D IAGRAMMES L AURENT C OPPEY Décompositions multiplicatives directes des entiers Diagrammes, tome 65-66 (2011), p. 1-68 © Université Paris 7, UER math., 2011, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUMES 65+66, 2011 DECOMPOSITIONS MULTIPLICATIVES DIRECTES DES ENTIERS Première Partie Laurent Coppey Sommaire. Introduction. 0. Précatégories et prémonoïdes. p. 1. Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés et noyaux d’instabilité. p. 21 2. Structures des décompositions directes additives de N . p. 30 3. Les décompositions directes non triviales de N2 en deux facteurs. p. 39 4. Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de Nk . p. 49 4 bis. Exploration en petites dimensions (3, 4 et 5). 3 p. 52 Introduction. Ce texte répond à une question que se posait paraît-il Jean Dieudonné, au moins si j’en crois mon ami J. Roubaud (de l'Université Pierre et Marie Curie à Paris) qui me fit cette confidence au rayon "Mathématiques" du grand libraire parisien Joseph Gibert, peu de temps après que nous eûmes pris notre retraite… : décrire tous les couples (A,B) d'entiers tels que tout nombre non nul n s'écrive de manière unique comme un produit d'un élément de A et d'un élément de B, autrement dit décrire toutes les décompositions directes multiplicatives de l'ensemble des entiers non nuls. Question dont l'énoncé est très simple, mais dont « la » solution l'est nettement moins. Sans doute Jean Dieudonné se la posait-il en vue d'obtenir toutes les décompositions en produits de séries des fonctions L de Dirichlet (dont la fonction ζ ). Bien sûr, le problème pose d'emblée celui de déterminer toutes les décompositions directes additives des puissances de N, mais il ne se réduit pas tout à fait à cela. Rédigé entre 2003 et 2005, ce texte reprend et développe une petite partie de ma thèse (il s’agissait d’un exemple), qui date de 1975. J’ai compris (un peu tardivement certes) que j’avais fait le pas essentiel avec la dimension 2, mais surtout avec ma méthode. Ivan Niven était parvenu 2 ou 3 ans avant moi au même résultat (toujours en dim. 2) avec une méthode radicalement différente (opération de groupes…). J’ai jugé « pédagogique » de donner à ce texte une forme générale graduée, liée à la dimension, ce qui permet de s’habituer progressivement à la structure de prémonoïde bien ordonné, pratiquement seule en cause ici. On ne doit surtout pas confondre la propriété de « forte associativité » (dont il est question ici) avec celle de « totale associativité » qui est assez banale et conséquence de celle-là. J’ai consacré les deux premières sections (0 et 1) à ces questions générales de prémonoïdes (bien ordonnés) et leurs décompositions. J’ai respecté la chronologie de mes trouvailles, ce qui permet de bien mettre en évidence leur véritable origine, à savoir cette partie de ma thèse qui remonte à 1975 et qui a fait l’objet d’une conférence au Séminaire de Brême avec publication, quelque temps après. Bien sûr, la plupart des résultats obtenus s'étendent sans trop de difficulté aux entiers de certains corps de nombres algébriques (par exemple, ceux qui sont totalement positifs), mais nous ne traiterons pas ici de ces « généralisations ». Voici donc la première partie de ce texte (qui en comptera deux). On y trouvera la solution, en forme additive, pour les dimensions ≤ 3, avec des petites incursions en dimensions supérieures. La seconde partie traitera du cas général. 2 0. Précatégories et prémonoïdes. Définition 0-1. Une précatégorie C est un graphe multiplicatif satisfaisant l’axiome dit d’associativité forte suivant : ∀ x, y, z ∈ C [ [ ∃ z.(y.x) ∨ ∃ (z.y).x ] ⇒ ∃ [ z.(y.x) = (z.y).x ] ] Par convention, une formule telle que ∃ [ A(x,y,…) = B(x,y,…)] est un raccourci pour la formule suivante : [ ∃ A(x,y,…) ] ∧ [ ∃ B(x,y,…)] ∧ [ A(x,y,…) = B(x,y,…) ]. Ainsi, dans une précatégorie, il suffit qu’un des composés (z.y).x ou z.(y.x) existe pour que tous les deux existent et soient égaux ; on peut noter ce composé sous la forme z.y.x sans ambiguïté possible. Soit Dn l’ensemble des dispositions cohérentes de parenthèses à n « places », ensemble dont le cardinal est appelé parfois le nième nombre de Catalan. Soient x1, x2, …, xn des éléments d’un système multiplicatif et dn un élément de Dn ; la formule ∃ dn(x1, x2,…, xn) signifie que le calcul de l’expression dn(x1, x2,…, xn) est possible dans le système multiplicatif en question, et le résultat de ce calcul est naturellement désigné aussi par dn(x1, x2,…, xn). Définition 0-2. Un graphe multiplicatif G est dit complètement associatif s’il satisfait l’axiome d’associativité complète suivant : ∀n≥3 ∀ x1,x2,, xn ∈ G ∀ dn , δn ∈ Dn [∃ dn(x1,x2,..,xn) ∧ ∃ δn(x1,x2,..,xn) ] ⇒ dn(x1,x2,..,xn) = δn(x1,x2,..,xn) Proposition 0-1. Une précatégorie est un graphe multiplicatif complètement associatif. ► On démontre cela par récurrence sur n , comme s’il s’agissait de lois de composition partout définies. Pour n = 3 , on se reporte à la définition même, puisqu’il n’y a que 2 dispositions cohérentes de parenthèses. Supposons donc le résultat vrai jusqu’à l’ordre n-1 , et n ≥ 4 ; soit dn(x1, x2,…, xn) une expression définie dans la précatégorie en question. Il existe un entier k, 1 ≤ k < n , tel qu’on puisse écrire : dn(x1, x2,…, xn) = dk(x1, x2,…, xk). dn-k(xk+1, xk+2,…, xn) ; l’hypothèse de récurrence entraîne qu’on peut écrire dk(x1, x2,…, xk) sous la forme d’un composé tel que x1.dk-1(x2, x3,…, xk) (si k = 1 , la partie « dk-1(x2, x3,…, xk) » de cette dernière expression est vide) ; on a alors : dn(x1, x2,…, xn) = (x1.dk-1(x2, x3,…, xk)).dn-k(xk+1, xk+2,…, xn) ; si k ≥ 2, on peut utiliser la propriété de définition de précatégorie et valider ainsi la formule: ∃ (x1.dk-1(x2, x3,…, xk)).dn-k(xk+1, xk+2,…, xn) = x1.(dk-1(x2, x3,…, xk).dn-k(xk+1, xk+2,…, xn)) ; 3 en désignant par ∂p la disposition cohérente canonique de parenthèses qui « rejette à droite » toutes les parenthèses fermantes, et en appliquant l’hypothèse de récurrence, on voit que : ∃ dk-1(x2, x3,…, xk)).dn-k(xk+1, xk+2,…, xn) = ∂n-1(x2, x3,…, xn) ; et comme x1.∂n-1(x2, x3,…, xn) = ∂n(x1, x2,…, xn), on en conclut que l’on a bien : ∃ dn(x1, x2,…, xn) = ∂n(x1, x2,…, xn) ; formule qu’on obtient aussi, mais directement lorsque k = 1, et, si k = 2, on applique directement l’hypothèse de récurrence à dn-1(x2, x3,…, xn). Comme la disposition dn est a priori quelconque, ceci achève la démonstration ◄ Cette proposition signifie donc que la forte associativité entraîne la complète associativité, mais l’inverse n’est pas vrai , comme le montre l’exemple prototype suivant : le graphe multiplicatif ayant trois flèches consécutives x,y,z (qui ne soient pas des identités) et trois autres composés non triviaux, à savoir z.y et y.x et z.(y.x), est évidemment complètement associatif, mais non fortement associatif, puisque le composé (z.y).x n’existe pas ! Remarques. 1) Dans une précatégorie, une expression du genre ∃ x1.x2…xn est valide dès lors qu’une au moins des expressions du genre ∃ dn(x1,x2,..,xn) est valide. 2) Une catégorie est une précatégorie particulière, dans laquelle y.x est défini dès lors que α(y) = β(x), α et β désignant respectivement les applications source et but. 3) Un graphe orienté s’identifie à une précatégorie particulière dans laquelle les seuls composés définis sont les composés triviaux (i.e. du genre β(x).x ou x.α(x)). Définition 0-3. Un prémonoïde est une précatégorie à un seul objet, lequel est identifié à l’élément neutre qu’il définit. Un prémonoïde M est dit commutatif s’il satisfait l’axiome suivant : ∀ x, y ∈ M [ ∃ y.x ⇒ [∃ x.y = y.x] ] Définition 0-4. Un homomorphisme f : C → D entre précatégories est déterminé par la donnée d’une précatégorie « source » C, d’une précatégorie « but » D et d’un foncteur f de C dans D, i.e. d’une application f de C dans D satisfaisant les axiomes suivants : ∀ e ∈ C0 [ f(e) ∈ D0 ] ∀ x,y ∈ C [ ∃ y.x ⇒ [ ∃ f(y).f(x) = f(y.x) ] ] Ces homomorphismes se composent et constituent ainsi la catégorie PréCat des « petites » précatégories. Elle admet la catégorie Cat des « petites » catégories comme sous-catégorie pleine ; elle admet aussi comme sous-catégorie pleine la catégorie Gro des « petits » graphes 4 orientés, étant entendu qu’on identifie un graphe orienté au graphe multiplicatif trivial, dans lequel les seuls composés définis sont du genre : x.α(x) = β(x).x = x. On dispose aussi de la catégorie Gmca des « petits » graphes multiplicatifs complètement associatifs, dont PréCat est une sous-catégorie pleine. Proposition 0-2. Tout graphe multiplicatif complètement associatif C engendre librement une catégorie C’ dans laquelle il se plonge. ► Soit L(C) la catégorie libre des chemins propres du graphe orienté sous-jacent à C ; les éléments de L(C) sont les unités e ∈ C0 et tous les n-uples d’éléments non-unités de C (xn,xn-1,…, x1), n ≥ 1, satisfaisant : ∀ 1 ≤ k < n β(xk) = α(xk+1) , encore appelés chemins propres de C; la source d’un tel chemin est la source de son premier élément x1 et son but est le but de son dernier élément xn : à part les composés triviaux (avec sources et buts) il y a les couples de chemins consécutifs qui se composent naturellement par simple juxtaposition. Dans L(C) on dispose de la relation d ‘équivalence bicompatible engendrée par la relation qui identifie les chemins (xn,xn-1,…, x1) et (y) dès lors que, dans C, on a : ∃ dn(xn, xn-1,..,x1 ) = y ; on vérifie facilement que le quotient C’ = L(C) / ~ est une catégorie et que l’homomorphisme naturel de C dans C’ ( x  (x)mod~ ) est injectif ◄ On peut dire qu’à isomorphisme près, un graphe complètement associatif est un sous-graphe multiplicatif d’une catégorie ; on obtient donc un objet de ce genre à partir d’une catégorie en « enlevant » de celle-ci des flèches et de la composition ; on peut procéder de la manière suivante: soit C une catégorie ; soit G un sous-graphe orienté du graphe orienté C sous-jacent à C ; soit G*G l’ensemble de tous les couples (y,x) d’éléments de G composables dans C et dont le composé y.x est encore dans G ; on constitue alors un graphe multiplicatif complètement associatif G en choisissant pour ensemble G*G un sous-ensemble quelconque de G*G contenant au moins les couples triviaux (i.e. ceux de la forme (x,α(x)) ou (β(x),x)) , étant bien entendu que les valeurs des composés dans G sont celles qui prévalent dans C. En particulier, toute précatégorie engendre librement une catégorie dans laquelle elle se plonge. Engendrements. Soit C une précatégorie et A une partie de C ; on dispose dans A d’une loi de composition partielle induite par celle de C, notée « .A », définie de la manière suivante : ∀ x,y ∈ A [ ∃ y.Ax ⇔ [ ∃ y.x ∈ C ∧ y.x ∈ A ] ] , et on pose alors: y.Ax = y.x . L’objet A = (A, .A ) est un graphe multiplicatif complètement associatif si et seulement si A contient A0 = α(A)∪β(A) , mais en général ce n’est pas une précatégorie. Soit U : PréCat → Ens le foncteur d’oubli naturel qui « oublie » la composition partielle. Soit C une précatégorie et A une partie de C contenant avec tout élément x ses source et but, α(x) et β(x) (A définit donc un sous-graphe orienté de C). Notons A = (A, .A ) le graphe multiplicatif induit par C sur A. 5 Proposition 0-3. A est une sous-précatégorie de C (ou U-sous-structure de C) si et seulement si A est une précatégorie. ► Supposons d’abord que A soit une précatégorie ; l’inclusion A → C définit un foncteur, car on a : ∀ x,y ∈ A [ ∃ y.Ax ⇒ [ ∃ y.x ∈ C ∧ y.x = y.Ax ] ] , par définition de la loi induite « .A » ; de plus, si F : D → C est un foncteur entre précatégories tel que F(D) ⊂ A, alors la restriction de F (au but), soit F’ : D → A est un foncteur : en effet, si z = y.x est défini dans D , alors F(y).F(x) est défini dans C et on a l’égalité : F(y).F(x) = F(z) ; comme F(x), F(y), F(z) sont tous trois éléments de A, on voit que F(y).AF(x) est défini dans A et F’(z) = F’(y).AF’(x) , ce qui prouve que A est bien une Usous-structure de C. Réciproquement, soit A∝ une sous-précatégorie de C relative à U, ayant A pour ensemble d’éléments sous-jacent ; supposons y.x défini dans A∝ ; alors y.x est défini dans C et a même valeur (d’où, avec anticipation, la même notation pour les composés !), car l’inclusion définit un foncteur ; comme le composé est dans A par hypothèse, on en conclut que y.Ax est défini et égal à y.x ; supposons aussi y.Ax défini, pour la loi induite par C sur A ; soit Z la précatégorie constituée des trois éléments x,y et z = y.x , des unités voulues et des couples composables triviaux et (y,x) (avec valeur y.x du composé, bien sûr) ; l’inclusion I de Z dans C détermine un foncteur entre précatégories tel que I(Z) ⊂ A ; comme A∝ est une sousprécatégorie de C , on en conclut que y.x (dans A∝ ) est défini et vaut y.Ax , de sorte que la loi de A∝ n’est autre que la loi induite par C sur A ; comme A∝ est une précatégorie, ceci achève la démonstration. La notation spéciale A∝ devient donc inutile : il suffit de savoir que A est une précatégorie pour affirmer que c’est une sous-précatégorie de C ; toute sous-précatégorie de C est de cette forme ◄ . Définition 0-5. Soit C un graphe multiplicatif et A un sous-graphe multiplicatif de C. On dira que A est multiplicativement plein dans C, s’il satisfait la condition suivante : ∀ x,y ∈ A [ ∃ y.x ∈C ⇒ y.x ∈ A ] Tout sous-graphe multiplicativement plein A d’une précatégorie en est une sous-précatégorie. Bien évidemment, l’inverse n’est pas vrai, en général. Définition 0-6. Soit C un graphe orienté et A une partie de C ; on dit que A est pleine dans C si elle satisfait la condition suivante : ∀ x ∈ C [ x ∈ A ⇔ α(x) , β(x) ∈ A ] Par définition, une partie pleine d’un graphe orienté définit déjà elle-même un graphe orienté. Proposition 0-4. Soit C un graphe orienté (resp. un graphe multiplicatif, un graphe multiplicatif complètement associatif, une précatégorie, une catégorie) et soit A une partie pleine de C. Alors le système multiplicatif A induit par C sur A est lui-même un graphe orienté (resp. un graphe 6 multiplicatif, un graphe multiplicatif complètement associatif, une précatégorie, une catégorie) et c’est dans chaque cas une sous-structure. ► Seul le cas de précatégorie nécessite un peu d’attention : le composé y.Ax est défini dans A si et seulement si y.x est défini dans C ; soient x,y,z ∈ A et supposons z.A(y.Ax) défini ; alors, d’après ce qui vient d’être rappelé, z.(y.x) est défini dans C ; comme C est une précatégorie, (z.y).x est aussi défini dans C (et égal à z.(y.x) !) ; comme A est multiplicativement plein dans C, z.y ∈ A ; alors, et pour la même raison (z.y).x ∈ A aussi ; le composé (z.A.y).Ax est donc bien défini dans A, et évidemment égal à z.A(y.Ax) , puisque les deux sont égaux à z.y.x. Ainsi A est une précatégorie. D’après la proposition 0-3 c’est donc une sous-précatégorie de C ◄ Une sous-précatégorie pleine d’une précatégorie est multiplicativement pleine, mais la réciproque n’est pas vraie. Proposition 0-5. Soit C une précatégorie et A un sous-graphe multiplicatif de C ; il est complètement associatif ; il engendre dans C les sous-structures suivantes, relatives aux foncteurs d’oubli usuels : précatégorie, précatégorie multiplicativement pleine, précatégorie pleine. • Sous-précatégorie engendrée : la sous-précatégorie A/p engendrée par A est construite par récurrence comme suit : posons A1 = A; supposons les Ak définis pour k = 1,2,…,n ; on définit An+1 à partir de An par la formule ci-dessous, dans laquelle *X3 désigne l’ensemble des triplets de flèches consécutives de X (la première étant notée le plus à droite) : An+1 = { t ∈ C  ∃ (z,y,x) ∈ *An3 [[z.y,(z.y).x ∈ An ∧ t = y.x] ∨[y.x,z.(y.x) ∈ An ∧ t = z.y]] } Alors A/p = A1 ∪ A2 ∪ …∪ An ∪…est la plus petite sous-précatégorie de C contenant A. Le plus petit entier n , s’il existe, tel que A/p = A1 ∪ A2 ∪ …∪ An est noté n(A), sinon on pose n(A) = ∞. On notera que dans un prémonoïde commutatif M la formule d’engendrement de A/p à partir de A se simplifie en la suivante : An+1 = { t ∈ M  ∃ (z,y,x) ∈ *An3 [z.y,(z.y).x ∈ An ∧ t = y.x] } ; • Sous-précatégorie multiplicativement pleine engendrée : c’est la structure induite par C sur l’ensemble A*p suivant : A*p = { z ∈ C  ∃ x1, x2,…,xn ∈ A ∧ ∃ [z = xn.xn-1…x1] } ; cette formule a bien un sens puisque, dans une précatégorie, l’associativité portant sur n éléments résulte de celle portant sur 3 éléments (proposition 0-1) (ce qui n’est pas vrai dans un graphe multiplicatif, même complètement associatif) . • Sous-précatégorie pleine engendrée : la sous-précatégorie pleine App engendrée par A est constituée de tous les x ∈ C tels que α(x) et β(x) ∈ A0 . Remarque. On a : A ⊂ A/p ⊂ A*p ⊂ App et ces inclusions sont en général strictes . Voici un exemple. On prend pour précatégorie C le monoïde additif N et pour A le sous-graphe additif (ici l’addition fait office de « multiplication des flèches » !) induit par N sur l’ensemble de nombres suivant : A = 7.B , avec B = {0, 1, 2, 3, 6}, soit A = { 0, 7, 14, 21, 42 }. 7 Il est clair que B/p = B1 = [0,6] et A/p = A1 = 7.B1 = 7.