D IAGRAMMES L. C OPPEY C. L AIR Leçons de théorie des esquisses Diagrammes, tome 19 (1988), exp. no 1, p. II1-II68 © Université Paris 7, UER math., 1988, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ OIAQRAMMES VOLUME 19 . 1988 Leçons de THEORIE DES ESQUISSES L, Coppey et C, Lair Partie II; - Leçon 4; Calcul de limites ensemblistes, - Leçon 5: Réalisations d'esquisses; structures et homomorphismes - Leçon 6; Dictionnaire d'esquisses, A.n.3. sue. C L A S S . ie - 02 , io c io , 1 e A 1 o , 00 A 2» pç o n Calcul de limites ensemblistes 0. Récapitulation d e s trois premières leçons. Dans la première leçon, nous avons appris, notamment avec l'exemple des monoïdes, à esquisser pratiquement des structures en partant de leurs définitions usuelles (i.e. quantifiées), obtenant alors une description diagrammatique de ces structures: il s'agissait, notamment dans cet exemple, d'obtenir une description particulière du "monoïde général" (ou esquisse de monoïde) permettant de reconstituer les monoïdes particuliers, Ensuite, nous avons défini formellement les esquisses, en introduisant successivement les structures particulières nécessaires: graphes orientés, graphes multiplicatifs, cônes, etc...Pour chacune de ces structures, nous sommes partis d'une définition usuelle, puis nous l'avons esquissée, Ceci nous a naturellement conduit à esquisser les esquisses. Retenons l'essentiel de ce qui figure dans les trois premières leçons: les esquisses permettent de décrire des "types" (ce mot prendra bientôt un sens mathématique plus précis) de structures mathématiques, en donnant de ces types une présentation uniforme (on peut d'ailleurs se demander quels sont les types de structures esquissables: nous verrons que sont esquissables toutes les structures du T n ordre). Il s'agit dès lors d'expliquer ce qu'est formellement une structure particulière d'un type donné, décrit par une esquisse. Pour ce faire, il nous faut revenir précisément à la notion de limites (projective ou inductive) et au calcul de ces limites, Pour commencer, nous les étudions dans E n s , catégorie des ensembles; ce calcul ensembliste, indispensable pour toute la suite, ne résulte pas de considérations générales sur les catégories ou les esquisses et, à ce titre, il est incontournable, l-*ç on 1, Calcul des limites 4 projectives Soit I un graphe multiplicatif et type, dont on désigne ici par : . 0 Tz le sommet, la projection de de I, 0 I"* dans Ens, le cône projectif vers un objet quelconque I î.ir, ISoit F : I -» E n t un foncteur. Pour chaque I c 0b( I ) , F(I) est un ensemble, et pour chaque i: I -> I' c F K I ) , F(i): F ( I ) + F ( D est une application. Soit P le produit cartésien des ensembles F(I) , I c 0b( I ), c'est-à-dire l'ensemble des familles x * (xx)xcoi»< x > d'éléments x x € F(I) ; pour chaque I , on dispose de l'application projection canonique pz; P 4 F(I) définie par px(x) » Xi , Les applications F(i) , i c Fl( I ), et p z , 1 e 0b( I ), constituent un graphe orienté dans E n s qui a même forme que I " , mais elles ne constituent pas un cône projectif (i.e, commutatif) en général ; en effet, pour une flèche i: I •* I1 de 1 et pour x c P , on trouve: EF(i)-px](x) F(iHxx) , et Px-(x) » et, en général, F(i)*px # p z -. IX— 2 xx. , Alors on se restreint à la plus égalité, A cet effet, on note: grande partie _ PF = C x € P I F(i)(xx) • X x . i V i î N I 1 _ u : Pp 4 P , de P où il y a c F K D J , l'inclusion, - qi : PF -» F ( I ) , l a r e s t r i c t i o n de qi « Px-u , pz à PFÎ on a donc _ qpr a ( q z ) z « ot>x l a f a m i l l e des q z , (cf. la première remarque du § A de cette leçon) . Cette fois, on a F(i)-qz * i : I •* I' de I. Posons alors: qz. , pour toute flèche . F-(0) » PF . F-(TTZ) » qz , pour I c 0b( I ) , . F.(i) - F(i) , pour i c F K I ). On définit ainsi un foncteur F- : I"" -* E n s , c'est-àdire un cône projectif (commutatif) dans E n s de base F. Clairement, F- est un cône limite projective. Remarque. Il est d'usage courant d'écrire (ou de dire) avec les inévitables imprécisions, précisées ici: - PF • limproj F , ou, plus classiquement, notation qui néglige les projections lim F, qZa - PF est limite projective de F, locution abrégée, - Pr « limprojz F(I) , ou, plus classiquement, lim F(I), I notation qui rappelle l'indexation I de la limite, en en désignant "l'objet courant" , mais qui néglige les liens F(i) , i € F K I ) , et de nouveau, les projections qz... L*çon A. (Les triangles hachurés sont réputés commutâtifs,) XX— -* L.tf»ç o n 2, Calcul des limites éL i n d u c t i v e s dans Ens, Formellement, le calcul est le même, au "sens des flèches près" (on dit encore : "à la dualité près"). Mais nous allons quand même le faire pour examiner justement ce qui diffère dans les "détails". Soit donc toujours I un graphe multiplicatif et soit F : I •* E n s un foncteur, On utilise des notations analogues au cas des limites projectives. A I" on substitue I * , cône inductif type: F ( I ) , on substitue les injections, encore dites co-projectionsi Sx : F ( I ) 4 S X -) ( I , x ) , En général, pour i : I -• I' et x c F(I) , sx(x) a (l,x) est différent de Csz.F(i)3(x) a (l'lF(i)(x)). Pour forcer les triangles ci-dessous à commuter, il faut faire un quotient de S par une équivalence R convenable. XX— s L*çon A F(I) F(i) F(I') De manière imagée, on peut dire que, dans le cas projectif, il a fallu "reculer" de P à PR pour obtenir un I-cône projectif, et dans le cas inductif, il convient d'"avancer" de S à S F = S/R pour obtenir un I-cône inductif. Précisons la relation relation R 0 suivante: R. C'est l'équivalence engendrée par la y Ro y1 3 i : I -» I' 3 x c F(I) y a (i#x) a sz(x) y' « (l'lF(i)(x)) « Csz..F(i)](x) Soit v ; S •* SR a s/R l'application canonique, Posant tz a v . s z , on voit clairement que les applications tz et F(i) constituent cette fois un I-cône inductif et que c'est bien une limite inductive de F ; on écrit: S F = limind F , ou, plus classiquement SF » lim F •4 L.*ç o n 4. Des remarques analogues à celles faites dans le cas projectif, concernant notations et locutions peuvent être faites ici. Remarque, On peut expliciter, en termes catégoriques, la relation d'équivalence R et la limite SF. A cet effet, nous sommes conduits à une construction qui a son intérêt propre dans l'étude générale des structures. Nous disposons d'un foncteur: F : I -> E n s et nous lui associons un autre foncteur: hF : H F -4 I de la manière suivante: - le graphe H F a pour objets les couples I c Ob(I ) et x c F(I) , (I,x) où - une flèche de (I,x) vers (I',x') est déterminée par la donnée d'une flèche i : I -» I' de I satisfaisant F(i)(x) a x1, Remarquons alors que i : I 4 I' et x c F(I) déterminent entièrement la flèche en question : (I,x) •* (I',x') qu'on note donc, pour cette raison, (i,x) : (I,x) -> d',x'), - les deux flèches consécutives (i,x) : (I,x) 4 (r,x') et (i',y) : (I',y) 4 (I",xH) sont composables si et seulement si i'.i est défini et y = x', et dans ce cas, le composé est (i'.i,x): (I,x> -> (IH,xN), - le foncteur tv envoie l'objet (I,x) de H P sur l'objet I et la flèche (i,x) : (I,x) -> (I',x') de H P sur la flèche i : I -» I' de I. Dans la terminologie d'Ehresmann, le graphe multiplicatif est appelé graphe des hypermorphismes, et (i,x) : (I,x) -> (I',x' ) est d i t hypermorphisme au dessus de i : I -+ I ' . On d i t encore que l v : H F -» I est une fibration XZ— 7 discrète. H* Le calcul de S R nous montre que: - S est l'ensemble des objets de H F , - la relation R 0 n'est autre que celle décrite par les flèches de H F : une flèche de H F met en relation sa source et son but , - la relation R n'est autre que celle de l'appartenance à une même composante connexe de H P : deux objets sont connectés si et seulement si il existe un zigzag dans HF les "joignant", Ainsi 3, SF est l'ensemble des composantes connexes de Limites particulières HFl usuelles, En ce qui concerne E n s , et pour nous résumer, nous voyons que c'est une catégorie qui possède toutes les petites limites projectives et induetives et qu'on sait les calculer (i.e, en calculer des canoniques) (d'au moins une façon, savoir celle que nous venons de proposer ! ) , Le mot petit fait référence à la taille de I et signifie simplement que 0b( I ) et F K I ) sont des ensembles. Quelques types particuliers de limites se rencontrent plus fréquemment que d'autres (pour des raisons techniques qu'on laisse au lecteur le soin de découvrir) et, à ce titre, ils portent des noms particuliers et ils s'écrivent de façons particulières. Nous en passons en revue quelques uns (essentiellement ceux dont nous aurons besoin) sans prétendre être exhaustifs! Nous séparons limites projectives et limites inductives, Chaque type particulier fait l'objet d'un paragraphe structuré selon le schéma suivant: Nom de "la" limite PF, Forme de I Dessins de I et de I - (resp. I*) Valeur (et notation). Cas particulières) (éventuellement). xx— a L*çon 4 LIMITES PROJECTIVES PARTICULIERES. a) Nom: Forme: Produit d'une famille d'ensembles, I est discret, i.e. I =* Ob(I), Dessin: Valeur, le produit des ensembles E x a F(I) I -produit) est l'ensemble suivant: î (x z ) z , I x z c Ex), TT E z Ici ou simplement noté Cas a.1) TT I (on dit aussi Ex. particuliers: Elément final ou 0-produit, 1 = 0 (base vide ), 0 PF a (0), a.2) noté aussi 1 Produit de deux ensembles E1 et E2, I a 20 (deux objets seulement). 1* *2 a { (Xi, X 2 ) I X! € Ei , X 2 € E 2 }, noté aussi Ei x E 2 PF XX— 9 t_*ç o n A Produit fibre d'une famille d'applications de même but. b) Nom: Forme: I est un cône inductif de base discrète, i,e. I = J + , où J est discret, 0 Dessin: Valeur: le produit fibre des J-ensembles Ej = F(J) (ou des applications p^î Ej -» B a F(or^) au dessus de B a F(S)) est l'ensemble suivant: PF a { (X^j-rj- € Il Ej noté Cas V* I PJ(X^) .*• } J particulier: Produit fibre de deux ensembles, J a 2 0 (deux objets seulement), Le produit fibre de Ei et de E 2 au dessus de B est l'ensemble PF des couples (Xi, x 2 ) c E, x E 2 tels que pi(Xi) a p 2 (x 2 ), On le note Ei A E 2 O U EI x E 2 B B II-IO L*çon c) Nom: Forme: 4 Noyau d'une famille d'applications, I est un "muscle", i.e. a deux objets A et B et ses seules flèches non triviales, indexées par un ensemble K, vont toutes de A à B, ik; A -» B. Dessin: Valeur: le noyau des K flèches fk = F(ik) (on dit aussi égalisateur des f k ) est le sous-ensemble suivant N de E a F(A): Usuellement le mot noyau désigne l'ensemble N et on réserve plutôt le mot égalisateur pour désigner l'inclusion n de N dans E. Cas particulier: K » 2 0 (I même but). a deux flèches de même source et de Le noyau de fi «t de f 2 est l'ensemble x c E tels que f,(x) a f2(x), N des !_•»« o n A. Famille monomorphe d'applications d) Nom: Forme: Dessin: I est un "bonnet d'âne", i.e, a deux sommets A et B , une base discrète, indexée par J , et des projections (indexées par JT ) allant des sommets vers la base. 0 Ici, F est un foncteur particulier défini par: F(¥ A J ) a F(¥ B J ) » fj: E -> F, quel que soit J c J , Les projections sont particulières: les deux qui vont vers A et B , et qui déterminent les autres sont égales à l'identité de la source commune E des 1s. E F(I-) La propriété universelle s'exprime alors en disant que, si pour tout J on a fj.g 3 fj.h, alors g ah. Cas particulier: Monomorphisme (ou flèche simplifiable à gauche), J n'a qu'un objet, La limite est de type "produit fibre", et non seulement l'indexation est de forme particulière, mais encore la valeur du foncteur F et les projections sont particulières: m. g = m.h XI—12 9 A L.«frç o n LIMITES INDUCTIVES PARTICULIERES, i) Nom: Somme d'une famille d'ensembles, Forme: I est discret, i.e, I « Ob(I). Dessin; Valeur: la somme des ensembles E z a F(I) (on dit aussi I-somme, ou somme disjointe, ou réunion disjointe des ensembles E z ) est l'ensemble suivant; SF = ( (I,x) I I c Ob(I ) , x € Ex }, noté Cas a.1) T Ex ou Ici 7 Ex I particuliers. Elément initial ou 0-somme, 1 = 0 (base vide), 0 SF a 0, noté aussi 0 a.2) Somme de deux ensembles Ei et E 2l I a 2 0 (deux objets seulement) SF a C (n,x„) I n a i# 2 ), noté ET + E 2 ou E, U d i s J E2, L*çon A b) Nom: Forme: Somme fibrée d'une famille d'applications de même source, I I est un cône projectif de base discrète, i,e, a j - , où J est discret. Dessin: Valeur: la J-somme fibrée (ou amalgamée) des ensembles Ej a FCJ) (ou des applications s*: C •• Ej = F(ij) au dessous die C a F(T)) est l'ensemble suivant: SF i E, / R, où R est l'équivalence par zig-zag décrite plus haut. On la note aussi v Ej C Cas particulier: Somme fibrée (ou amalgamée) de deux ensembles, J a 2 0 (deux objets seulement), La somme fibrée des deux ensembles Ei et E 2 dessous die C est l'ensemble: S F a E, + E 2 / R , notée aussi Ei + E 2 C au c) Nom: Forme: Conoyau d'une famille d'applications, I est un "muscle", i,e. a deux objets A et B et ses seules flèches non triviales, indexées par un ensemble K, vont toutes de A à B, j k : A •* B. Dessin: Valeur: Le conoyau des K flèches fk a F(j k ), co-égalisateur des fk. est un quotient Q E' a F(B): ou de (SF ») Q a E'/R', où R' est l'équivalence par zig-zag naturelle associée à R , Usuellement le mot conoyau désigne plutôt l'ensemble E'/R', et le mot coégalisateur désigne l'application canonique de passage au quotient q : E' 4 Q. Cas particulier: K a 2 0 (I même but) a deux flèches de même source et de Le conoyau de fi et f 2 est l'ensemble où R1 a toujours la même signification. E'/R1, d) Nom: Forme: Famille épimorphe d'applications. I est un "bonnet d'àne" dual, i.e, a deux sommets A et B , une base discrète, indexée par J , et des coprojections allant de la base vers les sommets. Dessin: Ici F est un foncteur particulier défini par: F(ffAj) a F(«rBj) a f j: E 4 F, quel que soit J c J . Les coprojections sont particulières: les deux qui partent de A et B , et qui déterminent les autres, sont égales à l'identité du but commun F des fj. F(I-) La propriété universelle s'exprime en disant que, si pour tout J c J on a g.ej = h.ej, alors g = h, Cas particulier: Epimorphisme (ou flèche simplifiable à droite), J n'a qu'un objet, La limite est de type "somme fibrée" et, non seulement l'indexation