D IAGRAMMES F LORENCE C URY Graphes multiplicatis enrichis. Partie IV Diagrammes, tome 57-58 (2007), exp. no 1, p. 121-183 © Université Paris 7, UER math., 2007, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUMES 57 + 58, 2007 GRAPHES MULTIPLICATIS ENRICHIS PARTIE IV Florence Cury A.M.S. Sub. Class : 18 D 05,18 D 20 121 CHAPITRE IV: CHANGEMENT D ' ENRICHISSEMENT, P. 121 P. 124 P. 125 P. 129 P. 131 P. 134 P. 136 P. 142 P. 143 P. 146 P. 148 P. 156 P. 159 P. 160 P. 162 P. 163 P. 164 P. 173 P. 175 P. 178 IV,1 . Rappel: définition d'un fonGteur monoidal. IV.2. Construction du foncteur Q-apor "changement d'enrichissement entre catégories d'applications _orientées enrichies."-, associé à un_foncteur mono'idal Q. Construction du foncteur Q-néof "changement d'enriIV.3. chissement entre catégories de néofoncteurs enrichis", associé à un foncteur monoidal Q.__ IV.4. Rappel; construction du foncteur Q-fonc "changement d'enrichissement entre catégories de foneteurs enrichis", associé à un foncteur monoïdal Q. _ IV .5. Exemples. IV.6. Compatibilité de Q-apor avec les limites projectives. iv..?. Compatibilité de Q-néof avec les limites projectives. iv,8. Compatibilité de Q-fonc avec_les limites projectives. IV.9. Construction d'un adjoint à Q-apor. Rappel: Théorème général d'existence de structures liIV.10. bres i conditions d'emboîtement, aux limites projectives, aux monos, d'absorption, de génération. .. IV.11. Lemmes préliminaires à l'application du Théorème général d'existence de structures libres "de IV~.10. .. IV.12. Définitions préliminaires à l'application du Théorème général d'existence de structures libres de IV.10. IV.13. Cas de (?-néof: condition d'emboîtement. IV.14. Cas de Q-néof: condition aux limites prpjeGtives.. iv.15. Cas de *Q"-né of : condition aux monomorphismes. IV.16. Cas de Q-néof: condition d'absorption. IV.17. Cas de "Q~-néof : condition de génération. IV.18. Existence d'un ad.ioint à Q-néof. IV.19. Existence d'un adjoint à Q-fonc. IV.20. Exemples d'applications de IV.18 et IV.19. IV.1. L'objet de tout ce Chapitre est d'étudier les fonc- teurs: Q-néof : V"-néof -^ ¥"-néof , Q-apor : VA-apor -j. W*-apor s Q-fonc : VA-fonc _> InT-f onc , 122 que l'on déduit, dans certaines conditions, de la donnée d'un foncteur monoidal ("de changement d'enrichissement"): Q : V W de la catégorie mono'idale VA vers la catégorie monoidale W*. Il nous semble donc utile, tout d'abord, de rappeler dans ce paragraphe la définition d'un tel foncteur monoidal Q , voir (C.L.C.A.). Si V- = ( V , B ^ , i yA , ¢ ^ , ^ , 0 , ^ ) e t r = ( W . V ' V ' ^ W ^ ' ^ W ^ ^ W ^ sont deux catégories monoïdales (et nous omettrons, sauf pour iTT P ilism e de W*, : Q* . (-B-) est une transformation naturelle, ce qui signifie aussi que, pour tout couple ( z ^ ^ ) de morphismes z 1 : v,, -> vj et z - : v. -3» v£ de V*, l e diagramme c i - d e s s o u s e s t commutatif: q ( v 2 ) S q(v.. ) q(v2 B v1) q(z2) B q ( z 1 ) | q(v£) B q(vj|)i £ ( v l , , vv » ) 2» 1 | q(z2Bz1) * q(v2 B v') 123 - pour tout objet v de VA, les diagrammes ci-dessous sont commutatifs (axiome d'unitarité pour un foncteur monoidal): q(v) ru q(v B ±yA) q( O(v)) ' q(v«B (v' B v)) -n-t £(v",v») B q(v) F firtt q(v" B v') B q(v) q( UJ (v",v' ,v) (v" B v',v) q( (v" B v>) B v) 124 (ce dernier axiome n'est utilisé, dans la suite, que pour construire le foncteur Q-fonc: V"-fono ^TnT-fonc), =* W A est un foncteur mono- IV.2, Supposons que Q : V idal (nous reprenons les notations de IV.1 ) . Si G = (C ,£,j^) est un VA-graphe orienté, il est clair que le triplet Cf = (Cf5^fîJ^t) es * un WA-graphe orienté, lorsque: - "C ' = 7f , o o ' - pour t o u t c o u p l e ( c ' , c ) d ' o b j e t s de C, on a C ' i c ^ c ) = qÇçTCc'jc)) - pour t o u t o b j e t c de u , l e morphisme j ^ f ( c ) e s t l e composé de W* s u i v a n t : jffiCc) : iw^ —s.qCi^) „ t q(j^(c)> > q(çf(c,c)) ^ = £'(c,c) - ~B e s t une V A - a p p l i c a t ± o n De même, s i 6 = (B, (G,G) , G) : X3* o r i e n t é e , i l e s t c l a i r que l ' o n d é f i n i t une W ^ - a p p l i c a t i o n o r i e n t é e G** = (B*, ( G » , J » ) ,~B o lorsque: = B» , O O ' - pour tout couple (c',c) d'objets de C, on a: l*(c',c) — f»(cSc) q(J(c',c)) : q(C(c',c)) ^ * On vérifie alors facilement que, si AJLQ JfGfO^c)) q(B(G(c'),G(c))) est un univers, l'application de V*-apor dans WA-apor qui, à tout morphisme tel que G, associe Gf définit un foncteur Q-apor: V*-apor ^ W*-apor.(Remarquons que nous ne nous sommes pas servis de tous les axiomes exprimant la monoîdalité de Q pour construire Q-apor» )0n peut donc énoncer, pour résumer: Proposition. Si t^ est un univers, si Y A et W A sont deux catégories mo- noldales, tout foncteur monoidal Q : V A Q-apor: V-apor a. W A induit un foncteur > W^-apor 125 IV.3* Supposons, maintenant, que Q: V A ^ W* est un foncteur monoidal tel que: - le foncteur Q*: V* ^ W*, sous-jacent à Q, est compatible avec les monomorphismes (nous dirons aussi que Q l'est, pour simplifier), - W* est une catégorie à produits fibres (de deux morphismes de même but) que l'on munit donc d'un choix de tels produits fibres que nous dirons canoniques . Alors, si C* = (C^,C%jc^,mc^,kc^, a Q ^, 3~C-J est un VA-graphe multiplicatif, il est clair (en utilisant l'axiome d'unitarité pour le foncteur monoidal Q ) que l'on définit un W*-graphe multiplicatif lorsque: - G1 = (c,^îGf % J C ,A ) est le W-graphe orienté associé, comme en IV.2 , au V"-graphe orienté 1? = (C*,CA,JC,J, sous-jacent à G" , - pour tout triplet (c!î,cf,c) d'objets de G A , le diagramme ci-dessous est un produit fibre canonique de W*: q( A A q( mrtA(ctJ,cf ,c) ) e (c«,c') * C (c',c) ) . t n ^ c ^ c 1 ,c)À q( Ç"(c»,c') S GA(c*,e) ) h €( ÇA(c»,c»),CA(c,,c) ) C'^c",^) 2 C«~(cf ,c) l ttct*(cn,cf,c) - Ç»*(c»,c») m C«*(c',c) q(C*(c%c'))S5q(CA(c',c)) (et alors, mc^(c",c'1c) étant un monomorphisme, q(mGA(clf ,c',c) ) est un mono* morphisme,puisque Q" est compatible avec les monomorphismes, et donc mc,*(cn,c',c) aussi), 126 - pour tout triplet (c",c»,c) d'objets de C", le morphisme k A(e",c',c) est le composé suivant de W* : C'~(c",c') k p j ^ c " ^ ' ,c): ÇT(c",c')^ s -^ q | C'*(c»,c) -» Ç'*(c",c 3E r(c,c) q(k ,(o»,c',c)) nc.(c",c',c) ' c< - pour tout couple (c*,c) d'objets de C*, on désigne par f.^fc'jc) l'unique morphisme de W* rendant commutatif le diagramme ci-dessous: ÇA(c',c)l (T(c,c) ÇA(c',c)\IX / * / /k£(Ç-(c»,c),C*(c,c)) q(CA(c',c)) B q(CA(c,c)) c',c,c) Ç'"(c',c) 3E Ç'A(c,c) 12? (rappelons que,dans le diagramme précédent, le "sous-diagramme" (IX) est commutatif car c'est l'image d'un diagramme commutatif de V* qui exprime l'axiome d'unitarité à droite pour C % le sous-diagramme (X) est commutatif puisque e est une transformation naturelle et le sous-diagramme (XI) est commutatif d'après la construction de IV.E ) , - pour tout couple (c',c) d'objets de C A , on définit iHcl*(c',c) d'une manière analogue• Si G A = (B", (G.G^MgO ,CA) est un V"-néofoncteur, il est clair, dans les mêmes conditions, que G | A = (B fA , (G f ,G fA ,M Qt „) ,C'A) est un WA-néofoncteur de C'A vers B | A , lorsque: - G' = (B', (G',G,A) ,0») est la W"-application orientée associée, comme en IV.2,à la VA-application orientée G, sous-jacente à G*, - pour tout triplet (o'^c^c) d'objets de C A (i.e # de G'*), on désigne par MgfA(c",c' ,c) l'unique morphisme, "produit fibre" dans W"? qui fait commuter le diagramme ci-dessous: ]T(b",b') q(mB.(b",b',b)) 3E ^ BA(bf,b) ( B A ( b " ,,bb'';) r B BA(b',b) q(GA(c",c')BGA(c',c) q(M A ( c " , c ' , c ) ) IX 11) |ÇA(cn,c»)l i(T(c",c»} ql 2 Ç~(c',c) / q(mc-(c,!,c',c)) \ ç ~ ( c ' , c ) I nB.