D IAGRAMMES A NDRÉ S ILGA Sur les produits tensoriels extérieurs de structures algébriques Diagrammes, tome 14 (1985), p. 1-84 © Université Paris 7, UER math., 1985, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 14 ,1985. A.M.S. Sub. Class. 18 D 10 , 18 D 15 , 18 A 99 , 18 B 99 . Sur les produits tensoriels extérieurs de structures algébriques. ( ) André SILGA Certaines catégories ce donnée Alg(S) de structures algébriques,d'une espè- S , possèdent, à l'instar de la catégorie des groupes abéliens, un "bon" produit tensoriel. Alors, on dispose: - d'un bifoncteur "produit tensoriel" - d'un bifoncteur "exponentiation" - d'un objet I de (- H - ) : Alg(S) x Alg(S)—> Alg(S) , (-) : Alg(S)°P x A l g ( S ) — > Alg(S) , Alg(S) , de sorte que, naturellement en tous objets A- , A~ et A., de Alg(S) , on a des isomorphismes: (A, H A 9 ) A3 l l A. B A 2 x A. A0 (A3 X ) l « A H A I H A « A « A H I . De telles catégories peuvent d'ailleurs fort bien posséder plusieurs bons produits tensoriels de cette sorte: c'est le cas, par exemple, de la catégorie des (petites) catégories! Elles peuvent n'en posséder exactement qu'un: c'est le cas de la catégorie des groupes abéliens. Enfin, elles peuvent n'en posséder aucun: c'est le cas de la catégorie des groupes, ou de celle des demi-groupes. Une étude systématique des conditions d'existence et des procédures de classification des bons produits tensoriels sur de telles catégories de structures algébriques est entreprise, notamment, en (F.S.C.A.) , ( ) Ce travail, préparé sous la direction de C. Lair, sera présenté au premier trimestre 1986 auprès de lfUniversité Paris 7 pour ^obtention du Doctorat de 3ème Cycle de Mathématiques Pures. (C.C.F.W.) et (P.T.G.M.). Le présent travail complète ces études antérieur es,nous montrons, en effet, que l'on peut toujours effectuer librement un bon produit tensoriel d'une structure algébrique quelconque d'une espèce arbitraire que S , par une autre quelconque structure algébri- A' , d'une autre espèce arbitraire gébrique S' , obtenant une structure al- A K A' , dont l'espèce, notée terminée par les seules données de que l'on peut "comparer" A , S H S' S S H S' , est exclusivement déet S' ; ainsi, ce n'est que lors- à une troisième espèce S" , donnée a priori, que l'on peut "contraindre" le produit tensoriel libre à devenir une structure algébrique de l'espèce S" A H A' voulue. Pour obtenir et formaliser avec précision ce résultat, il nous a fallu, d'une part, généraliser la notion de "catégorie munie d'un bon produit tensoriel" (i. e. la notion de catégorie monoïdale bi-fermée» au sens de (C.L.C.A.)) et, d'autre part, utiliser une théorie adéquate des "espèces de structures algébriques". Nous généralisons la notion de catégorie monoïdale bi-fermée en celle de système tensoriel bi-fermé: un système tensoriel (bi-fermé) est une famille, indexée par une catégorie donnée sert de "guide" , de catégories (T ) c •—C C t L» pie ( c ' , c ) de f l è c h e s consécutives de tensoriel ( - . • - ) : T . x T > T t c,c —c' -c £ , dont on peut dire qu'elle , de sorte que, pour tout cou- £ , on dispose d'un produit —c'.c Bien entendu, cette notion est assez proche (bien que plus précise, en raison de la présence de la catégorie guide £ ) de celle de bi-catégo- rie (voir (D.I.S.T.)) que nous aurions pu utiliser. D'ailleurs, il est assez facile de traduire en termes de bi-catégories ce que nous énonçons en termes de systèmes tensoriels (et réciproquement). Cependant, ce travail ne prétend pas contenir une étude exhaustive des systèmes tensoriels généraux (ce qui pourrait