D IAGRAMMES JACQUES P ENON De l’infinitésimal au local (Thèse de Doctorat d’État) Diagrammes, tome S13 (1985), p. 1-191 © Université Paris 7, UER math., 1985, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ UNIVERSITE PARIS VII THESE de DOCTORAT D'ETAT SPECIALITE : MATHEMATIQUES PRESENTEE PAR: Jacques PENON SUJET d e la THESE : De l'infinitésimal au local. (2 ème thèse : Le théorème de périodicité de Bott en K-théorie) soutenue le, JURY: 06/1985 J.BENABOU M.KAROUBI M.MAKKAI G.SABBAGH E.DUBUC devant la commission d'examen ( U n i v e r s i t é P a r i s Nord) (Université Paris 7) (Université Mac Gill) (Université Paris 7) ( U n i v e r s i t é de Buenos A i r e s ) Je voudrais remercier les membres du jury : - J.BENABOU, mon Directeur de Thèse qui, en plus des encouragements constants qu f il m f a prodigués lors de l'élaboration de ce travail, m'a appris que les idées les plus simples étaient souvent les plus riches, - M.MAKKAI qui a eu la patience de décripter l'ensemble de mon travail, - M.KAROUBI qui, en me proposant mon second sujet de thèse, m'a permis de découvrir une autre discipline mathématique, - G.SABBAGH qui a accepté de faire partie de ce jury. - Mes remerciements vont aussi, tout spécialement, à E.DUBUC sans qui ce travail n°aurait probablement jamais vu le jour. Je ne peux citer tous ceux qui m'ont aidé et encouragé. Qu'il me soit permis cependant de mentionner : - G.REYES et M.BUNGE qui m'ont offert la possibilité, avec l'aide de M.BARR, de venir m'instruire à Montréal à leur contact et à celui de leur séminaire, - M.FOURMAN et A.JOYAL qui m°ont beaucoup appris sur la logique intuitionniste, -M.F.COSTE-ROY qui m'a fait découvrir la Géométrie différentielle synthétique. - Je pense aussi à G.WRAITH, R.BEKKOUCHE, J.EMSALEM, D.BOURN et beaucoup d°autres. Mais que serait devenu tout ceci sans le secours matériel de : - A.BURRONI qui m'a permis de puiser à discrétion dans sa vaste bibliothèque, - L.COPPEY qui, en prenant en main la publication de ce travail, m f a soulagé d'une tâche des plus pénibles, - toutes les personnes qui ont réalisé la frappe et le tirage de cet ouvrage dans dpaussi brefs délais et avec autant de zèle. Enfin, je ne peux terminer ces remerciements sans dire un mot sur C.EHRESMANN sous la direction de qui j°ai fait mes premiers pas dans la recherche mathématique et qui m'a montré que dans ce domaine comme dans bien d'autres, j°imagine, ce qui comptait avant tout c'est d'avoir foi en sa propre étoile. DE L'INFINITESIMAL AU LOCAL SOMMAIRE INTRODUCTION I. Approche. II. Le coeur du sujet. CHAPITRE 0. PRELIMINAIRE §1. L'intuitionnisme ou la logique des topos. §2. Quelques modèles de base. CHAPITRE I. UTILISATION DES NILPOTENTS §0. Introduction. §1. Préliminaire d'algèbre linéaire. §2. L'axiome de Kock-Lawvere. §3. Anneaux de Fermât. CHAPITRE II. UTILISATION DES INFINITESIMAUX §0. Introduction. §1. Généralités sur les infinitésimaux. §2. Caractérisation de la négation. §3. Les infinitésimaux des différents modèles. §4. Le théorème d'inversion infinitésimale. CHAPITRE III. UTILISATION DES VOISINAGES INTRINSEQUES §0. Introduction. §1. Généralités. §2. Caractérisation des ouverts intrinsèques. §3. Caractérisation de la structure topologique intrinsèque. §4. Le théorème d'inversion locale. CHAPITRE IV. BIJECTION LOCALE §0. Introduction. §1. Généralités. §2. Exemples. APPENDICE. TOPOS L, §1. Anneaux C §2. Le topos de Dubuc REFERENCES. INTRODUCTION I. Approche : - Les deux termes "infinitésimal" et "local" nous sont depuis longtemps familiers. Pourtant, si celui de "local" nous semble bien connu et parfaitement clair, il en est tout autrement de celui d1"infinitésimal". En effet, bien qu'historiquement il soit apparu probablement antérieurement il n'a pu obtenir, aux siècles passés, de statut clair et définitif. Les difficultés logiques que les mathématiciens ont connues à ces époques n'ayant pu être surmontées, il a alors été tout simplement éliminé de la scène mathématique. Dès que le concept de "convergence" fût suffisamment formalisé par Cauchy les "infinitésimaux" perdirent le caractère de nécessité qu'ils avaient eu les premiers temps. Cependant il faut reconnaître que l'outil "infinitésimal" était particulièrement commode en analyse, et les détours rigoureux qui ont suivi ont contribué à rendre ce domaine mathématique un peu moins accessible. Il faut attendre la deuxième moitié de ce siècle pour que revienne en force le besoin d'infinitésimaux. Entre temps le formalisme mathématique avait suffisamment progressé pour que de nouvelles tentatives puissent à nouveau être mises sur pieds. - La première d'entre elles créée par A. Robinson [37] et que T o n connait sous le nom d'analyse non standard, rend à l'analyse son outil premier. En effet, grâce à une technique propre à la théorie des modèles, on ajoute aux réels des éléments "étrangers" (ou non-standards) qui, tout en se manipulant comme les anciens réels (on peut d'ailleurs leur appliquer n'importe quel théorème des mathématiques classiques) ont la possibilité d'être infiniment petits c'est-à-dire ici, plus petits que n'importe quel "ancien" réel (ou réel standard). Ces réels étrangers ont en plus l'énorme avantage d'être de parfaits "catalyseurs" puisqu'ils peuvent être éliminés une fois leur service rendu. 2 Mieux encore, toute preuve "non-classique" cache en f a i t une preuve "classique" d'où l ' i n t é r ê t d ' u t i l i s e r la méthode "non-classique" chaque fois qu'elle apparaît de façon plus naturelle. - La seconde tentative est plus délicate à décrire vu qu'elle est encore en grande partie en gestation même s i , paradoxalement, ses origines sont au moins aussi lointaines. C'est A. Weil [39] qui en a probablement posé une des premières pierres dans son a r t i c l e sur les "points proches" où, comme i l le d i t lui-même, i l veut "retourner aux méthodes de Fermât dans le calcul i n f i n i tésimal du premier ordre". En e f f e t , généralisant la théorie des jets de C. Ehresmann, i l suggérera qu'un point p d'une variété M admet pour points proches les homomorphismes de la IR-algèbre C°°(MJR) des fonctions numériques et C°° définies sur M, dans une IR-algèbre A, q u ' i l appelle locale, et pour lesquels 1'homomorphisme composé ca>(MjR) -> A ca J2£nîa^e R est Vhomomorphisme "correspondant au point p" (c'est-à-dire est Thomomorphisme f w f(p))- Sans trop rentrer dans les détails techniques, disons que, par K-algèbre locale il entend généraliser la IR-algèbre ]R[e] = M X ] / ( X ) des "nombres duaux" où l'on ajoute formellement à IR un réel "négligeable à l'ordre 2" (en clair : un élément e tel que e = =0 0)).. Un exemple typique de "point proche" du point p de M est 1'homomorphisme C (MJR) -+]R[e] f — f(p) + v(f)e où V est un "vecteur tangent" à la variété M au point p. Ainsi, chez l u i , l'algèbre commutative vient au secours de la géométrie d i f f é r e n t i e l l e pour décrire des êtres qui jusque là n'existaient pas à l ' é t a t naturel. Cette conception q u i , comme nous venons de le constater, a vu le jour au sein de l'analyse trouvera en f a i t son réel développement dans le domaine mathématique d'où provenaient ses outils essentiels c'est-à-dire l'algèbre commutative ou plus précisément, puisque ces préoccupations étaient de nature géométrique, la géométrie algébrique. En e f f e t , la théorie des Schémas, tout en absorbant celle des variétés algébriques, va pouvoir faire siennes les idées de Weil. - Un nouveau pa£ vers "la tentative de réhabilitation des infinitésimaux1' va maintenant être franchi graçe à la théorie des schémas, elle-même. Ce pas a pour origine la dualité, exploitée par Serre, entre les variétés algébriques affines (sur un corps algébriquement clos k) et les k-algèbres réduites de type fini (cette dualité s'exprime en disant que la catégorie des variétés algébriques affines sur k est équivalente à la catégorie duale de celle des k-algèbres réduites de type fini). Comme, par ailleurs, on vient de voir l'intérêt d'utiliser les algèbres locales de Weil qui ne sopt précisément pas des algèbres réduites (les nilpotents ont même un rôle tout à fait essentiel) il nous faut donc étendre notre champ d'investigation, Mais, en n'imposant plus aux algèbres d'être réduites on perd du même coup la dualité géométrico-algébrique décrite précédemment. Cependant, rien ne nous empêche alors de continuer à penser les algèbres (ou plutôt, comme nous l'avons dit, leur objet "dual") comme des variétés algébriques généralisées. Les algèbres locales de Weil n'échappent évidemment pas à cette vision géométrique. Ne possédant qu'un seul point(i.e. leur spectre maximal est réduit à un point, ou encore ils ne possède qu'une seule section globale dans la catégorie "duale" des k-algèbres) tout en étant différentes de l'algçbre k elle-même, il a paru intéressant de voir les algèbres locales comme des "points épais" c'est-à-dire des points auxquels se serraient aglutinés d'autres points "fictifs" infiniment proches. On retrouve ainsi la conception de Weil sous un autre aspect (pour lui les "points proches" seraient plutôt, conformément à ce que nous avons dit précédamment, des morphismes de ces points épais dans une variété). Une difficulté apparaît alors : comment manipuler les point? "fictifs" dont nous venons de constater la présence tout en avouant notre impuissance à les exhiber (l'utilisation du spectre premier nly change rien). Signalons à ce sujet que l'analyse non standard n'a pas ces problèmes car ses réels "étrangers" existent bel et bien, mais dans un autre modèle de la théorie des ensembles, même s'ils ne sont pas là dans le modèle standard. Pour palier ce genre de difficulté la géométrie algébrique s'est tournée rësoluement vers les techniques Fonctorielles qui avaient l'avantage de préférer étudier les structures par elles-mêmes plutôt que de s'intéresser à leurs éléments. Aussi allait-on traiter les infinitésimaux "par paquets" plutôt qu'isolément. - Suivant une démarche semblable à celle de l'analyse non-standard, les géomètres algébristes ont aussi essayé de décrire les propriétés locales (celles qui sont valides sur un voisinage de Zariski) à l'aide de l'outil - 4« infinitésimal. Mais ïis se sont alors rendu compte que les choses n'allaient pas toujours comme ils le souhaitaient. Prenons le cas des morphismes étales pour illustrer cette nouvelle problématique. On montre en effet qu'un morphisme étale entre (par exemple) des k-schémas affines de type fini (où k est algébriquement clos) est "infinitêsimalement inversible" alors que cependant il n'est que très rarement "localement inversible". C'est pourquoi, après avoir considérablement élargi, comme nous venons de le voir, le domaine des variétés algébriques en y ajoutant un outillage infinitésimal Grothendieck va alors s'attaquer à "l'outillage locale". Les morphismes étales faisant obstruction dans le passage de l'infinitésimal au local il va se servir de ces derniers pour modifier substantiellement les "conceptions locales" issues de la topologie générale. En effet, lorsqu'il remplace voisinage de Zariski par "voisinage étale" il ne fait pas que remplacer une topologie par une topologie plus fine (du moins si on donne à "topologie" son sens habituel) car les voisinages étales ne sont pas, en général, des sous-schémas. On peut dire que les voisinages sont maintenant "hors de l'espace" au lieu d'en être des parties. Reformaié dans ce contexte, le passage de 1"infinitésimal au local devient presque tautologique. En particulier, cela donne une forme un peu inattendue au théorème d'inversion locale pour la géométrie algébrique. - De cette nouvelle "machinerie étale" où leurs recouvrement (étales) joueront le rôle principal, naîtra la théorie des U-topos (encore appelles topos de Grothendieck pour ne pas les confondre avec le nouveau concept suivi qui quelques années plus tard) : Gigantesques catégories ou toutes les constructions imaginables sont possibles et où les recouvrements (comme ici les recouvrements étales) y deviennent les meilleurs souhaitables. La catégorie des schémas, une fois plongée dans un tel U-topos, (il y en a plusieurs possibles) on a maintenant un cadre suffisamment souple pour pouvoir y évoluer sans en sortir. Quelques temps plus tard W. Lawvere et M. Tierney constateront que de tels U-topos ressemblent étrangement à la catégorie des ensembles puisque comme elle ils vérifient "l'axiome des parties". Nous voulons dire par là que pour chaque objet X il existe un nouvel objet PX qui possède la même propriété universelle que l'objet $(X) a dans la catégorie des ensembles, et qu'elles ont de ce fait toutes les propriétés d'exactitude de la catégorie des ensembles, - Nous avons dit précédemment que les géomètres algëbristes avaient choisi les techniques fonctorielles pour pouvoir manipuler des infinitésimaux dont Off reconnaissait la présence : c traçai* l~nt vr sans pouvoir "*es exhiber explicitement. Cette fois, le? propriétés ensembrstes d?s topos, W. Hitchell et J. Bênabou vr-'-.fc •urttre au peint une nouvelle technique 5 U. ^ois beaucoup D I U S simple in;.,.;•; f.-» / 'T^nt Que '>?fccchm'r4u^f -^,..:-- "•' :1 • .* '..?•. as.-'KC.', V r '"«^trente dans son maniement. Au I *\i d ' u t i l i s e r de v é r i t a b l e s éléments poi»;- représenter par exemples ces i n f i n i t é s i m a u x (toujours plus ou moins à l ' a i d e se spectres) on va cette f o i s se s e r v i r d 1 "éléments formels" qui s e r v i r o n t seulement d ' i n t e r m é d i a i r e de c a l c u l . En gros, tout se passe comme s i de t e l s éléments e x i s t a i e n t (alors q u ' i l s ne sont que de simples variables) dans les objets de notre discours, sans jamais avoir besoin de les exhiber à aucun moment (seules les constantes et plus généralement les termes clos peuvent v é r i t a blement être exhibés). Cette méthode ne f a i t évidemment que reprendre une technique bien connue des logiciens mais e l l e est t r a i t é e i c i de façon o r i ginale puisqu'on i n t e r p r è t e cette f o i s un langage d'ordre supérieur, non pas dans un modèle de l a théorie des ensembles mais, dans un topos quelconque - A ce stade de développement, " l a t e n t a t i v e de r é h a b i l i t a t i o n des i n f i n i t é simaux" a v a i t f a i t des progrès s u b s t e n t i e l s , même si e l l e s ' é t a i t cantonnée dans un domaine mathématique p a r t i c u l i e r e t s i , au cours de son é v o l u t i o n , e l l e n ' a v a i t en t o u t cas pas gagné en s i m p l i c i t é . Cependant les o u t i l s mis en place é t a i e n t maintenant suffisamment puissants et généraux pour pouvoir finalement se dégager des préoccupations p a r t i c u l i è r e s à la géométrie algébrique et revenir une nouvelle f o i s aux toutes premières méthodes dues à Fermât. Cette f o i s , c ' e s t W. Lawvere [26] ( s u i v i un peu plus t a r d par A. Kock) q u i , en se plaçant d'emblée dans le cadre général de la théorie des topos, va essayer d'exprimer de façon axiomatique les idées o r i g i n e l l e s . du calcul i n f i n i t é s i m a l . Quant à la théorie des schémas, e l l e en devient alors un simple modèle capable non seulement de montrer la non-contradictioh d'un t e l discours mais aussi de nous suggérer la marche à suivre ou b i e n , dans le meilleur des cas, de f o u r n i r un t e r r a i n d ' a p p l i c a t i o n i d é a l . L'axiome p r i n c i p a l de Kock-Lawvere ne f a i t que réexprimer le f a i t (que Fermât a v a i t remarqué bien avant eux) que t o u t morceau i n f i n i t é s i m a l d'une courbe plane peut être assimilé à un segment de d r o i t e (les i n f i n i t é s i m a u x étant Simplement i c i les n i l p o t e n t s d'ordre 2 ) . Cette l o i a évidemment pour conséquence immédiate l'existence d'une dérivée pour n'importe quelle fonction d é f i n i e sur la d r o i t e , et ainsi Fournit l ' o u t i l de base à un calcul d i f f é r e n t i e l a b s t r a i t (Kock, plus précisément, lui a donné le nom de "Géométrie d i f f é r e n t i e l l e synthétique"). Remarquons cependant que cet axiome, qui est des plus i n t u i t i f , est largement cont: - / d ^ t c J r ^ av/ec la théorie classique des ensembles, même si par exemple on v o u l a i t , par un b i a i s quelconque, ajouter des n i l p o t e n t s à la d r o i t e r é e l l e . C'est que, le type de logique propre à la théorie des topo^ e?t évidemment plus f a i b l e que celui de la théorie classique des nsembles. Il s'apparente d'ailleurs à une logique, inventée par Brouwer, qui porte le nom d'"intuitionnisme" (En fait le terme d'"intuitionnisme" est souvent utilisé maintenant pour désigner précisément "la logique des topos" alors qu'il faut le reconnaître, on est bien loin, à l'heure actuelle, de l'idéologie que Brouwer lui avait insufflé à l'origine). - Mais cette "géométrie différentielle synthétique" ne reste pas seulement un jeu abstrait, applicable seulement à la théorie des schémas, et Lawvere avait pensé que grâce à un modèle calqué sur celui de la géométrie algébrique on pouvait appliquer aussi ces nouvelles méthodes à la géométrie différentielle ordinaire. C'est pourquoi, se servant du concepts d'anneau C00 (inventé par Lawvere), E. Dubuc s'est proposé de construire le modèle désiré par Lawvere. Il y parviendra quelques années plus tard, après avoir mis sur pieds une véritable théorie des schémas C°°. Cette théorie, bien que largement inspirée par les méthodes de la géométrie algébrique, ne fait au fond que de renouer avec la théorie "des points proches" que Weil avait précisémment conçue pour la géométrie différentielle. II. Le coeur du sujet : - Dans les pages qui vont suivre nous allons nous donner une tâche précise, même si au cours du texte nous aurons à faire de longues digressions. En effet notre but est d'arriver â décrire le "théorème d'inversion locale" dans le cadre de la géométrie différentielle synthétique de telle sorte que : a) i1 soit valide dans le topos conçu pour la géométrie différentielle (on l'appelle ici le "topos de Dubuc") restituant, après "traduction", le théorème classique d'inversion locale, b) qu'il soit encore valide dans le topos étale, afin de se trouver en accord avec les travaux de Grothendieck, c) mais cependant, qu'il soit faux dans le topos de Zariski, justifiant ainsi pleinement le recours â la topologie étale comme substitut à la topologie de Zariski. Pour cela il va falloir donner un sens à la phrase suivante te fonction R n + R n de jacobien non-nul en un point de R n est localement "Toute inversible en ce point", 7 - - Une t e l l e phrase prendra un maximum de puissance l o r s q u ' e l l e pourra être d é c r i t e par une formule de la logique i n t u i t i o n n i s t e car on pourra alors l ' i n s é r e r naturellement dans des raisonnements i n t u i t i o n n i s t e s naîfs ( t o u jours t r a d u i s i b l e s en preuves authentiques par des règles de déduction propres à la logique i n t u i t i o n n i s t e ) ce qui ne saurait être le cas s i e l l e n ' é t a i t que partiellement formulée. Par exemple, lorsqu'on d i t "Pour toute fonction Rn ^ Rn e t c . . " par une formule on d i t beaucoup plus qu'en e x p r i mant simplement l e f a i t que "toute les flèches appartenant à l a c a t é g o r i e , de source Rn et de but R n , e t c . " . En e f f e t i l s e r a i t alors impossible d'appliquer le théorème d ' i n v e r s i o n locale aux applications paramétrées par une " v a r i a b l e " ou un terme "non c l o s " . - Evidemment, pour en a r r i v e r l à , nous allons u t i l i s e r au maximum l ' o u t i l l a g e r é s u l t a n t des axiomes de Kock-Lawvere. Ainsi (comme on l ' a v a i t déjà constaté pour la dérivée) i l sera possible d'exprimer le jacobien d'une fonction quelconque Rn •> Rn. Par c o n t r e , i l en va tout autrement losqu'on veut é c r i r e ce qu'on entend par "localement i n v e r s i b l e en un p o i n t " car l'usage des n i l p o tents est alors nettement i n s u f f i s a n t pour ce genre de tâche. Dans un premier temps nous nous contenterons donc d'exprimer p l u t ô t T " i n v e r s i o n i n f i n i t é s i male". I l est d ' a i l l e u r s c l a i r que nous y parviendrons lorsqu'on aura su donner un sens précis au mot " i n f i n i t é s i m a l " car, là encore, seule la considération des n i l p o t e n t s est par trop i n s u f f i s a n t e . I l existe en e f f e t beaucoup d'autres i n f i n i t é s i m a u x fournis par " l e " modèle de l a géométrie d i f f é r e n t i e l l e ( l e topos de Dubuc). Donnons en un exemple pour i l l u s t r e r notre propos. Soit 9 : IR + IR une fonction C°° ( o r d i n a i r e ) plate à l ' o r i g i n e e t ne s'annulant qu'en zéro. Une f o i s placé dans l e topos, lorsqu'on essaye d'observer à nouveau l ' o b j e t DQ des éléments sur lesquels la fonction e s'annule (ce qu'on exprime " f o n c t o r i e l l e m e n t " en considérant le produit f i b r e suivant : o 9 — 1 i r e R • R où R désigne la droite réelle plongée dans le topos et 0 : 1 -*• R la section globale correspondant à l'origine, c'est-à-dire l'intersection dans le topos de Taxe des x avec la courbe d'équation y = 9(x)) on constate que DQ, qui n'a pourtant qu'une section globale ( c ' e s t un point "épais") contient (strictement) l ' o b j e t D de tous les nilpotents de R. Cette f o i s Tintui- tionnisme, qui n ' a v a i t toujours été jusque là qu'un cadre dans lequel on é v o l u a i t sans avoir peur de rencontrer des c o n t r a d i c t i o n s , va jouer un r ô l e de premier plan. En e f f e t , si les i n f i n i t é s i m a u x sont d e s c r i p t i b l e s , pourquoi le s e r a i e n t - i l s uniquement dans R ou dans une de ses puissances. L ' " i n f i n i - p r o x i m i t é " e x i s t a n t , à coup sûr, partout dans le topos, e l l e ne devrait pas s'exprimer à l ' a i d e de la s t r u c t u r e propre à R. En e f f e t , seule la négation est alors nécessaire pour formuler la propriété désirée. Avec ce nouveau matériel mis en place on montre, comme on s'en d o u t a i t , que l'anneau canonique R des topos de la géométrie d i f f é r e n t i e l l e e t algébrique s a t i s f a i t bien le "théorème d ' i n v e r s i o n i n f i n i t é s i m a l e " . On montre a u s s i , dans l e même ordre d ' i d é e , que les morphismes étales entre k-schémas a f f i n e s de type f i n i sont bien les "applications infinitésimalement i n v e r s i b l e s " décrites abstraitement (du moins si k est un corps algébriquement c l o s ) . Le cas d i f f é r e n t i a b l e étant encore plus p r é v i s i b l e . - I l nous reste donc à passer au stade l o c a l . Cette f o i s c ' e s t sur le concept de voisinage ou d'ouvert q u ' i l va f a l l o i r , s e m b l e - t - i l , se pencher. En e f f e t la s t a b i l i t é par éléments i n f i n i m e n t voisins n'étant pas s u f f i s a n t e pour exprimer le f a i t d ' ê t r e ouvert (on le v o i t sans doute plus nettement en géométrie d i f f é r e n t i e l l e où i l n'est pas nécessaire de considérer des sousobjets non-représentables). I l nous faut chercher de nouvelles d é f i n i t i o n s , si possible avec l ' a i d e de l ' o u t i l l a g e logique. Là encore, on constate qu'une t e l l e d é f i n i t i o n est possible. Cependant le théorème d'inversion locale correspondant n'est plus s a t i s f a i t dans aucun des topos de la géométrie algébrique (alors q u ' i l est encore valide en géométrie d i f f é r e n t i e l l e ) . - Evidemment une t e l l e constatation é t a i t p r é v i s i b l e car, comme nous l'avons d i t dans " l ' a p p r o c h e " , pour forcer le "théorème d ' i n v e r s i o n l o c a l e " à être v a l i d e , Grothendieck a dû avoir recours à des "voisinages" (les "voisinages é t a l e s " ) qui ne sont plus des sous-objets. I l nous faut donc f a i r e le même constat. Aussi a-t-on pensé q u ' i l v a l a i t mieux décrire directement le concept " d ' i n v e r s i o n l o c a l e " (on d i r a p l u t ô t " b i j e c t i o n l o c a l e " pour q u ' i l n'y a i t pas de confusion avec le concept d é c r i t lors de la t e n t a t i v e précédente) sans se ramener nécessairement à celui de voisinage comme on le f a i t en topologie générale. Cette f o i s , non seulement un t e l concept est formulable intuitionnisternel mais en plus le "théorème de la bijection locale" devient précisément valide dans le topos étale tout en restant faux dans le topos de Zariski. On montre aussi, toujours dans ce même ordre d'idée, que les morphismes étale précédemment caractérisés infinitésimalement dans tous les topos "classiques" de k-algèbres peuvent encore l'être dans le topos étale, mais cette fois par une propriété locale. Le topos étale permet donc le passage de l'infinitésimal au local, pour la géométrie algébrique, tout comme le topos de Dubuc le permetait déjà en géométrie différentielle. - 10 CHAPITRE 0 PRELIMINAIRE §1. L'intuitionnisme ou la logique des topos n°0. Introduction Tout le présent travail repose sur l'utilisation de la logique intuitionniste (pour plus de détails voir [14]) pour décrire ou comprendre des situations qui ne pouvaient l'être intrinsèquement, par la logique classique. Pour quelqu'un qui ne voudrait pas rentrer dans le formalisme de cette logique, disons simplement, qu'elle se distingue de la logique classique par la nécessité d'abandonner l'usage du "tiers exclu" ainsi que tout recours à 1'axiome du choix. Il ne faudrait cependant pas croire que notre but est de vouloir remplacer une "mathématique" par une autre. Tout au contraire, grâce aux différents "modèles de cette logique" (ou topos) que l'on étudiera ici, il sera possible de faire un pont à tout moment, entre des situations mathématiques traditionnelles et des considérations de pure logique intuitionniste. Il n'est donc pas question d'utiliser les modèles, comme on le fait souvent, pour s'assurer seulement de la non-contradiction de tel ou tel système d'axiomes, mais bien plutôt, d'en faire une étude approfondie pour en exhiber leurs traits communs ou au contraire leur particularité (comme on le fait d'ailleurs de n'importe quelle structure ! ) . 11 n°l. Les topos élémentaires (pour plus de détails voir £20]). 0. Avant de passer au formalisme de la logique intuitionniste, intéressons nous à ces modèles que sont les topos. 1_. Un topos (élémentaire) est une catégorie % satisfaisant les conditions suivantes : a) £ est à ^ini finies (on notera 1 l'objet final) b) Pour tout couple d'objets A et B de *£ il existe un objet B dans $ et une flèche (dite : évaluation) B A x A + B satisfaisant la propriété universelle suivante : Pour tout objet C et toute flèche C x A + B il existe une unique flèche C+B telle que le triangle suivant commute : C x A _ > BA x A \ t / La flèche horizontale étant déduite de par A. c) Il existe un objet fi et une flèche A C+ B en faisant le produit 1 •* fi satisfaisant la propriété universelle suivante : Pour tout objet A et tout monomorphisme P •* A il existe une unique flèche A -> fi qui fait du carré suivant un produit fibre : P » 1 A > fi [Intuitivement fi représente "l'ensemble des valeurs de vérité" et la flèche unique A -> fi est la fonction caractéristique associée à la "partie" P ] . 2. En dehors de la catégorie des ensembles qui en est un exemple évident (on prend l'ensemble {0,1} pour l'objet fi) nous verrons plus loin, avec quelques détails, le cas des topos de Grothendieck (voir n°2). 2- Chaque topos à sa "logique" propre que nous allons décrire maintenant. A étant un objet d'un topos £ , un sous-objet de A est une classe d'équivalence de monomorphismes de but A pour la relation P + A ~> P'+A ssi il existe un unique isomorphisme P + P' rendant le "bon" triangle commutatif. Notons 5(A) l'ensemble des sous-objets de A [il est clair que dans les ensembles, 9 ( A ) est précisément en bijection avec les parties de A, d'où 12 la terminologie 4. On montre alors, que 9 (A) muni de la relation d'ordre évidente (notée c) est une algèbre de Heyting i.e. : a) Il a un plus grand élément noté vrai* (qui est le sous-objet correspondant à l'identité) et un plus petit élément noté FauxA (qui est le sousobjet 0 H A où 0 est l'objet initial de % qui existe toujours). b) Tout couple P,Q de sous-objets de A a une borne inférieure notée P n Q et une borne supérieure P u Q (où P n Q est le sous-objet correspondant au produit fibre d'un quelconque de leur représentant respectif). c) Enfin, toujours pour les deux sous-objets P et Q de A, il existe un unique sous-objet noté P-*Q satisfaisant la propriété suivante : Pour tout sous-objet R de A alors : R n P c Q ssi R c ( P -> Q) Cette propriété implique que 3 (A) est un treillis distributif. _5. Si maintenant f : A + B est une flèche quelconque de % on peut lui faire correspondre une application croissante notée f : 9 (B) ->• S*(A) (obtenue en faisant un produit fibre le long de f). Là encore, on montre que a) f" préserve "la structure" de SP(B) (c'est-à-dire le Vrai, le Faux, l'intersection, l'union de 1'implication)* b) Il existe une unique application (croissante) notée 3 f : £*(A) +J?(B) (on comprendra cette notation au 6) telle que, pour tout sous-objets P de A et Q de B on ait : 3 f (P) c Q ssi P c fl(Q) (,) De même i l existe unique a p p l i c a t i o n (croissante) notée V f : 9 ( A ) + C?[B) v é r i f i a n t ia propriété suivante : Pour tout sous-objets P de f^VQ} c P ssi 6. a) L'écriture 3 et Vf A et Q de B on a : P c V f {P) sera encore plus j u s t i f i é e au n°4. Disons tout - 13 de même pour faire un lien avec la logique traditionnelle, que-dans le topos des ensembles : 3 f (P) = f(P) V f (P) = (y e B/f'^Cy}) c P} en particulier, si on prend pour f une projection X * Y •*• Y alors : 3 f (P) = {y e Y / 3 x e X((x,y) e P)} V f (P) = {y € Y / V x 6 X((x,y) e P)} Inversement ces deux applications nous permettront au n°4 d'interpréter n'importe quelle formule du type 3x e X() ou Vx e X(<|>) dans un topos quelconque. De même dans les ensembles, x e (P •*• Q) (x e P ^ x e Q ) . C'est-à-dire CPu Q . P + Q = ssi on a l'implication b) Enfin, on peut, dès à présent,faire apparaître le caractère intuitionniste de cette "logique" car, si on note TP (lire "non P") le sous-objet "P -*• Fauxfl" (il correspond bien au complémentaire dans le cas ensembliste) alors les propriétés suivantes : -nP = P ou P U ~iP = Vraift n'ont aucune raison d'être toujours satisfaites. ]_. Jusqu'à présent nous n'avons décrit que le "premier ordre" de la logique "naturelle" des topos. Pour l'ordre supérieur disons seulement ceci (qui nous sera utile au n°4) : Pour tout objet X de ^ il existe un objet PX et un sous-objet e Y >+ X x PX (appelé "la relation d'appartenance de X") qui vérifie la proA priété universelle suivante : Pour tout objet flèche f : Y •*• PX considère R Y et tout sous-objet telle que R » XxY il existe une unique 1 R = ( X x f f ^ ) . [Ensemblistement, si on comme une relation binaire alors : f(y) = (x e X/R(x,y)} . Inversement, nous verrons que cette propriété universelle va nous permettre d'interpréter le "terme" {x e X/} oQ est une formule, dans un topos quelconque] . 14 Y .1 Pour le montrer, il suffit de prendre PX = a et ^Y = ev (V) où v x ev : fi x y •> n est la flèche "d'évaluation" (voir JL) et v : 1 >• n est le sous-objet apparaissant dans la définition de fi, 8. Enfin signalons le théorème suivant qui sera fort utile au n°4. Rappelons tout d'abord, que si X est un objet de % , on note £/X la catégorie "des objets au-dessus de X" (ou encore, ce qui est beaucoup plus intuitif, la catégorie "des familles d'objets indexés par X") c'est-à-dire la catégorie qui a pour objets les flèches de t de but X et pour flèches de (Y -> X) vers (Y1 -* X ) , des flèches Y + Y1 dans * faisant commuter le bon triangle. On montre alors que : (Théorème) a) £/X est lui-même un topos élémentaire. b) Pour toute flèche f : X -> Y le foncteur "produit fibre le long de f" (que T o n note f*) préserve la structure de topos (on dit qu'il est logique). De plus il admet un adjoint à gauche (mais ça c'est évident) et surtout un ajoint à droite. n°2 . Les topos de Grothendieck (pour plus de détails voir [20] ou [1]) CL Le concept de faisceau sur un espace topologique est maintenant bien utilisé en mathématique, et les catégories de ces faisceaux (sur un espace fixé) nous donnent tout de suite des exemples de topos élémentaires. Cependant comme ils n'auront qu'une faible utilité dans ce travail (on ne les utilise que dans l'Appendice, §2) nous sommes obligés de considérer leur généralisation (due à Grothendieck) que sont les faisceaux sur un site (i.e. une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck). Disons, pour en avoir une meilleure compréhension, que les recouvrements, qui sont à la base de la définition de faisceau (puisqu'ils permettent les recollements) » ne sont pas uniquement présents dans les espaces topologiques (on pense au recouvrements étales). Il a donc fallu, en dégageant bien le concept, le généraliser suffisamment pour rendre compte de toutes les situations où ils devaient apparaître. Pour la définition de "topologie de Grothendieck" nous renvoyons à [1] car, ayant un intérêt tout théorique, il est préférable de lui substituer celle de pré-topologie qui, tout en conservant les mêmes faisceaux (et c'est au fond ce qui nous intéresse) à l'aventage d'apparaitre plus naturellement dans les exemples. 15 1. Une pré-topologie (de Grothendieck) sur une catégorie if (qui sera le plus souvent petite et à produits fibres finis, pour plus de commodité) est la donnée, pour chaque objet S de if d'un ensemble de familles de flèches de y de but S (appellëes familles couvrantes) satisfaisant les conditions suivantes : a) Les familles couvrantes sont stables par produits fibres le long d'une flèche quelconque (on dit plutôt : "stables par changement de base") b) Elles sont stables aussi par composition (voir dessin ci-dessous) \j// } couvrantes ^ ^(.couvrantes .} couvrante J c) Pour chaque objet S la famille constituée de la seule flèche "identité sur S" est couvrante. 2. Un faisceau sur y , pour une pré-topologie donnée, est un foncteur F : S °^ + E n s satisfaisant la propriété de recollement suivante : Pour toute famille couvrante (S. •> S)., et toute famille compatible d'éléments a. de FS. (c'est-à-dire telle que pour deux indices quelconques i et j les "restrictions" de a., et a. à S. | S. sont les mêmes en appelant "restriction de a à S" l'image de l'élément a de FS1 par l'application FS'+ FS s'il n'y a pas d'ambiguité sur celle-ci), il existe un unique élément a de FS dont la restriction â chacun des S., vaut a... 3. Notons tf la catégorie qui a pour objets, les faisceaux sur ï et pour flèches, les transformations naturelles entre ces faisceaux. On appellera topos de Grothendieck une catégorie équivalente à une catégorie de la forme $ . Comme on s'en doute un topos de Grothendieck est un topos élémentaire. De façon plus précise : a) Si F et G sont deux faisceaux (sur F x PF (a,R) e e F (S) est caractérisée par : ssi (a,Id$) e R(S) 7_. Toutes ces caractérisâtes peuvent sembler ^ascures. Nous verrons pourtant au Chapitre II §2. puis au Chapitre III §2 qu'elles peuvent être considérablement simplifiées dans des cas particuliers. 17 n°3 Un langage pour 1'intuitionnisme (plus plus de détails voir [7], [4] ou [31]). 1. Donnons nous, au départ, un langage iù à plusieurs types et d'ordre supérieur. De façon plus précise <& comprend : - un ensemble de "types de base" que l'on ferme pour l'opération de "formation de types ", c'est-à-dire qu'on définit par induction la phrase "S est un type"par : un "type de base" est un type et si S*,...,S sont des types, l'expression fi(S^f...,S ) est encore un type (intuitivement, les types "symbolisent" les ensembles. Plus tard nous verrons qu'on les interprète comme objets dans les topos. Quant à fi(Sj,...,S ) il "représente" l'ensem-v ble des parties de l'ensemble S, x...xS ). - Pour chaque type, un ensemble dénombrable de variables. On dit alors qu'une variable x est de type S si x est une variable associée au type S (intuitivement x est un "élément variable" de l'ensemble S ) . - Un ensemble de symboles relationnels (ou prédicats). A chaque prédicat R est associée une suite finie de types (Si,...,S ) appellée domaine de R (attention, n peut être nul) (intuitivement, R symbolise une "relation" entre n-uplets d'éléments resp. des ensembles S.,,...,S ) . - Un ensemble de symboles fonctionnels. A chacun de ces symboles f est associée une suite finie de types (Sjf...,S ;S) (où n peut être nul). On note alors f : Sj,...,S -> S (intuitivement, f symbolise une application de source, le produit cartésien des ensembles S.,...,S , et de but S). 2. A titres d'exemples, signalons qu'à tout topos % on associe canoniquement un langage ^ ( ¾ ) que nous décrirons en détails au n°4. 