D IAGRAMMES

W EISHU S HIH
Un invariant algébrique associé à une application continue
Diagrammes, tome 15 (1986), exp. no 5, p. S1-S15
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1986__15__A5_0>

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Oiagramm**

Volum*

15

UI IIVASIAIT ALGEBRIQUE ASSOCIE A DIE APPLICATIOI COITIIUE

Veishu SHIH
(C.I.R.S.)

"L'égalité

de consommâtion pour tous les êtres

humains"

Le but de ce travail est de détailler une partie des
résultats annoncés dans [51, C6] et [83, et qui consistent à
attacher à chaque application continue d'un espace topologique
dans un autre une suite de groupes abéliens que l'on appelle
groupes d'homologie sectionnelle de cette application. Ils
possèdent la plupart des propriétés des théories d'homologie,
mais ce ne sont pas des invariants d'homotopie et ils dépendront
de la dlfférentiabilité dans le cas des variétés différentielles.
Ces dernières propriétés nous permettront, dans un travail
ultérieur de développer pour les équations aux dérivées
partielles, une théorie analogue à la théorie des obstructions en
topologie algébrique, et une méthode pour réduire le nombre des
variables indépendantes dans un système d'équations aux dérivées
partielles non linéaires.
Sous étendrons ici la notion de degré d'une application
continue
f
entre variétés au cas où les variétés sont de
dimensions différentes. Dans le cas où f est l'application de
projection d'un espace fibre, ce degré est déterminé par les
différentielles de la suite spectrale du fibre, d'où le lien avec
les classes caractéristiques du fibre.
Soit
f : Y -> X
une application continue d'un espace
topologique Y dans un autre X. Notons &=, le q-ième simplexe
type de R*»*1 défini par :
Ac,

=

<(Xo,Xi, . .. , x Q ) e

A. M. 8. 8ub, C U s s .

: 66 N 36

K*- 1

, Xi

, 36 A 30

>, 0 , ÏXi =

, 67 R

46

1 }

S

et considérons les couples

((y,Y)

<r : Ac, -> X

,

2

d'applications continues:
Y : Ac, -* Y

telles que c soit injective et f~y = <r . Désignons par C*,(f)
le groupe quotient du groupe abélien libre engendré par ces
couples
(«r,Y)
par la relation d'équivalence de subdivision
barycentrique. Les
<q+l)
faces
<S4
de
Ac, nous permettent
d'introduire un homomorphisme

de,

l

=

<-l>**±

C Q <f) -> Cc-l(f) ,

i=0

et comme dans la théorie d'homologie singulière on a de-i-dc, = 0.
Alors on définit le q-ième groupe d'homologie sectionnelle de f
par ;
He<f).

=

{noyau de de,} / {image de de-M>

Les projections pi : <<r9Y> -» r et p 2 : <<r,Y) -» Y induisent
des homomorphismes du groupe sectionnel He<f>« dans l'homologie
ordinaire:
Hc,<f).
Pi
Hc,<X,Z) — *
f*

p2
IMY,Z>

A chaque diagramme commutatif d'applications continues

où jo est injectif, la somme tordue [9] de 1'homomorphisme des
groupes différentiels gradués j* : C*<fo> •» C*(f>
nous permet

S

de définir le groupe d'homologie secttonnelle relative
et la suite exacte d'homologie secttonnelle associée à

3

H*<f,fo)m
(jo,j>:

. . . -» H*<fo>. -» H*<f), -» H*(f,fo). -» ...
En particulier, si
U
X-U -* X et Y-f-1 <U> -» Y

