D IAGRAMMES

C. L AIR
Éléments de théorie des esquisses. Section 2 : systèmes tensoriels
et systèmes enrichis de graphes à composition
Diagrammes, tome 47-48 (2002), p. 3-34
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_2002__47-48__3_0>

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DIAGRAMMES

VOLUMES 47 + 48,2002

ELEMENTS DE THEORIE DES ESQUISSES
SECTION 2 :
SYSTEMES TENSORIELS
ET
SYSTEMES ENRICHIS
DE
GRAPHES A COMPOSITION

C. Lair

1.

Introduction.

Ce texte est le deuxième d'une série [voir (E.T.E.n.)] où seront
exposés quelques éléments de la théorie des esquisses. Nous y reprenons
systématiquement la terminologie et les notations de (E.T.E. !.)•
Nous présentons, ici, quelques rudiments supplémentaires de la
théorie des graphes à composition : ceux concernant divers de leurs produits tensoriels
ainsi que divers de leurs enrichissements..

La catégorie des graphes à composition peut être munie de
nombreuses structures de catégories multiplicatives [voir (C.A.M.U.)] ou monoïdales
[voir (C.L.C.A.)], associées à autant de types de produits tensoriels différents entre
graphes à composition, et enrichies de bi-fermetures ou même de fermetures [voir
(C.L.C.A.)], associées à autant de types de transformations "plus ou moins" naturelles
entre foncteurs : on peut trouver en (P.T.G.M.) une classification complète de ces types
de produits tensoriels et de transformations, considérés isolément les uns des autres.
En nous limitant [pour faire plus simple et plus court] à trois seulement de ces
types de produits tensoriels [le creux, le plein et le produit cartésien] et de
transformations "les plus naturelles", mais en les considérant cette fois non plus
isolément mais simultanément, nous montrons [§2] que les graphes à composition
[d'une taille donnée] s'organisent tous en un même système tensoriel, au sens de
(S.T.S.E.) ou (P.T.E.A.), puis [§3] en un système enrichi associé, au sens de (S.T.S.E.)De la sorte, sont précisés et structurés les différents modes concrets de
composition, non seulement des foncteurs entre eux, mais aussi des foncteurs et des
transformations ["les plus"] naturelles entre eux, ainsi que des transformations ["les
plus"] naturelles entre elles et, ce, selon qu'ils et elles sont ou non à valeurs dans des
graphes à composition généraux, des catégories ou des graphes orientés.
Ainsi, ces "systèmes" étant explicités, un certain nombre de constructions, ne
serait-ce que celles de "lax-limites inductives", sont pleinement bien fondées.
Ce travail résulte dune collaboration avec D. Duval : on pourra en
trouver une version initiale intégrée à (C.O.G.R.).

2.

Systèmes tensoriels de graphes à composition.

2.1.

Tensorisations de graphes à composition.

2.1.a.

Si Ç et Ç' sont deux graphes à composition, on désigne par :
Ç2Ç'

le graphe à composition produit tensoriel creux de Ç avec Ç', i.e. le graphe à
composition évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme schématiquement représenté
ci-dessous, que :

(GuG'z)

Gi

<

(Gx,g')

(Gi.G'i)

(g,G\)

(g,G'2)

g

G2

(Gz,G'z)

(G2,G\)

<-

(G2,gl

Ç2Ç'
G\

«-

G\
g'

• ses points sont les (G,G ' ) , où G est un point de Ç et G ' est un point de Ç',
• sesflèchessont :
• les (gyG^-.iGxtG^-ïfàtG^tOà.
G' est un point de Ç',

g.Gx-^Gz

est une flèche de Ç et

• les (G,g'):(G,G'i)->(G,G' 2 ), où
g f :G'i->G' 2 est une flèche de Ç\

G

est un point de

Ç

et

• ses flèches identités sont :
• les (g,C) : (G,G')^> (G,G')> où g : G-> G est une flèche identité de g
et G' est un point de Ç\
• les (G,g'):(G,G')-»(G,G'),où G estunpointde Ç et g ' : G ' - » G '
est une flèche identité de Ç\
• ses couples composables sont :
• les ((gi ,G ' ),(g2 ,G ' )), où (gi ,g 2 ) est un couple composable de Ç et
G ' est un point de Ç', auquel cas on a :
(g 2 ,G').(g 1 ,G') = (g 2 .g 1 ,G'),
• les ((G,g'i),(G,g'2)), où G estunpointde Ç et (g'i,g 2 ) est un
couple composable de Ç ', auquel cas on a :
(G,g' 2 ).(G,g' 1 ) = (G,g' 2 .g' 1 ).
En particulier, si Ç= ¢¢, et Ç"=C
évidemment im graphe orienté.

sont deux graphes orientés, ^ D ^ '

est

2.1.b. Si DZ, Ç\ , £ 2 et Ç"2 sont quatre graphes à composition et si
/ : Ci -> £ 2 et / ' : Ç'i -» (/"2 sont deux foncteurs, on désigne par :

fuf.ç1nç\^ç2nç<2
le foncteur produit tensoriel creux de f avec f , i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout point Gi de DZ et pour tout point G\ de Ç\ , on a :
( / D / ' ) (G1 ,G 'x ) = (/(Gx ),/' (G 'x )),
• pour toute flèche gi de DZ et pour tout point G\ de Ç"i, on a :
(/D/')(g 1 ,G' 1 ) = (/(g 1 ),/'(G' 1 )),
• pour tout point Gi de £1 et pour toute flèche g\ de Ç'^ona:
(/Q/')(G 1 ,g' 1 ) = (/(G 1 ),/'(g' 1 )).