(b",b',b)^ (c e(ÇA(c",c«.),ÇA(c«,c)) c, c) v "' ' Ç'A(c»,c») x (YTVI m,,fA(c",c',c) ° y Ç'A(c',c) G|A(c",c',c) A Ç'"(c",c') B C'A(c',c) G'A(c",c')BG'A(c«,c? B'A(b",b') B'^bSb) IXIII) e ( B ( b » , b ' ) , B ( b » , b ) ) m^Cb'Sb'.b) B'A(b",b') B B'A(b',b) A 128 où nous avons posé G(c) = b, G(c') = b' et G(c") = b" (rappelons que le sous-diagramme (XII) est commutatif car c4 est l'image d'un diagramme commutatif qui exprime que G" est un VA-néofoncteur, le sous-diagramme (XIII) est commutatif car c est une transformation naturelle, le sous-diagramme (XIV) et le sous-diagramme "contour extérieur" du diagramme précédent sont commutatif s puisque, par construction, ce sont des produits fibres canoniques de W") • est un univers, i*application de VA-néof Il est, dès lors, clair que",si UL vers W'-néof qui, à tout morphisme tel que G A , associe G'A définit un foncteur; ^ WA-néof , Qpf--néof : V*-néof lorsque' pf: W ( ^ * W. ( ) est le foncteur qui décrit le choix de produits fibres canoniques effectué initialement dans W". Plus précisément nous avons: Proposition» Si 11 est un univers, si V A £t W A sont deux catégories monoidales, si W" est une catégorie à produits fibres (de deux morphismes de même but), à tout foncteur monoidal » W A , compatible avec Q: V* les monomorphismes, et à tout foncteur Hchoix de produits fibres naturalisesf Pf , w (V) ^ w i& dans W*,est associé un foncteur Q .-néof : VA-néof pf rendant commutatif le diagramme suivant: V"-néof _> VT-néof WA-néof Q-néof PT.A W -an (voir 1.11) p V -an Q-apor VA-apor » WA-apor (voir 1.11) 129 Si, de plus, pf^ et pf 2 sont deux foncteur s "choix de produits fi- bres naturalisés" dans W # , alors les foncteurs Q . -néof et Q -néof sont "pf. Pf, naturellement équivalents. Le lecteur vérifiera sans difficulté la dernière assertion de cette proposition. IV.4. Proposition. Si *UL est un univers, si V A et W A sont deux catégories monoidales, à tout foncteur monoidal Q: V~ s* W^ est associé un foncteur Q-fonc: V"-fonc s* WA-fonc rendant commutatif le diagramme ci-dessous: VA-fonc WA-fonc Q-fonc (voir 1.11) P^. A V*-apor t PWA-af Q-apor 5 (voir J -11) VtP-apor Si, de plus, W* est à produits fibres (de deux morphismes de même but) et Q est compatible avec les monomorphismes, à tout "choix de produits fibres naturalisés" r. c v > pf : W W • (O) dans W , e s t a s s o c i é e une équivalence n a t u r e l l e V A -fonc . (voir 1.7) *V-nf V A -néof ». Ç _. r e p r é s e n t é e par . VT-f onc P WVnf W A -néof (voir 1.7) 130 En particulier, si pf 0 est un choix de produits fibres naturalisés dans W tel que, pour tout morphisme z: w »w' de W*, les diagrammes sont des produits fibres naturalisés choisis, alors Ç f est la trans- formation naturelle identique;- c'est dire aussi .que le diagramme ci-dessous est commutatif: VA-fonc P l/T-fonc V A -nf f * P i WA-néof VA-néof W A -nf Pour la construction de Q-fonc,. il suffit de constater que l'image, par Q ^ -néof, d'une VA-catégorie est une WA-catégorie: Q-fonc n'est , ainsi, Px0 _ qu'une restriction de Q r, -néof .Le troisième point de la proposition est pl 0 donc trivial et le second point s'en déduit facilement. Plus généralement, on peut construire Q-fonc même si W* n'est pas à produits fibres et Q* n'est pas compatible avec les monomorphismes: il suffit de reprendre la construction de IV.3* où les seuls produits fibres et monomorphismes à utiliser sont triviaux dans le cas des catégories enrichies.On retrouve, ainsi, le résultat analogue de (C.L.C.A.). Dans la suite, si un choix de produits fibres naturalisés tel que pf n est effectué, nous poserons systématiquement, pour plus de simplicité: QPf -néof 0 = Q-néof 131 IV.5» Nous examinons, ici, trois cas particuliers qui illustrent les considérations précédentes. Nous les reprendrons, d'ailleurs, en IV.20 pour montrer comment s'appliquent les théorèmes d'adjonction de IV.18 et IV.19. a ) . Soit ILo un univers et U_ A la structure cartésienne (donc monoidale) usuelle sur la catégorie IL pleine d'applications entre éléments de *U. . Si V" = (V*,B,i, ¢ , vp, OJ) est une catégorie monoidale au-dessus de ^ (i.e. si le foncteur Homu..(-,i) est à valeurs dans le foncteur H o m — ^ - , ! ) : V* * 1X * - ^ ) , il est clair que est sous-jacent à un foncteur monoidal: HomyC-.i): V A ^ VLT . Alors, le foncteur composé: P (U",V~)-apor ! V~-apor _ _ • tT-apor Homv.(-,i)-apor r (voir 0.7) est le foncteur d'oubli défini en 1.12 et qui, à toute V A -application orientée, associe son application orientée sous-jacente. De même, le foncteur composé: P (U%V-)-fonc : V A - f o n c ZZZ * U*-fonc 110333-,.(-,i)-fonc 1 „ (voir 0.6) est le foncteur d'oubli défini en 0.6 et qui, à tout V^-foncteur, associe son foncteur sous-jacent. Enfin, comme U L est à produits fibres et Honiç.*(-,i) est évidemment compatible avec les monomorphismes, pour tout "choix de produits fibres naturali- CVO pf : 1_L dans TV. , le foncteur composé : P (N^ ) ^ OJL (U^,T")-a«of : v A - n é o f > IT-néof (Hony^-,!)) -néof , (voir >t V» 1.1½ ) 132 est le foncteur d'oubli défini en I.1*f et qui, à tout VA-néofoncteur, associe son néofoncteur sous-jacent. b ) . Supposons encore que tL est un univers et désignons par t/T'^-néof , identifie une-2-oatégorie à son 2-graphe-multiplicatif sousrjacent-. 133 c). Supposons encore que IX est un univers et désignons par ^J ** (resp. S ^ A ) la structure cartésienne canonique sur la catégorie (resp. l>j) pleine de foncteurs (resp. d'applications orientées) entre catégories A* relatives (resp. entre graphes orientés l'univers IX et qui vérifient: (a1,a) d'objets de - pour tout couple des morphismes de a vers a' A* (resp. de [Xi *%• * relatifs) à [ A ] ) , l'ensemble est l'ensemble vide ou un single ton. Notons alors : paf = i » r le foncteur d'oubli composé des foncteurs d'oubli (voir 0.3): pnf=3 qui, »jf et p„.jr »r à une catégorie, associe son graphe orienté sous-jacent, et: P 1 • > 1 <\ *i sa restriction aux sous-catégories pleines, j^ et 1 ^ , des catégories Tr et r * Il est clair que P-j est sous-jacent à un foncteur monoidal *1 • ; ! J* > 1 (pour lequel "t" et " e " sont des identités), compatible avec les monomorphismes • Puisque, d'autre part, [^ est une catégorie à produits fibres, nous y effectuons un choix de produits fibres naturalisés: Pfo= rv--"> vérifiant les conditions du w pfg ,rV<*-> de la proposition de IV.*ff où l'on prend = n4 . Ceci nous permet donc de définir les foncteurs "changement d'enrichissement" suivants: p!j-néof : ^, "-néof > P^-néof P1-fonc : *ï *-fonc ^ f 1 *-fonc et 13½ IV.6. Nous étudions ici, en IV.7 et en IV.8 la compatibilité des foncteurs Q-apor, Q-néof et Q-fonc, associés comme précédemment à un foncteur monoidal Q, avec les limites projectives.Les résultats que nous allons, ainsi, établir nous seront fort utiles pour établir sous quelles conditions ils admettent des adjoints* Proposition. Si VL est un univers, si V A et W A sont deux catégories monoxdales, si Q: V A *. W A est un foncteur monoidal. si B* est une caté- gorie relative à *U, et si, de plus: - V* est une catégorie à [B**}-limites probjectives, " le foncteur Q": V* >W est compatible avec les ^B*}-limites pro- jectives, alors, le foncteur Q-apor: VA-apor > WA-apor (construit en IV.2) est compatible avec les [B*l-limites projectives. 5».VA-apor est un foncteur et désigons par S'* le Supposons que S*: B" foncteur composé: S**: > VA-apor B* ^ S* WA-apor Q-apor D'après la proposition de II.1, dont les hypothèses sont vérifiées, on sait que S* admet une limite projective,dans VA-apor, que nous notons Il s'agit donc de prouver que Q-apor (t) = A* = (1^,3^, j£?) est une limite projective de S'* . Or, par construction (voir II.2), l'ensemble des objets X jective A de S* est une limite projective, dans de la limite pro- X L , du foncteur compo- se: B* s> S* VA-apor _ . 0b v * => X L (voir II.2) 135 D'autre part, d'après la construction de Q-apor (donnée en IV.2), il est clair que le diagramme ci-dessous commute: S' B* t V -apor S»* * WA-apor l Ob W 0bv„ * U Il en résulte donc que l'ensemble des objets A' de A' est une limite projective dans XL du foncteur Ob^A.S'* • De même, pour tout couple (a1,a) d'objets de A (donc de A 1 ) , le "Hom" à valeurs dans V A , à savoir A(a*,a), est la limite projective, dans V*, du défini explicitement en II.2 et qui, : B* a1 ,a notamment, à tout objet b de B*, associe le "Hom" à valeurs dans V A : foncteur S* Â^(Pb(a'),Pb(a)), lorsque : - s-(b) = ^ = (¾...¾.