est un ouvert de

Y-f"1 <U>

-> Y

X-U

-> X

X, les inclusions

I

définissent le groupe H*(f f fu). .
L'homomorphisme
H*(f,fw>» -» H*(f,fv>*
induit par l'inclusion
d'un ouvert V dans U , définit sur X un préfaisceau; on note
H le faisceau associé que l'on appelle faisceau sectionnel de f
La projection canonique
po : H*<f,fui>« -» H*<X,X-U>
induit un
morphisme du faisceau H dans le faisceau d'orientation Ho de
X, soit
p : H -> Ho , d'où la suite exacte des groupes de
cohomologie associée :
. .. -> H"(X,JÏ) -> H"<X,J2b) -» H ^ M X , p > -> ...
Supposons maintenant
que
f
soit une application
indéfiniment dérivable entre deux variétés Y et X de classe
C* . Fixons un entier positif
k ; nous allons définir les
simplexes
<<r,Y) k-fois dérivables de f . Pour cela, désignons
par
eAc, , e > 0 , l'image de Ac, par l'homothétie de rapport
1+e et dont le centre est le barycentre de A.q . Soit :
F. . . . j = 6A -, . . •£J Ac, la ii...ii~iême face de A^, et «F.,
•ii
ii

ii

ii

l'intersection de cA Q
qui contient ? £ • • • !
Alors

j-i

ii

q-1

avec l'hyperplan affine de dimension
.et int.Fj . . . ^
son intérieur.

<<r,Y> est dit k-fois dérivable s'il vérifie :
(1) il existe € > 0 tel que <r : A Q -» X et Y : &<* -*Y
se prolongent à eAc, en des applications de classe C* avec
<yc injectif;
<2> pour tout ii...ii-ième face (0 < 1 S q> Fii...jLi de
l'application

*UntF 4

)

Y'

induite par

Y

sur 1'image

admet la.propriété que son j e t d'ordre

k

S

4

<r(intF,
, ) -» Jk(<r<intF, .... );Y)
ii
ii
ii
n
ii '
s'étend en une application continue f sur la fermeture de
a(intF , . . M ) dans Jk(<r.(intcF, ...4 );Y)
ii
ii
ii
ii '
jkY*

Il est clair que les simplexes
engendrent
un groupe
différentiel

Hc,<f>»,k
k-fois

k-fois dérivables de
f
gradué dont
l'homologie

est par définition le groupe d'homologie

dérivable

de

sectionnelle

f, et on a la suite exacte :
k' < k.

-> H:*<f>i,k -> H*<f)..k' -> H*Cf>K#ta« ->

Rappelons qu'un sous-faisceau
I
[3] du faisceau des formes
différentielles
Q*<Y>
de Y est appelé idéal différentiel si
Q*<Y> A I et dl sont inclus dans J.
On dira qu'un simplexe
<<r,Y> est intégrable [10] par rapport
à l'idéal
I si pour toute forme a) e I, on a Y*c*> = 0 .
Alors le groupe obtenu par les simplexes intégrables est appelé

groupe d'homologie

sectionnelle

de

f

attaché

à l'idéal

I; on

le note H:*(f>«, z .
Enfin, nous définissons le groupe d'homologie réduite de la
façon suivante. C'est le groupe d'homologie du quotient de C*<f)
par la relation d'équivalence suivante: deux chaînes c" et c'
sont équivalentes s'il existe une chaîne sectionnelle
c
de
l'application
f x Id
: Y x [0,1]
-* X x [0,1]
telle que
de" = joc - jic' , où j± , i = 0,1 , est l'inclusion canonique.

j
•>Y x [0,1]
f x Id
jo

X

1/
> X x [0,1]

On notera par
tt*<f)r
le groupe d'homologie sectionnelle
réduit de f et q : H*(f)« -* H*(f) r
la projection canonique.
Dans le cas où f est l'application identique d'un C.W.complexe
X fini, de dimension n , on a évidemment :
Hi(f)« = Hi(f)r = Hi(X,Z)

, 0 * i < n

Hn(f)r = H n Π. Z ) .