2.1.C

Si Cet Ç" sont deux graphes à composition, on désigne par

çmç'
le graphe à composition produit tensoriel plein de Ç avec Ç', i.e. le graphe à
composition évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme schématiquement représenté
ci-dessous, que :

Gi

(G^G'z) <

(Gi* 1 )

(g,G\)

(g,G'z)

g

G2

(Gi.G'i)

(Gz,G\)

(G2,G'z) <_
(02*')

çmç'
2

G\

<~

g'

• ses points sont les (G,G'),où G estunpointde Ç et G' estunpointde Ç',
• ses flèches sont :
• les (g,G') : (Gi,G') -»(G 2 ,G'), où g : Gx -» G2 est uneflèchede Ç et
G' estunpointde Ç",
• les (G,g'):(G,G'i)-»(G,G' 2 ), où
g' :G'i-»G' 2 est uneflèchede Ç",

G

est un point de

Ç

et

• les (g,g , ):(Gi,G'i)^(G 2 ,G' 2 ),où g:G!-»G 2 est une flèche de Ç
et g' : G \ -» G '2 est uneflèchede Ç",
• sesflèchesidentités sont :
• les (g,G ' ) : (G,G ' ) -» (G,G * ) , où g : G -» G est uneflècheidentité de Ç
et G' estunpointde Ç",
• les (G,g'):(G,G')-KG,G'),où G estunpointde Ç et g ' i G ' - ^ G '
est uneflècheidentité de Ç ',
• les (g,g' ) : (G,G ') -> (G,G ' ) , où g : G -» G est uneflècheidentité de Ç
et g' : G ' -» G ' est uneflècheidentité de Ç',

• ses couples composables sont :
• les ((gi ,G ' ),(g2 ,G ' )), où (gi ,g 2 ) est un couple composable de Ç et
G' estunpointde Ç", auquel cas on a :
(g2,G').(g1,G') = (g2.g1,G'),

• les ((G,g'i),(G,g' 2 )),où G estunpointde Ç et (g'i,g' 2 ) est un
couple composable de Ç', auquel cas on a :
(G,g\).{G,g\)

=

(G,g\.g\),

• les ((g,G'!),(G 2 ,g')), où g:Gi->G 2 est une flèche de g et
g' :G 'i -> G '2 est une flèche de Ç" , auquel cas on a :
(G29g').(g,G\)

= (g,g'),

• les ((Gi,g'),(g,G' 2 )), où g:Gi->G 2 est une flèche de Ç et
g' :G 'i -> G \ est une flèche de Ç', auquel cas on a :
(g^'.MG^g'^feg'),
• les ((gi,g'i),(g2,g'2)),où (gi,g 2 ) est un couple composable de Ç et
(g !i ,g '2 ) est un couple composable de Ç" , auquel cas on a :
(g2 , g ' 2 ) • (gl , g ' l ) = (g2 • g l , g f 2 • g ' i ) .

2.1.d. Si Ci, Ç*2 , Ç"i et Ç"2 sont quatre graphes à composition et si
/ : Ci -> Ç2 et f : Ç\-> Q\ sont deux foncteurs, on désigne par :
fMf : Ci M Ç\ -> Ci M Ç\
le foncteur produit tensoriel plein de f avec f, i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• pour tout point Gi de DZ et pour tout point G\ de Ç"i,ona:
(fMf

) (Gi ,G \ ) = (/(G! ),/' (G 'a ) ) ,

• pour toute flèche gi de DZ et pour tout point G\ de (J"i,ona:
( / M / ' ) (gl ,G '! ) - (/(g! ),/* (G 'x ) ) ,
• pour tout point Gi de Çx et pour toute flèche g\ de Ç"i,ona:
( / M / ' ) ( G 1 ^ , 1 ) = (/(G 1 ),/ , (g , 1 )),
• pour toute flèche gi de Ci et pour toute flèche g\ de

(fmf)(gi,g\)=(f(gi),f(g\)).
8

Ç\,om:

2.1.e. Si Ç
indifféremment par :

et

Ç' sont deux graphes à composition, on désigne

le graphe à composition produit tensoriel cartésien, ou encore produit cartésien, de Ç
avec Ç', i.e. le graphe à composition évidemment obtenu lorsqu'on impose, comme
représenté schématiquement ci-dessous, que :

Gi

(Gi.G'i)
(g*')

g

G2

(G2,G'2)
Ç®Ç<

G\2

G*i

<r

g
• ses points sont les (G,G ' ) , où G est un point de Ç et G ' est un point de Ç",
• sesflèchessont les (g, g'): (Gx ,G \ ) -» (G2 ,G '2 ) , où g : Gi -> G2 est une flèche
de Ç et g' : G 'i -» G '2 est uneflèchede Ç",
• ses flèches identités sont les (g, g'): {G,G ' ) -» (G,G ' ) , où g.G^G
flèche identité de £ et g' : G ' -> G ' est uneflècheidentité de Ç',

est une

• ses couples composables sont les ((gi,g'i),(g 2 ,g' 2 )), où (gi,g 2 ) est un couple
composable de Ç et (g\ ,g' 2 ) est un couple composable de Ç', auquel cas on a :
(g2 , g 2 ) • (gl , g ' l ) = (g 2 . g l , g ' 2 . g ' i ) .

En particulier, si Ç= C et Ç" = C sont des catégories, il est facile de vérifier que
C® C = O C est une catégorie.

