D IAGRAMMES

P IERRE AGERON
Les catégories localement (multi)présentables comme domaines de Scott
Diagrammes, tome 21 (1989), exp. no 2, p. A1-A5
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OIAQRAMMCfi

VOLUME

21

LES CATEGORIES
L O C A L E M E N T CMULTI ) P R E S E N T A B L E S
COMME
DOMAINES DE SCOTT
Pierre

Ageron

Le but de cette note est d'établir les théorèmes qui
suivent, illustrant ainsi une nouvelle fois l'efficacité de la
théorie des esquisses,

Soit

a

un cardinal régulier,

Théorème 1, La catégorie
F* ,
dont les objets
sont
les
catégories localement *-présentables
(au sens de 6abriel-Ulmer71 )
et les flèches les foncteurs commutant aux limites induetives ocfiltrantes,
est cartésienne fermée,
Théorème 2, La catégorie
D ,
dont les objets
sont
les
catégories localement *-multiprésentables
(au sens de Diers80J et
les flèches les foncteurs commutant aux limites
induetives ocfiltrantes,
est cartésienne fermée,
(Nous laissons au lecteur le soin de formuler des hypothèses de
théorie des ensembles qui lui conviennent et qui donnent un sens
à ces énoncés.>

L'essentiel de la démonstration est contenu dans le lemme
qui suit,
Lemme. Si
Ci , C 2
sont deux catégories
localement enprésentables
(resp,
localement <x-multi présentables),
alors
la
catégorie
a-Cont(Ci ,Cs>) , dont les objets sont les foncteurs

A . M . S . Sut».

C1 «*».

13

D

1S

,

13

A

3©

LES CATEGORIES LOCALEMENT CMULTI>PR£SENTAQLES
COMME: D O M A I N E S D E S C O T T

de C i
dans C 2 commutant aux limites indue tives
<x-filtrantes
et
les
flèches
les
transformations
naturelles
entre
ces
foncteurs, est encore localement a-présentable
(resp,
localement
tx-multiprésentable),

Démonstration du lemme,
Jk> C A S D E S C A T E G O R I E S L O C A L E M E N T

«-PRESENTABLES,

Rappelons le résultat fondamental suivant;
- une catégorie
C
est localement oc-présentable ssi C
est
équivalente à la catégorie des modèles d'une petite esquisse ocprojective (i, e, dont tous les cônes projectifs distingués sont
d'indexation <oc et sans cône inductif distingué),
Il existe donc deux petites esquisses oc-projec tives E i , E 2

telles que C i * E n s

E

i

et

C2 * E n s

E

2 ,

D'autre part, on sait qu'il existe une sous-catégorie C i
de
Ci
qui est petite, pleine, formée d'objets oc-présentables et
dense dans C i , Alors un foncteur de C i dans C 2 commutant
aux limites inductives oc-filtrantes est entièrement déterminé par
sa restriction à C i ,
De plus, C i
ne renferme plus de limite inductive oc-filtrante
non triviale de C i , En effet, supposons qu'il existe une telle
limite, de sommet L et de base le foncteur 8;I •* C i , et
formons le diagramme suivant, où 9 et S sont les foncteurs
canoniques et r X n désigne le foncteur sélectionnant un objet X :

On vérifie facilement que les deux foncteurs 9 et
idL
sont
finaux
(pour 9 , ceci résulte de l'oc-présentabilité des objets
de C i ), Par conséquent limwB * lim S £ lim L
Ainsi, on a:
oc-Cont(Ci,C2) 2 C 2 «='1

£ ( E n s ^2 ) ^ 1
£ E n s ^2 *c ' i,

L E S C A T E G O R I E S L O C A L E M E N T CMULTI >PRESENTABLES
COMME DOMAINES DE SCOTT

où
E s «S* C i
est encore (par construction, cf. Lair88) une
petite esquisse oc-projective, C i
s1 identifiant à une petite
esquisse sans cônes distingués,
On en conclut immédiatement que oc-Cont(Ci f C s ) est localement
a-présentable,
b) CAS DES CATEGORIES LOCALEMENT

«—MULTXPRESENTABLE9.

Rappelons le résultat fondamental suivant (Guitart-LairSO):
- une catégorie
C
est localement a-multiprésentable ssi
C
est équivalente à la catégorie des modèles d'une petite esquisse
dont tous les cônes projectifs distingués sont d'indexation <cc
et dont tous les cônes induetifs distingués sont d'indexation
discrète,
La démonstration est alors tout à fait analogue à celle du cas
précédent.