est de forme particulière, mais encore la valeur du foncteur et les coprojections sont particulières. g.e a h.e h. 4, Remarques générales sur les limites, a) Applications généralisées. Soit G- : I " 4 E n s un cône projectif de restriction F, Il peut être intéressant de l'interpréter comme une application généralisée - de source un ensemble, à savoir G(0) - de but des ensembles, à savoir les G(I) a F(I), reliés entre eux par des applications, à savoir les G(i) a F(i), On la notera alors de la manière suivante: g R ; 6(0) -» F où gF est la famille des projections G_(wz) S gz, C'est ce que nous avons fait ci-dessus avec qR : P F 4 De ce point de vue, on écrira la de la manière suivante: F propriété universelle de qF (V gF: G(0) -> F) ( 3! g: 6(0) •» P F ) ( gp » q^-g), en décidant de composer applications généralisées et applications ordinaires de manière évidente (se reporter au dessin i), Nous verrons bientôt que cette composition n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'une composition plus générale : celle des transformations naturelles entre foncteurs, Disons encore que la limite avec ses projections G|F permet de représenter, dans le sens précisé ci-dessus, toute autre application généralisée de but F par une application ordinaire, b) Cônes comme objets ou comme flèches Indépendamment de cette propriété universelle, les deux points de vue concernant les cônes, à savoir: (i) foncteur s de I ~ vers E n s , (ii) applications généralisées, bien que pratiquement équivalents (i.e, pour ce qui se passe dans E n s » ) diffèrent notoirement sur le plan syntaxique: X X-17 - dans le point de vue (i) , l'idée même de cône figure déjà dans la forme particulière du graphe I " ; autrement dit, (I~~, 0, 8) est l'esquisse de I-cône projectif; - dans le point de vue (ii) , seul I est en cause syntaxiquement ; le cône projectif gF de base F indexée par I n'apparaît que dans sa concrétisation dans E n s : S c'est un morphisme (voir la leçon 5) d'un foncteur constant (sur G(0) ) vers F , On peut schématiser ces deux points de vue ainsi: 0 (i) (ii) Ceci suggère d'ailleurs d'esquisser plus généralement la structure de morphisme entre foncteur s de I vers E n s sous forme du graphe multiplicatif 1 x 2 où 2 désigne ici le graphe 1:0' -> 0", et où la composition dans I x 2 s'effectue composante par composante, I x C0') I x C0") XX — 1 9 L*çon A Les cônes projectif» de base I apparaissent bien comme des cylindres particuliers: ceux pour lesquels C( I x £0')) est réduit à un ensemble. Des remarques analogues peuvent être faites concernant les cônes (limites) induetifs, c) "Unicité" de la limite. Soit toujours F : I -» E n s un foncteur donné, et la limite projective construite précédemment, sous sa forme; Soit Y : E 4 P R une bijection ; on voit que g R a q^.? est encore un cône limite projective de base F (il a, tout autant que qFi la propriété universelle voulue !) Réciproquement, toute autre limite projective de F est de cette forme 9x a qi-v Ce phénomène (et sa démonstration, laissée en exercice) est général: deux limites de même nature (projective ou induetive) d'un même foncteur à valeurs dans une catégorie quelconque sont toujours isomorphes par un isomorphisme (i.e, flèche inversible) qui échange leurs (co)projections, Réa 1isations tructures s* ci• e s q u i s s e s : homomorphisfïn 1, Réalisations, Soit //S// a (S, P, Q ) une esquisse. Elle décrit un type de structures, i.e, des structures de ce type, encore appelées réalisations ou modèles. En ce sens, on peut dire que //S// est le modèle abstrait //S// , avec toute l'ambiguïté attachée au mot modèle. Réaliser de //S// , c'est: - choisir d'abord une catégorie C parlera alors de réalisations dans C-structures, - décalquer ensuite //S// dans C . où la réaliser; on C , ou encore de Bien sûr, nous devons préciser maintenant en quoi consiste ce décalque. Prenons pour l'instant dans E n s consiste à C a E n s , Alors décalquer //S// - respecter la forme de S , i.e, la structure de graphe, - respecter l'algèbre de S , i.e, la structure de graphe multiplicatif, c'est donc se donner un foncteur R : S -* Ens, - transformer les cônes distingués, éléments de F* et de Q, en cônes limites, grâce à R (qui préserve déjà la forme et l'algèbre des cônes). XX—21 Rappelons, à ce sujet, que la notion de cône distingué s'est imposée justement lorsque, voulant abstraire les structures ensemblistes pour constituer une esquisse //S//, nous ne pouvions plus, en toute généralité, garder à certains cônes leur statut de limites, à moins d'imposer à S d'être une catégorie suffisamment riche (nous y reviendrons à propos des types). Il nous restait donc la solution consistant à se souvenir que certains cônes d'applications étaient des cônes limites dans E n s , Nous faisons état de ce souvenir quand nous définissons les réalisations comme ci-dessus, 2, H o m o m o r p h i s m e s entre réalisations, Etant données deux réalisations de R : //S// -> E n s //S// : et R' : //S// -* on définit un homomorphisme h de R vers R' par la donnée d'une famille d'applications entre les ensembles sous-jacents: h « (hs : R(S) + R'(S) )8cob(®> compatibles avec les lois (ou liaisons fonctionnelles) i.e,: V s ; S ^ S1 £ S V x c R(S) h*.(R(s)(x)) a R'(s)(h9(x)). On dit encore que, pour tout commuter: s c Fl(S) , le carré suivant doit h* h*. Géométriquement, on peut imaginer un homomorphisme comme un glissement de R vers R' , chaque S laissant une trace hs qui matérialise le glissement de R(S) vers R'(S): XX-22 .•çon S //S// Les homomorphismes se composent de façon naturelle: si h : R -* R' est suivi de g : R' -» R" , le composé g.h est défini par V S c Ob(S) (g.h)s a g^-hs. On obtient alors la catégorie, dite des réalisations ou modèles //sSB// de //S//, notée E n s ou Mod(//S//), Elle a pour objets les réalisations de //S// et pour flèches les homomorphismes tels qu'ils viennent d'être définis. 3. U n exemple utile pour la suite, Si J et J" sont deux ensembles de graphes multiplicatifs (destinés à indexer des bases de cônes distingués, projectifs et induetifs respectivement), nous savons qu'on peut construire une certaine esquisse projective / E u / petite (cf, la fin de cette leçon), dont les réalisations sont les ( J, JT)-esquisses (cf, la leçon 3), Alors la notion d'homomorphisme entre esquisses en découle, comme cas particulier d'homomorphisme entre structures, XI-23 L'étude de la catégorie des esquisses ressort, de ce point de vue, de l'étude générale des catégories dites projectivement esquissables. Nous n'en dirons pas davantage ici. Précisons simplement ce que cela donne en termes usuels: Un homomorphisme //H// : //S// 4 //S//' entre esquisses consiste en la donnée d'un foncteur H ; S -> S ' qui envoie les cônes distingués sur des cônes distingués ... On désignera par E s q (resp, E s q z ^ - ) esquisses (resp, des ( X, JT)-esquisses). 