D IAGRAMMES

F. C URY
La suffisante complétude connexe. Section C : exemples
Diagrammes, tome 32 (1994), exp. no 2, p. 1-84
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DIAGRAMMES

VOLUME 32 ,

1994

LA SUFFISANTE COMPLETUDE CONNEXE
STATION C : EXEMPLES

F. CURY

Introduction
Le présent texte est le dernier d'une série de trois
("Section A" - voir CS.C.C.A.3 -, "Section B" - voir
CS.C.C.B.D - et cette "Section C") consacrés à l'étude
(d'un point de vue catégorique) de la propriété de suffisante
complét-ucte connexe s une "théorie essentiellement
équationnelle" possède cette propriété lorsque ses algèbres
libres
sont constituées des composantes connexes (par réécriture) des algèbres libres
d'une "théorie essentiellement relationnelle" qui "l'assouplit".
En Section A, nous avons présenté ce qu'il convenait

A. M . S.

Sub.

Glose.

: 18 C ÎO , 18 D OS , 18 A

lO

Section C

de comprendre

- en

-

Introduction

toute généralité

sentiellement équationnelle" puis par

- par

"théorie es-

"théorie essentiel-

lement relationnelle".
Nous y avons, tout d'abord, défini les graphes à. composition comme autant de "présentations de catégories".
Alors, nous avons considéré qu'une "théorie essentiellement
équationnelle" est une syntaxe d'algèb^ s sur une catégorie
(localement petite) A'
lui servant de contexte, i.e. est
une

30' = <A',...,B',

syntaxique" de

,Œ>' )

Œ>'

(la partie "purement

2)' ) est un sur-graphe à composition d'un

sous-graphe à composition
que

où

B'

de

Œ>'

ayant mêmes objets

Œ>' .

De la sorte, munir un objet A'
de A'
d'une structure
<A',$'> de 2)' -algèbre
revient à se donner un foncteur :
S' : Œ>'op
> Ens
prolongeant le foncteur canonique :
B<°P <
> &'op
> Ens .
Hom<-,A'>
Ensuite, pour formaliser ce que l'on entend par

"théorie

essentiellement relationnelle", il nous a suffi d'enrichir
les concepts précédents

"avec des 2-flèches

(de réécri-

ture)".
Nous avons donc défini les amphi-graphes d composition (et,
en particulier, les amphi -catégories ), i.e. les graphes à
composition enrichis à l'aide d'une structure de catégorie
monoïdale, symétrique et fermée
GrComp
adéquate (qui
n'est pas la cartésienne fermée) sur la catégorie
GrComp
des (petits) graphes à composition.
Alors, nous avons considéré qu'une "théorie essentiellement
relationnelle" est
une amphi-syntaxe
sur une amphicatégorie A lui servant de contexte enrichi, i.e. est une
3b = (A,...,B,
,D> où D
(la partie purement syntaxique

S e c t i o n C - Intro.

- page 2

Section C

-

Introduction

de 3b ) est un sur-amphi-graphe à composition d'un sousamphi-graphe à composition
B
de
A
ayant m@mes objets
que t> .
De la sorte, munir un objet A de A
d'une structure de
3b-amphi-algèbre
<A,*> c'est, en enrichissant "totalement"
la notion précédente d'algèbre, se donner un amphifoncteur :
* : D° p
• G; womp
prolongeant 1'amphi—foncteur canonique :
Bop <
> Aop
> GrComp .
A<-,A>
De même, en n'enrichissant que "partiellement", la notion
d'algèbre, nous avons défini les
3b-sesqui-aIgèbres.
En Section B, nous avons précisé comment une théorie
essentiellement relationnelle (i.e. une amphi-syntaxe) peut
"assouplir" une théorie essentiellement équationnelle (i.e.
une syntaxe).
Ainsi, une amphi-syntaxe 3b , de contexte enrichi l'amphicatégorie A , "assouplit" une syntaxe 30' , de contexte
la catégorie A' , lorsque £ = C3b930' > est une
laxification, i.e. quand :
- l a partie purement syntaxique
D
de
3b admet pour
U0-modificatton
(obtenue
en
prenant
les
composantes
connexes "Hom par Hom" de
D ) la partie purement
syntaxique Œ>' de 30' ,
- l e contexte
A'
de
30'
admet pour Did-modificat
ion
(obtenue en prenant 1'amphi-catégorie des catégories discrètes "Hom
par
Hom" de
A' ) une sous-amphi-catégorie
#
amphi—réflexive Did(A ) de A .
De la sorte, tout objet

A'

de

S e c t i o n C - Intro.

A'

s' identifie À un objet

- page 3

Section C

-

Introduction

de
A
qui engendre une Jfc-amphi -algèbre (resp. une
»-sesqui-algèbre) libre < A A *»* A '> • Alors, à l'objet Aft,
de A est associé, par amphi-réflexion, un objet
F(Aft, )
> F * A A' * "

de A' et une flèche canonique £rft, : Aft,
Dans ces conditions, si on suppose que :
- f

s AA,

• F(AAr>

connexité, duopoint

est

Un

"Passa9e

au

de vue des objets d'une petite sous-

catégorie pleine (suffisamment génératrice)
(i.e.

si, pour

Hom< f^,F< AA# > )

quotient par

tout

objet

^

de

A0

de

A "

A 0 , l'ensemble

est const i tué des composantes connexes de

A(^o,AA,) ) ,
- la J^-amphi-algèbre (resp. la J^sesqui-algèbre)
est quotientable

<Aft, ,*ft, >

le long de £^, ,

alors, on a établi que :
- la ^-amphi-algèbre (resp. la J^-sesqui-algèbre) quotient
<F<Aft, >,»/£r ) s'identifie à une 30' -algèbre <F(Aft, >,#') ,
- <F<A ,),$')

est la 30' -algèbre librement engendrée par

A' ,
autrement dit, dans ce cas, il

y a bien

suffisante

complé-

tude connexe m

Cependant, le seul point de vue des laxif i cations est par
trop restrictif : comme établi en C E . S . C C D pour le cas
particulier des catégories localement cartésiennes, le
simple remplacement des égalités par des réécritures n'assure pas contre des "défauts de connexité", i.e. que les
Hom< Ao,F< Aft, ) )
ne contiennent pas "plus" que les composantes connexes des A<^,A A , > ! Nous avons alors montré
comment il convenait de les corriger : en recherchant un
élargissement

S = t3b9

9T 9

930' )

, i.e. une syntaxe

de contexte (la catégorie sous-jacente à A ) A

s e c t i o n C - Intro.

- page 4

T

qui "sur-

Section C

charge"

-

Introduction

3b .

Dans cette Section C, nous détaillons systématiquement, tout d'abord, quelques exemples (volontairement élémentaires) des différentes notions générales introduites
dans la Section A (graphes à composition, syntaxes, algèbres, amphi-graphes à composition, amphi-syntaxes
amphialgèbres et sesqui-algèbres). Puis, en appliquant les méthodes et résultats généraux de la Section B, nous établissons qu'il y a suffisante complétude connexe dans trois
situations particulières, mais qui nous semblent caractéristiques.
Précisément, au §6.1, nous décrivons en détail quelques
graphes à composition particuliers. Ce sont les parties
purement syntaxiques de syntaxes que nous explicitons
complètement
au §6.2 en précisant,
notamment,
leurs
contextes : "ensemblistes" (i.e. lorsqu'il s'agit de la
catégorie Ens ) ou "catégoriques" (i.e. lorsqu'il s'agit
de la catégorie Cat ) . Alors, leurs algèbres respectives
sont des structures aussi "diverses" que s
- les demi-groupes
(vus comme exemples génériques de modèles ensemblistes de théories essentiellement équationnelles "unisortes", à lois de composition "partout définies"),
- les (petites) catégories dont l'ensemble des objets est
muni d'une structure de demi-groupe (vues comme exemples
génériques de modèles non ensemblistes - en l'espèce :
catégoriques - pour les théories essentiellement équationnelles "unisortes" à lois de composition "partout définies"),
-les

(petites) catégories quasi-cartésiennes

S e c t i o n C - Intro.

- page 5

(vues comme

Section C

-

Introduction

exemples génériques - du moins en première analyse - de
modèles non ensemblistes pour les théories essentiellement
équationnelles "multisortes" à lois de composition "non
partout définies", i.e. ne s'appliquant que lorsque leurs
arguments d'entrée vérifient des conditions équationnelles) .
En "déf* -itant" par le menu ces quelques "cas d'école" (délibérément simplistes), notre seul objectif est de convaincre le lecteur qu'aux présentations "classiques" de toutes
les théories essentiellement équationnelles (a fortiori,
des théories "totalement" équationnelles) et à leurs modèles, correspondent exactement les syntaxes et (en jouant
sur les contextes) leurs algèbres.
Au §6.3, nous décrivons complètement un certain nombre
d'amphi-graphes à composition. Ce sont, de nouveau, les
parties purement syntaxiques d'un certain nombre d'amphisyntaxes que nous décrivons explicitement au §6.2 en précisant, en particulier, leurs contextes enrichis :
- "ensemblistes avec réécritures" (i.e. lorsqu'il s'agit de
1'amphi-catégorie Relref dont les objets sont les ensembles munis d'une relation réflexive "de réécriture", dont
les flèches sont les applications compatibles et dont les
2-flèches sont les relations correspondantes - i.e. "valeurs par valeurs" - entre applications compatibles)
- "catégoriques avec naturalité" (i.e. lorsqu'il s'agit de
la 2-catégorie
Cat , c'est-à-dire de 1'amphi-catégorie
dont les objets sont les petites catégories, dont les flèches sont les foncteurs et dont les 2-flèches - "de réécriture" - sont les transformations naturelles),
- "2-catégoriques

avec

lax-naturalité"

s'agit de 1 ' amphi-catégorie

2-Cat

S e c t i o n C - Intro.

(i.e.

lorsqu'il

dont les objets sont

- page 6

Section C

-

Introduction

les petites 2-catégories, dont les flèches sont les 2foncteurs et dont les 2-f lèches - "de réécriture" - sont
les transformations "lax-naturelles" entre foncteurs égaux
sur les objets).
Alors, leurs amphi-algèbres (resp. leurs sesqui-algèbres)
respectives sont des structures aussi "diverses" que :
- les

pseudo-demi-groupes

(resp.

pseudo-demi-groupes

les

faibles),
i.e. les ensembles munis d'une relation de réécriture et d'une loi binaire compatible (resp. non nécessairement compatible), associative à la réécriture près,
- les (petites) catégories munies d'une
multiplication
fonctorielle (resp. non nécessairement fonctorielle) des
objets,
associative à isomorphismes naturels (resp. non
nécessairement naturels), non nécessairement cohérents,
près,
- les (petites) catégories munies d'une
multiplication
fonctorielle (resp. non nécessairement fonctorielle) des
objets,
associative à isomorphismes naturels (resp. non
nécessairement naturels), cohérents, près,
- les (petites) 2-catégories lax-quasi-cartésiennes
faiblement

lax-quasi-cartésiennes)

,

i.e. les

(resp.
(petites)

2-catégories munies d'un choix fonctoriel (resp. non nécessairement fonctoriel) de "lax-quasi-produite" ...
Evidemment, ces amphi-syntaxes sont autant d'exemples (intentionnellement très élémentaires) "d'assouplissements"
(au moins, au sens intuitif) des syntaxes (non enrichies)
précédemment décrites. En "démontant" encore par le menu
ces nouveaux "cas d'école", notre seul but est de convaincre le lecteur que, pour assouplir une "théorie essentiellement équationnelle" (i.e. une syntaxe), il ne suffit pas
(contrairement

à ce qui est bien

S e c t i o n G - Intro.

souvent

- page 7

sous-entendu)

Section C

-

Introduction

d'assouplir sa "partie purement syntaxique" en substituant
(mécaniquement) aux "équations" (i.e. aux diagrammes commutatifs) des relations de réécriture (i.e. des diagrammes
"2-commutatifs") : il convient aussi (et même surtout) de
"jouer" (ce qui laisse une assez grande latitude, fort peu
mécanique) sur la manière dont on assouplit le contexte
initial (i.e. ses objets) pour obtenir le contexte enrichi
où seront pris les modèles "avec réécritures".
Au §6.5, en reprenant deux des situations particulières
précédentes et en leur appliquant les résultats de la
Section B, nous établissons que deux 1axifications typiques
possèdent la propriété de suffisante complétude connexe.
Tout d'abord, si
30'
est la syntaxe (de contexte ensembliste) des demi-groupes et si 3b est 1 ' amphi-syntaxe (de
contexte ensembliste QLVGC réécritures) des pseudo-demi —
groupes, alors £ = <3b930' ) est une laxif i cation (au sens
de la Section B) : formellement la structure de pseudodemi-groupe assouplit donc effectivement
(comme on pouvait
s'y attendre) la structure de demi-groupe. De plus, £
possède la propriété de suffisante complétude connexe :
ainsi, les éléments d'un quelconque demi-groupe libre sont
les composantes connexes (par réécriture) d'un pseudo-demi—
groupe libre. Evidemment, cette situation est tout à fait
typique du cas général (classique) des modèles libres ensemblistes de quelconques théories essentiellement équationnelles "unisortes", à lois de composition "partout
définies".
Maintenant, si 30' est la syntaxe (catégorique) des (petites) catégories quasi-cartésiennes et si 3b est l'amphisyntaxe (de contexte 2-catégorique avec lax-naturalité),
alors £ = i3b930' ) est une laxification : formellement la
structure de (petite) 2-catégorie lax-quasi-cartésienne

S e c t i o n C - Intro.

