D IAGRAMMES

F. C URY
La suffisante complétude connexe. Correctif à apporter
à la section B. §5.5
Diagrammes, tome 32 (1994), exp. no 1, p. 1-5
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1994__32__A1_0>

© Université Paris 7, UER math., 1994, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

DIAGRAMMES

VOLUME

32

,

19d4

LA SUFFISANTE COMPLETUDE CONNEXE
CORRECTIF A APPORTER
A LA
SECTION B. §5.5

F. CURY

En Section B, §5.5 (i.e. en ES.C.C.B. 3), nous avons
introduit la notion de "T-algèbre ¥-quotientable". Il nous
est apparu qu'on devait et qu'on pouvait utiliser une acception plus large que celle initialement introduite :
- on le doit car le dernier
(et seulement ce dernier!) des
exemples que nous avons en vue (voir la Section C, §6.6 i.e. CS.C.C.C.l), relève seulement de cette acception plus
large et non de l'acception stricte initiale,
- on le peut, puisque le seul et unique résultat (voir la
Section B, §5.6, proposition 6 - i.e. CS.C.C.B.3) qui dépendait de cette acception stricte est encore
intégralement
valable
avec cette acception plus large, et sans la moindre

Correctvf

Section

B -

page

i

Correctif Section B

modification

dans la preuve.

Par contre, il nous a semblé opportun de conserver
terminologie initiale

("algèbre *-quotientable") pour

lifier cette nouvelle acception

plus

l'acception

u n e autre

stricte

la

antérieure

qua-

large, en donnant à
qualification

("algèbre strictement *-quotientable").
On lira donc, en Section B, §5.5 (i.e. en CS.C.C.B.]),
en lieu et place des pp. 40 À 43, c e qui suit :

5.5. Suffisante

complétude

et suffisante

complétude

<12>

connexe
Introduisons la notion d'algèbre W-qruot ientable
Définition 9 ; Si ^ =
et si

T = (A, V,S, W,ïï )

qu'une T-algèbre
s'il

(A ,F ,*>,co,R ,A' )

existe

est une $ -réflexion

est une syntaxe sur A , on dit

< A , T ) est W-quotientable

une

m

(nécessairement

<R(F<A>) ,T/£?<A>>

telle que

- £:<A) : < A , T >

> <R(F( A>) ,T/£T< A))

si et seulement
unique)

T-algèbre

est un homomorphisme

de T-algèbres,
- pour
h :A

tout

objet

> R(A')

A'

de A

de

A'

, pour

toute

flèche

(à laquelle est donc associée, par
> A'

adjonction, u n e unique flèche

h' : F(A)

telle

et

pour

toute

J'-algèbre

(12)
" . . .
On
trouvera
des
exemples
et
de
suffisante
completude
connexe
et 6 . 6 <i.e. en C S . C C . C D > .
. . . "

de
en

suffisante
Section

completude
C,
§§6. 5

que

R(h')-£:<A) = h )

Correctif Section B -

page 2

de

&'

Correctif S e c t i o n B

<R<A'),T'>

morphisme
R<h'>

, alors

h : (A,r)

de

«T'-algèbres

> <R<A'),T'>
si

et

> <R<A'),T'>

: <R(F<A>) ,T/,Ê<A>>

est un homo-

seulement
est

un

si

homomor-

phisme de J"-algèbres.
Souvent

(srns que ce soit, cependant, toujours le cas) une

<7*-algèbr

peut être *-quotientable parce que "quoti en table

sorte par sorte"

(les "sortes" étant

les objets de

S

<A,T)

stricte-

Précisément, disons qu'une J"-algèbre
ment ty-quo tien table

si et seulement si :

- pour tout objet

S e Ob(S) , l'application :

ACVCS) ,£:<A>>
est
-

:

fl(V<S),A>

est

>.

> A( V( S) ,R< F( A> ) )

surjective,

pour

tous o b j e t s

sairement

unique)
r(S

fl<V<S2)

,R(F<A)>)

S±

,

S^ e O b ( S >

application

,

il

existe

une

(néces-

:

, S ) /£T(A)

1 * 2

> E n s ( ï ï < W ( S i ) ,W(S 2 >> , & ( V < S ) , R ( F ( A > ) > )

rendant commutatif le diagramme ci-dessous :

Ainsi,

<A,T)

est strictement *-quotientable si et seule-

ment si

(en se reportant aux deux diagrammes ci-dessous) :

Correctif S e c t i o n B - page 3

Correctif

Section B

v<s>

^<A>
R< F< A) )

-

pour

x'

tout

objet

: V<S)

> R<F(A>>

flèche

x

-

pour

tous

t

: W(S t >

x2

,

y2

£r(A) - X 2
£(A).(x2

S <s O b ( S )

: V< S)

:

A

de

A

,

il

telle

S^ ,

S^ e

Ob(S)

> W(S^>

de

ïï

et

> A

= £:<A) . y 2
t)

=^(A).(y2

)
-T

(au

une

toute

toutes

,

( = x;

moins)

pour

,

si

alors
t)

flèche

*:<A> -x = x '

A

,

toute

que

pour

de

( = x2

pour

existe

objets

V< Sg)

.

> A

de

et

)

,

flèche
flèches

1 ' on
on

a
a

.

I l e s t c l a i r que :
P r o p o s i t i o n 4 ; Si
* = (A ,F ,»>,co,R,A' )
est
flexion,
si
T est une syntaxe
svtr
A et si
ur^ T-algèbre
strictement
V-quotientable,
alors
une T-a l gèbre W-quo t i en t aJb l e.

une
&-ré<A,r>
est
<A,r)
est

Preuve.
Pour

tous

faut,

poser

objets

^

, S^ €

(S

,S >

Ob(S)

,

il

suffit

de,

et

:
T/£(fO
r<S

, S > /^<A>
1
2
A ( V ( S ) , R ( F ( A ) > ) - » E n s ( ï ï ( W < S i > ,W(S 2 >> , A ( V < S ± ) , R < F < A > > ) ) .

Correctif S e c t i o n B - p<xge 4

il

Correctif S e c t i o n B

Autrement

dit, pour

toute flèche

tous objets

t : W< S^

> W< S^)

> R(F<A>)

flèche x£ : VCS^)
il faut, poser s

de

St , S^ € Ob(S) , pour
de

ïï

A , il suffit de, et

en choisissant arbitrairement une flèche
de A telle que ^<A>-x2 = x 2 .
Fin de la preuve.

Introduisons

maintenant

la

et pour toute

notion

x2 : V<Sfc>

de

> A

suffisante

completude.

Définition 1Q z Supposons que s
- * = (A ,F ,*>,ti>,R,A' )

est une ^-réflexion co-représentable

et amphi-co-complète,

Bibliographie
CS.C.C.B.D

F. Cury, La suffisante completude connexe,
Section B : théorie générale, Diagrammes 31,
Paris, 1994.

CS.C-C.C.3

F. Cury, La suffisante completude connexe,
Section C : exemples, Diagrammes 32, Paris,
1994 (ce volume).

Correctif S e c t i o n B - page 5