D IAGRAMMES

G. PALIAS
Structures quasi-métriques (suite)
Diagrammes, tome 21 (1989), exp. no 5, p. P1-P28
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1989__21__A5_0>

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DIAGRAMMES

VOLUME

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES
G,

21

(SUITE)

P a 1 i as

Avertissement
Ce texte est une suite naturelle de [43, article paru dans le
Volume 6 de Diagrammes, en 1981, et qui s'intitulait également
"Structures quasi-métriques",
Signalons tout de suite deux coquilles qui subsistent
notre article original [43 :

dans

page 17, ligne 10:
lire

" , , .uà O ÛEi ^ ¢ , . , "

au lieu de

" , , .Uà C] ûEj = 0 .. ."

page 23, ligne 16, le mot "symétrique" manque:
lire lf,.,V € $(i) symétrique est un connecteur,,, "
Dans ce texte, on discutera le théorème 1 de [43 (énoncé p.16)
en
montrant que l'hypothèse (III) dite de symétrie y est
indispensable; nous exhiberons un contre-exemple à cet effet, De
plus, on montrera que l'hypothèse (I) de finitude partitive
peut
être affaiblie en une hypothèse (I1) de
finitude
connective
portant sur la quasi-uniformité donnée,
Cette première partie sur les structures quasi-métriques est
enrichie d'un théorème de complétion, La notion de filtre
de
Cauchy se généralise aux quasi-uniformités (cf. C23), et on
proposera une construction explicite de la complétée d'une quasiuniformité
quasi-artinienne.

A . M . 3 . "«31»©

CLASS .

SA E

15

, SA

H

39

STRUCTURES

OUASI-METRIQUES

I, R e t o u r
sur
le T h é o r è m e
1 (cf, [43 , p.16)
(quasi-écarts sous-jacents à certaines quasi-uniformités)

En vue de l'étude des multiples exemples de quasi-uniformités
que nous construirons, nous allons d'abord rendre la définition
de structure quasi-uniforme plus "maniable" (cf, définition 0 de
[43, page 10, axiomes (A) et (B)>, La terminologie ci-dessous est
introduite à cet effet, sous forme de définitions partielles,
Définition
10t Un ensemble E muni d'une partition (E ,(E±)i«n )
sera appelé structure partitive
sur E ,
Définition
11, Une structure partitive sur E munie en plus d'une
famille de filtres, soit ( (Ei)in, i ), vérifiant l'axiome (A)
rappelé ci-dessous, sera dite structure
filtrée
partitive
sur E.
Rappelons donc l'axiome (A):
(A) Pour tout i c i ,
*(i) est un filtre sur E x E admettant
une base symétrique et tout
U c •(i) contient la diagonale
correspondante ûEx = { (x, x) I x c E* },
Soit une structure filtrée partitive donnée u = ( ( E J i d
sur un ensemble E, et soient i c i
et J c I,

, f )

Définition
Î2, On dira que
J est
H i )-transi tif
(ou plus
simplement
i-transitif)
si et seulement si, quel que soit
U e #(i), il existe un élément (symétrique)
U1
de ^( i) tel
1
que, pour tout
j c J, la condition U
ûEj * 0
entraîne
l'existence d'un élément (symétrique)
V
de
#(j) vérifiant
U' • V c U ,
Un élément symétrique
U1
par l'intermédiaire duquel les •(j),
j c J, seront transitivement
connectés vers U sera appelé
J-transconnecteur
pour U , Si
J = I, on dira simplement
transconnecteur
pour U , On notera
U'
un tel élément,
conformément à la notation utilisée dans [ 2 3 et dans [ 3 3,
U1 pourra d'ailleurs
être choisi
de manière
à avoir;
1
U • U' c U ,
Nous pouvons alors rappeler la définition d'une
quasi-uniformité
(cf. définition 0 de
[43) : c'est une structure filtrée

STRUCTURES

partitive
pour tout

QUASI-METRIQUES

u = ( (E±)i«n , * ) sur E (axiome (A)) telle que,
i c I, I est #(i)-transitif (axiome (8)),

Nous devons encore rappeler la définition 8 de [43 (page 23),
corrigée (cf, l'avertissement) , Soit donc u =* ( (Ei)±«i , * )
une quasi-uniformité sur E et soit i c i .
Définition
08. Un élément
V c *<i) , symétrique, est un
connecteur pour
*(i), si la condition U OûEj * 0
entraîne
que j est bien connecté à i, On dit que u est connectif si
pour tout i c i , +(i) admet des connecteurs,

Revenons alors au Théorème 1 de [43 (page 16), Pour montrer qu'on
ne peut pas se passer de l'hypothèse (III) dite de symétrie, nous
allons fournir un contre-exemple, c'est-à-dire une quasiuniformité
u = ( (Ei)i«i , i )
qui ne vérifie que les
hypothèses (I) et (II) du Théorème 1 , et pour laquelle le quasiécart construit à la manière du Théorème ne vérifiera pas
l'axiome de Q-triangularitét
Ainsi, on pourra conclure que la
construction du quasi-écart proposée dans le Théorème nécessite
effectivement l'hypothèse supplémentaire de
symétrie.
Construction

du

contre-exemple,

Définissons l'ensemble sous-jacent
u = ( ( E i ) i d , * ) comme étant :
E = q(u) =

à

la

quasi-uniformité

t 0 ) U t 3"n I n > 0 )

Nous choisissons pour I un ensemble à 2 éléments: I = C 0, 1),
et nous posons Eo = £ 0, 1 ) et Ei = ( 3""" I n > 1 ) ,
Définissons maintenant les filtres *(i) par des bases Bi :
Bo = { Un

I n >0 ) ,

où on a posé:

et pour

Uo = E x E ,
Ui = { (x, y) I Ix - yl < 2/3 )
n > 2,
Um = { (x, y) I Ix - yl * 3-"-1 ) .

B^ = { Vn I n > 0 ) ,
où on a posé, pour n = 0, 1, 2, 3:

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Vn = Ei x Ei

et pour

n ï 4,
Vn = C (x, y) c EixEi

I

Ix - yl < 3"*~* 3 .

Cette structure
u , ainsi définie, est-elle bien une quasiuniformité ? Evidemment c'est une structure filtrée partitive,
puisque
a) Tout élément de B± ,
correspondante ûEi ,

i = 0, 1, contient bien la diagonale

b) Les
Bi
sont des bases connectées (cf, définition 4 de
[43, page 12), ce qui signifie que les éléments U des B±
ont les deux propriétés suivantes, quel que soit (y, z) c U :
1) il existe x c E± tel que (y, x) et (z, x) c U ;
2) (y, y) et (z, z) c U,
Regardons maintenant si I » t 0, I 1 est 0-transitif , Soit
donc
U c *(0) : il existe
Un c B o
tel que
Un c U .
Constatons que pour m > n+2 , Um est un transconnecteur pour U
(cf, définition 12 ci-dessus ) ,En effet, on a:
Un>2

• UriH-2 C

U«-K2

C

Un

C

U

.