¾) » - P! = (^T, ^ P b' P b^ ' ^ e s t l a P r ° J e c t i o n relative à b (autrement dit, le "Hom" à valeurs dans V A de la limite projective est la limite projective "couple -par couple" des "Hom" à valeurs dans V A ) . Puisque Q"* est, par hypothèse, compatible avec les ÎB*l-limites projeGtives, il en résulte que, pour tout couple (a1,a) d'objets de "A' (i.e. de ïf) l'objet A^(a',a) =Q # (A(a',a)) est une-limite projective, dans W*,du foncteur = S ' * ot a ,*a (autrement dit, encore, le "Hom" à valeurs dans W* a1 ,a de A' est la limite "couple par couple" des "Hom" à valeurs dans W A ) . Q'.S* Les deux propriétés universelles, ainsi établies, pour l'ensemble X 1 , 136 d'une part, et les "Hom" à valeurs dans W" de A?, d'autre part, permettent alors de conclure facilement. IV.7. Proposition. Si IL est un univers, si V A et W A sont deux catégories monoxdales, si Q: VA si B* est une catégorie relative à > W A est un foncteur monoidal, 7X Q et si, de plus: - W* est une catégorie à jXrj-limites projectives (i.e. à produits fibres de deux morphismes de même but), (XX) - pf: W (*x5*) ^W v ^* ^^ J est un foncteur "choix de produits fibres naturalisés" dans W", - V* est une catégorie à SB" ,\^v-limites projectives, > W # , sous-jacent à Q, est compatible avec les - le foncteur Q" : V" % B*,\/^-limites projectives jet alors, le foncteur donc avec lés monomorphismes), Q «-néof: VA-néof a* W^-néof (construit en IV.3) est compatiTble avec les %B*^-limites projectives. y VA-néof est un foncteur Supposons que R*: B* et désignons par R'# le foncteur composé: > VA-néof H"* : B" R* » WA-néof Qpf-néof D'après l a p r o p o s i t i o n de I I . 3 , on s a i t que R* admet une l i m i t e projective n a t u r a l i s é e , que nous r e p r é s e n t o n s par l e diagramme commutatif (XV) s u i v a n t : AA = ( A ^ , A A , J A . , m A . , k A . , - » A ~ X P b = (Ab' ^ ¾ ^ \ 0 •**> 137 où nous avons posé: A A = R # (b), pour tout objet b de B*, et F A = S*(z), pour tout morphisme z: b ^b' de B*. Il nous faut donc prouver que le cône projectif image par Q ~-néof du cône projectif (XV), que nous représentons par le diagramme commutatif (XVI) cidessous : À'* = Qpf-néof(AA) p r = v-*<>*<*£) A r = v- n é o f C A î9 ; est une limite projective naturalisée de R' * dans WA-néof. Supposons, pour ce faire,que (KTk ,g. ^ o soit une famille de WA-néofoncteurs KT: CA ^ A£A (pour tout objet b de B") définissant une transforma- tion naturelle (K^): Const(CA) y —w R' * que nous représentons par le diagramme commutatif (XVII) ci-dessous: 138 En particulier, ceci signifie que,pour tout objet b de B" et tout triplet (c",c',c) d'objets de (T, le diagramme (XVIII) ci-dessous est commutatif (compatibilité de K£ avec les monomorphismes des composables) : ^(VC'WG)) l I (c",c',c) À (XVIII) \ CA(c",c') Ç*(c',c) mc. X 1 rendant commutatif, -pour tout objet b de B*, le diagramme ci-dessous (puisque l'image par p w * _ a n d u diagramme (XVII) représente un cône projectif de base V^^^.'R* * et de sommet C ) : 139 V-an - * * = V-an ( A I ^ V - a * ( V " «b P b = V-an <*P A V. K = PW -an. *(A' b ) y Il en résulte que, pour tout triplet (c",c',c) d'objets de GA, le diagramme (XIX),qui suit, est commutatif (en vertu de la fonctorialité de B et de la définition de la composée de deux W'-applications orientées): A'rt(K(e"),K(c')) Â?(K(c"),K(c')) Si H A' (K(c'),K(c)) F(K(c'),K(c)) A P'A(K(c»),K(c'))SP;"(K(c'),K(c)) ^(Kb(c"^Vc,)) A K(c",c«) Si K(c',c) A^-(Kb(c'),Kb(c)) K£(c",c') M K£(c',c) ÇA(c",c») £(c",c') Si = Si ÇA(c',c) Ç(c',c) Pour prouver la proposition, il suffit donc d'établir que la WA-application orientée K*= (Â?, (&*|^) ,G) est sous-jacente à un W^-néofoncteur (néces- sairement unique) K* = (A'A, ( K j K " , ^ ) ,CA) = (A'A, ( K ^ M ^ ) ,*V l-«,a b )| Y^b^b^b^ ^(ab>V V V A - K ^ ' V \ 4 A(a k ) ^ ( € » , 0 » ,c) ° V V K J ( C » , C )mj(c» ,C) ^ f(c",c')B^(c',cL , Mxvui] '(c",c') (T(c',c) V ' mc^(c",c',c) ÇA(c",c») " Ç"(c',c) (Nous a v o n s p o s é : K ( c " ) = a » , K ( c ' ) = a » , K ( c ) = a e t K ^ c » ) K. ( c ' ) IXIX) / = PbU") = a£, = P b ( a ' ) = a b , K ^ c ) = P f e ( a ) = a fe , pour p l u s d e c o m m o d i t é . ) 1^2 I V . 8 . Désignons encore par 1-1 un u n i v e r s e t par B* une catégorie r e l a t i v e à IL .Nous cherchons, maintenant, sous q u e l l e s c o n d i V A -fonc t i o n s l e fonGteur Q-fonc: ^ W^-fonc, a s s o c i é au foncteur monoidal Q: V* > WA, e s t compatible avec l e s { B * } - l i m i t e s p r o j e c t i v e s . Or: - la catégorie VA-fonc est à {B*}-limites projectives, dès que V* l'est (comme nous l'avons signalé en II.4), - dans le cas particulier d'un foncteur R # : B* ^ VA-néof, à valeurs dans la sous-catégorie pleine VA-fonc de VA-néof, le raisonnement de IV.7 ne nécessite que la compatibilité du foncteur Q*: V* ^ W* avec les ^B#^—limites projectives, puisque, dans ces conditions, les seuls produits fibres utilisés sont "triviaux" (et existent toujours et sont toujours "préservés" par Q * ) , - dans ce cas, ceci implique que le foncteur composé VA-fonc WA-fonc ^ Q fonG " ^ W A -néof V-nf est compatible avec les |B#}-limites projectives et, donc, qu'il en est de Q-fonc: VA-fonc même du foncteur P T.T- * s WA-fonc => WA-néof ^.WA-fonc, puisque le foncteur est injectif et plein. Nous pouvons donc énoncer la proposition: Proposition. Si \L est un univers, si V A et W A sont deux catégories mono- xdales, si Q: V A > W A est un foncteur monoidal, si B # est une catégo- rie relative à 11 et si, de plus : - V* est une catégorie à (B*}-limites projectives, - le foncteur Q # : V* ^ W # , sous-jacent à Q, est compatible avec les $B*"}--limites projectives, alors, le foncteur Q-fonc: VA-fonc lB'^-limites projectives. > W-fonc est compatible avec les 1^3 IV.9. Notre but est, maintenant, de donner des conditions suffisantes pour que les foncteurs Q-apor, Q-néof et Q-fonc, associés à un foncteur monoidal Q, admettent des adjoints. Nous commencerons par la démonstration de la proposition suivante, qui utilise la construction du foncteur Q-apor donnée en IV.2. Proposition. Si XX est un univers, si V A ejt W A sont deux catégories monoidales. si Q = (WA, (Q*,t, £ ) ,VA) est un foncteur monoidal de V" vers W A et si. de plus: - le foncteur Q": V * — . >W" admet un adjoint, - le morphisme t: i_.A » q(iy.A) est le morphisme "universel" (i.e. (iyA,t) est un Q"-projecteur) définissant 1^* comme une structure libre sur jL-A, relativement à Q *, alors. le foncteur Q-apor: VA-apor ^ WA-apor admet un adjoint. Nous allons prouver la proposition précédente en construisant explicitement le V^-graphe orienté libre sur un W*-graphe orienté donné. Pour ce faire, nous choisissons, tout d'abord, un adjoint Ad(Q'): W *V au foncteur Q-: v" >W (et nous noterons ad(q) son application sous-jacente). De plus, pour tout objet w de W*, nous choisissons un morphisme universel T(W): W ^ q.ad(q) (w) associé à l'adjonction ainsi considérée (autrement dit, (ad(q)(w),T(W) ) est un Q"-projecteur, au sens de (M.M.A.G.), ou, si l'on préfère, T "est" la transformation naturelle d'unitarité sous-jacente à un triple associé à cette adjonction - et dont Q*.Ad(Q*) est l'endofoncteur). Bien entendu, les hypothèses de la proposition précédente nous autorisent à supposer que: - ad(q)(iftr^) = i ^ , - -Ki^) = t . Dans ces conditions, supposons que A = (îT ,A,j-^) soit un W A -graphe orienté, objet de W A -apor. Il est, alors, clair que l'on définit bien un VA-graphe orienté ïf = (B Q ,B,jg), obj-et de V-apor, lorsque l'on pose: - B = X (i.e. B et A ont les mêmes objets), o o - pour tout couple (a',a) d'objets de îT (i.e. de X ) , B(a',a) = ad(q)(|(a',a)) (les "Hom" à valeurs dans V A , pour le VA-graphe orienté libre sur îT, sont les structures libres - relativement à Q* - sur les "Hom" à valeurs dans W A pour le WA-graphe orienté A ) , - pour tout objet a de B (i.e. de A ) , —•*» — > ad(q)(j^(a)) = j-g(a) : iy* ^1f(a,a) ad(q)(iVJA) ad(q)(f(a,a)) De même, il est clair que l'on définit bien une WA-application orientée "T^ = (B^, (1^1¾^ »^» d e A vers B ! = Q-apor(B) (voir IV.2), lorsque l'on pose: - T-*: A * B* est l'application identique, - pour tout couple (a',a) d'objets de A (donc de B ou de B^ ), r(£(a',a)) =f^(a',a) : J(a',a) > f'(a',a) q(g(a',a)) q.ad(q)(]£(a-',a)) On vérifie, alors, sans difficulté que (B,T^-) est un (Q-apor)-projecteur ou, ce qui revient au même, que T-g: A > Q-apor (B) définit bien ~Ê comme le VA-graphe orienté libre sur le WA-graphe orienté A, relativement 1^5 au foncteur Q-apor. Ainsi, la proposition précédente se trouve démontrée. La démonstration qui vient d'être achevée appelle plusieurs remarques. Tout d'abord, tout comme lors de la construction du foncteur Q-apor (voir IV.2), nous n'avons pas utilisé complètement la "monoidalité" de Q .Ceci n'est évidemment pas fait pour surprendre si l'on se réfère à 0.7 • Plus précisément, pour obtenir un foncteur "convenable" de VA-apor vers WA-apor, il suffit, en effet, de supposer que Q = (w, (Q*,t) ,V) est un homomorphisme vague de la catégorie pointée v = (V*,i„A) (sous-jacente à V A ) vers la catégorie pointée w = (W,i„ A ) (sous-jacente à W A ) , i.e. que: - Q* : V" - t: :Lp > W* est un foncteur, ^$(3-11-^) e s t u n morphisme de W* • Si Ut est un univers, on en déduit immédiatement un foncteur o * ~ —> —> Q-apor: V-apor *> W-apor VA-apor WA-apor (voir 0.7) , en utilisant exactement la même construction qu'en IV.2. Cette précision, qui complète la remarque de IV.2 et aurait fort bien pu y trouver sa place, ne prend tout son sens que dans la proposition ci-dessous (c'est pourquoi nous jugeons utile de la développer ici) qui n'est que la réplique de la proposition précédente, dans ce cadre plus général^ et que le lecteur démontrera exactement de la même façon. Proposition (deuxième version de la précédente). Si TJL est un univers, si V = (V*,i^0 et w = (W'ir*) sont deux catégories pointées, si Q = (W, (Q*,t) ,V) est un homomorphisme vague de catégories pointées et si. de plus: - Ad(Q # ): W* m >V est un adjoint à Q" : V* > W* f 146 - Ad(Q,)(iw) = i v et t: ± w > Q'^v 5 = Q*-Ad(Q" )(3^) définit 1^ comme structure libre sur i w , relativement à Q*, alors on a: - Ad(Q') est sous-jacent à un homomorphisme vague de catégories pointées Ad(Q^) = (V, (Ad(Q-),iy) ,W) (qui est, en fait, un foncteur pointé usuel), - le foncteur Q-apor: vWpor teur Ad(Q")-apor: W-apor > W^-apor admet pour adjoint le fonc^ V-apor . Rappelons, cependant, que notre objectif n'est pas de rechercher systématiquement le cadre le plus général permettant l'étude formelle de toutes les notions que nous introduisons. Par exemple, dans ce Chapitre, notre but essentiel est d'établir que les foncteurs Q-fonc et Q-néof admettent, sous certaines conditions, des adjoints. Aussi, l'étude des propriétés de Q-apor peut-elle être regardée comme préliminaire. Néanmoins, dans ce seul paragraphe particulier, il nous a semblé que l'utilisation du cadre le plus général éclairait les constructions particulières utilisées. IV.10. Si les catégories monoïdales V* et W A sont, de plus, symétriques, fermées et complètes, B.J. Day et G.M. Kelly ont prouvé en (E.N.F.C.) que le foncteur monoxdal sur-jacent au foncteur Q-fonc admet un adjoint (dans la 2-catégorie des foncteurs monoïdaux entre catégories monoïdales fermées symétriques), si Q lui-même en admet un (dans cette même 2-catégorie). Nous préférons, cependant, établir que Q-fonc et Q-néof admettent des adjoints par une méthode notablement différente (à l'aide du théorème d'existence de structures libres de (C.O.S.L.)) pour les deux raisons suivantes: - même sous les conditions particulières de (E.N.F.C), il est difficile 14? d'établir que Q-néof admet un adjoint, -nous ne désirons pas nous restreindre au seul cas des catégories monoïdales fermées symétriques (dans tout ce travail, nous ne considérons que des catégories monoïdales afin d'obtenir un champ d'applications plus vaste) et nous voulons donner des hypothèses qui, même si elles sont nombreuses, sont "toujours" vraies et faciles à vérifier dans la pratique. Ajoutons que B.J. Day et G.M. Kelly privilégient dans (E.N.F.C.) l'aspect "tenseurs et cotenseurs", alors que nous insistons, plutôt, sur l'aspect "propriétés aux limites". Puisque nous préférons utiliser le Théorème d'existence de structures libres de (C.O.S.L.) pour établir que, sous certaines hypothèses, les foncteurs Q-néof et Q-fonc admettent des adjoints, il nous semble utile de le rappeler en détail. C'est l'objet de ce paragraphe. Pour établir qu'un foncteur P*: H* -> L* admet un adjoint, il suf- fit que certaines conditions soient vérifiées: - (condition d'emboîtement) il existe un diagramme commutatif de foncteurs; H" C P# ù L- C 148 où H" (resp. L") est une sous-catégorie pleine de H 1 " (resp. L'*), où I* (resp. J*) est le foncteur injection canonique et où P* est la restriction de P1', ^ ( H^ x L )-produits - (condition aux limites projectives) H'* est à et P'* est compatible avec ces produits, de plus H* est à noyaux (de deux morphismes) et P* est compatible avec ces noyaux, - (condition aux monomorphismes) T est un ensemble de monomorphismes de H , # (i.e. Y c Monos(H'*) ) tel que P'#(ï) est inclus dans Monos(L» " ) t - (condition d'absorption) il existe un choix de noyaux, dits canoniques, dans H" de telle sorte que,pour tout noyau canonique n, on ait T.n Cï» - (condition de génération) le foncteur P'* est (L* ,Y.H*)-engendrant (voir 0.10). Théorème (Existence de structures libres dans le cas général). Si le foncteur P*: H* > L" vérifie la condition d'emboîtement, la condition aux limites projectives, la condition aux monomorphismes, la condition d'absorption et la condition de génération précédentes, alors il admet un adjoint. (On rapprochera ce Théorème de celui de II.6 concernant l'existence de limites inductives et qui procède de la même idée.) IV.11. Avant de prouver que le Théorème d'existence de structures libres de IV. 10 s'applique au cas P" = Q-néof, il nous faut donner différents lemmes de la Théorie générale des Catégories qui nous seront utïle§ dans la suite.C'est l'objet de ce paragraphe. La démonstration du lemme 1, ci-dessous, est laissée au lecteur car elle est immédiate (et ce lemme n'est énoncé que pour mémoire). 149 Lemme 1 (Utilisé en IV.17 ) . Si D* est une catégorie et si les deux dia- grammes commutatifs ci-dessous: % t représentent deux produits fibres naturalisés de D*, où z. .z>- = z_.z„, alors, le diagramme commutatif ci-dessous: représente aussi un produit fibre naturalisé de D*. Enonçons, maintenant, un lemme qui peut être regardé comme une sorte de réciproque du Théorème d'existence de structures libres que nous avons énoncé en IV.10. Lemme 2 dessous: ( Utilisé en IV. 17 ) . Si le diagramme commutatif de foncteurs ci- 150 H # ,C H1 P- * t P'# .! ' L* vérifie la condition d'emboîtement de IV.10 et si, de plus: - F9 admet un adjoint Ad(P'), - pour tout objet 1 de L *, la structure libre Ad(P")(l) sur 1, rela- tivement au foncteur P*. est aussi une structure libre sur 1, relativement au foncteur P' *, - Y est un ensemble de monomorphismes de H' * tel que la condition aux monomorphismes de IV.10 est vérifiée» - tout morphisme de H ' •, dont la source est objet de H *, admet un Y-reflet dont la source est aussi ob.iet de H*, alors, le foncteur Pf * est (L*TY.H*)-engendrant. pour prouver ce lemme, munissons tout d'abord H'" d'un choix de Y-reflets, que nous dirons canoniques, pour ceux dont l'existence est assurée par l'hypothèse.De plus, pour tout objet 1 de L", nous choisissons un mor- phisme universel (appartenant à L) Ç(l): 1 > p-.Ad(p-) (1) définissant Ad(P")(l) comme une structure libre sur 1 relativement au foncteur F' # (et donc aussi relativement au foncteur P " ) . Supposons alors que h' est un objet de H,' " et que z: 1 est un morphisme de L' * dont la source^^st objet de L* • > P f *(&.') 