D IAGRAMMES J. W OIRY Structures de contact, extension du calcul des jets (2ème partie) Diagrammes, tome 37 (1997), p. 15-122 © Université Paris 7, UER math., 1997, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME 37 ,1997 STRUCTURES DE CONTACT, EXTENSION DU CALCUL DES JETS (2ème partie D) J. Woiry RESUME. En 1953, lors du Colloque de Strasbourg, dans le but de fournir au Calcul Infinitésimal des moyens et des notations intrinsèques, deux réponses sont proposées : l'une - la Théorie des jets - est présentée par Charles Ehresmann, l'autre - la Théorie des Points Proches - est exposée par André Weil. C'est cette même volonté d'algébriser le calcul différentiel qui m'a conduit, au travers des algèbres de contact, à une approche quelque peu différente. J'ai été ainsi amené à reformuler le calcul des jets indépendamment de toute structure infinitésimale. Si, accessoirement, au cours de ce cheminement, j'ai rencontré les algèbres locales et les points proches, c'est essentiellement dans l'esprit de la Théorie des Jets qu'est mené cet exposé. Bon nombre de situations sont illustrées d'exemples issus de la Géométrie Différentielle, mais également tirés de domaines qui lui sont tout à fait étrangers. En cela, me semble-t-il, réside tout l'intérêt de cette étude. ABSTRACT. With a view to bring Differential Calculus its own intrinsic ways and notations, two types of solutions were suggested at the Strasbourg Conférence in 1953. On the one hand, Charles Ehresmann's Jets Theory and on the other, André Weil's Theory of Close Points. The same endeavour to focus on differential calculus from an algebraical angle led me, through contact algebra, to make use of slightly différent approach. This has meant the rephrasing of the jets theory out of any differential context. If I happened, in so doing, to touch on local algebras and close points, the spirit of the Jets Theory is nevertheless prevailing in this présentation. Quite a number of points are illustrated with examples taken from Differential Geometry but also from radically différent fields. In my opinion, it is this very aspect of things wich confers this study its relevance. La 1ère partie de ce travail a été publiée dans Diagrammes 36 (Paris, 1996). A.M.S. Sub. Class : 18 F 99 ,18 F 15 ,58 A 99 ,58 A 20 INTRODUCTION Pour l'essentiel -chapitres 1 et 4- la première partie présente les idées et les techniques illustrées au chapitre 6. Ce sont ces mêmes outils et ces mêmes idées qu'on retrouve dans cette seconde partie. En premier lieu ils vont nous servir à développer dans une algèbre de contact un calcul différentiel (le mot « différentiel » n'étant employé ici que par pure analogie), et plus particulièrement un calcul différentiel qu'on pourrait qualifier d' « intrinsèque ». Afin d'atteindre cet objectif trois techniques sont évoquées : On rend compte de l'option choisie au travers d'une section de [j3,a] à caractère fonctoriel dite section admissible. Une algèbre de contact sur laquelle est définie une telle section est dite transitive. Ceci étant posé ; différentielle, vitesse (ou codifférentielle) et dérivée se définissent comme des jets particuliers. La particularité réside dans le choix d'une unité au but (resp. à la source, au but et à la source) du jet considéré. C'est le choix de cette unité qui gouverne le type de calcul développé, de même qu'elle détermine en géométrie différentielle le type de fibre tangent étudié. Ces notions sont introduites à la fois pour les morphismes de C et leurs jets. Depuis la toute première définition, les contacts ont été abordés et décrits en termes de jets et plus particulièrement sous forme de différentielle, vitesse et dérivée. Ils le sont encore -au chapitre 8- sous forme d'éléments de contact (resp. d'éléments d'enveloppe) comme orbites particulières (c'est à dire classes de jets, où le groupe d'opérateurs est le groupe d'isotropie) à la source (resp. au but). A cette occasion on rappelle la relation d'incidence définie à la fois sur la catégorie des jets et celle des éléments de contact. A titre d'exemple on précise les liens entre les idées d'Ehresmann et la présentation algébrique qui en est faite ici. Si pour tout ce qui précède la structure d'algèbre de contact est omniprésente dans sa forme initiale, il est nécessaire, pour la suite (chapitre 9), d'en décrire quelques prolongements qui sont dans l'ordre : 1- l'algèbre de contact sur la catégorie des jets J^C, 2- l'algèbre sur la catégorie Cu des applications de U(U ensemble non vide) dans C, 3- l'algèbre sur la catégorie Cs des sections locales de a, 4- l'algèbre sur la catégorie Cb des sections locales de /?, 5- l'algèbre sur la catégorie Q. des sections locales pointées de /?. 17 Noter qu'on peut enchaîner les deux premières extensions, ce qui conduit aux prolongements holonomes ou non holonomes. C'est d'ailleurs par un processus similaire qu'on étend les notions d'holonomie et de non holonomie aux jets construits par extensions successives sur Cs ou Q . A ce propos notons l'isomorphisme d'algèbres entre les algèbres définies sur yJ^Cj et J9\CUJ déduites par extensions successives de l'algèbre de contact sur C. Autre isomorphisme important, celui de la catégorie (j^C) des sections locales de a9 avec la catégorie J9(C5) des jets de sections locales de a . A ce stade les outils sont en place pour parachever l'ensemble en définissant, pour une algèbre de contact donnée, les éléments de connexion et la notion de connexion. Moyennant l'hypothèse de transitivité locale sur C, on montre qu'il existe sur l'ensemble des éléments de connexion une espèce de structures. Les liens entre éléments de connexion et éléments de contact sont précisés, puis on montre que la différentielle absolue n'est autre qu'une différentielle au sens précédent calculée dans une algèbre de contact transitive déduite de l'algèbre initiale. Tout naturellement on termine en précisant le groupoïde d'holonomie et le groupe d'holonomie attachés à un élément de connexion. 18 7 CALCUL DIFFERENTIEL DANS (*,H9(e), où ZzH9(e,e'), définie par X\^Z~\X est bijective. 7.1.2 VITESSES ET COVITESSES Soit e0 une unité de C. J9(e0,e) est l'ensemble des (e0,ç>)-VITESSES en e et J9(e,e0) est l'ensemble des (e0,ç>)-COVITESSES en e. Si y4 est une partie non vide de C0, T9A = \Jj*(e0,a) est l'ensemble des (e0,ç>) -VITESSES sur ,4 et aeA T A e* = U JÇ(a>eo) est l'ensemble des (e0,^>)-COVITESSES sur ,4. aiA Dans la mesure où T9A et 7^*,4 ne sont pas vides, le ç?-groupe d'isotropie H9(e0) opère à droite sur T9A et à gauche sur T9*A de la façon suivante : T9A x H9(e0) -> T9A (Y,X)^Y.X H9(e0) x 2£*4 -> T9'A. (X,Y)H>X.Y 19 7.1.3 REPERES ET COREPERES Soit eQ une unité de C. On note H9{e0,A) l'ensemble des jets inversibles de T*A. C'est l'ensemble des (e0, -constante à gauche) r\t., C) est non vide, car il contient au moins C 0 . En effet soit / e C ( ^ , 0 , on a <=> CT(e9e')*0. Sur E0 x E0 on définit entre couples la loi suivante : (e",ex).(e',e) défini ssi ex-e\ dans ce cas on a (e",e*).{e\e) = (e",e). Ceci nous permet de munir E0 x E0 d'une structure de groupoïde. Soit s:E0 xE0->CT une section de [/?,#], c'est à dire une application telle que pour tout couple (e\e) de E0 x E0 on ait [/?,#](/) = (e\e) quand s{e\e) = f . Si de plus s est un foncteur du groupoïde des couples vers le groupoïde des transformations, nous dirons que 5 est une SECTION ADMISSIBLE relative à E0 21 Une telle section détermine l'application o-:£ 0 ->C r (e 0 ,£ 0 ) e^s(e,eQ) qui est une section de /? (c'est à dire J3(a(e)) = e). Inversement si on se donne une section de /3 de la forme a: E0 -» CT (e0, E0 ) e h-> ,C) est une algèbre de contact, s une section admissible et c:C 0 /~ ->C 0 une fonction de choix de représentant. 22 7.2.4 PROPOSITION On considère l'algèbre de contact transitive (k,(£>,C,S,c), e0 une unité de C et A une partie non vide de la classe de e0, alors quelque soit cp, l'application suivante est bijective. AxJ9(e(),e0) V^A^ X\->(a,s(e0,a).X) 9 9 9 avec J f = X9 J (e0,e0)=T e09 a = fi(f)9 où s(e09a).X Avec les mêmes hypothèses 9 est bijective quelque soit A x J (e09e0) °Y^(aJ.s(a,e0)) Ç) avec J g = Y et a(g) = a. A Quand g.f est défini, X = J9f Soit X = J9f et X=J9f alors g.X = J9gJ9f = J9(g.f) (cf. 4.2.1). avec /?(/) = a et /?(/') = a'. On a alors : ^ ( A > % ( * ' ) => a = a'ets(e09a).X = s{e09a'yX' et => s(e 0 ,a) = ^ o ^ ' ) s(e 0 ,a).X = s(e 0 ,a). Jf => s(e0,a).çf = s(e09a).a) e s t inversible) =>#-#' => •/*/ = y V => jr = A \ Par ailleurs si (a,7) e 4 x J9(e09e0)9 9 Jf = J (s(a,e0).g) on pose X = s(a,e 0 )T. Si Y = J9g alors et fî(s(a,e0).g) = a, il est clair qu'on vérifie ¥ ( ^ 0 = (a,7) ce qui achève la preuve de 1-. On démontre 2- de manière tout à fait analogue. V 7.2.5 REMARQUES L'introduction des sections admissibles a pour unique but de rapporter le calcul des jets dans une algèbre de contact (tant à la source qu'au but) à un élément de C 0 , au même A A titre qu'on considère les jets classiques de source (R^O) et/ou de but (R*,0).Le recours aux transformations n'étant pas le seul, nous allons ici examiner deux autres recours possibles qui apparaissent naturellement ; à savoir : 1- les inversibles de C qui forment le groupoïde Cy, 2- les éléments de H9(C0), c'est à dire les jets inversibles d'une unité de C vers une unité de C. 23 Pour chacune de ces deux options nous allons préciser les sections admissibles relatives respectivement à E\ et £" 0 , sachant que la construction peut être étendue à toutes les classes d'équivalence. 1- Soit e0 E C 0 , on définit E\ comme l'ensemble des unités e de C telles que Cy(eO9e)*0. Se donner une section admissible s\ c'est se donner sx:E\xE\-*Cy une section de [/?,a] telle que s' soit un foncteur du groupoïde des couples E\xE\ vers le groupoïde Cy . 2- Soit eQ^C0, on définit E"0 comme l'ensemble des unités e de C telles que 9 H (e09e) * 0 . Se donner une section admissible s", c'est se donner l'application : s":E\xE\->H9(C0) (e\e)\-*s"(e\e) = J9h telle que [P9a](h) = (e\e) quand /?eC(e,e')- Ce dernier résultat ne dépend pas du représentant choisi ; en effet on sait que si heC(e9e') et si h'eJ9h alors } CT et s}:E'Q xE\ —> Cy conduit à se {e}, e) H» s(e*, e) (e' 9e)\^> s\e\e) donner pour tout cp de O les foncteurs suivants : J9s:E0 xE0-+ J9Ct c H9(C0) J9s'.E\xE\-> J9Cy a H9(C0). (e',¢) H> J9s*(e\e) (*',e) H> J*s(e',e) Bien entendu on étend les constructions précédentes à toutes les classes d'équivalence. 7.3 CALCUL DIFFERENTIEL DANS (k9Q>9C) Soit (A:,0,C,5,c) une algèbre de contact transitive. On pose pour tout e de C 0 , s(e9c(e))=es et s(c(e\e) = se , on a évidemment s,= e s _1 . Selon l'option retenue on aura se GCT OU se eCy ou J9se eH9(C0). 7.3.1 DIFFERENTIELLE OU COVITESSE Pour / eC(e,e') on pose : <*:/ = rse,.f = j9(S,./) c'est la (s,^-DIFFERENTIELLE = j9se,.r/, de/ En particulier on a rf,V= J9se,.e'= J9se,, ce qui donne dff = d9ë J9 Pour ^ eJ9(e,e') f. on pose : «/; * = 5e,. x = J9se,. x=dy. x, c'est la (s, ) -différentielle ou de (s, ç) -covitesse dans la suite nous n'utiliserons que la première locution. 