D IAGRAMMES F LORENCE C URY Graphes multiplicatis enrichis. Partie I Diagrammes, tome 51-52 (2004), exp. no 1, p. 1-46 © Université Paris 7, UER math., 2004, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUMES 51 + 52,2004 GRAPHES MULTIPLICATIS ENRICHIS PARTIE I Florence Cury A.M.S. Sub. Class : 18 D 05,18 D 20 «... On ne naît pas femme: on le devient... » Simone de Beauvoir Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Madame Andrée Ehresmann et à Monsieur Charles Ehresmann qui ont dirigé ce travail et n'ont jamais hésité à m'accorder, largement, de leur temps. Qu'il me soit, aussi, permis de remercier Messieurs François Norguet et François Foltz qui m'ont fait l'honneur de bien vouloir participer au Jury de cette Thèse. INTRODUCTION. C. Ehresmann a défini la notion dfesquisse (E.T.S.A.) pour décrire les différents genres de structures algébriques usuelles par des procédés de nature catégorique» Une telle description consiste en la donnée d'un diagramme (i»e. de "flèches11 ) , de composés de certains couples de flèches consécutives de ce diagramme, d'égalités entre ces composés et de "propriétés universelles" (au sens de la Théorie des Catégories) qui décrivent les axiomes et les données du genre de structure considéré. On peut, ainsi, construire une esquisse pour le genre "structure de groupe11 (resp. pour le genre "structure d1anneau" , le genre "structure de catégorie", ...) et un foncteur de l'esquisse des groupes (resp. des anneaux, des catégories, ...) vers la catégorie des applications entre ensembles, qui "respecte" les propriétés universelles, s'identifie à un groupe (resp. à un anneau, à une catégorie, . . . ) • Comme, dans la pratique, la définition d'une structure algébrique est donnée de la manière la plus économique possible (i.e. sans axiomes surabondants), l'idée fondamentale de la théorie des esquisses est de respecter cette conception "minimaliste".En ce sens, elle se distingue des autres descriptions, de nature catégorique, des structures algébriques (par exemple, à l'aide de triples ou de "théories" de Lawvere). C'est pourquoi C. Ehresmann a été amené à affaiblir la notion de catégorie (où tous les couples de flèches consécutives ont un composé) en celle de graphe multiplicatif (où deux flèches consécutives ne sont pas néces- sairement composables). Dans le mime ordre d'idées, notre but initial était d1 appliquer la méthode de C. Ehresmann à la description des structures enrichies dans les catégories enrichies (par exemple, au sens de S. Eilenberg et G. M. Kelly (C.L.C.A.) ) . Ainsi, dans le cas des structures 2-algébriques dans une 2-catégorie, il s'agit d'enrichir les diagrammes à utiliser en introduisant des 2-morphismes entre leurs ( 1-)morphismes (i.e. des <^7 |T__^ )• Plus généralement, pour conserver l'idée fondamentale de C. Ehresmann, il apparaît nécessaire de développer une théorie préliminaire des graphes multiplicatifs enrichis: c'est l'objet du présent travail. Ce texte peut être, aussi, considéré (indépendamment des motivations précédentes) comme une théorie formelle autonome généralisant celle des catégories enrichies «Néanmoins, nous n'avons jamais perdu de vue notre objectif initial (et plus lointain), que ce soit dans le choix des propositions et théorèmes énoncés ou dans le choix de certains exemples .En particulier, les théorèmes d'adjonction des Chapitres III et IV (qui permettent, notamment, d'associer une 2-catégorie libre à un 2-graphe multiplicatif) posent les bases théoriques nécessaires au passage futur d'une esquisse enrichie à son type enrichi libre (au même titre qu'une esquisse usuelle engendre un type libre).De même, l'exemple du 2-graphe multiplicatif "esquisse des triples", utilisé à plusieurs reprises, a été choisi (ainsi que son nom!) pour donner un premier exemple simple d'esquisse enrichie (il ne fait que reprendre, d'ailleurs, une idée bien répandue (C.D#S«T.) et (A«M.C#A#), cependant, seul notre contexte lui donne un sens rigoureux). Dans le Chapitre I, nous donnons les définitions précises de graphe multiplicatif enrichi et de néofoncteur enrichi .On définit ainsi la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis (associés à un univers donné) et des foncteurs d'oubli vers les catégories de structures sousjacentes.On y trouve comme exemples le 2-graphe multiplicatif "esquisse des triples", cité ci-dessus, et la construction du graphe multiplicatif enrichi (par les catégories) des spans d'une catégorie qui n'a pas nécessairement tous les produits fibres, ce qui interprète et prolonge le point de vue de J. Sénabou (I.N.B.I.). Le Chapitre II est consacré à l'étude des limites dans la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis (associés à un univers donné).Nous y donnons, tout d'abord, une construction explicite des limites projectives (relatives à cet univers) dans cette catégorie.Utilisant, ensuite, une version légèrement raffinée du Théorème d'existence de limites inductives de C. Ehresmann (C.O.S.L.), nous prouvons que la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis en question est à limites inductives (relatives à l'univers donné).Par exemple, nous montrons que la somme fibrée (qui existe donc a priori) de l'esquisse de triples et de l'esquisse de paires de foncteurs, au-dessus de l'esquisse d'endofoncteurs, est l'esquisse de paires d'adjoints, comme on pouvait s'y attendre. Dans le Chapitre III, nous construisons explicitement la catégorie enrichie libre engendrée par un graphe multiplicatif enrichi.On démontre ainsi un premier théorème d'adjonction: le foncteur d'oubli de la catégorie des catégories enrichies (associées à un univers donné) vers la ca- tégorie des graphes multiplicatifs enrichis (associés à cet univers) admet un adjoint, sous des hypothèses simples concernant la catégorie qui sert à enrichir et qui sont toujours vérifiées dans la pratique. Dans le Chapitre IV, nous étudions le problème du "changement d'enrichis- sèment".Si V et W sont deux catégories qui permettent l'enrichissement (i.e. si elles sont monoxdales), à certains foncteurs Q: V >W (i.e. à de bons foncteurs mono'idaux) on associe des foncteurs d'oubli, admettant des adjoints, de la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis (resp. des catégories enrichies) par V vers la catégorie des graphes multiplicatifs enrichis (resp. des catégories enrichies) par W.On démontre ainsi un second théorème d'adjonction, et ce à l'aide du Théorème d'existence de structures libres de C. Ehresmann (C.OôS.L.). On applique en particulier ce résultat et celui du Chapitre III lorsque V est la catégorie des catégories (ensemblistes) et W celle des graphes multiplicatifs (ensemblistes): tout 2-graphe multiplicatif engendre une 2-catégorie libre, comme nous l'avons déjà signalé. On sfest efforcé de rendre le texte aussi abordable que possible (malgré d'inévitables passages "techniques"): - en tête de chaque Chapitre, figure un sommaire résumant ce qui y est traité, - dans l'énoncé de chaque proposition ou théorème, sont systématiquement données les hypothèses nécessaires à sa démonstration, - dans le Chapitre 0 sont rappelées les quelques définitions utiles qui permettent de préciser la terminologie employée et de fixer les notations systématiques qui y afférent. 0 0 0 CHAPITRE 0: TERMINOLOGIE ET NOTATIONS. P. 5 P. 6 P. 6 P. 8 P. 9 P. 10 P. 11 P. 14 P. 15 P. 16 P. 17 P. 17 P. 18 0.0, Univers. 0,1. Graphes orientés et applications orientées. 0.2. Catégories et foncteurs. 0.3. Graphes multiplicatifs et néofoncteurs. 0.^. Transformations naturelles, cônes projectifs et inductifs, limites projectives et inductives. 0.5. Catégories monoldales. 0.6. Catégories enrichies et foncteurs enrichis. 0.7. Graphes orientés enrichis et applications orientées enrichies. 0.8. F'-monomorphismes. lorsque F* est un foncteur. 0.9. Morphismes. sous-morphismes engendrés. 0.10.Foncteurs engendrants. 0.11.Reflets. 0.12.Hypothèse générale. 