D IAGRAMMES

W EISHU S HIH
Une méthode élémentaire pour l’étude des équations
aux dérivées partielles
Diagrammes, tome 16 (1986), p. WS1-WS69
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1986__16__1_0>

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Lettre

de

Weishu

SHIH

aux

éditeurs

Ce manuscrit existe depuis huit ans <**, L'auteur a essayé
de le publier avec l'appui inlassable de R.Thom, dont l'influence
est importante dans ce travail, Les tentatives ont été vaines,
Les jugements des personnalités dominantes, bardées de médailles
et auréolées de prestige, sont de deux sortes,
D'un côté, les sceptiques : MI1 est impossible de faire
(surtout un vieux type médiocre !) une étude générale sur les
systèmes d'équations aux dérivées partielles, donc c'est un "nonsens" ",
De l'autre, les prétentieux qui n'hésitent pas à taxer ces
mêmes travaux de "trivialité", alors qu'ils ont eu l'occasion de
montrer leur totale inaptitude à résoudre un petit exercice
d'application
facile de ces "trivialités", concernant la
résolution de l'équation d'Euler !
i

i •

Donc la parution d'un tel "non-sens" ou d'une telle
"trivialité" dans leur journaux prestigieux serait une insulte
inadmissible, Il faut être juste; un éditeur avait accepté à la
condition que soient supprimées quelques lignes qui pourraient
offenser la classe dominante et superpuissante, mais ces lignes
sont aussi importantes que le reste du manuscrit, car lorsqu'on a
perdu le chemin, ce n'est sûrement pas la faute du "pied" (la
classe dominée) mais celle de la "tête" (la classe dominante),
Cette dernière, confiante dans sa doctrine individualiste, montre
au grand jour que "la science sans conscience" (i,e. avec la
seule conscience égoïste des médailles et de l'argent) "n'est que
ruine de l'âme !" D'ailleurs la crise profonde et durable dans

<** Dans la forme où il est finalement publié ici, Entre temps,
quelques notes de Shih aux comptes rendus de l'Académie sont
parues, Il estime qu'elles constituent des "développements
mineurs" du présent texte, lequel propose l'essentiel des idées,
des résultats et de leurs démonstrations détaillées,

laquelle nous nous enfonçons un peu plus chaque jour est une
preuve évidente du fait que cette classe dominante ne développe
sa science et sa technologie, à court terme, qu'au profit d'une
poignée d'exploitants !!,,,
L'auteur remercie vivement les éditeurs de Diagrammes
d'avoir bien voulu accepter de publier un tel "non-sens" ou une
telle "trivialité", Et le jour viendra où ce "non-sens" ou cette
"trivialité" réapparaîtra sous le nom de quelque seigneur
dominant:

"il n'a jamais respiré une fleur
il
n'a
jamais
aimé
personne
il n'a jamais rien fait d'autre
que des
additions
il ignore que le futur n'appartient
pas
seulement
aux "chiens fidèles
des riches et traîtres
honteux
des pauvres"
son seul but est d'obtenir
des
médailles,
la carotte des
multinationales.,,"

PLAN

Introduction

p§ Q

1, Notations

p§ 5

2, Homologie sectionnaire

p( 9

3, Variétés Grasmanniennes et équations du premier ordre

p.ll

4, Le système canonique

pj5

5, Systèmes canoniques associés à D*

pf27

6, Le gradué associé à D

Pi 31

7, Stratification canonique d'un système d'équations aux
dérivées partielles

p§37

8, Equations secondaires d'un système d'équations aux
dérivées partielles

p§ 43

9, Problème de Cauchy et solution locale

p,47

10, Obstruction pour l'existence d'une solution globale

p,55

Appendice

p|S9

Bibliographie

p,6S

DIAGRAMMES

VOLUME

16

UNE METHODE ELEMENTAIRE
POUR L'ETUDE DES
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
Weishu Shih
(C.N.R.S.)
Egalité

de consommation pour tous les êtres humains

Ce travail a pour but de proposer une méthode différente de
résolution d'un système d'équations aux dérivées partielles
analytiques réelles, Nous allons donc rechercher une fonction
analytique u = (ui,U2 M I I J u m ) à valeur réelle, à n variables
x = (xi ,xz,,,, ,Xn) e R n , n * 2, qui vérifie les relations :
(1)

fh(xJulSu/SxlSk,u/*xk') =

0

, h = 1,2,,.,,1^

données par m' fonctions analytiques réelles fh ,
En dépit de récents progrès sur ce sujet, nous souhaitons
attirer l'attention sur le fait que cette méthode donne le
développement en série des solutions (cf,(51)"), c'est-à-dire une
méthode constructive et uniforme, Uniforme signifie qu'elle
fonctionne indépendemment du type d'équations, qu'elles soient
linéaires, non-linéaires, surdéterminées, etc,,,
De plus, elle paraîtra élémentaire puisque l'on n'a pas
besoin de notions savantes telles que l'involution (resp, théorie
de Galois) du système, pseudo-groupe de Lie (resp, différentiel),
variété de dimension infinie, résolution de Spencer, méthode
variationnelle, hyperfonction, etc,,,

US 2

Enfin, cette méthode semble plus naturellement adaptée aux
problèmes avec contraintes, par exemple problème de Cauchy,
problème mixte, etc,.,
La mise en oeuvre de cette méthode fait donc uniquement
appel à la notation de Monge, au repère mobile et à quatre idées
qui, bien qu'élémentaires, semblent encore inconnues dans la
littérature. Il s'agit de l'homologie sectionnaire (i 2) C263, de
la construction d'une suite de variétés (§4) C27] à partir de
deux variétés données, du rapport (§3) [27] entre les sousespaces d'une variété Qrasmannienne et les équations aux dérivées
partielles, enfin du gradué associé à un système d'équations aux
dérivées partielles (§6) [27],
En effet, à l'aide de ces quatre notions, on peut construire
canoniquement à partir de (1) un système d'équations aux dérivées
partielles à (n-1)-variables dont la résolubilité est nécessaire
à la résolution de (1) et suffisante sous certaines conditions
supplémentaires, Il s'agit donc d'une méthode par récurrence sur
n > 2.
Ce travail a été exposé au Colloque de Calgary de 1978, mais
le manuscrit a été rejeté par l'éditeur Springer-Verlag. Depuis,
une partie de ces résultats est parue dans C27], dont on
retrouvera
ici
un
complément
avec
toutefois
quelques
modifications de terminologie, La présente rédaction était
destinée au Colloque International de Marseille de Mai 1982, qui
n'a publié que les textes rédigés en langue américaine. C'est une
dangereuse menace et une insulte inadmissible faite aux trésors
de mathématiques classiques rédigés en langues allemande,
française ou italienne, etc... Un tel monopole risquerait bien de
ruiner nos civilisations. De plus, la colonisation culturelle,
comme toute colonisation, ne fait pas le bonheur du monde, Il est
certain que les super cow (resp. play) boys américains ne
réussiront pas seuls à redresser la situation de décadence dans
le monde.
D'autre part, le travail de Shih Wei Hui sur l'équation d'un
fluide général [24] semble montrer que cette étude ne relève pas
de la doctrine de l'art pour l'art, mais suit l'enseignement de
quelques maîtres français, anciens et contemporains, qui ont
prôné l'unité des mathématiques [7], C203. Cependant, le risque
que mon travail ne soit qu'un "pollugraphe" de compétition à
l'américaine est très grand, Comme il s'agit de mon tout dernier
travail, je ne peux qu'exprimer l'assurance d'avoir fait tous les

US

efforts qui étaient en mon pouvoir pour éviter ce risque avec la
pensée qu'il existe dans le monde des gens qui meurent de faim,
Il me reste à exprimer mes vifs remerciements pour
l'encouragement et l'aide que m'ont apportés en particulier,
F.Breiner, C.Bruter, H.Cartan, Chang Ho Joai, J.Cerf, Cheng Sho
Ming, C.C.Chou, Chuang Yien, A, et G.Didierjean, J.Dieudonné,
Ch.Ehresmann, A,et H.Grothendieck, M.H,Jullien, Kiang Shin, Kim
How, T.Klemola, Takashi Kotake, F,Laionde, Lau Ben You,
M.Laveille, A, et C.Legrand, J.Leray, Liang Pai Tchein, Liu Shu
Lin, J,A.Marti, B,Malgrange, Show Mong, J.Nash, Nguyen Dinh Ngoc,
M.Perroud, J.E.A.Shih, Shih Wei Hui, R.Thom, E.Wagneur, Wang Chi
Shen , Yeu Che , Chen Yuh Ching et G.Weill,

WS

Notât i ons

Toutes
les
variétés
sont
supposées
indéfiniment
différentiables ainsi que les applications entre elles, Rappelons
que la notation de Monge [32] pour une équation du second ordre à
deux variables
( x ^ u ^ q ^ s , t) € R 8 , où
u,p,q#r,sft
correspondent à la fonction inconnue, à ses dérivées premières,
secondes, et aux formes du = pdx + qdy , dp = rdx + sdy #
dq = sdx + tdy , est généralisée pour deux variétés V , Z par
ce qu'on appelle les k1*""** espaces d'Ehresmannc*°, J*(V,Z) ,
espace des
k~jets selon [12], En effet, une carte locale de
J^CVjZ) n'est autre que la notation de Monge • pour des entiers
positifs 1 i jo < ji < ,,, < jx < n et et ) lf on notera en
abrégé;
j*

«

joe? jiei,,.jxex

alors les coordonnées de

, et

lei * eo + ei + ,,.+ ex ,

JMR^R"*)

s'écrivent

(x,u,«|. 3

où p
prend les valeurs 1, 2, ,,,, m,
lel < k , et où les
formes canoniques de Monge-Ampère s'écrivent:

(2)

Alors,

dot*V •

les

formes

l «*% {m dxt
#
i

d<x>*im - î « ^

,

im

!el < k-1

dx*

différentiel I* [13] de Cartan-Ehresmann de
peut s'écrire alors;

(l)1

fH<x
fnCXjU,*^.)
fu,«t*\.) = 0

engendrent

l'idéal

Jk(V,Z), Ainsi

h =1,2,
=1,2,, .^m',
#, h

(1)

lel < k'

Cette équation définit alors un sous-espace D de Jk'(V,Z) , On
peut donc considérer un sous-espace de J^V^Z) comme un système
d'équations aux dérivées partielles pour les fonctions f de V
à valeurs dans Z . C'est ce que nous entendons faire par la
suite, Il faut également remarquer que cette définition implique
d'une part que les opérations de réunion, d'intersection, les
(#) Les bonnes idées sont rares et les voleurs nombreux

WS 6

relations d'ordre par inclusion des sous-espaces, s'étendent aux
équations aux dérivées partielles , et d'autre part qu'elle
contient le cas des inéquations aux dérivées partielles, Par
ailleurs, le problème aux limites ou problème mixte est formulé
alors de la façon suivante; on se donne un sous-espace i \ M 4 V
de la variété V, et un autre sous-espace D" de Jk"(V,Z)lM ,
restriction à M
de Jk"(V,Z) (i.e, l'espace fibre induit par
i de l'application source
Jk"(V,Z) 4 V), appelé équation
de
N
contrainte,
Alors pour trouver une solution au problème (0,D ) il
faut rechercher une fonction f : V 4 Z dont les jets d'ordre k
et k \ jkf : V 4 Jk(V,Z) et jk"f : V 4 Jk"(V,Z) satisfassent
les inclusions
Im jkf
c
D
et
Im jk"f-f
c
D" .
Désignons par

cck*" : Jk(V,Z) 4 Jk"(V,Z) , -1 < k" < k
(3)
Ac

: Jk(V,Z) 4 Z , 0 < k

les projections canoniques induites par les applications source
et but [123, avec la convention J_1(V,Z) = V , Dans le cas où Z
est une variété algébrique réelle, otkk-i définit une famille de
variétés algébriques sur Jk(V,Z) paramétrisée par J k-1 (V,Z),
en considérant les fibres de ockk-i, Une équation aux dérivées
partielles d'ordre k : D c Jk(V,Z) est dite quasi-algébrique
(resp, quasi-linéaire) de degré algébrique d , si la restriction
de ockk-i à D : D 4 Jk~1(VlZ) est une sous-famille algébrique
de degré
d (resp, de degré 1 ) , De même, on définit les D
quasi-analytiques quand
Z est une variété analytique réelle.
Dans le cas où
V
est aussi une variété algébrique (resp,
analytique) , D est dite algébrique (resp, analytique) si D
est un sous-ensemble semi-algébrique (resp. semi-analytique) de
Jk(V,Z) , Enfin on notera par

(4)

e* : J k ^(V,Z) 4 J,(V,Jk(V,Z))

l'application d'Ehresmann (voir [13]), qui fait correspondre à
fo € J k ^(V,Z) le 1-jet au point
xo e V de l'application
f~(x) = jkf(x) où f ; V 4 Z est un représentant de fo, i.e,
fo = j k ^f(Xo) ,

WS

D'autre part, rappelons que les
r-repères mobiles d'une
variété différentiable X , forment une variété dite de Grasmann
[15], 6r(TX) qui est un espace fibre localement trivial sur X :

(5)

p : Q.(TX) 4 X

le fibre associé au fibre principal de l'espace tangent TX de X,
Si
a : X 4 V
est un espace fibre sur la variété V, nous
appellerons Grasmannienne transverse à a et désignerons par
Gr*(TX) la sous-variété de Gr(TX)
formée par les r-plans, ou
sous-espaces de dimension r de TX , qui sont transversaux à
l'espace tangent le long des fibres de
a ; elle est encore
fibrée par p sur X ,
Pour un sous-espace

(6)'

TA

A

de

, 6r(TA)

les sous-espaces respectifs de

X , on notera par

, Jk(V,A)
TX

, Gr(TX)

, Jk(V,X) formés

pour
TA , des vecteurs tangents qui peuvent être
représentés par un germe de courbe g : ]-l,+U 4 X tel que
l'image g([0,D) soit contenue dans A , et on désigne par T~A
le cône engendré par TA : T"A =* C T I T C TA ou -T € TA ),
pour Gr-(TA), des r-plans qui peuvent être engendrés par les
vecteurs de TA,
pour
Jk(V,A) , des k-jets qui peuvent être définis comme
suit : d'abord, pour k = 1 : un f c J'(V,Z) est élément de
J'(V,A) si et seulement si l'application linéaire qu'il définit
de Tor</>V dans TB</>Z a son image dans T~B<*>A ; pour k ) 2
on définit Jk(V,A) de manière tout à fait semblable , mais nous
n'en avons pas besoin pour la suite .
Ces notations sont cohérentes quand
de X.

