D IAGRAMMES

C. L AIR
Catégories qualifiables et catégories esquissables
Diagrammes, tome 17 (1987), p. 1-153
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1987__17__1_0>

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OXAâRAnME8

VOLUME

CATEGORIES

17,

1997

QUALIFIABLES
ET

CATEGORIES

ESQUISSABLES

C. Lai r

INTRODUCTION

Ce texte est (essentiellement) consacré à quelques rappels,
En effet, nous rappelons tout d'abord, dans la Section I, les
propriétés
les
plus
élémentaires
des
catégories « dites
qualifiables,
i, e. de ces sous-catégories pleines d'une plus
large catégorie et ayant pour objets ceux dont nous disons, à la
suite de Andréka-Németi-Sain (voir par exemple (A.C.I.S.) et
(C.I.S.B.)) , qu'ils valident
ou satisfont
certains cônes
projectifs donnés de cette plus large catégorie,
Nous rappelons ensuite, dans la Section II, les propriétés
essentielles de certaines catégories dites, à la suite
d'Ehresmann (voir par exemple (E.T.S.A,)), esquissables:
i. e,
des sous-catégories qualifiables des catégories de foncteurs ou
des catégories localement présentables.
A titre d'illustration simple, voire simpliste, nous rappelons
alors, dans la Section III, comment les considérations méthodes
et résultats des Sections I et II fournissent obligatoirement
et
systématiquement
les solutions quasiment triviales à, par
exemple,
cinq exercices élémentaires sur
les catégories
qualifiables puis à cinq exercices élémentaires (traductions
automatiques particulières de ces cinq premiers) sur les
catégories esquissables.

A . M . 8. 8 U B . C L A 8 8 .

1 8 C 1 0 ,

18 8 4 0

, 18 A

1O

, 18 A

35

INTROOUCTX ON

Enfin, l'Appendice est consacré à trois caractérisations
sémantiques intrinsèques des catégories esquissables, La première
reprend mot pour mot les considérations d'un travail antérieur,
La deuxième en est une formulation particulière qui en découle
immédiatement, La troisième, originale (mais assez sophistiquée
sur le plan technique - ce qui nous avait dissuadé de la publier
antérieurement), fournit une réponse complète au problème de la
caractérisâtion des catégories esquissables, non par une esquisse
quelconque, mais par une esquisse de forme prescrite (arbitraire)
a priori.
Il s'agit effectivement, pour l'essentiel par conséquent, de
rappels: tant la théorie des catégories qualifiables que celle,
plus particulière, des catégories esquissables figurent dans
nombre de textes antérieurs, notamment (I.T.S.C,), (E.T.S.A,),
(A.C.I.S.),
(C.I.S.B.),
(C.M,CF.),
(C.M.C.E.),
(E.D.L.L.),
(C.S.CS.) ... pour n'en citer que peu, ainsi que toutes les
méthodes développées et utilisées ici.
Plus précisément, c'est bien en (C.M.C.F.) que, pour la première
fois, le lien - qui est très fécond - fut réellement et
définitivement établi entre les catégories qualifiables (étudiées
par Andréka-Németi-Sain), les catégories localement présentables
ou, plus généralement, localisables (étudiées par 6abriel-Ulmer
puis Diers) et les catégories esquissables (introduites par
Ehresmann).
Si le présent travail prétend à quelque originalité ce n'est
donc, essentiellement, que de regrouper plus d'un texte sur le
sujet.
Le lecteur pourra, par conséquent, trouver ici un exposé de
synthèse sur ce thème.
Je me suis résolu à publier ce texte, et sous cette forme, à
la suite de quelques péripéties dont voici le détail.
En Décembre 1985, je prends connaissance du livre, paru chez
Springer, intitulé "Toposes, Triples and Théories", publié par
Barr et Wells.
En Janvier 1986, j'écris personnellement à Barr et Wells pour
leur indiquer, tout d'abord, quelques erreurs purement techniques
dans l'exposé de théorie des esquisses qu'ils développent en
leurs Chapitres 4 et 8. Mais, surtout, pour les informer de ce
que la théorie des esquisses a été largement étudiée et
développée, depuis qu'elle fut fondée par Ehresmann, et de ce que
ces développements éclairent certaines de leurs considérations et
apportent nombre de solutions aux problèmes qu'ils se posent

I K I - T R O O U C T I OKI

(notamment,
de
caractérisation
de
certaines
catégories
esquissables), Je leur indique, enfin, mon étonnement de ne voir
cités aucun de ces travaux et, par conséquent, demande que, sous
une forme ou sous une autre, une mise au point soit apportée, par
eux, à ce sujet,
En Juillet 1986, n'ayant reçu pour toute réponse, sans même une
phrase d'accompagnement, qu'une vague liste de "corrections to
Toposes, Triples and Théories", dont j'ignore complètement la
destination et où figurent exclusivement les seules corrections
de détail
qui avaient été suggérées, j'estime nécessaire de
procéder moi même à la mise au point qui s'impose, dès lors,
d'autant plus: aussi, je publie ma lettre de Janvier 1986 (voir
(P.T.T.T)).
En Septembre 1986, je prends connaissance de l'article de Barr,
publié dans les Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle
Catégoriques, intitulé "Models of Sketches", J'y constate, par
rapport à ce qui est développé dans le livre, cité plus haut,
quelques évolutions auxquelles ma lettre de Janvier 1986 ne
semble pas totalement étrangère, Surtout, j'y relève des
préoccupations proches de celles figurant dans mes travaux
antérieurs et des problèmes qui, en tout cas, deviennent
totalement élémentaires, voire triviaux, si on les replace et les
traite explicitement dans le cadre et par les méthodes
systématiques que ces travaux avaient contribué à fonder et à
développer (le présent texte en est justement la preuve explicite
et formelle),
En Octobre 1986, ne croyant plus à aucune possibilité d'échange
scientifique sérieux avec Barr, je me vois donc contraint
d'écrire à Mme A. C. Ehresmann (directrice des Cahiers de
Topologie et géométrie Différentielle Catégoriques) pour lui
demander de publier la nouvelle "mise au point" qui s'impose
devant la volonté - cette fois-ci délibérée - manifestée par Barr
de faire la sourde oreille à toute mes sollicitations légitimes,
c'est à dire de taire systématiquement mes publications.
En Janvier 1987, je reçois (enfin!?) une lettre personnelle de
Barr: la grossièreté y côtoie la malhonnêteté intellectuelle. Il
m'y somme de "fermer ma gueule", espérant m'intimider et me
dissuader de prouver ce que j'avance.
Oui "Models of Sketches", encore davantage que les Chapitres
A et 8 de "Toposes, Triples and Théories", n'est qu'une pâle
recopie, volontaire ou non, de résultats et méthodes qui ne
doivent rien à Barr, qui, eux, sont systématiques et féconds, et

INTROOUCTION

réduisent à des exercices élémentaires, banaux et triviaux les
"main theorems" qu'il prétend "étudier",
Oui, Barr
aurait dû et devrait
citer certains travaux
antérieurs mais, surtout (après les avoir lus), les travailler et
(si possible) les comprendre pour les appliquer avec davantage de
profit et de pertinence, s'il est vrai que "science sans
conscience n'est que ruine de l'âme" ... a fortiori lorsqu'il y a
peu de science.
Au delà de toute polémique, n'ayant aucunement l'intention
de me taire face à l'intimidation, je me résouds â publier ce
texte. Il est sans doute fort long, au contraire de celui de
Barr: c'est que rétablir la vérité, lorsqu'elle est travestie,
volontairement ou non, est plus fastidieux que de la travestir.
Il se veut être la preuve exclusivement scientifique de ce que
j'avance, En tout cas, ce le sera pour le lecteur attentif et
sérieux qui n'ira pas (au contraire de Barr, dans sa lettre de
Janvier 1987) jusqu'à même nier l'existence matérielle de ce
qu'il peut lire,

SECTION

CATEGORIES

QUALIFIABLES

1.1.

VALIDATION

ET

SATISFACTION,

On suppose, dans tout ce n#I,l, que
localement petite.

C

est une catégorie

I . 1 . 1 . Validation.

1,1.1,1, Soit f » (fx:C -» CH)XCE une famille projective de
flèches de C [voir Note U ,
On dit qu'un objet
C
de C
valide
f , et l'on écrit
C <l f # si et seulement si [voir Notes 2 et 33:
- pour toute flèche c;C -* C
de C , il existe au moins un
xeE
et au moins une flèche
CxjCx «• C
de
C
tels que
Cx, 1 X ~ c ,

[Note 1, On ne considère, dans la suite, que des familles
projectives "petites" de flèches, Si f = (f><:C -» CK)X«E est une
famille projective de flèches de C , on dit que:
- E est l'ensemble d'indexation de f ,
- C est le sommet de f ,
- pour tout xcE , Cx est un pied de f ,
- pour tout xfE , fx;C -4 Cx est une projection de f ,3
[Note 2. La définition de validation, donnée ici, peut être
qualifiée d'interne à C , en ce sens qu'elle ne fait intervenir
explicitement que la "géométrie11 de C .
On peut bien entendu en donner une définition "externe" , en ce
sens qu'elle fait intervenir
Ens
(et ce n'est qu'ici que
l'hypothèse
"C
est localement petite" intervient). En effet,
il est clair que C
valide f si, et seulement si:
- l'application canonique ("composition par les fx ")

1.1. SSAL.XDATXOM E T

SATISFACTION,

Zx«e Hom<Cx,C) 4 Hom<C,C)
est un épimorphisme de Ens 3
[Note 3, La notion d'objet validant une famille projective de
flèches a été introduite, sous une appellation différente, par
Andréka-Németi-Sain, par exemple dans (A.C.I.S.) et (C,I,S.B).3
1.1.1.2, Soit C un objet de C .
On dit qu'un objet C
de C
valide C , et l'on note encore
C <l C , si et seulement si:
- C
valide la famille projective 0-famproj(C) Cvoir Note 43,
Ainsi, on a:
- c <i c
«
c <i ( :C 4 ) «« .
[Note 4, Si C est un objet de C , on note (S-famproj(C) la
famille projective de flèches de C , de sommet
C et ayant
l'ensemble vide pour ensemble d'indexation. Par analogie avec la
notation générale, on convient d'écrire, plus "concrètement",
0-famproj(C) s ( ;C -» ) « 0 .3
1.1.1.3. Soit e:C -» Co une flèche de C .
On dit qu'un objet
C
de
C
valide
e , et l'on note
toujours C <! e , si et seulement si:
- C
valide la famille projective l-famproj(e) [voir Note 53,
Ainsi, on a:
- C <l e
«
C <l (e) .
[Note 5. Si
e;C -» Co
est une flèche de
C , on note
l-famproj(e) la famille projective de flèches de C , de sommet
C , ayant l'ensemble 1 » (0) pour ensemble d'indexation et dont
la seule projection est e:C -» Co . Par analogie avec la notation
générale,
on
convient
d'écrire,
plus
"concrètement",
l-famproj(e) = (e;C 4 Co) = (e) ,3

I . 1 .2.

C

1.1.2.1. Soit
Cvoir Note 63,

Satisfaction.

p » (pi:C 4 B(I))i«x

un cône projectif de

I.1. V A L I D A T I O N E T 8 A T I 9 F A C T I O N .

On dit qu'un objet C
de C
satisfait
p , et l'on note
C <ll p , si et seulement si Cvoir Notes 7 et 83:
- pour toute flèche c:C -• C
de C , il existe au moins un
objet I de I
et au moins une flèche ci:B(I) •• C
de
C
tels que Cz.pi = c ,
- pour tous objets
I
et
I'
de
I
et toutes flèches
ci:B(I) -> C
et
ci-:BCX'> 4 C
de
C
tels que
ci,pi » cx'.pi' , il existe un zigzag
Z:

I *

de flèches de
B(Z):

I

Il f- la 4 I 3 . . . I 2 K - 1

f" l2k 4 Isk-t-l • I'

et il existe un diagramme

BCI) <- B(I2) 4 B ( I 3 ) . . . B ( I 2 K - I ) f- B(I^) 4 B(I')

commutâtif dans

C .

CNote 6. On ne considère, dans la suite, que des cônes proj-ectifs
"petits". Si
p = (pz:C -4 B(I))i«x
est un cône projectif de
C , on sous-entend - car il n'y aura pas risque de confusion
dans la suite - que:
- I est un graphe orienté petit (resp. une catégorie petite),
- B:I 4 C
est un homomorphisme de graphes orientés (resp. un
foncteur),
- pour toute flèche i;I 4 I' de I , on a B(i),pi = piAlors, on dit que:

- I

est le graphe orienté

(resp. la catégorie)

d'indexation

cône projectif p ,
- B: I 4 C
est la base de p ,
- C est le sommet de p ,
- pour tout objet I de I , B(I) est un pied de p ,
- pour tout objet I de I , pi:C 4 B(I) est une projection
cône projectif p ,3

du

du

X.1. VALIDATION

ET

SATISFACTION,

[Note 7, La définition de satisfaction, donnée ici, peut encore
être qualifiée d'interne à C , dans le même sens que celui de
la Note 2, concernant la validation,
On peut, de même, en donner une définition "externe".11 est
clair, en effet, que C
satisfait p si, et seulement si:
- l'application canonique ("composition par les pi ")
limindx«xop Hom(B(I),C) 4 Hom(C,C)
est un isomorphisme de Ens ,
(si l'on désigne par
limind
un opérateur "choix de limites
inductives" dans Ens).3
CNote 8. La notion générale d'objet satisfaisant un cône
projectif d'une certaine catégorie a été introduite, sous une
terminologie différente, par GuitartHLair en (C.M.C.F,). Elle
constitue la formalisation "proprement catégorique" - et non pas
seulement ensembliste, comme en 1.1.1 - de l'idée d'objet
validant "des" flèches, Elle fait apparaître un cône projectif p
de C
comme une formule interne à G ... d'autant plus qu'on a
choisi la définition interne de la satisfaction (voir la Note 7):
dans la suite, la "règle du jeu" sera de mener à bien toutes les
démonstrations (ou de poser toutes les définitions) en conservant
systématiquement - comme en (C.M.C.F.) - ce mode de présentation
interne,3
1.1.2.2. Soit C un objet de C .
On dit qu'un objet C
de C
satisfait
C , et l'on note
encore C <ll C , si et seulement si:
- C
satisfait le cône projectif 0-cÔneproj(C) Cvoir Note 93,
Ainsi, on a;
- C <ll C
e
C <ll ( :C 4 ) «•* .
CNote 9. Si C est un objet de C , on note 0-côneproj(C) le
cône projectif de sommet C , ayant pour graphe orienté - ou pour
catégorie - d'indexation le graphe - ou la catégorie - vide (que
l'on note
0 ). Par analogie avec la notation générale, on
convient d'écrire 0-cÔneproj(C) • ( :C 4 ) « 0 .3
1.1.2.3. Soit e:C 4 Co une flèche de C .
On dit qu'un objet C
de C
satisfait
e , et l'on note de
nouveau C <ll e , si et seulement si:
- C
satisfait le cône projectif 1 -côneproj(e) Cvoir Note 103,
On a donc :

- C <ll e

e

C <ll (e) .

VALIDATION ET

fiATlSTACTION,

CNote 10. Si
e:C 4 Co
est une flèche de
C , on note
1 -côneproj(e)
le cône projectif, de sommet
C , ayant pour
graphe orienté - ou catégorie - d'indexation "le" graphe orienté
- ou "la" catégorie - à un seul objet et une seule flèche, que
l'on note
1 , et ayant e:C 4 Co pour seule projection. Par
analogie avec la notation générale, on convient d'écire encore,
plus "concrètement", 1 -côneproj(e) =» (e:C 4 Co) = (e) ... ce qui
ne créera cependant pas d'ambiguïté avec la notation adoptée dans
la Note 5 (voir aussi la Note 11),3
1.1.2.4, Soit f = (f><:C 4 CK)X.E une famille projective de
flèches de C ,
On dit qu'un objet C
de C
satisfait
f , et l'on note
toujours C <ll f , si et seulement si:
- l'objet C
satisfait le cône projectif
côneproj(f) Cvoir
Note 113,
On a, par conséquent;
- C

<ll

(f*;C 4 Cx)x«E

*

C

<ll

(fxjC 4 Cx),cOi.c<E) .

CNote 11, Si f = (fx.'C 4 CX)X.E
est une famille projective de
flèches de C , on désigne par côneproj(f) le cône projectif
de sommet
C , ayant pour graphe orienté (ou catégorie)
d'indexation le graphe orienté discret (ou la catégorie discrète)
Oisc(E) , dont l'ensemble des objets est E , et ayant les mêmes
projections que f , Ainsi, en toute rigueur, on prend bien soin
de distinguer les cônes projectifs d'indexations discrètes et les
familles projectives (dont les indexations sont des ensembles):
c'est que valider une famille projective n'est pas équivalent à
satisfaire
le cône projectif d'indexation discrète qu'elle
définit. On pourra cependant considérer cette disetinction comme
une simple clause de style, pourvu qu'on ne confonde pas alors
valider une famille et satisfaire - ce qui est plus contraignant

- cette même famille.3

1.1.3.

Satisfaction

1 . 1 . 3 . 1 , Soit
C

.

implique

p =» (piîC 4 B ( I ) ) i « x

validation.

un cône projectif de

X . 1 . VAL. I D A T ION E T

SATISFACTION,

Il est clair que, si C
est un objet de C
qui satisfait
p , alors
C
valide aussi la famille projective de flèches
famproj(p) Cvoir Note 123,
Ainsi, on a:
- C <ll (px:C 4 B(I))x«x
*
C <l (px:C 4 B(I))uo b (i > ,
mais l'implication réciproque est fausse en général.
CNote 12, Si
p = <p,-c 4 B(I))i.x
est un cône projectif de
C , on note
famproj(p)
la famille projective de flèches de
C , de sommet C , ayant 0b( I ) pour ensemble d'indexation et
de mêmes projections que p (voir de nouveau la Note 11),3
1.1.3.2. En particulier, si C est un objet de C , on a:
- C <ll C
o
C <l C .
De même, si e:Ci 4 C* est une flèche de C , on a:
- C <ll e
*
C <l e ,
et, si e est un épimorphisme de C , l'implication réciproque
est évidemment vraie.
Enfin, si f est une famille projective de flèches de C , on
a:
- C <ll f
=» C <l f .

1.2. FAMILLES

LOCALEMENT INDEPENDANTES
ET
DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES,

1.2.1. Familles

localement
relatives.

indépendantes

On suppose, dans tout ce n#I,2.1, que U ; C 4 C
foncteur entre deux catégories localement petites,

est un

1.2.1.1, Soit C un objet de C , (C'X)X.E une famille
d'objets de
C
et
f = (f*:C 4 U(C'x))^E
une famille
projective de flèches de C .
On dit que (Cx)x«e est une famille localement
indépendante
d'objets
de
C
, présentée
par
f , engendrée par
C,
relativement à U , si et seulement si Cvoir Note 13:
- pour tout objet C de C
et toute flèche c;C 4 U(C') , il
existe au moins un xeE et au moins une flèche c'xjC'x 4 C de
C
tels que U(c'x).fx = c .
CNote 1. Il est évidemment équivalent de dire que C C x / xcE )
est un "ensemble de solutions" (pour C ), au sens classique de
Freyd,
Il est encore équivalent de dire que (version "externe" de la
définition interne À U proposée):
- pour tout objet C
de C
, l'application canonique ("image
par U puis composition par les fx ")
EX.E Hom(C,xlC') 4 Hom(C,U(C))
est un épimorphisme de Ens .3
1.2.1.2. Soit C un objet de C
et e:C 4 U(C'o) une flèche de C .

, Co

un objet de

C

X.2.

FAHILLCS LQC.

INDCPCNDANTCfi E T O I A O R A H M C S L O C , L. X I

On dit (classiquement) que
C

, engendré par

Co

C , présenté

est un objet

par

quasi-libre

e , relativement

à

de

U , si

et seulement si :
- (Co) est une famille (indexée par l'ensemble 1 ) localement
indépendante d'objets de
C
, présentée par
l-famproj(e) ,
engendrée par C , relativement à U .
Dans ces conditions, si tout objet de C
engendre un objet
quasi-libre de
C
, relativement à
U , nous dirons, plus
brièvement, que

U

admet un quasi-adjoint

à gauche.

1.2.1.3. Supposons, en particulier, que -J est un graphe
orienté petit (resp. une catégorie petite) et que:
- C = C,or
est la catégorie des homomorphismes (resp. des
foncteurs) de JT vers C
,
- U:C 4 C ^
est le foncteur "diagonal".
Soit 6: J 4 C
un objet de C J .
Une famille localement indépendante de C
, engendrée par 6 ,
relativement à
U , est appelée une famille
quasi-limite
induetive

de

6 ,

En particulier, un objet quasi-libre de C
, engendré par G ,
relativement à
U , est appelé une quasi-limite
(ou un objet
quasi-limite")

indue tive

du foncteur

6 .

Dans ces conditions, si le foncteur
à gauche, on dira que
C
possède
induetives
(de diagrammes) d'indexations

1.2.2.

U

admet un quasi-adjoint

toutes
J

Diagrammes localement
relati fs.

les

quasi-limites

libres

On suppose, dans tout ce n#I.2.2, que U'.C
foncteur entre deux catégories localement petites

4 C

est un

1.2.2.1. Soit
C
un objet de
C , (B'(I))z«x
un
diagramme de
C
Cvoir Note 23 et p » (pi'.C 4 U(B'(I)))x«x
un cône projectif de C ,
C

On dit que
, présenté

(B'(I))z«x
est un diagramme localement
libre
de
par
p , engendré par
C , relativement
à U , si

et seulement si Cvoir Notes 3 et 43:

X.2.

F-AM X l_L.ES L O C , I N D E P C N O A N T C S C T D I A Q R A M M C 8

LUC.

- pour tout objet C
de C
et toute flèche c:C 4 U(C') de
C , il existe au moins un objet
I de
I
et au moins une
flèche c'x:B<I) 4 C
de C
tels que U(cfz).pz » c ,
- pour tout objet C
de C
, tous objets I et I' de I
et toutes flèches c'x:B(I) 4 C
et c'x-:B(D 4 C
de C
,
a
telles que U(c'z).pz IKc'xO.pz- , il existe un zigzag
I a II •- Iz 4 I3,,,l2k-1 f- I » 4 Izk-^l S r

Z:
de flèches de
B(Z):

I

et il existe un diagramme

B(I) <- B(I 2 ) 4 B(l3)...B(l2K-i) f- B(I 2 k) 4 B(I')

commutatif dans

C

CNote 2. On appelle diagramme d'une catégorie
C
tout
homomorphisme (resp. tout foncteur)
B: I 4 C
d'un graphe
orienté petit (resp, d'une catégorie petite) I vers C .
Alors, on identifie B et (B(I))i«x
(ce qui dans la suite ne
provoquera pas de risque de confusion), on dit que I en est le
graphe orienté (resp. la catégorie) d'indexation et, pour tout
objet I de I , on dit que B(I) en est une
valeur,!
CNote 3. Il est équivalent de dire que (version "externe" de la
définition interne à U proposée);
- pour tout objet C
de C
, l'application canonique ("image
par U puis composition par les px ")
limindx.xop Hom(B(I),C) 4 Hom(C,C)
est un isomorphisme de Ens .3
CNote 4. La notion générale' de diagramme localement libre a été
introduite par Guitart-Lair en (C.M.C.F.). Elle constitue la
formalisation "proprement catégorique" - et non pas seulement
ensembliste - de l'idée "d'ensemble de solutions", déjà
formalisée en 1.2.1.1: ainsi, par analogie, peut-on dire d'un
diagramme
localement
libre qu'il
est un
"diagramme de
solutions".3

FAMILLES LQC.

XNDCPENOANTE9 CT OIAQRAMMC8

LUC.

1.2.2.2. Soit C un objet de C , C o un objet de
et e:C 4 U(C'o) une flèche de C .
On dit (classiquement) que C o est un objet libre de C
présenté

par

e , engendré

par

C , relativement

à

C
,

U , si et

seulement si:
- (Co)
est un diagramme (indexé par 1 ) localement libre de
C
, présenté par
1 -côneproj(e) , engendré par
C,
relativement à U ,
1.2.2.3. Soit C un objet de C , (C'X)X.E
d'objets de
C
et
f = (f*:C 4 U(C'x))x«E
projective de flèches de C .

une famille
une famille

On dit que (Cx)x«e est une famille
localement libre
d'objets
de
C
, présentée
par
f , engendrée par
C , relativement
à

U , si et seulement si Cvoir Note 63;
- (C'X)X.DI.C(E)
est un diagramme localement libre de C ,
présenté par côneproj(f) , engendré par C , relativement à U .
Dans ces conditions, si tout objet de C
engendre une
famille localement libre d'objets de C
, relativement à U
on dit, plus brièvement, que

U

admet un muîti-adjoint

à gauche.

CNote 6. La notion de famille localement libre a été introduite
par Diers en (C.A.L.O.), antérieurement à celle, plus générale et
qu'elle a suggérée, de diagramme (d'indexation non nécessairement
discrète) localement libre.3
1.2.2.4. Supposons, en particulier, que J
est un graphe
orienté petit (resp, une catégorie petite) et que:
- C = C'-^
est la catégorie des homomorphismes (resp, des
foncteur s) de J vers C ,
- U:C 4 C J
est le foncteur "diagonal".
Soit G; J 4 C
un objet de C J .
Un diagramme localement libre de
C
, engendré par
6,
relativement à U , est appelé un diagramme localement
limite
indue tive

de

G .

En particulier, une famille* localement libre de C
, engendrée
par G , relativement à U , est appelée une famille
localement
limite

indue tive

de

G .

Dans ces conditions, si le foncteur
U admet un multiadjoint à gauche, on dira que C
possède toutes les familles
localement

limites

induetives

(de diagrammes)

d'indexations

J

,

. 2 .

FAMXLLCC

LQC.

I N O G R E N O *VsJTES

1,2.3,

ET

OIAÛf^AMMES

LOC.

L I B R E S ,

T r a n s i tivi t é s .

On suppose, dans tout ce n#I,2.3, que
U':C" 4 C
et
U;C 4 C
sont deux foncteurs entre des catégories localement
petites.
1.2.3.1. Il est facile d'établir que Cvoir Note 7];
- (transitivité directe des objets libres et quasi-libres) si

l'objet
C de C
engendre un objet libre
C
de C ,
relativement
à U , et si
l'objet
C
de C
engendre un
objet quasi-libre
C" de C " , relativement à U' , alors
C"
est un objet quasi-libre
de C " , engendré par C , relativement
à V.W ,
- (transitivité indirecte des objets libres et quasi-libres) si

l'objet
C de C
engendre un objet libre
C
de C ,
relativement
à U , et si l'objet
C de C
engendre un objet
quasi-libre
C" die C " , relativement à U.U' , alors C" est
un objet quasi-libre
de C " , engendré par C , relativement au
foncteur
U' .
CNote 7, Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et de prouver
une propriété, plus générale, de transitivité des (ou de certains
types de) familles localement indépendantes, Nous n'énonçons ici
que les propriétés minimum qui nous sont nécessaires dans la
suite, ne serait-ce que pour les qualifier.]
1.2.3.2. Il est tout aussi facile d'établir que Cvoir Note
83:
- (transitivité directe des objets libres et des familles

localement libres) si l'objet
C de C engendre un objet
libre
C
de C
, relativement
à {J , et si l'objet
C
de
C
engendre une famille localement libre
(C"x)x«e
d'objets
de
G " , relativement
à
U' , alors
(C"x)x«c
est une famille
localement
libre
d'objets
de
C " , engendrée par
C,
relativement À U.U' ,
- (transitivité

indirecte

des objets

libres

et

des

familles

localement libres) si l'objet
C de C engendre un objet
libre
C
de C
, relativement
à U , et si l'objet
C de
C
engendre une famille localement libre
(C"~)x«rE
d'objets
de
C
, relativement
à U.U' , alors
(C"x)~*e est une famille
localement
libre
d'objets
de
C " , engendrée par
C
relativement à U' ,

1.2. F A M I L L E S L O C ,

INOEPCNOANTE8 CT OIAQRAMMC9

LUC,

LIBRES.

CNote 8. Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et de prouver
une propriété, plus générale, de transitivité des (ou de certains
types de) diagrammes localement libres (voir la Note 7),]

1.2,4. Familles localement indépendantes
(relatives à une s o u s - c a t é g o r i e p l e i n e ) .

On suppose, dans tout ce n'I.2.4, que C
est une catégorie
localement petite et que
C
en est une sous-catégorie
pleine. Alors, on désigne par U : C -» C
le foncteur injection
canonique.
1.2.4.1, Soit C un objet de C , ( C X ) X « E une famille
d'objets de C
et f = (fx:C «* C X ) X « E une famille projective
de flèches de C .
Il est clair que
(CX)X«E
est une famille
localement
indépendante d'objets de C
, présentée par 1 , engendrée par
C , relativement à U (ce que nous omettrons de préciser dans la
suite), si et seulement si;
- pour tout objet C
de C
, on a C <l f ,
1.2.4.2. Soit C un objet de C , C o
un objet de
C
e:C 4 C o une flèche de C .
Il est clair que
Co
est un objet quasi-libre
de C ,
engendré par C , présenté par e , relativement à U (ce que
nous omettrons de préciser dans la suite), si et seulement si:
- pour tout objet C
de C
, on a C <l e .
Dans ces conditions, si U admet un quasi-adjoint à gauche,
nous dirons simplement que C
est une sous-catégorie pleine
quasi-ré flexive de C .

et

RAMILLES LOC.

INDEPENDANTES ET DIAORAMMES

1.2.5. D i a g r a m m e s localement
(relatifs à une sous-catégorie

LQC,

LIBRES,

libres
pleine)

On suppose, dans tout ce nM.2.5, que C
est une catégorie
localement petite et que C
en est une sous-catégorie pleine,
Alors, on note U : C •* C
le foncteur injection canonique,
1.2.5.1. Soit
C
un objet de
C , (B'(I))i«x
un
diagramme de C
(identifié, si besoin est, à un diagramme de
C , à valeurs dans C
) et p = (pi :C -» B* (I))i«x
un cône
projectif de C .
Il est clair que
(B'(I))x*x
est un diagramme localement
libre

de

C

, présenté

par

p , engendré par

C , relativement

à U (ce que nous omettrons de préciser dans la suite), si et
seulement si :
- pour tout objet C
de C
, on a C <ll p ,
1.2.5.2. Soit C un objet de C , C o un objet de C 1
et e:C -» C o une flèche de C ,
Il est clair que C o est un objet libre de C
, présenté
par
e , engendré par
C , relativement à
U
(ce que nous
omettrons de mentionner dans la suite), si et seulement si:
- pour tout objet C
de C
, on a C <ll e ,
1.2.5.3. Soit C un objet de C , ( C X ) X « E une famille
d'objets de C
et f - (fxîC -» C X ) X « E une famille projective
de flèches de C .
Il est clair que (C'X)X.E est une famille localement
libre
d'objets

de

C

, présentée

par

f , engendrée

par

C ,

relativement à
U
(ce que nous ne préciserons plus dans la
suite), si et seulement si:
- pour tout objet C
de C
, on a C <ll f .
Dans ces conditions, si U admet un multi-adjoint à gauche,
nous dirons plus simplement que
C
est une sous-catégorie
pleine et multiréflexive

de

C

.

1.2. F A M I L L E S L O C ,

1.2.6.

INDEPENDANTES ET

DIAQRP

Familles

localement
et
diagrammes localement
assoc iés.

£8 L O C .

LIBRES.

indépendantes
libres.

On suppose, dans tout ce n#I.2.6, que C
est une catégorie
localement petite et que C
en est une sous-catégorie pleine.
1.2.6.1. Supposons que C est un objet de C , (B'(I))x«x
est un diagramme de C
et p = (pi:C -» B'(I))i«x est un cône
projectif de C .
Clairement, si (B(I))i«x
est un diagramme localement libre
de
C
, présenté par
p
et
engendré par
C , alors
(B(I))i.ot>< x > est une famille localement indépendante d'objets
de C
, présentée par famproj(p) et engendrée par C .
On peut donc énoncer;
- si un objet de C
engendre
C
, alors
il
engendre une
d'objets
de C
.

un diagramme localement
libre
de
famille
localement
indépendante

1.2.6.2. Supposons que
C
possède toutes les sommes
fibrées et que, tout objet
C
de
C
engendre une famille
localement indépendante
(C(C)X)X«E<C>
d'objets de
C ,
présentée
par
la
famille
projective
de
flèches
f(C) = (f(C)x:C -> C(C)x)x«E<C> .

Dans ces conditions, pour tout objet
C
de
C
et tous
éléments x et x' de E(C) , on note C(C)x,x<
la somme
fibrée dans
C , représentée par le diagramme commutâtif cidessous:
C(C)x.x-

s(C),

C(C),

f(C),

s'(C)>

C(C),

f(C),

1.2. F A M I L L E S

LOC.

