D IAGRAMMES E LIE KOUDSI Y VES D IERS Booloïdes Diagrammes, tome 23 (1990), p. 15-41 © Université Paris 7, UER math., 1990, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME 23 ACTES DES JOURNEES E . L . I . T . (UNIV. PARIS 7. 2"7 J U I N - 2 J U I L L E T 1969> BOOLOIDES par Elie K O U D S I et Yves DIERS Département de Mathématiques - Institut des Sciences et Techniques - Université de Vaîenciennes et du Hainaut Cambrésis - 59326 Valenciennes Cedex - France. ABSTRACT The theory of boolean algebras is well known. Its applications are numerous, various, concrète, in many fields : mathematics, computer science, electronics, automata, electrotechnic, operational research, etc. We propose hère to develop the theory of "non commutative Boolean algebras" with the hope that it can be applyed in some of the preveous fields. We hâve found some applications in mathematics in the représentation of sheaves of simple algebras on boolean topological spaces. They are defined by means of two constants denoted 0 and 1 and three opérations : the "non commutative intersection", the "non commutative union" and the "symétrie différence". The boolean algebras, are precisely those whose opérations are commutatives. 0. Introduction La théorie des algèbres de Boole est bien connue. Ses applications sont multiples, variées, concrètes, dans de nombreuses disciplines : mathématiques, informatique, électronique, automatique, électrotechnique, gestion, recherche opérationnelle, etc. Nous proposons ici de développer la théorie des "algèbres de Boole non commutatives" en présumant qu'elle puisse s'appliquer dans les disciplines précédemment citées. Nous avons effectivement trouvé des applications dans la représentation des faisceaux d'algèbres simples sur les espaces topologiques booléens. A la vérité, l'idée des algèbres de Boole non commutatives vient de Y. DIERS qui a suggéré que les algèbres à comparaison qu'il avait introduites dans son livre "Catégories of Boolean sheaves of simple algebras" étaient une sorte d'algèbres de Boole non commutatives. Il a aussi suggéré que l'opération quaternaire qui décrit ces algèbres à comparaison pouvait être écrite par plusieurs opérations binaires. Ces opérations sont précisément celles qui décrivent la structure d'algèbres de Boole non commutatives. Dans la suite, nous utilisons le mot "booloïde"pour décrire cette structure. Les booloïdes sont définis à partir de deux éléments distingués notés 0 et 1 et de trois opérations qui représentent respectivement 1'"intersection non commutative", la "réunion non commutative" et la "différence symétrique" commutative. Les algèbres de Boole sont précisément les booloïdes pour lequels les deux opérations : intersection et réunion sont commutatives. Comme dans les algèbres de Boole, chaque élément a possède une sorte d'élément complémentaire a' vérifiant les lois de De Morgan. Nous définissons sur un booloïde A une r«gu !• 2 1 / 1 1 / 1 9 6 9 relation de préordre qui est l'analogue de la relation d'ordre dans les d'algèbres de Boole. Les propriétés de ce préordre peuvent être résumées par les deux propositions suivantes : a) A est un prétreillis borné distributif où 1' "intersection" et la "réunion" de deux éléments sont respectivement les bornes inférieures et supérieures dans A et les éléments distingués 0 et 1 sont respectivement borne inférieure et supérieure de A. b) a et a! sont deux éléments précomplémentaires, c'est-à-dire : 0 est borne inférieure de a et a' , et 1 est borne supérieure de a et a'. Cette relation de préordre sur A permet de définir une relation d'équivalence dont le quotient est l'algèbre de Boole couniverselle A associée à A. Les éléments symétriques d'un booloïde A sont les éléments qui commutent pour les deux opérations "intersection" et "réunion". Ils forment une algèbre de Boole isomorphe à l'algèbre de Boole couniverselle A. Dans les booloïdes, on définit les notions d'idéaux, de filtres et de congruences. Nous démontrons qu'il existe une correspondance biunivoque entre l'ensemble des idéaux, l'ensemble des filtres et l'ensemble des congruences. On introduit les idéaux premiers (resp. filtres premiers). Un booloïde simple est un booloïde qui n'admet que {0} et lui-même comme idéaux. On montre qu'ils sont exactement les ensembles bipointés : ensemble ayant deux éléments distingués distincts 0 et 1. Les anneaux commutatifs qui sont munis d'une structure de booloïde compatible avec la structure d'anneaux sont étudiés sous le nom d'anneaux booloïdes. Pour obtenir un anneau booloïde, il suffit de munir la structure d'anneau commutatif d'une seule opération binaire supplémentaire. Cette structure est équivalente à la notion de i?-anneaux définie par J.F. KENNISON [6]. 16 1. Booloïdes 1-1 Définition. Un booloïde est un ensemble A muni de deux éléments distingués, notés 0 et 1, et trois opérations binaires notées respectivement : -, *, -f satisfaisant les axiomes suivants : 1) L'opération • est associative, symétrique (c'est-à-dire : a b-c = 6-a-c), et admet 1 comme unité à gauche. 2) L'opération * est associative et admet 0 comme unité à gauche. 3) L'opération 4- est commutative et vérifie : a + a = 0. 