D IAGRAMMES

C. L AIR
Trames et sémantiques catégoriques des systèmes de trames
Diagrammes, tome 18 (1987), exp. no 1, p. CL1-CL47
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1987__18__A1_0>

© Université Paris 7, UER math., 1987, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

DIAGRAMMES

VOLUME

16

TRAMES
ET
SEMANTIQUES

CATEGORIQUES

DES
SYSTEMES

C.

DE

TRAMES

Lair

Introduction
On

sait

qu'une

esquisse

(voir

(E.T.S.A,)) est une

présentation
diagrammatique (ou
catégorique,
ou
graphicoéquatiennelie)
d'un genre de structures donné, Précisément, les
modèles (ou réalisations) d'esquisses sont exactement les modèles
de théories du premier ordre,
Nous introduisons ici la notion de trame, plus générale que
celle d'esquisse; une trame est encore une présentation
diagrammatique d'un genre de structures donné, mais cette fois
d'ordre supérieur. Nous prouvons cependant que la structure de
trame, tout comme celle d'esquisse, est encore projectivement
esquissable, i, e, est essentiellement algébrique.

On sait que les catégories cartésiennes fermées ou les topos
(ou d'autres catégories munies d'une structure supplémentaire
d'un certain genre) peuvent être considérées comme des modèles
catégoriques convenables pour faire de la logique catégorique du
premier ordre. Ce sont, en fait, des structures essentiellement
algébriques,
puisque
modèles
d'une
esquisse
projective

A.M.S.

Sub.

Clas*.

18 D 9 9

, 1e O 3 6

, 1 B C 9 9 ,

19 A

40

INTRDDUCTION

particulière (qui est sur-esquisse de l'esquisse de catégorie),
et les "propriétés logiques" de ces catégories sur-structurées
particulières sont, en réalité, étroitement liées à la seule
nature universelle (ou co-universelle) des constructions
de types
(i, e, d'objets) que le genre de sur-structure considéré permet,
Nous introduisons ici la notion de sémantique catégorique
d'un
système de trames donné: ce sont exactement les catégories munies
de constructeurs de types universels et/ou co-universels, mais
cette fois d'ordre supérieur. Ainsi, par exemple, les catégories
où l'on peut faire de la logique d'ordre supérieur (par exemple
du X-calcul du deuxième ordre) sont exactement les sémantiques
catégoriques d'un certain système de trames,
Nous prouvons, surtout, que ce genre de catégories surstructurées est encore projectivement esquissable, i, e, qu'il
s'agit encore de structures essentiellement algébriques (dont
beaucoup s'évertuent à chercher, dans la pratique particulière,
des "présentations équationnelles"
,,, que les présentes
considérations fournissent donc automatiquement),

Nous avons agrémenté le texte de nombreux exemples (qui
concernent des situations assez familières, mais qui ne sont pas
si élémentaires qu'ils peuvent parfois le paraître), Ceci nous a
conduit à utiliser de nombreux diagrammes que, pour des raisons
purement matérielles, nous avons dû regrouper, en fin de texte,
dans un "Atlas des Diagrammes" que le lecteur sera donc
malheureusement contraint de consulter assez fréquemment.
Nous avons également émaillé cet exposé de quelques "Notes",
parfois plus informelles, dont nous espérons qu'elles aideront le
lecteur à prendre quelque recul vis à vis de la seule
présentation technique, toujours un peu rébarbative,

Trames ,

On définit les trames et les homomorphismes de trames, par
récurrence, comme suit;
- on dit que T = (supp(T),0,0) est une trame d'ordre 0 si, et
seulement si, supp(T) est un graphe compositif (voir (C.Q.C.E.)
et/ou la Note 1 ), appelé support de T ,
-si
T
et
T'
sont deux trames d'ordre
0 , on dit que
h = (T,supp(h),T') est un homomorphisme de T vers T" (et
l'on
note,
alors,
h;T -> T*
)
si,
et
seulement
si,
supp(h);supp(T) ->supp(T') est un foncteur, appelé support de
1'homomorphisme h ,
- si n>0 est un entier, on dit que T = (supp(T),H~(T),H*(T))
est une trame d'ordre <n si, et seulement si;
+ supp(T) est un graphe compositif, appelé support de T ,
+ H~(T)
est une classe de prolongements dans
supp(T)
(voir la Note 2 ) , i, e, de triplets
p = (FOP|hp,Fdp)
vérifiant:
* hp>:T0F> -> T<jt>
est un homomorphisme de trames
d'ordres <n-l ,
* FgF>:supp(Tgp) •+ supp(T) est un foncteur,
* Fdp>:supp(Tcjp) -» supp(T) est un foncteur,
* Fdp
est un prolongement de FgF>
le long de
supp(hp) , i, e, Fcip.suppChp) = FgF> ,
(et, alors, on représente chaque élément p de H~(T) par
le triangle commutât if suivant;

h„
-^Tdp

Fcip

supp(T)

TRAMES ,

+ H-(T) est une (autre) classe de prolongements (voir la
Note 2 ) dans
supp(T)
(et, alors, on représente chaque
élément q de H-(T) par le triangle commutât if suivant;

-^, Tdd

- si
n>0 e s t un e n t i e r e t s i
T
et
T'
sont deux trames
d'odres <n , on d i t que h = ( T , s u p p ( h ) , T ' )
e s t un homomorphisme
de trames d'ordres
<n ( e t l ' o n note h;T 4 T 1 ) s i , e t seulement
si;
+ supp(h);supp(T) -* supp(T' )
est
un
foncteur,
appelé
support de h ,
+ si
p
est
élément
de
H-(T) ,
alors
h.p = (supp(h) i F 0 p,hp,supp(h),Fcip) a p p a r t i e n t à H " ( T ' ) ,
+ si
q
est élément de
H*(T) , a l o r s
h.q a p p a r t i e n t à
H*(T') ,
On laisse au lecteur l e soin de d é f i n i r les trames petites,
si
l ' o n raisonne dans une t h é o r i e des ensembles e t des classes, ou
encore les trames
L*-petites,
s i l ' o n raisonne dans une t h é o r i e
des ensembles avec axiome des univers e t s i
U
est un t e l
univers,
[Note 1, Rappelons qu'un graphe compositif est un graphe orienté dans lequel on
sait composer certains (seulement) couples ( f ' , n , appelés coi&posahles, de
flèches consécutives ( i , e, telles que dom(f') = codom(f) ) et ce de sorte que;
- pour toute flèche f
les couples (f,id(dom(f))) et (id(codom(f)),f) , dits
triviaux, sont composables et de composé f ,
-pour tout couple composable
( f ' , f ) , on a
dom(f',f) = dom(f)
et
codomCf',f) = codomtf') ,
On peut ainsi, considérer qu'un graphe compositif est un système de générateurs
(les flèches) et de relations (données par la composition) pour une catégorie,]
[Note 2, On pourrait remplacer, dans la définition précédente, la donnée de
prolongements tels que p
(resp, tels que q ) par la donnée d'extensions
proiectives (reso, inductives), On ne gagnerait pas en généralité, bien au
contraire: en effet, dès lors qu'on dispose de lax-limites inductives convenables
(et c'est bien le cas i c i ) toute extension projective (resp, inductive) est
équivalente à la donnée d'un prolongement (particulier) , , , mais la réciproque
est évidemment fausse ! ]

TRAMES .

Les modèles d'une trame quelconque dans une catégorie donnée
C
et les morphismes entre ces modèles sont définis, par
récurrence, comme suit;
-si T est une trame d'ordre 0 , on dit que M = (T,ssj(M),C)
est un modèle de T dans C (et l'on note M;T •* C ) si, et
seulement si,
ssj(M);supp(T) -» C
est un foncteur, dit sousjacent à M ,
-si T est une trame d'ordre 0 et si M et N sont deux
modèles de T dans C , on dit que m = (M,ssj(m),N) est un
morphisme de M vers N
(et l'on note m;M * N , ou encore
m;li 3 N : T 4 C ) si, et seulement si,
ssj(m);ssj(M) * ssj(N)
est une transformation naturelle, dite sous-jacente à m ,
- si
n>0
et si
T est une trame d'ordre <n , on dit que
M = (T,ssj(M),C) est un modèle de T dans C (et l'on note
M;T 4 C ) si, et seulement si;
+ ssj(M);supp(T) -» C
est un foncteur, dit
sous-jacent
à M ,
+ pour tout p appartenant à H~(T) , on a;
* MgF> = li,Fgp> = (TgP|ssj(l1),Fgp>,C) est un modèle
de (la trame d'ordre <n-1 ) TgF> dans C ,
* Mdp = M.Fdp = (Tdf^ssjOD.Fdf^C)
est un modèle
de (la trame d'ordre <n-l ) TdP dans C ,
* MdP
est un prolongement co-universel (voir la
Note 3 ) de M g P
le long de h P , i. e, est tel
que, pour tout autre modèle N de TdP dans C
vérifiant
N,hP = (TgP>,ssj(N),supp(hP),C) = M O R ,
alors il existe un unique (voir la Note 3 )
morphisme de modèles (de trames d'ordres <n-l )
m = (Nfssj(m),MdP)
qui
vérifie
l'égalité
ssj(m),supp(hp) = id(ssj(MgF>)) ,
+ pour tout q appartenant à H+(T) , on a;
* MWq
est un modèle de (la trame d'ordre <n-l )
Tac dans C ,
t Mdc est un modèle de (la trame d'ordre (n-1 )
Tdc dans C ,
% Mcdc est un prolongement universel (voir la Note
3 ) de Mgq le long de h q , i, e, est tel que,
pour tout autre modèle
N
de
Tdq
dans
C
vérifiant N.hc = Mac , alors il existe un unique
(voir la Note 3 ) morphisme de modèles (de trames
d'ordres <n-l )
m = (Mdd,ssj(m),N) qui vérifie
l'égalité ssj(m).supp(hc) = id(ssj(Mgd)) ,

TRAMES.