3>. On définit maintenant, par induction et de façon simultanée, les termes et leur type ainsi que les formules. Ils sont obtenus par application des règles suivantes : - chaque variable de type S est un terme de type S, - si tj et tg sont des termes de même type alors "tj = t2" est une formule, - si tj,...,tn sont des termes de type respectifs S,,...,S et R un prédicat n-aire de domaine (S*,...,S ) alors R(t«,...,t ) est une formule, 18 - Si tp...,t sont des termes de types un symbole fonctionnel alors -Si t 1s ...,t I de type sont des termes de types r n S,,...,S„ 1 ^ Q(5,,...,S ) S.,.,.,S alors '(t*f...,t ) € t" alors et f : S,,...,S -> S f(t,,...,t ) est un terme de type - Si $ est une formule et si types S,,...,S x,, ...,x n et t S. un terme est une formule, sont des variables distinctes de x...x s /<$>} {(x,,... ,x ) £ S. est un terme de type fi(S1,...,Sn) , - "vrai" et "faux" sont des formules, - si (f) et ijj sont des formules alors - si (j) est une formule et et V xe$(¢) 4_. L'écriture x 4>A4>> V^ une variable de type et $ •> ty sont des formules S alors 3x e S() sont des formules. -icf> est ici une abréviation de la formule " $ + Faux". Enfin on définit aussi par induction, les variables liées d'un terme ou d'une formule en disant que si x x est lié dans le terme figure parmi les formules V xeS((j)) et x.,...,x n , et que {(x«,...,x ) € S-, x...x S /c|>} x est toujours lié dans les £ S( , 3x et Vx dans l'écriture des formules, les considérant seu- lement comme des abréviations d'autres formules plus complexes, mais notre but ici n'étant pas de donner une description minimale de "la théorie" il nous a semblé plus commode, même si cela semble un peu lourd au départ, d'insérer tous ses connecteurs et quantificateurs dans le formalisme de base . b) Nous préférons les écritures {(x*,...,x ) e $, x...x S /cj>} , 3X € S() hi. <é >. » S U ) au lieu de \\ n'est ;iu; nécessaire utilisées {(x*,... ,x )/} , 3x(4>) et V x() car ainsi, Je préciser le?: types des différentes variables (si las formules sont closes). 6_. Au cours de ce texte nous nous placerons le plus souvent dans 46(¾). Il nous arrivera alors de simplifier l'écriture... Y a) de certains termes : Par exemple, si f est un terme de type Y et t - 19 un terme de type X , on écrira f(t) le terme ev(f,t) où ev : Y X x X + Y est la flèche d'évaluation (voir n°lf-l), b) de certaines formules : Par exemple, on écrira plutôt : V x : X + Y((j>) au lieu de V x £ YX() V P c X(<}>) au lieu de V P efi(X)(<|>)[Remarquer qu'on utilise de préférence des lettres majuscules pour désigner des variables de type ft(X,,...,Xn)]. n°4 Sémantique (mêmes références qu'au n°3) 0. Nous voulons une logique pour les topos, ce sont donc ces derniers qui vont nous assurer de la validité (c'est-à-dire la "vérité") des formules que nous venons de décrire. 1. Soient t un topos et £ un langage à plusieurs types et d'ordre supérieur. Une interprétation M de A dans *fc est la donnée : - pour chaque type S d'un objet MS de £ $ tel que MSj x...x MS MÉfifSp.-.jSj)) =^fi pour tout type S 1 ,...,S p - pour tout prédicat n-aire R de domaine (Sj,...,S ) d'un sous-objet M R ^ M S .1 x...x MS„n - pour tout symbole fonctionnel f : S«,...,S -*• S d'une flèche Mf : MSj x...x MS n + MS 2. 1 étant un topos donné, muni d'un choix d'objet fi et de produits, nous allons lui associer canoniquement un langage &(%) (c'est lç langage "naturel" du topos) et une interprétation notée : Val de & ( ^ ) dans fc. On les obtient de la façon suivante : - les "types de base" sont les objets de %9 - On construit ensuite par induction Val(S) où S est un type de ifc(2 ) par : Val (S) = S si S est un type de base, - 20 Val(«(S 1 S n )) = Val S, x...x Val S fi X - les prédicats n-aires de domaine (S lt ...,S ) sont exactement les sous-objets de Val S.1 x...x Val SnM - les symboles fonctionnels S,,...,S -*S sont les flèches de Val Sl x...x Val S n + Val S - la valeur de Val sur ses symboles est alors évidente. 3. Revenons au cas général. Soit M une interprétation d'un langage <£ dans un topos t . Considérons alors une suite finie V de variables distinctes Xj x n de types S,,...,S . On notera MV le produit MSjX.-.x MS n . Nous allons maintenant construire par induction : - une flèche M(t,V) : MV -* MS pour chaque terme t de type S dont les variables libres figurent dans V, - un sous-objet M(4> ,V) >-*-MV pour chaque formule dont les variables libres figurent dans V. 4_. Voici les différentes règles de construction : - si t est une variable de sorte S alors M(t;V) : MV-*MS est la projection canonique correspondante (puisque, rappelons le, t apparaît dans V) - si t. et t 2 ont même type S alors : M(t1 = t 2 ;V) = f" (Diag MS ) où f = (M(t1;V),M(t2;V)) : MV -> MSx MS et MS ^ MSx MS . Diag M$ est la diagonale - si t,,...,t sont des termes de types S^ S n et R un prédicat n-aire alors : M(R(tj,... ,tn);V) = f _1 (MR) ou f - (M(t1;V),...,M(tn;V)) : MV + MSj x...x MS p - si t, ,...,t sont des termes de types S,,...,S„ et f un symbole fonci n in tionnel S 1 ,...,S n -* S alors M(f(t lf ...,t n );V) est le composé : (M(t1;V),...,M(tn;V)) MV » MSj x... x MS n Mf > MS ;i t1t...,t sont des termes de types S^-.-.S et t un terme de type ; - R(S 1 ,...,S n ) alors M ^ t j . . . . ,tn)e t;V) = f"*(e) où e est "la relatior 21 d'appartenance de MS. x...xMS " (voir le n°l, T) et f = (M(t1;V),...,M(tn;V),M(t;V)) : MV + MS X x...x M S n x MS - si est une formule et W une suite de variables Xi,..f,Xi^ de types S,,...,S. n'apparaissant pas dans V alors M ( { W c S 1 x...xS./cj>} ;V) est la flèche MV + fi correspondant au sous-objet M((J>;WV) •> MWxMV (voir la propriété universelle du n°l, 7) où WV est la concaténation (ou juxtaposition) des suites W et V [Lorsque des variables de W apparaissent dans V (ce qui n'est jamais le cas dans la pratique) il faut préalablement substituer à ces variables d'autres variables de même type mais extérieurs à V (il y en a toujours car V est fini)]. - M (Vrai;<{>) et M(Faux;) sont resp. les sous-objets Vrai MV et de MV (voir leur déf. au n°l, 4) Faux MV - si <{> et \p sont des formules alors : M(AiJ;;V) , M(<(> y ip;V) et M(-* ij;;V) sont resp. les sous-objets M(;V) n M(ijr,V), M(;V) u M(^;V) et M(;V)->M(i|;;V) de MV (voir la définition de n, u et -» au n°l, 4) - si $ est une formule et x une variable de type S n'apparaissant pas dans V alors : M(3x€S(<|>);V) = yi(;xV) M(Vx € S(4));V) = *J*(tixV) où xV est la concaténation de la suite réduite à x et de V et ÏÏ : M(xV)-*MV est la projection canonique [lorsque x apparaît dans V la remarque sur l'interprétation de {W e Sj x.. .xS^/^}] . voir 5. Soit maintenant une formule close (i.e. sans variable libre). On dit que <|> est valide pour M ou que M satisfait et que l'on écrit encore M Ê= ssi M(c(>;0) = vrai, (où 0 désigne la "suite vide"). On dit aussi que est universellement valide si pour tout topos % et toute interprétation M, M 1= (p . Enfin si £ est un topos on notera *&»= si l'interprétation canonique de £(¾) dans & satisfait la formule . 6. Plaçons-nous dans le langage d'un topos et de son interprétation canonique. Nous allons donner "quelques tuyaux" pour déterminer plus facilement l'interprétation d'une formule. - 22 Soit (^(Xj, ,x ) une formule dont les variables libres sont parmi les variables Xj,...,x de type resp. S,,...,S , et soit a.,...,a des sections globales 1 -^ Val S- ,...,1 -* Val S n . Alors, les a l f ...,a n peuvent être considérés comme des termes clos (i.e. sans variable libre) de ce langage, de même type resp. que les x«,...,x . On peut donc substituer a^,... a-.,...,a aux variables x,,...,x dans la formule (J>(x^,... ,x n ) . Dans ces conditions on montre facilement que : *fc N ;V) où (a^»... ,a ) : 1 ^ Val Sj x...x Val S n V = (x,,...,x ) . 1_, Nous allons maintenant généraliser ce résultat au cas où les pas de source 1. a. n e sont - Tout d'abord, remarquons que si p : % •+ V est un morphisme logique entre topos (i.e. foncteur préservant la structure de topos élémentaire) on peut successivement construire une application (notée encore p) des types puis des symboles et enfin des termes et formules de %{%) dans ceux de # ( % * ) . - Soit maintenant <|>(x-,...,x ) une formule, comme dans le £, et des flèches de "t X ~*Val S. ,...,X+Val S R . Alors, il leur correspond des flèches a x : 1 -* Val (X*S 1 ),... ,â X* : t -> £/X de : l-*Val(X*Sn) a«,...,a- dans fc/X , Où désigne le foncteur logique "de changement de base le long X + l". Alors on a l'équivalence suivante : (a,,...,a ) ; X -*Val S. x...x Val S 2/Xfc X*;V) ssi . [Au cours de cet article nous utiliserons beaucoup cette équivalence qui, bien souvent, va nous permettre de caractériser Val(;V) (voir par exemple la proposition 9 du chapitre II §2. n°3). Elle a l'avantage d'une part, d'éliminer les variables libres de § et d'autre part, de n'avoir recours qu'à des sections globales, comme on le ferait dans les ensembles]. 8. Voici, pour terminer, quelques règles sémantiques qui permettent de s'assurer plus rapidement de la validité d'une formule pour le modèle canonique. - On supposera, par souci de situation concrète, que % est un topos de - 23 faisceaux sur un s i ^ à Jjm finies et que la topologie de ce site est souscanonique (tout pré-faisceau représentable est un faisceau) ce qui permet d'identifier ce site à une sous-catégorie pleine de ¾ . - Ces règles sont les suivantes : " t ¥ vrai" est toujours vrai " $ t= faux" ssi la famille vide ( + 1 ) recouvre 1 (ou encore t ¥ (f>Aip ssi ^ »= et %¥ y 1=0) °Lt v ij; ssi il existe une famille d'objets représentables (X,) telle que (X. + 1) est couvrante et telle que 2/X. H X? $ ou_ ^ /X^ip % *= ax e S(<|>(x)) ssi il existe une famille d'objets représentables (X^) dans t telle que (X. + l) est couvrante et, des sections globales ai : 1+Val Xjs telles que t/X i {= X? ^(a.) t r V xeS((a) . n°5 Règles de déduction (mêmes références qu'au n°3) 0. Si la sémantique est capable de nous renseigner sur la validité de telle ou telle formule dans un topos elle apparait vite comme étant un procédé particulièrement lourd pour déterminer la validité universelle. C'est pourquoi nous allons donner maintenant un certain nombre de règles simples qui vont nous permettre de faire des preuves syntaxiquement sans avoir nécessairement recours à la sémantique décrite précédemment. 1. On appelle sëquent une expression de la forme : V où 4> et \\> sont des formules et V est un ensemble fini de variables contenant les variables libres de et ip(il faut penser ces expressions comme des "implications"). On écrira aussi, plus simplement 4>h-^ lorsque V est minimum. Une telle séquence est appelé valide pour l'interprétation M si M(4>;V) c M(\|/;V) dans $(MV) Ainsi, en comparant avec le n°4, 5 , est valide pour M ssi vrai bj est valide. Enfin on dira que <|> ly y est universellement valide si <\> ^ ip est valide pour toute interprétation dans n'importe quel topos. 24 - 2. (Théorème de complétude). En fait, un séquent hr îp est universellement valide ssi on peut l'obtenir à partir d'"axiomes" et en utilisant un nombre fini de fois des "règles de déduction" figurant dans la liste suivante : a) axiomes et règles de premier ordre - (axiome) cj> »- - (règle) . S i <|> hh ty alors ITJ ip à condition que - (règle du modus ponens) Si ^ * et *ly 8 - (règle de substitution). Si 4>^ * alors dénote la substitution Vc W alors /y 4>(t|x) ^ *(t|x) 8 où (t|x) de toutes les occurences libres de x par t et où W est l'ensemble des variables libres apparaissant dans V - {x}, (t|x)" et ijj(t|x) à condition que x et t soient des termes de même type et compte tenu des précautions d'usage dans les substitutions de variables (pour plus de précision voir M. Coste [7] ou A. Boileau [ 4 ] , de toute façon dans la pratique ces situations délicates n'interviennent jamais). - (règle du A ) cf>hy ip A 8 ssi h> ^ et ¢1776 - (axiomes) - (axiome) <|> t— vrai et faux vrai h x = x h- $ - (axiome) <|> A (x = y)n(y|x) (même condition que pour la règle de substitution) - (règle du v ) iy V x eS(ijj) - ( r è g l e du 3) Jx e S((|)) r v ssi - (règle du -*) $h - (règle du v) <\> yife hç \\J -> 8 < J ) ^ U { X } ^> S 1 x n t-n r , ijj, si x n'est pas libre dans IJJ ssi ssi 8 ' e s t Pas libre dans <\> A ty\^ 0 ssi h? 6 et ^ (^ 6 b) axiomes d'ordre supérieur - (extensionnalité) vrai I- V ^ S , x . , .xS (x e X.«-* x e X2) •* Xj = X2 en notant "x c X" au l i e u de " ( X j , . . . ,x p ) e X" au l i e u de "V Xj e Sj ... V x aussi des variables de type - (compréhension) e Sn( • . . ) " . Attention vrai h- M 6 ( x t S ] cf> ^ ^ X1 et X2 sont x . . . x Sn/} <(>H^ à un ensemble de variables V car i l peut a r r i v e r , en intuitionnisme, que sans que "V x eSj x . . . x S n ( . . . ) " fi(S1,...,Sn) _3. Remarquons qu'on r e l a t i v i s e les séqents donné et cj>hç ip soit valide le soit [par exemple lorsque les variables "en trop" sont de type vide !] . C'est aussi pourquoi la règle du "modus ponens" ne doit pas s ' é c r i r e " <(> h- et $ f- 0 entraîne v- 8 " ce qui serait faux. - 25 - 4. Dans la suite de cet article nous n'utiliserons pas explicitement ces règles de déduction préférant, dans un soucis de lisibilité, utiliser une "logique intuitionniste naïve" (de même qu'on utilise systématiquement une "logique classique naïve" dans la pratique mathématique). Cependant, le lecteur scrupuleux pourra toujours "redresser" nos preuves à l'aide de ces règles de déduction (du moins espérons le ! . . . ) . n° 6 Familles d'objets 1. Un mot enfin sur les "familles". Sans rentrer dans le cadre des catégories fibrées (pour plus de détails voir [2] et [3]) disons qu'une famille d'objets indexée par un objet donné I, que l'on notera (X^)^ eI comme dans le cas ensembliste, est un objet dans la catégorie 2/1 , (la notation ( X ^ j U encore est justifiée car, si : X-»-I désigne la flèche de t correspondante, X. peut être vu comme le terme {x e X/4>(x) = 1} de type îî(X)) . De même (X.). T et (Y.). T étant deux familles d'objets indexées par un même ob' l'I c l x 1 '1 e 1 jet I, une famille d'applications (^ : X . + Y ^ € j familles d'objets dans V I . est une flèche entre ces 2. Comme 2/1 est lui-même un topos (voir n°l) on peut donc faire les mêmes constructions "ensemblistes" pour les familles. Par exemple, on peut faire le produit de familles, l'exponentiation de familles ou la famille des parties d'une Y. X. famille qui seront notés respectivement ( X ^ Y ^ ^ j , ( f y 1 ) ^ » (n 1 )^ € j comme c'est le cas lorsque t = (Ens. Dans le même ordre d'idée, on parlera de "famille de groupes", "famille d'anneaux", "famille de sous-objets ouverts" ou "famille de variétés" etc.. (indexée par un objet I) pour désigner des groupes, anneaux, sous-objets ouverts ou variétés dans le topos 2/1. 3. Certaines constructions sont spécifiques aux familles. C'est le cas par exemple : a) du produit d'une famille d'objets (X^. , que l'on note comme d'habitude T T T X. , et qui est l'image de (X.). . par le foncteur */I + t adjoint l e l l i 1 e 1 à droite du foncteur changement de base le long de la flèche I •*• 1. b) de la somme (encore appelée co-produit) d'une famille d'objets (X^)^ € j t que l'on note M, Xi et qui est l'image de ( X j ) ^ j par le foncteur (trivial !) V I + 1 adjoint à gauche du foncteur changement de base le long 26 de la flèche I + 1, c) de l'intersection d'une famille de sous-objets 11 . note . jy A. , et qui est le sous-objet 6~ (i^ .TT x désigne la flèche "diagonale". (A.). T J &I >-» .TT de X , que l'on X) de X où d) de l'union d'une famille de sous-objets (A-)- x de X , que l'on note . U T A. , et qui est le sous-objet i ( ^ T A. >•* .-*-k X) de X où T e l l TT 1 € 1 ÏÏ : .-U-j x + X 1 1 €1 désigne la "co-diagonale",(c'est en fait la projection Xxl+X). 4. Si maintenant t est un terme de type fi(X) ne possédant tout au plus que la variable i de type I (on supposera pour simplifier que I est un type de base), on peut en faire une famille (X-L T (on dira alors en abrégé que ^ ( X - ) . r est la famille définie par X. = t * ) . Il suffit pour cela de consii/al dérer la flèche V a l ( t , i ) : I -* F ^ I x V a l X. La famille ( X . ) i l dans y ' fi , puis le sous-objet correspondant est alors l'objet (F^> I x V a l X P ™ J I ) 2/1. 5_. On rencontrera enfin dans le courant de ce texte des "formules" du genre V XÉX.(...) X. 1xeX.(...) OU qui à priori n'ont pas de signification car ne peut être un type puisqu'il dépend de la variable seulement que nous nous plaçons dans le topos 2 / 1 i . Cela signifie et que les types de base ne sont plus des objets de % mais des familles d'objets indexées par I . Ainsi, de façon plus correcte, mais plus lourde, on devrait donc écrire V x e ( X. ) . T( • • • ) V i e l / V xeX.(...) §4, ou 3 x e ( X. ) . ou V i £I T (... ) ce que 1'on écri t en fai t 3 x £ X. ( . . . ) . Par exempl e, au Chapi tre n ° l , 2 , au lieu d'écrire V f MR n 1 { X , ) X e X ^ < " X > x £ A - „ { x > ) X £ ) ( = f> on é c r i t en f a i t : V x e X V f , R'"{X} 3g c RX ( g l n { x } = f ) ou encore, en u t i l i s a n t les simplifications du n°3, i5 : VxeX Vf:-n{x}-»R 3g : X - ^ R ( g ^ { x } = f ) . III, 27 §2. Quelques modèles de base n° 0 . Tout au long de ce travail nous aurons besoin de manipuler quelques topos "de base". C'est pourquoi, au lieu d'en donner les constructions au fur et à mesure de leur apparition dans le texte, ce qui l'alourdirait beaucoup et rendrait bien souvent les références malaisées, nous avons préféré les décrire toutes dans le préliminaire. Cela nous permet, en plus, de le faire avec un maximum de détails. - Tous les topos qui seront décrits maintenant sont des topos de Grothendieck. De ce fait, seul la connaissance de leur site de base suffit à les définir ou encore, de leur catégorie de base munie d'une prétopologie (voir §1. n°2). - ^ étant une catégorie et objet dual de £ , l'objet C duale de fe . De même, si est la même flèche C un objet de % , on note Cop et on le nomme : lui-même, considéré dans la catégorie « o p , f : C+C est une flèche de Spec A (entre schémas affines) sont des immersions ouvertes (resp. morphismes étales de type fini, morphismes plats localement de type fini) tels que : - 28 W Im Spec f. = Spec A i i On note Zar, [resp. Et. ,PL ] le topos des faisceaux sur le site obtenu [on l'appelle encore "topos de Zariski, sur k" (resp. "topos étale, sur k", "topos plat, sur k")] . 2. Soit maintenant t£pf. la sous-catégorie pleine de àt formée des k-algèbres de présentation finie. En munissant <£pf?p des mêmes topologies que précédemment on obtient de nouveaux sites, et les topos de faisceaux sur ces différents sites sont notés resp. *ar£ pf ) > E t k P f ^ et p^pf^ 3. Enfin on emploiera l'expression volontairement vague : "topos de k-algèbres" pour désigner un quelconque de ces 6 topos et "topos de k-algèbres de présentation finie" pour désigner les trois derniers topos construits sur le site iPf°p. n°3 En géométrie différentielle 1. Soit &% lala catégorie l. catégorie qui qui aa pour pour objets les ouverts de F n (n variable) et pour flèches, les applications C~00 entre ces ouverts. On munie cette catéaorle catégorie de la prétopologie formée par les recouvrements ouverts. On note (Liss le topos des faisceaux sur le site obtenu. Ce topos est souvent appelé "topos lisse" dans la littérature. 2. (Voir aussi l'Appendice §2 n°3). Soit3Î o p la catégorie duale de la catégorie des anneaux lisses de type fini (voir l'Appendice §1 n°4 pour leur définition). On munit cette catégorie de la prétopologie formée par les "recouvrements ouverts" (i.e. les familles de la forme (A° p ->A op ). ou les U. u• i i sont des ouverts de Spec A tels que U U. = Spec A). Un note D le topos des faisceaux sur le site obtenu. Ce topos sera souvent désigné sous le nom de "topos de Dubuc", car c'est E. Dubuc qui l'a construit pour la première fois et montré en quoi il était "bien adapté à la géométrie différentielle". 29 CHAPITRE I UTILISATION DES NILPOTENTS §0. Introduction L'utilisation des nilpotents n'est pas nouvelle en mathématiques. Ils sont même déjà très abondamment employés par les géomètres algébristes (c'est d'ailleurs, en partie pourquoi ces derniers utilisent des schémas plutôt que des variétés algébriques car la présence d'anneaux réduits leur interdit précisément l'utilisation des nilpotents). Cependant jamais comme en "géométrie différentielle synthétique" ceux-ci n'ont été explicitement vus comme des éléments infinitésimaux de la droite affine. Ici le point de vue est adopté de façon délibérée, ce qui permet de rendre explicite ce qui était le plus souvent implicite en géométrie algébrique. Mais c'est surtout sur le plan philosophique que l'on peut y voir le plus gros intérêt puisque cela permet de renouer avec la façon de voir des pionniers de l'analyse : On revient au "calcul infinitésimal". On ne peut alors s'empêcher de penser à cette autre approche logique de la méthode infinitésimale qu'est "l'analyse non standard". Toutefois ces deux approches sont fort différentes à bien des égards. En effet le point de vue de la géométrie différentielle synthétique reste beaucoup plus algébrique ou même équationnel (du moins si on se réfère à ce chapitre qui correspond plus spécifiquement à la conception de Lauwvere et Kock) que l'analyse non standard. D'autre part son étude ne se fait, le plus souvent, que dans un seul modèle et non à cheval entre un modèle "standard" et un "nonstandard" (tous les ensembles sont de même nature). Enfin, le terrain d'application de la géométrie différentielle synthétique n : est pas uniquement réservé a l'analyse mais elle se tourne plus franchement vers l'algèbre (et même, plus précisément, vers la géométrie algébrique complexe mais aussi réelle). Cependant, le principal handicap de la géométrie différentielle synthétique est l'utilisation d'une logique plus faible que la logique classique, ce qui ne lui permet pas de se laisser aller à l'habituelle souplesse de cette dernière. Nous verrons pourtant, dans les chapitres ultérieurs, qu'une étude plus approfondie de la logique intuitionniste peut avoir certains avantages non négligeables. 30 - §1. Préliminaire d'algèbre linéaire n° 0. Voici quelques définitions et résultats d'algèbre linéaire dans les topos qui* essentiellement, ont été établis par A. Kock (voir [22] ) en 1976. Nous en aurons besoin lorsque nous aborderons la géométrie différentielle synthétique. - On se place dans un topos élémentaire quelconque, et on raisonne en "logique intuitionniste naïve" (voir Chapitre 0, §1, n°5, 4 ) . n° 1. Les déterminants CL Commençons par quelques évidences. 1. Soit R un anneau commutatif unitaire fixé. Les définitions de R-module et d'application linéaire sont les mêmes que dans le cas usuel. M et N étant deux R-modules, nous noterons L(M,N) le R-module des applications linéaires de M dans N. 2. On a une bijection canonique : L(R P >R q ) ^ Mat(qxp) (en notant Mat(qxp) = R^P) donnée par les formules suivantes : m(u) i j = (y(ej))i et m" 1 M(x) i = l M.j x. J "" -^ où (-). désigne lai pmp projection et e. est le p-uplet (0,0,...,0,1,0,...,0) ' vi pmp dans lequel le I est mis â la j place. Ceci permet de munir Mat(nxn) d'une structure de R-algêbre (non commutative) comme on le fait habituellement dans les ensembles. _3. On peut définir aussi, sans changement, le déterminant d'une application linéaire R ->• R ou d'une matrice n x n et, comme dans le cas usuel on a : det(A.B) - det A. det B det(I) » 1 où i est la matrice-; unit*. 4_. Soi+: A une matrice n * n alors : A est inversible dans Mat(nxn) ssi det A est inversible dans R. 31 n° 2 Les corps commutatifs 0. Nous allons nous intéresser dans le n°3 au cas des "espaces vectoriels", c'est-à-dire supposer que l'anneau R est en fait un corps commutatif. Cependant, en intuitionnisme de nombreuses définitions de corps sont possibles (elles sont évidemment non équivalentes). La définition de corps de Kock que nous allons donner ici à l'aventage d'avoir comme exemples, tous les anneaux "canoniques" des modèles envisagés ici et, d'être suffisante pour faire de l'algèbre linéaire. 1. Soit R un anneau commutatif unitaire tel que 0 /* 1 [qui est l'abréviation de ~ï(0 = 1)] , on dit que : a) R est local s'il satisfait la formule suivante : V x e R (x inversible v 1-x inversible) b) R est un corps de fractions [20] s'il satisfait la formule suivante : VxeR (x/0 u inversible) c) R est un corps de Kock s'il satisfait, pour chaque entier n, la formule : n n r V xl e R ... V x n e R [l/X\ (xi = 0)-*\X/ (x.. inversible)] n n où les écritures / A <|>. et NX/ ¢. sont resp. des abréviations de « M ^ A ...An et (f>,v . 2. On voit facilement qu'un corps de Kock est un corps de fraction et un anneau local. Par contre un corps de fraction est un corps de Kock ssi pour tout entier n il satisfait la formule : n ri V X, c R . . . i V x n £ R Vx; cR . . . n i ¥ X' € R | i / X \ n i • i (x. i = x'.) i -> W J -i l(x. = i x'.)| i J Nous verrons au Chap. II, §1, n°2, 9^ que cette condition est en fait de "nature topologique" (!) elle signifie seulement que les R n sont séparés... _3. Exemples a) En géométrie algébrique. On se place dans "un topos de k-algèbres" (voir terminologie au Chapitre 0, §2) où k est un anneau commutatif unitaire 32 - quelconque, et on considère l'anneau canonique R R (i.e. R = kCXl p ou encore est le "foncteur oubliant la structure d'anneau" considéré comme faisceau sur à°kp ou <#pfjjp) . Alors : Théorème (Kock). R est un corps de Kock. Preuve : Voir [22]. En fait on procède comme dans l'exemple suivant : b) En géométrie différentielle. Considérons dans le topos de Dubuc (voir défi" - " " • — • — - " ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ — — - — — — — — — — — — — — — — — ^ nition à l'appendice) l'anneau cononique R (i.e. R = C F K ou encore R est le "foncteur oubliant la structure d'anneau lisse" % -> E n s ) . Alors R est un corps de Kock. Preuve : 1) Soit k-C°ï{m/l un anneau lisse de type fini et fi»«--»fn : A o p + R des flèches du topos. Notons encore f,,...,f des éléments de C^F1*1 qui les engendrent. Alors : nn op (f r ...,f n ) : A -*R n factorise n Val(l 4 * {x. = 0 ) ; ( x ^ . . . ^ ) ) [voir la notation Val(;V) au chapitre 0 §1, n°4] n , ssi iQx (f l f ...,f n )" Val(xi = 0; (x1,...,xn)) = vrai Q p [car (f-i>...,fn) préserve l'intersection et la négation] n « ssi r \ (fj,...,^)" 1 Val(...) = Faux n , ssi Qi f ssi f \ C~ F m /I + ( f . ) o p = Faux î Val x ( i = °î x i) = Faux [car on a Val(x. = 0; x.) = (C°°F/(Id) o p >* C°î(0^) et le carré ci-dessous est un produit fibre dans B "i c V / I + ( f j ^ __> œ l m C F /l°P CœK/(Id)°P I - _ C°°R0P - , f n ) ° P = Faux ssi C°V/I + ( f r . ssi C°°Fm/I + ( f i » . . . » f n ) ssi Z(I + ( f , est l'anneau lisse nul f ) ) = 0 [par le théorème des zéros] 33 - ssi 11 c JJ -îzf. n. ssi Spec A = V , Spec A {f -1 } ssi Ml-i A{fTi } o p = vrai ^ ortnp [voir la définition de la prétopologie sur & P] ssi lMn./ f.-1 Val(x. inversible; x.) = vrai [car Val(x inversible; x) = C°°F {id" 1 } o p ] n f n ) : Aop-> R n factorise V a l ( ^ ssi (f, x. inversible; (x1,...,xn)) 2) D'autre part on a : Val(1(0 = 1); 0) = iVal(0 = 1; 0) (où 0 désigne la suite vide) or Val(0 = 1;0) est 1'égalisateur de 0,1 : 1 * R par suite Val(0 = 1;0) = Faux (puisque dualement dans & le coégalisateur des morphismes oo ->- correspondant C F ^ F fait 0 * 1 . est l'anneau lisse nul) ce qui prouve que R satis- n° 3 Rang d'une matrice 1. Soit maintenant R un corps de Kock fixé. M étant un espace vectoriel sur R et m étant un entier (externe) alors on dit qu'une famille v = (v15...,v ) e M m m m i m est libre ssi Vtj e R ... Vt m eR(£ t. v.. = 0-*/V\ (t. = 0)) [en fait, pour être correct, il faudrait dire que l'écriture "v libre" est une abréviation de la formule précédentel. On dit aussi que v est de rang £ r ssi NX/ "v libre" où S(r,m) est l'ensemble (externe) des injections croiss e S(r,m) santés de fl,...,r} dans {l,...,m} et où Vc = (V ,...,V ) . s Sj sr 2. Théorème (Kock). Soit B une matrice n*m et r un entier r < n et r r iii) c(B) est de rang > r où "A sous-matrice de B" signifie V\/ (A = B/ M) ls,s (s,s ) *S(r,n) xS(r,m) ' nm m n ,. la matrice (B . r . , ) . , et où i : R + (R ) et 1 en notant B, \S>Sj c : R. >(R j Sl,5 J IJ sont los bijections canoniques. 34 3. On dit alors que B est de rang > r s'il satisfait une des trois conditions équivalentes du 2. -4. Théorème (Kock). Soit A une matrice n x m . Alors on a : "A est de rang > n" •> 3B e Mat(mxn) (A.B = I) "A est de rang > m" -> 3B e Mat(mxn) (B.A = I) En particulier une matrice qui a des lignes (resp. Colonnes) indépendantes admet un inverse à droite (resp. gauche). 35 - §2. L'axiome de Kock-Lawvere n°0 Ce paragraphe contient essentiellement les bases de ce qu'on appelle mainte- nant la "géométrie différentielle synthétique". Pour plus de détails nous vous renvoyons au livre de A. Kock [23]. n°l Enoncé de l'axiome de Kock-Lawvere 0. Plaçons-nous, comme au § 1 , dans un topos quelconque et raisonnons en "logique intuitionniste naïve" (voir Chapitre 0, § 1 , n°5, 4 ) . 2 1. Soit R un anneau commutatif unitaire fixé. Notons D = {de R/d = 0} . ~~ R (avec les conventions c'est un terme de type ft(R) i.e. une flèche 1 + fi ) . Considérons alors l'application suivante : R x R (a,b) , Mf RD f (d»^a+bd) Définition (Kock-Lauwvere). On dit que R est un anneau de type ligne plication si l'ap- Aff précédente est bijective. 2. Intuitivement on peut voir cet axiome de la façon suivante : - En interprétant D comme étant "un voisinage infinitésimal" de l'origine (en géométrie différentielle synthétique on l'appelle le premier voisinage de l'origine), l'axiome nous dit alors (ou plutôt une conséquence de cet axiome) que toute application R •> R "infinitésimalement" peut être assimilée à une droite (!). - En effet, pour toute application un unique couple ou encore tel que (a,b)tRxR f : R -* R et tout "point" p de R il existe tel que, sur D on ait : f(p+( )) = Aff(a,b) V d e D(f(p+d) = a+bd) ce qui signifie bien que f, restreinte à D + D , est affine. 36 - Il est clair que la droite affine qui vient d'être décrite n'est autre que la tangente à la courbe définie par f, au point p. Mais la connaissance des tan- gentes â une courbe nous donne aussi celle de sa dérivée. Nous voyons donc, dès maintenant l'intérêt d'un tel axiome pour faire du "calcul différentiel" dans un topos. - Remarquons enfin, qu'un tel axiome ne nécessite, en plus de la structure d'anneau, aucune autre structure supplémentaire de nature plus ou moins topologique. Le "calcul différentiel" devient ainsi un simple calcul entièrement algébrique. n°2 Exemples : 1. Dans les ensembles : Pour un anneau, être de type ligne est très nettement incompatible avec la logique ensembliste habituelle. En fait, dans Ens , le seul anneau de type ligne est l'anneau Preuve : Soit la fonction f : D+R nul !. définie par fo = 0 et f d = 1 si d ^ 0. (on remarque l'utilisation du tiers exclu ! ) . On voit facilement que cette fonction n'est affine que si que 0 = 1 . D'où D = {0} . Or dans ce cas la bijection "Aff" entraîne R = 0. I- En géométrie algébrique : Plaçons nous dans "un topos de k-algèbres" (voir. définition au Chapitre 0, §2) où k est un anneau commutatif unitaire quelcon- k[X]op ou est le "foncteur oubliant la structure d'anneau" considéré comme fais- que. Dans ce topos, considérons l'anneau canonique encore R ceau sur â?9 R (i.e. R = ou ipf]Jp) . D est alors le sous-foncteur de D(A) = {d c A/dL = 0} . En fait R défini par D est lui-même représentable par k [e]°P = k[X] /(X2)°P . Théorème (Kock-Lawvere). R est un anneau de type ligne. Preuve : comme : (R x R)(A) - RAxRA = Ax,A et (RD)(A) - Hom(DxAop,k) * Hom(k L e] 0p x A0p,ll) - Hom((k[e3 «> A)op,R) * k * kul © A - Afe] k le morphisme " n Aff : R*R +R » appliqué en A, devient dans ce cas : 37 - A x A (a,b) > , A[e] » a+bc qui est évidemment bijectif. 3. En géométrie différentielle. Prenons, comme modèle, le topos de Dubuc (voir définition^ appendice) et soit R l'anneau cononique (i.e. R est, comme dans le qui est représentable par 00 cas algébrique, le foncteur d'oubli $ -> Ens opM C F ) . De la même façon, D est le sous-foncteur de R défini par 2 nn DA = {d e A/d = 0} . Il est, là aussi, représentable par F[e ] o p [où qui est le quotient F [X] /(X ) peut être vu aussi comme le quotient C°°F/(Id 2 ) (voir l'Appendice, §1, n°l, 4) Théorème (Dubuc) : R Rfe] , est un anneau de type ligne. Preuve : comme dans l'exemple "algébrique" cela revient à montrer que, pour tout anneau lisse A l'application : A x A A{X} /(X 2 ) —> (a,b) , > a + b7 est une bijection. En notant A{X} l'anneau lisse A ® C°°F où X est l'image de l'identité (considéré comme élément de C°°F) par le morphisme canonique 00 00 C F -> A £> C F (il vérifie la "même" propriété universelle que son homologue A[X] de l'algèbre commutative). Montrons maintenant que cette application est bijective. Pour cela soit C°°Fn/I une présentation de A. Alors on a : A{X} / ( X 2 ) - C œ F n + 1 / p * I + ( q 2 ) où p : F n + 1 - F n et q : F n + 1 + F les projections. L'application précédente devient maintenant C°°P n /I x CraF n /I (f , g") > C œ K n + 1 /p*I + (q 2 ) , > 'f 0 p + (gop).q' n +1 - Elle est surjective, car toute application Où h e C°°F h(x,x) = h(x,0) + | £ (x,0).x + k(x,x).x2 k e C°V+1 . s'écrit : sont 38 - Elle est aussi injective. En effet soit un couple (f,g) e A x A (f o p + (gop).q) pour tout tel que e (p*I +(q 2 )) ^ (t,0) (t,0) X c ZI . Donc, localement autour d'un point (X,0) de ZIx{0} on a f(x) + g(x).x = l X,(x,x).h.(x) + k(x).x2 ] i n où hi el pour tout f i et où X- e C°°F n+1 . En particulier pour l X.(x,0).h.(x) (x) = donc x = 0 , f appartenant localement à I appar- î tient globalement à celui-ci. Toujours localement 9(x).x = l (X^x.x) - X^x.OJJ.h.tx) + k(x).x' i Mais d'après le lemme d'Hadamard A.(x,x) - A.(x,0) = y.(x,x).x où £ u.j(x,x).x.h.(x) + k(x).x et donc yi ^ C°°F 9(x) = . Ainsi g(x).x = ^ M^x^xJ.h-Cx) + k(x).x . En particulier, pour 9( x ) = I ^(x.oj.h.fx). Ce qui prouve, là encore, que ment à I, y appartient en fait globalement. n°3 x = 0 g appartenant locale- Dérivées l. Comme nous l'avons dit au n°l l'axiome de type ligne entraine l'existence de la dérivée d'une fonction de R dans R. - En effet, pour toute fonction f : R->R et tout point qu'il existe un unique couple (a$h) G R x R tel que : p £ R nous avons vu V d £ D (f(p+d) = a+bd) En fait, en faisant d = 0, on voit que a = fp. Quant à b il dépend lui aussi du peint p. Notons le f p (c'est bien le coefficient directeur de la droite affine tangente à f au point p). H est alors naturel d'appeler l'application p KVf 'p 5 la dérivée de . n rurwjle précédente s'écrit alors : V d e D (f(p+d) - fp + f'p.d) qui n'est autre que le développement de Taylor de la fonction 1'ordre 1. f tronqué à 39 - Ainsi, dans ce contexte, toute fonction toute fonction R-*R R+R est dérivable. De ce fait, est aussi indéfiniment dérivable. 2_. On peut légèrement généraliser la définition de dérivée d'une fonction au cas ou Soit f p n'est pas définie sur un élément de R et V R f tout entier. une partie de R telle que V d e D (p+deV) Alors, comme au 1. , on peut reproduire la définition de la dérivée au point d'une fonction f définie (seulement) sur V . Et, évidemment, si fait la condition plus forte suivante : V x e R dérivée de f peut être définie sur Ainsi, une fonction définie sur D V D satis- V d e D (x Ê V + x + d c V ) la tout entier. lui même admet toujours une dérivée en zéro mais généralement ne peut admettre une dérivée globalement sur car V p D tout entier, n'étant pas stable par somme, il ne peut satisfaire la condition "forte" précédente. 3. a) En géométrie algébrique, la dérivée d'une fonction R-*R rivée du polynôme correspondant. Plus généralement même, si est bien la dé- f(X)/g(X) est une fraction rationnelle, la flèche correspondante dans le topos ayant un domaine V - k[X][(g(X) ]°P qui satisfait la condition "forte" donnée au 2. elle admet une dérivée dans le topos qui n'est autre que la flèche correspondant à la dérivée habituelle de cette fraction rationnelle. b) Comme on aurait pu le prévoir, en géométrie différentielle, dérivée "abstraite" et dérivée "habituelle" coïncident, même lorsque la fonction n'est définie que sur un ouvert U de F , car dans ce cas la flèche correspondante du topos est définie sur C ° ° u o p c R qui satisfait bien la condition "forte" du 2. 4. Etudions maintenant le cas de fonctions à plusieurs variables. Soit p = (p 19 ...,p ) partie de R n telle que, pour un indice V d £ D Soit maintenant un "point" (c'est-à-dire un élément) de [(px f : V+R la dérivée partielle de à-dire que ^—(p) i < n Rn et V une on ait : P i . 1 .P i +d,p i + 1 ,...,p n ) £ V] une application. On définit alors de façon habituelle f au point p par rapport à la variable est la dérivée de l'application 9X.j x^f(p 1 ,...,p i ^ 1 ,x,p i + 1 ,...,p n ) au point p. . x. , c'est- ^u 2 5. Notons aussi, pour abréger, 3^3x> * f au lieu de -g|- (-gi- f) * J j Comme dans le cas classique on a le théorème de Schwarz : 92f 3x.3x. VcRn 92f 3x.9x. étant une partie suffisamment bonne (voir le 6_) , . on définit aussi la matrice jacobienne d'une fonction f : V + R m af P £ V ainsi que son jacobien au point p (on le notera TT- (p) ou au point 3(fl---.f n ) p n = m . Enfin, grâce à la bijection x ) ( ^ "lorsque 3/x Mat(nxm) * L(R n ,R m ) (voir §1, n°l), on peut aussi parler de la dérivée de f en p, que l'on notera df(p). n°4. Micro!inëarité et fibre tangent 0. Si T o n veut étendre le calcul différentiel à des objets du modèle autres que R il va falloir imposer quelques conditions à ces objets. K Pour en arriver là, considérons tout d'abord quelques "voisinages infinitésimaux" dans R n . Notons D ( n ) = {(dj,... ,dn) e R n / 1 ^ ^ n (d.d. = 0)} (même 1 < j d,—>(0,...,0,d,0,...,0) (d étant situé à la i e m e place) 2. On peut maintenant formuler la définition suivante : Un objet M est appelé micro-linéaire s i , pour tout p e M l'application suivante est bijective : {f : D ^ •> M / fo = p) - ( f : D +M / fo = p } n f , . (f o i j ) 1 s n - 41 - Nous verrrons au cours de ce sous-paragraphe que de tels objets ont de "bons" fibres tangents. 