D IAGRAMMES

J. W OIRY
Structures de contact, extension du calcul des jets (1ère partie)
Diagrammes, tome 36 (1996), p. 15-114
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1996__36__15_0>

© Université Paris 7, UER math., 1996, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

DIAGRAMMES

VOLUME 36 ,1996

STRUCTURES DE CONTACT,
EXTENSION DU CALCUL DES JETS
(1ère partie D)

J. Woiry

RESUME. En 1953, lors du Colloque de Strasbourg, dans le but de fournir au Calcul
Infinitésimal des moyens et des notations intrinsèques, deux réponses sont proposées :
Tune - la Théorie des jets - est présentée par Charles Ehresmann, l'autre - la Théorie des
Points Proches - est exposée par André Weil.
C'est cette même volonté d'algébriser le calcul différentiel qui m'a conduit, au travers des
algèbres de contact, à une approche quelque peu différente. J'ai été ainsi amené à
reformuler le calcul des jets indépendamment de toute structure infinitésimale. Si,
accessoirement, au cours de ce cheminement, j'ai rencontré les algèbres locales et les
points proches, c'est essentiellement dans l'esprit de la Théorie des Jets qu'est mené cet
exposé.
Bon nombre de situations sont illustrées d'exemples issus de la Géométrie Différentielle,
mais également tirés de domaines qui lui sont tout à fait étrangers. En cela, me semble-t-il,
réside tout l'intérêt de cette étude.

ABSTRACT. With a view to bring Differential Calculus its own intrinsic ways and
notations, two types of solutions were suggested at the Strasbourg Conférence in 1953. On
the one hand, Charles Ehresmann's Jets Theoiy and on the other, André Weil's Theory of
Close Points.
The same endeavour to focus on differential calculus from an algebraical angle led me,
through contact algebra, to make use of slightly différent approach. This has meant the
rephrasing of the jets theory out of any differential context. If I happened, in so doing, to
touch on local algebras and close points, the spirit of the Jets Theory is nevertheless
prevailing in this présentation.
Quite a number of points are illustrated with examples taken from Differential Geometry
but also from radically différent fields. In my opinion, it is this very aspect of things wich
confers this study its relevance.

La 2ème partie de ce travail sera publiée dans Diagrammes 37 (Paris, 1997).

A.M.S. Sub. Class : 18 F 99 ,18 F 15 , 58 A 99 , 58 A 20

INTRODUCTION
La notion de contact suggère l'idée de partage, celle d'une information, d'une
communauté d'intérêts, de points de vue. D'où la première approche qui en est faite
mathématiquement au travers du concept de relation d'équivalence.
Ceci établi, immédiatement survient la volonté de fonder une hiérarchie entre
contacts, d'où l'idée d'un ordre voire d'un préordre. Finalement cette ambiguïté entre
équivalence et ordre a été la première impression recueillie lors de cette étude, à tel point
que j'ai eu à évoquer des notions telles que celle de préordre ^-compatible où JÇest une
relation d'équivalence.
L'idée de contact est omniprésente en mathématique. Deux nombres entiers sont en
contact par leur p.g.c.d., deux courbes planes par leur tangente commune, deux
fonctions numériques de variables réelles par leur développement limité commun jusqu'à
un certain ordre en un point donné. Je cite ces situations élémentaires car, constatant une
communauté de démarche dans les calculs, j'ai été amené au chapitre 1 à définir la
structure d'algèbre de contact. C'est pour moi la pierre angulaire de l'édifice, pierre sur
laquelle vont s'élaborer les concepts de jet, d'espace tangent, de connexion etc.
Fortement impressionné par l'enseignement de Charles Ehresmann, qui savait avec
simplicité rendre clairs et évidents les concepts les plus abstraits, j'étais donc prédisposé
à fonder de manière simple, sinon simpliste, le point de départ de ce travail.
Passée l'étude des algèbres de contact, m'est apparue la nécessité de construire de
telles algèbres. La notion d'échelle de comparaison existe à propos des développements
limités, c'est sans doute par ce biais que j'ai été amené à définir échelons puis
échelonnements au chapitre 2, pour finalement envisager au chapitre 3 les liens qui
peuvent exister entre ces deux notions. A ce propos on ne peut que constater, tant pour
les algèbres de contact que pour les échelonnements, l'ambiguïté ordre-équivalence
évoquée précédemment.
Au chapitre 4 c'est l'équivalence qui prévaut avec le calcul des jets. L'extension de ce
calcul aux parties de C, (où C est une catégorie) m'a amené tout naturellement à définir
des extensions d'ordre supérieur. C'est dans ce chapitre que j'établis un lien entre
algèbre de contact et espèce de morphismes (espèce de morphismes signifiant pour
Charles Ehresmann catégorie opérant sur une catégorie).

17

Or dès le début une algèbre de contact se présente de manière analogue, à ceci près
que l'action de la catégorie d'opérateurs s'exerce partout sur C et non de manière
«fibrée».
Un point important est la refondation des espaces tangents comme espaces de jets de
sections locales de la rétraction source, des espaces cotangents comme espaces de jets de
sections locales de la rétraction but. A partir de là le matériel est en place pour décrire les
différents types de contacts et développer les notions initiées par Charles Ehresmann
dans le cadre de la géométrie différentielle. On examine au chapitre 5 sous quelles
conditions les produits finis et les produits fibres finis sont préservés par les différents
foncteurs jets définis sur C et sur la catégorie des sections locales de a.
Le chapitre 6 est consacré à l'étude de quelques exemples dont l'éventail évolue entre
le « classique » et 1' « inattendu ». Le « classique » concerne le calcul des jets développé
par Charles Ehresmann en liaison avec l'algèbre de contact correspondante introduite dès
le chapitre 1. La divisibilité sur Z permet d'introduire la notion de néoalgèbre de contact
double, puis nous définissons diverses structures d'algèbre de contact double sur une
algèbre locale, ce qui permet d'une part d'enrichir le calcul des jets et d'autre part
d'autoriser la construction de multiples points proches au sens d'André Weil.
L' « inattendu » passe par la construction de la catégorie des chaînes contrôlées à
laquelle est associé un ensemble de cribles. On définit alors sur cette catégorie deux
structures de néoalgèbre de contact associées, pour l'une à un algorithme de
« recherche » et pour l'autre à un algorithme de « suppression ».
Au chapitre 7, inspiré par une première note de Charles Ehresmann aux comptes
rendus de l'Académie des sciences de 1951, reprise dans « Atti del IV congresso dell'
Unione Matematica Italiana » en 1954, plus longuement développée dans « Introduction
à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo groupes de Lie » en 1953, j'ai
essayé de préciser sous quelles conditions il était possible de développer un « calcul
différentiel » dans une algèbre de contact. Pour ce faire j'ai été conduit à définir les
ç -transformations et leur groupoïde et montrer en quoi un calcul différentiel était
tributaire de ce groupoïde et du choix d'une section admissible de [/?,a]. Avec les
notations de Charles Ehresmann, il est alors possible de définir vitesse, covitesse,
différentielle, dérivée tant pour les morphismes que pour les jets. Les relations obtenues
apparaissent comme les fruits d'un jeu, jeu des notations mais aussi jeu des concepts.
Au chapitre 8 sont reprises les définitions de Charles Ehresmann concernant les
notions d'élément de contact et d'élément d'enveloppe ainsi que la relation d'incidence.
Après avoir défini ce qu'est une fibration, on dresse un bilan de toutes les fibrations
pouvant être construites selon les différentes catégories rencontrées.

18

Le chapitre se termine sur la notion d'objet plongé, ce qui permet de définir entre
objets plongés la relation « avoir même contact en un point ».
Le chapitre 9 est consacré pour une part importante à la construction de nouvelles
algèbres de contact déduites de l'algèbre de contact initiale (£,<!>, C). En particulier pour
la catégorie des applications d'un ensemble U vers la catégorie C (notée Cu ) on définit
les prolongements holonomes ou non holonomes et on étudie les rapports entre ces
divers prolongements.
L'accent est ensuite porté sur la catégorie des sections locales de a puis sur la
catégorie des sections locales de J3 (éventuellement pointées). On construit alors sur ces
nouvelles catégories des structures d'algèbre de contact déduites de (£,<!>, C).
En particulier les ^-éléments de connexion sont présentés comme des morphismes
particuliers de JpCb au chapitre 10.
Moyennant l'hypothèse de transitivité locale sur C, en un sens plus fort que celui
utilisé habituellement, on montre qu'il existe sur l'ensemble des ç?-éléments de
connexion une espèce de structures où la catégorie d'opérateurs est la catégorie des jets
de sections locales pointées de J3. On définit également la différentielle absolue par
rapport à un ^-élément de connexion ainsi que le groupoïde d'holonomie et le groupe
d'holonomie attachés à un tel ç?-élément de connexion.

19

1 ALGEBRE DE CONTACT
1.1 ACTION DE <D SUR C
1.1.1 DEFINITIONS
O et C étant deux catégories telles que 4> opère sur C, on dit que (£,0 ,C ) est une
ALGEBRE DE CONTACT si et seulement si on vérifie :
(l)V(^)eO*<I>

V / E C (9.0)/=
2

M

f),

(/,/') eC*Co ( # , # ' ) eC*C,

(2)V^E(D

V(/,/')EC

(3)V^G(D

V ( / , / ' ) e C * C <p(f.f) = <p(ç>f.yr),

en posant k(<p,f) = çf, £ étant l'application £ :Ox C -> C .
# e s t alors la TRONCATURE DE TYPE ç> d e / .
Noter qu'on n'impose pas que l'image de/sous l'action d'une unité de <ï> soit encore
/ On dira que <p est idempotent si et seulement si V/ e C ç(çf) = qf, sans pour autant
que <p.<p soit défini. C0 étant l'ensemble des unités de C, on notera a (resp. /? ) la
rétraction source (resp. but) de C sur C0. On désigne par C*C l'ensemble de tous les
couples de morphismes de C qui sont composables. Dans toute la suite, et en l'absence
d'ambiguïté on notera C (resp. O) au lieu de C (resp. <&).
Remarque
Dans la définition précédente on peut remplacer sans difficulté la catégorie
d'opérateurs par un système multiplicatif, c'est à dire un ensemble muni d'une loi binaire
partiellement définie. Nous parlerons alors de NEOALGEBRE DE CONTACT
(cf. 3.3).

1.1.2 EXEMPLES
1- C est une catégorie, O est le monoïde des endofoncteurs idempotents de C dont les
restrictions aux unités de C sont injectives (afin de satisfaire au (2) de la définition).
2- C est le monoïde des applications de R dans R muni de la multiplication habituelle,
O est le monoïde des parties de R muni de l'intersection, çtf = x<pf > Z9 & ant
l'application caractéristique de cp dans R.

21

3- C est le monoïde des applications polynômes de R dans R muni de la multiplication
habituelle, <ï> est l'ensemble des entiers naturels muni de l'opération inf. P étant un
polynôme réduit <pP est la troncature de P au degré <p.
4- C est le magma associatif des applications polynômes de R dans R nulles en zéro
muni de la composition des fonctions, O est le monoïde des entiers naturels non nuls
muni de l'opération inf, çP est alors défini comme précédemment.
5- Soit a un réel et F(a) la base de filtre convergente vers a formée des ouverts de la
forme ]ô,a[^]a,c[ avec b < a < c . Soit ç(q) l'ensemble des fonctions définies sur un
élément de F(a) et à valeurs dans R. On pose C=( ?{a),. ), et soit O une partie non vide
de 9{a) totalement ordonnée par ( / <g)o(g=
° ( / ) v g = f) et possédant un plus
petit élément <p0 , on définit sur <S> : <pt /\<p} - ¢ ^ , ^ , Q> devient alors une échelle de
comparaison sur 5^a) , çnf est alors l'unique fonction définie par / - çnf = °(<pn).
6- C=(N*,. ), <D=(N*,pgcd) et çf=pgcd(çj).
7- tétant un ensemble on pose C={P(X)y u ) et 0 = ( 2 ^ , n ) on a alors çf=<p r\f.
8-a- C est la catégorie des applications indéfiniment différentiables de la forme
f:A->B
où A = Rn et B = R p , n et p étant deux entiers naturels non nuls. On a
0=(N*, inf) qui opère sur Cp , catégorie des applications pointées de la forme
(f9a):{A9a)-*{B9b)
où / e C , a GA et b = f(a).
Rappelons que si on a
(/\a)\{A y à)-*{B 7 b)
avec
b-f{a)
et
i
%
%
%
<J\a yXA\a )-+{B\b )
avec V=f\a*)
alors (f\a ).{f,à)
est défini et égal à
( / ' . / , a ) si et seulement si (A\a') = (B,b). On définit ç>(/^) = ( / ^ ) où f9 est la
partie principale du développement de Taylor de/en a à l'ordre ç.
8-b- Soit C la catégorie des applications indéfiniment différentiables entre variétés
indéfiniment différentiables. On considère comme précédemment la catégorie Cp des
applications pointées associée à la catégorie C. On définit sur Cp la relation suivante :
( / , a ) « (/',#)

si et seulement si

il existe dans Ar\ A' un ouvert U contenant a

(U étant un ouvert commun aux deux topologies définies respectivement sur la variété A
et sur la variété A ') tel que /^ - / 1 ^ .
C'est une relation d'équivalence et la classe de ( / , a ) est notée Jl(f,a)
c'est le jet local de / en a. En particulier si on identifie A et IdA.A
A

a G A, J\ldA,d)

est alors nommé germe de variété en a et noté a .

22

ou Jlaf ,
>A et si

(A,a)*(A\a)
équivaut à dire qu'il existe un ouvert U (commun aux deux
topologies) qui contient a et est lui même contenu dans Ar\A. De tels jets locaux se
composent de la manière suivante :
A

A

J'(gM J\f,à) = Ag / »
si et seulement si
b = f(a).
Cette composition permet de munir l'ensemble des jets locaux d'une structure de
catégorie qu'on note J'Cp .
Soit <p G <J>, <p opère sur les jets locaux de la manière suivante : çJl(f,a)
où /

Jl(f9,a)

=

est (moyennant le recours à un couple de cartes locales) la partie principale du

développement de Taylor à l'ordre <p de / en a. On montre que cette définition est
indépendante du choix des cartes locales.
On vérifie sans peine le point (1) de la définition. En supposant que ÇAÇ>'=Ç
l

l

l

% l

l

(çA<p')J (f,a) = çx/ (f,a) = J (f9,a) puis <p{q> J <J9a)) = ç(J (f9„a))
où f9 de la dernière égalité est déduit de f9, par simple troncature.
A

Par ailleurs
l

l

<pJ (g,b).çJ {f,a)

l

l

J (g,b).J (f,a)

b = f9(a)

J\f9,a)
A

Or

l

est défini. Comme

Finalement Jl(g,b).Jl{f,à)

est défini si et seulement

A

on a donc b = f9(à).

si cpj\g,b).<pj\f

=

est défini si et seulement si b=f(a).

est défini si et seulement si J\g9,b).J {f9,a)
A

on a :

,à) est défini, le point (2) de la définition se trouve alors satisfait.

En supposant qu'on ait Jl{g,b).Jl(f,a)
<p{J\g,b)J\f,a))

= Jl{g.f,a)

on peut écrire :

= <p(J'(g.f,a)) = J\(g.f\,d)

cp{<pJl{g,b).<pJl(f,a)) = cp{J\g9,b)Jl{f^a))

= ç(Jl(g9.f9,a))

et
=

Jl((g9.f9)9,a).

Or la partie principale du développement de Taylor à l'ordre ç> de g.f se calcule
directement, ce qui donne (gf)9

ou bien s'obtient en exprimant g9.f9 puis en en

prenant la troncature à l'ordre (p soit (g9.f9)9

, ce qui, au final, produit le même

résultat, d'où (3). Il résulte alors de ce qui précède que \k,Q>,JlCp\ est une algèbre de
contact où k(ç,Jl(f,a))

9-Soit

= <pJl(f,a) =

C-(/?[^,X2,...,^],x),

Jl(f9,a).

¢ = ( ( ¾ ¾ } , . ) , avec /c{l,2,3,...,/i }. La

composition dans O est définie par âx' -dxJ ~ ^x^x -^x\x,

s

* l différent de j , et

â™ .âx - d^{m'p) sinon. L'action de O est définie par d).P troncature de P à l'ordre nl
par rapport à Xt et â^nx P = ^x, i^x p) (P étant supposé réduit).

23

Au chapitre 6 nous développerons de manière plus conséquente d'autres exemples et
en particulier le 8-b.

1.1.3 PROPOSITION
(£,<!>, C) étant une algèbre de contact on a :
1- V(e,e') G Cl C(e,e*) stable sous l'action de cp, C(e,e") étant l'ensemble des
morphismes de C de source e et de but e\
2- Les propositions suivantes sont équivalentes ;
( 1 ) cp est idempotent,
(2) V ( / , g ) e C * C V ^ E C D <p(f.g) = ç(yfg),
(3) V ( / , g ) e C * C VÇ>E<D <p(fg) = <p(f.<pg),
(4) W e C 0 <p(<pe) = <pe.
A l - Soit / € C(e,e') et / ' G C tel que <pT= <pf montrons qu'alors / ' G C(e,e'). En
effet, si on pose a(f) = e alors on a :
( / , * ) e C * C o (#,?*) EC*C
o(#',^)€C*C
o(/',e)GC*C

( 1.1.1(2) )
(car#'=#)
( 1.1.1(2) )

d'où a ( / ' ) = e. On montre de même / ? ( f ) = /?(f) = e'.
2- Dès l'instant où f.g est défini ^ g e t / #g sont définis (d'après 1-). Compte tenu de
la remarque précédente on a <p(<pf.g)=(p(<p(<pf) <pg)=ç(çtf(pg)=<p(f-g) On a donc montré
que (1) entraîne (2), qui implique (3) car ç(f.(pg) = <p(<pf<pg) = <P(f g) De (3) on tire
(4) car ^(^e) = #>(e.ç*) = ç>(e.e) = ^e. (4) entraîne (1), car si on pose a(f) = e on a
Ç>(9f) = V(Çf.e)=9(<P(9f).Ç*) = 9>(<P(&^^
achève la démonstration. V

Ce qui

1.1.4 CONSEQUENCES
1- Si il existe e GC0 tel que <p(<pe) = e alors on a :
V(e',*")€C 0 2 V / e C ( e , O ^ C ( e V ) ç{qf) = qf.
2- Si ç> préserve les unités de C (ce que nous écrirons p ( C 0 ) c C 0 ) alors on a :
V e e Q ç# = e et finalement ç>(C0) = C0.
3- Si #>(C0) = C0 alors <pest idempotent.
4-Si cp est idempotent alors <p(frf2
fn) = <p(^<pf2 <ffn)
5- Si cp opère fonctoriellement alors cp est idempotent au sens de 1.1.1.

24

A Si a(f) = e on a :
<P(<ff) = <P(<Rf e) = <P(<P(<?f) <pe) = <P(<P(<?f) Vive)) = <P(<8f<pe) = <p(fe) = <pf,
d'où le résultat annoncé en 1-. De <p(C0)aC0 on déduit <pe=e car cpe est une boucle
de source et but e ainsi qu'une unité, d'où <p(CQ) = C0. Si ç(C0) = C0 alors
Ve G C0 ç>(^*0 = çx? et donc on a V/ G C ç>(#) = # . 4- et 5- se démontrent sans
difficulté . V

1.2 ORDRES
1.2.1 PROPOSITION
(£,<!>, C) étant une algèbre de contact, si cp est idempotent on définit la relation :
( / <P #)<=>(/ = (Pgvf = g) Qui e s t u n ordre sur C.
A La réflexivité est immédiate. Examinons la transitivité.
( / <P g A g <P h) <=> ( / = (pg v / = g) A (g = <ph v g = h) en distribuant, ceci équivaut
à: (f = <Pg*g=<ph)v(f = <pgAg = h)v(f = gAg = <ph)v(f = gAg = h),
d'où l'on déduit / = (pg- <p(<ph) = <ph ou f-cpg-qh
ou f = g=çh ou f = g = h.
Finalement on obtient / = <ph ou / = h ce qui équivaut à / <p h.
Examinons l'antisymétrie ( / cp g A / <p g)o(f
= <pgv f = g)A(g= <pf v g = f),
or def=<pg et g=çfon déduit ' f=<pg=<p(ç20=<pf=g. Dans tous les autres cas on a de
manière évidente/=g\ V
Remarques
cp étant idempotent on a :
1-V/GC

qf ç f ,

2-V(/,g)GC 2 ( / cp *)=>(«/ = « ) ,
3- ç> est alors un opérateur de fermeture.

1.2.2 PROPOSITION
Si O est un demi-groupe abélien où tout élément est idempotent alors la relation
suivante ( / ~<g)o(3cp G O f-çg\/f-g)
définit sur C une relation d'ordre.
A La réflexivité est immédiate.
Examinons la transitivité.

25

Soit ( / ^ A ^ A ) O ( ( / = ^ V / ^ ) A ( ^ ^ V ? = /I)) ce qui équivaut
à W = <pg*g=vJ>)v(f = <pg*g = h)v(f = gAg=yJi)\/(f
= gAg = h), ce qui
implique / = <pg = <p(yh) = (<p. y/)h (car <ï> est un demi-groupe) ou / = <pg=<ph ou
f = g=yJi ou f=g = h d'où f <h.
Examinons l'antisymétrie.
(f*gAg<f)o(!Lf
= Vgvf = g)A(g=yfv
g = / ) ) ce qui équivaut à :
v
A
( / = g) ( / = (Pg S = W). ce qui entraîne :
/ = <Pg = (<PV)f = (<PV<P)g = (¥<P<P)g = (V<P)g= Vf = g d'où le résultat. V
Remarques
1-V/eCVpe<&0f-</.
2- (ç> -< ^) o ((3 TJ e <ï> <p = rj.y/) v <p = y/)) définit un ordre sur ¢.
3- En conséquence de 2- on a :
V ( / , g ) e C 2 \/(<p,y/)e& (J < g A <p < y) => (<f>f < Vg)
4- Compte tenu de la proposition 1.1.3, / et g ne sont comparables que si on a
« ( / ) = «(£) et/?(/)=/?(g).
A 2- Réflexivité et transitivité étant évidentes, examinons l'antisymétrie.
{q>-rj.y/ v cp- tf/)A(if/=rj'.ç v y/ = <p) implique (ç = Tj.y/ A y/ = rf'.<p)v(ç> = y/).
De (ç = r].y/ A y/ = r}'.<p) on déduit <p = Tj.Tj'.<p puis :
^= j]\(pzzrf r].\f/ - Tj.rj'.tf/ = Tj.rf'.rj'.ç = rj.rj'.ç} = <p ,
d'où le résultat.
3 - D e ( / ^ g ) o ( / = i # v / = g) e t ( p - < y 0 o ( p = 7.^vç>=¥0 on tire:

d'où l'on déduit successivement :
# = (^ v/)g = (rç. y. v)g = (7. v)(yg), ou
$f = (p.v)g- = (y/.v)g = KW?),ou
Çjf = (pg^{V¥)g = li.¥g) ,ou
qf = <pg= yg d'où le résultat. V

1.3 ALGEBRE DE CONTACT COMPLETE
1.3.1 DEFINITIONS
1- (*,<&, C) est une ALGEBRE DE CONTACT IDEMPOTENTE si et seulement
si c'est une algèbre de contact qui vérifie : Vç? 6 $ V / e C <p(<pf) = çf, ce qu'on peut
encore écrire V<peO k(<p,.)ok(<p,.) = k(ç,k(ç>,.)) = k(<p,.).