151 Nous d é s i g n o n s , a l o r s , p a r : - z* : A d ( P " ) ( l ) *• m u t a t i f l e diagramme ( X X I I I ) h* l ' u n i q u e morphisme de H ' * q u i r e n d com- ci-dessous: Ad(P')(l). H»* H* ; 'l L* L'* P*.Ad(P')(l) P»'(z») CCI) .P'-(h') ^. h ' l e Y - r e f l e t c a n o n i q u e de z>' , comme l e - z": h l e diagramme commutatif représente ci-dessous: h Ad(P')(l) 5* P # H'' 1 i *' I » # P Ch)- P' " ( z " ) C M o n o s ( L ' ' ) P'*(h») On vérifie, facilement, dans ces conditions, que z" est aussi un (Y.H^,P T ")- 152 morphisme engendré par z (voir 0.9);ce qui prouve que le foncteur P'* est bien (L*,Y.H#)-engendrant. —o — —o Le lemme 3, qui suit, concerne la composition des foncteurs engendrants. Sa démonstration, évidente, est laissée au lecteur. Lemme 3. Si njj * : H'# H» # et P«# : H' * > > L'* sont deux fonc- teurs et si, de plus: - H (resp. L ) est une partie de l'ensemble des objets H' " (resp. L' *) de H« ' (resp. L» ' ) , - H est une partie de l'ensemble des objets H1 * de H' * telle que n ( r vci0, - Y est une partie de H' (qui, dans la pratique,est constituée de monomorphismes ), - Y est une partie de H' (qui,dans la pratique, est constituée de monomorphismes^ telle que nJ[*(Y) C Y , - m# - P'* est (L ,Y.H )-engendrant (voir 0.10), est (H ,Y.H )-engendrant (voir 0.10), alors, le foncteur composé » •• P' # .ni" : H'* — > L'' est (L .Y.H ) - 1 —'•" — ""O o engendrant. (On pourra se r e p o r t e r au schéma s u i v a n t qui v i s u a l i s e l e s notations u t i l i s é e s : HQ C H ' ^ C H' ^ i « * i \ » N i T . pi • h0C L ' 0 C L' «) 153 Le lemme que nous a l l o n s énoncer, maintenant, r é s u l t e d i r e c t e m e n t d'une r e marque,due à C. JDiresmann, concernant l e Théorème d ' e x i s t e n c e de s t r u c t u r e s l i b r e s de (C.0.S.L. ) .(Signalons q u ' i l c o n s t i t u e a u s s i une s o r t e de r é ciproque dru lemme 3 qui p r é c è d e . ) Lemme 4. Si P'*: H'# -*L'• et Fl£*: L'* ^ L' sont deux fonc- teurs et si, de plus: - H (resp. L ) est une partie de l'ensemble H'" (resp. L'* ) des objets de H'* (resp. L'# ) , - L est une partie de l'ensemble L' * des objets de L' *, telle que - Y est une partie de H' telle que P' *(Y) a pour éléments des fiy-monomorphismes (voir 0.8), - le foncteur composé Pli'.P'* : H1 * > L'# est (Lo,Y.H )-engendrant, alors, le foncteur P1 * est (L ,Y.H )-engendrant. (On pourra se reporter au schéma suivant qui fixe les notations utilisées: H 0 r H'* C ^ o ^- H' ~Z> Y ^ , i P,# L C L"# I \ I I 1 ! L C C L'# C L' "} u I rU*-Monos(L» *) 2 Lf où n^*-Monos(L' * ) est l'ensemble des fi''-monomorphismes de L' * .) Pour prouver ce lemme, supposons que h' est un objet de H 1 # et que z: 1 de L . o ^, P'*(h') est un morphisme de L'*, dont la source,!,est élément 15½ L'hypothèse a s s u r e , a l o r s , que n i ' ( l ) e s t élément de L e t donc que l e morphisme: ^ni".^''C 1 1 '> n^-(z): n^'CD de L'*, engendre un (T.H Q , ll^* • P'')-morphisme : z' : h -» h* dans H'', pour lequel on a donc, par définition, z'£ Y et h £ H Q . Il en résulte qu'il existe un unique morphisme: z: n£*(D _> n ^ ' . p ' ' ( h ) , dans L'", rendant commutatif le sous-diagramme (XXIV ) du diagramme ci-dessous, et, comme P'*(z') est un ni*-monomorphisme (car z ' £ Y ) , il existe aussi un unique morphisme z : 1 » P* *(h) , tel que n^'(z) = z , dans L", rendant commutatif l e sous-diagramme (XXV) du diagramme c i - d e s s o u s : h€Ho z'€ î h' H»' P' P'*(h) P«'(z') € n^'-MonosCL» *) L'# • P'*(h') 16L "£• n£*.p»*(h) n£*.p»'(z') n^*(i)€L0 n^.p'*(h») n^'(z) 155 On constate alors, facilement, que z' est aussi un (Y.H ,P' *)-morphisme engendré par z (en utilisant le diagramme (XXV) ) . Ceci suffit à prouver que P'* est bien (L ,Y.H )-engendrant. Comme les notations des lemmes 3 et 4 qui précèdent peuvent le laisser prévoir, nous regroupons ces deux lemmes en un lemme 5, qui nous sera très utile, dans la suite, pour prouver que la condition de génération du Théorème de IV.10 est effectivement vérifiée lorsque l'on prend (entre autres) P* = Q-néof. Lemme 5 teurs (Utilisé en IV. 17 ) . Si, pour le diagramme commutatif de fonc- ci-dessous : H' H (resp. H ;L ;L ) est une partie de l'ensemble H'* (resp. H 1 * ; L'* : L'* ) des objets de H' * (resp. H'# ; L'" ; L l # ) , Y (resp. Y ) est o o — — — — — — — — ' — une partie de H* (resp. H 1 ) qui vérifient toutes les conditions dés lemmes 3 et 4 qui précédent (voir le schéma ci-dessous qui les "visualise") et si, de -plus: - P* " est (L ,Y.H )-engendrant, - nJJ" est (H ,Y.HQ)-engendrant, alors,le foncteur P'* est, lui-même, ( L , Y.H )-engendrant. 156 rU"-Monos(L' ") H C H1! c H- p Y L C —L'o#*cL» —o — IV.12. Dans le seul but d'alléger l'écriture des hypothèses utilisées dans les paragraphes qui suivent, nous consacrons celui-ci à l'énoncé d'un certain nombre de définitions. Définition 1. Si V* = (V#,Bf 1^-., ) et V A = (V * ,H' , ^ ,A,' , ^ , w 1 ) sont deux catégories monoïdales telles que: - V* est une sous-catégorie pleine de V 1 *, - H (resp. ; t|; ; u>) est une restriction de H1 (resp. O^vp' ; W ) , - iyA =^1^1 nous dirons que V A est emboîtée dans V' A . (Ceci signifie aussi que le foncteur injection canonique V*c > V * est 157 sous-jacent à un foncteur monoidal strict de V A vers V | A , i.e. pour lequel "t" et " £ " sont des identités.) Définition 1bis. Nous dirons que la catégorie monoidale V A est bien emboxtée dans la catégorie monoidale V | A si, et seulement si: - V A est emboîtée dans V'A (définition 1 ) , - Mbnos(V) C M o n o s ( V ) . Définition 2. Désignons par V A (resp* W A ) une catégorie monoidale emboîtée dans une catégorie monoidale V | A (resp. W ' A ) . Si Q = (W% (Q',t,e) ,VA) et Q» = (W'% (Q'\t ! , e») , V A ) sont deux foncteurs monoldaux (voir IV.1) tels que: - Q*: V" > W* est une restriction du foncteur Q'": V * ^>W'*, - les deux morphismes ci-dessous sont égaux: t: i^ » t': ^ t - Q'(± v - ) -» Q''(iF,-) - la transformation naturelle e : (-B-).(Q* x Q") > Q'.(-B-) est une restriction de la transformation naturelle e': (-H'-).(Q'* x Q'*) Q'*.(-B'-), = alors, nous dirons que Q est emboîté dans Q,' . (Signalons que ceci signifie exactement que Q et Q 1 rendent le diagramme de foncteurs monoidaux ci-dessous V -Ç commutatif: . V» Q t vK' W Jw 158 le composé de deux foncteurs monoidaux se définissant de manière évidente, voir par exemple (C.L.C.A.) .) Définition 2bis. Nous dirons que le foncteur monoidal Q est bien embo'ité dans le foncteur monoidal Q* si, et seulement si: - Q est emboîté dans Q' (définition 2 ) , - le foncteur Q # (resp. Q'*), sous-jacent à Q (resp. Q')?est compatible avec les monomorphismes. Définition 3. Supposons que W* et W " sont deux catégories telles que: - W" est une sous-catégorie pleine de W *, - W* (resp. W' # ) est une catégorie à produits fibres. Si nous désignons alors par: Pf' : W (resp. (V ') >W <^> ) un foncteur "choix de produits fibres naturalisés" dans W # (resp. W ' * ) , nous dirons que le choix pf est emboîté dans le choix pf ' si, et seulement si, le foncteur inclusion W c ^ W " est compatible avec ces choix de produits fibres. (Evidemment, c'est aussi dire que le diagramme ci-dessous est commutatif: W . (\*) (V) inclusion *••<^> i W Y .(<3> inclusion w .. ( ^ «$> .) 159 IV.13. Avec ce paragraphe, commence la vérification des hypothèses du Théorème iorème de IV.10, lorsque P* = Q, -néof (voir IV.3).Elle se poursuit en IV.14, IV.15, IV.16 et IV.17. Proposition. Moyennant les définitions de IV.12, si IL et U.' sont deux univers , si Q: V*_ -»WA et Q': V -». W * sont deux foncteurs mono- 'idaux tels que: - U € IL' et U o o —— CU», o o' - VA(resp. VT) est bien emboîtée dans V ,A (resp. W | A ) , - Q est bien emboîté dans Q 1 , - W" (resp. W1*) est à produits fibres, - pf (resp. pf ' ) est un choix de produits, fibres naturalisés dans W* (resp, dans W ) , - le choix pf est emboîté dans le choix pf', alors, le diagramme ci-dessous, où I* et J* sont les foncteurs injections canoniques, vérifie la condition d'emboîtement de IV.10: H* = V" -néof V", -néof = H' P* = Q f-néof f L* = W" -néof l C f Q^frnéof = P'* W'r -néof = L» Il est évident, en effet, que I* et J* sont des foncteurs pleins et injectifs et que ce diagramme (XÏVI) est commutatif. 