A est une sous-variété

WS 8

Pour une immersion
g : Y 4 X
dimension r , on désigne par

(7)

g~

d'une variété

Y

de

: Y 4 Gn(TX)

l'application qui fait correspondre à chaque point y de Y le
r-plan
g~(y)
image de l'espace tangent en
y à Y
par la
dérivée de g .
Rappelons maintenant que la stratification canonique d'une
application continue
f : X 4 Y
entre deux
C-W complexes ,
notée Y = Yo + Yi 4 ... , est définie comme suit;
Yo est le plus grand ouvert de Y tel que la restriction
de f à f-1(Yo) : f^UYo) 4 Yo
soit une projection d'espace
fibre localement trivial (resp.fibre de Serre),
Yi
est le plus grand ouvert de
Y - Yo
tel que la
restriction de f à f""MYi) : f~MYi) 4 Yi soit une projection
d'espace fibre localement trivial (resp. fibre de Serre),
et ainsi de suite ...
Cette définition coïncide avec celle de stratification par
le "rang" dans le cas où f est une application différentiable
propre entre deux variétés différentiables [31] .

ws
Homologie

sectionnaire

Rappelons quelques notions introduites dans
[263 et qui
concernent les variétés différentiables. D'abord un q-simplexe
sectionnaire (r#Y) (différentiable) d'application f ; X -• V
entre
deux
variétés
est
formé
par
deux
plongements
(différentiables) du q-simplexe standard ûc
Jo
(

8>

f : ûq •» V

, ï : iq ^ x

tels que
f-¥ = <r . Notons par
S=,(f)
l'ensemble de tels
simplexes muni de la topologie induite par celle de Whitney dans
l'espace de toutes les fonctions indéfiniment dérivables de ûc
dans
V x X. Les
(q+1 )-faces
S± de
ûc
nous permettent
d'introduire un homomorphisme
de
du groupe abélien libre
engendré par
S<,(f) dans celui engendré par
S„-i
tel que
dc-i • de = 0 . On obtient alors , par la méthode habituelle , le
q-ième groupe d'homologie sectionnaire de f -, noté Hc,(f).
Pour un idéal différentiel [10] I de X, on définit
1'homologie sectionnaire attachée à I : H*(f)».x à partir du
sous-espace
S=,(f,I) de S=,(f) formé par les couples (<r,Y)
tels que Y soit I-intégrable C293 , i.e. les formes induites
sur ûc par ¥ , soit Y*(u), vérifiant pour toutes les formes
u € I , la condition
C9)

¥*(u) = 0 .

On obtient évidemment des homomorphismes canoniques

<9>'

où

H*(f). -* H*(X,Z) ,
H*(f). -» H*(V,Z) ,
H*(f)„.x -* H*(f). ,

H*(X,Z) est l'homologie ordinaire à cefficients entiers.

Dans le cas où V est orientée de dimension n , le degré
de f (resp.degré de f attaché à / ) , deg f c Z*+£«} (resp.
degif) , est défini de la manière suivante : c'est le nombre des
éléments (cardinal) du groupe quotient Ho(XJZ)/Im p ~ Z/Ira p
moins 1, où
p ; H„(f)_ -> H„(X,Z)
(resp.
p ; H„(f)..x ->
Hr.(X,Z)) est la projection canonique (cf. (9)') . De même le

US 10

faisceau associé à une théorie d'homologie nous permet de définir
le degré local degxf (resp, deg*.xf) au point x e V [28] . On
obtient
(10)

sup degxf
X€V

<

degxf

,

deg*f

i

deg~,jf

La nullité du degré (resp, degré local attaché à / ) de f
est une condition nécessaire à l'existence d'une section
g : V -> X telle que f-g = Idv , En effet, le cycle sectionnaire
défini par 6 = E(<ri,go-i) , où l<r± est homologue à la classe
d'orientation [V] de V , vérifie p[6] = [E<r±] (resp, pour la
section locale, g annule l'idéal I) , En particulier, pour qu'une
équation aux dérivées partielles 0 c
Jk'(V,Z) possède une
solution C" (resp, une solution locale), il faut que le degré
(resp. degré local) attaché i l'idéal J*- de Cartan-Ehresmann
de l'application oc : D -* V soit nul . Donc deg f = 0 ; or ce
degré est déterminé par les moyens topologiques.
D'autre part, un
q-simplexe sectionnaire
(<r,ï)
de
l'application
oc : J*(V,Z) -» V
(avec q < dim(V)) intégrable
pour
IK , précise la notion de conditions initiales d'une
équation aux dérivées partielles sur une sous-variété de
dimension q de V , soit Im <r .
Par exemple, pour une équation du second ordre sur R 2 , la
condition initiale sur la droite y = 0, soit u(x,0) = Vo(x) ,
£u/$y(x,0) = vi(x) , correspond à un
1-simplexe sectionnaire
(<r,Y) de
J ' C R ^ R ) -• R 2 , à savoir <r(x) = (x,0) , *(x) =
(xl0,vo(x),Svo/Sx(x),vi(x)) tel que ï*(du-pdx-qdy) = 0 ,
De plus, la considération des structures de topologie sur
l'espace des fonctions C" de ûc dans le produit Jk(V,Z) x V
nous permet d'étudier la déformation des conditions initiales
ainsi que le problème de recollement des solutions.
Ceci, ainsi que d'autres avantages que nous verrons plus
loin, justifie l'intérêt d'introduire la notion "simpliciale"
dans les équations aux dérivées partielles.

US 11

3,
du

Variétés
Grasmanniennes
premier
ordre

et

équations

Etant données deux variétés différentielles
X , Y
de
dimensions respectives n et N > n , X orientée, il y a une
unique équation aux dérivées partielles [27] du premier ordre,
soit I c J'(X,Y) , dite équation d'immersion qui possède la
propriété suivante ; une application différentiable f : X -* Y
est une immersion , si et seulement si f est une solution de I,
Pour cela choisissons une métrique Riemannienne sur le nième produit extérieur A "TY de l'espace tangent de Y ; notons
llxll la norme d'un élément x de A "TY ; soit 6 une orientation
de X. Alors on définit I e JMX.Y) comme suit : po e I si
et seulement si il y a une représentation de po, soit g ,(on a
donc po = j1g(xo) et xo = oc(po)), telle que IIA "Dg(6(xo))ll
soit 4 0, où A "Dg : A "TX •* A "TY est le n-ième produit
extérieur de la dérivée Dg de g. Il est clair que ceci ne
dépend pas du choix de
g , ni de la métrique, ni de
l'orientation
© , Donc
I
est bien définie et possède
évidemment la propriété voulue, Ce fait, bien que trivial montre
l'existence d'une relation étroite entre l'étude des invariants
des immersions en topologie et la recherche des solutions
globales de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles
du premier ordre,
De même, chaque sous-espace S c
Gn(TY) détermine une
unique équation aux dérivées partielles, dite associée à S ;
(11)

E(S)

c

JMX,Y)

telle que l'application
f : X -> Y soit une solution de E(S)
si et seulement si f est une immersion, c'est-à-dire E(S) c I
et l'application canonique définie par
f (cf. (7)) , soit
f* ; X 4 6r,(TY) , vérifie Im f~(x) c S , En effet, il suffit
de définir E(S) comme étant l'ensemble des po € I c J*(X,Y)
qui possèdent une représentation
g
(donc
po = jJg(xo) et
xo = oc(po)), telle que l'image de T Xo <X)
sur
Dg(xo)
soit
contenue dans S , puisque cette image ne dépend que de po , et
non pas de la représentation g , De plus, il est clair que cette
construction respecte l'ordre d'inclusion
(cf. § 1) , c'est-àdire que 1'on a :

US 12

(11)'

S

c

S'

=*•

E(S)

c

E(S')

D'autre part le même raisonnement nous permet d'établir le
fait suivant : soit M une sous-variété de X de codimension 1
pour simplifier les notations, Alors chaque couple de sousespaces Si c Go(TY) x 6o(TY) et Sa c G»-i(TY) x Gr.(TY) x G»(TY)
détermine un unique système E(M,Si,S2) d'équations aux dérivées
partielles avec contraintes (cf. § 1) :

(12)

Do

c

J°(X,YxY)

D*

c

JMX^XY^M

Di

c

JMX,YxY)

E(M,Si,Sa) :

Ce système possède les propriétés suivantes
; une
application
f » (fi,fa) ; X «* Y x Y est une solution de ce
système si et seulement si fi et fa sont des immersions qui
coïncident sur M, soit fo = fili-i = fali* : M 4 Y ,
De plus, l'image de l'application
fo~ x fi~ x fa~ : M
est contenue dans

-* Gn-i(TY) x G«(TY) x Go(TY)

Sa. Enfin l'image de l'application

fi" x fa- ; X 4
est contenue dans

(cf, (7))

G»(TY) x Go(TY)

Si,

Considérons maintenant deux sous-espaces Si c G™(TX) et
Sa c
Go(TY) ; alors ils déterminent une et une seule équation
aux dérivées partielles :
(13)

E(Si,Sa) c

JMX,Y)

qui possède les propriétés suivantes :
f ; X -4 Y
est une
solution de E(Si,Sa) si et seulement si f est une immersion
et l'application induite par la dérivée Df sur Go(TX) notée
(14)

go(f) ; G«(TX) -4 G«(TY)

vérifie
Im gn(f)(Si)

c

Sa .

US

13

Enfin, remarquons que la construction des équations
associées peut être appliquée à d'autres situations plus
complexes. Dans le cas où
X
et
Y
sont des variétés
algébriques réelles (resp. analytiques), et où
S
est semialgébnque (resp. analytique) , alors les équations associées
E(S) sont algébriques (resp. analytiques).

US 15

4,

Le système

canonique

Fixons-nous deux variétés différentiables V et Z de
dimensions respectives n > 2 et m , Rappelons que l'on a
construit dans [27] deux suites de variétés appelées système
canonique

(15)

de

V

dans

Z, soit

Er.ic(V,Z)

, Ur,k(V,Z)

, 0 < r < n+1 , k * 0 ,

qui nous permettent de transformer les problèmes d'équations aux
dérivées partielles en problèmes géométriques de ces suites de
variétés, et vice versa, Voici la construction : remarquons
d'abord que a ^ 1 * ; J k ^(V,Z) -> Jk(V,Z) (cf, (3)) induit une
application que l'on notera par
(16)

gr #k ; G ^ T J ^ ' ^ Z ) )

4 6r.*(TJk(V,Z))

où
Gr*(TJk(V,Z))
est la grasmannienne
k
k
oc -i : J (V,Z) -> V (cf, (6)), et par

transverse

à

G ^ C T J ^ ^ Z ) ) x Jk*2(V,Z)
(16)'

*r.k

4,

G,.*(TJk(V,Z)) x J k ^(V,Z)
l'application produit gr,k x ock*"2i<*i, Alors on définit
(17)

Er.k(V,Z) c

6r*(TJk(V,Z)) x J k ^(V,Z)

comme étant le sous-espace des couples

(r,y) :

(T,y) € Gr*(TJk(V,Z)) x J k ^(V,Z)
tels qu'il existe un
T' € Gr*(TJkHk,(V,Z))
vérifiant les
conditions suivantes : gr.k(T') = T , PK-HI(T') = y et <w,v> = 0
(cf, (5)) pour toute forme u € IK-^I et tout vecteur v € T',
Alors on pose
(18)

Ur.k(VfZ>

c

Gr*(TJk(V,Z))

US 16

comme étant l'image de
de premier facteur pi

Er,k(V,Z))

par la projection canonique

pi : Gn*(TJk(V,Z)) x J k ^MV,Z)

-» Gr*(TJk(V,Z))

(19)
pa : Gr*(TJk(V,Z)) x J ^ ' ^ Z ) 4 J k ^(V,Z) .
On
notera
par
p : Er.k(V,Z) •* Ur,k(V,Z)
et
par
p' : Er,k(V,Z) 4 J ^ M V j Z ) les applications induites par pi et
pa , Il en résulte que fr.k et gr |k induisent les applications

Er,k-l(V,Z)
(19)'

-)

Er.k(V,Z)

i

J,

Ur,k-l(V,Z)

g
-»

