D IAGRAMMES F LORENCE C URY Graphes multiplicatis enrichis. Partie II Diagrammes, tome 53-54 (2005), exp. no 1, p. 47-95 © Université Paris 7, UER math., 2005, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUMES 53 + 54,2005 GRAPHES MULTIPLICATIS ENRICHIS PARTIE II Florence Cury A.M.S. Sub. Class : 18 D 05,18 D 20 47 CHAPITRE I I ; LIMITES DAMS LA CATEGORIE DES GRAPHES MULTIPLICATIFS ENRICHIS. P. 47 . P. 48 . P. 50 . P. 51 . P. 59 . P. 60 . P. 62 . P. 63 . P. 65 . P. 66 . P. 70 • P. 74 . P. 78 . P. 92 • P. 93 . t. II.1. Limites pro.iectives dans la catégorie des applications orientées enrichies: énoncé des conditions d'existence. , # II.2. Lim-itftfl pro.iectives dans la catégorie des applications orientées enrichies: construction. ,. II.3. Limites pro.iectives dans la catégorie des néofoncteurs enrichis: énoncé des conditions d'existence. , # II.4. Limites pro.iectives dans la catégorie des néofoncteurs enrichis: construction. ,. 11.5« Limites pro.iectives dans la catégorie des néofoncteurs enrichis: exemples. ,. II.6. Rappel: Théorème général d'existence de limites inductives dans une catégorie quelconque: conditions d'emboîtement, aux limites, aux monos, d'absorption, de génération. >. II.7* Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition d'emboîtement• >. II»8. Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition aux limites projectives. ,. 11.9« Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition aux limites inductives. ,. II.10.Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition aux monomorphismes• ,. II.11.Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition d'absorption. t. II.12.Lemmes préliïï^"aires à la vérification de la condition de génération. ,. 11.13,Cas des néofoncteurs enrichis: vérification de la condition de génération. . II.14.Théorème d'existence de limites inductives dans la catégorie des néofoncteurs enrichis. . II.15«Exemple de somme fibrée. II.1. En guise de préliminaire, énonçons tout d'abord sous quelles conditions précises la catégorie des applications orientées enrichies est à limites projectives. Proposition. Si M est un univers, B* une catégorie relative à U Q et VA une catégorie monoxdale dont la catégorie sous-jacente V* est à {B # }limites projectives. alors la catégorie V*-apor l'est aussi. 48 II.2. Reprenant les hypothèses de la proposition de II.1, nous allons explicitement construire la limite projective d'un foncteur S*: B # » V"-apor. Pour ce faire, nous supposons tout d'abord qu'un choix de {B*}-limites projectives est effectué dans V * et nous dirons que ce choix définit des { B*}-limites projectives canoniques.D1autre part, nous notons, pour plus de simplicité: - S*(b) = A , pour tout objet b de B* ( A^ = (A^ f A^ , j^ ) ' est donc D un V^-graphe o r i e n t é ) , - S*(z) = F* = ( A , l f appartenant à B - 0b v *:V*-apor. (F ,lf ) , ^L)» p o u r t o u t morphisme z : b ( e t d o n c " ? : A! ^"^f e s t u n e V*-application o r i e n t é e ) , - > U le foncteur ("objets") qui à toute V-applica- tion orientée G:G objets) G: C* >b' -> D associe l'application (entre les ensembles d' +1 . Nous définissons, alors, le cône projectif de base S* dans V-apor de la manière qui suit: _ le diagramme ci-dessous définit la limite projective naturalisée canonique dans IX du foncteur compose u -> V-apor B' s* Ob (autrement dit, ^9 A *)LB# e s t l a p a r t i e du produit canonique *b dans IL définie par: pour tout bgB*,on a a^EA, A M^bGB* z: b et pour tout morphisme »b' de B*, on a F (a, ) = a. t Î et Pv: A e s t l ' a p p l i c a t i o n b-ième p r o j e c t i o n ; l e p l u s D,0 b o souvent, nous représenterons une famille, élément de A , par son symbole a générique: = (a b } beB # >• - pour tout couple (a',a) d'éléments de A , le foncteur S v, : B a » ,a fa a phisme de V* -$> V* q u i , à t o u t morphisme z : b F^(Pb(a'),Pb(a)): ^,(Pb„(.)? ^•"'t,.^).Pb,(a))-~) - pour tout objet a de A , le diagramme ô*CP b (a) b <5 ? b (P b (aHP b (a)) A b» a) W 'V a)) X,(P b ,(a),P b ,(a)) est commutât if (i.e. définit un cône projectif de base le foncteur S :B a,a > V* ), puisque, pour tout morphisme z: b ^b* de B" 50 l a V*~application o r i e n t é e ! * : ï l t^t e s t compatible avec l e s morphismes d ' u n i t a r i t é ; en conséquence, nous d é s i g n o n s par JjCst) l ' u n i que morphisme de V* rendant l e diagramme c i - d e s s o u s commutatif, pour t o u t objet b de B# ; j^(P b (a))\ /£,<•••> Nous laissons au lecteur le soin de vérifier (et il le fera facilement) que le cône projectif de VA-apor ainsi défini est bien une limite pro- jective naturalisée de £>*: B* > V^-apor. De plus, en vertu de la construction du graphe orienté sous-jacent à un VA-graphe orienté donnée en 1.12 et de la compatibilité du foncteur HOKL^-,!) avec les limites projectives, on obtient: Corollaire « Moyennant les hypothèses de la proposition de II.1 , si V" est une catégorie au-dessus de TJL, le foncteur d'oubli V^-apor > JT est compatible avec les \B*}-limites projectives (c'est donc un foncteur à {B*}-limites projectives). II.3. Comme en II. 1 , nous allons préciser ici sous quelles conditions la catégorie des néofoncteurs enrichis admet des limites projectives. 51 Pour ce faire, nous désignons par A* la catégorie, triviale, représentée par le diagramme Proposition. Si 11 est un univers. B* une catégorie relative à UQ et V* une catégorie monoïdale dont la catégorie sous-jacente V* est à {B*, A * } limites projectives, alors la catégorie V-néof tives . En particulier, VA-néof est à (B*^-limites projec- est à produits fibres dès que V" l'est. II.Jf. Nous allons prouver la proposition précédente en construisant explicitement, lorsque V # està[B*, A*}-limites projectives, une limite projective naturalisée d»un foncteur B*: B* » V*-néof. Pour ce faire, nous effectuons un choix, dans V*de [B* , A*}-limites projectives, que nous dirons canoniques, de sorte que, pour tout y:v >v' de V , soient des produits fibres canoniques, et nous posons, de plus; - B'(b) = A* , pour tout objet b de B*, - R*(z) = F* , pour- tout morphisme z : b » b» (et donc F*:A^. est un V*-néofoncteur). Alors, nous définissons le c8ne projectif de base R* dans V*-néof 4* = ( A : » r t 3 A - » ^ A - » k , . f &.*, >$A~) p D - CA D» (p b^b»Mp;> • A *} >Ab« 52 de la manière suivante: - * VA-apor si S*: B* est le foncteur composé des foncteurs P •+ B' V*-néof le cône projectif de base S* dans VA-apor tif de base H* dans VA-néof V A -an V -apor 9 , sous-jacent au cône projec- représenté par le diagramme ci-dessus, c'est-à-dire le cône P^ = ( ¢ , (P b ,P b ) ,"Â*) 'K - (Ao,o^« V est la limite projective naturalisée de S # construite comme en II.2 ( autrement dit, le foncteur Py*_a tes projectives, l'ensemble A* sera compatible avec les {B^-limi- est défini par: pour tout bêB*, on a - A •{ (a b ) b i B ; = a morphisme z: b et l'application P. : A* ^ A£ a fe êA^ o et pour tout " >b' de B*, on a ^ ( a ^ ) = a b , est l'application b-ième projec- tion), - pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A*, si HJ : B' a'^a' , « . , «.a -* V RB : B' •*V a",a*,a est le foncteur qui, à tout morphisme z: b (resp. ) ->b ! ? associe le morphisme ATCP^a"),?. (a')) M_(P.