D IAGRAMMES C LAUDE H ENRY C HRISTIAN L AIR Enoncés et Preuves Diagrammes, tome 59-60 (2008), p. 1-26 © Université Paris 7, UER math., 2008, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUMES 59 + 60, FASCICULE 1, 2008 SUR CERTAINES SOUS-CATEGORIES NON PLEINES DES CATEGORIES DE MODELES Fascicule 1 : Enoncés et Preuves Claude Henry (maxchen@free.fr) et Christian Lair (lairchrist@aol.com) A.M.S. Sub. Class. : 18 C 10, 18 C 30, 18 C 35 Introduction. On sait caractériser sémantiquement certaines sous-catégories pleines de la catégorie des modèles d'une théorie du premier ordre (i.e. d'une esquisse) en exprimant que leurs classes d'objets constituent des classes de satifaction (en particulier, des classes d'injectivité) relativement à des familles projectives de flèches de la catégorie initiale. On sait aussi caractériser syntaxiquement ces sous-catégories pleines comme les catégories de modèles des sur-théories obtenues en ajoutant à la théorie initiale des axiomes supplémentaires (mais pas d'autres données). Par exemple, un ensemble X est (évidemment) non vide si, et seulement si, il vérifie l'axiome : ∃x ∈ X x = x ; mais, on peut dire aussi que X est non vide si, et seulement si, en tant qu'objet de la catégorie Ens de tous les ensembles et de toutes les applications entre eux, il est injectif relativement à la flèche q : O/ → {O/ } , i.e. si et seulement si : - pour toute application a : O/ → X (évidemment, il n'y en a qu'une ! ) , comme représentée ci-dessous : X a O/ q {O/ } il existe (au moins) une application représentée ci-dessous : a ' : {O/ } → X 1 telle que a ' o q = a , comme a X O/ q a' {O/ } De même, un groupe abélien G (noté additivement) est de torsion s'il vérifie l'axiome : ∀ g ∈G ∨ ng = 0 ; n∈N* mais on peut dire aussi que G est de torsion si, et seulement si, en tant qu'objet de la catégorie Ab de tous les groupes abéliens et de tous les homomorphismes entre eux, il satisfait la famille projective (qn : Z → Z / nZ) n∈N* de flèches de Ab (où les qn sont les passages aux classes), i.e. si et seulement si : - pour tout homomorphisme h : Z → G , comme représenté ci-dessous : G h Z qn Z / nZ il existe (au moins) un n ∈ N * et au moins un homomorphisme h 'n : Z / nZ → G tel que h 'n o qn = h , comme représenté ci-dessous : G h Z h'n qn Z / nZ Ceci, pour ne citer que deux exemples, parmi une multitude d'autres que le lecteur a certainement déjà en tête ... Disons maintenant qu'une sous-catégorie d'une catégorie est co-pleine si, et seulement si, elle a les mêmes objets . Alors, dans le présent travail, nous caractérisons sémantiquement certaines sous-catégories co-pleines d'une catégorie de modèles d'une quelconque esquisse (i.e. d'une théorie du premier ordre) en exprimant que leurs classes de flèches constituent des classes qui équilibrent des ensembles de cônes projectifs de la 2 catégorie initiale (en particulier, des classes "d'orthogonalité"). Et nous les caractérisons aussi syntaxiquement en prouvant que ce sont les catégories de modèles des suresquisses obtenues en ajoutant à l'esquisse initiale des compléments à des sous-objets qui y sont spécifiés. Par exemple, la catégorie Ens de tous les ensembles et de toutes les applications entre eux est (équivalente à) la catégorie des modèles de l'esquisse : p1 d S S×S p2 (où p1 et p2 sont les deux projections et d est la diagonale). Sa sous-catégorie copleine EnsInj , de tous les ensembles et des seules applications injectives, est la catégorie des modèles de la sur-esquisse : p1 S d S × S = S + (¬ S ) p2 ¬d ¬S (où d et ¬ d sont les deux co-projections) ; mais on peut dire aussi qu'une application f : X → Y est injective si, et seulement si, en tant que flèche de la catégorie Ens , elle est "orthogonale" à l'application r : {O/ , {O/ }} → {O/ } , i.e. si et seulement si : - pour tout carré commutatif d'applications tel que ci-dessous : 3 b X {O/ , {O/ }} f r Y {O/ } c il existe (au moins) une application b ' : {O/ } → X représentée ci-dessous : X f Y telle que b ' o r = b , comme b {O/ , {O/ }} b' r {O/ } c De même, la catégorie Ab de tous les groupes abéliens et de tous les homomorphismes entre eux est (équivalente à) la catégorie des modèles d'une esquisse où on peut toujours faire figurer (parmi d'autres ingrédients que nous laissons au lecteur le soin de détailler) un monomorphisme : T j S où S représente l'ensemble sous-jacent au groupe abélien ainsi esquissé et T le sousensemble de ses éléments de torsion. Alors, si on dit qu'un homomorphisme k : G → H entre deux groupes abéliens est de torsion si, et seulement si, un quelconque élément de G est de torsion dès que son image par k est de torsion, on voit que la sous-catégorie co-pleine AbTor de Ab , constituée de tous les groupes abéliens et des seuls homomorphismes de torsion, est la catégorie des modèles de la sur-esquisse obtenue en rajoutant à l'esquisse des groupes abéliens précédente la somme représentée ci-dessous : 4 j T S = T + ( ¬T ) ¬j ¬T (où j et ¬ j sont les deux co-projections) ; mais on peut dire aussi que f : G → H est de torsion si, et seulement si, en tant que flèche de la catégorie Ab , il équilibre la famille projective (qn : Z → Z / nZ) n∈N* de flèches de Ab , i.e. si et seulement si : - pour tout m ∈ N * et pour tout carré commutatif d'homomorphismes tel que cidessous : h G Z qm f Z / mZ H km il existe au moins un n ∈ N * et au moins un homomorphisme h 'n : Z n → G tel que h 'n o qn = h , comme représentés ci-dessous : h G h 'n Z qn qm f Z / nZ H Z / mZ km Ceci, pour ne citer que deux exemples, parmi une multitude d'autres que nous laisserons au lecteur le soin de détailler ... 