26

2- (*,<D,C) est une ALGEBRE DE CONTACT ABELIENNE si et seulement si
c'est une algèbre de contact qui vérifie : V(ç?,ç>') e O2 V/ e C ç(ç%/) = q>\(ff), ce
qu'on peut encore écrire V(^,ç>') e <I>2 k(<p,k(ç\.)) = k(q>\k((p,.)). Peu importe que
ç?.ç?' ou 0>'.ç> soient définis ou non.
Noter que si O est un demi-groupe idempotent alors (£,<!>, C) est une algèbre de
contact idempotente, et que si O est un demi-groupe abélien alors (k,<S>,C) est une
algèbre de contact abélienne.
1.3.2 CONSTRUCTION DE L'ALGEBRE COMPLETE
Soit (£,<!>, C) une algèbre de contact, à tout ç de <£> on associe l'application
k(ç, ):C ->C qu'on notera plus simplement cp.
Dans le cas où (<p,ç%) e<D*(D on a k(ç.(p\.) = k(ç,k(ç\.)) = k(<p,.)ok(ç\.) (on
pourra donc identifier cp.q? à ç°q>%) sinon on peut toujours considérer ç°çx mais
alors, à quelles conditions vérifiera-t-on (2) et (3) de la définition 1.1.1. ? Sachant bien
entendu que k(<p,.) et k(g>\.) vérifient ces mêmes conditions (2) et (3).
Si ( / , / ' ) eC*C on a de manière équivalente (0 / ,çx/1 GC*C
(v(0(/)M0(/l)
^C*C, car cp et cpy vérifient (2) d'où çoqf vérifie (2).

puis

On a (p(<p}(/g)) = ç(<p*(0/cp*g)), il est alors indispensable pour poursuivre de
supposer cpoç'= ç'oç. Dans cette hypothèse on a les égalités suivantes :
(<P°<Pl(/g) = <p(0(<pV<P'g))
= <P'(<P(<PV0g))
= 0((p(<P(0/)(p(0g)))
= (<P°<pl((<P° ¢)(/)-(9 °<Pl(g))
Nous pouvons donc énoncer :
PROPOSITION - DEFINITION (Algèbre de contact complète)
Si (£,<!>, C) est une algèbre de contact abélienne, et si O est le monoïde librement
engendré pour la composition des applications par les applications de la forme k(<p,.) où
cp G O, d'unité Idc alors ; (k,<S>,c) est encore une algèbre de contact abélienne dite
ALGEBRE de CONTACT COMPLETE associée à (£,0,C) (ou complétée de
(£,0,C) ), où k est l'application k OxC -> C définie par k(cp,f) = ç>(f).

27

Remarques
1- Si (£,<!>, C) est une algèbre de contact abélienne et idempotente alors il en est de
même pour ( k, <X>, Cj.
2- Si (£,<!>,C) est une algèbre de contact complète on vérifie alors :
V(Ç,Ç')G&

((V/eCçf

= <pV)*>(<P = çiy

3- Dire que (£,<!>, C) est une algèbre de contact complète signifie désormais que O est
un monoïde car dans ce cas on a (£,0,C) = (k,<&,C). Donc dans le cas d'une algèbre de
contact abélienne, par complétion on est ramené systématiquement à l'action d'un
monoïde abélien .

1.4 MORPHISMES D'ALGEBRES DE CONTACT
1.4.1 DEFINITION
Soient (£,<!>, C), (*\<P,C") deux algèbres de contact, P:<&-^<P et F.C-+C deux
foncteurs. PxF est un morphisme d'algèbres de contact si et seulement si P et F
vérifient F°k = k'°(PxF). Noter que plus généralement P pourrait n'être qu'un
morphisme entre systèmes multiplicatifs.
La composition suivante (PxF)o(P%xF*) = (P<>Pi x F o f ) permet de munir
l'ensemble des morphismes d'algèbres de contact d'une structure de catégorie notée
/4ct. La source de PxF est alors Id^xldc et le but Id^xldc, qu'on identifie
respectivement à O x C et <&xC.

1.4.2 PROPOSITION
Si PxF:(k,<&,C) -» (k\<P,C)

est un morphisme d'algèbres de contact tel que P

et F\ soient deux applications injectives alors \k\P(<s>>F(C) 9P(Q\F(C))

est une algèbre

de contact, c'est une sous-algèbre de contact de (k',<® , C ) . Compte tenu de la remarque
1.1.1 on pourrait se dispenser de l'hypothèse P^ injective.

À F

et F\c étant deux applications injectives, on est alors assuré que P(<î>) et F(C)

sont deux sous-catégories respectivement de O' et C", autrement
(/^(^),^(^)) e0)'*O f alors (^,^1) e CD*O et P(ç).P(ç') = P(<p.<p').

28

dit si

De même si (F(/),F(g)) eC*C alors ( / , ^ ) e C * C et F(f).F(g) = F(f.g).
Ceci étant acquis, vérifions que les conditions de la définition 1.1.1 sont satisfaites.
V<p e<D V/ eC k'(P(<p),F(f)) = F(k(<p,f)) = P(<p)F(f) = F{qf) eF(C). Ce
qui montre que le résultat ne dépend que de P(<p) et de F(f).
\/(P(<p), P(ç>' )) e />(<D) * P(<t>) V(F(f), F(g)) G F(C) * F(Q
(P(ç>). P(<p' ))F(f)

(F(f),F(g))eC*C

on a :

= P{q>. <p' )F{f)
( />(<D) sous-catégorie)
= (F°kX<P<p\f)
(définition 1.4.1)
= F((<p. <p>)f)
= F(<p(<p'f))
(définition 1.1.1)
= (F°*)(p,*(p',/))
= (k'o(P x F))(ç, k(<p',/)) (définition 1.4.1)
= k'(P(ç>),(FokXç\f))
= k'(P(ç),k'(P(ç'XF(f)))
= P(<pXP(<p')F(f))
d'où(l).

<*(P(<p)F(f),P(<p)F(g))eC*C

P(<pXF(f).F(g)) = P(<p)F(f.g)
= k\P{<p),F{f.g))
= (k'(PxF))(<p,f.g)
= (F°k)(ç,f.g)
= F(<p(f.g))
= F(<p(<pf. <pg))
= {F°k)(ç,<tf.(pg)
= (k'°(P x F))(<p, <pf. (pg)
= k'(P(<p),F(tf.<pg))
= k'(P(<p),F(<pf).F(<pg))

(dans (k\0\C))

d'où (2).

(F(Q sous-catégorie)
(action de <D')
(définition 1.4.1)
(définition 1.1.1)
(définition 1.4.1)
(Ffoncteur)

etfinalementon a :
P(<P)(F(f).F(g)) = k'(P(<p),(P(<p)F(f)).(P(<p)F(g))) (action de <D')
= P(<p)((P(<P)F(fMP(<p)F(g)))
d'où (3). V

1.5 PRODUITS
Notons O0 la sous-catégorie de O formée des morphismes préservant toutes les
unités de C .

29

1.5.1 DEFINITION
(k,0,C) étant une algèbre de contact telle que C soit à produits choisis de deux
unités, soit <p e O , on dit que ç est REGULIER si et seulement si on vérifie :
(1) ^ e O ° , e t
(2) Pour tout composé de la forme/?./ou gq où p et q sont des projections choisies
on a :
<P(P/) = P.Çf et ç(g.q) = (pg.q
Ceci revient à dire que p est une (p -constante à gauche et q une (p -constante à droite
(cf. 1.7).
Il faut noter que l'appartenance de <p à O 0 entraîne <p(exe')-exe%-(pexçe%
. Dès
l'instant où O est un monoïde et (£,<!>, C) une algèbre de contact complète, l'ensemble
des morphismes réguliers est non vide car il contient au moins Idc . On montre alors que
l'ensemble des morphismes réguliers de <I> forme une sous-catégorie notée O r de O 0 .

1.5.2 CONSEQUENCES
Toujours avec les mêmes notations, si ç est régulier on a :
1- <pp = p et <pq = q,
2- <pAe = Ae , où Ae est le morphisme diagonal e

xe<—-—e,

3- <p(/*g) = çfx<pg,

4- <p[/,g] = [çf,<Pg]
A 1- Si /-oc(p)
on a alors p./' = p.#(/?) = p , et d'après 1.5.1 il vient
(pp = ç(pa(p)) = p. a(p) - p . On montre de même (pq -q.
2- àe est l'unique morphisme de C qui vérifie pour / e {1,2} prAe=e.Orsif
= Ae
on a (définition) ç>(/?; Ae) = pt.ç>Ae -(pe-e d'où par unicité çAe = A e .
Pour établir 3- et 4- on considérera les diagrammes de la page 15.
3-<?tfx(Pg

est

l'unique

morphisme

or on

a

de C vérifiant

x

uis

q} (çf xcpg)- qf.p]

et

<7: (#*<Pg) = <Pg-P2>
? i - ( / S ) = /-Pi P
<P(lv(/xg)) = <P(/-P\) d'où
l'on tire qv(p(f xg)-cpf\px.
On montre de même q2(p(f xg)~ (pg\p2. En raison de
l'unicité on a donc ¢9(/ xg) = (<gf x <pg).

30

4

" [çfi<Pg] e s t l'unique morphisme de C vérifiant p\\çf,çg] = yf et
P\[<?f,<Pg] = <Pg Or p\.ç[/,g] = v(p\ [/,g]) = çf. On montre de même
P\ • Ç^/i g]= <Pg E n raison de l'unicité on a donc <p[f,g] = [$f, çg\. V

<p[/,g\

<P(/*g)

1.6 PRODUITS FIBRES
Comme au paragraphe 1.5, il est question d'énoncer des conditions «minimales»
satisfaites par certains éléments de <S> dans leur action sur C afin d'être en mesure, au
paragraphe 5.2, de s'assurer de l'existence de produits fibres dans les différentes
catégories de jets.

1.6.1 DEFINITION
(À:,d>,C) étant une algèbre de contact et cp e O , on dit que ç est CARTESIEN si et
seulement si on vérifie :
(1) pe<D°,et
(2)/et g étant deux morphismes de C tels que <pfv<pg existe dans C on a :
V(/,/')GC2(«9(/0-^./')

=> <tf.q* = çg.<pC).

Dans le cas où O est un monoïde, l'ensemble des morphismes de O qui sont
cartésiens est non vide pour la même raison déjà invoquée en 1.5.1.

31

1.6.2 PROPOSITION
L'ensemble des morphismes cartésiens de O forme un sous-système multiplicatif de
d>° notée Oc .
A Soient q> et çy éléments de Oc tels que qf.ç soit défini. Il est clair (3>° étant une
sous-catégorie de O ) que q?. q> G <X>°.
<p\ç> étant défini dans <ï>, rien ne permet d'affirmer que ç\q> satisfait (2) de 1.6.1,
c'est la raison pour laquelle on ne peut parler que d'une structure de système
multiplicatif pour O c . V
Les conditions (1) et (2) de 1.6.1 nous apparaissent comme les conditions minimales
requises afin de pouvoir (cf. chapitre 5) être capable de construire de nouveaux produits
fibres dans la catégorie des jets. En particulier (2) permet (quand q> est cartésien) de
« récupérer » la commutativité au niveau des morphismes soumis à l'action de <p ,
commutativité indispensable pour construire de nouveaux produits fibres.

1.7 INVARIANTS ET CONSTANTES
1.7.1 DEFINITIONS
(£,<!>,C) étant une algèbre de contact.
1 - / est un ^INVARIANT si et seulement si qtf = f .
2 - / est un INVARIANT si et seulement si pour tout (p de O , / est un ^invariant.
3- g (resp. / ) est une ^CONSTANTE A DROITE (resp. à gauche) si et
seulement si pour tout h de C, tels que h.g soit défini (resp. f.h défini), on a
<p(h.g) = <ph.g (resp. ç(fh) = f.cph).
4- g (resp. / ) est une CONSTANTE A DROITE (resp. à gauche) si et seulement si
pour tout cpde <I> c'est une ç -constante à droite (resp.à gauche).
5-/est une CONSTANTE si et seulement si c'est une constante à droite et à gauche.
Dans ce qui suit les numéros renvoient aux exemples cités en 1.1.2 .

32

1.7.2 EXEMPLES
1- Toute unité de C est un ^-invariant ainsi qu'un invariant, tous les morphismes de
q> (C ) sont des q> -constantes, toute unité de C est une constante.
2- Les applications nulles en dehors de q> sont des q> -invariants, le seul invariant est
la fonction nulle, toute application est une q> -constante ainsi qu'une constante.
3- Les q> -invariants sont les applications de degré inférieur à q>, les invariants sont les
applications constantes, qui sont de plus les q> -constantes et les constantes.
4- Les q> -invariants sont les applications de degré inférieur à q>, les invariants sont les
applications x h-» ax avec a * 0 , qui sont de plus les q> -constantes et les constantes.
5- Si a=0 et si l'échelle de comparaison est l'échelle habituelle des fonctions
monômes on est renvoyé à l'exemple 3-.
6- Les ^-invariants sont les diviseurs de q>, 1 est l'unique invariant ainsi que l'unique
^-constante et l'unique constante.
7- Les seuls ç>-invariants sont les sous-ensembles de q> , l'ensemble vide est l'unique
invariant, l'unique q> -constante, l'unique constante.
8- Si on considère plus particulièrement les applications de R dans R, alors les
q> -constantes sont les applications polynômes de degré inférieur à <p, les invariants, les
q> -constantes, les constantes sont les applications affines.
On démontre sans difficulté les propriétés suivantes.

1.7.3 PROPRIETES
1- Si (p.qf est défini, si / est un ^-invariant et un ^'-invariant alors / est un
(p. ^'-invariant.
2- Si q> préserve les unités de C, si / est une q> -constante alors / est un
q> -invariant.
3- Si (p.çx est défini, si / est une ^-constante et une ç/-constante alors / est une
(p. ^'-constante.
4- Si / et g sont deux ^-constantes et si f.g est défini alors f.g est une
(p -constante, il en résulte que les q> -constantes forment une sous-catégorie de C.

33

2 ECHELONNEMENT
2.1 ECHELON SUR C
Nous avons vu dans le paragraphe 1.2 que moyennant certaines conditions sur <E> il
était possible de définir un ordre sur C.
Inversement si on se donne un ordre sur C et en admettant que pour cet ordre / e t / '
soient comparables ainsi que g et g\ en supposant de plus que f.g et f.g1 soient définis,
en général rien ne permet d'affirmer que f.g et f.g' soient comparables. C'est la raison
pour laquelle nous introduisons la définition suivante.

2.1.1 DEFINITION
[r, R] est un ECHELON sur C si et seulement si les trois propriétés suivantes sont
satisfaites.
(1) R est une partie non vide de C, r est un ordre sur C,
(2) V ( / , £ ) G C2(f,g comparables) =>(a(f) = a(g))A(0(f)
= 0(g))9
(3) En notant f r g quand / est inférieur à g pour l'ordre r on vérifie :
pour tout (f,g) GC*C et pour tout ( / ' , # ' ) eC*C si on a ( / r /*)/\(g r g ' ) , alors
on en déduit: 3\TTIGR {m r f.g)A(m
r
f.g').

Remarques
1- Si / = f et g = g} - a(f) l'unique m ne dépend que de r, R e t / c e qui permet de
définir l'application dite sous-jacente à [r,R] notée p: C -» R définie par
/ »-> p{f) = /w .
Cependant pour deux échelons distincts [r,R] et [r\R] d'applications sousjacentes p et p\ il est possible d'avoir p= p* comme nous le verrons ultérieurement
au paragraphe 2.2.2.
2- Il résulte de la définition précédente : / G R o p(f) = / .
3- [r,R] est entièrement déterminé par r et R= p(C). Dans toute la suite [r,/?]
d'application sous-jacente p sera identifié à [r, p(C)].

35

2.1.2 EXEMPLES
™ —

i

1- On considère le demi-groupe abélien C=(N*,x) et q e C , on pose :
(x q y) <» (x = pgcd(q,y) v x = y).
D'après 1.2.1 la relation ainsi définie est une relation d'ordre.
Soit R=Q l'ensemble des diviseurs premiers de q appartenant à C. Q est bien entendu
non vide ce qui satisfait (1) de 2.1.1, (2) étant triviale, voyons (3). Supposons qu'on ait
x q x' et y q y' et montrons qu'il existe un unique m tel que m q xy et m q x'y'.
Si on prend pour m le plus grand diviseur commun de xy et de q, il est alors facile de
montrer que m vérifie les conditions précédentes. [q,Q] est alors un échelon dont
l'application sous-jacente est celle qui à tout x de C associe le plus grand diviseur
commun de x et de q .
2- C est la catégorie des applications pointées dérivables réelles à variable réelle où
( g j ) . ( / , i ) est défini et égal à (g°f,x) si et seulement si y = f(x). A est la souscatégorie de C formée des applications affines pointées. On définit la relation suivante
sur C :
(/, x) -< (g,y) si et seulement si
(x = y) A ( ( / est l'approximation affine de g en x) v ( / = g))
Remarquons que cela entraîne f(x) = g(x) et f,(x) = g'(x)._La relation précédente
est une relation d'ordre. Supposons que l'on ait (f,x)<(f,x),
(g,y)^(g,y)
et
y = / ( x ) . Il est alors aisé de montrer que l'unique (m,x)eA vérifiant
(m,x)<(g°f,x)
et (/w,*H(g°/,x) est tel que V/ G R m(t) = (gof)(x) + (g°f)'(x)(t-x),
ce qui fait
de [<, A] un échelon sur C.
Notons dès maintenant que ces deux exemples s'inscrivent dans le cadre de la
proposition 3.1.1 qui a pour but d'associer à chaque <p de l'algèbre de contact (k,®,C)
un échelon convenablement défini.

2.1.3 PROPOSITION
[r,R] étant un échelon sur C d'application sous-jacente p on a les résultats suivants :
(1)
Vf&RVgeC(frg)^(f=p(g)).
(2) R est l'ensemble des morphismes de C invariants par p on a donc :
V / e C P(p(/))=P(/)2
(3) V(/,g) G C (/ r g) =>(p(f) = p{g))
De là on déduit que deux éléments distincts de R ne peuvent être comparables.
(4) V(/,g)eC*C p(f.g) = pip{f)pig))

36

À (1) résulte de la définition même.
On déduit (2) de la définition et de (1).
Par définition p(f) r f et donc (p(f) r f) A ( / r g) => (p(f)
(1) on tire p(p(f)) = p(f) = p(g), ce qui prouve (3).

r g) et d'après

Par conséquent si / G R et g G R sont tels que f r g alors p(f)= p(g), mais
sachant que p(f) = / et p(g) = g on a donc / = g.
Finalement si deux éléments de R sont comparables alors ils ne peuvent être que
confondus.
On a par définition p(f) r f et p{g) r g d'où l'on déduit que p(f) e t / ont
même source et même but ainsi que p(g) et g. Il en résulte que, f.g étant défini,
P(f)- P(g) e s t également défini. Il existe donc un unique m G R tel que
m r
P(f) P(g) e t m r fg
D'après (3) ci-dessus on a donc les égalités
p(m) = p(p(f). p(g)) et p(m) = p(f.g) d'où le résultat (4) annoncé. V
2.1.4 P R O P O S I T I O N (échelons ordonnés)
La relation suivante, définie entre deux échelons sur C, est une relation d'ordre.
( [ r , / ? ] ^ [ 5 , 5 ] ) o ( ( / î e 5 ) A ( V ( / , g ) E C 2 ( / r g ) = > ( / s g))).
A Réflexivité et transitivité sont immédiates. De ( [ ^ H [•*,£]) A ( [ 5 ^ ] ^ [ r ^ ] ) o n
déduit \/(f9g) G C2 ( / r g) => ( / s g) => ( / r g) ainsi que RczSczR d'où l'on tire
V(/,g) G C2 ( / r g) <=> ( / s g) et R = S ce qui achève la démonstration. V
2.1.5 T H E O R E M E (composition des échelons)
[r,/?]et [s, S] étant deux échelons sur C (d'applications sous-jacentes p et a) sont
dits composables si et seulement si pa-ap
(en posant p°cr= p<j). Dans ce cas on
vérifie R<^\S*0.
Dans le cas où ces deux échelons sont composables on pose :
[r9R].ls9S]=[t9T]
avec ( / / g ) o ( ( ( / r a(g))A(f
s p(g)))v(f = g)) et
T=Rr\S ~{pa){C)p(C)r\a(C). L'application sous-jacente de [t,f\ est notée r et
vérifie r = pu.
On définit ainsi une composition non partout définie qui cependant est associative et
commutative.

