D IAGRAMMES

C. L AIR
Éléments de théorie des esquisses. Section 3 : esquisses
Diagrammes, tome 49-50 (2003), p. 3-58
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_2003__49-50__3_0>

© Université Paris 7, UER math., 2003, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

DIAGRAMMES

VOLUMES 49 + 50 , 2003

ELEMENTS DE THEORIE DES ESQUISSES
SECTION 3 :
ESQUISSES

C. Lair

1.

Introduction.

Ce texte est le troisième d'une série [voir (E.T.E.n.)] où sont exposés
quelques éléments de la théorie des esquisses. Nous y reprenons systématiquement la
terminologie et les notations de (E.T.E.I.).
Nous présentons, ici, les premiers éléments de la théorie des esquisses
proprement dites, après avoir exposé en (E.T.E.l.) et (E.T.E.2.) quelques rudiments de
la théorie des graphes à composition^ qui en sont structurellement les supports.
Introduites initialement [dans une version un peu plus particulière que celle
considérée ici] par C. Ehresmann [voir (E.T.S.C.) et (E.T.S.A.)], nous regardons les
esquisses avant tout comme des descriptions diagrammatiques de théories du premier
ordre [au sens des logiciens].
On trouvera en (L.D.T.E.) une présentation certainement plus exhaustive sur
bien des points [mais ne concernant, essentiellement, que les esquissesprojectives].
Formellement [§2 et §3], les esquisses sont des graphes à composition
[au sens de (E.T.E.l.)] où sont distingués certains cônes projectifs, non nécessairement

limites, et certains cônes inductifs,. non nécessairement limites. Tandis que les
prototypes sont, plus rigidement, des catégories où sont distingués certains cônes
projectifs, nécessairement limites, et certains cônes inductifs, nécessairement limites.
Ainsi, en particulier, les graphes à composition s'identifient à des esquisses où aucun
cône n'est distingué, tandis que les "théories" [au sens des catégoriciens, par exemple
comme dans (S.F.A.T.)], i.e. les catégories complètes et/ou cocomplètes [pour certains
genres de limites et/ou colimites], sont des prototypes où tous les cônes projectifs
limites et/ou tous les cônes inductifs colimites [de ces genres] sont distingués.
Alors, les propagateurs entre esquisses, en particulier entre prototypes, ne sont
pas autre chose que les homomorphismes entre ces structures, i.e. les foncteurs qui
préservent les cônes distingués, tandis que les métamorphoses naturelles entre
propagateurs ne sont rien d'autre que les transformations naturelles entre les foncteurs
qui leur sont sous-jacents.
Un propagateur d'une esquisse, y compris d'un prototype, vers une
catégorie complète et/ou cocomplète a tout naturellement pour image une esquisse qui
n'est pas, en général, un prototype [et encore moins une catégorie complète et/ou
cocomplète]. Mais, lorsqu'on "sature" cette image par composition et factorisations [de
ses cônes au travers de ses cônes limites et/ou colimites distingués de même base], elle
engendre un sous-prototype de la catégorie "contexte", i.e. codomaine de ce
propagateur.
Plus généralement et plus structurellement encore, i.e. "hors"de tout tel
"contexte", nous détaillons explicitement [§4] une procédure formelle [par "agrégation"
d'esquisses, i.e. grâce à une limite inductive d'une famille d'esquisses s'engendrant
successivement l'une après l'autre, à partir de l'esquisse initiale] montrant que toute telle
esquisse initiale engendre toujours un prototype. Et, ce, de sorte que tout propagateur de
cette esquisse vers un quelconque prototype "contexte" factorise de manière unique par
ce prototype engendré.
Ainsi, les esquisses apparaissent comme autant de présentations de catégories
à limites distinguées. En s'autorisant à n'utiliser que des esquisses, a fortiori des
prototypes, d'une certaine taille, conditionnée par un univers, il apparaît [§5] que le
foncteur d'oubli de la catégorie des prototypes, de cette taille, vers la catégorie des
esquisses, de cette taille, admet, évidemment, un adjoint à gauche.
Ce travail résulte d'une collaboration avec D. Duval : on pourra en
trouver une version initiale intégrée à (C.O.G.R.).

2.

Cônes projectifs et cônes inductifs, cônes projectifs
limites et cônes inductifs limites.

2.1.

Cônes projectifs et cônes inductifs.

2.1.a. Si Ç est un graphe à composition, un cône projectif c à valeurs
dans Ç est constitué par :
• la donnée d'un graphe à composition, appelé l'indexation [projective] de c :
I n d e x P r o j (c)
[alors, on note plus suggestivement :
X(c) = I n d e x P r o j (c)],
• la donnée d'un foncteur, qu'on appelle la base [projective] de c :
BasePro j (c ) : X(c ) -» Ç
[alors, on note plus simplement :
• c (X) = BasePro j (c)(X),

pour tout point X de

X(c),

• c (x ) = BasePro j (c ) (x ) , pour toute flèche x de X(c ) ],
• la donnée d'un point de Ç, qu'on appelle le sommet [projectif] de c :
SommProj (c)
[alors, on note plus simplement :
c x = SommProj (c)],
• la donnée, pour tout point X de X(c),
projection de c relative à X:

d'une flèche de Ç, qu'on appelle la

Proj(c,X):cx->c(X)
[alors, on note plus simplement :
c<(X)=Proj(c,X)],
et, ce, de sorte que :

• pour tous points Xi et X2 de X(c) et pour toute flèche x:X±-+Xz
couple (c<(X1),c(x)) est un couple composable de Ç et on a :

de

X(c),le

c(x).c<(Xï)-c<(X2),
autrement dit, le diagramme [de Ç] ci-dessous commute :

**(*!) /

Xc^JG)

cÇh)

> c(X2)
c(x)

Alors, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on note aussi, plus suggestivement encore :
c-{c<{X):c"^c{X))XeX{c)Si X et Ç sont deux graphes à composition et si c est un cône projectif à
valeurs dans Ç et d'indexation :
IndexProj (c) = X(c)= X,
on dit aussi que c est un cône X-projectifà valeurs dans Ç.
Alors, on désigne par :
CP(X£)
l'ensemble de ces cônes .^projectifs à valeurs dans Ç.
Ainsi, on dispose [notamment] de l'application base projective :
BP(X^):CP(X^)->EnsFonc(X^) = Fonc(XÇ),
i.e. de l'application telle que :
• pour tout cône j£projectif c à valeurs dans Ç, on a :
BP(X,£)(c) = ( B a s e P r o j ( c ) : X - > £ ) .

2.1.b. Si X, Ç et Ç' sont trois graphes à composition, si f-Ç->Ç'
un foncteur et si c est un cône ^projectif à valeurs dans Ç, on note :

est

f(c)
le cône Xprojectif à valeurs dans Ç" image de c par f, i.e. le cône ^projectif à
valeurs dans Ç évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point X de X, on a :

f(c)(X)=f(c(X)),
• pour toute flèche x de X, on a :

f(c)(x)=f(c(x)),
• on a:

(/(O)x=/(o,
• pour tout point X de X, on a :

(/(0)^)=/(^)),
[au total, on a donc :

m-ific^X))

:f{c*)-*f(c(X))x<,xl

Si X, Ç et Ç" sont trois graphes à composition et si / : Ç-> Ç' est un
foncteur, on désigne par :
CP(X,/) : CP(X,Ç) -> C P ( X £ ' )
l'application telle :
• pour tout cône Xprojectif c à valeurs dans Ç, on a :
CP(X/)(c)^/(c).
Ainsi, le diagramme [d'applications] ci-dessous commute :

BP(X,£)
CP(X£)

>Fonc(X£)
Fonc(X,/)

CP(X/)

CP(X

£,}

B P(XÇ')

* F onc(X,Ç')

2.1.c. Si Ç est un graphe à composition, un cône inductif c à valeurs dans
Çf est constitué par :
• la donnée d'un graphe à composition, appelé l'indexation [inductive] de c :
Indexlnd(c)
[alors, on note plus suggestivement :
X(c)= I n d e x l n d ( c ) ] ,
• la donnée d'un foncteur, qu'on appelle la base [inductive] de c :
BaseInd(c):X(c)-> Ç
[alors, on note plus simplement
• c(X) = BaseInd(c)(Z), pour tout point X de X,
• c(jc) = BaseInd(c)(jc), pour toute flèche x de X\
• la donnée d'un point de Ç, qu'on appelle le sommet [inductif/ de c:
Sommlnd(c)
[alors, on note plus simplement
c+ = Sommlnd(c)],
• la donnée, pour tout point X de X{c ) , d'une flèche de Ç, qu'on appelle Xinduction
de c relative à X :
Ind(c,X):c(X)^c

+

[alors, on note plus simplement :
c>(X)^Ind(c,X)],
et, ce, de sorte que :
• pour tous points X± et X2 de X(c ) et pour toute flèche x : X± -> X2 de X(c ) , le
couple (c(x),c>(X2)) est un couple composable de Ç et on a:
c>(X2).c(x)

= c>(X1),

autrement dit, le diagramme [de Ç] ci-dessous commute :
8

c>(X1)/

c>{X2)

\

C(X1)

> c{X2)
c(x)

Alors, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on note aussi, plus suggestivement encore :
c = (c>(X):c(X)->c

+

)xeX(C)-

Si X et Ç sont deux graphes à composition et si c est un cône inductif à
valeurs dans Ç et d'indexation :
I n d e x l n d (c ) = X(c ) = X,
on dit aussi que c est un cône X-inductif à valeurs dans Ç.
Alors, on désigne par :
CI(XÇ)
l'ensemble de ces cônes ^inductifs à valeurs dans Ç.
Ainsi, on dispose [notamment] de l'application base inductive :
BI(X^):CI(Xg)^EnsFonc(X^) = Fonc(X^),
i.e. de l'application telle que :
• pour tout cône JËinductif c à valeurs dans Ç, on a :
BI(XÇ)(c) = (BaseInd(c):X->Ç).