- si
n>0 , s i
T est une trame d'ordre <n et s i
M et N
sont deux modèles de T dans C , on d i t que m - (M,ssj(m),N)
est un morphisme de M vers N ( e t l'on note m;M 4 N ) s i , et
seulement s i ,
ssj(m);ssj(M) * ssj(N)
est une transformation
naturelle, d i t e sous-jacente à m ,
[Note 3 Plutôt que d'imposer, dans la définition précédente, que les HdP
tresp, les Hdq 5 soient des prolongements co-universels (resp, universels), on
pourrait seulement imposer que ce soient des prolongements Jj/asi-co-universels
(resp, ^ssruniversels), i , e, n'imposer que l'existence (et non l'unicité) d'au
moins un (et pas d'un seul) morphisme de modèles m , Dans ce cas, on pourrait
alors parler de modèles faibles,!

Si
C est une catégorie et s i
T est une trame, on note
Mod(T,C)
la catégorie dont les objets sont les modèles de T
dans C et dont les flèches sont les morphismes (dont on d é f i n i t
facilement la composition) entre ces modèles.
Si h;T -» T'
est un homomorphisme de trames et s i
C est
une catégorie,
il
leur est clairement associé un foncteur
"composition par h ";
Mod(h,C);Mod(T',C) -* Mod(T,C)
4
M' N M'.h = (T,ssj(M'),supp(h),C)
(m';M' * N ' ) M m',h = (M',h,ssj(m') ,supp(h),N',h)
De même, si U;C -* C
est un foncteur et si T est une
trame, il leur est évidemment associé un foncteur "composition
par U ";
Hod(T,U);Mod(T,C) -> Mod(T,C)
M H U.M » (T,U.ssj(M),C')
(m;M * N) H U,m • (U,M,U,ssj(m),U,N) ,
Si
C
est une catégorie et si
T
est une trame, on
dispose, bien entendu, d'un foncteur (évidemment plein, fidèle et
injectif sur les objets) "donnée sous-jacente";
ssj(T,C);Mod(T,C) -» C-"«*«=><T>
M H ssj(M)
m H ssj(H) ,

2.

Exemples

de

trames.

Les graphes compositifs s'identifient exactement aux trames
d'ordre 0,
Précisément, si 6 est un graphe compositif, il s'identifie à
la trame (d'ordre 0 ) T(Q) = (G,0,0) de sorte que, pour toute
catégorie C , la catégorie Mod(T(6),C) est la catégorie des
diagrammes de C
indexés par
G , i, e, est isomorphe à la
Q
catégorie C ,
Dans la suite (voir l'Atlas des Diagrammes), on représentera un
graphe compositif par un graphe orienté (où les identités ne sont
pas nécessairement figurées) accompagné d'une liste d'équations
(définissant la composabilité et la composition des couples non
triviaux de flèches composables). On pourra, également, le
représenter
par
un
graphe
orienté
muni
de
"triangles
commutâtifs",
Ainsi, par exemple, si
1
désigne le graphe compositif
ayant 0 pour seul objet et id(0) pour seule flèche, la trame
T( 1 )
est représentée par le diagramme 1 (voir l'Atlas des
Diagrammes), Clairement, pour toute catégorie C , la catégorie
Mod(T(l ),C)
est la catégorie des objets de C , i. e, est
isomorphe à C .
De même, le diagramme 2 (resp. le diagramme 3 ou le
diagramme 4 ) représente la trame T ( 2 ) (resp. T ( 3 ) ),
Clairement, pour toute catégorie C , la catégorie Mod(T(2),C)
(resp. Mod(T(3),C) ) est la catégorie des flèches (resp, des
triangles commutatifs) de C , i, e. est isomorphe à la catégorie
dont les objets sont les flèches (resp, les triangles
commutatifs) de C et dont les flèches sont les carrés (resp,
les prismes à bases triangulaires) commutatifs de C ,
Si G est un graphe compositif, désignons par G~ (resp,
G* ) le graphe compositif obtenu en ajoutant successivement à
G :
- un objet initial
0Q (resp, un objet final
le ),
- pour tout objet
S
de
G , une flèche ÏÏSÎOQ •* S
(resp,
<rs;S -* 1Q ) de sorte que;

CL

EXEMPLES DE

TRAMES.

+ pour toute flèche
s;S 4 S'
de G , le composé
S.ÏÏS
(resp, <rs-,5 ) est défini dans G" (resp. dans G* ) et
égal à ïïs- (resp, à <r© ),
Alors, pour toute catégorie
C , la catégorie
Mod(T(G"),C)
(resp,
Mod(T(G*),C) ) est la catégorie des cônes
projectifs
(resp, des cônes inductifs) d'indexation
G de C ,

Les
esquisses
(voir
(C.Q.C.E.) et/ou
la Note 4 )
s'identifient exactement aux trames
T
d'ordre 41
(dites
associées), telles que;
- pour tout p appartenant à H*~(T) , l'homomorphisme de trames
(d'ordre 0 ) hp.'Tgp -+ Td*> s'identifie à un foncteur plongement
canonique de la forme
G P -* G P ~
(où
GP
est un graphe
compositif),
- pour tout q appartenant à H*(T) , 1'homomorphisme de trames
(d'ordre 0 ) h Q ;T a c -* Te*, s'identifie à un foncteur plongement
canonique Gc •* Gc"* (où Gc est un graphe compositif),
Par exemple, si
G
est un graphe compositif, la trame
T""(G) (resp, T-(G) ), de support
G~ (resp. G* ), représentée
par le diagramme 5 (resp, le diagramme 6 ), est une trame d'ordre
1, associée à une esquisse, telle que, pour toute catégorie C ,
la catégorie
Mod(T~(G),C)
(resp. Mod(TH-(G),C) )
est la
catégorie
des cônes limites
projectives
(resp.
inductives)
d'indexation
G die C ,
Dans la suite, si
T
est une trame (dont l'ordre est
nécessairement >] ) et si le triangle commutât if p (resp, q ),
représenté dans le diagramme 7 (resp, le diagramme 8 ), est
élément de H~(T) (resp. H*(T) ), on notera plus simplement;
Fdp(Oe) - FdF>(1)xFciP(2)
(resp.
Fdc(la) = Fdc(1)+Fdc(2)
),
en omettant d'indiquer ce triangle et même les projections (resp,
les co-projections) qui, le plus souvent, seront notées pi, p*
(resp, ci, c 2 ) ou p'i ... (resp, c'i , , . ) ,
Des considérations analogues valent également, si G est un
graphe discret ayant plus de deux objets.
De même, si
T
est une trame (dont l'ordre est
nécessairement »1 ) et si le triangle commutât if p (resp. q ),
représenté par le diagramme 9 (resp. le diagramme 10 ), est
élément de H _ (T) (resp. H-(T) ), on note simplement;
Fd P (0*) = 1°
(resp.
F d c d * ) =0,1
),
en omettant de mentionner explicitement p (resp, q ),

EXEMPLES DE

TRAMES.