37

A Comme [r,R] et [s,S] sont composables on sait que T=Rr>S * 0 .
Il faut également établir que / est un ordre sur C. La réflexivité est évidente.
Examinons la transitivité. De (ftg)f\(gth)
on déduit facilement
(((/ r o<g))A(/ 5 p(g)))v(f = g)) et (((g r a(h))A(g s p(h)))v(g = h)),
d'où l'on déduit successivement :
( / r a(g))A(/ 5 p(g))A(g r cr(h))A(g s p(h)), ou
if r o(g))A(/ s p(g))A(g = h), ou
if = g)*ig r o(h))A(g s p(h)), ou
/ = * = *•

Dans les trois derniers cas on conclut de manière évidente à / t h. Dans le premier
cas, de g r o(h) on tire p(g) = (pa)(/i) = (crpXh) puis p(g) s p(h) ; de plus nous
avons/ 5 p(g) d'où/ s p(h). Par un raisonnement analogue on aurait / r o(h) .
On peut désormais conclure par f t h dans tous les cas, ce qui établit la transitivité
de/.
Voyons Pantisymétrie.
De
if t g)A(gt f)
on tire
f =g
ou
( / r oig)) A ( / s p(g)) A (g r a(/)) A (g s p(f)). Or ( / r cr(g)) A ( / s p(g))
implique p ( / ) = (pa)(^) et a(f) = (ap)(g) ce qui montre que p ( / ) = <K/) On
montre de même p(g) = <?(g) De ces derniers résultats on tire
/ r cr(g) , cr(g) = p{g) , p(g) r g d'où f r g de même on voit que
g r oif) » °"(/) = M / ) > Pif) r f d'0" g r f •>finalementpar antisymétrie de
r on a f=g
Montrons que si/et g sont comparables pour / alors (mis à part le cas évident où/=g)
ils ont même source et même but ; g et a(g) ont même source et même but, o(g) e t /
ont même source et même but donc/ a même source et même but que g.
fg et f.g' étant définis, / / / ' équivaut à / = / ' ou ( / r o(f')) A ( / s /?(/'))
d'où l'on déduit ( p ( / ) = (pa)(/'))A( C r(/) = (<7p)(/,) = (po•)(/•)) ou / = / ' . De
même de g t g' on tire ( p(g) = ( pa)(g' )) A (cr(g) = (<rp)(g' ) = ( pa)(g' )) ou g = g'
Si / =/* et g = g' on a (<rp)(/.g) = (o-pX/'.g1)
Si on a p ( / ) = (pcr)(/') = cr(/) et g = g' alors on en déduit les égalités

(vp)(f.g) = oiPiPif)Pig)))

= <riPiiP0)ir) Pig')))> c e q ui e s t e n c o r e é 8 a l

à

<?ipi<rif')g')) = i<rp)i<rif')g') = iP<r)i°if,)g')> c e qu'on peut encore écrire
pia(a(f').g')) = picx(f'.g')) = ip<j)ifg') = (o-pX/'.g1).
Dans le cas où l'on a / = / ' et p(g) = ( po\g' ) = <j(g) on montre de même
(0p)(/'-g) = i<Tpyif g') ainsi q ue d a n s l e c a s o u &if)= Pif) = (P°)if)
et
^ ) = / ^ ) = ( ^ ^ ) .

38

On pose m = (<jp)(fg)
mGRr^S.

= (<jp)(f. g') et on montre qu'on a m t f.g,

mt

f.g'et

Il est clair que ((jp)(fg)
s p(f g) et (po\f
g) r <r(fg) soit m s p(f.g) et
m r <j(f.g) ce qui revient à m t f.g . De manière analogue on obtient m t
f.g1.
De plus, de m = (pcr)(f.g)
on tire TTIGR, de m = (<Jp)(fg) on tire TTIGS d'où
mG Rr\S.
Reste à montrer l'unicité.
Supposons qu'il existe m'GRnS vérifiant tri t f .g et tri t f.g'
alors on aura
/w''= (<jp)(f'. g) ou W = / . g ,
comme p(m') = rri et cr{rri) = rri on tire
{crp)(rri) = &(rri) = m' d'où l'on déduit dans tous les cas m'=(<jp)(f.g) ce qui achève
d'établir l'unicité de m.
Il ne reste plus qu'à montrer (pa)(C) = p(C)c^<j(C).
Soit / G (p&)(C) = (ap)(C) alors / G p(C)A/ G a(C) donc / G p(C)ocr(C) ce
qui implique f GT
d'où (ap)(C) a T. Soit / G T = p(Qr^a(C)
alors
/ = P(f ) = o ( / " )
puis
p(f) = ( pp)(f )=p(f) = f
ainsi
que
cr(f) = (o*XT) = <*/*) = / d'où l'on tire / = o ( / ) = (*p)(f) et
fG(ap)(C),
finalement Tcz(ap)(C).
En conclusion : T=Rn>S = p(C) n <r(C) = (crp)(C) = (pa)(C), et l'unique élément
de Rr^S inférieur à / e s t naturellement (<jp)(f) d'où l'application sous-jacente r de
[/, T] définie par r = ap = pa.
Par définition cette composition est commutative. Il est clair que dans l'hypothèse où
les composés qui suivent, c'est à dire : [r, 7?] •[$,£], ( [ ^ M ^ S ] ) ^ / , 7], [s,S] #[/,71] et
[r,R] •{[s, S] •[/, T]) sont définis, il en résulte alors l'égalité suivante :
M].([s,5].[/,7])=([r,/î].[,,5]).[l,7l.V

2.2 ECHELONNEMENT SUR C
2.2.1 DEFINITIONS
On appelle ECHELONNEMENT sur C tout ensemble non vide d'échelons sur C.
Si de plus 1' échelonnement est tel que pour tout échelon [r, R] et [s, S] on a :
[/•,/?H[s,S] ou [ s , S H [ r , # ] ,
on dira que c'est une ECHELLE sur C.

39

2.2.2 PROPOSITION
[r, R] et [r\R'] sont deux échelons sur C d'applications sous-jacentes p et p\ On a.
1- La relation définie par :
[r,/?] «[r',/?'] o p- p'
est une relation
d'équivalence.
2- Si [r,R] « [r\/?] alors R =
R'etVfGRVgGC(frgofr'g).
Bien noter qu'ici /est un élément de 7? !
3-Si R=R* et V ( / , g ) e C 2 ( / r g^J
f g) alors
[r9R]*[r\R].
4- Si [/•,/?]•[$,£] est défini on note [r9R\ la classe d'équivalence de [r9R\9 on a
alors [r»^] •[•*>£] = ( ^ ] (avec [r,/?]•[*, 5] =[/,7"]) indépendamment des représentants
choisis, et [r,R] est encore un échelon sur C.
À 1- L'équivalence est évidente.
2- [r9R] *[r\R] <=> p = p' => p(C) = p'(C) » R = R\ De plus on peut écrire :
VfGR = RVgGC(frgo
f=p(f)=p(g)
o / = p'(f)=p'(g)
o / r1 g)
ce qui achève la preuve de 2-.
3- Soient /? = /?' et V(/,g) G C2 ( / r g => / r' g). Pour tout / de C on a
P(/) r f ce qui entraîne /?(/) r' / d'après l'hypothèse. Or p{f) G R% (car R- R)
et p ( / ) est alors l'unique élément de /?' tel que p(f) r' / , on a donc p ( / ) = p\f)
ce qui entraîne [r, /?] * [r*, R] = [r', /?'].
4- Montrons que la définition est indépendante des représentants choisis. Soient
[r', R'] « [r, /?] et [s', 5"] « [5, S], et supposons que [r, i?] • [5,5] soit défini et égal à [/, T].
[r,/?]•[$, S] défini signifie que pa-ap,
soit encore py&=& px et donc que
[V,/?1]•[s'.S"] est défini. On pose [ ^ , / ^ ( ^ , ^ = \t\T\
Par définition de la
x
composition [/',r'] a pour application sous-jacente p &- pa, soit la même que celle
de [/, T]. on a donc[f \ T] * [f, T].
Montrons que [r,R] est encore un échelon sur C. Soit [r\R] «[r,i?], on a alors
p>= p et /?'= /?, de plus / r1 g entraîne a ( / ) = a(g) et /?(/) = /?(g) car [r\R] est
un échelon sur C ; donc quel que soit le choix des représentants/et g, ces représentants
auront même origine et même extrémité. Soient / r* f et g r' g' et supposons f.g
ainsi que f.g' définis, alors on sait qu'il existe un unique m dans R tel que m r f .g et
m r
/ ' -g\ d'où l'on déduit (d'après 2-) m r' f.g et m r' f.g\ Il en résulte que m ne
dépend pas des représentants choisis. V

40

2.2.3 DEFINITIONS
1- Il résulte de la proposition 2.2.2 que si S est un échelonnement sur C alors S I «
est encore un échelonnement sur C. C'est T ECHELONNEMENT REDUIT de S
2- S étant un échelonnement sur C, on considère S'l'échelonnement formé de tous
les échelons de S et de ceux qui s'écrivent comme composés d'un nombre fini
d'échelons de S pour la composition des échelons notée « • ». On construit SI'« qui
est ('ECHELONNEMENT COMPLET associé à S (ou complété de 5 )
Remarques
1- Pour un échelonnement réduit, la relation de préordre définie en 2.1.4 devient une
relation d'ordre compte tenu du 3- de la proposition 2.2.2.
2- Un cas intéressant est celui où l'ordre r est lié à p (application sous-jacente de
l'échelon [r,/?] défini sur C ) par la relation suivante :
( / r g) o (f = p(g) v f = g)
Le fait qu'on puisse définir ainsi un ordre tient à l'idempotence de p (2.1.3), la
preuve complète étant analogue à celle de la proposition 1.2.1. Dans ce cas précis on a le
résultat suivant :
[r, R] « [s, S] o r = s A R = S.
L'égalité r = s devant être regardée comme égalité de deux applications. En effet
l'ordre r peut être décrit par : r.CxC-^ {0,1} avec r ( / , g ) = l si f r g et
r(/,g) = 0 sinon.
Toujours dans ce cas précis on peut poser [r,R] = (r,R). Montrons donc le résultat
annoncé ci-dessus.
A De [r,R] « [s, S] on déduit R=S (2.2.2 2-) et p= a (définition de l'équivalence).
Or si p = a il est clair qu'on a V ( / , g ) GC2 f r g o / s g et par suite r=s. Si
R=S et r=s alors V ( / , g ) e C 2 frg=>fsget
d'après 2.2.3 3- on conclut
[r,*]*[*,•$]. V
3- Si un échelonnement est tel que pour tout échelon, ordre et application sousjacente sont liés comme précédemment alors cet échelonnement est réduit.
Un cas particulièrement important d'échelonnement que nous aurons à envisager au
paragraphe 3 est celui de l'échelonnement abélien dont nous donnons la définition cidessous.

41

2.2.4 ECHELONNEMENT ABELIEN
Soit S un échelonnement sur C, soit [r,7?]e£ d'application sous-jacente p , soit
[ s ^ J e S d'application sous-jacente a.
S est un ECHELONNEMENT ABELIEN si et seulement si
V[r,/?]e£ \/[S,S]GS

pa = ap.

Remarques
1- Il résulte de cette définition que si [r9R] et [s, S] sont composables, on ne suppose
pas pour autant que ce composé soit encore dans S.
2- Si B est abélien, S qui est le complété de S est encore abélien. Sur S la
composition notée « • » devient une loi de composition interne qui munit S ^ {[ = ^]}
d'une structure de monoïde abélien, l'unité étant alors [=,C] d'application sous-jacente
Idc. Car il est clair que V[r,/?]e5 [r,/î]«[= C] = [= C]#[r,/?]«[r,/2].
2.3

MORPHISMES

Contrairement aux algèbres de contact, les catégories de morphismes envisageables
sont ici de trois espèces différentes :
- morphismes d'échelons
- morphismes d'échelonnements
- morphismes d'échelles.
Ce sont donc ces trois types de morphismes que nous allons définir.
2.3.1 MORPHISME D'ECHELONS
Soient [r,/?] et [r',/?'] deux échelons respectivement sur C et C d'applications sousjacentes respectives p et p\
Soit F un foncteur de C sur C '.
F est un morphisme de [r,R] sur [r',/?'] (ce qu'on note Fifr,^]-»^',/?']) si et
seulement si F°p= p'°F .

42

2.3.2 PROPOSITION
1- Avec les notations de 2.3.1, si F est un morphisme d'échelons tel que F, soit une
\CQ

1

application injective alors [r ,/^/?)] est un échelon sur la sous-catégorie F(C) de C\
d'application sous-jacente p\F(C)
2- Si F:[r,/?]->[r,,/?,J et G:[5,5]-^(^,51] sont deux morphismes d'échelons, on
dit que Go F est défini si et seulement si G ©F est défini comme composé de deux
foncteurs et [r',/?'] »[$,£]. On convient alors d'identifier classe d'équivalence et
représentant de cette même classe. Avec les hypothèses précédentes Go F est alors un
morphisme d'échelons, et cette composition confère à l'ensemble des morphismes
d'échelons une structure de catégorie notée 2c*.
3- (Extension aux morphismes de la composition entre échelons)
Soient F:[r,/?]->[r',/P] et G:[s,S]->[$',£'] deux morphismes d'échelons tels que
les applications sous-jacentes soient (dans Tordre où les échelons sont introduits)
p,p\(j,&. Nous dirons que les morphismes d'échelons F et G sont composables si et
seulement si Go F = FoG (composition des foncteurs), Focr-tjoF et G ° p' = p'oG .
Dans le cas où F et G sont composables, on note ce composé G • F qui est alors
tel que G^F = F^G = GoF = FoG .

Si on pose M M * , S ] = [/,:T] et [r\R'].[s\S'] = [t\T] alors G • F:[t
est un morphisme d'échelons.
A 1- E

j\-±[t\T]

étant injective, nous avons vu en 1.4.2 que F(C) est une sous-catégorie de

C. Si / ? * 0 , il est clair que F(R) est non vide. Si/' et g1 sont deux morphismes de
F{C) c C comparables pour r' alors ils ont même source et même but, [r\R'] étant un
échelon sur C\ Soient f\f\,g\g\
quatre morphismes de F(C) tels que l'on ait
/ ' r' f\ , g* r' g\ , f.g' et f\.g\
définis. [r\R'] étant un échelon sur C , il
existe alors un unique IÎI'GR' tel que m' r' f .g' et m' r' f\ .g\ , on en déduit alors
"»'= P'(/'gl = P\/\ g\ ) (proposition 2.1.3 (1)). Comme f\f\
,g\g\
appartiennent à F(C) il existe donc f,f,g,gx
dans C tels que / ' = F{f), /', = F(f ),
g^F(g)etg\
= F(g])
Nous pouvons donc écrire :
nt=ft(f.g)
= ft(F(f).F(g))
= p'iF(f.g))
= ip'°F)(f.g)
- ( F o p)(f. g)

= F(Af.g)).

43

iF(C) étant une sous-catégorie)
(F étant un morphisme d ' échelons)

Or p{f.g)GR
d'où m'=F(p(f.g))GF(R),
ce qui achève de montrer que
[r',F(/?)j est un échelon sur F(Q d'application sous-jacente p'.
2- F et G étant deux foncteurs composables, G o F est alors défini. Montrons que
c'est un morphisme d'échelons si [r',R'] « [s,S] . On a :
(GoF)op

= Go(Fop)

= G o (p'oF)

(F étant un morphisme d'échelons)

= Go(aoF)

([r\R']*[s,S])

= (Go<y)oF

= (o'oG) oF

(G étant un morphisme d'échelons)

= a'o(GoF)

La composition des morphismes d'échelons est évidemment associative. Si
F:[r,R]-+[r\R'] est un tel morphisme, Idc :[r,R]->[r,R] et Idc, :[r',R']->[r',R']
sont alors respectivement (en tant que morphismes d'échelons), l'unique unité à droite et
l'unique unité à gauche de F, d'où la structure de catégorie annoncée.
3- On a
(G*F)o(pocr) = GoFopoa
-Go p'oF oa
= p'oG o F o a
= p'oG oçjoF
= p'orfoGoF
= (p'o&)o(G*F)

(F morphisme)
(hypothèse)
(hypothèse)
(G morphisme)

ce qui achève la démonstration. V
2.3.3 MORPHISME D'ECHELONNEMENTS
Soient S un échelonnement sur C et S' un échelonnement sur C\ on dit que
l'application F: 2->S' est un morphisme d'échelonnements si et seulement si
(1) V[r,i?] G S F:[r,R] -> F([r,i?]) est un morphisme d'échelons, et
(2) \/[r,R]G S V[5,5]G S'si [',/?] •[*,£] est défini, alors F([r,R])*F([s,S]) est
défini et égal à ^([r,/?]»^,^]).

44

2.3.4

PROPOSITION

1- Avec les notations précédentes, si F. 2 -> 2' est un morphisme
d'échelonnements alors F{2) est un échelonnement sur C .
2- Si F: 2 -> 2' et G: 2' -» S " sont deux morphismes d'échelonnements alors
G o F est un morphisme d'échelonnements. Les morphismes d'échelonnements forment
alors pour la composition précédente une catégorie notée 2ct.
A 1- 2 étant un ensemble non vide d'échelons sur C, il est clair que F(2) est un
ensemble non vide d'échelons sur C \
2- Soit [r,R]e

2, posons F([r,R§ = [/•', R'] G 2'

. On a par hypothèse

F:[r,/?]->[/••,/?•] et G:[r',R']-> G([r\/?]) = (GoF)([r,/î]) qui sont deux morphismes
d'échelons évidemment composables au sens de 2.3.2 , il en résulte que G o F est un
morphisme d'échelons.
F et G étant deux morphismes d'échelonnements, si [f,^] •[$,£] e s t défini on a alors
F([r,/?])#F([5,5]) défini et égal à / % , / ? ] • [j.Sj, puis (GoF)([r,R]).(GoF)([s,S])
défini et égal à :
G(F([r,4).G(F([,,5]))=G(F([r,fi].[,,5]))
= (GoF)([r,R].[s,S]) .
Ce qui achève de montrer que GoF est un morphisme d'échelonnements.
L'associativité étant évidente. Si F est un morphisme d'échelonnements, il a pour unité à
droite Idc 2 -> 2 et pour unité à gauche Idc, : 2' —> S ' d'où la structure de
catégorie annoncée. V
2.3.5 M O R P H I S M E D ' E C H E L L E S
Soient 2 une échelle sur C et S ' une échelle sur CE
de 2 sur 2 ' si et seulement si:

est un morphisme d'échelles

(1) F: 2 -> S'est un morphisme d'échelonnements, et
(2) V[r,R] G 2 V[s9S] G S [r9R]*[5,S] => F([r,/?]) •<F([^,5]).
On démontre sans difficulté le résultat suivant.

45

2.3.6 PROPOSITION
1- Avec les notations précédentes, si F: 2 —» S1 est un morphisme d'échelles, F{2)
est une échelle sur C '.
2- Si F: 2 -> 2' et G. 2' -> 2" sont deux morphismes d'échelles alors G o F est
un morphisme d'échelles et cette composition confère à l'ensemble des morphismes
d'échelles une structure de catégorie notée 2cl.

46

3 EQUIVALENCE DES POINTS
DE VUE
Dans ce chapitre nous allons préciser les liens existant entre algèbre de contact et
échelonnement, autrement dit, quel échelonnement associer à une algèbre de contact
donnée ? Et réciproquement, quelle algèbre de contact associer à un échelonnement
donné ? La proposition qui suit donne un premier élément de réponse.

3.1 ECHELONNEMENT ASSOCIE A UNE ALGEBRE DE
CONTACT
3.1.1 PROPOSITION
Soit (£,<I>,C) une algèbre de contact sur C et q> G<& idempotent pour la structure
d'algèbre de contact. Alors [ç>,çKO] est un échelon sur C d'application sous-jacente
k{q>,.) où q> est l'ordre défini en 1.2.1.
A q>(C) est évidemment une partie non vide de C . Si / e t g sont comparables pour
l'ordre défini par ç en 1.2.1 alors/et g ont même source et même but d'après la
proposition 1.1.3 (stabilité de C(e,e') ). Supposons qu'on ait / q> f\ g ç g' et f.g,
f.g' définis alors qf .(pg' , qf g' , f .(pg' sont définis et on a : ç(f.g) (p f.g .

Par ailleurs supposons que l'on ait ( / ç f) A {g q> g*) alors ceci équivaut à
( / = / , A g = ^ , ) v ( / = / ' A g = g ' ) v ( / = # ' A g = ^ ) v ( / = ^ ' A g = g') 5
d'où l'on déduit successivement : f.g = f.<pg\ /g = fg\
/g = qf<pg\
/g = <RTg} Puis q>(/g) = q>(fgl
(proposition 1.1.3) d'où cp(f.g) q> f.g'. On a
donc <p(f.g) G q>(C) qui vérifie <p(f.g) ç f.g et ç(f.g) q> f.g'. Supposons qu'il
existe h G q>(C) vérifiant h ç f.g et h ç f.g\
on a alors çh = ç(f.g) (proposition
1.2.1 , remarque 2-) or h G (p(C) donc h-qh- ç(f.g) d'où l'unicité. V

3.1.2. PROPOSITION
Soit (£,0,C) une algèbre de contact complète et idempotente. Soit 2 l'ensemble
des échelons sur C de la forme [ç,q>(C)]. L'application F:(O,. ) -^ (£,•) définie par
F(<p) = [<p, q>(C)\ est alors un isomorphisme de monoïdes abéliens.