7.3.2 VITESSE Pour / sC(e,e') on pose : 3-wr/)=<*:/, 4-w:/)=w:)=/:. 5- w/):=(^/):=(//):=//• 28 On note respectivement e0 et e\ les images par la fonction de choix c des classes d'équivalence de e et de e '. Il est clair que pour toute section admissible on a eos - seo = s(e0,e0) = e0, s étant un foncteur. Finalement on a d9e0 = û^e0 = J9e0 et (e0)9 =d9e0.e0.â9e0 = J9e0. Par conséquent dfe0 = <^e0 = (e0)9 = J9e0 est une unité de J9C. AI- d:(d?f)=dy0.d:f=d:f (^/^^(^^)), 2- d!(â:/) = dy.â:f = dy.f.â:e = fs9 W / ) = 4 v 0 - / / =/; 3- ^(^/) = ^ / . ¾ = ^ / 4- ^(d!f) = d:f.^se = dy.f.^e (// 6^(«o.*'o)). W^M», = fs9 ^(//) =//-^0 = / / 5- (â9/ e y ^ » , (fif zJ9(e,e'0)), (// ^ ( « b / o » , (d!f)9s=dy0.d!f.^e = d:f.â9e = dy.f.d*se = fs9 (à:f):=dy.â9f.â9e0=dy.d!f = dy.f.d:e = fs9 a:):=d.v0 •//•<%=// {d9/ zJ9(e,e'0)), (^/6^,0). (// G ^( V 0 » • Ainsi s'achève cette démonstration. V Dans la proposition suivante on reconsidère les résultats précédents en mettant en oeuvre deux sections admissibles 5 et i ' liées à la même fonction de choix c. On considère donc les algèbres de contact transitives (k,,C,s',c) . 7.3.6 PROPOSITION Si / eC(e,e') alors on a : i-y.fs9 =/;.d9e.â:e = «ç(W.// =//.^(^) Les dernières égalités sont obtenues grâce au fait qu'on a ^ e ' € . / ^ ( ^ , e1) et 3-^(//) = ^ 0 - / / = / / 4- On a : On a également : W / ) = d9f.^e = dy.f.c?e =dy./.^se.dyô:.e = f;.dyd>,e âlWf) =//-^(^) = dV.fy =dy.f.c?,e =dy.^y.dy.f.^,e =dy.â>y.f? =«*T(W-// 5-^(^/)=^:/.^0=^/ 6-^(//)=/:.¾=/: 7- On a : On a également : WT/); = dy\ .d9f.^e = d:f.c?e = dy.f.â>,e = dy.f.ô^e.dy. =fs9.dyâ>s,e {d9f)9, = dy\ .d9J.cP,e =d9sf.^e ^dy.f.â^e = d9e'. cPy .d9y .f.^e =dy.âp.f9 ^,e =/:^(^) =<(^0/ 30 On a également : 8- On a : ( ^ / ) : = ^ - ^ / . ^ 0 ( ^ / ) : = ^ - ^ / - ^ 0 = d9e\d>J = dy.f.d>se = d9e\âRy.d9e\f.âpte = dy.c?y.f: = d9(^e').fs9 -dy.â^f = dy.f.â>se = d9e\f.â'e.d9e.â>se = f;.dy^e 9-(/:):=^0-/:^0=/:-v Nous allons maintenant étendre les calculs précédents à une partie de C, afin d'être en mesure de donner un sens (dans le cas où ç * eO et . 7.3.8 PROPOSITION Si / eC(e9e')9 y.f?) = J9\d9(c^e').fs9) (car ^ 6 / ( e 0 , O ) . On montre de même : « ç w w (/:-^(^))3-On a: d9\fs9) = d9\J9(se,.f.es)) = •/*(«£(*,./..*)) (7.3.8 1-) = J"'(J"(^.5,./. e 5)) = •/*(//) • 4-On a: #W/) = W ( v / ) ) = ./"'(<%../)) (7.3.8 2-) p p = / '(J (5 e ,./,5')) (or *,./..*= (s,./.„*).(*...*)) = ^(//.^(5^51)) = ^ ( / / - ^ - ^ ) = ^ ( / / ^ ( ^ ) ) On montre de même : ^ ( ^ / ) = ^ ( ^ ( ^ ) / / ) - 35 5-On a: 6-On a: ^'(^/) = ^VC/V)) = •/*"( W - . * ) ) (7.3.8 2-) ^ ' ( / / ) = ^ ( ^ ( ¾ . •/•<*)) = •/"'(<%•/•**)) (7.3.8 2-) = ./^(5,./,5,/)) = 7-On a: • / * " ( / / ) • («/;/)* = (./*(s.../))? = ^((5,./):) (7.3.8 3-) = - / « V ( * V 5 e ,./,5')) = ^(^(^./..^)) ^ 5 , . / , 5 ' = (5e,./,5).(5e,5')) 1 = ^(//.^(5,,5 )) = ^ ( / / - ^ - ^ ) =^(/:^(^))- On montre de même: (d9sf)9l = • / ' « ( W - / / ) . 8-On a: ( ^ / ) ? =(^(/-.*))? = ^"((/-.*)ï) (7.3.8 3-) = ^(^(^,./,5,^-)) = ^(^(5-,./,5)) (Or 5 - , . / , 5 = ( 5 - , . , 5 ) . ( 5 , . / , 5 ) ) = ^(^(5-,,,5).//) = /^(^0-//)On montre de même : (^/):=^(//-^(^))- 9-On a: (//)f =(^(^-/-.*»? = -/*((v/-.*)î) (7.3.8 3-) = J"V(5- e o .5,./,5, o 5-)) = ./^(5,./.,5)) V = •/*(//)• 36 Résumons tous ces résultats dans le tableau de la page suivante où on peut lire à l'intersection d'une ligne et d'une colonne: (opérande 2) o (opérande 1). L'opérateur J*(*'.d*'dï',a) appliqué à/tel que/soit un élément de C(e,e ') donne : W-df{âî («(/))))- 37 V s- S- ^ B- 8.¾ "S- & . "«0 's- \ t, s. s- «o ©- '«0 S- «o 0-¾ S. 's- -<* 'v, S - , C) étant une algèbre de contact, on définit l'application : kA : O x CA -» CA où JfcA (^,/) est encore noté ç>/ et défini par (fAa(f),aif'))) o 5(A/X A/'))•#'= çfs(a(f)Mf')) Or on a-en raison de 1.1.3 l-ftf) =/Ktf), « ( / ' ) = « ( # ' ) d'où # ' - # e t ^ = # . £ ( / ' ) = £ ( # ' ) , « ( / ) = « ( # ) et On vérifie sans grande difficulté : (1) V(ç>y)e/,^)GCA*CA (1-1.3 1-) (3)v(/,/')eC A *C A V ^ E O cp(fA/') = (çf.s(e9e') = ê = ?). 7.5 EXEMPLES Tout au long de ce paragraphe, nous nous situons dans le cadre de l'exemple 1.1.2 8b, c'est à dire celui de l'algèbre de contact notée (k9 o) = J\J • O P s:R->R o = (R>0) e t o n a l es translations : ^:R->R On peut alors écrire successivement : A = ^(*H>/(*)h->/(x)-/(x0)) = Jlo(x^h(x) = f(x)-f(x0)) l = J Xo(x»h(x0) + h' (x0 )(x - x0 )) = Jl(xH>f(x0)(x-x0)) 41 x + x0 I-» / ( x + x0)) = J,5(xi->A(x) = / ( x + x0)) = y^(xi-»it(0)+* , (0)x) = ^(x^/(x0)+/'(x0)x) A 1 (/.*o),=W/(*)°//'(x 0 )x). A A Avec c/j (R,x 0 ) = d\ (IdR,x0) = J^ sXo = J\(x i-> x - x 0 ) on a : ^ ( / ^ 0 ) = ( / ^ ) , 0 ^ ( ^ ^ ) ce résultat est évidemment le classique df = f'dx. La simplicité du résultat est due à l'existence d'un représentant canonique, ce qui n'est pas généralement le cas. 7.5.2 EXEMPLE 2 Soit / e C œ ( R 2 , R ) , on pose z = (x,y), z0-(x0,y0) et on reprend les notations A explicitées au paragraphe précédent avec e0 = (R 2 ,o). Il est clair que les transformations utilisées sont encore les translations. On peut donc écrire : = y;(zH>/(z)H>/(z)-/(z0)) = Jlo(z»h(z) = = f(z)-f(z0)) Jlo(z^h(z0)+hx'(z0Xx-x0)+hy'(z0)(y-y0)) = <0( z ^ ^ ( z 0 ) ( x - x 0 ) + ^ ( z 0 ) ( . y - % ) ) dx ôy 42 On montre de la même manière : = Jl0(z^f(z0) âl(f%) + ^(z0)x dx + ^(z0)y) ay ainsi que ( A ) ! = J\{z i-> ^(Zo)x ôx A + ^-(z0)y) ay A 2 Sachant que d\ (R ,z 0 ) -d\ (IdR29z0) = J12QSZQ = J]ZQ(Z h-> z-z0), reprenons le calcul de la (s91 )-différentielle. dUf\) = (f\)sodl(R\z0) z z = ^^-^-(^+-^-(^)°^^ ~ o) dx ây = Jl(Z^^(Zo)(X-Xû)+^(Zo)(y-y0)) ôx ây =4 0 ( ^ ^ o ^ - x 0 ) ) Si on pose fXo : R2 -» R et Jlo(z^^-(z0)(y-y0)) + / , : R 2 -> R (x,y) »-> /c 0 (*,>0 = /(*0>.y) (*,.v) »-> /v0 (*,y) = / ( * , J O on a: = (fv\)odl(R2,(x0,0)) de même on a : Jlo(z H> ZL(2o)(y-y0)) = (f*z0)god] (R2,(0,y0)) et finalement d\ ( A ) = ( ù ^ \ < (R2,(x0,0))+(f*z0)sodl (R\(0,y0)) /9 /* ce qui donne en notation simplifiée : df = /9 /" â6c + dy. > 43 7.5.3 EXEMPLE 3 On considère a et b deux applications de C°°(R2,R) , puis l'application (a,b):R2 -> R x R . On a donc : d\ ((a,6),z0) = ((a,*U W J (R .¾) A La (5,l)-dérivée de ((a,b),zQ) est entièrement déterminée par la matrice jacobienne de (a, b) en z0. En effet on a : A 1 ((<*,b),z0), = ./êOWx*„) °(a»*)v) = ^(zh4(a(z + z 0 )- a(z0 ), £(z + z0 ) - 6(z0 )) — (z0 )x +—(z 0x ).y, — (z0 )x + —- (z0 )y)) ây ôx ây dx âa âa = Jl —(¾) ^~( z o) <7X <7_y —(*o) <7X ^-(zo) <7.V 7.5.4 EXEMPLE 4 On considère l'application indéfiniment différentiable suivante : M:R->R 3 t»M(t) = (x(t),y(t),z(t)) M est alors regardé comme un point décrivant une trajectoire dans R3. Le calcul de la (s, 1 )-vitesse de M donne alors : â\(f\) = Jl(MoSto) = Jl(t\->t + t0»(x(t + t0),y(t + t0),z(t + t0)) = f0(tH>k(t) = (x(t + t0),y(t + t0\z(t + t0)) = J]0(t\^k(0) + k'(0)t). Si on pose V(t0) = k'(Q) = (x'(t0),y'(t0),z'(t0)) on obtient alors : A 2CA'o) = 4("-> M(t0) + t.V(t0)) 44 ce qui détermine évidemment le vecteur vitesse du mobile à l'instant tQ. Nous verrons au chapitre suivant que certaines classes de jets de la forme suivante : A A T\ R ( '-°) q (R 96) = f A ( R ' , 0 ) , ( R « , 0 ) , s'identifient à l'espace des matrices kp lignes et q l colonnes (c.f 8.3.3) dans ce cas le calcul des jets n'est autre que le calcul matriciel. 45 8 CONTACTS Sauf s'il est fait mention contraire, C sera tout au long de ce chapitre une catégorie e0 -transitive (cf. 4.5.1) afin d'être assuré de l'existence des objets, des morphismes et des espaces (eQ9(p) -tangents qui seront utilisés dans la suite. 8.1 ELEMENT DE CONTACT ELEMENT D'ENVELOPPE Rappelons que H9(e0) = H9(e09e0) est le groupe formé des jets inversibles de J9(e09e0). Soit A une partie non vide de C0, H9(e0) opère à droite sur T9A : T9AxH9(e0)-+Te9A (X9Z)\-*X.Z , et à gauche sur T9 A : H9(e0)xTe9tA-+TZ*A. (Z,X)\->Z.X L'orbite de X eT9A sous l'action de H9(e0) (soit X.H9(e0)) est appelée (,e0) -ELEMENT D'ENVELOPPE Ces définitions semblent privilégier e0, néanmoins si on suppose H9(e0,e) * 0 et si Y eH9(e0,e) alors H9(e) et H9(e0) sont isomorphes et J9(e,A) est en bijection avec T9A. e o En effet on a l'isomorphisme : H9(e)^H9(eQ) Z\^Y~\Z.Y et la bijection J9(e,A)^T9A. Xb+X.Y De manière tout à fait analogue J9{A9e) et T9 A sont en bijection. Nous énonçons donc. 47 8.1.1 DEFINITION Pour tout XeJ9(e,e') 9 H (e).X , X.H9(e) sera un (ç,e)-ELEMENT DE CONTACT et sera un (ç, e) -ELEMENT D'ENVELOPPE Il est clair que H9{é) opère à droite sur J9(e,A) et à gauche sur J9(A,e). On note encore pour X eJ9(e,A) (resp. X eJ9(A,e)) X.H9(e) (resp. H9(e).X) l'orbite de X sous l'action de H9{e). 8.1.2 PROPOSITION Si H9(e,eo)*0 alors à tout (ç,e)-élément de contact (resp. élément d'enveloppe) on associe de manière bijective un (ç,e0) -élément de contact (resp. élément d'enveloppe). A Pour e e C 0 tel que H9(eo,e)*0, 9 notons J9(e,e')lH9{e) 9 orbites des jets X de J (e,e') et X = X.H (e) 9 que pour Y eH (e0,e) l'ensemble des l'orbite de X. On montre facilement l'application %:J9(e,A)/H9(e)->J9(e0,A)/H9(e0) X\-*XY est bijective et que le calcul de ^ J AH ne dépend pas du représentant choisi. Définissons la relation « « » par : xlx> o 3G eH9(e) X= X.G (avec X Gj9(e,e')). On a alors : xlx> o X= X.G (avec G &H9(e)) => X\Y = X.G.Y = (X.Y).(Y-\G.Y) <^XrY = X~Y (car Y^.G.YeH9(e0)). Ce qui prouve que ¥,,( A"] ne dépend pas du représentant choisi. Montrons que Y r est injective. Pour toute orbite X' et X on a : 48 ^(^-)=^(^) o X'.Y=X.Y oI'J^IG1 o (avec G'e # ^ ) ) X X=X.Y.G\Y' (car Y.G'.Y-] zH9{e)) o Z-*X Montrons que % est surjective. Soit X'zJ9(e0,A)/H9(e0),posom X = X'.Y~] on a alors %(x)= X'.Y'\Y= X ce qui achève la démonstration. V On a un résultat analogue dans le cas dual, à savoir que J9(A,e)/H9(e) bijection avec J9(A,e0) IH9(e0). est en 8.2 PROLONGEMENT Notons plus simplement P9e = T9e/H9(e0) et P9A = T9A/H9(e0), partie non vide de C0. où A est une On considère / eC(e,e'). Au morphisme / on associe l'application P9f définie par : Pe9f:Pe9e^Pe9e' X»(Pe9f)(X) = f.X = J9f.X. Montrons que cette définition ne dépend pas du représentant choisi dans l'élément de contact X. Pour X ç~X et X e X on a : X = Y' o X'= X.G => f.X' = f.X.G <=> J9f.X=J9f.X.G o J9f.X'*J9f.X Ceci étant acquis on peut énoncer. 49 (avec G sH9(e0)) 8.2.1 PROPOSITION Si on note P9C l'ensemble formé par les applications de la forme P9f où / eC alors P9C est muni d'une structure de catégorie et P9 est alors un foncteur de C vers Pe9C . A on montre facilement que l'application P9 P9(e) = P9(e') cela implique que si X eP9(e) est injective. En effet si on a alors ï e ^ ( e ' ) . Pour X = J9h on aura donc, compte tenu de 1.1.3 1-, fî(h) = e et fi(h) = e' d'où e = P/ e x»(p?fxx) 50 = x.f = x.j9f 8.3 RELATION D'INCIDENCE 8.3.1 DEFINITION On considère X eJ9(e,a) et X'sJ9(e\a) et on définit : X 3YeJ9(e,e');X = X'.Y. Cette relation est une relation de préordre. Elle a été introduite par Charles Ehresmann sous le nom de relation d'incidence. 