D IAGRAMMES F. C URY La suffisante complétude connexe. Section B : théorie générale Diagrammes, tome 31 (1994), exp. no 1, p. 1-80 © Université Paris 7, UER math., 1994, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME 31 , 1 9 d 4 LA SUFFISANTE COMPLETUDE CONNEXE SECTION B : THEORIE GENERALE F. C U R Y Introduction Le présent texte est le deuxième ("Section B") d'une série de trois ("Section A" - voir CS.C.C.A.3 - , "Section B" et, enfin, "Section C" - à paraître en CS.C.C.C.3) consacrés à l'étude générale (d'un point de vue catégorique) de la propriété de suffisante complétude connexe : une "théorie essentiellement équationnelle" (ou, si l'on préfère, "essentiellement algébrique") possède cette propriété lorsque ses algèbres libres sont constituées des composantes connexes (par relation de ré-écriture) des algèbres libres d'une "théorie esentiellement relationnelle" qui "l'assouplit". A. M . S. Sub. Closs. : 18 C ÎO , 18 D OS , 18 A iO Section B - Introduction Par exemple, il est facile d'admettre, au moins expérimentalement, que toute "théorie purement équationnelle", i.e. où les lois sont définies sur des n-uplets quelconques de variables, possède cette propriété : il suffit de l'assouplir en y remplaçant ses équations (lues dans un sens arbitrairement choisi(1>) par des règles de ré-écriture. Par contre, pour des "théories essentiellement équationnelles" quelconques, i.e. où les lois de composition ne s'appliquent qu'à des n-uplets de variables satisfaisant cer— tains tests (i.e. certaines équations), il ne suffit pas toujours d'assouplir de la manière précédente : cela a été montré, par exemple, dans l'étude du cas particulier - non classique, mais assez typique de cette situation - des catégories localement cartésiennes (voir CE.S.C.C.1) . Dans de tels cas, il peut être nécessaire de "corriger les défauts de connexité" de ce premier assouplissement simple en lui ajoutant de nouvelles lois de composition et de nouvelles relations (les unes et les autres devenant triviales par passage aux classes de connexité). En Section A, nous avons précisé ce qu'il convenait de comprendre - en toute généralité - par "théorie essentiellement équationnelle" et par "théorie essentiellement relationnelle". Rappelons donc qu'une "théorie essentiellement équationnelle" est une syntaxe d* algèbres (au sens de CT.A-E.P.l) sur Pour ce qui concerne la écriture, une telle orientation bien suffisante. Bien sûr, il r\'*r* souhaite disposer de propriétés nité ou e x i s t e n c e de formes normales . . . S e c t i o n B - Intro. seule connexité pour réarbitraire est, évidemment, est plus de même si l'on de confluence, noetheria- - page 2 Section B - Introduction une catégorie (localement petite) A' lui servant de contexte. C'est donc (en écrivant rapidement) un 3>* = <&' , ,[B' , ,Œ>') , où Œ>' (la partie purement syntaxique d e £>' ) est une sur-catégorie d'une sous-catégorie (2) 03' de A' ayant marnes objets que Œ>' ; mieux, Œ>' et B' peuvent n'être que d e s graphes à composition, î.e. des "présentations de catégories". Dans c e s conditions, munir un objet A' de A' d'une structure de &' -algèbre, c'est se donner un foncteur : &< : Œ>'op • Ens prolongeant le foncteur canonique : De la sorte, un diagramme suivant (par exemple) : Hom<-,A'> commutât if de Q>' tel que le D' y- N D' ( » D' 3 représente l'axiome "universel-équationnel" : V x' (qu'on peut encore d £ d j = d;.d£ écrire, plus "concrètement" et compte Concrètement, les flèches de \Df sont les lois de composition des algèbres. De même, les objets de 03' (ou ID' > sont les sortes ou types des arguments d'entrée •t/ou valeurs de sortie de ces lois, tandis que ses flèches (qui jouent le rôle de projections) fixent les "contraintes contextuelles" imposées à l a s y n t a x e . S e c t i o n B - Intro. - page 3 Section B t e n u de l a d u a l i t é JD' - a l g è b r e - Introduction intervenant dans l a d'une : V x' que toute £>' -algèbre parcourt spécification Hom d; ) doit satisfaire (quand x' A » < Di »A'> * - Alors, pour formaliser ce que l'on entend par "théorie essentiellement relationnelle", il nous a suffi d'enrichir les concepts précédents "avec des 2-flèches (représentant les ré-écritures)". Autrement dit, il suffit de considérer des graphes à composition enrichis (les amphi- graphes à. composition} et des catégories enrichies (les amphicatègories) à l'aide d'une structure adéquate de catégorie monoïdale, symétrique et fermée CrComp (et qui n'est pas la structure cartésienne fermée) sur la catégorie GrComp des graphes à composition. Ainsi, une "théorie essentiellement relationnelle" est une amphi-syntaxe sur une amphi-catégorie A lui servant de contexte (enrichi). C'est donc un & = (A,...,B,...,D) , où D est un sur—amphi-graphe à composition d'un sous-amphigraphe à composition B de 4 ayant mêmes objets que D . De même, en enrichissant totalement (resp. partiellement) la notion précédente d'algèbre, on a pu introduire et étudier les structures de ^-amphi-algèbres (resp. de to-sesqui-algèbres) (A,^> sur les objets A de A . De la sorte, un 2—diagramme de D tel que le suivant (par exemple) : D S e c t i o n B - Intro. - page 4 Section B - Introduction représente l'axiome "universel-relationnel" présente la relation de ré-écriture) : V x (où —> re- ^2^1 <>0 —> d4-d3 <*> (qu'on peut encore écrire, plus "concrètement" : V x d1(d2) —> dgCd^Cx)) ) que toute ^-amphi-algèbre (resp. ^-sesqui-algèbre) (A,^> doit satisfaire (quand x parcourt Hom&(D4,A> , i.e. quand x est un objet du graphe à composition A(D4,A> ) . Rappelons, enfin, que les considérations précédentes nous ont permis d'établir - assez facilement - trois résultats essentiels pour la suite : — si A' est une catégorie (localement petite) et cocomplète et si 2)' est une petite syntaxe de contexte A' et ayant un rang (i.e. dont les objets - en tant qu'objets de A' - ont un rang de présentabilité), alors tout objet X' de A' engendre une 3)' -algèbre libre , — dans les conditions précédentes, le foncteur "objet sousjacent" If2*' : A#,Z)' > A' (de la catégorie A'^' des 2)' -algèbres vers la catégorie A' ) admet donc un adjoint à gauche et, alors, la catégorie de Kleisli A' (de la monade associée à cette adjonction) est la partie purement syntaxique d'une syntaxe J*OA(2>' ) = Ens , - page 6 Section B - Introduction qui est adjoint à gauche du foncteur "graphe à composition discret (où tout objet est à identité)" jacent à un foncteur monoïdal particulier) did : Ens (également sous: > (DrComp . Les propriétés de cette configuration de base permettent, au chissements : §5.2, d'étudier les modifications

), on associe la catégorie n o (A) (resp. le graphe à composition n 0 ' , à toute syntaxe Z>* ), on associe 1 ' amphi-catégorie Did(A') (resp. 1 ' amphi-graphe à composition Did<Œ>') , l'amphi-syntaxe Did<2)') ) de ses "graphes à composition discrets Hom par Hom ". Grâce à ces modifications d'enrichissements, il tombe sous le sens, maintenant, que la partie purement syntaxique D d'une amphi-syntaxe X = (A , . .. ,B, .. . ,D> peut être légitimement considérée comme assouplissant la partie purement syntaxique Œ>' d'une syntaxe £>' = = Œ>' . Il reste donc à se doter d'un mode de comparaison de leurs contextes respectifs A et A' pour achever de comparer (la totalité de l'amphi-syntaxe) & à (la totalité de la syntaxe) JD' : c'est l'objet du §5.3. Il serait trop restrictif d'imposer (de nouveau) que n 0 (A) = A' : ce n'est ntëme pas le cas pour la configuration de base, i.e. pour l'exemple "générique" obtenu en prenant S e c t i o n B - Intro. - page ? Section B - Introduction A = GrComp et A' = Ens . Par contre, dans cet exemple, on voit immédiatement que Did(Ens) est une sous-amphi-catégorie, amphi-rêflexive, de GrComp , ce qui complète la structure de la configuration de base en ce que nous appelons 1yamphi-configurât ion de base $ . Dès lors, pour comparer - en toute généralité - une A à une A' , il suffit de supposer que A >. Ainsi, tout objet A de A est doté d'un morphisme canonique (résultant de 1'amphi-adjonction de F à gauche de F ) : £: R(F et on voit que : — si AJL foncteur : est un objet A de : ACA^A) A pour lequel le • A< A1,R représente un passage au quotient (plus fort que par la seule connexité) du point de vue de (^ , - si f^ est un l'application : objet *o( A <^o>*< A >>) s * o ( A < ^ * A > ) de A pour lequel > n 0 (A<^ 0 ,R) est bijective, alors sifù représente un passage au quotient (exactement) par connexité du point de vue de f^ • De la sorte, si la ^-réflexion (A,F,... ,R,A' ) est suffisamment connexe, i.e. si la catégorie A (sous-jacente à A ) contient une petite sous-catégorie pleine "suffisamment génératrice" (ou "suffisamment dense") et dont les objets S e c t i o n B - Intro. - page 8 Section B - Introduction sont de tels ^ , ce sont maintenant les objets de A qu'on peut regarder comme assouplissant les objets de A' , considérés comme rigides (au même titre que, dans l'exemple générique, tout graphe à composition se rigidifie en l'ensemble de ses composantes connexes). Au §5.4, nous utilisons ces divers outils de comparaison pour introduire et étudier, tout d'abord, les laxifications, i.e. ces couples (J&,2)' ) où, pour l'essentiel, n o (D) = Œ>' et ) "assouplissant, mais sans corrections d'éventuels défauts de connexité" une théorie esentiellement équationnelle (à savoir 3)' ) . Ensuite, pour modéliser les assouplissements "avec corrections de défauts de connexité", nous introduisons et étudions les élargissements), amphi-élargissement i.e. les s (resp. les (&,... ,T, ... ,£>",... ,3)' ) sesqui- où : - ') est une laxification (on dispose donc déjà d'un assouplissement simple de 3>f par Jfc ), - T est une sur-syntaxe (non enrichie) de la syntaxe (non enrichie) Pjfs4(3Êi) (resp. yyst(&> ) obtenue par coreprésentation (et T peut donc contenir des informations supplémentaires effectives par rapport à 3b ) , - 3)" est une sur—syntaxe de 3>* , décrivant les mêmes algèbres que 3)' (et 3)" contient donc des informations supplémentaires, mais redondantes, par rapport à 3)' : elle est simplement plus "achevée" que 3>' ... au point - extrême - que ce peut être la syntaxe achevée rf' -algèbre (ainsi, les informations supplémentaires contenues dans T ne sont réellement effectives, dans une algèbre, que lorsque la relation de connexité n'y est pas l'égalité et, donc, T ne corrige bien, éventuellement, que des défauts de connexité des ^-amphi-algèbres (resp. des Jfr-sesqui-algèbres)). En particulier, toute laxification (3b,3b' > l'amphi-élargissement (J», ,^s$jtf(3b) , . . . , au sesqui-élargissement (,3b, par conséquent, contient aucune s'identifie à ,... ,3>* ) (resp. ,yysf(3b) , . . . , T = J>j**K3b> ,3)' ) ) où, T = rfstW) (resp. ) information supplémentaire par rapport ne à 3b . Au §5.5, nous établissons les deux résultats fondamentaux suivants : - si (A,F,. . . ,R,A' ) est une «-réflexion, si f i3b,... ,T, . . . ,3>", . . . ,3> > est un élargissement ayant un rang (où 3b a pour contexte A , T a pour contexte A et 3>' et 3>" ont pour contexte A' ) et si, pour tout objet X' de A' , la T-algèbre et la suff i son t e complét ude connexe "séman t ique" i ndui t donc l a suffisante complétude "syntaxique". Le §5.6 est consacré au cas particulier, évoqué plus haut, des "théories purement équationnelles" : nous y donnons une preuve générale du fait (évidemment attendu) qu'elles possèdent bien la propriété de suffisante complétude connexe. Plus précisément, si ') est une laxification (où 3b a pour contexte A et 3>' a pour contexte A' ) pour laquelle tout objet de 3b (vu comme un objet de A ) est une amphi-somme finie d'objets de A 0 , alors les amphi-algèbres de 3b passent au quotient par connexité du point de vue des objets de AQ . Autrement dit, 1'amphi-élargissement canoniquement associé à la laxification '> vérifie toutes les hypothèses générales précédentes assurant que, du point de vue des objets de A 0 , les 3)' -algèbres libres sont représentées par les classes de connexité des J^-amphi-algèbres libres. Ces hypothèses sont évidemment vérifiées lorsque, par exemple, 3>' est une "présentation" de la duale d'une "théorie de Lawvere" (au sens de CF.S. A.T. D) ou d'un <3> " I- - En pratique, lee objets de AQ sont des objets de T , il faut donc voir l'hypothèse s u p p e ment a i r e qui est faite comme portant sur la "nature" de la "suffisante densité" de AQ , relativement a l'amphi-réflexion ( A , F , . . . , K , A # ) , p l u s que - de n o u v e a u - sur l e s objets t e l s l e s Ay, Section B - Intro. - page il Section B - Introduction type de Bénabou" (au sens de CS.A.D.C.D) : il suffit donc bien d'assouplir simplement, i.e sans corrections de défauts de connexité, toute présentation d'une théorie de Lawvere ou d'un I-type de Bénabou pour obtenir la propriété de suffisante complétude connexe au niveau sémantique ainsi que la propriété de suffisante complétude au niveau syntaxique. Au §5.7, nous abordons, enfin, un second cas particulier, un peu plus général que le précédent (mais assez courant dans la pratique). Il s'agit de celui de ces théories "essentiellement algébriques" qu'on cherche à assouplir en permettant des ré-écritures entre les résultats des lois, mais pas pour les "tests d'égalité" qui conditionnent l'application des lois (c'est le cas, par exemple, pour la "théorie des ... catégories", lorsqu'on veut l'assouplir en introduisant des ré-écritures entre flèches, mais pas entre objets) : nous donnons encore une preuve générale du fait qu'elles possèdent bien la propriété de suffisante complétude connexe. Plus précisément, il suffit de reprendre les considérations précédentes, en supposant cette fois que : - A00 est une sous-catégorie pleine de A 0 dont chaque objet ^ 0 ne génère "aucune ré-écriture autre que l'identité", i.e. est tel que : pour tout objet A de A , A(A 0 0 ,A) est un graphe à composition — tout objet D de 3b (vu comme un objet de amphi-somme f ibrée , dans A , de la forme : On considère même des amphi-colimites plus générale S e c t i o n B - Intro. - page 12 discret, A ) est une Section B - Introduction A A 01 02 A 00 où Aoo de AQ e s t objet de A00 et f\y± et *\>2 sont objets En Section C, on trouvera de nombreux exemples (assez détaillés) des situations générales étudiées ici et, notamment, une interprétation complète du traitement explicite (effectué en C E . S . C C D ) du cas particulier, mentionné plus haut, de la théorie des catégories localement cartésiennes (et qui est à l'origine du présent travail : tout particulièrement, de ce qui a trait aux élargissements). Pour conclure, signalons qu'il n'est pas absolument nécessaire d'avoir lu en détail la Section A pour pouvoir parcourir cette Section B : la terminologie et les notations générales, utilisées dans la présente Section, cor— respondent (autant que cela est possible) au "standard" de la théorie des catégories enrichies. Quant aux notations ou concepts plus spécifiques, introduits en Section A et que <5> De la sorte, pour € A(^>1,A> X A(<\>2,A) faut, et il suffit ré-écriture (puisque "autre" que l ' é g a l i t é ) . de, faire ^ s'assurer est élément un ne S e c t i o n B - Intro. de qu'un couple A(D,A> , il test d'égalité et non de génère aucune ré-écriture - page 13 Section B - Introduction nous utilisons (inévitablement) ici, nous en donnons assez systématiquement la référence permettant de les localiser rapidement dans cette Section antérieure. S e c t i o n B - Intro. - page 14 5. Suffisante complétude connexe 5.1. La configuration de base Désignons par na s GrComp • Ens semble d e s composantes connexes", à composition connexes foncteur idal sur unités D de mais = (^0,^,1¾) : rr0(-> au foncteur x n0<-> sans = * et graphes de x de Œ>± et TT 0 <Œ> 2 > si t 0 (ID 1 ,ID 2 >([D ft ],[D 2 ]> UQ : 1 > ^ 0 (H ) 1 = <0} vers Maintenant, foncteur D2 naturelle composition qui 0 tt>2> pour l a q u e l l e , est un objet l'unique = « 0 » désignons par de que, si alors l'appli- si Œ>2 , application Dt est a l o r s on associe à tel tout inversible . d i d : Ens > GrComp où t o u t ensemble objet E le - FKdid(E)) = , x e E , on a donc ^ H H ^ F ^ ^ ^ S e c t i o n B - § 5 . - page 1 ). le est à graphe que : Ob(did> = ObId(did = E , (pour t o u t telle = CD , est n0(tt>± n0 (Dt cation strictement : G r C o m p —> E n s o ù : (évidemment) t 0 <Œ> ± ,ID 2 ) graphe d e s composantes que ce s o i t l a transformation sont à tout Œ> . est Q>2 770(Œ>) ( e t m@me " s t r i c t e m e n t tensoriels", fl0 qui associe l'ensemble e s t sous-jacent les produits "" t 0 Œ> CDD d e s o b j e t s Ce suite) petit l e foncteur " e n - à Section B - §5. Suffisante Ce foncteur est sous-jacent idal sur les produits complétude connexe au foncteur strictement tensoriels mono- (mais non stictement mono— ïdal sur les unités) Did = (did,t,u) : Ens —» GrComp - t : did<-> s did<-> =* est l'équivalence E^ et (bien entendu) naturelle telle sont deux inversible (évidemment que, si ensembles, • did t GrComp did(-x-) : Ens x Ens Eg bien où : alors est l'uni- défini) dont la restriction aux objets est l'identité, - u : D —> did(l) est l'unique foncteur possible. est de v é r i f i e r 0 Il adjoint facile que l e à gauche d u f o n c t e u r dispose d'une réflexion did . foncteur Plus n0 est précisément, p = (GrComp,na,v,w,did,Ens) on , en c e sens (usuel ) que : - v : Ens(n0< - ) , - ) lence - — + GrComp< - , d i d ( -> ) est une équiva- naturelle, w : rr0) M B » ^ iH <-) e s t une é q u i v a l e n c e natu- relle, - pour t o u s ensembles est commutât i f tions (si E1 l'on et utilise adoptées en S e c t i o n concernant Ej, , A, l e diagramme c i - d e s s o u s l e s conventions §1.2 - i.e. de nota- en C S . C . C . A . 3 - CdidJ> ) : Ens(rc ( d i d < E ) ) , E ) v(did ,E > ^ • GrComp(did(E ) , d i d ( E EnsCwCE ) , E ) )) CdidJXE , E > 1 * 2 Ens(Ei,E2> de s o r t e que l e f o n c t e u r Section did : Ens B - §5. - page > GrComp 2 identifie Section B Ens - §5. Suffisante complétude connexe à une sous-catégorie pleine et réflexive de GrComp . De plus, il y a cofiérence entre la réflexion p foncteurs monoïdaux n o et Did , en ce sens que : E^ et - pour tous ensembles est commutâtif : n x n ) O 1 Eg , le diagramme ci-dessous w(E ) x w î L> E x E 2 1 t & did(E )) O t> est O (bien -1 2 » n 1 2 évidemment) 1 w O 0 -* n o < d i d ( l > ) = { { O » n = (no,p,Did) = Œ 0 , (GrComp,rc0,v,w,did,Ens),Did) est la configuration de base (!) et que no (resp. Did ) _ It eet clair que la "configuration de varier . . . pourvu que soient conservées générales que nous extrayons systématiquement particulier «de Ens , GrComp , 7TQ , did (pour simplifier) ici.. Section B - §5. - page 3 base" pourrait les propriétés du seul cas > considéré §5. Section B en est le foncteur Tir monoïdal de complétude gauche p en est la réflexion connexe (resp. de droite) did ) en est le foncteur (resp. droite), Suffisante de gauche , (resp. de etc.. 5.2. Modifications Le foncteur monoïdal (de gauche de la configuration de -> Ens permet, éventuellement sous GrComp base) nr certaines conditions, le "changement d'enrichissement" des amphi-catégories, des amphi-graphes à composition et des amph i-syntax es. a) Si A chie par est une amphi-catégorie (i.e. une catégorie enriGrComp ) , on lui associe la catégorie Ens-catégorie) par n0 (i.e. la "de ses composantes 2-connexes Hom ", appelée la T\0-madi fi cation de A Hom et définie comme suit : - Ob(no(A) ) = Ob(A) , - pour tous objets P^ , Aj, <= 0b(FIo(A)) , on a : n^AXA^A^ - pour tout = ^(ACA^AP) , A € Ob(n0n\r-, (A>) * , l'application est définie comme ren• n o (A) = 1 dant commutâtif le diagramme ci-dessous (si l'on utilise les conventions de notations adoptées en Section A, §1.2 i.e. en CS.C.C.A.3 - concernant selidU -. ) : selid n no 7i o > n O O A 0 Section B §5. - page 4 Section B - §5. Suffisante complétude connexe - pour tous objets A1 , Aj, , A3 « 0b(n o (A>) , l'application compn (A) ->no(A> < A1 ,Ag) est définie comme rendant commutâtif le diagramme cidessous (si l'on utilise les conventions de notations adoptées en Section A, §1.2 - i.e. en CS.C.C.A.3 - concernant comp } s n 0 <*> conip n n (AXA ,A > x n ( A X A ,A > O 2 3 O 1 < A > < W V 5 > n 2 77 (A(A ,A >> x n (A(A ,A )) O 2 3 O (A)(A ,A > O 1 3 TTO(A(AI,A3>) 1 2 t o (A(A 2 ,A 3 ),A(A ± ,A 2 )> VVAi'A.'A.» n o (A(A 2 ,A 3 ) * A(A ± ,A 2 >) Bien entendu, si A et A' sont deux amphi-catégories et si F : A > A' est un amphi-foncteur, on lui associe le foncteur (i.e. le Ens-foncteur) n 0 (F) : n o (A) > n D (A') , appelé la U0-modification de F , défini comme suit (si l'on utilise les conventions de notations adoptées en Section A, §1.2 - i.e. en CS.C.C.A.3 - concernant le foncteur n 0 (F) , notamment pour cno(F)J> ) : ~ nc(F)ob = Fob , - pour tous objets A1 , A2 <= 0b(Ilo(A)) , on a : cn o (F)^(A ± ,A2) :n 0 (A)(A 1 ,A 2 ) -• n 0 (A' ) (n 0 (F)( A±> ,nc(F) ( Ag) ) n 0 (F(A 1 ,A 2 )> : T T 0 ( A ( A 1 , A 2 ) ) -» na{A' (F( At> ,F( A 2 ) ) ) A et A' sont deux amphi-catégories, si De même, si —> A* sont deux amphi-foncteurs et si F± , F 2 : A *> = ( *>(A) : U A'(F t (A),F 2 (A)) > A e 0 b ( A ) : F, - • F 2 S e c t i o n B - §5. - page 5 Section B est une - §5. Suffisante complétude amphi-transformation connexe naturelle (i.e. une CrComp-transformation naturelle), on lui associe la transformation naturelle (i.e. la Ens-transformation naturelle) no(*>) : n 0 (F ± ) •—••* n o (F 2 ) , appelée la Tl0-modi fi cation de *> , définie comme suit : - pour tout A e Ob(A) , no(»>XA> : n o (F 1 )(A) -» n o (F 2 )(A) est définie comme rendant commutâtif le diagramme cidessous (où l'on utilise les conventions de notations adoptées en Section A, §1.2 - i.e. en CS.C.C.A.3 - concernant selecd n0 selectn > ! ) n O < A . ) ( n ) O O O __ 1 2 no(A') 7T < » > < A > > O O 0 Vu c e qui p r é c è d e , le (F : A —-> A ' ,»>,R s A lecteur # vérifiera facilement que, —> A ) e s t une amphi-ad j o n c t i o n , ( n0(F>:n0(A> -> n0(A'> , n0(*o si alors , n 0 ( R > : n 0 ( A ' > —> n 0 (A) ) est une adjonction. b) Le foncteur (de gauche de la configuration de base) TT0 : GrComp > Ens ne commutant pas en général aux monomorphismes, si D est un amphi-graphe à composition, ses "composantes 2-connexes Hom par Hom " n'héritent pas nécessairement d'une structure de graphe à composition canoniquement déduite de la structure de D , à moins qu'il ne soit vant (.canoniquement) U0-modifiaJble, dans le sens sui- : Définition 1 : On dit qu'un amphi-graphe à composition D = (Ob,ObId,D(-,-> ,D"(-,-,-), i ,m,k,j±,j2) est no-modifia- Section B - §5. - page 6 §5. Section B Suffisante complétude connexe ble si et seulement si : - pour tous objets D± , 1¾ , Dg 7i0(m(D1 ,¾ ,D3>> :TT 0 (D'(D 1 , ¾ ,¾)) est une injection. Ob(D) , l'application 7T0(D(D2,D3)®I>(D1 ,D2)> Alors, si D est un amphi-graphe à composition n0-modifiable, on lui associe le graphe à composition n o (D) (qui est bien celui "de ses composantes 2-connexes Hom par Hom " ) , appelé Tl0-modificat la ion (canonique) de D , (bien) défini comme suit : - Ob(no(D) ) = Ob(D) , - 0bId(no(D>) = Obld(D) , - pour tous objets 'i Ob(n n (D> ) 9 U0O»iD±,Dz> - pour tout objet à i d e n t i t é selic^ : 1 = naiD±,D2)) , D e Ob(n o (D>) , > n0(D)(D,D) rendant commutâtif on a : est l'application définie comme l e diagramme ci—dessous s&lid (D,D> 7io) IT > u O O - pour tous objets D± , inJ mJ 0 D2 , D3 )) , l'application (1))^1^¾'Da> n -» n ^ D X D ^ D g ) n0(D>"(D1,1^,1½) est construite à l'aide du produit x no(DXDt,D2) fibre représenté ci- dessous (si l'on utilise les conventions de notations adoptées en Section A, §1.2 - i.e. en CS.C.C.A. 3 - concernant n0(D)-" et injn ct>> ) , où Section B inj n §5. (D)*0!»1^*1^ - page 7 est donc Section B - §5. l'une des projections proJI)xn0 JTO< D< D 2 , D a ) ) x n 0 < IX D± , D 2 ) > to(D n (E> O (ainsi, in que, t> étant est une), - pour comp objets dé-finie dessous 1 * 2 e s t bien une supposé n 0 - m o d i f i a b l e , )> s injection , n0 rendant commutât i f le C mP -» n < I » < D ,D > O 1 3 n > nolïï>' D' associer, entre amphiavec amphi-catégories, son : no(D) B - - page par un analogie no(F) §9. est > no(D') 8 . Section B De §9. Suffisante si D est nc-modif iable, si A' est sont deux F même, - i 9 F2 . ïï> > A' un complétude connexe amphi-graphe une à composition amphi-catégorie, amphi-foncteurs et si si *> s F± I *"2 est une amphi-transformation naturelle, il est facile de lui associer (par analogie avec le cas d'une amphi-transformation naturelle entre amphi-foncteurs d'une amphi-catégorie vers une autre) la transformation naturelle no(.P) : n o (F ± ) g n o (F 2 ) , T\0-modification de *> . c) Pour en terminer AWGC les n0-modifications, les U0-modi fiables tions amphi-syntaxes et introduisons ^^modifica- leurs : Définition 2 : On dit qu'une amphi-syntaxe 3b = 0*,J,B,K,D) est Tl0-modifiaJble si et seulement si : - B est un amphi-graphe à composition n0-modifiable, - D est un amphi-graphe à composition no-modifiable, - Yl0(3» = (no(4) ,no(J) ,no(B) ,n0(K) ,n0(D)) (autrement dit, le foncteur n0(J> : no(B> injectif), est une syntaxe > n o (A) est alors de Bien noC&) si 3b n0-modifiables et homomorphisme, il phi*me sur, e s t appelée l a U0-modification Tl0-mjodificat et 3b' si K sont : 3b deux > 3b' est facile de lui ion n0(tf) : Tl0<3b) 3b . amphi-syntaxes est associer un son • Uai3b"> amphihomomor<2> . <2> Nous n'utiliserons, dans la llQ-modifications d'arriphi-homomorphismes, par seul souci d'homogénéité, ni les seequi-homomorphismee, plus fastidieuses d o n c l a i s s é e s a u l e c t e u r 8 >. Section B - §9. - page suite, ni mentionnées I10 -modifications a introduire 9 les ici de (et Section B — §9. Suffisante complétude connexe Le foncteur monoïdal (de droite de la configuration de base) Did : Ens • GrComp permet toujours, lui, le "changement (canonique) d'enrichissement" des catégories, des graphes à composition et des syntaxes. a) Si A est une catégorie localement petite (i.e. une catégorie enrichie par Ens ), on lui associe une amphicatégorie (i.e. une GrComp-catégorie) Did(A) , appelée la Di d-modificat ion de A , qu'on laisse au lecteur le soin de préciser par une réécriture (de A en A et n o en Did notamment) automatique de ce qui concerne les no-modi f i cat i ons. Bien entendu, si A et A' sont deux catégories localement petites et si F : A > A' est un foncteur, on lui associe 1'amphi-foncteur (i.e. le GrComp-foncteur) Did(F> : Did(A) » Did(A') , appelé la Did-modificat ion de F , qu'on laisse de nouveau au lecteur le soin de préciser. De même, si A et A' petites, si F± , F2 : A sont deux catégories localement > A' sont deux foncteurs et si v : Ft a = * F2 est une transformation naturelle, il est facile de lui associer une amphi-transformation naturelle Did(^) : Did(F±) s Did(F2) , appelée la Did-modificat ion de Le \> . lecteur vérifiera aussi (F:A —» A' ,i;,R:A' —» A) est facilement une que, adjonction, si alors # (Did(F) :Did(A) —> Did(A ) ,Did(v>> ,Did(R) :Did(A' ) —• Did(A) ) est une amphi-adjonction. b) Le foncteur (de droite de la configuration de base) did : Ens • GrComp commute évidemment aux monomorphismes, puisqu'il admet un adjoint à gauche. Il en résulte Section B - §9. - page ÎO Section B que, si il est - pour Œ> est toujours - un §9. Suffisante graphe à composition Did-modifiable tous objets Dt , complétude D^ , car connexe localement petit, : D3 «= Ob(Œ>) , le foncteur : d i d ( i n j [ D ( D 1 , D2,D3>) did(Œ>'(D1, PzjDg)) est injectif > d i d ( t D ( D 2 , D 3 > xŒ>( D t , D 2 > > (i.e. est un monomorphisme de Par conséquent, si ment petit Œ> est un graphe à composition (quelconque), on Did(Œ>) , appelé qu'on au lecteur écriture n 0 -modifications la Did-modi fi cation le soin automatique locale- lui associe un amphi-graphe à composition laisse GrComp ) . de d'expliciter ce (tout en qui par Œ> , une ré- concerne les souvenant que est une équivalence natu- se t : did(-) # did(-) ana*> did(-x-) de relle). Bien entendu, si F : D phes à composition associe > Œ>' est un foncteur entre gra- localement petits (quelconques), un amphi-foncteur appelé la Did-modification Did(F) : Did(ID) de on lui > Did(Œ>' ) , F , qu'on laisse de nouveau au lecteur le soin de préciser. De même, on définira sans peine la Did-modi ficat d'une transformation deux foncteurs d'un Œ> naturelle ion Did(i^) vsF± **» F2:Œ> —> A' entre graphe à composition vers une catégorie localement petite c) Pour en terminer, cette fois, modi fi cations, constatons que, si localement petit A' . avec les 3> = (A, J,B,K,Œ>) Didest une syntaxe localement petite sur la catégorie localement petite A , alors : - pour tous objets B± , B^ de S e c U o n B - §9. B , le foncteur : - page 11 Section B - §9. Suffisante complétude connexe Did(J> (64,62) did(B(B1,B2>) did(CJ^(B1,B2)> > did(A( J(B±) ,J(B2>)) est injectif (puisque le foncteur did : Ens —> GrComp , ayant un adjoint à gauche, commute aux monomorphismes et puisque l'application C j;>( B^Bfe) :B( B^E^) •> A( J( B±> , J( 62) ) est, par hypothèse, injective). Par conséquent, si 3> = (A, J,B,K,Œ>) est une syntaxe localement petite sur la catégorie localement petite A , alors