Ur.k(V,Z)

qui commutent avec les p,
Remarquons d'abord que
Er,o(V,Z)
est une sous-variété
différentiable de
Gr*(TJ°(V,Z)) x JMV,Z)
de dimension le
nombre n + m + n.m + (n-r).r, que Ur.o(V,Z) = Gn*(TJ°(V,Z)) est
de dimension n + m + (n+m-r),r , et que l'application
p : Er,o(V,Z) 4

Ur,o(V,Z)

est de rang maximum, Ses fibres constituent une sous-variété de
JMV,Z) de dimension (n-r).m , Comme le problème est local, il
suffit d'étudier le cas où V = R " et Z = R m , Pour ceci,
désignons un point t de R c , où c = n+m+r, (n-r)+n,m ,par
(20)
t = (Xl , ,Xn,Ul , « U m ^ 1 1 , ,y J i , , j " " ^ ! 1 1 , .Z-'r,!»/1 1 , ,W k j , ,W W n-r)

e± = (0,,,.,0,1,0,,,,,0) c R n

, i - 1, . ,.,r

Considérons l'application
* ; Rc

-> Gn*(TJ°(R",R-)) x J M R ^ R - )

,

US

17

^(t) = (T,f), définie de la manière suivante ; r, élément de
Gr:ic(TJ0(R0,R,n)) est le r-plan au point (x,u) = (xi, ,Xr.,ui, ,u«)
((x,u) est élément de J°(R",R m )) engendré par les r vecteurs

(20)'

(^1,,^^1,11^1,,,2-4)

,

i = 1M1I|P

f € JMR^R")
e s t l e 1 - j e t d'une a p p l i c a t i o n
R " dans R m t e l l e qu'au p o i n t x • ( x i , , , X n )

f(X) = (Ul,,,Um)

,

=

wkj

,

S f k / S x » - ^ i (x)

=

zk± -

fifk/Sxj

(x)

f • ( f i , , , f m ) de
on a i t :

n-r
£
j=l

wkJfyJi

où k = l,,,,,m , i = l |l(l r et j = l^.^n-r , On vérifie
directement que \f est injective. En déplaçant la position de
ei par rapport aux yJi dans (20) on obtient d'autres ^,
soit f , On peut remarquer d'après (2) que l'union des images
de ces ^' forme un recouvrement de Er.o(Rr,,Rm) , d'où l'on
déduit que Er,o(R",R m ) est une variété, Comme la restriction
de p sur l'image de ^
n'est autre que T , alors p est de
rang maximal et d'image
Gr*(TJ°(R",R-)) =

Ur,o(TJk(V,Z)),

Ceci dit, considérons le cas où r • n , Alors l'application
induite par pi (cf, (19)) est une injection de En,k(V,Z) dans
Gn*(TJk(V,Z)) , quel que soit k > 0 , Ainsi
(21)

p : E«.k(V,Z) 4

U«,k(V,Z)

est un homéomorphisme, et l'image
U«.k(V,Z)
est une sousvariété de Gn*(TJk(V,Z)) de dimension n+m^n+k^+m^n+^n-lî»,
où l'on note , pour simplifier , le coefficient du binôme de deux
entiers n et p par
(22)

<n,p> =

n!/p!(n-p)!

0 < p < n ,

US 18

Pour établir ceci, il suffit d'étudier le cas où V •
R"
s
m
et Z R
à cause du fait qu'un plongement de Z dans R R
induit plongement de
Jk(V,Z) dans
J"*(V#RR) . Introduisons
d'abord les notations suivantes, On notera un point de R d , où
d = m<n+h-l,n-l> , soit
t* , par la suite croissante selon
l'ordre lexico-graphique des "j" et selon l'ordre croissant des

(23)

t* = «^[j.]

s

<«*>>

*

R*

où
j* a la signification indiquée au
§ 1, et où lel = h
(cf, (2) et (1)'). Ainsi, on écrira un point
t de l'espace
R 9 , où g = n+m<n+k,k>+m<n+k,n-l> , de la manière suivante:
(24)
t = ( X L . X n ^ L . u ^ a ^ j . j J ' ^ U - ] ,2"" a>J [j-] ^'""Cj-l.k+l*
= <to,ocCj.3 k + 1 ) .
Ceci dit, on peut construire une carte locale
Er*,k(R",Rm), A cet effet, considérons l'application :
^ : R*

pour

-4 Gr,*(TJk(R",Rra)) x J ^ t R ^ R - )

tf(t) = (r,t) , définie de la manière suivante : remarquons
d'abord que
t , dans (24) , représente aussi un élément de
l'espace J k + , ( R " ( R m ) (cf. (2)). Ensuite T € G«3fc(TJk(R",Rw))
est le n-plan, au point to de J ^ R ^ R 1 * ) suivant:

engendré par les

n vecteurs

v± e TJ k (R rl ,R m ) , i • l#1,.,n
*"[j-],k(i)) •

vi = «•^^[j.jjCD.Ï-cj.a^Ci)
où

et = ( 0 , , , , 0 , 1 , 0 , , , 0 ) € R °
CjJ.n
'

,

p = l#...,m
^ eo
Jo

ei
J1

, , ,

e t où

: ex
Jx

US

19

est définie de la manière suivante;
si

i > jx

si

je, < i < j d ^ i

* eo:
Jo
j 1ei,,, ^Jxex ii

(25)'

ï^.(i)
=
JC
"

oc*- 4 e o
JO

A eq
, , , Jq

1

4 ^ ^=1^
îvex
1 J«q-»-T , , , JX

Il est clair que i
dont l'image est En # k(R",R m ) (cf. (2))
est injective, Oe plus, la composée p = pi-* (cf, (19)) est
aussi injective, puisque
(25)' et
to
déterminent de façon
unique <*"[<•] ^+\
de (24) , donc t . D'où l'on déduit que
p : E« # k(R r, ,R m )
-»
Uo # k(R",R m ) est
un
homéomorphisme
D'autre part, ceci montre aussi que la projection pa (cf, (19))
induit également une application bijective p' de EnJk(Rn,RVA)
sur J k - 1 (R r \R m ) (cf, (24)) . Ainsi le cas r • n se résume
en le diagramme commutâtif suivant :

Go(TJk(V,Z)) x J k ^(V,Z)
t

(26)

V
P'
-+

En.k(V,Z)

pa
J kHH, (V,Z)

4 p
Pk

U~,k(V,Z)

En particulier,

-»

G„*(TJk(V,Z))

U™,k(V,Z) 4

-•

Jk(V,Z)

Jk(V,Z) est un espace fibre,

Ce genre de raisonnement élémentaire nous permet d'étudier
les autres variétés E et U . En particulier, le cas r = n-1
est donné comme suit, Supposons
n ) 3
et
k ) 1 (le cas
restant est simple !) Alors
En-i,k(V,Z)

c

Go-i*(TJ k (V,Z)) x J'—'W.Z)

U„-i,k(V,Z)

c

Gr,-,*(TJk(V,Z))

US 20

sont des sous-variétés différentiables de dimensions respectives
2n-l+m<n+k+1,n>
et
2n-l-m+m<n+k+l,n>
(cf. (22)), et
l'application induite par pi (cf, (19))

(27)

p : E«-i,k(V,Z) 4

Uo-i,k(V,Z)

est de rang maximum et ses fibres sont des sous-variétés
dif férentiables de J ^ M V ^ Z ) de dimension m , D'autre part ,
l'application (16)' induit une application

(27)'

pk : Uo-i,k(V,Z) 4 Jk(V,Z)

qui est surjective de rang maximum et ses fibres sont des sousvariétés différentiables de dimension m<n+k,n-l>+n-m-1. De même,
l'application induite par pa (cf, (19))

(27)"

p' ; E«-i.k(V,Z) 4

J k ^(V,Z)

est surjective de rang maximum et ses fibres sont des sousvariétés dif férentiables de dimension
n-1 . Ainsi, on a un
diagramme analogue à celui de
(26) pour
r = n-1, Pour les
applications # et g de (19)' quand r = n-1 , on a

# ; Eo-i.k*i(V,Z) 4 Er,-i,k(V,Z)
(28)
g : Uo-i,k-i(V,Z) 4 Uo-i,k(V,Z)

qui sont des applications surjectives de rang maximum dont les
fibres sont de même dimension : m<n+k-l,n-l> (cf, (22)). Ainsi
lecas
r = n-1 , n > 3 , k > 1 se résume en le diagramme
commutâtif de variétés différentiables suivant:

US 21

4

g
4

Er,-i.k-i(V,Z)

4

\
\i
I
I Jk^*(V,Z)
I
l
la
I
Uo-i.k-i(V,Z)l 4
I
\
l
4

J k ^(V,Z)

Eo-i.k(V,Z)

4

p I \i p'
I
4
I J^MV.Z)
I
i
Ia
I
U„-i.k(V,Z) I 4
' I
p V I
4

J k (V,Z)

Eo-i.k-i(V,Z)

4,,,

I V
I
I

J k (V,Z) 4
l
a
4>
I
I
U„-i#k-i(V,Z) I 4 ...
I
V
*
4

4

J^^Z)

4 ..
a

où toutes les applications sont surjectives de rang maximum, et
dans le cas Z = R"* , ce sont des fibrations.
Maintenant, considérons le cas n = 2 , r = 1 = n-1 . Alors
on a des variétés différentiables Ei,k(V,Z) et Ui.k(V,Z) de
dimensions respectives 3+m+(m/2)(k+1)(k+4) et 3+(m/2)(k+l)(k+4),
D'autre part , Ui,k(V,Z) est égal à l'intersection de Iik(V,Z)
avec
Gi*(TJk(V,Z)) où Ik(V,Z) c Gr(TJk(V,Z)) est l'espace
des r-plans T intégrables par rapport à Ik. C'est-à-dire que
<w,v> = 0
pour toute forme
w € Ik
et
v e T, Cette
particularité est évidemment fausse en général. Par exemple, pour
n > 3 et k ) 1, la codimension de Uo-i,k(V,Z) dans I„-ik(V,Z)
est égale à m(n-l)<n+k-l,n-l>-m<n+k,n-l>+m, Mais ces propriétés
particulières pour n = 2 expliquent la raison pour laquelle
certains résultats des équations aux dérivées partielles à deux
variables n'admettent pas de généralisations immédiates dans le
cas n ) 3 , On peut établir des propriétés similaires (cf, (29))
de Er,k(V,Z) et UP.k(V,Z) pour 0< r < n-1,
Enfin, une immersion f de J k (V,Z) dans Jk(V',Z') , où
V et Z' sont deux autres variétés dif férentiables, est dite
r-admissible
(cf, transformation de M.Backlund [7])
si
l'application
(30)

gr-(f) ; Gn(TJk(V,Z))

4

Gr(TJ k (V ,Z'))

US 22

induite par f (cf, (14)) vérifie : l'image de Ur,k(V,Z) par
g*-(f) est contenue dans Ur,k(V',Z') . De même, on définit la
notion d'admissibilité pour des sous-variétés du produit
J k (V,Z) x Jk(V',Z') (cf. [7]) . Dans le cas où la dimension de
V
est égale à celle de V , c'est-à-dire à n, il est clair
qu'une immersion f , n-admissible de J k (V,Z) dans Jk(V',Z')
détermine de façon unique une application
f
telle que le
diagramme suivant

J^MV.Z)

f
4

l <x

i a

Jk(V,Z>

soit commutâtif

J k ^(V',Z')

4
f

Jk(V',Z')

(cf. (26)) et compatible avec

g™(f) (cf, (14)).

Ceci dit, nous allons voir le rapport qui existe entre la
notion de système canonique de
V
dans
Z
et le problème
suivant, Soit
<ro
et
Yo
deux plongements d'une variété
différentiable Vo de dimension r dans V et dans Jk*(V,Z)
respectivement,
Jk'(V,Z)
(32)

ï o M a
Vo

4 V
(To

Jk'(V,Z)IVo

4

Ko U «o
Vo

Jk'(V,Z)
ifl

4

V

(To

t e l s q u e a-Yo et Y o s o i e n t
Jx--intégrâbles (i.e. remplaçant
û<q par V o d a n s ( 9 ) ) ou e n c o r e t e l s q u e Y o s o i t u n e s e c t i o n
i n t é g r a b l e d e a o : l'espace fibre induit par <ro : J k ' ( V , Z ) I V o .