0.0. On appelle univers tout ensemble tl d'ensembles contenante (M.M.A.G.) et (T.E.N.S.) ): - avec un ensemble A, toute partie A* de A ainsi que u (A), - avec deux ensembles, leur produit cartésien, - avec une famille d'ensembles indexée par un élément de l'univers, sa réunion, - l'ensemble des entiers. Dans ces conditions, on désigne par IX la catégorie pleine d'applications entre les ensembles appartenant à H. 0.1. Une structure de graphe orienté (parfois appelée, dans la "littérature", graphe ) sur un ensemble A est systématiquement Z&J = ( A Q ,A, et r .-., 3 ». .J notée (car on ne considérera jamais deux structures de graphes orientés sur le même ensemble), c'est dire que: - AQ est l'ensemble des objets du graphe orienté £A3 (c'est donc une partie de A ), -*rA-i (resp.fti-A-i)e s * l'application "source" (resp. "but" ) de A vers A o • Si CA3 est un graphe orienté, si a et a1 sont deux objets de CA1 (i.e# deux éléments de A >af ),l'ensemble de tous les morphismes z: a (i.e. des z Ç A tels que ^/rA-r (z) = a et = a * ) e s t noté 'VA"/2^ Hom . (a1,a) ou, dans certains cas, CAZ3(a' ,a) • Si EAU et CBII sont deux graphes orientés, une application orientée (iee. un homomorphisme) de CAD vers £BD est notée 1IFI1 = (LBD,f , D Q ) si f: A >B est son application sous-jacente. Si *U est un univers, on dit qu'un graphe orienté CA3 est relatif à XL si, et seulement si, A appartient à 'U. .Alors I désigne la catégorie ^o pleine d'applications orientées relatives à IL 9 i.e. entre graphes orientés relatifs à XJL .De plus, P n : L\ ^ 1-L désignera le ° 'il* % foncteur d'oubli qui, à un CAU,associe son ensemble sous^jacent A. Lorsque le contexte ne présente pas d'ambiguïté, on posera L et Pn = Pp (et \2.1 = P f iu i ^> = | si 1if est un autre univers). 0.2. Une structure de catégorie sur un ensemble A est systématiquement notée A* = (A*,A,]|A», & A •*&£•) quand "•" est son symbole de composition (et on n'aura jamais à considérer deux structures de catégories différentes sur un même ensemble) et ceci signifie, en particulier, que : - A" est l'ensemble de ses objets (on le regardera toujours comme une partie de A, à une identification éventuelle près), - & . (resp. g\. ) est son application source (resp. but) de A vers A* (et ( AQ ,A, ^ A » I §£•) e s t u n graphe orienté, dit sous-jacent à A*, et noté £A*J ou même CAl), - A# x A* est l'ensemble de ses couples composables. i.e. la partie de A x A dont les éléments sont les couples (z* ,z) - k . : A* Ï A" » A tels que ex (z!) = S..(z), est son application "composition" (et l'on pose, quand cela a un sens, k/.«(z',z) = z'.z ) . Pour tout couple (a1,a) d'objets d'une catégorie A", on pose: Hom^.^a',a) =Hom A .(a',a) Si A* et B* sont deux catégories, un foncteur de A" vers B", dont l'application sous-iacente est f: A =* B , est noté F* = (B*,f,A*). Pour tout morphisme z de A", nous noterons, indifféremment (selon le degré de précision ou de commodité requis), f(z) = F*(z) • Si H est un univers, on dit qu'une catégorie A* est relative à et seulement si, A appartient à 11 catégorie pleine de foncteurs relatifs à 11 .De plus, Pn : J0| u o si, (ceci équivaut à dire que le graphe orienté sous-jacent à A" est, aussi, relatif à IL ).Alors J-. latives à Ti UL désigne la , i.e. entre catégories re- > U- désignera alors le fonc- ^o teur d'oubli qui,à A*, associe son ensemble sous-.jacent A.Comme précédem= ment, on posera, pour plus de simplicité, 3= J et P« ^«i (et ^n., = J' si U' est un autre univers). o —> On dit que V = (V*,i) est une catégorie pointée si, et seulement si, V* est une catégorie et i est un objet de V' (en fait nous n'aurons à considérer que des catégories pointées sous-jacentes à des catégories monoxdales où l'objet "qui pointe" est l'unité du produit tensoriel, voir 03 )• 8 Si IL est un univers et V = (V#,i) est une catégorie pointée, on dit que V est une catégorie pointée au-dessus de H. si, et seulement si, pour tout objet a de V (i.e. de V # ) l'ensemble Homy..(a,i) appartient à IX .Dans ces conditions, on a donc un foncteur Par exemple, si 1 = £0} , la catégorie pointée ^XL. Hom«.(-,i): V* *T-L= (tl,1) est au-dessus de tJL0.De même, si il est la catégorie n'ayant qu'un seul objet 0 et aucun morphisme non trivial (i.e. qui n'est pas un objet ), alors J = ( J *H ) est une catégorie pointée au-dessus de l'univers IL . o 0.3» Une structure de graphe multiplicatif sur un ensemble A est notée, comme pour une structure de catégorie, A*=(A^,A, a . ., B..,kA.) et les symboles utilisés y ont le même sens qu'en 0.2 (voir aussi 1.3 ) . Il s'agit d'une structure plus faible que celle de catégorie^ en ce sens que la loi de composition n'y est pas supposée associative et que, si z: a — > a' et z': a' > a" sont deux morphismes "consécutifs" d'un gra- phe multiplicatif A#, ils n'y sont pas nécessairement composables (i.e. le couple (z',z) n'est pas nécessairement élément de A* x A* ).Sans oublier cette distinction, nous reprendrons donc des notations analogues à celles de 0.2. En particulier, un néofoncteur d* un graphe multiplicatif A* vers un graphe multiplicatif B" , dont l'application sous-jacente est f: A" > B*, est encore noté F* = (B*,f,A#) (voir M.M.A.G.). De même, si 11 est un univers, on dit que A* est un graphe multiplicatif relatif à tj o si. et seulement si,* A appartient à 11 o .Alors JC* 1 il catégorie pleine de néofoncteurs relatifs à 11 (i.e. entre graphes mul- tiplicatifs relatifs à IL ) et P , : Jff ctf! est la > U uQ est le foncteur d'oubli. = Of* et Py,, On pose aussi, pour simplifier, %/C* (resp. si IL' est un autre univers)t Alors, P «: 3 ^ Jp' P' : ^J-' ) est le foncteur d'oubli injection canonique qui, à une catégorie A*, associe le graphe multiplicatif ... A* (on vérifie aisément que \$ (resp. 9') est une sous-catégorie pleine de oV9' (resp. cA*"), c'est ce qui formalise l'analogie entre ces deux types de structures)» De même, P :0V*1 -» F est le foncteur d'oubli qui,à un graphe multiplicatif;associe son graphe orienté sous-jacent. 0.4. Si F': A- > B# et foncteurs, une transformation naturelle G*: A# 8 > B* sont deux ,de F* vers G", est un tri- ple t : -B = (G # ,8,F') t où 8 est son application sous-jacente (i.e. 1' application qui7à tout objet a de A % associe un morphisme 6:A^ ^ B 8(a) = 8(a):F*(a)—*G*(a) et qui vérifie les conditions de commutation usuelles). On note, alors, B la catégorie des transformations natu- relles entre foncteurs allant de A* vers B* et " C D " sa loi de composition (pour bien la distinguer de la composition "." de A* et B#).C'est dd 8* • F* * > G1 # sont deux tram .(A-) formations naturelles, morphismes de B , elles sont composables si, re que,si 8: F* > „ G* et et seulement si, G* = F'# et leur composé est une transformation naturel: 81 oae Si F*: A* y : F* >B* fit* est un foncteur et b un objet de B", on appelle cSne projectif (resp. induetif ), de base F" et de sommet b, toute transfoj mation naturelle: Const(b ) = = £ = = - F* où Const(b): A* de B* ^ B* (resp. F* ====^==== Const(b) ), est le foncteur constant sur l'objet b (i.e. dont l'application sous-jacente est l'application constante sur b).En particulier, une limite projective (resp. induetive) naturalisée (il nous arrivera d'omettre ce qualificatif par commodité) de F* est un cône projectif (resp. inductif ) de base F # vérifiant la condition universelle bien connue. Si, de plus, b est son sommet, on dira aussi qu'il s'agit d'une limite projective (resp. induetive) de F # . 10 Si B* est une catégorie et cR un ensemble dont les éléments sont des catégories, nous dirons que B* est une catégorie à <&-limites pro.iectives (resp. inductives) si, et seulement si: - pour tout élément (i.e. toute catégorie) A# appartenant à Ji foncteur F*: A* , tout >B* admet une limite projective (resp. inductive). Si £ est un ensemble dont les éléments sont des ensembles et si B* est une catégorie, nous dirons que B* est à S -produits (resp.