47

Les notations utilisées ici sont en accord avec celles utilisées dans la remarque 2- du
paragraphe 2.2.3, compte tenu de la spécificité de l'ordre et de l'application sous-jacente
associée.
A Par construction F est surjective. De plus on a ici [ç?,^>(C)] = [ç>,^(C)], ce qu'on
note (<p,ç(C)). Il résulte de là que F est injective. En effet F(<p) = F(ip) entraîne
[ç),ç>(C)] = [^,^(C)], soit ç= y/ . De plus, quelque soit q> E O et quelque soit y/ e*F,
[ç>,9>(C)]«[^,y(C)] est défini car l'algèbre de contact est abélienne. Si on pose
[^>,ç)(C)]«[^,^(C)] = [/,r], dont l'application sous-jacente est notée r, on a
T = k(ç,.)ok(if/,.) = q>y/ car par hypothèse l'algèbre est complète. On a donc
[ç>,ç>(C)]*[^,^(0]»[ç?^,r]. Or T=(q>i//)(C) = ç(C)rM//(C) d'où l'égalité qui s'en
suit (^^(^•(i//yi//(C)) = (q>y/y(<py/)(C)), ce qui achève de montrer que c'est un
isomorphisme. V
3.2 ALGEBRE

3.2.1

DE

CONTACT
ASSOCIEE
ECHELONNEMENT

A

UN

PROPOSITION

2 étant un échelonnement complet sur C. A tout échelon [r,/?] = [r,/?] (car 2 est
complet) on associe son application sous-jacente p. Soit <£> l'ensemble de toutes ces
applications sous-jacentes, si de plus 2 est abélien alors G:(Su([ = ,C]L*J-»(0,o),
définie par G([r,/?]) = p , est un isomorphisme de monoïdes abéliens.
A Par construction G est surjective, si G([/\i?]) = G([r\/?']) alors p- p' et donc
[r,/?]«[r',/?'], mais ici 2 étant complet [r,/?] = [r',/?'] d'où G injective. Si on pose
[r,/?]#[s,5] = [f, 71], T = po<j = <jop on a alors :
G([r,R]• [s,S]) = G([/, T]) = poa = G([r,R])• G([s,S]), d'où le résultat annoncé. V
3.3

CONCLUSIONS

(£,<!>,C) étant une algèbre de contact. On a donc, d'après ce qui précède, deux cas :
(1)- si [/%/?] est d'application sous-jacente p ,
[r,R]\->p\->[p,p(C)]
avec p=F([r,R]) et [p,p(C)] = G(p) de plus l'ordre p
est défini par (f p g) o ( / = p(g) v / = g),

48

(2)- si q> G Q>,

ç\^>[ç,ç(C)]\-*ç

avec[^,ç>(C)] = F(ç>) et q> = G([ç>,p(C)])

Dans le cas (1) Vf GR VgeC frgofpgetsx
f &R on ne peut
conclure. Néanmoins [r,/?] et [p,p(C)] ayant même application sous-jacente p , on a
donc [r9R] « [ p , p ( 0 ] . Ce qui entraîne (dans le cas d'un échelonnement complet) que G
et F sont inverses l'un de l'autre. Autrement dit, si on prend en compte les compositions
définies sur l'échelonnement et sur O, on a équivalence des points de vue entre algèbre
de contact complète abélienne et échelonnement complet abélien.
Plus généralement, 2 étant un échelonnement quelconque réduit et O l'ensemble de
ses applications sous-jacentes, si on considère l'application G : £ - » 0 définie par
[r,/?] = [r,/?]h->p , et si on pose G([rf,/?f]) = p f , on dira que pop 1 est défini si et
seulement si [r,/?]•[/•',/?'] est défini et est dans 2. Dans ce cas on a alors pop'= p'op
de plus 2 et O sont deux graphes multiplicatifs. G devient alors un néofoncteur
inversible dont l'inverse est encore F (2 étant réduit).
Pour reprendre la terminologie de Charles Ehresmann, les remarques précédentes
conduisent à la notion de NEOALGEBRE DE CONTACT où à la catégorie <P est
substitué le graphe multiplicatif <D ; les axiomes (1) (2) et (3) de la définition 1.1.1 étant
encore satisfaits.

49

4 CALCUL DES JETS
4.1 JETS DE TYPE ç
4.1.1

DEFINITION

Soit (k,¢,0 une algèbre de contact et soit <p e<I>. La relation suivante (qui dépend
du choix de (p) définie par : ( / « / ' ) o (<pf = <gf') est une relation d'équivalence sur C
et la classe de/est notée J9f ; c'est le JET DE TYPE <p D E / .

4.1.2 PROPOSITION
Avec les notations précédentes, si on pose V(f,g)eC*C Jç'f.J9g
Cl « est alors une catégorie notée J9C et J9:C ->• y C est un foncteur.

=

J9if.g),

A La composition précédente entre jets est indépendante des représentants choisis.
En effet si f'&J9f
et g'Gj9g, on a <pf'=çtf et <pg'=<pg, il en résulte
<PiJ' g) = <Pi<rf<Pg) = <Pi<tfy<Pg*) = <Pif 'g') d'où f'g'eJ9if.g).
Si on note a9 et
P9 les rétractions source et but de J9(Ç) on a a9(J9f) = J9a(f)
et
p
1
P^iJ^f) = J p\f) • Par ailleurs si on a ./'e = 7 V , on en déduit çe^çé puis e = e'
(en raison de 1.1.3 1-), ce qui prouve que J9\c0 est injectif et achève la démonstration. V

4.1.3 EXEMPLES
Dans ce qui suit les numéros renvoient aux exemples cités en 1.1.2 comme exemples
d'algèbres de contact.

\-J9f = 9\W})2-J9f = {geC/Xv.f
= Xvg}3- J9P = {Q e C / ordre(/> - Q) > <p}.
4- J9P = {Q e C / ordre(P - Q) > <p).
5-Jv"f = {gzC/f-çnf
= g-<png = o(<pj}.
6- Si <p est premier on montre que J9<p est l'ensemble des multiples de <p, plus
généralement on montre J9n = (ç>An).lk &N*/qAk = lj où <7 est défini par
(p = (çAri).q etaAb = pgcd(a,b).

51

l-J9f =
9

8- J iJ'if,x))

{g*PiX)lfcg}.
= J9f

est le jet infinitésimal d'ordre <p de/en x, tel qu'il a été défini

par Charles Ehresmann.
4.1.4

PROPOSITION

Pour tout/ de C, pour tout <p , qf de O tels que <p. '<p soit défini on a :

1-

J9faJ9'9/,

2- si on note Q>r la sous-catégorie des inversibles de <î> et si ^'e<E>r alors
y */ = y*>/,
3- si <p est idempotent . / ^ = J9f,

4- si <p.<p'=<p'.ç alors / V u y /

c y»"'/,

s-y^W^or'^V)
A 1 - Pour tout/de C on a: f'zJ9f

o

«f=«f

=>?'(#') = ? W )
^ (?»/'=(?>»/
d'où//c/'72- Pour tout/' de C on a :

/ ' e J9f

o çf' = çf
*><p'içf') = <P'ivf)

<*i<P><p)r=i<P'<P)f
O/'GJ99/,

d'où J9f = J9'9f.
3- Pour tout/' de C on a :

/ ' e J9qf o # ' = ^ ( # )
o/'eJ7,

4- Pour tout/ de C: f'eJ9f<jJ¥f

d'où r/Kjj9'/

c

Vo\xJ9qf = J9f.

<^> # ' = # v <pT=<p'f
=> <p'ivT) = <p'ivf) v <pi<p'f') = <pi<p'f)
<=> i<p'<p)f'=i<P'<P)f v i<p<p')f'=iç<p')f
<=> ($?'#>)/' = (?'?)/ (car <p.ç'=<p'.<p)
0 / ' 6 / 7 ,

y^/.

52

5- Pour tout/' de C on a :

f G J9' 9f o (q>' <p)f= (<p'. q>)f
oqf'Gjr'qf

<*fz(k(v,.)y\r'qf),
d'oixJ^f = (k{^.)y\rqf).

v

Il y a plusieurs façons d'étendre la composition des jets. Soit en définissant deux
actions de C sur J*C = [JJ^C (l'une à droite, l'autre à gauche), soit en étendant aux
parties de C la composition définie entre morphismes de C. Ce sont ces deux points de
vue que nous allons développer.
4.2

EXTENSIONS

4.2.1 ACTION DE C
On définit deux actions de C sur J*C :
1- à gauche, CxJ*C^>J*C
seulement si ( g , / ) GC*C,
2- à droite, (J*C)xC->J*C
seulement si ( g , / ) GC*C .

définie par (g.Jç>f)\-^gJ<pf

= Jg,(gf)

si et

définie par (Jç,gJ)^(J<pg)f

= J<p(gf)

si et

On remarque que les notations utilisées n'introduisent aucune distinction entre
composition dans C et composition dans J^C, l'abus de notation étant en l'occurrence
sans conséquences.

4.2.2 EXTENSION AUX PARTIES
A et B étant deux parties non vides de C, on étend aux parties de C la composition
entre morphismes de C en posant :
A*B={f GC/3(a,b)GAxB tel que cc(a) = fi(b)etf = a.b} .
Si on note A* B l'ensemble des couples composables de AxB,
et seulement si A*B est non vide.
En particulier
[f}%J<pg-f%J<pg-

A*B est non vide si

si (/.g)eC*C
on pose (J<pf)^{g) = (J9f)*g
et
Ces dernières définitions sont à distinguer des actions de C sur

53

La même distinction est à opérer entre J9 f J9g et J9f *J9g car on a seulement
JV • J9gc/(/-?),

par contre on a J9f.J9g

= &/(•/*/ • J*g) =

(J J*/r

PROPOSITION
On a les résultats suivants :
1- si <p.<p'=<p'.ç> et (/.g)eC*C, J9f
•J9gŒj"(f.g),
2-si geCr et ( / . * ) e O C , {Jrf)*g = J'{f.g),
3 - s i / e C , et(f.g)eC*C,f.J9g
= J9(f.g).
A 1-Pour tout /* de J9f*J9'g
relations qui suivent :

on a h = /\g'

avec çf'=çf

et <p'g'=<p'g d'où les

(¢^)// = ( ^ ) ( / 1 . ^ )
= (^.^)((^.^)/1.^.^)^)
= ( ^ ) ( ( ^ ) / . ( ^ 1 ) ^ )

= (^)((^(00-(*>(?'g'))
= (^.^)((^(^).(^^))

= (ç>y)((?>y)/.(ç>y)s)
=(?yx/.*),
d'oùJ7./>cJ"'(/g)2- L'hypothèse se traduit par h G y / •goh = f.g (avec <pT=(pf) d'où l'on tire
ç# = <p(<pf'.<pg) = q>i<ff <pg) - çifg) ce qui signifie h G J9if .g). D'où la conclusion
iJ<Pf)*g<zJq'ifg)
On peut désormais écrire en remplaçant dans cette dernière
relation/par f.g et g par g l :
(J'(f-g))*g

' <=^(C/'.g).g-l) = J'(f-(g-g-i)) = J'f
=>

(j'if.gfyg-^J'f

=> (cn/^WW^yvw
o
J*(f.g)c{J*f)*g.
Ce dernier résultat joint au premier permet de conclure à l'égalité :
(

.

/

'

/

)

•

*

=

•

/

'

(

/

•

*

)

•

3- Ce point se démontre de manière analogue à 2-. V

54

4.2.3 JETS D'UNE PARTIE DE C
Soit A une partie non vide de C. On pose :
J9A = {h eC/3a e A <ph = <pa) = (jj9a

= SatA,

a€A

et <p(A) = k(<p,.)(A) = {f <=C/3aeA f = <pa}.
En particulier on peut donner ainsi une signification à J9\J9f).
On énonce les
résultats suivants.

PROPOSITION
Soit (k,G>,C) une algèbre de contact, pour tout <p, <p' de O et pour tout / eC,
dans l'hypothèse où tous les composés sont définis, on a :
1- J9(J9f) - J9f, (noter que <p n'est pas nécessairement idempotent)
9 9
9,9
2-si <p.<p'=Ç>'.<P,J \j f)Œj f,
9
9
3-si <p est idempotent, et A une partie non vide de C J (<p(A)) = J A,
99
J9\J9iqff)),
4-si p'est idempotent, J 'f c
9
9
99
5-si <p.<p'=<p'.<p et qf est idempotent J '(J (q>'f)) = J '(q>'f),
9 9
6-si q>.qf-qf.q>tXi\q>, qf sont idempotents J \J (qf f)) = J" f,
1
7-si f eq>(C)r^qf(C) , q).qf=qf.q> et q> et ç? sont idempotents alors

y**/ = y(y«7).
A 1- On a J9(J9f) = Sat(J9f) = J9f en raison de la définition même du saturé.
2- Pour tout h eJ9\J9f)
on a ç>'/* = qf f avec f'<=J9f. On en déduit donc
iç.ç')h = {ç.qf)f^{q>\q>)f=q>\qft)^ç\qf)
= {q>\q>)f d'où A e / 7 - puis
9 9
9 9
l'inclusion J \J f) a J ' /.
3- On a J9A = \^J9a = [Jj9(qja)= [Jj9b = J9q>iA), car q> étant idempotent on a
(4.1.4 3-) y ^ f = J9f. On pose ensuite b-qxx d'où le résultat.
4- Pour tout h G y""/ on a :
(ç.ç')h = (<p.<p')f <x> <p(q>'h) = q>(<p'f)o<p'heJ9(q>'f),
ç'(ç'h) = q>'h donc h e J9\qj'h), d'où h G J9'(J9(ç'f)) puis J99'f czJ9(J9(qf

55

or
f)).

5- De 2- on tire J9(J*'{qf/)) c J9:'f\qf'/), de 4-, de l'idempotence de qf et de
<p.qf=qf.q> on tire J9'9 (qf f) ^ J9'(J9 (qf f)) d'où l'égalité.
6- De 5- on déduit J¥iJ9iqff)) = J*¥{9%f).
On montre ensuite
J"'(qff) = J"'f (ce qui se déduit sans difficulté de q>.qf=ç\q> et de l'idempotence).
7- Se démontre sans difficulté à l'aide des résultats précédents. V

4.3 EXTENSIONS D'ORDRE SUPERIEUR DE (k&Q
4.3.1 EXTENSION D'ORDRE 1
(k,Q>,C) étant un algèbre de contact, nous allons examiner la possibilité de construire
une néoalgèbre de contact sur 7\C) où Jw<& sera le graphe multiplicatif opérant sur
P(C) muni de sa structure de monoïde (pour la composition notée « • ») d'unité C0
Pour tout ç G<Ï> on a le foncteur J9 :C->J9C. On notera encore J9 l'application
y :P(Q^>P(C) définie en 4.2.3. Du fait de la composition des applications on a
V(ç7,<p')e<D2 VA eP(C) (J9 ° J9'){A) = J9(J9'(A)), en particulier J9(0) = 0. La
condition (1) de 1.1.1 est donc satisfaite. P(C) étant un monoïde, la condition (2) de
1.1.1 est évidemment satisfaite.
Pour tout ç>e<ï>, pour tout A et pour tout B de P(C) montrons qu'on a
9
J (A*B) = J9((J9A)»(J9B)) .
A Supposons A*B*0. Pour tout h'eJ9(A»B) on a qjh'=q>(a.b) = q>(qa.qib)
avec (a,b)eA*B. Soit d^J9a et b'eJ9b, on a donc qxi'=qxi et çb'=qJ}, or
J9acJ9A
et J9bŒj9B.
Comme de plus on a a'.b'e(J9A)»(J9B)
et
9
9
9
qjh'=q>(qxi'.q)b') = q>(a'.b') on en déduit alors h'eJ ((J A)»(J B))
puis finalement
9
9
9
9
J (A*B)czJ ((J A)»(J B)).
Pour tout h'eJ9((J9A)»(J9B)) on a qh'=qh avec h e(J9A)»(J9B), soit encore
h = a'.b' avec a'eJ9a et VeJ9b. a'.b' étant défini, a' et :b' appartenant
respectivement à J9A et J9B, il existe donc aeA et bsB tel que a'Gj9a et
b'eJ9b
avec qa'=qa
et q)b'=qjb. Par suite on a les égalités
f
çh'=qj(a\b ) = q)(qa'.q)b') = q>(qxi.qjb) = qj(a.b),de a.beA»B et qJi'=ç(a.b) on tire
h&J9(a.b)(zJ'p(A»B) d'où / ( ( J M ) » ( / 5 ) ) c / ( ^ » 5 ) puis le résultat annoncé.

56

Si A*B = <Z, cela signifie que A*B = (A x/?)m(C*C) = 0 ce qui revient à dire
que pour tout (a,b) de AxB
a.b est non défini. En raison de 1.1.1 (2) et par
contraposition qja.çb est alors non défini et donc (J9A)*(J9B) = 0. Dans ce cas on a
encore J9(A^B) = J9((J9A)^(J9B)).
V
Dans la définition de J0)® il importe de considérer des composés tels que
J*oj*'=j¥
où q>,q>\y/ appartiennent à O, ou des composés tels que
J* oj*' = j * oj9. Dans les deux cas les points (1) et (2) de 1.1.1 sont acquis. Dans le
premier cas le point (3) est évidemment satisfait, dans le second cas on a essentiellement
en raison de la commutativité de J9 o J9' .
(J9oJ*'WB)

=

J9{J9\A*B))

=
J9(J9'(J9'A^J9'B))
=
J9'(J9(J9'A*J9'B))
=
J9'(J9((J9(J9'A))*(J9(J9'B)))
= (J9' oJ*)((J*>oJ*>')(A)^(J9 oJ9)(B))
= (/o/)((/oy^)(^)t(/o/)(5))

Ce qui prouve que J9 o J9' vérifie encore (3) de 1.1.1 .
Il est à noter que nous avons déjà par deux fois constaté que la commutativité était
indispensable ; dans le chapitre 1 au moment de la construction de l'algèbre de contact
complète et au chapitre 2 pour la composition des échelons.
On peut s'interroger sur la nécessité de choisir l'algèbre de contact abélienne. Pour
avoir un élément de réponse il suffit de considérer A = {a} et de supposer q>.q>'= ç'.ç.
Supposons de plus que J9A = {a,a') et J9'A - {a,a",a m } alors on aura
J9\J9A) = (J9a)^(J9'a')
et J9(J9A) = (J9a)^(J9'a")^(J9a"').
Rien n'impose
9 9
9 9
que l'on ait J (J A) = J (J A)
même si on a (p.(p'-(p'.q>. Il n'est donc pas
nécessaire de supposer l'algèbre (£,<!>,C) abélienne.
On considère donc J(1)<I> engendré par toutes les applications de la forme J9 où
q> G O satisfaisant l'une des deux conditions récurrentes suivantes.
1- V F G J ( , ) O V G G J 0 ) O F O G G J ( 1 ) ( D si 3ip G®

FOG = J9

2- V F G J 0 ) O V G e J ( 1 ) 0 FoGeJ (1) d> si FoG = GoF
J{X)Q> devient alors un graphe multiplicatif; on peut désormais énoncer le théorème.

57

THEOREME
Si (£,<!>,C) est une algèbre de contact, J0)® le graphe multiplicatif défini ci-dessus
et k'.J{x)<S>xP(C)->P(C) l'application définie par k'(F,A) = F(A) alors
(k\J{l)<S>,P(C)) est une néoalgèbre de contact idempotente.
A Quelque soit A GP(C) on a évidemment (FoG)(A) = F(G(A)) d'où (1) de
1.1.1. Comme (P(C)^) est un monoïde (2) de 1.1.1 est également vérifié. Quant à (3),
deux cas ; ou bien FoG = JVf et dans ce cas (3) est vérifié, ou bien FoG = GoF et
dans ce cas on montre facilement que F©G vérifie (3) en reprenant l'argumentation
développée plus haut pour J9 o / . En ce qui concerne l'idempotence, il suffit de s'en
assurer pour J9 o J9' quand J9 o J9' = J9' o J9 9 ce qui ne présente aucune difficulté. V
Bien que (£,0,C) ne soit pas nécessairement idempotente (k\ J(l)Q>,P(C)) devient
une néoalgèbre de contact idempotente.
En particulier si A-{f)
et B-[g)
et f.g
défini on a
^ 1 { / } # f e } ) - ^ ( J 1 { / } ) # ^ ( f e } ) ) S i o n i d e n t i f i e {/}•{#} a v e c /g
on a
9
9 9 m 9
(attention aux compositions qui ici sont différentes) J (/g) =
J (J / J g).
9
9
9
9 9
9
9
Cependant on a toujours J (f.g) = (J f). (J g) = J (J f • J g) = Sat(J f • J9g) .
4.3.2 EXTENSION D'ORDRE n
On peut désormais réitérer la construction précédente en posant :
k(0) = k , y(0)(D = O , P<0'(C) = C,puis *(1) = *' et P<U(C) = P(C).
Dès lors pour tout entier n > 1 on pose :
Jin+1)Q = jV)(ji»)(&)

9

p(n+V(C)

= P(p(n,(C))

,

et l'application associée
k(n+X): J(n+1)<D x P(n+v(C) -» P(n+v(C).
On notera
(k(n\J(n)^P(n,(C)) = (k,Q>,C)(n)
la néoalgèbre de contact qui est L'EXTENSION D'ORDRE n de l'algèbre de contact
(*,0>,C).
Nous verrons au chapitre 9 d'autres extensions déduites de l'algèbre de contact
(£,<Ï>,C). En particulier ces extensions permettront de donner un sens aux notions de
jets holonomes et de jets non holonomes.

58

4.4 ESPECE DE MORPHISMES ASSOCIEE
4.4.1 PROPOSITION
Soit (A,0,C) une algèbre de contact, on a les résultats suivants :
1- Ve eC 0 J9e est une sous-catégorie de C(e,e) (et donc de C) telle que si
/ GJ9e est inversible alors f~[ Gj9e .
2- Si on note J9CQ = [JJ9ey
g^>7r(g) = e si gGj9e

n

l'application

n\J9C0-+C0

et k' l'application :
k':Cy*J9C0-+J9C0,

(/,g)»/gr]=k'(f,g)
9

définie par

(où Cr*J C0 est le produit fibre awn)

= fg

définie par (/,g) H> f.g.f~] = k'(f,g) = fg.

On vérifiera que f.gGj9e'
quand g Gj9e
et f GC(e,e') ,rj=(Cy,J9C0yk') est
alors une espèce de morphismes à laquelle est associée la catégorie produit croisé
Cr xk,J9C0 qui a pour morphimes les triplets de la forme (A,/,e) où hGj9J3(f) et
a
(f) - e Les morphismes de ce type se composent comme suit :
(h\f\e').(h,f,e)
= (h' f'h,f
f,e), le composé étant défini si et seulement si / ' . /
est défini.
A 1- Evidemment J9e est non vide puisque eGJ9e, de plus on a
\/(f,g)Gj9exJ9e
f.g défini et donc <p(f g) = <p(qf (pg) = ç((pe.(pe) = q>(e.e) = <pe
9
d'où f.g Gj e. Soit / Gj9e inversible donc f~] existe. On pose q>(f)q>(f~l-c on
peut alors en déduire :

(P(f)q>(f'l = c ^ q>(ç>(f).q>(rl) = q>(c)
=> cp(f.fl = qx:
=> çe = qx:.
Donc c - q>(f)q>(f~x) appartient à J9e . Par ailleurs on a q>(f) = cp(e) ; on peut donc
écrire :
q>ie)<Pif~]) = c => <p(ç(e)q>(f~x)) = q>(c) = qx>
=>q>(e.f') = (pe
=><pf~x =çe,
et donc / ' G J9e.