S

5

Ainsi, H*(f)«
consiste en une généralisation de l'homologie
singulière. Cependant, nous pouvons remarquer (cf. exemple 1) que
le groupe H*:(f>» n'est pas un invariant homotopique de f , et
dans le cas où
f est une application indéfiniment dérivable
entre deux variétés de classe
C*
les groupes d'homologie
sectionnelle k-fois dérivables peuvent être différents pour tous
les k .Pour une équivalence d'homotopie j au-dessus de X :
j
•> Y'

i

X

on a H*(f)r = H*(f>,
différents.

mais

i
H*(f)»

et

H*(f>«

peuvent être

D'autre part, quand X est une variété de classe C* de
dimension n , et Y une variété de classe Cm de dimension m,
f: Y -* X de classe C* t il est clair que Hr,(f>. s'identifie à
un sous-groupe de l'espace de m-courant de la variété X x Y .
Ceci nous permet de remplacer les distributions par Hn(f>» pour
une équation aux dérivées partielles non-linéaire.
Le groupe
H*(f)»
est difficile à déterminer, mais il
permet d'introduire la notion de degré d'une application pour les
variétés de dimensions différentes qui généralise la nation
classique de degré. Pour cela, on suppose que X est une variété
topologique orientée de dimension n . Plus généralement, X peut
être un espace topologique dont le n-ième faisceau d'orientation
est trivial (isomorphe au faisceau constant sur Z) , Y un espace
topologique et f une application continue propre f : Y -» X .
Alors le degré de f est défini de la manière suivante: c'est le
nombre des éléments du groupe quotient Hn(X,Z)/Im p* - Z/Im p*
diminué d'une unité, où p : Hn(f>« -» Hn(X,Z) est la projection
canonique:
deg f

=

#<conoyau p* : H„<f>. -* Hn(X,Z>> - 1

deg f peut être infini; deg f e Z+KJ {+»>.
Dans le cas où
X, Y et
f sont de classe C** , on peut
utiliser le groupe d'homologie sectionnelle k-fois dérivable de

S

6

f : degkf . De même, si Y est muni d'un idéal différentiel I ,
on peut introduire le degré de f attaché à cet idéal, degJf ,en
utilisant le groupe Hn<f>.#j . On a évidemment les inégalités
suivantes:
deg f

S deg'f

*

deg'f

L'exemple montre qu'il y a des applications différentielles f
pour lesquelles tous ces degrés sont différents.
Dans le cas où Y est une variété orientée connexe de même
dimension n que X , alors le degré classique degcf de f est
défini. Le diagramme commutatif
H„(f>,

Hn(Y,Z)

Hn(X,Z)
montre que 1 ' on a
degcf

« deg f

+ 1

Mais l'exemple suivant montre que les degrés peuvent être
différents, donc la nullité de notre degré est une condition plus
forte que la nullité du degré classique.
Exemple 1 . Soit f la projection d'un cercle cur un autre telle
que f projette le segment AB sur le seul point C . Alors le
degré classique est 1 , mais notre degré est infini.

S

7

Cet exemple montre en même temps que notre degré n'est pas un
invariant homotopique de
f ; donc le groupe d'homologie
sectionnelle n'est pas non plus un invariant homotopique de f .
Revenons au cas où X est un espace topologique arbitraire,
alors le faisceau sectionnel
H nous permet de définir le degré
local de f au point xo e X de la manière suivante:
deg
où p x

f = #<conoyau p x }

- 1

désigne le morphisme de faisceaux p : H -> Ho au point Xo

Le degré local de
f
est une fonction semi-continue
inférieurement sur X . La nullité du degré local sur X signifie
l'exactitude de la suite de faisceaux:

0 -» JT -» if S Ifc -> 0
où
JT est le noyau de
p , et l'on a
D'autre part on a évidemment :
sup degxf
xeX

$

H*(X,p>

~ H*(Xf >

deg f

mais l'égalité n'est pas toujours satisfaite (cf.exemple 3 ) .
Enfin, pour
y e Y et Wy
un voisinage de y , on note f I Wv
la restriction de f à V y , et on définit alors le degré local
fort de f au point xo par :
deg v f

=

sup

<inf(degv (flVy))>

.

