D IAGRAMMES C HRISTIAN L EGER J EAN -C LAUDE T ERRASSON Les cinq métamorphoses des surfaces pavées Diagrammes, tome S18 (1987), p. 1-48 © Université Paris 7, UER math., 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ IE3 CINQ METAMORPHOSES DES SUHFACES PAVEES C h r i s t i a n LEGER e t J e a n - C l a u d e TERRAS30N Nous décrivons un groupe symétrique S3 de transformations agissant sur l'ensemble des classes d'isomorphisme de pavages de surface fermée, le groupe des métamorphoses. Une métamorphose involutive est la classique dualité de Poincaré, tandis que les deux autres modifient en général la surface sous-jacente. Les métamorphoses permutent trois attributs auxquels nous donnons un statut algébrique homogène : les faces» les sommets» l e s pol ygones de Pe t r i e, composantes d'une certaine projection d'entrelacs sur la surface. Nous démontrons que le groupe des métamorphoses est essentiellement le groupe d'automorphisme d'une catégorie abritant les pavages. We describe an action of S3 on the set of isomorphism classes of tesselations of surfaces : we call this group the group of me tamorphoses. One particular involutory metamorphosis is the classical Poincaré duality, whereas in gênerai the remaining two involutions alter the underlying surface. The métamorphoses permute three features : faces» vertices and Pe t r i e pol ygons (which are components of a certain link projection an the surface). We prove that the group of métamorphoses is essentially the automorphism group of a category of surface tesselations. TABLE DES MATIERES 0 Introduction 2 1 Les sur-faces pavées .....4 2 Les graphes de bandes 7 3 Les métamorphoses. .... • 11 4 Les pavois .....16 5 Tout venant 34 6 Remarques historiques 38 Annexe • 40 Bi b! i ographi e . • . 44 INTRODUCTION Une note (1936) formule* dans un ordre logique différent, les résultats du présent t e x t e . Dans le monde des pavages de sur-face -fermée intrinsèque» outre la classique dualité de Poincaré» i l existe deux involutions non standard. L'une a été dé-finie par H. S. M. Coxeter dans le cadre des pavages réguliers à l'exclusion de certains cas dégénérés. I l appelle "polygone de Pétrie" d'un pavage tout polygone en sig-sag dont les côtés sont des arêtes du pavage tels que deux cotés consécutifs mais jamais trois bardent une même Tacs. Une involutian non standard consiste alors 4 conserver le graphe des sommets et arêtes du pavage d'origine» a en e vider les faces et à leur substituer des disques qui comblent les polygones de Pétrie. L'autre involution non standard se conçoit plus facilement. Elle consiste à associer à tout pavage le pavage ayant les mêmes arêtes et les mêmes faces» mais recollées tête-bêche le long de leurs côtés communs» de sorte que l'endroit de chacune se trouve mis en continuité avec l'envers de chacune de ses voisines. Les pavages s'interprètent aussi comme «graphes de b a n d e s en trouant leurs faces et en ne conservant que le voisinage bidimensionnel du graphe des sommets et arêtes. Les métamorphoses involutives se traduisent alors à l'aide de la transformation élémentaire de torsion qui consiste à couper transversalement chacune des bandes puis à. les recoller après avoir effectué un de mi-tour de torsion. I l est assez étonnant de constater que ces trois involutions engendrent un groupe symétrique S3 de transformations. Mous l'appelons croupi des m é t a m o r p h o s e s . Ce groupe est essentiellement le groupe d'automorphisme d'une catégorie due à. A. GrothendiecK et ses élèves (Y, Ladegaillerie» C. Voisin et J , Malgoire» P. Oamphousse)» catégorie abritant les pavages de surface et les revêtements ramifiés. Les sections 1» 2» 3 présentent pavages» graphes de bandes et métamorphoses de façon heuristique» la section 4 donne un fondement algébrique. On f a i t une connexion» section S» avec la théorie des surfaces de Seifert et de Reidemeister. Félix Klein» Max Dehn et surtout Hugo Steinits ont anticipé plusieurs de ces notions. Nous donnons des repères historiques* section 6» et rappelons notamment les énoncés de H. S. M. Coxeter qui ont été à l'origine de notre élaboration. Après avoir terminé ce manuscrit nous avons appris l'existence des travaux de S. E. Wilson (1979)» de S, Lins (1932) et de G. A. Jones et J . S. Thomton (1933). En particulier, le premier auteur remarque l'action de S3 sur les pavages réguliers et donne une description géométrique des trois métamorphoses involutives» le second établit cette action dans le cas des pavages quelconques» les deux derniers auteurs montrent que ce groupe S3 est le groupe des automorphismes extérieurs du groupe de GrothendiecK (notre lemmme 12). A la suite d'un exposé sur les métamorphoses que nous avons donné» k l'invitation de L. Siebenmann» à la faculté d'Orsay» en avril 1934» H. Chaltin souligne le rôle du graphe des arêtes (voir le point 6 ci-dessous)» i l construit notamment pour tout graphe quadrivalent les pavages l'admettant pour graphe des arêtes, et montre que tout trio de surfaces est réalisable comme trio des surfaces sous-jacentes aux pavages d'une même orbite du groupe des métamorphoses. L. Guibas et J . Stolfi (1935) discutant un problème combinatoire donnent un modèle algébrique des pavages (Edge Algebras) proche de celui de GrothendiecK. Dans des articles à, paraître» L. D. James et J . Tits montrent enfin que» pour toute dimension supérieure» un analogue du groupe des métamorphoses est un groupe dihédral D4. Toutefois, les résultats algébriques et topologiques suivants sont, à notre connaissance» originaux. i La définition géométrique des pol y g o n e s de Pe t r i e est générale : elle ne souffre pas d'exception dans le cas de pavages dégénérés (p. 1 1 , p. 20» p. 33). 