, dont on reprend les notations, (Ω, C) est une décomposition directe de Nk ;
les parties Ω et C sont propres pour la décomposition (A,B) donnée.
Tout z ∈ Nk s’écrit de façon unique z = ω+c où ω∈ Ω et c∈ C , et l’on a :
a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c), où a(ω), b(ω) ∈ Ω
On est donc ramené à décrire la décomposition induite sur Ω. Comme Ω est canoniquement
isomorphe à Nk, il s’agit de décrire les décompositions directes de Nk telles que tous les axes
Np = Nep , ep = (0,.0,., 0, 1p, 0.,.0), soient dans B, ce que nous supposons donc.
Proposition 5-3.
Si l’élément ω* = inf(A*) est bien défini, c’est-à-dire s’il existe un ordre lexicographique L
tel que ω* (= infL(A*)) ait toutes ses composantes bi ei non nulles, la demi-droite D = N.ω*
est une partie propre, l’ensemble L = {x  ∃ p (xp < bp)} est contenu dans B et l’on a : A = AD
et aussi B = BD⊕L.
► Ceci étant, on procède par récurrence portant sur les multiples entiers de ω* ; par
définition, de ω*, on a : L ⊂ B, et tout élément z de ω* + L se décompose de façon
évidente en ω* + l sachant que ω* ∈ A et l ∈ L⊂ B, conformément à l’énoncé de la
proposition.
5

Supposons établi le résultat pour tous les ensembles p.ω* + L, avec p < q, à savoir que, pour
tout l ∈ L, on a : a(pω* +l) = a(pω*) et b(pω* +l) = b(pω*) + l, avec a(pω*) et b(pω*) ∈ D.
Venons-en à l’ensemble q.ω* + L ; il y a trois cas à examiner :
- si q.ω* ∈ A , alors, on est dans la même situation que ci-dessus ( cas q = 1) ; tout
élément z de q.ω* + L se décompose en q.ω*+ l sachant que q.ω* ∈ A et l∈L⊂ B;
- si q.ω* ∉ A∪B, alors q.ω* = a + b, où (a,b) ∈ A*×B* ; par hypothèse de
récurrence, l’élément a = a(q.ω*) est a priori de la forme p.ω*, avec 0 < p < q et b est aussi
un multiple de ω*, puisqu’égal à (q-p).ω* ; tout élément z de q.ω* + L, z = q.ω*+l, se
décompose alors de façon évidente : en effet, grâce à l’hypothèse de récurrence, on sait que
l’élément y = (q-p).ω* +l est dans B car b(y) = b((q-p).ω*+l) = b((q-p).ω*)+l = (q-p).ω*+l
= y ; et l’unicité de décomposition achève d’établir que a(q.ω*+l) = a(q.ω*) et b(q.ω*+l) =
b(q.ω*) +l.
- si q.ω*∈B; montrons que pour tout l∈L⊂ B, q.ω*+ l∈ B.
A cet effet, établissons d’abord ceci :
si , pour tout l < l1∈ L, on a : q.ω*+ l ∉ A, alors, pour ces mêmes l, on a q.ω*+ l ∈B ;
soit en effet a = a(q.ω*+ l) et b = b(q.ω*+ l) ; b ≠ 0 car q.ω*+ l ∉ A ; donc a < q.ω*+ l;
mais a priori a est de la forme p.ω* + l’ avec p < q ( p > q est impossible, p = q est exclu
par hypothèse secondaire). L’hypothèse générale de récurrence s’applique alors : a(p.ω*+ l’)
= a(a) = a = p.ω* + l’ = a(p.ω*) ∈ N.ω* ; donc l’ = 0 et a = p.ω* ∈A; alors b = (q-p).ω*+ l;
si p > 0, l’hypothèse générale de récurrence s’applique encore: b((q-p).ω*+ l) = (q-p).ω*+ l =
b((q-p).ω*)+ l où b((q-p).ω*) ∈ B ; donc b((q-p).ω*) = (q-p).ω* ∈B ; il y a alors une
contradiction, puisque q.ω* aurait deux décompositions : la triviale q.ω* = 0+q.ω* et l’autre
q.ω* = p.ω* +(q-p).ω* ( 0 < p < q). La seule possibilité qui reste est : p = 0, donc a = 0, donc
q.ω*+ l ∈B.
Maintenant, supposons qu’il y ait dans q.ω* + L des éléments de A ; soit q.ω*+l le
k

plus petit d’entre eux (pour un ordre lexicographique arbitraire !) ; on sait que l = ∑ m i e i , et
i =1

il existe i tel que mi < bi ; effectuons pour tout i la division de mi par bi ; il existe donc des
entiers si et ri tels que : mi = si.bi + ri , avec ri < bi ; l’un des entiers si au moins est nul ;
distinguons alors deux cas :
k

k

i =1

i =1

~ supposons d’abord que l’on ait : ri = 0 pour tout i ; alors l = ∑ m i e i = ∑ s i b i e i et il existe
un indice i = j au moins tel que sj > 0 ; on supposera que cet indice est le plus petit possible
(pour l’ordre lexicographique en cause) ; posons :
l1 = (sj -1)bjej + ∑ s i b i e i
i≠ j

6

de sorte que l = l1 + bjej ; il y a alors une contradiction concernant l’unique décomposition
de l’élément q.ω* + l + ∑ b i e i :
i≠ j

q.ω* + l + ∑ b i e i = (q.ω* + l)A + ( ∑ b i e i )B
i≠ j

i≠ j

k

q.ω* + l + ∑ b i e i = q.ω* + l1 + ∑ b i e i = (q.ω* + l1)B +(ω*)A
i≠ j

i =1

Remarquons bien que l1 < l , par choix de minimalité de j, et le résultat du début s’applique :
q.ω* + l1 ∈ B.
Remarquons aussi que ∑ b i e i < ω* , et donc ∑ b i e i ∈ B, par définition de ω* ;
i≠ j

i≠ j

k

~ supposons maintenant qu’il existe j tel que rj ≠ 0; alors τ = ∑ (b i − ri )e i ∈ L ⊂ B; de plus,
i =1

k

∑ s i b i e i < l ; il y a encore une contradiction concernant

on a : l + τ = l1 + ω* où l1 =

i =1

l’unique décomposition de l’élément q.ω* + l +τ :
q.ω* + l +τ = (q.ω* + l)A + (τ)B = (q.ω* + l1)B + (ω*)A
(l1 < l et le résultat du début s’applique : q.ω* + l1 ∈ B)
Finalement, l’existence même d’un élément de A tel que q.ω*+l conduit à une contradiction :
tous les éléments de q.ω* + L sont dans B.

En résumé, nous savons maintenant que si (Nk, (A,B)) est une décomposition directe telle
que, pour tout p, on ait : Ap< ∞, alors :
Nk = L ⊕ D ⊕ C = L ⊕ AD ⊕ BD ⊕ AC ⊕ BC où
A = AΩ ⊕ AC = AD ⊕ AC et B = L ⊕ BD ⊕ BC ,
et, lorsqu’on a opéré la première réduction, ou si l’on veut si C = {0}, alors :

Nk = L ⊕ D = L ⊕ AD ⊕ BD où
A = AD et B = L ⊕ BD . .

Nous indiquons pour finir comment calculer pratiquement p et l.
Soit x = ∑ x i e i ; on a ω* = ∑ b i e i ; si x ∉ L, c’est que toutes les composantes de x sont
i

i

plus grandes que celles de ω* ; pour tout i, de 1 à k, on effectue la division euclidienne de xi
par bi : xi = pi.bi + ri , avec ri < bi ; si x ≠ ω* il existe au moins un indice i pour lequel pi ≠ 0 ;
soit alors p le plus petit des pi ≠ 0 ; alors l’élément suivant : l = ∑ ((p i − p).b i + ri ).e i =
i

7

∑ ( x i − p.b i ).e i est dans L : en effet, soit j un indice pour lequel pj = p; on a : lj = rj < bj ;
i

l’élément l n’est autre que x – p.ω* ; pour avoir la décomposition de x, il convient de
décomposer encore p sur la demi droite D = N.ω*. ◄

Définition 5-2
Soit (Nk, (A,B)) une décomposition directe telle que tous les axes Np = N.ep se décomposent
en Ap⊕Bp chaque Ap étant fini. Si, après réduction, existe l’élément α = inf(A*) comme dans
la proposition 5-3 ci-dessus, un tel objet sera dit objet irréductible simple, et plus
précisément, si tous les Ap sont réduits à {0} (i.e. C = {0}) objet irréductible réduit simple.
Ce sont les objets de la proposition 5-2.

Définition 5-3.
On dira que (ei1 , ei2, …, eiq) est à la base d’un sous-objet irréductible simple de (Nk, (A,B)) si
la décomposition induite par (A,B) sur N.ei1 ⊕ N.ei2 ⊕ …⊕ N.eiq , qui est canoniquement
isomorphe à une décomposition de Nq , est un objet irréductible simple, ce qui suppose
qu’existe un plus petit élément α de A\{0}∩ (N.ei1 ⊕ N.ei2 ⊕ …⊕ N.eiq) qu’on appellera le
générateur d’irréductiblité du sous-objet en question.

Définition 5-4 (sutures).
Soit (Nk, (A,B)) un objet irréductible simple, avec générateur d’irréductiblité α dans A ;
l’ensemble D = N.α se décompose en AD ⊕ BD ; si AD est fini (et par essence non réduit à
{0}!) nous dirons que c’est une suture de genre a (ou que l’objet (Nk, (A,B)) présente une
suture de genre a) ; les éléments non nuls de AD sont appelés points de suture.
On définit de façon symétrique les sutures de genre b et leurs points de suture.
Notons que la seule considération des squelettes sains (cf. : la première partie, au § 4) bis,
petite incursion en dimension 4 et 5 ) élimine d’office les sutures.
Dans ce qui suit, propositions 5-4 à 5-10, on travaille avec un objet (Nk, (A,B)) où chaque
Np est contenu dans B.

Proposition 5-4.
Supposons que Eq = (ei1 , ei2, …, eiq) et Er = (ej1 , ej2, …, ejr) soient à la base de deux sousobjets irréductibles simples distincts de (Nk, (A,B)), avec générateurs d’irréductibilité
respectifs αq et αr. Alors les ensembles Eq et Er sont disjoints.

8

q

r

p =1

p =1

► Posons αq = ∑ m p e ip et αr = ∑ n p e jp ; nous raisonnons par l’absurde et supposons
donc que e ∈ Eq ∩Er et, pour fixer les idées, que e = ei1= ej1 et que l’on ait : m1 ≥ n1 ; alors
q

r

p=2

p=2

l’élément x = m1.e+ ∑ m p e ip + ∑ n p e jp aurait deux décompositions selon (A,B), à savoir :
q

q

r

p=2

p =1

p=2

r

r

q

p=2

p =1

p=2

a(x) = m1.e+ ∑ m p e ip = ∑ m p e ip = αq et b(x) = ∑ n p e jp (∈B, par déf. de αr),
et
a(x) = n1.e+ ∑ n p e jp = ∑ n p e jp = αr et b(x) = ∑ m p e ip +(m1-n1).e (∈B, par déf. de αq) ◄

Proposition 5-5.
Il existe une unique partition P de K = {0,1,2,…,k} ayant la propriété suivante : ∀ I ∈ P
- ou bien card(I) ≥ 2 et dans ce cas, (ei)i ∈I est une base de sous-objet irréductible
simple de (Nk, (A,B)),
- ou bien card(I) = 1 et l’ensemble S de ces singletons est tel que S = ⊕s∈S N.es ⊂ B.

► Soit B l’ensemble des bases de sous-objets irréductibles simples de (Nk, (A,B)). D’après la
proposition 5-4 c’est un ensemble de parties disjointes de K ayant chacune au moins 2
éléments. Soit U leur réunion et soit S = K \ U.
Montrons que le sous-monoïde S engendré par S est entièrement contenu dans B. Raisonnons
par l’absurde : supposons que A ∩ S ne soit pas réduit à {0}; soit a ∈ A ∩ S un élément non
nul, ayant un nombre de composantes non nulles minimum (ce nombre est alors
nécessairement supérieur ou égal à 2); pour fixer les idées, supposons que ces composantes
correspondent aux indices ( i1 , i2 , …, ir ) et posons pour simplifier fn = ein ; soit R le sousmonoïde engendré par (f1, f2 ,…, fr ) et soit L un ordre lexicographique dans R (correspondant
par exemple à l’ordre naturel : 1 < 2 <…< r ) ; soit enfin a’ = infL(A*∩ R ) ; les r composantes
de a’ sont non nulles puisque a a été choisi dans S avec un nombre minimum de composantes
non nulles (qui est r !). D’après les propositions 5-1 et 5-2, l’élément a’ = inf(A*∩ R ) est
minimum absolu et R est sous-jacent à un sous-objet irréductible de (Nk, (A,B)), dont a’ serait
le générateur d’irréductibilité ; alors { i1 , i2 , …, ir }serait une base de sous-objet irréductible
et donc élément de B, et à ce titre { i1 , i2 , …, ir } serait contenu dans U et non dans S. ◄

Proposition 5-6.
Supposons en plus que P ne contienne qu’un élément de base Eq = (e1 , e2, …, eq) et de
q

générateur d’irréductibilité α = ∑ n i e i ; désignons par (f1, f2 ,…, fs ) les éléments de S.
i =1

Alors les supplémentaires canoniques des axes N.ei sont entièrement contenus dans B.
9

► Nous raisonnons par l’absurde et seulement dans le cas i = 1 pour fixer les idées :
q

s

i=2

j =1

supposons que α* = ∑ β'i e i + ∑ β j .f j soit un élément de A*, minimum pour un ordre
s

lexicographique ;

d’après

la

proposition

5-5,

l’élément ∑ β j .f j est

dans

B,

et

j =1

q

l’élément ∑ β'i e i est aussi dans B, puisqu’il est sur le bord d’un objet irréductible dont les
i=2

q

axes sont dans B (la première composante de a( ∑ β'i e i ) est nulle, et comme c’est un
i=2

élément de A dans un sous-objet irréductible à base dans B, il ne peut qu’être nul, donc
q

q

i=2

i=2

∑ β'i e i ∈ B) ; de plus ∑ β'i e i ≠ 0, sinon α* ∈ A∩B et α* = 0 ∉ A*.