[0,6] = { 0,7, 14, 21, 28, 35, 42}; par contre B*p = 7.N et Bpp = N. Bien sûr, on peut, dans ce type d’exemple, mettre à la place de 7 un nombre quelconque mais > 1. Exemples dans le monoïde (N,+). Dans le monoïde additif N il y a plusieurs problèmes intéressants. Certains sont résolus (depuis longtemps déjà), d’autres non. Citons seulement ceux-ci : (i) On peut déterminer toutes les décompositions additives de N (voir plus loin), c’est-à-dire les familles de parties (Ak)k ∈ K de N telles que N = ⊕k ∈ K Ak , notation suggestive qui signifie, précisons-le, que tout entier n s’écrit de manière unique sous la forme n = Σk ∈ K ak , où ak ∈ Ak. L’ensemble d’indexation K peut être fini ou non, chaque facteur Ak aussi peut être fini ou non (tous les cas possibles a priori se présentent effectivement !). Quelle que soit la décomposition en cause, chaque facteur Ak détermine avec la structure additive induite un sous-prémonoïde Ak de N. Il semble difficile de démontrer qu’un facteur direct A de N définit un sous-prémonoïde additif A de N sans connaître «a priori » sa structure « fine » (liée à l’existence d’une certaine base généralisée de N-voir plus loin) ; cette question reste posée. (ii) Une autre question est de caractériser simplement les sous-prémonoïdes de N, et pas seulement ceux qui sont facteurs directs de N. Parmi ces sous-prémonoïdes, il y a ceux qui sont indécomposables, et que j’ai proposé d’appeler les « nouveaux nombres premiers » , au moins ceux qui sont finis; en effet, les seules « parties-segments » n = [0,n-1] indécomposables sont celles correspondant aux entiers n premiers, et il est assez facile d’indiquer les décompositions additives d’un segment n en fonction de la décomposition de n en facteurs premiers (voir plus loin); par contre, il semble assez difficile de caractériser les « nouveaux nombres premiers » A ; notons quand même qu’une condition suffisante pour que A soit premier est que card(A) soit premier, mais c’est bien peu de chose ! (iii) Il serait intéressant aussi de savoir s’il y a pour les sous-prémonoïdes (finis) de N une propriété généralisant l’unique décomposition en facteurs premiers des entiers (déjà, pour les parties-segments n, la question n’est pas triviale, mais relativement aisée…en tout cas équivalente à la question des décompositions directes générales additives de N). (iv) Pour une partie A de N donnée, il est facile de décrire le sous-monoïde « additivement » plein A*p engendré par A : ses éléments sont toutes les sommes finies d’entiers de la forme n.a, où n ∈ N et a ∈ A et sa structure additive est la structure induite . (v) Bien plus difficile est le problème consistant à caractériser ou à décrire A/p , ou même à calculer n(A) ! Voici quelques résultats (propositions 0-6-1 à 0-6-11) montrant bien ces difficultés, concernant l’ensemble P = {0,1,2,3,5,7,11,13,…,59,…} des nombres premiers, auquel on a ajouté 0 et 1 : Proposition 0-6-1. Si U = { u0 = 0, u1 = 1,…, un ,…} ⊂ N, avec un < un+1 < 2un , alors U/p = N. ► Montrons ce fait par récurrence. Supposons établie l’inclusion [0,un] ⊂ Un ; on sait que l’on a : un+1 < 2un ; soit t un nombre strictement compris entre un et un+1 ; on a un+1 = t + u 8 avec u < un ; mais t = un + v avec v < un aussi ; par l’hypothèse de récurrence, on voit que u et v ∈ Un ; d’autre part un et un+1 ∈ U ⊂ U n ; on a aussi les égalités : un+1 = t + u = (un + v) + u = un + (v + u) , d’où v + u < un , c’est-à-dire que l’élément v + u ∈ Un ; ainsi, un+1 = un + (v + u), u, v, un, u+v ∈ Un , donc t = un + v ∈ Un+1 , par construction même de Un+1 à partir de Un ◄ Corollaire. P/p = N (utilise le fait que pn+1 < 2pn , où pn désigne le nème nombre premier). Soit J = {n ∈ N  n-1 , n+1 ∈ P\{0}} ; si n ∈ J, alors n-1 et n+1 sont tous deux premiers ; on dit que ce sont des entiers premiers jumeaux ; pour cette raison nous dirons d’un élément de J que c’est un jumeleur. On ne sait pas si l’ensemble J est fini ou non. Par contre, on sait que la somme Σ n ∈ J 1/n est finie ; J = { 2, 4, 6, 12 , 18, 30, 42, 60, …} ; soit n ∈ J : si n > 4, alors n = 0 modulo 6 , de même, si n > 6, alors n = 0, 12 ou 18 modulo 30, etc… Proposition 0-6-2. P1 = P ∪J . ► Montrons alors que P1 = P ∪ J. Rappelons que l’on a : P1 = { n ∈ N  ∃ a,b,c ∈ P  a+b , a+b+c ∈ P ∧ n = b+c } ; Pour plus de concision et de clarté, nous écrirons parfois : n ∈ P1 [[a,b,c]] pour signifier que a,b,c,a+b,a+b+c ∈ P et n = b+c (et en conséquence n ∈ P1). D’abord, P⊂ P1, car si n ∈ P, on voit que n ∈ P1 [[0,n,0]]. Ensuite, J⊂ P1 car si n-1 et n+1 ∈ P\{0} (i.e. n ∈ J), on voit que n ∈ P1 [[1,1,n-1]]. Reste à voir que P1 ⊂ P∪J ; supposons donc que n ∈ P1 [[a,b,c]] et n ∉P ; on a déjà : n ≥ 4 et si n = 4, alors n ∈ J . Supposons donc n > 4 . Si n était impair, n+a = a+b+c serait premier et > 4, donc impair, et a serait pair donc a = 0 ou a = 2 ; 0 est exclu puisque n ∉P ; donc a = 2 et 2+b ∈ P ; comme b ≠ 0 (sinon n = c ∈ P !) , b+2 est impair, donc b aussi et c serait pair (et non = 0 !), i.e. c = 2 aussi ; mais alors n = 2+b serait élément de P, contrairement à l’hypothèse. Ainsi, n est nécessairement pair ; mais n+a ∈ P donc a est impair, tout comme b et c ( b = c = 2 est à écarter puisque n > 4 ; b = 2 ou (exclusif) c = 2 est aussi à écarter puisque n est pair) ; alors a+b ∈ P est pair, i.e. a+b = 2, d’où a = b = 1 et a+b+c = n+1 ∈ P, puis n = c+1, c = n-1 ∈ P et finalement n ∈ J. ◄ Proposition 0-6-3. P2 ≠ N , les inclusions P1⊂ P2 ⊂ N sont strictes donc n(P) ≥ 3; inf{N \ P2} = 93. ► Rappelons que l’on a : P2 = { n ∈ N  ∃ a,b,c ∈ P1  a+b , a+b+c ∈ P1 ∧ n = b+c } ; d’abord, on a l’inclusion P1 ⊂ P2 car si n ∈ P1, alors n ∈ P2 [[0,n,0]] ; remarquons que cet argument est général : dès lors que 0 ∈ An , alors An ⊂ An+1. L’inclusion P1 ⊂ P2 est stricte ; par exemple, 8 ∉ P1 mais 8 ∈ P2 [[4,1,7]] ; il y a dans P2 des nombres impairs non premiers, par exemple :15 ∈ P2 [[2,11,4]] ; en fait , on peut vérifier que tous les nombres jusqu’à 92 inclus sont dans P2 (voir ci-dessous) . 9 Par contre 93 ∉ P2 ; supposons le contraire, à savoir que l’on a : 93 ∈ P2 [[a,b,c]] ; si a+b+c était pair, a serait premier impair et a+b+c = 0 (6), alors a = 3 (6) et donc a = 3 : c’est impossible car 96 ∉ J, puisque 95 n’est pas premier ; resterait la possibilité pour a+b+c d’être impair ; alors a serait pair ; a = 2 est impossible, toujours parce que 95 n’est pas premier ; a > 4 entraînerait : a = 0 (6) et donc a+b+c = 3 (6), soit a+b+c = 3, puisque ce nombre doit être premier, ce qui ne va pas avec a+b+c > 97 ! Il reste à examiner le cas où a serait égal à 4 ; 97 est bien premier ; b ne peut pas être pair ; en effet, a+b serait pair et élément de J , strictement supérieur à 4, donc on aurait : a+b = 0(6), d’où b = 2 (6), d’où b = 2, mais 91 = 93-2 n’est pas premier ; reste que b pourrait a priori être impair et c serait alors pair ; c = 2 ne convient pas, car 91 n’est pas premier ; c > 4 ne convient pas non plus, car alors b+c = 3 (6), donc b = 3 (6), soit b = 3, mais 90 ∉ J , car 91 n’est pas premier ; enfin, si c = 4, on a : a+b = 93, qui n’est pas premier ! ◄ Voici pourquoi on a : [0,92] ⊂ P2 ; tenant compte de ce que n ∈ P2 [[a,b,c]] entraîne aussi que m ∈ P2 [[b,a,c]], on regroupe, quand le cas se présente, les deux nombres « produits » par un triplet [[a,b,c]] ; il suffit d’indiquer ces triplets pour les nombres suivants, qui ne sont ni premiers, ni jumeleurs, jusqu’à 92 inclus ; d’abord les nombres pairs : 8, 10, 14, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 62, 64, 66, 68, 70, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92 ; pour simplifier encore la présentation, nous indiquons le triplet « a,b,c » puis le ou les deux nombres qu’il « engendre » dans P2 : 1, 3, 7  8, 10 1, 5, 31  32, 36 5, 7, 59  64 1, 3, 13  14, 16 1, 5, 47  48, 52 5, 7, 71  76 1, 3, 19  20, 22 1, 5, 53  54, 58 5, 13, 43  56 1, 3, 37  38, 40 1, 5, 61  62, 66 5, 13, 79  92 1, 3, 43  44, 46 1, 5, 73  74, 78 7, 11, 43  50 1, 3, 67  68, 70 1, 5, 83  84, 88 7, 11, 79  86 1, 3, 79  80, 82 5, 7, 19  26 7, 11, 83  90 1, 5, 23  24, 28 5, 7, 29  34 Ensuite, les nombres impairs : 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91 ; 2, 2, 7  9 2, 2, 67  69 2, 4, 53  55, 57 2, 2, 13  15 2, 2, 79  81 2, 4, 61  63, 65 2, 2, 19  21 2, 4, 23  25, 27 2, 4, 73  75, 77 2, 2, 37  39 2, 4, 31  33, 35 2, 4, 83  85, 87 2, 2, 43  45 2, 4, 47  49, 51 6, 12, 79  91 10 Posons P[2k] = { pn ∈ P  pn+1 = pn +2k } et J2k = U ] p n , p n +1 [ . p n ∈P[ 2k ] J2 = J = {2,4,6,12,18,30,42,60,72,…} J4 = {8,9,10,14,15,16,20,21,22,38,39,40,68,69,70,80,81,82,…} J6 = {24,25,26,27,28,32,33,34,35,36,48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,62,63,64,65,66,…} J8 = {90,91,92,93,94,95,96,360,361,362,363,364,365,366,390,391,392,393,394,395,396,…} … On voit que N = (P \ {2}) ∪ J2 ∪ J4 ∪…∪ J2k ∪… et que cette réunion est disjointe; l’ensemble des k tels que J2k ≠ ∅ est infini ; on ne sait pas s’il existe des entiers k tels que J2k soit fini ou éventuellement vide ! On ne connaît pas d’entier k pour lequel on puisse affirmer que J2k est infini. Ces questions généralisent en quelque sorte la conjecture dite des entiers premiers jumeaux, qui prétend que J = J2 serait infini ! Proposition 0-6-4. J4 ⊂ P2 et J6 ⊂ P2 ; pour tout p ∈ P[12] les entiers p+1, p+5, p+6, p+7, p+11 sont éléments de P2 \ P1. ► Montrons que l’on a J4 ⊂ P2 : soit pn un nombre premier tel que pn+1 – pn = 4 ; alors, on trouve : pn+1, pn+3 ∈ P2 [[1,3,pn]] et encore pn+2 ∈ P2 [[ 2,2,pn]]. Montrons ensuite que l’on a J6 ⊂ P2 : soit pn un nombre premier tel que pn+1 – pn = 6; alors, on dispose des éléments: pn+1, pn+5∈ P2 [[1,5,pn]] ; et pn+2, pn+4 ∈ P2 [[2,4,pn]] et pn+3 ∈ P2 [[ 3,3,pn]] Examinons le cas de J12 ; comme on peut écrire 12 = 1+11, 12 = 5+7 , 12 = 6+6, on voit que, pour tout entier premier pn tel que pn+1 – pn = 12, les entiers suivants sont dans P2 (et aucun n’est dans P1) : pn+1, pn+5, pn+6, pn+7, pn+11. ◄ Comme on ne sait pas si J4 , J6 ou J12 est infini, on ne sait toujours pas si P2\ P1 est infini ! Indiquons cependant cette petite proposition qui n’est pas très rassurante quant à la question de l’infinitude de P2\ P1. Proposition 0-6-5. S’il existe une infinité d’entiers jumeleurs 2k tels que J2k ne soit pas vide, ou s’il existe un entier jumeleur 2m > 2 tel que J2m soit infini, alors P2 \ P1 est infini. Comme on ne sait pas si J4 , J6 ou J12 est infini, on ne sait toujours pas si P2 \ P1 est infini… ► En effet, soit pn un entier premier tel que pn+1 – pn = 2k soit un jumeleur > 2 ; alors on dispose des éléments suivants de P2\P1 : pn+1 , pn+(2k-1) ∈ P2 [[1,2k-1,pn]] ; on peut même indiquer que pour toute décomposition de 2k en somme de deux entiers q et q’, tous deux premiers ou tous deux jumeleurs, alors pn+q , pn+q’ ∈ P2\P1 ; quoiqu’il en soit, la première des hypothèses et le fait que les J2k sont disjoints, ou la deuxième hypothèse entraînent bien que l’ensemble P2\P1 est infini ◄ Nous allons établir quelques propositions générales montrant que des nombres de forme particulière ne sont pas dans P2 , ou au contraire sont dans P2 ; on en conclura facilement que N\P2 est infini, mais on ne pourra toujours pas se prononcer sur P2\P1 . La question de savoir si P1\P est infini équivaut à la conjecture des jumeaux. Les arguments utilisés maintenant sont du même genre que ceux mis en œuvre pour établir que 93 ∉ P2. 11 Proposition 0-6-6. Pour que 6l+3∉P2 il faut et il suffit que l’un de ses voisinages immédiats au moins soit constitué de nombres non premiers. Les voisinages immédiats sont : gauche (6l-1, 6l+1) milieu (6l+1, 6l+5) droit (6l+5, 6l+7) Le résultat résultera en gros des 3 critères suivants : g (gauche), d(droit), m (milieu). Critère (g) Soit l un entier > 0 ; si les entiers 6l-1 et 6l+1 ne sont pas premiers, alors 6l+3 ∉ P2. ► D’abord 6l+3 ∉ P, car l > 0, et 6l+3 ∉ J car impair, donc 6l+3 ∉ P1. Supposons donc 6l+3 ∈ P2 ; il est au moins somme de deux nombres non nuls (car 6l+3 ∉ P1) de P1 ; l’un , a, est pair et appartient à J, et l’autre , p , est impair et premier ; 6l+3 = a+p ; a = 2 est exclu car 6l+1 ∉ P, a = 4 est exclu car 6l-1 ∉ P ; resterait le cas où a > 4 ; mais alors, le calcul modulo 6 donne ceci : a = 0 (6), donc p = 3 (6) , donc p = 3 et du coup a = 6l ∈ J, mais ceci n’est pas possible puisque 6l-1 et 6l+1 ne sont pas premiers ◄ Exemples. 123 ∉ P2 car 119 = 7.17 et 121 = 11.11 ; c’est la première fois que le critère (g) s’applique ; le critère ne s’applique pas à 93, car 89 est premier ; voici les nombres (jusqu’à 1000) auxquels le critère (g) s’applique : 123, 147, 207, 219, 249, 291, 303, 327, 345, 417, 429, 477, 519, 531, 537, 555, 585, 627, 639, 669, 699, 717, 795, 807, 819, 837, 849, 873, 897, 903, 927, 963, (1005 …) Critère (d) Soit l un entier > 0 ; si les entiers 6l+5 , 6l+7 ne sont pas premiers, alors 6l+3 ∉ P2. ► Raisonnons par l’absurde et supposons que 6l+3 ∈ P2 ; dans ce cas, il existe a, élément de J et p, premier impair, tels que 6l+3 = a+p, et il existe x ∈ P1 tel que x+y et x+a+p ∈ P1, où y = a ou p . Supposons d’abord que x+a+p soit pair, et donc élément de J congru à 0 modulo 6 (car il est plus grand que 6 !) ; alors x = 3 (6) et comme x ∈ P1, x = 3, mais alors x+a+p = 6l+6 ∈ J, ce qui exige que 6l+5 et 6l+7 soient premiers, ce qui n’est pas. Supposons alors que x+a+p soit impair, et donc premier puisqu’il doit être élément de P1 ; alors x serait pair, mais x = 2 est exclu car 6l+5 n’est pas premier, x = 4 est exclu car 6l+7 n’est pas premier, et x > 4 est impossible, car autrement on aurait : x+a+p = 3 (6) et donc x+a+p = 3 qui est un nombre premier. Contradiction ◄ Remarques. 1) Avec la seule hypothèse 6l+7 non premier, mais 6l+5 premier, le raisonnement précédent reste bon, sauf dans un cas : x+a+p premier et x = 2 (alors x+a+p = 2+6l+3 = 6l+5 est premier). Dans ce cas, si y = a, comme a est pair, 2+a ∈ J et donc a = 2 ou 4: si a = 2, alors 6l+3 ∈ P2 [[2,2, 6l+1]] , pour peu qu’on ait 6l+1 ∈ P ; si a = 4, alors 6l+3 ∈ P2 [[2,4, 6l-1]] , pour peu qu’on ait 6l-1 ∈ P ; 12 Et si y = p, il convient que p+2 et 2+a+p = 6l+5 soient premiers ; p et p+2 doivent être des entiers premiers jumeaux ; on peut préciser que p = 5 (6) ; alors a+p = 3 (6) d’où a = 4 (6), soit a = 4, et p = 6l-1 ; dans ce cas, on a : 6l+3 ∈ P2 [[2, 6l-1, 4]]. 2) Avec la seule hypothèse 6l+5 non premier, mais 6l+7 premier, le raisonnement précédent reste bon, sauf dans le cas x+a+p premier et x = 4 (alors x+a+p = 4+6l+3 = 6l+7 est premier). Dans ce cas, si y = a, comme a est pair 4+a ∈ J, d’où a = 2 (6) d’où a = 2 ; ce cas est possible a priori à condition que p = 6l+3-2 = 6l+1 soit premier ; on peut conclure, dans ce cas : 6l+3 ∈ P2 [[4, 2, 6l+1]] . Et si y = p , il convient que 4+p et 4+a+p = 6l+7 soient premiers : si a = 2 , alors 6l+3 ∈ P2 [[4,2, p]] , pour peu qu’on ait 6l+1 ∈ P ; si a > 4, alors p = 3 et donc a = 6l ; 6l+3 ∈ P2 [[4 ,3, 6l]] , pour peu que 6l-1 et 6l+1 ∈ P ; le cas a = 4 est exclu, car sinon p = 6l-1 et 4+p = 3 (6), soit encore 4+p = 3 ! Exemples. La première fois que le critère (d) s’applique, mais ni (g) ni (m) (voir plus loin) c’est avec le nombre 213 ; en effet : 209 = 11.19 ∉ P , 211 ∈ P, 215 = 5.43 et 217 = 7.31 ∉ P; le critère (g) s’applique à 219 ; la 2ème fois que (d) s’applique, c’est pour 339 : 339 ∉ P2 car 335 ∉ P , 337 ∈ P, 341 = 11.31 et 343 = 7.7.7 ∉ P; la 3ème fois que le critère (d) s’applique, c’est pour le nombre 549, etc… Une question se pose ici : est-ce que (d) s’applique une infinité de fois sachant que la séquence (6l-1, 6l+1, 6l+5, 6l+7) est du type (∉ P, ∈ P, ∉ P, ∉ P) ? On peut supposer que la réponse est positive, et pas trop difficile à établir. Une autre question, certainement plus difficile, est de savoir si les séquences (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) du type (∈P, ∈P ; ∉P, ∈P) ou (∉P, ∈P ; ∉P, ∈P) sont en nombre fini ou non. Cette question est en rapport avec la finitude ou non des ensembles J2 , J4 et J6, mais le rapport n’est pas très clair. On voit apparaître une « règle » selon la nature de la séquence (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) ; on peut résumer les deux critères précédents par le petit tableau suivant, dans lequel p (resp. n) est un abrégé de « premier » (resp. « non premier ») et ∗ signifie « primarité indifférente », donc « premier ou non premier » : critère g d 6l-1 n ∗ 6l+1 n ∗ 6l+5 ∗ n 6l+7 ∗ n conséquence ⇒ 6l+3 ∉ P2 ⇒ 6l+3 ∉ P2 Cela donne la réponse dans 7 cas sur 16 a priori : en effet chaque ligne correspond à 4 cas, mais la distribution (n, n ; n, n) est commune. Les remarques suivant le Critère (d) répondent à 5 nouveaux cas, à savoir : (∗, p ; p , n) , (p, ∗ ; p , n), ce qui en fait 3 et aussi (∗, p ; n, p), ce qui en fait encore 2. Venons-en alors au critère (m) Critère (m) Soit l un entier > 0 ; si les entiers 6l+1 et 6l+5 ne sont pas premiers, alors 6l+3 ∉ P2. ► On peut le prendre comme complément du critère (g) : en effet, si 6l-1 aussi est non premier, le résultat découle de (g) et l’hypothèse selon laquelle 6l+5 n’est pas premier est inutile ; par contre cette dernière hypothèse s’avère utile dans le cas où 6l-1 est premier, ce 13 que nous supposons donc. Reprenons les notations introduites dans la démonstration du critère (g). Soit donc 6l+3 = a+p, avec a ∈ J et p premier impair ; il n’est pas possible d’avoir a = 2 car 6l+1 n’est pas premier ; si on avait a > 4, on aurait a = 0 (6) et p = 3 (6), d’où p = 3 et dans ce cas : a = 6l, mais 6l+1 n’étant pas premier, a ne saurait être élément de J ; reste alors le cas a = 4, avec 6l-1 = p. Intervient alors l’autre condition pour que 6l+3 puisse être dans P2 : ∃ x ∈ N [ x, x+y, x+6l+3 ∈ P1 ] , formule dans laquelle y est 6l-1 ou 4 ; Cas y = 6l-1, x impair. L’entier x+y est pair et ≥ 6, donc x+y = 0, (6) d’où x = 1 (6), puis x+6l+3 = 4 (6), ce qui est incompatible avec le fait que x+6l+3 ∈ J, avec l > 0. Cas y = 6l-1, x pair. L’égalité x = 2 est exclue car 6l+1 n’est pas premier ; l’égalité x = 4 est exclue car 6l+3 n’est pas premier (l > 0) ; resterait x > 4, donc x = 0 (6), qui entraîne la congruence x+6l+3 = 3 (6) incompatible avec x+6l+3 ∈ P et l > 0. Cas y = 4, x pair. Alors x+y est pair et > 4, donc x+y = 0 (6), d’où x = 2 (6), soit x = 2 puisque x ∈ J, et il est nécessaire que 6l+5 soit premier pour que 6l+3 soit dans P2. Cas y = 4, x impair. Dans ce cas, x+6l+3 est pair et > 6 donc x+6l+3 = 0 (6) et x = 3 ; alors x+y = 7 est bien premier, mais il faut que 6l+6 soit élément de J ; donc ce cas n’est possible que si 6l+5 et 6l+7 sont tous deux premiers, ce qui n’est pas ◄ Le schéma correspondant à ce critère est le suivant : critère m 6l-1 ∗ 6l+1 n 6l+5 n 6l+7 ∗ conséquence ⇒ 6l+3 ∉ P2 Il correspond à 4 distributions de primarité de la séquence (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) , mais seule la distribution (p, n ; n , p) ressort de (m) et non de (g) ou (d) ; notons à ce sujet que lorsque (g) s’applique à 6l+3, (d) s’applique à 6(l-1)+3 = 6l-3 aussi, et lorsque (d) s’applique à 6l+3, (g) s’applique à 6(l+1)+3 = 6l+9 aussi. On