Supposons maintenant que X soit une variété orientée et soit
[X] sa classe fondamentale. Si le degré local de f
s'annulle
sur
X , alors l'image
<S[X] € HMX,.^) par l'homomorphisme S
de la suite exacte de cohomologie :
H°(X,JY) -• H°(X,JÏ) -* H°(X,ft>> § HMX.JID ...
est une obstruction pour que le degré de f soit égal à zéro.
Remarquons qu'on peut définir les degrés de
f
en se
servant de l'homologie sectionnelle réduite
H*(f) r
au lieu de
H*(f)« , d'où il résulte que le groupe
H*(f)r
n'est pas non
plus un invariant homotopique de
f . D'autre part , la nullité

S

8

du degré (resp. du degré local) de f signifie qu'il existe une
condition nécessaire pour l'existence d'une section (resp.section
locale) de f : i.e. d'une application (resp.application locale)
g : X -* Y telle que f-g = lx. En effet, ceci entraîne que le
cycle sectionnel 0 = l («r^g-d) , où il d ] = [X], vérifie
i
i
p*[8] = [X] , donc deg f = 0 . Hais l'inverse n'est pas vrai.
La projection f de la surface pliée sur R2 ne possède pas de
section, pourtant son degré est nul, d'où son degré local aussi.
Cependant le degré local fort de f n'est nul qu'en dehors de la
caustique
C. D'autre part, le degré local au point d'un
éclatement est » donc le degré aussi.

Considérons deux variétés de classe Cm et la restriction f de
l'application source a
à un sous-espace stratifié Y de la
variété des k-jets de X dans Z : oc : Jk (X,Z) -» X . D'après
Ehresmann [4] , Y
peut être considéré comme un système
d'équations aux dérivées partielles d'ordre k sur X , et il
introduit l'idéal
I de Cartan sur Jk(X,Z> , ce qui globalise
ainsi le système différentiel canonique de Cartan [1] . Ceci nous
permet de considérer le degré de f attaché à I : degJf .

Théorème 1 . Pour que le système d'équations
partielles
Y (contenu dans Jk(X,Z))
possède
g ; X -* Z

de classe

C~

il

faut

que

aux
une

dérivées
solution

degJf = 0 .

En effet, soit
jkg
le
k-jet de
g
et
Eo-t
une
œ
subdivision C de X qui représente la classe d'orientation de
X , alors la considération du cycle sectionnel
I (<ri, jkg<Ti)
J
montre bien que deg f = 0
Comme on a:

S

deg f

S deg'f

* ... * deg"'f

9

* deg'f ,

on a une suite d'invariants numériques qui sont des obstructions
pour l'existence d'une solution , degmf correspondant à la
régularité, et nous reviendrons sur ce sujet dans un travail
ultérieur. L'exemple suivant donné par C.C.Chou 121 montre que le
degré peut être un entier positif arbitraire n e Z .
les
Exemple 2. Désignons par (x^ »X2*U1 ,u 2 'Pi 'P2 '^1 '^2 *
coordonnées de J^R^R*) , où p± (resp.qi) correspond à ôui/ôxi
(resp. ùui/ùxs)
Soit Y„ (contenu dans JS(F,B2>> défini par :

pour

n = 2m+l

? c-i>ic?ur21ui1 = x.
i=0
C

iE 0
Pi+q 2
et pour

l

i

a

2i+lul

= °

i
u

x

2

» P2 _< ll

=

2

°

n = 2m

j^-D'cSi-r21-!1 - *i

P l +q 2

où

Cj

= 0

,

p 2 -q 1

= 0

désigne le coefficient du binôme.