Si β’i ≥ ni, on pose ti = β’i- ni et ui = 0; si ni >β’i, on pose ui = ni -β’i et ti = 0 (par convention,
q

β’1= 0); l’élément z = α* + ∑ u i e i a deux décompositions :
i =1

q

s

q

q

s

j =1

i =1

i=2

j =1

(1) z = ∑ β'i e i + ∑ β j .f j + ∑ u i e i = α + ( ∑ t i e i + ∑ β j .f j ) ;
i=2

q

s

i=2

j =1

l’élément ( ∑ t i e i + ∑ β j .f j ) est strictement plus petit que α* , puisqu’il existe au moins un
indice i pour lequel β’i ≠ 0, et nécessairement alors élément de B ;
q

(2) z = α* + ∑ u i e i
i =1

q

∑ u i e i est élément de B puisque pour tout i on a : ni ≥ ui et qu’il existe au moins un indice i

i =1

q

pour lequel cette inégalité est stricte, car ∑ β'i e i ≠ 0.
i=2

Ces deux décompositions sont évidemment distinctes. ◄
Cette proposition généralise la proposition 4-1-1 (cf. première partie)

10

Proposition 5-7.

Dans le cas de deux bases de sous-objets irréductibles simples (de même nature) :
- soit Ep = (e1,…, ep) et Eq = (f1,…, fp) (dans B toutes deux)
p

q

i =1

j =1

- et leurs générateurs d’irréductibilité: α = ∑ n i e i et α’ = ∑ n ' j f j , éléments de A,
on a : Lp ⊕ Lq ⊂ B.
p

q

i =1

j =1

► Lp = { lp = ∑ λ i e i  ∃i λi < ni } et Lq = { lq = ∑ λ jf j  ∃j λj < n’j }. Comme Lp ⊕ Lq
est propre, il suffit de montrer que Lp ⊕ Lq ne contient aucun élément de A.
Pour lp ∈ Lp on définit l’entier h(lp) = lp1 + lp2 +…+ lpp .
Pour lq ∈ Lq fixé, on effectue une simple récurrence portant sur l’entier n = h(lp) ; on peut
supposer lp ≠ 0 .
Supposons que l’p + lq ∈ B pour tout l’p tel que h(l’p) < n ;
soit alors lp tel que n = h(lp) ; pour tout i, posons mi = 0 si lpi ≥ ni et ni - lpi autrement ;
p

soit µ = ∑ m i e i ; supposons que lp + lq ∈ A ; soit z = lp + lq + µ ;
i =1

alors on dispose de deux décompositions pour z :
z = (lp + lq )A + µB car µ ∈ Lp⊂ B , et
z = lp + lq + µ = l’p + µ’ + lq + µ = (l’p + lq)B + αA ;
p

où l’on a posé: lp = l’p + µ’, avec µ’ = ∑ (n i − m i ).e i et l’p i = lp i + mi – ni ;
i =1

on a : h(l’p) < n ,
car si lpi ≥ ni , alors mi = 0 et lp i + mi – ni < lp i , et si lpi < ni , alors lp i + mi – ni = 0 ≤ lp i ; et si
on est toujours dans le deuxième cas, il n’est que de remarquer qu’un au moins des lp i n’est
pas nul, puisque lp ≠ 0 ; ainsi , par hypothèse de récurrence, l’p + lq ∉ A et donc ∈ B, car la
partie Lp ⊕ Lq est propre.
Clairement ces deux décompositions sont distinctes…d’où la contradiction et lp + lq ∉ A . ◄

Proposition 5-8.
Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations et posant D = N.α et D’ = N.α’,
D ⊕ D’est une partie propre et l’on a : A = AD ⊕ D’ et B = BD ⊕ D’ ⊕ Lp ⊕ Lq .

11

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les couples (p,p’) d’entiers
coordonnées des éléments de D ⊕ D’. Les éléments de Lp (resp. Lq ) sont génériquement
désignés par la lettre l (resp. l’). On suppose que pour tout couple (q,q’) p (p,p’) on a :
a(q.α+q’.α’+l+l’) = a(q.α+q’.α’) et b(q.α+q’.α’+l+l’) = b(q.α+q’.α’)+l+l’
avec a(q.α+q’.α’) et b(q.α+q’.α’) ∈ D ⊕ D’
soit z0 = p.α+p’.α’+l+l’(z0 = z + z’, avec z = p.α+l et z’ = p’.α’+l’); on décompose z0 -l-l’=
p.α+p’.α’ en a + b, où a = p1.α+p’1.α’+l1+l’1 et b = p2.α+p’2.α’+l2+l’2; supposons que
l’on ait : (p1,p’1) p (p,p’) et (p2,p’2) p (p,p’) ; alors :
p1.α+p’1.α’+l1+l’1 = a(p1.α+p’1.α’+l1+l’1) = a(p1.α+p’1.α’) ;
donc l1 = l’1 = 0 et p1.α+p’1.α’ ∈ A; dans ce cas, b = (p-p1).α + (p’-p’1).α’; de même on a :
p2.α+p’2.α’+l2+l’2 = b(p2.α+p’2.α’+l2+l’2) = b(p2.α+p’2.α’)+l2+l’2 ;
donc p2.α+p’2.α’ ∈ B et l’unicité de décomposition selon D ⊕ D’⊕ Lp ⊕ Lq achève de
prouver que:
a(p.α+p’.α’) = p1.α+p’1.α’ et b(p.α+p’.α’) = p2.α+p’2.α’ ;
de plus, b(p2.α+p’2.α’+l+l’) = b(p2.α+p’2.α’)+l+l’ = p2.α+p’2.α’+l+l’ (en appliquant
l’hypothèse de récurrence) et du coup, on a :
a(z0) = a(p.α+p’.α’+l+l’) = p1.α+p’1.α’ = a(p.α+p’.α’), et
b(z0) = b(p.α+p’.α’+l+l’) = p2.α+p’2.α’+l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’ ;
supposons maintenant que (p1,p’1) = (p,p’) ; alors p.α+p’.α’∈ A, et l+l’∈ B, de sorte qu’on
a encore, grâce à l’unicité de décomposition :
a(z0) = a(p.α+p’.α’+l+l’) = p.α+p’.α’ = a(p.α+p’.α’) et b(z0) = l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’;
supposons enfin que (p2,p’2) = (p,p’); alors b = p.α+p’.α’+l2+l’2 et nécessairement l2=l’2 =0
et b = p.α+p’.α’, et a = 0 ; ainsi on trouve encore :
a(z0) = 0 = a(p.α+p’.α’), et
b(z0) = p.α+p’.α’+l+l’ = b(p.α+p’.α’)+l+l’ . ◄

Proposition 5-9 (généralise la proposition 5-7)
Dans le cas de r bases de sous-objets irréductibles simples, soit E1, E2,...Er (toutes dans B) et
leurs générateurs d’irréductibilité : α1, α2,…, αr (tous dans A) on a :
ps

L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr ⊂ B, où , rappelons-le : Ls = { ls = ∑ λ s i e s i  ∃i λs i < ns i }.
i =1

12

► Rappelons que :
p1

pr

i =1

i =1

L1 = { l1 = ∑ λ1 i e1 i  ∃i λ1 i < n1 i } ,…, Lr = { lr = ∑ λ r i e r i  ∃i λr i < nr i }.
On établit ce résultat par récurrence sur le nombre r. Pour r = 2, la proposition 5-7 fournit le
résultat. Supposons le résultat établi pour tout s < r. Alors L2 ⊕ L3 ⊕ …⊕ Lr ⊂ B.
Comme L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr est propre, il suffit de montrer que L1 ⊕ (L2 ⊕ …⊕ Lr) ne
contient aucun élément de A.
Pour l1 ∈ L1 on définit l’entier h(l1) = l1 1 + l1 2 +…+ l1 p1 .
Pour l2 +…+lr ∈ L2 ⊕ …⊕ Lr fixé, on effectue une simple récurrence portant sur l’entier n
= h(l1) ; on peut supposer l1 ≠ 0 .
Supposons que l’1 +(l2 +…+lr) ∈ B pour tout l’1 tel que h(l’1) < n ;
soit alors l1 tel que n = h(l1) ; pour tout i, posons mi = 0 si l1 i ≥ n1 i et n1 i - l1 i autrement ;
p1

soit µ = ∑ m i e1 i ; supposons que l1 +(l2 +…+lr) ∈ A ; soit z = l1 + l2 +…+ lr + µ ;
i =1

alors on dispose de deux décompositions pour z :
z = (l1 + l2 +…+ lr)A + µB car µ ∈ L1⊂ B , et
z = l1 + l2 +…+ lr + µ = l’1 + µ’ + l2 +…+ lr + µ = (l’1 + l2 +…+ lr) B + (α1) A ;
p1

où l’on a posé: l1 = l’1 + µ’, avec µ’ = ∑ (n1 i − m i ).e1 i et l’1 i = l1 i + mi – n1 i ;
i =1

on a : h(l’1) < n ,
car si l1 i ≥ n1 i , alors mi = 0 et l1 i + mi – n1 i < l1 i ,
et si l1 i < n1 i , alors l1 i + mi – n1 i = 0 ≤ l1 i ;
et si on est toujours dans le deuxième cas, il n’est que de remarquer qu’un au moins des l1 i
n’est pas nul, puisque l1 ≠ 0 ; ainsi, par hypothèse de récurrence, (l’1 + l2 +…+ lr) ∉ A et
donc ∈ B, car la partie L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr est propre.
Clairement ces deux décompositions sont distinctes d’où une contradiction : alors l’élément
l1 + l2 +…+lr ∉ A . ◄

Proposition 5-10 (généralise la proposition 5-8)
Toujours avec les mêmes hypothèses, et les mêmes notations, posant D1 = N.α1, D2 = N.α2,
…Dr = N.αr , alors D = D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr est une partie propre et on a :
A = AD et B = BD ⊕ L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr .

13

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les r-uples (p1, p2,…,pr)
d’entiers coordonnées des éléments de D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr. Les éléments de Lp sont
génériquement désignés par la lettre lp , pour tout p de 1 à r.
On suppose que pour tout r-uple (q1, q2,…,qr) p (p1, p2,…,pr) on a :
r

r

r

r

r

r

r

j =1
r

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

a( ∑ q jα j + ∑ l j ) = a( ∑ q jα j ) et b( ∑ q jα j + ∑ l j ) = b( ∑ q jα j ) + ∑ l j ,
r

avec a( ∑ q jα j ) et b( ∑ q jα j ) ∈ D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr ;
j =1

j =1

r

r

j =1

j =1

r

r

soit z0 = ∑ p jα j + ∑ l j (z0 = ∑ z j , avec zj = pj.αj+lj ); on décompose z0 - ∑ l j =
j =1

r

j =1

r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

∑ p jα j en a + b, où a = ∑ p j1α j + ∑ l j1 et b = ∑ p j2 α j + ∑ l j2 ; supposons que l’on
j =1

1

ait : (p1 , p21,…, pr1) p (p1, p2,…,pr)
r

∑

j =1

p j1α j +

r

∑

j =1

donc ∀j, 1 ≤ j ≤ r, lj = 0 et ∑

et

l j1 = a(

r

1

(p12, p22,…, pr2) p (p1, p2,…,pr) ; alors :

j =1

r

∑

j =1

p j1α j +

r

∑

j =1

l j1 ) = a(

p j1α j ∈ A; dans ce cas, b =

r

∑ p j1α j ) ;
j =1

r

∑ (p j − p j1 ).α j ; de même on a :
j =1

r

r

r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

∑ p j2 α j + ∑ l j2 = b( ∑ p j2 α j + ∑ l j2 ) = b( ∑ p j2 α j )+ ∑ l j2 ;
r

donc ∑ p j 2 α j ∈ B et l’unicité de décomposition selon D1 ⊕ D2⊕ ..⊕ Dr ⊕ L1⊕ L2 ⊕ ..⊕ Lr
j =1

achève de prouver que:
r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

a( ∑ p jα j ) = ∑ p j1α j et b( ∑ p jα j ) = ∑ p j 2 α j ;

r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

de plus, b( ∑ p j 2 α j + ∑ l j ) = b( ∑ p j 2 α j )+ ∑ l j =

r

r

j =1

j =1

∑ p j2 α j + ∑ l j (en appliquant

l’hypothèse de récurrence) et du coup, on a :

14

r

r

r

r

a(z0) = a( ∑ p jα j + ∑ l j ) = ∑ p j1α j = a( ∑ p jα j ), et
r

j =1

r

j =1

r

j =1

r

j =1
r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

b(z0) = b( ∑ p jα j + ∑ l j ) = ∑ p j 2 α j + ∑ l j = b( ∑ p jα j )+ ∑ l j ;

r

r

j =1

j =1

supposons maintenant que (p11, p21,…, pr1) = (p1, p2,…,pr) ; alors ∑ p jα j ∈ A, et ∑ l j ∈ B,
de sorte qu’on a encore, grâce à l’unicité de décomposition :
r

r

r

r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

r

r

j =1

j =1

a(z0) = a( ∑ p jα j + ∑ l j ) = ∑ p jα j = a( ∑ p jα j ) et b(z0) = ∑ l j = b( ∑ p jα j )+ ∑ l j ;

supposons enfin que (p12, p22,…, pr2) = (p1, p2,…,pr); alors, b =

∑ p jα j + ∑ l j2 et

r

nécessairement ∀j, 1 ≤ j ≤ r, lj2 = 0 et b = ∑ p jα j , et a = 0 ; ainsi on trouve encore :
j =1

r

a(z0) = 0 = a( ∑ p jα j ), et
j =1

r

r

r

r

j =1

j =1

j =1

j =1

b(z0) = ∑ p jα j + ∑ l j = b( ∑ p jα j )+ ∑ l j

◄

La proposition suivante concerne le cas général.
Elle « rétablit » la symétrie entre A et B.