-sommes) si, et seulement si: - pour tout élément (i.e. tout ensemble) E de £ F#: E E , tout foncteur »B* admet une limite projective (resp. inductive), lorsque désigne la structure de catégorie discrète (i.e. "où il n*y a que des objets") sur E. 0.5. Une structure de catégorie monoïdale sur un ensemble V est systématiquement notée V* = (V*,B,i,,ip,u>), c'est dire que: - V* est une structure de catégorie, dite sous-jacente à V*, sur V, >V # - B: V* x V* est un foncteur (que l'on notera aussi -B- ) appe- lé produit tensoriel de VA, - i est un objet de V" appelé unité de VA ou de B , - : Idv. > = -Bi (resp. vp : Idy. > iB- ) est une transfor- mation naturelle inversible (i.e. une équivalence naturelle) dite d'unitarité à droite (resp. à gauche), - w: -B(-B-) - 0(i): i > (-B-)B- est une équivalence dite d'associativité, > iBi est un morphisme de V* égal à M>(i): i >iBi (nous ne rappellerons pas les autres axiomes de "cohérence" que doivent vérifier les transformations naturelles ,~i|7 et u> car nous ne les utiliserons pas explicitement dans la suite, on pourra cependant les trouver en (C.L.C.A.) ) . 11 0 . 6 . Désignons par V* une c a t é g o r i e monoxdale. Une s t r u c t u r e de V * - c a t é g o r i e (ou c a t é g o r i e e n r i c h i e par V*) e s t s y s tématiquement notée AA= ( A * , A A , j . A , k A * ) , c ' e s t d i r e que: - A~ e s t un ensemble, d i t ensemble - A": A* x A* — o o - J A A: A^ > V' -^ V des o b j e t s de A A , est une application, est une application qui, à tout objet a de A*, associe un morphisme (de V#)de la forme: > AA(a,a) , J A ^(a): i - k.*: A" x A" x A" A O O -> V est une application qui, à tout tri- O plet (a",a»,a) d'objets de AA, associe un morphisme (de V") de la forme: kA*(a»,a»,a): AA(a" ,a')BAA(a» ,a) > A"(a",a) , - pour tout couple (a',a) d'objets de A* les deux diagrammes suivants commutent: A f A (a ,a)Bi AA(a',a)BJA*(a) *A*(a',a)BA*(a ,a) 0~1(A*(a',a) (a' ,a,a) AA(a',a) JA„(a')BAA(a',a) A"(a'fa')BA"(a',a) iBA"(a',a) * -1 < AA(a»,a) ) f A(a ,a',a) A*(a',a) - pour tout quadruplet (a"1 ,a",a',a) d'objets de A % le diagramme suivant est commutatif: 12 A*(a»',a") B A A (a»,a) -A~(a»•,a")H(A"(a»,a')BA~(a»,a)) A"(a»',a») B k. A (a",a\a) k A ~(a"',a",a) w(A*(a»«,a"),A A (a»,a'),A*(a«,a)) AA A*(a" l ,a l ) B A~(a»,a) *^ *^"' J (A*(a" • ,a» )BA'v(a» ,a' ) )HA*(a • ,a) k AA (a»',a»,a') 0 A*(a»,a) Pour justifier très brièvement la terminologie et la notation utilisées, nous rappelons qu'à toute V*-catégorie A" on peut associer une catégorie A* (ce qui donne la signification du "A" de A * ) , dite sous-jacente à A*, pour laquelle, en particulier: - A est l'ensemble réunion disjointe (i.e. somme) des Hom v .(A A (a',a),i)> où (a*,a) varie dans A* x A* , o o - A* est 1»ensemble réunion disjointe des jj.»(a)|, où a varie dans A ^ (il est donc isomorphe à A") (pour.une construction-complète, le lecteur pourra s• inspirer ? par exemple, de la construction plus générale du graphe multiplicatif sous-jacent à un V-graphe multiplicatif, donnée en I.1*f ) . 13 Si A" et B* sont deux VA-catégories, un VA-foncteur de A" vers B* est systématiquement noté F" = (B A , (F,FA) ,A A ), c'est dire que: - F: A' ->• B* est une application, - F A : A" x AA — o o -> V est une application qui, à tout couple (a1,a) d'objets de A A , associe un morphisme de la forme: F A (a',a): A A (a',a) * B A (F(a»),F(a)), - pour tout objet a de A*, le diagramme suivant est commutât if: A A (a,a) ^ -y BA(F(a),F(a)) » JB.(F(a)) JA*(a) - pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A A , le diagramme suivant est commutatif: A A (a",a) FA(a",a ) B A (F(a»),F(a)) y, kA*(a»,a',a) /> AA(a",a') B A A (a',a) />kB<,(F(a»),F(a'),F(a)) FA(a»,a»)BFA(a',a) B A (F(a»),F(a')) B B A (F(a»),F(a)) Comme plus haut, on sait qu'à tout VA-foncteur F A : AA on peut associer un foncteur F*: A" > BA » B", dit sous-jacent à F A , en- tre les catégories sous-jacentes à A A et B A (pour le construire explicitement, on peut s'inspirer, par exemple, de la construction plus générale de 1.1*0. 1-+ S i *U. e s t un u n i v e r s , nous désignons par VA - f o n c l a c a t é g o r i e p l e i n e de ^o V A -foncteurs e n t r e V * - c a t é g o r i e s dont l e s ensembles d ' o b j e t s s o n t éléments de 11 . S i l a c a t é g o r i e p o i n t é e v = ( V * , i ) , s o u s - j a c e n t e à V*, e s t a u - d e s sus de U ( e t nous dirons a l o r s que V* e s t une c a t é g o r i e monoïdale a u - dessus de IL ) , on en déduit un foncteur d ' o u b l i V* - f o n c o à tout objet A A , a s s o c i e sa c a t é g o r i e s o u s - j a c e n t e A*. •*? qui, L o r s q u ' i l n'y aura pas de confusion p o s s i b l e , nous poserons V* -fonc=V*-fonc, En p a r t i c u l i e r , on v é r i f i e que ^ , lorsque lL A -fonc e s t une c a t é g o r i e é q u i v a l e n t e à tLA e s t l a s t r u c t u r e c a r t é s i e n n e u s u e l l e sur cl. 0 . 7 . S o i t V = ( V * , i ) une c a t é g o r i e p o i n t é e . Un V-graphe o r i e n t é (ou graphe o r i e n t é e n r i c h i par V) e s t s y s t é m a t i q u e ment noté X = ( A c , A , j £ ) , c f e s t d i r e que : - A e s t un ensemble, d i t ensemble des o b j e t s de A, - A: A x A - j-#: A 9 V* > V e s t une a p p l i c a t i o n « , e s t une a p p l i c a t i o n q u i , à t o u t o b j e t a de A, a s s o c i e un morphisme (de V # ) de l a forme: jj(a): i »T(a,a). Une telle notion a été introduite par F. Foltz dans le cas où V = (V*,i) est la catégorie pointée sous-jacente à une catégorie monoïdale V*. Lorsqu'il en est ainsi, nous dirons aussi qu'un "V-graphe orienté est un VA-graphe orienté. y > —4^ —> Si A et B sont deux V-graphes orientés, une V-application orientée de A vers B est notée F = (B, (F,F) ,A), c'est dire que: - F: A **v> e s * u n e aPPlica"ti°nf - £: A x A ^V est une application qui, à tout couple (a1,a) d'objets de A, associe un morphisme de la forme: "f(a',a): J(a',a) 3>lt(F(a' ),F(a)) } - pour tout objet a de A, le diagramme ci-dessous est commutatif : 15 a) B(F(a),F(a)) j A(a) I V \ y^Jf(F(a)) Si Test sous-jacente à une catégorie monoxdale V A , nous dirons aussi qu'une v-application orientée est une V*-application orientée (et il s'agit alors des homomorphismes de V*-graphes orientés de (C.O.C.A.)). Si IL Q est un univers, nous désignons par VI -apor la catégorie pleine de V-applications orientées entre V-graphes orientés dont l'ensemble d'objets est élément de tLo.Si V est sous-jacente à une catégorie monoïdale, nous posons V,. -apor = V~ -apor.Nous poserons, pour plus de simo o plicité, v u -apor = V-apor et V ^ -apor = V^-apor (quand v est sous-jacente à une V A ) lorsqu'aucune confusion ne sera à craindre. En particulier, on vérifie que /UJ*-apor est une catégorie équivalente à la catégorie I . 0.8. Soit F*: A* Un morphisme z: a > B # un foncteur. >a' de A* est appelé un F * -monomorphisme si, et seulement si: - f(z) est un monomorphisme de B # , - pour tout z': a" > a' dans A* et tout z":f(a") ^f(a) dans B' vérifiant f(z).z" = f(z'), il existe un unique morphisme z": a" ^ a de A* tel que z»z" = z' (on pourra se reporter au diagramme ci-dessous) et f(z") = z" puisque f(z) est un monomorphisme. Nous dirons, dans ces conditions, que a définit une F*-sous-structure de a' * Remarquons également qu'un F#-monomorphisme est, en particulier, un monomorphisme • 16 f(a') f(z) f(a») lf(a) ->B# A* F* 0.9. Soit F*: A* ~> B* un foncteur, X une partie V de A et A* une partie de A*. o * o Si a est un objet de A" et z: b dirons que le morphisme t: a1 ->f(a) est un morphisme de B", nous ^ a est un (X.A*,F*)-morphisme (ou un (X.A* ,F* )-sous-morphisme de a) engendré par z (C.O.S.L.) si, et seulement si: v - a' est élément de A , o' - t est élément de X, - il existe un morphisme r: b ^f(a') dans B* tel que z = f(t).r , - pour tout triplet (a",t',rf) "analogue" au triplet (a',t,r) (voir le diagramme ci-dessous), il existe un unique morphisme t: a' tel que t'.t = t ^ a" de A* et f(t).r = r' (remarquons que cette dernière égalité est automatiquement vérifiée, lorsque la première l'est, si f(t') est un monomorphisme de B* et donc, en particulier, si