D IAGRAMMES

C. L AIR
Sur le profil d’esquissabilité des catégories modelables
(accessibles) possédant les noyaux
Diagrammes, tome 38 (1997), p. 19-78
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DIAGRAMMES

VOLUME 38 , 1997

SUR
LE PROFIL DfESQUISSABILITE
DES
CATEGORIES MODELABLES
(ACCESSIBLES 1 )
POSSEDANT LES NOYAUX

C. Lair

1.

Introduction.

Dans le présent travail, nous prouvons que les catégories modelables
(accessibles) possédant les noyaux sont exactement (à l'équivalence près) les catégories
de modèles d'esquisses petites où l'ensemble (a priori épars) des co-cônes distingués peut
être organisé en "paquets" spécifiques et, ce, de telle manière que, pour les modèles,
transformer chaque tel paquet de co-cônes distingués en un paquet de co-limites signifie
exactement transformer l'un (bien précis) des co-cônes de ce paquet en une sur-co-limite,
c'est-à-dire en une co-limite dont est précisée - à l'aide de formules du premier odre, i.e.
à l'aide des autres co-cônes distingués du paquet, qui représentent ces formules - la
manière dont elle est co-limite.
Pour obtenir ce résultat, il suffit d'utiliser systématiquement (comme
préconisé en [C.Q.C.E.], notamment en son Appendice) les notions et méthodes
générales antérieurement introduites en [C.M.C.F.] et/ou [C.M.C.E.] et/ou [C.Q.C.E.],
fondamentalement :
i

En américain, "catégories modelables" semble devoir se traduire par "accessible catégories of MakkaïParé"

• celle de diagramme (d'indexation petite mais non nécessairement discrète) localement
co-limite (évidemment dérivée de celle de diagramme localement libre),
• celle d'objet d'une catégorie (localement petite) satisfaisant un cône (d'indexation
petite mais non nécessairement discrète) de cette catégorie,
puis, en ce qui concerne les regroupements par "paquets" (qui ne sont que des cas
particuliers de ces "esquisses d'ordre supérieur", que sont les trames introduites en
[T.S.S.T.]) :
• celle de diagramme (d'indexation petite mais non nécessairement discrète) localement
sur-co-limite (i.e. localement co-limite mais pour lequel est précisée - à l'aide de
formules du premier ordre ayant un certain profil - la manière dont il est localement
co-limite),
• celle d'objet d'une catégorie (localement petite) sursatisfaisant un sur-cône
(d'indexation petite mais non nécessairement discrète) de cette catégorie (i.e.
satisfaisant un cône, mais pour lequel est précisée - à l'aide de formules du premier
ordre ayant un certain profil, ou encore à l'aide d'un certain paquet, associé, d'autres
cônes à satisfaire - la manière dont il satisfait ce cône),
enfin :
• celle d'invariance (éventuelle), à la dualité près, du profil tant des paquets de cônes à
satisfaire que de certains (parmi tous les possibles) diagrammes localement sur-colimites existant dans la sous catégorie pleine des objets sur-satisfaisant ces sur-cônes.
Nous nous sommes donc évertué à les rappeler (une fois de plus ... ) et à les détailler,
tout au long du texte, avec le degré de généralité approprié, exactement là où leur usage
s'impose.

2.

Sur l'existence des noyaux dans certaines catégories
qualifiables.

2.1.

Catégories qualifiables.
Suppososons que / est une catégorie.

On note C{I) la catégorie {cône type d'indexation I) obtenue en adjoignant à
/ un objet initial {sommet type) Sm(/) et, par conséquent, pour tout objet I de / , une
unique flèche (projection type en I ) p(/)(I) : Sm(/) -> I .
Alors, on désigne par B(/) : / -> C(/) le foncteur {base type) injection canonique.

20

Si X est une catégorie, un foncteur U:C{I)->X
est appelé cône
d'indexation / , de base
UoB{I) : / - » X , de sommet
£/(Sm(/)) et ayant
U{p{I){l)) : t/(Sm(/)) -> £/(I) pour projection en I , quand I e Ob(7).
En particulier, un tel cône peut évidemment être un cône limite.
Supposons que J est une catégorie.
On désigne par 00(./) = 0(/^)° 1 5 la catégorie {co-cône type de co-indexation
J ) obtenue en adjoignant à J un objet terminal {co-sommet type) CSm(7) = Sm(Jop)
et, par conséquent, pour tout objet J de J, une unique flèche {co-projection type en
J ) cp(/)(J) = p(/ op )(J) : J -> CSm(J).
Alors, on désigne par
canonique.

CB{J) : J -> CC(/)

le foncteur {co-base type) injection

Si X est une catégorie, un foncteur V : CC{J) —> X est appelé co-cône de coindexation J , de co-base VoCB{J) : /-»AT, de co-sommet F(CSm(7)) et ayant
V{cp{J){J)) : F(J) -> V{CSm{J)) pour co-projection en J , quand J E Ob(J).
En particulier, un tel co-cône peut évidemment être un co-cône co-limite.
Supposons que X est une catégorie localement petite.
Comme en [C.Q.C.E.], si U : C(/ ) -> X est un cône d'indexation petite et si X
est un objet de X, on dit que X satisfait U 2 si :
• le co-cône X(f/(-),X) : CC(/ op ) = C(/) °P -> Ens est un co-cône co-limite.
Compte tenu du calcul des co-limites dans Ens , il est facile de voir que X satisfait U
si, et seulement si :
• (SAT 1) pour toute flèche x : t/(Sm(/)) -> X de AT, il existe un objet I de / et
une flèche y : U{ï) -> X de X telle que y.t/(p(/)(I)) = x (alors, on pourra dire que
y est une factorisation de x par U ),
• (SAT 2) pour tous objets I' et I" de / et pour toutes flèches y ' : f / ( I ' ) - > X et
y" : U{\") - > X d e X telles que y'.f/(p(/)(I')) = y".U{p{I){I")), il existe un entier
n > 1 , un zigzag de flèches de / :
£° = (Z°k )l<k<2n : I' = Z°j <—p- Z°2
70

""

4

2n-l < z° 2n _,

7O

v 7O

^ 2n

z° 2n

p—•> Z°3 ...
_

TH

' ^ 2n+l ~ A

et une famille y° = (y°k : f/(Z°k) -> X )i <k < 2n-n de flèches de AT telles que :
2

Evidemment, la notion de satisfaction généralise aux cas de cônes d'indexations non nécessairement
discrètes tant la notion d'orthogonalité que celle d'objet injectif (voir [C.Q.C.E.] pour une discussion
plus complète sur ce thème).

21

•

y ' = y°i et y ° 2 n + i = y " ,

• y°2h-i.U(z°2h-i) = y°2h = y°2h+i.U(z°2h), pour tout entier 1 < h < n ,
(alors, on pourra dire que la famille y° connecte y' à y" le long de £° ).
Si 7i est un ensemble de cônes de X d'indexations petites et si X est un objet
de X, on dit qu'il satisfait 71 si :
• X satisfait tout cône appartenant à 7i.
Comme en [C.Q.C.E.], on dit alors que 11 est une qualification interne à X, on note
Satisf(%,AT) la sous-catégorie pleine de X qualifiable (ou qualifiée) par 71, i.e. la
sous-catégorie pleine de X dont les objets sont ceux qui satisfont 7t, et on note :
inj(%,X) : SatisfÇaWO -> X

le foncteur injection canonique.

2.2.

Catégories sur-qualifiables.
Supposons que / ' est une catégorie.

On appelle sur-formule de V toute formule, de la logique L^oo, écrite dans le
langage (sans symboles relationnels et où tous les symboles fonctionnels sont 1-aires)
associé (au graphe sous-jacent) à CC(/').
On dit qu'une telle sur-formule est petite si ses connexions et quantifications sont petites,
i.e. indexées par des ensembles.
On appelle surcharge de F toute classe I de sur-formules closes de / ' .
On dit qu'une telle surcharge est petite si c'est un ensemble et si ses éléments sont des
sur-formules petites.
Si I est une surcharge de / ' , si AT' est une catégorie et si V : CC(/') ->X'
est un co-cône, on dit que {Z,V) est un sur-co-cône.
On dit qu'un tel sur-co-cône est petit si / ' et Z sont petites.
En particulier, si X' = Ens et si {I,V) est petit, on dit que c'est un sur-co-cône sur-colimite ou encore que V est un co-cône E-co-limite si :
• V : CC(/') -> Ens est un co-cône co-limite,
• V: CC(/') ->Ens satisfait (en tant qu'interprétation du langage associé à CC(/') )
toutes les sur-formules de /' appartenante I.

22

Supposons que X est une catégorie localement petite.
Si / est une catégorie petite, si I est une surcharge petite de Iop, si
U : C{I) - > X est un cône d'indexation J et si X est un objet de AT, on dit que X
sur-satisfait {I,U) ou encore que X Insatisfait U si :
• {ZJC{U{-),X) : CC(/ op ) = C(/) o p -> Ens) est un sur-co-cône sur-co-limite,
autrement dit, si :
• le co-cône X{U{-),X) : CC(/op) = C(/) o p -> Ens est un co-cône X-co-limite.
On appelle sur-qualification interne à X tout ensemble SU
couples {ZfJ) tels que:

constitué de

• U : C{h ) ->X est un cône d'indexation petite,
• I est une surcharge petite de {lu ) op .
Alors, si X est un objet de X, on dit qu'il sur-satisfait SU si :
• X sur-satisfait tout couple {Z,U) appartenant à

SU,

autrement dit, si :
• pour tout couple {Z,U) e SU, X X-satisfait U.
Dans ces conditions, on désigne par SurSatisf(S%,X) la sous-catégorie (non
nécessairement pleine) de X, dite sur-qualifiable (ou sur-qualifiée) par SU, telle que :
• ses objets sont les objets de X qui sur-satisfont

SU,

• ses flèches sont les flèches x : X -> X' de X telles que :
• X et X' sur-satisfont

SU,

• pour tout couple (X,f/) G SU et toute formule ( p e l , l'homomorphisme
Hom(t/(-),x) : Hom(f/(-),X)-> Hom(t/(-),X')
(entre interprétations du
op
langage associé à CC{{Iu ) ) ) "commute" avec la satisfaction des sousformules de q>,
et on note :
surinKSZCV) : SurSatisf(S%,X) -> X
le foncteur injection canonique.

23

2.3.

Qualifiabilité
qualifîables.

des

catégories

positivement

sur-

Si J' est une catégorie petite, on dira qu'une sur-formule petite de / '
est positive si elle est de la forme 3 :
V o)a:ra

aeA

[A

( t b . i K i ) : r b ) = (t bf 2(cD w ):r b )]

beB
=>
V
ceC

[

A
(t c ,d.l ( œ cd.l >: r c,d > = ( 1 ^ ^ (^^€1,2 >: r c.d ) 1
deD(c)

V
V
eeE

[

3
feF(e)

û) e . f :r e f (

A

geG(e)

(t e ,g,l( û) e,g,l) :r e,g) = (te,g,2( co e,g.2) :r e,g) J

OÙ :

• A est un ensemble,
• pour tout a G A , Ta est un objet de / ' ,
• pour tout a G A , œa est une variable de sorte T a ,
• B est un ensemble,
• pour tout b G B , Tb est un objet de CC(J')
• pour tout b e B et pour tout k G {1,2} , tt>,k(cOb,k) est un terme, de sorte T b , où la
(nécessairement seule) variable cot>.k figure,
• C est un ensemble,
• pour tout c G C , D(c) est un ensemble,
• pour tout c G C et pour tout d G D(C) , rc,d est un objet de CC(/'),
• pour tout c G C , pour tout d G D(C) et pour tout k G {1,2} , tc,d,k (coc,d,k) est un
terme, de sorte I \ d , où la (nécessairement seule) variable cùc.d.k figure,
3

Pour faire court (et rester "classique"), nous nous contentons de connecteurs et quantificateurs très
usuels. Cependant, on pourrait aussi utiliser le connecteur v! ("ou bien") et le quantificateur 3! ("il
existe un et un seul") :
• soit en lieu et place du v et du 3 . pour constituer des formules positives "exclusives" (voir la
Note 5),
• soit en même temps que ce v et ce 3 (et aux mêmes types de "places"), pour constituer des formules
positives "localement exclusives", un peu plus générales que les seules, "classiques", que nous utiliserons
dans la suite.

24

• E est un ensemble,
• pour tout e G E , F(e) est un ensemble,
• pour tout e G E et tout f G F(e), re,f est un objet de / ' ,
• pour tout e G E et tout f G F(e), coe.f est une variable de sorte r e , f ,
• pour tout e G E , G(e) est un ensemble,
• pour tout e G E et tout g G G(e), rCjg est un objet de CC(/'),
• pour tout e G E , tout g G G(e) et tout k G {1,2} , te,g,k(coe,g,k) est un terme, de
sorte r e , g , où la (nécessairement seule) variable cûe,g,k figure,
• pour tout e G E , on a :
^e.F(e) Q £îe.G(e) ,

lorsqu'on pose :
Œe,F(e)= {û)e,f|f € F(e)}
et :
O.G(e) = {û)e,g.k I g e G(e) et k G { 1 , 2 } } ,

• on a :

lorsqu'on on pose :
QA=

{Oa|aG A} ,

n B ={co b .k|bGB et kG {1,2}}
et, pour tout c G C :
Odxo = {(oc,d,k | d G D(c) et k G {1,2}} 4 .
Dans ces conditions, on dira qu'une surcharge I de / ' est positive si toutes les surformules de / ' qui appartiennent à Z sont positives.

4

Bien entendu, si C <J E = 0 , la formule considérée "a valeur de négation", en ce sens qu'une
interprétation ensembliste (du langage associé à CC(/f)) ) la satisfait si, et seulement si, elle satisfait la
formule :
V

aeA

°V r a

beB

25

Supposons que X est une catégorie localement petite.
Si SU est une sur-qualification interne à X, on dit qu'elle est positive si :
• pour tout couple {Z,U) G SU, Z est une surcharge positive de {lu ) op .
Alors, on dit que SurSatisf(S%,AT) est positivement sur-qualifiable (ou positivement
sur-qualifiée) par SU dans X.
Etablissons que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite, ses sous-catégories positivement
sur-qualifiables en sont nécessairement des sous-catégories pleines.
Déplus, si X est co-complète, ses sous-catégories positivement sur-qualifiables en sont
nécessairement des sous-catégories qualifiables. Plus précisément si SU est une surqualification positive, interne à X, on peut lui associer canoniquement une
qualification Q\f{SU), interne à Xt de sorte que les deux sous-catégories (pleines)
SurSatisf(S%,X) et Satif(Qlf(S^)^T) de X soient égales.
PREUVE. U suffit évidemment de montrer que, si / est une catégorie petite, si (p est
une sur-formule positive et petite de / o p et si U : 0(7) ->X est un cône projectif, alors
on peut associer à la sur-qualification {({(p},U)} une qualification Qlf({({cp},f/)})
telle que SurSatisf({( {(p}, £/)},*) = Satisf(Qlf({({(p},f/)})^:).
a) Si T est une sorte du langage associé à CC{Iop)
CC(/op) = 0(7) op ), on lui associe l'objet de X :

(i.e. si F est un objet de

[U]{T) = U{T).
CC(7op)

Si y : T - > F est un symbole fonctionnel du langage associé à
y : F -> T est une flèche de 0(7) ), on lui associe la flèche de X :
[U]{y) =

(i.e. si

U{y):[U]{r<)->[UW).

b) Si (Ù:T est une variable de sorte T (alors, on notera aussi r = r œ , étant entendu
qu'à chaque variable "utilisée" n'est associée qu'une seule sorte), on lui associe la flèche
de X
[£/](©) = id{U{T)) = id{[U]{T)) : [U]{T) -> [U]{T).
Si t(û>) est un terme de sorte F et en la (nécessairement seule) variable © de sorte T
(alors on note, indifféremment, t(co) = t(co:r) = t(©):F = t(co:r):F ), si on lui a associé la
flèche de X:
[f/](t(œ)):[f/](r')->[f/](D
et si y1 : F -> F 1 est un symbole fonctionnel (i.e. si y1 : F 1 -> F
0(7) ), alors on associe au terme y'(t(co:r)):r " la flèche de X :

26

est une flèche de

[t/](y'(t(©)) = [U]{t{co)).[U]{r) = [£/](t(©)).f/(y') : [U]{T") -> [U]{T).
De la sorte (i.e. récursivement), à tout terme
CC(7op) ) on sait associer uneflèchede X :

t'(©:r)T"

