D IAGRAMMES P. AGERON Catégories accessibles à limites projectives non vides et catégories accessibles à limites projectives finies Diagrammes, tome 34 (1995), p. 1-10 © Université Paris 7, UER math., 1995, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME 34 ,1995 CATEGORIES ACCESSIBLES A LIMITES PROJECTIVES NON VIDES ET CATEGORIES ACCESSIBLES A LIMITES PROJECTIVES FINIES P. Ageron RESUME Soit /3 un cardinal régulier. Nous caractérisons comme catégories de modèles d'esquisses particulières les catégories /î-accessibles possédant les limites projectives non vides; nous en déduisons que ces catégories sont les objets d'une catégorie cartésienne fermée (les morphismes étant les foncteurs préservant les limites inductives /?-filtrantes). Nous caractérisons aussi les catégories accessibles possédant les limites projectives finies (resp. non vides finies, resp. non vides connexes). ZUSAMMENFASSUNG Sei /3 eine regulâre Kardinalzahl. Diejenigen 5-erreichbaren Kategorien, die aile nichtleeren Limites besitzen, werden als Modellkategorien besonderer Skizzen beschrieben. Daraus folgt, dafi dièse Kategorien die Objekte einer kartesischen abgeschlossenen Kategorie sind, deren Morphismen die /?-filtrierende Kolimites erhaltenden Funktoren sind. Ahnlicherweise werden yS-erreichbare Kategorien mit endlichen (bzw. nichtleeren endlichen, bzw. zusammenhângenden endlichen) Limites charakterisiert. La partie 1 est, pour l'essentiel, la rédaction d'une idée de Christian Lair ; elle a fait l'objet d'un exposé par C. Lair et C. Henry à Paris (séminaire Catégories et Structures, 23 septembre 1995) et d'un par moi-même à Caen (Journée sur les Catégories, 11 janvier 1996). La partie 2 a fait l'objet d'exposés par moi-même à Paris (séminaire Catégories et Structures, 13 octobre 1995), à Caen (Journée sur les Catégories, 11 janvier 1996) et (avec des développements ultérieurs) à Dunkerque ( 6 1 e m e PSSL, 9 juin 1996). INTRODUCTION Précisons quelques conventions de langage. Si C est une catégorie, l'expression « diagramme dans C » désigne tout foncteur d'une petite catégorie (appelée indexation du diagramme) vers C. L'expression « C possède les limites projectives non vides » (resp. « finies ») signifie que tout diagramme dans C d'indexation non vide (resp. finie) admet une limite projective. Par abus de langage, on appellera « indexation d'un cône (projectif ou inductif) » l'indexation du diagramme qui lui sert de base. Une esquisse E est (ici) une petite catégorie dans laquelle on distingue certains cônes projectifs et/ou inductifs ; un modèle de E est un foncteur de E vers Ens qui transforme ces cônes en cônes limite. Une catégorie est esquissable si elle est équivalente à la catégorie Mod(E) des modèles et transformations naturelles d'une certaine esquisse E. Dans [Lair81] est fournie une caractérisation intrinsèque des catégories esquissables, qui sera rappelée plus bas (théorème 0). Sa démonstration repose sur les trois outils fondamentaux suivants (évidemment étroitement liés), introduits dans [Guitart-Lair80]. Dans ces définitions, A et C sont deux catégories localement petites et U : A —• C un foncteur. DÉFINITION 1.— Soient p = (p7 : 5 -> t(I))Iei un cône projectif dans C et C un objet de C. On dit que C valide p si et seulement si l'application canonique de Lim p Hom(t(/),C) dans Hom(S,C) est bijective. DÉFINITION 2.— Soient C un objet de C, A : L - • A un diagramme dans A et rj = (T]L : C —• U(X(L)))LeQh{L) une famille de flèches dans C. On dit que A est un diagramme localement libre engendré par C si et seulement si pour tout objet A de A, l'application canonique de Lim L Lop Hom A (A(L),,4) dans Homc(C, U(A)) est bijective. DÉFINITION 3.— Soient <5:B> — A , A : L — A deux diagrammes et * = {t>DyL '• 6(D) —> A ( L ) ) D € D , L € L un « tronc de cône » inductif dans A. On dit que A est un diagramme localement limite inductive pour 6 si et seulement si, pour tout objet A de A, l'application canonique de Lim Hom(\(L),A) dans Lim DeDop Hom(<5(D),A) est bijective. REMARQUES.— Compte tenu du calcul des limites inductives dans Ens, il est possible de donner une forme plus concrète à ces définitions : ainsi, par exemple, dire que A est un diagramme localement libre engendré par C (définition 2) signifie que toute flèche de C vers un U(A) factorise à travers au moins un objet de la forme A(L) (avec L objet de L), et que s'il factorise à la fois à travers A(L) et A(L'), il existe dans L un zigzag reliant L et Z/ permettant de connecter ces deux factorisations. On peut alors noter comme dans [Guitart86] que, pour C donné, son diagramme localement libre A est déterminé à isomorphisme près dans la catégorie dont les objets sont les diagrammes dans C et dont les flèches sont les « atlas ». Malheureusement, la notion d'isomorphie dans cette catégorie est si faible que cette remarque est rarement utile : en particulier l'indexation L de A n'est pas déterminée à isomorphisme de catégories près. Signalons que dans [Lair83] sont présentés quatre « cas d'unicité », c'est-à-dire quatre catégories de diagrammes très particuliers dans lesquelles l'isomorphie des diagrammes implique Pisomorphie des indexations. Voici la caractérisation obtenue par Lair : THÉORÈME 0.