X est une classe de F*-monomorphismes). La notion de sous-morphisme engendré étant, en général, associée à une classe X de monomorphismes de A* ou de F*-monomorphismes9 nous désignerons 17 par Monos(A') l'ensemble des monomorphisme s de A* t -f a ti X A* B* f(a») f(t«) f(a) 0.10.Soit F': A*. -*B" un foncteur, X une partie de A, A* une partie de A* et B* une partie de B* . ' o * o o * o Nous dirons que F* est un foncteur (B*, X. À * ) -engendrant (C.O.S.L.), si et seulement si: - pour tout objet a de A* et tout morphisme z: b f(a) de B* tel que b soit élément de B*, il existe un (X.A* ,F* )-morphisme engendré par z, au sens de 0.9» 0*11. Soit A # une catégorie et X une partie de A. Nous dirons que le morphisme z: a le morphisme t: a" - t est élément de X, » a* de A* admet pour X-reflet > a' de A* si, et seulement si: 18 - il existe un morphisme r: a > a" de A* tel que t.r = z, - pour tout couple (t',r') de deux morphismes de A* tels que + t' est élément de X, + t'.r' = z, il existe un unique morphisme h de A* tel que t'.h = t et h.r = r' (on pourra se reporter au diagramme ci-dessous). Nous dirons aussi, avec ces notations, que a" est un X-reflet de z. Au sens de 0.9, on constatera qu'un X-reflet de z est aussi un (X.A*,Idfl.)-morphisme engendré par z. O A En général, on prend pour X une partie de Monos(A*).Par exemple, si X = Monos(A*), un X-reflet de z est une image de z, au sens usuel. t'«X 0.12. Dans toute la suite on raisonne dans un bon modèle de la théorie des ensembles avec axiome des univers (T.E.N.S.). 0 0 0 19 CHAPITRE I: GRAPHES MULTIPLICATIFS ENRICHIS. 1.1. Définition d'un graphe multiplicatif enrichi. 1.2. Exemple : graphe multiplicatif enrichi sous-jacent à une catégorie enrichie. 1.3. Exemple : graphe multiplicatif comme graphe multiplicatif enrichi par les ensembles. 1.½. Exemple: "esquisse" des triples comme graphe multiplicatif enrichi par les graphes multiplicatifs. 1.5. Exemple: graphe multiplicatif enrichi (par les catégories) des spans d'une catégorie (n'ayant pas tous les produits fibres). 1.6. Définition d'un néofoncteur enrichi et catégorie des néofoncteurs enrichis. 1.7. Exemple : néof oncteur enrichi sous-jacent à un foncteur enrichi, I#8. Exemple: les néofoncteurs comme néofoncteurs enrichis par les ensembles. 1.9» Exemple : triple comme néofoncteur enrichi de l'esquisse de triple dans la 2-catégorie des catégories. 1.10.Exemple: catégorie interne à une catégorie comme néofoncteur enrichi de l'esquisse de triple dans le graphe multiplicatif enrichi des spans de cette catégorie • 1.11.Application orientée enrichie sous-jacente à un néofoncteur enrichi. 1.12.Application orientée sous-jacente à une application orientée enrichie. 1.13«Application orientée sous-jacente à un néofoncteur enrichi. I.1*f. Néof oncteur sous-jacent à un néof oncteur enrichi. 1.15.Rappel ensembliste: reflet d'un néofoncteur. 1.16.Reflet d'un néofoncteur enrichi. P. 19 P. 21 P. 21 P. Zk P. 27 P. 30 P. 33 P. 33 P. 3^ P. 35 P. 36 P. 36 P. 37 P. 37 P. 39 P. M 1.1. Définition. Si V*= (V,B,i, (J> , <|i , u ) est une caté- gorie monoïdale, nous dirons que A* = (A* , A", JA*, mA*, k ^ , aA*f £A-J est un V-graphe multiplicatif si, et seulement si: " ^Ao* A % î ^ est u n - mA*: A* x A* x A* V*-graphe orienté, dit sous-jacent à A*, ^ V est une application telle que, pour tout (a",a',a) e A* x A* x A* , le morphisme mA*(a",a',a) est un mono- morphisme, dit monomorphisme des composables.de but AA(a'f,a') B A*(a',a) et dont la source , notée A~(a",a') x A*(a',a), sera appelée l'objet des couples composables de A* relatif à (a",a',a), " ^A** ^o x ^o x A o > V est une application où, pour tout (a",a',a)#A* x AJ x Aj , le morphisme 20 k A . ( a » , a ' , a ) : A*(a»,a') x A"(a»,a) •* A~(a",a) sera appelé morphisme de composition de A* r e l a t i f à ( a " , a ' , a ) , - _5*£*î A* x A* -» V e s t une a p p l i c a t i o n pour l a q u e l l e , quel que s o i t ( a ' , a ) C A * x A* , l e morphisme _ i A * ( a « , a ) : A*(a' , a ) B i » A~(a',a) x A*(a,a) sera appelé morphisme d'unitarité à droite de A* relatif à (a 1 ,a), g»*: A* x A* > V est une application pour laquelle, quel que soit (a',a)eA* x A* , le morphisme PA*(a',a ): iBA*(a',a) ». A*(a« ,a» ) x A*(a» ,a) sera appelé morphisme d'unitarité à gauche de A* relatif à (a1 ,a), - (axiome d'unitarité à droite) pour tout (a1,a) e A* x A* le diagramme ci-dessous commute: A*(a»,a) B A*(a,a) A*(a',a) B mA*(a' ,a,a) jA*(a) A*(a',a) x A*(a,a) A*(a»,a) B i kA*(af,a,a) •"1(A*(a»,a)) A*(a»,a) - (axiome d'unitarité à gauche) pour tout (a*,a) e A* x A* le diagramme ci-dessous commute: A*(a»,a') B A*(a»,a) mA*(a' ,a' ,a) JA*(a») B A*(a',a) i B A*(a',a) A*(a',a») x A*(a«,a) V ( a '. a , .a) i|p"1(A*(a»,a)) AA(a',a) (On remarquera que, pour tout (a',a)^A* x A* , les morphismes js^^a' ,a) et &*(a',a) sont les seuls rendant commuta tifs les deux diagrammes ci- 21 dessus du fait que mA*(a',a,a) et mA*(a',a',a) sont des monomorphismes• ) 1.2. Le premier exemple (formel) de V*-graphe multiplicatif que nous allons donner est celui ... des VA-catégories • Supposons que AA = (AA , A* , J A A , k A *) soit une V*-catégorie. Pour tout (a",a',a) e A* x A* x AA , nous posons: o o o - AA(a",a') x AA(a',a) = AA(a»,a») B A*(a',a), - mA.(a»,a',a) = AA(a»,a') BA*(a',a) , - ^ A *(a',a) = A*(a',a) B JA*(a), - jBA-(a',a) = JA*(a') B A A (a',a). Il est alors clair que (AA, AA, JA„, m ^ , kA^, otA*, j*£~) est un VA-gra- phe multiplicatif dont nous dirons qu'il est associé, ou sous-jacent. à la VA-catégorie A A . Pour plus de commodité, nous identifierons fréquemment une V*-catégorie à son VA-graphe multiplicatif sous-jacent. Ainsi, une VA-catégorie AA est un VA-graphe multiplicatif où: - pour tout triplet d'objets (a",a' ,a) e AA x AA x AA , l'objet des couples composables de AA relatif à (a",a',a) est le plus grand sous-objet possible de AA(a",af) B A*(a',a) (i.e. lui est égal), alors que,dans un VA-graphe multiplicatifjil peut n'être qu'un sous-objet propre (i.e. non isomorphe) ^ - la composition est associative. Ces deux points sont évidemment ceux qui différencient, dans le cas ensembliste, la structure de catégorie de celle de graphe multiplicatif. 1.3. Le deuxième exemple qui s'impose provient du cas ensembliste (ne serait-ce que pour justifier de nouveau la définition de 1.1 et la terminologie qui y est adoptée). Soit U un univers (voir 0.0) tions entre les éléments de U et 1JL la catégorie pleine d'applica- .Bien entendu, nous munissons alors UL w o de sa structure cartésienne (donc monoïdale) canonique notée VS• 22 Rappelons que (relatif à A- = (A*,A,_aA. »J*A» » ^ A - ) est un graphe multiplicatif *ll ) si, et seulement si: - A est un ensemble, élément de U , dont A* est une partie que l'on appelle l'ensemble des objets de A*, - ^9f A » : A *A" de A#, vérifiant J*A. (a) = a pour tout objet a€A*, - 3A» : A * Aô A", vérifiant - k.. appelée est une est une application, appelée application source application, appelée application bttt de _3A«(a) = a pour tout objet a G A*, est une application de but A et dont la source, notée A* X A* et l'ensemble des couples composables de A*, est une partie de A x A, - si (z',z) est un couple composable de A* (i.e. est élément de A* i A # ) , alors on a nécessairement 'jëL.(z) = IL. (z*) (la réciproque étant fausse), - pour tout zéA, le couple (z, S\.(z) ) est composable (i.e. est élément" de A# x A # ) et k A . (z,^aA.(z)) = z, - pour tout zêA, le couple (_&*.(z), z ) est composable (i.e. est élément de A* x A" ) et kA» ( jïA.(z), z ) = z. A un tel graphe multiplicatif (relatif à *ULQ ) nous associons un graphe multiplicatif AA= ( A*f AA, J A *, mA*, k A * t_T»A*t 1LA- f A * ) de la manière suivante: - A* = A" <> ce qui signifie que les objets de AA sont exactement les objets de A*, - AA : AA x AA > *X0 est l'application qui,à tout couple (a',a) de deux objets de AA(ou de A*),associe l'ensemble AA(a',a) de tous les morphismes de A" de source a et de but a', ce qui signifie que AA(a',a) est très exactement l'ensemble Hom A .