(du langage associé à

[t/](f(©)):[f/](r")-^[f/](r).
c) Si
a = ( ti (coi .Ti )T = t2 (©2^2):r )
successivement :

est une formule atomique, on note

• VARAT(a) = {©1 ,©2} l'ensemble des variablesfigurantdans a ,
• TERM(a) = {ti (©1 ),t2 (©2 )} l'ensemble des termesfigurantdans a ,
• CATAT(a) la catégorie telle que :
• ses objets sont les (symboles auxiliaires) Sa et Sa,© , où © G VARAT(a),
• sesflèchesnon triviales sont les (symboles auxiliaires) Sa,t(a>) : Sa -> Sa,© , où
t(©) G TERM(cc),
• FCTAT(oc) : CATAT(a) -> X le foncteur tel que :
FCTAT(a)(Sa,t(Cû) : Sa -> S J = [£/](t(©)) : [U]{T) -+ [C/](T„)
pour toute flèche So,t(©) : Sa -» Sa,© de CATAT(a).
Dans ces conditions, on désigne par :
• (

[^](r œ ) ) u n e somme arbitrairement choisie dans X (et il en existe

I
coeVARAT(a)

bien au moins une puisque X

est, par hypothèse, co-complète) de la famille

([£/](rco))û>€ VARAT(a) ,

• (

I

[U]CTm) )/oc une co-limite arbitrairement choisie dans X (et il en existe

coeVARAT(a)

bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète) du foncteur
FCTAT(a) : CATAT(oc) -> X (ainsi, cette co-limite est :
• une sommefibrée,si ©1 * ©2 ,
• un co-noyau, si ©1 = ©2 et ti (©1) * t2 (©2),
• une co-limite triviale, si ©1 = ©2 et ti (©1) = t2 (©2) )•
On dispose donc de l'uniqueflèchede X :
[f/]((X) : (

v Ln , [ f / ] ( r » ) } -+ (

coe A
VARAT( a)

, f £/ l (r » ) )/0t

VA?AT,
coe V
ARAT( a )

permettant de factoriser la co-limite considérée au travers de la somme considérée.
d) Si a = ( ti(©i :ri):r = t2(©2:r2):r) est une formule atomique et si V est un
ensemble de variables contenant VARAT(a), alors on dispose de l'uniqueflèchede X :
*-v:(

viAT^[C/](r»))->(
W€VARAT(a)

z
meV

27

v ^ K r j )

permettant de factoriser une somme "totale" ( Z [U](r„) ) arbitrairement choisie
©eV

dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète)
au travers de la somme "partielle" (
Z
[U]^) ) .
coeVARAT(a)

Dès lors, on note :
[U]{a,V) : ( X [U]{TJ ) -> ( Z [UWJ
©eV

)/a

©eV

laflèchede X déduite de [U]{a) par changement de co-base le long de Xo,v , i.e. par
une somme fibrée arbitrairement choisie dans X (et il en existe bien au moins une
puisque X est, par hypothèse, co-complète).
e) Si P = A a h e s t u n e conjonction de formules atomiques (où H est un ensemble qui
heH

peut être vide), on note :
• VARCJ(p)= U VARAT(och),
heH

• CATCJ(P) la catégorie telle que :
• ses objets sont les (symboles auxiliaires) Sp et Sp,h, où h G H ,
• ses flèches non triviales sont les (symboles auxiliaires) sp,h : Sp -> Sp,h, où
hGH,

• FCTCJ(p) : CATCJ(p) -> X le foncteur tel que :
FCTCJ(P)(sp,h)
[f/](ah,VARCJ(P)) : (

Z

[U]{YJ ) -> (

û)€VARCJ(P)

Z

[U]{TJ )/och

CÛGVARCJ(P)

pour tout h G H .
Dans ces conditions, on désigne par :
• (

Z

[U](Tm) )/p une co-limite arbitrairement choisie dans X (et il en existe

coeVARCJ(p)

bien au moins une puisque

X

est, par hypothèse, co-complète) du foncteur

FCTCJ(P):CATCJ(P)->A:.

On dispose donc de la co-projection relative à l'objet Sp :
[f/](P) : (

Z

[U]ÇTJ ) -> (

coeVARCJ(P)

Z

[U]{TJ )/p .
œ

coeVARCJCP)

f) Si P est une conjonction de formules atomiques et si V est un ensemble de variables
contenant VARCJ(P), alors on dispose de l'uniqueflèchede X :
Xp V : (

'

VA
S™
©eVARCJ(P)

[t/](FJ }

28

Z
"*• ( ©eV
v ^ ^ >

}

permettant de factoriser une somme "totale" ( Z [f/](rœ) ) arbitrairement choisie
©eV

dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète)
au travers de la somme "partielle" (
Z
[t/](r œ ) ) .
coe VARCJ(P)

Dès lors, on note :
[tf]0,V):( Z [ t / ] ( r „ ) ) - X Z [U](TJ )/p
coeV

©eV

laflèchede X déduite de [£/](P) par changement de co-base le long de xp,v , i.e. par
une certaine somme fibrée arbitrairement choisie dans X (et il en existe bien au moins
une puisque X est, par hypothèse, co-complète).
g) Si P est une conjonction de formules atomiques et si W est un ensemble de
variables contenu dans VARCJ(p), alors on dispose de l'uniqueflèchede X :
yp.w:(

Z

[tf](rj)->(

Z

CÔ€ VARCJ(p)-W

*'

coeVARCJ(P)

permettant de factoriser la somme "totale" (

Z

[U]{TJ)

Z

'

\U]{T„) ) au travers d'une
œ

COGVARCJ(P)

somme "partielle" (

œ

[t/](r œ ) ) arbitrairement choisie dans X (et il en
w

coeVARCJ(P)-W

v

existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète).
Dès lors, on note :
[£/]( 3 œ:r. p )
©eW

[tf](P)-yp.w:(

z

[t/](rj)->(
œ

COE VARCJ(P)-W

z

[£/](rj)/(

coe VARCJ(P)-W

3 ©T W p)
©eW

la flèche de X déduite de [f/](P) par composition avec yp,w (on a donc choisi de
noter ici, pour plus de commodité :
(
V

£

[U]{Tj)/{

CÛ€VARCJ(P)-W

J V œ / /

3 ©:r; p ) = (
©eW

z

[£/](rj)/p)).

coe VARCJ(P) L

"

JV

œ / /

K

7

'

h) Si p est une conjonction de formules atomiques et si V est un ensemble quelconque
de variables, alors on dispose de l'uniqueflèchede X :

%v:(
H

z
©€ VARCJ(P)flV

[t/](rj)->( z
JV

<*'

'

[uwj)

CO€V

permettant de factoriser une somme "totale" ( Z [f/](rœ) ) arbitrairement choisie
Cû€ V

dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète)
au travers d'une somme "partielle" (
Z
[U]CTr J ) arbitrairement choisie dans
X (et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète).
Dès lors, on note :
29

[U]((

3

o:r B 3 ) , V )

© t VARCJ(P) VARCJ((3)f|V

( s v [ c / ] ( r j ) - • ( z [t/](rj)/(
coeV

©eV

3

cû:rffi p)

© e VARCJ(p)-VARCJ(P)f|V

la flèche de X déduite de [U]{

3

©:F p ) par changement de CO-

CÙ €VARCJ(p)-VARCJ(p)nV

base le long de z p , v , i.e. par une certaine somme fibrée arbitrairement choisie dans X
(et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, co-complète).
i) Supposons que (p est la sur-formule positive (de la forme décrite plus haut, où on fait
r = 7 op et d'où on reprend toutes les notations et toutes les hypothèses) suivante :
v <oa:ra
aeA
[ A (tbj(©b,i):rb) = ( t b , 2 K . 2 ) : r b ) ]
beB
V
[ A
(t c ,d.l( t o c.d,l) : r c,d) = (tc,d,2( to c,d,2) :r c.d) 1
ceC
deD(c)
V

V

[

eeE

f

3

<ùeS:TeS (

eF(e)

( t e,g,l(^e,g.l):r e , g ) = (te,g,2(«e,g.2)^ eîg ) ]

A
geG(e)

et posons alors :
• P* = [ A a b .i(^b,i)^ b ) = (tb.2(cùb>2):rb) ] ,
beB

•

Pc = [

A

( t c , d , i K d , i ) : r c d ) = (tc.d,2(roc,d,2):rc,d) ] , p o u r t o u t C G C ,

deD(c)

• Pe = [ A ^^^(^^-^)

= (^^2^^^^

1 ' P° ur t o u t e G E ,

g€G(e)

ainsi que, pour plus de commodité dans la suite :
• Yc = Pc, pour tout c G C ,
• ye=

3 © e f :T e f Pe

Par hypothèse, on voit donc que :
• on a VARCJ(P*) Œ Q A et, par conséquent, on dispose de la flèche de X :

[t/](P*,O0:( z r œ )->( z r^yp*,
8 t û A

0) fc fiA

• pour tout c e C , on a VARCJ(3C) ç D A et, par conséquent, on dispose de la flèche
de X
[t/](y c ,Q A ):(

2

r.)->(

30

Z

r . yy c ,

puis, par changement de co-base le long de [£/](p*,Q A ) > lQ- P a r u n e certaine somme
fibrée arbitrairement choisie dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est,
par hypothèse, co-complète) d'une flèche de X :

[c/](p*,nA)*[f/](Yc,nA):( z r;)/p*->(( z rByp*yYc,
a) t Q A

a) G n A

• pour tout e G E , on a VARCJ(p e )nQ A = Qe - ClejiG) et, par conséquent, on dispose
de la flèche de X :
[£/](y e ,Q A ):(

Z

ra)->(

wtQA

Z

r„Vy.,

coG Q A

puis, par changement de co-base le long de [£/](P*,Q A ), i.e. par une certaine somme
fibrée arbitrairement choisie dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est,
par hypothèse, co-complète) d'une flèche de X :

[t/](p*,nA)*[c/](Ye,nA):( z

rco )/p*-^((

co € Q A

z I;)/P*)/Y C .
co G Q A

Dès lors, on note indifféremment CATPO((p) = 7<p la catégorie telle que :
• ses objets sont les éléments de
A = A x A x {0} (alors, on pose :

AuA,

où

A = Cx { 1 } U E X { 2 }

• c = |À,|, pour tout X = (c, 1) G A ,
• e = |?i|, pour tout X = (e,2) G A ),
• ses flèches non triviales sont :
• les g ô : X -> {X,X\0), pour tout ô = {X,X\0) G A ,
• les d Ô : X ' -> {X,X ',0), pour tout ô = {X,X \0) G A ,
et on désigne indifféremment par [f/]((p) = U9 : C(7<p) -> X le cône tel que :
• son sommet est :

u^{Sm{Q) = { z r.yp*.
cotQA

• pour tout X G A , sa valeur en l'objet X est :

tf.<*) = (( z r.yp'yyixi
et sa projection relative à l'objet A, est :

^(P(W))
[£/](P*,QA)*[t/](Ylxi,QA):( z r ffl yp*^(( z r. yp*Wixi,
Cù •= Q A

31

(ûtfiA

et

• pour tout ô = {X,X') G A , sa valeur en l'objet ô est une somme fibrée arbitrairement
choisie dans X (et il en existe bien au moins une puisque X est, par hypothèse, cocomplète) des deuxflèches:
U<,{X) <- C/tp(Sm(7(p) : U9(p(/9)(X)) et U*(p(7(p)(?i')) : U,(Sm(IJ) -> U,(V)
et, alors :
U*(g6)'-U9(k)->U,(S)

et

Ui(8)<-Ui(k'):U9(d6)

sont les deux co-projections.
j) Il est clair qu'un quelconque objet X de X sur-satisfait la sur-qualification
{({(p},£/)} si, et seulement si, X satisfait la qualification {UJJ^} = Qlf({({(p},£/)}).
D'où on déduit facilement que SurSatif({({(p},£/)},*) = Satisf({£/,£/<p},X) 5 . FIN DE
LA PREUVE.

2.4.

Profils élémentaires, qualifications et sur-qualifications.

On appelle profil élémentaire (des co-cônes petits) toute "application"
R (entre des classes convenables, que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter)
associant à toute catégorie petite 7' une surcharge petite R(7') de 7'.
On dit qu'un tel profil élémentaire est positif si, pour toute catégorie petite 7', R(7') est
une surcharge positive.
Si 7' est une catégorie petite, on dit (pour simplifier) qu'un co-cône
V : CC(7') -> Ens est un co-cône R-co-limite si :
• V : CC(7') -> Ens est un co-cône R(7')-co-limite.

Supposons que R est un profil élémentaire (resp. un profil élémentaire
positif) et que X est une catégorie localement petite.
Si 7 est une catégorie petite, si U : 0(7) -» X est un cône et si X est un objet
de X, on dira (pour simplifier) que X R-satisfait U si :

* On laisse au lecteur le soin d'adapter la construction utilisée en i) (en remplaçant CATPO(cp) par la
catégorie discrète C A T P 0 D ( 9 ) ayant A pour ensemble d'objets) pour établir que, si cp est une
formule positive "exclusive" (voir la Note 3), alors on peut substituer à Uq> un cône UD%9 d'indexation
discrète.
De même, on lui laisse le soin de procéder aux adaptations (analogues) nécessaires pour établir que, si cp
est une formule positive "localement exclusive" (voir la Note 3). on peut remplacer £Ap par un cône
d'indexation "localement discrète".

32

• X R(7op)-satisfait U.
Si 7C est une qualification interne à X, on pose :
R//W' = {{R{{Iu )op\U

:C{IU)-+X)\UG'U'},

de sorte que RJtU% est une sur-qualification (resp. une sur-qualification positive) interne
à X, canoniquement associée à 7i\
Alors, il est clair qu'un objet X de AT sur-satisfait RIIÎC si, et seulement si, il Rsatisfait tout cône U : C{Iu ) -» AT appartenant à%'.
Supposons que R
catégorie localement petite.

est un profil élémentaire et que X

est une

On dit qu'une sur-qualification SU, interne à X, est une R-sur-qualification
si :
• il existe une qualification %', interne à X, telle que SU= R//%'.
De même, si X est co-complète et si R est positif, on dit qu'une qualification
*U, interne à X, est une R-qualification si :
• il existe une qualification %', interne à X, telle que %= Qlf(RA%').

2.5.

Existence des noyaux dans certaines catégories surqualifiables.
Supposons que 7' est une catégorie petite.

Pour tout objet I de 7', on note (comme à l'habitude) 1/7' la catégorie
(évidemment petite) telle que :
• ses objets sont les flèches de 7' ayant I pour domaine,
• ses flèches sont les triplets t = (i': I -> I',i'" : I* -> I",i" : I -> I") : i'
flèches de 7' telles que i"'.i' = i".

