D IAGRAMMES

F LORENCE C URY
Graphes multiplicatis enrichis. Partie III
Diagrammes, tome 55-56 (2006), exp. no 1, p. 96-120
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DIAGRAMMES

VOLUMES 55 + 56,2006

GRAPHES MULTIPLICATIS ENRICHIS
PARTIE III

Florence Cury

A.M.S. Sub. Class : 18 D 05,18 D 20

96

CHAPITRE III; CATEGORIE ENRICHIE LIBRE SUR ÏÏN GRAPHE MULTIPLICATIF
ENRICHI.

P«

96

P*

97

p

» 101

P* 1 °6
?• 112
?• 117

III.1. Enoncé du théorème d'adjonction: conditions suffisantes (portant sur V A ) pour que le foncteur d'oubli V-fonc ^
> V*-néof. admette un adjoint.
III.2. Rappel du cas ensembliste: construction de l'adjoint
au foncteur Ji
>e/^% "du point de vue de l'enrichissement" .
III.3. Rappel: conditions suffisantes (portant sur V A ) pour
que le foncteur d'oubli V*-fonc.j\
> VA-apor admette un adjoint et construction explicite de la V*catégorie libre sur un VA-graphe orienté.
111.½. Constructions préliminaires à III.5.
III.5. Démonstration du théorème de III.1: construction d'
une V*-catégorie libre sur un VA-graphe multiplicatif,
III.6. Exemples.

III.1.

Le but essentiel de tout ce chapitre est de

démontrer le Théorème d'adjonction suivant:

Théorème.

Si TJL

est un univers, si Ï A = (V*, B ,i, <j> , + ,w ) est une

catégorie monoSdale , si J est la catégorie pleine de foncteurs relatifs à li et si:
o
- V* est une catégorie à *3" -limites inductives,

97

- pour tout ob.iet v de V*, les foncteurs
v

> V*

g _ . v*

- E v : V*

sont compatibles avec les

(ce qui est vérifié si, par exemple, Y" est
alors, le foncteur

et

^-limites inductives,

fermée),

> VA-néof

P v *_ nf : V*-fonc

*V

admet un adjoint.

III.2. Désignons par 1JL la catégorie pleine d'applications entre éléments de 1»univers U Q

et par t T sa structure carté-

sienne (donc monoïdale) canonique.Nous savons alors que:
- la catégorie U"-néof

est équivalente à la catégorie Jfx

néofoncteurs relatifs à U Q
- la catégorie UA-fonc
De plus,

pleine de

(voir 1.1*0,

est équivalente à la catégorie *$ (voir 0 . 7 ) .

1_lA vérifie toutes les hypothèses du Théorème de III.1, ce qui

impliquera que le foncteur d*oubli (à un abus de notation près):

*V-nf - ^

» **

"3

admet un adjoint ... ce qui est, bien entendu, un résultat très connu
(sans qu'il soit fait appel à la notion d'enrichissement).
Cependant, c'est évidemment la construction, dans ce cas particulier, de
la catégorie libre B" " sur un graphe multiplicatif B" qui suggère (et justifie), au moins en partie, la construction, dans le cas général, de la
VA-catégorie libre A»1" sur un VA-graphe multiplicatif A A (voir III.5 )•
C'est pourquoi il nous semble très utile, pour fixer les i3ées, de rappeler cette construction particulière dans ce paragraphe.

Désignons par P

la catégorie pleine d'applications orientées entre

graphes orientés relatifs à 1 ^
à

UA-aP°r

(qui, d'après 0.$ , est équivalente

) e t (à c e t t e équivalence près) par:
P

„ - „„=
*\JL -an

P

an S
an

«*"

^

98
le foncteur d'oubli usuel.
Si B* est un graphe multiplicatif relatif à 11 (i.e. un objet de c/V'),
on construit la catégorie libre (relativement au foncteur P n f ) B» * sur
B* en deux étapes:
- on fabrique, tout d'abord, la catégorie libre (relativement au foncteur composé P a n .P n f ) B'* sur le graphe orienté
jacent à B'

P an (B*) = !>*]

, sous-

(B« * est la catégorie des "chemins propres" de [B"ID,

- on quotiente,ensuite, B'* par une relation d'équivalence r (qui identifie un chemin propre de

B*

à son composé dans B # , lorsqu'il en a un) et

l'on obtient une catégorie quotient (strict) B' */ r

= B" * qui est la

catégorie libre sur B* recherchée.
Plus précisément, on appelle chemin propre de [>*] (ou de B * ) :
- tout élément z de B (que l'on identifie au chemin (z) de-longueur 1 ) ,
- toute famille ( Z Q ,

,as1) de morphismes non triviaux de B* vérifiant:

n>2, Sg.Ca ) -ftj-^p..-,) Potir tGut *>P> 2 et *?ÇK pour tOUt n > P > / 1
(et on dit que (z ,....fz1) est de longueur n ) .
L'application
•_gB.

gB,.