(a"),P.(a'),P.(a)): =* b , * _ b b b \ A^(P (a'),Pb(a)) AC,(Pv,,Ca»),Pb,(a')) -b'v b AC,(P h ,(a'),P bl (a)) -b,N b 53 (resp. ^(Pb(a«),Pb(a«)) Aj(Pb(a»),Pb(a»)) ÇCP b («'),P b (a)) AT(Pja'),Pja)) Ag,(Pb)(a»),Pb,(a»)) ^ A* f (P bf (a«),P b( (a)) ) 5 alors, sa limite projective naturalisée canonique dans 7* est le cône projectif: A*(a",a') 3Ê A*(a',a) PHi(a",a',a Ç(a",a»,a) 4b.(Pbr(a"),Pb,(a')) A^(Pb(a»),Pb(a«)) Aj,(Pbt(a*),Pbt(a)) A-(Pb(a*),Pb(a)) (resp. A*(a"ta») B A*(a»,a) p*t(a",a',a) ^ t (P b ,(a«),P bl (a»)) B Aj,(Pb,(a'),Pb,(a)) p^(a»,a',a) A*(Pb(a»),Pb(a»)r AJ(P b u">,P b U» (on remarquera que,si R* est à valeurs dans V*-fonc ) > , alors, pour tout 5* t r i p l e t (a",a*,a) d'éléments de A*, l e s foncteurs Rx„ , et R B a",a1,a o a , a ,a sont égaux et ont donc même limite projective naturalisée canonique dans V", en vertu de l'identification, décrite en 1.2 et en 1.7, de la catégorie V^-fonc à une sous-catégorie pleine de V*-néof ), - pour tout triplet (a",a',a) d'éléments de A* et pour tout morphisme »b' de B*, la compatibilité du V*-néofoncteur F* avec les monoz morphismes des composables prouve que la famille de monomorphismes de V* (m AC (P b (a»),P b (a»),P b (a)); blB . b — o définit une transformation naturelle z: b mA.(P_(a»),P-(a'),P_(a)): R* a",a',a dont la limite projective canonique dans V* est un monomorphisme, noté mA*(a",a',a) , rendant, pour tout objet b de B*, le diagramme (I) ci-dessous commutatif: AA(a»,a») m ^ a ^ a ' ,a) V A*(a",a«) B A A (a»,a) — > A*(a',a) CD P* (a",a',a) B p£(a« f a',a) _ ' / \ 7 A;(P b (a"),P b ( a .)) A £ (P b (a"),P b (a»)) \x ^CPb(a'),Pb(a)) rtA.(Pb(a"),Pb(a'),Pb(a))jA*(Pb(a'T,Pb(a)) \ \ / / I / M FA (P b (a«),P b (a«),P b (a))| I /_ ^ Aj,(P b ,(a»),P bt (a.)) | x \ ^,(P bf (f.),P bl (a)) m ^ \ I L I I j ^;(P - b>>(a«),P -fi-b1>(a«)) ,^(P b (a.),P b (a)) _ l Aj t (P b ,(a"),P b ,(a.)) / (^)(a„^t(a.),p^(a))Aj.(Pb,(a.),Pb,(a)/ / \ i i 55 (on remarquera, également, que, si H* est à valeurs dans V^-fonc , pour tout triplet (a",a',a) d'éléments de AA, le monomorphisme f5^*(a",a',a) est l'identité ), - pour tout triplet (a",a',a) d'objets de AA et pour tout morphisme > b' de B*, le diagramme ci-dessous commute, en vertu de la z: b fonctorialité du produit tensoriel B: A"(a»,a») B A"(a',a) P£(a»,a') B |£(a',a) / / N / AJ(P b (.-> i P b (ai)) / Aj(Pb(a'),Pb(a)) K,(a»,a«) B Pr,(a',a) / F^(Pb(a»)èPb(a.)) !T(Pb(a.),Pb(a)) ! y Ajf(Pbl(a»)èPb,(a.)) autrement dit, il définit un cône projectif de V* et de base R,B„ t « a ,a , a ce qui montre qu'il existe un unique morphisme nu*(aw,a',a) de V* rendant, pour tout objet b de B*, le diagramme (il), qui suit, commutatif: A*(a",a») B A A (a»,a) \*(a"^i A '(a»,a') B A*(a«,a) ÏJ(a»,a») B Pj(a»,a) B/ p£(a»,a',a) ' A^(Pb(a»),Pb(a')) B Aj(Pb(a«),Pb(a)) \ 56 - pour tout triplet (a»,a',a) d'éléments de A* , le diagramme (III) cidessous définit, alors, un produit fibre canonique de V* AA(a»,a') x AA(a',a) mA*(a",a',a) A*(a»,a') B AA(a',a) m^A(a",a',a) A*(a«,a») mA*(a",a',a) (les diagrammes (I), (II) et (III) ont été dessinés de telle manière que le lecteur puisse les "rassembler" comme ci-dessous: il remarquera, d'autre part, que, pour tout triplet (aM,a',a) d'éléments de AA, le morphisme mA*(a",a' ,a) est un monomorphisme, puisque mA*(a",a',a) en est un, et qu'il se réduit à l'identité, d'après les choix de produits fibres canoniques effectués dans V*, lorsque H* est à valeurs dans la catégorie V*-fonc ), 57 - pour tout triplet (a",a',a) d'éléments de A" et tout objet b de B*, nous posons (avec les notations précédentes): Mp.(a«»,a',a) =pb(a»,a',a) . mAA(a«,a',a) , b il s'agit donc d'un morphisme de V* qui se présente comme suit: Aj(Pb(a»),Pb(a')) A*(a",a') 3E A*(a',a) A b CP b (aO,P b Ca)) - pour tout triplet (a",a*,a) d'éléments de A* et tout morphisme z: b > b1 de B*, la compatibilité du VA-néofoncteur F* avec les mor- phismes de composition prouve que le diagramme A*(a",a») x AA(a',a) M ^ (a»',a»,a) ^b A^(Pb(a«),Pb(a')) A^f(Pb,(a«),Pb,(a')) A^(Pb(a'),Pb(a)) Aj,(Pb,(a')*Pb,(a)) MF.(Pb(a"),Pb(a'),Pb(a)) kâ.(P. (a"),P>,(a'),P. (a)) kA.(Pb,(a«),Pb,(a»),Pb,(a)) b' \ , \ A*(Pb(a"),Pb(a )) Aj,(Pbl(a»),Pbl(a)) Fj(Pb(a»),Pb(a)) / est commutatif (autrement dit, définit un cône projectif de base le foncteur: 58 B* S* a", a V b A b (P b (an),P (a)) b + Ç(Pb(a«),Pb(a)): b' ^ A b ,(P b ,(a"),P b ,(a)) dont, en vertu de la construction précédente qui reprend sur ce point celle de II.2, l'objet A*(a",a ) est la limite projective canonique dans V " ) , ce qui implique l'existence d'un unique morphisme k.*(a M ,a',a) de V* rendant le diagramme ci-dessous commutatif, pour tout objet b de B*: k_(a",a',a) A"(a",a') z A*(a',a) T k A .(P b (a»),P b (a'),P b (a)).M p .(a»,a',a) A*(a",a) + P b - (a "' a > / Aj(Pb(a«)fPb(a» ) (on remarquera, enfin, que si R* est à valeurs dans V*-fonc , pour tout objet b de B*, les k A * (-f-f-) définissent des compositions associatives A b et qu'en conséquence k A *(-,-,-) en définit une également), - nous laissons au lecteur le soin de définir, en utilisant les diverses propriétés universelles adéquates qui se déduisent de cette construction, les applications § A * et $A* et de vérifier que l'on a bien ainsi cons- truit un c8ne projectif de V - n é o f de base le foncteur S # . Il va de soi, par construction, que ce cône projectif est une limite projective naturalisée de H" • 59 Les remarques établies au long de cette construction, la compatibilité du foncteur HonLy.(-,i): V# ^ U avec les limites projectives et la cons- truction (voir I.1*f) du néofoncteur sous-jacent à un V^-néofoncteur permettent évidemment d'énoncer: Corollaire. Moyennant les hypothèses de la proposition de II.3, les foncteur s d'oubli; - p A : VA fonc " V -nf V*-fonc > V"-néof > S et et P v A -an : v * - n é o f VA-néof > VA-apor, > JP* (voir 0.6 et 1.1*0 sont compatibles avec les {B'^-limites projectives (c'est dire aussi qu'ils sont à {B*}-limites projectives). Remarquons que la compatibilité avec les (B*)-limites projectives du foncteur p v *_ nf ï VA-fonc >VA-néof et du foncteur VA-fonc » lt se déduit de la construction des [B*"] -limites projectives dans VA-fonc donnée en (C.O. C.A.) qui n'utilise que des produits fibres "triviaux" dans V*. II.5. La proposition de II.3 s'applique dans toutes les situations usuelles.Signalons, notamment, que,si UL est un univers et ^ est la catégorie pleine de foncteurs relatifs à U , la catégorie o cartésienne Ainsi, "J * vérifie toutes les hypothèses de II. J. 9 ~-néof est une catégorie à produits (par exemple). Donc, si C' est une catégorie relative à 11 et dotée d'un choix de o produits fibres (pour ceux qui existent) permettant de munir l'ensemble S(C") des spans de C* d'une structure de S "-graphe multiplicatif (voir 1*5), il en est de même de la catégorie produit C* x C # , munie du choix •produit1} et l'on a dans g *-néof : S(C- x C T W S(CT x S(CT *• a£ae, si Jf% est la catégorie pleine de néofoncteurs relatifs à îi . 