D IAGRAMMES

F. C URY
La suffisante complétude connexe. Section A : amphi-syntaxes,
amphi-algèbres et sesqui-algèbres
Diagrammes, tome 30 (1993), exp. no 1, p. 1-122
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DIAGRAMMES

VOLUME 3 0 ,

1993

LA SUFFISANTE COMPLETUDE CONNEXE
SECTION A :
AMPHI-SYNTAXES. AMPHI-ALGEBRES ET SESQUI-ALGEBRES

F. CURY

Introduction
Le présent texte est le premier ("Section A") d'une
série de trois ("Section A", "Section B" - à paraître en
CS.C.C.B.1 - et "Section C" - à paraître en CS.C.C.C.3)
consacrés à l'étude générale (d'un point de vue catégorique) de la propriété de "suffisante complétude connexe" :
une théorie essentiellement algébrique possède cette propriété lorsque ses algèbres libres sont (très concrètement)
constituées des composantes connexes (par ré-écriture) des
algèbres libres d'une "théorie essentiellement à réécritures" ou "essentiellement relationnelle (par relation
de ré-écriture)", i.e. où les équations sont remplacées par

A. M . S.

Sub.

Close.

: 18 C ÎO , 18 D 05 , 18 A ÎO

Section A

-

Introduction

des règles de ré-écriture (on pourra trouver le traitement
complet d'un cas particulier non classique - celui de la
théorie essentiellement algébrique des catégories localement cartésiennes — en CE.S.C.C.3).
Il nous a fallu, tout d'abord, préciser ce que l'on
entendait par "théorie essentiellement algébrique". A la
conception usuellement désignée par cette terminologie,
nous avons préféré adopter (en l'adaptant) celle des syntaxes d9 algèbres de CT.A.E.P.l.
Si
A
est une catégorie localement petite, une sur—
catégorie C de A
est une syntaxe qui décrit des structures d*algèbres
: l'objet A de A est doté d'une telle
structure

&

lorsque l'opération

HomA<-,A>

: A

globale
op

canonique

z

> Ens

admet un prolongement :
S : Cop

• Ens

(i.e. lorsque les diverses opérations canoniques - par
composition - des flèches x : X
• X'
de A
sur les
ensembles
Hom.<X',A)
peuvent Être complétées par des
opérations des autres flèches de C ) .
C'est là le point de vue, maintenant fort classique, initié
en CA.O.F.S.3, où les algèbres
d'une monade
M
sur
A
sont justement interprétées comme autant d'algèbres, au
sens précédent, de la syntaxe sur
A
que constitue la
catégorie de Kleisli & M = C de la monade 11 .
Plus généralement, une syntaxe sur
A peut seulement être
constituée d'une sur-catégorie Œ> d'une sous-catégorie (B
de A . Plus pratiquement encore, DB et D peuvent n'être
que

des présentations

composition,

de

catégories,

i.e.

des

graphes

à.

c'est-à-dire des graphes munis d'une composi-

B*ction A -

Zntro.

-

P^g*

2

Section A

-

Introduction

tion (partielle) de certains couples (seulement) de flèches
consécutives et munis d'identités en certains (seulement)
de leurs objets. C'est (au remplacement des "graphes multiplicatifs" par les "graphes à composition" près) le point
de vue de CT.A.E.P.3 (repris en CA.M.E.N.D).
Par exemple, à une théorie universelle-équationnelle unisorte
T , on sait associer une théorie
de Lawvere, i.e.
une certaine catégorie (D_ à sommes finies nD (quand n
parcourt
IN ) d'un m@me objet
D
(voir CF.S.A.T. 3). On
peut voir Œ>- comme une sur-catégorie de la sous-catégorie
pleine IB_ ~ - de Ens
dont les objets sont les entiers
n
(quand n parcourt IN ) . De la sorte, les algèbres de
Œ>_ sont exactement les algèbres (ou modèles) de T et, si
l'ensemble
A
est muni d'une telle structure d'algèbre
& , on voit que :
- pour tout entier

n , on a s
Hon^Ens(n,A) £ An

et, par conséquent, les objets nD de D>T représentent
(syntaxiquement) les n-uples d'éléments, i.e. diverses
configurations
(simples) d'éléments,
- pour toute flèche
tion :

b : m

• n

Hom E n s (b,A) S Ab : An
est une projection
B_n/_
représentent
comparaisons

naturelles

de

^-,^- * l'applica• A™

et, par conséquent, les flèches de
(syntaxiquement et par dualité) les
entre configurations,

- pour toute autre flèche d : m
• n de Œ>- , l'application #<d) : An
• A m est une loi de composition (précisément, au sens classique des termes : un m-uplet de lois
de composition n-aires) si bien que les flèches de
Œ>T ,

S e c t i o n A - Zntro.

- pog* 3

Section A

-

Introduction

B
autres que celles de
-,n,- » représentent
ment) les lois de
composition,

(syntaxique-

- dès lors, les égalités entre composées de flèches dans
D>T
(autres que celles entre composées de flèches toutes
dans B-,n,- * représentent évidemment les équations
de
T
(ou celles qu'on en déduit).
De m@me, si

« Grph est la catégorie des graphes petits,
on peut y sélectionner un sous-graphe à composition
(Bcai
puis en construire un sur—graphe à composition
Œ>cat
tel
que ses algèbres soient exactement les catégories petites.
Essentiellement, B cat
a pour flèches les foncteurs injections représentés ci-dessous (où les flèches "non atteintes" sont dessinées en pointillés - sauf dans B^ ) :

S e c t i o n A - Intro.

- page 4

Section A

-

Introduction

Khg

Khd

B,

Kbg

Kbd

B,

. 1>

•

«-b
•

>

B9

i H,::

H--

B9
B.

et,

dans

ED,
cat » on f a i t

IJ
-• Bi , I»
respectivement de :

B«
f i g u r e r des i n v e r s e s à gauche

B„

•* Bg

et

Is

Be

•*

B,

• B 4 et
=u
*s
B,
Ba
Bs
+ %
+ »2
(si bien que, même si IB,cat était une catégorie, il est de
toute manière plus économique de se contenter d'un graphe a
composition pour IDcat , plutôt que d'utiliser la catégorie
qu* i1 engendre).
Ainsi, de nouveau, on voit que :

- les objets de Œ>cat représentent (syntaxiquement) différentes sortes
de configurations
graphiques
(non nécessaire-

s e c t i o n A - Intro.

- page 5

Section A

-

Introduction

ment "simples", i.e. constituées de graphes discrets),
- les flèches de B c a i représentent (syntaxiquement et par
dualité) des comparaisons
entre ces sortes,
- l e s flèches de

Œ>cat , autres que celles de

présentent différentes lois
de composition,
toute structure de catégorie (par exemple :
I£ représente la loi seloc tion des
Ig représente la loi composition
des
de flèches
consécutives,
I5 représente la loi composition
des
de flèches
consécutives),

IB,cat

reinhérentes à
9

identités,
couples
triplets

- l e s égalités entre composées de flèches dans D>cat
(autres que celles entre composées de flèches toutes dans
IBcat ) représentent les équations (ou axiomes) de structure
(par exemple, les commutations des diagrammes suivants de
Œ>,
cat
K hd

B„

•> B e

li

14
B3

-> ¢6

•*

Bg

->

^8

lé
B„

K,bd

I»

i.

•* B e

•* B ,

Ii
indiquent que la loi I, est déduite, "par itération", de
la loi 14 , i.e. que la composition des couples de flèches

S «et ion A - Intro. - pog. 6

Section A

Introduction

consécutives est effectivement associative dans toute algèbre, i.e. dans toute catégorie ! ) .
Le §1 est consacré aux rappels théoriques et formels nécessaires concernant les graphes à composition et le §2 à ceux
concernant les syntaxes et leurs algèbres. Nous y rappelons
notamment sous quelles conditions (simples) tout objet de
A engendre une algèbre libre.
Le point de vue que nous avons adopté (pour cette
raison) permet de voir immédiatement quel type de structure
"catégorique" il suffit d'introduire pour formaliser ce que
sont les "théories essentiellement à ré-écritures".
A la place de diagrammes commutatifs
(par exemple) le suivant :

(dans

Œ> ) tels que

(correspondant à l'axiome universel-équationnel :
V x

d 2 -d ± (x) = d£.d;<x>

)

il faut pouvoir disposer de diagrammes tels que (par exemple) le suivant :

D'

(correspondant à l'axiome universel-relationnel
V x

d 2 .d ± <x) -> d£.d;<x)

S e c t i o n A - Intro.

- page 7

Section A

-

Introduction

qu'on écrira, désormais ... avec une "2-flèche":
Vx
d 2 -d 1 <x) —•d^-dJCx)
)
Autrement dit :
(a) même si on ne souhaite utiliser que de la "pure réécriture" (et pas de la "ré-écriture modulo des équations")
il faut tout de m@me pouvoir composer (ne serait-ce que
"librement") certaines 1-flèches consécutives, donc encore
disposer d'un graphe à composition (et pas seulement d'un
graphe) sous-jacent,
(b) il faut disposer de 2-f lèches (de ré-écriture) et
pouvoir éventuellement
les composer "verticalement" (du
moins en se fiant aux sens adoptés dans le diagramme précédent), si on souhaite les doter d'une certaine structure
(par exemple, en écrivant
<$i*<$i = ^2^2
s'il est nécessaire
de
préciser
que
"l'exécution
successive"
de
6t : d 2 d ± -+ d£-d;
et
ô'± : d£d; -» d£d;'
"revient au
même" - ne serait-ce qu'en temps - que l'exécution successive de <52 : d 2 d ± -+ d;d£ et 6'z : d;d£ -+ d£di' ),
(c) la ré-écriture étant conçue comme une congruence, il
faut pouvoir composer "horizontalement" (en se fiant aux
sens adoptés dans le diagramme précédent) certaines 1flèches avec certaines 2-flèches, ou certaines 2-flèches
avec certaines 1-flèches, car si :
S

V x

d2.d1<x> — ^ d£.dj<x> ,

on souhaite en déduire :
d-6
Vx
d.<d 2 .d ± ><x> — - » d < d £ . d J X x >
(si d < d 2 d 1 ) et d.<d£dj> sont définis)
et

S e c t i o n A - Intro.

- page 8

Section A

Vy
(si

-

Introduction

6.d'
<d 2 .d t > .d'<y> — > <d£.dj> . d'<y)

<d2.d±).d'

et (dj.d;).d'

sont définis),

(d) il n'est pas nécessaire de savoir, a priori, composer
"horizontalement" entre elles les 2-flèches, car si :
6±
6Z
d t - + d; , d 2 - + Û*Z ,
et s i

:
d2d1

alors,

et

on déduit de (c)

d2-d^

sont d é f i n i s

que :

d26t

&

z-d%

d2.dt

e t / o u que :

autrement dit, que d£-dj
et d2.dt
sont connectés (de
deux manières) par ré-écriture, ce qui est suffisant pour
ce que nous avons en vue (et, de toute façon, si on veut
comparer ces deux manières, par exemple dire qu'elles sont
"égales", il suffit d'utiliser la composition verticale des
deux flèches, ce qui permet de définir a posteriori la
composition horizontale <52-6t
"manquant", en posant - et
en imposant :
62.61 = <62-di>*<d2.61) = (di.61)*(62-d1)

).

Il se trouve qu'on dispose d'une théorie générale des graphes à. composition enrichis
(étendant la théorie des catégories enrichies) par une quelconque catégorie monoïdale,
symétrique, fermée (voir CG.M.E.N. 3). Au §3, il nous suffit
donc de doter la catégorie GrComp
des petits graphes à
composition d'une (parmi beaucoup d'autres) structure monoïdale, symétrique et fermée convenable
GrComp
pour
disposer automatiquement de graphes à composition enrichis
(et, en particulier, de catégories enrichies), appelés

S e c t i o n A - Intro.

- page

9

Section A

-

Introduction

amphi-graphes <± composition
(ou amphi-catégories 2, obéissant exactement aux contraintes précédentes (on pourrait,
d'ailleurs, enrichir les graphes à composition par des
graphes à composition munis d'une structure supplémentaire
- par exemple ... des amphi-graphes à composition - si on
désirait préciser plus encore la structure des ré-écritures
- par exemple, en les comparant grâce à des "3-flèches" :
nous avons rédigé les choses, de manière "générique", dans
cette optique, sans pour autant entrer dans cette plus
grande - et plus lourde - généralité).
Dès lors, une "théorie essentiellement à ré-écritures" est
une amphi-syntaxe,

i.e. un sur-amphi-graphe à composition

ïï> d'un sous-amphi-graphe à composition
catégorie
muni

A î Alors, si

d'une

l'opération

structure
globale

A

d*amphi-algèbre

lorsque

*

(restriction à

interne à GrComp ) :
A<-,A) |B o P : B ° p

i.e.

d'une amphi-

est un objet de A , il est

canonique

admet un prolongement

B

lorsque
B

du "Hom

> GrComp

:

$• : D o p

• GrComp

les diverses

opérations

canoniques

- par

composition - des 1-flèches
x :X
> X'
et des 2flèches
H z x
,» x' : X
> X'
de B
sur les 1flèches a s X'
> A de A peuvent Être complétées par
des opérations des autres 1-flèches et 2-flèches de D sur
ces 1-flèches de A , ainsi
tions
B

- par composition
sur

peuvent

les

être

2-f lèches

complétées

que lorsque

les diverses

- des 1-f lèches

> X' de

x : X

a : a

> a' : X'

par

des opérations

opéra-

> A

des

de

A

autres

1-f lèches de D . Cependant, du seul point de vue de la
connexité par ré-écriture (i.e. par 2-flèches), il n'est
même pas nécessaire de savoir faire opérer les 1-flèches de

S e c t i o n A - Intro.

- page ÎO

Section A

-

Introduction

D
sur ces 2-f lèches s il suffit donc de considérer des
amphi-algèbres partielles
de ce genre, appelées
sesquialgèbres.

Nous consacrons le §4 à l'étude de ces amphi-syntaxes, de
leurs sesqui-algèbres (mais aussi de leurs amphi-algèbres,
pour ©tre complet). En particulier, nous établissons que,
sous-certaines conditions de co-représentaJbi
li té (dans un
sens analogue à celui utilisé pour les 2-catégorJI es) de
1'amphi-catégorie A , ces sesqui-algèbres (et les amphialgèbres) sont des algèbres (non enrichies) de syntaxes
(non enrichies) associées, d'où on déduit l'existence automatique de sesqui-algèbres (et d'amphi-algèbres) libres.
La Section B (voir ES.C.C.B.3) est consacrée au problème de la suffisante complétude connexe proprement dit :
sous-quelles conditions une amphi-syntaxe
D'
peut-elle
Être considérée comme assouplissant
une syntaxe
Œ> , de
sorte que les algèbres libres de cette dernière soient les
algèbres des composantes connexes (par 2-flèches) des
sesqui-algèbres libres de la première ?
On trouvera de nombreux exemples (assez détaillés)
dans la Section C (voir ES.C.C.C.3), ainsi qu'une présentation - à la lumière de la théorie générale développée ici
et dans la Section B - du traitement explicite du cas de la
théorie essentiellemeent algébrique des catégories localement cartésiennes, effectué en C E . S . C C D (et qui est à
l'origine du présent travail).

S e c t i o n A - Intro.

- page 11

1.

Ensembles et graphes * composition

1.1.

Ensembles

Dans toute la suite, nous nous plaçons dans un modèle
de la théorie des ensembles et classes de Bernays-GôdelVon Neumann. Naïvement, il suffit ici d'avoir à l'esprit la
distinction entre "gros ensemble", i.e. classe,
et "petite
classe", i.e. ensemble. Ainsi, on dit d'une structure (de
catégorie, ou de graphe à composition, par exemple) qu'elle
est petite
si toutes ses classes constituantes sont petites, i.e. sont des ensembles, et on dit qu'elle est
seulement localement
petite
si seulement "certaines" (à
préciser) de ses classes constituantes sont petites.
On note évidemment

Ens

la catégorie des ensembles.

On sait qu'elle est munie d'une structure cartésienne fer—
mée qu'on désigne (sans plus de précision*1*) par :
Ens = (Ens,-x-,l,
,Ens<-,->) = (Ens,-x-,l,
,Ens<-,->)
(où, pour Çtre systématique, nous notons indifféremment :
Ens<-,-> = Ens<-,-> : Ens o p x Ens
> Ens
le foncteur "exponentiation" usuel, i.e. la fermeture).

Dans
la
notation
Ens = (Ens, -X- , 1 , . . . ,Ens( - , -) )
"• . ."
font
allusion
aux
isomorphismes
(canoniques)
ciativité :
ass-.
= a s s : < - x - ) x - ssss> - x < - x - ) ,
d'unitarités (d gauche et d droite) :

gche_.

_ = gche :

drte_-

= drte

Ens,-

:

l x - *••*> - ,
-xl

sss* -

^ ^

et de symétrie :
Sym

Ens,-t,

= sym :

S e c t i o n A - §1.

- i X - , •••+ - 2 x - 1

- page 1

.

,
les
d'asso-

Section

A

-

§1.

Ensembles

et

graphes

Naturellement en tous les objets
dispose donc de la bijection :
curry,-

c

-,

b., b.

de

Ens , on

> Ens<E,Ens<E' ,E"> )

, fc.

( n o t é e , p l u s simplement
curry- „

composition

E , E' , E"

_ „ : Ens<ExE' ,E">

E.nS,EL,CL

d

:

.-„ : Ens<ExE' ,E">

> Ens<E,Ens<E' ,E"> )

,

, fc.

ou e n c o r e , s ' i l

n ' y a pas a m b i g u ï t é

c u r r y : Ens<ExE' ,E">

:

> Ens<E,Ens<E' ,E"> >

telle que, pour toute application :
f : ExE'
> E"
<x,x') I > f<x,x')
on a :
curry(f) : E
> Ens<E',E">
x i • ( curry<f)<x) : E'
x' i

)

,

> E"
> f<x,x'>

)

1.2. Graphes à composition'2*
(3>

Introduisons la notion de graphe à composition
Définition 1 : On dit que :

Œ> = (Ob,ObId,Fl,CComp,dom,codom,selid,comp)
est un graphe

{partiellement)

a composition

si et seulement

si :

(2)
On
trouvera
des
S e c t i o n C, § e . 1 ( i . e . e n

exemples
de
CS.CC.C3>.

graphes

d

composvUon

en

O)

Les
graphes
d
composition
sont
évidemment
des
"systèmes
de
générateurs
et
relations"
pour
les
catégories.
On
reprend
donc
ici
l'idée
initiale
des
"graphes
multiplicatifs"
introduits
par
C. E h r e s m a n n
en
CCA.S.T.3.
Formellement,
un
graphe
multiplicatif
est
un
graphe
d
composition
où
tout
objet est d identité.

Section

A -

§1.

-

page

2

Section A

-

§1.

Ensembles e t graphes d composition

- Ob
(notée encore
Ob(D>) s'il y a risque d'ambiguïté)
est une classe, dite classe des objets de Œ> ,
- Obld

(notée encore

Ob , dite classe

des

OblddD) ) est une sous-classe de

objets

note in job: Obld —> Ob
l'injection canonique),
- FI

(notée encore

des

de

flèches

- CComp

d

identité

ou encore

de

Œ>

(alors, on

injob^ :0bld (Œ>) —» Ob(Q>)

FI (Œ>) ) est une classe, dite

classe

Œ> ,

(notée encore

FI x FI , dite classe

CComp(ID) ) est une sous-classe de

des

couples

de flèches

composables

de

Œ>
(alors, on note
inj : CComp —» FI x FI
ou encore
injjk : CComp (Œ>) —> FI (Œ>) x FI (Œ>) l'injection canonique),
- dom : FI —> Ob
tion, dite sélection

(notée encore domrr> * e s ^
des
domaines,

une

applica-

- codom : FI —> Ob
(notée encore codonu. ) est une application, dite sélection
des
codomaines,
- selid : Obld —• FI
application,

dite

objets

identité),

d

(notée

sélection

encore

des

selid^ )

identités

est

{associées

une
aux

- comp : CComp —> FI (notée encore comp^ ) est une application, dite composition
des
{couples
composables
de)
flèches,

- pour tout objet à identité

D e Obld , on a :

dom(selidCD)) = D = codom( selid(D) ) ,
-

pour t o u t c o u p l e composable

( d 2 , d 1 ) «E CComp , on a :

dom(d2> = codom(d 1 )
et
-

,

dom(comp(d 2 ,d 1 )>

= dom(d 1 )

codom(comp(d 2 ,d i )>

= codom(d 2 >

,

D t e Obld

et

:
pour

tout

objet

à

identité

S e c t i o n A - §1.

- page 3

pour

toute

Section A

flèche

-

§1.

d e FI

(d,selid(D1) )

Ensembles et graphes d composition

telle

que

dom( d) = Dt ,

le

couple

est un couple composable, dit trivial,

et on

a :
comp(d,selid(D1) ) = d ,
- pour tout objet à identité
D 2 e Obld
et pour toute
flèche
d € FI
telle que
codom(d) = D 2 , le couple
< sel id< D 2 ), d) est un couple composable, dit trivial,
et on
a :
comp(selid(D2) ,d) = d .
Pour un tel graphe à composition
Q> , on utilise aussi,
selon les circonstances, les notations suivantes (bien
entendu analogues à celles usuellement utilisées pour les
catégories) :
- pour

tout

objet

à

identité

D e Obld ,

on

note

(d2,d1) e CComp , on

note

d : D±

si

selid(D) = id<D) = i d ^ D ) ,
- pour tout

couple composable

comp(d2,d1) = d2. d± = d2 -^ d± ,
- pour toute flèche
et seulement si

d € FI , on note

dom(d) = Dt

et

> D2

codom(d) = D 2 ,

- pour
tous
objets
Dt , D2 e Ob , on
désigne
par
Honu>(D1,D2) = ID(D1,D2> = Hom(D1,D2)
la classe des flèches
de U> ayant D± pour domaine et D 2 pour codomaine.
On dit (comme pour une catégorie ) qu'un graphe à composition Œ> est localement petit
si et seulement si, pour
tous objets
D± , D 2 <= Ob(D>) , la classe
D(D1,D2)
est

On
prendra
garde
au
fait
que
la
catégorie
engendrée
par
un
graphe
d
composition
localement
petit
n'est
pas
nécessairement localement p e t i t e .

S e c t i o n A - §1.

- page 4

Section A

-

§1.

