D IAGRAMMES M ONIQUE M ATHIEU Extensions de théories de Lawvere. Thèse de doctorat de mathématiques Diagrammes, tome 26 (1991), p. I -90 © Université Paris 7, UER math., 1991, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES soutenue à l'Université Paris 7 le 7 Octobre 1991 par Monique MATHIEU Sujet: EXTENSIONS DE THEORIES DE LAWVERE Rapporteurs désignés par la Commission aux Thèses: F. LAMARCHE, Dalhousie University (Halifax, Canada) F. LINTON, Wesleyan University (Middletown, U.S.A.) Jury de soutenance: H. KLEISLI, Université de Fribourg (Fribourg, Suisse), président D. BARSKY, CJ*.RS.-Université Paris 13 F.-M. CLEMENT, Ecole Centrale de Paris L. COPPE Y, Université Paris 7 D. DUVAL, Université de Limoges M. ZISMAN, Université Paris 7 C. LAIR, Université Paris 7, directeur de la recherche ^f yvicoU REMERCIEMENTS Je dois avouer mon profond embarras pour m'acquitter de cette tâche, pourtant sympathique a priori. Le problème est que je crois que chacun de nos actes est conséquence d'une multitude de choses plus ou moins petites, plus ou moins grandes, plus ou moins importantes, bref je crois en l'Histoire. Ainsi, si aujourd'hui j'ai pu mener à bien ce travail, en sont co-responsables toutes les personnes, famille, amis, enseignants, mathématiciens ou non, qui m'ont côtoyée, accompagnée jusque là, et qui je l'espère continueront à le faire, qui ont fait que je me suis intéressée aux Mathématiques et ont aidé à développer chez moi la curiosité, la persévérance... d'autres que je ne connais pas encore ou mal et qui feront que cet instant n'est qu'un instant ce travail qu'une étape. Où débuter alors ma petite histoire ? Sans doute à. ma naissance, puisque sans cet événement capital... N'ayant d'autre part aucun goût pour parler de moi à des gens que je ne connais pas, je me sens contrainte de taire le nom de maintes personnes et en ressens une sorte de sentiment de frustation désagréable. Tout ce préambule pour expliquer que cette page est de loin la plus difficile à écrire pour moi. Je vais donc me retrancher derrière une froideur de style toute académique, oublier le passé et l'avenir et me contenter de concrétiser la satisfaction que j'éprouve, à cet instant à l'achèvement de ce travail en remerciant chaleureusement les personnes qui lui ont accordé quelque intérêt. Je remercie tout d'abord mon directeur de recherches, Christian Lair sans lequel, selon l'expression consacrée, ce travail n'aurait pas pu se faire. Je tiens à saluer son honnêteté intellectuelle et son immense enthousiasme, partagés d'ailleurs avec Laurent Coppey, qu'il met (qu'ils mettent) à initier, expliquer, dire et redire la théorie des esquisses. Cet enthousiasme étant fondé sur leur conviction de l'intérêt et de la profondeur de cette théorie (les temps leur donnent d'ailleurs raison puisque, depuis que les esquisses s'appellent "sketches", elles trouvent droit de cité dans différents domaines dont l'Informatique théorique, pour ne citer que celui qui a le vent en poupe). Je remercie : Messieurs F. Lamarche et F.E.J. Linton, les deux rapporteurs désignés par la commission des thèses de Paris 7, pour avoir confirmé l'intérêt que ce travail pouvait présenter, également pour leurs commentaires et suggestions, Monsieur H. Kleisli, sur les travaux duquel ma thèse s'appuie en bonne partie, d'accepter de présider mon jury. Madame D. Duval, Messieurs D. Barsky, F.-M. Clément, L Coppey et M. Zisman de bien vouloir y participer. Enfin, je n'oublie ni le service de reprographie, ni le secrétariat du troisième cycle et remercie en particulier Mesdames S. Barrier et M. Wasse pour leur gentillesse et leur efficacité. PREFACE On sait depuis Lawvere [ 1968 ] qu'un certain nombre de concepts spécifiques aux structures algébriques classiques possèdent des analogues en algèbre universelle "catégorique", Le. en l'espèce en termes de théories de Lawvere. Par exemple, on sait ce qu'est une théorie de Lawvere commutative (voir Linton [ 1966 ] ) ou bien ce qu'est le produit tensoriel de deux théories de Lawvere ( voir Freyd [ 1966 ] ) ou bien encore ce qu'est une théorie de Lawvere affine (voir Lawvere [ 1968 ] )... De ce point de vue, le présent travail aboutit à une théorie des "extensions de théories de Lawvere" qui est bien l'analogue de la théorie classique des extensions (de degré fini) de corps ou d'anneaux (et qui, d'ailleurs, l'englobe). En fait initialement je ne m'étais posé qu'un classique problème de caractérisation syntaxique d'une certaine propriété sémantique. Ce n'est qu'au fur et à mesure que cette caractérisation s'est avérée fournir des homomorphismes entre théories de Lawvere se comportant exactement "comme" des extensions (de degré fini) de corps. Le problème initial se posait en ces termes : - si [ H ] : [T] —-> [T" ] est un homomorphisme entre deux théories de Lawvere, alors on sait (voir essentiellement Lawvere [ 1968 ] et / ou l'Annexe) qu'il induit un fondeur d'oubli Mod ( [ H ] ) : Mod ( [ V ] ----> Mod ( [ T ] ) entre leurs catégories de modèles (ou algèbres) et que ce fondeur admet un adjoint à gauche L [ H ] : Mod ( [ T ] ) ----> Mod ( [ T ] ) , - alors, sachant cela, à quelles conditions portant sur [ H] peut-on affirmer que l'endofondeur Mod ( [ H ] ) . L t H 3 : Mod ( [ T ] ) —> Mod ( [ T ] ) est r- déployé (resp. rco-dépfoyé), i.e. équivalent au fondeur ( - ) r (resp. r. ( - ) ) , lorsque r est un entier fixé ? Ce problème général est évidemment suggéré par le cas particulier dassique décrit comme suit: - si K (resp. K' ) est un corps commutatif, alors la catégorie K-Ved (resp. K'-Ved ) des K-espaces vedoriels (resp. des K'-espaces vedoriels) est (canoniquement) équivalente à la catégorie Mod ( [ T K ] ) (resp. Mod ( [ T K- ] ) ) d'une certaine théorie de Lawvere [ T K ] (resp. [ T K - ] ) , - si, de plus , h : K -—> K1 est un homomorphisme de corps, alors il lui est associé un homomorphisme [ H ] : [ T K ] —-> [ T K- ] entre théories de Lawvere, de sorte que le diagramme d-dessous commute : K'-VedU K-Ved ' > Mod ( [ ! > ] ) Mod([H]) ->Mod ([TK]) (où U : K'-Ved —-> K-Ved est le fondeur " K-espace vedoriel sous-jacent " ) , - sachant cela, si h présente K' comme une extension de K de degré fini r , alors il est facile de vérifier que l'on a (simultanément) : { - ) ' - ,,.(.).. Mod([H]).L[H]:Mod([TK]-->Mod([TK]) (puisqu'il en est de même pour U . V : K-Ved -—> K-Vect, si V de U ) . désigne l'adjoint à gauche Cest le but essentiel des Chap. 1 , 2 et 3 que de résoudre complètement ce problème de caradérisation. Ainsi, nous établissons que l'endofondeur Mod ( [ H ] ) L [ H ] e s * ^déployé (resp. r-codéployé) si, et seulement si, l'adjonction canonique ( L c H 3, Mod ( [ H ] ) ) peut se "prolonger" en une (ou encore est une contraction d'une) sur-adjonction ( i.e succession d'adjonctions) ( L ' , L [ H ] , M o d ( [ H ] ) ) (resp. ( L [ H ] , M o d ( [ H ] ) , R ' ) ) . Alors, dans ces deux cas de sur-adjonctions, on prouve que la duale de l'adjonction "la plus à gauche" ( L', L [ H 3 ) (resp. ( L [ H ] , Mod ( [ H ] ) ) se restreint (le long des plongements de Yoneda) en une adjonction ( H , D ) (resp. (G, H ) ) où : - D : [ T - ] —-> [ T ] (resp. G ) est une réalisation ( i.e un homomorphisme ayant un certain exposant, en l'occurrence r ) , - D. H : T — > T (resp. G. H ) est un endofondeur qui est r-déployé. Evidemment, pour formaliser et démontrer prédsément ce résultat on ne peut pas s'abstenir de choisir les projections présentant les puissances r,émes utilisées. Ceci conduit à traiter le problème de la cohérence de ces choix avec, notamment les choix canoniques donnés dans la théorie de Lawvere [ T ] . Les Chap. 4 , 5 , 6 sont consacrés à une analyse plus poussée de la solution obtenue. Si [ H ] : [ T ] ----> [ T 1 ] admet une réalisation, d'exposant r , adjointe à droite (resp. à gauche) D : T1 -> T (resp. G : T' —-> T ) , alors on établit que la catégorie de Kleisli de la monade (resp. de la co-monade) D . H : T —-> T (resp. G . H : T —-> T ) est canoniquement munie d'une structure de théorie de Lawvere isomorphe à. [ T' ] . Autrement dit les homomorphismes [ H ] : [ T ] - - > [ TB ] . solutions du problème initialement posé, sont totalement déterminés (en même temps que [T]) par les seules propriétés de [ T ] : prédsément par la seule donnée d'une monade (resp. co-monade) particulière sur [ T ] . C'est seulement parvenu à ce point qu'une interprétation prédse de ces catégories de Kleisli permet de découvrir que ce sont : - dans le premier cas (des monades), des structures de théories de Lawvere sur le graphe des r-uples de flèches (ayant même domaine et même co-domaine) de [ T ] , - dans le deuxième (des co-monades), des strudures de théories de Lawvere engendrées par [ T ] à laquelle on adjoint des racines d'équations à coefficients dans [ T ] , par conséquent, qu' il est complètement justifié d'appeler ces homomorphimes [ H ] , solutions du problème posé, des extensions. Cependant il convient id de prédser davantage : dans le premier cas nous dirons qu' il s'agit d'extensions gauches et dans le second, d'extensions droites. En effet, contrairement à ce qui se passe dans le cas particulier des corps (où toute extension K' de degré fini r sur K peut tout autant s'interpréter comme une structure de corps sur les r-uples de K que comme un corps de rupture d'un polynôme à. coefficients dans K ) , les extensions gauches que nous obtenons ne sont pas en général 11 des extensions droites et inversement (ce n'est vrai que si [ H ] est un homomorphisme de Frobénius, au sens de Lawvere [ 1968 ] ) . Enfin, on souligne réflectivité de ces interprétations en montrant d'une part comment on peut pratiquement présenter (par générateurs et relations) les monades (resp. les co-monades) considérées sur [ T ] et, d'autre part en nous attachant à décrire dans quelques exemples (qu'on peut considérer comme génériques) toutes les extensions tant gauches que droites de certaines théories de Lawvere particulières. Certains points sont seulement signalés au passage : nous avons jugé que leur développement qui ne présente aucune difficulté vu ce que nous en suggérons, nous éloignerait du sujet. C'est le cas, par exemple, de l'interprétation d'une théorie de Lawvere en termes d'algèbre d'une monade sur la catégorie des théories de Lawvere. Au contraire, d'autres points, sur lesquels ce travail débouche tout naturellement doivent faire l'objet d'une étude spécifique qui déborderait trop largement le cadre du présent travail. Il en est ainsi, notamment de "la théorie de Galois" des théories de Lawvere, dans laquelle les "groupes de Galois" y deviennent autant de groupes de "dualités" de structures algébriques (voir Lair [1974]). Afin de rendre ce travail aussi "auto-contenu" que possible, nous avons rassemblé dans une Annexe les résultats classiques que nous utilisons (concernant essentiellement les monades et les théories de Lawvere). Les références courantes sur ces sujets sont Mac Lane [1971] et Lawvere [1968]. La terminologie introduite dans ce texte au fur et à mesure pourrait en première ledure, paraître surabondante. Mais il était nécessaire d'isoler graduellement suffisamment de concepts pour dégager, de la solution du problème initialement posé, les fondements de la théorie des extensions des théories de Lawvere. Ainsi, nous espérons que le ledeur sera finalement convaincu qu'on ne pratique ni le jeu de mots gratuit ni l'usage abusif d'un luxe inutile de précisions lorsqu'on énonce par exemple que : "aux contractions droites d'indice r correspondent exadement les extensions gauches de degré r ". m CHAPITRE 1 Point de vue sémantique : foncteurs théorisables et contractions Sommaire 1. Fondeurs déployés et co-déployés 2. Puissances et co-puissances 3. Sur-adjonctions et indices 4. Contractions 5. Une propriété des fondeurs théorisables p. 2 p. 4 p. 5 p. 7 p. 8 0. introduction Soit h : A -—> A1 un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires. Le fondeur d'oubli évident ( " A-module sous-jacent " ) U : A'-Mod —-> A-Mod , de la catégorie des A'-modules vers celle des A-modules, admet évidemment un adjoint à gauche L : A-Mod — > A'-Mod ; il est facile de voir que, pour tout A-module E , L ( E ) est la structure canonique de A'-module sur le A-module E » A A'. Si A1 est un A-module tibre de dimension finie r sur A , alors cette adjonction (L,U) est assez particulière : naturellement en tout objet E de A-Mod , le A-module U . L ( E ) est produit mais aussi somme de r copies de E. Aux i f 1 et 2 , nous étudions de telles adjonctions ( L, U ) , ou detelsendotoncteurs de la forme U . L , pour lesquelles on a une présentation (appelée déploiement) sous forme de puissance U . L = ( - ) r , ou encore une présentation (appelée co-déptoiement) sous forme d'une copuissance U . L = r. ( - ) . Un fait plus remarquable se produit On sait que la catégorie A-Mod (resp. A'-Mod ) est la catégorie des modèles d'une théorie de Lawvere [T ] (resp. [ T1 ] ) , de sorte que le fondeur d'oubli U : A'-Mod ----> A-Mod est un fondeur théorisable , i.e. induit par un homomorphisme [ H ] : [ T ] —> [ Y ] (voir Annexe, § 4 ) . Ainsi L est l'adjoint à gauche que U possède (comme en possède touttondeurthéorisable). On montre au S 5 que, si l'adjonction ( L , U ) , assodée à un quelconque tondeur théorisable U , est de puissance (resp. copuissance) r , alors on dispose de plus d'adjoints que le seul L prévu (voir Annexe , 1 4 , prop. 9 ) . Prédsément, L admet aussi un adjoint à gauche L' (resp. U admet aussi un adjoint à droite R ) et donc l'adjonction canonique (L,U) s'étend mime sur-adjonction (L',L,U) (resp. ( L , U , R ) ) telle que celles introduites et étudiées aux §3 . A contrario, on peut exprimer que ( L , U ) est une contraction de ( L', L, U ) (resp. ( L, U, R ) ) telle que celles introduites et étudiées au § 4. Ce sont les propriétés sémantiques établies au § 5 qui nous seront essentielles dans la suite pour caradériser syntaxtquement ces homomorphismes [ H ] : [ T ] — > [ T" ] de théories de Lawvere présentant [ Y ] comme extension de [ T J. 1, Fondeurs déployés et fondeurs co-déployés Soit C une catégorie, M:C—->C un fondeur et r un entier. On dit que M est r-déployé si, et seulement si : -pour tout objet C de C, on peut choisir un cône projedif produit dans C: P(C)MP(C)j:M(C)--->C)UiiJ, , de sorte que : + pour toute flèche c:C—->C dessous commute : de C et pour tout 1 < i < r , le diagramme ri- M(c) M(C) P(C)j M(C) ; P(C)j C - V c Alors on dit que P est un r-déploiement de M Clairement si M est r-déployé et si P et P* en sont deux r-déploiements, on dispose d'une unique transformation naturelle inversible p ( P, P ) : M ==> M telle que : -pour tout objet 0 de C et pour tout 1 < i < r , le diagramme ci-dessous commute : P M ( C ) ) 1 i i i r , de sorte que : + pour toute flèche c : C — > C dessous commute : de C et pour tout 1 < i < r, le diagramme ci- M(c) M(C) M(C) A A S(C); S(C)j C* Alors on dit que S est un r-codéptoiement de M. Clairement si M est r-co-déptoyé et si S et S' en sont deux r-co-déploiements. on dispose d'une unique transformation naturelle inversible s ( S, S* ) : M ==> M telle que : - pour tout objet C de C et pour tout 1 < I < r. le diagramme ci-dessous commute: s(S.S')(C) M(CJ S(C)7 où Par exemple, soit h : A -—> A' un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires A' est un A-module libre de dimension r et dont b = (bj br) est une base. Pour tout A-module E , le cône projedif : Pp(E) = ( i d ( E ) 8 A P i : E ® A A ' - - > E ) 1 i i i r où: - p ; : A' -—> A est pour tout 1 < i < r. l'application A-linéaire définie par p, ( b, ) = 1 A et Pi(bj) = 0 A / si i * j , - E est identifié à E 8 A A , est un cône produit dans A-Mod. Ainsi, si U : A'-Mod — > A-Mod est le fondeur A-module sous-jacent et L son adjoint à gauche, alors l'endofoncteur U. L est r-déployé et P B en est un r-déploiement De façon analogue, pour tout A-module E , le cône inductif : Sp(E) = ( i d ( E ) 8 A P ' i : E — > E « A A ' ) U U r où: -f3',:A—>A' est pour tout 1 < i < r . l'application A-linéaire définie par p'j(1 A ) = b j . - E est identifié à E® A A , est un cône somme dans A-Mod. Ainsi U L est r-co-déployé et S^ en est un r-co-déploiement 2. Puissances et co-puissances Soit ( L : C —-> B, R : B -—> C ) une adjonction (voir Annexe, § 1 ) . On dit que ( L , R ) est de puissance l'entier r si, et seulement si : - le fondeur R. L : C — > C est r-déployé On dit de même, que ( L , R ) est de copuissance l'entier r si. et seulement si : - le fondeur R. L : C —-> C est r-co-déployé. D'après le i 1 , si h : A —-> A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, si A' est un A-module libre de dimension r . si U : A'-Mod — > A-Mod désigne le fondeur d'oubli évident et L son adjoint à gauche, alors l'adjonction ( L , U ) est de puissance et de copuissance r. 3, Sur-adjonctions et indices On dit que (E X —-> Y, F: Y— ->X, G:X seulement si (voir Annexe, S1 ) : - (E,F) est une adjonction, - ( F , G) est une adjonction. --> Y) est une sur-adjonction si, et Dans la suite, on supposera que X et Y ont suffisamment de sommes et produits. Il est facile de vérifier que : Proposition 1 Si r est un entier et si ( E , F , G ) est une sur adjonction alors le fondeur E.F est r-co-déployé si, et seulement si. G. F est r-déployé. Preuve Si ( E : X --> Y , F : Y -> X , G : X —-> Y ) naturellement en tous objets Y et Y1 de Y, on a: est une sur-adjonction alors, Hom(E(F(Y)),Y,)-Hom(F(Y),F(r))-Hom(Y,G(F(r))). Par conséquent si E.F est r-co-déployé, naturellement en tous objets Y et Y1 de Y, on a: Hom(Y,G(F(Y)))-Hom(E(F(Y)),Y') * H o m ( r . Y , r ) - H o m ( Y , r ) r - Hom(Y,rr) (puisque Y a assez de produits). On en déduit que, naturellement en tout objet Y1 de Y, on a G ( F ( Y " ) ) ~ Y" r , i.e. que G. F est r-déployé. Réciproquement si G. F est r-déployé, naturellement en tous objets Y et Y1 de Y on a: Hom(E(F(Y)),Y,)~Hom(Y,G(F(Yt))) -HomtY^^-HomtY^^-Homtr.Y^r) (puisque Y a assez de sommes). On en déduit que, naturellement en tout objet Y de E.F est r-co-déployé. Fin de I* preuve. Y, on a E ( F ( Y ) ) ~ r . Y , i.e. que De même, il est clair que : Proposition l Si r est un entier et si ( E , F , G ) est une sur-adjonction alors /e fondeur F. E est r-co-déployé si et seulement si /e tondeur F .G est r-déployé . Preuve. Si ( E : X — > Y , F : Y — > X , G : X - -> Y ) est une sur-adjonction, alors naturellement entousobjets X et X" de X, on a: Hom(X,F(G(X,)))~Hom(E(X),G(X,))-Hom(F(E(X)),X,). Par conséquent si on a: F. G est r-déployé, naturellement en tous objets X et X1 de X, Hom(F(E(X)),X,)~Hom(X,F(G()C))) ~Hom(X,X,r)-Hom(X,X,)^-Hom(r.X,X,). On en déduit que, naturellement en tout objet F.E est r-co-déployé. Réciproquement si F . E on a: X de X , on a F ( E ( X ) ) ~ r. X, i.e. que est r-co-déployé, naturellement en tous objets X et X1 de X Hom(X,F(G()C)))~Hom(F(E(X)),X') ~Hom(r.X,X')-Hom(X,X,)r~Hom(X,X,r). On en déduit que, naturellement en tout objet X1 de X , on a F G estr-déployé. Fm de la preuve Soit ( E , F , G ) F ( G (X1 ) ) ^ X1 r , i.e. que une sur-adjonction. On dit que ( E , F , G ) est d'indice droit l'entier r si, et seulement si, l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après la proposition 1 , est vérifiée : - le fondeur E.F est r-co-déployé, - le fondeur G. F est r-déployé. De même, on dit que ( E , F , G ) est d'indice gauche l'entier r si, et seulement si, l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après la proposition 2, est vérifiée : - le fondeur F.E est r-co-déployé, - le fondeur F. G est r-déployé. (On remarque que, dans la proposition 1 , le fondeur F , centrât dans la sur-adjonction, s'écrit à droite dans les deux assertions équivalentes. De même, on remarque que, dans la proposition 2 , le fondeur F , central dans la suradjonction, s'écrit à gauche dans les deux assertations équivalentes de cette proposition. Ainsi, la terminologie adoptée dans les deux définitions qui précèdent se trouve-t-elle justifiée : les adjectifs droite et gauche, font référence à la place occupée dans les composés par le fondeur central de la sur-adjonction. ) Par exemple, soit h : A —-> A' un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, où A' est un A-module libre de dimension r , et soit U : A'-Mod - - > A-Mod le fondeur d'oubli . Non seulement U admet un adjoint à gauche L , mais U admet aussi un adjoint à droite R : il est fadle de vérifier que pour tout A-module E , R ( E ) est la structure de A'-module canonique sur le A-module A-Un ( A', E ) (des applications A-linéaires de A' vers E ) . Alors ( L. U , R ) est une sur-adjonction et comme ( L, U ) est de co-puissance r (d'après le S 2 ) , on voit que ( L, U, R ) est une sur-adjonction d'indice gauche r. 4, Contractions Soit ( L : C - — > B , R : B — - > C ) une adjonction (voir Annexe, i 1 ) . On dit que ( L , R ) est une contraction droite d'indice l'entier r si, et seulement si : - L admet un adjoint à gauche La : B —-> C , - la sur-adjonction ( U , L, R ) est d'indice droit r. (Id, l'adjectif droite exprime deux choses : - r adjonction ( L, R ) occupe la place de droite dans la sur-adjonction construite, - dans les composés de fondeurs que nous devrons considérer, le fondeur central de cette sur-adjonction s'écrit à droite. ) On dit de même, que ( L, R ) est une contraction gauche d'indice l'entier seulement si : - R admet un adjoint à droite R':C— - > B , - la sur-adjonction ( L, R, R' ) r si, et est d'indice gauche r. (Des considérations analogues aux précédentes justifient l'usage de l'adjectif gauche ) Les propositions 1 et 2 qui précèdent peuvent alors s'écrire : Proposition 3. Si r est un entier et si l'adjonction ( L, R ) d'indice r, alors l'adjonction ( L , R ) est de puissance r. est une contraction droite Proposition 4. Si r est un entier et si l'adjonction ( L , R ) est une contraction gauche d'indice r, alors l'adjonction ( L , R ) est de co-puissance r. D'après le § 3 qui précède, si h : A —-> A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires où A' est un A-module libre de dimension r, nous pouvons dire que l'adjonction ( L, U ) est une contraction gauche d'indice r. Au paragraphe suivant nous serons en mesure d'établir que le fondeur L : A-Mod —-> A'-Mod admet également un adjoint à gauche de sorte que cette même adjonction ( L , U ) est aussi une contraction droite d'indice r. 5. Une propriété des fondeurs théorisables Soit [ H ] : [ T ] —> [ T* ] un homomorphisme de théories de Lawvere (voir Annexe, S4). On sait (voir Annexe, S 4, prop. 9 ) que letondeurthéorisable : Mod ( [ H ] ) : Mod UT* ])----> Mod ( [ T ] ) admet un adjoint a gauche : LfH]:Mod([T]) - > M o d ( [ r ] ) . Par conséquent on dispose d'une adjonction canonique ( Lr H ] - M o d ( t H 1 ) ) P01* œVe adjonction particulière, les réciproques des propositions 3 et 4 précédentes sont exactes (ce qui est faux pour des adjonctions quelconques). Précisément montrons que : Proposition 5. Si [H] : [T 1 —> [T* ] est un homomorphisme entre théories de Lawvere et si r est un entier, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes: (i) l'adjonction canonique ( L [ H ] , M o d ( [ H ] ) ) est de puissance r. (H) l'adjonction canonique (L£ H] ,Mod ( [ H ] ) ) est une contraction droite d'indice t. Preuve La proposition 3 prouve que (ii) implique (i). Réciproquement supposons que le fondeur : ModdHD.LfH] : M o d ( [ T ] ) - - > M o d ( [ T ] ) est r-déployé. Pour tout entier m€ N et naturellement en tout objet F de M o d ( [ T ] ) , nous avons: H o m ( Y m ( r ' n ) . L t H ] ( F ) ) = Hom(L [ H](YtT](T m )).L t H](» r )) -Hom(Y[T](Tm).Mod([H]).L[H](F>> ~Hom(Y[T](Tm).Fr) 2fHom(Y [ T ] (T m ).F) r ~Hom(r.Y[T](Tm).F) (voir Annexe,S4). Psrccîîséqueîit r . Y [ T ] { T m ) est un objet libre engendré par Y [ T ] ( T m ) relaSwement à Comme Y [T] °e est dense et Mod[T] est co-complète (voir Annexe. S 4. prop. 8 et 12 ) , on en déduit que L[ H ] admet un adjoint à gauche L*. D'après la proposition 1. L'. 