dispose maintenant de 13 « cas de figure » sur 16 . ► Reste à examiner les trois cas suivants : (p, p ; p, p) , (n , p ; p, p) et (p, n ; p, p) concernant la primarité de la séquence (6l-1, 6l+1, 6l+5, 6l+7) . La réponse aux deux premiers consiste à reprendre ce qui a déjà été remarqué : 6l+3 ∈ P2 [[2,2, 6l+1]], et la réponse au troisième consiste à noter encore : 6l+3 ∈ P2 [[2,4, 6l-1]]. On aura remarqué que l’appartenance de 6l+3 à P2 correspond à l’une des distributions suivantes : (∗, p ; p, ∗), (p, ∗ ; p, ∗), (∗, p ; ∗, p) qui sont au nombre de 8 ◄ En résumé, on a pu répondre dans tous les cas de figure à la question de savoir si 6l+3 ∈ P2 ou non, en analysant la primarité de la séquence (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) . Peut-on en déduire un critère d’appartenance ou non appartenance à P2 de tous les entiers impairs ? La réponse n’est pas simple, car il reste à étudier tous les nombres non premiers de la forme 6l+1 ou 6l+5. En tout état de cause, on dispose d’un test précis pour la suite des entiers 6l+3, qu’on redonne sous forme du tableau récapitulatif suivant : 14 (n, n ; ∗, ∗) (p, n ; n, ∗) (∗, p ; n, n) ⇔ ∉ (∗ , p ; p, ∗ ) (p, n ; p, ∗) (∗, p ; n, p) ⇔ ∈ Ce tableau symbolise en un seul critère les trois critères (g), (d) et (m) . En appelant voisinages immédiats de 6l+3 dans la suite des nombres impairs les trois couples suivants: (6l-1, 6l+1), voisinage gauche de 6l+3, (6l+1, 6l+5), voisinage du milieu de 6l+3, (6l+5, 6l+7), voisinage droite de 6l+3, on obtient exactement l’énoncé de la proposition 0-6-6. Chaque combinaison de primarité de la séquence (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) se présente-t-elle effectivement ? Voici le décompte jusqu’à 1000 : chaque séquence possible de primarité est suivie des nombres de la forme 6l+3 tels que la séquence (6l-1, 6l+1 ; 6l+5, 6l+7) présente cette disposition de primarité ; à la fin de la ligne, en gras, le nombre de tels nombres ; les 8 premières lignes correspondent à «∈ P2 » et les 8 suivantes à « ∉ P2 » . Les huit dispositions correspondant à « ∈ P2 » 9, 15, 105, 195, 825,…5 (p, p ; p, p) (p, p ; p, n) 21, 45, 111, 231, 315, 351, 465, 645, 861, 885,…10 (p, p ; n, p) 33, 63, 75, 153, 273, 435, 573, 603,…8 (p, n ; p, p) 27, 57, 135, 177, 237, 267, 567, 597, 657,…9 (p, n ; p, n) 51,87,171,255,261,357,387,447,507, 561, 591,651, 681, 945, 951, 975, 981,...17 (n, p ; p, p) 39, 69, 99, 225, 279, 309, 459, 615, 855, 879,…10 (n, p ; p, n) 81, 129, 165, 381, 399, 441, 489, 501, 675, 741, 759, 771, 909, 939, 969,...15 (n, p ; n, p) 159, 333, 369, 375, 543, 609, 729, 735, 753, 993,…10 Les huit dispositions correspondant à « ∉ P2 » (n, p ; n, n) 213, 339, 411, 549, 579, 633, 693, 711, 789, 921, 999,…11 (n, n ; p, p) 147, 189, 345, 417, 429, 519, 639, 807, 819,…9 (n, n ; p, n) 249, 291, 477, 555, 585, 699, 717, 795, 837, 927,…10 (n, n ; n, p) 123, 207, 219, 303, 327, 537, 627, 669, 783, 849, 873, 903, 963,…13 (1005) (n, n ; n, n) 531, 897,...2 (p, p ; n, n) 141, 183, 201, 243, 285, 423, 525, 621, 663, 813, 831,…11 (p, n ; n, p) 93, 363, 393, 405, 453, 483, 495, 687, 705, 723, 747, 765, 915, 933, 987,…15 (p, n ; n, n) 117, 297, 321, 471, 513, 777, 801, 843, 867, 891, 957,…11 Au total, il y a donc 166 (~ 1000/6) nombres, plus petits que 1000, concernés par la proposition 0-6-6 : 84 d’entre eux sont dans P2 et 82 n’y sont pas ; voici une petite étude statistique de la répartition entre les « ∈ » et les « ∉ », par tranches de 100 ; les « ∈ » l’emportent nettement au début, on atteint quasiment l’égalité aux environs de 1000, et après les « ∉ » l’emportent : 15 < 100 : 15 ∈ / 1 ∉ < 200 : 25 ∈ / 7 ∉ < 300 : 33 ∈ / 16 ∉ < 400 : 43 ∈ / 23 ∉ < 500 : 49 ∈ / 33 ∉ < 600 : 57 ∈ / 42 ∉ < 700 : 65 ∈ / 51 ∉ < 800 : 71 ∈ / 61 ∉ < 900 : 76 ∈ / 73 ∉ <1000 : 84 ∈ / 82 ∉ On ne sait toujours pas si P2\P1 est infini ! La plus longue suite de nombres « consécutifs » de la forme 6l+3 qui ne sont pas dans P2, et qui apparaît avant 10000 a 12 éléments ; c’est la suivante : 7941, 7947, 7953, 7959, 7965, 7971, 7977, 7983, 7989, 7995, 8001, 8007, elle fait intervenir 7 des 8 séquences de primarité liées à la non appartenance à P2 ; seule la disposition (p, n ; n, p) n’y figure pas. Notons que cette disposition correspond à J8 : précisément, il y a bijection naturelle entre les séquences de type (p, n ; n, p) et les entiers premiers pn tels que pn+1 = pn+8. On ne sait pas si J8 est fini ou non. On peut constater par contre que ce cas semble de plus en plus rare quand n augmente…alors qu’il est deuxième ex aequo sur 16, jusqu’à 1000 (voir ci-dessus et ci-dessous)! Il est intéressant de classer ces séquences en fonction de l’apparition de 0, 1, 2, 3, ou 4 fois le symbole p dedans. Voici le résultat brut : Ensemble des séquences de type ** ** 6l+3 ∉ ou ∈ P2 < 104 < 105 < 106 < 3.106 < 107 Z nn nn ∉ 223 3860 53271 178649 656431 U1 U2 U3 U4 pn nn np nn nn pn nn np ∉ ∉ ∉ ∉ 155 161 161 163 1835 1864 1865 1824 18684 18868 18800 18790 55255 55496 55441 55420 180907 181022 180931 181021 D12 D14 D34 D13 D23 D24 pp nn pn np nn pp pn pn np pn np np ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ ∈ 105 101 96 106 102 99 740 773 750 751 746 741 5515 5569 5477 5598 5472 5445 14717 14687 14606 14661 14565 14360 42709 42352 42685 42529 42300 42115 T1 T2 T3 T4 np pp pn pp pp np pp pn ∈ ∈ ∈ ∈ 45 50 44 43 210 224 224 221 1278 1246 1266 1227 2987 2940 2941 2876 7778 7616 7727 7644 Q pp pp ∈ 12 38 166 397 899 16 La notation des ensembles de séquences est claire : la première lettre de zéro, un, deux, trois, quatre selon le nombre de l’occurrence « p » dans le type de la séquence, et éventuellement, l’indice précise les places de p (pour U et D) ou de n (pour T). On désigne par Di la réunion portant sur j ≠ i des Di j ou Dj i (il y a 3 tels ensembles). Le théorème de Dirichlet, appliqué aux classes modulo 6, montre entre autres choses qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6k + 1 et une infinité de nombres premiers de la forme 6k – 1 ; ceci permet de dire que les quatre ensembles suivants : E-1 = U1 ∪ D1 ∪ (T\ T1) ∪ Q E 1 = U2 ∪ D2 ∪ (T\ T2) ∪ Q E 5 = U3 ∪ D3 ∪ (T\ T3) ∪ Q E 7 = U4 ∪ D4 ∪ (T\ T4) ∪ Q sont infinis. Ce n’est pas très fameux! Le raisonnement « plus simpliste » qui se base sur l’existence de tranches sans nombres premiers aussi larges et aussi loin que l’on veut permet de dire que les deux ensembles suivants : Fg = U1∪U2 ∪D12 Fd = U3∪U4 ∪D34 sont aussi infinis. Donnons encore la statistique globale jusqu’à 10000000 : <10000 : 501 ∈ <100000 : 3155 ∈ <1000000 : 21692 ∈ <10000000 : 158608 ∈ / 1165 ∉ / 13511 ∉ / 144974 ∉ / 1508058 ∉ Proposition 0-6-7. N \ P2 est infini. ► Au stade où nous en sommes, il y a bien des manières d’établir ce résultat, toutes basées sur le fait qu’il existe des tranches d’entiers consécutifs non premiers aussi grandes que l’on veut, et donc en quantité infinie (cf. les ensembles Z, Fg ou Fd)◄ Proposition 0-6-8. Soient pn et pn+1 deux nombres premiers consécutifs et 2k = pn+1 - pn Supposons 2k ≥ 10 et 2k = 1 (resp.2) mod. 3 et soit 2h un entier pair tel que 4 < 2h < 2k et 2h = 2 (resp.1) mod. 3 ; alors on a : pn+2h ∉ P2 ► D’abord, pn+2h ∉ P car on a : pn < pn+2h < pn+1 , et pn+2h ∉ J, car c’est un nombre impair ; donc pn+2h ∉ P1. Supposons alors que pn+2h ∈ P2 ; on peut écrire pn+2h = a+p avec a ∈ J et p premier impair ; a = 2 (resp a = 4) n’est pas possible car pn+2h-2 (resp. pn+2h-4 ) n’est pas premier : pn < pn+2h-4 < pn+2h-2 < pn+2h < pn+2k = pn+1 ; donc a = 0 (6) ; alors on a : pn+2h = p (3) ; d’autre part, pn+1 = pn+2k = p-2h+2k (3). Supposons 2k = 1 (3) et 2h = 2 (3) ; alors, pn = 2 (3) est impossible car on aurait pn+1 = 0 (3) et donc pn+1 = 3, ce qui est absurde ; donc pn = 1 (3), mais alors p = pn+2h = 1+2 = 0 (3), p = 3. Supposons 2k = 2 (3) et 2h = 1 (3); alors, pn = 1 (3) est impossible car on aurait pn+1 = 0 (3) 17 et donc pn+1 = 3, ce qui est absurde; donc pn = 2 (3), mais alors p = pn+2h = 2+1 = 0 (3), et donc encore p = 3 . Dans les deux cas, on trouve donc : a = pn+2h – p = pn+2h – 3, ce qui n’est pas possible car pn+2h – 2 ∉ P (et pn+2h – 4 non plus !) ◄ Exemple: pour tout n, si pn+1 = pn + 10 alors pn +8 ∉ P2. Mais on ne sait pas si J10 est infini, et donc si ce critère s’applique une infinité de fois ou non. Remarques. 1) La première fois que cette proposition (avec 10) s’applique, c’est pour pn = 139 car on a : pn+1 = 149 ; on peut conclure que 147 ∉ P2. Ce critère doit être vu comme un cas particulier du critère (g). Voici pourquoi : l’égalité pn = 1 (3) entraîne que pn+8 = 3 (6) ; en effet, pn est impair, et donc pn = 1 (6) et pn+8 = 3 (6) est de la forme 6l+3 ; dans ce cas, 6l-1 = pn+4 et 6l+1 = pn+6 n’étant pas premiers,…le critère (g) s’applique. 2) Les proposition 0-6-8 et 0-6-6 sont presque équivalentes. Proposition 0-6-9. Soit r un entier > 0 ; soit (s,t) l’un des trois couples d’entiers suivants : (6r-1, 6r+1), (6r+1, 6r+5), (6r+5, 6r+7); soit encore α (resp. β ) un diviseur > 1 de s (resp. de t) ; alors la progression arithmétique {6αβ.l+6r+3, l > 0} est entièrement contenue dans N \ P2 ; de plus, si α et β sont des diviseurs propres de s et t respectivement, la progression arithmétique {6αβ.l+6r+3, l ≥ 0} est entièrement contenue dans N \ P2 . ► On examine des raisons suffisantes pour que 6(k+r)+3 ∉ P2 ; on sait déjà, d’après ce qui précède, qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi est que l’un des trois couples suivants au moins soit formé de nombres décomposables : ( 6(k+r)-1, 6(k+r)+1 ) , ( 6(k+r)+1, 6(k+r)+5 ) , ( 6(k+r)+5, 6(k+r)+7 ) ; ces couples sont tout trois de la forme (6k+s, 6k+t), encore notée 6k + (s, t), les trois valeurs de (s, t) étant respectivement (6r-1, 6r+1), (6r+1, 6r+5), (6r+5, 6r+7); soit α un diviseur (autre que 1) de s et β un diviseur (autre que 1) de t ; une condition suffisante pour que 6k+s et 6k+t soient deux nombres décomposables est que k soit un multiple du produit αβ ; en effet, si l’on a k = αβ.l, comme s = α.α’ et t = β.β’, on dispose des égalités suivantes: 6k+s = α(6β.l+α’) et 6k+t = β(6α.l+β’) qui fournissent pour tout l > 0 des décompositions non triviales des deux nombres 6k+s et 6k+t, et ceci entraîne donc que 6(k+r)+3 ∉ P2 ; la proposition en découle aussitôt ◄ Exemples. En choisissant pour (α,β) l’un des couples (s,t) lui-même, on obtient ceci : pour tout r > 0 , les progressions arithmétiques suivantes sont dans N \ P2 : { 6(36r2-1).l + 6r+3 ; 6(36r2+36r+5).l + 6r+3 ; 6(36r2+72r+35).l + 6r+3 ; Avec r = 1, on trouve : ∀ l > 0, 210.l + 9 , 462.l + 9 , 858.l + 9 ∉ P2. Avec r = 0, on trouve : ∀ l > 0, 210.l + 3 ∉ P2. l > 0} 18 Venons-en à P3 , avec une proposition originale qui relie l’engendrement de N à partir de P et la conjecture des entiers premiers jumeaux. Soit P(J) l’ensemble de tous les nombres premiers p tels qu’il existe un jumeleur j (élément de J) pour lequel p’ = p + j soit encore premier. Même si J est fini, rien n’indique que P(J) le soit aussi. Proposition 0-6-10. Si l’ensemble P(J) est fini alors N\P3 est infini. ► Soit s = sup(P(J)) et t = sup(J) ; soit j ∈ J ; j-1 et j+1 sont premiers et 2 = (j+1) - (j-1) est un jumeleur, donc j -1 ∈ P(J) ; en particulier, t - 1 ∈ P(J) ; on a donc : t - 1 ≤ s et l’égalité a lieu si et seulement si s+1 ∈ J. Soit n ∈ P2 avec n > 2s +1 ; si n est dans P1 , comme n > t = sup(J), alors n est premier ; s’il n’est pas dans P1 il est d’une des formes suivantes a priori : * soit somme de deux entiers premiers impairs n = p+q et ∃ x [ x, p, q, q+x, p+q+x ∈ P1] ; comme q+x et p+q+x sont de parités différentes, l’un des deux est pair et donc élément de J ; ce ne peut pas être p+q+x, puisque p+q+x = n+x > s+1+x > t ; c’est donc q+x qui est pair et de ce fait q+x ∈ J ; alors x est lui-même impair, et q et x sont donc deux nombres premiers dont la somme est un jumeleur; alors la différence (p+q+x) - p est un jumeleur et p ∈ P(J); ainsi n = p+q ≤ s+t ≤ 2s +1 ; ceci est impossible car n > 2s +1 ; * soit somme d’un entier premier impair p et d’un j∈ J et ∃ x [ x, p, j, j+x, p+j+x ∈ P1] ou bien ∃ x [ x, p, j, p+x, p+j+x ∈ P1] ; comme p+j+x = n + x > 2s+1> t est élément de P1, c’est un premier impair ; si l’on est dans le premier cas, j+x qui est pair est élément de J, tout comme j et j+x ; comme (p+j+x) - p ∈ J, on a : p ∈ P(J) et n = p+j ≤ s + t ≤ 2s+1 ; ceci est impossible car n > 2s+1 ; si l’on est dans le deuxième cas, p+x est impair aussi, donc x est pair, élément de J, et p+x tout comme p+j+x sont des nombres premiers ; ainsi p+x ∈ P(J); alors on a : p ≤ p + x ≤ s et donc n = p + j ≤ s + t ≤ 2s +1 ; ceci est impossible car n > 2s +1. Ainsi, si n ∈ P2 avec n > 2s +1, alors n est premier. Tout comme P1 , l’ensemble P2 est réunion de l’ensemble des nombres premiers et d’un ensemble fini F ⊂ [0, 2s+1] Soit alors C un entier arbitraire, D un autre entier > 2s+1, et T = [A, B] une tranche « très large » de nombres non premiers et située « très loin » : par « très large » nous voulons dire que sa largeur B - A est supérieure C + 4s +1 et par « très loin » nous voulons dire : A > D. Soit alors n un nombre tel que A +2s +1 < n ≤ A + C + 2s + 1: n est non premier, car élément de T; il n’est donc pas dans P2 ; supposons qu’il soit dans P3 ; alors il est somme de deux nombres de P2 : n = p+q avec q ≤ p; on a 2p ≥ n > A+2s +1 > D +2s +1 ≥ 4s +2, soit p > 2s+1; c’est donc un nombre premier, et de ce fait on a : p < A ; maintenant, q = n - p > A + 2s +1 – A = 2s + 1, donc q est un nombre premier (élément de P2 plus grand que 2s+1) ; il existe enfin un élément x de P2 tel que n+x, et p+x ou q+x, soient éléments de P2 ; ceci est impossible : en effet, n+x > n > 2s+1 entraîne que n+x est un nombre premier ; dès lors x est un nombre impair (puisque n est pair); on a alors : x ≥ B - n > (A+C+4s+1) - (A+C+2s+1) = 2s, soit encore x ≥ 2s+1 ; qu’on ait x > 2s+1 ou x = 2s+1, c’est un nombre premier ; comme p+x ou q+x doit aussi être dans P2, il y a une contradiction de parité. Ainsi le segment ] A+2s +1, A+C+2s +1] , de longueur C, ne contient aucun élément de P3 ◄ 19 Proposition 0-6-11. Si n(P) = 3 , il existe au moins un entier 2k tel que J2k soit infini. ► En effet, d’après la proposition précédente, P(J) est infini. Si J est infini, on peut choisir 2k =2. Sinon, J est fini, mais il existe alors x ∈ J tel que l’ensemble E = {p∈P ∃ p’∈P p’-p = x} soit infini. Pour tout p ∈E on a donc : s(p) - p ≤ x , en désignant par s(p) le successeur de p ; par le principe des tiroirs, il existe donc une infinité de p dans E, tels que s(p) – p = 2k soit constant, c’est bien dire que J2k est infini. On ne peut pas dire a priori si un tel entier 2k est élément de J ou non ! ◄ Il est bien clair que l’énoncé « n(P) = 3 » flirte avec la conjecture des jumeaux, mais aussi avec la conjecture de Goldbach (je ne développe pas ce point de vue ici, qui est cependant très sérieux). Il me faut reconnaître ici que, dans ma thèse, j’affirmais pouvoir démontrer que « n(P) = 3 ». J’avais sous le coude une démonstration d’environ 5 pages, mais à la relecture, quelques 30 ans plus tard, j’ai vu qu’il y avait une erreur justement liée à la conjecture de Goldbach (qui reste, au jour où j’écris cette remarque, une conjecture…) Que dire de mes juges sinon qu’ils n’ont pas du creuser beaucoup la question à l’époque ?! Mais n’est-ce pas au fond assez courant et même banal !? Voici, pour finir cette section, quelques exemples de prémonoïdes commutatifs qui se présenteront naturellement dans la suite, la loi + étant chaque fois la loi induite par celle de N, ou Nk. - Si n est un entier, n = [0, n-1] est un sous-prémonoïde de N. - Tout facteur direct de N est un sous-prémonoïde de N (ce sera démontré plus loin). - Si n1, n2,…, nk sont des entiers, C = n1 × n2 ×…× nk et L = {(m1, m2, …, mk) ∃ i mi < ni } sont des sous-prémonoïdes de Nk. - Toute réunion d’ensembles tels que C ou L, dans Nk, détermine un sous-prémonoïde de Nk. - Le foncteur d’oubli U : PréCat → Ens (qui « oublie » la composition partielle) reflète les limites inductives filtrantes, sa restriction à la sous-catégorie pleine PréMon aussi ! Beaucoup de facteurs directs de Nk, avec k ≥ 2 ne sont pas des sous-prémonoïdes de Nk, et c’est ce qui fait en partie la difficulté du problème central de cet article, pour lequel les théorèmes de trivialité des décompositions produits ne s’appliquent pas toujours ! Cependant, ces théorèmes sont très utiles pour « dégrossir » la situation, et c’est à eux qu’est consacrée la section suivante. 20 1. Décompositions directes des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés. et noyaux d’instabilité. Définition 1-1. Un prémonoïde commutatif (bien) ordonné (E,+,≤) est constitué d’un prémonoïde commutatif (E, +) (d’élément neutre noté 0) et d’un (bon) ordre ≤ sur E satisfaisant les conditions suivantes : si z = x + y, alors x ≤ z (et donc aussi y ≤ z ) et si x = z, alors y = 0. Une conséquence immédiate de cette définition est la suivante : si 0 = x+y, alors x = y = 0 ! On conviendra d’employer systématiquement le symbole < pour indiquer une inégalité stricte. Si z = x + y, on a l’équivalence entre « y ≠ 0 » et « x < z ». On emploie génériquement les symboles + , < , ≤ , 0 quand il n’y a pas de confusion possible. Soit (Ei ,+)i ∈ I une famille de prémonoïdes commutatifs. Le produit cartésien E = ∏ E i est i∈I naturellement muni de la loi de composition + suivante : ∃ ((xi) + (yi)) ⇔ ∀ i ∈ I ∃ (xi + yi) et alors (xi)+(yi) = (xi + yi), de sorte que (E,+) est un prémonoïde commutatif, produit des prémonoïdes (Ei, +). Soit maintenant (Ei ,+, ≤)i ∈ I une famille de prémonoïdes commutatifs bien ordonnés. Etant donné un bon ordre sur I , on munit naturellement E de l’ordre lexicographique associé, qui est donc le suivant : (xi) < (yi) si et seulement si xj < yj , en désignant par j le premier élément de I (pour le bon ordre donné sur I) pour lequel on a xi ≠ yi (on a donc, pour tout i tel que i < j , xi = yi ). C’est un bon ordre sur E et (E ,+, ≤) est un prémonoïde commutatif bien ordonné. Notons qu’en général il n’y a pas de bon ordre sur E qui puisse faire de (E,+, ≤) un produit des (Ei ,+, ≤) dans la catégorie des prémonoïdes commutatifs bien ordonnés… Définition 1-2 Soit E un prémonoïde commutatif . On dit que ∂ = (A,B) est une décomposition directe de E lorsque tout élément x de E se décompose de manière unique en somme d’un élément a de A et d’un élément b de B. On suppose en outre que 0 ∈ A ∩ B. On note aussi a et b de manière fonctionnelle, comme ceci: a = a(x) et b = b(x). Remarques. 