> A i" de

De même, pour tout objet I de 7' et toutes flèches i' et i" de 7' ayant I pour
domaine, on note ZZ(I/7')(i',i") l'ensemble des zigzags de 1/7' reliant i' à i",i.e.
l'ensemble des diagrammes x de 1/7' tels que ci-dessous (où n> 1 est un entier,
appelé la longueur de x et noté n = long(x) ) :
x:i' = x ( l ) - — >
i

...t(2n-l)—;

x(2)
A

<__x(3)...
A

> x(2n)

33

2

<-.

x(2n + l) = i"

Pour tout objet I de 7', on pose :
^(1/7')
V coa:I
ae{l,2}

( cp(7')(I)(co1):CSm(7') ) = ( cp(7')(I)(cû2):CSm(7') )
=>

V

(i^œ^icodom^'^^ (i'(co2):codom(i'))

i'eOb(I//')

de sorte que Ki (1/7') est une sur-formule positive de 7'.
De même, pour tout objet I de 7' et toutes flèches i' et i" de 7' ayant I pour
domaine, on pose :
K 2 (I/7')(i',i")
V coa:I
ae{l,2}

A

( i(o)j):codom(i) ) = ( i(co2):codom(i) )

i e {î\i">

=>

V
ieZZ(I / / , Xi , J M )

[

A

( x^CD^codom^) ) = ( xk(co2):codom(xk) ) ]

1 ^ k< 21ong(x)+l

de sorte que K 2 (I// , )(i f ,i ") est une sur-formule positive de 7'.
Dans ces conditions, on pose :
• KiC/1) = {Kia// 1 ) 11 e ObC/1)} ,
• K2(7') = {K2(I/7')(i',i") 11 E Ob(7'), i',i" G Fl(7') et dom(i') = I = dom(i")}
On note K le profil élémentaire positif qui associe à toute catégorie
petite 7' la surcharge (évidemment petite et positive) de 7' :
K(7') = K,(7')^K 2 (7').
Si X est une catégorie localement petite, si 7 est une catégorie petite,
si U : C(7) - > X est un cône et si X est un objet de X, il est facile de vérifier que X
K-satisfait U si, et seulement si :
• (K-SAT 0) X satisfait U (autrement dit, X vérifie (SAT 1) et (SAT 2)),

34

• (K-SAT 1) pour tout objet I de 7 et toutes flèches yi, y2 : U{ï) -> X de X telles
que yi.p(7)(I) = y 2 .p(7)(I), il existe un objet S de 7 et une flèche s : S -> I de 7
telle que y\.U{s) = y2.C/(s) (on dira que p(7)(I) : Sm(7) -> I et s : S -> I égalisent
yi et y 2 ),

• (K-SAT 2) pour tout objet I de 7, toutes flèches yi, y2 : U{1) -> X de X et toutes
flèches s ' : S ' -> I et s " : S " -> I de 7 égalisant yi et y2 (ce qui implique que
p(7)(I) : Sm(7) -> I égalise aussi yi et y2 ), il existe un entier n > 1 , un zigzag de
flèches de 7 :
S = ( z k)l<k<2n : S , = Z j <—pr Z* 2
7*
"

4
2n-l < z*2n_,

7*
^ 2n

J*7~"*Z*3-"

^7*
- C"
1F^T>^ 2n+l ~ ^

et une famille s* = (s*k : Z*k - > I )i< k s2n+i de flèches de 7 égalisant yi et y2 et
telles que :
• s' = s*i et s*2n+i = s",
• s*2h-i. z*2ti-\ = s*2h = s*2h+i . z* 2h , pour tout entier 1 < h < n ,
(alors, on dira que c'est la famille s* qui égalise yi et y2 et qu'elle connecte s ' à
s" le long de £* ).
Vérifions que :
PROPOSITION. Si X est une catégorie localement petite et si
qualification interne à X, alors le foncteur injection canonique :

*UX est une

surinj(K//#',X) : SurSatisf(K//%'^T) -> X
crée les noyaux6.
PREUVE. D'après le LEMME de 2.3, le foncteur :
6

On déduit immédiatement de la PROPOSITION de 2.5 que :

COROLLAIRE. Si / ' est une catégorie petite, alors les K-co-limites de co-indexation / ' commutent,
dans Ens, avec les noyaux.
PREUVE. Désignons par CoCones(/') = Fonct(CC(/').£/i5) la catégorie des co-cônes de Ens de coindexation / ' et par K-CoLim(/') la sous-catégorie pleine de CoCones(/') ayant pour objets les cocônes K-co-limites.
Notons Yon(CC(/')) : C(/' op ) = CC(/') op -> Fonct(CC(/'),£/îs) = CoCones(/') le plongement de
Yoneda (il s'agit donc d'un cône de
CoCones(Z'), d'indexation
/ , o p ) et posons
#'(/') = {Yon(CC(/'))}.
Il est clair que K-CoLim(/') = SurSaUsf(K//#'(/'),CoCones(/')) et la PROPOSITION de 2.5 s'applique
donc. Mais CoCones(/') possède les noyaux (qui se calculent, évidemment, "point par point"), ce qui
permet de conclure facilement. FIN DE LA PREUVE.

35

surinj(K//W',X) : SurSatisf(K/y%',X) -> X
est plein, puisque la sur-qualification YJÏU" est positive. Il suffit donc de montrer que, si
U : C(/) ->X est un cône d'indexation petite, si x ' i , x' 2 : X' -» X " sont deux flèches
de X, si ker(x'i,x'2) : Ker(x'i,x' 2 )-> X' en est un noyau dans AT et si X' et X" Ksatisfont U, alors Ker(x'i,x'2) K-satisfait U (à cet effet, pour tout objet Y deX et
toute flèche y : Y -> X' de X égalisant x'i et x' 2 , on notera [y] : Y -> Ker(x'i,x'2)
l'unique flèche de X telle que ker(x'i,x'2).[y] = y ).
a) Supposons, tout d'abord, que x : U{Sm{I)) -> Ker(x'i,x'2) est une flèche de X.
Alors :
• il existe (en vertu de (SAT 1), puisque X' satisfait U) un objet I de / et une
flèche y : U{ï) -> X' de X telle que y.f/(p(/)(I)) = ker(x'!,x'2).x .
Il en résulte que :
{x\.y).U{p{I){I)) = x\.ker{x\,x'2).x

= x'2.ker(x'l5x'2).x = (x' 2 .y).t/(p(/)(I)).

Comme (x'i.y), (x'2.y) : t / ( I ) - » X " sont égalisées par p(/)(I), il existe (en vertu de
(K-SAT 1), puisque X" K-satisfait U) une flèche s : S - > I de / qui égalise (x'i.y)
et (x' 2 .y).
Dès lors, il est facile de constater (par unicité) que [y.U{s)].U{p{I){S)) = x , autrement
dit que Ker(x'i,x'2) vérifie (SAT 1).
b) Supposons, maintenant, que I' et I" sont deux objets de J et que
y ' : U{r)-+Ker{x\,x}2)
et y" : U{V) ->Ker(x'i,x' 2 ) sont deux flèches de X telles
quey'.f/(p(/)(I')) = y".f/(p(/)(I")).
On en déduit que :
• il existe (en vertu de (S AT 2), puisque X ' satisfait U ) un entier n > 1 , un zigzag de
flèches de / :
£ 0 = (Z°k )l<k<2n : I , = Z°i <—jôj
""

2n-l < z 0 2n _!

^ 2n

Z°2

P ^ ^

^r—>Z°3 ...

2n+l -

et une famille y° = (y°k 'U{Z°k ) -> X')1<k<2n+1

l

de flèches de X

qui connecte

ker(x'i,x'2).y' à ker(x'i,x' 2 ). y" le long de £° (en particulier, pour tous entiers
1 < h < k < 2n+l , on a donc "par connexité" :
y\.U{p{I){Z\))

= y\.U{p{I){Z\))

).

Il en résulte que, pour tout entier 1 < k < 2n+l , on a :
(x^y°0.tf(p(/XZ°k))

=

(X-L^O-WW/XZ0!))

=

x' 1 .ker(x' 1 ,x' 2 ).y'.f/(p(/)(r))

36

=

x , 2 .ker(x , 1 ,x , 2 ).y , .£/(p(/)(r))

=

(x , 2 .y 0 1 ).C/(p(/)(Z° 1 )) = (x' 2 .y 0 k).f/(p(/)(Z\))

et donc, comme (x'i.y°k), (x' 2 .y° k ) : U(Z°k) -» X" sont égalisées par p(/)(Z° k ), il
existe (en vertu de (K-SAT 1), puisque X" K-satisfait U) une flèche sk : Sk -> Z°k de
/ qui égalise (x'i.y°k) et (x' 2 .y° k ) et, ce, de sorte qu'on peut même prendre Si = id(I')
(quand k = 1 ) et s2n+i = id(I") (quand k = 2n+l ).
Pour tout entier 1 < h < n , on voit maintenant que :
•

sa-i : Sa.i - » Z°2h-i
construction),

(x 'i.y°2h-i), (x '2.y02h-i) : t/(Z°2h-i ) -> X "

égalise

(par

• z°a.i.sa : S2h -> Z V i égalise (x'i.y° 2h .i), (x'2.y°2h-i) : f/(Z°2h-i) -> X " (puisque :
(x'l.y°lh-\).(z°2h-l.S2h) = x'i.y°2h.S2h
X 2.y02h.S2h = (X '2.y°2h-l ).(z°2h-l.S2h) )

=

et, par conséquent, on dispose (en vertu de (K-SAT 2), puisque X " K-satisfait U) :
• d'un entier m2h-i ^ 1, d'un zigzag de flèches de / :
£*2h-l = ( Z *2h-l,r)l^r^2m 2h . l : ^2h-l = Z
• • • Z * 2 h - l , 2 m 2 h . r l < ^h-wmjh.,-!

et d'une famille

Z

Z

2h-l,l < z* 2 h . u

*2h-Um2h.,

2h-l,2

2h-l,3"'

> Z *2h-l,2m 2h . 1+ l = S 2h

z^,,^,,.,

s*2h-i = (s*2h-i.r)i<r<2m2h_,+i

>Z

z*2h ,i2

de flèches de

/

qui égalise

(x'i.y°2h-i), (x'2.y°2h.i) : t/(Z°2h-i) -> X " et qui connecte s^-i à zVi-Sa, le long de
Ç*2h-1 •

De même, pour tout entier 1 < h < n, on voit que :
• S2h+i : S2h+i -> Z°2h+i
construction),

égalise

(x'i.y°2h+i), (x'2.y°2h+i) : C/(Z°2h+i) -> X "

(par

• z°2h. sa : S a ^ Z V i égalise ( x ' i . y V i ) , ( x V y V i ) : U(Z°^+l) -> X" (puisque :
(x'i . yVi).(z°a • S2h-i) = x'i . y°2h .s2h
x ' 2 . y 0 ^ .S2h = ( x ' 2 . y°2h.i).(z°2h. S2h) )

=

et, par conséquent, on dispose (en vertu de (K-SAT 2), puisque X " K-satisfait U ) :
• d'un entier m2h > 1 , d'un zigzag de flèches de / :
c*
5

~(7*
2h -

*. z

\

=7*

ç

2h.r/lsr<2m 2 h • ° 2 h

• • • Z * 2 h . 2 m 2 h - 1 < z»2h.2m2ll ,

Z

^

2h,l * z » 2 M ^

2h.2m 2h

37

»7*

7*

4

z* 2h . 2m2h

> Z

2h.2

z* 2h 2

' ^

2h,3

2h,2m 2h + l = S 2 h+1

et d'une famille

8*^ = (s*2h,r)i<r<2m +1

de flèches de

I

qui égalise

0

(x\.y°2h+i), (X2.y°2in-i) : {/(Z'a+i)-> X" et qui connecte z 2h.S2h à s2h+i le long de
Dès lors, on dispose aussi :
• pour tout 1 < k < 2n+l , de la flèche de X :
fk = ty°k.t/(Sk)] : C/(Sk) -> Ker(x'!,x'2)
et, ce, de sorte qu'on a, en particulier :
• f1 = [ker(x' 1 ,x' 2 ).y'.f/(id(r)] = y ' ,
• f2n+1 = [ker(x , 1 ,x , 2 ).y ll .t/(id(r)] = y n ,
• pour tout 1 < h < n et tout 1 < r < 2m2h.i+l , de la flèche de X :
f*2h-u = [y°2h-i.f/(s*2h.i,r)] : U{Z*^U) -> Ker(x' l5 x' 2 ),
• pour tout 1 < h < n et tout entier 1 < r < 2m2h+l , de la flèche de X :
P a , = [y°2h+i.C/(s*2h,r)] : f/(Z*2h,r) -* Ker(x'!,x' 2 ).
Dans ces conditions, il est facile de constater (par unicité) que la famille de flèches de
X
( M ' (*

l,r )l<r<2m,+l ^ 2 » ( '

2,r )l<r<2m 2 +l > * 3 > • • •

• • • •> *2h-l > (*

2h-l,r ) l<r<2m 2h _,+l ' *2h > (*

2h,r ) l<r<2m 2h +l » *2h+l > • • •

• • • ' * 2n-l y \J

2n-l,r ) l<r<2m 2n _i+l ' *2n > (*

2n,r ) l<r<2m 2n +l » *2n+l )

permet de connecter y ' = fi à f2n+i = y " le long du zigzag de flèches de / :
(s

1>--- 5 S

k'---'S

2n) = ( ( z

l,r)l<r<2mj 5 - - - 9 ( z

k,r )l<r<2m k > " - > ( z

2n,r )l<r<2m 2 n ) •>

de sorte que Ker(x'i,x'2) vérifie (SAT 2).
c) De a) et b) résulte évidemment que Ker(x'i,x'2) vérifie (K-SAT 0).
d) Si I est un objet de / et si yi, y2 : U{1) -> Ker(x'i,x'2) sont deux flèches de X
égalisées par f/(p(/)(I)), alors ker(x'i,x' 2 ).yi, ker(x'i,x'2).y2 : U{1) -» X' le sont a
fortiori. Par conséquent, il existe (en vertu de (K-SAT 1), puisque X' K-satisfait U)
une flèche s : S - > I de / qui égalise ker(x'i,x'2).yi et ker(x'i,x' 2 ).y 2 . Alors, par
unicité (i.e. parce que ker(x'i,x'2) est un mono!), on voit que s égalise nécessairement
yi et y 2 . Ainsi Ker(x'i,x'2) vérifie (K-SAT 1).
e) Enfin, si I est un objet de / , si yi, y2 : U{ï) -> Ker(x'i,x'2) sont deux flèches de X
et si s ' : S ' -> I et s " : S " -> I sont deux flèches de / qui égalisent y i et y 2 , a
fortiori elles égalisent ker(x'i,x' 2 ).yi, ker(x'i,x'2).y2 : £/(I)->X'. Donc il existe (en
vertu de (K-SAT 2), puisque X' K-satisfait U) un entier n > 1 , un zigzag de flèches
de / :

38

£ - ( Z k)l<k<2n : S'- Z*! <—j^
7*
'

4
2n

-]

7*
z*2n-i

Z 2
^7*

2n

^ T ^

2*2

>Z 3

- c»
2n+l-"^

et une famille s* = (s*k : Z*k -» I )i <k <2n+i de flèches de I qui égalise ker(x'i,x'2).yi
et ker(x'i,x'2).y2 et qui connecte s' à s" le long de £* . Alors, par unicité (i.e. parce
que ker(x'i,x'2) est un mono!), on voit que la famille s* égalise yi et y2 tout en
continuant à connecter s' à s" le long de £* ! Autrement dit, Ker(x'i,x'2) vérifie (KSAT 2). FIN DE LA PREUVE.

2.6.

Existence des
qualifiables.

noyaux

dans

certaines

catégories

Il est clair que :
PROPOSITION. Si X est une catégorie localement petite et co-complète et si 71 est
une K-qualification interne à
X, alors le foncteur injection canonique
\ri)tyt,X) : Satif(%,AT) -> X crée les noyaux.

PREUVE. Comme 7i est une K-qualification, il existe (par définition) une qualification
%' telle que % = Qlf(K//%'). Dès lors, on voit que :

inj(#,X):Satisf(%,X)->X

inj(Qlf(K//#'),X) : Satisf(Qlf(K//#'),X) -+X

sur'm){KJ/U\X) : SurSatisf(K//%',X) - > X .
Il suffit donc d'appliquer la PROPOSITION de 2.5. FIN DE LA PREUVE.

39

3.

Sur l'existence des noyaux dans les catégories de
modèles de certaines esquisses.

3.1.

Esquisses.

Comme en [E.T.S.A.] et en [C.Q.C.E.] (notamment), on dit que
E = (Supp(£ ),CDist(£),CCDist(£)) est une esquisse si :
,

• Supp(J?) est une catégorie7, appelée le support de E,
• CDist(2i ) est une classe de cônes de Supp(£), dits distingués dans E,
• CCDist(2i ) est une classe de co-cônes de Supp(is), dits co-distingués dans E .
Alors, on dit que E est petite si "tout y est petit", i.e. si :
• Supp(£) est une catégorie petite,
• CDist(£) est un ensemble et l'indexation de tout cône distingué est une catégorie
petite,
• CCDist(£) est un ensemble et la co-indexation de tout co-cône co-distingué est une
catégorie petite.
Si
E
et
E1
sont deux esquisses, on dit qu'un foncteur
H : Supp(£) -> Supp(2i') définit un homomorphisme (encore noté) H : E -> £ ' de E
vers E' et de support (le foncteur) H si :
• pour tout cône distingué P : C{A ) -> Supp(£)
HoP :C{A)-± Supp(£') est distingué dans £ ' ,

dans

E, le cône composé

• pour tout co-cône co-distingué O : CC(Z?) -> Supp(JS') dans
composé HoO : CC(Z?) -> Supp(2s') est co-distingué dans £"'.

E, le co-cône

Supposons que X est une catégorie.
Si E est une esquisse, on dit qu'un foncteur M: Supp(£) -*X définit un
modèle (encore noté) M:E->X de E dans X et de support (le foncteur) M si :
• pour tout cône distingué P : C{A) -> Supp(Zi)
MoP : C{A )-+X est un cône limite dans X,
n

dans

E, le cône composé

Nous supposons (pour simplifier l'exposé - et la lecture), que les supports des esquisses sont des
catégories et non des "présentations de catégories", i.e. des graphes multiplicatifs (voir [E.T.S.A.]).
Cependant, il est clair que, dans ce cadre plus général, les différents résultats énoncés ici demeurent tout
aussi valables (à une simple adaptation près concernant le "plongement" - qui, en général, n'en est plus
un - de Yoneda).

