D IAGRAMMES C HRISTIAN V ELPRY Le secret de la pyramide Diagrammes, tome 18 (1987), exp. no 2, p. CV1-CV17 © Université Paris 7, UER math., 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ DIAGRAMMES VOLUME LE SECRET DE LA Christian 1& , 1967 PYRAMIDE Velpry De même que le rayon lumineux ou l'onde de gravitation se déforment à l'approche d'une masse, de même l'onde de la pensée peut se trouver infléchie ou arrêtée par certains objets exceptionnels rencontrés dans son champ. Le calcul par lequel les Hellènes ont démontré la formule du volume de la pyramide - et qui fut la première application du principe infinitésimal - a, en inaugurant une nouvelle instrumentation des mathématiciens, déchargé d'une part de leur sens symbolique les pyramides construites par les Egyptiens, les "merveilles" de Gizah, et détourné les générations suivantes, jusqu'à nous, d'envisager de ces volumes quelque autre principe de calcul, (Notons qu'un intervalle de temps considérable - quarante-cinq siècles ! - nous éloigne de la construction de la pyramide de Khufu (Chéops), qui est le premier monument relevant précisément du type géométrique appelé pyramide, L'invention du calcul infinitésimal, qu'on doive la rapporter à Eudoxe - selon Archimède - ou à Archimède lui-même, se situe au beau milieu de cet intervalle, Platon, à mi-parcours entre Chéops et nous ..,) Le calcul des volumes de la pyramide et du cône est le premier objet sorti de cet "atelier" que fut la longue et mouvementée discussion entre les Grecs sur la rigueur du discours géométrique de l'infini, La nouveauté produite paraissant un point de passage obligé, la question des calculs relatifs au A.M.S. 8ub. Class. : Ol A 16 , 61 M 26 , OO A 26 , 61 M 20 LE SECRET DE LA PYRAMIDE volume de la pyramide chez les peuples plus anciens s'est trouvée, jusqu'à présent, suspendue, Pourtant, et bien qu'il n'y ait pas trace de véritable procédure infinitésimale en Mésopotamie, ni en Egypte, la formule du volume de la pyramide est attestée chez l'une et l'autre, L'attitude, simpliste et lâche, d'un grand nombre d'érudits (du XX* m * siècle) devant l'interrogation posée par ces faits consiste à prétendre que la formule proviendrait de "calculs empiriques", sans chercher à documenter davantage la question, Il faudrait au moins se demander quels calculs empiriques furent faits, chercher quels fragments peuvent attester une quelconque étape de tels calculs, Les choses s'aggravent encore, si l'on peut dire, avec la découverte - et à Babylone, et en Egypte - de calculs du volume de troncs de pyramide. Là, une différence apparaît entre les corpus babylonien et égyptien, qui fait comme un écho à la différence, visible, des deux architectures, En Mésopotamie, où il n'y a pas de pyramide (au sens géométrique) monumentale, les calculs du volume du tronc de pyramide ("nalbantu") sont des calculs approchés reposant sur une formule non exacte, En Egypte, au contraire, on trouve un calcul reposant sur une formule exacte (celle-là même la plus usuellement citée chez nous, appliquée au cas d'une pyramide tronquée de base carrée): on en a un seul exemple, celui du papyrus Golenischev - dit encore papyrus de Moscou, Je ne prendrai pas la responsabilité de décider si la formule horrifiquement fausse, d'un point de vue géométrique - des Babyloniens a été obtenue par une méthode empirique, La seule chose certaine, c'est qu'au rapport de son utilisation elle a pu, à bon droit, être jugée satisfaisante dans les cas où on l'appliquait, En effet, pour un tronc de pyramide à bases carrées, de côtés repectifs a et b , de hauteur h , le volume V est donné par la relation (exacte): 1 (1) V = - h (a 2 + ab + b 2 ) ; 3 la formule appliquée par les Babyloniens donne un volume approché V défini par; 1 (Ibis) V1 - - h (a* + b 2 ) ; 2 pour un "nalbantu" pris suffisamment loin de la pointe, l'approximation est excellente: cv LE SECRET DE LA PYRAMIDE 3 b V'-V 1 - < - < 1 , alors 0 < < — 4 a V 72 9 b V'-V 1 si — < - < 1 , alors 0 < < 10 a V 500 Je donne ces calculs pour faire sentir, précisément, que la formule (1), qui ne se signale ni par son évidence, ni par sa simplicité, est nécessairement difficile aussi à atteindre par voie empirique, si Cela nous amène à penser que les Egyptiens avaient dû élaborer un calcul exact - un calcul géométrique abstrait, au sens où nous l'entendons - de ce