L'indice 1 étant bien connecté à l'indice 0 (i.e, tout élément
V de *(1) coupe la diagonale ÛEo : V H ûEo * 0 ) , exhibons un
élément symétrique
V
de
*(1)
tel que
Um o V c U :
l'élément V = Vn** c Bi
convient car Vn-** c Un* 2 ,11 reste à
démontrer que I = C 0, 1 } est 1- transitif. Si V c *(1) , il
existe
Vn c Bi
tel que
V™ c V , qui va bien servir de
transconnecteur pour V ,En effet, on a;
Vn 0 Vn

C Vn

C V ,

et d'autre part,
V^n ûEo » 0 , Ainsi, u est bien une quasiuniformité satisfaisant
aux deux premières hypothèses du
Théorème, à savoir:
Hypothèse (I): la partition sous-jacente est finie;
Hypothèse (II): les

Bi

sont de bonnes bases dénombrables,

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Par contre, l'hypothèse (III) n'est pas vérifiée, car la relation
de bonne connection entre les deux indices n'est pas symétrique.
L'indice
1
est effectivement bien connecté à
1, Cependant,
l'indice 0 n'est pas bien connecté à l'indice 1,
Vérifions maintenant que les bases génératrices B±
des *(i),
i = 0, 1 , sont effectivement des bonnes bases , i.e, des bases
vérifiant les conditions
(bl)
et
(b2)
que nous allons
rappeler. Etant donnée une quasi-uniformité u = ( (E±)±«i , * ),
nous disons qu'elle admet de bonnes bases si, pour tout i c i , le
filtre *(i) possède une base dénombrable
devant vérifier;
(bl) U o O ûEi * 0

(Uo)n > o, ces bases

si et seulement si j est bien connecté à i;

(b2) Un+i © Un+i o Un^i c Un, s i j est bien connecté à i et
k est bien connecté à j,
Rappelons
ici
la
définition
de
la
bonne
connection
(cf .définition 5 de [43, page 15). Soit
( (Ei)t-i , i ) une
quasi-uniformité, et soit i c I et j c I. On dit que l'indice j
est bien connecté à l'indice i , si l'intersection U n ûEj est
non vide, quel que soit U c *(i).
Vérification des conditions (bl) et (b2).
pour (bl) : les deux indices 0 et 1 sont bien connectés à 0 ,
et,
comme
le prévoit
la condition,
U o H û E i * 0,
pour
i = 0 , 1 , L'indice 0 n'étant pas bien connecté à 1 , on a,
comme l'exige la condition : V o H ÛEo = 0 ,
pour
(b2)
: d'une
part, on
a;
Un • Un • Un c Un c Un-1 , pour

Ui • Ui • Ui c Uo ,et
n ) 2 ; d'autre part,

Vn C Vn • Vn C Vn • Vn • Vn C Vn

Vn-1 C \)r, , pOUr

avec

et

n > 0

V 2 c U2, Ainsi, on a les inclusions suivantes;

U ^ , 0 Un*-! 0 Vn^l C U^n &t
Un+1 • Vn+1 0 Vnn-T C Un, POUr n > 0 ,

ce qui achève de prouver que les conditions (bl) et (b2) sont
bien vérifiées,

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Poursuivons maintenant les constructions effectuées dans le
Théorème. Soit do ; Uo -* R~ défini par:
do(x, y) = 2~" ,
si et seulement si il existe un entier n tel que:
(x, y) c Un - Un*-i ;

sinon , on prend:
do(x, y) = 0 , i.e,, (x, y) c D^ pour tout n.
On définit de même

di : Vo -* R - ,

Notons que l'on a l'inclusion : dom(di) c dom(do)
(x, y) c dom(di) , on a;

et que pour

do(x, y) = 2 x di(x, y) .
Ce sera, en effet, cette disparité
à l'inégalité suivante;
So(0, 1)

>

entre

So(0, 3-*) +

do et di

qui conduira

So(3-*, 1), pour

k * 3

contredisant l'axiome de Q-triangularité
(les quasi-métriques S±
i = 0, 1, seront définies comme dans le Théorème - cf. la suite),
Introduisons, sous forme de définitions, deux notions à propos
d'une quasi-uniformité donnée
u = ( (Ei)i«x , * > , munie de
bonnes bases, telles que celles figurant dans le Théorème, et,
par suite, munie des applications
dt ; Uo -* R ^ ,

ici,

définies comme ci-dessus,
Définition
13. Soient
x et y des points de l'ensemble
sous-jacent à u, Une suite finie de couples indexés:
(Zo,

Zl )«fO"»

, (Zl,

q(u)

Zz)ot< 1 ? i • i • i ( Z n — 1 , Zn)oc<n-1 >

sera appelée un i-chemin de x vers y , si les deux conditions
ci-dessous sont vérifiées ;
1) a(0), oc(l),.,,, oc(n-l), avec
cc(0) = i, est une suite <?connexe (pour u) ;
2) (zi, zi^i) c dom(d«< ± >) , i = 0, 1, . . ., n-1 , avec
Zo = x
et

Zn = y ,

R «

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

Rappelons (cf, définition 5 de [43, page 15) qu'une suiU
d'indices (io, ii, i*,..,, in)
est dite Q-connexe si chaque
indice qui la compose est bien connecté à l'indice précédent
(sauf pour io bien sûr), On dit alors que in est connecté à io,
Définition

74, Le nombre suivant:

X = dorrO>(Zo,

Zl )

+ dorCl>(Zl,

Z-z)

+,,,+

d * C n - l >(Zn— 1 ,

Zn )

sera appelé la longueur du i-chemin ci-dessus.
Remarque: la longueur d'un i-chemin (d'un point x à un point y)
ne dépend pas uniquement de la suite des couples de points
composant ce chemin, mais elle est aussi fonction de la suite
Q-connexe (d'indices) sous-jacente,
La

i-distance

non symétrique

de

x à y , soit

$'i(x, y) , sera

donc la borne inférieure des longueurs de tous les
x à y (cf. Théorème 1 de [43, page 18)) ,

i-chemins de

Revenons à notre contre exemple de quasi-uniformité, dont nous
rappelons les principales notations;
u = ( (Et)i.i, i ) , et I = (0, 1)
Eo = (0, 13 et Ei = C3~" I n > U
bases B± des filtres *(i):
Bo = (Un I n > 0 )
Uo = E x E ,
Ui = {(x, y) I Ix - yl < 2/3 3
\)r, = C(x, y) I Ix - yl < 3-^ 1 ) , n > 2,
Bi = (Vn ! n » 0 )
Vn = Ei x Ei , n = 0, 1, 2, 3 ;
Vn = C(x, y) c Ei x Ei I Ix - yl < 3-»-*j , n > 4,
Observons alors que les suites Q-connexes (pour u ) n'admettent
qu'une des trois formes possibles ci-dessous ;
0, 0,,,,, 0, 0

/

1, 1,..., 1,1

/ 0 , 0,.,, 0, 1,.., 1, 1.