Ensembles e t graphes d composition

petite,
i.e. est un ensemble. S'il en est ainsi, il nous
arrivera d'utiliser également les notations suivantes (en
faisant ainsi référence implicite au fait qu'un graphe à
composition localement petit est un "graphe à composition
enrichi par la catégorie cartésienne fermée Ens ", en un
sens que la lecture du §3 permettrait de formaliser complètement) :
- si

D € Obld(ID) , on notera :
selid^iD)
: 1 = <0>
(ou plus simplement :
selidO»
: 1 = <0>

l'application

telle

que

p o u r r a même i d e n t i f i e r

> Œ><D,D)
> B>(D,D) )

selicL^CD) ( 0 )

l'application

= id-^D)

(et

selicL.<D>

ment

id^CD)

- si

D t , D2 , D3 e 0b(Œ>) , on p o s e r a :

à

on

l'élé-

),

Œ) / "<D 1 ,D 2 ,D 9 ) = ( Œ><D2,D3) x Œ)<D1,D2) ) n CComp(Œ))

,

on n o t e r a :
: [D / , <D 1 ,D 2 ,D 3 )

inJïï>CD±,D2,D3>

(ou p l u s simplement
injiD±,Dz,D3'>

> Œ><D2,D3> x Œ><D±,D2)

:

: ÏÏ>''CD± , D 2 ,D 3 >

>Œ)<D 2 ,D 3 >

xD(D1?D2)

)

l'injection canonique et on désignera par :
corap Œ> <D 1 ,D 2 ,D 3 )
(ou p l u s simplement

- s i
de

(i.e.

si

: Œ>""<D1,D2,D3)

> Œ><D1,D3)

comp-. : CComp <Œ>)

D t , D2 e 0b((D)
(D

» D<D ± ,D 3 )

:

compiD±,D2,D3)
l a r e s t r i c t i o n de

: \D''CD±,DZ,D3)

,

si

> F I (Œ>) ,
> D2

est

une

flèche

d e ÏÏ>(D±nDz'> ) , on n o t e r a :

s e i e c f c ^ ^ ? D <d>
(ou p l u s simplement
sélect1 = <0>

d : Dt

)

: 1 = {0>

• ŒXD^D^

:
<d) = selec t~.Cd)

= sélect (d)

±

-^—^

> ID<D1 , D 2 )

l'application :

S e c t i o n A - §1.

- page 5

)

Section A

-

§1.

Ensembles et graphes d composition

sel ct

* u>,D±,Dzid>

CUrry

D < D ± , 0,),1,1)(0,, D,) ( d r t , B b<D l f D k > ) ( d >
> U>iD±,Dz)

1

c'est-à-dire l'application telle que
select~<d) (0) = d
(et
on
pourra
m@me
identifier
l'application
select^Cd)
: 1
> D>(Di9D^> et selecfc^Cd) <0> = d ) .
On dit qu'un graphe à composition Œ> est petit
si et seulement si les classes Ob et FI (et donc aussi Obld et
CComp ) sont petites, i.e. sont des ensembles.
On dira qu'un graphe à composition
ID est identitaire
si
et seulement si Obld = Ob , i.e. si tout objet de Œ> est
un objet à identité
Enfin, si ID est un graphe à composition et si n > 1 est
un
entier,
on dit (bien
entendu)
qu'une
famille
c = (d1,...,dn) de flèches de Œ> est un ctemin
Cde
longueur
n y de ID si et seulement si :
- pour tout entier

1 < k < n-1 , on a :
codom(dk) = dom<dk+1) ,

alors, on dit encore que c est de domaine
codomaine
codom(dn) et on note

Ainsi,
les
graphes
multiplicatifs
de
exactement les graphes d composition identitaires.

dom(dt)

CC.A.S.T. ]

et de

sont

(6)
Nous
laissons
au
lecteur
le
soin
d'établir
que
les
chemins
de
ID ,
de
longueur > 1 ,
sont
les
flèches
d'un
graphe
d composition
C h (Œ> )
ayant
mêmes objets q u e
\D
et
où
la
composition
est
la
concaténation.
Si,
pour
tout
objet
D
de
ID , o n a j o u t e u n c h e m i n r e l i a n t
D
à
0
e t conventionnellement
considéré
comme
étant
"de
longueur
nulle",
on
complète
Ch (ID )
e n un graphe d composition identitaire.

Section

A - § 1 . - page

6

Section A

-

§1.

Ensembles et graphes d composition

c : dom<d 1 ) —•—> codom(d n ) ,
dom(c) = dom(d 1 ) ,
codom(c) = codom(d n ) .
La définition des fondeurs,
entre graphes à composition,

i.e. des homomorphismes,
s'obtient

assez

automatique-

ment. Enonçons-la, cependant, par souci de précision.
Définition 2 : Si
tion,

on

foncteur

ID

dit

que

ID

vers

de

et

Œ>'

sont deux graphes à composi-

F = (F o b ,F F l ,F o b I d ,F C C o T n p )
Q>'

et on note

F : CD

est
> Œ>'

un

si et

seulement si :
- F o b : Ob(ID)

> Ob(Œ>'>

une restriction

F o b I d : Obld(D)

- F Fl : FKID)

> FI (ID' )

plication

est

est

une

application

> Obld(lD') ,
une

application

- pour toute flèche

et

l'ap-

> FI (Œ># ) x FI (D' )

F Fl x F Fl : Fl(ID) x FI (ID)

admet une restriction

admettant

F CCoTnp : CComp (ID)

> CComp <Œ>') ,

d e FI (Œ>) , on a :

F o b <dom b <d)>

= dom^, <FFL<d>>

et :
F o b < codoiî^C d) )

-

pour t o u t o b j e t à i d e n t i t é
^Fidd^CD))

-

= c o d o n ^ , < F FL < d) )

pour

tout

,

D e Obld(DD) , on a :

= id^CFo^CD))

c o u p l e composable

(d2,dt)

,

e CComp (ID)

F FL < c o m p t e d 2 , d t > > = comp^, < F CCOTnp < d 2 , d±> >
c'est-à-dire

(bien entendu)
f>l<d2

Pour

un

tel

•„> d±>

foncteur

on a

:

,

:

= FFl<d2>

(entre

.„>.

graphes

utilise aussi, selon les circonstances,
vantes

,

F^Cd,)

à

.

composition),

on

les notations sui-

(bien entendu analogues à celles usuellement utili-

S e c t i o n A - §1.

- page 7

Section A

-

§1.

Ensembles et graphes d composition

s é e s pour l e s f o n c t e u r s e n t r e c a t é g o r i e s ) :
- pour tout objet

0 e Ob(ID) , on n o t e

- pour toute f l è c h e

d €= FI (iï>) , on note

F o b < D ) = F<D) ,
F F L ( d ) = F(d) .

De p l u s , si F : D
> Œ>' est un foncteur e n t r e g r a p h e s à
composition localement p e t i t s , il n o u s a r r i v e r a d'utiliser
également
les notations
suivantes
(en faisant
ainsi
r é f é r e n c e implicite a u fait qu'un foncteur e n t r e g r a p h e s à
composition localement p e t i t s est un "foncteur enrichi par
la catégorie c a r t é s i e n n e f e r m é e E n s ", en un s e n s q u e la
l e c t u r e du § 3 p e r m e t t r a i t d e formaliser c o m p l è t e m e n t ) :
-si

D t , D 2 <= Ob(ID) , on n o t e r a :
r-(D1,D2> : (D<D ft ,Dp

> ID' < F< Dt> ,F< D2> )

ou :
> Œ>' <F< Dt> ,F< D2> )
> FI (ID' ) ,

C F J K D ^ D p : Œ><D 15 D 2 >
la r e s t r i c t i o n d e F F l : FI (ID)
-si

D ± , D 2 , D 3 € Ob(ID) , o n n o t e r a :

r'CD±,Dz,D3>
: Œ)''(D 1 ,D 2 ,D 3 )
> Œ>' / < F < D 1 ) ,F<D 2 ) ,F< D 3 ) )
ou :
CFy<T>±,Dz,D3)
: iï>'''< D 1 , D 2 , D3>
> ID' ''<F< D t ) ,F( D2> ,F< D 3 ) )
la restriction d e F C C o T n p : CComp (Œ>)
» CComp (Œ)' ) .
Enfin, on n o t e G r C o m p
la c a t é g o r i e dont l e s o b j e t s sont
les petits g r a p h e s à composition et dont l e s f l è c h e s sont
l e s foncteurs.
Bien entendu, u n e c a t é g o r i e A
s ' i d e n t i f i e à un g r a p h e à composition (encore n o t é ) A tel q u e :
- Obld(A) = Ob(A) ,
- CComp (A) = { ( a 2 , a 1 ) e F l ( A ) x FI (A) / d o m ( a 2 )=codom(a 1 ) >,
- l a composition est a s s o c i a t i v e .

S e c t i o n A - §1.

- page 8

Section

ou e n c o r e t e l

A

-

§1.

Ensembles

graphes

O b l d ( A ) = Ob(A)

-

pour t o u s o b j e t s

composition

,
P^ , P^ , Ag e Ob(A)

*'""<Aif^»^>
pour t o u s o b j e t s

, on a :

= A<A 2 ,A 3 > x ACA^A,)

A1 , fi^ , A3 e Ob(A)

Ens ) c i - d e s s o u s e s t commutâtif

l e diagramme

A<A

1 * 2 '

2 * 3

,

,

,A^>
>

i d ( A ( A ,A ) )
3

(de

:

A(A ,A ) x %( A ( A , A ) x A ( A ,A ) )
3 ' *

d

que :

-

-

et

x compifk

x A ( A ,A )
•

,A ,A )

4

1

2

3

compi A , A

,A )

A<A±,A4>

ass

cowip( A , A
r

cowtp(A , A
( A ( A 3 , A 4 > x A ( A 2 ,-A 3 >- )

De l a même m a n i è r e ,

,A > x

1 *

id(A(A

x A ( A i >, A
" >
'

,A

,A >
2 *

4

))

*<%**.>

2

on l a i s s e au l e c t e u r

x

A<A±,A2>

l e s o i n de

procé-

der aux i d e n t i f i c a t i o n s qui s ' i m p o s e n t c o n c e r n a n t l e s

fonc-

teurs entre

catégories.

Enfin,

ID

si

e s t un graphe à c o m p o s i t i o n ,

si

A

catégorie

(par conséquent,

un g r a p h e à c o m p o s i t i o n

lier),

si

F t , F 2 : Œ)

> A

sont

facile

de

définir

pure

analogie

(par

Section

A -

§1.

-

deux f o n c t e u r s ,

page

9

avec

le

est

une

particuil

est

cas

des

Section A

-

§1.

Ensembles et graphes d composition

catégories, i.e. quand
ID
qu'est une transformation
_

vers

naturelle

<7>

F2

(7)

Il
est
moins
facile
de
définir
ce
qu'est
une
telle
transformation
encore
naturelle
N : F± 3ssas> F 2 ,
lorsque
A
n'est
plus
nécessairement
une
catégorie
mais
seulement
un
graphe
d
composition
(voir
CP.T.G.M.D).
En revanche,
on
définit
facilement
ce
qu'est
une
transformation
"non
naturelle"
T : F± Bsas> F 2 , y
compris
lorsque
A
n'est
qu'un
graphe
d
composition
(voir
le
§3
où
ceci
est
utilisé
pour
doter
GrComp
d'une
structure
monoïdale
symétrique
fermée
particulière).

S e c t i o n A - §1.

- page ÎO

2.

Syntaxes et algèbres

2.1. Syntaxr <1}
Introduisons la notion de syntaxe (d'algèbres), par
une simple traduction - au cas des graphes à composition
(au lieu de celui des "graphes multiplicatifs") - de celle
introduite en ET.A.E.P.1 s
Définition 1 : On dit que £> = (A,J,B,K,Œ>) est une syntaxe
{d*algèbres)
sur
A si et seulement si :
- A

est une catégorie,

- OB et

Œ> sont des graphes à composition,

- J : IB

>A

est un foncteur injectif,

- K : B

• ID est un foncteur bijectif sur les objets.

Dans toute la suite, on pourra considérer (pour simplifier
ne serait-ce que les représentations graphiques) que
J s B
•A
est une injection canonique
et que la restriction de
K
aux objets est une (bijection
canonique
i.e. une) application identité. Ainsi, on pourra poser :
- J<b) = b

pour toute flèche

- J<B> = B

et

K(B) = B

b

de

B ,

pour tout objet

B

et on pourra représenter tout objet D de
objet B de B tel que D = K(B> = B .

de

B ,

(D par l'unique

<i>

On

(i.e.

trouvera

en

des

exemples

de

syntaxes

ES.C.C.C.]).

Section A - §2.

- page 1

en

S e c t i o n C,

§6. 2

Section A

-

§2.

S y n t a x e s et a l g è b r e s

Dans ces conditions, on pourra visualiser les données attachées à une telle syntaxe 2> comme suit :

(celles des flèches de

ID

qui "n'appartiennent pas à"

- i.e. qui ne sont pas dans l'image de

K

B

— étant repré-

sentées en pointillé cAr vues comme "formellement rajoutées
à"

B ).

On dira qu'une syntaxe
35 = (A,J,B,K,(D)
est
petite
(resp. localement petite)
si et seulement si A est localement petite et si B et (D sont des graphes à composition petits (resp. localement petits). Dans ces conditions,
<2>

il est trivial de constater
que
2> = (A,J,B,K,Œ>)
une syntaxe localement petite si et seulement si :
- A est une catégorie localement petite,
- B

et

ID

sont des graphes à composition

est

localement

<2>
Nous
prions
le
lecteur
de
bien
vouloir
excuser
ce
passage
qui
peut
paraître
particulièrement
pédant.
Mais,
cette
manière
de
présenter
les
choses
prendra
tout
son
intérêt
lorsqu'il s'agira d'enrichir - au § 4 - l e s s y n t a x e s .

Section

A -

§2.

-

P<*g* 2

Section A

-

§2.

S y n t a x e s et

algèbres

petits,
- J : B

> A

est un foncteur injectif sur les objets,

- pour
tous
objets
B± , B^ € Ob(B) ,
l'application
J<B1,B2) s B<B1,B2)
> A(J<B±) ,J(B2>> est injective,
- K s B

• ID est un foncteur bijectif sur les objets.

Si
a
est un ordinal régulier et si
A
petite, on dira que 2> est de rang
< a
seulement si :
- pour tout objet
B e Ob(B) ,
J<B)
présentable (voir CL.P.L.6.1) de A .

est localement
{sur
A ) si et

est

un objet

a-

Les homomorphismes entre syntaxes sont définis comme
suit :
Définition 2 : Si 2>=(A,J,B,K,Œ>) et si JD' =(A' ,J' ,B' ,K' ,Œ>' )
sont deux syntaxes sur les catégories localement petites
respectives A et A' , on dit que X = (F,v,R,Q,H) est un
homomorphisme

de

S> vers

JD' , et on note

X z X>

> 5>' ,

si et seulement si :
- F s A

> A'

est un foncteur,

- R : A'

> A

est un foncteur,

- v : A<-,R<->> _ » A'<F<->,-) : A o p x A'
une équivalence naturelle,
- Q s B

> B'

est un foncteur,

- H : ID

• Œ>'

est un foncteur,

> Ens

- les deux diagrammes ci-dessous sont commutatifs :

Section A - §2.

- page 3

est

Section A

(B

G

-

§2.

Syntaxes

Q

(B

-> B '

-*

B'

K

J'

A

«t a l g è b r e s

K'

ID

-» A '

-» Œ>'
H

est un adjoint à droite de
(en particulier,
R
<3>,
(F,v,R) est une adjonction ')

et

On dira aussi que X
est un homomorphisme sur (l'adjonction) (F,v,R) . Plus particulièrement encore, si A = A' ,
si
F = id(A> = R
et si
v = id<A<-,->) , on dira que
9
X : 3>
> S>
est un homomorphisme sur
A
et on notera
plus simplement :
X = (id<A> ,id<A<-,-)> ,id(A),Q,H) = (Q,H)
Si 3) , 3>9 et Z>" sont trois syntaxes sur les catégories
localement petites respectives
A ,
A' ,
A"
et si
9
9
fle=(F,v,R,Q,H> : S) —> 3> et X = (F' , v' ,R' ,Q' ,H' ) : X>* —> 3>"
sont deux homomorphismes, il est clair que :
ST .ge =

(F' . F , J V @ V , R . R ' ,Q' -Q,H' H)

e s t un homomorphisme,

appelé

où on a successivement

posé<«>

le

<3>

: 2> —> 3>"

composé de

Une
adjonction
telle
que
celle
pourra
aussi
être
notée
<F,i>,R> = < A , F , v , R , A ' >
= <F,R)
précision ou d'ambiguvté acceptable).

notée
dans
(selon
le

X9

avec

<F,V,R>
la
degré
de

X

ici

suite
sur-

Si
7) : F t ssfr F 2 S C
—• C "
est
une
transformation
naturelle et s i
F : C " —• C9*9
(resp.
F : C —> C
> est
un
foncteur,
on
note
F©TJ : F©F ± ••> Fr©F2 5 C
—• C *
(resp.
7)©F S F t o F ••#• F 2 ©F : C —• C " >
la
transformation
naturelle
composée
qui
en
résulte
(et
que
nous
laissons
au
lecteur
le
soin de préciser).
i? = F t - » F 2
3

Section A - § 2 .

- page

é

Section

A

-

W-,R'<->>
v'<F<->,->
et

§2.

Syntaxes

et

= v©(id<A)op
= iX©<F

op

x

algèbres

x R')

,

id<A">>

:
v'Qv

de s o r t e

que

= v'<F<-),->*v<-,R'<->>

,

:

- pour tout objet A e Ob(A) et tout objet A" e Qb(A") ,
le diagramme (de Ens ! ) ci-dessous est commutâtif :
A'<F<A>,R'<A">>
v<A,R'<A")^/

\ u ' <F<A),A")
• A"(F'<F<A)),A")

;A,R<R'<A">>)

<v'©i>XA,A">

Enfin, si
(A,F,i*>,R,A' )
est une adjonction et si
3> = (A,J,B,K,Œ>) est une syntaxe, on dit qu'elle est transportable
par
F si et seulement si F-JD = (A' ,F©J,B,K,Œ>)
est une syntaxe sur
A'
(autrement dit, si le foncteur
F©J : B
> A' est encore injectif). Dans ce cas, il est
clair que
(F,i^,R, id(B) , id(Q» ) : 3>
• F-JD est un homomorphisme.

2.2. Algèbres<5>
La notion de syntaxe (d'algèbres) n'a d'intérêt qu'ac-

sont
deux
transformations
fJtT) S F t se» F a S C
—• C "
composée
qui
en
résulte
(et
que
s o i n de préciser).

naturelles,
on
noU
la
transformation
naturel 1«
nous
laissons
au
lecteur
1«

(5)
On

(i.e.

trouvera

des

exemples

d'algèbre©

en

en E S . C . C C I ) .

Section A - §2.

- page

5

Section

C,

§6. 2

Section A

-

§2.

S y n t a x e s et

algèbres

compagnée d'une notion de sémantique (i.e. d'algèbre) associée. Introduisons-la sous une forme équivalente à celle de
CT.A.E.P.l, mais adaptée au cas des graphes à composition
(au lieu de celui des "graphes multiplicatifs") et plus
appropriée aux développements que nous avons en vue.
Définition 5 : Si 3> = (A,J,B,K,ID) est une syntaxe localement petite sur la catégorie localement petite A , on dit
que <A,$> est une 3)-algèbre si et seulement si :
- A
-

est un objet de

pour t o u s o b j e t s
^<B 1 ,B 2 )

B± , Bz «E Ob(B)

: A<J<B2>,A>

e s t une a p p l i c a t i o n
-

pour t o u t o b j e t

l e diagramme
A<J<B),A)

A ,

(de

(i.e.

de

B

s

> Ens(Œ)<K<B1) , 1 ¾ ¾ ) ) , A ( JiB±) , A) )
une f l è c h e de

B e Ob(B)

de B t e l

Ens
que

!

),

K<B) e ObId(Œ>),

Ens ! ) c i - d e s s o u s e s t commutatif
fr<B,B)

:

> Ens((D<K<B>,K<B>> , A ( J < B ) ,A>)

I
id

Ens(seUd Π> <K<B)> , i d ( A < J<B) , A > ) )

A<J(B),A>

• E n s ( l , A ( J < B ) ,A>)
curry(drteA<J<B)A))

(SelectA,J<B),A

<">

]

- pour tous objets Bt , B^ , 83 e Ob(B) , le diagramme (de
Ens ! ) ci-dessous est commutatif s

Section A - §2.

- page 6

Section A

-

§2.

S y n t a x e s et

algèbres

Ens(Œ><K<B >,K<B >>,A<J<B >,A>) <2

3

Z

Ens(id(Œ><K<B2>,K<Ba))),^<Bi,B2>)
Ens(Œ><K<B ) , K < B )>,Ens(ŒXK<B >,K<B ) ) , A ( J ( B
Z

3

x

2

),A)))
x

curry"

#<B , B )

Ens(OXK<B2),K<Ba))xlD<K<Bi),K<B2)),A<J<Bi),A>)

A<J<B a >,A>

Ens(inj[D<K<Bi),K<B2>,K<Ba)>,id(A<J<Bi),A)))

$ ( 6 ^ Ba>

Ens(Œ>"<K<Bi),K<B2),K<Ba))fA<J<Bi),A>)
Ens(comp{D(K(Bi>,K<B2>,K(Ba>>,id(A(J(Bi),A)))
Ens(ID<K(B > , K < B 9 > > , A ( J ( B ) , A > )
X

-

pour

tous

S

•-

X

objets

B± , ¾ e Ob(B)

Ens ! ) c i - d e s s o u s e s t commutatif

Section A - §2.

,

:

- page 7

le

diagramme

(de

Section A

-

§2.

^<Bi,B2)

Syntaxes et algèbres

•+ Ens(ID<K<B i ),K<B 2 )),A<J<B i ),A>)
Ens(AC<Bi,B2>,id(A<J<Bi),A>))

Ens(B<Bi,B2),A<J<Bi),A>)

A<J<B 2 ),A)

Ens(-7<Bi,B2),id(A<J<Bi),A)))

•* Ens(A<J<B >,J<B >>,A<J<B >,A>)
curry(comp A <J<B 4 ) ,J<B 2 > ,A>)

Pour une telle D-algèbre
x : 3(¾)
d : K<Bt)

(A,S) , si

z

x

B± , ^ e Ob(B), si

• A
est
une flèche de
A
et si
• KtBj) est une flèche de Œ> , alors on note

9(B 1 ,^<x)(d> = x -- d
mant que

x

(A,£)

. Ainsi, les trois axiomes expri-

est une .JD-algèbre se réécrivent

comme

suit :
- pour tout objet

B € Ob(B)

pour toute flèche

x : J<B)
• A de A , on a :
x .^ icfod^B)) = x ,

- pour

tous

objets

Bt , ¾

tel que

, ¾

K<B) e Obld(ID)

€ Ob(B) ,

pour

et

toutes

flèches
dt s K<B±>
• ^¾)
et
d2 s K(Bj)
• K<B3>
composables dans 0> et pour toute flèche x s 3 ( ¾ )
• A
de

A , on a :
* •* < d 2

- pour tous objets
b : B± — • ¾
de B
de

(D di> = < x

e d2>

& di •

B± , Bj € Qb(D) , pour toute flèche
et pour toute flèche x : 3 ( ¾ )
•A

A , on a :
x .^ K(b) = x - & J(b) .

Section A - § 2 .

-

page

Section A

-

§2.

Syr

algèbres

On pourra visualiser cette loi de composition attachée à
une telle 2>-algAbre

<A,&)

comme suit :

ID
d

r

n

B

(B

5\, S*

e d

*

ou,

plus simplement, ainsi

:

r

d

1

B •
x

• B

\ Js*

* dNi

La définition des homomorphismes entre D-algèbres
s'obtient assez automatiquement. Explicitons-la.
Définition 4 z Si JD • (A,J,B,K,Œ>)

est une syntaxe locale-

ment petite sur la catégorie localement petite
<Ai»^i>

et

flèche

a : A^

a>

<fe

(r^y^

A

et si

sont deux D-algèbres, on dit qu'une

—• A2
(Aj,^)

de

A

définit

vers

Section A - $ 2 . -

un S>-homomorpihisme

(^2,^2^

page 9)

,

et

on

note

Section A

a

-

§2.