volume du tronc de pyramide; et un tel calcul repose sur la connaissance préalable de la formule exacte du volume de la pyramide elle-même, Cette hypothèse - ce n'est pour l'instant qu'une hypothèse - nous commande de rechercher dans le domaine égyptien la trace de tels calculs et de nous employer à les restituer, Cette recherche peut et doit, à mon avis, être menée par les deux bouts: il faut, d'une part, interroger les documents (en trouver de nouveaux et relire ceux déjà répertoriés), d'autre part se lancer dans ce que j'appellerais la recherche théorique a priori et qui consiste à prévoir - avant lecture de documents - les cheminements mathématiques qu'auraient pu suivre nos ancêtres égyptiens, Avant de présenter mes calculs, je désire rendre hommage à U, W. Struve qui a publié en 1930, aux "Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik" (J, Springer, Berlin), sa très belle étude sur le papyrus de Moscou: Mathematischer Papyrus des staatlichen Muséums der Schônen Kùnste in Moskau, qui reprenait et amplifiait le travail, interrompu par la mort, de B. A, Turaev, W, Struve nous indique que le document, provenant d'une tombe royale du Moyen-Empire, est la copie d'un original daté de 1900 av, J.-C, environ (la copie a été faite un siècle plus tard), Il y a tout lieu de croire, d'après son analyse, que l'original était la composition rédigée par un élève-scribe pour l'obtention de son (ou d'un) diplôme, Ceci permet de comprendre que l'application, faite au cas de valeurs numériques LE S E C R E T DE LA PYRAMIDE particulièrement simples, de la formule (1), ci-dessus, renvoie à la présence de ladite formule dans l'enseignement dispensé aux scribes en formation, à cette époque, S'agissait-il d'une étape déjà spécialisée de l'enseignement ? On ne sait. Le moins qu'on puisse dire, tout de même, c'est que cela donne un élément pour une évaluation minimale du niveau scientifique atteint par les chercheurs de ce temps. Signalons de plus que le hasard veut (mais est-ce un hasard ?) que dans le même document se trouve aussi un calcul de la surface de la demi-sphère ,., Cette conjonction d'événements devrait ébranler les plus décidés contempteurs de la mathématique égyptienne (pharaonique), Devons-nous désespérer de mettre jamais la main sur des documents livrant les travaux des meilleurs scientifiques de ce temps, et nous contenter des copies d'examens de leurs élèves ? ,,, W, Struve rappelle, dans son commentaire, la hauteur de vue, l'acuité de jugement de ces savants, Il remarque notamment que ce sont eux qui ont - les premiers, semble-t-il - mis en lumière la relation de dépendance de l'organisme humain par rapport au cerveau et le rôle prééminent de celui-ci, Il appelle ses lecteurs à faire des recherches en vue d'une plus juste évaluation de la science, et notamment de la mathématique, égyptienne, Il faut reconnaître qu'il a été peu suivi; toute la faveur semble s'être attachée au papyrus Rhind dont le contenu, bien que nous apportant de précieuses informations, ne nous livre rien d'aussi estimable que les performances tri-dimensionnelles du Golenischev, La question, toujours ouverte, est: comment les Egyptiens du Moyen-Empire s'y sont-ils pris pour calculer: - le volume du tronc de pyramide, - la surface de la (demi-)sphère ? Struve doute que les formules aient pu être trouvées empiriquement, (N, B, Dans les extraits de son ouvrage, donnés en photo pp, CV 6 et CV 7, on trouve la reproduction de la section du papyrus relative au tronc de pyramide (écriture hiératique), sa transcription en hiéroglyphes par Turaev, sa traduction en allemand par Struve, Notons le nom "mr" (vocalisation inconnue) par lequel les Egyptiens désignaient ce que les Grecs ont appelé L E S E C R E T D E LA PYRAMIDE "pyramide", reprenant un mot désignant primitivement chez eux un gâteau, ) Je dois dire que c'est avant d'avoir lu Struve que, me fiant à des hypothèses analogues aux siennes, j'ai établi les calculs ci-dessous, Ils s'inscrivent dans ce que j'ai appelé la recherche théorique a priori, et concernent le tronc de pyramide et la pyramide, Je veux dire un mot des circonstances dans lesquelles je suis venu à les produire, J'avais, dans mon cours "Mathématiques de l'Antiquité" (en T r Cycle, Université Paris VII), traité a minima de l'Egypte, soulignant que la documentation actuelle ne permettait