2.1.f. Si Ci, Ç2, Ç\ et Ç'z sont quatre graphes à composition et si
/ : Ci -» Çz et / ' : Ç\ ->• Ç"2 sont deux foncteurs, on désigne indifféremment par :

f®f

: Ci ® Ç\ -> Ci ® Ç\

le foncteur produit tensoriel cartésien, ou produit cartésien, de f
foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :

avec f , i.e. le

• pour tout point G± de £1 et pour tout point G\ de Ç"i,ona:
( / ® / , ) ( G i ^ ' i ) = (/x/')(G1,G'i) = (/(G1),/'(G*1)),
• pour toute flèche g± de DZ et pour toute flèche g\

de

Ç\,om:

(/®/,)(gi,g,1) = (/x/,)(gi,g'i) = (/(gi),/'(g,i)).

2.2.

Systèmes tensoriels de graphes orientés, de graphes à
composition et de catégories.

2.2.a.

On désigne indifféremment par :
GrOrCano(l)= 10

le graphe orienté canoniquement associé à l'entier
ayant pour seul point 0 et n'ayant aucune flèche.

1 = { 0 } , i.e. le graphe orienté

De même, on désigne indifféremment par :
CatCano(l)=J?
la catégorie canoniquement associée à l'entier 1 = {0}, i.e. la catégorie ayant pour
seul point 0 = 0 et pour seule flèche :
Id(0) = (0,0):0->0.
Enfin, on désigne indifféremment par :
CatCano(2) = 2
la catégorie canoniquement associée à l'entier 2 = {0,1}, i.e. la catégorie ayant pour
seuls points 0 et 1 et pour seules flèches :
(0,1):0->1,
l d ( 0 ) = (0,0) : 0 - > 0 ,
l d ( l ) = (1,1): 1 - > 1 .
On note :
ÎŒ2:Î^2

10

le foncteur injection canonique [envoyant 0 sur 0 ].
De même, on note :
le foncteur injectif envoyant 0 sur 1.
Enfin, on note :
2\1\2->1
l'unique foncteur de 2 vers 1.

2.2.b.

Si U est un univers, on désigne par :
- Du - : ÇrCompv x ÇrCompv -» ÇrCompv

le foncteur "produit tensoriel creux des graphes à composition Xi-petits", i.e. le
foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous graphes à composition U-petits Ç et Ç" , on a :

• pour tous graphes à composition U-petits Ci, Ç2, Ç\ et Ç'2 et pour tous
foncteurs / : Çx -» Ç2 et / ' : Ç\ -> Ç\ , on a :

(-Qu-)(/,/')=/•/'.
Alors, on note :
- O u - : ÇrOrv x ÇrOru -> ÇrOrv
le foncteur "produit tensoriel creux des graphes orientés \3-petits", i.e. le foncteur
restriction du précédent.

2.2.c.

Si U est un univers, on désigne par :
- S u - : ÇrCompv x ÇrCompv-> ÇrCompv

le foncteur "produit tensoriel plein des graphes à composition U-petits", i.e. le foncteur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous graphes à composition U-petits Ç et Ç" , on a :

i-mv-)(çç')=çmç\
• pour tous graphes à composition U-petits Ç1, Ç2, Ç\ et Ç\
foncteurs / : Çx -> Ç2 et / ' : Ç\ -> Ç}2, on a :
11

et pour tous

(-au-)(/,/) via/ 1 Alors, on note :
- Ml u - : ÇrCompv x Catv -> ÇrCompv
le foncteur "produit tensoriel plein des graphes à composition U-petits aves les
catégories U-petites", i.e. le foncteur restriction du précédent.

2.2.d.

Si U est un univers, on désigne par :
-1®| u - : Catv x Catv -> Catv

le foncteur "produit tensoriel cartésien des catégories U-petites", i.e. le foncteur
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour toutes catégories U-petites C et C 1 , on a :
(-|®|u-)(C,C') = C ® C \
• pour toutes catégories U-petites Ci et C2 , C\ et C\ et pour tous foncteurs
/ : Ci -> C2 et / ' : C i -> C\ , ona :
(-|®|u-)(//)=/®/.

2.2.e.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :
SysTensGrCompPetits(U)=

ÇrCompv

le système tensoriel des graphes à composition U-petits, i.e. le 1-système tensoriel
catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (ÇrCompv) id(0) = ÇrCompv,
• -®id(0),id(0)- = - Q u - : ÇrCompv* ÇrCompv-* ÇrCompv,
Précisément, il est facile de vérifier [en reprenant la terminologie de (S.T.S.E.)] que :
• ÇrConipv

est associatif en (Id(0),Id(0),Id(0)),

• ÇrCompv

admet I0 pour unité à gauche de l d ( 0 ) ,

• Gtâ&mjpv admet J 0 pour unité à droite de ld(0).
En particulier, on désigne indifféremment par :
SysTensGrOrPetits(U)= ÇrOrv
12

le système tensoriel des graphes orientés U-petits, i.e. le i-système tensoriel
catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu ["par restriction" du précédent],
lorsqu'on impose que :
• (ÇrOrtj)ld(o)=

ÇrOrv,

• -®id(0),id(0)- = -|Q|u -: ÇrOrv* ÇrOrv-* ÇrOrv.
Et, précisément, on déduit de ce qui précède [en reprenant la terminologie de
(S.T.S.E.)] que :
• ÇrOrv est associatif en (Id(0),Id(0),Id(0)),
• ÇrOrv admet 1& pour unité à gauche de Id (0),
• ÇrOrv admet l<z pour unité à droite de l d ( 0 ) .
Alors, on dispose évidemment d'un i-morphisme tensoriel catégorique, au sens
de (S.T.S.E.), "injection canonique" :
ÇrOrv c ÇrCompv

2.2X

: ÇrOrv ->

ÇrCompv.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :

SysTensCatPetites(U)= Catv
le système tensoriel des catégories U-petites, i.e. le ./-système tensoriel catégorique, au
sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (Catv) ld(0)=

Catv,

• -®id(0),id(0)- = -|®|u-: Catv* Catv-* Catv .
Précisément, il est facile de vérifier [en reprenant la terminologie de (S.T.S.E.)] que :
• Catv est associatif en (Id(0),Id(0),Id(0)),
• Catv admet 1 pour unité à gauche de l d ( 0 ) ,
• Catv admet 1 pour unité à droite de Id (0).
Alors, on dispose évidemment d'un J-morphisme tensoriel catégorique, au sens
de (S.T.S.E.), "injection canonique" :
Catv c ÇrCornpv : Catv ->

2.2.g.