59

J9é

^Z>M

J9e

J9<pë>
a

l i

JvCn

h'

f'h

h

71

C

Dans le diagramme ci-dessus 7r:J9C0 —»C0 est une application surjective définie par
g h-> e si g G J9e, on a donc Cy * J9C0 = a v n, produit fibre de a et de n. On vérifie
de plus que si e * e' alors on a J9e n y V = 0 et J^Q est une catégorie telle que deux
morphismes sont composables si et seulement si ils appartiennent à la même fibre
/r"1 (e) = J9e au dessus de e.
On vérifie sans peine les propriétés suivantes :
a) v(/,g)GC r *y*c 0 v ( / , / ) G C r * c r

(/\/g)GC r *y*c 0

b)VgerC03\eeC0

(e,g)eCr*J9C0

c) v(/, g )GC y *yc 0

(/,g)GC r *y*c 0 «(a(/),g)GC r *y*c 0 ,

(f'.f)g=f(fg),

,eg = g,

d) V<? GC0 3g e./'C 0 («?,*) eC r *y*C0.
Par ailleurs on a :
<Pifgf~>) = <Piif.g)f~l) = <p{<p(fg)q>{f'])) = 9(<Piqf<Pg).<Pif-x)), puis
<Pi<Piçf <pg)<Pif~1)) = 9iq>i<Rf q*)<Pif~X)), car çg = qx> ce qui permet d'écrire
<p(q>(qf.(pe).ç(f-])) = ç((p(f e).<p(f-')) = <p(qf .<p(f-1)) = ?>(// ') = ce' et donc
de conclure en disant que fg = f.gf
' eJV. V

60

En 1- il a été établi que chaque fibre au dessus de e est une catégorie, reste à montrer
que l'application J9e-^J9e'
définie par g n / . g . / " 1 est un foncteur (avec
/ GC(e,e')) et que f.g./'1
Gj9e . Pour tout g et g' de J9e on a :

fig'g) = fig''.S)./-1 =fg'gf]
]

prouve que g i - > / g /~

=fgT]fgrl=ifg')ifg),

ce

qui

9

est un foncteur de J e vers J V . V

En particulier si C est un groupoïde on peut énoncer la proposition suivante.

4.4.2 PROPOSITION
(£,<!>,C) étant une algèbre de contact sur le groupoïde C, si on note Ge le groupe en
e (c'est à dire C(e,e)) alors H9 -J9e
9

9

alors J f =f.H

9

est un sous-groupe de Ge et si / GC(e,e')
9

= H .f

et rj = (C ,J C0,k')

est encore une espèce de morphismes

à laquelle est associée la catégorie produit croisé C xk, J9C0.
A D'après 4.4.1 H9 est une sous-catégorie de Ge. Pour tout h G H9, /T1 existe car
C est un groupoïde et h'] G H9. Finalement H9 est un sous-groupe de Ge.
Si a(f) = e montrons qu'on a J9 f - f H9. Pour tout f'Gj9
f-(/•/!•

f = /•(/'

/1

avec /\fGGe.

f on a qfy-qf

or

On peut donc écrire:

^-^^) =^^^)-^)=^^/^)-^)=^/^-/)=^=^"
9
l
9
9
f\fGH e
et f = f.(f- ./le/.H:
et en conséquence
J faf.H e.

en

résulte

Pour tout / ' de / / / f
on a f=f.h
avec h G H9,
et donc
qf=q>(fh) = <P(qf<(h) = q>(<ff<(x) = P(/-*) = ¢/
finalement
çf=qf
d'où
9
9 9
9
9
fGj f,
et en conséquence f.H aJ f
puis f H - J f. On démontrerait de
9
9
même J f = H .f . V

Remarques
1 - Si C(e, <?' ) * 0 , / / ; est isomorphe à //*.
2-Pour tout f\fde
C(e,e') non vide, •/*/ est en bijection avec */*/'
3- Si C est un groupoïde transitif, \/(e,e') GC2 H9 est isomorphe à H9. Le calcul
des jets dans un tel groupoïde se ramène au calcul de H9.
4- f~] fGj9eoçf
= çf.

61

A 1- Il suffit de considérer l'isomorphisme F:H9-*H9
1

où g GC(e,e')
9

p a r g h - ^ / . g . / " . 2- se déduit immédiatement de 1- et de J f

9

=f.H .

défini

3- découle

directement des deux remarques précédentes.

4-Def-l.feJ*e

on déduit ç(f ~lf 1 = q* , or f.(f-\f)

= (f .f-l).f

=f

d'où

<p(f(fx / ) ) = # • <=> <P(vf<P(rl/i)=#•
=> <z>(# C*) = # '
<=> ?>(/ e) = qf

oqf
Inversement de f'\f=(f~x

f').e

= çf.

on déduit

<p(/-]f) = <p((/-lf)e)
= <P(<K/-Ify<pe)
= <p(<p(9(rl<ïfl.<pe)
= <P(<P(<P(/~lyvfy<pe)
= <p(<p(f-lf)çx)

(car qf = qf)

= ç(q)e.<pe)
= q>(e.e)
= qx>

d'où f \ f

9

GJ e

V

D'autre part si on se donne une espèce de structures, à quelles conditions peut-on
associer à cette espèce de structures une algèbre de contact ? Le théorème suivant donne
une réponse partielle à cette question puisque reste le problème général d'associer
librement à une espèce de structures quelconque une (ou des) algèbre(s) de contact.

4.4.3 THEOREME
Soit (C,E,k')

une espèce de structures et 7r:E-^>C0 l'application surjective telle
{

que \/e GC0 n~ (e) soit un sous-groupe de Ge où tout élément est idempotent. Soit O
l'ensemble de toutes les sections de ;r, c'est à dire l'ensemble des applications
(p:C0-^ E définies pour tout e GCQ par e h-» cp(e) G7r'l(e) telles que (;r°ç?)(e) = e . On
définit sur O la loi de composition suivante : O x O - > $ définie par

{(p\(p)\-^qf*(p

telle que <p'*(p:C0 -> E soit définie pour tout e par (ç>'*(p)(e) = q>'{e).(p{e). Il s'en suit
que

<p'*<p est encore une section de

k.^xC^C

telle que V(#>,/) e O x C

n.

Par ailleurs on définit
1

k(<p,f) = ç(e')f.ç(e)

où

l'application

fGC(e^).

(/r,<E>,C) est alors une algèbre de contact idempotente sur C qui de plus préserve les
unités de C.

62

A II résulte immédiatement des hypothèses que pour tout eeC 0 et pour tout q> eO
on a :
k(ç,e) = q>(e).e.q}(ey] =e,
k(ç,<p(e)) = <Pie)<Pie)<Pie)~x = çie),
k(<p,<p(ey) = q>(e).q>(e)-\q>(eyl = q>(e)-]
Par ailleurs si / eC(e,e') et g &C(e\e") on a :
k{q>,g.f) = q>{e").g.f.q>(ey]
= ç(e").g.q>(e'y\(p(e<).f.<p(eyl
= k(q>,g).k(<p,f).
Ce qui prouve que k(q>,.) est un endofoncteur de C.
Examinons maintenant l'idempotence d'un tel foncteur.
k(çMq>J)) = k(q>Mel/(p(e)-l
=
k(<pMel)k(çjyk(q>Me)])
= ç(e').ç(e'yf.q>(e)-\ç(e)1
= q>(elf q>(e) X (nx{e),n~\e')étant formés d'idempotents)
= k{q>,f). Ce qui établit l'idempotence de k(ç,.).
Examinons le point (1) de la définition 1.1.1,
k(q>'*çj) = ç\e>).ç(e').f.(ç\e).ç(e)y]
= q>'(e').ç(e').f.q>(ey\<p'(ey]

= çt(e').k(9J).0(erx
= k(ç\k(çj)).
Pour terminer il suffit de vérifier que / . / ' e s t défini si et seulement si
k(<p,f).k(cp,f) est défini, ce qui est immédiat, ceci achève la démonstration. V
Ce théorème nous donne donc (en dehors des échelons) une autre possibilité de
définir des algèbres de contact sur une catégorie C. L'accent est mis ici sur le lien qui
existe entre sections de n et algèbre de contact, ce qui n'est pas tout à fait fortuit
comme on s'en doute.

63

4.5 FONCTEURS TT
4.5.1 DEFINITIONS
Soit (£,<!>, C) une algèbre de contact et e0 eC 0 telle que C soit une catégorie
e0-TRANSITIVE, c'est à dire V<? eC0 C(eo,e)*0. Pour tout <?eC0, on pose
T9e = [x eJ9C/X

= J9f avec / eC(e„,e)j, ce qu'on peut encore noter J9(e0,e) et

si geC(e,e') on définit l'application T9g:T9e -» T9/ par

J9f^J9(g.f).

T9e est l'OBJET (e0,q>) -TANGENT à e ,
T9g est le MORPHISME (e0, qf) -TANGENT à g.
Tout au long de ce paragraphe C est supposée e0 -transitive. On énonce les résultats
suivants.

4.5.2 PROPOSITION
Si on note TTC l'ensemble des morphismes (e0,qf) -tangents à un morphisme de C,
TTC est naturellement muni d'une structure de catégorie, et de ce fait T9:C -t T9C
devient un foncteur qui vérifie pour tout e, e', e0 de C0 et pour tout q> e 0 la propriété
suivante :
T?enT9e'*0 => e = e\
Remarquons de plus que T9e r\ T9e * 0 => e()-ex.
A h et g étant deux morphismes de C tels que h.g soit défini, si a(g) = e alors pour
tout J9f de T?e on a :
(T9(h.g))(r/)

=

r((h.g).f)

=
=

J9h.J9gJvf
J9h.J9(g.f)

=

(Tf0h)(r(g.f))

64

Ce qui prouve que T9 est un foncteur. T9C a pour rétraction source a9o définie par
<0(T9g)

= T9a(g) et pour rétraction but /% définie par fi^(T^g) = T9P{g). Le reste

s'établit grâce au 1- de la proposition 1.1.3. V

Il est clair que tout ce qui précède a pour seul but de présenter la notion d'espace
tangent, notion bien connue dans le cas des applications différentiables pointées entre
variétés différentiables pointées, et dont nous allons donner une présentation élargie dans
le paragraphe suivant.
A

Dans le cas classique e0 est le germe de IdR en zéro et donc noté (R,0). Le choix de
e0 commande alors le type defibretangent auquel on s'intéresse.

4.5.3 FONCTEURS T? SUR O
^

_

_

_

_

_

e0

—

—

—

Si A et B sont deux parties non vides de C0, supposons qu'on puisse définir
l'application F:A-^> C(A, B) qui à chaque objet a de A associe un morphisme de C dont
la source est a et le but est dans B avec B = /3(F(A)). F est alors une section locale de
la rétraction source a .
Si F:A -^C(A,A') et G.B->C(B,B') sont deux sections locales de a , on définit
le composé de G par F de la manière suivante ; G°F:A-> C(A,B') et G° F est défini
si et seulement si A'-B.
(G°F)(a) = G(/3(F(a))yF(a).

Dans

ce

cas

on

a

pour

tout

a

de

A

Il est clair que cette composition (quand les composés sont définis) est associative et
confère à l'ensemble des sections locales de a une structure de catégorie notée Cs. Les
rétractions source et but sont respectivement notées as et fîs et sont définies pour
F:A-+C(A,B)
par as(F) = iA et Ps(F)-iB,
où on a iA.A-*C(A,A)
définie par
a\->iA(a) = a.
Dans toute la suite on considère T9A = (J T9a l'espace (e0,q>) -tangent à A et T9F
l'application (e0,<p) -tangente à F définie par :
T9F:T9A->T9B
où X = J9f,

f eC(e0,a),

a G A,

X»F(a).X
F:A-^>C(A,B).

65

=

J9(F(a).f)

PROPOSITION
Soit F:A^>C(A,B) et G:B^>C(B,B'), G°F est donc définie et telle que
T (G°F) = (T9G)o(T9F). Ceci nous permet d'affirmer que TTC, = UfâF} est une
9

FeC,

9

catégorie et T :CS -> TTC, devient un foncteur. TTC, a pour rétractions source et but
respectivement

<,,

et

p\,

définies

al,(T9F)=T9A

par

= T9iA

et/^(7^)=7^=7^.
A Soit X = J9/

où / eC(e0,a) et a e A. On peut donc écrire :
(T9(G°F))(X) =

J9((G0F)(a).f)

= J9(G(b). F(a).f)
= y(G(*).(F(a)./))
= (ÇG)(./*(F(fl)./))

(avec 6 = /3(F(a)) )

= (^)((^)(^/))

=

(T*G\(T9FyX))

= {{T:G)O(T9F))(X)

.

Ceci prouve donc T9(G°F) = (T9G)o{T9F) quand G°F est définie. Par ailleurs si
T9A = T9B on déduit facilement A = B, ce qui prouve que 2T

est injectif et achève

la démonstration. V
On peut définir de manière tout à fait duale :
-

T9*e = {X GJ9C/X

= J9f, f GC(e,e0)} l'objet (e0,ç>)-cotangent à e,

T9*g \T9*ey-+T9*e le morphisme (e0,ç) -cotangent à g GC(e,e}) défini par

r/^n/g),
T9*A = (J T9*a, l'espace (e0,<p) -cotangent à A,
a*=A

9

T^ET *A->T9*B,

l'application

(e0,ç>)-cotangente

à

F

définie

par

X = J9f\-+J9(f.F(a))J
avec f eC(a,e0) et E:A->C(B,A) qui est alors une
section locale de /?. De telles sections locales forment une catégorie qu'on peut noter
Q (b comme but).

66

5 PRODUITS ET
PRODUITS FIBRES
5.1 PRODUITS SUR LES ESPACES DE JETS
Dans ce paragraphe on examine dans quelle mesure les produits finis peuvent être
préservés par les foncteurs J9 et T9.
Nous rappelons que q> régulier signifie (cf. 1.5.1) que q> préserve les unités et que
pour tout composé de la forme pf ou g.q où p et q sont des projections choisies on a :
<P(P/) = PÇ/ et ç(gq) = <pgq
5.1.1

PROPOSITION

Si C est à produits choisis de deux unités, si q> est régulier et si ex e' est un produit
choisi alors J9(exe')
est un produit dans J9C. On posera donc
J9(exe') = J9exJ9e'.
A Dans J9C on considère le diagamme suivant.

J9{exe')

J9e

J9e'

Du fait que J9 est un foncteur surjectif, il existe q, q\ e" dans C tels que Q = J9q,
Q'=J9q' et E"=J9e".
Il faut noter que l'égalité E"=J9e" signifie ici que J9e"=J9a(q)
etfinalemente" = a(q) car q> GO° .

67

puis <pe"=<pa(q)

Soit ur.J9C^>C l'application définie par J9f H> m(J9f) = qf. L'image

tn(J9f)

ne dépend pas du représentant choisi, m apparaît ainsi comme une section de J9.
Par m le diagramme précédent (en tenant compte de 1.5.2, q> étant régulier) devient.

exe
Pe

exe'

étant un produit, il existe alors un unique h GC(e",exe')
h

et

i

9

9

d où

tel que

tire
&(Q) = <P<l = Pe
^(Q) = V9 =Pe'- ^
'
!'
J9(&(Q)) = J9(Peh) = J9pe.J9h. Par ailleurs on a J9(m(Q)) = J9(pq = J9q = Q car
q> est idempotent (cf. 4.1.4). On a donc trouvé J9hGj9C tel que Q = J9pe.J9h et
Q-J9pe.J9h.
Montrons qu'un tel J9h est unique.

Supposons qu'il existe J9h' tel que Q = J9pe.J9h',

h

on

alors on a :

9

m(Q)=m(J pe.J h')=m(J (pe.h'))
= ç(pe.h') = pe^
car ^ O r
et donc
(pq = pe(ph\ de même on a (pq'-pe.(ph' . ex e' étant un produit, on sait qu'il n'existe
qu'un seul h tel que (pq = pe.h et <pq' = pe.h d'où h = <ph'. On en déduit cph = <ph' (q>
étant idempotent) et donc J9h = J9h\ ce qui achève de prouver que J9{exe') est un
produit dans J9C . V
Remarque
Au travers de la proposition précédente nous venons d'établir que le bon candidat au
rôle de produit dans J9C était (moyennant certaines hypothèses sur (p) J9(e x e'). Si
on regarde J9e X J V comme étant un produit calculé point par point dans £ n s et
défini par J9eXj9e'
J9(exe').

=

( ^ ( s x ^ ) il est alors possible de plonger J9eXj9e*

dans

Ceci est une conséquence de 1.5.2 3-, car nous avons pour tout sxs' de

J9e X J V :

q>(s xs') = qxsxçs*
-(pex(pe}
(car s G J9e et s' G J9e' )
= (p{e x e' ) .

68

Ce qui prouve que s x s' G J9(e x e' ) . Si on regarde J9e X J9ey comme produit dans
J9C, la confusion est lourde de conséquences puisque nous n'avons que l'inclusion
J9eXj9e'

czJ9(exe')

; toutefois J9eXj9e'

détermine sans ambiguïté

J9exJ9e'.

Dans la suite on réserve le symbole « X » pour le produit cartésien.

5.1.2 COROLLAIRE
Avec les hypothèses énoncées en 5.1.1 on déduit immédiatement :
1 - J9pe = pjU.

K, avec J9(e xe') —^—> J9e x J9e' isomorphisme,

2- J9Ae = K'. AjWg, avec J9e x J9e ——> J9(e x e) isomorphisme,
3- J9fxJ9g
et J9a(f)
4-

= H.(J9(fxg)).H\

x J9a(g) —^-> J9(a(f)
m

[j*fJ g]

J9(P(f)xp(g))-JL^j^(f)xj^(g)

avec

x a(g)) ,HetH' étant deux isomorphismes,

= H{j*[f9g%

avec

J9(fi(f)x

/?(g))-^-> J*fi(f)

xj9/3(g)

isomorphisme.
En ayant J9f - J9g on est naturellement assuré d'avoir qf = <pg, ce qui n'est plus
tout à fait le cas dans ce qui suit pour les foncteurs T9, d'où la nécessité de formuler une
hypothèse supplémentaire pour chacune des deux propositions suivantes.

5.1.3 PROPOSITION
Si C est e0 -transitive et à produits choisis de deux unités, si q> est régulier et tel
qu'on ait V(/ 5 ) g)GC 2 T9f = T9g => qf = <pg, si exe' est un produit choisi alors
T9(e x e') est un produit dans T9C . On posera donc T9(e xe')= T9e x T9e'.
A Noter qu'on a toujours qf = cpgo J9f = J9g => T9f = T9g . En effet pour tout
X de T9a{f)
J9f.J9h

on pose X = J9h

= J9g.J9h - (T9g)(X).

et on a(T9f)(X)

= J9(f.h)

= J9f.J9h

Dans T9C on considère le diagramme suivant.

69

puis

Du fait que T9 est un foncteur surjectif, il existe q, q\ e" dans C tels que Q = T?q,
Q'=7%q' et E"=T9e".
Dire que T9e" est une unité dans T9C signifie que E"= T9e"= T9a(q) et par suite
on a e" = ce"- q>a(q) = a(q) . Ce qui prouve qu'ici encore on a e" = a(q) car q>G<&°.
Yl.T9C^>C

Soit

hypothèses

l'application définie par

précédentes

on

devient :

n ( 2 ' ) = p ( i , d'où TT,(Yl(Q) = 7^( A .A) = Çp. <> ^
T9e0

Q = 7^7

on a

on

également

a

en

le diagramme précédent (q> étant régulier on a

exe' étant un produit, il existe un unique h GC(e",exe')
Avec

Avec les

T9f = T9g o qf - <pg o Yl(T9f) = U(T?g),

a

particulier Il(7^e) = e. Par n
n(77/?,) = qpe=pe)

T9f h*Il(Te9f) = qf.

tel que 1*1(0 = pe.h et

et Tfo(U(Q)) = 7 ^ , o 7 ^ .

11(0 = <pq et on vérifie

que pour tout X

TTo(U(Q))(X) = (T9(qx}))(X) = J9(çq.h)

^(W.A) = y w J * h = J9q.J9h = (rToqXJph) = Q(X).Ona

de
puis

donc 7 ^ ( n ( 0 ) = 0 et

finalement Q = Ç A o £ / , , Q<= ^p, o 7^A.
Montrons qu'un tel TTh est unique. Supposons qu'il existe
Q=Te9oPeoT;oh< et G ^ Ç / v - Ç A 1 , onaalors Ç * = Ç ( / V * ) .
Soit

encore,

^-^(Pe'^l

en

prenant

= Pe ffi »

car

P

l'image
est

par

n,

T9h' tel que
T9q^T9(pe,.h').

(pq = q>(pe h') = pe <ph' et

régulier. Pour les mêmes raisons déjà invoquées en

5.1.1 on a h = ç # et donc ç# = ^ ' puis J*7? = J<7/' et finalement T9h = T9h'. On en
déduit donc que T9{e xe') est un produit. On pourrait, comme précédemment, faire une
remarque analogue à celle que nous avons faite en 5.1.1

70

Précisons cet isomorphisme en considérant le diagramme suivant.