être considéré comme faisant double emploi avec la théorie, désormais classique, des bi-catégories) mais étudier les sytèmes tensoriels (ou les bicatégories) de structures algébriques: de ce point de vue, la notion de système tensoriel nous a semblé mieux adaptée (au moins dans sa formalisation). Suivant (E.T.S.A.), on décrit une espèce de structures algébriques à l'aide d'une esquisse Projective: une esquisse projective est un graphe orienté (qui fixe les sortes de variables - objets du graphe - et les sortes de lois de composition -flèches du graphe), muni d'une composition de certaines flèches consécutives (ce qui en fait un graphe multiplicatif, où les diagrammes commutatifs expriment les équations de définition des structures algébriques considérées) et où l'on a distingué des cônes projectifs (qui précisent les arités des lois de composition de l'espèce de structures étudiée). Ce procédé catégorique (ou diagrammatique) de description des espèces de structures algébriques nous a semblé d'autant plus adéquat que: - c'est celui qui est déjà utilisé dans les travaux antérieurs (F.S.C.A.), (C.C.F.W.) et (P.T.G.M.), et ce, avec efficacité, - il permet suffisamment de constructions entre espèces diverses, notamment celle du produit tensoriel de deux espèces - et ce, assez naturellement • Nous avons tenu à rédiger un texte aussi "auto-contenu" que possible, c'est pourquoi nous avons rappelé, au Chapitre I (cependant, assez brièvement) à peu près toutes les notations systématiques, la terminologie et les résultats standard tant en "théorie des catégories" qu'en "théories des esquisses" qui nous sont utiles par la suite. Le Chapitre II est consacré à la formalisation précise de la notion, indispensable par la suite, de système tensoriel (et de quelques uns de ses affaiblissements). Dans un premier temps, on pourra penser que les notations utilisées sont assez lourdes: c'est parce que nous les avons voulues systématiques, d'un usage automatique et, surtout, révélatrices des structures considérées. Dans un second temps, le lecteur sera conduit à les simplifier de lui même (ainsi pourra-t-il supprimer de nombreux indices) en raison même de la compréhension des structures considérées que ces notations (au moins) permettent. Nous avons, de plus, illustré la plupart ples , des notions introduites d'exem- parfois élémentaires, d'autres fois plus marquants, qui, pensons- nous, permettent assez bien de fixer les idées. Comme il n'était pas dans notre intention de procéder à une étude générale des systèmes tensoriels (et des notions dérivées) nous avons veillé à limiter le plus possible ce Chapite II de "généralités" (cependant indispensables)• Au Chapitre III, nous procédons à une étude assez exhaustive des sytèmes tensoriels particuliers que sont les sytèmes tensoriels de structures algébriques, en l'illustrant de nombreux exemples. Nous y établissons, surtout, le résultat essentiel que nous avions en vue (et évoqué plus haut). Enfin, on trouvera en Appendice une comparaison précise entre les notions de systèmes tensoriels et de bicatégories. CHAPITRE I : TERMINOLOGIE, NOTATIONS ET RESULTATS PRELIMINAIRES. 