Proposition 5-11 (cas général, généralise les propositions 5-8 et 5-10).
- On suppose que chaque axe est entièrement dans A ou entièrement dans B (il y a donc eu
éventuellement une première simplification par les axes sur lesquels on a:│A│=│B│= ∞,
grâce au théorème 1-1, et aussi une première réduction, grâce à la proposition 4-1).
- On dispose des cycles et singletons qui sont dans B :
(f1, f2 ,…, ft ) les éléments de SB ; ils engendrent le sous-monoïde SB ,
les r cyles bases de sous-objets irréductibles simples E1, E2,…,Er à bords dans B, avec
générateurs d’irréductibilité α1, α2, …, αr , éléments de A, générateurs des droites D1, D2, …,
Dr .
- On dispose aussi des cycles et singletons qui sont dans A :
(g1, g2 ,…, gu ) les éléments de SA ; ils engendrent le sous-monoïde SA ,

15

les s cycles bases de sous-objets irréductibles simples F1, F2,…,Fs à bords dans A, avec
générateurs d’irréductibilité β1, β2, …, βs , éléments de B, générateurs des droites D’1, D’2,
…, D’s ;
- On dispose encore des « régions » L1, L2 , …, Lr qui sont entièrement dans B ,
et des « régions » L’1, L’2 , …, L’s qui sont entièrement dans A .
Alors,
SA⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr ⊕ SB ⊕ D’1 ⊕ D’2 ⊕ …⊕ D’s
et L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr ⊕ L’1 ⊕ L’2 ⊕ …⊕ L’s
sont des parties propres.
- On pose :

L = L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr , L’ = L’1 ⊕ L’2 ⊕ …⊕ L’s
et D = SA⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ …⊕ Dr ⊕ SB ⊕ D’1 ⊕ D’2 ⊕ …⊕ D’s .
Les générateurs de D sont désignés génériquement par γ i; ce sont les éléments f1, f2 ,…, ft de
SB , les éléments g1, g2 ,…, gu de SA , et les générateurs α1, α2, …, αr , β1, β2, …, βs.
Tout élément z se décompose de façon unique en z = l + l’+ ∑ i p i .γ i , avec l∈ L , l’∈ L’ et

∑ i p i .γ i ∈ D , et sa décomposition selon (A,B) est donnée par :
a(z) = l’+ a( ∑ i p i .γ i ) et b(z) = l + b( ∑ i p i .γ i ).

► On établit ce résultat par récurrence (transfinie) portant sur les n-uples d’entiers (pi) 1≤ i ≤ n
coordonnées des éléments de D.
Les éléments de L = L1 ⊕ L2 ⊕ …⊕ Lr , génériquement désignés par la lettre l sont dans B.
Les éléments de L’ = L’1⊕ L’2⊕…⊕L’r , génériquement désignés par la lettre l’sont dans A.
Ces derniers faits résultent de la proposition 5-10.
On suppose que :
∀ z’ = l + l’+ ∑ i q i .γ i , où le n-uple (qi) 1≤ i ≤ n est tel que : (qi) 1≤ i ≤ n p (pi) 1≤ i ≤ n
on a :

a(z’) = a(l + l’+ ∑ i q i .γ i ) = l’+ a( ∑ i q i .γ i ),

b(z’) = b(l + l’+ ∑ i q i .γ i ) = l + b( ∑ i q i .γ i ),

avec a( ∑ i q i .γ i ) et b( ∑ i q i .γ i ) ∈ D,

soit z = l+l’+ ∑ i p i .γ i ; l’élément z - l- l’ = ∑ i p i .γ i se décompose en a + b, où a priori :
a = l1+ l’1 + ∑ i p i1.γ i avec l1∈ L , l’1 ∈ L’ et ∑ i p i1.γ i ∈ D et
b = l2+ l’2 + ∑ i p i 2 .γ i avec l2∈ L , l’2 ∈ L’ et ∑ i p i 2 .γ i ∈ D
supposons que l’on ait :
(pi1) 1≤ i ≤ n p (pi) 1≤ i ≤ n et (pi2) 1≤ i ≤ n p (pi) 1≤ i ≤ n
alors :

16

l1+ l’1 + ∑ i p i1.γ i = a(l1+ l’1 + ∑ i p i1.γ i ) = l’1 + a( ∑ i p i1.γ i )
d’où l1 = 0 et ∑ i p i1.γ i ∈ A d’après l’unicité de décomposition selon L⊕ L’ ⊕ D ;
de sorte que a = l’1 + ∑ i p i1.γ i ;
dans ce cas, b = ∑ i p i .γ i - (l’1 + ∑ i p i1.γ i ) = ∑ i (p i − p i1 ).γ i - l’1
de même on a :

l2+l’2 + ∑ i p i 2 .γ i = b(l2+l’2 + ∑ i p i 2 .γ i ) = l2 + b( ∑ i p i 2 .γ i )
d’où l’2 = 0 et ∑ i p i 2 .γ i ∈ B d’après l’unicité de décomposition selon L⊕ L’ ⊕ D ;
de sorte que b = l2 + ∑ i p i 2 .γ i ; alors il vient :
a+b = = l’1 + ∑ i p i1.γ i + l2 + ∑ i p i 2 .γ i = ∑ i p i .γ i ,

et comme la décomposition selon L⊕ L’ ⊕ D est directe, on a, par unicité :

l’1 = l2 = 0 et ∀ i , 1 ≤ i ≤ n , pi = pi 1 + pi 2 ;
en conséquence, on a :

a = ∑ i p i1.γ i et b = ∑ i p i 2 .γ i

on peut appliquer l’hypothèse de récurrence à l+l’+ ∑ i p i1.γ i et à l+l’+ ∑ i p i 2 .γ i ; il vient :
a( l + l’+ ∑ i p i1.γ i ) = l’+ a( ∑ i p i1.γ i ) = l’+ ∑ i p i1.γ i
b( l + l’+ ∑ i p i 2 .γ i ) = l + b( ∑ i p i 2 .γ i ) = l + ∑ i p i 2 .γ i
L’unicité de décomposition fait alors que :
a(z) = a(l+l’+ ∑ i p i .γ i ) = l’+ ∑ i p i1.γ i
b(z) = b(l+l’+ ∑ i p i .γ i ) = l+ ∑ i p i 2 .γ i
et comme :
a( ∑ i p i .γ i ) = a = ∑ i p i1.γ i et b( ∑ i p i .γ i ) = b = ∑ i p i 2 .γ i
le résultat est établi dans ce cas.
Supposons maintenant que l’on ait : (pi1) 1≤ i ≤ n = (pi) 1≤ i ≤ n ; comme on a :
a = l1+ l’1 + ∑ i p i1.γ i = l1+ l’1 + ∑ i p i .γ i = l1+ l’1 + a + b ,

il vient : b + l1+ l’1 = 0, et donc, b = l1 = l’1 = 0 et a = ∑ i p i .γ i ; d’après la proposition

5-9 on voit que l’ est dans A, et d’après la proposition 5-10 (dans laquelle il faut échanger les
rôles de A et de B !), on peut dire que l’+ ∑ i p i .γ i ∈ A ; toujours d’après la proposition 5-9,
on voit que l ∈ B ; l’unicité de décomposition permet de conclure que :

17

a(z) = l’+ ∑ i p i .γ i = l’+ a( ∑ i p i .γ i ) et b(z) = l = l+ b( ∑ i p i .γ i ) ;
le même raisonnement, avec échange des rôles entre A et B, permet de conclure, lorsque l’on
a : (pi2) 1≤ i ≤ n = (pi) 1≤ i ≤ n . ◄

18

6. La suite des foncteurs dérivés associée à une décomposition directe
multiplicative de N*.
Définition 6-1.
Une décomposition directe du (pré)monoïde multiplicatif N* sera dite décomposition directe
multiplicative de N*. C’est donc un couple (A,B) de parties de N* tel que la multiplication des
entiers définit une bijection de A × B sur N*.

Remarques.
1) L’emploi du même symbole « × » pour la multiplication et le produit cartésien exprime de
façon « imagée » que la notation A × B = N* n’est pas ambiguë, dans ce cas.
2) Etant donné un bon ordre de l’ensemble des nombres premiers (par exemple, l’ordre
croissant !) le monoïde multiplicatif (N*,×) est naturellement isomorphe au monoïde somme
de N copies de (N, +) qu’on note (bizarrement) (N(N), +) : à l’entier n = pi1 α1. pi2 α2… pik αk,
on fait correspondre l’élément ñ = (ñ i ) i ∈ N dont les composantes sont : ñ i = αm si i = im et
ñ i = 0 si i n’est pas l’un des indices i1 , i2 … , ik .
Cet isomorphisme a les propriétés formelles d’un logarithme ; on le désignera par Log et son
inverse par Exp ; sur l’axe canonique d’indice p, ce Log se restreint en le véritable logarithme
de base p ; on peut encore dire que Log est un logarithme « multi-bases » (idem pour son
inverse Exp ).
3) Une décomposition directe multiplicative de N* s’identifie alors à une décomposition
directe additive de N(N), la quelle induit sur tout N(X), où X est une partie de N, une
décomposition additive, qui est du type de celles étudiées jusqu’ici lorsque X est fini.

Pour des raisons structurelles faciles à comprendre, à l’interprétation additive précédente on
préfére la description fonctorielle suivante (cf. ma thèse:1975-78), qui lui est parfaitement
équivalente :
La donnée d’une décomposition directe multiplicative (A,B) de N* équivaut à celle d’un
certain foncteur Φ de source la catégorie Pf(P) des ensembles finis de nombres premiers (et
inclusions entre eux) vers la catégorie des décompositions directes additives des puissances
finies de N et restrictions entre elles :
A une partie finie X = {pi1, pi2,…, pin} de l’ensemble P des nombres premiers (objet de Pf(P))
le foncteur Φ fait correspondre une décomposition additive directe Φ(X) de Nn, notée
génériquement (A,B) (c’est ici qu’il convient de disposer d’un certain bon ordre dans
l’ensemble P, par exemple l’ordre croissant !).
Si Y = {pj1, pj2,…, pjm} est une partie de X à m éléments, la décomposition induite par (A,B)
sur le sous-ensemble Nj1⊕ Nj2⊕… ⊕ Njm de Nn détermine une décomposition additive
directe Φ (Y) de Nm.

19

Le foncteur Φ est ainsi complètement défini : l’inclusion Y ⊂ X doit être vue comme une
flèche ι : X → Y , et Φ ( ι ) : Φ (X) → Φ(Y) est la « restriction canonique» associée.
A chaque entier premier pi on fait correspondre un symbole t(pi) qui caractérise le type de la
décomposition induite (Ai , Bi) sur Ni ( = Npi ) auquel on a à faire :
t(pi) = n si Ai=Bi= ∞ ;
t(pi) = b si Ai< ∞ (et Bi= ∞ );
t(pi) = a si Bi< ∞ (et Ai= ∞ ).
On pose :
I = { p t(p) = n }; pour une raison d’homogénéïté de notations, on pose I = {{i}}i ∈ I
F = { p t(p) = a ou b }; plus précisément Fβ = { p t(p) = b } et Fα = { p t(p) = a }.
Soit pi ∈ Fβ (resp. Fα) ; on désigne par ei le plus petit élément sur la droite Ni qui ne soit pas
dominé par Ai (resp. Bi) ; c’est un élément de B (resp. A) .
On dispose d’une partition naturelle Bα (resp. Bβ ) de l’ensemble Fα (resp. Fβ ) : Bα et Bβ ne
sont autres que les ensembles de bases d’objets irréductibles simples ou des singletons :
soit {pi1, pi2, …, pin} ⊂ Fβ un élément de Bβ , avec n > 1 ; alors En = (ei1 , ei2, …, ein) est une
base d’objet irréductible, ce qui signifie qu’il existe un n-uple d’entiers non nuls (mij)1≤j≤n tel
n

que l’élément

α = ∑ m ij .e ij soit générateur d’irréductibilité, c’est-à-dire que la somme
j =1

n

N.ei1⊕ N.ei1⊕…⊕ N.ein se décompose en L ⊕ D où L = {l = ∑ λ ije ij  ∃j λij < nij} est
j =1

entièrement contenu dans B et D = N.α est une partie propre pour la décomposition (A,B)
donnée, et α ∈ A.
Bien sûr, si p∈ Fβ ne fait partie d’aucune base d’objet irréductible, c’est le singleton {p} qui
est élément de Bβ . On désigne par Sβ l’ensemble de ces singletons et par B’β l’ensemble
des bases d’objets irréductibles simples : Bβ = B’β ∪ Sβ . On définit de même B’α , Sα et
Bα et on pose S = Sα ∪ Sβ ∪I

Définition 6-2
Une partie de P est dite saturée d’ordre 1 , ou plus brièvement 1-saturée, si c’est une réunion
d’éléments de B = Bα ∪ Bβ .
Toute partie X = {pi1, pi2, …, pik} de P engendre une partie 1-saturée Xf , à savoir la
réunion des éléments E de B tels que E ∩ X ≠ ∅. Si X est finie, sa 1-saturée Xf l’est aussi.
Toute partie X de P admet une décomposition analogue à celle de P en I ∪ F = I ∪ Fα ∪ Fβ ;
on en désignera les éléments par la même lettre, mais avec l’indice X ; il est clair que l’on a
les égalités suivantes : IX = I ∩ X ; FX = F ∩ X ; FβX = Fβ ∩ X ; FαX = Fα ∩ X .

20

Par contre, pour une base d’objet irréductible simple donnée E ={pi1, pi2,…, pik}∈ B’α (resp.
B’β) , on a :
- ou bien E∩X = X , et dans ce cas E ∈ B’αX (resp. B’βX),
- ou bien E∩X ≠ X, et dans ce cas E∩X ∈ SαX (resp. SβX) ;
dans ce dernier cas on n’a pas d’égalité BαX = Bα ∩ P(X), puisqu’il y a des transferts
possibles de B’α ∩ P(X) vers SαX (les bases incomplètes dans X sont désagrégées en
singletons).
Donc, en général, on n’a pas d’égalité BαX = Bα ∩ P(X).
Par contre, on a la :

Proposition 6-1.
Une partie X est 1-saturée si et seulement si le phénomène de désagrégation ne s’y produit
pas, c’est-à-dire si on a à la fois BαX = Bα ∩ P(X) et BβX = Bβ ∩ P(X).

Démonstration évidente suivant les définitions 6-1 et 6-2.

Définition 6-3
L’ensemble P(1) = I ∪ B est appelé ensemble dérivé d’ordre 1 de P relativement à la
décomposition directe multiplicative donnée (A,B).
On peut munir P(1) d’un quelconque bon ordre, mais aussi, si l’on y tient, du bon ordre
« compatible » avec celui de P, c’est-à-dire qui induit sur I le bon ordre provenant de P et qui
a aussi la propriété suivante :
∀ E ∈ B ∀{p}∈ P(1) [ p < sup(E) ⇒ {p} < E ]
Ce bon ordre est parfaitement déterminé par celui de P.
Par exemple, avec P = { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …}, muni de l’ordre de
croissance, supposons que {3}, {17}, {29} soient des singletons et que {1, 5, 11} , {7, 13} ,
{2, 19}, {23, 31} soient des bases d’objets irréductibles, alors on pourra adopter dans P(1) le
bon ordre lié à l’ordre de croissance des sup. commençant ici par :
{3} < {1, 5, 11} < {7, 13} < {17} < {2, 19} < {29} < {23, 31}< …
Soit X(1) une partie finie de P(1) ; il lui correspond une partie finie et 1-saturée X de P, savoir :
X = ∫ X (1) = { p  ∃ E ∈ X(1) (p ∈ E) }.
Posons X = n et X(1) = m . On distingue dans X l’ensemble I(X) des singletons {p} et
l’ensemble B’(X) des bases d’objets irréductibles simples E ; ce sont les éléments de X(1) .