ÇrCompv.

Si U est un univers, on désigne indifféremment par :
SysTensGrCompCatPetits(U)=
13

ÇrCompCatv

le système tensoriel des graphes à composition U-petits et des catégories U-petites, i.e.
le 2-système tensoriel quasi-catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
(ÇrCompCatv)

id(0)= ÇrCompv,

(ÇrCompCatv)

ld{1)

(ÇrCompCatv)

{0 1 } =

= Catv,
ÇrCompv,

-®id(0),id(0)- = - Q u - : ÇrCompv* ÇrCompv-* ÇrCompv
-®id(0),(o,i) = - I u - : ÇrCompv* ÇrCompv-* ÇrCompv
-®(o,i),id(i) = -IIl|u-: ÇrCompv* Catv-* ÇrCompv,
-®id ( i),id(i) = -|®|u-: Catv*

Catv-+Catv.

Précisément, il est facile de vérifier [en reprenant la terminologie de (S.T.S.E.)] que :
ÇrCompCatv

est associatif en (Id(0),Id(0),Id(0)),

ÇrCompCatv

est quasi-associatif de gauche à droite en ( I d ( 0 ), I d ( 0 ),( 0,1 )),

ÇrCompCatv

est associatif en (Id(0),(0,l),Id(l)),

ÇrCompCatv
est quasi-associatif de gauche à droite en ((0,l),Id(l),Id(l))
[en utilisant "suffisamment des flèches identités" des catégories facteurs des produits
tensoriels concernés],
ÇrCompCatv

est associatif en (Id(l),Id(l),Id(l)),

ÇrCompCatv

admet 1& pour unité à gauche de l d ( 0 ) ,

ÇrCompCatv

admet i 0 pour unité à droite de l d ( 0 ) ,

ÇrCompCatv

admet 1 0 pour unité à gauche de (0,1),

ÇrCompCatv

admet 1 pour quasi-unité à droite de (0,1),

ÇrCompCatv

admet 1 pour unité à gauche de I d ( l ) ,

ÇrCompCatv

admet 1 pour unité à droite de Id (1).

Alors, on dispose évidemment [moyennant un "changement d'indexation" comme défini en (S.T.S.E.)] d'un 2-morphisme tensoriel quasi-catégorique, au sens de
(S.T.S.E.), "injection canonique" :

14

GrC&mpCatii ç ÇrCompv : GrC&mpCatv -» ( ÇrCompv) 2 \i
et on voit, bien entendu [moyennant d'autres "changements d'indexations" - comme
définis en (S.T.S.E.)], que :
( GrC&mpCûtfv) IQ2=

(fsC&mpu

et que :
( GrCotnpCa£v)î/L2 = Cettv.

15

3.

Systèmes enrichis de graphes à composition.

3.1.

Exponentiation de graphes à composition.

3.1.a. Si Ç
indifféremment par :

et

Ç% sont deux graphes à composition, on désigne

E n s F o n c ( £ £ ' ) = Fonc(£,£')
X ensemble des foncteurs allant de Ç vers Ç\
Si Ç, Ç% et Ç" sont trois graphes à composition et si / ' : Ç' -» Ç" est un
foncteur, on désigne indifféremment par :
EnsFonc(Ç,/') = Fonc(Ç , ,/'):Fonc(Ç,Ç')->Fonc(Ç r ,g")

Yapplication "composition à gauche avec f ", i.e. l'application évidemment obtenue
lorsqu'on impose que :
• pour tout foncteur / : Ç-* Ç" , on a :
Fonc(£/')(/)=/'o/.
De même, si Ç, Ç' et Ç" sont trois graphes à composition et si / : Ç-* Ç'
est un foncteur, on désigne indifféremment par :
EnsFonc ( / , £ " ) = Fonc(/,Ç") : Fonc(Ç',Ç')-> Fonc(Ç;Ç")
Yapplication "composition à droite avec f", i.e. l'application évidemment obtenue
lorsqu'on impose que :
• pour tout foncteur / ' : Ç" -» Ç", on a :
Fonc(/,g")(/')=/'o/.
Si Ç, Ç\ £" et Ç™ sont quatre graphes à composition et si f-Ç-*Ç*
et
/ " : Ç" -* Ç"' sont deux foncteurs, il est facile de vérifier que le carré [d'applications]
ci-dessous commute :
16

Fonc ( £ ' , / " )
Fonc(£',Ç"')

>Fonc(Ç',£"')

Fonc ( / , £ " )

Fonc (/,£"')
>Fonc(Ç,Çm)

Fonc(£,£")
Fonc ( £ , / " )

où la diagonale définit donc l'application :
EnsFonc(/,/") = Fonc(/,/") : Fonc(Ç\Ç°) -> Fonc(£,Ç")

3.1.b. Si Ç et
indifféremment par :