Syntaxes et algèbres

• <A2,^2> » s i e t seulement si s

: (A 1 ,^ 1 )

- pour tous objets
B 1 , Bj € Ob(IB) . le
Ens ! ) ci-dessous est commutatif :

diagramme

(de

A(J(B 2 ),A i )
J(B2),a)

» i (B 1 ,B
)
* 2
Ens(ŒKK(B i > , K ( B 2 ) ) ,A( J ( B i > , A ± ) )

A(J(B 2 ),A 2 )

Ens(id((D(K(Bi)9K(B2))),A(id(J(Bi)),a))

^ 2 <B ± ,B 2 )
Ens(ŒXK(B±> ,K(B2>) ,A( J(B t ) ,A2>)

On dira plus simplement qu'un tel D-homomorphisme a
est
un homomorphisme
et il nous arrivera même de noter
3>

a = a : <A1,^1)
• (A29&2) . Enfin, compte tenu
des
notations adoptées pour les D-algèbres, l'axiome exprimant
que

a : A^
suit :

• ^

définit un homomorphisme se réécrit

- pour tous objets
d : K(Bt)
> M^)
x s 3(¾)
> A^ de
a

A <x

B± , ¾ e Ob(B) , pour toute
de
D)
et pour toute
A , on a :
*t d >

= <a

A x>

S2 d

flèche
flèche

"

Alors, on note
A
la catégorie (évidemment localement
petite) dont les objets sont les D-algèbres et dont les
flèches sont les JD-homomorphismes. On dispose donc du fonc-

Bection A - § 2 .

- page IO

Section A

teur

-

(évidemment f i d è l e )

§2.

Syntaxes et algèbres

:

l f : A a
(A,S)

>A
l

>A

Etablissons, maintenant, qu'un homomorphisme entre
syntaxes induit un foncteur entre leurs catégories d'algèbres.
Précisément, si S> = (A,J,B,K,ID) et 3>9 = (A' ,J' ,B' ,K' ,Œ>' )
sont deux syntaxes localement petites sur les catégories
localement
petites respectives
A
et
A' , si
9
X = (F,i>,R,Q,H) : S>
• S)
est un homomorphisme (de syntaxes) et si
<A',#')
est une D'-algèbre, alors il est
facile de vérifier que (R( A' > ,Xi&9 ) > est une 2>-algèbre,
où :
- pour

tous objets

d : K(Bt)
x s 11(¾)
x -K(0.y

B± , Bj € Ob(IB) , pour

> ^¾)
de
Œ>
#
> R(A ) , on a :

et

pour

toute

flèche

toute

flèche

d = i^" 1 (J(^,A')(v(J(^,A')(x) -e# H(d))

comme représenté par le diagramme ci-dessous :

Section A - § 2 .

- page 11

,

Section A

-

$2. Syntaxe» et algèbres

"1
I

J<Bi>

•

J(B )
2

X

d

'*<*')
def

v

- i

*<J<Bi),A'Xx">
R<A')
A

A' i

I

H<d)
i

J'<Q<B ft >>

F<J<Bi>)

F<J<B2>)

J'<Q(B_>>
2

x" - x '

.-.

x'

H<d>

«

v(J(B,),fl')(x)
2

A*
De l a s o r t e ,
induit

par

il
X

est

clair

qu'on d i s p o s e d'un

foncteur,

:
9

D*

* : A'""
<A' , * ' )

,3>
<R<A'> , * < $ ' > >
R<a'>*

et que le diagramme

(*) ci-dessous est commutatif
,.»•.

U

,3'

•+ A
(*)

R

Section A - §2. - page 12

S>

U

2>

dit

Section A

-

$2.

Syntaxes et

algèbres

En particulier, si JD = vide (A) est la syntaxe vide sur A
(i.e. la syntaxe pour laquelle B = ID = 0 ), si A' = A et
si X z vide (A)
• S>9 est l'unique homomorphisme sur A
possible, il est trivial de constater que
^vide(A)
s'identifie à
A , puis que
R * : A*'
• A vide (A)
Si'

Si'

s'identifie à IT : A
fie que le diagramme (**)

• A . Précisément, ceci signici-dessous est commutatif :

id(A)

.Si'

\F

-> A

(**)

vide (A)
vide(A)

U

id<A>

A

Bien entendu, il est également facile de vérifier que
"l'induction des foncteurs est fonctorielle", i.e. notamment que, si :
- 2>=<A,J,IB,K,ID>, £>'=(A' ,J' ,IB' ,K' ,Œ>' ) et 5>"=(A", J",IB",K",ID")
sont trois syntaxes localement petites sur les catégories
localement petites respectives A , A' et A" ,
- flP=(F,v,R,Q,H) s 3> -+ Si' etaf' = (F',v',R',Q',H') : Si' -> Si"
sont deux homomorphismes,
alors le diagramme ci-dessous est commutatif :

' *'*'

I
9

X

•2V

(R.R') <Sr -9°

,3>

Pour conclure, on laisse au lecteur le soin de retrouver
immédiatement, à partir de cette dernière commutation, la

Section A

§2.

- page 19

Section A

commutation

(*)

-

$ 2 . Syntaxes et algèbres

(et donc la commutation

(**> ) parti-

culière précédente.

2.3. Algèbres libres et théories engendré
On peut démontrer (voir CA.M.E.N.3) que, moyennant des
hypothèses naturelles "en pratique", un objet d'une catégorie engendre librement une algèbre pour une syntaxe donnée
sur cette catégorie.
Précisément, nous avons :
Proposition 1 : Si
une

catégorie
A , alors

est

localement

3> = (A,J,B,K,Œ>)
sur

a
est

un ordinal
petite
U

«n

Joint

à gauchje

Si
sur

L

si

A

est

co-complète

et

si

petite

z A

• A

:A

>A

et

la syntaxe sur

de rang

< a

admet un ad-

est monadique.

est une syntaxe localement petite

localement

petite

j*cA(JD) = (A,id(A) jAjach^K) jAch^dD))
risque d'ambiguïté,

et

£)

S> = (A,J,B,K,Œ>)

la catégorie

et

une syntaxe

le foncteur

régulier,

A ,

on

note

(ou, s'il n'y a pas

*cA<.2» = (A,id(A) ,A,ach(K) ,Ach(ID) ) )

A , dite syntaxe

achevée

engendrée

par

3) ,

telle que :
- Ach(D»
est la catégorie
<©>
CA.0.F.S.3) du foncteur

image

pleine

(au sens de

si
C
et
C
sont
deux
catégories,
Fonct(C,C)
l a catégorie
dont
l e s objets
teurs de
C
vers
C
e t dont l e s f l è c h e s
formations n a t u r e l l e s entre c e s foncteurs.

on d é s i g n e par
sont
les
foncsont l e s t r a n s -

<6>

Section A - § 2 . - page 14

Section A

-

(asAt - •
-

§2.

CA.0.F.S.1),

•

A i

• A<A,ir°<-))

A2>

i

• A<a,ir°<->>
est

: A

-foncteur

si

•+ ( A 1 , A ( a , l A - ) ) , ¾ )

B t , B-, e Ob((B)

une -Flèche de

ID ,

il

et

est

si

n^Cd)

: A<J< B j ) , 1 / ^ ( - ) )

toute

2>-algèbre

— »

<A,&)

,

de

véri-Fier

qu'on

:

A<J<B t ) , 1 / ^ ( - ) )
la

-Flèche

r e n d commutâti-f l e diagramme c i - d e s s o u s

ô<Bi,B2)

.

d : K<Bt> - * KCBj,)

-Facile

dispose d'une t r a n s f o r m a t i o n n a t u r e l l e
pour

(voir

-> ( A , A < A , L r ° < - ) ) )

<a:A 4 —> A 2 )

si,

associé

•> Ach(ID)

A

est

le

,

i.e.
ach<K)

Clairement,

FonctCA^Ens)0*

A

> Ach<(D>

ach<K)

Syntaxe* et algèbres

,

n.(d)(A,ô)

:

» Ens(Q><K<B ) ,K<B„>> ,A<J<B ) , A > )

i<J<B2),A>

I

1

2

1

Ens( s e 1 © c i ^ ( d) , i d ( A < J<B ) , A ) ) )

na(d)(M)

A(J<Bft),A)

•

Ens(l,A<J<Bt),A))

s&l&ct-i-)
(i.e.

si,

pour t o u t e - f l è c h e

x : «KB,)

> A

de

A ,

on

a :
n^dXA^Xx)
A i n s i , on c o n s t r u i t un f o n c t e u r
n^ s

e t on n o t e
simplement,

OOA^(JD)

tt>

= x .&

d

>.

:
>3>

• Fonct(A

,Ens) op

K<B)

i—•

A<Jim^u^i-yy

d

,__•

n j D < d )

= (J,cano_(Œ>) ) s S> —» J * C A ( 2 > )

con^CD) = (J,cano((D) ) s S> —> ^ c A ( D )

morphisme, d i t canontc?7j©, de s y n t a x e s s u r

S e c t i o n A - §2.

- page 15

A

tel

(OU,

)

plus

l'homo-

que :

Section A

-

$2.

S y n t a x e s et

algèbres

cano(ED) : Œ>

> Ach(ID)
i

> (J(B) ,A(J(B) ,1/^(-)))

(d:K(B t ) —* K ( B 2 ) ) i

• ( J ( B ± ) , n^(d) , J( B 2 ) )

K(B)

Supposons,
maintenant,
que
JD = (A,J,B,K,Œ>)
et
2>* = (A' ,J' ,B' ,K' ,Œ>' ) sont deux syntaxes localement p e t i tes sur les catégories localement petites respectives
A
9
et A' et que X = (F,i>,R,Q,H) : D
> 2)
est un h o m o morphisme.
Si A 1 et A^ sont deux objets de la catégorie A et si
N : A(A 2 ,0 2 > (-))
l A(A t ,LT D (-))
est une transformation
naturelle,
on
désigne
(pour
simplifier)
par
n ^ N ) : A'(F(A 2 ),LT Z) (-)) — = > A' (F( A ^ ,\S°i -) )
l'unique
transformation naturelle rendant commutatif le diagramme
c i-dessous :
N

J> X
A(A2,Lr(R*(-)))

°R

D
X
8 A(A±,U^(R*(-)))

A(A2,R(UZ>(-)))

A(A1?R( 1/^(-)))

i>( Az, Vp'i -) ) l *

* L < At ,lf°< -> )

A'(F(A2),l/>(-))

Ainsi,

} A*(F(A±)
n

5C

on d i s p o s e d u f o n c t e u r

:

Ach^H)

s Ach^dD)

,1^(-))

<N>

•

Ach^dD')

(A,A(A,1/^(-))

i

> (F(A) ,A' (F(A) , 1 ^ ( - ) )

(Aâ,N,A2>

i

> ( F ( A ± ) ,nxCU>

,F(A2))

(noté plus simplement aussi Ach(H) : Ach(Œ»
> Ach(Œ>' ) ) .
Dans ces conditions, il est facile d e constater que :
rfcAiX)
= ( F j V j R j F j A c h ^ H ) ) : J*CA(JD>
> rfcA(,Z>'>

S e c t i o n A - $2.

- page 16

§2.

Section A

Syntaxes

et

algèbres

est un homomorphisme, dit homomorphisme

achevé

engendré

par

X , qui rend commutatif le diagramme ci-dessous :
X

S>

-> S)9
<XMU*(3>9 )

oon<r(JD)
j*o/l(.î»

J*CA,(K)

-• stcA(&

)

Manifestement, ce processus d'achèvement des homomorphi
entre syntaxes est fonctoriel.
Examinons maintenant dans quelle mesure la syntaxe
achevée engendrée par une syntaxe peut être qualifiée de
"théorie" et, mieux, de "plus petite théorie engendrée par
la syntaxe d'origine" : c'est le cas lorsque les conditions
(suffisantes) de la proposition 1 précédente assurent qu'il
existe des algèbres libres.
Commençons par définir les théories :
Définition 5 ; Si
T9 = (A,J' ,B' ,K' ,ïï' ) est une syntaxe
localement petite sur la catégorie localement petite
A
(auquel cas l'opération d'achèvement est licite), on dit
que T9 est une théorie sur A si et seulement si l'homomorphisme canonique :
caw(r) : T9

>

jf<JltT9)

est un isomorphisme sur A
(en particulier,
sont des catégories, le foncteur
J' s B #
foncteur induit
id(A)
: A
évidemment inversibles).
Maintenant, supposons que
que

3> = (A,J,B,K,Œ>)

a

B'
•A
>A

et TT'
et le
sont

est un ordinal régulier et

est une syntaxe petite de rang

sur la catégorie localement petite et co-complète

Section A - §2.

- p a g e 17

A .

< a

Section A

-

§ 2 . Syntaxes et algèbres

Dans ces conditions, d'après la proposition 1, le foncteur
JD
JD
JD
JD
u :A
> A admet un adjoint à gauche L s A
•A
et est monadique. Notons A l'image pleine de LS) et
Lp s A
• A^
le foncteur associé (autrement dit,
L-.
est le foncteur canonique de A
vers la catégorie de
Kleisli A_ de la monade M(JD) sur A , associée à l'adS>

J)

jonction de L
à gauche de u ) . Ainsi, on dispose d'une
nouvelle syntaxe localement petite (puisque A et AS> , et
donc A~ , sont des catégories localement petites) sur A ,
qu'on appelle la syntaxe
associée

à.

{de la monade

M(£>) )

S> z

9C^(D) = (A,id(A) p * , ^ , » ^ ) .
de vérifier (consulter aussi

Il est facile
que :

Proposition 2 : Si
3) = (A,J,B,K,Œ>)
la catégorie
-il

de Kleisli

a

est

un

une syntaxe

localement

existe

est

petite

ordinal

petite

CA.0.F.S.1)

régulier,

de rang

et co-complète

si
sur

< a

A , alors

un unique isomorphisme Cde syntaxes}

sur

:

A

^cA(D) — = - * Sfc£CD>
C J^CA(JD)

est

donc aussi

d*achèvement peut être
ou

localement

petite

indifféremment

et

appliquée

l*opération
a

^oA(D)

9C*<3» 2,

- J£CA(2>)

est

une théorie

Cde même que

VOtiS» ->.

De irême, on établit sans difficulté que :
Proposition 5 z

Si

3> = (A,J,B,K,(D)
la

catégorie

est

A

syn taxes}

et

un

une syntaxe

localement

T* = (A,J' ,B' ,K' ,¥' )
rie

est

a

si

X z S>

sxir

A , alors

petite
est

ordinal

petite
et

le

est

de rang

co-complète

une théorie
> T*

régulier,

si

< ot

sur

A »

si

svtr la Cmêmeï catégo-

un homomorphisme Cde

diagramme ci-dessous

S e c t i o n A - § 2 . - page 18

est

Cpar

Section A

définition}

commutatif

-

§2.

Syntaxes et algèbres

:
X

s>
Jtc/L<2»

•+ j f c A ( r ' )

<-

-oa/v*< T9 )

j*cA(0f)

et
<faot(X) = c a w t J " ^ . j t f c J K K ) s ^oA(JD)
• J-' e s t l ' u n i ç w homomorphisme
Cde syntaxes}
rendant
commutatif
le
diagramme c i -dessous
Ci. e.
foc t or i son t
X
a^i t r avers
de
cafv^( JD) }

:

canons))

X

3)

jtfcA(JD)

-• T9

£ao*(flD
caw( T9 )

. j*cA( Slf)

D'après c e qui précède, il est (évidemment) p o s s i b l e
qu'un homomorphisme e n t r e deux s y n t a x e s d i f f é r e n t e s induise
un isomorphisme entre leurs c a t é g o r i e s d ' a l g è b r e s : ceci
peut s e tester en comparant l e s t h é o r i e s qu'elles e n g e n drent.
Précisément, énonçons la définition s u i v a n t e :
Définition 6 s Si JD^CA,J 1 ,B 1 ,K 1 ,ID 1 ) et
3>z={A,JZ9ÏBz,i<z,n>z)
sont deux s y n t a x e s localement p e t i t e s sur la m@me c a t é g o -

Bection A - § 2 .

- page 19

Section A

-

§2. Syntaxes et algèbres

<7>

rie

localement petite

A

X = (Q,H) : 3>±

et si

est un homomorphisme sur A , on dit que X
gie

{sur

A ) de

{sur
A , via
- le foncteur

3>±

vers

X ) a 3>z
R :A 2

3>z

• 3>z

est une

isolo-

est

isologue

et que 3>±

si et seulement si :
> A * est un isomorphisme.

Plus généralement, on pourra dire que deux syntaxes sur A
sont isovalentes

{sur

A ) si et seulement si elles sont

isologues (sur A ) à une même troisième.
Pour conclure, on déduit des propositions 2 et 3 précédentes que :
Proposition 4 z

Si

a

est

3>t = (A,Ji9IBft,iq9ilDi)

et

3>z = (A, J2,B2,K2,ID2)

sont

< a

localement

syntaxes

petites

de rang

un

ordinal

sur la catégorie

petite

et co-complète

vantes

sont équivalentes

(i)

les syntaxes

3>± et

(ii)

les catégories

d9algèbres

A ±

phes

au dessus

A ,

on dispose

commutatif tel

de

A , alors les

<7

trois

propriétés

si
deux
sui-

:
3>z sont

i.e.

que ci-dessous
A**

régulier,

isovalentes
et

A 2

sur

A ,

sont isomor-

d'un diagramme

:
*

> 4¾

>

On
laisse
au
lecteur
le
soin
de
définir
les
isologiee
de
syntaxes
sur d e s c a t é g o r i e s
différentes,
notion
q u e nous
n'utiliserons p a s dans l a s u i t e .

Section A - § 2 . - page 2 0

Section

A

-

§2.

( i i i ) l e s thjéories
J4<OA,{2)±)
taxes achevées}
respectivement
sont isomorphes
sur
A .

Syntaxes

et

algèbres

et
^oA(uD2)
Ci.e.
les
engendrées
par
3>± et

Section A - §2.

- page 21

syn3>z

3.

Graphes à composition et amphi-graphes à composition

3.1. Tensorisation
composition

et

exponentiation

des

graphes

à

On peut munir la catégorie GrComp des petits graphes
à composition d'une structure de catégorie monoïdale symétrique fermée spécifique (parmi beaucoup d'autres possibles), dite maigre.
Construisons tout d'abord le foncteur
maigre des graphes
a composition
z
-a- : GrComp x GrComp
» GrComp .

tensorisation

Si ID et Œ>' sont deux (petits) graphes à composition, on
désigne par Œ>®D'
le (petit) graphe à composition (bien)
défini comme suit :
- ObdDsŒ)') = Ob(Œ>) x Ob(ID') ,
- FI (ID®ID' ) est la somme f ibrée (dans
par le diagramme commutatif suivant :

Ens ) représentée

Obld(fD) x Obld(Œ)' )
selid^ x injob^, v'

V /

V innJjoobb ^ x selid^,

V

D

FI (ID) x Ob (ID' )

Ob (ID) x FI (Œ>' )

FI (DelD' )
(explicitement, ceci signifie que :
FKlDdD') = [FI (ID)xOb(ID' )x<l}] U [ Ob (ID)xFl (ID' >x <2>] s
,
où JL est la plus petite relation d'équivalence pour laquelle, pour tout couple (D,D') e Obld(ID) x Obld(ID') , on
a :

Section A - §3.

- page 1

Section A

-

§3.

Graph.

d comp.

«t amphi-graph.

<id<D>,D',l> * <D,id<D'),2)
i.e.

d comp.

,

:

< i d < D ) , D ' > = <D,id<D'>> ,
s i l ' o n note respectivement
<<5,A' > e t
<À,<5' > l e s c l a s s e s d ' é q u i v a l e n c e d ' u n quelconque é l é m e n t
<6,A',1)
de
Fl(D)x O b ( D ' ) x { l }
e t d'un q u e l c o n q u e é l é m e n t
(A,6',2)
d e Ob(ID)x FI (Œ>'>x { 2 > ) ,
- pour t o u t

(d,D'> € FI (tt>> x Ob(D') , on a :
dom<d,D' > -

et

<dom<d),D')

:
codom<d,D'> = < codom(d) ,D' )

- pour t o u t
et

,

( D , d ' > € Ob(D) x FKŒ>' ) , on a :
dom<D,d'> = <D,dom(d'))

:
codom<D,d'> = <D,codom<d') ) ,

- pour tout

Cd^dt) e CComp (ID)

et tout

D' e Ob(lD') , on

a :
(<d2,D' >,<dt,D' >) e CComp (ID«(D' )
et :
<dz,D' ><d 1 ,D' > = <d 2 d 1 ,D' > ,
- pour t o u t
a :
et

D € Ob(Œ>)

et

tout

< d 2 , d p e CComp <Œ>' ) ,

on

(<D,d 2 >,<D,dJ>) <= CComp <Œ>®0>' )
:
<D,d 2 >.<D,dJ> « < D , d 2 . d i > ,

- OblddD®©'> • [ObldtiD) x Ob(lD')] u [Ob(ID) x Obld(ID')] ,
- pour t o u t

<D,D'> e Obld(ID) x Ob <Œ>' ) , on a :
i d ( D , D ' ) - <id(D) ,D' > ,

- pour t o u t

<D,D') € Ob((D) x O b l d ( D ' )

, on a :

id<D,D'> = < D , i d < D ' ) > ,
( c e s deux d e r n i e r s a x i o m e s i m p o s a n t , en p a r t i c u l i e r ,
- pour t o u t e f l è c h e
d : D±
> D2
de
iï>
D' € Obld(ID') , on a s u c c e s s i v e m e n t :
( < d , D ' > , < D 1 5 i d < D ' ) > ) e CComp (Œ>«Œ>' ) ,

S action A - §3.

- pog* 2

et

que :
tout

S*cUon A

-

§3.

Oraph.

d comp.

«t amphi-graph.

d comp.

(<D2,id<D')>,<d,D'>) e CComp (Œ>«Œ>' )
et :
<d,D'>.<Dt,id<D')> = <d,D'> = <D2, id<D'> >.<d,D'> ,
- pour tout D € Obld(ff)) et toute flèche
de ID' , on a successivement :

d' : DJ

» D2

(<D,d'>,<id<D> ,DJ>) e CComp (Œ>«ID' ) ,
(<id<D> ,D2>,<D,d'>) € CComp UD«ID' )
et :
<D,d'>.<id<D>,DJ> = < D , d ' > = <id<D> ,D 2 >. < D , d ' > ) .
Le foncteur -®- est ainsi défini sur les objets. On laisse au lecteur le soin de le définir sur les flèches.
De même, il lui sera facile d'établir qu'on dispose d'équivalences naturelles "canoniques", cohérentes, d'associâtivite :
ass

CrComp,-,-,- = a S S S <"•->•- -^-* -•<"•-> '

de symétrie :
^""CrComp,-,,^ = s v m ! ***
—
et d'unitarités (à gauche et à droite) :

où l ' u n i t é
par
-

9Cne

CrComp,- " 9 c n e ! \ * -

drte

-

est

CrComp,-

d r t e

s

•+**

le

graphe à c o m p o s i t i o n

,

ObId(U ) = 0<2> ,

"2^"1

9

—
- 2 ^

*

- •

11

(bien)

défini

) = 0

et

:

Qb(U ) = { O }
0

0

CComp(D

)

= 0

FKU
0

.