1* catégorie cartésienne «A" * vérifie les hyptohèses de II.3.En particulier «^"-néof est à produits. 6o Si T* est alors le«V*-graphe m u l t i p l i c a t i f "esquisse des t r i p l e s " , que l'on a construit en 1.4, l e lecteur v é r i f i e r a sans d i f f i c u l t é que tout ^•"-néofoncteur : •T x * A > <3* s'identifie à une loi distributive (particulière) : > (T ,, ,î| f tl» , )j E>: (T\ H, H ) dont la transformation naturelle sous-jacente : D: T'.T'* est une égalité > T»\T# (D.L.A.W.). (Pour obtenir les lois distributives quelconques, il semble nécessaire de munir ^V^-néof d'une structure monoïdale fermée, c'est-à-dire d'un produit tensoriel BA - tel que V B A T* décrive ces lois distributives - associé à une notion de transformation naturelle entre Jf* A-néofoncteurs - i.e» à une notion de fermeture - dont la définition et l'étude, qui seront menées ultérieurement, nécessitent de tels développements qu'ils ne peut être question de les intégrer à ce travail ... déjà fort long !) II.6. Avant de poursuivre notre étude de la catégorie des néofoncteurs enrichis (i.e. d'énoncer à quelles conditions elle admet des limites inductives) nous allons rappeler le Théorème général d'existence de ÎD*}-limites inductives dans une catégorie quelconque H* (ainsi, dans la suite nous pourrons appliquer ce Théorème au cas H* = V*-néof ). Ce Théorème généralise, en même temps qu'il simplifie légèrement, le Théorème correspondant de (C.O.S.L.) dont on s'est très fortement inspiré. Supposons donc que H* et D* soient deux catégories. Pour prouver que H* est à ^D#^-limites inductives, il suffit qu'un certain nombre de conditions soient réunies, à savoir: - (condition d'emboîtement) il existe un diagramme commutatif de foncteurs 61 H- ,C P H' t P' * L' où H* (resp. L # ) est une sous-catégorie pleine de H'" (resp. L'*), I* (resp. J* ) est le foncteur injection canonique et P* est la restriction de P'# , - (condition aux limites pro.iectives) H ! * est à J^(H °;)-produits et HJ est à noyaux, - (condition aux limites inductives) L* est à {D*}-limites inductives et le foncteur J#: L*c » L'* - (condition aux monomorphismes) est compatible avec ces limites, Y est un ensemble de P'-monomorphismes de H'# (voir 0.8), - (condition d'absorption) il existe un choix de noyaux, dits canoniques, dans H # de telle sorte que, pour tout noyau canonique n, on ait T.n C Y, - (condition de génération) le foncteur P'*est (L*,Y.H*)-engendrant (voir 0.10). Théorème. (Existence de ^tw^es inductives dans le cas général). Si H* et D* sont deux catégories telles que la condition d'emboîtement, les conditions aux limites, la condition aux monomorphismes, la condition d'absorption et la condition de génération sont vérifiées, âlûES H* est une catégorie à [D*}-limites inductives. La démonstration de ce Théorème est tout à fait analogue à celle de (C.O.S.L.) que l'on pourra donc consulter. 62 Pour appliquer ce Théorème à V-néof il nous suffit donc de prouver que ces diverses conditions sont vérifiées.C'est ce que nous faisons en II.7 (emboîtement), II.8 (limites projectives), II.9 (limites inductives), 11.10 (monomorphismes), 11.11 (absorption), 11.12 et 11.13 (génération) .En 11.1^ nous donnons alors le Théorème particulier d'existence de limites inductives dans V*-néof et,en 11.15, nous construisons explicitement, à titre d'exemple, le , «|> , w ) e t V , A = ( V , B' ,i', 4>', <|»' , w ' ) deux catégories monoidales tels que; - U G U' et U c 11' , o o — o o* - V* est une sous-catégorie pleine de V * telle que - Monos(V*)0Monos(V * ), B (resp. 4> ; i|r ; u> ) est une restriction de B' (resp.^1 ;ty • jw1 ) , - i = i' , alors, le diagramme ci-dessous vérifie la condition d'emboîtement (de II.6): H* = VA-néof P # s P, V n L* = V*-apor où T V'^-néof = H' = P' V'/'-apor = L'' et J' sont les f oncteurs inclusions. Il est évident que I* et J* sont en effet des f oncteurs pleins et injec* tifs et que ce diagramme commute. 63 Dans la suite, si des conditions analogues sont vérifiées, nous poserons pour plus de simplicité: - V^-néof = V~-néof , V^-apor * V*-apor et P v -_ a n = P v *-an , I|J , u> ) et V' A = (V \B',i» , ', i|i», w ' ) deux catégories monoidales et D* une catégorie tels que; o o — o o - V" est une sons-catégorie pleine de Y 1 ' telle que - Monos(V)^Monos(V , # ), 8 (resp. $; + ; « ) est une restriction de 8* (resp. +* j <|»' ; <•)•), - i = i', - D ; ^ O * - v G u; , - V # est à 11' -produits et à produits fibres (de deux morphismes de même but), - V* est à noyaux et à produits fibres (de deux morphismes de même but), alors, le diagramme (IV) de II.7 vérifie la condition aux limites projectives de II.6 • Pour prouver cette assertion, nous ferons deux types de raisonnement: - le premier, concernant la taille de V*-néof , utilise la Théorie des Univers (T.E.N.S.) (et le lecteur pourra traduire l'écriture " Q C H £ " en " Q est un ensemble équipotent à un élément de IL' " , ce qui donne des résultats plus étendus et parfaitement rigoureux) f - le second, purement catégorique, utilise la proposition de II.3 que nous appliquerons à V*-néof et VIA-néof. 64 Concernant la taille de VA-néof , nous posons: E eu. ^» O - E" = U x E' x E' x E' x E' x E» x E' , o * E"» = E" x IL x E» x E» x E" , o * nous avons alors: - pour tout E C U , l'ensemble V sont, - E' C H ' , puisque est élément de ^L' puisque E et V le E' = - U V est une réunion d'éléments de o 11'. indexée par un élément de UL* . o* * o* - E"Clt', puisque c'est un produit fini d'éléments de UL* , - E"'CUL 1 i pour les mêmes raisons; or, on remarque immédiatement que: - ( V*-néof ) (i.e. l'ensemble des objets de V*-néof ) est inclus dans E" , puisque un de ses éléments quelconque est un septuplet où chacune des composantes est élément de chacun des facteurs respectifs (dans cet ordre) de E" , - l'ensemble sous-jacent à la catégorie VA-néof (que nous noterons encore V*-néof) est inclus dans E"' , puisque un de ses éléments quelconque est un quintuplet (AA, (F,FA,MF.) , B*) où chacune des composantes e s t élément de chacun des f a c t e u r s respectifs (dans cet ordre) de E " ' ; i l en r é s u l t e que l e s ensembles de I X Q (V A -néof ) e t V^-néof s o n t éléments o e t donc, puisque D* C U L ' , que l ' e n s e m b l e d ' a p p l i c a t i o n s V-néof (D') ° 65 est élément de UL' ainsi qu'une quelconque de ses parties. Nous pouvons appliquer, maintenant, la proposition de II«3 î - puisque V " est, par hypothèse, à UL'-produits