(resp.

$ B i«) est le prolongement de l'application

(resp. |j| B . ) tel que:

- pour tout chemin propre ( Z Q , ....,z1) de longueur n > 2 , on a
. ¾ . . ((zn

,^)) = ¾ ^ )

(resp. ^ B , . ( ( z n

Z1))

= !lB.(zn) ) .

Les composés non triviaux de B'*-sont obteniïs en supprimant les parenthèses
La relation d'équivalence r est alors engendrée par la relation r' sur
B' définie par:
- pour tout chemin propre (z2,z1),on a

(z2,z,,) r' (z 2 .z 1 ) si, et seule-

ment si, (z 2 ,z 1 )€B* SE B*

Du point de vue de l'enrichissement (par U-") on peut déduire de cette
construction une construction "Hom par Hom" équivalente.
On a, tout d'abord:

B"* = B'* = B^ .

99

Pour tout couple (b',b) d'objets de B'*, l'ensemble Hom_,.(b',b) e s t
une limite inductive (dans 14.) de l a forme:
Hom R t .(b',b)
Q(b n ,.

p+1

p

p-1

Q(biL,...,bp+1,bp,bp,b

'

,...,bl)

Hom B .(b n ,b n - 1 )
Hom B .(b n ,b n - 1 )

HomR.(b^,b^
.)
r>
n7 n—1

H0B
Hom

B-(bP+1'bp)

j

B-(bp+1,bp)
X

B-(bP+1'bp)

Hom

Honu.Cb ,b , )
±5
p' p-1

B-(W
x

Hom^b^b^)

!?C"

Hom-g.Tb^j^^ )

Hom B .(b 2 ,b 1 )
Hom B .(b 2 ,b 1 )

où l ' o n a:
-

n^p>1

et ( b n , . . . , b ^ j b ,b

1,...,b1)

e s t une famille

d'objets

de B'*,
- b = b'
n

et b, = b,
1

- M b P + i ' V : HoBB-Cbp+i«V

Hom

x 1

B-(bp+1 * b P ) x H o i V (

e s t l ' a p p l i c a t i o n qui a s s o c i e à ( z , 0 ) l f é l é m e n t ( z , b

" M

W

*

Hom

b

b

B-( P+1' p) ^ H « V <

b

p+i.V*

W

),

l° f f i B' ( Vl' b p )
J B .(b p + 1 ,b p f
HomB.(bp,bp).

(Ceci signifie que l'on regarde un chemin propre (z ^,...,z ,z- .,...2.)
de B* comme une classe d'équivalence, dans l'ensemble des chemins non
nécessairement propres de B*, dont un représentant est un chemin, non
propre, de la forme (sn_i i • • • »z »^.(fc ) t z

^f •.. • ,z-j )

où I!p varie" .)

100

De même, pour t o u t couple ( b ' , b ) d ' o b j e t s de Bfl *, l ' e n s e m b l e
e s t une l i m i t e i n d u c t i v e (dans U ) de l a

HOHL„ . ( b * , b )

forme:

Hom^.Cb 1 , b )

r

. ^ l

jHom B .(b n ,b i i _ 1 ) x . . .xHonig. (b

-, , b îxHonLg. (b ,b

HomB,.(b',b)

Q ( b n , . . . , b p + 1 ,b p ,b p _ 1 , .

. ) x . . .xHom B ..(b 2 ,b 1 )

q(bn,...,bp+1,bp_1,...,b1)/^
A H o m B » ( b n , b n - 1 ) x . . .xnig. (b

,b ,b ^ ) x . . .xHomB.(b2,b1 )

HomB.(bn,bn_1)x...xHomB.(bp+1,bp-_1)x...x H o m ^ b ^ b , , )

HomB,(bn,bn_1)x...xkB,(bp+1,bp,bp^)x...xHomB.(b2,b1)

Hom

B * ( b n ' b n - 1 ) x * * . i t H o m g . d j p ^ , b p ) s Homg. ( b p . b p - 1 ) ) * • . .xHom ] B .(b 2 ,b 1 )

où l ' o n a :
-

n>p>1

et Cbn»«-»»bp+1,b,b ^ , . . . , b 1 )

e s t une f a m i l l e

d'objets

de B * ,
-

b n = b«

et

bn = b ,

.<»~, '*..».,>.
"-à'iVi-V
- V^p+i
P'VI
HoB

B! ( Wl>

HomB.(bp+1,bp)

^"B-^p'V^

est l'injection canonique?dans le produit des "Hom", de l'ensemble des cou-

101

pies composables (dans B * ) , relatifs à ces "Hom",
Homo.(bn -,b )
JD

p'

est la restriction de la composition de B*
(Ceci décrit bien la relation d'équivalence r: on identifie, en effet,
un chemin propre

(z

-,...,z ,z ^,,,...^) au chemin propre défini

par le chemin (z^ .,...,z
^,,z .z ^ ,z 0,...,z) lorsque z .z ^ est
7
n— i7
p+1 p p— i * p—*P p— '
#
défini dans B .)