INDEPENDANTES ET OIASRAMME9

LOC.

LIBRES.

De même, on note I (C) le graphe orienté tel que:
- si xeE(C) , alors x est un objet de I (C) ,
- si xeE(C) , si x'eE(C) , si y€E(C"(C)x.x-) , alors (x,x\y)
est un objet de I (C) ,
- si
xcE(C) , si
x'cE(C) , si
yeE(C"(C)x.x-) , alors
(x, (x,x* ,y), 1 ):x -• (x,x',y)
et
(x* , (x,x# ,y),2) :x' •* (x,x',y)
sont deux flèches de I (C) .
On désigne alors par B'(C):Z(C) -» C
le foncteur tel que:
- si xcE(C) , B'(C)(x) =» C(C)x ,
- si xcE(C) , si x'eE(C) , si y€E(C(C)x.x-) , alors
B'(C)(x,x',y) = C'(C'(C)x,xOy ,
- si xcE(C) , si x'€E(C) , si yeE(C(C)x,x. ) , alors
B'(C)(x,(x,x',y),l) » f(C(C)x.x.)v.s(C)x
et
B'(C)(x',(x,x',y),2) =* f(C(C)x.x-)v.s'(C)x- .
Enfin, on note
p(C) = (p(C)x:C -» B' (C)(I))i«x <c>
le cône
projectif de C
tel que;
- si xeE(C) , alors p(C)x = f(C)x ,
- si xcE(C) , si x'€E(C) , si ycE(C-(C)x,xO , alors:
P(0x.x',v = f(C(C)x.xOv.S(C)x.f(C)x
= f(C(C)x.xOv.S'(C)x-.f(C)x' .
Moyennant ces constructions, il est facile de voir que;
- pour tout objet
C
de
C , Bf (C): I <C> -+ C 1
est un
diagramme localement libre de
C
, présenté par
p(C) ,
engendré par C .
Autrement dit, on peut affirmer aussi que:
- si tout objet
de
C
engendre une famille
localement
indépendante d'objets de C
, alors tout objet de C
engendre
un diagramme localement libre de
C
(lorsque
C
possède
toutes les sommes fibrées).

1.3.

AXIOMATISATIONS

ET

QUALIFICATIONS

On suppose, dans tout ce n'1.3, que
localement petite.

C

est une catégorie

I .3. 1 , A x i o m a t i s a t i o n s .

1.3.1.1. On appelle axiomatisation (relative
à
C ) tout
ensemble F de familles projectives de flèches de C .
Si C est un objet de C , on dit que C valide F , et l'on
note C <l F , si et seulement si:
- pour toute feF , on a C <l f .
Alors, on désigne par Val(C,F) la sous-catégorie pleine de
C
dont les objets sont ceux qui valident F Cvoir Note 13.
[Note 1. L' "opérateur"
VaKC,-)
est introduit, sous des
terminologie et notation différentes, par Andréka-Németi-Sain en
(A.CI.S.) et (C.I.S.B.).
On peut introduire, inversement, comme le font Andréka-Németi en
(C.V.C.T.) dans un cadre un peu plus limité, 1' "opérateur"
Axm(C,-) associant à toute sous-catégorie pleine C
de
C
la classe A x m ( C , C )
des familles projectives de flèches de
C
(éventuellement d'un type fixé a priori) qui sont toutes
validées par tous les objets de C
.
Bien entendu, ces deux opérateurs définissent alors une
correspondance de Galois entre les sous-catégories pleines de C
et les axiomatisations (d'un certain type donné) relatives à la
catégorie C .]

AXIQMATXSATXON3 ET

QUALIFICATIONS.

1.3.1,2. Soit C
une sous-catégorie pleine de C .
On dit nue C
est axiomatisable
(relativement
à C ) si, et
seulement si Cvoir Note 21:
- il existe une axiomatisation F (relative à C ) telle que
l'on ait C
= VaKC,F) .
[Note 2. Les sous-catégories axiomatisables de C
sont donc les
sous-catégories stables par l'opérateur Val(C,Axm(C,-)) .
Plus généralement, C
étant une sous-catégorie pleine
quelconque de
C , le problème se pose de décrire sa clôture
Val(C,Axm(C,C')) . Sommairement parlant, on l'obtient, dans
certains cas particuliers, en saturant C
par (certains) sousobjets, (certains) quotients et ultraproduits (si les familles
projectives considérées sont d'indexations finies): des résultats
"à la Birkhoff" de ce type sont établis par Andréka-Németi-Sain
en (A.CI.S.) et (C.I.S.B.), par exemple.
Inversement, F
étant une axiomatisation quelconque relative à
C , le problème se pose de décrire aussi sa clôture
Axm(C,Val(C,F)) . Sommairement parlant, on l'obtient, dans
certains cas très particuliers, en saturant F (considéré comme
un ensemble de formules classiques) par "dérivations" (i, e,
règles d'inférence, ou de "ré-écriture"): des résultats de ce
type sont
établis par Andréka-Németi en (C.V.C.T,)', par
exemple.3

1.3.2.

Quaiifications.

1.3.2.1. On appelle qualification
(relative
à
C ) tout
ensemble P de cônes projectifs de C .
Si C est un objet de C , on dit que C satisfait
P , et
l'on note C <ll P , si et seulement si:
- pour tout pcP , on a C <II p .
Alors, on désigne par Sat(C,P) la sous-catégorie pleine de
C
dont les objets sont ceux qui satisfont P Cvoir Note 33.
CNote 3. L' "opérateur"
Sat(C,-)
Lair, sous des terminologie et
(C.M.C.F.).

est introduit par Guitartnotation différentes, en

AXIOMATISATION9 ET

QUALIFICATIONS.

On peut introduire, inversement, r "opérateur" QuaKC,-)
associant à toute scus-catégorie pleine C
de C
la classe
Q u a l ( C , C ) de tous les cônes projectif s (éventuellement d'un
type fixé a priori - par exemple comme en 1.3,4) qui sont
satisfaits par tous les objets de C
.
Bien entendu, ces deux opérateurs définissent une correspondance
de Qalois entre les sous-catégories pleines de
C
et
les
qualifications (d'un certain type donné) relatives à C .3

1.3,2.2. Soit C
une sous-catégorie pleine de C .
On dit que C est qualifiable
(relativement à C ) si, et
seulement si Cvoir Note 43;
- il existe une qualification P
(relative à C ) telle que
l'on ait C
- Sat(C,P) .
CNote 4, Les sous-catégories qualifiables de C
sont donc les
sous-catégories stables par Sat(C,QuaKC,-)) .
Plus généralement parlant, C
étant une sous-catégorie pleine
quelconque de
C , le problème se pose de décrire sa clôture
S a t ( C , Q u a K C , O ) . Inversement, P
étant une qualification
quelconque relative à C , le problème se pose de décrire sa
clôture Qual(C,Sat(C,P)) .
Au moins quand C
est une catégorie localement présentable, au
sens de Gabriel-Ulmer (voir (L.P.L.G.)), une réponse complète à
ces deux problèmes est fournie par la théorie des esquisses et
des catégories esquissables (voir II): ainsi, dans les deux cas,
il convient de saturer par limites inductives convenables.3

1.3.3.

Axiomatisabilité
équivaut à
q u a i i f i a b i 1 i té.

1.3.3.1. Supposons que
C
possède toutes les sommes
fibrées.
Soit f = (f><:C -• C<)X«E une famille projective de flèches
de C .
On note W(E) le graphe orienté ("des mots, de longueur 1 ou
2 , de E " ) tel que:

1.3.

AyiOMATISATIONS

ET

QUALIrICATIONÔ,

- ses objets sont les mots de E de longueur 1 (i. e. les
xeE ) et les mots de E de longueur 2 (i. e. les xx' tels que
xcE et x'cE ),
- pour tous éléments x st x' de E , (x,xx',l):x -+ xx* et
(x',xx* ,2);x' -• xx' en sont des flèches.
On désigne alors par B(f);U(E) -> C
le diagramme de C
tel
que, pour tous éléments
x
et
x'
de
E , le diagramme
commutaiif suivant:

B(f)(x,xx',l)

N . *j/

B(f)(x',xx',2)

est une somme fibrée dans C .
On
dispose,
par
conséquent,
du
cône
projectif
v(f ) = (v(f)-:C -» B(f)(m))m«w<E> tel que:
- pour tout xcE , on a w(f)~ = fx ,
- pour tout éléments x et x' de E , on a w(f)xx- = CKXDans ces conditions, si C est un objet de C , il est facile
de voir que:
- C <l f
o
C <II w(f) .
Si F est une axiomatisation relative à C , il résulte,
évidemment, de ce qui précède que:
- pour tout objet C de C , on a:
C <l F
o
C <lI w(F) = ( w(f) / fcF ) .
On en déduit que Cvoir Note 53;
- si une sous-catégorie pleine de C
est axiomatisable,
alors
elle est quaiifiable
(lorsque
C
possède toutes les sommes
fibrées).
1.3.3.2. Supposons toujours que
C
possède toutes les
sommes fibrées.
Soit p 3 (px:C -> B(I))x«x un cône projectif de C .
Pour tous objets
I et
I' de
I , on considère la somme
fibrée de C
représentée par le diagramme commutaiif suivant:

1.3. A X I O M A T I S A T I O N S E T Q U A L I F I C A T I O N S .

C I . I • ,2

C I .I ', 1

Pour tous objets
Z:

I

a

I et
Ii

I' de

t- I 2 -» la

, , ,

I

et tout zigzag

Isac-i

f- IZK

«• Izk + i

=

I'

de
I vers
I' dans
I , on considère la limite indue tive
(obtenue par une succession de sommes fibrées) dans
C
représentée par le diagramme commutatif ci-dessous:

B(2):

B(I) 4- B(I2) -> B(I3) ... BU2K-1) •- B(I2k) 4 B(I')

C2.1

Cz.

et l'on note, alors, cz,P:Ci.i- -• Cz
telle que:
- Cz.p.Cx.i'.i = Cz,x,i

et

l'unique flèche de

C

Cz,p,Cl,I',2 = CZ.I',2 ,

Dans ces conditions, pour tous objets I et I' de
I , on
désigne enfin par
zg(I,I')
l'ensemble des zigzags de
I
allant de I à I' et l'on considère la famille projective de
flèches famprojz.i'(p) = (CZ. P ;CI,I» -* Cz)z«xQ<i,i') .
Moyennant ces constructions, si C est un objet de C , il
est facile de vérifier que:
- C<llp
o
C <l z(p) ,
où l'on a posé;
z(p) = { famproj(p) ) U
( famproji. x- (p) / (ItIf)eOb(I> ).
Si P est une qualification relative à C , il résulte,
évidemment, de ce qui précède que:
- pour tout objet C de C , on a:
C <ll P

o

C <l z(P)

On en déduit que Cvoir Note 5];

= UP«R

z(p)

.

AXIOMATISATIONS ET

- si une sous-catégorie pleine
elle est axiomatisable (lorsque

QUALiriCATIONS.

die C
est quai i fiable,
alors
C
possède les sommes fibrées).

CNote 5. Dans la suite, vus les résultats de 1.3.3.1 et 1,3.3,2,
nous n'étudierons donc, comme en (C.M.C.F.) et puisque c'est le
point de vue "catégorique* (équivalent au point de vue plus
"ensembliste" des axiomatisations et de l'axiomatisabilité), que
ce qui concerne les qualifications et la qualifiabilité,]

1.3,4,

Qualifications

particulières.

1.3.4.1. Soit X
une classe de cônes projectifs de C
et
oc et £ deux ordinaux réguliers.
On dit qu'une qualification P relative à C
est une
Xqualification
si, et seulement si;
- P est inclus dans X .
On dit qu'une X-qual if i cation est une X**-qualification
si,
et seulement si :
- le sommet de tout
peP
est un objet
oc-présentable de
C Cvoir Note 63.
On dit, qu'une
X~-qualification
P
est une
XaBqualification
si, et seulement si;
- tout pied de tout pcP est un objet B-présentable de C .
CNote 6. Rappelons qu'un objet
C
d'une catégorie localement
petite C
est dit a-présentable si, et seulement si:
- le foncteur Hom(C,-):C -» Ens commute aux limites induetives
ayant pour indexations des catégories petites et a-filtrantes.
Il s'agit là de la version "externe" à C , initialement posée
par Gabriel-Ulmer en (L.P.L.G.), dont on doit donner une version
"interne", si l'on veut respecter la "règle du jeu" énoncée en
1.1.2.1, Note 8. Ainsi, il est facile de voir que l'objet C de
C
est or-présentable si, et seulement si:
- pour toute catégorie I , petite et ot-filtrante, et pour tout
foncteur
B: I -4 C ,
admettant
une
limite
inductive
L = limindi.x B(I)
dans
C
(dont
nous
notons
(sz:B(I) -4 D u o b c z
la famille des co-projections), on a:
+ pour toute flèche c:C-*L de C , il existe au moins un
objet I de I
et au moins une flèche cx:C -» B(I) de
C
tels que;

1.3. A X I O M A T I S A T I O N S E T

QUALIFICATION».

Si.Cl » C ,

+ pour tous objets
I et I' de
I
et toutes flèches
cx:C-»B<I>
et
cx-:C-tB(D
de
C , tels que
sici = si'.ci- , il existe un objet
J de
I
et deux
flèches j:I->J et j':I'-»J de I tels que:
B(j).cx = B(j').cx- .3
1.3.4.2. Soit X
une classe de cônes projectif s de C , a
et B deux ordinaux réguliers et C
une sous-catégorie pleine
de C .
On dit que C
est X-qualifiable
(resp. X~-qualifiable
,
X<*B-qualifiable)
si, et seulement si:
- il existe une X-qualification (resp. une X^-qualification,
une X«B-qual if ication) P telle que C
= Sat(C,P) .
1.3.4.3. Dans la suite Cvoir Note 7], on note
des cônes projectifs d'indexation:

(1,0)

(2,0)

et de la forme;

(où

e:C 4 Co

est une flèche quelconque de

C ).

V

la classe

1.3. A X X O N A T X S A T X O N a E T

QUALIFICATIONS.

De même, on note Oise (resp. Oiscfin , Oiscun ) la classe
des cônes projectifs d'indexations discrètes (resp. d'indexations
discrètes et finies, d'indexations discrètes isomorphes à 1 )
de C .
Enfin, on pose:

- VOisc = V

U

- VOiscfin « V U
- VOiscun = V U

Oise ,
Oiscfin ,
Oiscun .

CNote 7. Les formes particulières de qualifications introduites
ici ne sont évidemment pas les seules formes particulières
intéressantes: pour s'en convaincre, il suffit de se reporter à
1.3.3.1, ou encore à (C.M.C.F. ), Dans la suite, nous ne
considérerons, en détail, que ces cas particuliers dans la seule
mesure où ce ne sont que ceux-ci que Barr prétend "étudier" en
(M.D.S.K.).]

1.4. QUELQUES PROPRIETES
DES
CATEGORIES QUALIFIABLES.

On suppose, dans tout ce n#1.4, que
localement petite.

1.4.1. Propriétés de

C

est une catégorie

"réflexion'

1.4.1.1. Il est facile d'établir que Cvoir Note 1].- si
oc
est un ordinal
régulier,
si
P
est une
V"qualification
relative
à
C
et si
C
possède toutes les
limites induetives d'indexations petites,
alors tout objet de C
engendre un objet quasi-libre
de Sat(C,P) ,

En effet, tout pcP est un cône projectif de la forme indiquée
en 1.3.4.3, i. e. entièrement déterminé par une flèche
6p : Cp -* Cp». o de C ,
Alors, si C est un objet de C , il engendre l'objet quasilibre QL(C) = C« de C = Sat(C,P) , construit par récurrence
transfinie comme suit:
- on pose Co s C ;
- si X(a est un ordinal limite et si Cx- est défini pour
tout X'<X , on pose Cx = limindx-<x Cx* ;
- si \<a et si Cx est.défini, Cx^i est obtenu en forçant
Cvoir Note 21, pour tout pcP , chaque flèche c;CP -» Cx à
factoriser au moins d'une façon par
eP;Cp 4 Cp.o ; autrement
dit, Cx^i est une limite induetive, représentée par le diagramme
commutatif de C ci-dessous:

PRQPPICTEfi O C 8 CATCAORICfi

Cx

QUALIFIABLES,

«

Cp,c » Cp
e&, c = fip

I x - f l ,Xj

*
Cx-*1

^

Cp,Ofc

=

Cf»,0

i x t - i ,p>,c

où
c

p varie dans P
et
varie dans Home(Ct>,Cx)

1.4.1.2. Qn établit aisément que Cvoir Note 1];
- si
o
c est un ordinal régulier,
si
P
est une Oiscun"qualification
relative à C
et si
C
possède toutes les
limites induetives d'indexations petites, alors tout objet de C
engendre un objet libre de Sat(C,P) .

En effet, tout
peP est entièrement déterminé par sa seule
projection pi:C*> •* B p U ) .
Alors, si C est un objet de C , il engendre l'objet libre
L(C) = C« de C = Sat(C,P) , construit par récurrence comme
suit:
- on pose Co = C ;
- si Xta est un ordinal limite et si Cx- est défini pour tout
X'<X , on pose Cx • limindx-<x Cx- ;
- si X<a et si Cx est défini, alors Cx-i est obtenu en
forçant Cvoir Note 2], pour tout pcP , chaque flèche c;Co -) Cx
à factoriser d'une et d'une seule façon par pi:Co •* B*>(1) ;
autrement dit, Cx~»i est une limite inductive, représentée par le
diagramme commutâtif de C ci-dessous:

I . <

PROPRIETE»

DES CATCÛQRIC8

^
C x

^

•*=

—
ix-^i

QUALIFIABLES,

S/
B»(l)c»&»(l>

,f>.c

c
ci

où p varie dans P
varie dans Hom<=(Cp,Cx)
varie dans Hom<=(5V(l ),Cx)
et
ci.pi = c

1.4,1,3, De 1.4,1,1 et 1,4,1,2, on déduit immédiatement que
Cvoir Note 13;
- si
et est un ordinal régulier, si
P
est une VOiscun*qualification
relative à
C
et si
C
possède toutes les
limites induetives d'indexations petites, alors tout objet de C
engendre un objet quasi-libre de Sat(C,P)

En effet, on peut écrire P = Pv U Pu , où Pv est une V-qualification et Pu est une Discun~-qualification.
En vertu de 1.4,1,2, le foncteur injection canonique:
Sat(C,Pu) -* C
admet un adjoint à gauche;
adj:C -• Sat(C,Pu) ,
et il est facile de constater que:
Sat(C,P) = Sat(Sat(C,Pu),adj(Pv)) ,
Dans ces conditions, tout objet C
de C
engendre donc, en
vertu de 1.4,1,2, un objet libre
L(C) de Sat(C,Pu) qui
engendre, en vertu de 1.4,1.1, un objet quasi-libre QL(L(C))
de Sat(Sat(C,Pu),adj(Pv)) = Sat(C,P) .
Il est alors immédiat de constater, par transitivité (voir
1.2.3.1), que QL(L(C))
est aussi
un objet quasi-libre de
Sat(C,P) engendré par C ,
1.4,1.A. Il est assez facile d'établir que Cvoir Note 13:
- si
a
est un ordinal régulier,
si
qualification
relative à
C
et si
C

P

est une Oisc~possède toutes les

P R O P R I E T E S OEfi C A T E G O R I E S QUALIFIA

limites induetives d'indexations petites,
alors tout objet de C
engendre une famille localement libre d'objets de Sat(C,p) ,
En effet, tout pcP est entièrement déterminé par la famille
famproj(p) - <p><:C*> •* Cp>,x)~«rE<,3> de ses projections.
Si C est un objet de C , on obtient la famille localement
libre d'objets de
Sat(C.P) qu'il engendre en utilisant une
méthode de forçage Cvoir Note 21 de la même veine que celles
utilisées en 1,4,1,1 et 1,4,1,2 ,,, mais un peu plus raffinée.
Ainsi, on pose:
- Co = C .
S'il existe peP et s'il existe une flèche c;CP ^ C
de
C
pour
laquelle
il
existe
deux
décompositions
C = Cx,Px = Cx*,PxJ
, où x * x' , alors la famille vide est la
Sat(C,P) engendrée par
famille localement libre d'objets de
l'objet C de C .
Dans le cas contraire, pour chaque
peP
et chaque
c;Cf> 4 Co = C , on choisit
un x(c)eE(p) de sorte que;
- x(c) s x , si c admet une décomposition c s Cx.px .
Ce choix Ch d'indices étant effectué, on force chaque c à
factoriser d'une et d'une seule façon par p~<c>:C^ -» C P , K C O ;
autrement dit, on définit Ci,CM comme étant la limite induetive
dans C , représentée par le diagramme commutât if de C
cidessous :

C»». c s

Co <-

Cf»

Px(c),c

Il .O.CfrTi

Cl ,Ch

<r

c

a

=

Px<c>

&*.xcc;

li ,jp>»c ,et*

où p varie dans P
c varie dans Homc(Co,Co)
Cx(o varie dans H o n c t C p . ^ o , ^ )
et
Cx(c > , P K ( C > s

C

PROPRIETES DES CATEGORIES

QUALIFIABLES,

Ainsi, i l'étape 1 de la récurrence, on obtient une
famille
(Ci,ch)chcCHd) d'objets de C , où C H U ) désigne l'ensemble
de tous les choix possibles d'indices.
On continue la récurrence transfinie jusqu'à l'étape
oc , en
procédant de la même manière pour passer d'une étape à la
suivante.
CNote 1, Les propriétés particulières de "réflexion" établies en
1.4.1,1, 1.4,1,2, 1.4,1,3 et 1.4.1.4 sont déjà étudiées, pour la
plupart, en (C.M.C.F.). Elles ne concernent que les seules formes
particulières de qualifications retenues en 1,3,4,3 et qui seules
seront considérées dans la suite: ce sont celles que Barr prétend
"étudier" en (M,D.S,K,), mais ce ne sont évidemment pas les
seules qui présentent un certain intérêt (voir 1.3,4,3, Note 7,
(C.M.C.F,) et (E.D.L.L.)),
De plus, rappelons (voir (C.M.C.E,)) et (E.D.L.L.) que l'on
dispose, en tout état de cause, de l'une quelconque (voir 1.2.6)
des deux propriétés (les plus) générales suivantes:
- (a) si
oc est un ordinal
régulier,
si
X
est une classe de
cônes projectifs
de
C , si
P
est une
Xe*-qualification
relative
à C
et si
C
possède toutes les limites
induetives
petites,
alors tout objet de C
engendre une famille
localement
indépendante d'objets
de Sat(C,P) ,
- (b) si
oc est un ordinal
régulier,
si
X
est une classe de
cônes projectifs
de
C , si
P
est une
X**-qualification
relative
à C
et si
C
possède toutes les limites
indue tives
petites,
alors
tout
objet
de
C
engendre un diagramme
localement libre de Sat(C,P) .

En conséquence, toute étude particulière ne fait que préciser
(quand c'est possible) la forme particulière de diagrammes
localement libres, ou de familles localement indépendantes, qu'il
est possible de considérer,
Ainsi, l'énoncé de 1.4.1,1 (resp, 1,4,1,3) précise celui de
(a), où l'on prend
X • V
(resp,
X = V/Oiscun ) : la
famille
localement
indépendante d'objets de
Sat(C,P) ,
engendrée par un quelconque objet de C
et dont l'existence est
assurée par (a), peut être réduite à exactement un élément.
De même, l'énoncé de 1.4.1.4 (resp. 1.4,1,2) précise celui de
(b), où l'on prend
X = Oise
(resp.
X = Oiscun ): le
diagramme localement libre de
Sat(C,P) , engendré par un
quelconque objet de C
et dont l'existence est assurée par (b),
est discret (resp, discret et d'indexation isomorphe à 1 ),]

PROPRIETEfl D E S C A T E G O R I E S Q U A L I F I A B L E S ,

CNote 2, Les méthodes systématiques de forçage utilisées ici ont
été introduites par Quitart-Lair en (C.ÎI.C.F,) et (E.D.L.L. ): ce
sont celles qu'il est nécessaire de mettre en oeuvre pour
respecter la "règle du jeu" fixée en 1.1.2.1, Note 8.3

1.4,2.

Calculs

de

limites.

1.4.2.1. Il est immédiat d'établir que [voir Notes 3 et 43:
- si
P
est une
^-qualification
relative
à C , alors le
foncteur injection canonique Sat((C,P) -» C
crée les produits.
En effet, il suffit de montrer que, si
e:C -• C
est une
flèche de C , si ïïx*E Cx est un produit dans C , tel que
Cx <l e , pour tout xeE , alors (TX«E C X ) <l e ,
Supposons donc que c;C «• (TX«E C X ) est une flèche de C
(on
pourra se référer au diagramme commutâtif ci-dessous).
Pour tout xeE , on a donc une flèche
Cx = px.c ;C -» Cx
(en
désignant par
(px)x«e
la famille des projections du produit
considéré) et, comme
Cx <l e , il existe donc une flèche
C ' X Î C -> Cx
telle que c'x.e = Cx = px,c .
Par conséquent, il existe une unique flèche
c':C -» (ïx.e Cx)
telle que, pour tout xeE , on ait px.c' • c'x ,
Il en résulte que, pour tout xeE , on a:
Px.(c'.e) = (px.c').e = c'x.e = Cx = px.c .
D'où il résulte que c'.e = c , i. e, que c factorise par e .

PROPRIETES DES CATEGORIES QUALIFIABLES,

1.4,2,2, Il est immédiat de prouver que [voir Notes 3 et 43:

- si P est une Disc-quai if ication relative
foncteur injection
canonique
Sat(C,P) -• C
projectives
d'indexations
connexes (non vides).

à C , alors le
crée les
limites

En effet, il suffit de montrer que, si
f = (fx:C -> C'x)x«e
est une famille projectives de flèches de
C
et si
limproji.i B(I)
est une limite projective dans
C ,
d'indexation connexe et non vide I
et telle que B(I) <ll f ,
pour tout objet I de I , alors (limproji.x B ( D ) <ll f ,
Supposons donc que c:C -> limproji.x B(I) est une flèche de
C
(on pourra se référer au diagramme commutatif ci-dessous),
Pour tout objet
I
de
I , on a donc une flèche
ci - pi.c :C + B(I) (en désignant par (pi)i.ot><x> la famille
des projections de la limite projective considérée) et, comme
B(I) <ll f , il existe un unique x(I)cE et une unique flèche
C'I:C'X<I> -* B(I) tels que c'i.fx<i> - ci = px.c .
Pour toute flèche i:I -» J de I , on a donc:
C ' j r . f x< jr> = P J . C = B(i),pi,c = B(i),c'i,fx<i> ,
d'où il résulte (en vertu de l'unicité) que
x(I) = x(J) et
C'J = B(i),c'i .
Mais, comme
I
est connexe (et non vide), cela détermine
exactement
un
xeE
et
un
unique
cône
projectif
(C'IÎC'X -• B(I))i.x
tel que, pour tout objet I de I , on a
pi.c = C'i.fx .

En
conséquence,
il
existe
aussi
une
unique
flèche
c':C'x-* liraproji.x B(I)
telle que, pour tout objet
I
de
I , on a pi.c' = c'i ,
On en déduit que, pour tout objet I de I , on a:
Pi.(C.fx) = (pi.c').fx = C'i.fx = px.c .
D'où il résulte que C.fx = c , i. e. que c factorise au moins
par
fx . Comme il est trivial de constater qu'il ne factorise
que par fx , on conclut donc,
limproji«x B(I) <
Pi

B(J)
C'J

PROPRIETES DES CATCQORIC8

QUALIFIABLES,

1,4,2,3. De même, on montre que Cvoir Notes 3 et 4];

- si P est une Discun-qualif ication relative à C , alnrs le
foncteur injection
canonique
Sat(C,P) -> C
crée les
limites
projectives.
En effet, une
Oiscun-qualif ication
est une
Oisequalification particulière, par conséquent
C
4 C
crée,
d'après 1.4.2.2, les limites projectives d'indexations connexes
non vides, en particulier les noyaux.
De plus, un raisonnement en tout point analogue à celui effectué
en 1.4.2,1 prouve qu'il crée aussi les produits.
CNote 3, Le résultat de 1.4.2.1 est abondamment utilisé par
Andréka-Németi-Sain (voir par exemple (A.C.I.S.), (C.I.S.B.) et
(C.V.C.T,)). Celui de 1.4.2.2 (et, a fortiori, celui de 1.4,2.3)
est abondamment utilisé par Diers (voir (C.A.L.Q.).
Nous en donnons ici, comme en (C.M.C.F.) notamment, des preuves
internes,
i, e. qui respectent la "règle du jeu" imposée en
1,1,2.1, Note 8, Cependant, des preuves "externes" immédiates
peuvent en être données:
- 1.4,2.1 se déduit immédiatement de la propriété (supposée
connue) de commutation dans
Ens
des épimorphismes avec les
produits,
- 1.4.2.2 se déduit immédiatement de la propriété (supposée
connue) de commutation dans Ens des sommes avec les limites
projectives d'indexations connexes.
Néanmoins, il convient de signaler (comme en (C.M.C.F.)) que
les résultats et méthodes intrinsèques de démonstration de
1.4.2.1 et 1.4.2.2 prouvent, a contrario, ces propriétés de
commutation (si on les ignore).
Soit, en effet et par exemple,
D
une catégorie discrète
petite. Notons D + la catégorie obtenue en adjoignant à D
un
objet final
1 . On dispose donc du plongement de Yoneda
Yon(D+):(D+)0,p> 4 E n s < c > ^ et Yon(D+)((D+)°**) s'identifie à
un cône projectif p , d'indexation discrète, de C * Ens13** .
Alors, un foncteur F;D+ -» Ens s'identifie à un cône induetif
d'indexation (discrète)
D
de
Ens , De plus, un tel cône
inductif est une limite induetive dans Ens si, et seulement si,
F <ll p . Par application de 1.4.2.2 (et de sa preuve interne) on
en déduit la commutation dans
Ens
des limites projectives
d'indexations connexes non vides avec les sommes (d'indexation
D
quelconque).
On procède de même pour la commutation dans Ens des produits
avec les épimorphismes, Et, si oc est un ordinal régulier, il

I.4.. P R O P R I E T E S D E S C A T E Û Q R I E S Q U A L I F I A B L E S .

suffit de procéder également de la même manière pour prouver,
sans difficulté, la commutation (dont la preuve, classique, est
fastidieuse) dans Ens des limites projectives d'indexations ocpetites avec les limites induetives d'indexations des catégories
petites et <x-f iltrantes. ]
CNote 4, Les calculs de limites particulières examinés en
1.4.2.1, 1.4,2.2 (et 1,4.3.3) ne concernent que les seules formes
particulières de qualifications retenues en 1.3,4,3 et qui seules
seront considérées dans la suite: ce sont celles que Barr prétend
"étudier" en (II.D.S.K.), mais ce ne sont évidemment pas les
seules qui présentent un certain intérêt (voir 1,3,4,3, Note 7,
(CM,CF.), (E.D.L.L.) et ,,, la fin de Note 3!),
De plus, les résultats de 1.4.2.1 à 1,4.2.3, démontrés
directement ci-dessus (de même que celui évoqué en fin de Note
3), sont aussi tous conséquences du résultat plus général
suivant, qui se démontre (de manière interne) sans aucune
difficulté et que nous détaillons ici pour mémoire,
Soit J
un graphe orienté petit (ou une catégorie petite) et
p = (pi:C -• B(I))i«x un cône projectif de C ,
Nous dirons que p est J^-cofiltrant
si, et seulement si, les
deux conditions suivantes sont vérifiées:
- pour toute famille
(Ij)jcobcjr>
d'objets de
I
et pour
toute famille
(ZJ:IJ f- -* ... f- -• I J O < J : J - jr* >«rRi<.j>
de
zigzags de
I , il existe un diagramme (non nécessairement
commutâtif)

dans
J
dont l'image par B:I -» C
est rendue commuta tive
dans C ,
- pour tous objets
I
et
I'
de
I
et toute famille
<Z* j :I «--*...«• -» I')J«RI<OT> de zigzags de I , il existe un
diagramme (non nécessairement commutatif)

I> 4.. R R O R R I E T E S O E 8 C A T E G O R I E S

QUALIFIARLES.

dans
I
dont l'image par B: I -» C
est rendue commutâtive
dans C ,
Dans ces conditions, il est effectivement
facile de vérifier
que:
- si
J
est un petit
graphe orienté (ou une petite
catégorie),
si
P est une qualification
relative
à C
et constituée
de
cônes projectifs
p qui sont JTx-cofiltrants,
alors le foncteur
injection
canonique Sat(C,P) -» C
crée les limites
projectives
d'indexations
JT ,
D'où l'on peut déduire, d'ailleurs (voir fin de Note 3) de
nouvelles propriétés de commutation de limites dans Ens , plus
générales que les "classiques" ... qui en découlent,]
1,4.2,4, Il est également trivial d'établir que:
- si a<£ sont deux ordinaux réguliers,
si X
est une classe
de cônes projectifs
de C et si P est une X^B-qual if ication
relative
à
C , alors
le
foncteur
injection
canonique
Sat(C,P) -> C
crée les limites
indue tives d'indexations
Bfiltrantes.
Il suffit, en effet, de prouver que si:
- p = (pi:Cp -» B(I))i«3: est un cône projectif de C ,
- Ct> est un objet «-présentable de C ,
- pour tout objet I de 1 , 6 ( 1 ) est un objet fi-présentable
de C ,
- C = limindj^^r F(J) est une limite inductive dans
C
et
d'indexation B-filtrante J ,
- pour tout objet J de J , on a F(J) <ll p ,
alors, on a C <M p .
Supposons donc que c;Cp 4 C est une flèche de C
(on pourra
se référer au diagramme commutâtif ci-dessous),
Comme
C*>
est
a-présentable et
oc<£ , il est aussi fiprésentable et il existe donc un objet J de JT et une flèche
CJ:C*D -• F(J)
tels que
SJ.CJT = c
(en désignant par
(sj)j.ob(j) la famille de coprojections de la limite inductive
considérée).