- page 8

Section C

-

Introduction

assouplit donc effectivement
(comme on pouvait s'y attendre) la structure de (petite) catégorie quasi-cartésienne.
De plus, £
possède la propriété de suffisante complétude
connexe : ainsi , les objets
d'une quelconque (petite)
catégorie quasi-cartésienne librement engendrée par un
(petit) graphe (par exemple) sont exactement les objets de
la 2-catégorie lax-quasi-cartésienne (où on a choisi
- en
jouant sur le contexte - de ne pas utiliser de réécritures
entre objets) qu'il engendre, tandis que les flèches de
cette catégorie sont les composantes "2-connexes Hom par
Hom" de cette 2-catégorie. Evidemment, cette siutation est
tout à fait typique du cas général de modèles libres catégoriques des théories essentiellement équationnelles "mul —
tisortes" à lois de composition (ou constructeurs)
"non
partout définies" mais pour lesquelles :
- seuls des objets peuvent

servir

à construire de

"nou-

veaux " ob j et s,
- les seules conditions de définition des lois de composition ("partielles1') sont des égalités entre objets "associés" à leurs arguments d'entrée.
Au §6.6, nous étudions le cas des catégories localement
cartésiennes
librement engendrées par un graphe : précisément,
nous
y ré-interprètons
les considérations
de
CE.S.C.C.3, qui sont justement à l'origine de cette "théorie générale de la suffisante complétude connexe" développée dans les Sections A et B. Ce cas doit être considéré
comme tout à fait typique de celui des modèles libres catégoriques de quelconques théories essentiellement équationnelles "multisortes" à constructeurs "non partout définis",
i.e. où :
- même des flèches (par exemple) peuvent servir à construi-

S e c t i o n C - Intro.

- pctge 9

Section C

-

Introduction

re de "nouveaux" objets (en l'espèce, ici : des produits
fibres),
- les conditions de définition des lois de composition
("partielles"), tout en étant encore des tests d'égalité
(en l'espèce, ici : l'égalité des composés de deux couples
de flèches consécutives reliant les deux mêmes objets extrêmes), ne concernent
pas que les objets associés aux
arguments d'entrée mais aussi (par exemple) des flèches.
Ainsi, nous détaillons la syntaxe (de contexte catégorique)
30' des catégories localement cartésiennes.
Ensuite, puisqu'il est nécessaire de considérer tant des
réécritures entre objets que des réécritures entre flèches,
nous décrivons un contexte "catégorique avec réécritures",
i.e. 1'amphi-catégorie des (petites) "catégories avec réécritures" (c'est-à-dire de ces amphi-catégories où les Hom
sont des graphes à composition associés à un ordre réflexif
et où est distinguée une certaine sous-catégorie de 1flèches "de réécriture entre objets").
Alors, un assouplissement "mécanique" de 30' fournit une
amphi-syntaxe
3b , de contexte catégorique avec réécritures, et £ = <3b930' ) est une laxification ... qui n'a pas
la propriété de suffisante complétude connexe. Aussi, on
"surcharge"
£
à l'aide d'un élargissement particulier
S = <»,
sont

9T9

les

930'

) , où les algèbres de la syntaxe

catégories

lax-localement-cartésiennes

T
de

CE.S.C.C.3.
Pour une part, les considérations de CE.S.C.C.1 signifient
que S possède, lui, la propriété de suffisante complétude
connexe. De la sorte, les objets (resp. les flèches, ... )
de la (petite) catégorie localement cartésienne librement
engendrée par un (petit) graphe (par exemple) sont exactement les composantes connexes par réécriture (resp. 2-

S e c t i o n C - Intro.

- p<*ge ÎO

Section C

-

Introduction

connexes par 2-réécriture "Hom par Hom", ... ) de l'ensemble des objets (resp. des flèches, ... ) de la (petite)
catégorie lax-localement-cartésienne 1ibrement engendrée
par ce graphe s c'est l'autre part des résultats
particuliers de CE.S.C.C.1 que les considérations générales de
la Section B permettent donc de retrouver immédiatement.
Pour conclure, signalons qu'il n'est pas absolument
nécessaire d'avoir lu en détail les Sections A et B précédentes pour pouvoir parcourir cette Section C : nous y
fournissons systématiquement les références des multiples
concepts et nombreuses notations spécifiques figurant dans
ces Sections antérieures et abondamment utilisées ici, par
la force des choses : il sera donc aisé de les localiser
rapidement. Nous espérons, même, que cela permettra une
(re)lecture "en parallèle", évidemment plus motivante, des
Sections A ou B et de cette Section C.

S e c t i o n C - Intro.

- page 11

6.

Exemples

6.1. Exemple» d» graphes à composition'"
Si F : A
alors son image

> A'
est un foncteur entre catégories,
F<A> est naturellement munie d'une struc(2)

ture de graphe à composition

telle que :

- Ob(F<&> ) = F(Ob(A)> ,
-

ObId(F<A)> = Ob<F</û)>

-

F I ( F < & ) ) = F < F 1 <<ft)>

,

,

- CComp(F<&)> = <F x FXCComp(A)) ,
- la restriction de

F
F

:

|F<A>

S A

> F<A>

est un foncteur.
Alors, il est clair que :
- l'injection canonique :
F<A> <
est un foncteur.
A la donnée (E,R>
tion binaire
R , on
Gac(E,£) tel que :

Voir

l a S e c t i o n A, § 1 . 2

-

> A'

d'un ensemble E muni d'une relaassocie le graphe à composition

i.e.

CS.C.C.A.3.

(2)

Historiquement,
c'est
justement
parce
que
pas,
en
général,
une
sous-catégorie
de
A'
de
"graphe
multiplicatif"
<i. e.
de
graphe
à
tout
objet
est
d
identité)
a
été
introduite
par C. Ehresmann .

S e c t i o n C - §©.

- page 1

F(&)
n'est
que
la
notion
composition
où
en
CC.A.S.T.3

§6.

Section C

-

0b<6ac<E,K> ) = E

-

Fl(6ac<E,R>)

que

x R y

,

est

des

<x,y>

est l'ensemble des

id(x) = <x,x) : x

- CComp(Gac(E,R))
x R y 9

que

l'ensemble

:

x

> y

tels

tels que

x Rx

<<y,z) ,(x,y>)

tels

,

- ObId(Gac(E,R) )
et l'on a

Exemples

> x

,

est l'ensemble des

y R z

et

x

x R z ,

auquel

cas

l'on

a

<y,z) - <x,y) = <x,z) .

On n o t e
le

DB

diagramme

(Eqnacc)

le

notes

(non

graphe

à composition

commutatif)

ci-dessous

et

le

représenté

système

par

d'équations

:
D

<r

3
«•9

/
ai,

2v,

/

(où

1 < it < 2 ,
r

1 < i2 < 3
«li • P 2 i

qi-Pzz

et

1 < i3 < 2 )

P31
P32

<E%as 8 >
qz-Pzi
<£-P22
Clairement,

si

F

pour

les

deux

lequel

<BnaM>

op

diagrammes

Section C - §6.

Paz
P3S
-» E n s

est

ci-dessous

- pag* 2

un
sont

foncteur
des

pro-

§6.

Section C

Exemples

duits cartésiens (nous dirons, pour faire court,
e s t convenable) z
F<D >

F

F<D 3 )

2

I'

F<P a i )

F<D i )

F<D±>

alors, on voit que
<valna88>

que

F<|Pa2>

F<D4>
F

RPaa>

FCD^

F<D4)

vérifie le système de conditions

suivant
f

pour t o u s

F(p2l)(x,y)

= x

F<p22Xx,y)

= y

pour t o u s
<Valnas8>

x , y € F(D±)

, on a :

x , y , z e F(Dâ)

F<p31Xx,y,z)

= x

F<p32)<x,y,z>

= y

F(p33)<x,y,z)

= z

, on a :

pour tous x , y , z 6 F<D t ) , on a :
F<q;><x,y,z> - <x,y>
F<q£Xx,y,z> = (y,z)
(autrement dit, du point de vue de ces foncteurs convenables, Br
est une représentation
graphique
des
projections

nécessaires

à, l' associât

ivi té - éventuelle - des lois

de composition binaires et internes - éventuelles ! ) .
On note maintenant Œ>utass l e graphe à composition, contenant IBna88 , représenté par le diagramme (non commutatif)
ci-dessous et vérifiant (outre le système
(Eq n o M ) ) 1<
système
suit :

supplémentaire

d'équations

Section C - §6.

- page 3

(Eq^t O S 8 )

qui

Section C

-

§6.

Exemples

B
nass

— t D
xa

r

3

• "•*

q

D

k

(où

1 < i4 < 2

et

1 < i5 < 2 )

qi h = q t
Qz-h = q 2
k

iP2i

kiP22

Pas

Œqu tOLSS '
Pai

•4P22
k

i h

k

~

i

= k,
L ki-h =
Cette
dont

fois,
la

convenable),
F<h>

F

<Œ>uta.8>

op

restriction

convenable

-

si

(et

op

est
op

|<IBna..>
nous d i r o n s e n c o r e

alors

: F<D2>

-» E n s

un

foncteur

<Bna..>''

> Ens

que c ' e s t

F

est

qui

est

de c o m p o s i t i o n

bi

:

-> F(D 1 )

est

Section G - §6.

une l o i

- page 4

Section G

naire

-

§6.

Exemples

interne sur l'ensemble
F<D±) , on note bien sûr

F<Dt>
(et, pour
F(h)<x,y) = xy >,

tous

- outre le système de conditions
vérifie aussi le système
f

précédent,
<va*na..>
<valut«as> suivant :

pour tous

x , y , z e F<Dt>

on a

F(qt)(x,y,z) = xy
F(q2)(x,yfz> = yz
<Val u t a M >

F(k£Xx,y,z> = (xy,z)
F<k£Xx,y,z> = <x,yz)

i

F<k 1 Xx,y,z) = <xy)z
F(k2)(x,y,z) = x(yz)

(autrement dit, du point de vue de ces foncteurs convenables, D^utose e s t u n e représentation
graphique de ce qui
est

utile

à. I9 associât

ivi té

-

éventuelle

-

des

lois

de

composition binaires et internes).
Enfin, on désigne par I^oss le graphe à composition obtenu
en quotientant H>utass par l'identification de kt et k2
(à
une
même
flèche
notée
k )
et
on
note
Quo0U38 s ^utoss
• "^oss l e Joncteur passage au quotient.
Il est clair que, si
F : (Œ>aas)°p
> Ens
est un foncop
01
teur tel
que
Fo(Quo as8 )
: 'utae8
flD^^.)
*
> Ens
est
*
convenable (et nous dirons, de nouveau, que c'est
qui
est convenable),

alors :

F<h)
F(D-)
est une loi de
-» F<Dâ)
binaire interne et associative sur F<Dt) ,

composition

(autrement dit, du point de vue de ces foncteurs convenables,
E\iss es*: u n e représentation
graphique des lois de
composition

binaires,

internes

et

S e c t i o n C - §6.

associatives).

- page 5

Section C

§&.

Exemples

B,

le graphe à composition, contenant
représenté par le diagramme (non commutatif) ciGB
noss
dessous et vérifiant (outre le système
(Eqna88) ) le sysNotons

nsurass

tème s u p p l é m e n t a i r e d ' é q u a t i o n s

D

(Eq^

euross

t

B

(où

1 < i6 < 2 )

I action C - §©.

- page ©

)

qui l e

suit

Section G

-

r't

rk

§6.

Exemples

P21

P*i

P22

P42

P21

P42

P22

<Eqn,
surass'

Clairement,
dont

la

si

un

:

<B

pour

P43

P22

P44

Pai

P4i

P32

P42

Pss

P43

Psi

P42

P92

P43

Pas

P44

nsurass }

restriction

convenable e t
est

F

P21

L«>P

lequel,

ï

(B

le

(et

dirons,

que

e s t convenable)

nous

est

un

nos8)OP

de p l u s ,

cartésien

F

-• E n s

| « B noss '

produit

de . . . ,

op

•

diagramme
comme

foncteur
E n s

est

ci-dessous
d'habitu-

:

F<D^>
F<P41)
F<Dt>
alors,

on

(Valj^.)

voit

F<D t >
que

F<D±>

vérifie le système de conditions

précédent et le système

<Valn.urQ.(>)

S*citon C - $6. - pag* 7

sui vant :

Section G

pour tous

-

§6.

Exemples

x , y , z , t €

F(D1) , on a

F<p41)<x,y,z,t>
F<p 42 Xx,y,z,t>
F<p 49 Xx,y,z,t>
F<p 44 Xx,y,z,t>

= x
= y
= z
= t

F<rJXx,y,z,t.

= <x,y)

*Valnsuras8 )

F<r£Xx,y,z,t> = <y,z>
F(rJ)(x,y,2,t) = <z,t)
F<ri')<x,y,z,t) = <x,y,z)
F<rp<x,y,z,t) = <y,z,t>
(autrement dit, du point de vue de ces foncteurs convenables, Ensuroes est une représentation
graphique des projections
nécessaires
à. la sur-associativité9
i.e. à l'associât i vite - éventuelle - à trois et quatre éléments, des
lois
de
composition
binaires
et
internes
éventuelles
On

note

suit

03nsurass

Œ'utsuross
>,

le

graphe

et

,

représenté

(non c o m m u t a t i f )

systèmes
tème

)

maintenant

contenant
gramme

• <3>

(Eq^,,)

,

supplémentaire

Œ>,u t 0 L M

ci-dessous

et

à

composition,
par

vérifiant

<Ec^t a s s )
et
d'équations

suross

)

tsurass >

le

dia-

(outre

les

1e

sys-

qui

le

>

:

(3)
Nous

avons

sur
la
cohérence
ments" bien entendu.

en

et

vue

quelques

non

sur

Section G - §6.

considérations

"l'associativité

- page B

d

ultérieures

quatre

élé-

Section G

-

§6.

Exemples

B
murais

r

r

(B

4

* J

L

L...

D

(où

1 < i7 < 3 ,

1 < ie < 3 ,

1 < i < 2

Section C - $ 6 .

- page

9

et

ut a s s

1 < j < 2 >

Section G

r

-

§6.

r4 -

't h
' 2 h

=

ri h

Exemples

r

s i Pat
s i Paz - P*a
s i Pas -

P*4

si Pai = P41

sa Paz

"

r

2

s i Paa = P 4 4
s i Pat "

P4i

s i Pa2 " P 4 2
s i Paa
<Ec^

tsuross '

•

si- P z i

r

a

=

V1 1

si' P22
Pi4'4k 2
si- P21 "— r^"

P22

P44

si' P21

P41

= v1 2

si' P22 — ^—.##2 ^

S

'21

P2i

*

P41

P2 2

= r2'.k2
kt

-

=

V2 2

si'.h

i

=

S2

"

si kt = si'.h

Sa

-

s i k2 = s i ' . h

S

4

-

s i k2 •

Ss

-

s i k 2 = s , • k,

Cette f o i s , si
F s <B> uUuro-s : ,°P
dont l a r e s t r i c t i o n
F. ._

s4'.h

-> E n s
k OP

turass'

est

(B
%u

foncteur

)op

—> E n s

*n»urass '

est convenable (et nous dirons bien sûr que

Section C - $S. - pag* ÎO

un

F

est aussi

Section C

convenable),

alors

- F<h)

: F<D 2 )

naire

interne

-

§6.