0

Noue
utilisons
des
notations
abrégées
semblables
d
celles
utilisées
au
§1. 1
pour
la
catégorie
cartésienne
fermée
E n s , mais l e contexte é v i t e r a toute confusion.
<2>

Remarquons
- accessoirement
que
le
tion
U
n'est pas objet final de
GrComp .

S e c t i o n A - £8.

- page 3

graphe

d

composi-

Section

A

-

§3.

Graph.

d comp.

et

amphi-graph.

d

comp.

(3)

Construisons maintenant
maigre de graphes
a composition
GrComp<-,->
Pour

ce f a i r e ,

entre

et

vers

-

(GrComp)

Ft

,

Œ>

et

Œ>#

et

on n o t e

sont

es

.

les

transformations

graphes

à

sont
u n e

^

Ft B B 4

si

et

seulement

objet

D

de

Œ> ,

une f l è c h e de

Œ>'

pour

tout

phes à c o m p o s i t i o n ,

si

Œ>

— F I (GrComp(Œ),ID' ) )
forme

— pour

toute

ou

F

i

enco-

:
: F ± <D)

> F 2 <D>

Q>'

le

petits
petit

gra-

graphe

:

l'ensemble

des

foncteurs

de

la

des t r a n s f o r m a t i o n s

de

,
est

T : F± — +

si

on

<*&

• \D9

F 2 : ID

GrComp(ID,[D' )

est

> Œ>'

' '^

deux

-

F : Œ>

/

sont

comme s u i t

forme

foncteurs,

trans orma t on

T<D>

et

on n o t e

Ob(GrComp(ID,(D' ) )

deux

composi-

.

à composition d é f i n i

l'ensemble

F 2 : Œ>

9

>

transformation

ïï>

,

T z F± • — +

F 2 : Œ)

> Œ>'

,

:
dom

et

• GrComp

deux

T :

T : F t ssssfi^ F 2 ,

on a

définir

> ID

nh([D)

Dans c e s c o n d i t i o n s ,

la

x GrComp

9

F 2 : Œ>

T = (T<D))-

Fz ,

est

exponentiation

z
op

commmençons p a r

1 ; Si

si

d i t que
re

foncteur

foncteurs.

Définition
tion

:

le

€rComp<Œ>,!D')<T> =

dcM,

<T>

m

F

*

c o d o mCrComp<lD,ID'>
^^
/IT% ^ ^ ( T ) = codom<T) = F 2 ,

<3>
Exponentiation
sant !

que

nous

Section

préférons

A -

§3.

-

noter

page

é

. . .

sans

expo-

Section A

-

-

§3.

Graph.

ObId(GrComp(ID,(D' ) )

forme

est
9

F : Œ>

> U>
,

-

foncteur

tout

F e ObId(GrComp<ID,[D' > )
id

-

6rComp<ID,lD')<F>

CComp (GrComp(ID,[D' > )

f o r m a t i o n s de l a
(T2
où,

: F2 — •

pour

tout

-

pour

T2

: F 2 ses* F 9

on a
Tz

On l a i s s e

D e Qb(lD)

• ID'

,

la

on

a

que

:

=

i d ( F >

= < i d l D ' < F < D > > D e Ob(ID)

l'ensemble

de

tel

on a

des c o u p l e s de

'
trans-

:
> ID'
,

,

Tt

on a

: F± — •

telles

F2 :

tt>

• ID' )

<T 2 <D> ,T ± <D> > e CComp (Œ)') ,

transformations

Tt

: F ± *••*> F 2

et

e CComp (GrComp<(D,ID' ) )

,

que

<T2,Tt)

* T *

=

<T2<D>

-Q^

est

ainsi

défini

sur

les

objets.

le

soin de l e d é f i n i r

sur

les

flèches.

le

foncteur

établira

est

une f e r m e t u r e

dit,

que

,Œ>",

(qu'on

T

il

naturellement

Œ> , Œ>'

=

*

GrComp<-,->

GrComp<-,-)
Autrement

T

au l e c t e u r

m@me,

que

foncteurs

:

Le f o n c t e u r

-

tout

F : ID

D e Ob(ID)

GrComp<ID,ID'>

De

des

d comp.

,

F 3 : ID

toutes

pour

est

forme

e t amphi-graph.

l'ensemble

où,

F<D> e QbId(Œ>' )
pour

d comp.

facilement

I < D > ) D €

que

Ob(ID)

au f o n c t e u r

•

-0-

les

petits

on d i s p o s e d ' u n
au l e c t e u r

le

graphes

foncteur

à

composition

inversible

soin d ' e x p l i c i t e r )

canoni:

GrComp<IDrtD',D")

G r C o m p ^ D ^ D V ^ ' ' C r C o n i p < Π) f C r C o m p < Π> ' ,&>">>

et,

de l ' a p p l i c a t i o n

par

conséquent,

GrComp<Œ>*lD' ,Œ>")

.

:

en

laisse

associée

T

sous-jacente

:

GrComp,ID,ID' > ^ " < & r C o m p ( [ D y C r C o m p ( D ' ,Œ>">>

Section A - $3.

- page 5

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

«t

amphi-graph.

4

comp.

( n o t é s p l u s simplement' 4 * :
curr

CrComp(lD®tD' ,Œ>">

y | D Œ>' Œ>" =
2
î

c u r r

V
> OrComp(ID,OrComp<ID' ,Œ>") )

et :
Curry

GrComp<D«ID' ,Œ>">

I D ID'tt>"=
^=—ï

curr

v
> <DrComp<!D,CrComp<(D' ,&>">> ) .

Ainsi, nous pouvons affirmer :
Proposition 1 :
est une structure
sur la catégorie

GrComp = (GrComp,-«-,11 ,...,€rComp(-,-))
de catégorie
monoïdale
symétrique
fermée
GrComp des petits
graphes
a
composition.

3.2. Amphi-graphes * composition et amphi-foncteurs<5>
En nous inspirant de CG.M.E.N.3 et par analogie avec
le cas des catégories, définissons les amphi-graphes
a
composition,
i.e. les graphes à composition enrichis
par la
(6)

catégorie monoïdale symétrique fermée

GrComp

Définition 2 ; On dit que :
D = (Ob,ObId,D<-,-> ,D'"'<-,-,-),i,m,k, j t , j2)
est un GrComp -graphe

Le
contexte
évitera
des
indices,
avec
la
pour
Ens .

à composition,

toute
notation

ou encore un

confusion,
similaire

maigre
introduite

amphi-

l'omiseion
au
§1.1

<9>

On
trouvera
des
exemples
d'amphi-graphes
d
composition
en Section G, § 6 . 3 ( i . e . en E S . C . C . C . ]>.
<e>
Nous
préférons
réserver
l'appellation
"2-graphee
d
composition"
aux
graphes
d
composition
enrichis
par
la
structure
de
catégorie
cartésienne
fermée
de
Cat
ou,
mieux
encore,
par
celle
(que
nous
laissons
au
lecteur
le
s o i n d'expliciter) de
GrComp .

Section

A -

§3.

-

page

6

Section A

-

§3.

Graph.

d comp.

e t amphi-graph.

graphe

a composition,

si et seulement si :

- Ob

(notée encore

Ob(D)

est une classe, dite classe
- Obld

(notée encore

Ob , dite classe
- pour tous

des

s'il
des

y a risque

objets

de

Obld(D) ) est

objets

d'ambiguïté)

D ,

une sous-classe

à identités

Dt , D2 e Ob(D) ,

d comp.

de

E>(D1,D2)

de

D ,
est un objet

de

GrComp ,
- pour

D± , D 2 , D 3 e Ob(D) ,

tous

objet de

D'CD^E^Dg)

est

un

GrComp ,

- pour tout

D € Obld(ID) ,

> E>(D,D)

i(D) : D

(encore

0

notée
-

ipd»

pour

tous

m(D 1 ,D 2 ,D 3 >
notée
est

-

«fc^,D^Dg)

tous

GrComp

pour

s

5

J2D<DI>P2)

de

(encore

ïï>iDz,DB>U>tD±,Bz>

)

,

D t , D^ , Dg € Ob(D)
• E><D1,D9>
• E>(D 1 ,D 9 >

et

)

de

D ,

(encore

notée

est

tout

> D'<D1,D1,D2)

une

flèche

D^ € Ob(D)
(encore

> D""(D 1 ,D 1 ,D 2 )

D 1 € Ob(D)

IXD^Dj)

)

et

tout

> D""<D1,DL8,D2>

: D(Di,I)2>

GrComp

est

une

,

notée
flèche

• D*<D1,Di,D2)

)

1¾ e ObId(E>)

,

(encore

notée

est

flèche

une

,

- pour tout
gramme de

>

D ,

,

tout

Jz<Di^>

GrComp

D1 e O b l d ( D )
1)(¾^¾)

GrComp

- pour

de

,

: D(D1,D2>

JiD<Di^>
de

: D <D1,p2,Dg)

D'CD^D^Dg)

tout

j 1 <D 1 ,D 2 >

GrComp ,

• D(D2,D3)^D(D1,D2)
/

objets
s

) e s t une f l è c h e de

D1 , D 2 , D 3 <= Ob(E>)

: D'^D^p^Dg)

D

D< i»Pz^>

-

objets

un monomorphisme d e

pour

de

• D<D,D>

: D'"'<D1,D2,D3>

k ( D t , 1)2,1)3)
k

s H

Dt € Obld(D)

GrComp

et tout

D 2 e Ob(D) , le dia-

ci-dessous est commutatif :

Section A - §3.

- page 7

Section

A

-

§3.

Graph.

d

comp.

et

amphi-graph.

d

comp.

m<Di,Di,D2>
-> D < D i , D 2 ) « I > < D i , D i >

V'iD^D^DJ

i d ( D ( D . D >>®i<D >
1"

«vw

2

1

vw

1 * 2

d r t

0

^ D , D )
1 '

2

id(DCDA,Da>>
D(D ,D ) <-

-

pour

tout

gramme d e

D4 e Ob(D>
GrComp

et

tout

ci-dessous est

D2 € O b l d ( D )
commutatif

1

2

,

le

dia-

s

m<Di,D2,D2)
-> D < D 2 , D 2 ) « D < D i , D 2 )

Dr<Di,D2,D2)

i<D2)«id<D<Di,D2>)

k<Dt,D2,D2)

U «D<D , D )

J2<D4,D2)>

0
9Che

D < D ,D >
1 '

2

id<D<D4,D2)>
D<Di,D2>

D<D4,D2>

<-

Section

A -

§3.

-

page

•

1 * 2

Section A

-

§3.

Graph.

d comp.

et amphi-graph.

d comp.

Dans ces conditions, on associe à E> le graphe à composition U /D = Œ> , dit des 1-f lèches de D ou encore sousjac&nt

e
à.

D ,

(bien)

-

Ob(Œ>> = O b ( D )

-

ObldtiD)

-

pour t o u s

dé-fini

D.t

,

,

D2 e Ob(ID)

flXD^Dj)

dit,

(D1,D2>

F I (ID)

Ob(ID)

tout

D e ObldtiD)

-

pour

tous

objets

» Dg
le

1" 1
de

diagramme de

(

Hom

,

J

±

9

•

"1

Œ) ,

)

=

la

)

(DrComp<1,0'I><Di'^>>

réunion

disjointe,

GrComp<1]0'I><Di'D2>)
x Ob(ID) ) ,

pour

flèches

a

Hom

-

toutes

on

( =

est

ensemb1es

parcourt

,

( - Homfl)<D1,D2>

GrCompCD^lXD^lV)

des

:

,

= Obld(D)

(autrement

comme s u i t

on a

on a
Œ>

= i^CD)

,

Dg e Ob(ID)

de

ID

d2 : D 2

2
Si

-> D
(i.e.
si

et

(d2,d1>

seulement

e CComp (ID)
si

et

d

2

Q>

:

Section A -

§3.

page

0

d

i

=

d

«uand

pour

• D3

et

commutatif

D

la

et

:

ci-dessous est

i.e.
»

id^CD)

> D^ ,

-

>

Section A

-

§3.

Graph.

il existe, dans
ment unique)

d comp.

e t amphi-graph.

d comp.

GrComp , une flèche (nécessaire-

c(d 2 ,d ± ) : U 0

> D ' " ^ ,D2 ,Da)

rendant commutatif le diagramme de

GrComp

ci-

dessous :
D(D2,D3>«I>(Di,D2) 4

m(D ,D ,D )
- - -

D'(D i ,D 2 ,D 3 )

k(D i ,D 2 ,D a )
gche
drte
> D(D â ,D a )

Plus généralement, si
associer à

D

G

est un objet de

le graphe à composition

et G-/lèches de

D

GrComp , on peut

G/D

des

1-flèches

défini comme suit :

- Ob(G/D) = Ob(D) ,
- ObId(G/D) = ObldtiD) ,
- pour tous

Dt , D 2 e Ob(G/D) , la classe des flèches de

G/D de domaine D t et de codomaine D 2 est la réunion de
la classe
GrComp(U ,D(D1,D2)>
(dont les éléments, qui
sont des 1-f lèches de
D , sont encore appelés les
1-f lèches de G/D de domaine Dt et de codomaine D 2 ) et
de la classe
GrComp(G,D(D1,D2>)
(dont les éléments
6
sont appelés les G-flèches
de G/D , ou de D , de domaine
Dt
et de codomaine
D2
et notés plus spécifiquement
6 z D±
» G D 2 , si cela s'avère plus suggestif que la
notation générique

6

-• Dz >

Section A - §3.

- p a g e ÎO

Section A

-

pour

tout

-

§3.

objet

id

<D/D<D> " V 1 »

-

pour

pour
et

tous

à

e t amphi-graph.

identité

Dt ,

1-f lèches

Dt

d comp.

d comp.

D e Obld ( G / D )

,

on

a

•

objets

toutes
d :

Graph.

• D3

de

le diagramme de

Efe ,

Dg e O b ( G / D )

dt

:

D±

G/D

,

on a

G/D

> D2 ,

de
d2

:

G/D
D2

et
•

D3

ci-dessous est commutatif :
D
2

-> D

D
(i.e.

(d2,d1> e CComp(G/D)

et

d2

<B/D d * » d

!

>

si et seulement si :
il existe, dans GrComp , une flèche (nécessairement unique) c(d2,d1> : H
> D"(D 1 ,D 2 ,D 3 ) rendant commutatif le diagramme de GrComp cidessous :
m(D ,D ,D >

1

- pour

tous

1-f lèche

3

objets

D± , D 2 , Dg € Ob(G/D) ,

d± : D±

> 1¼

Section A - §3.

et

pour

- p a g e 11

toutes

pour

toute

G-f lèches

Section A

-

§3.

Graph.

• + c Dg

et

6 z D±

le diagramme de

G/D

d comp.

e t amphi-graph.

> c D3

€ CComp (G/D)

s i e t seulement s i
il

e x i s t e , dans

ment u n i q u e )
dessous

et

62

dt

e/t>

!

= 6

)

:
GrComp , une f l è c h e

c(62,d1>

dant commutatif

, on a :

G^
jp> D
G
s

i

(<52,dt)

G/D

ci-dessous est commutatif :
D

D
(i.e.

de

d comp.

: G

(nécessaire-

• D"(Dt,D2,D9>

l e diagramme d e

GrComp

ren-

ci-

:
m(D ,D , D )

D(D2,Da)«D(Di,D2)
6

*d
2

±

<

2

3

D ^ D ^ D2,Da)

c<<5 2 ,d.>>

1
G*U

k(D±,D2,D3>

d r t eG
G

-

pour

tous

G-flèches

-• D(D , D >

objets
6± z D±

t o u t e 1-f l è c h e

1

3

D t , D 2 , D9 e 0 b ( G / D )

,

>^ D^

>^ Dtg

d j z D2

et

• D9

S e c t i o n A - §3.

6 z Dt
de

pour

G / D , on a :

- page 12

toutes
et

pour

S «et ion A

-

§9.

Oraph.

le diagramme de

€/D

d comp.

«t amphi-graph.

d comp.

ci-dessous est commutatif
D
2

D

(i.e.

^

l

(d2,6t> e CComp (G/D)

et

D

3

d2 -^y»* à± = 6

! )

si et seulement si :
il existe, dans GrComp , une flèche (nécessairement unique) c(d2,61> : G
• D'"(D± ,D2 ,D9) rendant commutatif le diagramme de GrComp cidessous :
m(D ,D ,D )
1 * 2 * 3
D(D .D>*D(D ,D> <D(Di,D2,D3)
Z

9

1

Z

k(D t ,D 2 ,D 3 )
gche<B *

> D(Di,Da>

Bien entendu, par construction, le graphe à composition
D
(des 1-f lèches de D ) est un sous-graphe à composition du
graphe à composition G/D
(des 1-f lèches et G-f lèches de
D ).
Selon la "nature" de l'objet G de GrComp , on peut éventuellement munir G/D
d'une sur-structure G//D, et ceci
de sorte que la connaissance de ïï> , du foncteur injection

Section A - §3.

- page 13

Section A

canonique

-

§3- Graph.

j- -x : D = U /D

ou plusieurs objets
ment

d comp.

e t amphi-graph.

d comp.

> G/D et de G//D (pour un

G ) permette de reconstruire entière-

D .

Le lecteur vérifiera que c'est bien
le cas pour le graphe à composition des 1-flèches et £ 0 -flèches (bien entendu
appelées 2-f lèches) de D , i.e. si l'on prend (pour seul
objet de GrComp autre que U 0 ) G = £ 0 , où £ 0
est le
graphe à composition (entièrement) défini comme suit :
- 0b(£ ) = {0,1} , ObId(£ ) = 0
l'unique flèche de £

et

(0,1) : O

• 1 est

.

En effet :
- pour tous o b j e t s
d , d'

: Dt

6 : Dt

>£

et

Dt , Dj* € 0b(D)

• D2
D2

0

et

b(D1,D2)<6<°'1)>

= d < 0 >

codom

iD(D1,D2)<6<0'1>>

=

6

z

objets

> D2

toute

dom

notons

d : D±

pour

2-f l è c h e

t e l s que :

:

- pour tous

, pour t o u t e s 1-f l è c h e s

d

9

SBB> d

z

D±

Dt , 1½ e ObtiD) ,

et

pour

toute

d

'<0>

•

D2

'
,

pour

2-f l è c h e

toute

1-f l è c h e

6 z D±

>£

D2

0

t e l s que :
d(O) € 0bId(D(D 1 ,D 2 ) )
"IXD,,!)^0»

-*«>-»

-

notons :
Id(d) = 6 z d
-

pour

tous

objets

I d : D±

Dâ , 1¾ € 0b(D)

• D2
et

<7>

pour

,
toutes

2-

Nous
voulons
suggérer
qu'on
peut
enrichir
les
graphes
d
composition
autrement
que
par
GrComp .
Auquel
cas,
le
choix des o b j e t s
G
permettant de reconstruire
D
d partir d e s G / D peut s'avérer plus d é l i c a t .

S e c t i o n A - § 3 . - page 1«

Section A

flèches

-

§3.

Oraph.

6± , <52 , 6 : D±

d comp.

«t amphi-graph.

>9

t e l s que :

D2

d comp.

0

(<5 2 (0,1) , 6 t < 0 , l > ) e CComp<D<Dt,D2> )

et

6

2<0,D

¢(0^¾)

VO,l)

=<5<0,1)

,

notons encore :
6 = 6Z*S±

,

alors on peut reconstituer 1'amphi-graphe à composition
à partir de la sur—structure z
2. //D = ( 1! /D ,£^/D ,
0

0

-:--+-:—• -

, Id(-> , -*- )

D
.

0

Enfin, nous dirons évidemment que D est petit
si et seulement si la classe 0b(D) est petite (et donc, par exemple, si et seulement si le graphe à composition de ses
1-flèches et 2-flèches est petit).
En nous inspirant toujours de CG.M.E.N.l et toujours
par analogie avec le cas des catégories, définissons maintenant les amphi—foncteur s m
Définition 3 : Si D
et D'
sont deux amphi-graphes à
composition, on dit que
F = (Fob,FobId,F(-,->,F'(-,-,-> )
est

un amphi-foncteur

F :D

de

D

vers

D'

, et

l'on

note

> D' , si et seulement si z

- F o b : 0b(D)
pour restriction

> 0b(D' )
est une application admettant
F o b I d : Obld(D)
> Obld(D') ,

- pour
tous
objets
Dt , 1¾ e 0b(D)
9
F(D1,D2) : D(D1,Di)
> t) (F ob (D t ) ,F ob (D 2 ) )
che de GrComp ,

de
D ,
est une flè-

- pour tous objets
D± , 1½ , Dg e 0b(D)
de
D ,
r ' C D ^ D j , ^ ) : ïï>'<D±,Uz,Da> -• D' "•(Fob(D1 ) fFob<Efc> ,Fob(Dg> )
est une flèche de GrComp ,
- pour tout

D e Obld(D) , le diagramme de

Bection A - § 3 .

- page 15

GrComp

ci-

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

«t amphi-graph.

d comp.

dessous est commutatif :
F(D,D)

IXD,D>

*"<rob«d<TO'Fob«<i<W>

iD<D)

V(FobId<D»
U

- pour t o u s

0

D t , 1¾ » 1¾ e Ob<D) ,

c i - d e s s o u s e s t commutatif

l e diagramme de

<DrComp

:

D'"<F . <D > , F < D > , F _ <D >>

œr<Di,D2,D3)

Ob

1

Ob

2

-> #

Ob

3

F<Di,D2,Da)

VD*

D ,D )
3

2*

V-<Fob<V'
D<D

z'D3)i
Q

3

#

1'

(D ) , F
Ob

2

2

D'<F

D(Di,D2)
pour tous

D± , D2 , D3 e Ob(D)

c i - d e s s o u s e s t commutatif

V'<D±,Da,D9>

w

D

2»

2

D

,

1

l e diagramme de

<D >>
Ob

2

GrComp

:
l>

F

3

<D > , F
Ob

-

(D >)
Ob

XI>'<Fob<D2)'Fob<D3»

F<D„,D,> oF<D^,D..>
2'

F

'"<Fob(Di>'Fob<V'Fob<D.»

"<D1»D2'D3>

a>

3

•WWV' F ob<V' F ob< D .»
F<Dt,Da)

IXD 4 ,D 3 )

"<Fob<Di>'FobCD.»

Bien entendu, pour tout objet

Section A - §3.

D e Ob(D) , on notera désor—

- page 16

Section A

-

§3.

Oraph.

mais, plus simplement,

d comp.

e t amphi-graph.

F ob (D> = F(D) .
> D'
le fonc> Œ>' (bien)

Dans ces conditions, on associe à F : D
teur, dit sous-jacent
a F,
U /F = F : D
défini comme suit :
-

pour t o u t o b j e t

-

pour

d

: D«

d'

: F<D 1 )

tous

D

objets

de tt> , on a

F<D) = F<D>

D t , 1¾

ID ,

de

+ ¾
• FdV

de

pour

,

toute

ID

et

de

ID'

, on a :

ID'

ci-dessous est commutatif
d'

le diagramme de

pour

toute

flèche
flèche

X F<D )

/

F<D4>

2

V
F<d)
(i.e.

d comp.