Dans le cas général de l'enrichissement par une catégorie monoiTdale V%
ce sont essentiellement ces deux types de limites inductives (dans V")
qui nous serviront à construire la VA-catégorie libre sur un V*-graphe
orienté ( voir III.3 ,où nous rappelons la construction de (C.O.C.A.))
et la VA-catégorie libre sur un VA-graphe multiplicatif (voir III»5)•

III.3* Pour construire la VA-catégorie libre sur un V*graphe multiplicatif, il est donc nécessaire (comme dans le cas ensembliste rappelé en III.2) de construire la V-catégorie libre sur son
V-graphe orienté sous-jacent. Il nous suffit, pour ce faire, de savoir
construire la V*-catégorie libre sur un V^-graphe orienté quelconque.
Cette construction a été donnée par F. Foltz en (C.O.C.A.).
Nous la rappelons ici pour plus de clarté (et elle s'inspire du passage de

B-

à B'* rappelé en III.2 ).

Plus précisément, nous allons rappeler, très brièvement, la démonstration
(constructive) du Théorème suivant:

Théorème (C.O.C.A.). Si VL
—
o

est un univers, si V A = (V',S,i, <f>, + , w )
—

102

est une catégorie monoidale, si *3 est la catégorie pleine de foncteurs
entre catégories relatives à 11 et si, de plus;
- V" est une catégorie à ^ -limites inductives,
" pour tout objet v de_ V*, les foncteurs

- B v: V*

> V*

et

5>V# sont compatibles avec les ^ -limites inductives de V*,

v 38 - : V

••^v*- f : VA-fonc

alors « le foncteur d'oubli composé P^A

^V-apor

admet un adjoint.

Pour démontrer ce Théorème, nous effectuons tout d'abord un choix, dans
V", de ^ -limites inductives dont nous dirons qu'elles sont canoniques.
Si A est un objet de V-apor

, la V^-catégorie A1 A libre

(relativement

au foncteur Pv
v^
"an • Ew*
v ""ni« ) sur A est construite comme suit:

- A*; = T ç
o

o

- à toute suite s = (a , . . . ^ ) d'objets de ~R , de longueur n > 2 , nous
associons l'objet

0 (s) = H (a ! # ..,aj de V", défini par récurrence

par:
+

si n = 2, alors

El (a 2î a 1 ) = A(a2,a^) ,

+

si n ^ 3 , alors 0 (a]Q,...,a1) = ( El (an,...,a2) ) H ( H ( a ^ a ^ )

- pour tout couple (a1,a) d'objets de A , on désigne par

^ " ( a f a) ^3-

catégorie définie comme suit:
+ ses objets sont les suites (a t # # . f a 1 ) = s d'objets de A ,de
longueur

&~%2-, et vérifiant a

long(s) = n et s

= a1 et a. = a (on posera, dans la suite,

= a , pour tout 1^p^long(s) ),

+ un système générateur de Z*/ ,
va

des ((sf $s),âO: s

N est formé par l'ensemble

jâ;

> s1 , où s» et s sont deux objets de

I*

f

.

ta j^J

long(sl) = long(s)+1, 1 ^3-^long(s), s ? = s^ dès que K p ^ - , s q = s^ +1 ,
pour tout j-^q^n,
- pour tout couple (a1,a) d'objets de A , on désigne par

103

L

(a',a) : Z'(a',a)
le foncteur (qu'il suffit de définir sur le système générateur précédent)
tel que, pour tout morphisme de **(ai a ) d e l a forme ((s'js),*) précédente, L*

, Ï((S'-,S),3-) est le morphisme composé de V* représenté par
(a j.aj
le diagramme commutatif suivant:

ta (s) = B (a_,...,a )
n'

^(«•.a)"6'^»»

associativité et
unitarité dans V
( I3 (an,...,a. 1 ,a.) B 1 ) • ( D ( a ^ . a ^ , .. .,a1 ) )

( m (ani---*a£+vap s ^î ( a p ) • ( D (a^fa^1,.-.,a1) )

( B (anî---.aj+vap B ï ( V a P }H ( m ( a *» a ih-1» # # - t a 1 ) }
Z
associativité dans V
(an,...,a^+1,a^,a^ta^1,...,a1; -

- pour tout couple (a',a) d'objets de A, l'objet A'*(a*,a) est la limite
inductive canonique, dans TV, du foncteur L # ( a i j a )

<lue

1!