4, E s q u i s s e de la catégorie des morphisme, Les deux points de vue rencontrés, dans l'étude des limites dans E n s , à propos des cônes, se retrouvent ici en toute généralité, à propos des homomorphismes: (i) le point de vue qu'on vient de présenter; c'est l'aspect "application généralisée" h a (hs>s«ob<»> : R 4 R\ On dit encore qu'il s'agit d'une transformation naturelle (entre foncteur s de même source S et de même but la catégorie E n s ) , Cette notion a évidemment un sens pour des foncteurs entre graphes multiplicatifs, mais on prendra soin de bien noter que la composabilité de deux transformations naturelles qui se suivent n'est pas automatique, (ii) le point de vue qui consiste à esquisser les morphismes, déjà suggéré dans la leçon 2, Il s'agit de décrire syntaxiquement ce qu'on désire, i.e. d'esquisser les morphismes de sorte qu'une réalisation redonne bien les morphismes au sens (i). Or ceci est aisé. Il faut dédoubler l'esquisse //S//, une copie //S//, servant à esquisser la source de h, une autre copie //S// 2 servant à esquisser le but de h; enfin, on doit prévoir des flèches: k s : S, k m : s, •• Sa i S c Ob(S) -> S'a i s : s -• s- c F U S ) , XX—24. l-oç o n S de sorte qu'on puisse écrire ce qu'on désire, soit: V s : S 4 S' c F U S ) ks.,5, » k. - s2.k« Anticipant très légèrement sur les produits généraux de structures, on doit remarquer que le graphe multiplicatif ainsi constitué n'est autre que S x 2 , Quant aux cônes distingués, ils sont aussi dédoublés: une copie dans S i , une copie dans S 2 , Telle est l'esquisse de morphismes que l'on conviendra de noter //S// ® //2// où //2// « < 2 # 0, 0), Ce qui est remarquable c'est qu'on peut continuer dans cette voie. On peut successivement; - esquisser les couples composables, c'est-à-dire dessiner la situation résultant de la succession de deux homomorphismes esquissés, c'est-à-dire encore considérer l'esquisse notée //S// <8> //21«// où 2 ½ est le graphe (multiplicatif) trivial: 1 et //21«// » (2!«, 0, 0) XX—28 //s// //2!«// - puis, pour esquisser le composé de deux homomorphismes se succédant, soient h : R •* R' et h' : R' -» RH, on regarde le couple (h1, h) comme une réalisation de //S// « //21«// . Elle envoie k* sur hs et k 1 * sur h1si etc,,.et on constate que cette réalisation se prolonge de manière canonique en une réalisation //h', h// de //S// & //3// où //3// » ( 3 , 0, 0) et 3 est le graphe multiplicatif suivant: k'.k - 1 //S// & //3// XX—2 L*ton S la raison étant que justement, pour tout objet S de S, les applications h'« et h s se composent et, pour toute flèche s : S -» S' de S , on trouve bien: (h' s ..h s .).R(s) * h' s .-(h s ..R(3>) » h's.-(R*(s)-h*> - (h'*..R'(s))-h* » (R"(s).h'»)-h s = R"(s)- alors, pour définir le composé h',h, on restreint la réalisation //h',h//; //S// //3// -» E n s à la sous-esquisse de //S// » k e(k') = k' h*(l> - k hc(l) » k' k(l) - 1 //1 // I_*»C or» 6 On remarque de plus que les deux cônes ci-dessous sont des sommes fibrées: OS Cette dernière somme fibrée exprime que e est un épi, Si on se reporte à la leçon 2, on reconnaît ici le dessin d'un graphe multiplicatif, à la dualité près, i.e. le sens des flèches est inversé (par voie de conséquence, les cônes limites projectives sont "inversés" en cônes limites inductives) et à quelques flèches près, Bref, il s'agit d'une réalisation de l'esquisse / H m / de graphe multiplicatif dans la duale de la catégorie des graphes multiplicatifs: on parle de co-graphe multiplicatif dans la catégorie des graphes <3: /r m / multiplicatifs. (Ens7^7)^ De même, si l'on considère les graphes multiplicatifs comme des esquisses triviales, on dispose d'un do-graphe multiplicatif dans E s q associée à une quelconque esquisse //S//; il suffit de tensoriser par //S// comme nous l'avons fait plus haut (le fait qu'il s'agisse effectivement d'un produit tensoriel peut être momentanément laissé de côté !) C'est l'existence de telles co-graphes multiplicatifs //S// <3(-) dans la catégorie des esquisses qui rend compte de la structure de catégorie des E n s / / S / / , avec //S// variable, XX—28 Laissons ceci de côté pour l'instant, car nous y reviendrons en toute généralité très bientôt (cf, lemme de Yoneda / plongement de Yoneda, etc.,,). Non seulement l'existence de telles costructures n'est pas anecdotique, mais elle est tout à fait générale et joue un rôle central dans la théorie, 5, C a t é g o r i e s de réalisations, Terminons cette leçon en étendant la correspondance décrite cidessus entre: - esquisse //S// et - catégorie de réalisations Ens//!S//, en une correspondance catégorique entre; - homomorphismes entre esquisses //H// : / / S / / -» //S'// et - foncteurs entre catégories de réalisations E n s H : E n s " 5 8 3 8 ' " -* E n s " * 3 " . On notera bien, i c i encore, du sens des flèches). l a dualité ( i . e , : le renversement Soit donc //H// : / / S / / -> / / S ' / / un homomorphisme entre esquisses et R* : / / S ' / / 4 E n s une réalisation; alors R'.H : S •* E n s est une réalisation de / / S / / , Soit encore h' : R' «• R', un homomorphisme entre structures de type / / S ' / / ; alors i l y a un homomorphisme naturel entre les structures R'.H et R'i.H , naturellement noté h 1 .H, et d é f i n i par: V S c Ob(S) ( h 1 . H ) s » h'„< s >. On dispose alors d'un foncteur de la catégorie vers la catégorie E n s " 3 3 8 " , naturellement noté défini grâce aux correspondances précédentes: Ens"aa" E n s H , et - à l'objet R' de il fait correspondre - l'objet R'.H de Ens"*"" Ens"*38" et - à la flèche h' : R' 4 R', de E n s " * 3 * ' " il fait correspondre - la flèche h'.H : R'.H -• R'i.H de E n s " s " . La correspondance qui à //H// associe E n s M définit ellemême un foncteur de la catégorie des esquisses vers la duale de la catégorie des catégories: Ens< > : E s q -* ( C A T ) ^ i - à l'homomorphisme H : //S// -* //S'// entre esquisses il fait correspondre - le foncteur E n s H : E n s / / S S 8 ' " -+ E n s " 5 5 3 8 " entre catégories de réalisations, Au sujet des notations, faisons juste une remarque: la notation exponentielle, empruntée aux nombres naturels, a été étendue d'abord aux ensembles (BA désigne l'ensemble des applications de A vers B), ensuite aux catégories ( B A désigne la catégorie des foncteur s de A vers B , i,e, ses objets sont les foncteur s de A vers B et ses flèches les tranformations naturelles entre ces foncteurs), puis à des objets plus généraux, qui peuvent eux-mêmes être des flèches entre objets ( B — : B-0*" •• B-6* , avec a : A 4 A ' , et B étant un abrégé de Ide»)* etc.., Au delà de cette simple remarque concernant la notation exponentielle, il y a bien sûr un problème de structures qui est posé: peut-on toujours structurer, si possible de manière naturelle, l'ensemble des morphismes entre deux objets de même nature, et si oui, de combien de façons ? En réalité, bien poser ce genre de question constitue une bonne part du problème, Mous traiterons de ces questions dans le chapitre consacré aux catégories enrichies de structures, aux catégories monoîdales (fermées), et plus particulièrement cartésiennes (fermées). Les foncteurs tels que E n s H sont dits foncteurs esquissés, au même titre que sont dites catégories esquissées les catégories ZZ-30 !