:
• F(D ± )

sur

est

une

, on n o t e b i e n s û r

- outre

systèmes

et

(ValnsuraM)

(Val utsurass )

composition

bi-

F<D 4 )

(et,

pour

tous

F<h>(x,y)

= xy

>,

l'ensemble

x , y e F<D â )
les

Exemples

de

loi

conditions

précédents,

F

de

(Val„M,)

vérifie

,

aussi

(valutaae)
le

syst^ite

suivant
pour t o u s

(valul8urass)

x , y , z , t e F ( D 1 )

F<rt)

x,y,z,t)

= xy

F<r2)

x,y,z,t)

= yz

F<r,)

x»y»z»t)

= zt

F<si>

x,y,z,t)

= <xy,z,t)

FCs^)

x,y,z,t)

= <x,yz,t)

F<S3>

x»y»z»t>

= <x,y,zt)

F<sJ'> x , y , z , t )

= <<xy)z,t)

FCsi*)

= <x<yz) , t )

F(Sa')

x,y,z,t>

= <x,<yz)t>

F< s4'>

x,y,z,t)

-- < x , y < z t ) >

F<vlt

<x,y,z,t>

= <xy)z

on

a

«*„ < x , y , z , t > = x ( y z )

(autrement
bles,

dit,

Œ>u, t s u r a s s

<x,y,z,t)

=

F<v22

<x,y,z,t)

* y<zt>

F(Si)

x,y,z,t>

= <<xy>z)t

FCSj)

x , y , z , t > •• •• < x < y z ) ) t

F<Sa>

x,y,z,t)

F<s4)

x , y , z , t ) > •• x < y < z t > )

F<S3>

x,y,z,t>

du p o i n t
est

une

de

<yz)t

i = x<<yz)t)
i • <xy)<zt>

vue de c e s

représentation

Section C - §6.

- p a g e 11

foncteurs
graphique

convenade

ce

Section G

qui

est

utile

à.

la

-

§6.

Exemples

sur-associativité

— éventuelle

—

des

lois de composition binaires et internes).
Enfin, on désigne par
(contenant

ID^.

)

le
graphe
à
composition
Œ>,
suross
en q u o t i e n t a n t
Œ>ui8uraS8
par :

obtenu

(à une même flèche notée

de

et

- l'identification de

sj' et

-

l'identification

k *

»12

(à une m@me flèche notée

>,

- l'identification de

s£

on

passage

Qu9surass

note
au

(à une même flèche notée

et

- l'identification de
même flèche notée s > ,
et

s£

^¾ »

5:

et

Sa >

Œ>,
"'utsurass

-•

D>.
suross

s-

le

(à

une

foncteur

quotient.
op

_

est un
s
— > Ens
foncteur tel que
Fo (Quosura88/
. w(Œ>,
utsuross >>op
>>
est convenable (et nous dirons, de nouveau, que c'est
F
Il

est

clair

que,

si

F

:

<&>suross>

->

Ens

op

qui est convenable),

alors :

- F<h) : F<D2)

• F<Dt>

naire

"associative

interne,

est une loi de composition biet

sur—associative"

sur

F(Dt) ,
(autrement dit, comme la sur-associativité est évidemment
conséquence de l'associativité, ID8uraB8
est, du point de
vue

de

ces

foncteurs

phique

surabondante

ternes

et

convenables,

des

associatives

lois

de

représentation

composition

binaires,

grain-

>.

<e>
Nous
avons
lions
concernant
quatre éléments".

une

toujours
la

en
vui
cohérence

Section G - §6.

quelques
it
non

- page 12

brèves
considéra"l'associativité
d

Section C

-

§6.

Désignons maintenant par
sition

Exemples

B nqcar t

** graphe à compo-

("sans équations autres que les triviales") repré-

senté par le diagramme ci—dessous :

°a*
g

Alors,

si

C

Fc : dBnqcarl)

est

op

D4

[idCD^

D

lid<Do>

o <

une catégorie petite,

• Ens

le

foncteur,

on

désigne par

dit bien

adapté

a

C , tel que :
F C <D 0 > = { < C t , C 2 >

/ C 4 , C 2 e Ob(C)

}

Fc<Dt) = {
F

(Valnqcarl>

<r< D 2>

pour t o u t
on a :

=

(cirC'-^C^cisC'-^Cj)
/ ci,c2 e FKC) }
< ( c 1 : C - » C l t c 8 :C->C2,c' :C'-»C)
/ Cl,c2,c' e FKC) >

<cJiC'->Clfci:C'—»0,)

« Fc<Dt>

,

Fc<b><c;,c2> = <C4,C2)
pour t o u t
on a :

<câ,c2,c'>

e FC<D2)

,

F<c<g)<c1,c2,c'> = <c4,c2>
Fc<d)<c1,c2,c')
(on d i r a

q u e , du p o i n t

-

<câc',c2c'>

de vue de ces f o n c t e u r s

Section C - §6.

- page 13

bien

adap-

Section

tés

»

dients
de

est

^nqcort

u n e

-

§©.

Exemples

représentation

9

catégoriques *

catégorie

C

nécessaires

graphique

des

à. une éventuelle

quasi-cartésienne

"ingréstructure

- terminologi e

que ce

qui

<3>,

s u i t justifiera"* )
Dès

lors,

on

note

contenant

Bnqcarl ,

mutatif)

ci-dessous

(Ec

>

Ltqcart

^

ui

l e

D>utacari

le

graphe

à

composition,

représenté par

le

diagramme

et

le

système

s u i t

vérifiant

(non com-

d'équations

=
IB

nqcar t

*!

-»c:

::

».

r

q;

(Eq,,t q c a r t '

q- b

id<I\>>

f.g

h « b-q

f-d

j

<9>
Pour
faire
court,
nous
nous
contentons
catégories
"quasi-cartésiennes".
Bien
entendu,
rations
tout
d
fait
analogues
s'appliquent
cartésiennes.

Section

C -

§6. -

p a g e 14

d'évoquer
les
des
considéaux
catégories

Section C -

Clairement,
dont

la

si

F :

§ 6 . Exemples

«D ut q cari )° p

• Ens

F,

oP :

restriction

m

est un foncteur

«Bnqcarl)op

•Ens

I ^^nqcort'

est

un foncteur

bien

adapté

à une p e t i t e

(auquel cas nous dirons que F

catégorie

C

est adapté à. C ) , alors on

voit que :
-

F<q)

tout

: F<D0)

couple

• F<Dt)
iC±9C2)

produit

potentiel

ches de

C

de

est une loi sur

de deux
C^ et

objets

(½ ,

C

associant à

C

un quasi -

de

i . e . un couple de f l è -

t e l que représenté ci-dessous :
F<q)<Ci,C2>o

C
i
•

C
2

F< q)

•

I

>

- F(f> : F<Dt)
tout

xF<^<C^C2>;

- . - » . •

couple

• F(D^)

est une loi

(c;:C'—H^cJzC'—tCj

m@me domaine) d e

C

suur

C

associant à

de deux

flèches (de

une factorisation

potentielle

couple, i.e. un tri pi et de flèches de

C

de c e

tel que repré-

senté ci-dessous :
fact<c^,c^>

\

y
F<q><ci,c2>o

c<c;,c;>

c

V^.
C

.

(on dira
Œ>utqcort

F<q)<Ci,C2)i^

>F<f)»

C

z

que, du point
e s t

\F<q)(Ci,C2)a

u n e

de vue de ces foncteurs

représentation

catégoriques99 utiles

à

adaptés,

graphique des "ingrédients

la strutetutre de

catégorie

quasi-

cartésienne) *
Enfin, on note

D>qcari

le graphe

à composition

S e c t i o n C - § 6 . - p a g e 15

obtenu en

Section C

quoti entant
id(Dt)

Par

Œ>utqcort

et

on

-

désigne

§6.

Exemples

l'identification

Œ>u t q c a r t

Quo,^qcort

par

de
qcart

le foncteur passage au quotient.
Manifestement,
teur

adapté

<ŒWt>° P

F

à. u n e p e t i t e

foncteur
à

si

F* ( Q u o q c a r t ) °

C , alors

F

p

—> E n s

catégorie
:

"munit"

(Œ>utqCart>°
C

d'une

quasi-cartésiennem

Autrement d i t :

-

F(q> : F ( D 0 )

> F<D ± )

sur

C ,

de

C

est

associant

à tout

un quasi-produit

de

flèches

de

C

tel

C ,
P

•

iC±9Cz)

C±

C2 ,

et

fonc-

i.e.

tel

que

le

e s t

a d

t é

de

couple

un

E n s

structure

un choix

que r e p r é s e n t é

est

de

catégorie

quasi-produit
de deux

i.e.

ci-dessous

*P

s
objets

un c o u p l e

de

:

F<qXC4,C2)o
F<qXCi,C2)2

F<q)<Ci,C2)i
F(q)
I

•

- F<f) : F<Dt)
sur

» F<D2)

un choix

est

C , associant à tout couple

deux flèches (de même domaine) de
ce

couple

au

travers

de

factorisations

(cJ:C —>C ± ,c^zC —>C2)

de

une factorisation

de

C

du quasi-produit,

i.e. de sorte que le

diagramme ci-dessous est commutatif :
F < q X C ,C )
2

c

fact<

!•;•
c<c;,c2>

F<qXCi,C2)i
C

y^

O

;>

F<qXCi,C2)2

c
F<f)
I

•

i Y

Section C - §6.

N- i

- page 16

Section C

-

§ 6 . Exemples

(on peut donc légitimement dire que, du point de vue de ces
est

foncteurs adaptés,

IDqcort

que de la struc titre

de catégorie

une

représentation

graphi-

quasi-cartésienne<S>)

.

(7>

6 . 2 . Exemples de syntaxes e t d'algèbres
Désignons par

KaiSB : B n a 8 S

jection

canonique e t

teur tel

que :

- pour t o u t

par

> ïï>CiBS l e

Jn0L8S s B n a 8 8

fonc-

5)a8S = <Ens, J n a 8 8 ,IB n a s 8 ,K a 8 S ,ID a s 8 )

est

1 < i < 3 , on

pour t o u t

1 < i < 2 , on
J

nass<P2i>

'

a:
i>

a:
0 >

> <^2>
1

-

pour t o u t

1 < i < 3 , on
Jnoss<P3i>

= O }

1 < i < 2 , on
Jnoss<<>

l

I

s 0,2}
1

clairement,

une syntaxe sur

•

{1,2,3}

•

i

a:
> {1,2,3}
I

2 i
Alors,

> i

a:
1

- pour t o u t

> Ens

in-

le

Jnoss<Di> = U
-

foncteur

> i

• i + 1

Ens •

Par construction, les deux diagrammes ci-dessous :

<6>

Comme
précédemment,
nous
quasi-cartésiennes
pour
faire
tions
tout
à
fait
analogues
tésiennes.

nous
limitons
court.
Mais
valent
pour
les

aux
catégories
des
considéracatégories
car-

(7)

Voir l a S e c t i o n A, § § 2 . 1 e t 2 . 2 - i . e .

CS.C.C.A.3.

S e c t i o n C - § 6 . - page 17

Section

J

C

-

§6.

Exemples

-> J

<D >
nass

<D ) <nass

2

3
<

J

<p„>
nass

P„>
32

21

nass

22

nass

J

3 1

<P3a>
nass

a

J

<D >
nass

<D )
nass

1

représentent

deux

J

1

sommes dans

pour t o u t ensemble
naturellement

J

1

:

<D )

1

nas s

Il

en

résulte

1

que,

:

(Bna88)

équivalent

J

<D >
nass

Ens .

E , l e foncteur

Ens<Jna88<->,E>
est

<D )
nass

3 3

op

> Ens

à un f o n c t e u r

convenable

(au

sens du § 6 . 1 ) .
Si

<E,$)

e s t une 5> OL8S -algèbre e t

pose de l ' a p p l i c a t i o n
rXfyl

: J n a 8 S <D 2 >

.&

x , y e E ,

on d i s -

:

e t donc de l ' a p p l i c a t i o n
rx,yl

si

= {1,2}

> E

1

I

> x

2

|

> y

:

h : {1} = . 3 ™ « ^ )

En p o s a n t , pour t o u s

x , y € E

> E .

:

x jLe y = ( r x , y " l

- ^ h)

< 1>

,

il est clair qu'on définit une loi binaire associative :
±

> E .

: E x E

On en conclut facilement que la catégorie des jDCL88-algèbres
(E,&)
<E,-L)

est

équivalente

Notons

maintenant

la

catégorie

des

demi-groupes

.

H'suross • ^ a s s

les

à

foncteurs

tructions

du

e s t commutâtif

-> ^Œ>
s olu r o smm
s
w

injections
§6.1),

SUrOSS

et
*-*•

B,
*T>088

•

de s o r t e

que

le

""suross

(résultant

des

cons-

diagramme

ci-dessous

-

page

:

Section

C -

§6.

'

w

^suross

canoniques

-> Bn s u r o s s

18

•

^nsuross

Section C

-

§6.

Exemples

K

CLSS

m

-* Œ>

H

Q

suross

suross

mn s u r o s s

-> ID

K
suross

Désignons

également

foncteur t e l

par

'nsuross

• '"nsurass

que :

- l e diagramme ci-dessous est commutâtif :
B
nass

Ens

Q

suross
nsu r a s s
B

-

on a
'nsuross

- pour t o u t

<D4)

1 < i < 4 , on
J

nsuross<P4i>

=

{1,2,3,4}

a:

• 0 >

•
1

- pour t o u t

1 < i < 3 , on
Jneurase<«\'>

- pour t o u t

» i

a:

• 0 . 2 }

1 < i < 2 , on
Jn.uro.sOT)

I

ï

{1,2,3,4}

•

{1,2,3,4}
i

1

I

>

2

l

> i

+ 1

a:

0 , 2 , 3 }
2
3

Section C - §6.

> <1,2,3,4>
|
l

> i
> i

- page 19

+ 1
+ 2

-> E n s

le

Section C

-

§6.