Ainsi le degré attaché à JK- de ao est nul (cf. (10)) de
même que son degré secondaire. Le problème est maintenant de
savoir quand existe un plongement

US

Yi : Vo

••

jk*t ( V Z )
(32)'

Yt t
Vo

Jfc'-'CV.Z)

,

i >1

J"'*MVJZ)IVo

4- «i

Yi' H

-» V

23

-»

ai'

Vo

4••

(To

^'•'(V.Z)

V

(To

tel que a*c'*1k' • Yi = Yo , c'est-à-dire tel qu'un relèvement
de
Yo vérifie oc-Yi = oo , et tel que Yi soit
JK'+Iintégrable , Pour cela ,remarquons d'abord qu'une condition
nécessaire est que l'application
Yo"
de
Vo
dans
Gr(TJk*(V,Z)) (cf. (7)) vérifie Im Yo~(V) c Wr.k-(V,Z) qui
définit ainsi une application notée encore Yo"*

(33)

Yo" : Vo

-* w-.k'(v,z) c

erdJ^'cv^))

En effet, l'existence d'une Yi vérifiant (32)' entraîne que
le couple (gr,k'>Yi~(x) , Yi(x)) appartient à Er.k-(V,Z) pour
tout x e Vo et que l'image de ce couple par p (cf, (27))
soit égale à Yo~(x) , (cf. (7) et (16)) , D'où la nécessité que
ImYo~(Vo) c Wr.k-(V.Z) . De plus, le couple (gn.k-.Yi~ , Y,)
définit une section ^ de l'espace fibre induit £",-.*• (V,Z)IVo
de £V.k-(V,Z) par Yo"

£-.k.(V,Z)IVo
(33)'

••

i U po
Vo

£Vk-(V,Z)
ip

->
Yo*"

W,-.k-(V,Z)

i.e.
po«f = 1 . D'autre part, d'après
(11) et §3 , cette
condition nécessaire équivaut à dire que Yo est une solution de
l'équation aux dérivées partielles du premier ordre associée à
Wr-.*'(V,Z)

US 24

(34)

E(Ur,k-(V,Z)) c

dont la vérification par

Yo

J1(Vo,Jk'(V,Z))

est en général plus simple,

Supposons
maintenant
l'existence
d'une
section
différentiable f de po dans (33)', alors il est clair que
l'application composée Yi - p'-f (cf, (27)") est un relèvement
Jk-^i-intégrable de
Yo
et que
a*Yi = <ro , Une condition
nécessaire et suffisante pour l'existence d'un relèvement Yi de
Yo ,qui soit Jk--i-intégrable, est que
(i) Yo soit une solution de l'équation (34) ,
(ii) l'application
po
dans (33)'
possède une section
différentiable,
Autrement dit, la nullité des deux degrés ordinaires de po
entraîne celle de ai par rapport à Jk'+i, Ainsi la notion de
système canonique nous permet de ramener le problème de
l'existence d'un relèvement intégrable à celui de l'existence
d'une section ordinaire pour laquelle diverses études en
topologie (classe d'Euler, théorie des obstructions) peuvent
s'appliquer, par exemple pour déterminer le degré, etc,,,[33
Enfin le problème local, c'est-à-dire savoir que (cro,Yo)
est une germe de o—simplexe sectionnaire au barycentre de ûr,
est particulièrement simple. En effet, puisque
ûr
est
contractile, on a, avec les notations du §2 (cf. (9)) ; une
condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément (<ro,Yo) e
Sr((xk'-i , Jk') soit dans l'image de l'application induite par

a ^ ^ k - : J k '^(V,Z)
(35)

4

a ^ ^ k - : Sr(ak'*1,Ik^i)

Jk'(V,Z)
-•

Sr(ak'-i, Jk- )

i = 1,2,3,..,

est que
Yo
partielles

soit une solution de

E(Ur.k'(V,Z)) c

l'équation

J1(ûr,Jk'(V,Z))

aux dérivées

(cf. (11)).

US

25

Remarque . Comme la construction de
£r,k(V,Z)
et de
Ur,k(V,Z) est fonctorielle par rapport à V et à Z , alors
elle peut se faire évidemment dans un cas plus général. Par
exemple, le cas équivariant par un groupe de transformations, le
cas où Z est un espace fibre sur X et celui qui dépend d'un
espace de paramètres, etc.,.Ainsi, la méthode que nous allons
décrire et qui dépend essentiellement de cette construction,
s'applique aussi aux problèmes des solutions périodiques, aux
sections d'un espace fibre et aux problèmes de perturbation.

US

5.

Systèmes

canoniques

Rappelons
vérifie :

qu'une

suite

(36)

Dk

Jk(V,Z)

c

de

a s s o c i é s

à

27

D:

sous-espaces

D*

=

£Dk)

qui

Im a k ^ , k ( D k * i )

c

Dk , k > - 1

est appelée pro-ensemble de l'espace d'Ehresmann. Fixons-nous un
tel ensemble et définissons le système canonique associé à D*
comme suit:

E,,k(D*) = £r.k(V,Z)

(Gr(TDk) x Dk-*i )

(37)
Ur,k(D*) = Im p(£r,k(D)) C

Ur,k(V,Z)

(cf. (6)') , et notons plus simplement par

(37)'

p(D*) : £r,k(D*)

-*

Ur,k(V,Z)

la restriction de p à £r,k(D*) (cf. (19)') . Désignons dans
la suite par
Sr.k1
=
Sr,k*(D*)
une des strates de la
stratification canonique de l'application
p(D*)
dite
stratification canonique associée à D* (cf. §1) , Appelons le
complémentaire de Ur,k(D*) dans Ur.k(V,Z) le (r,k)-ième trou
de D* , et désignons-le par

(38)

7V.k = 7V.k(D*) = Ur.k(V,Z)\Ur,k(D*)

Ainsi, par définition même de la restriction de p(D*) au-dessus
de
Sr.k1
(cf. §1 ) , on obtient des fibrations surjectives
(cf. (32))

US 28

P1 = Pr.k'îfr.k1 = £r,k(D*)ISr,k±(D*) -> S r . k * ( D* )
(39)
Ur.k(V,Z) = ( U
i

Sr.kMD*)) KJ 7V.k(D*)

Ceci nous permet d'introduire une notion d'équivalence entre
les pro-ensembles. Il s'agit d'espaces stratifiés ; par exemple
D*1
et
D* 2
sont de même type topo logique si les
stratifications
pCD*1)
et
p(D*2)
sont topologiquement
équivalentes pour tout (r,k) . De même, on peut introduire la
notion de stabilité de
D*. Maintenant, si
D*
est un prok
ensemble de J*(V',Z') et f une immersion de J (V,Z) dans
Jk(V',Z') , alors f est dite r-admissible par rapport à Dk
et
D'k
(resp, par rapport aux strates
SP.KMD*)
et
j
Sr,k (D'*)) si
f est
r-admissible et si
gr(f) est une
application stratifiée entre Ur,k(V,Z) et Ur.k(V',Z') munie
des stratifications de D* et D'* respectivement (cf. (30)),
D'autre part, le système canonique associé à
D*
nous
permet d'associer à
D*
des invariants à partir de la
stratification associée à D*. Par exemple le nombre de strates,
les dimensions des trous, des strates et des fibres ; les degrés
des diverses projections, (p1) , les nombres caractéristiques,
les classes d'homologie à support fermé dans
H*(U*(V,Z);Z )
représentées par les S r ^ M D * ) sont des invariants numériques
ou topologiques du type de D*,
Nous dirons par la suite que deux plongements
(To et Yo
(resp, un
r-simplexe de ak'-i, soit (<ro,Yo)) , d'une variété
Vo de dimension r dans V et dans Jk'(V,Z) respectivement,
est Dk'-admissible si les conditions (32) sont remplies et si
l'image de Yo , Im Yo(V) est contenue dans Dk' . Alors, le
problème de la recherche d'un relèvement Yi de Yo qui soit
Dk'-admissible se traite comme suit.
D'abord, considérons le cas particulier où l'image de Yo"
se trouve dans une seule strate
Sr,k'*(D*) , Ceci équivaut à
dire que
Yo
est une solution de l'équation aux dérivées
partielles du premier ordre associée à Sr.k'1

US

(40)

E(Sr.k-1(D4=)) c

29

J 1 (Vo,J k '(V,Z))

donc à l'équation (34)
(cf, (11)'). Supposons qu'il en soit
ainsi ; alors une condition nécessaire et suffisante pour
l'existence d'un tel Y est que le fibre Er.k-HVo induit par
Yo de p 1
(cf. (39)) possède une section différentiable ^
puisque p'*tf est un tel relèvement de Yo (cf. (27)" et (37)).

Er,fc-*(D*>IVo
(40)'

4

^ fl po1
Vo

Er.k'MD*)
l p1

4
Y~

Par exemple, si Sr.k*°(D*) est une strate dont la fibre de
p° est discrète, alors (40)' sera satisfaite si la première
classe d'obstruction associée à la fibration
po 1 , soit
0 e
1
H (VO,ÏÏI-'(VO)), est nulle , où
ÏÏI~(VO)
est l'image de in<Vo)
dans le groupe des automorphismes de la fibre de
po
par
l'application classifiante
[13] , Ainsi, on peut toujours
relever Yo s'il satisfait l'équation E(Sr,k'°) et si Vo est
simplement connexe. En particulier, pour qu'un
r-simplexe
sectionnaire
(<ro,Yo) , Dk'-admissible , possède un relèvement
Yi , Dk--ni-admissible , il suffit que Yo soit une solution de
l'équation E(Sr.k-1(D)) c J 1 (ûr,J k '(V,Z)) pour un certain i
(cf. (39)).

US 31

6,

Le

gradué

associé

à

Etant donné un sous-espace M c
J m '(V,Z) ,désignons par
G*(M) la réunion des Si (M) qui sont définis comme suit ;

<3±(M)

Im ai ro '(M)

=

si

i < m'

si

i ) m' ,

(44)
Gi-i(M) = e i - , ( J , ( V , f î i ( M ) ) )

où
ei~~' est l'application image réciproque de l'application
d'Ehresmann (cf, (4)) appliquée au sous-espace J 1 ( V , ( J I ( M ) ) de
J M V ^ ^ Z ) ) (cf. (6)') . Il est clair que S*(M) est un proensemble
(cf. (36))
puisque l'on a la commutativité du
diagramme ci-dessous

J1HH2(V,Z)

51"1

J'CV.J^MV.Z))

4>

4 a
et

Fixons-nous un sous-espace D c J k '(V,Z) et introduisons
la notion de gradué (resp, pré-gradué) associé à D , soit D*
(resp, D'*) réunion des D± (resp, D'±) , pro-ensemble défini
par saturation de G*

(44)'

Di =

tG±(..

(resp, D'± = intersection pour

fîj(fir(S<(D))

j i k' des fî±(Im aj k '(D)) )

et il est clair que l'on a :
Dk-

c

D

et

Gr(S.(Gk(D))))..)

Di

c

D'i

US 32

Cette construction fonctorielle nous permet d'introduire les
notions du
§5 pour
D , et nous dirons simplement
"système

canonique (resp, stratification

canonique) associé(e)

lieu de dire "associé à son gradué D*

à

M

Supposons maintenant que D soit défini par les zéros d'une
fonction dif férentiable
F : Jk'(V,Z)
-• R N
(ou définie
k
seulement sur un ouvert de J '(V,Z), pour lequel le raisonnement
est le même), Alors
âU'^i(D)
peut être décrit comme suit.
Considérons l'application induite par F , soit

J*F : J1(V,Jk'(V,Z)) -• J M V f R N )

et sa composée par l'application d'Ehresmann

ek-

(44)"

j'F
,

k

«• J (V,J '(V,Z)) -*

J^-MV.Z)

JMV,RN)

Alors, fik'-m(D) • (j*F • e k O - M O ) , Cette expression, où 0
est la section zéro dans J M V , R N ) ne dépend pas du choix de F ,
Puis dans le cas où
Z
est une variété algébrique réelle,
âk'-i(D) est quasi-linéaire (cf. §1 ) . En effet , ceci est une
conséquence du fait que l'application d'Ehresmann
ek' induit
une application affine entre les fibres

j*-*i(V,Z)
» k ' + l k-

_>

JMV,Jk'(V,Z))
t JB»

^
J^'^Z)

(cf, (3)). De même pour

J'F

entre les fibres de

£1

et oc1-!

US

J , (V,J k '(V,Z))

4

33

JMV,RM)
4 a 1 -!

4 Jîi
J k '(V,Z)

•*

V

Or l'intersection
(cf. §1)
d' équations quasi-linéaires est
encore quasi-linéaire, donc pour le gradué associé D* de D

a1!-! : Di

(45)

4

k#+l < i

J^MV.Z)

les Di sont des équations quasi-linéaires. D'autre part, on
peut remarquer le fait suivant, Soit U c
J*'*1 (.V,Z) une
sous-variété Ac-t-i-intégrable ; alors U c
GU-^iCD) si et
seulement si l'image Im a(U) est contenue dans D et si les
formes induites a*(dF±) par a = a1*'""1^ sont nulles sur U ,
pour
F = (Fi, Fz, ..,, F N ) . Dans une carte locale
J k ' + , ( R " , R m ) de Jfc'-MV^) , Gk-^i(D) s'écrit explicitement
comme suit : en remplaçant dans

a*(dF±) • ï
j

«Fi
*XJ

dxj

«Fi
«Fi
+ Z
du„ • ï
da"rî«i
p 6»
r ««"[j-] r LJ J

où j = l , . . . , n
, p=l,...,m
, i = l , . , . , N et 2 < r < k' ,
les termes d a ^ n * ] par la formule (2) , puis en regroupant les
résultats obtenus suivant
les
l'expression suivante (cf, (23))

(45)'

où

p = l,...,m

dxi

,

alors

on

obtient

AiMx^a^rj.-j f)dxi + . , ,+Ao1(x,u,a*,[j.] r)dXr,

,

i = 1,...,N

et

1 < r < k'+l .