2.1.d. Si X Ç et Ç% sont trois graphes à composition, si / : £ - » Ç' est
un foncteur et si c est un cône JËinductif, à valeurs dans Ç, on note :

fie)
le cône X-inductif à valeurs dans Ç1 image de c par f, i.e. le cône ^inductif à
valeurs dans Ç ' évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tout point X de X, on a :
f(c)(X)=f(c(X)),

• pour toute flèche x de X, on a :

f(c)(x)=f(c(x))),
• on a :
(/(c)) + =/(c + ),
• pour tout point X de X, on a :
( / ^ ) ) ^ ) = / ( ^ ) ) ,

[au total, on a donc :
Xc)-(/(c > (^)):/(c(Ar))->/(c + )) J r.x].
Si X, Ç et Ç" sont trois graphes à composition et si f.Ç->Ç'
foncteur, on désigne par :

est un

ci(X,/):ci(X£)->ci(X,$")
l'application telle :
• pour tout cône X-inductif c à valeurs dans Ç, on a :
CI(X/)(c)=/(c).
Ainsi, le diagramme [d'applications] ci-dessous commute :

BKXÇ)
CI(X£)

>Fonc(X,£)

Fonc(X,/)

CI ( X / )

CI(XS')

BI(X£')

'

Fonc(X^')

2.1.e. Si Ç est un graphe à composition et si c est un cône projectif à
valeurs dans Ç, on note :
c0*

le cône inductifdual de c, i.e. le cône inductif à valeurs dans Ç09 évidemment obtenu
lorsqu'on stipule que :

10

• on a :
IndexInd(c o p ) = (IndexProj (c)) 0 *
[ou encore :
X(c op ) = (X(c)))°P],
• on a:
BaseInd(c o p ) = (BaseProj (cj)09 : X(cop) = (X(c)))op-> Çop
[ou encore :
• pour tout point X de X(cop ) :
(cop)(X) = c(X),
• pour toute flèche x de

X(cop):

(c op )(*) = c(*)],
• on a:
SommInd(cop) = SoniiriProj (c)
[ou encore :
• pour tout point X de X(C°P ) , on a :
Ind(cop,^) = Proj(c,Z)
[ou encore :
(cop)>(X) = c<(X))].
De même, si Ç est un graphe à composition et si c est un cône inductif à
valeurs dans Ç, on note :
cop
le cône projectif dual de c, i.e le cône projectif à valeurs dans Çop évidemment
obtenu lorsqu'on stipule que :
• on a:
IndexProj (c op ) = (lndexlnd(c)) 0 p
[ou encore :

x(c°")=(x(c)))n
• on a:
BaseProj(cop)

= (BaseInd(c))op:X(cop)

[ou encore :

11

=

(X(c)))op-^Çop

• pour tout point X de X(cop) :
(cop)(X)-c(X),
• pour toute flèche x de X{cop)\
(cop)(x) = c(x)],
on a:
SommProj (c op )= Sommlnd(c)
[ou encore :

(c^r=c+i
pour tout point X de X(cop), on a :
Froj(cop,X)=Indi(c,X)
[ou encore :
(cop)<(X) = c>(X))].

2.2.

Cônes projectifs et cônes inductifs limites.

2.2.a. Si C est une catégorie et si c est un cône projectif à valeurs dans C,
on dit que c est un cône projectif limite [à valeurs] dans C si :
• pour tout cône projectif c ', à valeurs dans C\ de même indexation et de même base
que c ,il existe une et une seule flèche de factorisation [projective] de c% vers c,
i.e. une unique flèche de C:
FactProj (c\c) : c , x ->c x
telle que :
• pour tout point X de X(c) = Jf(c'),ona:
c<(X).

F a c t P r o j (c\c) = c1<(X),

de sorte que le diagramme [de C] ci-dessous commute :
12

cx <

FactProj

(c\c)

c

Alors, si X= X(c), si 6= B a s e P r o j (c) : Jf-> C et s'il n'y a pas risque d'ambiguïté,
on note, sommairement mais plus suggestivement :
c = C o n e P r o j Lim(£)
et:
c x = LimProj (6)
ou même, plus sommairement encore :
c = C o n e P r o j L i m j ^ e x 6{X)
et:
cx = LimProjjr€jr^(Ar).

2.2.b. Si C est une catégorie et si c est un cône inductif à valeurs dans C,
on dit que c est un cd/?e inductif limite [à valeurs] dans C si :
• pour tout cône inductif c ' , à valeurs dans C, de même indexation et de même base
que c, il existe une et une seule flèche de factorisation [inductive] de c vers c1,
i.e. une unique flèche de C :
Factlnd(c,c'):c+->c' +
telle que :
• pour tout point X de X(c) = X ( c ' ) , ona :
F a c t I n d ( c , c ' ) , c > ( ^ ) = c'>(X),
de sorte que le diagramme [de C] ci-dessous commute :
13

Factlnd(c,c')

+

c^{X)
c{X) = c\X)

Alors, si X=X(c), si 6= Baselnd(c) : X-» C et s'il n'y a pas risque d'ambiguïté,
on note, sommairement mais plus suggestivement :
c = ConeIndLim(£)
et:
c+ =

LimInd(6),

ou même, plus sommairement encore :
c = ConeIndLimjr € x 6{X)
et:
6*+ = LimIndx € X S(X).

2.2.c. Si C est une catégorie et si c est un cône projectif à valeurs dans C,
auquel cas cop est un cône inductif à valeurs dans C° p , il est clair que :
• c est un cône projectif limite dans C si, et seulement si, c op est un cône inductif
limite dans Cop.
Alors, pour tout cône projectif c ', à valeurs dans C et de même base que c, on a :
F a c t P r o j (c',c)= Factlnd(c o p ,c' o p ).
De même, si C est une catégorie et si c est un cône inductif à valeurs dans
C, auquel cas cop est un cône porjectif à valeurs dans C o p , il est clair que :
• c est un cône inductif limite dans C si, et seulement si, cop est un cône projectif
limite dans Cop.
14

Alors, pour tout cône inductif c ', à valeurs dans C et de même base que c, on a
F a c t l n d ( c , c ' ) = FactProj ( c ' ^ c 0 1 ' ) .

15

3.

Esquisses, propagateurs et métamorphoses naturelles.

3.1.

Esquisses.

3.1.a.

Une esquisse E est constituée par :

• la donnée d'un graphe à composition, appelé le support de E:
Supp(E)
[on note aussi, plus simplement :
E = Supp(E)],
• la donnée d'un ensemble de cônes projectifs [d'indexations variables] à valeurs dans
E, appelés les cônes projectifs distingués de E :
CPDist(E),
• la donnée d'un ensemble de cônes inductifs [d'indexations variables] à valeurs dans
E, appelés les cônes inductifs distingués de E :
CIDist(E),
Alors, on dit que :
• les points du graphe à composition E [support de E] sont [aussi] les points de
[l'esquisse] E et on note :
Pt(E) = Pt(E),
• les flèches du graphe à composition E [support de E] sont [aussi] les flèches de
[l'esquisse] E et on note successivement :
F1(E)-F1(|),
SelDom(E) = SelDom(E),
SelCodom(E) = SelCodom(E),
• les flèches identités du graphe à composition E [support de E] sont [aussi] les
flèches identités de fl'esquisse J E et on note successivement :
FlId(E) = FlId(E),

16

SelPoint(E)=SelPoint(E),
• les couples deflèchesconsécutives du graphe à composition E [support de E ] sont
[aussi] les couples deflèchesconsécutives de [l'esquisse] E et on note :
CCons (E) = CCons (E),
• les couples composables du graphe à composition E [support de E ] sont [aussi] les
couples composables de [l'esquisse] E et on note successivement :
CComp ( E ) = CComp (E),
Comp(E) = Comp(E).
De même, on dit que :
• les cônes projectifs à valeurs dans le graphe à composition E [support de E ] sont
[aussi] les cônes projectifs à valeurs dans [l'esquisse] E et, pour tout graphe à
composition X:
• on note :
CP(XE) = CP(X,E),
l'ensemble des cônes Xprojectifs à valeurs dans E et :
BP(X,E) = B P ( X i )

C P ( X E ) = CP(X,E)

i

Fonc(Xi)
l'application base projective,
• on désigne par :
CPD(XE) = CPDist(E)nCP(X,E)
l'ensemble des cônes Xprojectifs distingués dans E et par :
BPD ( X E ) : CPD ( X E ) -> F o n c ( X E )
l'application base projective distinguée, i.e. la restriction de l'application
base projective :
BP(X,E) = BP(XE)
CP(XE) = C P ( X i )

i
17

Fonc(X,E)
à l'ensemble de ces cônes Xprojectifs distingués :
CPD(XE) = CPDist(E)nCP(X,E)çCP(X,E),
les cônes inductifs à valeurs dans le graphe à composition E [support de E ] sont
[aussi] les cônes inductifs à valeurs dans [l'esquisse] E et, pour tout graphe à
composition X:
• on note:
Ci(X,E) = C l ( X E ) ,
l'ensemble des cônes Xinductifs à valeurs dans E et :
BI(X,E) = B I ( X § )

CI(X,E) = CI(X,E)

1
Fonc(X,E)
l'application base inductive,
• on désigne par :
CID(X,E) = CIDist(E)nCP(X,E)
l'ensemble des cônes Xinductifs distingués dans E et par :
BID(XE):CID(XE)-»Fonc(X,E)
l'application base inductive distinguée, i.e. la restriction de l'application
base inductive :
BI(X,E) = BI(X,E)

ci(XE) = c i ( X i )
Fonc(X,E)
à l'ensemble de ces cônes Xinductifs distingués :
CID(X,E) = C I D i s t ( E ) n C I ( X , E ) e C I ( X E ) .