4 H 3 est r-co-déployé. Ainsi, l'assertion (i) implique l'assertion (H) Fût délai Montrons, de même, que : Proposition B. Si [ H ] : [ T ] — > [ V ] est un homomorphisme entre théories de Lawvere et si r estun entier, alors les deuxassertions suivantes sontéquivalentes: (Q l'adjonction canonique (l_[ H j , M o d ( [ H ] ) ) est de co-puissance r. 00 l'adjonction canonique ( L [ H ] . M o d ( [ H ] ) ) est une contraction gauche d'indice r. Preuve. L'assertion (ii) implique l'assertion (i). d'après la proposition 4. Rédproquement supposons que le fondeur : Mod((H]).L[H3:ModUT])- ->Mod([T]) est r-co-déployé. Pour tout entier m, on a les "isomorphismes de cônes indudifs" de M o d ( [ T ] ) suivants: Mod([H])(Y[r](rr'm))-Mod([H]).L[H](Y[T](TTm))-r.Y[T](1Tm) (voir Annexe,§4). Comme Yt T 3 : [ T ] — > Mod ( [ T ] )°P est un modèle (voir Annexe. § 4 . prop. 8 ) . pour tout entier m , le cône Yt T ]( w m ) est un cône limite inductive dans Mod ( [ T ] ) . Les limites inducBves commutent entre elles, il en résulte que, pour tout entier m , le cône Mod([H])(Y[-p](iT' m )) est aussi un cône limite indudive dans M o d ( [ T ] ) . On en déduit que Z [ H ] = M o d ( [ H l ) ° P . Y [ T ] : [T]—>Mod([T]) est un modèle et qu'alors (voir Diers [ 1976 ] et Lair [ 1979 ] ) , le fondeur Mod ( [ H ] ) admet pour adjoint à droite le fondeur : R':Mod([T]) - > M o d ( [ T l ) F > (Hom ( Z [ H ] ( ) , F ) : [T] -->Ens). D'après la proposition 2 , le fondeur Mod ( [ H ] ) . R' est r-déployé. Ainsi, l'assertion (i) implique l'assertion (H). Fin de la preuve. Reprenons l'exemple type des modules, i.e. supposons que homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires. h : A — > A' est un On sait (voir, notamment Annexe , ! 4 , prop. 8 ) que le fondeur "A-module sous-jacent" U: A'-Mod—> A-Mod est théorisable, i.e. "équivalent" au fondeur : Mod([Hl):Mod([Tl) ->Mod(ÏT]) . où: - [ T ] (resp. [T]) est la duale de la sous-catégorie pleine de A-Mod (resp. A'-Mod ) dont les objets sont les A m (resp. A * m ) . quand m parcourt N , * [ H ] : [ T ] — > [ T ] est le fondeur dual de la restriction de l'adjoint à gauche L de U. Si A' est un A-module libre de dimension r. on a vu que l'adjonction ( L . U ) est de puissance r, donc aussi l'adjonction ( 4 H ] - M o d ( l H 1 ) ) La proposition S prouve que 4 H } admet un adjoint à gauche. Par équivalence, elle prouve également que le fondeur L admet un adjoint à gauche. Ainsiff l'adjonction canonique ( L, U) est une contraction droite d'indice r. La proposition 6 explique pourquoi U admet également un adjoint à droite R . En effet par équivalence, l'adjonction ( 4 H ] - M o d ( [ H ] ) ) est de co-puissance r : c'est donc une contraction gauche d'indice r, et l'adjonction canonique ( L , U ) a cette même propriété. 10 CHAPITRE 2 Point de vue syntaxique : théories de Lawvere et extensions Sommaire 1. Réalisations et exposants 2. Cohérence 3. Extensions et degrés 4. Cohérence totale des extensions p. 12 p. 14 p. 16 p. 17 0. Introduction Reprenons l'exemple des modules, i.e. supposons que h : A — > A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, puis désignons par U : A'-Mod —-> A-Mod le fondeur A-module sous-jacent et par L : A-Mod -—> A'-Mod son adjoint à gauche. Si Aa est un A-module libre de dimension r sur A , alors on sait d'après le Chap. 1, que L admet aussi un adjoint à gauche ou que U admet aussi un adjoint à droite. Autrement dit il y a correspondance entre la propriété pour h de présenter A' comme extension (au sens classique) de A et la propriété pour ( L, U ) d'être une contraction (au sens du Chap. 1 ) . On sait que la catégorie A-Mod (resp. A'-Mod) est théorisable, i.e. est équivalente à la catégorie des modèles d'une théorie de Lawvere [ T ] (resp. [ T ] ) , et que U est induit par un homomorphisme [ H ] : [ T ] — > [T] Mieux, A (resp. A' ) est (une structure canonique d'anneau sur) l'ensemble des flèches T —-> T (resp. T — > V ) et h est alors la restriction de [ H ] (voir Annexe , 5 4 ) . Aussi les propriétés de h sont des propriétés de [ H ] . Il est donc naturel de rechercher quelle est la propriété d'un quelconque homomorphisme [ H ] : [ T ] —-> [ Y ] entre théories de Lawvere susceptible de correspondre à celle d'être une contraction pour l'adjonction canonique ( L. Mod ( [ H ] ) ) qu'il induit : c'est l'objet de ce Chap. 2 . 11 Essentiellement le tondeur H doit avoir un adjoint à gauche (resp. à droite) K qui commute aux produits finis. Un tel K est une réalisation au sens du 11 et [ H ] est une extension, teHe que ceHes introduites au ! 3 . En général, bien que commutant aux produits finis. K ne commute pas aux produits finis choisissons T et F : se pose alors un problème de cohérence, étudié aux SS 2 et 4. 1. Réalisations et exposants Soit [ T ] et [ T* ] deux théories de Lawvere (voir Annexe. S 4 ) . On dit que [K] = ( [ T ] .K. [Y ) ) estune réalisation de [ T ] vers [Y] . d'exposant l'entier r . et l'on note encore [ K ) : [ T ] — > {Y ) . si et seulement si : - K : T ----> T est un fondeur, -pour tout entier m€ H , ona K ( T m ) = r r m , - K commute aux produits finis. En particulier, tout homomorphisme [ H ] : [ T ] — > [T] est une réalisation d'exposant 1. (Remarquons cependant qu'une réalisation d'exposant 1 n'est pas nécessairement un homomorphisme, puisque l'image d'un produit choisi n'est plus nécessairement un produit choisi. ) Soit r un entier, C une catégorie, [T] et [K] [ T ] — > [ Y ] une réalisation d'exposant r. [Y] deux théories de Lawvere et On dispose du fondeur "composition par K " : Mod([K].C):Mod(["T],C) M' ->Mod([T].C) >M'.K de sorte que le diagramme ci-dessous commute : Mod([K],C) Mod([T],C) ->> Mod([T],C) '[T],C •[r].C V/ — > Fond( T ,C) V Fond( Y ,C) Fond(K.C) (voir Annexe.§4) 12 En particulier, si C = Ens, on note plus simplement Mod ([K],Ens) = Mod ( [ K ] ) . Dans ces conditions, une preuve en tous points analogue à celle utilisée pour les homomorphismes entre théories de Lawvere (voir Lawvere [ 1968 ] et aussi Annexe, f 4 . prop. 9 ) permet d'établir que : Proposition 1. Si r est un entier, si [ T ] et [Y] sont deux théories de Lawvere et si [ K ] : [ T J — > [Y] est une réalisation d'exposant r , alors le tondeur (composition par K ; M o d ( [ K ] ) : M o d ( [ T ] ) - > M o d ( [ T ] ) admet un adjoint à gauche que l'on note L[ « ] : Mod ( [ T ] ) —> Mod ( [ Y ] ) et qui rend le diagramme ci-dessous commutant: r cr] Mod(["rj)°P A kK] 1|0P Mod([T])°P f [T] Par exemple, supposons que h : A — -> A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, où A' est un A-module libre de dimension finie r . On sait que la catégorie A-Mod (resp. A'-Mod ) est une catégorie théorisable, i.e. équivalente à la catégorie des modèles de la théorie [ T ] (resp. [ T" ] ) duale de la souscatégorie pleine de A-Mod (resp. A'-Mod ) dont les objets sont les A m (resp. A' m ). quand m parcourt N . Si U : A'-Mod —-> A-Mod est le fondeur d'oubli il est facile de vérifier que : - pour tout entier m , U ( A ' m ) ~ A m r , - le fondeur U commute aux sommes finies (et même aux co-limites, puisqu'il admet un adjoint à droite). Ainsi. U » : A'-Mod °P —-> A-Mod °P admet une restriction [ K ] : [ Y ] -—> [ T J est une réalisation d'exposant r . 13 K : Y — > T , de sorte que 2. Cohérence Soit r un entier. Si [ T ] est une théorie de Lawvere, nous serons amenés dans la suite a considérer les objets T r m de T soit comme produits de r m copies de T, soit comme produits de r copies de T m , soit comme produits de m copies de T r . Il nous faudra donc renoter les couples appartenant à (1 r) x (1 m) en des éléments de {1 r m) pour comparer les projections de ces différents produits (choisis). Par commodité, nous appelerons r-renotation une famille de bijections : {1 rm }) m e N Soit [ T ] et [Y] deux théories de Lawvere, r un entier et v une r-renotation. On dit qu'une réalisation [ K ] : [ T ] -> [Y], d'exposant r, est [Y] d'exposant r est naturellement équivalente à une réalisation [ K^ J : [ T ] —> [Y], d'exposant r et r r ) 1 i i i m est par hypothèse fc/oir Annexe, i 4 ), un cône produit dans T . présentant Yr m comme produit de m copies de Yr. Il en résulte que (Tr' r (j) . K ( t r m ( i ) ) : r r m - — > T " ) l i j i r j i i i m estuncône produit dans Y . présentant Tr m comme produit de r m copies de Y . En 14 conséquence, il existe une unique flèche ( nécessairement inversible ) de T" telle que: -pour tout 1 < j < r et pour tout 1 < i < m , o n a (a) i r ' r ( I ) . K ( i r m ( i ) ) . km-irVm ( < r m ( | j ) ) . Définissons alors un fondeur K^ : T -—> Y -pour tout entier m , (P) k^ : Yr m -—> Yr m en posant : K c r (Tm) = K ( T m ) = T ' r m ^ -pour tous entiers m et n et pour toute flèche t : T m - — > T n de T , <*) MO^-Mt).!^. Clairement Kp est naturellement équivalent à K. Comme K commute, par hypothèse, aux produits finis, il en est de même de Kj . En utilisant (p ) , on voit que [K^ ] : [ T ] — > [Y] est une réalisation d'exposant r naturellement équivalente à [ K ] . Pour tout 1 < j < r , pour tout entier m etpourtout 1 I T 1 Mieux, si r est un entier et si v est une r-renotation, on voit qu'H existe une et une seule réalisation Cano ^ [ T ] : [ T E n s ] -—> [ T ] d'exposant r et [Y] réalisation d'exposant r , les deux assertions suivantes sont équivalentes : - [K] est A1 est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, où A' est un A-module libre de dimension r . Avec les notations du S 1 . dire que [ K ] (restriction de U °P : A'-Mod °P —-> A-Mod °P ) est "cohérente" revient à choisir une A-base particulière de A' . 3. Extensions et degrés Soit [ T ] et [Y] deux théories de Lawvere et r un entier. On dît que ('homomorphisme (ou, plus généralement la réalisation) [ H ] : [ T ] —-> [ T ] admet la réalisation [ G ] : [ T" ] —-> [ T ] , d'exposant r , pour adjointe à gauche si et seulement si : - le fondeur (sous-jacent) G : Y ----> T est adjoint à gauche du fondeur (sous-jacent) H:T~->T\ Dualement on dit que l'homomorphisme (ou, plus généralement la réalisation) [ H ] : [ T ] — > I Y J admet la réalisation [ D ] : I Y ] -—> [ T ] , d'exposant r , pour adjointe adroite si, et seulement si : - le fondeur (sous-jacent) D : Y ----> T est adjoint à droite du fondeur (sous-jacent) HT »->Y. Clairement en vertu de la proposition 2 qui précède, si [ H] admet une réalisation d'exposant r, adjointe à gauche (resp. adjointe à droite) et si [Y] un homomorphisme de théories de Lawvere et entier. 16 r un On dit que [ H ] est une extension droite de degré r si, et seulement si : - il existe une réalisation [ G ] : [ Y ] —-> [ T ] , d'exposant r , telle que : + [ G ] est adjointe à gauche de [ H ] , + le fondeur G. H : T —-> T est r-déployé. S'il n'y a aucun risque de confusion concernant [ H ] , on dira plus simplement que c'est [Y] qui est une extension droite de degré r de [ T ] . De même, on dit que [ H ] est une extension gauche de degré r si, et seulement si : - il existe une réalisation [ D J : [ "P ] ----> [ T J , d'exposant r , telle que : + [ D ] est adjointe à droite de [ H ] , + le fondeur D. H : T -—> T est r-déployé. S'il n'y a aucun risque de confusion concernant [ H ] , on dira plus simplement que c'est [Y] qui est une extension gauche de degré r de [ T ] . (Les adjectifs droite et gauche utilisés dans les deux définitions qui précèdent font référence aux côtés où H est adjoint) Par exemple, si A est un anneau commutatil unitaire, la théorie [ T ] des Amodules est aussi une catégorie additive et End ( T ) = Hom [ y ] ( T , T ) = A suffit à reconstruire [ T ] (dont les flèches s'interprètent comme des matrices à coefficients dans A ) . De même, si h : A —-> A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, alors h:End(T) — >End( Y) permet de reconstruire l'homomorphisme (également additif) [ H ] : I T ] ----> [ Y ] dont h est une restriction. Ceci constaté et pour ne s'en tenir qu'à une situation ultra-standard, on voit que si h : A — -> A' est un homomorphisme entre corps de caractéristique nulle, alors un pur calcul matririel permet de vérifier (purement syntaxiquement) que [ H] est une extension (au sens précédent), indifféremment droite ou gauche, de degré r si et seulement si A' est une extension (au sens dassique) de A de degré r. 4. Cohérence totale des extensions Si [ H ] : [ T J —-> [Y] est une extension droite (resp. gauche) de degré r , nous allons montrer que non seulement la réalisation adjointe à gauche (resp. à droite) [G] (resp. [ D J ) peut-être choisie cohérente, en vertu de la prop. 2 , § 2 , mais aussi le déploiement de G . H (resp. de D. H ) : ainsi, non seulement on peut dire que toute extension est cohérente (comme son adjoint) mais aussi doublement - ou totalement cohérente. Prédsément soit r un entier, T m flèche de T telle que: - pour tout entier 1 < i < m , le diagramme ci-dessous est commutatif : l'unique jrm w TO rm(*m(U)) m(l) T < "m<»> autrement dit on a : ^rm(^m(î'i))3STrm(«) . ^ T m ( j ) En particulier, pour m = 1 , on vérifie que : -pour tout 1 < j < r , on a, Tr*i(J)="r(*l(M>K (puisque TT1 (1) = i d ( T ) ) . Ainsi, pour tout entier m , TÏ*m = ( w a m ( j ) )j ^ j ^ r est un cône produit dans T , présentant T r m comme produit de r copies de T m . Dans ces conditions, montrons donc que : Proposition! Si [T] et [Y] sont deux théories de Lawvere, si r est un entier, si [ H ] : [ T J —-> [ Y ] est une extension gauche de degré r et si [ T ] , d'exposant r. telle que: -[EP] est adjointe à droite de [ H ] , -le fondeur VM:J—>Y est r-déployé et TT* = ( I T ^ ) m € N en est un rdéploiement, - [ D * ] est T n de T , le diagramme ci-dessous commute : D*.H(t) Trn jrm *a» ^n(i) 18 En particulier, pourtoutentier 1 < j < r , pourtoutentier m le diagramme ci-dessous commute : D».H(irB(l)J _ T r < et pourtoutentier 1 < i < m , __ T rm ïïr( [Y] une réalisation d'exposant r , adjointe à droite de [ H ] , et P un r-déploiement du fondeur D. H : T —-> T. Alors, pour tout entier m , P ( T m ) = ( P ( T m ) j : T r m - - > T m ) 1 l j i r est un cône produit dans T , présentant T r m comme produit de r copies de T m . En conséquence, pour tout entier m , il existe une unique flèche (nécessairement inversible), d m : T r m — > T r m de T telleque: -pour tout entier 1 < j < r , on a: («) P(T'")j.dm = iT^m(j). Définissons un fondeur D* : Y -—> T , de la façon suivante : - pour tout entier m , on pose (p) D^(rm) = D(rm)=Trm, - pour tous entiers m et n et pour toute flèche t1 : Y m —-> Y n de Y , on pose (v) IF(r)-dtri.D(D.d^. Il est dair que D 7 est naturellement équivalent au fondeur D : Y -—> T et donc, comme lui, commute aux produits finis. De plus, d'après ( e ) , [D* ] : [Y ] — > [ T ] est une réalisation d'exposant l'entier r. Comme [ D ] est adjointe à droite de [ H ] , il en est de même de [ D* ]. Pour tous entiers m et n , pour tout entier 1 < j < r de T , on a: 19 et pour toute flèche t : Tm —> T n ^n(J) D*(H(t))=ir%(j).dn-1.D(H(t)).dm (d'après (¾)) = P{jn)t.D(H(\)).ûm (d'après ( « ) ) (puisque P est un r-déploiement de D.H) (d'après («)). Par conséquent l> T .H:T—>T est un fondeur r-déployé dont ir* est un r-déploiement Pour tout entier 1 < j < r , pour tout entier m et pour tout entier 1 < i < m , on a : rr r (*1 ( I . D Ï . D * ( H ' m O n - w M D . D ' M i r ' . n O ) ) ( par définition ) -w^lCJI-D» ( H ( i r m ( i ) ) ) (puisque [ H ] est un homomorphisme ) = "m(»)-Tr*m(j) (puisque n a est un r-déploiement de CF. H) = 1 T rm( c r m(i. 1 )) ( par définition ). On en déduit que [ U* ] est une réalisation cr -cohérente. L'unicité de [ D 7 ] est évidente. Fin de la preuve. En changeant "droite" en "gauche" et établit de même que: D en G dans la preuve précédente, on Proposition A Si [ T ] et [Y] sont deux théories de Lawvere, si r est un entier, si [ H ] : [ T ] — > [ T ] est une extension droite de degré r et si [ T ] . d'exposant r . te/le que: [GP] est adjointe à droite de [ H ] , - le tondeur GP . H : T - - > T estrdéployé et TT« = ( ir* m ) m € N en est un r- [GP ] est*-cohérente. il en résulte, notamment que pourtoutentier 1 < j < r . pourtous entiers m et n toute ffèche t : T m — > T n de T . le diagramme ci-dessous commute: 20 et pour G*.H(t) jrm T" V <- En particulier, pourtoutentier 1 < j < r , pourtoutentier m /e diagramme ci-dessous commute : et pourtoutentier 1 < i < m , G".H(irm(i)) jrm M«i(M>), J 'm(') 21 CHAPITRE 3 Traduction syntaxe vs. sémantique extensions et contractions Sommaire 1. Extensions gauches et contractions droites 2. Extensions droites d contractions gauches p. 24 p. 26 0. Introduction Nous avons établi au Chap. 1 que l'adjonction canonique ( L [ H ] . Mod ( [ H ] ) ) . induite par un homomorphisme [ H ] : [ T ] — > [ Y ] entre théories de Lawvere (voir Annexe, { 4 ) , était de puissance (resp. de co-puissance) r si, et seulement si, elle était la contraction droite (resp. gauche) d'indice r d'une sur-adjonction ( L', L [ H ] . Mod ( [ H ] ) ) (resp. ( L [ H ] , Mod ( [ H ] ) , R ' ) . Nous y avons donc établi l'équivalence de deux propriétés sémantiques'. - la première, constructjve, énoncée en termes de déploiements (resp. co-déploiements) et puissances (resp. co-puissances), - la deuxième, globale, énoncée enfermes d'existence d'adjoints (en plus grand nombre que prévu). Au Chap. 2 nous avons développé un autre cadre, purement syntaxique celui des extensions droites (resp. gauches), en signalant notamment comment il englobe celui, ultra-standard, des extensions de corps de degré fini. L'objet de ce Chap. 3 est justement de prouver que le point de vue du Chap. 1 n'est que la version sémantique du point de vue syntaxique élaboré au Chap. 2 . Ainsi nous montrons au § 1 que [ H J est une extension gauche de degré seulement s i , ( L t H ] - Mod ( [ H ] ) ) est une contraction droite d'indice r. 23 r si. et Dualement (la terminologie mise au point aux Chap. 1 et 2 justifiant l'utilisation de cet adverbe), nous prouvons au § 2 que [ H ] est une extension droite de degré r si, et seulement s i , ( L c H 3 , Mod ( [ H ] ) ) est une contraction gauche d'indice r. 1. Extensions gauches et contractions droites Montrons que : Proposition 1. Si r estun entier, si [ T ] et [Y] sont deux théories de Lawvere et si [ H ] : [ T ] — ->[T"1 est un homomorphisme (voir Annexe, SA), alors [ H ] est une extension gauche de degré r si et seulement si l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après la prop. 5 , Chap. 1 , îb, est vérifiée: - l'adjonction canonique ( L [ H ] , M o d ( [ H ] ) ) est une contraction droite d'indice r, - l'adjonction canonique ( L [ H - j , M o d ( [ H ] ) ) est de puissance r. Preuve. Supposons que [H] est une extension gauche de degré r et choisissons une r-renotation T et comme tout modèle commute aux produits finis, on voit que : - naturellement en tout modèle F : [ T ] —-> Ens et en tout objet P11 de [ T ] , le cône prpjedif : P(F)(Tm) = ( F ( i r ^ m ( j ) ) : F ( C > M H ( T ^ ) ) ) - - - - > F ( T ^ ) ) U J i r présente l'ensemble : F(D^ T (H(T m ))) = F . D ^ . H ( T m ) = M o d ( [ H ] ) . M o d ( [ D ^ ] ) ( F ) ( " P ) comme produit dans Ens , de r copies de F ( T™ ). Les produits se calculant point par point dans Mod ( [ T ] ) , on en déduit que : - naturellement en tout objet F de Mod ( [ T ] ) , le cône projedif P ( F ) présente l'objet M o d ( [ H ] ) . M o d ( [ L > T ] ) ( F ) comme produit dans M o d ( [ T ] ) , de r copies de F, donc lefondeur M o d ( [ H ] ) . M o d ( [ D * ] ) : M o d ( [ T ] ) - - > M o d ( [ T ] ) est r-déployé . La réalisation [ U* ] étant adjointe a droite de [ H ] , il est fadle de vérifier que le fondeur Mod ( [ D 7 ] ) est adjoint à gauche de Mod ( [ H ] ) . Il est donc naturellement équivalent à Lf H 3 et l'adjonction (L{ H ],Mod ( [ H ] ) ) est donc bien de puissance r. 24 Réciproquement supposons que l'adjonction ( L[ H ] • M o d ( l H 1 ) ) est de puissance r ou, ce qui est équivalent que L' : Mod ( [ Y ] ) — > Mod ( [ T ] ) est un adjoint à gauche de 4 H ] • de sorte que L'. Lf H ] es* r-co-déployé. Alors, pour tout entier m et naturellement en tout objet F de Mod ( [ T ] ) , on a : Hom(L'(Y m (r«")),F) : S ! Hom(Y [ r ] (r'n).L C H3(» r î) = Hom(LtH](Y[T]CF»)).L[H](F)) (puisque Y [ T ] . H = L [ H ] ° P . Y [ j ] -voir Annexe.