En effet, 0 ne peut pas suivre
1 dans une suite Q-connexe
(pour u) , car l'indice 0 n'est pas bien connecté à l'indice 1,
Dès l'apparition de la valeur 1 dans une suite Q-connexe,
celle-ci devient obligatoirement stationnaire,

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

Soit
ch un O-chemin de x à 1, Sa suite
Q-connexe sousjacente ne peut pas se terminer par un
1 , car
dom(di) ne
comporte pas de couples de la forme
(z, 1), Ainsi, la suite
Q-connexe sous-jacente à ch ne comporterait que des zéros.
Tachons maintenant d'évaluer S'o(x, 1). Les 0-chemins de x à 1
qui ont un intérêt en vue d'en trouver le plus court, ont donc la
forme suivante:
(x, 3-">o , (3-rt, 3-)0,,,,,(3-1. 3~k)o , (3~\ D o

,

où x < 3~" et n > m > 1 > k ) 1 ,
Soit
x = 0 ; y en a-t-il un qui soit le plus court ? Voyons
celui à 1 élément ; (0, l)r>, Sa longueur est do(0, 1 ) = 2 ° = 1 ,
Considérons
ensuite
le
O-chemin
à
deux
éléments ;
(0, l/3)o , (1/3, !)o, Sa longueur est ;
do(Op 1/3) + do<1/3, 1) = 2-- + 2-1 = 3/4 .
Les autres O-chemins à deux éléments sont du type;
(0, 3-">o , (3"", l)o , où

n * 2 ,

et ont pour longueur 2-Cr**** + 1 > 1 . Evidemment, les autres
0-chemins de 0 à 1 seront aussi plus longs que le 'deuxième,
qui donc est le plus court. D'où S'o(0, 1) = 3/4,
Evaluons maintenant
S'oO"", 1)
pour
n > 1 .Evidemment le
O-chemin le plus court de 3"" à 1 sera;
(3-", l/3)o , (1/3, l)o,
dont la longueur est;
do(3~", 1/3) + do(l/3, 1) = 2~* + 2-1 = 3/4,
Ainsi, S'oO-", 1) = 3/4,
Considérons maintenant les 0-chemins d'un point x à 0. On
constate d'abord que la suite Q-connexe sous-jacente à un
O-chemin d'un point x à 0 ne peuvent comporter que des zéros,
En effet, dom(di) ne comporte pas de couples de la forme (z, 0),
et, par suite, la suite Q-connexe sous-jacente doit se terminer
avec un 0, Par conséquent, des trois formes de suite Q-connexe
admissibles (pour u), il ne nous reste que celle composée de

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

zéros (même raisonnement que pour les 0-chemins de x à 1). Pour
déterminer les 0-chemins les plus courts de
x à 0, les mêmes
raisonnements s'appliquent que dans le cas des 0-chemins de
x vers 1. Ceci nous donne comme O-chemin le plus court de x à 0,
(1, l/3)o , (1/3, 0)o , si x = 1,
(3_r\ 0)o , si x = 3""", avec n > 0,
Ainsi, on obtient;
S'od, 0) = dod, 1/3) + do(l/3, 0) = 3/4 = S'o(0, 1), et
5'o(3-", 0) = do(3~"f 0) = 2 - ^ 1 \
Evaluons ensuite

S'o(0, 3""") , n > 0. Comme on a;

di(x, y) = 1/2 do(x, y)
pour tout
(x, y) € dom(di) ,1a
borne inférieure des longueurs des 0-chemins de
0 à 3"" est
manifestement;
lim w^ Cdo(0, 3-M + di(3^, 3—)3
= lim * ~ do(0, 3"k) + lim *^- di(3~k, 3"")
= 0 + 2-<^2:>
= S'o(0, 3""),
Il reste maintenant à évaluer fi'od, 3""), et c'est ici en fait
que réside l'essence du contre-exemple.
Vu que
di(x, y) = 1/2 do(x, y), pour
(x, y) € dom(di),
0-chemin de 1 à 3"" le plus court est donné par;
(1, l/3)o , (1/3, 3~")i ,
il vient;
S'od, 3"") = do(0, 1/3) + dod/3, 1)
= 2~ 2 + 2"1 =* 3/4,
Voici maintenant les
de

0-distances;

0 à 3*":
So(0, 3 — ) = 1/2 C5'o(0, 3-") + S'oO"", 0)3
= 1/2 C 2 " ^ ^ * + 2 - ^ - 1 " 3
= 3 x 2~<r*~ 3 \

R 9

le

STRUCTURES

de

QUASI-METRIQUES

0 à 1 :
So(0, 1) = 1/2 C*'o(0, 1) + S'od, 0)3
= 1/2 C3/4 + 3/43
= 3/4 .

de

3— à 1 ;
So(3~", 1) = 1/2 CS'oO-", 1)) + S'od, 3~")3
= 1/2 C3/4 + 3/43
= 3/4 ,

Voici l'inégalité qui contredit l'axiome de

Q-triangularitê;

So(0, 3 — ) > *o(0, 3-*ww) + So(3-^ k , 3"")3,
car

3 x 2~ Cin * 3> > 3 x 2- <r> * k ^ 3> + 2- < 0 * 2 >

(k > 3).

Ainsi, quelles que soient les conditions de petitesse requises
pour la validité de l'axiome de Q-triangularité (déterminé par
€o) , il existe toujours des n assez grands pour que;
fio(0, 3-~ 3 ) < €o
En conclusion, le quasi-écart construit ci-dessus, à la manière
du Théorème, ne vérifie pas l'axiome de
Q-triangularité, La
construction d'un quasi-écart associé à une quasi-uniformité,
comme dans le Théorème nécessite ainsi l'hypothèse de symétrie.

Par contre, l'hypothèse (I) peut être affaiblie en (I 1 );
hypothèse
< D
: la quasi-uniformité
finiment connectée.

u

est

connective et

Elucidons tout d'abord ces notions de connectivité par quelques
exemples (cf. définitions, rappelées ci-dessus, N* 8 et 9 de C43,
page 23), Toute quasi-uniformité à partition finie admet
trivialement les deux propriétés, Voici cependant un exemple de
quasi-uniformité
u
à partition sous-jacente infinie, et qui
admet toujours ces deux propriétés.
U =

((

(PÎrcR

) , *

RIO

) ,

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

partition en singletons.
Prenons les ensembles (C (r, r) )} pour
engendrer les filtres f(r) , Cette quasi-uniformité triviale est
notée
¥(Rd), la topologie sous-jacente étant la topologie
discrète sur
R, notée Rd, Cette quasi-uniformité
u
est
connective, car
{ (r, r) 3, qui est l'élément générateur des
filtres *(r), peut servir de connecteur pour *(r). Tout indice
r € R n'étant bien connecté qu'à lui-même, Y(R^) est également
finiment connectée,
Construisons ensuite, à titre d'exemple, une quasi-uniformité
u qui n'est ni connective ni finiment connectée, Considérons
toujours la droite réelle R, mais maintenant avec sa topologie
naturelle qu'on va rendre plus grossière en ajoutant à tout
ouvert l'ensemble de tous les rationnels. Nous appellerons cette
topologie
la topologie
engrossie
(par
les
rationnels)
et nous la noterons
7", Considérons l'unique quasi-uniformité
u = Ï ( D = (( (r3 )r*F* , * ), qu'elle engendre (notation de C43,
page 10). Soit r un réel quelconque: montrons que f( r) ne
peut pas admettre de connecteurs. En effet, d'une part,
tout U € *(r) contient (i, i) pour une infinité d'irrationnels
i , D'autre part, quel que soit l'irrationnel i * r , il existe
V € f(r) ne contenant pas (i, i) . Ainsi, +(r) n'admet pas de
connecteurs et par conséquent, Y ( D n'est pas connective. Par
contre, tout U € *(r) contient tout élément de la diagonale des
rationnels;
ÛQ , d'où il s'en suit que tout indice rationnel
est bien connecté à
r , Ainsi, ¥(7")
n'est pas finiment
connectée.
Nous énonçons donc une généralisation

du Théorème 1 ;