1) La composition + étant partielle a priori, l’ensemble A * B des couples (a,b) ∈ A × B qui sont composables pour l’addition + n’est pas nécessairement le produit A×B. Si E est un monoïde, alors A * B = A × B. Mais on peut bien avoir cette égalité sans que pour autant E soit un monoïde. Exemples : soit E7 = [0,7] ={0,1,2,3,4,5,6,7}et E7 = (E7,+) le prémonoïde naturel avec l’addition pour loi (limitée par 8 : 2+6, 3+5, etc…ne sont pas définis). Si A = {0,1,2,3 } et B = {0,4}, le couple (A,B) est une décomposition de E7 pour laquelle A * B = A × B. Par contre, 21 si A’ = {0,1,2} et B’ = {0,3,6} le couple (A’,B’) est aussi une décomposition directe de (E7,+) et pourtant A’*B’ = A’×B’ \{2,6} n’a que 8 éléments (comme E7) ! 2) L’élément neutre 0 se décompose , et comme 0 ∈ A ∩ B, on a : a(0) = b(0) = 0. De plus , il est clair que A ∩ B = {0}. Le fait que 0 ∈ A ∩ B ne découle pas de l’unicité de décomposition : par exemple, si E = (Z, +) , A = Z et B = {-1}, tout élément x s’écrit de manière unique comme somme d’un élément de A et d’un élément de B : x = s(x) + (-1), où s(x) désigne le successeur de x pour l’ordre usuel dans Z ; ici A ∩ B = {-1}. 3) Dans le même ordre d’idées, et en se tenant à la définition ci-dessus, il est possible que tout élément de E ait un symétrique : par exemple, toujours avec E = (Z, +) qui est un groupe, le couple (A,B) suivant est une décomposition directe : A = {3k} et B = {0,-1,-2}. Soit ∂ = (A,B) une décomposition directe du prémonoïde commutatif E, et X une partie de E. Les noyaux d’instabilité de ∂ sont des parties de A et B qui « mesurent » en quelque sorte leur défaut de stabilité par rapport à la loi de composition de prémonoïde de E. Définition 1-3. On définit les noyaux d’instabilité associés à cette décomposition ∂ comme étant les sousensembles suivants de A et de B respectivement, auxquels on adjoindra {0} par convention : N∂ (A) = { a ∈ A | ∃ a’∈ A | a+a’ ∈ B } N∂ (B) = { b ∈ B | ∃ b’∈ B | b+b’ ∈ A }; on les désignera aussi simplement par N(A) et N(B), s’il n’y a pas de confusion possible. Définition1-4. On définit les noyaux d’instabilité relatifs à X associés à cette décomposition ∂ comme étant les sous-ensembles suivants de A∩X et de B∩X respectivement, auxquels on adjoindra {0} par convention : N∂, X (A) = { a ∈ A ∩ X | ∃ a’ ∈ A ∩ X | a+a’ ∈ B } N∂, X (B) = { b ∈ B ∩ X | ∃ b’ ∈ B ∩ X | b+b’ ∈ A }; on les désignera aussi simplement par NX(A) et NX(B), s’il n’y a pas de confusion possible. Examinons de plus près les décompositions d’un produit de deux prémonoïdes commutatifs bien ordonnés, bien qu’à l’évidence beaucoup des considérations suivantes restent valables pour un « produit » quelconque, et s’adaptent aussi facilement au cas d’un produit de précatégories bien ordonnées… Soient E1 = (E1,+,≤) et E2 = (E2,+,≤) deux prémonoïdes commutatifs bien ordonnés. Munissons l’ensemble {1,2} du bon ordre usuel : 1 < 2. Ainsi , dans le produit E = E1×E2 , on dispose du bon ordre : (x1,x2) < (y1,y2) si et seulement si : soit x1 < y1 , soit si x1 = y1, x2 < y2 . On peut identifier E1 (resp.E2) avec le sous-prémonoïde additivement plein E1×{0} (resp. E2×{0}) de E = E1×E2 , de sorte que E apparaît comme somme directe de E1 et E2 , ou encore (E1, E2) est une décomposition directe de E en deux sous-prémonoïdes additivement pleins. Cette décomposition est complètement stable (N(E1) = N(E2) ={0}). Si x = (x1,x2) ∈ E, on écrira aussi : x = x1+x2 . Soit (A, B) une décomposition directe de E ; rappelons que l’élément neutre 0 est élément de A et de B et que A ∩ B = {0}; elle induit des décompositions directes (A1, B1) et (A2, B2) de 22 de E1 et de E2 respectivement. Alors tout élément x de E se décompose de manière unique en somme de quatre éléments : x = a1 + b1 + a2 + b2 où (a1 , b1 , a2 , b2 ) ∈ A1 × B1 × A2 × B2 , de sorte que le quadruplet (A1, B1 , A2 , B2 ) apparaît comme une décomposition directe de E en quatre facteurs. Plus généralement, quelles que soient les parties X ⊂ E1 et Y ⊂ E2, X⊕Y est défini et égal à X × Y, car on a toujours : (x,y) = (x,0)+(0,y). Théorème 1-1 (version absolue). Supposons que [N(B1) = B1 ou N(B2) = B2 ] et que [N(A2) = A2 ou N(A1) = A1 ] , alors la décomposition (A,B) est triviale, dans le sens que l’on a: A = A1 ⊕ A2 et B = B1 ⊕ B2 . ► Posons A’ = A1 ⊕ A2 et B’ = B 1 ⊕ B2 (ce sont bien des sommes directes tout comme l’est E1 ⊕ E2). Supposons prouvé que A(x) = A’(x) et B(x) = B’(x) pour tout x < z (rappelons que C(x) = { y ∈ C  y ≤ x }) et montrons que A(z) = A’(z) et B(z) = B’(z), de sorte que le résultat sera acquis par récurrence (éventuellement transfinie). L’élément z s’écrit de manière unique : z = a + b, où (a, b) ∈ A × B et z = z1 + z2 où (z1, z2 ) ∈ E1 × E2 , z1 = a1 + b1 , z2 = a2 + b2 , où (a1 , b1 , a2 , b2 ) ∈ A1 × B1 × A2 × B2 , On doit bien faire attention au fait qu’a priori a ≠ a1+ a2 et b ≠ b1+ b2 . On distingue alors selon que z ∈ A ∪ B ou non. 1) z ∉ A ∪ B ; ceci équivaut à dire : a ≠ 0 et b ≠ 0 ; d’abord, on a : A(z) = U A( x ) = U A' ( x ) = A’(z), car z ∉ A’ = A1 ⊕ A2 ; x 0, le segment [0,n-1] définit le sous-prémonoïde n = de N, évidemment non plein puisque l’addition y est toujours partielle, sur lequel (A,B) induit une décomposition directe (An,Bn) où An = A ∩ [0,n] et Bn = B ∩ [0,n]. Décompositions en plusieurs facteurs. Définition 2-1. Une famille (Ak) k∈K de parties de N est appelé décomposition directe additive de N en K facteurs si tout entier n s’écrit de manière unique comme somme (à support fini dans K) d’éléments des Ak. On écrira : N = ⊕k∈K Ak . Il est clair que l’on a : ∀ k∈K, ∀ k’∈K, k ≠ k’, Ak ∩ Ak’ = {0}. Proposition 2-3. Supposons que N = ⊕k∈K Ak . Alors, il existe une unique suite dite des multiplicateurs, suite finie ou non d’entiers strictement supérieurs à 1, soit m1 , m2 ,…, mi ,…, à laquelle est associée une autre suite dite base généralisée de N : b0 = 1 , b1 = m1.b0 , b2 = m2.b1 , bi = mi.bi-1 = mi. mi-1… m1 , … de sorte que tout nombre N s’écrit de manière unique sous la forme suivante : l N = ∑ N i b i avec Ni < mi+1 , pour tout i de 0 à l . i=0 S’il y a un dernier multiplicateur mj , on peut convenir que mj+1 = ∞ , de sorte qu’il n’y a simplement pas de condition de bornage sur Nj dans le terme Njbj et on peut convenir aussi que l’on a : l ≤ j. Le lien avec la décomposition N = ⊕k∈K Ak supposée est alors le suivant : il y a une partition de l’ensemble (fini ou non) I = {0,1,2,…,i,…}des indices de la base généralisée, soit I = ⊕k∈K Ik ayant les propriétés suivantes : ∀ i ∈ I ∀ k ∈ K ( i ∈ Ik ⇒ i +1 ∉ Ik ) la convention de l’éventuel multiplicateur ∞ (lorsque I est fini !) permet de ne faire aucune restriction dans cette formulation. l ∀k∈K Ak = { N = ∑ N i b i | ∀ i ∉ Ik , Ni = 0 } i=0 l De sorte que tout nombre N = ∑ N i b i se décompose de façon unique en i=0 N= ∑ a k ( N) où ak(N) = ∑ i∈I k N i b i k∈K La suite dite des multiplicateurs peut être « vide », la « base généralisée » étant réduite alors à son seul terme b0 = 1 (si 1 ∈ Ak , alors Ak = N et Ak’ = {0}, pour tout k’ ≠ k). 32 La démonstration est assez semblable au cas de deux facteurs et on peut faire les mêmes remarques générales que dans le cas de deux facteurs. Remarque. Chaque facteur d’une décomposition (additive) de N en plusieurs facteurs est encore un sous-prémonoïde de N ; la démonstration est semblable au cas de deux facteurs. Calcul des noyaux d’instabilité d’une décomposition (additive) de N. Soit donc ∂ = (A,B) une décomposition directe de N avec 1 ∈ A. Proposition 2-4. On distingue deux cas : (i) |A| = |B| = ∞ et (ii) |A| ou |B| est fini: (i) Si |A| = |B| = ∞, alors N(A) = A et N(B) = B. (ii) Si |B| < ∞ (et |A| = ∞), alors N(A) = A ∩ [0, β+] où β+ = sup(B) et N(B) = B Si |A| < ∞ (et |B| = ∞), alors N(B) = B ∩ [0, α+] où α+ = sup(A) et N(A) = A ► (i) |A| = |B| = ∞ . La suite des mk est illimitée, de sorte que si a = ∑i =0 N 2i b 2i , on peut * prendre a’ = ∑i =0 (m 2i +1 − N 2i )b 2i , qui est toujours défini, et on a bien a+a’ = ∑i =0 b 2i +1 ∈ B * * (Le symbole ∑i =0 signifie qu’on ne prend en compte, dans l’écriture même, que les indices i * pour lesquels N2i > 0, de sorte que l’on a bien aussi l’inégalité m2i+1-N2i < m2i+1 ). (ii) 1 < |B| < ∞ . La suite des multiplicateurs se termine avec un m2k , et m2k+1 = ∞ , de sorte que dans le terme N2kb2k , N2k n’est pas borné. La base est finie : b0 , b1 ,…, b2k . k Tout élément de A est de la forme a = ∑ N 2i b 2i sans borne a priori pour N2k ; i=0 k −1 Tout élément de B est de la forme b = ∑ N 2i +1 b 2i +1 . i=0 B  < ∞ α+ β+ b2k k −1 k −1 k −1 i=0 i=0 i=0 0 Sup(B) = β+ = ∑ (m 2i + 2 − 1)b 2i +1 = ∑ b 2i + 2 - ∑ b 2i +1 ; donc pour tout b ∈ B, il existe b’∈ B tel que b+b’ ∈ A, de sorte que N(B) = B (pour b ≤ β+ , c’est le même argument qu’en (i) ) k −1 Par contre, N(A) = A ∩ [0,b2k[ = A ∩ [0, β+] = A ∩ [0, α+] , où α+ = ∑ (m 2i +1 − 1)b 2i est le i=0 prédécesseur de b2k dans A, ou le sup des a dominés par un élément de B. On vérifie sans peine l’égalité suivante : α+ + β+ = b2k - 1 On notera que sont équivalentes les conditions suivantes : - a < B , pour signifier qu’il existe un élément de B plus grand que a, - a < β+ , - a < b2k , k −1 - a ≤ α+ , ou bien est de la forme ∑ N 2i b 2i . i=0 33 (ii) 1 < |A| < ∞ . La suite des multiplicateurs se termine avec un m2k+1 , et m2k+2 = ∞ , de sorte que dans le terme N2k+1b2k+1 , N2k+1 n’est pas borné. La base est finie : b0, b1 …, b2k+1. k Tout élément de B est de la forme b = ∑ N 2i +1 b 2i +1 sans borne a priori pour N2k+1 ; i=0 k Tout élément de A est de la forme a = ∑ N 2i b 2i i=0 A  < ∞ β+ 0 α+ b2k+1 + k k k i=0 i=0 i=0 Sup(A) = α+ = ∑ (m 2i +1 − 1)b 2i = ∑ b 2i +1 - ∑ b 2i ; donc pour tout a ∈ A, il existe a’∈ A tel que a+a’ ∈ B, de sorte que N(A) = A (pour a ≤ α+ , c’est le même argument qu’en (i) ) k −1 Par contre, N(B) = B ∩ [0,b2k+1[ = B ∩ [0, α+] = B ∩ [0, β+] , où β+ = ∑ (m 2i + 2 − 1)b 2i +1 i=0 est le prédécesseur de b2k+1 dans B, ou le sup des b dominés par un élément de A. On vérifie sans peine l’égalité suivante : α+ + β+ = b2k+1 - 1 On notera que sont équivalentes les conditions suivantes : - b < A , pour signifier qu’il existe un élément de A plus grand que b, - b < α+ , - b < b2k+1 , k −1 - b ≤ β+ , ou bien est de la forme ∑ N 2i +1 b 2i +1 . i=0 On retiendra qu’on a toujours : - α+ + β+ = b++ - 1 ; * * - a + a’ = ∑i = 0 m i +1 .b i = ∑i =0 b i +1 - Quand l’indice maximum i concerné par le symbole ∑i =0 est maximum absolu, soit i* , * c’est que la somme a + a’ dépasse b++ = bi*+1 . Concernant les noyaux d’instabilité pour la décomposition ∂ = (A,B) donnée, on peut dire ceci : avec A fini, on a N∂(A) = A et N∂(B) = B ∩ [0,b++[ = B ∩ [0, α+] = B ∩ [0, β+] comme vu ci-dessus, et pour la décomposition induite ∂* = (A*,B*) sur [0,b++[ on voit que : N∂*(A*) = A*\ A+ = A \ A+ et N∂*(B*) = B ∩ [0,b++[ = B* ; la situation est inversée pour les noyaux (maximum ou non !). Cependant il apparaîtra plus loin que les noyaux relatifs sont plus intéressants que les noyaux absolus ; ici, en posant X = [0,b++[ , on voit que les noyaux de A et B relatifs à X sont les suivants : N∂, X (A) = A et N∂, X (B) = B* , ce qui, par rapport à la situation précédente, « agrandit » N∂*(A*) = A \ A+ en N∂, X (A) = A …◄ Remarques. 1) Pour |B| < ∞, l’élément b2k de A joue le rôle de l’∞ du cas (i) ; l’élément α+ est le prédécesseur de b2k dans A. 34 2) Enfin, si |B| = 1, alors B = {0} et A = N ; N(B) = B et N(A) = A ∩ [0, β+] car β+ = 0 ; on peut convenir que α+ = 0, tandis que b2k = b0 = 1 (un seul multiplicateur m1 = ∞) 3) Pour |A| < ∞ , l’élément b2k+1 de B joue le rôle de l’∞ du cas (i) ; l’élément β+ est le prédécesseur de b2k+1 dans B. 4) Si A est fini, mais que 1∈ B, alors A se substitue à l’ensemble B tel que traité ci-dessus. Tant qu’on n’aura pas vraiment besoin de statuer sur ce fait on désignera par α+ le sup(A), par β+ le sup(B ∩ [0, α+]) et par b++ le premier élément de B qui n’est pas dans A. 5) Si |A| = 1, alors A = {0} et B = N ; N(A) = A et N(B) = A ∩ [0, α+] car α+ = 0 ; on peut convenir que β+= 0, tandis que b2k = b0 = 1. 6) Pour a = ∑i =0 N i b i (que les i concernés soient tous pairs, ou tous impairs) on désignera son * complément par a’, c’est l’élément a’ = ∑i = 0 (m i +1 − N i )b i (voir, dans la démonstration de la * proposition 2-4, la signification de la notation astérisque). Celui-ci n’est défini que si a ≠ 0. Proposition 2-5. Soit (A,B) une décomposition directe additive de (N,+), alors les lois +a et +b sont associatives. A = (A,+b) et B = (B,+a) sont donc des monoïdes commutatifs dont les groupes d’inversibles sont respectivement N(A) et N(B). Particulièrement, si |A| = |B| = ∞, alors A et B sont des groupes abéliens. ► On suppose 1, n , n’, n’’∈ A . On sait que A = { n ∈ N | ∀ i n2i+1 = 0 }; les indices qui interviennent ici sont donc pairs . Si ni + n’i < mi , alors on sait que (n + n’)i = ni + n’i = (n +b n’)i ; par contre, si ni + n’i ≥ mi on a : (n + n’)i = ni + n’i – mi = (n +b n’)i . Donc, n +b n’ = ∑ n + n ' < m (n i + n 'i ) b i + ∑ n + n ' ≥ m ( n i + n 'i −m i ) b i , * * i i i i i i Nous avons alors : (n +b n’) +b n’’ = = ∑ ( n + n ' ) + n" < m (( n + b n ' ) i + n ' 'i ) b i + ∑ ( n + n ' ) + n" ≥ m (( n + b n ' ) i + n ' 'i − m i ) b i * * b i i i b i i i = ∑ R ( n + n ' i + n ' ' i ) b i + ∑ T ( n + n ' i + n ' ' i − m i ) b i + ∑ S ( n + n ' i + n ' ' i −2 m i ) b i * * * où R = { i | 0 < n i + n’i + n’’i < mi } , S = { i | n i + n’i + n’’i ≥ 2mi } et où T1 = { i | n i+ n’i +n’’i < 2mi ∧ n i+ n’i ≥ mi } T2 = { i | n i+n’i+n’’i ≥ mi ∧ n i+ n’i < mi } et T = T1 ∪ T 2 On trouve de même, simplement en échangeant les rôles de n et n’’, car on est dans le cas commutatif : n +b (n’ +b n’’) = = ∑ R ( n + n 'i + n ' 'i ) b i + ∑ T ' ( n + n 'i + n ' 'i −m i ) b i + ∑ S ( n + n 'i + n ' 'i −2m i ) b i où * * * T’1 = { i | n i+ n’i +n’’i < 2mi ∧ n’’i+ n’i ≥ mi } T’2 = { i | n i+n’i+n’’i ≥ mi ∧ n’’i+ n’i < mi } et T’ = T’1 ∪ T’2 . 35 Reste à vérifier que T = T’. Posons U = { i | n i + n’i < mi } et Uc = { i | n i + n’i ≥ mi }; T’1 = (T’1 ∩ U) ∪ (T’1 ∩ Uc) ; mais (T’1 ∩ U) ⊂ T2 et (T’1 ∩ Uc) ⊂ T1 d’où T’1 ⊂ T ; de même T’2 = (T’2 ∩ U) ∪ (T’2 ∩ Uc), (T’2 ∩ U) ⊂ T2 , (T’2 ∩ Uc) ⊂ T1 d’où T’2 ⊂ T ; on en déduit que l’on a : T’ ⊂ T ; on prouve de même que T ⊂ T’ et finalement T = T’. Ceci achève de prouver que la loi +b est bien associative. Clairement 0 est élément neutre. ◄ Enfin on a déjà remarqué que le noyau N(A) n’est autre que le groupe des inversibles du monoïde (A, +b). La démonstration est analogue pour (B, +a). On voit que dans le cas de (N, +), toujours en supposant 1 ∈ A, on a : (A, +b) = (N(A), +b) ≅ C Z / m 2i +1.Z si |B| = ∞ ; c’est un groupe ; i (A, +b) ≅ ( C Z / m 2i +1.Z ) ⊕ (N,+) si |B| < ∞ ; c’est un monoïde dont le groupe des i inversibles n’est autre que (N(A), +b) ≅ C Z / m 2i +1.Z , tandis que : i (B, +a) = (N(B), +a) ≅ C Z / m 2i .Z si |A| = ∞ ; c’est un groupe ; i (B, +a) ≅ ( C Z / m 2i .Z ) ⊕ (N,+) si |A| < ∞; c’est un monoïde dont le groupe des inversibles i n’est autre que (N(B), +a) ≅ C Z / m 2i .Z i Nous aurons besoin d’un autre résultat technique que voici. Nous conservons les notations précédentes pour une décomposition directe (A,B) de (N,+) donnée. Etant donné un nombre n, on appelle hauteur de n (relative à (A,B), et on désigne par h(n), l’entier indice maximum i pour lequel Ni ≠ 0 (il est donc pris en compte par le symbole de sommation avec astérisque n = ∑ * N i b i ); de plus, si n ∉ A, on désigne par iB(n) le plus petit indice i tel que Ni ≠ 0 et bi ∈ B; si on a supposé que 1 ∈ A, l’indice en question iB(n) est un entier impair 2j+1. On pose aussi α+r = (mr+1-1).br + (mr -1-1).br-2 + …+ (mr – 2s - 1 -1).br – 2s - 2 + …, éléments qu’on peut appeler maximas relatifs de A ; le maximum absolu, s’il existe, n’est autre que l’élément α+r avec r maximum ; si 1 ∈ A , ce maximum absolu est de la forme α+2r ; c’est l’élément qu’on a déjà noté simplement α+. Avec ces conventions, nous pouvons énoncer la proposition suivante : Proposition 2-5. Soit (A,B) une décomposition directe de N ; soit n un entier non nul dominé par un élément a de A (i.e. : n ≤ a) ; il existe un unique entier β < a tel que : β ∈ B , n + β ∈ A , n + β ≤ a + α+ h(a) - 2 . 