US 34

Alors les
Ap1
sont des fonctions définies sur
jk-^i (R « R m )
pè
(c'est-à-dire algébriques,
de
même
eS
Ce
analytiques, etc..) que les Fi , et leur zéro commun n'est
autre que &'*i(D). Autrement dit, en remplaçant les o^[j-] par

dans
Ap1 , on obtient avec
F
le système d'équations aux
dérivées partielles &'*i(D) . En particulier, dans le cas où V
et Z sont des variétés algébriques réelles et D est semialgébrique , alors le théorème de Tarski-Sidenberg montre que le
gradué associé à D , soit D*, est encore semi-algébrique, i.e.
chacun des D± (dont D* est la réunion) est une sous-variété
semi-algébrique de JA(V,Z) .
Enfin,
considérons
maintenant
un
(n-1>-simplexe
sectionnaire
(<r,Y)
,
qui
soit
Jk«*-i-intégrable,de
Jk,^(Rn,Rm)
-» R "
tel que
Y' = a"'- 1 ^ • Y
soit Dadmissible (cf, §5) , Supposons de plus (ce n'est évidemment pas
une restriction) que <r : ûn-i 4 R n
s'écrive de la manière
suivante pour x = tx* , ...i X«) * ûn-i :

Xl » f ( X 2 | , , , X n )

Alors pour que
Y vérifie

(45)"

(<r,Y)

Ai1 - Y

soit

=

0

,

X2 = X2,

,,,, Xn s ^n .

S<-+i(D)-admissible, il suffit que

pour

i = 1,2,...,N .

En e f f e t , comme F-Y' = 0
, on a d ( F i - Y ' ) = Y * ( a * ( d F i ) ) = 0 ,
pour i = 1 , . . . , N , sur û n - i
, donc

n

fif

1 (Ai1 — + Aj^dxj
j=2
*Xj

-

0

US 35

Ainsi , Ai*«ï * 0 entraîne que Aj1-Ï a 0 pour tout j » l,..,n,
En particulier , dans le cas où D est quasi-linéaire, c'est-àdire quand F s'écrit

où

B^'^j-] k»

l'espace

• i "}

l ^••cj-i.k'-nj-i s 6i

(46)

k

et

Ci

sont

m

, alors

J '*'(R" J R )

des fonctions
(45)"

B

N

définies

sur

est donnée par

(46)1

* ^•'u-i.k'-nj-i

Ci

où les Ci"
^'(R^.R-).

représentent des fonctions définies sur l'espace

"

• i s l

N

•

US

37

7.
S t r a t i f i c a t i o n
canonique
d'un
système
d ' é q u a t i o n s
aux
d é r i v é e s
p a r t i e l l e s .

Nous
allons
indiquer
quelques
propriétés
s t r a t i f i c a t i o n canonique
C273
d'une équation
D c
par rapport à l ' a p p l i c a t i o n canonique ( c f . ( 1 9 ) ' )
g :

Ur,k-i(V,Z)

•*

Ur.k(V,Z)

de
la
Jk'(V,Z)

.

Nous nous bornerons au cas où n ) 3 , k' > 1 , r = n-1 , et où
Z
est une variété algébrique réelle . Les autres cas (resp,
stratification secondaire) se traitent de la même manière,
Désignons par
Sqr,k = S"i-.ic(D>
la strate de la
stratification canonique de
D
pour laquelle la fibre de
l'espace fibre suivant pQr,k : f^r.k •* S^r.k est de dimension
q, Une strate
S'Vi-i.k'-i
sera dite régulière si sa fibre
P^ri-i ,k«-i
est une variété dif férentiable ; une strate
SVI.K'-I
sera dite triviale si en chaque point de
£%.-! ,k*-i (D) , l'intersection de la fibre de
cr

P

Cri— 1 , k ' - 1

..
-*

Wn-1 , k ' — 1

avec G*o-i(TDk'-i) Xjk'-i(y Z) Dk * e s * transversale, c'est-àdire que le seul vecteur le long de la fibre de p tangent à
Dk*
est le vecteur nul, Dans le cas où
Dk'
est quasialgébrique , SVi,k<-i correspond à la strate générique de la
stratification standard (cf, Appendice) , En particulier
E^n-lfk'-l

-*

S ^ - l ,k'-l

est un revêtement, Alors on a les propriétés suivantes ; l'image
inverse par g , soit g"1(S^n-i,k) vérifie

(47)

g-MSVi.k)

c

Sqn-i,k+i

U

rn-i4k*i

pour tout q et k ) k' # et si D est quasi-linéaire, ceci est
valable pour
k = k'-l , Dans le cas où la codimension de

US 38

Fo-i.k.-i(D) dans
p-1(Wn-i,k--i(V,Z)
égale à la dimension de Z , c'est-à-dire

(47)'

g-MSVi|k)

D'autre part, si

(47)"

-

SV.-i,k'-i

G*«-i(TDk--i))
m , on a alors

SS,-i,k-i

est

k > k' ,

est régulier, on a

g-MSVi.k-i)

c

SVi.k-

U

7o-i,k- .

Enfin, dans le cas où la codimension de
En-i ,k*-i(D) dans
p-MWn-i.k—i(VfZ> H G V i ( T D k - i ) ) est égale à m , on a

(47)'"

g-MSVi,k'-i)

=

S^-i.k-

Remarquons d'abord q u ' i l s u f f i t d ' é t a b l i r
dans la carte
Ui
de
G*n-i ( T J k ( R " , R m ) )
couples © = ( X , T ) OÙ
x = (xi,luXn,uiJIIUm1«*,[i.]

(cf, (23))
vecteurs

et où

T

1'• • ' ^ [ j - ]

ces propriétés
formée par les

€

k*

J k ( R T

\Rm>

est un (n-D-plan engendré par les

n-1

Vr = (î-,0,...,0,1,0,i..,0,ïo(r); ^ [ j - ^ i < r),... ^ ^ . ^ ( r ) )
r = 2,3,,,,,n
€

Rn

S%,-i.k

c

avec
(fit-,0, , .. ,0,1,0,,,. ,0)
coordonnée, Soit donc
9o = (xo,To) €

to c Wn-i.k-Ki(D)
Or la fibre au-dessus de

Ôo

pk ; ESv-l.k

tels que

de

SVl.k

à la

r-ième

Un-i#k(Rr,,Rm) et
gC to) = 6o ,

de l'espace fibre
4

1

US

39

est en correspondance bi-univoque
(cf. (2) et (18) ) avec les
£^[j~] k+] (cf, (23)) qui vérifient les deux systèmes d'équations

V»i eo
.

<48)k

Jo

où

^

.

_ (r) = £"
.fir + JB"^m eo
ô
,• ex
^i:
z 0 ex*
^ ex
...Jx
IJoeo ,,.Jx
Jo ...Jx

_ (r) est le dernier système

de

: eo
SX
Jo
, , z, Jx

et le système d'équations qui définit

(48)

ï

B"-*

lel=k+l

D*^i

. .JB"

jo e o ...jx e x

coordonnées

de

(cf. (46))

=Ci

fl

, i = 1,..N

jo*°...jx ex

P
où 1 < j o < j i < , , . < j x < n
, le I = eo+... ex , JJ = 1,..,, m,
Puisque k > k', Dk+i est quasi-linéaire. Les Bj^ 1 et Ci sont
des fonctions définies sur J k ( R " , R m ) , on prendra leur valeur
au point 8o , D'après (27) et (48)k , on peut déduire

(48)'.

où

BCj.3

P (resp. Q)

^[j*] k

<2)

=

PCj-3<«).^k+1

est un polynôme en

' • • • '^[j-3 k*

n)ï

(49)

(48)

Z B". 4 .0*V +1
p
1K '

Q C J . a <«.ï)

£2,...,£«

qui v é r i f i e r a la

1z eo
; ex
I Jo , ..Jx

Donc
(48)k
et
l'équation suivante

+

4 eo
Jo

sont

=

(resp. £2,...,Jn,
relation

i ex
. . . Jx

des relations

Ci

i - 1,2

équivalentes à

N

US 40

où
B"- 1

=

l
B" _ .P m
. (S)
lel=k+l jo e °..jx ex jo e °..jx ex

D'autre pari, remarquons que dans la carie Ui,
(45)"
valable, Oonc la fibre au-dessus de t© de l'application

esi

P ', £*r.-1 .k-*l(D) -» Un-l,k-*l(D)
(cf, (37)) est en correspondance bi-univoque avec les solutions
"Cj"3 k+2 d u s y s t è m e d'équations

r

lel=k+l

jo e o ..,jx e x ' l j o * 0 . . ^X * *
i - 1,2,.,,N

et du système C48)*~i (cf. (46)'*H-I) . Or
rM
[j*] k+2 a i n s i cVie <48>" entraînent

(48)'K*I

pour les

Donc la fibre au-dessus de to est en correspondance bi-univoque
avec les solutions ^ + 2
du système

(49)'

Z B"' 1 T " k + 2

=

C T

i=l,2,...,N

Ainsi (49) et (49)' sont définies par la même m x N matrice
(B*3-1) , De là on déduit ou bien que la dimension de l'espace des
solutions de (49)' est égale à celle des solutions de (49)
c'est-à-dire
to c S V i , k * i , ou bien que (49)' n'a pas de
solutions, et on a alors U> e 7V.-i,k-i . D'où l'on obtient la
propriété (47) , Dans le cas où m = N et où le rang de la

US 41

matrice
(B"-1)
est maximal,
(49)'
possède toujours une
solution unique et on obtient la seconde égalité de (47)" . Les
autres propriétés s'établissent de la même manière.
Remarque /.

Dans le cas où

D

est quasi-linéaire, on a

3tn-l,k'-l

=

S°n—l,k'-1 ,

et
p .' £°r.-l,k--l(D)

4

S°n-1 .k'-l(D)

est bijectif. Si de plus la codimension de En-i ,K--i CD) dans
p^MWn-i.ic-iCVjZ)
G*n-i(TDk'-i )) est égale à la dimension
de Z , alors 8°n-i,k--i (V,Z) est un ouvert, et s'il n'est pas
vide il est dense dans
W«-i,k*-i(V,Z) , Remarquons cependant
qu'il existe des équations quasi-linéaires qui ne possèdent pas
une telle strate, autrement dit S°n-i,k--i peut être vide C93,
Remarque 2%

Dans le cas où D est quasi-algébrique de degré algébrique
d
fini, la stratification canonique de
Un-i,k«-i(V,Z) est
induite (localement) par une application de Wr%-i ,k --i (V,Z) dans
la stratification standard de degré d (voir l'appendice) . Comme
toutes les fibres de la stratification standard sont des variétés
lisses, alors toutes les strates de
W«-i,k*-i(V,Z)
sont
régulières, donc satisfont
(47)' . De même, on déduit que le
nombre des strates est (localement) fini, si celui de la
stratification standard est fini .
Remarque 3t

Les propriétés (47) sont déduites essentiellement à partir
de la structure de l'idéal de Cartan-Ehresmann . Il est peu
probable qu'on puisse les généraliser au cas d'un idéal
différentiel quelconque. Ainsi, il semble que les équations aux
dérivées partielles constituent un moyen d'étudier le problème
d'intégrabilité d'un système différentiel, mais l'inverse n'est
pas vrai contrairement à ce que certains auteurs prétendent !

US 42

Remarque 4t

Dans le cas quasi-linéaire, S°r*-i,k*-i
ne dépend que des
k
1
fibres de ocIDk- : Dk' 4 J '~ (VlZ) , mais ceci n'est pas vrai
pour les autres strates , i.e. le symbole principal classique ne
suffit pas à déterminer les S'n-i.k'-i , pour i différent de
0 , même dans le cas quasi-linéaire.
Remarque 5,

Enfin, les invariants et leurs classifications que l'on peut
associer à la stratification canonique d'un pro-ensemble (cf. §5)
se généralisent évidemment à un système d'équations aux dérivées
partielles, e.g, le système d'équations D est dit elliptique
(resp, faible) (cf. §9) si la stratification de
E„-,,k--i(D) 4 Wr,-i,k--i(V,Z)
consiste en une seule strate
SSv-l.k'-l
(resp.

- Wr,-l.k'-l(V,Z)

Wr,-i ,k'-i(V,Z) =

SVI-I.IC-I

U

7"r.-i,k'-i) ,

US

43

S,
E q u a t i o n s
s e c o n d a i r e s
d'un
système
d ' é q u a t i o n s
aux
d é r i v é e s
p a r t i e l l e s

Etant données une v a r i é t é d i f f é r e n t i a b l e
Vo
de dimension
r, puis
Ur,k(V,Z)
c
Gr(TJk(V,Z))
une v a r i é t é du système
canonique de V dans Z ( c f . §4)
, et
D c
Jk'(V,Z)
, on
leur associe
( c f . §3)
une équation unique du premier ordre
( c f . §11)

Eo

=

E(Ur.k(V,Z))

J,(Vo,Jk(V,Z))

c

(50)
Eo(D)

=

E(Ur,k(D))

c

JMVo,Jk(V,Z))

qu'on appelle
(r,k)-ième équation au départ
(resp. de D) .
Ainsi
Y : Vo
-» Jk(V,Z) est une solution de
Eo
si et
seulement si
Y
est une immersion et
Im Y~
c
Ur.k(V,Z)
(resp, Im Y~ c U*-,k(D) ) . De même l'équation associée à Vo
et à une strate
S^k
=
S^r.^D)
de la stratification
canonique
(resp, secondaire)
d'une équation aux dérivées
partielles D c Jk'(V,Z) , soit

(50)'

Ei

=

E(S<*H,k(D)) c

J1(Vo,Jk(V,Z))

est appelée équation secondaire (resp. de deuxième espèce) de
D par rapport à la strate Sqr,k , Il est clair que Ei c Eo
et une solution
Y
de
Ei
vérifient en outre
Im Y~ c Sqr-,k(D) . On définit de la même manière l'équation du
(r,k)-ième trou (resp. de seconde espèce) de D , Soit Y une
solution de Ei et supposons en plus que Y soit le relèvement
d'un plongement cr ; Vo «• V le long de a : Jk(V,Z) -» V ,
Considérons une section ^' de l'espace fibre induite par Y~
(cf. (40)' et (19) )