§4,prop. 9) *Hom(Y[T](-P).Mod([H]) ( ^ ( F ) ) ) -Hom(Ym(T™).Fr) (par hypothèse) r = Hom ( Y [ T ] (T™). F) = Hom (r. Y [ T ] ("F»), F) = Hom ( Y [ T ] ( T r m ) . F ) . Onadoncunisomorphisme s m : L ' ( Y [ T - ] ( r m ) ) — - > Y [ T ] ( T r m ) dans M o d ( [ T ] ) . Pour tout entier m , posons DCT"»)»'!"''™. Pour toute flèche f : Y m — > T n de T , le diagramme ci-dessous est évidemment commutatjf : L'(Y[r](r)) L'(Ytr](rn)) > L-tY^Cr*)) I *n| m Y[T](Trn) > Y[T](Trm) 5m.L'(Y[r](r)).5n-1 Le fondeur Y[ T 3 étant plein etfidèle(voir Annexe, § 4, prop. 8 ) , il existe donc une unique flèche t : T r m ~ ~ > T r n , de [T] , telle que Y [ T ] ( t ) = 5 m . L ' . Y [ r ] ( r ) 5 n " 1 . Alors, on pose D ( f ) = t . Il est fadle de vérifier qu'on définit ainsi un fondeur D : Y —-> T qui est une restriction pleine de L'°P (par construction), Le. tel que L' °P . Y t r ] = Y c T ] . D . Comme L' est adjoint à gauche de 4 H 3 , le fondeur L'0? est adjoint à droite du fondeur L[ H ] o p - E n conséquence sa restriction D est adjointe à droite de H et notamment commute aux produits finis. Donc [ D ] : [Y ] -—> [ T ] est une réalisation d'exposant r par construction (de plus, on a 4 H ] - M o c l ( D ) ) Ainsi [H] est une extension gauche de degré r. Fin de la preuve. Par exemple, soit h : A —-> A' un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, où A' est un A-module libre de dimension r. 25 Si [ T ] (resp. [Y] ) est la théorie des A-modules (resp. des A'-modules) et si l'on désigne par [ H ] : [ T ] —-> [ Y ] l'homomorphisme induit par h , on sait que (voir Chap. 1 , § 5 ) ( L t H 3, Mod ( [ H ] ) ) est une contraction droite d'indice r . On déduit donc de la prop. 1 précédente que [ H ] est une extension gauche de degré r (en particulier que H admet un adjoint à droite D ). On peut dire aussi que, si A' est une extension (dasstque) de degré r de A , alors [Y] est une extension gauche de degré r de [ T ] . 2. Extensions droites et contractions gauches Montrons que : Proposition 2. Si r est un entier, si [ T ] et [Y] sont deux théories de Lawvere et si [ H ] : [TJ —-> [T"] est un homomorphisme (voir Annexe, SA), alors [ H ] estime extension droite de degré r si et seulement si l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après la prop. 6 , Chap. 1 , / 5 , est vérifiée: - l'adjonction canonique (4 H -j,Mod ( [ H ] ) ) esrune contraction gauche d'indice r, - l'adjonction canonique ( L [ H ] , M o d ( [ H ] ) ) est de co-puissance r. Preuve Supposons que [ H ] est une extension droite de degré r et choisissons une r-renotation T et comme tout modèle commute aux produits finis, on voit que : - naturellement en tout modèle F : [ T J —-> Ens et en tout objet T m de [ T ] , le cône projecGf : P(F)(T^) = (F(TT^m(j)):F(C^(H(T^)))---->F(T^))Ujir présente l'ensemble : F(Gcr(H(Tm))) = F.I>T.H(Tm) = Mod([H]).Mod([Gcr])(F)(Tm) comme produit dans Ens, de r copies de F ( T m ). Les produits se calculant point par point dans Mod ( [ T ] ) , on en déduit que : - naturellement en tout objet F de Mod ( [ T ] ) , le cône projedif P ( F ) présente l'objet M o d ( [ H J ) . M o d ( [ 0 T J ) ( F ) comme produit dans Mod ( [ T ] ) , de r copies de F. 26 Autrement dit le fondeur Mod ( [ H ] ) . Mod ( [G^ ] ) : Mod ( [ T ] ) - - > Mod ( [ T ] ) est r-déployé, i.e. l'adjonction canonique ( 4 H ] < M o d ( [ H ] ) ) est une contraction gauche d'indice r. Réciproquement supposons que l'adjonction (L[ H ],Mod([H])) est de co-puissance r ou, ce qui est équivalent qu'il existe un fondeur R' : Mod ( [ T ] ) —> Mod ( [ Y ] ) , adjoint à droite du fondeur Mod ( [ H ] ) , de sorte que Mod ( [ H ] ) . R' est r-déployé. Pour tout entier m et naturellement en tout objet F de Mod([T]) . on a: Hom(Mod([H])(Ym(r«n)),F)-Hom(Mod([H])(L[H](Y[T](fTn))),F) ^Homtr.YfTjCPnj.F) (par hypothèse) ~Hom(Y t T ] (T r ">).F) . On a donc un isomorphisme e m :Mod ( [ H ] ) ( Y t T - ] ( r m ) ) — > Y [ X ] ( T r m ) dans Mod([T]). Pour tout entier m , posons G ( r m ) = T r m . Pour toute flèche f : Y m — > Y n de Y , le diagramme ci-dessous est évidemment commutatif: Mod([H])(Ym(n) Mod([H])(Y[r](T"")) < Mod([H])(Y[r](Pn)) i i tf m | tf v Y[T](Trm) n V < —b'm.Mod([Hl)(Y[r](t')).Vn-1 Y[T](T") Le fondeur Y t j ] étant plein et fidèle (voir Annexe, § 4, prop. 8 ) , il existe donc une unique flèche t : T m — > T r n . de [T] , telle que: Y[T](«>-*m M o d ( [ H ] ) ( Y t r ] ( t ' ) ) . * n - 1 . Alors, on pose G ( t * ) - t . Il est fadle de vérifier qu'on définit ainsi un fondeur G : Y —> T qui est une restriction pleinede Mod([H])°f> (par construction), i.e. tel que Mod ( [ H ] ) °P. Y t r ] = Y [ T ] . G. Comme 4 H f° e s ' adjoint à droite de Mod ( [ H ] )°P . G est adjoint à gauche de H (ce dernier étant restriction pleine de L [ H ] °P d'après la prop. 9 , Annexe, S 4 ) . n Par hypothèse, Mod ( [ H ] ) a un adjoint à droite R1 Donc G , comme Mod([HJ)°P , commute aux produits finis . Ainsi [ G ] : [ Y ] ----> [ T ] est une réalisation d'exposant r par construction (de plus , R'^ Mod ( [G] ) ). On conclut donc que [ H ] est une extension droite de degré r . Fin de la preuve. Par exemple, supposons de nouveau que h : A —> A' est un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, où A1 est un A-module libre de dimension r. Notons encore [ T ] (resp. [Y]) la théorie des A-modules (resp. des A'-modules) et [ H ] : [ T ] — > [ Y ) Thomomorphisme induit par h . On sait aussi que (voir Chap. 1 , § 5 ) ( il [ H 3, Mod ( [ H ] ) ) est une contraction gauche d'indice r . On déduit donc de la prop. 2 précédente que [ H ] est une extension droite de degré r (en particulier que H admet un adjoint à gauche G ). On peut donc dire, compte tenu du § 1, que si A' est une extension (dassique) de degré r de A , alors [Y] est une extension gauche et droite de degré r de [ T ] (ce qui redonne, par traduction de la sémantique vers la syntaxe, le résultat signalé en fin de i 3 , Chap. 2 ) . 28 CHAPITRE 4 Extensions et extenseurs Sommaire 1. Extenseurs 2. Extensions de Kleisli des extenseurs 3. Extensions de Kleisli et extensions p. 30 p. 30 p. 37 0. Introduction Au Chap. 3 , nous avons établi que les adjonctions canoniques ( L, U ) (i.e. celles où U est un fondeur théorisable ) pour lesquelles existe un déploiement (resp. un codéploiement) U . L = ( - ) r (resp. U . L = r. ( - ) ) sont induites exactement par les homomorphismes [ H ] : [ T ] —-> [ Y ] entre théories de Lawvere qui sont des extensions gauches (resp. droites) de degré r. On obtient de la sorte une procédure complète de traduction entre le point de vue sémantique du Chap. 1 et le point de vue syntaxique du Chap. 2. On peut estimer cependant que la notion (sémantique) de déploiement (resp. de codéploiemeni) est suffisamment pratique, alors que sa traduction syntaxique en terme d'existence de réalisations adjointes ne l'est guère. Cest l'objectif du présent Chap. 4 (mais aussi des suivants) d'élaborer des procédés purement syntaxiques de construction pratique d'extensions. Ainsi, nous établissons au § 3 que toute extension [ H ] : [ T ] -—> [Y] est entièrement déterminée par ce qui se passe uniquement sur [ T ] . Prédsément une telle extension quelconque [ T' ] de [ T ] est nécessairement (isomorphe à) une extension particulière, dite de Kleisli, comme établi au i 2 . Autrement dit toute extension est (isomorphe à) une structure canonique de théorie de Lawvere sur la catégorie de Kleisli d'une certaine monade (resp. co-monade) sur [ T ] , i.e. d'un extenseur au sens du § 1. 29 1. Extenseurs Soit r un entier, a Lawvere (voir Annexe, S 4 ) . une r-renotation (voir Chap. 2, § 2 ) et [ T ] une théorie de On dit que [ M l = ( [ M ] , < o , y ) estun v-extenseur gauche de degré r sur [ T ] si, et seulement si : " I M ] : [ T ] —-> [ T ] est une réalisation d'exposant r , cr -cohérente (voir Chap. 2, § 2 ) , - M : T — > T est un fondeur r-déployé admettant TT* pour r-déploiement (voir Chap. 2 , Î4), - M = (M,(o,jj ) est une monade sur T (voir Annexe ,§ 2 ) . De même, on dit que [ M ' ] S ( [ M ' ] , 0 ^ , 1 / ) estun *-extenseur droit de degré r [ T ] si, et seulement si : - [ M' ] : [ T ] —-> [ T ] est une réalisation d'exposant r , T est un fondeur r-déployé admettant TT* pour r-déploiement -M'=(W.<Ù\V9) est une co-monade sur T (voir Annexe ,§ 2 ) . sur Par exemple, supposons encore que h : A —-> A' est un homomorphisme d'anneaux commutadifs, unitaires, désignons toujours par [ T ] (resp. [Y]) la théorie des A-modules (resp. A'-modules) et par [ H ] : [ T ] — > [ Y ] l'homorphisme induit par h. On sait (voir Chap. 3 , §§ 1 et 2 ) que, si A' est une extension de degré r de A , alors [ H ] est une extension, tant droite que gauche, de degré r . D'après les prop. 3 et 4 , Chap. 2 , § 4 , (dont nous reprenons les notations), [ H ] est totalement cohérente. Aussi , on voit que [ D * H ] : [ T ] - - > [ T ] (resp. [ G * H] [ T ] - - > [ T ] ) est (sous-jacent à) un extenseur gauche (resp. droit) de degré r sur [ T ] . (Ce procédé de construction d'un extenseur a partir d'une extension est évidemment général comme nous le verrons en au S 3. ) 2. Extension de Kleisli des extenseurs On sait qu'à toute monade (resp. co-monade) sur une catégorie est assodée une catégorie de Kleisli et une adjonction canonique (voir Annexe , i 2 ) . H est remarquable d'établir que cette propriété se transfère au cas beaucoup plus structuré des extenseurs sur les théories de Lawvere et des extensions. Prédsément montrons que : Proposition 1. Si r est un entier, si , p ) est assodée sa catégorie de Kleisli T ( M ) et une adjonction canonique (voir la preuve de la prop. 1, Annexe, § 2 ) : ( H ( M ) : T — > T ( M ) , D (M) :T ( M ) — > T ) . Ainsi, les objets de T ( M ) sont les mêmes que ceux de T , mais pour plus de commodité on notera : - pour tout entier m e N , T ( M ) m au lieu de T m , lorsque T m est vu comme objet de T(M). Alors, les flèches t : T m -—> M ( T n ) de T sont exadement lesflèchesde T ( M ) notées t : T ( M ) m . — ^ K M ) " . Pour tout entier m G N et tout entier 1 < i < m , on dispose de laflèchede T : w(Mim(i):T* >T Trm(i) >M(T), o)(T) donc de la flèche de T ( M ) : Tr(M)m(i):T(M)^-->KLT(M). En particulier, on voit que, dans la catégorie T , on a : TT(M)1(1)=0) (1).11,(1) (par définition) =o)(T).id(T) (puisque [ T ] est une théorie de Lawvere) = u>(T), ce qui signifie par définition, que dans la catégorie T ( M ) , on a: ( K L T ( M ) ) 1 i i i m une famille de flèches de T ( M ) . Ced signifie, par définition, que ( t j : T n — > M (T ) ), <, j ^ m est une famille de flèches de T . Comme, par hypothèse, M : T ---> T commute aux produitsfinis,on voit qu'il existe une unique flèche h : T n —-> M ( T m ) de T telle que, pour tout 1 < i < m , on a: M(irm(i)).h-t, . 31 Ainsi. h : T ( M ) n — > K L T ( M ) m est uneflèchede T ( M ) on a: telle que, pour tout 1 K L T ( M ) m telle que, pour tout 1 < i < m , on a : (v) est une autreflèchede T(M) Tr(M) m (i). K L h' = t i Ceci signifie que h* :T n —->M ( T m ) est uneflèchede T telle que, pour tout on a: 1 . - > K L T ( M ) ) 1 i i i m est un cône projectif produit, présentant T ( M ) m comme produit de m copies de T ( M ) dans T(M). De («) et (&) résulte que théorie de Lawvere. [T ( M ) ] = (T ( M ) , (TT ( M ) m ) m € N * ) 32 estbienune Ensuite, on voit que (en utilisant la preuve de la prop. 1 , Annexe, i 2 ) : - pour tout entier m e N , on a par définition H ( M ) ( T m ) = T m = T ( M ) m , - pour tout m€ N ettout 1 < i < m , o n a H ( M ) ( w m ( i ) ) = [ T ( M ) ] est bien un homomorphisme de théories de Lawvere. De même, on voit que : - pour tout entier me N , on a: D(M)(T(M)m) = D(M)(Tm) (par définition) = M(Tm) (par définition) = jrm ( [M] étant d'exposant r ) , -pour tout entier me N et pour tout 1 < i < m , on a: (e) D(M)(TT(M)m(i))=M(T).M(ir(M)m(i)) (par définition) -p(T).M(«(T).irm(i)) (par définition) -M(T).M(«(T)).M(irm(i)) (M étant un fondeur) = id(T).M(rrm(i)) ( M étant une monade) = M(Trm(i)). Autrement dit M commutant aux produits finis, [ D ( M ) J : [ T ( M ) J —-> [ T ] réalisation d'exposant r. De plus, il est dair que: - D ( M ) est par construction, adjoint à droite de H ( M ) , - D ( M ) . H ( M ) = M est par hypothèse, r-déployé. Etdonc, [ H ( M ) ] : [ T ] —-> [ T ( M ) ] est une extension gauche de degré [ T ( M ) ] est une extension gauche de degré r de [ T ] . est une r, i.e. Pour condure, constatons que : - D ( M ) . H ( M ) = M est par hypothèse, un fondeur r-déployé, ayant TT" comme r-déploiement - [ D ( M ) ] est une réalisation T , H(M*):T T(M') ->T(M')) Ainsi, les objets de T ( M' ) sont les mêmes que ceux de T . mais pour plus de commodité on notera: - pour tout entier m € N . T ( M ' ) m au lieu de T m , lorsque T m est vu comme objet de T(M § ) Alors les flèches t : M ' ( T m ) — > T n de T sont exactement lesflèchesde T ( M f ) notées t : T ( M , ) m - - > K L T ( M , ) n . Pour tout entier m€ M et tout entier 1 T<" w'Crn») donc de laflèchede T(M'). Tr(M')m(i):T(M-p - - ^ T C I C ) . En particulier, on voit que. dans la catégorie T . on a : TT ( M ' M I J - i M t n . t t ' C T ) (par définition) 34 > w m (i) T. = id(T).(o'(T) (puisque [ T ] est une théorie de Lawvere) =u>'(T). Ceri signifie, par définition, que dans la catégorie T ( M" ) , on a : (KL T ( M '))i£i£m une famille de flèches de T ( M* ) . Ced signifie, par définition, que ( t j : M ' ( T n ) — > T ) i i j i m est une famille deflèchesde T . Il existe donc une unique flèche h : M' ( T n ) —-> T m de T telle que, pour tout 1 K L T(M , ) m 1 K L T ( M ' ) m telle que, pour tout 1 < i < m , on a : <*) est une autreflèchede T(M') w(M,)m(i).w.h,-t,. Ced signifie que h' : M' ( T n ) —> T m 1).M'(h').p'(Tn) (par définition) 35 = irm(i).h'.a)'(M'(Tn)).p'(Tn) (par naturalisé, M" étant une co-monade) = irm(i).h'.id(M'(Tn)) ( Ma étant une co-monade) = TT m (i).h' =iTm(i).h (d'après (p ) ) . Mais cela impose h • h' , puisque (TT m ( i ) : T m —-> T ) 1 4 j ± m est un cône projecW produit présentant T m comme produit dans T , de m copies de T . Onencondut sans utiliser l'hypothèse que M1 commute aux produitsfinis,que: ( 5 ) pourtout meN,lafamille TT ( M ' ) m = (iT ( K i ) m ( l ) : T ( M i r - > K L T ( M i ) ) l l l i [ m est un cône projectif produit présentant T ( M 1 ) m comme produit de m copies de T ( M ' ) dans T ( M a ) . De ( [ T ( M" ) ] Lawvere. est bien un homomorphisme de théories de De même, on voit que: -pour tout entier me N , ona: G(Mi)(T(M')m) = G(Mi)(Tm) (par définition) = M'(Tm) (par définition) = jrm ( [ M' ] étant d'exposant r ) , -pour tout entier me N et pour tout 1 < i < m , o n a : (E) G(M')(TT(M')m(i)) = M'(TT(M')m(i)).p'(Tm) (par définition) = M'(TTm(i).a)'(Tm)).p'(T^) (par définition) 36 = M'(wm(i)).M'(o>'(T'*)).)y(T'») ( M'étant un fondeur) = M'(TT m (i)).id(Tm) a ( M étant une co- monade) = M'(TT m (i)). Autrement dit, M' commutant aux produits finis, [ G ( M" ) ] : [ T ( M' ) ] -—> [ T ] réalisation d'exposant r. De plus, il est dair que : - G ( M 1 ) est par construction, adjoint à gauche de H ( M 1 ) , - G ( M" ) . H ( M 1 ) = M" est par hypothèse, r-déployé. Et donc, [ H ( M 1 ) ] : [ T ] —-> [ T ( M 1 ) J est une extension droite de degré [ T ( M a ) ] est une extension droite de degré r de [ T ] . est une r m le. Pour conclure, constatons que : - G ( M' ) . H ( M 1 ) = M' est par hypothèse, un fondeur r-déployé admettant TT"7 r-déploiement - [ G ( M" ) ] est a -cohérente puisque, pour tout 1 < j < r , pour tout entier m e N entier 1 < i < m , on a : M * l ( M » pour et tout G(M-)(ir(M')m(i))=TTr(a1(j,1)).M'(Trm(i)) (d'après (s ) ) = Tr rm(^m(J'i)) ( [ M' ] étant cr -cohérente). Fin de ta preuve. Conservant les hypothèses et notations de la prop. 2 précédente et de sa preuve, nous dirons que I T ( M 1 ) 1 (ou, plus prédsément [ H ( M 1 ) ] : [ T ] - ---> [ T ( M - ) J ) est l'extension de Kleisli {droite) du [ T ] est une extension gauche de degré r. La prop. 3 , Chap. 2 ,§4 (dont nous reprenons les notations) s'applique et l'on voit que: - à l'adjonction (H.CF) est assodée une monade M = (M.u>,p) sur T , - pour tout entier me N , on a, par construction: M(Tm) = r>T.H(Tm) = 0T(Tm) (puisque [ H ] est un homomorphisme) s 7 (puisque [ 0 ] jrm est d'exposant r ) , - M = D c r .H commute aux produitsfinis,puisque I F et H y commutent par hypothèse, - M = r>T . H est par hypothèse, r-déployé et TT* en est un r-déploiement. - pourtout 1 < j < r , pour tout entier m et pour tout 1 M ( ½ (»))=ïTr(*l(i.1>> D* ( H ("m(»>)) (par définition) = lTr(e1(j.1)).I>-r(TT'm(«)) (puisque [ H ] est un homomorphisme) ^rm^mU.O) 7 (puisque [ D ] est T . rendant commutatif le diagramme suivant : K T (M) > T /7 38 Alors, pour tout entier m , on a : K ( T ( M ) m ) = K(Tm) (par définition) = H(Tm) (par définition) ( [ H ] étant un homomorphisme). Autrement dit le fondeur K est bijectif sur les objets et on en déduit par adjonction, qu'il est inversible. D'après la prop. 1 , S 2 qui précède, la catégorie de Kleisli T ( M ) est canoniquement munie d'une structure de théorie de Lawvere [ T ( M ) ] qui est une extension gauche de degré r de [ T ] . On voit qu'alors : - pour tout entier m et pour tout 1 < i < m , on a : t>"r(K(Tr(M)m(i))) = D ( M ) ( i r ( M ) m ( i ) ) (par construction) = M(TTm(i)) (par construction) «D* [ T" ] est un homomorphisme et donc, puisqu'il est inversible, un isomorphisme de théories de Lawvere rendant commutatif le diagramme suivant : [H(M)J Autrement dit [ K ] est un "isomorphisme d'extensions gauches". Fin de la preuve. 39 En changeant "gauche" en "droite" et "monade" en "co-monade" dans la preuve précédente, on établit de même que : Proposition A. Si r est un entier, si [ T f ] de théories de Lawvere sont entièrement déterminées (à isomorphisme près) par ce qui se passe uniquement sur [ T ] , prédsément par les seuls extenseurs sur [ T ] . Dans ce Chap. 5 nous franchissons un pas supplémentaire vers la description pratique de telles extensions, en fournissant un premier procédé de génération de ces extenseurs. On montre au § 4 qu'il suffit en effet de s'en donner des générateurs et des relations, sous forme de présentations (au sens de l'Annexe, § 3 ) construites explicitement aux §§ 2 et 3 . Techniquement c e d nécessite a priori une étude assez fine, complétant celle concernant la cohérence du Chap. 2 , §§ 2 et 4 : elle figure au § 1 . 1. Détermination des extenseurs Soit r un entier, T *m('> autrement dit on a: Tr T m ) ^ ^ s <, r est une présentation de T m r comme produit de r copies de T m . D o n c , s i ( t j : T n — > T m ) i £ i s r es * une famille de r flèches de T . il existe une unique flèche [ t } ] * 1 s j ^ r rendant commutatif, pour tout 1 < j < r . le diagramme suivant : [«j]ff1 ijsr jmr TT * m ( i ) par récurrence comme suit : - onpose * 0 ' * m ( i ) = T r m ( i ) . - on note ? k • * m ( i ) l'unique flèche rendant commutatif. pour tout entier 1 < j < r , le diagramme suivant: 42 jmr k *k'ffm i r ^ m r k - 1 (i) w ^ k - i v jmr* T'k > - i Trk (i) - i fk-1,CTm(l) ce qui signifie aussi (avec les notations précédentes) que : f^n.lO-I^-^'n.dJ.ir^rk-i «JFliUr • Dans ces conditions, il est facile de constater que, pour tout entier m et tout entier k , la famille ( f k-* m ( i ) : T m r k -- -->T r k J i ^ n , est une présentation de T m r k comme rk produit de m copies de T . n Par conséquent si ( t j : T — > T r k ) 1 ^ j ^ m est une famille de m flèches de T , il existe une unique flèche [ t , ] f 1 ^ j ^ m rendant commutatif, pour tout 1 < i < m , le diagramme ci-dessous : [t|]*i inm -> T k ^k'':rm(i) Ces constructions et notations (utiles dans toute la suite) prédsées, il est fadle d'établir que : Proposition 1 . Si r est un entier, si T est un tondeur r- déployé par TT cr , alors, pour tous entiers m et k>1 et pour tout entier }<\ Tn et pour tout entier hypothèse : t- i r * m ( J ) = i r * n ( i ) . M ( t ) . 43 1 < j < r , on a par En particulier, on a donc : *k-1'*m<0.ir*mrk-i * ( 1 ) ^ ( ^ ^ ^ ( 1 ) ) m . Fin de la preuve. Nous sommes désormais en mesure d'établir qu'un extenseur (voir Chap. 4 , § 1 ) sur une théorie de Lawvere [ T ] est complètement déterminé par sa trace en le seul objet T . Prédsément on a : Proposition 2 . Soit r un entier, a une r-renotation ,[1] une théorie de Lawvere et [M] = ([M],(D,M) un cr-extenseurgauche de degré r sur [T].Aforsu (resp. y) est complètement déterminée par et y sont naturelles, les deux diagrammes suivants sont commutatifs : * 1 < v T m Tnir ^> T ' / / "(T) o)(Tm) *°-%(i) m *2'am jmr* T'' J-'(T) V T est un fondeur r-déployé par TT * , si de plus a) (T) :T—-> M (T) et p ( T ) : M * (T) —> M ( T ) sont deux flèches quelconques de [ T ] et si, pour tout entier m , on définit u> ( T m ) et p ( T m ) grâce à ( * ) et ( * * ) , alors a) : Id ==> M et p : M 2 ==> M ne sont pas naturel/es en général ; a fortiori, le triplet ( M, , p ) n'a pas de raison d'êfre une monade. ) On démontre de la même façon que : Proposition 3 . Soit r un entier,* une r-renotation, [ T ] une théorie de Lawvere et [M i ] = ( [ M ' l , a ) ' , p ' ) un*-extenseur droit de degré r sur [ T ] . Alors u>' (resp. JJ - ) est complètement déterminée par ( D ' ( T ) (resp. v'{T)). 2. Construction de présentations Soit r un entier et la plus petite présentation (voir Annexe, § 3 ) telle que : - son graphe orienté sous-jacent contient le graphe orienté représenté d-dessous (où ne figurent pas les flèches identités et où 1 < h , i , j < r , 1 < k < r 2 , 1 < m < r ° ) : prj(m) s s3 45 (on posera aussi: P S, v Pr(i)=f0^r(i) (Diagramme II) 46 PMi)-Pr<«1s 1 (Diagramme III) -> S 2 pffi(i) P<\(j) Si (Diagramme IV) f1crr(i) S2 1 /. I u / w I S0 Si vT Pr(')=f°' r(i) (Diagramme V ) PMi) v y (Diagramme VI) 47 PV(J> l2'"r(l) -> S; -=> s . S 1 f '*r(i) (Diagramme VII) •> S 2 Si- «(S^ w S2 -> S! (Diagramme VIII) s -> s2 s v Si (Diagramme IX) - ses cônes projecWs distingués sont (outre le trivial de sommet S 0 ) : Pr-(Pr(h):8i~>S0)Uhir prî*(pri(k):S2-->S0)1ikirî pr) = ( p r } ( m ) : S 3 — > S 0 ) i i m i r } • En inversant le sens des (seules) flèches u . v , w , x . y et z . on obtient une autre présentation que nous notons < S a rj > . 48 3. Produit tensoriel de présentations Supposons que : -

