D IAGRAMMES C. L AIR Diagrammes structurés de modèles Diagrammes, tome 18 (1987), exp. no 3, p. L1-L30 © Université Paris 7, UER math., 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIA6RAMMES VOLUME DIAGRAMMES STRUCTURES C. DE 18 MODELES Lair Introduc tion En (A.C.CA.), Makkai et Paré énoncent les trois résultats suivants; - la catégorie des familles (i, e, des diagrammes discrets) de modèles d'une esquisse donnée est encore une catégorie de modèles, - la catégorie des diagrammes (i, e, des diagrammes quelconques) de modèles d'une esquisse donnée est encore une catégorie de modèles, - la catégorie des modèles d'une esquisse donnée E " (i. e, des diagrammes structurés par la structure d'esquisse et d'indexation fixe El" ) dans la catégorie des modèles d'une autre esquisse donnée E!1 est encore une catégorie de modèles, pourvu que les limites et les colimites, dans la catégorie des modèles de E ' , soient elles-mêmes esquissables, Nous proposons ici une démonstration syntaxique et commune de deux résultats généraux, dont les trois précédents sont des cas particuliers, Ces deux résultats généraux sont établis syntaxiquement, i, e, en construisant explicitement les esquisses appropriées, De plus, les constructions utilisées sont totalement élémentaires: elles reposent essentiellement sur le calcul de lax-1imites inductives particulières dans la 2catégorie Esq des esquisses, Elles figurent, pour la plupart, dans nombre de travaux antérieurs (parfois très anciens - voir par exemple (E.G.C.E.)) concernant la Théorie des Esquisses, A .M.S . Sut» . C1 » * • . : 1S A S»9 , 1 6 B 9 9 , 1 B C 9 9 , 1 8 D 9 9 DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Comme il semble que ces travaux soient ou paraissent peu disponibles, il nous a paru utile de les synthétiser ici, sous une forme brève et homogène, Esquisses et modèles, On dit que E = (supp(E)fPfQ) est une esquisse [voir la Note 13 si, et seulement si: - supp(E) est une catégorie, appelée support de E , - P est une classe de cônes projectifs de supp(E) [voir la Note 23, dits distingués dans E , - Q est une classe de cônes indue tifs de supp(E) [voir la Note 23, également dits distingués dans E , (voir la figure 1, dans l'Atlas des Figures), Dans ces conditions, on dit que E est petite (resp, grosse) si, et seulement si; - supp(E) est une catégorie petite (resp. grosse) [voir la Note 33, - P est un ensemble petit (resp, gros) et tout élément de P est un cône projectif d'indexation petite (resp, grosse) [voir la Note 33, - Q est un ensemble petit (resp, gros) et tout élément de Q est un cône inductif d'indexation petite (resp, grosse) [voir la Note 33. [Note 1, Nous utilisons ici le mot "esquisse" dans une acception un peu plus particulière que celle, originelle, figurant en (E.T.S.A.) ou (C.Q.C.E.) par exemple, Plus précisément, nous supposons, dans le seul but de procéder à un exposé aussi court que possible, que le support d'une esquisse est une catégorie et non pas un graphe compositif, i, e. un "système de générateurs et relations" pour une catégorie, Bien entendu, on peut (en perdant en rapidité d'exposition, mais en gagnant quant à 1'effectivité pratique) traduire facilement toutes les considérations qui vont suivre dans ce cadre plus général : nous laissons ce soin au lecteur,3 [Note 2. Si I est une catégorie, on note I * (resp, la catégorie obtenue en rajoutant à I un objet final I~ ) ZCI ) DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES (resp, un objet initial A( I ) ). Ainsi, pour tout objet I de I , on dispose d'une unique flèche z(I):I -» Z( I ) (resp, a(I):A(I) -» I > de I * (resp. de I ~ ), Si F;I -4 I ' est un foncteur, on note F"*:I^ -> I •* (resp, F~:I~ -* I '- ) son unique prolongement qui commute aux éléments finals (resp, initiaux) ainsi rajoutés, Si X et I sont deux catégories, on dit qu'un foncteur qîl"1" 4 X (resp. p:I~~ -» X ) est un cône induetif (resp. projectif) de X , d'indexation I , Souvent, on note simplement (mais abusivement): q = (q(z(I)):q(I) -» q(Z(I)))i.x (resp. p«(p(i(I));p(A(I))4p(I))i.i ). 