Pareillement, si
T
est une trame (dont l'ordre est
nécessairement *1 ) et si le triangle commutatif p (resp, q ),
représenté par le diagramme 11 (resp. le diagramme 12 ), est
élément de H""(T) (resp. H*(T) ), on note plus simplement;
Fdp(Oe) = Fdp( 1 )XRdpCO>Fdp(2)
(reSp,
Fdq(lG) = Fdc|(l )+Fdq<0>Fdq(2)
),
en omettant non seulement d'indiquer ce triangle et les
projections (resp, les co-projections), mais en omettant aussi
d'indiquer les valeurs Fdp(fi) et Fdp(fz) (resp, Fdd(f'i) et
Fdc(f'2) ) qui, le plus souvent, seront sans ambiguïté,
De plus, si ces valeurs sont égales à une même flèche s;S' •+ S
(resp, s;S •* S') et si les projections (resp les co-projections)
sont égales à id(S') , alors, pour toute catégorie C et tout
modèle
li;T 4 C , la flèche
M(Fdp(s)) est un mono (resp, un
épi) de C , Dans ce cas, on représente toutes ces conditions, en
écrivant seulement;
s;S' )
» S
(resp,
s;S
^ S'
).
Le diagramme 13 (où sont u t i l i s é e s certaines des conventions
"graphiques" précédentes) représente une trame L o n , d ' o r d r e 1 ,
associée à une esquisse,
Clairement, pour toute catégorie C , l a catégorie Mod(T,C) e s t
équivalente à l a catégorie des monoïdes internes à C .
Le diagramme 14 représente une trame T g r P hcm P , d ' o r d r e 1 ,
associée à une esquisse,
Clairement,
pour
toute
catégorie
C ,
la
catégorie
Mod(T 0 rphcmp,C)
e s t équivalente à l a catégorie
des graphes
compositifs
internes à C ,
[Note 4, Rappelons qu'une esquisse est un graphe compositif dans lequel on a
distingué certains cônes projectifs et certains cônes inductifs, Plus
particulièrement, si ne sont distingués que des cônes projectifs, on d i t q u ' i l
s'agit d'une esquisse projectile,
Rappelons (voir (L.C.R.F.) et (A.C.C.A. )) que les esquisses projectives décrivent
( i , e, ont pour modèles) exactement les structures essentiellement algébriques,
Tandis que les esquisses quelconques décrivent exactement les modèles des
théories du premier ordre,3

Si
T e s t une trame (nécessairement d'ordre *1 e t , s i e l l e
est d ' o r d r e 1 , nécessairement non associée à une esquisse) e t s i
l e t r i a n g l e commutatif
p
( r e s p . q ) , représenté par l e
diagramme 15 ( r e s p , l e diagramme 16 ) , e s t élément de
H~(T)
( r e s p , H*(T) ) f a l o r s , pour toute catégorie
C
e t pour t o u t
modèle M;T •+ C , on a;

CL

EXEMPLES DE

(resp,

TRAMES.

M(Fcp(0')) = M(Fcip(0)P - M(Fcp(0))xM(F^p(0))
M(Fd<,(D) = 2,M(Fdc,(0)) = M(Fdc(0))+M(Fdc(0)>

),

Dans ce cas, on note donc plus simplement:
(resp,

Fc*p(0') = Fap(O) 2
Fdc(l') = 2.F<iciC0>

),

en omettant d'indiquer ce triangle et les projections (resp, les
co-projections) qui le plus souvent seront sans ambiguïté,
Bien entendu, des considérations analogues valent encore si 6
est un graphe discret ayant plus de deux objets,
En utilisant la convention précédente (et les modifications
de présentation qu'elle suggère), il est facile de modifier la
trame
Lon
précédente (par exemple) en une trame
T'mor.
d'ordre 1, non associée à une esquisse, mais telle que, pour
toute catégorie
C , les catégories
Mod(T'mor.,C)
et
Mod(Tmo«,C) sont isomorphes,

Si T est une trame (d'ordre nécessairement >2 ) et si le
triangle commutatif r , représenté par le diagramme 17 (resp. le
diagramme 18 ), est élément de H~(T) (resp, H*(T) ), alors,
pour tout modèle M;T -* Ens , on a (voir la Note 5 );
-M(Fdr(Si)) est l'ensemble des xeM(Fd,-(X)) satisfaisant une
certaine formule 9i ("à une variable libre"),
- M(Fdr(S2)) est l'ensemble des xcM(Fdr(X)) satisfaisant une
certaine formule 9 2 ("à une variable libre"),
-M(Fdr(S')) est l'ensemble des xcM(Fdr(X)) satisfaisant la
formule 9iA9s> (resp, 9iV02 ) ,
Pareillement, si T est une trame (d'ordre nécessairement
>2 )
et si le triangle commutatif
r , représenté par le
diagramme 19 (resp, le diagramme 20 ), est élément de
H*(T)
(resp, H~"(T) ), alors, pour tout modèle M;T 4 Ens , on a (voir
la Note 5 );
- M(Fdr(S'))
est l'ensemble des
(x,y)£H(Fdr(X))xM(Fdr(Y))
satisfaisant une certaine formule 9 ("à deux variables libres"),
- M(Fd.(S")>
est l'ensemble des xcM(Fdr(X)) satisfaisant la
formule ^y & (resp, \/y 9 ),
De même, si T est une trame (d'ordre nécessairement >2 )
et si le triangle commutatif
q , représenté par le diagramme
21 , est élément de H~(T) , alors, pour tout modèle M;T -> Ens ,
on a (voir la Note 5 );
-M(Fd<,(S')) est l'ensemble des xeM(FWX)) satisfaisant une
certaine formule 9 .

CL. lO

EXEMPLES DE

- M(Fc=,(S"))

e s t l'ensemble

des

TRAMES.

xeH(F d c(X)>

satisfaisant

~|e .
[Note 5, Les considérations précédentes valent encore pour des modèles à valeurs
non pas dans Ens mais dans une autre catégorie C , par exemple un topos, I l
est également loisible de les adapter non pas seulement à des monos mais à des
flèches quelconques,
Elles présentent les différentes constructions logiques usuelles indépendamment
les unes des autres (et ne suppose, a p r i o r i , aucun caractère booléen ,,, ou même
intuitionniste à la "logique" ainsi mise en cause,]

Si
T e s t une trame ( d ' o r d r e nécessairement >2 ) e t s i l e
t r i a n g l e commutatif
r , représenté par l e diagramme 22 ( r e s p , l e
diagramme 23 ) , e s t élément de H*(T)
(resp,
H~~(T) ) a l o r s ,
pour toute catégorie C e t pour t o u t modèle M;T -• C , on a ;
- I K F d r ( s ' ) ) e s t une image ( r e s p , une co-image) de M ( F d r ( s ) ) ,
Dans ce cas, on note donc plus simplement;
F d r ( s ' ) = im(s)
(resp,
Fdt-(s') = coim(s)
).

Si T est une trame (d'ordre nécessairement *2 ) et si le
triangle commutatif
p , représenté par le diagramme 24 , est
élément de H~(T) , alors, pour toute catégorie C possédant les
produits finis (ou, pour simplifier, cartésienne fermée), si
M;T -» C est un modèle, on vérifie facilement que, naturellement
en tout objet Z' de C , on a;
- Homc(Z'xM(Fdp(Y)),M(Fdp(X)) « Homc(Z',M(Fdp(Z))) ,
autrement dit, M(Fdp(Z)) est un objet de C , exponentielle de
M(Fdp(X)) par M(Fdp(Y)) ,
En conséquence, on note plus simplement;
Fdp(Z) » Fdp(X)Rd*CY>
et
Fdp(a)

=

apppdp<X> , FdpCYJ

,

Si T
est une trame (d'ordre nécessairement >2 ) et si le
triangle commutatif
p , représenté par le diagramme 25 , est
élément de H~(T) , alors, pour toute catégorie C possédant les
produits
fibres
finis
(ou, pour
simplifier,
localement
cartésienne fermée), si M;T -* C
est un modèle, on vérifie
facilement que;
- M(Fdp(z))
est un objet de
C/M(FdP(S)) ,
exponentielle
i locale) de M(Fdp(x)) par M(Fdp(y)) .
Si T est une trame (d'ordre nécessairement £2 ) et si le
triangle commutatif
q , représenté par le diagramme 26 , est
élément de H*(T) , alors, pour toute catégorie
C et tout
modèle M;T -» C , on vérifie évidemment que;

fi. E X E M P L E S D E

- M(S) est un objet des entiers

TRAMES.

naturels

interne à C

Si T est une trame (d'ordre nécessairement >3 ) et si le
triangle commutatif
p , représenté par le diagramme 27 , est
élément de HT(T) , alors, pour toute catégorie C possédant les
produits fibres (finis) et tout modèle
M;T •* C , l'objet
M(Fdp(ft)) de C est un objet classifiant
des sous-objets de
M(Fdp(Y)) et M(Fdp(Z)> ,

3,

Systèmes

de

trames,

On dit que Z = <Z~,E~-) est un système de trames si, et
seulement si;
- E~ est une classe d'homomorphismes entre trames,
- r* est une (autre) classe d'homomorphismes entre trames.
On laisse au lecteur le soin de définir les petits systèmes de
trames (pour lesquels "tout est petit"), si l'on raisonne dans
une théorie des ensembles et des classes, ou encore les systèmes
de trames U-petits
(pour lesquels "tout est O-petit"), si l'on
raisonne dans une théorie des ensembles avec axiome des univers
et si U est un univers donné,
Si Z et Z' sont deux systèmes de trames, on dit que Z'
est plus fin que Z (et l'on note Z<Z' ) si, et seulement si;
- E~" est une partie de Z'~ ,
- Z* est une partie de Z'* ,
Si
(Ei)i«i est une famille de systèmes de trames, on note
Ui-ri Z± = ( U K I Zi~,Ux«i Zi*) le système de trames réunion de
la famille de ces sytèmes de trames, i, e, le moins fin des
sytèmes de trames plus fins que tous les Z± , quand i varie
dans I .