TTexTTe'=TTc
e

0

«0

TT(exe')

T9(exe') a pour éléments les jets Z du type J9h avec heC(e0,exe'). Soit *F
l'application
ViTT^exT^e'^T^exe') , définie par
Z\^J9(f,g)
où f = &(pT,e(Z)) et g = m(pT,e,(Z)), ici /eC(e 0 ,e) et g&C(e0,ey). m est
l'application ur.J9C -» C définie par J9f h-> ¢/.
Nous

allons

montrer

que

*F

vérifie

¥o\T9pe,T9pe,] = T9(exe')

[27^,27/^.10^ = 27e x 27^, où T9{exe') est identifié à Id9i

, et Te9exT9e' est

identifié à 7 # r W V .
Soit J9heT9(exe')

avec h&C(e0,exe') et h = (f,g) = (pe.h,pe,.h). On peut

donc écrire :

(^°[7;>e,7:>,])(^)=(^o[r;A,7:>,])(^(/,g))
= * V ( A (f,g)uv(p, (f,g)))
= v(rf,j9g)
=

J9\^iPT.e(i^f,J'Pg))),tlT(PT9e.((J9/,J9g)))

= J9i<Pif,g))
= J9(f,g)

71

et

(cf. 15.2 4-^ étant régulier)
( car Ç> idempotent)

De même pour Z sTTex TTe' on aura

i^pe, 1Zpe]oV)(Z) = [TZPtJ9pe](^(Z))
=[ÇP.,ÇP,](./*(/.S))
=
iripAf,g)\Jvipe-if,g)))
= iJ9f,Jvg)
J9(m(pT,e(Z))),J9(v(pTre,(Z)))
pT,tizipT,eXZ)
(car J9(m(J9k))

= J9(q*) = J9k donc J*(vj(pT,e(Z))) = pT,t(Z)

; pT,t(Z)

étant un

jet).
Poursuivons le calcul,

(Z)

p

rypry

PTleiZ\PTyiZ)

«0

«0

=z
(car % ' ^ r V

= IdT,eTfe, ; en raison du fait que 7^e x T9e' est un produit, on a

unicité).
On en déduit donc que *F = \T9peyT9peA

.V

5.1.4 PRODUITS DANS C
Jusqu'à maintenant les produits définis sur chaque catégorie image l'étaient de
manière naturelle. Dans le cas de Cs , il en va différemment ; une première fois en ce qui
concerne la composition des morphismes, une seconde fois pour y définir la notion de
produit. C'est ce second point que nous allons développer.
Soit F GCS . Comme morphisme de Cs nous noterons A——>B, avec as(F) = A
et fis(F) - B mais comme application nous noterons F: A -» C(A, B).
AetB étant deux parties non vides de C, on définit ^ x f i e n posant :

AxB=

\J{axb).
a^A,b*zB

72

En supposant que pour tout a de A et pour tout b de Bt axb existe et soit un produit
choisi, AxB est alors une partie non vide de C 0 . Il faut noter que A x B n'est en aucun
cas le produit cartésien de A par B. AxB peut être regardé comme l'extension aux
parties du produit défini dans C.
Montrons que c'est un produit dans Cs. On définit PA:AxB-:>C(AxByA)
par
ax
est
a
axb\-> PA(axb)
où
PA( *)
'
projection choisie définie par
p ia b)=p
axb— * * ° >a. PA ainsi défini est de toute évidence une section locale de a et
donc on a PA GCS , avec as(PA) = AxB et J3S(PA) = A d'où la notation
^1x5 —£*—> A . On définit de manière analogue AxB —^—» B.
On considère dans Cs le diagramme suivant.

AxB

B

Il faut montrer qu'il existe un unique K GCS(E,AXB)
P2 = PB°K. Pour tout eGE on a:
PrE^>C(EM)
et
Pxie)
e\-*(e•>#/>(*)) =a')
On a donc dans C.

a'xb'

PAà

b'

a

73

tel que P{=PA°K

et

P2:E-^C(E,B)
e H> (e

^e) >j3(P2(e)) = b') .

Comme a'xb' est un produit dans C, il existe donc un unique k eC(e,a'xb') tel que
Px(e) = PA(a'xb').k et P2(e) = PB(a'xb').k . Cet unique k dépend évidemment du choix
de e, ceci permet donc de définir K.E -> C(E, AxB) par e H» K(e) = (e—*-+a'xb')
L'unicité de £ résulte de l'unicité de e—k-+a'xV pour chaque e.
On a donc pour tout edtE:
(PA°K)(e) = (PA(0(K(e))).K(e)
= (PA(a'xb')).K(e)
= 7>(e).
On afinalementPA°K = Pl. On montre de même PB°K = P2.ll résulte de tout ceci
que AxB est un produit dans Cs que nous qualifierons désormais de « produit choisi ».
Nous pouvons énoncer la proposition suivante.

PROPOSITION
Si Cest e0 -transitive, si C, est à produits choisis de deux, si q> est régulier et tel
qu'on ait :
V(F,G)eC. 2 (ÇF = ÇG) =>(<.(*-) = < , ( G ) W e < , ( F ) ^ ( e ) = pG(e)) ,
si AxB est un produit choisi alors T9(AxB) est un produit dans T9CS On posera
donc T9(AxB) = T9AxT^B.
A Noter que, comme en 5.1.3, on a toujours :
(Ve eal,(F)

= E q>F(e) = qG(e)) => (T9F = T9G).

En effet VX e TTE on pose X = J"7/ avec // eC(e0,e) et e e £ , il en résulte :
(T9F)(X) = J9(F(e).h)
= J9(F(e)).J9h
= J9(G(e))J9h
= J9(G(e).h)
= (T9G)(X),
d'où TTF = T9G .

74

Dans 37c, on considère le diagramme suivant.

TTA
e

o

T9B
On définit l'application U,:T9CS^CS

par T9Fh*ïl,(Te9F)

où

FeCs(A,B).

Yl,(T9F).A^>C(A,B)

est l'application définie par a*-+qF(a) eC(a,J3(F(a))), les

hypothèses

permettent

énoncées

de

s'assurer

que

T9F = T9G

implique

ns(T9F) = ns(T9G). On vérifie US(T9A) = A et 1 1 , ( 2 ^ ) = PA
On a TIS(T9A) = n,(T9iA):A-+ C(A,A) définie par a^>qÂA(a) = qa = a on en
déduit doncTls(T9A) =i4 = A .
On a PA:AxB->C(AxB,A)
définie par axb\-^> PA(axb) = (axb—Es—>a), par
ailleurs 1 1 , ( 7 ^ ): A x B -> C(A x B, A) est définie par
a x ô H <pPA(axb) = qpa= pa = PA(a x b) (car q> est régulier).
On en déduit donc 11,(7^,) = PA .
En conséquence le diagramme précédent devient par Y\s .

ns(E")

ns(F)

75

AxB étant un produit dans C, , il existe donc un unique H eCs(Us(E"), AxB) tel
que
US(P) = PA°H
et
n,(P') = PB°H,
d'où
9
9
9
9
T (U,(P)) = T (PA°H) = T (PA)oT (H). Or \/X e Ç ( n , ( £ " ) ) on pose A W A
avec /i eC(e0,Tls(E")) et P = 7;*0 , il vient :
(T9(ns(PMX)

= (2j(n,(/o)X^*)
= J9((Yl,(P))(P(h)).h)
= J9(qQ(P(h)).h)
= J9(<pQ(B(h))).J9h
= J9(Q(P(h))).J9h
= J9(Q(P(h)).h)
= (T9Q)(J9h)
= iTe:Q)(X)

d'où P = T9(PA)oT9(H). On montre de même P'= T9(PB)°T9(H).
Montrons qu'un tel T9(H) est unique. Supposons qu'il existe TT(H') tel que
P = T9(PA)oT9(H')=T9(PA°H')

et P'=T9(PB)oT9(H') = T9(PB°H'). Par n, on

aura n,(7£(P//0):n,(£")-»C(n,(£"),j4) définie pour tout e"en,(£")

par

n,(3J(P//T)Xe") = q>(PA(P(H'(e"))).H'(e").
Si on pose e" "'(g,) >qxl>, on a P(H'(e" )) = a x b et P(<pH'(e"))=axb car
ç>e<I>0 et PA(axb) = pa avec ax£—^^—^a d'où :
n i ( ^ ( P / / / , ) ) ( e " ) = ç>(pû.//'(e"))
-pa.q>H\e")

(car 40 régulier)

= ^08(^-(0)).^(0
= (/><>//')(0Cette dernière égalité étant vraie quelque soit e"eIls(E")
on a donc
^ ( ^ ) = ^ ( ^ ( ^ / / / - ) ) = ^ / ^ / 7 1 . Sachant que Ils(P) = PA°H et Tls(P) = PA°q>H\
en raison de l'unicité de la factorisation on a H = q>H' et donc
V a s «£,(//) q>H(a) = <pH'(a) soit q>H = <pH' et finalement T9H = T9H\ d'où
l'unicité de 7J//.

76

Si TT^A x TT^B existe dans T9CS alors ce dernier produit est isomorphe à T£(A x B)
et s'il en est ainsi pour tout produit choisi dans C, alors T9 préserve les produits choisis
de deux. V

J

5.2 PRODUITS FIBRES DANS LES ESPACES DE JETS
Rappelons que <î>° est la sous-catégorie de O formée des morphismes préservant
toutes les unités de C et que q> e 3>c signifie qu'on a :
(1) <pe®°,<st
(2)/et g étant deux morphismes de C tels que qtfvqjg existe dans C on a :

\/(t,f)zC2(q>(f.t)

= q>(g.f) => qf.q* = qjg.q*').

5.2.1 PROPOSITION
Si / e t g sont deux morphismes de C tels que qf v<pg existe, et si on a q> e $ c alors
Jv(qfvqjg)
est
un produit fibre dans
J9C.
On posera donc

J9(qfvqJg) =

J9fvJ9g.

A Considérons dans C le carré cartésien suivant et son image par J9 dans J9C.

<ffvq>g

fZ

J9p'

J9/

\ P

Jv(<if^<pg)

rg
Sachant que q> e O 0 , ¢3 est alors idempotent et dans ce cas (4.1.4 3-) J9qf = J9/

et

J9qjg = J9g . J9 étant un foncteur ; la commutativité du premier carré entraîne celle du
deuxième. Il nous reste à montrer que J9(qf v qjg) est un produit fibre dans J9C. Pour
cela on considère dans J9C le diagramme suivant où J9f Q -

11

J9g.Q.

J9f \

Comme J9 est surjectif il existe q et q ' dans C tels que Q = J9q et Q- J9q'. On peut
donc écrire :
J9fQ^J9gQ

<=> J9f.J9q

= J9g.J9q'

« J9(fq) = J9(g-ql
=> <P(/ q) = <p(gql
=> <tf'<n = <Pg-<ri

(zaxq>G<bc)

De l'existence de qfvcpg et de cette dernière égalité, il résulte l'existence d'un unique
h tel que qxj-p.h et (pq'-p'.h.
D'où l'on déduit :
J9(<pq) = J9(p.h)
J9(qxf) = J*<j>' .h)
J9q = J9p. J9h
jvq* = J9p<. J*h
Q = J9p.J9h

Q'=J9p'.J9h,

puis l'existence de H = 7*7? tel que £ = </V #
tel / / est unique.

et

(?'= J9P* H. Reste à montrer qu'un

Supposons qu' il existe //' = J9W tel que J9q = J9p. J9H = J9 (p. h') et
J V = 7 V . ./'/r' = 7* (p1./?'), on en déduit J9q = J V J ' / i = J > J9h
puis
9
9
y ^ = J (p.h) = J (p.h') et donc çx? = (p(p.h) = (p(p.h') etfinalement<ppcph = qp.qh'
(car ç? G O c ). La factorisation de (pq étant unique on est conduit à <ph = cph\ soit
J9h-J9h\
d'où //=//', ce qui prouve l'unicité de H et achève de montrer que
J*(<Bf ^(pg) est un produit fibre. J9((/fv(pg) est donc un produit fibre au dessus de
J9f et J9g, l'isomorphisme de J9fvJ9g
avec J<p(çfv<pg) résulte immédiatement

78

de la définition du produit fibre dans une catégorie, c'est pourquoi nous identifions

J9fvJ9g

avec J9(qfvçg)

en posant J9(qfvq)g) = J9fvJ9g.

V

Comme nous le verrons au paragraphe 6.1, au cours de l'étude d'un exemple
particulièrement important, il est possible que q> ne soit pas cartésien et qu'on vérifie
néanmoins (quand qfvcpg existe) que J9(qf vqg) est un produit fibre. C'est la raison
pour laquelle nous donnons la définition suivante.

DEFINITION
J9 est cartésien si et seulement si :
1- ÇGQ>°

,et

2- si qfvqg

existe alors J9(qfvq>g)

9

J (çfvq>g) =

9

est un produit fibre et dans ce cas on pose

9

J fvJ g.

On peut donc reformuler la proposition 5.2.1 comme suit : si q> est cartésien alors J9
est cartésien.

5.2.2 PROPOSITION
On suppose C e0 -transitive et telle que V ( / , g ) GC2 T9 f - T9g => qf -(pg.
S i / e t g sont deux morphismes de C tels que çfvcpg existe, et si J9 est cartésien
alors

T9(qfv(pg)

est

un

produit

fibre

dans

T9C.

On

posera

donc

TT(qfvqx) = TTfvTTg.
A Considérons dans C le carré cartésien suivant et son image par T9 dans T9C.
Sachant que q> eO°, q> est alors idempotent, il en résulte qu'on a T9qf - T9f et

<ïfv<pg

+P

C(#V<PS)

TU t

79

\ TZp'

Montrons qu'on a T9çf = T^f. Supposons qu'on ait f &C(e,e') alors on a
qf eC(e,e')

(en raison de 1.1.3 1-) et les applications suivantes : TTf:TTe-+TTe' ,

T9qf: T9e -> T9e'. Pour tout X de TTe de la forme X = J9k on a :
(T9qfyX)

= J9(qf.k)
= J9(q>(qf.k))
9

= J (q>(f.k))
=

J*ifk)

iq>e<S>°)
i<P*®°)
(q>z<J>°)

= {TÎJYX)
d'où l'on déduit TTqf = TTf .
T9 étant un foncteur ; la commutativité du premier carré entraîne celle du deuxième.
Il nous reste à montrer que T9(qfvçg)

est un produit fibre dans TTC. Pour cela on

considère dans TTC le diagramme suivant où T9f Q = TTg.Q.
E

Comme T9 est surjectif il existe q et q' dans C tels que Q= T9q et Q'= T9q'. On
peut donc écrire :
T;joQ=T9goQ'

o

T9foT9q = T9goTey

<=> Te9(f.q) = Te9(g.q')
=> <Pifl) = <Pig<l')
=> r(f.q) = r(g.q')
=> J9f.J9q = J9g.J9q{
Comme J9

est cartésien et sachant que (ffvqjg

J9f v J9g -J9(f\jg),

(hypothèse)
(J9 cartésien)
existe on sait alors que

il en résulte que les deux carrés suivants sont cartésiens.

80

Jvifvg)

Vfvqjg

I P

On a donc J9f.J9p
9

= J9g.J9p'
9

9

J9Vr*'
p

J9/ f

et J9f.J9q
9

d'un unique J h tel que J q = J p.J h

= J9g.J9q\
9

et

9

il en résulte l'existence

9

J q'=J p'.J h.

D'où l'on déduit successivement :
J9q'=J9(p'.h)
qxj' = q>(p'.h),

J9q = J9(p.h)
qjq = q>(p.h)
puis

Tel((pq') = T9(p\h)
T9q=T9poT9h

T9q'=T9p'oT9h

Q=T9poT9h

&=TTp'oTTh,

d'où l'existence de H = 7^7* tel que £ = T9poH et Q'- T9p'oH. Reste à montrer
qu'un tel H est unique.
Supposons qu'il existe H'= T9h' tel que T9q = T9poT9h' et T9q'= T9p'oT9h'. On a
alors T9q = T9(p.h') = T9(p.h) et d'après les hypothèses on açq = ç(p.h') = cp(p.h),
puisJ9q = J9(p.h) = J9(ph'),
Comme J9
9

J9q = J9p.J9h =

J9p.J9h'.

est cartésien, la factorisation de J9q

9

9

est unique on en déduit

9

J h = J h', soit (ph'=(ph et donc T h'=T h, d'où l'unicité de H. T9(çfv<pg)

est

donc un produit fibre au dessus de T9f et T9g.
Nous

identifierons

Te9JvTe9g=Te9(qfss<pg).

désormais

T9f\/TJog

avec

T9(qfv(pg)

en

posant

V

Rappelons qu'on utilise « X » et « x » respectivement pour noter le produit cartésien
usuel et pour noter un produit choisi dans une catégorie.

81

5.2.3 PRODUIT FIBRE DANS C,
On va dans un premier temps donner un sens à la notion de produit fibre dans Cs ,
puis ceci étant établi, préciser par une proposition dans quelle mesure les produits fibres
sont préservés par les foncteurs TT.
On considère les morphismes
F:A-*C(A,D)
aH(a FW

A——>D

et B——>D
et

de C, . On a alors :

G:B^>C(B,D)

b^(b-^-^P(G(b)))

>p(F(a)))

On poseE = {(a,b)eAXB/p(F(a))
= P(G(b))}. En supposant E*0
que pour tout (a,b) deE, F(a)\/G(b) existe.

et C tel

On montre alors que F v G est défini par :

FvG=

\J{F(a)vG(b)}.
ia,b)tE

C est tel que pour tout (a, b) GE le carré suivant est cartésien ; les morphismes p et
p' font évidemment partie du choix de F(a)vG(b)
. On est donc amené à poser
P(F(a)vG(b)) = p
et
P'(F(a)vG(b)) = p'
avec
P:E->C(E,A)
et
P':E^> C(£, B), il en résulte qu'on aF°P = G°P'.

F(a)vG(b)

a
F{a)

G(b)

Afin d'établir que FvG

= |J{7 r (a) vG(b)} est effectivement un produit fibre dans
(o.fc)eF

C, on considère le diagramme suivant.

82

D

Ce diagramme est tel que F°Q-G°Q.
On va établir qu'il existe un unique
M—S-» \J{F(a) v G(b)} tel que Q = P°H et 0'= P'°H.
(a.b)eE

Pour tout m de M on a (F°Q)(m) = F(P(Q(m))).Q(m) avec
(G0Q\m) = G(p(Q(m))).Q(m) et P(Q(m)) eB . On en déduit :

p(Q(m))eA,

(F°QKm) = (G°QXm) => P((F° Q\m)) = P((G° Q*m))
=> PiF(P(Q(m)))) = p(G(P(Q(m)))).
Il en résulte (P(Q(m)),P(Q'(m))) e £ .
Posons (afin de simplifier les notations) P(F(P(Q(m)))vG(P(Q'(m)))) = pm ainsi
que P'(F(/?(2(m))) VG(/?(£'(/H)))) = P\Le carré suivant est alors cartésien.

F(/3(Q(m)))vG(p\Q\m)))

FWQLm))

G(P(Q'(m)))

83

Considérons dans C le diagramme suivant

F(PiQim))

G(P(Q(m)))
Pour tout JTIGM le carré précédent est cartésien de par sa construction, compte tenu
de la définition de P et P' il en résulte F°P = G°P\ il existe donc un unique hm tel
que Q(m) = pm.hm , Q'(m) = p'm.hm avec
m-^F(/3(Q(m)))vG(0(Q'(m)))

H.M-+C

On pose:

r

M,

\

\J{F(a)vG(b)}
(a,b)sE

m h-> H (m) = hm
Reste à montrer qu'on a Q = P°H et Q'-P°H.
Soit à montrer que pour tout
YYIGM ona Q(m) = (P° H)(m) et Q'(m) = (P'° H)(m). Or pour tout ÏTIGM on a :
(P°H)(m) = P(0(H(m))yH(m)

= P(P(K)).hm
= P(F(P(Q(m)))v
=

G{p(Q'(m)))).hm

Pm\

= 0(*O
On a donc Q = P°H,on montre de même Q- P°H, on peut désormais conclure en
affirmant que F, P, G et P' forment un carré cartésien et qu'en conséquence si FvG
existe alors [J(F(a)vG(b))
est isomorphe à FvG
On identifiera désormais (en
(a,b)^E

raison de cet isomorphisme) FvG

et

| J { F ( a ) vG(b)}.
(a,6)t£

proposition suivante.

84

On peut énoncer la

PROPOSITION
On suppose C e0 -transitive et telle que :
V(F, G) G C) (TTaF =-TTC)=> ( < , ( F ) = <,,(G) Ve e < , ( F ) <pF(e) = qG(e)).
Si F et G sont deux morphismes de Cs tels que qfFvqG existe dans Cs et si J9 est
cartésien alors TT(q>F\/çG) est un produit fibre dans T9CS. On posera donc
T7o(<pFy<pG) = T9FvT9G.
A On considère dans C, le carré cartésien suivant et son image par TT dans TTC,.
TT(<pFv<pG)

qFvqG

On pose

jip p »

P'

<pF\

F:A^>C(A,D)
a\^(a F(a) >P(F(a)))

et

G:B^C(B,D)
b\^(b a(b) >p(G(b)))

E = {(a,b) e A *B/p(F(a)) = P(G(b))}

L'existence de qFvqG dans C, signifie que que pour tout (a,b) de E, le produit
fibre qF(a)vqG(b) existe dans C. De plus comme q> eO°, q> est alors idempotent, il
en résulte comme en 5.2.2 qu'on a T^çF=T^F et T9<pG=T9G. En effet, en
supposant qu'on ait F: A -+C(A,D),
il vient T9F.T9A-+T9D
définie par
X h-> F(a). X = J9(F(a).f),
avec Jf = J " / , / e C(e 0 ,a) et a e A. On a donc pour
9
tout Jf de T A :

(7^))(^) = ^ ( ^ ) . / )
= J9(q>((cpF\a).f))
= J9(q>(F(a).f))
= J9(F(a).f)
= (T9F)(X),
d'où TT(q>F)=TTF.

85

(q> idempotent)

T9 étant un foncteur, la commutativité du premier carré entraîne celle du second. Il
nous reste à montrer que T9(çFv<pG) est un produitfibredans T9CS .
Pour cela considérons dans TTC. le diagramme suivant, où T9F oR = T?G o P!.

Comme T9 est surjectif, il existe Q et Q1 dans Cs tels que R= T9Q et R'= T9Q
On peut donc écrire :
T?FoR=T?GoR> <=> T9FoT9Q=T9GoT9Q'
<* TTo(F°Q) = TT(G°Q')
=> <p(F°Q) = q>(G°Q>)

(hypothèse).

Comme q> e<D° on a donc pour tout m de a9o,(F°Q) = a?o,(G°Q') :

«
o
o
o

(<p(F°Q))(m) = (q>(G°Q'))(m)
<PiF(P(Q(m))). Q(m)) = q>(G(P(Q (m))). Q (m))
J9(F(P(Q(m))).Q(m)) = J9(G(P(Q(m))).Q(m))
J9F(p(Q(m))). J9Q(m) = J9G(P(Q (m))). J9Q (m)
J9(q>F\P(Q(m))).J9Q(m) = J9(qG)(P(Q(m))).J9Q'(m)

On a P(Q(m))&A et P(Q(m)) &B, en conséquence (P(Q(m)), B{Q (m))) e E car
B((q>F)(P(Q(m)))) = P((qG)(P(Q (m)))). Comme (q>F\P(Q(m))) v (¢£)(/?(0' (m)))
existe, comme J" est cartésien on a donc :
r[(<pF)(P(Q(m))) v (pG)(/?(0- (m)))] = J 9[F( P(Q(m)))] v ^ ( / 7 ( 0 1 (m)))}

86

Autrement dit, nous avons le carré suivant commutatif et le second qui est cartésien
car J9((pFXP(Q(m))) = J9F(P(Q(m))) et J9 (qG)(P(Q(m))) = J9G(P(Q(m))).