3. Exemples : Dans la plupart des modèles de la "géométrie différentielle synthétique" R est mocrolinéaire. En particulier pour les topos de k-algèbres, en géométrie algébrique ou le topos de Dubuc, en géométrie différentielle (voir [23]) Dans le cas de la géométrie algébrique, par exemple, comme pour une k-algèbre A, R D (A) - AEX]/(X2)= AEe] (voir le n°2) et ATX "!/&.).., RD(A) *- A [X1,...,Xnyfx i X . / l < i < n , 1 < j ACe^x i n i A a+bjTjj.. - + b n n n A[e9]x...x A [c ] d A n A *—* ( a + b ^ ^ a + b ^ » - • • » a + b n e n ) 4. A partir de l'anneau canonique R on construit d'autres exemples à l'aide de la proposition suivante : Y Si M est micro-linéaire il en est de même de M , pour tout objet ticulier, pour tout entier n, M n est micro-linéaire. X. En par- 5. M étant un objet quelconque (que l'on pensera comme une variété) un vecteur tangent à M et de point de base p e M est une application t : D + M telle que t(0) = p (on comprend bien cette terminologie en imaginant un vecteur tangent comme un "chemin infinitésimal"). L'espace tangent à M au point p est donc T M = {t £M D /to = p) Quant au fibre tangent, c'est tout simplement M La "fibration" M +M étant donnée par l'application (en fait on a bien M = ~ T M) définie par tn» t(0) . 6. a) Lorsque M est micro-linéaire, T M est muni canoniquement d'une structure de R-module. En effet : <\ù La loi de composition externe est donnée par l'application : R xT M _ > T M P * P (r,t) H^td^ttrd)) Quant à la loi de groupe, on l'obtient par le composé suivant : T M x T M = {t : D + M / t o = p } 2 ^ + {t : D(2)-> M/t 0 = p} - » {t : D + M / t o = p}= T M où la flèche de gauche provient de la micro-linéarité de M et celle de droite est t n - t o ô , en notant 6 : D •> D^ ' l'application d H* (d,d). b) De même lorsque f : M+N l'application canonique rr ^ est une application entre objets micro-linéaires, T pf : T pM -*• fp T- N 7_. a) Lorsque on suppose seulement que suivante est bijective : Rn __L>T p R n v | est linéaire. R est de type ligne, l'application > (d H* p+dv) b) Si on suppose, de plus, que me de R-module. R est micro-linéaire a est alors un isomorphis- 8. Si maintenant f : R n •> Rm est une application quelconque et Rn , on a le diagramme commutatif suivant : R" D'autre part df ' P) , «- f(D^ n ^(p)) c D ^ V P ) et on a la formule V d c D ( n ) (f(p+d) - fp = df(p)(d)) . p un point de - 43 9^. Des propositions précédentes et du §1 il résulte que les propriétés suivantes sont équivalentes : 3f a) n = m et T J (p) est inversible dans b) df(p) : R n + R m est bijective, c) T f : T Rn + 1 Rm d) la restriction f : D ^ ( p ) -> D ^ ( f p ) R, est bijective, est bijective. 10. L'équivalence (a)<=>(d) donne une première forme du théorème d'inversion "infinitésimale". Cependant D' n '(p) est un voisinage "si infinitésimal" que le théorème est quasiment tautologique. Dans la suite de ce travail nous allons progressivement "grossir" ce "voisinage" de p afin d'obtenir des théorèmes d'inversion de plus en plus forts. n°5. Application 1-étales et 1-variétés (voir Kock-Reyes [24]) 0. Nous allons étendre la propriété d'"inversibilité infinitésimale" à d'autres applications du topos. Pour cela, utilisons (après l'avoir renforcé) la propriété (c) de la proposition 9 du n°4. _1. Appelons 1-étale de la forme D une application x...xD telle que, pour tout objet J le carré suivant est un produit fibre M > N i 1 M > N où les applications verticales sont on avait seulement pris f : M+N t ^t(O) (dans la proposition 9 du n°4 J = D^ ' = D ) . 2,. Voici quelques propriétés des applications 1-étales. a) Soient J- et J~ deux objets de la forme ci-dessus et application, alors le carré suivant est un produit fibre : k : Jj -> J 2 une 44 J 2 f J C M > N 2 ù NP M* J M l x J f * T > N l L b) Les applications 1-étales sont stables par composition et changement de base c) f : M-+N étant une application 1-étale, - si f est surjective et M est micro-linéaire alors N est micro-linéaire, - si f est injective et N est micro-linéaire alors M est micro-linéaire, d) Une application f : M-+N entre objets micro-linéaires est 1-étale ssi, pour tout point p de M , T f : T M -> T f N est bijective. 3. Exemples : a) Nous verrons dans les chapitres ultérieurs qu'un morphisme étale entre schémas affines est 1-étale (il sera en fait beaucoup plus) dans les topos de k-algèbres de présentations finies. b) De même nous verrons au Chapitre II qu'un difféomorphisme local riétés C est un morphisme 1-étale dans le topos de Dubuc D . C°° entre va- c) Enfin, très généralement, dans un topos possédant un anneau de type ligne R, le sous-objet Inv(R) y* R formé des éléments inversibles de R est encore 1-étale. 4. On dit qu'un objet M est une 1-variété de dimension n si : a) M est micro-linéaire, b) pour tout point p de M, T NI est linéairement isomorphe à R n (En fait cette définition est un peu plus générale que celle donnée par Kock et Reyes dans T24]). b. Exemples : Nous verrons au Chapitre II que toute variété C est une 1-variété dans le topos D (et même beaucoup plus). La réciproque étant fausse même 45 pour les objets représentables (il suffit de prendre M = C F K) . 6. (Invariance de la dimension). Supposons que 0 ^ 1 dans l'anneau R (ce qui est toujours le cas dans les modèles), alors si un objet M est à la fois une variété de dimension m et n on a nécessairement m = n. 4b §3. Anneaux de Fermât n°l . Généralités 0. Signalons, avant de terminer ce chapitre qu'il y a une autre façon d'introduire la dérivée sans avoir recours aux nilpotents. Elle peut d'ailleurs trouver son utilité, précisément, dans les modèles sans nilpotents,[comme dans le topos lisse (voir définition au Chapitre 0 §2) par exemple]. 1. (voir [36]) . Plaçons nous dans un topos fixé et soit R un anneau commutatif unitaire. On dit que R est un anneau de Fermât s'il satisfait l'axiome suivant Vf : R + R 3!g : R 2 + R Vx,x' e R [fx'-fx = (x'-x).g(x',x)] On notera 3f Tunique application g. Dans ces conditions l'application dérivée f : R + R est simplement définie par f*(x) = 3f(x,x). De la même façon qu'au §2, n°3 on définit aussi les dérivées partielles d'une fonction à plusieurs variables. 2. On peut, en fait, décomposer l'axiome de Fermât en deux nouveaux axiomes comme suit : 3g : R 2 +R (i) Vf : R+R Vx,x* eR [ f x ' - f x = ( x ' - x ) . g ( x ' , x ) ] (ii) Vf : R + R [V x € R ( x . f x = 0) + Vx € R ( f x = 0 ) ] Preuve : g. et g 2 étant deux fonctions vérifiant l'identité du (i), il suffit de considérer la fonction k(h,x) = g^x+h.x) - g2(x+h,x) car elle vérifie la formule V h £ R (h.k(h,x) = 0 ) . 3. A partir de maintenant R sera un anneau de Fermât. Soit f : R + R une appli"" 2 cation quelconque, alors il existe une application g : R +R telle que : Vx£R Vh e R [f(x+h) = fx + h.f l x+h 2 .g(x,h)] Preuve : Il suffit d'appliquer l'axiome de Fermât à l'application h •* af(x+h,x) 4. Supposons, en plus, que R soit aussi un anneau de type ligne (voir §2, n°l) alors, pour tout f : R + R les deux définitions de dérivée de f coïncident - 47 - (c'est-à-dire au sens du J. et au sens du §2, n°3, 1). Preuve : Résulte immédiatement du 3. 5. Soit maintenant une application f : Rn-»-R, alors il existe n fonctions gj g n : R n *R n -*R telles que : n n a) V x eR Vx' eR n n n [fx'-fx = l g,(x,x' ).(xi-x.)] b) VxeR n (g.(x,x) = |£.(x)) . Preuve : Comme fx' - fx = f(xj,...,x^) - f(xj,. ..,xj|_1>xn) + f(xj,.. .,xj)_1»xn) f(Xj,...,xJ)_2,xn_1,xn) +...+ f(xj,x2 x n ) - f(x 1 ,x 2 x n ) il suffit alors de considérer, pour chaque indice i la fonction x h.(x.x') : tn-f(xi î - l , t ' x i + l > " ' * * n ) et dans ce cas g^x.x') = Sh^x.x'Hxi.x.) . 6. En conséquence, si f : Rn->-Rni est une application quelconque, il existe une application g : R n x R m ->-Mat(nx.m) telle que : a) Vx.x'c R n Cfx'-fx = g(x',x).(x'-x)] b) Vx £ R n [g(x,x) = ( ^ ( x ) ) ^ ] 7. Comme pour les anneaux de type ligne, on pourrait refaire tout un "calcul différentiel". Pour avoir un peu plus de détails voir par exemple [36]. n°2 . Exemples J.. En géométrie algébrique. Soit 1 un topos de k-algèbres (voir Chapitre 0, §2) où k est un anneau commutatif unitaire quelconque, et R son anneau canonique (i.e. R = k[X] op ). Alors R satisfait l'axiome de Fermât. Preuve : Comme pour toute k-algèbre A, 'f/A0'3 est lui-même un topos de A-algèbres, il suffit de montrer que, pour toute flèche f : R +R de t on a : 48 (a) *fc|= 3g : R x R -> R Vx,x' £R [fx-fx' = (x-x').g(x,x') ] (b) si fc|= V£R(x.fx = 0) alors $1= V x £ R ( f x = 0) a) Comme Hom^(R,R) - k[X] , f s'identifie à un polynôme F(X) à une variable â coefficients dans k. Soit alors 6(X,Y) le polynôme à deux variables tel que : f(Y) - f(X) = G(X,Y).(Y-X) (G(X,Y) existe bien car le polynôme f(Y) - f(X) s'annulant lorsque "Y = X", il est donc divisible par Y - X). Soit alors g : R -> R la flèche de fc correspondante on voit facilement que % t= Vx,x' £R [fx-fx' = (x-x').g(x,x')] . Par suite on a bien montré que £ satisfait la formule (a). b) Supposons maintenant que % t= Vx e R (x.fx = 0 ) . Cela signifie en fait que X.F(X) = 0 dans k[X]. Or, il est clair que dans ce cas F(X) = 0, donc "ÎV Vx£R (fx = 0 ) . 2. En géométrie différentielle, dans le topos lisse. Considérons l'anneau canonique R (i.e. R = R) du topos lisse (voir définition au Chapitre 0 §2). Alors, comme précédemment R satisfait l'axiome de Fermât. Preuve : Soit U un ouvert de dimension n et f : U x R •> F l'application C correspondante à une flèche quelconque f : U R -> U R de Liss/U . a) Par le lemme d'Hadamard avec paramètres il existe une unique fonction C°° g : U x F + R telle qur f(v,x') - f(v,x) = (x'-x) .g(v,x* ,x), pour tout (v,x,x') £ U x R .11 est clair que si on considère la flèche g : U*R + U*R de Liss/U correspondante, Liss/U satisfait la formule désirée. b) Supposons que Liss/U f= Vx e U*(R)(x.fx = 0). Cela signifie que, pour tout couple (v,x) £ U x R on a x.f(v.x) = 0. Donc f(v,x) = 0 lorsque x f 0 et par continuité f(v,0) - 0 pour tout v £ U . Finalement f = 0 ce qui signifie que Liss/U ^ Vx e U*R (fx = 0) . 3, En géométrie différentielle dans le topos de Dubuc. Considérons l'anneau canonique R (i.e R = C ° R o p ) du topos D (voir Définition au Chapitre 0, §2). Alors, là encore, R satisfait l'axiome de Fermât. 49- Preuve : Soit A - C F y l un anneau lisse et h : C F - * A ® C F Vhomomorphisme C°° correspondant à une flèche quelconque f : (Aop)*R_+_(A P)*R dans D/A o p . Remarquons tout d'abord que A®C°°F * Cf°F n+1 /p*I oQ p : F _* F n désigne la projection canonique, et que h est de la forme f °° n+1 où f : F -»• F est une application C . a) A nouveau, par le lemme d'Hadamard avec paramètres il existe une unique fonction C°°,g : F n x R 2 + F telle que f(v,x') - f(v,x) = (x'-x).g(v,x',x) pour tout (v,x,x') e F n * F .11 lui correspond l'homomorphisme C°°, g *: C°° F - A 0 C°°F2 puis la flèche g : (A op )*R 2 - (Aop)*R dans D/A o p On vérifie facilement que D/A o p satisfait la formule désirée. b) Supposons que D/A o p f= Vx e(Aop)*R__(x.fx = 0). Cela signifie que l'application (v,x) »• x.f(v,x) appartient à p*I , c'est-à-dire que, pour tout point (v 0 ,x Q ) eZ(p*I) = Z I x F on a (x.f(v,x)) (v >x j qui appartient à (p*I)(v >x y Donc, localement autour de (v ,xQ) on a x.f(v,x) = £x.j(v,x).h..(v) où les X. appartiennent à C°°F n+1 et les hi à I. Si x Q t 0 , alors la fonction x H - i est définie et lisse dans un voisinage suffisamment petit de x Q , par suite f. x = x =0 x , ep*I. . .11 reste le cas où x Q = 0. Alors en faisant on obtient Tx.(v,0).h.(v) = 0 . Puis, en appliquant une nouvelle 0 • 1 1 fois le lemme d'Hadamard aux fonctions X^ on a X^v.x) - X..(v,0) = x.y..(v,x) donc x.f(v.x) = £[X.(v,x) - X.(v,0) ].h.(v) = x. Jy^v.xJ.h.jv) et ainsi, par continuité f(v,x) = Ju^v.x) .h.(v) ce qui prouve, encore une fois, que i f, \ eP*I/ D/A o p |= — - \ • Finalement f € p I , ce qui achève de montrer que Vx e (A o p )*R (fx = 0). 50 CHAPITRE II UTILISATION DES INFINITESIMAUX §0. Introduction. Nous avons vu au chapitre I que les nilpotents de l'anneau canonique R, dans les différents modèles déjà considérés, pouvaient être vu comme des "infinitésimaux". Nous allons voir dans ce chapitre q u ' i l en existe beaucoup d'autres, à condition de se placer dans d'autres modèles que ceux de la géométrie algébrique, comme par exemple dans le topos de Dubuc (voir déf. au chapitre 0, §2). Une définition générale des infinitésimaux est même possible en u t i l i s a n t , non plus la structure d'anneau de R qui est beaucoup trop insuffisante, mais la logique du topos lui-même. De ce f a i t on peut aussi représenter les germes de fonctions par des vraies fonctions de domaines infinitésimal. D'où le gain appréciable au niveau de leur manipulation ( l ' u t i lisation des nilpotents permettait déjà un calcul des jets (voir [ 6 ] ) ) . Remarquons aussi qu'en ne se servant que de la logique pour décrire les infinitésimaux on met en évidence le caractère intrinsèque des infinitésimaux (ou plutôt de la relation d'"infini-proximité") : Tout objet, à p r i o r i , pouvant en posséder. Par là même, cette façon de décrire les infinitésimaux présente certains avantages sur les nilpotents. Leur caractère intrinsèque permet une simplification appréciable dans l'approche des "variétés" et des "morphismes étales". 51 - §1. Généralités sur les infinitésimaux. N°l. Eléments infiniments voisins. L Plaçons nous dans un topos fixé et soit X un objet (de ce topos). On dira que deux éléments x, x' de X sont "infiniment voisins" s ' i l s satisfont la formule Tl(x = x ' ) où le symbole 1 désigne la négation (voir chapitre 0, § 1 , n°3,4). On notera en abrégé x f x' pour T ( X = X ' ) et X - X' pour n ( x = x ' ) . Enfin on appellera voisinage infinitésimal de x dans X le sous-objet Ti{x}={x , eX/x7x}de X. 2. La négation ayant un sens plus f o r t en intuitionnisme qu'en logique classique, i l vaut mieux penser "x ^ x' " x est discernable de x' ou même, de façon plus géométrique encore, "x est à une distance non nulle de x ' " . On comprendra alors mieux que leur négation puisse s i g n i f i e r "x est infiniment voisin de x ' " . (Signalons cependant qu'un "intuitionniste traditionnel" ne plaçant pas son " i n t u i t i o n " sur le plan géométrique ne le conçoit évidemment pas a i n s i ) . 3^ Pour les exemples nous renvoyons au §3. Indiquons seulement, pour j u s t i f i e r ce qui vient d'être d i t que : a) En géométrie d i f f é r e n t i e l l e dans le topos de Dubuc (voir définition au chapitre 0, §2) on a la bijection : Hom(n{0},R) ^ CQ(IRnJR) Où le Hom est pris dans le toposïï)et la double négation porte sur le sousobjet {0} de R n . b) En géométrie algébrique dans les topos de k-algèbres (voir définition au chapitre 0, §2) on a la bijection : Hom(n{0},R) * k[[X lf ... t X n ]] 52 où le Hom est pris dans ce topos et la double négation porte sur le sousobjet {0} de Rn. (On retrouve bien, du moins pour l'exemple ( a ) , la r e p r é s e n t a i l i t é des "germes" par de vraies fonctions de domaine infinitésimal. Dans le cas algébrique tout ceci reste encore v r a i , à condition de remplacer "germe" par "série de Taylor" ce qui au fond est naturel). 4_. Voici quelques propriétés élémentaires des relations f et ~ : x, x* et x" étant des éléments d'un objet X et y et y' des éléments d'un objet Y on a : a) x f x' A x' ~ x" ->• x ^ x" b) ~ est une relation d'équivalence c) x - x ' A y ~ y' •+ (x,y) ~ ( x ' , y ' ) d) si f : X •* Y est une application, alors : fx f fx' + x f x' x-x' + fx ~ fx' e) si f : X -> Y est une injection, alors : x t x' + fx f fx' fx ~ fx' + x ~ x' Preuve : La vérification de (a) (d) et (e) est immédiate, (b) est une conséquence de (a). Enfin on peut voir (c) comme une conséquence du fait que 11 forme une topologie élémentaire sur le topos "ambiant". N°2. Applications infinitésimalement inversibles. 1. Une application f : M •* N est appellée infinitésimalement inversible au point p de M, si sa restriction ll{p} -+11 {fp} (qui existe, par le n°l,4,d) est bijective. On dit aussi qu'elle est infinitésimalement inversible si elle est infinitésimalement inversible en tout point de M (Dans [32] une telle application était appelée "étale"). 2. Pour les exemples nous renvoyons au §4. Signalons, tout de même, qu'aussi bien en géométrie différentielle qu'en géométrie algébrique ce concept recouvre bien les exemples voulus. - 53 3L Soit f : M -*- N une a p p l i c a t i o n . Considérons alors les propriétés s u i vantes : a) Pour tout point q de N, f " {q} est un faisceau pour l a topologie élémentaire de la double négation. b) Pour t o u t point q de N, f " {q} est séparé pour la topologie élément a i r e de la double négation ( i . e . 11(diagonale de f {q}) = (diagonale de c) f est infinitésimalement i n v e r s i b l e . On a toujours les implications (a) = > ( c ) = d y ( b ) . Preuve : (a) =>(c) : S o i t p un point de M. L ' a p p l i c a t i o n composée T ï { p } > * M —L* N v é r i f i e (a) et l ' a p p l i c a t i o n fp : 1 + l l { f p } est n - d e n s e . Par s u i t e , comme l e carré en t r a i t s pleins suivant commute : -> l l { f p } i..---1 Tl{p} *—• M • N i l existe donc une unique a p p l i c a t i o n g : n { f p } - * T î { p } t e l l e que l e d i a gramme complet précédent commute. On v é r i f i e alors que g est l ' i n v e r s e de la r e s t r i c t i o n de f à l l { p } — > n { f p } . ( c ) = > ( b ) : soient q un point de N e t p, p' deux éléments de f " {q} t e l s que p - p ' . A l o r s , p et p' appartiennent à n { p } e t f p ' = f p . I l s u f f i t alors d'appliquer 1 ' i n j e c t i v i t é de la r e s t r i c t i o n de f à l l { p } pour conclure que p = p'. 4. Cependant, en général (c)^>(a) et ( b ) ^ ( c ) , comme on le voit en considérant le contre-exemple suivant : On se place dans le topos Ens (où 2 est la catégorie ". •>."). Dans ce cas, soient M = (M - ¾ M,) et N = ( N Q — % N j ) deux objets du topos et f = (fQ»fi) : M -> N une flèche. Alors : a) f vérifie {39à) fibre, ssi le carré correspondant dans Ens est un produit - 54 b) f v é r i f i e Q»b) ssi l ' a p p l i c a t i o n canonique M M, 1 x NX N^ o est injective, c) f v é r i f i e (3,c) ssi pour t o u t élément x de M l ' a p p l i c a t i o n •)? -*• ' f n x l est b i j e c t i v e (où T et f~x sont resp. les classes d'équivalences de x e t f x pour les r e l a t i o n s d'équivalence nucléaires associées à m : M -> M. e t n : N Q + N x ). 5_. Voici maintenant quelques propriétés générales des applications i n f i n i tésimalement i n v e r s i b l e s . a) Les applications i n f . inversibles sont stables par changement de base ( i . e . dans l e produit f i b r e ci-dessous si f est i n f . i n v e r s i b l e i l en est de même de f ) M -* M' f -• N' b) Etant donné le t r i a n g l e commutatif suivant - si f et g sont i n f . i n v e r s i b l e s alors h est i n f . inversible, - si h et g sont i n f . inversibles alors f est i n f . inversible, - si h et f sont i n f . inversibles e t f est s u r j e c t i f alors g est i n f . inversible. c) Etant donné un objet I "sans i n f i n i t é s i m a u x " c ' e s t - à - d i r e s a t i s f a i sant l a formule vi e I vi ' e I ( i ~ i ' - > i = i ' ) et une f a m i l l e d ' a p p l i c a - tions ( M - — — > N ) . ( v o i r déf. au n°6, §1 du chapitre 0) alors : Pour t o u t i e I , f- est i n f . i n v e r s i b l e ssi f : IL M. 1 i n N est i n f . inversible. - bb Preuve : a) Cela résulte du f a i t suivant : Etant donné deux éléments p, p' € M si fp ~ f p ' et ap ~ ap' alors p ~ p' (car M s ' i n j e c t a n t dans N x M'on u t i l i s e le n ° l , 4 , c et e) b) Evident. c) Immédiat, car I ne possédant pas d ' i n f i n i t é s i m a u x , pour t o u t p e uM^ si p e M. alors n { p } c M.. _6. La proposition précédente admet l e c o r o l l a i r e suivant : Soit f : M -> N une a p p l i c a t i o n et (U. ) un recouvrement de M où I est i€I un objet "sans i n f i n i t é s i m a u x " ( v o i r l e 5J et U. >» M est i n f . i n v e r s i b l e , 1 pour t o u t i e I . Alors : f est i n f . i n v e r s i b l e ssi l a r e s t r i c t i o n de f à U.. est i n f . i n v e r s i b l e pour t o u t i e I . preuve : I l s u f f i t d'appliquer la prop. 5^ au diagramme commutatif suivant : JiUi pM N°3. Variété de type i n f i n i t é s i m a l . 1. Fixons (jusqu'à l a f i n de ce paragraphe) un corps de f r a c t i o n s R ( v o i r d é f i n i t i o n au chapitre I , § 1 , 1). Remarquons t o u t d'abord que l e sous-objet Inv(R)>+ R formé des éléments inversibles de R est infinitésimalement i n v e r s i b l e (car i l est égal à 1 { 0 } » R). Notons maintenant A = 11(0} ( l a double négation étant prise dans R). On a donc A = l ( I n v R). D'autre part en dimension n on a An = i l { 0 } , la double négation étant p r i s e , cette f o i s , dans Rn ( r é s u l t e du n ° l , 4 , c ) . 2. On d i t qu'un o b j e t M est une variété de type i n f i n i t é s i m a l de dimension n (ou simplement : un variété de dimension n, s ' i l n'y a pas d'ambiguité) si pour tout point p de M, l l { p } est en b i j e c t i o n avec An (Dans [32] un t e l objet est appelle simplement " v a r i é t é de dimension n " ) . 56 .3. On a u r a i t pu demander, de façon équivalente, dans l a d é f i n i t i o n précédente que pour t o u t point p de M, i l existe une b i j e c t i o n : A n - + n { p } t e l l e que cj)(0) = p [En e f f e t est alors le composé A n — r A n - - ^ 1 1 { p h où ty est l ' a n cienne b i j e c t i o n et t est la t r a n s l a t i o n x »-* x + \f p (on u t i l i s e l e <4 du n°l)]. oo _4. Exemples : Toute variété C considérée comme objet du topos de Dubuc est une variété de type infinitésimal (de même dimension). Mais nous en reparlerons, plus en détail, au §4. _5. Voici quelques propriétés des variétés (de type infinitésimal). a) Soient M et N deux variétés resp. de dimension m et n. Alors M x N est une variété de dimension m + n, b) Soit I un objet "sans infinitésimaux" (voir le n°2, 5.c) et (M.) 1 iel une famille d'objets indexée par I (i.e. une application : M -* I où M. = (j> {i} et M =ii M . ) . Si M. est une variété de dimension n pour tout i de I alors il M. est aussi une variété de même dimension, i c) Soit f : M -* N une application inf. inversible. Alors : - si N est une variété de dimension n alors il en est de même de M - si M est une variété de dimension n et f est surjective alors N est, elle aussi, une variété de dimension n. Preuve : a) Car, pour tout (p,q) £ M x N, n^(p,q)} -11{p} x H { q } (d'après le n°l,4.c) b) Même remarque qu'à la preuve du n°2,:5.c. c) Evident. 6. La proposition précédente a pour c o r o l l a i r e immédiat : a) Rn est une variété de dimension n. b) Soient I un objet "sans i n f i n i t é s i m a u x " ( v o i r l e n°2,5.c) et (f. une f a m i l l e s u r j e c t i v e d'applications i n f . i n v e r s i b l e s où iel pour chaque i , M. est une v a r i é t é de dimension n. Alors N e s t , elle-même, 1 : M. •*• N) 1 une v a r i é t é de dimension n. 57 N°4. Etude comparée des différents infinitésimaux. 0. Nous allons revenir maintenant aux conditions du chapitre I, §2 (anneau de type ligne etc..) afin de comparer la "taille" des différents infinitésimaux étudiés jusqu'ici. Après quoi, on continuera la comparaison pour les concepts d'"application étale" et de "variété" qui ont été précédemment introduits. ri-i-1 1. Notons D n = {d € R/d = 0} (en particulier D = D.). Alors, on a les inclusions suivantes (R étant toujours supposé être un corps de fraction) : Di c D^ c...c D c..c A Par suite, pour tout entier m, D m ' c Am. Preuve : I l s u f f i t de montrer nque D„ n Inv R = 0. n 2. Par conséquent, très généralement ( c . a . d . sans autre condition sur 1'anneau R) : Toute application infinitésimalement inversible est 1-étale (voir définition au chapitre I , §2, n°5). Preuve : Soient f : M •> N une application i n f .inversible et J = ("i) K ) n D x...x D . Alors, d'après le 1 , J c A où n = n. + . . . + n. . Considérons maintenant un point p de M et t : J •* N une application t e l l e que to = fp. Alors, comme t ( J ) c m ( f p } (puisque J c An = 11{0}) on peut considérer l'application composée k suivante : J -*11{fp} — * l i { p } ~ M (où la flèche du milieu est l'inverse de la restriction de f ) . Elle est, en f a i t , l'unique application faisant commuter le diagramme suivant : 58 - ce qui achève de prouver que f est 1-ëtale. .3. Supposons maintenant que l e corps de f r a c t i o n R s o i t de type l i g n e et m i c r o - l i n é a i r e . Alors : Toute variété de type i n f i n i t é s i m a l est une 1-variété de même dimension ( v o i r déf. au chapitre I , §2, n°5). Preuve : 1) Démontrons, t o u t d'abord, que An est m i c r o - l i n é a i r e . Clairement A » R est i n f . i n v e r s i b l e donc 1-étale ( v o i r prop. 2) de plus R est microl i n é a i r e , par s u i t e A est m i c r o - l i n é a i r e ainsi que toutes ses puissances ( v o i r au chapitre I , §2, l e n°5,2 et l e n°4,4). 2) Soit maintenant M une variété de type i n f i n i t é s i m a l de dimension m et p un point de M. Comme l e diagramme suivant commute pour tout e n t i e r n, can (n\ nj {f : D^ + M / fo * p} - n * {f : D + M / fo = p} n I* / \ {f : D[n) + ll{p} / fo = p} k {f : D (n) + Am / fo = 0} H can. • can • « {f : D + ll{p} / fo = p} n * { f : D -> Am / fo = o } n où les flèches v e r t i c a l e s sont des b i j e c t i o n s , la flèche horizontale supér i e u r e est i n v e r s i b l e car, d'après ce qu'on v i e n t de montrer au 1 ) , i l en est ainsi de la flèche horizontale i n f é r i e u r e . D'où la m i c r o - l i n é a r i t é de M. 3) De ce f a i t , pour t o u t point p de M, T M a canoniquement une s t r u c t u r e de R-module. D'autre part on a les isomorphismes l i n é a i r e s suivant TpM - T p (T7{p}) * TQ(Am) - TQRm « Rm (pour l e dernier isomorphisme v o i r chapitre I , §2, n ° 4 J ) . Ce qui achève de prouver que M est une 1-variétë de dimension m. 4. En p a r t i c u l i e r une v a r i é t é de type i n f i n i t é s i m a l (sous les conditions précédentes) ne peut avoir qu'une dimension (d'après l e chapitre I , §2,n°5, 6). 59 N°5. Inversion i n f i n i t é s i m a l e . 0. I l est possible maintenant de formuler l e (théorème) d ' i n v e r s i o n i n f i n i tésimale (et non " l o c a l e " , mais nous reviendrons sur cette d i s t i n c t i o n ) . Comme en géométrie d i f f é r e n t i e l l e "classique" i l va permettre de reconnaitre les applications infinitésimalement inversibles et de f o u r n i r de nombreux exemples de v a r i é t é s . _1. (Enoncé de l'axiome d ' i n v e r s i o n i n f i n i t é s i m a l e ) . Plaçons-nous dans l e cas où R est un corps de f r a c t i o n s , de type ligne et m i c r o - l i n é a i r e . Considérons a l o r s , pour chaque n, la formule : (II ) v f : A n + An (fo = 0 A | 5 ( 0 ) t 0 -> f b i j e c t i v e ) . - Cet axiome est encore équivalent (moyennant les prop. 8 et 9_ du chapitre I, §2,n°4) au f a i t que le carré suivant est un produit f i b r e : Iso„(A n ,A n ) - + I Iso o (D< n >,D ( n >) I n n Hom^(A ,A ) -> Hom o (D ( n ) ,D ( n ) ) où Hom o (A M ,A n ) = {f : A n -*• A n / fo = 0} (même remarque pour Iso 0 (A",A")). - Il est clair que (II_) entraîne aussi que : (II') n vf : R n + R n vp e R n (!£(p) t 0 •*• f est inf. inversible en p ) . dx 2. Soit f : M -> N une a p p l i c a t i o n entre variétés de dimension n. A l o r s , en supposant s a t i s f a i t l'axiome ( I I ) les propriétés suivantes sont équivalentes i ) pour t o u t point p de M, l ' a p p l i c a t i o n l i n é a i r e tangente T M •* T f N est b i j e c t i v e , i i ) f est 1-étale, iii) f est inf. inversible. Preuve : L'équivalence (i) <=*(ii) résulte du chapitre I,§2,n°5,2,d. L'implication (iii) =^ (ii) a été donnée au n°4,_2 de ce paragraphe. Il reste donc à - 60 prouver l'implication ( 1 i ) « * ( 1 i 1 ) . Soit p un point de M. Comme M et N sont des variétés de dimension n i l existe des Directions a : n { p } •*• An et b : l"»{fp} -»• An telles que ap = 0 et bfp = 0. Considérons alors l'application composée An £*, r,{p}_^n{fp}-i*A n D'après le chapitre I,§2,n°4,8 on a la factorisation M •-> D < n > r ï ••A' De plus le diagramme suivant étant commutatif D(n) I . i(n) , . A" ^ _ •Tl{p} •—*M I 1 I- kAn _ T7{fp}>-*N et l'application f étant 1-étale, i l existe (d'après le chapitre I,§2,n°5,2:, a) une unique application k : D' P ' -> M qui rend le diagramme suivant commutatif : i(n) ,(n)- -> M -> N comme ko = p, k se factorise par n { p } » M, puis par An + i i { p } et enfin par D(n)v> An. On voit alors facilement que l'application D^n' + D^n' ainsi construite est l'inverse de celle déjà construite précédemment. Par suite d'après A est bijective ainsi que l'axiome d'inversion infinitésimale la flèche An la restriction de f à n { p } •+ "n{fp}. 3. Plaçons nous enfin dans le cas où R 1) est un corps de Kock (voir chapitre I,§l,n°2) 2) est de type ligne et micro-linéaire 3) vérifie l'axiome - 61 d'inversion infinitésimale. On a alors la proposition suivante (montrée aussi par M. Bunge dans [6]) ; Soit f : Rn •* Rm une application et M = f ^ O } . Si pour tout point a de M la matrice jacobienne de f en a est de rang > m alors M est une variété de dimension n-m. af Preuve : Soit a un point de M, alors la matrice (^^-(a)) admet une sousax j U matrice d'ordre m inversible (voir chapitre I , §l,n°3). Pour simplifier a l ' é c r i t u r e supposons que c'est la sous-matrice (-^r-( )). dX - i = (f,îr) : Rn •* Rm * Rn"m où TT : Rn - Rn~m est la projection (Xj x n ) H- (X J x ). Par construction, le jocobien de f en a est non-nul donc, par l'axiome d'inversion infinitésimale d'application n { a } -»• n{a} est bijective. Soit P = {(x..) e R n /Xj=.. .=xm=0) alors M = fl(P). On a donc la bijection n { a } n M -* Tl{<|>a} n P. Enfin Ti{<î>a} n P s n { ï ï a } (cette dernière double négation étant prise dans R " ). Ceci achève de prouver que M est une variété de dimension n-m. 62 §2. Caractérisation de la négation. N°0. Une fois établies les généralités sur les infinitésimaux, il reste maintenant à interroger les modèles que nous avons construits au chapitre 0 pour savoir si, dans chacun d'eux, les infinitésimaux correspondent à ce que l'on en attendait. Toutefois, comme pour ces différents modèles on utilise une marche à suivre relativement semblable, il nous a paru intéressant de trouver un contexte suffisamment général pour éviter des répétitions fastidieuses. Il s'avère en effet que les différents "sites" construits au chapitre 0 ont des propriétés communes qui prédéterminent, entre autre, la nature de la "négation" et par la même celle des infinitésimaux (on caractérise en fait toute la logique du 1er ordre). Nous pensons, tout particulièrement, au "nullstellensatz" qui, on le sait, est déjà un outil central en géométrie algébrique et qui ici retrouve cette position privilégiée, à condition évidemment de lui donner une forme adaptée au contexte. N°l. Sites concrets. L (Définition). On appelle site concret la donnée : - d'une catégorie ZT à limites projectives finies et objet initial 0, vérifiant le "Nullstellensatz" c'est-à-dire : Pour tout objet X de Zf9 rX ^ 0 ssi X = 0 . En notant rx = Hom(l,X), (on verra, dans les exemples, une justification de cette terminologie) - d'une pré-topologie sur cette catégorie vérifiant les propriétés suivantes : a) Elle est sous-canonique (i.e. tout préfaisceau sur TT qui est représentable est un faisceau) b) Si (Xi •+ X) i couvre alors (rxi •> rX) i est surjective, c) la famille vide ( •* 0) couvre 0. 2. Exemples : a) En topologie : Il est clair que la catégorie T o p des espaces topologiques munie de la pré-topologie des recouvrements ouverts (voir chapitre 0, §2,n°l) est un exemple de site concret. b) En géométrie différentielle : La catégorie 3> o p (voir chapitre 0, §2, n°2) munie de la pré-topologie des recouvrements ouverts (même référence) est aussi un exemple de site concret. En effet, soit A « C°°lRn/I un anneau lisse. Comme TA o p = SpecA = ZI, le "Nullstellensatz" s'écrit alors ZI * 0 63 ssi A est l'anneau lisse nul ou encore ssi 1 € I. On retrouve là, le théorème des zéros signalé dans l'Appendice, §1, n°2,5^. L'axiome (a), quant à lui, résulte du §2, n°3J de ce même Appendice, et l'axiome (b) provient du fait que Spec(Ay) = U (voir, toujours dans l'Appendice, le §1, n°6,4,a). Enfin la vérification de l'axiome (c) est immédiate. c) En géométrie algébrique : La catégorie i/tpf°P (voir chapitre 0, §2, n°3) où k est un corps algébriquement clos, munie d'une des pré-topologies (zar), (et) ou (fppf), (même référence) est encore un exemple de site concret. En effet, comme dans l'exemple précédent, le "Nullstellensatz abstrait" signifie que ZI = 0 ssi 1 e I car, pour un anneau de la forme A = k[X]/I on aJtpf. (A,k) ^ ZI (là encore on tombe sur le théorème des zéros habituel pour les corps algébriquement clos). Pour la vérification de l'axiome (a) nous renvoyons au [18] et [9]. Quant à l'axiome (b) il provient du fait que l'application U H- U n SpmA définit une bijection entre l'ensemble des ouverts de SpecA dans celui des ouverts de SpmA. Enfin l'axiome (c) est immédiatement vérifié. 2- Cf étant un site concret, soit <* le topos des faisceaux sur O0. Alors £ satisfait aussi le "Nullstellensatz". En particulier les seuls sous-objets de 1 sont ( 1 ^ 1) et ( 0 » 1). Preuve : Tout objet F de <5 étant limite inductive de représentables, il existe donc une famille épimorphe (X. •> F), dans fc où les X. sont représentables. Si TF = 0 alors pour tout i, TX. = 0. Or, VT vérifiant le Nullstellensatz, tous les X. sont vides (dans tf , mais aussi dans £ , à cause de l'axiome (c)). Finalement F est lui-même vide car la famille (X.. -*F).j est épimorphe. 4. L'objet final n'ayant que deux sous-objets, on serait tante de penser que le topos *£ a une logique "classique" (mis à part l'axiome du choix). Il n'en est évidemment rien, car ces deux seules valeurs de vérité ne sont qu'"externes", par contre "internement" la formule vp c l (p = vrai v p = faux) n'est pas satisfaite dans *£ (si c'était le cas on dirait que le topos est booléen). 64 N°2. Sous-objets construits "point par point". 0. Ce que nous allons faire maintenant n'est qu'une généralisation -> TS Preuve : Soit précisément, pour chaque objet X du site #*, E(S»P)(X) l'ensemble des flèches X •* S telles que TX •* TS factorise P » rS. On vérifie facilement qu'on définit ainsi un foncteur E(S,P) : fX o p •* Ens qui est en fait un faisceau sur tt (en se servant de l'axiome (b)). Enfin se foncteur vérifie la propriété universelle ci-dessus car tout faisceau est limite inductive de représentables. 2. La construction du faisceau E(S,P) peut se voir autrement (comme T a suggéré E. Dubuc). Tout d'abord, constatons que le foncteur r : £ + Ens préservant les produits fibres et les familles épimorphes (résulte de l'axiome (b)) il admet un adjoint à droite ravoir [1]). Le sous-^objet E(S,P) est alors défini par le produit fibre ci-dessous dans % : E(S,P) • r/ i i * s cano. if • r rs 3. L'application P ^ E(S,P) définit un foncteur droite du foncteur r : &(S) &(T$) + îF(S) adjoint à + vP(TS)» où -> X dans "Hop (voir définition au chapitre 0, §2) est simplement P muni de la topologie induite, comme on le vérifie immédiatement par la propriété universelle de E. b) En géométrie différentielle : Si A est un anneau lisse et P une partie de SpecA (ouverte ou fermée) alors : (EP>* A o p ) = (AJJP>» A o p ) (résulte de la propriété universelle de Ap définie dans l'Appendice, §l,n°6) dans le topos de Dubuc. c) En géométrie algébrique : k étant un corps algébriquement clos, soit A une k-algèbre de type fini et a un élément de A, alors dans un topos de k-algèbres de type fini (voir définition au chapitre 0, §2), on a : (EDa>* A o p ) = (Aca" 1 ] 0 1 3 ^ A o p ) , en notant D a l'ensemble des points p de SpmA (que l'on identifie à TA) tels que a t p. On le voit facilement en remarquant que rA[a~ ] o p = D a et qu'un élément b d'une k-algèbre de type fini B est inversible ssi hb t 0 pour tout k-homomorphisme h : B -> k. N°3. Les foncteurs r et E face à la logique du 1er ordre (voir aussi [13]) 0. Nous allons maintenant étudier comment r et E "transportent" les logiques du 1er ordre, respectives de £ et Ens. Pour cela, nous utiliserons les mêmes notations pour désigner les symboles logiques des deux topos. 