4) L'opération • est distributive par rapport à * et distributive à gauche par rapport à+. 5) a • (a * 6) = a 6) (a + 6) * 1 = 1 7) (a + 6) * a = (a 4- b) * b 1-2 Définition. Soient A et B deux booloïdes. Une application f de A dans B est un m o r p h i s m e de booloïdes, si / préserve les opérations -, * et -f et vérifie: /(1) = 1. Un morphisme des booloïdes / vérifie : /(0) = 0 car /(0) = / ( 0 + 0) = /(0) + /(0) = 0. 1-3 Définition. Soit A un booloïde. Un sous-booloïde de A, est un sousensemble de A stable pour les trois opérations -, * et + et contenant 1. Un sous-booloïde B de A contient 0 car 0 = 1 + 1 6 B , c'est un booloïde et le morphisme d'inclusion B —• A est un morphisme de booloïdes. 2. E x e m p l e s de booloïdes 2-1 Les ensembles bipointés. Un ensemble bipointé est un ensemble A ayant deux éléments distingués distincts 0 et 1. Montrons que .4 est un booloïde pour les trois opérations : a b , fa = \ b si a = 0 sia#0 , * \a a b= f 6 si a = 0 sia^O ,, a + 6 = f 0 si a = b \ l si a # b Démonstration : En effet, 0 a-(bc)={0 si a = 0 si a 7ÉO, 6 = 0 } = (a • 6) • c c si a £ 0,6 ^ 0 D'autre part 0 si a = 0, a • 6• c = ^ 0 sia^0,6 = 0 ^ = 6 - a - c c si a 7É 0 , 6 / 0 17 Donc l'opération • est associative et symétrique. 6 si a = 0 , 6 / 0 Remarquons que : a * (6 * c) = ^ c si a = 0,6 = 0 ^ = (a * 6) * c a si a / 0 Donc * est associative. Par la définition des opérations, on vérifie immédiatement : 1 est élément unité à gauche pour l'opération • et 0 est unité à gauche pour l'opération * et en plus : a - f a = 0,a + 6 = 6-fa. Pour la distributivité, à gauche de • par rapport à *, on a : r j a-c . a-b*ac=< n L n si a = 0 ou 6 = 0 . / n , /n aa#0,6#0 . \«-6 = f 0 si a = 0 I . . , < c si6 = 0 , a f 0 | 6 s i a # 0 j 6 ^ 0 De même : { 0 si a = 0 c si a / 0, 6 = 0 6 si a / 0 , 6 / 0 donc a • (6 * c) = a-6 * ac. Pour la distributivité à droite de • par rapport à *, on a : ,. f0si6*c=0 f0si6 = c= 0 (b*c)aN = < = < v ' [a sinon [a sinon . n r n . J c a s i a = 0ou6 = 0 sinon £>-a * c-û = i f 0 si (a = 0 ou 6 = 0) et c = 0 I .) i n\ • .JL n ^ aa si (a =si0 aou/ 06, = 6 0/ 0et c f 0 = Donc (6 * c) • a = 6a * ca. { 0 si a = 0 0 si a / 0,6 = c ^ = a-6 + a c . 1 si a / 0 , 6 / c Il reste à démontrer les trois derniers axiomes. On a en effet : / ^ A\ _ ' J ° si a = 0 \ a * 6 si a / 0 _ "" f 0 si a = 0 \ a si a *o = a En outre (a+&)*i = f ] . v ' \a + b sia = 6 :: 6A si a # T* =i Enfin, on a : , .. f a (a + 6 ) * a = | a + 6 si a = 6 s . a ^ 6 18 = fa | j si a = 6 s.a #* De même : ,//, J . .M .*. i; - 1f i^ sia = 6 (o . s i a =, 6. v + 6)*6 = < ' ^a + 6 s i a / 6 __ = jf a = 6 (3) a • 6 = 0 si et seulement si 6 • a = 0 Démonstration. (1) Si : a • 6 = 6, alors : a * 6 = a * ( a - 6 ) = a (axiome 5). Inversement, a * 6 = a entraîne par la proposition (3-7) : a • 6 = (a * 6) • 6 = 6. (2) Supposons : a-6 = a e t 6 - a = 6. L'opération • étant symétrique et idempotente, il vient : a = a-6 = a - 6 - a = 6 a = 6. (3) Supposons : a • 6 = 0. On a : 6 - a = o - 6 - a = 0 - a = 0, à cause de la symétrie et l'idempotence de l'opération •. On en déduit que : a • 6 = 0 si et seulement si 6-o = 0. 3-10 Proposition. (1) o * 6 = 0 <=> (a = 0 et 6 = 0) (2) a • 6 = 6 • a = 1 <=> (a = 1 et 6 = 1). Démonstration. Supposons : a * 6 = 0. On a : 0 = a - 0 = a - ( a * 6 ) = a e t 0 = 0 - 6 = ( a * 6)-6 = 6 (proposition 3-7). Supposons maintenant : a • 6 = 1 = 6 • a. On a : a = ( 6 * a ) - a = l * a = l e t 6 = ( a * 6 ) - 6 = l * 6 = l. 4. Booloïdes commutatifs et algèbres de Boole 4-1 Définition. Un booloïde A est dit commutatif , si les deux opérations * et • sont commutatives. 4-2 Proposition. Les booloïdes commutatifs sont exactement les algèbres de Boole. Démonstration. Nous allons montrer que tout booloïde commutatif A est une 23 algèbre de Boole pour les opérations : ' aA6 aV6 a' =a-6 = a*6 = 1+a En outre, dans cette algèbre l'opération de différence symétrique est l'opération -f. Les deux opérations A, V sont commutatives, associatives, unitaires et distributives l'une par rapport à l'autre. En outre, f o'Aa \aVa' = aAa' =a'Va = a • (1 + a) = (l+a)*a = a-\-a =0 = (1 + a) * 1 = 1 . Donc A est une algèbre de Boole. De plus, on a : a + 6 = (a * 6) • (a + 6) = a-(a + 6) * 6-(a + 6) = (a-a -f a-6) * (6-a + 6-6) = (aa -f a-6) * (6-a + 6) = (a-1 -f a-6) * (6-a -f 6-1) = a • (1 + 6) * 6 • (a + 1) = (aA6')V(6Aa') Inversement, on peut vérifier immédiatement que toute algèbre de Boole A est un booloïde commutatif pour les opérations : 'a-6 = aA6 a* 6 = aV6 k a+ 6 = (aA6 / )V(a , A6). 5. Complémentation dans un booloïde 5-1 Définition.On appelle complément d'un élément x de A, l'élément x1 défini par : x1 = 1 -f x-1. 1) 2) 3) 4) 5-2 Propositions. a a' = a' a = 0 (a + 0)' = a' a + a'=l 0 et 1 sont des éléments compléments l'un de l'autre. Démonstration. En effet : aa' = a - ( l + a - l ) = a-l + a-1 = 0 et a' a = a-a' a = 0 • a = 0. En outre a + 0 = a • 1 (proposition 3-5) donc (a + 0)' = 1 + a • 1 • 1 = 1 + a • 1 = a'. D'autre part a' + a = (a* * a) • (a' -f a) (proposition 3-7) donc a' + a = (a' • (a' + a)) * (a • (a + a)) = (a ; -f a' • a) * (a • a' -f a) = (a' + 0) * (a + 0) = a' * (a + 0) = (1 + a • 1) * a • 1 = 1 (proposition 3-4). Enfin : 0' = 1 car : 0 ' = 1 + 0-1 = 1 + 0 = 1 1' = 0 car : 1' = 1 + 1 = 0 5-3 Proposition : 1) (a* 6)- l = ( 6 * a ) - l 2) a'* 6'= 6'* a'. D é m o n s t r a t i o n . Appliquant la proposition (3-7) on a : (6 * a) • 1 = ((a * 6)-6 * (a * 6)-a) • 1 = (a * 6) • (6 * a) • 1 = (6 * a) • (a * 6) • 1 = (a * 6) • 1. En outre a' * 6' = (a' • 1 * 6' • 1) = (a7 * 6') • 1 = (6' * a') • 1 = 6' * a1. 