8.3.2 PROPOSITION La relation d'incidence précédente induit une relation semblable entre éléments de contact définie pour X (=P?(a) et Y G P9(a) par : X- Vn, on a X e 37 (F„) et on peut donc ecnre : ' X Rq vérifiant 0R, H> 0 R ,. f A rA (R\O) = J 9 A A > (R',O),(R\O) est noté II par Charles Ehresmann. En (R'.O) ( A ^ f 9 9 particulier le groupe H (R\0) =H A A n n ^ (R ,0),(R ,0) est noté Un , c'est donc le v y groupe des jets inversibles contenus dans L9n. De ce fait L\, et est identifié canoniquement à R" et L\ s'identifie au groupe linéaire Ln. Lqp s'identifie à l'espace des applications linéaires de Rp dans R9 et donc à l'espace des matrices kp lignes et q colonnes à coefficients réels. Notons d'ores et déjà l'action de I9 x L9 sur I?pq définie par (X,X)Y =X'.Y. JT'. Nous allons la retrouver au paragraphe suivant (sous une forme analogue) en 8.4.3 7- et 8.4.3 12-. Si XeT9(Vn) = J< i A x A , X.L9 est un p9 -élément de contact (RÎ.0) V J A . A dans la terminologie de C. Ehresmann et si Y GT9 (Vn) = Jq vm9(R>9o)\ = rA (R'-°) \ J L9.Y est un p9-élément d'enveloppe ; ce que nous désignons respectivement comme (p9\Rpfi) -élément de contact et ^,(11^,0) -élément d'enveloppe. Dans le paragraphe suivant nous définissons la notion de «fibration» qui se présente comme une structure moins riche que celle d'espace fibre, faute d'y retrouver une structure différentiable compatible avec l'action définie par l'espèce de structures sousjacente. Nous présentons donc cette notion puis nous dressons l'inventaire des fibrations les plus importantes. 53 8.4 FIBRATIONS Rappelons la définition d'une ESPECE DE STRUCTURES. Soit C une catégorie, E un ensemble et k'.CxE-^E la fonction définie par (f9z)\-*fz9 si les propriétés suivantes sont vérifiées on dira que (C9E9k*) est une espèce de structures. 1- V / e C V / ' e C V r e £ ( fz9 f.f et f.fz définis =* ( / ' . / ) z défini et (f\f)z = f(fz)) 2- Vz GE 3! e eC0 ez défini et ez = z 3- V / e C V z e £ (/z défini « a ( / > défini) 4- W eC0 3z e £ ez défini. On déduit de cette définition l'existence d'une application surjective U:E-> C0 dite « associée à (C9E9k*) » 8.4.1 DEFINITIONS Soit rj = (C9E9k') une espèce de structures à laquelle est associée la surjection n : £ - > C 0 , où C est un groupoïde transitif, nous dirons que 7] définit une FIBRATION et cettefibrationsera notée E [ B , F , G , C ], où B est généralement C0 ou tout ensemble en bijection avec C0. B est la BASE de E [ 5 , F , G , C ] . En remarquant que pour tout e et pour tout e1 de C0, n -1 (e) et n -1 (e') sont en bijection, et que C(e9e) et C(e',e') sont deux groupes isomorphes, on pose F = Ti~](e) qui est la FIBRE TYPE de E[B 9F 9G9C] et G = C(e9e) qui est le GROUPE STRUCTURAL de E[B 9 F 9 G , C ]. £ [ 5 , F , G , C ] étant une fibration, on note H = C(e9C0) et He, = C{e9e}), la fibration H [ C0 , G , ,G , C ] est alors désignée comme FIBRATION PRINCIPALE associée à E[ B , F , G , C ]. La surjection associée à cette fibration principale est alors la rétraction but J3 de C, la base est C0, la fibre type est G et le groupe structural est le groupe des translations à gauche de G car C opérant à gauche sur H , le groupe structural opère à gauche sur G. Noter que G opère à droite sur H. Les morphismes entre fibrations forment une sous-catégorie de la catégorie des applications covariantes. Dans le cas où unefibrationest telle que l'espèce de structures sous-jacente rj soit une espèce de structures différentiable sur un groupoïde de Lie localement trivial, on parle alors d'espace fibre différentiable. 54 Ces définitions étant posées, revenons à l'algèbre de contact (£,,C) où C est une catégorie. Soient A et B deux parties non vides de C0. On y distingue deux unités : a0 G A et b0 G B. On pose alors : Al = {aeA/Hp(aO9a)*0} et Bx = {b GBIH9(b0,b) * 0 J . Ax (resp. Bx ) est la classe de a0 (resp. b0) pour la relation d'équivalence : a ^ 0 o H9(aO9a)*0 (resp. b*b0 o H9(bO9b)*0). On note H9(Al) (resp. H9(BX)) le groupoïde transitif des jets inversibles de morphismes appartenant à C(-4,,^4,) (resp. C(Bl,B]) ). On peut alors énoncer. 8.4.2 PROPOSITION Si C(a 0 ,5) * 0 est non vide alors J9(A]9B) [ A, , 7£5 , H9(a0), /7*(4) ] est une fibration. A Considérons le diagramme suivant. T9B T9B YX X T9B J9(A,B) HV(AX) On pose: H9(Ax)*J9(A],B) = {(Y,X)zH9(Al)xJ9(AvB)/X On définit alors: = J9f,Y = J9gMg) = P(f)}. ky:H9{Ay)*J9{A„B)^J9{A„B) (Y, X)H>k' (Y, X) = YX = X. X"1. 55 Il faut noter que dans la notation k\Y9X)-YX ne figure aucun symbole de composition, elle doit donc être interprétée comme l'action de H9(AX) sur J9(A]9B). ~â\ J9(Al9B)-> Ax X^>â(X) = a(f) si X = J9f en raison de 1.1.3 1 la définition de ~â est indépendante du choix de / G X. On vérifie alors: On définit également 1- si YX9 T{YX)9 T.Y sont définis alors (Y\Y)X est défini et égal à Y\YX)9 9 2- pour tout X de J (AX9B) il existe un unique a GAX tel que k\a9X) en posant k\a9 X) = X.J9a= . soit défini X.a = aX, 3- YX est défini si et seulement si a9(Y)X est défini, 4- pour tout a GAX il existe X GJ9(A{9B) tel que aX soit défini. Examinons cela. 1- On peut écrire : (Y\Y)X = X.(Y\Y)-X = X.(Y~].r-] ) = (X.Y-])T] = {YX)T~X = T{YX) d'où le résultat. 2- Pour X GJ9(A19B) tel que X = J9f avec f GC{a9b) , a est unique et ne dépend pas du représentant / choisi mais ne dépend que du jet X en raison de 1.1.3. On peut donc poser, moyennant ce qui a été dit en 4.2.1 : V(a9 X) = X.J9a = X.a = aX. 3- YX défini o X.Y~X 9 défini x <=> X.p (Y~ ) 9 } En effet si Y Gj (a9a ) , alors r 9 défini o X.(a (Y)y « a9(Y)X 1 9 ] GJ (a\a) défini défini. 9 ] 9 et 0 (Y- ) = J a avec J9aGU9(a). Or J39(Y~1) = a9 (Y) = (a9(Y))~] car J9a est inversible et tel que son inverse soit J9a d'où ce qui précède. 4- Ce dernier point est évidemment satisfait sachant que T9B * 0 car C(a09B) * 0 . Pour tout ÛGA} Y Gj9(a09d) il suffit de prendre XGT9B pour avoir X GJ9(Q9B) puis de poser X = X\Y~] où et aX défini. V La proposition 8.4.3 dresse l'inventaire des fibrations usuelles. Pour chaque fibration nous nous bornerons à nommer l'espace, la base, la fibre type, le groupe structural et le groupoïde opérant sur cet espace. Nous préciserons l'action du groupoïde et la surjection associée. Chaque situation sera illustrée d'un diagramme. 56 8.4.3 PROPOSITION 1- J9(A„B) [ 4 , T9B , H9(a0), H9{A,) ] si C(a(i,B) * 0 (cf. proposition 8.4.2). 2- J9(A,B}) [ 5, , T9*A , H9(b0), //"(5,) ] si C(A,bo)*0. 3- Ç 3 [ B, , T9b0 , H9(b0), H9{BX) ] si C(ao,bo)*0. 4- TbfA, [ 4 , T9\ , /T(tf0), H9(A,) ] si C(ô o ,a o )*0. 5- J9(AX,BX) [ 4 , 7 ^ , H9(a0), H9(A,) ] si C(a0,5,) ^ 0 . 6- J"(4,A)[ ^, , ^\4, , / / ^ ) , #*(£,) ] si C(4,é o )*0. 7- J"(4,5,)[4 x J S 1 ,r(a 0 ,ô 0 ),// p (a 0 )x//"(6 0 ),// p (4)x//' , (5 1 )] si C(ao,Z>o)*0. 8- P?BX [ 5, , P9b0 , H9(a0), H9{B,) ] si C(ao,bo)*0. 9- P6f A, [ 4 , P6>0 , H9(b0), / T ( 4 ) ] si C(bo,ao)*0. 10- /^(5,) 4 , Pa*(fl,), //"(a0), #"(4) ] si C ^ , ^ ) * 0 . 5, , P'*(4), H9(b0), //*(£,) 1 si C(4,ô o )*0. 12- /J(5,)[4 x5 1 ,^(Z >0 ),/f"(a 0 )x^(* 0 ),^(4)x//"(5 1 )] si C(ao,bo)*0. A 2- ./'(,4,$) [ B, , 7 ^ , H9(b0), #*(£,) ] T9 A ^ T9 A On YX X JÇ(A,B}) H9(B{) On a: k':H9(Bl)*J9(A,Bl)^>J9(A,Bl) et (Y,X)\->YX = Y.X 9 avec X = J f . 57 B:J9(A,B,)->BX X»~B(X) = B{f) 3- Ç4 [ 2¾ , ÇA, ,//*(*„),/PW ] Ta9"Q b, TTV TV> YX X n T:A H9{BX) On a: *' : H9{BX )* Ç $ -> 7 ^ 4- Ç 4 et 0 2JB, -> 5, avec * = ./*/• 4,7^,//^),//^(4)] T9a' K« °0 T\ 9a, "o X YX £4 //"(4) On a: *':^'(4)*2J4->2J4 et â:2J4->4 X (Y, X)\-*YX = X.Y~ X^â(X) 58 avec * = ./*/• = a(J) 5- J9{A,A) [ A , T9B, , H9(aQ), / / " ( 4 ) ] avec J9(AX,BX)= Ta9Bx JJB, 775, an"\ X YX \JJ9(a,Bx) J*(A,BX) On a: £ - : / 7 ^ 4 ) ^ ( 4 , 5 , ) - ^ ( 4 , 5 , ) et â:J9{Ax,Bx)^> Ax avec X = J9f (Y, X) H> YX = X. r ' Xi^â(X) = « ( / ) 6- J " ( 4 , 5 , ) f 5, , 7£ 4 , /T(ô 0 ), /T(5,) ] avec ^ ( 4 , 5 , ) = \JJ9(Ax,b) T9AX VA V0A X YX J9(AX,BX) //"(/?,) On a: A:':H9(BX)*J9(AX,BX)^J9(AX,5,) {Y,X)\^YX et B:J9(AX,BX)-+Bx = Y.X avec X = J9f X\->0(X) = B(f) 59 7- J9(AX,BX)[A xBx,J9(a0,b0),H9(a0)xH9(b0),H9(Ax)xH9(Bx)] J9(a\V) J*(a,b) J9(a0,b0) JV(AA) X (Y,Z)X (a0Aï) H9{Ax)xH9{Bx) On a: £-:(//^(4)x//"(5,))*J"(4,5 1 )^J''(4,5 1 ) ((Y,Z),X)<->(Y,Z)X = Z.X.Y\ et r.J9(Ax,Bx)^A*Bx XH>y(X) = (a(f),B(f)) avec X = J9f S-P9Bx[Bx,P9b0,H9(a0),H9(Bx)] PJb' P9b YX X POn9h0 P^ H9(BX) On a: k<:H9{AxyPa9Bx^P& (Y,X)\^YX = Y.X et 5: / ^ 5 , -» 5, avec * = J9f X H>0(X) = B(f) 60 9- PbfAx [ 4 , P9\ , H9(b0) , //"(4) ] P9a' /Ta On *x r b0 "o x P: b A "-\ a H9(AX) On a: *-:/7*(4)*p6:4->p6f4 et a: Pb9 Ax -> Ax (Y,X)\^YX=XJ- X»â(X) avec X = J9f = a(f) 10- /^(5,) [ 4 , P9(BX), / T ( a 0 ) , H9{AX) ] Pa"(5,) p;(5,) YX X /^(5,) PXA //"(4) On a. k':H9(Ax)*P9(Bx)^P9(Bx) et â: P* (5, ) -> 4 X^â(X) 61 avec X = J9/ = a{f) 11- P9(BX) 5, , P9 ( 4 ) , H9(b0), H9(BX) P9 (4) Pf(Ax) YX X pA:m ~B:P9(BX)-• 5, avec ^ = J V On a: £'://*(5,)*P;(5,)->/^(5,) et (r,J)h->îX = 0 P9\AX) X\^~p(X) = B(f) 12- /^(5,)[4 x5,,^(6 0 ),// p (a 0 )x//''(è 0 ),//''(4)x//' , (5 1 )] (r,z)* W) * .(a0,Z>0)) On a k':(H9(Ax)xH9(Bx))*P9(Bx)^ H9(Ax)xH9(Bx) P^A) ((7,Z),X) h-> (7,Z)Z - z . z . r 1 et /:/^(5,)-^^5, J h ^ ^ ( J ) = («(/), 5(/)) avec X = J9f 62 .V 8.5 OBJETS PLONGES 8.5.1 DEFINITION Soit F: A -> C(A,B) une section locale de a , où A et 5 sont deux parties non vides de C0 (cf.4.5.3). Le couple (F, A) définit alors un OBJET PLONGE dans 5 (cet objet étant B(f(A)) plongé dans 5 ). C étant e0 -transitive, F se prolonge de manière naturelle à P9(F) comme suit. P9(F):P9(A)^P9(B) X i-> (P:0(F)YX) = F(B(f)).X = (J9F(B(f))).X avec X = J9f. Montrons que la définition de (.P^(F))(X) ne dépend pas du choix d e / . En effet 1.1.3 1- assure que pour tout/du jet X, B(f) est constant, d'où l'indépendance du choix de/dans l'expression de (P9(F)Yx). 8.5.2 DEFINITION ET PROPOSITION Soient (F, A) et (F\A) deux objets plongés dans 5 et b sB(F(A))r^B(F'(A')), on dit que (F, A) et ( F , A') ont même ç-contact en b si et seulement si il existe a e A et a' G A' tels que B(F{à)) = B(F'(a')) = b et vérifiant de plus : J9F(a) -< J9F' (a- ) et J9F< (a1 ) -< J9F(a). La relation définie ci-dessus est une relation d'équivalence. 63 A La réflexivité est évidente, la symétrie également compte tenu de l'aspect symétrique de la définition. Examinons la transitivité. Soient (F,A), (F', A'), (F",A") trois objets plongés dans 5 et b €B(F(A))r^B(F'(A'))r\B(F"(A")). Si (F, A) et (F',A') ont même ^-contact en * ainsi que (F',A') et (F",A"), cela signifie qu'il existe a, a', a" respectivement dans A, A', A" tels que B(F(A)) = B(F\A')) = b et B(F\A')) = B(F"(A")) = b. De plus on a J9F(a),C) est une algèbre de contact abélienne sur C alors pour tout q> de O, (k*,<Î>9J9C) est une algèbre de contact abélienne sur la catégorie des ç -jets de morphismes de C et k® est défini par: i ^ O x J9C -» J9C (,C) est abélienne on déduit que la définition de k® est indépendante du représentant choisi dans J9 f . En effet, soit fyGj9f alors on a quelque soit g : gGj9wn<> 9C) abélienne) & geJ'Wf), ce qui prouve que J^iç'f) = J9( * <ï> et pour tout/de C on a : W.qt%Tf) = r(( et pour tout (f,g)eCxC (J9f).