36 ► On suppose que 1 ∈ A, c’est-à-dire que b0 ∈ A , les éléments de A étant de la forme ∑ * N 2i b 2i et ceux de B de la forme ∑ * N 2i +1b 2i +1 . La démonstration est menée par récurrence sur l’entier h(a) (qui est pair) ; si h(a) = 0, l’entier n (≤ a) est de la forme N0b0 avec N0 < m1 ; c’est donc un élément de A, et il suffit de choisir β = 0 (par convention, ici, α+ 0 = 0). Supposons le résultat établi pour tout entier (pair) plus petit que 2k et soit a = ∑ * a 2 jb 2 j un élément de A tel que h(a) = 2k; soit alors n = ∑ * N i b i ≤ a ; posons h(n) = h . - Si Nh = a2k, alors h = 2k, Nh-1 = 0 et Nh-2 ≤ a2k-2 (car n ≤ a et a ∈ A); on soustrait l’élément a* = a2k.b2k de n et de a : n’ = n – a* et a’ = a – a*; on a : n’ ≤ a’ et h(a’) < h(a) ; on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence : il existe un β ∈ B tel que : n’+ β ∈ A et n’+β ≤ a’+ α+ h(a’) - 2; alors, en rajoutant a* à n’ et à a’, il vient bien : n + β = n’ + a* + β ≤ a’ + α+ h(a’) - 2 + a* = a + α+ h(a’) - 2 < a + α+ h(a) - 2 , car la suite (α+2r ) 2r ≥ 0 est strictement croissante . - Autrement, on a : N2k < a2k ou h < 2k. On peut supposer que n ∉ A (sinon il suffit de choisir β = 0) et donc l’entier iB(n) = 2j+1 est bien défini et l’on a : 2j+1 < 2k ; soit alors β1 = (m2j+2 – N2j+1).b2j+1 et posons n1 = n + β1 = ∑ * N1, i b i . Si n1 ∈ A, on choisit β = β1 et l’on a bien: n1 = n + β1 ≤ a2k.b2k + (m1-1).b0 + (m3-1).b2 +…+ (m2k-1-1).b2k-2 ≤ a + α+ h(a) - 2 car les coefficients N1,2i+1 sont tous nuls. Si n1 ∉ A, iB(n1) = 2ℓ+1 est défini et l’on a : iB(n) < iB(n1) ; de plus, par le jeu des « retenues » possibles (chaque fois que Ni+1 = mi+1 et donc N1,i = 0) , il n’est pas possible que 2ℓ+1 soit strictement supérieur à 2k (car N2k+1 ≤ a2k et n1 ∉ A); notons aussi qu’on a nécessairement: n1 ≤ a, puisque l’égalité N1,2k = a2k est exclue (il y aurait sinon une retenue au niveau 2k-1 et n1 serait élément de A ) ; donc N1,2k < a2k (et n1 < a !) - On peut alors recommencer et définir n2 à partir de n1 comme n1 à partir de n ; on aura donc n2 = n1 + β2 = ∑ * N 2, i b i où β2 = (m2ℓ+2 – N2ℓ+1).b2ℓ+1 est tel que β1 + β2 ∈ B ; il y a donc un deuxième « train de retenues » qui s’amorce à l’indice 2ℓ+1. Le raisonnement dichotomique effectué pour n1 peut être repris « mot à mot », puisque les conditions initiales sont bien les mêmes avec n1 qu’avec n ; entre autres : - Si n2 ∈ A, on choisit β = β1 + β2 et l’on a bien : n2 = n + β1+ β2 = n1 + β2 ≤ a2k.b2k + (m1-1).b0 + (m3-1).b2 ++ (m2k-1-1).b2k-2 ≤ a + α+ h(a) - 2 car les coefficients N2,2i+1 sont tous nuls. 37 - Si n2 ∉ A, iB(n2) = 2ℓ’+1 est défini et l’on a : iB(n1) < iB(n2) ; de plus, par le jeu des « retenues » possibles (chaque fois que Ni+1 = mi+1 et donc N2,i = 0) , il n’est pas possible que 2ℓ’+1 soit strictement supérieur à 2k (car N2k+1 ≤ a2k et n2 ∉ A); notons aussi qu’on a nécessairement: n2 ≤ a, puisque l’égalité N2,2k = a2k est exclue (il y aurait sinon une retenue au niveau 2k-1 et n2 serait élément de A ) ; donc N2,2k < a2k (et n2 < a !) Le processus lié à des « trains de retenues » successifs possibles se poursuit : n, n1, n2, …mais s’arrête nécessairement car la suite iB(n), iB(n1), iB(n2) … est strictement croissante et bornée par 2k. Il existe donc un entier q tel que iB(n), iB(n1), iB(n2), …, iB(nq-1) soient tous définis, mais pas iB(nq), car nq = nq-1 + βq = …= n + β1+ β2 +…+ βq est dans A ; clairement l’élément β = β1+ β2 +…+ βq est dans B et l’on a bien : nq = nq-1 + βq = n + β ≤ a2k.b2k + (m1-1).b0 + (m3-1).b2 +…+ (m2k-1-1).b2k-2 ≤ a + α+ h(a) - 2, car iB(nq-1) ≤ 2k-1. Si 1 ∉ A, le raisonnement est analogue, mais il convient d’échanger les rôles des indices pairs et impairs ◄ Remarques. 1) On a un énoncé analogue en échangeant les rôles de A et de B. 2) L’inégalité de la proposition 5 est la meilleure possible comme le montre l’exemple suivant : n = ( m2k – 1).b2k-1 + (m1-1).b0 + (m3-1).b2 + …+ (m2k-1-1).b2k-2 et a = b2k ; l’élément β ∈ B tel que n + β ∈ A est b2k-1 et n + β = a + α+ h(a) - 2 . 3) Lorsque le majorant a est égal à un maximum relatif α+ 2k , l’inégalité de la proposition 5 se simplifie dans son écriture : n + β ≤ a + α+ h(a) – 2 devient : n + β ≤ α+ h(a) . 38 3. Les décompositions directes non triviales de N2 en deux facteurs. Soit (A,B) une décomposition directe non triviale de N2. Elle induit les décompositions directes (A1,B1) sur N × {0} et (A2,B2) sur {0} × N. On a vu (application du Théorème 1-1) que [B1< ∞ et B2 < ∞] ou [A1< ∞ et A2 < ∞] On supposera, pour fixer les idées, que l’on est dans la situation où A1< ∞ et A2 < ∞ . On reprendra les notations génériques des décompositions directes de N (auquel N × {0} et {0} × N sont identifiés); entre autres : sup(Ai) = αi+, sup(Bi ∩ [0, αi+] ) = βi+ et inf(Bi\Ai) = bi++ , i = 1, 2 Considérons les sous-prémonoïdes de N2 suivants :E1 = [0, b1++[ × N et E2 = N × [0, b2++[. La décomposition donnée ∂ = (A,B) induit sur E1 et E2 des décompositions directes. Par application du Théorème 1-1 ces décompositions sont triviales (les bons ordres induits sur E1 et E2 ne sont pas isomorphes (en général), et on peut, si on y tient, modifier le bon ordre sur E1, par exemple, en utilisant le bon ordre ’2<1’ plutôt que ’1<2’. L’essentiel est de s’assurer qu’on dispose bien de bons ordres qui font de E1 et E2 des prémonoïdes bien ordonnés ; ce genre de remarques sera systématiquement utilisé par la suite, sans mention explicite…) Soit Ω le réseau engendré par e1 = (b1++, 0) et e2 = (0, b2++). Soit C = [0, b1++[ × [0, b2++[. On désigne toujours par a et b les applications qui fournissent les facteurs de décomposition : pour tout x, on a : x = a(x)+b(x) avec a(x) ∈ A et b(x) ∈ B. Proposition 3-1. (Ω, C) est une décomposition directe de N2 ; Ω et C sont propres (définition 1-5) pour la décomposition (A,B). Plus précisément, tout z ∈ N2 s’écrit de façon unique z = ω+c où ω∈ Ω et c∈ C , et on a : a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c), avec a(ω) , b(ω) ∈ Ω. ► Remarquons d’abord qu’il serait erroné de dire que (N2, (A,B)) est isomorphe au produit cartésien de (Ω, (AΩ, BΩ)) et de (C, (AC, BC)), car le monoïde N2 ne saurait être le produit du monoïde Ω par le prémonoïde C (sauf dans le cas où celui-ci est égal à {0} !) Notons aussi que C ∩ A×B = AC × BC = AC * BC . Soit z = (x,y) ∈ N2 ; par divisions euclidiennes, on voit qu’il existe un unique quadruplet d’entiers (p,q,r,s) tels que : x = p.b1++ + r avec r < b1++, y = q.b2++ + s avec s < b2++ ; ainsi z = ω+c où ω = (p. b1++, q. b2++) = pe1 + qe2 ∈ Ω et c = (r,s) ∈ C. Evidemment C est propre ; de plus , la décomposition induite par (A,B) sur C est triviale : on peut le voir de deux façons, soit en remarquant que C est inclus dans E1 ou E2 (C = E1 ∩ E2) qui sont déjà des sous-prémonoïdes de N2 sur lesquels (A,B) induit une décomposition triviale, soit en invoquant le théorème de décomposition dans sa version relative (ce qui, au fond, revient au même). 39 On procède maintenant par récurrence transfinie (avec l’ordre lexicographique dans N2). Supposons que, pour tout z’ < z, on ait : a(z’) = a(ω’) + a(c’) et b(z’) = b(ω’) + b(c’), où (ω’,c’) est l’unique élément de Ω × C tel que z’ = ω’+c’, avec a(ω’) et b(ω’) ∈ Ω. Venons-en alors à z et distinguons deux cas, selon que z ∈ Ω ou que z ∉ Ω : -z∈Ω. Si, en plus, z ∈ A ∪ B, il n’y a rien à démontrer: soit a(z) = z et b(z) = 0 si z ∈ A, soit a(z) = 0 et b(z) = z, si z ∈ B. 0 Supposons donc maintenant que z ∉ A ∪ B ; z = a(z)+b(z) avec a(z) < z et b(z) < z ; par hypothèse de récurrence, on peut écrire : a(z) = ωa + ca et aussi b(z) = ωb + cb où l’on a : (ωa, ca) ∈ (Ω × C) ∩ A et (ωb, cb) ∈ (Ω × C) ∩ B ; la somme ca+cb est nécessairement élément de C, puisque (ca, cb) ∈ (A × B) ∩ C et que la décomposition induite sur C est triviale ; mais ωa+ωb∈ Ω, l’unicité de décomposition de z selon (Ω, C) entraîne alors que z = ωa + ωb (ca+ cb =0 et donc ca = cb = 0); ainsi a(z) = ωa et b(z) = ωb ∈ Ω. -z∉Ω. Si en plus, z ∉ A ∪ B, alors on est pratiquement dans la même situation que précédemment : z = a(z)+b(z) avec a(z) < z et b(z) < z ; par hypothèse de récurrence, on a: a(z) = ωa+ca et aussi b(z) = ωb+cb où (ωa, ca) ∈ (Ω × C) ∩ A et (ωb, cb) ∈ (Ω × C) ∩ B; soit z = ω + c; l’unicité de décomposition de z selon (Ω , C) entraîne : ω = ωa + ωb et c = ca+ cb ; on a clairement: a(c) = ca , b(c) = cb , a(ω) = ωa et b(ω) = ωb de sorte que: a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c). Supposons donc maintenant que z ∈ A ∪ B (et toujours z ∉ Ω ) ; soit z = ω + c, c ≠ 0, la décomposition de z suivant Ω × C ; alors ω < z s’écrit aussi ωa + ωb et c = ca+ cb ; on a donc encore : z = ωa + ca+ ωb + cb ; supposons ωb + cb ≠ 0 ; alors ωa + ca < z et du coup, en utilisant l’hypothèse de récurrence, a(ωa + ca) = a(ωa) + a(ca) = ωa + ca , ce qui prouve que ωa + ca ∈ A ; supposons aussi ωa + ca ≠ 0 ; alors ωb + cb < z et du coup, en utilisant l’hypothèse de récurrence, b(ωb + cb) = b(ωb) + b(cb) = ωb+cb , ce qui prouve que ωb+cb ∈ B; comme z ∈ A ∪ B, il n’est pas possible d’avoir en même temps ωb + cb ≠ 0 et ωa + ca ≠ 0 ; on a donc soit z = ωa + ca , soit z = ωb + cb ; reste à démontrer alors que dans le premier cas, on a bien z ∈ A, et que dans le second cas, on a bien z ∈ B . On procède alors par l’absurde. Supposons d’abord que z ∈ B et z = ωa + ca ; on sait que ca = a1 + a2 où a1 ∈ A1 et a2 ∈ A2 ; si a2 ≠ 0, son complément a’2 est bien défini et tel que a2 +a’2 = b2 ∈ B2 ⊂ B ; alors l’élément z + a’2 aurait deux décompositions à savoir : (a’2 , z) ∈ A2 × B , mais encore (ωa+ a1 , b2) ∈ A × B2 (en effet, ωa + a1 + b2 = ωa + a1 + a2 + a’2 = ωa + ca + a’2 = z + a’2 , et le fait que a2 soit différent de 0 fait que ωa+ a1 < z est bien un élément de A, par l’hypothèse de récurrence ; noter aussi que ces décompositions sont bien distinctes !) ; pour l’instant, on doit en conclure que, nécessairement, a2 = 0 et ca = a1 ; comme z = ωa + ca ∉ Ω, on voit que ca = a1 ≠ 0 ; son complément a’1 est bien défini et tel que a1 +a’1 = b1 ∈ B1 ⊂ B ; alors l’élément z + a’1 aurait deux décompositions à savoir : (a’1 , z) ∈ A1 × B , mais encore (ωa , b1) ∈ A × B1 (en effet, ωa + b1 = ωa + a1+ a’1 = ωa + ca + a’1 = z + a’1 , et le fait que a1 tout comme a’1 soient différents de 0 fait que a’1 ≠ ωa est bien un élément de A, par l’hypothèse de récurrence ; noter aussi que ces décompositions sont bien distinctes !). On obtient encore une contradiction. La seule possibilité est bien z ∈ A = ωa + ca , de sorte que l’on a bien a(z) = z = a(ω + c) = ωa + ca = a(ω) + a(c). 40 Supposons enfin que z ∈ A et z = ωb + cb ; on peut reprendre le même schéma de démonstration que ci-dessus, en échangeant les rôles de A et B…Mais il y a ici une démonstration plus courte qui met bien en évidence la différence entre les deux cas de figure, ou si l’on veut entre noyaux absolus et noyaux relatifs. En effet, ici on peut traiter les deux dimensions simultanément et non séparément comme ci-dessus: l’élément cb , qui est différent de 0, a un complément c’b dans C : si cb = b1 + b2 où b1 ∈ B1 et b2 ∈ B2 , les compléments b’1 et b’2 définis (au moins l’un des deux l’est) satisfont : b’1 < b1++ et b’2 < b2++, de sorte que c’b = b’1 + b’2 (ou bien c’b = b’1, si b2 = 0, ou bien c’b = b’2, si b1 = 0) est tel que a = cb + c’b ∈ A ∩ C ; le noyau relatif d’instabilité NC(B∩ C) est aussi le noyau d’instabilité absolu de BC dans C! Le reste du raisonnement s’effectue avec l’élément z+c’b = ωb+cb+c’b = ωb+a … En résumé, nous savons maintenant que : N2 = Ω ⊕ C = AΩ ⊕ BΩ ⊕ AC ⊕ BC , et que A = AΩ ⊕ AC et B = BΩ ⊕ BC . On note bien qu’aucun parenthésage n’est nécessaire ici puisque P0(N2) est un prémonoïde. ◄ Conservons toujours les mêmes notations que ci-dessus : le réseau Ω engendré par e1 et e2 est une partie propre de N2 et ses bords N.e1 et N.e2 sont entièrement contenus dans B. Comme la décomposition (A,B) n’est pas triviale, il existe un premier élément de A* (pour l’un ou l’autre des ordres lexicographiques de Ω ≈ N2 c’est forcément le même élément !) soit ω* = m.e1 + n.e2 contenu dans Ω, ; on pose : L = {ω = m’.e1 + n’.e2 ∈ Ω │ m’ < m ou n’ < n} ; c’est, par définition de ω*, un sous-ensemble de B. Enfin, on pose : C* = [0, m.e1[×[0, n.e2[ ∩ Ω Proposition 3-2. La « demi-droite » D = N.ω* est un sous-ensemble propre de Ω sur lequel la décomposition (A,B) induit une décomposition directe isomorphe à une décomposition de N, soit (AD, BD) et la décomposition induite par (A,B) sur Ω est donnée par : Ω ∩ A = AD et Ω ∩ B = L ⊕ BD ; pour ω = m’.e1 + n’.e2 ∈ Ω, on obtient a(ω) et b(ω) comme suit : - si m’/n’ ≤ m/n , on effectue la division euclidienne de m’ par m : m’ = p.m + r, r < m ; l’entier p s’écrit de manière unique pa+ pb , de sorte que pa.ω* + pb.ω* est la décomposition dans D de p.ω* et a(ω) = pa.ω* et b(ω) = r.e1 + (n’-p.n).e2 + pb.ω* ; - si m’/n’ ≥ m/n , on effectue la division euclidienne de n’ par n : n’ = q.n + s, s < n ; l’entier q s’écrit de manière unique qa + qb , de sorte que qa.ω* + qb.ω* est la décomposition dans D de q.ω* et a(ω) = qa.ω* et b(ω) = s.e2 + (m’-q.m).e1 + qb.ω* . ► On vérifie d’abord que l’on a bien : pa.ω* + r.e1+ (n’-p.n).e2 + pb.ω* = p.ω* + r.e1 + (n’-p.n).e2 = p.(m.e1 + n.e2 ) + r.e1 + (n’-p.n).e2 = (p.m+r).e1 + n’.e2 = m’.e1 + n’.e2 = ω , pour m’/n’ ≤ m/n , et aussi : qa.ω* + s.e2+ (m’-q.m).e1 + qb.ω* = q.ω* + s.e2 + (m’-q.m).e1 = q.(m.e1 + n.e2 ) + s.e2 + (m’-q.m).e1 = (q.n+s).e2 + m’.e1 = m’.e1 + n’.e2 = ω , pour m’/n’ ≥ m/n . 41 Les deux méthodes coïncident si m’/n’ = m/n , puisque dans ce cas, p = q et r/s = m/n , et a(ω) = pa.ω* et b(ω) = r.e1 + s.e2 + pb.ω* ∈ C* ⊕ BD ⊂ L ⊕ BD . Ceci étant, on procède par récurrence portant sur les multiples entiers de ω* ; par définition, de ω*, on a : L ⊂ B, et tout élément z de ω* + L se décompose de façon évidente en ω* + l sachant que ω* ∈ A et l ∈ L⊂ B, conformément à l’énoncé de la proposition. Supposons établi le résultat pour tous les ensembles p.ω* + L, avec p < q, à savoir que, pour tout l ∈ L, on a : a(pω* +l) = a(pω*) et b(pω* +l) = b(pω*) + l, avec a(pω*) et b(pω*) ∈ D. Venons-en à l’ensemble q.ω* + L ; il y a trois cas à examiner : - si q.ω* ∈ A, alors, on est dans la même situation que ci-dessus (cas q = 1) ; tout élément z de q.ω* + L se décompose de façon évidente en q.ω*+ l sachant que q.ω* ∈ A et l∈L⊂ B; - si q.ω* ∉ A∪B, alors q.ω* = a + b, où (a,b) ∈ A*×B* ; par hypothèse de récurrence, l’élément a = a(q.ω*) est a priori de la forme p.ω*, avec 0 < p < q et b est aussi un multiple de ω*, puisqu’égal à (q-p).ω* ; tout élément z de q.ω* + L, z = q.ω*+l, se décompose alors de façon évidente : en effet, grâce à l’hypothèse de récurrence, l’élément y = (q-p).ω* +l est dans B, puisque b(y) = b((q-p).ω*+l) = b((q-p).ω*)+l = (q-p).ω*+l = y ; l’unicité de décomposition achève d’établir que a(q.ω*+l) = a(q.ω*) et b(q.ω*+l) = b(q.ω*) +l. - si q.ω*∈B, alors q.ω*+ l∈ B pour tout l∈L⊂ B; en effet, établissons d’abord ceci : si , pour tout l < l1∈ L, on a : q.ω*+ l ∉ A, alors, pour ces mêmes l, on a q.ω*+ l ∈B ; soit en effet a = a(q.ω*+ l) et b = b(q.ω*+ l) ; b ≠ 0 car q.ω*+ l ∉ A ; donc a < q.ω*+ l; mais a priori a est de la forme p.ω* + l’ avec p < q ( p > q est impossible, p = q est exclu par hypothèse secondaire). L’hypothèse générale de récurrence s’applique alors : a(p.ω*+ l’) = a(a) = a = p.ω* + l’ = a(p.ω*) ∈ N.ω* ; donc l’ = 0 et a = p.ω* ∈A; alors b = (q-p).ω*+ l; si p > 0, l’hypothèse générale de récurrence s’applique encore: b((q-p).ω*+ l) = (q-p).ω*+ l = b((q-p).ω*)+ l où b((q-p).ω*) ∈ B ; donc b((q-p).ω*) = (q-p).ω* ∈B ; il y a alors une contradiction, puisque q.ω* aurait deux décompositions : la triviale q.ω* = 0+q.ω* et l’autre q.ω* = p.ω* +(q-p).ω* ( 0 < p < q). La seule possibilité qui reste est : p = 0, donc a = 0, donc q.ω*+ l ∈B. Maintenant, supposons qu’il y ait dans q.ω* + L des éléments de A ; soit q.ω*+l le plus petit d’entre eux (pour un ordre lexicographique arbitraire !) ; on sait que l = m’.e1 + n’.e2 , avec m’ < m ou n’ < n (ou non exclusif) ; effectuons les divisions de m’ par m et de n’ par n ; il existe donc des entiers s,s’,r,r’ tels que : m’ = s.m + r , n’ = s’.n + r’, avec r < m et r’ < n ; l’un des entiers s ou s’ au moins est nul ; distinguons alors deux cas : supposons d’abord que l’on ait : r = r’ = 0 ; alors l = m’.e1 = sme1 avec s > 0 ou l = n’.e2 = s’ne2 avec s’ > 0 ; mettons l = m’.e1 = sme1 avec s > 0, pour fixer les idées ; on pose l1 = (s-1)me1 de sorte que l = l1 + me1 ; il y a une contradiction concernant l’unique décomposition de l’élément q.ω* + l + n.e2 : q.ω* + l + n.e2 = (q.ω* + l)A + (n.e2)B = q.ω* + l1 + me1 + n.e2 = (q.ω* + l1)B + (ω*)A (comme l1 < l , le résultat du début s’applique et on voit que q.ω* + l1 ∈ B) ; supposons maintenant que r ou r’ soit ≠ 0; alors τ = (m-r)e1+(n-r’)e2 ∈ L⊂ B; de plus, on a : l + τ = l1 + ω* où l1 = sme1 + s’ne2 < l ; il y a encore une contradiction concernant l’unique décomposition de l’élément q.ω* + l +τ : 42 q.ω* + l +τ = (q.ω* + l)A + (τ)B = (q.ω* + l1)B + (ω*)A (comme l1 < l , le résultat du début s’applique et on voit que q.ω* + l1 ∈ B) . Finalement, l’existence même d’un élément de A tel que q.ω*+l conduit à une contradiction : tous les éléments de q.ω* + L sont dans B. En résumé, nous savons maintenant que : N2 = L ⊕ D ⊕ C = L ⊕ AD ⊕ BD ⊕ AC ⊕ BC où A = AΩ ⊕ AC = AD ⊕ AC et B = L ⊕ BD ⊕ BC . On note bien qu’aucun parenthésage n’est nécessaire ici puisque P0(N2) est un prémonoïde ◄ L’ensemble N2 est naturellement en bijection avec l’ensemble L × D × C, mais ce n’est évidemment pas un isomorphisme entre les prémonoïdes N2 et L × D × C. On pourrait songer à appliquer les Théorèmes 1-1 et 1-2 au produit de prémonoïdes L × D × C , mais toute la « subtilité » des Propositions 3-1 et 3-2 précédentes consiste à établir justement que ces parties sont propres, et il faudrait en plus calculer quelques noyaux…Notre propos est en fait inverse, et nous allons, seulement maintenant, calculer ces noyaux. Nous conservons toutes les notations précédentes attachées à la donnée d’une décomposition directe ∂ = (A,B) de N2. Proposition 3-3. (Calcul des noyaux d’instabilité d’une décomposition directe de N2) - Si ∂ est triviale, i.e. produit de décompositions directes de N, alors on a : N∂(A) = N∂1(A1)×N∂2(A2) et N∂(B) = N∂1(B1)×N∂2(B2), c’est-à-dire la trivialité des noyaux d’instabilité (ce résultat a une portée générale). - Si ∂ est non triviale, mettons avec│A1│et│A2│< ∞ , alors on a : N∂(A) = N∂, C (A) ⊕ N∂, D (A), N∂(B) = N∂, C (B) ⊕ L ⊕ N∂, D (B) = B, à la condition nécessaire et suffisante que │AD│ soit infini . Par contre, si │AD│ est fini : N∂(B) = N∂, C (B) ⊕ L< ⊕ N∂, D (B) où L< est une certaine partie bornée de L. ► Supposons d’abord que ∂ est triviale : A = A1 × A2 et B = B1 × B2 , et distinguons 3 cas : 1) │A1│=│A2│=│B1│=│B2│= ∞. Soit a = (a1,a2) ∈ A = A1 × A2 avec a1 ≠ 0 et a2 ≠ 0; comme N(A1) = A1 et N(A2) = A2 , il existe a’ = (a’1, a’2) ∈ A = A1 × A2 tel que les sommes a1 + a’1 et a2 + a’2 soient respectivement dans B1 et B2 ; ainsi, l’élément a’ est tel que a + a’ = (a1 + a’1, a2 + a’2) ∈ B = B1 × B2 ; si a’1 et a’2 sont les compléments respectifs de a1 et de a2 , alors on peut dire que a’ = (a’1, a’2) est le complément de a. Les autres cas ne présentent aucune difficulté: si a = 0, il n’y a pas de complément, mais 0 ∈ N(A) par définition ; si a = (a1,0) avec a1 ≠ 0, le complément de a est défini et vaut a’ = (a’1,0) ; enfin si a = (0,a2) avec a2 ≠ 0, le complément de a est défini et vaut a’ = (0,a’2) . Tout ceci achève de montrer que N(A) = A1×A2 = N(A1)×N(A2) = A. On établit de même que N(B) = B1×B2 = N(B1) × N(B2) = B. 43 2) │A1│et│A2│< ∞ (et évidemment│B1│=│B2│= ∞ ). Le même raisonnement prouve aussitôt que l’on a : N(A) = A1 × A2 = N(A1) × N(A2) = A tandis que l’on trouve seulement N(B) = (B1 ∩ [0,b1++[ ) × (B2 ∩ [0,b2++[ ) = N(B1) × N(B2) qui est différent de B. 3)│A1│et│B2│< ∞ (et évidemment│B1│=│A2│= ∞ ). Le même raisonnement prouve que l’on a : N(A) = A1 × (A2∩ [0,b2++[) = N(A1) × N(A2) ≠ A tandis que l’on a N(B) = (B1 ∩ [0,b1++[ ) × B2 = N(B1) × N(B2) ≠ B . Dans tous les cas, on a bien: N∂(A) = N∂1(A1)×N∂2(A2) et N∂(B) = N∂1(B1)×N∂2(B2), c’est-à-dire la trivialité des noyaux. Ce résultat est de portée générale. Supposons maintenant que ∂ est non triviale, et plus précisément encore que l’on a : │A1│et│A2│< ∞ ,│B1│=│B2│= ∞ On a vu (proposition 3-2) que : A = AC ⊕ AD = (C∩A) ⊕ (A∩D) et B = BC ⊕ L⊕ BD = (C∩B) ⊕ L ⊕ (B∩D), avec AD ≠ {0}. On doit distinguer selon que │BD│ est fini ou non. 1) Supposons d’abord │BD│= ∞, de sorte que ND(AD) = AD , que AD soit fini ou non. Soit α = ωa + ca ∈ A (ωa∈AD et ca∈AC) ; supposons d’abord m ou n > 1 ; soit ω’a le complément de ωa dans D (il existe bien puisque ND(AD) = AD) ; ω’a est donc tel que l’élément ωa + ω’a ∈ BD = B ∩ D; soit de même c’a le complément de ca dans C (dès lors que ca + c’a < 2.