5-4 Lemme. a - 6 = 0 L/ h => a = 6 a * 6 = 11 D é m o n s t r a t i o n . D'une part, a = a * 0 = a * (6 • 6') = (a * 6) • (a * 6') = 1 • (a * 6') = a * 6'. D'autre part, on a : a • 1 = a • (a * 6) = a (axiome 5). On déduit que a = a • 1 = a • (1 + 6 • 1) = a • 6' = 6' (proposition (3-9)). 5-5 Proposition. Les lois de D e M o r g a n sont vérifiées : (a • 6)' = a' * 6' , (a * 6)' = a! • 6' Démonstration. (1) En fait : (o'*6')-a-6 = (o'-a*6'-a)-6 = 6 ' o - 6 = a-6'-6 = a-0 = 0. Donc, on a aussi (a'*t/)-a'b'l = 0 . En outre (o'*6')*(o-6-1) = (o'*6')*(6-l-a-1) = o'*6'* ((6-1)-(0-1)) = a'*(6'*6-l)-(&'*a-l). Or 6'*6-l = (1 + 6-1) + 6-1 = 1 (proposition 3-4). Donc (o'*6')*(a-6-l) = a'*l-(6'*o-l) = a' + ô' + o-l = 6'*1 = (1 + 6-1) + 1 = 1 (axiome 6). On déduit par le lemme précédent que : a1 * 6' = (a-6 + 0)' = (a • 6)', (proposition 5-2). (2) On a : o'-6' -(a+ 6) = (o7 -6' -o) + (a' -b' -b) = (a' -6' -a)*0 = a' b' a = 6' V -a = b' • 0 = 0. Donc a! • 6' • (a * 6) • 1 = 0. Egalement, par la proposition (5-3), on a : a'-ô' * (a * 6)-1 = a'b' * a-1 * 6-1 = a-1 * a'b' * 6-1 = [(a-1 * a') • (a-1 * 6')] * 6-1 = [(0-1+0^-1(0-1 + 60)^6-1 = [(a / *a-l)-l-(al*6 , )]*6-l = a l * 6 ' * 6 - l = a-l*l = 1. Ce qui entraîne en utilisant le lemme précédent : (a * 6)' = (a*6 + 0)' = a' • 6'. 5-6 Proposition, (a')' = a • 1. D é m o n s t r a t i o n . En effet, (a • 1) • a' = 1 • a • a! = 1 • 0 = 0 et (a • 1) * a' = (a-1 * a') • 1 = a' * a-1 = 1. En conséquence : (a')f = a • 1 (lemme 5-4). 25 5-7 Corollaire, a! + 6' = 6-a' * a-6'. Démonstration. En effet : a' + b' = (a'*6')-(o' + 6') = a'{a'+ b')*b'-(a'+ b') = a'-{\ + V)*b'i\ + a!) = o'(l+6'.l) * 6'.(l+a'-l) = a'b"*bf-a" = a'-61*6'a-l = b-a'-Uab'-l = 6-a'* a-6'. 5-8 Proposition, (a + 6)' • a = (a + 6)' • 6. Démonstration. On a : 0 = (a + 6)' • (a + 6) = (a + 6)'-a + (a + 6)'-6. Ce qui entraîne : (a + 6)' • a = (a + 6)' • 6. 5-9 Proposition, a-6 * a'c = a'c * a-6. Démonstration. On a : (a-6 * a'-c) - (a'c * a-6) = a-6 + a'-c. De même (a-6 * a'-c) • (a'-c * a-6) = a'c * a-6. On en déduit que : a-6 + a'c = a'c * a-6. 5-10 Proposition. On a l'implication a-6 a'.6 == a • c 1 = 'a'-cj<~^ b = C Démonstration. En effet : 6 = 1 • 6 = (a' * a-1)-6 = a'-6 * a-1-6 = a'-c * a-c a'c * a i e = (a' * a-1) • c = 1 • c = c. 6. Relation de préordre dans les booloïdes. 6-1 Définition. Dans un booloïde A nous définirons la relation binaire notée a < 6 par a = 6 • a. 6-2 Proposition. Les relations suivantes sont équivalentes (1) a < 6 . (2) 0 - 6 - 1 = 0-1. (3) a - b' = 0. (4) b' -a' = b'. Démonstration. 1) = > 2) : Si a = 6 • a alors a - l = 6 - a - l = a - 6 - l . 2) = > 3) : Si o • 6 • 1 = a • 1 on a o • 6' = a-1 + a-6-1 = 0. 3) = > 4) : En effet, 6 ^ = 6^(1 + 0-1) = 6^1 + 6^0-1 = 6'-l + a-6'-l = 6'-l + 0 = 6' • 1 = 6'. 4) = > 1) : les formules de De Morgan et la proposition (5-6) entraînent : (6 * a) • 1 = 6 • 1 par suite : a = ( 6 * a ) - a = ( 6 * a ) - l - a = 6 - l - a = 6-a (proposition 3-7). 6-3 Propriétés. La relation ^ est une relation de préordre dans A. Démonstration. Comme a • a = a, on a a ^ a, cette relation est réflexive. En outre, si a ^ 6 et 6 < c, alors a - l = a - 6 - l = a - 6 - c l = o - l c l = a c l donc a < c. 6-4 R e m a r q u e . Dans le cas d'un booloïde commutatif, la relation a ^ 6 signifie a • 6 = a c'est donc la relation d'ordre habituelle. 6-5 Proposition. A est u n prétreillis d i s t r i b u t i f b o r n é où a • 6 est u n e b o r n e inférieure de a et 6, a * 6 est u n e b o r n e s u p é r i e u r e de a et 6, 0 est b o r n e inférieure de A et 1 est b o r n e s u p é r i e u r e de A. D é m o n s t r a t i o n . 1) a • 6 = inf(a,6) : En effet, a • d ^ a et a • K 6 car : a - a - 6 = a - 6 et 6 - a - 6 = a - 6 . En outre, si c ^ a et c ^ 6, alors a-b-c = a-c = c donc c < a • 6. 2) a * 6 = sup(a, 6) : En effet, a ^ a * 6 e t 6 ^ a + 6 car : (a * 6) • a = a et (a * 6) • 6 = 6 (proposition 3-7). En outre, si a ^ c et 6 ^ c, alors c • (a * 6) = ca * c-6 = a * 6 donc a * 6 ^ c. Aussi, 0 ^ a car : a 0 = 0 et a ^ 1 car : 1 -a = a pour tout élément a de A. Par conséquent, A est un prétreillis borné. Ce prétreillis est distributif. Pour cela il suffit de vérifier que a - (6 * c)< a-6 * ac. En effet, on a (a-6 * ac) • a • (6 * c) = a • (6 * c) • a • (6 + c) = a • (6 * c). 6-6 Proposition. P o u r t o u t é l é m e n t a de A, a et a' sont deux é l é m e n t s p r é c o m p l é m e n t a i r e s , c'est-à-dire : - 0 est une b o r n e inférieure de a et a'. - 1 est une b o r n e s u p é r i e u r e de a et a'. D é m o n s t r a t i o n . D'une part : a - a' = 0 (proposition 5-2) donc 0 est une bonne inférieure de a et a'. D'autre part, (a' * a) • 1 = a'-l * a-1 = a' * a • 1 = 1 (proposition 3-4). Donc 1 < a' * a qui implique qu'une borne supérieure de a' et a est 1. 