et à produits fibres, la catégorie V'*-néof est à UL'-produits (en ^-ertu de la proposition de II.3, où l'on fait B* discrète et élément quelconque de UL1 et où les XL et V* sont, ici, li» et V ' * ) , en particulier, d'après le résul- tat sur la taille de V*-néof V'A-néof que nous venons d'établir, la catégorie est à 9 ( V--néof (Do) )- produits, - puisque, par hypothèse, V* est à noyaux et à produits fibres, la catégorie VA-néof est à noyaux (en vertu de la proposition de II.3 où B* est la catégorie représentée par le diagramme: 2 Ainsi, la proposition qui vient d'être énoncée est démontrée. II.9» Proposition. — Si V" = (V', H ,i, , «|itu ) 1JLo et — T-L' o sont deux univers, • et V * = ( V , H' ,i«, *', <|»', w») deux catégo- ries monoïdales et D* une catégorie tels que; " - V \ G UQ et ^ c UQ , est une sous-catégorie pleine de V * telle que Monos(V* )^Monos(V * ), - B (resp. • ; I|I ; u ) est une restriction de H1 (resp. ' ; 4»1; w * ) , - i » i', - D CUL (ce qui signifie que D* est une catégorie relative à *U. ), - V* est une catégorie à *3- -limites inductives ( ^3 étant la catégorie pleine de f oncteurs entre catégories relatives à • I U. O et « — ^ l'en- O «MMMM» 66 semble de ses objets), > V' - est compatible avec les - le foncteur inclusion V* c JQ- liinites inductives, alors, le diagramme (IV) de II.7 vérifie la condition aux limites inductives de II.6 • En effet, F. Foltz a établi en (C.O.C.A.) que, avec les hypothèses qui précèdent, la catégorie V*-apor est à ^ -limites inductives, en les construisant explicitement.Pour prouver que le foncteur inclusion j* : V*-apor c >V'*-apor est compatible avec ces limites inducti- ves, il suffit alors de reprendre la construction de (C.O.C.A.) et d'utiliser : - l'hypothèse de compatibilité du foncteur inclusion V* c > v ** avec les %ro-limites inductives, - la compatibilité avec les *3r -limites inductives du foncteur inclusion IL C ^ U.' entre les catégories pleines d'applications entre éléments de *îl et IV respectivement. 11.10. Si H » est un univers et V * une catégorie monoïdale, nous notons Y^% l'ensemble des morphismes (i.e. des V *-néofoncteurs) G A : C" (y")« G: C A > B* de Vf *-néof =• B* (= V«T-néof ) tels que: est une application injective, (y'), pour tout couple (c',c) d'objets de C A , le morphisme (f(c',c); C*(c',c) „ lT(G(c'),G(c)) est un monomorphisme de V'*, (y), pour tout triplet (c",c',c) dfobjets de C*,le diagramme ci-dessous (nécessairement commutatif, en vertu de la définition de 1.6) est un produit fibre dans V * : _67 MG*(c",c,,c) A Ç (c",c') BA(G(c"),G(c')) BA(G(o'),G(c)) r(Q(c«),G(c)) (on remarquera, en particulier, qu'un V'^-foncteur vérifie nécessairement la condition (y)). Intuitivement, un VA-néofoncteur vérifie (y) lorsque les objets des composables de sa source sont "maximaux".Ainsi, dans le cas ensembliste, un néofoncteur injectif vérifie la condition (y) si, et seulement si, tout couple de morphismes de sa source qui a pour image un couple composable du but est composable dans sa source. Moyennant cette définition, on vérifie immédiatement que Y-M est une sous-catégorie de V'*-néof , saturée pour les isomorphismes. Se plus, nous avons: Lemme. Si 71' est un univers et V'_* une catégorie monoidale, la sous-catégorie ï-.! de V'A-néof > dont les morphismes sont les V *-néof oncteurs vérifiant les conditions (y"), (y') et (y) qui précèdentt est constituée de Ptrf* ^ -monomorphismes. r> ""— vf -an •• • Pour démontrer ce lemme, nous constatons, tout d'abord, que, si G*: C* *B A appartient à Y*.i , sa V ^-application orientée sous- jacente Pyf*_ (GA) est un monomorphisme de V'^-apor , en vertu des condi- tions (y") et (y*). Supposons de plus que F A : A' (morphisme de V'A-néof orientée -> B^ est un V A -néofoncteur ) pour lequel il existe une V1 ^-application F*: P v fA -an^ A "^ * P V A -an^ C ^ (morphisme de V'*-apor ) rendant commutatif le diagramme (V) ci-dessous: 68 B' V'*-néof P V , A -ian V'~-an^ P ; V--an ( ( r ) P V"-an ((r > V'-an^ Il est clair que l'on définit un V*-néofoncteur F 1 *: A* -* C en posant: - F» est la V'"-application orientée sous-jacente à F'At - pour tout triplet (a",a1,a) d'objets de A*, le diagramme ci-dessous étant commutatif ( en vertu de la compatibilité de F* avec les monomorphismes des composables et de la commutation du diagramme (V) ci-dessus) A*(a",a« ) JT(a',a) (a»,a»,a) mA*(an,a',a B*(G.F'(a»),G.F'(a»)) x B*(G.F'(a'),G.F'(a)) A*(a",a')B'AA(a',a f»(a",a') B' f'(a',a) F"(a",a') B' FA(a',a) ^mB«(GF,(a» ) ^ ( a • ) ,0^( a) ) 3)^ C*(F'(a"),F'(a»)) B' CA(F'(a»),F'(a)) GA(F'(a"),F'(a»)) B' GA(F'(a'),F'(a)) B*(G.F'(a»),G.F'(a')) SI' BA(G.F'(a'),G.F'(a)) 69 M-^a'^a',a) est l'unique morphisme (d'après (y)) rendant commutatif le diagramme suivant: AA(a»,a») z A*(a',a) (a-,..,.) V ( a " •*'•*> BA(GFl(a")tGFta»)) £*(F'(a»),F»(a')) mA*(a",a',a) B"(Grta'),arta)) 3E (T(F'(a'),F»(a)) MG*(F»(a»),F'(a'),F'(a)) , A*(a",a')B'A*(a ,a) 4r mp*(F'(a"),F'(a'),F'(a)) F*(a»,a')B'£'(a',a) Ç*(F'(a"),F»(a')) B« (T(F'(a'),F'(a)) Il est évident, dans ces conditions, que F'* "relève" bien F*, i.e.: - (F'A) = F*' , P„ A V' -an G*.F'* = F*. De plus, la fidélité du foncteur P.., *_ F1* est l'unique morphisme de V,A-néof (remarquée en 1.11) prouve que qui relève F*. Le lemme se trouve donc démontré. Il s'ensuit que nous pouvons, immédiatement, énoncer: Proposition. Si T_Lo et 7JLo sont deux univers, V* = (V*,B,i, , i|» , w ) et V * = (V *, H* ,i*, $•, «|»', w' ) sont deux catégories monoïdales tels que; 70 - UCUo et UflL! , o o o - V* e s t une s o u s - c a t é g o r i e p l e i n e de V * t e l l e que Monos(V* ) ç Monos(V' * ) , - B (resp. $; + ; u ) e s t une r e s t r i c t i o n de B 1 ( r e s p . <£• ; ^'j w1), - i = i', si. de plus. Y \ est la sous-catégorie de Vf*-néof constituée des V'*- néofoncteurs vérifiant les conditions (y"), (y') et (y) précédentes, alors le diagramme (IV) de II.7 vérifie la condition aux monomorphismes de II.6 . Si des conditions analogues à celles de cette proposition sont vérifiées, nous noterons, dans la suite, pour plus de simplicité, Y i = T o n'y aura aucun risque d'ambiguïté. 11.11. Proposition. Si U. — o V* = (V*, B , i , ¢ , <|i , u ) e t V«* = ( V , car il et IL' sont deux univers. —— o * B' , i ' , <|>', ^ ' , o>') s o n t deux c a - t é g o r i e s monoïdales t e l s q u e ; - U Q G 0¾ et 0Lo * U Q , - V* est une sous-catégorie pleine de V1 * telle que Monos(V* )cMonos(V # ) , - B (resp. ; t|> ; u>) est une restriction de B' (resp. ' ; <|i' ; u)' ), - x = i1, - V* est à noyaux et à produits fibres (de deux morphismes de même but). - le foncteur inclusion V*c 9 V * est compatible avec les produits fibres, s i . de p l u s . T e s t l a s o u s - c a t é g o r i e de V ' * - n é o f constituée des V ^-néo- f o n c t e u r s v é r i f i a n t l e s c o n d i t i o n s ( y " ) , ( y ' ) e t ( y ) de 1 1 . 1 0 , a l o r s diagramme (IV) de I I . 