Exemples

Alors, il est facile de vérifier que :
^suro88 =

'It-ns , "nsuross * "^nsuross * ^suross * "^suross *

est une syntaxe sur
fier que :
** =

Ens . De même, il est facile de véri-

^suross» "suross'

s

^oss

* ^suros.

est un homomorphisme de syntaxes sur
(1'associativite
associativité

étant

évidemment

Ens . Et, enfin, que

équivalente

à

la

sur-

... en tout cas pour les lois binaires sur

des ensembles ! )

9€ est bien entendu une isologie.

Désignons par
Disc : Ens
> Cat
le foncteur (ad11
joint à gauche du foncteur "objets de
Ob : Cat
• Ens )
associant à tout ensemble
E
la catégorie discrète ayant
E pour ensemble d'objets.
Clairement,
Axss
<resp.
D 8 u r a 8 S ) est transportable (au
sens de la Section A, §2.1 - i.e. de
CS.C.C.A.3) par le
foncteur Disc : Ens
> Cat .
Manifestement, la catégorie des (Disc -30^^) -algèbres (resp.
des (Dîse30 suraso )-algèbres) est équivalente à la catégorie
des petites catégories dont l'ensemble des objets est muni
d'une structure de demi-groupe.
Désignons

par

^ t

: Bnqcart

teur injection canonique et par
le foncteur tel que :
-

les

Catégories

sont représentées
dessous :

> Œ> qC art
Jnqcort : Bnqcort

Jnqcart<D0)

,

par

diagrammes

les

Section C - §6.

le

J n a C art<Dl>

- page 20

e t

Jonc> Cat

J

nqcort< D Z>

commutatifs

ci-

Sectvon C

-

§e.

Exemples

nqcorl

1

O

2

J

4 < D )

nqcart

1

n""è"
i

2
L

x

J

A

<>'

A

•

<
i
p

, <D>
nqcar t
2

l

w

i l

S e c t i o n C - §©.

2

i

- page 21

Section

-

C

-

§6.

Exemples

on a :
J

J

-* J n q c a r t <D t )

' n q c a r t <D 0 )

nqcort<b>

J

nqcort<9>

1

I

•

1

2

I

•

2

•*

«Wart<D2>

nqcart<Dl>

P«

-*• P i
- • Pz

Pi

et
J

J

nqcort<d>

nqcarl<D±>

~*

Pi
P2

Alors,

Nqcart

~

e s t f a c i l e de v é r i f i e r

C , l e foncteur

naturellement

<€,£>

est

que, pour

op

une 2 > q c a r l - a l g è b r e

et

(Equiqcari)

à

C

: J n qcart<Do>

•

:

C

I—•
c±
l
> C9

:

Ci,<V

3

nqcart

s

du cSne p r o j e c t i f

objets

adapté

C± , C^ € Ob(C)

si

C , on d i s p o s e du f o n c t e u r

e t donc du f o n c t e u r

les

bien

-> Ens .

1
2

base

catégorie

> Ens

au f o n c t e u r

(B n q c a r t

IC^C^

c'est-à-dire

toute p e t i t e

«Bnqcarl>OP

:

équivalent

sont deux o b j e t s de

r

est

:

(au sens du § 6 . 1 )
Si

• Pi
• Pi

Cat .

Cat<Jnqcart(-),C)
est

nqcart<DZ>

( C a t , J n q c o r t , ^ n q c a r t » Kqeart ï ^ q c a r t *

évidemment une syntaxe sur
Il

•
l

J

C±

et

Cg ,

<D4)

de

C

vu

le

-» C ,
(nécessairement
système

) représenté ci-dessous :

Section

C -

§G.

-

page

22

de

d'équations

Section C

rc

-

§6.

i»czn

^

c

xi

q <o>
&

proj^(Ci,C2)iv^
(¾.¾1

Exemples

c
2

\ p r o j a < C i f C a 2> ,2

. ^ q ) < p i ) / /

\ ( r c

C

C21 . ^ q ) < p 2 )
C

1

2

Ce cône projectif est un quasi-produit dans C , puisque,
si on dispose d'un autre cône projectif
(cj,^)
de
C
(de même base
Ct
et
Qj ), tel que représenté cidessous :
C
C

alors il lui correspond le foncteur :
r c J,c£T

e t donc l e f o n c t e u r
r

: Jnqcart<Dt>

• C

Pi

•

• <=J

Pz

•

• <=2

:

ci,^

.^

f

: Jnqcarl<D2)

• C .

En d'autres termes, on dispose d'une factorisation (choisie) du cône projectif
(cj,^) au travers du quasiproduit, i.e. on dispose du diagramme (nécessairement)
et
commutât if (vu le système d'équations
<Ec\itqcart*
l'identification de j à id(D1) ) ci-dessous :

Section C - §6.

- page 23

Section C

-

§6.

Exemples

(rci,C2T

. A f)<p>

s

X

proj^<Ci,C2>2

C

x.
i

S

C

C
2

proJe(Ci,C2)i

Ainsi, la catégorie des 5)qcari-algèbres <C,$) est équivalente à la catégorie des petites catégories quasicartésiennes, i.e. des petites catégories munies d'un choix
de quasi-produits (et d'un choix de factorisations vers ces
quasi-produits) <C,x ) .

6.3. Exemples d'amphi-graphes à composition
On

note

1'amphi—graphe

'reecoss

à

(8)

composition

tel

que :
- le graphe à composition de ses 1-flèches est
au graphe à composition)

Œ>utass

(introduit au §6.1),

- ses 2-flèches sont représentées
dessous :

(8)

Voir

l a S e c t i o n A, § 3 . 2 -

i.e.

par

[S.C.C.A.l.

Section C - §6.

(isomorphe

- page 24

le

diagramme

ci-

§6.

Section C

Exemples

4

r

D

k
Cet amphi-graphe à composition "permet de décrire (amphi-) graphiquement" la structure d'ensemble muni d'une
relation de réécriture et d'une loi binaire compatible,
associative à la réécriture près (pour s'en convaincre, si
nécessaire, le lecteur pourra se reporter au §6.4).
Plus particulièrement, on
graphe à composition tel que :

note

1'amphi-

- l e graphe à composition de ses 1-flèches est (isomorphe
au graphe à composition) Œ>uia8e (introduit au §6.1),
" s e s 2-flèches sont
dessous :

représentées

Section C

§6.

par

- page 25

le

diagramme

ci-

§6.

Section C

Exemples

r

r
4:s3iiiss!ss:

id<k 2 > g *

Id<ki>
!SS!SIII!ISS3>

k

k

- l e s équations suivantes sont vérifiées (en utilisant des
notations analogues à celles adoptées en Section A, §3.2 i.e. en CS.C.C.A.3 -, en particulier si
*
désigne la
composition des flèches dans le graphe à composition
'assiso

<Vt,Da)

)
= Id<k 2 )
- i

H **

= Id<kt)

Cet amphi-graphe à composition "permet de décrire (amphi-) graphiquement" la structure de catégorie multiplicative, associative à isomorphismes naturels (mais non nécessairement cohérents) près (le lecteur pourra se reporter au
§6.4).
De même, on note
sition tel que :
-le

^ossisocoh

l'amphi-graphe à compo-

graphe à composition de ses 1-flèches est

au graphe à composition)

^utsurass

(isomorphe

(introduit au §6.1),

- ses 2-flèches, différentes de 2-flèches identités, sont
représentées par les trois diagrammes ci-dessous :

Section C - §6.

- page 26

Section

C

-

§6.

Exemples

S "S

r

r

(

r

s/
4*usiiiixss:

4ZI8SSS8SCIII

V

V

r

(
V
22

21

V
12

11

SSXSSSSBISII^

!ISSIISSSSStt>

2

i

43*s.s.:zscss

k

k
2

1
«t>

-1
M

k

i.

k

k
D

D

.t

r
43

21

• ^p • • • • • s s s s • • s

SIIISStS*ISSt>

tszcizxxix:xt>

43

21

41

k

k
•s *S
21

Section C -

$6.

-

page

27

22

44

§6.

Section C

t

r
-i
i
i

49

Exemples

r"

X

^ D

- i

<' r r r

-

.tf

j-

-i
31

ZZZXXX* J ZZ8ZZZZZSJlZtSSIIIZtJz3IS8ttZ>
43

iN
I
I
I
I
I

»

*:s,
41

21

-1
2

4zxx:::

I

tzsx.sx

k

.îSÎ'

V :</'

-

^

a i

:

'!;.. 3 2

i
i

»

i?

ezxxizzzz

^ k

i
A. 4 i

t™-**:

r

2 1,

'fc.
i

-1

h
r

t i i t i t s J 4i"*»<^*"ti>>»^>«<">>
4 3 !*!.

L

k

X. %'S!*. » *

4 5

I

^-

r

41

• KIIIII^IIIIIIIIS^lIlilllll^HItlIt^

j> :

I

t;

i^

V D

— les équations suivantes sont vérifiées (et spécifient que
certaines 1—flèches possèdent une 2—flèche identité) :
*<i
; •" r:

Section C -

- page 28

Section C

-

§6.

* 2 1 ' P21

=

*1

*2lP22

=

I^<P44>

<9P21

=

Id<p41>

%

4 9 ' P22

=

*2

*21

=

*2 1 * h

3€ 32

=

s£ • X

*43

=

*4 9 " h

«31

= s j . ae

*45

= Sg . H

*31

=

*3 2**21

*41

=

*43**91

Exemples

=

*45*%51

- les équations suivantes sont (comme les notations le
laissent prévoir) vérifiées (et spécifient que certaines
1-flèches possèdent une 2-flèche identité) :
ôtô'1
= Id<d)
6~*t6 = Id(d')
dès qu'elles ont un sens
en choisissant les valeurs de

6 ,

- ses seules 2-flèches identités sont celles
dans (toutes) les équations précédentes.

spécifiées

Cet amphi-graphe à composition "permet de décrire (amphi-) graphiquement" la structure de catégorie multiplicative, associative à isomorphismes naturels et cohérents
près (le lecteur pourra se reporter au §6.4).
Trivialement, par construction,
foncteurs "injections canoniques" :

on

"^reecoss

* "^assiso 9

"^assiso

* ^asstsocoh

S e c t i o n C - §6.

- page 29

dispose

•

d'amphi-

§6.

Section C

On désigne par
tion tel que :

Exemples

1

^loxqcart

* amphi -graphe

À composi-

- le graphe à composition de ses 1-flèches est

(isomorphe

au graphe à composition)

E>utqCart

(introduit au §6.1),

- ses 2-flèches sont représentées
dessous :

id(j) g*

4x:xcxx:::x:xz:x:::::

J

. ,„_

.

. id<D )
IIIZZIZZZZZZfZIZZZIfZ>

par

le

diagramme

f% Id(id<D >)
1

1

^
**

ci-

D
±

r
— les équations suivantes sont
laissent supposer) vérifiées :

(comme

les

notations

le

Y%Y~* = IdCidCD^) ,
Y~ %Y = Id< J) •
Cet amphi-graphe à composition "permet de décrire (amphi-) graphiquement" la structure de catégorie 1ax-quasicartésienne, i.e. munie d'un choix de lax-quasi-produits et
d'un choix de factorisations vers ces lax-quasi-produits
(dans un sens qu'on peut prévoir, ou trouver précisé au
§6.4).

6.4. Exemples d'amphi-syntaxes, d'amphi-algèbres et de
(9)

sesqui-algèbres

Le graphe à composition

Q3T

(introduit au §6.1)
i* identifie à un amphi-graphe à composition
Bnoss
"sans

<9>

Voir l a S e c t i o n A, § § 4 . 1 et 4 . 2 - i . e .

Section C - §6.

CS.C.C.A.3.

- page 30

Section C

2-flèches".
•^reecosB »
canonique
Notons
ment
-

ses

E

et

-

Vu

o n

la

dispose

-

§6.

Exemples

construction
donc

KrMcaS8

: BnaM

maintenant

Relref

d'un

(faite

au

§6.3)

amphi-foncteur

de

injection

> *>reecoss •
la

catégorie

telle

que,

notam-

:
objets

sont

les

d'une r e l a t i o n

ses f l è c h e s

sont

couples
binaire

<E,£>
réflexive

les t r i p l e t s

<<E,K),f ,<E',/?')>

formés

:

tels

<E,tf>

R

d'un

sur

ensemble

E ,

que s
•

<E',*>'>

où f : E
> E#
est une application compatible avec R
et R'
(bien entendu, on notera beaucoup plus simplement
f = <<E,K> ,f ,<E' ,*')> : <E,K>
> <E',K'>
).
On note, alors, Releg : Ens
> Relref
le foncteur (adjoint à gauche du foncteur "ensemble sous-jacent") associant Releg(E) = <E,=>
à tout ensemble E .
Si
f , f : <E,£>
> <E',K'>
sont deux applications
compatibles, on dit qu'elles sont en relation
et on note
rel
(ou
f
£ R# *'
* plus simplement, f rel f ) si et seulement si :
- pour tout élément

x e E , on a

f(x) R' f'<x> .

Dans ces conditions, on désigne par
Relref
l'amphicatégorie (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter complètement) telle que, notamment s
- Relref

est la catégorie de ses 1-flèches,

-si
<E,£)
et
<E',K'>
en sont deux objets, alors
Relref ( <E,R) , <E', *'> > = Bac(Relref < <E,/?> , <E' ,*' ) ) ,rel _ _, )
est le graphe à composition (nécessairement identitaire, au
sens de la Section A, §1.2 - i.e. de LS.C.C.A.3 -, donc où
tout objet est à identité) associé (comme au §6.1) à l'en-

S e c t i o n C - §6.

- page 31

Section C

semble

des

applications

-

§6.

Exemples

compatibles

(E',K'>

, muni d e l a r e l a t i o n r é f l e x i v e

Bien

entendu,

il

J r n a 8 8 : *3nQL8S

lequel

reprenant

les

notations

Section

§3.2 -

i.e.

J^noss = ^ « / ^ n a s s = R e l e g o J n a M

: Bnomm

est
e t

noss 9

(en
d e

l a

A,

~

unique

pour

jacent

Alors

un

<E,R>

r e l

> Relref

J

pour

existe

de

R*

vers

-

amphi-foncteur

le

foncteur

sous-

du

§6.2,

pour

CS.C.C.A.3

-,

de

U /- ) :
> Relref

.