°n

vient de définir (cette limite existe bien car, à une équipotence près,
on vérifie immédiatement que

I( a , a)£'Ut) ,puisque A Q ç 1^ ) et les co-

projections sont représentées par le diagramme ci-dessous:

10½

A,A(a',a)

B (s»)
L-(a.,a)((fl,*fl)»*)

(et ceci correspond bien à la construction ensembliste rappelée en III.2),
- pour tout objet a de X , on désigne par j , A (a) le morphisme composé
dans V :
j

(a): i

»T(a,a)

A

où

j^(a)

£ A«*(a,a)
Q(s)

s = (a,a),

- pour tout triplet (a",a1,a) d1 objets de A, si s« = (a^, ...,ap est un
objet de

^(a»^1)

e t s i s

=

(an,...,a1) est un objet de

*'(ai)a)»

alors, on pose

s'!s = (a^,.. . ,a^,an, . . . ,a1 ) (il s'agit donc d'un objet

de

et

r

(a",a) >

u (sf,s):( H (s') ) m ( m (s) )
L

r*J

->

El (s'!s)
L

'(a»,a.) ( s , )

'(a»,a)Cs*!s)

L

'(a',a)<s>

désigne l'isomorphisme d1associativité (de B ) dans V ,
- pour tout triplet (a",a',a) d'objets de 1 1 , comme les foncteurs - B v
et Y B -

sont, pour tout v^V* compatibles avec les ^-limites inductives

dans V*, on vérifie sans difficulté que le foncteur composé:

L*

(a»,a«)HL'(a',a)J ^ U ' ^ a ' ) * r (a« ,a)"17

~? V'xV*

'(a'Sa'rta'.a)

-* V

105
admet pour limite inductive naturalisée (non nécessairement canonique) ,
dans V , le cône inductif représenté par le diagramme:
A'^a'^a 1 ) H A«A(a',a)

Q(sJJ) B Q(s^)

Q(s') H Q(s)

- pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A, le lecteur vérifiera
facilement que la famille
( Q(sMs). cjf(s',s) )/ . ^^^y*
~
!
<s',s)€I ( a !,. a .) o x

y9
(a«,a) 0

définit une transformation naturelle
£(-1-). «,(-,-): L(an,a') H L(a',a)

>

Const(A'~(a»,a))

(où Const(A'"(a",a )) est le foncteur constant sur A«A(a",a ) ),
on désigne alors par kA,*(a»,a«,a) l'unique morphisme de V
commutatif, pour tout (s»,s) £ X^,, & l j x

I(atia)

rendant

» le diagr anime:
A'*(a»,a)

A'*(a»,a») B A'*(a',a)
kAt<v(a",a',a)

"j(s',s)
(a",a1;
L

('a',a)<s)

/

\

y

106
Avec cette construction, il est alors évident que (A 1A ,A' A ,j^, A ,k Af ^)
est bien une VA-catégorie A 1 *.
Si Q^ A*

> ~Ê* (où A'

est le VA-graphe orienté sous-jacent à A , A )

est la V-application orientée
_ Q : jf
o

5*If'
o

définie par:

(où, évidemment, A1 = A | A ) est l'identité,
* o
o

- pour tout couple (a',a) d'objets de AJ

( = A^A = A Q ) , on pose

Q(a',a) = Q(s) (où s = (a1,a) et Q(s) est la co-projection construite
précédemment),
on vérifie facilement que le couple (A'A,~^) est bien "universel sur A "
(pour le foncteur d'oubli p v A -an* P V*-nf^ ± m e * 9-ue l'on a bien une
structure libre sur A.
Ceci achève la démonstration du Théorème énoncé au début de ce paragraphe (et qui est due à F. Foltz) ainsi que la première étape de la
démonstration du Théorème énoncé en III.1 .
III.4. Avant d'aborder la seconde étape de la démonstration
du Théorème énoncé en III.1 (qui consiste à construire explicitement la
VA-catégorie libre sur un VA-graphe multiplicatif, en utilisant la V A ~
catégorie libre sur le V*-graphe orienté sous-jacent à ce VA-graphe multiplicatif , que nous savons construire d'après III.3), nous procédons ici
à quelques constructions préliminaires qui nous seront fort utiles.
Il s'agit, essentiellement, de définir le diagramme sur lequel on prendra
une limite induetive (dans V') déterminant les "Hom à Valeurs dans V A "
de la VA-oatégorie libre recherchée. Elles s'inspirent des remarques faites
en III.2 dans le cas ensembliste»