40

• pour tout co-cône co-distingué Q : CC(JB) -> Supp(Zs) dans
composé MoQ : CC{B) -* X est un co-cône co-limite dans X.

E, le co-cône

Alors, on note Mod{EJt) la catégorie de ces modèles, i.e. la sous-catégorie pleine de
Fonct(Supp(£)^) a Y a n t P o u r objets les modèles de E dans X.
Si H : E —> 2i ' est un homomorphisme entre deux esquisses et si M' : E' -^ X
est un modèle de 2J ' , il est clair que M'a//. E -> X est un modèle de E . Ainsi, on
dispose d'un foncteur "composition à droite par H " :
Mod{HJ) : Mod{E'JC) -» Mod{EJ().
Supposons que E est une esquisse petite.
On note Yon(SuppCE)) : Supp(£) op -» Fonct(Supp(£,),£/fs) le plongement
de Yoneda.
Pour tout cône
successivement :

P : C{A) -> Supp(2s), distingué dans

E,

on note

• CCA{P ) = Yon(Supp(£))oPop : CC04op) = C{A )op -> Fonct(Supp(£ ),Ens ) le cocône associé (par dualité, puis composition avec le plongement de Yoneda) au
cône P ,
• CSCCA^P) le co-sommet du co-cône associé à P,
• CLA(P) le co-cône co-limite associé à P , i.e. un co-cône co-limite arbitrairement
choisi parmi ceux de même co-base que le co-cône associé à P (il en existe au moins
un puisque Fonct(Supp(£\Ens) est, évidemment, co-complète),
• CSCLA(P) le co-sommet du co-cône co-limite CLA(P) associé à P,
• î{P ) : CSCLA(P ) -> CSCCA(P )
l'unique flèche de
Fonct(Supp(£),Ens )
permettant de factoriser le co-cône CCA(J°) au travers du co-cône co-limite
CLA(P) (puisqu'ils ont même co-base),
• U{P) \C{1)-> Fonct(Supp(2i ),£#is ) le cône associé à P, d'indexation la catégorie
1 (à un seul objet 0 et une seule flèche id(0) ) et ayant pour (seule) projection la
flèche :
U0P)(p(f )(0)) = f{P) : CSCLA(P) -> CSCCA(P).
Maintenant, pour tout co-cône O : CCCB) -> Supp(£), co-distingué dans E, on note :
• U(0 ) = Yon(Supp(£ ))oQop : C{Bop) = CC{B )op -^ Fonct(Supp(£ ),Ens )
le cône
associé (par dualité, puis composition avec le plongement de Yoneda) au co-cône O .
De la sorte, on obtient une qualification interne à Fonct(Supp(£,),£,/is) canoniquement
associée à E :
Qualif(£) = {U(P) I P € CDist(£)} u {U{Q) | Q G CCDist(£)}

41

et, comme en [C.Q.C.E.], il est facile de constater (compte tenu des propriétés du
plongement de Yoneda) que :
Mod{E,Ens) = Satisf(Qualif(£),Fonct(Supp(£),£ws)).

3.2.

Sur-esquisses.
On dit que SE = {Supp{SE),CDist{SE),SCCDist{SE))

est une sur-

esquisse si :
• Supp(*S£) est une catégorie 8 , appelée le support de SE,
• CDist(*Sii ) est une classe de cônes de SuppÇSE), dits distingués dans SE,
• SCCDistOSis) est une classe de sur-co-cônes de Supp^ls), dits co-distingués dans
SE
Alors, on dit que SE est petite si "tout y est petit", i.e. si :
• Supp(*Sij) est une catégorie petite,
• CDist^f) est un ensemble et l'indexation de tout cône distingué est une catégorie
petite,
• SCCDist(5ii) est un ensemble de sur-co-cônes petits.
Si SE
et
SE'
sont deux sur-esquisses, on dit qu'un foncteur
H : Supp(iS£) -» SUPP(ASIJ') définit un homomorphisme (encore noté) H : SE -» ^JE* '
de SE vers SE' et de support (le foncteur) H si :
• pour tout cône distingué P : C{A)-^>Supp{SE)
HoP : C(4 ) -> Supp{SE') est distingué dans SE',

dans

SE,

le cône composé

• pour tout sur-co-cône co-distingué {£,Q :CC{B)->Supp{SE))
dans SE, le surco-cône "composé" {Z,HoQ : CC{B) -» Supp(*Si:')) est co-distingué dans SE'.
Si
SE
est une sur-esquisse petite, on dit qu'un foncteur
M : SuppOSii ) —> Ens définit un sur-modèle (encore noté) M : SE -> Ens de SE
dans Ens et de support (le foncteur) M si :
• pour tout cône distingué P : C{A) -» Supp(Sii)
MoP : C{A ) —> Ens est un cône limite dans Ens ,
8

dans

SE,

le cône composé

Comme pour les esquisses, nous supposons (pour simplifier l'exposé - et la lecture), que les supports
des sur-esquisses sont des catégories et non des "présentations de catégories", i.e. des graphes
multiplicatifs (voir [E.T.S.A.]). Cependant, il est clair que, dans ce cadre plus général, les différents
résultats énoncés ici demeurent tout aussi valables (à une simple adaptation près concernant le
"plongement" - qui, en général, n'en est plus un - de Yoneda).

42

• pour tout sur-co-cône co-distingué {I,Q : CC{B) —> Supp(5ii)) dans SE, le surco-cône "composé" {ZM°Q • CC(J5) ->Ens) est un sur-co-cône sur-co-limite dans
Ens .
Alors, on note SurMod(5Ii,JE>is ) la catégorie de ces sur-modèles, i.e. la sous-catégorie
(non nécessairement pleine) de Fonct{Supp{SE),Ens) telle que :
• ses objets sont les sur-modèles M : SE —> Ens de E dans Ens ,
• ses flèches sont les transformations naturelles
telles que :

T :M\=>M2:

Supp{SE)->Ens

• M\,M2\ SE —> Ens sont des sur-modèles de SE dans Ens ,
• pour tout sur-co-cône co-distingué {1,0 : CC(Z?) -> SuppOSE )) dans SE
et toute formule (p e E, la transformation naturelle :

ToQ :MloQ=>M2oQ : CC{B)^Ens
(i.e. l'homomorphisme entre interprétations du langage associé à CC{B))
"commute" avec la satisfaction des sous-formules de (p .
Si H : SE —> SE' est un homomorphisme entre deux sur-esquisses petites et si
M' : E' -> Ens est un modèle de SE', il est clair que M'oH : SE -> Ens est un
modèle de SE . Ainsi, on dispose d'un foncteur "composition à droite par H " :
SurMod{H,Ens) : SuvMod{SE\Ens) -* Mod{SE,Ens).

Si SE est une sur-esquisse petite, on pose (en reprenant des notations
analogues à celles de 3.1.) :
SurQualif(££)

{(0,U(P)) I P G CDist{SE)} u {(2:,U(0)) I {Z,Q) G SCCDistC&E)} .
De la sorte, on obtient une sur-qualification interne à Fonct(Supp(»S£),£/is), dite
canoniquement associée à SE .
Alors, il est facile de constater (compte tenu des propriétés du plongement de Yoneda)
que :
SurMod{SE,Ens) = SurSatisf(SurQualif(5£),Fonct(Supp(5£),£«5)).
43

3.3.

Esquissabilité
esquissables.

des

catégories

positivement

sur-

Si SE est une sur-esquisse, on dit qu'elle est positive si :
• pour tout sur-co-cône {I,Q : CC{B) -> Supp(5i?)) co-distingué dans SE,
une surcharge positive de B .

I est

Etablissons que :
LEMME. Si SE est une sur-esquisse positive, la catégorie SurMod{SE,Ens ) est une
sous-catégorie pleine de la catégorie Fonct{Supp{SE),Ens).
De plus, on peut canoniquement associer à la sur-esquisse positive SE une esquisse
petite EsqOSIs ) de sorte que :
• on dispose d'un foncteur injection canonique :
injGSE) : SuppGHE) -> Supp(Esq(££))
entre les supports,
• le foncteur :
Fonct(inj(££),£/is) : Fonct(Supp(Esq(5£),£/is) -> Fonct(Supp(££),£#is)
se restreint en une équivalence :
eq{SE) : Mod{Esq{SE),Ens) —^> SurMod{SE,Ens).
PREUVE. Il suffit évidemment d'établir ce LEMME lorsque :
SE = {Supp{SE),CDist{SE\{{y,Q

: B -> Supp{SE))})

est une sur-esquisse positive (n'ayant qu'un sur-co-cône distingué) où
catégorie petite et (p est une sur-formule positive et petite de B .

B

est une

La formule (p ne contenant pas explicitement de négations (quand bien même elle peut
"avoir valeur de négation" - voir la Note 4), il est immédiat de vérifier que
SurMod(«SI?,£/f5 ) est une sous-catégorie pleine de la catégorie Fonct(Supp(5Ii),£#!s).
Pour construire Esq(«S£), on procède par étapes comme suit.
a) Si T est une sorte du langage associé à CC{B) (i.e. si F est un objet de CC{B),
on lui associe l'objet de Supp(5i?) :
[QW) = Q(T).
Si y : T -> T' est un symbole fonctionnel du langage associé à CC(B), on lui associe la
flèche de Supp(5£) :
[Q](y) = Q(y)

:[QW)^[Q](T').

44

b) Si (Ù:T est une variable figurant dans (p et de sorte T (alors, on notera aussi
T = T© , étant entendu qu'à chaque variable "utilisée" n'est associée qu'une seule sorte),
on lui associe la flèche de Supp(51i ) :

[0](œ) = id(0(O) = id([0](T)) : [G KO - • [G KO.
Si t(©) est un terme, figurant dans (p , de sorte T' et en la (nécessairement seule)
variable
co
de sorte
T
(alors on note,
indifféremment,
t(œ) = t(©:F) = t(co):r' = t(©:r):r' ), si on a ajouté à SuppOSis ) une flèche associée à
t(œ):
[Q](t{(o)):[QW)-^[Q]{T')
et si y' : T' -» T " est un symbole fonctionnel, alors on ajoute à Supp(*Sii ) la flèche (et
l'équation) associée(s) au terme y'(t(©:r)):r" :

[£](Y'(t(co)) = [QW).[Q](m) = Q{y').[Q]{t{(o)) : [0]{T) -> [0]{T").
De la sorte (i.e. récursivement), à tout terme t '(co:r):r " (du langage associé à CC{B) )
figurant dans (p , on sait associer une flèche (et une équation) ajoutée(s) à Supp^S/j) :
[Q]{t'{(ù)):[Q]{r)^[0]{T").
On génère ainsi une catégorie S u p p ^ f )^,,0, contenant Supp(iS£), et une esquisse
SE^.o = {Supp{SE)v,o£DlST{SE),{Q})
de support Supp{SE)<p,0 (en identifiant les
cônes et co-cônes à valeurs dans Supp(SIs) à des cônes et co-cônes à valeurs dans
Supp{SE\,o y
c) Si a = ( ti (a>i :Ti ):r = t2 {(Ù2:T2 ):T ) est une formule atomique figurant dans (p , on
note successivement :
• VARAT(a) ={0)1,0)2} l'ensemble des variables figurant dans a ,
• TERM(a) = {ti (©1 ),t2 (0)2)} l'ensemble des termes figurant dans a ,
• CATAT(a) la catégorie telle que :
• ses objets sont les (symboles auxiliaires) S a et Sa^ , où © e VARAT(a),
• ses flèches non triviales sont les (symboles auxiliaires) Sa,t(co) : S a -> Sa^ , où
t(o) G TERM(a),
• ATFCT(a) : CATAT(a) op -> Supp(5£) le foncteur tel que :
ATFCT(a)(s Mû)) ) = [0](t(©)) : [ 0 ] ( r . ) -> [Q]{T)
pour toute flèche Sa,t(o>) : S a -> Sa,^ de CATAT(a) .
Dans ces conditions, pour toute telle formule atomique a , on ajoute successivement à
SuppOSEVo (et à iSE ç ,o):
• un "produit potentiel" (

n

[0]{TJ)

de la famille ([£](rw))coGvARAT(a) (i.e.

(ùeVARAT(a)

un objet et un cône distingué d'indexation discrète et de sommet cet objet),

45

• a/(

n

[Q](TJ ) une "limite potentielle" du foncteur

ATFCT(a) (i.e. un

cot VARAT(a)

objet et un cône distingué de base ATFCT(a) et de sommet cet objet, de sorte que
cette "limite potentielle" est :
• un "produit fibre potentiel", si ©i * © 2 ,
• un "noyau potentiel", si ©] = ©2 et ti (©i) * t2 (©2),
• une "limite triviale potentielle", si ©i = ©2 et ti (coi) = t2 (co2) ),
• une flèche :

[G ](a) : a/(
L

~JV

n

[jg](rœ ) ) -> (

CûeVARAT(a)~JV

* ' '

V

n

[QWj)

coe V A R A T ( a ) L ^ J V

œ

'

'

permettant de factoriser la "limite potentielle" considérée au travers du "produit
potentiel" considéré.
On génère ainsi une catégorie Supp(52s)v, 1, contenant SuppGSE)q>.o, et une esquisse
SE9m\, de support SuppOSE)9,1 et contenant &E<p,o.
d) Pour toute formule atomique a = ( ti (©1 Ti)'T = t 2 (©2:r 2 ):r ) , figurant dans (p , et
pour tout ensemble de variables V utilisé par cp pour a (voir le i) plus loin) et
contenant VARAT(ot), on ajoute successivement à Supp(5E) ç , 1 (et à SE^9 1 ) :
• un "produit potentiel" ( n [0]{TJ)

de la famille ([Gl(r«))« t v (i.e. un objet et

un cône distingué d'indexation discrète et de sommet cet objet),

• une flèche :
x'o,v:( n [0](T.))->(
o)tV

n

[QWJ)

(oeVARAT(a)

permettant de factoriser le "produit potentiel" (total) ( n [G](rcù) ) au travers du
cotV

"produit potentiel (partiel)" (

n
coe VARAT(a)

[0]{TJ ) ,
~

• une flèche :
[Ô](a,V):a/( n [0KTJ )-> ( U [Q](TJ )
COGV

cùteV

"potentiellement déduite" de [Q ]{a) par "changement de base potentiel" le long de
x'o,v (i.e. un "produit fibre potentiel", c'est-à-dire un certain cône distingué).
On génère ainsi une catégorie Supp^E)<p, 2 , contenant Supp(«S£)9,1, et une esquisse
SE^m2, de support Supp(5!£)9,2 et contenant iSE9ï 1 .