Alors le degré de la restriction f de l'application source à
Yn attaché à l'idéal de Cartan est n .
Remarquons que dans cet exemple la dimension de la fibre
générique de f est 2 . Ceci montre l'avantage de notre degré.
Plus généralement, on peut construire un degré de manière
analogue dans les cas suivants : équations aux dérivées

S 10

partielles avec conditions intégrales, équations intégrodifférentielles du type de Boltzmann [7] et le problème de Cauchy
à l'aide du groupe d'homologie sectionnelle relative. Ainsi il y
a peut-être un certain intérêt à étudier ces degrés. Hous
reviendrons sur ce sujet plus tard. Pour le moment nous montrons
un théorème qui nous permet de calculer le degré continu dans le
cas particulier où f
est une fibration localement triviale. Il
est clair dans ce cas-là que les deux degrés locaux sont nuls
ainxi que la classe <SCX3 . De plus , on a le
Théorème 2. Soit
f : Y -> X un espace fibre localement
trivial
dont la base X est une variété topologique connexe orientée de
dimension
n
et dont la fibre
est un
C.V.-complexe fini
connexe. Alors le degré de f est le plus petit
entier
m > 0
tel que
fn

(m+l)[X]

€

Im<Hn(Y,Z) -* KU(X,Z>>

où [X] est la classe fondamentale de X . En particulier
quand
X
est simplement connexe , le degré de
f
est nul si et
seulement si :
dr[X] = 0
, r = 2,3,...
où les
dr désignent les différentielles
de la suite
spectrale
de l'homologie singulière
d'espace fibre
f : Y -» X .
Remarque. Comme les
dr
sont déterminés par la théorie des
obstructions [9] , ceci donne des rapports entre le degré d'une
fibration et ses classes caractéristiques. D'autre part le
théorème montre que le degré est un invariant homotopique dans la
catégorie des espaces fibres localement triviaux. Ainsi les
propriétés du degré classique s'étendent dans ce cas-là. Enfin
l'exemple 1 montre que la condition imposée à
f d'être une
fibration est primordiale pour que le résultat du théorème soit
vrai.
Avant la démonstration, nous introduirons la notion suivante.
Pour un sous-espace
K
de
Y
et une application continue
f : Y -> X entre deux espaces topologiques , on pose:
ZK~
£K~
ÏK

=

{x € X

I dim(f-i (x)fiK) >, 1 } ;

est l'ensemble des valeurs critiques ; on pose aussi :
=

i y e Y

I V U e 7(y>

dim(U 0 K 0 f"1 (f (y>)> >, 1 },

S 11

où V(y) désigne l'ensemble des voisinages de y;
Ï K est l'ensemble des points critiques de f . Lorsque E K = 0
on dit que K est transversal à f et on écrit : K t f.
D'autre part, par abus de langage, nous identifierons un cycle à
son support. Ceci étant , remarquons que pour démontrer le
théorème, il suffit d'établir le fait suivant:
supposons qu'il y ait un cycle
K
de
Y
formé par des
simplexes injectifs et tel que l'image de ce cycle par f soit
homologue à la classe fondamentale de X , alors il existe un
autre cycle
K'
homologue à
K
formé par des simplexes
injectifs avec £K- = 0 , c'est-à-dire K' t f .
ïous utilisons alors le lemme suivant:
Lemme. Soit
p : R" x R™ -» R" la projection
canonique , m > 1, D
un disque de dimension < n plongé dans R™ x R™ dont le bord
6V
est muni d'une triangulation.
Alors il existe
un disque
plongé
D' dans
R" x R™ tel que 6V = <?D' et
int(D') t p ,
où
int(D')
désigne l'intérieur
de
D'. En particulier,
si
léso = 0, on a
D' t p
et
D'
admet une
triangulation
D' =
UiAi , teJie que
p
restreint
à
à±
soit
un
homomorphisme de A± sur son image et SD soit un sous-complexe
de D' .
Acceptons ce lemme et fixons-nous une triangulation
f de
sorte que ïK et E K ~ soient des sous-complexes de Y et de
X. Remarquons qu'un cycle K' formé par des simplexes injectifs,
définit un polyèdre dont le bord est vide, mais qui n'est pas
nécessairement un sous-complexe de la triangulation . Or le cas
dim F = 0 est trivial, nous supposons donc dim F * 1 .
On va démontrer d'abord le fait suivant :
soit xo un sommet de EK~ et U' un voisinage de Xo, alors
il y a un autre voisinage
U de xo, dont la fermeture est
contenue dans U' , tel que pour chaque q ) 0 , il existe un
cycle
Kc, qui vérifie les conditions suivantes : Ko est
homologue à K , E K
est contenu dans ZK , <Xo> 0 £^ < q ) " = 0
où Kc/^ est le
est vérifiée:

q-ième squelette de

K.=, 0 (Y-f-1 (Û)>

=

K Q et l'égalité suivante

K O (Y-f-1 (Û>>

ïous allons raisonner par récurrence sur q £ 0 . Pour q = 0
il suffit de prendre
Ko
=
K
puisque tout point est
transversal à f .Supposons que nous ayons déjà trouvé Uc,-i et

S 12

Ko-i
. En subdivisant le cycle Ko-i
si nécessaire, on peut
supposer f-MUq-i) - Fo x U^-i où Fo = f""1 (xo) est muni
d'une triangulation, de sorte que chacun des
n-simplexes de
Ko-i
dont l'intersection avec
f^MUo-i)
est non vide sera
contenu dans Aj x U^-i pour un simplexe Aj convenable de Fo.
Fixons un q-simplexe A q ° de Ko-i tel que l'intersection de
Ao° , f""1 (xo) et Ij£
soit non vide. Si q = n , alors le bord
de A n ° est transversal à f par l'hypothèse de récurrence;
alors le lemme nous permet de remplacer A n ° par un An qui est
transversal à
f
et
6à
=
£An°. Dans ce cas-là la
démonstration est terminée . Maintenant supposons
q < n , et
notons par
K^-i (jo) l'union des
n-simplexes de
Ko-i
qui
contiennent
A q ° comme une q-ième face et qui sont contenus
dans àj x Uc,~i,i.e. l'étoile de Ao° dans KC-T O (A4 X Uo-i)
JO

JO

Choisissons un ouvert U' voisinage de xo , dont la fermeture
soit contenue dans U^-i » et tel que K,=,-i (jo) H f-1 (0* ) soit
contractile sur Ac,° . Triangulons les n-simplexes de K^-i
de
sorte que KQ~i (jo) C\ f""1 (U' ) soit un sous-complexe, et soit An
un de ces n-simplexes. Puisque q < n , on peut choisir une face
de An dite An~i = <SoAn qui contient A q °, et telle que
An-i C\ f-1(SU*) = 0 . Remplaçons A Q ° par Ac/ , d'après le
lemme , avec
Aq' t f , et
A q ° =tfAc,'. Gardons toutes les
autres faces de An-i fixes sauf celles qui touchent ÎAq° , en
appliquant successivement le lemme sur ces simplexes, on obtient
un An-i' qui contient AQ* et tel que Z A
,
soit contenu
*

•*•

un— 1

dans Z^
.. Appliquons la même modification pour les autres
faces <SiAn , i * 0 , qui touchent A q ° et gardent les restes
fixes. Enfin le lemme nous permet de construire un n-simplexe
An' tel que Z^ , soit contenu dans Z^
, et que
An O f-1 (<SÛ' ) =

An' H f-i (<SÛ» )

i.e. conserve le K.=,-i en dehors de U', et que la face Ac,'
qui correspond à Ao° soit transversale à f . Si An" est un
autre n-simplexe de l'étoile, on le modifiera en conservant les
faces communes de
An"
et
An
pour obtenir un
An"'
qui
vérifiera
la même condition que
An' . En continuant ce
processus , on arrivera à modifier tous les
n-simplexes de
l'étoile
Ko~i (jo) H f-MU') puisque celui-là est contractile
sur
Ao° . Le cycle obtenu après cette modification est
évidemment homologue à
K<q-i
et n'augmente pas les points