:
"^reecass =

^Re * r e + s ^ r n a s s 9 ^nass 9 ^reecass 9 •'reecass *

est évidemment une amphi-syntaxe.
Il

est

facile

de

vérifier

#rMC0LSS-sesqui -algèbres
<E,K,J.)

est

que

isomorphe

la

catégorie

des

à

la catégorie

des

où :

- E

est un ensemble,

- R

est une relation binaire réflexive

sur

E ,

- -L : E x E

>E

éléments de

E ),

("de

réécriture")

est une application (multiplication des

- pour tous éléments

xt , x2 , x3 € E , on a :

(x 1 -Lx 2 )-Lx 3 R

X±J-< X 2 -LXg)

,

(mais où la loi
± , "associative à la réécriture prés",
n'est pas nécessairement compatible
avec R ) .
Enfin, il est trivial de constater que la catégorie des
# rMcass -amphi -algèbres est isomorphe à la catégorie des
pseudo-demi -groupes,
c'est-à-dire des
"ensembles munis
d'une relation réflexive (de réécriture) et d'une loi de

Section C - §6.

- P<ig* 32

Section C

-

§6.

Exemples

composition compatible, associative à la réécriture près",
i.e. à la catégorie des (E,£,JL) O Ù :
- E

est un ensemble,

- R
sur

est une relation binaire réflexive
E ,

- J - Ï E X E

éléments de

-—» E
E ),

("de

réécriture")

est une application (multiplication des

- pour tous éléments

xt , x2 , xa e E , on a :

(X1-LX2)-LXg R X ^ O ^ J - X g )

- pour tous éléments

,

xt , x£ , x2 , x2 e E , on a :

(xt R x£> et (x2 R xj)
impliquent
<x±-Lx2) R <xJ.Lx£)

Vu la construction (faite au §6.3) de
^ossiso
* et
l'identification précédente de B n a s s à un amphi-graphe à
composition
Bna8S
"sans 2-flèches"), on dispose d'un
amphi-foncteur injection canonique :
K

assiso : **nass

* "^assiso •

Notons maintenant
Cat
1'amphi-catégorie (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter complètement) telle
que, notamment :
- Cat

est la catégorie de ses 1-flèches,

-si
C
et
C
sont deux petites catégories, alors
Cat(C,C)
est (le graphe à composition sous-jacent à) la
catégorie des transformations naturelles entre foncteurs de
C vers C .
Bien
Jd

entendu,

noss : Bnoss

il

existe

•Cat

pour

Section C - §6.

un

unique

lequel

le

- page 33

amphi-foncteur
foncteur

sous-

Section C

jacent est
et

(en r e p r e n a n t

JnGLss 9

CS.C.C.A.D

-,

et

celle

pour

D

§6.

Exemples

l e s n o t a t i o n s du § 6 . 2 ,

de
/-

J^oss = ^ A
J^noss
0

-

la
)

Section

A,

§3.2

pour
-

Disc

i.e.

de

:

= Disc.J,^

= ^nass

• Cat

.

Alors s
*assiso ~

<C a t , Jo^Q^g
Kosevso
nass ,9
-ios8 ,9B••'nass
"^assvso9 9"^c
"^assvso

est évidemment une amphi-syntaxe.
Il
est
facile
de
vérifier
que
la
catégorie
des
se5 ui
^Q88i8o" ^ -algèbres est isomorphe à la "catégorie des
petites catégories dont l'ensemble des objets est muni
d'une multiplication associative à isomorphismes (non nécessairement natxtrels, non nécessairement cohérents)
près",
i.e. à la catégorie des (C,J.,OO
où :
- C

est une petite catégorie,

- JL : Ob(C) x Ob(C)
• Ob(C) est une application (multiplication des - seuls - objets),
- pour tous objets Ct , 0% , Cg e Ob(C) , on dispose d'un
isomorphisme (non nécessairement naturel, non nécessairement cohérent) de C :
CKC^, C^Cg) ï (qj-C^-LCg -^-> C±J-< C^Cg) .
Enfin, il est trivial de constater que la catégorie des
^0L88i8O-amphi -algèbres est isomorphe à la "catégorie des
petites catégories multiplicatives, associatives à isomorphismes naturels (non nécessairement cohérents)
près", i.e.
À la catégorie des (C,o,a) où :
- C

est une petite catégorie,

- <s> : C x C

> C

est

un

foncteur

Section C - §6.

(multiplication

- page 34

bi-

Section C

fonctorielle

des objets et

- naturellement

en

dispose d'un
C

-

tous

§6.

des

Exemples

flèches),

objets

isomorphisme

C1 , C^ , Cg e Ob(C)

(non n é c e s s a i r e m e n t

,

on

cohérent)

de

:
a<C1,C2,C3>

(autrement d i t
a

:

: (C^C^oCg

~

> C^C^oCg)

:

<-o-)o-

— ^ - * -<s>(

•->

: C x C x C

> C

est une équivalence naturelle).

Le g r a p h e
s'identifie
"sans

aussi

canonique

Vu

la

dispose

KcmuimoGoh

existe

Ensurafis

(introduit

au

à un a m p h i - g r a p h e à c o m p o s i t i o n

2-flèches".

^ossisocoh 9 on

Il

à composition

construction

donc

d'un

: Bn8uracs

encore

(faite

au

un

.

unique

amphi-foncteur
le
foncteur
du § 6 . 2 , p o u r

> ** a *
reprenant

pour
lequel
les notations

Disc

et

Section

A,

° J n s ur a s s

= Bnsurass

^nsuross *

CS.C.C.A.] - ,
Jd

nsurass

pour

de

H /-

= \/Jdn8ura88

la

de

injection

N s u r o s s = ^nsuross
s o u s - j a c e n t e s t (en
et

Encurasc
§6.3)

amphi-foncteur
> DMSV.ocoh

§6.1)

§3.2

-

i.e.

de

) :
D i s c

=

~»

C a

t.

Alors :
^assisocoh
(C a% , J d n s u r a s s » »5n s ur a s s » "^assisocoh 9 •^asstsocoh ^

est

une n o u v e l l e

Il

est

facile

amphi-syntaxe.
de

vérifier

s

^ossisocoh~ esqui-algèbres
des p e t i t e s

catégories

est

dont

que

la

isomorphe
l'ensemble

d'une

multiplication

associative

(non

nécessairement

naturels)

Section C - §6.

à

catégorie
à

des

la

"catégorie

objets

isomorphismes

près",

i.e.

- page 35

à

des

la

est

muni

cohérents
catégorie

Section C

où

-

§6.

des

<C,x,a,^?,^>

- C

est une petite catégorie,

Exemples

:

- x : Ob(C) x Ob(C)
> Ob(C) est une application (multiplication des - seuls - objets),
- pour tous objets
Ct , C^ , Cg € Ob(C) , on dispose de
1'isomorphisme (non nécessaires it naturel) de C :
ai C^C^Cg) : (^J-CpJ-Cg -=-> C±x< C^xCg) ,
- pour tous objets
Ct , C-, , Cg , C 4 <= Ob(C) , on dispose
de 1'isomorphisme (non nécessairement naturel) de C :
I H C ^ C ^ C g , ^ ) : < < C ^ C p J-Cg) xC 4 -^-> ( C±x< C^xCg) > iC 4
(qu'on peut noter - mais ce n'est qu'une notation
B C C ^ C ^ C g , ^ ) = a<C1,C2,C3)xC4
-

pour

tous

objets

de 1 ' i s o m o r p h i s m e

noter

C^ ,

— mais ce n ' e s t

- pour tous objets
C

C4 e O b ( C )

: C ± x< < C^xCg) xC 4 >

r<C1,C2,C3,C4)

me de

Cg ,

(non n é c e s s a i r e m e n t

Y< C ^ C ^ C g , ^ )
(qu'on peut

C± ,

naturel)

-=->

:
),

,

on
de

dispose
C

:

C t x< [^xC CgXC4> >

q u ' u n e notation

= C1xa<C2,Cg,C4)

:

),

Ct , 0% , Cg , C 4 € Ob(C) , le diagram-

ci—dessous est commutâtif :

Section C - §6.

- page 36

Section

C

-

§6.

Exemples

<<C x C > x C
1

)xC

2

3 ^ 4

e<c , c , c , c >
1 * 2 * 3 *

cx(C , C , C
1 * 2 '

2

a ( C xC , C
1

)XC
3

2 '

,C )
3 * 4

4>

<C x < C x C
1

4

))xC
3

^ClC)l(ClC)
4

1 2

3

4

a ( C , C xC , C )
1 * 2

3 * 4

C K ( C i C ) i C )
1

2

3

'

r<c±,c2,cB,cS
C1^«<C2,C3,C4)
C X<C X ( C XC ) >
1

Enfin,

il

est

-^assisocoh""

am

trivial
hi

al

P "" 9

petites

catégories

phismes

naturels

des

(€,<•>, a )

-

C

est

-

<s> : C x C

-

où

èbre

3

de
s

et

constater

est

isomorphe

cohérents

en

est

un

tous

a<C1,C2,Cg>

a

:

catégorie

des

à

la

"catégorie

des

associatives

près",

i.e.

foncteur

à

la

à

isomor—

catégorie

(multiplication

des

flèches),

objets

Ct

d i s p o s e de 1 ' i s o m o r p h i s m e de

dit

la

catégorie,

d e s o b j e t s et

(autrement

que

:

> C

naturellement

4

multiplicatives,

une p e t i t e

fonctorielle

2

C

,

C^ ,

Cg e O b ( C )

:

s (C^oC^oCg

** > C ^ C ^ o C g )

:

<-<•>-)©-

Section

-<•><-©->

: C x C x C

G -

-

§6.

page

37

-* C

bi-

,

on

Section

C

-

§6.

Exemples

est une équivalence naturelle),
- pour tous objets C± , C^ , Cg , C 4 e Ob(C) , le diagramme (de cohérence) ci-dessous est commutâtif :
<<C
1

a(C

,C

<s>C )<s>C )<s>C
2
3 ^ 4

, C )<3>id<*r )

a < C <s>C , C
1

(C

©<C

1

©C

2

,C )
3 * 4

<C ©C >©<C ©C >

>><s>C

3

2 '

4
ot<C

1 2

3

4

, C <s>C , C >
1 * 2
3 * 4

C © ( ( C oC ) o C >
1

2

3 ^ 4

C C<C o ( C <S>C ) )
1

Le

3

4

à

composition

(Bn q c a r t

s'identifie

à un

amphi-graphe

à composition

2-flèches".

Vu

Dlaxqcart
nique

graphe

2

,

on

et

associant,

À

catégorie

triviale

pour

d'un

S Bnqcart

maintenant

2-catégories

construction

dispose

Kioxqcort

Désignons

la

par

toute

2-flèches.

2-Triv
petite

Section

on

la

C -

§6.

§6.3)

injection

de
cano-

des

petites

> 2-Cat

le

foncteur

C

n'ayant
2-Cat

-

'sans

catégorie

catégorie

note

§6.1)

•

: Cat

2-Triv<C)
Alors,

au

amphi-foncteur

2-Cat

au

Bn q c a r t

(faite

> ^loxqcort

par

(introduit

page

,

la

que

des

petite

2-

identités

1'amphi-catégorie

38

Section C

-

§6.

Exemples

(que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter complètement) telle que (notamment) :
— 2—Cat

est la catégorie de ses 1—flèches,

-si
C
et
C
sont deux petites 2-catégories, alors
2-Cat(C,C) est (le graphe à composition sous-jacent à) la
catégorie telle que (notamment) :
+ ses objets sont les 2-foncteurs F : C
> C ,
+ si
F , F' : C
> C
sont deux 2-foncteurs égaux
sxir les objets de C , ses flèches 6 z F =z=^ F'
sont
les familles de 2-flèches de C :
6 = (<5c:F(c> -* F ' < c > ) c e F 1 ( C ) = F _ *
pour lesquelles :
6

id(C) =
6

Id

F

< id < C >> >

c'.c = 6 c ' - 6 c •

<5C, *F<^> = F'<r)*<5c ,
dès que cela a un sens (et en reprenant la notation de
la Section A, §3.2 - i.e. de CS.C.C.A.l -, pour
Bien

entendu,

Jd

: B

il

existe

un

unique

* ).

amphi—foncteur

nqcort
nqcort
• 2-Cat
pour
lequel
le
foncteur
sous-jacent est (en reprenant les notations du §6.2, pour
Disc
et
^nqcart » et de la Section A, §3.2 - i.e. de
CS.C.C.A.D -, pour H /- ) :
N q c a r t =/D0/Jdnqcart=2-TrivoDisc°Jnqcart=IBnqcart->2HDat

.

Alors :
^laxqcart

=

* 2 - C a t , Jd^cicart 9 ^nqcart 9 ^laxqcar19 ^laxqcart *

e s t évidemment une amphi—syntaxe.
Il

est

facile

de

vérifier

Section C - §6.

que

la

- page 39

catégorie

des

Section C

-

§6.

Exemples

J^laxqcart-sesqui-algèbres est isomorphe à la "catégorie des
petites 2-catégories munies d'un choix de lax-quasiproduits (et de 2-factorisations)", i.e. à la catégorie des
<C,x,r1,r2,r,61,62>
où :
- C

est une petite 2—catégorie,

- à tout couple <C1,C2) d'objets de C , les "lois"
\ax-quasi-produit),
rt<-,->
(première projection)
r2<-,->

(deuxième projection)

-xet

associent un cône projectif

(1ax-quasi-produit) :
C

x C
1

^

^

^

2
\ ^ < C 1 ' C 2 >

/

C

c
1

2

- les lois r<-,-)
(2-factorisation) , <5t<-»->
(première
2-flèche de 2-commutation) et âz(-9-)
(deuxième 2-flèche
de 2-commutation) associent à tout cSne projectif tel que
ci-dessous :
C

un diagramme "2-commutatif" :

Section C - §e.

- page 4 0

Section C

-

§6.

Exemples

r<c;,c;>
"\

C

x C
1

C

2

c'

•V C 1> C 2>

2

Enfin, il est trivial de constater que la catégorie des
•^iaxqcart""amPhi"al9èbres est isomorphe à la catégorie des
petites catégories lax-quasi -cartésiennes,
i.e. à la catégorie des
<C9x9rX9rZ9r96±9ô2)
vérifiant les conditions
précédentes
(caractér i sant
1 es ^ ^ ^ ^ - s e s q u i -al gèbres)
et où, de plus,
r<-,->
est fonctoriel
et
<5±<-,-)
et
<52<-,->
sont naturelles
(ce que nous laissons au lecteur
le soin d'expliciter).