21

A chaque base d’objet irréductible simple E correspond un générateur d’irréductibilité α(E) .
La décomposition Φ(X) de Nn détermine alors, par restriction à la partie propre :

(⊕ p ∈ (X) Np ) ⊕ (⊕ E ∈ ’(X) N.α(E) ) (proposition (5-11)
I

B

et choix des bons ordres - compatibles entre eux par exemple), une décomposition directe de
Nm ; c’est cette décomposition qu’on désigne par Φ(1)(X(1)) ou simplement Φ(X(1)) s’il n’y a
pas de risque de confusion.
Soit Y(1) une partie de X(1) et Y = ∫ Y (1) ; posons Y = n’ et Y(1) = m’ ; Y est une partie
saturée de X, de sorte que B’(Y) est un sous-ensemble de B’(X) et I(Y) un sous-ensemble de
I(X) ; ainsi le carré d’inclusions suivant est commutatif :

(⊕ p ∈ (Y) Np ) ⊕ (⊕ E ∈ ’(Y) N.α(E) )

N m’

(⊕ p ∈ (X) Np ) ⊕ (⊕ E ∈ ’(X) N.α(E) )

Nm

I

I

B

B

et Φ(1)(Y(1)), décomposition additive directe de Nm’, apparaît bien comme la restriction
canonique de Φ(1)(X(1)), de sorte que Φ(1) est un foncteur qui « dérive » du foncteur Φ ; sa
source est la catégorie Pf(P(1)) des ensembles finis de P(1) et inclusions entre eux.

Définition 6-4
Nous dirons que Φ(1) est le foncteur dérivé de Φ relativement à la décomposition directe
multiplicative (A,B) donnée. Par récurrence, sont définis les ensembles dérivés P(r) et les
foncteurs dérivés Φ(r) de tous ordres.
De même on définit les ensembles saturés de tous ordres.
Par restriction à une partie X de P, on définit de même les ensembles dérivés X(r), le foncteur
restriction ΦX et sa suite de foncteurs dérivés Φ X (r) .

Définition 6-5
Tout ensemble Nα, où α est élément de X(r), est appelé axe principal.

Construction.
Se pose maintenant le problème consistant à donner d’une décomposition directe (A,B) de
N* une description constructive , c’est-à-dire qu’il s’agit de décrire l’ensemble des paramètres
numériques (dits paramètres libres) qui caractérisent le foncteur Φ associé à (A,B) : ce sont
les choix des ensembles dérivés successifs P(r), partant de P(0) = P et les valeurs des diverses

22

fonctions µ (r) (multiplicateurs) , t (r) (types) et ν (r) (localisation des générateurs d’objets
irréductibles) :

Première étape.
C’est la donnée pour chaque entier premier p d’une décomposition directe de N qui sera celle
de l’axe Np , c’est-à-dire, pour chaque p, d’une suite (finie ou non) de multiplicateurs µ(p) , et
d’un choix pour 1 (1∈ A ou 1∈ B) ;
- si la suite est infinie c’est que p ∈ I et t(p) = n ;
- si la suite est finie c’est que p ∈ F ;
- p∈Fβ et t(p) = b, si 1∈A et µ(p) impair ou si 1∈B et µ(p) pair ;
- p∈Fα et t(p) = a, si 1∈B et µ(p) impair ou si 1∈A et µ(p) pair ;
à ce stade, la fonction de typification t : P → {n,a,n} est donc entièrement déterminée.

Deuxième étape.
Elle consiste à préciser les éléments de B’, aussi bien ceux de B’α que de B’β ; les seules
règles à respecter sont les suivantes : pour qu’un ensemble fini E = {p1, p2, …, pn} de P puisse
appartenir à B’β (resp. B’α) il est nécessaire que ce soit un sous ensemble fini de plus de 2
éléments de Fβ = { p t(p) = b} (resp. Fα = { p t(p) = a }) ; d’autre part, deux éléments de B’
ne peuvent qu’être disjoints.
Font alors partie des singletons, outre les éléments p tels que t(p) = n, les éléments p de Sβ
(resp. Sα ) tels que t(p) = b (resp. t(p) = a) et qui n’ont pas été retenus pour constituer les
éléments de B’; on pose : Bβ = B’β ∪ Sβ , Bα = B’α ∪ Sα et B = Bα ∪ Bβ .
L’ensemble P(1) = I ∪ B est alors constitué .

Troisième étape.
Elle consiste à fournir les multiplicateurs (entiers > 0) qui permettent de localiser les
générateurs d’irréductibilité ; c’est la donnée d’une fonction ν : B → N* où B n’est autre que
l’ensemble des nombres premiers qui participent aux bases d’objets irréductibles choisies, i.e.

B = ∫B’ = { p ∃ E ∈ B’ ( p ∈ E)}.
Soit E = {p1, p2,…, pn}∈ B’; les décompositions sur les axes Ni sont fournies par la fonction
µ ; on peut étendre la définition de t en posant t(E) = t(pi) pour n’importe quel pi ∈ E ;
supposons par exemple que t(E) = b c’est-à-dire queAi< ∞ et Bi= ∞ sur chaque axe Ni ;
alors on définit, pour chaque indice i, l’entier ei qui est le plus petit entier de Bi dans Ni non
n

majoré par un élément de Ai ; « l’hyper-cube » ∏ [0, e i [ a une décomposition directe
i =1

complètement triviale, c’est-à-dire produit des décompositions induites sur les segments
[0,ei[ ; on sait (proposition 4-1) que le réseau Ω engendré par les ei doit être une partie propre
(isomorphe à Nn); le n-uple d’entiers non nuls (ν(pi) i ) 1 ≤ i ≤ n constitue les coordonnées du

23

n

générateur d’irréductibilité: α = ∑i =1 ν(pi).ei ; Ω = L ⊕ D, où L = {l = ∑ λ i e i  ∃i λi <ν(pi)}
n

j =1

est entièrement contenu dans B et D = N.α doit être une partie propre pour la décomposition
(A,B) à construire, et α ∈ A.
Arrivés à ce stade, on poursuit en définissant µ(1), t(1), B’ (1), puis ν(1) :

Première étape (1).
µ(1)({p}) = µ(p) pour tout p élément de I ou de S; pour E ∈ B’, avec générateur
d’irréductibilité α, µ(1)(E) est la suite (finie ou non) des multiplicateurs qui décrivent la
décomposition de Nα ~ N, sachant que le choix « 1∈A ou 1∈B » n’est plus à faire, puisque 1
correspond en fait à 1.α, et que, par définition des éléments de B’, α ∈A si E ∈ B’β et α ∈B
si E ∈ B’α. Ainsi µ(1) « complète » la définition de µ en attribuant une valeur aux
« nouveaux » éléments (ceux de B’).
A ce stade, la fonction symbolique de typification t(1) : P(1) → {n,a,b} est entièrement
déterminée : la valeur de t(1)(E) est déterminée en fait par la nature de la décomposition de
N.α, elle-même déterminée par µ(1)(E) et t(E) :
- si µ(1)(E) = ∞ , alors t(1)(E) = n ;
- si t(E) = b (α ∈ A) : µ(1)(E) pair ⇒ t(1)(E) = a et µ(1)(E) impair ⇒ t(1)(E) = b;
- si t(E) = a (α ∈ B) : µ(1)(E) pair ⇒ t(1)(E) = b et µ(1)(E) impair ⇒ t(1)(E) = a.
Si t(E) = b (resp. = a) le générateur d’irréductibilité α est dans A (resp.B) ; ceci ne détermine
pas la valeur de t(1)(E); il y faut la connaissance de µ(1)(E). La décomposition Ф(E) présentera
une suture si et seulement si t(E) = t(1)(E) (suture de genre b si t(E) = t(1)(E) = a ou suture de
genre a si t(E) = t(1)(E) = b).

Deuxième étape (1).
On peut passer à B’(1) : un élément E1 de B’(1) doit obligatoirement contenir au moins un
nouvel élément du genre E = {p1, p2,…pn}∈ B’; par contre, un élément de B’(1) peut fort bien
incorporer des singletons de la première génération (plus précisément, un élément de Sβ peut
fort bien être élément d’un élément E1 de B’(1)β, de même qu’un élément de Sα peut fort bien
être élément d’un élément E(1) de B’(1)α ).
Exemple: E(1) = {p,E,E’} peut être élément de B’(1)β à la condition nécessaire que p ∈ Sβ , et
que E, E’∈ B’ avec t(1)(E) = t(1)(E’) = b; bien noter que ceci ne signifie pas du tout qu’on
doive avoir t(E) = t(E’) ; les quatre valeurs a priori de (t(E), t(E’)) sont possibles :
- (a, a) [Ф(E) et Ф(E’) ne présentent pas de sutures ] ,
- (a, b) [Ф(E) ne présente pas de suture et Ф(E’) présente une suture de genre a] ,
- (b, a) [Ф(E’) ne présente pas de suture et Ф(E) présente une suture de genre a] ,
- (b, b) [Ф(E) et Ф(E’) présentent des sutures de genre a] ,

24

et l’objet Φ (X), où X = ∫ X (1) = { p  ∃ E ∈ X(1) (p ∈ E) } = {p}∪E∪E’, est un objet

irréductible d’ordre ≥ 2.
Troisième étape (1).
Elle consiste à fournir les multiplicateurs (entiers > 0) qui permettent de localiser les
générateurs d’irréductibilité d’ordre 2; c’est la donnée d’une fonction ν(1) : B(1) → N* où B(1)
n’est autre que l’ensemble des éléments de P(1) qui participent aux bases d’objets irréductibles
choisies, i.e. B(1) = ∫B’(1) = {E ∃ E(1) ∈ B’(1) (E ∈ E(1) )} (ici certains éléments E peuvent
fort bien être de la forme {p}).
Soit E(1) = {E1, E2,…, En}∈ B’(1); les axes Ni sont soit des axes canoniques de première
génération, soit des axes de type N.α , où α est un générateur d’irréductibilité d’ordre 1 (qui
se « substitue » aux entiers premiers formant sa base). Dans tous les cas, les décompositions
induites sur les axes Ni sont fournies par la fonction µ(1) ; on peut étendre la définition de t(1)
en posant t(1)(E(1)) = t(1)(Ei) pour n’importe quel Ei ∈ E(1) ; supposons par exemple que t(1) (E)
= b c’est-à-dire queAi< ∞ et Bi= ∞ sur chaque axe Ni ; alors on définit, pour chaque
indice i, l’entier ei qui est le plus petit entier de Bi dans Ni non majoré par un élément de Ai ;
n

« l’hyper-cube » ∏ [0, e i [ a une décomposition directe complètement triviale, c’est-à-dire
i =1

produit des décompositions induites sur les segments [0,ei[ ; on sait (proposition 4-1) que le
réseau Ω engendré par les ei doit être une partie propre (isomorphe à Nn); le n-uple d’entiers
non nuls (ν(1)(Ei)) 1 ≤ i ≤ n constitue les coordonnées du générateur d’irréductibilité d’ordre 2,
n

soit: α = ∑ i =1 ν(1) (Ei).ei ; Ω = L ⊕ D, où L = {l = ∑ λ i e i  ∃i λi < ν(1) (Ei)} est entièrement
n

j =1

contenu dans B et D = N.α doit être une partie propre pour la décomposition (A,B) à
construire, et α ∈ A.
Les objets irréductibles simples (éventuellement réduits) ne sont autres que les objets
irréductibles d’ordre 1.

Et la construction de la décomposition (A,B) continue ainsi par récurrence. Il n’y a aucune
raison a priori pour que cette récurrence aboutisse à la description de (A,B) en un nombre fini
d’étapes. C’est dire aussi que la suite des foncteurs dérivés peut être infinie, auquel cas le
foncteur Φ n’est entièrement déterminé qu’après la donnée d’une infinité d’étapes comme
celles décrites ci-dessus.
Par contre, pour un ensemble fini X ⊂ P, le nombre des dérivés utiles est forcément fini : en
effet, la suite ( X(n)) n ∈ N est strictement décroissante tant que se présentent de nouveaux
irréductibles et dès que X(n) = X(n+1), cela signifie qu’il n’y a pas, à l’étape n+1, de nouvel
irréductible qui se présente, et la décomposition Φ(X) (ou si l’on veut le foncteur ΦX) est
entièrement déterminée. L’entier X(n)est le nombre de composantes irréductibles en
lesquelles Φ(X) se décompose en produit (ou somme directe).

25

7. Squelettes (ou une typologie possible des décompositions directes de N* )
Définition 7-1 (Squelettes simples).
Un squelette simple est une décomposition directe additive de NX qui a les propriétés
suivantes :
- l’ensemble de départ X (l’analogue de P) est fini, c’est la base du squelette;
- les fonctions µ, µ(1), µ(2),…sont toutes à valeur minimum finie; cette valeur est vide
quand il n’y a pas de suture, par contre, s’il se présente une suture à l’ordre r sur Nα,
on la suppose réduite au minimum, c’est-à-dire à un seul point de suture ; la suite
µ(r)(α) se réduit donc à un seul multiplicateur de valeur minimum 2, i.e. µ(r)(Nα) = (2)
(c’est la division par 2) ;
- enfin, les fonctions de localisation des générateurs d’irréductibilité ν(r) : B(r) → N*
qui se présentent sont constantes et égales à 1.
Un squelette simple sans suture est dit sain; sinon il est dit suturé.

Proposition 7-1.
Un squelette sain est entièrement déterminé par sa restriction à l’hypercube canonique de
côté 1, bâti sur X. Chacun de ses axes principaux Nα (définition 6-5) , de quelqu’ordre qu’il
soit, est entièrement dans A ou entièrement dans B, selon que α ∈ A ou α ∈ B.
Un squelette suturé est entièrement déterminé par sa restriction à l’hypercube canonique de
côté 2s, bâti sur X, où s est le nombre des niveaux r (cf. la suite des dérivés) où se présentent
effectivement des sutures (plus précisément, par sa restriction à un certain parallélotope
contenu dans cet hypercube). Si α est suture de genre a (resp. b) l’axe 2αN est entièrement
dans B (resp A).