1. Tout d'abord, pour les connecteurs logiques, on a les équations suivantes : (déjà montrées dans [13]) a) TE = Id b) r0 = 0 b') E0 = 0 c) r(-n-) = r(-) n r(-) c') E(-n-) = E(-) n E(-) d) r(-u-) = r(-) u r(-) d') TE(-u-) = T(E(-) u E(-)) e) r(- + -) = (r(-)-r(-)) e') £(--,-) = (E(-) + E(-)) f) n = ir f 1 ) El = TE 66 Preuve : On vérifie facilement : a) à l'aide de la propriété universelle de E, b) et b') à l'aide du Nullstellensatz, c) car r est représentable, c') car E a un adjoint à gauche, d) car r a un adjoint à droite, d') à l'aide du d) et du a) e') car E est l'adjoint â droite de r et qu'on a a) f) et f ) successivement à l'aide de e) et b) puis e') et b') Il reste à vérifier la propriété e ) . Elle résulte en fait des propriétés équivalentes suivantes : P e r(P - Q) p"V -Q) = 1 (p _1 P -> p ^ Q ) = 1 P_1P c p_1Q p _ 1 P = 1=> p - 1 Q = 1 p e rP =* p e TQ P e (rp -*• rQ) L'équivalence entre la 4ième et la 5ième ligne provenant du fait que 1 n'a que deux sous-objets. 2. On peut encore améliorer les équations f) et f ) du 1 en caractérisant la négation et la double négation dans 2 . On a alors : i = Eir et n = Er Preuve : a) Pour tout sous-objet P et Q d'un objet donné on a les équivalences suivantes : P c 7Q P n Q = 0 r(P n Q) = 0 TP n TQ = 0 rp c iro. p c EirQ 67 b) La caractérisation de la double négation se déduit immédiatement du fait que le topos Ens est booléen (i.e. 71 = Id). 3. Soit maintenant f : X -* Y une flèche de £,. Notons de la même façon la flèche rx -»- TY correspondante. On a maintenant, pour les quantificateurs (voir chapitre 0, §1, n°l,EI), les équations suivantes (déjà montrées dans [13]). a) rf"1 = f'lY a') Ef"1 = f-1E b) rvfE = vfrE b') EVf = VfE c) ra f = afr c') rE3f = rafE Preuve : On vérifie facilement : a) car r est représentaie, a') car E admet un adjoint à gauche, b') à l'aide du a) et des adjonctions f" H V ~ et r H E b) à l'aide du b 1 ) et de l'équation a) du 1 c) à l'aide du a') et des adjonctions 9 f -j f " et T H E c') à l'aide du c) et de l'équation a) du JL 4. Signalons enfin la dernière équation suivante (qui nous sera utilise au chapitre III, §2) E(TX x p) = x x EP où P est un sous-objet d'un objet donné et X est un objet de £ . Preuve : Résulte immédiatement de la propriété universelle de E. 68 §3. Les infinitésimaux des différents modèles, N°0. Négation et double négation ayant été caractérisées au paragraphe précédent (voir n°3, 2) dans un contexte suffisamment général, nous sommes en mesure de déterminer les infinitésimaux de chacun des modèles défini au chapitre 0, §2. N°l. En topologie, 1. Soit X un espace topologique et P un sous-objet de X dans TTop (voir sa définition au chapitre 0, §2). Alors, P est "stable par double négation" (i.e. HP = P) ssi P est un sous-espace de X. Preuve : Résulte, dans le §2, des propositions 4,a du n°2 et 2 du n°3. 2. En particulier, pour tout espace topologique X, la diagonale X>* X * X est stable par double négation. Par suite X satisfait la formule : vx e X vx1 e X (m(x=x l ) •* x = x') Cela signifie donc que X ne possède pas d'infinitésimaux. N°2. En géométrie différentielle. 1. A étant un anneau lisse de type fini (voir définition dans l'Appendice, §1, n°4) soit P un sous-objet de A o p dans un topos de Dubuc D (voir définition au chapitre 0, §2). Alors, si E = (TP + TA op ) est ouvert ou fermé dans SpecA on a : n(P~A°P) = (AJ?P»A°P) En particulier, si L est une partie quelconque ouverte ou fermée de SpecA, A ? p » A o p est stable par double négation dans ce topos. Preuve : Résulte du §2, n°3, 2 et du §2, n°2, 4, b. K 2. a) En conséquence, R désignant l'anneau canonique de D (i.e. R = C R>0Pï ), on a : 69 Hom(HP,R) * AE (où E désigne TP) b) En p a r t i c u l i e r si p est un point de A ( v o i r d é f i n i t i o n dans l'Append i c e , § 1 , n ° l , 9 J , on a : Hom(7-i{p},R) = Ap (A condition de f a i r e l ' i d e n t i f i c a t i o n SpecA = Hom(l,A o p )) c) Plus particulièrement encore, si on considère l e " p o i n t " 0 de R on a : Hom(Tl{0},R m ) * C~(lRnJRm) Preuve : a) Car CR est l'anneau C°° libre à un générateur b) Car A, -, = A (voir Appendice, §1, n°6, 8, a) c) Car (C°°IRn)o = C~Fn (voir Appendice, §1, n°5, 5) et CQ(JRnJRf * C^(FnJRm). 3. Ainsi donc, dans un tel modèle, les germes de fonctions lisses deviennent représentables par de vraies fonctions (de domaine infinitésimal)! C'est pourquoi, comme nous l'avons signalé dans l'introduction de ce chapitre, il est maintenant légitime de voir le sous-objet n { 0 } de Rn comme "l'ensemble" de tous les infinitésimaux de R n . D'autant plus qu'il ne possède qu'une seule section globale qui est 0 lui-même (car m { 0 } = TEr{0} = {0}). On retrouve là, partiellement, la conception de l'analyse non-standard qui voit dans les infinitésimaux de "faux" éléments (le seul "vrai" élément infiniment petit étant zéro lui-même) c'est-à-dire des éléments qui ne sont pas standards. Ici aussi le seul "vrai" élément (qui est l'unique section globale) est encore zéro, mais "internement parlant" (c'est-à-dire, en utilisant la logique du topos) il y en a d'autres. L'analogie "standard = section globale" ne sera cependant pas prise en compte ici, car elle nous obligerait, comme en analyse non standard, à raisonner entre deux logiques différentes (la logique du topos et la logique ensembliste). 70 4. Soit f : IR + 1R une application (dans Ens) lisse et plate en zéro (i.e. 8n - f(0) = 0 pour tout n e IN) telle que fx = 0 ssi x = 0. Notons D~ le sousr n objet de R , dans le topos B , défini par la formule : 9 D f = {x e R n / fx = 0} On a alors les inclusions strictes suivantes : Dœ c Df c n { 0 } (encore noté A n au §1, n°3). En notant D œ = ( J D n (pour les D , voir leur définition au §1, n°4,J.). n Preuve : a) Par le lemme d'Hadamard, on sait qu'il existe une fonction li$se g : IR +IR telle que fx = x n .gx d'où, au niveau des idéaux, l'inclusion (f) c (Id n ) qui donne, dans E , l'inclusion D p c D f (car D n = (?to/(Idn)0P et D f = C°°lR/(f)op). Donc U D = D c D f . Montrons que cette inclusion est n stricte. b) Si U D = D f alors, comme D f est représentable, il existe un ren couvrement ouvert (U..) de TD f tel que chaque EU., (voir définition de E(-) au §2, n°2) soit contenu dans un D n (par définition de la pré-topologie sur la catégorie o2) op ). Mais comme TD f = {0} (par hypothèse pour f) il existe un indice i Q tel que U. = TD f . Ainsi EU. = D f . Il existe donc un entier n o o pour lequel D f c D n , d'où l'égalité D n = D f pour cet entier. Ainsi en utilisant le (a) on en déduit que D , c D ou encore, au niveau des idéaux, que n n+1 (Id ) c (ld ). Mais cette dernière inclusion entraîne l'existence d'une fonction lisse g définie sur IR tout entier (donc définie et continue en zéro) telle que gx = - pour tout x f 0. Ce qui est évidemment contradictoire. L'inclusion D c D. est donc stricte. 00 f c) Enfin, comme ensemblistement TD f c {0} on a dans B , D f c E{0} =? 11(0} (voir au §2 le n°2, 3 et le n°3, 2 ) . Mais comme f n'appartient pas à l'idéal 1^(0) des fonctions lisses de germe nul en zéro on a, au niveau des idéaux, 1^(0) f (f) et danslD, n { 0 } / D f (car 11{0} = djl 0 p ). - 71 d) Remarquons que cette démonstration prouve seulement qu'il n'y a pas les égalités 0 ^ = 0 ^ = 11{0} dans le modèle (c'est-à-dire qu'on a B ^ D^ = D f et B t D f = n { 0 } ) . Par contre elle ne prouve pas, ce qui est un peu plus fort, les non-égalités dans ce modèle (c'est-à-dire que B*= 1(D TO = D f ) A i(D f = 11{0})) comme l'énoncé de la proposition aurait pu le laisser supposer. J5. Comme nous l'avons signalé dans l'introduction, il y a donc dans l'anneau R de B bien d'autres infinitésimaux que les nilpotents, contrairement au cas de la géométrie algébrique (voir le n°3), ce qui est "naturel géométriquement" 6. X étant un objet représentable dansïï)(par exemple X - A o p ) , notons SpecX l'ensemble rx muni de la topologie, homéomorphe à celle de SpecA, transportée par la bijection : TX ^rA o p -^.2)( A JR) = SpecA. Si f : X -* Y est une flèche du topos où X et Y sont représentables, alors l'application rf : SpecX -> SpecY est continue. Nous verrons plus loin (chapitre III, §2) qu'on peut définir de tels spectres dans un contexte beaucoup plus général. _7. (Théorème spectral d'inversion). Soit f : X •> Y une flèche de ID telle que : 1) X et Y sont représentables, 2) SpecX + SpecY est un homéomorphisme, 3) pour tout point p de SpecX, *n{p} -*• ~n{fp} est un isomorphisme dans B. Alors, sous ses hypothèses, f est un isomorphisme. Preuve : Résulte du 1 et de l'Appendice, §2, n°2, 4. N°3. En géométrie algébrique. 0. Dans ce sous-paragraphe nous n'allons pas utiliser les résultats du §2, car les caractérisations que nous allons obtenir sont valables très généralement sans condition sur l'anneau de base k. 1. k étant un anneau fixé, soit A une k-algèbre et <£>= (a,,...,a.J un idéal de type fini de A. Alors dans les topos de k-algèbres (voir chapitre 0, §2) - 72 on a les deux caractérisât!'ons suivantes : a) 1 (A/cO,°P ~ A°P) = U (ACaT 1 ] 013 ~ A°P) n i=l b) n ( A / ^ ° P ~ A°P) = U [(A/aP)°P~ A°P] pe IN Preuve : a) Soit B une k-algèbre et h : A -*• B un k-homomorphisme. Alors B o p -> A°P factorise -)(A/->- A o p ) ssi le carré suivant est un produit fibre dans le topos : > A/t^ o p 0 1 i B°P > A°P c'est-à-dire ssi B/htfi est l'anneau nul (où hû> désigne l'idéal image deû, dans B) ou encore ssi 1 e (ha, na k^* 0 r c e t t e dernière propriété équi- vaut à dire que O B[haT ]°P = B o p dans le topos (voir la définition des n i=l trois pré-topologies (zar), (et) et (fppf)). Par suite, comme B[haT ] o p = (h o p )~ A[aT ] o p , l'égalité précédente peut encore s'écrire : B o p = U ( h 0 P ) - 1 A E a T 1 ] ^ = ( h 0 P ) _ 1 U A C a T 1 ] ^ ce qui signifie précisément i i op op 1 que B + A factorise U A C a T ] ^ . 1 i b) Comme précédemment, donnons nous une k-algèbre B et un k-homomorphisme h : A •* B. Alors, B o p -> A o p factorise m(A/csL 0p ) ssi le carré suivant est un produit fibre dans le topos (d'après a)) : •UACaT1] 0 I B M op • A0p c'est-à-dire ssi U B[haT ] o p = 0 (voir raisonnement précédent). Mais •i 1 nn "* -1 UB[haT i ] o p = 0 ssi, pour tout indice i s k, BCha. ] est l'anneau nul ; ou 1 i encore ssi, pour tout i < k, ha., est nilpotent dans B ; ou même ssi, il 73 existe un entier n e W tel que ha!? = 0 pour tout i < k. Or cette dernière propriété équivaut à dire qu'il existe un entier n pour lequel on a la factorisation de B o p -*• A o p par A/(a?,...,a[|)0P. Considérons alors l'entier n n n p = kn alors <£s c ( a ^ . . . ^ . ) . La factorisation précédente entraîne l'existence d'un entier p pour lequel B o p -> A o p factorise (A/ca,p)op. Elle entraîne donc, à fortiori, la factorisation d e U ( A M p ) o p par B o p -> A o p . Finalement on a donc montré que T7(A/d, op ) c (J ( A / ^ p ) o p . Il reste à établir la réciP proque, c'est-à-dire, ce qui est équivalent, que U (A/cfip)op n l(A/c£ 0p ) = 0 P ou encore que U (A/(ft,p)op n KJ A[aT ] o p = 0. Pour cela il nous suffit de 1 p i) est le corps résiduel de A en (P , et iu est Tunique idéal maximal de 1'anneau local A^ . b) En particulier, lorsque k est un corps algébriquement clos et m 1 + A o p est une section globale dans le topos, on a - 74 TKm} =U[(A_.Mn)op«- Aop], n ^ où in désigne aussi bien l'idéal maximal de A correspondant à la section globale m, que l'unique idéal maximal de A ^ . Preuve : a) Montrons tout d'abord que n ( k ( p ) o p ^ - A o p ) c ( A f P ~ A o p ) . Comme A° p = D A[a -1 ] 0 P il suffit de constater que Tjk(k(• A o p est une section globale dans un topos de k-algèbres on a : Hom(n{m},R) «  ^ , - 75 Tïl désignant l'idéal maximal de A correspondant à la section globale m. Preuve : Le foncteur Hom(-,R) envoyant des limites à droites sur des limites à gauche, on en déduit, d'après le 2» que : Hom(T|(A/(iLop),R) » Lim(A/0, n ), *n" d'où le premier résultat cherché. Quant au (b) et (c) on les a de façon analogue à l'aide du 3. Signalons seulement, dans le cas (c), qu'il n'est plus nécessaire ici de se placer dans un "gros" topos de k-algèbres car l'équation  =  ayant été établi à l'aide d'un quelconque des "gros" topos (par (a) et (c)) on peut alors appliquer (a) pour obtenir le résultat cherché dans n'importe quel topos de k-algèbres. 5. La proposition précédente admet pour corollaire : k étant un anneau quelconque et 0 l'origine de Rn dans un topos de k-algèbres, on a : Hom(TK0},R) * k[CX1,...,Xn]] Preuve : Car la k-algèbre des séries formelles à n variables est la complétion de la k-algèbre k[X 1 ,...,X n ] pour la topologie (Xj,...,Xn)-adique. 6. (Remarque). F étant un objet d'un topos de k-algèbres, s'il est représentable, il est clair que ce sera nécessairement par la k-algèbre Hom(F.R) comme on le remarque immédiatement en utilisant le lemme de Yonéda. Ceci prouve en particulier, pour l'origine dans R, que 11(0} ne peut être représentable car sinon, il le serait par k[[X]]. En effet, on a vu à la proposition 2 que Tî{0} = D œ , donc pour toute k-algèbre A, T K 0 } ( A ) = Dro(A) = {a e A / a nilpotent}. En particulier l'identité dans Homk(kCCX]],kCrX]]) * T7{0}(k[[X]]) devrait être nilpotente, ce qui n'est évidemment pas le cas. - 76 - §4. Le théorème d'inversion infinitésimale. N°l. En géométrie différentielle. 0. Ayant (en partie) justifié l'affirmation : "x infinitésimal" «* Tl(x=0) et surtout ayant constaté que dans le topos de Dubuc B (voir définition au chapitre 0, §2) on a : Hom(in{0}JRm) * Cg0Rn,IRm) (la double négation étant prise dans R n ) , on peut se demander, ce qui parait légitime, si le théorème d'inversion infinitésimale, qui a été formulé au §1, n°5 est valide dansB. 1. Tout d'abord, considérons les deux axiomes suivants (où A =">">{0}, la double négation étant prise dans R ). (IIn) vf : A n - A n (fo = o A |i(0) / 0 + f bijective) (II') vf : Rn -> Rn (fo = o A |£(0) inversible -»• f inf. inversible en 0) Comme nous l'avons déjà vu au §1 on a toujours l'implication (IIn) ** (11^) (sous les hypothèses du §1, n°5,_l). L'implication (11^) - * ( H n ) , elle aussi, est valide dans le topos D . Preuve : Cela résulte en fait du lemme suivant (il suffit de faire une preuve intuitionniste). Lemme : D satisfait les formules suivantes (pour chaque n) vf : A n -*• R 9g : Rn -+ R vx e A n (fx = gx) Preuve du lemme : Soit X = c V / I ^ un objet représentable de D et F : X*An •*• X*R une flèche quelconque de D/X. Elle est en fait parfaitement déterminée par la flèche f : X x An -»• R de B . Comme An est représentable par "l'objet dual" (voir chapitre 0, §2, n°0) d'un quotient de ( T V , X x A n est lui-même représentable par l'objet dual d'un quotient de d V * " . Par suite f peut se prolonger en une fonction g : Rm x Rn -*• R. Il suffit alors d'en faire la restriction à X x R n » Rm x Rn pour obtenir la flèche cherchée (c'est en fait la flèche X*R •*• X*R correspondante qui est la flèche cherchée). - 77 - Z. Le toposïï)satisfait l'axiome d'inversion infinitésimale (i.e. les formules (II ) pour tout entier n ) . Preuve : Par le 1 il suffit de montrer que 1D satisfait les formules (11^)Soit X = c V V l o p un objet représentable de E et F : X*Rn + X*Rn une flèche quelconque dans ID/X. Montrons alors que : B/X l= [Fo = o A !£(o) inversible] entraîne que B/X *= [F : X*An •+ X*A n bijectif] oX Soit F = (proj,f) : X x R n ^ X x R n la flèche deïï)définissant F : X*Rn -> X*Rn dansïï)/X. Sous les hypothèses précédentes il faut donc montrer que la restriction de F (notée encore F) X x A n •> X x A n est un isomorphisme dansïï).Pour cela nous allons utiliser le "théorème spectral d'inversion" (voir §3, n°2, T). Comme Spec(X x A n ) * ZI x {0}, soit (p,0) : 1 -> X x A n une section globale. Montrons alors que la flèche (restriction de F) Tl{(p,0)} -*~n{(p,0)} est inversible dansïï)(la double négation étant prise dans X x A n ou encore dans X x R n puisque X x A n » X x R n est stable par double négation). Mais tout d'abord, remarquons (comme au lemme du 1) que F = (proj,f) : X x R n -> x x R n est elle-même la restriction d'une flèche (notée encore) F = (proj,f) : Rm x R n - Rm x R n (car X = C°°IRm/Iop). Utilisons maintenant l'hypothèse. Comme le foncteur p*:D/X-+ïï) est logique on doit avoir B *= [(p*F)(0) = 0 A 9'p" '(0) inversible] ou encore, puisque oX p*F = f(p,-) : R + R on a f(p,0) = 0 et 9f ^P'")(0) t 0 (f est considéré m n n maintenant comme une application lisse usuelle IR x ]R -+]R ). En utilisant l'application lisse F = (proj,f) : IRm x ]Rn ->IRm x K n cela devient : F(p.O) = (p,0) et|£(p,0) jf 0 Nous sommes maintenant sous les hypothèses du théorème d'inversion locale classique. Il existe donc des voisinages ouverts resp. U de (p,0) et V de F ( P J O ) = (p,0) tels que FU c V et la restriction de F à U •* V est un isomorphisme C00. Exprimé dans le topos cela signifie que la factorisation suivante: EU i RmxRn > EV F i .RmxRn est un isomorphisme. Mais EU et EV étant stables par double négation et 78 F : EU -> EV et F"1 : EV + EU préservant la relation d'"infini-proximité" on montre facilement (de façon intuitionniste) que la flèche, restriction de F, T7{(p,0)} + n{(p,0)} est inversible. Par suite, comme l'application Spec(X x A n ) •> Spec(X x A n ) est un homéomorphisme (car le spectre de la projection X x A n •* X est un homéomorphisme Spec(X x A n ) -> SpecX) on en déduit par le théorème spectral d'inversion (voir §3, n ° 2 J ) que la flèche F: XxAn + X x A et un isomorphisme dans D , ce qui achève de prouver notre proposition. 3. Comme Hom(n{0},R n ) * C~(K n JR m ) il est clair que le théorème d'inversion infinitésimal, que l'on vient de montrer dans le toposïï),restitue le théorème classique d'inversion locale. 4. Nous allons maintenant passer à la caractérisation des morphismes infinitésimalement inversibles (entre objets représentables) dans le topos D. Soit h : A -> B un homomorphisme entre anneaux lisses de type fini. Alors : h o p : B o p -* A o p est inf. inversible dansïï)ssi, pour tout point p e SpecB, l'homomorphisme canonique A -* B (où q = Spech(p) = p ° h) est un isomorphisme. Preuve : Autrement dit, il faut donc montrer qu'une flèche f : X + Y dans ïï) est infinitésimalement inversible ssi, X et Y étant reprësentables, la flèche canonique Yi{p} + T7{fp} est un isomorphisme, pour toute section globale p : 1 -* X (voir le §3, n°2, 1). Il est clair que cette condition est satisfaite si f est inf.inversible. Montrons maintenant la réciproque. Utilisons pour cela la caractérisation suivante des flèches inf*inversibles dans un topos quelconque : Lemme : Une "application" f : X -> Y est inf. inversible ssi l'application suivante est bijective : X •+ Z (x,x') H> (x,fx') En notant X = {(x,x') f X 2 /x - x'} et Z = {(x,y) e X x Y / fx - y}. Preuve : Immédiate, par des arguments "intuitionnistes". 79 Preuve de la proposition 4 (suite) : Comme à la proposition 2 nous allons utiliser le "théorème spectral d'inversion" (voir §3, n°2, 7) pour montrer que l'application X -> Z est inversible. Constatons déjà que X et Z sont représentables (voir la caractérisation de -n dans D au §3, n°2, 1) et que l'application Spec(X) -> Spec(Z) est un homéomorphisme (car les spectres des premières projections X + X et Z + X sont des homéomorphismes). Il nous reste à vérifier la condition "infinitésimale" du théorème. Soit donc un point p de SpecX, il nous faut montrer que la flèche suivante TK(P»P)} + "n{(p,fp)> (où les doubles négations sont resp. prises dans X et Z) est un isomorphisme dans ID. Ou encore, dit de façon plus "élémentaire", que la flèche suivante : {(x,x') e X2/(x,x') ~ (p,p)} - {(x,y) e X x Y/(x,y) ~ (p,fp)} (x,x') t > (x,fx') est un isomorphisme dans le topos. Mais cela découle immédiatement du fait que, par hypothèse, c'est la flèche (restriction de f) {x e X/x ~ p} -• {y e Y/y ~ fp} qui est un isomorphisme. 5. En particulier si M et N sont des variétés C°° (ordinaires) et f : M -*• N une application lisse alors f est un difféomorphisme local ssi la flèche canonique C°°Mop -* C°°hop est infinitésimalement inversible dans E . Preuve : Résulte de la proposition précédente car (C"M) a C°°M (voir Appendice, §1, n°6, 9, b) pour une variété M. 6. Terminons maintenant par la recherche (dans D ) des variétés de type infinitésimal. Soit M une variété C°° (ordinaire) alors l'objet C°°Mop est une variété de type infinitésimal, de même dimension, dans le topos B. Preuve : M étant une variété C00 (disons de dimension n) elle est recouverte par des ouverts u\ isomorphes à des ouverts d e K n . De ce fait, dans le topos, la famille (C°°U?P» C° < ^ op ) i est épimorphe (voir Appendice, §1, n°6, 9, a) et formée de flèches inf. inversibles (voir proposition précédente). De plus les applications U-j -*IR sont des difféomorphismes locaux, par suite les flèches C°°lJop -* ((ffenjop étant inf. inversibles, C 0 ^ est une variété de type infinitésimal de dimension n (voir §1, n°3, 5, c). Il nous reste â appliquer la - 80 - proposition 6 du §1, n°3 pour conclure que c ' V 3 est une variété de type infinitésimal de dimension n. 7. La réciproque est évidemment fausse dans le cas général, même si la variété de type infinitésimal X est représentable (il suffit de prendre X = C°°lRop). Cependant, nous verrons au chapitre III, §4, n°l, 5 que lorsque X = A o p oQ A est un anneau lisse de présentation finie (c'est-à-dire de la forme c V / I où I est un idéal de type fini), la réciproque est vraie, op où M ciest-à-dire que X est une variété de type infinitésimal ssi X - C°°M est une variété C°° (ordinaire). N°2. En géométrie algébrique. 1_. Soit Z u" t o PO s d e k-algèbres (voir définition au chapitre 0, §2), pour un anneau quelconque k et R = k[X] o p l'anneau canonique. Alors, pour chaque entier n, t satisfait la formule : (IIn) Vf : A n - A n (fo = o A |J(0) ?É 0 + f bijective). Preuve : Comme k est quelconque et que pour toute k-algèbre A, £/A p est lui-même un topos de A-algèbres, il n'est pas nécessaire de changer de base et on peut supposer que f : A n •* A n est une flèche "externe" de t. Soit maintenant $(f) la formule "fo = o A |f(0) i 0". Alors t *= $(f) ssi fo = o et la section globale |£(0) : 1 -* R factorise I n v ( R ) ~ R (car R est un corps de fractions - voir chapitre I, §1, n°2, 3 ) . En utilisant main tenant la proposition 5 du §3, n°3 on obtient les bijections naturelles suivantes (dans Ens) : {f : A n - A n / £ »= $(f)} - {f : A n •> Rn/fo = o et ||(0) : 1 •> R factorise Inv(R) ** R} - {(f lf ...,f n ) e k[CX r ...,X n ]] n /vi s n (f.o = o) et 3(fi ^T4 fn) Ç-T-(O) inversible dans k}. 0\A^,...jA^j Or on sait (voir [5]) que si f = (fj,....^) e kCCX^...,X n J] n est tel 3(f, f ) que , pour tout i < n, f.o = o et 9 ( x ,...,x ) ( 0 ) e s t i n v e r s i b l e d a n s k - 81 - alors, il existe un "inverse" g = (gi»...»9n) e kCCY.,...,Y n ]] n tel que, pour tout i < n, g ^ = o, f^g^...,g n ) = Yi et g^fj,...,^) = X... Mais cela signifie précisément que f : A n + A n admet un inverse dans £, . 2. (Remarque). On a vu au n°l qu'en géométrie différentielle le théorème d'inversion infinitésimale permettait de retrouver le théorème classique d'inversion locale (voir la remarque au n°l, 3 ) . Par contre ici, le théorème (qui est a fortiori valide même dans le topos de Zariski!) reste essentiellement infinitésimal puisque même pour un polynôme il ne considère que la série de Taylor de son "inverse". Il est donc nécessaire maintenant de laisser de côté le point de vu infinitésimal pour passer au stade local. 82 CHAPITRE III UTILISATION DES VOISINAGES INTRINSEQUES §0. Introduction Comme nous l'avons constaté en géométrie algébrique, on ne pouvait pas nécessairement passer de l'infinitésimal au local (voir la remarque, à la fin du chapitre précédent, à propos du théorème d'inversion infinitésimale). Mais nous aurions pu, tout aussi bien, arriver aux mêmes conclusions d'une façon différente, par la géométrie différentielle. En effet, "moralement", les sous-objets infinitésimalement inversibles d'une variété C00 ordinaire, qui ne sont qu'une version infinitésimale du concept d'ouvert devraient tous provenir d'ouverts usuels de cette variété. Or, évidemment, il n'en est rien. Pour s'en convaincre il suffit de remarquer que, même pour un fermé F de R n , E ( F ) ^ R n , qui est pourtant réprésentable (par C°°F n /I w (F)) est infi. inversible (il est même fermé pour la topologie élémentaire de la double négation). Ainsi les infinitésimaux étant insuffisants pour décrire certaines situations locales, il nous faut à nouveau interroger la "logique" pour savoir s'il est possible, malgré tout, de décrire ces nouvelles situations "intrinsèquement" (c'est-à-dire sans le secours d'aucune structure supplémentaire; comme c'était le cas, nous l'avons vu, pour les infinitésimaux). C'est une analyse plus approfondie de la négation qui nous permettra d'aller plus avant. En effet, étant donné un point x d'un objet quelconque X (on peut se placer dans un quelconque des modèles envisagés ici) si l'identité n { x } n i{x} = 0 est toujours satisfaite, par contre l'identité m { x } u i{x} = X ne T e s t presque jamais. Ainsi -n{x} ne remplit donc pas complètement le "vide" laissé par "i{x}. On a donc perdu une part des informations "autour" de x. Mais ces informations sont-elles présisément, comme on vient d'en constater l'existence, celles qui, de nature locale, n'arrivent pas à être décrites par les infinitésimaux ? Pour s'en assurer il nous faut sensiblement modifier la définition de sous-objet inf. inversibles. Au lieu d'imposer qu'un tel sous-objet U soit stable par "voisinage infinitésimal" (i.e. tel que Vx e X V y e X L T I ( X = y) A x e U-> y € U]), on préférera l'alternative, pour un élément x de U et un élément y quelconque : "ou y est discernable de x" ou bien (nous aimerions dire "dans le cas contraire") "y est dans U". La phrase entre parenthèses n'étant pas formellement nécessaire peut donc être supprimée. On arrive alors à l'écriture logique sui- 83 suivante : VxcX VyeXCxcU + yjÉxvyeU] Nous allons voir maintenant que cette nouvelle formulation rend bien compte de la nature locale de ces sous-objets (et pas seulement de la nature infinitésimale). 84 §1. Généralités n°l . Voisinages et ouverts intrinsèques 1. Dans ce paragraphe on se placera dans un topos fixé. Définitions (voirC33]) Etant donné un objet X (du topos) , on dit que : a) une partie V de X est un voisinage intrinsèque d'un point x de X, ou encore que x est intérieur à V si la formule suivante est satisfaite : VxcX (X ^ x v x e V ) b) une partie U de X est un ouvert-intrinsèque, si elle est voisinage intrinsèque de chacun de ses points. C'est-à-dire, si elle satifait la formule : VxeX Vx'e X (xeU^x'/xvx'eU) Dans la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité sur les mots "voisinage" et "ouverts" on omettra souvent le qualificatif "intrinsèque". 2. Exemples : Nous verrons dans le paragraphe suivant que, dans de nombreux modèles, les ouverts intrinsèques sont bien ceux qu'il était légitime de trouver. Cependant pour les topos spaciaux (i.e. topos de faisceaux sur un espace topologique) il y a "plus" d'ouverts intrinsèques que d'ouverts "traditionnels" comme le montre l'exemple suivant (du à Johnstone,[21]). Soit % le topos de faisceaux sur un espace topologique (non-vide) X . Notons R les "réels de Dedekind" du topos £ (on sait qu'en fait RU = fc°(U,]R) , voir [20]) et soit a un point de X et P H R le sous-faisceau défini par : PU = {f e RU/fa = 0} si a e U PU = RU sinon On vérifie que P>*R est un ouvert intrinsèque dans è mais n'est pas un ouvert "traditionnel" c'est-à-dire ne satisfait pas la formule : VXÉP lyeR 3Ze R (xe ]y,z[ K ]y,z[c P) - Mais nous reviendrons au n°4 sur les rapports existants entre les "ouverts intrinsèques" et les "ouverts traditionnels" puis nous verrons au §3 que, - 85 contrairement à l'exemple précédent, ils coïncident dans tous les "bons" topos. 3. Donnons maintenant quelques propriétés générales des voisinages (intrinsèques) Soient V X, X' deux objets, une partie de a) Si alors d) Si f" V W V et X, V, W x alors V contient étant une application quelconque, si est un voisinage de V est un voisinage de alors un élément de deux parties de X et X', alors : V est un voisinage de b) f : X-*X' c) Si xQ xQ TÏ{X } , V est un voisinage de fx Q xQ , dans X et W un voisinage de est encore un voisinage de x dans W xQ alors, V nW sont des voisinages de xQ dans V, X, est un voisinage de x o e) Si V est un voisinage de xQ et VcW alors W est un voisinage de xQ Les deux dernières propriétés montrent en fait que l'ensemble des voisinages de x o forme un filtre sur X. Preuve : se montre sans difficulté. 4. Passons maintenant aux propriétés des ouverts (intrinsèques). - La proposition précédente admet immédiatement pour corollaire que les ouverts sont des sous-objets infinitésimalement inversibles (voir définition au Chapitre II, §1, n°2). De plus, elle montre que les ouverts sont stables : a) par changement de base (i.e. si un ouvert de X' alors f^U f : X + X' est une application et est un ouvert de U est X, ce que T o n peut exprimer encore en disant, que toute application est continue !) b) par composition (i.e. U ouvert de X et V ouvert de U=* V ouvert de c) par réunion quelconque (d'une famille indexée par un objet de topos - voir leur définition au n°6, §1 du Chapitre 0) d) par intersection finie. 5.(Remarque) a) Si les ouverts sont toujours inf. inversibles, la réciproque est souvent fausse, comme on le voit par exemple en comparant le Chapitre II, X) 86 §3, n°l, 1_ avec, dans ce chapitre, le §2, n°5, 1. b) La propriété (c) de la proposition précédente entraine, en particulier, que tout sous-objet de l'objet final 1 est ouvert. Cela va permettre de montrer, dans quelques exemples (voir §2, n°5, 3,b) qu'il y a parfois "plus" d'ouverts intrinsèques qu'on ne l'aurait souhaité. Une autre conséquence de cette remarque est que les. ouverts, qui sont toujours inf. inversibles, ne sont pas nécessairement stables par double négation. Preuve du (b) : Soit P d alors P = ^ p {x} or, pour tout x € P {x}, qui est égal à 1 tout entier, est évidemment un sous-objet ouvert de 1. Donc P est lui-même ouvert. 6. Bien que la formule définissant les ouverts ne soit pas "cohérente" (voir [27]) les ouverts sont cependant stables par image inverse de morphismes géomép : ¾ ^ ¾ 1 un morphisme géométrique entre topos et triques (i.e. soit sous-objet dans P*U »P*X £' alors, si U>+X est ouvert dans V U»X un il en est de même de dans t ) . Preuve : On voit facilement que U»X est un ouvert ssi on a l'identité : i(GrU) u ( U x U ) = U x X (où GrUcUxX est le graphe de lim finies et les U-*X). Par suite, comme p* préserve les lim quelconques, on en déduit que : p*( i GrU) u(p*U x p*U) = p*U x p*X or p*(nGrU)c np*GrU (car p préservant l'objet initial et les intersections on a : p*(TGrU) n P*GrU = 0 ) . Donc, à fortiori, on a : *l(p*GrU) u(p*Uxp*U) = p*Uxp*X ce qui prouve que p*U >-* p*X est ouvert dans ^(car o 7. P étant une partie de X, notons P à P. On a les propriétés suivantes : a) X = X et i = 0 0 b) PcP p*GrU = Grp*U). l'ensemble des points de X intérieurs 87 c) PcQ alors e o P cQ o d) P nQ = P nQ Preuve : évidente. fit â 8. a) Cependant on n'a pas toujours P = P (ce qui signifie encore que P n'est pas nécessairement ouvert). b) Il faut pour cela, certaines conditions sur X. Plus précisément si X satisfait la condition (dite "de recouvrement") suivante : VPcX VQcX (PuQ = X + P u Q = X) S 6 alors pour tout P c X , P = P. Nous verrons au §3 que cette condition est presque toujours satisfaite dans les modèles présentés ici. c) Par contre, toute partie contient un plus grand ouvert qui est évidemment la réunion de tous les ouverts contenus dans cette partie. Preuve du (b) : x étant un point de X, si x appartient à P alors on a 1{x}uP = X. Mais alors, d'après la contion de recouvrement, on a aussi O e "1{x} uP = X ce qui prouve que x est intérieur à P (car -|{x} d { x } ) . n°2. Objets discrets et objets séparés 0. Nous ne nous étendrons pas ici sur les versions "intrinsèques" des différentes propriétés "topologiques" que peut posséder un objet quelconque (pour avoir plus de détails à ce sujet voir [131). Signalons seulement deux de ces propriétés qui nous seront utiles à plusieurs reprises dans la suite de ce texte. 1. Un objet X est dit (intrinsèquement) discret s'il satisfait une des propriétés équivalentes suivantes : (i) Tous les points de X sont des ouverts, (ii) Toute partie de X est ouverte, (iii) La diagonale de X est ouverte dans X x X , 88 (iv) VxcX Vx'e X (x = x' v x ï x') . Preuve : (i)1(x 1 = X A X 2 = x ) , il suffit d'appliquer (iv) aux deux éléments Xj et x 2 de X pour prouver qu'on a (x,,x2) ^ (x,x)v x^ = x 2 , qui est la formule cherchée. 2. Nous verrons au §2 qu'un espace topologique (ordinaire) est intrinsèquement discret dans Top (voir sa définition au Chapitre 0, §2) ssi il est discret (au sens usuel). Ainsi la terminologie d'objet "discret" est, en partie justifiée, 3. Sans insister sur les propriétés de tels objets remarquons simplement que, comme pour les ouverts, les objets discrets sont stables par image inverse de morphisme géométrique. En particulier, si p : (iii) : Soient alors, comme x,y,x' et y' des éléments de X X vérifie (i) on a : x * * y - * x ^ y ' v y ^ y' x ^ y'-> x ï x' v y1 t x' donc x / y - » x / x'vx 1 / y ' v y ^ y' de plus x M ' v y i ^ y1-* "i(x = x' A y = y 1 ) x / y ^ i ( x = x ' A y = y') v x ' ^ y 1 (x,y) elDiag + (x,y) ^ (x',y') v (x1 ,y') ciDiag, en notant Par suite ou encore Diag la diagonale de X. (iii)^(ii) : Les ouverts étant stables par changement de base, il suffit de considérer, pour chaque point x de X, l'application y*+(x9y) de X dans XxX. (ii) =*> (i) : évident. 6. Pour les exemples, nous renvoyons au §2. Disons seulement, pour justifier là encore la terminologie, qu'un espace topologique est intrinsèquement séparé dans Top ssi il est séparé (au sens usuel). Mais la terminologie de "séparé" paraitra encore plus probante après avoir vu la proposition suivante : !_. Soit X un objet, tel que X x X a la "topologie produit" c'est-à-dire, sa- tisfaisant la condition suivante : (P) VXJÉX VX2ÉX W É X 2 [V vois, de (x^Xg) •* 3 V x c X 3V2<=:X (Vx vois, de x, A V 2 vois, de x 2 A V, x V 2 cV)]. (S) Alors X est séparé ssi la propriété (habituelle) suivante est satisfaite : VxeX Vy eX [x ^ y _>3VcX3 W cX (V vois, de X A W v o i s . d e Preuve : L'équivalence de (S) avec la propriété immédiatement du f a i t que VnW = 0 ssi gonale de X. (iii) y A VnW = 0] de séparation, résulte VxW c iDiag où Diag désigne le dia- - 90 8. (Remarque) a) Même si X ne satisfait pas (P) on a toujours (S) •*séparé. b) On peut se demander, alors, pourquoi avoir choisi cette définition d'objet séparé plutôt que la propriété plus forte (S). En fait, même si cela peut paraître justifié dans Top et dans B (voir définition au Chapitre 0, §2) puisqu'ils satisfont la propriété (P) (du moins, pour les objets représentâmes) il en va tout autrement en géométrie algébrique où la propriété (P) n'est presque jamais vérifiée (en tant qu'espace topologique Spm(A xA) f SpmAxSpmA, pour une k-algèbre de type fini A où k est un corps algébriquement clos). C'est pourquoi, bien que SpmA ne soit que rarement séparé, A o p est toujours intrinsèquement séparé dans les topos de k-algèbres, ce qui est bien conforme à l'optique de la géométrie algébrique (en effet SpecA est séparé en tant que schéma). 9. La proposition suivante nous montre que, même en "algèbre", la propriété de séparation est essentielle pour un anneau. En effet, Soit R un corps de fractions (voir définition au Chapitre I, §1, n°2). Alors : a) R est un anneau local (même référence) ssi R est séparé, b) R est un corps de Kock (même référence) ssi entier n. Rn est séparé, pour tout Preuve : a) Il suffit de vérifier que la propriété d'anneau local est équivalente au fait que Tfo) est ouvert. Si R est local alors, pour tout élément inversible x de R et tout élément y de R on a ^ inversible v ^ - 1 inversible, ou encore y inversible v y-x inversible. Mais comme i{0}= Inv(R) on a montré que : x e l{0} -> y f x v y e 1(0} ce qui prouve que n{0} est ouvert. Inversement, il suffit de remarquer que n{0} est un voisinage de 1. b) Soit x = (xlt...,x ) un point de Rn tel que x ^ 0. Si alors Vy 6 Rn (y t x vy/0) En particulier, pour y = (xlt...,x l f 0) , on trouve : Rn est séparé 91 x n î 0 v (x lf ...,x n-1 ) t (0,...,0) Par suite, si tous les Rn sont séparés, on en défuit, par induction sur n que : l(A\ x. = 0) + W -I(x. = 0) 1 i=l 1 i=l ce qui montre, moyennant la propriété de corps de fraction de R, que R est un corps de Kock. Inversement, soit x = (x«f...,x ), y = (y1»...»yn) et z = (z19...,z ) trois points de Rn . Montrons que : x ^ y + z ^ x v z ^ y . Pour cela, posons t^ = z. - x. si i Faux), nous avons établi que y e n{x}. n°3 . Inversion locale 0. Le concept de voisinage ayant été mis au point il est possible maintenant de formuler 1'"inversion locale" en déroulant la machinerie "classique". Cependant nous verrons plus tard (au §4) que le passage de T"inversion infinitésimale" (voir Chapitre II §1, n°2 et 5) à l"'inversion locale" n'est pas toujours possible, - 92 - là où on l'aurait désiré. 