= ( P , P , e x p , ( T r Q ) Q € 0 b ( P ) ) deux présentations (alors, on pose : fi={(exp(Q),exp(Q')) " s = (s n, m: d n)x{1 m) --> {1 à

et . et < P > = (P.P.exp,(iT , Q.)Qe ob(P")) son* / Qe Ob(P) et Q'€Ob(P*) } ) , nm)) ( n , m )€ Q est une famille de bijectjons. dite On désigne par < P ><8 ^ < P* > la plus petite présentation définie de la façon suivante : - son graphe compositif sous-jacent est (le graphe compositif produit) P x P , - pour tout (Q. Q*) € Ob (P x P"). on a exp (Q, GT) = exp (Q). exp (Q1) (en particulier, on a bien exp(P,P") = 1) . -pourtout (Q.Q')€ Ob(PxP*) , si e x p ( Q ) - n , s i exp(Q') = m et si. pour tous entiers 1(P.n, alors T(Q,Q') = (Tr ( Q ^ ' j f M h ^ i m n est un cône projectjf distingué (où l'on voit que k = s: n m ( j . i ) parcourt effectivement tout l'ensemble {1 n m} , quand ( j , i ) parcourt tout {1 n)x{ t m) ) . Dans ces conditions, il est facile de vérifier que : Proposition A. Si