1.-4.. R R O R R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

QUALIFIABLES,

Puisque F(J) <ll p , il existe donc un objet
I de
flèche C ' J . I : B ( I ) -» F(J) tels que c'j.i.pi » CJ ,
On en déduit que:
(SJ.C1J.i),pi

I

et une

= S J . C C ' J . X . P I ) = SJ.CJ = c

i. e, que c factorise au moins par une des projections de p .
Supposons alors que
c
factorise d'une autre manière par une
projection de
p , i. e. que
I'
est un objet de
I
et
c'i'jBd') 4 C est une flèche de C
tels que c'x-.pi- = c ,
Comme B(I') est ^-présentable, il existe un objet J' de JT
et
une
flèche
c11 •, .J- :B(I' ) -> F(J' )
tels
que
SJ-.C'I'.J*

= C'i-,

Il en résulte que:
SJ* , (C*i • ,J' .pi•)
= (sj'.c'i'.jO.pi* = c'i-.pi- = c
s
Sj.tc'j.x.pi) ,
mais, comme CV est ^-présentable et JT est fi-filtrante (en
particulier finiment filtrante), il existe deux flèches j;J 4 J +
et j':J' •» J* de J
telles que:
F(j'),c'i*.j' ,pi' = F(j).c'J.i.pi ,
Comme
F(JU-) <ll p , on peut donc affirmer qu'il existe un
zigzag:

Z:

de

I

I <--» a..«--»

et un diagramme commutâtif de

B(Z):

B(I) <-

F(j).C'J.I

Nv

r

C

tel que ci-dessous:

->...•-

-> B(I')

1

/

/

F(J^)

On conclut alors immédiatement Cvoir Note 53.

F(j').c'i..J-

I.A.

RRORRIETES

DES

CATEGORIES

Q U A L I F-1 A B L . E S .

B(I')
C'i

CNote 5, Notons
que
la
preuve
présentée
ici
respecte
effectivement la "règle du jeu" imposée en 1.1,2.1, Note 8, mais
qu'elle est essentiellement différente
de celles présentées en
1.4,2,1 et 1,4,2.2, En effet, ce n'est pas la comparaison des
"géométries" respectives des indexations des éléments de la
qualification
considérée et des
indexations des limites
induetives que l'on cherche à calculer qui est déterminante:
c'est, plutôt, le "comportement" (interne - voir 1.3.4.1, Note 6)
des sommets et pieds de ces éléments vis à vis de ces limites
inductives. On doit à Gabriel-Ulmer (voir (L.P.L.6,)) d'avoir
souligné l'importance de.ee comportement, et d'avoir su le
formaliser "catégoriquement" (voir 1.3.4.1, Note 6).3

RRORR I E TES

1.4.3.

D E S O A T E S O R I E 8 Q U A L I F" I ABL.ES .

Calculs

d'ultraproduits.

1,4,3,1, Il est immédiat de montrer que Cvoir Notes 6 et 91:
- si P
est une
SS*-qualification
relative
à
C , alors
Sat(C,P) est une sous-catégorie de C , fermée pour le calcul
des ultraproduits
Cvoir Notes 7 et 8 ] ,

En effet, compte tenu de 1.4,2.1, il suffit de prouver que, si:
- e:C -» Co est une flèche de C ,
- C est un objet u-présentable de C ,
- (C'y)y.F est une famille d'objets de C ,
- U est un ultrafiltre sur F ,
- pour tout ycF , on a C'y <l e ,
alors, on a aussi C'u = Ultraprody*a«u C'y <l e .
Supposons donc que c:C -* C'u est une flèche de C
(on
pourra se référer au diagramme commutatif ci-dessous),
Comme
C'u = liminda«Fn<u> C'a
Cvoir Note 73 et C est un
objet u-présentable de C , il existe au moins un 6eU et au
moins une flèche cajC -+ C'a tels que sa.ca s c .
Par conséquent, pour tout yeG , comme C'y <l e ,il existe au
moins une flèche ca.v,o:Co 4 C'y telle que
PG.V.CQ

= Ca.y.o.e ,

On en déduit qu'il existe une unique flèche Co.oiCo -+ C'a telle
que, pour tout ycG , on a pa.y,ca,o = ca,v,o ,
Il en résulte que, pour tout yeG , on a;
pa.y,(Ca.o.e) = (pe.y.Ca.o),e = Ca,y,o.e s pa.y.Ca .

On en conclut que
ca.o.e = ca
et, par conséquent, que
c = sa.ca = sa.(ca.o.e) = (sa.ca,o).e , i, e, que c factorise
par e .

Pa.y

où

y varie dans

6 et Gel/

I.A. R R O R R I E T E S O E S C A T E Q O R I E S Q U A L I R I A B L E 9 .

CNote 6, Ce résultat particulier est abondamment utilisé par
Andréka-Németi-Sain, par exemple en (A.CI.S.), (C.I.S.B.) et
(C.V.C.T,), Ou point de vue des catégories axiornatisables (voir
1.3), Andréka-Németi en étudient explicitement une généralisation
(étudiée directement ici ,du point de vue - équivalent, d'après
1.3.3 - des catégories qualifiables) et une réciproque ("théorème
de Los") en (L.L.H.C.).]
CNote 7. Si F est un ensemble et si U est un ultrafiltre sur
F , on note
Fi 1((/) la catégorie duale de celle associée à
l'ordre "inclusion" sur
U : c'est donc une catégorie
ufiltrante.
Si (C'y)v«FT est une famille d'objets de C et si U est un
ultrafiltre sur
F , alors pour tout
Gel/
on pose
C'a =ïïv-reC'y (si ce produit existe dans C ) et l'on note
(pa.y.'C'a -) C'y)v«a la famille des projections,
Dans ces conditions, on pose C'u = liminda«Fii<u> C'a (lorsque
cette limite inductive existe dans
C )
et l'on note
(sa:C'e -* C'u)a«u la famille des co-projections.
Alors, C'u est appelé ultraproduit
de la famille
(C'y)y«F
d'objets

encore

de

C

, selon r ultrafiltre

U , Pour abréger, on note

C'u = Ultraprody«a*u C'y .3

CNote 8, On dit qu'une sous-catégorie pleine
fermée pour le calcul des ultraproduits

C

de

C

est

si, et seulement si;

- pour toute famille
(C'y)v«R
d'objets de C
, pour tout
ultrafiltre U sur F , tels que:
+ pour tout Gel/ , le produit C'a = ïïy.a C'y existe dans
la catégorie C ,
+ la limite inductive
C'u = liminda«Rii<u> <wv«a C'y)
existe dans la catégorie C ,
alors C'u et, pour tout Gel/ , C'a sont objets de C .1
1,4,3,2. Une méthode tout à fait analogue permet d'établir
que Cvoir Note 93:
- si P est une Disc1in~u>-qualification
relative à C
Sat(C,P) est stable par ultraproduits
Cvoir Note 103.

En effet, il suffit de prouver que, si:
- f 3 (f*:C -> C'x)x«e
est une famille
flèches de C ,

projective

,

alors

finie de

1.4. P R O P R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

QUALIFIABLES.

- C est un objet «-présentable de C ,
- pour tout xeE , Cx est un objet u-présentable de C ,
- (C'y)y.F-- est une famille d'objets de C ,
- U est un ultrafiltre sur F ,
- pour tout yeF , C'y <ll f ,
alors, on a aussi C'u = Ultraprodv«a«u C'y <lt f ,
Supposons donc que
c;C -> C'u
est une flèche de
C
et
montrons (notamment) que
c
factorise par au moins un des fx
(on pourra se référer au diagramme commutâtif ci-dessous) Cvoir
Note 73,
Comme C est w-présentable, il existe au moins un Se U et une
flèche ca:C -» C'a tels que sa.ca = c ,
Par conséquent, pour tout yeG , comme C'y <tl f , il existe un
unique
x(y)eE
et une unique
ca.y.(Cx<y> -f C'y
tels que
pa.y,Ca =

CQ,y,fx<y) ,

On en conclut, puisque G * 0 , que:
E' = CxeE /3 yeG 3c':C~ -» C'y tels que pa,y,ca = c'.fx )
est un ensemble (fini, puisque E est fini) non vide,
Il en résulte que, si l'on pose, pour tout xeE' :
G(x) = CyeG / 3 c':Cx -• C'y tel que pe.y.ca = c'.fx )
il existe nécessairement un zeE' tel que G(z)el/ (car sinon,
on aurait
E\G = O >C«E- E \ G ( X ) et/
et donc
G = Ux.e* G(x)
n'appartiendrait pas à U ),
On
en
déduit
donc
qu'il
existe
une
unique
flèche
ca< z >:C z -4 C'a<z>
telle que, pour tout
y'eG(z) , on a
Z = X(y')

et

p a < z > # y , C Q < Z ) = Ce.y

,

Désignons donc par
ca.a<z>:C'a -> C'a<z>
que, pour tout y'eG(z) G ;

l'unique flèche telle

pacz> # y',Ca # a<z> = Pa.y' ,

On a donc, pour tout

y'eG(z) :

Pe<z>,y' ,(CG,Q<x) 1 Ca) = (pa<ae> ,y* , Ca,Q<z) ) , C Q = pa.y-.Ca
s
Ca.y'.fac = pQ(z),y' ,Ce<z).fz ,

On en conclut que
Ce.a(z>,ce = ca< z >.f z , d'où l'on infère que
c factorise par f z , puisque:
(5e(x),CQ<z)),fz — SG(z),(Cecz>,fz) = 5e<z>,(Ce.a<x>,Ce)
=
(5e<z),Ca,a<z>),Ca = Sa.Ca s e ,

L'unicité de cette factorisation s'établit alors sans difficulté.

PROPRIETES DES CATEGORIES

QUALIFIABLES.

pacz>.y

CNote 9. Les méthodes (évidemment internes, au sens de la "règle
du jeu" imposée en 1,1.2,1, Note 8) particulières de calculs
d'ultraproduits examinées en 1.4,3,1 et 1,4,3,2 ne concernent que
les seules formes particulières de qualifications retenues en
1,3,4,3 et qui seules seront considérées par la suite; ce sont
celles que Barr prétend "étudier" en (M.D.S.K,), mais ce ne sont
évidemment pas les seules qui présentent un certain intérêt (voir
1,3.4.3, Note 7).
Un calcul systématique (et tout aussi interne) d'ultraproduits
dans les catégories qualifiables, plus générales que celles
considérées ici, se trouve en (C.M.C.F.): rappelons-en brièvement
les éléments.
On dit que

(I,I',csp)

est une w-catégorie

connexe

finitaire

si, et seulement si:
- I est une petite catégorie connexe,
- I ' est un ensemble fini d'objets de I (ou encore une souscatégorie discrète finie de I ),
- csp: I ' x I ' 4 span(I)
est une application qui, à tout
couple (I',!") d'objets de I ' associe un co-span de I de
la forme

1,4.. P R O P R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

cspd',1"):

QUALIFIABLES,

\
\

I'*!1
- pour tout objet I de I , il existe au moins un objet I'
de I ' et au moins une flèche I' -» I de I ,
(s'il n'y a pas risque de confusion, on dira plus brièvement que
c'est I la w-catégorie connexe fini taire),
Qn dit qu'une catégorie est une w-catégorie
fini taire si, et
seulement si, elle est somme d'un nombre fini de w-catégories
connexes finitaires.
Alors, on note
U/
la classe des cônes projectifs
p « (pz:C -+ B(I))i«x de C tels que;
- I = Ei<k«r. I k
est une w-catégorie finitaire (somme de la
famille (Ik)i<k<n de w-catégories connexes finitaires),
- C est un objet u-présentable de C ,
- pour tout Kk<n et tout objet I' de I'« , B(I') est un
objet u-présentable de C ,
- pour tout
Kk<n
et tout couple
(I'i,If2) d'objets de
I'k , le diagramme commutât if

Pi • *I*

B(I')

B(I")
B(r*i")

est une somme fibrée dans C .
Dans ces conditions, il est facile de vérifier que:
- si
P
est une
Uf-qual if ication
Sat(CfP)
est
une sous-catégorie
ultraproduits.

relative
à
de
C ,

C ,
stable

alors
par

et que les propriétés énoncées en 1.4.3.1 et 1,4,3.2 n'en sont
que des cas particuliers (une catégorie VA*-qualifiable étant, en
vertu de 1.3, une catégorie W-qualifiable et une Ocfin-u,qualification étant trivialement une Ul-qualification).1

X.4.. P R O P R I E T E S OCfi C A T E G O R I E S

QUALIFIABLES.

CNote 10, On dit qu'une sous-catégorie pleine C
de C
est
stable par ultraproduits
si, et seulement si;
- pour toute famille
(C'y)v«^
d'objets de
C
, pour tout
ultrafiltre U sur F , tels que:
• pour tout QeU , le produit C'Q = ÏÏV«Q C'y existe dans
la catégorie C ,
+ la limite inductive
C'u= limindQ«R±i<u> <vy,G C'y)
existe dans la catégorie C ,
alors C'u est objet de C
,3
1.4,3,3. De 1.4,3,1 et 1,4,3.2, on déduit immédiatement que
Cvoir Note 113 :
- si
P
est une VOiscfin"<*-quai if ication relative
à C ,
alors C
= Sat(C,P) est stable par
ultraproduits.
CNote 11. Ce dernier résultat est aussi une conséquence directe
de celui, plus général, énoncé en fin de Note 9.3

SECTION

C A T E G O R I E S

I I

E S Q U I

II.1. GRAPHES COMPOSITIFS.

II. 1.1. Définition des graphes compositifs.
II.1.1.1. On dit que <3 - (0r(Q),Tr(<3)) est un graphe
conpoaitif si, et seulement si Cvoir Note U ;
- 0r(<3) est un graphe orienté, dit sous-jacent à <3
- Tr«3) est une classe de triangles, dits commutatifs Cvoir
Note 13, de O P ( Q | ) ,
-pour toute flèche g;G -» G' de <3 (i. e. de 0r<<3) ) les
deux triangles (dits triviaux)
Id(G)

9

et

g

G

Id(G')
-*. G'

sont commutatifs,
- si
G*
g*
•*

G*

et

g'
6

->G-

sont deux triangles commutatifs, alors h » h' .
Ainsi, un graphe compositif <3 est un graphe orienté muni
d'une certaine loi de composition binaire partielle
de certains
couples (dits composables) de flèches consécutives Cvoir
Note 13. En effet, si g;G -» G' et g';G' -• G" sont deux
flèches consécutives de G , le couple (g*,g) est conposable

GRAPHES

COMPOSITIFS.

si, et seulement si,
il existe
(nécessairement unique) tel que

un

triangle

commutâtif

G1

G
et, alors, on dit que
note h = g'.g ,

h

>G"
est le composé de

g'

par

g

et l'on

CNote 1, Les "graphes orientés munis d'une loi de composition
partielle de certains couples de flèches consécutives (dont,
nécessairement, les triviaux)" ont été introduits par Ehresmann
(voir (C.A.S.T.)) sous le nom de graphes multiplicatifs.
Nous
préférons les appeler graphes compositifs pour n'induire aucune
confusion avec la notion de catégorie multiplicative (i. e. de
catégorie munie d'un bi-foncteur "produit tensoriel") mais il
s'agit bel et bien de la même notion.
Il nous a semblé divertissant de présenter ces graphes
compositifs comme des "graphes orientés munis de triangles
distingués (dits commutatifs, en raison de l'utilisation
ultérieure que l'on en fait)",
Ainsi pourra-t-on dire, si l'on tient à ne pas prendre de
précautions, qu'il s'agit là d'une notion moins générale que
celle, introduite par Barr en (T.T.A.T.) ou (M.D.S.K.), de
"graphes (orientés) munis de diagrammes distingués (qui ne sont
pas nécessairement des triangles)".
La plus élémentaire des précautions permet de constater
facilement que ces deux notions sont totalement équivalentes,
lorsqu'il s'agit de réaliser ces graphes dans des catégories, de
sorte que les diagrammes distingués se transforment en des
diagrammes commutatifs, En effet, sans entrer dans des détails
bien inutiles à propos d'un point si dérisoire, constatons que,
de ce point de vue (qui était dès l'origine celui d' Ehresmann),
un graphe multiplicatif (ou compositif) n'est rien d'autre qu'un
système de générateurs (les flèches non triviales du graphe) et
de relations (toutes écrites sous la forme g' .g = h ) pour une
catégorie (voir 11,1,4). Tout aussi clairement, un "graphe
(orienté) muni de diagrammes distingués" n'est rien d'autre qu'un
,,, système de générateurs (les flèches - non triviales, s'il y

QRAPHES

C0MP03ITIFS.

en a - du graphe) et de relations (toutes écrites sous l'une des
deux formes
go.gr.-i ,, .gz.gi

= g ' m . g ' m - i ,. .g'ss.g' i

ou
grt.go-i . , ,g2,gi = Id

uif
au moyen de
composés
"intermédiaires", peuvent être
emplacées par un système d'équations de la forme précédente)
pour une catégorie, La différence n'est, bien entendu que
scripturale,,
Pour conclure, signalons qu'effectivement la notion de "graphe
(orienté) muni de diagrammes distingués " peut, d'un autre point
de vue, se concevoir comme non équivalente à celle de graphe
compositif: cela se produit si l'on décide de "réaliser" ces
graphes dans des catégories en transformant les diagrammes
distingués en des diagrammes non commutatifs! Mais ce point de
vue figure déjà chez ... Ehresmann (voir (I.T.S.C.)), qui
considère, plus judicieusement, des graphes ,,. compositifs
munis,
de
plus,
d'autres
diagrammes
distingués
que
les

commutatifs,1
11,1,1,2, Un graphe orienté
s'identifie à un graphe
compositif
<3 , dit trivial,
où la composition des flèches est
minimale, i, e, où les seuls triangles commutatifs sont

et

dès que g:G -> G' est une quelconque flèche de <3 ,
Une catégorie s'identifie aussi à un graphe compositif G. , où
la composition des flèches est associative et maximale,
i, e,
telle que, dès que g:G -• G' et g':G' 4 G" sont deux flèches
consécutives
de
G , il existe
un
triangle
commutatif
(nécessairement unique)

II.1. ÛRAPHES

CQMPQaITIFfi.

G'
g1

11.1.1,3, Nous dirons, enfin, qu'un graphe compositif est
petit si, et seulement si;
- son graphe orienté sous-jacent est petit.

11,1.2.

Fonc t e u r s .

11.1.2.1, Soit G
et G 1 deux graphes compositifs,
On définit facilement (par analogie avec le cas particulier
usuel où G
et G '
seraient deux catégories) ce qu'est un
foncteur (entre graphes compositifs) F:G 4 G '
de G
vers
G ' : c'est évidemment un homomorphisme entre les graphes
orientés sous-jacents à G
et G '
qui, de plus, transforme
tout triangle commutâtif en un triangle commutâtif.
Clairement, un foncteur de
G
vers
G'
est aussi un
homomorphisme de "graphes orientés munis de lois de composition
de couples de flèches consécutives".
11.1.2.2, Soit
F;G 4 G '
et
F'.'Q» 4 G "
deux
foncteurs.
On définit facilement (par analogie avec le cas particulier
usuel où
G , G'
et
G"
seraient trois catégories) le
foncteur composé F' .F:G 4 G " de F' par F ,
11.1.2.3, Les
homomorphismes
entre
graphes
orientés
s'identifient exactement aux foncteurs entre graphes compositifs
triviaux. Alors, à la composition des homomorphismes entre
graphes orientés correspond évidemment la composition des
foncteurs entre graphes compositifs triviaux,
De même,
les foncteurs entre
catégories s'identifient
exactement aux foncteurs entre graphes compositifs à composition
associative et maximale. Alors, à la composition des foncteurs

II.1.

QRAPHCS

COMPOSITIFS,

entre catégories correspond la composition des foncteurs entre
graphes compositifs à composition associative et maximale.
II,1.2.4, Soit G
un graphe compositif,
On définit facilement (par analogie [voir Note 2] avec le cas
particulier usuel où G
serait une catégorie) ce qu'est un cône
projectif (resp, induetif) dans G ,
CNote 2, Dès lors qu'on conçoit un graphe compositif comme un
"graphe orienté muni d'une loi de composition partielle de
certains couples de flèches consécutives (dont les triviaux)"
plutôt que comme un "graphe (orienté) muni de diagrammes
distingués", cette analogie est d'autant plus utile qu'il serait
vraiment très fastidieux - bien que non impossible, si l'on y
tient vraiment! - de définir ce qu'est un cône projectif (resp,
inductif) d'indexation ... une catégorie non nécessairement
discrète ou non nécessairement librement engendrée par un graphe
(et l'on sait -voir ce qui précède et ce qui suit! - que ce n'est
pas seulement par esprit ludique que l'on est conduit à
considérer, par exemple, des limites induetives d'indexations des
catégories oc-f iltrantes).
Cette même analogie pourrait (ou devrait) aussi nous inciter à
supposer, dans tout ce qui précède et dans tout ce qui suit,
qu'un cône projectif (resp. inductif) dans un graphe compositif
ou, plus particulièrement, dans une catégorie, peut être lui-même
indexé par un graphe compositif (plutôt que par ces graphes
compositifs particuliers que sont les graphes orientés ou les
catégories), On y gagnerait encore un peu plus en homogénéité ,,,
et ce ne serait pas le seul avantage!]

11.1,3.

Transformations

naturelles.

I I . 1 .3.1 . Soi t
G
un graphe compositif et A
une
catégorie,
Si Fi,F2: G 4 A
sont deux foncteurs, on définit facilement
(par analogie Cvoir Note 3] avec le cas particulier usuel où
G
serait une catégorie) ce qu'est une transformation naturelle
n:Fi $ Fz : G 4 G ' de Fi vers F 2 ,

GRAPHES

COMPOSITIFS,

[Note 3. Il s'agit de
l'analogie
largement précisée, et
justifiée, en II.1,2,4, Note 2, L'utilisant encore un peu plus,
constatons que, dès lors qu'on conçoit un graphe compositif comme
un "graphe orienté muni d'une loi de composition partielle de
certains couples de flèches consécutives (dont les triviaux)"
plutôt que comme un "graphe (orienté) muni de diagrammes
distingués", on est naturellement porté à définir aussi (voir
(P.T.G.M.)) plusieurs notions de transformations (toutes aussi
naturelles les unes que les autres) lorsque A
est aussi un
graphe compositif (qui n'est pas nécessairement une catégorie),]
II ,1,3,2, Soit
G
un graphe compositif et
A
une
catégorie,
Si ni;Fi * F 2 : G 4 A
et n 2 :F 2 * Fa : G 4 A
sont deux
transformations naturelles, on définit facilement (par analogie
avec le cas particulier usuel où G
serait une catégorie) la
transformation naturelle
nztni.'Fi * Fa : G 4 A
composée
(latérale)

de

ns

par

ni .

Dans ces conditions, on note A * 3
la catégorie Cvoir Note 4]
de foncteurs de G
vers A , i. e. la catégorie telle que:
- ses objets sont les foncteurs F:G 4 A ,
- ses flèches sont les transformations naturelles entre ces
foncteurs,
Pour tout objet G de G , on note e v ( Q , A ) Q : A < 3 4 A
le
foncteur évaluation

(relative

à

G

et

A

) en

G

(défini par

analogie avec le cas où G
serait une catégorie).
Pour toute flèche g:G 4 G' , on note:
ev(G,A) 0 ;ev(G,A)<3 * ev(G,A)e- : G 4 A ,
la transformation naturelle "évaluation en
g " (définie par
analogie avec le cas où G
serait une catégorie),
o
On définit ainsi un foncteur e v ( G , A ) ; G 4 A<iQfc > .
11,1.3,3, Soit G
un graphe compositif,
Pour tout objet G de G , on note plus brièvement:
ev(G)o = ev(Q,Ens)o ,
De même, pour toute flèche' g de G , on note:
e v ( Q ) 0 • ev(Q,Ens) a .
Enfin, on note tout aussi simplement:
ev(G) = ev(G,Ens) .
CNote 4. Compte tenu de la fin de Note 3 précédente, si
A
3
n'est qu'un graphe compositif, alors A *
est aussi un graphe
compositif (voir (P.T.G.M,)),]

QRAPHE9

COMPOiITIF8.

11,1,3.4, Soit
F;G 4 G 1
un foncteur et
A
une
catégorie,
Si n':F'i * F'2 : G ' 4 A
est une transformation naturelle,
on définit facilement (par analogie avec le cas particulier usuel
où
G
et
G'
seraient deux catégories) la transformation
naturelle n',F:F'i,F * F'2,F : G 4 A
composée (longitudinale)
de n' par F ,
Dans ces conditions, on note
A^jA^' 4 A Q
le foncteur composition

(longitudinale)

11,1.4. Catégories

à droite

par

F ,

engendrées,

11.1.4.1, Soit G
un graphe compositif,
On note
Chp(G)
la catégorie (librement engendrée par le
graphe orienté sous-jacent à G ) des chemins propres de G ,
i. e. la catégorie telle que:
- ses objets sont les objets de G ,
- ses flèches sont;
+ soit les flèches g:dom(g) 4 codom(g) de G ,
+ soit, pour tout entier n>l , les n-uplets
(g™,...,gi):dom(gi) 4 codom(go)
de flèches consécutives et propres (i. e. toutes différentes
de flèches identités) de G ,
- la composition
de
ces
chemins est
(pratiquement) la
concaténation.
11.1.4.2. Soit
On note

L(Q)

G

un graphe compositif,

la catégorie

librement

engendrée Cvoir Note 5]

par (le graphe compositif) G , i, e, la catégorie quotient de
Chp(G) par la relation d'équivalence R , compatible avec la
structure de catégorie, engendrée par la relation p telle que:
- si
g;G 4 G'
et
g':G' 4 G"
sont deux flèches composables
dans G , alors g',g p (g',g) dans Chp(G) ,
Dans ces conditions, on désigne par
1(G):Q 4 L(G)
le
foncteur associant à toute flèche g de G
la classe modulo R
du "chemin" g (bien entendu, ce foncteur n'est, en général, ni
injectif, ni fidèle, ni plein).
Clairement, si G
est petit, alors L ( G ) est petite,

QRAPHCfi C O h P O â I T I F*S .

11.1.4.3, Soit F:Q 4 G '
un foncteur entre deux graphes
compositifs,
Il est facile de vérifier que Cvoir Note 5] F engendre un
unique foncteur
L(F) :L(Q) 4 L(Q' )
rendant commutatif le
diagramme:
F
G

KG)

^ Q'

i«3')

*

J/

L(G)

^ L(Q')
L(F)

11.1.4.4, Soit G
un graphe compositif,
On vérifie facilement que Cvoir Note 53:
- pour toute catégorie
A , le foncteur
AK<=»:».AL.<<E»>

^

A

o

est un isomorphisme.
CNote 5, C'est parce que
G
engendre
L(G)
qu'il est
évidemment, formellement, justifié de considérer qu'un graphe
compositif est un système de générateurs et relations pour une
catégorie (voir 11,1.1.3, Note 1).
Bien entendu, les résultats de II.1.4.2, II.1.4.3 et (en
partie)
11.1,4.4
signifient
que
le
foncteur
d'oubli
Cat 4 Grphcp , de la catégorie des (petites) catégories vers
celles des (petits) graphes compositifs, admet un adjoint à
gauche,
Pour exprimer en une phrase aussi simple la totalité
du
résultat de II.1,4.4, on peut dire que ce foncteur d'oubli est
sous-jacent à un 2-foncteur admettant un 2-adjoint à gauche
étant entendu que le préfixe
2signifie "enrichi par les
graphes compositifs" (d'où la nécessité de ce à quoi il est fait
allusion en fin de Note 3 et en Note 4),]

I I .2.

11,2,1,

ESQUISSES,

Définition

des

esquisses.

11.2,1.1. On dit que E = (Supp(E),CP(E),CI(E)) est une
esquisse (mixte) Cvoir Note 1] si, et seulement si;
- Supp(E) est un graphe compositif petit, qu'on appelle support
de E ,
- CP(E) est un ensemble de cône projectifs de Supp(E) , dits
distingués

dans

- CI (EE)

est un ensemble de cônes inductif s de

distingués

dans

E

,

E

Supp(E) , dits

,

Autrement dit, une esquisse est un graphe compositif muni de
cônes projectifs distingués et de cônes induetifs distingués.
C'est aussi un graphe orienté muni de triangles
et de cônes
projectifs et inductifs distingués Cvoir Note 13.
11.2,1.2 On dit qu'une esquisse est (purement)
projective
Cvoir Notes 1 et 23 si, et seulement si:
- aucun cône inductif n'y est distingué.
Si
E
est
une
esquisse,
on
note
Proj(E) = (Supp(E),CP(E),0)
l'esquisse projective
sousjacente

à

E

.

11,2,1,3, On dit qu'une esquisse est élémentaire si, et
seulement si :
- aucun cône inductif n'y est distingué,
- aucun cône projectif n'y est distingué.
Clairement, les graphes compositifs s'identifient aux esquisses
élémentaires. En particulier, les graphes orientés (resp, les
catégories) s'identifient à des esquisses élémentaires dites
triviales

Note 13.

(resp.

à

composition

associative

et

maximale)

Cvoir

CSQUIS8C8.

CNote 1. Sous une terminologie légèrement différente, les
esquisses projectives (générales) ont été explicitement définies
par Ehresmann, au plus tard dés 1966 (voir (I.T.S.C.)). Pour la
première fois se trouvaient simultanément formalisés deux points
de vue complémentaires concernant tant les structures algébriques
(usuelles) que ce que l'on a appelé (quelque temps après) les
structures "essentiellement algébriques" (qui ne sont strictement
rien d'autre que les ... structures projectivement esquissables):
(a) pour décrire une structure essentiellement algébrique d'un
certain type, il suffit de considérer une famille d'ensembles,
une famille de lois de composition entre ces ensembles (ou
d'autres, construits par limites projectives à partir de ces
données) et une liste d'égalités entre les composés de certaines
de ces lois (ou d'autres, construites par limites projectives à
partir de ces données),
(b) usuellement, le mathématicien décrit un type de structures
algébriques à l'aide d'un système minimum de données (ensembles
et lois) et d'équations ("axiomes"), et non par toutes les (lois
et) équations déduites des premières (d'ailleurs, les déduire
toutes, à partir de celles qui sont données, ... c'est justement
étudier le type de structures algébriques considéré!).
Bien entendu, le point de vue catégorique (a) n'est pas propre à
Ehresmann: il figure notamment, bien antérieurement à 1966, chez
Grothendieck, Chevalley, Ehresmann et (pour les seules structures
algébriques) chez Lawvere.
C'est un apport essentiel
d'Ehresmann d'avoir utilisé, pour
formaliser le point de vue (b), des graphes compositifs munis de
cônes projectifs distingués plutôt que des catégories à limites
projectives: de ce point de vue, un tel graphe compositif muni de
cônes projectifs distingués est un système de générateurs et
relations pour une catégorie à limites projectives, ... au même
titre qu'un système (minimum) de données et d'équations est un
système générateur de "théorèmes" pour un type de structures
algébriques.
Ceci rappelé, comment ne pas s'étonner de lire sous la plume de
Barr-Wells (voir (T.T.A.T..));
"Ehresmann's sketches are catégories with extra structure rather
than graphs ..." ?
Sous une terminologie légèrement différente, les esquisses
mixtes ont été explicitement introduites par Ehresmann dès 1968
(voir (E.T.S.A.)).
C'est un second apport essentiel - et qui fut longtemps ignoré,
voire nié et même condamné - d'Ehresmann d'avoir constaté qu'on

II.2.