► Soit S = (A,B) un squelette sain, de base X ; il induit sur l’hypercube canonique HCX
de côté 1, bâti sur X, une décomposition additive directe S0 = (A0, B0), car tout (hyper)-cube
est une partie propre; c’est la restriction dont il est question dans l’énoncé.
Réciproquement, supposons S0 = (A0, B0) donnée ; montrons qu’il existe un seul squelette
sain qui prolonge S0 à NX tout entier. Notons toujours e1 , e2 , …, en la base canonique de NX
qu’on ne se prive pas d’identifier à X ; supposons que Y = {e i 1 , e i 2 ,…, e i k } soit un sousensemble non vide de X ayant les propriétés suivantes :
- Y ⊂ B0 ( resp. Y ⊂ A0 ) ,
- e i 1 + e i 2 +…+ e i k = α ∈ A0 (resp. : ∈ B0 ) ,
- Y est minimum pour ces propriétés.
Remarquons d’abord que l’on a : k > 1, sinon on aurait : A0 ∩ B0 = eil ≠ 0.
Choisissons le cas « Y ⊂ B0 et α ∈ A0 » pour fixer les idées.

26

Toute somme partielle e i j1 + e i j2 +…+ e ijk , avec jk < k , est élément de B0 , de par la
minimalité de Y. Si un squelette sain S existe, qui prolonge S0 , alors il induit sur
l’hypercube HCY de base Y une décomposition qui n’est autre que celle induite aussi par S0 .
Le squelette SY induit par S sur NY est un squelette sain (vérification aisée).
Mieux, c’est un sous-objet irréductible réduit simple (objet irréductible d’ordre 1) de S :
compte tenu de la minimalité de Y, l’élément α est un générateur d’irréductibilité de base Y
dans le squelette sain SY induit par S . La « droite » N.α est entièrement contenue dans A0
puisque le squelette SY est sain et la proposition 5-3 s’applique : la décomposition SY existe
(même si on ne sait pas encore que S existe !) et comporte un seul générateur
d’irréductibilité :
- la décomposition d’un élément λ = λ1.e i 1 + λ2.e i 2 +…+ λk.e ik pour lequel tous les
λj sont > 0 est la suivante :
a(λ) = µ.. α où µ = inf (λ1 , λ2 ,…, λk)
b(λ) = (λ1 - µ)..e i 1 + (λ2 - µ).e i 2 +…+ (λk - µ).e ik ;
- tous les autres éléments de NY sont dans B0 .
On peut songer à poursuivre alors par récurrence portant sur l’entier X  ; malheureusement,
à ce stade, c’est bien prématuré (voir ci-dessous les graphes squelettiques), en tout cas, la
démonstration que nous proposons suit pas à pas la construction précédente.
Posons X1 = X \ Y. La décomposition S0 induit sur l’hypercube HCX1 de base X1 une
décomposition directe S1 , car cet hypercube est propre relativement à S0 . On peut alors
considérer, si c’est possible, un sous-ensemble Y1 de X1 qui soit un analogue de Y pour X !
En poursuivant, on obtiendra une partition de X en bases d’objets irréductibles simples, et
éventuellement singletons restants, indépendante de l’ordre dans le quel on aura effectué les
divers choix Y1 , X1 , Y2 , X2 ,.... Tous les cas de partitions sont possibles a priori et se
présentent :
- il n’y a que des singletons dans X (le processus précédent ne démarre pas : il n’y a
pas de partie telle que Y) ;
- il n’y a plus de singletons restants , après d choix de parties telles que Yi dans Xi - 1
= Xi \ Yi ; noter que l’on a : 0 ≤ d ≤ n – 1 ;
- il y a des singletons (dans B0 ou dans A0 , « ou » non exclusif ) et des bases d’objets
irréductibles simples (dans B0 ou dans A0 , « ou » non exclusif aussi) ;
- d peut prendre toute valeur comprise entre 0 et n-1, 0 et n-1 inclus !...
A ce stade, on aura reconnu, dans la partition en question, l’ensemble dérivé X(1) associé à S,
si cette décomposition existe. Il est évident que l’hypercube HCX(1) de base X(1) est
« contenu » dans l’hypercube HCX et grâce aux propositions 5-10 et 5-11 c’est une partie
propre de S et donc de S0.

27

On peut reprendre et suivre la construction récurrente ci-dessus portant sur les dérivés de
X (les fonctions «multiplicateurs » µ (r) , « types » t (r) et « localisations » ν (r) sont connues
de part la définition des squelettes sains) ou si l’on veut, entreprendre ici la récurrence portant
sur X  et, appliquant encore les propositions 5-1, 5-2, 5-10 et 5-11, conclure.
A la fin des étapes constituant l’ensemble X(1), on peut dire que toutes les décompositions
intermédiaires SYi des ensembles NYi , sont les décompositions induites de la supposée S,
mais S n’en est pas la somme directe en général ! Les ensembles NYi sont les sous-objets
irréductibles simples (ou d’ordre 1) de la décomposition S de NX, c’est tout. D’où la
récurrence et l’usage des propositions 5-1, 5-2, 5-10 et 5-11.
Dans le cas « suturé », la démonstration procède de manière analogue. Voici les modifications
à effectuer.
Soit S = (A,B) un squelette suturé, de base X ; il y a un premier entier r > 0 tel que X(r)
présente au moins un point de suture qu’on suppose de genre a ( α ∈ A) pour fixer les
idées ; la base de α est dans B ∩ X(r-1) (par convention, X(0) = X), et l’élément 2.α est
dans B. Sur l’axe principal N.α , 0 et α sont les seuls éléments de A ; l’ensemble B ∩ N.α
est constitué de 0 et des multiples pairs de α.
Pour représenter ce fait, il convient de disposer de l’hypercube 2..HCX pour représenter les
deux éléments α et 2.α qui caractérisent α comme suture, et non pas comme simple
générateur d’irréductiblité de squelette sain…
Cet hypercube 2.HCX prendra en compte non seulement α, mais aussi toutes les sutures
qui apparaissent à ce stade r, où, pour la première fois se présentent des sutures quels que
soient leurs genres.
A chaque passage d’un niveau où il y a des sutures, il convient de doubler la « longueur » du
côté de l’hypercube sur lequel on examine la restriction de S. Si s est le nombre de ces
niveaux « à suture », on désignera par S0 = (A0, B0) la décomposition induite par S sur
l’hypercube 2 s.HCX.
Réciproquement, supposons S0 = (A0, B0) donnée ; montrons qu’il existe un seul squelette
sain qui prolonge S0 à NX tout entier. Notons toujours e1 , e2 , …, en la base canonique de NX
qu’on ne se prive pas d’identifier à X ; supposons que Y = {e i 1 , e i 2 ,…, e i k } soit un sousensemble non vide de X ayant les propriétés suivantes :
- Y ⊂ B0 ( resp. Y ⊂ A0 ) ,
- e i 1 + e i 2 +…+ e i k = α ∈ A0 (resp. : ∈ B0 ) ,
- Y est minimum pour ces propriétés.
Remarquons d’abord que l’on a : k > 1, sinon on aurait : A0 ∩ B0 = eil ≠ 0.
Choisissons le cas « Y ⊂ B0 et α ∈ A0 » pour fixer les idées.
Toute somme partielle e i j1 + e i j2 +…+ e ijk , avec jk < k , est élément de B0 , de par la
minimalité de Y. Si un squelette sain S existe, qui prolonge S0 , alors il induit sur
l’hypercube 2 s.HCY de base Y une décomposition qui n’est autre que celle induite aussi par
S0 . Le squelette SY induit par S sur NY est un squelette sain (vérification aisée).

28

Mieux, c’est un sous-objet irréductible réduit simple (objet irréductible d’ordre 1) de S :
compte tenu de la minimalité de Y, l’élément α est un générateur d’irréductibilité de base Y
dans le squelette sain SY induit par S . La « droite » N.(2α) est entièrement contenue dans
B0 puisque le squelette SY est sain et la proposition 5-3 s’applique : la décomposition SY
existe et comporte un seul générateur d’irréductibilité :
- la décomposition d’un élément λ = λ1.e i 1 + λ2.e i 2 +…+ λk.e ik pour lequel tous les
λj sont > 0 est la suivante, avec µ = inf (λ1 , λ2 ,…, λk) = 2.µ’ + ε (ε = 0 ou 1 selon
que µ est pair ou non ):
a(λ) = ε .α
b(λ) = (λ1 - µ)..e i 1 + (λ2 - µ).e i 2 +…+ (λk - µ).eik + 2.µ’. α ;
- tous les autres éléments de NY sont dans B0 .
Posons X1 = X \ Y. La décomposition S0 induit sur l’hypercube 2 s.HCX1 de base X1 une
décomposition directe S1 , car cet hypercube est propre relativement à S0 . On peut alors
considérer, si c’est possible, un sous-ensemble Y1 de X1 qui soit un analogue de Y pour X !
En poursuivant, on obtiendra une partition de X en bases d’objets irréductibles simples, et
éventuellement singletons restants, indépendante de l’ordre dans le quel on aura effectué les
divers choix Y1 , X1 , Y2 , X2 ,.... Voici les cas de partitions a priori possibles :
- il n’y a plus de singletons restants , après d choix de parties telles que Yi dans Xi - 1
= Xi \ Yi ; noter que l’on a : 1 ≤ d ≤ n – 1 ;
- il y a des singletons (dans B0 ou dans A0 , « ou » non exclusif ) et des bases d’objets
irréductibles simples (dans B0 ou dans A0 , « ou » non exclusif aussi) ;
- d peut prendre toute valeur comprise entre 1 et n-1, 1 et n-1 inclus !...
On aura reconnu, à ce stade, dans la partition en question l’ensemble dérivé X(1) associé à S,
si cette décomposition existe. Il est évident que l’hypercube HCX(1) de base X(1) est
« contenu » dans l’hypercube2 s.HCX1 et grâce aux propositions 5-10 et 5-11 c’est une partie
propre de S et donc de S0.
On peut reprendre et suivre la construction récurrente ci-dessus portant sur les dérivés de
X , ou si l’on veut, entreprendre ici la récurrence portant sur X  et appliquant encore les
propositions 5-1, 5-2, 5-10 et 5-11, conclure. ◄

Définition 7-2 (Graphes squelettiques simples).
A tout squelette simple de base X on fait correspondre un graphe squelettique simple.
Il a les propriétés suivantes :
- c’est un graphe gradué, les objets d’ordre 0 sont les éléments de X; soit Sr-1
l’ensemble des objets d’ordre < r ; l’ensemble Γ des générateurs d’irréductibilité
éléments de Sr-1(1) est réunion disjointe de l’ensemble Σ des sutures et de l’ensemble Λ
des autres générateurs ; l’ensemble Sr n’est autre que l’ensemble Sr-1 ∪ Λ ∪ 2.Σ ;

29

l’ensemble Λ ∪ 2.Σ est l’ensemble des objets d’ordre r; les objets sont de couleur
noire (dans A) ou blanche (dans B);
- à tout élément irréductible α de base {α1, α2, …, αp} ⊂ Sr-1 correspond un
cône (arêtes):
+ de sommet α et base {α1, α2, …, αp} de couleurs opposées, si α n’est pas une
suture ;
+ de sommet 2α et base {α1, α2, …, αp}de même couleur, si α est une suture.

Exemples:

Suture de genre a
Sutures de genre b

Suture de genre a

Suture de genre b

Ces deux graphes squelettiques présentent, chacun, deux niveaux de sutures. Ils représentent
des squelettes suturés, caractérisés entièrement par leurs traces sur les les hypercubes
respectifs 5 4 et 4 4 , où 5 = {1, 2, 3, 4, 5} et 4 = {1, 2, 3, 4}.

Remarque.
On gardera bien en tête que dans un squelette (sain ou non) sommet et base d’un cône sont
toujours de couleurs différentes (cf. définition des générateurs d’irréductibilité).
Il n’en est pas de même dans les graphes squelettiques associés, pour peu qu’ils présentent des
sutures, et le genre d’une suture est de couleur opposée à sa représentation graphique.

Proposition 7-2.
Un squelette simple est entièrement déterminé par son graphe squelettique.
Il est irréductible si et seulement si son graphe est connexe.
Il est toujours le produit direct de ses composantes irréductibles, elles-mêmes associées aux
composantes connexes de son graphe squelettique.
Les objets d’ordre r d’un squelette sain sont les éléments de X(r) \ X(r-1).

► Soit GS un graphe squelettique. L’ensemble X des objets d’ordre 0 est la base du squelette
simple à construire. Chaque élément de X est soit dans A ( noir) soit dans B (blanc) ; à ce
stade, la fonction de typification t : P → {n,a,n} est donc déterminée, la valeur n étant exclue
par définition même des squelettes simples. La fonction µ est à valeur ∅ .
L’ensemble dérivé X(1) est constitué :

30

- des objets d’ordre 0 (éléments de X) qui ne participent à aucune base de cônes, et ils
gardent leur couleur,
- les sommets des cônes dont la base est de couleur différente, et ils gardent leur
couleur ; leurs coordonnées non nulles sont égales à 1 ;
- enfin les sommets des cônes dont la base est de même couleur, mais alors ils
changent de couleur (en tant qu’éléments de X(1) !) leurs coordonnées non nulles sont
aussi égales à 1.
Les fonctions µ(1) et t(1) sont bien définies:

- µ(1)(α) = (2) pour tout α correspondant à un sommet de cône (du graphe squelettique)
dont la base est de même couleur, mais qui a changé de couleur lors de la constitution
de X(1) ; de plus t(1)( α) = b si α ∈ A et t(1) (α) = a si α ∈ B
- µ(1) est à valeur ∅ dans tous les autres cas ; de plus t(1)( α) = b si α ∈ B et t(1) (α)
= a si α ∈ A
La fonction symbolique de typification t(1) : X(1) → {n,a,b} ne peut pas prendre la valeur n ; à
partir de là, on peut poursuivre la construction en utilisant pour graphe squelettique associé à
X(1) le graphe squelettique de départ, dans lequel chaque sommet de cône de la première
génération se « substitue » aux objets de sa base.
La construction s’arrêtera quand il n’y aura plus de cônes. Elle peut ne pas démarrer, si dès le
départ il n’y a pas de cônes. De toutes façons elle s’arrêtera puis que X(s)  va en décroissant.
Si cet arrêt à lieu à la r-ième étape, c’est donc que X(r+1)  = X(r) . C’est aussi le nombre de
composantes connexes du graphe squelettique de départ.
Le reste de la proposition est évident. ◄