(J9g) défini o o o o o o on a : J"(/.g) fg q>'f.q>'g J9(q>'f.q>'g) J9(q>'f).J9(q>'g) qt(J9f).qt(J9g) défini défini défini défini défini défini. 3- Pour tout ( p ' , p ) e $ x O et pour tout ( g , / ) eC*C on a : q>\rg.rf) = 9x(J9(gf)) = r('(q>'g.q>'f)) = q>\J9(q>'g).J*(q>'f)) = q>>{q><{J9g).q>\J9f)). Des résultats précédents on déduit la structure d'algèbre de contact annoncée. Montrer que cette dernière est abélienne se fait sans difficulté. V 9.2 ALGEBRE DE CONTACT SUR Cu Soit U un ensemble non vide et C une catégorie. On note Cv l'ensemble des applications de U vers C. Pour G et F de Cu on définit G» F par : a) G»F est défini si et seulement si Vw et/ a(G{u)) = B(F(u)) et, b) G»F:U^>C u\->(G»F)(u) = G(u).F(u) 9.2.1 PROPOSITION La composition précédente définie entre morphismes de Cu permet de munir Cv d'une structure de catégorie qu'on notera encore Cv. Les rétractions source et but sont notées respectivement au et B" et définies par : au:Cu^Cu et f:Cu -+CU F^au(F) F^/f(F) u avec a (F):U^C et /^(Fy.U^C u u H> (a (F))(w) = a(F(u)) u^i/f (F))(u) = B(F(u)) 66 A L'associativité s'établit sans difficulté. Par ailleurs quand G» F est défini on a : Vw e U (au (G • F))(w) = a(G(w). F(u)) = a(F(u)) = (au (F))(w). d'où l'on déduit au (G • F) = au (F) et de manière analogue BU(G»F) = BU (F). V Si (k,0>,C) est une algèbre de contact, on définit : ku:<&xCu ->CU (ç,F)^ku( C u h* (q>F)(u) = ç?F(w). = q>F On peut alors énoncer le résultat suivant. 9.2.2 PROPOSITION Avec les hypothèses précédentes (ku,Q>,Cu) est une algèbre de contact. Si (k,Q>,C) est abélienne alors (ku,'FM) = M9>'F)M, d'où on tire V(^,p') e O * 0 VF eCu (q>.(ç'F). 2- Vç>eF(u)) défini o V w e ( / ( {qO)*{q>F) défini v u o {qG,q>F)&C *C 3- V^eOV(G,F)eC t / *C t ; Vwet/ on a: (?(G.F))(«) = ç>(G.F)(W) = p(G(w).F(w)) = ?>((?G)(W).(ç>F)(w)) = 4((pG).(pF))(w)] = ( ^ ( ^ •(pF))(u) 67 d'où l'on déduit : \/ÇGO \/(G9F)GCU*CU J (C ) définie par F h-> J F devient un foncteur. En ce qui concerne J F on a le résultat suivant. 9.2.3 PROPOSITION Pour tout cp de O et tout F de Cu on définit l'application J9F\U ^> J9C définie par u\-^(J9F)(u) = J9(F(u)). Cette définition est alors indépendante du choix du représentant pris dans J9F. rx ¥(X)U —> J9C 9 X = J Fh> l 9 Par ailleurs ^ ^.J9^)-^^9^) défini par est un foncteur injectif qui fait de J9(CU) une u\^J F(u)J sous-catégorie de U9C) . Si de plus cp est idempotent dans (£,0,C) alors *¥ est surjectif; J9(CU) et (j9C) sont deux catégories isomorphes. A Montrons qu'effectivement J9(F(u)) ne dépend pas du choix de F dans J9F. Soit F' G J9F on a alors : çF*=çF o \/uGU( VUGU J9(F(u)) = J9(F(u)). On notera « • » la composition dans Cu, dans J9(CU ) ainsi que dans ( J9C) . On considère les jets Y = J9G et X = J9F tels que G* F soit défini dans Cu . On a alors Y*X = J9G*J9F = J9{G*F) et Vw G t/ (^(7 • AT))(i#) = y f (G • F)(w) = J*(G(II).F(II)) = J9G(u).J9F(u) = mY))(u).Ç¥(X))(u) = (V(Y).V(X))(u) ce qui équivaut à W(Y • X) = ¥(7) • ¥( JT) . ¥ est donc un foncteur. Montrons qu'il est injectif. Si on a X¥(X) = X¥(X) avec X' = J9F* alors quelque soit u de f/ on écrit : 68 Ç¥(X'))(u) = Q¥(X))(u) o J9F\u) = J9F(u) o F(u) o(ç>F)(u) = ((pF)(u) d'où l'on déduit # ; ET" ne dépend pas du représentant choisi dans le jet J9f. Définissons alors l'application F:U -> C par w h-> m(^(u)). De ce fait on a F -m^^ et pour tout w de C/il vient {^(j9F^{u) = J9F(u) = J9m(^(u)) = ^C(zz) car

9J9C) est une algèbre de contact abélienne et la proposition 9.2.2 permet de dire que (ku\<&9CU) l'est également. 1- Appliquons 9.1.1 à (ku9®9Cu). On en déduit que l(kuf 9 U 9®9J (C )\ est une algèbre de contact abélienne. Ceci nous autorise à parler de la catégorie des ^'-jets deJ9(Cu)9 soit J9'(J9(CU))9 où J9' dépend de (*")* et J9 dépend de k*. 2- Appliquons 9.2.2 à (k*9®9J9C). On en déduit que l(k*f 909(j9àf\ est une algèbre de contact abélienne. Ceci nous autorise à parler de la catégorie des ç?'-jets de (j*cf, soit J9'I(J9C)U\9 où J9' dépend de (**)" et J9 dépend de ku . 3- Enfin appliquons 9.2.2 à l(ku)*9Q9Jp(CuH. ( ( ^ ) J ,®AJ*\Cuj\ On en déduit alors que I est une algèbre de contact abélienne. Ceci nous autorise à parler de la catégorie des ç?'-jets de U9(Cu)j , soit J9'\ \J9(CV n J . Les constructions précédentes conduisent à exposer le résultat suivant. 69 9.3.1 PROPOSITION Si (k,Q>,C) est une algèbre de contact abélienne telle que ç soit idempotent alors l{kuf ,0,J9(Cu>j\ et l(k* f ,®,(j9cf\ sont deux algèbres de contact isomorphes. A Considérons le foncteur Id^ x ï : O x J9CU ->Ox[J 9 C\ qui est inversible de manière évidente. Il suffit alors de prouver que c'est un morphisme d'algèbres de contact (cf. 1.4) et donc d'établir la commutativité du carré suivant. &xJ9(cu) KxV ®x(j9c)U Or pour tout w de U on a : [ç^(j9F))Yu) = çfw(j9F)Yu)) = q>'(j9F(uj) = J9(ç'(F(u))) = J9((ç'F)(u)) = (v(j9(q>'F)))(u) = (v(q> idempotent dans (k,) -prolongement HOLONOME de Cu, Ji9'-9){CU) = 2- J9'[(j9(Cu)f^ est le (q>\ç?)-prolongement NON HOLONOME de Cu. Précisons tout ceci dans le diagramme suivant. (*,<&, C) (ku,®,Cu) (f J* ((*")V.r(C)) (1) ^[(k0T)a.*.{j*(p'C)")) (4) Dans ce diagramme - J9 et J9 indiquent la construction évoquée en 9.1.1 - ( )u indique la construction évoquée en 9.2.2. - iso désigne l'isomorphisme d'algèbres défini en 9.3.1 Fixons les règles de « circulation » liées au diagramme précédent. 71 o) Règle 1 (*,*,C) Permet d'obtenir le prolongement holonome de la catégorie C. J9 Règle 2 (^.o.O (*,<&, O r Permet d'obtenir le prolongement non holonome de la catégorie C. Permet également d'obtenir le prolongement holonome de la catégorie Cu . Ce dernier carré est bien entendu commutatif comme précisé en 9.3.1. Enfin, il importe de ne pas confondre J9\J9C\ (où les deux foncteurs jets sont liés à des algèbres distinctes) avec l'extension du calcul des jets aux parties de C. Pour chaque algèbre de contact présente dans le diagramme nous proposons, pour les différentes catégories de jets qui s'en déduisent, les définitions qui suivent. (0) conduit au (ç\9)((J9C)U) = noté : noté : J9U[j9'i(j9c)u\j. Pour terminer ce paragraphe notons que les constructions précédentes peuvent être réitérées tant « horizontalement » que « verticalement ». 9.3.3 PROPOSITION Si (k9Q>9C) est une algèbre de contact abélienne et si cp est idempotent alors la catégorie J^9){C) (catégorie des (¢/,^)-jets holonomes de C ) est isomorphe à une sous-catégorie de J(9'9)(C) (catégorie des () (C) et (ji9'9)(C))U sont isomorphes. Si on identifie J(9,9)(C) à la sous-catégorie des applications constantes de U vers J (9,>) (C), cela revient à identifier Ji9'9)(C) (j(çp>)(C)) à une sous-catégorie de et donc à établir l'isomorphisme de J{9t9){C) avec une sous-catégorie de y(

)(C), ce qui achève cette démonstration. V Si l'algèbre de contact (£,,C) est complète Idc est alors un opérateur idempotent. Si on pose J° = Jldc alors on aura J°f = {/} qu'on identifie alors à / , ainsi J°C est identifié à C, d'où les remarques qui suivent. 73 Remarques 1- Si on considère (k*,,J0C\ on a : ** : • J°C avec J° (qf) identifié à qf 0 (q>,r/)»J (qf) et par suite l'algèbre de contact (ko,,J0C\ est identifiée à (A;,,C). 2- Si on considère 1(^°) ,Q>,\J°C\ J, cette algèbre de contact peut être identifiée à (ku ,<&,CU) et par suite le prolongement (¢7,0)-non holonome de C est identifié à J9(CU), ce qu'on écrit J(9fi)C = J9(CU), et le prolongement (^,0)-holonome de Cu est identifié à J9(CV), ce qu'on écrit J(9fi)Cu = J9(CU). On a donc : J9(Cu) = Ji90)Cu =Ji9fi)C. La proposition suivante permet de préciser le lien entre Ji9,9)(cu J et 9.3.4 J9'9\CU\. PROPOSITION Si (k,Q>,C) est une algèbre de contact complète et idempotente alors pour tout q> de <ï> et tout qf de 4> la catégorie J(9'9)C est isomorphe à la catégorie J"C. A Précisons que J(9,9)(C) = J9U9C) J9C. Autrement dit on a : est la catégorie des ç?"-jets de morphismes de Ye J9'(j9c) o 3X eJ9C Y = J9'X o Y = {X'sJ9C I q>'X'=q>'X}. Par ailleurs on a également : X e J9C o 3 / e C X = J9/ . On définit l'application ¥: J9'(j9c)^>J9'9C V(Y) = J9'9/,oùY en posant pour tout Y de J9'(j9C) : = J9'X et X = J9/. Nous allons montrer que la définition de *¥(Y) est indépendante du choix de X dans Y = J9 X et de celui de / dans X = J9 f, puis nous montrerons que ¥ est une application bijective, qui de plus est un foncteur. 74 Soit X'= J9f tel que ç'X=q>'X. qf X = qf X o On peut alors écrire : qf J9 f = qf J9 f O J9(q>'f') = J9(q>'f) <=> (')f o (q>')f o J9'9f'= J9'9/. Montrons que *F est injective. Soit Y'zJ9(j9C) et YeJ9(j9C) (l'algèbre étant complète) (l'algèbre étant abélienne) tels que T= J9'X et Y= J9'X et tels que X'=J9/' etX = J9f, f et/étant deux morphismes de la catégorie C on peut alors écrire les relations suivantes : W ) = ¥(7) o ( ? » / ' = ( p » / <=> ('f) = J9(q>'f) O (l'algèbre étant abélienne) qfj9f^qfj9f o ç'X= Y'= Y d'où Y injective. Montrons que ¥ est surjective. On se donne J9'9f. On pose g = (q>\q>)f puis X = J9G et Y=J9'X on a alors ¥ ( 7 ) = J99g=J99((q>'.q>)f). Comme l'algèbre est vv 99 99 idempotente on a donc *F(7) = J g= J ' ((qf .qf)f) = J ' f (voir 4.1.4 3-). Il nous reste à prouver que *F est un foncteur. Soit (7\Y) &J9\J9C)*J9\J9C) tel 9 9 9 9 que T =J 'X\Y = J 'X, X' = J f et X = J /, on a donc : T»Y = (J9'X')»(J9'X) = J9\X'»X) puis X'*X = (J9f)*(J9f) = •/*(/'•/) 9 9 et donc ^(Y^Y) = J ' (f'»f) = (J9'9/')»(J9'9f) = ¥(7')• ¥(7), ce qui achève cette démonstration. Y étant un isomorphisme on peut dès lors identifier la catégorie avec la catégorie J"C. V 75 J(9'-9)C=J9'(j9c) En conséquence, pour une algèbre de contact complète (donc abélienne) et idempotente, moyennant les isomorphismes précédents on a : J9'9(CU) = J(9'*9)(cu)cz J(9'*9)(CU) 9.4 ALGEBRE DE CONTACT SUR C 9.4.1 LA CATEGORIE C On appelle SECTION LOCALE DE a sur la catégorie C toute application F:A-> C(A9 A') où A est une partie non vide de C0, où A- fi{F(A)) (c'est une partie non vide de C0) et où C{A9A}) est l'ensemble des morphismes de C dont la source est dans A et le but dans A '. De plus F est telle que pour tout a de A on a a(F(a)) = a. Si F:A->C(A9A') et G.B-+C(B9B}) sont deux telles sections locales de a on note G°F leur composé. Il est défini par : G°F\A-> C{A9BS) a»(G°F)(a) = G(/3(F(a))).F(a) si et seulement si A'= B. B' A'=B A L'ensemble des sections locales de a sur C est alors muni d'une structure de catégorie notée Cs dont les rétractions source et but sont notées as et fis et définies par as(F) = iA9 /3s(F) = iA, où F\A-±C{A9A) et iA:A-*C(A9A) est l'application définie par aH>iA{a)-a . 9.4.2 PROPOSITION Si (k909C) est une algèbre de contact alors (ks9®9Cs) est une algèbre de contact où ks est défini par : *,:OxC,->C, avec C{A9A) (si on a F\A-^C(A9A)) ( ks(ç>9F) = (çîF)(a) = k{ç,F(a)) = cpF{a) Si de plus cp préserve les unités de C alors (p préserve les unités de Cs. 76 A 1- V(ç?,ç?') e O * 0 \/a&A on a: ((ç.q>')F)(a) = (q>.