Ç'

sont deux graphes à composition, on désigne

GrCompFonc (££') = <Fonc(Ç,Ç')
le graphe à composition des foncteurs allant de Ç vers Ç' [ou graphe à composition
exponentiation de Ç' par Ç], i.e. le graphe à composition évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
• ses points sont les foncteurs de Ç vers Ç',
• ses flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs,
• ses flèches identités sont les transformations naturelles identitaires entre ces
foncteurs,
• sa loi de composition est la composition intérieure [des couples - de transformations
naturelles entre ces foncteurs - intérieurement composables].
En particulier, si Ç'=C est une catégorie, le graphe à composition <Fonc(Ç,C) est
évidemment une catégorie.
De même, si Ç'=QÇ est un graphe orienté, le graphe à composition T<mc{Ç,$C ) est
évidemment un graphe orienté.
Si Ç,Ç' et Ç" sont trois graphes à composition et si / ' : Ç" -> Ç" est un
foncteur, on désigne indifféremment par :
GrCompFonc(Ç,f ) = <Fonc{Ç,f ) : <Fonc{Ç,Ç') -> <Fonc{Ç,Ç")
le foncteur "composition à gauche avec f ", i.e. le foncteur évidemment obtenu
lorsqu'on impose que :
17

• pour tout foncteur / : Ç -» Ç', on a :
<Fanc{Ç,f){f)=fof,
• pour toute transformation naturelle •£ : /1 =>_£ : Ç-^ Ç' ,on&:

De même, si Ç, Ç' et Ç" sont trois graphes à composition et si / : Ç-> Ç'
est un foncteur, on désigne indifféremment par :
GrCompFonc(/,£")= <Fonc(f,Çn) : <Fonc(Ç\Çn)^ <Fonc(Ç,Ç")
le foncteur "composition à droite avec f", i.e. le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour tout foncteur / ' : Ç" -¥• Çn, on a :
<Fonc(f,Çn)(f)=fof,
• pour toute transformation naturelle 4' :f\ =>/f2 : Ç' -> Ç"', on a :
<Fonc(/,Ç'')(*') = * ' o / .
Enfin, si Ç, Ç\ Çn et Ç"" sont quatre graphes à composition et si
f.Ç->Ç'
et / " : Ç" -> Çm sont deux foncteurs, il est facile de vérifier que le carré
[de foncteurs] ci-dessous commute :

<Fonc(Ç',D
<Fonc(Ç',Ç")

><Fonc{Ç\Çm)
<Fonc{f,Çm)

<Fonc(f,Ç")

><Fonc(Ç,Çm)

<Fonc(Ç,Ç")

<Fonc(Ç,f)

où la diagonale définit donc le foncteur :
GrCompFonc(/,/")= <Fonc{f,f) : <Fonc(Ç',Ç")^> <Fonc{Ç,Çm).
18

3.2.

Systèmes enrichis de graphes orientés, de graphes à
composition et de catégories.

3.2.a.

Si Ç, Ç' et Ç " sont trois graphes à composition, on note :

— ong.ç-.ç* —: <Fonc(Ç,Ç')Q <Fonc(Ç\Ç")-* Tonc(Ç,Ç")
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs / : £-> Ç' et f \ Ç% -* Ç", on a :
(— anç.ç'.g• pour tous foncteurs f\,fi'Ç-^Çy
naturelle t.f\ = > / , on a :

—)(f,f)=fof9

et / ' : Ç' -> Ç" et pour toute transformation

{— Qnç.ç\ç-

—)(**f)=fo*9

• pour tous foncteurs f-Ç-*Çy
et f\ ,f'2'Çx-*Ç"
naturelle •£' \f\ =>f*2, on a :

et pour toute transformation

De même, si Ç et Ç' sont deux graphes à composition [en particulier, si Ç'
est une catégorie] et si C" est une catégorie, on note :
— Qnç.g'.c —• <Fonc(Ç,Ç')m <Fonc(Ç\C)^ <Fonc(Ç,C")
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs f.Ç-*Ç'

et / ' : Ç' -* C", on a :

(— Quç.ç'.c*
• pour tous foncteurs fi,fi'Ç-^Ç'
naturelle ^ :/i =>f2 , on a :

—)(f,f)=fof,

et / ' : Çy -» C" et pour toute transformation

(—o^.s.c»—)(*,/')=/'o-*,
• pour tous foncteurs f-Ç-+Ç'
naturelle 4' :f\ =$fz , on a :

et /'i ,/' 2 : Ç" -> C" et pour toute transformation

( - 0 , - , ^ . , 0 - ) ( / , ^ ) = ^ 0 / ,

• pour tous foncteurs /i ,f2 : £ - » Ç" et / ' i ,/' 2 : Ç"-> C"
transformations naturelles t.fi^fz
et •£' :/'i =>/' 2 , on a :
( - 0 ^ , ^ , 0 - ) ( ^ ) = - ^ .

19

et pour toutes

Enfin, si C,C et C" sont trois catégories, on note :
— o 0 C ,c,c« — : <Fonc(CO® <Fonc(C\C")^> <Fonc(QC")
le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• pour tous foncteurs / : C-* C1 et / ' : C -> C", on a :

(— Qac.c.c-

—)(f,f)=fof9

• pour tous foncteurs / i ,/ 2 : C-> C et / ' i ,/' 2 : C -» C"
transformations naturelles 4:f1=>f2 et -É' :/'i =>/' 2 , on a :
(—

3.2.b.

et pour toutes

0®C,C\C" — ) ( - £ , - £ ' ) = -Ê'o*.