3 [Note 3, On raisonne dans un bon modèle de la théorie des ensembles avec axiome des univers (voir, par exemple, (T.H.E.N,)), En particulier, on suppose que U et V sont deux univers fixés une fois pour toutes et tels que; - U appartient à V et U est inclus dans V , Si Ut est un univers, on dit qu'un ensemble E est Ut-petit si, et seulement si; - E est (en bijection avec un) élément de U/ , En particulier, un ensemble O-petit sera simplement dit petit et un ensemble V-petit pourra être dit gros, Alors, on note Ens (resp, ENS ) la catégorie dont les objets sont les ensembles petits (resp, gros) et dont les flèches sont les applications entre ces ensembles. De même, si Ut est un univers, on dit qu'une catégorie X est Ut-petite si, et seulement si; - la collection Ob(X) des objets de X est un ensemble Utpetit, - la collection F K X ) des flèches de X est un ensemble UJ~ petit, Pareillement, on dit qu'une catégorie X est localement Ufpetite si, et seulement si: - pour tous objets X et X1 de X , la collection > 1 Hom>c(X,X ) des flèches x:X -» X de X est un ensemble Uh petit, En particulier, une catégorie O-petite sera simplement dite petite, une catégorie localement O-petite sera simplement dite localement petite, une catégorie V-petite pourra être dite grosse (par rapport à U ) et une catégorie localement V petite pourra être dite localement grosse, Alors, on note Cat (resp, CAT ) la catégorie (ou, si besoin est, la 2-catégorie) DIAGRAMMES STRUCTURES Ofcs. M Q Ù E L dont les objets sont les catégories petites (resp, grosses) et dont les flèches sont les foncteurs entre ces catégories (et dont les 2-flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs). 3 Si E et E' sont deux esquisses, on dit que H = (E,supp(H),E ' ) est un homomorphisme de E vers E ' et l'on note H : E -* E ' si, et seulement si; - supp(H);supp(E) 4 supp(E') est un foncteur, appelé support de H , - l'image par H (i, e, par supp(H) ) de tout cône projectif distingué dans E est un cône projectif distingué dans E ' , - l'image par H (i, e, par supp(H) ) de tout cône inductif distingué dans E est un cône inductif distingué dans E ' , Alors, on définit facilement 1'homomorphisme composé de deux homomorphismes consécutifs entre esquisses, Si H,H' ;E -> E * sont deux homomorphismes d'esquisses, on dit que h = (H,supp(h),H') est une transformation naturelle de H vers H' et l'on note h: H * H' : E -» E ' si, et seulement si: - supp(h): supp(H) * supp(H') : supp(E) -* supp(E') est une transformation naturelle, Alors, on définit aisément la composée de deux transformations naturelles consécutives entre homomorphismes d'esquisses, ainsi que la composée d'une telle transformation naturelle avec un homomorphisme entre esquisses. Dans ces conditions, on note Esq (resp, ESQ ) la catégorie (ou, si besoin est, la 2-catégorie) dont les objets sont les esquisses petites (resp, grosses) et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces esquisses (et dont les 2flèches sont les transformations naturelles entre ces homomorphismes). Si E est une esquisse et si C est une catégorie, on dit que M = (E,ssj(M),C) est un modèle de E dans C et l'on note M ; E -» C si, et seulement si; - ssj(M);supp(E) -» C est un foncteur, dit sous-jacent à M , - l'image par M (i, e, par ssj(tl) ) de tout cône projectif distingué dans E est un cône limite projective de C , - l'image par 11 (i, e, par ssj(M) ) de tout cône inductif distingué dans E est un cône limite inductive de C , DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Alors, on définit facilement le modèle composé d'un homomorphisme, d'une esquisse vers une autre, par un modèle de cette autre esquisse dans une catégorie, Si M,M':E -» C sont deux modèles de l'esquisse E dans la catégorie C , on dit que m = (H,ssj(m)lM' ) est un homomorphisme du modèle M vers le modèle M' et l'on note; m : M * M* : E -» C , si, et seulement si: - ssj(m):ssj(M)*ssj(M' );supp(E)-*C est une transformation