et sont deux présentations et si # est une famille de bijections adaptée à

et . alors les catégories Mod(

8... < P > ) . , t M o d ( < P > . M o d ( < P > ) ) et Mod (

.Mod ( < P > ) ) sont (canoniquemenp équivalentes. Preuve. Il suffit de voir que les limites projectives (en particulier les produits) commutent dans Ens et donc que Mod ( < P > ) et Mod ( < P1 ) > sont complètes et que les limites projectives (en particulier les produits) s'y calculent point par point Fin de la preuve. Soit ¥ = ( ô n , m : d n> x d m) — > {1 (quelconque) de bijections (où X c N x N ) . nm)) ( n . m ) € X une ««ntte Disons que $ est bi-harmonique si. et seulement si, pour tout ( n . m ) € X , o n a : - pour tout entier i e (1 m ) , «; 1 m ( i ) = i , - pour tout entier j€ (1 n) . e n j ( j ) = j . Alors, il est trivial de constater que : 49 Proposition* . Si

et < P > sont deux présentations et si y est une famille de affections, adaptée à < P > et et bi-harmonique, alors on dispose des deux homomorphismes canoniques : : < P > —>

«^ et fi < P - > : < P ' > — > < P > « Ô . tels que: - pour toute tièche o,:Q\ —->Q 2 de

. owa < x < p > ( q ) - ( q . i d ( P ) ) . - pourtouteflèche q ' i Q ' ! — > Q ' 2 de