Si Ç est un graphe à composition, on désigne par :
FoncUnit (Ç) : 10 -> <Fonc(Ç,Ç)

le foncteur d'unitarité canonique associé au graphe à composition Ç, i.e. le foncteur
qui envoie le point 0 sur le foncteur Id (Ç) : Ç-* Ç [qui est bien un point du graphe
à composition <Fonc(Ç9Ç)].
Si C est une catégorie, on désigne par :
FoncUnitld(C) : 1 -> Tonc(GQ
le foncteur d'unitarité identitaire canonique associé à la catégorie C, i.e. le foncteur
[de la catégorie 1 vers Tonc(CC) - qui est aussi une catégorie] qui envoie le point 0
sur le foncteur I d ( C ) : C - » C [et qui envoie donc la flèche l d ( 0 ) sur la
transformation naturelle Id(Id(C)) : Id(C)=> Id(C) : C-* C - qui est bien une
flèche de îcmc(GC)].

3.2.c. Si U est un univers, on désigne par GrCompu le système enrichi
des graphes à composition U-petits, i.e. le i-système <//!7éW^&u-enrichi catégorique,
au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (GrComp u) o = Pt (ÇrCompv) est l'ensemble des graphes à composition U-petits,
• pour tous graphes à composition U-petits Ç et Ç1, on a :
(GrCompu)id ( o)(££ f )= <Fonc(Ç,Ç'),
• pour tous graphes à composition U-petits Ç, Ç' et Ç", on a :

20

CompLoc (GiComp U,(£ld(0),£',ld(0),£ n ))

— Qnç,ç- ,Ç" —

(GrCompu)id(o)(Ç,$")®id(0),id(0)(GrCompu)Icl(0)($",Ç")
Tonc^Ç^U'Fonc^Ç»)

i
<Fonc(Ç,Ç«)

(GrCompu)i d( o)(££")
et pour lequel :
• pour tout graphe à composition U-petit £ , o n a :
FlUnit (GrCompu,(0,Ç))

FoncUnit(Ç)

PtQUni t ( ÇrComp u ,o)

<F<mc{Ç,Ç)

(GrCompu)id(o)($;Ç)
autrement dit, la famille :
(FoncUnit (Ç) : î0 -» <Fonc(Ç,Ç)) ce Pt( çrc<mpv)
est la famille des flèches d'unitarité,
• on dispose d'un isomorphisme canonique :
(GrCompu)*o s ÇrCompv,
21

de la catégorie (GrCompu)*o [compagnon en 0 - au sens de (S.T.S.E.) - du
système enrichi GrComp U ] vers la catégorie ÇrCompv [des graphes à
composition U-petits].
En particulier, on désigne par GrOru le système enrichi des graphes orientés
U-petits, i.e. le 1-système <^AtïVu-enrichi catégorique, au sens de (S.T.S.E.),
évidemment obtenu [par "restriction" du précédent] lorsqu'on impose que :
• (GrOru) o = Pt (ÇrOrv) est l'ensemble des graphes orientés U-petits,
• pour tous graphes orientés U-petits ¢(, et <^,',ona:
(GrOru) M ( o > (*,*') = <Fbm:(<$X' ) ,
• pour tous graphes orientés U-petits ^,, £(,' et ^,", on a :
CompLoc (GrOru,(^,ld(0),C,Id(0),^."))

— Pu «U «.•,*.•• —
(GrOru)Id(0)(¾.,¾ , )®Id(0) > Id(o)(GrOru) I d(0)W,^ ,, )
Tonc(§i,§C)Q <Fonc{<SC,qC)

i
fonc^Ç.")
(GrOru)id<o)(3W)
et pour lequel :
• pour tout graphe orienté U-petit ¢¢,, on a:
FlUnit (GrOru,(0,3(,))
FoncUnit(#0
PtQUnit (<?f&rv,0)
le

i
22

<Fonc(<H,$0

(GrOru)id ( o)(flL*),
autrement dit, la famille :
(FoncUnit (¾) : 10 -* Vonc^,^))

*G Pt ( ÇrOrv)

est la famille desflèchesd'unitarité,
• on dispose d'un isomorphisme canonique :
(GrOru)*o=£/Oru,
de la catégorie (GrOru)*o [compagnon en 0 - au sens de (S.T.S.E.) - du système
enrichi GrOru] vers la catégorie ÇrOrv [des graphes orientés U-petits].
Alors [moyennant un "changement d'enrichissement" - comme défini en
(S.T.S.E.)], on dispose évidemment d'un i-morphisme <?/nC0tn/Hj-erïrichi
catégorique, au sens de (S.T.S.E.), "injection canonique" :
GrOru c GrCompu : ( ( GrOn*^ GrCotnf>v>> GrOru ) -* GrCompu .

3.2.d. Si U est un univers, on désigne par Catu le système enrichi des
catégories U-petites, i.e. le i-système Catv-emicïù catégorique, au sens de (S.T.S.E.),
évidemment obtenu lorsqu'on impose que :
• (Catu) o = Pt (Catv) est l'ensemble des catégories U-petites,
• pour toutes catégories U-petites C et C" , on a :
(Catu)id ( o)(CC t )=î r onc(CC ? ) 9
• pour toutes catégories U-petites C9 C et C", on a :
CompLoc(Catu,(C,Icl(0),C^Icl(0),C ,, ))

— O0C,C\C" —

(Catu)id(0)(GC î )®id(0) ) id(o)(Catu)id ( o)(CX , t )
Tonc(CC)® <Fonc(C\C")

i
23

<Fonc(CC)

(Catu)id(o)(CC")
et pour lequel :
• pour toute catégorie U-petite C,ona:
FlUnit(Catu,(0,C))

FoncUnitld(C)
PtQUnit (Catv, 0)

1

i
<Fonc(CC)

(Catu)id ( o)(GC),
autrement dit, la famille :
(FoncUnitld(C): 1-* <F<wu;(C,C))ce pt(c*„)
est la famille des flèches d'unitarité,
• on dispose d'un isomorphisme canonique :
(Catu)*o = Catv,
de la catégorie (Catu)*o [compagnon en 0 - au sens de (S.T.S.E.) - du système
enrichi Catu] vers la catégorie Catv [des catégories U-petites].
Alors [moyennant un "changement d'enrichissement" - comme défini en
(S.T.S.E.)], on dispose évidemment d'un i-morphisme <//^W^2>u-enrichi
catégorique, au sens de (S.T.S.E.), "injection canonique" :
Catu c GrCompu : ( (Ccck^ GtCotnf^^Z^\v ) -* GrCompu.