— Une catégorie localement petite A est esquissable si et seulement si il existe un cardinal régulier /3 tel que : (a) A possède les limites inductives 0-61trantes ; (b) sa sous-catégorie pleine Ap constituée des objets ^-présentables est — essentiellement petite (1) — dense dans A ; (c) pour tout objet A de A, la catégorie Ap/A est /3-ôltrante. Suivant un usage qui s'est répandu, on dira, lorsque A et 0 vérifient les clauses (a), (6) et (c), que A est /^-accessible. Il n'est pas question ici de redonner la démonstration complète du théorème de Lair, mais il sera nécessaire cependant d'en indiquer les grandes lignes. Le lemme suivant, essentiel, montre l'intérêt de la notion de diagramme localement limite inductive dans la théorie des catégories accessibles. LEMME 0.— Dans le théorème 0, la clause (c) est équivalente à : (c') tout diagramme d'indexation /?-petite à valeurs dans A/? admet un diagramme localement limite inductive dans A, à valeurs dans Ap. DÉMONSTRATION.— (c) => {d) Soit 6 un diagramme /?-petit dans A^. Notons L la (petite) catégorie Cône (6) dont les objets sont les cônes inductifs de base 6 dont le sommet est dans A/?, et A le foncteur de L dans A qui envoie chaque cône inductif sur son sommet. Il est facile de vérifier que A est un diagramme localement limite inductive pour 6 (que l'on qualifiera de canonique). (1) Dans la suite, on notera abusivement Ap toute catégorie petite qui lui est équivalente. (d) => (c) Soit (// : Ai —» J4)/ € I un diagramme d'indexation /3-petite à valeurs dans Ap/A. Le diagramme ( J 4 / ) / € I admet dans A un diagramme localement limite inductive A : L —• A^. Le cône inductif constitué par les / / factorise donc à travers au moins l'un des A(L), ce qui fournit un cône inductif de base (fi)iei dans Ap/A. Ceci acquis, voici un résumé des constructions de [Lair81], légèrement modernisées dans l'esprit de [Lair87] : — si l'on part d'une catégorie ^-accessible A, on construit en agrandissant A°p une esquisse E dans laquelle les indexations des cônes projectifs distingués sont /3-petites et les indexations des cônes inductifs distingués sont les duales de celles des diagrammes localement limite inductive (canoniques ou non) du lemme 0 ; — si l'on part d'une esquisse E et si l'on note E~ l'esquisse projective sousjacente (obtenue en oubliant les cônes inductifs), on vérifie d'abord que Mod(E) est la sous-catégorie pleine de la catégorie Mod(E") dont les objets sont ceux qui y valident les cônes projectifs de la forme Y(q), où Y : E"" —> Mod(E" op ) est le comodèle canonique et où q est un cône inductif distingué de E. Ensuite, en choisissant /3 suffisamment grand, on montre que tout diagramme /?-petit 6 à valeurs dans Mod(E)/3 admet un diagramme localement limite inductive dans Mod(E), à valeurs dans Mod(E)#, obtenu en calculant d'abord la limite inductive L de 6 dans Mod(E~), puis en construisant par une récurrence transfinie le diagramme localement libre engendré par L (en « forçant » L à valider les cônes projectifs précédents de toutes les façons possibles). Le but du présent travail est de caractériser en termes d'esquisses : (1) les catégories accessibles possédant les limites projectives non vides (telles que, par exemple, la catégorie des anneaux de caractéristique nulle) ; (2) les catégories accessibles possédant les limites projectives finies (telles que, par exemple, la catégorie des anneaux de caractéristique non nulle). Ces deux problèmes ont été suscités respectivement par [Adâmek95] et par [Solian-Viswanathan90], mais le lecteur constatera que nos démonstrations ne sont que des adaptations à des situations particulières de celles de [Lair81]. Elles mettront en évidence l'ubiquité et la souplesse des concepts de diagramme localement libre et localement limite inductive. Plus précisément, elles fourniront deux nouveaux exemples de classes localement librement co-stables : on appelle ainsi toute classe X de cônes inductifs telle que, si tous les cônes inductifs distingués d'une esquisse E sont éléments de X, alors tout modèle de E" engendre un diagramme localement fibre dans Mod(E) dont l'indexation, augmentée d'un objet initial, est duale d'un élément de X. (Pour la théorie des classes localement librement co-stables, voir l'appendice de [Lair87].) 