3.1.b.

On dit qu'une esquisse E est purement projective si
18

• l'ensemble de ses cônes inductifs distingués est vide, i.e. on a :
CIDist(E) = 0 .
De même, on dit qu'une esquisse E est purement inductive si :
• l'ensemble de ses cônes projectifs distingués est vide, i.e. on a :
CPDist(E) = 0 .
Enfin, on dit qu'une esquisse E est triviale si :
• l'ensemble de ses cônes inductifs distingués est vide, i.e. on a :
CIDist(E) = 0 ,
• l'ensemble de ses cônes projectifs distingués est vide, i.e. on a :
CPDist(E) = 0 ,
autrement dit, si :
• E est purement projective,
• E est purement inductive.
En particulier, tout graphe à composition Ç s'identifie à son esquisse triviale associée :
TrivAss((j)
i.e. à l'unique esquisse triviale de support Ç, c'est-à-dire à l'esquisse triviale obtenue
lorsqu'on impose que :
TrivAss(Ç)= Ç
[de sorte qu'on a, après identification :
Ç=TrivAss(£)].
Inversement, on identifie toute esquisse triviale E à son support [si bien qu'on a, après
identification :
E = E].

3.1.c. Si X est un ensemble de graphes à composition, on dit qu'une
esquisse E est X-projective si :
• pour tout cône projectif c distingué dans E, on a :

X(c)eX.
Plus précisément encore, on dit qu'une esquisse E est purement X-projective si
• l'ensemble de ses cônes inductifs distingués est vide, i.e. on a :

19

CIDist(E) = 0 ,
• pour tout cône projectif c distingué dans E, on a :

X(c)eX,
autrement dit, si :
• E est une esquisse purement projective,
• E est une esquisse X-projective.
En particulier [si X = 0 ], les esquisses 0-projectives sont exactement les esquisses
purement inductives, tandis que les esquisse purement 0-projectives sont exactement
les esquisses triviales.
Si X est un ensemble de graphes à composition, on dit qu'une esquisse E est
X-inductive si :
• pour tout cône inductif c distingué dans E, on a :

X(c)eX.
Plus précisément encore, on dit qu'une esquisse E estpurementX-inductive si :
• l'ensemble de ses cônes projectifs distingués est vide, i.e. on a :
CPDist(E) = 0 ,
• pour tout cône inductif c distingué dans E, on a :

X(c)eX,
autrement dit, si :
• E est une esquisse purement inductive,
• E est une esquisse X-inductive.
En particulier [si X = 0 ], les esquisses 0-inductives sont exactement les esquisses
purement projectives, tandis que les esquisses purement 0-inductives sont exactement
les esquisses triviales.
Si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition, on dit qu'une
esquisse E est une (X',X")-esquisse si :
• pour tout cône projectif c ' distingué dans E, on a :
X(c')eX',
• pour tout cône inductif c " distingué dans E, on a :

X(C')eX",
autrement dit, si :
• E est une esquisse X'-projective,
20

• E estime esquisse X "-inductive.
En particulier [si X" = 0 ] , les (X',0)-esquisses sont exactement les esquisses
purement X '-projectives.
De même [si X' = 0 ], les (0,X")-esquisses sont exactement les esquisses purement
X"-inductives.
Enfin [si X' = 0
triviales.

et X" = 0 ] , les (0,0)-esquisses sont exactement les esquisses

3.1.d. On dit qu'une esquisse E est catégorique si :
• le graphe à composition E [support de E ] est une catégorie.
Plus particulièrement encore, on dit qu'une esquisse P est un prototype si :
• le graphe à composition P [support de P ] est une catégorie,
• tous les cônes projectifs distingués dans P sont des cônes projectifs limites,
• tous les cônes inductifs distingués dans P sont des cônes inductifs limites,
Alors, on dit évidemment que :
• une esquisse purement projective qui est aussi un prototype est un prototype
purement projectif,
• une esquisse purement inductive qui est aussi un prototype est un prototype
purement inductif,
• une esquisse triviale qui est aussi un prototype est un prototype trivial [de sorte que
les prototypes triviaux s'identifient aux catégories].
De même, si X est un ensemble de graphes à composition, on dit bien sûr que :
• une esquisse X-projective qui est aussi un prototype est un prototype X-projectif
• une esquisse purement X-projective qui est aussi un prototype est un prototype
purement X-projectif,
• une esquisse X-inductive qui est aussi un prototype est un prototype X-inductif
• une esquisse purement X-inductive qui est aussi un prototype est un prototype
purement X-inductif
Enfin, si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition, on dit bien
entendu, que :
• une ( X ', X " )-esquisse qui est aussi un prototype est un ( X ', X " )-prototype.
21

3.2.

Propagateurs.

3.2.a. Si E et E' sont deux esquisses, un propagateur p:E-»E' de E vers
E ' est constitué par :
• la donnée d'un foncteur, appelé le support de p :
Supp(p): Supp(E)-»Supp(E')
[on note, plus simplement :
g=Supp(p):E = Supp(E)->Supp(E') = E'],
et, ce, de sorte que :
• pour tout cône projectif c', distingué dans E, le cône projectif image g(c') est
distingué dans E',
• pour tout cône inductif c", distingué dans E, le cône inductif image g(c") est
distingué dans E',
autrement dit, de sorte que :
• pour tout graphe à composition X', l'application :

cp(jr , ,p):cp(jr , ,E)-^cp(XM')
admet une restriction :
CPD(X',p) : CPD(X',E) -> CPD(X',E') ,
si bien, évidemment, que les deux diagrammes [d'applications] ci-dessous
commutent :

CPDCT,E)

+ CPCT,E)

cpcr, E )

CPD(Jf',p)

cpDcr,E')

-> C P ( X ' , E ' )

22

CPD(X',E)

BPD(X',E)
-

>Fonc(X',E)

CPD(X',p)

Fonc(X',E)
•» Fonc(X',E')

CPD(X',E')
BPD(X',E')

pour tout graphe à composition X", l'application :
CI (X",g) : CI(X",E) -> CI(X",E')
admet une restriction :
CiD(X",p):ClD(X",E)-»ClD(X",E')
si bien, évidemment, que les deux diagrammes [d'applications] ci-dessous
commutent :

-» ci(X",E)

CID(X",E)

ci(X",p)

CID(X",p)

-» ci(X",E')

CID(X",E')

23

BID(X",E)

CID(X",E)

» Fonc(X",E)

ClD(X\p)

Fonc(X",p)
-> Fonc(X",E')

CID(X",E')
BID(X",E')

Alors, on note successivement :
• tout d'abord:
Pt(p) = Pt(p)
et, pour tout point E de E :
p(£)=Pt(p)(£) = Pt(g)(£) = p(£),
• puis :
Fi(P)=Fi(C)
et, pour toute flèche e de E :
p(e)=Fl(p)(e) = Fl(p)(e) = g(e),
• enfin :
FlId(p)=FlId(g),
CCons (p) = CCons (p),
CComp ( p ) = CComp ( g ).
De même, on note :

• pour tout cône projectif c ', à valeurs dans E [distingué ou non dans E ]
p(c') = p(c')
et, pour tout graphe à composition X' :
CP(X',p) = CP(X',p),
• pour tout cône inductif c ", à valeurs dans E [distingué ou non dans E ] :
p(c") = p(c")
et, pour tout graphe à composition X" :

24

ci(X",p)=ci(X M ,e).

3.2.b. Si Ç et Ç' sont deux graphes à composition, tout foncteur
f'Ç->Ç
s'identifie évidemment à son propagateur trivial associé :
x

TrivAss (/) : TrivAss (Ç) -> TrivAss (Ç)
i.e. à l'unique propagateur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• TrivAss (/") = / ,
de sorte qu'on a, après identifications :
/ = TrivAss (/) : £ = TrivAss ( Ç) -> TrivAss ( Ç' ) = £'
Inversement, si E et E' sont deux esquisses triviales, on identifie tout propagateur
p : E -» E ' à son support, si bien qu'on a, après identifications :
p = E : E = E->E' = E'.