7 v é r i f i e l a c o n d i t i o n d ' a b s o r p t i o n de I I . 6 le . En r é a l i t é , nous a l l o n s p r o u v e r un r é s u l t a t p l u s f o r t que c e l u i r e c h e r c h é ( c ' e s t - à - d i r e l ' e x i s t e n c e d ' u n c h o i x de noyaux c a n o n i q u e s d a n s V^-néof 71 qui soient"absorbés" par Y ), à savoir: Lemme. Dans les conditions de la proposition précédente, tout noyau de VA-néof est élément de Y. Pour prouver ce lemme, nous constatons que, en vertu de la proposition de II.3 dont les conditions sont vérifiées par hypothèse, V^-néof est à noyaux. Nous supposons donc V* muni d'un choix de noyaux et de produits fibres canoniques de sorte que, pour tout z: v >v' appartenant à V*, et soient des produits fibres canoniques.Ceci permet alors de construire explicitement, comme en 11.½ dont nous reprenons les différents points ainsi que les diverses notations, le noyau (i.e. la limite projective) du couple de deux V*-néofoncteurs (appartenant à V*-néof ) A# Il nous faut donc montrer que P* vérifie les conditions (y"), (y*) et (y) de 11.10, or: 72 - par construction (voir II.4 ),le diagramme commutâtif . A' - ^ FT e s t un noyau dans U. » en conséquence P e s t une a p p l i c a t i o n i n j e c t i v e e et vérifie donc la condition (y") de 11.10 , - pour tout couple (a',a) d'objets de A*, par construction (voir II.½ ) , le diagramme commutatif A*(a',a) ^ - - ^ ¾ . <•'••> F£(Pa(a'),Pe(a)) P:(a',a) A;(Pe(a'),Pe(a)) A;.(Pe.(a'),Pe,(a)) F;(Pe(a'),Pe(a)) d é f i n i t un noyau dans V", c ' e s t d i r e que P * ( a ' , a ) e s t un monomorphisme de V , donc de V ' * , e t que P* v é r i f i e l a c o n d i t i o n ( y » ) de 1 1 . 1 0 , - pour t o u t t r i p l e t ( a " , a ' , a ) d ' o b j e t s de A*, p a r c o n s t r u c t i o n ( v o i r 11.½ ) , l e diagramme commutatif ( I 1 ) c i - d e s s o u s ( q u i e s t l a r é p l i q u e , d a n s l e cas p a r t i c u l i e r c o n s i d é r é i c i , du diagramme ( I ) de 11.½ ) : mA*(a",a',a) A*(a",a') AA(a',a) (I') P e (a , f , a f , a ) A;(Pe(a»),Pe(a«)) \ » A*(P ( a ' ) , P j a ) ) —e e e mA*(Pe(a"),Pe(a'),Pe(a)) s V— -e e A;.(P6.(a,)'Pe'(a)) Pe(a",a',a) A~(P ( a " ) , P ( a « ) ) -e e B A;(P ( a ' ) , P ( a ) ) -e F*(P ( a »^) , P ( a ' ) ) -_1, e„ e B F;(Pe(a'),Pe(a)) Mj..(P ( a " ) , P e ( a » ) , P e ( a ) ) ' 1 Mr(PeU"),PeU,).P.(a)> * A -f, ( P 1. ( a " ) , P . ( a « ) > A*(a",a') B A*(a',a) m,. ( P e , ( a « ) , P e t ( a ' ) , P e , ( a ) ) *' e e F;(P (a»),P (a»)) -2 e B e F£(P (a'),P (a)) -2 N *e A:,(Pe,(a"),Pe,(aM) e e B A;,(Pet(a«),Pe,(a)) 73 définit l.*(a"ta' ,a) comme étant le morphisme noyau de la transformation naturelle mA* (P_(a»),P_(a» ),F_(a)), on vérifie alors que (I') définit un produit fibre dans V", - pour tout triplet (an,a',a) d'objets de A % par construction (voir 11.½)^ le diagramme commutatif (III1) ci-dessous: A*(a",a') x A~(a',a) mA^(a",a',a) m4^(an,a',a) v Ci u') A~(a",a') ïr(a"fa',a) A~(a»,a') B A*(a»,a) m ^ a ' ^ a ' ,a) AA(a",a») f A*(a«,a) A*(a',a) (qui est la réplique du diagramme (III) de II.** ) définit un produit fibre dans V*, il en résulte donc que le composé "latéral" (ou vertical) des diagrammes (!') et (III'), à savoir: A*(a",a») x A*(a',a) m.*(a",a',a) A A*(a»,a») B A~(a',a) 1 du ) Mp.(a»',a',a) e A;(Pe(a"),Pe(a»)) A*(P (a'),P (a)) P:(a»,a») B P*(a',a) © (ï)~ " " »A\(P.<*")«P.(a,)»P.(a)) e" > e A*(P e e(a«),P e (a')) a A;(Pe(a»),Pe(a)) définit un produit fibre dans V*, donc dans V * (le foncteur inclusion V*C » V* * étant compatible) et donc que P* vérifie la condition (y) de 11.10. Donc, tout noyau de V*-néof , construit comme en 11.½, appartient 7½ à Y, et, comme Y est saturée pour les isomorphismes, un noyau quelconque dans V*-néof (i.e. non nécessairement construit comme en 11.½) appartient également à Y.Ce qui prouve le lemme énoncé. La proposition qui le précède est alors immédiate puisque, Y étant une catégorie, elle absorbe un quelconque de ses morphismes, par exemple les noyaux de V^-néof. 11.12. Nous établissons, ici, deux lemmes qui simplifieront la démonstration de la condition de génération donnée en II. 13» Aussi, si IL1 est un univers et V , A une catégorie monoïdale, nous notons Y ^ji (que nous abrégerons en Y , lorsqu'il n'y aura pas risque de o confusion) l'ensemble des morphismes ( i . e . des V ^ - a p p l i c a t i o n s o r i e n t é e s ) de V^-apor (y"). F: A F*: ïf 3> ^ ^B t e l s que: est une application injective, (y'K pour tout couple (a',a) d'objets de ït, le morphisme F(a',a): "5(a',a) > f (F(a') ,F(a)) est un monomorphisme de V * • (On remarquera que: - tout élément de Y est un monomorphisme de V'^-apor - Y est une sous-catégorie de V'A-apor , , saturée pour les isomorphismes, - tout élément de Y (voir 11.10) a pour image,par P V i*_ , un élément de Y .) Moyennant cette définition, nous avons: Lemme 1. Si U o e t U ^ sont deux univers, si V" = (V,B,i, 4>, +,u>) et v " = ( V , B ' , i ' , <|>', i|i',u>') spjit (tetff çfrtégprAeg mpaoStales t e l s que: - XL C U' et U CIL', o o — o ** o' - V* est une sous-catégorie pleine de V a, 75 - i = i', - V " est à XL -sommes, " o - le foncteur inclusion V*C ^ V * est compatible avec les IX -sommes, - tout morphisme de V \ dont la source est objet de V % admet un X"-reflet (où l'on pose X" = M o n o s ( V ) ) dont la source est objet de V*, alors, tout morphisme de V'A-apor «dont la source est objet de VA-apor ? admet un Y-reflet dont la source est objet de V*-apor. (Happelons qu'un X"-reflet d'un morphisme de V * n'est rien d'autre qu'une image, au sens usuel, de ce morphisme; nous avons employé cette terminologie, qui peut sembler alourdir l'énoncé de ce lemme, pour mettre en lumière le fait que c'est Y qui convient, et ce de manière simple, du point de vue de la notion de reflet dans V ,A -apor. Hemarquons, d'autre part, que les hypothèses de ce lemme ne font pas intervenir B, <|>, + « <*> (resp. B', ' , +', U)') puisque la notion de V^-gra- phe orienté (resp. V"-graphe orienté) n'est, en réalité, relative qu' au couple ^ = (V,i) (resp. V1 = ( V , ! 1 ) ) .) Pour prouver ce lemme, nous munissons V* d'un choix de canoniques, et V \T -sommes, dites d'un choix de X"-reflets, dits canoniques. Supposons, alors, que IT' : A' -* If est un morphisme de V'*-apor tel que A' soit objet de VA-apor • Le Y-reflet F de F' , qui doit pouvoir se représenter par un diagramme de la forme: V*-apor C—»V'*-apor "pu A' est défini comme suit: B 76 - A Q = {F'(a') / a ' f r } (comme k'Q est élément de U , il en est de même, à une équipotence près, de A ), F: T- -*, B^ o est l'inclusion et F": A1 -»A o est la restriction de F': A' o o - pour tout couple (a 2 ,a 1 ) d'objets de X, si: + E - Bo • ( a 2 , a i ) - i ( a 2 ' a î ^ o x À*; / P»(a') = a 2 et F"(a') = a,} (alors, c'est un élément de 1-L ). f o + talU. ^( a 2* a -i^ e s t d'objets la somme canonique dans V* (donc dans V' # ) de l a CÏ-(a',a-))( , + pour tout élément (a£,aj|) de £ ( Y(a^,aj;): J ( a £ f a J | ) . ? l e morphisme -+ J a ^ ) est la coprojection canonique dans V" (ou V ' # ) , + t(a 2 ,a 1 ) est l'unique morphisme de V' - rendant commutatif, pour tout ( a 2 » a i ^ € E ( a a )' l e d i a S r a m m e suivant Vc tK/ A(a2,an) B(a2,ai) Y(a£,a.