D IAGRAMMES M ATTHIAS G ERNER Le lien entre la logique et la géométrie via les esquisses Diagrammes, tome 63-64 (2010), p. 1-72 © Université Paris 7, UER math., 2010, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES PRESENTEE A L'UNIVERSITE PARIS 7 DENIS DIDEROT PAR Matthias GERNER ponr obtenir le grande de Docteur en MalhiélnatiqUieB SOUTENUE A PARIS LE 23 JUIN 1994 Sujet de la thèse: LE LIEN ENTRE LA LOGIQUE ET LA GEOMETRIE VIA LES ESQUISSES JURY : M. ZISMAN R. G U I T A R T J. BENABOU M, MAKKAI Y. D I E l i s C. L A I R G. SABUAGH Université Paria 7 Université Paris T Université Paris Nord Me GiJl tJTiiverBÎty (Montréal) Université de Valencienneti Université Paris 7 Université Paris 7 (Fiésideut tle Jury) (E&ectcar de Rficherches) (RapfHMteut) (ilapporteur) i 3A r Jy1 \ 2 " hJ î 4p tv \ ù - - n T bI * r i m n ^t c ^ t Si L'£leinel ne bl^t la maison, peux qtû la bâtisKDt tievailient en vun; S] l'JCteniei ne gard« ]& ville, Celui qui la farde veille en vain. (L'Aticita Kal tSov iyih r j f x t p a ç €tiiç fJitB' vpû^' ^^^ T ^ ? auvTiXiiaT tov J6bi» dit: el je*UM » v « voku tCMi l e jouis, juiqu'i fin ilu mooJc. (U Testoment: Psaume 127|1) 2S,30J RESUME ET REMERCIEMENTS t e «bâpitre ] esL une introdiictioD k JA Lhéorîf^ des csqaisses et à son expressivité en t ^ t qiie mod^lisa^ tioU. Les lo^ques du premier ordre, par txeimplf!, peuvejit êlre codées par des esquisses, Ls théorie du dîfi^iBjïmlie iDcalement libre fournit des ayatèiTiKs faclorkationj des prcpobjcts libres. Les dj^graiïimea i^âkment lîbfeâ sont Un mdilloa nécëaBaire entTe la Ëo^quc et la ^onv^tri^, par*;e qu^ ils servëiit à. montrer que jWd(i(5] & éû fait un petit tyïie d'hcmatcpie. IjéS ch&pîtiie y et S UbAtiliuâiit le cejitre de la recherche. Lo chapitre 2 pr^flente line constructioq "effective" du dia^ratrilJle localement libre, un ajout eflectîf à Ij). ciénrtonfitiation de GuUart-Lair. "" Dans 1E chapitre 3 nous étudions géomiîtriquemfait (surtout Ift Hg) Is cstêgorie (ie modèles de î^eftqliitsSP S. En 3,8 od trouvera dalla le zalcttl des ciumpcifiartes connexes Tjae iuter^articulatian riche entiË laj^yntaïe (resquisse et la aémantique (les modèles Sfo(l\S\). Danâ k chapitre 4 est [>riésicntée une LlluBtration dans le COA de la logique du premier nrdie ai de la théorie dèa Èiïsemblea iaJÎDÎB. lîll particulier, jçrsr^ à la Cûutitruction "eiFcvtjve" du rhapitre 1, on obtient un moyer effectif (pour une classe laleonnable d^esquîsi^ 5 ) pour calc^iler le nombre des compoâaût^fi corimiteÉ de T i Ar(;J[5] où T Éat un fobcti^ur de la catégorie finus-jacfïiitf de S vers k s enserrrhlea. Je reiœicie très eincèreioient M - Z I S M A N d'avoir acc(iï>tc d'fttrc Présidcint du Jury, Je tiens vivenicat à rem&rcîer II, G U l T A R T , mon directéur de recherchea, pour sa sympathie, sa dispf>nibi!ité et sos consicita int^Tessants et bien profitables pour l'a^'ancHrosnl, du travail. Pendant toutes eefl heurfis passées enBcmble i 'ai pu apprendre et profiter beaucoup de son c?cpérieiice. J'ai im très grand estime pour sa manière de commuQiqiieT ies matliémaliquts qui, à tra-vers de multiplea interventions techniques a été d^temiinAnte dann k CûQ9tructiob d'une intuition au si^et du diagramme kv caleiïUint libre comme outil rnaj.hémAtitiue Eudéquate pour traiter de l'ambiguïté. U m ' a fait aimer ce lien passioiinaiit entre la longue et la géom^Uie qu'ei^t In théorie des esquisscïij. Jti reDaaicie chaleureu^ment J . B E N A D O U , rapportear, de SOB intérêt qui a été ^ncouragcaAt, lÛDiiï qut d'avoir lu atmpubuaemfrtit k maDus4;rit, d'avoir îadiqui l'imporlaac-e de l'expreaâon des notiona d t {dJ.i,r.f.) eB termes de fbiicteurs cofinaTts (tofinauA et filtrants) et d'avoir a i i ^ r c de nombreusea lïiniâlioi&tioiis de forjnea néccaHaiies. Je suis rtiConnaÎEsaut à M . M A K K A I , rappoitcur, d^avoir lu avec attention ce travail. Je reiïiercio ^ustii à Y , D I E R S (iïD) a coneidciDé h preinkr k Diagranmie Lo^^Jeiuent Libre dans le ta» diucTct) d'avoir J e faire psrti'f du JuryJ'ejqjrime de même toybe ma reconnaïssaiice a C. L A I f t (co-aiitcur du TtiéorèDfie d'eiûtence du Diagr^inime Localement Librfl)^ m partitnlier, pour sa remarque SUT l'explidtalion, dans Jiotre conatructicîn, de ia notion de "liltraiir, Ët enhui, je HU]^ trèj^ heurftu]!: que vçillaDce, ait, comrne logicien, considéré £ett£ thèse avtc bteii- Je suis ë^aiement très Eedevable à Af*"' Chiùtiaii43 F O L Y et M, J o ë l L A C C R U C H E pour la prise en charge typographique de baute qualité de cette thise. NZAMBE Table des matières 1 LES E S Q U I S S E S 1 1.1 LES ESQUISSES MIXTES I l.Ll tJQ point d'histoire 1 1.1.2 Définitioua 2 1.3 3 2 1.2.1 Langages et théor)*i« du premier ordre 2 1.2.2 Confltruction de& du premier ordre . - . . . 4 1.3 LES ESQUISSES C O N C a E TKS 1-4 CATEGORIES FILTK4NTES E T FONCTEURS COrJKAUX S 1.5 T H E O R I E DU DIAGRAMME LOCALEMENT LIKRE & 1.6.1 Introduction 9 1.6.2 La d^ftaition du D.L.L, des Eequifis^â Mixtes 1-5,3 l U S m ^ e n t : le D.L,L- Jfelatîifement HItrïni, 1-5,4 La d«fîni':ÎDa du DrLrLr des EequÎBStri; DoncrèUïS 12 1.5.6 Exemples 13 & 10 , 11 LA C O N S T R U C T I O N E F F E C T I V E D U D . L X , D E S ESQUISSES M I X T E S 17 2.1 LÉ SQUELETTE DE LA CO^îSTRUCTlON 17 2.2 LA CONSTRUCTION E F F E C T I V E DU D L.L 20 2-3 2.4 3 LES ESQUISSES DU P R E M I E E ORDHK 2.2.1 CoîistTiictiit>û de l'eBsemble dea &ctoTmtïûiis au-dcsfms de T 2.2.2 Des zîg-ïags pour coiabuier d « modciea au-desflua de T LA CONSTRUCTION DE 2,2 EST SIEN UJV. C.L L 2-3,1 L'exiât^mce d'uae factonEatioD (pt«n]èr& condîtii?a) 2-3,2 Lp8 aig-zag^s entre les factûriaatioDs (deujcièmc condition) , . . . . » 3.2 LE T l i E O R E M E A XJE Q U a L E N 3.3 REALlSA-nON GEOMETRIQUE E T ESQUISSES . . 30 30 . h. . 31 40 41 LA G E O M E T R I E DES ESQUISSES LA REALISATION GEOMETRIQUE DE MlLNOR 31 - - - LE D.L,L, EST RKLATIN^MENT FILTRANT 3.1 , . 45 - 45 46 - 46 2 TABLE DES MATŒRES 3.4 LES FOPiCTEURS 3,fi LA C O n O M O L O G l E D'AN DUE 3,(i CALCUL lŒLATIF DE Jlo , D i . J'/'* (ti e W) 49 3.fl.l lotroductioD - , , , 49 3.6.2 Le calcul relatif tic Ho 60 3J 3.8 3.9 43 3.6.3 Le calcul relatif de El 3.6.4 Le calcul relatif de Jî" (n e .ffO 3.6.5 Résurruî et concluaîoD O O N D m O N S SUFFISANTES POUR QUE T I 3.7.1 UM hypothèse de départ pour l'oaquîfiefi 3.7.2 L^cDDdiLîng ^ulSsaute fil . . 53 . 54 SOIT C O N T R A C T I L E 55 . . . 55 55 LES COMPOSANTES CONNEXES DE S ( T i Afodl^l) 57 3.ë.l Irtrodiifition 57 3.0,2 Quelqiiee cson-vïiîitîonfl d'appellation . , 50 3.8.3 Le caJtdl de noBCf 1 Modt^]) 60 LE HX E T LES I f DES ESQUÎSSES MULIMNITL^LES - 3 9.1 Le [Il deg Eâ^iiis^^^ rmilti-inilliilftfi . 3.9.2 Les ^f" des Eequiiisea multi-initiales 4 APPLICATION : GEOMETRIE ET LOGIQUE DU PREMIER ORURE 4.2 . 64 65 66 QT REMARQUES 67 EXEMPLE ; LES ENSEMBLES INFINIS 68 Chapitre 1 LES ESQUISSES 1.1 LES E S Q U I S S E S M I X T E S 1,1.1 Un point d'histoire Les remajquM suivantes de René Guitart^ noua piuiiJsseEit particullirenieiit intérc4«niirie simplidale) telle que la catégorie foDcteura c^jntinua de S^^iff vers Ertjs soit équivalente Cai. Alors les catégories U structurécfl, avec U : C F n s , sont prçcieéineut les objets de et beaucoup de ré^ultat^ â leur sujet sont encore valables si S^ai est remplacée par une autre ettjuîsse 5' décrivant un »utre type de structure. La déhnitiot) d'ELreemann de foncteur adjoint (coimne "Recteur"') est moin^ agréable que celle de KaJi; d'un autre côté, il travaille toujours sous la forme "locale" ( = ejfisteBce d'objet libre)^ ce qui (st la manière natureUy de construire les adjoiut^, 'IVavajliant avec des univers de Grothendleck emboîtés, il donne en particulier un. théorème d'existence de structures libres dont la preuve esfc une imîtatiiOD des construction^ de îompactifScations ou complétions en topçlo^E (avec f j : C —> Ens^ la [/"stmcliUie libre sur E e f l t ï m ( Ê ^ H 1). Dans le iiiemc eaprit, û ooiietruit le 'type" aaaocié à une eaqiiisset diverses coniplélîons de catégorie et catégyries atuct urées, de fonctcurs et foncteLtis structucë«. 1 ucii Rané flujtart. Sur les coninbutioDS d e Charles KhrcanBint & la hhccrit des CatcgWiH, [Kirv d a n » la gsojriti! ilc» iTUitllfnLAlîirknti, fr. 1 3 , ff"!?»- I t B O , p p . 37-^3 2 CHAPITRE 1. LES ESQVtSSES Ces demieifi néiïuliate eembleat maÏDteqBzit intéresser bf^auc^^up dfl geils, les catégoriciens allemands eu particulier." 1.1.2 TJue Défîpitïomâ tntiïe^ S = J, la docDée - d'un graphe multiplicatif C. - d'un ensemble de c6aca îndiictirs diatingué» de baaes petites / = {i = iUj t^l est uue petite catégorie } - d'un en&emble de cônea pnyjectife distin^ufe de bases petites Pk JP = { P = (V'' —^ K'' ^ petite catégorie } Nous aJloDH duppoecr pour la suite que Q, est une petite catégorie, Lorsque l'eaftcmblc des cônes mductifs duiiagut^ 1 est vide, on dit qu'il s'afiit d'âne c s j a i j ï e projecfitîe, tandis que si l'eiaeemblR des cônes projer.tils d i s t i n p é s P est vide, noua parlerons d^une esflatfse tntjitctiire. Enfin, une eaquJsee telle que ( (S, fl) eera identîféfi a Q, On dit que / ; (Q, — S ' , F ' ) est un frtiïrpftiami i'e^iqtiisses miirtef ai fit seulement ai - f -Q — • C! fofitteur - rimage par / de t o u t cône distingué ào J ' ) ost uti côm; distingué de JT', F ' ) Esquisses et morpbismefl ( ^ t r e e&quissft; aoni les objeta et Icd nstjrpbîemefi de la caiégariç des fjqtiisfes notée Ëfsq^ Soit S ~ {G., 3, JP) une esquisse. On appelle réaUaation de S et l'on note F : S —i- Ene, tout foncteur F ; Ç_ — ï .Ëns transformant les cônes distingnés de S en des limites de Ene, On note pat catégorie des fondeurs de Q d&nfl Ene et par la so\u^cat^orie pleine n auivajits t - toute variable x G V, tout ttyiubolt; de coimtaDtcs c fi Sa sont des termes ^ si 0) on ait a.)) = - pour Jï e > 0) on ait S ^ a j . . . a t ssi îr(ajt)) . . -^{ajt}. Si T est une théorie, noua notous par Mod^T^ Ib, catégorie qui a coimne objete les JQ-structuies qui sont rnodàles de T , et tomme morphisnififl tous les homomorphinrnes entre ces objets- 1.2,2 Construction des esquisses ttu premier ordre Dans cette mus-Bec Cion nous allons assocîjer à toute théorie T du premier ordre ui^e eaquiwe S — (C, JPJ (jui sera appelée efl^nti^^ d^ prunttr- ardre Md'inie: de T , Pouf twit énoncé F de la théorie T Hflit V ( f J l'endembk des vatiablfia qui Gjjutent danâ P. Nous alions tonstruire l'esquisse S tseJoii la structure induetive des {bimulee de C'eat-ït-dite soit S l'eaquisse engendrer par les données suivantes : - dee objets c, J dans ObC - une flèche r ; c — • 1 dan» FlC - un eône distingué ( pour ejtprlmer que t : c —^ l est c^Undidat pour une application siurjective ) - un cône pfojectif distingué i 1 € iP (pour dire que 1 est tm candidat pour un objet terminal ) - pour tout énoncé de 7" et n = • un objet c" dans Ot>C_ • des flèches ir" ; c^ — t c tlanb FtQ, pour t = 1 , , . n • un cône projectif distingué e IP ( pour dire que c" est candidat pour un produit ) - pour tout k Ç nîiiia avona : • un objet et tout ^ Ë Jît un symbole J e relation t-wre qui fipire dans T dans ObÇ_ 1.2. LES ESQ VISSES DV PREMIER ORDRE « des fjècliea ir^ ; c* —> C dans FIÇ puur î =; 1 . . . n * un cÔQje pirojectif distingué e P ( [>oiir dire que est candidat pour un produit ) * un objet c^fi) dans ObÇ_ * une flèche tn : — c*" dans FIQ * un cône pTtijeçtif diEtitigiié c{R) ( pout dite que tu : tf(Jî) c* est uii i;9uidldE*t pour iiin: appKtation iïûective ) - pour tout k Ç JN* et tout / Ç St symbole de fonction ip-aire qui ligure dans T nous avens * liji objet c^ dans ObQ * des fièches t * ; c* —f c ds«is FIQ^ pour t = 1 , , , n * un cône projectif diatiiigué c e F • une Sèche c(/) j c* —+ c dans - pouf tout stymbole de cou^ttHite m Ë qui figure dans T nous avoua une fiècht c(m} ; I — t e daii£ FIQ - pour tCïut énoncé de T et n = cardV(J'), pour tout termti t qui ligure dans F nous construisons une flèche ' c" —* c dans FIQ_ de la fa^on suivante ; • ai < = iCi ( variable ) noua pieuona ccumne llèchc ^^[i) la projection irf : c " —f p • si ï = m ( coDfltaïitc ) nous défiltifisona d ^ s /'Ijti unt fifchc — f 1 et nous preuons comme âèche K{t) 1-e composé e" — t l ^ ^ c et si pour I = I j , . , , ! ; ott a déjà défini Jf(ij) : c" • C , nouB définissons dans F{Q_ une