46

e) Si p = A a h

est une

conjonction, figurant dans (p , de formules atomiques, on

heH

note :
• VARCJ(P)= |J VARAT(ah),
heH

• CATCJ(p) la catégorie telle que :
• ses objets sont les (symboles auxiliaires) Sp et Sp,h, où h e H ,
• ses flèches non triviales sont les (symboles auxiliaires) Sp,h : Sp -* Sp,h, où
heH,
• CJFCT(p) : CATCJ(p)op -> Supp(5£ ),,,2 le foncteur tel que :
CJFCT(p)(sP)h)

[£](VARCJ(P),a h )^*/( a t v n j ( p ) [QWJ

)-(

atvncj(p)

[QWJ

)

pour tout h e H .
Dans ces conditions, pour toute telle formule P, on ajoute à SuppOS/s ),,,2 :
• une

"limite

potentielle"

p/(

n

[Q](TJ )

du

foncteur

t06VARCJ(P)

CJFCT(p) : CATCJ(p)op -> SuppO£E)„,2 (i.e. un objet et un cône distingué de base
le foncteur CJFCT(p) et de sommet cet objet),
de sorte qu'on dispose aussi de la projection relative à l'objet Sp :

[£](P):P/(
L

~JV

n
cùteVARCJ(P)

[ô](rj)->(
W

n

[QWj).

coeVARCJ(P)

On génère ainsi une catégorie Supp(SE)^93, contenant Supp{SE)(Pj2, et une esquisse
££„.3, de support Supp(*SE)Çl3 et contenant 5!E9.2 •
f) Pour toute conjonction (3, figurant dans (p , de formules atomiques et pour tout
ensemble de variables V utilisé par (p pour P - donc utilisé par (p pour chacune des
formules atomiques dont P est la conjonction - (voir plus loin le i) ) et contenant
VARCJ(P), on ajoute successivement à Supp^Jî)^^ (et à -S£«p,3 ) :
• un "produit potentiel" ( n [0]{TJ ) de la famille ( [ G ] ( T „ ) ) „ G V (i.e. un objet et
(OteV

un cône distingué d'indexation discrète et de sommet cet objet),
• une flèche :

xVv:( n [ 0 0 - . ) ) - ( ^ , I G K T . »

47

permettant de factoriser le "produit potentiel" (total) ( U [QWJ

) au travers du

coeV

"produit potentiel (partiel)" (

n

[QWJ

),

coeVARCJ(p)

• une flèche :

[fi]0,V):P/( S: [fi](T.))->(
coeV

TlïQWJ)
coeV

"potentiellement déduite" de [G](P) par "changement de base potentiel" le long de
x'p,v (i.e. un "produit fibre potentiel", c'est-à-dire un certain cône distingué).
On génère ainsi une catégorie S u p p ^ S i i ) ^ , contenant Supp(.SE ),,,3 , et une esquisse
*SE<p,4, de support Supp(*SIs)<p,4 et contenant SE^^ .
g) Pour toute formule

3 ©:rœ P figurant dans (p (où P est donc une conjonction,

figurant dans (p , de formules atomiques et où W est donc un ensemble de variables
contenu dans VARCJ(P) ), on ajoute successivement à Supp(*SE ),,.4 (et à SE^^) :
• un "produit potentiel" (

n

[QWJ)

de la famille {[Q ](r tt ))„ € VARCJ(P)-W

(i.e. un objet et un cône distingué d'indexation discrète et de sommet cet objet),
• une flèche :

yW:(
J

P

n

[QWJ)-*(

coteVARCJ(P) L ^ J V

n
V

"'

[OWJ)

coteVARCJ(P)-W

L

~JV

permettant de factoriser le "produit potentiel" (total) (

* '

'

n

[0](rj )

coeVARCJ(P)

travers du "produit potentiel (partiel)" (

n
coe VARCJ(P)-W

au

*~

[0](r n ) ) ,
w

de sorte qu'on dispose de la flèche composée :
[Q]{

3 œT. p )
coe W

yVw.[ô](P):( a 0:1; P)/(
û)€W

n

[ô](r œ ))->(

cot VARCJ(p)-W

~

n

[QWj)

coe VARCJ(P)-W

~

œ

'

'

(on a donc choisi de noter ici, pour plus de commodité :

( 3 ©:i; P)/(
coeW

n
cùteVARCJ(P)W

[0](rj) = p/(
W

~

n
co t VARCJ(P)

[QWJ) y
œ

On génère ainsi une catégorie SuppCiSE ),,.5, contenant Supp(5Is ),,,4 , et une esquisse
SEy, 5, de support SuppOSis )<p, 5 et contenant SE^, 4 .

48

h) Pour toute formule y= 3 G):L P figurant dans (p (où

P est donc une

coeW

conjonction, figurant dans (p , de formules atomiques et où W est donc un ensemble de
variables contenu dans VARCJ(p) ) et pour tout ensemble de variables V utilisé par (p
pour y - donc utilisé par cp pour P - (voir plus loin le i) ) et tel que
VARCJ(p)-W = VARCJ(p)nV, on ajoute successivement à SuppO&E'Vs (et à
SE y. 5 ) ;

• un "produit potentiel" ( n [QWJ ) de la famille {[QW<*))<»cv (i.e. un objet et
coeV

un cône distingué d'indexation discrète et de sommet cet objet),
• uneflèche:
ZVv : (

in [0(r.) x mtvAZwmï

iuw.) ) - ( > t V A H ( w w [QWJ )

permettant de factoriser le "produit potentiel" (total) ( n [QWJ ) au travers du
CO te V

"produit potentiel (partiel)" (
r

r

n

[QWJ),

a>tVARCJ(P)W

• une flèche :

[C2K( 3 œ:r. p),V)
coe W

[£K(

3

©:r; p ) , v )

o> e VARCJ(p)-VARCJ(P>nv

(

a

œT. p)/( n [QWJ)^(

n

coe VARCJ(P)-VARCJ(p)f|V

«t V

coe V

[QWJ)

"potentiellement déduite" de :

[Q](

a

n

©:rtt P) = [C2K 3 a»:r. p)

©eVARCJ(P)-VARCJ(P)nV

»eW

par "changement de base potentiel" le long de z'p.v (i.e. un "produit fibre potentiel",
c'est-à-dire un certain cône distingué).
On génère ainsi une catégorie Supp(5E)ç,6, contenant Supp(iSE)„f 5, et une esquisse
££,,.6, de support Supp(5E)9,6 et contenant 5IE9,5.
i) Supposons, précisément, que la sur-formule positive (p s'écrit (comme en 2.3 où on
fait I' = B et d'où on reprend toutes les notations et toutes les hypothèses) :

49

V coa:ra
aeA

[A

(tb-1(©w):rb) = (tb>2((Dw):rb)]

beB

=>

V

l

ceC

A

(tcd,! (^cd,! >: Fc,d ) = (^,(1.2 (^^,2 >: rc,d > 1

deD(c)

V
V

[

3
feF

eeE

©ef:ref (

(e)

(t e > g > 1 (cû e > g > 1 ):r e > g ) = ( t e ^ 2 ( c D e > g 2 ) : r e g ) ]

A

geG(e)

et posons alors :
•

P* = [ A

(tb f i(® W ):r b ) = ( t b f 2 ( œ b f 2 ) : r b ) ] ,

beB

•

Pc = [

(tc,d,l( œ c,d,l) :r c,d) = (tc,d,2(®c,d,2):rc,d) ] > pOUr tOUt C G C ,

A
deD(c)

•

Pe=[

A

(t e ,g.l( (0 e,g,l): r e,g) = (te,g.2(CDe,g,2):re,g ] , POUr tOUt e e E ,

geG(e) .

ainsi que, pour plus de commodité dans la suite :
• Yc = Pc, pour tout c G C ,
• Ye= 3 œeif:ref pc
f e F(e)

Par hypothèse, on voit donc que :
• on a VARCJ(p*) c fiA et, par conséquent (si, au point f) précédent, on utilise
V = QA pour p = P* ), on dispose de laflèchede Supp(«S£q,v6) (ou de *SE9,6 ) '
[GKP* 5 n A ):p*/(

n

[QWJ ) ^

co e Q A

n

[QWJ,

co e Q A

• pour tout c G C , on a VARCJ(PC) ç QA et, par conséquent (si, au point f)
précédent, on utilise V = QA pour P = pc ), on dispose de laflèchede Supp(51i,,, 6 )
(ou de ££,,, 6 ) :
[G](YCO0:YC/(

n

[QWJ

co t Q A

)-^

n

[QWJ,

co t Q A

de sorte qu'on peut ajouter à SuppG£E9, 6 ) (et à SE^ , 6 ) uneflèche:

[fi](Yc,nA)*[e](p*,nA):Yc/p*/ n [G](rj->p*/ n [QWJ,
co e Q A

co e Q A

"potentiellement déduite" de [GKYC^A) par "changement de base potentiel" le long
de [GKP*>^A) (ie. en ajoutant un "produit fibre potentiel", c'est-à-dire un certain
cône distingué),

50

• pour tout e G E , on a VARCJ(p e )nQ A = Q c - nc,F<e) et, par conséquent (si, au point
h) précédent, on utilise V = Q A pour y = ye ), on dispose de la flèche de
Supp(SE„, 6 ) (ou de -££„,6 ) :
[GKY.AO:Y./(

n

[QWJ )^

co e Q A

n

[QWJ,

co e Q A

de sorte qu'on peut ajouter à Supp(«S£9,6 ) (et à SE^^ ) une flèche :
[GKY.,ÛA)*[G](P*,QA):Y./P*/

n [GKrj->P*/ n

»enA

[QWJ,

"potentiellement déduite" de [ G K Y C ^ A ) par "changement de base potentiel" le long
de [ G ] ( P * > ^ A ) (ie. en ajoutant un "produit fibre potentiel", c'est-à-dire un certain
cône distingué).
On génère ainsi une catégorie Supp(5£ ),,,7, contenant Supp(S£ ),,,6, et une esquisse
££,,,7 , de support Supp(5£ ),,.7 et contenant *S£,,,6 .
Dès lors, on note indifféremment CATPO(q>) = £<p0p la catégorie telle que :
• ses objets sont les éléments de
A = A x A x {0} (alors, on pose :

AuA,

où

A = CX{1}LJEX{2}

et

• c = |À,|, pour tout X = (c, 1) G A ,
• e = |À,|, pour tout X = (e,2) G A ),
• ses flèches non triviales sont :
• les g s : X -> {XX fi), pour tout ô = {X,X',0) G A ,
• les d ô : V -> (X,X',0), pour tout ô = (XX fi) G A .
et on désigne par Supp(*S£ ),,,8 la catégorie, contenant Supp(5£),,,7, et par $£,,,8
l'esquisse, de support Supp(5£ ),,.8 et contenant $£,,,7, qu'on génère en imposant que
[Q K<P) = G<P '• CC(£<p) -» Supp(S£ )cp. s est le co-cône distingué tel que :
• son sommet est :
(2,p(CSm(^)) = p*/(

n

[QWJ),

n

[QWJ)

• pour tout X e A , sa valeur en l'objet X est :
<2<p(X) = p,M/p*/(

(06 n A

et sa co-projection relative à l'objet X est :
51

Qv(cp(Bv)(X))

[0](mi,QA)*[eK3*.nA):mi/3*/ n [0](rj->p*/ n [QWJ,
co e Q A

co e Q A

• pour tout b = (XX) G À, sa valeur en l'objet ô est un "produit fibre potentiel"
(obtenu en ajoutant un cône distingué) des deux flèches :
Gcp(cp(£cp)(?0) : Q*(K) -> £/<p(CSm(£,,) et Gcp(CSm(£„)) <- Q^(X') : Q^(cp(B^(X'))
pour lequel :
Q*(X) <- G J ô ) : Gq>(gô) et g 9 ( d « ) : & ( 5 ) -> &(*,')
en sont les deux projections.
j) Il est clair que YLsq(SE) = SE^,%
PREUVE 9 .

3.4.

vérifie les propriétés attendues. FIN DE LA

Profils élémentaires, esquisses et sur-esquisses.

Si R est un profil élémentaire (resp. un profil élémentaire positif) et si
£ ' est une esquisse petite, on pose :
R//£' = (Supp(£'),CDist(£'),{(R(£),Q : CC(£) -> Supp(£')) | Q G CCDist(£')})
de sorte que R//£' est une sur-esquisse (resp. une sur-esquisse positive) petite, dite

canoniquement associée à £ ' .
Supposons que R est un profil élémentaire.
On dit qu'une sur-esquisse petite SE est une K-sur-esqinsse si :
• il existe une esquisse petite £ ' telle que SE = R//£'.
De plus, si R est positif, on dit qu'une esquisse petite £ est une K-esquisse si :

9

Bien entendu, cette PREUVE dualise (avec les adaptations nécessitées par le passage de considérations
"sémantiques" à des considérations "syntaxiques") la PREUVE du LEMME de 2.3.

Elle peut aussi être vue comme fournissant une systématique de traduction des formules positives du 1er
ordre en termes d'esquisses. Parmi nombre d'autres telles systématiques de traduction (voir [L.C.R.F.] et
[T.T.E.T.], notamment) de types de formules du 1er ordre (à commencer par le type de "toutes" ces
formules) en termes d'esquisses, c'est la seule qui ne nécessite pas de "changement de langage de
départ" : c'est justement ce que la possibilité de dualiser la PREUVE du LEMME de 2.3 pour obtenir la
présente PREUVE exprime.

52

il existe une esquisse petite £ ' telle que £ = Esq(R//£').

3.5.

Existence des noyaux dans les catégories de sur-modèles
de certaines sur-esquisses.
On vérifie immédiatement (en reprenant les notations de 2.5) que :

PROPOSITION. Si £' est une esquisse petite, alors la catégorie des sur-modèles dans
Ens de la sur-esquisse positive petite YJIE' possède les noyaux.
PREUVE, a) Il est immédiat de vérifier que, si X est une quelconque catégorie
localement petite et si U : C{1) -> X est un cône d'indexation la catégorie 1 (à un seul
objet 0 et une seule flèche id(0) ), alors on a :
SurSatisf({(0,LO}^O = SurSatisf({(K(t),f/)}^0 .
b) Comme on a (par construction) :
SurQualif(K//£')

{(0,U(P')) | P' G CDist(£')}

{(K(£'),U(G')) I (G' : CC{B') -> Supp(£')) G CCDist(£')}
et :
K//Qualif(£')

{{K{1),U{P')) I P' G CDist(£')}

{{K{B'),U{Q')) | (G' : CC(£') -> Supp(£')) G CCDist(£')}
on voit, en utilisant a) (où on prend X= Fonct(Supp(£'),£/is) ), que la PROPOSITION
de 2.5. s'applique au foncteur injection canonique :
53

SurMod(K//E\Ens) -> Fonct(Supp(K//£'),Ens)
SurSatisf(SurQualif(K//£,),Fonct(Supp(K//£'),Ens)) -> Fonct(Supp(K//£,),£ns)
SurSatisf(K//Qualif(£'),Fonct(Supp(£,),Ens)) -» Fonct(Supp(£*),£#fs)
qui crée donc les noyaux. Mais la catégorie Fonct(Supp(E '),Ens) possède les noyaux
(qui se calculent, évidemment, "point par point"). FIN DE LA PREUVE.

3.6.

Existence des noyaux dans les catégories de modèles de
certaines esquisses.
Il est clair que :

PROPOSITION. Si E est une K-esquisse petite, alors la catégorie de ses modèles dans
Ens possède les noyaux.
PREUVE. Comme E est une K-esquisse petite, il existe (par définition) une esquisse
petite E' telle que E = Esq(KJ/E'). Dès lors, on voit que :
Mod(E,Ens) = Mod(Esq(KJ/E'lEns) * SurMod(K//£\Ens).
La PROPOSITION de 3.5 s'applique donc. FIN DE LA PREUVE.

4.

Sur les diagrammes localement co-limites saturés dans
les catégories possédant les noyaux.

4.1.

Diagrammes et troncs de co-cônes localement co-limites.

Si J' est une petite catégorie, si F' : J' -* Ens est un foncteur et si
A ' est un ensemble, on dit (évidemment) que A ' est une (ou un objet) limite de F' si :
• il existe un cône U' : C(J') -> Ens tel que :
• C/1 a pour sommet A ' et pour base F',

54

• U' est un cône limite.
Alors, on note (bien entendu) :
A' = L i m F ' ( J ' )
JW

Si I' est une petite catégorie, si D' : I' -> Ens est un foncteur et si
A " est un ensemble, on dit (évidemment) que A " est une (ou un objet) co-limite de D '
si :
• il existe un co-cône V : CC{I') -> Ens tel que :
• V a pour co-sommet A " et pour co-base D ' ,
• V est un co-cône co-limite.
Alors, on note (bien entendu) :
A" = CoUmD'(V)

.