Supposons que A A est un VA-graphe multiplicatif, objet de V-néof.
Pour tout couple (a1,a) d'objets de A", on désigne par
catégorie (triviale) définie comme suit:

I ! "(a? a ) l a

107
- ses objets sont de deux sortes:
+ d'une part, ce sont des suites s = (a ,...,a-) d*objets de A %
de longueur

long(s) = n ^ 2 et telles que a

= a' et a. = a

(on rappelle qu'alors s. = a. , pour tout 1 ^ 3^ n) ,
a = ((an, .. . ,a^ ) ; p ; c) où

+ d'autre part?ce sont des

(s =) a" = (a ,...,a>,) est un objet de la forme précédente, 1 < p < n - 1 et
c est objet de A" (on posera, éventuellement,
1

< > X n Î long(a") = long( a ) = n et a

a

= oT = a • pour tout

= (a^,.. . ,a

1 ,c,a

.... ,a^ ) ) ,

- ses morphismes sont de deux sortes:
+ d'une part,ce sont les couples
(<7~,a):

a

^

((an^-«9a1);
+ d'autre

part^ce sont l e s

( a+, a ):

c

p ;

)

Ca n »-••!&-!)

?

couples

a

>

((an,...,a1);

a

p ; c)

<? +

( a n , . • . ,ap+y| , c , a p 1 . . . ^

) ,

où a est de la forme précédente,
- la composition est toute définie (i.e.

Z ? / , _\
va ,a )

s'identifie à un

graphe orienté, ou bien encore: il n'y a pas de morphismes consécutifs
non triviaux à composer).
(On pourra remarquer que

Zt#/ ,

\ est la catégorie subdivision dfune

\B. ,aj

certaine catégorie que le lecteur reconstituera assez facilement.)
Pour mieux illustrer le rôle des objets (et des morphismes) de cette catégorie, nous allons construire un foncteur:
L

'#(a\a):

Z

''(a',a)

> V*

(qui montrera ce que le formalisme précédent représente).
Avec les hypothèses et les notations qui précèdent, nous définissons
L**y - a N
12- j y

de la manière qui suit:

108
-- on rappelle (voir III.3) que,pour toute suite s = (a ,...,a1) d'objets
de AA, où n > 2 , on définit le "produit tensoriel"

H (s) = Kl (a ,...,a,.)

par récurrence en posant:
+ si n = 2 , S (s) = Sl(a2,a1) = A*(a 2 ,a 1 ) ,
+ si n > 3 , H(s-) = •(an,...la1) = (Ef(an,. . . ,a2))B A/V(a2,a1)
= (El(an, ...,a2))3S(El(a2,a1))
- tout morphisme de la forme ( o", a ) , où

;

a = ((a ,...,a,.); p je) et

1<p<n-1, a pour image, par ce foncteur, le morphisme composé de V* :

((El (an,...,ap+1)) H (A A (a p+1 ,c) s A*(c,ap)))B ( H (a .....a.,) )

( ( SI (an,...,ap+1) ) B k A A (a p + 1 ,c,a p ) ) B

( ( M (an,...,a

( El ( a ^ . . . ^ ) )

) ) B JT(a 1 f a ) ) B ( D (a , . . , ^ ) )
p+1' p'

associativité dans V*

m (an,...,a1)
(on peut donc dire que le morphisme (. o^^ o ) "représente" un morphisme
de composition de A A , relativement aux "chemins" reliant les objets a
et a' de A A ) ;
- tout morphisme de la forme (0^,0)^
n>2,

où a = ((a ,. ..^a^); 1 ;c)

a jp.our image, par ce foncteur, le morphisme de V* :

et

109

( fl (an,...,a2) ) B (AA(a2,c) x A / ^ c ^ ) )

( B (a ,...,a ) ) B kA*(a2,c,a1)
n

( 0 (an,...,a2) ) B A A (a 2 , ai ) = B (an,...,a1)

- tout-morphisme de la forme ( o", a ), où a = ( ( a ^ a ^ j 1 ;c) , a pour
image, par ce foncteur, le morphisme
k A A (a 2 ,c, a i ): AA(a2,c) * A^Cc.a,,)

* A ^ a ^ ) = H

(a^),

- tout morphisme de la forme ( a", a ), où a = ( (an,... ,a/{ ) ; n-1 ;c) et
n > 3 , a pour image, par ce foncteur, le morphisme composé de V :

( AA(an,c) s A A (c,a n-1 ) ) B C B ( a ^ , . . . ^ ) )

V^n^'Vl1 S ( B ( a n - 1 , - , , ' a 1 ) }

AA(a ,a .) B ( H (a 1,...,a1))
—
n n—1
u— i
i

associativité dans V

M (a ,...,a1)