La conclusion du Théorème 1 reste valide si on substitue à
l'hypothèse (I) l'hypothèse (I') plus faible:
u = ((Ei)ici, * ) est connective et finiment connectée,
Nous allons constater que la démonstration du Théorème est
toujours applicable avec (I1) au lieu de (I), En effet,
reportons-nous au début de la démonstration,
i.e. à la
construction des bases emboitées;

STRUCTURES

( UÀ )n

QUASI—METRIQUES

pour les

#(i) , i e I,

L'hypothèse (II) du Théorème permet de construire, pour les

*(i)

des bases dênombrables emboitées, soient ( Ti )n ,
Remarquons que, grâce à la convention établie en C 4 3 , toute
base est supposée connectée, i,e, tout élément U de la base est
symétrique et quel que soit (x, y) € U , alors on a;
1) (x, x) € U et (y, y) € U,
2) il existe z € ûEi tel que
Comme tout
indice

+(i)

nu , tout

(x, z) e U et (y, z) e U .

admet des connecteurs, à partir d'un certain
T P sera un connecteur pour #(i) , pourvu

que

p > mi.

Prenant pour

Uo

un connecteur quelconque, par exemple, posant

Uo = Tp

avec

p

*

m±

,

la condition (bl) sera vérifiée. Pour construire la suite des
UÀ

pour

n

>

0

,

de manière à ce que la condition (b2) soit vérifiée: , le procédé
entamé dans le Théorème conviendra encore, puisque
u
est
finiment connectée. Ceci nous assure en effet que l'entier
qi « sup (i, sup p u

I j € I)

(cf. [43, page 13) est toujours bien défini, Ceci nous assure de
l'existence de l'entier ni tel que les ensembles ;
Ui « Tà<p+c>

,

i € I

vérifient les propriétés (bl) et (b2>

avec

q > m,

vis à vis des Uo , i c i .

Ainsi, à chaque étape de la récurrence sur n , on est assuré de
l'existence de l'entier n± tel que les ensembles ;

où
ii . =
• TirTÎ
UÏ-i

et

q

)

ni ,

STRUCTURES

I I .

QUASI—METRIQUES

Complétion

(construction explicite de la complétion d'une quasi-uniformité
quasi-artinienne.
Dans ce que suit, u = ( (Ei)i«x, * ) va toujours, sauf mention
explicite du contraire, désigner une quasi-uniformité quelconque
sur un ensemble E quelconque, Conformément
aux notations
utilisées dans [23, [33 et [43, T ( U ) dénotera la topologie
sous-jacente à la quasi-uniformité u,
Etendons la notion de filtre de Cauchy à une quasi-uniformité ,
Définition
15, Un filtre
de Cauchy pour une quasi-uniformité u
est un filtre F sur l'ensemble E sous-jacent à u, vérifiant
la condition suivante:
il existe i € I
tel que pour tout
F € F vérifiant F x F c U,

U e *(i),

l'on touve

Précisant l'indice i , on dira que F est un i-filtre de Cauchy
pour u,
La quasi-uniformité u
sera dite complète, si tout filtre de
Cauchy pour u converge dans T ( U ) (topologie sous-jacente a u ) .
Dans le cas, où u se réduit à une uniformité, c'est-à-dire que
I est réduit à un singleton Ci), les filtres de Cauchy pour u se
ramènent aux filtres de Cauchy usuels, Si, par contre, la
partition associée à u est une partition en singletons, donc du
type (Ei)±d = ( (x3 )~*e, en ce cas-là u est obligatoirement
complète. En effet, soit F un x-filtre de Cauchy pour u, Par
la proposition 4 (cf, [43, page 14), *(x) admet une base de la
forme
CV,< x Vx I V~ € Wx)3 , où W x )
est le filtre des
voisinages du point x, Alors, par définition d'un
x-filtre de
Cauchy), pour tout V~ c W x ) , il existe
F c F
tel que
F x F c V^ x V-*, Autrement dit, F c V~ , soit F
converge
vers x, Ainsi, tout filtre de Cauchy pour u
converge
dans T ( U ) et, par conséquent, u est complète,
Revenons au cas général, Soit
F
un filtre sur E qui
converge dans T(U) vers un point
a € E*, Alors, F
est un
i-filtre de Cauchy pour u, En effet, par définition de la

R13

STRUCTURES

QUAS Z —METRIQUES

convergence d'un filtre F vers un point a, F est plus fin que
le filtre des voisinages du point a, Celui-ci est un i-filtre de
Cauchy minimal pour u (corollaire 1 de la proposition 7,1 de
[33), Ainsi, F est un i-filtre de Cauchy pour u, Rappelons ici
la définition d'une application quasi-uniforme f de u dans v ,
où v = ( (Fj)Jffj, ^ ) est une quasi-uniformité sur l'ensemble F;
f
est une application de E
dans F
satisfaisant les
conditions suivantes;
(a) pour tout i € I, il existe
l'inclusion f(E±) c Fi ;

j € J

tel

que

l'on

ait

(b) quel que
(fxfXU) c V,

existe

U e $(i)

tel

que

soit

V € f(j),

il

Soit alors
f : u -» v une application quasi-uni forme, Par la
proposition 7.0 de [33, l'image par f d'un i-filtre de Cauchy
pour u, engendre un j-filtre de Cauchy pour v, où j € J est tel
que
f(Et) c Fj , Contrairement au cas d'une uniformité, un
filtre de Cauchy pour une quasi-uniformité peut admettre des
points adhérents, qui ne sont pas des points limites, En voici un
exemple:
soit la quasi-uniformité
u
telle que l'ensemble
sous-jacent E est le segment [0, 13 , l'ensemble d'indices I
a seulement deux éléments : C0, 13 , et la structure partitive
sous-jacente est la suivante:
Eo = [0, U

, Ei = Cl) ,

Définissons ensuite les filtres

*(i) , pour

+(0)
est le filtre des voisinages de
naturelle sur le carré [0, 13*
*d>

est l'ultrafiltre sur

[0, 13*

ÛE

i = 0, 1;
dans la topologie

engendré par

CCd, 1)33,

Montrons que u est une quasi-unifomité. Manifestement, u est
une structure filtrée partitive, Il reste donc à démontrer que I
est ^(i)-transitif, quel que soit l'indice i € I. Montrons tout
d'abord que l'indice 0 est #(0)-transitif, Grâce au théorème 1
de
[13 ($4, chapitre 2), le filtre
*(0)
définit une
uniformité sur
[0, 13, D'où, pour tout
U e *(0) , il existe

R I 4.