|) V alors, A(a 2 ,a n ) > V I t(a ,a ) Z'Ca^aJ») A'U^a»), est l e 2"-reflet de t ( a 2 , a n ) , ce qui s i g n i f i e que l ' o n a un diagramme commutatif, et "universel", de l a forme V'C >V« * F(a2,ai)ëX" B(a2,an) t(a2,&1) 77 - nous laissons au lecteur le soin de définir les applications JT? et F" . On établit, alors, facilement que la V "-application orientée F*' se décompose bien, et de manière universelle, de la manière voulue dans la catégorie V'*-apor. Le Lemme 1 se trouve donc établi . Le Lemme 2 ci-dessous indique que, pour chercher le morphisme de T, ayant sa source dans V-néof , "engendré universellement" par un morphisme F»: Â*' *lî (où B* = P V t- - a n (B A ) ) de V'*-apor tel que Â*' est objet de V*-apor , il suffit de résoudre le problème pour le Y-reflet de F« (ce qui correspond, d'ailleurs, à la situation dans le cas ensembliste) comme le suggère le diagramme ci-dessous: *?fT B' V-néof V *-néof 1 1 I V"-an VA-apor V "-an V'*-apor B Plus précisément, nous laissons au lecteur le soin d'établir que, si F»: A' » B (où B* s PVt*_an(B*) ) est un morphisme de V'*-apor tel que A' est objet de V*-apor , alors s'il existe un (T.(V*-néof.)0 j Pv,A_an)-morphisme engendré par le Y-reflet de F', c'est aussi un (Y.(V*-néof)0 , Py, A_aQ)-morphisme engendré par F* . 78 Ceci permet donc d'énoncer: Lemme 2. Si 1^ et. H» sont deux univers, si V A = ( V ,B,i, • , «|», <*> ) et^ V * = (V'jB'ji 1 , *, I|I' , CJ * ) sont deux catégories monoïdales tels que: - U o e u 0 et u o c -u;, - V" est une sous-catégorie pleine de V * telle que Monos(V*)c:Monos(V'* ), - i = i', - S (resp. ; i|i ; U) ) est une restriction de B' (resp. ' ; I|J • ; u)1 ), - V" est une catégorie à 11 -sommes« - le foncteur inclusion V c > V " est compatible avec les XL -sommes, - tout morphisme de V *, dont la source est objet de V*, admet un X"-reflet dont la source est objet de V* (et où X" = Monos(V # )), alors, pour que le diagramme (IV) de. II.7 vérifie la condition de génération de II.6, il suffit que toute V'*-application orientée appartenant à T et dont la source est ob.iet de VA-apor engendre un (Y.(V*-néof)c,pyt ^_axi)-morphisme. 11.13. Proposition. Si TJL et IL' sont deux univers, si VA=(V*,E,i, <|>, i|», (*)) et V'A = (V'#,B',i',<|>', i|>', w') sont deux catégories monoïdales tels que; - U 0 C 2¾ et U o C UQ , - V* est une sous-catégorie pleine de Y' * telle que Monos(V* )c Monos(V *) , - i = x', - B (resp. 4> ; i|i; CJ) est la restriction de B* (resp. <|>' ; \|i'; (*>• ), - V* et V * sont à limites inductives dénombrablement filtrantes et le foncteur inclusion est compatible avec ces limites inductives, - V * est à produits fibres de deux morphismes et pour tout couple (z',z) de deux morphismes de V * tel que; + JRy,«(z) s Pv,*(z')= v' (i.e. ils ont même but v ' ) , 79 + §ffvt*(z) est objet de V", + z' est un monomorphisme, il existe un produit fibre - z x, z* dans V * qui est objet de V", les limites inductives dénombrablement filtrantes commutent avec les produits fibres dans V *, - V ' est à XL -sommes et le foncteur inclusion V * c ^ V * est compa- tible avec ces sommes, - pour tout objet w de V'*, les foncteurs - B' w; V * »V * w B' -; V » V'# et (et donc leurs restrictions à V*) sont compatibles avec les limites inductives dénombrablement filtrantes (c'est le pas si V * est fermée). - tout morphisme de V *, dont la source est objet de V *, admet un X"-reflet dont la source est objet de V* (où X" =Monos(V' # ) ), alors, le foncteur Pyt*_ est ((V*-apor;o , Y.(V*-néof)0 )-engendrant. lie diagramme (IV) de II.7 vérifie donc la condition de génération de II.6« Dans la suite, nous supposons qu'on a effectué un choix de limites et de X"-reflets (pour celles et ceux dont l'hypothèse assure existence), dits canoniques, de sorte que le foncteur V* C 1' => V * soit compatible avec ce choix. De plus, si G* est un V1 *-néofoncte«r, on note, comme en 1.11, G sa V"-application orientée sous-jacente et, si B* est un V"-graphe multiplicatif, B désigne son V "-graphe orienté sous-jacent. Supposons donc que B A est un objet de V"-néof , F; A morphisme de V'"-apor >B est un où A est objet de V*-apor.Pour prouver la propo- sition qui précède, il nous faut construire des C",G*et îf "universels" devant vérifier les conditions représentées par le diagramme commutatif suivant : 80 V"-néof V"-néof X V-an [ V"-apor P V'"-an V"-apor B Ceci signifie, autrement dit, qu'il nous faut construire un triplet (C*,GA,H) vérifiant les conditions: CA est un objet de V"-néof (S) , G"; C" >B" est un élément de Y , H: A >C est une V"-application orientée telle que G.R = F . Pour construire ce triplet, d'après le Lemme 2 de 11.12, il revient au même de supposer que F est élément de l'ensemble Y construit en 11.12 . C'est donc ce que nous supposons dans la construction qui suit et que nous subdivisons, pour plus de clarté car elle est fort longue, en étapes a), b ) , ... a ) . Pour ce qui concerne les objets des structures et les restrictions aux objets des morphismes du triplet (C",G",H) que nous voulons construire, il est clair qu'il nous faut poser; - C; = {F(a)/a ?»o} - G: C* de 11.10 ), > B* , est l'inclusion (donc G vérifie la propriété (y") 81 - H: A F; A -* ->X" 5 sont telles que, pour tout couple (a* ,a) d'objets de A, le diagramme commutatif T'C .* V SJCc'.c) G*(c\c)eX» B*(c»,c) représente la décomposition de P ( a ' , a ) en son X"-reflet dans V • . 82 c). Pour pouvoir construire la (n + 1 )-ième étape de la récurrence, dont la première étape est définie en b) , à partir de la n-ième étape, il nous faut construire une famille (< M ( q , p )» m ( q , p ) ^(q.p) I***» • Ai TtTL Pour ce faire, supposons que, pour tout 1 ^ p ^ n, on ait défini les applications C*: C* x C* > v:o » —p o o -~> X" G*: C* —p o x C* o de telle sorte que, pour tout couple (c',c) d'objets de C", on ait: > BA(c',c) G:(c«,c): C*(c',c) —p -p . Alors, le diagramme commutatif (VI) ci-dessous, qui est, pour tout triplet (c",c*,c) d'objets de C % un produit fibre canonique dans V V'C I # >v' M (q,p) ( c "' C '' c ) (T(C»,C')3EC;(C',C) m (q,p)(C"'C,'C) mB*(c",c',c) Y G*(c",c')B'G~(c',c) -*q -p ( un tel diagramme existe par hypothèse, puisque m, r(c".c') BA(c',c) Ç£(c»,c')BCr(c»,c) * -q -p de plus t B"(c",c') B» BA(c\c) mQA(c",c* ,c) 6X" , et x(c",c',c) est alors un monomorphisme ), définit, pour tout 1 ^ p ^ n et tout 1^q N V , Monos(V*) d ) . Nous sommes, maintenant, en mesure de c o n s t r u i r e l e s ( (n + 1)-ième étape de l a r é c u r r e n c e ) : —n + i o o • * v ; > applications 83 A GA + 1 .; (T —n o x Co •* x» , -» V —n + 1 o o telles que, pour tout couple (c",c) d'objets de C*, le diagramme cidessous commute ï'c C , V ,.