Jlèçhe h : e" —> r* à JaqueJle nous imposons Jes égalités irf o = ( pour 1 — 1 , . . , , A ) et nous prenons comme âèche Jï(ï ) le composé c" — ^ c* ^ ^ c CHAPITRE L LES ESQUISSES - pour tout énoncé F de T et n = cardV{F}, pour toute soiis-foftiitjle G qtii ^gure dans F noua construisons un candidat pour un mononmirphismo I ( G ) — i c" dans FIC de la f a ^ n suivante : • ai =<3 nous j o u t o n s un objet I{G) à ObQ , une flèche 1{C} > à FIQ et un cône projectif disLingué { pour dire que Î(C?] est candidat pour un égsltsateur ) * si ( ? : /ïfi - . i i noua déïïnisfnn^ dans FiQ, un*! diche h ' —> à laquelle nous i m p i ^ n s les égalités X* 0 A = J f ( ï i ) ( pour ( = 1 , . . . ( c'flst-à-dire que h est candidat pour le morphisme de la propriété universelle du produit ). Noua ajoutons ensuite un objet î f G ) H OBQ, des flèches T(G> c{Jï3 et 1{G) c^ à FIQ et un cône projectif dîotingué kafî^ k *^ G i f f A K et ai I{H) — t r o i s flècliw 1{G) c", e" flont d g à déAnis, nous ajoutons à OhC un objet ^(G), I(G) — k FiQ_ et un cône pKyectif dia- — tingué G) liH)- - 1 { K ) ( pour dira que Î ( G ) est un candidat pour line inteiwîctîon ) si G : / / V if et si t{H) —i. ^^It^K) —1- c^ sont d t j à définis, nous ajoutonn à Q J{H A / f ) —^ c^ comme nouB l'avons fait Hous le point précèduiit, i Ct^Z uu objet et à F I Q deux flècLeft I{H) —1.1{G),I{K) — e t à JT un cône inductif diEtingué K' Tiff) ( pour dire que «ît un r;3i.ndidat ponr Une réunion). • si G ; -.fi et ai Ï(W) — - c^ eat déjà défini, noua ajoutons k OhÇ un çbjet 2:(G), i FlQ une flccbe 2(G) —^ c" et à J im cône kdiittif distingue : 1.2. LIkS ESQUISSES DV PiŒMiER ORDRE ( pour dire que est, un cguadidat pour utift eoaunt;). Si G : Sri? et si Z ( / f ) •—<• e" est déjà défini, dOUii devons envisager deux cas : a) Ia viatriabk x ue figure pas dauti H. Dîwit; ce cas ciouB ajcutoabi à un objet à FiQ une flèche —» r ( J î ) et à iT et P d o côucû qui eixpriinient que —> «^t caoadldai pour un jâoinorplijfinie. b) la vaiiabie x figure dans ff, c'esUà^lire G : Bxf[{xj,.,., t j ^ i , i , xt+i,., - , JSti)- I^Ml'i ce CHS noua ajoutons à dcis objetft (aauf prjtir n = 1 où rïoua pottonis = 1), 2(G) et ^ des flèches i.- : c^ ^ ^ 1,1{.£r) I ( C ) et A JP nouB ajoutons des CMies (sauf pour n =!= e ^ et m Ji' I(G) (pour dire que —^ €2P •HG) est candidat pour une application injective,) Comnie cône inductif nous ajoutons à l'esiquisse S ; 1 € ff {pour dite que —" 1 est candidat pour uuc application suijcctîve) i(Gy {pour dire que t{ÎI) est un ChindidRtt pour une application siiijectivie) Ces données seront siOuruitSt-fi à d«i égalités cttliVîntes T^-i ^ ^ = ..., "^= T= < G^AFITKE Ët f ; o u = j r o r n où m : I(H) > L LES ESQUISSES 1 e" pour exprîiùei: que uoiis disposons d'une décnmposîtIoQ epî-mono liG) Ceci achève la coaaftnictîon de P esquisse Malàeureiusement Af(jJ(î) n'est pas na:turelleinent par S, c'eat-à-dÙHî nous n'avons pas en toute généraLié ime équivalence entre XfodÇl) et U existe, fin revanche] fiur le plan des objets un isoEnorphisme de clasens l O t M ^ . C'est grâce à cette correupondance que nous parlerons donc des esquisses ehj premier ordcç. 1.3 LES E S Q U I S S E S C O N C R E T E S Appelons concrit^ tout couple (S, F ) w n s t i t u é d'tiae esquisee projectivc S et d'un eusernblc JF de cônes projertîfs petits distingues daaa Monflitïc. Une sous-catégorie est appelé wiÎJUBlc si le fbncteui iDclusion est coRnal. Pour F : i — • ^ et L : ^ —i- Q eiifîte m morphisme canonique CoHmL o F —+ ColîmL qui est défini » les deux colimtes cxiÉtent, TJous avons le théorème suivant : T h é o r è m e : Si F r J —i- K_ est coKûal et si L :K -—^ C est un foacteur tel que CoîimL o F edate, alors ColimL existe et le morpbisine canonique est un isomorphisme. DH^noDstration : voir CWM, p.213-I4 1.5 THEORIE DU DIAGRAMME LOCALEMENT LIBRE 1.6.1 Introduction On sait construire dTectivemeilt LËS éléments du M O N O L D E librâ ËOT un alE>hab«t A, à savoir comme Iss mots sur cet alph^abet. Les structures al^hriques libres générales peiivont aubAi ètl^ déeritOSI ^Cttiveineiit, en en représentant les éléments conimc termes de la théorie COmpTertant conutie ConâtaUtee kfl éléments l'ensemble générateur. Si un foncteur n'a pas d'adjoint mois est néanmoîne imxtement esquissable, on a (GuJtart-Lair''), à la place des âtruct.uT«â libres, l'exiatenct dan diagranuuefi lociltmiin); libiœ; et même dans certains cas plus particuliera, on a ( Diera^ ) TfauSïtCBce de miilti-stnictures libres c'est-à-dire de diagrammes localement libres diectets. Noiis indiqtionâ ici, dans le cas où Tesquisse miïte considéiée compte des cônes quelconques el des cônes ptojcctifa jitiis, une méthode pour présenter effecti-veinEïit les éléments dea diflicrents objets du diagranunc bcaJement libre. Ce résultat est une étape indispensable en vue d'élaborer un procédé calculant les invariaatE homotopiques ei cohomok)gl(ïues proposée par Giiitaît®, Pour simplifi^sr nous écrirons if^J,/. au lieu de diagramme localement libie . ^ vi>ir R. Çj.nUart et Ç, L«)lf, EnlïtetluK ilt Dis^^rsiunis [.nuc-al^ieiu Libres, Dia^anmica., Vol. Paris 1 ^Vflâr Y. D i m Callsoriea Jocolisabi^a, Tbàa^r, Paria, IQTJ 'voir 3- Guf^art. On tht Geoimetrï of Conipiitation», Cabi«rfi de Topolasi^ ^^t Géïmijttlifr MCcWIlticTIe CBt^gioriiîQc, Vol. XXVII {1S3MS) 10 CHAPrrRt: 1.5.2 i. lj^s esquisses La définition du D - L X . des Esquisses M i x t e s Sdit S = {Q, IT, iP) une iflfquieae mbite. CbnsidéroQB le ioDctcuT T ; Q. — E u s de ta c a t é ^ r i e soiif^-jacente Q vers les enseitibleB, Si T n ' ^ t pas un modék, T eat quand même suaceptibJt d'cugcndter un "epectre" dfi mû ; T —* D^ Boit cofinal (cf. section 3,3) i.e. tel que pour tout h T —v M la catégorie J, h soit non-vide et oonntMie. Cette dernicpc condition peut être explicitée de la ÎB1,-1 M GLiitart-Lâù^^ oui donc établi rexiatcnœ des d f-f. La démoDsliatiDn se base sui une cdiiEtructiDi) troof;^ finie pof yaturatifin. Il y a donc un principe itératif, mais à chaque étape la confitruction n^eât pas effective. Daaa la perspective d'un calcul dTectif d'invariants gj^mt-trîques nous aurons besoin d'une CtiOStTUcCioa pluâ eiTective. Pour cela nous avons elliectué une autre déinonstiatîoD qui est elTective maifd valable seulement pour les esquisses dont les cônes projectifs eont â baseu finies. La ftnitude des baâes des cônes projectivea eat dcmc une restriction par rapport au résultat de Guitart-Lair mais permet d'éviter une induction transfiniê. 1,5.3 R a f f î n e m e i t t : le D . L . L . r e l a t i v e m e n t filtrant Pour des applications géométriques Tiltirieures nous ^lurona besoin d'une ceïtain^ "amélioration" de la acition du d-il. Soit de ïiouvôau S = {C,S, iiP) une requisse naîxte et T : C —^ Ene un foncteur. Un dj.l, iA,D,d) de T est relativcnient filtrant {d.S.l.i'.f.) âï et Eeulement ui pouT tout b : T —f M, la Catégorie (iJ, Jjf) I h, qui est conncX^;, est do plus filtrante. Soil explicitement : 1) Pour tout modèle M e M«i[Sl et tout morphifime ( T J t f ) e A pour A, A' B ObA^ mx e M) et ê ^ f ) tels QU'ï i^a diagrammes suivants commutent : il eïiatfi B G OhAei ma G un diagramme commutatif : Voir El. 10, et A A dani J ' f A tels que dans Mod[S\ on ait C. Laifn F,ïi»tmïi5a Je l>iag|:MmiicK Loi:slcDifiib ybrcs, Cïîa^jiiirLinca, VoL 6j Paris iMl CffAPrmEJ- 13 LES ESQVISSi;S EftiS. 2 ) Pour tout modèle M £ Mod[S\ et tout tnorpbisnie (T M) 6 Rt tout couple de Qècliee ii i A —i- A' et tî : A pour rrtA € Ç. tels que le dia^atiune suivant comnrtitfl : potu e Of>A et pcmr flnt il existe B Ë ObA et mu C If om^^iisiiDs, que le diagiarLiiDe suivant cammutc dwis JW) et w : A' ' 3 dina Fi A tels que t i ? o u = H J o t J e t tels JTUWJm DU DIAGRAMME LOCALBMENT LrHRE 13 ^ÎTl* On recoDiiaU fcs deux étapes dans la déTuiilian d'un* catégorie fUlrajite'^^ Le mot "relativement" se réfère au poiat de départ qui Ens un foncteur que l'on notera par T = A C B. e fr. Soit P r e m i e r csfi : ii(A)riï)(fl) ^ fl 11 a'y a donc pas de morptisnie de (Ufu) vers un diagraoïme somme. Dans ce cas le d j j . est le diagramme vide. vtair 5. Mac Lane, CatrgOïics for ths- Worlûnj MittheBUtjciun, t3Midl»te 'lleicti in M^iluïinatiŒ, 5priiig]ci>VcrLBe, p. 307 "ifoir R- Oujtart et Laij. Btistrnce rit Diagnixainm Libras, DJbj^amiiua, Vol. S, PnrÏB lS8l '^voir Ft, tjuitart. On Uk Gçumrttî (if II, Oùtier «Je TopoloEic trt GcDmctnc Dlfltki3ilfdl« VoL XXDC^ (ISSa), p. 322-323 14 O S A P r m ^ L i E S ESQUISSES I>euxîèmï! cas : îi(^) R u(iï) . 9 Soit cloimé un morphisme vers un diagramuie aonmie : A ^— - fA A + B NoWiiiis C* = c% - {c É c * I / ( c ) € 5 ) Poui cette raison ti(A) + c: v{B)+crs sera le d i a ^ a m i n e Aamme qui factorise le morpliiBine i(/ji| / , / b ) . Le d.l.l. est doae discret et est inde»é par l'enâenabk des bipartitions de C*. Le D.L.L. àies E p j s On comaidère t'esquisse mixte S = a b awc le cône inductif distingué : iC b- - T - ' - n * ^ ponr dire que / : • — t t est un candidat pour un épimorphiBdone). Soit T : S — ^ Ens un foncteur que l'on notera A B. Soit tr la c a t é ^ i e qui a cataios objets lea CAtdiuaux finis et corunae n3orpIii9iïi«« toutes les appïk^tioïts entre (Cardinaux finis. Ls d.JJ. est défini de la façon suivante : D: u Mod[S\ t n l a {n-Um) 1 I jï S l.S. TSEOtîïE DU DIAGRAMME LOCALEMENT LIBRE 15 où £)(<)( S) est l'identité but B, D(i){a) « t Tidentîté sur A e t envoie Ja f f i ) " " " copie de B ^ f{A). Le cône projectif du diagranuiie localement libre est donné : copie de ^ - /{A) sur ia B \ m ) pour n e t^ tfn; B- R id Vérifiona mainteDant que ces dounoai CDiintiliicat un d.l.l. de A phisnie de A B. Pour cela cDOBidérous un mor- H vers un épi ; A / 11 est facile de voir que tout n É w délivrt; une fattorjMatitiii p a r A r t { B — /{A)) — • factoii^tîon n'est pas unique en général, Considéions pour cela deux factoriaàtïons : A^n{3\î{A)) •K L Dan£ u ùûus pDuvoBâ délinir le Suivant : n î —• I—f n+ m î j +n h— m <—I j d'où le dja^rawnnie conqjnutaiif : A + 7t{B\ f{A)) — A id + + \ /(A)) B A+ id m{B\fiA)) mais que cette le GRAPTTttM avec A + (n + mX5 \/(A)J ^ ï € A I—* î^ avec f < n avec n < ï < i 7 i ^ i— K L LES ESQUISSES Chapitre 2 LA CONSTRUCTION EFFECTIVE DU D.L.L. DES ESQUISSES MIXTES Ce chapitre a été l'objet d'un exposé au Paripatetic S>eminaj on Sheaves and L o g i c P o u r le reste de ce chapitre^ soit S — S, F] une esquisse mijde avec les nolations de 1.1.2 , La oonstrur-tiou effective du d.i.S. ne sera valable que si les cônes projectifs distingués de 3 sout à bases finies (Cetle condition intervient dans la section ïj.ï.l.c), p.lO). Soit T : C —^ Ene un f o n d e u r quelconque de la catégorie aous-jacente de l'esquisse S veio les enscmblra. Le but de ce chapitre est de calculer de f a ^ n effective point par point le dJ.t- de T. Nous allons voir qne la construction qui sera présentée n^est pas seulement un dJ,^, mais a u s ^ UU d.Ll, relativement filtrant de î', 2.1 LE S Q U E L E T T E DE LA C O N S T R U C T I O N Si T n'csl paa uq modèle do l'eifqtiiâËC S, l'on |>eLt se questionner a-u sujet des raisons qui font que T ne transporte pas lea cônes distingués de S SQ des limites de Ens. Avant d'examineT cotte questioni faisonJ? les rappjsls eui^'aata sur les limiUs inductivcset projectivee : Lïinïtcs TuduciJV*;» î Soit J^ : J^—^ Eus un fonc.tcuf. Alors : liiii H J) = U Jçj JEJ_ FU)/-, où ~ eet la relation d'équivalence smivïuitf: : ( ï , J ) c; (aî',^'") ^ il existe un eig-2ag entre J et J' qui lie {x, J ) à L i m i t e s P r o j e c t i v e s : Soit ;K ' Ens un foncteur. Alors ; l^^fïmi ViilcndciiJKE(Fraiicc), IM-I Kvrîcr lâîB {2\J') IS CFFAP/TFLE 2. LA œSSTItUCTION EFFECTIVE Df D , T . I , D E S ESQUISSES MIXTES Nouî IrouvoQE troîï Lypes d^^mpcrfectiona" qui e m p ^ h c n t T d'être un module ( les deux ptemiércs coacfirnent les l i m i t a inductîvcA eL la tmtsieme lae lirnïtes projcctiv^ J L E r r o u r L 11 se peut pour uu CÔDP intlii<:tif de S QILC Tîmage de RION sommet p v T NE soit pas CNTICRERNENL "remplie'" par la base. C'at-h^dire il exist« t = {ÎT^ 1*1 (lue l i i i TiU'f) ^ T{U') Ê J parce que Ib famille T{(*'j) n'est paa tùllecth^mr.nt iurjfcUve, U, Les E r r e u r 2 II ae peut pour un CùJift itidiicHf difltinguc dt S que dmns rimage de son sammet par T deOJt P O Î D T ? de la BJVEC S'îdentirienl KANS que daim la bafK il J' bit UQ Ï Î G - ^ A ^ qui leti TI«C'oit.