STRUCTURES

QUASI —METRIQUES

V € *(0)
tel que
V o v c U , Ainsi,
O-transitif, Vu que {(1, 1)3 € 4(1) , o n a ;
1) l'indice 1 est
U o {(1, 1)} c U ,

O-transitif,

car

l'indice

pour

tout

2) l'indice 1 est
1-transitif, puisque pour tout
{(1, 1)} • {(1, 1)3 c W,

0

est

U € #(0) ,

W € #d),

Ceci achève la preuve que I est *(i)-transitif, quel que soit
i € I, Donc
u
est bien une quasi-uniformité, Elle induit la
topologie naturelle sur le sous-espace Eo, tandis que le
point 1 est un point isolé dans la topologie sous-jacente r(u),
Donc le filtre des voisinages du point 1
dans la topologie
naturelle sur [0, 13 n'est plus le filtre des voisinages de ce
point dans T ( U ) , Cependant, ce filtre des voisinages naturels du
point 1 est un 0 filtre de Cauchy pour u admettant 1 comme
point adhérent, et qui pourtant ne converge pas vers ce point,
En général, pour qu'un
i-filtre de Cauchy admettant un point
a € EJ
comme point adhérent converge vers ce point, il suffit
que l'indice i
soit bien connecté à l'indice j. Cette
affirmation sera une conséquence de propositions qui vont suivre,
Cette condition suffisante n'est cependant pas nécessaire. Un
i-filtre de Cauchy pour
u
peut bien converger vers un
point a € EJ
sans que l'indice i
soit bien connecté à
l'indice j,
Définition
16, Soient
F
et
S
deux filtres sur un même
ensemble, On dira que F et G se coupent si, pour tout F € F
et pour tout 6 € <3, l'intersection F A G
est non-vide,
Proposition
7. Soient
i,j € I , F
un
pour u et fi un j-filtre de Cauchy pour
suivantes sont satisfaites:
a) l'indice

i

b) les filtres
alors

F

i-filtre de Cauchy
u, Si les conditions

est bien connecté à l'indice
F

et

est aussi un

6

j,

se coupent,

j-filtre de Cauchy pour

u ,

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

En effet, soit U c f(j) , Nous allons exhiber un F c F tel
que F x F c U , Comme convenu dans la définition 12 , soit U1
un transconnecteur pour U
et V = (U 1 )'
un transconnecteur
pour U' . L'indice i étant bien connecté à l'indice j , il
existe un élément symétrique U € f(i) tel que V o U c U1 f
Il suffit de prendre F € F tel que F x F c W , F étant un
i-filtre de Cauchy, un tel élément F existe en effet. D'autre
part, G étant un j-filtre de Cauchy, il existe G € G tel que
G x G c V . Comme les deux filtres se coupent, il existe
x € F f\ G , d'où;
(x, x) € V
et
a et b € F,

(x, a) , (x, b) € W , pour

tout

Par suite, on a;
(x, a) = (x, x) « (x, a) € V • W c U' .
Pareillement, (x, b) € U1 et finalement;
(a, b) = (a, x) o (x, b) € U' o U' c U ,
d'où F x F c U
Comme U est un élément quelconque de #(j) , F
un j-filtre de Cauchy pour u , C.Q.F.D.

est également

Proposition 8. Si F est un i-filtre de Cauchy pour
u , il
existe un i-filtre de Cauchy minimal Fmm = Fmir,(F) , moins fin
que F ,
Un tel filtre Fmin sera appelé filtre de Cauchy
i-minimal
.
Fmm est le filtre engendré par;
B =» C U(F) I U € *<j),

F € F

I F x F c U 3,

On utilisera aussi la notation;
U(F) = { x i il existe

y € F I (x, y) € U ).

Tout
élément
de Fm±n
a
un
intérieur
non-vide,
Si
l'indice j € I
est bien connecté à i , Fm±n est également
moins fin que tout j-filtre de Cauchy qui le coupe,

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

Preuve; soit i c i ; donnons nous un i-filtre de Cauchy F pour
u , Montrons, premièrement, que Fmm est bien un i-filtre de
Cauchy, Autrement dit, pour tout U € *(i) , il existe un élément
V(F)
de la base
B de
F mi n
tel que
V(F) x V(F) c U, Il
suffit, en effet, de prendre pour V un élément symétrique de
*(i) tel que V o V o V c U . F
étant un i-filtre de Cauchy,
il existe F € F tel que F x F c V , d'où ;
V(F) € B

c

F.tn

,

Soient
a, b € V(F) , ce qui veut dire qu'il existe
x, y € F
tels que (x, a), (y, b) € V , Comme F x F c V , il s'en suit
que (x, y) € V , d'où V étant symétrique,
(a, b) = (a, x) • (x, y) o (Y| b) € V o v o V

c U ,

soit
V(F) x V(F) c U

,

Ainsi, Fmm
est bien un i-filtre de Cauchy, Soit
j € I un
indice bien connecté à i, Montrons maintenant que
Fmm
est
moins fin que tout
j-filtre de Cauchy G qui le coupe, où
l'indice j est bien connecté à l'indice i, Ceci aura d'ailleurs
pour conséquence que
Fmm
est un i-filtre de Cauchy minimal,
Montrons alors que, quel que soit l'élément U(F) de la base B
de F«ir. , il existe un élément G € G tel que G c U ( F ) ,
Supposons que
U
est symétrique, L'indice
j
étant bien
connecté à
i, l'intersection
U' C\ ûEi
est non vide (comme
convenu, U' dénote toujours un transconnecteur pour U) ; ceci
entraîne l'existence d'un élément symétrique
W de f(j)
tel
que
U1 • W c U , Soit
F' € F
tel que
F' x F' c U'
et
1
F c F , d'où
U'(F') € B. Il suffit maintenant de choisir
G € G tel que G x G c W, Comme G est un j-filtre de Cauchy,
un tel élément
G € fi existe, Montrons que
G c U(F); comme
Fmtn
et
fi
se coupent, il existe
a € G n U ' ( F ' ) , d'où
l'existence de b € F' tel que (a, b) € U', Ainsi, (b, a) € U',
car tout transconnecteur est symétrique, Comme G x G c W, pour
tout élément x de G , on a; (a, x) € W , Par conséquent:
(b, x) = (b, a) • (a, x) € U' o W c U ,
et, U

étant symétrique, (x, b) e U , d'où:

x € U(F') c

U(F) ,

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

Mais
x étant un élément quelconque de G , il s'en suit que
G c U(F), et alors le filtre
F mi n
est bien moins fin que le
filtre fi . Il reste encore à démontrer que l'intérieur de tout
élément de
Fmm
est non-vide, Soit
B± une base de
*(i)
(comme convenu dans [ 4 3 , toute base est supposée symétrique et
connectée) ; alors Fmm est aussi engendré par
F™m = { B(F) \ B € B, ,

F € F

I

F x F c B ) ,

Montrons tout d'abord que tout élément
B(F) € S m n a un
intérieur non-vide, Soit x e B(F) ; alors il existe a € F tel
que (x, a) € B, Toute base considérée étant supposée connectée,
il existe
y e Et
tel que
(y, a) € B. Ainsi, l'intersection
B(F) C\ Ei est non-vide, quel que soit B(F) dans
Sntr, . Par
conséquent, quel que soit l'élément F de F»xr, , l'intersection
F H Et
est aussi non-vide, finir, étant une base de
Fm*n ,
Cependant, comme on vient de le démontrer,
Fmxr, admet aussi
comme base:
F'mir, = C B(F) I B € R ,

F € Fmtn

I

F x F c B 3,

Soit B(F) € S'mm ; comme l'intersection F O E t
est non-vide,
il existe
a e F C\ E±, Ainsi,
B(a) est un voisinage de
a ,
d'où
B(F) en est un aussi, car
B(a) c B(F) , B(F) a donc
l'intérieur non-vide et, B(F) étant un élément quelconque d'une
base de
Fmir, , il s'en suit que tout élément de
Fmir. a
l'intérieur non-vide, C.Q.F.D.
Corollaire
1 , Soient i,j € I et soient Fmm
un i-filtre de
Cauchy i-minimalf finir, un j-filtre de Cauchy j-minimal, Alors,
si j est bien connecté à i, cela entraîne
soit (1); Finir, est moins fin que finir, ;
soit (2): Fmir, et Snm
n e se coupent pas, i.e. il existe
F € Fmir, et
G € finir, tels que l'intersection
FH G
est
vide.
Ceci résulte en effet directement de la proposition,
Corollaire
2, Soient les filtres Fmir, et finm définis comme
dans le corollaire 1, Si Fmxr, est moins fin que finir, , alors
l'indice j est bien connecté à i .