160 Dans la suite, si des conditions analogues sont vérifiées, nous poserons, pour plus de simplicité: - V" -néof = VA-néof et W A -néof = WA-néof, - V'A -néof = V'"-néof et W'" -néof = W'"-néof, car il n'y aura pas de risque" de^ confusion. IV.14. Proposition. Moyennant les définitions de IV.12, si U. Q et U ^ sont deux univers et si Q: V" ^ vr et Q' : V | A ^ W * sont deux foncteurs monoldaux tels que: - U o £ U 'o e —t U o ^C U ^'o, ' - V*(resp. TAT) est bien emboîtée dans V' A (resp. W»*), - Q est bien emboîté dans Q' , (resp. W - ) est à produits fibres, - W - pf (resp. p f ) est un foncteur choix de produits fibres naturalisés dans W (resp. W ) , - le choix pf est emboîté dans le choix pf ' , - V £ ÎL W'"" sont deux fonc- teurs monoidaux tels que: - U 0 € UJ et U 0 C U;, - V A (resp. W A ) est bien emboîtée dans V'A (resp. Vf"), - Q est Bien emboîté dans Q', - W* (resp. W * ) est à produits fibres, - pf (resp. p f ) est un foncteur choix de produits fibres naturalisés dans W (resp. W ) , - le choix pf est emboîté dans le choix pf ' , si, de plus, Y est la sous-catégorie de V1 "-néof constituée des V A-néofoncteurs vérifiant les conditions (y"), (y 1 ) et (y) précédentes, alors, le diagramme (XXVI) de IV.13 vérifie la condition aux monomorphismes de IV.10. En effet, nous avons déjà remarqué ci-dessus que: Y C Monos(V'-néof) . De plus, puisque Q est bien emboîté dans Q', le foncteur Q1* est, par définition, compatible avec les monomorphismes.Moyennant la construction de Q 1 ,-néof (voir IV.3 pour la construction, analogue, de Q f -néof), il est alors clair que l'image, par ce foncteur, d'un élément quelconque de Y vérifie, également, les conditions (y") et (y1) (où l'on remplace V par W'*). Comme PWTT1^-an est fidèle, ' au même titre que P^,* V' -an', on en déduit donc que: Q'ff-néof (Y) C Monos(W'"-néof) ; ce qui prouve bien la proposition précédente. IV.16. La proposition de 11.11 (condition d'absorption des noyaux de VA-néof par la sous-catégorie Y de V'A-néof) permet d'énoncer, 164 sans autre détail: Proposition. Moyennant les définitions de IV. 12, si 11 et 11' sont deux 7 u n i v e r s e t s i Q: V* A ^ W e t Q' : V " Q Q >W * s o n t deux f o n c t e u r s mo- no'idaux t e l s q u e : - Uo C U Q et u o c u;, - VA(resp. W A ) est bien emboîtée dans V' A (resp. W ' A ) , - Q est bien emboîté dans Q', - W (resp. W' # ) est à produits fibres, - pf (resp. p f ) est un foncteur choix de produits fibres naturalisés dans W* (resp. W # ), - le choix pf est emboîté dans le choix p f , - V* est à noyaux (de deux morphismes) et à produits fibres, - le foncteur inclusion V V > V * est compatible avec les produits fibres, et si, de plus, Y est la sous-catégorie de V'A-néof constituée des V' A néofoncteurs vérifiant les conditions (y"), (y') et (y) de XV.15, alors le diagramme (XXVI) de XV.13 vérifie la condition d'absorption de IV.10. IV.17- Proposition. Moyennant les définitions de IV.12, s± \l et H ' sont deux univers et si Q: V A ^ W" et Q 1 : V " > W " sont deux foncteurs monoldaux tels que: - u c ii' et u r u 1 , o ** o — o **- ^ o ' - V* (resp. W ) est bien emboîtée dans V'A (resp. W' A ) et Q est bien emboîté dans Q', - W* (resp. W'*) est à produits fibres, - pf (resp. p f ) est un foncteur choix de produits fibres naturalisés dans 165 W* (resp. W ) et pf est emboîté dans p f , - V 1 * est à produits fibres et, pour tout couple (z',z) de deux morphismes de V* * tels que: + Kyt»(z') = Ç„,.(z) = v' (i.e. ils ont même but), + V x * est compatible avec toutes ces limites inductives et les limites inductives dénombrablement filtrantes commutent, dans V'*, avec les produits fibres, - pour tout objet v' de_V", les foncteurs v'B1-: V * -B'v': V * > V1 * et ^ V * (et donc, aussi, leurs restrictions à V* ) sont compa- tibles avec les "limites inductives dénombrablement filtrantes (c'est le cas si V * est fermée), - tout morphisme de V *, dont la source est objet de V", admet un X"-reflet (ou X" = Monos(V') ) dont la source est objet de V # , - le foncteur Q*: V* >W admet un adjoint Ad(Q'): W* > V tel que: + pour tout objet w de W*, la structure libre Ad(Q*)(w) sur w, relativement au foncteur Q*, est aussi une structure libre sur w, relativement au foncteur Q'*, + le morphisme t: d-,* > Q # (i^ A ) (associé au foncteur mono- idal Q) est le morphisme universel définissant jL-A = Ad(Q*)(d-,A) comme une structure libre sur :L.A, relativement à Q'* (et donc aussi à Q " ) , alors, le foncteur Q^fl-néof est, ( (W'-néof)c,Y.(V*-néof)Q)-engendrant, où 166 Y est la sous-catégorie de V'A-néof constituée des VA-néofoncteurs vérifiant les conditions (y"), (y') et (y) de IV.15. Le diagramme (XXVI) de IV.13 vérifie donc la condition de génération de IV.10. (Rous tenons à insister sur le fait que, malgré la longueur apparente de l'énoncé de cette proposition et le nombre, qui semble élevé, de conditions qui y interviennent, toutes les hypothèses utilisées sont, à la fois, très naturelles et très faciles à vérifier dans la pratique • ) La proposition ci-dessus sera démontrée dès lors que nous aurons établi que le diagramme, commutatif en vertu de la construction de Q' ,-néof (voir par exemple IV.3) ,ci-dessous: H'# = V'A-néof Q'pff-néof = P' " î * = P V' A -an ' 11) H'* = V'A-apor W'A-néof = L'# P Uoir I P» * = Q'-apor W' A -an ~ n 2 # (voir 1.11) L" = W A-apor vérifie toutes les hypothèses du lemme 5 àe IV.11, que nous pourrons donc appliquer dans le cas où: - H = (Wnéof) et L o 0 0 A = (WA-néof) , o A - H = (V -apor) et L = (W -apor) , —o o —o o - Y est justement la sous-catégorie de V ,A -néof, introduite en IV.15» dont il s'agit dans la proposition et qui est constituée des V A-néofoncteurs vérifiant les conditions (y"), (y') et (y), - Y est justement la sous-catégorie de V'A-apor dont les morphismes sont 167 les V^-applications orientées G: C (y"). G: "G" ^B -s* B telles que: est une application injective, (y 1 )- pour tout couple (c',c) d'objets de G, le morphisme ]?(c',c): ]T(c',c) >f(G(c'),G(c)) est un monomorphisme de V * (il s'agit aussi de la sous-catégorie construite en 11.12). Comme dans le lemme 5 de IV.11, nous visualisons ces diverses données par le schéma- ci-dessous (où les "?" correspondent à des points que nous devons démontrer): ^ . V»*-néof \ P„, „ -I^onos(W« A-néof ) wf *—an (V*-apor) C (V A -apor) C V,A-apor p T (¥A-néof) \ \ ° N Q-apor (W*-apor) CL (W,A-apor) C W , A - a P o r Pour démontrer que le lemme 5 s'applique (et établir, ainsi, la proposition 168 ci-dessus), il nous faut donc prouver (et cela est suffisant) que: a ) , le foncteur Q-apor est ((WA-apor)Q,Y.(V"-apor) )-engendrant, b ) . le foncteur Pyi* n est ((VA-apor)Q,Y.(VA-néof) )-engendrant, c ) . la restriction de PTrlA , à savoir ce que nous avons représenté dans v* —an le schéma précédent par Y ->Y , existe, d ) . la restriction de Q' ,-néof, que nous avons représentée dans le schéma précédent par Y _ _ _^ (Pw, ^_a )-Monos(W ^-néof ) existe également. Prouvons donc ces quatre points, dans cet ordre. a ) . Le lemme 2 de IV.11 s'applique au diagramme commutatif ci-dessous: VA-apor = H* H'* = V'A-apor C Q-apor = P# Y WA-apor = L* Y P'* = Q'-apor 4 L'* = W A -apor , puisqu'il est bien clair que: - la condition d'embo?Ltement de IV.10 est vérifiée par Ge diagramme, - Q-apor admet un adjoint Ad(Q-apor), puisque les hypothèses de la proposition précédente permettent d'appliquer la proposition de IV.9, - pour tout objet if de VA-apor, la structure libre 1? = Ad(Q-apor)Qf), relativement au foncteur Q-apor, est aussi une structure libre sur A, relativement au foncteur Q'-apor (il suffit d'utiliser l'hypothèse analogue, concernant les structures libres relativement à Q*, donnée dans la proposition,et la construction de Ad(Q-apor) donnée en IV.9), - Q étant bien emboîté dans Q' , le foncteur Q1 " est compatible avec les monomorphismes et Y est bien un ensemble de monomorphismes de V'A-apor qui 169 vérifie Q'-apor(Y) C Monos(W A-apor) , - tout morphisme de VfA-apor, dont la source est objet de VA-apor, admet un Y-reflet dont la source est objet de VA-apor, car les hypothèses de la proposition précédente permettent d'appliquer le lemme 1 de 11.12. Il en résulte donc que Q'-apor est ((WA-apor) ,Y.(VA-apor) )-engendrant. b ) . La proposition de 11.13 (condition de génération du Théorème d'existence de limites inductives) s'applique évidemment et prouve immédiatement que A A P,r, v •A —an est ((V -apor) o,Y.