Did(2» = (Did(A) ,Did( J) ,Did(B> ,Did(K> , Did(Œ» ) est une amphi-syntaxe, appelée la Did-modi ficat ion de 3> . Evidemment, si 3) et 3)' sont deux syntaxes localement petites sur des catégories localement petites et si X : 3> —» 30' est un homomorphisme, il est facile de lui associer un amphi-homomorphisme Did(d£) : Did(JD) —> Did(2>') , qu'on appelle la Did-modi fi cation de X Pour conclure, il est trivial de constater que la propriété de cohérence entre la réflexion p et les foncteurs monoïdaux no et Did ainsi que la monoïdal i té stricte sur les produits tensoriels (au sens du §5.1) de Did assurent que : - "2-naturellement" en toute catégorie localement petite A , on dispose d'un isomorphisme canonique : A -^-> n D (Did(A>) (de sorte que, pour toutes catégories localement petites A et A' , pour tous foncteurs Ft , F2 : A > A' et pour <3> Pas plus que précédemment, nous n'aurons dans l a suite, l e s D i d-modifications d'homomorphismes. Section B - §9. - page 12 d utiliser, Section B - §9. Suffisante complétude toute transformation naturelle gramme ci-dessous est commutâtif A = connexe le : F, dia- -> n o > \ n ) O s n o > n (Did(F )) 1 A' O -» n (Did(A')) 2 >, O - pour toute syntaxe localement petite rie localement petite, 3) l'amphi-syntaxe sur une catégoDid(JD) est n0-mod i f i ab1e, - naturellement en toute syntaxe localement petite 3) sur une catégorie localement petite, on dispose d'un isomorphisme canonique : 3> -^-> n0(Did(JD>> (de sorte que, pour toutes syntaxes 3> et 3>' sur des catégories localement petites et pour tout homomorphisme X : 3> > 3>' , le diagramme ci-dessous est commutât if : -> n o (Did(JD> ) 3> X n (Did(SO) O S>' -> n U /Did(A) 0 (de sorte que, pour toutes catégories localement petites A -» A' et pour A et A' , pour tous foncteurs Ft , F2 toute transformation naturelle x> : gramme ci-dessous est commutâtif : F2 , le dia- » D0 /Did(A) A U /Did(v) F 11 /Did 0 1 A' -> D /Did(A') 2 >, 0 - naturellement en toute syntaxe localement petite D une catégorie isomor- localement petite, on dispose d'un sur phisme canonique : 3> -> U /Did 0 (de sorte que, pour toutes syntaxes 3> et 3>' sur des catégories localement petites et pour tout homomorphisme X : 3> > 3>f , le diagramme ci-dessous est commutât if : 3> -> U 0 /Did(JD> -u0 /Did X a>' -> U /DidCJD' ) ). 0 Dans la suite, nous procéderons aux différentes identifications que ces isomorphismes naturels autorisent. Section B - §9. - page 14 Section B - §9. Suffisante complétude connexe 5.3. L'amphi-configuration de base Rappelons la définition des amphi-réflexions Définition 5 ; On dit que (A ,F,*>,*>,R,A' ) réflexion si et seulement si : — A et A' est une amphi- sont deux amphi-catégories, > A' - F : A teurs, : et I? : A* > A - *> : A'(F(-> ,-> naturelle, sss> A(-,R(-)> - €Ù : F(R(->> relie, id-,(-> -^ sont deux amphi-fonc- est une amphi-équivalence est une amphi-équivalence natu- - pour tous objets A[ et dessous est commutâtif : A£ de A' , le diagramme ci curry" 1 (^(R(A^> ,A^> ) D <8>A' (F(R(A')> ,A' ) 9Che -» A(R(A^> ,R(A^>> - i A ' (F(R(A'>> ,A') A ' (F(R(A^>> , A p k ( F ( R ( A^)> , A ^ , A p R(A' ,A'> 1 ' 2 A' (A^, A ^ > * A ' (F(R(A^)) ,A'±) id(A' (A' , A' ))**>( A'> A' (A' ,A # )^U 1*2 (diagramme près : qu'on peut 0 drte réécrire, Section B - §9. » A' ( A' ,A' > A-(A;,A;> à des abus de notations - page 19 Section B - § 9 . Suffisante complétude connexe *> , A z > A'(F>,A2) -• A , R < A 2 > > A' ( c r f A ^ ) , A 2 > R< A' , A ' ) A' ,n0> ,n0<*>> ,n0 ,n0,«>,£,A') . De même, on voit que (par "restrictions aux 1-flèches") on dispose d'une réflexion soxis-jacente (A,F,v,œ,R,A' ) où : de — pour tout objet A et pour tout objet A' de A' , on a : GrComp(U 0 ,curry _1 <»> — > A ( A , R< A' ) > A' « : F de A' , on a : • A' - A •»u ' 0 *>( A' ) : D 0 -• A ' ( F ( R ( A ' > > , A ' ) Section B - §9. - page 16 ,A(A,R(A')>) , Section B - §9. Suffisante complétude connexe En particulier, il est facile de vérifier que la réflexion p = (GrComp,rc0,v,w,did, Ens> de la configuration de base est sous-jacente à une unique amphi-réflexion, notée p = (GrComp,ir0,v,w,did,Did(Ens) ) , (compte tenu de l'identification U 0 /Did(Ens) es Ens , permise par les propriétés de la configuration de base). Dans la suite, pour faire référence à la donnée de la configuration de base p et de cette amphi-réflexion, nous dirons que : *= Œ0,#>,Did) = (no, (GrComp,n0,v,w,did,Did(Ens) ),Did) est l'amphi -configurât ion de base et que n o (resp. Did ) en est le fonctexir monoïdal de gauche (resp. de droite) , «o (resp. did ) en est \* amphi-foncteur de gauche (resp. de droite), p en est l ' a m p h i - r é f lexion, p en est la réflexion sous-jacente, p = (no,p,Did) en est la configuration de base sous-jacente etc.. Définissons maintenant les ^-réflexions : Définition 4 s On dit que * = (A ,F,»>,€»,R,A' ) $-réflexion si et seulement si : - A' est une est une catégorie localement petite, - (A ,F,»>,ci),R,Did(A' ) ) est une amphi-réf lexion (où Did est le foncteur monoïdal de droite de 1'amphi-configurâtion de base $ ) . Ainsi, une ¢-réflexion définit, sur la même catégorie localement petite A' , l'amphi-réf lexion (A ,F,»,o,R,Did(A# > ) , d'une part, et, d'autre part : - la réflexion (n0(A> ,n0(F> ,n0(v) ,n0(ta> ,nD(R> ,A# ) (qu'on obtient par no-modications et en tenant compte de l'identi- Section B - §9. - page 17 Section B - §9. Suffisante complétude connexe fication n0(Did(A')> c*. A' que les propriétés de la configuration de base - sous-jacente à 1'amphi-configurâtion de base - autorisent), — la réflexion (A ,F,v,co,R,A' ) (qu'on obtient par "restrictions aux 1-flèches" et en tenant compte de l'identification U /Did(A') ss A' que les propriétés de la configu0 ration de base - sous-jacente à 1'amphi-configuration base - autorisent). En particulier, pour tout objet A i^(A,F(A>) : A' (F(A) ,F(A)> id(F(A>> de de A , on posera : > A(A,R(F(A>>) l > ^(A> = £:(A> . Dans la suite, nous dirons qu'une $-réflexion * = (A ,F,»>,ci>,R,A' ) est amphi-co-complète si et seulement si A est une amphi—catégorie amphi-co-complété (alors, A est une catégorie co-complète). Il en résulte que Did(A') est aussi amphi-co-complète (et, par conséquent, que A' est co-complète). De m@me, nous dirons qu'une $-réf lexion * = (A ,F ,*>,*>,R,A' ) est amphi-complète si et seulement si catégorie amphi-complète (alors, A complète). A est une amphiest une catégorie Enfin, nous dirons qu'une ^-réflexion * = (A ,F ,»>,*>, R,A' ) est co-représentable si et seulement si A est une amphicatégorie co-représentable (au sens de la Section A, §3.4 i.e. de CS.C.C.A.3). Il en résulte alors que Did(A') est elle-même une amphi-catégorie co-représentable; en effet, si C - = C - : A —» Mod(E a r C o T n p ,A o p ) o p est un foncteur de co-représentation pour A , il est facile de vérifier que Section B - §9. - page 18 Section B - § 9 . Suffisante complétude connexe U /Did(A' ) es A' (compte tenu de l'identification que les 0 ^ propriétés de la configuration de base - sous-jacente à 1'amphi-configurâtion de base - autorisent) : - le foncteur : ^ " S i c K A V ' V 0 1 1 " * ^ —* M°d(EOrCornp, -* > U0/Did Mod(EarComp, 1¾ de C£,(A'>(g> : C^A'Xep inversible de Alors, de l'esquisse arcom telle ,Aop)op A foncteur e s t Orcomp si * représentable phi-syntaxe A' = A' l'esquisse EarCoTnp • C^(A')(6±) . (A,F,»>,€i>,R,A' ) et si Didi3>f §4.3 et 3>' ) e s t une 5 - r é f l e x i o n e s t une syntaxe , sur Did(A') Section A, - i.e. JW*^(2>') = Xft*(Did(2>'>) et en , sont sur A' associés CS.C.C.A.l) les , à col'am- (comme e n syntaxes X*rf < £ ' ) = J*tftf( Did(Z>' ) ) > > /JM,(D') ainsi q u e 1'homomorph i sme : -tr^'> â*v(DidCD' ) ) : yystyW J*J-W(Did(3)'>> Section B - §9. - J>jtfjf< DidCD' ) ) page lô Section B sur - §9. Suffisante complétude connexe A' r* H 0 /Did(A') . Par construction, il est facile de vérifier qu'on dispose de deux isologies (au sens de la Section A, §2.3 - i.e. de CS.C.C.A.l) canoniques sur A' : *>".*<»• > : 3)'+ ->>.>^(JD'> et Arfj*v<2>') : 3)'+ ?stst^3ï' ) , de sorte que le diagramme ci-dessous est commutatif (en y reprenant des notations analogues à celles utilisées en Section A, §§2.2, 4.2, 4.3 - i.e. en CS.C.C.A.l) : id(A' >*»*<»' > PJM. id( A' ) ^ V ^ > \?' -» A' tf**^ ,/WCDicKXr» ^ <- ^DidCD' > (U /Did) yWrfCDidC»')) / D i d c A . > U Did<2>'> J'jfaKDidCD')) CD / D i d ( A ' ) ) 0 JVtfCDiiKS')) 0 c o r e p a \ ac 2K y Did'> coreps / D i d < A ' > ) DidCD') (U 0 Définissons maintenant les $-réflexions suffisamment générées D é f i n i t i o n 5 : Si si note AQ * = (A , F ,»>,ti>,R,A' ) e s t une $ - r é f l e x i o n , e s t une p e t i t e s o u s - c a t é g o r i e p l e i n e de j0 : A 0 —> A on d é s i g n e par l e foncteur injection A , si canonique et on si : <*> On trouvera des exemples de $-réflexions g é n é r é e s en S e c t i o n C, § § 6 . 9 e t 6 . 