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Supposons en effet que
Fmir, est moins fin que
âmm
, Soit
U € f(i)
quelconque, nous allons montrer que
U O ÛEJ
est
non-vide. Fmir, étant un i-filtre de Cauchy, il existe F € Fmir»
tel que
F x F c U . Comme
âmm
est un j-filtre de Cauchy
j-minimal, il admet, selon la proposition, comme base:
g"min = C B(G) I B € &

, G c finir, I

G x G c B 3,

où Bi est une base (connectée) de *(j) , Par hypothèse, Fmm
est moins fin que finir, , il existe donc B(G) € S l m
tel que
B(G) c F , d'où
B(G) x B(G) c U, Pour tout
x € BCG) il
existe a € G tel que (x, a) € B , Cependant, B est un élément
d'une base (connectée), il existe donc
y e Ej
tel que
(y, a) € B , D'où, y € B(G), et, par conséquent;
(y, y) € B(G) x B(G) c U ,
Ainsi, l'intersection
U O ÛEJ
est non-vide, Il s'en suit que
l'indice j est bien connecté à l'indice i
CQ.F.D,
Introduisons la notion de quasi-uniformité
quasi-artinienne%
Notons Fmir, l'ensemble des filtres de Cauchy i-minimaux pour
u , i e I , qui ne convergent pas,
Munissons
Fm±n
de l'ordre défini par l'inclusion ; autrement
dit F est plus petit que fi si et seulement si F est moins
fin que G , Si F est un filtre de Cauchy i-minimal et fi est
un filtre de Cauchy
j-minimal, alors, d'après le corollaire 2
ci-dessus, F < G
implique que
j
est bien connecté à
i,
Ainsi, à toute partie totalement ordonnée dans F m m , on peut
associer une suite d'indices pleinement transconnexe, i.e, telle
que tout élément de la suite est bien connecté à tout élément
qui
le précède dans la suite (bien sûr, la suite peut
éventuellement être infinie),
Définition
17, On dira que
u
est une quasi-uniformité
quasi-artinienne
si toute partie totalement ordonnée d'éléments
de Fmir.
se prolonge, en descendant, en une chaîne maximale
admettant un premier élément (élément minimal), Vu le corollaire
2 ci-dessus, toute quasi-uniformité à partition finie
(resp,
toute quasi-uniformité finiment connectée) est quasi-artinienne.

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

U
suffirait en effet que toute suite d'indices pleinement
transconnexe prolongeant à gauche devienne soit stationnaire soit
cyclique.
Voici
un
exemple
quasi-artinienne:

de

quasi-métrique

qui

n'est

pas

s = ( (Ep)p<p , S ) ,
où F est l'ensemble des nombres premiers. Pour tout
p € P,
m
E P = (fractions irréducibles de la forme k/p I
k , m ï 1 };
dom(Sp) » C E 2 U Ea . . . U E» 3 2 et Sp(x, y) = Ix - yl
pour
(x, y) € dom(5p) , Evidemment,
s vérifie bien les axiomes des
quasi-métriques, l'axiome de Q-triangularité étant globalement
vérifié, Soit FP le filtre engendré par;
&

= € 30, 1/nC O

( E2 U E 3 , . , U E P ) ; n > 1 3 .

Manifestement
FP est un filtre de Cauchy p-minimal, Comme 0
n'appartient pas à l'ensemble sous-jacent à s , les filtres FP
ne convergent pas. Voici alors une chaîne de filtres strictement
décroissante:
. , . < FP < , . , < F3 < F*

;

ce sont des filtres de Cauchy p-minimaux, p e P , qui ne
convergent pas, Par conséquent, la quasi-metrique s n'est pas
quasi-artinienne,
Théorème 2. Soit
u = ( (Et)i*i , fO
l'ensemble E , ayant la propriété
Alors, u admet une complétée Û ,

une quasi-uniformité sur
d'être quasi-artinienne,

Démonstration.
Notons, comme ci-dessus, par
Fmir. la famille
de tous les filtres de Cauchy
i-minimaux, i c i , qui ne
convergent pas. Munissons
Fmm
de l'ordre défini par
l'inclusion, La quasi-uniformité u étant quasi-artinienne, toute
partie totalement ordonnée de F m m
se prolonge, en descendant,
en une partie (totalement ordonnée) maximale se terminant par un
plus petit élément (premier élément). Extrayons de
Fmm
la
sous-famille Fpr«m = ( F* )K*K
composée exclusivement de tous
ces premiers éléments,

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Nous allons alors ;
construire une quasi-uniformité complète
Û = ((E'm)m«M , >*)
sur l'ensemble E' = E U K , avec M = I U K ;
tupposer que l'ensemble d'indices
K , ci-dessus, est disjoint
de l'ensemble E ainsi que l'ensemble d'indices I ,
Si
m = i € I, posons
E'* = Ei ; pour
m = k € K ,posons, par
contre,
E'* = C k ) . La famille de filtres
* (sur E* x E')
est définie ci-dessous; si
m = i € I, ^(i) est le filtre
engendré par *<i>. Pour m = k € K , ^(k) est le filtre engendré
par ( (F U ( k ) ) 2 I F € F* 3 ,
La
structure
construite
ci-dessus
est-elle
bien
une
quas i-un iformité?
Manifestement Û est structure filtrée partitive, En effet, tout
U € ^(m)
contient la diagonale correspondante,
ûE'm , Tout
^(m) , m € M , admet des bases symétriques, Il ne reste qu'à
constater que
M
est
^(m)-transitif pour tout
m € M, Soit
m = i € I ; les ^(i) étant engendrés par les *(i) respectifs,
I est évidemment
f(i)-transitif. Comme tout élément de
*( i)
est disjoint de K2, K est aussi ^( i )-transitif, Ainsi, M est
^(i)-transitif pour tout i c i . Soit m = k € K , Montrons tout
d'abord que
I
est
^(k)-transitif, Soit en effet U € y(k),
Supposons que F* est i-minimal, i c i . D'après la proposition
8 ci-dessus F* admet une base de la forme;
a
d'où

= C W(F)

\Kk)

I U € *(i) , F x F c W

et F € F* ) ,

admet une base de la forme ;

( (W(F)U Ck)) 2 1 W € *(i) , F x F c W et F € F* 3,
Ainsi il existe un élément de

^(k) contenu dans

( W(F') U

U

de la forme:

Ck3)2,

avec
W € *(i)
, F' x F' c W
et
F' c Fw, Soit
W
un
transconnecteur pour
U , qui est également un élément d'une
base connectée de
$(i) (i.e,, pour tout
(x, y) c W ,
(x, x) € W ) , Supposons en plus
W c W , Soit
W'(F)
un
élément de
B<
tel que
F c F', Nous allons montrer que
U' = ( W'(F) U Ck3) 2 est effectivement un transconnecteur pour

P21

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

U (d'où l'anticipation de notation), Soit j € î
tel que
l'intersection
U' f\ ûEj
soit non vide, Alors l'intersection
W'(F)H EJ
est non vide, et alors l'intersection W ' O ÛEJ est
non vide, car W
est élément d'une base connectée (i.e, pour
tout
(x, y) € W ,
(x, x) c U ' ) , Cependant, W
est un
transconnecteur pour
W , d'où
l'existence de
T c f(j)
symétrique tel que W « T e W, Montrons que U' o T c U :
soient (x, y) € U' et (y, z) € T. Comme *(j) est un filtre sur
E x E et T € *(j), il s'en suit que y n'appartient pas à K,
d'où y € W'(F), par suite, il existe a c F tel que (y, a) € W ,
W
étant symétrique (par définition d'un transconnecteur), on a;
(a, y) € W , d'où:
(a, y) • (y, z) c W

o T c W,

Par conséquent, z c WfF) c W(F'),, vu que:
(x, y) € U' = (W'(F) U
soit

x € W (F), soit

(k) ) a ,

x = k ; quel que soit le cas, on a:

(x, z) € (W(F) U (k3) 2 , car

W

c W ,

D'où; (x, z) € (W(F) U Ck)) 2 c (W(F) U Ck}) 2 c U,
car
F c F' . Il s'en suit que U' • T c U , On vient donc de
démontrer que U admet U1 comme 1-transconnecteur.
U' peut-il aussi servir de K-transconnecteur pour U ?
Comme on a;
U ' O ÛK = C (k, k) 3

et

U' o U' c U' c U,

la réponse est positive, Donc K est bien ^(k)-transitif, quel
que soit k € K, Nous avons ainsi démontré que M = I U K est
^(k)-transitif quel que soit k c K, Ceci achève de prouver que M
est ^(m)-transitif quel que soit m c M , Ainsi Û vérifie les
axiomes des quasi-uniformités. On a donc démontrer que U admet
U' comme I-transconnecteur,
U1 peut-il aussi servir de K-transconnecteur pour U ?
Comme U » H ÛK = { (k, k) } et U' o U1 c U' c U,
la réponse est positive, Donc, K est bien ^(k)-transitif, quel
que soit k € K, Nous avons ainsi démontré que M = I U K est
^(k )-transitif quel que soit k € K, Ceci achève de prouver que

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

M
est r»(m)-transitif quel que soit
m € M, Donc, Û
bien les axiomes des quasi-uniformités,
La quasi-uniformité û est-elle complète ?
Soit en effet G un m-filtre de Cauchy pour Û , et
allons montrer que fi converge nécessairement,

vérifie

m € M, Nous

Cas
/,
m = i c I ,
Considérons
le
filtre
suivant
;
H = (G O E I G € fî3, formé des restrictions des éléments de fi à
l'ensemble E , Comme les filtres
*<i), pour
i c i , sont
engendrés par des filtres
f(i),
H est un
i-filtre de Cauchy
pour
u, et il engendre le filtre G sur
E* , Donc, si
H
converge dans u vers un point x € E, fi converge dans Û vers
le même point, Supposons par contre que H ne converge pas dans
u, Alors, grâce à l'hypothèse que u est quasi-artinienne, il
existe un filtre de Cauchy
i-minimal, soit
F = F*, k c K ,
dans u ,moins fin que H. Dans ce cas, G est plus fin que le
filtre des voisinages du point k, qui est engendré par;
{ F U (k) I F € F* 3,
Ainsi, fi converge vers le point

k € K,

Cas 2. m = k e K, Comme E'K = ( k 3, G est obligatoirement plus
fin que le filtre des voisinages du point k, En effet, le filtre
^(k) est engendré par
C V* x V* I V* voisinage du point k 3
(cf, proposition 4 de [43, page 14) , Par conséquent, dans ce
cas-là aussi le filtre fi converge; il converge bien sûr vers le
point k,
Est-ce que û est une complétion de u ?
Autrement dit, est-ce que toute application quasi-uniforme;
f : u -* v,
où
v a ( (Dp)P«p , oc )
est une quasi-uniformité complète,
factorise à travers
Û, c'est-à-dire est-ce qu'il existe une
application quasi-uniforme (unique) g telle que g • * = f où
% est le plongement canonique de u dans Û? Bien sûr, $ est
une application quasi-uniforme; en effet, pour
m = i € I,
E'i = Ei
et
yf( i) est engendré par
f( i). Construisons donc
une application g; E1 -* D, où
D = q(v)
est
l'ensemble
sous-jacent à v, Pour x € E, soit g(x) = f(x), Pour x = k € K,

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

constatons que f(F<) engendre un filtre de Cauchy, soit G, pour
v. Cependant, v
est une quasi-uniformité complète; par
conséquent, fi admet des points limites, Choisissons un de ces
points limites, soit a*, et posons g(k) = a*. L'application g
est ainsi bien définie. Est-ce bien une application quasiuniforme? Soit m € M, et examinons les deux cas suivants;
Cas /, m = i € I. Alors il existe p c P tel que f(Ei) c Dp,
d'où
g(E'i) = f(Ei) c Dp, Soit
U € <x(p); f
étant une
application quasi-uniforme, il existe
V c *(i)
tel que
(f x f)(V) c U. Or, *(i) c *(i), d'où V € *(i), et par suite,
(g x g)(V) c U,
Cas 2. m = k c K. Soit
Pc P
tel que
a* € Dp; alors
g({ k }) = { âk ) c Dp, Soit U c cx(p); nous allons exhiber un
élément W c *(k) tel que (g x g)(U) c U, Prenons V € oc(p)
symétrique tel que V » V c U, Alors, V(a*) est un voisinage du
point a*, et V(a^) x V(a k ) c U, Comme a* est un point limite
du filtre de Cauchy, engendré par f(F*), il existe F c F* tel
que f(F) c V(a*). Soit W = (F U C k ))*; on a bien W c *(k),
ainsi que (g x g)(W) c U, Nous en concluons que g est bien
une application quasi-uniforme, Ceci achève la démonstration du
théorème 2,
Corollaire
7,
Supposons
que
la
quasi-uniformité
u s ( ( E i ) i c z , 0 ) du théorème admette en plus les propriétées
suivantes:
1) u est accessible;
2) les filtres de Cauchy pour
u , qui ne convergent pas,
n'admettent pas non plus de points adhérents.
Alors, Û est aussi accessible.
Preuve. Soient a et b des points distincts de E', Il s'agit
de montrer que chacun des deux points admet un voisinage ne
contenant pas l'autre. Examinons les trois cas suivants:
Cas /. a € E'i et b c E 1 3 , avec i,j c I c M, Le sous-espace
3(u) de Û étant homéomorphe à u , est accessible, En effet,
le filtre ^(i) étant engendré par *(i), il existe un élément
U dans tf(i) tel que b n'est pas dans U(a), et vice versa,
Cas 2. a est toujours un élément de E'a , avec i c i , alors
que
b = k c K, Prenons
U c i(i) c ^( i)
quelconque; alors