(b1++, b2++) on peut en parler et donc ca + c’a ∈ L ⊕ BC ) ; on a bien : α’ = ω’a + c’a ∈ A et α + α’ = (ωa + ω’a) + (ca + c’a) ∈ BD ⊕ L ⊕ BC ⊂ B; supposons ensuite que l’on ait m = 1 et n = 1, c’est-à-dire que ω* = (b1++, b2++) ∈ A ; posons (b1++, 2.b2++) = ω12 , (2.b1++, b2++) = ω21 ; les trois rectangles C, ω21 + C et ω12 + C sont toujours «dans» L, mais le quatrième, ω* + C, n’y est plus, puisque ω* ∈ A. Pour que la somme ca + c’a soit dans ce dernier rectangle ω* + C, il faut et il suffit que les indices maxima concernés par les composantes b1++ et b2++ de ω* soient tous deux des indices maxima absolus ; on a alors : ca + c’a = a1 + a2 + a’1+ a’2 = b1++ + b2++ + β1 + β2 = ω* + β1 + β2 , où β1 + β2 est un certain élément de BC ; dans ce cas, ωa+ω’a+ca+c’a = ωa+ ω’a+ ω* + β1 + β2 ; * si ωa = ( ∑i =0 N 2i d 2i )ω* (la base associée à la décomposition directe de D est désignée par (di) et les multiplicateurs par mi) on distingue selon que le premier coefficient non nul est N0 ou non ; pour N0 = 0, on pose ω’’a = ω’a + (m1-1) ω* et pour N0 ≠ 0, on pose ω’’a = ω’a - ω* de sorte que ω’’a est toujours bien défini et élément de A, ainsi que α’’ = ω’’a+c’a ; de plus dans le premier cas, on a : 44 α + α’’ = ωa + ca+ ω’’a+ c’a = ωa + ω’’a + ca + c’a = ωa + ω’a + (m1-1)ω* + ω* + β1 + β2 = ωa + ω’a+ d1.ω* + β1 + β2 qui est bien dans B, et dans le deuxième cas, on a : α + α’’ = ωa + ca+ ω’’a+ c’a = ωa + ω’’a + ca + c’a = ωa + ω’a - ω* + ω* + β1 + β2 = ωa + ω’a + β1 + β2 , qui est encore dans B. On trouve donc que N∂(A) = A = AC ⊕ AD = N∂, C (A) ⊕ N∂, D (A). 2) Supposons maintenant│BD│< ∞, de sorte que ND(AD) = AD ∩ [0,ω+[ , où ω+ est le plus grand élément de BD, que AD soit fini ou non. Tout ce qui a été dit précédemment reste vrai à la condition de prendre ωa ∈ AD ∩ [0,ω+[ (i.e. ωa < ω+) . On trouve donc encore ceci : N∂(A) = A = AC ⊕ (AD ∩ [0,ω+[) = N∂, C (A) ⊕ N∂, D (A) Dans tous les cas, on a bien : N∂(A) = N∂, C (A) ⊕ N∂, D (A). Reste à établir que : N∂(B) = N∂, C (B) ⊕ L ⊕ N∂, D (B) = B, à la condition nécessaire et suffisante que │AD│ soit infini, et que: N∂(B) = N∂, C (B) ⊕ L< ⊕ N∂, D (B), où L< est une certaine partie bornée de L, si │AD│ est fini. Soit donc ωb + cb + λb un élément de B ; supposons qu’il existe un autre élément de B, soit ω’b + c’b + λ’b tel que la somme ωb + cb + λb + ω’b + c’b + λ’b soit un élément de A, donc de la forme ωa + ca ; observons d’abord que la somme cb + c’b ne peut pas admettre de « retenue au-delà de b1++ + b2++ » ; elle ne peut dépasser b1++ + b2++ ; elle est donc nécessairement élément de C et l’unicité de décomposition liée à N2 = Ω ⊕ C permet de conclure que nécessairement : ca = cb + c’b et ωa = ωb + λb + ω’b + λ’b ; on voit donc déjà qu’on peut considérer que c’b est le complément de cb dans C , si cb ≠ 0 . Ensuite, l’élément λb + λ’b doit être dans D = ω*N puisque il est égal à ωa - ωb - ω’b ; posons λb = (m0.b1++, n0.b2++) et λ’b = (m’.b1++, n’.b2++) ; quitte à échanger les rôles de m et n (ou de A1 et de A2), on peut supposer que l’on a : m0/n0 < m/n avec m0 < m (et donc n’< n ) ; on effectue alors les deux divisions euclidiennes qui s’imposent : m’ = q’.m + r , avec r < m , et n0 = q.n + s , avec s < n ; comme m0 + m’ doit être un multiple de m, on doit avoir r + m0 = 0 ou m ; de même n0 + n’ doit être un multiple de n, on doit donc avoir s + n’ = 0 ou n ; de plus, le multiplicateur est le même ! - Supposons d’abord m0 ≠ 0 ; alors r + m0 = m , donc r est connu : r = m – m0 ; on effectue alors la division de n0 par n : et n0 = q.n + s , avec s < n ; 45 - supposons encore s ≠ 0; alors n’= n – s; on a: m0 +m’= m0 +q’.m+r = m0 +q’.m +m–m0 = (q’+1).m et n0 + n’ = q.n + s +n – s = (q+1).n; donc q’ = q = (n0-s) / n, d’où la seule solution possible pour que λb + λ’b soit dans D : m’ = (n0-s).m / n + m – m0 = (q+1).m – m0 ; et n’ = n – s = et l’on a : λb + λ’b = [ (n0-s)/n + 1].ω* = (q+1). ω*. - supposons maintenant s = 0; alors n’= 0; on a: m0 +m’= m0 +q’.m+r = m0 +q’.m +m–m0 = (q’+1).m et n0 +n’ = n0 = q.n ; donc q’ = q-1 = n0/n -1; alors m0 +m’ = q.m et n0 + n’ = q.n , d’où la seule solution possible pour que λb + λ’b soit dans D: m’ = q.m – m0 et n’ = 0; de sorte que l’on a : λb + λ’b = [ (n0-s)/n + 1].ω* = q.ω* ; - Supposons ensuite m0 = 0 ; alors r = 0 ; on a toujours : n0 = q.n + s , avec s < n ; - supposons encore s ≠ 0 ; alors n’ = n – s ; on a : m0 +m’ = q’.m+r = q’.m et n0 + n’ = q.n + s +n – s = (q+1).n; donc q’ = q+1 = (n0-s)/n + 1, d’où la seule solution possible pour que λb + λ’b soit dans D : m’ = (n0-s).m / n + m = (q+1).m ; et n’ = n – s ; de sorte que l’on a : λb + λ’b = [ (n0-s)/n + 1].ω* = (q+1).ω* ; - supposons enfin s = 0 ; alors n’ = 0 ; on a : m0 +m’ = m’ = q’.m et n0 + n’ = n0 = q.n; donc q’ = q = n0/n , d’où la seule solution possible pour que λb + λ’b soit dans D : m’ = n0.m / n = (q+1).m ; et n’ = n – s = n ; de sorte que l’on a : λb + λ’b = [(n0-s)/n + 1].ω* = (q+1).ω* . En conclusion, on effectue la division de n0 par n : n0 = q.n + s , avec s < n et on distingue selon que m0 ≠ 0 ou non : - m0 = 0 : multiplicateur commun : q+1 - m0 ≠ 0 : multiplicateur commun : q+1 si s ≠ 0, q si s = 0. Poursuivons et posons: ωb = β.ω* ; ω’b = β’.ω* et λb+λ’b = p.ω* ; ωa = α.ω* ; la décomposition (AD, BD) de D = ω*.N est isomorphe à une décomposition de N, à laquelle on l’identifie à partir de maintenant ; rappelons que (di) désigne la base généralisée (finie ou non) associée, que d0 = 1∈ AD ; on doit avoir : α = β + β’ + p ; le seul facteur sur lequel on puisse jouer est le choix de β’ pour que α soit dans A ; à cet effet, il suffit d’appliquer la proposition 2-5 à n = β + p ; si ce nombre est majoré par un élément a de AD, il existe un élément β’ de BD tel que n + β’ = β + p + β’ soit dans AD . La seule condition qu’on ait rencontrée est cette majoration de n = β + p par AD ; si AD est infini, la condition est automatiquement satisfaite, et on peut affirmer que N∂(B) = B. Si au contraire AD est fini, il faut et il suffit que n = β + p soit majoré par : k k k i=0 i=0 i=0 sup(AD) = αD+ = ∑ (m 2i +1 − 1)d 2i = ∑ d 2i +1 - ∑ d 2i ; et dans ce cas, on sait que l’élément n = β + p est lui-même majoré par αD+ (remarque 3, suivant la proposition 2-5) Reste à traduire techniquement l’inégalité β + p ≤ αD+. La procédure à suivre est résumée ici : - m et n sont donnés par ω* = (m.b1++, n.b2++) ; - m0 et n0 sont donnés par λb = (m0.b1++, n0.b2++) avec m0/n0 < m/n , pour l’exemple ; - q et s sont calculés par division euclidienne : n0 = q.n + s , s < n ; 46 - si m0 ≠ 0 et s = 0 , p = q ; autrement p = q+1 ; - β est donné par ωb = β.ω* = (β.m.b1++, β.n.b2++) ; - n = β + p ; le bornage requis est : n ≤ αD+ ; - si cette condition est remplie, β’ est calculé par la proposition 5. Il est clair que la seule condition qui ressort de cette analyse est liée à l’existence même de αD+ , c’est-à-dire au fait que AD soit fini, et qu’il s’agit d’une condition de bornage : le noyau est nécessairement contenu dans B ∩ C** en désignant par C** le « plus petit » rectangle canonique qui contient tous les éléments de A ◄ Proposition 3-4 (Structure des facteurs directs de N2) - Si ∂ est triviale, A et B sont des prémonoïdes produits, A ≈ A1 × A2 et B ≈ B1 × B2. - Si ∂ est non triviale, mettons avec│A1│et│A2│< ∞ ; on trouve : - si ω* ≠ e1+ e2 , ou si ω* = e1+ e2 mais A1 ou A2 est réduit à 0, le facteur A est un sous-prémonoïde de N2 isomorphe à AC × AD ; - si ω* = e1+ e2 et A1 et A2 non réduits à 0, alors A n’est pas un sous-prémonoïde de 2 N et le système additif A = (A, +b) n’est pas associatif - pour que B soit un sous-prémonoïde de N2, il faut et il suffit que B ∩ N.ω* = {0}. ► Supposons d’abord ω* ≠ e1+ e2 ; pour que la somme de deux éléments de A soit encore dans A, il est nécessaire que leurs composantes situées dans C ait encore une somme dans C; en effet, soit x = m.ω* + c et y = n.ω* + c’, où c et c’ ∈ C, deux éléments de A tels que x+y soit encore élément de A, mettons x+y = p.ω* + d avec d ∈ C; l’élément c + c’ – d est donc dans 2.C (ou son opposé -2.C) et dans D = N.ω* (ou son opposé –D) ; mais D ∩ 2.C = {0}, car ω* ≠ e1+ e2 ; on a donc : c+c’ = d et m+n = p ; ceci prouve que A est isomorphe au produit des prémonoïdes AC et AD ; c’est donc un prémonoïde. Supposons maintenant ω* = e1+e2 et, par exemple, A2 = {0} ; on reprend les notations précédentes pour x, y, x+y ; posons d = d1 + d2, où d1 ∈ E1 et d2 ∈ E2 ; comme x+y ∈ A, on voit que d = d1 et d2 = 0 ; en projetant sur E2, il vient 0 = (m+n-p).e2, donc nécessairement m+n-p = 0 ; ici encore A est isomorphe au produit des prémonoïdes AC et AD ; c’est donc un prémonoïde ( AC = A1 × {0}). Supposons enfin ω* = e1+e2 , A1 ≠ {0} et A2 ≠ {0} ; l’élément e1 est de la forme m.bk où bk est élément de A1 et m > 1 ; de même e2 = n.b’k’ où b’k’ est élément de A2 et n > 1 ; décomposons m (resp. n) en somme de deux entiers non nuls, m’ et m” (resp. n’ et n”) ; les éléments suivants sont dans A : a’ = m’.bk ; a” = n”.b’k’ ; a = m”.bk + n’.b’k’ ; a’ + a” = a1 = m’.bk + n”.b’k’ et a + (a’ + a”) = m”.bk + n’.b’k’ + m’.bk + n”.b’k’ = m.bk + n.b’k’ = e1+e2 = ω* tandis que ni a + a’ = e1 + n’.b’k’ , ni a + a” = e2 + m”.bk ne sont éléments de A ; ainsi A ne saurait être un prémonoïde. On voit aussi que : a +b (a’ +b a”) = ω* , (a +b a’) +b a” = 0, et aussi : a1 +b (a +b a’) = a’, (a1 +b a) +b a’ = 0 et a1 +b (a +b a”) = a”, (a1 +b a) +b a” = 0, ce qui montre que A = (A, +b) est loin d’être associatif. Venons-en au cas de B. Supposons d’abord B∩D = {0}; soient x = l + c et y = l’ + c’, où l, l’∈ L et c, c’∈ C ∩B, deux éléments de B, tels que la somme x+y soit encore élément de B ; l’élément c+c’ est 47 encore dans C (cf. la structure des décompositions de N) ; alors l+l’∈ L, et B hérite donc de la structure de prémonoïde produit des prémonoïdes C ∩B et L. Par contre, si B∩D ≠ {0}, il existe au moins un élément de B de la forme n.ω* (avec n ≥ 2) ; on sait que ω* = λ.e1 + µ.e2 , avec λ et µ > 0 ; les éléments suivants sont dans B : b’ = λ.e1, b” = (n-1)λ.e1 , b = nµ.e2, b’ + b” = nλ.e1 et b + (b’ + b”) = n.ω*, tandis que ni b + b’ = nµ.e2 + λ.e1 ni b + b” = nµ.e2 + (n-1)λ.e1 ne sont éléments de B ; en effet, aucun des éléments suivants n’est nul : a(b + b’) = ω*, b(b + b’) = (n-1)µ.e2, a(b + b”) = a((n-1)ω*), b(b + b”) = b((n-1)ω*) + µ.e2 Bien évidemment , B = (B, +a) est loin d’être associatif, dans ce cas ◄ 48 4. Généralisation du résultat précédent à certaines décompositions de Nk. Tout ce qui a été établi jusqu’ici pour N2 est applicable pratiquement sans modification au cas de certaines décompositions additives directes des Nk avec k ≥ 2. Nous allons cependant reprendre les énoncés précis concernant cette généralisation, avec les conditions précises dans lesquelles ils s’appliquent. Soit donc (A,B) une décomposition directe de Nk ; on désigne par (Ap , Bp) la décomposition « induite » sur le pième facteur de la puissance Nk , qu’on identifie à une décomposition directe de N ; on reprend les notations génériques des décompositions directes de N : - si Ap est fini, sup(Ap) = αp+ , sup(Bp ∩ [0, αp+] ) = βp+ et inf(Bp\Ap) = bp++ ; rappelons qu’on a : βp+ ≤ αp+ < bp++ (βp+ = αp+ seulement si Ap = {0} et alors αp+ = βp+ = 0 < bp++ = 1) - si Bp est fini, sup(Bp) = βp+ , sup(Ap ∩ [0, βp+] ) = αp+ et inf(Ap\Bp) = bp++ ; rappelons qu’on a : αp+ ≤ βp+ < bp++ (αp+ = βp+ seulement si Bp = {0} et alors, βp+ = αp+ = 0 < bp++ = 1) On suppose que, pour tout p de 1 à k, on a : Ap< ∞ ou Bp< ∞ Soit Ω le réseau engendré par e1 = (b1++, 0,0,..), e2 = (0,0, b2++,0,..), …, ek = (0,0,…,bk++). Soit C = [0, b1++[ × [0, b2++[ …× [0, bk++[. On désigne toujours par a et b les applications qui fournissent les facteurs de décomposition pour tout x, on a : x = a(x)+b(x) avec a(x) ∈ A et b(x) ∈ B. Proposition 4-1 (extension de la proposition 3-1) Si pour tout p de 1 à k, on a : Ap< ∞ ou Bp< ∞ , alors (Ω, C) est une décomposition directe de Nk en parties propres relatives à la décomposition (A,B) donnée; c’est dire que pour tout z ∈ Nk , z = ω+c avec (ω,c)∈ Ω × C on a : a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c), avec a(ω) et b(ω) ∈ Ω. ► La décomposition unique de z = ω+c avec (ω,c)∈ Ω × C est classique. Si z ∈ C, a(z) et b(z) sont aussi éléments de C ; de plus , la décomposition induite par (A,B) sur C est complètement triviale, dans le sens que A∩C = ∏ ( [0, b p + + [ ∩ A p ) , mais aussi 1≤ p ≤ k B∩C = ∏ ( [0, b p ++ [ ∩ B p ) : une simple récurrence et l’application du théorème de 1≤ p ≤ k décomposition triviale dans sa version relative permettent d’établir ce fait. On procède maintenant par récurrence transfinie (avec l’ordre lexicographique dans Nk). Supposons que, pour tout z’ < z, on ait : a(z’) = a(ω’) + a(c’) et b(z’) = b(ω’) + b(c’), où (ω’,c’) est l’unique élément de Ω × C tel que z’ = ω’+c’, avec a(ω’) et b(ω’) ∈ Ω. Remarquons que a(z’) = a(ω’) + a(c’) et b(z’) = b(ω’) + b(c’) sont les décompositions respectives de a(z’) et b(z’) selon la décomposition directe Nk =Ω ⊕ C. Venons-en alors à z et distinguons deux cas, selon que z ∈ Ω ou que z ∉ Ω : -z∈Ω. Si, en plus, z ∈ A ∪ B, il n’y a rien à démontrer: soit a(z) = z et b(z) = 0, si z ∈ A, soit a(z) = 0 et b(z) = z, si z ∈ B. 49 Supposons donc maintenant que z ∉ A ∪ B ; z = a(z)+b(z) avec a(z) < z et b(z) < z ; par hypothèse de récurrence, on peut écrire : a(z) = ωa + ca et aussi b(z) = ωb + cb où l’on a : (ωa, ca) ∈ (Ω × C) ∩ A et (ωb, cb) ∈ (Ω × C) ∩ B ; la somme ca+cb est nécessairement élément de C, puisque (ca, cb) ∈ (A × B) ∩ C et que la décomposition induite sur C est justement triviale ; mais ωa+ωb∈ Ω, l’unicité de décomposition de z selon (Ω, C) entraîne alors que z = ωa + ωb (ca+ cb =0 et donc ca = cb = 0); ainsi a(z) = ωa et b(z) = ωb ∈ Ω. -z∉Ω. Si en plus, z ∉ A ∪ B, alors on est pratiquement dans la même situation que précédemment : z = a(z)+b(z) avec a(z) < z et b(z) < z ; par hypothèse de récurrence, on a: a(z) = ωa+ca et aussi b(z) = ωb+cb où (ωa, ca) ∈ (Ω × C) ∩ A et (ωb, cb) ∈ (Ω × C) ∩ B; la somme ca+ cb est nécessairement élément de C, puisque (ca, cb) ∈ (A × B) ∩ C et que la décomposition induite sur C est triviale ; si z = ω + c, l’unicité de décomposition de z selon (Ω , C) entraîne alors que ω = ωa + ωb et c = ca+ cb ; clairement on a: a(c) = ca , b(c) = cb , a(ω) = ωa et b(ω) = ωb de sorte que: a(z) = a(ω) + a(c) et b(z) = b(ω) + b(c). Supposons donc enfin que z ∈ A ∪ B; soit z = ω + c, c ≠ 0 ( z ∉ Ω ), la décomposition de z suivant Ω × C; alors ω < z s’écrit aussi ωa + ωb et c = ca+ cb d’où z = ωa+ca+ωb+cb ; supposons ωb + cb ≠ 0 ; alors ωa + ca < z et du coup, en utilisant l’hypothèse de récurrence, a(ωa + ca) = a(ωa) + a(ca) = ωa + ca , ce qui prouve que ωa + ca ∈ A ; supposons aussi ωa + ca ≠ 0 ; alors ωb + cb < z et du coup, en utilisant l’hypothèse de récurrence, b(ωb + cb) = b(ωb) + b(cb) = ωb+cb , ce qui prouve que ωb+cb ∈ B; comme z ∈ A ∪ B, il n’est pas possible d’avoir en même temps ωb + cb ≠ 0 et ωa + ca ≠ 0 ; on a donc soit z = ωa + ca , soit z = ωb + cb ; Reste à voir que, dans le premier cas on a bien z ∈ A, et dans le second cas, on a bien z ∈ B . On procède alors par l’absurde : - supposons d’abord que z = ωa + ca et z ∈ B ; on sait que ca = (ap)1≤ p ≤ k , ap ∈ Ap , est différent de 0 ; il existe donc un indice p tel que ap ≠ 0 ; son complément a’p est bien défini et tel que ap + a’p = bp ∈ Bp ⊂ B ; définissons l’élément ap§ (resp. a’p§) comme ayant pour seule composante non nulle la composante pième, justement égale à ap (resp. a’p) ; alors l’élément z + a’p§ aurait deux décompositions à savoir : (a’p§ , z) ∈ Ap × B, mais encore (ωa+ ca,p , bp) ∈ A × Bp où ca,p = ca - ap§ ; en effet, on a : ωa + ca,p + bp = ωa + ca,p + ap§ + a’p§ = ωa + ca + a’p§ = z + a’p§ , et le fait que ap soit différent de 0 entraîne que ωa+ ca,p < z est bien un élément de A, par l’hypothèse de récurrence ; notons aussi que ces décompositions sont bien distinctes ! ; il y a donc une contradiction et z = ωa + ca ∈ A et a(z) = z = a(ω + c) = ωa + ca = a(ω) + a(c) ; - supposons enfin z = ωb + cb ; on montre comme ci-dessus que nécessairement z ∈ B et b(z) = z = b(ω + c) = ωb + cb = b(ω) + b(c). En résumé, nous avons établi que : Nk = Ω ⊕ C = AΩ ⊕ BΩ ⊕ AC ⊕ BC , et que A = AΩ ⊕ AC et B = BΩ ⊕ BC ◄ Remarque. Certains des entiers bp++ peuvent fort bien être égaux à 1 ; dans ce cas le « segment » correspondant [0, bp++[ est réduit à {0}. On dira aussi que C est l’intérieur de l’hypercube C = ∏ ( [0, b p + + ] ; on parlera aussi de la dimension de C : c’est le nombre d’entiers p ≤ k tels 1≤ p ≤ k que l’on ait : bp++ > 1 ; elle peut être a priori tout nombre compris entre 0 et k ; quelle qu’elle 50 soit, le théorème précédent est valable (si elle est nulle, des cas évoqués dans la démonstration ne se présentent pas, tout simplement…) La proposition 3-2, qui complète la proposition 3-1 et conduit à la description complète des décompositions non triviales de N2, ne se laisse pas généraliser d’aussi facile façon que la proposition 3-1 en la proposition 4-1. Nous terminerons cette partie en fournissant quelques éléments sur les décompositions additives en petites dimensions (3, 4 et 5). 