Ver

Supposons que X est une catégorie localement petite et que I et J
sont deux catégories petites.
On dit qu'un foncteur F : J->X
foncteur D : / -» X si :

admet pour (petit) diagramme localement co-limite le

• naturellement en tout objet X de X, on a (dans Ens ) :
CoLim X{D{Ï),X) = Lim X(F(J),X).
l€/op

JeJ0*

Supposons que / e t J sont deux catégories petites.
On désigne par TCC(/,/) la catégorie {tronc de co-cône type de co-indexation
J et d'indexation I) obtenue en adjoignant à la réunion de / et J (supposées
disjointes, pour simplifier) une unique flèche {co-projection type en
(J,I) )
cp(J,/)(J,I) : J -> I et, ce, pour tout objet I de / et pour tout objet J de J.
Alors, on désigne par CB(/,/) : J - > TCC{J,I) et CSm(J,/) : / - > TCC(J,7)
foncteurs {co-base type et diagramme co-sommital type) injections canoniques.

les

Si X est une catégorie localement petite, un foncteur W : TCC(/,/) -> X est
appelé un (petit) tronc de co-cône de X, de co-indexation J, d'indexation I, de cobase WoCB(J,I) : J -> X, de diagramme co-sommital WoCSm(7,7) : / - > X et ayant
ff(cp(7,/)(J,I)) : W(J) -> W(\) pour co-projection en (J,I), quand J G Ob(J) et
I G Ob(/).
En particulier, on dit qu'il s'agit d'un tronc de co-cône localement co-limite si :

55

• (LC0LIM1) pour tout objet X de X et tout co-cône V:CC(J)^>X
de cosommet X et de même co-base VoCB(J) = WoCB(J,I) J -» X que le tronc de cocône W: TCC(JJ) -±X, il existe (au moins) un objet I de J et (au moins) une
flèche y : W(\) - > X d e X telle que :
• pour tout objet J de / , o n a y.fF(cp(/,/)(J,I)) = F(cp(7)(J)),
• (LCOLDVt 2) pour tout objet X de X, tous objets I ' et I " de / et toutes flèches
y • : w(V) -» X et y" : W(\ ") -» X de X telles que :
• pour tout objet J de J, on a y '. W(cp(JJ)(J,l ')) = y ". W(cp(J,I)(J,l ")),
alors il existe un entier n > 1 , un zigzag de flèches de / :
£° = (Z°k )l<k<2n :I ' = Z °l <r~lFx Z °2
70
"

70

J
2n l

~

Z°2n-1

v70
2n

^ 2 ^

P 7 ^ Z ° 3 •••
_ T"
2H+1-1

et une famille y° = (y°k : W(Z\) -* X )i<k <2n+i de flèches de X telles que :
•

y ' = y°i et y°2n+i = y M ,

• y°2h-i.^(z°2h-i) = y°2h = y°2h.i.^(z°2h), pour tout entier 1 < h < n
Compte tenu du calcul des co-limites dans Ens, il est facile de voir
que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite et si I et J sont deux catégories
petites, alors :
• si W: TCC(J,/) —>AT est un tronc de co-cône localement co-limite, le diagramme
(co-sommital de W) D= WoCSm(J,I) : I-+X est un diagramme localement colimite du foncteur (co-base de W) F= WoCB(J,I) :J^>X,
• si D : I-+X est un diagramme localement co-limite du foncteur F : J -*X, il leur
est associé un tronc de co-cône localement co-limite WFiD : TCC(J,I) ->X, de cobase le foncteur WFtD oCB(J,I) = F : J -> Ens et de diagramme co-sommital le
foncteur WFjD oCSm(J,I) = D :I->X.

4.2.

Diagrammes et tronc de co-cônes localement sur-colimites.

Si / ' est une petite catégorie, si Z est une surcharge petite de / ' , si
£)':/'->Ens est un foncteur et si A" est un ensemble, on dit que (E,A ") est une
sur-co-limite de D' ou encore que A " est une Irco-limite de D' si :

56

• il existe un co-cône V : CC(J') -> Ens tel que :
• V a pour co-sommet A " et pour co-base D '.
• (Z,V) est un co-cône sur-co-limite.
Supposons que X est une catégorie localement petite, que / et J
sont deux catégories petites et que Z est une surcharge petite de J op .
On dit qu'un foncteur FJ-+X
admet (Z,D:I->X)
pour (petit) diagramme
localement sur-co-limite ou encore qu'il admet pour (petit) diagramme localement Zr
co-limite le foncteur D : I ->X si :
• F J ->X admet D\I-^X

pour (petit) diagramme localement co-limite,

• (J,CoLim X(D(Ï),X)) est une sur-co-limite du foncteur X(D(-),X) : / op -> Ens .
Ie/op

Supposons que /' et / ' sont deux catégories petites.
On pose TC(7',/') = TCC(/'V o p )° p (qu'on appelle la catégorie tronc de cône
type d'indexation J' et de co-indexation I' ) et, pour tout objet J G Ob(J') et tout
objet I G Ob(/'), on note p(/',/')(J,I) = cp(/',/')(J,I) (qu'on appelle la projection type
en (J,I) ).
On appelle sur-formule de (J'J') toute formule de la logique Loo,oo, écrite dans
le langage (sans symboles relationnels et où tous les symboles fonctionnels sont 1-aires)
associé (au graphe sous-jacent) à TC(J',/').
On dit qu'une telle sur-formule est petite si ses connexions et quantifications sont petites,
i.e. indexées par des ensembles.
On dit qu'une telle sur-formule i|/ est homogène (en

J')si:

• \\f est obtenue en remplaçant dans une (nécessairement unique) sur-formule cp de / '
toute sous-formule (atomique) de la forme :
(cp(/')(I1)(t1(co1)):CSm(/')) = (cp(/')(I2)(t2(co2)):CSm(/'))
par la sous-formule :
A

(p(7',/ , )(J,I 1 )(t 1 (0) 1 )):J) = (p(^,,/,)(JM2)(t2(0)2)):J)

JeOb(J')

où :
• pour tout k G {1,2}, Ik est un objet de / ' et tk(û)k) est un terme, du
langage associé à /' (et donc un terme particulier du langage associé à
CC(J') ), de sorte CSm(/'), où la (nécessairement seule) variable œk figure,
et, alors, on pose \\f = hmg((p) et q> = gmh(v|/).
57

On dit qu'une telle sur-formule \|/ est positivement homogène si elle est homogène et si
gmh(v|/) est positive (au sens du 2.3.).
On appelle surcharge de (J'J')

toute classe A de sur-formules closes de

(/',/•).

On dit qu'une telle surcharge est petite si c'est un ensemble et si ses éléments sont des
sur-formules petites.
On dit qu'une telle surcharge est homogène si ses éléments sont des sur-formules
homogènes, autrement dit, s'il existe une (nécessairement unique) surcharge I de / '
telle que A = {hmg((p) | (p G Z}. Alors, on pose A = hmg(2') et Z= gmh(A) .
On dit qu'une telle surcharge est positivement homogène si ses éléments sont des surformules positivement homogènes. Alors, gmh(A) est évidemment une surcharge
positive de J ' .

Si X est une catégorie localement petite, si / et J sont deux
catégories petites, si A est une surcharge petite de (Jop,Iop) et si W: TCC(J,I) -+X
est un (petit) tronc de co-cône de X, on dit que (A,W) est un tronc de co-cône
localement sur-co-limite, ou encore que W est un tronc de co-cône localement A-colimite si :
• W est un tronc de co-cône localement co-limite,
• W satisfait (en tant qu'interprétation du langage associé à TC(J op ,/ op ) = TCC(J,/) op )
toutes les sur-formules de (Jop,Iop) appartenant à A .

Compte tenu du LEMME de 4.1, il est facile d'établir que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite et si I et J sont deux catégories
petites, alors :
• si A est une surcharge petite et homogène de (Jop,Iop) et si W : TCC(J,I) —»X
est un tronc de co-cône localement A-co-limitet le diagramme (co-sommital de W)
D= WoCSm(J,I) : I^>X
est un diagramme localement gmh(A)-co-limite du
foncteur (co-base de W) F= WoCB(J,I) : J -> X,
• si Z est une surcharge petite de Iop et si D : I -^X est un diagramme localement
Zrco-limite du foncteur F : J-+X, il leur est associé un tronc de co-cône
localement hmg(Z)-co-limite
WFip : TCC(J,I) —»X , de co-base le foncteur
WFtD oCB(J,I) = F : J —> Ens
et de diagramme co-sommital le foncteur
WFj> oCSm(JJ) = D:I->X.

58

4.3.

Profils élémentaires, diagrammes localement co-limites
et troncs de co-cônes localement co-limites.

Supposons que R est un profil élémentaire, que X est une catégorie
localement petite et que / et / sont deux catégories petites..
On dit qu'un foncteur F: J-+X
diagramme localement R-co-limite si :
• F : J-+X

admet D : I-+X

admet un foncteur D : I->X

pour (petit)

pour (petit) diagramme localement R(/op)-co-limite.

On dit (par analogie et pour simplifier) qu'un foncteur W : TCC(J,/) - > X est
un tronc de co-cône localement R-co-limite si :
• W est un tronc de co-cône localement hmg(R(/op))-co-limite.
Compte tenu du LEMME de 4.2, on voit immédiatement que :
LEMME. Si R est un profil, si X est une catégorie localement petite et si I et J
sont deux catégories petites, alors :
• si W : TCC(J,I) —> X est un tronc de co-cône localement R-co-limite, le diagramme
(co-sommital de W) D= WoCSm(J,I) I-+X est un diagramme localement R-colimite du foncteur (co-base de W) F= WoCB(J,I) :J->X,
• si D : / —> X est un diagramme localement R-co-limite du foncteur F : J —» X, il
leur est associé un tronc de co-cône localement R-co-limite WFyD : TCC(J,I) -^X,
de co-base le foncteur WFto oCB(J,I) = F : J -> Ens et de diagramme co-sommital
le foncteur WFjD oCSm(/,7) = D : I -> X .

4.4.

Diagrammes et troncs de co-cônes localement co-limites
saturés.
Supposons que X est une catégorie localement petite.

Si / est une catégorie petite et si D : I-+X
D : I ->X est un (petit) diagramme saturé si :

est un foncteur, on dira que

• (DSATURl)Z) est fidèle,
• (DSATUR 2) pour tous objets I , Z et Z' de / , pour toutes flèches i : Z —> I et
z : Z -> Z ' de / et pour toute flèche f : D(Z ') -> D(ï) de X telles que
f.Z)(z) = D(ï), il existe une (nécessairement unique, par fidélité) flèche i ' : Z ' -» I de
/ telle que D(i ') = f (d'où l'on déduit, par fidélité, que i '.z = i ).

59

Si / " est une catégorie petite et si D" : I" ->X
Satur(Z) ") la catégorie, évidemment petite, telle que :

est un foncteur, notons

• ses objets sont ceux de / " ,
• ses flèches sont les (Z ',f,I) : Z ' -» I tels que :
• I et Z' sont deux objets de / " ,
• f : D "(Z ')->£> "(I) est une flèche de X,
• il existe un zigzag de flèches de J" :
£ =(z0^2n:2-Zl<-p]

Z2

. . . Z 2n-l *-T*

> Z 2n+l = I

Z 2n

7

Z 2n-l

pr—>Z 3...

Z 2n

et une famille f = (fk : £> n(Z#k) -> £> "(I))i ^ ^ . i
permettant de connecter f à id(D "(I)) le long de £ # ,

de flèches de

X

• on compose ces flèches (Z',f,I) "comme les f".
Alors, on dispose du foncteur canonique :
satur(Z)"):Satur(D") -> X
(Z',f,I) |-> f
et il est facile de constater que satur(Z) ") est un diagramme saturé.
De plus, on vérifie aisément que, si J est une catégorie petite, si F : J->X est un
foncteur et si D " en est un petit diagramme localement co-limite, alors satur(Z) ") en
est aussi un petit diagramme localement co-limite, évidemment saturé.
Supposons que X est une catégorie localement petite.
Si / et J sont deux catégories petites et si W: TCC(J,I) -*X
de co-cône, on dira qu'il est (co-sommitalement) saturé si :

est un tronc

• (CSATUR 1) son diagramme co-sommital WoCSm(J,I) : / -> X est fidèle,
• (CSATUR 2) pour tous objets I et Z' de / et toute flèche f: W(Z')^W(l)
tels que :

de X

• pour tout objet J de J , o n a f.fT(cp(/,/)(J,Z')) = W(cp(J,I)(],!)),
il existe une (nécessairement unique, par fidélité) flèche i ' : Z ' -> I de / telle que
^(i') = f.
Si / " et J sont deux catégories petites et si W" : TCC(J,I") -» X est un
tronc de co-cône, notons Satur(^") la catégorie, évidemment petite, telle que :
• ses objets sont ceux de / ,

60

• ses flèches sont les (Z ',f,I) : Z ' —» I tels que :
• I et Z' sont deux objets de / " ,
• f : W"(Z ') -> W"(\) est une flèche de X,
• pour tout objet J de / , o n a f.W"(cp(J,I")(],Z'))=

W"(cp(J,I")(J,I)),

• on compose ces flèches (Z',f,I) "comme les f".
Alors, on dispose du foncteur canonique :
saXur(W") : TCC(/,Satur(JT')) -> X
j |-> W"(j)
cp(75Satur(^"))(J,I) |->

W"(cp(J,I")(U))

(Z',f,I) K f
et il est facile de constater que satur(W") est un tronc de co-cône saturé de même cobase que le tronc de co-cône W" .
De plus, on vérifie aisément que, si W" est un petit tronc de co-cône localement colimite, alors satuv(W") est aussi un petit tronc de co-cône localement co-limite,
évidemment saturé, de même co-base que le tronc de co-cône W" .
Compte tenu du LEMME de 4.1, il est facile de voir que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite et si I et J sont deux catégories
petites, alors :
• si W: TCC(J,I) -> X est un petit tronc de co-cône localement co-limite et saturé, le
diagramme (co-sommital de W) D= WoCSm(J,I) I->X est un petit diagramme
localement co-limite et saturé du foncteur (co-base de W) F= WoCB(J,I) J-+X,
• si D : I ->X est un petit diagramme localement co-limite et saturé du foncteur
F\J->X,
le tronc de co-cône associé WFyD : TCC(J,/) -> X est un petit tronc de
co-cône localement co-limitè et saturé (de co-base le foncteur F et de diagramme
co-sommital le foncteur D).

4.5.

Diagrammes et troncs de co-cônes localement sur-colimites saturés.

Supposons que X est une catégorie localement petite, que I et J
sont deux catégories petites et que Z est une surcharge petite de / o p .

61

On dit (évidemment) qu'un foncteur F : J -» X admet (Z,D : J -> X) pour (petit)
diagramme localement sur-co-limite saturé ou encore qu'il admet pour (petit)
diagramme localement Z-co-limite saturé le foncteur D : I —> X si :
• F : J-±X

admet (Z,D : I-»X)

pour (petit) diagramme localement sur-co-limite,

• D : / -» X est un diagramme saturé.
Supposons que X est une catégorie localement petite, que I et J
sont deux catégories petites, que A est une surcharge petite de (Jop,Iop) et que
W : TCC(J,I) -> X est un tronc de co-cône.
On dit (évidemment) que (A,W: TCC(JJ) -+X) est un tronc de co-cône localement
sur-co-limite saturé ou encore que W: TCC(J,I) -^X
est un tronc de co-cône
localement A-co-limite saturé, si :
• (A,W : TCC(J,I) —>X) est un tronc de co-cône sur-co-limite,
• W : TCC(J,J) -> X est un tronc de co-cône saturé.
Compte tenu des LEMMES de 4.2 et 4.4, il est facile de voir que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite et si I et J sont deux catégories
petites, alors :
• si A est une surcharge petite et homogène de (/ op ,/ op ) et si W : TCC(J,/) -> X
est un tronc de co-cône localement A-co-limite et saturé, le diagramme (co-sommital
de W) Z) = )^oCSm(J,/) : / -> X est un diagramme localement gmh(A)-co-limite et
saturé du foncteur (co-base de W) F= WoCB(J,I) : J -> X,
• si Z est une surcharge petite de Iop et si D : / ->X est un diagramme localement
Z-co-limite et saturé du foncteur F:J-*X,
il leur est associé un tronc de co-cône
localement hmg(Z)-co-limite saturé WFp : TCC(7,/) ->À\ de co-base le foncteur
WFD oCB(J,J) = F : J -» Ens
et de diagramme co-sommital le foncteur
WFJ) oCSm(J,I) = D:I-+X.

4.6.

Profils élémentaires, diagrammes localement co-limites
saturés et troncs de co-cônes localement co-limites
saturés.
Compte tenu des LEMMES de 4.3 et 4.5, il est facile de voir que :

LEMME. Si R est un profil élémentaire, si X est une catégorie localement petite et si
I et J sont deux catégories petites, alors :

62

si W : TCC(J,I) -> X est un tronc de co-cône localement R-co-limite et saturé, le
diagramme (co-sommital de W) D= WoCSm(J,I) : I-+X
est un diagramme
localement R-co-limite et saturé du foncteur (co-base de
W)
F=WoCB(J,I):J->X,
si D : I —> X est un diagramme localement R-co-limite et saturé du foncteur
F : J ->X, il leur est associé un tronc de co-cône localement R-co-limite et saturé
WFyD : TCC(/,7) -> X, de co-base le foncteur WFtD oCB(J,J) = F : J -> Ens et de
diagramme co-sommital le foncteur WFiD oCSm(J,I) = D : I-+X.

4.7.

Diagrammes localement co-limites saturés dans les
catégories possédant les noyaux.