. o»a fi ^ ^ ( q ' J M i d f P J . q ' ) . 4 . Présentation concrète des extenseurs Soit r un entier et ( n , m } € <1 .r.r»,r>>xH telles que, pour tout 1 < i < m : -E1#m(1.i)«i. -Er/m(J.i)= / m (i.»)=ff r î m ( h . < r r f n (l, la présentation qui lui est canoniquement associée (voir Annexe, S 5 ) , r un entier, or une x-renotation harmonique et fi < y > : < T > — > < 8 f f , B > B j ; < T > fhomomorphisme canonique de présentations défini à la prop. 4 .§3 précédente. Alors, à tout*-extenseur gauche de degré r sur [ T ] 50 est associé un homomorphisme de présentations r : < S < T g > o I ; < T > ---> < T > que r . p < T > = i d ( < T > ) , et réciproquement. Preuve. Supposons que r : < B a # Q > a E < T > ---> < T > est un homomorphisme tel que r . p < T > = i d ( < T > ) . Alors, pour toute flèche t de T , o n a r ((id ( S 0 ) , t ) ) =t. Comme r est un homomorphisme, on voit que, - on a tout d'abord, pour tout entier m : r((S0,T^))=T^, r({S2.lm))=Tmr\ r((8jj"»))=T^ - on a ensuite: r((pr.id(T)))=irr, d'où, pour tous 1 (d'après la commutativité du Diag. I ) , r((f2 ^Tr(i)jd(T)))=f2 A \ ( Î ) (d'après la commutativité du Diag. III) , - on a aussi: r((pr>.id(T)))-irri. - on a nécessairement pour tout entier m , tout 1 < j < r et tout 1 < i < m T ((Pr(J)^m(«)))=Trmr( T m une flèche de T . Dans < S c r G > B E < T > construction) : . on a (par (id(S0).t).(pr(k).id(Tn)) = (pr(k).id(T'")).(id(S1).t). Donc . r étant un homomorphisme. dans T ona: t.^n(k)=Tr^m(k).r((id(S1).t)) . Alors on pose : M(t)=r((id(S,).t)), ce qui impose, en particulier, que : M'(t)=r((id(S2),t)). Il est clair qu'on définit ainsi un fondeur M : T — > T qui est r-déployé par TT* [ M ] : [ T ] — > [ T ] est une réalisation de degré r . et que Posons u ( T ) = r ( ( u . i d ( T ) ) ) . Dans < S^ 6 > B E < T > , pour tout entier tout 1 < i < m , le diagramme suivant est commutatif par construction : m et (W(Bl).»in(l)) (S^T"») / (u,id(T)) (u.id(T"»)) (^O.Tm) (S0.T) (id(89).irm(i)) par conséquent ( r étant un homomorphisme) dans T . ona: u>(T).TTm(i)=*i <**(«)•r((u.id(T">)). Alors, pour tout entier m , on pose : : Id — > M flèche t : T m — > T n de T , on a successivement: 52 puisque, pour toute -dans < S < T Q > ® E : < T > , par construction: (id(S1),t).(u,id(T'«)) = (u,id(Tn)).(id(S0).t), - dans T , puisque r est un homomorphisme : M(t).a)(Tm)=8 E < T > . pour tout entier m et pour tout 1 < i < m , le diagramme suivant est commutatif par construction : (id(S2).irm(i)) ))). Alors, pour tout entier m , on pose : M(Tm)=r((x,id(T«"))). Il est clair qu'on définit ainsi une transformation naturelle j.< : M 2 —-> M puisque, pour toute flèche t : T m — > T n de T ettout 1 < j < r , on a successivement: -dans < S a G > a l : < T > , par construction.• (x,id(Tn)).(id(S2),t) = (id(S1).t)(x,id(T'n)), -dans T , puisque r est un homomorphisme: p(Tn).M*(t)=M(t).p(Tm) De plus, d'après la commutativité des Diag. IV et V , puisque r est un homorphisme, par définition de M et de ) ) ) = M((o(T"»)) . r((w,id(T"»)))=r((u,id(Tmr)))=o)(T"»r)=o)(M(Tm)), 53 De même, d'après la commutativité des Diag. VI et VII , puisque r est un homomorphisme et par définition de M et p on voit que, pour tout entier m , on a : r ( ( y , i d ( T ^ ) ) ) = r ( ( i d ( S 1 ) . ) . ' ( T m ) ) ) = M(p(Tm)) . r((z.id(Tm)))=r((x.id(T»«^))=M(Tl")=M(M(T>n)). Alors la commutativité des Diag. VIII et IX suffit à établir que ( M, ) est un a -extenseur gauche de degré r sur [ T ] . On vérifie facilement qu'il existe bien exactement un homomorphisme de présentations r tel qu'annoncé dans la prop. 6 de sorte que : r((u,id(T)))=a)(T),r((v.id(T))) = M(a)(T)).r((w.id(T)))= la présentation qui lui est canorùquement associée (voir Annexe, § 5 ) , r un entier, <* une r-renotation harmonique et ( 3 < T > : < T > ----> < S a . g > 8 E < T > /'homomorphisme canonique de présentations défini À/a prop. 4, § 3 précédente. Alors, à tout B E < ^ > —- > < T > tel que r'.p < T > = i d ( < T > ) , et réciproquement. La prop. 6 (resp. 7 ) qui précède montre qu'il est tout à fait légitime d'appeler < S a Q > (resp. < S a Q > ) la présentation (abstraite) des ®»CT)-->B (resp. r ' [ T ] : < S < T 0 > ® v T ( < S < ! r < D > B c r < T > ) - - > < S a < D >B < T ) dont les restrictions à (resp. < S a D > ) et à < S a < S < y D > ® c r < T > ) , sont les injections canoniques. e>8cr . (resp. Ainsi la théorie de Lawvere th(® < T ) (resp. th(® c r < T > ) ) , engendrée par < S < r G > B c r < T > (resp. < S <, D > B^ < T > ) . est canoniquement munie d'un ThéoL ->th(®cr) ->th(Bcr) ). 55 CHAPITRE 6 Descriptions des extensions Sommaire 1. Extensions gauches de degré r comme théories de r-uplets 2. Extensions droites de degré r comme théories de rupture p. 58 p. 65 0. Introduction Au Chap. 4 , nous avons établi que les extensions gauches (resp. droites) d'une théorie de Lawvere [ T ] sont des (structures de théories de Lawvere sur les) catégories de Kleisli de certaines monades (resp. co-monades) sur [ T ] . Ainsi, pour déterminer toutes les extensions gauches (resp. droites) de [ T ] . il suffit de décrire ces monades (resp. comonades) : au Chap. 5 nous avons justement donné un moyen de les présenter. Néanmoins, la procédure qui y est explicitée, si elle fournit un moyen pratique de description, par générateurs et relations, de ces monades (resp. co-monades), ne donne pas d'interprétation concrète de leurs catégories de Kleisli, donc des extensions de [ T ] : c'est ce à quoi nous nous attachons, par conséquent dans ce Chap. 6. Au § 1 nous établissons, très simplement, que les extensions gauches de degré r de [ T ] ne sont autres que les structures de théories de Lawvere dont on peut munir le graphe des r-uplets de flèches de [ T ] ayanttoutesmême domaine et même co-domaine. Il est remarquable de constater qu'il s'agit là d'une "procédure d'extension" bien connue dans le cas très particulier des corps (vus comme systèmes de générateurs et de relations pour les théories de Lawvere d'espaces vectoriels). Au S 2 nous établissons que les extensions droites de [ T ] sont obtenues en adjoignant à [ T ] des flèches T ----> T auxquelles on impose de vérifier certaines équations : autrement dit ces extensions droites sont des théories de rupture. Il est surprenant de constater qu'il s'agit là de l'autre "procédure d'extension" bien connue dans le cas très particulier des corps (évidemment équivalente à la première dans ce dernier cas). Nous concluons chacun de ces §§1 et 2 par le calcul explicite des extensions de dont on montre qu'il est "assez" générique. 57 [ T Ens ] 1. Extensions gauches de degré r-uplets r comme théories de Soit r un entier et C une catégorie. On note Gph r ( C ) le graphe (voir Annexe, § 3 ) des r-uplets de C . défini de la façon suivante : - ses objets sont les objets de C. - sesflèches(d'un objet A vers un objet B ) sont les r-uplets ( f j i A — > B ) i i j i r de flèches de C et l'on note : (on notera même, pour simplifier et s'il n'y a aucun risque d'ambiguïté, ( f j ) i s j i r = ( , j ) j ) Dans la suite, pour tous objets A,B,C de C . pour toute flèche ( f j ) j : A — > r B de Gph r ( C ) et toute flèche f : B —> C (resp. f : C —> A ) de C . nous noterons : f.(fj)j=(f.fj)j:A-->rC (resp. ( f j ) j . f = ( f j . f ) j : C — > r B ) De plus, si C r est une structure de catégorie (dont nous notons * la loi de composition et id r ( C ) : C — > r C la flèche identité en tout objet C ) ayant pour graphe sous-jacent G p h r ( C ) et si H:C—->C r est un fondeur, alors nous dirons que C opère sur C r par H (ou, plus simplement et si aucune confusion n'est possible, que C opère sur C r ) si, et seulement si : - pour tous objets A , B , C de C , pour toute flèche ( f j ) j : A — > r B de C r et pourtouteflèche f : B —-> C (resp. f : C —> A ) de C on a : (resp. Ufj)j-H(l)Mfj), T m r de [ T ] ). une théorie de Lawvere. est associée une flèche de Gph r ( T ) , à savoir: t»-(ir*mrT». De même, à toute flèche s = ( S j ) U J i r : T n — - > r T m de G p h r ( T ) est associée une flèchede [ T ] . àsavoir (voir Chap. 5 . § 1 ) [ s j P U U r : T n - - > T m r , quenous noterons, indifféremment s'il n'y a aucun risque d'ambiguïté : 58 [s] = [ s i ] j = [ s j ] ^ U U r : T n . . . - > T m r . Evidemment ces deux "associations" (qui bien sûr ne définissent même pas des homomorphismes de graphes) sont inverses l'une de l'autre. Enfin, on voit que, si M : T — > T est un fondeur r-déployé par TT* (voir Chap. 1, § 1 et Chap. 2, S 4 ) , si T r est une structure de catégorie sur Gph r ( T ) et si H : T ----> T r est un fondeur, alors T opère sur T r par H si et seulement si : - pour tous objets T n , T m , T D de T , pour toute flèche (Sj) j . T n — - > r T m de T r et pour toute flèche t : T m -—>T^ (resp. t : T P — - > T n ) de T ona: M(t).[sj]j = [tsj]i=[H(t)Msj)j] (resp. [ s j ] j . t = [ s j . t ] j = [ ( s j ) j * H ( t ) ] ) . Nous sommes maintenant en mesure d'établir que : Proposition 1 . Sir estun entier, si cr est une r-renotation et si [ T ] est une théorie de Lawvere, alors à tout* -extenseur gauche [ M ] de degré r sur [ T ] sont associés: - une structure de théorie [ T r ] de graphe sous-jacent G p h r ( T ) , - un homomorphisme [ H ] : [ T ] —-> [ T r ] , - un isomorphisme [û ] : [ T ( M ) ] —- > [ T r ] , de sorte que: - T opère sur T r par H , - le diagramme suivant commute (Ooir Chap. 4, § 2 ) : [H(M)] et réciproquement. Preuve. Supposons que [ M ] est un [ T ( M ) ] . Les objets de [ T ( M ) ] sont par construction, ceux de T , donc ceux de Gph r ( T ) . De même, à toute flèche t : T n -—>KL T m de [ T ( M ) ] correspond, par construction, la flèche t : T n ~ ~ > T m r de T , et donc la flèche t « = (TT * m ( j ) . t) j : T n —- > r T m de Gph r ( T ) . Inversement à toute flèche s = ( s j ) j : T n —-> r T m correspond la flèche 59 ls] = [Sj]j T n — - > T m r de T et donc, par construction, la flèche [s] : T n — - ^ T 1 7 1 de [ T ( M ) ] . Ainsi, le graphe sous-jacent à [ T ( M ) ] est isomorphe à Gph r ( T ) . Par transport de structure, on dispose donc d'une structure de théorie de Lawvere [ T r ] sur Gph r ( T ) , d'un isomorphisme [ û ] : [ T ( M ) ] -—> [ T r ] et donc de l'homomorphisme : [H] = [ û ] . [ H ( M ) ] : [ T ] — > [ T r ] rendant évidemment commutatif le diagramme requis. De plus T opère sur T r . En effet soit ( s j ) j : T n —->r T m une flèche de T r , alors : - si f:T m -—>TP est une flèche de T,ona: H(f)«(Sj)j = û ( H ( M ) ( l ) ) « û ( [ S i ] j ) (par définition de H ) = M("(T*).f)KL[Sj]j> (par définition de H (M) et parce que û est un fondeur) = û(p(T^).M(o)(TP)).M(f).[si]j) (par définition de . ^ dans T ( M ) ) - - M M ( f ) Es j ! j) (parce que M est une monade) , d'où [ H ( f ) * ( S j ) j ] = M ( f ) . [ S j ] j dans T , - de même, si f : T P —-> T n est une flèche de T , on a : (sj)j*H(f)=û([sj]iKLH(M(f))) = M[Sj]jKl>(Tn).f)) = Mp(Tm)M([sj]j).(T").f) =MMTm).a>(Tmr)hj]j H (parce que a> est naturelle) = Mhjlj 0 . dfoù [(Sj)jftH(f)] = [Sj]j.f dans T . Réciproquement supposons que [Tr ] est une strudure de théorie de Lawvere sur Gph r ( T ) , que [ H ] : [ T ] — -> [ T r ] est un homomorphisme et que T opère sur T r par H. Pour tout entier n , posons M ( T n ) = T n r . Pour toute flèche t : T n - - > T m de T , définissons M ( t ) :: T n r — -> T m r comme l'unique flèche de T telle que, pour tout entier 1 < j < r, le diagramme suivant commute : 60 M(t) -> Tmr jnr. y Tn - Clairement on définit ainsi une réalisation [ M ] [ T ] — - > [ T ] , d'exposant r et T est un fondeur r-déployé par TT"7 . Pourtout entier n , comme T r est une catégorie, on dispose de sa flèche identité en son objet T n , à savoir Id r ( T n ) : T n — ->r T n . Donc aussi de la flèche de T : a)(T n ) = ( i d r ( T n ) ] : T n — - > T n r . En utilisant le fait que M est r - déployé par rr*7 et que T de vérifier qu'on définit bien ainsi une transformation naturelle : opère sur T r , il est facile a>:W(T)====>M:T—>T. Pour tout entier n , les deux flèches consécutives : (id(Tnri))«=(Trcrnr{j))ujir:Tnr^...>rTnr et (id(T^))«=(TrrTn ont une composée : (id(Tnr))**(id(Tnr*))*:Tnrî-->rTn dans la catégorie T r On dispose donc de la flèche de T : J-'(T n ) = [ ( i d ( T n r ) ) * * ( i d ( T n r î ) ) * ] : T n r * - - > T n r Comme pour M:T-->T. Il reste à prouver que M = ( M. m , p ) est bien une monade sur T. Or, pour tout entier n , on a : M T n ) . « ( T n ' ) - [ ( W f f „<))),« < w % r ( k ) ) k ] . » ( T " ' ) -[((wffn(i))j*(»ffnr(k))k)*H(«(Tnr))] 61 (puisque T = [(TT opère sur T r ) CT n(i))jM(Tr^nr(k))k*H((,(Tnr)))] (par assodatMté, puisque T r est une catégorie) = [(iTcrn(l))jM(Trcrnr(k).a)(Tnr))k] (puisque T opère sur T r ) T = [(^ n(î))j*((^crnr(«<).[idr(Tnr)])kl (par définition de w (T n r ) ) = [(TT%(j))j*idr(Tnr)] = [(TT^n(j))j] = id(Tnr) . Des calculs analogues montrent que, pour tout entier n : P (Tn).M(u) (Tn)) = id(Tnr) , p(Tn).M(p(Tn))=p(Tn).M(Tnr). Ce qui permet de condure. Fin de la preuve. Disons qu'une strudure de théorie de Lawvere [ T r ] , sur le graphe des r-uplets Gph r ( T ) d'une théorie de Lawvere [ T ] qui opère sur [ T r ] (comme utilisée dans la preuve de la prop. 1 précédente), est une théorie de r-uplets6e [ T ] . Des prop. 1 et 3 du Chap. 4 , §§ 2 immédiatement que : et 3 , et de la prop. 1 précédente, on déduit Proposition 2. Si r est un entier et si [ T ] est une théorie de Lawvere, a/ors tes extensions gauches de degré r de [ T ] sont exactement (à isomorphismes près) les théories de r-uplets de [ T ] . Supposons par exemple que [ T E n s ] soit r > 2 un entier. est la théorie de Lawvere des ensembles et Désignons par T E n s r la structure de catégorie canonique sur Gph r ( T E n s ) obtenue en composant les r-uplets de flèches "composante par composante", i.e. en posant pour toutes flèches (tj) J:TP —-> r T n et ( t1 ^ ) ^ : T n -—> r T m de G p h r ( T E n s ) : et notons H : T E n s — -> T E n s r le fondeur diagonal . i.e. le fondeur obtenu en posant pour toute flèche t : T n — - > T m de T: 62 H(t) = (ti)j où tj = t , pourtout 1 < j < r . Il est fadle de vérifier qu'alors T E n s r est (canoniquement) munie d'une structure de théorie de Lawvere [ T E n s r ] de sorte que : " [ H ] : [ T E n s ] — -> [ T E n s r ] est bien un homomoi phisme, - T E n s opère sur T E n s r par H. Choisissons maintenant pour u , la r-renotation telle que, pour tout entier entiers 1 < k < m et 1 < j < r , o n a : m et tous * m ( i ' k > = ( i - 1 ) m + k. En vertu des prop. 1 et 2 précédentes , [ H ] est une extension gauche de degré r de [ T E n s ] et il lui correspond un Ens ) , - Mod ([ M ] ) = ( - ) r est la monade canonique "puissance rième " sur Ens, - la catégorie Mod ( [ T E n s ( M ) ] ) est isomorphe à la catégorie Alg ( ( - ) r ) des algèbres de la monade ( - ) r (autrement dit sommairement parlant pour les extenseurs gauches on a la "formule de commutation" Mod ( Kleisli ( - ) ) = Alg ( Mod ( - ) ) ) . Ainsi, Mod ( [ T E n s r ] ) et Alg ( ( - ) r ) sont isomorphes. Grâce à Coppey [ 1977 ] , on sait qu'alors Alg ( ( - ) r ) est la catégorie des systèmes associatifs de r -1 semi-groupes. Le. des ( E, * 1 * r - 1 ) °û • ( 1 ) E est un ensemble, ( 2 ) pour tout 1 < j < r -1 , l'application * j : E x E —-> E est une loi de semi-groupe telle que: + pourtout xe E , ona x * j X = x# + pour tous x , y , z e E , ona x * j y * j z = x * j z , ( 3 ) pourtous 1 < j < k < r - 1 ettous x , y , z e E , o n a x * j (y * k z) = (x * j y) * k z . Il en résulte que [ T Ens r ] est exadement la théorie de Lawvere de ces systèmes associatifs de r - 1 semi-groupes, i.e. la théorie de Lawvere engendrée par la présentation (au sens de l'Annexe, § 3 ) que nous noterons < P r s g > et qui se construit trivialement à partirde ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) . Comme un calcul automatique (mais fastidieux) permet d'établir que [ M ] est l'unique 2 est un entier. est une quelconque théorie de Lawvere et On construit comme précédemment une catégorie canonique T r en composant les rupiets "composante par composante" , puis une structure canonique de théorie de Lawvere [ T r ] et un homomorphisme diagonal [ H ] : [ T1 —-> [ T r ] . On vérifie de la même manière que la catégorie Mod ( [ T r ] ) est isomorphe à la catégorie Alg ( ( - ) r ) des algèbres de la monade canonique "puissance r " sur Mod ( [ T ] ) (que l'on continue à noter ( - ) r ) . Dans ces conditions, grâce encore à Coppey [ 1977 ] , on sait que Alg ( ( - ) r ) est la catégorie des systèmes assodatifs de r-1 semi-groupes internes à M o d ( [ T ] ) , i.e. la catégorie des ( F , * } * r - l ) °": ( 1 ) F : [ T ] — - >Ens est un modèle, ( 2 ) pourtout 1 < j < r - 1 , l'application * J: F ( T ) x F ( T ) -—>F ( T ) estuneloide semi-groupe telle que : + pourtout x€ F ( T ) , ona x * j x = x, + pourtous x , y , z e F ( T ) , ona x * j y * j z = x * j z , ( 3 ) pourtous 1 < j < k < r - 1 ettous x , y , z € F ( T ) , ona x * j ( y * k z ) = (x*jy) * k z , ( 4 ) pour tout 1 < j < r -1 , pour tout entier n , pour toute flèche t : T n —-> T et pour tous X! xn , y1 y n e F ( T ) , ona: F(t)(x1 xn) *j F ( t ) ( y i y n ) = F ( t ) ( X l »j y , xn*jyn). Ainsi , [ T r ] est exadement la théorie de Lawvere de ces systèmes assodatifs de r-1 semi-groupes internes à Mod ( [ T ] ) . Cest donc la théorie de Lawvere engendrée par la présentation trivialement construite à partir de ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) . Compte tenu de ( 4 ) , ced signifie également que [ T r ] est la théorie de Lawvere engendrée par la présentation < T > B ^ < P r sg > (au sens du Chap. 5, § 3, où $ est une famille de bijections, adaptée à < T > et < P r # S g > ' ch°jsiearbitrairement). Remarquons, cependant qu'au contraire de ce qui se passe pour [ T E n s ] , on ne décrit pas ainsi toutes les extensions gauches de [ T ] , car il peut exister plusieurs a-extenseurs gauches de degré r sur [ T ] (ayanttoutes le même endofondeur "puissance r " sousjacent). Si l'on préfère, il peut exister d'autres structures de théorie sur le graphe Gph r ( T ) que la canonique. Par exemple, si le corps K' est une extension de degré r du corps K , alors K1 est isomorphe à une structure de corps sur K r , mais qui n'est pas "produit direct" de r copies de K. Alors, si [ T ] est la théorie de Lawvere des K-espaces vedoriels, la théorie [T] des K'-espaces vedoriels est isomorphe (d'après l'exemple et la prop. 1 du Chap. 3 , 64 § 1 , et la prop. 2 précédente) à une strudure de théorie de Lawvere sur n'est pas la canonique. Gph r ( T ) qui 2. Extensions droites de degré r comme théories de rupture Soit r un entier , cr une r-renotation , [ H* ] : [ T ] —-> [ T - ] un ,J homomorphisme de théories de Lawvere , M' : T -—> T un fondeur r-déployé par TT et « = ( Y ) 1 ^ j ^ r une famille, dite fermée, de r flèches de [ T' ] (toutes fermées en T ' ) . Pour tout entier n , nous notons ( [ T' n r l'unique flèche de [T] telle que, pour tout entier 1 < i < n , le diagramme d-dessous est commutatif : *'l*%(i) pnr > /. Vr /? I«jll£i£r=([«]) <[«1)V •• n V > T *'n(i> autrement dit on a : ([T,nr . Nous dirons que ( « j ) 1 ^ j ^ r co-opèresur [T] par [ H 1 ] ou, plus simplement que la famille T de [ T ] , le diagramme suivant est commutatif : 65 H'(M'(t)) pnr ->r ([«]) 1 U«])n T «n H'(t) Clairement on voit qu'alors : - pour toute flèche t : T m — > T n de [ T ] . onaaussi: ([ [ T ( M ' ) ] l'extension de Kleisli associée à M" (voir Chap. 4. S 1 ) . Alors. la famille « =(TT r (j):T(M')-—>K|T(M')) 1 i j i r , terméedans [ T ( M ' ) ] , coopère sur [T] par [H(M*)] . De plus, [ T ( M' ) ] est la plus petite sous-théorie de Lawvere de [ T ( M" ) ] . engendrée par H ( M ' ) ( [ T ] ) et (les flèches de) la famille « . Autrement dit (et plus précisément), toute flèche t : T ( M ' ) m — - > K L T ( M ' ) n de [ T ( M ' ) 1 admet une décomposition de la terme: t= H(M,) T n est une flèche de [ T ] , canoniquement associée A t ) . Preuve. Par définition (voir la preuve de la prop. 2. Chap. 4. § 2 ) on sait que dans [ T ] on a, pourtant 1 < j < r : < r ( M ' ) r ( j ) = T T r ( j ) . 