D IAGRAMMES J UAN -J OSÉ A RRABAL Note sur un résultat dans l’homologie sectionnelle Diagrammes, tome 27 (1992), exp. no 1, p. JA1-JA11 © Université Paris 7, UER math., 1992, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ O Z AQRAMMES VOLUME 27 , 1992 NOTE SUR UN RÉSULTAT DANS L'HOMOLOGIE SECTIONNELLE Juan-José Arrabal En 1977, Shih [4] a introduit, pour l'étude des sections d'une application f:Y—>X de classe Ck, où Y et X sont des espaces de Ck classe avec O^fcsoo, une nouvelle "homologie" appelée homologie sectionnelle Cette homologie, introduite d'abord dans le cadre de la résolution des systèmes d'équations aux dérivées partielles, intervient également dans les problèmes liés aux singularités des applications différentiables. Dans le cas d'une application f:Y—>X de classe Ck avec k>0, un q-simplexe différentiable/ est un sectionnel couple de (cr,7) f k-fois formé d'un plongement or:à—»X de classe Ck et d'une application de q la même classe 7:A—>Y tels que l'on ait cr=fy. Ces q simplexes constituent les générateurs du complexe C(f) A. M . S. S U B . C L A S S . SB N 3« , 3© A 30 , 57 R AS , 5S 5 36 . des chaînes sectionnelles dont 1'homologie, notée H^(f) , est appelée homologie sectionnelle de classe C de f. Lalonde a établi le résultat fondamental suivant: THÉORÈME S [3]: Il existe un morphisme canonique (p )#:H#(f) —»H^(X) qui, pour toute submersion un isomorphisme en dimensions f, est * S2. On a l'affirmation donc de Shih aussi un contre-exemple (voir [5]) sur à l'homologie sectionnelle continue de l'identité d'un C.W. complexe fini. 1.- DEFINITIONS. Soit f:Y—>X une application continue d'un espace Y dans un autre X. Notons A le q-ième simplexe q standard de Rq+1, défini par A q H (xo#xl#...#xq)€Rq*1;xl^O, DV=1}>, et considérons les couples (cr,r) d'applications continues (r:A—»X, y:A—»Y q q JA 2 (1) telles que a soit injective et f°y=y induisent des homomorphismes du groupe & (f) dans les groupes libre des chaînes singulières S (X) et S (Y) . q Pl y q \SIP2 (2) vx)<—?—VY) Soit Sd l'homomorphisme de Subdivision barycentrique, défini dans les complexes de chaînes S#(X) et S¥(Y). Si pour l'application y:A—>Y on a Sd y = £ô y (8 -±1) , alors Sd cr = Sd fy = 1,8^7 . On peut donc définir Sd dans S#(f) par Sd(cr,y) = ZS^fy^y^ Pour c€& (f) on a évidemment q PiSd(c) = Sd(Pi(c)) et P2Sd(c) = Sd p2(c) q+1 a de Les faces A nous (3) permettent d'introduire un homomorphisme i=0 Comme d q-l dans la théorie d'homologie singulière, °d =0, et aussi Sd q q-l d =d Sd . q q q JA 3 on a Considérons les groupes quotients C (f) q " Ker Sd q Si a-b€ Ker Sd , alors Sd (a-b)=0. q Donc, q 0=d (0) = q d Sd (a-b) = Sd 4(d (a)-d (b)) ; C'est à dire, si a-b<= q q Ker q-i q q Sd , d (a)-d (b)<= Ker q q Sd q . Par conséquent, d q-l induit un morphisme sur C^(f), que l'on notera aussi par r d. et qui vérifie d * od =0. q-l Les groupes q d'homologie du complexe \C (f),d )- sont appelés groupes d'homologie sectionnelle de f. Un cycle de C (f) est représenté par une chaîne q c*S (f) telle que Sd q représentants ^ (d (c))=0. Si c et c' sont deux q-l de q Z€C(f), alors Sd(c) = Sd(c') et q p Sd(c) = p Sd c', où pi (i=l,2) sont les projections définies dans (2). Donc, les applications p j Z € C (f)_> p Sd(c)€S (X) 1 q i q p2: z€Cq(f)-* p2Sd(c)«Sp) sont des morphismes de complexes de chaînes, et ils induisent le diagramme coamutatif suivant JA 4 / H « ( f ) \ H (X) < H (Y) q f 2 . - CONTRE-EXEMPLE Montrons maintenant qu'en général Pi.!H-i.- H -i n'est pas un isomorphisme, X étant un CW-complexe fini de dimension n et id:X—>X l'application identique. En effet, dimension 2, prenons D2, et pour X la considérons boule dans X fermée la de chaîne sectionnelle sd<>d oc *1 2 = p oSd°c . 