+
- tout morphisme de la forme ( o ,a ), où a =((an,.. . ,a1 ); p ;c) et

110

1 < p < n - 1 , a pour i m a g e , par c e f o n c t e u r ,

( ( B (a . . . . , a

.)
p+1

) B (AA(a

P+1

l e morphisme composé d a n s V'

,c) s AA(c,a ))

( (BI(an,...,ap+1))B mA.(ap+1,c,ap)

( ( Kl (a

, . . . , al _ - ) ) B ( A A ( aI . , c ) B A A ( c , a ) )
p+1
P+1
n'

) B ( Kl ( a , . . . , a

) )

) B ( B ( a ^ . . . ^ )

)

) B ( El ( a

)

.....a,.)

a s s o c i a t i v i t é dans V

n'* * * , a p + 1 , c ' a p ' * * * , a 1

*

- pour les morphismes de la forme ( a , a ), où a = ((a , ...,a ); p ;c)
vérifie l'une des conditions suivantes:
+

p = 1 et n'y 2 ,

+

p = 1 et n = 2 ,

+

p = n-1 et n\3

,

on définit leurs images de manières analogues à celles qui ont été utilisées, dans les mêmes conditions, pour définir l'image de (

o^^o)

(on peut donc dire, "intuitivement", que le morphisme ( o , a ) distingue,
parmi tous les "chemins" reliant a , ...,a ,c,a
quels les "couples" extraits, reliant a ,c,a

^,...,a^ , ceux pour les-

^, sont composables).

Pour mener à bien la construction que nous ferons en III.5 9 il nous
faudra prendre des limites inductives, non pas des foncteurs L'*, ,

%,

111
mais de "sur-foncteurs" qui les prolongent à des "sur-catégories"
x des I1*/va, ,aj
% que nous allons définir maintenant (les sur" va ,aj

Z""/ f
r

foncteurs en question ne pourront être définis qu'en III.5 ) •
Si, donc, a 1 et a sont deux objets du VA-graphe multiplicatif A A , objet de VA-néof

, nous désignons par

Z"*çai a )

la catégorie telle

que:
- elle admet

Z 1 */ , \ pour sous-catégorie pleine,
v.a ,a/

- elle n'a qu'un seul objet, noté ? , qui ne soit pas objet de

X* " / , *

(la signification de cet objet ? , "rajouté formellement "^ ne prendra
tout son sens qu'en III.5 )^
- elle est librement engendrée par l'ensemble constitué:
+ des morphismes de Z ' * >- t \ ,
+ des
Z**/ ,

(?,s): s

, où

s = (a ,...,a*) est un objet de

\ de la première forme

(ceci signifie, en particulier, que ? n'est pas un objet final dans
Z

"V'

. et que, quel m?, «oit l'objet de

I*"(ai a )

a= ((an,... ,a>|) ; p ;c), le diagramme suivant, dans

de la

Z"*/ at

forme
\:

nfest pas commutatif),

Enfin, on constate que, A* _éi§.nt élément de "Uk^ pour tout couple (a',a)
dfobjets de A A , la catégorie Z"*/ , N
va ,a)

est élément de ^
o

112

Ceci achève les constructions préliminaires dont nous aurons besoin
en III.5 -

III.5• Nous reprenons toutes les hypothèses et notations
du Théorème de III*15ainsi que celles des constructions de III.3

et

111.½, pour achever la démonstration de ce Théorème, dont la première
étape a été exposée en III.3 •

Nous supposons donc que A A est un V^-graphe multiplicatif, objet de V A néof , et nous désignons par A | A

la VA-catégorie libre (relativement au

foncteur d'oubli composé P A
.P. „ « ) sur le VA-graphe orienté A
v —an v —ni
A
(sous-jacent à A ) que nous avons construite en III.3 •

Nous définissons la V^-catégorie A"* , objet de VA-fonc

, de la manière

suivante :
A"" = AA ( = A ' A ) ,
o
o
o '
- pour tout couple (a',a) d'objets de A A , le foncteur (annoncé en III.k)

-

L

"\a-,a)!