F<d) = d'

y

!>

si et seulement si
le diagramme de
tif :

GrComp

ci-dessous est commuta-

d'
H

/

S. D'(F(D ),F(D >)
i

2

F(Dt,D2>
D(D ± ,D 2 )

Plus généralement, si G est un objet de GrComp , il est
facile d'associer à F : D
• D' , d'une manière analogue, un foncteur
G/F : G/D
• G/D'
(de sorte que la
connaissance de "suffisamment" de ces

section A - §3.

G/F

- page 17

permet de re-

Section A

construire

F

-

§3.

Oraph.

d comp.

e t amphi-graph.

d comp.

: c'est le cas si l'on choisit

H

et
i

pour - seuls - objets

G ).

Evidemment, une amphi-catégorie
GrComp-catégorie

(au sens

le

A , c'est-à-dire une

plus

usuel

de

s'identifie à un amphi-graphe à composition
A

CC.L.C.A.1),
(encore noté)

tel que :

- Obld (A) = Ob(A) ,
-

pour t o u s o b j e t s

A 1 , ^ , A 3 e 0 b ( A )

A^A^A^Aj,)

, o n a :

= A(A2,A3> <8> A ( A 1 , A 2 )

et
VAi»A2pAa>
-

=

pour tous o b j e t s

GrComp

id

GrComp(A<A2'A3>

A1,A2,A3€Ob(A)

c i - d e s s o u s e s t commutatif

A<Aa,A4)

* *<*i»^>>

(A(A2,Aa>

,

l e diagramme de

:

® A<At,A2>)

id<A<A 3 ,A^>> •

*

A ( A , A > » A<A ,A >

k<Ai,A2,Aa)
«A^A^A^)

A<A 4 ,A 4 >

ass

k<A±,A2,A4)
k(A

,A , A ) « i d ( A ( A ,A ) )
2 '

(A<A a ,A 4 > • A < A z , A a > )

3 * 4

•

1*2

A<Ai,A2>

A < A 2 , A 4 > • A<A 4 ,A 2 >

De l a même m a n i è r e , on l a i s s e l e l e c t e u r p r o c é d e r aux i d e n tifications
entre

qui s'imposent,

amphi-catégories,

concernant

c'est-à-dire

Section A - §3.

les
les

- pag* 18

amphi-fonct&urs
CrComp-foncteurs

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

(au sens le plus
catégories.

usuel

de

et amphi-graph.

CC.L.C.A.])

d comp.

entre

GrComp-

Enfin, si D est un amphi-graphe à composition, si A est
une amphi-catégorie, si
F± , F 2 : D
> A
sont deux
amphi-foncteurs (et si G
est un objet de GrComp ) , on
laisse encore au lecteur le soin de définir (par analogie
avec le cas, classique, où D est une amphi-catégorie) ce
(8)

q u ' e s t une a m p h i - t r a n s f o r m a t i o n n a t u r e l l e
N : Ft
» F2
de
Ft
vers
F2
( a i n s i que l a t r a n s f o r m a t i o n n a t u r e l l e
G/W : G / F t —e» G / F 2 : G / D

• G/A ) .

3 . 3 . E s q u i s s e des g r a p h e s & c o m p o s i t i o n

Notons

EarCOTnp

l ' e s q u i s s e c o n s t r u i t e comme suit < Q >

<8>

Il
est
facile
de
définir
(par
analogie
avec
la
notion
de
transformation)
la
notion
d'amphi-traneformation
entre
amphi-foncteurs
allant
d'un
même
amphi-graphe
d
composition
vers
un
autre
amphi-graphe
d
composition
<et
non
une
amphicatégorie). Mais nous n'en aurons pas l'utilité.
Il
serait
en
revanche
plus
difficile
de
définir
ce
que
serait
une
amphi-transformation
naturelle
entre
deux
tels
amphi-foncteurs
(de
codomaine
un
amphi-graphe
d
composition
seulement).
(0)
Par
une
simple
adaptation
du
sens
(classique)
de
EE.T.S.A.3,
une
esquisse
(projective)
est,
ici,
un
graphe
d
composition
(au
lieu
d'un
"graphe
multiplicatif"),
appelé
son
"support",
et
où
sont
distingués
des
cônes
projectifs.
Alors,
un
"modèle"
d'une
telle
esquisse
E
dans
une
catégorie
K
est un foncteur
F Z S u p p (E )
> *A (où
S u p p (E )
est
le
support
de
E )
qui
transforme
les
cônes
projectifs
distingués
de
E
en
des
cônes
limites
projectives
de
W>
(et
l'on
note
F S E
• iR >.
Enfin,
on
désigne
par
Mod(E,2R)
la
catégorie
dont
les
objets
sont
les
modèles
de
E
vers
à?
et
dont
les
flèches
sont
les
transformations
naturelles entre c e s modèles.

Section

A - §3.

-

page

19

Section A

-

§3. Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

d comp.

- son support est le graphe à composition
G arCornp
par le graphe et les équations ci-dessous :

e

dom " e s e l i d "

^vnjob "~ e codom - e selid 9

Pi-etnj

=

h

e

=

^½ 9

P2- inj
e
e
e

dom" h i

i

*

= b = e C odom' h 2 9

dom- e comp

s

d =

e

codom " ecomp

=

c

e

Section A - §3.

=

dom • h 2 9
codom " "1 »

- page 20

défini

Section A

-

§3.

e
e

Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

dom • Ru -

Ri = ©injob • Rl2 9

i n job ' R21 =

R2 =

e

codom • R22 9

Pi • Ji = R11 9
P2- Jl

=

r

l

== e s e l i d R l 2 9
=

^ n j • Jl
"comp Ji

Pi-j2

Ji ?
= R11

= r2

= ^ud-RBi

P2 ' -*2

=

^ n j * -*2

,

R22 9
=

-*2

9

"comp J2 = R22

(en p a r t i c u l i e r ,

on a

Obld (G a r C o m p ) = 0 ) ,

ses cônes p r o j e c t i f s d i s t i n g u é s s o n t :

Section A - §3.

-

page 21

d comp.

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

(i.e. l'image, par tout modèle, de

d comp.

einjob

est un monomorphisme)

vn j

CComp

CComp

-* •

«

"r l X F l

(i.e. l'image, par tout modèle, de
est un monomorph i sme)

Section A - §3.

- page 22

e inJ

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

d comp.

Dans ces conditions, il est facile de vérifier qu'il
existe un modèle
T : EarCOTnp
• GrComp op , unique à
équivalence naturelle près, tel que :
- T(^ ob ) = U

est le graphe à composition

0

Section A - §3.

- page 23

(précédemment

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

d comp.

défini) qu'on peut (donc) représenter comme ci-dessous :
0 •
- r(EobId) = H

est

le graphe

à composition

qu'on

peut

représenter comme ci-dessous :
0 • O id(0)
- r(EFl) = £

est

le graphe à composition

(précédemment

0

défini) qu'on peut (donc) représenter comme ci-dessous :
<0,1)

" r<Ec C o T n p )

= 30

est

le

-+ • 1

graphe à

composition

qu'on

peut

- e p r é s e n t e r comme c i - d e s s o u s :

(1,2)

(0,1).

-> •

2

<0,2) = < 1 , 2 ) < 0 , 1 >

r

- r<Eob) = n 0

(

e

dom

s

•eodom

!

E

Fl

•

E

Fl

•

E

Ob

)

Ob

)

•» £

= TCE^)

et :
r<Eob> = 11

-

r(

E

s o n t l e s f o n c t e u r s t e l s que :

r< e d o r n )<0> = O
et

r<ecodoîn)<0) = 1 ,

Section A - §3.

- p a g e 24

-> £_ = r < E P l >

Section A

-

§3.

e

™

-

Oraph.

d comp.

:

comp

et amphi-graph.

^CComp

•

^Fl

)

r<E^t> = £ 0

> 3 0 = r<EcComp)

est l e foncteur t e l
r

Alors,

que :

<ecompX«>>l>) = <0,2)

naturellement

en tout

objet

dispose du modèle de

EarComp

dans

{relativement

d comp.

à

r

.

G

de

GrComp ,

on

Ens , d i t associé a

G

) s

11,.(G) : E^c^p

> Ens

E l

> HoflvïrCoTnp(r(E) , G )

(autrement dit, on a - ou on peut encore noter :
M ^ G ) = HonV3rCoTnp(r(->,G> ) .
Ainsi, on construit un foncteur, dit relatif

a

r

z

Mp : GrComp
• Mod(E arComp ,Ens) ,
et il est facile de vérifier que :
Proposition 2 : La catégorie
composition
est projectivement
foncteur

> Mod(E a r C o T n p ,Ens)

Mp : GrComp

valence

de

GrComp des petits
graphes
esquissable.
Précisément,
est une

a
le
équi-

catégories.

Par conséquent, si G

est un (petit) graphe à composition,

on pourra l ' i d e n t i f i e r

au modèle

de sorte

que tout

objet

6

l*L(G)

(resp.

: EarComp

tout

G , toute flèche

g , tout couple

posables, e t c . . )

s ' i d e n t i f i e au foncteur
\

\

(resp.

(g',g>

— > <*

[ O l

•G

:

f

U
O

• <D
|

Section A - fa.

objet

• G

- pag« 25

à

> Ens ,
identité

de flèches com:

Section

A

-

§ 3 . Graph.

d comp.

e t amphi-graph.

£

à comp.

• G
0

(0,1)

i

•

30

g

> G ,

(0,1)
(1,2)
(0,2)

i
i
i

> g
• g'
> g9 . g

etc.).

3 . 4 . Amphi-catégories co-représentables

Rappelons

(voir

C L . C L . S . 1)

e s t d i t e co-représentable
—il

existe

naturelle
C-

: A

tout

objet

un f o n c t e u r
près),

dit

si

e t seulement

(bien

> Mod(EarCoTnp,A° )
de

EarComp

et

si

de
tel

en t o u s

équivalence

co-représentât

que,

A

:

entendu unique à

foncteur
p op

E

qu'une a m p h i - c a t é g o r i e

naturellement

objets

A1 , A2

ion,
en
de

A , on a :
A ( C A ( A 1 ) ( E ) ,A2> ût GrComp(r(E),A(A 1 ,A 2 >)

(en particulier, on dispose de la bijection sous-jacente :
A(C A (A 1 >(E) ,Az) * GrComp(r(E),A(Ai,A2>) ) .
Dans la suite, on notera plus simplement :
• Mod(EarCowp,Aop)op
C/| = C : A

.

Pour conclure, établissons un résultat technique simple, qui nous sera utile notamment au §4.3, et montrant
déjà l'intérêt des catégories co-représentables.
Par

analogie avec

le cas non enrichi

(voir

CL.P.L.6.3),

<io>

,
,
, . ^ , , .
On
trouvera
des
exemples
d'ampra-categories
co - rep rés e n ta b le s e n S e c t i o n C, § S . 5 ( i . e . e n C S . C . C . C . 1 > .

Section

A - §3. -

page 26

qut

sont

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

e t amphi-graph.

d comp.

disons qu'un objet
A
d'une amphi-catégorie amphi-cocomplète A est a-amphi-présentable,
pour un certain ordinal régulier a , si et seulement si :
- l'amphi-foncteur

> GrComp

A(A,-> : A

commute

aux

amphi-co-1imites indexées par des catégories a-filtrantes,
(en particulier,
catégorie A ) .

A

est donc un objet a-présentable de la

Alors, il est facile de vérifier que :
Proposition 5 : Si
complète

et

A

est

une

amphi-catégorie

co-représentable

Cde

représentation

C^ z A

est
un ordinal
a-amphi-présentable

régulier
et
si
de A , alors
:

- povtr tout
composition,

foncteur

> Mod(EarCoTnp,A

objet
E de l'esquisse
C-(A)(E) est un objet

amphi-co-

op

A

)

op

de

co-

si

a

} ,

est

EarCoTnp
de
a-présentable

un

objet

graphe
à
de
A .

Preuve.
Tout d'abord, on vérifie facilement que, pour tout objet

E

E
de
arcomp 9
T(E)
est un objet a-présen table
GrComp , puisque ... de présentation finie.

de

X = colim Xz
est une co-1 imite dans
I e D
indexée par la catégorie a-filtrante D , on voit que :

A

Maintenant, si

A(C.(A)(E) ,colim Xz)
*
I € D
as ( A étant co-représentable )
GrComp(T(E) ,A(A,colim Xj) )
I € D

Section A - §3.

- page 27

Section A

-

§3.

Oraph.

d comp.

et amphi-graph.

d comp.

a: ( A étant a-amphi-présentable
et les colimites dans A
étant des amphi-col imites
dans A , puisque A est
amphi-co-complète)
GrComp(T(E),colim A(A,XZ))
I e D
as ( T ( E )
dans

étant ot-présentable
GrComp )

c o l i m GrComp(r(E) , A ( A , X X > )
I € D
s» ( A é t a n t c o - r e p r é s e n t a b l e )
c o l i m A ( C . ( A ) ( E ) , Xj)
I € D

*

D'où l a c o n c l u s i o n .
F i n de l a p r e u v e .

Section A - §3.

- page 28

4.

Amphi-syntaxes et sesqui-algèbres

4.1. Amphi-syntaxes
La notion d'amphi-syntaxe s'obtient par enrichissement
automatique de celle de syntaxe (mais, pour qu'il soit
automatique, encore nous a-t-il fallu présenter au §2.1 la
notion de syntaxe d'une manière adéquate, qui a pu paraître
pédante) :
Définition 1 : On dit que 3b = (A,J,B,K,D)
syntaxe
{sur A ) si et seulement si :
- A

est une amphi-catégorie,

- B

et

- J :B
objets,

D

est une amphi-

sont des amphi-graphes à composition,
> A

est un amphi-foncteur

injectif sur les

- pour
tous
objets
B± , 1¾ e Ob(B) ,
la
flèche
J(B1,B2) : B(B1,B2)
> A< J<B±) , J<EL,) >
est un monomorphisme de GrComp
(i.e. un foncteur injectif ! ) ,
- K :B
objets.

•D

est un amphi-foncteur bijectif sur les

Alors, si G est un objet de GrComp , on associe à & la
syntaxe (non enrichie) G/J» = (G/A,GAJ,G/B,G/K,G/D) des 1/ l è c h e s et <G>-flèches de Jt et la sous-syntaxe (non enrichie) »-.
= (G/A,H
/B -=—> H 0 /A — ^ ? G/A,U
/B,H
/K,H
/D) .
G
*0
' 0
' 0
' 0

On
trouvera
des
exemples
§ 6 . 4 ( i . e . en C S . C C . C 1 > .

Section A -

d'amphi-syntaxee

§4.

-

page 1

en

Section

C,

Section A

En p a r t i c u l i e r ,

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

on pose
0

U

0

Au même titre que, prenant G = U , £ ? le graphe à composition des 1-f lèches et le graphe à composition des 1flèches et 2—flèches d'un amphi-graphe à composition per—
mettent de le reconstruire entièrement (voir le §3.3), la
syntaxe des 1-flèches et celle des 1-flèches et 2-flèches
de 3> la décrivent complètement. On pourra donc visualiser
les données attachées à une telle amphi-syntaxe
2> en
représentant, comme indiqué au §2.1, les données attachées
à la syntaxe (non enrichie) 2, /3> et en se contentant de
distinguer graphiquement les 1-flèches des 2-flèches, comme
usuellement pour les 2—catégories, i.e. comme suit :

(où, conformément aux conventions du §2.1, on a considéré
que :
£0 /J

: £ 0 /B

-» £. /A
0

est un foncteur injection

Section A - §4.

- page 2

canoni-

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

que sur les flèches de

£ /B , i.e. sur les 1-f lèches et
0

2-flèches de B ,
- l a restriction de

£ /K : £ /B
0

> £ /D

0

aux objets est

0

une bijection canonique,
c'est-à-dire est une application
identité,
auquel cas celles des 1-flèches ou des 2-flèches de D qui
"ne sont pas" respectivement des 1-flèches ou des 2-flèches
de B sont représentées en pointillé car vues comme "for—
mellement rajoutées à" B ) .
On dira qu'une amphi-syntaxe 3b = (A,J,B,K,D) est petite si et seulement si B et E) sont des amphi-graphes à
composi ti on peti ts.
De plus, si a est un ordinal régulier et si A
est amphi-co-complète, on dira que
3b est d* amphi-rang
< a
{sur A ) si et seulement si :
- pour tout objet B e Ob(B) ,
présentable de A .

J(B)

est un objet a-amphi-

La définition des amphi-homomorphismes entre amphisyntaxes s'obtient par enrichissement automatique de celle
des homomorphismes entre syntaxes : elle figure dans (les
"resp." de) la définition ci-dessous. Mais il faut d'abord
lire cette dernière comme
étant
celle des
sesquihomomorphismes, qui sont des homomorphismes plus faiblement
(et donc moins automatiquement) enrichis que les amphihomomorphi smes.
Définition 2 : Si

3b =(A,J,B,K,D)

et

sont deux amphi-syntaxes, on dit que
un

sesqui-homomorphisme

3b vers

9

3b , et on note

(resp.

un

X z 3b

Section A - §4.

J&'=(A' ,J9 ,B' ,K' ,D' )
X = (F,f,R,Q,tH)

amphi-homomorphisme)

> 3b

9

- page 3

est
de

, si et seulement

§4.

Section A

Amphi-syntaxes et sesqui.-algebres

si :

- F : A

-» A'

est un amphi-foncteur,

- R : h9

—» A

est un amphi-foncteur,

—> Ens est une
(-,R(-)> = * A'(F(->,-> : A x A'
équivalence naturelle, de sorte que le foncteur R
(sousjacent à l'amphi-foncteur
foncteur

F

R ) est un adjoint à droite du

(sous-jacent à 1'amphi-foncteur

F ),

(resp. :
-v

D A9 (F(-) ,-)

: A(-,R(-)>

relle, de sorte que

F

GrComp-adjoint, à droite de

est

est une équivalence natuun

amphi-adjoint,

i.e. un

F ),

- © : B

-> B'

est un amphi-f oncteur,

- H : D

-> D'

est un amphi-f oncteur.

- les deux diagrammes ci-dessous sont commutatifs :
-> B9

> B'

-* D'

-> A'
H

On dira aussi que

X

est un sesqui-homomorphisme (resp. un

amphi-homomorphisme sur l'adjonction (resp. 1'amphi-adjonction) (F,v,R) (resp. (F,i;,R) ) .
F = id(A) = R
et si
En particulier, si
A = A'
si
v = id(A(-,->>
(resp.
v = id(A(-,->> ), on dit que
9
X z 3b
> 3b est un sesqui-homomorphisme (resp. un amphihomomorphisme) sur A et on note plus simplement :
X = (id(A> ,id(A(-,->> ,id(A> ,©,H) = (€,H)
(resp. « = (id(A> ,id(A(-,->> ,id(A> ,©,H) = (©,H) ) .

Section A

§4.

- page 4

Section A

-

§ 4 . Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

Enfin, si 3b , 3b9 et 3b99 sont trois amphi-syntaxes sur
les amphi-catégories respectives
A , A' , A"
et si
9
9
9
*=(F,v,R,<5,H) : 3b —> 3b et X =(F' ,v ,R' ,©' ,H' ) : a' —> »"
sont
deux
sesqui-homomorphismes
(resp.
deux
amphihomomorphismes), il est clair que :
X9 .X = (F' .F,iXSh;,R.R' ,€' .€,H' -H) : J& —> ,»"
est un sesqui-homomorphisme (resp. un amphi-homomorphisme),
que l'on appelle le composé de X9 avec X .
Supposons que X z 3b
> 3b9 est un amphi-homomorphisme. Bien entendu, il détermine un sesqui-homomorphisme
sous-jacent
JfiX) z 3b
> 3b9 (que nous laissons au lecteur
le soin d'expliciter). De même, pour tout objet G
de
GrComp , X définit deux homomorphismes G/Jf : G/JB —» G/JB'
et X^ : 3b^
> 3bL
d'expliciter).

(que nous laissons au lecteur le soin

Supposons, en revanche, que X z 3b
> 3b9
n'est qu'un
sesqui-homomorphisme. Il n'est donc pas, en général, sousjacent à un amphi-homomorphisme. De plus, ce n'est que pour
l'objet
G = H
de GrComp
que l'on peut affirmer, en
général,
que
X
définit
un
homomorphisme
> U /3b9

H /X z U /3b
0

0

f l è c h e s associées à
Si

X z 3b

entre les syntaxes des (seules) 1-

0

> 3b9

3b e t

3b9 .

e s t un amphi-homomorphisme ( r e s p . un s e s -

qui-homomorphisme) ,

on pose évidemment
U

/ *

= X

z 3D

:

> JD'

.

0

(2>

Si
§2.i.

l'on
pose,
comme
au
(resp.
v'®v = v ' < F < - > , - > * W - , R ' < - > >

par

S e c t i o n A - § 4 . - page 5

. •
analogie

avec

,
le>

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g è b r e s

(3)

4.2. Amphi-algèbres et sesqui-algèbres
La notion d'amphi-algèbre s'obtient par enrichissement
automatique de celle d'algèbre (mais, pour qu'il soit automatique, encore nous a-t-il fallu présenter d'une manière
adéquate au §2.2 la notion d'algèbre) : nous l'explicitons
ci-dessous par souci de précision.
Nous introduirons ensuite celle de sesqui-algèbre, obtenue
par un enrichissement plus faible et donc moins automatique.
Alors, on verr^ qu'une amphi-algèbre est entièrement déter—
minée par une algèbre et une sesqui-algèbre; par ailleurs,
en Section B, §5.4, et Section C, §6.6, (i.e. en C S . C C B . l
et C S . C C C 1 ) , les sesqui-algèbres apparaîtront mieux
adaptées à l'étude, que nous avons en vue, du problème de
"l'assouplissement" des syntaxes.
Les amphi-algèbres sont définies comme suit :
Définition 3 : Si
on dit que (A,^>
si :
- A
-

est un objet de

pour

»(B1,B2)

tous

objets

: A(J(B2),A)

e s t un f o n c t e u r
-

3b = (A ,J>,B,K,t>) est une amphi-syntaxe,
est une 3b-amphi-algèbre
si et seulement

pour

tout

diagramme

(de

(i.e.

objet

A ,
B± , Bg e Ob(B)

de

B ,

• GrComp(D(K< Bt> , K ( B^ ) , A ( J ( Bt> , A) )
une f l è c h e de

B e Ob(B)

tel

GrComp
que K(B)

),
e Obld(D)

GrComp ) c i - d e s s o u s e s t commutatif

,

le

:

<3>
On
trouvera
des
exemples
d'amphi-algèbres
algèbres en S e c t i o n C, § 6 . 4 ( i . e . en C S . C C . C 1 ) .

Section A - §4.

- page 6

et

de

sesqui-

Section

A

-

§4.