(a' f a), - pour tout objet a de AA (ou de A - ) >JA*(a): 1 cation qui distingue, bien entendu^ l1 objet JAA(a)(0) = a ) - a > A*(a,a) est l'appli(i.e. telle que et ceci définit bien une application pour tout triplet (a",a',a) d'objets de AA, JA* : AA l'ensemble > 11, 23 A*(a",a') x AA(a',a) est La partie de A* » A # dont les éléments sont les couples composables (z',z) de A* vérifiant _ 6 A . (z') = a» ; / A . (z') = J ^ - (z) = a' ; a^. (z) = a ; il en résulte que A A (a M ,a') x AA(a',a) est aussi une partie de l'enAA(a",a') x A A (a',a), semble produit cartésien - pour tout triplet (a",a',a) d'objets de A A , on désigne alors par mA*(a»,a',a) : AA(a",a') x AA(a» ,a) C »A A (a»,a') x A A (a',a) l'application injection canonique, ce qui d é f i n i t bien une application m A . : A; X AI x A; > U , - pour un quelconque triplet (a",a',a) d'objets de AA, nous désignons par kA*(a",a',a) : AA(a",a') x AA(a',a) » A A (a",a) (composi- tion de AA relative à (aTI,a',a) ) la restriction de la composition de A # , k A . : A* x A# » A, à AA(a",a') x A A (a',a) (partie de A' x A*) et à AA(a",a ) (partie de A ) , et ceci définit bien une application k A „: A A x A* x AA > U, , - pour tout couple (a',a) d'objets de A A , nous désignons enfin par (resp. «A*(a',a) : AA(a',a) x 1 > A A (a',a) x A A (a,a) ^ ( a ' , a ) : 1 x AA(a',a) > AA(a',a') x A A (a',a) ) l'application qui à tout (z,0) (resp. (0,z) ),élément de sa source, asso- cie le couple composable (par hypothèse) définit bien une application l A A Î Ao X A O (z,a) (resp. (a',z) ) et ceci _a_A*: A £ x A A * U (resp. > *) • Evidemment,si, en p a r t i c u l i e r , A* e s t une catégorie ( r e l a t i v e à le TJL ) ; lL*-graphe m u l t i p l i c a t i f qui l u i e s t a i n s i a s s o c i é s ' i d e n t i f i e (par la méthode de 1.2 ) à la 1A A -catégorie qu'une méthode bien connue permet d'associer directement à l a catégorie A* • En toute généralité, nous dirons que l e UlT-graphe m u l t i p l i c a t i f AA que nous venons de construire e s t canoniquement associé au graphe m u l t i p l i catif ( r e l a t i f à U Q ) A* • zk Nous donnerons en 1.14 le moyen de construire un graphe multiplicatif associé à un graphe multiplicatif enrichi, en particulier à un Uf-graphe multiplicatif. A l'aide de la notion de néof oncteur enrichi (que nous définissons en 1.6 ),on pourra en déduire que ces constructions sont "réciproques" 1' une de l'autre en ce sens que la catégorie des néofoncteurs entre graphes multiplicatifs relatifs à U. est équivalente à celle des ttA- néofoncteurs entre *JLA-graphes multiplicatifs dont l'ensemble des objets appartient à l'univers 11. 1.½. On pourrait obtenir de nombreux autres exemples en choisissant pour catégorie monoïdale VA une des nombreuses catégories monoxdales "usuelles" • Signalons, notamment, que,si Jf% A désigne la struc- ture cartésienne (donc monoïdale) de la catégorie Jf% pleine de néofoncteurs entre graphes multiplicatifs (ensemblistes) relatifs à un univers donnétt0,on peut exhiber un JlPA-graphe multiplicatif ar = «r , T » V* *v ' **-' Sr* 3*^ qui contient exactement toutes l e s informations ( e t seulement nécessaires à la d é f i n i t i o n d'un t r i p l e (objet de l a catégorie à l'univers ^ (T»<7,K ) sur une catégorie C# pleine de foncteurs entre catégories r e l a t i v e s I l ).En e f f e t , nous prouverons en 1 . 9 que l a donnée d'un t r i p l e sur C" e s t équivalente à c e l l e d'un Jf1A-néofoncteur f i n i e en 1.6 celles-là) (notion d é - ) de T" vers l a Jfi% A -catégorie sous-jacente à l a s t r u c t u - re de 2-catégorie canonique, notée ^ A , de ^ • Nous définissons T* de l a manière suivante: - T* == {c} ( l ' o b j e t c pourra ê t r e regardé comme "représentant" une catégorie), - l e graphe orienté sous-jacent au graphe m u l t i p l i c a t i f figuré c i - d e s s o u s : T^(c,c) est 25 ^(on pourra regarder ici et T comme étant l'endofoncteur du triple, « jî comme étant respectivement les transformations naturelles d'uni- tarité et de multiplication; quant aux équations du triple y elles sont représentées par (i) et (ii) ci-dessous), - outre les composés triviaux, les seuls composés existant dans le graphe multiplicatif JA(c,c) sont définis par les équations: (i). fî • T]>, = (T . n2 = jr^ et JJ • j i 1 = Jî . jx 2 - Jm*( c ) : iL - le graphe orienté sous-jacent au graphe multiplicatif = ji^ , > T*(c,c) est le néof oncteur qui à 0 associe c, r ( c , c ) xT*(c,c) est représenté par le diagramme ci-dessous: CK5, c) (M^c) (c,c) f ' , (ii) (*, Si) j > Ç» et (3F',f~)t » 4", ( #»i}> *_Si et ( ?'_iM > *2' < ï tJL>i > 1*1 et <-i £ ) » » #2' - il est clair que le néofoncteur (resp. J » ^ ( c f c ) : T A (c,c) x-fl > ST(c,c) xT*(c,c) fop*(c,c): » 2*(c,c) x T A (c,c) U x T*(c,c) ) qui associe, pour tout zfcIA(c,c), le morphisme (z,c) (resp. (c,z) ) à (z,0) (resp. (0,z) ) vérifie l'axiome d'unitarité à droite (resp. à gauche)• Signalons qu'un triple dans une 2-catégorie D A (en particulier dans *JA) est regardé, usuellement, comme un 2-foncteur de but D A et de source la 2-catégorie (6+, 6'), associée à la catégorie simpliciale, définie, par exemple, en (CD.S.T.).Cependant, ( § + , $*) contient des informations surabondantes «C'est pourquoi E. Burroni indique que ( ^t+f "*") est, en quelque sorte, engendrée par un "graphe multiplicatif double" ( ^'+ , §'*) (appelé également "esquisse des triples").Or ( ^é'+, <•*) s'identifie au JV*'A-graphe multiplicatif T-* que nous venons de construire. Au sens des chapitres HT et ET, il sera alors clair que ( w , o ) est une 2-catégorie libre sur le Jl(*% A-graphe multiplicatif T* • (Rappelons à cette occasion que c'est justement pour n'avoir à écrire que les axiomes et relations nécessaires - et non surabondants - à la des- 27 cription de certaines structures que la théorie des Esquisses a été développée et que l'on étudie maintenant la théorie des graphes multiplicatifs enrichis qui conduira, ultérieurement, à celle des esquisses enrichies.) 1.5. Conservant les notations (et les hypothèses) de 1.^, nous allons, pour terminer cette liste non exhaustive d'exemples, munir l'ensemble S(C*) des spans d'une catégorie C* relative à *-L , n'ayant pas nécessairement "tous" les produits fibres (de deux morphismes)* d'une structure de 9A-graphe multiplicatif. Nous désignons par S(C*) A cette structure que nous définissons comme il suit: - pour tout couple de morphismes de C* ayant même but et admettant un produit fibre naturalisé, nous choisissons un de ces produits fibres, que nous appellerons produit fibre canonique, de telle sorte que, pour tout morphisme z de C # , les deux diagrammes ci-dessous ?c.(z) P,c.(z) soient les produits fibres canoniques de (zrg (z)) et (^ (z),z), - S(C*) A = C" , i.e. les objets de S(C*)A sont, comme on pouvait s'y at- tendre, les objets de C # , - pour tout couple (c',c) de deux objets de S(C*) A (i.e. de C" ) S(C*)A(c',c) est la structure de catégorie usuelle dont les objets sont les spans (z',z) tels que: et dont les morphismes ((z£,z2) ,y,(zj[ ,zn )): (zjj,^1) sont tels que le diagramme ci-dessous commute: -> (z£,z2) 28 - pour tout objet c de C* , le foncteur ^R(C*)^^°^1 ^ S(C*)A(c.c) associe à 0 le span: - pour tout triplet (c",c',c) d'objets de C # , la catégorie S(C*)A(c".c') x S(C>)A(c'.c) est la sous-catégorie pleine de S(C*)A(c",c' ) x S(C\)A(c',c) dont les objets sont les couples de spans ((z',z2),(z',z1)) (i.e. les couples de spans "définis" par la figure ci-dessous: ) c pour lesquels le couple (zp,zJ ) admet un produit fibre dans C ; on désigne alors par m^,-.x*(c",c',c) le foncteur injection canonique de cette sous-catégorie pleine dans la Catégorie produit S(Q A (c",c') x S(C')A(c'.c) , - pour tout triplet (c",c',c) d'objets de C", si (y\, y ) = ( ((z^,z^),y',(zî,",z^')) , ((z^,z2),y,(zj[,z1)) ) est le couple de morphismes (entre spans) représenté par le diagramme commutâtif ci-dessous: 29 nous lui associons les deux produits fibres