5 Pour rendre la lecture aussi aisée que possible, nous présentons les choses sous-forme de trois fascicules disctincts : - dans le présent Fascicule 1 , le lecteur trouvera l'exposé détaillé des résultats obtenus et de leurs démonstrations, - dans le Fascicule 2 , "l'Atlas des Figures", le lecteur trouvera toutes les figures auxquelles il est fait allusion dans le Fascicule 1 (il pourra donc consulter d'autant plus facilement les Fascicules 1 et 2 simultanément pour mettre en regard chaque figure et la partie correspondante du texte où elle est mentionnée), - dans le Fascicule 3, "l'Appendice", il trouvera les prérequis (terminologie, notations, constructions, résultats fondamentaux ... ), essentiellement de Théorie des Esquisses, que nous utilisons systématiquement dans le Fascicule 1 (il pourra donc consulter d'autant plus facilement les Fascicules 1 et 3 simultanément pour mettre en regard chaque définition, chaque terme, chaque construction et chaque résultat fondamentaux et la partie correspondante du texte où ils sont mentionnés). 1. Sous catégories complémentantes. 1.1. Sur-esquisses complémentantes. Supposons que E est une esquisse petite (voir l'Appendice - Fascicule 3). Si j : E → F est un monomorphisme potentiel (voir l'Appendice - Fascicule 3) de E , on note Compl( E , j ) la sur-esquisse de E complémentant j , i.e. l'esquisse petite obtenue, par complémentation potentielle de j , en ajoutant à E (voir la Figure 1 - Fascicule 2): - un objet ¬ ( E , j ) , - une flèche ¬ j : ¬ ( E , j ) → F , - la somme potentielle (voir l'Appendice - Fascicule 3) ci-dessous : j ¬j E → F ← ¬ ( E , j ) . Plus généralement, si j est un ensemble de tels monomorphismes potentiels j de E , on note Compl( E , j ) la sur-esquisse de E complémentant j , i.e. l'esquisse petite réunion des Compl( E , j ) quand j varie dans j . Alors, on dispose de l'homomorphisme (voir l'Appendice - Fascicule 3) injection canonique : 6 E ⊆ Compl( E , j ) : E → Compl( E , j ) , donc du foncteur : Mod( E ⊆ Compl( E , j ) , Ens ) : Mod(Compl( E , j ), Ens ) → Mod( E , Ens ) , induit (voir l'Appendice - Fascicule 3) par E ⊆ Compl( E , j ) , entre les catéories de modèles dans Ens de E et Compl( E , j ) (voir l'Appendice - Fascicule 3). Dans ces conditions, il est facile de vérifier que : - le foncteur Mod( E ⊆ Compl( E , j ), Ens ) a pour image une sous-catégorie M ' de M = Mod( E , Ens ) ayant les mêmes objets que M , - le foncteur Mod( E ⊆ Compl( E , j ), Ens ) définit (par restriction) une équivalence sur sa catégorie image M ' . 1.2. Définition des sous-catégories complémentantes. Si M est une catégorie esquissable (voir l'Appendice - Fascicule 3) et si M ' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M , nous dirons que M ' est une sous-catégorie complémentante de M si, et seulement si : - il existe une esquisse petite E et un ensemble j de monomorphismes potentiels de E tels que le foncteur injection canonique : M ' ⊆ M : M '→ M soit équivalent (voir l'Appendice - Fascicule 3) au foncteur : Mod( E ⊆ Compl( E , j ), Ens ) : Mod(Compl( E , j ), Ens ) → Mod( E , Ens ) . 2. Sous-catégories résolvantes. 2.1. Résolutions. Supposons que M est une catégorie localement petite et que M ' est une souscatégorie de M ayant les mêmes objets que M . 7 Une résolution de M dans M ' consiste en la donnée (voir la Figure 2 Fascicule 2) : - d'un ensemble (d'indices) I , - pour tout I ∈ I , d'un objet RI ∈ Ob(M ) , - pour tout I ∈ I , d'un ensemble (d'indices) X I , - pour tout I ∈ I , d'une famille PI = ( PI , X ∈ Ob( M )) X ∈X I d'objets, - pour tout I ∈ I , d'une famille pI = ( pI , X : RI → PI , X ∈ Fl( M )) X ∈X I de flèches, et, ce, de sorte que : - la condition suivante est vérifiée : Résol. 1 : pour tout I ∈ I , la famille de flèches : pI = ( pI , X : RI → PI , X ∈ Fl( M )) X ∈X I présente la famille d'objets : PI = ( PI , X ∈ Ob( M ' ) = Ob( M )) X ∈X I comme un ensemble de solutions dans M ' pour l'objet RI ∈ Ob(M ) relativement au foncteur injection canonique M ' ⊆ M (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 3 - Fascicule 2), - la condition suivante est vérifiée : Résol. 2 : pour tout objet M ∈ Ob(M ) , pour tout objet N ∈ Ob(M ) , pour toute flèche m : M → N ∈ F l( M ) , pour tout objet I ∈ I et pour toute flèche rI : RI → M ∈ Fl( M ) , l'assertion Assert. 1 ci-dessous implique l'assertion Assert. 2 ci-dessous (voir la Figure 4 - Fascicule 2) : Assert. 1 : on a rI : RI → M ∉ Fl( M ' ) , Assert. 