2 *1 1 Alors d 2 o P i oSdod 2 oc 2 = p ^ s d o c ^ (*) 6 p oSd<>c étant la chaîne f<>sd(s + s + s ) 1 1 2 = 7 fos', 3' où ir ^ 1=1 {s',...,s' } est l'ensemble des simplexes affines de la 1 o subdivision barycentrique du bord du triangle ABC. Si l'on écrit £±5 pour rappelle que les simplexes S la chaîne p <>sdoc (on sont injectif s ) , on a 2 d2Œ±8i> = [ ( ! (-1)J (±3J 8)) i j=o i et on désignera par £±y cette dernière somme formelle. D'après les techniques de Dominguez [2] on construira une 2-pseudovariété N pour représenter la relation (*) par un bordisme. JA 6 On R+(resp., notera R~) l'ensemble des simplexes qui ont le signe + (resp., -) dans £±i> . On sur R+ et R~. Soit supposera données des ordinations R = et soit R~= {o> ,...,(*> }, avec r^r'. On {T,...,T} 1 r 1 r définit une application injective h:R*—>R~ de la façon suivante: 1) h(x )= (j si T = w 1 2) k Supposons { T ,...,x }. 1 u) ë 1 1 qu'on Alors, a posons 1 F h({x , . . . , T }) et, k' déjà h(x x pour défini )=CJ l'image si T i 1+1' =. 2 élément 1 de est défini sur signe dans une 1-face d'un coïncide avec j A, et son £±v l'orientation induite sur cette face par le 2-simplexe auquel elle appartient. Si l'on correspondent identifie à z^ les éléments et h(r ) , on obtient de A qui un polyèdre N=|L| qui est une pseudovariété à bord au sens de [1]. Désignons par L le sous-complexe JA 7 de L tel que |L|=3N. Soit g:N—>D l'application quotient induite par les simplexes singuliers 8 , et f=5|aN« Alors, g et f sont des applications injectives sur chaque simplexe de L et L respectivement. De même, on vérifie que les points A', B' et C sont des images par f de certains sommets de L. Le support de la chaîne d(£±S ) coïncide avec l'image de la chaîne 6 p1 oSdoc1 = f°Sd(s 1+s 2+ s3j' = y*" f o si' i=l Donc, il coïncide avec l'image de l'application f. D'après la définition de c , l'image du simplexe A par les simplexes singuliers de la chaîne p <>sdoc est: a) Un segment rectiligne, si cette image est contenue dans les segments B'C ou C'A'; b) Un segment curviligne, si elle est contenue dans la spirale infinie A'B'. Il en va de même pour les images par f des 1-simplexes de L. De plus, l'image par f du complexe obtenu en enlevant un 1-simplexe de L, ne coïncide pas avec celle de L. Le point final de la spirale A'B', B', est aussi l'image par f du sommet BeL, et le point initial JA 8 du segment B ' C lx et 12 Donc, il n'y a que deux 1-simpexes de L, , qui l'image de 1 contiennent le sommet B. De plus, est contenue dans le segment B ' C , et celle de 12 est une spirale infinie. Par conséquent, il n'y a qu'une composante connexe Q de lk(B,L) dont le bord est non vide. Soit V le cône B*Q. Il est clair que 1 et 1 sont contenues dans V, aussi que V est une 2-boule. Alors, il existe une chaîne de 2-simplexes de V l' 2f ' k-l' k satisfaisant les conditions suivantes a) tnt est une 1-face commune qui contient le sommet B, b) 1 est une face de t , et 1 est une face de v L'intersection de 5(tkntfc-l) et g(l2) est le point B' puisque g|. est injective. Donc g(t n t t k ) et g(l ) k—1 2 k sont des spirales infinies. Si on procède de même pour les simplexes t ^,..., t, t, on obtient que g(l ) est aussi une spirale infinie. Ceci contredit le fait que cette image est contenue dans le segment B ' C . JA 9 BIBLIOGRAPHIE. [1] Agoston, M. K. Algebraic Topology. Marcel Dekker, Inc. New York. 1976. [2] Dominguez, E. "Interpretaciôn geométrica de la homologia singular". Revista Real Academia de Ciencias 69. Madrid, 1975, 149-156. [3] Lalonde, F. Homologie de Shih d'une (Homologies non singulières submersion. des variétés feuilletées). Bull. Soc. Math. France. 1987. Mémoire n0 30. [4] Shih, W. "Un invariant algébrique associé à une application continue et le problème de Cauchy global11. C.R.A.S., t.285, série A, p.333, Paris. 1977. [5] Shih, W. "Un invariant application algébrique continue". 1986. JA 10 associé Diagrammes à une 15, Paris Juan-José Arrabal Departamento Alg. Comp. Geom. y Top. Facultad de Matemâticas Universidad de Sevilla Apdo. 1160 41080 Sevilla Espagne. L'auteur a bénéficié d'un financement dans le cadre du programme "Plan Andaluz de Investigaciôn" (JUNTA DE ANDALUCIA. ESPAGNE).