2 Un théorème (ouvrant sur des conjectures)» caractérise les métamorphoses comme les seules bannes transformations du monde des pavages (p. 23» pp. 26-33). Le contexte est une catégorie définie par GrothendiecK et ses élèves» dent les objets s'interprètent comme des pavages et des généralisations naturelles. 3 La définition des p a r o i s , modèle algébrique de pavages et pavages généralisés, donne lieu à une interprétation tcpologique immédiate (p. 13, 20, 21). 4 La considération des pavois met en évidence 1'associatiGn à tout pavage, outre son groupe d'automorphisme, d'un second groupe, son groupe de dislocation (p. 19). 5 La classification des pavages est réduite à celle des classes de conjugaison des sous groupes libres d'indice f i n i du groupe de GrothendiecK» produit libre du groupe de Klein à 4 éléments par le groupe à 2 éléments (p. 25). A ces résultats centraux» et grâce au point de vue qu'ils fournissent, s'ajoutent les points suivants : 6 Définition du g r a p h e des a r ê t e s (p. i 4 , 22), graphe quadrivalent canoniquement attaché à chaque pavage» et invariant sous le groupe des métamorphoses. 7 Isomorphisme pour tout pavage - vu comme espace homogène des pay i 1 I on s sous l'action du groupe de GrothendiecK - du stabilisateur d'un pavillon et du groupe fondamental du graphe des arêtes (p. 24). Damphousse (1931) mentionne un énoncé équivalent et le vérifie dans deux cas particuliers. 3 Correspondance biunivoque entre pavages et graphes de bandes (ou handle bodies de dimension 2) (pp. 7-10). 9 Description des métamorphoses involutives à l'aide de l'opération tcpologique de torsion de graphe de bandes ( p . 8 f 1 5 ) . 10 Traduction en termes de graphes de bandes de la construction aboutissant à la surface de Seifert d'un entrelacs donné (p. 36). il Exemples montrant l'existence de toutes les sortes d'orbites a priori envisageables du groupe des métamorphoses ipp. 40-43). Que les personnes qui nous ont aidées dans notre travail trouvent ici l'expression de notre gratitude : HendricK CHALT1N, Jacques EMSALEM, Françoise GONON» Alexandre GROTHENDIECK, Philip HIGGINS, Claudine MAERTEN, Bernard MQRIN, Thomas PETERFALVI» Marie-France RAGUET» Daniel SCHNIT2PAHN, Carstan SCHUTT» Peter SCOTT et Laurent SIEBENMANN. Nous remercions notamment Michel SMSALEM qui nous a fourni la démonstration du lemme 12 et Christian LAIR qui nous a donné la démonstration des étapes (24) à (29) du théorème i i . Nous devons à Jean BRETTE le plongement représenté par la figure liminaire, e t à Bernard 3SSNIER l a t r a d u c t i o n du t e x t e c i t é de P l a t o n . Enfin» nous voulons rendre hommage à la mémoire de Pierre SOURY. LES SURFACES PAVEES Une s u r f ace pavée ou pavage est un patchworK d'un seul tenant, fait de faces» en nombre fini» cousues ensemble selon un schéma de m o n t a g e . Les f a c e s d'un pavage sont des disques compacts polygonaux disjoints deux à deux (fig. l ) . etû". figure \ Les faces, constitutives des pavages* sont les disques polygonaux. Les bords des faces sont subdivisés par des somme t s (au moins un) en autant de c ô t é s . Les côtés sont des segments curvilignes compacts sauf pour les faces qui n'ont qu'un sommet et dont l'unique côté est un cercle S I . Selon les indications du schéma de montage, chaque côté de face est cousu 4 un unique autre côté de face • Le schéma de montage spécifie notamment de laquelle des deux manières a p r i o r i possibles, tête-béche l'une de l'autre, la couture est faite La discussion précédente laissait sous-entendre que chaque face d'un pavage a une structure linéaire» ce qui n'est pas le cas. Plutôt que d'introduire une structure linéaire on renonce à identifier canoniquement la surface pavée de départ et la surface sous-jacente à une subdivision barycentrique. I l y a une équivalence canonique et fonctorielle démontrée par P. DAMPHOUSSE entre une catégorie abritant les pavages» et une catégorie que nous redéfinissons» sous le nom de c a t é g o r i e d e s p au o i s» de la façon formelle suivante: On appelle pavois les systèmes ordonnés DEFINITION 1. (P, T, X, Y, 2 ) , où P est un ensemble non vide, et où T, fixe de X» Y» *1 Z sont des involutions sans point 1'ensemble P, engendrant un oroupe agissant transitivement sur 1'ensemble P, telles oue l'une, et par suite chacune, des involutions X, Y, e£ Z soit la bijection composée des deux autres. On a p p e l 1e pavillons l e s é l é m e n t s de l ' e n s e m b l e P. Les morphismes d'un pavois le croupe des d i s l o c a t i o n s ou bijections de 1'ensemble P engendré par l e s i n v o l u t i o n s T, X, Y, et Z. On appelle groupe d'automorphisme d'un pavots l e groupe des a u t o m o r p h î srnes ou m o r o h i s m e s i n v e r s i b l e s de c e p a v o i s sur lui-même. Le groupe d'automorphisme est le groupe des bijections de l'ensemble oes pavillons qui commutent avec toutes les dislocations. Le groupe de dislocation agit transitivement par définition. Le groupe d'automorphisme agit p^r conséquent librement. Interprétant des résultats classiques sur les actions de groupes» on a : PROPOSITION-DEFINITION 3. Soit un pavois. On dit que le pavots est régulier sMl vérifie les conditions équivalentes suivantes i < i) Le groupe de dislocation agit transitivement. 