2 : on a m.rI : RI → N ∉ Fl( M ' ) . - la condition suivante est vérifiée : Résol. 3 : pour tout objet M ∈ Ob(M ) , pour tout objet N ∈ Ob(M ) et pour toute flèche m : M → N ∈ Fl( M ) , l'assertion Assert. 3 ci-dessous implique l'assertion Assert. 4 ci-dessous (voir la Figure 5 - Fascicule 2) : Assert. 3 : pour tout objet I ∈ I et pour toute flèche r ' I : RI → M ∈ Fl( M ' ) , on a m.r 'I : RI → N ∈ Fl( M ' ) , Assert. 4 : on a m : M → N ∈ Fl( M ' ) . Formellement, on notera : R = ( I , ( RI ) I ∈I , ( X I ) I ∈I , (( PI , X ) X ∈X I ) I ∈I , (( pI , X ) X ∈X I ) I ∈I ) 8 une telle résolution de M dans M ' . 2.2. Définition des sous-catégories résolvantes. Si M est une catégorie localement petite et si M ' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M ' , nous dirons que M ' est une sous-catégorie résolvante de M si, et seulement si : - il existe une résolution de M dans M ' . 3. Sous-catégories équilibrantes. 3.1. Equilibre. Supposons que M est une catégorie localement petite. Si Y est un ensemble et si q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y est une famille projective petite (voir l'Appendice - Fascicule 3) de flèches, on dit qu'une flèche m : M → N ∈ Fl( M ) équilibre q si, et seulement si, la condition suivante est vérifiée : Equil. 1 : pour toute flèche s : Q → M ∈ Fl( M ) , l'assertion Assert. 5 ci-dessous implique l'assertion Assert. 6 ci-dessous (voir la Figure 6 - Fascicule 2): Assert. 5 : il existe un Y1 ∈ Y et il existe une flèche tY1 : QY1 → N ∈ Fl( M ) tels que m.s = tY1 .qY1 , Assert. 6 : il existe un Y2 ∈ Y et il existe une flèche sY2 : QY2 → M ∈ Fl( M ) tels que s = sY2 .qY2 . Plus généralement, si q est un ensemble de telles familles projectives petites q de flèches de M , on dit qu'une flèche m : M → N ∈ Fl( M ) équilibre q si, et seulement si, m équilibre toute famille q ∈ q . Dans ces conditions, il est facile de vérifier que les flèches de M qui équilibrent q sont les flèches d'une sous-catégorie Equil( M , q ) de M ayant les mêmes objets que M . 9 3.2. Définition des sous-catégories équilibrantes. Si M est une catégorie localement petite et si M ' est une sous-catégorie de M ayant les mêmes objets que M , nous dirons que M ' est une sous-catégorie équilibrante de M si, et seulement si : - il existe un ensemble q de familles projectives petites de flèches de M tel que M ' = Equil( M , q) . 4. Sous-catégories complémentantes, résolvantes équilibrantes des catégories esquissables. 4.1. Sous-catégories complémentantes et résolvantes des catégories esquissables. et sous-catégories Montrons que : Proposition 1. Si M est une catégorie esquissable et si M ' est une sous-catégorie complémentante de M , alors M ' est une sous-catégorie résolvante de M . Preuve. Supposons que E est une esquisse petite et que j est un ensemble de monomorphismes potentiels de E . Posons : - M = Mod( E , Ens ) , - M " = Mod(Compl( E , j ), Ens ) , - U = Mod( E ⊆ Compl( E , J ), Ens ) : M " → M . Alors, U ( M " ) = M ' est une sous catégorie de M ayant les mêmes objets que M , la restriction U ' : M " → M ' de U : M " → M est une équivalence, de sorte que M ' est une sous-catégorie complémentante de M . Il s'agit donc de montrer que M ' est une sous-catégorie résolvante de M . Etape 1 : construction d'un ensemble d'indices et d'une famille d'objets. Pour tout j : E j → F j ∈ j , à l'ensemble ∆ = {δ } on sait associer une famille projective de flèches : 10 ( f j , H : ∆ → R " j , H ( F j ) ∈ Fl( Ens )) H ∈H j présentant la famille d'objets : ( R " j , H : Compl( E , j ) → Ens ∈ Ob( M " )) H ∈H j comme un ensemble de solutions pour l'objet ∆ ∈ Ob(Ens ) relativement au foncteur ev F j : M " → Ens évaluation en F j , puisqu'il est esquissable (voir l'Appendice Fascicule 3 et/ou la Figure 7 - Fascicule 2). Alors, pour tout j ∈ j et tout H ∈ H j , puisque : R " j , H : Compl( E , J ) → Ens ∈ Ob( M ) est un modèle, on dispose de la somme dans Ens ci-dessous (voir aussi la Figure 8 Fascicule 2) : R " j , H ( j ) : R " j , H ( E j ) → R " j , H ( F j ) ← R " j , H (¬ ( E j , j )) : R " j , H (¬ j ) . Ainsi, l'application f j , H : ∆ → R " j , H ( F j ) vérifie une et une seule des deux assertions Assert. 7 ou bien Assert. 8 suivantes (voir la Figure 9 - Fascicule 2) : Assert. 7 : il existe un (nécessairement unique) δ j , H ∈ R " j , H ( E j ) tel que : f j , H (δ ) = R " j , H ( j )(δ j , H ) , Assert. 8 : il existe un (nécessairement unique) δ ¬ j , H ∈ R " j , H (¬ ( E j , j )) tel que : f j , H (δ ) = R " j , H (¬ j )(δ ¬ j , H ) . Alors, on note : { I = ( j , H ) j ∈ j et H ∈ H j et f j ,H vérifie Assert. 8 } et, pour tout ( j , H ) ∈ I , on pose : R( j , H ) = U ( R " j , H ) : E → Ens ∈ Ob( M ) . Etape 2 : vérification de la condition Résol. 