_<»€ o n telles que EnsH S E n s / / : 8 i " . On dit aussi que les foncteurs tels que sont (tes foncteurs d'omission (ou foncteurs d'oubli). Voyons cela plus en détail, Soit R : //S// 4 E n s une réalisation d'une esquisse //S//, Pour beaucoup de structures usuelles il se trouve que leurs esquisses possèdent un objet privilégié S 0 , en ce sens que l'ensemble R(S0) porte le nom d' ensemble sous-jacent à la structure, pour une raison à préciser. Pour d'autres structures, tout aussi usuelles, il apparaît naturellement non pas un ensemble sous-jacent privilégié, mais plusieurs; c'est le cas, par exemple, pour les graphes, graphes multiplicatifs, catégories, où on dispose naturellement d'au moins deux ensembles sous-jacents naturels, à savoir: - l'ensemble des objets, - l'ensemble des flèches; pour les graphes multiplicatifs, un troisième ensemble sousjacent naturel s'impose: - l'ensemble des couples composables. Ces remarques, de type heuristique, ont des conséquences en théorie des esquisses, a) Si certains objets de certaines esquisses apparaissent comme privilégiés pour définir un (ou des) ensemble(s) sousjacent(s) naturel(s), il doit y avoir une raison technique, exprimable en termes purement syntaxiques, expliquant ce phénomène; en gros, c'est ici qu'intervient la notion d1 ensemble générateur d'objets d'une esquisse. Sans trop entrer dans les détails techniques, disons ceci; soit <3 0 un ensemble d'objets de //S// et soit <3 le sous-graphe de S , dit sous-graphe plein de S , contenant avec deux objets 6 et G' l'ensemble de toutes les flèches de S qui vont de 6 à 6'; on dit alors qu'un objet S de S se déduit directement de <3 0 s'il existe un cône distingué de Commet S et de base dans <3 ; on dispose alors de l'ensemble G i des objets qui sont soit dans <3oi soit déduits directement de <3o (l'un n'excluant pas l'autre d'ailleurs !) On définit la suite des <3 X par récurrence (éventuellement transfinie) et on dit que <3 0 est un ensemble générateur d'objets de //S// s'il existe un ordinal X tel que <3 X • Ob(S) Voilà donc,en ce qui concerne les ensembles sous-jacents naturels ou privilégiés, ce que l'on peut dire techniquement. X X — 31 L«çon S b) Si nous ne voulons pas, pour l'instant, envisager de telles nuances, c'est notre droit, mais alors, on doit en tirer une conséquence: c'est qu'il n'y a aucune raison de privilégier un (ou des) objet(s) d'une esquisse générale //S// ; tous doivent compter : il y a les ensembles sous-jacents R(S) , avec S c Ob(S), à la structure R, Mieux, au cas où R(S) flR(S') * 0 avec S # S', on veut pouvoir distinguer un élément x selon qu'il est de sorte S ou de sorte S'; alors on préférera à la réunion des R(S) leur somme disjointe T R(S) qui n'est autre que l'ensemble des objets du graphe multiplicatif des hypermorphismes associé à R : //S// -» E n s , et que nous avons noté H R , Allons un peu plus loin dans ce sens ; les hypermorphismes (s,x), avec s : S <* S' et x c R(S), apparaissent aussi comme des éléments de la structure R ; mais leur fonction au sein de la structure est de relier entre eux les éléments (au sens plus ordinaire rappelé ci-dessus) des R(S), De plus, la composition des hypermorphismes, telle qu'elle a été définie à la leçon A, tient compte des liens purement syntaxiques (i,e, la table de multiplication de S ) existant entre ces liens (sic !) Ainsi, ce qui se substitue à l'usuel ensemble sous-jacent est, en toute généralité, maintenant, le graphe multiplicatif sousjacent H R ; il est fibre au dessus de S par h* ; H R •+ S , A toute structure de type //3// correspond donc une fibration discrète naturelle au dessus de S , mais bien sûr, une fibration discrète quelconque au dessus de S n'a aucune raison a priori d'être associée à une structure de type //S// ; elle est seulement associée à un foncteur de S vers E n s , c) Laissant maintenant de côté la différence qu'il y a entre: - foncteur R : S •* E n s - et fibration associée h« ; H „ -» S , nous pouvons dire qu'il y a sous-jacent à la structure R : //S// 4 E n s le foncteur R : S -* E n s , d) Soit 1 l'esquisse triviale n'ayant qu'un objet et sa flèche identique, et n'ayant aucun cône distingué. Soit toujours //S// une esquisse et soit S un objet de S , Le foncteur d'oubli qui à toute réalisation R de //S// associe son "ensemble sous-jacent de sorte" S, i.e, R(S) , n'est autre que le foncteur E n s C S 3 où CS3 : 1 -> //S// est l'homomorphisme qui sélectionne l'objet S de S , Ce foncteur d'oubli est L*çon 6 encore appelé foncteur d'évaluation en S , et désigné alors brièvement par le symbole suggestif evs , car, en convenant d'identifier les catégories E n s 1 1 et E n s , on trouve que E n s C 8 3 ( R ) n'est autre que R(S) ! Convenons encore d'identifier S et l'esquisse dépourvue de cônes ( S , 0, 9). Le foncteur d'oubli généralisé dont il a été question plus haut en (2) et (3) , qui associe à toute réalisation R : //S// -» E n s son "foncteur sous-jacent" R est encore de la forme E n s H où H est l'homomorphisme naturel S -» //S// (défini par l'identité), On peut dire que c'est le foncteur "oubli des cônes distingués". Ainsi, les foncteurs EnsH, où H : //S//' -> //S// décrivent tous les "oublis" possibles. Un tel homomorphisme "sélectionne" dans //S// ce qui est de "forme" //S//1 et le foncteur d'oubli associé E n s H fait correspondre à toute structure R de type //S// une structure "sous-jacente" de type //S//'. 6. Q u e s t i o n s de taille. Au point où nous en sommes arrivés, nous devons préciser un peu les questions de taille. Bien évidemment, des objets tels que; //S//, S, E n s , Ens //S// , E n s * , Esq, C a t , C A T , bien qu'ayant une structure algébrique qui leur est commune (à savoir celle de graphe multiplicatif, voire de catégorie) ne sont pas de même ordre de grandeur. On dispose de plusieurs cadres formels possibles pour développer techniquement ces questions de tailles relatives. Les deux plus connus sont: - la théorie des univers (C.Ehresmann disposait de 3 univers emboîtés et s'appartenant mutuellement L/ € C/, € Ci 2 , correspondant à peu près à la hiérarchie rencontrée plus haut S / E n s * 3 8 / C A T , qu'on pourrait qualifier, du point de vue taille par "petit / grand / très grand" ) - la théorie des cJasses, où certaines classes sont des ensembles et d'autres non (comme la classe de tous les ensembles), Sans entrer dans la description axiomatique de telles théories, nous fixerons quand même ici un minimum de terminologie XI— 33 C^çort S concernant ces questions: le mot petit pourra être pris comme synonyme de "est un ensemble du plus petit univers U ", si on se place dans une théorie des univers, ou de "est un ensemble", si on se place dans une théorie des classes. Le mot grand sera pris dans le sens de "non petit" ou parfois dans le sens de "pas forcément petit", Un graphe multiplicatif (resp, une catégorie) petit si Qb(S) et F U S ) sont petits. Un cône sera dit petit S sera dit si l'indexation de sa base est petite, Une esquisse //S// = ( S , P, Q ) sera dite petite si - son graphe multiplicatif sous-jacent S est petit - P et Q sont petits - chaque cône, élément