On dit qu'un système de trames Z est héréditaire
si, et
seulement si ;
- pour tout homomorphisme
h;T -* T'
appartenant à
Z"~UZ* et
pour tout r appartenant à H"(T") (resp, à tt*(T') ), alors
hr-;Tar~ 4 Ter

est élément de

l~

(resp, de

Z* ) ,

Clairement, tout système de trames
Z
engendre un système
héréditaire de trames CZ] , qui est le moins fin parmi tous les
sytèmes héréditaires de trames plus fins que Z ,

On dit que
û = (C,a,b) = (C^ahJh.E-^bhJh.rO
est une
sémantique catégorique pour le système de trames
Z = (Z~,E"-)
si, et seulement si;
- C est une catégorie,

3. SYSTEMES OE

TRAMES.

- pour tout
h;T -* T'
appartenant à
E~ , l'opérateur
a*
associe à tout modèle
M;T 4 C
un (voir la Note 6 ) modèle
ah(M);T' -» C
prolongeant co~universellement (voir la Note 6 )
M , i, e, tel que;
+ pour tout autre modèle
M';T' -> C
vérifiant
«',h * M ,
il
existe
un
unique
(voir
la
Note
6 ) morphisme
m';M' -• a^dl) vérifiant m'.h = id(M) ,
- pour tout
h;T 4 T'
appartenant à
Z* , l'opérateur
b*
associe à tout modèle
M;T -» C
un (voir la Note 6 ) modèle
bh(M);T' 4 C
prolongeant universellement (voir la Note 6 ) M ,
i, e, tel que;
+ pour tout autre modèle
M';T' •* C
vérifiant
M' ,h • M ,
il
existe
un
unique
(voir
la
Note
6 ) morphisme
m';bM(M) -* M' vérifiant m',h = id(M) ,
On laisse au lecteur l e soin de d é f i n i r
les sémantiques
catégoriques petites,
s i l ' o n raisonne dans une t h é o r i e des
ensembles e t des classes, ou encore l e s sémantiques catégoriques
Lhpetites,
s i l ' o n raisonne dans une t h é o r i e des ensembles avec
axiome des univers e t s i
U est un univers donné,
[Note 6, Dans la définition précédente, on peut remplacer partout "modèle" par
modèle, faible" (revoir la Note 2 ); ainsi, pourrait-on parler de sémantique
catégorique modèles-faible pour le système de trames l ,
De Blême, on pourrait ne prendre que des opérateurs ah (resp, bh ) choisissant
des prolongements quasi-co-universels (resp, quasi-universels); ainsi, pourraiton parler de sémantique catégorique universel Je-faible, voire de sémantique
catégorique modèles-faible et universelle-faible, pour I .
Pareillement, les opérateurs
ah
(resp, bh ) pourraient ne pas choisir un
modèle, ou modèle faible, prolongement universel (resp, prolongement couniversel) ou quasi-co-universel (resp, quasi-universel), mais seulement une
classe de tels prolongements (autrement d i t , ne pas être fonctionnels): on
pourrait, alors, parler de sémantigue catégorique multivoque ,
Si l est un petit système héréditaire de trames, on peut renforcer la notion
de sémantique catégorique pour ï en celle de sémantique catégorique héréditaire
pour ï , en imposant dans la définition précédente que;
-pour tout h;T -> T* appartenant à V , pour tout p appartenant à H"(T')
et pour tout modèle M;T •» C , on a ah(M),FdP = ahP(M,FgP) ,
-pour tout h;T 4 T* appartenant à V , pour tout q appartenant à H*(T')
et pour tout modèle M;T •» C . on a ahdD.Fd*
= bhq(M,Fgq) ,
-pour tout h;T + T' appartenant à ï+ , pour tout p appartenant à H-(T')
et pour tout modèle M;T 4 C on a bh(N),Fd
P = ahP(M,FgP) ,
-pour tout h : T -» T' appartenant à ï + , pour tout q appartenant à H*(T')
et pour tout modèle M;T 4 C , on a bh(M),Fdq = bhq(M,Fga)
Enfin, nous laissons au lecteur le soin de définir les sémantiques
catégoriques
éventuellement
héréditaires
et/ou
modèles-faibles
et/ou
universelles-faibles,]

Si
système

A
de

et
û'
trames

sont deux sémantiques catégoriques du même
Z , on d i t que fi = CÛ,U,Ô'>
e s t une

SYSTEMES DE

sémantique fonctorielle

pour

Z t

TRAMES.

de

û

vers

û1

(et l'on note

1

fi;û -4 û ) si, et seulement si;
- U;C -» C
est un foncteur,
- pour tout
h;T -» T1
appartenant à
M;T -> C , on a a'^CU.M) = U.anCM) ,
- pour tout
h;T -4 T1
appartenant à
M:T 4 C , on a b'h(U,M) = U.b^CM) .

Z"

et pour tout modèle

Z*

et pour tout modèle

Si
£{£'
sont deux systèmes de trames, nous laissons au
lecteur le soin de définir la sémantique catégorique pour
Z
sous-jacente
à une sémantique catégorique pour
£' .De même,
nous laissons au lecteur le soin de définir la sémantique
fonctorielle pour
Z sous-jacente
à une sémantique fonctorielle
pour Z' ,

4,

Exemples

de

systèmes

de

trames.

Si F;6 -» G' est un foncteur entre deux catégories (ou même
entre deux graphes compositif s ) , on considère les deux lax1 imites inductives représentées par les deux 2-diagrammes c i dessous :

L"(F)
Clairement, si
C est une catégorie et si
M;G 4 C est un
foncteur (i, e. est un modèle de T(G) dans C ), un foncteur
N;6" -» C , qui est extension de Kan projective (resp. inductive)
de
M
le long de
F f définit un et un seul foncteur
M';L-(F) •* C (resp, M':L*(F) •* C ) , qui est un prolongement couniversel (resp, universel) de M le long de 1~(F,G) (resp, le
long de 1*(F,G) ), tel que;
M\1-(F,G') = N
(resp
IIM-CF.fl1) • N
),
et réciproquement,
Soit F = (p-,/7*-) un couple de deux familles de foncteurs
entre catégories (ou même entre graphes compositifs), Alors, on

EXEMPLES DE S Y S T E M E S DE TRAME&

dispose d'un système de trames canoniquement associé
l'on pose:
- Ï(F)- = { 1-(F,G)Î6 -• L-(F>

E(f) , si

/ FcP" } ,

- Z(F)* = £ 1^(F,G):G -» L"*(F) / FcP" 3 ,
Dans ces conditions, les sémantiques catégoriques de E(F) sont
exactement les catégories munies d'un choix de foncteurs
extensions de Kan projectives, le long des foncteurs FcF~ , et
d'un choix de foncteurs extensions de Kan inductives, le long des
foncteurs
FeP- , (ce qui suppose déjà l'existence de ces
extensions),
En particulier, soit fî= (&~,fî*)
un couple de deux
familles de catégories (ou de graphes compositifs). Il en résulte
un couple de familles de foncteurs FXG) canoniquement associée,
si l'on pose;
- FXG)' = { G C - > G - / 6€<î- } ,
- F(<3)^ = £ G C - > G - * / Gefî* ) ,
et, par conséquent, un système de trames
Z(G) = E(F(fî))
canoniquement associé.
Dans ces conditions, les sémantiques catégoriques de Z(G) sont
exactement les catégories munies, pour tout GEG~ , d'un choix de
limites projectives d'indexation G et, pour tout Ge£* , d'un
choix de limites inductives d'indexation G (ce qui suppose déjà
l'existence de ces limites),

Des considérations générales analogues aux précédentes sont
encore valables, si l'on considère non plus des catégories (ou
des graphes compositifs) mais des esquisses,
Ainsi, à tout couple
h = (/r,/T)
de deux familles
d'homomorphismes entre esquisses est canoniquement associé un
système de trames
Z(h)
de sorte que les sémantiques
catégoriques de Zih) sont exactement les catégories C munies
d'un choix de modèles extensions projectives (ou co-libres, ou
co-universelles) de modèles, le long des homomorphismes heh~ ,
et d'un choix de modèles extensions inductives (ou universelles
ou libres) de modèles, le long des homomorphismes hefr** , (ce qui
suppose déjà que ces extensions existent),
En particulier, si hr = 0 et si h* n'est constituée que
d'homomorphismes entre esquisses purement projectives
(i, e,
décrivant des structures essentiellement algébriques), on sait
(en vertu du "théorème du faisceau associé" - voir (C.Q.C.E,))
que Ens est (i, e. est sous-jacente à) une (i, e. au moins une)
sémantique catégorique de
Z(h) : ce n'est plus le cas, en

CU

17

EXEMPLES DE SYSTEMES D E

TRAMES.

général, si
hr * 0
ou si
AT
n'est pas constituée que
d'homomorphismes entre esquisses purement projectives,
Par exemple, si
h • (0,{S\'T(1) -» TmorO) (où SA(0) = S voir le diagramme 13 ), les sémantiques catégoriques de
Zih)
sont exactement les catégories
C
munies d'une opération qui
associe à tout objet X de C un (parmi tous les possibles)
monoïde interne à C , librement engendré par X (ce qui suppose
déjà qu'il en existe au moins un), Plus précisément encore, les
sémantiques
catégoriques du système de trames
ZZih)!
(héréditaire, engendré par
Z(.h) )
sont exactement les
catégories munies d'un tel choix et, de plus, d'un choix d'objet
final et de produits pour les couples et les triplets d'objets.
De même, si
h = (0,£S*:T(1) -» T 0 ^ c m P } )
(où S*(0) - S voir le diagramme 14 ), les sémantiques catégoriques de
Zih)
sont exactement les catégories
C
munies d'une opération qui
associe à tout objet X de C un (parmi tous les possibles)
graphe compositif interne à C , librement engendré par X (ce
qui suppose déjà qu'il en existe au moins un), Plus précisément
encore, les sémantiques catégoriques du système de trames [£(/))3
(héréditaire, engendré par Zih) ) sont exactement les catégories
munies d'un tel choix et, de plus, d'un choix de produits fibres
pour les couples de flèches de même but,