3.2.c.

Si E est une esquisse, on note :
PropainjCano(E): TrivAss(Supp(E))-»E

ou, plus simplement encore [après identification] :
EcE= PropalnjCano(E) : TrivAss(Supp(E)) = E-»E
le propagateur injection canonique associé à E, i.e. l'unique propagateur évidemment
obtenu lorsqu'on impose que :
• Propain j Cano (E)= I d ( S u p p ( E ) ) ,
c'est-à-dire :
• EcE = Id(E) .

3.2.d. Si E,E' et E" sont trois esquisses et si p:E->E' et p ' : E ' - » E "
sont deux propagateurs, on désigne par :
p'op:E->E"

le propagateur composé de p' avec p , i.e. le propagateur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
•

p! o p = pf ©p.

25

3.2.e.

Si E est une esquisse, on désigne par :
Id(E):E->E

le propagateur identité en E, i.e. le propagateur évidemment obtenu lorsqu'on impose
que:
•

Id(E)=Id(E).

3.3.

Métamorphoses naturelles.

3.3.a. Si E et E ' sont deux esquisses et si p], p2 : E -> E ' sont deux
propagateurs, une métamorphose naturelle m : pi •=> p2 : E —» E ' [ou plus simplement
encore m : pi => p2 ] de pi vers p2 est constituée par :
• la donnée d'une transformation naturelle, appelée le support de m :
Supp(ffi):Supp(p!)=>Supp(p2)
[on note, plus simplement :
ffi=Supp(fH):pi

= Supp(p 1 )=>Supp(p 2 ) = e 2 ].

Alors, pour tout point E de E, on note :

m(E) = m(E).

3.3.b. Si Ç et Ç' sont deux graphes à composition et si f ,f2 : Ç-> Ç"
sont deux foncteurs, toute transformation naturelle 4:f=>f2 s'identifie évidemment à
sa métamorphose naturelle triviale associée :
TrivAss (4) : TrivAss (/i ) => TrivAss (f2)
i.e. à l'unique métamorphose naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
•

TrivAss(4)=4,

de sorte qu'on a, après identifications :

*= TrivAss (4) :f = TrivAss (f ) => TrivAss (f2 ) =_£ .
Inversement, si E et E' sont deux esquisses triviales et si pi, p2 : E -» E' sont deux
propagateurs, on identifie toute métamorphose naturelle «H : pi => p2 à son support, si
bien qu'on a, après identifications :
« = 89 : P i = 61 => & = P2 : E = E -> E ' = E ' .
26

3.3.C. Si E et E' sont deux esquisses, si pi, p2 , p3 : E -» E' sont trois
propagateurs et si *«i : pi => p2 et ffl2 : p2 => p3 sont deux métamorphoses naturelles,
on dit qu'elles sont intérieurement consécutives [elles le sont donc si, et seulement si,
leurs transformations naturelles supports S3i : gi => Jfe et gk : jfc => gj sont
intérieurement consécutives].
Dans ces conditions, on dit que (mi ,^¾) est un couple [de métamorphoses
naturelles] intérieurement composable si :
• le couple des transformations naturelles supports
composable.

( S3i » 532 )

est intérieurement

Alors, on note :
ff^.fHj

: p] z=>p3 : E - » E '

la métamorphose naturelle composée intérieure de m2 avec m\, i.e. la métamorphose
naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• ffl2 • ffll == fR? • CTj] .

En particulier, si E* est une esquisse catégorique, tout couple (ffh,^) de
métamorphoses naturelles intérieurement consécutives est intérieurement composable.

3.3.d. Si E et E ' sont deux esquisses et si p: E -> E ' est un propagateur, on
dit qu'une métamorphose naturelle m : p => p est [intérieurement] identitaire si :
• sa transformation naturelle support m : g => p est une transformation naturelle
identitaire.
En particulier, si E' est une esquisse catégorique, on dispose de la métamorphose
naturelle identité en p :
Id(p):p^p:E->E',
i.e. de l'unique métamorphose naturelle identitaire de p vers p évidemment obtenue
lorsqu'on impose que :
•

Id(p)=Id(g).

3.3.e. Si E,E' et E" sont trois esquisses, si pi, p2 : E —> E' et p':E'->E"
sont trois propagateurs et si m : px => p2 est une métamorphose naturelle, on désigne
par:
p'om:p'op 1 =>p'op 2 :E->E"
27

la métamorphose naturelle composée extérieure de p ' avec m, i.e. la métamorphose
naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
•

.!

-_,

„1

p offR —p offl .

De même, si E, Ef et E" sont trois esquisses, si p : E - » E ' et
p 'j, p 2 : E ' -> E " sont trois propagateurs et si *R ' : p 'i => p '2 est une métamorphose
naturelle, on désigne par :
fH'op: p'iop=>pv2op:E->En

la métamorphose naturelle composée extérieure de m% avec p , i.e. la métamorphose
naturelle évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
•

m'op =

ffl'op.

3.3.f. Si E et E' sont deux esquisses, si EH est une esquisse catégorique [a
fortiori, si c'est un prototype], si pi, p2 : E -» E ' et p'i, p'2 : E ' => E " sont quatre
propagateurs et si ffl : pi => p2 et m' : p'i => p'2 sont deux métamorphoses naturelles,
il est facile de vérifier [puisque E" est une catégorie] que le diagramme [de
métamorphoses naturelles] ci-dessous commute [puisque le diagramme des supports
commute] :

p'i offi
p'iopi

#-P'l°P2

ffl' o pi

IH'op2

7

p' 2 op!

p 2 oFR

= ^ P2op2

Alors, sa diagonale :
ffl ' offR: p 'i o pi => p '2 o p2 : E —> E "
définit et s'appelle la métamorphose naturelle composée extérieure de m ' avec m

28

4.

Prototypes engendrés.

4.1.

Esquisses catégoriques de classes de chemins engendrées.

4.1.a.

Si E est une esquisse, on désigne par :
ClChem(E)

Yesquisse catégorique des classes de chemins de
évidemmment obtenue lorsqu'on impose que :

E, i.e. l'esquisse catégorique

• ClChem(E) = C l c h ( E ) ,
• CPDist(ClChem(E))={(E|Clch(E))(c')/c'G CPDist(E)} ,
• CIDist(ClChem(E))={(E|Clch(E))(c")/c"G CIDist(E)} .
Alors, on note :
E | ClChem(E) : E -> ClChem(E)
le propagateur passage aux classes [des chemins de longueur 1 ], i.e. le propagateur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• ElClChem(E) = E l C l c h ( E ) .
En particulier, si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition et
si E est une (X',X")-esquisse, il est clair que ClChem(E) est une (X',X")esquisse catégorique.
De même, si E est une esquisse catégorique, il est clair que le propagateur
E j ClChem(E) : E -> ClChem(E) est un isomorphisme, qui permet donc d'identifier
ClChem(E) à E.

4.1.b. On vérifie immédiatement, compte tenu de la PROPOSITION 2 de
(E.T.E.l.) que:
PROPOSITION 1.5/ E est une esquisse, si E' est une esquisse catégorique [afortiori,
si c'est un prototype] et si p : E -> E' est un propagateur, alors il existe un unique
propagateur :
29

ExtClChem(p) : ClChem(E)-»E*
étendant p à ClChem(E), i.e. tel que :
p= ExtClChem(p)o(E | ClChem(E)) .
De même, si E est une esquisse, si E' est une esquisse catégorique fa fortiori, si c'est
un prototype], si pi, P2 : E -> E' sont deux propagateurs et si m : pi ^> p2 est une
métamorphose naturelle, alors il existe une unique métamorphose naturelle :
ExtClChem(fH)

ExtClChem(p 1 )

U
ExtClChem(p 2 )

ClChem(E)

i

E'
étendant m à ClChem(E), Le. telle que :
m= ExtClChem(m)o(E | ClChem(E)) .

4.1.c De la PROPOSITION 1 précédente résulte immédiatement que, si E
et E' sont deux esquisses et si p : E ->• E' est un propagateur, on dispose d'un unique
propagateur [étendant p tant à ClChem(E) qu'à ClChem(E')] :

ClChem(p)

ExtClChem((E'|ClChem(E'))op)
ClChem(E)

i
ClChem(E')
rendant commutatif le diagrammes [de propagateurs] ci-dessous :
30

E|ClChem(E)
E —•
^-»

ClChem(E)

ClChem(p)

ClChem(E')
E'IClChem(E')

De même, si E et E' sont deux esquisses, si pi, p2 : E —>E' sont deux
propagateurs et si «H : p } => p2 est une métamorphose naturelle, on dispose d'une
unique métamorphose naturelle [étendant
m
tant à
ClChem(E)
qu'à
ClChem(E')]:
ClChem(m)

ExtClChem((E'|ClChem(E'))om)

ClChem(pi)

U
ClChem(p2)

ClChem(E)

i
ClChem(E')
rendant commutatif le diagramme [de propagateurs et métamorphoses naturelles] cidessous :
31

,_
E|ClChem(E)
E —!
!_!_>

Pi

' -

'

* .

\

ciChem(E)
(ClChem(ffiV

P2 ClChem(p 1 )

/

\

E,

>

ClChem(p2)

/

ciChem(E')

E'|ClChem(E')

4.2.