US 44

£fc'r,k(D)!Vo

(50)"

*' t

->

4> p^lVo

Vo

£*r.k(D)

4,

4

S^r.k(D)

c

EV,k(V,Z)

i p'

J k ^(V,Z)

alors l'application Y' = p W
: Vo -» J1"1"1 <V,Z) est encore un
relèvement de cr , Ainsi on peut recommencer ce processus qui est
particulièrement simple lorsque Vo = An-i . En effet, remarquons
d'abord qu'un simplexe sectionnaire pour
a ; Jk(V,Z) -» V ,
solution de Eo (resp. Ei) implique que Y est Jk-intégrable
(cf, (9)) (resp, Dk-admissible) (cf, §5) . D'autre part, le
fait que
ûn-i
soit contractile fait que
p^lûn-i
possède
toujours une section
yt' ; et on peut montrer que Y' = p W
vérifie encore E(Un-i ,k-*i (V,Z)) , Fixons-nous un simplexe (<r,Y)
Dk-admissible de oc : Jk(V,Z) -» V , qui soit une solution de
ECS^-i . K ( D ) ) , où k ) k' et q est la dimension de la fibre
de
pkr.-l,k J Pn-l.k

«* S^o- 1 ,k

alors (cf, (47)) ou bien il existe une section f
telle que
*' = P W * *
soit une solution de l'équation E ^ n - i ,k+i (D)) ,
ou bien
p'-tf-Y~
est une solution de l'équation du
(n-1,k+l)-ième trou pour toutes les sections + , Dans le premier
cas, on pourrait continuer ce processus. Concernant le second, il
est impossible de continuer parce qu'il n'existe aucun simplexe
(<r,Y')
Dk-*i-admissible qui soit un relèvement de
(<r,Y) ,
Autrement dit, soit Y1 = p'-^-Y*-1 : ûn-i 4 J P - M V ^ ) une
solution de l'équation E(8qn-i.k+i) . Alors les sections ^1^1
de l'espace fibre

se
divisent
en deux
sortes:
les sections
telles que
1
q
** = p'-^-'-Y
soit une solution de E(S n-i,k+i^i) et celles
de l'équation du (n-1,k+i+l)-ième trou de D . Dans le premier
cas,
(o^Y1*1) est un simplexe
Dk^i-^i-admissible qui est un
relèvement de
(o^Y1) avec
Im Y1"*1 " c
S^n-i .k-*i + i . et

US

dans le second cas, un relèvement
est impossible,

Dk^i-M-admissible de

45

(o^Y1)

Revenons au cas général d'une variété Vo . Il faut d'abord
étudier les diverses obstructions topologiques, e.g. le degré
(cf, §2) , la classe d'Euler, etc.,.dont l'annulation entraîne
l'existence d'une section C* de l'espace fibre
£*r.k(D)IVo

-> Vo

.

Mais
les
considérations
analytiques,
c'est-à-dire
les
raisonnements sur les équations secondaires, sont exactement les
mêmes que dans le cas où Vo = û«-i ,
Dans le cas où
Im Y~ n'est pas contenue dans une seule
strate de la stratification canonique de D ou encore Vo est
une variété avec singularités, e.g, variété stratifiée C31] ,
alors l'équation secondaire de deuxième espèce intervient, i.e.
le cas avec contraintes
(cf, §3) , Au cas où il y aurait des
difficultés pour résoudre les équations secondaires E de D ,
alors on peut considérer l'équation secondaire de
E
qu'on
appelle équation tierce de
D , Il s'agit d'un système à
(n-2)-variables et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on obtienne
un système d'équations différentielles ordinaires dont dépend
l'existence d'un relèvement D-admissible de (<r,Y) (cf. 10),

US

9.

Problème

de

Cauchy

et

solution

47

locale

Le problème de Cauchy sur une variété analytique complexe a
été étudié dans
[21] . Nous nous occupons ici du cas réel.
Donnons d'abord quelques précisions sur les notions bien connues.
Soient V et Z deux variétés indéfiniment différentiables et
B
c
Jk"(V,Z) , D
c
Jk'(V,Z) , k" < k' , deux sousespaces différentiables, c'est-à-dire localement définis par des
équations et
inéquations d'un nombre fini de fonctions
différentiables. Soit Vo une variété stratifiée de dimension r
(e.g. variété à coins
Cil] , variété algébrique réelle avec
singularités) ; r < n = dimension de V . Désignons par P(Vo,V)
l'espace des plongements indéfiniment dérivables <r : Vo 4 V
muni de la topologie
C*
(resp. C k )
C43
et désignons par
k
P(Vo,V) Xo* P(Vo,J "(V,Z))
le sous-espace du produit formé par
les couples (or,Y) tels que oc-Y = <r , Im Y c B . Ainsi Im Y
est le lieu géométrique de contrainte et
Im Y
la condition
initiale sur
Im or , Alors le problème de Cauchy local (resp,
global) pour
(cr,Y)
consiste à trouver une application
u
définie dans un voisinage tubulaire de Im cr c
V a valeur
dans
Z
tel que
Im jk'u c
D
et
jk"u-<r = Y , Un tel
problème est dit "bien posé" ou "non-caractéristique",
si un tel
u existe et est unique au sens du germe près de Im tr , et si de
plus il vérifie la condition de stabilité , c'est-à-dire que
"l'existence
et l'unicité"
restent valables pour les
(<r',Y')
suffisamment voisins de
(<r,Y) par rapport à la topologie de
P(Vo,V) Xoc P(Vo,Jk"(V,Z)) ,

Remarquons d'abord que l'existence de u avec jk"u-<r = Y
implique
Y*u = 0
pour tout
v e I%<» , Il s'agit d'une
conséquence de la compatibilité des dérivées partielles, et
Im jk'Y c
D entraîne
Im Y c
Dk" , Donc l'espace qu'on
doit considérer

P(Vo,V) XD P(Vo,Jk"(V,Z))

c

P(Vo,V) xoc P(Vo,Jk"(V,Z))

est le sous-espace localement fermé formé par des couples (<r,Y)
Dk—admissibles (cf. §5) et solutions de l'équation de départ
E(Unfk»(VJZ)) . Ainsi la condition de stabilité dans la

US 48

définition du problème bien posé est, elle aussi, considérée par
rapport à la topologie de ce sous-espace,
Maintenant nous allons étudier le cas :
r = n-1

, k" = k'-l, et

B - ^'-'(V.Z).

Les autres cas se présentent de la même manière, Prenons une
triangulation de Vo compatible
C30] avec la stratification
induite de
Y~
par la stratification canonique de
D
sur
Un-i.ic'-iCV.Z) . Alors, du fait que l'intérieur d'un simplexe
d'une telle triangulation se trouve dans une seule strate, on
peut ramener notre étude aux cas suivants : celui d'un seul
simplexe sectionnaire
(<r,Y) e P(ÛT,-I,V) XD P(Û«-I , Jk'-MV,Z))
et celui de deux tels simplexes ayant une face en commun (voir
(41)) , Nous nous bornerons ici au premier cas, et rédigerons la
suite lorsque la publication de celui-ci sera acceptée.
Remarquons les faits suivants,
(51)
Soit Z une variété algébrique de dimension m , D quasilinéaire,
la
codimension
de
En-i,k'-i(D)
dans
p-MWn-i,k'-i(V(Z)
GVi(TOk-i))
est égale à
m
et
k
1
Dk'-i = J '" (V,Z) . Alors, pour qu'un simplexe sectionnaire
(<r,Y) € P(û»-i,V) xo P(û«-i,Jk'-,(V,Z))
avec
Im Y~

c

S<*o-i,k--i

(cf. §7)

soit "un problème de Cauchy bien posé" , il faut que

q = 0,

(51)'
Supposons que V et Z soient des variétés analytiques
réelles , D
semi-analytique, telles que la codimension de
£-„-i.i<--i<D> dans p"1 (U„-i .k--i (V,Z)
G*o-i (TDk--i )) soit
égale à la dimension de
Z . Soit
(<r,Y)
un simplexe
sectionnaire analytique appartenant à
P(û^-i.V) XD P(û«-i,Jk'-,(V,Z)) .
Alors
Im Y~ est contenue dans la strate triviale S^n-i.k*-i(D)
(cf, §7) , et cela entraîne qu'il existe exactement d fonctions
u
analytiques définies dans un voisinage tubulaire de

US

Im <r c V à valeur dans Z tel que jk'u c
jk'~1u*<r = Y , où d est le degré du revêtement
F-o-i.k'-^D) -> SS,-i.k.-i(D)

D

et

49

aussi

(cf. §7) ,

De plus , cette propriété est stable, c'est-à-dire que pour de
tels simplexes sectionnaires
(or',Y') suffisamment voisins de
(<r,Y)
dans la topologie
C*
de l'espace des plongements
k
1
P(ûr,-i,V) XD P(ûo-i,J '- (V,Z))
, il existe exactement
d
solutions u' vérifiant jk'u' c D et jk#-1u'-o-' = Y \
En particulier, on en déduit le fait suivant. Pour un D
quasi-linéaire tel que Dk'-i = J ^ ' M V ^ ) , la codimension de
Eo-i.k'-i(D) dans p-1(U^-i,k--i(D) H
G*o-i(TDk--i)) étant
égale à la dimension
m
de
Z , alors un simplexe
(<r,Y)
élément de P(û«-i,V) xo P(ûn-i, J1*'-1 (V,Z)) est un "problème de
Cauchy
bien
posé"
pour
D
si
et
seulement
si
Im Y~ C S°n- l.k'-l ,
La formule (51) est une conséquence immédiate du fait que
les strates
S^n-i,k'-i , q
non nul , sont contenues dans
l'adhérence du (n-1,k'-l)-ième trou de D :
S^n— l.k'-l

C

7"n— 1 , k * — 1

C

Utn— 1 . k * — l(V,Z) ,

Pour
(51)' , remarquons d'abord que chaque section
#° du
revêtement trivial
£Sv-i .k--i (D) lûn-i
-» ûn-i
(cf. (50)")
définit une application Y' = p'-*° : ûn-i -* ^ ' ( V ^ ) telle
que Im Y1"- c SVi.k» (cf. (47)") . Et puis le fait que
AT

£°n—1 , k '-»-± —1

"4

S°n-1,k'+i-l

, i ) 1

soit un isomorphisme entraîne que
tf* î ûn-l

4

£° n -l,k»+i-l(D)lûn-l

en est un aussi, d'où l'on tire
***i = p'.^i : ûo-i
tel que
les Y1

-* J k '^(V,Z)

Im Y1 c Dk-n-i-i et Im Y 1 " c SVi.k'+i-i . Alors
nous permettent d'écrire la solution formelle u dans

US 50

une carte locale et au voisinage d'un
de la manière suivante:

x° = (x°i ,.,.^ 0 ^) e Im <r

U*j(Xl , . . . , X n )

(51)'
a„

eo!...ex!

-xo

<x

joe?. jxex

Jo

)6o

Jo

(x

.xo

Jx

)6x

Jx

p = 11... ,m ,

où les a^j- * R

sont

données

par

les

coordonnées

de Y

(cf. 6.1 , (25)') de la façon suivante :

a

v

Y"j.(x°)

si lel « k'-l

Y^(x°)

si lel = k'+i-l , i > 1

=

où
<r(x°) = x° , Ensuite , la généralisation du théorème de
Cauchy-Kowalevska par Petrowski C21 ] au cas d'une hypersurface
entraîne la convergence de
(51)" , donc l'existence de
d
solutions analytiques dans un voisinage tubulaire de
Im <r ,
Enfin la stabilité est une conséquence du fait que SSi-i.k'-i
est un ouvert de U«-i,k--i(V,Z) , et que l'application
P(ûo-i,V) XD P(ûo-i,Jk'-,(V,Z)) -> P(û«-i,U«-i,k.-i(V,Z))
qui à
(<r,Y)
continue.

fait correspondre

Y~ , est une application

Rappelons que les
(<r,Y)
qui vérifient l'inclusion
Im Y"" c S%v-i,k--i sont en correspondance biunivoque avec les
solutions de l'équation secondaire E(S%i-i .k*-i > par rapport à
la strate SVi,k»-i (cf, §8 (50)') , équation du premier ordre
avec une variable de moins que
D . Ainsi, en résolvant
l'équation E(S*n-i,k*-i) , nous obtiendrions tous les germes des