(c»,c) H n + 1v .(a",a)* » 'T G; + 1 (e" t e) e x » A(a",a) i • B*(c",c) I F(a»,a) ? et ceci, connaissant les applications ( n-ième étape de la récurrence): C*; C" x (T —n o o G*: c: x c: -n o o R : Ao x Ao0 —n > X" 7 -*v q u i , pour t o u t couple ( c " , c ) d ' o b j e t s de C*, rendent l e diagramme s u i vant commutatif: V* c » V Ç*(c»,c) Rn(a»,a) 4 G * ( c » , c ) G X» A(a",a) Nous procédons comme suit: - pour tout couple (c",c) d'objets de C A , le diagramme jr(c»,c) 8*f Çn(c",c») x ç;(c',c) Yn(c'\c',c) W Ç*(c",c) Yn(c",c définit une somme canonique dans V* (et donc dans V'*) de la famille ( ç;(c»,c) , (c;(c»,c») * c ; ( c , c ) ) c t . ) , o - pour t o u t couple ( c " , c ) d ' o b j e t s de C*, on d é s i g n e , en conséquence, par G"*(c",c) l ' u n i q u e morphisme de V * rendant commutatif, pour t o u t o b j e t c' de C*, l e diagramme Ç*(c»,C) * C;(c',c) c c \ ' H c "Y n < "» '» ) (nfn)(0"'e,'0> B A ( c " , c « ) 3E B * ( c ' , c ) (c»,c»,c) BA(c",c) c;(c»,c) Yn(c",c) G:(c»,c) C*(c»,c) - pour tout couple (cn,c) d'objets de C", on définit alors G£ et C* (c",c) en imposant que le diagramme 1 (c" t c) 85 VC ç; + ,(c»,c) W VcU'c)4 G; + iCC'.o) € X » B*(c»,c) ç;(c",c)i G^C'.c) représente la décomposition de GA(c",c) en son X"-reflet dans V , - enfin, nous posons, pour tout couple (a",a) d'objets de A, t -(a»,a) = R (c",c). Y^C'jc).!* (a»,a) —n + i —n n ** ( et on a bien, ainsi, ^n + 1 ( c "' c ) *? n + i< a "i a > = î ( a " i a > (Remarquons que seule la famille (Mr >• \(c"»c 1 f c))*^ Cependant, la famille (M, ^)(^11,0* ,c))1 . t 1< D sera a été utilisée, indispensable en g).) e). La construction précédente permet également de définir, pour tout entier n ^ 1 , une application "composition" k r * : C* x (T x C" G O O > V O n telle que, pour tout triplet (c",c',c) d'objets de C*, on ait; kc.(c",c',c); C*(c",c') s C~(c',c) > C* + 1(c»>fc) . n 11 suffit, en effet, de poser, pour tout triplet (c",c',c) d'objets de C~i w k cA (c",c\c) = lT(c",c ) . Y n (c" f c«,c) f). Désignons par . N* la structure de catégorie associée à l'ensemble ordonné tt« » $ ).La récurrence que l'on vient de définir va nous permettre de construire complètement (C*,G*,R) entassant à la limite" (i.e. à des {^T}-limites inductives et à des {N'xlT}-limites inductives). 86 Pour tout couple ( c " , c ) d ' o b j e t s de C*, nous d é s i g n o n s p a r : H ( c , v ) : N' ^ l e foncteur q u i , à t o u t (n + 1 , n ) : n V >n + 1 de N*, a s s o c i e : Y (c",c) H (c»,c) (n + 1 » n)î ^n (c "' c) y* — * E_(c",c) c Çn< "' c) — * C n+1(c"'c) Alors, le diagramme commutatif suivant: Ç*(c»,c) V,c) (n > V (c«,c)(û+1) représente, pjmr tout couple (c»,c) d'objets de C A , la limite inductive dénombrablement filtrante (i.e. la (N*}-limite inductive) de dans V" (et donc dans V ) ^(c.ttC) et ceci définit bien une application C~: C* x C* En vertu de la construction de d) — » V . , on établit facilement que la famille de moBomorphismes, indexée par H*, dont l'élément générique est: G:(C»,C): —n ' C*(c",c) —n » B*(c»,c), définit, pour tout couple (c",c) d'objets de CT, une transformation naturelle : S:(c»,c): -(c%c) (où C o n s t ( B * ( c » , c ) ) : N' ? -*v'" sur B * ( c " , c ) ), dont l a {N*}-limite i n d u c t i v e Const(B*(c«,c)) e s t l e est: facteur constant 87 G*(c" c) lim Z ( c „ c ) =Ç*(c",c) B*(c",c) = liç Const(B"(c",c)) > (on a bien BA(c",c) = lim Const(B"(c",c)) car N* est une catégorie connexe). Il en résulte que, pour tout couple (c",c) d'objets de C*, G*(c",c) est un monomorphisme (d'où Q A vérifie (y')), d'après la commutation des limites inductives filtrantes avec les produits fibres dans V'*, et donc que 1' on définit bien, ainsi, une application; G"; CA x C" ^ X" . — o o ^ Si, maintenant, on pose, pour tout couple (a",a) d'objets de it: .* ^ 2,(a"fa) R(a",a); X(a",a) _ v( * (voir la construction de b) C*(c",c) V (1) ° *°J » ÇA(c",c) ), on établit facilement que: G*(c",c).R(a",a) s F(a",a) et l'on définit bien une application; R*; ~A x A* — o o > V . Nous avons donc terminé la construction (annoncée en b))des "Hom à valeurs dans V* " des structures et des restrictions à ces "Hom" des morphismes du triplet (C*,GA,R). Il nous reste à construire ce qui concerne la composition, ce que nous faisons dans la suite• g). Supposons que (c",c',c) est un triplet quelconque d'objets de C*. D'après précédemment, nous avons les transformations naturelles: G2(c",c9; =( c .i c i) > Const(BA(c",c')) G2(c',c): H, . j Const(B*(c',c)) . #(N') (qui sont donc des morphismes de V * )• On en déduit une transformation naturelle: /B*(C",C')\ *:<««. c-> »' G : ( C . , C ) : (morphisme de V,,(N# x N # ) ),où: = o I I < e l ) • ' S ( e l f C ) Œ * _ » Const[ V ^ \ 88 -(c",c») x - (c»,c) •(c",c')S ~(c',c) : N* x N* > -»V V 'x V \ Comme,de plus, nous avons la transformation naturelle constante (morphxsme de V ): BA(c»,c'y Const ! S' | , BA(c',c) f A B (c",c')\ Constd&p^c'^c',c)): Const BA(c',c) l e diagramme (de T « ^ H x N ^ )• BA(c",c')\ Const V (c»,c») BA(c*,c) / Const(mT,^(c",c',c)) B' GA(c»,c') ~ B' S"(c',c) /B*(c",c») \ Const \B*(c',c) J , - (c',c) admet pour image dans V * , par l e f o n c t e u r e v , x: V " (N*xN*) ( é v a l u a t i o n en l ' o b j e t ( ( q , q ) , ( p , p ) ) de N* x N* ) , l e diagramme: BA(c",c') BA(c',c) \/ mg^C'^c' , c ) GA(c»,c«) £^(c»,c') B C*(c',c) <£(c',c) -p BA(c",c») B* A B (c',c) > V* 89 Comme V est à produits fibres, il en est de même de V **N x N ^ et ils s'y calculent "point par point". x Autiement dit, on peut prendre pour produit fibre dans V le diagramme (VII): Z = m^ M (-,-.) (c»,C) X H / B*(c",c') Const f 3E \ B^c',c) 4\ Const(mB^(c",c',c)) (c» f c) ^(cîr,cf ,c) B"(c",c') "(c",c') - B' "(c',c) Const B*(c',c) G^c^cMB'G^cSc) dont l'image par le foncteur ev/ * est le diagramme (VI) de c) (dont on rappelle qu'il est,par définition^un produit fibre dans V 1 * ) . Les hypothèses de commutation de limites et de compatibilité des foncteurs - H' w et w H1- (pour tout w€V'*) avec les limites induco tives dénombrablement filtrantes, et la connexité de N* x N* assurent que l'on peut choisir un foncteur "passage à la limite inductive" lim: vfTITxin >V, pour lequel l'image du diagramme (VII) précédent est un diagramme de la forme: ÇA(c",c') CA(c',c) mc»(c",c',c) 3E MGA(c»,c,,c) (V 111) v Const(C*(c",c)), ^( c . ïC ) dont l'image, par le foncteur lim,est (puisque N* x N* kcA(c",c',c): CA(c",c') x CA(c»,c) . Ainsi, nous avons construit les applications; m„* ; C* x CA x C* C o o o k„* : C" x C* x C* C o o o Mp* ; C* x C* x C" G o o o * Monos(V) . » ^V , } ^ 1 » V ^ w h ) . Pour achever la construction du triplet (C*,G*,H), il nous suffit donc de définir les applications; v : c; J o~* co * v aCA : c ; x c ; »v «CA s c * v > qui viendront, donc, s'ajouter à celles obtenues en a ) , f) et g ) . Si (c',c) est un couple quelconque d'objets de C*, nous posons; - 3c*(c) est le morphisme composé dans V"; 3c*(c); i . j^(a) > ): A(a,a) — _ ït(a,a) * C*(c,c) 91 ce qui d é f i n i t l ' a p p l i c a t i o n J C A , - J * c * ( c ' , c ) e s t l'unique morphisme de V* qui rend commutatif l e diagramme c i - d e s s o u s (on r a p p e l l e que l e diagramme ( V I I I ) e s t un p r o d u i t f i b r e dans V j : GA(c',c)B'i BA(c«,c) B» i A £ (c»,c)Bi -V(c',c) _^B*(c',c) ÇA(c»,c) x — CA(c,c) BA(c',c) x M_A(c',c,c) BA(c,c) Ç A (c\c) B Jc*(c) L m_*(c',c,c) GA(c',c) B* GA(c,c) Jf m - ^ c ' ^ c ) BA(c',c) B' BA(c,c) ce quii définit l'application ||CA (et par analogie, l'application 8«*) i) Nous laissons au lecteur le soin de prouver que CA est bien un VA-graphe multiplicatif (axiomes d'unitarité), GA est bien un V,A-néofoncteur (compatibilités) et R une VA-application orientée (compatibilité) et que (CA,GA,S) est bien "universel" (il lui faudra, bien sûr, de la patience, mais il lui suffira d'appliquer le caractère universel de chacune des constructions précédentes dans l'ordre où elles se présentent ). La proposition énoncée se trouve donc démontrée. Remarquons que l'on aurait pu utiliser des hypothèses légèrement plus 92 faibles, nous avons cependant préféré les énoncer sous cette form*, d'une part pour plus de facilité, d'autre part parce qu'elles sont toujours vérifiées dans la pratique. 11.1½. Les propositions de II.7, H . 8 , II.9, II.10, 11.11 et II.13 assurent que le Théorème général d'existence de limites inductives s'applique au diagramme (IV) de II.7 (i«e. à VA-néof ) et ce,sous des hypothèses qui sont la réunion des hypothèses de ces diverses propositions. Nous préférons cependant, pour fixer les idées, énoncer le Théorème particulier d'existence de limites inductives dans VA-néof avec des hypothè- ses un peu plus fortes (mais qui, de toute manière, sont "toujours" vérifiées dans la pratique). En effet, VAet V * jouent, intuitivement, des rôles analogues relativement aux univers XL o et 'U.l : la distinction qu'elles introduisent ne o ^ concerne, en fait, que la "taille" des objets considérés.Il nous a donc semblé préférable de ne pas distinguer avec précision les propriétés nécessaires, qui concernent leurs limites (et qui ne sont pas "techniquement" analogues dans V* et V , § ), de celles qui sont superflues. Théorème (Existence de limites inductives dans V*-néof) . Si et UQ *U.£ sont deux univers, si V* = ( V , H ,i, 4>, I|I , CJ ) et V * = (V #, Bf ,i», 4>§, +1, w1) sont deux catégories monoxdales, si °$ (resp. °3* ) est l'ensemble des catégories relatives à XL (resp. Vj ) et si, de plus; - *U 6 11 ' et o o — - V£l4. XX C IL» o o (première condition de taille ). * * (deuxième condition de t a i l l e ) , o * - V* est une sous-catégorie pleine de V ", 93 - B (resp. $; + ; w ) est une restriction de B' (resp. 4>'; i|» ' ; w ' ) $ - i = i' , - V" est à 3" -limites projectives, V * est à "3'-limites projectives et le foncteur inclusion V/c > V " est compatible avec ces limites, - V* est à 3 -limites inductives. V1 * est à 'S'-limites inductives et le foncteur inclusion V c > V * est compatible avec ces limites, - les limites inductives dénombrablement filtrantes commutent avec les produits fibres (de deux morphismes) dans V * - pour tout objet w de V *, les foncteurs w H* -: V * , - B' w: V # » V" et » V * sont compatibles avec les 3^-limi.tes inductives, - tout morphisme de V " , dont la source est objet de V*, admet une image dans V * dont la source est objet de V* (troisième condition de taille), - tout couple (z',z) de morphismes z: v tel >v' et z': v" *v" de V " , que z' est un monomorphisme de V * et v est objet de V", admet un produit fibre z x,z» qui est objet de V* (quatrième condition de taille), alors, la catégorie V^-néof est à 11.15. Soit IL çk-limites inductives» un univers et JC% (resp. ^ ) la caté- gorie pleine de néofoncteurs (resp. de foncteurs) relatifs à ^X . Moyennant l'axiome des univers (voir 0.12), il existe un univers IL' tel que; - U € U1 o o et U C o *— U' o (T.E.N.S). Si JP" (resp. 9 ') est la catégorie pleine de néofoncteurs (resp. de foncteurs) relatifs à Théorème de II. 14 *$> A-néof IL ' , il est évident que toutes les hypothèses du sont vérifiées.C' est dire que oAf'A-néof ) est à (resp. t> -limites inductives. On peut, évidemment, multiplier les exemples de cette nature. Exhibons, pour fixer les idées, une somme fibrée particulière dans la catégorie c^'^-néof. 9k Désignons par P A le «V" A-graphe multiplicatif qui n'a pas de 2-morphismes non triviaux et dont le graphe multiplicatif sous-jacent est représenté par: où T = f.g (intuitivement, c et c1 "représentent" deux catégories et (f,g) une paire de foncteurs). Soit, également, E A le «A*0'^-graphe multiplicatif n'ayant pas de 2-morphismes non triviaux et dont le graphe multiplicatif sous-jacent est représenté par: T (intuitivement, T représente un endofoncteur). Il est clair que l'on a un diagramme, dans tJf% *-néof , constitué de t/f'*-néofoncteurs "insertion": T" (voir Alors, la somme fibrée,dans <#*'*-néof IA) , de ce diagramme est un cA^*' *- 95 graphe multiplicatif AA tel que tout «A 6: A ' (où JT* -néofoncteur *3A est le ^'^-graphe multiplicatif sous-jacent à la structure canonique de 2-catégorie sur $ ) s'identifie à la donnée d'une paire d'adjoints F = 6(f) e(c) = c < — c = e(c) G = e(g) définissant le triple associé à la restriction de 8 àïA. On peut donc dire que: l'esquisse de paires d'adjoints (i.e. JL* ) est la somme fibrée, au-dessus de l'esquisse d'endofoncteur (i.e. E ~ ) , de l'esquisse de triple (i.e. T*) et de l'esquisse de paire de foncteurs (i.e. P*) ... ce qui n'est certainement pas fait pour surprendre. On voit, de nouveau, sur cet exemple, que la notion de graphe multiplicatif enrichi (et en particulier de 2-graphe multiplicatif, i.e. de ^' Agraphe multiplicatif) est beaucoup plus manipulable, d'un point de vue "géométrique" (i.e. pour décrire certaines structures ), que la notion de catégorie enrichie (et en particulier, celle de 2-catégorie) car on n'utilise (et on n'a à définir) que les seules relations nécessaires. Si certaines constructions paraissent compliquées, c'est soit qu'elles le sont aussi dans le cas des catégories enrichies (par exemple, pour prouver que VA-fonc est à limites inductives, on doit faire un raison- nement analogue à celui qui a permis d'établir le résultat de 11.14), soit qu'il s'agit d'établir un rapport entre la situation simple des graphes multiplicatifs enrichis et la situation riche des catégories enrichies (voir par exemple le Chapitre III concernant l'existence d' un adjoint au foncteur V*-fonc c » V^-néof 0 0 0 ). BIBLIOGRAPHIE. (A.D.E.C.) G. M. 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