Esquisses catégoriques à factorisations
engendrées.

4.2.a.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :

distinguées

GrCompFactDist(E)
le graphe à composition à factorisations distinguées engendré par E, i.e. le graphe à
composition évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• il contient le support E de E,
• pour tout cône projectif c ', à valeurs dans E et distingué dans E, et pour tout cône
projectif c\ , à valeurs dans E [non nécessairement distingué dans E], de même
indexation X( c \ ) = X( c ' ) et de même base que c ' [mais non néxessairement
distingué dans E], il contient une flèche supplémentaire [i.e. supposée ne pas
appartenir à JE] de factorisation projective distinguée de c\ vers c':
FactProjDist(c'!,c')

:c\*^>c*j x

i.e. telle que :
• pour tout point X' de X{ c ' ) , le couple :
( FactProj Dist ( ^ , 0 , ^ ( ^ ) )
est composable dans GrCompFactDist (E) et on a:
c^iX').

FactProj0181:(^,0 = ^ ( ^ ) ,
32

• pour tout cône inductif c ", à valeurs dans E et distingué dans E, et pour tout cône
inductif c *\ , à valeurs dans E, de même indexation X( c " i ) = X( c " ) et de même
base que c", il contient une flèche supplémentaire [i.e. supposée ne pas appartenir à
E ] de factorisation inductive distinguée de c " vers c "j :
FactIndDist(c",cw1):c"+->c"i +
i.e. telle que :
• pour tout point Xn de X(c"),

le couple :

(c"+(Zl'),FactIndDist(c",c''1))
est composable dans GrCompFactDist(E) et on a:
F a c t I n d D i s t ( c " , c " i ) . c " > ( A r , , ) = c" 1 > (A r ").
Alors, on note :
E c GrCompFactDist (E):E -» GrCompFactDist (E)
le foncteur injection canonique.

4.2.b.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :
CatFactDist(E) = Clch (GrCompFactDist (E))

la catégorie à factorisations distinguées engendrée par E, i.e. la catégorie des classes
de chemins engendrée par le graphe à composition GrCompFactDist (E).
Alors, on note :
E | CatFactDist (E) : E -» CatFactDist (E)
le foncteur passage aux classes des [seules] flèches de E, i.e. le foncteur composé du
foncteur injection canonique :
E ç GrCompFactDist (E)

E

i
GrCompFactDist(E)
avec le foncteur passage aux classes [de tous les chemins de longueur 1 ] :
GrCompFactDist(E)| Clch(GrCompFactDist(E))

33

GrCompFactDist(E)

Clch (GrCompFactDist (E)) = CatFactDist (E).

4.2.c.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :
EsqCatFactDist(E)

Yesquisse catégorique à factorisations distinguées engendrée par E, i.e. l'esquisse
catégorique évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• son support est la catégorie à factorisations distinguées engendrée par E, i.e.
EsqCatFactDist (E) = CatFactDist (E) ,

• ses cônes projectifs distingués sont les images des cônes projectifs distingués de E
par le foncteur passage aux classes E | C a t F a c t D i s t (E), i.e. :
CPDist( EsqCatFactDist (E))

{ (E| CatFactDist(E))(c') | c* € CPDist (E) } ,

• ses cônes inductifs distingués sont les images des cônes inductifs distingués de E
par le foncteur passage aux classes E | C a t F a c t D i s t ( E ) , i.e. :
CIDist (EsqCatFactDist (E))

{ (E | CatFactDist(E))(c") |c"e CIDist(E)}.
Alors, on note :
E | EsqCatFactDist (E) : E -> EsqCatFactDist (E)

le propagateur passage aux classes des [seules] flèches de E, i.e. le propagateur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• son support est le foncteur passage aux classes desflèchesde E, i.e. :
ElEsqCatFactDist(E)

E|CatFactDist(E)

E1EsqCatFactDist(E).
34

En particulier, si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition et
si E est une (X\X")-esquisse catégorique, il est clair que E s q C a t F a c t D i s t (E)
est une (X' ,X" )-esquisse catégorique.

4.2.d.

On vérifie sans difficulté que :

PROPOSITION 2. Si E est une esquisse catégorique, si P est un prototype et si
p : E -» P est un propagateur, alors il existe un unique propagateur :
ExtEsqCatFactDist(p) : EsqCatFactDist(E)-»P
étendant p à EsqCatFactDist (E), Le. tel que :
p = ExtEsqCatFactDist(p)o(E|EsqCatFactDist(E)).
De même, si E est une esquisse catégorique, si P est un prototype, si pi, p2 : E -» P
sont deux propagateurs et si m : pj :=> p2 est une métamorphose naturelle, alors il
existe une unique métamorphose naturelle :
ExtEsqCatFactDist(m)

ExtEsqCatFactDist(pi )
ExtEsqCatFactDist (P2)

EsqCatFactDist(E)

i
P
étendant m à EsqCatFactDist (E), Le. telle que :
w = ExtEsqCat FactDist (ffl)o(E| EsqCatFactDist (E)).

4.2.e. Nous laissons au lecteur le soin de définir les "esquisses catégoriques
à factorisations distinguées" quelconques [i.e. non nécessairement engendrées par une
esquisse catégorique] puis, dès lors, celui de constater que la PROPOSITION 2
précédente est tout aussi valable lorsqu'on y remplace le prototype P par une telle
35

"esquisse catégorique à factorisations distinguées" quelconque [mais ce point de vue évidemment tout à fait "naturel" - ne sera pas explicitement utilisé dans la suite].

4.3.

Esquisses catégoriques
engendrées.

à factorisations

4.3.a.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :

identifiées

RelFactldent(E)
la relation identifiant les factorisations dans E, i.e. la relation telle que :
• pour tout cône projectif c ', à valeurs dans E et distingué dans E, pour tout point
£ ' de E et pour toutesflèchesf\ ,f\ :£"'-> c' x vérifiant :
• pour tout point T de X(c'),

on a c' <(X').f\

= ^(^)./^,

alors, on a :
f\

RelFactIdent(E)/f2,

• pour tout cône inductif c ", à valeurs dans E et distingué dans E, pour tout point
En de E et pour toutes flèches f \ ,f"2:c"*-+E" vérifiant :
• pour tout pointa" de X ( c " ) , o n a / " ! . c "

>

(X")=f\.c">{Xn)9

alors, on a :
f\

RelFactIdent(E)/"2.

Dans ces conditions, on note :
CongrFactldent(E)
la congruence identifiant les factorisations dans E, i.e. la relation d'équivalence,
compatible avec la structure de catégorie, engendrée par R e l F a c t I d e n t (E) [et il
est facile de constater qu'elle n'identifie donc que des flèches ayant même domaine et
même codomaine].

4.3.b.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :
CatFactldent(E)

la catégorie à factorisations identifiées engendrée par E, i.e. la catégorie quotient
[strict] E / C o n g r F a c t l d e n t (E)
de la catégorie
E par la congruence
C o n g r F a c t l d e n t (E).
36

Alors, on note :
E| C a t F a c t l d e n t ( E ) : E - > ( E / C o n g r F a c t l d e n t (E)) = C a t F a c t l d e n t (E)
le foncteur passage aux classes de congruence.

4.3.c.

Si E est une esquisse catégorique, on désigne par :
EsqCatFactldent(E)

Yesquisse catégorique à factorisations identifiées engendrée par
catégorique évidemment obtenue lorsqu'on impose que :

E, i.e. l'esquisse

• son support est la catégorie à factorisations identifiées engendrée par E, i.e.
EsqCatFactldent (E) = CatFactldent (E),
• ses cônes projectifs distingués sont les images des cônes projectifs distingués de E
par le foncteur passage aux classes E | C a t F a c t l d e n t (E), i.e. :
CPDist(EsqCatFactldent(E))

{(E|CatFactIdent(E))(c')|c'e CPDist(E)},
• ses cônes inductifs distingués sont les images des cônes inductifs distingués de E
par le foncteur passage aux classes E | C a t F a c t l d e n t (E), i.e. :
CIDist(EsqCatFactldent(E))

{(E|CatFactIdent(E))(c")|c"e CIDist(E)} .
Alors, on note :
E| E s q C a t F a c t l d e n t (E):E-> E s q C a t F a c t l d e n t (E)
le propagateur passage aux classes des [seules] flèches de E, i.e. le propagateur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• son support est le foncteur passage aux classes des flèches de E, i.e. :
E1EsqCatFactldent(E)

E|CatFactldent(E)

E1EsqCatFactldent(E).
37

En particulier, si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition et
si E est une (X',X")-esquisse catégorique, il est clair que E s q C a t F a c t l d e n t (E)
est une (X' ,X" )-esquisse catégorique.

4.3.d.