6.5. Exemples de laxifications possédant la propriété
de suffisante complétude (totalement) connexe ( Î O )
Clairement
concernant
foncteur

(en

Gac ,

les

du

concernant

et

§6.4,

notations

"graphe à c o m p o s i t i o n a s s o c i é "
Gac

<io>

reprenant

Voir l a S e c t i o n

Relref
<E,K>

B, § § 5 . 5 ,

Section

5.6

C -

Relref

:

-> GrComp
-> Gac<E,K>

et

5.7

§6.

du

<i. e .

LS.C.C.B.D).

page

41

§6.1,
),

le

Section C

-

§6.

Exemples

est sous-jacent à un amphi-foncteur
teur le soin de préciser) :

> GrComp

Gac : Relref
permettant d'identifier
catégorie amphi-pleine" de

(qu'on laisse au lec-

Relref
GrComp .

à

une

"sous-amphi-

Par restriction (à
Relref ) , on déduit, de l'amphiréflexion p = (GrComp,ir0 ,v,w,did,Did(Ens) ) , sous-jacente
à 1'amphi-configurâtion de base
$
(voir la Section B,
§5.3 - i.e. CS.C.C.B. 3), la S-réflexion (voir la Section B,
§5.3 - i-e. CS.C.C.B.3) :
*reiref = (Relref ,*£ ,v' ,w' ,did' ,Ens)
(que nous laissons au lecteur le soin de préciser complètement), de sorte que le diagramme ci-dessous est commutatif :
Relref
> GrComp

S

did' X X ,

/did

Did(Ens)
(ainsi, 1 ' amphi—foncteur que nous notons ici did'
- pour
plus de commodité — est sur-jacent au foncteur
Releg ,
introduit au §6.4 ) .
On vérifie immédiatement que 1'amphi-syntaxe
^reecoss
(introduite au §6.4) est n o -modifiable (au sens de la
Section
B,
§5.2
i.e.
de
CS.C.C.B. 3),
que
sa
n0-modification n o < # r M c a s 8 )
est n0<Wo> -transportable (au
sens de la Section A, §2.1 - i.e. de CS.C.C.A.l) et
qu'alors n0(KQ> -n 0 <* P # ^ c a M ) est isomorphe sur Ens à la
syntaxe
-^oss
(introduite au §6.2). Par conséquent,
•^reecoss =

**reecass ? ^ o s s )

*relref-laxi fi cation

est

(à

une

renotation

près)

une

(au sens de la Section B, §5.4 - i.e.

S e c t i o n C - §©.

- page 42

Section C

de

-

§6.

Exemples

CS.C.C.B.3).

Maintenant, il est évident que :
~ *relref
est (au sens de la Section B, §5.3 - i.e. de
CS.C.C.B.3) amphi-co-complète et amphi-complète (puisque
Relref l'est),
" *relref e s t ( a u sens de la Section B, §5.3 - i.e. de
CS.C.C.B.3) co-représentable (puisque
Relref
l'est, ne
serait-ce que par "restriction" de la co-représentabilité
de GrComp ),
- si on désigne par Relref 0
la sous-catégorie pleine de
Rel dont ({l},=) est l'unique objet, alors *r«ir*f est
totalement RelrefQ-connexe (au sens de la Section B, §5.3 i.e. de CS.C.C.B.3),
~ ^relref est
RelrefQ-identitaire
B, §5.6 - i.e. de CS.C.C.B.3).

(au sens de la Section

De plus, l'amphi-syntaxe
lrecca8S
est trivialement d'amphi-rang < *t0
(au sens de la Section A, §4.1 - i.e. de
CS.C.C.A.3), la syntaxe 30<XB& est trivialement de rang < H0
(au sens de la Section A, §2.1 - i.e. de CS.C.C.A.3) et,
par construction (voir les §§6.2 et 6.4), les diagrammes
ci-dessous représentent trois sommes dans Relref :
Jr

(D )
nass

1

({!>,=)
id«l})

Jr

(D )
nass

Section C - §6.

1

- page 43

Section C

-

§6.

Jr

Exemples

<D )
nas s

y

2

> ({1,2},=)

Jr

<

V

<p, >
nass

21

Jr

<p
nass

«!>,=)

({!>,=)
Jr

Jr

<D )
nas s

3

-» « 1 , 2 , 3 } , = )
Jr
<p

nass

>

Jr

31

<P,a>
nass

3 3

({!>,=)

({!>,=)

<D >
1

Jr

<D
nass

Par

application

des

de

CS.C.C.B. 3 ) ,

on e n

conclut

la

Section

§5.4

i.e.

B,

<-

<Pa2>

«!>,=)
Jr

résultats

-

¥ ro l r e f - 1 ax i f i c a t i on

)

nass

l a

Section

la

Section

B,

§5.6

(en

reprenant

la

notation

de

concernant

le

CS.C.C.B. 3

-

^^reecoss'
)

propriété

C -

(D )
1

de

'reecoss
a

Jr

1

de

*relr^f-amphi-élargissement

<*relref^<^reecoss> >

1

<D >
nas s

nass

<D )
nas m

1

Jr

Jr

>
22

§6.

page

de

44

associé

(i.e.

à

la

que

couple

suffisante

amphi-

Section C

-

§6.

Exemples

complétude totalement Relref0-connexe
Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B.3).

(au

sens

de

la

D'un point de vue "sémantique" (i.e. en appliquant la proposition 5 de la Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B. 3),
cette propriété de suffisante amphi-complétude totalement
connexe permet d'affirmer (ce qui n'est évidemment pas fait
pour surprendre) - pour faire court - que :
- l e s composantes connexes par réécriture du pseudo-demigroupe librement engendré par un ensemble E sont canoniquement munies d'une structure de demi-groupe, et c'est le
demi-groupe librement engendré par E .
D'un point de vue "syntaxique" (i.e. en appliquant la proposition 6 de la Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B.3), la
propriété de suffisante amphi-complétude totalement connexe
précédente permet d'affirmer que la "théorie" des demigroupes, i.e. la théorie achevée engendrée (au sens de la
Section A, §2.3 - i.e. de CS.C.C.A.3) par la syntaxe
30Cise , est une image de la "théorie" des pseudo-demigroupes, i.e. de la théorie achevée engendrée par la syntaxe de co-représentation (au sens de la Section A, §4.3 i.e. de CS.C.C.A.3) ^^(l rftacafi8 ) . Ce qu'on peut - pour
faire court - interpréter en énonçant (ce qui n'est pas
plus que précédemment fait pour surprendre) que :
- toute propriété
équationnelle des demi-groupes est
démontrable "par réécritures" dans un pseudo-demi—groupe
approprié ...

Désignons par
2-rc0 : 2-Cat
> Cat
le foncteur
associant à toute petite 2-catégorie
C
la catégorie
2-7T0(C) de ses "composantes 2-connexes", i.e. la catégorie

Section C - §6.

- page

45

Section C

-

§6.

Exemples

(que nous laissons au lecteur le soin de préciser complètement) telle que (notamment) :
- 0b(2-no(C>) = Ob(C) ,
- pour t o u s o b j e t s

C1 , Cj, € Ob(C) , on a :

2-^0<c><ci»C2>
Evidemment, l e f o n c t e u r

= "o< c <C 1 ,C 2 >>

2-rc 0 : 2 - C a t

.

• Cat

est

adjoint

à gauche du f o n c t e u r
2-Triv : Cat
> 2-Cat
( d é f i n i au
§6.4) et i l
e s t f a c i l e de c o n s t a t e r
que
l'adjonction
(2-rc0,2-Triv)
e s t s o u s - j a c e n t e à une ^ - r é f l e x i o n (au s e n s
de
la
Section
B,
§5.3
i.e.
de
CS.C.C.B.3)
*2-cat = ( 2 - C a t , 2 - w 0 , . . . , 2 - T r i v , C a t )
(que nous l a i s s o n s
l e c t e u r l e s o i n de p r é c i s e r c o m p l è t e m e n t ) .

au

On v é r i f i e
immédiatement que l ' a m p h i - s y n t a x e
^loxqcort
( c o n s t r u i t e au § 6 . 4 ) e s t n o - m o d i f i a b l e (au s e n s de l a
Section
B,
§5.2
i.e.
de
CS.C.C.B. 3 ) ,
que
sa
n o -modi f i c a t i on
n o < ^toxqcort)
e s t no < 2-«0) - t r ansportabl e
(au s e n s d e l a S e c t i o n A, § 2 . 1 - i . e . de CS.C.C.A.3) e t que
n0(2-F0) .n0(^laxqcart>
e s t isomorphe sur
Cat
à la syntaxe
Nqcart
(introduite
au § 6 . 2 ) .
Par
conséquent,
^loxqcort = ^loxqcort Nqcart >
est
(au s e n s de l a
Section
B, § 5 . 4 - i . e . de CS.C.C.B. 3) une * 2 _ C 0 L t - l a x i f i c a t i o n (à
une r e n o t a t i o n p r è s ) .
I l e s t é v i d e n t que :
- *2_cat
e s t (aux s e n s de l a S e c t i o n B, § 5 . 3 CS.C.C.B.3) a m p h i - c o - c o m p l è t e e t a m p h i - c o m p l è t e
2 - C a t 1 ' e s t é v i demment),

i . e . de
(puisque

e s t
"" *2-cat
< a u s e n s de l a S e c t i o n B, § 5 . 3 - i . e . de
CS.C.C.B.3) c o - r e p r é s e n t a b l e ( p u i s q u e 2 - C a t l ' e s t é v i d e m -

Section C - §6.

- page 4©

§6.

Section C

Exemples

ment),
-

si

l'on

2-Cat

désigne

dont

2-Triv<3)

,

les

par

2-Cat0

objets

sont

alors

*2-cat

la

2-Triv(U>

est

Section

§5.3 -

i.e.

de

-

J a t 0 - i dent i t a i r e

(au

sens

§5.6

-

est
i.e.

De p l u s ,

~
d*.

pleine

2-Triv(£)

2-CatQ-connexe

CS.C.C.B. 3 ) ,
de

la

Section

est

laxqcart

sens

de

la

Section

évidemment

A,

§4.1

-

- l a syntaxe £>qcart
est évidemment de rang < Ha
de la Section A, §2.1 - i.e. de CS.C.C.A.3),
- l e s trois diagrammes
1 imites dans 2-Cat :

h

et

B,

que s

1'amphi-syntaxe

0

de

CS.C.C.B.3).

on v o i t

rang < Ha (au
CS.C.C.A.3),

,

suffisamment

( a u s e n s de l a
*2-cat

B,

sous-catégorie

ci-dessous représentent

0

-» 1

2-Triv<U)

i

> 2

2-Triv<U)

Section C

§6.

- page 4?

d'amphii.e. de

(au sens

trois co-

Section C

-

§6.

Exemples

<0,1)

<o,i>

2-Triv< y D>

S e c t i o n C - §©.

- page 48

I

• p.

Section C

-

§6.

Exemples

2-Triv<£>

2-Triv<£>
Ol

> 1

2-Triv<U)

2-Triv<H>

2-Triv<H)

Section C - §6.

- page « 9

2-Triv<£>

Section C

-

§ 6 . Exemples

Si l'on désigne par 2 - C a ^
la sous-catégorie pleine de
2-Cat0 ayant 2-Triv<U) pour seul objet , on voit que les
considérations de la Section B, §5.7 (i.e. de CS.C.C.B.3)
s'appliquent et donc (en reprenant la notation de la
Section B, §5.4 - i.e. de CS.C.C.B. 3 - concernant le
*2_CCLt-amp hi-élargi ssemen t
jfi ^loxqcor t >
assoc i é à la
*2-cat-laxi^ication

~

^loxqcort

>

W*

<*2-cat *<*<*loxqcart> >

a la propriété de suffisante amphi-complétude totalement
2-CatQ-connexe (au sens de la Section B, §5.5 - i.e. de
CS.C.C.B.3).
D'un point de vue "sémantique" (i.e. en appliquant la proposition 5 de la Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B. 3),
cette propriété de suffisante amphi-complétude totalement
connexe permet d'affirmer - pour faire court - que :
- les composantes 2-connexes de la catégorie lax-quasicartésienne librement engendrée par une quelconque petite
catégorie C
sont canoniquement munies d'une structure de
catégorie quasi-cartésienne, et c'est la structure de catégorie quasi—cartésienne librement engendrée par C .
D'un point de vue "syntaxique" (i.e. en appliquant la proposition 6 de la Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B.3), la
propriété de suffisante amphi-complétude totalement connexe
précédente permet d'affirmer que la "théorie" des catégories quasi-cartésiennes, i.e. la théorie achevée engendrée
(au sens de la Section A, §2.3 - i.e. de CS.C.C.A.3) par la
syntaxe "2>qcart 9 est une image de la "théorie" des catégories lax-quasi—cartésiennes, i.e. de la théorie achevée
engendrée par la syntaxe de co-représentation (au sens de
la Section A, §4.3 - i.e. de CS.C.C.A.3) ^^^<^iaxqcart> Ce qu'on peut interpréter - pour faire court - en énonçant

Section C -

§ 6 . - page 5 0

Section C

-

§6.

Exemples

que :
- toute propriété équationnelle des catégories quasicartésiennes est démontrable "par 2-réécritures" dans une
catégorie lax-quasi-cartésienne appropriée ...

6.6. Exemple d'élargissement possédant .a propriété de
suffisante complétude connexe""
Appelons (petite) catégorie
triplet C = (C,#,,=*) tel que :
- C

avec

réécritures

tout

est une (petite) catégorie,

- 21 est une sous-catégorie de
~ =*

est un préordre sur

C ,

F1(C) ,
id<C) i C

> C

- pour toutes flèches c^ , c2 de C , si c± =* c2
dom< c±) = dom( c2) et codomC ct) = codom( c2> ,

alors

- pour

et

toute

flèche c : C
• C
(resp. c : C"
> C" ) de
on a
Cj, •** c2
alors on a
ct-c ••* c2-c
c c â »«* c c 2 ) ,

C , si
(resp.

- pour tout objet
appartient à R. ,

toutes

(ainsi, ^
enrichissement

C

de

flèches

C , la flèche

c^ , c 2 : C

> C"

a mêmes objets que C
et
as* détermine un
de C par la catégorie des préordres).