Supposons que X est une catégorie localement petite et que I et J
sont deux catégories petites.
Il est facile de vérifier (en reprenant les notations de 2.5) qu'un foncteur
W TCC(J,I)->X
est un tronc de co-cône localement K-co-limite si les trois
conditions suivantes sont vérifiées :
• (K-LCOLIMO) W\ TCC(J,I) - > X est un tronc de co-cône localement co-limite
(autrement dit, (LCOLIM 1) et (LCOLIM 2) sont vérifiées),
• (K-LCOLEM 1) pour tout objet X de X, pour tout objet I de / et pour toutes
flèches y i , y2 : W(J) -» X de X égalisées par les W(cp(J,I)ÇS,ï)) (i.e. telles que
yi.W(cp(J,I)(J,ï)) = y2.W(cp(J,I)(J,l)) quand J parcourt Ob(/) ), il existe un objet
S de / et une flèche s : S -> I de / qui égalise yi et y2 (i.e. telle que
yi.^(s) = y 2 .^(s)),
• (K-LCOLIM 2) pour tout objet X de X, pour tout objet I de / , pour toutes
flèches y i , y2 : U(I) -» X de X et pour toutes flèches s' : S' -» I et s" : S" -> I de
/ qui égalisent yi et y2 (ce qui implique que les W(cp(J,I)(J,I)) égalisent aussi yi
et y2 ), il existe un entier n > 1 , un zigzag de flèches de / :
£ * - (Z* k )!< k < 2 n ! S ' - Z * , <r-£ï
• ^

2n-l -

z * 2n _!

_7*
^

2n

z* 2n

Z *2

JÏ7"-*Z

>7*

-S"

' *-

2n+l

et une famille s* = (s*k : Z*k -> I )i <k s2n+i de flèches de I égalisant yi et y2 et
connectant s' à s" le long de £* (i.e. telle que :
• s' = s*i et s*2n+i = s",
• s*2h-i .z*2h-i = s*2h = s*2h+i .z* 2h , pour tout entier 1 < h < n ).

63

D'après le LEMME de 4.5, il est clair que :
LEMME. Si X est une catégorie localement petite et si I et J sont deux catégories
localement petites, alors :
• si JV: TCC(JJ)—>X est un tronc de co-cône localement K-co-limite, alors le
diagramme (co-sommital de W) D = WoCSm(J,I) : I-+X
est un diagramme
localement K-co-limite du foncteur (co-base de W) F- WoCB(J,I) : J->X,
• si D : / -» X est un diagramme localement K-co-limite du foncteur F : J -» X,
alors il leur est associé un tronc de co-cône localement K-co-limite
WFfD : TCC(/,7) -> X, de co-base le foncteur WFtD oCB(J,J) = F J-^ Ens et de
diagramme co-sommital le foncteur WFyD oCSm(J,I) = D : / -> X.
Etablissons, dans ces conditions, que :
PROPOSITION. Si X est une catégorie localement petite et possédant les noyaux, si J
est une catégorie petite, si F : J —>X est un foncteur et si D : I —>X en est un petit
diagramme localement co-limite saturé, alors D : I ->X en est nécessairement un
(petit) diagramme localement K-co-limite (et saturé).
PREUVE. D'après le LEMME précédent, il suffit d'établir que, si W\ TCC(J,I) -*X
est un tronc de co-cône localement co-limite saturé, alors c'est nécessairement un tronc
de co-cône localement K-co-limite (et saturé).
Pour ce faire, pour tous objets X et X ' et toutes flèches xi, x2 : X ' -» X de X, on
choisit un noyau ker(xi,x2) : Ker(xi,x2) - > X ' dans X et, pour toute flèche
x : X " -» X' de X égalisant Xi et x 2 , on note (pour simplifier) [x] : X " -> Ker(xi,x2)
l'unique flèche de X telle que ker(xi,x2).[x] = x .
a) On voit tout d'abord que, si X est un objet de X, si I est un objet de / , si
yi, y2 : ^(1) -> X sont deux flèches de X égalisées par les W(ep(J,I)(],\)) quand J
parcourt Ob(/), alors, pour tout objet J de J, on dispose de la flèche de X :
[^(cp(J,/)(J,I))] : W{J) -> Ker(yl5y2).
Il en résulte (par unicité) que :
• pour toute flèche j : J —> J ' de J, on a :
[^(c P (j,/)(j',i))].^a)=[^(c P (j,/)(j,i))].
En d'autres termes, on dispose ainsi d'un co-cône V:CC(J)-^X,
de co-sommet
Ker(yi,y2), de même co-base que W et ayant pour famille de co-projections :
(V(cp(J)(J)))} s ow,) = ([W(cp(J,I)(U))])} e OH/, •
En vertu de (LCOLIM 1), il existe donc (au moins) un objet S de / et (au moins) une
flèche f : W(S) -+ Ker(yi,y2) de X telle que :

64

• pour tout objet J de J, on a :
f.^(cp(7,/)(J,S)) = [^(cp(J,/)(J,I))].
On en déduit que :
• pour tout objet J de / , on a :
(ker( yi ,y 2 ).f).^(cp(J,/)(J,S)) = ker( yi ,y 2 ).[^(cp(/,/)(J,I))] =

W(cp(J,I)(],l)).

Mais, comme W est (par hypothèse) saturé, on peut affirmer (en vertu de (CSATUR 2))
que :
• il existe une (nécessairement unique, en vertu de (CSATUR 1)) flèche s : S -> I de /
telle que fT(s) = ker(yi,y2).f,
De la sorte, s : S -> I est une flèche de / qui égalise yi et y2 et (K-LCOLIM 1) est
vérifiée.
b) Maintenant, supposons encore que X est un objet de AT, que I est un objet de / ,
que yi, y2 : W(Y) -» X sont deux flèches de X et, de plus, que s ' : S ' -> I et
s " : S " -> I sont deux flèches de / égalisant yi et y2 (ce qui implique que les
W(cp(J,I)(],!)) les égalisent aussi).
On voit immédiatement (par unicité, et en reprenant la notation précédente concernant
V ) que :
• pour tout objet J de J, on a :
[^(s')].^(cp(J,/)(J,S')) = [W(cp(J,I)(J,l))] = F(cp(/)(J)),
• pour tout objet J de J, on a :
[^(s")].^(cp(J,/)(J,S ")) = [^(cp(7,/)(J,I))] = F(cp(J)(J)).
D'après (LCOLIM 2), il existe donc un entier n > 1 , un zigzag de flèches de / :
S -(z

k)l<k<2n : S ' - Z j <—^

7*
4
" ^ 2n-l < z*2n_!

7*
^ 2n

Z

2

^~>Z*3-"

^7*
- c»
1F^T> ^ 2n+l ~ ^

et une famille f* = (f*k : W(Z*k) -> Ker(yi,y2))i <k s2n+ i de flèches de X connectant
[^(s')] à [^(s")] le long de £* .
Alors, on voit aussi (par connexité de triangles commutatifs) que :
• pour tout 1 < k < 2n+l et pour tout objet J de J, on a :
(ker( yi ,y 2 ).P k ).^(cp(7,/)(J,Z* k ) = ^(cp(J,/)(J,I)).
Comme W est (par hypothèse) saturé, on en déduit (en utilisant (CSATUR 2)) que :
• pour tout 1 < k < 2n+l , il existe une (nécessairement unique, d'après (CSATUR 1))
flèche s*k : Z*k -> I de / telle que ^(s* k ) = ker(yi,y2).f\ •

65

puis (par fidélité, i.e. en utilisant de nouveau (CSATUR 1)) que la famille
s* = (s*k)i<A£2n-i égalise yi et y2 et permet de connecter s' à s" le long de £* ,
autrement dit que (K-LCOLIM 2) est vérifiée. FIN DE LA PREUVE.

5.

Sur le profil d'esquissabilité des catégories modelables
possédant les noyaux.

5.1.

Catégories modelables.

Supposons que M est une catégorie localement petite, que 0 est un
ordinal inaccessible et que p < 0 est un ordinal régulier.
Comme en [C.M.C.E.], on dit que M est (Q,Ç>)-modelable 10 si :
• M possède les co-limites de co-indexations petites et p-filtrantes,
• M contient une sous-catégorie M' telle que :
• M' est pleine dans M,
• AT est dense dans M,
• M' est0-petite,
• tout objet de M' est un objet P-présentable dans M,
• M' possède les 0-petits diagrammes localement co-limites de co-indexations
P-petites et le foncteur injection canonique inj(M',M) : M' - » M les
préserve (autrement dit, pour toute catégorie P-petite J et tout foncteur
F J -> M ', il existe une catégorie 0-petite /
et un diagramme
D : I-+M', localement co-limite de F, de sorte que inj(M\M)oD I-±M
est aussi un diagramme localement co-limite de inj(M',M)oF : J -» M ).
Supposons que M est une catégorie localement petite.
Si 0 est un ordinal inaccessible, on dit que M est Q-modelable s'il existe un
ordinal régulier P < 0 pour lequel M est (0,P)-modelable (alors, on pourra dire que 0
est un rang de modelabilité, ou A'inaccessibilité, pour M )

Il semble que " 0 " n'admette aucune traduction en américain
66

Enfin, on dit que M est modelable s'il existe un ordinal inaccessible 0 pour
lequel M est 0-modelable.

5.2.

Profils élémentaires et catégories modelables.
Supposons que R est un profil élémentaire.

Si 0 est un ordinal inaccessible, on dit que R est Q-petit si :
• pour toute catégorie 0-petite J ' , la surcharge R(/') est 0-petite et constituée de surformules 0-petites (dans un sens clair, que nous laissons au lecteur le soin de
formuler) de / ' .
On dit que R est uniformément petit si :
• pour tout ordinal inaccessible 0 , R est 0-petit.
Supposons que M est une catégorie localement petite, que 0 est un
ordinal inaccessible, que P < 0 est un ordinal régulier et que R est un profil
élémentaire 0-petit.
On dit que M est (R,0,$)-modelable si :
• M possède les co-limites de co-indexations petites et P-filtrantes,
• M contient une sous-catégorie M' telle que :
• M ' est pleine dans M,
• M' est dense dans M,
• M' est 0-petite,
• tout objet de M' est un objet p-présentable dans M,
• M'
possède les 0-petits diagrammes localement R-co-limites de coindexations
p-petites
et
le
foncteur
injection
canonique
inj(M\M) :M' ->M les préserve (autrement dit, pour toute catégorie Ppetite J et tout foncteur F : J -> M', il existe une catégorie 0-petite / et
un diagramme D:I->M'
localement R-co-limite de F , de sorte que
inj(M',M)oD : / -> M est aussi un diagramme localement R-co-limite de
inj(M',M)oF: J-+M)
11

Si P est un ordinal régulier, il est facile de voir que M est une catégorie ^-accessible ("au sens de
Makkaï-Paré") si, et seulement si, il existe un ordinal inaccessible 6 > p pour lequel M est (0,P)modelable : autrement dit, il y a parfaite identité entre catégories accessibles et catégories modelables.

67

Supposons que M est une catégorie localement petite..
Si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire 0-petit, on dit
que M est (R,Q)-modelable s'il existe un ordinal régulier P < 0 pour lequel M est
(R,0,P)-modelable.
Si R est un profil élémentaire uniformément petit, on dit que M est Rmodelable s'il existe un ordinal inaccessible 0 pour lequel M est (R,0)-modelable.

5.3.

Catégories esquissables.

Si E est une esquisse petite et si 0 est un ordinal inaccessible, on dit
que E est Q-petite si "tout y est 0-petit", i.e. si :
• l'ensemble Ob(Supp(£)) des objets (du support) de E est 0-petit,
• l'ensemble Fl(Supp(£)) desflèches(du support) de E est 0-petit,
• l'ensemble CDist(E) des cônes distingués dans E est 0-petit,
• pour tout cône distingué P : C(A) -> Supp(2i ) dans E, la catégorie d'indexation A
est 0-petite,
• l'ensemble CCDist(ii) des co-cônes co-distingués dans E est 0-petit,
• pour tout co-cône co-distingué
d'indexation B est 0-petite.

Q : CC(B) -> Supp(£)

dans E, la catégorie

Supposons que M est une catégorie localement petite.
Si 0 est un ordinal inaccessible, on dit que M est une catégorie Q-esquissable,
s'il existe une esquisse 0-petite dont la catégorie des modèles dans Ens est équivalente
à la catégorie M.
On dit que M est une catégorie esquissable, s'il existe un ordinal inaccessible
0 pour lequel M est 0-esquissable (autrement dit, s'il existe une esquisse petite dont la
catégorie des modèles dans Ens est équivalente à M).

5.4.

Catégories sur-esquissables.

Si SE est une sur-esquisse petite et si 0 est un ordinal inaccessible,
on dit que SE est Q-petite si "tout y est 0-petit", i.e. si :

68

• l'ensemble Ob(SuppOSls)) des objets (du support) de SE est 0-petit,
• l'ensemble Fl(Supp(*SE)) desflèches(du support) de SE est 0-petit,
• l'ensemble CDist(5I?) des cônes distingués dans SE est 0-petit,
• pour tout cône distingué P : C(A) -> Supp(S!E) dans SE, la catégorie d'indexation
A est 0-petite,
• l'ensemble SCCDist^) des sur-co-cônes co-distingués dans SE est 0-petit,
• pour tout sur-co-cône co-distingué (Z,Q : CC(JB) -» Supp(*S£)) dans SE, on a :
• la catégorie d'indexation B est 0-petite,
• l'ensemble Z est 0-petit et constitué de sur-formules de B qui sont 0petites.
Supposons que M est une catégorie localement petite.
Si 0 est un ordinal inaccessible, on dit que M est une catégorie Q-suresquissable, s'il existe une sur-esquisse 0-petite dont la catégorie des sur-modèles dans
Ens est équivalente à la catégorie M.
On dit que M est une catégorie sur-esquissable, s'il existe un ordinal
inaccessible 0 pour lequel M est 0-sur-esquissable (autrement dit, s'il existe une suresquisse petite dont la catégorie des sur-modèles dans Ens est équivalente à M).

5.5.

Profils élémentaires, catégories esquissables et catégories
sur-esquissables.
Supposons que M est une catégorie localement petite.

Si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire 0-petit, on dit
que M est (R,Q)-esquissable s'il existe une R-esquisse 0-petite dont la catégorie des
modèles dans Ens est équivalente à la catégorie M (ainsi, les catégories (R,0)esquissables sont des catégories 0-esquissables particulières).
Si R est un profil élémentaire uniformément petit, on dit que M est Resquissable s'il existe un ordinal inaccessible 0 pour lequel M est (R,0)-esquissable
(ainsi, les catégories R-esquissables sont des catégories esquissables particulières).
Supposons que M est une catégorie localement petite.
Si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire 0-petit, on dit
que M est (R,Q)-sur-esquissable s'il existe une R-sur-esquisse 0-petite dont la
69

catégorie des sur-modèles dans Ens est équivalente à la catégorie M (ainsi, les
catégories (R,0)-sur-esquissables sont des catégories 0-sur-esquissables particulières).
Si R est un profil élémentaire uniformément petit, on dit que M est R-suresquissable s'il existe un ordinal inaccessible 0 pour lequel M est (R,0)-suresquissable (ainsi, les catégories R-sur-esquissables sont des catégories sur-esquissables
particulières).
Montrons que :
LEMME. Si R est un profil élémentaire positif et uniformément petit, les catégories Rsur-esquissables sont exactement les catégories R-esquissables.
Plus précisément, si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire
positif et Q-petit, alors les catégories (R,Q)-sur-esquissables sont exactement les
catégories (R,Q)-esquissables.
PREUVE, a) Si M est une catégorie (R,0)-sur-esquissable, il existe une R-sur-esquisse
0-petite SE et une esquisse, nécessairement, 0-petite E' telles que :
• R//E' = SE,
• M et SurModOSi^li/is ) sont des catégories équivalentes.
Mais :
• R étant positive, les catégories SurMod(SE,Ens ) = SurMod(R//£",£/is ) et
Mod(Esq(SE),Ens) = Mod(Esq(R//E'),Ens) sont (en vertu du LEMME de 3.3)
équivalentes,
• Esq(R//E') est, par définition, une R-esquisse,
• R étant un profil élémentaire 0-petit et E' étant une esquisse 0-petite, il est facile de
voir (en examinant la construction explicitée dans la PREUVE du LEMME de 3.3)
que Esq(R//E') est 0-petite.
Par conséquent M, qui est équivalente à Mod(Esq(R//£'),£#i5) est une catégorie
(R,0)-esquissable.
b) Réciproquement, si M est une catégorie (R,0)-esquissable, il existe une R-esquisse
0-petite E et une esquisse nécessairement 0-petite E' telles que:
• Esq(RIIE') = E,
• M et Mod(E,Ens) = Mod(Esq(R//E'),Ens) sont des catégories équivalentes.
Mais :
• R étant positive, les catégories Mod(E,Ens) = Mod(Esq(RIIE'),Ens)
SurMod(R//Zi',£/«) sont (en vertu du LEMME de 3.3) équivalentes,
• RIIE' est, par définition, une R-sur-esquisse,

70

et

• R étant un profil élémentaire 0-petit et E' étant une esquisse 0-petite, il est facile de
voir que RIIE' est 0-petite.
Par conséquent M, qui est équivalente à SurMod(R//£,',£#is), est une catégorie (R,0)sur-esquissable. FIN DE LA PREUVE.