vraisemblablement pas une juste évaluation de la science pharaonique. Or l'Egypte était très présenté? oans les mémoires que m'ont, à la fin, remis les étudiants, En particulier; Melle Dianata Batola avait insère dans sa composition des photos des pyramides de Saqqarah, Dahchour, Gizah; M, Emilio Aparicio citait, lui, le papyrus de Moscou et la formule du tronc de pyramide; Melles Valérie Vestris, Dîna el Biblawi, Laurence Marzin faisaient de même dans leur travail rédigé en commun. L'offrande des étudiants, qui semblait prolonger le geste difficilement lisible pour nous des anciens Egyptiens, la double instance, qui la constituait, de la figure et de la formule me firent venir quelques germes d'angoisse, quelques bizarres picotements à la cervelle, Un jour enfin, j'éclatai: « non!, ce n'est pas vrai ces racontars de l'égyptologie ordinaire, "Ils" ont calculé ! ». Je me jetai dans les calculs, avec la claire résolution de retrouver ceux que les Anciens avaient pu faire, et de balayer ainsi un domaine dans lequel puissent apparaître, tôt ou tard, des coïncidences avec les documents, J'ai repris - je les présente ci-dessous dans le même ordre - les calculs sur le tronc de pyramide, puis sur la pyramide, Plus lointainement, le désir de reprendre le calcul du volume de la pyramide reposait en moi depuis l'âge de mes quinze ans: l'exposition par mon professeur d'alors de la méthode infinitésimale, la joie due à l'acquisition d'une voie de calcul nouvelle pour moi fut vite hypothéquée par cette question - alors LE SECRET DE LA PYRAMIDE M pOHHD •3 zs XI ai o & > > 3 3 xi ai «Q II - c - = c ai ai 3 c: cr o >- =3 o o tu-41 <4H .S "°— » U.Û. yyslëilJ1.» -- 0 D , 4P ce: F cc c m o in ai xi fll—•• r-HI e aj - - C- ->- * > QL u ai XI o f= o çç «c C cç LE S E C R E T DE LA PYRAMIDE Die Pyramidenstumpf-Voluinen-Aufgabe. M 14 135 Aufg. Nr. 14. Kol. XXVII-XXIX. Kol. XXVII. 1. Form der Bereehnung eines Pyramidenstumpfesu), 2. wenn man dir nennt cinen Pyramidenstumpf von b) 6 (Ellen1"') von der Hohe ( lf Flache ltdï ) 3. zuc) 4 (Ellen) auf der Unterseitef), zue) 2 auf der Oberseite^. 4. Rechne du mit dieserhï 4, quadriert (als Voriibergehendeml)). Es entsteht 16. 5. Verdoppele3î du 4. Es entsteht 16. 6. Rechne du mit dieser 2, quadriert (als Vorûbergehendemk-). Es entsteht 4. Kol. XXVIII. 1. Addiere1* du zusammen dièsem) 16 2. mit dieserm> 8 und mit dieserm) 4. 3. Es entsteht 28. Berechne du • 4. Va v o n 6. Es entsteht 2. Rech5. ne du mit 28 2mal. Es entsteht 56. 6. Siehe: er ist n) 56. Du hast richtig gefunden. Kol. XXIX. 1. 2. 2 quadriert 4 1 \ 1 28 2 56 3. 4. I \ quadriert 16 \2l" 6. 7. 8 Summe 28. a) Turajeff ersetzt in seiner Edition der Aufgabe (Ane. Eg. 1917, S. 101) in der Ubersetzung den Terminus durch das Piktogramm eines Trapèzes, das im hieratischen Text statt des "Wortes fur Pyramidenstumpf steht1). Der iigyptische Xame fur den matbematischen Begriff pyramidenstumpf*' wird etwa mr iw.tj tp-f, ,,eine Pyramide, die nicht ihre Spitze hat*'. heiBen kônnen. Das Wort mr, das in der àgyptischen Spracbe seit limiter Zeit die Pyramide bezeichnete, wird auch das Wort sein, auf das das grieebisebe nvçafiîç zurùckgebt. Freilich nehmen die meisten Âgyptoloiicn seit Ei>enlohr an, dafl das uriechische xvoaiiiç von deiu Terl ) Das tut aurh Tzinserlin^, 1. c. 6.366. fac-siiailé U, Struve, op, ci t.; traduction du texte de la page ci-contre, N, B, Le nombre "16" en Kol. XXVII. ligne 5 est une erreur de Struve; il faut lire " 8 \ LE SECRET DE LA PYRAMIDE tenue secrète, je crois - de savoir s'il était vraiment indispensable de passer par une telle voie pour obtenir le résultat dont il s'agissait, (Enfin le calcul !> Soit à chercher des calculs (exacts) du volume du tronc de pyramide, en supposant connue la formule de celui de la pyramide, (Nous nous restreignons ici, comme les Egyptiens, au cas d'une pyramide à base carrée.) Proposons d'abord, pour donner idée de la multiplicité des voies d'approche, une liste de formules, Soient V le volume, h la hauteur, a et b les côtés des bases d'un tronc de pyramide; parmi l'infinité de formules exprimant le rapport V/h (forme quadratique en a et b ), retenons celles-ci: <1> (2) (3) V h 1 - (a2 + ab + b 2 ) 3 1 " = - (a2 + (a+b)b) , 3 = « = (cf, p, 4), 1 /a3-b3\ ~( ), 3 v a-b 7 /a+b\ 2 l/a-b\2 " • (T) * Ï(T) (5) • = (6) " - (7) » = (8) " = ' 1 ab + - ( a - b ) 2 , 3 1 - (