à.dife a Miste ; = ( ( / ; ^XJ e T i U i ) , 3itj' € t e l s et J' dans jJ qui lie x j à tjr. ë J tel que ^ T { U j ) f n V ) p a T « qufl É l'. lit q u e T ( o i ) ( ï j ) = T(Qj,)(jj») mais il ji> n pas de tifringentre J m') D ntf'j^) E m ^ n r 3 11 exiaUî P = ^ ^^ iiin 3.1, r.K SQUf^rETTK DE a) ou bien T{V'') lA ^ 19 T{V^) egl. r»™ i^Urjective. K^liJ' — • lim h ) ou bien esL non injecLÎve. k^KT nvE) O O \ O O O lo o 1 1. Nous allons "réparer" ces tfoîa types rî'erreurs par salitiration : E r r e u r 1 Pour Lout cône i n d u e t i f i € Jï, noua allons déparLager la partie de qui n'est pas ''remplie" par la base et nous allonîJ "veraer" cï;tte répartition sur la base î poar tout 7 e 1 et J Ç: ^ r>ous aiou'-^raiiii eiiacmbk à TiUj) tel que nons lyoïis U A^(J) = T ' avsc Coiïune le côno distingué / eat ploiigti dans Ç dams un environnement, nouB devons ajouter ègalemc^rjt à TtM-') fiodr tout«> fiàr.hy [ / j > H/ £ F i Ç e t tout objût W Ê ObQ Les eont doilf!a r&Dtiltat d'un W e F f Ç et Lout objet W e Of>Q. En réalité, la K|jaration a^i Mra effectuée que par dfs ajouts (visant l'erreur 3 ft)) et nn piissafçe au quotient ultérieur (visgjit l'erreur 3 b ) ) . PLONGÉ DAIJID Nous ciïectuojQS aimultaucnicut toutes ces saturations sur T. Mais tomme les différents cônes distingués de S peuvent être entremclésj il est possible qu'une saturation aiiéauliase les cfTcts d'une autre. Le 20 CtlAFÎTltE 2. LA CONSTRUCTION Et tKCTIVE DV B.L.L. m:S F.SQUJSSKS MIXTES '"nCHivCBu" T est donc suaosptibic de contenir i-iteura 1, 2 et 3 à noQ%'eaij. Pout cela nous allons r^pétar procédure de saturation ponr "ce nouveau" T ett. Autrement dit nous allons répéter ce pjcocédc à l'infini par induction. Noua obtenons ainui lea foucteure T^ (H e JV), Mous poserons ensuite ^cp = ^^ quotienterons par une reiaticui d'équiviilencc couvenable w çj qui fera de Tj» un niudclc. L'ensemble Soimûd(T) — de tous ces modèiea ne sera pat encore le d.tA. de F , parce que reu!it;nible 5oiTHDd('!r) ne permet p.ia de combiner les dilTéTcnta modèles par ai^-zaKs. Afin d'obtenir ciH iig-sags cntEc modèles, nous allons procéder de liii maiiière suivante ^ Nuut) couîtidémons les éléments de S(}îmod(T) par paires de deu?c, La soniinic aioal^aïuct; de deux modelés lit: Bcra pivi DccesBaircment un modèle, iriais elîe est sueceptibie d'engendrer un autre ensornble de modèles selon le procédé que uous vtuonE de détjire, .NOUB allons aasembler tous tes ensembles de modèles avec â^o^modCjî'^ et nous allons définir des (lèches formelles qui pointent à partir de deux, éléments de 5iîf7r*od(jf) en pacsant par leur somme a m a l g a m é vers un ^H^inl, de l'ensi^ble 4e modèles de cette sôrmne amalgamée, Après avoir joint toiiR cm ensemblt^ de modèles ens^îmblç, non^ e^llcms recommenfjer cettr j^Torédurc de formation de Hommefi ain^ljçiiméeîfi aihhI de Bijttc. Alnre^ïler^t dit noun allone répét^jr ce procédé de formatiofl de eommcs ara^lganié*^ é. t'infini par indu^îtiou. Cflci noufl conduira au 2,2 LA C O N S T R U C T I O N E F F E C T I V E D U D.L.L. La construction qui va suivre est dfecLive^ mais nialheiiTeusiiment peu intelligible quant k ses choix et ses définitions, parce que l'ordre qu'a pris l'intuitiofi est différeut de odui d'une rcpréitntittiûiii lîcrite. L'intuition eat partie d'un inorphisrrte : 7' —^ M dt; T vers un modèle M de S, afin de toristruire une factorisation factorisation qui est obtenue à partir de T en répirant de fa(;on itérée les erreurs 1. 2 et 3 : Dans rapprocha inluilivt; t'eat a«ulynieut aprts la coflstruttioii de cette fattorisatioii que Von fïâSîiie de dccrirc l'ensemble des factorisations possibles, tandis que dans la. représentation écrite on introduit brutalement dés le début des eustinblcs (qui st-mbleiit ctre arbitraires el peu intelligibles) pour montrer ensuite qu'ils fournissenl; des factorisations. A cause de Ces considérutions nous proposons au lecteur d'admettre la construction du cf.f.f,, do se rapporter directement â la uection 2.'A el de revenir successivement à la becEion 2.2 . C'est dans Ce "va- 2.2. LA CONSTRUCTîON EFFECTIVE DV n.L.L. 2] eJi-vient" que la lecture du chapitre '2 noua semble être la pins profitahîe. J .Dénabou nons n signsJé que le lemnie sui^-ant permet en Lhcoric d'(éliminer jft fojtif leur T ; L e m m e : Soll S = (C, une esquisse mixte et T : esquisse S p l telle que A-;od[5[T]J S 7' i —^ /Jns un foncteur. Alors il ratiste une t u effet, la recherche d'un petit d.LL sur j[' se ramène alors à la recherche d'un foncteur cofinal A — - jWaid[5[ï'î] de source une petite catégorie A Dans ce qui suit, quitte à rcinplaeer 5 par iSlï'l, le lecteur pourrait, du inoiTis dans la première étape de la couEtruction (pat)Bfl|{f; de T à T'i), raisonner comme si l'on avait T = 0. 2.3.1 Construction de l'ensemble des factorisations au-dessus de T l^a construction de cette Bous-aection concerne la première condition du d.i.f. Pour tout n e ^V construisouB par récurrence des foncteurs ; —^ Ens réparant sur 1' les erreurs 1, 2 et ï et des ensembles Tm ^ qui mesurent l'ambiguïté dç ces réparation^. La p r e m i è r e ^-tape d e In l'ér-urveoré; j F o u r rt = 0 Pusocis To = T, Indiquons ensuite lea défuiitiQua qui sont iifiaentielles pour la réparation des "erreiira 1, 2 et iî". En-Btir X Pour 7 Ê J soit T j = \ [ U et jeJ' = {Ai : Oli^' — î>iTi)fXi(isl une application et U .^^(.f) = T^} J^.l' décrit rensemble des dislributioiia de T l , E r r e u r 2 Pour cetl^; crretilr il fi'à(îit douC de riompIcteT loi alité nouil poUvuns nous rrstreindre dcux t j l f w tic de S) r r ^ .! J' ^ J ^ rnaiiqnaifita''. Sans nuire à la générdani Flj} ( pdur tout tone inductif ï j» J" Le detJldëtïie ssig-^ag ne prée<^nte pas dç problème de "'maillon rnanquant", coTïime nous allons voir daiie la section 2 Pour réparer l'erreur 2 nous allons donc surtout nous occuper des zig-^ags du type J' ^ J J". Définisaone : BÎ'^J) = fc W U X E : ïb(T)(^j) ^ x j . et 10(6X1 j ) # x j « i Nous pouvons mesurer l'effort de réparer l'erreur '2 par rensemblt 9uiv,i> U e;[J) el J" et tout J e j' : fflt une application et Tjl = U ^^(J) Î ^ } pivec = Tju') \ { u Finalement le foncteur 'Ih = f^n-li V'n-il dépend du choix de l'élément (-^rt-Ui^Fi-ihVn-O e Le p u » de la réturrCiiu^Ë Choisiasong = {{^ijitf Jj (^ir)feJ') ^ c'cst-à-dirc nous choiaîaBons ed (A >L ) -JTI • Nous pouvons définir de façon analogue uu foncteur '/ii+i = Tr, + i(Art,i3ntV'n) +i ' C ObC ^ — W ^ Ens ObEn^ («rreurl) + FIÇ —' FŒn5 fl^ {errturi) ^ ^n+iC^) ^^^ défini pai rnorceau de façon analogue que Ti^^:). Te nouveau il est facile de montrer que Tii^i etjt ail fontlcHrErroiix 1 Pour tout [ 6 S soit Hl^-i'Ui) = [K^i •Obi' E r r e u r 2 Pour tout f e /T et J g EJéfinissons ; = r„+x{Uj) \ et « t une application et nous considérons dans FIJ^^ Se ïig-^iiK J' J J" 24 CUAPÏTRE 2. LA CONSTRUC"nO:f KVFECTJVE DU D.L L. DES ESQUISSES X V^j £ Comme pmir rét.ape précédente noua définiesons : Obi' : Tn+iC^Xzj) ^ m U i ) / «t une xj' et ïippUcatîoti et E r r e u r 3 Pour tout cône projectif distingué P Ë iP nous dcfiuissoDS : k^ET En rBaflcnnblMit toue c«s «îHs^mbicg msuu obtenoiJe comme une meaure de l'ambiguïté : r „ + i = rn+KAn,!?™,!^^) = n A U ^ r ^ + i ) x n m feJ X n fitr' et C'est ici que finit la construction pai récurrflnce. V e r s r^inAfmiblt! dos faetovï, Cette définition de A^o est préférable à U A ^ , parce que définir A ^ comme ]J An ne prend psis en ntjilV ri^Jl' compte le fait que» chaque An+i dépend de A„, Bnsuite tif^ys devons conetruire mi foncteur TK. unifis !C9 Tti [ n e fVJ. Pour tout p e A „ iic]Utf posons ; Nous disposons d'une transforiuation naturelle canonique T^ ÏJj î fTM(p), Le foncteur n'est pas néccasairement un modèle. T^ous allons essayer de quotienter Tna par une relatiuïi d'équiv&lence convenable. Pour cela nous devons établir nuelques considérations Sur les relations d'équivalence. Soit i / un foncteur Q —^ Kns. Mous pouvons définir deux types de relations d^équivalence : 1. Pour tout foncteur H' € OffEn^, toute, Lranslormation naturelle g : fi — objet W G ObQ nous avoue une relation d'équivalence sur J7(W)' : H' Ç Ft^ns^ et tout 2, Kous pouvons ensuite construire une relation d'équivalence sur la classe suivante r Deux traustonikations naturelles yi : tl — h el if3 : // —^ Il-j sont équivalantes (notons si et seulenjenL si pour tout W" t tj, pour tout i , ïf E J-l(W) r « ^3) 2.2. LA CONSTRUCTTOm EFFECTIVE iJ-t.f,. 25 Pour UM transforniHUion naturelle ij : / i —» f f ' le prucoicr type de relation d'équivalence fournît en particulier le fondeur suivant : Ol/C —^ Fie Il est facile OhEna FlEns voir que / / / « j est UD fonclfciir, t'est à^dife qué l'implication suivante est valable : Ces considérations serviront à trouver des relations d'équivalence convenables gui transforu-ifint T „ en un iiiodèle. Pour p E Ae^ diïiniuBODs la claase ; E = TAf^) = =' { a L — - Hi H e OftMo^S], pour tout J & ff ; l i a pour tout P e iP : li™. T ^ i U ] ) } ^ = Dajifl cette clufljje noua trouvtin» toutes les irauarymiatLons naturellfts dr vrra un modèle ^T de 5 qui fournissent une relûtîoti d'équivaienct: itajtsforrnaot Toc eri un modèle de S- La claflae E devient un cttsemble si imus U giiotientuna pfir la rektion d'équivalcm^ "«"(voir plus haut) ; (S(T,/î) )(W) Maintenant nous pouvons définir "l'ensefnble dea factorisations" do T par : îLvec l'eiistJinble auh ordonné s ( 7 ' ) 1='' Q pEAm Il y a donc un foncteui (ou plutôt une application) : D: H(r) —^ et de plus un cÔne piojectif dans Ens— : Comine il a été suggéré dans la Ejection 2.1, ne fournit pas encore Un d.i.i. de T , parce quft la "deuxième condition" d'un d.i.i. n'est jjas encore satisfaite, c'est-à-dire qu'il n'y u paa de p€]Si5ibtlité de combiner les T ^ i p ) j a s P'ir ïig-suj^s. A ce stade (H(T),L>,d) eat seulennent un "ensemble de solutions"[solution set). CHAPITRE 2. LA CONSTRUCTION EfFECTÎYE 2.2.2 DU D,I L- DF£ ESQUISSES MIXTES D e s ï i g - z a g s p o u r cottlbiiLer d e s m o d è l e s a u - d e s s u s d e T Afin d'obtenir des zig-ïagit entre niodèlea, nouB pouvons procéder de la façon suivante {voir aussi seftion 2.1). Nous aLons considérer les élémeute de Tonacmble des factoritiations" de T par pajrea de detix. La somme amalgamée de deux modèles n e a e r a paa iiÉccaHairemeut un modèle, maia elle est susceptible d'engendrer un autre "ensemble de fEUCtorisaiiiousi". Nous ajoiiterons tous ces "enaeinblesde factorisations" avec E Mod[S\ \ {p,sfa) et nous cûiisidcicroES coiunie ptemliares flèches ceUeii qui pointent à partir de deux éléments de e ] {/>,!//&) ê en passant pai leur somtije atïial^amér! vtfti uû éléiïiïilCit de "l'ensemble des factorisations" de cet le somme amalganrtée. Après avoir joint tous ceâ entembles de faCtorisationa dans uu "graild" ensemble, nous allons rccommctl-cer Cette procédure de roffriàtion de aoiïini(fl ajnalgaiîWMS etc. Autrement dit roua répéterons m procédé de formation de gommes amêilgajnéeB à rinfimi p a j induction. Ceci noua conduit au dl.i.. Mais noue Eouhaitons ron seulement ooiihitniiTû un d.lA., m ^ aussi un dA.l.r.f. L'idée qui s'impose est d'introduire pa-rallèlement à la formation des somrnea amalgamées Une construction de coé^sJifla,teurs, Cette idée estrésumée dans !a figure suivante : fifijE Ceci nous conduira au dÀ.i.rJ. à chaque é t a p e : Pour cettc raiscu nous développons un procédé par récurrence qui traite • la saturation par "semaines aïUîtlgaméea" • la saturation par "coégalisateurs" 2.2. LA COffSTRUCTIOfi • EFFECTIVE DU D.L.L. 27 In d f j u ï t m c t i û n d s " l a c a l c g o r i c l i b r c m e n i . e n g e n d r é e " ^ (pour tout n ^ IV on cnn^truit des n-concaténiitionB sur les flècbcs qui sont dcgagiées par Jea aonuneB amalgamé^!; et lea coegalisalcurs.) P o u r c e l a nou^i a l l o n s c o n s t r u i r e j i î v r ^ j t ^ u r r e n t e • des graphes M ^ et (n € JV) • de& cnorphiemtfl de g^i^phee Z>„ : M ^ — • M m^L^ {n e J!V) • dcB côiiGs p r o j e t [fs Ene^ dn ~ ('^t • ^ ^ ^ri(T)}TeOiJH, • Mata avsnt d'amorcer la construction, simplifioas lea notations : Pour tout foDcteur JI : G_ —* Ens et tout o = ( / ' i j / s ) £ (ctù est l'ensemble flubordonné de l'enaeinble des faCtorisAtiona de li) noua poisOluJ W[srJ = //«jC/?)