Exemple de squelette sain irréductible, en dimension 20.
On le décrit par la suite de ses dérivés : X = X(0) , X(1) , X(2) , …, X(5) .
Seules les données nouvelles, à chaque ordre r, sont mises en retrait :
X = X(0) = {e1, e2,…, e20} base canonique de N20
e1, e2, e3, e4, e5 ∈ Sβ
e6, e7, e8 ∈ Sα
c1 = {e9, e10, e11}
c2 = {e12, e13, e14, e15}∈ B’β
c3 = {e16, e17}
c4 = {e18, e19, e20}∈ B’ α
(1)
X = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, c1, c2, c3, c4}
e1, e2, e3, c4 ∈ S(1)β
e7 , e8 , c1 ∈ S(1)α
d1 = {e4, e5 , c3}∈ B’(1) β
d2 = {e6 , c2}∈ B’(1) α
X(2) = {e1, e2, e3, c4, e7, e8, c1, d1, d2}

31

e1, e2, c4 ∈ S(2)β
e7 ∈ S(2)α
f1 = {e3, d2} ∈ B’(2) β
f2 = {e8, c1, d1} ∈ B’(2) α
(3)
X = {e1, e2, c4, e7, f1, f2}
e7, f1 ∈ S(3)α
g = {e1, e2, c4, f2}∈ B’(3) β
(4)
X = {e7, f1, g}

h = {e7, f1, g}∈ B’(4) β
X(5) = { h }

En voici le dessin:
1 2 3 4 5

7 8 6

9 10 11 12 13 14 15

c1

c2

16 17 18 19 20

c3

c4

.

d1

d2

pour simplifier, on a donné
aux sommets le nom de leur base
f1

f2

g

h

Chacune des données correspond à un sommet de l’hypercube de dimension 20 ; il y en a 18 ;
tous les autres sommets de cet hypercube sont entièrement déterminés : il y en a exactement
220-18 = 1048558 : c’est le sens de la proposition 7-2, qui découle elle-même des
propositions 4-1 et 5-11.
On peut toujours éviter les croisements d’arêtes dans une représentation planaire, et ce de
plusieurs manières : il suffit de commencer par les éléments irréductibles d’ordre maximum.
Bien sûr, le prix à payer, c’est qu’il ne sera pas possible de regrouper les éléments de A ou de
B entre eux.
Voici un exemple d’une telle représentation planaire, sans croisements :

32

18 19 20

1

2

4 5 16 17

c4

c3

8

9 10 11 3

6

12 13 14 15

c1

7

c2

d1

d2

f2

f1

g

h

Autre exemple de squelette sain, en dimension 20.
Ici, le graphe squelettique a deux composantes connexes, ce qui correspond à une
décomposition de cette structure squelettique de décomposition en produit de deux
décompositions irréductibles des hypercubes de dimensions respectives 8 et 12. Ces trois
squelettes sont sains.

Le lien en pointillés indique seulement qu’il s’agit du même graphe squelettique (et non de
deux graphes squelettiques. Ce n’est pas une arête.

33

Définition 7-3 (Squelettes généraux).
Lorsque se présente, dans une décomposition directe additive d’un NX, une base de sous-objet
irréductible simple (α1, α2,…, αq) avec générateur d’irréductibilité α, les squelettes simples
rendent compte génériquement de ce qui se passe en α seulement si t(α) = a ou b.
Les squelettes généraux prennent en compte le cas où t(α) = n, en fournissant comme
« standard » l’écriture en base 2, i.e. µ(α) =(2, 2,…, 2,…). Certes, ces squelettes généraux
sont infinis, mais les branches infinies sont des terminaux: en effet, si t(α) = n, aucun élément
de Nα ne peut participer à une quelconque base de sous-objet irréductible d’ordre supérieur.
D’une manière générale un terminal (d’ordre r) est un objet (d’ordre r) qui ne participe plus à
aucune base d’objet irréductible d’ordre ≥ r. Un objet peut être terminal relativement à X,
mais pas relativement à Y, pour Y ⊃ X. Quand X est clairement fixé (par exemple, X = P ),
on parle de terminal, sans repréciser X ! Les objets de type n sont des terminaux absolus, mais
ce ne sont pas forcément les seuls…
Insistons sur ceci ,: supposons α irréductible de base E = (α1, α2,…, αq) ⊂ B (resp. ⊂ A) et
t(α) = n, le tout dans un squelette général ; alors α ∈ A (resp. α ∈ B), nécessairement ; en
effet, si on avait α ∈ B (resp. α ∈ A), α ne serait pas le générateur d’irréductibilité, ce serait
2.α, et nous ne serions pas en présence d’un squelette (cf. remarque suivant la définition 7-2)

Définition 7-4 (Graphes squelettiques généraux).
A tout squelette de base X on fait correspondre un graphe fini qui le représente et le détermine
complètement .
Ce graphe est construit comme dans le cas d’un squelette simple, sauf que peut se présenter
aussi le cas où un élément irréductible α de base {α1, α2, …, αp} ⊂ Sr-1 est tel que t(α) = n ;
dans ce cas la couleur de α est opposée à celle de sa base, comme toujours, mais l’objet en
question est affecté de l’indice ∞ rappelant ainsi qu’il ne participe plus à une quelconque
base d’objet irréductible d’ordre supérieur.
Si aucun objet n’est affecté de l’indice ∞, c’est que le squelette en question est simple.

Proposition 7-3 (complète les propositions 7-1 et 7-2).
Un squelette général est entièrement déterminé par son graphe squelettique général.
Il est irréductible si et seulement si son graphe est connexe.
Il est toujours le produit direct de ses composantes irréductibles, elles-mêmes associées aux
composantes connexes de son graphe squelettique.
Si un objet α d’ordre r est affecté de l’indice ∞, sa composante connexe (ensemble des
prédécesseurs de α) détermine un squelette général irréductible ayant Nα comme seul axe
terminal et il en est un facteur direct (son supplément étant de type L, cf. exemples en (0),
première partie).

► La démonstration procède de la même manière ; simplement, quand se présente un objet α
du graphe avec indice ∞ , la décomposition induite sur N.α , de type n , est entièrement
déterminée par sa suite infinie de multiplicateurs, tous égaux à 2.

34

Par exemple, si α ∈ A, on voit que :
A = { 0, α, 4.α, 5.α, 16.α, 17.α, 20.α, 21.α, 64.α, 65.α, 68.α, 69.α, …}
B = { 0, 2.α, 8.α, 10.α, 32.α, 34.α, 40.α, 42.α, …}
D’autre part, cet axe principal est simplifiable (cf. le théorème 1-1 de la première partie) et
on peut poursuivre la construction, après simplification par ce facteur direct de
décomposition ◄
Les notions de squelettes et de graphes squelettiques s’étendent évidemment au cas où X est
infini (par exemple : X = P, P(1), P(2),…) et ces structures sont elles-mêmes descriptibles en
termes de foncteurs à valeurs squelettiques finies.

Proposition 7-4.
A toute décomposition directe additive (A,B) de NX, X fini ou non, est associé un graphe
squelettique général et donc un squelette général naturel (As, Bs) (cf. propositions 7-2 et 7-3).

► La construction du graphe squelettique associé est assez simple : on dispose de 4 sortes
d’objets dans X :
∞

∞

selon que l’objet α en question est dans A ou B et t(α) ≠ n ou t(α) = n . On construit alors
l’ensemble Xs(1) des objets d’ordre 1 du graphe squelettique à partir de X(1) en « sautant les
bases d’objets irréductibles » (on a déjà expliqué ce procédé dans le cas des graphes
squelettiques simples - définition 7-2) : les objets du genre ou ou ∞ sont inertes, tout
∞

comme les objets de genre
ou
, qui ne participent à aucune base d’objets irréductibles
(d’ordre 0) ; par contre toute base d’un générateur irréductible α s’efface au profit
- soit du générateur α lui-même s’il n’y a pas de suture, et il est de couleur opposée à la
base et affecté éventuellement de l’indice ∞ (si t(α) = n ),
- soit du plus petit multiple possible n.α qui soit de même couleur que la base, « après » les
points de suture.
L’ensemble Xs(1) jouant alors le rôle de X, on pose Xs(2) = (Xs(1)) s(1). En poursuivant, on
obtient tous les dérivés sains Xs(r) de X et en définitive le graphe squelettique général associé à
la décomposition (A,B) donnée. Il suffit alors de reprendre les étapes de la description
constructive d’une décomposition multiplicative de N*, comme décrite à la section (6) (en
termes additifs via le foncteur Log) pour construire le squelette (As, Bs).
Observons qu’une composante connexe du graphe squelettique ne peut présenter un terminal
qu’en son sommet ultime s’il est de type n ◄
Voici un exemple de graphe squelettique général :
Il s’agit d’une décomposition de N12 en produit de 5 décompositions :
- deux de N , une de N2, deux de N4 ;

35

- 7 objets irréductibles : 4 d’ordre 1, 2 d’ordre 2 , et 1 d’ordre 3 ;
- 3 terminaux de niveaux différents (0, 1 et 2) ;
- 2 sutures d’ordre 1 ;
- caractérisée par sa trace sur l’hypercube 4 12 (512 sommets !)
∞
∞
∞

Voici pour finir les graphes associés aux squelettes sains de dimension 4.
Ils ont 1, 2, 3 ou 4 composantes. Le nombre de composantes indique le « degré » de
décomposition (en produit : en 1, 2, 3 ou 4 facteurs).
La théorie des groupes intervient ici, pour tenir compte des « répliques » : on en a fait figurer
seulement 2 ici, pour « visualiser » l’effet de l’échange entre A et B.
Enfin, on pourra constater de visu l’intérêt qu’il y a à se référer aux graphes squelettiques,
plutôt qu’aux squelettes ou à leur traces sur les hypercubes convenables.

Triviaux
(produits de 4
décompositions
triviales de N)

NB4

NB3 × NA

NB2 × NA2

36

Semi-triviaux
(produits de deux
décompositions
irréductibles)

Semi-triviaux
(produits de trois
décompositions
irréductibles

Réplique

37

Irréductibles
(d’ordre 1)

Irréductibles
(d’ordre 2)

Réplique

38

Pour les squelettes suturés, citons le plus simple d’entre eux :

0
On a écarté la dimension 1 exprès, puisqu’elle entraînerait une complication inutile pour
l’ensemble des graphes squelettiques : le graphe
présenterait une ambiguïté :
- il pourrait caractériser la décomposition triviale où N = B et A = {0} ;
- il pourrait aussi repésenter la décomposition « suturée » à une dimension, dans
laquelle B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …} et A = {0, 1} ;
- en fait, nous ne considérons pas cette dernière comme une suture, non seulement
parce que toute ambiguïté est ainsi levée, mais aussi parce qu’une suture (qui compte
un nombre fini de points) a pour fonction de « recoudre plusieurs morceaux », au
moins deux ;
- les deux décompositions précédentes, ainsi que toute celles de N pour lesquelles A
et même graphe squelettique,
est fini, ont le même type (c’est b ), même squelette :
à savoir encore
;
- dans le même ordre d’idées, il faut comprendre la proposition 7-4, comme
généralisant la fonction de typification à toutes les décompositions: elle est à valeurs
dans l’ensemble des squelettes, mais mieux encore, dans l’ensemble des graphes
squelettiques.
- cette dernière remarque, parce qu’un graphe squelettique est très « économe » par
rapport à la trace qu’il laisse sur l’hypercube convenable , surtout dans le cas suturé;
par exemple, il faudrait l’hypercube 84 , qui a 94 = 6561 sommets pour rendre compte
du simple graphe triplement suturé suivant (composante de l’exemple ci-dessus) :

39

Il est clair que pour classifier, dénombrer, les squelettes, on peut supposer connexes leurs
graphes squelettiques : ils se terminent alors toujours par un dernier sommet d’un des types
suivants :
∞
∞. .
S’il s’agit d’un sous-graphe squelettique GS’ d’un graphe squelettique GS plus « vaste », le
sommet en question, qui ne peut être que d’un des types
, se substitue à tout le sousgraphe GS’ dans la construction associée du squelette S. On comprend mieux pourquoi les
autres objets sont qualifiés de terminaux. Cette remarque est à la base de tous les décomptes
possibles des squelettes sains, suturés, ou généraux, puisqu’elle installe immédiatement une
récurrence. Ces dénombrements divers donnent lieu à de très belles formules, qui
encombreraient évidemment, et inutilement, ce chapitre.
Donnons encore pour clore la dimension 4, la liste des squelettes suturés connexes, en les
rangeant dans l’ordre lié au nombre de sutures qu’ils présentent (sur fond gris par simple
souci de bonne lecture), et en évitant les répliques (échanges noir-blanc) :

40

8. Facteurs eulériens (ou le retour aux nombres).
A chaque exemplaire de N figurant dans les décompositions sous forme d’axe principal (donc
aussi les axes de coordonnées des diverses puissances NX) on fait correspondre une variable
x (qui peut être formelle) et les entiers de l’axe attaché à x représentent alors les puissances
de x :
1, x, x2, …, xn, …
Nous y associons aussi la série 1 + x + x2 + … + xn + …qu’on ne se prive pas d’écrire sous
1
forme d’un facteur eulérien simple :
; l’exemple « type » est celui où l’exemplaire de N
1− x
1
est indexé par un nombre premier p et x n’est autre que le nombre complexe
.
pz
Plus généralement, si X = {x, y, z, …} , on associe à tout point (i , j , k ,…} de NX le
monôme xi.yj.zk… terme général de la série produit :

S(x, y, z,…) = (1 + x + x2 + …).(1 + y + y2 +.. .).(1 + z + z2 + …)…
qui se présente encore sous forme de produit de facteurs eulériens simples :
P(x, y, z,…) =

1
1
1
.
.
…
1− x 1− y 1− z

A toute décomposition directe (A,B) de NX est associée une décomposition de S(x, y, z,…)
en produit de deux séries (formelles) :
S(x, y, z,…) = SA (x, y, z,…) . SB (x, y, z,…)
ou aussi une décomposition de P(x, y, z,…) en expressions « eulériennes » :
P(x, y, z,…) = PA (x, y, z,…) . PB (x, y, z,…).
Délibérément, on laisse de côté les questions de convergence des séries et des produits infinis.
C’est dire qu’une large part de ce nous exposons maintenant est valable pour un ensemble X
même infini .