6-7 La relation d'équivalence associée à la r e l a t i o n de p r é o r d r e a < 6 est n o t é e = , elle est définie p a r : (a < 6 et 6 < a). C'est l'égalité dans le cas commutatif. 6-8 Proposition, a = 6 si et seulement si a • 1 = 6 • 1. D é m o n s t r a t i o n . Si a = 6 alors a - l = a - 6 - l = 6 - a l = 6 - l . Inversement, si a • 1 = 6 • 1, il vient a - l = a - a - l = a - 6 - l et 6-1 = 6 - 6 - 1 = 6 - 0 - 1 , c'est-à-dire a ^ 6 et b^a. 6-9 Corollaire, (a * 6) • 1 = (6 * a) • 1. D é m o n s t r a t i o n : a * 6 = 6 * a d'après la proposition (6-5). 6-10 Proposition. La relation d'équivalence associée est compatible avec les o p é r a t i o n s • et * et le c o m p l é m e n t a i r e . D é m o n s t r a t i o n . En fait, si a = b et c = a1, alors : 0 - 0 - 1 = 0 - 1 - 0 - 1 = 6-1-^-1 = 6-^-1 donc a - c= b • d. (a * c) • 1 = a-1 * c l = 6-1 * d-1 = (6 * d) • 1 donc 0 + 0 = 6 + 01. a' = 1 + a-l = 1 + 6-1 = 6 ' . 6-11 Algèbre de Boole quotient. On peut construire_Tensemble A quotient de A par la relation =. On notera a la classe d'un élément a. Dans A on peut alors définir : a • 6 = a • 6, a"*6 = a * 6 e t ô y = a/ 6-12 Proposition. A est u n e a l g è b r e de Boole. D é m o n s t r a t i o n . Par les propositions (6-5) et (6-6), A est une algèbre de Boole. 7. E l é m e n t s symétriques d ' u n booloïde. 7-1 Proposition. P o u r un élément e de .4, les assertions suivantes sont équivalentes. (1) e + 0 = e (2) e * l = 1 (3) e • 1 = e (4) e' * e = 1 D é m o n s t r a t i o n . 1) ==> 2) : Si e + 0 = e, par l'axiome (6) il vient : e * 1 = (e + 0 ) * l = l. . 2) = > 3) : Si : e * 1 = 1 alors : e - l = e - ( e + l ) = e par l'axiome (5). 3) = > 1) : Nous avons vu que : e • 1 = e + 0. (3) = > (4) : Si e - 1 = e, on a : e' * e = (1 + e) * e = (1 + e) * 1 = 1 (axiomes (6) et (7)). (4) ==> (3) : Si : e' * e = 1 on a : e • 1 = e • (e' * e) = 0 * e = e. 7-2 Définition. Un élément e de A satisfaisant l'une des propriétés précédentes est dit s y m é t r i q u e . 7-3 Proposition. 1) 0 et 1 sont deux éléments s y m é t r i q u e s . 2) Les éléments symétriques de A sont e x a c t e m e n t les éléments de la forme o + 6. D é m o n s t r a t i o n . (1) est immédiate. La nécessité de (2) découle de la proposition (7-1) et la suffisance de l'axiome (6). sym(A), 7-4 Proposition. L'ensemble des éléments s y m é t r i q u e s de A, n o t é forme u n sous-booloïde c o m m u t a t i f de A. 28 Démonstration. En effet, si e et / sont deux éléments symétriques de A on a (e * / ) • 1 = e l * / 1 = e * / et e • / • 1 = e • f. En plus : c * / = ( c * / ) - l = ( / * c ) - l = / * c (corollaire 6-9) e t e - / = e - / - l = / - e - l = / - e . En outre 1 et e + / sont symétriques d'après la proposition 7-3. 7-5 Proposition. Les éléments symétriques de A sont des représentants des classes d'équivalence de A pour la relation = . Démonstration. Si x une classe d'équivalence de A alors x • 1 = x est un élément symétrique de x. En outre si y G x est symétrique alors y = y • 1 = x - 1. 7-6 Proposition. couniverselle associée à A. L'algèbre de Boole sym(A) est l'algèbre de Boole Preuve : Immédiate. 7-7 Définition. On appelle élément symétrique associé à x, l'élément e(x) défini par : e(x) = x + 0 = x • 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7-8 Proposition. e(0) = 0 et e(l) = 1 x • e(x) — e(x) = e(x) * x e(x) • x = x = x + e(x) e(x-y) = e(y-x) = e(x) • e(y) e(x * y) = e(y * x) = e(x) * e(y) e(x) = 0 < = > x = 0 Démonstration. En effet, e(0) = 0 + 0 = 0 et e(l) = 1 + 0 = 1 . On a : x • e(x) = x - x - l = x - l = e(x) et e(x) * x = (x + 0 ) * x = (x + 0 ) * 0 = x + 0 = e(x). On a aussi : e(x) -x = x l - x = x-x = x e t x * e(x) = x * (x • 1) = (x * x) • (x * 1) = x • (x * 1) = x (axiome 5). Il est clair que : x - y - l = y - x - l = x - l - y - l donc e(x • y) = e(y - x) = e(x) • e(y) Egalement, on a : c(x * y) = (x + y) - 1 = (y * x) • 1 = x-1 * y-1. Enfin, si : e(x) = 0, alors x = e(x) • x = 0 • x = 0. 8. Idéaux 8-1 Définition. Un idéal I d'un booloïde A est un sous-ensemble de A tel que: (1) 0 6 / (2) (a € A et x e I) => x • a £ I (3) ( i € / et yEl)=^x*yeI U n idéal propre est caractérisé par la condition supplémentaire : 1 ¢ I. 29 8-2 Proposition, x G / si et seulement si e(x) G / . Démonstration. Si x G / , on déduit de la condition (2) ci-dessus que : e(x) G /. Inversement si e(x) G /, on a : x = e(x) • x G /. 8-3 Proposition, (a e A et x G /) = > a • x G /. Démonstration. Si (a G A et x G /) alors : x -a G / et, selon la proposition précédente, on a : e(x • a) = e(a - x) £ I donc a - x E I. 8-4 Proposition, (x G / et j / G / ) ==> (x + y e I et x' + y' G / ) . Démonstration.On sait que : x + y = (x * y) • (x + y) et comme : x * y G /, il vient x + y € I. Egalement, l'égalité : x' + y' = y x ' * x y ' entraîne : x' + y* £ I. 8-5 Proposition. Si / est un idéal d'un booloïde A, le sous-ensemble : sym(I) = {x e I '• e(x) = x} = sym(A) PI / est un idéal de l'algèbre de Boole sym(A). Démonstration. En effet 0 G sym(I). Si a G sym(A) et x e sym(I), alors axe Sym(A) (proposition 7-4) donc a- x e Sym(I). Si x G Sym(I) et y e Sym(7), alors x *y £ Sym(A) (proposition 7-4) donc x *y £ Sym(I). 