ESQUI8SES.

pouvait aussi décrire, tout en conservant les points de vue (a)
et (b), certains types de structures non
essentiellement
algébriques à l'aide de graphes compositifs munis de cônes
projectifs et de cônes inductifs
distingués: précisément,
Guitart-Lair ont établi depuis (voir (L.C.R.F.)) - à titre
d'exemple illustrant la puissance de la théorie des esquisses
mixtes que les modèles d'une quelconque théorie du premier
ordre peuvent être décrits à l'aide d'une telle esquisse mixte,
Ceci étant également rappelé, notons que les "esquisses de
Barr-Wells" introduites en (T.T.A.T.) sont des graphes munis de
diagrammes distingués (destinés à devenir commutatifs - voir
11,1,1,1, Note 1), de cônes projectifs distingués (destinés à
devenir des limites projectives) et de familles inductives (de
flèches) distinguées
(destinées
à
devenir
des
familles
épimorphes), Comme il est élémentaire d'exprimer, à l'aide d'une
somme et d'un épi (i, e. à l'aide de deux limites inductives
particulières) qu'une famille inductive de flèches d'une
catégorie (ayant des sommes) est épimorphe, leur notion d'
"esquisse" n' est, finalement, qu'un avatar sans originalité
fondamentale de celle introduite par Ehresmann dès 1968, A ce
point que ces "esquisses de Barr-Wells" deviennent en (M.D.S.K.)
des "esquisses de Barr", à savoir des graphes munis de diagrammes
distingués (voir II. 1.1.1, Note 1), de cônes projectifs
distingués, de cônes inductifs d'indexations discrètes distingués
(destinés à devenir des sommes) et de cônes induetifs
(d'indexations non discrètes) particuliers (destinés à devenir
des épis),3
11.2.1.4. Soit
XP
une classe de cônes projectifs, X±
une classe de cônes inductifs et E
une esquisse.
On dit que E
est une ( X P , X±)-esquisse
Cvoir Note 23 si,
et seulement si :
- les cônes projectifs distingués dans
E
appartiennent à
Ap

,

- les cônes inductifs distingués dans E
appartiennent à Xi .
Si
X ' P c X P , X'i c X i et E = (Supp(E),CP(E) ,CI(E))
est une (XP,X±)-esquisse, on note:
(X'„,X'i)-esq(E) = (Supp(E) ,CP(E) H X' P ,CI(E) fl X ' t )
la (X'p,X'i)-esquisse sous-jacente à E .
11.2.1.5. Soit « un ordinal régulier,
On note X P (a) la classe des cônes projectifs d'indexations
a-petites.

II.2.

ESQUISSES.

Si X i est une classe de cônes inductifs, une ( X P ( « ) ( X i ) esquisse est appelée une (a,X±)-esquisse,
Une
( Xp(a),0)-esquisse est aussi appelée une esquisse <xprojective
Cvoir Note 23.
11.2.1,6. Dans la suite Cvoir Note 33, on note
classe des cônes inductifs indexés par:

(1,0)

V±

la

(2,0)

et de la forme:

De même, on note
Oisc±
(resp, Oiscfin± , Discuni ) la
classe des cônes inductifs d'indexations discrètes (resp.
d'indexations discrètes et finies, d'indexations discrètes
isomorphes à 1 ).
Enfin, on pose:

- ViOisci = V i U Disci ,
- ViDiscfini = Vi U Oiscfini ,
- VAOiscum = Vi U

Oiscum ,

CNote 2. Nous reprenons la terminologie originelle d'Ehresmann
(voir (E.T.S.A,)), terminologie que nous ne voyons pas l'utilité
de modifier (voir la fin de cette Note et la Note 3). Dès
l'origine, ce fut une de ses préoccupations constantes de classer
les esquisses selon la nature des cônes projectifs et inductifs
qui y sont distingués, conscient qu'il était qu'à ces différentes

II.2.

ESQUISSES.

classes correspondaient différentes classes "concrètes" de types
de structures.
Techniquement (voir 11,4 et, surtout, (C.S.C.S,)), les critères
fondamentaux de classification semblent devoir être les suivants:
- absence éventuelle de cônes projectifs ou inductifs distingués
(esquisses élémentaires),
- absence éventuelle de cônes inductifs distingués (esquisses
projectives) et, dans ce cas, taille (et, mais à un moindre
degré, forme) des cônes projectifs distingués (esquisses ocprojectives),
- dans le cas d'une esquisse mixte non projective, taille (et,
mais à un moindre degré, forme) des cônes projectifs distingués
ainsi que forme (et, mais à un moindre degré, taille) des cônes
inductifs distingués,
Concrètement (i. e, en se référant seulement à la classique
théorie des modèles) une correspondance entre classes d'esquisses
et classes de théories axiomatiques particulières peut être
décrite comme suit,
A une esquisse élémentaire triviale, i, e, à un graphe orienté,
correspond (et inversement) une théorie axiomatique, relative à
un
langage
(multisorte) constitué seulement
de symboles
fonctionnels tous d'arité 1, qui est "sans axiomes"!
A une esquisse élémentaire (quelconque), i. e. à un graphe
compositif, correspond (et inversement) une théorie axiomatique,
relative à un langage (multisorte) constitué seulement de
symboles fonctionnels tous d'arité 1, qui n'a pour axiomes que
des équations (quantifiées universellement).
A une esquisse projective dont les cônes projectifs distingués
sont tous d'indexations discrètes, correspond (et inversement)
une théorie axiomatique, relative à un langage (multisorte)
constitué seulement de symboles fonctionnels (d'arités pouvant
être différentes de 1), qui n'a pour axiomes que des équations
(quantifiées universellement), i. e, une théorie algébrique.
A
une
esquisse
projective
(quelconque)
correspond
(et
inversement) une théorie axiomatique, relative à un langage
(multisorte) constitué de .symboles fonctionnels et relationnels,
qui n'a pour axiomes que des "implications positives" ou
"formules de Horn universelles" obtenues, à partir des formules
atomiques, en ne s'autorisant que:
- les connecteurs
"et (éventuellement infinitaire)"
et
"implique" ,

II.2.

ESQUISSES.

- le quantificateur "pour tout (éventuellement infini taire)" et
le quantificateur "il existe un et un seul (éventuellement
infinitaire)" ,
i. e. une théorie essentiellement algébrique ... comme on dit
maintenant.
A
une
(a,Oisei)-esquisse
(quelconque)
correspond
(et
inversement) une théorie axiomatique, relative à un langage
(multisorte) constitué de symboles fonctionnels et relationnels,
qui n'a pour axiomes que des formules (interprétées comme
"quantifiées universellement sur ses variables libres") obtenues,
à partir des formules atomiques, en ne s'autorisant, que;
- les connecteurs "et (infinitaire)" , "non" , "implique" , "ou
exclusif (infinitaire)" ,
- le quantificateur "il existe un et un seul (infinitaire)",
A
une
(oc, V/iOisci)-esquisse
(quelconque) correspond
(et
inversement) une théorie axiomatique, relative à un langage
(multisorte) constitué de symboles fonctionnels et relationnels,
qui n'a pour axiomes que des formules (interprêtées comme
"quantifiées universellement sur ses variables libres") obtenues,
à partir des formules atomiques, en ne s1autorisant que:
- les connecteurs "et (infinitaire)" , "non" , "implique" , "ou
exclusif (infinitaire)" ,
- les quantificateurs "il existe (infinitaire)" et "il existe
un et un seul (infinitaire)",
A une esquisse mixte quelconque correspond une théorie du premier
ordre (infinitaire). Inversement, une théorie du premier ordre
peut être automatiquement traduite en une esquisse mixte qui n'a,
évidemment, aucune raison a priori d'être de l'une des formes
particulières précédentes (et notamment de la dernière), bien
qu'on puisse toujours (dans le topos Ens , ... comme il convient
de dire de nos jours) exprimer un
"ou (non nécessairement
exclusif)" à l'aide du "ou exclusif" , du "et" et du "non"
(mais il me semble que, ce faisant, on s'écarterait notablement
de l'approche du concept de notion d'intuitionnisme ... comme on
dit de nos jours): en d'autres termes, dans certains cas, et
selon les points de vue, il peut ne pas être judicieux de
traduire toute théorie du premier ordre (par essence purement
syntaxique) en une (a, V/iOisci)-esquisse), Mieux, si l'on tient
à parler, avec quelque conséquence, de "géométrie" à ce sujet,
on peut même considérer que les connecteurs et quantificateurs ,
ainsi que les associations (par groupes, à préciser) de formules,
utilisés pour écrire une théorie du premier ordre donnée, ne
reflètent qu'une "géométrie" de la "logique" particulière

II.2.

ESQUISSES.

implicite qui préside à sa description: cette "géométrie" ne peut
pas se représenter autrement que par la forme des cônes inductifs
distingués (dès lors qu'on ne leur impose pas d'appartenir
nécessairement à ViOiscfini ) dans l'esquisse associée. Ainsi,
une
"théorie" est-elle
toujours, de ce point de vue,
"géométrique" et le problème consiste donc à étudier sa
"géométrie" (et pas nécessairement de la faire se conformer à une
"géométrie" particulière, immuablement fixée.3
CNote 3. Nous ne considérerons en détail, dans la suite, que les
cas particuliers que Barr prétend "étudier" en (M.D.S.K.), Bien
entendu ce ne sont pas les seuls à présenter un quelconque
intérêt (voir fin de Note 2),
Pour faciliter au lecteur la comparaison entre le présent
travail et (M.D.S.K,), indiquons lui la traduction suivante:
esquisse u-projective = LE-sketch ,
(w,Oiscf in±)-esquisse = FS-sketch ,
(«, Vi)-esquisse = regular sketch ,
(u, VtOiscfini)-esquisse = cohérent sketch ,
(w, V± Disc i )-esquisse = géométrie sketch (voir fin de Note 2),3

11,2,2,

Homomorphismes,

11,2,2,1, Soit E
et E ' deux esquisses.
On dit
que
H = (E,Supp(H),E') : E 4 E '
est un
homomorphisme de E
vers E '
Cvoir Note 4] si, et seulement
si:
- Supp(H):Supp(E) 4 Supp(E') est un foncteur, appelé support
de H ,
- l'image par Supp(H) de tout cône projectif distingué dans E
est un cône projectif distingué dans E 1 ,
- l'image par Supp(H) de. tout cône inductif distingué dans
E
est un cône inductif distingué dans E 1 .
Il arrivera souvent, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, que l'on
confonde
H
et
Supp(H) : par exemple, on notera aussi
Supp(H):E 4 E ' cet homomorphisme,
Si
F:Supp(E) 4Supp(E')
est un foncteur, on dit qu'il
définit
(ou, s'il n'y a pas risque de confusion, qu'il est) un
homomorphisme de E
vers E ' si, et seulement si:

II.2.

ESQUISSES.

(E,F,E'); E 4 E '
est un homomorphisme (et c'est alors le
seul homomorphisme de E
vers E ' de support F ),
H.2,2,2, Soit
X'o c Xç>
(resp,
X'i c X , )
deux
classes de cônes projectifs (resp, inductifs), E
et E ' deux
(X^,Xi)-esquisses et H:E 4 E '
un homomorphisme.
On note
Proj(H) ;Proj(E) 4 Proj(E')
l'unique homomorphisme
défini par Supp(H) Cvoir Note 43.
On note
(X' P ,X' i )-(H):(X' p ,X'i)-esq(E) 4 ( X' P , X'i )-esq(E)
l'unique homomorphisme défini par Supp(H) Cvoir Note 43.
11.2.2.3. Soit
H:E 4 E '
et
H';E' 4 E "
deux
homomorphismes entre esquisses.
On note H',H;E 4 E "
l'homomorphisme composé de H' par
H , i, e, 1'homomorphisme défini par
Supp(H'),Supp(H) Cvoir
Note 43.
11.2.2.4. Les
foncteurs
entre
graphes
compositifs
s'identifient exactement aux homomorphismes entre esquisses
élémentaires. Alors, à la composition des foncteurs correspond la
composition des homomorphismes entre esquisses élémentaires Cvoir
Note 43.
CNote 4. Evidemment II.2.2.1, II.2.2.2, 11,2,2,3 et 11,2,2,4
permettent de parler de la catégorie
Esq
des esquisses ou,
encore plus précisément, si X P
(resp, Xx ) est une classe de
cônes projectifs (resp, inductifs), de la catégorie
(XP;Xi)Esq des ( XP, Xi)-esquisses. Pour une étude plus exhaustive de
ces catégories d'esquisses (existence et calcul de limites
projectives et inductives, structures monoïdales fermées ... et
même esquissabilité!) voir par exemple (E.G.C.E.) et (C.T.F.E.).
De même, pour une analyse plus développée des foncteurs d'oubli
ou d'inclusion (ou autres) entre ces catégories d'esquisses et
les catégories "usuelles" (telles que celles des graphes
orientés, des graphes compositifs petits, des catégories petites,
des catégories petites avec choix de limites projectives et/ou
inductives d'une forme prescrite ...) voir par exemple (E T S A )
et (C.T.F.E.).]

II . 3 .

11,3,1,

MODELES

Définition

des

modèles.

11,3,1,1, Soit E
une esquisse et A
une catégorie (non
nécessairement petite),
On dit que M = (E,Fct(M), A ) : E 4 A
est une
réalisation,
ou un modèle, de
E
dans
A
si, et seulement si Cvoir
Note 13:
- Fct(M) ;Supp(E) 4 A
est un foncteur, dit sous-jacent à M ,
- l'image par Fct(M) de tout cône projectif distingué dans
E
est un cône limite projective dans A ,
- l'image par Fct(M) de tout cône inductif distingué dans
E
est un cône limite inductive dans A ,
Il arrivera souvent, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, que l'on
confonde
M
et
Fct(M) : par exemple, on notera aussi
Fct(M):E 4 A
ce modèle.
Si F;Supp(E) 4 A
est un foncteur, on dit qu'il définit (ou,
s'il n'y a pas risque de confusion, qu'il est) un modèle de
E
dans A
si, et seulement si:
- (E,F,A);E 4 A
est un modèle de E
dans A
(c'est alors
l'unique modèle de E
dans A
dont le foncteur sous-jacent
est F ).
CNote 1, Bien entendu, on peut associer à toute catégorie
A
(non nécessairement petite) une "grosse" esquisse ESQ(A) de
support
A
et dont les cônes projectifs (resp, inductifs)
distingués sont tous les cônes limites projectives (resp,
inductives) d'indexations petites dans A . De ce point de vue,
un modèle d'une esquisse E
dans A
s'identifie évidemment à
un homomorphisme de E
vers ESQ(A) .
Plus précisément encore, si X P
(resp. Xi ) est une classe
de cônes projectifs (resp, inductifs), on peut associer à toute
catégorie
A
(non nécessairement petite) une "grosse"

I I .3. M O D E L E S .

(Xp, Xi)-esquisse
( X P , Xi)-ESQ(A ) de support A
et dont
les cônes projectifs (resp, inductifs) distingués sont tous les
cônes limites projectives (resp. inductives) de
A
qui, de
plus, appartiennent à Xç> (resp. X i ). De ce point de vue, un
modèle d'une
(X P| Xi)-esquisse
E
dans
A
s'identifie
évidemment à un homomorphisme de E
vers ( X P , X i )-ESQ(A) ,
Nous ne développons pas ces points de vue ici, et ce pour
plusieurs raisons,
D'abord parce qu'ils ne modifieraient en rien les considérations
du présent travail (limitées aux seuls cas particuliers que Barr
prétend "étudier" en (M.D.S.K,)),
Ensuite parce que, bien que justifiés "formellement", ils ne nous
semblent pas les plus judicieux. En effet, tant pratiquement que
théoriquement, on est amené à procéder à des restrictions de
tailles sur les catégories telles que A
et sur les esquisses
telles que E , qui ne sont pas exactement de même nature: elles
doivent être dans le même rapport que celui du "petit" au
"localement petit",
Enfin, parce que les esquisses telles que
ESQ(A)
ou
( X P ( Xi)-ESQ(A) ne sont pas en réalité
(peut-être malgré les
apparences) intrinsèquement liées à la catégorie
A , mais
dépendent en fait de l'esquisse
E
que l'on projette d'y
réaliser,
Utiliser de "grosses" esquisses de support une catégorie
A
ne nous semble justifié que si elles reflètent une structure plus
précise de la catégorie A
(i, e, de certaines de ses limites,
plutôt que de toutes),
Il en est ainsi, notamment, d'une "grosse" esquisse CA3 dont
les cônes projectifs (resp, inductifs) distingués sont ceux
obtenus à l'aide d'un choix (fonctionnel) de limites projectives
(resp. inductives), d'indexations prescrites, dans A , Ainsi,
la "catégorie des homomorphismes" d'une esquisse E
vers CA3
s'identifie à une sous-catégorie pleine de
Mod(E,A)
(non
équivalente à M o d ( E , A ) , en général) dont les objets sont les
modèles stricts de E
dans A
(i. e. dans CA3 ),
Par exemple, si
E
est une esquisse de groupes (facile à
décrire) et si
CEns3 correspond à un choix de produits finis
sur Ens (par exemple, les produits cartésiens), il est facile
de vérifier que:
- la catégorie des modèles de
E
(dans
Ens ) n'est
qu'équivalente à la catégorie "usuelle" des groupes,
- la catégorie des modèles stricts de E
(dans CEns3 ) est
isomorphe à celle des groupes,

I I . 3.

MODELES .

De telles considérations précises et, vu cet exemple, tout à fait
justifiées, se trouvent déjà chez Ehresmann (voir (E.T.S.A,),
Elles mériteraient d'ailleurs d'être développées (ce qui fut
entrepris notamment en (E.G.C.E.) et (C.T.F.E.)), maintenant
qu'étudier des "catégories munies de choix de limites" n'effraie
plus ceux qui ,.. pendant longtemps leur dénigraient tout
intérêt.]
11.3.1.2, Les foncteurs d'un graphe compositif vers une
catégorie
A
s'identifient exactement aux modèles d'une
esquisse élémentaire dans A ,
11.3.1.3, Soit E
une esquisse,
On appelle, plus simplement, modèle de
dans Ens ,

E

tout modèle de

E

11.3.1.4, Soit E
une esquisse et A
une catégorie (non
nécessairement petite),
On appelle co-modèle de E
dans A
tout modèle de E
dans
A o p Cvoir Note 23.
CNote 2. Dans la suite, nous n'aurons qu'un seul type de comodèle à considérer, mais il est tout à fait fondamental (voir
11,4.2.5),]

11,3.2,

Homomorphismes

de

modèles.

11,3,2,1, Soit
E
une esquisse, A
une catégorie (non
nécessairement petite) et
Mi,M2:E 4 A
deux modèles de
E
dans A .
On dit que
h = (Mi ,nat(h),M2) ;Mi * M 2 : E 4 A
est une
tranformation

naturelle,

ou un homomorphisme de modèles,

de

Mi

vers M 2 , si et seulement si:
- nat(h) :Fct(Mi ) i Fct(Mz) : Supp(E) 4 A
est une transformation naturelle, dite sous-jacente à h ,
Il arrivera souvent, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, que l'on
confonde
h
et
nat(h) : par exemple, on notera aussi
nat(h);Mi * M 2 : E 4 A
cet homomorphisme entre modèles,

I I . 3 . htOOEUES .

Si n:Fct(Mi) * Fct(Mz) : Supp(E) 4 A
est une transformation
naturelle, elle définit donc toujours un unique homomorphisme, du
modèle Mi vers le modèle M 2 , dont n est la transformation
naturelle sous-jacente,
11.3.2.2. Soit E
une esquisse et A
une catégorie (non
nécessairement petite).
Si hi :Mi * Ma : E 4 A
et h2;M2 * Ma : E 4 A
sont deux
homomorphismes de modèles, on note
hz.hijMi 4 Ma : E 4 A
l'homomorphisme de Mi vers Ma , composé (latéral)
de h 2 par
hi , i, e. l'unique homomorphisme de
Mi
vers
Ma
dont la
transformation naturelle sous-jacente est nat(h2).nat(hi) .
Dans ces conditions, on note
Mod(E,A)
la catégorie des
modèles de E
dans A , i. e, la catégorie telle que:
- ses objets sont les modèles M ; E 4 A ,
- ses flèches sont les homomorphismes entre ces modèles,
Pour tout objet E de E , on note:
ev(E,A)e:Mod(E,A) 4 A ,
le foncteur "évaluation en E " (qu'on définit facilement, par
analogie avec 11,1.3.2 par exemple).
De même, pour toute flèche e:E 4 E' de E , on note
e v ( E , A ) . : e v ( E , A ) E * e v ( E , A ) E - : Mod(E,A) 4 A ,
la transformation naturelle "évaluation en e " (qu'on définit
facilement, par analogie avec II.1,3.2 par exemple).
On définit donc ainsi un foncteur:
ev(E,A):Supp(E) 4 A»OO<I=: .«>
et l'on vérifie facilement qu'il définit un modèle dit canonique
(encore noté) e v ( E , A ) : E 4 A " 0 0 ^ ^ 5 .
11.3.2.3. Les transformations naturelles entre foncteurs
d'un
graphe
compositif
vers une
catégorie s'identifient
exactement aux homomorphismes entre modèles d'une esquisse
élémentaire vers cette catégorie. Alors, à la composition
latérale de ces transformations naturelles correspond la
composition latérale de ces homomorphismes.
11.3.2.4. Soit E
une esquisse.
On note, plus simplement, Mod(E) = Mod(E,Ens) la catégorie
des modèles de E ,
Pour tout objet E de E , on note également plus simplement
ev(E,Ens)s = ev(E)s ,
Pour toute flèche e de E , on note aussi:
ev(E,Ens). = ev(E)- .

I I . 3.

MODELES .

Enfin, on note tout aussi simplement

ev(E) » ev(E,Ens)

11.3.2.5, Soit
H;E 4 E '
un homomorphisme entre deux
esquisses et A une catégorie,
Si
M':E' 4 A
est un modèle de E '
dans A , on note
M'.H:E 4 A
le modèle de E dans A , composé du modèle M'
par 1'homomorphisme H , i, e, le modèle de E dans A défini
par le foncteur Fct(M' ) .Supp(H) :Supp(E) 4 A
Si h':M'i => M'2 : E ' 4 A
est un homomorphisme de modèles,
on note h'iHjH'i.H * M' 2l H : E 4 A 1'homomorphisme de modèles
composé

(longitudinal)

de

h'

par

H ,

i. e. l'unique

homomorphisme du modèle M'i.H vers le modèle M'2,H dont la
transformation naturelle sous-jacente est nat(h')#Supp(H)
Dans ces conditions, on note
Mod(H,A): Mod(E',A) 4 Mod(E,A)
le foncteur composition (longitudinale)

à droite par H

11.3.2.6, Les
catégories
de foncteurs
s'identifient
exactement aux catégories de modèles d'esquisses élémentaires,
Plus précisément, si E est une esquisse et si A est une
catégorie, notons
Hid(E): Supp(E) 4 E
l'homomorphisme
d'esquisses défini par Id(Supp(E)) :Supp(E) 4 Supp(E)
Alors, on a:
_ A S V ^ < E : > = Mod(Supp(E),A) ,
- le foncteur
Mod(Hid(E),A):Mod(E,A) 4 Mod(Supp(E),A) = A S " ^ < E : >
identifie
Mod(E,A)
à une sous-catégorie pleine de
£ ^ s u p p < E^: >

De même, si H:E 4 E '
est un homomorphisme entre deux
esquisses, le diagramme ci-dessous est commutatif;
Mod(Hid(E'),A)
Mod(E',A)

>

^SIWXES:**

Mod(H,A)

A 3 U P P

Mod(E,Â)

y-

( H )

A SUP>F»<EE: >

Mod(Hid(E),A)
autrement

dit,

Mod(H,A)

s'identifie

à une restriction de

I I . 3.

MODELES .

11,3,2,7, Soit
H:E4E'
un homomorphisme entre deux
esquisses,
On note, simplement, Mod(H) - Mod(H,Ens) :Mod(E') 4 Mod(E) .

II.3.3.

11.3.3.1, Soit
On dit que

B

Catégories

A

et

B

esquissables.

deux catégories,

est esquissable

relativement

seulement si :
- i l existe une esquisse E
telle que
M o d ( E , A ) sont équivalentes,
On dit que

B

est

projectivement

à

A

si, et

les catégories

esquissable

A
si, et seulement si;
- il existe une esquisse projective
E
M o d ( E , A ) sont équivalentes Cvoir Note 33.

B

et

relativement

à

telle que

B

et

CNote 3, Plus précisément, soit
CA3
une esquisse de support
A , relative à un choix de limites projectives et inductives sur
A
(voir Note 1),
On peut dire qu'une catégorie B
est strictement
esquissable
relativement à CA3 si, et seulement si:
- i l existe une esquisse E
telle que B
et la catégorie des
modèles stricts de E
dans CA3 sont équivalentes. 3
11.3.3.2, Soit
XP
une classe de
une classe de cônes inductifs, et A
et

cônes projectifs, X i
B
deux catégories.
relativement

à

A

si, et seulement si:
- il existe une
( X P , Xi)-esquisse
E
telle
catégories B
et Mod(E,A) sont équivalentes.

que

les

On dit que

B

est

(X*>,X±)-esquissable

11.3.3.3, Soit oc un ordinal régulier, Xi
cônes inductifs et A
et B
deux catégories.
On dit que

B

est

(a, Xi)-esquissable

une classe de

relativement

si, et seulement si;
- B
est (XP(a),Xi)-esquissable relativement à
On dit que

à A
- B

B

est

a-projectivement

A

A .

esquissable

si, et seulement si:
est (XP(a),0)-esquissable relativement à

à

A ,

relativement

I I . 3 . MOOEL.ES .

11,3,3.4, Dans la suite, on dira plus simplement esquissable
plutôt que esquissable relativement à Ens Cvoir Note 4],
CNote 4, Rappelons de nouveau (voir 11,2,1,6, Note 2) que les
catégories projectivement esquissables sont exactement celles qui
sont équivalentes aux catégories de structures essentiellement
algébriques (ensemblistes).
De même, les catégories esquissables sont exactement celles qui
sont équivalentes aux catégories de modèles (ensemblistes) de
théories (infinitaires) du 1er ordre.
Plus précisément encore (voir la Note 3), les catégories qui
sont strictement projectivement esquissables (relativement à un
choix de limites projectives "canoniques" dans Ens ) sont les
catégories
isomorphes
aux
catégories
de
structures
essentiellement algébriques.
Les catégories qui sont strictement esquissables (relativement à
un choix de limites projectives et inductives "canoniques" dans
Ens ) sont celles qui sont isomorphes aux catégories de modèles
de théories (infinitaires) du 1er ordre.]

11,3,4.

Comparaisons

d'esquisses

11.3,4,1, Soit
H:E 4 E '
et
K:E*4E'
deux
homomorphismes d'esquisses.
On dit que (H,K) est une comparaison de E
vers E** si,
et seulement si Cvoir Note 5];
- pour toute catégorie A
(à limites projectives et inductives
d'indexations petites), les foncteurs
Mod(H,A):Mod(E',A) 4 Mod(E,A)
et
Mod(K,A):Mod(E',A) 4 Mod(E*,A)
sont des équivalences,
On dit que deux esquisses sont comparables si, et seulement
si :
-il existe une comparaison de l'une vers l'autre.
CNote 5, Les notions d'esquisses comparables, analogues ou
semblables, introduites ici, en 11,3.4,2 et en 11,3,4,3, ne le
sont que pour le besoin de la cause (i. e. pour disposer dans la

MODELES .

suite d'une terminologie précise et définie). Elles se contentent
de reprendre et/ou de préciser les diverses "équivalences"
d'esquisses utilisées par Barr en (M.D.S.K.),
Indiquons, cependant, qu'il n'est nullement le premier à avoir
considéré de telles "équivalences", Dès 1968, Ehresmann s'est
attaché en (E.T.S.A.) à préciser ce que pouvaient être, en toute
généralité, deux esquisses (strictement) équivalentes (i, e.
ayant des catégories de modèles stricts - voir la Note 1 isomorphes): ce sont deux esquisses ayant le même "type", i, e.
engendrant librement la même catégorie munie d'un choix de
limites projectives et inductives (d'indexations prescrites),
Par la suite, A, et C, Ehresmann ont précisé en (C.O.S.S.) ce que
sont
deux
esquisses
(non
nécessairement
strictement)
"équivalentes": ce sont deux esquisses qui engendrent deux "types
vagues" équivalents, i. e. deux catégories à limites projectives
et inductives (non nécessairement choisies), d'indexations
prescrites, équivalentes,
Signalons enfin que la littérature (écrite depuis 1968) sur la
théorie des esquisses abonde en considérations particulières ou
générales concernant les "types de modifications d'esquisses qui
ne modifient pas les catégories de modèles"!]
11.3.4.2, Soit
H;E 4 E '
et
K:E* 4 E '
deux
homomorphismes d'esquisses.
On dit que (H,K) est une analogie de E
vers E * si, et
seulement si:
- (H,K) est une comparaison de E
vers E * ,
- (Proj(H),Id(Proj(E'))) est une comparaison de Proj(E) vers
Proj(E') ,
- H;E 4 E ' est injectif sur les objets,
- K : E * 4 E ' est bijectif sur les objets.
On dit qu'une esquisse est analogue à une autre si, et
seulement si :
- il existe une analogie de la première vers la deuxième.
11.3.4.3. Soit
H;E 4 E '
et
K:E* 4 E '
homomorphismes d'esquisses.
On dit que (H,K) est une similitude de E
vers E *
seulement si :
- (H,K) est une analogie de E
vers E * ,
- les foncteurs
Supp(H):Supp(E) 4 Supp(E')
et

deux
si, et

I I . 3.

MODELES .

Supp(K):Supp(E*) 4 Supp(E)
sont des isomorphismes.
On dit qu'une esquisse est semblable à une autre si, et
seulement si :
-il existe une similitude de la première vers la deuxième,
11,3.4.4. Soit oc
On a Cvoir Note 6]:

un ordinal régulier.

- toute
(oc, ViOiscuni)-esquisse
(a,Vi)-esquisse.

E

est

semblable

à une

En effet, l'ensemble CI(El) des cônes inductifs distingués
est réunion d'un ensemble
CI^(E)
de cônes inductifs
appartenant à
Vi
et d'un ensemble CI<*i.coo(E) de cônes
inductifs appartenant à Oiscum . Aussi, tout cône inductif
q€CIai«cu.«(E) est-il le cône inductif
q = 1 -côneind(e<1) ,
d'indexation isomorphe à 1 , associé à une flèche ee,:Ec -» E'<*
de E .
Alors, on pose:
- CP(E') = CP(E) U £1 -cÔneproj(e<,) / qeCIci.c^(E) ) ,
- CI(E') = C K E ) ,
- E ' = (Supp(E),CP(E'),CI(E')) ,
- CP(E*) = CP(E') ,
- C K E » ) = CI>,(E) ,
- E * = (Supp(E),CP(E*),CI(E*)) .
Clairement, E * est une (oc, Vi )-esquisse semblable à E .
CNote 6, Lorsqu'une flèche d'une esquisse est repérée comme étant
l'unique projection (resp. co-projection) d'un cône projectif
(resp. inductif) distingué (de base 1 ), c'est qu'elle sera
toujours réalisée en un iso. On peut donc la repérer, de manière
trivialement équivalente, comme étant l'unique co-projection
(resp. projection) d'un cône inductif (resp. projectif) de base
1
(on pourrait même la caractériser en lui rajoutant une
"inverse formelle" dans le support de l'esquisse considérée).
Concrètement ce genre de modification n'introduit pas grand
changement: pour partie, les propriétés que Barr prétend
"étudier" en (M.D.S.K.) résultent de cette seule constatation,]

II.4. PROPRIETES DES CATEGORIES

ESQUISSABLES.

II .4. 1 . Propr iétés
des
catégories de foncteurs,

11.4.1.1, Il est facile de prouver que:
-si
F ; Q •» G '
est un foncteur entre deux graphes
compositifs
petits,
alors le foncteur
Ens Fr :Ens <3 ' 4 Ens*5* admet un adjoint
à gauche.
En effet, le foncteur
Ens L<Fr> :EnsL-CQI' * 4 Ens L - c<3>
admet un
adjoint à gauche (qui est le foncteur extension de Kan inductive
le long de F ), puisque L(<3) et L(<3') sont deux catégories
petites. L'affirmation résulte alors de 11.1.4,3,
En particulier, si
G
est un graphe compositif petit, pour
tout objet 6 de <3 , le foncteur évaluation en G :
ev(G)Q:Ens <Ea 4 Ens
admet un adjoint à gauche:
q(<3)o:Ens 4 Ens* 3 ,
11.4.1.2, Il est tout aussi facile de prouver que:
- si
G
est un graphe compositif,
alors la catégorie
Ens*3
possède toutes
les limites
projectives
et toutes les
limites
inductives
d'indexations
petites;
de plus,
elles
se
calculent
point par
point.
En effet, EnsL-<<3>>
possède toutes les limites projectives et
toutes les limites inductives d'indexations petites. De plus,
elles se calculent point par point.
11.4.1.3, De 11,4.1,2 résulte immédiatement que:
- si
G
est un graphe compositif,
alors
Ens*3
possède tous
les ultraproduits;
de plus, ils se calculent
point par
point.
11.4.1.4, Soit

<3

un graphe compositif petit.