Reprenons le diagramme 15 (resp, le diagramme 16 ) et posons
Z = (ChPUi»«2},0) (resp, Z = (0, Ch^it*}) ,
Clairement,
Z
est un sytème héréditaire de trames et les
sémantiques catégoriques de Z sont exactement les catégories
munies d'une opération élévation
à la puissance 2
(resp,
multiplication
par 2 ) de ses objets,
Bien entendu, on peut généraliser ces considérations pour des
puissances ou/et des multiples quelconques d'objets,

Considérons le diagramme 17 (resp, le diagramme 18 ) et
posons Z = (£h.*},0) (resp, Z = (0,Cho«J) ),
Clairement, les sémantiques catégoriques de Z sont exactement
les catégories munies d'une opération conjonction
(resp,
disjonction)
des couples de sous-objets d'un objet,
Plus précisément encore, les sémantiques catégoriques du système
de trames CZ3 (héréditaire, engendré par Z ) sont exactement
les catégories munies d'une telle opération de conjonction (resp,

E X E M P L E S D E S Y S T E M E S D E TRAWfcs

de disjonction) et d'un choix de produits fibres pour les couples
de flèches de même but (voir la Note 7 ),
De même, considérons
le diagramme 19 (resp, le diagramme
20 ) et posons Z = (0,£h«xi.*)) (resp. Z = (Ch««iV),0) ).
Clairement, les sémantiques catégoriques de Z sont exactement
les
catégories
munies
d'une
opération
quantification
existentielle
(resp, quantification
universelle)
des sous-objets
des produits de deux objets.
Plus précisément, les sémantiques catégoriques de LZ1
sont
exactement les catégories munies d'une telle quantification, d'un
choix de produits des couples d'objets et d'un choix de produits
fibres des couples de flèches de même but (voir la Note 7 ),
Enfin, reprenons le diagramme 21 et posons Z = (£hn*g},0) ,
Clairement, les sémantiques de Z sont exactement les catégories
munies d'une opération
complémentation
(non nécessairement
booléenne) des sous-objets,
Alors, les sémantiques catégoriques de LZ1 sont exactement les
catégories munies d'une telle complémentation et d'un choix de
produits fibres pour les couples de flèches de même but (voir la
Note 7 ),
[Note 7, Une sémantique catégorique du sytème de trames
[Z]

=

[ K h e t ,huniv,hn*gJ , Chou,fW i s t ) ) ]

est une catégorie ou l'on peut effectuer toutes les constructions logiques
usuelles,
Définies indépendamment les unes des autres (revoir la Note 5 ), leur dépendance
éventuelle est une propriété ("logique") de la seule sémantique considérée, i , e,
de la catégorie sous-jacente, Pour exprimer que telle ou telle dépendance logique
est par avance exigée, i . e, pour exprimer t e l ou t e l genre de logique
(booléenne, intuitionniste ou autre , , , ) , i l s u f f i t de renforcer ï , c'est-àdire de considérer un système de trames plus f i n ,,, que nous laissons au lecteur
le soin de décrire dans les exemples qui s'imposent,]

Reprenons l e diagramme 22 ( r e s p , l e diagramme 23 ) e t posons
Z = (0,£him))

(resp,

Z = ££hco±m},0)

),

Dans ces conditions, les sémantiques catégoriques de Z sont
exactement les catégories munies d'une opération associant à
chaque flèche une image (resp, une co-image).
Les sémantiques catégoriques de
tZl
sont exactement les
catégories munies d'un t e l choix d'images (resp, de co-images) et
d'un choix de produits fibres (resp, de sommes fibrées) pour les
couples de flèches de même but (resp, de même source).

A.

E X E M P L E S DE SYSTEME© DE

TRAMES.

Considérons le diagramme 24 (resp, le diagramme 25 ) et
posons Z = (Ch.xpo,hfxnai},0) (resp, Z = (£hioC«~po},0) ),
Alors, les sémantiques catégoriques de CÏ3 sont exactement les
catégories cartésiennes fermées (resp, localement cartésiennes
fermées), munies d'un choix d'objet final, d'un choix de produits
(resp. de produits fibres) et d'un choix d'exponentielles (resp,
d'exponentielles locales) pour les couples d'objets (resp, pour
les couples de flèches de même but),
Ainsi, les sémantiques catégoriques de Lartf = LU
(resp,
îiocartf = [ï] ) sont exactement les sémantiques catégoriques du
X-calcul typé (resp, de la théorie des types de Martin-Lof), voir
(H.O.C.L.) (resp, voir (A.I.T.T,)),

Reprenons le diagramme 26 et posons Z = (0,£hnno)) ,
Les sémantiques catégoriques de
LU
sont exactement
catégories où l'on a choisi un objet final et un objet
entiers naturels,

les
des

Considérons le diagramme 27 et posons Z = ({hsSoba},0) .
Les sémantiques catégoriques de
Z
sont exactement les
catégories munies d'un objet classifiant les sous-objets.Plus
précisément encore, si
E' = ZCAr^ U Z , alors les sémantiques
catégoriques (héréditaires) du système héréditaire de trames
îtop = [S1]
sont exactement les topos, où l'objet classifiant
les sous-objets est choisi, de même que l'élément final, les
produits des couples de deux objets et les produits fibres des
couples de deux flèches de même but.

On peut construire (voir (S.C.D.T,)) un système de trames
îx-ord2 tel que ses sémantiques catégoriques sont exactement les
"sémantiques catégoriques du X-calcul typé du deuxième ordre"
(voir (I.F.E.C.) et la Note 8 ),
Par exemple,
à
l'expression
(qui
"construit un type
particulier"):
N = VX ((X-*X)-*(X-*X)) ,
on associe 1'homomorphisme de trames
hnno
(voir le diagramme
26 ),
De même, à l'expression (qui construit, tout autant, un autre
type particulier);
Bool = VX (X-KX->X)) ,

CL

20

EXEMPLES DE SYSTEMES DE

TRAMEt

on associe 1'homomorphisme de trames que l'on a représenté dans
le diagramme 28,
Moins simplement, à l'expression (qui construit, à partir du
type "paramètre"
Y , où X est supposé ne pas figurer, un
nouveau type, "dépendant de Y " ) :
List(Y) = VX (X-»((X-*(Y->X))->X)) ,
on associe 1'homomorphisme de trames que l'on a représenté dans
le diagramme 29,
A l'expression (qui construit aussi, à partir d'un type
paramètre
Y , où X est supposé ne pas figurer, un nouveau
type, dépendant de Y );
Non(Y) = VX (Y->X) ,
on associe les deux homomorphismes de trames que l'on a
représentés dans le diagramme 30.
De même, à l'expression (qui construit un nouveau type);
a = VY (Y-*(List(Y)-*Y)) ,
on associe les deux homomorphismes de trames que l'on a
représentés dans le diagramme 31.
Plus généralement, à toute expression
e on peut associer
(en "décodant" cette expression) un système de trames
Z e = (0 l £h. l h , .J) 1
Si l'on désigne par
E l'ensemble des expressions du X-calcul
typé du deuxième ordre et si l'on pose;
ïx-ord2

=

Icartf

U

(UecE

Z&)

,

alors les sémantiques catégoriques (héréditaires - revoir la Note
6) de
CEx-orda]
sont exactement les catégories cartésiennes
fermées (avec choix convenables, comme précédemment) où toutes
les expressions
e
"construisent" effectivement des "types
libres" (choisis); on peut donc légitimement les appeler des

sémantiques catégoriques

du \-calcul

du deuxième ordre (voir la

Note 8 ),
Si
E1
est une partie de
E et si
Z est un sytème de
trames moins fin que Se - Ecarts U ( U « « E - Z&) , une sémantique
catégorique (héréditaire) de
ï (ou de
CZ3 ) est donc une
catégorie qui n'admet que certains
des constructeurs de types du
X-calcul du deuxième ordre,
Par exemple, Ens est clairement (sous-jacente à) une sémantique
catégorique de C Z E > ] , si l'on pose;
E' = £N,Bool,List(Y)3 ,
Par contre, Ens
n'est certainement pas (sous-jacente à) une
sémantique catégorique de EE»
(et encore moins de C Z E - 3 ) , si
1'on pose ;
E" = £N,Bool,List(Y),Non(Y)la) ,

EXEMPLES DE SYSTEMES DE

TRAMES.