/»^ (si déiini bien sûr). = 0, alors //[tr] n'est paa Les g r a p h e s M o e t A i t P o u r n = 0. Définissons les graphes A^q = A^o(ï^) — ^ï) et 'K-o par ; tJÈXfl^S(T) ObMo E{T) m u T J- /T ë -i r h morphisme de graphies Dq par : JX: cet un chemin de longueur (1), Un -- —f Mi)d[S\ (Tir] ^ T[r]} ct le cône projectif Wd diMis Enjs— pai : 4 = = Définissons encore une composition sur F l M b qui consistte à concaténer T —Ma tel que T T OU '2. Ti eOiMa et r^ € Sur FlTii qui ne contient que dcB tfècllea de longueur 1, on construit l'ensemble de^ chemins de longueur < ]. Noua appelons cet ensemble J'il^Mi. J] existe dans F I M i une manière évidente de concaténer k s chemins. Après ceci nous serons capables de déllnir le morphisme de graphe Di : Pi : Mi ObMod[S] ObMi r E ObMa Ooir) \ r (Ti.Tii Lel qus TiEOfrAfo si FIMi { (A(ri) f n — . 7-,) ^ k• ^ û ( r ( ) + Da(tr)-^ {i>n(ri)+ r r où ff e a^^vWn tel que TJ £ :i(iî(j(ri) + iMji) ^ / {ri — rs) ^ Il où ri e O b M n et Tï Ë I ! 3,3. LA CON^RVCrnON EFFECTIVE DU D L L. 29 Nous ai/one aussi un cône projectif dans Ens'^ ^ tJi = ; T + - {DM T T di ; T ri^OtMa HypothfîM et pas d'induction Supposons que - R a , , , . , Tîn; Mm, . . -, A^n; De façon similnirn à, la définilion de Ali^ i = ObM„ + et J o , , sonl défiuihi. et (fj. nous pouvons poaer : Ob7U+i + avec U Kl» (jiw J i et / s Pour définir Fin^i-i = parùlltlct posons d'abord r II FlTli + si I. n É ObMn et i]cr É ObMn 011 '2. n e ObMn et B / L h tel que T ra € T F(Mn tels que f i et h p a r a l l è J e s et DMi))) ou fa € D„(/i)))} Sur f / W n + i qui ne contient tjiie des flèches de longueur on construit l'enacmbic des cheiniiis de longueuT < 1- Nous afipelona cet ensemble /ïjVfTi+i- Il existe dans une manière évidente dfl concïtérter [es chemina. Ajoutons de plus à chaque fosa oii le cas se présente, Tégaiité T l , r-i >- 0 / ] - - i 7-ij r j X 0 / 3 - ^prèfl ceci nous serons capables de définir le morphisme de ^aphc Zîn.f.1 ; 3D Giï4PJTRE S, LA CONffl'itf/eTiOJV EFFECRVE Ur; B.L.L. DEFi ESQUmF^ MIXTES * abMod[Sy'\ r É 0>>M,, r ( T (T|,TJ) trJ qus Tt^OhMa Et C F^M^ tsL <311= tel que / i f / î jjoj-ttKtlce et ( n —f rs) H Oniri) (^n(Tl)+ T e T OÙ fr 5 OiMr, td f où n e A et /v e F / X r t parallèles et rJûLB avons îiiiBsi un cône pKjjectif d'ins Ens^- : { = dV ; T r T T — c (/s:»-/?„(/,), (/a ))fT-2]) fuH e t^L que , pu-aJI^cri ei J» Ceci met fi» à la conatruetirtn par jndnction. MainÉoiqadt. cat venu le moment de définir le diagramme localement libie dp T. Soit lè graphe qui réunit Icti {pour n € JV) : dcf I O i j V f ^ = LlneivOtA^, fi^r I nous avons O b M n £ O b M n + \ noua avons Ç FlMfiJ^i il est parfaitement d a l i que M ^ est u n e catégorie. La prochaine étape conÈistera à définir le morphisïTie de graphe [ OhM^ —^ OlMùi[S\ Il tst fatile de voir (lue iîso est hif^n un forn^toir. EK; même nous pouvons définir un cônc projertif dans Ens— : 2,3, LA CONSTRUCTION DE 3.2 EST BIEN Ufi D.L.L, ai Soit maintenant : - A = SO l a c a t é g o r i e * D = DCr,S} :A —. * soit d^tl(T, S) M ^ le foncteur D^ : A^^^ — Ceci lïïet fin à ia Ccïistl'iJetiDn dli diagramme lùca]e;neat libre. Il refité à prouver qUe lin dia^rafHïne localement libre. 2.3 D^ d) est en effet L A C O N S T R U C T I O N D E 2.2 E S T B I E N U N D.L.L. Nous allotifl intégralènnerit reprendre Jes notions de à la démoristration du théorème «uîvAJit : s4ïction 2.2. La section 2-3 est entièrement consacrée Théorème 2.3 : (A, ZJ,rf) est un d.i.i. du foncteur T : C —- En&. D é m o n s t r a t i o n : Nous devons rnontrer les deuin condibions d'un d.l.l. : Pour toute flÈcbe (T ^ 1) a A e ^ M) € M) M) e = JWpitIfl M^ T 2) Si (/t,mA) et (A', m A') satisfont la condition 1), iilors il ciiate un zig-zag dans A : / A2 An-t A = Ai ; Ar, = A' tci que le diajyranjme suivant est commutatif ; CHA PITRE £. LA CONSTRUCTION 32 2.3.1 EFFECTI\'E PU D.L.L. DES ESQUISSES MIXTES L'existence d ' u n e factorisation ( p r e m i è r e c o n d i t i o n ) A te proi^os Qyius allouai niolilrer qu'il existe (ftff/ja) ; ' M e FÎEns^ {legpcctivemenl : T^{p)/„g graiiin^e tiuivitnl. toinïwute ; - £ — M — ObMa Ç ^^ & FlMod{S\) telTqufi le dia- X ^ T Afin de trouver un tel naturelles L Tn — " M. nous couatruisons par récurrence des fonoteurs 7T, et des transformations D é b u t d o la r é c u r r o n o o DÉfiiiissotii!; ïfl r et L Le but ici eut de défiûir i^uJu,^^) = Ao. E r r e u r 1 Nous don noua iti !a définilion de Ao qui "raesun;'' l'erreur 1. Soit 7 e 7F, Nous fappelons que T^ = [ U Pour J Ç Z^ défimBAons [x G € • M{a^j){xj) = 2,3, LA CONSTRUCTION DE 3.2 EST BIEN Ufi D.L.L, ai Nous tJFons aJors bénéfice du fait que M est modèle : JVous envoyona les points non atteints de T{U^) via ho{l/') dajis et datiH l'inii^e de ces points est répartie dana 9a base puisque M est un modèle. Par conséquent nous po^ivon^j définir Une application Ai: qui vérifie U ^ J ) = J€Jj Donc ObZ' J ç D V ] Ao = E r r e n r 2 Pour l'erreur 2 nous allons donner la définition de F U ' [e 7ig-0as (R/{J) ^ HXJ.^XJ») E X considérons dans TNIU^.,)/ € Tui(A) : nh)ixj) / ïj, € M[Ul) = Nous poHonfi ensuite : ^ ){xj<) et = fournira les zig-zags manquants. Ç et l'a-pplicatioD ; Ohl' J ^ —' est un élément dans = ViQl) bicfi définie , et en posant E r r e u r 3 Qtnuit. à la déribition de la famille difitingué P dans JP : Ë fit '^llfï'^(J). C'est-à-dire que nous avons On a bien Pour / e JT et J e F i l ' , l'osons Cotïinne nous allons voir plus tard, Pour cela aehevéfl. est une famille bien définie. = = définition de est aJous défmir poUt tout cône projectif I l ^Tn(F^)) . Ë fÇ D'où la définition f/)g = Le triplet (.^D, = ( ^ ^ P É J - ) définit un foncteur Ti = (voir section 2.2), Définissons maintenant la transformation naturelle : Pour 1 EM , J e l' et î e AiCJ) il existe yj 6 lel que = dcfiuitioc de Aj(J)). Noua pouvons donc choisir une fonction ï Egalement pour tel que A/C7){3/j) = £ I—^ (d'après la yj (il y a éventueliemeiit plusieurs fonctions). il existe yj Ç. Aâ{Oj) ut = I^ûur cela, choisissons une fonctiou I—> yj 3A CBAPiTHE U. I,A CONSTRUCTJOrf KFFKCTtVE DU D.L.L. DES ESQUISSES MIXTES (DR nouveau il Y A plu«ltijrfi fonctions). Ce choijt fournit une fonetiob Kiuuite noua ïvods rapplic»uoii caBOoiqtie ( P ^ J?'} ; M i V ) Maintenant nous liiiiptHQnn rie ton H les élémenls pour rtéfinlr ^i) : hi: T| ObC W —* 1- M FŒt»> w^) + U ^U , W ) X (J) /i[{lV)ciit défini par luorwiauï : ru{w) M{W] (t/jAir;^) M(W) (Ui Il est facile de vDÎr qito ^ « t un« transfocnïntion ratuT^'il^. H y p o t h ^ a t ï e t p a s d e r^eiirrmii'je Nous supposons que le ff>iict?ur T^ et la tramslbnnaitîciin naturelle /i^ : Tf, U b y t est de définir { K . K M = ^ A„. M sont diji d^nÎB. E r r e u r 1 Nous d a n n o w ici In définition de An qdi coaecme Terreur 1Soit 1^5. Noiu ta(if>eloh9 qu« Jtl' Pour J Ç l' X^J) 'M è e M(U^j) : = Nous prolitons dft nouvcAii (iu fait qtie M est IITI niOflrlti de U f!t(un suivante : Nous envoyons les poinlji non atteints de T'^ff^J via dans et dwii M { U ' ) rîmsfit de ces point» est r^pArlie dans U base puisque Af est un m o d t l c . Par conocqucnt aous poirvcos dè^nir une ftpplkaiino Ai: O t j ' J n r l ) 2,3, LA CONSTRUCTION DE 3.2 EST BIEN Ufi qui vérifie U X'^(J) = T^ . Etonc ^^ ç AU', Tl). D'où D.L.L, = est, une famille bien définie. E r r e u r 2 P ù u r l ' e r r e u r 2 noUg allontJ donner la définiUon de P o u r J e ff et / ^ nouvHsau daJia Fil' le ïig-jsag J' ^ J J " E Fti'. Posons Vzj e T„iili):T^ij){xj) i. ai considérons dft et T„{SXij) e MCf/J) : Af(7)(yj) = et M(tf)(yj) = C o m m e n o u s a l l o n s v o i r p l u s t a r d , ff^'^ f o u r n i r a l e s aig-^Aj^s naiin<|uant6- Nous posons ensuite - W ï Jtf^ 'C/) C'cBt-à^dire que nous avons Ç eÉ l'application — Obi' J Pour cela achevée. —» ' ' i ( J ) «îst bien défiliie , est un dirrient dans &(]_',Tn) et ^îh posant lï,, = E r r e u r 3 Quant à U définition de l a famille définition de i?tj est = ( t f r D j ^ e j p flous allons définir pour tout cône projectif d i s t i n g u é F dana IP : On a bien ifi' € = H . D'où [a définition Vn = (V'^)^e*'Lc triplet (^n, ^^ti, if-n) = ((-^ID/ef, , (l^n Trt+I = (voir section 2.1). l^éfiuissons maintenant : Pour 1 E 1 , J e l' ^t X e il esfiste yj € définition de Nous 'pouvons donc choisir une fonction X «finit un foncteur tel que A f ( a i ) ( î f j ) = I (d'&ptis la yj (il y s éventtidkment plusieurs fonctions). Egalement pour tel que = € «t il existe y j Ç M ( U j ] = /tntf/j'^XjFj")- {vrj'.T.j',) 1 ^ yj (De nouveiiu i! y a plufiicuni fonctioiui). Ge clicsiy fournit une fonction : choisissons une fonction 36 CHA PITÎŒ 2. LA CONSTR VCTION EFFECTJ VE P U D. L. L, DES ESQ VISSES MIXTES Ensuite nous fivons ['appliciitîon fanoniqye ( f € iï^ - Maintenant nous disposons de tous les éiiîrrterit^ pour définir ti-i^^i • Art+i : ObÇ —> M —i- FŒits dctini par morceaux : , (y) iïif J ) ^ Af< IV) II eat facile de voir que 1 est une transformation naturelle. Ceci aciie%'e la construction par récurrence de la famlDe Cette famille noua fournira un DiTimssoflJs donc {p, j / a ) £ H(T) = Oi>Ma p. SN —. II est manifeste que p Ê A ^ à cause de fournit immédiatement te foncteur el: de là nne facloribation du morphigmo T LI^An ^ A^Ù- ^.'application p nous POSOJIH J.I h^ Pour g = Aoa noE^a avon±i fl s'ciipuit [a factorisation : M. ensuite ; LA CONSTRUCTION DE 2.2 EST BIEN VN D LL. 37 Vi^rîlicatioii d e la p r o p r i é t é d e niiodèlB n nous leste a inoEtrer que Noys devons montrer que pour tout cflt up niDrlèk, a) DémoQtrons d'abord que Soit Cfiat-à-dire É Fv et 3x„ 6 Premier cas ; e : r = n^^/sisiU'} U iiorc il y a J e / tel que € T„(cv;)(r„(£/J)) et ainsi Noufl pouvons sn déduire que PaiiKii^E cas t ï n ç T^. De b définitioTi dft T}, il s'eiiisuit qu'il eyiefce J € J;' tel que fî/j G ç Ê RomçiJj'jJj') X XiiJ). A çausc de x A^fJ) C nous avons ( f / j ^ D'un autre côté nous avons les égalités suivantes : Donc (£/J A Il s'ensuit que e u •'eZ = Pour cela nous avons également D'où = J)^ ^ h cause de = ^ U',Xn). € ^U ,[T„^(^X?^»(/'XE^J)/.^{tr^))1- £ 33 CHAPJTltE 2, LA CONSTltVCTION EFFE(7TIVE UU D. I L DES ESQUJSSES MIXTES b ) DpmomTOQS friaicilenaciti que Mm jeL' Soit € Supposons qu'iJ y ait, J, J' Ç et r ; £ T^ipKVj), Il s'en sait que Ë '^'^(pKUj,) = tels q u e et parce que fi^ eat une tranaformation naturelle. Comme M est un modèle, il existe un cig-aag entre J et i ' qui combine et dans M. Sans nuire à la généralité nous i^Uons examiner aeuJemient les deux cas Eiuivants : Preniitii? cas : Si J qui combine J" *— J' eat un aig-sag dan;» J^ J ) et DALIS M^ alors HÙUS aVons î Comme ^ = tioo nou£ avoiiB ; Il existe donc pour le premier cas un dans cutre / et J'qui combine xj/^^^^ij et ZJJ/;^^^^! j T^/fii^. I J ^ i ^ d è m e CHS, j Soît / J" J' un ïl^ siag dans j/ qui combine et daus M, Puisque Ton TOneidèie et xj' modulo si j , et vue la construc-tion ds g ^ hat k partir de h, on peut eupposçr qu'il ftsjstç n e JV tel que jsj €Tn{Uj) et xj^ ë !/;l(^./jJ). Nous devons enviftager deux possibilités : {i) 3jjTr e Le aijç-ïas / à cause de tel que = t j it J" J' combine donc zj/hj^e/jj et " » Tintéricur de et (ii) Vxjr, e -. ou f XJ" ConforiiicrfuîJCtt à l'hjfpotbëse dti deuxièioc esta il e;tiate yr' ë M{Vj„) tel que = ^ « { t ' i K u ) et = Ccst^à-dire que 2.3. LA CONSTRUCTION DE Z2 EST BIEN VN D L L. Confonneinent fonnemeot à la defÎDitîou de et de 39 il s'en suit que ; Nous aVùDS éj^eiiieilt Nous a'voDS ainei moutré que Ceci signiiic qu'il existe xjn = (dJ/, f / j ! * » ^ u s'en auit que le aig-zag / J" —^ J' combiae raisciD nous avons finaleinjeut moutré que ^^ et Pouf cette Noua devons égalenienl montrer que pour tout CÔDC projectif distingué P E J ' : ^ = T M i v n U v n Pour ÉMlliter les notations nous remplaçong g par h^ae» c'est-à-dire noue montrons que : Pour cette raison noua aUone montrer que rapplication ÏÏUIvante est uxlc bijection : UT^ivnu^ivn nEA — ^JCEJT'^ [nÈii U M ^ K ^ i v ^> nK ]' La condition de départ à savoir la fiuitude des bases de cônes projectifs intervient à cet endroit pour prouver que / est surjective. Tl faut donc vérifier les propriétés suivantes : a) / «jt bien définie Nous B H O U S vérifier deux points : 40 CTIA PÎTRE • pour LA CCNSTR UCJJON FITECTIVE e L>U D.L.L. DiJS ESQ UISSFS ItfDCTES uous allons [nontrer quo CûllâJiiéroiiis pour cela J f j K ' et. ti ; — P ^ t K — ^ / i ' e K f . Nous avons: c que Je (llagraiiiiiiie suivant est cammutatif : IVûù 4 Comme point suivant noua montraoa '^-i/fsA^tV^) = ^Îi/hA.