6 ( i . e . e n C S . C C . C D > . Section B - §9. - p a g e 20 suffisamment Section B - §S. Suffisante complétude connexe Cj03 : A0 - » n0 ACA^,*^) (ce qu'on peut e n c o r e é c r i r e tj03 : A0 - • : n0<0> la composante connexe de ao(0> dans A((\(1,<\,2) ) le -foncteur qui s'en déduit, alors nous dirons que * = (A,F,»>,*>,£,A' ) est suffisamment &Q-générée si et seulement si : - pour tout objet A e Ob (A ) A' e Ob , l'application<5> : et pour tout objet A -> Nat(n0([j03<-),A),n0)) c:A-»R i-> n 0 A(A,R(A')) (qu'on peut encore écrire, comme précédemment : A(A,R(A'>> -> Nat(n0(A)(Cj03(-> ,A) ,n0(A)(Cj0D(-> ,R(A'))) c h> n0(A)(Cj0D(-> ,Cc3) ) est une bijection. Ainsi, on voit que * est suffisamment A D -générée si et Si H , K S C > C sont deux foncteurs entre catégories, on note (comme usuellement) Nât(H,K) la classe des transformations n a t u r e l l e s de H vers K . Section B - §9. - page 21 Section B - $5. Suffisante complétude connexe pour t o u t o b j e t A de seulement s i A' : A , pour tout objet e t pour t o u t e f a m i l l e de f l è c h e s de b = ( b a : A< R < A , ) ) A' A de : A 0 e Obt&o) a s 11 > A R(A') que k(b> a = b , €3 dès que cela a un sens, comme suggéré par le diagramme de A t A ci-dessous : - k En utilisant la réflexion R (A ,F,i>,«,R,A' ) , obtenue (comme décrit au §5.3) par restriction aux 1-flèches de l'amphiréflexion ,*>,!?,Did, on voit aussi que Section B - §5. - page 22 * est Section B - §9. Suffisante complétude connexe suffisamment A0-générée si et seulement si : pour tout objet A' A de A , pour tout objet et pour toute famille de flèches de b' = (b^ : F ( ^ ) A' A' de : A') f^ G 0b(Ao) a : U A(<\>,A> telle que b' = b' >' a , si Cal = Ca±3 , et b a-R*o> = b ; . a o ' dès que tout cela a un sens , il existe une unique flèche de A' k'(b') : F(A) » A' telle que : k' (b'> F(a) = b# , dès que cela a un sens, comme suggéré par le diagramme de A' ci-dessous : > F(A) k' (b'> » A' 4- En particulier, on A0-générée , alors voit que, si * : Section B - §9. - page 23 est suffisamment Section B - pour tout objet A' = dans § 9 . Suffisante complétude connexe A' de A' , on a : colim ^ o €0b(A o ) a':F(> -• A' € A(F(P^),A'> F(^) A' . Plus simplement, nous dirons d'une $ - r é f l e x i o n ¥ est suffisamment existe AQ pour l a q u e l l e Enfin, générée * si et seulement s'il qu'elle une est suffisamment A 0 -générée . définissons les $-réflexions suffisamment (6> connexes : Définition 6 s Si * = ,ci>,R,A' ) est une 3>-réf lexion, si C est une sous-classe de Ob(A) et si A 0 est une petite sous—catégorie pleine de A , alors on dit que * est suffisamment A0-connexe - * pour C si et seulement si : est suffisamment A 0 -générée, - pour tout objet A e C A Q , l'application : de A et pour tout objet A 0 de no(A)(Ao,(no(^(A>) UoXO)) > n (A>(A ,R(F(A)>) n (A>(A ,A) O O O O' A'(F(AQ> ,F(A)> (qui s ' é c r i t no encore, comme précédemment : H >) Se A') ) <6> On trouvera des exemples de $-réflexions S e c t i o n C, § § 6 . 9 e t 6 . 6 ( i . e . e n C S . C . C . C . 1>. S e c t i o n B - § 9 . - page 24 suffisamment Section B §9. Suffisante complétude connexe est bijective. Clairement, une «-réflexion * , suffisamment A D -générée, est suffisamment A 0 -connexe pour C si et seulement si : - pour tout objet f\^ e 0b(Ao> de Ac pour tout objet A e C de A et pour toute flèche c : A 0 — -• R(F(A>) de A , il existe une flèche a : <\, • A de A telle que *(A)-a = c , comme représenté par le diagramme commutatif de A ci-dessous : A *(A> L» R(F(A>> - pour tout objet t\y e 0b(Ao> de A 0 , pour tout objet A e C et pour toutes flèches a^ , a^ de -> A de A telles que sifù-a^ ^e^PÙ-a^ , il existe un entier n > 1 et (en reprenant la terminologie et les notations de la Section A, §1.2 - i.e. de CS.C.C.A. 3) une famille o^ , o^ , ... , = d o m A < a 2 > • («g) codom,A(Ao,A) (o^) = codom A<0,««-*> = dom :omme s u g g é r é p a r l e d i a g r a m m e d e A A ' ci-dessous : » R(F(A>> C , on voit de A , la Ainsi, si * est suffisamment A Q -connexe pour (en particulier) que, pour tout objet Ae C flèche £:(A) : A aux classes > R(F(A)> <2eJ> connexité est un Quotient Cdu point par C passage de vue des objets de A o •> Plus simplement, nous dirons que ¥ est totalement et seulement si ¥ est û0-connexe pour e s t suffisamment connexe Ob(A) . Et nous dirons que ¥ .-connexe si S e c t i o n B - § 9 . - page 2 6 Section pour C B - §9. Suffisante totalement (resp. existe une A0 A0-connexe pour C complétude connexe^ si et connexe seulement s'il pour laquelle ¥ est suffisamment (resp. totalement A 0 -connexe). 5.4. Laxifications et élargissements Introduisons la notion de laxification Définition 7 z Si * = (A,F,v,*>,R,A' ) . est une «-réflexion, /g) on dit X = (3Ê>,3)' ) que est seulement si : - 3t est une amphi-syntaxe sur - 3>' est une syntaxe sur une 9-laxif ication si et A , A' , - 3b est no-modifiable, sa no-modification n0Cfc) est transportable (au sens de la Section A, §2.1 - i.e. de CS.C.C.A.3) par le foncteur n0(F> : n Q (A) > n o (Did(A'>) et 1'on a : no .n0(*> = 3>' (compte tenu de l'identification n o (Did(A')) 2* A' ) . Alors, établissons la proposition suivante (où l'on reprend les notations de la Section A, §§2.2 et 4.3 - i.e. de ES.C.C.A.1 - et du §5.3, notamment) : Proposition 1 : Si ¥ = (A,F,»>,«>,£,A' ) est une co-représentable et si £ = (3Ê>,3>' ) est une ^-réflexion V-laxification, <7> On trouvera § 6 . 9 . <8> On dira aussi ou encore que 3)' que 3b est une "¥-laxification" e s t l a "¥-rigidification" de 3Ê> . Section B - §9. - page 2? de 3>* , §9. Section B alors on dispose d* un Suffisante complétude connexe homomorphisme canonique XfsHX) :<>*«ra(«&> —> yrstW) de sorte que dessous Coù le les fixer les sées d* autres produit fibré sur (A,F,v,R,A' ) , commutât (t) du flèches en pointillés i.e. syntaxes l'adjonction carré notations, de diagramme ne désigner antérieurement figurent if ci- que poxir certaines flèches compo- obtenuesJ> représente un : s,* =,* v-id & ,«**VZ>'>. • Ayysum -+ A" coreps <*) fr U yysKV) -> A Ainsi, il existe un unique foncteur inversible ,S>' s,J? rendant commutât if X " * le A * diagramme ci-d&ssoxts X s,* ,yyaix> yyaim x„ A' Projs, projs i/ a«*« » ) -> A Section B - §9. - page 28 Section B Calors, algèbre - §9. Suffisante complétude connexe pour tout objet A' de A' et pour de la forme (R(A'),#) , on note : 's X < R < A ' > * * > = xs x toute nPjfiSV)- (>*),A') = (A',i s -p(S>> ;>. Preuve. Posons * = (A,J,B,K,D) . Alors, par hypothèse, on a 3>' = (A' ,nD(F> n0(J),n0(B),n0(K),n0(i») . Nous laissons au lecteur le soin d'expliciter flWW(JF) , en utilisant les constructions de J^J^J^(^) et J^\rf^(2>') = ^^^(Didd)')) . Maintenant, si A' est un objet de A' , on a, naturellement en tous objets 8t et 1¾ de B : Ens(A(J(B2> ,R(A')),GrComp(D(K(B1),K(B2>) ,A( J(Bt> ,R( A') > ) ) 2* ( F étant adjoint à gauche de R ) Ens(A' (F( J(B2)> ,A' ) ,GrComp(D(K(B1) ,1((¾)) ,A(J(Bt) ,R(A' >))) ae ( F étant amphi-adjoint à gauche de R ) Ens(A' (F(J(B2)> ,A'> ,. . . ...GrComp(I)(K( 8^,1((82)) ,Did(A')(F(J(81>) ,A'))) ^ (adjonction de la configuration de base) Ens(A'(F(J(82>> ,A'> ,. . . ...Ens(n0(D>(K(8±) ,K(B2>>,A' (F( J(61) ) , A' > ) ) . En conséquence, alors, tion si (R(A'),cr) pour t o u s o b j e t s B± et est une Jfc-sesqui-algèbre, E^ de B , à l'applica- : €^,1¼) A(J(62> , R ( A ' ) ) > > , A ( J ( 6 1 ) , R ( A ' ) ) ) c o r r e s p o n d , par l a s u c c e s s i o n p r é c é d e n t e de b i j e c t i o n s , application une : A ' < F < J < B ^ > > , A ' > -> E n s ( n 0 < D ) < K < B 4 ) ,K> , A ' < F < J < B 1 ) ) , A ' ) ) Section B - §9. - page 29 Section B - §9. Suffisante complétude connexe et il est facile de vérifier qu'on définit bien ainsi une 3>' -algèbre (A',\ ) . La procédure réciproque étant également applicable, on a donc construit un isomorphisme "canonique" : A x- A' > A' ((R(A') ,cr) ,A') l • * de sorte que le diagramme ci-dessous est commutâtif : s A x i,* On conclut alors facilement. Fin de la preuve. Prouvons de m@me (en utilisant de nouveau les notations de la Section A, §§2.2 et 4.3 - i.e. de E S . C C A . 3 - et du §5.3, notamment) que : Proposition 2 ; Si ¥ = (A ,F,»>,ci>,R,A' ) est une i-réf lexion co-représentcûble et si £ = (3,3)' ) est une ¥-laxif ication, 9 alors on dispose d un homomarphisme canonique de syntaxes XOjtlX) : / J W ( » ) —> ^^(2)') sur l'adjonction (A,F,v,R,A' ) , de sorte que, dans le diagramme commutât if ci-dessous Coù les flèches en pointillés ne figurent que pour fixer les notations, i.e. désigner certaines flèches composées d'autres, antérieurement obtenues3> le carré (**) représente un produit fibré : Section B §9. - page 30 Section B - §5. Suffisant* complétude connexe A' a,X '«•* id• A y4tnsi, i l e x i s t e un uniqme foncteur J rendant a,J? commutât if inversible -> A ' X * * A * le diagramme ci-dessous : a,* / : \ A'y*Mcm *""<*> x A A' proja L/ u*'sthnm proja -> A C a l o r s , por/r tottt objet A' cîe A' e t poiir t o u t e al^èfcre de l a forme , on n o t e : V „ (R(A'),S> = I y ((R(A'),S),A') = > ->• Preuve. Posons de nouveau 3b = (A,J,B,K,D) . Par hypothèse, on a Section B - §9. - page 31 Section B S)' - toujours Nous laissons S£rfjtf n0 ,n0> Maintenant, si Suffisante complétude connexe A' au lecteur le les constructions B± d'expliciter de yjfsfi3V> et . e s t un o b j e t de ment en t o u s o b j e t s soin et E^ de A' E , on a , naturelle- : , . . . G r C o m p C l X K C B ^ , 1 ( ( ¾ ) ) ,A< J ,R< A' )> ) ) at ( F é t a n t a m p h i - a d j o i n t à gauche de R ) GrCompCDidCA'XFCJCB^) , A ' > , . . . . . .CrCompClXKCBi) ,K< B^ ) ,A< J< B±) , R < A ' ) > ) ) at ( F é t a n t a m p h i - a d j o i n t à gauche de R ) G r C o m p ( D i d < A ' ) < F < J < B 2 > > ,A' ) , . . . . . . C r C o m p C I X K C B i ) , K < B 2 ) > , D i d < A ' ) , . . . . . . D i d < E n s ) ( n 0 < I » < K < B 1 > , ^ ¾ ) ) , A ' , A ' ) ) ) ac ( a d j o n c t i o n de l a c o n f i g u r a t i o n de base) Ens(n 0 > , A ' ) , . . . ...Ens(no s. A ' ) Ens(A'> , A'> ) ) . En conséquence, s i (R e s t une A - a m p h i - a l g è b r e , alors, pour t o u s o b j e t s B t e t B^ de B , au f o n c t e u r : &(. B Eu ) A ( J ( B 2 ) , R ( A ' ) > H - * GrCompCDdCd^) , 1 ( ( ¾ ) ) , A ( J ( B ± > , R ( A ' ) > ) c o r r e s p o n d , p a r l a s u c c e s s i o n p r é c é d e n t e de b i j e c t i o n s , une application : Section B - §9. - page 32 Section B - §9. Suffisante complétude connexe VBt,B 2 ) A' (F(J(B2)) ,A'> * Ens(no(D)(K(B1> ,K(B2>) ,A'(F(J(Bt)) ,A'>) et il est facile de vérifier qu'on définit bien ainsi une 3>' —algèbre (A',\_) . La procédure réciproque étant également applicable, on a donc construit un isomorphisme "canonique" : A* x n A' J5L+ A'*' > (A',\^> ((R(A') ,*> ,A') , de sorte que le diagramme ci-dessous est commutâtif : On conclut alors facilement. Fin de la preuve. y d Introduisons élargissement maintenant la notion plus générale Définition 8 2 Si * = (A ,F,^,ci>,R,A# ) est une ^-réflexion co-représentable, on dit que S = (3»,9C ,T,9C",3)",X' ,3>' ) est un 9-sesqui -élargissement (resp. On trouvera des exemples § 6 . 