On vérifie sans difficulté que :

PROPOSITION 3. Si E est une esquisse catégorique, si P est un prototype et si
p : E -> P est un propagateur, alors il existe un unique propagateur :
E x t E s q C a t F a c t l d e n t ( p ) : E s q C a t F a c t l d e n t ( E ) -» P
étendant p à E s q C a t F a c t l d e n t (E), Le. tel que:
p=ExtEsqCatFactIdent(p)o(E|EsqCatFactldent(E)).
De même, si E est une esquisse catégorique, si P est un prototype, si p], p2 : E -» P
sont deux propagateurs et si m : pi => p2 est une métamorphose naturelle, alors il
existe une unique métamorphose naturelle :
ExtEsqCatFactldent(m)

ExtEsqCatFactldent(pi)

U
ExtEsqCatFactldent (P2)

EsqCatFactldent(E)

i
P
étendant m à E s q C a t F a c t l d e n t (E), Le. telle que :
m = E x t E s q C a t F a c t l d e n t (m) o (E | E s q C a t F a c t l d e n t (E)) .

4.3.e. Nous laissons au lecteur le soin de définir les "esquisses catégoriques à
factorisations identifiées" [le. à unicité de factorisation] quelconques [le. non
nécessairement engendrées par une esquisse catégorique] puis, dès lors, celui de
constater que la PROPOSITION 3 précédente est tout aussi valable lorsqu'on y
remplace le prototype P par une telle "esquisse catégorique à factorisations identifiées"
quelconque [mais ce point de vue - évidemment tout à fait "naturel" - ne sera pas
explicitement utilisé dans la suite].
38

4.4.

Agrégations d'esquisses catégoriques.

4.4.a. Si ( S , < ) est un ensemble totalement ordonné, on dit que
F=((ïs)ses£ps,s')s<z&yS'eSys<S')
est une (S,<yfamille d'esquisses
catégoriques et propagateurs si :
• pour tout S e S , Es est une esquisse catégorique,
• pour tous S € S et 5" e S tels que S < S', ps,s* : £s -» E$- est un propagateur,
• pour tout S e S , on a :
ps,s=Icl(Es):Es->E5,

• pourtous SeS9S'eS

et 5" e S telsque £ < £ ' < £ " , on a:
Ps,s" = Ps\snop.s,,s" •

4.4.b. Si ( S , < ) est un ensemble totalement ordonné infini et si
F = ((£s)sesXps,S')seSis>eSjs<;s')
est une ( S, < )-famille d'esquisses
catégoriques et propagateurs, on désigne par :
CatAgreg(F)
la catégorie [obtenue par] agrégation de F, i.e. la catégorie évidemment obtenue [car
( S, < ) est un ensemble ordonné "Animentfiltrant"]lorsqu'on impose que :
ses points sont les classes d'équivalence (E,S) où:
• S e S et E est un point de E5 ,
étant entendu qu'on a :
(E,S) = ( £ ' , 5 ' )
si :
• il existe 5" e S tel que :
S<S\
S'<S\
ps,s*(E) = ps\s"(E')9
• sesflèchessont les classes d'équivalence (e,S) : (E{,S) -» (E2,S) où :
• S e S et e : E\ -> E2 est uneflèchede £s ,
étant entendu qu'on a :
(e,S) = (e',S>)
39

si :

• il existe 5" e S tel que :
S<S",
5'<S",
Ps,s»(e)

=

ps<,s«(e').

Alors, pour tout S e S , on note :
E5| CatAgreg (F) :Es~> CatAgreg (F)
le foncteur passage aux classes [en S], i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour tout point E de E 5 , on a :
( E s | C a t A g r e g ( F ) ) ( F ) = (F,S),
• pour toute flèche e de Es,on a:
( E 5 | C a t A g r e g ( F ) ) ( e ) = (e,S)

4.4.C. Si ( S , < ) est un ensemble totalement ordonné infini et si
F = ((Es)5€s,(ps,s)s€s,s'€s,s<sO
est une ( S, < )-famille d'esquisses
catégoriques et propagateurs, on désigne par :
EsqCatAgreg(F)
Yesquisse catégorique [obtenue par] agrégation de F, i.e. l'esquisse catégorique
évidemment obtenue lorsqu'on impose que :
• son support est la catégorie agrégation de F , i.e. :
EsqCatAqreq(F) = CatAgreg(F) ,
• ses cônes projectifs distingués sont les images des cônes projectifs distingués des
différentes Es par les foncteurs passsage aux classes E51 CatAgreg ( F ) , i.e. :
CPDist(EsqCatAgreg(F))
{ (Es j CatAgreg<F))(c') | 5 e S et c' e CPDist(E s ) } ,
• ses cônes inductifs distingués sont les images des cônes inductifs distingués des
différentes E5 par les foncteurs passsage aux classes E$ | CatAgreg ( F ) , i.e. :
C I D i s t (EsqCatAgreg(F))
{ (Es| C a t A g r e g ( F ) ) ( c " ) | S e S et c" e CIDist (Es) } .
40

Alors, pour tout S e S , on note :
Es | EsqCatAgreg (F) : Es-> EsqCatAgreg (F)
le propagateur passage aux classes [en S], le. le propagateur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• son support est le foncteur passage aux classes [en S], i.e. :
Es 1 EsqCatAgreg (F) = Es 1 CatAgreg ( F ) .
Et, dans ces conditions, il est facile de constater que :
• pour tout S e S et tout 5" e S tels que S< S ', on a :
(Es'|EsqCatAgreg(F))ops,s' = = Es|EsqCatAgreg(F).
En particulier, si X* et X" sont deux ensembles de graphes à composition et
si F est une (S,<)-famille de (X',X")-esquisses catégoriques et propagateurs [i.e. si
Es est, pour tout S e S , une (X',X")-esquisse catégorique], il est clair que
EsqCatAgreg (F) est une (X',X" )-esquisse catégorique.

4.4.d. Si ( S , < )
est un ensemble totalement ordonné infini, si
F=((Es)s€S,(ps,5)5 6 s,s'€S î s<5'0
est une ( S , < )-famille d'esquisses
catégoriques et propagateurs et si
P
est un prototype, on dit que
(} = (qs'Es—»P)s € s est une ( S, < y famille inductive de propagateurs de F vers P
si :
• pour tout S e S , t\s ' ^s -» P est un propagateur,
• pour tout S e S et tout 5' e S tels que S < S", on a :
^S'ops^S'^^S-

De même, si ( S , < ) est un ensemble totalement ordonné infini, si
F=((Es)s € s,(ps,s")seS,s'€S,s<ss')
est une ( S , < )-famille d'esquisses
catégoriques et propagateurs, si P est un prototype, si £ = ( q s : E s - » P ) s e s et
£)' = (q's:Es--»P)s€S sont deux (S,<)-familles inductives de propagateurs de F
vers P, on dit que N=(*S't\s:=>t\'s')seS
est une (S,<)-famille inductive de
métamorphoses naturelles de Q vers Q ' si :
• pour tout S e S ,fls• *\s=> q 5 : Es -> P est une métamorphose naturelle,
• pour tout S e S et tout 5" e S tels que S < 5 ' , on a :
fl

-sops,s=«5.

Dans ces conditions, on vérifie sans difficulté que :
41

PROPOSITION 4. Si ( S , < )
est un ensemble totalement ordonné infini, si
F=((Es)s€S,(P5 > 5')^€S,s*€S,s<5')
est une (S,<yfamille
d'esquisses
catégoriques et propagateurs, si P est un prototype et si Q = ( q s : E s -» P ) s € s est
une ( S , < yfamille inductive de propagateurs de F vers P, alors il existe un unique
propagateur :

FactInd(F,0):EsqCatAgreg(F)->P,
de factorisation inductive de Q par agrégation de F, Le. tel que :
• pour tout S e S, on a :

(FactInd(F,£))o(Es|EsqCatAgreg(F))=qs.
De

même, si

(S,<)

est

un ensemble totalement ordonné infini, si

,

F=((Es)s€s,(ps,5 )5'€S,s'€Sïs^5")
est une (S,<)-famille
d'esquisses
catégoriques et propagateurs, si P est un prototype, si ( ^ ( q s ^ s - ^ P ^ e S et
£ ' = (q's:Es-»P)s€S sont deux ( S , < )-familles inductives de propagateurs de F
vers P et si N=(*s'- q s ^ q ' s O s e S est une (S,<)-famille inductive de
métamorphoses naturelles de Q vers Q' alors il existe une unique métamorphose
naturelle :

FactInd(F,AO
FactInd(F,£)

u
FactInd(F,0')
EsqCatAgreg(F)

i
P
Le. telle que :
• pour tout S e S , on a :

(FactInd(F,^))o(Es|EsqCatAgreg(F)) = «s.

4.5.

Prototypes engendrés.

4.5.a.

Si T est un ensemble, on note

42

Card(T)
son cardinal.

4.5.b. Si w est un ordinal régulier, on dit qu'un graphe à composition Ç
est w-petit, si :

• Card(Pt(£))<w,
• Card(Fl(£))<w.

4.5.c.

Si E est une esquisse, on note :
OrdREg(E)

ou, plus suggestivement encore :
w(E) = OrdREg(E)
le plus petit ordinal régulier tel que :
• les indexations de tous les cônes projectifs distingués de E sont des graphes à
composition w(E)-petits,
• les indexations de tous les cônes inductifs distingués de E sont des graphes à
composition w( E )-petits.

4.5.d.