1. Pour tout ( j , H ) ∈ I , à l'objet R( j , H ) : E → Ens ∈ Ob( M ) on sait associer une famille projective de flèches : ( p( j , H ), X : R( j , H ) ⇒ U ( P "( j , H ), X ) : E → Ens ∈ Fl( M )) X ∈X ( j , H ) présentant la famille d'objets : ( P "( j , H ), X : Compl( E , j ) → Ens ∈ Ob( M " )) X ∈X ( j , H ) 11 comme un ensemble de solutions pour l'objet R( j , H ) : E → Ens ∈ Ob( M ) relativement au foncteur U : M " → M , puisqu'il est esquissé (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 10 - Fascicule 2). Alors, pour tout ( j , H )∈ I et tout X ∈ X ( j , H ) , on pose : P( j , H ), X = U ( P "( j , H ), X ) = U ' ( P "( j , H ), X ) : E → Ens ∈ Ob( M ) . Comme le foncteur U ' : M " → M ' est une équivalence, la famille de flèches : ( p( j , H ), X : R( j , H ) ⇒ P( j , H ), X ∈ Fl( M )) X ∈X ( j , H ) présente donc aussi la famille d'objets : ( P( j , H ), X : E → Ens ∈ Ob( M ' ) = Ob( M )) X ∈X ( j , H ) comme un ensemble de solutions pour l'objet : R( j , H ) : E → Ens ∈ Ob( M ) relativement au foncteur injection canonique M ' ⊆ M : M ' → M (voir la Figure 11 Fascicule 2). Ainsi, la condition Résol. 1 est établie. Etape 3 : vérification de la condition Résol. 2. Supposons que R, M , N : E → Ens ∈ Ob( M ) sont trois modèles et que r : R ⇒ M : E → Ens ∈ Fl( M ) et m : M ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ) sont deux transformations naturelles. Notons R " , M " , N ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Ob( M " ) trois modèles prolongeant les trois modèles R, M , N : E → Ens ∈ Ob( M ) le long de l'homomorphisme injection canonique E ⊆ Compl( E , j ) : E → Compl( E , j ) , i.e. tels que U ( R " ) = R , U ( M " ) = M et U ( N " ) = N : pour ce faire, pour tout j ∈ j , il suffit de prendre successivement (voir la Figure 12 - Fascicule 2) : R " (¬ j ) = ( R( F j)\ R( j )( R( E j )) ⊆ R( F j )) : R( F j)\ R( j )( R( E j )) → R( F j) , M " (¬ j ) = ( M ( F j)\ M ( j )( M ( E j )) ⊆ M ( F j )) : M ( F j)\ M ( j )( M ( E j )) → M ( F j) , N " (¬ j ) = ( N ( F j)\ N ( j )( N ( E j )) ⊆ N ( F j )) : N ( F j)\ N ( j )( N ( E j )) → N ( F j) . Si, par hypothèse, Assert. 1 (où on remplace rI : RI → M par r : R → M ) est vérifiée, i.e. si r : R ⇒ M : E → Ens ∉ Fl( M ' ) , c'est qu'il n'existe pas de transformation naturelle : r ": R " ⇒ M ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Fl( M " ) 12 telle que : U (r " ) = U ' (r " ) = r . Par conséquent, il existe au moins un j0 ∈ j pour lequel l'application : R( F j0 ) = R " ( F j0 ) M ( F j0 ) = M " ( F j0 ) r ( F j0 ) : =   → = , R " ( E j0 ) + R " (¬ ( E j0 , j0 )) M " ( E j0 ) + M " (¬ ( E j0 , j0 )) qui admet la restriction : r ( E j0 ) : R ( E j0 ) → M ( E j0 ) , n'admet pas de restriction de la forme (voir la Figure 13 - Fascicule 2) : R " (¬ ( E j0 , j0 )) → M " (¬ ( E j0 , j0 )) . Autrement dit, il existe ε ∈ R " (¬ ( E0 , j0 )) et ϕ ∈M " ( E j0 ) tels que (voir la Figure 14 Fascicule 2) : r ( F j0 )[ R " (¬ j0 )(ε )] = M " ( j0 )(ϕ ) = M ( j0 )(ϕ ) . Il en résulte qu'il existe ψ = m( E j0 )(ϕ ) ∈ N " ( E j0 ) = N ( E j0 ) tel que : (m . r )( F j0 )[ R " (¬ j0 )(ε )] = N " ( j0 )(ψ ) = N ( j0 )(ψ ) . Par conséquent, l'application : R( F j0 ) = R " ( F j0 ) N ( F j0 ) = N " ( F j0 ) , (m . r )( F j0 ) : =   → = R " ( E j0 ) + R " (¬ ( E j0 , j0 )) N " ( E j0 ) + N " (¬ ( E j0 , j0 )) qui admet la restriction : (m . r )( E j0 ) : R ( E j0 ) → N ( E j0 ) , n'admet pas de restriction de la forme (voir la Figure 15 - Fascicule 2) R " (¬ ( E j0 , j0 )) → N " (¬ ( E j0 , j0 )) . C'est donc qu'il n'existe pas de transformation naturelle : (m . r ) ": R " ⇒ N ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Fl( M " ) telle que (voir la Figure 16 - Fascicule 2) : U ((m . r ) " ) = U ' ((m . r " )) = m . r . Ce qui permet d'affirmer que m . r : R ⇒ N : E → Ens ∉ Fl( M ' ) , i.e. que Assert. 2 (où on remplace m rI : RI → N par m . r : R → N ) est vérifiée.  Ainsi, la condition Résol. 2 est vérifiée (si on se contente de prendre pour : 13 r : R ⇒ M : E → Ens ∈ Fl( M ) \ Fl( M ' ) une quelconque : r( j , H ) : R( j , H ) ⇒ M : E → Ens ∈ Fl( M ) \ Fl( M ' ) , pour un quelconque I = ( j , H ) ∈ I ). Etape 4 : début de la vérification de la condition Résol. 3. M , N : E → Ens ∈ Ob( M ) sont deux modèles et que Supposons que m : M ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ) est une transformation naturelle vérifiant Assert. 3 , i.e. telle que, pour tout ( j , H ) ∈ I et toute flèche : r( j , H ) : R( j , H ) ⇒ M : E → Ens ∈ Fl( M ' ) , on a : m.r( j , H ) : R( j , H ) ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ' ) . Notons M " , N ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Ob( M " ) deux modèles prolongeant les deux modèles M , N : E → Ens ∈ Ob( M ) le long de l'homomorphisme injection canonique E ⊆ Compl( E , j ) : E → Compl( E , j ) , i.e. tels que U ( M " ) = M et U ( N " ) = N : pour ce faire, pour tout j ∈ j , il suffit de prendre successivement (voir la Figure 17 Fascicule 2) : M " (¬ j ) = ( M ( F j)\ M ( j )( M ( E j )) ⊆ M ( F j )) : M ( F j)\ M ( j )( M ( E j )) → M ( F j) , N " (¬ j ) = ( N ( F j)\ N ( j )( N ( E j )) ⊆ N ( F j )) : N ( F j)\ N ( j )( N ( E j )) → N ( F j) . Alors, si j0 : E j0 → F j0 ∈ j et si θ ∈ M " (¬ ( E0 , j0 )) , on dispose de l'application "sélectionnant θ " : s j0 ,θ : ∆ = {δ } → M " (¬ ( E0 , j0 )) ∈ Fl( Ens ) . δ a θ Comme construite dans l'Etape 1 précédente, la famille projective de flèches : ( f j0 , H : ∆ → R " j0 , H ( F j0 ) ∈ Fl( Ens )) H ∈H j présente la famille d'objets : ( R " j0 , H : Compl( E , j ) → Ens ∈ Ob( M " )) H ∈H j comme un ensemble de solutions pour l'objet ∆ ∈ Ob(Ens ) relativement au foncteur ev F j : M " → Ens "évaluation en F j ". Il existe donc un Hθ ∈ H j0 et une flèche : 0 0 r " j0 , Hθ : R " j0 , Hθ ⇒ M ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Fl( M " ) tels que (voir la Figure 18 - Fascicule 2) : 14 r " j0 , Hθ ( F j0 ) o f j0 , Hθ = M " (¬ j0 ) o s j0 ,θ . Il en résulte que f j0 , Hθ vérifie l'assertion Assert. 