D IAGRAMMES C. L ÉGER Le groupe des métamorphoses d’une catégorie, un exemple Diagrammes, tome 21 (1989), exp. no 3, p. L1-L4 © Université Paris 7, UER math., 1989, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME . 19Û9 Dans cette note nous montrons que, étant donné un groupe G, LE 21 GROUPE DES METAMORPHOSES D'UNE CATEGORIE, UN E X E M P L E C. Léger le groupe <"*) des autoéquivalences à équivalence naturelle près de la catégorie des G-enserables s'identifie au groupe des automorphismes extérieurs de G , Nous remercions Jacques Emsalem qui, avec la notion d1autoéquivalence de catégorie, a rendu plus pertinent un premier énoncé (cf. <1>, théorème 1 et <2>, théorème 11) et en a considérablement simplifié et resserré la démonstration, Nous remercions à nouveau Christian Lair qui nous a donné l'idée décisive du lemme. DEFINITION 1, Soit une catégorie K , On note Equ K le monoïde (~*) des équivalences de K dans K ou autoéquivalences de K , On note Met K et on appelle groupe des métamorphoses de K le groupe <*) quotient de Equ K par la relation d'équivalence naturelle des fondeurs, On vérifie immédiatement la proposition suivante: PROPOSITION 2, Toute équivalence d'une catégorie K dans une catégorie K1 induit un isomorphisme de groupes de Met K sur M e t K' . ("*) Nous ne discutons pas le fait qu'ici les supports des groupes et des monoïdes ne sont pas nécessairement des ensembles, LE fiROUPC DES MCTAMORPHOflCfi O'UNC CATEGORIE, UN CXCMPLC Soit pour toute cette note un groupe G , On note respectivement Aut G f Int G , Out G le groupe des automorphismes de G , le sous-groupe distingué des automorphismes intérieurs, le groupe quotient Aut G / Int G , Un G-ensemble X c'est aussi bien une loi de composition externe GxX -» X satisfaisant aux axiomes usuels qu'un homomorphisme de G dans le groupe Bij(X) des substitutions de X . On utilise indifféremment un point de vue ou l'autre, On note C la catégorie des G-ensembles ayant pour flèches les homomorphismes de G-ensemble, Pour tout v dans Aut G et tout objet X de C défini par l'homomorphisme h:G-*Bij(X) , on a l'objet de C noté Fv(X) ayant même ensemble sous-jacent que X et défini par 1'homomorphisme h • v"1 , Pour tout v dans Aut G on a le foncteur Fv;C -• C qui à l'objet X associe l'objet Fv(X) et agit trivialement sur les flèches, On note encore G l'objet canonique de C défini par 1*homomorphisme qui à tout élément g de G associe la translation à droite Tg:x 4 xg de G , On note S la sous-catégorie pleine de C dont les objets sont ceux isomorphes à l'objet canonique (ce sont ceux sources de flèches vers tout objet de C ), La sous-catégorie S est stable par les autoéquivalences de la catégorie C . THEOREME 3, On a l'homomorphisme de Aut G dans v associe Fv , Il induit un homomorphisme de Met C , Celui-ci est un isomorphisme de Out G sur LEMME 4. La sous-catégorie par limites induetives, pleine S Equ C qui à Out G dans Met C , engendre la catégorie C Plus précisément, soit un objet X de C , On lui associe la catégorie W dont les objets sont les éléments x , y , ,,, de X et les flèches de x dans y sont les triplets (x,y,g) tels que y = gx , On lui associe encore le foncteur J;W 4 S qui à l'objet x fait toujours correspondre l'objet canonique G et à la flèche (x,y,g) fait correspondre la translation à droite Tg , On a alors l'énoncé suivant; l_ 2 L.C Q R O U P C DCfi M C T A M O R P H O S C S LEMME 5. L'objet J:W -> S . X est limite D'UNE CATCQQRIE, induetive dans UN C CXEMPLC du foncteur Soit en effet pour chaque objet x de U la flèche j(x);J(x) -> X définie par j(x)(g) = gx , Alors ces flèches définissent un cône de base J , Ce cône est universel et fait donc de X la limite indue tive de J , La correspondance qui vient d'être définie entre les objets de C d'une part et les catégories U et les foncteurs J d'autre part est fonctorielle, Tout ceci permet d'établir; PROPOSITION 6, Soit une catégorie C et des foncteurs Fi,F2;C-»C' , compatibles aux limites inductives, S'il existe une équivalence naturelle de la restriction à S de Fi vers celle de F2 , alors il existe une équivalence naturelle de Fi vers F* , Ainsi, toute autoéquivalence de C , donc compatible limites inductives, est déterminée par sa restriction à S : aux PROPOSITION 7, L'opération homomorphisme injectif de un de restriction Met C dans Met S , définit On note So la sous-catégorie pleine de C comportant l'objet canonique G pour seul objet, Le foncteur d'inclusion de So dans S est une équivalence de catégorie et induit donc un isomorphisme de Met So sur Met S , Comme il est trivial que Equ So s'identifie à Aut G et que la relation d'équivalence naturelle dans Equ So s'identifie à la congruence modulo Int G , alors Met So , et par suite Met S , s'identifie à Out 6 , Ainsi, 1 'homomorphisme injectif de Met C dans Met S est en fait bijectif, et le théorème 3 annoncé est finalement démontré. Tous les énoncés de cette démonstration restent vrais en remplaçant C par une quelconque sous-catégorie pleine K comportant l'objet canonique G , et stable par les foncteurs Fv , On a en fait l'énoncé plus général suivant, où l'on note pareillement les foncteurs Fv et les foncteurs de K dans K induits: t-E QRQUPE OCfi METAMÛRPHOfiEfl D'UNE CATEâORXE, UN CXCMP1_C THEOREME 8, Soit une sous-catégorie pleine K de C , comportant l'objet canonique G et stable par les foncteurs Fv pour v dans Aut G . On a l'homomorphisme de Aut G dans Equ K qui à v associe Fv , II induit un homomorphisme de Out G dans Met K . Celui-ci est un isomorphisme de Out G sur Met K . Remarque, Un cas particulier géométrique non trivial notion de métamorphoses est développé dans <1> et <2>, de la Références, <1> C, Léger et J.-C, Terrasson: L'action du groupe symétrique Sa sur l'ensemble des classes d'isomorphisme de pavages de surface fermée, C, R. Acad, Se, Paris, t, 302, série I , n'1, pp, 39-42, 1986, <2> C, Léger et J.-C, Terrassons Les cinq métamorphoses des surfaces pavées, Diagrammes, supplément au volume 18, pp, 1-48, Paris, 1987, UNIVERSITE O u R.R. DE PARIS MATHEMATIQUE3 TOURS 4S-65-5ém« 2 75251 7 PLACE PARIS ETAGE JU3SIEU CEDEX OS FRANCE