1i brement. Le groupe d'automorphisme agit transitivement. 1î brement. Si le pavois est régulier, alors les deux croupes sont isomorphes. Si le pavois est régulier. alors le groupe de dislocation est le groupe des bijections de l'ensemble des pavillons oui commutent avec tout automorphisme. Démonstration. (1) La condition (i) est conséquence immédiate de la condition (ii). (2) Supposons réciproquement que le groupe de dislocation agit transitivement et librement» démontrons que le groupe d'automorphisme agit transitivement. Soit des pavillons a e t b. On vérifie que l'application h de l'ensemble des pavillons dans lui-même» définie par» pour tout x» h» démontrable Je façon analcgue* : THEOREME 1i. Le quotient du groupe d'automorphisme de la catégorie des pavois par le sous-orouoe des automorphismes équivalents naturellement au foncteur identique, est un groupe svmétr i que 33 , isomorphe canoniquement au groupe des métamorphoses. Nous déduisons ci-dessous (p. 26) le théorème du lemme suivant concernant le groupe de GrothendiecK G» produit libre du groupe a deux éléments par le groupe de Klein k quatre éléments. LEMME 12. Soi t 1 e groupe 6 , d'élément neutre noté e, défini par générateurs et relations : G - Les éléments d'ordre 2 du groupe G sont; le? conjugués des générateurs du groupe G . Le groupe Out G quotient du groupe d'automorphisme du orouoe G par le sous-orouoe des automorphismes intérieurs du orouoe G est un orouoe symétrique S3 , isomorphe canoniquement au sous-oroupe d'automorphisme de G défini par les permutations des générateurs x, y, z. Démonstration (due à Michel EMSALEM). (i) Les éléments du groupe G ont une forme canonique : ils sont (représentés biunivGquemerrt par) les mots en t» x# y» z qui sont succession de» alternativement» la lettre t et une lettre prise parmi les lettres x» y, z. (2) Les éléments d'ordre 2 du groupe G sont les mots symétriques de longueur (nécessairement) impaire» d'où la première partie du lemmme. (3) Soit un automorphisme v de G. Montrons que» à automorphisme intérieur près» v fixe t et permute x» y» 2. On peut supposer» d'après (2)» que v(x) est un mot d'une l e t t r e . (4) Les mots v(x>» v(y)» v(z) sont des mots d'une l e t t r e . En effet» si par exemple v(y) était un mot (de longueur impaire» d'après (2)) d'au moins trois lettres» alors selon que la l e t t r e composant le mot v(x) et la lettre terminant le mot v(y) appartiennent simultanément ou non à l'un des ensembles | t } et j x » y » z | , alors le mot v(z) * v: * a « X(a) , y * a « Y(a) » z * a * Z(a). Dans tout ce qui suit* nous adoptons le point de vue développé par P. DAMPHOUSSE (1981) et redéfinissons ainsi la catégorie des pavois ( v o i r p* 13) : DEFINITION 13 . On appelle pavois 1 es G- ensembles à gauche transitifs non vides. tels que les oénérateurs t, x, y, z aoissent 1 ibrement. La catégorie des pavois .a pour fièches 1 es G- applications (nécessairement) surjectives. P. DAMPHOUSSE affirme que le stabilisateur d'un quelconque pavillon est isomorphe au groupe fondamental d'une certaine surface non -fermés attachée au pavais et le vérifie dans deux exemples. On a l'énoncé équivalent suivant au l'on munit le graphe des arêtes de sa topologie canonique (voir MASSEY (1954, p. 190)) : PROPOSITION 14. Soit un pavois. Le stabilisateur d*un quelconque pavillon est isomorphe au groupe fondamental du oraohe des arêtes associé. Soit un pavois (P» T» X, Y» Z) et soit le stabilisateur H d'un pavillon p. Soit la famille éventuellement infinie indexée par P~de pavillons standard A i (chacun muni d'un homéomorphisme sur un triangle euclidien de référence de côtés nommés hypoténuse» apothème» corde). Soit le "pavage" construit par recollement des A i selon les règles T» X» Y. Alors, le groupe H est canoniquement isomorphe au groupe fondamental (qui est libre)» en un point intérieur k Ap» de la surface non fermée Z obtenue par trouage du "pavage" en chaque sommet et au milieu de chaque face. Cette surface Z est en effet le quotient du "modèle universel" (plan hyperbolique muni d'un certain pavage) du à P. DAMPHOUSSE par un groupe agissant librement isomorphe au groupe H. I l existe un isomorphisme# noté g»-*g'» du groupe de GrothendiecK G sur un groupe noté G' d'automorphismes du plan hyperbolique (représenté par le disque de Poincaré» intérieur du disque unité): aux générateurs t» x, y de G on f a i t correspondre les réflexions t'» x'» y' par rapport aux côtés ]l,iî,]i,0]»[0»iC d'un triangle hyperbolique A (privé de sommets aux angles aigus qui sont nuls). Ce triangle A est un domaine fondamental pour l'action de G' sur le disque de Poincaré, pavé par les images