ç')(F(a)) = q>(q>'(F(a)) = q>{{qf F)(a)) = (q>(ç. qf )F = ç{qf F). 2-Vç>eO V(G,F)eC s xC s ona: (G,F)eCs*Cs o VaeA(G°F)(a) = G(B(F(a))).F(a) o V f l e i G(B(F(a))).F(a) défini o V û E / 1 F)(a) défini. or on a B((çF)(a)) = B(q>F(a)) = B(F(a)), ce qui permet d'écrire (G, F) e Cs * Cs o Va e ^ ((¢£)° ($iF))(a) O (qjG)°(q>F) défini défini o (^,^F)eC/Q. 3- V(G,F)eCt*Ct Vç e[((F)])(a) d'où l'on tire q>(G° F) = q{(qG)° ( préserve les unités de C alors q> préserve les unités de Cs. Soit as(F) eCs0 et q> e O on a pour tout adeA : ((as(F)) = as(F) ce qui termine cette démonstration. V (ks,<$>,Cs) étant une algèbre de contact, on peut donc introduire un calcul des jets ainsi que la catégorie J9CS et le foncteur J9:CS-^ J9CS. 11 J9CS a alors pour rétractions source et but les applications {asY et (/?,)* définies par : {as)\J9F) = J9{as{F)) = J9(iA) et (PSJ{J9F) pour F:A-*C(A9B) avec F GCS. Concernant les morphismes de J9CS on peut énoncer. 9.4.3 = J9{f3s(F)) = J9(iB) PROPOSITION Soit (£,0,C) une algèbre de contact. 1- Si l'application F\A-+C(A9B) est une section locale de a F GCS(A,B)) (F GCS9 ici alors au morphisme J9F de J9CS on associe l'application : x ¥(j9F):A->J9(A9B) où, rappelons le, J9{A9B) A / ) zB. av->J9F(a) est l'ensemble des jets de la forme J9 f avec a(f) G A et 2- Si de plus cp préserve les unités de C ( cp G O 0 et de ce fait est idempotent) alors J9(CS) et U9C\ sont deux catégories isomorphes. À 1- Montrons que pour tout a As A J9(F(a)) G(J9C)(A9B) . Si on pose F{à) - f avec / GC(a9b) et b GB9 d'après 1.1.3 1- on est assuré que qf GC{a9b) et donc que J9(F(a)) soit formé de morphismes dont la source est dans A et le but dans B9 d'où pour tout a de A on a J9F{à) GJ9{A9B). Montrons que la définition de *P( J9Fj est indépendante du représentant choisi dans le jet J9F. Soit F' G J9F, nous pouvons donc écrire : Va G A çF(a) - (pF{a) <=> Va G A J9(F(a)) = J9(F(a)) ce qui prouve que la définition de xïf(j9F) ne dépend pas du représentant choisi. 2- Rappelons que U9C\ est l'ensemble des unités de J9C. C'est donc l'ensemble des jets de la forme J9e où e GC0 . Considérons JL et « deux parties non vides de (j C{A,B) une section locale de a. On a alors : Va e A a9(j9F(aj) = J9a(F(a)) = J9azJl et /T (j p F(a)) = J9B(F(a)) e <8 car B(F(a)) eB par définition de F. On considère alors la composée des deux applications suivantes *¥(j9F) A —^-+ A i-> J»(A,B) et on pose W[J9F) = V[j9F) ° tu . J9a i-» ©(./"a) = çw 1-4 J9F(qa) Il est clair que ar^a) ne dépend que de J9a car si a'eJ9a on aura qri= préservant les unités) que si a € A car il faut bien savoir que J9a ne contient pas que des unités de C même si par définition J9a contient au moins une unité prise dans A. Donc *¥l[j9F) ne dépend que de J9F et la définition de {v\j9F))(j9a) ne dépend que de J9a. Montrons que cette application est une section locale de a9. On a : Va G A ¢^((^-(/^))(/¾)) = a9(j9F(quj) = J*(a(F(ça))) = J9(qa) = J9a (F section locale de a ) (ç>e(*¥'[j9F))j(j9a) On a donc V ( y f ) e(y*c) et V permet alors d'associer à tout morphisme de J9(CS(A,B)) un morphisme de (j*C)(jL ,<8 ). On étend « Hom » par « Hom » la construction précédente à J9{CS) ce qui permet de considérer *F comme une application de J9(CS) dans (j9C\ . Montrons que *?' est injective. 79 Soient F' :A'-+C(A',B') et F:A^C(A,B) deux sections locales de a telles que , 9 , } , 9 l'on ait '¥ [j F ) = V [j F). On a alors A'=A et J9(A',B') = J9(A,B), ce qui revient à dire que ces deux applications ont même source et même but. Par ailleurs on a : Va' e A' (¥'(./*F))(./V) = (*I"(>F))(y V ) = J9F(qja') = J9F(a>) (ç>eJ9(A,B) = (J9C\A ,<2 ) 7pa h > f ( / f l ) On considère le carré suivant tel que F=GJ° étant idempotent m est une section de J9) On a donc X¥'(J9F) = C(A,B) et G:/? -» C(B,D). On a donc Va e A (G° F\a) = G(B(F(a))).F(à). D'après 9.4.2 on sait que (ks,Q>,Cs) est une algèbre de contact, et J9 est un foncteur de Cs vers J9(C,) d'où : J9(G°F) = (J9GY(J9F) On peut alors écrire : V J9azA (x¥'(j'(G°F))p9a) = 7*((G0F)(çw)) = J9 [[G(/?(fXç»)))].[F(0a)]] = J9[G(fi(F(çu)))\J9lF(ça)]. Or on a 7^^(00)1 = (*?'( 7 p F)](7 p a) ainsi que les relations suivantes : F[(W[ J9F))(j9a)\ = et p[r[FW§ = y*[/?(F(^))] J9[G(B(F(qx*)))] = J9[G(#(F(çwr)))] car B{F(qa)) e C0 et ^ e O0 = (V'(j9G))(j9B(F(q»j) = (^(7^))(^(^-(7^))(7¾)]) Finalement on tire : ^•(r(G°F)))(j"a) = [(^'(^GjV^iï^^^JX^Jll^t-7^))!-7^)] = [(^(7^))^(7^))1(7¾). 81 Sachant que pour tout 7 ¾ e A on a : (v'(j9(G°F)))(j9a) = (w'(j9G)oxï"(j9F))(j9a) et J9(G°F) = J9G°J9F , on déduit successivement ^'(J9 (G° F)) = ¥ ' ( 7 ^ ) ° T ' ^ F ) Y' (7PG° 7 P F) = V [j9G)° 4" (7"F) puis Ceci achève d'établir que *¥' est un foncteur. Compte tenu de ce qui précède 4" est donc un foncteur bijectif de 7*(C;) vers (j9C) et permet donc d'identifier J9(Ct) à (J9C\. V 9.4.4 PROLONGEMENTS Si (k,Q>,C) est une algèbre de contact telle que tout q> de O préserve les unités de C, d'après la proposition 9.4.2 on sait alors que (ks, de O préserve encore les unités de Cs. Si de plus (£,,C) est abélienne alors on montre facilement que (ks,,J9c) est une algèbre de contact abélienne. On peut alors reconsidérer le diagramme de la définition 9.3.2 sous la forme suivante. O. (*,*,Ç) J*.,*,c,) r r Os (yfc*,a),7pC) ISO ((*V.(-rc).) ((kf,*,J9Cs La construction notée ( )s n'est autre que l'extension de ( )u pour tout U non vide contenu dans C0 avec la volonté de ne considérer que des applications de U dans C qui aient la particularité d'être des sections locales de la rétraction source. 82 Comme en 9.3.2 nous définissons les différents prolongements suivants. 1- Le (ç\ç) -prolongement holonome de Cs défini par : f\cM)=J9'(J9CS)=J9[(J9C)S) 2- Le (cp', cp) -prolongement non holonome de Cs défini par : J(9'9\CS) = J9'((J9CS)S). 9.4.5 EXEMPLE C est la catégorie des applications indéfiniment diffërentiables entre variétés indéfiniment diffërentiables. Cp est alors la catégorie des applications pointées associée à la catégorie C (cf. 1.1.2 8-a-). Ce qui signifie que si f.A^B est un morphisme de C alors (A9a)—^' * >(B9b) est un morphisme de Cp avec CIGA et b = f(a)GB. Il faut noter que si/est une application, (f,a) ne saurait en être une. Tout au long de ce f paragraphe nous noterons f:e->e* une application et e—-—>ë un morphisme, en sachant toutefois que certains morphismes peuvent avoir les deux statuts. On note C la catégorie quotient de Cp par la relation d'équivalence définie en 1.1.2 A l 8-b-. Les morphismes de C sont notés J (f,a) ou ( / , # ) . Avec les notations A précédentes l'unité à droite de (/,#) est J\IdA9a) notée plus simplement â9 l'unité à gauche de (/,tf) est alors J (IdB,b) notée plus simplement b . C est désignée comme étant la catégorie des jets locaux (ou germes) d'applications diffërentiables. Nous ne considérons ici que des applications indéfiniment diffërentiables à seulefinde simplifier l'exposé qui va suivre, et ainsi de ne pas disserter sur les classes de diffërentiabilité dans lesquelles seront les différentes variétés et applications qu'on sera amené à considérer. On se place dans le cadre décrit en 9.4.4 avec comme algèbre de contact abélienne (k99C) telle que tout cp de O préserve les unités de C . L'action de Q> sur C est définie par : k.QxC ->C f A S A 83 où fv est (moyennant le recours à un couple de cartes locales et indépendamment du choix de ces cartes) l'application qui à x associe la partie principale du développement de Taylor à l'ordre q> de/en a. On considère donc le diagramme suivant. (*,*,C) (*.,«,c.) Os • r r Os (k*,,J9C) ISO * ((nM^c).) ((*.)*.«.J*C.) Pour chacune des cinq algèbres de contact qui interviennent ici nous préciserons la nature des morphismes, les rétractions source et but et quand cela sera nécessaire nous noterons les différences entre les notions d'holonomie et de non holonomie développées ici et celles introduites par Charles Ehresmann. i-C A Les morphismes sont de la forme a - (f,c) *b avec f:A-*B A â = JI(IdA9a) = (IdA,a)9aGA9b = f(a)etb=JI(IdB9b) un morphisme de C, A = (IdB9b). A Les rétractions sont notées a et p et définies naturellement par a(f9a) = â A *fi(f,a) = b. 2-C Avec A (- B-\b les notations précédentes on pose A ) GC0 lb G B). Les morphismes sont de la forme A 84 A = \â GC0 la G A) F et A >B où F est l'application A . /\ F\A->C A9B définie par a h-> a \ Fia) ^ v ' >b J A A F(â) étant tel que pour chaque a il existe (f,a) GC avec F(â) = (/,a),/dépendant de F et de a . A Les rétractions sont notées as et J3S et définies par as(F) = iA qu'on identifie à A A et /^(i 7 ) = /A qu'on identifie à 5 . rA A^ A définie par âv-ïâ. .Notons Rappelons que /A est l'application i^.A-^C A9A qu'ici F n'est nullement supposée être différentiable. z-rc A 9 Les morphismes sont de la forme J â A J9(fJ a) > J9b. On note encore A J9(f,a) = J9af etJ9â = J9(IdA,a) = J:idA. Les rétractions sont notées a9 et B9 et définies par : 9 A 9 a {j af) = r a(f,a) > \ A = J9â et B9 (J9f) = J9 P(f*à) = J9b . J Bien entendu il n'existe ici aucune différence entre les jets de type ç et les jets infinitésimaux. 4- J'C. A On pose A J9 A = {j9â e J9C0 la&A] A et jq> 77 morphismes sont alors de la forme J9 A J9B = \j9b e7"C0 / é e ^ j . Les A > J9 B. Il faut remarquer que J9â ne A se réduit pas à a ; outre â, J9â contient des germes de la forme a que J9J = J9JdA . 85 (/,«) ->â tels 7 P F est alors une application définie par : A 9 / 9 9 A A 9 9 9 ÏA A\ J F: J A^> (J C ) J A, J B = J A,B v J 9 U9Fij9a\ A Z_> J9b et est le morphisme 7 » â _ i 9 où (j F\j a) A F:A->C A,B une section locale de a, autrement dit F &CS. Définissons (7 p F)(7*â), en posant {j9F^J9a) = J9F(qâ). Cette définition ne dépend pas du choix de F dans la classe J9F ni de celui du représentant de la classe de â, montrons le. A 9 Soit F'&J F et (g,a) eJ9â. Comme q> préserve les unités, la seule unité de J9â est â, par conséquent tout autre représentant ne peut être qu'un morphisme de la forme A â—^ ' >â vérifiant ç(g,a) = qxi = â . On a alors : A (7"F') J9(g,a) ^\ f F%â) = (q>F)(â) or d'où J9F(â) = J9F(a). A > J9F'(â) = J9F' J9(A,B) qui à a associe J9f donc (en accord avec ses propres notations) un jet de source a et de but / ( a ) . c'est Si on suppose que toute application de la forme J9F est différentiable alors J9CS n'est autre que la catégorie des flots au sens usuel. Les rétractions sont notées (a,)9 et (Bs)9 et définies par : {as)9(j9F) = J'a,{F) = 7" A et (Bj(j9F) 86 = J9BS(F) = J9B. (J'c\ A A /* Les morphismes sont de la forme J9 A —^-^J 9 B où ^f est l'application A (A J?:J9A-+JÇ 9 9 définie par J â h-> J â—^-^ A,B \ àJ f A\ J T(D *\ \ 9 '—>J b V Examinons la notion de semi holonomie. Avec les notations d'Ehresmann, si ^C est une section locale de la rétraction source, on a à l'ordre 1 : ^:A-*J\A9B) a h^ ^C(a) et pour tout a àtA9 au jet ^(a) on peut associer son but b et donc définir l'application différentiable f\A-*B par a h-> b. J\^£ est alors un jet semi holonome d'ordre 2 si et seulement si Va G A ^(a) = J\f, sinon c'est un jet non holonome d'ordre 2. Or dans cette étude A ( A A^\ l'application ^p:Jl A -» f A9B \ est telle que J\£ est un jet (l,l)-non holonome qui J à aucun instant ne saurait être un jet d'ordre 2. Les rétractions sont notées (a9} et (/?