I J9Qim)

Jv(<pF)iPiQ(m))) +

Jvi<fG\PiQim)))
J9

Jv[FiPiQim)))] vJ9[G(p(Q (m)))]

P«

J9[F(P(Q(m)))\ \

\J9P

^ n '

r\G(P(Q(m)))\

Il existe alors un unique jet noté J9hm tel que :
J9Q(m) = J9pm,.J9hm, J9Q(m) = J9p'm,.J9hm où m'=q>F(P(Q(m)))vqG(P(Q(m))).
Sachant que a(hm) - a(Q(m)) = m on définit l'application :
H <,,(0-+
C(a9JQ),qFvqG).
m\^H(m) = qhm
Cette application est bien entendu une section locale de a donc un morphisme de Cs
tel que H(m) ne dépend que du jet J9hm. On a également l'application :
P. q>F v qG -> C(q>F v <pG, A)
rri\^P(rri) = qpm,
qui est encore une section locale de a telle que P(rri) ne dépend que du jet J9pm,. On a
de manière tout à fait analogue l'application : P':q>FvqjG-+ C(q>F v qG,B).
On a donc pour tout m de a* S(Q) = a9oS(Q') '•
J9Q(m) = J9pm.. J9hm « J9Q(m) = J9P(P(H(m))). J9H(m)
o J9Q(m) = J9(P(P(H(m))).H(m))
» J9Q(m) = J9(P°H)(m)

87

d'où l'on déduit

<pQ(m) = q>(P° H)(m)
T9Q=T9(P°H)
TTQ=TTP°TTH.

En effet, si on suppose que pour tout m de a* S(Q) on a qjQ(m) = q>(P° H)(m) alors
pour tout X de la forme J9k tel que \J^Qj(X) soit défini on aura :
(T9Q)(X) =

J9(Q(P(f)).f)

= J9i<pQiPif))f)
= J9(q>(P°H)(P(f)).f)
= J9((P°H)(P(f)).f)
= (rTo(P°HJ)(X)
d'où T9Q= 7?o(P°H). De la même manière on montre T9Q= T9(P'°H).
Montrons qu'un tel TTH est unique. Supposons qu'il existe T9H' tel que
R = T9PoT9H' et R^T^P'oT9^,

ce qui équivaut à T9Q=T9P°T9H'

et

T9Q'= T^P'oT9^. On a donc T9Q = T9(P°H'), T9(Q') = T9(F°H).
De TTQ=T9P°TTH et TTQ = TTP°TTH' on déduit :
T9Q = T9(P° H) = T9(P°H'),
puis pour tout m de a9aS(F0Q) = a9o S(G°Q') on a successivement :
(Ç0)(«) = (T9(P°H))(m) = (Te9(P°H'))(m)
<pQ(m) = <p(P°H)(m) = q>(P°IT)(m)
9
9
J Q(m) = J (P(p(H(m))).H(m)) = J9(P(P(H'(m))).H\m))
J9Q(m) = J9Pm..J9hm = J9P(P(H'(m))).J9H'(m).
Pour un m donné J9pm. ne dépend que de m' et donc de q, F, G et m et non de
•/*/*„, ou de J9H'(m). Autrement dit on a J9pm, = J9 P(p(H'(m))) et
P(H'(m)) = /?(//(/*))
Comme la factorisation de J9Q(m) est unique dans J9C il s'en suit que pour tout m
de als(Q) = als(Q') on a:
J"//(m) = J"//'(/n) o ç>//(m) = çH'(m),
d'où l'on tire q>H = qH' puis T9H = T9H'. De là s'en suit l'unicité de T9H.

88

TT'(qFvqG)
identifierons

est donc un produit fibre au dessus de T9F et de 7^G. Nous
désormais

T9F v T9G = T9(qFvqG).

T9FvT9G

avec

T9 (qFvqG)

en

posant

V

On remarquera que le même genre de considérations conduit à l'existence et au calcul
dans C, ou T9CS de limites projectives tout à fait générales.

89

6 EXEMPLES
6.1 JETS DE C.EHRESMANN
Nous nous plaçons de nouveau dans l'algèbre de contact (ky<b,JlCp) longuement
décrite en 1.1.2 8-b-.

6.1.1 PRODUIT FIBRE DANS LA CATEGORIE DES JETS
Tous les résultats établis dans le paragraphe 5.2 sont liés au fait que q> ou J9 est
cartésien. Vouloir construire des produitsfibresdans les catégories J9C, T9C ou T9CS
nécessite d'avoir pour le moins l'existence de qf vqjg (un tel produitfibrea le mérite de
ne dépendre que des jets J9f et J9g, puis d'en prendre l'image par J9 ou T9, c'est
ce que nous avons fait tout au long de ce paragraphe.
Si on examine le cas de l'algèbre de contact (k,Q>,JlCp) évoquée en 1.1.2 8-b- on est
amené à faire un certain nombre de remarques concernant l'existence d'un produit fibre,
existence qui, de manière générale, reste une question délicate.
Si on considère la catégorie des applications r-différentiables entre variétés
r-différentiables on sait que le produitfibrede deux telles applications existe quand l'une
des deux est une submersion ou si ces deux applications sont transversales.
Rappelons que les applications différentiables f.A-^C
et g.B-±C sont
transversales si et seulement si f(A)r\g{B) * 0 et pour tout z Gf{A)r\g(B) tel que
z =
f(x) = g(y) o n ^ a v e c l es notations classiques, T2C (espace vectoriel tangent à C
en z) qui est égal à la somme des images des applications linéaires tangentes
f'(x):TxA-*T2C et g\y)\TyB^ TZC, soit T2C = ]m(f'(x)) + lm(g'(y)). Dans le cas
où / et g sont transversales on sait que f v g- {(x,y) GAXBI f(x) = g(y)} est une
sous-variété fermée de AxB.
Si on considère Jl(/,a) et Jl(g,b) où a G A, b GB et tels que f(a) = g(b), le
produitfibredes jets est alors défini par :
S(f,a)vJl(g,b)

= (a,cb),

A

A

où (a,c b) est le germe de (a,b) dans la variété fvg,
A

soit (a,c b) =

f[ldfyg,{a,b)\.

A

Nous notons (a,c b) afin de marquer la distinction d'avec (a,b) -

91

Jl{ldA,B,(a,by).

On a donc de manière canonique le carré commutatif suivant où p et p' sont
respectivement les projections canoniques du produit cartésien sur son premier facteur et
son second facteur.

A

J'ipMM

a

A

K b)
i J'(p',(a,b))

J'if,a)

A

Jlig,b)

C

A

b

Supposons qu'il existe e \ q, q'tels que le carré suivant soit commutatif, q et q' sont
évidemment tels que q(e') -a et q'(e') = b.

J'iq,e<)

A

a

J\f,à)

A

e'

1

\J'iq\e')

A
C

On a aussi p(a,b) = a et p\a,b)-b.

A

J'igJ)

b

Si on considère l'application [q,q'] telle que

[4*q%el = (q(el>4'(el) = (a*b) alors le jet «/'([?, ?'],*') est évidemment unique et
vérifie J\q,e') = J\pMMJ%q,q\e)

et Jl(q\e') = J\p\(a,b))J%q,q%e)

A

prouve ainsi que (a,c b) est bien égal à

Jl(f,a)vJ\g^b)

Examinons l'action de q> eO .

92

. On

Si on considère que f9 et g9 sont transversales, d'après ce qui précède, on a
<p(jl(f,ci))vq{j,(g,b))

=

J,(f9,a)vJl(g9,b)

= ^('<WM))
= Kb).
Par ailleurs si b - f(a), b = f'(a)

et s i / ' et g' sont tels qu'on ait :

q(j'(g,b).j'(f,a))

=

q{j'(g',b).j'(f\a)),

q{qxJ\g,b).qxJV,a)) =

q{qJl(g\b).qJl(f\a))

alors on en déduit

<p(j'(g9,l>)J'(f9,*)) = q{j'ig\

,b)Jl (/'„,,a)).

Malheureusement il n'y a aucune raison, en général, d'en déduire
J (gq>*b).Jl(/y,a) ~ J\g\ J>\Jl(/\ ,a) et en conséquence q> ne peut être cartésien.
l

Essayons
J (jl(f,a))v
9

alors de
J9(jl(g,bj)

construire de manière directe le
où f(a) = g(b) = c, et montrons que :

J9{(^l(f^)v(pJl{g,b))

est un produitfibredans

Pour ce faire nous noterons plus simplement : J9yJl(f,a)j

produit

fibre

J9(JlCp).

= J9f .

Le carré suivant est commutatif, compte tenu de toutes les hypothèses et notations
avancées précédemment.
A
9

Ja

J

l.»)P

JU 1

A

rc
93

A

J*Kb)

Si le carré qui suit est également commutatif,

J9a

/r/ i
A

J9C

alors considérons le jet ./<?[#, #'] qui évidemment est l'unique jet vérifiant

Jl,b)pJ:\q,4\ = JU et

J^f.JRqrf^JM

A

Il en résulte que J9 (a,c b) est un produit fibre dans J9{JlCp)

. Nous identifierons

A

donc J9 (a,c b) et J9f v J9g , d'où la relation :

Cette dernière égalité conduit à définir pour les foncteurs du type J 9 la notion de
foncteur cartésien même (et surtout) si q> ne l'est pas. En effet, ce qui a été dit en 5.2.1
revientfinalementà dire que si q> est cartésien alors J 9 l'est également.
Dans le cas de l'algèbre de contact (k,<&,JlCp), il est clair que ç généralement n'est
pas cartésien alors qu'un calcul direct nous a montré que J 9 pouvait l'être moyennant
l'hypothèse de transversalité.

6.1.2 FONCTEUR T9 SUR JLC.
_

^

_

_

_

*0 _

_

P

Examinons comment sont définis les foncteurs T9 sur C et T9 sur Cs quand C est la
catégorie des jets locaux définis sur la catégorie Cp des applications indéfiniment
différentiables pointées entre variétés indéfiniment différentiables pointées.

94

A

A

On pose e0 = (R,0) e(j'Cp)Q (cf. 4.5.1), il est clair que JlCp est (R,0)-transitive.
,/,

v

On considère les morphismes (A,a)
dans y'Cn. On a alors :

*' ; >(B,b) et (R,0)

(A,a)^r.

(R.O)

(R.O)

' ; >(^,a)

A

A

T9, (Jl(g,a)):r^

jl<

J u

(B,b).
(R,0)

JU^Jligf)
6.1.3 FONCTEUR T9 SUR
Considérons ^\

(jlCr)m

et Jg deux parties non vides de yCA

, c'est à dire deux

ensembles de germes tels que J3 ( ^ ( ^ ) ) = Jg où ^C est une section locale de a
(rétraction source dans JlCp ).
J?CA^(J1CP)(<A,J$)

(A,a) H> Jl(g,a) = (A9a)

Précisons alors l'application T9A ^

Ag a)

>

avec T9^ ^'T9A

(R,0)

(R,0)

T\ cA= U
(R.O)

^

(R,0)

(R.O)

>(£b)

^\T9^ Jg où l'on a
(R,0)

iA>a)

(A,a)e<A

Si X = J9(Jl(f,0)) = J9f on a alors :
(

(

A

>

(A,a) ( / ( / , 0 ) )
V (R,0)

V

K

=J9{jï{P(X)).X)

J

Plus particulièrement si g.A-*B est une application de classe C00 entre variétés de
classe C*, on peut alors lui associer un morphisme dans \JlCp\ de la manière suivante.
On pose c^\- \^(A,a) et Jg= \J(B,b) puis on définit l'application suivante ;
azA

A

A

(A,a)» J'(g,a) = (A,a)
qui est une section locale de a .

95

/(

A

* 0 ) ï(B,b)

Si X = J9/

on a alors :

r r A, \
(A,a)

rA Q\(X)=J*

"N

{J'iffij)

(R.O)

= J9(Q{P(X)).X)
=

J9(j'(gffi))

-Jtigf).
T9A Q n'est autre que l'application tangente habituellement notée T9g.
(R.O)

6.2 DIVISIBILITE DANS (Z,+,x)

6.2.1 NEOALGEBRE DE CONTACT DOUBLE
Soit (Z,+,x) l'anneau commutatif des entiers relatifs et çZ l'idéal des multiples de
q> pour Ç>GZ. ( Z / Ç > Z , + , X ) est alors l'anneau des entiers modulo q>. On définit
l'application i : Z ' x Z - > Z par (q>,z)\-^qz où <pz est le reste de la division euclidienne
de z par q>. On vérifie sans peine que (#,Z*,(Z,+)) est une néoalgèbre de contact.
Notons que sur Z* on ne définit aucune loi de composition, il n'y a donc pas lieu de
vérifier (1) de 1.1.1 . Par contre il est clair qu'on a (2). Vérifions (3).
Si
z = q.ç + qz
et
z'=q'.<p + qz'
alors
z + z'= (b + b').<p + qz + qz'
et
ç(z + z') = (p{(pz + (pz') .
Si on considère toujours l'application k définie précédemment on a une autre structure
de néoalgèbre de contact notée \k,Z\(Z,x)\.
Il suffit de vérifier (3) de 1.1.1. Si
z = q.q> + (pz et z' = q' .<p + (pz' alors
q>{z.z')- (p(çz.qxi').

z.z'= b.b'.ç2 +(b.<pz'+b'.qjz).ç + qz.qz'

et

On a donc une structure de néoalgèbre de contact que nous qualifierons de double ,
puisque compatible (au sens de 1.1.1) avec les deux lois définies sur Z. On note une telle
structure (#,Z\(Z,+,x)).

6.2.2 JETS DANS(fe,Z\(Z,+))
Pour ç>*0 on a J9z= {z'GZ/Z'-Z

Gq>Z} et les jets sont donc les classes de

congruence autre que la classe de zéro. On peut donc écrire J9z = zGZ/<pZ
9

J 0=(pZ.

96

et

Dans la suite 04,+,.), qu'on notera parfois plus simplement A, est une algèbre locale
sur R dont l'unique idéal maximal est /. On identifie R I avec R où 1 est l'unité de 04,.),
04,+,.) étant un anneau commutatif.

6.3 ALGEBRE DE CONTACT DOUBLE SUR (1,+,.)
On note O un ensemble maximal d'applications linéaires de / dans / qui vérifient
a- Vç> G $ ço(p = çy et
b- V ^ G O V Ç / G ® ço(p'=ç'o(p, et
c- VÇG®

V(iJ)eI2

<p(ij) = q>(ç(i).q>(j)).

6.3.1 PROPOSITION
Pour la composition des applications, 4> est un monoïde abélien.
A Montrons que si q> G <E> et Ç'GO alors

^ ^ ¢ .

(q>0<pl°(q>°<pl = (q>'°ç)0(ç°q>l
= q>'o(q> o q>) ° q>'
= qfoç o qf
=

((p°çx)°qf

= q>o(qfoqf)
= Çoç1

(q>oq>' )oy/ = q>o (qfoy/)
— <p°(y/ °<p')
~(q>oy/)o(p'
= (y/ oç)oq?
= y/ o {(p o qf )
c-

(q>°q>')ii.j) = q{q>'(ç'(i).q>'(j)j\
= (q>oq>'Xq>'(i)<P,iJ))
= (ç'°ç)(q>'ii).<P'iJ))
= q>'[q>(q>'(i)q>'(j))]

= ^((^)(0(^^)0))]
= (q>'°q>)[(q> ° q>' X0- i<p°<p' ) 0 ) ]
= (q>oq>' )[(ç o qf )(/). (ç o ç>' )(y)]

97

Par ailleurs il est clair que si q> et qf sont linéaires alors q>°ç' et q>'°q> le sont. O est
non vide car <I> contient au moins Id,. V
Posons i : O x / - > /
(q>,i)\^q>(i)

, on peut énoncer.

6.3.2 PROPOSITION
(k,G>,(I,+,.)) est une algèbre de contact double abélienne et idempotente.
A II suffit de vérifier (3) de 1.1.1 pour chaque loi de composition interne.
qj(q>(i) + q>(j)) = q>(q>(i + j))
= (q>°ç)(i + j)
= tfi+j)Par définition on a q>(q>(i) q>(j)) = qAj j) • V

6.4 ALGEBRE DE CONTACT DOUBLE SUR (4,+,.)
A étant toujours une algèbre locale sur R dont l'unique idéal maximal est /.
On pose k':<bxA-+ A
oùa = a0+/ e R©/ = A .
(ç,a)^qj(a)
= a0 + q>(i)
On vérifie que q> est une application linéaire de A dans A.
q>(a + b) = q>(a0+i + b0+j)
= <P(a0+b0+i+j)
=
a0+b0+q>(i+j)
= a0+b0+q>(i) + q>(j)
= a0+q>(i) + b0+q>(j)
= (p(a) + <p(b)
q>(Aa) - q>(Aa0 + Ai)
= Àa0+ç(Ài)
= Àa0 +Aq>(i)
= A(a0+q>(i))
= Aq>(a).

98

(q>oq>)(a) = q>(a0+q>(i))
= a0+(q>oq,)(i)
= a0+q>(i)
= <Pi<*)
On a donc q>°q> = q>
(q>o(p')(a) = q>(a0+q>'(i))
= a0+(q>o(p')(i)
= a0+(q)'oq>)(i)
= q>'(a0+q>(i))
= (q>'°q>)(a)
On a donc q>°qj= q>'°q>.
<p(q>(a).<p(b)) = ç>((a0 + q>(i)).(b0 + q>(j)))
= <Piaç> A+aQ- q>ij) + b0. <p(i) + q>(i). <p(j))
= «o • *o + <Pia0 • <PiJ) + b0 • qKO + q>iO- <P<J))
= a0.b0+a0.(q>o q>)(j) + b0.(q>° ç>)(/) + q>(q>(i). q>(j))
= a0.b0+a0. (p(j) + b0. q>(i) + <p(i.j)
= «0*0 + <Pi<*oJ) + <Pib0i) + <PQJ)
= a0b0+q>ia0.j + b0.i + i.j)
= <Pia0b0+a0j + b0.i + i.j)
= <p(a.b).
On a donc q>(a.b) = q>(q>(a). q>(b)).
On peut donc énoncer.

6.4.1

PROPOSITION

(k',¢,(^,+,.)) est une algèbre de contact double abélienne et idempotente.
6.4.2 JETS DE TYPE m
On a:
J9a = {a,GA/q>(a') = q>(a)}
J9a = {a'eA/a' = a0+i' A q>(i') = ç(i)}avec
finalement on a :
J9a = a0 + J9i.

99

a = a0+q>(i)

et

6.5 ALGEBRE DE CONTACT DOUBLE SUR A*
A est toujours une algèbre locale sur R dont Tunique idéal maximal est /.
Av est l'ensemble des applications de V dans A (V étant un ensemble non vide). Av
est muni naturellement d'une structure d'algèbre induite par celle définie sur .4.
On considère :
t":Ox/->/ .
i<P,f)^<P°f
On peut alors énoncer.
6.5.1 PROPOSITION
(kn,O,(Ay,+,.)) est une algèbre de contact double abélienne et idempotente.
A II suffit de vérifier qu'on a :
q>°if+g) = q>of+q>°g
q>o(Xf) = X(q>of)
q>°if g) = <p°ii<p° f) i9°g))
VxeV iq>°if + g))ix) = ç(f(x) + g(x))
= <Pifi*)) + <Pigi*))
= iq>°fXx) + iq>°g)ix)
= iq>°f+q>°g)ix)
VxeV (q>°W))(x) = q>(Af(x))
= X(q>(f(x))
= A(q>of)(x)
VxeF (q>o(f.g))(x) = q(/(x).g(x))
= q>iiq>of)ix)iq>°g)ix))
= (q>°((<pof).(<Pog)))(x)

6.6 CONSEQUENCES
Notons

J9I =

{j9i/iGl),

J9A =

[j9alazA],

J9(A") =

{j9f/feAy}

100

V

1- J9 A est muni naturellement d'une structure d'algèbre car on a :
J9{a + b) = J9a + J9b et J9(a.b) = J*a. J*7> en raison de la structure d'ACD, et
J9(Àa) = y*(Aa0 + y|j) = >ta0 + y*(A/) = >ta0 + ÀJ9i = A(a0 + y*/) = yt/"a car en raison
de la linéarité, ç(fà) = Aç(i) implique J9(Ài) = /L/*/.
2- ./*/ est un idéal de J9 A.
J9a.J9i = y*(a./) or a./ G / et donc

J9(a.i)Gj9I.

3- / r est un idéal de Av et par suite J9IV est un idéal de J9AV .
4- J9:I->J9I
, J*:A-*J*A
, J9.IV -*J9IV
homomorphismes surjectifs d'algèbres.