Nous dirons de toute flèche
Jt
que c'est une il-)flèche

r : Ct
> C^
de réécriture

<ii>

Voir l a S e c t i o n B, § 5 . 5 ( i . e .

C S . C . C . B . 3>.

Section C - §6.

- page 51

appartenant à
entre
objets

Section C

-

§6.

Exemples

(permettant de réécrire
C^ en
(¾ )
et nous noterons,
plus précisément, r : C^ -~^-> C^ .
De même, nous dirons que ••+ est la relation
de
réécritxire
entre flèches
et, si
c^ , c2 : C^
> C^ sont deux flèches de C telles que c^ —é c2 (i.e. telles que ct se
réécrit
en
c^
), nous
noterons
(bien
entendu)
ct -•» c2 : C± - —• CJI ou encore :
c
i

c
2

(on pourra m@me dire qu'on dispose d'une 2-flèche
écriture
de ct vers c^ ) .

de

ré-

Par exemple, tous les diagrammes
G
des "configurations
des lois" du §1 de
CE.S.C.C. 3 sont autant de systèmes de
générateurs et de relations pour de telles petites catégories avec réécritures gen(G) ; il en est de même pour tous
les diagrammes des "schémas représentant les axiomes" du §1
de CE.S.C.C.3.
Il est facile de définir les foncteurs
compatibles
(i.e. les homomorphismes) entre catégories avec réécritures. Alors, on note Catreec
la catégorie des petites
catégories avec réécritures.
Si C et C'
sont deux petites catégories avec réécritures et si F , F' : C
> C'
sont deux foncteurs compatibles, on dit que
r : F «—•* F' : C
> C'
est une
réécriture
de
F vers
F' si et seulement si :
- pour tout objet C de C ,
une flèche de réécriture de C

Section C - §6.

riO
,

: F(C)

- page 52

> F' (C)

est

Section C

§6.

Exemples

- pour toute flèche
c : Ct
» C^
de
C , on a
r<C2>.F(c) —* F' <c> .r(C±>
dans
C' , autrement dit on
dispose du diagramme ("commutâtif à la réécriture près")
ci-dessous :

F'<c>

F<c)

Alors, on note Catreec 1 ' amphi-catégorie (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter complètement) telle
que (notamment) :
- Catreec

est la catégorie de ses 1-flèches,

- s i C et C' sont deux petites catégories avec réécritures, alors
Catreec(C,C' )
est la catégorie dont les
objets sont les foncteurs compatibles de C
vers C'
et
dont les flèches sont les réécritures entre ces foncteurs
compatibles.

Si C = (C,,&,••#) est une petite catégorie avec réécritures, on note
p
la relation binaire sur
FI (C)
telle que :
- si
on a
- si

r : £^ —~~> C% est une flèche de réécriture, alors
id(Ci> p r et r p id(C2> ,
c^

et

1¾

c± —é c2 , alors on a

sont

deux

flèches

de

C

et

si

ct p c2 .

Dans ces conditions, on note

Section C

p

§e.

la relation d'équivalence

- page 53

Section C

-

§6.

Exemples

compatible (avec la structure de catégorie de C ) engendrée par p . Ainsi, à p , sont associées trois relations
d'équivalence p o b
(sur Ob(C) ), p Fl = p
(sur FI (C) )
et Pccomp
(sur l'ensemble CComp(C) des couples de flèches composables - i.e. consécutives - de
C ), de sorte
qu'on dispose du diagramme d'applications compatibles cidessous (où l'on utilise les notations introduites en
Section A, §1.2 - i.e. en CS.C.C.A.3 -, concernant
dom ,
codom , selid , comp et CComp , et en désignant par p ~
la i-ème projection, quand i € { 1 , 2 } * •
domc

p±c

^ selid^
•
_ ^ comp —
(Ob(C),p J
-^ (Fl(C),pJ <
N

,r

x

Ob'

î

I

,r

Fl'

( CComp (C),p
r

t

,r

)

CComp'

p ~
2C

codom^
C

K

En passant aux quotients, on obtient le diagramme d'applications suivant :
dom

i
Ob(C)/P

p

i

S e l l d

)

Ob^

i

FKC)/-

<

P

Fl^

|

i

codom

E22ÎE

CComp ( C ) / |

P

CComp

p

Il représente le quotient
C/p
de
C
par
p : c'est
seulement (en général) un graphe à composition, puisque le
produit fibre CComp(C) = F1(C) x 0 b ( C ) FI(C) n'est pas (en
général) préservé par passage au quotient.
Alors, on désigne par C//p = C//p la catégorie librement
engendrée par le graphe à composition
C/p . Au sens de

S e c t i o n C - §6.

- page 5 4

Section C

-

§6.

Exemples

CC.A.S.T.3, C//p
est la catégorie quasi-quotient
de
C
par p (ou par l'équivalence, ou l'équivalence compatible,
engendrée par p ) . On pourra dire que C//p est la catégorie
des
"quasi-composantes
réécriture-connexes"
de
(12)

Par

e t on n o t e r a

exemple,

C//p

supposons

= C//p

que

C

= reec-n0<0
est

la

.

c a t é g o r i e avec

ré-

é c r i t u r e s représentée ci-dessous :
id<C >

n
2

id<C 4 )

+

C

•+ c

i

-> c3

<-

id<C g >

U
icKO
2

De la sorte, C/p est le graphe à composition, sans autres
couples composables que les triviaux, représenté cidessous :
id<C > = id(C') = r
2

LcKC^ [

-> C

^ 1

Tandis que

(12>

n

2

2

C//p = C//p = reec-n0<C)

C//p

La
catégorie
de
C
réécriture-connexes "
par
le
graphe
à
composition
r é é c r i t u r e - c o n n e x e s de
C

-•C3«-

= C

2

de

2

id<C >
3

est la catégorie re-

toutes
les
"quasi-composantes
est
donc
librement
engendrée
C/p

Section C - §6.

des

- page 55

<seules>

composantes

Section

C

-

§6.

Exemples

présentée (par le diagramme commutât if)

ci-dessous :

id(C2>

id<C ) I

1

-, n ^
-1

" C

'—'

.•

«
C
2

2

•

' \
C

2

-C

> C

y- 3

^

4-

id<C >
3

1

Clairement, le foncteur "quasi-composantes réécritureconnexes" (qui résulte des constructions précédentes) :
reec-nrD : Catreec
C i
est

adjoint

à gauche du f o n c t e u r

res t r i v i a l e " :
reec-Triv

: Cat
C

(si on désigne par
dont
quand

les flèches
C

• Cat
> C//p

parcourt

"catégorie

réécritu-

> Catreec
i

• (C,Selid<Ob(C)> ,=)

Selid<0b(C)>
sont

avec

toutes

la sous-catégorie de
les

C

id^XC) = selidc<C) ,

Ob(C) ) .

Nous laissons au lecteur le soin de constater que l'adjonction

(reec-re0, reec-Triv)

est

(au sens de la Section B,

§5.3 - i.e. de CS.C.C.B. 3) sous-jacente à une ^-réflexion
*catreec = «Catreec, r&ec-w(09..., reec-Triv, Cat ) .
Dans ces conditions, on vérifie facilement que :
- *cairMC
est (aux sens de la Section B, §5.3 - i.e. de
CS.C.C.B.3) amphi-co-complète et amphi-complète,
- * CCLtrMC
est (au sens de la Section B, §5.3 - i.e. de
CS.C.C.B.3) co-représentable.
Par contre, désignons par :
- Catreec^

la sous-catégorie pleine de

Catreec

objets sont les catégories avec réécritures

Section C -

§6.

-

page

56

dont les

reec-TrivCU) ,

Section C

reec-Triv<£)
- Catreec^

et

-

§6.

reec-Triv<3)

Exemples

,

l a s o u s - c a t é g o r i e p l e i n e de

reec-Triv<0) ,
objets
sont
reec-Triv(Ê) , reec-Triv<3)
reec-Triv(Q)
et

reec-Triv<<D">

Catreec

dont

les

reec-Triv(U)

,

,
r e e c - T r i v(<fi')
sont les catégo-

<B' et ©'
ou <D
ries engendrées par les graphes orientés représentés

ci-

dessous :

O

<D

<D/

Les c a t é g o r i e s
0 , H , £ , , 3 , < B , Q '
et
Q"
dérées
ici
sont
(d
des
isomorphismes
prés)
les
objets
syntaxe
des
catégories
localement
cartésiennes
que
u t i l i s o n s plus l o i n .

Section C - §6.

- page 57

conside
la
nous

Section C

-

§6.

Exemples

<D'

alors,

on c o n s t a t e que :

- * c a t reec

est

C S . C . C . B . 3)

(aux

sens de

suffisamment

la

Section

B,

§5.3

-

i.e.

de

CatreecQ-générée

mais

n'est

pas

B,

§5.3

-

de

Catreec0-générée

mais

n*est

pas

catégories

lax-

totalement Catreec^-connexe,
- * ca t r ©ec

est

CS.C.C.B.3)

(aux

sens de

suffisamment

la

Section

i.e.

totalement Catreec0—connexe.

A la

"présentation

à

la

Freyd"

des

1 o c a l e m e n t - c a r t é s i e n n e s du §1 de C E . S . C . C . 3 a s s o c i o n s m a i n t e n a n t une p r e m i è r e s y n t a x e
r

allcc

=

<Catr

(auxiliaire)

:

eec,Vallcc,SaUcc,WaUcc,ïïallcc)

comme s u i t .

Section C - §6.

- page 58

Section C

-

§6.

Exemples

Toute "loi" H est présentée au §1 de CE.S.C.C. 3 sous la
forme générale suivante :
V

St*

Il

G^

£

c

ou :
G

est une présentation (avec ou sans réécritures expli-

cites) d'une catégorie avec réécritures (et

G
est des—x
tinée à décrire la disposition mutuelle des arguments de la
loi H ),
- G'
est (isomorphe à la catégorie avec réécritures triviale) reec-Triv(U) ou reec-Triv(£)
(et G'
est des—9t

tinée à décrire la sorte - ou le type - du résultat produit
par la loi x ) ,
- G" est une présentation d'une catégorie avec réécritures
et contient aussi bien G
que G'
(et G" est destinée
à décrire la disposition mutuelle des arguments de la loi
et du résultat qu'elle produit).
Alors, on impose que :
<G'

?---+ G

—X

i\

A

—H

sont des objets et des flèches constituant
commutât if de ïïallcc , dès que :
- ^ =

reec-Triv(H)

- i : »

>G

ou

et

un

diagramme

« = reec-Triv<£) ,

i' s W.

• G'

sont des injections,

- l e diagramme ci-dessous est commutâtif :

Section C - §6.

- page 5 9

Section C

-

§6.

G

Exemples

-» G"
—X

-» G'
—x

Si

et

x'

sont deux lois, on impose que :
G'
—x',

x'

-+ G
,
—x'

f
G'
—x

x

»> G
—x

sont des objets et des flèches constituant
commutatif de

"D'allée * dès qu'on

un diagramme

dispose d'un

commutatif de foncteurs compatibles satisfaisant

diagramme
is)

(i.e.

déterminé(s) par la dénotation des objets et flèches des
présentations concernées) tel que :
-• —x'
G",

—x

t
I

f

G
—x

i/

G' <-

-» G'

Tout "axiome"
a
du §1 de CE.S.C.C. 3 peut trivialement
être présenté sous la forme générale suivante :

Section G

§6.

- page GO

Section C

-

§6.

Exemples

on a

S

G
—<x

G"
—a

ou
- G
est une présentation (avec ou sans réécritures explicites) d'une cat'' jorie avec ré écritures,
- G^
tures

est (isomorphe à) l'une des catégories avec réécriU,
ou £**©<: représentées ci-dessous :

O
1

^ w w*—>

o
2

D
reec

<o,i>4
1

<o,i>2

reec

- G" est une présentation d'une catégorie avec réécritun
et contient aussi bic
bien G
que G'
Alors, on impose que

Section C - §6.

- p a g e 61

Section C

-

§6.

a
r

G'

A

Exemples

+ G

A

sont des objets et des flèches constituant
dès

commutatif de ïïaucc 9

9

ue

- V = reec-Triv(H)

ou

- j : V

j' : \?

—

> G

et

diagramme

=

V = reec-Triv(Ê)

> G'

—

—01

un

ou

V = UrMC

ou

sont des injections,

—et

- le diagramme ci-dessous est commutatif :
G

—ot

-> G"
—a

«-

-» G'

V

Si

est une loi et si

a

est un axiome, on impose que :

G'

«• G^

k'

x

^ G
—x

sont des objets et des flèches constituant un diagramme
commutatif de
Uallcc ' dès qu'on dispose d'un diagramme
commutatif de foncteurs compatibles satisfaisant
is) (i.e.
déterminé(s) par la dénotation des objets et flèches des
présentations concernées) tel que :

Section C - §6.

- page 62

S «et von C

<D'

-

§6.

Exemples

-» <B"
—a

<^

t^

G

•I

k'

u

—x

-> G'

G ' <—x

Si 1'on note :
- Sallcc

le

sous-graphe

t u é des f l è c h e s t e l l e s
j'
-

,
w

k ,

à composition

que l e s

#

k

précédentes,

:

s

allcc

• T ailcc

s

S

allcc

> Catreec

objet

G

alicc

i ,

l e

i

de

T allcc

#

f ,

,

Joncteur

constif

,

injection

j

,

cano-

nique.
"

V

allcc

tout

V a l l c c <G)

= gen(G)

Sallcc

la

foncteur

catégorie

associant

avec

à

ré écritures

engendrée par l a p r é s e n t a t i o n

G ,

^allcc = < < C a t r e e c , V a l l c c , S a l l c c , W a l l c c , ¥ a l l c c )

alors
bien

de

le

une

syntaxe

catégorie

dont

Catreec

l a catégorie

QJLCC

c a r t é s i e n n e s de

il

est

allcc

de

facile

de

ses a l g è b r e s

des p e t i t e s c a t é g o r i e s

est

vérifier
est

que

la

isomorphe

à

lax-localement-

CE.S.C.C.3.
e s t

une

syntaxe t r a n s p o r t a b l e

(au sens

de l a S e c t i o n A, § 2 . 1 -

i.e.

de C S . C . C . A . 3 )

foncteur

Clairement,
reec-rc 0
Alors,
ci le

^*allcc

: Catreec
si

de

on

note

vérifier

• Cat

.