*) et définies par ( # ^ ( ^ ) = i ^ =J9 A et Par rapport aux hypothèses « faibles » qui président à la définition d'une algèbre de contact, le calcul des jets développé par Charles Ehresmann se situe dans un environnement beaucoup plus riche. Si C, construite au-dessus d'un univers, est la catégorie des applications diffërentiables, si A et B sont deux objets de C, l'ensemble des jets infinitésimaux d'un ordre donné de source a G A et de but b GB est muni d'une structure de variété différentiable. Il en résulte que les diverses applications considérées sont des applications diffërentiables. Pour Charles Ehresmann il n'y a donc aucune nécessité de distinguer les diverses actions introduites dans les algèbres de contact précédentes. Le jet d'un quelconque morphisme est toujours le jet infinitésimal du germe d'une application différentiable, ce qui marque au niveau du calcul des jets une différence fondamentale. En particulier cette situation permet à Ehresmann d'itérer la construction des jets semi holonomes et des jets non holonomes afin de définir les jets d'ordre supérieur. 87 Terminons par quelques considérations étymologiques. Les qualificatifs « holonome » et « non holonome » sont issus de la mécanique. Pour le mécanicien, un système matériel est dit holonome quand la position de chaque point du système s'exprime au travers d'équations ou d'inéquations dépendantes du temps et d'un certain nombre de paramètres dits « primitifs », si de plus ces équations dépendent des dérivées par rapport au temps de ces paramètres primitifs, le système est dit non holonome. Charles Ehresmann a repris ces qualificatifs en étendant leur signification, ce qui l'a amené à développer les jets holonomes et semi holonomes d'ordre supérieur, ces derniers s'insérant, comme on l'a vu, entre les jets holonomes et les jets non holonomes. Pourquoi ces qualificatifs ? En réponse à cette question je ne puis que livrer mes propres réflexions. Si on considère la racine grecque « holo », son sens est bien connu des mathématiciens, nous la traduirons par « entier » au sens de « totalité ». Quant à « nomos » -autre racine grecque- elle concerne « ce qui est en partage », en particulier « la loi » et, dans une langue plus moderne, prend le sens d'unité administrative. Un jet est donc qualifié d'holonome quand dans son mode de calcul les règles utilisées sont partout les mêmes. A savoir que pour le jet d'ordre 2 de g°f en a par exemple, il suffit de composer celui de / e n a avec celui de g en f(a) puis de ne retenir que les termes de degré inférieur ou égal à 2. Cette règle simple est applicable quelque soit a. Pour les jets non holonomes cette règle n'est plus applicable, autrement dit le mode de calcul en arisquefort de différer du mode de calcul en a ' ( a ' étant différent de a) ce qui « a posteriori » justifierait selon moi ces qualificatifs. 9.5 ALGEBRE DE CONTACT SUR Cb 9.5.1 LA CATEGORIE C b On appelle SECTION LOCALE DE /? sur la catégorie C toute application F\A*-> C(A9A) où A' est une partie non vide de C0, où A = a(F(A')) (c'est une partie non vide de C0) et où C(A9A*) est l'ensemble des morphismes de C dont la source est dans A et le but dans A \ De plus F est telle que pour tout a ' de A ' on a B(F(a')) = a'. Si F:A'-+C(A,A') et G:B'-^C(B,B') sont deux telles sections locales de B on note F°G leur composé. Il est défini par : 88 FoG.A-+C(B9A) a ' H ( F S G)(a' ) = F{a% ). G(a(F(d ))). si et seulement si A-B' A' A=B' B L'ensemble des sections locales de P sur C est alors muni d'une structure de catégorie notée Cb dont les rétractions source et but sont notées ab et pb et définies parab(F) = iA9 Pb(F) = iA, où F:A'->C(A9A') et iA:A-*C(A9A) est l'application définie par a h-> iA (a) = a. De même que pour la proposition 9.4.2 ; en ce qui concerne Cb nous avons. 9.5.2 PROPOSITION Si (£,0>,C) est une algèbre de contact alors (kb9C{A9A%) (si on a F: Ay-*C(A9 A)) ifp9F) H> kb( (çfW) = k{cp9F(a*)) = C{A9B) est un morphisme de Cb alors au morphisme J F de J9Cb on associe l'application B -> (J9C)(A9B). b^J9(F(b)) 9 2- Si de plus

C(A9A') pour lesquels on a distingué un élément a\ de A \ De tels morphismes seront notés (F9a\ ). Si {F9a\ ) et (G9b\ ) sont deux morphismes de Q. on définit et on note leur composé comme suit (avec G:£'->C(B9ff))\ (F9a\)°(G9b\) est défini et égal à (F°G9a\) a{F{a\)) = b\. si et seulement si A = B* et On note les rétractions source et but respectivement abm et pbm. Elles sont définies par : *b.(F,a\) = (iAMF(a\ ))) et Pb.{F,a\) = (iA,9a\). De même que pour Cb nous avons pu énoncer la proposition 9.5.2, on énonce pour Q. la proposition suivante. 90 9.6.2 PROPOSITION Si (k,,Cb.) est une algèbre de contact où kb. est défini par : (ç>,(F,a'0 )) H> kb.(q>,(F,a'0 )) = (çF,a' 0 ) avec ç>F:A'^>C(A9A%) (siona F\A'-+C{A9AA)y *•»-> (^F)(a') = k() Si de plus ç> préserve les unités de C alors cp préserve les unités de Cb.. Il en résulte l'existence de la catégorie J9{Cb9) et de ses rétractions (abm)9 (Pb.Y. Nous sommes désormais en mesure d'aborder la notion de (p-connexion. 91 et 10 ^CONNEXIONS En 10.5 il est fait usage dans C0 et C de chemins, aussi la catégorie C sera-t-elle munie d'une topologie y. On notera yo la topologie induite par y sur C0. Soit (k9Q>9C) une algèbre de contact sur C et Cy le groupoïde des inversibles de C, la restriction du foncteur J9 à C0 étant injective il en résulte que J9Cy est à la fois un groupoïde et une sous-catégorie de J9C. En effet si / G C est inversible on a alors J9(f~]) = (j9A . Par contre si / GC est inversible, rien n'assure que qf le soit ; autrement dit savoir que (£,(!>, C) est une algèbre de contact n'implique pas automatiquement que f kxC ,®,CrJ soit encore une algèbre de contact. D'ailleurs, vouloir imposer un tel comportement serait par trop restrictif en regard des algèbres de contact déjà rencontrées dans les exemples. Pour toutes ces raisons, à chaque fois qu'un groupoïde sera évoqué, il le sera toujours comme sous-catégorie d'une catégorie sur laquelle aura été définie une structure d'algèbre de contact afin de pouvoir considérer des troncatures du type qf quand / appartient au groupoïde. 10.1 g>-CONNEXIONS 10.1.1 DEFINITION (À:,0,C) étant une algèbre de contact, on dit que X est un ^ELEMENT DE CONNEXION sur C en a0 si et seulement si on a : 1- X = J9F9 F:A^C({a0}9À) et 2- F est une section locale de P telle que l'on ait aQ G A, A Gyo et F(aQ) = aQ. On montre sans peine qu'on a indépendamment du choix de F dans le jet X : (ab)9(X) = J9iM ,(Bb)9(X) = J9iA,J9(a°F) = J9(A->{a0}),J9(B°F) = J9(ldA). On note £^(C,tf0) l'ensemble des ^-éléments de connexion sur C en a0 et on pose Q (C)= (jQ9(C,a0). 9 <" 0 eC 0 93 On peut également définir de manière tout à fait duale la notion de ^-coélément de connexion sur C en a0. 10.1.2 DEFINITION (k,®,C) étant une algèbre de contact, on dit que X est un çvCOELEMENT DE CONNEXION sur C en a0 si et seulement si on a : 1- X = J9F9 F:A^C(A9{a0}) et 2- F est une section locale de a telle que l'on ait a0 G A, Aeyo et F(a0) = a0. On note Q9*(C9a0) l'ensemble des q>-coéléments de connexion sur C en a0 et on pose Q9*(C) = ]jQ9\C9a0). a0£C0 Dans le cas où C est un groupoïde on note a l'application C définie par / ^ ( / ) = /-1. Dans ce cas, à tout X &Q9(C) on associe X &Q9\C) tel que si X = J9F avec F:A^C({a0},A) alors X=J9(aoF) (o-oF)(a) = (F(a))-\ avec aoF:A^C(A,{a0}) définie par 10.1.3 DEFINITION Toute application q:C0 -> Q9(C) est dite q>-CONNEXION sur C Dans la suite nous allons étudier différentes actions sur Q9(C) où C sera désormais un groupoïde. 10.2 ACTION DE / P ( C J SUR Q9(C) Soit Xe£"(C,a 0 ),onpose X = J9F où F:A-+C({a0},A) est une section locale de B en a0 avec a0eA et F(a0) = a0. Soit Z e y " ( Q . ) , on pose Z = J9(G,b0) où G:5 -+ C(A,B) est une section locale de B avec è0 eB, a(G(b0)) = a0 etB une partie non vide de C0 appartenant à yo. On définit alors l'application H.B -» C par 61-> #(ô) = G(Z>)F(a(G(Z>)))(G(ô0))_1 où (G(£0))-' est défini, C étant un groupoïde. 94 On illustre cette action par le schéma suivant. Montrons que Y = J9H est un q> -élément de connexion sur C en b0. En effet on a H(b0) = b0 et pour tout b de B on a P(H(b)) = P(G(b)) = b (car G est une section locale de P ) et a(H(b)) = a((G(b0))~]) = P(G(b0)) = b0 d'où le résultat. On peut donc écrire plus précisément H.B -> C({ô0},2?). Montrons que Y ne dépend pas du choix de F représentant de la classe X = J9F ni de celui de (G9b0) dans la classe Z = J9(G9b0). Soit F':A-+C({a0}9A) une section locale de P telle que q>F'-q>F', F'(a0) = a0 et soit G':B-*C(A9B) une section locale de P telle que C({ô 0 },5) avec H*(b) = G\b).F\a(G\b)))XG'(b0)yl ce que l'on peut encore écrire ^ ( ^ ) = ( 0 ^ ^ ^ ) . ( ^ ( ¾ ) ) - 1 (c.f 9.5.1). Nous allons donc montrer qu'on a çrf/'= ç>//. Pour ce faire établissons le résultat suivant. LEMME (£,,C) étant une algèbre de contact telle que 9 f GC, g GC . Si si / _ 1 et g"1 existent alors {H\b)) = , [4G'(ô).F•(a(G•(6)))].4(G•(60))- ]] = 5 q> Or on a : q>[G'(b).F(a(G\b)))] = q>q{G\b)\q{F{a(G'(b)))] = q>\){b).{q>F)(a(G\b))) q{(F'= q>F et q/J'=çG. Comme ç>[G(è)].ç?[^(a(G'(*)))] est défini on a G(b).F(a{G\b))) qui est également défini il en résulte alors : a(G(b)) = B(F(a(G'(b)))) = a(G'(b)) d'où ce qui suit. q>[G\b).F{a{G\b)))} Appliquons le lemme à = ç[(G'ôF)(b)] = q\{qG)(b).{q>F\a{G\b)))] = ç\G{b).F{a{G\b)))] = ç\G{b).F{a{G{b)))] = ç\(GôF)(b)]. G'(b0) et G(b0) ce qui nous conduit à ] ]=q{(G(b0))- ]. En reportant tous ces résultats dans l'expression de q>(H\b)) on montre facilement qu'on a pour tout b de B : (q>H')(b) = (çH)(b) et donc q>H'= q>H, ce qui achève cette démonstration. 10.2.1 DEFINITION La catégorie C sera dite LOCALEMENT TRANSITIVE si et seulement si pour tout a0 de C0 il existe F:A-*C({a0},A) section locale de B définie sur Aeyo que a0 e A et F(a0) = a 0 . 96 telle 10.2.2 PROPOSITION Dans le cas où C est un groupoïde localement transitif il existe une espèce de structures notée (Q9 (C), J9 (Cb. ), K') oùK' est l'application définie par : K':J9{Cb.)*Q9{C)-*Q9{C) (Z,X)\-*K'(Z,X) = J9H où J9(Cb.)*Q9(C) est l'ensemble formé des couples (Z,X) où Z = J9(G,b0) avec G.B -+C(A\B), BGTO et X = J9F avec F:A-*C({a0},À), a(G(b0)) = a0. On a alors K\Z,X) = J9H avec H:B->C({b0},B) A'=A et définie par b^(GôF)(b).(G(b0)yl. A On a vu que K\Z, X) = J9H est indépendant du choix de F et du choix de G, par conséquent la définition deX1 est justifiée. On pose dans la suite K\Z,X) = ZX. 1- Dans l'hypothèse où ZX, Z*(ZX) et Z*°Z sont définis, montrons qu'on a (Z'SZ)X = Z-(ZY). Soit Z = J9(G,b0) avec G:B^C(A,B) et soit Z'= J9(G',b'0) avec G':B'^C(B,B') tel que a(G\b\)) = b0 . On a donc Z'SZ = J9(G'ôG,b'0). On peut donc écrire : (Z'SZ)* = ^ ( f l ' - ^ C({2>'0 },£')) *'h* [((GfSG) S F)(*-)].