S 13

critiques, en plus il ne contient plus le
Ao°
au départ
puisqu'on le remplace par un
Ac/
qui est transversal à
f .
Faisons cette modification pour tous les A q ° et AJ
on obtient
le cycle Kc,. Ainsi la démonstration par récurrence est achevée.
Appliquons ce que nous venons de démontrer à tous les sommets
de
ZK~Ï on en déduit le fait suivant, dans le cas où
q = 0,
puis par construction récurrente le fait lui-même pour tout q * 0
pour chaque entier q * 0 ,il existe un cycle Ce, tel que
Ce, soit homologue à K, Z c inclus dans ZK, et l'intersection
de

Zc ~

et de

squelette de

ZK<C,>~

est vide, où

ZK<C,:,~

est le q-ième

ZK**"

A partir du
Ce, nous allons construire le cycle
Cq^i
en
appliquant le fait suivant sur tous les
q-simplexes de
ZK".
Fixons-nous un
q+1-simplexe
Ao
de
ZK~
et un ouvert
U'
contenant
Ao, alors pour chaque entier
p £ 1
il existe un
cycle K P et un ouvert
U contenant
Ao, et dont la fermeture
est contenue dans U' tel que :
K p est homologue à C = C«, ,
lv
est contenu dans Zc ,
A-p»

l'intersection de
K P r\ (Y-f-MÛ))

Ao
=

et de

Z^ <p:»~

est vide,

C Ha-f-MÛ)) .

Pour p = 0 , il suffit de prendre Ko = C . Supposons que l'on
ait déjà construit Kp~i , et soit A P ° un p-simplexe de Kp-i
tel que l'intersection de A P ° , f"1 (Ao) et Zjr
soit non
vide. Alors le même raisonnement tenu auparavant montre que l'on
peut modifier le cycle KP-i dans un voisinage de A P ° de sorte
que le nouveau cycle obtenu a une face AP* correspondant à A P °
avec A P ' t f d'où l'existence du cycle K p . Si on procède de
même pour tous les
q+1-simplexes de
C.q , on obtient un cycle
Cq+i
qui satisfait aux conditions voulues. Alors il est clair
que le cycle
Cn
est un cycle
K~
qui convient pour la
démonstration du théorème.
Exemple 3. Le théorème implique que le fibre de Hopf
S 3 -> S 2
soit de degré infini , pourtant les deux degrés locaux sont
évidemment nuls. La projection d'un espace fibre localement

S 14

trivial de fibre
F
connexe ayant pour base une sphère de
dimension
n , son degré est égal à l'ordre de la classe
d'obstruction 6 e Hn~i(F,Z) diminué de 1.
Remarque. D.Sullivan et R.Thom donnent une démonstration plus
élégante du théorème 2, dans le cas où
f
est un fibre
différentiable de classe C*.
Soit
f : Rn -* R™
une application différentiable et Z
(contenu dans
R™ ) l'ensemble des valeurs critiques de
f ,
alors le degré de la restriction de
f à
R™ - fw1(Z) sur
Rrrt - Z
est un invariant numérique de l'application
f . Cet
invariant est évident dans le cas où f est un polynôme complexe
quasi-homogène, mais le cas général peut présenter un certain
intérêt
pour
l'étude des singularités
des
applications
différentielles. Enfin, à chaque sous-groupe H d'un groupe de
Lie G
on associe son degré comme étant le degré de la
projection canonique de G sur G/H , de même à chaque classe de
représentations p de G on associe son degré comme étant le
degré du sous-groupe p(G) . Il y aurait peut-être un certain
intérêt à étudier ces invariants numériques.

Bibliographie.

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E. Cartan:
Les systèmes différentiels extérieurs
et
leurs appli
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Paris, 1945.

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V.Shih:
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V.Shih:
Une remarque sur les équations du type de
Boltzmann, C.R.A.S., t.290, série A , p.1073,
Paris 1980 .

Quelques
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élémentaires
sur
les
équations aux dérivées partielles, C.R.A.S.,
t.292, série I, p.901, Paris 1981 .
C9]

V.Shih:
Sur le théorème de Hurewicz-Fadell, C.R.A.S.,
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[10]

R.Thom:
Bull.Sci.Hath., France, Vol.87, p.455, 1959 .

La

Chenetière,

78120
France

Saizeux