^V"^]! nous avons tout K e K ^ . Choisissons pour cela s'en suit que et fin^ement que pour JfFihfJi = fc avec, £ vérifianl ' ï ^ i l / î ^ P O u r = = b ) / esl, mono Supposons que = e^r. Sans nuire h U genj^ralité nous juimettons (int^ n = m. Four tout K ^ K ' ' avons A^C^^jf ^ Il e'ea suit que Comme ^ = V'") , il est vrai que Nous pouvons en déduire directement que — > donc quft / est mono- c) J eat épi Soit vérifiant En^ ^ ^^jf E^t c'est ici que nous utilisons maintenant ie fait que les bases projectivee de llesquisse S sont finies. Comme est donc supposé fini nous pouvons poeer Tt = ^ ^^ gênérahté noua adinettons que i^ij^ Ë l'ouïr 2.3. lA CONSTRVCTÏOPi DE 3.2 m'BIEN VN 41 D.L.L. tous K , K ' ^ K ^ tti toTJt ti ; i ï —^ J ï ' e F I K ^ nous avons i = ) et ainsi Pour cela e = M i V ) Conformément à la définition de i/^ nous avons (AÎF.jr)^^^'' ^ • LH définition de. fournit qui vérifie Et nous avons Nous CE déduisons que bijection. = ek^*- f ^ n c / est bien épi et pour cela u n e Ceci achève la preuve de l'exiïteûce d'un modèle factorisant (Première condition), 2,3.2 L e s z l g - z a g 5 « n t r e l e s f a c t o ri g â t i o n s ( < l e t j x i è m e candîtion) Dans dette soua-section nous aJlons vérifier la deuxième condition du d.t.l. Soient A, A' £ ObA' m^ £ Wonijif DA, M) et m ^ ' e nijij) sûlisfaaaent la première coûditiOd : Da et Di^ T M^ Alors U ejiiste n, n' e W avec A e ObM^ «t A' € OhMn'. Nous avoiifl par exemple n' < n. Comine ObMa' Ê ObMn, nous pouvonis former ta "somijïe aiualgaïnéc" suivante : Da + Da' T CRAPrriŒ 42 La pfopriélé m : Da i^A + 2. LA CONSTRUCTION EFFECTIVE unLverselEe de la somoie amalgamée —^ -W, qui est indint par le couple I^A' vers un modèle, alors E(Da J. (Ç ObMn-y] C Ot>^ tel qu'il ejciste m^ j D^ + L>At) ^ T t). DU D,L.L. DES ESQViSS^ MIXTES CoTimil, un morphisme nniqne Coumie il e^tiate un morphisme de Choisjsaoïis B e + M rtïndajiit commutatif le diagranune suLvanl r Da') T D'après la définition de F l M n + i nous dicposons de flèches A' ^ B ^ — A, 11 est clair que pour oc la deuxième condition du diagratnine localement, libre est satisfaite. Ceci achève la dêmonatratioii du dia^çramjne ïocBlcïiieal libre : J?, J) eât un diagramme localement libre du foncteur T : —i- f7tis, mais Dj ii) eat loin d'être l'unique, 2.4 LE D.L.L. E S T R E L A T I V E M E N T F I L T R A N T P r o p o s i t i o u 2.4 i (A, n'est pas seulement un dia^anome T :C ^ A'TIS) mais U est aussi relativement filtrant. localement libre P r e u v e : Noua rappelons lea deux conditions atiivantes de la propriété "rclati^Tment • Pour tout modèle M e MDd[5l A, A' € O i A m A € grammes suivants commutent : • et il existe B e ObA et ms E îleKistt un dia^aiiiUie couunutatif tout morphisme et iua' {T ^ M) du foncteur filtrant": FlEns^, ponr tels que les dia,- et A —> B <— A dans Ft^ tels que dans 2,4. LE D.LL JiST RELATFVEUfENT FîlCTEJlJVT 43 C e t t e première conditîoQ est faeile à vérifier, Soient At,/i; A, A'; mA,Trw comme introduit» précédemment- 11 existe a.lors n, £ telb que A e ObM„ et A' £ ObMa'. Noua avons par exemple n ' < n. Comme ObM„' Ç ObM„, noins pouvontf former la "somme anialganifie" suivante : dA T L>a dA' Da' Da + DAT \ cause de la propriété universelle de la somme amalgamée nous obtenons uji mofphîsmc unique m ; Da + Da' —^ M^ qui est induit de (m^itriA')' Ensuite nous pouvons choisir B G. 3{Da + T le diii^rainiiïie suivant ; ObM^+i Ç Ofr^) tel qu'il existe rne : Db —^ Af rendant commutatif Nous avouî d o n t trouvé B e qui satisfont la condition demandce. £ et A a A' dans FIA Pour Lout modèle M Ë jVfo(i[5] et lout morphi&nie ( T M) Ê F Œ n s ^ , pour A, A' € O b ^ et tout couple de flccbcfi xi : A —A' v : A —» A', pour TFIJI Ç. «t pour m A' 6 M) tels que le diagramme suivait cominutç ; EftjS. ileidste B E ObA et m^t £ , Af) et- uf : A' et tels que le diagramme suivant commute dans A ' n s ^ ; B dams FIA tels «IH'^ tt) o u = tu o u Ai CHAPITRE 2. LA CONSTRUCTION EFFECTIVE DU D-L.L. DES ESQUISSES MIXTES Soient donc M £ h : T — ^ M & FlEni;^, soient A, A' ObA et ti, t* ^ F M u n couple de flèches paiaLlèles et î t u fc ^ conîme précédemment, U existe alors n, n' E JV tels que u é FIJi4„ et tf e FtMn'' Eàupposona que r ' < TJ. Comme FlJAn Ç nouB pouvons former le "coégalisateur" suivant ; m ) A tftUfift (le la propriété universelle du "cotisaiisateur" noUa pouvons obtenir un motplliame uniqiie tn — ^ M qui Est induit par mj^i. Pour cela iJ^)) ^ W et nous ptnivrtTis choisir B q (dons B € D ' a p r ^ la cûtyitmetion de il existe de pluji tu : A' —+ B djuia Fi/^tn+i avec wj cm = ut o u et tels que le diagramme suivant commute dans Enti^ : Enr^ Ceci montre donc que (Af LJ,(î) est un diagruiiurKï localement Ubtc ïelativcnfifint filtrant. T/on ae convainc facilement qu'un diagramme loealeinent libre reUtivement filtrant n'eut pM unique. Au cliapitre 3 nous verrons que la notion du diagranune localeifleut Lbre relativement filtrant fournit eur le p l a n géométrique une conatruction unique à équivalence d^homotopie p f ^ i d'où l'intérêt du raffinennîJit "relativement filtrant". Chapitre 3 LA GEOMETRIE DES ESQUISSES CË cbapîtne n Hi Tobiel d^im expwc au Feripâtetic Sctmmv on SheavA ntiil LogicV Le but de « p ï t a ^ a p h e est de rappeler l e coiistniftiofls d« la réaloiition de Miinor «t de la wlwmcilogîe d'André et d'appliquer ces «Histrucliond 4uk ( p u i s s e s . 3.1 LA R E A L I S A T I O N G E O M E T R I Q U E D E M I L N O R La catégprîe eimplifiole A est défÎDie fotnme suit : OtA = FIA = Un] I H = {0,. U • l-nj — [nj I est un ofdiniil fini] e [m] /(i) < /(» }. Pour toute cmégorifi î?, noa néceiwatTement petite, fiori nerf ( noté N V ) esc le foncteur suivant : —. Ejts [n) — ÏJt") : = (fm]^[nl} — (Fo1cfît discrète el A ^ de la to[wlo{(îe induite par et d â i n i n o i u donc pour toittr: cMégorie 'D non nécewaircFiimt petite sa réalisaLion { ^ U i é t f i q u e UV de la f a ^ n suivante iJD^ U (.Vî>([rt]) * nefi' Jï-l^ wpUmAra 1993 46 CHAPITRE où 3 LA GEOMETRIE DES ESQUISSES est la relation d'iîquivgilencfs engeudré par les deux relations suivantes : ( / ] ; - - - , / i - l i JV-H /(n/i + ï: • • • :yn)i(ioi ' ' ' p'rt-l) > ~ > < f / l n - - - p /i n '^CdïÇi , /i+t n - " i fn), ('o h • • • 1 'n+1 ) > < ( / l , - - - , / n ) , (ifOr - --n + --> DV est un CW-coniplexe dont, lea de MV (oii ( / i , . - - , / n ) £ NÎÏ([>iJ) est a-ppt^li! "" forrt-j+jjondenl, exactement aiut rt-simplexes non-dégénérés jion-dégénéré de A'X> si aucun n'est l'identité), Ptmr pouvoir appliquer cette notion avec bénéfice aujt eequiaaea, nous devons p a r k r ici du théorème A de Qui i jeu —BV'. : V —f V un foncteur^ / induit Le foncteur / T V — t V est appelé équivalence d'homotopic si Bf d'homotopie. : BV — t Biy est une équivalence La catégorie V «et dite wntra:;ti]e si BV est coutractilt;, OJI a les i:iisult&t& Buivantb ; L e n u n e 3 , 2 . 1 : BV et L n m m « 3 , 3 . 3 ; Si / : P — • V d'hoTTiotopie. c a t c ^ r i e du aie) sont iioméofnOrpbcs. admet un adjoint à gauche ou à droite alors / eat une équivalence L e m m o 3 . 2 . 3 : si P admet un objet initial ou terminal, alors V est contractile. L e n m i e 3.2.4 : toute catégorie filtrante est contractile. Maintenant nous allons énoncer une version duale du ihcorèmc A tel qu'il se trouve dsiis l'article^. T h c o r è m o A : Pour le foncteur / : V -—» îV et V ti ObD' considérons la comma catégorie / 1 y : of>if i Y ) = [ i x j x y}/x çObv,'>?^j'tv'] Fî{f I V ) = {u ; I X J X y)/ii ; X = Si, pour tout y Ë ObJ>\ / J. y est contractile, alors / est une équivalence d'homotopie, 3.3 REALISATION GEOMETRIQUE ET ESQUISSES Dans cet Le sec Lion nous allons appliquer le théorème A de QuiUen auît fsaquisscs^, S^>it T ; Q -—^ Ens un foncteur de la catégorie sous-jacente de l'esquisse S vers les ensembles. Mous nous intéressons d a œ la suite non EeuLeiiient à aux réalisaLlons enseinblistes de l'esquitise S, iiiaiti aussi aux réalisations ensemblistes de S' relatives au foncteur T , c'est-à'dire à, la. conima-caLégorie T J. Mo(I\_S\ où : Oi>(T i Mfl(i[5]} = {(r M,M)/Al £ 0iAf(>4S],A e îfofnç^(T,M)] Fi(T i = {m : ( f i , M) (Â, :{M ^ M) Ç: FiModlS], »ioh=h} Si T est le foncteur vide, alors T | AfiM/[Sj eL AftjJ[5] aonL itiOmorplies. Eu général T t ^vûii est une D. Quilkn, Alficbraic K-Thoory T^S.L.N, num. p.35 Onîtajt. On thc GiomttTy of Compritaliciia, Caiiicra ds 'FitpoJogis cl Gaomètrie DLffé3?enJtieIte CîitflEiïriqiiCi Vd, XXVIM (1966} H. 3 ftEAUSAI7ÛJV (JÊCJ METJÎ/Q VE ET ESQ VISSES 47 "{(rtwse" catégorie et doîlC I est (il gléfuirftl H" "gros" CW-complese. Main noua pouvonq cuiuitriiire ace petite catégorie dont la réalisation (pjom^trique est en équivalence d'Jiomotapie as-ec le "Kro»" CJV-complese P(T i Mod[S[). En effet corKttdëfonn le diagramme locale ment libre relatTvemeDt Itltrailt de T construit au chapitre 2 : • avec !a pelilr cst«god« A = S) • avec le diagramme de fonrtpurs D = • avec le cône projectif d = /^T^S) ; AO',^ '—* W«f[S] = {(I{À) : T —^ Nous pouvons ainsi définir le funcleur T i A >1 iA-i^B) Nous voudrions appliquer l1 appliquant le tbéorçmc A de Quillcn nous obtenons une équivalence dliomotopie ; H: S) ï- i ModîSl CtKi JîiEiiifie que le "(jros" CtV-rcmpiexe B{T I a le même typo dTiomotopio que le "petit*" CU^'CdUiplcxe HA. De pl Jii il N'CUSUJI eû particulier que ai A «t d(fux iatègories aonâ-jscentrïi deu* dîap'ainii^ localçn^t Lbres neLatlvetnefll lîltrantâ d t A K M HA ^ BAL OFLT le iném« type d'honvitopie. Ainsi qotoDs te "petit" Ijpe d*bùmotopi« de B^ par j^Tj-S), |jui#iu'tl IM dépend tjue T de 5, Si T est le fonclËiir vide, ddUs )>«rldns brîèvemeat du type li'hoiTiotopî^ de Tcsq^ïsse S «t nntona g S — Doiic g S est en équivalence dTtQmolapie avec . eu A PITRE 3.4 LES F O N C T E U R S 3- JA GEOMETRIE DES ESQUISSES (n e IV) JJous prcsentolis k i une synthèse des travaux d'Evrard ^ et reiivoyoup c^lc.nicEt à des notca de Guitart Oai (reap, Cfii*] désigcie la (Atégorie dont les objets sont lea petites catégories {inctp, Jes petites catégories pointées) et dont les Tïl(J^ph^^^^I]c^t sont les fonctwirs covarianta (reap. les fonctenns cova-riiuitti coNHClviiut Jea pointa). Pour Ufti; catégofic î 6 f ai, A(7)t ta catégorie des chtmitm i^e Z, a eomine objets les aigrEiijps et conniiie flicLe JCÉ [norphisinu) d'iîlvrard orttre sig-aaga (nous renvoyons à aou article dans le Imiletin de la société Matli. de FVarict', 1975}. Cette construction définit un foncteur A : Cat —* Cai. Knauite si la catégorie J Ç isst pyiïitée tMi on note iî(i.i J^) la catégorie des îacets de 7 en /q ^ Cette construction définit de nouveau un foncteur il ; Cai* —• C on définit par induction des foncteniïï A" : Cai Cai et Ù" : Cai* C 0 dee fjnaembks : [I„(L/a) l i i ( i ) , donc aussi HumiTu)). est rui groupoïde pour la composition des zig-eags et I I i ( i J o ) i donc aussi ^ndiiio}) lui pour compofiitbD nalureile des k c e t s ; de plus, a b é l i ^ pc-ur n > L Nous avons en particulier IIi(Z) = où est Ja catégorie de ûraction ® de Evrard démontre que pour tout n € JV ; = II„(i5fXi+) où est le ^ o u p e J'koniotopic d'im espace topologique, 3.5 LA C O H O M O L O G I E D ' A N D R E Nous introduisons dana œ t t e section la coboïnologie d'André ^ sous les notations introduites de Guitart Soit 7? une catégorie non-nécessairement petite et : V —^ un foncteur de V vert la catégorie des groupes abéliens. Le membre du complexe de cochaîne est défini par ^ipuit^ M- EvmrJ, Kum^tupJc d'Un lupfjlc^gur: i Hr rmmlifrtisiépd, Ap^licAll^n i L'hûin<ïtap3« dea pi^b^mou, Thfefi d'Etat, Univsrsiti Parii M. Eiirard. F i b r a t i a n de pctilca cattgoriet, BuH. Soc. Mfith. Francc Kïi, p.241-2)65, 1975 *Vuif fjuilM-t, CùiiaLnictic'n firaji Hramnlogy îulrf a CîfihnmfiloRï 'l'h^ntï AtmnrLated t u ù Firul <}rdar F û n u u l a , JûumôcB d''Etudfia Esquiaeei, IjOjfiqiie InJormatique Tiéorïque, tJ nîvErnte Parù 7, 27 juJa-ïiuilIct. iSfSH ^ v ^ i r F , Gnbrit^l rt, M- ZiamaiL. C^vl'culiu of Frai:lit>n a n d Hoinots, tfi^T', p.C ^ voit- MijJ]^ Andj^, ïilïLSjlio^i; rn ajg^brt^ liuiniulagÏLjije Ct ulgÈLrc ujmLEaiiltBtJVe, S.L.fif, l'967 ^voirR-t^^jibart. Onn^trifCiïuti of lu^ BtHlmlm^ and Ji (vCjlinimilj:}!