51 4) bis. Exploration en petites dimensions (3, 4 et 5). Classification des décompositions non triviales de N3. En principe, cette section se veut seulement pédagogique, puisqu’une lecture du cas général est théoriquement possible. Cependant, étant passé par là, je reste persuadé que je n’aurais pas mis au point le cas général sans le passage par la dimension 3. Pour mieux marquer le coup, nous identifions N3 à un sous-ensemble de R3, espace auquel on empruntera les notations les plus usuelles, Ox, Oy, Oz, …par exemple et le vocabulaire (point, droite, plan, etc….) On suppose que les facteurs de A sur les axes, soient Ax, Ay, Az , sont finis. On suppose aussi que la décomposition induite dans le plan Oyz n’est pas triviale. Il y a donc dans ce plan des éléments de A dont les deux composantes sont non nulles et éléments de B. Il y en a un « minimum » (au sens d’un ordre lexicographique) , mettons α = βy + βz , avec βy , βz ≠ 0, βy ∈ By et βz ∈ Bz . La proposition 4-1 s’applique : on est ramené à la décomposition de Ω, réseau qui est naturellement isomorphe à N3 et on peut donc supposer en plus que Ax, Ay, Az sont réduits à {0}, c’est-à-dire aussi que N.ex = Bx , N.ey = By et N.ez = Bz , où ex, ey et ez forment la base canonique de N3 Proposition 4-1-1. Sous les hypothèses précédentes, tous les éléments de Oxy et Oyz sont dans B. ► Les axes Oy et Oz jouent des rôles symétriques par rapport à Ox ; il suffit donc d’établir que Oxy est contenu dans B. On raisonne par l’absurde. Soit α0 = β’x + β’y le plus petit élément de A dans le plan Oxy (supposé exister) ; il est tel que β’x , β’y ≠ 0, β’x ∈ Bx et β’y ∈ By. On pose alors: β’y = λ’.by++ et βy = λ.by++. Si λ’ ≥ λ , on examine l’élément α0 + βz qui aurait deux décompositions : α0 + βz = β’x + β’y + βz = β’x + β’y - βy + βy + βz = α + β’x + (λ’-λ).by++ ; ce dernier élément β’x + (λ’-λ).by++ est strictement plus petit que α0 = β’x + β’y car λ ≠ 0 et est donc dans Bxy ⊂ B ; c’est un élément de B. Si λ’ < λ , on examine l’élément α + β’x qui aurait deux décompositions : α + β’x = βy + βz + β’x = β’y + βz + β’x + βy - β’y = α0 + (λ-λ’).by++ + βz ; mais l’élément (λ-λ’).by++ + βz est strictement plus petit que α = βy + βz car λ’ ≠ 0 et à ce titre, c’est un élément de B. Dans les deux cas, on disposerait d’un élément ayant deux décompositions. C’est une contradiction ◄ 52 Supposons toujours Ax, Ay et Az finis, et en fait réduits à {0}, après une éventuelle réduction (application de la proposition 4-1 et identification à N3 du réseau Ω). Supposons encore la décomposition induite sur Oyz non triviale, avec « droite exceptionnelle » Dyz = D = N.α*, où α* = m.ey + n.ez ∈ A. On sait que cette dernière est propre. Si on suppose que AD est infini, le théorème de décomposition directe triviale s’applique : la décomposition (A,B) de N3 donnée est produit des décompositions induites sur Ox et Oyz respectivement, cette dernière étant non triviale. On la dira semi-triviale. On se place donc justement dans le cas où les conditions suffisantes d’application du théorème 1-1 ne s’appliquent pas, c’est-à-dire dans le cas où AD est fini. Proposition 4-1-2. Avec ces hypothèses (Ax, Ay , Az et AD finis) , si la décomposition directe de N3 considérée n’est pas semi-triviale, alors le plan P = Ox ⊕ Dyz est une partie propre de N3 sur laquelle (A,B) induit une décomposition (A0, B0) isomorphe à une décomposition non triviale de N2. ► Réduction. La décomposition du « cube » C = [0,1[ × [0,m[ × [0,n[ est triviale dans ce sens que l’on a : AC = {0}×{0}×{0} et BC = {0}× [0,m[ × [0,n[. Le réseau Ω engendré par ex = (1, 0, 0) , ey = (0, m, 0) et ez = (0, 0, n) est une partie propre pour la décomposition (A,B) : en effet, la proposition 4-1 s’applique, dans un cas trivial puisque C est entièrement contenu dans B (notons aussi que dim(C) ≤ 2, plus précisément : dim(C) = 2 si m et n > 1; dim(C) = 1 si m ou n = 1, mais pas m et n ; enfin, dim(C) = 0 si m = n = 1). Pour alléger les notations, on identifie Ω à N3, on note encore (A,B) la décomposition de N3 correspondant à (AΩ,BΩ); on suppose donc: Nx, Ny et Nz ⊂ B. Avec cette identification, l’hypothèse inf(Ayz*) = m.ey+n.ez = α* devient : inf(Ayz*) = (0,1,1) et la droite exceptionnelle Dyz = D = N.(0,1,1) est la diagonale de Oyz ; elle admet une décomposition induite isomorphe à une décomposition de N, dont la base généralisée notée (di) 1 ≤ i ≤ 2k+1 est finie d’ordre impair puisque 1 ∈ A et B est infini. L’hypothèse de récurrence : pour tout u’ < u, on a a(u’) ∈ P = {(x,y,y)} et b(u’) est de la forme bP(u’) + r(u’) où bP(u’) ∈ P∩B , et r(u’) ∈ Oy ∪ Oz ; plus précisément, si b(u’) = (x,y,z), ou bien y ≥ z et alors bP(u’) = (x,z,z), r(u’) = (0,y-z,0) ∈ Oy, ou bien z ≥ y, et alors bP(u’) = (x,y,y) , r(u’) = (0,0,z-y) ∈ Oz . On notera bien que le couple (P, Oy ∪ Oz ) est une décomposition directe de N3. L’important dans l’hypothèse de récurrence ci-dessus consiste donc en « a(u’) ∈ P » et « bP(u’) ∈B» ; dans cette hypothèse de récurrence figure la décomposition explicite de u’ selon (P,Oy ∪ Oz) donné par : u’ = ( a(u’) + bP(u’) )P + r(u’)Oy∪Oz , de sorte qu’on peut calculer r(u’) avant de calculer b(u’). Si u’ = (x, y, z), ou bien y ≥ z, et r(u) = (0,y-z,0), ou bien z ≥ y, et r(u) = (0,0,z-y). Venons-en à u. Supposons d’abord u ∉ A∪ B. Alors u = a(u) + b(u), avec a(u) < u et b(u) < u ; 53 comme a(u) < u , l’hypothèse de récurrence s’applique, et on a donc : a(a(u)) = a(u) ∈ P = {(x,y,y)} ; comme b(u) < u , l’hypothèse de récurrence s’applique encore, et on a donc : b(b(u)) = b(u) = bP(b(u)) + r(b(u)) ; si b(u) = u’ = (x,y,z), avec z ≥ y ; alors b(u’) = u’ = (x,y,z) aussi, de sorte que bP(u’) = (x,y,y) ∈ P∩B et r(u’) = (0,0,z-y) ∈ Oz ; donc bP(u) = bP(u’) = (x,y,y) et r(u) = r(u’) = (0,0,z-y) ; on traite de la même manière l’autre cas (i.e. y ≥ z). Supposons maintenant u ∈ A∪ B. Si u ∈ P aussi, alors, ou bien u ∈ A et dans ce cas on a : u = a(u) ∈ P et b(u) = 0 (bP(u) = r(u) = 0), ou bien u ∈ B et alors on a: u = b(u) ∈ P (bP(u) = b(u) et r(u) = 0) et a(u) = 0. Si u ∉ P, supposons, par exemple, que l’on ait z >y ; soit alors u’ = u – (0,0,z-y) (i.e. : u’ est l’unique élément de P tel que u’ + (0,0,z-y) = u) ; comme u’ < u, l’hypothèse de récurrence s’applique : a(u’)∈ P et b(u’) est de la forme bP(u’) + r(u’) où bP(u’) ∈ P∩B et r(u’) = 0 (vu la définition de u’) ; supposons a(u’) ≠ 0, alors u’’ = b(u’) + (0,0,z-y) < u et l’hypothèse de récurrence s’applique : a(u’’) ∈ P et b(u’’) est de la forme bP(u’’) + r(u’’) où bP(u’’) ∈ P∩B et r(u’’) = (0,0,z-y) (vu la définition de u’’et le fait que b(u’) = bP(u’) ∈ P∩B); on a alors : u’’ = b(u’) + (0,0,z-y) = a(u’’) + b(u’’) = a(u’’) + bP(u’’) + r(u’’) = a(u’’) + bP(u’’) + (0,0,z-y) d’où , après simplification par (0,0,z-y) : b(u’) = a(u’’) + bP(u’’) ; l’unicité de décomposition entraîne alors que a(u’’) = 0, donc u’’ ∈ B ; mais u = a(u’) + u’’ aurait alors deux décompositions : contradiction ! Donc a(u’) = 0, de sorte que u’ ∈ B et bP(u’) = b(u’) = u’. Reste à écarter l’éventualité : « u’ + (0,0,z-y) ∈ A» ; on traite ce point grâce à une récurrence secondaire : supposons établi que u’ + (0,0,v) est élément de B pour tout v, 0 ≤ v < z-y ; comme z-y ≥ 1, on peut considérer l’élément u’-1 = u’ + (0,0,z-y-1); par l’hypothèse de récurrence secondaire, c’est un élément de B; si u’ + (0,0,z-y) était élément de A, alors l’élément u* = u’+(0,1,z-y) aurait deux décompositions selon (A,B) : u* = u’ + (0,1,z-y) = (u’ + (0,0,z-y))A + (0,1,0)B , d’une part u* = u’ + (0,1,z-y) = (0,1,1)A + (u’ + (0,0,z-y-1))B , d’autre part ; ainsi, l’élément u’ + (0,0,z-y) est dans B. La démonstration est pratiquement achevée : le « plan » P est propre pour la décomposition donnée. Il est isomorphe à N2 ; on identifie (AP , BP) à une décomposition (A0 ,B0) de N2. Si celle-ci était triviale, alors la décomposition de N3 donnée serait, elle, semi-triviale , ce qui n’est pas ◄ Supposons maintenant Bx, Ay et Az finis. Supposons encore la décomposition induite sur Oyz non triviale, avec « droite exceptionnelle » Dyz = D = N.α*, où α* = m.ey + n.ez. On sait que cette dernière est stable. Si on suppose que BD est infini, la valeur des noyaux d’instabilité fait que le théorème de décomposition directe triviale s’applique : N∂yz (Ayz) (= Ayz d’après la 54 proposition 3-3) et N∂x(Bx) (= Bx d’après les premiers calculs). Dans ce cas, on dira que la décomposition (A,B) de N3 est semi-triviale (i.e. produit des décompositions induites sur Ox et Oyz respectivement, cette dernière étant non triviale). On se place donc justement dans le cas où les conditions suffisantes d’application du théorème 1-1 ne s’appliquent pas, c’est-àdire dans le cas où BD est fini. Proposition 4-1-3. Avec ces hypothèses (Bx, Ay , Az et BD finis) , si la décomposition directe de N3 considérée n’est pas semi-triviale, alors le plan P = Ox ⊕ Dyz est une partie propre de N3 sur laquelle (A,B) induit une décomposition (A0, B0) isomorphe à une décomposition non triviale de N2. ► On pourrait pratiquement se contenter d’un…« par un raisonnement tout à fait analogue à celui de la proposition précédente », mais nous allons au contraire « rallonger la sauce », dans l’unique but de fixer des notations pour la version « programmatique » de ces propositions, et les exemples numériques afférents. Quelques réductions (sans simplification afférente des notations). D’après la proposition 4-1, (Ω, C) est une décomposition directe de N3 ; Ω et C sont propres pour la décomposition (A,B) donnée ; plus précisément, tout t ∈ N3 s’écrit de façon unique : t = ω+c , où ω∈ Ω et c∈ C , et l’on a : a(t) = a(ω) + a(c) et b(t) = b(ω) + b(c), sachant que a(ω) , b(ω) ∈ Ω. On est donc ramené à trouver la décomposition induite par (A,B) sur Ω = N.ex⊕ N.ey ⊕ N.ez sachant que N.ex est trivial : N.ex⊂ A, et que N.ey ⊕ N.ez, muni de la décomposition induite par (A,B) est isomorphe à une décomposition non triviale de N2, dont les « bords » N.ey et N.ez sont dans B, et dont les noyaux d’instabilité ne sont ni l’un ni l’autre maximaux, de sorte que le théorème de décomposition triviale (même sous sa forme relative) n’est pas applicable. Pour alléger les notations, on identifie Ω à N3 , on note (A’,B’) la décomposition de N3 correspondant à la décomposition (AΩ,BΩ) de Ω, et on suppose donc: Nx ⊂ A’, Ny et Nz ⊂ B’. D’après la proposition 3-2, on sait qu’il existe un unique couple d’entiers (m ≥ 1 , n ≥ 1) tel que inf(A’yz*) = m.ey+n.ez = α*; la droite exceptionnelle D’yz = D’ = N.α* admet une décomposition induite isomorphe à une décomposition de N, dont la base généralisée est notée (di) 1 ≤ i ≤ 2k (elle est finie et s’arrête sur un indice pair, puisque BD est fini et «1 ∈ A’D»). Maintenant, l’élément à décomposer t’ n’est autre que l’élément correspondant à ω dans l’identification faite entre Ω et N3. Si ω = x.ex + y.ey + z.ez , alors t’ = (x, y, z) La décomposition du « cube » C’ = [0,1[ × [0,m[ × [0,n[ est triviale dans ce sens que l’on a : A’C’ = {0}×{0}×{0} et B’C’ = {0}× [0,m[ × [0,n[. Le réseau Ω’ engendré par e’x = (1, 0, 0) , e’y = (0, m, 0) et e’z = (0, 0, n), éléments qui correspondent respectivement à ex , m.ey et n.ez dans l’identification faite entre Ω et N3, est une partie propre pour la décomposition (A’,B’) : en effet, la proposition 4-1 s’applique à nouveau, et dans un cas relativement trivial puisque C’ est entièrement contenu dans B’ (notons aussi que dim(C’) ≤ 2, plus précisément : dim(C’) = 2 si m et n > 1 ; dim(C’) = 1 si m > 1 et n = 1, ou si m = 1 et n > 1 ; enfin, dim(C’) = 0 si m = n = 1). Donc t’ s’écrit de manière unique t’ = ω’+c’, où ω’∈ Ω’ et c’∈ C’, et l’on a : a(t’) = a(ω’) + a(c’) et b(t’) = b(ω’) + b(c’), sachant que a(ω’) , b(ω’) ∈ Ω’. 55 Précisément, on effectue les divisions euclidiennes de y par m et de z par n : y = m.y’ + m’ et z = n.z’ + n’, avec m’ < m et n’ < n. On a : c’ = (0, m’, n’) ∈ B’ et ω’ = (x, m.y’, n.z’) reste à décomposer. Pour alléger les notations, on identifie Ω’ à N3, on note (A’’,B’’) la décomposition de N3 correspondant à (A’Ω’, B’Ω’); on suppose donc: Nx⊂ A’’, Ny et Nz ⊂ B’’. Avec cette identification, l’hypothèse inf(Ayz*) = m.ey+n.ez = α*, devenue déjà inf(A’yz*) = (0,m,n), devient : inf(A’’yz*) = (0,1,1) ; la droite exceptionnelle D’’yz = D’’ = N.(0,1,1) est la diagonale de Oyz ; elle admet une décomposition induite isomorphe à une décomposition de N, dont la base généralisée est toujours notée par (di) 1 ≤ i ≤ 2k ; l’élément u qui reste à décomposer et correspondant à ω’ est u = (x , y’, z’). L’hypothèse de récurrence : pour tout u’ < u, on a a(u’) ∈ P = {(x,y,y)} et b(u’) est de la forme bP(u’) + r(u’) où bP(u’) ∈ P∩B’’, P = {(x,y,y)}, et r(u’) ∈ Oy ∪ Oz ; plus précisément, si b(u’) = (x,y,z), ou bien y ≥ z et alors bP(u’) = (x,z,z), r(u’) = (0,y-z,0) ∈ Oy, ou bien z ≥ y, et alors bP(u’) = (x,y,y) , r(u’) = (0,0,z-y) ∈ Oz . On notera bien que le couple (P, Oy ∪ Oz ) est une décomposition directe de N3. L’important dans l’hypothèse de récurrence ci-dessus consiste donc en « a(u’) ∈ P » et « bP(u’) ∈B’’» ; dans cette hypothèse de récurrence figure donc la décomposition explicite de u, donc de ω’, donc de ω, donc de t. La décomposition de u’ selon (P, Oy ∪ Oz ) est donné par : u’ = ( a(u’) + bP(u’) )P + r(u’)Oy∪Oz , de sorte qu’on peut calculer r(u’) avant de calculer b(u’). Si u’ = (x’, y’, z’), ou bien y’ ≥ z’, et r(u’) = (0,y’-z’,0), ou bien z’ ≥ y’, et r(u’) = (0,0,z’-y’); si b(u’) = (x, y, z), ou bien y ≥ z et dans ce cas y’-z’ = y-z ≥ 0, ou bien z ≥ y et dans ce cas z’-y’ = z-y ≥ 0 ; Venons-en à u. Supposons d’abord u ∉ A’’∪ B’’. Alors u = a(u) + b(u), avec a(u) < u et b(u) < u ; comme a(u) < u , l’hypothèse de récurrence s’applique, et on a donc : a(a(u)) = a(u) ∈ P = {(x,y,y)} ; comme b(u) < u , l’hypothèse de récurrence s’applique encore, et on a donc : b(b(u)) = b(u) = bP(b(u)) + r(b(u)) ; si b(u) = u’ = (x,y,z), avec z ≥ y ; alors b(u’) = u’ = (x,y,z) aussi de sorte que bP(u’) = (x,y,y) ∈ P∩B’’et r(u’) = (0,0,z-y) ∈ Oz ; donc bP(u) = bP(u’) = (x,y,y) et r(u) = r(u’) = (0,0,z-y) ; on traite de la même manière l’autre cas (i.e. y ≥ z). Supposons maintenant u ∈ A’’∪ B’’. Si u ∈ P aussi, alors, ou bien u ∈ A’’ et dans ce cas on a : u = a(u) ∈ P et b(u) = 0 (bP(u) = r(u) = 0), ou bien u ∈ B’’et alors on a: u = b(u) ∈ P (bP(u) = b(u) et r(u) = 0) et a(u) = 0. Si u ∉ P, supposons, par exemple, que l’on ait z >y ; soit alors u’ = u – (0,0,z-y) (i.e. : u’ est l’unique élément de P tel que u’ + (0,0,z-y) = u) ; comme u’ < u, l’hypothèse de récurrence s’applique : a(u’)∈ P et b(u’) est de la forme bP(u’) + r(u’) où bP(u’) ∈ P∩B’’et r(u’) = 0 (vu la définition de u’) ; supposons a(u’) ≠ 0, alors l’élément u’’ = b(u’) + (0,0,z-y) est strictement plus petit que u et l’hypothèse de récurrence s’applique : a(u’’)∈ P et b(u’’) est de la forme bP(u’’) + r(u’’) où bP(u’’) ∈ P∩B’’et r(u’’) = (0,0,z-y) (vu la définition de u’’et le fait que b(u’) = bP(u’) ∈ P∩B’’); on a alors : 56 u’’ = b(u’) + (0,0,z-y) = a(u’’) + b(u’’) = a(u’’) + bP(u’’) + r(u’’) = a(u’’) + bP(u’’) + (0,0,z-y) d’où , après simplification par (0,0,z-y) : b(u’) = a(u’’) + bP(u’’) ; l’unicité de décomposition entraîne alors que a(u’’) = 0, donc u’’ ∈ B’’ ; mais u = a(u’) + u’’ aurait alors deux décompositions ! Il y a une contradiction : a(u’) = 0 de sorte que u’ ∈ B’’et bP(u’) = b(u’) = u’. Reste à écarter l’éventualité : « u’ + (0,0,z-y) ∈ A’’ » ; on traite ce point grâce à une récurrence secondaire : supposons établi que u’ + (0,0,v) est élément de B’’ pour tout v, 0 ≤ v < z-y ; comme z-y ≥ 1, on peut considérer l’élément u’-1 = u’ + (0,0,z-y-1); par l’hypothèse de récurrence secondaire, c’est un élément de B’’ ; si u’ + (0,0,z-y) était élément de A’’, alors l’élément u* = u’+(0,1,z-y) aurait deux décompositions selon (A’’, B’’) : u* = u’ + (0,1,z-y) = (u’ + (0,0,z-y)) + (0,1,0), d’une part u* = u’ + (0,1,z-y) = (0,1,1) + (u’ + (0,0,z-y-1)), d’autre part ; ainsi, l’élément u’ + (0,0,z-y) est dans B’’. La démonstration est pratiquement achevée : le « plan » P est propre pour la décomposition donnée. Il est isomorphe à N2 ; on identifie (A’’P , B’’P) à une décomposition (A0 ,B0) de N2. Si celle-ci était triviale, alors la décomposition de N3 donnée serait, elle, semi-triviale , ce qui n’est pas ◄ Vers un programme. Un exemple numérique en dimension 3. Il faudra entrer les paramètres d’une telle décomposition, à savoir : - les listes des multiplicateurs sur les trois axes ; si une liste n’est pas exhaustive (bien que finie), elle doit être fournie par un sous-programme approprié, qui fournit à la fois une borne supérieure effective de l’ensemble des indices des multiplicateurs, et la valeur des multiplicateurs en fonction de leur rang ; - les choix : 1∈ A ou 1∈ B, sur les trois axes ; comme Bx est censé être fini, la parité du nombre de multiplicateurs détermine le choix « 1 ∈ Ax ou 1 ∈ Bx »: impair si 1 ∈ Bx , pair si 1 ∈ Ax ; de même, comme Ay est censé être fini, le nombre des multiplicateurs détermine le choix : 1 ∈ Ay ou 1 ∈ By : impair si 1 ∈ Ay , pair si 1 ∈ By ; même remarque pour Oz ; - le couple d’entiers (m,n) qui définit α* dans le plan Oyz ; α* = m.ey + n.ez ; - la liste finie des multiplicateurs (α* est censé être élément de A), sur la droite N.α* (ou la diagonale de Oyz après identification de Ω avec N3) ; même remarque que ci-dessus à propos 57 de l’exhaustivité de la liste ; il doit y avoir un nombre pair de tels multiplicateurs, puisque BD est censé être fini ; d1, d2, …, d2k ; on obtient alors β* = d2k …d2.d1.