1. On dit qu'une application f : X + Y de X si elle satisfait la formule : 3VcX (V vois.de est localement inversible en un point x Q X Q A fV vois.de fx Q A f y injective) où f v désigne la restriction de f à V. (Attention, ne pas confondre avec "localement bijective" qui sera défini au Chapitre IV). En particulier si X->Y est injective, elle est localement inversible en x ssi, en tant que sous-objet, c'est un voisinage de x . 2. On a toujours l'implication : f localement inversible en x^ -* f infinitésimalement inversible en x^ o o Mais la réciproque est généralement fausse. Preuve : L'implication se montre facilement quant à la réciproque il suffit de considérer le cas ou f est injective. On est alors renvoyé à la remarque 5, a, du n°l. _3. (propriétés de stabilité) a) Soient f : X->Y et g : Y-*Z deux applications et x^ un élément de X, alors si f est localement inversible en x„ o o et g est localement inversible en fx , leur composé g o f est localement inversible en x^o . b) Soient le produit fibre suivant : X _ £ * X' f Y b > Y' et x un élément de X. Alors, si f est localement inversible en ax , f est localement inversible en x„ . o Preuve : a) Soient resp. V et W des voisinages "adéquats" (i.e. satisfaisant les conditions données dans la formule du 1) de x A et fx , alors i Vnf •*••• u u W est encore "adéquat" pour g o f (on utilise la composition des - 93 voisinages). b) Résulte de la commutation 3f o a = b o 3 fl . ^. Soit maintenant R un corps de fractions de type ligne et micro-linéaire, alors l'axiome d'inversion locale peut se formuler ainsi, pour chaque entier n : (I L n ) Vf : R n ->R n Vx Q eR n (|~- (0) i 0 + f localement inversible en x Q ) Nous verrons au §4 dans quels modèles il est satisfait. _5. R vérifiant les conditions précédentes (axiome d'inversion locale compris) on a : (Théorème des fonctions implicites). Soit f : R m x R n + R n une application. Si (a,b) est un point de R m x R n tel que f(a,b) = 0 et 9 f ^ ~ ) (b) ^ 0 alors, il existe des voisinages V de a dans une application g : V-*R n telle que : VxeRm Rm , W de (a,b) dans RmxRn et V y e R n ((x,y) eW A f(x,y) = 0 <-* x e V A y = gx) Preuve : C'est la preuve "classique". _6. On dira qu'un objet M est une variété de type local de dimension n si : Pour tout point x de M i l existe un voisinage V de x dans M, W de n 0 dans R et une application f : V->W qui est bijective. Il est clair qu'une variété de type local est une variété de type infinitésimal (voir définition au Chapitre II, §1, n°3, 2) de même dimension. 7\ Soit f : M->N une application localement inversible. Alors : a) Si N b) étant supposée surjective, f sion est une variété de type local de dimension n ssi M N n il en est de même de M, est une variété de type local de dimen- en est une. Preuve : "classique". 8. Soit M un objet et (U.). r un recouvrement ouvert de M (i.e. une famille d'ouverts, indexée par un objet I du topos, telle que U U. = M ) . Alors, si ici 1 pour tout i de I, U. est une variété de type local de dimension n, M est - 94 - lui-même une variété de type local de dimension n. Preuve : immédiat. 9. R vérifiant les conditions données au 4 on a la proposition suivante : Soit f : R n + R p une application et M = f " 1 ^ } . Si, en tout point de M, la matrice jacobienne de f est de rang 2> p (voir définition au Chapitre I, §1, n°3) alors, M est une variété de type local de dimension n-p. Preuve : "classique". n°4 . La structure topologique intrinsèque et les autres 0. On peut évidemment considérer le concept classique "d'espace topologique" dans un topos. Comme nous l'avons vu au n°l tout objet, en plus des "structures topologiques" (nous préférons cette terminologie à celle de "topologie" qui peut être confondue, dans les modèles, avec "topologie élémentaire" ou "topologie de Grothendieck") discrètes et grossières en possède aussi une "intrinsèque". Nous allons voir maintenant à quelle condition une structure topologique donnée peut être comparable avec celle qui est intrinsèque. Ceci nous permettra au §3 de ca-| ractériser "internement" la structure topologique intrinsèque des objets (représentables) des différents modèles étudiés ici. 1. Une structure topologique sur un objet X est une partie T de PX (i.e. l'ensemble des parties de X) satisfaisant les conditions (habituelles) suivantes : 1) 0£Î A XcT 2) U e T A V € T - * U n V £T Y 3) U étant un "ensemble de parties" de X (i.e. une partie de Ci ) «=T*uVuUeT - si on note ouv(X) = {U«=X/U ouvert intrinsèque} il est clair (d'après le n°l, 4) que Ouv(X) est une structure topologique sur X. Nous l'appelions la structure topologique intrinsèque de X. 2. (voir [17]) T étant une structure topologique sur X et P une partie de X, 95 - notons int(P) le plus grand ouvert de T contenu dans la condition (dite de recouvrement) suivante VPeX alors VQcX P. Si T satisfait (P u Q = X - int P u int Q = X) T est plus fine que la structure topologique intrinsèque (i.e. tout ouvert intrinsèque est un ouvert de T ) . Preuve : Soit U c X un ouvert intrinsèque et x un élément de U, alors l{x}uU = X, par suite, d'après l'hypothèse int( i {x})U int U = X ou encore, puisque int( i {x)d"\{x} , on a ~f{x}uint U = X. Donc x appartient à int U . D'où l'inclusion U c i n t U, ce qui achève de prouver que U est un ouvert de T. ,3. (Remarque). La propriété de l'intérieur envisagé au 2 peut surprendre, car elle est incompatible avec la théorie "classique" des ensemble (la proposition précédente en est d'ailleurs la preuve !) elle est pourtant vérifiée dans la plupart des exemples que nous allons traiter au §3. Signalons, à ce propos, que Brouwer (le père de 1'intuitionnisme) avait constaté que la droite réelle vérifiait cette propriété ! (voir par exemple [14]). En fait chez lui, elle découle de l'axiome suivant, partant sur les entiers naturels : VPcNN(V({> : N + N où fin = $m 3n€N signifie P(nf<|>)+V<|> : N * N VneN 3n e N 3m e N Vf : N->N [fin =$m+P(n f f)] ) (n> m -•fn = n). 4. Il nous reste mai tenant à trouver des structures topôlogiques moins fines que la structure intrinsèque. Nous allons voir qu'il nous suffit pour cela de recopier les exemples "classiques". Commençons tout d'abord par le cas algébrique : R étant un corps de fractions séparé fixé (donc un anneau local par le n°2, 9,a) soit X un objet quelconque. Une partie UcX est appelée "ouvert affine" si elle satisfait la propriété suivante : 3f : X-*R où Inv R (U = f-^Inv R)) (qui est aussi égal à ~1{0}) désigne l'ensemble des éléments inver- sibles de R. (L'expression : ouvert affine, provient du fait que dans les topos de la géométrie algébrique si X = Aop de op A et f ^ I n v R) = A[f d'ouvert affine). Munissons ] alors f : X+ R s'identifie à un élément . On retrouve ainsi la terminologie habituelle X de la structure topologique de Zariski, 96 - c'est-à-dire de celle dont les ouverts sont des réunions d'ouverts affines. C'est-à-dire : U ouvert de Zariski ssi Vx £ U 3f : X + R (x£f - 1 (Inv R)c U ) . Alors la structure topologique de Zariski sur X est moins fine que l'intrinsèque. (Nous verrons au §3 que dans les modèles de la géométrie algébrique ces deux structures topologiques coïncident sur les représentables). Preuve : Tout d'abord on vérifie facilement que les ouverts de Zariski forment bien une structure topologique, la stabilité par intersection finie résultant du fait que : x inversible A y inversible « x . y inversible D'autre part Inv R étant un ouvert intrinsèque dans R , tout ouvert affine de X en est un aussi et donc, par réunion quelconque, tout ouvert de Zariski est encore un ouvert intrinsèque. muni _5. Soit maintenant R un anneau commutatif uni taire vi'un sous-objet R > (on notera en fait x > 0 au lieu de x e R ) . On demande, en plus à R de satisfaire les conditions suivantes : x ^ 0 •* x inversible x+y inversible •> x inversible v y inversible x > 0 A y > 0 - > x+y > 0 A x .y > 0 x inversible - > x > 0 v - x > 0 1>0 1(0 >0) Notons x > y pour x-y > 0 et x >y pour i ( y > x ) . Notons aussi, comme d'habitude ]af+«[ , ]-«,a[ , ]a,b[ les ensembles suivants { x € R / x > a } , {xeR/x satisfait les propriétés suivantes : a) 0 * 1 b) x >y -* x-y > 0 97 x > y •+ x f y x>yAy>z-*x>z x > y A x ' > y ' - > x+x ' > y^y ' x > 0 Ay >z ->• x.y > x.z "l(x >0 A X <0) x+y >0 - > x > 0 vy>0 x>y->x>zvz>y x > 0 -> 1/x > 0 n entier + n.l inversible _7. Les i n t e r v a l l e s "ouverts" h n.l > 0 A l / n . l > 0 3a ,+<*>[, ]-«,a[ et }a,b[ sont des ouverts i n t r i n - sèques. Preuve : Montrons t o u t d'abord que ]0,+«>[ est un ouvert intrinsèque. Soit x k ]0,+°o[ et y e R. Alors on a x >y (d'après le •> x t y s i g n i f i e précisément que x>0-*x>yvy>0 (d'après le 6 ( i ) ) . Mais 6 ( c ) ) . On a donc finalement x / y v y > 0 ce qui ]0,+°o [est un ouvert intrinsèque. Par s u i t e , (par trans- l a t i o n et homothétie), tous les i n t e r v a l l e s ouverts de la forme ]a,+œ[ et ]-°°,a[ sont aussi des ouverts intrinsèques. I l en va donc de même des i n t e r - valles ]a,b[ 8. Soit n obtenus par i n t e r s e c t i o n des précédents. un e n t i e r et M une p a r t i e de Rn . Considérons sur M la structure topologique " t r a d i t i o n n e l l e " c ' e s t - à - d i r e c e l l e formée par les parties U de M v é r i f i a n t la condition suivante : VxcM [X€ U ** 3e > 0 (B(x, e) n M c U) ] n où B(x,e) = { y e R n / A \ e > y , - x. > - e] 1 1 1=1 Alors, la structure topologique "traditionnelle" est moins fine que l'intrinsèque. En particulier donc, cela reste vrai pour la structure topologique "traditionnelle" de la droite R. Nous verrons au §3 que, dans le modèle de Dubuc, les deux structures topologiques coïncident sur les représentables. Preuve : Tout d'abord on vérifie que les ouverts "traditionnels" forment bien une structure topologique, car pour tout couple e,e'> 0 on a : - 98 - B(x,e/2) c B(x,e) nB(x,e')ou B(x,e'/2)cB(x,e) n B(x,e') (car, de l'inégalité 1/2 < 2 on déduit l/2 0 , B(x,e) est un ouvert intrinsèque car n , B(x,e) = Pi TTT (]x.-e,x.+eC) où TT. : Rn + R est la i e m e projection. Par suite, i=l ' comme toutes les parties de la forme B(x,e) n M sont des ouverts intrinsèques de M, un ouvert "traditionnel", qui en est une réunion, est lui-même un ouvert intrinsèque. 9. Soit enfin un espace métrique M, c'est-à-dire (comme dans le cas habituel) un objet M muni d'une application d : MxM+[0,+«>[ (ce dernier intervalle se définissant comme d'habitude à l'aide de la relation < déjà définie) satisfaisant les conditions suivantes : 1) 2) d(x,y) = 0 ** x = y d(x,y) = d(y,x) 3) d(x,z) 0 ( B ( x , e ) c U ) ) où B ( x , e ) = {y e M / d ( x , y ) < e } . Alors, comme dans les cas précédents, la structure topologique "traditionnelle" de M est moins fine que l'intrinsèque. Remarquons que la structure topologique définie au 8 n'est pas, en général, un cas particulier de celle-ci car, dans le topos de Dubuc par exemple, les distances "habituelles" sur Rn ne peuvent exister ici car elles ne sont pas différentiables à l'origine. Nous verrons cependant au §3 que sur les espaces métriques représentables dans Top les deux structures topologiques "traditionnelle" et "intrinsèque" coïncident. Preuve : On vérifie tout d'abord, comme dans l'exemple précédent, que les ouverts "traditionnels" forment bien une tructure topologique. Ensuite, les ouverts "traditionnels" étant des réunions de boules B(x,e) = d" ([0,e[) où dx : y **d(x,y), on déduit de _7 et des propriétés générales des ouverts 99 - intrinsèques qu'un ouvert traditionnel est toujours intrinsèque. 10. Avant de terminer ce paragraphe, profitons des axiomes dont est muni (voir le 5J R pour justifier, encore un peu plus, notre approche des infinitésimaux (voir Chapitre II). En effet dans T1{X} = ^ Q R on a l'identité : ]X-£,X+£[ (cette identité nous fait à nouveau penser à la définition des infinitésimaux en analyse non standard, mais ici on quantifie sur tous les e > 0 c'est-à-dire, pas seulement sur ceux qui sont standards). Preuve : Les ouverts intrinsèques étant inf. inversibles (voir n°l, 4) , on en déduit, par la proposition précédente, que i i { x } c Q j ]x-e,x+e[ . Réciproquement, soit y k QQ ]X-e,x+e[ .Si ye n(x} alors, par les axiomes (1) et (4) de R on voit que y-x > 0 v x-y > 0. Dans le cas où y-x>0 , il suffit de posere= y-x car par hypothèse, y appartenant à ]x-e ,x+e[ on arrive à une contradiction. Dans le second cas, on procède de la même façon. 100 §2. Caractérisation des ouverts intrinsèques n°0 . Comme pour la caractérisation des infinitésimaux (voir Chapitre II, §2) il va être nécessaire ici de se situer à un niveau intermédiaire de généralité. En effet, la plupart des sites considérés ici (voir leur définition au Chapitre 0, §2) ont des propriétés communes qui à elles seules, permettent d'aller très loin dans la caractérisation des ouverts intrinsèques. Aussi, avons nous jugé bon de bien mettre en évidence de telles propriétés sous le qualificatif de "site topologique" afin, là encore, d'éviter des répétitions de preuves. n°l . Sites topologiques et foncteur Spec. 1. (Définition). On appelle site topologique la donnée : - d'une catégorie ^ à limites à gauche finies et à objet initial 0 (on suppose que 0 f 1). Notons à nouveau r= Hom(l,-) , - d'une classe U de flèches de V telle que : a) U est stable par changement de base et par composition. b) Pour toute famille ( X ^ X ^ . de flèches de îi, si (rX.. -^rX)i est surjective alors (X. +X). est épimorphe effective dans tf . 2. Nous montrerons au n°2 , avec quelques détails, comment la plupart des modèles définis au Chapitre 0, §2, sont des sites topologiques. 3. Tout site topologique est en fait un site concret (en prenant pour pré-topologie sur tf , les familles (X. + XJj de tl dont l'image par r est surjective dans Ens ). Preuve : "le Nullstellensatz" : Soit X un objet de % tel que rX = 0 . Comme la famille vide (->X) est une famille de U et que la famille ( + rX) est surjective, on en déduit, par l'axiome (b), que la famille ( +X) est épimorphe effective ce qui signifie que X = 0 . "l'axiome (a)" : la pré-topologie décrite ci-dessus est sous-canonique car ses familles couvrantes sont épimorphes effectives et universelles puisque r préserve les produits fibres "l'axiome (b)" : cet axiome est satisfait par construction. - 101 "l'axiome (c)" : ( + 0 ) est couvrante car T® = 0 puisque 0£1. 4. Soit ^ un site topologique et ^ le topos des faisceaux sur 9* . Pour tout objet X de % , on munit TX d'une structure d'espace topologique, notée Spec X, de la façon suivante : a) lorsque X est représentable, Spec X a pour base d'ouverts la famille des sous-ensembles de la forme Im( rf) (i.e. l'image dans TX de l'application rf) lorsque f : Y + X parcourt U (remarquons que par l'équation (c) du Chapitre II, §2, n°3,on a Im( rf)= r(Imf)). X est quelconque dans %9 Spec X est la topologie finale déterminée par rf les familles d'applications (Spec Y »TX) Y où Y parcourt des objets représentables de % ; c'est-à-dire qu'une partie U c rX est ouverte dans Spec X ssi pour tout objet représentable Y et toute flèche f : Y + X dans % , rf"" (U) est ouverte dans Spec Y. b) Si 5_. En fait, lorsque X est représentable, les ouverts de Spec X sont des réunions d'ouverts de base car, r préservant les intersections, si f, : Y,-* X et f 2 : Y 2 ^ X s o n t ^ es fiches de tl et f est la flèche canonique Y. x y •> x (qui est elle-même un élément de U ) on a : Im(f) = Im(f,) n Im(f2) . - On vérifie aussi que si f : X + Y est une flèche quelconque de rY est continue de Spec X dans Spec Y. Ainsi, on construit un foncteur Spec : *i -> Ens . n°2 . Exemples j.. En topologie. Dans la catégorie ^ o p des espaces topologiques on considère la sous-classe de flèches 11 formée des injections continues ouvertes (i.e. homéomorphismes sur des sous-espaces ouverts). Il est clair qu'on a là un site topologique. Le topos de faisceaux sur ce site est Top (voir sa définition au Chapitre 0, §2). De plus, par construction du foncteur Spec (voir le n°l), on a évidemment Spec X = X , sur les objets représentables X. 2. En géométrie différentielle. Dans la catégorie S o p (définie au Chapitre 0, §2) soit 11 la sous-classe formée des flèches de la forme B o p -> A o p où B^Ay pour un certain ouvert U de Spec A. Comme r(A op ) = Spec A (voir la définition 102 du spectre d'un anneau lisse de type fini dans l'Appendice au §1, n°6) on en déduit que 2>op est un site topologique (pour montrer (c) on utilise le théorème 1^ de l'Appendice, §2, n°2). Il est alors clair que le topos de faisceaux sur ce site est le topos D défini au Chapitre 0, §2. Enfin, on vérifie, par construction de U que, pour tout anneau lisse de type fini A, on a Spec(A op ) = Spec A (le premier spectre est défini au n°l et le second dans l'Appendice au §1, n°6). _3. En géométrie algébrique. Soit k un corps algébriquement clos. Considérons la catégorie <£pf£P (définie au Chapitre 0, §2). De plus, soit ^(resp. 1l2, Uj) la sous-classe de cette catégorie formée des immersions ouvertes (resp. des morphismes étales, des morphismes plats). Comme r(A op ) = Spm A (spectre maximal de A) on en déduit que *£pf£P muni de la classe U- (resp. IL, Uj) est un site topologique (pour s'en assurer on utilise les remarques faites au Chapitre II, §2, n°l, 29 c, et le fait que la topologie (zar) [resp. (et), (fppf)] est souscanonique). Le topos de faisceaux sur ce site n'est autre que Z a r [ p f ) [resp. E t ^ p f ) , Vl^fh qui est défini au Chapitre 0, §2. Enfin, on vérifie, par construction de X sont des flèches de ti . Alors, on a EU = ^ Im f. (voir la définition de E au Chapitre II, §2, n°2) b) En particulier, lorsque f : X'->X est une flèche de U on a : Im f = E(Im rf) Preuve : Soit Y un autre objet représentable, et f : Y + X une flèche. Alors, Y->X factorise EU>+X ssi rY + rX factorise U » r X donc ssi 103 - rf _1 ( W im rf.) = nr. Or on a r f _ 1 ( 0 im rf.) = y rf-1(im rf^ = y Im Tf\ où f! : Y.-»- Y est la flèche de U obtenue par le produit fibre suivant : h f —>xi i f * X Donc f factorise EU ssi (rf^) i est surjective. Mais (rf!)^ est surjective ssi (f1-)- e st épimorphe dans *£. Ainsi en reprenant le raisonnement précédent en sens inverse, f factorise EU ssi f factorise W Im f. ce qui établit le résultat cherché. 2. On peut améliorer encore le (b) du 1 en constatant que, lorsque f : X-* Y est une flèche de U , rf : Spec X~>Spec Y est une application ouverte. De plus, si U est un ouvert de Spec X alors on a : 3 f EU = E3fU Preuve : La première partie de cette proposition provient immédiatement du fait que U est stable par composition. D'autre part, si U est un ouvert de Spec X, U = M Im rf. où les f. : X. +X sont des flèches de U . D'après ce qui précède EU = ^> Im fi . Donc 3 f EU = U 3f(Im ^ ) = ^ Iraff.^) . Par suite, 3fEU = EV où V = Mi Im r(f.f.)• En d'autres termes v i' V = W J r f (Im r f ^ = 3 f y Im rf. = 3 r f U . D'où l'identité cherchée. 3. X étant un objet quelconque de ^ et (U..) une famille d'ouverts de Spec X alors, on a : yEO^) = E(MU.) (on améliore ainsi l'équation (d1) du Chapitre II, §2, n°3, jj.) . Preuve : Envisageons deux cas : a) Si X est représentable, il suffit d'appliquer la proposition 1 en donnant une présentation à chaque U.. . b) Si X est quelconque, soit Y un objet représentable et f : Y + X une flèche 104 - quelconque. On vérifie facilement que f factorise U EU. ssi f factorise •; • E(UU-) car Y étant représentable on peut appliquer le a) à la famille i (rf" l (u 1 )) 1 . 4. Soit X un objet représentable de £ et P » X ment représentable). Alors on a toujours un sous-objet (non nécessaire- P c E(U) c P , o (pour la définition de P voir le §1, n ° l j ) , où U est l'ouvert de Spec X défini par p e U ssi, il existe un voisinage ouvert V de p dans Spec X tel que EV cP. Preuve : Nous allons pour cela appliquer la méthode "logique" qui a été signalée au Chapitre 0,§1, n°4, 7. Soit Y un objet représentable et f : Y + X une flèche. Alors, il est clair que f factorise P ssi f factorise Y*(P) dans £/Y (où Y* : % -> ?/Y est le morphisme logique canonique et f : 1 + Y P est la section globale de Y P dans z/Y correspondant à f). o Mais Y étant logique Y (P) = Y P donc f factorise P dans 3 ssi on a (dans Î/Y) l{f}uY*P = Y*X (H) D'autre part f factorise EU ssi rf factorise U crX (C) Il reste donc à montrer que (H) entraine (C) . Soit donc p : U Y une section globale et montrons que rf(p) , qui est égal à f.p, appartient à U. La flèche p : 1 + Y détermine un morphisme logique P* :*2/Y-*% qui, appliqué à l'identité (H) donne : * w* * n* w* 1P (f) U p Y* P = p Y*X or (1 -^ Y -U 1) = (1 ! (H') 4 1) donc P*Y*=< Id et p*(f) = f.p. (H') s'écrit donc encore : l{f.p}uP = X L'identité (H") . Mais X étant représentable, il existe donc une famille couvrante (X.. — U x)^ telle que f. factorise ~Kf.p} ou P. Notons J l'ensemble des indices i tels que f. factorise P. Si i e J on a : Im f. c P . Donc U Im f. c P et U Im f. = EV où V = U Imrf. (qui est un n 1 1 ieJ i€J icJ 105 - ouvert de Spec X ) . L'égalité (H") devient maintenant : T{f.p} u EV = X (car En conséquence de prouver que U Im f. u EV = X) . n i ^J f.p : 1 + X factorise EV c X et rf(p) e U. E V c P . Mais ceci achève !5. La proposition précédente admet le corollaire suivant : Soit X un objet représentable. L'application P H* TP définit une injection de l'ensemble des ouverts intrinsèques de X dans l'ensemble des parties ouvertes de Spec X. o Preuve : Si P >•* X est un ouvert intrinsèque, alors P = P donc, d'après la proposition précédente P = EU, pour un certain ouvert U de Spec X. Ainsi TP = TEU = U (d'après l'équation (a) du Chapitre II, §2, n°3,2.) . L'application donnée dans l'énoncé est donc bien définie et son injectivité est alors immédiate à vérifier. 6_. X étant maintenant un objet quelconque de % et Q » X un sous-objet, si Q est un ouvert intrinsèque de X alors rQ est un ouvert dans Spec X, et dans ce cas Q = ErQ. En particulier (comme au 5) l'application Q ** rQ définit une injection de l'ensemble des ouverts intrinsèques de X dans l'ensemble des parties ouvertes de Spec X. Preuve : Soit Y un objet représentable et f : Y + X une flèche, alors comme Q » X est un ouvert intrinsèque, il en va de même de f" Q ^ Y (car les ouverts intrinsèques sont stables par changement de base). De plus rf -1 Q = f"XrQ (d'après l'équation (a) du Chapitre II, §2, n°3, 3 ) . Donc par S9 TQ est un ouvert de Spec X. D'autre part f factorise Q ssi f Q = Y. Mais par _5 ceci est réalisé ssi rf" Q = TY , ou encore ssi f rQ = TY. Finalement f factorise Q ssi elle factorise ErQ. _7. Pour tout ouvert intrinsèque TVfQ= Q»X dans % et toute flèche f : X-*Y , on a : VfTQ Preuve : Résulte du 5> et de l'équation (b) du Chapitre II, §2, n°3, 3. - 106 8. (Définition) . On dit qu'un objet X de % est de Haussdorff si la diagonale de TX est un sous-ensemble fermé de Spec(XxX). (Remarquons que Spec X, quant à lui, n'est pas nécessairement séparé car le foncteur Spec ne préserve pas, en général les produits). 9. Soit X un objet de Haussdorff de ¾ . Alors, si EU » X est un ouvert intrinsèque dans ^ . Preuve : E U » X U est un ouvert de Spec X, est un ouvert intrinsèque dans ^ ssi *t H V x e X (xeEU + 1 { X } U E U = X) c'est-à-dire (voir Chapitre 0, §1, n°4,8) ssi pour tout objet représentable Y et toute flèche f : Y-*X on a l'implication (^/Y |= f eY*EU) ** (^/Y H l{f}uY*EU = Y*X) (où f : 1->Y*X est la section globale, dans S/Y , correspondant à la flèche f : Y + X dans^) . Mais *2/Y f= feY*EU ssi f factorise EU et 2/Y |= T{f}uY*EU = Y*X ssi ! G r ( f ) u Y x E U = Y x X dans °t, où Gr(f) désigne le graphe de f, considéré comme sous-objet de Y x X . Il reste donc à montrer que si f factorise EU on a l'identité ~!Gr(f)uYxEU = Y x X . Constatons tout d'abord, par les propositions 2 et 4 du Chapitre II, §2, n°3, qu'on a IGr(f) = EV TY xU où V = IGr(rf) et est un ouvert de Spec(YxX) est fermé dans Y x EU = E(rYxU). D'autre part, et, comme X est de Haussdorff, Gr(rf) Spec ( Y x X ) , car on a le produit fibre suivant dans ^ : ... Y >X diag Gr(f) YxX fxX v x X Autrement dit, les deux sous-objets iGr(f) et Y x EU de Y x X ont des spectres ouverts. Ceci nous permet donc d'en conclure (grâce au 3) que : IGr(f) u Y x E U = YxX puisque c'est le cas au niveau de leurs-sections globales. 10. A l'aide de 6 et de 9 on peut donc énoncer le théorème de caractérisation - 107 des ouverts, suivant : (Théorème) : Soit X un objet de Haussdorff dans <2 , Q »X U une partie de TX, alors : a) un sous-objet et on a les équivalences suivantes : i) Q est un ouvert intrinsèque de X ssi ii) U est un ouvert de Spec X ssi est un ouvert intrinsèque de X b) EU TQ est un ouvert de Spec X, E et r sont les bijections réciproques de l'ensemble des ouverts de Spec X dans l'ensemble des ouverts intrinsèques de X. 11. On peut alors améliorer la proposition 4 de la façon suivante : Si X est un objet de Haussdorff représentable et alors : P »X est un sous-objet o P = EU où U est un ouvert de Spec X o (Remarquons que dans ces conditions, pour tout sous-objet P>*X , P est tou- jours intrinsèquement ouvert ce qui, nous l'avons déjà dit, ne semble pas être le cas d'une façon générale). n°4 . Caractérisation des objets séparés J.. (voir [13]) . Soit f : X+Y une flèche de «2 où X et Y sont de Haussdorff. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes : a ) -3f : ^ ( x ) -* ^( Y ) préserve les ouverts intrinsèques, b) Spec X + Spec Y est une application ouverte. Preuve : a) =£ b) car, U étant un ouvert de Spec X on a, d'après l'équation (c 1 ) du Chapitre II, §2, n°3, 3^ et le théorème H) du n°3 de ce paragraphe : 3 f (U) = T E 3 f ( U ) = T 3 f E(U) b) ^ a) : résulte là encore du théorème JU) du n°3 et de l'équation (c) du Chapitre II, §2, n°3, 3. 2. (voir [13]) X et Y étant deux objets de Haussdorff et f : X+Y une 108 flèche "ouverte" (dans le sens de l)} pour les ouverts intrinsèques, les équations (b) et (c') du Chapitre II. §2, n°3, 3 sont satisfaites "au sens fort" , c'est-à-dire : Si U est un ouvert de Spec X et Q un ouvert intrinsèque de X alors : E 3f U = 3 f E U et TVf Q = V f XQ Preuve : La première équation résulte du j., du n°3, 10 , et de l'équation (c') du Chapitre II, §2, n°3,3. Quant à la seconde elle a déjà été montrée au n°3J. 3.(voir [13] ) Les objets de Haussdorff sont stables par produits finis dans 2 . Preuve : Cela découle du fait que l'application composée suivante est continue, pour tout X et Y : Spec [(XxY) x(XxY)] à- Spec [(XxX)x(YxY)] + Spec(X x X) xSpec(Y x Y) 4. X et Y étant deux objets de Haussdorff, la projection ir : X x Y + X est "ouverte" dans le sens de 1 (en utilisant 3 et les propriétés générales des ouverts intrinsèques) par suite, pour les ouverts intrinsèques, toute la logique de £ , "coïncide" avec celle de Ens via r et E. Elle est donc "classique". 5. (voir [13]) (Théorème). X étant un objet de %9 X est séparé ssi X est de Haussdorff (pour la définition de séparé voir le §1, n°2, 5) Preuve : Si X est séparé, iDiag est un ouvert intrinsèque de X x X (où Diag désigne la diagonale de X) donc n D i a g est ouvert dans Spec(XxX) (d'après le 6 du n°3). Mais par ailleurs nDiag = irDiag (voir Chapitre II, §2, n°3, j.) et TDiag = Diag. Donc X est de Haussdorff. Réciproquement, si X est de Haussdorff on peut, cette fois, appliquer le Théorème 10 du n°3, car X x X est lui-même de Haussdorff par la proposition 3. Il entraine immédiatement que X est séparé. n°5 . Retour aux modèles 0. Nous pouvons maintenant appliquer aux différents modèles considérés au n°2, 109 - les théorèmes de caractérisation des ouverts (voir le n°3, 10) et des séparés (voir le n°4, J5). 1. En topologie : Comme pour tous espaces topologiques X et Y on a (dans Top) : Spec(X x Y) = Spec X x Spec Y, on en déduit qu'un espace topologique X est séparé (i.e. de Haussdorff) dans le topos Top ssi il Test au sens usuel. De ce fait, X étant un espace topologique séparé, l'application Q*+ TQ est une bijection entre les ensembles suivants : {Q >* X/Q ouvert intrinsèque dans Top} ^ {Uc=X/U ouvert usuel} 2. En géométrie différentielle : Une fois encore dans le topos de Dubuc D on a l'identité Spec(XxY) = Spec X xSpec Y (du moins pour les objets représentâmes, comme on le constate en utilisant la caractérisation du foncteur Spec donnée au n°2). Par suite tout objet représentable est séparé (i.e. de Haussdorff). De ce fait, A étant un anneau lisse de type fini, l'application Q»+TQ définit une bijection entre les ensembles suivants {Q » A o p / Q ouvert intrinsèque dans D } ^ { U c Spec A/U ouvert usuel} (voir la définition du spectre d'un anneau lisse dans l'Appendice au §1, n°6,l_) 3_. En géométrie algébrique : a) Soit k un corps algébriquement clos. Dans les topos de k-algèbres de type fini (voir leur définition au Chapitre 0, §2) le foncteur Spec (qui, on T a vu au n°2, 39 est égal à Spm sur les représentables) ne préserve plus les produits, par contre, on voit facilement que toute k-algèbre de type fini a son objet dual (voir définition au Chapitre 0, §2) qui est de Haussdorff, donc séparé (ce qui n'est évidemment pas le cas pour son spectre). De ce fait, si A est une k-algèbre de type fini, l'application Q h*rQ définit une bijection entre les ensembles suivants : {Q » A o p / Q ouvert intrinsèque dans 2} s {UcSpm A/U ouvert usuel} (où *î désigne l'un des topos de k-algèbres de type fini) b) Signalons cependant, qu'en général, il n'y a plus bijection lorsque k cesse d'être un corps algébriquement clos. En particulier, on voit facilement, pour k = Z et A = 2 , que ce n'est pas le cas (car dans un topos quelconque 110 - tout sous-objet de l'objet final est un ouvert intrinsèque : voir Remarque 5 du §1, n°l) même si on change le spectre maximal en spectre premier. Mais nous verrons au paragraphe suivant un moyen de tourner la difficulté (voir précisément le §3, n°4, ^3) • 111 - §3. Caractérisation de la structure topologique intrinsèque n° 0 . Dans le paragraphe précédent, notre but était de caractériser l'ensemble (externe) des ouverts intrinsèques d'un objet donné, dans les différents modèles que nous nous étions fixés au départ. Cette fois-ci notre démarche est plus "interne" puiqu'on va chercher à caractériser, non plus l'ensemble, mais l'objet des ouverts intrinsèques d'un objet (ce qui a un sens puisque les ouverts intrinsèques sont définissables par une formule). C'est d'ailleurs ce que nous avons appelé, au §1, n°4, la structure topologique intrinsèque de cet objet. D'autre part, nous avons rencontré (toujours au §1, n°4) plusieurs autres structures topologiques qui, selon les cas, pourraient paraître mieux adaptés à certains types de problêmes. Par exemple, considérant l'objet des réels de Dedekind, les seuls ouverts apparemment intéressants sont ceux définis "classiquement". En fait, nous allons voir maintenant que, pour peu qu'on se place dans le bon topos, la structure topologique intrinsèque coïncide toujours avec celle qui est la plus naturelle. n°l . La structure topologique spectrale 0. Nous allons reprendre le théorème de caractérisation des ouverts du §2, mais cette fois nos exigences seront plus grandes puisque nous essayerons d'obtenir un théorème formulé lui-même dans le langage du modèle (permettant ainsi la caractérisation de l'objet des ouverts intrinsèques). Pour cela il nous faudra décrire par une formule l'expression "U est un ouvert de Spec X" , d'où le nom d'ouvert spectral donné à un sous-objet satisfaisant une telle formule. j.. Soit tf un site topologique (voir définition au §2, n°l) et 2 son topos de faisceaux. Considérons le foncteur S :tf op + Ens où, pour chaque objet X de !f , SX est l'ensemble des ouverts de l'espace topologique Spec X. Si fi désigne l'objet classifiant les sous-objets dans î , c'est lui-même un foncteur 4 0 p -*Ens . Sbit maintenant la transformation naturelle e : S -> Œ définie, pour chaque objet X de ï par SX U t , nx f EU - 112 - où, comme nous l'avons vu au Chapitre II, §2, n°2, 1, EU est le sous-objet de X dans "i défini par : EU(Y) = {Y -*X/rY -rX factorise U » TX} . Comme TE = Id (voir Chapitre II, §2, n°3, J,, a) e est un monomorphisme. Le sous-objet S w- n correspondant,s'identifie alors au sous-foncteur (noté encore S) de n défini par : SX = {P eflX/ErP = P et TP ouvert de Spec X} 2. S est un sous-f«isceau de Œ sur le site if. Preuve : Soit (X.. f i , X). une famille couvrante de f , c'est-â-dire une famille de flèches de u telle que U Im rf,= rX . On va montrer que des n i diagrammes commutatifs du type suivant (celui qui est en traits pleins)... x i-nr-^,- x s^ > n ... peuvent être "diagonalisés" (c'est-à-dire qu'il existe une flèche, en traits pointillés sur la figure, qui fait commuter les nouveaux diagrammes obtenus). De tels diagrammes reviennent à considérer un sous-objet P de X tel que f.. P e SX.. , pour tout i. Demander qu'ils se diagonalisent c'est s'interroger sur l'appartenance de P à SX. Remarquons tout d'abord que U 3 Y x X ) . couvrante et un recouvrement de l'ensemble d'indices de la famille par deux sous-ensembles J, et J 2 tels que f. factorise P ssi i e J, et f. factorise Q ssi i e J« . Notons U. = U ImTf. ie\ pour k e { l , 2 } . Alors EU 1 c p , E U 2 c Q EU-, et EU 2 inclusions EU. = U Im f . (voir le §2, n°3, 1). Par suite icJk et EU-u EU 2 = Y x X . Or, par le lemme précédent sont des ouverts spectraux de Y*X dans '2/Y. On a donc les EU, c int P et EU 2 c int Q et ainsi, puisque EUj u EU 2 = Y*X, on en déduit que int P u int Q = Y*X . 5^ (Théorème). Soit X un objet reprësentable de "t. Alors : a) La structure topologique spectrale de X est plus fine que la structure topologique intrinsèque. b) De plus, lorsque X est de Haussdorff (voir définition au §2, n°3,7) 114 - les deux structures topologiques intrinsèque 2 satisfait la formule V U c x ("U et spectrale coïncident i.e. : ouvert intrinsèque" *-» " U ouvert spectral") Preuve : a) Résulte de la proposition précédente et du §1, n°4, 2. b) Les ouverts intrinsèques étant stables par réunions quelconques (internes) il suffit de montrer que % satisfait VQ c X (Q e S X •*• "Q ouvert intrinsèque") ou encore, en jouant avec les quantificateurs que : 2 t = V Q c X V x £ X ( Q e S X A x e Q -* "Q voisinage intrinsèque de x " ) . Soient donc Y un objet représentable, Q>*YxX un sous-objet tel que TQ soit ouvert dans Spec(Y x X) et Q = ErQ, et enfin x : Y + X une flèche pour laquelle le graphe Gr(x) de x, est contenu dans Q. Montrons que dans ces conditions 2/Y Y "Q est un voisinage intrinsèque de x" (où x désigne encore la section globale de Y*X, dans 2/Y , correspondant à la flèche x : Y +X dans t) c'est-à-dire que lGr(x)uQ = Y xX dans t . Comme X est de Haussdorff, Gr(rx), qui est égal à TGr(x), est fermé dans Spec(Y x X) , donc irGr(x) est ouvert dans Spec(Y x X ) . De plus, comme par hypothèse, rQ est ouvert dans Spec(Y x X) et TGr(x)crQ , on a ITGr(x) u rQ = r ( Y x X ) . On a donc (par le §2, n°3, 3 et le Chapitre II, §2, n°3,2) la relation suivante lGr(x) u Q = Y x X qui est l'identité cherchée. 6_. La proposition précédente admet le corollaire suivant : Si X est un objet représentable intrinsèquement séparé (voir Définition au §1, n°2) alors X satisfait les formules suivantes : a) (Condition intrinsèque de recouvrement) VPcX VQcX ( P u Q = X + P u Q = X ) O b) VP c X (P est un ouvert intrinsèque) c) VP c X (P = int P) où int P désigne l'intérieur de P pour la struc- ture topologique spectrale. Preuve : a) Les ouverts intrinsèques et spectraux coïncidant on a toujours o int Pc P . La première formule résulte donc du 4 . 115 b) Résulte de (a) en utilisant le §1, n°l, 8, b. O c) P étant un ouvert intrinsèque(d'après (b)) c'est un ouvert spectral, donc P c int P, d'où Tégalité cherchée. ,7. Supposons que le foncteur Spec : rf + £ o p préserve les produits finis (ce qui est, par exemple, le cas pour if = £ o p ou if = » o p , mais certainement pas pour rf = * p f £ P ) . Alors, si X et Y sont deux objets représentables et intrinsèquement séparés, ils satisfont la formule suivante (ou "vois" est une abréviation de "voisinage intrinsèque") Vx £X Vy £ Y V U c X x Y de y A V x W c U J ) . (U vois, de (x,y) - 3VcX3 W c Y [V vois, de X A W voi. Preuve : Grâce à la proposition 6 précédente et les propositions 2 e* ,5 du §2, n°4, il nous suffit de montrer que la formule suivante est satisfaite. VxeX Vy £ Y V U c S X x Y ( ( x , y ) e U +3V £ S X 3W £ S Y [x € V A y € W A VX W c UJ) Soient donc Z un objet reprësentable, x : Z-*X et y : Z->Y deux flèches et U un ouvert de Spec ( Z x X x Y ) , (puisque les sous-objets de Z x X x Y appartenant à S ( Z x X x Y ) sont tous de la forme EU) tels que (Id,x,y) : Z - * Z x X x Y factorise E U ^ Z x X x Y . Considérons alors un élément z de TZ. Comme le foncteur Spec préserve les produits et comme (z,rx(z), Ty(z)) € U , il existe des voisinages ouverts 0 de z dans Spec Z, V de rx(z) dans Spec X et W de Ty(z) dans Spec Y tels que O x V x W c U [en faisant l'identification Spec ZxSpec X x Spec Y = Spec(ZxXxY)] et 0 c rx"X(V) n Q T 1 ( W ) . Alors les applications (Id,x) : EO + E O x X et (Id,y) : EO •* EO x Y (en notant à nouveau x et y leur restriction à EO) factorisent resp. EO xEV et EOxEW , et d'autre part (EOxEV) *Q (EOxEW) qui est égal à EO x EV x EW est inclus dans EU. Il existe donc une famille couvrante (Z. — 1 * Z) telle que 1/1. *= Jv e Zt S X 3 W € Z t S X (f*x € VA f* y € W A V x W cf*U). Il suffit pour cela de regrouper les f. qui apparaissent dans la construction des 0 (puisque 0 = W Im rf.) lorsque ces 0 , qui varient avec z, recouvrent 17. 