<Z>"aiCc

=

que

la

par l e

reec-rcft0O ." J^ *aall ll cc cc 9,
catégorie

Section C - §6.

- p a g e 63

Cat

il
alcc

est

fades

Section C

-

§ 6 . Exemples

2>"alcc-algèbres est isomorphe

à la catégorie

[LCC

des

petites catégories localement cartésiennes de CE.S.C.C.3.
A la "présentation à la Freyd" des catégories laxlocalement-cartésiennes du §1 de CE.S.C.C.3 associons cette
fois une amphi-syntaxe
•*llcc =

<Catre

e c , ^ acc,Bllcc,ICllcc,l>llcc) ,

en ne nous préoccupant plus que des lois x et des axiomes
a
pour lesquels
G
et G
ne contiennent aucune
réécriture explicite.
Pour les seules lois

x telles que G
ne contient aucune
^
—x
réécriture,* on constate Mque —x
G' et —x
G" n'en contiennent
pas plus. Alors, on reprend intégralement les constructions
précédentes.
Si a est un axiome tel que G
ne contient aucune réécriture, on constate que G'
et G" en contiennent nécessai rement, puisque G' = H r M C ou G^ = 2 t ô e c .
„ ,
Alors,' si G'
MC
— a= U rrft
* on note G'
—<x,o = reec-Triv(U> et,
*
pour tout

r € «{1,2} , on pose
Y

z G'

* Ot,r

> G'

—0t,0

—CX

O |
De m@me, s i
pour tout

G ' = 2v M <-

r e {1,2}
Y

» on

or

note

G#

= reec-Tri v(£)

, on pose :
z G'

OL9T

•

• G'

—ot,o

<0,1)

—a

i

> <o,i>r

Dans ces conditions, on impose que :

S e c t i o n C - § 6 . - page 64

et,

Section C

§6.

Exemples

a

G

G'

sont des objets, des 1-flèches et une 2-f 1er.et que, pour tout r e {1,2} :
a

G'

-.„+

—ot.o
0

sont

des

objets

commutatif de

et

aicc

G

V

flèches

constituant

un

diagramme

l\lcc 9 dès que :

- tf = r e e c - T r i v ( U )

V

des

de

-> G
—a

ou

et

V = reec-Triv(£)

j'
V
° :—

-• G'
—o(,o

,

sont des injections,
*

- l e diagramme ci-dessous est commutatif :
G
—a

-> G"

V

G'

—<x

C*,r

G'
—<x,o

Si
^*#
x

x
G

est une loi et si a est un axiome pour lesquels
*
?L* n e contiennent aucune réécriture, on impose
—^t

que, pour t o u t

r e {1,2}

:

Section C - §6.

- page 65

§6.

Section C

G'

Exemples

a

-* G

,o

k'

û

G'
—x

--> G

sont des ob sts et des flèches constituant un diagramme
commutatif de
C U c c , dès qu'on dispose d'un diagramme
commutatif de foncteurs compatibles satisfaisant
(s) (i.e.
déterminé(s) par la dénotation des objets et flèches des
présentations concernées) tel que :
G'

-> G '

t

Ot.r

N

i

—et

•1

G'

<D
k'
o

G'

\?

c.

-> G "
—x

—X

Si

1'on note
l e

"" ^ i l c c
constitué
i'

,

:

f

,

sous-amphi-graphe

(seulement)
f

" Kllcc s Bllcc
canonique,
r

llcc

Bllcc

J ,

à

composition

des

1-flèches

Jo *

k »

ko

telles

de

que

Dllcc

les

i

,

précédentes,

"• » l l c c

1'amphi-foncteur

-» Catreec

1*amphi-foncteur

injection

associant

à

G
la catégorie avec réécritures
de
BUcc
tout objet
=
^llce^îf) 9en<G) engendrée par la présentation G

Section G - §6.

- page

66

Section C

alors

-

§ 6 . Exemples

^ l c c = <Catreec,JUcc,Bllcc,Kllcc,DUcc)

e s t bien

une a m p h i - s y n t a x e . M a i s , i l e s t f a c i l e de c o n s t a t e r
la

Catreec1100

catégorie

de ses s e s q u i - a l g è b r e s ,

catégorie

Catreec1100

isomorphes

à l a catégorie

de ses amphi-algèbres,
(qui s ' i d e n t i f i e

catégories

ni

la

ne sont

seulement

à

IULCC

des

l ' u n e de l e u r s s o u s - c a t é g o r i e s p l e i n e s s t r i c t e s )
petites

que, n i

lax-localement-cartésiennes

de

CE.S.C.C.3.
Clairement,
sens

1 ' amphi-syntaxe

de l a Section
n

no-modi f i c a t i o n

&i\.cc

B, § 5 . 2

-

o<*llcc>

e s t no-modif i a b l e (au

i . e . d e C S . C . C . B . 3)

e s t une s y n t a x e

(au sens de l a S e c t i o n A, § 2 . 1 - i . e .
foncteur

reec-nr 0 : C a t r e e c

Alors,

s i on n o t e

facile

de v é r i f i e r

30{cc-algèbres

est

et

sa

transportable

de CS.C.C.A.3)

par l e

> Cat .

JD{CC = reec-na

. no<»llcc)

que l a c a t é g o r i e

isomorphe à l a c a t é g o r i e

,

i le s t

Cat^°°
Q.CC

des

des
peti-

t e s c a t é g o r i e s localement c a r t é s i e n n e s de CE.S.C.C.3.
Par

construction,
laxi

*catreec~
*ication
de C S . C . C . B . 3 ) .

J£ llcc = ( ^ l c c , 30{cc >

(au sens de l a S e c t i o n

On c o n s t a t e sans d i f f i c u l t é
"

<

*catreec»«>!><^ilcc> }

n a

*

§5.5 - i . e .

P0*

l a

propriété

*catreec"

"

( a u sens de l a S e c t i o n

^catreec^^iicc* )

£llcc

),

n

9°^

* a

l a notation

de C S . C . C . B . 3 - c o n c e r n a n t l e

squi-élargissement

*catreec- la ><i*ication

-i.e.

de s u f f i s a n t e

de C S . C . C . B . 3 - e t en r e p r e n a n t

de l a S e c t i o n B, § 5 . 4 - i . e .
se

B, § 5 . 4

une

que :

sesqui-complétude Catreec^-connexe
B,

est

^(J?llcc)

l a

propriété

amphi-complétude C a t r e e c ^ - c o n n e x e

Section C - §6.

associé

de

à la

suffisante

(au sens de l a S e c t i o n B,

- page 67

Section C -

§6.

Exemples

§5.5 - i.e. de CS.C.C.B.3 - et en reprenant la notation de
la Section B, §5.4 - i.e. de CS.C.C.B. 3 - concernant le
*C0LirMC-amphi -élargissement
^catreec-1 axification

^<Jfllcc)

associé

à la

,J?llcc ) .

A fortiori, il est clair que :
n a
- <*catr^ec?^^-ellcc>)
'
P0^ l a propriété
sesqui-complétude Catreec0-connexe,
n a
~" (*catreec*^(^llcc>)
*
P0^ l a propriété
amphi-complétude Catreec0-connexe.

de suffisante

de suffisante

Il est facile de déduire des constructions précédentes
un *COLtrMC-sesqui-élargissement

(au sens de la Section B,

§5.4 - i.e. de CS.C.C.B.3) :
=

^llCC

^UCC»5^' ^ 1 1 ^ 5 ^ ^ ^ 5 ^

J^ICC* ?

en n o t a n t :
- 7Ucc

l a syntaxe

isologue,

a u sens

(à l a q u e l l e
de l a Section

CS.C.C.A.3)

obtenue

/^^(%^)

(en r e p r e n a n t

-

_ 9C'
et

«^^(^tcc)

(puisque

7Llcc

a u sens

CS.C.C.A.3)

2)(Cc 9

§2.3 - i . e .
- X9

de l a

-

i.e.

^allcc

de l a S e c t i o n A,
l a syntaxe

de
e t

§4.3

de c o -

a s s o c i é e à «$uCc *»
J^J^^(^ l l c c )

manifestement
Section

dans

^tlcc

reec-7*0-transpor—

A,

§2.1

-

i.e.

:

~ ^"icc = reec-rc 0
donc

est

de

concernant

" l ' i n j e c t i o n c a n o n i q u e " de

table,

et

l anotation
-

e s t évidemment

A, § 2 . 3

p a r "réunion"

i . e . de C S . C . C . A . 3

représentation

^allcc

. J\lcc
son

^

isologues,

de C S . C . C . A . 3 )

l'isologie

de

l a syntaxe

2>{cc

au sens de

transportée
vers

Section C - §6.

(à l a q u e l l e

2>" a l c c 9

l a Section A,

correspondante,

£>" lcc m

- page 68

de

Section C -

§ 6 . Exemples

Alors, il est clair que :
" ^llcc
est un *catrdoc-sesqui-élargissement
petit et
ayant un rang (aux sens de la Section B, §5.4 - i.e. de
CS.C.C.B.3) .
De même, on vérifie sans difficulté (en reprenant la notation de la Section B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B. 3 - concernant la classe C
) que :
*wcatreec!«5llcc'

" *catreec
est (au sens de la Section B, §5.4 - i.e. de
CS.C.C.B.3) suffisamment Catreec0—connexe pour la classe
c
/vr,
v. x
<de toutes les petites catégories avec
l

*catreec? ô llcc'

réécritures, sous-jacentes à une structure de catégorie
lax-localement-cartésienne librement
engendrée par une
.,

v (14)

catégorie)
Enfin, on déduit immédiatement des §§3, 4 et 5 de
CE.S.C.C.3, i.e. de la preuve des seuls points (i) et (ii)
du théorème du §2 de CE.S.C.C.3 (quand bien mÊme, l'énoncé
de ce théorème ne fait allusion qu'aux catégories laxlocalement-cartésiennes librement engendrées par un graphe
orienté), que :
- toute
^Llcc-algèbre
(i.e. toute
catégorie laxlocalement-cartésienne) est *CCLtreQC-quoti en table (au sens
du "Correctif à apporter à la Section B, §5.5" - i.e. de
CS.C.C.X.3).
Tout ceci signifie donc
- le couple

<14>

que :

<*catreec»^llcc)

a

l a

propriété

de

suffisante

T

^catreec
*mi
même
suffisamment
la
classe
^llcc
^e
toutes
les
res,
sous-jacentes
à
une quelconque
lax-localement-cartésienne.

Section C - §6.

C a t r e e c Q -connexe
pour
catégories
avec
réécritustructure
de
catégorie

- page 6 9

Section C

-

§6.

Exemples

sesqui -compté tude Catreec^ -connexe
B, §5.5 - i.e. de CS.C.C.B.3).

(au sens de la Section

En conclusion, d'un point de vue "sémantique" (i.e. en
appliquant la proposition 5 de la Section B, §5.5 - i.e. de
CS.C.C.B3), la propriété de suffisante sesqui-complétude
Catreec0—connexe précédente permet d'affirmer - pour faire
court - que :
— les quasi—composantes réécriture—connexes de la catégorie
lax-localement-cartésienne
librement engendrée par une
quelconque petite catégorie
C
en sont exactement les
composantes réécriture-connexes, elles sont canoniquement
munies d'une structure de catégorie localement cartésienne,
et c'est la structure de catégorie localement cartésienne
librement engendrée par C ,
si bien qu'on retrouve, de la sorte, mais par application
de méthodes générales, ce qui est établi directement en
CE.S.C.C.3 (i.e. ce qui résulte de la preuve du point (iii)
du théorème du §2 de CE.S.C.C.3, quand bien m§me son énoncé
ne concerne que les catégories C librement engendrées par
un graphe orienté).
De même, d'un point de vue "syntaxique" (i.e- en appliquant
la proposition 6 de la Section B, §5.5 - i.e. de
CS.C.C.B.3), la propriété de suffisante sesqui—complétude
Catreec0-connexe précédente permet d'affirmer que la "théorie" des catégories localement cartésiennes, i.e. la théorie achevée engendrée (au sens de la Section A, §2.3 - i.e.
de CS.C.C.A.3) par
2>{cc , est une image de la "théorie"
des catégories lax-localement-cartésiennes, i.e. de la
théorie achevée engendrée par 7 llcc . Ce qu'on peut interpréter - pour faire court — en énonçant que :

S e c t i o n C - §6.

- page 70

Section C

-

§6.

Exemples

- toute propriété

équationnelle des catégories localement

cartésiennes

démontrable

est

"par

réécritures

et

2-

réécritures" (i.e. par réécritures d'objets et réécritures
de flèches) dans une catégorie lax-localement-cartésienne
appropriée...

S e c t i o n C - §6.

- page 71

Bibliographie de la Section C

CC.A.S.T.3

C. Ehresmann, Catégories et structures, Dunod,
Paris, 1965.

CE.S.C.C.3

F. Cury, Catégories lax-localement-cartésiennes et catégories localement cartésiennes : un
exemple de suffisante complétude connexe de
sémantiques initiales, Diagrammes 25, Paris,
1991.

CS.C.C.A.3

F. Cury,

La

suffisante

complétude

connexe.

Section A : amphi-syntaxes, amphi-algèbres et
sesqui-algèbres, Diagrammes 30, Paris, 1993.
CS.C.C.B.3

F. Cury, La suffisante complétude connexe,
Section B : théorie générale, Diagrammes 31,
Paris, 1994.

CS.C.C.X.3

F. Cury, La suffisante complétude connexe.
Correctif à apporter à la Section B, §5.5,
Diagrammes 32, Paris, 1994 (ce volume).

S e c t i o n C - Biblio.

- page 1

Table de la Section C

6.

Introduction de la Section C

mtro.

Exemples
6.1. Exemples de graphes à
composition
6.2. Exemples de syntaxes et

page

1

§e.

— page

1

§6.

page

1

§6.

- page

17

§6.

- page

24

§e.

page

30

§6.

page

41

§6.

page

51

Biblio.

- page

1

TabU

page

1

d'algèbres
6.3. Exemples d'amphi-graphes à
composition
6.4. Exemples d'amphi-syntaxes,
d'amphi—algèbres
et de sesqui-algèbres
6.5. Exemples de laxifications
possédant la propriété de
suffisante complétude
(totalement) connexe
6.6. Exemple d'élargissement
possédant la propriété de
suffisante complétude connexe ....

Bibliographie de la Section C

Table de la Section C

Section

C -

Table

-

page

1