8 de l'Etape 1 précédente, i.e. qu'il existe un unique δ ¬ j0 , Hθ ∈ R " j0 , Hθ (¬ ( E j0 , j0 )) tel que (voir la Figure 19 - Fascicule 2) : f j0 , Hθ (ε ) = R " j0 , Hθ (¬ j0 )(δ ¬ j0 , Hθ ) ce qui implique évidemment que r " j0 , Hθ (¬ ( E j0 , j0 ))(δ ¬ j0 , Hθ ) = θ . En vertu de la construction de I effectuée à l'Etape 1 précédente, on a donc ( j0 , Hθ ) ∈ I . De sorte qu'Assert. 3 s'applique, en y prenant : ( j , H ) = ( j0 , Hθ ) et : r( j0 , Hθ ) = U (r " j0 , Hθ ) : R( j0 , Hθ ) = U ( R " j0 , Hθ ) ⇒ U ( M " ) = M : E → Ens ∈ Fl( M ' ) . Ainsi on a m . r( j0 , Hθ ) : R( j0 , Hθ ) → N : E → Ens ∈ Fl( M ' ) . Par conséquent, il existe une unique transformation naturelle : (m . r( j0 , Hθ ) ) ": R " j0 , Hθ ⇒ N ": Compl( E , j ) → Ens ∈ Fl( M " ) telle que U ((m . r( j0 , Hθ ) ) " ) = m .r( j0 , Hθ ) . Etape 5 : fin de la vérification de la condition Résol. 3. Supposons toujours, comme à l'Etape 4 précédente (dont on reprend toutes les notations, toutes les hypothèses et toutes les conclusions), que M , N : E → Ens ∈ Ob( M ) sont deux modèles et que m : M ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ) est une transformation naturelle telle que, pour tout ( j , H ) ∈ I et toute flèche : r( j , H ) : R( j , H ) ⇒ M : E → Ens ∈ Fl( M ' ) , on a : m.r( j , H ) : R( j , H ) ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ' ) . Alors, pour tout j0 ∈ j , l'application : m " (¬ ( E j0 , j0 )) : M " (¬ ( E j0 , j0 )) → N " (¬ ( E j0 , j0 )) θ a (m . r( j0 , Hθ ) ) " (δ ¬ j0 , Hθ ) vérifie évidemment l'équation : m( F j0 ). M " (¬ j0 ) = N " (¬ j0 ) . m " (¬ ( E j0 , j0 )) (i.e. rend commutatif le "parallélogramme" P de la Figure 20 - Fascicule 2). 15 Autrement dit, la transformation naturelle m : M ⇒ N : E → Ens possède un (unique) prolongement m ": M " ⇒ N ": Compl( E , j ) → Ens le long de l'homomorphisme injection canonique E → Compl( E , j ) . C'est dire que U (m " ) = m , de sorte que m : M ⇒ N : E → Ens ∈ Fl( M ' ) . Ainsi, l'assertion Assert. 3 de Résol. 3 implique l'assertion Assert. 4 de Résol. 3 et donc Résol. 3 est vérifiée. Fin de la preuve. 4.2. Sous-catégories résolvantes et sous-catégories équilibrantes. Montrons que : Proposition 2. Si M est une catégorie localement petite et si M ' est une souscatégorie résolvante de M , alors M ' est une sous-catégorie équilibrante de M . Preuve. Supposons que M ' est une sous-catégorie résolvante de M et donc que : R = ( I , ( RI ) I ∈I , ( X I ) I ∈I , (( PI , X ) X ∈X I ) I ∈I , (( pI , X ) X ∈X I ) I ∈I ) est une résolution de M dans M ' . Etape 1 : construction d'un ensemble de familles projectives de flèches. Pour tout I ∈ I , posons successivement : { } X "I = { X "∈ X I pI , X " : RI → PI , X " ∉ Fl( M ' ) } X ' I = X '∈ X I pI , X ' : RI → PI , X ' ∈ Fl( M ' ) , et : p "I = ( p I , X " : RI → PI , X " ∉ Fl( M ' )) X "∈X "I , de sorte que X I = X 'I U X "I est une réunion disjointe et que p "I est une famille projective de flèches de M (voir la Figure 21 - Fascicule 2). Alors, p " = { p "I I ∈ I } est un ensemble de familles projectives de flèches de M et les sous-catégories M ' et Equil( M , p " ) de M ont, par hypothèse et par construction, même ensemble d'objets que M . Pour montrer que M ' est une sous-catégorie équilibrante de M , il suffit donc de montrer que M ' = Equil( M , p " ) , i.e. que Fl( M ' ) = Fl(Equil( M , p " )) . 16 Etape 2 : les flèches de M ' équilibrent p " . Etablissons que toute flèche m : M → N ∈ Fl( M ' ) équilibre p " , i.e. équilibre, pour tout I ∈ I , la famille projective p "I = ( p I , X " : RI → PI , X " ∈ Fl( M ))X "∈X "I de flèches de M . Pour ce faire, supposons que (voir la Figure 22 - Fascicule 2) : - m : M → N ∈ Fl( M ' ) , - I∈I , - X "1 ∈ X "I , - s : RI → M ∈ Fl( M ) , - t I , X "1 : PI , X "1 → N ∈ Fl( M ) , - m s = t I , X "1 pI , X "1 .   X "1 ∈ X "I , on a pI , X "1 : RI → PI , X "1 ∉ Fl( M ' ) . Il en résulte, d'après Résol. 2 (où M devient PI , X "1 , m devient t I , X "1 et rI devient Par construction, comme pI , X "1 ), que l'assertion suivante est vérifiée (voir la Figure 23 - Fascicule 2) : Assert. 9 : on a m s = t I , X " pI , X " : RI → N ∉ Fl( M ' ) . 1 1   Maintenant, en vertu de Résol. 