3.2.e. Si U est un univers, on désigne par GrCompCatu le système
enrichi des graphes à composition U-petits et des catégories U-petites, i.e. le 224

système 0rC0tnpCotv-eru\àù
obtenu lorsqu'on impose que :

catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment

• (GrCompCatu)o = Pt (ÇrCompv) est l'ensemble des graphes à composition Upetits,
• (GrCompCatu) i = Pt (Catv) est l'ensemble des catégories U-petites,
• pour tous graphes à composition U-petits Ç et Ç', on a :
(GrCompCatu) id(o)(Ç,Ç") = <Fonc(Ç,Ç'),
• pour tout graphe à composition U-petit Ç et pour toute catégorie U-petite C , on
a
(GrCompCatu) ( o, i > (Ç,C )= <Fonc(Ç,C ) ,
• pour toutes catégories U-petites C et C, on a :
(GrCompCatu) id ( i )(GC* )= ^>«c(C,C'),
• pour tous graphes à composition U-petits Ç, Ç' et Ç", on a :
CompLoc(GrCompCatu,(Ç,Id(0),Ç',Id(0),Ç"))

— Qaç,ç\Ç" —

(GrCompCatu)id(o)($,,Ç,)®id(0),id(0)(GrCompCatu)id(o)(Ç',Ç")

<Fonc(Ç,Ç')Q<Fonc(Ç\Ç")

i
Tonc(Ç,Çn)

(GrCompCat u) id ( o > ( Ç, Ç " ) ,
. pour tous graphes à composition U-petits Ç et Ç' et pour toute catégorie U-petite
C\ona:
CompLoc (GrCompCatu

— Q&Ç,Ç\C

25

,(Ç,ld(0),Ç\(0,l),C))

(GrCompCatu)Id(0)(Ç,Ç,)®id(0),(o,i)(GrCompCatu)(o,i)(Ç',C")

<Fonc(ÇÇ)m *onc{Ç\C)
i
<Fonc(Ç,C")
(GrCompCatu) ( o. 1 >(££" ) ,
• pour tout graphe à composition U-petit Ç et pour toutes catégories U-petites C et
C\ona:
CompLoc (GrCompCatu ,($(0,l),C,,lci(l),C"))

— fimff.C'.c- —

(GrCompCatu)(o,i)(^C,)®(o>i),id(i)(GrCompCatu)id(i)(C',C")
<Fonc(Ç,C)M <Fonc(C\C")

i
<Fonc(Ç,C)
(GrCompCatu) ( o, 1 > (Ç,C" ) ,
• pour toutes catégories U-petites C,C et C", on a :
CompLoc(GrCompCatu,(C,id(l),CMd(l),C"))

—

0®C,C',C"

—

(GrCompCatu)id(i)(C,C,)®id(i)>id(i)(GrCompCatu)id(i)(CX")
Tonc(C,C)®'Fonc^C")

i
26

<F<mc(C,C")
(GrCompCatu) id(i)(CC") 5
et pour lequel :
• pour tout graphe à composition U-petit Ç^ona:
FlUnit (GrCompCatu, (0,Ç))
FoncUnit(Ç)

p t QUn i t ( ÇrCompCatv,

0)

le

i
<Fonc(ÇÇ)
(GrCompCatu) M( O)(Ç,Ç) »
• pour toute catégorie U-petite C,ona:
FlUnit (GrCompCatu,(l,C))
FoncUnitld(C)

p t QUn i t ( ÇrCompCatv,

l)

1

i
<Fonc(C,C)
(GrCompCatu)id(i)(C,C),
• on dispose d'un isomorphisme canonique :
(GrCompCatu)*o s ÇrCompv
27

de la catégorie (GrCompCatu)*o [compagnon en 0 - au sens de (S.T.S.E.) - du
système enrichi GrCompCatu] vers la catégorie ÇrCompv [des graphes à
composition U-petits],
• on dispose dfun isomorphisme canonique :
(GrCompCatu)*i s Catv,
de la catégorie (GrCompCatu)*i [compagnon en 1 - au sens de (S.T.S.E.) - du
système enrichi GrCompCatu] vers la catégorie Catv [des catégories Upetites].
Alors [moyennant un "changement d'indexation" - comme défini en
(S.T.S.E.)], on dispose évidemment dfun 2-morphisme (<7/^&mfa)2\renrichi
catégorique, au sens de (S.T.S.E.), "injection canonique" :
GrCompCatu c GrCompu : GrCompCatu -> (GrCompu)21 ;,

et on voit, bien entendu [moyennant d'autres changements d'indexations], que :
(GrCompCatu) iç 2 = GrCompu

et que :
(GrCompCatu) ; 12 = Catu.

3.2.f.