1-(,.,,)

»T'

est le prolongement de
1Z
(v0±r
*(a.,a) : *"<a' f a)
-V"
™
tel que, pour toute suite s = (a .... ,a^ ), objet de
Z'*^a, & \ (i.e.
L,

vérifiant:

n > 2 , a' = a^ et a = a 1 ), on ait:
Lî,,

(a',a)« ? > s ) ) = a ( « )

(on rappelle que l'objet A'A(a',a) , construit en III.3, est la limite
inductive canonique dans V* d'un diagramme dont les objets sont les
Kl (s) et que

Q(s): E (s)

> A fA (a',a) est la co-projection),

- pour tout couple (a',a) d'objets de A A , l'objet A"*(a» ,a) est la limite inductive canonique, dans V , du foncteur L"*(at a )> représentée
par le diagramme ci-dessous (qui reprend bien la construction ensembliste rappelée en III.2 ):

113
A"A(a',a)

ai.-,,)^*'
'!a-, a >

(<,)

•<.•,«>«

L,

0

* ' " »

'(a.,a)< 3 >

(où, avec les notations de III.k , a =( (a ,... ,a^ ); p ;c) est un objet
de

Z1*/
f
(a,
,a;N de la seconde forme ) ,

- pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A % comme - B v et v B - sont,
pour tout objet v de V*, des foncteurs compatibles avec les ff -limites
inductives, il est clair que le cône inductif

iU»,a.)

U,)

AI,A(a",a') B A"A(a',a)

B
^a',a)(*
âU»,a«)(?) aâU»,a)(?)

114-

( où

z: x

z1 : x'

>y est un morphisme quelconque de

X""r t & \

> y' est un morphisme quelconque de Z n # / „ a ,j

et

),

est une limite inductive naturalisée dans V # du foncteur composé:

L,,

(a..a.) EII (a',a) !

in

y

TxV

(a",a') x ^ ( a ' . a )

L" (a»,a»)
L

"(a',a)

- pour tout triplet (a",a»,a) d'objets de  A , le lecteur vérifiera que,
quels que soient les chemins:

(z',z )
n' n

n_1 »*n-1

(Z',8 )

5a-1»^m-1 ) ..

-m -m

) ..

(z

2'z2)

(z^,z1)

(x',x)

(?,?)

"reliant" dans Z"(aii a ij x I"( al & )

1»objet quelconque (x»,x)

à

l'objet privilégié (?,?) (on remarquera que les longueurs de ces chemins, notées ici n et m pour plus de commodité d'exposition, ne peuvent
alors excéder 2

... ce qui signifie bien que la vérification laissée

au lecteur est facile), les deux morphismes composés dans V* ci-dessous:

115

LM

L

"(a«,a»)(x,>BL"(a',a)^)

L

(a",a.)( x, ) BLn (a.,a) (x)

LM

"(a",a')^n)BLn(a.,a)(zn)

(a",a')^BL"(a',a)^
O
i
i

L

"(a",a.)(zî)BL"(a«,a)^1>

*

L

A»*(a",a»)HA,A(a,,a)

kA,A(a",a»,a)

"(a»,a')^À"; a ., s ) ( i l'

A'A(a",a»)BA'A(a',a)

et

A,A(a",a)

* Ca" , . ) < "

A»"(a",a)

k ,.(a»,a',a)

A»*(a"fa)

a'ca",*)^)

A»A(a»,a)

sont égaux à un même morphisme de V* que nous notons
k

(a",a.,a) (x, ' x)î L"(a" ,a' )<»' W ( a . , a ) ( x )

*A"*(a",a),

- pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A", il est donc clair que
la famille

(kr ., a , N(X',X)) , , •. c v„ •
(a",a',a)
(x ,x; £ 2-(a»,a')

T „ •
X

* (a» ,a)

définit une transformation naturelle:
^a",a.,a) ( -'- )! L"(a",a' )SL"(a' ,a)

>

Const(A"*(a" ,a) )

(où Const(A"A(a",a)) est le foncteur constant sur A"A(a",a) ),

116

a l o r s k A „ A ( a " , a ' , a ) e s t l ' u n i q u e morphisme de V" qui rend commutatif,
pour tout o b j e t ( x ' , x ) de

Z"(a„ a i ) x

Z"(ai

l e

a)*

diagramme c i - d e s s o u s :

A" A (a",a')HA"*(a',a)

A" " ( a " , a )

k

âU",a')(x,)B^a.,a)(x)

L , ,

-

(a»,a',a)(x,'x:)

(a",a')(x,^"(a,fa)(X)/

pour tout objet a de AA, nous désignons , enfin, par J A „ A (a) le mor-

phisme composé de V*:

J

A»-

U)! 1

, A ,. ( „

-?.A"A(a,a)

+ A,A(a,a)

au,a) ( ? )

(et on vérifie bien, dans ces conditions, que (AT,A,A"A,j^t*,^,,*)
est

une V"-catégorie, objet de VA-fonc

S i , de p l u s ,

(¾1 A : A"

).

_>A"A e s t l e V*-néofoncteur d é f i n i par:

» o' : A"
>A" A
est l ' i d e n t i t é ,
^
o
o
- pour tout couple (a'.a) d'objets de AA, le morphisme

$'A(a',a) est

le composé suivant de V* (qui est aussi égal à £' ^ , a^((a',a)) ):
§' A (a',a): AA(a',a)

_s, A'A(a',a)
g ((a',a))

-» A"A(a',a) ,
â(a»fa)C?)