5.6.

Esquissabilité des catégories modelables.

Rappelons (en nous contentant d'une ... "esquisse" de preuve) le
résultat fondamental suivant, établi en [C.M.C.E.] (où on trouvera une preuve
complète) :
LEMME . Les catégories modelables sont des catégories esquissables. Plus précisément
encore, si 0 est un ordinal inaccessible, les catégories Q-modelables sont des
catégories Q-esquissables n.
PREUVE. Supposons que M est (0,p)-modelable. Pour toute catégorie p-petite J et
tout foncteur F : J->M', on peut donc choisir (puisqu'il en existe, par hypothèse, au
moins un) un diagramme ch(F) : Ch(F) -> AT localement co-limite de F, préservé par
le foncteur injection canonique inj(M',M) (on dispose donc, ainsi, d'un choix ch de
diagrammes localement co-limites convenables). Alors, si on désigne par Esquiss(ch,M)
l'esquisse (évidemment 0-petite) obtenue comme suit :
• son support est la sous-catégorie pleine de Fonct(Af,E>is ) dont les objets sont :
• d'une part les foncteurs (représentés) M (M',-) : M->Ens , dès que M' est
objet de M',
• d'autre part, les foncteurs (limites P-petites - arbitrairement choisies - de
foncteurs représentés) L(F) = Lim M(F(J),-), dès que F : J->M est un
Je/op

foncteur à valeurs dans M', où J est une catégorie P-petite (en ne
choisissant - arbitrairement - qu'une telle catégorie par composante connexe
du sous-groupoïde de Cat ayant pour flèches les seuls foncteurs
inversibles),
• ses cônes distingués sont les limites L(F) = Lim M(F(J),-) précédentes,
JeJop

• ses co-cônes co-distingués sont les co-limites L(F) = CoLim M(ch(F)(1),-),
IeCh(F) o p

que F : J->M

12

vérifie les conditions précédentes,

La réciproque du LEMME de 5.6 est également valide (voir le LEMME de 5.8).

71

dès

on établit que M et Mod(Esquiss(ch,M),£>ts ) sont équivalentes, ce qui permet de
conclure. FIN DE LA PREUVE.

5.7.

Profils élémentaires et esquissabilité des catégories
modelables.
De la preuve du LEMME de 5.6, on déduit immédiatement que :

LEMME . Si R est un profil élémentaire uniformément petit, les catégories Rmodelables sont des catégories R-sur-esquissables. Plus précisément encore, si 0 est
un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire Q-petit, les catégories (R,0)modelables sont des catégories (R,Q)-sur-esquissables u.
PREUVE. Supposons que M est (R,0,P)-modelable. Pour toute catégorie P-petite J
et tout foncteur F. J-+M', on peut donc tout particulièrement choisir (puisqu'il en
existe, par hypothèse, au moins un) un diagramme ch(F) : Ch(F) —> M' localement Rco-limite de F, préservé par le foncteur injection canonique inj(M',M) (on dispose
donc, ainsi, d'un R-choix ch de diagrammes localement R-co-limites).
Alors, comme dans la PREUVE du LEMME de 5.6, M et Mod(Esquiss(ch,M),£>is)
sont équivalentes, mais il est facile de vérifier (puisque les diagrammes localement colimites choisis sont précisément des diagrammes localement R-colimites) que
Mod(Esquiss(ch,M),£«s) = SurMod(R//Esquiss(ch,Af ),£/is). FIN DE LA PREUVE.
On en déduit que :
PROPOSITION. Si R est un profil élémentaire positif et uniformément petit, les
catégories R-modelables sont des catégories R-esquissables. Plus précisément encore,
si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil élémentaire positif et Q-petit, les
catégories (R,Q)-modelables sont des catégories (R,Q)-esquissables 14.
PREUVE. Supposons que M est (R,0,P)-modelable. En procédant, comme dans la
preuve du LEMME précédent, à un R-choix de diagrammes localement R-co-limites, on
voit que M et SurMod(R//Esquiss(ch,Af ),£/is ) sont équivalentes. Mais, R étant
positif, SurMod(R//Esquiss(ch,M),J?#is) et Mod(Esq(R//Esquiss(ch,M)),E/is) sont
aussi (d'après le LEMME de 3.3) des catégories équivalentes. FIN DE LA PREUVE.

13

La réciproque du LEMME de 5.7 n'est pas, en général, valide (voir 5.9).

14

La réciproque de la PROPOSITION de 5.7 n'est pas, en général, valide (voir 5.9).

72

5.8.

Modelabilité des catégories esquissables

Rappelons (en nous contentant de nouveau d'une ... "esquisse" de
preuve) le résultat fondamental suivant, établi en [CM.CE.] (où on trouvera une preuve
complète) :
LEMME . Les catégories esquissables sont des catégories modelables. Plus précisément
encore, si 0 est un ordinal inaccessible, les catégories Q-esquissables sont des
catégories Q-modelables 15.
PREUVE. Supposons que
E
est une esquisse 0-petite. On établit que
M =Mod(E,Ens) est (0,P)-modelable en désignant par P l'ordinal régulier d'indice
sup(a,s,a',b,b')+l , où :
• a est l'ordinal régulier d'indice a+1 , lorsque :
• a est la borne supérieure des cardinaux des (ensembles de flèches des)
indexations des cônes distingués de E,
• s est le cardinal de (l'ensemble des flèches du support de E) Supp(£),
• a ' est le cardinal de l'ensemble des cônes distingués de E,
• b est la borne supérieure des cardinaux des (ensembles de flèches des) co-indexations
des co-cônes co-distingués de E,
• b ' est le cardinal de l'ensemble des co-cônes co-distingués de E,
puis en établissant que la sous-catégorie pleine M<p de M, dont les objets sont les
modèles de E à valeurs dans la catégorie des ensembles de cardinaux strictement
inférieurs à P , est "essentiellement 0-petite", i.e. équivalente (par l'injection canonique)
à une de ses sous-catégories pleines 0-petites M' qui, dès lors, convient. FIN DE LA
PREUVE.

1S

Evidemment, le LEMME de 5.8 est réciproque du LEMME de 5.6. On peut donc affirmer que, pour
tout ordinal inaccessible 6, les catégories de modèles ensemblistes des esquisses 6-petites sont
exactement (à l'équivalence près) les catégories 6-modelables.
Il en résulte que, dans la traduction "syntaxe vs. sémantique" correspondant à la dualité "esquissespetites vs. catégories-de-modèles-ensemblistes", l'ordinal inaccessible 0 est un invariant : dans le cas
générai c'est le seul connu à ce jour (et il est donc particulièrement dommageable - pour ceux qui
n'écrivent et/ou ne lisent que cette langue - que ce "0" n'admette aucune traduction en américain ... ).
Cependant, dans un certain nombre de cas particuliers, on dispose aussi d'invariants spécifiques plus
précis (voir la Note 17).

73

5.9.

Profils élémentaires et modelabilité des catégories
esquissables.

La réciproque de la PROPOSITION de 5.7 n'est pas (en général)
valide. Plus précisément, si 0 est un ordinal inaccessible et si R est un profil
élémentaire positif et 0-petit (ou uniformément petit) quelconque, on ne peut affirmer (en
général) que, pour toute R-esquisse 0-petite E, la catégorie M = Mod(E,Ens) de ses
modèles est (R,0)-modelable. D'après le LEMME de 5.8, elle est seulement (en général)
0-modelable : c'est que (en reprenant les notations de 5.1 et 5.8), il n'est pas possible (en
général) de trouver parmi tous les diagrammes D : / - » M ' » M < p , localement colimites d'un quelconque foncteur F : J -> M', au moins un d'entre eux 16 qui soit un
diagramme localement R-co-limite de F 17 .

5.10. Profil (Tesquissabilité
possédant les noyaux.

des

catégories

modelables

Etablissons que :
THEOREME. Four toute catégorie localement petite M, les trois propriétés
sont équivalentes :

suivantes

• M est une catégorie modelable possédant les noyaux,
• M est une catégorie

K-modelable,

• M est une catégorie

K-esquissable,

16

Sauf cas particulier (voir p.E.T.G.]). deux diagrammes localement co-limites (même saturés) d'un
même foncteur F ne sont pas (en général) "isomorphes".
1

A contrario (et c'est là un point de vue largement initié en [C.Q.C.E.], Appendices 1 et 2), on dispose
automatiquement d'une réciproque de la PROPOSITION de 5.7, mais spécifique d'un profil élémentaire
positif et 0-petit (ou uniformément petit) particulier R, si et seulement si on peut établir que, pour ce
profil R, de tels choix sont rendus possibles (par toute procédure adéquate). Dans ce cas, on peut donc
conclure que, dans la traduction "syntaxe vs. sémantique" correspondant à la dualité "esquisses-petites
vs. catégories-de-modèles-ensemblistes", le couple (R,0) est un invariant.
Par exemple, si on désigne par O le profil (évidemment élémentaire positif et uniformément petit !)
vide (i.e. le profil associant à toute catégorie petite /' l'ensemble vide de sur-formules O (/') = 0 ) et si
on prend R = O , on peut aussi dire (revoir la Note 15) que, dans la traduction "syntaxe vs. sémantique",
(0,0) est un invariant, puisque les LEMMES de 5.6 et 5.8 sont réciproques l'un de l'autre.
De même, des considérations de 5.10 résulte que, lorsque R = K, la réciproque de la PROPOSITION de
5.7 est valable. Autrement dit, dans la traduction "syntaxe vs. sémantique", (K,0) est aussi un invariant.

74

ainsi, en particulier, les catégories modelables possédant les noyaux sont exactement (à
équivalence près) les catégories de modèles (dans Ens) des K-esquissespetites.
Plus précisément encore, si 0 est un ordinal inaccessible et si M est une catégorie
localement petite, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
• M est une catégorie Q-modelable possédant les noyaux,
• M est une catégorie (K,Q)-modelable,
• M est une catégorie (K,Q)-esquissable,
ainsi, en particulier, les catégories Q-modelabiés possédant les noyaux sont exactement
(à équivalence près) les catégories de modèles (dans Ens) des K-esquisses Q-petites.
PREUVE, a) Supposons que M est une catégorie (0,P)-modelable et possédant les
noyaux.
Pour toute catégorie P-petite J et tout foncteur F : J -> M', on peut donc choisir
(puisqu'il en existe, par hypothèse, au moins un) un diagramme 0-petit
ch'(F) : Ch'(F) - » M ' localement co-limite de F, préservé par le foncteur injection
canonique inj(Af \M) : M' —» M.
Dès lors, pour toute catégorie p-petite J et tout foncteur F\J->M\
reprenant les notations de 4.4) que :
•

on voit (en

le diagramme :
ch(F) = satur(ch'(F)) : Ch(F) = Satur(ch'(F)) -> M'
est un diagramme 0-petit (puisque M' est 0-petite) localement co-limite et saturé de
F,
le diagramme :

WW

» om : Cm -

^

AT

^ ,M

est un diagramme 0-petit localement co-limite et saturé de inj(M',M) o F : J -> M
(puisque M' est une sous-catégorie pleine de M).
Mais, M possédant (par hypothèse) les noyaux, les diagrammes localement co-limites
saturés dans M sont (d'après la PROPOSITION de 4.7) des diagrammes localement Kco-limites. Par conséquent, M est (K,0)-modelable.
b) Supposons, maintenant, que M est (K,0)-modelable. D'après le LEMME de 5.7, elle
est (K,0)-esquissable (puisqu'évidemment le profil élémentaire K est uniformément petit
et positif).
c) Supposons, enfin, que E' est une esquisse 0-petite.

75

En vertu du LEMME de 3.6, la catégorie Mod(Esq(KJ/E'),Ens) est 0-modelable,
puisque la K-esquisse Esq(¥J/E') est évidemment 0-petite (K étant un profil
élémentaire positif et uniformément petit).
De plus, en vertu de la PROPOSITION de 3.5 ou de la PROPOSITION de 3.6, la
catégorie SurMod(KJ/E',Ens) = Mod(Esq(KJ/E'),Ens) possède les noyaux. FIN DE
LA PREUVE18.

6.

Bibliographie.

[C.M.C.E.]

C. Lair, Catégories modelables et catégories esquissables, Diagrammes 6, Paris,
1981.

[C.M.C.F.]

R Guitart et C. Lair, Calcul syntaxique des modèles et calcul des formules
internes, Diagrammes 4, Paris 1980.

[C.Q.C.E.]

C. Lair, Catégories qualifiables et catégories esquissables, Diagrammes 17, Paris,
1987.

P.E.T.G.]

C. Lair, Diagrammes localement libres, extensions de corps et théorie de Galois*
Diagrammes 10, Paris, 1983.

[E.T.S.A.]

C. Ehresmann, Esquisses et types des structures algébriques, Bul. Instit. Polit.
Iasi, XIV, 1968.

[L.C.R.F.]

R Guitart et C. Lair, Limites et co-limites pour représenter les formules,
Diagrammes 7, Paris, 1982.

[T.S.S.T.]

C. Lair, Trames et sémantiques catégoriques des systèmes de trames,
Diagrammes 18, Paris, 1987.

[T.T.E.T.]

C. Lair, Théories, triples et topos, Cours du D.E.A. de Mathématiques (Chapitre
II : Catégories Axiomatisables), Université Paris 7, multigraphié, Paris, 1986.

18

De cette PREUVE il ressort que. si R = K. si 0 est un ordinal inaccessible et si E est une
quelconque R-esquisse 0-petite (et en reprenant les notations de 5.1 et 5.8), il existe une procédure (voir
la Note 17) permettant de trouver, parmi tous les diagrammes D :/-»Mod(J£,£ws)<p = M<p«M'
localement co-limites d'un quelconque foncteur F : / - » M ' , au moins un d'entre eux qui soit un
diagramme localement R-co-limite : elle consiste à en saturer un quelconque !

76

7.

Table.

1. Introduction.

19

2. Sur l'existence des noyaux dans certaines catégories qualifiables.

20

2.1. Catégories qualifiables.

20

2.2. Catégories sur-qualifiables.

22

2.3. Qualifiabilité des catégories positivement sur-qualifiables.

24

2.4. Profils élémentaires, qualifications et sur-qualifications.

32

2.5. Existence des noyaux dans certaines catégories sur-qualifiables.

33

2.6. Existence des noyaux dans certaines catégories qualifiables.

39

3. Sur l'existence des noyaux dans les catégories de modèles de certaines esquisses.

40

3.1. Esquisses.

40

3.2. Sur-esquisses.

42

3.3. Esquissabilité des catégories positivement sur-esquissables.

44

3.4. Profils élémentaires, esquisses et sur-esquisses.

52

3.5. Existence des noyaux dans les catégories de sur-modèles de certaines sur-esquisses.

53

3.6. Existence des noyaux dans les catégories de modèles de certaines esquisses.

54

4. Sur les diagrammes localement co-limites saturés dans les catégories possédant les
noyaux.

54

4.1. Diagrammes et troncs de co-cônes localement co-limites.

54

4.2. Diagrammes et tronc de co-cônes localement sur-co-limites.

56

4.3. Profils élémentaires, diagrammes localement co-limites et troncs de co-cônes localement
co-limites.

59

4.4. Diagrammes et troncs de co-cônes localement co-limites saturés.

59

4.5. Diagrammes et troncs de co-cônes localement sur-co-limites saturés.

61

4.6. Profils élémentaires, diagrammes localement co-limites saturés et troncs de co-cônes
localement co-limites saturés.

62

4.7. Diagrammes localement co-limites saturés dans les catégories possédant les noyaux.

63

5. Sur le profil d'esquissabilité des catégories modelables possédant les noyaux.

66

5.1. Catégories modelables.

66

5.2. Profils élémentaires et catégories modelables.

67

5.3. Catégories esquissables.

68

5.4. Catégories sur-esquissables.

68

77

5.5. Profils élémentaires, catégories esquissables et catégories sur-esquissables.

69

5.6. Esquissabilité des catégories modelables.

71

5.7. Profils élémentaires et esquissabilité des catégories modelables.

72

5.8. Modelabilité des catégories esquissables

73

5.9. Profils élémentaires et modelabilité des catégories esquissables.

74

5.10. Profil d'esquissabilité des catégories modelables possédant les noyaux.

74

6. Bibliographie.

76

7. Table.

77

Université Paris 7
U.F.R de Mathématiques
Tours 45-55-5ème étage
2, place Jussîeu
75251 Paris CEDEX 05
FRANCE
Iairfo^ufrp7.math.jussieu.fr

78