de A . Au sous-groupe H de G correspond un sous-groupe isomorphe H' de G', Le groupe K' agit librement, les triangles images de A par les seuls éléments t ' , x', y'» z' et identité de G' rencontrant A » et les générateurs t , x» y» z de G et donc leurs conjugués agissant librement sur P. Soit une famille standard 25 (compatible avec l'identification ci-dessus de chaque A i au pavillon euclidien de référence) indexée par P d'homéomorphismes 9 i de A sur A i privé de ses deux sommets aigus. On a pour finir le revêtement de la surface Z par le disque de Poincaré qui» au point de la forme g'(a)» pour g' dans G/ et a dans A , associe le point cj>i (a) de A i avec i * g - 1 p . La surface Z est le quotient du disque par H'. On conclut en remarquant que la surface Z se rétracte sur le graphe des arêtes du pavois. On en déduit la classification suivante des pavois : PROPOSITION 15. On a la bijection de l'ensemble des classes de conjugaison de sous-orouoes libres de G l'ensemble des classes d'isomorphisme de pavois induite 1'aopli cation qui à H associe le pavois G/H . En effet» les groupes fondamentaux de graphe sont libres» et réciproquement l e s sous-groupes libres H de G déterminent des pavois G / H . Enfin» les sous-groupes H et H' de G sont conjugués s i et seulement s i les espaces homogènes G/H e t G / H ' sont isomorphes. En effet» pour tout automorphisme intérieur v : x v - * a ~ i x a de G» on a i'isomorphisme gH »-*• gHa de G/H sur G/v(H). Réciproquement» soit f un isomorphisme de G/H sur G / H ' . Alors» choisissant a dans G t e l que f (H) » aH'» on a f (gH) 3 gaH' pour tout g dans G. D'où a - l H a est contenu dans H' parceque gaH' * a H ' pour tout g dans H et a - l H a contient H' parceque f est injective. Les pavois réguliers reçoivent dans ce contexte une définition élégante: PROPOSITION 14. Un pavois est régulier si et seulement si il est isomorphe à un pavois de la forme G/H où H est un sous-oroupe libre distingué de G. Soit H un sous-groupe libre de G. Le groupe de dislocation (resp. automorphisme) du pavois G/H est le groupe des bijections de la forme aH f—*- gaH (resp. aH*—*-agH) poix g dans G (resp. pour g dans le sous-groupe N(H) normalisateur de H dans G)» groupe canonique ment isomorphe au groupe G / P l g H g - i (resp. N(H)/H>. geG I l existe une famille de pavois réguliers À valences finies indexée par trois paramètres entiers. Tout pavois régulier à valences finies est quotient de l'un d'eux. En effet» les faces (resp. sommets* polygones de Pétrie) de tout pavois régulier ont une même valence m (resp. n» p). La permutation de l'ensemble des pavillons définie par (tx) m (resp. (ty) n , (t2)P) est la permutation identique. Ce pavois est ainsi quotient du pavois défini par l'action du groupe G sur (l'ensemble sous-jacent àJ le groupe G m , n | P défini par générateurs et relations : G m»n,p a < t > X f y # 2 / t 2 * x 2 a y 2 3 2 2 a x y 2 a ( t x ) m 3 ( t y ) n a ( t 2 ) p a f > ^ Nous reconnaissons la famille des groupes ainsi notés définis par H. S. M. COXETER (1939» p. 74) : G m,n»p « . En effet» des isomorphismes réciproques entre les groupes admettant respectivement ces présentations sont définis par» d'une part a = xt» b = ty» c * ytx» d'autre part x * bc» y » ca» z • ab» t • bca . On a ainsi» pour le plaisir du rapprochement : PROPOSITION 17. Le groupe de Grothendieck G admet 1 a présentation finie G = 2 s 2 = 2 = *• = e> et s' interprète comme orouoe de Coxeter G m*n>P dans le cas extrapolé où les trois paramètres sont infinis. Démontrons finalement le théorème i l (p. 23). Démonstration du théorème. (les étapes (24) k (29) sont dues k Christian LAIR) Nous établissons un isomorphisme canonique entre le groupe Out G et le groupe quotient du groupe des automorphismes de la catégorie des pavois par le sous-groupe des automorphismes équivalents naturellement au foncteur identique et concluons» étape (22)» en utilisant la deuxième partie du lemme. Entretemps» nous utilisons la première partie du lemme lors des étapes (4) et (3). (1) Nous notons (P» •) le pavois défini par une action k gauche * du groupe G sur un ensemble P. Une flèche f d'un pavois (PI» •!) vers un pavois (P2» *2) est une G-application surjective de l'ensemble Pt sur l'ensemble P2* On a: pour tout g dans G et tout a dans Pi» f(g • ! a) * g *2 f(a) (2) Notons K la catégorie des pavois. Notons Aut G (resp. Aut K ) le groupe des automorphismes du groupe G (resp. de la catégorie K>. Notons Int G (resp. Int K ) le sous-groupe des automorphismes intérieurs du groupe G (resp. des automorphismes équivalents au foncteur identique de la catégorie K). Le groupe Int G (resp. Int K ) est un sous groupe distingué du groupe Aut G (resp. Aut K ). Notons Out G (resp. Out 1C ) le groupe quotient Aut G / Int G (resp. Aut K / Int K ), (3) Nous présentons les étapes de la démonstration. On a le diagramme commutatif suivant (diag 1) : Int G • Aut • Int K 4 v| • Fv * G •NOY / > Aut K 1 Out G -»Aut K / NQY<« •Out K B di aoramme 1 De (4) k (8) : définition d'un homomorphisme de Aut G dans Aut K . De (?) à (13) : définition d'un pavois privilégié. Les automorphismes de la catégorie transforment ce pavois en un pavois isomorphe. De (14) À {16) : définition