α* ; - le couple d’entiers (m0,n0) qui définit γ* dans le plan P engendré par (1,0,0) (en lieu de e1) et (0,1,1) (en lieu de α*) ; γ* = m0.ex + n0.β* - la liste (finie ou non) des multiplicateurs (γ* est censé être élément de B), sur la droite N.γ* ; même remarque que ci-dessus à propos de l’exhaustivité et de la calculabilité de la liste (sous-programme éventuel). Le corps de la démonstration précédente fournit le corps du programme des calculs à effectuer : - t = (tx , ty , tz) est fourni ; - calcul des trois nombres produits des multiplicateurs, sur chaque axe, soit mx, my, mz ; noter que ex = (mx, 0, 0) , ey = (0, my, 0) et ez = (0, 0, mz) ; t = ω + c ; - divisions : tx = x.mx + cx , cx < mx ; ty = y.my + cy , cy < my ; tz = z.mz + cz , cz < mz ; noter que ω = x.ex + y.ey + z.ez ; c = (cx, cy, cz) est à décomposer (sous-programme) ; - ω devient t’ = (x, y, z) ; divisions : y = m.y’ + m’ , m’ < m ; z = n.z’ + n’ , n’ < n ; noter que t’ = ω’ + c’ ; ω’ = (x, m.y’, n.z’) est à décomposer ; c’ = (0, m’, n’) ∈ B’ ; - β* = d2k …d2.d1.α* = mD. α* - ω’ devient u = (x, y’, z’) tandis que : α* devient (0,1,1) , β* devient (0, mD, mD) et γ* = m0.ex + n0.β* devient (m0, n0.mD, n0.mD) - si y’ ≥ z’, r(u) = (0,y’-z’,0) et (x, z’, z’) est à décomposer dans P ; si z’ ≥ y’, r(u) = (0, 0, z’-y’) et (x, y’, y’) est à décomposer dans P ; soit y° = inf(y’,z’) - la décomposition de (x, y°, y°) dans P revient à celle de (x, y°) dans N2 : on calcule d’abord les restes relatifs aux divisions de x et y° par 1 et mD respectivement: x = x.1 + 0 (trivial !) et y° = y.mD + r , avec r < mD ; on décompose r en a(r) + b(r) selon la liste des multiplicateurs d1, d2, …, d2k , ce qui fournit les éléments (0, a(r))A et (0, b(r))B qui contribuent au calcul de a(x, y°) et b(x, y°) , et donc au calcul de a(u) et b(u), a(ω’) et b(ω’), a(t’) et b(t’), a(t) et b(t) ! - reste à décomposer (x,y) dans le réseau engendré par (1,mD) selon la procédure indiquée dans l’énoncé de la proposition 3-2, dont nous adaptons ici simplement les notations : - si x /y ≤ m0 /n0 , on effectue la division euclidienne de x par m0 : x = p.m0 + s, s < m0 ; l’entier p s’écrit de manière unique pa+ pb , de sorte que p.(m0,n0) = pa.(m0,n0) + pb.(m0,n0) et puis a(x,y) = pa.(m0,n0) et b(x,y) = s.(1,0) + (y-p.n0).(0,1) + pb.(m0,n0) ; - si x /y ≥ m0 /n0 , on effectue la division euclidienne de y par n0 : y = q.n0 + s’, s’ < n0 ; l’entier q s’écrit de manière unique qa + qb , de sorte que q.(m0,n0) = qa.(m0,n0) + qb.(m0,n0) et puis a(x,y) = qa.(m0,n0) et b(x,y) = s’.(0,1) + (x-q.m0).(1,0) + qb.(m0,n0) - fin des calculs et remontée vérificatrice: a(x,y) = qa.(m0,n0) = (qa.m0, qa.n0) ; a(x,y°) = (qa.m0, mD.qa.n0) + (0,a(r))A = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r))A ; a(x, y°, y°) = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r), mD.qa.n0+a(r))A ; b(x,y) = s’.(0,1) + (x-q.m0).(1,0) + qb.(m0,n0) = (x-qa.m0, s’+qb.n0) ; b(x,y°) = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)) + (0,b(r))B = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r))B ; b(x, y°, y°) = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r), mD.(s’+qb.n0)+b(r))B ; (x, y°, y°) = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r), mD.qa.n0+a(r))A + (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r), mD.(s’+qb.n0)+b(r))B ; Si y° = y’ , r(u) = (0, 0, z’-y’) et (x, y’, y’) = (x, y°, y°) a(x, y’, z’) = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r), mD.qa.n0+a(r))A 58 b(x, y’, z’) = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r), mD.(s’+qb.n0)+b(r) + z’-y’)B ; Si y° = z’ , r(u) = (0, y’-z’, 0) et (x, z’, z’) = (x, y°, y°) a(x, y’, z’) = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r), mD.qa.n0+a(r))A b(x, y’, z’) = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r) + y’-z’, mD.(s’+qb.n0)+b(r))B ; a(ω’) = (qa.m0, m.(mD.qa.n0+a(r)) , n.(mD.qa.n0+a(r)) )A ; b(ω’) = (x-qa.m0, m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)) , n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r) + z’-y’) )B si y° = y’, b(ω’) = (x-qa.m0, m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r) + y’-z’) , n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)) )B si y° = z’, a(t’) = a(ω’) = (qa.m0, m.(mD.qa.n0+a(r)) , n.(mD.qa.n0+a(r)) )A ; b(t’) = (x-qa.m0, m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+m’ , n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+z’-y’)+n’)B si y° = y’, b(t’) = (x-qa.m0, m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+y’-z’)+m’ , n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+n’)B si y° = z’, ω = x.ex + y.ey + z.ez ; ex = (mx, 0, 0) , ey = (0, my, 0) et ez = (0, 0, mz) a(ω) = (mx.qa.m0, my.(m.(mD.qa.n0+a(r))) , mz.(n.(mD.qa.n0+a(r))) )A ; si y° = y’, b(ω) = (mx.(x-qa.m0), my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+m’), mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+z’-y’)+n’))B si y° = z’, b(ω) = (mx.(x-qa.m0), my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+y’-z’)+m’), mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+n’))B a(t) = (mx.qa.m0+a(cx) , my.(m.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cy), mz.(n.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cz) )A ; si y° = y’: b(t) = (mx.(x-qa.m0) + b(cx), my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+m’) + b(cy), mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+z’-y’)+n’) + b(cz))B , si y° = z’: b(t) = (mx.(x-qa.m0) + b(cx), my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+y’-z’)+m’) + b(cy), mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+n’) + b(cz))B. Vérifications: mx.qa.m0 + a(cx) + (mx.(x-qa.m0) + b(cx) = mx.x + cx = tx ; et si y° = y’: my.(m.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cy) + my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+m’) + b(cy) = ty ; mz.(n.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cz) + mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+z’-y’)+n’) + b(cz)) = tz ; et si y° = z’: my.(m.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cy) + my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+y’-z’)+m’) + b(cy) = ty ; mz.(n.(mD.qa.n0+a(r))) + a(cz) + mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+n’) + b(cz)) = tz . Un exemple numérique. Choix des paramètres : Multiplicateurs sur les 3 axes : Sur Ox : 1 ∈ A ; m1 = 2, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 7 ; bx++ = 84 (2.2.3.7) ∈ A (sup(Bx) = 14) Sur Oy : 1 ∈ A ; m1 = 5, m2 = 3, m3 = 3 ; by++ = 45 (3.3.5) ∈ B (sup(Ay) = 34) Sur Oz : 1 ∈ B ; m1 = 3, m2 = 2, m3 = 3 ; m4 = 2; bz++ = 36 (3.2.3.2) ∈ B (sup(Az) = 21) Couple (m,n)yz : (3,5) d’où α* = (135, 180) ∈ A Multiplicateurs sur D : 1.α* ∈ A ; m1 = 3, m2 = 2, m3 = 3, m4 = 5; bD++ = 90.α* (3.2.3.5) ∈ AD (sup(BD) = 21.α*) Couple (m0 ,n0)xyy : (7,3) d’où β* = (7.bx++ , 3.bD++) = (7.84, 3.90. α* ) = (588, 36450, 48600) ∈ B 59 Multiplicateurs sur D0 : 1.β* ∈ B ; m1 = 3, m2 = 7, m3 = 2 ; bD0++ = 42.β* (3.7.2) ∈ AD0 (sup(BD0) = 22.β*) bD0++ = 42.β* = 42. (588, 36450, 48600) = (24696, 1530900, 2041200) Les calculs. - t = (tx , ty , tz) = (796523, 22434083, 35684219) - (mx, my, mz) = (84, 45, 36) ; ex = (84, 0, 0) , ey = (0, 45, 0) et ez = (0, 0, 36) Les 3 premières divisions: 796523 : 84 = 9482 + 35:84 22434083: 45 = 498535 + 8:45 35684219: 36 = 991228 + 11:36 Les trois restes: 35, 8, 11 et leurs décompositions : 35 = 2.12 + 2.4 + 1.2 + 1 = 9A + 26B 8 = 1.5 + 3.1 = 3A + 5B 11 = 1.6 + 1.3 + 2.1 = 3A + 8B Contribution des 3 restes à la décomposition : t = ω + c ; ω = x.ex + y.ey + z.ez = 9482(84, 0, 0) + 498535(0, 45, 0) + 991228(0, 0, 36) t’ = (9482, 498535, 991228) et c = (9, 3, 3)A + (26, 5, 8)B y = 498535 = m.y’ + m’ = 3.166178+1 , y’ = 166178, m’=1 z = 991228 = n.z’ + n’ = 5.198245 + 3 , z’ = 198245, n’ = 3 c’ = (0,1,3) ∈ B’ ; ω’ = (x, m.y’, n.z’) = (9482, 498534 , 991225) ; u = (9482, 166178, 198245) ; on est dans le cas : z’ ≥ y’ ; r(u) = (0, 0, z’-y’) = (0,0,32067) y° = inf(y’,z’) = y’ = 166178 ; mD = 3.2.3.5 = 90 y° = 166178 = y.mD + r = 1846.90 + 38 ; y = 1846 ; r = 38 a(r) = 2 ; b(r) = 36 ; (x,y) = (9482, 1846) ; (m0 ,n0) = (7,3) ; x /y ≥ m0 /n0 ; y = 615.3 + 1 ; q = 615 ; s’ = 1 ; 615 = 14.42+1.21+2.3 ; qa = 594 ; qb = 21 ; a(x,y) = qa.(m0,n0) = 594.(7,3) = (4158, 1782) ; b(x,y) = s’.(0,1)+(x-q.m0).(1,0)+qb.(m0,n0) = 1.(0,1)+5177.(1,0)+21.(7,3) = (5324, 64) a(x,y°) = (qa.m0, mD.qa.n0+a(r))A = (4158, 90.1782+2) = (4158, 160382) ; a(x, y°, y°) = (4158, 160382, 160382) ; b(x,y°) = (x-qa.m0, mD.(s’+qb.n0)+b(r))B = (5324, 5796) ; b(x, y°, y°) = (5324, 5796, 5796) ; (x, y°, y°) = (4158, 160382, 160382)+(5324, 5796, 5796) = (9482, 166178, 166178); [y° = y’] , r(u) = (0, 0, z’-y’) = (0,0,32067) et (x, y’, y’) = (9482, 166178, 166178); a(x, y’, z’) = (4158, 160382, 160382) b(x, y’, z’) = (5324, 5796, 5796) + (0,0,32067) = (5324, 5796, 37863) a(ω’) = (4158, 3.160382 , 5.160382) = (4158, 481146, 801910) ; b(ω’) = (5324, 3.5796, 5.37863) = (5324, 17388, 189315) [y° = y’], a(t’) = a(ω’) = (4158, 481146, 801910) ; b(t’) = (5324, 17388, 189315) + (0,1,3) = (5324, 17389, 189318) [y° = y’], a(ω) = (mx.qa.m0, my.(m.(mD.qa.n0+a(r))) , mz.(n.(mD.qa.n0+a(r))) ) = (84, 45, 36).(4158, 481146, 801910) = (349272, 21651570, 28868760) ; [y° = y’], b(ω) = (mx.(x-qa.m0), my.(m.(mD.(s’+qb.n0)+b(r))+m’), mz.(n.(mD.(s’+qb.n0)+b(r)+z’-y’)+n’)) = (84, 45, 36)*(5324, 17389, 189318) = (447216 , 782505, 6815448) ; a(t) = (349272, 21651570, 28868760) + (9, 3, 3) = (349281, 21651573, 28868763) b(t) = (447216 , 782505, 6815448) + (26, 5, 8) = (447242, 782510, 6815456) a(796523, 22434083, 35684219) = (349281, 21651573, 28868763) b(796523, 22434083, 35684219) = (447242, 782510, 6815456) Un autre exemple, d’ordre plus théorique. 60 Choix des paramètres : Sur Ox : 1 ∈ A ; multiplicateurs : ∅ ; Ax = N Sur Oy : 1 ∈ B ; multiplicateurs : ∅ ; By = N Sur Oz : 1 ∈ B ; multiplicateurs : ∅ ; Bz = N Elément α* = (1,1) ∈ A Sur D: α* ∈ A; multiplicateurs : ∅ ; AD = N Elément β* = (1,0,0) + α* (1,1,1) ∈ B Sur D0 : β*∈ B ; multiplicateurs : ∅β* ; BD0 = N Soit 4 paramètres, tous égaux à 1 ! B = ( N.(0,1,0) ∪N.(0,0,1) ) ⊕ N.(1,1,1) A= N.(1,0,0) ∪ N.(0,1,1) Décomposition d’un élément (x,y,z) : en posant u = inf(x,y,z) et v = inf(y-u,z-u) on voit que : Si u ≠ x : a (x,y,z) = (x-u,0,0) , b (x,y,z) = (u,y,z) Si u = x : a (x,y,z) = (0,v,v) , b (x,y,z) = (x,y-v,z-v) Cet exemple est générique en un certain sens: suites vides de multiplicateurs et composantes des éléments exceptionnels α* et β* réduites au minimum : 1. C’est un des squelettes sains qui seront décrits plus loin en toute généralité. Caractérisation de toutes les décompositions directes de N3. Si les traces de A et B sont infinies sur l’un au moins des axes N.(1,0,0), N.(0,1,0), N.(0,0,1) la décomposition de N3 considérée se présente comme produit de décompositions induites, isomorphes à des décompositions de N ou N2 : ce sont les cas de trivialité ou de semitrivialité. Cette condition suffisante n’est évidemment pas nécessaire. Pour achever la classification, il suffit de décrire les décompositions qui ne se présentent pas comme des produits canoniques de décompositions : on les qualifie d’irréductibles dans la classification générale. Aux permutations des axes près, et à l’échange des rôles entre A et B près, il y a trois types « nouveaux » de décompositions qui se présentent effectivement, eu égard aux 3 propositions précédentes : (i) Ax, Ay, Az = {0} après réduction (proposition 4-1); il existe un triplet d’entiers non nuls (m,n,p) tel que : - L = {(x,y,z) x AD} ; β = k(0,m,n) - α’ = (p, qkm, qkn) ∈ A - D’ = Nα’ est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe; (iii) Bx, Ay, Az = {0} après réduction (proposition 4-1) ; il existe deux couples d’entiers non nuls (m,n) et (p,q) tels que : - α = (0, m, n) ∈ A ; 61 - D = Nα est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe pour laquelle BD est finie ; on pose α1 = inf{a∈ AD  a > BD} ; α1 = r(0,m,n) - β = (p, qrm, qrn) ∈ B - D’ = Nβ est une partie propre sur laquelle (A,B) induit une décomposition directe; Dans les cas (ii) et (iii) la décomposition d’un élément de N3 est fournie par un programme, comme suggéré dans l’exemple numérique ci-dessus. Ces trois cas d’irréductibilité ne sont pas du même niveau : on peut dire que le premier est simple, ou d’ordre1 (cf. la droite D = Nα), tandis que les deux autres sont d’ordre 2 (cf. les couples de droites (D,D’), D’ s’appuyant en quelque sorte sur D. Nous préciserons plus loin cette notion d’ordre d’irréductibilité. Petite incursion en dimensions 4 et 5 La classification générale fera l’objet d’un chapitre à part. En y regardant un peu vite, les deux derniers cas d’irréductibilité précités pourraient apparaître comme des exceptions, or il s’agit au contraire des deux exemples qu’il faut avoir en tête pour bien saisir le cas général. Réductions et squelettes sains. Le premier type de réduction consiste à remplacer les décompositions induites sur les droites « canoniques » (axes et autres droites auxiliaires, désignées jusqu’ici par la lettre D) par des décompositions triviales (donc avec A ou B réduit à {0} là où A ou B devrait être seulement fini ! Les suites de multiplicateurs sont systématiquement vides); nous renvoyons aux propositions 3-1 et 4-1 concernées par ce type de réduction. Se trouvent écartées de fait les décompositions comme celle de N3 , dite de type (ii) dans le paragraphe précédent : en effet, par essence AD est fini et non réduit à {0}; il ne saurait donc être choisi égal à {0}! Par contre les deux autres types du paragraphe précédent, (i) et (iii), sont représentés par des squelettes sains que l’on mentionne ci-dessous. Se trouvent écartées aussi les décompositions qui induiraient sur une droite « canonique » une décomposition avec A et B infinis! Le second type de réduction consiste à choisir systématiquement égales à 1 les coordonnées non nulles des éléments spéciaux du type α, α1, β …(générateurs des « droites » D, D’…) Définition 4-1. Après application des deux types de réduction, on obtient des décompositions appelées squelettes sains. Les squelettes sains sont entièrement déterminés par leurs traces sur le cube (ou hypercube) de côté 1 construit sur les axes et dont un sommet est à l’origine. Ils forment une typologie de certaines décompositions possibles (mais pas toutes !). Nous reviendrons plus loin sur la notion générale de squelette, mais auparavant, nous présentons la classification des squelettes sains en dimensions 2, 3 et 4, en évitant les redites dues à l’échange des rôles de A et de B, ou à certaines permutations des axes. Ici, les ronds blancs représentent des éléments de B, les ronds noirs des éléments de A, et les ronds gris des éléments qui se décomposent non trivialement. 62 Squelettes sains de dimension 2. Trivial A = {0} B = {xy} (x,y) = (0,0)A + (x,y)B Irréductible A = {xx} B = {x}∪{y} (x,y) = (u,u)A+(x-u,y-u)B [u = inf(x,y)] 63 Squelettes sains de dimension 3. Trivial A = {0} B = N3 (x,y,z) = (0,0,0)A + (x,y,z)B Irréductible (d’ordre 1) Type (i) A={xxx} B={xy}∪{yz}∪{xz} (x,y,z) = (u,u,u)A + (x-u,y-u,z-u)B [u=inf(x,y,z)] Trivial A={x} B={yz} (x,y,z) = (x,0,0)A + (0,y,z)B Semi-trivial A={x}⊕{yy} B={y}∪{z} (x,y,z) = (x,u,u)A + (0,y-u,z-u)B [u=inf(y,z)] Irréductible (d’ordre 2) Type (iii) A={x}∪{yy} B = ({y}∪{z})⊕{xxx} (x,y,z) = (0,v,v)A + (x,y-v,z-v)B [u = x] (x,y,z) = (x-u,0,0)A + (u,y,z)B [u ≠ x] [u=inf(x,y,z)] [v=inf(y-u,z-u)] Le type (ii) correspond à un squelette suturé (voir plus tard) 64 Squelettes sains de dimension 4. 4B Trivial 4B Irréductible (ordre 1) 4B 3B Semi-triviaux 3B Irréductible (ordre 2) 65 3B Trivial 2B Trivial 2B Réplique (A~B) Semi-trivial 2B Réplique (A~B) Irréductible (ordre 2) 2B Semi-trivial 66 Un squelette sain de dimension 5 pour finir. Montage du squelette ou données génératrices 10000 ∈ B 01000 ∈ B 00100 ∈ A 00010 ∈ A 00001 ∈ A 11000 ∈ A 00110 ∈ B 11001 ∈ B 11111 ∈ A La justification du fait que ces seules données suffisent à déterminer complètement le squelette sain sera donnée plus tard en toute généralité. Pour l’instant, nous nous contentons d’indiquer comment sont effectivement déterminées les natures (B ou blanc, A ou noir, A+B ou gris) de tous les sommets de l’hypercube (il y en a 32 en comptant 00000, qui est commun à A et B). Déductions. ( “∈ A+B” signifie “ ∈B et ∈A ” , i.e. « a une décomposition non triviale ») : « ∗∗∗∗∗ ∈ A » et « ***** ∈ B » sont soit des données génératrices (recopie pure et simple) soit des déductions indiquées entre parenthèses, et dans ce cas : « ***** ∈ A+B » signifie «***** ∈ B et ***** ∈ A» (***** a une décomposition non triviale) l’argument numérique est alors spécifié : il s’agit soit d’une indication de la décomposition soit d’une indication de non unicité de décomposition explicite. 10000 ∈ B 01000 ∈ B 00100 ∈ A 00010 ∈ A 00001 ∈ A 11000 ∈ A 10100 ∈ A+B 10010 ∈ A+B 10001 ∈ A+B 01100 ∈ A+B 01010 ∈ A+B 01001 ∈ A+B 00110 ∈ B 00101 ∈ A (∈B : 00101B + 00010A = 00110B + 00001A) 00011 ∈ A (∈B : 00011B + 00100A = 00110B + 00001A) 11100 ∈ A (∈B : 11100B + 00011A = 11111A et ∈A+B) 11010 ∈ A (∈B : 11010B + 00100A = 11110 = 11000A + 00110B et ∈A+B) 11001 ∈ B 67 10110 10101 10011 01110 01101 01011 00111 ∈ B (∈A : 10110A + 01000B = 11110 = 11000A + 00110B et ∈A+B) ∈ A+B (10000B + 00101A) ∈ A+B (10000B + 00011A) ∈ B (∈A : 01110A + 10000B = 11110 = 11000A + 00110B et ∈A+B) ∈ A+B (01000B + 00101A) ∈ A+B (01000B + 00011A) ∈ A+B (00110B + 00001A) 11110 ∈ A+B (11000A + 00110B) 11101 ∈ A+B (11001B + 00100A) 11011 ∈ A+B (11001B + 00010A) 10111 ∈ A+B (10110B + 00001A) 01111 ∈ A+B (01110B + 00001A) 11111 ∈ A Ce squelette sain de dimension 5 est irréductible d’ordre 3 Retenons essentiellement que les squelettes sains offrent une bonne typologie de certaines décompositions directes additives des puissances de N, mais pas toutes. Pour une typologie plus complète, on doit introduire les notions de suture et de terminaison qui permettent de définir des squelettes plus généraux que les squelettes sains envisagés jusqu’ici. Il paraît sage de s’habituer un peu aux squelettes « sains » avant d’aborder le cas général. 68