11.A.

PRORPIETES DES CATEGORIES

ESQUISSABLES.

Comme
L(<3)
est une catégorie petite, on dispose du
plongement de Yoneda (relatif à L(<3) ):
Yon(L(<3));L(<3) 4 (Ens L - c<3> )°^ ,
Alors, on dispose du foncteur, dit de Yoneda (relatif à <3 )
Cvoir Note 1]:
Yon(<3):<3
^L(G)
> (Ens1-'*35 ^
^ (Ens* 3 ) 0 "
KG)
Yon(L(<3))
(Ens 1 < < 3 > ) o p
Par construction (en utilisant les propriétés analogues de
Yon(L(<3)) ), ofl en déduit que:
- naturellement
en tout objet
Ens* 3
(i. e. en tout foncteur

G de G
et en tout
F:<3 4 Ens ) , on a:

objet

F

de

Hom(Yon«3)(G),F) * F(G) ,
-

naturellement

en tout

objet

G

de

G

, on a:

q(Q)ad) * Yon(Q)(6) ,
- pour tout objet
Ens* 3 , engendré

évaluation
- pour

tout

G
par

de G , Yon(G5)(G) est un objet
l'ensemble
1 , relativement
au

libre de
foncteur

ev(<3)a:Ens*3 4 Ens ,
objet

G

de

G

,

Yon(<3)(G)

présentable de Ens* 3 Cvoir Note 2],
- le foncteur ( Y o ^ e ) ) 0 0 ^ 0 1 * 4 Ens*3

est

un objet

0-

est dense.

CNote 1. En général, le foncteur de Yoneda relatif
à un graphe
compositif n'est ni plein ni fidèle (contrairement au classique
... plongement de Yoneda, relatif à une catégorie).]
CNote 2, Soit
J une classe de petits graphes orientés (ou de
pet i tes c atégor i es).
On dit qu'une (petite) catégorie J
est I-filtrante
si, et
seulement si:
- pour tout
I €X
et pour tout homomorphisme de graphes
orientés (ou pour tout foncteur) F: I 4 J , il existe un cône
inductif de -JT , de base F .
Par exemple, si oc est un ordinal régulier et si J est la
classe de toutes les catégories
oc-petites, une catégorie est
J-filtrante si, et seulement si, elle est «-filtrante (au sens
classique).
De même, si
X = 0 , toute petite catégorie
J
est 0filtrante.
On dit, dans ces conditions, qu'un objet A d'une catégorie
(localement petite) A est I-présentable
si, et seulement si:
- le foncteur Hora(A,-):A 4 Ens commute aux limites inductives
d'indexations X-filtrantes.

RRORRIETES DES CATEGORIES

ESQUIS&ABLCS.

Par exemple, si « est un ordinal régulier et si X est la
classe de toutes les catégories oc-petites, un objet A de
A
est
X-présentable si, et seulement si, il est «-présentable
(au sens classique de (L.P.L.G.), rappelé en 1.3.4.1, Note 6).
De même, si X = 0 , un objet A de A
est 0-présentable si,
et seulement si, le foncteur Hom(A,-):A 4 Ens commute avec les
limites inductives d'indexations petites quelconques.
Notons que, comme en 1.3.4,1, Note 6, il n'est pas difficile de
donner une version interne de la définition externe d'objet
Xprésentable proposée ici,
Plus généralement encore, soit
Xi
une classe de cônes
inductifs,
On dit qu'un objet A d'une catégorie (localement petite)
A
est X±-projectif
si, et seulement si;
- l'image par le foncteur Hom(A,-);A 4 Ens de tout cône limite
inductive de
A , appartenant de plus à
X i , est un cône
limite inductive de Ens ,
(et il est facile de donner une version interne de cette
définition externe),
Par exemple, un objet
Vi-projectif est un objet projectif au
sens classique,
Clairement, un objet
A de
A
est
Xi-projectif si, et
OF>
seulement si, c'est un objet de A
qui satisfait, au sens de
1,1,2, tous les cônes limites projectives de A o p , duaux de
cônes inductifs appartenant à X i ,
En particulier, si X est une classe de petits graphes orientés
(ou de petites catégories) et si X i est la classe de tous les
cônes inductifs d'indexations X-filtrantes, un objet A de A
est
Xi-projectif si, et seulement si, il est
X-présentable
(et la "présentabilité" n'est donc - via la dualité - qu'un cas
particulier de la satisfaction),]

11,4,2,
catégories

Propriétés
des
projectivement esquissables

11,4,2.1. Soit E
une esquisse projective,
Pour tout cône projectif distingué q = (qi:E 4 B(I))i«x dans
I , on note
hcîdimindurxop Yon(Supp(E ) )(B( I ) ) ) 4 Yon(Supp(E ) )(E)

II.4.

RRORRIETES

DES CATEGORIES

ESQUISSABLES.

l'unique flèche de la catégorie (de foncteurs) Ens*"*1*'15^ qui
factorise le cône inductif, image de
q
par
Yon(Q) , au
travers
du
cône
limite
inductive
du
diagramme
(Yon(<3)(B(I)))n,iop ,
Alors, on pose;
qual(E) = £ 1-cÔneproj(h<,) / qcCP(E) ) .
Clairement, qual(E)
est une
Oiscun-qualif ication, dite
associée à E , relative à Ens3"**^*51*
De plus, si
«
est un ordinal régulier et si
E
est une
esquisse
a-projective, alors
qual(E)
est une
Oiscun-qualif ication.
Dans ces conditions, il est facile de vérifier que:
Mod(E) = Sat(Ens s " w < E 5 ,qual(E)) .
Autrement dit Cvoir Note 33:
- toute
catégorie
de modèles
(ensemblistes)
d'une
projective
est (ou s'identifie
à) une sous-catégorie
qualifiable
d'une catégorie
de
foncteurs.

esquisse
Oiscun-

CNote 3. L'énoncé précédent est le premier pas - pour les autres
voir II.4.3.1, 11,4,4,1 et, en toute généralité, II.4.5, qui
permet d'intégrer non pas la Théorie des Esquisses mais celle des
catégories esquissables (qui en est la partie "sémantique'') dans
celle des catégories qualifiables. Nous en verrons dans la suite
les très nombreux avantages ... qui sont totalement méconnus par
Barr, bien que les suggestions d'énoncés et de preuves qu'il
prétend "étudier" en (M.D.S.K.) s'en trouvent automatiquement
vidées de toute difficulté,]
11.4,2.2. De II.4.2.1, 11,4.1.1 et 1.4.1.2 on déduit
immédiatement que (théorème du faisceau associé) Cvoir Note 43:
- si
« est un ordinal
régulier
et si
projective,
alors le foncteur injection

E
est une esquisse
canonique

«-

Mod(E) 4 E n s s " w < E 5
admet un adjoint

à gauche,

a d j ( E ) ; E n s s " ^ < e > 4 Mod(E) ,
(autrement dit, tout foncteur du support de
E
vers
engendre librement un modèle, ou "faisceau", de E ).
Il en résulte que:
- si
a
projective
évaluation

est
et
en

un ordinal
régulier,
si
E
si
E
est un objet de
E
E :

ev(E) E ;Mod(E) 4 Ens
admet un adjoint

à gauche:

Ens

est une esquisse «, alors
le
foncteur

II.A. R R O R R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

à savoir

ESQUISSABLES.

q(E)E;Ens 4 Mod(E) ,
q ( E ) E = adj(E) ,q(Supp(E))E .

CNote 4. Le "théorème du faisceau associé" fut initialement
établi par plusieurs auteurs et ce, probablement, indépendamment.
Tout d'abord, il généralise l'énoncé particulier ("vrai"
théorème du faisceau associé) qui stipule que tout préfaisceau
(i. e. tout foncteur de la catégorie Ouvd) 0 1 3 , duale de celle
des ouverts d'un espace topologique
T , vers Ens ) engendre
librement un faisceau (qui est un modèle d'une esquisse
projective très particulière de support Ouvd) 013 ).
Ensuite, il fut peut-être établi par Kennison en 1968 (comme
ceci est signalé en (T.T.A.T.)) mais aussi par Ehresmann en 1967
(voir (P.U.C.N.) et (S.L.S.A.)) ... comme ceci n'est pas signalé
en (T.T.A.T.),
Enfin, il fut repris sous des formes de plus en plus globales
et systématiques par "l'école d'Ehresmann", La preuve proposée
ici - c'est-à-dire en 1,4,1.2 - en est la plus globale, la plus
systématique et la plus simple, suffisant déjà largement à
justifier
l'intégration
de
la
théorie
des
catégories
projectivement
esquissables
dans
celle
des
catégories
qualifiables (voir Note 3),]
11.4.2.3, De 11,4,2.1, II.4.1.2,
déduit immédiatement que Cvoir Note 5];

1.4.2.3 et

1.4,2,4, on

- si
a est un ordinal
régulier
et si
E
est une esquisse
«projective,
alors
Mod(E)
possède
toutes
les
limites
projectives
et
toutes
les
limites
inductives
d'indexations
petites;
de plus,
les limites
projectives
d'indexations
petites
se calculent
point par point,
ainsi
que les
limites
inductives
petites
d'indexations
<x-filtrantes,

(autrement dit, Mod(E) est complète, co-complète et le foncteur
injection canonique
Mod(E) 4 Ens Slwa<,EE:>
crée les limites
projectives d'indexations petites et les limites inductives
d'indexations petites et «-filtrantes),
11.4.2.4. De II.4.2.1,
II.4.1.3, 11.4.2,3
résulte automatiquement que Cvoir Note 5];

et

1.4,3,2,

- si
E
est une esquisse iù-projective,
alors
M o d ( E ) est une
Scw><ŒEE:>
sous-catégorie
fermée dans
Ens
pour le calcul
des
ultraproduits
(qui se calculent
donc point par
point).

II.Am

RRORRIETES DES CATEGORIES ESQUISSABLES.

CNote 5, Les résultats de 11,4,2.3 et 11,4,2,4 sont autant de
justifications supplémentaires à l'intégration de la théorie des
catégories projectivement esquissables dans celle des catégories
qualifiables.]
II.4.2.5. Soit « un ordinal régulier et E une esquisse
a-projective.
On dispose du foncteur, dit de Yoneda (relatif à E ):
Yon(E):Supp(E)
> <Erui 8 M ^ c " : > ) o p
* (Mod(E))w
Yon(Supp( E ) )
adj ( E ) o p
Par construction, il est facile d'établir que:
- naturellement
en tout objet
E de H. et en tout objet
M o d ( E ) (i, e, en tout modèle M ; E 4 Ens ), on a;

M de

HomMoc*<e=:>(Yon(E)(E),ri) * M(E) ,
- naturellement

en tout

objet

E

de E

, on a:

Yon(E)(E) * q(E) E (1) ,
- pour tout objet
E de El , Yon(E)(E) = L(E) est un modèle
de
E , libre
à un générateur
de sorte
E (i. e. libre
à un
générateur,
relativement
au foncteur
e v ( E ) E ) Cvoir Note 6],
- pour tout objet
E de E , Yon(E)(E)
est un objet
«présentable
de M o d ( E ) ,

- Je foncteur
de

E

dans

Yon(E);Supp(E) 4 (Mod(E))op , définit
(Mod(E))

op

, i. e. un co-modèle

un modèle

(dit canonique) de

E
dans Mod(E) ,
- le foncteur (Yon(E))OF>: (Supp(E))or> 4 Mod(E) est dense.
CNote 6. Soit E
une esquisse projective et E un objet de
E . On dispose donc, en vertu de II.4.2.5, de la catégorie
Yon(E)(E)/Mod(E) .
On ose à peine rappeler que la flèche
id(Yon(E)(E)):Yon(E)(E) 4 Yon(E)(E)
de Mod(E) est un objet initial de Yon(E)(E)/Mod(E) : ceci
constitue ce qu'il est convenu d'appeler un "abstract non sensé"
(voir (C.F.W.M,))!
Vue la propriété d'adjonction, on craint de rappeler aussi que
tout couple (M,x) constitué d'un modèle M de E et d'un
élément
x
de
MCE) s'identifie à une flèche
x*:Yon(E)(E) 4 M , i. e, à un objet de Yon(E)(E)/Mod(E) . Et
qu'ainsi, on établit cet autre "abstract non sensé" qui consiste
à dire que la catégorie Yon(E)(E)/Mod(E) est isomorphe à la
catégorie Mod(E)E des "modèles de E , pointés par un élément
de sorte E " .

II.A. R R O R R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

ESQUISSABLES,

Enfin, puisqu'il faut aller jusqu'au bout des trivialités, il
est élémentaire (sauf sans doute quand on pratique lés esquisses
depuis peu) de constater que Mod(E)e est aussi une catégorie
esquissable. En effet Mod(E)E - Mod(Ee) , où E E est obtenue
en adjoignant à E :
- d'une part un objet 1 , sommet d'un cône projectif distingué
de base 0 , (si E
n'en possède pas),
- d'autre part, une flèche XE:1 4 E ,
(cette savante construction est re-découverte par Barr en
(M.D.S.K.)).
Cette suite d' "abstract non sensé" permet de reformuler la
quatrième assertion de II.4.2.5 comme suit:
- pour tout objet E de E , l'esquisse E E admet un modèle
initial.
En (M.D.S.K.), Barr ne se prive pas d'utiliser une telle reformulation, bien évidemment présentée comme une formulation
originale, Elle a sans doute l'avantage de faire très
"theoretical
computer
science",
Malheureusement,
elle
hétérogénéise ce que l'on peut énoncer de manière homogène (i, e,
ne concernant qu'une seule esquisse E , qu'il n'y a pas lieu de
modifier) en faisant jouer tout leur rôle fondamental aux
foncteurs évaluation
ev(E)e , donc à leurs adjoints à gauche
q ( E ) E , donc
aux objets
q(E) e (1) = Yon(E)(E)
(voir
11,4,2.6), donc au co-modèle canonique
Yon(E)(E) .,, toutes
choses déjà largement soulignées en (F,O.S.A,), qu'il convenait
probablement de taire en (M.D.S.K,),]
11.4,2.6, Soit
«
un ordinal régulier et
C
catégorie.
Rappelons que (caractérisation sémantique intrinsèque
catégories projectivement esquissables) Cvoir Notes 7 et 8]:

une
des

- la catégorie
C
est tx-projectivement
esquissable
si,
et
seulement si, elle est localement tx-présentable
Cvoir Note 7],
i. e. si, et seulement
si:
* C
est localement
petite,
4 C
possède toutes les limites
inductives
d'indexations
petites
et
<x-filtrantes,
4 C
possède toutes les limites
inductives
de diagrammes
dont les objets
sont cn-présentables
dans
C
et dont les
indexations
sont
<x-petites,
+ C
possède un ensemble générateur
propre formé
d'objets
a-présentables
de C .

I I . 4 .

RRORRIETES

DES

CATEGORIES

ESQUISSABLES,

En effet, si
E
est une esquisse «-projective, la catégorie
C - M o d ( E ) vérifie, en vertu de 11,4,2.3, les trois premières
conditions et, d'après 11,4,2,5, l'ensemble
Yon(E)(Ob(E)) ,
qui est effectivement constitué d'objets
«-présentables, est
générateur propre.
Réciproquement, si C
vérifie les quatre conditions énoncées
et si
r est un ensemble générateur propre formé d'objets
«présentables, on note
C«
la plus petite sous-catégorie de
C , fermée pour le calcul des limites inductives (choisies)
d'indexations
«-petites
(représentant
chacune
une
classe
d'isomorphismes des indexations «-petites) et dont la classe des
objets contient
r
(on montre facilement qu'elle est pleine,
petite, et équivalente à la sous-catégorie pleine de
C
dont
les objets sont tous les «-présentables).
Alors, on note
/(C«)op/
l'esquisse «-projective obtenue en
distinguant dans
C0|P
tous les cônes limites projectives
d ' i ndexa t i ons oc-pe t i tes.
Dans ces conditions, Mod(/(C«) OF> /) est équivalente à C ,
En particulier, si E
est une esquisse «-projective, il est
facile de voir que
(H,K)
est une analogie de
E
vers
/(Mod(E)oc)°*V , si:
- H : E 4 /(Mod(E)oc)OF7 est la restriction de Y o n ( E ) ,
- K est l'homomorphisme identité de /(Mod(E)«) o p / ,
CNote 7, Il n'est pas très difficile de constater directement
(i. e. semantiquement) que les catégories vérifiant les quatre
conditions énoncées sont exactement les catégories localement ocprésentables
de Gabriel-Ulmer
(voir
(L.P.L.6.),
dont nous
reprenons la terminologie). Autrement dit, que les propriétés
(concernant notamment l'existence de seulement certaines limites
inductives) énoncées ici en impliquent automatiquement nombre
d'autres (notamment l'existence de toutes les limites inductives
d'indexations petites et de toutes
les limites
projectives
d'indexations petites),
On aura constaté aussi, très certainement, toute l'importance
du rôle que jouent, dans cette caractérisation, les objets ocprésentables (voir 1,4,2.4, Note 5) et, précisément, ceux de la
forme
Yon(E)(E)
- lorsque l'esquisse projective
E
est
donnée - (voir 11.4,2.5, Note 6).]
CNote 8. Le lecteur pourra être surpris par la forme que nous
donnons
à
la
caractérisation
sémantique
intrinsèque
des
catégories
«-projectivement
esquissables,
notamment
par
la

RRORRIETES

DES

CATEGORIES

ESQUISSABLES.

dissociation des deuxième et troisième assertions: c'est que nous
souhaitons lui faciliter la comparaison avec la caractérisation
sémantique intrinsèque des catégories (a,Disci)-esquissables
(plus générales) donnée en 11.4,4,5 (où il est cette fois tout à
fait nécessaire de dissocier les deuxième et troisième points
correspondants),
11.4,2,7, On
Note 93:

déduit

immédiatement

de

11.4,2,6

que

Cvoir

- si
«
est un ordinal régulier,
si
C
est une catégorie
localement <x-présentable et si
C
en est une sous-catégorie
pleine, réflexive,
pour laquelle le foncteur injection canonique
C
4 C
crée (ou commute avec)
les limites
inductives
d'indexations petites
et
<x-filtrantes,
alors
C
est aussi
localement cn-présentable.
CNote 9, Il s'agit là d'un résultat tout à fait élémentaire et
classique qui nous sera utile dans la suite, Nous ne le
mentionnons ici que pour attirer l'attention du lecteur sur le
fait qu'il se déduit (sémantiquement) immédiatement de la
caractérisation fournie en 11,4,2,6, qui elle ne nous sera plus,
désormais, d'aucune utilité,]

11,4,3,

catégories

Propriétés
des

(a, V i h e s q u i s s a b l e s ,

1 1 , 4 , 3 , 1 , Soit « un ordinal régulier et E
une ( a , V ± ) esquisse.
On dispose de la V*«-qual if ication, relative à Mod(Proj(E))
Cvoir Note 10], d i t e associée à E :
Q u a l ( E ) = £Yon(Proj(E))(q) / q c C K E ) ) .
Clairement, en vertu de 11,4,2,5, on a Cvoir Note 11]:
Mod(E) = S a t ( M o d ( P r o j ( E ) ) , Q u a l ( E ) ) ,
CNote 10, On peut associer à E
une autre qualification, cette
fois relative à E n s 3 u p p < E Ï , à savoir:
Q u a l ' ( E ) = q u a K P r o j ( E ) ) U C Yon(Supp(E ) )(q) / q f C I ( E ) ) .
Clairement, i l s'agit alors d'une VDiscun°*«-qual if ication. ]

RRORRIETES DES CATEGORIES

ESQUISSABLES,

CNote 11, On a également, bien entendu:
Mod(E) = Sat(Ens Scw< ^=^,Quai'(E))
Ce dernier résultat, ou celui de II.4.3.1, est un nouveau pas
vers l'intégration complète de la théorie des catégories
esquissables dans celle des catégories qualifiables.]
II.4.3.2. De II.4.3.1
que Cvoir Note 13];
- si
«
esquisse,

et

1.4.1.1, résulte

est un ordinal
régulier
et si
E
alors le foncteur injection
canonique

est

immédiatement
une

(a,V±)-

Mod(E) 4 Mod(Proj(E))
admet un quasi-adjoint
à gauche,
- si
a
est un ordinal
régulier
et si
E
est
esquisse, alors le foncteur injection
canonique

une ( a , V ± ) -

Mod(E) 4 Ens 3 "^* 1513
admet un quasi-adjoint

à gauche,

(autrement dit, tout foncteur du support de
E
vers
engendre un modèle, ou "faisceau", de E
quasi-libre),
Il en résulte que;
- si
«
est un ordinal
esquisse et si
E
est
évaluation
en E ;

régulier,
un objet

si
de

E
E

est une
, alors
le

Ens

(a,Vi)foncteur

ev(E)e:Mod(E) 4 Ens
admet un quasi-adjoint

à gauche.

En particulier, on a Cvoir Note 12]:
- si
«
est un ordinal
régulier
et si
E
est une ( a , V ± ) esquisse,
alors,
pour tout objet
E de E , il existe un modèle
QL(E) de E , quasi-libre
à un générateur
de sorte
E
(i.
e.
quasi-libre
à un générateur,
relativement
au foncteur
e v ( E ) E ;.

CNote 12, Des considérations en tout point analogues à celles de
la Note 6 (dont nous reprenons les notations) permettent - si
l'on tient à tout prix à faire très "theoretical computer
science" - de re-formuler le dernier résultat très particulier de
11,4,3,2 comme suit:
- pour

tout

objet

E

de

E

, il

existe

un modèle

quasi-initial

de E E ,
Evidemment, Barr ne manque pas de procéder, en (M.D.S.K. ), à une
telle re-formulation, présentée comme originale: les mêmes
remarques que dans la Note 6 s'imposent donc encore.]
11.4.3,3, De
11,4.3.1,
1.4.2.1
immédiatement que Cvoir Note 13];

et

1.4,2,4,

résulte

II.A. R R O R R I E T E S

DES CATEGORIES

ESQUISSABLES,

- si
« est un ordinal régulier et si
E
est une (a,VA)esquisse, alors
Mod(E) possède toutes les limites
inductives
d'indexations
petites
et *-filtrantes
et tous les
produits
(d'indexations
-discrètes - petites);
de plus, ces limites et ces
produits se calculent point par point,
(autrement dit, Mod(E) est fermée dans Mod(Proj ( E ) ) - ou dans
Ens Scw><Is:> - pour le calcul des produits et des limites
inductives d'indexations petites et «-filtrantes),
CNote 13, Les résultats de II.4.3.2 et II.4.3.3 sont autant
d'avantages supplémentaires résultant de l'intégration des
catégories
(«, VA )-esquissables
dans celle des catégories
qualifiables. Ils sont tout aussi méconnus que les précédents par
Barr en (M.D.S.K,>,]
CNote 14, Pour ne pas allonger ce texte (déjà fort long) nous
n'énonçons pas ici de résultat analogue à celui de 11,4,2.7,
puisqu'il ne nous sera pas utile dans la suite,
Signalons cependant qu'on peut assez facilement le faire en le
déduisant d'une caractérisation sémantique intrinsèque des
catégories pour lesquelles il existe un ordinal régulier « tel
qu'elles soient (a, VA)-esquissables,
Nous laissons au lecteur le soin de déduire de (C.M.C.E.) ou
(C.S.C.S.) une telle caractérisation (et l'analogue de 11,4,2,7
qui en résulte),]

des

II.4.4. Propriétés
c a t é g o r ies («,Disc±)-esqu i s s a b l es ,

11.4,4,1, Soit
«
un ordinal régulier et
E
une
(«,Oisct)-esquisse (resp,. une («,Oiscf ini)-esquisse),
On dispose de la
Oisc~«-qualification (resp, de la
Discfin^-qualification), relative à
Mod(Proj(E)) Cvoir Note
15], dite associée à E :
Qual(E) = C Yon(Proj(E))(q) / q c C K E ) ) .
Alors, on vérifie facilement que Cvoir Note 16]:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,

II.A. R R O R R I E T E S

DES CATEGORIES

ESQUISSABLES,

CNote 15. On peut associer à E
une autre qualification, cette
fois relative à Ens S c w * < B E > ^ ^ savoir:
Qual'(E) = quaKProj(E)) U C Yon(Supp(E))(q) / qeCI(E) ) .
Clairement, il s'agit alors d'une
Discret-qualification (resp.
d'une Discf in*\»-qual if ication). ]
CNote 16. Bien évidemment, on a également:
Mod(E) = Sat(Ens s " w < e > ,Qual'(E)) .
Ce résultat, ou celui de 11.4.4,1, est un (avant dernier) pas
supplémentaire vers l'intégration complète de la théorie des
catégories esquissables dans celle des catégories qualifiables,]
11,4,4,2, De 11,4,4,1 et 1.4,1.4, résulte immédiatement que
(théorème de la famille localement libre de faisceaux associée)
Cvoir Note 18];
- si
« est un ordinal
régulier
et si
E
est une (a,Disc±)esquisse,
alors
Mod(E)
est une sous-catégorie
pleine
et
multiréflexive
de Mod(Proj(E)) ,
- si
« est un ordinal
régulier
et si
E
est une («,Oisci)esquisse,
alors
Mod(E)
est une sous-catégorie
pleine
et
multiréflexive
de Enss"F>|:,<E:> ,

(autrement dit, tout foncteur du support de
E
vers
Ens
engendre une famille localement libre de modèles, ou "faisceaux",
de E ).
Il en résulte que;
- si
«
est un ordinal
régulier,
esquisse et si
E
est un objet
évaluation
en E :

si
E
de
E

est une
, alors

(a,Disci)le
foncteur

ev(E)EîMod(E) «4 Ens
admet un multiadjoint

à gauche.

En particulier, on a Cvoir Note 17];
- si
a est un ordinal
régulier
et
esquisse,
alors,
pour tout objet
famille
(LL(E)X)X«X<E>
de modèles
un générateur
de sorte
E
(i.
génrateur,
relativement
au foncteur

si
E
est une (a,Disc±)E
de
E , il existe
une
de E , localement libre à
e.
localement
libre
à un
ev(E)e ) .

CNote 17, Des considérations en tout point analogues à celles de
la Note 6 (dont nous reprenons les notations) permettent - si
l'on tient à faire très "theoretical computer science" - de
re-formuler le dernier résultat très particulier de 11.4.4,2
comme suit:

II.A. R R O R R I E T E S D E S C A T E G O R I E S

- pour tout objet
modèles de E E ,

E

de

E

, il

existe

ESQUISSABLES.

une famille

initiale

de

Bien entendu, Barr ne se prive pas en (M.D.S.K.) d'adopter une
telle re-fondulation, présentée, tout autant que les précédentes,
comme une formulation originale: des remarques analogues à celles
de la Note 6 s'imposent donc encore,]
11.4.4.3, De
II.4.4.1,
1.4.2,2
immédiatement que Cvoir Note 18.];

et

1.4,2.4,

résulte

- si « est un ordinal
régulier
et si
E
est une (a,Disc±)esquisse,
alors
M o d ( E ) possède toutes les limites
projectives
d'indexations
petites
et connexes (non vides)
et toutes
les
limites
inductives
d'indexations
petites
et tx-f iltrantes;
de plus
ces limites
se calculent
point par
point,

(autrement dit, Mod(E) est fermée dans Mod(Proj(E)) - ou dans
£nss^pR<c=:> « pour le calcul de ces limites),
De même, de 11,4.4.2, 11.4,1,2 et 1,2.3.2, résulte que:
- si
« est un ordinal
régulier
et si
E
est une
esquisse,
alors
M o d ( E ) possède toutes les familles
limites
inductives
d'indexations
petites.

11.4.4.4, De 11.4,4,1
que Cvoir Note 18]:

et

1,4,3.2,

résulte

(en,Disc±)localement

immédiatement

- si
E
est une (tù,Disciin±)-esquisse,
alors
M o d ( E ) est une
sous-catégorie
de
Mod(Proj(E)) , ou de
Ens s " P F > < t s > , stable
par ultraproduits
(mais non nécessairement
fermée pour le
calcul
des
ultraproduits).

CNote 18. Les résultats de II.4.4.2, II.4.4.3 et 11,4.4.4 sont
autant d'avantages supplémentaires résultant de l'intégration de
la théorie des catégories («,Oisc)-esquissables dans celle des
catégories qualifiables, Ils sont aussi méconnus que les autres
par Barr en (M.D.S.K,),]
11.4.4.5, Soit
«
un ordinal régulier et
C
une
catégorie,
Rappelons (voir (C.M.C.F.) et (C.S.C.S.)) que (caractérisation
sémantique intrinsèque des catégories
(«,Oise)-esquissables)
Cvoir Note 181;
- la catégorie
C
est
si, elle est à-localisable,
+ C
est localement

(a,Disci)-esquissable si, et
i, e. si, et seulement
si:
petite,

seulement

RRORRIETES DES CATEGORIES

ESQUISSABLES.

+ C
possède toutes les limites
inductives
d'indexations
petites
et
(x-filtrantes,
+ C
possède
toutes
les
familles
localement
limites
inductives
d'indexations
(x-petites,
+ C
possède un ensemble générateur
propre formé
d'objets
a-présentables
de C ,

En effet, si
E
est une («,£>isci)-esquisse, la catégorie
C = Mod(E) vérifie, en vertu de II.4.4.3, les trois premières
conditions. De plus, pour tout objet
E
de
E , l'objet
Yon(Proj(E))(E)
de
Mod(Proj(E))
engendre, en vertu de
11.4,4,2, une famille localement libre
(LL(Yon(Proj(E))(E))x)x*xcE> ( = (LL(E)~)x„x<E> )
d'objets de Mod(E) , On établit alors sans difficulté que
P = C LL(Yon(Proj(E))(E))x / EeOb(E) et xeX(E) ) ,
effectivement formé d'objets «-présentables de
Mod(E) f est
bien générateur propre,
Réciproquement, si C
vérifie les quatre conditions énoncées
et si
r est un ensemble générateur propre formé d'objets ocprésentables, on note C «
la plus petite sous-catégorie de
C
fermée pour le calcul des familles localement limites inductives
(choisies) d'indexations «-petites (représentant chacune une
classe d'isomorphismes entre les indexations «-petites) et
contenant r (on montre facilement qu'elle est pleine, petite,
et équivalente à la sous-catégorie pleine de C
dont les objets
sont tous les «-présentables),
Alors, on note <(C«)OF>> la (a,Oisci)-esquisse telle que:
- son support est la sous-catégorie pleine (évidemment petite) de
Ens^
dont les objets sont tous les foncteurs limites
projectives, d'indexations «-petites, de foncteurs représentés
par des «-présentables,
- ses cônes projectifs distingués sont tous les cônes limites
projectives dans Ens^ , d'indexations a-petites, appartenant à
cette sous-catégorie pleine,
- ses cônes inductifs distingués sont tous les cônes limites
inductives dans
EnsG ,
appartenant à cette sous-catégorie
pleine, d'indexations discrètes dont la taille est majorée par un
majorant des tailles des familles localement limites inductives
de diagrammes de C ,
Dans ces conditions Mod(<(C«) op >) est équivalente à C .
En particulier, si
E
est une («,Disc±)-esquisse, il est
facile de voir que
(H,K)
est une analogie de
E
vers
<(Mod(E)«)°*>> , si:
- H;E -> <(Mod(E«)°^> est la restriction de

II.A,

RRORRIETES

DES CATEGORIES

ESQUIS8ABLE8.

ev(E):E -> Ens Morf<1=> ,
- K est l'homomorphisme identité de <(Mod(E )o.)op> .
CNote 18, C'est en (C.M.C.F.) quetiuitart-Lairont établi, pour
la première fois, que les catégories «-localisables de Diers
(voir (C.A.L.O.)) sont exactement les catégories
(a, Disc ±)esquissables. La caractérisation sémantique intrinsèque, proposée
ici, de ces catégories localisables diffère légèrement de celle
proposée initialement par Diers en (C.A.L.O.): c'est que les
quatre conditions que nous imposons (notamment, l'existence de
seulement quelques limites inductives et de seulement quelques
familles localement limites inductives) en imposent nombre
d'autres (notamment l'exitence de familles localement limites
inductives d'indexations petites quelconques et de limites
projectives
d'indexations
petites
connexes
non vides
quelconques), En tout état de cause,
il n'est
pas très
difficile de vérifier directement (i, e, sémantiquement) que ces
deux caractérisations sont bien équivalentes.
On notera, de nouveau, toute l'importance du rôle joué, dans
cette caractérisation, par les objets «-présentables, notamment
par ceux de la forme LL(Yon(Proj(E))(E))x .
On comparera, enfin, très utilement cette caractérisation à
celle fournie en 11.4,2.6 (voir aussi la Note 8).]
11,4,4,6, On déduit
Note 191:

immédiatement

de 11,4,4,5 que Cvoir

- si
« est un ordinal régulier, si
C
est une catégorie «localisable et si
C
en est une sous-catégorie pleine,
multiréflexive,
pour laquelle le foncteur injection canonique
C
-* C
crée les limites inductives d'indexations petites et «filtrantes,
alors C
est aussi a-localisable.