8-6 Notation. 1) L'idéal engendré par un sous-ensemble G de A est le plus petit idéal qui contient G, il sera noté IG • 2) U n idéal finiment engendré est un idéal engendré par un sous-ensemble fini de A. 3) Un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément. 4) L'idéal principal engendré par a est noté (a). 8-7 Proposition. Tout idéal de A est engendré par l'ensemble de ses éléments symétriques. Démonstration. Soit / un idéal de A et x G /. Alors e(x) G sym(I). En outre x appartient à l'idéal engendré par e(x) d'après la relation x = e(x) • x. Donc x appartient à l'idéal engendré par sym(I). 8-8 Proposition. Pour un idéal J de sym(A), Ij = {x : e(x) G J } . Démonstration . En effet : posons Ij = {x : e(x) G J}.0 G /y car e(0) = 0 G / . Si x G Ij et a G i4, alors e(x • a) = e(x) • e(a) G J (proposition 7-8) donc x -a £ Ij. En outre si x G / j et y G /y, on a : e(x * y) = e(x) + e(y) G J d'où x *y e Ij- Donc / j est un idéal de A. C'est manifestement le plus petit idéal de A contenant J. 30 8-9 P r o p o s i t i o n . Il y a un isomorphisme e n t r e l'ensemble o r d o n n é des i d é a u x de A et l'ensemble o r d o n n é des idéaux de sym(A). D é m o n s t r a t i o n . Conséquence des trois propositions précédentes. 8-10 P r o p o s i t i o n . (a) = {x G A : a - x = x}. L'idéal de A e n g e n d r é p a r u n élément a G A est D é m o n s t r a t i o n . En effet soit [a] = {x : a • x = x}. Alors 0 G [a]. Si 6 G A et x G [a], alors a - ( 6 - x ) = 6 - a - x = 6-x donc 6 • x G [a]. En outre, si x G [a] et y G [a], on a : a • (x * y) = a-x * a-y = x * y d'où x * y E [a]. Par suite [a] est un idéal de A contenant a et c'est clairement le plus petit. Donc [a] = (a). 8-11 P r o p o s i t i o n . Tout idéal fmiment e n g e n d r é est principal. D é m o n s t r a t i o n . Considérons IG OÙ G est un ensemble fini. Si G =0,IG = (0) = {0}. Si G = {<7i,flf2---^}i posons : g = yi + y2 * • • • * 9q alors IG = (g) car (<7i * • • • * gq) • <7t = <7t (proposition 3-7) donc y, G (y) et (y) est clairement le plus petit idéal contenant y i , . . . ,gq. 9. I d é a u x et congruences. 9-1 Définition. Soit / un idéal de A, on définit sur A la relation m o d u l o I par : x = y(modl) <$=> x + y £ I. 9-2 P r o p o s i t i o n . La relation modulo I est u n e relation d'équivalence c o m p a t i b l e avec la s t r u c t u r e du booloïde i.e. u n e congruence de booloïde. D é m o n s t r a t i o n . Il est aisé de vérifier que cette relation est réflexive et symétrique. En outre, si x = y(modI) et y = z(modI), on a : (x + y) * (y + z) G / et (x+y) , -(y+z) , -(x+r) = 0 . [Car ( x +y) , -(y+z) / -x = (y+z)'-(x+y)'-y = (x+y)'-(y+z)'-2: d'où (x + y)' • (y + z)' • (x + z) = 0 selon la proposition (3-l)]donc ((x + y) * (y + z))' • (x + z) = 0, et (x + y)*(y + z) G / ce qui entraîne (x + z)-((x + y) + (y + z)) = x + z et (x + y)*(y + z) G / donc x + z G / et la relation est donc une relation d'équivalence. Supposons : x = y(modI) et x\ = yi(modI). On a (x + y) * (xi + yi) G / et (x + y)' • (xi + ViY ' (x-xi + y-yi) = 0. [Car (x + y)' • (xi + yi)' • x • xi = (xi + yi)' • (x + y)' • x • xi = (x + y) / -(x 1 + y 1 )'-y-y 1 d'où (x + y)' -(x! + y i ) ' • (x-xi +y-yi) = 0 selon la proposition (3-1) donc (x + y) * (xx + yi) G / et ((x + y) * (x! + yi))' • (x-xi + y-yi) = 0 cela signifie que : (x + y ) * ( x 1 + y 1 ) e I et ((x + y) * ( n + yi))-(x-xi+y-yi) = x-xi + y y i donc x-xi + y-yx G / , c'est-à-dire : x • Xi = y • yi(modl) Nous allons montrer que : x*xi = y*yi(modI). Par l'hypothèse on a : (x + y) + (xi + y i ) G ID'autre part : (x + y)' • (xx + yi)' - (x * xO = (x + y) , -(x 1 + y^'-x + (x + y)'.(xi + yi)'-xi = (x + y) , -(x 1 + yi)'-y + (x + y)'{xi + y O ' ^ = (x + y / •(xi + yi)' -(y + yi) 31 donc (x + y)' • (xi + yi)' • (x*xi + y*yi) = 0 ce qui entraîne par De Morgan : ((x + y ) * ( x i + yi))'-(x+xi+y*yi) = 0 alors ((x + y) * (xx + yi))-(x+xi + y*yi) = x*x x + y*yi donc x+xx + y*yi G I Enfin, montrons que : x + Xi = y + yi(modI). On a par l'hypothèse : (x + y) *(xi + y i ) G / . D'autre part, d'une façon similaire, on peut montrer que : (x + y)' • (xi + yi)' • (x + xi) = (x+y)'-(xi+yi) / -(y+yi) donc ((x + y) * (xi + yi))'-((x + xi) + (y + yi)) = 0, ce qui entraîne ((x + y) *(xi + y i ) ) - ( ( x + xi) + (y + yi)) = (x + x x ) + ( y + y i ) donc (x + Xi) + (y + yi) G / . 9-3 N o t a t i o n . La congruence modulo l'idéal engendré par un élément symétrique e s'appelle la congruence m o d u l o e et se n o t e mod(e). 9-4 P r o p o s i t i o n , x = y(mod(e)) si et s e u l e m e n t si e • (x + y) = x + y. D é m o n s t r a t i o n . En effet, x = y(mod(e)) <=> x + y G (e) <=> e-(x + y) = x + y (proposition 8-10). 