1, il existe (au moins) un X ∈ X I et (au moins) une flèche sI , X : PI , X → M ∈ Fl( M ' ) tels que s = sI , X . p I , X (voir la Figure 24 Fascicule 2). Si on avait pI , X : RI → PI , X ∈ Fl( M ' ) , comme l'assertion suivante serait vérifiée : sI , X : PI , X → M ∈ Fl( M ' ) , Assert. 10 : on a s = sI , X . pI , X : RI → M ∈ Fl( M ' ) , et, puisque m : M → N ∈ Fl( M ' ) , l'assertion suivante le serait, par conséquent, aussi : Assert. 11 : on a m s = t I , X " pI , X " : RI → N ∈ Fl( M ' ) , 1 1   mais Assert. 11 est en contradiction avec Assert. 9 qui est vérifiée (voir la Figure 25 Fascicule 2). On a donc pI , X : RI → PI , X ∉ Fl( M ' ) . Ce qui signifie, par construction, que X = X "2 ∈ X "I . Autrement dit, que m : M → N ∈ Fl( M ' ) équilibre la (sous-) famille projective p "I = ( p I , X " : RI → PI , X " ∈ Fl( M )) X "∈X "I (de la famille projective pI = ( pI , X : RI → PI , X ∈ Fl( M )) X ∈X I ) de flèches de M . Par conséquent, on a Fl( M ' ) ⊆ Fl(Equil( M , p " )) . 17 Etape 3 : les flèches de M équilibrant p " sont des flèches de M ' . Etablissons que toute flèche m : M → N ∈ Fl( M ) , dès lors qu'elle équilibre, pour tout I ∈ I , la famille projective p "I = ( p "I , X " : RI → PI , X " ∈ Fl( M )) X "∈X "I de flèches de M , est nécessairement une flèche de M ' . Pour ce faire, supposons que (voir la Figure 26 - Fascicule 2) : - m : M → N ∈ Fl(Equil( M , p " )) , - I∈I , - r 'I : RI → M ∈ Fl( M ' ) . En vertu de Résol. 1, il existe (au moins) un X ∈ X I et (au moins) une flèche t I , X : PI , X → N ∈ Fl( M ' ) tels que m . r 'I = t I , X . p I , X (voir la Figure 27 Fascicule 2). Si on avait m . r 'I ∉ Fl( M ' ) , on aurait nécessairement pI , X : RI → PI , X ∉ Fl( M ' ) (voir la Figure 28 - Fascicule 2), faute de quoi, m . r 'I = t I , X . p I , X serait une flèche de M ' puisque composée de deux flèches de M ' . Par construction, on aurait donc X = X "1 ∈ X "I et, puisque m : M → N ∈ Fl(Equil( M , p " )) équilibre, en particulier, la famille projective p "I = ( p I , X " : RI → PI , X " ∉ Fl( M ' )) X "∈X "I , il existerait au moins un (autre) X "2 ∈ X "I et (au moins) une flèche r ' I , X "2 : PI , X "2 → M ∈ Fl( M ) tels que r ' I = r 'I , X "2 . p I , X "2 , où pI , X "2 : RI → PI , X "2 ∉ Fl( M ' ) (voir la Figure 29 Fascicule 2) . Finalement, de Résol. 2 (où M devient PI , X " , N devient M et 2 rI : RI → M ∈ Fl( M ' ) devient pI , X "2 : RI → PI , X "2 ∉ Fl( M ' ) ) on déduirait que r 'I : RI → M ∉ Fl( M ' ) , en contradiction avec l'hypothèse (voir la Figure 30 Fascicule 2). On a donc m . r 'I ∈ Fl( M ' ) . Ainsi, toute flèche m : M → N ∈ Fl(Equil( M , p " )) vérifie l'assertion Assert. 3 de Résol. 3 et donc, d'après Résol. 3, elle vérifie aussi l'assertion Assert. 4. C'est dire que toute flèche m : M → N ∈ Fl(Equil( M , p " )) vérifie m : M → N ∈ Fl( M ' ) . par conséquent, on a Fl(Equil( M , p " )) ⊆ Fl( M ' ) . Fin de la preuve. 18 4.3. Sous-catégories équilibrantes et sous-catégories complémentantes des catégories esquissables. Montrons que : Proposition 3. Si M est une catégorie esquissable et si M ' est une sous-catégorie équilibrante de M , alors M ' est une sous-catégorie complémentante de M . Preuve. Supposons que E est une esquisse petite, que M = Mod( E , Ens) , que q est un ensemble de familles projectives petites q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y et que M ' = Equil( M , q) . Etape 1 : construction et propriétes fondamentales d'une extension de E . Posons : { q~ = q '∈ Ob( M ) ∃ q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M )Y ∈Y ∃Y '∈ Y q ' = qY ' } (de sorte que q~ est l'ensemble des flèches figurant au moins une fois dans au moins une des familles projectives appartenant à q ). On dispose donc de l'esquisse petite Ext( E , q ) = Ext( E , q~) , extension de E par l'ensemble q~ (voir l'Appendice - Fascicule 3). Ainsi, par construction, on peut affirmer que (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 31 - Fascicule 2): - E est une sous-esquisse de Ext( E , q ) , - à toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q correspond une famille inductive de flèches f q = ( f qY : FQY → FQ ∈ Fl(Ext( E , q )))Y ∈Y (n'appartenant pas à E et où les FQ et FQY sont les sommets de limites projectives potentielles "canoniques" à bases dans E ). On dispose également du foncteur induit par l'homomorphisme injection canonique (voir l'Appendice - Fascicule 3) : (−)∪ = Mod( E ⊆ Ext( E , q ), Ens ) : Mod(Ext( E , q ), Ens ) ↓ Mod( E , Ens ) = M qui, à tout modèle T : Ext( E , q ) → Ens , associe sa restriction T ∪ : E → Ens . Mais, on dispose aussi du foncteur prolongement canonique (voir l'Appendice Fascicule 3) : 19 (−)∩ = ProlE ,q~ (−) : M = Mod( E , Ens ) ↓ Mod(Ext( E , q ), Ens ) qui, naturellement en tout modèle M : E → Ens , associe son prolongement canonique M ∩ : Ext( E , q) → Ens , i.e. l'unique modèle prolongeant M et tel que (voir l'Appendice - Fascicule 3 et/ou la Figure 32 - Fascicule 2), notamment : - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q et tout Y ∈ Y , on a : M ∩ ( f qY : FQY → FQ ) = Hom M (qY : Q → QY , M ) : Hom M (QY , M ) → Hom M (Q, M ) , Alors, on sait que les