CNote 19, Le résultat particulier de 11,4,4,6 est élémentaire,
mais il nous sera utile dans la suite. Nous le mentionnons
explicitement pour attirer l'attention du lecteur sur le fait
qu'il
découle
sémantiquement
(et immédiatement)
de la
caractérisation fournie en II.4.4.5 qui, elle, ne nous sera plus,
désormais, d'aucune utilité,]

II.A.

RRORRIETES OES CATEGORIES ESQUISSABLES,

11,4,5,

Catégories
qualifiables
et
catégories esquissables,

1 1 , 4 , 5 , 1 , Soit « un ordinal régulier
Supposons que E
est une ( « , V i O i s c i )-esquisse,
On dispose alors, en toute généralité, de la
VOisc01*qualification, relative à
Mod(Proj(E))
Cvoir Note 20], dite
associée à E :
Qual(E) = C Yon(Proj(E))(q) / q*CI(E) ) .
Clairement:
-si
E
est une ( « , \A)-esquisse, alors (on a déjà vu que)
Q u a l ( E ) est une V/^oc-qual if ication,
-si
E
est une («,Oisc±)-esquisse, alors (on a déjà vu que)
Q u a l ( E ) est une D i s c ^ - q u a l i f ication,
-si
E
est une ( « , O i s c f i n i ) - e s q u i s s e , alors (on a déjà vu
que) Q u a l ( E ) est une O i s c f in Œ «-qual i f ication,
-si
E
est une (oc, C i se un ± )-esqui sse, alors Qual(E)
est
une Discun^oc-qual i f ication,
-si
E
est une ( « , V t O i s c f ini)-esquisse, alors Qual(E) est
une V O i s c f in^oc-qual i f ication,
-si
E
est une (oc, V± Oiscun ± )-esqui sse, alors Q u a l ( E ) est
une VOiscun^oc-qual i f i cation.
Dans tous les cas, i l est c l a i r que Cvoir Note 21]:
Mod(E) = S a t ( M o d ( P r o j ( E ) ) , Q u a l ( E ) ) .
Autrement d i t Cvoir Note 211:
- les
catégories
(a, V±Disc±)-esquissables
sont des souscatégories VDisc^ot-qualifiables
des catégories localement a présentables (i, e. (x-projectivement
esquissables),
CNote 20, On peut associer à E
une autre qualification, cette
s pf><IE:>
fois relative à Ens "
, à savoir:
Q u a l ' ( E ) = q u a K P r o j ( E ) ) U £ Yon(Supp(E))(q) / q c C K E ) ) .
Clairement, on a alors:
-si
E
est une ( « , V A ) - e s q u i sse, alors (on a déjà vu que)
Q u a l ' ( E ) est une V O i s c u n ^ - q u a l if ication,
-si
E
est une (oc, D i s c i )-esqui sse, alors (on a déjà vu que)
Q u a l ' ( E ) est une D i s c «"«-quai i f ication,
- si
E
est une ( « , D i s c f in± )-esquisse, alors (on a déjà vu
que) Q u a l ' ( E ) est une D i s c f in^oc-qualification,
-si
E
est une («,Discun±)-esquisse, alors Q u a l ' ( E )
est
une Discun*\x-qual if ication,

II.A.

RRORRIETES DES CATEGORIES

E8QUIS8ABLE8,

- si E
est une (a, SADiscf im )-esquisse, alors Qual'(E)
est une V/Discf in*"«-qual if ication,
-si
E
est une
(a, V i D i s c u m )-esquisse, alors
Qual'(E)
est une V/Discun^-qual if ication, ]
CNote 21, Bien entendu, on a aussi:
Mod(E) = Sat(Ens SwF><l ^ > ,Qual'(E)) .
Autrement dit, on a encore:
- les catégories
(a, VA Disc * ) -esqui ssables sont des souscatégories VDisc^oc-gL/aiifiables des catégories de foncteurs.
Ce dernier résultat, ou celui de II.4.5.1, constitue la
dernière étape qui permet d'aboutir à l'intégration complète des
catégories esquissables - par une esquisse (presque) quelconque dans celle des catégories qualifiables,]
11,4,5.2. Soit « un ordinal régulier et C
une catégorie
localement «-présentable.
Si P est une VDisc^-qual if ication relative à C , on
dispose de la («, ViDisc±)-esquisse Esq(P) , dite associée à
P et telle que;
- Proj(Esq(P)) = / ( C J ^ / ,
- CKEsq(P)) = POF> (est l'ensemble des cônes inductifs duaux des
cônes projectifs appartenant à P ) ,
I l est facile de vérifier que:
- si P
est une
V/^-qual if ication, alors
Esq(P)
est une
(«,Vi)-esquisse,
- si
P est une Disc^-qual if ication, alors Esq(P) est une
(«, D i se i)-esqui sse,
- si
P est une
Discf in^oc-qual if ication, alors
Esq(P)
est
une («,Disfini)-esquisse,
- si P est une Discun^-qualif ication, alors Esq(P) est une
(«,Discuni)-esquisse,
- si
P est une V D i s c f in^-qual if ication, alors Esq(P) est
une («, V i D i s c f ini)-esquisse,
- si
P est une VDiscun^o-qual if ication, alors
Esq(P)
est
une («, V i Discuni )-esquisse,
De plus, dans tous les cas, on a Cvoir Note 22];
Sat(C,P) * ModŒsq(P)) .
Autrement d i t , on a Cvoir note 22]:
- les
sous-catégories K/Disc~<*-qualifiables
des catégories
localement (x-présentables sont des catégories ( a , V ± D i s c i ) esquissables.

II.A.

RRORRIETES

11.4,5,3, Soit
«
(«, ViDisci)-esquisse et
relative à Mod(Proj(E)) .
On a Cvoir Note 22]:

- si

DES CATEGORIES

un
P

ESQUISSABLES,

ordinal régulier, E
une
une
VDisc^-qualif ication

Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),P) , alors

E

est analogue à

Esq(P) ,
En effet le couple (H,K) définit une analogie de E
vers
Esq(P) , si
//(Mod(Proj(E)«)°*V/
désigne la plus petite
structure d'esquisse (de support (Mod(Proj(E))«)op telle que;
- le foncteur
Supp(E) -* (Mod(Proj(E))«)op , restriction de
Yon(Proj(E)) , définit un homomorphisme
H:E -> //(Mod(Proj(E>«>°*7/ ,
- le foncteur identité de
(Mod(Proj(E))«)op , définit un
homomorphisme
KîEsq(P) -* //(Mod(Proj(E))«)°«V/
CNote 22, Les résultats de 11,4,5,2, réciproques de ceux de
11,4,5,1, permettent d'intégrer complètement non la théorie des
catégories qualifiables (quelconques) mais seulement celle des
sous-catégories
qualifiables
des
catégories
localement
présentables dans la théorie des catégories esquissables.
Dans ce qui suit, nous n'utiliserons que peu ce résultat ainsi
que celui, qui en découle, de 11.4,5,3. C'est dire que nombre des
propriétés que nous étudions dans la suite, parce que Barr
prétend les "étudier'' en (M.D.S.K. ), ne relèvent exclusivement
que de la théorie générale des sous-catégories qualifiables d'une
catégorie (à peu près) quelconque et non, en propre, des
catégories esquissables: ceci, comme beaucoup d'autres choses,
est totalement ignoré de Barr.]
II.4.5.4. Soit « un ordinal régulier et C
une catégorie
localement «-présentable.
Si P est une
DiscunŒo«-qual if ication relative à C , on
note
esq(P) l'esquisse «-projective définie comme suit Cvoir
Note 23]:
- son support est (C«) O F > ,
- le foncteur identité de (C«) 0 , a définit un homomorphisme de
/(C«) op 7 vers esq(P) ,
- pour tout cône projectif
p = (pi:CP -* Cp.i) (associé à une
flèche
pi
de
C ) appartenant à
P , le cône
projectif
(piiC^.i -• Cç>) de ( C a ) ^ est distingué,
Dans ces conditions, il est clair que:
Mod(esq(P)) * Sat(C,P) .

RRORRIETES DES CATEGORIES

ESQUISSABLES,

Autrement dit Cvoir Note 23]:
- les
sous-catégories
Discun~<*-qualifiables
des
catégories
localement
(x-présentables
sont des catégories
(x-projectivement
esquissables
(et donc encore localement
a-prêsentables),

CNote 23, La construction particulière (i. e. différente de celle
- systématique - de 11.4,5.2) de l'esquisse
esq(P)
est à
rapprocher de la construction particulière (i. e, différente de
celle - systématique - de II .4.5.1) de la qualification qual(E)
fournie en 11.4,2.1: on pourra, à ce sujet, se reporter à
11,3.4,4, Note 6. En tout état de cause, on peut dire qu'elles
sont réciproques l'une de l'autre puisque, grâce aux résultats
(réciproques l'un de l'autre) de II.4.2.1 et 11.4.5,4 , on peut
énoncer :
- les sous-catégories
O i s c u n - - - q u a i i fiables
des catégories
de
foncteurs
(ou des catégories
localement
<x-présentables)
sont
exactement
les catégories
localement
<x-présentables.l

SECTION

D I X

EIXEiRCICES

I I I

D ' A P P L I C A T I O N

E L E M E N T A I R E S

III.1.

CINQ

E X E R C I C E S ELEMENTAIRES
SUR LES
CATEGORIES Q U A L I F I A B L E S ,

On suppose, dans tout ce n * I I I , l , que C
est une catégorie
localement p e t i t e possédant toutes les limites
inductives
d'indexations petites,

III, 1.1.

Premier

exercice,

I I I . 1 . 1 . 1 . Enoncé Cvoir Note 1 ] ,
On suppose que « est un ordinal régulier, Pv est une V a quai if ication r e l a t i v e à
C
et
PD
est une
Disc~qualification r e l a t i v e à
C , On pose
P = Pv U Po
et
C
= Sat(C,P) .
Montrer que;
(a) P est une
VDiscun^-qual i f ication s i , et seulement
s i , le sommet et tout pied de tout
p€PD
engendre un objet
quasi-libre de C
,
(b) C
est
V D i s c u n ^ - q u a l i f i a b l e s i , et seulement s i , P
est une VDiscun^-qualif ication.
III.1.1.2, Solution Cvoir Note 1].
(a) Si
P
est une' VDiscun^-qual if ication, évidemment
C
est VDiscun~-qualifiable et l'on sait qu'alors, en vertu
de 1.4.1.3 , tout objet de C
engendre un objet quasi-libre de
C
, A fortiori, il en est ainsi pour les seuls objets de
C
qui sont sommets ou pieds des éléments p de Po .
Inversement, montrons que, si le sommet et tout pied de tout
pePo
engendre un objet quasi-libre de C
, alors les cônes
projectifs de Po sont d'indexations isomorphes à 1

XII.1. CINQ EX. ELEM. SUR L E S CAT.

QUALIFIABLES,

Supposons tout d'abord que p a ( :C «• ) .«==» est un élément de
Po .
Par hypothèse, le sommet C de p engendre un objet quasi-libre
QL(C) de C
, présenté par une certaine flèche e:C -» QL(C)
de C .
Par hypothèse, tout objet C
de C
est tel que C <ll p ,
et par conséquent vérifie Hom<3:(C,C') = 0 .
En particulier, on a QL(C) <ll p et donc:
- e€Homc(C,QL(C)) ,
- Homc(C,QL(C)) = 0 ,
d'où une contradiction,
Supposons, maintenant, que f = (fx.'C -+ CX)K«E est une famille
projective de flèches de C
telle que:
- p = côneproj(f) € Po ,
- E a au moins deux éléments distincts,
(on pourra se reporter au diagramme commutâtif ci-dessous),
Par hypothèse, le sommet C de p engendre un objet quasi-libre
QLCC) de C
, présenté par une certaine flèche e:C -» QL(C)
de C ,
Par hypothèse, QLCC) <ll p
et, par conséquent, il existe un
unique
xeE
et une unique
e'xjCx 4 QL(C)
tels que
e'x.fx = e ,
Soit, alors, x' * x un autre élément de E ,
Par hypothèse, le pied
Cx'
de
p
engendre aussi un objet
quasi-libre QL(Cx-) de C
, présenté par une certaine flèche
ex-:Cx- 4 QL(Cx-) de C ,
Comme QL(C) est un objet quasi-libre de C
engendré par C ,
il existe au moins une flèche c':QL(C) •* QL(Cx) de C
telle
que c'.e = ex-.fx- ,
On en déduit que:
- ex*,fx- factorise par ,,, fx' ,
- ex'.fx- = c'.e = c',(e'x,fx) = (c'.e'x).fx
factorise tout
autant par fx ,
Mais, tout objet
C
de
C
est, par hypothèse, tel que
C (Il p, En particulier
QL(Cx-) <ll p . Par conséquent, la
flèche
ex'.fx'
doit factoriser d'une seule manière par une
seule des projections de la famille projective
f , d'où une
contradiction.

C I N Q EX.

ELEM.

SUR

LES CAT.

QUALIFIABLES.

QL(C) <_

e'
C

QL(Cx')<P-

(b) Clairement, si
P
est une
VDiscun^-qual if ication,
est évidemment VDiscun~-qualif iable,
Inversement, si C
est VDiscun~-quali fiable, on sait,
en vertu de 1,4,1,3, que tout objet de C
engendre un objet
quasi-libre de C
, En particulier, il en est ainsi du sommet
et de tout pied de tout p£PD , Par conséquent, en vertu de (a),
Po est une DiscunŒ-qual if ication et P est une VDiscun*qualification,
C

CNote 1, En
général,
pour
établir
qu'une
sous-catégorie
C
= Sat(C,P) de la catégorie C , qualifiée par une certaine
P , est aussi VDiscun~-qualifiable, on imagine qu'il convient
de rechercher (par exemple en modifiant
P ) une qualification
P' (autre que P ) telle que:

- C

= Sat(C,P') ,

- P' est une VDiscun^-qualif ication,
Au contraire, dans le cas particulier considéré en 111,1,1,1,
l'assertion (b) stipule très précisément qu'il n'y a pas lieu de
modifier la qualification
P
pour établir que
C
est
VDiscun°*-qual i f iable, ]

111.1,2.

Deuxième

exercice.

II1.1.2,1. Enoncé Cvoir Note 2],
On suppose que « est un ordinal régulier, Pv est une Vaquai if ication relative à
C
et
PD
est une
Discun04-

I I I . 1. CI Ne» E X . E L E M . S U R L E S C A T . Q U A L I F I A B L E S .

qualification relative à
C . On pose
P = Pv U Po
et
C
= Sat(C,P) .
Montrer que C
est DiscunŒ-qualifiable si, et seulement si,
tout sommet de tout p*Pv engendre un objet libre de C
.
III.1,2,2, Solution Cvoir Note 2],
En vertu de 1,4,1,2, on sait que, si C
est Discun01qualifiable, alors tout objet de C
engendre un objet libre de
C
, A fortiori, il en est ainsi pour les seuls objets de
C
qui sont sommets des éléments p de Pv ,
Inversement, supposons que le sommet de tout pePv engendre
un objet libre de C
.
Par hypothèse, chaque cône projectif
pePv
est de la forme
indiquée en 1,3,4,3, i, e, est entièrement déterminé par une
flèche e P ;C P -> CP.o de C
(de sorte que, pour tout objet C
de C , on a C <II p
o
C <I e» ) a
Par hypothèse, pour tout pePv , l'objet C*, de C
(qui est
sommet de p ) engendre un objet libre L(CP) de C
, présenté
par une certaine flèche e'P!CP •> L(CP) de C
(on se référera
au diagramme commutâtif ci-dessous).
Par hypohèse, tout objet C
de C
est tel que, pour tout
pePv , on a
C <ll p
ou encore
C <l e P . En particulier,
pour tout pePv , on a L(CP) <l e P et il existe donc au moins
une flèche e'^jC^o -* L(C^) telle que e M P l e P = e'p> ,
Dans ces conditions, associons à P la Discun~-qualification
relative à C :
Discun(P) = P D U C(e'p>:CP 4 L(CP) / pePv ) ,
et montrons que C
= Sat(C,P) = Sat(C,Discun(P)) ,
Si
C <ll P , alors
C
est objet de
C
et l'on a
C <ll Po , d'une part, et, pour tout
pcP , on a aussi
C <ll e'P , puisque e'P présente L(CP) comme objet libre de
C
,
engendré
par
C P , Il
en
résulte
que
Sat(C,P) c Sat(C,Discun(P)) .
Si C <II Discun(P) , si pePv et si c:CP 4 C est une flèche
de C , on a C O I e'p et il existe donc une unique flèche
c':L(CP) -> C telle que c'.e'P = c .
On en déduit que:
(c'.e'pJ.ep = c'.te'p.ep) = c'.e'P = c ,
i. e. que c factorise par e Pl
Autrement dit, si C <II Discun(P) , on a C <ll Po f d'une part,
et C <l e P ou encore C <ll p , pour tout pcP , d'autre part,
On en déduit que Sat(C ,Discun(P) ) c Sat(C,P) ,

III.1. CINQ EX. ELEM.

SUR

LES CAT.

QUALIFIABLES.

L(C„) <-

eP
•+P , O

CNote 2. Il convient de remarquer que la preuve de
III.1,2.1 résulte immédiatement de 1,2.5,1.]

111,1,3.

Troisième

l'énoncé

exercice.

III.1,3.1, Enoncé Cvoir Note 3].
On suppose que « est un ordinal régulier, Pv est une Ve"qualif ication relative à
C
et
PD
est une
Disc**qual if ication relative à
C . On pose
P = Pv U Po
et
C
= Sat(C,P) .
Montrer que C
est Disc^-qual if iable si, et seulement si,
le sommet de tout pePv engendre une famille localement libre
d'objets de C
.
III,1,3,2, Solution Cvoir Note 3].
En vertu de 1,4,1,4, on sait que, si
C
est
Disc01qualifiable, alors tout objet de
C
engendre une famille
localement libre d'objets de C
. A fortiori, il en est ainsi
pour les seuls objets de C
qui sont sommets des éléments p
de Pv .
Inversement, supposons que le sommet de tout élément de Pv
engendre une famille localement libre d'objets de C .
Par hypothèse, chaque cône projectif
pePv
est de la forme
indiquée en 1,3.4,3, i, e. est entièrement déterminé par une
flèche e^iCp -• CP,o de C
(de sorte que, pour tout objet C
de C , on a C < I I p
*
C < I e*> ).

CINQ EX. ELEM. SUR LES CAT.

QUALIFIABLES.

Par hypothèse, pour tout pePv , l'objet C*, de C
(qui est
sommet
de
p ) engendre une
famille localement
libre
(LL(CO)X)X«E<P>
d'objets de C
, présentée par une certaine
famille projective de flèches:
f(p) = (f(p)x;CP -> LL(Cp)x)x.ECp>
(on se référera au diagramme commutatif ci-dessous),
Par hypohèse, tout objet C
de C
est tel que, pour tout
pePv , on a
C <ll p
ou encore
C <l e P , En particulier,
pour tout pePv et tout xeE(p) , on a LL(CP)x <l e P et il
existe donc au moins une flèche e'p,x;CP,o -> LL(Cp)x telle que
e'P,x,eP = f(p)x ,
Dans ces conditions, associons à P la Disc*-qualification
relative à C :
Disc(P) - C cÔneproj(f(p)) / p*P } U Po ,
et montrons que C
• Sat(C,P) = Sat(C,Disc(P)) ,
Si
C <ll P , alors
C
est objet de
C
et, par
conséquent, pour tout pePv , on a C <ll f(p) , puisque f(p)
présente
(LL(CP>)X)X«E<P>
comme famille localement libre
d'objets de C
, engendré par Cp> , Comme, de plus, C <ll Po ,
il en résulte que Sat(C,P) c Sat(C,Disc(P))) .
Si C <I I Disc(P) , si pePv et si c:CP •* C est une flèche
de C , on a C <11 f(p) et il existe donc un unique xeE(p)
et une unique flèche c'x:LL(CP)x -• C tels que c'x.f(p)x = c ,
On en déduit que;
(c'x.e'p.xl.ep = c'x,(e'p,x,eP) = c'x,f(p)x = c ,
i, e. que c factorise par e P .
Autrement dit, si C <1 ! Disc(P) on a C <ll Po , d'une part,
et C < I e P ou encore C < 11 p , pour tout peP d'autre part.
On en déduit que Sat(C,Disc(P)) c Sat(C,P) .

+ 13 ,

O

CNote 3, Il convient de remarquer que la preuve de
III.1.3.1 résulte immédiatement de 1.2.5.1.]

l'énoncé

XII.l.

CINQ EX. ELEM. SUR L E S CAT.

I I I . 1.4.

Quatrième

QUALIFIABLES.

exercice.

111.1.4.1, Enoncé Cvoir Note 4],
On suppose que
«
est un ordinal régulier et
P
est une
Disc^-qualification relative à C . On pose C
= Sat(C,P) .
Montrer que:
(a) P est une Discun^-qual if ication si, et seulement si,
le sommet et tout pied de tout peP engendre un objet libre

de C ,
(b) C
est Discun~-qual if iable si, et seulement si,
est une Discun^-qualification.

P

111.1.4.2. Solution Cvoir Note 4].
(a) Si P est une Discun~-qualification, évidemment
C
est
Discun°*-qual if iable et l'on sait qu'alors, en vertu de
1,4.1,2, tout objet de C
engendre un objet libre de C
,A
fortiori, il en est ainsi pour les seuls objets de C
qui sont
sommets ou pieds des éléments p de P ,
Inversement, montrons que, si le sommet et tout pied de tout
pcP engendre un objet libre de C
, alors les cônes projectifs
de P sont d'indexations isomorphes à 1 (la preuve est tout à
fait analogue à celle du premier exercice: nous la reproduisons,
avec les quelques - rares - modifications qui s'imposent),
Supposons tout d'abord que p = ( :C -* ) «ca € P ,
Par hypothèse, le sommet C de p engendre un objet libre L(C)
de C
, présenté par une certaine flèche e:C 4 L(C) de C ,
Par hypothèse, tout objet C
de C
est tel que C <ll p ,
et par conséquent vérifie Homc=(C,C) = 0 ,
En particulier, on a L(C) <ll p et donc:
- eeHomc(C,L(C)) ,
- Homc(C,L(C)) = 0 ,
d'où une contradiction.
Supposons, maintenant, que f = (fxîC -4 CX)X.E est une famille
projective de flèches de C
telle que:
- p = côneproj(f) E P ,
- E a au moins deux éléments distincts,
(on pourra se reporter au diagramme commutatif ci-dessous).
Par hypothèse, le sommet C de p engendre un objet libre L(C)
de C
, présenté par une certaine flèche e:C -> L(C) de C ,
Par hypothèse, L(C) <ll p , par conséquent il existe un unique
xfE et une unique e'~:C* -> L(C) tels que e'x.fx = e ,
Soit, alors, x1 t x un autre élément de E ,

III.1.

CINQ EX. ELEM.

SUR LES CAT.

QUALIFIABLES.

Par hypothèse, le pied Cx- de p engendre aussi un objet libre
L(CxO
de
C
, présenté
par une certaine flèche
ex» :C*- -4 L(Cx- )

de

C

.

Comme L(C) est un objet libre de C
engendré par
existe une et une seule flèche c':L(C) -* L(Cx- ) de C
que

C , il
telle

c',e = ex-.fx- ,

On en déduit que:
- ex-.fx' factorise par fx' ,
- ex-.fx- = c'.e = c',(e'x,fx) = (c'.e'x).fx
factorise tout
autant par fx ,
Mais, tout objet
C
de
C
est, par hypothèse, tel que
C <ll p. En particulier
L(Cx-) <ll p . Par conséquent, la
flèche
ex-.fx'
doit factoriser d'une seule manière par une
seule des projections de la famille projective
f , d'où une
contradiction,

L(C)

c'

L(C> >«-

(b) Clairement, si P est une Discun^-qual if ication, C
est évidemment Discun^-qualifiable,
Inversement, si
C
est Discun^-qual if iable, on sait, en
vertu de 1.4.1.2, que tout objet de C
engendre un objet libre
de C
. En particulier, il en est ainsi du sommet et de tout
pied de tout peP , Par conséquent, en vertu de (a), P est une
Discun~-qualification.
CNote 4, En
général,
pour
établir
qu'une
sous-catégorie
C
= Sat(C,P) de la catégorie C , qualifiée par une certaine
P , est aussi Discun^-qualifiable, on imagine qu'il convient de
rechercher (par exemple en modifiant P ) une qualification P' ,
autre que P , telle que:

I I X . l . C I N Q EX. E L E M . S U R L E S C A T .

- C

QUALIFIABLES.

= Sat(C,P') ,

- P' est une DiscunŒ-qualification.
Au contraire, dans le cas particulier considéré en III.1.3.1,
l'assertion (b) stipule très précisément qu'il n'y a pas lieu de
modifier la qualification
P
pour établir que
C
est
Discun^-qualifiable,]

III,1,5,

Cinquième

exercice

111.1.5.1. Enoncé Cvoir Note 5].
On suppose que C
est une catégorie à produits, Pv est une
V"\u-qual if ication relative à C
et
Po est une Disc^u,qualification relative à
C . On pose
P = Pv U Po
et
C
= Sat(C,P) .
Montrer que
C
est
VDiscf in-V-qual if iable si, et
seulement si, elle est stable par ultraproduits,
111.1.5.2. Solution Cvoir Note 5].
En vertu de 1.4.2.3, on sait que, si
C
est
VDiscf in"«-qualif iable,
alors
elle
est
stable
par
ultraproduits.
Inversement, montrons que si
C
est stable par
ultraproduits, alors elle est VDiscf in~w-qualif iable.
Tout
pePD
est entièrement déterminé par une famille
projective de flèches f(p) = (f(p)x'.Cp -* C P , X ) X . E < P ) (de sorte
que p = coneproj(f(p)) ),
Pour tout pcPo , posons:
- E'(p) = CxcE(p)/pour tout C'€Ob(C) on a Hom<=x(C*>.x,C ) = 0) ,
- f'(p)

= (f(p)xîCp> -• C P # x ) x c E < P > \ E ' < p ) ,

- F'(p) = C ( :CV.x -*)***/
xcE'(p) ) .
Dans ces conditions, on associe à Po la Disc"«-qualification:
P'o = U P - R (£coneproj(f '(p)>) U F'(p))
D

et on associe à

P

la VDisc"u.-qual if ication
VDiscfin(P) = Pv U P'o .
Alors, il est facile de vérifier que C
= Sat(C,VDiscfin(P))
et il suffit d'établir que
P'o
est une
Discfin"*-qualification (i. e. que, pour tout
P^Po, EM(p) =E(p)\E'(p)
est fini),

CINQ EX. ELEM. SUR L E S CAT.

QUALIFIABLES.

Supposons donc qu'il existe pcPo tel que E"(p) ne soit pas
fini (on pourra se reporter au diagramme ci-dessous).
Alors, pour chaque X€E"(p) , il existe au moins un objet (que
l'on choisit) C x
de C
pour lequel il existe au moins une
flèche (que l'on choisit) Cx;CPfx -> C x de C .
Choisissons, de plus, un ultrafiltre non trivial (ou non
principal) U sur E"(p) et notons successivement;
- pour tout FeU , C'F = ÏÏX.F C X
et ( P F.X:C'F ^ C X ) X - F la
famille des projections du produit considéré,
- pour tous
F' c F , appartenant à
U , C F . F - : C F -> CVl'unique flèche telle que:
pour tout xcF' , on a PF-.X.CF.F- = PF.X ,
- C*_jr = Ultraprodx«F,r«_# C x

,

- (SF:C'F -• C « _ # ) F « ^ la famille des coprojections de la limite
inductive C « ^ = limindF«Fii<u> C'F considérée,
- pour tout FeU , C F Î C P -• C'F l'unique flèche telle que;
pour tout xcF , on a PF.X.CF = Cx.f(p)x ,
• c : C p 4 C ' u la flèche telle que:
pour tout FeU , on a SF.CF = c ,
Par hypothèse
C«^r
est un objet de C
. Par conséquent
C ^ <|| f(p) et il existe un unique xeE"(p) et une unique
flèche c'x.'C^.x -» Ct^P tels que c'x,f(p)x = c ,
Comme CP,x est un objet w-présentable de C , il existe aussi
au moins un FeU et au moins une flèche C"X.F:C P ,X -* C'F tels
que

S F . C " X , F = c'x .

On en déduit deux factorisations de c par SF , puisque:
SF.(Cl'x,Flf(p)x) = (SF.C#'x.F),f(p)x = C'x,f(p)x = C

et
SF.CF

= C .

Mais
C,*
est aussi un objet «-présentable de
C , par
conséquent il existe (puisque Fil(U)
est ,,. filtrante Cvoir
1.4.3.1,
Note
7])
un
F c F'eU
tel
que
CF.F',CF = CF.F-.(c"x.F.f(p)x) .

Comme U est un ultrafiltre non trivial, on peut affirmer que
F' possède au moins un élément x' * x , D'où l'on déduit que
PF- ,X' ,CF' :C^ -4 C x '
admet deux factorisations par deux
projections distinctes
de la famille projective f(p) , puisque:
P F ' . X ' . C F ' = Cx'.f(p)x'
= PF'.X*.(CF#F',CF)
= PF-,X-.(CF.F-,C"x.F.f(p)x)
= (PF*.x'.CF.F'.C*x.F>,f(p)x ,

Mais ceci est en contradiction avec l'hypothèse que
objet de C ' , i. e. que Cx- <ll f(p) ,

Cx-

est

III.1.

CINQ EX. ELEM.

SUR LES CAT.

QUALIFIABLES.

PF * , x

[Note 5. Bien évidemment, la méthode utilisée en III.1.5.2, pour
prouver l'assertion de III.1.5.1 ne prétend pas être spécialement
originale: elle relève plutôt d'un classicisme de bon aloi
concernant tout raisonnement portant sur des ultrafiltres!
De même, l'énoncé de III.1.5.1 (présenté en termes de
qualification, donc de satisfaction) résulte facilement (compte
tenu de 1.3) de (C.I.S.B.) par exemple (où les résultats sont
présentés en termes d'axiomatisation, donc de validation).]

III.2. CINQ EXERCICES ELEMENTAIRES
SUR LES
CATEGORIES ESQUISSABLES.

III.2,1, Premier

exercice.

111.2.1.1. Enoncé Cvoir Notes 1 et 2],
On suppose que oc est un ordinal régulier et que E
est une
(a, ViDisci )-esquisse.
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:
(a) il existe un ordinal régulier J3*oc et une analogie de
E
vers une (B, Vi )-esquisse,
(b) pour tout objet
E de
E , il existe un modèle de
E , quasi-libre à un générateur de sorte E ,
(c) pour tout objet E de E
qui est sommet ou pied d'un
cône inductif, d'indexation discrète, distingué dans
E , il
existe un modèle de E , quasi-libre à un générateur de sorte
E .
Montrer, de plus, que l'une des trois conditions précédentes
est vérifiée si, et seulement si:
(d) E
est semblable à une (oc, Vi)-esquisse,
111.2.1.2. Solution Cvoir Notes 1 et 2].
Montrons que (a) implique (b).
Si E
est analogue à une certaine (B, V)-esquisse E * , on
a, en vertu de 11.3.4,2 et 11.4,3.1;
Mod(E) * Mod(E*) ~ Sat(Mod(Proj(E"),Qual(E") ) ,
où Q u a H E " ) est, par hypohèse, une V*-qual if ication.
Ainsi, si
E est un quelconque objet de E , il est aussi
objet de E * et l'objet Yon(Proj(E") )(E) de Mod(Proj(E*) )
est, d'après II.4.2.S, un modèle de
Proj(E*)
libre à un
générateur de sorte
E . De plus, il engendre, en vertu de
1.4.1.1, un objet quasi-libre de
Mod(E*) =: Mod(E) . Par

XI!.2.