, J*\AV -*J*AV

sont des

6.6.1 PROPOSITION
Si ^4 est une algèbre locale dont l'unique idéal maximal est / alors J9A est une
algèbre locale dont l'unique idéal maximal est J9I .
A On a vu que J9I est un idéal de J9 A. Montrons qu'il est maximal. Si on suppose
qu'il existe un idéal K dans J9A tel que J9I a K, on pose alors L-UGA
| J9l G K\
et on montre que L est un idéal de A . En effet, soit a G A et l GL on a alors
J9(a.l) = J9a.J9lG(J9A).KczK
donc Q.IGL .
Du fait que J9I a K, tous les éléments de / sont donc dans L qui est un idéal et de ce
fait / n'est plus maximal ce qui est contraire aux hypothèses. On en conclut que K (tel
que K soit un idéal propre de J9 A et tel que J9I cz K ) n'existe pas et donc que J9I
est un idéal maximal de J9 A .
Reste à montrer que J9I est l'unique idéal maximal de J9 A .
Dans ce qui précède on a montré que tout idéal A' de J9 A est de la forme J9L où L
est un idéal de A. De plus on a établi que si / est maximal alors J91 est maximal.
Inversement montrons que si J9L est maximal alors L est maximal, ce qui équivaut à
montrer que si L est non maximal alors J9L est non maximal.
Or dans l'algèbre locale A dire que L est non maximal signifie que L est un idéal non
propre ou que l e / avec L * I. Autrement dit L = {0} ou L- A ou Lczl avec
L*I

et dans ce cas on a y^Z^y^O} ou J9L-J9A

ou J9LczJ9I

J9L * J9I ce qui revient à affirmer que J9L est un idéal non maximal. V

101

avec

Noter qu'on peut affaiblir l'hypothèse de la linéarité en supposant les applications q>
de <t> telles que l'on ait avec des notations désormais évidentes q>(i+j) = qK<P0) + <KJ))
et ç(Ài) = Â<p(i). Bien entendu la validité des résultats énoncés précédemment subsiste.
6.6.2

APPLICATION

Tétant une variété Cœ de dimension finie, RK l'ensemble des applications de classe
C00 de F dans R, /l'idéal maximal de Rv des fonctions qui s'annulent en x0 GV , Rv
est alors une algèbre locale et on a Ry = R © / ce qui signifie que si / GRV on a
/ = / W + ' , s o i t V x € ^ / ( x ) = /(x 0 )+î(x).
On définit
k:®xRv ^>Ry.
(q>J)^>/(Xo) + <P(')
On montre alors facilement que (*,<!>, (RK,+,.)) est une algèbre de contact double
abélienne et idempotente, J9RV est alors une algèbre locale dont l'unique idéal maximal
est J9I .Par suite
J9'.Rv -> y*R"
/ h - > / ( x 0 ) + y*/

est un homomorphisme d'algèbres et J9 est un J9RV -point de Rv proche de x0.

6.7 LES CHAINES CONTROLEES
6.7.1 LA CATEGORIE DES CHAINES CONTROLEES
Soit E un ensemble non vide et soit n un entier naturel. Une chaîne de longueur est un
Aî-uplet d'éléments de E.
L'ensemble des chaînes sur E est noté C(E) et ( ) est la chaîne vide de longeur nulle.
Soit E un ensemble non vide et soit n un entier naturel. Une chaîne contrôlée de
longueur n (n étant un entier naturel supérieur à 2) est un w-uplet d'éléments de E. La
première composante et la dernière composante de ce w-uplet sont respectivement
nommées but et source de la chaîne contrôlée et constituent à ce titre les variables de
contrôle du chaînage.
L'ensemble des chaînes contrôlées sur E est noté CC(E). On note CC(E)0 l'ensemble
des chaînes contrôlées de la forme (x,x) où x GE . On définit également :
a.Cc(E)->Cc(E)0
/ »-> a(f) = (Pn(/lPn(/))

et

102

fi.Ce(E)-+Ce(E)0
/ H> /?(/) =

(p(/yp(/))

où « = / ( / ) est la longueur de / , px et pn sont respectivement première et dernière
projection canonique de En sur E.
Notons qu'il n'y a aucune difficulté à identifier les chaînes de la forme (x,x) avec x,
autrement dit à confondre CC(E)0 et E.
On définit sur CC(E) une loi de composition partiellement définie notée k

Cc(E)xCc(E)-^->Cc(E)
(gj)
où g.f est défini si et seulement si a(g) = p(f)
alors on a I(g./) = n + p-2.
Si on
f = (b9xX9...9xn_29s) alors on aura:

>g/
et dans ce cas si l(g) = p et / ( / ) = n
pose g = (b\x\9..9x'p_29b)
avec

g- J = ( 0 » * 1 > • > * /,-2 > *1 > • • > Xn-2 ' S) '

CC(E) est ainsi muni d'une structure de catégorie dont les rétractions source et but
sont respectivement a et P
On considère l'application ^:E->F
et l'ensemble C(F) des chaînes (non
contrôlées) définies sur F. Les éléments de C(F) définissent alors ce qu'on pourra
appeler des ^/"-cribles sur E . Si / = (x,,...,x n ) est une chaîne (non contrôlée) de
C(E) on pose ^f(f) = (^?(xx)9...9^fi(xH)). Si / = (b9xX9...9xn9s) est une chaîne de
CC(E) alors on pose ^(f)
=
(b9^£(xx)9...9^f(xn)9s).
On définit Ex =EKJC(E)
puis C(EX) et CC(EX) qui sont respectivement l'ensemble
des chaînes sur Ex et l'ensemble des chaînes contrôlées sur Ex telles que les variables de
contrôle soient encore des éléments de E, autrement dit telles queCC(EX)0 = E. On
munit comme précédemment CC(EX) d'une structure de catégorie.
De même que précédemment on définit ^P(f)
une chaîne de CC(EX) .

que/soit une chaîne de C(EX) ou

6.7.2 NEOALGEBRE DE CONTACT SUR CAEA
Soit C = CC(EX) et <& = C(F) (noter qu'aucune loi de composition, même partielle,
n'est définie sur O). On définit une action de O sur C par
*':OxC->C

(<pj)^vf

103

en posant :
1- si l(q>)>/(/)-2
alors # = / ,
2- si / ( ç ? ) < / ( / ) - 2 ) alors on exécute l'algorithme de «recherche» suivant pour
/ = (b9x]9...,xn,5) et ^ = (^,,...9yk) avec k<n et qf devient alors le résultat de cette
recherche.
1- r = 1 : long=n
2- Si ( ^ ( ^ ) , ^ ( ^ ) , . . . , ^ ( ^ , . , ) ) = ^
Alors : on remplace (dans l'écriture d e / ) la séquence xr,xr+1,...,xr+k_x
par (x r ,x r + 1 ,., ^+^,) (les parenthèses ayant pour but de signaler
que la séquence a été « trouvée »)
: r = r + 2 : long=long-k+\
Sinon : r = r +1
3-Si r +

k-\<long
Alors : exécuter 2-

4-Fin.
/ortg est ici une variable destinée à contrôler la longeur de la chaîne au fil des
modifications d'écritures qu'elle subit au cours du traitement.
Il est clair que l'action de O est idempotente et préserve par définition les chaînes
deCc{Ex)0. On définit ainsi une structure de néoalgèbre de contact notée

(k\C(F\Cc(E,)).
6.7.3 NEOALGEBRE DE CONTACT SUR C(E)
On peut également définir la néoalgèbre de contact (k",C(F),CC(E))

où k" est

définie par :
k":C(F)xCc(E)^Cc(E)
(q>,f)»k"(<p,f)
en posant :
1-si l(q>)>l(f)-2
alors k"(q>,f) = f
2- si l(q)</(/)-2
on exécute l'algorithme de «suppression» suivant pour
/ = (b,xu...,xn,s) et q> = ()>],..-,yk) avec k <n, et qf devient alors le résultat de cet
l'algorithme de « suppression ».

104

l - r = / : long=n
2- Si (^T(x r ), ^ ( x r + 1 ),..., ^(xr+k_x )) = <p
Alors : f = (b9xX9...9xr_l9xr+k9...9xn9s)

: long = long-k

:r=l

Sinon : r = r + 1.
3-Si r +

k-\<long
Alors : exécuter 2-

4- Fin.
/<?«# est une variable destinée à contrôler la longueur de la chaîne que l'on traite au fil
des suppressions qu'elle est amenée à subir.
Par exemple si on prend f = (b9x9y9z9x9x9y9y9s)9
si ^\E-+F
est IdE et si
ç = (x9y) alors on obtient successivement (l'élément surligné étant celui pointé par r):
(b9x9y9z9x9x9y9y9s)
(b9z9x9x9y9y9s)
(b9z9x9x9y9y9s)
(b9z9x9x9y9y9s)
(b9z9x9y9s)
(b9z9x9y9s)
(b,z9s)
d'où k"(ç9f) = (b9z9s).
Là encore l'action de C(F) est idempotente et préserve les unités de CC(E)0 .

6.7.4 JETS DANS
Si qf'= f
<p = (yX9y2,...,yk)

alors
G^(E)

(k\C(F)X(K))
J9f = {f}
Sinon considérons f =
(avec k<n) et supposons qu'on ait :

qy — \b9 xX9...9xl9 \xl^x,..., xï+k j9 xl+k+x,..., xm, \xm+x,..., xm+k j, xm+k+x

(b9xX9x29...9xn9s)9

9...9xn9sj

J9 f sera formé de toutes les chaînes / ' vérifiant :
j — \o9x]9...9xl9x

l+x,...,xi+k

,xl+k+X9...9xm9xm+1

,...,x m+k

avec (^C(x';+, ),..., J?(x'l+k )) = {j?(x'm+[ ),..., J?(x'^k
Vie[l,/] *f(x„...,x,^)*<p
etV/e[/ + * + l,m]

105

,xm+k+X9...9xn9sj

)) = q et vérifiant de plus :
^(x„...,x„t)*<p.

6.7.5 JETS DANS (k'\C(F),Cc(E))
Sic G^(C(E))9
on considère ^%(ç)
l'ensemble des chaînes g telles que
9
g GC(E) et ^(g) = <p.Le jet J f est alors formé de toutes les chaînes déduites de
qf par l'algorithme suivant.
\-h = qf
2- On inserre entre deux termes successifs de h tous les termes d'une chaîne
quelconque de^C \q>), ce qui donne H
3- h = h'

4- Exécuter 2- puis 3- un nombre fini de fois
5-Fin

6.7.6 APPLICATION
Outre le traitement des chaînes de caractères, une chaîne contrôlée peut être vue (en
dehors des variables de contrôle) comme la donnée d'une liste séquencée d'instructions.
La recherche devient alors la recherche d'une séquence donnée et la mise entre
parenthèses de cette séquence peut être regardée comme la reconnaissance d'un sousprogramme au sens usuel. Par conséquent le contenu de ce parenthèsage peut être
remplacé par une instruction d'appel à ce sous-programme.

106

S U I T E

à paraître dans « D I A G R A M M E S n ° 3 7 »

Pour l'essentiel -chapitres 1 et 4- cette première partie présente les idées et les
techniques illustrées au chapitre 6. Ce sont ces mêmes outils et ces mêmes idées qu'on
retrouvera dans la seconde partie.
En premier lieu ils vont nous servir à développer dans une algèbre de contact un
calcul différentiel (le mot « différentiel » n'étant employé ici que par pure analogie), et
plus particulièrement un calcul différentiel qu'on pourrait qualifier d' « intrinsèque ».
Afin d'atteindre cet objectif trois techniques sont évoquées :
1- le recours aux transformations de l'algèbre de contact initiale qui forment une
classe particulière d'inversibles de C, il en va de même dans le calcul différentiel usuel où
les translations sont requises,
2- le recours aux inversibles de la catégorie C,
3- le recours aux repères, c'est à dire aux jets inversibles de morphismes de C.
On rend compte de l'option choisie au travers d'une section de [fi,a] à caractère
fonctoriel dite section admissible. Une algèbre de contact sur laquelle est définie une
telle section est dite transitive.
Ceci étant posé ; différentielle, vitesse (ou codifférentiellë) et dérivée se définissent
comme des jets particuliers. La particularité réside dans le choix d'une unité au but (resp.
à la source, au but et à la source) du jet considéré. C'est le choix de cette unité qui
gouverne le type de calcul développé, de même qu'elle détermine en géométrie
différentielle le type de fibre tangent étudié. Ces notions sont introduites à la fois pour les
morphismes de C et leurs jets.
Partant de là on déduit un ample formulaire qui incite à quotienter la catégorie initiale
en considérant comme équivalents deux morphismes dont les deux sources ainsi que les
deux buts peuvent être respectivement liés soit par une transformation, soit par un
inversible de C ou bien par un jet inversible de telle sorte que le carré formé soit
commutatif On passe alors de l'algèbre de contact transitive initiale à son algèbre de
contact quotient où les notions de différentielle, vitesse et dérivée se confondent. Enfin
quatre exemples élémentaires permettent d'illustrer et de conforter le choix des
définitions données.
Depuis la toute première définition, les contacts ont été abordés et décrits en termes
de jets et plus particulièrement sous forme de différentielle, vitesse et dérivée. Ils le sont
encore -au chapitre 8- sous forme d'éléments de contact (resp. d'éléments d'enveloppe)
comme orbites particulières (c'est à dire classes de jets, où le groupe d'opérateurs est le
groupe d'isotropie) à la source (resp. au but). A cette occasion on rappelle la relation

107

d'incidence définie à la fois sur la catégorie des jets et celle des éléments de contact. A
titre d'exemple on précise les liens entre les idées d'Ehresmann et la présentation
algébrique qui en est faite ici.
Jets, éléments de contact, objets tangents, espaces tangents ; il n'est question que de
classes d'équivalence. On est donc naturellement conduit aux fibrations9 elles sont
définies et les plus importantes sont inventoriées. On termine par la présentation des
objets plongés.
Si pour tout ce qui précède la structure d'algèbre de contact est omniprésente dans sa
forme initiale, il est nécessaire, pour la suite (chapitre 9), d'en décrire quelques
prolongements qui sont dans l'ordre :
1- l'algèbre de contact sur la catégorie des jets J9C,
2- l'algèbre sur la catégorie Cu des applications de U(U ensemble non vide) dans C,
3- l'algèbre sur la catégorie Cs des sections locales de a,
4- l'algèbre sur la catégorie Cb des sections locales de /?,
5- l'algèbre sur la catégorie Q. des sections locales pointées de J3.
Noter qu'on peut enchaîner les deux premières extensions, ce qui conduit aux
prolongements holonomes ou non holonomes. C'est d'ailleurs par un processus similaire
qu'on étend les notions d'holonomie et de non holonomie aux jets construits par
extensions successives sur Cs ou Cb. A ce propos notons Fisomorphisme d'algèbres
entre les algèbres définies sur (j9C}

et J9\CU}

déduites par extensions successives de

l'algèbre de contact sur C. Autre isomorphisme important, celui de la catégorie

(j9C)

des sections locales de a9 avec la catégorie J9(CS) des jets de sections locales de a .
A ce stade les outils sont en place pour parachever l'ensemble en définissant, pour une
algèbre de contact donnée, les éléments de connexion et la notion de connexion.
Moyennant l'hypothèse de transitivité locale sur C, on montre qu'il existe sur l'ensemble
des éléments de connexion une espèce de structures.
Les liens entre éléments de connexion et éléments de contact sont précisés, puis on
montre que la différentielle absolue n'est autre qu'une différentielle au sens précédent
calculée dans une algèbre de contact transitive déduite de l'algèbre initiale. Tout
naturellement on termine en précisant le groupoïde d'holonomie et le groupe
d'holonomie attachés à un élément de connexion.
A cette heure, et pour être complet, il reste à définir torsion et courbure d'une
connexion. La réussite d'un tel challenge apporterait -s'il en était encore besoin- la
preuve de la fécondité du concept de « jets », sa puissance, sa simplicité et au final le
caractère plus que novateur des conceptions d'Ehresmann auxquelles cette étude est
largement redevable.

108

INDEX DES NOTATIONS
(k, O, C)
qf
C*C
C0
y'(/,a)

Algèbre de contact
Troncature de type q> d e /
Ensemble des couples composables de morphismes
Ensemble des unités de C
Jet local de/en a

1.1.1
1.1.1
1.1.1
1.1.1
1.1.2

a
C{e9e')
{k9 G>, C)

Germe de variété en a
Ensemble des morphismes de C de source e et de but e'
Algèbre de contact complétée de (k, 4>, C)

1.1.2
1.1.3
1.3.2

PxF
¢)°
G>r
Oc

Morphisme entre algèbres de contact
Ensemble des morphismes de O préservant les unités de C
Ensemble d e s morphismes réguliers d e <E>°
Ensemble des morphismes cartésiens de O 0

1.4.1
1.5
1.5.1
1.6.2

[r9R]
[r9 R] • [s9 S]
S

Echelon sur C
Composé de deux échelons
Echelonnement sur C

2.1.1
2.1.5
2.2.3

J9f
J9
a9, p 9
J9f
Or

Jet de type ç d e / o u q> -jet d e /
Foncteur de C vers J9C
Rétractions source et but de J9C
Jet infinitésimal d'ordre q> d e / e n x
Groupoïde des isomorphismes de O

4.1.1
4.1.2
4.1.2
4.1.3
4.1.4

J*C

=\JJ9C

4.1.4

A

ç>€<X>

A*B
Cr
J9A

= { / eC/3(a,b)e
AxB tel que a(a) = P(b)ç,tf = a.b)
Groupoïde des isomorphismes de C
={h&C/3a<=Aq>h = qa}=Uj9a
= SatA

4.2.2
4.2.2
4.2.3

(yt,o,C)(,1)

=(^^,/^0,^^(0)

4.3.2

(Cy9J9C09k')

Espèce de morphismes

4.4.1

Catégorie produit croisé
Groupe des isomorphismes de C de source et de but e

4.4.1
4.4.2

9

CY xk, J C0
Ge

109

H9
(C 9J9C09k')

= J9e
Espèce de morphismes

4.4.2
4.4.2

C xk, J9C0
(C,E 9 k' )
T9e

Catégorie produit croisé
Espèce de structures
= [x Gj9C/X = J9f avec / eC(e0,e)}

4.4.2
4.4.3
4.5.1

J9(eo>e)
T9g

=

T^e l'objet (e0, <p) -tangent ae
Morphisme (e0, qf) -tangent à e

4.5.1
4.5.1

T9

Foncteur de C vers TTC

4.5.2

a?, B9

Rétractions source et but de TTC

4.5.2

C(AtB)
Cs
as9 p s
G°F
T9A

Ensemble des morphismes de C dont la source est dans A
et le but dans B
Catégorie des sections locales de a
Rétractions source et but de Cs
Composé de morphismes de Cs
=
U ^ r a l'espace (e0,ç>)-tangent à>4

4.5.3
4.5.3
4.5.3
4.5.3
4.5.3

T9F

Application (e09qf) -tangente à F

4.5.3

VCS

= U{^}

4.5.3

aeA

FeC,

«* ,, P9 s

Rétractions source et but de TTC.

4.5.3

T9 e

Objet (e0,q>)-cotangent ae

4.5.3

T9 g

Morphisme (e0, <p) -tangent à e

4.5.3

T9 A

Espace (e0, q>) -cotangent à A

4.5.3

T9 F

Application (e0,q>) -cotangente à F

4.5.3

C(E)
CC(E)
(k\C(F)9Cc(Ex))
(*"9C(F)9CC{E))

Ensemble des chaînes d'éléments de E
Ensemble des chaînes contrôlées d'éléments de £
Néoalgèbre de contact sur CC(EX)
Néoalgèbre de contact sur CC(E)

6.7.1
6.7.1
6.7.2
6.7.2

110

REFERENCES
Charles Ehresman
Topologie sur les espaces fibres différentiables
C.R.A.S. Paris 224 (1947)

Les connexions infinitésimales dans un espace fibre différentiable
Colloque de topologie Bruxelles CBRM (1950)

Géométrie différentielle: les prolongements d'une variété différentiable
I - Calcul des jets, prolongement principal
C.R.A.S. Paris 233 (1951)
II - L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm
C.R.A.S. Paris 233 (1951)
III - Transitivité des prolongements
C.R.A.S. Paris 233 (1951)
IV - Eléments de contact, éléments d'enveloppe
C.R.A.S. Paris 234 (1952)

Les prolongements d'une variété différentiable
Dagli « Atti del IV Congresso dell' Unione Matematica Italiana »
(Taormina 25-31 Octobre 1954)

Structures locales
Conférence polycopiée à Rome (Mars 1952)

Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie
(Synthèse de plusieurs articles publiés jusqu'en 1953)
Colloque international de géométrie différentielle Strasbourg CNRS (1953)

Géométrie différentielle : extension du calcul des jets aux jets non holonomes
C.R.A.S. Paris 239 (1954)

111

Géométrie différentielle : application de la notion de jet non holonome
C.R.A.S. Paris 240 (1955)

Géométrie différentielle : les prolongements d'un espace fibre différentiable
C.R.A.S. Paris 240 (1955)

Sur les connexions d'ordre supérieur
Dagli « Atti del V Congresso dell' Unione Matematica Italiana »
(Pavia - Torino 1956)

Prolongements des catégories différentiables
Séminaire Charles Ehresmann
Topologie et géométrie différentielle (volume VI Juin 1964)

Propriétés infinitésimales des catégories différentiables
Cahiers de topologie et géométrie différentielle Paris
(volume IX Septembre 1966)

Catégories in differential geometry
Colloque sur l'algèbre des catégories Amiens (1973)
Cahiers de topologie et géométrie différentielle Paris (volume XIV)

Catégories et structures
Editions Dunod Paris (1965)

On trouvera l'essentiel des articles publiés par Charles Ehresmann et relatifs à la
géométrie différentielle dans :
« Charles Ehresmann, Oeuvres complètes et commentées »
Suppléments 1 et 2 au volume XXIV des cahiers de topologie et géométrie
différentielle Amiens (1983)

André Weil
Théorie des points proches
Colloque international de géométrie différentielle Strasbourg CNRS (1953)

112

TABLE
INTRODUCTION

n

1

ALGEBRE DE CONTACT

21

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

21
25
26
28
29
31
32

2

3

4

5

Action de <D SUR C
Ordres
Algèbre de contact complète
Morphismes d'algèbres de contact
Produits
Produits
Invariants et constantes

fibres

ECHELONNEMENT

35

2.1
2.2
2.3

35
39
42

Echelon sur C
Echelonnement sur C
Morphismes

EQUIVALENCE DES POINTS DE VUE

47

3.1
3.2
3.3

47
48
48

Echelonnement associé à une algèbre de contact
Algèbre de contact associée à un échelonnement
Conclusions

CALCUL DES JETS

51

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Jets de type q>
Extensions
Extensions d'ordre supérieur de (£,0,C)
Espèce de morphismes associée
Foncteurs T9

51
53
56
59
64

PRODUITS ET PRODUITS FIBRES

67

5.1
5.2

67
77

Produits sur les espaces de jets
Produits fibres dans les espaces de jets

113

6

EXEMPLES

91

6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7

91
96
97
98
100
100
102

Jets de C.Ehresmann
Divisibilité dans (Z,x,+)
Algèbre de contact double sur (7,x,+)
Algèbre de contact double sur (^,x,-h)
Algèbre de contact double sur Av
Conséquences
Les chaînes contrôlées

SUITE

107

INDEX DES NOTATIONS

109

REFERENCES

ni

14, Grande Rue
94130 NOGENT-SUR-MARNE
FRANCE

114