US 51

hypersurfaces <r ainsi que les conditions initiales Y définies
sur
ces
hypersurfaces,
pour
lesquels
le
théorème
de
Cauchy-Kowalevska s'applique . Ainsi, nous ne suivrons pas l'idée
de Sophus Lie qui est de chercher des transformations qui
pourraient transformer D en conditions particulières concernant
(r et Y dans l'énoncé de ce théorème Cl4] ,
Dans le cas d'une variété analytique réelle
Vo
de
dimension
n-1, et où
(<r,Y)
est un couple de plongement s
analytiques :
(<r,Y) e P(Vo,V) XD P(Vo, J k '-MV,Z))
avec
Im T
c S^n-i.k'-i , alors sous les mêmes hypothèses (51)'
reste valable , si et seulement si la première classe
d'obstruction (cf, §5) du revêtement ESi-i ,k--i(D) IVo •* Vo
est nulle , (Evidemment ceci est vrai si D est quasi-linéaire)
L'exemple montre que, même pour un
D
quasi-linéaire,
l'hypothèse sur la codimension est nécessaire pour que (51)'
soit valable, D'ailleurs si la codimension de f«-i,k'-i(D) dans
p-MUn-i.k'-itV^)
O
6Vi(TDk*-i))
est strictement plus
grande que la dimension de Z
, il y aura génériquement des
ramifications quand ÏÏI(VO) ne sera pas réduit à 0 ,
Revenons aux mêmes hypothèses de (51)' et considérons le
cas ; Im Y' c S^-i.k* , q non nul , donc Im Y~ n'est pas
contenu dans
S^n-i.k'-i
(cf. (47)"') , Alors on peut
3
construire le Y
seulement quand on peut choisir une section
tf' de l'espace fibre trivial induit par Y1"* (cf. (50)") de
telle sorte que
Y 2 = p'otf1 : ûr.-i
•* J * ' * 1 ^ ^ ) soit une
solution de l'équation ECS^n-i,k--m ) pour que l'intersection de
Im Y2~ et de 7"n-i .k'*-i soit vide (cf. (47)') , de même pour
les
Y1*1 , i > 1 , Donc il y aura une infinité d'équations
secondaires
ECS^o-i,k-+i) à vérifier et qui sont nécessaires
pour que Y soit prolongeable à une solution de D , Si tel est
le cas, alors on obtient
(cf. (51)") une solution formelle
seulement, En effet, l'auteur n'a pu établir de théorie des
séries majorantes dans ce cas-là , L'exemple montre d'une part
qu'il y a des cas où manifestement on a une infinité d'équations
secondaires à vérifier
[25] , [23] , et d'autre part qu'une
partie des solutions formelles est convergente tandis que l'autre
est divergente ES] ,
Dans le cas d'une variété analytique réelle
Vo
de
dimension
n-1 , si
(ir,Y)
est un couple de plongements
analytiques appartenant à P(Vo,V) xo P(Vo,Jk'-1(V,Z)) , avec

US 52

Im Y~
c
S^o-i.k'-i , et
assurer que l'espace fibre

q

£*„_, , k '-i(D)

-•

différent de

t , alors pour

P
U^o-i ,k*-i(D)

possède une section ^' (condition nécessaire et suffisante pour
que Y admette un relèvement intégrable dans DkO , il faut
d'abord étudier les obstructions topologiques de
p , En
particulier, dans le cas où ÏÏI(VO) = 0 il faut que d«-(9) = 0
[28] pour r > 2 (cf. §2) . Dans le cas où ÏÏI(VO) n'est pas
nul, les études de
[19] sont évidemment très utiles pour ce
problème. Comme q est différent de t , alors il faut que Y 1 "
vérifie l'équation secondaire de sorte que
Im Y1-

c

U*»r,-i,k'(D) ,

et ainsi de suite ,,. De là on voit le lien étroit entre la
topologie et le problème caractéristique de Cauchy, i.e, quand q
est différent de t ,
Remarque,

L'inclusion Im Y~ c S^n-i.k--! (resp. la stratification
de Vo induite par
Y~ ) constitue une précision de la notion
classique
de
"problème
mal
posé"
ou
des
données
"caractéristiques"
.

de

A présent, nous allons citer une autre conséquence immédiate
(51)' concernant les solutions locales. La voici :

(52)
Soient
V ,Z deux variétés analytiques réelles et soit
k
D c J '(V,Z) un sous-espace semi-analytique. Supposons que la
codimension
de
Er.-i ,k*-i (D)
dans
l'espace
p'MUn-i .k'-i(V,Z) C\ G*r.-i(TDk'-i )) soit égale à m , qui est
la dimension de Z . Alors D possède des solutions analytiques
dans un voisinage de chaque point

xo € Im oc-pk.-i(SS,-i,k--i(D)) c

V

(cf, (27)')

US 53

En effet, dans le cas où
D
est algébrique de degré
d ,
génériquement l'espace des germes des solutions analytiques de D
en ce point xo contient un ouvert (cf. appendice) non yide de
l'espace (ÛU-i)" x Zd , où OU-i est l'anneau des germes des
fonctions analytiques réelles de R""1
à l'origine , n la
dimension de V , et p égale m,k' moins la codimension de
Dk'-i
dans
Jk'~1(ViZ) , C'est aussi le nombre maximum de
fonctions, dans une condition initiale , qu'on peut donner par
avance sur une hypersurface de V , En particulier, si de plus D
est elliptique , cet espace des germes de solutions analytiques
est homéomorphe à (OU-i)** x Z<* où Z d = Z/dZ .
En particulier, x c Im oc-pk *-i (SSv-i ,k»-i ) implique que
les deux degrés locaux degx jk,oc sont nuls (cf, §2) [27], mais
on ne sait pas si l'inverse est encore vrai , Remarquons que la
détermination de la stratification de D , e.g. SVi.k'-i est
purement géométrique, ainsi (51)' et (52) nous permettent de
connaître facilement la taille minimale de l'espace des germes
des solutions analytiques [24] , et de donner leur développement
en séries convergentes (cf. (51)') , e.g, l'espace des solutions
locales voisines de chaque point de
R"
de l'équation
2
D c J (R",R) définie par
n
«
Su 2
Su 2 -1/2 Su
Z
[ 1 + ( - ) + , . . + ( - ) ]
.—
i=l Sxi
fixi
Sxn
Sx±

= 0

contient un ouvert non vide de
C£L-i)2 , D'autre part , le
simplexe sectionnaire
(cro,Yo) , défini par un hyperplan
xi = cte et la solution triviale u = cte, vérifient l'inclusion
Im Yo~ c S°n-i,i(D), De même l'espace des germes des solutions
analytiques au voisinage de l'origine (0,0) € R 2 de l'équation
D c J 2 (R 2 ,R) donnée par

fi2u 2
x( — 5 )
Sx*

+ u(

S2u
SxSy

2

)

2
fi2u
+ y( — 5 )

Sy*

= 1

contient un ouvert non vide de
(0i) 2 , Cependant on peut
remarquer d'une part qu'aucune des deux droites x = 0 ou y = 0

US 54

ne remplit l'hypothèse du théorème de Cauchy-Kowalevska , D'autre
part, D étant non quasi-linéaire , les distributions ainsi que
les pseudo-transformations de Lie ne semblent pas s'appliquer
immédiatement à une telle équation . Enfin l'équation
D c J 2 (R n ,R) définie par
n
S
Su 2
Su 2 -1/2 Su
Z l
[ 1 + ( ) +...+ ( ) ]
,
)
i=l SXL
SXI
fix«
Sxi
est elliptique (cf. §5 remarque (5)) . Du fait que
Di = J M R n ; R ) , on déduit que l'espace des solutions
analytiques voisines de chaque point de R n est homéomorphe à
(&,-i)2 ; en effet, soit S c DU l'espace des germes des
solutions analytiques à l'origine de
R " , et considérons
l'application ^ ; OU-i •* (&.-1)2 qui est définie par
*(f(Xl,.,,Xn))

a

(f(0,X2,,.,Xn) , Sf/SXl

(0,X2,.,,Xn)) ,

Alors ^ induit une application bijective ^IS : S -» (OU-1)2 .
Ainsi il y a beaucoup de surfaces minimales analytiques non
constantes [32] <*> ,

(*) J'ai obtenu des résultats plus précis peu après le colloque
de Calgary. A savoir : une équation D c
Jk(V,R) semianalytique de codimension
1 telle que oc(D) = J k-1 (V,R)
possède toujours des solutions analytiques locales. Mais ici ne
sont présentés que les résultats émis lors de ce colloque. La non
publication de ce texte depuis ce jour témoigne de la difficulté
pour un homme qui, n'étant ni un jeune loup prometteur de
médailles, ni un vieux lion en pleine possession de son pouvoir,
n'a même pas une chance sur le million sept cent cinquante mille
publications mathématiques [20] d'être reconnu ,

US 55

10,
Obstruction
pour
solution
globale,

l'existence

Soient V , Z deux variétés indéfiniment différentiables, V
orientée de dimension n > 2 , et D c Jk'(V,Z) un sousespace différentiable
(cf, §9) , Nous allons étudier quelles
sont les obstructions pour l'existence d'une solution de D sur
V en supposant que Dk--i en possède une , Pour cela, désignons
par
«.-<*,*>
= (fir<r,$-Y) 1* r-ième face
(cf. §2) d'un
n-simplexe sectionnaire
(<r,Y) de <x : J k ' _1 (V,Z) -* V ,
Dk'-i-admissible, et par E l'ensemble formé par les simplexes
qui vérifient (cf. (21)) en plus

(53)

Im SrY~

avec

c

Uo.k.-i(D)

-

Er,.k--i(D)

r = 0,,.,,n .

Les notions introduites dans le paragraphe 9 nous permettent de
déterminer cet ensemble E , En effet, supposons que
SrY : ûn-i

+

J k '-MV,Z)

se prolonge à une solution Y (cf. §9) dans un voisinage de
Im Sror c V , Alors, Y définit une application de ûn-i dans
Eo.k.-i(V,Z) par Y( x ) = (r( x ),y( x )) (cf, (17)) où T ( * ) est
l'image de l'espace tangent à V au point cr(x) par la dérivée
de j*'-"» , et où y( x ) = jk'Y(<r(*)) . D'où T ( X ) = Î J Y ~ ( X )
entraîne
(tr,Y) e E. Notons par
H
le sous-groupe de
s
H(ock«-i) s j
K ( où <Xk'-i : Dk'-i -» V) engendré par les
cycles 6 = Z ai(<Ti,Yi) avec (<Ti,Yi) e E, et Ho(V,Z) = K/H
le groupe quotient . Alors le nombre d'éléments (ou cardinal) du
groupe quotient Hn(V,Z)/Im p(H) est un invariant numérique de
D qui vérifie évidemment la relation:

deg Ik'-i(ock<-i) « card (Ho(V,Z)/Im p(H)) - 1

US 56

où
p ; K
-* Ho(V,Z) ~ Z
est la projection canonique
(cf. (10)) . Or, si D possède une solution u , ce nombre est
nécessairement égal à 1 puisque p((9o)) = 1 , où (9o) e H
est donné par
9o

=

Z (riljk,-,u-o,i)

et où
Z <Ti
est un cycle d'orientation de
V . Supposons
maintenant que cardC Z / Im p(H) ) = 1 et considérons le cycle
6 = ï âidri^i) de E tel que p((9)) = 1 . Alors l'équation
(53) nous permet d'associer à chaque simplexe (<r±,Yi) de 9
un élément CYi) du n-ième groupe d'homotopie de Un,k'-i(V,B)
relatif à Uo.k--i(D) : «±3 eïïo(U„,k--i(V,Z);U«-i,k--i(D))qui
est représenté par Yi~ et par sa restriction au bord de

un ; Sûr, = U

Srùr*

UfirYi""
4
Un.k'-l(D)

r
D'où l'on obtient une classe de cohomologie dans
H"(otk'-i,ïïr,(Ur,,k'-i(V,Z);Uo.k--i(D)))

dont la nullité est une condition nécessaire pour que D possède
une solution sur V . En particulier, soit uo : V 4 Z une
solution de Dk*-i c
J1*'"*1 (V,Z) et Z <ri une triangulation
de
V
compatible avec l'orientation ; alors la classe
9i = £9) € K/H
, où 9 = Z (d, j^-^Uo-ori) , est la première
obstruction pour que uo soit une solution de D . Quand 6i = 0
c'est-à-dire 9 € H , on définit la seconde obstruction 9s qui
est un élément du groupe de cohomologie ordinaire

H"(V,ïï„(U„,k'-i(V,Z);Uo.k--i(D)))

en associant à chaque simplexe
tri
l'élément du groupe
d'homotopie relative
Vn(Unck--i(VlZ);Un#k--i(D>)
défini par
Y±~ , où Yi = jk'-,"o-cPi vérifie (53) . La nullité de 9* est
une condition nécessaire pour que uo soit une solution de D .