CINQ EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

transitivité (voir 1,2.3.1), ce dernier est donc un modèle de
E , quasi-libre à un générateur de sorte E ,
Il est clair que (b) implique (c)
Montrons, maintenant, que (c) implique (d),
On sait, en vertu de 11,4,5.1, que:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,
où, par hypothèse, Qual(E) est une VOisc^-qualification.
Si M est un objet de Mod(Proj(E)) qui est sommet (resp.
pied) d'un
cône projectif, d'indexation discrète, psQuaHE) ,
alors il existe un objet E de E
et un cône inductif
i,
d'indexation discrète, distingué dans
E , dont
E
est le
sommet (resp. un pied), tels que
Yon(Proj(E))(i) = p
et
Yon(Proj(E))(E) = M .
Par conséquent, d'après 11.4,2.5, M est un modèle de Proj(E) ,
libre à un générateur de sorte E ,
Par hypothèse, il existe aussi un modèle de E , quasi-libre à
un générateur de sorte E : c'est donc, par transitivité (voir
1,2,3,1) un objet quasi-libre de Mod(E) , engendré par M ,
On en déduit que le sommet et tout pied de tout cône projectif
discret peQual(E) engendre un objet quasi-libre de Mod(E) ,
De 111,1,1,1, il résulte que
Qual(E) est une
VOiscun*qual if ication et donc, en vertu de 11,4,5,1, que E
est une
(oc, ViDiscuni )-esquisse,
D'après
11,3,4,4, elle est donc
semblable à une (a, V i )-esquisse,
Pour finir, il est clair que (d) implique (a),
CNote 1. Cet exercice
111,2,1
n'est qu'une interprétation
particulière automatique de l'exercice général III. 1,1, dans le
cas particulier où la "catégorie de base" C
est une catégorie
projectivement esquissable (ou encore localement présentable),
En effet, compte tenu des propriétés particulières d'une
catégorie localement présentable, rappelées en 11,4,2.5, il a
suffit de traduire les considérations générales de III.1.1 au
moyen systématique de 11,4,5 (dont 11.3,4,4 et 11,4.3.1 ne sont
que des aspects particuliers).]
CNote 2. Les assertions de III.2.1 précisent notablement (et
généralisent au cas non f initaire - mais là n'est pas
l'essentiel) le théorème 2 (plus exactement l'équivalence des
points (i) et (v) - les autres nous semblant tout à fait
secondaires) énoncé par Barr en (M.D.S.K,).
Bien entendu, l'objectif de Barr était d'énoncer un critère
assez simple permettant de savoir quand, un type de structure

II1.2.

CIMO

EX.

ELEM.

SUR

LES CAT.

ESQUISSABLES.

étant esquissable à l'aide d'une (presque) quelconque esquisse,
on pouvait
l'esquisser
à
l'aido d'une esquisse seulement
régulière. D'après son théorème 2, il en est ainsi si, et
seulement si, la catégorie de ces structures possède un modèle
quasi-libre à un générateur de toute sorte.
Cet énoncé (et sa preuve) laisse(nt) donc supposer qu'avant de
savoir s'il est possible de modifier l'esquisse de départ en une
esquisse seulement régulière, il convient de procéder à une étude
exhaustive de la catégorie des modèles pour y détecter ceux qui y
sont quasi-libres. Et que, ce n'est qu'une fois ceci fait qu'on
peut savoir
comment modifier
(d'ailleurs assez simplement)
l'esquisse de départ.
L'énoncé 111,2,1,1 et la solution 111,2.1.2 sont beaucoup plus
explicites: ils vident de toute consistance
réelle ce théorème 2!
En effet, on peut modifier l'esquisse de départ en une esquisse
régulière si, et seulement
si, les seuls cônes inductifs
d'indexations discrètes qui y sont distingués sont d'indexations
isomorphes à
1
(auquel cas, les uniques co-projections de
chacun de ces cônes peuvent être immédiatement transformées en
des iso ou en des projections de cônes projectifs d'indexations
isomorphes à 1
distingués - voir la II.3.4.4, Note 6 ) .
Autrement dit, il est totalement inutile de procéder d'abord à
une étude exhaustive de la catégorie des modèles (mais ceci ne
l'empêche
évidemment
pas d'avoir
des objets quasi-libres):
l'esquisse initiale est modifiable en une esquisse régulière si,
et seulement si, pratiquement et dès l'origine elle "est" déjà
régulière ce qui, alors, crève les yeux!
Si telle n'a pas été la constatation de Barr c'est simplement
parce que
les considérations du début de sa preuve de
l'implication
(iv) => (i) et
de
la fin de sa preuve de
l'implication (ii) * (v) sont erronnées.]

111,2,2,

Deuxième

exercice,

111,2,2.1. Enoncé Cvoir Notes 3 et 43,
On suppose que oc est un ordinal régulier et que E
est une
(a, V i )-esquisse.
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:

II1.2.

CINQ EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

(a) il existe un ordinal régulier JB)oc et une analogie de
E
vers une esquisse JB-projective,
(b) pour tout objet
E
de
E , il existe un modèle de
E , libre à un générateur de sorte E ,
(c) pour tout objet E de E
qui est sommet d'un cône
inductif distingué de E , il existe un modèle de E , libre à
un générateur de sorte E .
Montrer, de plus, que l'une des trois conditions précédentes
est vérifiée si, et seulement si:
(d) l'esquisse
E
est analogue à une esquisse ocprojective.
III.2.2,2. Solution Cvoir Notes 3 et 4].
Montrons que (a) implique (b).
Si
E
est analogue à une certaine esquisse B-projective
E * , on a Mod(E) * Mod(E*) .
Par conséquent, si E est un quelconque objet de E , il est
objet
de
E*
et,
en vertu de
11,4,2,5,
l'objet
Yon(Proj(E*))(E)
de
Mod(E*) * Mod(E)
est libre à un
générateur de sorte E .
Il est clair que (b) implique (c),
Montrons, maintenant, que (c) implique (a),
On sait, en vertu de 11,4,3,1, que:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,
où, par hyptohèse, Qual(E) est une V^-qual if ication,
Si M est un objet de Mod(Proj(E)) qui est sommet d'un cône
projectif ptQual(E) , alors il existe un objet E de E
et
un cône inductif distingué i de E , dont E est le sommet,
tels que Yon(Proj(E) )(i) = p et Yon(Proj ( E ) )(E) = M ,
Par conséquent, d'après 11.4,2.5, M est un modèle de Proj(E) ,
libre à un générateur de sorte E .
Par hypothèse, il existe aussi un modèle L(E) de E , libre à
un générateur de sorte E : c'est donc, par transitivité (voir
1.2.3.2) un objet libre de Mod(E) , engendré par M .
On en déduit que le sommet de tout cône projectif
peQual(E)
engendre un objet libre de Mod(E) ; nous notons alors JB le
plus petit ordinal régulier (qui, bien entendu, existe) tel que:
- 0>oc ,

- pour tout sommet
E de tout cône inductif distingué
i de
E , L(E) est un objet JB-présentable de Mod(Proj(E)) .
De II1.1.2, il résulte que:
Sat(Mod(Proj ( E ) ) ,Qual ( E ) )=Sat(Mod(Proj ( E ) ) ,Discun(Qual ( E ) ) ) ,

II1.2.

CINQ

EX. ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

où, par construction, Discun(Qual(E ))
est une
Oiscun***qualification.
On en déduit, en vertu de 11,4,5,3 et 11,4,5,4, que
E
est
analogue à
esq(Discun(Qual(E) ) ) , qui est une esquisse B~
projective.
Montrons que (c) implique (d).
D'après
II.4.3.3,
le
foncteur
injection
canonique
Mod(E) -* Mod(Proj(E))
crée
les
limites
inductives
d'indexations petites et oc-filtrantes,
Comme précédemment, on a:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Discun(Qual(E))) ,
où, par construction, Discun(QuaKE))
est une
Oiscun"*qualification,
Par conséquent, en vertu de 1,4,1,2, Mod(E)
est une souscatégorie pleine et réflexive de
Mod(Proj(E)) (nous notons,
alors,
adj :Mod(Proj(E)) 4 Mod(E)
l'adjoint à gauche au
foncteur injection canonique Mod(E) -• Mod(Proj(E)) ),
Ainsi, en vertu de 11,4,2,7 et II.4.2.6, Mod(E) est aussi
localement oc-présentable et l'on a Mod(E) = Mod(/Mod(E><x0,FV) ,
Notons:
- Yon(Proj(E))«:Proj(E) -• Mod(Proj(E))«op
la restriction de
Yon(Proj(E)) ,
- adj«OF>:Mod(Proj(E))ocop -• Mod(E)«°^
la
restriction
de
adj op ,
- H = adj«OF\Yon(Proj(E))« ,
- //Mod(E)«x0,:>//
la plus petite sur-structure de
(cn,K/±)esquisse sur /Mod(E)ocOF>/ telle que
H: E -* //Mod(E)«°p//
soit un homomorphisme d'esquisses,
- K: /Mod(E)«OFV -4 //Mod(E)o.op// l'homomorphisme canonique qui
en résulte.
Il est alors facile de constater que (H,K) définit une analogie
de E
vers l'esquisse oc-projective /Mod(E)«orV ,
Pour finir, il est clair que (d) implique (a),
CNote 3, L'équivalence des points (a), (b) et (c) de 111,2.2,1,
et sa preuve, ne sont qu'une interprétation particulière
automatique de l'exercice général
111,1,2, dans le cas
particulier où la "catégorie de base"
C
est une catégorie
projectivement esquissable (ou encore localement présentable),
En effet, compte tenu des propriétés particulières d'une
catégorie localement présentable, rappelées en II.4.2.5, il a
suffit de traduire les considérations générales de III.1,2 au

CINQ EX.

ELEM.

SUR LES CAT.

ESQUISSABLES.

moyen systématique de 11,4,5 (dont 11,4,3,1 n'est qu'un aspect
particulier),
L'équivalence avec le point (d), quant à elle, ne résulte pas
d'une interprétation particulière des propriétés générales des
sous-catégories qualifiables d'une catégorie (quelconque), Par
contre, elle résulte immédiatement de la propriété
ultraclassique rappelée en 11,4,2.7, spécifique de certaines souscatégories d'une catégorie localement oc-présentable,]
CNote 4, Soit oc un ordinal régulier et E
une (oc, V±Oisc± )esquisse.
En appliquant successivement les résultats de 111,2,1 et 111,2,2,
il est facile de prouver que les trois conditions suivantes sont
équivalentes:
(a1) il existe un ordinal régulier Jttoc et une analogie de
E
vers une esquisse U-projective,
(b') pour tout objet
E de E , il existe un modèle de
E , libre à un générateur de sorte E ,
(c') pour tout objet E de E
qui est sommet d'un cône
inductif distingué de E , il existe un modèle de E , libre à
un générateur de sorte E ,
De plus, il est immédiat de prouver que l'une de ces trois
conditions est vérifiée si, et seulement si;
(d1) l'esquisse
E
est analogue à une esquisse ocprojective,:
Cette équivalence des assertions (a'), (b')f (c') et (d')
précise (et généralise au cas non f initaire - mais là n'est pas
l'essentiel) le théorème 3 (plus exactement l'équivalence des
points (i) et (iii) - les autres nous semblant tout à fait
secondaires) énoncé par Barr en (M.D.S.K.),
Cependant, elle ne constitue pas une amélioration réellement
consistante de ce qui est énoncé en II1.2.2.1: l'existence de
modèles libres (donc au moins quasi-libres) à un générateur de
toute sorte impose en effet, d'après III.2,1.1 et III.2.1.2, que
l'esquisse de départ
E
"est" déjà, dès l'origine, régulière
(voir 111,2.1.2, Note 2): ce qui, dans ce cas, crève les yeux!
Nous avons donc préféré n'énoncer que l'équivalence des
assertions (a), (b), (c) et (d) de III.2.2.1, afin de ne formuler
que ce qui pouvait être le plus consistant possible!
Dans la preuve de son théorème 3, Barr construit une esquisse
E"
dont le support est une certaine sous-catégorie de
£n5Mod<E:) (on a v u l'intérêt d'un tel genre de construction ,,.
en 11,4.4.5, i. e. dans un cadre, qui ne doit rien à Barr, où

CINQ

EX.

ELEM.

3UR

LES CAT.

ESQUISSABLES.

elle s'impose vraiment,
i. e. pour des esquisses non
projectives.
Pour établir qu'il s'agit bien d'une sous-catégorie pleine (et
petite) il fait appel à un "théorème de plongement plein" tout à
fait "crucial". Manifestement, la connaissance de la propriété
ultra-classique 11.4,2.7 lui aurait évité toute cette peine et
tant de grandiloquence.
De même qu'elle lui aurait évité de se targuer, dans une lettre
m'étant personnellement adressée, d'avoir été le premier (n'ayant
nulle part dans mes travaux - dont par ailleurs il nie même
l'existence - trouvé trace d'un énoncé analogue) à établir
l'équivalence
(a' )É=Xb' )*^(c' )**(d' ), ou encore l'équivalence
corollaire (mais c'est en fait la même, ce qui n'a pas l'air de
lui crever les yeux) (a)**(b)**(c)<=*(d) .
Je n'ai pas pour habitude, en effet, de ré-écrire nombre de
versions différentes d'un résultat ultra-classique (en l'espèce
celui
de
II,4.2.7),
ni
même
les
solutions
d'exercices
élémentaires qui s'en déduisent sans effort, Sauf peut-être pour
expliquer et ré-expliquer inlassablement qu'il conviendrait que
ceux qui les ignorent le connaissent et le comprennent,
Enfin, il est piquant de constater que, dans cette même preuve
de son théorème 3 Barr fait allusion (haut de page 10) au fait
que, si
E
est une esquisse et
E en est un objet, alors un
modèle initial de E E est exactement un modèle de E , libre à
un générateur de sorte
E
(voir 11,4,2,5, Note 6 ) , Il rompt
ainsi avec la belle homogénéité, faisant très "theoretical
computer science", qu'il s'est lui même imposée. Il est vrai
qu'il lui était difficile de faire autrement: dès lors qu'on veut
établir un résultat (l'équivalence avec (d)) qui résulte d'une
propriété (celle de II,4,2.7) spécifique à une certaine souscatégorie pleine d'une catégorie projectivement esquissable, la
considération de co-modèles canoniques (voir II.4,2.5) semble
inévitable: sans doute est-ce encore un apport "crucial" de Barr
de commencer à n'en prendre qu'infiniment peu conscience?]

III.2.3.

Troisième

exercice

III.2.3.1. Enoncé Cvoir Notes 5 et 6 ] .
On suppose que a est un ordinal régulier et que
(oc, VA Disc i )-esquisse,

E

est une

II1.2.

CINQ EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:
(a) il existe un ordinal régulier J3>oc et une analogie de
E
vers une (B,Oisei)-esquisse,
(b) pour tout objet E de E , il existe une famille de
modèles de E , localement libre à un générateur de sorte E ,
(c) pour tout objet E de E , sommet d'un cône inductif,
d'indexation non discrète, distingué dans
E , il existe une
famille de modèles de E , localement libre à un générateur de
sorte E .
Montrer, de plus, que si l'une des trois conditions précédentes
est vérifiée, alors:
(d) E
est comparable à une (ot,Disci)-esquisse.
III.2.3.2. Solution Cvoir Notes 5 et 6],
Montrons que (a) implique (b),
Si E
est analogue à une certaine (B,Oisc)-esquisse E * ,
on a, en vertu de 11.3.4,2 et 11,4,4,1;
Mod(E) * Mod(E*) = Sat(Mod(Proj(E*)),Qual(E*)) ,
où Q u a K E * ) est une OiscB-qualif ication,
Par conséquent, si E est un quelconque objet de E , il est
objet de E *
et, en vertu de 11,4.2.5, Yon(Proj(E*) )(E) est
un modèle de
Proj(E*)
libre à un générateur de sorte
E ,
D'après 1.4.1,4, il engendre donc une famille localement libre
d'objets de
Mod(E*) * Mod(E) : par transitivité (voir
1,2.3.2), c'est donc une famille d'objets de
Mod(E) ,
localement libre à un générateur de sorte E ,
Il est clair que (b) implique (c),
Montrons, maintenant, que (c) implique (a).
On sait, en vertu de 11.4,5,1, que:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,
où, par hypothèse, Qual(E) est une VOisc^-qual if ication.
Si M est un objet de Mod(Proj(E)) qui est sommet d'un'cône
projectif, d'indexation non discrète, pcQual(E) , alors il
existe un objet E de E
et un cône inductif i , d'indexation
non discrète, distingué dans E , dont E est le sommet, tels
que Yon(Proj(E))(i) = p .et Yon(Proj ( E ) )(E) = M .
Par conséquent, d'après 11.4,2.5, M est un modèle de Proj(E) ,
libre à un générateur de sorte E .
Par hypothèse, il existe une famille (LL(E)~)x«rx<E> de modèles
de E , localement libre à un générateur de sorte E : c'est
donc, par transitivité (voir 1.2.3.2), une famille localement
libre d'objets de Mod(E) engendrée par M .

II1.2.

CINQ

EX.

ELEM.

SUR

LES CAT.

ESQUISSABLES.

On en déduit que le sommet de tout cône projectif d'indexation
non discrète peQual(E) engendre une famille localement libre
d'objets de
Mod(E) ; nous notons, alors, B
le plus petit
ordinal régulier (qui, bien entendu, existe) tel que;
- B)oc ,

- pour tout sommet E de tout cône inductif i , d'indexation
non discrète, distingué dans E , et, pour tout xcX(E) , LL(E)x
est un objet B~présentable de Mod(Proj(E)) .
De II1.1.3, il résulte que;
Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) = Sat(Mod(Proj ( E )),Disc(Qual(E ) ) ),
où, par construction, Disc(QuaKE) )
est une
Disc***qualification.
Par conséquent,en vertu de 11.4.5,2 et 11,4,5,3, E est analogue
à la (B, Disc ±)-esquisse Esq(Disc(Qual(E))) ,
Montrons, pour finir, que (c) implique (d),
D'après
11,4,4,3,
le
foncteur
injection
canonique
Mod(E) 4 Mod(Proj(E))
crée
les
limites
inductives
d'indexations petites et oc-filtrantes,
Comme précédemment, on a;
M o d ( E ) = Sat(Mod(Proj(E)),Disc(Qual(E))) .
Par conséquent, en vertu de 1.4,1,4, Mod(E)
est une souscatégorie pleine et multiréflexive de Mod(Proj(E)) .
Ainsi, en vertu de 11,4,4,6 et 11,4,4,5, Mod(E) est aussi oclocalisable et l'on a Mod(E) * Mod(<Mod(E o p »«) ,
Notons:
> <Mod(E) op >o«

H: E

E

i

>

c

(Ensrioaci-ïjop

evE

: Mod(E)
> Ens
M i
> M(E)
la restriction du foncteur évaluation (en les objets et flèches
de E ) et:
K: Esq(Dis(Qual(E)))
r <Mod(E ) op >« <z
(EnsM~*<EE: > ) o p
M' t> evM;Mod(E)
> Ens
M \
> M(M')
HOKlMocKProj < I E C ) > ( M '

,M)

la restriction du foncteur évaluation (en les objets et flèches
de Esq(Disc(Qual(E))) ).
Il est facile de constater que (H,K) définit une comparaison de
E
vers la (oc, Disc i )-esquisse Esq(Disc(Qual(E ) ) ) .
[Note 5, L'équivalence des points (a), (b) et (c) de 111.2,3.1,
et sa preuve, ne sont qu'une interprétation particulière

II1.2.

CINQ

CX. ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

automatique de
l'exercice général
III.1,3, dans
le cas
particulier où la "catégorie de base"
C
est une catégorie
projectivement esquissable (ou encore localement présentable),
En effet, compte tenu des propriétés particulières d'une
catégorie localement présentable, rappelées en 11,4,2.5, il a
suffit de traduire les considérations générales de III.1.3 au
moyen systématique de II.4.5 (dont 11.4,4.1 n'est qu'un aspect
particulier).
L'implication de (d), quant à elle, ne résulte pas d'une
interprétation particulière des propriétés générales des souscatégories qualifiables d'une catégorie (quelconque), Par contre,
elle résulte immédiatement de la propriété rappelée en 11,4,4,6,
spécifique
de
certaines
sous-catégories
d'une
catégorie
localisable (ou, en particulier, localement présentable),]
CNote 6. Les assertions de 111,2,3 précisent notablement (et
généralisent au cas non fini taire, ce qui n'est pas sans
importance) le théorème 1 (plus exactement, l'implication l'équivalence n'étant pas démontrée - de (iii) par (i) - les
autres nous semblant tout à fait secondaires) énoncé par Barr en
(M.D.S.K,).
Nous établissons ici 1'équivalence de ces points, pourvu que
l'on ne se limite pas arbitrairement
à trouver une "équivalence"
(que nous appelons ici analogie, la relation considérée ne ,nous
semblant
pas
spécialement
réflexive)
d'esquisses
E -* E ' f- E * , où
E'
et
E*
ont des cônes projectifs
distingués dont la taille est celle des cônes projectifs
distingués de E ,
Mieux, nous établissons que, s'il est toujours possible,
effectivement, de modifier
E
en une autre esquisse
E**
possédant des cônes projectifs distingués de même taille que ceux
de E , en général on ne peut le faire que si l'on s'autorise
des modifications faisant éventuellement intervenir des cônes
projectifs de taille plus grande (c'est le sens de la comparaison
d'esquisses - plus générale que les "équivalence" ou analogie intervenant au point (d)),*
Barr aurait tout aussi bien pu "fermer" la question qu'il
"ouvre" dans la remarque qui suit l'énoncé de son théorème 1: en
utilisant ici un procédé "crucial", analogue à celui qu'il
utilise, sans véritable nécessité, dans la preuve de son théorème
3, i, e, les résultats (il est vrai moins classiques que ceux
rappelés 11.4,2,6 et 11,4,2.7, surtout pour qui nie même

CINQ EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

l'existence matérielle de la revue Diagrammes) rappelés en
II.4,4.5 et 11.4.4,6,
Il est, enfin, tout particulièrement piquant de constater que,
dans cette même remarque, Barr fait allusion au fait que, si
E
est une esquisse et
E
en est un objet, alors une famille
initiale de modèles de E E s'identifie exactement à une famille
de modèles de E , localement libre à un générateur de sorte E
(voir II.4.4.2, Note 17). Cependant, il ne va pas, dans la preuve
de son théorème 1, jusqu'à rompre avec la belle homogénéité,
faisant très "theoretical computer science", qu'il s'est lui même
imposée. Pourtant cela lui aurait permis d'établir l'équivalence
cherchée: dès lors qu'on veut établir un résultat (l'équivalence
avec (d)) qui résulte d'une propriété (celle de 11.4,4.6)
spécifique à une certaine sous-catégorie pleine d'une catégorie
projectivement
esquissable,
la
considération
de co-modèles
canoniques (voir II.4.2.5) semble inévitable,
Barr ne sachant comment utiliser cette allusion, mais la faisant
précisément
à cet endroit, on peut affirmer qu'elle est
certainement tout à fait étrangère à la non-existence, qu'il
proclame sans vergogne dans une lettre personnelle qu'il m'a
adressée, de (C.M.C.F.).]

III,2.4.

Quatrième

exercice

III.2.4.1. Enoncé Cvoir Notes 7 et 8 ] .
On suppose que a
est un ordinal régulier et que E
est une
(a, D i s c i )-esquisse.
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:
(a) il existe un ordinal régulier
B>oc et une analogie de
E
vers une esquisse g-projective,
(b) pour tout objet
E
de
E , il existe un modèle de
E , libre à un générateur de sorte E ,
(c) pour tout objet E de E
qui est sommet ou pied d'un
cône inductif (d'indexation nécessairement discrète) distingué de
E , il existe un modèle de E , libre à un générateur de sorte
E .
Montrer, de plus, que l'une des trois conditions précédentes
est vérifiée si, et seulement si;
(d) l'esquisse E
est semblable à une (oc,0)-esquisse.

IX1.2.

CINQ

EX.

ELEM.

SUR

LES CAT.

ESQUISSABLES.

111,2.4,2. Solution Cvoir Notes 7 et 83,
Montrons que (a) implique (b).
Si E
est analogue à une certaine (B,0)-esquisse E * , on
a:
Mod(E) * Mod(E*) .
Par conséquent, si E est un quelconque objet de E , il est
objet de E *
et l'objet Yon(E*)(E) de Mod(E*) * Mod(E)
est, en vertu de II.4.2.5, libre à un générateur de sorte E .
Il est clair que (b) implique (c)
Montrons, maintenant, que (c) implique (d).
On sait, en vertu de 11.4.4,1, que:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,
où, par hypothèse, Qual(E) est une Disc^-qualif ication.
Si M est un objet de Mod(Proj(E)) qui est sommet (resp.
pied) d'un
cône projectif, d'indexation discrète, peQuaKE) ,
alors il existe un objet E de E
et un cône inductif
i,
d'indexation discrète, distingué dans
E , dont
E
est le
sommet (resp. un pied), tels que
Yon(Proj(E))(i) - p
et
Yon(Proj(E))(E) = M .
En vertu de II.4.2.5, M est donc un modèle de Proj(E) , libre
à un générateur de sorte E .
Par hypothèse, on sait qu'il existe un modèle de E , libre à un
générateur de sorte
E : c'est donc, par transitivité (voir
1,2.3.2), un objet libre de Mod(E) engendré par M ,
On en déduit que le sommet et tout pied de tout cône projectif
(d'indexation nécessairement discrète) peQual(E) engendre un
objet libre de Mod(E) .
De 111,1.2.1, il résulte que
Qual(E)
est une
Discun~qual if ication, i, e. que E
est une
(oc,Discun)-esquisse et
donc, en vertu de II.3.4.4 et 11,4,5,4, qu'elle est semblable à
une esquisse oc-projective,
Pour finir, il est clair que (d) implique (a).
CNote 7. Cet exercice
III.2.4 n'est
qu'une interprétation
particulière automatique de l'exercice général III.1.4, dans le
cas particulier où la "catégorie de base" C
est une catégorie
projectivement esquissable (ou encore localement présentable).
En effet, compte tenu des propriétés particulières d'une
catégorie localement présentable, rappelées en 11,4,2,5, il a
suffit de traduire les considérations générales de III,1.4 au
moyen systématique de 11.4,5 (dont 11.3.4,4 n'est qu'un aspect
particulier).]

II.2.

CNote 8. Soit

CINQ

EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

oc un ordinal régulier et

E3QUIS6ABLES.

E

une (oc, V i D i s c i ) -

esquisse.

En appliquant successivement les résultats de III,2.3 et III,2,4,
il est facile de prouver - par conséquent d'une autre façon que
celle évoquée dans la Note 4 que les trois conditions
suivantes sont équivalentes:
(a') il existe un ordinal régulier B>oc et une analogie de
E
vers une esquisse B-projective,
(b') pour tout objet
E de E , il existe un modèle de
E , libre à un générateur de sorte E ,
(c') pour tout objet E de E
qui est sommet d'un cône
inductif distingué de E , il existe un modèle de E , libre à
un générateur de sorte E ,
De plus, il est immédiat d'établir que l'une de ces trois
conditions est vérifiée si, et seulement si:
(d1) l'esquisse
E
est analogue à une esquisse ocprojective,;
Cette équivalence des assertions (a'), (b'), (c') et (d')
précise (et généralise au cas non finitaire - mais là n'est pas
l'essentiel) le théorème 3 (plus exactement l'équivalence des
points (i) et (iii) - les autres nous semblant tout à fait
secondaires) énoncé par Barr en (M.D.S.K,),
Cependant, elle ne constitue pas une amélioration réellement
consistante de ce qui est énoncé en 111,2,2,1 (voir Note 4);
l'énoncé 111,2.4,1 en est, très exactement, cette partie non
réellement consistante,
On s'étonne encore que Barr ne l'ait pas énoncée en (M.D.S.K,),]

III,2,5,

Cinquième

exercice,

III.2.5.1. Enoncé Cvoir Notes 9 et 103.
On suppose que E
est une (u, \ADisc i )-esquisse.
Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes:
(a) E
est semblable à une (u, VADiscf ini )-esquisse,
Cb) Mod(E)
est
une
sous-catégorie
pleine
de
Mod(Proj(E)) , stable par ultraproduits.
Montrer, de plus, que l'une des deux conditions précédentes est
vérifiée si, et seulement si:

II1.2.

CINQ EX.

ELEM.

SUR L E S CAT.

ESQUISSABLES.

(c) Mod(E)
est
une
sous-catégorie
Mod( (u, VA )-esq(E ) ) , stable par* ultraproduits.

pleine

de

III.2.5,2. Solution [voir Notes 9 et 103,
Montrons que (a) implique (b).
Si E
est semblable à une certaine (u>, VADiscf ini )-esquisse
E** , alors E
et E * ont le même support S .
D'après II.4.5.1 et 1.4.3.3, Mod(E) = Mod(E*) est stable par
ultraproduits dans Mod(Proj(E*)) .
D'après II.4.2.4, les ultraproduits se calculent point par point
dans Mod(Proj(E")) , autrement dit Mod(Proj(E*)) est stable
par ultraproduits dans E n s s ,
Il en résulte que
Mod(E) = Mod(E*)
est stable par
ultraproduits dans Ens 33 , D'après 11,4,2,4, Mod(Proj(E)) est
stable par ultraproduits dans Ens*53 (ils se calculent également
point par point),
On en conclut que Mod(E) est stable par ultraproduits dans
Mod(Proj(E)) .
Montrons, maintenant, que (b) implique (a),
D'après 11.4,5,1, on a Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E),Qual(E) ) ,
Comme, par hypothèse, Mod(E) est stable par ultraproduits dans
Mod(Proj(E)) , il résulte de 111,1,5, que:
Mod(E) = Sat(Mod(Proj(E)),VDiscfin(Qual(E))) ,
où VDiscfin(QuaKE)) est, par construction, une VDiscfin"*.qualification,
D'après 11.4,5.2 et 11,4,5,3, il est immédiat de constater que
E
est semblable à la (u, V±Discf ini )-esquisse
Esq(VDiscfin(Qual(E))) ,
Pour finir, il est clair que (b) équivaut à (c),
CNote 9. Cet exercice
III.2.5 n'est
qu'une interprétation
particulière automatique de l'exercice général 111,1,5, dans le
cas particulier où la "catégorie de base" C
est une catégorie
projectivement esquissable (ou encore localement présentable),
En effet, compte tenu des propriétés particulières d'une
catégorie localement présentable, rappelées en 11,4,2,5, il a
suffit de traduire les considérations générales de 111,1,5 au
moyen systématique

de 11,4,5.3

CNote 10, On reconnaitra dans l'énoncé II1.2.5 le théorème 4
formulé par Barr en (M.D.S.K,) (sans autre modification ou
précision que terminologique), L'essentiel de sa démonstration
n'est rien d'autre, précisément écrite (notamment, en ne tenant

CINQ EX.

b-LCM. S U R

LES CAT.