8. (Corollaire). Plaçons nous sous les hypothèses de la proposition précédente et soit X un objet reprësentable, alors les conditions suivantes sont 116 - équivalentes : i) X est intrinsèquement séparé, ii) X satisfait la formule suivante : VxeX Vx*£ X [x i x ' -* I V c X 3WcX (V de vois.de X'A XAW vois. VnW = 0 ] iii) X est de Haussdorff iv) Spec X est un espace topologique séparé Preuve : On utilise aussi la proposition 5> du §2, n°4, et la proposition T_ du §1, n°2. n°2 . Structure topologique traditionnelle d'un espace métrique (voir définition au §1, n°4) 0. Nous allons étudier cette structure topologique dans le topos Top (voir définition au Chapitre 0, §2) où, précisément, se plongent tous les espaces métrisables ordinaires. Dans les autres modèles envisagés ici cette structure topologique présente peu d'intérêt vu que R lui-même n'y est pas "métrisable". 1. Tout d'abord, constatons que R , plongé dans Top, satisfait les conditions du §1, n°4, 5. Preuve : F étant dans Top l'objet des réels de Dedekind il satisfait immédiatement les conditions de 2) à 6) (voir [20]). De plus comme 1(0} est le complémentaire (ensembliste) de {0} muni de la topologie induite (voir Chapitre II, §2, n°2, 4) il est donc aussi égal à Inv(R) . Signalons que le graphe de la relation > est le même que son homologue ensembliste, muni de la topologie induite. 2. Tout espace métrique (ordinaire) plongé dans Top reste un espace métrique (au sens du §2, n°4, 9) Preuve : Comme [0,+°°[ = "î]-°°,0[ c'est le même intervalle ensembliste muni de la topologie induite. Quant aux conditions 1), 2) et 3) pour une distance, - 117 étant "algébriques", elles se vérifient Hom par Hom, ce qui est immédiat. 3. Soit M un espace métrique (ordinaire). Alors, sa structure topologique "traditionnelle" (voir définition au §1, n°4, 9) dans Top satisfait la condition de recouvrement du §1, n°4, 2. c'est-à-dire : VPcM VQcM [(PuQ = M)-> ( i n t P u i n t Q = M)] Preuve : Démontrons pour cela le lemme suivant : Lemme : Soient X un espace topologique et U un ouvert (ordinaire) de XxM. Montrons que U (en tant que sous-objet de X*M dans Top/X) est un ouvert "traditionnel" de X*M dans Top/X. Preuve du lemme : Comme on le fait tout au long de ce paragraphe, utilisons la technique "logique" d'interprétation signalée au Chapitre 0, §1, n°4, (7^ et 8) Soient Y un espace topologique p : Y + X et f : Y •* M deux applications continues telles que (p,f) : Y + X x M factorise U «*XxM [on vient d'interpréter" Vx£M (xeU + ...)]. Considérons alors un élément y e Y . Comme U est ouvert, il existe un voisinage ouvert V de py dans X et une boule ouverte de centre fy et de rayon e' , notée B(fy,e'), tels que V x B(fy,e') cU. Posons alors e =e'/2, W = (p^f)" 1 ÇVxB(fy f e)] et e : W+[0,+«>[ l'application constante sur e [les ouverts U recouvrant Y, on vient d'interpréter 3e >0(...)] . Soient enfin Z un nouvel espace topologique, q : Z-*W et g : Z + M deux nouvelles applications continues telles que : d o(f o q, g ) < ê [on a interprété, cette fois Vx'£ M (d(x,x') < e + ...)]. z étant un élément quelconque de Z , comme qz e W on a pqz e V et d(fqz,fy) < e . Mais, on a aussi d(fgz,gz) < e , par hypthèse sur g. Donc d(gz,fy) < 2e = e', c'est-à-dire gz£B(fy,e') . Ainsi (pq(z),gz) € U , d'où la factorisation de U ^ X x M par (pq,g) : Z + X xM [ce qui achève d'interpréter (... + x' £ U)3 . Preuve de la proposition (suite). On procède comme au n°l, 4. 4. La proposition précédente admet pour corollaire le théorème suivant : 118 Théorème : Si M est un espace métrique (ordinaire) alors, plongé dans Top il satisfait la formule : VU c M (U ouvert intrinsèque *>- U ouvert "traditionnel") où ouvert "traditionnel" (qui a été défini au §1, n°4, ±) signifie VxeMCxeU^ 3e>0(B(x,e) c U ) ] où B(x,e) = {y e M/d(x,y) 03n>0 Vx' e R ( |x-x' | J x-yI , c'est aussi un ouvert intrinsèque. Mais comme -1 ceux-ci sont stables par changement de base, f (B(fx,e)) est un ouvert intrinsèque, donc "traditionnel", de R contenant x. Par suite, il existe (B(fx,e)) mais cela signifie exactement que la n > 0 tel que B(x,n) c f (B(1 formule cherchée est satisfaite. 6. (Remarque). Précisons, en passant, la différence qu'il peut y avoir entre le théorème précédent et celui (du à A. Joyal) (voir [15]) qui montre que dans le topos libre "toute" application de R dans R est continue (c'est toujours de l'objet des réels de Dedekind qu'il s'agit). En effet, la différence essentielle réside dans l'emploi de l'adverbe "toute". Dans le cas de Top, nous avons vu que Top \= Vf : R •* R (f "continue"), par contre pour le topos libre L , on montre seulement que "pour toute flèche f de source R et de but R alors L |= (f "continue")* . Quant à la formule Vf : R -* F (f "continue"), elle est évidemment fausse dans L car sinon, cela signifierait que dans n'importe quel topos, donc en particulier dans Ens , toute application de R dans R est continue !... 119 - n°3 . Structure topologique traditionnelle des parties de Rn (voir définition au §1, n°4, 8) 0. Plaçons nous cette fois dans le topos de Dubuc D (voir définition au Chapitre 0, §2) où R désigne l'anneau canonique (i.e. R = C°°R op ) . Le cas du topos Top se réglant facilement car les sous-espaces de R n étant métrisables externement, le sont aussi internement. On est donc ramené au sous-paragraphe précédent. 1. R muni du sous-objet R^, = C^pO.*»:) 01 * satisfait les conditions du §1, n°4, 5 . Preuve : R étant un corps de Kock (voir Chapitre I, §1, n°2) les conditions (1) et (2) sont satisfaites. D'autre part, comme R> = E(]0,+~[), on en déduit que pour tout anneau lisse de type fini A présenté par C°°R n /I et toute flèche a : A o p -*• R (où a s'identifie à une classe d'équivalence d'un élément f de C°°Rn ) a factorise R > ssi Spec a : Spec A •* F factorise ]0,+~[ c'est-à-dire ssi la restriction de f à ZI est > 0. Par suite les conditions (3) et (5) sont satisfaites. On sait aussi (voir Chapitre II, §2, n°3, 2) que dans D : Val("x inversible";x) = Val(x ^ 0;x) = E ( T {0}). Or, dans Ens , on a : 1{0} = ]-°°,0[ u ]0,+»[ donc E("i{0}) = E( >~,0[)u E( ]0,+«>[) dans le modèle (par définition de la pré-topologie sur 3 0 p ) . C'est-à-dire : Valfx inversible" ;x) = Val(-x>0;x) u Val(x>0;x) = Val(-x >0v x >0;x) Enfin, si pour un objet A o p = (C°°F n /I) op de D la restriction de 0 : Rn->- R à ZI est > 0 alors ZI = 0 et donc A o p = 0 , ce qui prouve la condition (6). 2. Soit M = (C^F 11 /!) 013 un objet représentable. Alors M étant un sous-objet de R n , a une structure topologique traditionnelle (voir le §1, n°4,8) En fait, cette structure topologique satisfait la condition de recouvrement (du §1, n°4, 2) c'est-à-dire : VPcM VQ c M [(PuQ = M) + ( i n t P o i n t Q - M)] Preuve : Comme dans les sous-paragraphes précédents cela résultera - 120 (en utilisant, en gros, la même preuve qu'au n°l, 4) du lemme suivant (où T o n va oublier que T o n a à faire à des anneaux lisses et où la seule chose que T o n retiendra du site est que les objets représentables ont pour spectre des sous-espaces des R n ) . Lemme : Soit X un objet représentable et U un ouvert de Spec(XxM), alors EU est un ouvert traditionnel de X*M dans D/X . Preuve du lemme : Soit Y un nouvel objet représentable, p : Y + X et f : Y + M deux flèches de B telles que (p,f) : Y + X x M factorise E U ^ X x M [on vient d'interpréter Vx e M (xe EU -* ...)] . Considérons alors un élément y e Spec Y. Comme U est un ouvert de Spec(XxM), qui est égal à Spec XxSpec M, il existe un voisinage ouvert V de Tp(y) dans Spec X et un voisinage VJ de rf(y) de la forme B(Tf(y),e') n Spec M (où B(a,a) désigne la boule ouverte de centre a et de rayon a pour la distance d(x,y) = Sup|x.-y.| sur R n ) dans Spec M tels que V x V I c U . Posons alors e = e'/2 puis Vj = B(rf(y),e) n Spec M puis encore W = (rp ,rf) CV xVj] et enfin e = (EW +1 ->R) la flèche constante sur e Des ouverts W recouvrant Spec Y, on vient d'interpréter . . . 3 e > 0 (...)3 • Soient enfin Z un dernier objet représentable ainsi que q : Z + EW et g : Z + M deux flèches de D telles que -e < rg.(z) - rf. o rq(z) < + e , pour tout indice i et tout élément z n de Spec Z [on a interprété, cette fois,... Vx'e M ( A \ (-ex' e E " ] . _3. Comme précédemment, la proposition précédente admet le corollaire suivant : Si M est un sous-objet représentable de R n dans B , il satisfait la formule : VUcM où (U ouvert intrinsèque « U ouvert traditionnel) "ouvert traditionnel" (voir définition au §1, n°4, 8) signifie : VxcM [xeU +3e>0 ( B ( x , e) n M c U ) ] 121 en notant B(x,e) = { y e R n / /W i=l (-e 0 J n > 0 Vx'eR (-r) -e R (gx = f) où gx désigne la restriction de g au sous-objet X de R . Preuve : Supposons que A soit présenté par C°°Fn/I et soit B un autre anneau lisse de type fini présenté par C°°Fm/J . On notera Y l'objet dual de B dans D . Soit aussi f : Y* X -*• Y*R une flèche de D/Y . Il lui correspond donc une flèche (notée encore) f : Yx X-»-R dans D ou encore un C°° -homomorphisme C°°F -»- B ® A. Or il existe une factorisation C°°F •> cV™ \ / B #A par suite f peut se prolonger en une flèche R m x R n -» R et, par restriction, en une flèche Yx Rn->-R . Ainsi, on a montré que 1D/Y )= 3g : Rn-»-R (gx = f ) . 2. Soit maintenant suivantes : X un objet représentable, alors il satisfait les formules - 124 (a) VxeX Vf : Ti{x}+R 3g : X - R ( g i n { x } = f) (b) VxeX Vf : X + R(-n{x} c f " 1 ^ } -• f " 1 ^ } vois, de x) (cela généralise en fait un résultat dû à E. Dubuc où X était simplement remplacé par R n ) . Preuve : Ecrivons tout d'abord X sous la forme A o p où A = C°°Kn/I . a) Soit maintenant Y un autre objet représentable par B o p où B = c ' V / J et a : Y-*X une flèche de B correspondant à une section globale x o : 1"J'Y*X d a n s D / Y • Comme TiGr(a) (où Gr(a) désigne le graphe de a, considéré comme un sous-objet de Y x X ) est reprësentable par l'objet dual d'un quotient de C œ F n + m (voir Chapitre II, §3, n°2) on va pouvoir, comme au 19 prolonger n'importe quelle flèche -nGr(a) ->• R à R m x R n -* R puis à nouveau par restriction à Y x X c R m * R n on aura la flèche cherchée. b) Y et a étant comme dans (a) soit f : YxX-*R une flèche de B telle que -nGr(a) c f"1{0}[on interprète ainsi le début de la formule Vx Q e X Vf : X + R (n{x 0 } C f " 1 ^ } + ...)]. Or n G r ( a ) = c£ p où C = B ® A et F est le graphe de Ta dans Spec(BOA). De plus C c = lim Cx/ (voir Appendice, §1, n°6,7) h FcV v lorsque V décrit les ouverts contenant F. Par suite, la condition TiGr(a) c f" {0} , qui exprime que l'image de f (vu comme élément de B ® A ) dans Cp est nulle, entraine l'existence d'un voisinage ouvert V de F dans Spec C tel que la restriction f w de f à V est nulle. ce qui signifie, dans le topos, que frw = 0 , ou encore que E V c f {0}. Enfin, comme F est fermé dans Spec(YxX) = Spec(B®A) et est contenu dans V, r(YxX) est l'union, dans Ens , des deux ouverts TF et V donc TGr(a) u EV = Y x X dans le topos. Ainsi TGr(a) u f"1 {0} = Y* X ce qui achève de prouver que B/Y 1= "f" {0} vois, de x ". _3. Nous pouvons maintenant donner la version "interne" de l'identité Hom(An,R) - C ( F n , F ) signalée au début de ce sous-paragraphe. Elle se formule comme suit : Dans le topos morphisme : R R /I -~* R A B l'application "restriction" suivante est un iso- 125 Rn n où I = {f eR / 3 V c R " (V vois, de (Ufy = 0)} , en notant f y la restriction de f à V. Preuve : Grâce à la proposition précédente nous pouvons raisonner de façon entièrement "intuitionniste". Soit f : Rn-»-R une flèche telle que sa restriction à A est nulle. Posons alors V = f {0} . Par le 2, b, V est un voisinage de 0, ce qui prouve que f e l . On a ainsi montré Vinjectivité de l'applin n R A cation cation "restrictioi "restriction" R /I + R . Quant à sa surjectivité elle résulte immédiatement du 2, a. j4. Soient A et B des anneaux lisses de type fini où A est en plus de présentation finie (i.e. A-C°°F m /I où I est un idéal de type fini). Alors, si on pose X = A o p et Y = B o p . Ils satisfont la formule : Vx e X Vf : X + Y (f inf. inversible en x + f loc. inversible en x). Preuve : Tout d'abord, comme Y est représentable c'est un sous-objet d'un Rm pour un certain entier m. De plus, remarquons que, puisque A est de présentation finie, il existe un entier n et un nombre fini d'éléments ¢-.,...,4^ de C°°Fn tels que A ^ CTORn/(¢.,,... ,4^) donc, dans le topos (X étant considéré comme un sous-objet de R n ) on a X = O R dont la restriction à "i"i{y0} est égal à y~ . a) Constatons pour commencer que localement en y , G factorise X»-Rn . En effet comme G'^X) = ^ ( 4 ^ 1 . G ) {°> et " n ^ ^ M (puisque G(~n{y0}) = Y -1 (*n{y 0 }) = "n{x 0 }cX), G" (X) , que l'on notera encore V, est un voisinage de y dans Y (par la proposition £.b) d'où la locale factorisation. b) Soit maintenant H = Fo G - I : Y +Rm (où I est l'inclusion Y*-R m ). Comme ri{y J c H T ^ O } (OÙ Hi désigne la i ê m e composante de H), HT^O} est un - 126 voisinage de y Q dans Y. Soit alors W = V n A HT 1 {0} , c'est aussi un voisinage de y . On a donc montré que Vye Y (yeW->-FG(y) = y ) . Soit aussi K = G # f - I : X + R n (où I est cette fois l'inclusion X » R n ) . On montre de la même façon que W qui par définition est égal à O KT {0} est un voisinage de x dans X. On a alors, comme précédemment Vx e X ( X e W -*GF(x) = x ) . c) D'autre part on voit facilement qu'on a les inclusions suivantes : F(W' n F _1 (W)) c W n G ' ^ W ) G(W n G ' ^ W ) c W n F -1 (W) d) De plus on montre que : (W) = W'n W'n f'l( - W n F _1 (W) est un voisinage de x Q dans X car W nF•__11 (W) f'^W) (W étant dans Y et W dans X) et W est un voisinage de y Q dans Y, - W n G _1 (W) est un voisinage de y Q dans Y car W n G " 1 ( W ) = Wng _ 1 (W') [où g : V + X désigne la restriction de G (voir le (a))] et W est un voisinage de x dans X. Finalement, de tout ce qui précède on déduit que la restriction de F a W'n F _1 (W) -*W nG - 1 (W) est l'isomorphisme cherché. J5. La proposition précédente admet pour premier corollaire : (Théorème) : L'anneau canonique R du topos de Dubuc D satisfait l'axiome d'inversion locale (voir §1, n°3, 4). C'est-à-dire que pour chaque entier n, D satisfait la formule : (IL ) Vf : R n - R n n Vx «E R n (|£ (0) / O ^ f o dx loc. inversible en x ) . ^* Preuve : Résulte, par la proposition précédente, du théorème d'inversion infinitésimale (montré au Chapitre II, §4, n°2) . 6. La proposition 4 admet pour second corollaire, la proposition suivante (qui généralise la proposition 5 du Chapitre II, §4, n°l). Soit h : B-*-A un homomorphisme d'anneaux lisses de type fini où A est en fait de présentation finie (voir définition à la proposition 4) . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : - 127 (a) Pour tout point p de Spec A, l'homomorphisme B ->• A est un isomorphisme (où q = Spec h(p)) (b) h o p : A o p + B o p est infinitésimalement inversible dans D , (c) h o p : A o p + B o p est localement inversible dans D, (d) Pour tout point p de Spec A, il existe resp. un voisinage ouvert V de p dans Spec A et un voisinage ouvert W de Spec h(p) dans Spec B tels que Spech(V) = W et 1'homomorphisme restriction B w + A v est un isomorphisme. Preuve : L'équivalence (à)<* (b) a été montrée au Chapitre II, §4, n°l, 4 L'équivalence (b)X telle que t h P(X0) . Preuve : Par le Chapitre 0, §1, n°4, 8 , si 2 |= 3x*X(P(x)) il existe un recoi vrement (S. +1) et des sections globales a. : 1-*S?X dans &/S. telles que *&/S. (= StP(a.) . Mais la famille (rS. -* 1). étant surjective (voir Chapitre II, §2, n°l), il existe un indice i tel que TS. ï 0 . Soit alors p. : 1-^S. une des sections globales de S. . On a donc t (= p? StP(pta.) ou encore t |= P(p?a.) dans laquelle, pta. : 1-*X est bien une section globale de X. La réciproque est évidente. 2. Nous pouvons maintenant montrer que : nf loc. inversible en x"). cJX où "f loc. inversible en x" (défini au §1, n°3,l) signifie : 9 V c R n (V vois, de x A f V vois, de fx A f y injective) Preuve : Considérons un polynôme f(x) à une variable, envisagé comme flèche R->R dans % , et x un élément de k, regardé comme section globale 1 -* R 129 tel que en f (x ) t 0. Si 1 |= (ILj) on devrait avoir 2 |= "f loc. inversible x " . Or "f loc. inversible en x " est une formule du type J x eX(P(x)) 0 R ou P(x) est une formule à une variable libre (ici X = fir). Par suite, en utilisant le l, il existe donc une section globale v Q : 1 -* fi telle que ^ (= (v vois, de x A fv vois, de fx Q * f y injective). En clair, il existe donc un sous-objet V H- R qui est un voisinage intrinsèque de x Q tel que son image par f (noté V ) soit un voisinage intrinsèque de fx Q et pour lequel la restriction de f à V ->• V est un isomorphisme. En appliquant la proposition 4 du §2, n°3, on voit qu'il existe deux voisinages ouverts (ordinaires) U et U' resp. de x et fx dans Spm(k[X3) pour lesquels la restriction de f (considéré comme morphisme entre schémas) à U -> U' est un isomorphisme. Mais l'exemple "classique" oQ k est de caractéristique zéro, f(X) = X et x = 1 montre qu'il ne peut en être ainsi (sinon l'application / ^ serait rationnelle ! ) . 3. (Remarque) a) On aurait pu se placer en fait dans un topos de k-algèbres (sans nécessairement la condition d'être de type fini) car les recouvrements (X.+l). eux restent de type fini (voir construction de ces topos au Chapi- tre 0, §2). Cependant on ne peut plus utiliser la proposition 4 On la remplace alors, par la proposition 3 du §2, n°3. du §3, n°4 en utilisant à nouveau le _1. b) Le théorème d'inversion locale n'étant pas valide dans les topos de k-al- gèbres, il est clair qu'il ne peut y avoir pour ces topos une proposition analogue à la proposition 2 du n°l . En effet la formule suivante (qui est la formule (a) du n°l, 2) ... Vx e X Vf : T I { X } + R 3g : X - R ( g 1 1 { x } = f) X = Rn ... ne peut être satisfaite car elle signifierait pour (en utilisant la proposition 5 du Chapitre II, §3, n°3) que toute série formelle est la série de Taylor d'un polynôme !! (même exprimée localement cette formule resterait fausse car toute série formelle n'est pas non plus la série de Taylor d'une fraction rationnelle). Cependant, il en va tout autrement pour la formule (b) du n°l, 2 , comme nous allons le voir maintenant. 4. Plaçons-nous, encore une fois, dans un topos 1 de k-algèbres de type fini, 130 - où k est un corps algébriquement clos. Soit alors A une k-algèbre de type fini et X son objet dual dans î , alors la formule suivante est satisfaite : Vx € X Vf : X+R ( -n{x} c rto} -> f" 1 ^} vois, de x) Preuve : Démontrons pour cela le lemme suivant : Lemme : Soient A une k-algèbre de type fini, at un idéal de A et f un élément de A. On suppose, de plus que toutes ces données sont telles que dans le topos ¾ , la flèche composée suivante est "constante sur zéro" (i.e. elle factorise la flèche 0 : W R ) , n ( A M ) o p ~Aop - U R alors il existe un ouvert (ordinaire) U dans Spm A tel que A/*c p c EU et la restriction de f à EU est nulle. Preuve du lemme : Soit TU un idéal maximal de A contenant et . Comme (A/Tnop ~ A o p ) c (A/a o p >*A o p ) on a aussi ii(A/-m 0| V A op ) c -r,(AM°£* A op ) Appliquons maintenant l'identité suivante : -"n(A/Tri)0p = ^ (A/Tn n ) op démontrée au Chapitre II, §3, 1 . On déduit donc de l'hypothèse que la restriction de f : A op + R à (A/nm n ) op ^ A op est nulle, pour tout entier n. C'est-à-dire que f (considéré cette fois comme élément de A) appartient à W n , pour tout n. Or ^ ^ n est le noyau de T homomorphisme A ->• A ^ , donc l'image de f dans A ^ est nulle. Par suite il existe un élément a m de A tel que a ^TR et l'image de f dans A[a" ] est nulle. Soit alors Q » A op = U (A[a~J] o p ^ A op ) . On vient de voir que r(A/«op) c rQ m s & x /n on (puisque les sections globales de A/* A op est évidemment nulle, ce qui achève de montrer ce lemme (en fait Q = EU ou U qui est égal à TQ est un ouvert de Spm A). - 131 Preuve de la proposition (suite) : Soient Y un autre objet représentable de î (Y est donc de la forme B o p où B est elle-même une k-algèbre de type fini) et dans *£/Y une section globale a : 1 + Y*X et une flèche f : Y*X -*Y*R pour lesquels n { a } c f " 1 ^ } . Notons C la B-algèbre B ® A . Les données précédentes reviennent à considérer un B-homomorphisme C + B et un élément f de C tel que le composé ci-dessous soit nul dans % . Ti(B 0p ) » C0p f +R Mais comme C + B est surjectif, B est isomorphe à un quotient de peut donc appliquer ici le lemme précédent. On a alors C. On l(B op ) u EU = C o p pour un certain ouvert U de Spm C tel que la restriction de f à EU soit nulle (il suffit de le vérifier au niveau des sections globales car on n'utilise que des ouverts). Mais comme EU c f ^ O } on en conclut que lia} ce qui achève de montrer que dans Y*X . u f " 1 ^ } = Y*X f {0} est un voisinage intrinsèque de a 5. Nous reviendrons au chapitre suivant sur les conséquences qu'on peut tout de même tirer de la proposition précédente. Pour le moment contentons nous de constater que le théorème d'inversion locale (formulé au §1, n°3, 4) n'est pas conforme à ce que nous en attendions. En effet, bien qu'étant valide en géométrie différentielle (dans le topos de Dubuc) il cesse de l'être en géométrie algébrique, même dans le topos étale !! (on se souvient que Grothendieck a précisemment introduit la topologie étale pour forcer un tel théorème à être vrai..) Il va donc falloir maintenant réexaminer le concept de "locale inversion" qui semble finalement beaucoup trop fort. Nous allons voir, au chapitre suivant qu'on peut, encore une fois, grâce à l'outil logique remédier à ces difficultés. - 132 CHAPITRE IV BIJECTION LOCALE §0. Introduction. N°l. Au cours des chapitres précédents, nous avons vu comment, une application R n •*• R n de jacobien non-nul en un point x Q , pouvait s'inverser sur un domaine de plus en plus étendu autour de x Q . Cependant, en géométrie algébrique, le passage de l'infinitésimal au local nous a posé quelques difficultés (voir chapitre III, §4, n°2). On sait d'ailleurs que ce sont ces mêmes difficultés (mais formulées autrement) qui ont conduit Grothendieck à introduire la topologie étale. Ici, par contre, il n'est pas question de toucher à la topologie (dont est munie la catégorie des k-algèbres) car c'est une donnée a priori (puisqu'on peut se placer dans un topos de notre choix). C'est donc le concept même d'isomorphisme local" que l'on va devoir réviser. Disons, qu'en attachant à l'idée de "voisinage intrinsèque" une trop grande importance (qui est pourtant justifiée en topologie générale puisque tous les autres concepts se construisent à partir de celui-là) on n'a fait que retranscrire la définition traditionnelle d'isomorphisme local. Il nous faut maintenant nous demander s'il n'est pas possible de décrire directement ce qu'on entend par isomorphisme local (ou plutôt, comme nous allons le voir, par bijection locale) â l'aide de "l'outil" logique. N°2. De même que le concept de bijection (qui coïncide avec celui d'isomorphisme dans un topos) peut se décrire élémentairement (i.e. par la logique du 1er ordre, c'est-à-dire uniquement avec des variables prises dans le domaine ou le codomaine de cette application), on peut se demander s'il ne 133 serait pas possible, de la même façon, de décrire celui de "bijection locale". En tous cas, intuitivement, cela semble clair. Localement bijectif se décomposant en localement injectif et localement surjectif, on peut dire, dans le premier cas, qu'une application f : X •* Y est localement injective en un point x Q de X si, pour tout couple d'éléments x et x1 de X "près de x 0 "^ ' on a l'implication (classique)fx = fx' •* x = x'. Dans le second cas, on peut aussi dire que f est localement surjective en un point x de X si, pour tout élément y de Y "près de fx "' ' il existe un élément x de X "près de x Q "^ ' pour lequel fx = y. Encore faut-il interpréter ce qu'on entend par "près de...". Le chapitre précédent nous apporte déjà une partie de la réponse (pour le (1) et (2)) car nous avons vu que la phrase "pour tout x, près de x tel que..." pouvait encore s'écrire : vx (x ^ x v...) [que l'on peut concevoir plus précisément en disant "ou x est discernable de x ou bien, (dans le cas contraire) on a..."]. Il nous reste à donner un sens à la phrase "il existe x près de x Q tel que ...". Hélas, telle quelle, on ne peut (encore)lui donner de formulation (on le sait seulement en remplaçant "près" par "infiniment près"). Par contre, nous allons pouvoir formuler la phrase, plus complète : "pour tout y près de y Q , il existe x près de x tel que P(x,y)" que T o n écrira : yy(y t y 0 v 3x[(y = y Q + x = x Q ) A P(x,y)]) (l'implication (y = y Q -^ x = x Q ) pouvant se concevoir de la façon suivante : "lorsque y tend vers y , x tend vers x " ) . Les concepts d'injection et de surjection locale en un point x Q peuvent donc resp. se formuler ainsi : vx e X vx' e X [(x,x') t (x 0 ,x 0 ) v (fx = fx Q •* x = x Q )] vy £ Y (y ^ fx n v 3x e X [fx = y A (y = fx -> x = x j ] ) . N°3. Nous allons voir, dans le courant de ce chapitre, que cette définition est bien conforme à ce qu'on en attendait : 1. En topologie, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique elle s'identifie aux différents "morphismes étales" déjà définis dans chacune de ces branches des mathématiques. 134 - 2. Dans le cas général, les bijections locales ont de "bonnes" propriétés qui correspondent â ceux de leurs homologues de la topologie générale. 3. Et enfin, le théorème d1"inversion locale" alprs reformulé devient valide dans Iç topos étale, tout en restant faux dans celui de Zariski, ce qui justifie bien (a posteriori) le passage â la topologie étale. - 135 §1. Généralités. N°l. Injection, surjection et bijection locales. JL Dans tout ce paragraphe on se placera dans un topos fixé. Définition, (voir [34] ) Soit f : X -> Y une application quelconque et x Q un élément de X. On dit que : a) f est (intrinsèquement) localement injective en x si elle satisfait la formule suivante : vx £ X vx' e X [(x,x') ^ (x 0 ,x Q ) v (fx = fx' + x = x')] b) f est (intrinsèquement) localement surjective en x si elle satisfait la formule suivante : vy e Y (y ?* fx Q v 3x £ X [fx = y A (y = fx Q -> x = x Q )]) c) f est (intrinsèquement) localement bijective en x si elle est, à la fois, (intrinsèquement) localement injective et (intrinsèquement) localement surjective en x . d) f est (intrinsèquement) localement injective (resp. surjective, bijective) si elle est (intrinsèquement) localement injective (resp. surjective, bijective) en tout point de X. Dans la suite, lorsqu'il sera clair qu'on travaille intrinsèquement" on omettra le plus souvent ce qualificatif encombrant. 2. Nous verrons dans le paragraphe suivant des exemples spécifiques de telles applications, mais déjà la proposition suivante va nous fournir des cas particuliers souvent identifiables dans les modèles [par exemple en utilisant le théorème d'inversion locale dans le topos de Dubuc (voir chapitre III, §4, n°l)]. 3. Soit f : X -> Y une application et x un élément de X. Alors : a) f est localement injective ssi elle satisfait la formule (plus simple) suivante : vx £ X vx' € X [x î x' v (fx = fx' -* x = x 1 )] - 136 - b) Si, de plus, f est injective, on a : f est loc.surjective (ou bijective) en x Q ssi X •*• Y (en tant que sous-objet) est un voisinage de x . c) On a toujours les implications (iii) ••(ii) «••(i) où (i) f est infinitésimalement inversible en x Q (voir définition au chapitre II, §1, nQ2»2_). (ii) f est localement bijective en x Q . (iii) f est localement inversible en x Q (voir définition au chapitre III, §1, n°3,l). Preuve : a) car on a toujours ">(x = x') •+ "l(x = x Q A x' - x Q ) . b) Immédiat. c) (iii) *»(ii) : Soit V un voisinage de x Q pour lequel fV est un voisinage de fx Q et la restriction f y de f à V est injective. Soient aussi x et x', des éléments quelconques de X alors, comme V est un voisinage de x Q on a x / xft v x e r ' d e même, x' ^ xrt v x' el/' '. Donc 0 ° (31 (1) A (2) -»- x fi x 0 v x' fi x Q v (x,x* e V). Mais comme f y est injective* ' on a toujours (x,x' e V) -*• (fx = fx' + x ? x ' ) finalement (1) A (2) A (3) •> x / x Q v x1 / x Q v (fx = fx' -*• x « x'). D'où la formule cherchée. - Soit maintenant y un élément de Y. Alors, comme fV est un voisinage de fx Q on a y fi fx Q v y e fV^4^, mais y e fV*- 3x e X(fx = y A x e V) et comme f v est injective, x e V -»- (fx = fx Q + x = x Q ) . Finalement on a : (3) A (4) - y / fx Q v 3x e X [fx = y A (y = fx Q •* x = x Q )] (ii) =»(i) : Soient x et x' deux éléments de ">Mxp} tels que fx = fx*. Comme f est loc.injective en x Q , on a -|[(x,x') = (xQ,x0)] v (fx - fx' •*• x m x'). Mais comme on a (x,x') ~ (x 0 ,x Q ), c'est-à-dire -n[(x,x') = (x Q ,x 0 )] (voir chapitre II, §1, n°l,4), on ne peut avoir que l'éventualité (fx = fx' -»-x = x') Or par hypothèse fx = fx' donc x =? x'. - Soit maintenant y un élément de nn{fxQ}. Comme f est local-surjective en x. on a y fi fx n v 3x (fx = y A (y = fx -> x = x )). Mais comme on a aussi - 137 - "»(y t fx Q ) on ne peut avoir que 3x(fx = y A (y = fx Q •»• x = x Q )). Soit donc x un tel élément. De l'hypothèse : n ( y = fx Q ) on tire donc (y = fx Q - x = x Q ) A m ( y = fx 0 ) * r?(x = x Q ) Par suite on a montré que 3x e n { x Q } (fx = y ) . 4. (Remarque). Signalons qu'aucune des réciproques du 2»c» n'est valide dans le cas général. Pour la non-implication (i) i + (ii) il suffit de considérer le cas où f est injectif (voir alors la remarque 5 au chapitre III, §1, n°l) quand à (ii) ^ (iii) cela résultera du théorème de la bijection locale en géométrie algébrique (voir le §2 de ce chapitre). 5. Etudions maintenant un peu plus en détail la condition de locale injectivité. Tout d'abord constatons que si f : X -> Y est une application quelconque les conditions suivantes sont équivalentes : (a) X » X x X est un ouvert intrinsèque. (b) vy e Y (f _1 {y} est discret) (voir la définition d'objet discret au chapitre III, §1, n°2,_l). (C) VX e X VX' e X [fx = fx' •*• (x fi X1 v x = X 1 )]. Preuve : Immédiate. 6. Soit maintenant f : X -> Y une application localement surjective. Alors les conditions (a), (b) et (c) précédentes sont équivalentes à la locale injectivité de f. Preuve : La locale injectivité entraînant toujours la condition (c) (sans condition nécessaire sur f) il reste à montrer la réciproque. Soient x et x' deux éléments de X. Comme f est localement surjective, on a : fx fi fx' v 3x" e X [fx" = fx A (fx = fx' -> x" = x')3. Plaçons nous dans le cas où il existe un tel x". Dans ce cas, appliquons (c). On a donc x" fi x v x" = x. Mais, dans un premier temps : [fx" = f x A (fx = fx' -> x" = x')] A (x" fi x) - (x1 fi x) 138 En effet» si x1 = x alors fx * fx'. Mais comme (fx = fx' -> x" * x') on a x" = x'. Or x" = x donc x ' = x ce qui est contraire à l'hypothèse, (Jonc x' J* x. Dans un deuxième temps : [fx" = f x A (fx = fx1 -* x" » x')] A (x" = x) + (fx = fx' + x * x ' ) . Par suite, la condition de locale surjectivite entraîne donc que : fx f fx' v 3x" £ X [x' * x v (fx = fx' + x = x')] Mais comme fx ^ fx* -> x ^ x' et que x" n'apparait plus dans le "crochet" on a déduit la condition cherchée. N°2. Propriétés de stabilité. I. Considérons le triangle commutatif suivant : X -£-* Y h\ et soit x ^ Z un élément de X. Alors a) Si f est loc.inj. (resp. loc. surj.) en x Q et g est loc.inj. (resp. loc.surj.) en fx alors h est loc.inj. (resp. loc.surj.) en x Q . b) Si h est loc.inj. en x Q alors f est loc.inj. en x Q c) si h est loc.inj. en x et f est loc.surj. en x Q alors g est loc.inj, en fx Q . d) si h est loc.surj. en x alors g est loc.surj. en fx Q . e) si h est loc.surj. en x et g est loc.inj. en fx alors f est loc. surj. en x . Preuve : a) - Soient x et x' deux éléments de X. Par hypothèse, on a respectivement : (x,x') t (x 0 ,x 0 ) v (fx = fx' + x = x') (1) (fx,fx') t (fx 0 ,fx 0 ) v (gfx » gfx' + fx » fx') (2) - 139 - Mais comme on a (fx,fx') t (fx ,fx ) ->• (x,x!) t ( x 0 »x 0 ) et que, très généralement, on a aussi (P v Q) A (P v Q')«* P v (Q A Q') on en déduit que : (1) A (2) + (x,x') f (x Q ,x 0 ) v [(gfx = gfx' + fx = fx') A (fx = fx' + x = x')] d'où la formule cherchée. - Soit maintenant z un élément de Z. Comme g est loc.surj. en fx z * gfx Q v 3y € Y [gy = z A (z = gfx Q -* y = fx Q )] on a : (3) Plaçons nous dans la situation de l'existence d'un tel y de Y et utilisons la locale surjectivité de f. On a alors y t fx Q v sx £ X [fx = y A (y = fx Q -* x = x Q )] Or, de la première éventualité y ï fx (4) on tire z ^ gfx » et de la seconde (l'existence d'un "certain" x...) on en déduit que : gfx = z A (z = gfx -* >• xx ==xx ). ).Finalemem Finalement des formules (3) et (4), après commutation du 3 avec le v, on obtient : z fi gfx Q v 3y £ Y 3x £ X [gfx = z A ( Z = gfxQ-> x = x Q )]. D'où la formule cherchée (car il n'y a plus la variable y "entre crochet"). b) Immédiat car (hx = hx' -* x = x') •* (fx = fx' -> x = x ' ) . c) Soient y et y' deux éléments de Y. Comme f est loc.surj. en x , on a : (1) y fi fx Q v 3x £ X [fx = y A (y = fx Q -> x = x Q )] (2) y' t fx Q v 3x' £ X [fx' = y' A (y' = fx Q - x' = x Q )] Mais, très généralement, comme de P v Q et P' v Q1 on peut déduire P v P' v (Q A Q') on voit que (1) A (2)-* y t fx Q v y' ^ fx v 3x e X 3x' € X(F) où F est la formule appropriée. Plaçons nous donc sous les conditions de l'existence de tels éléments x et x' et utilisons la locale injectivitë de h, on a alors : - 140 (3) (x,x') fi (x 0 ,x Q ) v (gfx = gfx' -*• x = x'). De la première éventualité (xTx') fi (x Q ,x 0 ), on tire (y,y') fi (fx Q ,fx 0 ), quant â la seconde (gfx = gfx' •* x = x') on, en déduit que (gy * gy' •*• y - y ' ) . Finalement (1) A (2) A (3) * (y,y') fi (fx 0 .fx Q ) v 3X3x' C(y,y') fi (fx 0 ,fx Q ) v (gy =» gy* •*• y = y')]. D'où la formule cherchée, puisque x et x' ne figurent pas "entre crochet". d) Immédiat. e) Soit y un élément de Yf Comme h est loc.surj. en x Q on a : gy fi gfx Q v 3x e X [gfx = gy A (gy - gfx Q + x = x Q )]. Plaçons nous dans la situation de l'existence d'un tel x de X et utilisons la locale injectivitë de g, on a alors : (fx,y) fi (fx 0 ,fx Q ) v (gfx = gy •*• fx • y ) . Or des deux éventualités (fx,y) fi (fx Q ,fx 0 ) et (gfx = gy ->• fx = y) on tire resp. que y fi fx Q et (fx = y) A (y = fx + x = x Q ) . Finalement, les hypothèses entraînent donc : gy i gfx Q v 3x e X [y fi fx Q v (fx = y A (y = fx Q -»• x = x Q ))] d'où la formule cherchée. 2. Cette proposition admet, sous les mêmes hypothèses, le corollaire suivant : a) si f est loc.bij. en x et g loç.bij. en fxrt alors h est loc.bij. en x Q , b) si h est loc.bij. en x et g est loc.inj. en fx alors f est loc. bij. en x Q , c) si h est loc.bij. en x Q et f est loc.surj. en x Q alors g est loc. bij. en fx . 3_. Sous les mêmes hypothèses on a encore le corollaire : a) si f et g sont loc.inj. (resp. surj., bij.) il en est de même de h. b) si h est loc.inj. alors f est loc.inj. c) si h est loc.surj. (resp. bij.) et g est loc.inj. alors f est loc. surj. (resp. bij.). d) si h est loc.surj. et f est surjective alors g est loc.surj. e) si h est loc.inj. (resp. bij.) et f est surj. et loc.surj. alors g est loc.inj. (resp. bij.). 141 4. Considérons le produit fibre suivant X —2-> V J f f et l'élément x bij.) en ax b I' -* Y' de X. Dans ces conditions, si f est loc.inj. (resp. surj.,» alors f est loc.inj. (resp. surj., bij.) en x Q . Preuve : a) Soit x, et x 2 deux éléments de X. Alors, comme f est loc.inj. en ax , on a : (ax ls ax 2 ) fi (ax ,ax ) v [f'ax2 = f'axj -* ax 2 = axj] donc : (x,,x2) fi (xQ,x ) v [bfx2 = bfXj -* ax 2 = ax^] mais la condition "entre crochet" entraîne que fx 2 = fx. •* ax 2 = axj A fx 2 = fx, et comme X = Y x x1 on a aussi ax 2 = ax, A fx 2 = fXj -> x 2 = X p d'où la formule cherchée. b) Soit y un élément de Y. Comme f est local.surj. en ax Q on a : by fi f , ax Q v ax' £ X' [ f x ' = by A (by = f'axQ + x* = ax Q )]. Plaçons nous alors dans la situation de l'existence d'un tel x' de X'. Comme X = Y x X' et que f x ' = by, il existe aussi un x de X tel que : fx = y A ax = x' A (by = f'ax + x' = ax Q ). Mais cette dernière formule entraîne que y = fx Q -*• x = x Q car on a ax = ax Q A fx = fx Q -> x = x Q . Finalement, des hypothèses on arrive à la formule suivante : by fi f , ax Q v 3x £ X [fx = y A (y = fx Q + x = x Q )] d'où la formule cherchée, puisque f , ax Q = bfx Q . 5^ La proposition précédente admet pour corollaire le fait que : Les applications loc.inj. (resp. surj.,bij.) sont stables par changement de base. - 142 6. Soient I un objet, (^ : Xi + Y ) i e I une famille d'applications indexée par I, 1 un indice de I et x un point de X.. . Notons f : X L X^ + Y l'application (x,i)n- f.x. Dans ces conditions, / a) si f-\ est loc.surj. en x Q alors f est loc.surj. en (x Q ,i 0 ) o b) si f1 est loc.inj. en x Q et I est discret alors f est loc.inj. en • \ o (x 0 ,i 0 ). Preuve : a) Résulte du U d . b) Résulte du l_,c car X. -> IL X. est ouverte (voir chapitre III, §1, n°2, " D- ' T_. Sous les mêmes hypothèses on a le corollaire suivant : a) Si pour tout indice i de I, f^ est loc.surj. alors f est loc.surj. b) Si I est discret et si, pour tout indice i de I, f^ est loc.inj. (resp.bij.) alors f est loc.inj. (resp.bij.). 