6 (i. e . e n C S . C . C . C . 3 ) . Section B - ^-amphi-élargisse- un d'élargissements §9. page 93 en Section C, Section B ment) - §9. Suffisante si et seulement si : - 3b est une amphi-syntaxe sur sur complétude connexe A et T est une syntaxe A, - 3>' et 3>" sont deux syntaxes sur - 9C* : «)*&rf(.S&) —> T prend Se = F est un homomorphisme sur A , lorsqu'on (resp. - 9C" : T —» JD" A# , & = st ) , est un homomorphisme sur l'adjonction (A,F,v>,R,A' > , - X' z ft*jf-t3>' ) —* JD" est un homomorphisme sur A' , lorsqu'on prend & =y - #($) = (3Ê>,3)' ) (resp. & = sf ) , est une *-laxif ication, - les propriétés suivantes sont vérifiées : (i) le diagramme (d'homomorphismes) ci-dessous est commutât if, lorsqu'on prend 8« = J^ ^8^( 3b) (resp. & = s$ ) s • T 3e8crfCi?(S)) 9C" fi***,(*)') • 2>" On dira aussi que T est un "^-sesqui-assouplissement" (resp. un "4*-amphi-assouplissement"> de 3)' relatif d £ , ou encore que JD* est la "^-sesqui-rigidif ication" (resp. "la ï ^ - a m p h i - r i g i d l f i c a t i o n " ) d e J" relative d % <1±> •Jusqu'à présent, il nous a fallu développer séparément ce qui était spécifique du cas des eeequi-algébree et ce qui l'était du cas des amphi-algébres. A partir de maintenant, on a fait suffisamment "converger" ces développements pour que ce ne soit plus nécessaire, d'où l'utilisation du "grand joker" Se (ainsi que, plus loin, du "petit joker" et e t , u n e s e u l e f o i s , d e s "jokers a c c e s s o i r e s " $ e t £ >. Section B - §9. - page 34 Section B (ii) dans - § 9 . Suffisante le diagramme deux rectangles duits fibres : complétude commutâtif intérieurs connexe ci-dessous, représentent *? +• X où les des pro- A*' \ / lT id %' A *'xft id(A') l/*«rf<»> \ A ^ < » > A«^<»> x A A' le foncteur id A. x & ^A lorsqu'on prend & = y (resp. & - st ), le foncteur id A ' * ^ 8 ^ * ^ ^ - A'"0' est un isomorphisme X' est une (resp. & = jtf ) . (autrement dit, isologie), lorsqu'on prend & =y Evidemment, si » = (J»,9C' ,r,9C",.Z>",sr ,2>' ) est un «-amphi-élargissement, on voit (en reprenant, pour inj<3» , la notation de la Section A, §4.3 - i.e. de CS.C.C.A.3 - et, pour inj^X>"> , celle du §5.2) que : y#<%) = (*,9C' . inj<») fT,9C",2)",X' . inJ^W est un f-sesqui-élargissement, dit sous-jacent à ) ,JD' ) * . De même, on vérifie facilement que, si X = (J»,JD' ) est une ¥-laxification, alors : yix> = (», id<^^^<»> > ,yy*> ,xy*tx>,... . ..^J^^4r<"(#> = (3b,sLn*<3bï ,y**(3V> ,X*s*i£> complétude connexe et : , ^ ^ ( ^ ) ,4*WW<»'>,*>' > sont deux *-sesqui-élargissements, tandis que : *f(#> = (J>,id(*>*J*rf(<&)> ,y>J*J*(*ï ,Xj*j*iX) . ..* est un *-amphi-élargissement sement sous-jacent est (dont ,... ) ,id'>> ,#' > le *-sesqui-élargis- ^^(^(J?)) = JT* (J?> >. Dès lors, il est facile d'établir (en reprenant, notamment, les notations de la Section A, §4.3 - i.e. de CS.C.C.A.3 concernant coreps et corepa ) que : Proposition 5 : Si ¥ = (A ,F ,*>,*>,R,A' ) co-représentaJble si et V-sesqui-élargissement alors Coxi les les notations, d'autres fibre flèches (***) un ,3)' ) est un ssement J>, commutatif ci-dessous du diagramme pointillés ne i.e. désigner certaines obtenues} ^-réflexion V-amphi -élargi en antérieurement une « = (3*,9C ,T,9C",3)",X' Cresp. le trapèze est figurent que pour flèches représente fixer composées un produit : & ,3 corep* / S S» X0 id(&)%' id'> ^ lorsqu'on prend %L = si ï> * = A Ainsi» il existe * = s Cresp. t, - a ), & = y Cresp. * = A-> et £ = U Cresp. un unique foncteur inversible : & ,3 AT x, -> A Xt' Section B - §9. - pag» 3© Cresp. £ = V 2. Section B rendant commutât if - §9. Suffisante complétude connexe le diagramme ci-dessous A 4r lorsqu9 on prend & = s Cresp. objet A' : A' 4r & = a J) et &=«>* Cresp. & = s* ï. Alors, poxir tout de forme (R(A'),S) , on note la de A' et pour toute T-,#> = I *((R,A') = (A',i lorsqu* on prend & = s Cresp. *<#)) > & = a J>. Preuve. En e f f e t , l e diagramme commutâtif c i - d e s s o u s : ,*&*(#(»)) A, r w w « y > yrt*4( V> ur8^^(D'> l l ~ < *> représente un produit fibre, en vertu de la proposition 1 (resp. de la proposition 2) précédente, lorqu'on prend & = J^ (resp. 8c = s* ) . Par conséquent, si on considère le produit fibre représenté par le diagramme commutâtif ci-dessous : Section B - §9. - page 37 Section B - §5. Suffisante complétude connexe A' ^«^^<^') il existe un unique foncteur 7' ,. :A r x^ A' évidemment injectif (en vertu de la propriété (ii) de la définition 8 précédente), rendant commutâtif le diagramme ci-dessous : -*««*< #<«>> id* * S ,y*4y(w> yF**^®') j/fc^C») De plus, par hypothèse (en vertu de la propriété (i) de la définition 8 précédente), le diagramme ci-dessous est commutâtif et (en vertu de la propriété (iii) de la définiA,.T8^<2>'> A ,3>' tion 8 précédente) id(A')X' y est inversible : id(A> * \ .y&*9<2>*) Il existe donc un unique foncteur rendant commutâtif tout v"êc,S l# a>* le diagramme ci-dessous Section B - $5. - page 3B A*3" x„ A' §9. Section B Suffisante complétude connexe On conclut alors facilement X' (id(&')^ (que -i V admet pour inverse ** ) • ? : * > . & ,e Fin de la preuve. Si * = (A,F,»>,«>,.£,&' ) est une 3-réf lexion, nous dirons d'une *-laxification £ = (3b,3)' ) qu'elle est petite si et seulement si 3b est une amphi-syntaxe petite ou, de manière équivalente, si et seulement si 3>' est une syntaxe petite. De plus, si ¥ est amphi-co—complète, nous dirons de £ qu'elle a un rang si et seulement s'il existe un ordinal régulier a pour lequel 3b est d'amphi-rang < a et 3>* est de rang < a . De même, si * est une $-réf lexion co-représentable, nous dirons d'un SP-sesqui-élargissement (resp. d'un ¥-amphiélargissement) S = (»,*' ,T,?K" ,3)" ,X* ,JD' ) qu'il est petit si et seulement si 3b est une amphi-syntaxe petite et T et 3)" sont des syntaxes petites (ce qui impose que 3>' est une syntaxe petite). De plus, si * est amphi-cocompl ète, nous dirons de S qu'il a un rang si et seulement s'il existe un ordinal régulier a pour lequel T et &" sont de rang < a (ce qui impose aussi que 3b est d'amphi-rang < a et que 3)' est de rang < a ) . Section B - §9. page 39 Section B - §9. 5.5. Suffisante Suffisante complétude complétude et connexe suffisante complétude <12) connexe Introduisons la notion d'algèbre Ccanoniquementl ty-quotientablem * = (A ,F,*>,ti>,R,A' ) Définition 9 s Si T = (A,V,S,W,¥) et si est une «-réflexion est une syntaxe sur est V-quotientable qu'une J"-algèbre (A,T) uue des S 2 si et seulement si : objets de - pour tout objet A , on dit Cdu point de S e Ob(S) , l'application : A(V(S> ,*(A>> : A(V(S),A) est surjective, - pour tous objets • A( V( S) ,R(F( A) ) ) S1 , S^ € Ob(S) , il existe une (néces- sairement unique) application : T ( S ,S ) /£T(A) A(V(S2) ,R(F(A>>> • EnsCïïd^KS^ ,W(S2)) ,A(V(Si) ,R(F(A)))) rendant commutâtif le diagramme ci-dessous : A(V(S 2 ) ,A) A(V(S2),^(A))J A(V(S2>' ,R(F(A)>) v ' V I T ( S I ,S2> v S T(SI,S2)/^:(A)1 Ens(TT(W(S,> ,W(S,)) ,A(V(S^> ,A)) " i' ' 2" * .-^,--., (Ens(¥(W(S i >,W(S 2 )),A(V(S i ) ,*(A))) Ens(¥(W(S i ),W(S 2 )),A(V(S i ) ,R(F(A)>)) Autrement dit, (A,r) est *-quotientable si et seulement si : <12> On trouvera des suffisante complétude ( i . e . en C S . C . C C . 3 > . exemples connexe de en Section B - §9. suffisante complétude Section C, §§6. 9 - page 4û et et de 6. 6 Section B - pour tout - §9. objet Suffisante complétude S e connexe Ob(S) et pour toute flèche x' : V(S> > R(F(A)> de A , il existe (au moins) une flèche x : V(S) >A de telle que £?(A)-x = x' , comme représenté par le diagramme commutâtif ci-dessous : V(S) *(A) •i R(F(A)> - pour t : hKS^ x2 , y2 ^(A) -x2 ^(A)(x2 tous objets ^ • W(S2> de : V(S2) • A = ^(A) -y2 . t) , < = xi > = *(A> . ( y 2 . ^ ^ Db(S) , pour toute flèche ïï et pour toutes flèches de A , si 1'on a alors on a t) ( = xi ) té par le diagramme commutâtif ci-dessous coffme représen- t *(A>I |x' R(F(A>) £ — Evidemment, la définition des algèbres ¥-quotientables est exactement celle qui convient pour qu'une telle T-algèbre ( A , T ) puisse être "quotientée par (ou le long de) £:(A) ". Précisément, on a : Section B - §9. - page 41 Section B - §9. Suffisante complétude connexe Proposition 4 ; Si * = (A,Fp*>,ci>,R,A' ) est une *-réflexion, si T est une syntaxe sur A et si ( A , T ) est une T-algèbre V-quotientable, alors il existe une et une seule structure de T-algèbre (A,T)/£:(A) = (R(F( A) ) ,r/si A) ) sur R(F(A)) C qu'on appelle, bien entendu, la " T-algèbre n ^-quotient de (A,T) par *r(A) 2 pour laquelle £:(A) : (A,T> —> (R(F(A>) ,T/£T(A)) est un homomorphisme. Preuve. Il est clair que, pour tous objets suffit de, et il faut, poser s T/*(A> (S S1 , S^ € Ob(S) , il ,S ) T ( S ,S ) /é:(A) A(V(S2),R(F(A))) -* Ens(ïï(W(Si) ,W(S2>) ,A(V(Sâ) ,R(F(A)))) . Autrement dit, pour toute flèche tous t : W(S±) objets ^ > W R(F(A)) flèche x^ : V ^ ) il faut, poser : de , S^ € Ob(S) , pour ¥ A , il suffit de, et en choisissant arbitrairement une flèche de A telle que £?