naturelle, dite sous-jacente à m , Alors, on définit facilement 1'homomorphisme de modèles composé de deux homomorphismes consécutifs entre modèles d'une esquisse dans une catégorie. De même, on définit sans difficulté 1'homomorphisme de modèles composé d'un homomorphisme, d'une esquisse vers une autre, par un homomorphisme entre modèles de cette autre esquisse vers une catégorie. Si E est une esquisse et C est une catégorie, on note liod(E,C) la catégorie dont les objets sont les modèles de E dans C et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces modèles, Ainsi, liod(E,C) s'identifie à une sous-catégorie pleine de la catégorie c*"^' 1 ^ 5 , En particulier, on note Mod(E) = Mod(E, Ens) et MOD(E) = Mod(E,EA/S) , Si H;E -» E ' est un homomorphisme d'esquisses et si C est une catégorie, on note Mod(H,C) ;Mod(E ' , C ) -• Mod(E,C) le foncteur "composition des modèles de E ' dans C par H " qui en résulte, Ainsi, Mod(H,C) s'identifie à une restriction de ^ ^ « u p p < H > , £*• « u p p < ESET • > En particulier, on MQD(H) = Mod(H,£NS) , note » f^ « u p p < EST > Mod(H) = Hod(H,£ns) et Qn dit qu'une esquisse E est triviale si, et seulement si; - aucun cône projectif n'est distingué dans E , - aucun cône inductif n'est distingué dans E . Ainsi, à toute catégorie D est associée une esquisse triviale triv(D) = (D,0,0) ; dans la suite nous identifierons toute esquisse triviale à son support, Soit E une esquisse triviale de support D et E 1 une autre esquisse, DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELE, Si H:E •• E 1 est un homomorphisme, nous identifierons H à son support et nous noterons également; supp(H):D -» E 1 , De même, si h; H -* H' : E + E ' est une transformation naturelle (entre homomorphismes), nous l'identifierons à son support et noterons; supp(h); supp(H) * supp(H') : D -> E ' . Si I et JT sont deux collections de catégories, on dit que E est une ( J,JT)-esquisse si, et seulement si; - l'indexation de tout cône projectif distingué dans E est élément de J , - l'indexation de tout cône inductif distingué dans E est élément de JT , Alors, à toute catégorie C est associée une (J,J")esquisse canoi.jr(C) , lorsqu'on distingue tous les cônes limites projectives de C dont les indexations appartiennent à J et tous les cônes limites induetives de C dont les indexations appartiennent à JT , Enfin, on note Esqx.^r (resp. ESQx.^r ) la souscatégorie pleine de Esq (resp, de ESQ ) dont les objets sont les (J,JT)-esquisses petites (resp, grosses). 2. Si E Constructions d'esquisses, = (Supp(E),P,Q) est une esquisse petite, on pose: P* * £ (I*>- * (I-)*-^>supp(E)* / peP ) et E * = (Supp(E)*fP*,Q) (ceci permet donc de définir un foncteur (-)+;Esq -* Esq ), Alors, on dispose de 1'homomorphisme; fe:l 4 E ^ , sélectionnant l'objet Z ( E ) = Z(supp(E)) , De même, pour tout objet E de E 1'homomorphisme; , on dispose DIAGRAMMES sélectionnant l'objet naturelle; STRUCTURES DE MODELES QCE; 1 4 E + , E . On dispose donc de la transformation YEÏOCE * JBEÉ: : 1 sélectionnant 4 E- , z ( E ) = z(supp(E));E 4 Z ( E ) (voir la figure 2). Soit E une esquisse petite, Si ir = (ÏÏX;H * Hx;l -4 E)x«rx est un cône projectif petit de transformations naturelles (dans Esq ), on dit que ir est accepté par E si, et seulement si; - le cône projectif ÏÏ(0) = (ÏÏX(O) ;H(0)4Hx(0))x \ Ne(B') rie(b) .,, 9(B)<^ 9(B') .,, OCb) où b;B 4 B' varie dans B Il est facile de construire B x 9 en procédant comme suit; - on considère tout d'abord la catégorie L(8) , lax-limite inductive dans Cat du foncteur supp,6:BOF* 4 Cat , - on dispose ainsi d'un 2-cône inductif universel de Cat tel que ci-dessous; DIAGRAMMES S T R U C T U R E S D E MQDELKï L(9) Fe(B) Fe(B') , . . supp.e(B) <^- supp.e(B') ... supp.O(b) où b;B 4 B' varie dans B - alors, B x 9 désigne la plus petite structure d'esquisse sur L(9) telle que, pour tout objet B de B , Ne(B):9(B) 4 B x 9 est un homomorphisme de support Fe(B) (voir la figure 4). En particulier, si E est une esquisse petite, si B est OF> une catégorie