(on notera que s i M;Ta -» Ens est un modèle, i l ne possède pas de
prolongement u n i v e r s e l l e long de
h* , mais un "diagramme
localement u n i v e r s e l " de prolongements - au sens de ( C . Q . C . E . )
par exemple),
[Note 8, Plus précisément encore, les sémantiques catégoriques (héréditaires)
modèles-faibles et universelles-faibles de [Zx-or d 2]
pourraient légitimement
s'appeler des sémantiques catégoriques du sytème F originel (voir ( I . F . t . C , ) ) , ]

5,

Esquissabi1ité

des

trames.

Si Z est un système de trames, on dit qu'une trame T est
une Z-trame si, et seulement si;
- pour tout élément
p de
H~(T) , l'homomorphisme h P est
élément de l~ ,
- pour tout élément
q de H*(T) , l'homomorphisme hc est
élément de Z* ,
Clairement, si E*E' sont deux petits systèmes de trames,
toute
E-trame
est une
E'-trame et à toute
E'-trame
est
associée une E-trame sous-jacente (que nous laissons au lecteur
le soin de définir),

Si
E est un petit système de trames (petites), on note
E-tram la catégorie dont les objets sont les E-trames petites
et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces trames.
Dans ces conditions, on a (voir la Note 9 ):
Proposition],
Si
Z
est un petit
système de trames,
la
catégorie
E-tram
est projectivement
esqui ssable.
Précisément,
il existe une esquisse projective
petite
Ei-tr.m
telle
que les
catégories
Mod(Er-tt-»m,Ens) et E-tram sont
équivalentes.

Preuve, Soit T une E-trame petite,
Notons SP(E) l'ensemble des supports
des trames qui sont
co-domaines d'au moins un hcE~UE* ,
De même, pour tout heE~ (resp, hcE* ), notons :
- H-^(T) = £ p / p£H-(T) et h» = h )
(resp, H-V(T) = £ q / qcH*(T) et h Q = h 3 ),
- H-dh(T) = £ Fc.p / peH-h(T) 3 ,
(resp, H*d^(T) » £ F*c / qcH^CT) 3 ),
Clairement, pour connaître T , il suffit de connaitre;
- le graphe compositif G , support de T ,
- pour tout heE" , la partie H"\*n(T) de Hom(<r,G) (si
désigne le support du co-domaine de h ),

CL. 2 3

E 3 Q U Z S $ A B Z L. X T E D E S T R A M E S .

- pour tout
hffE* , l a p a r t i e
H%JH(T)
de
Hom(<rfG)
(si
«r
désigne le support du co-domaine de h ) ,
On obtient donc une esquisse p r o j e c t i v e p e t i t e
E?-t,r*m
des
E-trames
en complétant l'esquisse ( i , e , l a trame d'ordre 1)
Tgrphcmp ( v o i r l e diagramme 14 ) comme s u i t :
- pour tout
<reSP(E), on ajoute à
T0rpHCmF»
l e cône p r o j e c t i f
distingué représenté par l e diagramme 32
( a i n s i , t o u t modèle
transformera son sommet
S*
en l'ensemble
Hom(<rfG) , s i
G
désigne le graphe compositif auquel s ' i d e n t i f i e l a r e s t r i c t i o n de
ce modèle à

T0rPhcmP

),

- pour chaque heE~ , on r a j o u t e une f l è c h e ( e t un cône p r o j e c t i f
distingué)
S""* )
> S«r ( s i l ' o n désigne par
<r l e support du
co-domaine de h ) ,
- pour chaque hcE* , on r a j o u t e une flèche ( e t un cône p r o j e c t i f
distingué)
S*v» >
> Su ( s i l ' o n désigne par
ir l e support du
co-domaine de h ) , Fin de la preuve.
Les p r o p r i é t é s
générales des catégories
projectivement
esquissables ( v o i r ( C . Q . C . E , ) ) nous permettent, en conséquence,
d'énoncer ( v o i r l a Note 10 ) ;
Corollaire
1 , Si Z est un petit
système de trames, la
catégorie
E-tram
est localement
présentable
(au sens de ( L . P . L . G . ) ) , en
particulier
elle est complète et
co-complète.
[Note 9, La "structure" de trame est, comme signalé au §2, plus générale que la
structure d'esquisse, I l n'en demeure pas moins q u ' i l s'agit d'une structure , , ,
esquissable et même projectivement esquissable (tout comme la structure, plus
particulière, d'esquisse - voir (L.D.T.t,)), Ainsi, la proposition 1 stipule que
la structure de trame est essentiellement algébrique,]
[Note 10, On sait (voir (P.T.G.M,) que la catégorie Grphcmp des petits graphes
compositifs est munie de diverses structures monoïdales fermées (dont une
cartésienne fermée), que nous continuerons i c i à noter Grphcmp (pour plus de
commodité) , Alors, on montre facilement (en s'inspirant des méthodes utilisées
en (E.G.C.E,)) que Z-tram est enrichie par l'une quelconque de ces structures
monoïdales fermées (en particulier, elle possède des "2-flèches") et que chacune
de ces Grphcmp-catégones est représentable et co-représentable (en un sens
facile à définir; si Ton supposait, plus particulièrement, que les supports des
E-trames petites étaient des catégories petites, alors la catégorie de ces ltrames petites serait une 2-catégorie représentable et co-représentable au sens
usuel),
Mieux, i l est facile de prouver (en reprenant les méthodes de (P.T.G.M,) et
(E.G.C.E )) que S-tram , elle-même, est munie de diverses structures monoïdales
fermées (dont une cartésienne fermée),]

ESQUISSABILITE DES

TRAMES.

Si
£<£'
sont deux petits systèmes de trames, on note
Ur»>E;E'-tram -• E-tram
le foncteur "E-trame sous-jacente" et
VE<E-,'E-tram 4 E'-tram le foncteur injection canonique,
Dans ces conditions, on a;
Proposition
2, Si
E<E' sont deux petits
systèmes de trames,
le
foncteur
UE«>E;E'-tram 4 E-tram est projectivement
esquissable.
Précisément,
il
existe
un
homomorphisme entre
esquisses
projectives
petites
tel

que le
foncteur
Mod(hiE<z'lEns);Mod(Er--tramlEns) -» Mod(EE~*r»m,Ens)
est "équivalent"
au foncteur
UE'>E;E'-tram •* E-tram .

Preuve, Reprenant la preuve de la proposition 1 précédente, on
constate que, par construction,
EE--^».»
contient
EE-t,r»«. ,
Alors, il suffit de prendre pour
hE<z'
1'homomorphisme
injection canonique, Fin de la preuve,
Les propriétés générales des foncteurs
projectivement
esquissables (voir (C.Q.C.E,)) nous permettent, en conséquence,
d'énoncer (notamment):
Corollaire
2, Si
E«E'
sont deux petits
systèmes de trames,
le
foncteur
"Z-trame sous-jacente"
UE->E;E'-tram •* E-tram commute
aux
limites
projectives,
commute aux
limites
inductives
suffisamment
filtrantes
et possède un adjoint
à gauche (qui est
le foncteur injection
canonique VZ<E«:E-tram •* E'-tram ) ,

6. E s q u i s s a b i 1 i t é d e s s é m a n t i q u e s c a t é g o r i q u e s
d e s s y s t è m e s de t r a m e s .

Si E est un petit système de trames, on note . E-sem la
catégorie dont les objets sont les petites sémantiques
catégoriques pour E et dont les flèches sont les sémantiques
fonctorielles entre ces petites sémantiques catégoriques.
Dans ces conditions, on a (voir Note 11 );
Proposition 3, Si Z est un petit sytème héréditaire
de trames,
la catégorie
E-sem est projectivement esquissable, Précisément,
il existe une esquisse projective petite
En-..™ telle que les
catégories Mod(EE-Mm,Ens) et E-sem sont équivalentes,
Preuve, Pour tout entier n , notons:
- E~r. l'ensemble des h;T 4 T' appartenant à
et T' sont d'ordres <n ,
- E+n l'ensemble des h:T 4 T' appartenant à
et T' sont d'ordres in ,
— £n =

E""

tels que

T

E*

tels que

T

\L n,E n ) ,

ainsi, En est encore un petit système héréditaire de trames,
L'esquisse
Es-Mm
est obtenue comme réunion de la famille
(croissante pour l'inclusion)
(Esn-um)n*N
des esquisses
projectives petites des
En-sémantiques catégoriques: cette
famille est construite par récurence en procédant comme suit,
a) L'esquisse Eue-—™
est l'esquisse des catégories munies de
choix de prolongements co-universels et universels le long de
certains foncteurs: une telle esquisse est construite comme en
(T.F.A.E,), (C.P.C.A.) ou (A.M.E.N.) (à ceci près qu'elle l'était
pour des prolongements associés à des extensions de Kan - ce qui
ne nuit en rien à la généralité),
b) Si
n>0
est un entier, supposons construite
Em-».™
de
sorte que:
- pour tout h;T 4 T' appartenant à E~n , on dispose du sousgraphe compositif de E m - — m
représenté dans le diagramme 33,
de sorte que, pour tout modèle M:Ezn- Mm 4 Ens (qui s'identifie
à une petite sémantique catégorique (C,a,b) de En ), on a;