8. Voici maintenant une première conséquence des propositions précédentes : Toute application loc.surjective est ouverte [où une application f : X -*• Y est appellëe ouverte si elle satisfait la formule : vx e X W c X (V vois, de x dans X -*- fV vois, de fx dans Y ) , une application ouverte satisfait donc aussi la formule : vU c X (U ouvert de X •*• fU ouvert de Y)] Preuve : Soit x un élément de X et V un voisinage de x dans X, alors l'injection V»-»- X est loc.surj. en x donc, le composé V**- X •*• Y est loc.surj. en x (voir proposition _l,a). Considérons alors la décomposition suivante : X../ *fV En appliquant à nouveau la proposition 1, on en déduit que l'injection f V » Y est loc.surj. en fx, c'est-â-dire que fV est un voisinage de fx dans Y. - 143 9. Cette dernière proposition admet pour corollaire : Toute application localement bijective f : X + Y satisfait les deux conditions suivantes : a) f est ouverte (voir définition au 8) b) la diagonale X ^ X x Xest ouverte. Preuve : le (b) résulte du n°l,6. 10. Voici une autre conséquence des propositions précédentes : Soient f : X + Y une application et (U.) une famille d'ouverts € recouvrant X. Dans ces conditions : f est loc.bij. ssi, pour tout indice i la restriction de f à U. est loc.bij. Preuve : Résulte du l_fc et l9d. _U. Nous pouvons maintenant donner une réciproque à la proposition _3,c du n°l : Soit f : X + Y une application où X est tel que "X x x a la topologie produit" [c'est-à-dire, comme nous l'avons dit au chapitre III, §1, n°2J, il vérifie la formule : vx £ X vx' £ X vV c X x X [V vois, de (x,x') + 3W c X 3 W c X (W vois, de x A W vois, de x1 A W x W' c V)] . Alors : f est loc.bij. en x ssi f est loc.inversible en x Q (voir la définition de loc.inv. au chapitre III, §1, n°3,JJ. Preuve : Grâce à la proposition 3^ du n°l il suffit de montrer que loc.bij. **loc.inv. Soit V = {(x,x') e X x x/fx = fx' + x = x'} alors, f étant loc.inj. en x Q , V est un voisinage de (x Q ,x 0 ) dans X x x. Par suite, puisque X x X a la topologie produit, il existe un voisinage W de x Q dans X tel que W x W c V. On voit alors facilement que la restriction de f à W est injective. De plus, comme f est loc.surj. en x Q , fV est un voisinage de fx (voir proposition 8) donc f est loc.inv. en x Q . JL2. Enfin, comme pour les sous-objets ouverts les applications loc.injectives, loc.surjectives et loc.bijectives sont stables par image inverse de morphisme géométrique [i.e. si p : £ + V est un morphisme géométrique entre topos et 144 f : X -> Y une flèche de &' alor$, si f est loc- inj. (resp. surj., bij-) dans £ ' il en est de même de p*f : p*X * p*Y dans *%]. Preuve : a) Supposons, tout d'abord, f loc.injective. Alors, on a : lDiag x u Val(fx = fx' * x * x' ; (x,x')) = X x X où Diagx désigne la diagonale de X. Par suite, comme p* préserve les produits et les "unions" on a : p*(iDiag x ) u p*Val(fx = fx' + x - x' ; (x,x')) = p*X x p*X. Mais p*(iDiagx) q ip*Diagx = * 1Dl ^9 D *x e t p*Val(fx = fx' -> x = x' ; (x,x')) c V p*G). Finalement on a : TDiag * x u Val((p*f)x * (p*f)x' + x - x' ; ( x , x ' ) ) * p*X x p*X ce qui achève de prouver que p*f est loc.injective dans & . b) De la même façon, si f est loc.surjective on a : X x Y = IGrf u 3 ^ 1 (fx = y ; (x,xQ,y)) n Val (y « fx Q + x = x 0 ,(x,x Q ,y))] où Grf désigne le graphe de f etÏÏ; X x X x y •>• X x ï est la projection (x5XQ,y) H- (x Q ,y). Comme p* préserve les lim finies, les "unions" et les "images" on a : p*X x p*Y = p*(lGrf) u 3p*ïïCVal((p*f)x = y ; (x,xQ,y)) n... ...n p*Val(y = fx •* x = x ; (x,x ,y))]. Mais comme précédemment p*(iGrf) c iGrp*f et p*Val(y = fx Q ~+ x = x Q ; (x,xQ,y)) c c Val (y = (p*f)xQ + x =s x ; (x,x ,y)). D'où l'identité cherchée. N°3. Fibrës 1ocalement triviaux. h Définition. Une application f : X -> Y est appellée fibre trivial s'il existe (Attention, cette existence, comme toutes les autres de ce §1, est prise dans son sens interne) une application <|> : Y x x -> X vérifiant les conditions suivantes : 145 (i) vx £ X vy £ Y (f<|>(yfx) = y) (ii) vx £ X ((yfx)) = ${yl9x)). 2. Soit f : X -> Y une application telle que Y ait au moins un élément (i.e. elle satisfait la formule 3y e Y (y=y)). Alors f est un fibre trivial ssi elle satisfait la formule : 3yQ £ Y 3y : Y x f" {y Q } -> X (y bijectif A f 0 y = proj) [ce qui signifie que f est (à iso. près) une projection]. Preuve : Si f est un fibre trivial, comme Y admet au moins un élément, soit y cet élément et y la restriction de à Y x f" {y }. On vérifie que y est la bijection cherchée. Réciproquement, soit c|> : Y x X ->• X l'application définie par • Y x f {y } *• f {y Q }. On vérifie facilement que satisfait les trois conditions demandées. 3_. Soit f : X -> Y une application, notons R c Y x Y la relation définie par : R ( y 5 y , ) o 3y : f"1{y} -> f'^y 1 } [y bijectif A (y = y' -> y = Id)]. Alors, si f est un fibre trivial, la relation R est "triviale" (i.e. vy £ Y vy' £ Y R(y,y')). Preuve : Soit y : f" {y} -* f" {y'} l'application x ^ ^(y'jX). On vérifie que y est la bijection cherchée. 4. On dit qu'une relation R c Y x Y est localement triviale en un point y de Y si R est un voisinage de {y0>yQ) dans Y x Y. En particulier, on dit qu'une application f : X -> Y est un fibre localement trivial au point y de Y si la relation R c Y x Y définie au 3^ est loc.triviale au point y . Enfin, on dit que f est un fibre localement trivial si c'est un fibre loc.trivial en tout point. 146 5_. Soit f : X -»• Y une application et x un point de X. a) si f est un fibre trivial alors f est un fibre loc.trivial, b) si f est un fibre loc.trivial en fx alors f est loc.surjectif en V Preuve : a) d'après le 2b) Soit y un élément de Y. Comme f est un fibre loc.trivial en fx Q , on a la formule y e Y (y / fxQ v 3 Y : f"1{fxQ} -* F1 {y} [y bij. A (y = fxQ + y = Id)]). Dans la situation de l'existence d'un tel y comme x n appartient à f" {fx n }, soit l'élément x de f" {y} défini par x = y(x Q ). Alors évidemment fx = y. De plus si y = fx , comme dans ce cas y = Id on a x = x . 6. Considérons le produit fibre suivant : X -2-+ x1 Y — £ - + Y' et Télément y de Y. Alors ^o a) Si f ' est un fibre loc.trivial en byft, il en est de même de f en y n . b) Réciproquement, b étant loc.bij. en y , si f est un fibre loc.trivial en y - il en est de même de f en by Preuve : a) Soient y^ et y 2 deux éléments de Y. Comme f' est un fibre loc. trivial en by on a : (by lf by 2 ) fi (by0,byQ) v 3 y : f ^ t t ^ } - f ' ^ { b y ^ y bij. A (b yj = b y ^ y = Id)] -1 -1 Plaçons nous dans l'éventualité d'un tel y. Alors, comme f {y*} et f {y 9 } -1 -1 sont canoniquement isomorphes resp. à f1 {by-.} et f {by 9 }, il existe une - 1 - 1 bij. 6 : f {yj,} + f {y2)» et lorsque y^ - y 2 » o n a évidemment y = Id, grâce aux hypothèses faites sur y ; donc 6 = Id. Enfin, comme de l'autre éventualité : (by lf by 2 ) ^ (by Q ,by 0 ) on en déduit que (yvy2) arrive donc à la condition cherchée. fi (y0»y0)> °n 147 b) Soient maintenant y\ et yl deux éléments de Y', comme b est loc.surj. en yQ on a, en regroupant les conditions pour y\ et pour yi ; y l * byo v y2 * byo v 3 y l e Y 3y 2 € Y où F est la formule byj = yj A by 2 = yJ> A (yj = byQ + y1 = y ) A A (y2 = b y Q " ^ y 2 = y o^' P l a Ç ° n s n o u s dans la "meilleure" situation, c'està-dire l'existence de tels y* et y 2 - Alors, comme f est un fibre loc.trivial en y on a : (yvyz) fi (y03y0) v 3y : f " 1 ^ } + f"1{y2} [ybij. A (yx = y 2 + y = Id)]. Or, dans le "meilleur" cas, c'est-à-dire lorsqu'un tel y existe, il -1 -1 existe aussi une bij. ô : f { y p + f {y£} puisque by.^ = yj et by 2 = y£. Mais comme b est loc.inj. en y Q on a : (yj,y2) fi (y Q »y 0 ) v (by1 = b y 2 ^ y 1 = y 2 ) et, là encore, dans le "meilleur" cas, c'est-à-dire lorsque by 1 = by 2 ->y 1 = y 2 on obtient l'implication y\ = yi -*• ô = Id. Il reste à étudier les "mauvais" cas. Or on a : y[ fi byQ v y%2 fi byQ + {y[9y^) fi (by0,byQ) et (y 19 y 2 ) fi (y0»y0î * ( ^ 1 ^ * ( b v b y o ) c a r on a y i = by o ^ y i = y oet yô = byQ + y 2 = y . Finalement, en regroupant les "conclusions" on en déduit la condition cherchée (on utise la commutation du 3 avec le v et on retire le quantificateur 3 là où la variable correspondante ne figure pas). _7. (Corollaire) a) Les fibres loc.triviaux sont stables par changement de base. b) Soient f : X ^ Y une application et (b. : Y.. + Y) une famille surjective (i.e. l'application cano. ÎLY. + Y est surjective) de bijections locales. Alors, si pour tout indice i, b? X ->• Y. est un fibre loc.trivial, f est lui-même un fibre loc.trivial. f l 8. Considérons deux "objets" X . — = - * Y et X 2 f 2 X—£-»Y leur produit au dessus de Y (i.e. X = Xj •Y au-dessus de Y et soit x x 2 ) . Alors, y étant un élément de Y, si fj et f 2 sont des fibres loc.triviaux en y , il en est de même de f. Preuve : Se montre sans difficulté comme précédemment. - 148 - N°4. Nouvelle version du théorème d'"inversion" locale. 0. Nous sommes maintenant en mesure de formuler le théorème de la bijection locale (et non "d'inversion locale" comme nous l'avons déjà dit). Mais ce n'est qu'au paragraphe suivant que nous verrons que ce théorème est valide dans tous les modèles désirés contrairement à son homologue du chapitre III (voir plus précisément le §4, n°2 de ce chapitre). Enfin, comme aux chapitres précédents, on définit un concept de variété "modelé" sur celui de "bijection locale". _1. (Enoncé de l'axiome de bijection locale). R étant un corps de fraction, de type ligne et micro-linéaire, on peut considérer, pour chaque entier n, la formule : (BLn) vf : Rn + Rn vx Q e Rn (f£(xQ) fi 0 -*f loc.bijective en x Q ) . Il est clair que (IL )=>(BL n ) =^(11') (voir les énoncés des deux autres axiomes au chapitre II, §1, n°5 et au chapitre III, §1, n°3 ; quant aux implications, elles résultent de la proposition 3_ du n°l). Dans la suite de ce sous-paragraphe, R satisfera la condition (BL ) pour tout n. 2. (Théorème des fonctions implicites). Soit f : R m x R n ^ R n une application Si (a,b) est un couple de points de Rm x Rn tel que f(a,b) = 0 et m n x ^fo»") t 0 alors l'application 1 'annlieatïnn TT «n- = (f (f"1/ni. ^— (b) fi {0}» » R'" x R" nïT1 • R'") est oX loc.bij. au point (a,b). Preuve : Soit F : Rm x R n -* Rm x R n l'application (x,y)>+ (x,f(x,y)). Comme |^(a,b) = 9 f ^ x "^(b)» F est loc.bij. en (a,b). Or on a le produit fibre suivant f-^-JU Rm I Rm+n I F ^ Rm+n par suite TT est loc.bij. au point (a,b) (voir le n°2,4), 149 - _3. (Remarque). Ici, contrairement â la proposition^ du chapitre III, §1, n°3 la fonction définie par l'équation f(x,y) = 0 n'a pas pu être "explicitée" sur un voisinage de b. Nous verrons, cependant au §2 en quoi une telle proposition (ou plutôt son corollaire) peut, tout de même, être utile. 4-. La proposition 2 précédente admet pour corollaire : Soit f : R x Rn + Rn une application quelconque, et g l'application (x,y) ^ — a x M * A^ors l'application composée suivante est localement bijective : f {0} n g (Inv R)>+ Rm x Rn » Rn où Inv R désigne l'ensemble des éléments inversibles de R. Preuve : Pour tout couple (a,b) de f-1 {0} n g-1 (Inv R) l'application f" {0}** Rm x R n + Rn est loc.bij. donc, par composition avec le sous-objet ouvert f" {0} n g" (Inv R) » f" {0}, l'application cherchée est loc.bij. en (a,b) (voir la proposition J^a du n°2 et la proposition 2»b du n°l). 5. Soit M un objet quelconque. On dit que M est une variété de type quasilocal de dimension n, si pour tout point x Q de M il existe une relation F c M x Rn pour laquelle les deux projections canoniques F -* M et F •* Rm sont loc.bij. en (x ,0). On vérifie facilement les implications (par le.n°l,3J variété de type local (voir définition au chapitre III, §l,n°3,6J variété de type quasi-local i variété de type infinitésimal (voir définition au chapitre II , §l,n°3,2) 1-variëté (voir définition au chapitre I, §2,n°5,4L). 6. (Montré aussi par M. Bunge). Soit f : Rn •> Rm une application et M = f" {0}. Si en tout point de M la matrice jacobienne de f est de rang > m alors M est une variété de type quasi-local de dimension n-m. 150 Preuve : Sensiblement la même qu'au chapitre II, §l,n°5,3i« La relation F <= M x R n " m cherchée est alors simplement le graphe de l'application composée : M-±*P -*Rn"m 7. Soit M un objet et (U.) un recouvrement de M où tous les U.• sont à la i -j — fois des ouverts intrinsèques de M et des variétés de type quasi-local de dimension n. Alors, M est une variété de même type et de même dimension. Preuve : Immédiat. 8. Soit f : N •> M une bijection locale et M une variété de type quasi-local de dimension n alors N est aussi une variété de même type et de même dimension. Preuve : Résulte des propositions 1^ et 4 du n°2. - 151 - §2. Exemples. N°l. En topologie et géométrie différentielle. 0. Afin d'étudier les bijections locales dans les modèles de la topologie et de la géométrie différentielle, nous allons nous placer, plus généralement, dans des sites topologiques d'un certain type. Plus précisément : Soit Zf un site topologique (voir définition au chapitre III, §2, n°l) tel que le foncteur Spec : Zf + Toop préserve les produits finis (évidemment cette hypothèse n'est pas satisfaite par les sites de la géométrie algébrique). On notera £, son topos de faisceaux. _1. Soit f : X -> Y une flèche entre objets reprësentables. Alors, si SpecX et SpecY sont séparés, les conditions suivantes sont équivalentes : i) f est loc.bijective dans fc, , ii) f est loc.inversible dans & (voir définition au chapitre III, §1, n°3,i), iii) Pour tout point p de SpecX, il existe deux voisinages ouverts V de p dans SpecX et W de rf(p) dans SpecY tels que rf(V) c W et la restriction de f à EV •> EW est un isomorphisme (où, rappelions le, EV(Z) = {Z + X/rZ + rX factorise V-> TX}. Preuve : (ii)—>(i) : Déjà montré au §1, n°l,2. (i) =^(ii) : Résulte de la proposition 11^ du §1, n°2, de ce chapitre et des propositions 1_ et 8 du chapitre III, §3, n°l. ( i i ) => (iii) : Il suffit d'appliquer la proposition 1_ du chapitre III, §4, n°2 et la proposition 4 du chapitre III, §3, n°3. (iii) =*(i) : On utilise la proposition 10 du §1, n°2, en remarquant que d'une famille d'objets (X.) de S indexée par un ensemble (externe) I on peut en faire une famille d'objets de <£ indexée par un objet de fc(i.e. XL X. -> ju. 1). i€I n iel 2. (Corollaire "en topologie"). Soit f : X •* Y une application continue entre espaces topologiques séparés, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : - 152 - i) f est loc.bijective dans ïïop (voir définition de ce topos au chapitre 0, §2) ii) f est loc.inversible dans TTop iii) f est un homéomorphisme local (ordinaire). 3. (Corollaire "en géométrie différentielle"). Soit h : A •> B un homéomorphisme entre anneaux lisses de type fini, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : i) h o p : B o p + A o p est loc.bij. dans D (voir définition de ce topos au chapitre 0, §2) ii) h o p : B o p - A o p est loc.inversible dans©, iii) Pour tout point p de B il existe des voisinages ouverts V de p dans SpecB, et W de Spech(p) dans SpecA tel que Spech(V) c W et la restriction A w -> B v est un isomorphisme. Preuve : Voir aussi la caractérisation du foncteur E dans ID au chapitre II, §2, n°2,4,b. 4. Supposons maintenant, en plus, que la classe U , dont est muni ¥9 est formée uniquement de monomorphismes. Soit f : X •> Y une flèche entre objets représentables telle que SpecY soit séparé, alors : f est un fibre loc.tri via! dans & ssi, il existe une famille couvrante u i (Y. > — t Y) et une famille d'objets représentables F,- telles que Y. x i Y X * Y. x F. dans l . i l Preuve : y et y' étant des variables de sorte Y, notons R(y,y') la formule 3Y : f"X{y} -> f ' ^ y ' K y bij. A (y = y' + y = Id)]. Alors, si f est un fibre loc.trivial dans t on doit avoir : IDiagYu Val(R(y,y') ; (y,y')) = Y x Y, où Diagy désigne la diagonale de Y. Donc, il existe une famille (Q..) de sousobjets de Y x Y appartenant à îl telle que Diagy c U Qi c Val(R(y,y');(y,y')) (on procède comme dans la proposition 4 du chapitre III, §2, n°3). Mais, dans ce cas, comme pour chaque indice i, Q.. c Val(R(y,y') ; (y9yl))9 il existe aussi une famille couvrante (Q... » Q^) et des isomorphismes y.. : TIJ.X + TT'.'JX dans ^/Q..,- tels que la flèche - 153 ôP* Y * P* r.* w I*% ij iJ : ô ij ïï ij X "*" • Y, où Y x Y + Y désigne la première (resp. la seconde) projection, et Ô^. : Q\^ Q^. est l'égalisateur des deux flèches ffjj et i t \ y Comme on a Diag ry c \ j rQ^. et que le foncteur *J Spec : ir -»• «£op préserve les produits, alors pour tout point p de SpecY il existe un sous-objet Q de Y, appartenant à 11 tel que p e rQ et Q x Q est contenu dans l'un des Q... Par suite, il existe un isomorphisme 1J -1 -1 y : Q x f Q + f Q x Q rendant les deux diagrammes suivants commutatifs : -1 Y _1 Q x f Q • f XQ x Q Id x f\ / f x Id * \ (f.Id) v (Id,f) w // * QxQ Il suffit alors de faire un changement de base le long de la flèche (Id,p) : Q + Q x Q pour obtenir un isomorphisme entre Q x f {p} et f Q au-dessus de Q. Les sous-objets Q recouvrant Y, lorsque p e SpecY varie, on voit que f vérifie la condition cherchée. Réciproquement, il suffit d'utiliser les propositions 2 et 7 du §1, n°3. 5. (Corollaire "en topologie"). Soit f : X + Y une application continue (ordinaire) telle que Y soit séparé. Alors, f est un fibre loc.trivial dans "iïop ssi f est un fibre loc.trivial (ordinaire). 6. (Corollaire "en géométrie différentielle"). Soient h : A + B un homomorphisme entre anneaux lisses de type fini et f = Spech : SpecB -> SpecA. Alors, h o p : B o p + A o p est un fibre loc.trivial dans le topos ID ssi il existe un recouvrement (U^) de SpecA et des anneaux lisses de type fini C tels que Bf_]„ = A.. ® C. au-dessous de A.. . N°2. En géométrie algébrique. 0. Nous allons tout d'abord nous intéresser au "théorème de la bijection locale" (et non "d'inversion locale") dans les différents topos de la géométrie algébrique. Cela nous permettra alors, dans un deuxième temps, de caractériser plus généralement les bijections locales entre objets représentables dans le topos étale et le topos "plat". 154 JL Décomposons le "théorème de la bijection locale" en deux parties. Tout d'abord : Soit S un topos de k-algèbre où k désigne un anneau commutatif unitaire, et R son anneau canonique (i.e. R = k[X] o p ). Alors, R satisfait, pour chaque entier n, la formule suivante : vf : R n + Rn vx Q € R n (f£(xQ) fi 0 -* f est loc.injectif en x Q ) . Preuve : La démonstration que nous allons faire est purement intuitionniste. La seule chose que nous utilisons est que R est un corps de fraction qui est un anneau local (voir chapitre I, §1, n°2) de type ligne (voir chapitre I, §2, n°2) et de Fermât (voir chapitre I, §3, n°2). Soit f : Rn -* Rn une application quelconque et x n un élément de R n tel 3f omme R e s t un que x - x' = x ) . D'autre part l'ensemble U = {(x,x') e Rn x Rn/det g(x,x') inversible} est un ouvert de R n x R n car c'est l'image réciproque de l'ensemble des inversibles de R, par l'application ( X , X ' ) M > det g(x,x'). Enfin (x ,x ) e U car det g(x 0 »x Q ) qui est égal à af •^(x ) (par le (b)), est inversible puisque R est un corps de fraction. Donc oX U U est un voisinage de (x ,x ). Finalement f est loc.injective en x car, comme nous l'avons vu, {(x,x') e R n x Rn/fx' = fx -> x' = x} contenant U est lui-même un voisinage de (x ,x ) . 2. Voici maintenant la deuxième partie du théorème (montrée dans [34]) : Soit t l'un des quatres topos Et k , E t £ p f ) , P* k e t P n £ p f ) (définis au chapitre 0, §2) où k est toujours un anneau commutatif unitaire quelconque. Alors, l'anneau canonique R de % satisfait, pour chaque entier n, la formule (BLn) (voir §1, n°4) suivante : vf : R n + Rn vx Q e Rn (f£(xQ) fi 0 -* f est loc.bijective en x Q ) . 155 Preuve : a) Il nous reste donc à montrer la "locale" surjectivité. Tout d'abord, comme on T a signalé plusieurs fois, puisque pour toute k-algèbre A, ^ / A p est lui-même un topos de A-algèbre, il suffit de montrer que : Pour toute flèche f : R n -• Rn et toute section globale x Q : 1 -»- R n si £ »= fx-(x0) t 0 alors 2 1= "f est loc.surj. en x ". D'autre part, en utilisant une des remarques signalées dans la preuve de la proposition précédente, il nous suffit de montrer que, moyennant la présence de la fonction g : R n x Rn -* Mat(n x n) on a : £ •= vy e R n (y fi fx Q v 3x e R n [fx = y A det g(x,x Q ) inversible]) car "det g(x,x Q ) inversible -»- (fx = fx Q -»• x = x 0 ) " . Ou encore, puisque très généralement on a W 1 P . -> 7/X\P. et que "x inversible -> x fi 0", 1 1 n £ t= vy e R (\X/(yi - fx inversible) v 3x e R n [fx = y A det f(x,xj ini=l ° versible]). Or cette dernière formule est cohérente (voir définition dans [27]). Il nous reste donc à formuler des hypothèses elles-même cohérentes pour n'avoir à faire la preuve que dans les ensembles (voir [27]). b) Pour commencer, on sait que R dans les topos de l'hypothèse, est un anneau strictement hensélien (voir [19])cette dernière propriété étant elle-même cohérente . D'autre part comme Hom(R n ,R n ) = k[x1,...,x ] n et Hom(l,Rn) - k n , les flèches f et g sont, en fait, des fonctions polynomiales â coefficients dans R et les dérivées partielles 3f./3x. peuvent s'écrire uniquement à l'aide des coefficients des f. (il n'est donc plus nécessaire de supposer que R est de type ligne ou de Fermât qui sont des propriétés non-cohérentes). Quant à g il suffit de signaler les équations qui le lient à f. Finalement les hypothèses peuvent se formuler ainsi : On suppose qu'on a un anneau R strictement hensélien, a = (a, a n ) : 1 + R n une section globale, (f.) une famille de polynômes de R[X] où X = (X lt ... t X_) et (g..) i^n i n IJ u^n une autre famille de polynômes, telles que : f.i Y " f i X = et .1 9ij< X » Y HY X j) 3f, gX7(X) = g ^ X . X ) J 1-1...-.n i,j=l,...,n 156 3f. Enfin, on suppose évidemment que det(-5-7i(a)) est inversible. Comme nous ax j l'avons dit, toutes ces hypothèses sont bien cohérentes. c) Il nous reste donc à montrer que le topos Ens satisfait la formule (que T o n désignera par F pour simplifier) qui a été énoncée à la fin du (a). Notons alors k le corps résiduel de l'anneau strictement hensélien (donc local) R, x la classe d'équivalence dans k d'un élément quelconque x de R, de même que P(X) l'image de P(î) par 1'homomorphisme R[X] + kCX]. Alors, la formule F précédente peut encore s'écrire : vy e Rn(\X/(y,-f,(a) fi 0) v 3x e Rn[fx = y A det g(x,i) fi 0]) 1 1 i=l ou encore, en utilisant la logique booléenne de Ens, vy 6 R n (y = ?(i) + 3x € Rn[fx = y A det g(x,i) fi 0]). Pour la montrer, utilisons la propriété classique suivante des anneaux henséliens (donnée, par exemple, dans [28]) : - Soit Px ,..., P n 6 R[X lf ... f X ], si il existe a = (aj,...,an) e k n tel que P.(a) = 0, i=l,...,n et det((9P./3X.)(a)) fi 0, alors il existe b € R n tel que b = a et P.(b) = 0, i=l,...,n. - Il nous suffit donc ici de poser P..(X) = y.. - f..(X), pour en déduire l'existence d'un élément x de R n tel que f.(x) = y., i=l,...,n et x = â 3f,. . _ .. puisque det(-r^(a)) fi 0. Mais alors, on a : det g(x,a) = det g(a,a) = 3x j 3f i det(-r-*-(a)), ce dernier étant différent de zéro par hypothèse, ce qui achève 9x j bien de prouver que Ens •= F. 3. Par contre, dans le cas d'un corps k de caractéristique nulle, l'anneau canonique R du topos Zar. (voir chapitre 0, §2) ne satisfait pas la formulé (BLn) de bijection locale (voir §1, n°4). Preuve : Montrons le pour n=l. Soit f : R -*• R une flèche (c'est-à-dire un polynôme à coefficients dans k) et x Q : 1 -»• R une section globale (donc un élément de k) tel que Zar^ H f'(xQ) fi 0 (c'est-à-dire, tout simplement, - 157 tel que f f (x 0 ) fi 0 puisque k est un corps). Alors, si Zar. satisfait la formule de locale surjectivitë en x , cela signifie qu'il existe, dans un voisinage de Zariski de fx , une section rationnelle s de f telle que s(fx ) = x Q . Or, comme nous l'avons déjà dit, si on prend pour f le polynôme X^, il vérifie les hypothèses au point 1 et cependant il ne peut admettre de section rationnelle, même localement. 4. Une conséquence importante du théorème 2 va être la caractérisation des bijections locales dans les topos étales et plats (déjà montrée dans [34]) : k désignant un anneau commutatif unitaire, soit A -> B un k-homomorphism entre k-algèbres de présentation finie. Alors, si B est une A-algèbre étale, la flèche B o p -> A o p est localement bijective dans les topos de la proposition 2. Preuve : a) Montrons le tout d'abord pour les algèbres étales standards (voir définition dans [35]). Rappelions qu'une A-algèbre C est appellée étale standard si elle est de la forme B[b" 1 ] où B = A[X]/(P) (P désignant un polynôme quelconque) et où b est un élément de B tel que P'(x) soit inversible dans B[b" ] (en notant x l'image de X dans B[b" ]). A étant supposé de présentation finie, c'est un quotient de k[X 15 ...,X n ] donc A o p c R n et A [ X ] o p = A o p x R c R n + 1 (car A[X] = A Q k[X]). k D'autre part, à tout polynôme P de A[X] correspond une flèche A p x R -* R n+1 restriction restriction d'une d'une flèche flèche (notée (notée encore) encore) P P :: R les produits fibres suivant dans le topos. -> R. On voit alors qu'on a B[P- (x)" 1 ] 0 " 3 >-+ B 0 p >-* A [ X ] 0 p - * A 0 p .ii i i •jLJL(Inv R)oP" 1 {0}>->P" 1 {0}>-^R n + 1 3X n+l ï —>Rn Proj où B et x sont comme précédemment. Par suite, la flèche horizontale inférieure étant loc.bijective (par la prop. 2 et le §1, n°4, 4) il en est de même de la flèche horizontale supérieure. Enfin, pour un b e B du type précédent, comme on a la factorisation suivante : 158 - BCb^IU.-.BCP'fx)" 1 ] et que B[P'(x)" 1 ] 013 » B o p est un ouvert intrinsèque, B[b _ 1 ] o p >* B[P'(x)" 1 ] op en est un aussi et par composition, la flèche canonique C o p -»- A o p est local, bijective. b) Revenons maintenant au cas général. Comme tout morphisme étale est localement étale standard (voir par exemple [28]) il suffit d'appliquer la proposition 10 du §1, n°2 sur le recollement des applications loc.bijectives, pour achever la preuve de notre proposition. 5. k étant maintenant un corps algébriquement clos, soit h : B •*• A un khomomorphisme entre k-algèbres de type fini. Notons X = A o p , Y = B o p et f = h o p leurs objets ou flèche duaux dans un topos ô de k-algèbres de type fini. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) h est non-ramifië (voir définition, par exemple, dans [28]) ii) X •* X x x est un ouvert intrinsèque dans t> iii) La formule suivante est satisfaite dans £ : vx e x ( n {x} ->- r>{fx} est injectif) Preuve : ( i ) ^ ( i i ) car ces deux propriétés sont équivalentes au fait que SpmA •+ Spm(A ® A) est une immersion ouverte [la première équivalence est B connue pour les morphismes non-ramifiës) (voir, par exemple, [28]) quant à la seconde, elle résulte du chapitre III, §2, n°5, 3^. L'implication (ii)=^(iii) se vérifiant facilement "intuitionnistement" il reste à vérifier l'implication (iii)=* (ii). Remarquons tout d'abord que dans la situation présente, comme A est de type fini, son objet dual X est un sous-objet d'un certain R n . Remarquons aussi que X * X est reprësentable par l'objet dual d'une k-algèbre de type fini. Nous pouvons maintenant raisonner entièrement de façon intuitionniste. Soient x Q un élément de X et g : X >< X + Rn l'application définie par g(x,x') = x - x'. Il est clair que l'hypothèse (iii) entraîne que n7{(x 0 ,x Q )} c g _ 1 {0}. Par suite, on peut appliquer la proposition 4 du chapitre III, §4, n°2. g _1 {0} est donc un 159 - voisinage de (x ,x ) pour tout point x Q de X, ce qui signifie qu'on a la condition (ii). i5. Plaçons-nous sous les hypothèses de la proposition 5 précédente. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) h.est étale, ii) f : X -* Y est infinitésimalement inversible dans £/. Preuve : (ii) -*(i) : Par la proposition E> on sait que h est non-ramifié. Soit alors m : 1 •* X une section globale (i.e. un élément x de SpmA). Comme f est infinitésimalement inversible dans £ la flèche canonique Ttfm} —*-n{fm} est un isomorphisme. Mais, par la proposition 4 du chapitre II, §3, n°3, cela entraîne que le k-homomorphisme canonique: B«v^  ^ est un isomorphisme, où /^ est l'idéal maximal h"" (i^). Par suite, h, qui est non-ramifié est étale au point *^9 pour tout *\. de SpecA (voir, par exemple, [30]) il est donc étale (tout court). (i) ^ ( i i ) . Nous avons vu dans la proposition £ que si h était étale, la flèche f : X -> Y correspondante était une bijection locale dans les topos de la proposition 2. f est donc aussi, à fortiori, inf.inversible (voir proposition 3 du §1, n°l) dans les mêmes topos. Or la négation (et donc aussi la double négation) est la même dans tous les topos de k-algèbres de type fini où k est algébriquement clos (car r et E ne dépendent pas de la topologie du site sous-jacent au topos), par suite f est encore inf.inversible dans tous ces topos. 7\ Plaçons-nous pour finir dans un des deux topos Et£ p ' o u P t £ p ' où k est un corps algébriquement clos, et soit h : A -> B un k-homomorphisme entre kalgèbres de type fini. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) h est étale ii) h o p : B o p -> A o p est infinitésimalement inversible dans £ , iii) h o p : B o p + A o p est localement bijective. Preuve : L'équivalence (i) «=>(ii) ayant été montré au 69 il nous reste à montrer que (i) =*(iii) et (iii) =^ (ii), mais ces deux dernières implications ont déjà été établies resp. au 4 et au §1, n°l, 3. 160 APPENDICE : TOPOS C §1. Anneaux C . N°0. L'essentiel de ce qui sera abordé dans cet Appendice est due à E. Dubuc (voir [10], [11] et [12]). Son principal but est de traiter la gêmétrie différentielle avec les mêmes méthodes que ceux de la géométrie algébrique, afin de construire un modèle pour la géométrie différentielle synthétique. Ce modèle est d'ailleurs l'un des exemples de base qui sera étudié tout au long des quatre chapitres de ce travail. N°l. Anneaux C°°. CL Nous allons décrire une structure qui joue, pour la géométrie différentielle, le même rôle que celle d'anneau commutatif unitaire pour la géométrie algébrique. Pour cela, remarquons qu'un anneau commutatif unitaire peut être vu comme : un ensemble A muni, pour chaque polynôme P de degré n à coefficients dans Z , d'une loi de composition n-aire P : A n + A ; ces lois étant liées entre elles par autant d'axiomes de la forme : P(Q 1 (a p ...,a n ),...,O k (a 1 ,... 9 a n )) = R(a ls ...,a n ) où a x ,...,a n e A qu'il y a d'équations polynomiales du type P(Q 1 (Xp... , X n ) , . . . ^^(Xj,... ,Xn)) = = R(X 1S ...,X ). [On retrouve, bien entendu, l'existence de l'addition et de la multiplication pour A, en considérant les polynômes X + Y et X.Y]. Fort de cette présentation, nous pouvons maintenant donner la définition 00 d'anneaux C suivante due à Lawvere. 1. Un anneau C°° est la donnée d'un ensemble A muni, pour chaque application C00 f : ]Rn + IR (n étant un entier variable) d'une loi de composition n-aire f : A n -> A, ces lois étant liées entre elles par autant d'axiomes de la forme : 161 f(g 1 (a 1 ,...,a n ) g ^ a ^ . . . ,an)) = h(a 1 a p ) où aj an e A qu'il y a d'équations du type ftg^Xj,... , x n ) , . . . ,g(<(x1,...,xn)) = = h(x,,...,x ) où x, ,...,x e IR. - Un morphisme entre anneaux C°° A et B est la donnée d'une application h : A -> B.qui fait commuter tous les diagrammes du type : fln h" . Avant de passer aux exemples disons tout de suite que la proposition suivante, qui peut paraître étonnante à première vue, va fournir une multitude d'exemples, à bon marché, d'anneaux C°°. Proposition : Soit A un anneau C°° et I un idéal (au sens usuel) de cet anneau. Alors A/I est muni d'une et une seule structure d'anneau C°° telle oo que l'application canonique A -* A/I soit un morphisme C . Preuve : Soit f e C°°(IRnJR), il faut montrer qu'on a la factorisation : An !—• A l (A/I) l n > A/I Pour cela on utilise le lemme de Hadamard (à n variables). 162 - Lemme. Soit f e C°°(IRnJR). Alors il existe n fonctions g 1 ,...,g n e C°°0R n JR) telles que : n fx - fy = J g i (x 9 y).(x i -y.). En effet, soit a = (a l9 ...,a ) et a' = (a^,...,a^) deux éléments de A n tels que, pour tout 1 < i < n, a. - a', e I alors fa - fa' = y g.(a,a'). (a_.-a!)€ I i .=1 i i^ i i car l'équation entre fonctions C°°, donnée par le lemme de Hadamard, devient ici un axiome des anneaux C00 . 4. Exemples : 1) L'anneau C°° libre à n générateurs est l'anneau C°°(IRnJR) que T o n notera pour simplifier C°ÎRn ou encore JR{X,,...,X } par analogie avec l'anneau Z[X 1 ,...,X ] qui est l'anneau libre à n générateurs [Dans le cas présent X- est la ième projection lRn +1R]. 2) Plus généralement si M est une variété C°°, l'anneau C°°M = C°°(MJR) est C°°. 3) Si x est un point d'une variété M, l'anneau C°°(MJR) [que l'on notera A simplement C°°M] des germes, en x, de fonctions lisses de M dans IR, est enA core un anneau C°°. 4) La IR-algèbre JR[e:] =1R[X]/(X ) des nombres duaux est un anneau C [On montre, plus généralement, dans [10] que toute algèbre de Weil est un anneau C 00 ]. 5) La IR-algèbre des séries formelles à n indéterminées JR[[Xj,...,X ]] est enfin un anneau C°°. Preuve : Les deux premiers exemples sont immédiats, quant aux trois derniers il résultent de la proposition précédente car : a) £ M = C ^ M / l V ) où I w (x) = {f e C°°M/f = 0}, en notant f le germe A A A de la fonction f au point x, b) R[e] = C°lR/(Id ) (On u t i l i s e encore le lemme Hadamard), c)IRc[X 1 X n ]] = C f W l 0 0 où T = { f e ( J W v a elN n (8 a f(0) = 0)} a a en notant 9 a f = -^- ... A _ _ f où a = (eu L 3x 1 3x n 1 n a ) e H n . [Ceci est une n - 163 conséquence du théorème de Borel (voir par exemple [38]) . J5. Un anneau C00 A est dit de type fini, s'il existe un entier n et un idéal I de C°°IRn pour lesquels on ait un isomorphisme : A * C°°lRn/I Notons ^ ' la catégorie des anneaux C°° de type fini. 6. Avant d'étudier les propriétés de cette catégorie donnons une autre présentation de la duale de <^'. Soit donc «#'* la catégorie dont : - les objets, sont des couples (n,I) où n est un entier et I un idéal de C°°lRn, - les flèches (n,I) + (m,J), sont des classes d'équivalence d'applications C°° f : IRn +IR m telles que : V* € C°°]Rm ( e J =><(> o f e I) pour la relation d'équivalence suivante : f - g ssi proj.. 0 f - proj. 0 g e I, pour tout i < n où proj. : lRn +IR désigne la iëme projection canonique. L'équivalence # ' * + ^' o p est le foncteur défini de façon évidente sur les objets et qui, à une flèche T : (n,I) -* (m,J) de <&'* fait correspondre l'unique factorisation C HT i m • C JR i C°°]R /J . . . > C - F n / I [En notant f* l'application "composition par f " : g »• g 0 f ] Preuve : On utilise la propriété universelle de C IR . - 164 _7. Remarque : Dans la suite, nous raisonnons plutôt avec la catégorie <#' qu'avec o9'* car il arrive parfois qu'on utilise des anneaux C00 de type fini qui ne soient pas sous la forme canonique (penser, par exemple aux anneaux IR[e] oùIR[[X]] mais nous en verrons d'autres). 8. La catégorie # ' est à limites inductives finies. Plus précisément les limites sont données comme suit : a) objet initial : C°°IR0 - IR b) Sommes finies (noté ®' par analogie avec le cas des anneaux) : C JR / I ® CIR/J^CIR / P l + q J où p : lR n+m -*K n et q : lR n+m -*IRm sont les projections et p*I est l'idéal image de I par le morphisme p* : C°°lRn -> C°°lRm de "composition par p". c) co-égalisateurs : coég[f*,g* : C°°lRn/I t C°°]Rm/J] = C°°IRm/K où K est l'idéal J + (projj 0 (f-g),...>Pr<>Jn o (f-g)) Preuve : On utilise la dualité précédente. 9. Une conséquence immédiate de la dualité £ est la bijection suivante : &(Cœ]Rn/IJR) « #*((0,{0}),(n,I)) - Z I , où ZI désigne l'ensemble des "zéros" de I, c'est-à-dire l'ensemble des x de K n dont l'image s'annule par toute fonction appartenant à I. C'est pourquoi nous pouvons appel 1er point d'un anneau C°° A un morphisme C°° de A dans l'objet initial IR [Dans le cas algébrique ZI est l'ensemble des points de la variété algébrique définie par l'idéal I]. N°2. Idéaux de caractère local. 0. Nous verrons au §2 que les anneaux C°° de type fini ont de "mauvaisespropriétés locales" (voir plus précisément le n°3, 2 du §2) c'est pourquoi il est préférable de se restreindre à une sous-classe de ceux-ci qui cependant est suffisamment générale pour contenir tous les exemples souhaitables. Cette sous-classe repose sur le concept d'idéal de caractère local que nous - 165 allons étudier ici. 1. Munissons C°°lRn de la topologie initiale pour la famille des espaces discrets C°°U, où U parcourt les ouverts bornés delRn. Cette topologie a pour base de voisinages en f e C°°IRn les ensembles de la forme V(f,U) = = {g € C°°]Rn/gu = fy} (où f^ désigne la restriction de la fonction f à l'ouvert U) C°°lRn muni de cette topologie devient un anneau topologique et même un anneau C00 topologique (c'est-à-dire que les lois de composition sont toutes continues). 