canoniques représentés ci-dessous: et nous désignons par y" l'unique morphisme de C" qui rend commutatif le diagramme ci-dessous: alors, nous posons: k s(c - r (c",c»,c) [(y«, y)]= y" = ((z»'.pl, , z 2 .p 2 ) ,y", (««• .pjj , z^p,,)) et nous laissons le soin au lecteur de vérifier que ceci définit un foncteur (de composition) de la catégorie S(Q A (c",c') vers la catégorie x S(QA(c',c) S(C*)A(c".c), - pour tout couple (c',c) d'objets de C # , nous désignons par _ « s ( c . r ( c ' , c ) : S(C')A(c',c) x H > S(C) A (c',c) x S(C*)A(c,c) (resp. J s ( c . r ( c » , c ) : U x S(C*)A(c'.c) l e foncteur qui à tout couple > S(C*)A(c'.c') x S(C*)A(c'.c) ( y , 0 ) (resp. ( 0 , y ) ) a s s o c i e l e couple ) 30 O O (y, (c,c) ) (resp. ( (c',c'),y) ), - le lecteur constatera sans difficulté que les axiomes d'unitarité sont vérifiés grâce à l'hypothèse faite sur le choix canonique du produit fibre d'un morphisme de C" avec son but. Cette construction est, bien sûr, directement inspirée de celle de la structure de bicatégorie Sp(C#) sur l'ensemble des spans d'une catégo- rie C* à produits fibres de deux morphismes (de même but), décrite en (I.N.B.I.).Eile est cependant plus générale puisqu'elle est valable pour toute catégorie C" (sans aucune hypothèse concernant l'existence de produits fibres). Ainsi, elle permet, par exemple, de retrouver la notion de catégorie interne à une catégorie C# qui n'a pas nécessairement tous les produits fibres. En effet, on pourra vérifier qu'un Jf% A-néofoncteur du «V A-graphe multiplicatif T A , construit en 1.^ , vers le «0*'A-graphe multiplicatif sousjacent au ^A-graphe multiplicatif S(C*) s'identifie à une catégorie in- terne à C ". On rapprochera ce point de vue de celui de 1.½ et on fera le parallèle avec les descriptions de (I.N.B.I.) d'un triple dans une 2-catégorie (morphisme de la bicatégorie U vers la bicatégorie associée à cette 2catégorie) et d'une catégorie interne à une catégorie C - , à produits fibres (morphisme de la bicatégorie H vers la bicatégorie des spans Sp(C*))< 1.6. Donnons maintenant la définition d'un néofoncteur enrichi. Définition. Si VA est une catégorie monoidale et si AA et B A sont deux 7A-graphes multiplicatifs, nous dirons que FA = (BA,(FïF*fMp*),A*) est un VA-néofoncteur de source AA et de but B A si, et seulement si: - F: A* » BA est une application (qu'il serait plus logique mais moins agréable et moins commode de noter FA ), 31 - —F*: A* o x A* o -» V est une application qui, a tout couple (a',a)gA* x A~ , associe un morphisme (de V*) * F*(a»,a): A~(a',a) - M_,A : A A x A* x A* S o o O > B*(F(a»),F(a)) , V est une application qui, à tout (a",a , ,a)^A A x A A x A* , associe le morphisme (de V") Mp^a'Sa'.a): A*(a",a«) s AA(a',a) * B*(F(a»),F(a» )) x BA(F(a« ) ,F(a)), - (compatibilité avec les morphismes d ' uni tarit é) pour tout asA* le dia- gramme ci-dessous commute: *(F(a)) A*(a,a) B*(F(a),F(a)) A F (a,a) » - (compatibilité avec les monomorphismes des composables) pour tout (a",a* ,a) %A* x A" x A* , le diagramme ci-dessous commute: A*(a»,a«) » A*(a»,a) f F"(a»,a')HF*(a',a) > , B*(F(a"),F(a')) B B*(F(a»),F(a)) mA.(a",a»,a) A"(a",a') * A"(a',a) mB<.(F(a»),F(a'),F(a)) M ^,,^,^) F B" (F(a»),F(a» )) x B*(F(a'),F(a)) , - (compatibilité avec les compositions) pour tout triplet (a",a',a)^AA x A* x A" AA(a",a) le diagramme ci-dessous commute: F"(a»,a) > kA.(a",a»,a)4 A*(a»,a«) »À*(a«,a) J » BA(F(a»),F(a)) k kB.(F(a»),F(a'),F(a)) ..(»«,.• ,a) iT(F(a») ,F(a» )) i B"(F(a'),P(a)) 32 (On remarquera que, pour tout (a",a',a), le morphisme Mp*(a",a',a) est le seul rendant commutatif le deuxième diagramme ci-dessus, du fait que mBA(F(a"),F(a» ) ,F(a)) est un monomorphisme .Ainsi, deux V A - néofoncteurs F* et F'^de A* vers BA, sont égaux si, et seulement si: - F s F»(égalité des applications entre les ensembles d'objets), - FA - F»* (égalités des morphismes entre les objets "Hom à valeurs dans VA * ) . ) Si F*: A* >B* et composé H* s G* . F* G": B A > C* sont deux VA-néofoncteurs, leur est le V-néofoncteur défini, bien entendu, par les diagrammes commuta tifs qui suivent: - pour tout (a ! ,a)ÏA A x AA , — o o C"(G.F(a,),G.F(a)) f(F(a'),F(a)) B*(F(a«),F(a)) pour tout (a",a'a)ÇA* x A* x A* , o o o¥ Ç*(G.F(a»),G.F(a»)) x (T(G.F(a»),G.F(a)) A*(a",a») x A*(a«,a) Mp^Can.a^.a) MGA(F(a»),F(a«),F(a)) B*(F(a«),F(a«)) x BA(F(a» ) ,F(a)) Ainsi, si U est un univers, on définit une catégorie V£-néof dont 33 les objets sont les VA-graphes multiplicatifs AA,tels que A* 6 H , et dont les morphismes sont les VA-néofoncteurs entre ces objets. En général, dans la suite, IL sera un univers fixé une fois pour toutes, c'est pourquoi nous poserons (lorsqu'il n'y aura pas risque d'ambiguïté) VA-néof = V*-néof 1.7. Le premier exemple (formel) de VA-néofoncteur est celui de VA-foncteur. Supposons, en effet, que F* = (B%(F t F A ) ,A*) éoit un VA-foncteur de la VA-catégorie A A vers la VA-catégorie B A . Si nous identifions A A et B A à leurs VA-graphes multiplicatifs sous-jacents, comme il a été fait en 1.2 y et si nous posons: - pour tout (a",a',a)#AA x A A x A* , Mp.(a",a',a) = F*(a",a') B F A (a',a), il est clair que (B; (F,]?*,^*) , A A ) esi; un V"-néofoncteur, dont nous dirons qu'il est associé, ou sous-jacent. au VA-foncteur F A (et que nous identifierons à F A ) . Si U. est un univers, nous obtenons, ainsi, un foncteur d'oubli injectif et plein P v^^ n f : v A " f o n c > V A -néof 1.8. Le deuxième exemple de VA-néofoncteur provient,comme en 1.3 dont nous reprenons les données et les constructions, du cas ensembliste. Rappelons que F* = (B*,f,A*) est un néof oncteur. relatif à l'univers IL , du graphe multiplicatif A*, relatif à IL , vers le graphe multiplicatif B # , relatif à U , si, et seulement si, f : A >B est une applica- tion qui vérifie: - f(A # ) f£ o B" o ' nous noterons alors - s i (z',z) f, A' as A* f : A" o o > B" o sa restriction, est un couple composable de A*, son "image" (f(z'),f(z)) est un couple composable de B* (i.e. appartient à l'ensemble B' x B* ) et l'on a,de plus, f(z').f(z) = f(z'.z). 3k (On remarquera que ces conditions impliquent que ^g.(f(z)) = f(^ A »(z)) et Jl3.(f(z)) = f(|:A.(z)), pour tout z é A .) A un tel néof oncteur, relatif à U « nous associons le *U#A-néof oncteur » o FA = (B; ( F , F A , M - A ) ,AA) défini de la manière suivante: . » BA o F: A* o de A* et B* est la restriction f de l'application f aux objets o (i.e. aux objets de AA et B A ), - pour tout (a',a) ||'A~ x AA ,l'application (i.e F A (a',a): A*(a',a) > BA(F(a'),F(a)) FA(a»,a): H0mA.(a» ,a) > Homfi.(f (a' ) ,f (a)) ) est la restriction de l'application f aux ensembles HomA.(a',a) et Homfl.(f(a'),f(a)) dont l'existence est assurée par la remarque ci-dessus, - pour tout (a",a',a)|[A£ x A A x AA, l'application ^ ( a ' S a ' . a ) : AA(a",a') x AA(a',a) > BA(F(a") ,F(a') ) x BA(F(a'),F(k)) associe à tout couple composable (z',z), appartenant à sa source, le couple composable (f(z'),f(z)) appartenant à son but. _ Moyennant les constructions de 1.3, si U Q est un univers, nous obtenons un foncteur: Jfx *1],A-néof I.9# Reprenons, maintenant, les hypothèses et les notations de I.2* et prouvons le résultat qui y est annoncé, à savoir: l'ensemble des JTA-néof oncteur s de T A vers 9 A (i-e« vers le «*»' ^graphe multiplicatif sous-jacent à la 2-catégorie V) est en bijection avec l'ensemble des triples définis dans la 2-catégorie 3 A .(0n pourrait généraliser ce résultat au cas d'une 2-catégorie quelconque.) Soit F A : T A > 3 A un 3*. 