0)-(1--). D'où l'on déduit que dans [ T ( M ' ) ] on a, pour tout 1 < j < r: Tr(M,)r(j).KLÎd(Tr)=Trr(j). et donc, par construction, que : (1) id(TM = [ « j ] i l j i r = [ « ] • Pour tout entier m et pour tout 1 r)=f 1 ^ T m ( i ) . U ) . { T r n r ) . M . ( l c , ( T m r ) ) 4 / ( T m ) (par définition de H ( M" ) et de . ^ ) -*1'ffm(i). d'où l'on déduit que, dans [ T ( M* ) ] , le diagramme ci-dessous est commutatif : H(M')(f l.*m(i)) T(M') mr ^T(M')' id(Tmr) idT H(M')(M'(t)) T(M') T(M')r mr fi (id(Tr))m id(T') T(M') m T(M') H(M')(t) 67 de ce qui prouve, grâce à ( 1 ) et ( 2 ) , que « co-opère effectivement sur [ T ] . Enfin, supposons que t : T ( M" ) m - - > K L T ( M" ) n est uneflèchede correspond donc canoniquement la flèche _t_=t:T mr — ->T n de [ T ] . Alors on voit que : H (M") ( I ) . K,jd ( T ^ r ) =J..u)' ( T m r ) . M' (id {Jnr)) T ( M" ) Il lui •»' ( T m ) = 1 =t . Autrement dit grâce à. (2) on a dans [T(M*)] la décomposition annoncée, à savoir : t-H(M,)(I).KL([«])m- On conclut alors facilement. Fin de la preuve. On peut encore améliorer la prop. 3 qui précède en énonçant : Proposition A Soil r un entiers une r-renotation , [ T ] une théorie de Lawvere, [M'] = ([M , ].a)',p') un*-extenseur droit de degré r sur [ T ] (voir Chap. 4,§ 1 ; et [ H ( M'j ] : [ T ] --> [ T ( M* ) ] l'extension de Kleisli associée à M' (voir Chap. 4, § 2 ; . Alors, [ T ( M' ) ] est la plus petite sur-théorie de Lawvere de [ T ] librement engendrée par: - la famille fermée « = ( IT r ( j ) : T ( M' ) - - > K L T ( M' ) ) 1 & -t à r de générateurs (supplémentaires), co-opérant sur [ T ] , - les équations (supplémentaires) suivantes: (ei) (e2) H (M') ( v ' d ) ) . ^ ! » ] = ( [ « ] ) ' . « . [ « ] . H(M,)((1)'(T)).KL[ [T] est un homomorphisme de théories de Lawvere, - «' est une famille de flèches fermées de [T*] qui coopère sur [ T ] - les équations suivantes sont vérifiées: (e'i) (e' 2 ) par H ' , rf(»/(T)).[«'] =([«•])'.[«'] , H'(a)'(T)).[«,] = i d ( r ) = H ' ( i d ( T ) ) , alors il existe un unique homomorphisme [K] : [T (M') ] —> [T] -[K].[H(M')] = [H']. - K ( « ) = «* . 68 tel que : Constatons tout d'abord que de ( e 1 ) et ( e 2 ) évidemment que, pour tout entier m: ( resp. ( e' 1 ) et ( e' 2 ) ) on déduit (e,*) H(M,)(v,(T«n)).KL([«])m = ([«])mr.KL([«])"'. (e 2 fn) H(M')(a),(T^)).KL([ ) = H ( M ' ) ( i d ( T ' " ) ) , (resp. (e',™) H' ( p ' ( T ™ ) ) . ( [ « ' ] ) ™ = ( [ « • ] ) m r _ ( [ < x . ] } m , (e'2m) H,(a),(Tm)).([ T ( M ' ) n une flèche de T ( M" ) . Nécessairement on doit avoir (et donc on pose) : K(t)-K(H = H'(t).([«'])"> (car t = i d'après la preuve du !c prop. 3 ) . Soit ! : T ( M r - - > ( l T ( M ' ) " T ( M ' ) . Onaalors: et g : T (M* ) n - % T (M* ) P deux flèches de K(g. KL f) = H ' ( g . M ' ( f ) . i . / ( T ' " ) ) . <[«•])<" (pai définition de K et de . KL ) = H'(g).H'(M'(f)).H'(p'(T*)).<[«'])<" (puisque H' est un fondeur) = H'(g).H'(M'(f)).([«'])i»M[«']r (puisque «' vérifie ( e ' i m ) ) = H'(g).([«'])".H'(f).([«•])<" (puisque «' coopère sur [T] ) = K(g).K(f) (par définition de K ) . Pour tout entier m on a : K ( i d ( T ( M ' ) m ) ) = K(u)'(T m )) (par construction UJ T ( M' ) ) = H , (a)'(T m )).([ {1. 2m } ) m € N est la 2-renotation telle que. pour tout entier m ettout 1 < k < m , o n a T n de [ T E n s ] est une application t : { 1 n} —->{1 m } . Mais si F : [ T E n s ] -->Ens m n est un modèle . F ( t ) : F ( T ) — > F ( T ) est ausi une application. Souvent nous préférons, dans ce qui suit "décrire" t par l'effet de F ( t ) sur les m-uplets d'éléments de F ( T ) , quand F est un modèle "général" . Nous avons donc notamment pour tout entier m : - w^m (1 ) (X, -Trtrm(2)(x1 ><2m) = ( x 1 * 2 m ) = (x m + 1 x m) • *2m) • On vérifie facilement que l'unique réalisation [ M' ] : [ T E n s ] —-> [ T E n s ] d'exposant 2 et •y -cohérente est telle que, pour tout entier m et toute flèche t : T m -—> T de [ T E n s ] , ona: - M'(Tm)=T2m . - M'(t)(x1 x2m) = (t(x1 xm),t(xm+1 x2m)) Si [ M ' I - d M ' l . w ' . j / ) estun cr-extenseur droit de degré 2 sur [ T E n s J , alors œ* (T):T*-—>T est en fait une application de {1} vers { 1 , 2 } . Autrement dit . «' (T) ne peut qu'être l'une des deux projections canoniques. Choisissons par exemple : (*) U)'(T)=TT2(1) . Alors on voit (par naturalité et M' étant 2-déployé par TT^ ) qu'on a nécessairement : 70 M,(.:i)'(T))(X1,X2,X3,X4) = (X1,X3) , Oïf(T2) ( X 1 , X 2 , X 3 / X 4 ) = ( X 1 , X 2 ) - D'où l'on déduit (en utilisant les équations de co-monade) qu'on a nécessairement : (**x) P,(T)(X1,X2) = (X1,X2,X2,X(X1,X2)) , où X : T 2 —-> T est une flèche choisie dans [ T Ens ] des deux projections canoniques . donc, d'après ce qui précède, une Dans ces conditions, en utilisant la prop. 7 , Chap. 5 , § 4 , on établit que pour n'importe quel tel X = TT 2 ( i ) ( i.e. pour n'importe quel i G { 1 , 2 } ) il existe bien un seul v -extenseur droit [ M i i ] = ( [ M , ] , a ) ' j , u , i ) dedegré 2 sur [ T E n s ] vérifiant ( * ) et ( * * x ) (Nous laissons au lecteur le soin d'établir un résultat analogue si l'on choisit : «•(T)=ir2(2) ) D'après la prop. 4 précédente, on sait qu'alors [ T Ens ( M'j ) ] est librement engendrée en adjoignant à [ T E n s ] une famille fermée T n de [ T ] est une application K-linéaire t:K n —- > K m . Mais, si F : [ T ] — ->Ens est un modèle (i.e. si F ( T ) "est" un K-espace vectoriel), F ( t ) : F ( T ) m —-> F ( T ) n est aussi une application K-linéaire. De nouveau, nous préférons souvent dans ce qui suit "décrire" t par l'effet de F ( t ) sur les m-uplets d'éléments de F ( T ) . quand F est un modèle "général". Nous avons donc encore, pour tout entier m : -ir^mOMXl -Tr<:rm(2)(x1 x 2m) = ( x 1 x2m) = (xm+1 x m). x2m) . De même, on vérifie que l'unique réalisation [ M' ] : [ T ] — > [ T ] d'exposant 2 et T de [ T ] , ona: - M'(Tm)=T2m . - M'(t)(X! x2m) = (t(x1 xm).t(xm+1 x2m)) Maintenant, si [ M" ] = ( f M' ] . u> ', p ' ) est un T . Posons (avec les conventions de "description" précédentes) : (*a,b) w,(T)(x1,x2) = ax1+bx2 où a , b sont deux éléments de K . Alors on voit (par naturalité et M' étant 2-déployé par ira ) qu'on a nécessairement : M'(a)'(T))(X1,X2,X3,X4) = ((l}'(T)(X1,X2).(il)'(T)(X3,X4)) . ^ ' ( T 2 ) ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (a),(T)(x1,x3),cl)'(T)(x2,X4)) D'où l'on déduit (en utilisant les équations de co-monade) que simultanément nuls et que : (**a,b,c.d) a et b ne sont pas J-''(T)(x1.x2) (L(x1,x2),b-1(x1-aL(x1,x2)).b-1(x1-aL(x1.x2)),b-2(bx2-ax1+aîL(x1,x2))) si l'on choisit par exemple b * 0 posant : et où L : T * —-> T est la flèche de [T ] décrite en L ( x 1 . x 2 ) = c x 1 + dx2 lorsque c et d sont choisis dans K. En utilisant la prop. 7 , Chap. 5, § 4, on établit que, pour tout quadruple! q = (a, b , c , d ) 11 appartenant à K 4 et pour lequel b & 0 , il existe bien un et un seul a -extenseur droit [M* q ] = ( [ M ' ] , ( A ) ' q , p ' q ) de degré 2 sur [T] vérifiant ( * à b) et ( * V b , c d) (Nous laissons le soin au lecteur d'effectuer des calculs analogues et d'établir un résultat du même genre si l'on choisit b = 0 et a * 0. ) D'après la prop. 4 précédente, on sait de nouveau que [ T ( M1 Q ) ] est librement engendrée en adjoignant à [ T ] une famille fermée C deux fondeurs et et L : C -—> B v:HomB(L(-),-)==>Homc(-,R(-)):C°PxB-—>Ens v' : Hom c (-, R ( - ) ) = = > Hom B (L ( - ) , - ) : C ° P x B - — > Ens deux transformations naturelles. On dit que ( L, v, v', R ) est une adjonction si et seulement si les transformations naturelles v et v1 sont inverses l'une de l'autre. Dans ce cas, on dit aussi que L est un adjoint à gauche de R , présenté par v , ou encore que R est un adjoint à droite de L , présentent v' (voir Mac Lane [ 1971 ] , par exemple). Le plus souvent, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on dit simplement que c'est ( L, R ) qui est une adjonction, ou que L est un adjoint à gauche de R , ou encore que R est un adjoint à droite de L. Soit B et C deux catégories localement petites. Si U : B —-> C et L : C —-> B sont deux fondeurs et si ( L, v , v', U ) est une adjondion, nous dirons aussi que c'est une adjonction gauche sur C (pour exprimer que l'adjoint à gauche dans cette adjondion a pour source C ) . 75 Si U : B —-> C et R : C —-> B sont deux fondeurs et si ( U , v , v", R ) est une adjonction, nous dirons également que c'est une adjonction droite sur C (pour exprimer que l'adjoint à droite de cette adjonction a pour source C ) . Soit: - B j , B 2 et C trois catégories localement petites, - F ^ ! — > B 2 . U 1 : B 1 — > C , L 1 : C — > B 1 . U 2 : B 2 — > C et L 2 : C — > B 2 des fondeurs. Si a 1 = ( L 1 , v 1 , v ' 1 , U i ) et a 2 = ( L 2 , v 2 , v ' 2 , U 2 ) sont deux adjonctions gauches sur C . on dit que ( a 1 , F . a 2 ) : a 1 —-> a 2 est w morphisme d'adjonctions gauches sur C si et seulement si : -F.L,-L2. - pour tout objet commutatif : B1 de B1 et tout objet C de C , le diagramme d-dessous est VitCB,) Homa^O.BO -> HomfCU^Bi)) FlHomlL^O.Bi) id(Hom(C.U 1 (B 1 ))) V v Hom(L2(C),F(B1)) ->Hom(C,U2(F(B1))) v2(CF(B1)) On définit de façon analogue les morpnismes d'adjonctions droites. 2. Monades et co-monades Soit une catégorie C , un fondeur M : C — -> C u>:id(C)==>M et p . M 2 = = > M . et deux transformations naturelles On dit que M = ( M, u>, p ) est une monade sur C si et seulement si, pour tout objet de C , les trois diagrammes suivants commutent (voir Mac Lane [ 1971 ] , par exemple) : M(C) u>(M(C)) > M(C) M*(C) id(M(C)î <>{0) id(M(C)) M(u)(C)) >M*(C) P(C) M(C) M(C) 76 C M(p(C)) 3 ->M2(C) M (C)" P(M(C)) J-'(C) M2(C) -^M(C) J-'(C) Soit une catégorie C , un fondeur M' : C —-> C et deux transformations naturelles a / ; M ' = = > i d ( C ) et p ' i M ^ ^ M 1 * . On dit que M f = ( M', w ', p ' ) est une co-monade sur C si et seulement si est une monade sur C o p . ( M'°P , a , - pour toute monade M sur C , ona M ( a ( M ) ) = M . Rappelons en effet que, pour construire l'adjonction gauche sur C assodée à une monade M = ( M, w , p ) , on procède comme suit : - on considère la catégorie de Kleisli de M notée (irï, essentiellement pour les besoins du Chap. 4) C ( M ) : + ses objets sont exadement les objets de C , + ses flèches c : C -—>KL C sont les flèches c : C -—> M ( C ) de C , + si c : C --> KL C et c' : C -—>«L C" sont deux flèches de C ( M ) , leur composée est c'. ^ c = p ( C" ) . M ( c' ) . c , selon le schéma suivant : M*(C") 77 On dispose dans ces conditions de deux fondeurs : H(M):C Q ->C(M) N. Q ( c : C - - > C ) —->(«((?). 0 : 0 - - - ^ 0 1 ) et: D(M):C(M)-->C C ->M(C) (CIC-^KLC) ->(p(C).M(c):M(C)-->M(C)) Alors. H (M) estbien adjoint à gauche de D(M) etl'ona (H(M),D(M)) = a(M) . De même, les notions d'adjonction droite sur C et de co-monade sur C sont liées (notamment) comme suit (voir Mac Lane [ 1971 ] ) : Proposition 1. Si C est une catégorie localement petites alors: - à toute adjonction droite a' = ( U . R ) sur C est associée une co-monade , , , , M (a ) = (M ,w ,j.»') sur C, - * toute co-monade M" = ( M', o> ' . j.» ' ) sur C est associée une adjonction droite a'(M*) = (G (M'). H (M1)) sur C , de sorte que: - pour toute adjonction droite a' sur C , il existe un unique morphisme (dit "de comparaison") k' ( a' ) : a* ( M" ( a ' ) ) —> a*, • pour toute co-monade M' sur C , ona M , (a , (M , ))=M* . Pour construire I* adjondion droite assodée à une co-monade M' • ( M', u •. j.» * ) sur C , on procède comme suit : - on considère la catégorie de Kleisli de M* . notée (ici. de nouveau pour les besoins du Chap. 4) C(M'): + ses objets sont exadement les objets de C , + ses flèches c : C —>KL C sont les flèches c : M' ( C ) —> C de C , + si c:C—>YLC" sont deuxflèchesde C(M').leur composée est c ' ^ c ^ - M ' ( C ) . J J ' ( C ) selon le schéma ci-dessous : 78 On dispose ainsi de deux fondeurs : H(M,):C-—>C(MI) Q y. Q (c.C—>C')—>(c.o)'(C):C et: —^KLC) Q ( H a ) : C ( H a ) — ->C C -->M'(C) (C:C-->KLC')-->(M'(C).M'(C):M'(C)-->M'(C)) Alors, H(M f ) est bien adjoint à droite de G(M') etl'ona (G ( M ' ) , H (M 1 )) = a'(M') 3. Présentations On dit que G = ( Ob( G ), R ( G ), dom, codom ) est un graphe (sans identités) si et seulement si : - Ob ( G ) est un ensemble, dit ensemble des objets de G , - FI ( G ) est un ensemble, dit ensemble des /lèches de G , - dom : FI ( G ) -—> Ob ( G ) est une application, dite de sélection des domaines (ou sources) des flèches , - codom : FI ( G ) —-> Ob ( G ) est une application, dite de sélection des codomaines (ou buts) des flèches. On dit que G = (Gph ( G ), id) est un graphe orienté (ou encore un graphe avec identités) si et seulement si : - Gph ( G ) est un graphe, dit sous-jacent à G , - id : Ob ( G ) —-> R ( G ) est une application, dite sélection des identités. - pour tout objet G de G , ona: dom(id(G)) = G = codom(id(G)). On dit que G = ( Gpho ( G ) , Comp ( G ) , k ) est un graphe compositif si et seulement si : - Gpho ( G ) est un graphe orienté, dit sous-jacent à G, - Comp ( G ) est une dasse de couples ( g', g ) de flèches consécutives (i.e. telles que dom ( g' ) = codom ( g ) ) de G, que l'on dit être composables, - k : Comp ( G ) ----> R ( G ) est une application, dite composition des flèches , - pour tout ( g \ g ) appartenant à Comp ( G ) , on a : iom ( g'. g ) = dom ( g ) et codom ( g*, g ) = codom ( g' ) 79 (si on pose pour simplifier k ( g', g ) = g'. g ) , - pour toute flèche g : G — -> G' de G , les couples dits triviaux, sont composables et l'on a : ( g . id ( G ) ) g.id(G) = g = id(G').g et ( id ( G' ) , g ) . . Par exemple, un graphe orienté s'identifie à un graphe compositif où la composabilité des flèches est "minimum" . De même, une catégorie s'identifie à un graphe compositif particulier où la composabilité des flèches est "maximum" et où la loi de composition est assoriath/e. Enfin, on peut dire qu'un graphe compositif G est un "système de générateurs (ses flèches) et de relations (données par la composition des flèches)" pour une catégorie Cat ( G ) qu'il engendre. On définit fadlement par analogie avec les fondeurs entre catégories, ce qu'est un fondeur F: G — ->G - d'un graphe compositif G vers un autre G'. De même, on définit ce qu'est une transformation naturelle f : F ==> P entre deux fondeurs F , F ' : G — - > C d'un graphe compositif G vers une catégorie C . Alors, on note Fond ( G , C ) la catégorie dont les objets sont les fondeurs de G vers C et les flèches sont les transformations naturelles entre ces fondeurs. On dit que < P > = ( P, P, exp, ( TT Q ) Q € 0 b ( P ) ) est une présentation si et seulement si : - P est un graphe compositif, - P est un objet de P , dit distingué, - exp : Ob ( P ) — -> N est une application, dite sélection des exposants des objets, - exp(P) = 1, - pour tout objet Q de P telque exp ( Q ) >0 , TT Q = (TT Q ( k ) :Q— - > P ) i ^kiexpfQ) est un cône projedif dans P d'indexation discrète, TTp(1)=id(P), - pour tout objet Q de P telque exp(Q) = 0 , TT Q est un cône projedif dans P , de sommet Q et d'indexation 0 fie. TT Q est la famille vide de flèches), (pour tout objet Q de P , on dira aussi que TT Q est un cône projedif distingué). Soit C une catégorie et < P > une présentation. On dit que F : < P > ----> C est un modèle de < P > dans C si et seulement si : - F : P - — > C est un fondeur, - pour tout objet Q de P , F ( TT Q ) est un cône produit dans C . Si F , F : < P > — > C sont deux modèles de < P > dans C , on dit que h : F = = > F est un homomorphisme de F vers F' si et seulement si h est une transformation naturelle. Dans ces conditions, on désigne par Mod ( < P > , C ) la sous-catégorie pleine de la catégorie F o n d ( P , C ) dont les objets sont les modèles de < P > dans C . 80 Alors on note i < p > c : Mod ( < P >, C ) —-> Fond ( P. C ) le fondeur injection canonique et pour tout objet Q de < P > , on dispose du fondeur évaluation en Q: evQ c : M o d ( < P > , C ) — > C F~>F(Q) En particulier, si C = Ens , il sera parfois (selon le contexte) plus commode de noter : -Fond(P) au lieu de Fond(P,Ens). - M o d ( < P > ) au lieu de Mod (