9-5 P r o p o s i t i o n . P o u r t o u t booloïde A, l'application qui associe à u n idéal I de ^4, la congruence m o d u l o I, établit u n e c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e e n t r e l'ensemble des idéaux de A et l'ensemble des congruences sur A. D é m o n s t r a t i o n . Soit I un idéal de A, on sait que la relation modulo I définie dans le booloïde A est une congruence. Réciproquement, si R est une relation de congruence sur A, IR = {x G A : x = 0 • (R)} est un idéal de A. On a x G / <=> x + 0 G 7 <==> x = 0 • (mod(I)) <î=> x G Imod{i)> donc 7 = Imod(i)- En outre, on a d'une part : x = y • (#) = > x + y = (y + y ) - ( i î ) = > x + y = 0 - ( / î ) = > x + y G / i î = > x = y . (mo(f(/ fl )) et d'autre par x = y • (mod(IR)) => x + y = 0 • (R) => (0 * x = [(x + y) * x] • (R) et 0 * y = [(x + y) * y] • (^)) ==> £ = y • (i?) (axiome (7)). Il en résulte R = mod(In). 10. Filtres 10-1 Définition. U n filtre F d'un booloïde A est un sous-ensemble de A tel que 1) I G F 2) (a G A et x G F) = > a * x G F 3) x € F , y € F = > ï ' y € F U n filtre p r o p r e est caractérisé par la condition supplémentaire : 0 ¢ F. 10-2 P r o p o s i t i o n , x G F si et seulement si e(x) G F D é m o n s t r a t i o n . Si x G F, e(x) = x • 1 G F . Si e(x) e F,x = x* e(x) G F . 10-3 P r o p o s i t i o n , (x G F et a G A) ==> x * a G F . 32 Démonstration. Si x G F et a G A, a * x G F, donc e(a * x) = e(x * a) £ F, alors x * a G F (propostion 10-2). 10-4 Proposition, x G F,y G F ==> I + I / E F , Démonstration. Par la proposition (3-8), on a : (x + y')*(x-y) = ((x + y') * x)- ((* + y') * y) = ((* + 2/) * v') • ((* + y7) * y) = (* + y7) * 0/ • y) = (* + y1) * o = x + y'. On en déduit x + t/ G F. 10-5 Proposition. Si F est un filtre d'un booloïde A, le sous-ensemble sym(F) = {x £ F : e(x) = x} = Fnsym(A) est un filtre de l'algèbre de Boole syrn(A). Démonstration. En fait, 1 G sym(F) car : e(l) = 1 G F, et si (a £ sym(A) et x £ sym(F)) on a : x * a = e(x * a) = e(a * x) = a * x £ F. Enfin, si x G sym(F) et y G sym(F) il résulte que : y • x = e(y • x) = e(x -y) = x -y £ F. 10-6 Notation. (1) Un filtre engendré par un sous-ensemble G de A est le plus petit filtre qui contient G, il sera noté FQ> (2) Un filtre finiment engendré est un filtre engendré par un sous-ensemble fini. (3) Un filtre principal est un filtre engendré par un seul élément. (4) Le filtre principal engendré par a est noté )a(. 10-7 Proposition. Tout filtre de A est engendré par l'ensemble de ses éléments symétriques. Démonstration. Soit F un filtre de A, et x G F . Alors e(x) G sym(F). En outre x appartient au filtre engendré par e(x), d'après la relation x = x * e(x). Donc x G Fjym(F). 10-8 Proposition. Pour un filtre J de sym(A), Fj = {x : e(x) G «/} est un filtre de A. Démonstration. En effet : 1 G Fj, car e(l) = 1. Si a £ A et x G Fj, alors : e(a * x) = e(a) * e(x) G J (Proposition 7-8) donc a * x £ Fj. Enfin, si x G Fy et y G F/, alors e(x • y) = e(x) • e(y) G 7 d'où x - y £ Fj. 10-9 Proposition. Il y a un isomorphisme entre l'ensemble ordonné des filtres de y4, et l'ensemble ordonné des filtres de sym(A). Démonstration. Conséquence des trois propositions précédentes. 10-10 Proposition. Le filtre de A engendré par un élément a £ A est 33 )a(= {x G A : x • a = a}. Démonstration. Soit ]a[= {x G A : x • a = a}. En effet : 1 £]a[, car 1 • a = a. Si 6 G J4 et x G]a[, alors : (6 * x) • a = 6-a * x-a = 6a * a = (6 * a) • a = a (proposition 3-7) donc 6 * x £]a[. Enfin, si x £]a[ et y G]a[, on a : x y a = x a = a d'où x • y £]a[. Par suite ]a[ est un filtre de A contenant a et c'est clairement le plus petit. Donc ]a[=)a(. 10-11 Proposition. Tout filtre finiment engendré est un filtre principal. Démonstration. Considérons F x' £ I(F). Démonstration. Si x G F, alors x' £ / ( F ) , car : x • x' = 0 (proposition 5-2). 11-5 Proposition. H existe un isomorphisme entre l'ensemble ordonné des filtres de A et l'ensemble ordonné des idéaux de A. Preuve : (a) 7(F(7)) = 7 : si x G 7, x' G F(7), et comme x' • x = 0,x G I(F(I)). Supposons x G 7(F(7)). Il existe 6 G F(7) tel que 6-x = 0. Il existe a G 7 tel que a*e(6) = 1. Alors x = (a * e(6)) • x = a-x * e(6)-x = a • x donc x £ I. (b) F(I(F)) = F : supposons x G F. Alors x' G 7(F) et x' * e(x) = 1 donc x G F(7(F)). Inversement si x G F(I(F)) : 36 G 7(F) tel que 6 * e(x) = 1. Il existe a G F tel que a • 6 = 0. Donc a = (6 * e(x)) • a = (6 • a) * e(x) • a = 0 * e(x) • a = e(x) - a = x • a. Alors x £ F. (c) Les applications 7( ) et F( ) sont croissantes. 12. Filtres et congruences. 12-1 Définition. Soit F un filtre de A. On définit sur A la relation modulo F par : x = y(modF) <=> 3a G F tel que a • x = a • y. 12-2 Notation. La congruence modulo le filtre engendré par un élément symétrique e s'appelle la congruence complémentaire modulo e notée mod(e)'. 12-3 Proposition, x = y(mod(e)') si et seulement si e • x = e • y. Démonstration, x = y(mod(e)') <=> x = y(mod()e() <=> e • x = e • y. 12-4 Proposition, x = y(modF) <=> (x + y)' G F. Preuve. Si x = y(modF) :a-x = a-yeta£F donc a - (x + y) = 0 et a £ F alors a • (x + y)' = e(a) G F donc (x + y)' G F. Inversement si a = (x + y)' £ F donc a • x = a • y car (x + y)' • (x + y) = (x + y)'-x + (x + y)'-y = 0. 12-5 Proposition. La congruence modulo un filtre F est identique à la congruence modulo l'idéal 7(F). Preuve. Soit x = y(modF). Il existe a G F tel que a-x = a • y; Alors a • (x + y) = 0, donc x -\- y £ I(F) et x = y(modI(F)). Réciproquement, supposons : x = y(modI(F)). Alors x + y G 7(F) donc il existe a G F tel que a • (x + y) = 0. Alors a • x — a -y avec a £ F. Donc x = y(modF). 