de P ou Q , est petit. Lorsque nous avons esquissé les esquisses (leçon 3) nous avons fixé deux ensembles X et JT de graphes multiplicatifs I petits (d'indexations possibles des bases de cônes distingués) afin que l'esquisse de ( X, «J)-esquisse soit petite. Sa catégorie de réalisations a été désignée par E s q X j - , La catégorie des esquisses (petites) E s q n'est pas naturellement de la forme E n s / S / , avec / S / petite, bien qu'elle soit de même taille que ses sous-catégories du genre E s q z o - . Par contre, elle est naturellement de la forme E n s ' * 5 ' où / S / est une grande esquisse (projective) facile à décrire à partir des esquisses des ( X, «D-esquisses, avec X et «J variables. Une catégorie C est dite localement petite si, pour tout couple d'objets (X,Y), la classe des flèches de X vers Y, notée Hom(X,Y) (ou plus précisément Homc=(X,Y)) est petite. Une catégorie petite est localement petite. L'inverse est faux en général. Nous disposons de nombreux exemples de catégories localement petites, non petites: E n s " s " , avec E s q //S// petite, , bien qu'elle ne soit pas petitement esquissable. Ce que nous avons désigné plus haut par C A T (par opposition à Ca.-b , catégorie des petites catégories) est la X X — 3-* _4»ç o n S catégorie des catégories localement petites; elle a pour objets des catégories telles que E n s " * 5 * " , E s q , etc..,, mais aussi les petites catégories ! Ainsi par exemple, C a t est aussi bien une sous-catégorie de C A T qu'un objet de C A T ; il faut bien distinguer ces deux relations entre C a t et C A T , qui ne sont pas directement comparables,,, Les foncteurs entre deux catégories localement petites constituent, en général, une classe non petite. La catégorie C A T n'est pas localement petite. Elle est très grande. Un des problèmes que nous aborderons bientôt est le suivant; supposons donnée une catégorie localement petite C , Existe-t-il une esquisse petite //S// telle que C soit de la forme 38 E n s " * " , et, de façon plus précise, si l'on connaît certaines propriétés de C , peut-on en déduire que C est esquissable par une esquisse de forme particulière ? Ceci pose directement le problème général (et pour l'instant un peu vague!) d'une classification des esquisses. Il se trouve que chronologiquement on a d'abord construit "les" esquisses des structures mathématiques les plus usuelles (on les présentera dans la leçon suivante: dictionnaire d' esquisses). Ensuite, il est apparu que les constructions les plus habituelles sur ces structures avaient une interprétation syntaxique liée aux formes des esquisses considérées. Classifier les esquisses, c'est alors rendre systématique ce procédé de traduction entre la sémantique (constructions et propriétés des structures) et la syntaxe (géométrie des esquisses). C'est ce qui sera développé à partir du fascicule n# 3. pç o n Dicti onna ire ci • e s q u i 0. Un abus de langage, Lorsqu'on parle de la définition de tel type de structures on commet à l'évidence un certain abus de langage puisqu'en général ce type de structures est susceptible de multiples définitions. Il serait a priori plus correct de parler d'une définition de tel type de structures. Cependant, si l'on commet volontiers cet abus de langage, c'est qu'on veut exprimer par l'emploi du singulier Lia définition] V univocité du type de structures qui se trouve déterminé (par la définition proposée), conscient que d'autres présentations (définitions) "équivalentes" pourraient être fournies. Encore faudrait-il préciser ce qu'on entend par "type de structures", c'est-à-dire en donner une définition . On peut envisager au moins deux manières classiques de procéder: - l'une consiste à décrire explicitement une "équivalence entre définitions", en fixant par exemple des règles de transformations élémentaires permettant de passer d'une définition à une définition "équivalente". Une classe d'équivalence est alors un type, Notons qu'il peut être utile, voire indispensable, d'envisager plusieurs genres d'équivalences , c'est-à-dire plusieurs genres de types possibles, - l'autre consiste à se donner une certaine classe de types ayant une structure commune précisée dans une définition appropriée, Un type de structures est donc, de ce point de vue, une (autre) structure. Il est souhaitable alors de prévoir plusieurs structures (pour les types) possibles, i, e, plusieurs types de types, Une récurrence des types s'amorce alors naturellement, qui n'a aucune raison a priori de "s'arrêter". Ainsi, nous serons amenés à préciser techniquement, et en s'en tenant au langage graphico-algébrique des esquisses: I_4»ç o n fi deCs3 esquisseCsl de typeCs], deCs] typeCs] de typeCs], deCs] typeCs] d'esquisseCs], et ceci prolongera tout naturellement le travail amorcé dans la leçon 3, où nous avons décrit une esquisse des esquisses, Nous pouvons dire, en gros, que l'idée générale de type est celle & esquisse suffisamment complète (tant algébriquement que géométriquement), et que les types seront donc pour le moins des catégories possédant suffisamment de limites de formes prescrites, certaines d'entre elles pouvant être distinguées. L'analogie avec le point de vue plus classique des logiciens est la suivante: une esquisse est à son type ce qu'une théorie du l " ordre est à la théorie complète qu'elle engendre (notons qu'on retrouve ici encore la discussion sur singulier et pluriel, et qu'il conviendrait justement de préciser, par exemple, les règles de déduction syntaxiques qui permettent de définir une telle théorie complète). On peut encore dire que les types sont des structures libres (de types particuliers !) engendrées par des systèmes de générateurs et relations que sont justement les esquisses, A ce titre, les constructions, 1' existence etc.. de ces types ressortent de la théorie générale des structures libres qu'on abordera ultérieurement. 1. Dénomination des structures. On donne souvent aux structures esquissées le nom générique de structures ensemblistes, Sont ainsi privilégiés les noms usuels des structures ensemblistes usuelles dont nous proposons cidessous des esquisses, mais sur certains exemples simples, nous constaterons que ce choix n'est pas forcément le plus judicieux, et nous proposerons donc parfois un nom plus générique. Dans la suite de cette leçon, nous parlerons donc d'esquisse(s) de(s) structure(s) et non d'esquisse(s) de type(s) de structure(s), ce qui pourrait entretenir une certaine confusion, étant donné ce qui a été dit plus haut, Ainsi, et par exemple, on parlera d'une esquisse (ou de J'esquisse, avec l'abus de langage discuté plus haut) des monoïdes, signifiant par là que les réalisations ensemblistes de XX—38 cette esquisse sont ules monoïdes". Mais, là encore, une ambigûité subsiste, non pas tant dans la "terminologie" que dans "la forme même" des définitions, Expliquons cela plus en détail, en reprenant l'exemple des monoïdes (cf. leçon 1): supposons que l'on dispose d'une part de la catégorie des ensembles, notée jusqu'ici E n s , et d'autre part de deux définitions des monoïdes: - l'une, disons