(A) -x2 = x£ . Fin de la preuve. Introduisons complétude maintenant la et pour toute notion x2 : 7(¾) de > A suffisanti m Définition 1Q : Supposons que : - * = (A,F,»>,€i>,R,A' ) et amphi-co-complète, est une «-réflexion co-représentabl< Section B - §9. * page 42 Section B - §9. Suffisante complétude connexe - S = (3b,9C' ,T,9C",3)",X' ,3>' ) est un *-ses qui -élargissement (resp. un ^-amphi-élargissement) petit et ayant un rang (par conséquent, en vertu de la proposition 1 de la Section A, §2.3 - voir CS.C.C.A.l - , le foncteur iF : AT —» A T T admet un adjoint à gauche L : A > A ) , - X est une sous-classe de la classe Ob(A) objets de A . de tous les On dit que (¥,$) est un couple possédant la propriété de suffisante ( $ - ) s e s q u i - c o m p l é t u d e relativement à, X (resp. de suffisante (i-) amphi-compl étude relativement à. X ) si et seulement si : - pour tout objet X de X , la T -algèbre ment engendrée par X , est *-quotientable. L^( X) , libre- Evidemment, si (*,«) a la propriété de suffisante amphicomplétude relativement à X , alors (¥,«)**' -algèbres libres, i.e. elles sont quotients des T-algèbres libres. C'est le sens de la proposition suivante : Section B - §9. - page 43 Section B - § 9 . Suffisante Proposition 5 s Supposons ^-réflexion et X est couple que Cresp. la complétude Cresp. ment à. Csi bien que, X Section JT A, un Ob (A ) propriété de - voir et si (4/,9) est suffisante un relative- de la proposition - , CS.C.C.A.l T un sesqui- amphi—completudel en vertu est V-amphi-élargissement2. de de suffisante §2.3 est une * = (A ,F,»>,ci>,.R,A' ) « = (3b,*K' ,T,9C",3>",X' ,3> ) une sous-classe possédant connexe 9 ty-sesqui-élargissement Si que complétude le 1 de la foncteur T T admet un adjoint à, gauche L : A —> A et 3)' 3D* le3D9 fonjcteur uS)9 : A ' —• A' admet un adjoint à. gauche 9 9 S>9 S) L : A' —> A9 2, alors, pour tout objet X de la classe L : A' —> A 2, alors, pour te X , on dispose successivement de : T T - la T-algèbre L (X) = (Ay? y) » /* = (R(F(AX> ) , T X / ^ ( A X > ) , qui est - la T-algèbre 9-quotient de - la 3>9 -algèbre est associée, r ^ > , T X / * ( A X ) ) = (F(A X >,^) , qui en vertu T-algèbre de la proposition (R(F(A y ) > , T /£:( A y ) ) , Cresp. et, par L ( X) 3 du §5.4, lorsqu9 on prend à la & =s & = a J>, dans ces l i bremen t conditions, engendrée par F( X) 3)' choisir le est (F(A X ),#') foncteur L : A' C au t remen t 3>9 » A' , 3>9 la dit, de -algèbre on peu t sorte que (F(AX>,S'X) = L 5> '(F(X>) J>. En particulier, si X contient la classe R(Ob(A')) , naturellement en tout objet X' de A9 , la 3>9 -algèbre S)9 L ( X' ) , librement engendrée par X' , s9 identifie au T V-quotient de la T-algèbre L (R(X')) , librement engendrée par R< X') . A fortiori, il en est évidemment ainsi si ( * , <8) possède Cresp. la propriété de suffisante de suffisante amphi-complétude}. Section B - § 9 . - page 4 4 sesqui-complétude Section B - $5. Suffisante complétude connexe Preuve. On se r é - f è r e au diagramme c i - d e s s o u s : m. •* A" A A% . > R R , T ) A' F A ,*>' A' est est une une f l è c h e de Il existe donc une unique -flèche telle que : — h s • gèbres, si on pose D'-algèbre A' et que . h : A„ - -» R(A') de A est un homomorphisme de T -al- I' _ ( < R < A ' ) , T > > = , & ,e - h-my = R(a')-£:(X) (en notant (M,m,n) la monade sur T déduite de l'adjonction de \f : AT > A ). L T s A Alors, il existe une unique flèche A' telle que •A à gauche de h' : F > A' R(h').£r(Ax> = h . Section B - §9. A - page 49 de Section B - §9. Suffisante complétude Il est facile de vérifier ("par connexe passage au quotient") que 9 h z (F(AX),S'X> • (A', S') est un homomorphisme de 3>' algèbres, et puis de conclure. Fin de la preuve. Introduisons enfin la notion de suffisante connexe. complétude Définition 11 : Supposons que : - ¥ = (A ,F,i»,€i>,.R,A' ) est une *-réf lexion co-représentable, amphi-co-complète et amphi-complète, - * = (3b,9C' ,T ,VC" ,3>" ,X9 ,3>9 ) est un *-sesqui-élargissement (resp. un *-amphi-élargissement) petit et ayant un rang, - X est une sous-classe de la classe objets de A , - AQ Ob(A) est une petite sous-catégorie pleine de - C est une sous-classe de la classe objets de A . On dit que le couple sante ($-) sesqui vement d X Aa-connexe pour si : (¥,S) Ob(A) de tous les A , de tous les possède la propriété de -complétude A0-connexe (resp. de suffisante C et relativement à, suffi- pour C et relati(S-) amphi -compl étude X ) si et seulement - (*, ' X ' « » < * ' > > " Plus particulièrement encore, nous dirons possède la propriété de suffisante (*,8) totalement Aa-connexe que le couple sesqui-complétude (resp. de suffisante amphi-complétude totalement Aa-connexe) si et seulement si (¥,8) possède la propriété de suffisante sesqui-complétude A Q -connexe (resp. de suffisante amphi-complétude A 0 -connexe) pour Ob(A) et relativement à Ob(A) . Plus simplement, qu'il connexe a la nous dirons propriété (resp. de suffisante de aussi d'un couple (¥,8) suffisante sesqui-complétude amphi-complétude connexe) pour C et relativement d X si et seulement s'il existe une AQ pour laquelle (9,8) a la propriété de suffisante sesqui-complétude A 0 -connexe (resp. de suffisante amphicomplétude A Q -connexe) pour C et relativement à X . De m@me, nous dirons d'un couple (9,8) qu'il a la propriété de suffisante sesqui-complétude connexe (resp. de suffisante amphi-complétude connexe) si et seulement s'il existe une A Q pour laquelle (9,8) a la propriété de suffisante sesqui-complétude A 0 -connexe (resp. de suffisante amphi-complétude A 0 -connexe). Section B - §9. - page 47 Section B - §9. Suffisante complétude connexe Et, bien entendu, nous dirons, enfin, d'un couple qu'il a la propriété de suffisante sesqui-complétude lement connexe (resp. de suffisante amphi-complétude (9,8) totatota- lement pour connexe) si et seulement s'il existe une A0 laquelle (9,8) a la propriété de suffisante sesquicomplétude totalement A Q -connexe (resp. de suffisante amphi-complétude totalement A D -connexe). Si (9,8) a la propriété (formelle) de suffisante sesquicomplétude connexe (resp. de suffisante amphi-complétude connexe), non seulement il y a suffisante complétude (usuelle) "sémantique", i.e. pour les 3>' -algèbres libres (vu la proposition 5 précédente), mais il y a aussi suffisante complétude (usuelle) "syntaxique", i.e. pour la théorie engendrée par 3>' , puisqu'elle est (équivalente à une) image de la théorie engendrée par T . C'est très exactement le sens de la proposition suivante (où nous reprenons les résultats, la terminologie et les notations de la Section A, §2.4 - i.e. de CS.C.C.A.3) : Proposition 6 : Si (9,8) est un couple possédant la propriété de suffisante sesqui-complétude connexe Cresp. de 9 suffisante amphi -complétude connexe}, alors on dispose d un 99 homomorphisme "essentiellement surjectif Cdit "de rigidification"S> de la théorie engendrée par T vers la théorie engendrée par 3>' : ^tâ^i^(9,8) s ^cA(X) rendant commutatif le les notations du §5.3, notations §5.3, diagramme concern concernant quand & = tf } & = J^ Cresp. Section B - §9. • ^cA(D') = ^oA(5)") ci—dessous , §5. Section B jtf-cAiT") S u f f i s a n t e complétude connexe &.sLgsLcM.if! ,S) -> J4CA(.Z>") cano < J") = J*CA.')) cano (5)") -»• 3)' 9C ae' = J*CA<:D') cano<.2>' ) J'&j^JD') * 3>' ^ 8 ^ ( 5>' ) Preuve. Tout d'abord (en reprenant les notations de la Section A, §2.4 - i.e. de ES.C.C.A.3 - concernant notamment les catégories de Kleisli), de la proposition 5 précédente (dont on reprend également les notations et où X = Ob (A ) >, il résulte immédiatement qu'on dispose d'un -foncteur : Rigid(*,«) : A, + *'*>> I » (F,,S'X>) rendant commutâtif le diagramme ci-dessous : RigidC*, S) A. "> *'& - A i' L L Z>' 2>' -* A' Maintenant, en nous référant au diagramme ci-dessous, supposons que a' : Xi : A' et > M'(X^) (M' ,m' ,n' ) L Xj la • A'*" X'z sont deux objets de est une flèche monade de associée à gauche de LT A' A' et que (en notant à l'adjonction : A'"° • A' ) : S e c t i o n B - § 5 . - page « 9 de Section B - §5. Suffisante complétude connexe M> *R < X ' > 2 *(AR » R(M' _ 2 R) •+ R> ri a' X' i -* M ' ( X ' ) _ F< h' h' - 4 2 ^ ( x' > > 2 = k' F = F(M(R(Xp>) = F(AR(X,)) . Considérons alors le produit fibre représenté par le carré commutât if <****) du diagramme précédent et supposons, précisément, que 9 est suffisamment AQ-connexe pour C (9,8) ' Si AQ± est un o b j e t de Aa Section B - §5. et si - page a : f\0± 50 • R( X;> Section B est une f l è c h e samment r - § 5 . Suffisante de A , Aa -connexe d e e± • PF il de existe C pour > AR(X'> : Aot il * (puisque a u <¥8) * telle que : R(Xi)>ra existe & complétude connexe = R < * * > * une et 9 m o i n s est suffi- u n e flèche une seule flèche • telle que : a p±1 • b = a et pz2. b = r a ^ a a Si, de plus, ao : ^ 2 > fiot est une flèche de A0 , il est immédiat de constater que les deux flèches r a A o deux * r a a o = ^°2 foncteurs sont (i.e. s'identifient A<'\32»AR(X')> p o u r c (*,«) * AR(X') d e * r a -a 0 , r^ ^ : ^ (puisque à) deux 9 (c'est-à-dire les > A < < W AR( ^ ) ) objets connectés est suffisamment dans A 0 -connexe >• Les produits fibres dans A étant "des amphi-produits fibres dans A " et tout objet étant à identité dans *<^>2jR 9 il en résulte que les deux flèches b -ao , b :^2 > PF de A (i.e. les deux fonca teurs a- OQ b a0 , b a : U a• flLv > A s'identifient à) deux objets connectés dans en déduit que : *(PF) -(b . ao> = *(PF)b a ) sont F(PF) de A' telle que : - pour tout objet f\>± de A0 et toute flèche a : t\o± • R(XJ) de A , on a R(k')a = ^r(PF)-b , a (puisque 9 est - en particulier - suffisamment A 0 -générée). En conséquence, si on désigne par h' : F(PF) > X£ l'unique flèche de A' telle que R(h').£;(PF) = pt , on S e c t i o n B - § 5 . - page 51 Section B voit a : que, *\>i - pour tout > P R< X §5. Suffisante objet Aa± complétude connexe de A0 et toute flèche » on a : ( R( h' > . R( k' > > - a = R( h' ) . ( R( k' ) - a) = R ( h ' ) .(£r(PF) . b ) a et donc (puisque 9 est = ( R ( h ' ) .