(V -néof)o)-engendrant. c). Comme Y est l'ensemble des V A~néofoncteurs vérifiant les conditions (y")i (y 1 ) et (y), comme Y est l'ensemble des V A-applications orientées vérifiant les conditions (y") et (y'), il est clair que: P V--an (ï) C ï ' La r e s t r i c t i o n de P T r ! * , notée Y v • —an ^ Y , existe donc. — d ) . I l nous f a u t m o n t r e r , m a i n t e n a n t , que l ' i m a g e G' A C' A : Q^ft-néof(GA) > Q£ft-néof(CA) d'un élément quelconque G A : C A B'" Q^ff-néof(BA) > B A , appartenant à Y, est un P W ,A monomorphisme• Pour ce faire, désignons par Z la sous-catégorie de W*A-néof dont les morphismes sont les W A-néof oncteurs vérifiant les conditions (y n ), (y') et (y) ci-dessus, où l'on remplace V'A par W'A (donc Z joue, pour W'A-néof, le même rôle que Y pour V' A -néof). Alors, le lemme de 11.10 (appliqué à Z) nous assure que les éléments de Z sont, en particulier, des P-.t ^ -monomorphismes. Il nous suffit donc d'établir que G'A (avec les notations précédentes) est élément de Z. Nous constatons, tout d'abord, que le W A-néof oncteur G'A vérifie les condi- 170 tions (y») et (y»), puisque GA(élément de Y) les vérifie aussi et puisque Q'* est, par hypothèse, compatible avec les monomorphismes. Pour tout triplet (c",c',c) d'objets de C»* (i.e. de C A ) considérons, de plus, le diagramme ci-dessous: B'~(G(c"),G(c')) B~(G(c"),G(c')y Q» B'"(G(c'),G(c))- e»Or(G(c«)fG(c»)),B*(G(c»)fG(c))) !B,A(G(c»),G(c'),G(c)) BA(G(c'),G(c)) Q' '(m^GU»),G(c'),G(c))J (XXIX) B'"(G(c»),G(c!)) /B"(G(c»),G(c')) Q" B'-(G(c'),G(c)) S«*(c",o') B' V (0(c,,) G(o,) « « G(c)) B*(G(c'),G(c)) G^c'Sc») \ lMGi-(c"»c,,c) G'*(c',c) Q»*(lV(c»,c',c))^ ^ -¾ Q|. G*(c',c) (XXX) (rcc'v»)1 Ç'*(c",c') Ç'A(c',c) Q'" n(;A(c",c,,c) Ç-(c«,c) (XXXI) (XXVII) ni*VC ,C jCj (XXVIII) Q''(m_V'* est compatible avec les j -limites o projectives, plutôt que (ce que nous avons fait): - V A est bien emboîtée dans V | A , - le foncteur inclusion V*c > V * est compatible avec les J -limites o projectives, puisque, si le foncteur inclusion est compatible avec les j -limites pro- jectives ^il est compatible avec les monomorphismes, ce qui impose que V A est bien emboîtée dans V'A dès qu'elle n'y est (a priori) qu'emboîtée (voir les définitions de IV.12). Nous énonçons donc: 17½ Théorème (Existence de structures libres pour le foncteur Q «-néof). Moyennant les définitions de IV.12, si IX et IX' sont deux univers et • "" •••-• — o — o A A A si Q: V" ^ W et Q' : V >W sont deux foncteurs monoxdaux tels que: - ÎL £ \L\ et IL C 111 (première condition de taille), o o— o o • * - V £ IL' et W £ IL* (deuxième condition de taille). 7 o — o • - V A (resp. W A ) est bien emboîtée dans V'A (resp. W' A ) et Q est bien emboîté dans Q' (voir les définitions de IV.12), - W* (resp. W *) est à produits fibres (de deux morphismes de même but), pf (resp. p f ) est un foncteur choix de produits fibres naturalisés dans W (resp. W' # ) et pf est emboîté dans pf' (voir les définitions de IV.12), - V* est à cJ- -limites projectives, le foncteur inclusion V* c >V * est compatible avec ces limites et V * est à *3-'-limites projectives, - V* est à ¾ -limites inductives, le foncteur inclusion V* c o ' >. V * ^ est compatible avec ces limites, V * est à ^3'-limites inductives et les limites inductives dénombrablement filtrantes commutent, dans V ", avec les produits fibres, - pour tout objet v' de V " , les foncteurs -38'v': V * v'H*- : V * ^V 1 * et ^ V * sont compatibles avec les limites inductives (c'est le cas si V'A est fermée), - tout morphisme de V *, dont la source est objet de V*, admet un X"-reflet (où X" = Monos(V *) ), i.e. une image, dont la source est objet de V* (troisième condition de taille), - tout couple (z',z) de morphismes z: v ^.v' et z': v" ^v' de Vf *, tel que z' est un monomorphisme de V " et v est un objet de V*, admet un produit fibre z x f z' qui est un objet de V* (quatrième condition de taille), - le foncteur Q*: V ^ W admet un adjoint Ad(Q'): V > V # (Q* est donc compatible, en particulier, avec les *3*^-limites projectives) 175 tel que: + pour tout objet w de W*, la structure libre Ad(Q*)(w) sur w9 relativement au foncteur Q*, est aussi une structure libre sur w, relativement au foncteur Q'*, + le morphisme t: :Lp > Q'd^*) (associé au foncteur mo- noidal Q ) est le morphisme universel définissant !_-* = Ad(Q#)(i,,A) comme une structure libre sur i™*» relativement à Q' * (et donc aussi à Q # ) , - le foncteur Q'* est compatible avec les 'S''-limites projectives (ce qui est vérifié s'il admet un adjoint), alors, le foncteur Q ^-néof : VA-néof ^ WA-néof admet un adjoint. Tout comme en IV. 17, nous tenons à insister sur le fait que, malgré les apparences, toutes les hypothèses utilisées sont, à la fois, très naturelles et très faciles à vérifier dans la pratique. IV.19. Démontrons, maintenant, le Théorème suivant: Théorème (Existence de structures libres pour le foncteur Q-fonc). Si U Q et IXQ sont deux univers, si Q : V A > W A et Q' : V , A ^W' A sont deux foncteurs monoldaux et si, de plus, toutes les autres hypothèses du Théorème de IV. 18 sont vérifiées, alors le foncteur Q-fonc admet un adjoint. Pour établir ce Théorème, nous allons prouver que le Théorème d'existence de structures libres, rappelé en IV.10, s'applique également^en montrant dans les points a ) , b ) , c ) , d) et e), qui suivent, que les différentes conditions qui y sont énoncées (emboîtement, aux limites projectives...) sont 176 vérifiées. Ces vérifications découlent, bien entendu, facilement de celles,analogues9 auxquelles nous avons procédé dans le cas où P* = Q-néof. Nous ne jugeons donc pas utile de les détailler. a ) . Il est clair que le diagramme ci-dessous: VA-fonc = H" * CL H' * = V'A-fonc (XXXII) Q-fonc = P* \k J' W-fonc = L* d- Y P' * = Q'-fonc L' # = W'A-fonc vérifie la condition d'emboîtement de IV.10 si I* et J* sont les foncteurs injections canoniques. b ) . Le lecteur s'inspirera d'abord de IV.14 pour vérifier que l'ensemble (VA-fonc) x (WA-fonc) appartient à IL' .11 utilisera, ensuite, le corollaire énoncé en II.k (existence de limites projectives dans une catégorie de foncteurs enrichis) ainsi que la proposition de IV.8 (compatibilité des foncteurs Q-fonc et Q'-fonc avec les limites projectives) pour prouver que le diagramme (XXXII), ci-dessus, vérifie bien la condition aux limites projectives de IV.10. c). L'ensemble (V ,A -fonc)OY (où Y est la sous-catégorie -que l'on note comme son ensemble sous-jacent - de VfA-néof définie en IV.15) est consti- 177 tué des V A-foncteurs G A : C A (y")» G: C A ^ BAtels que: ^ 3 A est une application injective, (y ! ). pour tout couple (c*,c) d'objets de C A , le morphisme G A (c',c): CA(c',c) >BA(G(c'),G(c)) est un monomorphisme de V * . Il s'agit, manifestement, d'une classe particulière de monomorphismes de V»A»fonc pour laquelle le diagramme (XXXII), ci-dessus, vérifie la condition aux monomorphismes de IV.10, puisque7le foncteur Q'* étant compatible avec les *3'-limites projectives, il est compatible avec les monomorphismes. d ) . Du lemme énoncé en 11.11 ("tout noyau dans VA«néof est élément de T ") et du corollaire énoncé en II.k (compatibilité de PyA_ ~ avec les noyaux) } on déduit que tout noyau de VA-fonc est élément de (V A-f onc) O Y, ce qui assure, évidemment, que le diagramme (XXXII),ci-dessus, vérifie la condition d'absorption de IV.10. e)» Le lecteur établira sans peine le lemme: Lemme. Pour tout V ^-néofoncteur G": C A , ,, > BA élément de Y (voir IV.15), dont le but B A est sous-jacent (voir 1.2) à une VL''-catégorie^ il existe un V "-foncteur G"": C"" ^B A élément de (V A -fonc)nY V'A-néofoncteur inversible G"'A: C" ^ > C"A qui rendent commutatif le diajgramme (de V A-néof ) ci-dessous: BA M- £ (V'A-fonc)0 Y ^ C"A nu et un 178 Ceci admis, d'après IV. 17 le foncteur Q' f t -néof: V'A-néof ^ W A-néof est ((WA-néof) ,Y.(V--néof) )-engendrant et, de plus, V'A-fonc est une sous-catégorie pleine de V'A-néof; c'est donc que le foncteur Q'-fonc: V,A~fonc ^W'^-fonc est ((WA-fonc)o ,((VA-fonc)0 Y) .