[(G'SG)(*'0 )]"' par ailleurs on a: ZX = J9(B -+ C({b0}, B)) *^[(GSF)(6)].[G(*o)r 9 puis Z' (ZX) = J (B' -> C({6*0}, B')) b'» [ ( G ^ G S F ) ) ^ ' ) ] . ^ ) ] - 1 . ^ ' ^ )]"*, or G'S(G S F) = (G'SG) S F et [G(b0)]\[G'(b\)Y =[G>(b<0).G(b0)]-' =[(G,SGX*,o)r de là il s'en suit Z'(ZY) = (Z'SZ)Z. 2- Montrons que si X eQ9(C,a0) il existe un unique Z &{j9{Cb,)) tel que ZAT soit défini et égal à X. 97 Soit X = J9F avec F:A-^C({a0}9Â) et posons Z = J9{iA,9a\). ZX n'est défini que si A'=A et a{iA,(a\)) = a(a\) = a\ = a0 d'où l'unique Z cherché, soit Z = J9(iA9a0). 3- Montrons qu'on a (Z9X) G J9(Cb.)*Q9{C) si et seulement si ((ab.Y(Z)9x)Gj9(Cb.)*Q9(C). On pose Z = J9(G9b0) avec G:5->C(^,5) et X = J9F avec F:4-»C({a 0 },,4). On a alors («6.) C({#0}, ^ ) . On note Q9(A9a0) l'ensemble des q>-éléments de connexion sur C en a0 de la forme X = J9F avec F: A -> C({a0}, Â). On peut donc illustrer la situation présente, soit (()9 (C),/^(Q. ) , ^ ) , par le schéma suivant. Q*(B,b0) Q9(A,a0) ZX X Q9(E,e0) QTiP) (E,eJ) J9(Cb.) 98 Noter qu'on a de manière tout à fait duale l'espèce Q*(B,h) Q9(A,a0) Q9(E,e0) Y YZ de structures Q9(C) (E,e0)\ J9(CS.) Avec Y = J9F où F est l'application F.B -> C({b0},B) et Z = J9(G,a0), où G est l'application G:A^>C(A,B) telle que B(G(a0)) = b0, on a alors YZ = J9H, avec H:A -» C(A,B) où //(a) = (G(a))-'.F(/?(G(a))).G(a0). On vérifie sans peine qu'on a H(a0) = a0 et pour tout a de A : a(JÏ(a)) = «(GK)) = a0 et ^jy( fl )) = B{(G(a)y ) = a(G(a)) = a. Ce qui montre que YZ = J9H appartient à Q9(A9a0). On illustre cette situation par le diagramme suivant. 99 10.3 CONNEXION ET ELEMENTS DE CONTACT 10.3.1 DEFINITIONS Soit (£,,C) une algèbre de contact, soit A une partie non vide de C 0 , on considère l'application F.A-^J9C. 1- F est un FLOT sur A si et seulement si Va G A a9 (F(a)) = J9a, ce qui équivaut à écrire Va G A F(a)C({a0}9À). 9 l'application notée encore X de A dans J C par a h-» X{à) = J F{à) On définit qui ne dépend que de X. On peut alors définir le champ de (¢), a0)-éléments de contact X:A -> P9A par a h-> X(a) = (J9F(a)).H9(a0). C étant un groupoïde, Va G A (F(a))~ / GF(a) on a F{a').(F(a)yl.f GJ9F(a<). 100 existe. Montrons alors que pour tout J9(F(a').(F(a)y\f) = J9F(a').J9[(F(a)y].J9f = J9F(a').J9[(F(a)yl].J9F(a) = JpF(a').J"((F(a))-'.F(a)) = J9F(a').J9a0 = J9(F(a').a0) = J9F(a') (f eJ9F(a) ) Enfin on montre sans difficulté que l'application J9F(a)^> J9F(a') définie par / h-» F(a').(F(a ))"'./ est bijective, la bijection entre les deux (ç>,a0)-éléments de contact X(a) et X(ay) s'en déduit immédiatement. V 10.3.3 PROPOSITION C étant un groupoïde, soit X eQ9(A,a0) et eeC 0 tel que C(e,a0) * 0, pour tout / eC(e,aQ) on définit le champ noté Xf de (q>,e) -éléments de contact sur A par : Xf:A->P?A a»J9(F(a).f).H9(e) Si on note Ge le groupe C(e,e) alors l'ensemble des champs de la forme Xf est globalement invariant sous l'action à droite du groupe Ge définie par (Y, g) h* Y.g. A On pose X = J9F et Xf = J9G avec G:A^>C({e},À) définie par a i-> G(a) = F(a).f. Montrons que Xf ne dépend pas du choix de F. Soit F' tel que q>F=q>F, on définit alors G':A-^C({e},A) par ai->G*(a) = F'(a)./. On a donc pour tout a de A : (çG')(a) = qG\a) = qKF(a).f) = q>(q>F(a).qf) = q>((q>F')(a).qf) = 9((F(a).qf) = q*F(a).f) = qG(a) = ((J9G(a)).H9(e) qu'on notera Xf est bien un champ de (q>,e)-éléments de contact sur A. L'invariance par rapport à l'action du groupe Ge s'établit sans difficulté. V 101 10.4 DIFFERENTIELLE ABSOLUE Soit (C9E9k*) une espèce de structures où C est un groupoïde transitif Compte tenu des remarques formulées en introduction à ce chapitre, C est également une souscatégorie d'une catégorie C telle qu'une structure d'algèbre de contact y ait été définie. Soit e GC09 on pose H- C({e}9C0) et pour tout x de C0 on pose Hx = C(e9x). En particulier He = C(e9e) est un groupe noté Ge. La fibration H[ C0 , Ge , tGe , C ] est alors lafibrationprincipale de surjection P attachée à (C,£,£'). L'action CxH->H de C sur H est définie par (/,h) h-> / \ h si et seulement si h ^Ha{f) et dans ce cas on a fhGHp{fy Cette situation est illustrée par le diagramme ci-dessous. // //. fh #- H h Soit Jfee ? (^,fl 0 ). On pose X = J9F ensemble non vide et G.U-^H avec F:/l->C({a 0 },^). Soit U un une application telle que Y = J9GeJ9\Hu) et vérifiant Vu eU B(G(u)) e^4. On pose alors : K:U->H.«o u»K(u) = (F{B(G(u)))) G(u). On note J9K = (X'lBY) • Y. Montrons que (X'lBY) • Y ne dépend ni du choix de F dans Xni du choix de G dans F. Soit F:A^>C({a0},A) telle que qF'=qF, soit G':U^>C telle que VweC/ B(G\u))eA et qG'=qfG. On définit alors K':U->C par 1 W H4r( M ) = (F-(y9(G'(W))))- .G'(M). 102 Illustrons cette situation par le diagramme suivant. HP(G(u)) H„ H Reste à montrer qu'on a q>K'=q)K soit à montrer Vw e t / q>(K'(u)) = q>(K(u)). On écrit donc pour tout u de U : qu'on a ?(*•(*/)) = ^ ( F ' t A G ' O / ^ . G ' O / ) ] = ^((F'(AG'( W ))))" l ).ç)(G'(t/))'. Sachant que qjG'=qiG on a Vu eU q>(G'(u)) = q>(G(u)). Montrons qu'on a q>[F(B(G'(u)))] = q[F(B(G(u)))]. De [F(B(G'(u)))]. Comme q&=qfG et d'après 1.1.3 1- on a /?(G'(")) = P({F(B(G'(u)))) = q>{F(B(G' (u)))) = q>(F(J3(G(u)))). 103 A cette dernière égalité on applique le lemme du paragraphe 10.2 et on a ^(F^G'M)))"1)^ VweC/ q>(K'(u)) = (p(K(u)) soit q>l? = / X-J F9 Y-J G et l'opérateur noté « o » n'est autre que la composition des fonctions. Noter que J9 ne saurait être un foncteur relativement à la composition des fonctions, en dépit de ses avantages cette notation doit donc être utilisée avec prudence. 10.4.1 DEFINITION (X~XPY) • Y est la ^DIFFERENTIELLE ABSOLUE de Y par rapport à X et est notée d9Y ou q> -différentielle absolue de G par rapport kXet notée d9G . Remarques 1- Si G est une section locale de /?, on a P(G(u)) = u et K(u) = (F(u))~].G(u) et donc J9K = (z-'/sr) • y = jr1 • y, soit ^y = x~] • Y . 2- Le ç?-élément de connexion X joue (dans cette définition) un rôle tout à fait semblable à celui dévolu à la section admissible s dans la définition de la (s9 ç)~ différentielle. 3- Si U = P~l (A) est une partie non vide de H telle que G = Idu on a alors avec K:U^Hao: K(u) = [F(B(G(u)))]-\G(u) = [F(B(U))]-\G(U) = [F(B(u))Y u Pour h <=Ha<) on définit l'application notée : [h-'.d^rid^-.u^j9^) uv*h-\ J*{$FWu))]-1. u) = J9{h'. [F(m)V • «) • A d9x(J9ldv ) on associe donc canoniquement une application de f/dans 104 J9(Ge). 10.5 GROUPOÏDE ET GROUPE D'HOLONOMIE C est désormais une catégorie topologique. J9C est alors une catégorie topologique munie de la topologie quotient déduite de celle définie sur C par passage au quotient par la relation d'équivalence « / « g o qf = ^ un chemin dans A9 AGyo et soit L'application notée F(c)#/?:[0,l] -» H définie par / h-» F(c(t)).h est alors un chemin dans H et ne dépend que de Ft c, et h où h est considéré comme le chemin constant Par contre l'application [09ï\-±J9H définie par /i-> J9{F{c(t)).h) ne dépend que de X, c, J9h. En effet considérons l'application F' telle que F il vient d'où le résultat. On peut donc noter cette dernière application X(c)9j9h où J9h est considéré 9 comme le chemin constant / h-» J h. Si on pose x = c(0)9 z = F(x).h9 x*=c(l), ï=F(x').h on aura alors (X(c)m J9h)(0) = J9(F(x).h) = J9z ainsi que (X{c)mJ*h)(l) = J9(F{x*).h) = J9z>. X(c) • J9h est donc un chemin qui va de J9z à J V . 105 En supposant que C soit désormais un groupoïde topologique et une sous-catégorie topologique de la catégorie topologique C sur laquelle est définie une structure d'algèbre de contact, nous allons examiner successivement de quelle manière un chemin dans H (resp. dans J9H ) peut se décomposer en un chemin dans C0 puis en un chemin dans HaQ (resp. dans J^H^) e n r a î s o n de l'existence d'une section locale F:A-> C({a0},^) de P (resp. d'un élément de connexion X GQ9(A9a0)). 10.5.1 PROPOSITION Soit F:A->C({a0}9A} une section locale de P telle que F(a0) = a0 et soit c un chemin dans /T1 (A) e H. On associe alors à c : 1- un unique chemin dans^ noté cA et défini V/ e[0,l] par cA(t) = p(c(t)) et 2- un unique chemin dans H noté cQ et défini pour tout t de [0,l] par c0(t) = F(P(c(t))y\c(t). On vérifie de plus V/ e[0,l] c(t) = F(cA(t)).c0(t) ou c = (FocJ#c 0 . A On a V/G [0,1] : F(cA(t)).c0(t) = FWm)\FMm))~l A0 = «t) Supposons qu'il existe deux chemins c\ et c\ respectivement dans A et dans H tels que V/e[0,l]'on ait c(t) = F{c\ (t)).c\(t) = F(cA(t)).c0(t). De la relation précédente on tire Vf e[0,l] : B(c(t)) = B(F(c'A (r)).C0 (0) = P(F(cA (t)).c0(t)) => B[F(c\{t))]= B[F(cA{t))] => c%A (t) - cA (t) (F section locale de P). Par ailleurs on a V/ e[0,l] F(c\ (/)) = F(cA(t))et comme F{cA{t)) est inversible il vient V/e[0,l] c\(t) = c0(t) et donc c'0 = c0. V Introduisons l'application cr. J9H -> C définie par J^A h-> GJ(/Ï) = çafe, cette application associe à chaque jet un représentant canonique de ce dernier et naturellement m(h) est indépendant du choix de h dans le jet J9h. Si q> est idempotent alors m est une section de J9 ce qui signifie que pour tout Y de J9H onaJ9(m(Y)) = Y. 106 10.5.2 PROPOSITION Soit X sQ9(A,a0) et soit c un chemin dans J9(p-\A)) C'A (0 = cA(0 (carX eQ9(A,a0) => p>(X) = J9IdA) on a donc X(cA ) • c"0 = X(c^ ) • c0 avec X(c^ ) inversible d'où c\ = c0. V Parmi tous les relèvements dans H d'un chemin dans A considérons le relèvement suivant cA:[0,l]-> H défini par t\-*ch(t) = F(c(t)).h où c est un chemin dans A, h e//ûo et F telle que X = J9F eQ9(A,a0). Calculons la q>-différentielle absolue de J9ch par rapport à X sachant qu'on a J9ch = X(c)»J9h = (j9(FoC))»J9h peut être considérée comme le chemin constant / h-> J9h. On a alors : d9(j9ch) = (x-'aj9ch).J9ch = (x-]B(X(c) • J9h)) • X(c) • J9h = (x-lBX(c))»X(c)»J9h = X"1 (c) • X(c) • J9h = J9h (car BX = J9ldA ) Le calcul précédent nous conduit à poser la définition suivante. 107 où J9h 10.5.3 DEFINITION Soit X GQ9(A9a0) et soit c un chemin dans A tel que c' en soit un relèvement dans H. On dit que c' est un relèvement HORIZONTAL de c relativement à AT si et seulement si il existe h G HaQ tel que d9\J9c j = J9ft. 10.5.4 PROPOSITION Soit X GQ9(A9a0) et soit c un chemin dans A tel que c' et c" soient deux relèvements horizontaux de c dans H relativement à X. Il existe alors g' appartenant à Ge tel que l'on ait J9c%%=J9{c%*gl) (c'#g' étant le chemin défini par (c'*g')(0 = c\t).g} ). A Dire que c' et c" sont deux relèvements horizontaux de c relativement à X signifie qu'il existe /?' et /?" dans H tels que l'on ait : d9 ( j V ) = ./«W, d9 ( J V ') = J*W ' et /? o cn = /? o C' = c Si on pose A" = //'.g' avec g' eGe et pour tout f de [0,l] c"(0 = c\t).g(t) où g est un chemin dans Ge il vient : d9(j9c") = J9h" o ^ ( ^ ) = ^ ( / / . g ' ) ce qui équivaut à écrire pour tout t de [0,l] : J9[(F(P(c^t)))y\c^t)] o = J9(h\g^) ^ [ ( / ^ 0 9 ( ^ ( 0 ) ) ) ^ ^ ( 0 . ^ ) 1 = ^(A'-g - ) <=> (dx(j*c)Yt).J9g(0 (0*c*=flo) <^ J9h\J9g(t) = J9h\J9g< <=> J9g{t) = J^g' On a donc J*c"=J*(c'mg) = JV#JV, (en composant à gauche par J9(h'~] ) ). soit encore çxr"= p ( c V ) . V Dans la suite nous allons montrer comment grâce à l'existence de relèvements horizontaux dans H d'un chemin donné dans A allant de x à xf il est possible de définir une bijection de J9(HX) sur J9(HX)9 cette bijection étant indépendante des relèvements considérés. Noter qu'on a toujours J9{HX) = yJ9HJ . 