2. f étant un élément de C°°lRn, notons Df = K n - Z(f) = {x e K n /fx * 0}. Df est clairement un ouvert. Soit maintenant (f.) une famille d'éléments de C°°lRn. On dit qu'elle est localement finie ssi la famille (Df.) est localement finie. En fait : Une famille (f.) est localement finie ssi elle est sommable (pour la topologie envisagée ici). Dans ce cas ( T f - O M = (/T f,-)(x) où Jv = {i/f.x fi 0} e (qui est toujours fini). x Preuve : a) Si (f.) est sommable, soit V un voisinage d'un point x de K n (on peut toujours le supposer borné) alors, par définition de la sommabilité, il existe une partie finie J de l'ensemble d'indices telle que, pour tout j i J, 7 f.- et Y f. ait même restriction à V. Par suite (f.) = 0 et n J ioJ i£Ju{j} ^ V donc {i/Df. n V ^ 0} c J qui est fini. b) Réciproquement, soit Jf. = f la fonction C°° définie par f x = \ f .xf ieJ x et U un ouvert borné quelconque. Alors pour chaque x e 0, il existe un voisinage ouvert V de ce point tel que l'ensemble J' = {i/Df. n V / (J} soit A A I A fini. La famille (V ) recouvrant 0 qui est compact, il existe donc un A nombre fini de points x.,...,xb tels que 0 c Vv u...u Vv . Soit donc x x i K l k J = J'x u...u J'x . On vérifie alors facilement que J est la partie finie l k cherchée. 3. I étant un idéal de C°°IRn, notons I son adhérence pour la topologie envisagée ici. Nous allons maintenant donner une série de critères plus commodes pour reconnaitre quand une fonction f € C°°IRn est ou non adhérente à 166 l'idéal I. En fait, les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) vx e ZI (f e I ) . (En notant I v l'idéal, dans C ~ K n , des germes de X X X A fonctions de I). (ii) vx€ K n (fx c I x ). (iii) Il existe un recouvrement ouvert (U.) pour lequel f.. e L , pour tout i (où Iy désigne l'idéal engendré, dans C°°U, par les restrictions à U des fonctions de I). (iv) Il existe une partition de l'unité (<^) telle que ...f € I, pour tout i. (v) Il existe une famille (f.) localement finie, de fonctions de I, telle que f = £f., (iv) f e ï. Preuve : (i)=*.(ii) : car pour tout x i ZI, I x = C x lR n . (ii) =»(iii) : car si f v e I , f v ne dépend, en fait, que d'un nombre fini X X X d'élémentsde I, par suite on peut trouver un voisinage ouvert V x de x pour lequel f v e lu x x (iii) =^ (iv) : Soit (U..) un recouvrement tel que f^ e 1^ , et soit (<|>a) une partition de l'unité plus fine que (U^), alors D$ o * U i( a \» 0 r f U = l x"-(s") où g" e I et Xj € C°°Ui, x. Considérons alors les fonc- tions y? : IR -»]R définies par : J yj(x) = xj(x).a(x) si x e U. a y®(x) = 0 sinon. J On voit que y? e C°°lRn (car y? est C°° sur UJ J i ot et ]Rn - UT" qui forment un ot recouvrement deR n ) et f. = Y u?g? ( i l suffit de le vérifier sur U. a Rn - W), par suite f.* j J J e I pour tout a. et 167 (iv)=»(v) : la famille (<{>.,f) est évidemment localement finie. (v) =»(vi) : d'après le 2 (vi) =»(i) : il suffit d'écrire la définition de f € T pour un voisinage de la forme V(f,V) où V est un voisinage ouvert d'un élément de ZI. 4. Définition : On dira qu'un idéal I de C TR est de caractère local s'il est fermé pour "notre" topologie (celle définie au 1). Nous allons voir (au n°3) qu'il y a de très nombreux exemples d'idéaux de caractère local. Mais avant, donnons en une propriété essentielle : £. (Théorème des zéros) : Si I c C°° K n est un idéal de caractère local alors ZI = 0 ssi I = C°°lRn Preuve : Si ZI = 0 la formule Vx e ZI (1 e I Y ) est évidemment satisfaite, ' A A donc 1 e I. La réciproque est immédiate. N°3. Exemples et contre-exemples d'idéaux de caractère local. JL Une première série d'exemples est donnée par les idéaux fermés pour la topologie [dite de Whitney : voir par exemple [38]] suivante : Elle a une base de voisinages à l'origine, formée des ensembles suivants : W(K,e,m) = {f e C°°lRn/Vx e K Va € N n ( |a| < m=»|9 a f(x)| < e)} (en notant |ct| = otj +...+ a pour a = (ap...,a )) où K,e et m parcourent respectivement, l'ensemble des parties compactes de!R n , des réels strictement positifs et des entiers naturels. Cela résulte du fait que la topologie de Whitney est moins fine que "notre" topologie (voir n°2,l). En effet, pour tout triplet (K,e,m) du type précédent, on a V(0,B) c W(K,e,m) où 0 est la fonction nulle et B est une boule ouverte contenant K. Dans ces exemples on peut faire rentrer les idéaux de la forme : a) I°(F) = {f e C°°lRn/fF = 0} - 168 b) I°°(F) = {f e C°°]Rn/ Va e W n (3 a fp = 0)} où F parcourt l'ensemble des parties fermées de!R n . 2. Une autre classe importante d'idéaux de caractère local est celle des idéaux de type fini. Montrons tout d'abord le lemme suivant : Lemme. Si I et J sont deux idéaux de caractère local de C°°]Rn, il en est de même de I + J. Preuve du lemme. Soit f € I T J. Alors, pour tout x € F n ; f e (I+J) x . Ou encore f = (g x ) + (h x ) pour un certain g x e I et un certain h x € J. Dans X X Y X y = (g + h A ) v ce cas, soit V x un voisinage de x tel que f„ X et soit (<|>a) une A partition de l'unité plus fine que (V x ), (c'est-à-dire U^T c V , a x ) . Posons maintenant g = l a.gX(a) et h = l * a .h x ( o t ) . Comme 4> d g x(a) e I et / x a a <\> .h *a' e J alors g € I et h e J car I et J sont de caractère local. Mais f = g+h car *a .[f-(g x ( a ) +h x ^ a ^)] = 0 sur Vx,\ 0$*j et IRn - W~ et de ce fait ot l .[f-(g x(a )+h x ( a ))] = 0. Ainsi f e I + J. a a Preuve du 2 (suite) : il reste donc a prouver notre proposition pour les idéaux principaux. Soit I = (h) un tel idéal et f £ I. Alors (par le n°2,.3) il existe un recouvrement ouvert (U.) de ]Rn tel que fy e L . Ainsi i i fy = A- .hy où À. e C°°U.. Soit (à) une partition de l'unité plus fine que (U.) et soit X la fonction définie par À(x) = l (x).A./ .(x) 1 naj aeJ a X avec 00 J Y = {a/x e D<\> } (qui est un ensemble f i n i ) . Clairement X est C . De plus, a A pour tout x on a : X(x).h(x) = l acJ x f(x). I aeJ ( x ) . (À., J x ) . h ( x ) ) = v ; l * a (x).f(x) = aeJ x ({> (x) = f(x). Ainsi f, qui est égal à X.h appartient à I, ce qui x a achève de prouver que I est de caractère local. 169 3. Remarque. Il ne faudrait pas croire que tout idéal de type fini est fermé pour la topologie de Whitney. En effet si h £ C°°]Rn est plate en un point, (h) n'est pas fermé pour cette topologie. 4. Signalons, pour terminer comme exemples d'idéaux de caractère local, les idéaux de germes, c'est-à-dire les idéaux de la forme : I W (F) = {f e C°°IRn/ VX £ F(f x = 0)} où F est une partie fermée deIRn. 5. Il serait faux de croire que tout idéal est de caractère local, comme le montrent les contre-exemples suivants : a) L'idéal I des fonctions de C°°lRn à support compact, b) L'idéal I1 = p*I œ (0) où p : IR ->IR est la première projection. Preuve : a) On a ZI = 0 et pourtant I / C°°IRn b) En fait f £ I1 ssi il existe un voisinage V de zéro dans IR tel que, f V x ] R = 0. Pour trouver une fonction f i I mais cependant telle que : pour tout (x,y) £ IR , f /vx wN £ Iî x * il suffit de considérer une fonction C°° valant v »y; v »y; 2 2 2 exactement zéro sur l'ensemble : F = {(x,y) £ IR /x .y ^ 1}. N°4. Anneaux lisses de type fini. JL Définition. Nous dirons qu'un anneau C°° A est un anneau lisse de type fini s'il est isomorphe à un anneau C°° de la forme C°°]Rn/I où I est un idéal de caractère local. Un anneau lisse de type fini est donc un anneau C°° de type fini, la réciproque étant évidemment fausse (voir n°3,5). 2. Remarque. On pourrait définir plus généralement le concept d'anneau lisse, sans imposer qu'il soit de "type fini". C'est d'ailleurs ce que fait E. Dubuc sous le nom d'anneau œCœ (voir [12]). Il ne nous a pas semblé nécessaire ici, de rentrer dans de telles considérations générales, puisque les seuls anneaux lisses que nous aurons à considérer seront toujours de type fini (ils sont déjà fort nombreux). - 170 3. Soit 0 la sous-catégorie pleine de #' formée des anneaux lisses de type fini. L'inclusion S <-+ <&' admet un adjoint à gauche G. Preuve : Si A « C°°]Rn/I e|o9'l alors GA « C°°IRn/ï oQ ï est l'adhérence de Ipour notre topologie (voir n°2,3_). 4. Remarque. On a toujours Z(ï) = ZI. Preuve : Zl » ^'(C°°]Rn/ÏJR) = ^(C°°IR n /I^) * #'(C~]R n /IJR) * ZI. 5. La catégorie <3 a des limites à droite finies. Plus précisément ces limites sont construites comme suit : a) Objet initial : C°°]R0 « F b) Sommes finies (notées ® ) : A ® B = G (A »' B). Concrètement C°°IRn/I • C°°IRm/J a C°°lRn+m/p*I ï q*J où p : K n + m +]R n et q : K n + m ^ R " 1 sont les projections c) co-égalisateurs : ce sont les mêmes que dans <£' (voir n°l,8). Preuve : Le (c) résulte en fait du lemme du n°3,£. A part cela, cette proposition est une conséquence immédiate du 2 et du n°l,8. 6. Exemples. Grâce au n°3 et à la preuve du n°l,4 on voit que les exemples (1) (3) (4) et (5) du n°l,4 sont des anneaux lisses de type fini. (Pour le (3), il suffit de remarquer que C ^ - C^Rm pour une variété M de dimension m). Nous allons nous intéresser maintenant à l'exemple (2) du n°l,4. ^. Soit M c]Rn l'ensemble des zéros de p fonctions lisses h, h e C°°]Rn indépendantes (i.e. telles que la restriction de la fonction (hls...,h ) : IR -v]Rp à M soit une submersion). Alors l'application restriction C^ïïT/fhj h k ) - C°°V\ - 171 - détermine un isomorphisme C°°. Preuve : 1) Surjectivite : Cela résultera du lemme suivant : Lemme. Soit F un fermé de lRn et f : F -*1R une application telle que, pour tout x e F, il existe un voisinage V de x dans ]Rn et une fonction g x e C°°V Y oo n tels que (g ) F v = fp n V . Alors il existe une application g £ C IR telle x x que g p = f. Preuve du lemme : On considère le recouvrement formé des V et de !Rn - F, —*>MK"M,"wa,s,>MMaM" j\ puis on lui associe une partition de l'unité plus fine (a). Enfin on définit g par g = £ (j> .g x ^ a ' (car on peut toujours supposer les g x partout définies). a a 2) Injectivité : Soit f £ C°°lRn tel que f M = 0. Considérons un point a quelconque de M. Grâce au théorème d'inversion locale et au fait que h = (hjf...fh ) est une submersion au point a, il existe une projection TT : K n +JR n ~ p pour laquelle l'application H = (h,ir) : K n + R P x ]Rn"P soit un isomorphisme C°° au voisinage de a, c'est-à-dire qu'il existe deux voisinages V et W de a et Ha (qui est de la forme (0,b)) tels que la restriction H : V -* W soit un isomorphisme C°°, (on peut toujours supposer que W est un pavé, quitte à modifier V). Notons g l'application composée : W H » v — Ê + K . On a donc g 1 = 0, en notant p : K p x ]Rn"P ->JRP la première projection. P"X{0}AW Soit maintenant y = (u,v) un élément quelconque de W. Notons y' = (0,v). Comme W est un pavé y' est dans W et, d'après le lemme de Hadamard, P gy - gy1 = 1 tay.y-i» pour une certaine famille de fonction (.). Or gy' = 0 • "«t i=l i • i car y' e p" {0} n W. Donc gy = ) tay.y,-Ainsi, pour un élément x quelle n n conque de V, f(x) = g 0 H ( x ) = £ . 0 H(x).h.(x). Donc f qui est égal à i ( l * ,• o H.h.) appartient à l'idéal l (h 1 ,... h ) , et ceci pour tout a de n p f n i=l 1 a a M. Donc f est dans (h1§...,h ) (grâce au n°3,2J. 8. Voici maintenant un corollaire de la proposition précédente, qui nous sera fort utile par la suite : Soit U c K n un ouvert et f une "fonction caractéristique" de U (i.e. - 172 telle que Df = U). Alors, on a un isomorphisme : C°°U « C°°]Rn+1/(f o p.q - 1) où p : lRn+1 +iR n et q : K n + 1 ->.]R sont les projections canoniques. Preuve : Posons M = Z(f 0 p.q-1) et soit : U -• M l'application x H- ( x , ^ ) . 4> est un isomorphisme C°°, donc C°°U a C°°M. Or la famille formée de l'unique application f 0 p.q - 1 est indépendante, car sa matrice jacobienne au point (x,y) e lR n x R , qui est : (~-(x).y |£_( x ). y ,f( x )) a sa dernière compo0 d 1 *n santé nulle en un point x de U. Par suite, d'après la proposition précédente on a Tisomorphisme cherché. 9. Non seulement, comme nous venons de le voir, les anneaux C°° de la forme C°°U sont des anneaux lisses de type fini, mais plus généralement : (Remarque de Lawvere) M étant une variété C°° quelconque, alors C°°M est un anneau lisse de type fini. Preuve : On sait que toute variété M est un rétracteC°° d'un ouvert U d'un certain K n . Notons r : U -> M ce rétracte et i : M ^ U l'injection canonique. De l'égalité r 0 i = idM on en déduit par fonctorialité, la commutation du diagramme : C°°U r/ \i* C°°M • C°°M dans la catégorie des anneaux C°°. Par suite C°°M * Coég(Id,r* 0 i* : C°°U t C°U) dans cette même catégorie. Mais comme C°°U appartient à «^ il en va de même de C°°M (d'après le 5,c). 10. Exprimé en termes fonctoriels, on a un plongement de la catégorie Var des variétés C00 dans S 0p : - 173 - Var - < & ° P M *-*• C°°M f -*- f * Preuve : On utilise la bijection M * «^(C^JR). N°5. Anneaux lisses de fractions. 0. Par analogie avec l'algèbre commutative nous allons définir des "anneaux lisses de fractions". Anneau lisse : signifiant toujours, à partir de maintenant, anneau lisse de type fini (puisque aucune confusion n'est possible). _1. Soit A un anneau lisse et S c A. Suivant la nature de S nous allons voir qu'il peut exister un nouvel anneau lisse, dit de fractions et noté A{S - 1 } (lanotation{ } étant utilisé volontairement à la place de C ] pour ne pas l'identifier avec l'anneau commutatif unitaire de fractions), satisfaisant la propriété universelle suivante : ^ ( A i S " 1 } ^ ) a {h e ^ ( A , B ) / va e A (a e S * h ( a ) inversible)} 2. Soit h : A -*- B un morphisme entre anneaux lisses et S une partie de A telle que A{S" } existe, alors B{h(S)"1} existe aussi et le carré suivant est une somme amalgamée dans *&. A — f A{S - 1 } h I l B —-^{htSf1} Les deux flèches horizontales sont les flèches canoniques résultant de la propriété universelle d'anneau lisse de fractions. Preuve : Immédiat. 2- Passons maintenant à l'existence de l'anneau lisse de fractions. Considérons, tout d'abord, le cas où S est réduit à l'élément a de A. Alors l'anneau lisse A{a" } (que l'on devrait noter A{{a} }) existe toujours. - 174 Preuve : Grâce à la proposition 2, il suffit de nous ramener au cas oQ A est libre (c'est-à-dire de la forme C°°IRn). Mais alors : C - F V 1 ) « C œ IR n + 1 /(f o p.q - 1) * C œ U oû p et q sont resp. les projections IRn«-IRn+1 + R et U « Df. En effet, tout morphisme h : C°°IRn -> B tel que h(f) soit inversible se prolonge en un unique morphisme k : C°°]R + B tel que k(q) = h ( f ) - 1 (car C°°lRn+1 * C°°]Rn • C"]R et #(C°°]R,B) - B) par suite : k(p*f.q - 1) = k(p*f).k(q) - 1 = h ( f ) . h ( f ) _ 1 -1=0 ce qui signifie que k se factorise par C°°]Rn+1/(p*f.q - 1). La réciproque est évidente car p*f est inversible dans C°°]Rn+1/(p*f.q - 1). Enfin le second isomorphisme a déjà été montré au n°4,8. 4. Soit p un point de A (voir définition au n°l,9). Considérons alors l'ensemble S(p) = {a€ A/p(a) fi 0}. Dans ce nouveau cas particulier, l'anneau lisse de fractions A{S(p)" }, que l'on note A (de nouveau, par analogie avec l'algèbre commutative) existe toujours. Preuve : Comme pour le 3, la proposition 2 permet de nous ramener au cas où A est libre. Mais alors : (C°°]Rn) s c"lRn (si on fait l'identification : $(C°°]RnM) =IR n ). En effet, soit h : C°°JRn * B un morphisme. Montrons qu'on a la factorisation : C°°lRn ssi h(S(p)) c inv(B) c!lRn Comme tout élément de S(p) est inversible dans C*IRn, la factorisation proposée entraîne l'inclusion cherchée. Réciproquement, pour montrer la factorisation, soit e C°°]Rn tel que = 0. Il existe donc un voisinage ouvert V de p tel que une fonction caractéristique de V (i.e. telle que ty • V ) . On a ij>(p) fi 0 donc ty e S(p) et, de ce fait, h(i^) est inversible. Mais ¢.^ » 0 dans C°°IRn, donc h(\J»).h() = 0, ce qui prouve - 175 que h(<}>) = 0. D'où la factorisation. 5. Remarques : a) Concrètement, si A « C°°IRn/I et p e ZI (que T o n identifie à un point de A : voir n°l,9) alors, l'anneau lisse A s'écrit explicitement AP . c;m"/i p b) Par contre, attention : C°°lRn/I { T 1 } fi C^U/Iy oQ U = Df. Preuve : a) Car C°°R n /I u (p) + I * C°°]Rn/I b) Car p*I + (p*f.q - 1) n'est pas un idéal de caractère local. 6. Une conséquence immédiate de la définition des idéaux de caractère local est la propriété suivante des anneaux lisses : - a étant un élément de A, on a l'équivalence : a = 0 ssi pour tout point p de A, a = 0. En notant a l'image de a par le morphisme canonique A •*• A . Preuve : Résulte de 5,a. N°6. Anneaux lisses construits "point par point". JL A étant un anneau lisse, notons SpecA = i9(AJR) = "l'ensemble des points de A". Si A est présenté par C°°IRn/I on a donc une bijection canonique ZI s SpecA (voir n°l,9). Munissons alors SpecA de la topologie homëomorphe à celle de ZI (restriction de celle d e K n ) . On vérifie facilement que cette topologie ne dépend pas du choix de la présentation de A. De même si h : A +• B est un morphisme entre anneaux lisses notons Spech : Spec B •*• SpecA l'application canonique. On voit facilement, en utilisant une présentation de A et B, que Spech est toujours continue. 2. Soit maintenant P une partie de SpecA. Nous allons construire un nouvel anneau lisse A p et un épimorphisme A -»• A p vérifiant la propriété universelle suivante : - 176 - Pour toute flèche A •*• B les deux factorisations (resp. dans S et Œns) suivantes, sont équivalentes : A Ap Spec A y B P4 Spec B 3. Remarque : Nous reprendrons cette propriété universelle au chapitre II dans un cadre beaucoup plus général (voir plus précisément le §2, n°2 du chapitre II). 4. a) On a toujours •&{ApJR) * p. b) Soit h : A -*• B un morphisme entre anneaux lisses, et P une partie de SpecA. Posons Q = (Spech)" (P). Dans ces conditions, si A p existe il en va de même de B Q . De plus, on a la factorisation suivante : A • B l l Ap ..f BQ et le carré obtenu est une somme amalgamée• c) Soit 9 un ensemble ordonné connexe de parties de SpecA tel que A p existe, pour tout P e P , ainsi que leur limite. Alors A n g> existe et : A n A P Pe. Cherchons maintenant à construire les A p . Considérons tout d'abord le cas particulier suivant : Soit S une partie de A. Notons D(S) l'ensemble des points p de A tels - 177 - que p(a) ^ 0, pour tout a e S (lorsque A = C°°IRn et S = {f} on retrouve la ~ notation D(f) donnée au n°2,2). Alors, si A{S" } existe, il en va de même de Apj/gx et on a : A{S } « AD^Sj Preuve.: Pour cela nous utiliserons le lemme suivant : Lemme. Un élément a de A est inversible ssi D(a) = SpecA. Preuve du lemme : Soit C°°]Rn/I une présentation de A et f un élément de C°°lRn dont la classe d'équivalence dans A est a. Il faut donc montrer que moyennant l'hypothèse D(a) = SpecA, il existe un élément g de C°°lRn tel que g.f - 1 e I. Dit plus simplement, il reste à établir que 1 e I + (f). Mais l'idéal I + (f) étant de caractère local (voir n°3,2^ et son lemme) on peut lui appliquer le "théorème des zéros" voir n°2,5J. Ainsi 1 e I + (f) ssi Z(I+(f)) = 0 ou encore, puisque Z(I+(f)) = ZI n Z(f), ssi ZI c ]Rn - Z(f) ; , qui peut encore s'écrire vp e ZI(f(p) fi 0 ) . Nous avons donc fini de montrer le lemme car cette dernière condition n'est qu'une autre formulation de 1'hypothèse. Preuve du 5 (suite): Soit h : A -^ B un morphisme entre anneaux lisses. Alors, h factorise A -> A{S" } ssi h(a) est inversible dans.B, pour tout a e S, c'est à-dire (en utilisant le lemme) ssi pour tout point p de B et tout a € S, p(h(a)) / 0 ou encore, ssi pour tout point p de B p 0 h e D(S) ce qui, par définition de AD,~v équivaut à dire que h factorise A -> A Q J ~ % . 6». La proposition précédente admet le corollaire suivant : Pour tout ouvert U de SpecA, l'anneau lisse Ay existe. Preuve : Soit C°°IRn/I une présentation de A. Alors, si on identifie SpecA à ZI, il existe un ouvert V de K n tel que V n ZI = U. Soit f une "fonction caractéristique" de V et a la classe d'équivalence de f dans A. Dans ces conditions D(a) = U. La proposition résulte alors de la précédente et du n°5, 3. 178 T. P étant une partie de SpecA, si l'un des trois anneaux lisses ci-dessous existe il en va de même des deux autres et on a : Ap - Lim A y - A{S(P)" 1 } Û7ÎL où U est T'ensemble ordonné des ouverts de SpecA contenant P. De plus la limite ci-dessus est préservée par le foncteur d'oubli cB+ Ens. Preuve : a) L'isomorphisme A p * Lim Ay résulte du 4,c et du fait que SpecA LiïlL est séparé. b) Montrons l'isomorphisme Lim Ay « A{S(P) }. Soit h : A + B un homo- morphisme entre anneaux lisses. Alors h factorise Lim Ay ssi pour tout OTll u € 11, h factorise Ay. Exprimé en termes d'anneau lisse de fractions cette dernière condition revient à dire que h factorise A{a" }, pour tout a e A i tel que P c D(a), ou encore que h(a) est inversible pour tout a e S(P), ce qui finalement équivaut au fait que h factorise A{S(P)" }. c) Il reste donc à montrer que Lim Ay se calcule comme dans Ens. On va 031 utiliser pour cela le lemme suivant : Lemme. Soit p un point d'un anneau lisse A et a e A alors si a = 0, il existe un voisinage ouvert V de p dans SpecA tel que a» = 0 (en notant a y 1'image de a dans Ay). Preuve du lemme : Soit C°°]Rn/I une présentation de A. Il existe donc un élément f de C°°IRn tel que f = a (en notant î la classe d'équivalence de f modulo I). Comme a = T car A * C~K n /I (voir n°5,5), on en déduit que f~ e L et ainsi, qu'il existe un élément g de I tel que f = g„. Par suite P P P P n il existe un voisinage ouvert V de p dans IR tel que f v = g v . Finalement ay = 0, en notant U = V n ZI car le diagramme suivant est commutatif : C~]Rn •A i i C°°v > A, - 179 Fin de la preuve de la proposition : Notons cette fois Lijji Ay la limite enUeH sjembliste et montrons maintenant que la flèche canonique Lim Ay -* A p est 03, bijective. Comme elle est surjective puisque la flèche A •* A p l'est, il reste à montrer qu'elle est injective. Soit, alors, a un élément de Ay, U ouvert contenant P, tel que a p = 0 et montrons qu'il existe dans ce cas un voisinage ouvert V de P contenu dans U tel que a v = 0. Pour tout point p de P, a = 0. Par suite, à l'aide du lemme précédent, il existe un voisinage ouvert V dans Spec(Ay) = U tel que a y = 0. Soit V = U V . " p pcF V (c'est un voisinage ouvert de F contenu dans U). Comme (a y ) = 0, pour P tout p de V on en conclut que a y = 0 (voir n°5,6). 8. a) En particulier (d'après le n°5,4J pour une partie de SpecA réduite à un point p, A , , existe toujours et A, , = A . b) En fait plus généralement, si F est une partie fermée de SpecA, l'anneau lisse Ap existe encore. Preuve : Pour cela nous utiliserons le lemme suivant : Lemme. a) I étant un idéal de caractère local de C°°]Rn et F un fermé de K n alors : I^F c l ssi ZI c F b) f : IRm+ K n étant une application C°° et F une partie de!R n , alors on a la factorisation suivante : CœJRn/ï^ ^CV/IVV et le carré obtenu est une somme amalgamée. Preuve du lemme : a) Pour montrer l'implication (=») il suffit de constater que Z I ^ = F [On utilise la régularité de K n et l'existence de "fonctions caractéristiques" pour montrer que pour tout point extérieur à F on peut 180 construire une fonction C°° définie surIRn qui est inversible en ce point et. qui s'annulle sur un voisinage de F]. Quant à l'autre implication elle résulte immédiatement du caractère local de I. b) Cela revient â montrer que Iwf F » f*IwF COn utilise la préservation des sommes amalgamées par le foncteur G : voir le n°4,3]. Comme, clairement f*(IuF) c r V ^ on a aussi f*IwF c Iwf"1F (car Iuf"TF est de caractère local : voir n°3,4). Quant à l'autre inclusion elle résulte de (a) car l ï ^ f ' h = f _1 F = Zf*IwF [Pour la dernière égalité on peut utiliser la préservation des lim par le foncteur o^(-JR)]. Preuve de la proposition : Grâce à la proposition 4,b on peut se restreindre au cas où A est libre (i.e. de ma forme C°°]Rn). Montrons dans ce cas que A F = C00^/!0*?. Soit donc f : K m +]Rn une fonction C°°, et I un idéal de caractère local de C°°]Rm. Alors, le composé C°°]R n —f^C°°]R m - C°°lRm/I factorise € * * " - » ? X n / f t ssi < n P - + C l P / l factorise C ^ - f r C " ^ / ^ ^ (par le (b) du lemme) c'est-à-dire ssi Iwf" F c I. Mais nous avons vu au (a) du lemme que cette dernière condition équivaut au fait que ZI c f" F ce qui n'est qu'une autre façon de dire que le spectre de : C00]Rn -£\c00JRm ~CmTRm/l factorise F c SpecCœIRn. 9. Pour finir, considérons le cas des variétés. Soient M une variété, U un ouvert de celle-ci et p un de ces points, alors on a les isomorphismes suivants : a) C\ = C^J b) C X * C"M ' P P Preuve : a) Montrons le tout d'abord dans le cas où M est elle-même un ouvert de ]Rn (notons le alors : V). Comme U c V cIRn on a, par fonctorialitë la commutation du carré suivant : C-Fn-4C"V 1 l C'est aussi, clairement, une somme amalgamée. Par suite, comme C°°U = C°°lRy 181 (par la proposition £ et le n°5,3) il suffit d'appliquer le 4 pour avoir 1'isomorphisme cherché. Revenons maintenant au cas où M est une variété quelconque. Utilisons alors, la même démarche qu'au n°4,9. Comme M est le rétracte d'un ouvert V d'un certain K n (on notera r : V -> M une des rétractions possibles) soit U' = r (U). Alors, par des arguments de fonctorialité proches du n°4,9 on voit que le carré suivant est une somme amalgamée dans S : oo oo C V >Z M C U' >C U Par suite, comme C^U' = C°°V.., on en déduit (toujours par le n°5,3) 1'i somorphi sme cherché. b) Cela résulte des isomorphismes suivants (où U désigne un ouvert de M) : C°°M s Lim ( C 0 ^ « Lim C°°U * C~M pdî pdJ Le premier résultant des propositions 7 et 8,a et le second du (a). 182 §2. LE TOPOS DE DUBUC. N°l. Espaces C°°-annulës. 0. Nous allons maintenant nous intéresser aux propriétés locales des anneaux lisses. Pour cela, il nous faudra utiliser des faisceaux d'anneaux-C°° et montrer que le spectre de tout anneau lisse admet canoniquement un "faisceau structural". 1. a) X étant un espace topologique fixé, un faisceau d'anneaux-C°° Jb sur X est défini par la donnée pour tout ouvert U de X, d'un anneau-C°° Jk\) et, pour toute inclusion d'ouvert U' c U9 d'un morphisme d'anneaux-C°° (dit de restriction) Jt U ->• */tU', a »+ ay,. Ces données étant astreintes aux conditions de fonctorialité et de recollement habituelles (voir par exemple [16]). b) Un morphisme h : Jt ~> fà de faisceaux d'anneaux-C°° sur X est défini, par la donnée, pour chaque ouvert U de X d'un morphisme d'anneau-C°° hy : JtU •> (BU "commutant" avec les morphismes de restriction de Jt et £>. 00 2. Remarque : Dit de façon plus "fonctorielle", les faisceaux d'anneaux-C et les morphismes entre de tels faisceaux sont, en fait, resp. les "modèles" de la théorie des anneaux-C°° [c'est d'ailleurs une ym-théorie (voir [8]) i.e. définissable par limites projectives (voir [25])et les morphismes entre modèles dans le topos X des faisceaux sur X. cL Si f : X + Y est une application continue et Jt un faisceau d'anneaux C°° sur X on note f Jb le faisceau d'anneaux C00 sur Y défini par : (f jt)u = àf~\ On construit ainsi un foncteur f entre les catégories de faisceaux d'anneaux-C00 resp. sur X et sur Y. •k 4. Jt étant un faisceau d'anneaux-C°° sur X et p un point de X, la f i b r e c/fc de Jt au point p ( i . e . Jb0 = Lim <^U) peut elle-même être munied'une NU 183 structure d'anneau-C00 et, si h : fo •*•ftest un morphisme entre faisceaux d'anneaux-C00, l'application canonique «fc -*• tô est un morphisme d'anneauC°°. Preuve : La théorie des anneaux-C°° étant une ljm-théorie (voir remarque 2) il suffit d'appliquer la commutation des lim filtrantes avec les y m finies. i- Remarque : Grâce à la théorie des topos, le 3 et 4 peuvent être dits de la façon suivante : a) f : X -* Y étant une application continue entre espaces topologiques, le foncteur f : X -»• Y image directe du morphisme géométrique X -> Y déterminé par f, préserve les lim. Il préserve donc aussi les anneaux-C00 ainsi que les morphismes entre anneaux-C°° (voir remarque 2) d'où le 3. On peut faire un raisonnement analogue avec le foncteur f (adjoint à gauche de f A ) car il préserve les lim finies. b) De façon similaire comme & = p*(CF) pour un faisceau quelconque^ sur X [p* désignant l'image inverse du morphisme géométrique Ens - 1 + K associé au point p e X ] , on a les résultats du 4. 6. a) Appelons maintenant espace C°°-annelë, la donnée (X,frx) d'un espace topologique X et d'un faisceau d'anneaux-C00 c*x sur X. b) Un morphisme d'espace C°°-annelé de (X,£ x ) dans (Y, c>Y) est la donnée (f,f^) d'une application continue f : X •> Y et d'un morphisme de faisceau d'anneaux-C00 sur Y f^ : C>Y -»• f^c>x ; lequel s'identifie à f : f * e> •> &„ grâce à la remarque 5. 8. (f,f^) : (X.tfJ •+ (Y, d'y) étant un morphisme entre espaces C°°-annelés alors, pour tout point p de X l'application canonique 0>y f + frx est elle-même un morphisme d'anneau-C00 [cette flèche est, en fait, le composé lim frYv(U) - lim t> (f _1 U) - lim (^(V).] xY fplU f?eU pTft * 9. Sous les mêmes hypothèses qu'au 8 le morphisme (f,f # ) est un isomorphisme ssi on a les conditions suivantes : - 184 i) f est un homéomorphisme, ii) pour tout point p de X, le morphisme canonique fry f D "* ^v est un isomorphisme. Preuve : f étant un homéomorphisme, les morphismes lim #v/(f" U) •* fp?U A -> lim # Y ( V ) s o n t des isomorphismes. Par suite, les morphismes p?V X ((^Y)fD * (f* ^ f o sont aussi ^es isomorphismes pour tout point p de X. De ce fait, globalement la flèche f^ : ^ v ^ f* ^X e s t u n i s o m o r P h " ' s m e dans Y ce qui achève notre proposition. [On aurait pu le voir, plus facilement encore, en constatant que, comme par hypothèse les morphismes p*f „ : p*(f*fr Y ) -* P*#x s o n t d e s î s o m o r Phismes (voir la remarque du 8) f „ est un isomorphisme, car X a "assez de points"]. N°2. Exemples d'espaces C^-annelës. 0. Plus précisément, nous allons construire un plongement de *8 dans la catégorie des espaces C°°-annelés. _1. (Théorème). Soit A un anneau lisse et X = SpecA. Considérons alors, pour chaque ouvert U de X Tanneau-C°° Jt\i = Ay (voir le §1 n°6) et pour chaque inclusion U' c U le morphisme canonique t^U -* jtu' obtenu par la factorisation de A -* Ay, par A + Ay. Ces données déterminent un faisceau Je sur X dont les fibres t£ ne sont autre que les A (définis au §1 n°5). Preuve : a) La propriété universelle des Ay donnant immédiatement la fonctorialité de J^ passons à la condition de recollement. Soient (U.) une famille d'ouverts de X et (a.) une famille d'éléments appartenant à chacun des Ay telle que (a O n i y i j = (a,0ii n P o u r t o u t î e t J- II f a u t montrer i j qu'il existe un unique élément a de Ay (où U = U U . ) tel que ay = a.. Tout d'abord remarquons qu'on peut se restreindre au cas où U = X quitte à remplacer l'anneau lisse A par Ay. D'autre part si C°°IRn/I est une présentation de A on peut supposer que le recouvrement (U.) de SpecA provient de la restriction d'un recouvrement (V.) de K n (sinon, on prolonge tout d'abord chaque U. puis, on y ajoute l'ouvert IR -ZI). Considérons maintenant 185 un point p e U. n U., alors on a toujours (a.) = (a.) . L'élément (a.) J 1 J 1 p p p de A ne dépend donc pas de l'indice i, aussi est-il naturel de noter a(p) la valeur commune des (a.) pour chaque point p de A. Nous allons mainteP nant construire un élément a e A tel que a = a(p) en tout point p de A. Soit fj un élément de C°°Vi dont la classe d'équivalence 7? dans /L (qui est un quotient de C°°V.) est a.. Soit (WJ un recouvrement localement fini I .^ 1 Ut plus fin que (V.) (i.e. Id c V./ x). Notons alors g„ la restriction de Ou f à W Alors u r tout I \Oty Ot e w i(a) cf » P° P a » (9 a ) p = a(P)« Soit maintenant ((|>6) une partition de l'unité plus fine que (W ) (i.e. "5X C W , »). Les fonctions a = 4>e-g /e\ qui sont définies globalement et C00, ont un support contenu dans W , y Par suite, p étant un point de A, si p e W /fi», ^VP = (*eVa^ et sinon ^VP = °* Delâ la famille (*6)est localement finie (voir définition au §l,n°2). Nous pouvons donc poser a = l %0 et p a = a. Alors, pour tout point p de A, on a : en notant J(p) = (e/p e w a /g\}- Ainsi P°ur tout i» a,j = a. car, pour tout point p de Ay , (a..) = a(p) = a = (ay ) (on utilise aussi la propositio •j P P u . j P 6 du §1, n°5). L'unicité de a se montre en utilisant la même proposition ce qui achève de montrer que i7r; est un faisceau. b) Intéressons nous maintenant aux fibres de (k. Comme Ji P = Lim ©tu = p^ = Lim A., on en conclut, par le §1, n°6,7 que <£n = A . plLT u P P 2. Dans la proposition précédente, il est indispensable de supposer que l'anneau-C00 de type fini A est en fait lisse. En effet si l'anneau-C00 A = C°°lRn/I est seulement supposé de type fini et si on considère le prëfaisceau ik défini sur l'espace ZI par (/tu = C°°U/Iy (qui est l'analogue de Ay pour les anneaux-C°° car il provient de la somme amalgamée suivante dans # ' :...) 186 C°°IRn c°°u ,C°°lR n /I —•ru/ijj On voit facilement qu'il ne peut être un faisceau : [On prend, par exemple pour I, l'idéal des fonctions à support compact puis, on considère pour la famille (a.) les classes d'équivalence d'une partition de l'unité] 3. L'application A ^ (X,<è) " tfpec(h). Tout d'abord, la donnée de ces deux morphismes Cfpec(B) t tfpec(A) montre â l'aide de la proposition l, que les deux diagrammes suivant commutent, pour tout point p de SpecB : A h >-B A h *B ï ï i i A„ fp A 9P • B P »B P Donc A -> A- et A + A „ étant factorisés par le même point on a, néfp 9P céssairement fp = gp, et ainsi f = g. D'autre part, il est clair que par naturalitë on a aussi f^ = g . Enfin, l'unicité de h est évidente. 4. La proposition précédente admet l'important corollaire suivant : (Théorème) : Soit h : A + B un morphisme d'anneaux lisses satisfaisant les deux conditions suivantes : i) Spec(h) : Spec(B) -* Spec(A) (qu'on notera f) est un homéomorphisme, ii) pour tout point p de Spec(B) le morphisme canonique suivant est un 187 - isomorphisme : fp P Alors, sous ces hypothèses, on en conclut que h est lui-même un isomorphisme. Preuve : En plus de la proposition précédente il suffit d'appliquer la proposition 9_ du n°l. 5. Nous allons maintenant laisser l'étude des espaces C°°-annelés, ayant obtenu les résultats que nous désirions (essentiellement les théorèmes 1 et 4 de ce numéro). Signalons que, comme T a fait E. Dubuc, les considérations précédentes permettent d'élargir la catégorie des anneaux lisses. En effet, toujours par analogie avec le cas de la géométrie algébrique, on peut alors considérer les espaces C°°-annelés en anneaux-C°° locaux, puis définir les schémas-C°° comme de tels espaces obtenus par recollement d'anneaux lisses (pour plus de précisions voir Cil]). Cependant il ne nous a pas paru nécessaire d'en arriver là car jusqu'à présent nous ne connaissons aucun schéma-C°° intéressant (c'est-à-dire séparé et paracompact)qui ne soit, en fait, un anneau lisse. N°3. Construction du topos de Dubuc. 0. Nous allons munir la catégorie o£ 0 p (voir définition au §l,n°4,3) d'une certaine topologie sous-canonique (i.e. telle que tous les prëfai sceaux représentables soient, en fait, des faisceaux) de telle sorte que le foncteur composé Var^.^ o p —*£°P /"V_ ( © o p désignant le topos des faisceaux sur <2>°P pour cette topologie), qui est nécessairement pleinement fidèle, préserve les recouvrements ouverts. Il est alors naturel de prendre, comme topologie sur© 0 ' 3 , précisément la topologie engendrée par les familles de la forme ((C^U.)0'3 -> (C°°IRn)0,:)). (l'écriture A o p désignant le même objet A, mais dans la catégorie duale) où les U. sont des ouverts recouvrante. 188 1. En fait, plus précisément, les familles (A -* A M ) , où A est un anneau u. 1 lisse et les U. des ouverts recouvrant SpecA, forment une prétopologie sous-canonique. Preuve : Le fait qu'elles forment une pré-topologie résulte du §l,n°6,4. Quant à la sous-canonicité c'est une autre façon de formuler la proposition 1 du rï°2. 2. Signalons qu'il n'aurait pas été possible de remplacer # par «^'(voir définition au §1, n°l) car les familles (C°°U?P -> C°°lRn o p ) . ne sont pas épimorphes effectives universelles. Preuve : La encore, c'est une autre façon de formuler la remarque 2 du n°2. 3. Notons D le topos des faisceaux sur 4# o p pour la pré-topologie définie au U (Dans la suite ce topos sera souvent appelle "topos de Dubuc" car c'est E. Dubuc qui l'a considéré pour la première fois dans Cil]). Le foncteur canonique $ o p —*TD est pleinement fidèle, quant au composé tyarc-* v^ o p _ > ] D (qui est lui-même pleinement fidèle) il préserve, les recouvrements ouverts (c'est-à-dire qu'il envoie ces recouvrements sur des familles épimorphes. Preuve : Pour la pleine fidélité cela provient du §1, n°4, 10, quant à la préservation des recouvrements ouverts, elle résulte de la proposition j. et du §1, n°6,9. - 189 REFERENCES. Cl] M. Artin, A. Grothendieck, J.L. Verdier : "Théorie des topos et cohomologie étale des Schémas" (SGA 4 ) , Lecture Notes in Math. n°269, Springer. [2] J. Bénabou : "Fibrations petites et localement petites" C.R. Acad. Sci. Paris 281 pp. 897-900 (1975). [3] J. Bénabou : "Des catégories fibrées". Livre en préparation. [4] A. Boileau : "Types versus Topos". 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