Factorisations associées aux décompositions additives directes de N.
Soit (A,B) une telle décomposition. On suppose, pour fixer les idées que 1 ∈ A.
D’après la proposition 2-1 (1ère partie) il existe une unique suite dite des multiplicateurs,
suite (finie ou non) d’entiers strictement supérieurs à 1, soit m1 , m2 ,…, mk ,…, à laquelle est
associée une autre suite dite base généralisée de N :
b0 = 1 , b1 = m1.b0 , b2 = m2.b1 , bk = mk.bk-1 = mk. mk-1… m1 , …
de sorte que tout nombre N se décompose en:

41

a(N) = ∑ N 2i b 2i et b(N) = ∑ N 2i +1b 2i +1 (∀i Ni < mi+1)
i =0

i =0

S’il y a un dernier multiplicateur mk , on convient que mk+1 = ∞ , de sorte qu’il n’y a
simplement pas de condition de bornage sur Nk dans le terme .
Alors, le facteur eulérien

P(x) =

1
et son développement en série S(x) = 1+x+x2+…se
1− x

décomposent ainsi :

1 - x m1 1 - x m1m 2 m 3 1 - x m1m 2 m 3m 4 m 5
1 - x b1 1 - x b 3 1 - x b5
PA(x) =
.
.
…=
.
.
…
1 − x 1 − x m1m 2
1 − x 1 − x b2 1 − x b4
1 − x m1m 2 m3m 4
PB(x) =

1 - x m1m 2 1 - x m1m 2 m 3m 4 1 - x m1m 2 m 3m 4 m5 m 6
1 - x b 2 1 - x b 4 1 - x b6
.
.
…=
.
.
…
1 − x m1
1 − x b1 1 − x b3 1 − x b5
1 − x m1m 2 m3
1 − x m1m 2 m 3m 4 m 5

par convention (quand le multiplicateur ∞ se présente) x ∞ = 0 (référence est ainsi faite au
cas de convergense absolue lorsque, pour une norme
convenable, on a : x < 1 ).
1
Pour SA(x) et SB(x) , il convient de développer les divers facteurs
, mais on a intérêt à
1 − xq
laisser les séries sous forme de produits (éventuellement infinis) de séries.

Exemples.
- La division par 2 : A = {0, 1} et B = {0, 2, 4, …} fournit les facteurs suivants :
PA(x) =

1- x2
1
, SA(x) = 1+x ; PB(x) =
, SB(x) = 1+x2+x4+… ;
2
1− x
1− x

- La décomposition dite (abusivement) suturée, où A = {0, 1, 4, 5, 8, 9,…} et B = {0, 2}
fournit les facteurs suivants :
PA(x) =

1- x2
1
1
.
=
et SA(x) = ( 1+x+x2+…)(1-x2+x4-x6+…) ;
2
1 − x 1 − x4
(1 − x)(1 + x )
PB(x) =

1- x4
1− x

2

, SB(x) = 1+x2 ;

- La décomposition squelettique de type n , où A = {0, 1, 4, 5, 16, 17, 20, 21,…} et B = {0, 2,
8, 10, 32, 34, 42,…} fournit les facteurs suivants (produits infinis) :
PA(x) =

k
1 - x 2 1 - x 8 1 - x 32
.
.
…, SA(x) = (1+x)(1+x4)(1+x16)…( 1 + x 4 )…
1 − x 1 − x 4 1 − x16

42

k
1 - x 4 1 - x16 1 - x 64
.
.
…, SB (x) = (1+x2 )(1+x8)(1+x32)…( 1 + x 2.4 )…
1 − x 2 1 − x 8 1 − x 32

PB(x) =

Factorisations associées aux décompositions additives directes de N2 .
Si la décomposition en cause est triviale (produit, ou somme si l’on veut) alors les deux
facteurs de N2 ne font qu’introduire 2 variables, x et y et on voit immédiatement que :
P(x,y) = P(x).P(y) ; PA(x,y) = PA(x).PA(y) ; S(x,y) = S(x).S(y) ; SB(x,y) = SB(x).SB(y)
Si la décomposition n’est pas triviale, on peut supposer , pour fixer les idées, que les suites de
multiplicateurs sur les axes sont finies , et plus précisément :
m1, m2, m3,…, m2k+1 , pour l’axe des x, b0 = 1 ∈ Ax et bi = mi.bi-1
n1, n2, n3,…, n2ℓ+1 , pour l’axe des y, c0 = 1 ∈ Ay et cj = mj.cj-1
PA(x) =

PB(x) =

1 - x b1 1 - x b 3 1 - x b5
1 - x b 2k +1
.
.
…
1 − x 1 − x b2 1 − x b4
1 − x b 2k

1 - x b 2 1 - x b 4 1 - x b6
1 - x b 2k
1
.
.
…
.
1 − x b1 1 − x b3 1 − x b5
1 − x b 2k -1 1 − x b 2k +1

1 - yc1 1 - y c3 1 - yc5
1 - y c 2l +1
PA(y) =
.
.
…
1 − y 1 − y c 2 1 − yc 4
1 − yc 2l
1
1 - yc 2 1 - yc 4 1 - yc6
1 - y c 2k
.
.
…
.
1 − y c1 1 − y c3 1 − y c5
1 − yc 2l-1 1 − y c 2l +1
et si (s,t) est le couple de paramètres entiers qui localisent le générateur d’irréductibilité α,
on trouve que :
PB(y) =

PA(x,y) = PA(x). PA(y). PA(z) où z = x
d1

PA(z) =

d5

et

d 2r +1

1- z
1- z
1- z
1- z
.
.
…
…, sans préjuger de la finitude de la suite des di
d
d
1− z 1− z 2 1− z 4
1 − z d 2r

PB(x,y) =

=

d3

s.b 2k +1.y t.c 2l+1

1 - x b2
1 − x b1

1
(1− x)(1− y)PA (x)PA (y)PA (x

..

1 - x b 2k

.

1

.

s.b 2k °1 t.c 2l +1
y
)

1 - yc 2

1 − x b 2k -1 1 − x b 2k +1 1 − y c1

..

1 - y c 2l +1
1 − yc 2l

.

1

.

1- z

.

1 - zd 2

1 − y c 2l +1 1 − z d1 1 − z d 3

..

1 - z d 2r +1
1 − z d 2r

…

43

Diverses présentations de ces développements peuvent être proposées, mais l’idée directrice
est de fournir pour les développements en séries, des sommes d’éléments « simples ».
Evidemment, il est hors de question d’écrire une formule générale de factorisation, qui ne
servirait pas à grand-chose. Cependant, nous allons passer en revue quelques-unes des
factorisations associées aux graphes squelettiques types.
D’abord, le squelette sain type d’ordre 1, de base (finie) X = {x, y, z, …}, X  = n > 1,
supposée dans B. Les éléments de A sont tous les multiples de α = (1, 1, 1, …) . On voit
que :
1
PA(x, y, z,…) =
1 − x.y.z...
1 − x.y.z...
(1 - x)(1 - y)(1 - z)...

PB(x, y, z,…) =

= (-1)n+1

{ ∑
1-

1
1
1
+
+…
∑
∑
(1
x)(1
y)
(1
x)(1
y)(1
z)
1
x
x, y∈X, x ≠ y
x, y,z∈X, x ≠ y ≠ z ≠ z
x∈X

en arrêtant les sommes aux produits de n-1 éléments simples de type

}

1
;
1− x

SA(x, y, z,…) = 1 + (x.y.z…) + (x.y.z…)2 + …+ (x.y.z…)k + …
SB(x, y, z,…) =

∑ xi y jz k .... ,
i, j,k,...

où, dans chaque monôme, l’un au moins des exposants i, j, k…est nul…
Ensuite, le squelette suturé type d’ordre 1, de base (finie) X = {x, y, z, …} , X  = n > 1,
supposée dans B. Le seul point de suture, élément de A, est α = (1, 1, 1, ….) , les autres
éléments de l’axe N.α qui sont dans B sont de la forme 2α. On voit que :
PA(x, y, z,…) = 1 + x.y.z… = SA(x, y, z, …)
1
1
PB(x, y, z,…) =
.
(1 - x).(1 - y).(1 - z)... (1 + x.y.z...)
La décomposition en « éléments simples » de PB(x, y, z,…) n’est pas « simple » à écrire . Par
contre on peut donner de SB(x, y, z,…) une description assez simple qui ne passe pas par la
décomposition en éléments simples en question :
SB(x, y, z,…) =

∑

(x.y.z...)2n x i .y j.z k ...

n ; i, j, k...

où , dans chaque monôme, l’un au moins des exposants i, j, k, …est nul.

44

Enfin, le squelette terminal type d’ordre 1, de base (finie) X = {x, y, z, …} , X  = n > 1,
supposée dans B. L’élément α = (1, 1, 1, ….) est dans A, mais c’est un terminal , donc la
décomposition de l’axe N.α est le standard de type n :
A = { 0, α, 4.α, 5.α, 16.α, 17.α, 20.α, 21.α, 64.α, 65.α, 68.α, 69.α, …}
B = { 0, 2.α, 8.α, 10.α, 32.α, 34.α, 40.α, 42.α, …}
PA(x, y, z,…) =

1 - (x.y.z...)2 1 - (x.y.z...)8 1 - (x.y.z...)32
.
.
…,
1 − x.y.z... 1 − ( x.y.z...)4 1 − ( x.y.z...)16
k

SA(x, y, z,…) = (1 + (x.y.z..) ).(1 + (x.y.z..)4 ).(1 + (x.y.z..)16 )..( 1 + (x.y.z..)4 )…

PB(x, y, z,..) =
=

1 − x.y.z... 1 − ( x.y.z...)4 1 − ( x.y.z...)16
1
.
.
.
…,
(1 - x)(1 - y)(1 - z)... 1 - (x.y.z...)2 1 - (x.y.z...)8 1 - (x.y.z...)32

1
1
1
1
.
.
.
…,
(1 - x)(1 - y)(1 - z)... 1 + x.y.z... 1 + (x.y.z...)4 1 + (x.y.z...)16
SB (x, y, z,…) =

(

k

∑ x .y .z ...) . (1 + (x.y.z..) ).(1 + (x.y.z..)8 ).(1 + (x.y.z..)32 )...( 1 + (x.y.z..)2.4 )…
i

j k

2

i, j, k...

où chaque monôme x i .y j.z k .. de la première somme a au moins un exposant i, j, k…nul.

On retiendra essentiellement les choses suivantes :
- l’agrandissement de la base X correspond à une introduction de nouvelles variables ;
- chaque objet de X(1) \ X correspond à un certain monôme xa.yb….wf en les variables
de sa base x, y, …w, le uple (a, b, …f) étant celui des coordonnées entières de l’objet
en question ;
- la progression dans les ordres des dérivés correspond à des opérations de
substitution : en reprenant les notations de l’alinéa précédent, on peut dire qu’il y a
introduction d’une « variable » t à la quelle on doit substituer le monôme xa.yb….wf.
Pour un squelette (général) connexe, de base X = {x, y, z,…}, d’ordre ≥ 2, il n’est guère
possible de fournir en quelques lignes les méthodes conduisant à décrire la décomposition
associée en produit de 2 séries de la série générale :
P(x, y, z,…) =

1
1
1
.
.
…
1− x 1− y 1− z

S(x, y, z,…) =

∑ xi .y j.z k ...
i, j, k...

45

= (1 + x + x2 + …).(1 + y + y2 +.. .).(1 + z + z2 + …)…
Nous allons seulement donner quelques exemples simples pour montrer qu’on n’évite pas le
problème de décrire les facteurs de décomposition A et B en termes de réunion et (ou)
sommes d’objets géométriques précis.
Quant à la décomposition en produit de fractions rationnelles, elle est encore possible, mais ce
n’est plus du tout en termes d’éléments simples (çà contredirait la connexité supposée du
squelette !).
Commençons par ce squelette sain d’ordre 2 en dimension 3 (qui est le plus « petit »
imaginable d’ordre 2) :

x

y

z

z
xyz

xy
Squelette de type (iii)
0

y

(trace sur le cube )
xyz
x
B={0x}∪{0xy}

xy

A = ({0y}∪{0z})⊕{0xyz}
(i,j,k) = (i-v,j-v,k)A + (v,v,0)B [u = k]
(i,j,k) = (i,j,u)A + (0,0,k-u)B + [u ≠ k]
[u=inf(i,j,k)]

[v=inf(i-u,j-u)]

Nous avons sciemment modifié les notations, car ici les composantes d’un point de N 3 sont
les exposants des variables x, y, z (il y a l’exponentielle derrière cela).
Voici les séries SA et SB correspondantes:
SA (x,y,z) =

∑

x i .y j.z k qu’on peut encore écrire sous la forme suivante :

(i, j, k) ∈ A

SA (x,y,z) =

∑ yi (x.z) j + ∑ x i (y.z) j + ∑ (x.y.z)k

i >j

SB (x,y,z)

i >j

k

= (1 + z + z2 + z3 … + xy + x2y2 + x3y3 +…)

Pour se convaincre que les deux formes données de SA (x,y,z) sont égales, le plus simple est
d’indiquer comment chaque monôme x i .y j.z k se décompose (d’unique façon) en produit
d’un monôme de SA et d’un monôme de SB :

46

1° monôme facteur : 1 : y i (x.z) j [i > j ≥ 0]; 2 : x i (y.z) j [i > j ≥ 0]; 3 : (x.y.z)k [k ≥ 0];
2° monôme facteur : 1 : 1; 2 : zk [ k ≥ 1]; 3 : (xy)i [ i ≥ 1];

1) i < (j,k) :

x i .y j.z k = [(x.z)i y j ]A .[z k −i ]B

1 × 2

2) j < (k,i) :

x i .y j.z k = [x i (y.z) j ]A .[z k − j ]B

2 × 2

3) k < i ≤ j : x i .y j.z k = [(x.z)k .y k + j-i ]A .[(x.y)i -k ]B
i

j k

k

4) k ≤ j < i : x .y .z = [(y.z) .x

k +i- j

]A .[(x.y)

j- k

]B

1 × 3 ( et 3 × 3 )
2 × 3 ( et 2 × 1 )

5) i = j < k : x i .y j.z k = [(x.y.z)i ]A .[z k −i ]B

3 × 2

6) i = k ≤ j : x i .y j.z k = [(x.z)i y j ]A

1 × 1 ( et 3 × 1 )

Pour le squelette suturé le plus élémentaire, nous avons:
PA(x, y) =

1
1
.
(1 - x).(1 - y) (1 + x.y)

PB(x, y) = SB(x, y) = 1 + x.y
La décomposition en « éléments simples » de PA(x, y) n’est pas « simple » à écrire . Par
contre on peut donner de SA(x, y) une description assez simple qui ne passe pas par la
décomposition en éléments simples en question. La voici :
SA(x, y) =

∑

(x.y)2n (x i + y j )

n ; i, j

Pour le squelette suturé d’ordre 2 le plus élémentaire, nous avons:

PA(x, y, z) =

1
1
.
.
(1 - x).(1 - y)(1 - z) (1 + x.y).(1 + (x.y)2 .z)

PB(x, y, z) = SB(x, y, z) = (1 + x.y).(1 + (x.y)2 .z)