petite et si 9 = cst(E);B 4 Esq est le foncteur constant sur E f on note B x 9 = B x E . Ainsi, on a; supp(BxE) = Bxsupp(E) , De même, si B est une catégorie petite et si 9;B«p 4 Esq est un foncteur, on pose 9+ = (-K.9 . On dispose alors d'une transformation naturelle canonique flîcstd ) 4 9* : B o p 4 Esq telle que; - pour tout objet B de B , on a JBB = JBe;l 4 9+(B) . On en déduit un homomorphisme BxJB; (Bxl = B ) 4 Bx9+ , De plus, pour toute flèche b;B 4 B' de B et tout objet E1 de 9(B') , on dispose du cône projectif petit irt>,E> de transformations naturelles (de Esq ); Ne^(B),(Xecb> = Ne*(B),9*(b).0CE Ne-»-(B) . K e c b X E 1 > Ne-.(B'),fiecB-> ne^-(b),Q[E DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Alors, si l'on note ^ = (ïïbfE')bcFi(0>,E'cQb(eccodom(b)) , on pose (voir la figure 5); B « 9 = (Bx9*)* , Dans ces conditions, on dispose d'un homomorphisme canonique: BGJB = j*,Bx9* : B 4 B G 9 , Soit E une esquisse petite et M ; E 4 Ens un modèle de E . On note E(M) la plus petite esquisse vérifiant les conditions suivantes (voir la figure 6); - E(M) contient E (alors, on note ii-(M):E 4 E ( M ) 1'homomorphisme injection canonique), - K M ) est un objet (supplémentaire) de E ( M ) , - pour tout objet E de E et tout élément x de M(E) , Ux.'KM) 4 E est une flèche de E ( M ) , - pour toute flèche e;E 4 E' de E et tout élément x de MCE) , le diagramme ci-dessous commute dans E ( M ) : UlKoiXx) KM) - K M ) est sommet d'un cône projectif distingué dans E ( M ) et d'indexation la catégorie vide (autrement dit, tout modèle transformera K M ) en un objet final), - pour tout objet E de E , le cône inductif ci-dessous, d'indexation la catégorie discrète (i, e, l'ensemble) M(E) , est distingué dans E ( M ) ; DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Dans ces conditions, il est facile de vérifier que la catégorie Mod(E(M)) est équivalente à la sous-catégorie de Mod(E) dont le seul objet est M et dont la seule flèche est id(M) , 3. S y n t a x e s et structures. Si C est une catégorie, on dit que S = (B,K,J,E) est une C-syntaxe [voir la Note 4] si, et seulement si; - B est une catégorie, - E est une esquisse, - K;B 4 C o p est un foncteur, - J; B 4 E est un homomorphisme, Dans ces conditions, on dit que S est petite si, et seulement si : - B est une catégorie petite, - E est une esquisse petite, [Note 4, La notion de C-syntaxe, introduite ici, généralise au cas "non nécessairement algébrique" celle de syntaxe d'algèbres introduite en (T.A.E.P.), reprise en (A,M,E.N,),3 Soit C une catégorie localement petite (resp,localement grosse) et S une C-syntaxe. On dit que (C,û) (ou û ) est une S-structure (sur C ) si, et seulement si; - C est un objet de C , - û: E 4 Ens (resp, û; E 4 ENS ) est un modèle de E , - le diagramme de foncteurs ci-dessous est commutâtif ; DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES (resp, ENS Si C est une catégorie localement petite (resp, localement grosse), si S est une C-syntaxe et si (C,A) et (C',A') sont deux S-structures, on dit que (c,fi) est un homomorphisme de (C, A) vers (C ', A ' ) et 1 ' on note (c,S);(C,û) 4 (C',A') si, et seulement si; - c;C 4 C est une flèche de C , - S:û * A';E 4 Ens (resp, «;û * Û';E 4 ENS ) est un homomorphisme de modèles, - le 2-diagramme ci-dessous commute: Supp(E) Hom<=(-,C) DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES (resp, Hom<=(-,C) Alors, on d é f i n i t sans d i f f i c u l t é 1'homomorphisme composé de deux homomorphismes consécutifs entre S - s t r u c t u r e s , Dans ces conditions, on note S - s t r u c t la catégorie dont les objets sont les S-structures et dont les flèches sont ces homomorphismes entre S-structures, 4, Constructions de syntaxes. Soit j;C 4 C un foncteur plein et fidèle d'une catégorie localement petite C vers une catégorie localement grosse C ' , Si S « ( B , K , J , E ) est une C-syntaxe, e l l e s ' i d e n t i f i e à une C'-syntaxe S j = ( B , j o p \ K , J , E ) , Alors, S - s t r u c t s ' i d e n t i f i e aussi