Si E est une esquisse, on désigne par :
FamResEsqCat(E)

((EsqCat(E,w'))w.<W(E)5(Propa(E,w',w"))W'<w»<W(E))

la famille résolvante [d'esquisses catégoriques et propagateurs] associée à E, i.e. la
( w(E) + 1 )-famille d'esquisses catégoriques et propagateurs évidemment obtenue [par
induction transfinie] lorsque :
• on impose que :
EsqCat(E,0) = ClChem(E),
• si w m est un ordinal tel que w"' < w(E) et si la ( ww + l )-famille d'esquisses
catégoriques et propagateurs :

43

((EsqCat(E,w')) W '< w -,(Propa(E,w , ,w")) W '<te;»< w -')
est définie, alors :
• on impose que :
EsqCat ( E , w ' " + 1 )
EsqCat F a c t I d e n t ( E s q C a t F a c t D i s t ( EsqCat ( E , w m ) ) )
[c'est donc une esquisse catégorique],
• on impose que le propagateur :
Propa(E,w,,,,w,"+l)
EsqCat (E,w*")

i
EsqCat(E,w'"+l)
est le composé du propagateur :
EsqCat (E, wm ) | EsqCatFactDist ( EsqCat (E, wm ) )

EsqCat (E,w'")

i
EsqCatFactDist (EsqCat (E,w'"))
avec le propagateur :
EsqCatFactDist (EsqCat (E, w"'))

I
EsqCat Factldent (EsqCatFactDist ( EsqCat (E,w'")))

EsqCatFactDist (EsqCat (E, w'"))

i
E s q C a t F a c t l d e n t ( E s q C a t F a c t D i s t (EsqCat ( E , w œ ) ) )
• si w'" est un ordinal limite [par conséquent, infini] tel que wm < w(E) et si la
wm-famille d'esquisses catégoriques et propagateurs :
( (EsqCat (E, w')) W '< w »,(Propa(E, w', w")) w .< w «< w .»)

44

est définie, alors :
• on impose que :
EsqCat (E,w m )
EsqCatAgreg ((EsqCat (E,w,))w<w»,(Propa(E,w',w"))w<w«<w.»)

• pour tout ordinal w' < w"', on impose que :
P r o p a ( E , w ' , wm)
EsqCat (E,w')

I
EsqCatAgreg ((EsqCat (E,w , )) w .< w .",(Propa(E,w',w")) w -< w » < w «.)
EsqCat (E,w')

i
EsqCatAgreg ((EsqCat (E,w'))w< w -,(Propa(E,Te; , ,w"))w< w « < w»)
EsqCat (E,w"*) •

4.5.e. Si E est une esquisse, il est clair [par construction] que la "dernière"
esquisse catégorique EsqCat (£,w(£)) de sa famille résolvante est un prototype. On
l'appelle le prototype engendré par E et on note, plus suggestivement :
ProtoEng(E) = EsqCat (E, w(E)),
Alors, on désigne par :
E|ProtoEng(E) :E-> ProtoEng(E)
le propagateur canonique de E vers son prototype engendré, i.e. le composé du
propagateur :
E|ClChem(E)
E

i
45

ClChem(E)
avec le propagateur :
Propa(E,0,w(E))
ClChem(E) = EsqCat (E, 0 )

i
EsqCat (E, w(E) = ProtoEng(E).
En particulier, si X' et X" sont deux ensembles de graphes à composition et
si E est une (X',X")-esquisse catégorique, il est clair que ProtoEng(E) est un
(X',X")-prototype.

4.5.f. Compte tenu de la PROPOSITION 1, de la PROPOSITION 2, de la
PROPOSITION 3 et de la PROPOSITION 4, on vérifie sans difficulté que :
PROPOSITION 5. Si E est une esquisse, si ? est un prototype et si p : E -» P est un
propagateur, alors il existe un unique propagateur :
ExtProtoEng(p): ProtoEng(E)-»P
étendant p à ProtoEng(E), i.e. tel que:
p = ExtProtoEng(p)o(E|ProtoEng(E)).
De même, si E est une esquisse, si P est un prototype, si p!, p2 : E -> P sont deux
propagateurs et si fH : p! => p2 est une métamorphose naturelle, alors il existe une
unique métamorphose naturelle :
ExtProtoEng(ffl)
ExtProtoEng(pi)

u
ExtProtoEng(p2)
ProtoEng(E)

i
P
étendant m à ProtoEng(E), Le. telle que :

46

m = ExtProtoEng(m) o (E | ProtoEng(E)) .

4.5.g. De la PROPOSITION 5, résulte immédiatement que, si E et E ' sont
deux esquisses et si p : E -> E ' est un propagateur, on dispose d'un unique propagateur
[étendant p tantà ProtoEng(E) qu'à ProtoEng(E')] :
ProtoEng(p) : ProtoEng(E)-» ProtoEng(E')
rendant commutatif le diagramme [de propagateurs] ci-dessous :

^ E|ProtoEng(E)
/rN
E J
^ - 4 ProtoEng(E)

ProtoEng(p)

>

E'

ProtoEng(E')

E'|ProtoEng(E')

De même, si E et E ' sont deux esquisses, si pi, p2 : E -» E ' sont deux
propagateurs et si «H : pj ^> p2 est une métamorphose naturelle, on dispose d'une
unique métamorphose naturelle [étendant m tant à ProtoEng(E) qu'à
ProtoEng(E')] :
ProtoEng(fR)
ProtoEng (p})

li
ProtoEng(fr)
ProtoEng (E)

i
ProtoEng (E')
rendant commutatif le diagramme [de propagateurs et métamorphoses naturelles] cidessous :
47

E
/

E|ProtoEng(E)

>ProtoEng(E)

\
«H.

pi

fh

ProtoEng(m)

ProtoEng (pO
\

» ProtoEng(E')

E'-

E'lProtoEng(E')

48

ProtoEng (P2)
/

5.

Catégories d'esquisses.

5.1.

Petitesse.

S.l.a.

Si U est un univers, on dit qu'une esquisse E est localement U-petite

si :
• son support E est un graphe à composition localement U-petit,
• l'indexation de chacun de ses cônes projectifs distingués est un graphe à composition
U-petit,
• l'indexation de chacun de ses cônes inductifs distingués est un graphe à composition
U-petit.
Si tel est le cas et si E = P est un prototype, on dit évidemment qu'il s'agit d'un
prototype localement Xi-petit.

5.1.b.

Si U est un univers, on dit qu'une esquisse E est Xi-petite si :

• son support E est un graphe à composition U-petit,
• l'ensemble CPDist ( E) de ses cônes projectifs distingués est un ensemble U-petit,
• l'ensemble CIDist ( E ) de ses cônes inductifs distingués est un ensemble U-petit,
• l'indexation de chacun de ses cônes projectifs distingués est un graphe à composition
U-petit,
• l'indexation de chacun de ses cônes inductifs distingués est un graphe à composition
U-petit.
Si tel est le cas et si E = P est un prototype, on dit évidemment qu'il s'agit d'un
prototype Xi-petit.
49

5.2.

Catégories d'esquisses U-petites.

5.2.a.

Si U est un univers, on note indifféremment :
C a t E s q P e t i t e s ( U ) = î&0u

la catégorie des esquisses Xi-petites, le. la catégorie canoniquement obtenue lorsqu'on
impose que :
• ses points sont les esquisses U-petites,
• ses flèches sont les propagateurs entre ces esquisses U-petites.
De même, on désigne indifféremment par :
CatEsqCat Pet i t e s ( U ) = <EsqCatv
la catégorie des esquisses catégoriques Xi-petites, le. la sous-catégorie pleine de (Ettfu
dont les points sont les esquisses catégoriques U-petites, et on note :
<EsqCat\j c <Esqv : <EsqC(itv -» <Esqv
le foncteur injection canonique.
Enfin, on désigne indifféremment par :
C a t P r o t o P e t i t s ( U ) = <Pro£ou
la catégorie des prototypes U-petits, i.e. la sous-catégorie pleine tant de <EsqCatv que
de <Esqu dont les points sont les prototypes U-petits, et on note :
(Protov c <EsqCatv : <Protov -> <EsqCatv
et:
<Protov c <Esqv : (Protov -» <Esqv
les foncteurs injections canoniques.

5.2.b. Si U est un univers et si X' et X" sont deux ensembles de graphes
à composition, on désigne indifféremment par :
CatEsqPetites(U,X',X") = ( X ' , X " ) - ^ u
la catégorie des (X' ,X")-esquisses Xi-petites, le la catégorie canoniquement obtenue
lorsqu'on impose que :
• ses points sont les ( X ', X " )-esquisses U-petites,
• ses flèches sont les propagateurs entre ces ( X ', X " )-esquisses U-petites.

50

De même, on désigne indifféremment par :
CatEsqCatPetites(U,X\X") = ( X \ X > ^ G t f u
la catégorie des (X 1 ,X" ^-esquisses catégoriques Xi-petites, le. la sous-catégorie pleine
de (X' ,X" )-<Esqv dont les points sont les (X' ,X")-esquisses catégoriques U-petites,
et on note :
(X\Xny^qCatvŒ(X\Xny^qv:(X\Xny(EsqCatv^(X\Xny'Esqv
le foncteur injection canonique.
Enfin, on désigne indifféremment par :
CatProtoPetits(U,X',Xn)=(X',X")-aVotou
la catégorie des (X',X")-prototypes U-petits, i.e. la sous-catégorie pleine tant de
(X\X"y<EsqCatv
que de (X',X")-<£rçu dont les points sont les (X',X">
prototypes U-petits, et on note :
(X\XM)-0¥otouc(X\Xtt)-^^
et:
(X',X"y(ProtovŒ(X\X"y<Esqv:(X',X">(Protov

-*(X',X")-<£rçu

les foncteurs injections canoniques.