classique, sous forme de "théorie du l*r ordre", - l'autre, disons moins classique, sous forme de l'esquisse de monoïde constituée dans la leçon 1, notée ici E , et dont nous rappelons les principaux éléments et leurs notations: graphe orienté sous-jacent à E cônes projectifs distingués sous-jacents à Il est clair que chacune de ces définitions donne lieu à une catégorie de modèles bien précise; disons M dans le cas 1 classique, et M = Hod(E) dans l'autre cas. Ces deux catégories ne sont pas isomorphes. Elles sont seulement équivalentes, Précisons une telle équivalence: - à un monoïde M ,au sens classique, on peut associer, par exemple, la réalisation RM : E 4 E n s qui envoie U0 Ui U2 U3 sur sur sur sur C0), M, H x N, M x H x M, et où les projections (formelles) distinguées pi et p 2 sont envoyées respectivement sur les première et deuxième projections canoniques de M x H vers N, et où les projections (formelles) distinguées qlt cfe et qs sont envoyées respectivement sur les première, deuxième et troisième projections canoniques de M x H x H vers M. Se trouve ainsi déterminé un premier foncteur Y : M •* M', qui est défini sur les objets par y(M) = R« et sur les flèches de manière évidente (et automatique !), - à une réalisation R : E -» E n s , on peut faire correspondre le monoïde MR , au sens classique, suivant: son ensemble sous-jacent est l'ensemble M » RCU, ) , et, pour tout couple (y,x) d'éléments de M ,on définit le composé y.x comme étant égal à R(k)(<|>R, où k : U 2 -» Ui est la composition formelle (dans l'esquisse E ) et où f« est l'unique bijection'possible, de R(Ui) xR(Ui) vers R(U 2 ) , qui transforme le produit cartésien usuel (et ses projections canoniques) en le cône limite projective image par R du cône projectif distingué voulu de E , etc...Se trouve ainsi déterminé un autre foncteur Y" î M ' •* M , qui est défini sur les objets par Y'(R) « MR et sur les flèches de manière évidente (et automatique ! ). Les deux foncteurs Y ** Y1 *» sont pas inverses l'un de l'autre, mais ils définissent ce qu'on appelle une équivalence de catégories, c'est-à-dire que Y*Y' e * Y'*Y sont naturellement (au sens des transformations naturelles!) isomorphes aux foncteurs identiques convenables; plus particulièrement ici: Y'-Y s Idt-t ** Y-Y" a I. 2. Quelques 2.0 L'esquisse esquisses .,. très petites. vide, Son graphe multiplicatif sous-jacent est O et, nécessairement, aucun cône ne peut y être distingué. Quelle que soit la catégorie C , la catégorie Mod(<3, C ) est isomorphe à U : elle n'a donc qu'un modèle (la réalisation vide 0 : 0 «* C ) et son identité (l'identité vide du vide). 2,1 L'esquisse des ensembles, C'est l'esquisse U , Elle n'a pas de cône distingué, La catégorie Mod(U) est isomorphe à E n s . Plus généralement, la catégorie Mod(U, C ) est isomorphe à C , Ainsi, U devrait plutôt s'appeler esquisse des objets. Il faut noter encore ceci: une flèche f : C •» D de C apparaît, de ce point de vue, comme une transformation naturelle entre foncteurs (constants sur C et D!), la naturalité s1exprimant ici par les seules équations dites triviales: f.Idc » Ido.f » f. 2,2 L'esquisse des applications. C'est l'esquisse 2 constituée du graphe multiplicatif trivial suivant: 0—*±->- 1 , sans cônes distingués. Les modèles ensemblistes sont les applications et un morphisme entre deux applications f et g est déterminé par la donnée d'un couple d'applications (h,h') tel que h* - f et g-h soient définies et égales (carré commutâtif d'applications, appelé aussi quatuor par Ehresmann). XX—42 Plus généralement, la catégorie Mod(2, C ) est isomorphe à la catégorie Q C ayant les flèches de C pour objets et les quatuors de C pour flèches. Ainsi, 2 devrait plutôt s'appeler l'esquisse des flèches, 2.3 L ' e s q u i s s e du vide. C'est l'esquisse U 0 = (U, 0, * ) , où le seul cône inductif distingué a une base vide. La catégorie Mod(U 0 > est réduite à un objet et son identité: l'ensemble vide et l'application vide. Disons que cette esquisse permet de caractériser l'objet 0 dans E n s » (d'où son nom). Plus généralement, Mod(U 0 , C ) est isomorphe au groupoïde des objets initiaux de C (tous isomorphes entre eux et de façon unique), lequel groupoïde est équivalent à U si C possède au moins un objet initial, et est vide autrement. En résumé: Mod(Uoi C ) « U initial. Ainsi, U 0 2.4 ou » e selon que C a ou n'a pas d'objet devrait plutôt s'appeler esquisse d'objet initial. L'esquisse des singletons. C'est l'esquisse U i = (U, *, 0), où le seul cône projectif distingué a une base vide. La catégorie Mod(Ui) est le groupoïde des ensembles à un élément (ou singletonsl) Plus généralement, liod(Ui, C ) est isomorphe au groupoïde des objets finaux de C (tous isomorphes entre eux et de façon unique), lequel groupoïde est équivalent à U si C possède au moins un objet final, et est vide autrement. En résumé: iiod(Ui, C ) s U final. ou = 0 selon que C a ou n'a pas d'objet Ainsi, U i devrait plutôt s'appeler esquisse d'objet final. De ce point de vue, le fait que, dans E n s , les objets finaux soient les singletons est anecdotique. XX-43 2,5 L'esquisse de rien, C'est l'esquisse Uo-i • (U, *, * ) , où le seul cône projectif (resp, inductif) distingué a une base vide. U est clair qu'il n'y a pas de modèle ensembliste de cette esquisse, d'où l'appellation "esquisse de rien" conforme au choix de dénomination convenu plus haut. Là encore, on constate que ce choix n'est pas très judicieux! Ainsi, par exemple, la catégorie des réalisations de U 0 - i dans la catégorie des groupes est équivalente à U : c'est le groupoïde des groupes "nuls" (réduits à leur élément neutre !) L'esquisse U0-i devrait plutôt s'appeler l'esquisse d'objet nul (i.e. à la fois initial et final), car un objet nul, lorsqu'il y en a, ce n'est pas rien. Remarque. On vient de décrire une esquisse mixte dont la catégorie des modèles ensemblistes est 0 , Il est inutile de rechercher une esquisse projective E telle que Hod(E) » ® , car la catégorie des modèles de E devrait posséder alors toutes les petites limites projectives, comme nous le verrons bientôt, or W-/ w ^Jl Equations: •.c • s k . j i » k . j a - Id« Cônes d i s t i n g u é s : Pi.ii • • P=. i l • Ide deux cônes projectif s Pi. J2 • Ids Pa.j* a S 3.3 Esquisse des magmas associatifs ou demi-groupes, Graphe orienté sous-jacent: Equations: P i . S a s qa Pa.Sa a qs P i . « i * qi Pa. » i • Qa le.ei * Si k. Sa » Sa Pi. ki Pa.ki P i . k 2 • qi Pa.qa a Sa Si qa k.ki • k,k2 • ss Cônes d i s t i n g u é s : deux cônes projectif s IX—* 3.4 Esquisse des magmas unitaire* à choix d* inverses. Graphe orienté sous-jacent: Equations: e.c » s P i . Ji • s Pa. Ji = Ids Pi.j'i "S* P a . j ' i • Ids Pi.Ja • I d * Pa. Ja » S Pi.j': Pa.j': k. j i • k , j a » Id s k.j'i = k.j': Cônes d i s t i n g u é s : deux cônes projectifs I t - 4 9 Ids S' Leçon 6 3.5 Esquisses des bi-magmas, Graphe orienté sous-jacent: q* qa 11 Equations: P i . « i • qi P a . e i • qa P i . «a • qa Pa.Sa « C|a p i , «3 Pa. »3 P i . k i » k.Si • Si P a . k i • qs Pi.k» » q, Pa.ka a k . « a " Sa P i . h S « k'.e» a r, Pa.h*i * k'.ea « r 3 Pi. h'a • k ' . S i « T a Pa.h'a • k'.tta • r* k'.ki • k.h'i - k'.ka - k.h'a - la li Cônes d i s t i n g u é s : deux cônes projectif s II-SO qi qa 3 , 6 E s q u i s s e des magmas a b é l i e n s . Graphe o r i e n t é s o u s - j a c e n t : Pi S S Pa • < - Equations: P i . t - pa Pa. t • Pi k.t = k Cônes d i s t i n g u é s : un cône projectif IX—«1 3.7 Esquisse des opérations à droite de magmas Graphe orienté sous-jacent: Equations: V i . U « Ui Vi.ffi *.u Va.U * Ua Va.ffi Us Pi.V • Ua Vi.ffa Ui P a . V » U3 Va.ffa k.v ff.ffi * »1 ff.ffa Cônes d i s t i n g u é s : trois cônes projectif s xx—sa 3.8 Esquisse des M-ensembles, où M » (M,*) est un magma f i x é . Graphe o r i e n t é sous-jacent: où x, x', x" etc. ..eM * * Equations: **.