d'un homomorphisme de Aut K dans Out G . En (17) : description du noyau NOY de l'homomorphisme ci-dessus» et définition de l'homomorphisme induit A de Aut K / NOY dans Out G . En (18) : Int K est contenu dans NOY . De (18) k (19) : définition de l'homomorphisme B de Out G dans Aut K / NOY . De <20) à (21) : A et B sont des isomorphismes réciproques. De (23) à (29) : NOY est contenu dans Int K. (4) L'ensemble des éléments d'ordre 2 du groupe G contient les générateurs du groupe G» est stable par les automorphismes du groupe G et d'après le lemme i; ci-dessus» pour tout pavois» ses éléments agissent sans point fixe. (5) A tout automorphisme v du groupe G an associe un automorphisme Fv de la catégorie K des pavois. Au pavois (P» *i) l'automorphisme Fv associe le pavois (P» *2) » ayant même ensemble sous-jacsnt, et tel que» pour tout g dans G et tout a dans P, g *2 a s v(g) *i a . L'automorphisme Fv agit trivialement sur les flèches. 27 L'énoncé (4) assure que (P» *2) est un pavois : les générateurs de G agissent encore sans point fixe. Pour tout v' et tout v - automorphismes de G» on a : Fv' o Fv44 « FVov' (6) Les métamorphoses en particulier sont les automorphismes Fv où v est un aut o m ar pis me du groupe G défini par permutation des générateurs x» y» z. (7) Lorsque v est un automorphisme intérieur du groupe G» alors Fv est un automorphisme équivalent naturellement au foncteur identique. (3) D'après (5)» on a l'homomorphisme du groupe Aut G dans le groupe (dual du groupe) Aut K : v h-* Fv . D'après (7)» cet homomorphisme induit un homomorphisme du groupe Out G dans le groupe Out K . (9) La catégorie K comporte un objet privilégié» appelé pavo i s un i verse1 » noté (G» *). L'ensemble sous-jacent est l'ensemble sous-jacent au groupe G et l'action e est la translation à gauche. Pour tout g dans G et tout a dans G» on a : g * a » ga . (10) Pour tout pavois (P» *)» il existe des flèches (G» *) —*• (P, *). Soit a un élément de P. Alors» une flèche est l'application» notée Sa» de G sur P qui k tout g associe Sa (g) * g * a . Pour tout g dans G et tout a dans P» on a le diagramme corn mutâtif suivant (diag. 2) : F -*> F < G , *>« w di aoramme 3 L'application» notée w(F» c)» qui 4 tout a dans G associe cet élément b dans G» est un automorphisme de G. (15) Soit F un automorphisme de la catégorie K. Soit c' et c" deux isomarphismes de (G» *) vers (F» *) . Alors w- •> F *>- -> F < G , Sa *>- •> F *) c* Id F c' d i a o r amme 4 (16) On déduit de (14) et (15) un homomorphisme qui à tout F dans Aut K associe l'élément de Out G » classe des w(F» c) pour c isomorphisme de (G» *) vers F (G» * ) . (17) Notons NOY le noyau de l'homomorphisme ci-dessus de Aut K dans Out G. Un automorphisme F est dans NOY si et seulement si pour tout c (resp. pour un c) isomorphisme de (G» «) vers F (G» *) , w(F» c) est dans Int G (resp. est l'élément neutre de Aut G). Deux automorphismes F' et F" sont congrus dans Aut K modulo NOY si et seulement si pour un isomorphisme c' de (G» *) vers F'(G» *) e t un isomorphisme c" de (G» *) vers FM(G» *) » w(F'» cO et w(F"» c") sont congrus dans Aut G modulo Int G . Soit alors l'homomorphisme A : Aut K / NOY —*• Out G » défini par A ( £ . ) « w< F, c) . On indique par des soulignements les classes dans les quotients. (13) Int K est contenu dans NOY. Bn effet» soit un foncteur F équivalent naturellement au foncteur identique» et soit l'isomorphisme (de l'équivalence naturelle) c de (G» e) vers F(G» e). On a» pour tout g dans G» le diagramme commutatif suivant (diag. S) : *> FCSg) Sg -*F Sg (G, "•Fv- «•Fv d i a o r amme 6 D'où» Fv agissant trivialement sur les flèches et d'après (14)» on a : pour tout g dans G» Sw(Fv» v)- -*F F di aoramme 7 A partir de maintenant» par abus de notation» P. désigne tout pavois dont l'ensemble des pavillons est noté P. I l s'agit de montrer qu'il existe une équivalence naturelle e : ID ==*» F du foncteur identique vers le foncteur F. Pour toute flèche f d'un pavois PJL vers un pavois £ £ » on doit avoir le diagramme commutatif suivant (diag. 8) : * EL £i- -* F< Pi ) F * d 4 n * ?> « t J £.-compatible» e-t# pour toute famille J .JE. -compatible (Ta : £ —*- GL » a dans P)» il existe une unique flèche h : P. —»• & » telle que l'on ait» pour tout a dans P» le diagramme commutatif suivant (diag. 10) : di aor amme 1Q Sn effet» la famille (Sa : g. —*• £. » a dans P) est J P. -compatible d'après (10), ensuite, l'unicité de h résulte de la surjectivité des flèches Sa» et enfin» posant» pour tout a dans P» hU) * TaF< g ) F o" *» pour tout a dans PI le diagramme commutatif suivant (diag. 12) : *F< e P2 di aoramme 12 G ) FP< P2 ) 32 Nous disposons ainsi d'une transformation naturelle e : I D foncteur identique vers le foncteur F» qui prolonge l'isomorphisme c: g. — •F du F(G.). (29) F étant un automorphisme» le pavois F( P. ) est» d'après (26)» la limite inductive du foncteur F o J f . » naturalisée par les F(Sa)» pour a dans P. Or la famille (Sa o c - i : F( £ ) —•- £. » a dans P) est» d'après (10) et (13)» F o J P.