deux foncteurs : → (−)∩ : M = Mod( E , Ens ) ← Mod(Ext( E , q ), Ens ) : (−)∪ définissent une équivalence de catégories (voir l'Appendice - Fascicule 3). Etape 2 : construction et propriétés fondamentales d'une sur-extension de E . Désignons, maintenant, par SurExt( E , q ) la sur-extension de E par q , i.e. l'esquisse petite obtenue en ajoutant à Ext( E , q ) et, ce, pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , les éléments suivants (voir la Figure 33 Fascicule 2): - la somme potentielle σ q = (σ q ,Y : FQY → Σ q ∈ Fl(SurExt( E , q )))Y ∈Y , - la flèche g q : Σ q → FQ ∈ Fl(SurExt( E , q )) , - l'épimorphisme potentiel eq : Σ q → Eq ∈ Fl(SurExt( E , q )) , - le monomorphisme potentiel jq : Eq → FQ ∈ Fl(SurExt( E , q )) , - pour tout Y ∈ Y , l'équation f qY = g q .σ q,Y , - l'équation jq . eq = g q . On dispose donc du foncteur induit par l'homomorphisme injection canonique : (−)∨ = Mod(Ext( E , q ) ⊆ SurExt( E , q ), Ens ) : Mod(SurExt( E , q ), Ens ) ↓ Mod(Ext( E , q ), Ens ) 20 qui, à tout V : SurExt( E , q ) → Ens , modèle associe sa restriction V ∨ : Ext( E , q) → Ens . Mais, on dispose aussi du foncteur prolongement canonique : ( −) ∧ : Mod(Ext( E , q ), Ens ) ↓ Mod(SurExt( E , q ), Ens ) qui, naturellement en tout modèle T : Ext( E , q ) → Ens , associe son prolongement canonique T ∧ : SurExt( E , q) → Ens , i.e. l'unique modèle prolongeant T tel que (voir la Figure 34 - Fascicule 2) : - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , on a : { } T ∧ (Σ q ) = ( sY , Y ) Y ∈ Y et sY ∈ T ∧ ( FQY ) = T ( FQY ) ( ) ( ) est bien une (autrement dit, T ∧ (Σ q ) = U T ∧ ( FQY ) × {Y } = U T ( FQY ) × {Y } Y ∈Y Y ∈Y somme - précisément, la réunion disjointe - dans Ens de la famille (T ∧ ( FQY ))Y ∈Y d'ensembles), - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , tout Y ∈ Y et tout sY ∈ T ∧ ( FQY ) = T ( FQY ) , on a : T ∧ (σ q,Y )( sY ) = ( sY , Y ) (autrement dit, T ∧ (σ q,Y ) : T ∧ ( FQY ) → T ∧ (Σ q)= ∑ T ∧ ( FQY ) est bien la co- Y ∈Y projection d'indice Y ), - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , tout Y ∈ Y et tout sY ∈ T ∧ ( FQY ) = T ( FQY ) , on a : ( ) T ∧ ( g q )(sY , Y ) = T ∧ ( g q ) T ∧ (σ q,Y )(sY ) = T ( f qY )( sY ) = T ∧ ( f qY )(sY ) (autrement dit, on a bien T ∧ ( g q ) .T ∧ (σ q,Y ) = T ∧ ( g q .σ q,Y ) = T ∧ ( f qY ) , de sorte que l'application T ∧ ( g q ) : T ∧ (Σ q ) → T ∧ ( FQ ) est bien l'unique factorisation du cône inductif à base discrète (T ∧ ( f qY ) : T ∧ ( FQY ) → T ∧ ( FQ ))Y ∈Y au travers du cône somme de même base (T ∧ (σ q,Y ) : T ∧ ( FQY ) → T ∧ (Σ q ))Y ∈Y ), 21 - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , on a : T ∧ ( Eq ) = { s ∈ T (F ) ∃Y ∈ Y ∃s ∈ T (F ) T ( g )(s , Y ) = s } ∧ Q Y ∧ QY ∧ q Y (autrement dit, T ∧ ( Eq ) ⊆ T ∧ ( FQ ) = T ( FQ) est l'image canonique de T ∧ (Σ q ) par l'application T ∧ ( g q ) : T ∧ (Σ q ) → T ∧ ( FQ ) = T ( FQ ) ), - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , tout Y ∈ Y et tout sY ∈ T ∧ ( FQY ) = T ( FQY ) , on a : T ∧ (eq )( sY , Y ) = T ∧ ( g q )( sY , Y ) (autrement dit, T ∧ (eq ) : T ∧ (Σ q ) → T ∧ ( Eq ) est bien un épimorphisme, puisque c'est la surjection canonique de T ∧ (Σ q ) sur son image T ∧ ( Eq ) par l'application T ∧ ( g q ) : T ∧ (Σ q ) → T ∧ ( FQ ) = T ( FQ ) ), - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , l'application T ∧ ( jq ) : T ∧ ( Eq ) → T ∧ ( FQ ) = T ( FQ ) T ∧ ( Eq ) ⊆ T ∧ ( FQ ) = T ( FQ ) vers est l'injection canonique de T ∧ ( FQ ) = T ( FQ ) (c'est donc bien un monomorphisme). Dans ces conditions, il est facile de vérifier que les deux foncteurs : → (−)∧ : Mod(Ext( E , q ), Ens ) ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) : (−)∨ définissent une équivalence de catégories. Par conséquent, par composition avec celle obtenue à l'Etape 1, les deux foncteurs : → ((−)∩ ) ∧ : M = Mod( E , Ens ) ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) : ((−)∨ )∪ définissent une équivalence de catégories. Etape 3 : complémentation potentielle de la sur-extension de E . Posons { } jq = jq q ∈ q . Alors, par construction, jq est un ensemble de monomorphismes potentiels de SurExt( E , q ) , de sorte qu'on peut construire par complémentation potentielle la sur-esquisse petite Compl(SurExt( E , q ), jq ) de SurExt( E , q ) complémentant jq . 22 On dispose donc du foncteur : (−) /¬ = Mod(SurExt( E , q ) ⊆ Compl(SurExt( E , q ), jq ), Ens ) : Mod(Compl(SurExt( E , q ), jq ), Ens ) ↓ Mod(SurExt( E , q ), Ens ) qui, à tout modèle Ω : Compl(SurExt( E , q ), jq ) → Ens , associe sa restriction Ω /¬ : SurExt( E , q ) → Ens . A l'inverse, à tout modèle V : SurExt( E , q ) → Ens , on peut associer son prolongement canonique V ¬ : Compl(SurExt( E , q), jq ) → Ens , i.e. le modèle tel que (voir la Figure 35 - Fascicule 2) : - pour toute famille projective de flèches q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q , on a : V ¬ (¬( Eq , jq )) = = { s ∈ V (F ) ∀Y ∈ Y ∀s ∈ V (F ) V ( g )(s , Y ) ≠ s } ¬ Q Y ¬ QY ¬ q Y { s ∈ V (FQ ) ∀Y ∈ Y ∀sY ∈ V (FQ ) V ( gq )(sY , Y ) ≠ s } Y et V ¬ (¬jq ) : V ¬ (¬( Eq , jq )) → V ¬ ( FQ ) = V ( FQ ) est l'injection canonique (autrement dit : V ¬ (¬( Eq , jq )) = V ¬ ( FQ ) \ V ¬ ( jq )(V ¬ ( Eq )) et V ¬ ( FQ ) = V ¬ ( Eq ) + V ¬ (¬( Eq , jq )) = V ( Eq ) + V ¬ (¬( Eq , jq )) = V ( FQ ) est bien une somme). Par contre, un quelconque homomorphisme v : V ⇒ W : SurExt( E , q ) → Ens ne possède pas nécessairement de prolongement : v¬ : V ¬ ⇒ W ¬ : Compl(SurExt( E , q), jq ) → Ens . Evidemment, il en possède un (unique) si, et seulement si, il vérifie la condition suivante (voir la Figure 36 - Fascicule 2) : toute famille q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q et tout s ∈ V ( FQ ) , l'assertion Assert. 