13. Idéaux premiers et filtres premiers. 13-1 Idéaux premiers. 13-1-1 Définition. 1) Un idéal 7 est premier s'il est propre et vérifie : x -y £ I = > (x G 7 ou y G 7). 2) Un idéal 7 est maximal s'il est propre et n'est proprement contenu dans aucun idéal propre de A. 13-1-2 Théorème. Dans un booloïde A, les assertions suivantes sont équivalentes. 1) 7 est un idéal premier ; 2) 7 est propre et pour tout x G ;4 : x G 7 OU X' £ I ; 3) 7 est un idéal maximal. 4) sym(I) est un idéal maximal de sym(A), Preuve. 1) = > 2) : L'élément nul 0 appartient à tout idéal 7 de A. En conséquence : 0 = x • x' £ I pour tout x G A ; et comme 7 est premier, on a : x G 7 ou x'G7. 2) ==> 3) : Supposons qu'il existe un idéal J de A qui contienne proprement l'idéal 7. Comme J / 7, il existe un élément x appartenant à J et non à 7. Appliquant l'assertion 2), on conclut que l'élément x' G 7 et donc aussi x' £ J. J contenant x et x', contient x1 * e(x) = 1 et n'est pas propre. Par conséquent, 7 est un idéal maximal. 3) = > 2) : Si 7 est maximal et si x £ 7, alors {x*y : y G 7} est un idéal contenant strictement 7, donc contenant 1. Alors il existe y £ 7,x*y = 1. Par suite x' = (x*y)-x' = x-x'*y-x' £ 7. 2) = > 1) : Si x ¢ 7 et y ¢ 7, alors x' £ I et y' £ 7, donc (x • y)' = x' * y* £ 7, et par suite x -y £1. 3) <=> 4): Découle de la proposition (8-9). 13-2 Filtres premiers. 13-2-1 Définition. 1) Un filtre premier F d'un booloïde A est un filtre propre vérifiant : x *y £ F = > (x £ F ou y £ F). 2) Un filtre maximal F d'un booloïde A est un filtre propre, qui n'est proprement contenu dans aucun filtre propre de A. 13-2-2 Théorème. Pour un filtre F, les assertions suivantes sont équivalentes. 1) 2) 3) 4) F est un filtre premier ; F est propre et pour tout x de A, x £ F ou x' G F ; F est un filtre maximal. sym(F) est un filtre maximal de sym(A). Preuve. 1) => 2) : L'élément unité 1 appartient à tout filtre F de A. En conséquence 1 = e(x) * (1 + e(x)) G F pour tout x £ A. Comme F est premier et selon la proposition (10-2), on a : e(x) * x' £ F ==> x G F ou x' G F . 2) = > 3) : Supposons qu'il existe un filtre G de A qui contienne proprement le filtre F . Comme F ^ G, il existe un élément x appartenant à G et non à F . Appliquant l'assertion 2), on conclut que l'élément x' G F et donc aussi x' £ G. G contenant x et x' contient x • x' = 0 et n'est pas propre. Par conséquent, F est un filtre maximal. 3) ==> 2) : Si F est maximal, et si x £ F , alors {x • y : y G F} est un filtre contenant strictement F , donc contenant 0. Alors il existe y £ F, x • y = 0. Par suite x' = x' * (x • y) = x' * (x • 1 • y) = (x7 * x • 1) • (x' * y) = 1 • (x' * y) = x' * y G F . 2) = > 1): Si x £ F et y £ F, alors x' G F et y' G F , donc (x * y)' = x' y' £ F , et par suite x*y ¢ F . 3) <=> 4): Découle de la proposition (10-9). 36 13-2-3 Proposition. équivalentes : 1) 7 est premier. 2) F(7) est premier. Pour un idéal 7, les assertions suivantes sont Démonstration. Découle de la proposition (11.5). 14. Booloïdes simples. 14-1 Définition. Un booloïde A est simple si 0 ^ 1 et les seuls idéaux de A sont {0} et A. 14-2 Proposition. Pour un booloïde A, les assertions suivantes sont équivalentes : 1) A est simple. 2) sym(A) = {0,1}. Démonstration. En effet, A est simple <=> sym(A) est l'algèbre de boole triviale réduite aux deux éléments 0 et 1 (proposition (8-9)). 14-3 Proposition. Les booloïdes simples sont exactement les ensembles bipointés. Démonstration. Soit A un booloïde simple. Il est bipointé par 0 et 1. Nous savons que a - b = e(a) • 6 et que e(a) est un élément symétrique. Donc si a ^ 0, e(a) ^ 0 et a • b = 6. En outre 0-6 = 0. Donc ..».{; sisi aa =^ 00 La proposition (3-9) entraîne pour a ^ 0, a * b = a, donc a*b , f 6 si a = 0 ^ a si a = < De plus, s i a ^ 6 , a + 6 ^ 0 (proposition 3-1). Puisque a + b est symétrique, a + 6 = 1. Donc 0 •+-{î si si a=6 a/ 6 A est donc le booloïde canoniquement associé à un ensemble bipointé (exemple (1)). Réciproquement, dans le booloïde canoniquement associé à un ensemble A, on a : a • 1 = 1 pour a z£ 0, donc a = 1 si a est symétrique. Donc sym(A) = {0,1} et A est simple. 15. Anneaux commutatifs booloïdes 15-1 Définition. Un anneau commutatif booloïde est un anneau commutatif unitaire A muni d'une opération binaire de symbole • idempotente, associative et qui vérifie les deux conditions : 1) a • (6c) = (a • b)c 2) a - 6 = 0 = > 6 a = 0 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 15-2 Proposition. Dans un anneau commutatif booloïde, on a : a -6 = (a- 1)6. a -(6 + c) = a • 6 + a • c. a - ( 6 - c ) = a • 6 - a • c. ( l - a - l ) a = ( l - a . l ) - a = 0. e-l = e = > ( l - e ) - l = 1-e. a - 0 = 0 a = 0. Démonstration (1). On a : (a • 1)6 = a • (16) = a • 6. (2) a • (6 + c) = (a • 1)(6 + c) = (a • 1)6 + (a • l)c = a - 6 + a • c. (3) a - (6 - c) = (a • 1)(6 - c) = (a • 1)6 - (a • l)c = a - 6 - a • c. (4) On a : (1 - a • l)a = a - (a • l)a = a - a • (la) = a - a = 0. De plus a • (1 - a-1) = (a - 1)(1 - a-1) = a-1 - (a - l)(a • 1) = a l - a • a • 1 = a l - a-1 = 0, donc (1 - a • 1) • a = 0. (5) Si e • 1 = e, alors (1 - e) • e = (1 - e • 1) • e = 0, donc (1 - e) • [1 - (1 - e)] = 0 et par suite (1 — e) • 1 = 1 - e. (6) En effet : a • 0 = a • (a - a) = (a • l)(a — a) = (a • l)a - (a • l)a = 0. Donc, on a aussi 0 - a = 0. 