-compatible : le diagramme ci-dessous est» pour tout g dans G e t tout a dans P, commutatif (diag. 13). F(Sq) F< G )"N Sg*a o c-1 d i aoramme - * F< G > 'Sa o c-1 13 11 existe donc une (unique) flèche k telle que l'on ait» pour tout a dans P» le diagramme commutatif suivant (diag. 14) : F< G ) F F< P ) e P F £ F< P ) » h d i a q r ammes 15 On en déduit les diagrammes commutatifs suivants (diag. 16) : FC G ) FCSa) / X F F< P ) k o h di aorammes h o k 16 33 On déduit des propriétés (voir (26) et (29)) des limites inductives P, et F ( _ P . ) » que les flèches h et k sont inverses l'une de l'autre. Enfin» la flèche e mJPm (qui est la flèche h) est inversible pour tout pavois P.. La transformation naturelle e est une équivalence. C. Q. F. D. CONJECTURES. Le théorème concerne la catégorie des pavais f i n i s ou i n f i n i s . 11 est vraisemblable que le théorème analogue existe pour la sous-catégorie pleine des pavais f i n i s (qui correspondent à l'idée classique de p o l y è d r e s ) . La preuve devrait sans doute prendre en compte des propriétés plus fines du groupe G. Les pavois (resp. pavois finis) sont classés p^r les sous-groupes libres (resp. libres d'indice fini) de G (voir proposition 13). Dans cet esprit notons que l'intersection des sous-groupes libres IPindice fini "de 6 est triviale» en effet» G contient un, sous-groupe libre (isomorphe au groupe fondamental du graphe en "huit11 ou à celui de la sphère trois fois trouée » correspondant au pavage de la sphère en deux faces, une arête» un sommet; voir proposition 14) d'indice fini (quatre) e t , c'est notoire» t o u t groupe libre est r é s i duel 1 emen t f i n i» c'est-à-dire l'intersection de ses sous-groupes d'indice fini est triviale de groupe libre étant muni d'une base» tout élément non neutre est représenté par un mot Mn non vide où Mi (o et les met en relation avec des procédés classiques de construction de surfices bardées par des entrelacs (EOLFSEN» 1974). A une orbite nous avons associé différents objets : six pavages, six graphes de bandes (trois graphes de bandes et leurs tordus respectifs)» trois graphes (les imes des trois paires de graphes de bandes)» trois pavages quadrivalents bi-colorables (les trois pavages de Pétrie)» un graphe quadrivalent (le graphe des arêtes). Chaque élément d'une orbite peut être désigné par un pavage» un graphe de bandes (choisi arbitrairement comme graphe de bandes des sommets d'un pavage)» une couleur d'un pavage de Pétrie. Chaque élément d'une orbite a pour attribut une suite ordonnée de trois graphes (on choisit l'ordre arbitraire : graphe des sommets» graphe des faces» graphe des polygones de Pétrie qui est le graphe des sommets du facial et aussi le graphe des faces du sommitai). 11 existe des contractions d'orbite du groupe des métamorphoses (voir annexe) : nous appelons o r b i t e à 6 une orbite qui comporte six pavages non-isomorphes; nous appelons o r b i t e à 3 une orbite qui comporte trois paires de pavages isomorphes; nous appelons o r b i t e à 2 une orbite qui comporte deux trios de pavages isomorphes; nous appelons o r b i t e k 1 une orbite qui comporte six pavages isomorphes. Mous appelons a u t o - t o r d u un graphe de bandes invariant (à isomorphisme près) par torsion (voir section 2). Nous appelons ambi-col orabl e un pavage de Pétrie invariant (k isomorphisme près) par permutation des couleurs (voir section 3). Dans une orbite à 3» un graphe de bandes est auto-tordu et les quatre autres sont deux À deux isomorphes sans être auto-tordus» deux des trois graphes sont isomorphes, un pavage de Pétrie est ambi-calarable et les deux autres sont isomorphes. Dans une orbite à 2» trois graphes de bandes (non auto-tordus) sont isomorphes (et leurs trois tordus sont isomorphes)» les trois graphes sont isomorphes» les trois'pavages de Pétrie sont isomorphes et non ambi-colorables. Dans une orbite à i» les six graphes de bandes sont isomorphes, les trois graphes sont isomorphes, les trois pavages de Pétrie sont isomorphes et ambi-colorables. La connaissance des nombres d'arêtes» sommets, faces et polygones de Pétrie permet de calculer la caractéristique des pavages d'une orbite. Pour déterminer leur orientabilité dans le cas de caractéristiques paires inférieures à 2 i l est nécessaire de connaître les graphes pondérés (voir section 2). Cependant des indications sur l'orientabilité des pavages d'une orbite peuvent être déduites d'objets plus pauvres. Enonçons deux propositions préalables : PROPOSITION 18. Si un graphe circuits de longueur paire, alors i l e s t l ' a m e a l a même o r i e n t a b i l i t é que des t o u t g r a p h e de b a n d e s que son t o r d u . ne contient dont PROPOSITION 19. Si un g r a p h e c o n t i e n t au m o i n s un c i r c u i t de longueur i m p a i r e , a l o r s toute p a i r e c o n s t i t u é e d'un graphe de bandes d o n t i l e s t l ' a m e e t de son t o r d u c o n t i e n t au m o i n s une s u r - f a c e non o r i e n t a b l e . Un graphe de bandes est graphe de bandes des sommets d'un pavage et graphe de bandes des faces du pavage dual. La proposition i? implique : 33 PROPOSITION 20. Toute orbite dont un graphe contient au moins un circuit de longueur impaire comporte au moins deux surfaces non orientables. Soit une orbite comportant deux paires formées chacunes d'un graphe de bandes et de son tordu et telles que rime de ces graphes de