^ THenrï As-'io^Satcd to a First Ojdcr Formula. Journée» d'Eturice EisntijsBca, Lojyquc tL In&imatjipic Théorique, Umvicnitc Poiis 7, j uin^ ï j iiillct 198S J fi. CALCUL RELATIF DE N, . HI, ùVttf la différentielle iT (fil ÇH) 49 F] —. C^+'^P.f) Il ~ + (n——-x.+i} D^vnnT le dpmier terme nous avons groupe* dr eiià«iioJcit^ par s nest iropurel " si itfst pair. El finaionetit nûirt dôftniiHoRB Nom avMis le résultnl «uiv^Jtt PropocUtOO 3.S : Si T : — . Ent est ur faacttat ftior» type d'homoLopic dti CH/^-compleie | MrtdlS])- i jWorflS], P) dé^nd 3.6 C A L C U L RELATIF DE Hq , Oi, if" {n € W) 3.6.] Ititroduclion uniquentttiL du Le b u t de ce paragraphe eat de régler, de façon éiàneailûre, l'influence que jouant Je» c o m p o n n l » Eaaoeica de l'esquisse S sur le calcul de Ha, Hj et H" (n € JV), lUppclonfi que Etq désigne la catégprie qui a aicrmie objet» les cequisKs et comn» les moTphiHnH* entre esquiva. ( / ; (C, -P) — • (C'. f f ^ ) est un morphimn^ d'esquisses si / est un fonetnir Q —^ C' tel que ^ /ïOe'' SI M «It un ensemble et (5r,>)m€-« "ine rainjlli: d'wiuism», alors on peut définir dan* Eatf la Honimr a iwinorptiinriii' près : U mfAf , U C n , U ifrrn U P ^ h rnSM rtif H m^M bin psiTticulier si 5 ^ U i m , alors = f J 1 lo(.ï^) l.'te l'autre côté si s e.fit (me «quisse quDlconquc Tn^M tniii et = {composante connexes de H), aiois S ^ U Ji ( IJS 5 eat la nomme de AËH Rompoaantey Heniifjj conncxea ), Pour la sultiT de ce paragraphe soît uni) fvnilie d'esquinses quelconques, S - Li JNb T '• C —» En» un foncteur de la catégorie SUIIN-jftiient^T de 5 nu Vaut : Lf^fltnir 3.6,1 : T \ est isomorphe h f l {T/s VKTS les eziaeiQbles. ) i i n j ^ - oii T/s Nouâ aVoDs It kiAme est le funcuur 7* nslrnoL 4 1 e«qume Sm* R. Guitmjt. CoDBtractKHi oJ a u bxmolcgjr v i ' l • c o h o m v k t ^ t l i » T y u o c î a ^ e d a R n i tn^hr f w n i u l a , J o u n i h i d'EtiidiCE KsqiÛEm, L^Klit^ ItifirilEkmtitiUr l ' U c ^ q u c . Utii^«taité Paria T, 37 juin- 3 iuiUtl lOW CJJAP7TJIE a. LA GEOMKTRJE P r e u - v e : Il est, fittle d t voir q u c k f o n c k u r •^niulti-TegtrictLOîi" / J T 1 Mod\S\ — • DES 11 [T/s mEM qui assofle â toute flèche ( T est la tTansformatioii naturelle 3.6.2 ESQUISSES \ Ens^^) " .W) la ramille de flèihw (Vî™ • ^'/s™ — ' restreinte à est un ÎBomorphiflirne. n où ^/s™ Le calcul relatif de U^ La remarque B L I I v a n t e de .l.Dénfi.bon exprime le noimhre rlu compoiiaates connexes d ' u n e caLégorie comme limite inductive du foncteur oonstaut : RftûlJàrquï^ i Si cifTtsI : Ç —> Ens désigne le foncteur confltant qui etavoig Ira objets d'une catégorie t r allr l'objet terminal d,e E n s , alors nous pouvons exprimer rin(ÇJ coiniûe limite inductive de ce foncteur : Afin (le pouvoir appliquer IIo au lemme nous devons monbrer que Ifa commute ïluk produits. Pour ûtlft coriâidérçnij une faniille de catégories non nécessairement petites {ï'm)i7»eJM'' Rappelons que pour tout m M Houé avons nû('C'„,) ^ O b D ^ / ^ où « est 1» relation d'équivalence suivante 1 ObVj^ : z Si y il existe dans Vjj^ un eig-^ag qui combine s et y. llu{ï'rai) peut être un ensemble ou une classe. î^eg élément^) de JTn( f l V ^ ) seront notèfi pai f^((!l^^,)Tne^r) mt w avCc (ïïfij)m6Af € I l Ob'Prjjf tandis que pour tout m é M les éléments de no('Z'm) seront notés par {im] m t Jlf avec E ObV^ Leinrne! 3 , 6 , 3 . Si jW cet fini, il y a une bijection 11 o( 0 ï^m) - mEJrf 11 i l û ( î ' m ) ^ •msM L'ïeU*È : posons / : nc( n r^} ^ mEM n ffl-ÈAf F a r la définition du produit de catégories, il est clair que f est bitîii défini. J e s t i n j e c t i f : supposons que nous avons )) = (^/((y,,,)^^,^)). 11 s'en suit que pour t,oLt Tit £I M : [ifnl = [ym]' Donc pour tout rra 6 M , il dansunV^ni^-sai un zig-aag ^•ni «t îfm- Comme M est supposé fini, uous pouvonsexiste trouver dans qui I I combine qui m t AT I Mmbine (Km)mgjw et (y,j,)mÈAf, sn mctlmnlj bout à- bout ks aifi-Kags de P m qui combinent t m e t Ifrrt. J chst surj^wHf : ceci ost iiïitiiédiat. • Nous e u p p o w n s jusqu'à, la fin de cette saus-section que M est fini. En pcaant = (Ï'/Sjji) 1 nous pouvons appliquer le résultat de ce lenmiR et du lemme de S.S. 1 de ]a maniéré suivante ; nnff[T,5) ™ 1 ^ I l f l ( r i Arcj[/[5J) ^ nn( n TO^) ijie M l ^^ voir M. rSvrarvi. Huttivinipie d'im «ijNMrjt Li>|iijlngïquç rKUtivKitrïcii à un reciflU vrrmisul.- A jjfjlîcaticH ù l'IniiiiotopjE ilca prdschcniBS, Thni? d'Etat. Sur la PAGIN (proposLion 117..^} FIT? trouve im ôncnicc pluii G^érAl T Pour Lout. n ^ I^' et tout tmiplc d'tibj-ct» ( l i ^ Caf r X = irn(i) Ji ^'^MIS bilans poncEcnrcr pour T; 0 et to 3,6,3 puur n = 1 des :i,6. CALCVl RELATIF DE Uo ,ni, (N ^ IN) 61 t k mênw norni pou VOUA trouver un ré*uk«t similnirc pour Q] , 3.6.3 Le calcul relatif de ïli Noua reavoyons à la r^^nrUfc ea bat» tl« page du Irtnine N'otw Kohqjtooa iLr«T b«q«f)c« à e c n w u i du knuiK 3.6,1, Comntc MiBV ^ nom aHous m o n t w que rapçration d'inverarr lea flèches romniutu aux produite fin in. Pour o e k r^ppclunn le thcor^mti «utvAnt : T b é o r à m e dn G a h r i d - Z i n o a i i : SoLt V une catégorie Pour tout« partie £ Ç FW il w*tr près ) et uu foncteur tV ^ vérifiant ( î ) p o u r t o u t ff e S , (iï) pour G : tout Une uniqtM C s t ^ O î k ^ à i w m o r p l u n » propriétés s u l v u i t a : est u n ujumorphinirir (buctcai F T> Z qui vénfie (ij, —* Z tel que k dingramnie juiv^nt commute : il exnle un unique Ibocttut PIE-'] F z: a les mém4« objectji que Si ï> et ^ sont, mainlenant deux catégorint non n é c c M i r a n e n t petites^ nous niions montier q:ue {ïî X f)[(T> ClioiàiisODf F p - V S 3>[î>-i] K i l f - ' ] - el Pï : f — ^ f j f ] conforméinent l u x noUtioBi du théorème de Gitbriel-ZisnjatL. Nous obtenonfl ainai le foncteur canDilique P-^ H Pc • V v. £ — t V[V~^] K Maintenant nous pouvons vêriruir les denjt propriétés en question dy théorème de G^riel-Ziiiman pour ce produit : {i) pour tout e K £) ; >Î Pi){f,g) = (/'!?(/), f t ( ! r j ) cal un isonnorphLeme, <«) soit f ; P X 5 — • Z na foncteur qui vérifie (i). Pour tout x Ë O i V et tout déliai r Irs fonctcu» : Fy 1 V F^: £ W ^ Oh£ DOns poUVûtis Z ^ Z ^ Selon IB Lhéorème de (.^abrirl-Kisman G exislc des f o n d e u r s unique* f ï , : Gt —> Z qui rendent «lomniutatifa loe dtaf^rammus ïuivantd ' ' WMf Gahrid rt M. awnm. CBIcuIhe nf fïbnica bh^ tbeoTT, ï?prineer-Verl«a, 19fl7, p^fi > Z et 52 CHAPlTIiE 3. LA GEOMETSJK mS flSQVISSES Pe Ainni nous définissoiiB de fanjan canonique (a:, y) fix, y) = = = G^i^) = A cause des égalités auivani-es iJ s'ensuit que le diagfîHïiTnt^ âiiiviinC est eommulatif : Remarquons que C etit bien un fontteur. Cela peut se voir soit en présentant les éléments de ^ [ D " ' ] et par des zig-zage de T> et soit en montrant que C s'obtient direetemrrnt pair deux applicatîone successives du fait que si S C F t V j alors fait qui réaljlte de ce que P •. "D y S • défini par F( s){y) ;= y) inverse Nous pouvons donc conclure iH'fiC 2 inverse les élëmftntfl de cléments de J]. x jîî et seulement, si f : !D — théorème d4i Gnliriel-Zisman (tiie {'D x £)[{V x = x De plus QOUB pouvons étendre rargiimentation aux produit finis J L e u i m e 3.G»3 : ti M est fliti et une famille de catégories non nécessairenieiiL peiitea, alors : 3.S- CALCUL RELATIF DE , Ui, (N ^ N) 53 rki œ iftmmft et du lemme de S.ft.l noua pouvona déduire [ea IsomyrpliiBmcîi ^ n W [T/sJ I n mÇAf i leimne wrtQM uneiW Le même type de résultat est aussi valablt: pour (ti Ç W). 3.6.4 Le calcul relatif de H'^ (« e Nous n'sdlora pas dcmonlrcr le cakul relatif dans toute sa g é n é r a l i t é , mais noua allons soumettre la restriction suivante ( de nouveau soit M un ensemble quelconque ) : Nous n'allons adn^t^tlre que des foncteurs F : T I Mod[S\ -—• Ab pour Lesquels il existe une famille C^^^f^eAf avec F^ : {T/sJ i Ejifi^ Ah telle que ( i ) Vh : T — ai)v( ^ T ^ G e T i ModjS] ; ) G T i M o d j i T . r(Tj) = h) = U F ^ s J meM n^z-r^ojA^j - n F ^ i c h j - * rHÉJVf m^jH n f^^h/s^) ITIEJW H Soit F : T I Mot{[Sl —^ Ab donc uu t d foncteur pour le reste de cette Boufl-pectioa avec la famille (^m)mgjM- Nous avons besoin du lemme suivant ; Lc^miuM 3.6.4.1 ; Pour m £ M soit Am un eMcniblc quelconque, De plua on dispose pour tout m € M et jTfn É Afrt des elisetijbJcti r(x,j,). Nous avouK une bijection entre n (ïtivlTuen^t n i» tuEA^ ( n r(i:^))et n rneAJ mC W n P r o u v e ! Pogons , n ^ ( u j M ) n n^ TTlC.Vf Cette riipplication définit bien une bijection D k. Considérona ensuite pour tout m G JU les nerfs nouveau une propriété de produit L I et N[Cr/s„} L c i m n c 3.6.4.2 : Four tout n E JV' nous avons N{T I .Wod[,S"])([n]) 3 H Ni{T/à-J) m Frtîiive ; La bijection est donnée par l'application : N{T I ^ n rritAf ) l i Ens^^). Noua aVons de i i W " )(lii]) 5-1 CIÏAFTTRE 3. LA GEOMETRIE DES ESQUISSES L^oua allons maintenant utilkf^r Wnmc 3-G-4.1 et lemmS 3,6.4,3 de la manière suivante, en employant la définition du complexe de contiaîjie ; = =n n ^ n F^iM^) (lemme 3,fî.4.2 et liypothfcse sur n ^ F^Wn) {leitiiin^ 3 - 0 . 4 . 1 ) Soit (P ia diffémiitielle de C i T ^ F ) (^t rf;;, la dilTërentjdk de îlji^piïlonj; la définition de tf^ ; (T —. JWii-nl + D e v f t n t {fi dernier (.ernf^e nouR avujis ai n eet impair e t HT n est pair. De c e t t e définition noua pouvons dêduiriK pour m € -"W et jf = De cee tonstatatiouH tious pouvoiie inunédiatement déduire le lenimc suivant : L«m[iie 3-0.4.3 i Pour tout FJ e IN nous avoua II''(T,F) 3.6.5 R é s u m é et cutlclusion = E H Dans 3-0-2, 3.G-3 et 3-64 nous avons vu que si 5 ^ \1 . C —> E n s un foncteur de la catégorie mÇM Soua-jBceute de S vers les eneembles et F et (^m)meM Cyrmne dan» nou^ avons ; me.W niff(T,5) = H'^iT^Fi » n IIIE la (ponr n e W) 3.7. QONDmOm SVFFiSA JVTES POVR QUE T I MOD[S\ SOJT CONTItACTILE 55 Comme toute cfiquiaac est la somme de ses composantes conncïca, nous avons ainsi : . S n - nij(r,5) = n Jttilnt.i? i - H^iTJ'') ^ ^n^ IloçiT/ii^R) (pour n e rv) (ici de nouveau IIn(5) = { composantes connexes de 5}) 3.7 C O N D I T I O N S S U F F I S A N T E S P O U R Q U E T i Mod[S] SOIT C O N T R A C T I L E 3.7.1 U n e hypothèse de d é p a r t pour ï'esquisse S Quant à l'esquisse S nous supposons sans nuire à La généralité que pour tout I £ S, pour tout J ç J^ il n'existe paa de flècîie U j — ' W teLle que ïV est un candidat pour un objet initial dans 5, Car si u n t telle Hècliû existait, [louu reiuplacerions / par / ' = (Uf — • U ' = le cône qui est obtenu à partir de I en supprimant J et toutes ifts ftèchea dans I quJ partent de J oU ^jui poîuttnt vers J. De fajon intuitive nous pouvons dire que noua voulons mettre eti évideïLCC les "sommes cachées" U j 0 —y Uji de l'eaquÎBse $. Soit donc S' TesquiaBe qui est déduite de 5 en rnodifiant lea cùïics inductiîs'poHT lesquels une telle modification est pertinente. L e m m e 3.7.1 : nous avons Un isoinorpliisnie de catégories M(5rf[S] ^ EnK^\ ce qui est fa>:ile à vérifier. Pour Ea suite de la section nous allonhi donc adopter cettf fiypotbèsc selon laquelle t / j ne pointe vers aucun candidat pour un objet initiai pour tout J jJ tit tout 1^3. 3 . 7 , 2 , LQ c o n d i t i o n s u f f i s a n t e P r o p o s i t i o n 3.T.2 : Si pour tout côue inductif / = {Vj —^ connexe et si pour tout cône projectif P = (1/''' —y 5 veïB un candidat pour un f.it)jct inilial dana S^ alnra r i terminal. la catéiïorLe sous-jfljceftte est l'élément V^ îic pointe pas dans f ^ . vide ou admet un objet R e m a r q u e : Si l'esquisse S est purement projective, alors la tremaforiiuitiou tiatur(?lle T — " * de vers le foncteur singleton est un objet terminal dauE ia comrtia-catégorie T.