108 10.5.5 PROPOSITION ET DEFINITION Soit X GQ9(A9a0). Considérons c un chemin dans A allant de x à JC' et c' un relèvement horizontal de c dans H relativement à X. Le chemin c' détermine une bijection de J9HX (ensemble des jets de la forme J9h avec HGHX) sur J9HX, définie par : X ¥:J9HX-^J9HX, J9hH>¥(j9h) = J9[c\\).c\0y').J9h = 7^(1).^(0)-1^) Cette bijection ne dépend que de X et de c et est indépendante du relèvement horizontal choisi. Une telle bijection est un TRANSPORT PARALLELE de J9HX sur J9HX,. A Considérons ¥<:HX^H, et h\^h=c\\).c'(0)-\h V"HX->HX. h^>h"=c"(\).c"(0)-\h Ce sont deux bijections dépendantes du choix du relèvement auxquelles on associe les chemins c'^ic'ffî1.™ et c"»(c"(0)~\h) qui vont respectivement de A à y/\h) et de A à y/"(h). Montrons que ¥ est bijective. ^(^//) = ^(^//-) o J9(c\\).c\0)-\h) = ^(^(1).0-(0)-1.^) => J9(c'(0).c'(iy]).J9(c\l).c\0)-\h)=J9(c\0).c\iyl).J9(c'(\).c'(0)-1 => J9(c\0).c'(iy\c\\).c\0)-\h) = h,) J9(c'(0).c\\)-\c'(\).c'(0)-\hx) <» J9h = J9hx. Ce qui prouve que *F est injective. Soit J9HGJ9HX, il est clair que son antécédent est J9{c\Q).c\\yx).J9h et ¥ est alors surjective etfinalementbijective. Illustrons la situation par le diagramme ci-dessous où -par souci de ne pas surchargerun certain nombre de morphismes ne sont pas représentés ; cela ne saurait nuire à la compréhension de l'ensemble. Dans H sont représentés quatre chemins, ce sont des relèvements de c ; deux d'entre eux sont des relèvements horizontaux relatifs kX. 109 Montrons que T est indépendante du relèvement choisi. Soit c" un autre relèvement, on a alors : JP(C"(1).C"(0)-'./J) = J9c"(\).J9(c"(0yl).J9h = J9c"(\).(j9c"(0)Y.J9h = J9(c\\).g').(j9(c'(0).g')y.J9h (car J9(c"(0y') = (jV'(O))"1) (c'(O).g-)-1 = J9(c'(\).g').J9((c'(0).gy]).J9h ((c'(O).g')-1 existe) = J9(c'(\).g'.g'-l.c'(Oy\h) = J9(c'(l).(!(py\h) = T( J9h) 110 *F est donc une bijection indépendante du relèvement horizontal choisi. Elle s'étend naturellement aux éléments de contact par J9h.H9(e) h-» ¥(«/"//).// p (e). V 10.5.6 DEFINITION Soit X eQ9(A,a0). L'ensemble des bijections du type évoqué précédemment de J9HX vers J9HX, où x et x' sont des éléments de A est muni d'une structure de groupoïde, c'est le GROUPOÏDE D'HOLONOMIE DE X. Dans le cas particulier du groupe des bijections de J9HX sur J9HX on définit alors le GROUPE D'HOLONOMDX DE X 111 INDEX DES NOTATIONS Pour les chapitres 1 à 6 consulter la 1ère partie, Diagrammes 36 (Paris, 1996). (£,, C) qf Algèbre de contact Troncature de type q> d e / 1.1.1 1.1.1 C*C C0 Ensemble des couples composables de morphismes Ensemble des unités de C 1.1.1 1.1.1 Jl(J9à) Jet local de/en a 1.1.2 a C(e, e' ) Germe de variété en a Ensemble des morphismes de C de source e et de but e' 1.1.2 1.1.3 {k9 O,C) Algèbre de contact complétée de (k9Q>9C) 1.3.2 P xF *4ct O0 Or Oc Morphisme entre algèbres de contact Catégorie des morphismes entre algèbres de contact Ensemble des morphismes de O préservant les unités de C Ensemble des morphismes réguliers de O 0 Ensemble des morphismes cartésiens de O 0 1.4.1 1.4.1 1.5 1.5.1 1.6.2 [r9R] [r,R]• [s,S] Echelon sur C Composé de deux échelons 2.1.1 2.1.5 S Se* Set Sel Echelonnement sur C Catégorie des morphismes entre échelons de C Catégorie des morphismes entre échelonnements de C Catégorie des morphismes entre échelles de C 2.2.3 2.3.2 2.3.4 2.3.6 J9 f Jet de type

-jet d e / 9 JC Catégorie des

d e / e n x Groupoïde des isomorphismes de O 4.1.3 4.1.4 J*C =\JJ9C 4.1.4 113 A»B Cr ={f eC/3(a,b)GAxB tel que a(a) = fi(b)etf = a.b} Groupoïde des isomorphismes de C 4.2.2 4.2.2 J9A ={h<=C/3aeAqjh = 9pln){C)) 4.3.2 {Cy9J9CQ9k}) Espèce de morphismes 4.4.1 CY xk, J9C0 Catégorie produit croisé 4.4.1 Ge Groupe des isomorphismes de C de source et de but e 4.4.2 9 =J e 4.4.2 (C 9J C09k') Espèce de morphismes 4.4.2 ^ 9 9 Catégorie produit croisé 4.4.2 y (C, E9 k ) Espèce de structures 4.4.3 T9e = {X GJ9CIX J9(eQ9e) =T9e l'objet (e09ç) -tangent à e 4.5.1 T9g Morphisme (e0, ç) -tangent à e 4.5.1 T9C Catégorie des morphismes (e0,ç) -tangents à un morphisme C xk,J C0 = J9f avec / GC(e09e)} deC 4.5.1 4.5.2 9 T Foncteur de C vers T?C 4.5.2 9 9 Rétraction source de T C 4.5.2 B 9 Rétraction but de TfC 45 2 C(AyB) Ensemble des morphismes de C dont la source est dans A et le but dans B Catégorie des sections locales de a Rétraction source de Cs Rétraction but de C5 Composé de morphismes de Cs = | J T 9 a l'espace (eQ9ç) -tangent kA 4.5.3 4.5.3 4.5.3 4.5.3 4.5.3 4.5.3 ao C4 as Ps G°F T9A aeA 9 TF Application (e09) -cotangent à A 4.5.3 114 T9 F Application (e0, -groupe d'isotropie en e Ensemble des (e0, cp) -vitesses en e Ensemble des (e09q>) -covitesses en e ~ U ^ ^ < > ' a ) e s t l'ensemble des (e0,q)) -vitesses sur A aeA Tf A = | J J9 (a, e0 ) est l'ensemble des (eQ, ç) -covitesses sur A 7.1.2 a£A H9 (A) Cr £0 Ensemble des jets inversibles de T9A ou (eQ, ç) -repères de A Ensemble des jets inversibles de T9*A ou (e0, ) -différentielle de X = f.J9es=J9f.J9es = J9(f.es) c'est la (s, q>) -vitesse de f =X.es = X.J9es=X.â9e c'est la (s,q>) -vitesse de X 7.3.1 7.3.1 7.3.2 7.3.2 9 =dy.f.^e = dy.J f.â:e c'est la (s, ç) -dérivée de f 7.3.3 =// 7.3.3 115 37 =// 7.3.3 JSTf5 = d9e'. X. c^e c'est la (s, ç) -dérivée de X 7.3.3 d?X = X9 7.3.3 ^ * = X9 7 .3 .3 d9sA =\}d9sf=\]j9(se,f) /Gi4 d>sA ={J#!f=[JJ9(f,s) /G/i (A)9 7.3.6 feA 7.3.6 feA 7 3 6 = U / / = U^(v/-.*) -- CA Catégorie quotient de C A (A'', O, C ) Algèbre de contact sur CA 7.4.1 7.4.2 X. H9 (e) H9(e).X X P9e (q>, e) -élément de contact (q>,e)-élément d'enveloppe =X.H9(e) = T9e/H9(e0) 8.1.1 8.1.1 8.1.1 8.2 P9A = T9A/H9(e0) 8.2 Pif 9 PC 9 9 Pe f:Pe e-*P?e' 8.2 9 9 9 Catégorie des applications de la forme P f: P e -> P / P Foncteur de C vers Pe C 8.2.1 pfe 9 = T?*e/H (e) 8.2.1 pff pff- pfe -> ^/V 8 2 T 9 8.2.1 9 V p n) L9 9 Ensemble des p -vitesses - -1 d'origine x 8.3.3 8.3.3 i.p L9 E[B ,F ,G ,C] Fibration H[C0,G, Fibration principale tG,C] (F, A) Objet plongé 9 Pe (F) Pe9(F):Pe9(A)^Pe9(B) 8.3.3 8.4.1 8.4.1 8.5.1 8.5.1 (A*,O, J9C) Algèbre de contact sur J9C 9.1.1 116 Cu G•F av Jf (ku, ',ç) -prolongement HOLONOME de Cu 9.3.2 y<*\Cu) =J9,((j9(Cu)f) Cs as Bs G°F J9CS (as)9 (BM)9 Cb F°G ab Bb J9Cb (ab)9 (Bb)9 Cb, aè. Bb. «/'(Q.) (ab. )9 (Bb.)9 (q>',ç) -prolongement NON HOLONOME de Cu Catégorie des sections locales de a Rétraction source de Cs Rétraction but de Cs Composé de morphismes de C, Catégorie des jets de Cs Rétraction source de J9CS Rétraction but de J9CS Catégorie des sections locales de B Composé de deux morphismes de Q Rétraction source de Q Rétraction but de Q Catégorie des jets de Q Rétraction source de J9Cb Rétraction but de J9Cb Catégorie des sections locales pointées de B Rétraction source de Q. Rétraction but de Q. Catégorie des jets de Q. Rétraction source de J9 (Cb. ) Rétraction but de J9{Cb.) 9.3.2 9.4.1 9.4.1 9.4.1 9.4.1 9.4.2 9.4.2 9.4.2 9.5.1 9.5.1 9.5.1 9.5.1 9.5.2 9.5.2 9.5.2 9.6.1 9.6.1 9.6.1 9.6.2 9.6.2 9.6.2 Q9 (C, a0 ) Q9(Q Ensemble des q> -éléments de connexion sur C en a0 = \jQ'(Ç,a0) 10.1.1 10.1.1 Q9*(C9a0) Ensemble des cp-coéléments de connexion sur C en a0 117 10.1.2 Q9'(C) = \jQ9\C,a0) 10.1.2 Û0€C o (Q9(C),J9(Cb.),K') Espèce de structures (Q9 (C), J9(Cs. ), K'*) Espèce de structures duale 9 Q (A,a0) 9 dY 10.2.2 10.2.2 Ensemble des ^-éléments de connexion appartenant à {rCb\{a0},A) 10.2.2 Différentielle absolue de Y par rapport à X 10.4.1 118 REFERENCES Charles Ehresman Topologie sur les espaces fibres diffërentiables C.R.A.S. Paris 224 (1947) Les connexions infinitésimales dans un espace fibre différentiable Colloque de topologie Bruxelles CBRM (1950) Géométrie différentielle: les prolongements d'une variété différentiable I - Calcul des jets, prolongement principal C.R.A.S. Paris 233 (1951) II - L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm C.R.A.S. Paris 233 (1951) III - Transitivité des prolongements C.R.A.S. Paris 233 (1951) IV - Eléments de contact, éléments d'enveloppe C.R.A.S. Paris 234 (1952) Les prolongements d'une variété différentiable Dagli « Atti del IV Congresso dell' Unione Matematica Italiana » (Taormina 25-31 Octobre 1954) Structures locales Conférence polycopiée à Rome (Mars 1952) Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie (Synthèse de plusieurs articles publiés jusqu'en 1953) Colloque international de géométrie différentielle Strasbourg CNRS (1953) Géométrie différentielle : extension du calcul des jets aux jets non holonomes C.R.A.S. Paris 239 (1954) 119 Géométrie différentielle : application de la notion de jet non holonome C.RA.S. Paris 240 (1955) Géométrie différentielle : les prolongements d'un espace fibre différentiable C.R.A.S. Paris 240 (1955) Sur les connexions d'ordre supérieur Dagli « Atti del V Congresso dell' Unione Matematica Italiana » (Pavia - Torino 1956) Prolongements des catégories diffërentiables Séminaire Charles Ehresmann Topologie et géométrie différentielle (volume VI Juin 1964) Propriétés infinitésimales des catégories diffërentiables Cahiers de topologie et géométrie différentielle Paris (volume IX Septembre 1966) Catégories in differential geometry Colloque sur l'algèbre des catégories Amiens (1973) Cahiers de topologie et géométrie différentielle Paris (volume XIV) Catégories et structures Editions Dunod Paris (1965) On trouvera l'essentiel des articles publiés par Charles Ehresmann et relatifs à la géométrie différentielle dans : « Charles Ehresmann, Oeuvres complètes et commentées » Suppléments 1 et 2 au volume XXIV des cahiers de topologie et géométrie différentielle Amiens (1983) André Weil Théorie des points proches Colloque international de géométrie différentielle Strasbourg CNRS (1953) 120 TABLE INTRODUCTION 17 7 CALCUL DIFFERENTIEL DANS (k9 O, Q 19 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 19 20 25 39 41 8 9 CONTACTS 47 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 47 49 51 54 63 Elément de contact Elément d'enveloppe Prolongement Relation d ' incidence Fibrations Objets plongés PROLONGEMENTS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 10 Définitions ç -transformations et transformations Calcul différentiel dans {k9 O,C) Extension Exemples 65 Algèbre de contact sur J9C Algèbre de contact sur Cu Prolongements Algèbre de contact sur Cs Algèbre de contact sur Cb Algèbre de contact sur Cbm 65 66 69 76 88 90 ^CONNEXIONS 93 10.1 ç>-connexions 10.2 Action de J9(Cb.) sur Q9(C) 10.3 Connexion et éléments de contact 93 94 100 121 10.4 Différentielle absolue 10.5 Groupoïde et groupe d'holonomie 102 105 INDEX DES NOTATIONS 113 REFERENCES 119 14, Grande Rue 94130 NOGENT-SUR-MARNE FRANCE 122