ESQUISSABILITE DES SEMANTIQUES

CATEGORIQUES,

+ M (SOT)
s'identifie à l'ensemble des foncteurs
de
«r = supp(T) vers C ,
+ M(S<r>)
s'identifie à l'ensemble des foncteurs de
<r' = supp(T' ) vers C ,
4 M(s«r)
s'identifie à l'application composition par
T = supp(h ,
+ M C X T ) s'identifie à l'ensemble des modèles de T dans
la catégorie C ,
+ M ( X T ) s'identifie à l'ensemble des modèles de T' dans
la catégorie C ,
+ M ( X H ) s'identifie à l'application composition par h ,
+ M(j-r) s'identifie à l'application foncteur sous-jacent,
+ M(j-r-) s'identifie à l'application foncteur sous-jacent,
+ M(QCK) s'identifie à l'opérateur an ,
- pour tout h;T 4 T' appartenant à E"*n , on dispose du sousgraphe compositif de Em-*-™
représenté dans le diagramme 34,
de sorte que, pour tout modèle M:Ei:n-».m 4 Ens (qui s'identifie
à une petite sémantique catégorique (C,a,b) de En ), on a:
+ M(S«r)
s'identifie à l'ensemble des foncteurs
de
<r = supp(T) vers C ,
+ M(S<r<)
s'identifie à l'ensemble des foncteurs de
<r' = supp(T') vers C ,
+ M(ST)
s'identifie à l'application composition par
T = supp(h) ,
+ M C X T ) s'identifie à l'ensemble des modèles de T dans
la catégorie C ,
+ M ( X T ) s'identifie à l'ensemble des modèles de T' dans
la catégorie C ,
+ M(xh) s'identifie à l'application composition par h ,
4 M ( J T ) s'identifie à l'application foncteur sous-jacent,
+ M ( J T ' ) s'identifie à l'application foncteur sous-jacent,
-1- M(JBm) s'identifie à l'opérateur b* ,
(pour n = 0 , on dispose bien de tels sous-graphes compositifs
de

Eno-«-m , où, de plus,

JT = id(S«r) et

JT- = id(S<r«) ),

c) Alors, si
h*;T* 4 T'*
est un homomorphisme de trames
appartenant à E~n*i
et n'appartenant pas à E~~n , un modèle
M*;T* 4 C , de T
dans une telle catégorie (sous-jacente) C ,
est entièrement défini par la famille de données et les
conditions les reliant suivantes:
- un foncteur F:supp(T*) 4 C ,
- pour tout peH~(T A ) (pour lequel on a donc hP€Ï~r, , puisque
E
est héréditaire), un modèle
Mgp.'Tgp 4 C , un modèle
Mdr>;T'dp 4 C
et un (nécessairement unique)
isomorphisme

ESQUISSABILITE

DES SEMANTIQUES

m;Mdp 4 anp(Mgp)
(i, e, une
inversibles de C ) tels que:

certaine

CATEtiC

UQUES,

famille

de

flèches

+ F.FQP = ssj(Mop) ,

+ F.Fdp = ssj(Mdp) ,
+ Mdp.hp = Map ,
Autrement dit, l'ensemble des modèles de T A
dans
C est une
certaine limite projective d'applications "canoniques" entre;
- l'ensemble des foncteurs de supp(T gP ) vers C ,
- l'ensemble des foncteurs de supp(Tdp) vers C ,
- l'ensemble des modèles de T a p vers C ,
- l'ensemble des modèles de Td P vers C ,
- l'ensemble des flèches (inversibles) de C ,
ensembles et applications "canoniques" tous et toutes déjà
"esquissés" par des objets de Esn-»».» .
d) On peut donc (comme dans la preuve de la proposition 1 du §5)
compléter
Ecn-s«m
en une
Esn-» m ,s U pp<T~>
(on pourra se
reporter au diagramme 35 ), en ajoutant à
Esn-«.»m
un cône
projectif distingué de sommet un objet supplémentaire
S<ret
de base dans E E n - M m , De sorte que S«r~ "esquisse" l'ensemble
des foncteurs de (rA = supp(T A ) vers C ,
Alors, on peut de nouveau compléter
EEn~«.mf.uppcT->
en une
EEn-»*m.T(voir
le
diagramme
35 ), en
ajoutant
à
CZn-s«m(sMPP<TA >

|

- un cône projectif distingué de sommet un objet supplémentaire
XT~ et de base dans EEn-»*m,mupP<T') ,
- une flèche (et un cône projectif distingué) supplémentaire(s)
JT*:XT* )
> S«r~
(et des équations en la composant avec les
projections convenables),
de sorte que X T ~
esquisse l'ensemble des modèles de T
dans
C et JT- esquisse l'application foncteur sous-jacent.
e) Maintenant, après avoir procédé de la même manière pour T'A ,
on complète EEn-««m.T~ U EEn-««m,T- en une Ezn-««m,h*
(voir
le diagramme 36 ) en lui ajoutant deux flèches (et des équations
convenables);
S-r-îSo-- - 4 S«r~
et
Xh-:XT-- 4 X T ~ ,

esquissant
respectivement
l'application
composition
par
A
A
A
T = supp(h ) et l'application composition par h ,
f) Pour
exprimer
qu'on
dispose
d'un opérateur
choix de
prolongements a h - , il suffit alors de compléter EEn-**m,n~ en
une Ein-..m,h',« (voir le diagramme 36 ), en lui rajoutant une
flèche:

ESQUISSABIL.ITE D E S S E M A N T I Q U E S

OCH-ÎXT-

et

4

CATEGORIQUES.

XT-~

l'équation:

XH* ,<XH~ = id(X-r-) ,
g) A l o r s , pour exprimer que ce choix donne des prolongements cou n i v e r s e l s , on complète
Ein-..m,h\.
en une
Ein-«.m,h%*,co-u
en procédant exactement comme en ( T . F . A . E . ) ou ( A . M . E . N , ) ,
h) I l est c l a i r qu'on peut procéder de manière t o u t à f a i t
analogue pour un hA€E"*Yi+i
qui n ' a p p a r t i e n t pas à
£%» , i . e,
obtenir une c e r t a i n e EEn- Mm ,h>~,t>,u ,
i ) Dans
ces
conditions,
la
réunion
EEn+i-Mm
de
ces
EEn-».m,h\«,co-u
e t de ces
Esn-Mm.h^.b.u
(quand
h
varie)
est l'esquisse recherchée, Fin de la preuve,
Les p r o p r i é t é s
générales des catégories
projectivement
esquissables ( v o i r ( C . Q . C . E . ) ) nous permettent, en conséquence,
d'énoncer (notamment):
Corollaire
3, Si
Z est un petit
système héréditaire
de trames,
alors la catégorie
E-sem est localement présentable
(au sens de
( L , P . L , G , ) J , en particulier
elle est complète et
co-complète.
[Note 11, Nous avons déjà signalé que la structure de trame est plus générale que
la structure d'esquisse, Si l'on préfère, on peut dire aussi que, du point de vue
des modèles, les trames décrivent plus de structures (ou de modèles) que les
esquisses,
Par contre, la proposition 3 énonce que. du point de vue des sémantiques
catégoriques, les systèmes héréditaires de trames sont plus particuliers que les
sur-esquisses de l'esguisse de catégorie, Autrement d i t ,
les systèmes
héréditaires de trames décrivent moins de catégories munies de sur-structures que
les sur-esquisses de l'esquisse de catégorie; précisément, i l s décrivent des
catégories munies de sur-structures pour lesquelles les données supplémentaires
fournissent toutes des solutions de problèmes co-universels et/ou universels,
C'est évidemment leur intérêt,
I l convient de préciser que. si £ n'est plus héréditaire, alors E-sem n'est
plus nécessairement projectivement esquissable, Par contre, on peut montrer
u'elle est "tramable , i , e, q u ' i l existe une trame petite Ti-.™ (en général
'ordre
)2 ) t e l l e que
les catégories
Mod(TE-B«m,Ens)
et
ï-sem
sont
équivalentes,
Enfin, on peut aussi montrer que (revoir la Note 6 );
- la catégorie des petites sémantiques catégoriques héréditaires pour un petit
système héréditaire de trames
l
est encore projectivement esquissable ( i l
s u f f i t d'ajouter à l'esquisse construite précédemment des équations convenables),
- la catégorie des petites sémantiques catégoriques universelles-faibles pour un
petit système héréditaire de trames
l
est encore (non projectivement)
esquissable,
- la catégorie des petites sémantiques catégoriques modèles-faibles pour un petit
système (héréditaire ou non) de trames est tramable,
- la catégorie des petites sémantiques catégoriques modèles-faibles et
universelles-faibles pour un petit système de trames l est tramable,

S

etc ,,, ,]

E3QUI9SABILITE DES SEMANTIQUES

Si
E€E'
sont deux petits
PE->i::E'-sem -* E-sem
le foncteur
jacente",
Dans ces conditions, on a:

CATEÛf^IQUES,

sytèmes de trames, on note
"sémantique pour
E
sous-

Proposition 4. Si
E<E' sont deux petits
systèmes héréditaires
de trames, le foncteur
Ps- >z;E'-sem -» E-sem est projectivement
esquissable,
Précisément,
il
existe
un homomorphisme entre
esquisses projectives
petites
tel que le

foncteur

Pn-^EîE'-sem -* E-sem
est "équivalent" au foncteur
Hod(ks<z-,Ens) ;Mod(Er •-»•«,Ens) -* Mod(Ei:~*«m,Ens) .
Preuve,
Reprenant la preuve de la proposition 3 , il est clair
que Es'-m«»m contient, par construction, E z - . « m | Il suffit alors
de prendre pour
km**
l'homomorphisme injection canonique. Fin
de la preuve,
Les propriétés
générales
des foncteurs
projectivement
esquissables (voir (C.Q.C.E,)) nous permettent, en conséquence,
d'énoncer (voir la Note 12 ) :
Corollaire 4. Si E<E' sont deux petits systèmes héréditaires
de
trames,
le
foncteur
"sémantique pour
Z
sous-jacente"
Pu • > r : E ' -sem -» E-sem
commute aux 1 imi tes projecti ves, commute
aux limites
inductives
"suffisamment" filtrantes
et possède un
adjoint à gauche,
[Note 12, En particulier, si
1(0) = (0,0)
est le système (évidemment
héréditair
' petit)
• • -vide
•-.
• • autre
• système
- trames
*
* -•-héréditaire et
de•trames, tout
de
l est
plus
fin, Ainsi
si, si ï est héréditaire, le foncteur "catégorie sous-jacente"
PE = PI.E<0> ; ï-sem •* ï(0)-sem = Cat
admet un adjoint à gauche. Par conséquent, toute petite catégorie engendre
librement une sémantique catégorique pour I ,]

Atlas

des

Diagrammes

T<1 )

Diagramme 1

T<2)

Diagramme 2

Y V"
T(3>
(2,0)
( 2 , 1 ) , ( 1 , 0 ) = (2,0)
Diagramme 3

T(3)

Diagramme 4

CL

31

ATLAS OES

DIAGRAMMES

6"

T"(6>

Diagramme 5

Q*

T*(S)

Diagramme 6

ATLAS DES

DIAGRAMMES

G"

Diagramme 7

Q*

"s.:*"'

Fdci

supp(T)

Diagramme 8

o

C

ÎÎE

0»
0Fdp

supp(T)
Diagramme 9

Ç~ hcj a

hf inal

q
+
supp(T)
Diagramme 10

CL

33

ATLAS

DES

DIASRAMME9

G

G*

Q> <

q

supp(T)
Diagramme 12

CL

3*

ATLAS D E S DIAGRAMMES

P i . j i = id(S)
P2.J1 = e.c = f

P l l j 2

= 6iC = f
P2.J2 = id(S)

k . j i = id(S) = k , j 2

Pi.hi = p'i
pz.hi = p ' 2
p i . k i • kjh, = g i
p*.ki = p U

pi,hz = p ' 2
P2,h2 = p*3
P\.k ? • p',
t
p^.kz = k.h* ="g2

k.ki = k.k* = g

Diagramme 13

CL

36

ATLAS DES

DIAGRAMMES

d.pi a po = c,pz
pi.ji • id(S)
pz.ji = i,d = fi
j.j'i = jl

pi.jz • i.c • f 2
P2.J2 = id(S)
j,j'2 = J2

k.j'i = id(S) • k,j' 2
Pl,j = P'i

d.k • d.p'z = d'

P2,j • P*2

c.k = c.p'i = c'

Diagramme 14

ATLAS DES

DIAGRAMMES

C D <~ ""--' >
supp(T)
Diagramme 15

Diagramme 16

r

^. ^

supp(T)
Diagramme 17

Diagramme 18

ATLAS DES

DIAGRAMMES

Diagramme 19

ATLAS DES

DIAGRAMMES

supp(T)
Diagramme 22

supp(T)
Diagramme 23

X

Y

C

h.>

Supp(T)
Diagramme 24

supp(T)
Diagramme 25

CL

39

ATLAS DES

r

0

DIAGRAMMES

hr
q
+
supp(T)
Diagramme 26

supp(T)
Diagramme 27

0

C
V

heooi ^

•

>

Diagramme 28

r

hLi
Limt(Y)

Diagramme 29

ATLAS DES

DIAGRAMMES

I Non <Y>

NonCY)

hNon<Y)
TNOTÏ<V>

'

->

T'iMor»^

OÙ

Foc(y) =
F*g(X) = X
F*^(
FdcCz) • z • Fdc-(z)
Fdc(Z) = Z = F<*,-(Z>

,K:Ï

Diagramme 30

CL. 41

fe:Jfi:ï:

ATLAS DES

DIAGRAMMES

T.

T'.
où

Fdr(Y) • Y

F«ir(X) * list<Y) Fd-<Y> = Z

Fd.<X) - list(Z)

Fdr(X) = listm Fd^(X) - list(Y')
Fd«(y) - y Fd»(l) * 1 Fd.(y> • y' Fd..<l) - l1
Fd.(m) • m = Fd«(m) Fd.(z) = z - Fd.(z)
Diagramme 31

Ct- 4 2

ATLAS DES

(x ,x)

DIAGRAMMES

X varie dans l'enemble des objets de <r
x varie «ftns l'ensemble des flèches de or
varie dans l'ensemble des couples composables de
(notamment et dès que cela à un sens)
C.Px = Pcodom(x)
d.Px = Pdom(x)
i ,PX = P±clCX>
k,p<x«,>c> s Px'.x

Diagramme 32

JT

JT«

Xh,«h » id(XT)

Diagramme 33

JT-

Xh»,Bh = id(XT)
Diagramme 34

CL

4.3

ATLAS DES

DIAGRAMMES

Diagramme 35

C£n—»•!»
i

•

i

u £ n « « «i m , h * , m.
«H-

CLEn—w«»n»#

JT-

C Z n - » * m , T* \J

uEn-»«m,'

Diagramme 36

Bibliographie

(A,C.C.A,)

M, Makkai et R, Paré;
Accessible catégories; the foundations of
categorical model theory, Rep, from the Dept,
of Math, and Stat,, Mcdill Univ., Montréal,
1987.

(A.I.T.T.)

P, Martin-Lof;
An
in
intuitionistic
theory
of
types:
prédicative part, Rose and Sh'epherdson

(A.M.E.N.)

L, Coppey et C, Lair:
Algébricité. monadicité et non-algébricité,
Diagrammes 13, Paris, 1985,

(C.P.C.A.)

L. Coppey:
Catégories
de
Peano
et
Catégories
algorithmiques, récursivitê, Diagrammes 12,
algorithme
"~34,
Paris, 1984

(C.Q.C.E.)

C, Lair:
Catégories
qualifiables
et
catégories
esquissables, Diagrammes 17, Paris, 1987.

(E.G.C.E.)

C. Lair:
Etude générale de la catégorie des esquisses,
Esquisses Math, 23, Amiens, 1975.

(E.T.S.A.)

C, Ehresmann:
Esquisses
et
types
des
structures
algébriques, Bull, instit, Polit. Iasi, XIV,
1958.

(H.O.C.L.)

J. Lambek et P, J, Scott:
Introduction to higher order categorical
logic, Cambridge Univ, Press, 1986,

BIBLIOGRAPHIE

(I.F.Ç.C.)

J,-Y, Qirard:
Interprétation fonctionnelle et élimination
des
coupures
de
l'arithmétique d'ordre
supérieur, Thèse de Doctorat dnEtatf Univ,
Paris VII, 1972.

(L.C.R.F.)

R. Quitart et C, Lair:
Limites et co-1imites
représenter les
co-iimites pour represe
formules, Diagrammes 7, Paris, T982,

(L.D.T.E.)

L, Coppey et C, Lair:
Leçons
de
théorie
des
Diagrammes 12, Paris, 1984,

(L.P.L.G.)

esquisses

(I),

F, Ulmer:
Local ly «-présentable and local ly oc-generated
catégories.
Leet.
Notes
in
MaCh,
195,
Springer, 1971,

(P.T.G.M.)

L, Coppey:
Sur quelques problèmes typiques concernant
les graphes multiplicatifs. Diagrammes 3,
Paris, 1980,

(S.C.D.T.)

P, Ageron:
Sémantique catégorique des types: comprendre
le système F , Cà paraître).

(T.F.A.E.)

C. Lair:
Condition syntaxique de triplabilité des
foncteurs algébriques esquisses. Diagrammes
1, Paris, 1979,

Table

des

Matières

Introduction

p, CL 1

1, Trames,
2, Exemples de trames,
3, Systèmes de trames.
4, Exemples de systèmes de trames,
5, Esquissabilité des trames,
6, Esquissabilité des sémantiques catégoriques
des systèmes de trames,

p, CL 3
p. CL 7
p. CL 13
p, CL 16
p. CL 23
p. CL 26

Atlas des Diagrammes

p, CL 31

Bibliographie

p. CL 45

UNIVERSITE PARIS

U.F.R. DE

MATHEMATIQUES

TOURS 45-55-5*me

2 PLACE
76251

7

ETAGE

JUSSIEU

P A R I S CEDEX

05

FRANCE