[ Mvil\S\- Si S est une esquisse mixte, nous pouvons avoir sous les conditions de 3a proposition 3.7.2 un rcsultftt similaire. D ô m o n a t r a t i o n ; Sous cea conditions noua allons montrer que si T J. possède uti objet, terminal que nous aJlons effectivement construire. ^ 0, atofs T .L 56 eu A PITRE LA GEOMETRIE DES ESQUISSES Posons donc Q R: Ens ObEni^ {+} ObC {W n e / , al W ne pointe pais vers im candidat pour Un objet initial de S jjit W pointe v^rfr un candidat ponr un objet initial de S FiF.ns W) on R ( / ) esl urne des trois applications possibles; Il est clair que Jî est un foncteiir bien défini. Montrons que Jî Cflt un modgl^îï d t S : Koit f {U^j —K un cône indtietif de S. Seluh l'hypotLèiw dft départ (Cf. 3-7-1) et la condition de U proposition il n'y a aucun U j qui pointe vers un candidat pour un objet initial dans S- Ue niênfie U^ ne pointe paa vers un candidat pour iin objet initial dans S- D'gii pour tout • = ( * ] et pour U^ -. HiU^) = {*}Comme J^ eat conncxc nous avone ; \iiii = RiU'y JeJ' Enauit« soit P = {V'^ —^ ^k^k^k'' «^ône projectif de 5 . Comme ne pointe pas dans S vers un candidat d'objet initinl { condition de la proposition ), aucun V ^ ne peut pointer vers lui candidat d'objet initial. Il s o i suit que pour tout K e K ^ ^ = {i^) ^^ poui V ^ ; D'ob lim m ^ ) = RfK''). Donc H est on modèle de S [C'est-à-dire en particulier que les deux conditions de la proposition sont suffisantes pour l'existence d'un modèle de S ), Montrons ensuite que ai T ] Mcie([5] ^ (J, alors il y a u n objet ttriultial de T J. Comme T ] Mod\S\ ^ fl, il y a un morpbisrne de T vers Un modèle M. Pour W ^ ObQ nous avons = fl, si pointe vers un candidat d'objet initial de S. Par conséquent pour un tel W £ ObC nous avons aussi = De cetbc constatation il s' en Buit immédiatement qu'il existe un morphisme canonique T •R Donc r it e T 1 et T —^ It est Tobjet terminal de T [ MotiJ^], car pour tout T -—* M Ç ï ' J. Mod[â\^ il existe un morphisme unique M —^ R qui rend conuimt^tif le di^j^amme suivant : Conuae toute taté{foric qui admet un objçt iiiitifll ou termiDal est contrad.iJe (voir iemme 3-13,3), il s'en suit de la propouition S.7.2 que B{T 1 Mod[^) est contractile. 3.S. LES COMPOSANTES 3.8 CONNEXES DE Iî(T { 57 LES C O M P O S A N T E S C O N N E X E S D E B{T i Ccmm^ tfl 3-7-1 notw aLlon^ supposer sana nuire à la généralité Haim tout oe paragra^phe qufc poux t,oul 7 e ff, pour tout J ^ il pi'exiiite pM de flèche U^ —^ W telJe que W soit un candidat pour un objet initial dans S- 3-8.1 Introduction Four toul cône inductif / = {Uj ^le .S", rappelons que pour la catégorie sous-jacente i f , désis ne l'eneeiiible des composantes connexes de J_ . Conune au chapitre 2, T ' esît T ensemble [ U c'est-a- dire 1' ensemble des points de Tli/-^) qui ne sont pas atteints par la base j'Pour le calcul du nombre de ^lompafiAJitefl nonnnjfos di^ B{T I AiorilS]), il nous fu-ut savoir aoUB quelles conditions il exista un fiiorphisme de T vftrs un modèle de 5- Dann cette perspective il Y JI deux letnraes UtilftH 1 L c m m c 3 . 8 . 1 . 1 : S'il e3dste un cône i n d u c t i f / , deuï éléments J , J ' de dernc composantes connexes différentes de et deux points xj É T{Uj) et i j j € avec T { a i ) ( x j ) = alors T n ' a d m e t aucun morphisme vers un modèle de S- E?cemple : Je diagramme ''candidat somme" C n ' a d m e t anctin morphisme vcr& un dia|;fatïimtj "somme' d u type D + E s ' il existe x El A f f t y Ç. H avec u(a:) = P r o u v e ; S'il existe iin cône inductif 7, s'il exisLe deux éléments J, J' de deuit composantes cOaneîteti différentes de et deux points x j € et z j . € T(L^Jr) avec = il est clair que T ne peut j a m a i s être un modèle lui-même parce qu'un modèle peut toujours liet par un Isig'Zag deu:i points qui sont égaliséu danu son sommet, ComiiiC: J fit J' appaïtiennCIlt à deux composantes connejLea différentes, il ne peut donc ejdst<^r un tel Donc T ne peut jama,is être Un modèle lui-niëiiie. Autréiï^ent dit si M est Un moJèile de S, alors nous avoilB 58 CHAPITRE .V, LA GEOMb''IRlE Dans TJïlé alf^{UIne^^^at.^on pHr J'abstirdp supposons donc qu'il h ' T —^ M flfi 7' Ver» Lin njodèle M. Nous avons rionc les égalités : D'oii la contradiction H m^j^jiMU^,)) Rappelons la notation P — {V^ —» l^v^fftJf'" P^i^f DÈS ESQUISSES un rnorphiErrte eJciete ^ fl • f^™® projectif' de S. L t i o m i e 3.S.1.2 : S'il existe uji cône projectif P , tel que Y'' poinhe dans S vere un cajiJidat d ' o b j e t iniLial et & alors T n'admet aucun morphisoie vers un [nodule de 5, E x e m p l e : le diagramme suivant r; — K n.' ailmet ancnn morpbisnie vers un diagramme du type a v e c f { D ) H giE) = d £ Ax / S C Y B/z = w(jtJ = H l ^ ) ) ^ W. P m i i v c i 1 S'il existe un çône projectif P , tel que V^' pointe dans S vers un candidat d' objet initia! et si ^ / f 0, il est clair qne T n^est psis un modèle lui-mêirie. Autrement dit 6i M est un modèle de 5, alois nous avons lÛH — 0. Dans une argumentation pat l*" absurde supposons donc qu' il existe un morphisme h ; T — • A^ dft T vers un modèle M . Comme r ( V ^ ) ^ tf, cboieissons ( l A ) i f g A " € ^ 11 s'en suit que MV^'^K^Jï) 6 et que V^K^if T { V i ) f^v^ « k ê E li^l M(l^jf), D'ûii la contradiction • Ces deux lemiïies montFerit des conditions qui font q u ' il n'existe p a s de morphisme de T Vers Un modèle. Eijt-ce que la négation de ces conditions conduit à l'existence d ' u n morphisme de T vers Ufi modèle 7 G'est-a-dire est-çe que si T satisfait les propriété,» S i et S j ; : Four tout i e J pour tout J,J' £ jJ lels que J el J' appartiennent, à deux composantes connexes différentefi de / noua avooB '/X^i = 0 L È S COMFOSAIVTES CONNEXES DE fî{T I XrOD[S"\) 53 S ï : P o j r tout P É JP Lel que le sominet projectif V ^ pointe dans S vere UTI candidat d ' o b j e t initial K^Kf noue âvoua un iiiorphisnie de 3' vers un modële M ? Cette question diffère du point de départ de la construction du d i ^ r a m m e locajernent libre. Dans b (i noue partons de l ' erastence d ' u n rxiorphiame h : T —> Af {avec JVf ïïiodèle) afin d s construire une factorisation par un point du : alors que pour la qufstioTi soulevée plus haut il s'agit d'assurer l'exiEtence même d ' u n tel morphisme A : ï ' —» M . Pour la suil^e nous allons ainsi donner quelques conventions. 3,8.2 Quelques conventions d'appellation Comme première étape nous allons exclure q u ' il y ait f É . f tel que pointe dans S vernf un candidat d'objet initial. Mais il faudra aussi exclure la possibilité suivante ; U se peut pour Un P £ F que ne pointe vens aucun candidat d'objet initial, tnaia que noue ayons pour tout modèje M ; AffV^l = — 0, précisément parce qu'il y a un cône inductif ] ^ ![, deux ftléments J , J ' E j J qui appar(.iennent à deux çoniposanteg conneKes difTérentas de J ^ tels que te diagramme Uj ^ M nous avons e U' ^ Uj, c!it un Mous-dia-^rainme de (Vff fl n A/(V^)/VA' = {), it ( l^uieque pour clair dans ce cas que = A'' e K ^ : AJ(£i)fijf} = bjc-} = 0 ). Ces deux possibilités sont «{dues datis la définition suivante ; D é f i n i t i o n 3 . S . 2 . 1 ; Une esquissi'; S sera appelée une à connexité fCTnan^i^é faïbU (C.S,Fa.) ai et seulcmeut Jîi pour tout foncteur T : Q —• Ene qui si^tisfait la condition Ei (cf 3.8.1.), il existe nn modèle M de 5 et un morpbisme de T vers M. E x e m p l e : nous considérons de nouveau Tesquisse "swmme" i} Pour tout foncteur de C vers JTfis que nous notons C avec. n - 0, nous pouvons choitjir un morphisme vers le modèle suivant : GO CJTAPJTFÎE 3, LA GEOMETRIF A DES ESQUISSES ^ 1+ 1 Comme dan? S il n'y a pas de cônes pnojcctifSp il s'ensuit que S esl une esquigae à coaneiilé sémantique faible. L'appellation sous-entend que nous allons considérer également line version "forte"- Pour cela-nous ayons besoin des remarques sui^-antes ; Rappelions la définition de T ' gui est l'ensRmble \ [ U 'lWj)(T(Oi})]. Une lIo(J'')-partition de T^ est nne application p : — v é r i f i a n t U • pour tous L,£/ e Uati.'^) n p i l J ) = W. A tout modèle A/ g A/£}d[6'] et tout morphiftjiTje h : T —» A/ F^ns^ nous pouvons faiie correspondre une unique TlD(^^)-parl,it,)ciîi de T^ de la façyn suivante : Pour te Ç: T^ Ç: T{U') consid«rc»nB € Comme M (st un modèle, il existe une unique composante connexe ^ de J ' ( i.o ^ d telle qu'il existe J £ ObL non nécessairement unique, qu'il existe Xj £ tels que = Ce procédé départage T^ cle façon unique en line llo(jj')'paTlition, Dofinitiuii 3.8.2.2 : Une esquisse S sera appelée une êSgstisSF à eoftnefité séfitaRtiqve (C-S-Fo) si et seulement ei pour toul foncteuï T : C —^ En^ qui Sîàtiflfiât la condition S i (Cf. 3.S.1 ) et toute IIfl(ji'')-paTtition p^ de T^ il existe un niodèlp M et Un morphisme h r T — M qui induit la flo(i^)-partitiou / de Exeïnplfi 1 L'eaqyifldie "isoTnmti"' 5 = {a — t c ^— i } est une esquisse à connexité sémantique forte, comme U est facile de voir. 3.8,3 Le calcul d e I Nous supposons que S est une esquisse C-S. faible ou C S. forte et que T : Ç, —^ Ens est un foucteur. RappiïloJlâ q*ie A(T,S) dtsignè la. cel.figoTic st^ii^j^ente du d.iJ- relativement filtrant que nous avons construit a» chapitre 2, Mais pour pouvoir couéidértr i l ( T , 5 ) nous devons admettre que les catégories Sûue-jacenteo dei5 tônes projectifs de S soient finies, conformément anx hypothèses du chapitre 2. PpûpositioEi 3.8.3 i A, B % ObA{J\S) T sont reliés dans J j ( T , 5 ) par un ïig-aag si et seulemeiit si D j i j T ^ Du induisent, ta même nn(Z^)-partitiûa de T^ pour Lout f € J . D c m o n s t r a t i o n : nous allons démontrer les deux points suivante : S\T Da,T Db induisent la même lIo(i^)-parLitjon de T-^ pour tout 7 € et B sont reliés dans A{T,S} par un KÎg-ïag. alorfi A 2, Si dA et d s induisent des Ilu(j/^)-pitrtitions de T^ différontea pour seulement un / e J , alors A et £f ne sont pas reliés dans A(T,S) . 3.8. LES COMPOSANTIlS CONNEXES DE R(T I 61 Ku ce qui COuDeme l«t noLalicms de la. catégorie aous-j8>:cnte A(T,S) rapporter au chapitre 1 plue précisément à la section 2.2,1 et 2-2,2 . du d.f.f,, noua âllons u o u s Point; 1 Soient A e B e MtiT,^^), Supposons que i: < n, Coiuiue FlMt Boua pouvons construire la "somme amalgamée" ÉuivBflte : Ç FIM„, MA) D^iA)+ et noua montroris que T DM i - Oii(^) satisfait à la condition Ei { voir 3-8.1 )- Pour cela soient î £ S, II, iV eJl + et vr € e = fJT tels que cffîT^i) et ip sont des classée d'équ'tval^rbci? poiir la ^ornnie aicia gamëo, Sous cee i>otation$ nou|} vxjiilons m o n t r e r q«e et B! appartiennent à la mêmne composante connexe de i f - Ceci entraînera donc q u e (r'nM) + sa(.i«f»Lt u condition Ei- T Considérons d'abord le cas où il existe £ É avec L Noua allons donc considérer deux caa : Premier cas : ^ Ë U U existe donc J £ j j et sj £ T{U'} avec ^ { a r J X i j ) = d'où : Comme et sont dwi modèles, il s'ensuit l'existeuce de deux Le premier combine yn et dn(A){Uj){zj) dans la limite inductive Le second combine et r d^na la limite inductive Comme conséquence nous avotiu r^ppartenance de Jï, J et à. la même composante conuftjtc dans . D e u x i è m e cas : z Comme et (Îb induiseut la même Uoy^^)-partition de T', il existe J,J' e jZ^ appartenant à la même compossinte connexe et Sj € D n l A ^ U j ) , zj- S tels que CJIAPJTRF.3 Coiiune suta : et LA GhOMEIRlE DES ESQVL^SES sont des modèles, il s'ensuit. T existetic.