Démonstration des théorèmes 1 et 2,
») CAS DE8 CATEGORIES LOCALEMENT

D'abord, la catégorie
facilement la formule:

F*

«-PRESENTABLES,

est cartésienne, puisqu'on établit

E n s •=! x E n s K 2 s E n s "=i "* =2 ,
Pour montrer que
vérifier que:

F>

est

cartésienne

fermée,

il suffit de

H O « F > ( C 3 X C I ,Ca) 5

Hom#=»<C3,a-ContCCi ,C2)) .
Or ceci découle immédiatement du fait que les limites induetives
«-filtrantes dans
oc-Cont(Ci # C s )
se calculent comme dans
<=>
C*
i , c'est-à-dire objet de C i
par objet de C i .
b) CAS DES CATEGORIES LOCALEMENT

a-MULTIPRESENTABLE9.

La démonstration est tout à fait analogue,

Techniquement,
la
recherche
d*(autres)
catégories
cartésiennes fermées, sous-catégories pleines de la catégorie
oc-Acc
des catégories et foncteurs «-accessibles (cf.
Makkai-Paré88) passe par la recherche de formes d'esquisses
E
(dont l'esquisse projective sous-jacente
proj(E)
est ocprojective) vérifiant la condition suffisante de
conservation
suivante:

A

3

CATCQORICâ LOCALEMENT
COMME DOMAINES

DE

CMULTIiPRESENTABLES
SCOTT

- les objets oc-présentables de E riS f>^oi<e>
engendrent des
diagrammes localement libres (au sens de Guitart-LairSO) dans
E n s e
de même forme que celle des indexations des cônes
indue tifs distingués de E
et dont les objets sont encore des
objets «-présentables dans E n s ^ .
Par exemple, on peut se demander si l'on obtient un résultat
analogue à ceux des théorèmes 1 ou 2 concernant les catégories
localement oc-polyprésentables (au sens de Lamarche88),
En reprenant les méthodes de 6uitart-Lair80 et de Lair87
(validation de cônes projectifs), on établit facilement que;
- une catégorie C
est localement polyprésentable ssi C
est
équivalente à la catégorie des modèles d'une petite esquisse E
dont tous les cônes inductifs distingués sont indexés par un
groupoïde,
Malheureusement, contrairement aux deux cas précédents, disposer
d'une majoration sur la taille des cônes projectifs distingués de
E
n'implique, en général, aucun contrôle sur le "rang de
polyprésentabilité" a de E n s E , La raison en est que, si
l'on peut montrer qu'un quelconque objet a-présentable de
Ens*""0-*'*51*
engendre un diagramme localement libre dans
E n s E
qui est bien un groupoïde, les objets de ce diagramme
ne sont plus nécessairement a-présentables dans E n s = ,
Cependant, il est aisé de montrer qu'il en est bien ainsi dans le
cas, plus particulier, où C as E n s E
n'a pour morphismes que
des monos.
Ainsi, nous pouvons énoncer:
Théorème 3, La catégorie
G , dont les objets sont les seules
catégories localement *-poîyprésentables
(au sens de Laraarche88J,
pour lesquelles
les morphismes sont nécessairement des monos, et
dont les flèches
sont les
foncteurs
commutant aux
limites
inductives <x-filtrantes,
est cartésienne
fermée.

Remarquons, pour conclure, que J.-Y, Girard, T, Coquand, F.
Lamarche ont obtenu diverses catégories cartésiennes fermées,
sous-catégories de F> , £> ou G (voir la bibliographie).

LES CATEGORIES LOCALEMENT
COMME DOMAINES

DE

CMULTI>PRESENTABLES
SCOTT

Bibliographie,
P, Gabriel et F, Ulmer:
Lokal pràsentierbare Kategorien, Lect, Notes in Math, 221,
Springer, 1971,
Y, Diers:
Catégories
localement
Itathematik 34-4, 1980,

multiprésentables,

R, Guitart et C, Lair:
Calcul syntaxique des modèles
internes, Diagrammes 4, 1980,

et

Archiv

calcul

des

der

formules

J.-Y, Girard:
Normal funetors, power séries and lambda calculus, Annals of
pure and applied logic 37-2, 1988,
T, Coquand;
Catégories of embeddings, in Logic in computer
(Edinburgh, 1988), Computer Science Press, (1988),

science

F, Lamarche:
Modelling polymorphism with
Univ., Montréal, (1988),

McGill

catégories,

Thesis,

M, Itakkai et R, Paré:
Accessible catégories: the foundations of categorical model
theory, Contemporary
«athematics, AMS,
Providence RI,
(1988),
C, Lair:
Lax-colimites structurées, Diagrammes 20, 1988,
Catégories
quai ifiables
et
catégories
esquissables,
Diagrammes 17, 1987,

UNIVERSITE
DEPARTEMENT

DE

DE

CAEN

MATHEMATIQUES

ESPLANADE

DE LA

14032 CAEN

PAIX
CEDEX

FRANCE