US

57

En somme, supposons qu'on sache déjà résoudre n'importe quel
système d'équations aux dérivées partielles D c Jk(V,Z) sur
les variétés
V
de dimension
< n'-l , d'ordre
k
arbitrairement choisi, et qu'on puisse résoudre tout système
d'ordre k < k'-l sur n'importe quelle variété V ; alors la
méthode proposée ici nous permet de résoudre les systèmes
d'équations sur une variété de dimension
n' d'ordre k'.
Autrement dit le problème se réduit d'une part à un système
d'équations
différentielles
ordinaires
d'ordre
arbitraire
(c'est-à-dire quand n = 1 ), et d'autre part à la description
des zéros communs d'un système de fonctions algébriques (resp.
analytiques) sur une variété algébrique (resp. analytique) de
dimension quelconque
(i.e, k = 0) : c'est-à-dire la géométrie
algébrique réelle. Ainsi, la géométrie algébrique et les
équations aux dérivées partielles sont étroitement liées ainsi
que l'avaient pensé depuis longtemps déjà certains mathématiciens
français , qui prônaient également l'unité des mathématiques et
ceci malgré l'avis contraire de leurs adversaires [1] [7] [23]
[323 [17],

US 59

Append ic e
Etant donnés trois entiers positifs

(m, p, d) , désignons

par
^q
«Q
OHQ,«•j . ,

;e _ jio eo . , . iex
jx

j

1 i jo < ji < .., < jx < m

,

,

et » 1 , Z et < d , q = 1,2,,,.,p
et par

xi, ,,. ,xm

les coordonnées d'un point de R N ,

N = p<m+d,d> + m (cf. (22))
et par X la sous-variété non singulière de R N définie par
les p équations polynomiales en x , linéaires en oc , que
voici:

cc^0 + Z afl ee o

.e xxf°...xfxx = 0

jo ...jx

J°

*

q = ï|2,,..,p .
La projection f de R N sur R M , où M = p<m+d,d> , définie
par f (x ,0^0,0^.) = (or^ofj.) induit une application notée
encore par f
f : X
et on appellera la stratification de f stratification
standard
du type (m,p,d) , Remarquons d'abord que le nombre #(m,p,d)
des strates, les équations
\*s qui définissent la strate
S c R , c'est-à-dire le discriminant de S , ainsi que les
invariants algébriques (e,g, ÏÏ* , H* , etc..,) de S , sont
des invariants numériques ou algébriques fonctions de ces trois
entiers <m,p,d) . Par exemple, #(1,1,1) = 3 , #(1,1,2) = 6 ,

US 60

les composantes connexes des strates correspondantes sont
contractiles, et un travail de Curtz [6] peut être utile pour
obtenir une description de la stratification standard du type
(2,2,2) C3,c>, Les connaissances sur # , fs , les invariants des
espaces fibres
fs : f^^S)
+
S
et les autres propriétés
géométriques de f , ont une certaine utilité dans l'étude des
équations aux dérivées partielles sur R " , En effet, fixonsnous un D c
J k (R°,R m ) algébrique de degré d tel que la
codimension de En-i,k-i(D) dans l'espace

p-'tUn-i.k-itR^R") n

6*T,-i(TDk-i))

soit égale à
p . Alors, le nombre des strates de la
stratification canonique
U«-i ,k-i (R r, ,R m ) de D est majoré
par
#(m,p,d) , e.g, une équation
(m = 1 )
quasi-linéaire
(d = 1) d'ordre quelconque sur R " a au plus 3 strates, et
une équation algébrique de degré 2
(d • 2) ne possède pas
d'obstruction topologique pour un problème de Cauchy sur une
variété plongée Vo (cf. §9) .
D'autre part, la forme explicite des discriminants \»s du
type de (m,p,d) nous permet d'écrire les équations secondaires
de D (cf. §8) dont la résolubilité est nécessaire pour celle
de
D , e.g, pour
(l,l,d) avec
d < 4 , i.e. une équation
n
d'ordre k sur R
de degré algébrique d , les solutions par
radical d'un polynôme de degré d i 4 donnent explicitement les
équations secondaires , Pour d ) 5 , la théorie de Galois montre
qu'il n'est pas trivial d'obtenir une description simple de ces
équations. De même, pour un système, i.e. m ) 2 et d > 2 , la
situation est aussi complexe sauf dans le cas (2,2,2) qui est
la conséquence d'un résultat récent <:#:> et de [63. Ce résultat
nous permet d'écrire les équations secondaires d'un système de
deux équations à deux fonctions inconnues d'ordre k sur R " ,
et algébriques de degré 2 .

(*)
Un travail récent
(1984)
de M.Perroud détermine
entièrement la stratification standard du type
(2,2,2)
en
introduisant des invariants algébriques nouveaux.

US 61

Enfin la connaissance sur les classes d'obstruction des
espaces fibres fs ; f~MS) 4 S (resp. le comportement d'une
section de
fs
voisine d'une autre strate)
ainsi que la
connaissance d'autres invariants , entraînent celle de la
stratification canonique de D (resp. des solutions de D) ,
Il est utile de construire une telle stratification standard
(resp, universelle) pour les systèmes d'équations aux dérivées
partielles analytiques réelles sur R " (resp. sur deux variétés
V et Z) .
Dans le cas où Dk- est défini par les zéros d'une fonction
différentiable F : Jk'(V,Z) + R N
, alors la stratification
canonique de D est entièrement déterminée par la dérivée de F
le long des fibres de
Jk'(V,Z)

-»

Jk—'(V^) .

C'est la raison pour laquelle les termes d'ordre k' dans
une des dérivées partielles pour une équation quasi-linéaire sont
plus importants pour certains problèmes que les autres termes,
Rappelons aussi que, dans la pratique, on doit tenir compte
des composantes connexes et du type des fibres dans une telle
stratification, De même, la détermination du type topologique et
des invariants algébriques des variétés En,k(V,Z) , Un,k(V,Z) ,
p (cf, (27)) en fonction des invariants de V et Z aidera à
l'étude des solutions globales,
Enfin, rappelons encore une fois qu'une théorie des séries
majorantes pour les strates non triviales
(cf, §9)
est
importante pour compléter cette méthode .
D'autre part, il est peut-être utile aussi de remarquer le
fait suivant ; l'équation d'un fluide général [24] , qui tient
compte de plusieurs facteurs physiques d'un fluide se comporte
mieux
(e.g. équation secondaire, condition bien posée, etc...)
que les équations où l'on néglige certains facteurs , Par
exemple, les équations de Navier-Stokes
[9] et Euler
[25] ,
Autrement dit, cette équation se traite plus facilement que les
deux autres, bien que ces dernières aient l'air plus simples, En
effet , il est possible qu'en négligeant trop de facteurs, on
s'éloigne de la réalité du fluide,

US 62

Ainsi, il ne serait peut-être pas mauvais qu'au lieu de
continuer à simplifier des équations classiques et à affaiblir
leurs solutions, on s'attache à compléter
les équations
classiques en tenant compte des connaissances nouvelles apportées
par les récents progrès de la physique. Ainsi on obtiendrait une
nouvelle équation F que l'on pourrait essayer de résoudre même
si elle paraît plus complexe de prime abord. Une fois les
solutions trouvées, et après les avoir vérifiées par la méthode
numérique, ou par ordinateur, on pourrait alors comparer ces
résultats aux phénomènes naturels. Au cas où la différence ne
serait pas négligeable, alors il faudrait améliorer l'équation F
elle-même et recommencer le processus.
Une des raisons pour laquelle on a utilisé les simplexes ou
variétés plongées au lieu des sous-variétés de V est que l'on
voulait éviter de voir apparaître la "multiplicité" dans les
conditions initiales, bien que les résultats eussent été
certainement plus précis si l'on avait appliqué le langage de
Grothendieck [16] .
A présent, soit A un sous-anneau des germes des fonctions
indéfiniment dérivables à l'origine de R " , alors la k-ième
topologie "algébrique" (resp, analytique, différentiable) sur
fir (produit de m copies de A ) , est définie de la manière
suivante ; à chaque système
D
d'inéquations strictes aux
dérivées
partielles
algébriques
(resp.
analytiques,
différentiables) d'ordre
i k à m inconnues, on associe un
ouvert fondamental de cette topologie tb formé par l'ensemble
des solutions
(fi, ,,, , f«J
de
D , Il est clair que la
(k+l)-ième topologie est plus fine que la k-ième, et l'ensemble
des solutions d'un système d'équations aux dérivées partielles
algébriques (resp, analytiques, différentiables) d'ordre < k
est un fermé de la
k-ième topologie algébrique
(resp,
analytique, différentiable) de ft" .

US

63

Il est évident que ce travail médiocre, malgré de longues
années d'efforts <*>, ne vaut rien pour la plupart des grands
génies contemporains courronnés de médailles prestigieuses et
détenteurs de pouvoirs, Mais il reste malgré tout un mince espoir
qu'il puisse subsister ou être volé ! <**>
En effet, d'une part, il est probable que les chercheurs
qui établissent des équations à partir d'un phénomène naturel
aimeront voir les solutions en séries convergentes que cette
méthode permet d'obtenir, enfin de confirmer ou d'améliorer leur
description de la nature. D'autre part, ma méthode est
élémentaire et n'utilise que les connaissances de trois options
du niveau de la licence d'enseignement mathématique. De plus,
seules les notions fondamentales de ces options ont servi.
Ainsi ce travail contribuera-t-il, de manière très modeste
évidemment, à 1"unité des mathématiques" par opposition à la
"division"
actuelle
conséquence
de
la
compétition
individualiste bien soutenue par le système des médailles, de
l'argent et du pouvoir, et aussi par la peur de perdre son emploi
si l'on n'accepte pas de suivre ce chemin, Les médailles et le
pouvoir sont les carottes pourries des multinationales pour
maintenir l'inégalité, cause profonde de la crise ,
Ne serait-il pas mieux que les mathématiciens s'unissent au
lieu de "diviser pour mieux ruiner" ? Ne serait-il pas plus sage
qu'ils accomplissent enfin leur devoir et contribuent à établir
"l'égalité
de consommation pour tous les êtres humains" ?

(*)

L'auteur remercie les membres de la commission scientifique
du C.N.R.S, qui ont renouvelé son contrat, bien que récemment
une sérieuse menace soit apparue du fait que je n'avais pas
réalisé de publications dans le domaine des mathématiques
modernes depuis dix huit ans,
(**)

Ch, Ehresmann : "On m'a volé mes idées, c'est la preuve
qu'elles sont bonnes !"
A. Grothendieck (Université de Montpellier et C.N.R.S.) :
"Récoltes et Semailles" Réflexions et témoignage sur un passé de
mathématicien,

US 65

Bi b1iographi e

[1] Bureau, F,
Quelques questions de géométrie suggérées par la théorie des
équations aux dérivées partielles totalement hyperboliques.
Colloque de Géométrie algébrique. Liège 1949. Centre belge de
recherches mathématiques.

[2] Cartan, E,
Les systèmes différentiels extérieurs
géométriques, Hermann, Paris 1945.

et

leurs

applications

[3] Cartan, H.
Séminaire de l'E.N.S.

1953-54

[4] Cerf, J,
Théorèmes de fibration des espaces de plongements, Application,
Exposé 8, Séminaire Cartan, E.N.S, 1962-63

[S] Chou, C,C.
Quelques exemples d'homologie sectionnaire de Shih.
Chinese Journal of Mathematics, Vol, 10, n°l , June 1982

[6] Curtz, P,
Stabilité locale des systèmes quadratiques,
Ann, Scient, E.N.S, , 4 * — série, T.13, 1980, p, 293 à 302,

US 66

[7] Darboux, G,
Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications
du calcul infinitésimal, 3**m* partie,
Gauthier-Villars, Paris, 1894,

[8] Didierjean, G, et Marti J,A, , à paraître,

[9] Didierjean, A. et Legrand, A. , à paraître.

[10] Dieudonné, J,
Eléments d'analyse IV, Gauthier-Villars, Paris 1971

[11] Douady, A,
Variétés à bords anguleux et voisinages tubulaires,
Séminaire Cartan, E.N.S, 1961-62,

[12] Ehresmann, Ch,
Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des
pseudo-groupes de Lie,
Colloques internationaux du C.N.R.S., Paris, 1953

[13] Ehresmann, Ch.
Sur la théorie des espaces fibres.
Colloques internationaux du C.N.R.S,, XII, Topologie algébrique,
Paris 1947,

[14] Goursat, E,
Cours d'analyse mathématique, Gauthier-Villars, Paris 1942

US

67

[15] Grassman, H,
Geometrische Analysegesknùpft an die erfundense geometrische
charakteristik. Mit einer erlaûternden Abhandlung von A, F.
Môbius, Leipzig, Ueidmann, 1847.

[16] Grothendieck, A,
Séminaire de géométrie algébrique, 1962.

[17] Hadamard, J.
Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles
hyperboliques, Paris, Hermann 1932,

[18] Lalonde, F,
Thèse Univ. de Montréal, 1982, et C.R.Acad.SC. Paris, t. 297,
p, 659, 1983,

[19] Legrand, A,
Homotopie des espaces de sections,
L.N, in Math, , 941, Springer-Verlag. Berlin

[20] Leray, J,
Enseignement et Recherche, Gazette des Math, S.M,F,, n* 8, 1977.

[21] Leray, J,
Problème de Cauchy IV,
Bull, Soc, Math. France, vol, 90 , 1962, p. 39-156

US 68

[22] Petrovskii, I,G,
Lektsii ob uravneniyakk s chastnymi proizvodnymi,
Moscow Fizmatgiz 1961,

[23] Picard, E.
Leçons sur quelques types simples d'équations aux dérivées
partielles avec des applications à la physique mathématique.
Gauthier-Villars, Paris 1927.

[24] Shih, U.H.
On the Cauchy problem for the équation of a gênerai fluid,
Colloque sur les problèmes mathématiques rencontrés dans l'étude
des phénomènes naturels , C.I.R.M, Marseille-Luminy, France 1982,
D. Reidel Publishing Company, Pays Bas.

[25] Shih, U,H,
Sur l'équation d'Euler, à paraître,
et C.R. Acad, Se. Paris, t. 297, Séries I, 1983, p. 591,

[26] Shih, U,
C,R, Acad, SC, Paris, t, 285, série A, 1977, p, 333.

[27] Shih, U.
C.R, Acad. Se. Paris, t. 292, série A, 1981, p. 901.

[28] Shih, U,
Un invariant algébrique associé à une application continue,
Algebraic Topology-manifolds and cell complexes, Editor George
M.Rass , National Research Institute, Athene, Grèce.

WS

69

fonctionnelles

et

C29] Thom, R,
Bull. Soc. Math, de France, Vol. 87, 1959, p. 455.

[303 Thom, R.
Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 75, 1969, p. 240-284.

[31] Thom, R.
Stabilité structurelle et morphogénèse. Inter-éditions,

[32] Valiron, G.
Cours d'analyse mathématique , Equations
applications, Masson, Paris, 1942,

La Chenetière
78120 Raizeux
France