bandes ne contienne que des circuits de longueur paire. Alors il existe une paire» formée d'un élément de chacune de ces deux paires, constituant les graphes de bandes des faces et des sommets d'un pavage de l'orbite. Ces deux graphes de bandes sont de même orientabilité. Les tordus de ces deux graphes de bandes sont respectivement le graphe de bandes des faces du facial et le graphe de bandes des sommets du sommitai du pavage. La proposition 18 implique : PROPOSITION 21. Toute orbite dont deux graphes ne contiennent que des circuits de longueur paire ne comporte que des surfaces de même orientabilité. Nous avons joué d'une double interprétation du dessin des polygones de Pétrie d'une paire de pavages duaux : -l'une en termes de courbes immergées dans la surface ou de graphe des arêtes plongé dans la surface ou de graphe des sommets du pavage de Pétrie; -l'autre en termes de graphe de bandes (section 2) qui reconnaît dans les croisements de polygones de Pétrie des projections de torsions de bandes. Les algorithmes de Seifert et de Reidemeister utilisent cette même ambivalence pour construire 4 partir de projections sphériques (ou planes) d' entrelacss des surfaces bordées par ces entrelacss. Ces surfaces s'interprètent naturellement comme des plonge m en ts de graphes de bandes. La construction de Reidemeister s'appuie sur le fait que toute projection sphérique (ou plane) d'un entrelacs constitue le graphe quadri-valent des sommets d'un pavage bi-colorable. Cette projection détermine le pavage de Pétrie commun à une paire de pavages sphériques duaux. Chacune des couleurs du pavage de Pétrie représente un plongement du tordu de l'un des graphes de bandes de la paire de pavages duaux associés k ce pavage de Pétrie (fig. 23). f i qure 23 Les deux surfaces de Reidemeister associées à la projection standard du noeud de trèfle. La surface rayée est un plongements du graphe de bandes des sommets du sommital du pavage standard de la sphère en deux triangles. La surface pointillée est un plongement du graphe de bandes des faces du facial de ce pavage. 36 Soit les deux surfaces de Reidemeister PROPOSITIQN 22. - — partir d'une projection sohérique d'un constru i tes à entre!acs. de ces surfaces est un plongement du graphe de Chacune bandes des sommets du sommital P est f i n i et l'interprète alors comme groupe des automorphismes (métriques) d'un pavage très régulier» qu'il note {m»n|p. Les faces (resp. sommets» polygones de Pétrie) d'un t e l pavage sont de valence m (resp. n» p). Les six pavages ayant les mêmes paramètres m» n» p dans un ordre variable ont même groupe d'automorphismes. COXETER (1939» p. 130) les désigne alors comne les "six corresponding regular maps". I l décrit (1930» p. 420) une transformation involutive entre pavages réguliers : elle consiste à conserver le graphe des sommets d'un pavage» à en évider les faces et leur substituer celles qui comblent les polygones de Pétrie du pavage d'origine. COXETER et MOSER (1937, p. i i i ) remarquent que la dualité et cette nouvelle transformation involutive engendrent les paquets de six pavages {m»nL ayant les mêmes paramètres dans un ordre variable. COXETER (1939» p. 128) définit les pavages s e m i - r é g u i i e r s : le pavage semi-régulier noté |m/n|p est ce que nous appelons le pavage de Pétrie des pavages (duaux l'un de l'autre) notés |m»n|p et {n»m}p. I l souligne (1939» p. 132) l'exemple du groupe G 3 » 4 ' * : les trois pavages semi-réguliers associés sont portés par trois surfaces dont l'une est sphérique» l'autre euclidienne (le tore)» la troisième hyperbolique (la surface non-orientable de caractéristique -2)« L'un d'eux» noté J3/4}4» ou encore {4/3^» est le cubactaèdre d'Archimède. COXETER (1932» p. 127) définit le symboleFH» qui anticipe les symboles |m/n£p« La définition par COXETER des polygones de Pétrie f a i t obstacle k la généralisation. Par exemple» le pavage standard de la sphère en deux faces triangulaires» trois arêtes et trois sommets» pavage noté J3»2^» n'admet aucun polygone de Pétrie au sens de COXETER. COXETER et MOSER (1957» p. 140) citent pourtant le pavage dual J2»3^ dans leur recensement des pavages finis connus {m»n}p. COXETER (1974, p. 20) écrit que les polygones de Pétrie ont commencé leur "usefull career" en 1925. En fait» les polygones de Pétrie» le pavois fondamental et le pavage de Pétrie d'un pavage ont été reconnus* sous diverses appellations et à diverses fins» par plusieurs a u t e u r s . 