- pour tout triplet (a",a',a) d'objets de AA, le morphisme M^,*(a",a',a)

117
est le composé suivant de V'

AA(a",a') s r(a',a)

\imûA(a",a' ,a)

MQ)>(a",a',a)

AA(a",a') E AA(a',a)

ta(a»,a-)"*"•*'»

**U\*)«*'>*»

A""(a",af) H A"A(a',a)

(et l'on vérifie bien que ceci définit un V^-néofoncteur),
alors, on établit facilement (en utilisant les diverses constructions
universelles précédentes) que le couple (A"%Q , A ) est "universel" sur A'
(relativement au foncteur d'oubli pv<*_nf)f i*e. que A"* est bien une
VA-catégorie libre sur le V-graphe multiplicatif A A (relativement à
V -ni

Le Théorème d'adjonction énoncé en III.1

est donc démontré*

III.6. Le Théorème d'adjonction de III.1 s'applique,
évidemment, dans toutes les situations usuelles.
Nous pouvons signaler, à titre d'exemples, trois cas particuliers.

a ) . Si V A = tl.A ( où 1L~ est la catégorie pleine d'applications entre

118

éléments de TXQ ), alors le Théorème d'adjonction signifie qu'à tout
graphe multiplicatif^relatif à IL ^ on peut associer une catégorie, relative à 'U.Q* libre sur ce graphe multiplicatif ... ce qui est bien
connu et à l'origine du Théorème et de sa démonstration, comme nous 1'
avons indiqué en III.2 .

b).

Si Ï A =iif,A ( où cV*' est la catégorie pleine de néofoncteurs

relatifs à IL)» alors tout ^

"-graphe multiplicatif ( qu'on peut en-

core appeler, par analogie, un 2-graphe multiplicatif), objet de o1f'Anéof

, engendre une t/V?' A-catégorie -libre.

Ainsi, le Jf ' "-graphe multiplicatif T" (construit en 1.½)

que l'on

peut, sommairement, représenter par un diagramme de la forme:

flvr-T

(se reporter à 1.4 pour plus de précisions), engendre une
gorie libre T" A . représentée, sommairement, ci-dessous:

t)P% "-caté-

119

où, pour tout n ^ 1 , l'application qui,à tout élémentzdu graphe multiplicatif T*(c,c), associe "formellement" Tn.z (resp. z. T

î T ~P.Z.T *

si n>p"^1 ) , définit un isomorphisme du graphe multiplicatif T A (c,c)
sur un sous-graphe multiplicatif

Tn.T"(c,c) (resp. T"(c,c). T n

}

T n " p .ï"(c,c). T p ) d e f A ( c , c ) .
GeGi permet de remarquer que S*1" n'est pas une 2-catégorie (en particulier parce que T"(c,c) n'est pas une catégorie).
Pour obtenir la description usuelle de la "structure de triple dans une 2catégorie" par une 2-catégorie (voir,par exemple, (CD.S.T.) et (A.M.CA.)) ?
il est nécessaire de prendre la 2-catégorie (i.e. la 3"-catégorie)
libre sur la JPX "-catégorie T" A (qui est, elle-même, libre sur le Jf1 "graphe multiplicatif T").C'est donc qu'il faut pouvoir justifier d'un
"Théorème d'adjonction pour les changements d'enrichissement" : c'est
l'objet du Chapitre IV •
On y justifiera donc parfaitement l'idée commune à (CD.S.T.) et (A.M.
C.A.) où il est suggéré que cette 2-catégorie (qui décrit les triples
avec des axiomes et des relations en nombre largement surabondant) est
"engendrée" par un système générateur (dans un sens peu précisé) ...
qui n'est rien d'autre que le 9?" que nous avons introduit (et .qui, lui,
ne décrit que les seuls axiomes et relations nécessaires à la définition
d'un triple)•

c). Si V" =

^ " (où °3 est la catégorie pleine de foncteur s relatifs

à l'univers U Q ) , tout 3 "-graphe multiplicatif engendre une ^"-catégorie (i.e. une 2-catégorie) libre.
Supposons, en particulier, que C* est une catégorie relative à *U
et munie d'un choix de produits fibres (pour ceux qui existent) qui
permette de construire le ^"-graphe multiplicatif

S(C')" de ses spans*

120

voir 1.5 •
En général, la 2-catégorie S(C*)"" libre sur S(C*)" n'est pas une
" 2-catégorie de spans".Cependant, elle pourrait être interprétée
comme représentant une "complétion associative" du choix de produits
fibres donné, au départ, sur C .

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