ESQUISSABLES.

aucun compte de l'affirmation - erronnée - contenue dans la
première phrase de la remarque suivant son énoncé et précédant sa
preuve - ce qui modifie tout de même un peu les choses!), que
celle de III.2.5.2, i. e. que celle de 111,1.5,2. Autrement dit,
elle
n'a
rien
de
proprement
spécifique
aux
catégories
esquissables. Par contre elle est spécifique des catégories
qualifiables, ou encore axiomatisables: il s'agit là d'un point
de vue bien classique initié par Németi-Sain (et Andréka), par
exemple en (C.I.S.B.) - voir III.1.5,2, Note 6,3

APPENDICE

CARACTERISATIONS
SEMANTIQUES

INTRINSEQUES

DES
CATEGORIES EQUISSABLES

1 . Soit E = (Supp(E),CP(E),CI(E)) une esquisse et 6
un ordinal inaccessible,
On dit que E
est Q-petite
si, et seulement si:
- Supp(E) est un graphe compositif 8-petit,
- CP(E)
est un ensemble (de cônes projectifs distingués) 6petit,
- CKE)
est un ensemble (de cônes inductifs distingués) 8petit,
- tout cône projectif distingué dans
E
est d'indexation 6petite,
- tout cône inductif distingué dans
E
est d'indexation 6petite,
Soit C
une catégorie et d un ordinal inaccessible.
On dit que C
est ^-esquissable si, et seulement si;
-il existe une esquisse ©-petite E
telle que C
et Mod(E)
sont équivalentes,
On dit que C
est Q-modelable Cvoir Note 13 si, et seulement
si :
- il existe un ordinal régulier B<8 et une sous-catégorie
C
de C
tels que:
+ C
possède toutes les limites inductives d'indexations
petites et B-filtrantes,
+ C
est petite,
+ C' est pleine,
+ C ' est dense dans C ,
+ tout rétracte d'un objet de C
est isomorphe à un objet
de C ,
+ tout objet de C
est un objet B-présentable de C ,
+ pour tout objet C de C , la catégorie C'/C est Bfiltrante,
Rappelons que Cvoir Note 13:
- la
est

catégorie
C
9-modelable.

est

O-esquissable

si,

et

seulement

si,

elle

En effet, soit E
une esquisse 9-petite, Alors, la catégorie
O-esquissée
C = Mod(E)
est bien 6-modelable, i. e, vérifie
effectivement les propriétés précédentes, si l'on note:
- i la borne supérieure des cardinaux des indexations des cônes
projectifs distingués dans E ,

APPENOICE

- S l'ordinal régulier Wi^i d'indice i+1 ,
- s le cardinal de Supp(E) ,
- i' le cardinal de CP(E) ,
- j la borne supérieure des cardinaux des indexations des cônes
inductifs distingués dans E ,
- j' le cardinal de C K E ) ,
- B l'ordinal régulier u«up<â,.(t•.j,j•>-i ,
- C
la sous-catégorie pleine de C = Mod(E) dont les objets
sont les modèles M ; E -> Ens tels que:
+ pour tout objet
E
de E , M(E) est un ensemble B~
petit.
Inversement, supposons que C
est une catégorie 9-modelable.
Si û = ( C ' I ) I . X
est un diagramme de C , à valeurs dans
C
et d'indexation B-petite, on note Û / / C
la catégorie telle
que;
- ses objets sont les cônes inductifs s' = (s'ijC'i -+ C')x«x ,
où C
est un quelconque objet de C ,
- ses flèches sont les
(«'jC'^ïîd'iiC'i 4 C')i*x 4 (Sl#i:C'i -> C")x«x
où c':C -* C" est une quelconque flèche de C
telle que:
+ pour tout objet I de I , on a c'.s'i = s"i .
Dans
ces
conditions,
il est
facile de constater que
(C-)•'«&//<=est un diagramme, à valeurs dans
C ,
localement limite inductive, dans
C , du diagramme
û ,
Autrement dit, que l'on a:
lim. proj . (Hom<=:(C'i,-))i«xop
(*A)

lim, ind, ( H o m o ^ C * ,-))»• «<*••<=:• >op,
Alors on note « C ' O P » B
l'esquisse telle que:
- son support est la sous-catégorie pleine de Ens^
dont les
objets sont:
+ d'une part les foncteurs Hom<=(C',-) :C -> Ens , dès que
C
est objet de C
,
+ d'autre part les foncteurs U:C •* Ens qui sont limites
projectives
(choisies)
de
diagrammes
de
la
forme
(Hom<=(C'i,-))i*xop , dès que
û=(d)i«x
est un
diagramme de
C , à valeurs dans
C
et d'indexation
(représentant une classe d'isomorphisme) B-petite,
- y sont distingués les cônes projectifs limites (dans Ens*15 )
et les cônes inductifs limites (dans Ens0^ ) , intervenant dans
l'égalité (**) , pour tout diagramme û , à valeurs dans C ,
d'indexation (représentant une classe d'isomorphisme) B-petite,

APPENOICE

On vérifie, alors, que
«C,C**»B
est bien une esquisse 9petite et que C
et Mod(<<C ,op >>a) sont bien équivalentes,
CNote 1 , La caractérisation sémantique et intrinsèque précédente
des catégories esquissables (par une esquisse - petite absolument quelconque) généralise celles rappelées en 11,4,2.6 et
11,4,4.5, qui seules nous ont été utiles dans ce qui précède,
Elle a été obtenue, pour la première fois, en (C.M.C.E.), dont
nous reprenons mot à mot les considérations (à l'exception de la
cinquième propriété intervenant dans la définition des catégories
modelables, qui ne figure pas dans (C.M.C.E.) - parce qu'elle
n'est pas, techniquement, nécessaire - mais que nous faisons
apparaître ici en raison des développements que nous avons en vue
au point 2 de cet Appendice),
Comme en (C.M.C.E.), il convient de remarquer que, si oc est
un ordinal régulier, si X i est une classe de cônes inductifs et
si E
est une (oc, X±)-esquisse (évidemment 6-petite, pour un
ordinal inaccessible 6 suffisamment grand), alors C = Mod(E)
est bien ©-modeIable mais, pour un ordinal
B
et une souscatégorie C
qui lui sont ainsi associés, on a (en général)
oc<B et <<C O F > >>3 n'est pas une (<x, X± )-esquisse.
Si l'on y tient absolument (quoique ceci semble discutable), on
peut vouloir "améliorer" la caractérisation précédente de sorte
que:
- on puisse "conserver le Xi" (sans se préoccuper de conserver
le
oc ): c'est l'objet du point 2 de cet Appendice - qui ne
présente pas de difficulté théorique,
- plus précisément encore, on puisse conserver à la fois le oc
et le
Xi : c'est l'objet du point 3 de cet Appendice - qui
nécessite un peu plus de sophistication.3

2 , Soit J
une catégorie.
On note
J~
la catégorie obtenue en adjoignant à JT un
élément initial, Alors, J"
s'identifie à un cône projectif
d'indexation J
et de sommet cet élément initial.
Soit Y un ensemble.
On note Y* le cône projectif d'indexation (notée Index(Y*) :

APPENOICE

<l,y)

\

/

(2,y)

(où

varie dans

i i • y i • •

y

Y )

et représenté ci-dessous;
0<Y)
ld(0(y)) /

\

0(Y)

0(Y)

i i • 7

(où

Soit

X

On dit que

y

ld(0<y))

i • •

varie dans

Y )

une classe de cônes projectifs,
X

est une classe localement

librement

stable

si,

et seulement si :
- pour toute catégorie localement présentable
C , pour toute
X-qualification P , relative à C , pour tout ordinal régulier
B
et pour tout objet
C
de
C , s'il existe un diagramme
localement libre de Sat(C,P) , engendré par C et à valeurs Bprésentables, alors il existe un diagramme localement libre
(LL(OJ)J.J(O
de Sat(C,P) , engendré par C , à valeurs Bprésentables et tel que J ( C ) ~ appartient à X ,
Par exemple, les classes
Oiscun
et
Oise
sont, d'après
1,4.1,2 et 1.4,1.4, localement librement stables,
On dit que

X

est une classe localement

indépendamment

stable

si, et seulement si;
- pour toute catégorie localement présentable
C , pour toute
X-qualification P , relative à C , pour tout ordinal régulier
B
et pour tout objet
C
de
C , s'il existe une famille
localement indépendante d'objets de Sat(C,P) , engendrée par C
et à valeurs B-présentables, alors il existe une famille
localement indépendante
(LI(C)v)x«v<c>
de
Sat(C,P) ,

APPENDICE

engendrée par C , à valeurs B-présentables et telle que Y(C)*
appartient à X ,
Par exemple, la classe
V
est, d'après 1.4,1,1, localement
indépendamment stable.
Soit Xi une classe de cônes inductifs.
Nous notons
X±°^
la classe des cônes projectifs duaux des
cônes inductifs appartenant à Xi .
Nous dirons que

Xi

est localement

librement

co-stable

si,

et seulement si :
- X i o p est localement librement stable,
Par exemple, Discunt et Oisci sont localement librement co5tables,
Nous dirons que

Xi

est localement

indépendamment

co-stable

si, et seulement si:
- X i o p est localement indépendamment stable,
Par exemple, la classe
Vi
est localement indépendamment costable,
Soit
Xi
une classe de cônes inductifs et
C
une
catégorie.
On dit que C est (?, Xx)-esquissable si, et seulement si:
- il existe un ordinal régulier B et une (B, Xi)-esquisse
E
tels que C et Mod(E) sont équivalentes,
Soit
O
une catégorie et X i
une classe localement
librement (resp, indépendamment) co-stable de cônes inductifs,
Il est facile de vérifier que Cvoir Note 23:
- la catégorie C
est (?, X±)-esquissable si, et seulement si,
il existe un ordinal régulier
B et une sous-catégorie C
de
C
tels que:
+ C
possède toutes les limites inductives d'indexations
petites et
&-filtrantes,

+ C

est

petite,

+ C
est pleine,
+ C
est dense dans C ,
+ tout rétracte d'un objet de C

de C

est isomorphe à un objet

,

+ tout objet de C
est un objet ^-présentable de C ,
+ tout diagramme û = ( C ' I ) I * X , d'indexation B-petite et
à valeurs dans C
, admet, dans C , un diagramme (resp.
une famille)
localement (resp. quasi-) limite inductive

APPENOICE

(C.j)j«ror<ô>

(resp.

de sorte

JT(A)~~

que

(CV)V«V<A) ) , à valeurs dans C
,
(resp. Y(û)* ) appartient
à X± O F > .

En effet, si
E
est une (oc, Xi )-esquisse, elle est
nécessairement 9-petite et C = Mod(E) est 9-modelable, pour
un ordinal inaccessible
9
assez grand, et donc, d'après le
point 1 de cet Appendice, les six premières conditions
précédentes sont vérifiées, pour un certain ordinal régulier
oc<B<9
et une certaine sous-catégorie
C
de
C , En
particulier, il est facile de voir qu'elles imposent que tout
objet B-présentable de C
est isomorphe à un objet de C ).
De plus, on a:
C = Sat(Mod(Proj(E)),Qual(E)) ,
où
Qual(E)
est une
Xiop-qual if ication, relative à
Mod(Proj(E)) , associée à E
comme en 11,4,5,1,
Ainsi, si û = ( d ) i * x
est un diagramme de C , d'indexation
B-petite et à valeurs dans C
, il admet dans C
(comme au
point 1) un diagramme, à valeurs dans C
, localement limite
inductive, à savoir;
D(û) = <Cf.-).-«»//<=- ,
par conséquent, il admet aussi dans C
une famille, à valeurs
dans C
, quasi-limite inductive, à savoir:
F(û) = (C'«')«'«Ob<A//C) ,

Il en résulte que l'objet
M(û)
de
Mod(Proj(E)) , limite
inductive dans Mod(Proj(E)) du diagramme û , vérifie:
- D(û)
est un diagramme de
C , à valeurs B-présentables,
localement libre, engendré par M(û) ,
- F(û)
est une famille d'objets de
C , à valeurs Bprésentables, localement indépendante, engendrée par M(û) .
Comme
Xiop
est localement librement (resp. indépendamment)
stable, on en déduit que:
- M(û) engendre un diagramme (C"j)j4rJ<*> de C , localement
libre, à valeurs B-présentables (par conséquent, à isomorphismes
près, à valeurs dans
C
), tel que
J(û)~
appartient à
Xiop ,

(resp,
- M(û) engendre une famille
(Cv)y«rv<A>
de C , localement
indépendante, à valeurs B-présentables (par conséquent, à
isomorphismes prés, à valeurs dans
C
), telle que
Y(û)*
appartient à X ± O R ),
Il est alors facile de vérifier que
(CJ)J*-J
(resp.
(C"y)ycY<û) ) est un diagramme (resp, une famille quasi-) limite
inductive de
û dans C
qui répond aux contraintes exigées
dans la septième condition précédente.

APPENDICE

Inversement, si C
vérifie les sept conditions précédentes,
on construit une (B, Xi )-esquisse E
telle que Mod(E) s C
en procédant exactement comme au point 1 de cet Appendice, mais
en substituant aux égalités de type (**) celles du type suivant:
lim. proj . (Hom<=:(C'i ,-))i* x op
<***)
lim. ind. (Hom<=:(C''j,-))j<r<or >op ,
(resp,
lim, proj, (Hom<=:(C'i ,-))i« x op
(***)
lim, ind, ( U ^ Î C -* Ens)«iod.~<Y<A:>t>
où l'on a posé:
- Ui = U2 = lim, proj, (HomePC i,-))i« x op,
- Uv = Homc^Cv,-) , pour tout ycY(û) ),
CNote 2, Cette
caractérisation
sémantique
intrinsèque
des
catégories (?, Xi)-esquissables est une reformulation élémentaire
de celle des catégories esquissables
(par une esquisse
quelconque) fournie au point 1 de cet Appendice, Pour l'obtenir,
il est essentiel
de disposer de tous les éléments rappelés
précédemment,
notamment;
diagrammes
localement
libres (ou
familles localement indépendantes), satisfaction (ou validation)
et qualifications (ou axiomatisations). Evidemment, elle suppose
menée à bien, par la forme même de ses hypothèses, une étude
assez fine des classes
X±
localement (librement ou
indépendamment) co-stables. Une telle étude reste à faire en
toute généralité (i. e. pour d'autres classes que VA , Oiscun*
ou
Oiscx , qui, elles, sont évidemment localement co-stables
... depuis que ceci fut, pour la première fois, étudié, établi et
utilisé en (C.M.C.F,)). Certain(s) serai(en)t sans doute plus
avisé(s) de s'attaquer à la résolution de ce problème, plutôt que
de prétendre en "étudier" d'autres ... déjà résolus.
Notons (comme en (C.M.C.E.) et comme précédemment), que, si oc
est un ordinal régulier et si
E
est une
(a, Xi)-esquisse,
alors la catégorie Mod(E) est évidemment (?, Xi )-esquissable
et donc vérifie les conditions précédentes, mais avec un
B
supérieur à
a
(en général). Le problème reste donc posé de
caractériser intrinsèquement les catégories (a,Xi)-esquissables
(pour un
a
et une
Xi quelconques fixés); sa solution,
nettement plus sophistiquée, est donnée au point 3 de cet
Appendice.
Remarquons que, si X» = Oisc±
(resp. Xi = Oiscuni ), on
obtient des formulations particulières de la caractérisation

APPENDICE

précédente qui sont moins précises (et donc moins intéressantes)
que celles de II.4.4.5 et II.4.2.6 (où l'on a affirmé, de plus,
notamment, qu'on pouvait encore prendre B = oc ).
Lorsque
X± = VA , on peut formuler la caractérisation
précédente comme suit:
- la catégorie
C
est (?, VA)-esquissable si, et seulement si,
il existe un ordinal régulier
B et une sous-catégorie
C
de
C
tels que;
+ C
possède toutes les limites
inductives
d'indexations
petites et
B-filtrantes,
+ C
est
petite,
+ C
est pleine,
+ C
est dense dans C ,
+ tout rétracte d'un objet de C
est isomorphe à un objet
de C
,
+ tout objet de C
est un objet B-présentable de C ,
+ tout diagramme d'indexation
B-petite
et
à valeurs dans
C
, admet, dans C , un objet quasi-limite
inductive qui
appartient à C
.3

3 . Soit C
une catégorie et <B une classe d'objets de
Ensc ,
On note * G
la sous-catégorie pleine de Ens^
ayant
G
pour classe d'objets,
On dit que G est légitime si, et seulement si:
- *<3 est une catégorie petite,
Soit
XP
(resp, Xi ) une classe de cônes projectifs
(resp, inductifs).
On dit que Xç> (resp, X± ) est index-petite si, et seulement
si:
- la classe Index(Xp>) (resp, Index(Xx) ) des indexations des
éléments de
XP
(resp, X± ) est petite (i, e. est un
ensemble),
Si
XP
est index-petite, on note
oc(Xp>) le plus petit
ordinal régulier qui majore les cardinaux de toutes les
indexations des éléments de X P .

APPENOICE

Soit
XP
(resp. X i ) une classe index-petite de cônes
projectifs (resp. inductifs), C
une catégorie et
G
un
ensemble légitime de foncteurs de C
vers Ens ,
On note
[G]xP,xi
la ( X P , Xi)-esquisse de support
*G
telle que:
- ses cônes projectifs distingués sont les cônes projectifs,
appartenant à X P , qui sont limites projectives dans E n s c .
- ses cônes inductifs distingués sont les cônes inductifs,
appartenant à X± , qui sont limites inductives dans Ens^ ,
On note
# ( G ) : * T P . ixri.'C

+ Mod(CG3:x,*. ;*: i )

le foncteur tel que;
- naturellement en tout objet
C
de
C
U:C -> Ens de [ G ] x p , x t , on a:
* ( G ) x : p , . * r i ( C ) ( U ) • U(C) .

et en tout

objet

Soit C
une catégorie et G
un ensemble de foncteurs de
C
vers Ens ,
On dit que G
est générique pour C
Cvoir Note 33 si, et
seulement si :
- pour tout objet C de C , le foncteur (canonique):
(Hom c (C,-)/*G) 4 * G -* Ens^
admet Hom<=(C,-) pour limite projective (canonique).
On dit qu'un foncteur V;C -* Ens est G-satisfaisant
Cvoir
Note 43 si, et seulement si:
- pour tout objet C de C , le foncteur (canonique):
(Homc=(C,-)/*G) -4 (Homc(C,-)/*(G U £U)))
est initial,
Soit B un ordinal régulier, C
une catégorie et C
une
sous-catégorie pleine de C ,
On dit qu'un foncteur U:C -• Ens est
(B,C )-petit
si, et
seulement si ;
- pour tout objet C
de C , l'ensemble U(C') est B-petit,
Soit oc un ordinal régulier et C
une catégorie,
On dit qu'un foncteur U;C -» Ens est <x-commutant Cvoir Note
33 si, et seulement si;
- U commute aux limites inductives d'indexations petites et ocf iltrantes.
Soit B un ordinal régulier, C
sous-catégorie de C .

une catégorie et

C

une

APPENOICE

Plus précisément qu'au point 1 de cet Appendice, on dit que C
est (B,C )-modelée si, et seulement si;
- C
possède toutes les limites inductives d'indexations petites
et B-filtrantes,
- C ' est petite,
- C ' est pleine,
- C ' est dense,
- tout rétracte d'un objet de C
est isomorphe à un objet de
C
,
- tout objet de C
est un objet B-présentable de C ,
- pour tout objet
C de
C , la catégorie
C'/C
est Bfiltrante,
(ainsi, une catégorie
(B,C )-modelée est 9-modelable, pour au
moins un ordinal inaccessible 9 assez grand, et une catégorie
9-modelable est (B,C )-modelée, pour au moins un B<9 et au
moins une C
convenablement choisis!),
Soit
oc<B deux ordinaux réguliers, C
une catégorie et
C
une sous-catégorie pleine de C
tels que;
- C
est ( B , C )-modelée,
Il est facile de voir que:
-si
U;C -» Ens est un foncteur oc-commutant, alors l'ensemble
1 engendre le diagramme localement libre

(1/UlcO -> C

+ C ,

relativement au foncteur
U (autrement dit,
inductive canonique dans E n s c du diagramme

U

(HOmOi ( C x, — ) ) x « U < C > . C x — C , C «C^ •

est

limite

),

- si
U;C -> Ens
et
V;G -» Ens
sont deux foncteurs occommutants, alors la classe Nat(U,V) est un ensemble,
- si G
est un ensemble générique pour C , formé de foncteurs
oc-commutants, alors G
est légitime.
Soit
XP
(resp. X i ) une classe index-petite de cônes
projectifs (resp, inductifs), B*a(X P ) un ordinal régulier, C
une catégorie (B,C )-modelée et G
un ensemble générique pour
C , constitué de foncteurs oc( XP)-commutants et (B,C ' )-petits,
On note G x P
la plus petite sous-classe de O b Πn s ^ ) telle
que;

- G c GxP
- si U;C -4 Ens est un foncteur oc( XP)-commutant qui est sommet
d'un cône projectif, appartenant à
XP
et limite projective
dans Ens*^ d'un diagramme à valeurs dans t(Gx^)
, alors U
appartient à G x P ,

APPENDICE

Clairement, *(Q*<p>)
est essentiellement petite: on désigne
alors par E x P ( G )
un sous-ensemble de
GxP
tel que
t ( E x P ( G ) ) -• XiGxp)
soit une équivalence,
On note G xp. *.<=:• la classe des foncteurs V'.C -> Ens tels
que;
- U est oc( X^)-commutant,
- U est EJX:P(G )-satisfaisant Cvoir Note 43,
- U est ( B , C )-petit,
Clairement, *(G XÇ>,B.C
)
est essentiellement petite et
contient * ( G x P ) : on désigne par E ^ P . B . C (0,G) un sousensemble de G X P . B . C
tel que E x P ( G ) c E>cr*.*.<=?- (0,G )
et t(E*ct>.*.c
(0,G)) -» * ( G X : P , B . C ) est une équivalence,
Enfin, s'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on note plus
simplement;
E ( 0 , G ) = CE;xp».*,<=•((),G)3xrp. >r± ,

et;
#(0,G) = ^ ( E x p ^ . c . J G Î Î x p . x i i C -» Mod(E(0,Q)) .
Dans ces conditions, il est facile de voir que;
- le foncteur *(0,G)

est plein et

fidèle.

Soit
XP
(resp, X ± ) une classe index-petite de cônes
projectifs (resp, inductifs), B>ot(XP) un ordinal régulier, C
une catégorie ( B , C )-modelée et G
un ensemble générique pour
C , constitué de foncteurs oc-commutants et ( B , C )-petits,
On dit que G
d'enveloppe première

est ( Xç>,B,C,
X±)-enveloppable
1 fois et
(ou ]-ième)
E U , G ) , si et seulement si;

- le foncteur plein et fidèle *(0,G);C -> Mod(E(0,G)) admet
un adjoint à droite ^(0,G) ;Mod(E(0,G )) -> C
(on note, alors,
(*(0,G),^(0,G),eo,id)
une co-monade
idempo tente sur
Mod(E(0,G)) qui se déduit de cette adjonction),
- E(1,G) est l'ensemble des seuls objets U de E ( 0 , G ) tels
que;
+ pour tout modèle M;E(0,G) -» Ens , on a;
eo(M)(U) est inversible ,
- E U , G ) = CE(l,G)3xrP.x:i ,
Alors, on note:
- *(1,Q) = ^(E(l,G))x,3.^i:C -> Mod(E(l,G)) ,
que l'on appelle la comparaison ]-ième associée à G ,
Dans ces conditions, il est facile de voir que;
- le foncteur #(1,G)

est plein et

fidèle.

Soit
XP
(resp, Xi ) une classe index-petite de cônes
projectifs (resp, inductifs), B>oc(XP) un ordinal régulier, C

APPENOICE

une catégorie (B,C')-modelée et G
un ensemble générique pour
C , constitué de foncteurs «-commutants et (B,C')-petits,
Par analogie avec précédemment, si X est un ordinal, il est
facile de définir (par récurrence transfinie) à quelles
conditions G
est X fois ( X^,BtCf,
X±)-enveloppable
et, si
c'est le cas, quelle est son ( X^,BtC ', X» )-enveloppe
\-ième
E(X,G)
ainsi
que
la
comparaison
\-ième
*(X,G);C -> Mod(E(X,G)) .
Comme précédemment, on établit alors que;
- le foncteur *(X,Q) est plein et
fidèle.
Dans ces conditions, on dit que
G
est
totalement
(XP,B,C
, X i ) - e n v e l o p p a b l e si, et seulement si:
-pour tout ordinal
X , G
est
X-fois ( X P , ^ C , X ± ) enveloppable,
Soit
XP
(resp. X± ) une classe index-petite de cônes
projectifs (resp, inductifs) et C une catégorie.
On dit que C est ( X P , X i ) - a n a l y s a b l e si, et seulement si:
- il existe un ordinal régulier B>oc(XP) , une sous-catégorie
C
de C
et un ensemble G de foncteurs de C
vers Ens
tels que:
+ C est ( B , C )-modelée,
+ tout élément de G
est oc( Xç>)-commutant et ( B , C ) petit,
+ G est générique pour C ,
+ G est totalement ( X P , B , C , Xi)-enveloppable,
Dans ces conditions, il est facile de vérifier que Cvoir Note
43:
- une catégorie
C
est
(X P | Xi)-esquissable si, et seulement
si, elle est ( X*,
X*)-analysable,
En effet, si C
est ( X P , Xi)-analysable, il existe un B ,
une C
et un G vérifiant les conditions précédentes.
Désignons alors par . X le premier ordinal (qui, par hypothèse,
existe) tel que
E ( X , G ) = E(X+1 , G ) . On a donc, par
construction, C * Mod(E(X,G)) . Par conséquent, C
est
( X P , Xi )-esquissable.
Inversement, si
E
est une ( X P , X i )-esquisse telle que
C s Mod(E) , alors il existe un B et une C
tels que C
est ( B , C )-modelée. De plus, si l'on pose:
G = £ e v ( E ) E / EcOb(E) ) ,
il est clair que:

APPENDICE

- G
est formé de foncteurs ot( XP)-commutants (puisque les
limites inductives d'indexations petites et oc( XP)-f iltrantes se
calculent point par point dans Mod(E) * C ),
- G
est formé de foncteurs ( B , C )-petits (voir la construction
de B et C
donnée au point 1),
- G
est
générique
pour
C
(puisque
Yon(Proj(E))op>:Supp(E)c>,:> -> Mod(Proj(E)) est dense et Mod(E)
est une sous-catégorie pleine de Mod(Proj(E)) ).
De plus, la restriction à
*E:XP>.B.O= • (0,G)
du foncteur
ev(E):Supp(E) -• E n s 0 * Ens" 0<1CE:J
définit évidemment un
homomorphisme de (XP,Xi)-esquisses;
£V(E):E -> E ( 0 , G ) .
Alors, *(0,G) = Mod(€v(E)):Mod(E(0,G)) •• Mod(E) * C
est
évidemment adjoint à droite de
0(0,G) . Ainsi, G
est
( X p . B . C , X*)-enveloppable 1 fois,
On procède de même pour les "ordres supérieurs": G
est donc
totalement ( X P , B , C , X i )-enveloppable et, par conséquent, C
est ( X P , Xx)-analysable,
CNote 3, Clairement, si
G
est un ensemble de foncteurs
représentables
G:C •* Ens
et générique pour
C , alors un
ensemble Rep(G) , de représentants des G É G , est générateur
(au sens classique) dans C .
De même, si U = Hom<=(C,-);C -» Ens est un foncteur oc-commutant
et repésenté par l'objet C de C , alors C est un objet ocprésentable de C ,
Evidemment, ce n'est ni innocemment ni fortuitement que la
terminologie - et les techniques - utilisées ici sont à
rapprocher de celles employées par Qabriel-Ulmer en (L.P.L.G,),
CNote 4. La caractérisation
sémantique et
intrinsèque
des
catégories ( X P , X i )-esquissables - avec une Xp> et une Xi
quelconques arbitrairement fixées - que nous formulons ici (en
faisant
volontairement
figurer quelques conditions qui
techniquement - ne sont pas absolument nécessaires, mais
facilitent la comparaison avec les caractérisations précédentes essentiellement, d'ailleurs, celle du point 1) est évidemment
nettement plus sophistiquée que celle des catégories esquissables
obtenue en (C.M.C.E), et rappelée au point 1, ou que celle des
catégories (?, X i )-esquissables - avec seulement une
Xi
localement librement co-stable arbitrairement fixée - obtenue au
point 2: à l'exception de quelques paraphrases plus "séductrices"
(toujours possibles ... et que nous laissons le soin de formuler

APPENOICE

à d'autre(s) - fort expérimentée s) en la matière), il ne semble
pas que l'on puisse notablement l'améliorer, par exemple en
n'énonçant que des propriétés "intérieures" (mais pas plus
internes que les précédentes) à C , i. e.
ne faisant pas
intervenir

Ens*22 .

• Il n'en demeure pas moins que cette caractérisation indique
très précisément la marche à suivre: construire les enveloppes
successives. En effet, un ensemble de foncteurs G , générique
pour C , ayant été choisi, de deux choses l'une;
- ou bien, à l'étape X , il y a échec dans la construction de
l'enveloppe suivante (i. e. il n'y a pas l'ajoint à droite
espéré): alors la catégorie considérée n'est pas ( X P , X ± ) esquissable (en tout cas, pas par une ( XP, X±)-esquisse
"engendrée par G " ) ,
- ou bien il n'y a "jamais" (i. e, quand on pousse la
récurrence - qui finit, de toute manière, par "stationner" assez loin) échec; alors une (XP, Xi)-esquisse, esquissant C ,
est automatiquement obtenue (de plus, elle contiendra toute autre
(XP,Xi)-esquisse de C
"engendrée par G " ) ,
Notons que le choix d'un ensemble de foncteurs
G ,
générique
pour
C , susceptible
d'être
effectivement
suffisamment
enveloppable
n'est
pas
plus
difficile
(ou
arbitraire) que celui d'un ensemble générateur propre dans une
catégorie dont on souhaite prouver qu'elle est, par exemple,
localement présentable,
La construction des enveloppes successives de G
correspond
exactement à la préoccupation suivante (analogue à celle qui se
présente dans le cas des catégories localement présentables):
- déterminer toutes les sortes d'une (XP,Xx)-esquisse de C ,
conditionnées,
à partir des "sortes de base" que sont les
éléments de G , aussi bien par des contraintes
Xp-projectives
que par des contraintes
Xi-inductives.
On ne peut ici (au contraire du cas purement projectif) se
limiter à seulement ces nouveaux objets que sont les limites
(projectives
ou
inductives) d'anciens;
par
exemple,
le
complémentaire
A' , dans
B , de
A c B , est entièrement
conditionné, quand
A
et
B sont connus, par la contrainte
inductive
A+A' = B
et, cependant, A' n'est pas limite
(projective ou inductive d'indexation discrète) d'un diagramme à
valeurs dans
CA,B) , C'est tout le rôle des foncteurs
"satisfaisants" que de permettre d'atteindre ces nouveaux
objets,3

B I B L I O G R A P H I El

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jggoses»

Triples

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Théories,

Springer,

T A B L E

INTRODUCTION

SECTION

I:

CATEGORIES

p.

QUALIFIABLES

1 . 1 . VALIDATION ET SATISFACTION.
1.1 .1 . V a l i d a t i o n ,

1.1.2, Satisfaction,
1.1.3, Satisfaction implique validation,
1.2. FAMILLES LOCALEMENT INDEPENDANTES
ET DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES.
1.2.1, Familles localement indépendantes
relatives,
1.2.2, Diagrammes localement libres
relatifs.
1.2.3, Transitivités,
1.2.4, Familles localement indépendantes
(relatives à une sous-catégorie pleine),
1.2.5, Diagrammes localement libres
(relatifs à une sous-catégorie pleine),
1.2.6, Familles localement indépendantes
et diagrammes localement libres associés.
1.3. AXIOMATISATIONS ET QUALIFICATIONS.
1.3.1. Axiomatisations.
1.3.2. Qualifications,
1.3.3. Axiomatisabilité équivaut
à qualifiabilité.
1.3.4. Qualifications particulières.
1.4. QUELQUES PROPRIETES DES CATEGORIES
QUALIFIABLES.
1.4.1. Propriétés de "réflexion".
1.4.2. Calculs de limites.
1.4.3. Calculs d'ultraproduits,

p.

5

p.
p,

7
7

p,
6
p. 11

p.

13

p,

13

p,
p,

14
17

p,

18

p,

19

p.

20

p. 23
p. 23
p. 24
p. 25
p. 28

p. 31
p. 31
p. 36
p. 43

SECTION

I I :

CATEGORIES

ESQUISSABLES

1 1 . 1 , GRAPHES COMPOSITIFS,
1 1 . 1 . 1 , D é f i n i t i o n des graphes
compositifs,

11.1.2. Foncteurs.
11.1.3. Transformations naturelles.
11.1.4, Catégories engendrées,

p. 49
p,

51

p.

51

p.
p.
p,

54
55
57

11.2. ESQUISSES.
11.2.1. Définition des esquisses.
11.2.2. Homomorphismes.

P.
p,
p.

59
59
65

11.3. MODELES.
11.3.1, Définition des modèles,
11.3.2, Homomorphismes de modèles,
11.3.3, Catégories esquissables.
11.3.4, Comparaisons d'esquisses,

p.
p.
p.
p.
p.

67
67
69
72
73

11.4, PROPRIETES DES CATEGORIES ESQUISSABLES,
11.4.1. Propriétés des catégories de
foncteurs.
11.4.2. Propriétés des catégories
projectivement esquissables.
11.4.3. Propriétés des catégories
(oc, VA)-esquissables.
11.4.4. Propriétés des catégories
(<x,DisCi)-esquissables,
11.4.5. Catégories qualifiables et
catégories esquissables.

p.

77

p.

77

p,

79

p.

85

p.

87

p.

92

SECTION III: DIX EXERCICES
CATION ELEMENTAIRES

D'APPLI-

III. 1. CINQ EXERCICES ELEMENTAIRES SUR LES
CATEGORIES QUALIFIABLES.
111.1.1. Premier exercice.
111.1.2. Deuxième exercice.
111.1.3. Troisième exercice.
111.1.4. Quatrième ecxercice.
111.1.5. Cinquième exercice.

p. 97

p. 99
p. 99
p. 101
p, 103
p. 105
p. 107

I I 1 . 2 . CINQ EXERCICES ELEMENTAIRES SUR LES
CATEGORIES ESQUISSABLES.
: 1 1 . 2 . 1 . Premier e x e r c i c e .
: i l . 2 . 2 . Deuxième e x e r c i c e .
: i l . 2 . 3 . Troisième e x e r c i c e .
: 1 1 , 2 , 4 . Quatrième e x e r c i c e ,
: i l . 2 . 5 . Cinquième e x e r c i c e .

APPENDICE:
CARACTERISATIONS
TIQUES
INTRINSEQUES
DES
CATEGORIES
ESQUISSABLES

p.
p.
p.
p.
p.
p.

111
111
113
117
121
123

p.

127

SEMAN-

BIBLIOGRAPHIE

p. 143

KJ*4 1 V E R S X T E

U.F.R.
TOURS

DE

PAR I S

MATHEMATIQUES

46-55-6èm«

2
7S251

PLACE
PARIS

ETAGE

JUS&IEU
CEDEX

OS

FRAlNieE

7