1.10. Rappelons (voir 1.5 ), mais nous en laisserons la vérification (fastidieuse) au lecteur (qui s'inspirera de 1.9 et (I.N.B.I.) )?que, si IL est un univers et C* une catégorie (n'ayant pas nécessairement tous les produits fibres) relative à IL , tout «Af'A-néofoncteur FA; T A > S(C*)* définit une catégorie interne à C* • Inversement, à toute catégorie interne à C* est associé un choix de produits fibres canoniques dans C* de telle sorte que cette catégorie interne soit celle "définie" par un Jt% A-néofoncteur FA: T A où S(C*)A est la > S(C # ) A , t^'A-catégorie construite grâce à ce choix de produits fibres. Dans cette optique, il pourrait d'ailleurs s'agir d'un inconvénient par rapport à la description, par morphismes de bicatégories, des catégories internes (dans cette description, le choix de produits fibres utilisé est indépendant de la catégorie interne que l'on décrit); cependant notre 36 point de vue (qui sera développé ultérieurement),qui consiste à décrire les structures (algébriques) à l'aide d'esquisses enrichies,supprime cette difficulté puisque les catégories internes à une catégorie sont entièrement décrites à l'aide de la théorie des esquisses (purement ensemblistes) développée, par exemple, en (E.T.S.A.) . 1.11. Rappelons (voir 1.1 ) que, si AA est un VA-graphe multiplicatif, A* = (AA,AAfj A ) est un VA-graphe orienté. De même, il est clair, par définition (voir 1.6 ), que^si FA:AA > BA est un V*-néofoncteur,alors 1^ = (]?,(F,FA),X) est une VA-application orientée, dont nous dirons qu'elle est sous-jacente à FA • Ainsi, si tL est un univers, l'application,qui à tout VA-néofoncteur associe sa ^-application orientée sous-jacente, définit, évidemment, un PTrA : VA-néof ^ VA-apor. On en déduit le fonc9 V -an * teur d ' o u b l i composé P.r* . P.r4% . = P„*> « : V A -fonc =• V A -apor • ——— ^ y —an v —ni v —ai En v e r t u des c o n d i t i o n s remarquées en 1 , 6 , déterminant l ' é g a l i t é de deux V A -néof oncteur s , i l apparaît que PTrA e t PTr* ~ s o n t f i d è l e s . V -an v —ai foncteur d'oubli 1.12. Les remarques que nous faisons ici et en 1.13 sont un prélude à 1.14- où nous construirons le néof oncteur sous-jacent à un néofoncteur enrichi. —> _> > Supposons que A s (A ,A,j^) est un V*-graphe orienté.Nous dirons que [ A ] = (A0»Ai%/n '^rAl^ e s t l e g1*51***1® orienté sous-jacent à A*si. et seulement si: - A est l'ensemble réunion disjointe des ensembles Homy.^a^a),!), lorsque ( a ' , a ) d é c r i t A x A , o o -  e s t l'ensemble (isomorphe à A ) réunion d i s j o i n t e des 4Jjf( a )b où a décrit X . o' 37 - l ' a p p l i c a t i o n ™fr£i * A • A ( r e s p . JFftn j^f(a) ( r e s p . j ^ ( a ' ) ) à t o u t morphisme z : i s A • A ) associe > l?(a',a), lorsque ( a ' , a ) Ct jet ' o om Supposant maintenant que F = (B, (F,F) , A) est une VA-application orientée (de A vers B), nous dirons que £FJ = (pj],f»0Q) est son application orientée sous-jacente si, et seulement si: - £50 et (jBH sont les graphes orientés sous-jacents à A et B, - f: A » B est l'application qui, à tout morphisme z: i *A(a',a) y associe le morphisme composé i - >T(a' f a) £<*'.») > "f(F(a') ,F(a)), lorsque (a',a) e A x 3* • o o Donc, si u* est un univers et VA une catégorie monoidale au-dessus, 1' application, qui associe à toute VA-application orientée son application orientée sous-jacente, définit un foncteur d'oubli VA-apor » T 1 . 1 3 . A u t o t a l , s i AA e s t un V A -graphe nous désignerons par £A] son multiplicatif, graphe o r i e m t 4 s o u s - j a c e n t ( i . e . l e g r a - phe o r i e n t é s o u s - j a c e n t "à son V*-graphe o r i e n t é s o u s - j a c e n t A ) • De même, s i FA e s t un V*-néofoncteur, £ F J d é s i g n e r a son a p p l i c a t i o n o r i e n t é e s o u s - j a c e n t e ( i . e . l ' a p p l i c a t i o n o r i e n t é e s o u s - j a c e n t e à sa VA-application orientée sous-jacente F ) . Si VL e s t un u n i v e r s e t VA une c a t é g o r i e monoidale a u - d e s s u s , correspond au foncteur d ' o u b l i composé > V A -apor V-néof 1.1½. Supposons que A* e s t .un V * - g r a p h e Nous dirons que A# = ( A ^ ^ j g ^ . , % • » V } ceci multiplicatif. e s t l e graphe m u l t i p l i c a t i f s o u s - j a c e n t à A A ^i, e t seulement s i : - A* e t A* ont même graphe o r i e n t é s o u s - j a c e n t ( i . e . lorsque >| , 38 (1^,1,¾..¾..) = [A] ), - pour tout (a",a',a) fï A" x A" x A" , si z': i o o o z: i -*A*(a",a») et * A*(a',a) sont deux morphismes de V*(et donc deux éléments de A) le couple (z',z) est composable dans A* (i.e* appartient à A* JE A* ) à la condition nécessaire et suffisante qu'il existe un morphisme K . de V* rendant commutatif le diagramme ci-dessous: Z ,z i H i A A (a»,a') x A A (a',a) A A (a»,a') fi A A (a',a) m A ^(a",a',a) (remarquons que x , z* .z est un monomorphisme) y , s'il existe, est unique car m A ^(a",a',a) - dans les conditions et avec les notations précédentes, le composé k..(z',z) , dans A* 9 du couple composable (z',z) est le morphisme de V" qui rend le diagramme ci-dessous commutatif: k A „ (a",a',a) A A (a",a') x A~(a',a) A A (a",a) k A .(z , ,z)f •(i) = B* est un V*-néofoncteur, on vérifie facilement alors que F* = (B" $ f $ A*) est un néof oncteur, dit sous-jacent à F A , lorsque (IK],f, JAJ) est l'application orientée [f\ Donc, si IL ' o sous-jacente à F A . est un univers et V A une catégorie monoidale au-dessus, l'application, qui à tout VA-néofoncteur associe son néofoncteur sous-jacent, définit un foncteur d'oubli V A -néof ^ JP% . 39 le lecteur vérifiera sans peine, dans ces conditions, que les foncteurs JT* » UT-néof > J/>% (voir 1.8 ) et UA-néof définissent une équivalence de catégories. 1.15. c e paragraphe est un rappel d'une construction -classique, dans le cas ensembliste, destiné à introduire celle que nous donnons en 1.16 , dans le cas enrichi. Si F # : A" _ _ _ ^ B " est un foncteur (on pose F*=(B*,f,A*) ) , l'ensemble f(A) n'est pas, en général,"muni d'une structure de catégorie.C'est justement la notion de graphe multiplicatif qui permet facilement de munir f(A) d'une structure (de graphe multiplicatif) "reflétant bien" celle de A.Cette structure F*(A*) = B* est définie de la manière qui suit: - l'ensemble de ses objets est l'ensemble image f(A**), - _ /x/ - quel que soit le couple (b',b) de deux objets de B # , si l'on pose E (b' b) = ! ( a ! ' a ) ç A ô x A ô /f(al) = b> et f(a) = b l ' l'ensemble Homg.(b',b) est l'image de l'unique application t(b',b) rendant commutatif, pour tout (a',a)WE, b , ,*, le diagramme suivant: U u fa' ateE u t % \ t(b',b) HomA»(a',a) * ' A ^"^ > coprojection ^ V ^ ^*>( ,,t ,* S* Hoau.(b' f b) \ \ TT HomA.(a',a) où - B t(va , ,aj% est la restriction de f, est un sous-graphe multiplicatif de B*, ce qui équivaut à écrire que les conditions (z',z) | B (z',z) * B' x B # z'.z xB {§ B impliquent alors que (zf,z)tt B x B • ko Plus généralement, mais de la même façon, tout néof oncteur F*:A* définit un graphe multiplicatif F*(A") = B* » B" qui "reflète bien", dans le graphe multiplicatif B*, la structure de graphe multiplicatif A*. En particulier, le néof oncteur injectif B* C > B* vérifie la propriété: (x'): les conditions (z',z)~\ B x B (z',z) € B - * B' zM *z impliquent % B (z',z) €, B# * B* On vérifie immédiatement que le néof oncteur injectif r>*- B* C. > B* vérifie la propriété (x') si, et seulement si, il vérifie la condition équivalente: (x): pour tout triplet (b",b',b) d'objets de B # , si le diagramme cidessous définit un produit fibre d'applications Homg.(b",b') x (b „ b , b ) Ho^.(b» f b«) Homg.(b*,b) y (b",b»,b) >' •ty composition Homg.(b",b) Hom^b'Sb) inclusion alors Homg»(b",b') ïHomg.(b',b) (i.e. l'ensemble des couples compo- sables de B* qui "relient" b, b* et b") est un produit fibre dont on définit les projections à l'aide du diagramme suivant: Homg.(b"1b,) Homg.(b",b») x Hom~.(b',b) inclusion > Homg.(b',b) z X inclusion (b»,b\b)" Homg.(b»,b») Homg.(b',b) X (b" b' b) 30^^(^1¾ 1 ) inclusiod Homg^b'^b) HomB.