,Ens), - i < P > au lieu de i < P > E n s , - pour tout objet Q de < P > , e v Q au lieu de evQ E n s , - U < P > au lieu de ev P . Soit

et deux présentations. On dit que :

—-> est un homomorphisme de

vers seulement si : - H : P —-> P* est un fondeur, -H(P)«P . - pour tout objet Q de < P > , o n a exp ( H ( Q ) ) = exp (Q) , - pour tout objet Q de < P > , o n a H(TT Q) =Tr'n(Q) • siet Dans ces conditions, si C est une catégorie, on dispose du fondeur "composition par H " : Fond ( H , C) : Fond ( P \ C) —-> Fond (P, C) ( F : F-—>C) - - > ( P . H : P — ->C) , et l'on dispose aussi du fondeur (restriction du précédent) "modèle de

sous-jacent": M o d ( < H > , C ) : M o d ( < F > , C ) ~>Mod(

,C) F -—> F . H . Ainsi le diagramme d-dessous commute : Mod(.C) Mod(,C) > ' < P" >, C Mod(

,C)

,C Fond(P\C) ^Fond(P.C) Fond ( H , C) En particulier, si C = Ens , on note : - Fond (H) au lieu de Fond ( H , Ens), -Mod() au lieu de Mod(,Ens), et donc le diagramme d-dessous commute : 81 Mod() Alors, on sait d'après "le théorème du faisceau assodé" (voir Ehresmann [ 1967 ] , par exemple) que: Proposition 3 . Si

est une présentation alors le tondeur injection canonique : i

:Mod(

)-—>Fond(P) admet un adjoint à gauche : g

:Fond(P)-—>Mod(

) . Mais Fond ( P) étant complète et co-complète, on en déduit que (les limites et co-limites se calculant "point par point" dans Fond ( P ) et les limites commutant aux produits dans Ens) : Proposition A . Si < P > est une présentation alors la catégorie Mod ( < P > ) est complète et co-complète et les limites (mais pas les co-limites) s'y calculent point par point. Il résulte aussi dairement de la prop. 3 qui précède que : Proposition B . Si < H > : < P > -—> < P1 > estun homomorphisme de présentations, le fondeur "modèle de < P > sous-jacent" Mod ( < H > ) : Mod ( < P" > ) —-> Mod ( < P > ) admet un adjoint à gauche L <, H > : Mod ( < P > ) ----> Mod ( < P" > ). En particulier on en déduit que : Proposition 6 . Si

est une présentation le tondeur ensemble sous-jacent : U < P > : Mod ( < P > ) —-> Ens admet un adjoint à gauche : L

:Ens—->Mod(

). Soit

une présentation. On dispose du plongement de Yoneda relatif à la catégorie Cat ( P ) engendrée par le graphe compositif P , que l'on note Y Cat ( P j : Cat ( P ) — -> Fond ( Cat ( P ) ) °e . Si c ( P ) : P ----> Cat ( P ) désigne le fondeur (en général ni plein, ni fidèle) présentant Cat ( P ) comme catégorie librement engendrée par P , alors on dispose d'un autre fondeur canonique : 82 Yp:P > Cat ( P ) c(P) > Fond ( Cat ( P ) ) °P YCat(P) - Fond ( P ) °P Fond(c(P))*P et donc d'un troisième fondeur canonique : Y

: P > Fond (P) °e YP > Mod (< P >) °P g

0P associant à tout objet Q de < P > , un modèle Y < P > ( Q ) et relatif à Q . de < P > , dit canonique On sait que (voir Gabriel-Ulmer [ 1971 ] et Lair [ 1971 ] , par exemple) : Proposition 7 . Si < P > est une présentation, a/ors le fondeur canonique qui lui est assodé Y

:P-—> Mod ( < P > ) °P vérifie les propriétés suivantes : - Y < p > °P est dense, - pour tout objet Q de < P > , le modèle canonique Y < P > ( Q ) estun objet libre de M o d ( < P > ) , relativement au fondeur e v Q : M o d ( < P > ) ~ - >Ens , engendré par un générateur, - naturellement en tout modèle F : < P > — -> Ens , on dispose d'une équivalence naturelle : s F:Hom(Y

(-),F)~F:

---->Ens , - pour tout objet Q de < P > , le modèle canonique Y < p > ( Q ) estun objet libre de Mod ( < P > ) , relativement au fondeur D

: Mod ( < P > ) -—> Ens , engendré par exp ( Q ) générateurs (autrement dit on a Y < P > ( Q ) ~ L < P > ( { i , 1 < i < exp ( Q )} ) ) , -le fondeur Y < P > définit un modèle Y < P > : < P > — - > M o d ( < P > ) °P de

dans Mod(

)°P . Soit C une catégorie. On dira que C est présentable si et seulement s'il existe une présentation < P > telle que C et Mod(

) sont équivalentes. De même, on dit qu'un fondeur U : C1 — -> C est présentable si et seulement s'il existe un homomorphisme :

-—> entre présentations tel que U et Mod() sont "équivalents". 83 4 . Théories de Lawvere Onditque [ T ] = ( T , (TT m ( i ) 1 l J i m ) m € N M ) est une théorie de Lawvere (voir Lawvere [ 1968 ] ) si et seulement si : - T est une catégorie petite, dite sous-jacente à [ T ] , - O b ( T ) = { T n / ne N } , - pourtout m€ N * , (TT m ( i ) T m — - > T 1 ) i ^ j i m est un cône produit dans T , -Tr1(1) = i d ( T l ) , - T ° est un objet final dans T . Soit [ T ] une théorie de Lawvere. Dans la suite, on notera plus simplement : - 1 [ j ] ou même 1 au lieu de T ° , - T au lieu de T 1 , - TT Q la famille vide de flèches de source T ° = 1 1 j 3 = 1 . De même si me N , si ne N * et si (t j : T m -—> T ) 1 1 j <, n est une famille de flèches de [ T ] , elle détermine une unique flèche que nous noterons [ * j l i ^ j ^ n : T m ~"m> T n e* telle que, pour tout 1 < i < n , o n a TT n ( i ) . [ t j ] i ^ n ^ i Enfin , 1 [ j ] étant un objet fins] de T , on dispose, pour tout m e N , d'une et une seule flèche c m : T m - — > 1 [73 de [ T ] (en particulier, on a donc c 0 = i d ( 1 ) ) . Soit C une catégorie et [ T ] une théorie de Lawvere. On dit que F : [ T ] —-> C est un modèle (ou une algèbre - voir Lawvere [ 1968 ]) de [ T ] dans C si et seulement si : - F : T —-> C est un fondeur, - pourtout me H 1 , (F(TT m ( i ) ) F ( T m ) — > F ( T ) ) 1 l i i m est un cône produit dans la catégorie C , " ^ H [ T ] ) estun objetfinalde C . Si F, F : [ T ] —-> C sont deux modèles de [ T ] dans C , on dit que h : F ==> F est un homomorphisme de F vers F si et seulement si h est une transformation naturelle du fondeur F vers le fondeur F . S'il en est ainsi, on pose h ( T m ) = h ( m ) pour tout me N . Dans ces conditions, on désigne par Mod ( [ T ] , C ) la sous-catégorie pleine de la catégorie Fond ( T , C ) dont les objets sont les modèles de [ T ] dans C . 84 Alors on note i [ T ] , c : M o d ( I T 1 •c ) — > F o n c t ( T • c ) , etondeurinjection canonique et pour tout entier m€ N , on dispose dutondeurévaluation en T m : evmC:Mod([T))-->C F ~->F(T m ) En particulier, si C = Ens, on notera plus simplement: - Fond(T) au lieu de Fond (T, Ens ) , - Mod ( [T] ) au lieu de Mod ( [ T ] , Ens) , -«[T] «u«eude i [ T ],Ens. - pour tout entier me N , ev m au lieu de evm E n s , - U[T] au lieu de ev 1 . Soit [ T ] et [ T ] deux théories de Lawvere. On dit que [ H ] : [ T ] — > [ T ] estun homomorphisme (voir Lawvere [1968]) de vers [V] si et seulement si : - H : T — > T" est untondeur. -pourtout m € N , o n a H ( T m ) = T * m . -pourtout m € N * et pour tout 1 ^ i < m , o n a H (w m (i)) =n* m (i) . Dans ces conditions, si C sous-jacent" : est une catégorie, on dispose du tondeur "modèle de M o d ( [ H ] . C ) : M o d ( [ T ] , C ) — >Mod([TJ.C), restriction dutondeurcomposition par H : Fond ( H , C) : Fond ( T \ C) ~ - > Fond (T. C ) . Ainsi le diagramme d-dessous est commutatif : Mod([H],C) Mod([-T].C) > Mod([T].C) '[r],C •[T],C Fond(r.C) —5> Fond ( T . C) Fond ( H . C) En particulier, si C-Ens , on note : -Fond (H) au lieu de Fond ( H , Ens) , - M o d ( [ H ] ) au lieu de Mod ([H],Ens) , et donc le diagramme d-dessous commute : 85 [T] [T ] Mod ( [ H ] ) Ens Soit [ T ] une théorie de Lawvere. On dispose donc du plongement de Yoneda relatif à la catégorie T : Y T :T-->Fond(T)°P >Hom(T« n .) Tm Pourtout entier me N , te tondeur Hom (T m . - ) : T —> Ens commute nécessairement aux limites projectives. en particulier aux produits finis .11 définit donc un modèle de [ T ] . dit canonique et relatif à T m (ou à m ) . Ainsi, le fondeur Y T est à valeurs dans la souscatégorie pleine Mod([T])<* de Fond (T) °D , il admet donc une restriction: Y[T]:T-->Mod([T])°P ettediagramme d-dessous commute : T Mod ( [ T ] ) w . > Fond(T)°P '[T] Ctassiquement on sait que (voir Lawvere [ 1968 ] . par exempte) : Proposition 8. Si [ T ] estunethéoriedeLawvere,atorstetondeurcanonique: Y t T ] : T ->Mod([T])°P vérifietespropriétés suivantes : - Y [ T ] ° P est dense, - pour tout entier m e N . te modèle canonique Y m ( T m ) est un objet libre de Mod([T]) relativementautondeurev m : Mod ( [ T ] ) - - > Ens . engendré par un générateur, - naturellement entoutmodèle F:[T]—>Ens , on disposed'uneéquivalencenaturelle: *F:Hom Ens . engendré par m générateurs, - te tondeur Y [ T ] définit un modèle de [ T ] dans M o d ( [ T ] ) ° P appelé "comodète" canonique de [ T ] dans M o d ( [ T ] ) , - Y [ T ] est plein, - Y [ T j esttidète. De même, on peut établir (par "extensions de Kan" ) que (voir Lawvere [ 1968 ] ) : Proposition 9 . Si [ H ] : [ T ] — > [T ] est un homomorphisme de théories de Lawvere. alors te tondeur Mod ( [ H ] ) :Mod ( [ T ] ) — > M o d ( [ T ] ) admet un adjoint à gauche L [ H ] : Mod ( I T ] ) — > Mod ( [ V} ) rendant le diagramme d-dessous commutatif: Y CT] jA > Mod([T])0P t. H ^> Mod([T])°P Y CT] En particulier on en déduit donc que : Proposition 10 . Si [ T ] estunethéoriedeLawvere, alors U [ T ] : M o d ( [ T ] ) — > Ens admet un adjoint à gauche L [ T ] : E n s — > M o d ( [ T ] ) et pour tout entier me N , ona: L[T](ti/1 Fond ( T ) , admet un adjoint à gauche g [ T ]:Fond( T ) — > M o d ( [ T ] ) . Mais Fond(T) étant complète et co-complète, on en déduit que (les limites et co-limites se calculant point par point dans Fond ( T ) etteslimites commutant aux produits dans Ens ) : Proposition \2 Si [J] est une théorie de Lawvere, la catégorie M o d ( [ T J ) de ses modèles est complète et co-complète et les limites (mais pas les co-limites) s'y calculent point par point. 87 Soit C une catégorie. On dit que C est théorisable si et seulement s'il existe une théorie de Lawvere [ T ] que C et M o d ( [ T ] ) sont équivalentes. telle De même, on dira qu'un fondeur U : C — -> C est théorisable si et seulement s'il existe un homomorphisme [ H ] : [ T ] — -> [ T ] entre théories de Lawvere tel que U et Mod ( H ) sont "équivalents". 5 . Présentations et théories de Lawvere Si < P > est une présentation, on note T < P > la duale de la sous-catégorie pleine de Mod

dont les objets sont les L < P > ( n ) , o ù n t N . Alors, d'après les prop. 4 et 6 , § 3 qui précèdent , T < P > est canoniquement munie d'une structure de théorie de Lawvere [ T < P > ] . et l'on vérifie que : Proposition 13 . Si < P > est une présentation, alors les catégories Mod ( < P > ) M o d ( [ T ( < P > ) j ) sont équivalentes. et Ainsi, les présentations peuvent être considérées comme des systèmes de générateurs et relations pour les théories de Lawvere. Si [ T ] est une théorie de Lawvere, on lui assode la présentation < P ( [ T J ) > définie comme suit : P([T])=T, -P = T. - pour tout entier me N . exp ( T m ) = m . - pour tout entier m > 0 et pour tout entier 1 < i < m , tr T m ( i ) = T r m ( i ) , (ainsi, on identifie une telle théorie de Lawvere à une présentation, et on peut légitimement noter < P ( [ T ] ) > = < T > ) Il est alors trivial de vérifier que : Proposition \A Si [ T ] est me théorie de Lawvere, alors les catégories M o d ( [ T ] ) et M o d ( < T > ) sontégates. Des propositions 13 et 14 découle ce qui suit qui n'est évidemment pas fait pour surprendre : Proposition 15 . Les catégories présentables sont exactement /es catégories titéorisables. 88 BIBLIOGRAPHIE L Coppey Décomposition dans les catégories, Multigraphié. Paris [1977]. Décomposition de structures en produits. Esquisses Mathématiques 14, Paris [ 1971 ] . Y. Diers Type de densité d'une sous-catégorie pleine, Ann Soc Sd. Bruxelles 90 [ 1976]. Gh. Ehresmann Sur les structures algébriques, C.R.A.S., t. 264, pp. 840-843. Paris [ 1967] P.Freyil Algebra-valued tundors in gênerai and tensor produds in particular, CottoqMath. 14, [1966]. C. Lair Fondeurs d'omission de structures algébriques, Cah deTop. etGéom Difl ,XII.2.Paris [1971]. Dualité pourtesstructures algébriques esquissées, Cah. de Top.et Géom. Diff., XV, 4, Paris [ 1974]. Conditions syntaxiques d'existence de co-adjoints aux fondeurs algébriques. Diagrammes, Volume 1. Paris [ 1979 ] . F. W. Lawvere Some algebraic problems in the context of fundorial semantics of algebraic théories. Lecture Notes in Math. 61, Springer [ 1968 ] . F. Linton Autonomous equafional catégories. Journal of Math, and Méchantes 15, [1966] 89 S. Mac Lane Catégories for the working mathematidan. Q.T.M. in Math. n° 5, Springer [ 1971 ] . F. Ulmer Localty