39 C'est k GROTHENDIECK et a ses élèves Y. LADSGAILLSRIS U97o/» C. VOISIN et J. MALGLOIPE (1977) et ?. DAMPHOUSSE (1931) que revient le crédit d'avoir construit une catégorie assez riche pour abriter les pavages. P. DAMPHOUSSE a introduit l'objet universel (G» *) sous le nom de "Universal madel". Le groupe de GrothendiecK G est une extension commune de tous les groupes de Coxeter G m»n'P (voir proposition 17). De ce point de vue» le groupe de GrothendiecK G est interprété comme groupe de Coxeter G m,n 'P dans le cas extrapolé où les trois paramètres sont infinis. P. DAMPHOUSSE donne du groupe G une présentation qui favorise deux des trois involutions du groupe de Klein facteur» et reconnaît» dans l'échange de ces deux involutions» la dualité comme automorphisme de sa catégorie. Max DEHN (1936» ppm 132-157) associe k un pavage des "t-graph" qui sont ses polygones de Pétrie. Hugo STEINITZ (1934» p 196 et suivantes) définit le M9-Prosess" qui» k un pavage» associe son pavage de Pétrie. Félix KLEIN (1379, pp. 433-469; 1923, pp. 123-132) utilise la décomposition barycentrique des pavages. Il trace trois polygones de Pétrie du pavage du tore de genre 3 représenté par la Hauptfigur, figure discutée par J« GZLÂZ (1982). Il interprète les 21 (axes de translation laissant stable chacun des 21) polygones de Pétrie comme étant les 21 géodésiques les plus courtes de ce tore de genre 3 muni d'une métrique de Riemann (1390» pp. 369-3:52). August Ferdinand MOBIUS (1363» itfao) définit les "zones" d'un pavage à faces triangulaires. Chaque zone est une bande» portion de la surface. A chaque zone an peut associer canonique ment un polygone de Pétrie. Il compare l'orientabilité et le nombre de côtés d'une zone. Jean-Claude PONT (1974, pp. 33-111) analyse les mémoires où MOBIUS expose ces notions. Pour autant c'est PIATOîT qui remporte l e prix. Dans le Timée V53 c - 57 d), ayant attribué à chacun des coros simple» - terre, eau, air, feu • la configuration d'un polyèdre - cu&e, icosaèdre, octaèdre, tétraèdre - PIATON établit les règles dfune sorte de chimie des corp3 simples à l'aide de deux opérations sur les polyèdres, à savoir c e l l e s là môme qui ont fondé les métamorphoses: dislocation selon des triangles élémentaires (ceux de la subdivision barycentrique à notre sens de la surface polyédriquue, avec la différence qu'ils sont assortis d'une métrique et à l'exception du cube dont la dislocation est plu? grossière) puis recombinaison de ceux-ci. Après avoir indiqué que la terre jamais par ces opérations ne peut donner un autre corps qu'elle-même (étant seule associée à un polyèdre à triangles élémentaires rectangles i s o c è l e s ) , PUTOH (Timée 56 d-e) donne les règles selon les schémas inverses: eau — £ air + feu > f e u puis feu — ^ air — > eau . "Mais l'eau, fragmentée (wuriâv) par du feu et de l ' a i r , permet, par recomposition (<; ^Pouç auriu8ivro<; ) , deux corpuscules de feu. Dans la direction inverse: lorsqu'une petite quantité [de corpuscules] de feu est entourée de beaucoup de corpuscules d'air, d'eau ou de terre, emportée par leur mouvements, vaincue (vucTjStv) et brisée en morceaux ( ****^*ft ) dans le combat, cela aboutit à ce que deux corpuscules de feu donnent, par recomposition ( cruvicrracSov ) , un corpuscule d'air. Et l ' a i r à son tour, lorsqu'il est maîtrisé ( « ^ 6 « ^ ; et brisé en menus morceaux («Pu«Tux8évT0<; ) , de deux entiers plus un demi de ses corpuscules, i l résultera par agglomération (!««. «upt*^) m QO rpus CU ie entier d'eaui1* ANNEXE 1. - La - f a m i n e des cactu- Nous donnons l'exemple d'une -famille assez étonnant* de pavages : les cactus constituent une famille infinie de pavages sphériques» stable par métamorphose. Nous les représentons par des pavages planaires. On appelle cactus 1 es pavages de 1 a DEFINITION 24. graphe des sommets réalise un olonoement dans sphère dont 1 graphe dédoublé d'un arbre, graphe a/ant les la sohère du l'arbre et tel qu'à toute oaire de sommets mêmes sommets Que liés par une arête de l'arbre corresponde une paire de scrrmets liés par exactement deux arêtes du oraphe. On peut montrer par récurrence sur la taille du cactus. PROPOSITION 27. Soi t un cactus; (1) Il admet au moins une face de valence 2 avant un sommet de valence 2. (2) Les nombres F, S, P et A de faces, sommets. polygones de Pétrie et arêtes vérifient F = S * P = 1 + A/2 . En effet, ces propriétés sont vérifiées par le cactus correspondant k l'arbre minimum (fig. 32), et à chaque pas de la démonstration, augmenter le cactus d'une face vérifiant 4 (2) + 2 (4) + i (S) P * 4 (2) * i (4) + 2 (6) On donne encore l'exemple (fig. 33) de deu:< familles infinies d'orbites de cardinal 1. f i g u r e 35 Orbites de cardinal 1. 43 2 . - Une o r b i t e de cardinal 2, Les pavages de l'orbite de cardinal 2 sont distingués en comparant les cycles de leurs coins autour de leurs faces et de leurs sommets. I l y a pour l'un trois (resp. pour l'autre une) paires exactement de coins voisins sur l e pourtour de la facs en môme temp3 qu'opposés autour du sonnet. facialité dualité sommitalité ^iVf f i o u r e 26 Orbite de cardinal 2. Pavages de la surface de caractéristique - i . Cycle des coins entourant la face et celui des coins entourant le sommet pour chacun d'eux. f i g u r e 37 Les deux graphes de bandes associés* 44 BIBLIOGRAPHIE BURNSIOB W. : 1911 Theory of groups of f i n i t e order (2à éd.)» Dover Publications CHALTIN H. : 1984 A n S3-action on Pétrie graphs and t r i p l e Heegaard s p l i t t i n g s » preprint COXETER H.S.M.: 1932 The poiytopes w i t h r e g u l a r - p r i s m a t i c vertex figures» Proc. of the London Math. Soc.» 2nd ser. t v o l . 34, pp. 126-139 1937 Regular sKew polyedra i n three and four dimensions» and t h e i r topological analogues» Proc. of the London Math. Soc.» 2nd ser. v o l . 4:3» pp. 33-62 1939 The A b s t r a c t groups G m t n * p » Trans. Amer. Math. 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