*<B'B>

A(J(B),A)

-

et

sesqui-algebres

> GrComp(D(K(B) , K ( B ) ) , A ( J ( B ) , A ) )
CrComp(

id

A(J(B),A)

Amphi-syntaxes

iD<K<B)),id(A(J(B),A>))

> GrComp ( U , A ( J ( B ) , A ) )
0
curry(drteA<J<B)A))

pour t o u s o b j e t s

B t , Bg , Bg € Ob(B)

GrComp > c i - d e s s o u s e s t commutatif

,

l e diagramme

(de

:

GrComp(D<K<B 2 >,K<B a >>,A<J<B 2 > ,A>) «GrComp(id(t><K<Ba>,l«Ba>>) , * < B 4 , B a > )

GrComp(D(K(B ) , K ( B ) > , G r C o m p ( t > ( K ( B ) , K ( B ) ) , A( J ( B
Z

3

X

Z

),A)))
1

curry"

*KB ,B )
2

3

GrComp(D(K(B ) , K ( B ) ) « D ( K ( B ) , K ( B )>,A(J»(B >,A>) A ( J ( B >,A>
Z

3

X

Z

x

3

GrComp (m-,(K(B ) , K ( B ) , K ( B ) ) , i d ( A ( J ( B > , A ) ) )
•V

X

Z

3

GrComp(D"(K(B ) , K ( B ) , K ( B ) ) , A ( J ( B
i

2

a

i

X

Z

1 3

),A>)

GrComp ( k f t < l « B ) , K ( B ) , K ( B ) ) , i d ( A ( J ( B
SV

* ( B ,B )

i

3

),A)))
x

G r C o m p ( D ( K ( B i > , K ( B a ) ) , A ( J ( B i ) ,A>) <-

-

pour

tous

objets

B t , 83 e Ob(B)

GrComp ) c i - d e s s o u s e s t commutatif

Section

A -

§4.

-

,

:

page

7

le

diagramme

(de

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e e q u i - a l g e b r e s

•<Bt,B2)

-» GrComp(t>(K(B i ) , K ( B 2 ) ) , A( J ( B i ) , A) )
GrComp(K(Bi,B2),id(A(J(Bi),A>))

GrComp(B(B , B ) , A ( J ( B

A(J(B2),A)

),A))

GrComp(J(B , B > , i d ( A < J < B

>,A>))

•> G r C o m p ( A ( J ( B 4 > , J ( B 2 ) ) , A ( J ( B 4 ) , A ) )
c u r r y ( k A ( J ( B i ) ,J(B2) ,A))

Pour

une

telle

B t , B2 e Ob(B)
A

et

si

*-amphi - a l g è b r e

, si

x : vKBj)

d : K<Bt>

> 1((¾)

a l o r s on d é s i g n e par
A

telle

que

commutatif

le

(A,*)

• A
est

(de

si

e s t une 1-f l è c h e de
une

x -^ d : J(B±)

diagramme

,

1 - f l è c h e de

> A

la

t> ,

1-f l è c h e de

GrComp > c i - d e s s o u s

est

:
x

D
drteU

d

•*

-> A ( J ( B ± ) ,A)

0

curry

(*(B

, B ) . x)

gche,

U
0

0

-> tvEXKiB
i d ( D >®d

),K(B ))

0

X

- • A(vf(B2),A)

,

Z

0

( s a c h a n t que, c o n c r è t e m e n t
x : 11
»(Bt,B2)

:

0

: A<J<B2),A)

- > GrComp(D(K(B i ) , K ( B 2 ) > ,A(vf ( B ^ , A) ) ,

d s Ue -> I X K ^ ) , ^ ( ¾ ) )
x ._ d : U
«f

-•

,

A(J(Bp,A)

0

sont des foncteurs). De la sorte, il est facile de vérifier

Section A - § 4 .

- page 8

§4.

Section A

qu'on

dispose

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

d'une

£>-algèbre

(i.e.

la

3ù-al gèbre

des

d'une

3b- -algèbre)
0

(A, S) ,

appelée

1-f lèches

de

(A,*) ,

toute

1-f lèche

lorsque :
-

pour

tous

x

: J(B2>

d : K(B1)

objets

Bt ,

B^ € O b ( B )

,

> A

de

A

et

pour

on p o s e

:

> 1((¾)

de
*

D
9

,
d

"

x

» d

pour

toute

1-f lèche

"

Plus généralement, si
G
est un objet de
GrComp , si
B± , Bg € Ob(B) , si
x = ^(¾)
>^ A
est une G-flèche
de
A
et si
d : K(Bt)
> K<Bzy
est une 1-f lèche de
D , alors on désigne par
x -~ d : J(Bt)
• A
la
G-f lèche de A
telle que le diagramme (de GrComp ) cidessous est commutatif :
d
> A(J(B i ),A)
curry

drte^ -

GtfH

(+(8^,6) . *>

> G«D(K(B > ,K(B ))
id(G)ad

1

2

(sachant que, concrètement :
X : G -* A(J(B2>,A) ,
»(B1,B2) : A(J(B2),A> -• GrComp(D(K(Bi> ,K(B2> ) ,A( J(Bi> , A) ) ,
d : H

-» D(K(6^,1((62)) ,
0

* . # d : G -> A(J(Bt>,A>
sont des foncteurs). De la sorte, il est facile de vérifier
qu'on dispose encore d'une ^-algèbre
3b^-algèbre

des

1-f lèches

- pour tous objets
x : J(B2>

> A

et

(A,*V) , appelée

G-f lèches

de

la

(A,*) , lorsque :

B± , Bfe € Ob(B) , pour toute 1-f lèche
de

A

Section A - §4.

et

pour

- page

9

toute

1-f lèche

Section A

d : K(B1)

(en

-

§4.

-> K(B 2 )

particulier,

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

de f> , on pose
x .
d = x *
"G
si
G = U
on

bien

0

entendu

( A , ^ > = (A,S> ) ,
- pour tous objets
X : J(B2)
>^ A
d : K(B±)
> K(B 2 )

= Ob(B) , pour toute G-f lèche
A
et pour toute 1-flèche
, on pose :

de
de

d = x

X

"G
Bien entendu, la JD-algèbre des 1-f lèches de (A,$) et les
^^-algèbres des 1-f lèches et G-f lèches de
<A,#>
ne
suffisent pas en général (et ceci quels que soient les G
choisis) à reconstituer la J^-amphi-algèbre
(A,^>
: en
effet, aucune ne contient d'informations concernant l'opération des G-f lèches de D sur les "1-f lèches de (A,*) •'
(i.e. les 1-flèches de codomaine A ) .
Pour combler
ces lacunes, si
Ob(B) ,
Bt , B 2
si
x : J(B2)
> A
A
et si
est une 1-flèche de
S : K(B±)
>G K(E ) est une G-f lèche de
désignons
par x .^ 6 : J(B t )
la G-flèche de
telle que
+G A
le diagramme (de GrComp ) ci-dessous est commutatif
S

» A(JP(B i >,A)
curry _ 1 (*(B ,B ) x)

gche G

> H «D(K(B >,K(B ))
idCfl )*6

0

1

2

0

(sachant que, concrètement
x : U
A(J(B2),A>
#(64,62) : A(J(B 2 ),A)
GrComp(D(K(Bi),K(B2)),A(J(Bi),A)),

Section A - §4.

- page ÎO

Section A

-

$4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

6 : G -> tXKCBJ ,KCBZ>) ,
x . # 6 z G -• A(J(B t ) ,A)
sont des foncteurs).
De la sorte, on n'obtient ni une " {G/3b)-algèbre des 1flèches de (A,*) " (puisque la composée d'une 1-flèche et
d'une G-f lèche n'est pas une 1-f lèche, à moins que
G = H

! ),

ni

M

une

(G/»)-algèbre

des

1-f lèches

et

0

G-flèches de
(A,*) " (puisque la composée de deux
G-flèches n'est pas, a priori, définie, à moins que
G = 'D0 ! > :
la
structure
obtenue
est
celle
d'une
(G/.»)-algèbre partielle
(au sens de CA.M.E.N. 1) très particulière sur les 1-f lèches et G-f lèches de (A,t>) . En fait,
nous verrons plus bas qu'il est possible et préférable de
rendre compte de cette partialité très particulière en
termes de sesqui-algèbre.
En tout cas, moyennant les notations qui précèdent, il est
facile de constater que les axiomes exprimant que
(A,£)
est une JP-amphi-algèbre impliquent les suivants (ré-écrits
en utilisant des notations analogues à celles introduites
au §3.2 et concernant les sur—structures £ //D et £ //A
de

£0 /D

et

0

0

£ 0 /A ) puis leurs sont équivalents :

(i)
pour tous objets
Bt , B^ e Ob(B) , pour toute 1f lèche d : K(Bt)
> KiB^
de D et pour toute 2-f lèche
X s x sss8s> x9
x

de

A

(ii)

z J(B^)
'»

6

S

X

• A
' *

d

"•••*

de

A ,

X

*

'

d

on a l a
S

J < B

i>

2-f lèche
*

:

A

,

pour

tous objets

B± , B^ e Ob(B) , pour

f lèche d : K(Bt)
> tC<Bz> de D
identité Id(x) : x — • x : J C B ^
Id(x> . # d = Id(x . # d) : x .
dans A ,

Section A - §4.

toute

1-

et pour toute 2-f lèche
• A de A , on a :

d —-e x . # d : J(B±)

- page 11

> A

Section A

(iii)

pour

tous

f lèche

d : K(Bt)

composée

x'*x

-

§4.

Amphi-syntaxes et

objets

B± , ^

• 1((¾)

: x — • x'

de

sesqui-algebres

€ Ob(B)
t>

,

pour

toute

1-

e t pour t o u t e 2 - f l è c h e

==> x " : J ^ )

• A

de

A ,

on

a :
(*'**>

* d = (*'

dans

A

(j)

pour

flèche

tous

. # d : J(Bt>

objets

,

6 : d — e d'

te 1-flèche

6 : x

B± , 62 € Ob(B)

: K(B ± )

x : J<B^>

x .
de

* <*>*<* • * 6> =
- —•• x' . # d — • x "
# d

• A

> K<Bfe>
de

. # d esss> x

de

pour
D

toute

e t pour

2tou-

A , on a l a 2 - f l è c h e :
^ d'

: J(B±)

> A

A ,

(jj)

pour

tous objets

flèche identité

Bt , E^ e Ob(B) , pour

Id(d) : d ==> d : K(Bt)

et pour toute 1-flèche

x : J(BLj)

> A

toute 2-

> 1((½)
de

de

A , on a :

x .

Id(d) = Id(x . # d) : x - # d = > x . # d : J(B±)

dans

A ,

(jjj) pour

tous objets

B± , EL, e Ob<B) , pour

composée

de

et pour toute 1-flèche

t>

> A

x : ^(¾)

>A

toute

S9 tô : d —*> d' = » d" : K(Bt)

f lèche

D

de

2-

> 1((¾)
A , on

a :
x . # (<5'*<5) = (x - # <5')*(x - # 6) s
x . # d — è x . # d' —s> x . # d" : J(B t )
dans

A ,

(k)

pour tout objet

B e Ob(B)

tel que

et pour toute 1-flèche x : J(B)
> A
x . # id(K(B>) = x

de
,

>A

K(B> € Obld(D)
A , on a :

(kk) pour tous objets
Bt , B^ , B^ e Ob(B) , pour toutes
1-f lèches
ou
2-f lèches
b± z K(Bt>
> 1((¾)
et
6 2 : 1((¾)
> 1((¾) de D
et pour toute 1-flèche ou 2flèche 3: : vl(Bg)
> A de A , dès que l'un des membres

Section A - §4.

- page 12

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

de l'égalité ci-dessous est défini, l'autre l'est également
et cette égalité est vérifiée :
y
(kkk) pour

^ <àz

. 6t) = (y - # 62) . # b±

tous objets

Bt , ¾ e Ob(B) , pour

toute

1-

f lèche ou 2-f lèche b : ¾
> ¾
de B et pour toute 1f lèche ou 2-f lèche y : ^1(¾)
> A de A , dès que l'un
des membres de l'égalité ci-dessous est défini, l'autre
l'est également et cette égalité est vérifiée :

?

K(b) = y . J(b>

(évidemment, les axiomes (i) à (iii) expriment la "fonctorialité à gauche,
Hom
interne par
Hom
interne" de la
"loi de composition" - .^ - , tandis que les axiomes (j) à
(jjj) expriment sa fonctorialité à droite).
On pourra donc visualiser cette loi de composition
attachée à une telle Jfc-amphi-algèbre <A,#) comme suit :

et comme suit

Section

A

§4.

- page 13

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

M
r—i s
d ! »»»

d9

ou, plus simplement, ainsi

x .^ d
-> # <

et ainsi

Section A - § 4 .

- page 14

Section A

-

§4.

Amphi-syntax*» «t • • e q u i - a l g â b r e s

r

1
;

d; »:•»;d'

> •

<-

Si on ne peut donc pas dire qu'une 2-amphi-algèbre
(A,*)
est entièrement
déterminée par la seule 3b^ -algèbre
0

(A,* £ )

de ses 1-flèches et 2-flèches, des conditions (i)

0

à

(kkk) résulte néanmoins qu'elle peut

être

"entièrement

reconstruite à partir de la composition - mais qui est
partielle des 1-f lèches ou 2-f lèches de
D avec les
1-flèches ou 2-flèches de A de codomaine A ".
Définissons les sesqui-algebres comme suit
Définition 4 : Si
on dit que
si :
- A

(A,«r>

3b = (A,sJ,B,K,D) est une amphi-syntaxe,
est une 3b-sesqui -algèbre
si et seulement

est un objet de

- pour tous objets

A ,

Bt , ¾ e Qb(B)

de

B

:

€ ^ , ¾ ) : A(J(^,A)
> GrComp(D(K(B 1 ),K(^),A(J(B 1 ),A))
est une application (i.e. une flèche de E n s ! ) pour laquelle on note :
a<B±,Bz^ z A ( J ( ^ , A )
> Ens(ID(K(B1> ,1((¾) ) ,A( J(B t ) , A) )
l'application définie comme rendant commutatif le diagramme

Section A - §4.

- page 15

Section A

ci-dessous

-

§4.

Amphi-syntax*s «t e*squi-a.lgàbr«s

(4>

A(J(B2),A)

«r(B ,B )
-—=—• GrComp(D(K(Bi),K(B2)),A(sJ(Bi),A))
CfcrCompCU ,-)J> ( D ( K ( B ) , K ( B

cr(Bi,B2)^

0

1

)),
2

A(J(B

),A))

Ens(GrComp(U , D ( K ( B ) , K ( B,) ) ) ,<DrComp(U . A(*KB ) , A) ) )
0

1

2

0

1

Ens(Œ>(K(B 4 ) , K ( B 2 ) ) ,A( J ( B t ) , A ) )

- pour t o u t o b j e t
diagramme (de

B € Ob(B)

tel

que

K(B) € Obld(D)

Ens > c i - d e s s o u s e s t commutatif
<r<B,B>

A(J(B),A)

, 1<

:

> <DrComp(D(K(B) , K ( B ) ) , A ( J ( B ) , A ) )
GrComp(iI)(K(B)) ,id(A(J(B) ,A)))

id

<GrComp(D

,A(J(B),A))
0

-

pour tous o b j e t s

B± , Bz , B^ ^ Ob(B)

Ens ) c i - d e s s o u s e s t commutatif

<4>

tion

La

notation

CGrComp(U

générale

choisie

GrComp(D , - )

: GrComp

l e diagramme

(de

:

,~)-2

au

,

««i

§1. 2,

conforme

appliquée

d

ta

au

conven-

foncteur

• Ens .

0

Le
lecteur
voudra
bien
pardenner
la
lourdeur
intentionnelle
ici
de
la
présentation
adoptée :
nous
voulons
de
nouveau
suggérer
qu'on
pourrait
"enrichir"
(ou
"partiellement
enrichir")
les
graphes
d
composition
puis
les
syntaxes
autrement que par
GrComp .

Section A - § 4 .

- page 16

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes e t

sesqui-algebres

Ens(Œ>(K(B 2 ) ,K<Ba>> ,€rCoflp(I><K<B > ,K<B >> ,A< J(B ) , A ) ) )
•

_ _

<

E n s ( i d ( I D ( l « B ) , K ( B ) ) ) , « r ( B ,B ) )
Z

C<DrComp(U , - ) . >
(D(K(B ) , K ( B ) ) ,
Z

1

3

2

Ens(Œ>(IC(B2),K(Ba)),A(J(B2),A))

9

€ r C o m p ( D ( K ( B t ) ,K(B 2 >> ,A( J ( B ± ) , A ) ) )

cr(B ,B )
2

• ®rComp(I>(K(B >,K(B ) > ,
CrComp(D(K(B > , K ( B ) ) , A ( J ( B

3

),A)))

curry

A < J ( B g ) ,A)

£(B
• <&rComp(D(K(B ) , K ( B ))«t>(K(B ) ,K(B ) ) ,
A(sKBi),A))

B B A)
*" 2 ' a '

m(Bi,B2,B3,A)
PF
si

le

diagramme

(de p r o j e c t i o n s

ci-dessous
fc(B

représente

, B , B ,A)

Section A - §4.

et

un

produit

m(B , B , B ,A)

- page 17

)

:

fibre

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

<GrComp(D"(K(Bi) ,K(B 2 ) ,K(B3)> ,

sesqui-algebres

GrComp ( D d ^ B ^ ,K(B 3 ) ) ,
A(vKB i ),A))

A(vl(Bi),A))

GrComp (k-.(K<B ) ,K(B ) ,K(B ) ) , id(A(J<B > , A) ))
1

•V

Z

3

1

<*B 4 ,B a )
GrComp( 01^( K( B ± ) , K( B 2 ) , K( B a > ) ,

A(J(B g ),A)

id(A(J(B i ) ,A)))
fe(Bi,B2,Ba,A>
m(B 4 ,B 2 ,B 3 ,A)
GrComp(I>(t:(B ) ,K(B ) )«D(K(B ) ,K(B >) ,
2

3

A(^(B i ) ,A))

1

PF

Z

- pour tous objets
Bt , E^ e Ob(B) , le diagramme
Ens ) ci-dessous est commutatif :

(de

e(B -B.)
1'

2

-> GrComp(D(i:(B ) , K ( B 2 ) ) , A ( J ( B 4 ) , A ) )
GrComp(K(B , B ) , i d ( A ( J C B ^ , A) ) )

GrComp(B(B , B ) , A ( J ( B

A(vf(B2),A)

),A))

GrComp(J(Bi,B2),id(A(J<Bi>,A)))

-»GrComp(A(sKBi),J<B2)),A<J(Bi),A>)
GrComp(U ,
0 curry(k.(J(B ) ,J(B ) ,A)))
A

Ainsi,

si

(A,e)

est

l

Z

une ^ - s e s q u i - a l g è b r e ,

Section A - § 4 .

- page 18

alors

(A,<r)

Section A

-

§«.

Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

est une 2>-algèbre. Nous dirons que c'est la 3D-algèbre des
1-f lèches de (A,**)
et (par analogie avec le cas des
amphi-algèbres) on pourra noter (A,cr) = (A,r. ) .
0

Pour

une

telle

B1 , 62 e Ob(B)
A

et si

A-sesqui -algèbre

, si

x s J(B2>

d : K(Bt)

• KlBJ

a l o r s on d é s i g n e par
A

telle

que

commutatif

x -

(A,«r)

si

> A e s t une 1 - f l è c h e d e
e s t une

d : J<B 1 )

l e diagramme

,

(de

1-flèche

de

D ,

> A l a 1 - f l è c h e de

GrComp )

ci-dessous e s t

:
x -

d

N,

/
11

> D(K(B ) , K ( B ) )

> A(J(B),A)

z

d

±

ir(B i ,B 2 )(x)

( s a c h a n t que, c o n c r è t e m e n t :
x : U0 - • A(J(B2),A)
€T(B 1 ,B 2 )

: A(J(B2),A)

,

- > GrComp(D(K(B 1 ) ,K(B2) ) , A ( J ( B t ) , A) ) ,

d : H 0 -> D(K(6^,1((62)) ,
x v d : U 0 -* A(J(Bt),A)
sont des foncteurs).
Trivialement, on voit que :
- pour tous objets
B± , B^ e Ob(B) , pour toute 1-flèche
x : JCBp
> A
de
A
et pour
toute
1-flèche
d s K(B t )
> 1((½) de D , on a :
x . d=x . d .
cr
De

même,

c

si

G

est

Bt

, Bz e Ob(B>

, si

x : vKBfc)

A

et si

on d é s i g n e

6 : K(Bt)
par

x .

un

objet
> A

• ^ 1((82)

que l e diagramme

tatif

:

e s t une

>^ A

( d e GrComp

Section A - §4.

GrComp

)

,

si

1-flèche de

e s t une G - f l è c h e

6 z J(B«)

telle

de

de

D ,

l a G-f lèche

de A

ci-dessous est

commu-

- page 1 9

Section A

-

§e.

x

G

-

sesqui-algebres

6
c

/

s.

> D(K(B ),K(B ) )

ô
(sachant

1

que,

6

A(J(B),A)

«r(B4,B2)(x)

: 11

:A(J(B2>,A)

•

2

concrètement
x

<r(B1,B2)

Amphi-syntaxes e t

*

:
—• A ( J ( & 2 ) , A )

,

- > G r C o m p ( D ( K ( B 1 ) ^ ( B g ) ) , A ( J ( B t ) , A) ) ,
z G -•

D<l«B^)fK<B^>>

9

x .^ 6 z G —• A(J(B t ) ,A)
sont des foncteurs).
Cependant, de la sorte on n'obtient qu'une (G/3b)-algèbre
partielle
(au sens de EA.M.E.N.3) très particulière sur les
1-flèches et G-flèches de <A,«r) . C*est la nature même du
mode

d* enrichissement

algebres

qui

partiel

précise

le

choisi

"genre

de

pour

les

sesqui-

partialité"

de

cette

(G/3b) -algèbre
partielle
(et qui nous dispensera dans la
suite de parler en termes d'algèbres partielles "générales"
- i.e. trop générales ici).
Moyennant les notations qui précèdent, il est facile de
vérifier que les axiomes exprimant que
(A,«r)
est une
^-sesqui-algèbre impliquent les suivants (ré-écrits en
utilisant des notations analogues à celles introduites au
§3.2 et concernant la sur—structure

£ //D

de

£ /D ) puis

0

l e u r s sont

équivalents

(j' )

pour

tous

flèche

6

z d — *

toute

1-flèche
x

de

A

.

objets
d'

B± ,

Bj « O b ( B )

,

pour

toute

> KCB^)

de

D

et

: K(Bt)

x : JKBfe)
6 z x

.