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

U c E x E ,
d'où
U(a)DK
est vide, D'autre part, par
hypothèse, les filtres de Cauchy pour
u
non convergents
n'admettent pas de points adhérents, Ainsi, le filtre de Cauchy
Fk c Fprem n'en admet point, Il existe donc F c F* tel que le
point a n'est pas contenu dans F. Cependant, le point b = k
admet comme voisinage
F U C k 3, qui ne contient donc pas le
point a.
Cas 3, a = k c K et b = k ' c K , distinct de a. Le filtre ^(k)
étant engendré par
(F U ( k 3 x F U { k 3 I F c F* 3,
il
existe des voisinages de
a
ne contenant pas d'élément de K
distinct de
a = k, par exemple,
F U C k 3, où F c F*, Ainsi,
Û est bien accessible,
Corollaire
2, Supposons que la quasi-uniformité u du corollaire
1 soit en plus séparée, Alors, la projection séparée û* de
û est toujours complète: c'est la complétée séparée de u,
Preuve, Contrairement au cas uniforme, le fait que
u
soit
séparée n'entraîne pas obligatoirement que sa complétée
Û le
soit. Il se peut par exemple que deux filtres de Cauchy F* et
Fi
de
Fprem
(i.e,, deux filtres de Cauchy minimaux et
non-convergents) se coupent, sans que l'un soit contenu dans
l'autre, Dans ce cas-là, les points
k
et
1
de
E'
n'admettront pas de voisinages disjoints et, par conséquent, û
ne sera pas séparée, D'autre part, la question se pose de savoir
si la projection séparée de Û est obligatoirement complète (cf,
proposition 6,2 de C33), D'après la proposition citée ci-dessus,
la projection séparée de Û est la quasi-uniformité quotient par
l'équivalence r sur E' la plus grossière possible rendant la
topologie sous-jacente séparée: Ûm = Û/r, D'après la dite
proposition, la relation r existe, En effet, caractérisons dans
notre cas particulier cette relation d'équivalence r. Notons a
la classe d'équivalence du point a c E 1 , Deux points a et b de
E' seront équivalents s'ils n'admettent pas de voisinages
disjoints. Examinons alors les trois cas suivants:
Cas 7, Soient
a et b deux points distincts de E, Alors, il
existe
i, j c I
tels que
a c Ei
et
b c Ej, La quasiuniformité u étant séparée, il existe U c *(i)
et V c *(j)
tels que U(a) et V(b) soient disjoints. Cependant, les ^( i),
pour
i c i , sont engendrés par les
i( i)
respectifs. Ainsi,
U c ^( i) et V c ^(j), d'où U(a) et V(b) sont des voisinages

P25

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

de
a (resp, de
b) dans
Û
aussi, Par conséquent,
a et b
admettent des voisinages disjoints dans Û également. Ainsi
donc, la classe d'équivalence d'un point
a c E
est
£ a 3,
Nous allons la désigner aussi par a.
Cas 2. a c E et b = k c K , Par hypothèse, le filtre de Cauchy
F* pour u n'admet pas de points adhérents, Il existe donc dans
u un voisinage du point a, soit U(a), et un élément F c Fk
disjoints l'un de l'autre, Cependant, U(a) et F U £ k } sont
des voisinages dans Û des points a et k respectivement, Par
suite, les points
a et b
admettent des voisinages disjoints
dans û,
Cas 3. a = k c K
et b = 1 c K , Alors les points
a et b
admettent des voisinages disjoints si et seulement si les filtres
de Cauchy F* et Fi ne se coupent pas, Autrement dit, il existe
F e F*
et
G c Fi
tels que
FflG
est vide, En effet,
(F U (k) ! F c F*)
et
(G U Cl) I G c Fi )
constituent des
bases de voisinages dans Û des points k et 1 , respectivement,
Le filtre \Kk) étant engendré par;
{ (F U £k)) x (F U Ck3) I F c F* 3,
nous en concluons que la classe d'équivalence d'un point k c K
est donnée par
{ 1 I 1 c K
et
F* C\ Fi * 0) , Cette classe
d'équivalence est désignée par
k , Ainsi,
u
se plonge
canoniquement dans û* = ( (Em)m«r« , oc) en composant le passage
au quotient p : Û -* û* avec le plongement % ; u -* Û, Alors,
identifiant toute classe d'équivalence singleton à son unique
élément, on obtient: M = I U K, où K est l'ensemble quotient
de K par la relation d'équivalence ci-dessus. Pour m = i c I,
Ft = Ei, et pour m = k € K, E* = { * • ) ,
La projection séparée Û* est-elle complète ?
Etant donné un w-filtre de Cauchy, soit fi, pour
Û*,
m € M,
est-ce que fi converge obligatoirement ?
Cas
7, m = i c I. Comme
est
homéomorphe
à
la
u
sous-quasi-uniformité Ûm/E
de û*,
(p o §)-*(G)
définit un
i-filtre de Cauchy F pour u,
Sous-cas a) Si
F
converge dans
u,
p * 8
étant une
application quasi-uniforme, le filtre engendré par
(p o $)(F),
qu'est fi, va également converger dans Û*,

STRUCTURES

QUASI-METRIQUES

Sous-cas b) Si F ne converge pas dans u, il existe k c K tel
que le filtre
FU c FPr*m
soit moins fin que
F, Comme le
filtre engendré par £(F*) dans û converge vers le point k,
le filtre engendré par #(F) dans û va converger vers le même
point, Ainsi,
p(3(F)), qui engendre notre filtre initial
G
dans û*, va converger vers le point k.
Cas 2t m = k c /f, Comme Ew = CA) est un singleton, <x(k) est
engendré par
C V* x V* I V* voisinage de k 3, Par conséquent,
tout fr-filtre de Cauchy pour Û* est nécessairement plus fin que
le filtre des voisinages du point k. Ainsi, le filtre de Cauchy
fi converge dans û* vers le point k. En somme, tout filtre de
Cauchy pour
Û*
converge, et par conséquent,
û*
est bien
complète,
Montrons finalement que û* est la projection séparée complétée
de u, Soit f : u -* v une application quasi-uniforme, où v
est une quasi-uniformité séparée et complète, Montrons que f
factorise à travers
p o $t i,e, qu'il existe une application
quasi-uniforme h ; Û" -> v unique telle que h « (p o $) = f,
Puisque û est la complétée de u, on sait déjà qu'il existe une
unique application uniforme g : Û -» v qui factorise à travers
$, i,e, telle que g o S = f
(tout filtre de Cauchy pour v
admet un unique point limite ! ) , D'autre part,
Û*
est une
projection séparée de Û, aussi l'application quasi-uniforme g
factorise-t-elle de manière unique à travers p, i,e, il existe
une unique h : Û m -* v telle que h o p = g, d'où l'on déduit
que f = g « $ = ( h « p ) o $ = : h o ( p o $ ) , Ceci achève la preuve
du corollaire 2.
Voici encore deux problèmes ouverts:
1) peut-on construire une complétion d'une quasi-uniformité
quelconque non nécessairement quasi-artinienne ?
2) dans le cas général, la projection séparée d'une quasiuniformité complète est-elle encore complète ?

STRUCTURES

QUASI—METRIQUES

BIBLIOGRAPHIE

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Mathématiques, Livre III, Hermann,

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