^ dts deujt aig-aag3 auiv- Le premier combine yn el z j dans ia limite iiidiictiii>j Le second combine Y^- et ÏJJ dans hinite indutliife Comme coiiaéqiience nous avons l'appartenance de Jî, J, f f , J' à Jfi nrtëme composante connexe de . Nous venons donc de démontrer que pour / e tf, pour R, R' 1) + Dn{B) Dans tous les cas R et R' appartiennent à ta même composante conncjte de J_ . Donc ûn(j^) -f ^ n ( ^ ) satisfait ia condition Ei . Comme TesquÎEse est une esquisse 0,3. faible ou C.S forte, il s'ensuit que Dn{A) + L Ï T I ( J Ï ) admet nn morphisme veis un modèle de S . Far la couEtructioil des flèches daaa la catégorie sous-jaci'utc du d.J.J, il s'ensuit que cl ^ sont r<;li«f dans ^ ( T , S ) . P o i n t 2 Si nous pouvons montrer le lemmc suivant, il s'ensuit> comme il est facile de voir, le deuïicmc point de la proposition ; 3.8.3 ; Soient M, M' 6 Moiï[S\ deux modèlea, k :T •—^ ;Vf et h' flèches dîî Ens^ vl g : M — • M' uu iiiorphii^me de modèles danjt Jia^Ewmiie suivant c^iiunuLu ; LEUMUÏ Alore p ^ = p'^' (où p ^ P r e u v e : Montroii? P^UT tout Si a t tels que T — • M' deux tels que le h sont Its Uo(j;')-partjttons relatives à et à M'). ^ P^'Où Ç P ^ i D alors il exista / É Ob_L (non nécessairement unique) el Xj E M{Uj) Mt^iKa^)' J.s. LKf COMPOSANTES CONNEXES DË 3(7' I MOD[S\) fiS D'où ï E / ^ ' ( i ) . Si X £ f"^ (L), alors i] existe J £ Oblj (non oécessairement unique) et i j Ë M'(Uj) tels que = h'iU^j)ix). De plus on a = Soit maintenant L" £ Ilo{Z') tel qu'il éclate J* £ ObL* et xj- £ tels que = D'où Et donc M'{a'j){xs) que J et J* appartiennent à Comme M' est un modële, il s'ensuit même eomposante connexe et donc que ^ = i * . R e m a r q u a : C'est pour cette proposition que nous avons appliqué pour la première fois la construction du d.i.i.r.j. élaborée dans la section 2.2 . Tous les résultats géométriques des eectiona et 3.7 ont été obtenus sans recourir à la construction explicite du J././.r./, mais en "travaillant" dans la "groBac" catégorie T \ Les résultats de 3.6, et 3,7 sont ainsi valables pour une esquisse S qiidcotiqDi: ( c'est-B-dire sons que les taté^cirieti sous-jacente® des rônes projectifs de S soient finies - condition émise dons la construction du d.l.l.r.J. ). Diuis [a dén^onstïation dft la proposition (Point I) nous venons doue d'employer consitruction effective du d.l.l.t.f. et Je résultat obtenu n'est valable que si 1* esquisse 5 iidnict Jce cônes projectifs finis- Mais en fait il est facile de voir que la construction des "Wniines amaJ{utilisée dans la preuve du Point l) peut être effectuée, de la même manière, dans la '^grosse" catégorie T J. Mod[S\. Pour cette raison la f roposition 3.S.3 reate vraie, lorsque l'on oOtifildèTe un esquisse G (à e s faible ou à C-S forte) dans lequel les bases des cônes projectilà sont à cardinalité quelconque. N o t a t i o n : pour le foncteur T ; 0_ Z{T)= Z{;l\S) > Ens notons l'enseiïible = n Ifj': /Eff —- P(ï")Vest une no(i^)-païtitiûn deT^} Maintenant noua pouvons formuler le théorème fondamental ; Théorème : 1. fii 5 est une esquisse à conneïité sémantique faible, alors noua avons pour tout foncteur T \ C —^ Ena : 2. Si S est une eaquisfle fi coj>nexitë sémantique forte, alors nous avoua pour tout foncteui T Ens nt>(H(r i = (t où 11D(^(T i ^ZiT). Dé-inousiration f l. D'après la proposition ïï-fl.it il y a dans connexes que d'éléments de ^{T). D'où au plus autant de eomposÊJitta card(rb{JÎ(T 1 carci(ï]D(^(T, S))) si S est à bases projectives finies] < fiûrd(JÏ{'r)). 64 CRAPimii: l a c t f jMiîTj j î i f j des esquisses 2- s i !e foncteur T ne aiitiafail piia la ocjndîtioji î î i , a b r ? 'l i /in.-i 0 et. ainsi l l g ( / î ( T i = Si T aatisfait la condition S ] , (ilors nous tiVr>!]H pour i.ont- élément p É ^[T) un modèle M E Ens et nn niorphisnie !i l T — • M tela que h iuUnit puisque S supposée à C-S- forte, [Pour chacun de ces M noue pouvons trouver une fiictori9iil.io)l ]iiir un point de A{T, S) qui induit uéceaflairetnent p ; h si 5 efit à bsiseB projectives rmies ] Avec la proposition î-8.3 il s'enijuit que : car(i(Uu(â(T i [:Œr<^(nu{j4(T', 5))) si est à bast.-^ projecttvea fmifs] > cardZ(,T) Comme une esquises^ à C.S. forte est aussi une esquisse à connexité sémantique faible noua alloua avec 1) cflrd{[l(,(/?fr i e t ;ûnsî n n C B ( r 1 < ZiT)v. Noua pouvons iaterpi^tct le résultat de la fsHiou suivante ; T,^ noiiibre d t wniposautes conuesea de Ii{T i £(Ns} b'obtient par te calcul de toua les Ilci(J.^)-partitions pussibitjs de T' (I G ff). Rappelons que T' est la partie du sommet qui u' est pas 'remplie" pan la base Ceci constitue un résultat expressif a u sujet d'un calcul géométrique de la (iistance entrt; T et uji modèle, On apprend ainsi que le seul "vrai" facteur qui peut infliiencer te fait que T n*est m o d d e est cjîIuÎ du "non-rcmpliEBast" des sommets T ( f / ' ) (7 £ J ) par les bases j / . ^^ou3 obtenons également une ejtpresaion plaisante de rJuter-arliculaEion syntaxe-sémantique . le nombre de composantes connexfs eat obtenu p a j le calcul dtr tous lee IIo(/^)-partitioji(> possibles ( syntaxe ) de T' ( sémantique ), Hé plus nous voyons ijuc l'essentiel du résultat ae trouve déjà oxpriiiic dant Texeiiiple de Guitart'^^ sur le {J././. des sonnines. 3.9 LE n i ET LES Z/" D E S E S Q U I S S E S M U L T Ï - I N I T I A L E S Dans cette section il s'agit de déterminer llii?{T J. et {n £ JV) dans un cas particulier intéressant. Puisque nous avons pour toute catéfiorie V l H t P l > nous pouvons calculer T I iWoti[S]l(r i JWnr([5])~^] de fa^on efTottive «n faisant recours à la construction du dJJ. d e T . En revanche il est trca difficile de donner 111 B{T \ el //"(T', f ) de façon eicplicite comme nous avons fait pour noJî(7' J. Mais si nous nous retl reiguonfl à un cas particulier, oons pouvonn donner une description explicite : ^'votrwîctiwn 1.4.S ^^ vcùr i n c t i u D chiipîtrff 2 3.S. LE Ui ET LES H'"^ DEH ESQUISSES MULTI-INITlALES 65 Df^finition 3.3 : Une esquisse S eat dil.e fiifluiflâe maHi-mthut^c ai et, âeulecneuL si pour tout foncteur T i Q i ' n s , toute composante cajinexe L E no(!r i de T | Modli?] possède nn objet initial, Conurie nous aUone voir, les esquisses nniilti-initiales vont fouruit poui tout foncteur T ; Q_ — • Èrts (içy [Tiulti-ailîoiuts, c'est-à-dire dea dia^ammes locakmeut libres diectcts. Noua cetrouvojia donc k cas qui; Dieru^® avait considéré, Si S est multi-initiah, soit /t^ : T —» A/^ L'objet initial de [a composante cvnnexv i G P o t T 1 de T i Mod[S\. L'existence du d.l.ir.f garantie que Tln(T'J. est Ull en!i«mble, Posone L — et h ; (Ar J T — " Af ^^ leiume ; jLenuQtf 3,9 ; Si S est une esquisse multi-initiale at T : Q —^ Ena un foncteur quelconque, i jVf M,/i) eat un diagramme localement libre relativement filtrant dt T, Ce résultat est immédiat. 3.9.1 Le rii d e s Ësqtiii^ses muIti-initia!es Seloji le lemme il est clair que le groupovde fliU^T | est équivident à l^'ensemble I l û ( r considéré comme groupoïde, parce que I Sï T j Afod[5][(T 1 et parce que B(T ^ Mo(l[S]) et iflIg^T | (la réalisation géométrique de la catégorie discrète Ilu(T 4 ont te même type d^'Lomobopie, 5.9.2 Les H" des Esquisses multi-initiales Nous allons montrer que si S est une esquisse multi-iiiitiale, ai T : Ê —^ Ens est uu foncteur quelconque et si F : Moil[S\ —> Ab ftst un foncteur quelconque, alors pour tout H e W : F ) = 0, Ceci est une consétiuencc immédiate du Icminc suivant ; L e m m e 3.9.2 : si X) est une catégorie discrète et f : P r e u v e i le — t Ab un foncteur quelconque, alors pour tout tiaeinbre du complejte de cocbaine est défini de la façon suivante : Comme T> est une catégorie discrète, nous avoma Xy = , „ = écrire et jj = id. Pour cela nous pouvons pour Cçnt fl e W. 11 est facile de voir que pour la r*®'"* dilTérenlielle ( f nous avons : j^/f D ' o î j //•"(•p, = ^ \ _ / (^ï)reu s i tï e s t impair = 0 p o u r t o u t n Ë iV • On voit donc que ui S ne comporta que dts ccacs inrfudifja discreta^eommea), s-lors S étant multi-inîtiale les cjdc.ulu de Un et ff" nonl triviaux; ils le sont aussi presque (cf. propos. 3.7.2) s'il n'y a que des cônes înductîfs conuexeij, I^eur intérêt semble donc résider darta le cas de présence simultanée de cônes inductilk discrets et de côneâ inductif^ connexes. 14 v a i r Y . Dicrg, Catcgories loc^lLsEiblcs, T h è s e , PariE 19T7 Chapitre 4 APPLICATION : GEOMETRIE ET LOGIQUE DU PREMIER ORDRE 4.1 REMARQUES Nous avons vu dans IFT mcUoh 1.2 que Jck modèles eitseiiit.lis1.c& d'une fjc:ft»iiie (aquissK mixte décrivent eitajCtement les modèlert d'uim théorie du premier ordre et que cette correspondance n'est pas une équivalence de catégories mais seulement un isomorpliisnie au plan des objets. Les cônes distingués de cette esquisse du premier ordre sont à bases hnies (voir section l.lJ) : candidats d'objets initial et terminal, candidats de produits finis,candidats de produits iîbrés,candjdatij d'égaltsateurb, Candidats de soiïinijefi amalgammees et sommes. Nous voyons en particulier que le» bases deé cônes iuductils Boïlt connexes pour les sommis amalgammees et non-conneiues pour les sonuxies. Or, nous savons que les somines d'une esquisse du premier ordre proviennent de la présence de la négation dans une des formules de la théorie. ïntéresBons nous d'abord aux esquisses du premier ordre qui proviennent d'une théorie sans négation, Léo bases des cônes inductifs d'une telle esquisse sont toutes conneses, Kn outre il est facile de voir qu^aucUn sommet, d'un cône projectif de l'esquisse ne pointe vers un candid,^t d'objet initial. Nous sommes donc exactement daria le cas dt la proposition 3.7.2; c'est-à,-diTe si S = JTi ^ ^ est Tesquisee du premier ordre en cause et IT j —^ E n a un foncteur quelconque^ alors ^ ( ï ' [ Af oJ[5l) cl en parliculier iîMorf[Sl sont contractiles. Si en revanche, une théorie T comporte des négations, alors l'esquisse du premier ordre induite contiendra des sommes. Ht ce sont ces Sîjnimj«a qui font que l'esquisse sera susceptible d'engendrer une théorie d'homotopic nou-contractilc. L'esquisse sera susceptible car pour pouvoir appliquer le théorème de la section H.S.Ît sur le calcul des coniposantcs connexes, il faudra HUppoeer que t'csquiase soit à connexité sénfani.iquc faible cm forte. Si en effet S est une tcEe esquisse, il s'ensuit de ce théorème et de la nature du fonctcuf vide 0 : C — ^ qkw^ Mûif[5]{= 0 1 ^^^^^[SJ) est contractile. La théorie d'homotopie non-ctmtracLile se développera alors seuleiucnt daiiE des cuioiiia^catcgorics de modèles T J. où T est un foncteur de <2 vers B n s , c'cst-à-^dirc une Borte de léalisatiou du langage de bafie mais iion nue réalisation de la théorie (5), parce que pour au moins une formule T réalitie

1 , , , jlj^rt A A -'{xi = Xj). Soit S l'esquisse engendrée par lea données suivantes (c'e&t-à-dite ntnJs constraisonri une esquisse des cnticmblcs infinis (voir 1 . 2 . 2 ) ) : ' des o b j e t s c, 1 dans ObC - une flèche r r e — • 1 dans candidat pour un épi i est niindidftl, pour nn objet terminH.1 ' pour tout énoncé ^ n , (ÏÏ^" ; c " - pour i, y € - pour î j e avec i > candidat pour un produit j et pour la formule ifi^j : r,- = Jfj «n CFLUididat pour un égalisateur ; Tl} avec i ^ j el pouj? la formule t -tjîi = un candidat pour une somme - pour rendre compte des •intersections" Etous introduisons de façon récursive des formules q u i c o r r e s p o u d e n l à u n e certaine mise en p a r e n t h è s e : e t nous ajoutons à S des candidats pour des côrics ^irojectifs : ( j > Î) I^EMPLE r LES ENSEMBLES istms 69 ) - pour rt^ndre compie de Ia 4|uaDtrBcaiioD pouii iuiruduîsops de fni^oa récursîve des f a i n m l ^ ... c'eat-l-dirc aoue ajoutons à 5 des objei^ flt dea fièctes e(£,) — • J iP'^^' ' ^ 1 — «^l^i) — i= r' (pour t = 2, et — n ? " " ' (pour i = l , , , , , f i ) , Notifl ajoutons â S eiiftiiitic des ooaeii in —• ) mt candidat pour cnc Sipplicfl-itoti surjective (pour i = 2 , , , , ^T) - 1) est rjiiididït pour une application «urjectivc. C a doaitéeï ecroni «ciunÛ6«& à de» ËgblitÀ qui nont tiUg^réefl dan; la itcction 1.2.2 (voir {^fiFtle concflfnm) Ceci achève la construction de IV^squi^jË S, Un iciodèle de S correspond à uu ^^nncmble infini. Montrons que S n'eflt pa» une eaqiijsac à connexitc ijél^iaii tique for Le qj faible. Pour ccta construisons un (oncteur T : Ç — - Enjf qui saiisfaît IH condition ï i , , nia» qui n'admet (uicuji morphianw vers un modèle. - T'(l) = 1 («nsetnblcf avec un étémenO - ^ [ f ) =3 2 (pniMrrnble avec deux éléments) ^ = r X a ^ i G (1 n» c'est-à-dire que mou» Miintrayons Un puint ^ que nous avons fixé dans f.tiuuHi" - ensuite = =t 2) auparavfuit. TT\ H ' ^ t f î J ) Cffit^ï^dixe «MU, 3" = (fÀfînisBonB df FlKOa ïécnTHfve {voir plvta haut) i + n^vfj)) 70 CHJl P f T R f ; -J AFFLi CA TlON i GEOMETRIE - et finalement noue posons T"{cffi)) ^ {(]} [pour i = 1 nous avons fijié auparavanL ET LOGl Q i' t- D U PHEMIEK r*) où !) 6 Q ^^ un P^nt que Cela achê^fû complèt,tment ta défuiition du fotitteuj- T ; Ç —• Ens. Soit M :S —" Ens Un modfile de ,*>. Dans uiio ar^tiirtedtjition par l'absurde supposons ijii'ï! existe u n Tîiûr^hiame h ; T —^ M. D'après la définition de T 11 f^xistc * e du produit. le morphisme /t(c") l r ( c ' ' ) ^ Et l'on voit facikfTifcdt rjue pour » Ê «sr. déterminé par la pro|mé''- uii verse Ne It diagramme fliiivant utDM êtr^ T(^) Il n'existe donc aucun morphisme de T vers les modèle? de S- PourtMît T satisfait E | Mnume uous eoBstatona en revoyant la définition de ï ' . Donc S n*est pas une fis^^uisse à coîinexité scmantiqii^^ fiiibJe ni forte. 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