SA(x, y, z) =

∑ (1 + x u + y v ).(x.y)4q .zl + ∑ (1 + x u + y v ). ((x.y)4q .z 2t )

q ≥ 0, l > 2q
u,v > 0

q > 0, t ≤ q
u ,v > 0

+

∑ (1 + x u + y v ). ( (x.y)4q + 2.z 2t )

q > 0, t ≤ q
u, v > 0

47

Pour se convaincre que les deux formes données de SA (x,y,z) sont égales, le plus simple est
d’indiquer comment chaque monôme x i .y j.z k se décompose (d’unique façon) en produit
d’un monôme de SA et d’un monôme de SB :
1° monôme facteur : ( SA )

1×1: (x.y)4q .z l

1×2: x u .(x.y)4q .zl

1×3: y v .(x.y)4q .z l

[u ,v > 0 ; q ≥ 0 ; ℓ > 2q] ;

2×1 : (x.y)4q .z 2t

2×2 : x u .(x.y)4q .z 2t

2×3: y v .(x.y)4q .z 2t

[u ,v > 0 ; q ≥ 0 ; 2t ≤ 2q ] ;

3×1 : (x.y)4q + 2 .z 2t 3×2: x u .(x.y)4q + 2 .z 2t 3×3: y v .(x.y)4q + 2 .z 2t [u ,v > 0 ; q > 0 ; 2t ≤ 2q ] ;
2° monôme facteur : ( SB )
0: 1 ; 1: x.y ;
2: (xy)2.z ;

3: (xy)3.z ;

Facteur commun 0 : 1 (c’est aussi le monôme 2×1 avec q = t = 0 )
k-1 > 2q ≥ 0 ;

1) i = j = 4q + r ;

r = 1, 2, 3 ;

r=3

x i .y j.z k = [ (xy)4q z k -1].[(xy)3 z] [1×1]×[3] ,

r=2

= [ (xy)4q z k -1].[(xy)2 z] [1×1]×[2] ,

r=1

= [ (xy)4q z k ].[xy]
k - 1 ≤ 2q ;

k = 2t + ε ;

(ε = 1)

x i .y j.z k = [ (xy)4q z 2t ].[(xy)3 z]

[2×1]×[3] ,

(ε = 0)

= [ (xy)4q + 2 z 2t ].[xy]

[3×1]×[1] ,

(ε = 1)

= [ (xy)4q z 2t ].[(xy)2 z]

[2×1]×[2] ,

(ε = 0)

= [ (xy)4q + 2 z 2t ]

[3×1]×[0] ,

(ε = 1) (t < q )

= [ (xy)4q - 2 z 2t ].[(xy)3 z] [3×1]×[3] ,

(ε = 1) (t = q )

= [ (xy)4q z 2q +1].[xy]

[1×1]×[1] ,

(ε = 0)

= [ (xy)4q z 2t ].[xy]

[2×1]×[1] ,

2) i = j = 4q + r ;
r=3

r=2

r=1

[1×1]×[1] ,

3) i = j = 4q > 0 ;

r = 1, 2, 3 ; q > 0 ;

k = 2t + ε ;

ε = 0, 1

x i .y j.z k = [ (xy)4q z k ]

[1×1]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 0)

= [ (xy)4q z 2t ]

[2×1]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 1)

= [ (xy)4q - 2 z 2t ].[(xy)2 z]

[3×1]×[2] ,

(k > 2q )

ε = 0, 1

48

4) i > j ;

i-j=u >0;

j = 4q + r ; r = 1, 2, 3 ;

k -1 > 2q ≥ 0

r=3

x i .y j.z k = [x u (xy)4q z k -1].[(xy)3 z]

[1×2]×[3] ,

r=2

= [x u (xy)4q z k -1].[(xy)2 z]

[1×2]×[2] ,

u

r=1

r=2

r=1

[1×2]×[1] ,

= [x (xy) z ].[xy]

5) i > j ;
r=3

4q k

i-j=u ;

j = 4q + r ; q > 0 ; r = 1, 2, 3 k - 1 ≤ 2q ;

k = 2t + ε ;

(ε = 1)

x i .y j.z k = [x u (xy)4q z 2t ].[(xy)3 z]

[2×2]×[3] ,

(ε = 0)

= [x u (xy)4q + 2 z 2t ].[xy]

[3×2]×[1] ,

(ε = 1)

= [x u (xy)4q z 2t ].[(xy)2 z]

[2×2]×[2] ,

(ε = 0)

= [x u (xy)4q + 2 z 2t ]

[3×2]×[0] ,

(ε = 1) (t < q)

= [x u (xy)4q - 2 z 2t ].[(xy)3 z] [3×2]×[3] ,

(ε = 1) (t = q)

= [x u (xy)4q z 2q +1].[xy]

[1×2]×[1] ,

(ε = 0)

= [x u (xy)4q z 2t ].[xy]

[2×2]×[1] ,

6) i > j = 4q > 0 ;

k = 2t + ε ;

ε = 0, 1

x i .y j.z k = [ x u (xy)4q z k ]

[1×2]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 0)

= [ x u (xy)4q z 2t ]

[2×2]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 1)

= [x u (xy)4q - 2 z 2t ].[(xy)2 z] [3×2]×[2] ,

(k > 2q )

7) j > i ;

j-i =v >0;

i = 4q + r ; r = 1, 2, 3 ;

k -1 > 2q ≥ 0

r=3

x i .y j.z k = [y v (xy)4q z k -1 ].[(xy)3 z]

[1×3]×[3] ,

r=2

= [y v (xy)4q z k -1].[(xy)2 z]

[1×3]×[2] ,

r=1

= [y v (xy)4q z k ].[xy]

[1×3]×[1] ,

8) j > i ; j - i = v > 0 ; i = 4q + r ; q > 0 ; r = 1, 2, 3 k - 1 ≤ 2q ;
r=3

r=2

r=1

ε = 0, 1

k = 2t + ε ;

(ε = 1)

x i .y j.z k = [y v (xy)4q z 2t ].[(xy)3 z]

[2×3]×[3] ,

(ε = 0)

= [y v (xy)4q + 2 z 2t ].[xy]

[3×3]×[1] ,

(ε = 1)

= [y v (xy)4q z 2t ].[(xy)2 z]

[2×3]×[2] ,

(ε = 0)

= [y v (xy)4q + 2 z 2t ]

[3×3]×[0] ,

(ε = 1) (t < q)

= [y v (xy)4q -2 z 2t ].[(xy)3 z] [3×3]×[3] ,

ε = 0, 1

49

(ε = 1) (t = q)

= [y v (xy)4q z 2q +1].[xy]

[1×3]×[1] ,

(ε = 0)

= [y v (xy)4q z 2t ].[xy]

[2×3]×[1] ,

9) i > j = 4q > 0 ;

k = 2t + ε ;

ε = 0, 1

x i .y j.z k = [ y v (xy)4q z k ]

[1×3]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 0)

= [ y v (xy)4q z 2t ]

[2×3]×[0] ,

(k ≤ 2q ; ε = 1)

= [y v (xy)4q -2 z 2t ].[(xy)2 z] [3×3]×[2] ,

(k > 2q )

Au total on trouve une fois et une seule chaque combinaison de produit de monômes de types
A et B, soit 4 × 9 = 36 ( = 3 × 12 ).
Cchacun des trois groupes (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) contient apparemment 13 combinaisons ; en
fait ils n’en contiennent bien que 12, puisque l’une d’entre elle est comptée deux fois,
puisqu’elle figure à 2 titres, avec la classification indiciaire choisie (lignes 3 et 9 de chaque
groupe).
En fait on peut montrer qu’il n’est pas possible d’échapper à de telles redondances, dans une
classification indiciaire qui se veut « générale », ce fait étant intimement lié à la structure du
squelette doublement suturé envisagé.
Nous arrêtons ici ce petit dictionnaire entre graphes squelettiques et séries décomposées, car
on peut déjà imaginer la difficulté à écrire explicitement le cas général, qui ressort de tout ce
qui a été dit jusqu’ici, ni plus ni moins, mais on devine aussi sur les exemples précédents
qu’une description « simpliciale » des squelettes serait de grande utitlité. Nous n’abordons
pas ce sujet, qui bien que relativement facile, nécessite encore « beaucoup de pages »…

Fonctions L de Dirichlet et décompositions multiplicatives directes de N* .
Soit L(a,z) une série de Dirichlet, où a est une fonction à valeurs complexes strictement
a(n)
multiplicative. L(a,z) = ∑
.
z
n
n ≥0
Soit (A,B) une décomposition multiplicative de N* ; alors L(a,z) se décompose en produit de
deux séries de Dirichlet L(aA ,z) et L(aB ,z) :
. L(aA ,z) =

∑

n∈A

a A (n)
n

z

et

L(aB ,z) =

a (n)

∑ Bn z

.

n ∈B

où l’on a posé :

aA(n) = a(n) si n ∈ A, aA(n) = 0 autrement
aB (n) = a(n) si n ∈ B, aB (n) = 0 autrement.

50

Bien évidemment, les fonctions aA et aB ne sont plus en général strictement multiplicatives, ni
même multiplicatives.
Par exemple, à toute décomposition multiplicative (A,B) de N* correspond une décomposition
naturelle de la fonction ζ = L(1,z) en ζA.ζB où on a posé ζA = L(1A ,z) et ζB = L(1B ,z) ; les
décompositions « connues » de ζ correspondent à des décompositions (A,B) de N* vraiment
triviales.
Par exemple, à toute partition de P en deux : P = PA ∪ PB , correspond la décomposition
triviale suivante, donnée en termes de facteurs eulériens :
ζ(z) =ζA (z). ζB (z)

avec ζA(z) =

∏

p ∈ PA 1 -

1
1
p

et ζB (z) = ∏

p ∈ PB 1 -

z

1
1
pz

Ici, dans le cas de partitions de P, la généralisation à plus de 2 facteurs est évidente.
Citons encore les décompositions suivantes:
donnons nous une fonction ϕ : P → N telle que ϕ(p) > 1 ; on lui associe la décomposition
directe multiplicative suivante:
Aϕ = { n ∈ N* ∀ p∈P, υp(n) < ϕ(p)}
Bϕ. = { n ∈ N* ∀ p∈P, υp(n) ∈ ϕ(p).N }
Sur chaque axe N.p, cette décomposition induit la division euclidienne par ϕ(p), et (Aϕ, Bϕ)
est la somme directe infinie de ces décompositions.
La décomposition de ζ(z) en produit de séries associée est la suivante :
ζAϕ (z) =

∑

υ p (n) < ϕ(p)

1
n

z

∑

et ζBϕ (z) =

1

υ p (n) ≥ ϕ(p)

nz

qu’on peut encore écrire :
ζAϕ (z) =

∑ 1

n ≥ 0

nA

z

et ζBϕ (z) =

∑ 1

n ≥ 0

nB

z

où, pour n = p1α 1 .p 2α 2 ...p k α k , αi = λi .ϕ(pi) + ri , ri < ϕ(pi), on a posé :
nA = p1r 1 .p 2 r 2 ...p k r k , nB = p1λ 1ϕ( p 1 ) .p 2 λ 2ϕ( p 2 ) ...p k λ k ϕ( p k )
Les séries ζBϕ sont évidemment convergentes pour Re(z) > 1 .
2

Si ϕ (n) = c est constante , on a :

51

∑
∑

1

ζAϕ (z) =

υ p (n) < ϕ(p)

ζBϕ (z) =

∑

n ≥ 0

1
nB

z

=

pi ∈ P ; λi ∈ N

nz

∑

=

υ p (n) < c

1

= ζ c (z)

nz

1
(p1λ 1 .p 2λ 2 ...p k λ k )c.z

=

∑

n ≥ 0

1

= ζ(c.z)

n c.z

ζ (z) = ζ c (z) .ζ(c.z) = ζ c (z).ζ c (c.z).ζ(c2.z) =… = ζ c (z).ζ c (c.z).ζ(c2.z)…ζ(c2n-1.z).ζ(cn.z)

et on peut préciser que la somme ζ(c.z) n’est pas nulle dans la région du plan où 1/c < Re(z),
de sorte que la fonction ζ c admet un prolongement analytique dans la région 1/c ≤ Re(z, qui
a les mêmes zéros que ζ (on utilise ici le théorème de La Vallée Poussin). On retrouve aussi
la valeur de ζ à l’infini. Etc…
Notons encore ceci : pour deux entiers c et d, on a :
ζ (z) = ζ c (z) .ζ(c.z) = ζ c (z).ζ d (c.z) .ζ(c.d.z) = ζ c.d (z).ζ(c.d.z)

et donc :
ζ c.d (z) = ζ c (z).ζ d (c.z)

formule qui se « cache » derrière une décomposition directe additive triviale du prémonoïde
[0, c.d](N) et qui n’est autre que la version relative (ou bornée) de ζ (z) = ζ (z) .ζ(c.z).
c

On a aussi :
ζ c.d (z) = ζ d.c (z) = ζ d (z).ζ c (d.z),

qui conduit à la formule d’échange:
ζ c (z).ζ d (c.z) = ζ d (z).ζ c (d.z),

laquelle ne fait que rendre compte de l’échange entre A et B dans la décomposition additive
[0, c.d](N) associée.
Le cas c = 2 donne tout son intérêt à la considération des squelettes sains, parfaitement
déterminés par leurs traces sur tous les hypercubes !...

En guise de conclusion…
Les exemples évoqués (et / ou mixtures simples entre eux), ne conduisent pas à des résultats
nouveaux concernant les fonctions L mais il faut bien souligner que dans tous ces cas les
décompositions directes multiplicatives de N* en cause sont vraiment triviales…
Par contre, dès qu’on dispose d’une décomposition directe multiplicative non triviale, il ne lui
correspond pas, comme on a pu le voir sur un simple exemple ci-dessus, une décomposition
« élémentaire » multiplicative eulérienne ! Mais, il y a une décomposition additive précise des
séries associées, qui peut être fort utile pour l’étude des fonctions L.

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Parmi les décompositions intéressantes, il y a celle qui présentent une infinité de sutures,
d’ordres non bornés, celles qui présentent une infinité d’objets non terminaux, et plus
généralement, celles dont le foncteur associé admet une infinité de dérivés non triviaux…Et,
selon qu’on cherche à infirmer ou non l’hypothèse de Riemann, les unes ou les autres ouvrent
une voie possible d’investigation.
Nous ne développons pas le sujet ici, tout en sachant qu’une porte est ainsi largement ouverte
sur ces questions qui ont déjà fait couler beaucoup d’encre…

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