15-3 Rappel. Les F-anneaux [6] U n F-anneau est un anneau unitaire A muni d'une opération unaire e vérifiant les six axiomes suivants : (Ei) e(x) est idempotent central. (En) xe(x) = x (E3) {E4) (E5) (E6) e(e(x)) = e(x) e(-x) = e(x) e(l - e(x)) = 1 - e(x) e(e(x)y) = e(x)e(y) D'après [2] les quatre axiomes suivants sont suffisants. (1) e(x) est un élément central (2) e(0) = 0 (3) xe(x) = x (4) e(ye(x)) = e(y)e(x) 15-4 Théorème. Pour un anneau commutatif unitaire A^ les assertions suivantes sont équivalentes : 1) A est un anneau booloïde. 2) A est muni d'une structure de booloïde telle que 0 et 1 sont ses deux éléments distingués et a • (bc) = (a • b)c pour tout a, 6,c. 3) A est j^-anneau. Démonstration : 1 = > 2) On a : a • b = (a • 1)6. En particulier, pour a = 1, on a 1 • b = b. Donc 1 est élément unité à gauche pour l'opération -. De plus a - b • c = 38 a • ((b - l)c) = (a - 1)(6 • l)c = (6 • l)(a • l)c = 6 • a • c. Donc l'opération • est associative. Définissons maintenant l'opération * par : a * 6 = a+6 — a-6 = a -f (1 — a-1)6. On a : (a * 6) • 1 = a-1 * 6-1. En effet, appliquant la proposition (15-2) on a d'une part : (a*6).[a.l + ( l - a . l ) ( 6 1 ) ] = ( a * 6 ) - [ l - ( l - a - l H l - 6 - l ) ] = (a*6). l - ( o + 6 - a - 6 ) . ( l - a . 1 ) . ( 1 6-1) = ( a * 6 ) - l - ( l - a . l ) - ( a + 6 - a - 6 ) - ( l - 6 - l ) = (a*6).1-0-(1-0-1)-6.(1-6-1)+0 = (a*6)-l et d'autre part : (o*6)-[a-l + ( l - a - l ) - ( 6 - l ) ] = ( a + 6 - a . 6 ) - a . l + ( a + 6 - a - 6 ) . ( l - a - l ) . ( 6 - l ) = a-(a+6-a-6)-l + (l-a-l)-(o+6-a-6)-(6-l) = o-a-l + (l-a-l)-6.(6-l) = 0-1 + (1-0-1)-(6-1) = a-l + [ ( l - a - l ) - l ] ( 6 - l ) = a-l + ( l - o - l ) ( 6 - l ) = a-1*6-1. On en déduit que (o*6)-l = 0-1 + 6-1. L'opération * est associative puisque : (a * 6) * c = o + (1 - 0-1)6 + (1 - o-l - (1 - a-l)(6 • l))c = o + ( l - 0-1)6 + (1 - o-l)(l - 6-l)c = o + ( l - o-l)(6 + (1 - 6-l)c) = a * (6 * c). En outre, 0*a = 0 + a — 0 • a = a (proposition 15-2), et a • (a*6) = a• (a+6 — a-6) = a • a = a. On a a • (b * c) = a • (b + c — 6 • c) = a-6 + ac — a-b-c = a-6 + ac — a-6-a-c = a-6 * a-c. Egalement, on a (a * b) - c = ((o * 6) • l)c = ((a -1) + (6- l))c = (o-l + 6-1 - o-6-l)c = = ac + bc — ab-c = ac + bc — a-c-6-c = ac * b-c Définissons l'opération H par : a H 6 = (a — b) • 1. On a a -i a = (a — a) 1 = 0 - 1 = 0 (proposition 15-2). En outre, l'opération H est commutative puisque a H 6 = ( a — 6 ) - 1 = [ - ( ( 6 - a ) - 1 ) ( 6 - ^ 1 - 1 = 1((6-0)-1)(0-6)1.1 = ( 6 - a ) . ( a - 6 ) - 1 = ( a - 6 ) - ( 6 - a ) - 1 = (6 — a) • 1 = 6 H a. Aussi a • (6 H c) = a • (6 — c) - 1 = (a • 6 — a - c) • 1 = a • 6 H a • c. Enfin, (a H 6) * 1 = (a H 6) + 1 - (a H 6) • 1 = 1 et (a H 6) * a = (a H 6) + a - (a - 6) • (a - 6 + 6) = (a H 6) + a - (a - 6) - (a - 6) • 6 = (a H 6) + 6 - (a H 6) • 6 = (a H 6) * 6. Donc les trois opérations précédentes définissent sur A une structure de booloïde tel que ses éléments distingués sont 0 et 1 et vérifie aussi l'égalité a - (bc) = (a • b)c. 2) ==> 3) : Posons e(x) = x l . On a e(0) = 0 et xe(x) = e(x)x = (x-l)x = x-(lx) = x-x = x. De plus e(e(x)y) = ((x • l)y) • 1 = x • y • 1 = (x • l)(y • 1) = e(x)e(y). Alors A est un jE-anneau. 3) ==> 1) : Supposons que A est un F-anneau et définissons l'opération • par : a-6 = e(a)6. L'opération • est idempotente puisque a - a = e(a)a = a, et associative puisque (a - b) - c = e(e(a)6)c = e(a)e(6)c = a • (b • c). En plus, on a a • (6c) = e(a)6c = (a - b)c. Enfin si a • 6 = e(a)6 = 0 alors e(e(a)6) = e(6)e(a) = 0 donc b - a = e(b)e(a)a = 0. Alors A est un anneau booloïde. 15-5 Exemple. Les a n n e a u x c o m m u t a t i f s réguliers [10], Définissons l'opération • par a - b = aôi on a a - a = aâa = a et (a • 6) • c = aâbaabc = (aô)266c = aâ"66c = a • (6 • c). En plus, a • (bc) = aâ"6c = (a • 6)c et a • 6 = 39 aa6 = 0 ==> aaa6 = a6 = 6a = 0 = > 6 • a = 66a = 0. Donc les anneaux commutatifs réguliers sont des anneaux commutatifs booloïdes. On retrouve les résultats de 2-3. En effet a * 6 = a + ( l - a-l)6 = o + (1 - aa)b et a H 6 = (a - 6) • 1 = (a b)(â^b). 15-6 P r o p o s i t i o n . Les a n n e a u x commutatifs booloïdes tels que l'opération • soit c o m m u t a t i v e sont e x a c t e m e n t les a n n e a u x de Boole. Démonstration. Soit A un anneau commutatif booloïde tel que l'opération • soit commutative. Alors a - 6 = a • (16) = (a • 1)6 = (1 • a)6 = a6. Donc l'opération • coïncide avec le produit dans l'anneau. On en déduit que A est simplement un booloïde commutatif, donc une algèbre de Boole. Il est alors muni d'une structure d'anneau de boole qui coïncide précisément avec la structure donnée d'anneau commutatif car on a : a * 6 = a + (l — a-l)6 = a+6 — a6. 40 REFERENCES [I] E. AYRES, Algèbre moderne (Série Schaum), Paris,McGraw-Hill, (1983). [2] Y.DIERS, Catégories of Boolean sheaves of simple Algebras, Lecture Notes in Mathematics 1187, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo (1980). 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