5.2.C. Si U est un univers et si X' et X" sont deux ensembles de graphes
à composition, la catégorie (Xf ,X" ycEsqv est évidemment une sous-catégorie pleine
de <Esqv •
On note :
(X\X"y<Esqv^<Esqv:(X',X"y<Esqv^><Esqv
le foncteur injection canonique.
De même, la catégorie
catégorie pleine de <EsqCatv.

(X* ,X" y<EsqCatv est évidemment une sous-

On note :
(X',X"y<EsqCatvQ<EsqCatv : (X',X")-<EsqCatv -» <EsqCatv
le foncteur injection canonique.
Enfin, la catégorie (X',X")-<Protou est évidemment une sous-catégorie
pleine de (Protov.
On note :
(X',X")-(ProtovQ (Protov : (X\X")-(Protov-> (Protov
51

le foncteur injection canonique.

5.3.

Adjonctions.

5.3.a.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :

FoncClChemPetits(U) = dcâemv(-) : <Esqv -> (EsqCatv
le foncteur "classes de chemins", pour les esquisses, relatif à la U-petitesse, i.e. le
foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour toute esquisse U-petite E,ona:
c&fiemu(-)(E) = ClChem(E),
[puisque, si E est une esquisse U-petite, il est clair que ClChem(E) est une
esquisse catégorique qui est U-petite],
• pour toutes esquisses U-petites E et E ' et pour tout propagateur p : E -> E ', on a :
cfc&emv(-)(^) = ClChem(p).
De la PROPOSITION 1 il résulte évidemment que, dans le diagramme [de
foncteurs] ci-dessous :

<EsqCatv
*

•

cCcHemvi')

(EsqCatv c (Esqv

*

<Esqv

le foncteur :
cfcdemv ( - ) : <Esqv -» ^qCatv
est un adjoint à gauche du foncteur :
(EsqCatv e (Esqv : (EsqCatv -> <Esqv .

52

5.3.b.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :

F o n c P r o t o E n g P e t i t s ( U ) = jproto^7i^u(~): <Esqv -> Protov
le foncteur "prototype engendré", pour les esquisses, relatif à la V-petitesse, i.e. le
foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour toute esquisse U-petite E, on a :
jproto£n#u(-)(E)=ProtoEng(E),
[puisque, si E est une esquisse U-petite, il est aisé de vérifier que ProtoEng (E)
est un prototype qui est U-petit],
• pour toutes esquisses U-petites E et E ' et pour tout propagateur p : E -> E ', on a :
protoengv(-)(p)=

ProtoEng(p).

De la PROPOSITION 5 il résulte évidemment que, dans le diagramme [de
foncteurs] ci-dessous :

(Protov

protoengv{-)

Protov c <Esqv

<Esqv

le foncteur :
protoengv ( - ) : <Esqv -» (Protov
est un adjoint à gauche du foncteur :
(Protov ç <Esqv : Protov -> <Esqv

5.3.C. Si U est un univers et si X' et X" sont deux ensembles de graphes
à composition, on désigne indifféremment par :
FoncClChemPetits(U,X',X")

53

(X',X")-ctciiemv(-)

(X',X">^u

i
(X',X")-<EsqCatv
le foncteur "classes de chemins", pour les (X\Xn)-esquisses, relatif à la U-petitesse,
i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour toute esquisse U-petite E, on a :
(X',X">c/c£mu(-)(E) = ClChem(E),
[puisque, si E est une (X',XM)-esquisse U-petite, alors ClChem(E) est encore
une (X' ,X" )-esquisse, catégorique, et qui est U-petite],
• pour toutes (X',X")-esquisses U-petites E et E1 et pour tout propagateur
p:E-»E',ona:
(X',X">c/c^mu(-)(p) = ClChem(p).
Ainsi, le foncteur (X',X")-c(cfiemu(-) : (X',X")-<Esqv-*(X',X")-<EsqCatv est
une restriction du foncteur cfcâemvi - ) : <Esqv -> 'EsqCatv.
De la PROPOSITION 1, ou encore par resriction de l'adjonction du point a.
précédent, il résulte évidemment que, dans le diagramme [de foncteurs] ci-dessous :

(X',X"> <EsqCatv

(X',X")-ctcfiemv(-)

(X',X")-<EsqCatvç(X\X")-<Esqv

*

(X',X")-<Erçu

le foncteur :
(X',X")-c&fomu(-) : (X',Xn)-<Esqv^>(X',Xn)-<EsqCatv
est un adjoint à gauche du foncteur :
(X',X")-^Ctftue(X',X")-^u:(X',X")-^Oïtu^(X',X")-^u.

54

5.3.d.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :
FoncProtoEngPetits(U,X',X")
(X',Xnyprotoen#v(-)

(X',X")-<Esqv
i
(X',X y<Protou
le foncteur "prototype engendré", pour les (X' ,X"yesquisses, relatif à la M-petitesse,
i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
n

• pour toute ( X *, X " )-esquisse U-petite E, on a :
(X',X")-/;rotO£f#u(-)(E) = ProtoEng(E),
[puisque, si E est une (X',XM)-esquisse U-petite, alors ProtoEng (E) est encore
un (X* ,X" )-prototype et qui est U-petit],
• pour toutes esquisses U-petites E et E ' et pour tout propagateur p : E -» E ', on a :
(X',X")-protoen#u(-)(p)= ProtoEng (p).
Ainsi, le foncteur (X' ,X")-protoengv(- ) : (X' ,X" y<Esqv - • (X' ,X"y<Protov est
une restriction du foncteur protoengv ( - ) : <Esqv -> (Protov.
De la PROPOSITION 5, ou encore par resriction de l'adjonction du point b.
précédent, il résulte évidemment que, dans le diagramme [de foncteurs] ci-dessous :

(X',Xny<Protov

(X',Xnyprotoeti0v(-)

(X',X")-(Protouç(X',X")-^u

•

(X',X">£s^u

le foncteur :
(X',Xnyprotoen0v(-):(X',X"y<Esqv^(X',Xny<Protov
55

est un adjoint à gauche du foncteur :

(X',Xny<Protovç(X,,Xny<Esqv:(X',X"y<Protov->(X\X")<Esqv

56

6.

Bibliographie.

(C.O.G.R.)

D. Duval et C. Lair, Sketches and Spécifications : Référence Manual, Second
Part : Projective Sketches, Rapport de Recherche du L.A.C.O., Limoges, 2000
[http://www.unilim.fr/laco/rapports].

(E.T.E.l.)

C. Lair, Elément de Théorie des Esquisses, Section 1 : Graphes à Composition,
Diagrammes 45+46, Paris, 2001.

(E.T.E.2.)

C. Lair, Eléments de Théorie des Esquisses, Section 2 : Systèmes Tensoriels et
Systèmes Enrichis de Graphes à Composition, Diagrammes 47+48, Paris, 2002.

(E.T.E.n.)

C. Lair, Eléments de Théorie des Esquisses, Sections 1, 2, 3, 4 et suivantes, parues
et à paraître dans Diagrammes.

(E.T.S.A.)

C. Ehresmann, Esquisses et Types des Structures Algébriques, Bull. Instit. Polit.
XIV, Iasi, 1968.

(E.T.S.C.)

C. Ehresmann, Introduction to the Theory of Structured Catégories, Techn. Rep.
10, Univ. of Kansas, Lawrence, 1966.

(L.D.T.E.)

L. Coppey et C. Lair, Leçons de Théorie des Esquisses (I) et (H), Diagrammes 12,
Paris, 1984 et Diagrammes 19, Paris, 1988.

(S.F.A.T.)

F. W. Lawvere, Some Algebraic Problems in the Context of Functorial Semantics of
Algebraic Théories, Lecture Notes in Math. 61, Springer, 1968.

57

7.

Table.

L Introduction.
2. Cônes projectifs et cônes inductifs, cônes projectifs limites et cônes inductifs limites.
2.1. Cônes projectifs et cônes inductifs.
2.2. Cônes projectifs et cônes inductifs limites.

5
5
12

3. Esquisses, propagateurs et métamorphoses naturelles.
3.1. Esquisses.
3.2. Propagateurs.
3.3. Métamorphoses naturelles.

16
16
22
26

4. Prototypes engendrés.
4.1. Esquisses catégoriques de classes de chemins engendrées.
4.2. Esquisses catégoriques à factorisations distinguées engendrées.
4.3. Esquisses catégoriques à factorisations identifiées engendrées.
4.4. Agrégations d'esquisses catégoriques.
4.5. Prototypes engendrés.

29
29
32
36
39
42

5. Catégories d'esquisses.
5.1. Petitesse.
5.2. Catégories d'esquisses U-petites.
5.3. Adjonctions.

49
49
50
52

6. Bibliographie.

57

7. Table.

58

UNIVERSITE PARIS 7
U.F.R. de Mathématiques
Case 7012
2, place JUSSIEU
75251 PARIS CEDEX 05
FRANCE
lairchrist@aol.com

58