(b",b') x HonL^b^b) *f1 Il résulte de ces considérations liminaires que, si vers, si si X P , : > ^l est le foncteur d'oubli usuel et est l'ensemble des néofoncteurs injectifs Jff de Jt% IL est un unio G*:B''# ^ B* qui vérifient (à l'identification près des éléments de B' à leurs images dans B) la propriété (x), on peut énoncer: (i). tout néof oncteur F*-;A" > B # , appartenant à Jt*, admet pour X-re- flet le néofoncteur injection canonique F*(A*) C _ ^ B*, (ii). tout morphisme de et9 appartenant à X définit sa source comme une P ,-sous-structure de son but. (Remarquons que le point (ii) est équivalent à la propriété (x)«Cependant, la propriété (x) caractérise les morphismes de X d'une manière géométrique dans *Jl, en ce sens que <4f' est une catégorie de structures descriptibles dans II, alors que (ii) les caractérise relativement au foncteur d'oubli P , qui laisse - ou rend - "extérieurs" à II les objets (M et les morphismes de ^'.On verra l'intérêt de cette double présentation dans le cas plus général, que nous avons en vue, des néofoncteurs enrichis•) 1.16. En nous inspirant de la construction précédente , nous allons montrer, très brièvement, que tout VA-néofoncteur F A : A* > BA définit canoniquement, moyennant des conditions sim- ples sur V A , un VA-graphe multiplicatif F A (A A ) dont on pourra dire qu'il est effectivement le reflet de A A dans B A par F A . Pour ce faire, nous supposons que: - \l est un univers, o - VA est une catégorie monoïdale dont la catégorie sous-jacente V* est à *U -sommes et à produits fibres de deux morphismes où l'on dispose par conséquent d'un choix de sommes et de produits fibres que nous dirons canoniques. k2 - X' est une classe de monomorphisme s de V" telle que tout morphisme de V* admet un X'-reflet» Si FA: AA > BA est un VA-néofoncteur, morphisme de V~-néof , nous désignons par B A s F A (A A ) le VA-graphe multiplicatif défini comme suit: - les objets de B A sont les images par F des objets de AA (i.e. on a l'éÏÏA galité = {F(a) / a €A A } ), - pour tout couple (b',b) fc S A x S A , si: + (alors E(b,fb) * H + jets E ( b , b ) = {(a',a)*A* x AA / F(a') = b' et F(a) = b } >, AA(b',b) est la somme canonique, dans V , de la famille d'ob- (A-<*',a)) U + » a; 5 0>\b) pour tout (a',a)iE (b , b ) , Y(a*,a): A*(a»,a) > AA(b»,b) e s t l a c o - p r o j e c t i o n canonique, + t ( b ' , b ) e s t l ' u n i q u e morphisme de V* rendant commutatif, pour tout ( a 1 ,a)è" Ej-, , », l e diagramme s u i v a n t AA(b',b) t(b',b) >- B*(b«,b) f*(a',a) Y(a',a) A*(a',a) alors B*(b*,b) est le X'-reflet de t(b , ,b) 1 ce qui signifie que, dans V*, on a un diagramme commutatif (et "universel") de la forme AA(b',b) t(b«,b) B*(b',b) r(b',b)'er t(b',b) BA(b»,b) - pour tout (b".b',b)«S£BA x B* x B*, si le diagramme o o o ^3 B^bw.b 1 ) BA(b",b«) BA(b',b) B*(b',b) ^(V'.b'.b) y (b»,b',b) T B*(b",b) 1 i ir(b»,b) A I (b»,b ) est un produit fibre canonique dans V" (et alors x,.„ . , . % est un mono- morphisme), le diagramme ci-dessous définit BA(b",b') x B*(b»,b) comme un produit fibre canonique dans V* »(b",b',b) BA(b",b«) BA(b»,b») — > ZBA(b»,b) » Jf(b«,b) z Y IA(b»,b») B I*(b',b) (b»,b\b) B*(b",b') BA(b",b') : (b»,b',b) B*(b',b) (et alors BA(b»,b') * -B-CV.b'.b) • B*(b»,b) S (b',b) mg*(blf ,bT ,b) est un monomorphisme car ^ . ( ^ , ¾ 1 ^ ) ^ ^ b , b» en est un), et le morphisme de composition de B* relatif à (b'^b^b) est k|„(b«,b',b) = y ( b „ f b , f b ) • *( b ", b .,b) > (- nous laissons au lecteur le soin de définir les applications jgu, ~- e t % * )# Alors, il est clair que le V*-néofoncteur F*: A' en deux V*-néofoncteurs: A* ^ F* » ^ B' -> B" se décompose kk tels que, en particulier: - -^ BA e s t l ' i n j e c t i o n canonique, I : B' - pour t o u t t r i p l e t ( b " , b » , b ) # B A x BA x B A , on a o o o M «v - F : A' o r k ( b " ' b , » b ) = x (b«,b«,b) • z (b",b«,b) » A -* *L Bo * o est la restriction de F: A o o *B; ^ o Cette construction (et celle de 1.13 ) suggère, pour donner la signification universelle d'un reflet à F A (A A ) = B*, de désigner par X l'ensemble de tous les VA-néofoncteurs G*: Bf * VA-néof , tels que: - G: B» -* B > B A , appartenant à est une application injective, - pour tout (b',b) € B» A x B , A , le morphisme GA(b»,b) appartient à X', - pour tout (b",b' ,b)^B' A x B'* x B'* , si le diagramme ci-dessous définit un produit fibre canonique dans V* B»A(b",b') x B»A(b',b) c (b",b',b) BA(b",b') x BA(b',b) (b»,b',b) ^.(b'Sb^b) B'A(b",b) BA(b",b) y GA(b»,b) alors le diagramme suivant est un produit fibre dans V* B'A(b",b«) x A B» (b»,b) ag^Cbn.b^b) \t GA(b",b') B GA(b',b) z (b",b»,b) B'A(b",b«) B'A(b',b) B'A(b",b«) " H B*A(b',b) X (b",b',b) BA(b",b») " x »BA(b',b) « B * 0 * »b » b } B*(b«,b') BA(b»,b) (cette condition est l'analogue de la condition (x) de 1.15 et, dans ^5 ces deux derniers diagrammes, on a identifié les objets de B' A à leurs A images dans Bo ), T - pour tout (b",b',b)$B'A x B'A x B'A , on a o o o* *V(b»,b',b) = x (b»,b«,b) • z (b»,b«,b) • Dans ces conditions, on vérifie immédiatement la validité de la proposition suivante: Proposition. Si 11 est un univers, si VA est une catégorie monoïdale audessus . à produits fibres (de deux morphismes) et à 7i -sommes, si X' est une classe de monomorphismes de V* telle que tout morphisme de V* admet un X'-reflet et si Pv* . -> : VA-néof > XL est le foncteur d'ou——^——^—— v —neox bli composé des foncteurs d'oubli VA-néof — > J\f*% > *U/ , alors : (i). tout YA-néofoncteur F A : A* pour X-reflet le VA-néofx)ncteur »B A , appartenant à VA-néof , admet I A : F A (A A ) > BA, (ii)». si tout morphisme de X' définit sa source comme une Homy.(-.i)-sousstructure de son but, tout morphisme de X définit sa source comme une Pv* ' * -sous ««structure de son but. Ainsi, l'analogie avec le cas ensembliste de 1.13 est-elle totale. De plus, on peut remarquer que dans relatifs à un univers Uo)si Y J (catégorie pleine des foncteurs désigne l'ensemble des foncteurs injectifs alors : - tout foncteur de 3* admet un Y-reflet, - tout morphisme de Y définit sa source comme une P«-sous-structure de son but, si P*:^ >U est le foncteur d'oubli usuel «En conséquence la proposition précédente n'est pas inhérenteà(ou caractéristique de) la structure de graphe multiplicatif (enrichi) .Cependant, c'est dans %ff* que le reflet d'un foncteur (ou d'un néof oncteur) vérifie: - l'ensemble des objets du reflet est le reflet (i*e. l'image ensembliste) 46 de l'ensemble des objets de la source de ce foncteur, - pour deux objets quelconques du reflet, le "Hom" entre ces deux objets est la réunion des reflets (i*e. des images ensemblistes) des "Hom" entre objets de la source qui s'envoient sur ces deux objets, ce qui n'est pas du tout le cas dans J • Ainsi, c'est la notion de graphe multiplicatif qui (du point de vue de la notion, très naturelle, de reflet) se prête le mieux à, et suscite en fait, la notion d'enrichissement «Mais alors, ce sont les graphes multiplicatifs qu'il faut enrichir ••• et pas seulement les catégories, ce qui motive, au moins formellement, notre étude! 0 0 0 BIBLIOGRAPHIE* (A.D.E.C.) G. M, Kelly, Adjunction for enriched catégories, Lect. JSotes in Math. 10b, Springer, 1969. (A.M.C.A.) C. Auderset, Adjonctions et monades au niveau des 2-catégories, Cah. de Top. et Géom. Diff., Vol. XV, 1, Paris 197*** (C.D.S.T.) E. Burroni, Catégories discrètement structurées et triples, Esquisses mathématiques *f, Paris 1970. (C.L.C.A.) S. Ejlenberg et G. M. Kelly, Closed catégories, Proc. of the Conf. on Categorical Algebra, La Jolla 19^5» Springer, New-York 1966. (C.O.C.A.) F. Foltz, Complétion des V-catégor±es, Cah. de Top. et Géom. Diff., Vol XIV,1, Paris 1973. (C.O.S.L.) C. Ehresmann, Construction de structures libres, Lect.* Notes in Math. 92, Springer, 1969. (D.L.A.W.) J. Beck, Distributive laws, Lect. Notes in Math. 80, Springer, 1969. (E.G.C.E.) C. Lair, Etude générale de la catégorie des esquisses, Esquisses mathématiques 23, Paris 1975» (E.N.F.C.) B. J« Day et G. M. Kelly, Enriched functor catégories, Lect. Notes in Math. 106, Springer, 1969» (E.T.S.A.) C. Ehresmann, Esquisses et types des structures algébriques, Bul. Inst. Polit. Iasi, XIV, 1968. (I.N.B.I.) o. Bénabou, Introduction to bi-categories, Lect. Notes in Math. ^7, Springer, 1967. (M.M.A.G.) C. Ehresmann, Maîtrise de mathématiques: Algèbre et Géométrie (1ère partie: Algèbre), C.D.U., Paris 1968. (T.E.N.S.) A. Bastiani, Théorie des ensembles, C.D.U., Paris 1970. 0 0 0