Si U est un univers, on note indifféremment :
MorEnrichChPetits(U)

chu(-)

( ( GrOn ç GrComp* > GrOru )

i
((CatbÇ; &rCc»npu)Catv)
le morphisme enrichi "chemins" relatif à la U-petitesse, i.e. le 1-morphisme
(//iTéW^Zty-enrichi catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour ce qui concerne sa coordonnée [comme définie en (S.T.S.E.)] en 0 , on a :
(chu (-))o

28

Pt [chv(-))

( ( GrtPn e ÇrCompo ) GrOru )o

Pt (ÇrOrv)

i
Pt(Catv)

( ( Cafii s ÇrCompv ) Catu )o ,
• pour tous graphes orientés U-petits ^. et <$£, le foncteur :
(chu(-))id(0)(3L^:)

( ( GrOr* c GrCompu ) GrOru ) id( o ) ( ¾ . ^ )

Tonc^,^)

i
<Fbn<:(ch(^),Ch (<£*))

( ( CcU* ç ÇrComp* ) Catu ) id( o ) (Ch (0O,Ch ( C ) ) =
est le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on stipule que :
• pour tout foncteur / : <!(,-> <£, on a :
((ch u (-)) M ( o ) ( * . * • ) ) ( / ) - Ch ( / ) ,
• pour tous foncteurs fi,fz:
•É:/i=>/ 2 ,ona:

3{,-> ^' et pour toute transformation naturelle

((chu(-)) I d(0)(^^ , ))(*) = Ch(*).
De la sorte, il est clair que [en ce qui concerne le foncteur compagnon en 0
comme défini en (S.T.S.E) - de ch u (-) ] on a :
chu(-)* 0

29

câv(-)

( ( GrOru e GrCompu ) GrOru )*o

ÇrOrv

i
Catv
( ( CaGsç GrCompu ) Catu )*o

[et que l'adjonction de (E.T.E.I.), § 4.2.d, est "compagnon en 0 " d'une "i-adjonction
^/tTdW^^u-enrichie" que nous laissons au lecteur le soin de préciser].

3.2.g.

Si U est un univers, on note indifféremment :
MorEnrichCIChPetits (U)
clchu(-)
(GrCompu)

i
( ( Catu ç GrCompu ) Catu )

le morphisme enrichi "classes de chemins" relatif à la U-petitesse, i.e. le i-morphisme
(ïfCompv-ewichi catégorique, au sens de (S.T.S.E.), évidemment obtenu lorsqu'on
impose que :
• pour ce qui concerne sa coordonnée en 0 , on a :
(clchu(-))o
Pt {ckfiv(-))

(GrCompu)o

30

Pt (ÇrCompv)

i
Pt (Catv)

( ( Catu ç GrCompu ) C a t u )o ,

• pour tous graphes à composition U-petits Cet Ç', le foncteur :
(clchu(-))id(0)(Ç,£')

(GrCompu)id(o)(£,£)
<Fonc(Ç,Ç<)

i
&onc(ciCh(Ç),ClCh(Ç'))

( ( Catue GrCompu) C a t u ) id( o )

est le foncteur évidemment obtenu lorsqu'on stipule que :
• pour tout foncteur / : Ç-»• Ç', on a :
((clchu(-))id ( 0)(Ç',$"))(/) = C l C h ( / ) ,

• pour tous foncteurs / i ,f2 : Ç-* Ç' et pour toute transformation naturelle
*:/i=>/2,ona:
((clchu(-))id(0)(Ç,£'))(*) = ClCh(*).
De la sorte, il est clair que [en ce qui concerne le foncteur compagnon en 0
comme défini en (S.T.S.E) - de clch u(-) ] on a : :
clchu(-)*o

c(câv(-)

( GrCompu )* 0

31

ÇrCompv

i
Catv
( ( Cati ç GrContp* ) C at u ) * o
[et que l'adjonction de (E.T.E.I.), § 4.2.e, est "compagnon en 0 " d'une "i-adjonction
^/iTtW^&u-enrichie" que nous laissons au lecteur le soin de préciser].

32

4.

Bibliographie

(C.A.M.U.)

J. Bénabou, Catégories avec multiplication, C.R.A.S. Paris 256, pp. 1887-1990,
Paris, 1963.

(C.L.C.A.)

B. J. Day et G. M. Kelly, Enriched functor catégories, in Rep. of the Midwest
Category Sem. m, Ed. by S. Mac Lane, Lect. Notes in Math. 106, Springer Verlag,
1969.

(C.O.G.R.)

D. Duval et C. Lair, Sketches and spécifications : Référence manual, First
Part : Compositive Graphs, Rapport de Recherche du L.A.C.O., Limoges, 2000
(http://www.unilim.fr/laco/rapports).

(E.T.E.l.)

C. Lair, Eléments de Théorie des Esquisses, Section 1 : Graphes à Composition,
Diagrammes 45+46, Paris, 2001.

(E.T.E.n.)

C. Lair, Eléments de Théorie des Esquisses, Sections 1,2,3 et suivantes, à paraître
dans Diagrammes.

(P.T.E.A.)

A. Silga, Sur les produits tensoriels extérieurs de structures algébriques, Diagrammes
14, Paris, 1985.

(P.T.G.M.)

L. Coppey, Quelques problèmes typiques concernant les graphes multiplicatifs,
Diagrammes 3, Paris, 1980.

(S.T.S.E.)

C. Lair, Systèmes tensoriels et systèmes enrichis, Diagrammes 43 + 44, Paris, 2000.

33

5.

Table.

1. Introduction.
2. Systèmes tensoriels de graphes à composition.
2.1. Tensorisations de graphes à composition.
2.2. Systèmes tensoriels de graphes orientés, de graphes à composition et de catégories.

5
5
10

3. Systèmes enrichis de graphes à composition.
3.1. Exponentiation de graphes à composition.
3.2. Systèmes enrichis de graphes orientés, de graphes à composition et de catégories.

16
16
19

4. Bibliographie

33

5. Table.

34

UNIVERSITE PARIS 7
U.F.R. de Mathématiques
Case 7012
2, place JUSSIEU
75251 PARIS CEDEX 05
FRANCE
lairchrist@aol.com

34