12 ci-dessous implique l'assertion Assert. 13 ci- Prolong. 1 : pour dessous : Assert. 12 : pour tout Y ∈ Y et pour tout sY ∈ V ( FQ ) , on a : Y V ( f qY )( sY ) = V ( g q )( sY , Y ) ≠ s , Assert. 13 : pour tout Y ∈ Y et pour tout tY ∈ W ( FQ ) , on a : Y W ( f qY )(tY ) = W ( g q )(tY , Y ) ≠ v( FQ )( s ) . 23 ou de manière équivalente (par contraposition) si, et seulement si, la condition suivante est vérifiée : toute famille q = (qY : Q → QY ∈ Fl( M ))Y ∈Y ∈ q et tout s ∈ V ( FQ ) , l'assertion Assert. 14 ci-dessous implique l'assertion Assert. 15 ci- Prolong. 2 : pour dessous : Assert. 14 : il existe un Y1 ∈ Y et il existe un tY ∈ W ( FQ ) tels que : 1 Y1 W ( f qY )(tY1 ) = W ( g q )(tY1 , Y1 ) = v( FQ )( s ) , 1 Assert. 15 : il existe un Y2 ∈ Y et il existe un sY ∈ V ( FQ ) , on a : 2 Y2 V ( f qY )( sY2 ) = V ( g q )( sY2 , Y2 ) = s . 2 Par conséquent, notant Mod(SurExt( E , q), Ens ) ' la sous-catégorie de Mod(SurExt( E , q ), Ens ) ayant les mêmes objets mais seulement pour flèches les homomorphismes v : V ⇒ W : SurExt( E , q ) → Ens vérifiant Prolong. 2 (i.e. possédant un prolongement v¬ : V ¬ ⇒ W ¬ : Compl(SurExt( E , q), jq ) → Ens ), on voit que : - le foncteur (−)¬/ : Mod(Compl(SurExt( E , q ), jq ), Ens ) → Mod(SurExt( E , q), Ens ) a pour image la sous-catégorie Mod(SurExt( E , q), Ens ) ' , de sorte qu'il possède une restriction : (−)¬/ ' : Mod(Compl(SurExt( E , q), jq ), Ens ) → Mod(SurExt( E , q), Ens ) ' , - on dispose du foncteur prolongement canonique : (−)¬ : Mod(SurExt( E , q), Ens ) ' → Mod(Compl(SurExt( E , q ), jq ), Ens ) . - ces deux foncteurs : → (−)¬ : Mod(SurExt( E , q ), Ens ) ' ← Mod(Compl(SurExt( E , q ), jq ), Ens ) : (−)¬/ ' définissent une équivalence de catégories. Ainsi, Mod(SurExt( E , q), Ens ) ' est une sous-catégorie complémentante de la catégorie Mod(SurExt( E , q ), Ens ) . Etape 4 : retour à l'équilibre. Pour montrer que M ' = Equil( M , q) = Equil(Mod( E , Ens ), q) est une souscatégorie complémentante de M = Mod( E , Ens ) , il suffit de montrer, d'après l'Etape 3 précédente, que l'équivalence de l'Etape 2 définie par les deux foncteurs : 24 → ((−)∩ ) ∧ : M = Mod( E , Ens ) ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) : ((−)∨ )∪ se restreint en une équivalence définie par les deux foncteurs restriction : → ((−)∩ ) ∧ ' : M ' ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) ' : ((−)∨ )∪ ' . Or, si m : M ⇒ N : E → Ens est un homomorphisme, on voit que le double ((m)∩ ) ∧ : (( M )∩ ) ∧ ⇒ (( N )∩ )∧ : SurExt( E , q) → Ens prolongement canonique admet un prolongement : (((m)∩ ) ∧ )¬ : ((( M )∩ )∧ )¬ ⇒ ((( N )∩ )∧ )¬ : Compl(SurExt( E , q), jq ) → Ens si, et seulement si, ((m)∩ ) ∧ vérifie la condition Prolong. 2 de l'Etape 3 précédente, où on prend donc : - V = ((M )∩ ) ∧ , - W = ((N )∩ ) ∧ , - v = ((m)∩ ) ∧ , puis, compte tenu de la construction du foncteur prolongement canonique (−)∩ de l'Etape 1 et de la construction du foncteur prolongement canonique (−)∧ de l'Etape 2 : - V ( FQ ) = (( M )∩ )∧ )( FQ)= Hom M (Q, M ) , - W ( FQY ) = (( N )∩ )∧ )( FQ ) = Hom M (Q, N ) , 1 - W ( f qY ) = (( N )∩ )∧ )( f qY ) = Hom M (qY1 , N ) , 1 1 - v( FQY ) = ((m)∩ ) ∧ )( FQY ) = Hom M (QY1 , m) , 1 1 - V ( FQY ) = (( M )∩ )∧ )( FQY ) = Hom M (QY2 , M ) , 2 2 - V ( f qY ) = (( M )∩ ) ∧ )( f qY ) = Hom M (qY2 , M ) , 2 2 mais cela signifie, terme pour terme, que m : M ⇒ N : E → Ens vérifie la condition Equil. 1 . Autrement dit , l'homomorphisme m : M ⇒ N : E → Ens équilibre q si, et seulement si l'homorphisme ((m)∩ ) ∧ : (( M )∩ ) ∧ ⇒ (( N )∩ )∧ : SurExt( E , q) → Ens possède un prolongement ((m)∩ ) ∧ ' : (( M )∩ ) ∧ ' ⇒ (( N )∩ ) ∧ ' : Compl(SurExt( E , q), jq ) → Ens . 25 Par conséquent, l'équivalence de l'Etape 2 définie par les deux foncteurs : → ((−)∩ ) ∧ : M = Mod( E , Ens ) ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) : ((−)∨ )∪ se restreint bien en une équivalence définie par les deux foncteurs restriction : → ((−)∩ ) ∧ ' : M ' ← Mod(SurExt( E , q ), Ens ) ' : ((−)∨ )∪ ' . D'où il résulte que M ' est une sous-catégorie complémentante de M = Mod( E , Ens ) . Fin de la preuve. 4.4. Conclusion. Des propositions 1, 2 et 3 résulte évidemment que : Théorème. Dans toute catégorie esquissable, les sous-catégories complémentantes, les sous-catégories résolvantes et les sous-catégories équilibrantes sont les mêmes. 26