^(PF>) - b a a = Pi-ba = a suffisamment A 0 -générée) on a aussi : R(h') -R(k') = id(R(XJ>> et, par conséquent (puisque (A,F9i*>,co,A' ) est une A0 et réflexion) : h' . k" = id(Xp De même, on voit que, pour toute flèche c : f\ot tout > PF de . t\>± objet A de , on a : (R(k')-p t )-c = R(k').(p â .c) = £:(PF) .b Pt-c = £:(PF> -c (puisque 9 est suffisamment A 0 -connexe pour C ( _ x. et parce qu'il est facile d'établir, comme précédemment, que c et b sont connectés dans A(*\ >1 ,PF) ) Pi • c et donc (puisque 9 est suffisamment A 0 - g é n é r é e ) , on a aussi : R(k') .pt = s(PF) , d'où : (R(k') R(h')) £:(PF> = R(k') (R(h') é:(PF)> = R( k' ) . p± = £:(PF) , ce qui permet de conclure, par unicité jonction de F : A > A' (résultant de l'ad- à gauche de que : k' .h' = id(F(PF)> Section B - §5. . - page 52 R : A' • A ), Section B §5. Suffisante complétude connexe Il en résulte que le diagramme ci-dessous commute : F(P2) F(PF) -> F ( M ( R < X ^ ) > ) = M'(X^) F(£) F(R>) F(e>>) F ( R< h' ) ) id 2 F ( R< a ' ) ) F(R) -* F ( R < M ' < X ^ > > ) «> w 2 a' -• M'(X') «- X' 1 2 On en d é d u i t que Rigid(9,8) : essentiellement surjectif (i + *J>. est un foncteur surjectif sur une souspour laquelle l'injection canoni- catégorie pleine de A' que est une équivalence). Reprenant les considérations de la Section A, §2.3 (i.e. de CS.C.C.A.3) concernant les catégories de Kleisli et les achèvements de syntaxes (i.e. les théories qu'elles engendrent), on conclut facilement. Fin de la preuve. On laisse au lecteur le soin de "relativiser" la proposition précédente, dans le cas d'un couple (9,8) possédant la propriété de suffisante sesqui-complétude connexe (resp. de suffisante amphi-complétude connexe) pour C et relativement à X , lorsque et sont • mut ue11ement assez de Ob(A') , i.e. riches" vis-à—vis d'une sous-classe C9 Section B - §5. - page 53 Section B - §5. Suffisante complétude connexe quand : - X contient R(C ) , - C contient A R ( C , } = { A R ( x , y / X' €= C9 > , - C contient FOC' > , - pour tous objets a' s )q PF > F et de X2 A# C * l'objet (du diagramme commutâtif dente) est élément de de (tttt) et toute flèche (produit fibre) de la preuve précé- X , (alors, il remplacera : X - jfcAiT) par l a syntaxe J4CA (J") X , canoni quement définie "sur" la sous-catégorie pleine A ~ de A ~ dont les seuls objets sont les (X,(Ax,Ty)> , où X est élément de X , C9 - JÉOACD') par la syntaxe J*«CA (2>#) , 9canoniquement C définie "sur" la sous-catégorie pleine A'-, de A' , dont les seuls objets sont les ( X' 9L?' ( X' ) ) , où X' est élément de C9 ) . 5.6. Un premier cas particulier de suffisante complétude (totalement) connexe 1 Supposons que 9 = (A ,F,^,co,K,Ar ) est une S-réflexion co-représentable, amphi-co-complète, amphi-complète, totalement A 0 -connexe (au sens du §5.3) et Aa-identitaire dans le sens suivant : (i) pour tout objet A 0 € Ob(A Q ) et tout objet <13> On trouvera t i o n C, § 6 . 5 ( i . e . un exemple de en C S . C . C . C . l ) . Section B - §5. ce - cas page particulier 54 en Sec- Section B - §5. Suffisante complétude connexe A CE Ob(A) , le graphe à composition A(^,A) est identitaire (au sens de la Section A, §1.2 - voir CS.C.C. A. 1), i.e. tel que Obld (A(^>,A) ) =0b(A(A o ,A)) . Supposons aussi que £ = (3b,3)' ) est une 9-laxif ication (où *=(A,J,B,K,D) et ^>'=(A' ,n0(F> .n0(J) ,n0(B) ,n0(K) ,n0(D>) ) ayant un rang et vérifiant : (ii) pour tout objet B e Ob(B) de B , il existe un entier n(B> et une famille ^ ( B ^ , , A 0 (B) n ( B > d'objets de A 0 tels que J(B) = U A 0 (B) C dans A . i < i Alors, si est un objet de A , on voit que : - pour tout objet B de B , on dispose du "diagramme" commutatif suivant (où, concernant C£r(A)l , on reprend la notation du §5.1 et des conventions d'écriture analogues à celles adoptées au §5.3) : nQ(A)(J(B> ,C*(A> 1) nQ(A)(J(B) ,A) • nQ(A)(J(B) ,R(F(A)>) = (par définition) (par adjonction) c& *o(A(J(B>,A)) A'(F(J(B>) ,F(A)) = (en vertu du (ii)) (en vertu de (ii)) = <\> ac ( A étant amphico-complète) *0< n U AD(B)i),F(A)) i < i < n(B > A(A0 ( F é t a n t un a d j o i n t 2* à gauche) U F(A0(B)i),F(A>) l < _ i <_n s* ( n 0 : GrComp > Ens commutant aux produits de graphes à composition identitaire ) Section B - (le foncteur s* A'(-,F(A>) commutant aux produits) §5. page 55 Section B n - §5. Suffisante ^0(*(^> A'(F(^(B),),F(A)) 1 <_l £ n < B > ^ (par définition) n (par adjonction) ^ no(A)(^0(B)i,A) ± LiLn) l^i£n fl ^ nQ( A) ( ^ ( 6 ) ^ ^ ( A) 3) K i Par conséquent (9 étant n (A)(^ > (B) i , C£:(A> 3) que totalement A 0 -connexe et donc étant inversible pour tout objet tel Ao(B)t ) , on voit que : - pour tout objet B de B , l'application : no(A)(J(B) ,t£r(A) D) > no(A)(J(B)) ,R(F(A)>) no(A)(J(B> ,A) est bijective. Il est facile d'en déduire (compte tenu notamment de (i)) que : - pour tout objet B de B et pour tout objet G du graphe à composition ^orcomp (sous-jacent à l'esquisse EarComp des graphes à composition, telle que décrite en Section A, §3.3 - i.e. en ES.C.C.A.3), l'application : A(C(J(B))(B) ,eiA)) > A(C(J(B))(G),R(F(A)>) A(C(J(B))(G> ,A) est surjective. Maintenant, si (A,*) est une *-amphi-algèbre, on voit que : - pour tous objets B± , B^ e Ob(B) , on dispose de l'application (composée) définie comme rendant commutâtif le diagramme ci-dessous : Section B - §5. - page 5 6 Section B - §3. Suffisant» complétude connexe A'(F) nQ(A(J)) no(*) *'(K(Bi),K(B2)),A(vJ(t:'i:)'A(J'R))>) rro(Did,F(A))) Alors, il est facile de vérifier que : - (F(A>,$'> est une 3>9 -algèbre, - la ^J^^(*>-algèbre (A,^> = corepa(») ( A,*) ( canon i quement associée, comme en Section A, §4.3 - i.e. en CS.C.C.A.3 - à la JT-amphi-algèbre (A,*) ) est 9-quotientable (essentiellement parce que les A(C(J(B>)(G),siA)) sont surjectives et parce que (A,^> est associée à une amphi-algèbre) et : I k,^(Jf)</£7> = < F < A >>*'> (en reprenant les notations du §5.4 - concernant J*(JÊ) et *a J*CP) " e t c e l l e s d e l a proposition 4 du §5.5). Il en résulte que (9,J*(J?> ) (resp. (9,^(^)) ) a la propriété de suffisante amphi-complétude totalement A 0 -connexe (resp. de suffisante sesqui-complétude totalement A 0 -connexe), lorsqu'on reprend les notations du §5.4 concernant J99 (•£) . Section B - §5. - page 57 Section B - §5. Suffisante complétude connexe 5.7. Un deuxième cas particulier de suffisante complétude (totalement) connexe 1 Si n > 1 et m sont deux entiers et si g : {l,...,m} x {l,...,n} •W est une application, on note ©(g) le graphe à composition (trivial) défini comme suit : -0b(G(g))={6p/lu{;G^/l) = { (p,i,q) : Gp • 1¾ / 1 < p < m ,... ...1 < i < g(p,q) ,.. . ...l • G' q P • G' G • m Alors, si s G(g)op f > GrComp est un foncteur tel que : - pour t o u t 1 < p < m , l e foncteur e(f(G^)> : f(Gb) : • d i d ( r c 0 ( f (Gp) > ) est bijectif (si, pour tout objet e(G) *= v(G,7r0) s G G de GrComp , on pose • did(rr0(G>) où, rap- <14> On trouvera tion C, § e . 5 ( i . e . un exemple de en C S . C . C . C . 3 ) . Section B - §5. ce cas - page 58 particulier en Sec- Section B - §5. pelons-le, (rr0,v,did) tion de base), Suffisante complétude connexe est l'adjonction de la configura- - pour tout 1 < q < n , le graphe à composition f(G^) est identitaire (au sens de la Section A, §1.2 - voir ES.C.C.A. 3 - , i.e. tel que Ob(f(G^)) = 0bld(f((^>) ) , il est facile de vérifier que : 7i0( lim f(6) ) = lim n0(f(6)) G € G(g) G € G(g) (on pourra dire que na commute aux limites connectantes identitaires). projectives Supposons que 9 = (A ,F,»>,ci>,R,A' ) est une *-réflexion co-représentable, amphi-co-complète, amphi-complète, totalement A 0 -connexe (au sens du §5.3) et A 0 -identaire (au sens du §5.6) et que A 0 0 est une sous-catégorie pleine de A Q telle que : (j) pour tout objet fiioa e 0b(A o o ) de objet A G Ob(fi) de A , le foncteur : AQO et pour tout A(*V>0,*(A>> AO\,o,f0 • A(^ 00 ,R(F(A))) Did(A')(F(Ao0> ,F(A>) est bijectif (moyennant quelque abus de notation, concer— nant A(^>0,£:(A)> ) . Supposons aussi que Jf = (3b,3>9 ) est une 9-laxif ication (où *=(A,J,B,K,D) et JD'=(A' ,n0(F) n0(J) ,n0(B) ,n0(K> ,n0(D) ) ) ayant un rang et telle que, pour tout objet B e Ob(B) de B , il existe deux entiers n(B) > 1 et m(B) , une application : g B : {1, ,m(B)> x <1, ,n(B)} > W et un foncteur : Section B - §5. - page 5Q Section B - fB §5. Suffisante complétude connexe : G(B) = G(gB> > A t e l s que : (jjt> pour t o u t 1 < p < m(B) , on a fB(Gp) 0b(A o o ) , (jj2) pour t o u t 1 < q < n(B) , on a f-(G^) Ob(A 0 ) , ( j j 3 ) J(B) e s t l a c o - l i m i t e de Par conséquent, si A f g : G(B) est un objet de - -> A . A , on voit que : - pour tout objet B de B , on dispose du "diagramme" commutâtif suivant (où, concernant C^(A) 3 , on reprend la notation du §5.1 et des conventions d'écriture analogues à celles adoptées au §5.3) : nQ(A)(J(B) ,C*(A> 3) nQ(A)(J(B) ,A) > no(A)(J(B) ,R(F(A)>) = (par définition) (par adjonction) s* nQ(A(J(B>,fO) A'(F(J(B>) ,F(A>) = (en vertu de (jj3)) n (A( colim fR(G),A)) ° G e G(B) B (en vertu de (jj3)) = A'(F( SE ( A étant amphi — co-complète) n t lim A(f (G),A) ) P B ° G e G(B>° colim f (6)),F(A>) G € G(B) ° ( F A'( colim F(f (G)),F(A>) a G e G(B) at (en v e r t u de ( j ) , ( j j t ) et ( j j 2 ) et n 0 : GrComp —> Ens commutant aux limites projectives connectantes i d e n t i t a i r e s ) (le foncteur a* A'(-,F(A>) commutant aux produits) B lim A'(F(fR(G)),F(A)) B s G(B)op définition) (par adjonction) 2s G € G(B)°P = (par étant un adjoint se à gauche) ° Section B - §5. - page 60 Section B lim - §5. ™ n (A)(fB (G),A) G € G ( B ) ° p °. Suffisante complétude connexe lim G€G(B)°p n (A)(f_(G),R(F(A)>) B ° lim n (A>(f_(G) ,C*(A> 3) B GeG(B>op ° Alors, par pure recopie de ce qui figure au §5.6, on conclut que (9,^(^)) (resp. (9,