à une sous catégorie pleine de la catégorie S j - s t r u c t , Aussi, nous poserons, s ' i l n'y a pas risque d'ambiguïté (sur j ) S d - s t r u c t = S-STRUCT et nous dirons que les objets de S - s t r u c t (resp, S-STRUCT ) sont des S-structures petites (resp, grosses) , DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Soit E o une esquisse projective petite, A tout objet E de E o est associé le foncteur évaluation en E : evE:Mod(Eo) 4 Ens , Alors, on sait que [voir la Note 5]; - le foncteur evEîllod(Eo) 4 Ens admet un adjoint à gauche GEÏ Ens 4 Mod(Eo) , Ainsi, on dispose du foncteur évaluation1, evjsupp(Eo) 4 En^iocJ<,E:o:> , E |4 evE et par conséquent d'un foncteur; Q;supp(Eo) 4 (Mod(Eo) Ê r M ) o p E h SE Il en résulte un foncteur canonique, dit de Yoneda, Cvoir la Note 53: op Y E - O Î S U P P ( E O ) 4 Mod(Eo) ' E h GE(1) On en déduit que SE=:O = (supp(Eo),Yc=E:o,id(supp(Eo)):supp(Eo) 4 E o ,Eo) est une Mod(Eo)-syntaxe petite canoniquement associée à E o , Alors, on a Cvoir la Note 53: - les catégories Mod(Eo) et S^o-struct sont isomorphes, Dans ces conditions, nous dirons qu'une Mod(Eo)-syntaxe S = (B,K,J,E) est une Mod(Eo)-SL/r-syntaxe si, et seulement si : - on dispose d'un diagramme commutatif (supposé donné sans ambiguïté) tel que ci-dessous; K E<- B - ^ Mod(Eo)°^ A Eo ,] DIAGRAMMES 5, D i a g r a m m e s STRUCTURES DE MODELES structurés de modèles, Soit S = (B,K,J,E) une Cafc-sur-syntaxe petite Cvoir la Note 6] et E ' une esquisse petite, On dit que (X,Û,F) est un diagramme petit de modèles de E ' , structuré par S , ou encore un S-diagramme petit de modèles de E ' , si, et seulement si: - X est une catégorie petite, - (X,û) est une S-structure, - (X,F) est un diagramme de Mod(E') , i. e, F;X 4 Mod(E') est un foncteur, [Note 6. Notons D e * * la catégorie duale de la sous-catégorie pleine (évidemment petite) de Cat dont les objets sont les petites catégories (associées aux ordres canoniques) 1 , 2 , 3 , 4 , En particulier D (X',Û\F'> si, et seulement si; le long de Jop.gop 4 Esq Dop de sorte que; E = HomESQ(6'(-),Ens)\ D 4 ENS . Alors, s ' i l en est a i n s i , on peut construire D©6" , puis la somme fibrée S S E E 1 dans Esq représentée ci-dessous; SGEE DG6 DG£' (D,id(D),E) DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Dans ces conditions, il est facile de vérifier que; Proposition 2, Si S est une Cat-sur-syntaxe petite, si E' est une esquisse petite et si Mod(E') est munie d'une Sstructure grosse détectable E , alors les catégories Mod(SG E E ' ) et S-diag(Mod(E ' ), E) sont équivalentes, Autrement dit, la catégorie des diagrammes petits et forts de modèles de E ' structurés par S , est encore une catégorie de modèles, pourvu que la catégorie des modèles de E ' soit munie d'une S-structure détectable, [Note 7, Nous reprenons ici, en lui donnant le sens général qui l'éclairé, le mot détectable introduit en (A.C.C.A.) dans un cas particulier que nous examinons au §8,] 7, Diagrammes structurés fixés de modèles, Soit S = (B,K,J,E) une Cat-sur-syntaxe petite, E ' une esquisse petite et .3 Nous laissons au lecteur le soin de multiplier et raffiner à l'infini les exemples (diagrammes cartésiens fermés de modèles, topos de modèles .,, - voir la note 10) autres que ceux qui font ici l'objet d'un traitement explicite (pour le comparer à celui appliqué en (A.C.C.A,>), Atlas des i i i j \ i Figures • i • i • x i E — > E* j- Figure 1 J J* DIAGRAMMES STRUCTURES DE Figure 2 MODELES DIftQRAMMES S T R U C T U R E S D E MODELES Figure 3 Bx9 ne(b) Ne(B) > Ne(B') e(b) e(B) e(B') Figure 4 l_ 2 6 DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES Bue e*(b) e*(B) e*(B') ecb) e(B) e(B') Figure 5 DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES ECU) Figure 6 SUE eu ) 0(3) DIAGRAMMES STRUCTURES DE MODELES SCo-) SQE' (ML Œ^ ^ . - 'erKE') xeM(E) Figure 8 - - - ) Bibliographie (A.C.C.A.) 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DE MATHEMATIQUES TOURS 45-55-5èm« 2 PLACE 7S2S1 7 EAGE JUSSIEU PARIS CEDEX OB FRANCE