K

0

:

> A

d ss# x

.

de

A

,

on a l a

d'

:

J<B«>

2pour

2-f lèche

:

> A

,

(jj' ) pour tous objets
B± , Bj, e Ob(B) , pour toute 2flèche identité
Id(d) : d — • d : K(B t )
> t^Bfc)
de
D

S «et von A - §4. - page 20

Section A

-

§ 4 . Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

et pour toute 1-flèche x : JP(B^)
> A de A , on a :
x . Id(d) = Id(x . d) : x . d s***» x - d : J(B.)
>A
dans A ,
(jjj' ) pour tous objets
B± , Bz e Ob(B) , pour toute 29
f lèche composée
6 ta z d — + d9 ***** d99 : K(B1)
> KCB-,)
de D et pour toute 1-flèche x : vKB^) — • A
a :
x . (6'*<5) = (x . 6')*(x . 6) :
* •
dans

d ****> x -

de A , on

d' — e x . d" s J(B4)

•A

A ,

(k* )
pour tout objet B e Ob(B) tel que K(B) e Obld(D)
et pour toute 1-flèche x : J(B)
> A de A , on a :
x - id(K(B)) = x
(kk' )

pour

1-flèche

tous objets

ou 2-f lèche

toute 1-flèche

B± , Bg , Bg € 0b (B)

ô t : K(B±)

<52 : 1((¼)

pour

toute

• K(B2>

de

D ,

pour

de

et

pour

toute

• K(Bg)

1-flèche

x : J(BB)

> A

bres

l'égalité

ci-dessous

de

,

de

A ,
est

D

dès que l ' u n
défini,

des mem-

l'autre

l'est

également et c e t t e é g a l i t é est v é r i f i é e s
x
(kkk' ) pour

<6Z . 6t> = (x

v

tous

objets

f lèche ou 2-f lèche

\

,

B± , B^ e Ob(B)

,

pour

B

et

b : Bt

1-flèche

x : J(B2>

bres

l'égalité

de

v

> A

v

<5 2 )

> B% de
de

ci-dessous

A ,
est

également et c e t t e é g a l i t é est v é r i f i é e

x .

pour

dès que l ' u n
défini,

toute

1-

toute

des mem-

l'autre

l'est

:

K(b) = x . J ( b )

On pourra donc visualiser cette loi de composition attachée
à une telle Jft-sesqui-algèbre

(A,«r)

comme suit :

S e c t i o n A - § 4 . - page 21

Section A

-

§4.

ou, plus simplement,

Amphi-syntaxes «t

sesqui-algebres

ainsi

r

1

r~~~i s
j

d J suit

Si on ne peut évidemment pas dire qu'une A-sesqui-algèbre
(A,**)
est entièrement déterminée par la seule JD-algèbre
(A,o) de ses 1-f lèches, des conditions (j' ) à (kkk' ) résulte néanmoins qu'elle peut être "entièrement reconstruite
à partir de la composition des 1-flèches ou 2-flèches de D
avec les (seules) 1-flèches de A de codomaine A ".
Compte tenu des définitions

Section A

§4.

-

(et notations) adoptées

page

22

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

pour les amphi-algèbres et sesqui-algebres, il est maintenant clair que :
Proposition 1 : Si
alors
née

une
par

3b = (A,JP,B,K,E>) est

3b-amphi-algèbre

(A,*)

la

3b^ -algèbre

donnée

d'une

une

amphi-syntaxe,

est entièrement

détermiC"sur

(A,T)

les

0

1-f lèches
3b-sesqui

et

1-f lèches

de

-algèbre

(A,c)

C"sur

telles

que

- pour

tous

(A,*) "}
les

objets

B± , B% G Ob(B) , pour

• K(B 2 )

x

> A

: JCBJJ)

de

de

t>

, on

a

A

et

tous

objets

(A,*)

"}

• K(B2)

X : ^(Bg)

>£ A

de

de

\
*

tous

z K(B ± )

objets

1-flèche

toute

1-flèche

toute

1-flèche

toute

2-flèc?xe

pour

toute

2-flèche

pour

toute

l-/ièc?ie

d = x .c

D

,

et

d,

pour
pour

, on a :
"* d

=

x

"x d •

B t , Bg € Ob(B)

>£ K(B2)

toute

pour

B± , B± e Ob(B)

d z K(Bâ)

6

de

:

x .*- d = x .
T

- pour

1-f lèches

:

d z K(B±>

- pour

d9une

et

de

D

,

et

0

x : J<B2>

> A

de

A , on a :
x -- 6 = x .

6 .

Clairement,

(A,T)

est la 3b~ -algèbre des 1-f lèches et

2-f lèches de

(A,*)

: on a donc

0

( A , T ) = (A,* £ )

et on

0

note aussi ( A , T ) = T(A,*) . De même, on appelle (A,cr) la
Jfc-sesqui-algèbre des 1-flèches de
(A,*)
et on note
(A,«r> = (A,«r(»)) = S(A,»> .
La

définition

des

amphi-homomorphismes

sesqui-homomorphismes) entre &-amphi-algèbres

Section A - $4.

- page 23

(resp.

des

(resp. entre

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes e t

sesqui-algebres

wft-sesqui-algèbres) s'obtient automatiquement : nous laissons au lecteur le soin de l'écrire, en enrichissant (resp.
en enrichissant partiellement) la définition 4 du §2.2.
Alors, on note
A 3b
la catégorie (évidemment localement
petite) dont les objets sont les *-amphi-algèbres et dont
les flèches sont les JB-amphi-homomorphismes . On dispose
(6)

donc du foncteur (évidemment fidèle)
V»

<<Ai»»i>»aïAi

z A*

:
> A

(A,*) I
>A2,(A2,»2>) l

> A
> a

De même, on note
A
la catégorie (évidemment localement petite) dont les objets sont les J^-sesqui-algèbres et

<5>
On
ne
se
préoccupe
canonique
qui
permet
de
m3b

ment
ici
A
terait,
davantage
notée

A

d'une
que

pas
munir

de
la

l'enrichissement
notée
commodé-

structure
d'amphi-calégorte
<qui
sa
catégorie
sous-jacente,

mérid'être

>.

Le
foncteur
sous-jacent
à
pone

détailler
catégorie

noté
commodément
ici
un
amphi-foncteur
(que
m3b
d'expliciter)
A
—> A

pas

que son foncteur s o u s - j a c e n t , d'être noté

mi3b

U

U
nous
(qui

est
ne

canoniquement
nous
préoccu-

mériterait,

davantage

>.

La
notation
A
nous
semble
assez
parlante,
elle
présente
cependant
quelque
danger
si
l'on
oublie
que,
( A , C")
étant une & - e e s q u i - a l g e b r e :
- certes,
les
1-fléchee
et
les
2-fléchee
de
D
ne
peuvent
ee
composer
qu'avec
les
1-fléches
de
A
de
codomaine
A
(i. e .
avec l e s f l è c h e s de
A
de codomaine
A , c e qui
est
une
justification
de
l'utilisation
du
"A"
dans
la
notai t
tvon

Ai

>,

- en revanche, l e composé d'une 2 - f l é c h e
de
D
flèche de
A
de codomaine
A
e s t une 2-fléche
non pas une f l è c h e de
A >.

Section A - §4.

- p a g e 24

avec
de

une
A

1(et

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

dont les flèches sont les Jft-sesqui-homomorphismes.
On laisse au lecteur le soin de compléter, à la lumière de
ces considérations, la proposition 1 précédente, en constatant qu'on dispose canoniquement d'un produit fibre représenté
par
le
diagramme
commutatif
(des
foncteurs
"^-sesqui-algèbre des 1-flèches sous-jacente", "JD-algèbre
des 1-flèches et 2-flèches sous-jacente" et de trois foncteurs "3>-algèbre des 1-flèches sous-jacente") suivant :
A*

.»

(£0/A)

%

i y
A

Bien entendu, un amphi-homomorphisme (resp. un sesquihomomorphisme) entre amphi-syntaxes induit
un foncteur
entre leurs catégories d'amphi-algèbres (resp. de sesquialgebres) : nous laissons au lecteur le soin de le constater, en "enrichissant" (resp. en "enrichissant partiellement"), les développements correspondants du §2.2(8>.
Formellement, si 3b = (A,J,B,K,D) et 3b9 = (A' ,JP' ,B' ,K' ,D' )

(8>

Nous
ne
faisons
figurer
ici
que
des
considérations
très
brèves
sur
les
foncteurs
induits
par
les
amphihomomorphismes
(resp.
les
seequi-homomorphiemee) D'une
part,
parce
qu'elles
se
déduisent
par
enrichissement
automatique
(resp.
partiel)
des
considérations
du
§2. 2
et,
d'autre
part,
parce
que
nous
n'en
aurons
pas
l'utilité
dans
la
suite,
puisque
nous
ne
chercherons
pas
à
y
construire,
a
fortiori
d
caractériser,
la
théorie
enrichie
(resp.
partiellement enrichie) engendrée par une amphi-syntaxe.

Section A - §4.

- page 25

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes e t

sont deux amphi-syntaxes, si

sesqui-algebres

J€= (F,v,R,Ci,H) : 3b

> 3b9

est un amphi-homomorphisme (resp. un sesqui-homomorphisme),
on note :
R * : A'*'

> A*

R * : A'*'

• A*

(resp. :

le foncteur qu'il induit.
Dans la m@me veine qu'au §2.2, nous laissons au lecteur le
soin d'exhiber "tous" les diagrammes commutatifs qu'on peut
déduire canoniquement de ces foncteurs.
Enfin,

il vérifiera

que

"l'induction

des

foncteurs

est

fonctori elle".

4.3. Amphi-algèbres libres et sesqui-algebres libres
On va associer à chaque amphi-syntaxe sur une amphicatégorie co-représentable deux syntaxes (non enrichies) :
- l'une dont les algèbres seront
algebres de cette amphi-syntaxe,

exactement

les sesqui-

- l'autre dont les algèbres seront exactement les amphialgèbres de cette amphi-syntaxe.
Alors, il sera facile de prouver qu'il existe des sesquialgebres et des amphi-algèbres libres.
Supposons donc que
syntaxe.

3b = (A,<J,B,K,D)

est une amphi-

On désigne par pSSA(D) le graphe à composition représenté
par le schéma (de principe) ci-dessous et construit selon
les modalités qui suivent :

Section A - §4.

- page 26

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

* D

'iNjLiiî/f
Selid

„i

D<Di,D2><do>

pSSA(D)

P,<W

<W

i

-

0

s e l i. d

Ob(pSSA(D)) = Ob(D) x O b ( G a r C o r n p )

§3.3,

^arcomp

l'esquisse

e s t

EarCornp

l e

(où,

comme p r é c i s é

graphe à composition

sous-jacent

des g r a p h e s à c o m p o s i t i o n ) .

Section A - §4.

- page 27

au
à

Section A

-

ObId(pSSA(D))

- s i
g :

g : 6±
Bg

:

- s i

Amphi-syntaxes et

x

• 62

une

est

flèche

est

un

objet

dt

> D2

alors

D±

f l è c h e de

est

à un objet

P±(d±)

flèche

6± z D ±

:

de

©arcomp
c

de

une f l è c h e

une

P

>

D

,

arcomp°

de
de

1-flèche

du g r a p h e

= (d±,Eob)

pSSA(D)

est

sesqui-algebres

,

une

• (D,G±)

:

<Eob>

est

(D,G2>

s'identifie

- s i

§4.

= Obld(D)

• 6t

D e Ob(E>)
(D,g)

-

si

e t

s i

alors

pSSA(D)
de

D

à composition

(Dt,Eob)

<i-e.

,

,

i.e.

D(D1,D2)

> (D2,Eob)

,

est

une

,

i.e.

,
>~ D 2

est

une

2-f lèche

de

du

graphe

à

D

0

s'identifie
D(D±,D2>

à

,

f l è c h e de

P2ià±)

pSSA(D)

,

d0

:

tifie

à

un

D±

,

> D2
objet

(62

:

= (D±,EFl>

est

a

alors

une f l è c h e de
- s i

flèche

alors

- s i

D(D 1 ,D 2 >

une

une

P0<d0>

pSSA(D)

D±

> (D2,Eob)

1-flèche

identité

du

composables

graphe

:

Pa<^2^1)
pSSA(D)

du

qui

s'iden-

graphe

à

composition

> (D2,Eob)

est

,

qui

< D ±* E ccom P >

z D±

> £ D2)

est

un

couple

de

flèches

0

s'identifie
à

à un couple

composition

> (D2,Eob>

D(D1,D2)
est

une

*

flèche

alors
de

,

- si

D

H /D

des 1-f lèches de

0

une

D

0

D

est

de

= < D ±> E obid>

> £ D 2 , ô±

de 2 - f l è c h e s de

composition

est un objet à identité du graphe à composition
D

(i.e. si

D

est un objet à

(D,Eob)

est un objet à

identité de

D , autrement dit si

identité de

pSSA(D) ), alors on a :
^ p S S A d » * 0 ' ^ = U d 1 ] /•><"»-E**) .
0

autrement

dit

:
" p S S A C D ) ^ ' ^

=^<id1]

Section A - § 4 .

/D<D>>

- page 28

•

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

-si
dt : D±
> D2
et
d : D2
> D3
sont deux flèches composables du graphe à composition
U /D
des 1flèches de D , alors (le composé ci-dessous est défini et)
on a :
(d,Eob>

.p S S A ( D ,

= <d

«di'Eob)

d

±

-H / D

d

-^

/D

9 Eob)

,

0

autrement

dit
p

:

*<d>

p <d

pSSA(D)

=

* *>

p

*<d

i>

>

0

- s i

6t

:

Dt

>~
r D2

est

£0

une

2-f lèche

de

D

et

d : D2
> D3
est une 1-flèche de D
qui sont composables dans le graphe à composition
£ /D des 1-f lèches et
0

2-flèches de
et) on a :

D , alors (le composé ci-dessous est défini

<d,Eob)

P2<<5i>

pSSA(D)

= P2<d

£

<5 t )

/ D

,

0

autrement

dit
p

*<d>pSSA(D)

- s i

d0

: D±

tifie

à

un

D(D1,D2)
a

,

:

> D2
objet

alors

une

p

i>

*

de

D

qui

graphe

à

composition

£

1-flèche

identité
composé

2<d

du

/D

ci-dessous

6

est

s'iden-

défini

et)

on

:
Po<do>
dit :

autrement

pSSA(E))

Po< d o>

pSSA(D)

<D

- s i

d0

s D±

> D2

tifie

à

un

D(D1,D2)
a

=

* *>

est

à

(le

p iô

,

i ' e injob>

= <do*Eob> 9

i »einjob>=Pi<do>=Pi<inJobD(D

objet

alors

( D

est

à

(le

une

1-flèche

identité
composé

du

j D

><da>>9

s'iden-

de

D

qui

graphe

à

composition

ci-dessous

est

défini

et)

on

:
p

- s i
i.e.

o<do>
d± ,

pSSA(D)
d2

:

D±

s'identifient

à

(D

i>e~Ud>

p

=

*<selidD(D^D2)(d0))

> D2

sont

deux

deux

objets

du

Section A - §4.

1-f lèches
graphe

- page 29

à

de

,
D

,

composition

Section A

D(D1,D2)

,

et

2-flèche

de

6±

> d2

z d±

-

§ 4 . Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

si

6± z d± = = * > d 2 : D t

D ,

qui

s'identifie

> D2

donc

du graphe à composition

( l e s composés ci-dessous sont d é f i n i s e t )
P2<<51>

<D

'pSSA(D)

à

e s t une
une

D(D 1 ,D 2 )

flèche
,

alors

on a :

l»edom> = <d±*Eob>

et :
P2<61>

<D

'pSSA(D)

l»ecodom> = <d2*Eob> 9

autrement dit :
ft(6i>

<D

pSSA(D)

i'edom>

=Pi<di>

= Pi<domD<Dl,D2)<<5i>)

et :
P2<<5±>
-

si

D

,

dt ,

D(D1,D2)

: d2

qui

S d3

d3

9

,

: D±

définis

et

=Pi< d 2>= P i < c o d o m D ( D 1 , D 2 ) ( < S l > > '
> D2

sont

à trois

objets

si

: D±

s'identifient

composition

et

d2

i' e codom)

i.e. s'identifient

tion
6Z

<D

p S sA(D)

6±

> D2
à

D<D1,D2)

z d±
sont

des f l è c h e s
,

alors

trois

1-flèches

du graphe
i d2

deux

à

: D±

composi» D2

2-f lèches

composables

de

et

de

D

du graphe

( l e s composés c i - d e s s o u s

à

sont

e t ) on a :
P3<<*2><5±>

-pSSAd»

P3<<52,6±)

p S S A ( I > )

< D

i'hi>

(Dt,h2)

=

Pz<<S2>

*

=P 2 (<5 1 )

:
P3<<52,<5i>

psSA(D) <Di^ecomP> = P2<^omp |:)(D ^ D2) (Ô2,<5 1 )>

La même construction

s'applique

évidemment f o n c t o r i e l l e ,
pSSA(K)

à

B

et,

comme e l l e

-

est

on note :

: pSSA(B)

> pSSA(D)

le foncteur ("commutant Avec les opérations
p0 ,
pt ,
P2 9 P3 etc...") ainsi associé à K . Par construction,
il est facile de vérifier que, tout comme K , le foncteur
pSSA(K) est bijectif sur les objets.
Maintenant, supposons que A

est une amphi-catégorie co-

S e c t i o n A - § 4 . - page 3 0

Section A

représentable

-

§4.

pour

Amphi-syntaxes et

laquelle

C s A
est

un

foncteur

rellement
At

et

de

c(E,At,A2)

(comme a u § 3 . 4 )
Mod(EGrCoTnp,A

de c o - r e p r é s e n t a t i o n ,

en t o u t

A2

•

sesqui-algebres

objet

A ,

E

de

op

)

de

sorte

EarCoTnp

on a u n e b i j e c t i o n

: GrComp(r(E),A(A1,A2))

:

op

et

en

que,

natu-

tous

objets

:

- ^ - > A ( C ( A ^ ( E ) ,A2)

.

(de sorte qu'on ne nuit en rien à la généralité en "identifiant

C(A1)(Eob)

plifier

les

et

A1 ", i.e. en supposant - pour sim-

notations

-

que

C(A1)(Eob) = A1

et

que

c(Eob,A1,A2) = id(A(A1,A2)) = id(A(C( A±) (Eob) , A2) ) )Alors, on désigne par :
pssa(J) : pSSA(B)
»A
le foncteur qu'on obtient en imposant que :
- s i
est

B e Ob(B)
un o b j e t

de

est

un

GarCOTnp

objet
,

on a

pssa(J)(8,G)

-si

B e Ob(B)

de

B

et

si

G e

CQrCoTnp

g : Gt

» (¾

:

= C(J(B))(G)

est un objet de

B

,

et si

est une flèche de G 0 r C o m p , alors on a :
pssa(J)(B,g) = C(J(B))(g) ,
- s i

b± :

B±

s'identifie
i.e.

si

alors

on a

• Bg

est

à un o b j e t

b± : r ( E o b >

une

1-flèche

du g r a p h e
= H

de

à composition

> B(B1,B2)

est

B

(i.e.

B( 64,62)
un

),

foncteur,

:

pssa(J)(b1,Eob) = J>(bt) ,
autrement dit :
pssa(J)(b1,eob) = c(Eob,J(B±) ^(62))(^(6^62)0^) ,
- s i

ft±

z B±

> £ 62

est

une

2-f lèche

de

flèche

du

graphe

à

B

(i.e.

0

s'identifie

à

une

B(61,62)

),

i.e.

si

ft±

foncteur

,

alors

on a

z T(EFL)

= £

:

Section A - §4.

- page 31

composition

> B(61,62)

est

un

Section A

-

§ 4 . Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

pssa(J)(p2W>

= c(EFl,J(B±) ,J(62>)(J(el,62)o/?1) ,

> Bg

-si

b 0 : 6±

tifie

à un objet

à

6(64,62) ? i-e. si

est une 1-flèche de B

qui s'iden-

identité

composition

b0

du graphe

est (identifié

à

à) un foncteur

(encore noté)
b 0 : r(EobId) = U
> 6(64,62) 9 a l o r s o n
a :
pssa(J)(p0(b0)) = c(EobId,J(61),J(62))(J(e1,e2)ob0> ,
-

si

(/?2

:

B

i

>& ^z

9 P% z

B

i

*£ ^ )

0

de 2-f lèches de
composables
e

(ftzift±>

du

^t

B

qui s ' i d e n t i f i e

graphe

à

(identifié

iftz,P±> s ^(Ecc^p)

e s t

u n

couple

0

= 30

à un couple de flèches

composition
à)

un

6(64,62)

foncteur

> 6(84,62)

,

i.e.

(encore

si

noté)

, alors on a :

pssa(J)(p 3 (^2^i>>=c(E C C o T n p ,J(B4) , ^ ( 6 2 ) ) ( ^ ( 6 4 , 6 2 )

*lfiz,fl±».

Dans ces conditions, on désigne par rssa(J) la relation
d'équivalence "a m@me image par pssa(J)
que" sur (les
objets et les flèches de) pSSA(B) .
Alors, on note

SSA(6) = pSSA(6)/rssa(J)

le graphe à com-

position quotient. Trivialement, on voit que. pour l'essentiel :
- ses

objets

objets

sont

les classes

d'équivalence

Z de pSSA(6) ,

- ses objets à identités sont les classes
au moins un objet à identité
- ses flèches sont
flèches

<Z> des

<Z>

contenant

Z de pSSA(6) ,

les classes d'équivalence

<z> des

z de pSSA(6) ,

- ses couples composables sont les couples (<z2>,<Z4>) de
classes contenant au moins une flèche z 2 , pour la première, et une flèche
zt , pour la seconde, telles que
(Z25Z4) soit un couple composable de pSSA(6)
(auquel cas

S e c t i o n A - § 4 . - page 32

Section A

on a, évidemment,

-

§4.

<z 2 >

Amphi-syntaxes e t

SSA<B)

sesqui-algebres

<z t > = < z 2

pSSA(B)

*i> >

On en déduit un foncteur passage au quotient :
qssa(J) : pSSA<B>
> p S S A ( B ) /rssa(J) = SSA(B>
p u i s l'unique foncteur, évidemment injectif :
ssa(J) : pSSA(B)/rssa(J) = SSA(B)
> A
rendant commutatif le diagramme ci-dessous :
pSSA(B)
qssa (vl>

pssa < J )
ssa < J)

SSA(B)

-> A

pSSA(B)/rssa(J>
Enfin,

on construit

diagramme commutatif
pSSA(B)

la somme

fibrée

représentée

par le

(de foncteurs) ci-dessous :
pSSA (K)

qssa(J)

-> pSSA(D)
q' ssa ( J )

SSA(B)

SSA(K)

pSSA <B)/rssa(J)

-> SSA(t»
pSSA(D)/r'ssa(J)

où il est facile d e vérifier que :
- S S A ( D ) = pSSA(D)/r' ssa(J>
est le graphe à composition
quotient d e
pSSA(D)
par la relation d'équivalence
r'ssa(J) , engendrée par "l'image" d e
rssa(J)
par
pSSA(K) ,
- q'ssa<J) : p S S A ( D )
> p S S A ( D ) /r' s s a ( J ) = S S A ( D ) est le
foncteur
passage
au quotient
(et l'on note
encore
<Z'> = q ' s s a ( J X Z ' ) , pour tout objet Z' d e pSSA(D) , et

Section A -

§4.

page 33

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

<z' > = q'ssa(J)(z') , pour toute flèche

z'

de

pSSA(D) ).