1. CATEGORIES ACCESSIBLES A LIMITES PROJECTIVES N O N VIDES THEOREME 1.— Soit A une catégorie. Les assertions suivantes sont équivalentes : — A est 0-accessible et possède les limites projectives non vides ; — A est esquissabie par une esquisse dans laquelle tous les cônes projectifs distingués sont dyindexation 0-petite et tous les cônes inductifs distingués sont d'indexation vide [ou isomorphe à 1/. Si une esquisse a des cônes inductifs d'indexation isomorphe à 1, on peut évidemment les éliminer sans modifier la catégorie des modèles ; cependant, comme c'est la classe des cônes inductifs d'indexation vide ou isomorphe à 1 qui va s'avérer librement co-stable, il paraît préférable de mentionner, dans l'énoncé du théorème 1, ces cônes inutiles. LEMME 1.1.— Si A est 0-accessible et possède les limites projectives non vides, alors tout diagramme 0-petit dans Ap admet un diagramme localement limite inductive dans A, indexé par la catégorie vide ou par la catégorie 1 et à valeurs dans DÉMONSTRATION DU LEMME 1.1.— Soit 6 un diagramme /?-petit dans Ap. On sait que 6 admet le diagramme localement limite inductive canonique A : L —> Ap, où L = Cône (6). Cela revient à dire que L est une sous-catégorie initiale de la catégorie Cône(<5) de tous les cônes inductifs de base 6. Deux cas se présentent naturellement. Premier cas : L est vide. Cela se produit si et seulement si Cone(S) est vide. Deuxième cas : L est non vide. Alors L = ^im A existe dans A, ce qui crée une limite projective pour le diagramme idi,- Mais puisque L est initiale dans Cône(#), la limite projective de idt est aussi, par un lemme classique, celle de k*Cône(é) ; c'est donc, par un autre lemme classique, un objet initial de Çône(6), ce qui n'est rien d'autre qu'une limite inductive de 6. Il en résulte que L est isomorphe à un objet de Ap, puisque (encore un lemme classique) toute limite inductive /î-petite d'objets /9-présentables est /^-présentable. LEMME 1.2.— Si A est 0-accessible et si tout diagramme 0-petit dans Ap admet un diagramme localement Umite inductive dans A, indexé par la catégorie vide ou par la catégorie 1 et à valeurs dans Ap, alors A est esquissabie par une esquisse dans laquelle tous les cônes projectifs distingués sont d'indexation 0-petite et tous les cônes inductifs distingués sont d'indexation vide [ou isomorphe à 1/. DÉMONSTRATION DU LEMME 1.2.— Il suffit de reprendre le procédé général de construction d'une esquisse associée à une catégorie accessible. LEMME 1.3.— Soit E une esquisse dans laquelle tous les cônes projectifs distingués sont d'indexation 0-petite et tous les cônes inductifs distingués sont d'indexation vide [ou isomorphe à lj. Alors la catégorie Mod(E) est 0-accessible. DÉMONSTRATION DU LEMME 1.3.— On peut supposer que les seuls cônes inductifs distingués sont d'indexation vide. On va vérifier successivement les clauses (a), (c7) et (6). La clause (a) résulte de la commutation dans Ens entre limites inductives ^-filtrantes et limites projectives /3-petites. Montrons ensuite ( Aj)D€D,/€I un diagramme dans L d'indexation finie. Alors la limite projective A = ^>im Aj existe et crée une limite projective q = ^im qj dans Côr\e(ô). Mais L étant initiale dans Ccme(6), il existe au moins un objet qo de L et une flèche de ÇQ vers q dans Côr\e(6). Par composition, on obtient un cône inductif (go —* Ç/)/€i dans L. (En comparant cette démonstration à celle du lemme 1.1., on constatera que l'on n'a pas eu besoin ici de modifier l'indexation des diagrammes localement limite inductive.) LEMME 2.2.— Si A est 0-accessible et si tout diagramme 0-petit dans Ap admet un diagramme localement Umite inductive dans A, indexé par une petite catégorie cofiltrante, à valeurs dans Ap, alors A est esquissabie par une esquisse dans laquelle tous les cônes projectifs distingués sont d'indexation 0-petite et tous les cônes inductifs distingués sont d'indexation filtrante. DÉMONSTRATION DU LEMME 2.2.— Il suffit de répéter le procédé général de construction d'une esquisse associée à une catégorie accessible. LEMME 2.4.— Si p est un cône projectif d'indexation cofiltrante dans une catégorie C, toute hmite projective finie d'objets qui valident p valide encore p. DÉMONSTRATION DU LEMME 2.4.— Posons p = (pi : S-+ t(J))/ € i (où I est une petite catégorie cofiltrante). Soient D une catégorie finie et 6 : D —> C un diagramme d'objets qui valident p. Supposons que la limite projective C de 6 existe et vérifions que C valide aussi p. On a successivement : Hom(S,C) = Hom(5,^ d im DeD 6(D)) = tim D € D Hom(5,(5(D)) = \mDe D L i g / € ,. p Hom(t(/), lTn 6(D)) om t - Lim V D D ^ ( ( ^ ) ^ ( ^ ) ) (puis