(VA-fonc)o )-engendrant. Le diagramme (XXXII), ci-dessus, vérifie donc la condition de génération de IV.10. Les points a ) , b ) , c ) , d) et e) précédents prouvent donc le Théorème énoncé plus haut. Signalons que nous n'avons pas cherché à raffiner l'énoncé et la démonstration du Théorème précédent, pour simplifier l'exposition et la lecture. Cependant, nous aurions pu notablement affaiblir les hypothèses. Par exemple, pour vérifier la condition de génération, on peut procéder d'une manière analogue à celle de IV.17«Ceci permet de se rendre compte que l'hypothèse d'existence de produits fibres dans W* et W1 *, de même que la quatrième condition de taille, peuvent être éliminées dans une version plus "sophistiquée" du Théorème précédent. IV.20. Reprenons les exemples traités en IV.5 pour leur appliquer les théorèmes d'adjonction de IV.18 (pour Q «-néof) et IV.19 (pour Q-fonc)• Rappelons que nous raisonnons dans un bon modèle de la Théorie des ensembles avec axiome des Univers (T.E.N.S.); il en résulte que, pour tout univers 'ILo * il existe un autre univers 11' o tel que: U 0 € U; et U 0 c U0 . 179 a ) . Supposons que V A est une catégorie monoidale bien emboîtée dans une catégorie monoidale V ".Posons, d'autre part, W A = IL* (structure mono- idale usuelle sur la catégorie IL pleine d'applications entre éléments de IL ) et W A = U,,A (structure monoidale analogue sur la catégorie TJL ' pleine d'applications entre éléments de 14, ' ) • Si V A et V'A vérifient toutes les conditions (les concernant) du Théorème de IV.18, alors les foncteurs monoidaux Honu.•(-,!): V A Hom.-, •(-,!) : V f A >U.A *1L'A (où l'on a posé i = i A = i A), et sur-jacents (voir IV.5,a) ) aux foncteurs Komy.Ç-,!) et Hom-j., •(-,!), vérifient nécessairement les conditions du Théorème de IV.18 qui les concernent. Comme il est évident que 1JLA et IL'* les vérifient également, on en dé- duit que (à une équivalence de catégories près) les foncteurs (voir IV.5, a) ) P CUL%V-)-néof : V A - n é o f ><** P (U%Y-)-fonc: V " - f ° n C * et ^ admettent des adjoints (pour ce qui concerne l'existence d'un adjoint à P/01 ~ , on peut, aussi, utiliser directement le résultat de B. J. (iX,* ,TTA\ V J-ïonc' Day et G. M. Kelly, obtenu en (E.N.F.C.) ) . Par exemple, il en est ainsi lorsque V~ = oV3'^ (structure monoidale usuelle sur la catégorie 0V9 ' pleine de néofoncteurs relatifs à *U. ) et V A = Jf"A (structure monoidale usuelle sur la catégorie oV" pleine de néofoncteurs relatifs à 91').On peut donc affirmer que tout graphe multiplicatif (relatif à TX ) engendre un 2-graphe multiplicatif libre ... trivial: ses "Hom" à valeurs dans o^'A sont des graphes multiplicatifs discrets et il s'identifie donc au graphe multiplicatif qui l'engendre. De même, si l'on pose V A = ^JA (structure monoidale usuelle sur la caté- 180 gorie ^ pleine de foncteurs relatifs à f L L ) e t V ' A = c 3 ' A (structure monoidale usuelle sur la catégorie ^ ' pleine de foncteurs relatifs à IL*)? on voit que toute catégorie (relative à 11» ) engendre une 2-catégorie libre, triviale et qui s'identifie, aussi, à la catégorie qui l'engendre. Outre ces deux exemples, triviaux, on peut en obtenir de nombreux autres non triviaux. Signalons, entre autres, le cas où V A = Jl A (structure monoidale usuelle ga sur la catégorie *3£ pleine d'homomorphismes entre groupes abéliens re- latifs à TX , munie du "produit tensoriel de groupes abéliens") et V'A = ^ 1 A où (structure monoidale usuelle analogue sur la catégorie 3K ' pleine d'homomorphismes entre groupes abéliens relatifs à Î.L • ) : tout gra- phe multiplicatif (resp. toute catégorie) relatif (resp» relative) à 1tengendre un "graphe multiplicatif préadditif" (resp. une catégorie préadditive) . libr e ••• b ) . Reprenons l'exemple b) de IV.5» Les Théorèmes d'adjonction de IV.18 et IV.19 s'appliquent évidemment et prouvent que les foncteurs P^-néof: ^ "-néof >ç^' A -néof F ^ - f onc : % A -f onc > c^' *-f onc et admettent des adjoints. De plus, le Théorème d'adjonction de III.1 assure que les foncteurs P «J ~-nf: 3 *-f ° n C * ^ ~~néof et p ,.- ^ /'"-fonc > cf '"-néof 1 tff "nf admettent des adjoints (voir III.6, b) et c) ) . 181 Comme l e diagramme ci-dessous est coffimutatif (voir IV.5, b) ) : T-fonc ÏL* Jf-fonc * °3A-nf ^A-néof Pv,/* K' -nf /'"-néof P^-néof le foncteur -> X /A -néof admet un adjoint (qui e s t , Pp_ f : ^ A -fonc de deux manières différentes, le composé de deux adjoints). En conséquence, tout 2-graphe multiplicatif engendre une 2-catégorie libre. Par exemple, le 2-graphe multiplicatif T % construit explicitement (et fa- cilement) en 1/f, engendre une 2-catégorie libre: c'est bien entendu la 2catégorie simpliciale (voir I.*0 usuellement utilisée pour décrire, à l'aide de 2-foncteurs, une structure de triple dans, une 2-catégorie (voir (C.D.S.T.) et (A.M.C.A.) ). (Signalons que les résultats de B.J. Day et G.M. Kelly en (E.N.F.C.) assureraient que le foncteur P ~-fonc: ^~-fonc 5>X'*-fonc admet bien un adjoint, moyennant la construction, non triviale, d'une fermeture sur la catégorie monoidale symétrique Jf**,explicitée en (E.G.C.E.), mais dont nous pouvons nous dispenser dans notre contexte - ce qui n'est pas un désavantage!) c ) . Reprenons l'exemple c) de IV.5 et rappelons qu'une relation (binaire)^ r, définie sur un graphe multiplicatif C* est dite élémentaire si, et seulement si a — » °-i -pour tous morphismes x1 r x 2 ^ c, = c 2 et •>c 2 c ^ = c» 2 , de C*, on a: 182 -pour tous morphismes de C* , on a: x, r x . et x',. r x'-n __ > Z 3 x\.x„ et 3x'..x. \ Il est alors clair qu'un ^> (x' .x,.) r (x1 ,x_) 1 1 2 2 * f^ A - P^-graphe multiplicatif (resp. une catégorie) s'identifie à un graphe multiplicatif muni (resp. une catégorie munie) d'une relation réflexive et élémentaire, tandis qu'un ''i*graphe multiplicatif (resp. une *$* A-catégorie) s'identifie à un graphe multiplicatif muni (resp. une catégorie munie) d'un préordre élémentaire. Or les Théorèmes d'adjonction de IV.18 et IV.19 s'appliquent aux foncteurs P1-néof : <^1A-néof > P1-fonc : ri1A-fonc > Hj A-f onc T^-néof et et prouvent donc qu'ils admettent des adjoints. On retrouve alors le résultat bien connu: -toute relation réflexive et élémentaire donnée sur un graphe multiplicatif engendre un préordre élémentaire sur celui-ci, ainsi que le résultat analogue (qui, d'ailleurs, pourrait s%en déduire) concernant les catégories* Ce dernier peut être vu aussi comme une application des critères de B.J. Day et G.M. Kelly donnés en (E.N.F.C). Signalons que, si l'on remplace dans ce qui précède par ^ A (resp. P") et P1 par son analogue o^* (resp. | -,*) P f , les Théorèmes d'adjonction de IV.18 et IV.19 assurent encore que les foncteurs P^-néof : ^ A -néof > p A -néof P~~-f onc : ^ A - f onc > f1 A - f onc et 183 admettent des adjoints. Par contre, ce dernier résultat ne rentre plus dans le champ d'application des critères de (E.N.F.C.) (de toute manière, pour pouvoir appliquer les résultats de (E.N.F.C), il faut disposer de fermetures qui ne sont pas toujours très simples à calculer, comme nous l'avons déjà signalé en renvoyant à (E.G.C.E.) ) . En effet, ^r* s'identifie à une ^-catégorie et donc à une P ^-catégorie» Le foncteur P - s'identifie alors à un PA-foncteur, mais son adjoint (ensembliste) n'est pas un PA-adjoint (on rappelle que, si [ A ] [B] sont deux graphes orientés, [A] J et est la structure de graphe orienté, évidente, sur l'ensemble des applications orientées du graphe orienté produit Comme 2xC^] vers le graphe orienté [AJ ) . P - n'a pas de PA-adjoint, les résultats de (A.D.E.C) interdi- sent l'utilisation des résultats de (E.N.F.C). BIBLIOGRAPHIE • (A.D.E.C.) G. M. Kelly, Adjunction for enriched catégories, Lee t. Notes in Math. 106, Springer, 1969. (A.M.C.A.) C Auderset, Adjonctions et monades au niveau des 2-caté- gories, Cah. de Top. et Géom. Diff., Vol. XV, 1, Paris 197¼. (CD.S.T.) E. Burroni, Catégories discrètement structurées et triples, Esquisses mathématiques ^, Paris 1970. (CL.C.A.) S. Eilenberg et G. M. 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