Ainsi, par construction, il est aisé de constater que, tout
comme pSSA(K) , le foncteur SSA(K) est bijectif sur les
objets.
On conclut de toutes les constructions précédentes que :
y>fs*{3b) = (A,ssa(J),SSA(6),SSA(K),SSA(D))
est une syntaxe (non enrichie) associée à 3b .
La proposition suivante montre qu'il est légitime d'appeler
yy>Jt{3b)

la syntaxe

algèbres

:

de co-représentation

pour

les

3b-sesqui-

Proposition 2 : Si
3b = (A,JP,6,K,D) est une
amphi-syntaxe
sur une amphi-catégorie
co-représentable
A , alors
la
catégorie
de ses sesqui-algebres
est une catégorie
d'algèbres.
Précisément,
si
y&s${3b)
est
la syntaxe
de
coreprésentation
pour les 3b-sesqui-algèbres,
alors
on
dispose
d*un isomorphisme
canonique,
dit de co-représentation
Cdes
3b-sesqui-algèbres
en des yfstt{3b)-algèbres}
:
rendant

coreps(l) = coreps : A
> A
commutatif
le diagramme ci-dessous
ft3>

coreps (S)

:

^yy*{3b)

A

PreuveEn effet, si (A,cr) est une Jfc-sesqui-algèbre, il suffit de
prendre pour coreps(A,c) la Ffsf{3b) -algèbre (A,\) telle
que (essentiellement) :
- pour tous objets
B± ? Efe
d 0 : 1((84)
> 1((½) de D

de
6 , pour toute 1-flèche
qui s'identifie à un objet à

Section A - §4.

- page 34

Section A

identité

-

§4.

Amphi-syntaxes et

du graphe à c o m p o s i t i o n

toute flèche

x : ^(B^)

> A

sesqui-algebres

1)(1((64),1((62))

de

pour

tous o b j e t s

d± s K ( 8 â )
objet

du

64,62

> KiBz)
graphe

toute flèche

à

6

,

<*

d

v

pour

o> «

toute

1-flèche

D

(s'identifiant

donc

à

composition

[)(1((64),1((62))

)

pour

x : JCBJ

x - x <P4(d ± )> = x

- pour tous objets
64 : 1((64)

de

de

pour

A , on a :

x - x < p 0 < d o > > = <=<E 0 bid* J < B i>*A>
-

et

v

> A

A , on a :

d± = c ( E o b , v J ( 6 1 ) , A )

6± , 62

>£ K(62)

de

de

de
D

et

un

(x

dt)

v

,

6 , pour toute 2-f lèche
(s'identifiant donc À une

0

flèche du graphe à composition
1)(1((64),1((62)) ) et pour
toute flèche x : ^ ( ¾ )
> A de A , on a s
* -x <P 2 <<V> = c(EFl,J(6t) ,A) (x v
- pour

tous objets

(62 : K(6t)

6t , B^

de

>£ 1((62) , 64 : K(6t)

64) ,

6 , pour

tout

>£ K ^ ) )

0

couple
de

2-

0

flèches de D qui s'identifie à un couple de flèches composables du graphe à composition
D(K(B ± ) ,K(62) )
et pour
toute flèche x : J(82>
> A de A , on a :
x -x <p3 (62,64) > = c(E C C o T n p ,J(8 1 ), A) ((x v 6 2 ) , ( x v 6 t ) ) .
Fin de la preuve.
De la proposition précédente, de la proposition 1 du §2.3
et de la proposition 3 du §3.4, on déduit immédiatement
que :
Proposition 3 : Si
a
une
amphi-catégorie

est

un ordinal
régulier,
amphi-co-complète

3b = (A,J ,6,K,D) est une amphi-syntaxe
rang
< a sur
A , alors
le foncteur
3b
la catégorie
A
des 3b-sesqui-algèbres

Section A - §4.

petite
u
z A
uers

- page 35

si

A
et

et
la

est
si

d* amphi>A
Cde
catégorie

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

3b

A } admet
dique.

un adjoint

d gaucîie

3b

L

s A

>A

et

est

mona-

Preuve.
De la proposition 3 du §3.4 et de la construction de
yys${3b) , il est facile de déduire que
yy>stf{3b) est une
syntaxe petite, de rang < a , sur la catégorie localement
petite et co-complète A . Vu la proposition 1 du §2.3, on
en infère que o " * " " s ^ - ^ <*>
admet un adjoint à
> a
xyy>j*{3b)

^ -??*{%)

A

gauche L
: A
> A
La proposition précédente permet alors de conclure. Plus
précisément,
L3b
est défini comme rendant commutatif le
diagramme suivant :
3

^yyj*{2»

coreps
L^

s

y/rra

v

{3b)

A
Fin de la preuve.

Supposons

toujours

que

3b = (A,J,B„K,D)

est

une

amph i-syntax e.
On désigne maintenant par
complétant

pSSA(D)

pSAA(D)

le graphe à composition

(qui en est donc un sous-graphe

composition) comme représenté par le schéma
ci-dessous et construit

à partir de

modalités qui suivent :

Section A - §4.

- page 36

à

(de principe)

pSSA(D) selon

les

Section A

-

§ 4 . Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s

pSAA ( t »
<D .G >
1 1

(D^g)?

<Dt,G2)

<d ,G >
i—> <D .G )

<d l ,g)/ ,

2

<di'V

2 '

1

<D2,g)
2

P2«V

- s i
d± z D± —> D2 e s t une 1 - f l è c h e d e D e t s i G± e s t
un o b j e t de
G arCoTnp , a l o r s
^ 4 , 6 4 ) : (D4,G ± ) —> (D2,G ± )
e s t une f l è c h e d e pSAA(D) ,

S e c t i o n A - § 4 . - p a g e 37

Section A

- s i
g

:

dt
Gt

:

-

D±

s (04,62)

- s i

d± : D t

g : 64

> 62

Amphi-syntaxes et

> D2

> Gg

(dt,g)

§4.

est

est

une

une

> D2
est

est
une

1-flèche

flèche

> (D2,6t)

sesqui-algebres

de
c

de

une

D

si

1-flèche

flèche

de

de

^arcomp 9

pSAA(D)

*'B»>

- s i

64 :

Dt

>~ D 2

< d

alors

,

<D*'9>

=

arcomp «

si

pSAA(D)

on a :

*'G*>

et

e s t une f l è c h e de

composés c i - d e s s o u s s o n t d é f i n i s e t )
< d

D

*'9>

est

=

C d

une

alors

PSAA<I»

2-f lèche

et

de

(les

< D " 9 > '
si

d' : D 0
> D±
est une 1-flèche de
D
et si
(6t,d')
est un couple de flèches composables du graphe à composition £ /D (des 1-f lèches et 2-f lèches de D ) , alors (le
0

composé ci—dessous est défini et) on a :
^< 6 i>

pSAA<D) <*'•=*> = ^ < 5 i

La m@me construction s'applique à
évidemment fonctorielle, on note :

6

S W D d'> «
et, comme elle est

pSAA(K) : pSAA(6)
> pSAA(D)
le foncteur ("commutant avec les opérations
p0 ,
p± ,
p 2 , p 3 etc
") ainsi associé à K
et qui, évidemment,
prolonge le foncteur pSSA(K) : pSSA(6)
> pSSA(D) . Par
construction, il est facile de vérifier que, tout comme
K , le foncteur pSAA(K) est bijectif sur les objets.
Maintenant, supposons de nouveau que
A
est une amphicatégorie co-représentable pour laquelle :
C : A
> Mod(E a r C o T n p ,A o p ) o p
est de nouveau un foncteur de co-représentation, de sorte
que, naturellement en tout objet E de E a r C O T n p
(i.e. de
et en
tous
son graphe à composition sous-jacent
©arcomp *
objets A4 et A2 de A , on a de nouveau une bijection :
c(E,A4,A2) : GrComp(r(E) ,A(A4,A2>>

Section A - §4.

- page 38

? A(C( A4) ( E) , A2)

Section A

(et, de nouveau,
"identifiant

-

§4.

Amphi-syntaxes et

sesqui-algebres

on ne nuit en rien

C(A 1 )(E ob >

et

à la généralité en

A4 ", i.e. en supposant

les notations - que

C(A4)(Eo b ) = A4

-

pour

simplifier

et

que

c(Eob,A4,A2> = id(A(A4,A2)> = id(A(C( A4> (Eob> , A2) ) ) .

Alors, on désigne par :
psaa(J) : pSAA(6)
> A
le foncteur prolongeant
pssa(J) : pSSA(6)
que :
-

pour t o u t e 1 - f l è c h e

objet

64

de

bt : 6t

> 62

de

> A

D

et tel

e t pour

tout

<3 arCoTnp , on a :
psaa(J)(b4,6±)

= C(J(b4))(6±)

.

Dans ces conditions et en procédant "comme pour le cas des
sesqui-algebres",
d'équivalence

on désigne

par

"a mime image par

rsaa(J)
psaa(J)

la

relation

que" sur (les

objets et les flèches de) pSAA(6) .
Alors, on note SAA(6) = pSAA(6)/rsaa(J)
le graphe à composi t i on quot i ent.
On en déduit un foncteur passage au quotient :
qsaa(J) : pSAA(6)
> pSAA(B)/rsaa(J) = SAA(6) ,
puis l'unique foncteur, évidemment injectif :
saa(J) : pSAA(B)/rsaa(J) = SAA(6)
> A
rendant commutatif le diagramme ci-dessous :
pSAA(B)
qsaa ( J )

SAA(B)

p s a a ( JP)

Saa(J)

>A

pSAA(B)/rsaa(J)
Enfin,

on construit

la somme

Section A - §4.

fibrée

représentée

- page 39

par le

§4.

Section A

diagramme commutatif
pSAA(B)

Amphi-syntaxes et s e s q u i - a i g e b r

(de foncteurs) ci-dessous :
pSAA(K)

qsaa (si)

-» pSAA(D)
q' saa ( JP)

SAA(B)

SAA(K)

-» SAA(D)

pSAA(B)/rsaa(J)

pSAA(D)/r' saa(J)

où il est facile de vérifier que :
- SAA(D) = pSAA(D)/r' saa(J)
est le graphe à composition
quotient de
pSAA(D)
par la relation d'équivalence
r'saa(J) , engendrée par "l'image" de
rsaa(J)
par
pSAA(K) ,
- q'saa(J) : pSAA(D)
> pSAA (D)/r'saa (J) = SAA(D) est le
foncteur
passage
au
quotient
(et
l'on
note
« Z ' » = q'saa(J)(Z') , pour tout objet Z' de pSAA(D) ,
et <<z'>> = q'saa<J)(z') , pour toute flèche
z'
de
pSAA(D) ).
Ainsi, par construction, il est aisé de constater que, tout
comme pSAA(K) , le foncteur SAA(K) est bijectif sur les
objets.
De nouveau, on conclut, de toutes les constructions précédentes que :
rj**f{3b) = (A,saa(J),SAA(B),SAA(K),SAA(D))
<9)

est une syntaxe (non enrichie) associée à 3b

C9>

Il
est
facile
syntaxe sur
A
phisme
injection
sur
A

de
constater
que
de
Cfj$J$ {3b)
"canonique"

Section A - §4.

J^J^*/ {3b )
est
une
souset qu'on dispose d'un homomor4jnj{3b) ZÏfïfsf {3b)
> ïfs$S${3b)

- page 4 0

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes

et

sesqui-algebres

Et la proposition suivante montre qu'il
légitime d'appeler fjfJtW)
la syntaxe
de
pour les 3b-amphi
-algèbres.

est

de nouveau
co-représentation

Proposition 4 : Si
3b = (A,J,B,K,D) est une
amphi-syntaxe
SVLT une
amphi-catégorie
co-représentable
A , alors
la
9
catégorie
de ses amphi-algèbres
est une catégorie
d algèbres.
Précisément,
si
CPd4j4{3b) est
la syntaxe
de
coreprésentation
pour les 3b-amphi-algèbres,
alors
on
dispose
d'un isomorphisme
canonique,
dit de co-représentation
Cdes
3b-amphi-algèbres
en des 3*s$s${3b)-algèbres}
:
corepa(l) = corepa : A
»A
commutatif
le diagramme ci-dessous

rendant

-3b

:

-y*4*t{3b)

c o r e p a (fr)

A
Preuve.
En effet, si
prendre pour
que :

(A,#) est une J^-amphi-algèbre, il suffit de
corepa(A,*>
la JfjtfjtfW) -algèbre (A,p>
telle

— l a première
fiée
:

condition

suivante

est

tout

d'abord

véri-

<io>
On
(A,^)
tibles"

sait
est
entre

(voir
la
proposition
1>
qu ' une
JD-amphi-algebre
entièrement
déterminée
par
les
données,
"compaelles,
de
la
3b^ - a l g è b r e
T(A,$)
(des
"l0

flèches
et
2-f l è c h e s
de
( A , $ ) "> et
de
la
&-sesqui-algèbre
S(A,$)
(des
"1-f l è c h e s
de
( A , # ) ">.
Cette
première
condition
que
nous
énonçons
permet,
si
l'on
y
prend
64 = Ep.^
de
"co-représenter"
l'algèbre
T(A,^)
des
1-f l è c h e s
et
2-f l è c h e s de
(A,$)
en une algèbre de 1-f l è c h e s .

Section

A - §4.

- page

41

Section

pour

Amphi-syntaxes

tous objets

1-flèche
objet
y

§4.

A

64

d±

Bt

C(JP(B2)>(64>

donc

associée

c(64,J(B2),A)

la

B

> K(B2)

€ûrcOTnp

:

et

> A

pour

de

:

,

pour

de

D

toute

A

T( 6 4 ) - f l è c h e

*(y)

sesqui-aigèbres

de

> B2

s 1((64)

de

et

(à
de

J(B2)

toute
,

pour

flèche

laquelle
A

tout

est

:
^ ( 6 4 )

A

puisque

c ( G 4 , J ( 6 2 ) ,A)
A ( C ( J ( B 2 ) > ( 6 4 ) , A)
> <BrComp(r(64) , A ( J ( B 2 ) , A ) )
on a

:

y

< < ( d 1 ? G 4 ) >>

.^

),

=

c ( G 4 , J ( 6 4 ) ,A)

( c ( G 4 , J ( 6 2 ) ,A)

±

( y)

.

d±)

,

— les conditions suivantes sont également vérifiées
de B , pour toute 1pour tous objets B±
flèche d 0 : K(6 ± ) — ~» 1((6,) de D
qui
s'identifie à un objet à identité du graphe à
composition D(K( B t ) ,K( B 2 ) ) et pour toute flèche
x : J(B 2 )
> A de A , on a :
x .^ « p 0 ( d 0 ) > > = c(E o b I d ,J(B4),A) (x .^ c^) ,

Ces
dernières
conditions
permettent
de
"co-représenter"
la
^-sesqui-aigèbre
S(A,#)
des
1-f l è c h e s
de
(A,#> .
Elles
reprennent
donc
intégralement,
à
dessein
(voir
la
note
suivante),
les
conditions
énoncées
dans
la
preuve
de
la
proposition
2
précédente
(compte
tenu
du
fait
que
ïflfs$ {3b)
est
une
sous-syntaxe
de
Ïfs4s& {3b) ,
induite
par
le
foncteur injectif :

SSA(D)

> SAA(D)
H

Section

A -

->

§4.

< <z

>>

page

42

Section

A

-

§4.

Amphi-syntaxes

pour t o u s o b j e t s
flèche

dt

s KiB±)

(s'i dentif iant
composition
x : J(62)

6 4 , 6 2

-

et

de

> K(B2)

donc à un o b j e t

D ( K ( 6±> , K ( 6 2 ) )
» A

de

A

sesqui-algebres

B , pour t o u t e 1 de

D

d u graphe à

) et

pour t o u t e

flèche

on a ( 1 2 )

,

x .^ « P l ( d 4 ) > > = x ^^ <<<< (( d 14?,EEc o b ) > > =
^ d±

pour tous objets
flèche

= c(Eob,J(64>,A)

8±

62

de

(x

^ dt>

,

B , pour toute 2-

64 : 1((84) — — > £ K(B 2 )

de

0

(s'identifiant donc à une flèche du graphe à
composition

1)(1((84) ,K( 6 2 ) ) ) e t

x : J(8 2 )

> A

*

'fj

«P2<<5i>>>

de

(62

: 1((84)

A , on a :

= c(EFl ,J(B4>,A)

pour t o u s o b j e t s

pour toute flèche

84,82

> £ K(B 2 >

de

(x

^ 6 4 )

,

B , pour t o u t

, 64 : K ( B ± )

couple

-> £ K ( 6 2 ) )

0

de 2 — f l è c h e s de

D

qui s ' i d e n t i f i e

f l è c h e s composables du graphe à
D(K(Bt) ,K(B2>)
x .

à un c o u p l e de

composition

, on a :

<<P3(62,64>>> =
c(EcCoTnp,J(84),A)

((x

^62>,(x

^64))

.

F i n de l a p r e u v e .

(12)
Cette
condition
est
un
cas
particulier,
obtenu
pour
6 4 = E~Qb *
d*
la
toute
première
condition
que
nous
avons
énoncée.
C'est
donc
elle
qui
"co-représente"
la
"compatibilité"
de
T(A,^>
et
S(A,#)
(voir
les
deux
notes
précédentes).

Section

A - §4.

-

page

43

Section A

-

§ 4 . Amphi-syntaxes et s e s q u i - a l g e b r e s

De la proposition précédente, de la proposition 1 du §2.3
et de la proposition 3 du §3.4, on déduit immédiatement
que :
Proposition 5 : Si
une

est

un ordinal

amphi-catégorie

3b = (A,J,B,K,t>)
rang
la

a

< a

sxir

catégorie

régulier,

amphi-co-complète

est

une amphi-syntaxe

petite

A , alors te foncteur
des

A

V

3b-amphi-algèbres

un adjoint

d gauche

L

est

A
et

et

z A
vers

3b

A } admet

si

si

d*

amphi-

> A

Cde

la

catégorie

3b

> A

:A

et est

mona-

dique.

Preuve.
De
la proposition 3 du §3.4 et de la construction de
^s^s${3b) , il est facile de déduire que fsfjtf{$)
est une
syntaxe petite, de rang < a , sur la catégorie localement
petite et co-complète A . Vu la proposition 1 du §2.3, on
.

x,

xjrrts*{3b)

„J>j*j4{3b)

v

A

.

.

M

- \

^

en infère que u
z A
> A admet un adjoint à
-y*ts${3b)
%?s*j4{3b)
A
gauche L
:A
>A
La proposition précédente permet alors de conclure. Plus
précisément,

L3b

est défini comme rendant commutatif le

diagramme suivant :
.3)

^^^{Ib)

corepa

l

> Ai

/ \ * * * (3>)

-% \

A
Fin de la preuve.

On laisse au lecteur le soin de développer les considérations adéquates concernant les amphi-théories engendrées par les amphi-syntaxes, du point de vue des amphialgèbres. Il suffit "d'enrichir" les considérations analo-

S e c t i o n A - § 4 . - page 44

Section A

-

§4.

Amphi-syntaxes e t

sesqui-algebres

gues du §2.3 concernant les théories.
Nous n'aborderons pas ici le problème des "sesqui-théories"
qu'engendreraient les amphi-syntaxes, du point de vue des
sesqui-algèbres.
De toute manière, nous n'aurons besoin, dans la suite, ni
de l'une, ni de l'autre de ces procédures de génération :
nous utiliserons, au contraire, systématiquement, les résultats de co-représentabilité des propositions 2 et 4
précédentes, qui permettent de "revenir" à des algèbres de
syntaxes (non enrichies) et, si besoin est, aux seules
théories (non totalement ou partiellement enrichies) qu'elles engendrent.

Section A - § 4 .

- page 45

Bibliographie de la Section A

CA.M.E.N.l

L. Coppey et C. Lair, Algébricité, monadicité,
esquissabilité et non-algébricité, Diagrammes
13, Paris, 1985.

CA.O.F.S.D

F. E. J. Linton, An outline of functorial
semanties, Leet. Notes in Math. 80, Springer,
1969.

CC.A.S.T.1

C. Ehresmann, Catégories et structures, Dunod,
Paris, 1965.

CC.L.C.A.1

S. Eilenberg et 6. M. Kelly,
Closed
catégories, Proceedings of the Conférence on categorical
algebra
(La Jolla, 1965), éd. by
S- Eilenberg,
D. K. Harrison,
S. liacLane,
H. Rôhrl, Springer, 1966.

CE.S.C.C.3

F. Cury, Catégories lax-localement cartésiennes et catégories localement cartésiennes : un
exemple de suffisante comp1 étude connexe de
sémantiques initiales, Diagrammes 25, Paris,
1991.

CE.T.S.A.1

C. Ehresmann, Esquisses et types de structures
algébriques, Bull. Instit. Polit., Iaçi, XIV,
1968.

S e c t i o n A - Biblio.

- page 1

Section A

-

Bibliographie

CF.S.A.T.3

F. M. Lawvere, Some algebraic problems in the
context of functorial semanties of algebraic
théories, Leet. Notes in Math. 61, Springer,
1968.

C6.M.E.N.3

F. Cury,
Graphes
multiplicatifs
Esquisses Math. 27, Amiens, 1978.

CL. C L . S. 3

C Lair, Lax col imites structurées, Diagrammes
20, Paris, 1988.

CL.P.L.G.3

F. Ulmer, Locally a-presentable and locally
a-generated catégories, Lect. Notes in Math.
195, Springer, 1971.

CP.T.G.M.3

L. Coppey, Quelques problèmes typiques concernant les graphes multiplicatifs, Diagrammes 3,
Paris, 1980.

CS.CCD. 3

F. Cury, La suffisante complétude connexe,
Section 6 : théorie générale, Diagrammes 31,
(à paraître).

CS.CCC3

F. Cury, La suffisante complétude connexe,
Section C s exemples, Diagrammes 32, Paris, (à
paraître).

CT.A.E.P.3

L. Coppey, Théories algébriques et extensions
de préfaisceaux et compléments, Cah. de Top.
et Géom. Diff., Vol. XIII,1 et XIII,4, Paris,
1972.

Section A - Biblio.

- page 2

enrichis,

Table de la Section A

Introduction

1.

2.

mtro. - page

i

Ensembles et graphes à composition

§1. - page

i

1.1. Ensembles

§1. - page

i

1.2. Graphes

à composition

§i. - page

2

Syntaxes

algèbres

§2. - page

1

2.1. Syntaxes

§2. - page

1

2.2. Algèbres

§2. - page

5

et

de

la Section

A

2.3. Algèbres libres et théories
engendrées

3.

§2. - page 14

Graphes à composition et amphi-graphes
à

composition

§3. - page

1

§3. - page

1

§3. - page

e

3.1. Tensorisation et exponentiation
des
3.2.

graphes

à composition

Amphi—graphes à c o m p o s i t i o n

et

amphi-foncteurs
3.3.

E s q u i s s e des graphes à c o m p o s i tion

3.4.

•

§3. - page 19

Amphi-catégories co-représentables

§3. - page 26

S e c t i o n A - Table - page 1

Section A

4.

-

Table

Amphi-syntaxes e t s e s q u i - a l g e b r e s
4« 1. A m p h i - s y n t a x e s
4 . 2 . Amphi-algèbres e t s e s q u i algebres
4 . 3 . Amphi-algèbres l i b r e s e t s e s q u i algebres libres

Bibliographie

Table d e

la

de

la

Section

Section

A

A

S e c t i o n A - Table - page 2

§4. - page
§4. - page

1
1

§4. - page

©

§4. - page 26

Biblio. - page

1

. Table - page

1