**• Cônes s ***><• pour tout distingués: x c H e t x1 e M néant. Remarque. On notera bien q u ' i c i l a structure de M n'est pas esquissée, E l l e n'intervient que dans l'indexation des opérations de l'esquisse de M-ensemble, C'est un paramètre. XX-83 Leçon 3.9 Esquisse des où M » (M,*) 6 M-magmas* est un magma fixe. Graphe orienté sous-jacent: x, x' € M x, x' c M x, x' c M Equations; 9KI ffx- Cônes " ffx*x* distingués: pour tout x c H pour tout x c H et tout pour tout x cM un cône p r o j e c t i f x1 c H t-tf»ç o n a» 3.10 Esquisse des monoïdes. Graphe orienté sous-jacent: i—> Equations: e.c = s Pi.Ji • Pa. J i a » Ida Pi.Ja * Ida Pa. Ja • S P i . Si * qi P i . Sa • qa Pa.*i • qa P a . Sa " q a k. j i * k,ja • Ida k.Si » Si k . S a » Sa Pi.ki Si P i . k a = qi Pa.ki qa Pa.ka k.ki =» k , k : s Sa Cônes d i s t i n g u é s : trois cônes projectif s <-S" xx—sa 3.11 Esquisse des monoïdes abéliens Graphe orienté sous-jacent: w ii m\F^\ <- Ja Equations: e.c « s Pi.j i » s Pa.Ji a Ida P i . j a " Ida Pa.Ja » S k.ji « k.j: P i . » i • qi Pa. e i * q» P i . Sa • qa Pa.Sa * qa k.ei • P i . k i • Si Pa.ki qa pi.kPa.k s K,lCi P i . t = pa P a . t » Pi k.t » k qi Sa a Cônes d i s t i n g u é s : trois cônes projectif s XI— 8 6 s, K , K5 Id* 3.12 Esquisse des groupes Graphe orienté sous-jacent: Equations: e.c * s Pi. j Pa. j • S - Ida Pi. a Pa.S a q, Pi.k Pa.k a Si a q» Pi. j Pa. j • q» S* Id« Pi.Ja » I d s Pa.Ja a S k . j i - k . j a - Ida P i . «a • qa Pa. Sa B qa k . « i » Si Pi.k: Pa.k: qi Sa Ida Pi.j'a Pa. J'a • S' Cônes d i s t i n g u é s : K , mst S*2 k.ki « k . k 2 » s 3 k.j1, » k.j'* » s trois cônes projectif s l_«MÇOft « 3.13 Esquisse des groupes abéliens Graphe orienté sous-jacent: qi qa qa TT~<- -<- Ja "<- Equations: e.c * s Pi.Ji a a Pa. j i = Ida Pi.tti • qi Pa.»i m qa Pi.Ja • Ida Pa.Ja a S Pi.«a * qa Pa.Sa • qa P i . k i » Si Pa.ki a qa P i . j ' i » S* Pa. J ' i * Wa Pi.ka * qi Pa.ka » Sa P i . j ' a * Ida P a . j ' a = S» P i . t » pa Pa. t = Pi k , t =» k Cônes o distingués: k . j , • k.j s k.ei k.»a k.ki Ida Si Sa B k,k2 s S3 k.j'i » k.j'a - s trois cônes projectif s 3,14 Esquisse des anneaux D'abord on recopie l'esquisse de groupe abélien* dans laquelle le symbole k (resp, les symboles ki« k2f S u s 2 et s 3 ) 1 s interprétéent) comme étant le symbole d'addition (resp, les symboles de certaines lois dérivées de l'addition) de la structure d'anneau. Ensuitej on plaque sur cette esquisse l'esquisse de demi-groupe, dont on reprend partiellement les symboles et leur notation: S, S', S", p u p2l q1# q2, q3,fii.4½ , inchangés, coïncident alors avec les symboles de même nom de l'esquisse des groupes abéliens, ailleurs, on substitue la lettre m à la lettre k , et la lettre * à la lettre s , faisant apparaître ainsi le symbole m de la multiplication et quelques uns des symboles qui s'en déduisent. Enfin on ajoute les nouvelles flèches (celles parenthésées dans le dessin ci-dessous) et nouvelles équations suivantes, tendant à exprimer la distributivité (à gauche et à droite) de la multiplication sur l'addition: Pi.»13 s qi Pz.Sia s q3 £- Y* a i.t Pi.ti s i LU, * u P i . Y * s V' P2.Ï2 a i P2.Y1 B Y' m,Yi » n».?* • * Un seul "nouveau" cône distingué, inductif à base discrète: S" Si on réalise cette esquisse dans la catégorie des espaces topologiques, on n'obtient pas les corps topologiques usuels, car la topologie de K est rarement la somme de ses sous espaces (03 et K* ! D'où la mention "version ensemb lis te", Pour obtenir les corps topologiques, il convient de modifier légèrement l'esquisse précédente, par exemple en disant que S est, non plus la "somme 1 + S*", mais but d'un "épi-mono" de source cette "somme", et que i est un "mono régulier", i.e. que i est "noyau" des deux "coprojections" de S vers S + S. S* 3,17 Esquisse des graphes orientés Graphe orienté sous-jacent: - Si d < Equations: C i • lde, d.i * Id*a Cônes distingués: néant. II-S2 L««on S 3.18 Esquisse des graphes multiplicatifs Graphe orienté sous-jacent: Equations: c . i - Icfei d. i = Idsi d.Pi • C.pa • Si d.p'i • C.p'a a Pi. j • p'i Pa. J m P' a Pi.Ji • i.d • sd Pa.Ji a Idsa j. j i a Ji k.j'i S'i Pi. Ja Pa. Ja • I d s a a k. j ' a j . j ' a = Ja Cônes d i s t i n g u é s : deux cônes projectif s IX— « 3 Idea i.e • s 3.19 Esquisse des catégories Graphe orienté sous-jacent: ch qa «la Si < *8-v^ S« Equations: d.i » Id*i - c i d. p, P i . Ji s i . d • s * Pa.Ji * Idsa Pi.Ja • Id»a Pa.Ja • i.C » Sc P i . k i • k.Si » Sa Pa.ki * qa Pi.ka • qi c.k • c.pi * s * d.k * d.pa • s« k. j i » k . j a - I d e a k.ki * k . k a • Se CPa P i . « i a qi Pa. Si • qa Pa.ka * k.Sa a «3 d.q, • c.qa - s T d.qi » c.qa » Se Cônes distingués: deus cônes p r o j e c t i f s it- P i . Sa • qa Pa.Sa • qa Leçon 3.20 6 Esquisse des catégories à I-limites p r o j e c t i v e s choisies, On constitue une telle esquisse E n en agrandissant l'esquisse de catégories EU de manière convenable, ce que nous faisons en plusieurs petites étapes, (i) A un graphe multiplicatif X on fait correspondre un cône projectif naturel, dont la base est à valeurs dans le graphe multiplicatif sous-jacent à E et dont le sommet S* » F est un nouvel objet. En voici une description succinte (en particulier! on ne (re)définit pas le graphe multiplicatif §§(X) d'indexation de la base de ce cône - cf, leçon 3); et quels que soient ; X c Ob s d, ¥ * » »x P a i TTcx». x > s C , Tfx s TTx • Ki ¥<><• . x ) s Tfx *xa X ,X , On peut alors agrandir l'esquisse EE en lui adjoignant ce cône comme cône projectif distingué, On obtient une esquisse E x dont la catégorie des réalisations est équivalente à la catégorie des catégories# et, pour une réalisation R dont la restriction à E définit la catégorie C , alors R(F> "est" l'ensemble des foncteurs de X vers C , d'où la notation adoptée. (ii) A un foncteur f : X 4 X' entre graphes multiplicatifs, on fait correspondre l'esquisse E f obtenue en adjoignant à E deux cônes projectif s de sommets S x • F et S x ' » F', comme indiqué en (i), une flèche f* : F' 4 F, et les équations suivantes: ir~. f* s ir*<*> Ix.V .*>.f* s ïï(ft X* >, f ) Pour une réalisation R de E * , de catégorie sous-jacente C , R(f*) est l'application qui à un foncteur

(sic !), pour % c F K K ) , f(XKx) = X / CK>I , pour I c Ob(I) et K c Ob(K). (v) Considérons alors les entre eux suivants: b 5