1. Graphes o r i e n t é s . Si E e s t un graphe o r i e n t é ( v o i r ( C . A . S . T . ) ) , on note: - FI E l a c l a s s e de ses f l è c h e s , - Ob E l a c l a s s e de s e s o b j e t s , - dom: FI E f l è c h e de - > Ob E E , a s s o c i e son domaine - ou s o u r c e ) , cod: FI E > Ob E t o u t e f l è c h e de - l ' a p p l i c a t i o n domaine des f l è c h e s ( q u i , à t o u t e i : Ob E tout objet E , a s s o c i e son co-domaine - ou but) > FI E S l ' a p p l i c a t i o n co-domaine des f l è c h e s ( q u i , à de l ' a p p l i c a t i o n s é l e c t i o n des i d e n t i t é s ( q u i , à E , a s s o c i e l a f l è c h e i d e n t i t é en S , notée i(S) = Ids ) . Alors, on a: - pour tout objet S de E , dom(i(S)) = cod(i(S)) = S . On dit qu'un graphe orienté - FI E est un ensemble (et Ob E E est petit si, et seulement si: est un ensemble). De même, on dit qu'il est fini si, et seulement si: - FI E est un ensemble fini. Nous laissons au lecteur le soin de préciser ce qu'est un homomorphisme entre graphes orientés. 2. Graphes m u l t i p l i c a t i f s . On dit que > FI B) B_ = (Ob B , FI B_, dom, cod, i, k: B*B est un graphe multiplicatif si, et seulement si (voir (C.A.S.T.)): - (Ob B, FI B, dom, cod, i) est un graphe orienté (dit sous-jacent à B ) - B*B est une classe (dite des couples de flèches composables de B^ ) dont les éléments sont des couples (b',b) de flèches consécutives de B , i.e. telles que dom(b') = cod(b) (i. e. deux flèches composablçs sont nécessairement consécutives, mais deux flèches consécutives ne sont pas nécessairement composables), _ 5*3 k: > pi B est une application (loi de composition des flè- ches ... composables, et l'on pose k(b',b) = b'.b - pour toute flèche > B' b: B de si cela a un sens), B^ , les couples (b,IdR) et (IdRt,b) sont nécessairement des couples de flèches composables (dits triviaux) et l'on a k(Id15t,b) = b = k(b,IcL) , D —*—•—-—— - pour tout couple de B , ona D (b*: B'—> B",b: B — > B 1 ) de flèches composables dom(b'.b) « dom(b) « B et cod(bf.b) = cod £ foncteur . est un foncteur du graphe multiplicatif B vers le graphe multiplicatif £ , il nous arrivera fréquemment d'écrire: - FB , au lieu de F(B) (si B est un objet de B ) , - Fb , au lieu de F(b) , si b est une flèche de B , - F(-) , ou même F - , au lieu de F . 3. Catégories. Une çatésorie. est un graphe multiplicatif où deux flèches consécutives sont nécessairement composables et dont la loi de composition des flèches est associative. Si Ç est une catégorie, on note Ç*C*Ç la classe des triplets de flèches que: (c",c«,c) consécutives (et donc composables) i. e. telles dom(c") = cod(c') et dom(c') = cod(c). Si B est un graphe multiplicatif, si C est une catégorie, si F. B >c jet G: B > £ sont deux foncteurs et si n est une transformation naturelle du foncteur F vers le foncteur G (voir (CA.S.T.)), alors, on notera fréquemment: - n: F > G, - n :F > G :B > C, - IL ou nB , au lieu de n(B) (si B est un objet de B ) - n , où n- , ou n(-) , au lieu de n . 4. Cônes et limites. Soit F. i > B graphe multiplicatif un foncteur du graphe multiplicatif B. On dit que ( 0 ^ : B ((b,: F(I) > ductif ) de base - (bji B B.) F 1_ vers le Ç 0b dans > F ( I » I ç o b i » F> (resP« ! »F> Projet if ( r e s p . in_- B •FCl»i60bI > est un pone s i , et seulement s i : CreSP est une famille de flèches de B , * (b î! F ( I ) *B,)I€0bI } - pour t o u t e f l è c h e i: I > I' de I , on as (F(i),b ) ( b £ t , F ( i ) ) ) e s t un couple de f l è c h e s composables de (resp. et F(i).b = b t b ^ . F ( i ) = b£ ) . Si aucune confusion sur t e l cône e s t de base - B (resp. (bl: B > F(I))X Bien entendu, si F n ' e s t p o s s i b l e , on dira a u s s i qu'un 1^ . On préférera, également, l e n o t e r : ç x . (resp. (bj: F(I) > B'^ ç j . B_ est une catégorie, un tel cône peut être une limite projective (resp. inductive). Dans ce cas, si aucune confusion n'est possible quant à la famille des projections (resp. co-projections) ^ b I^I Ç Ob I - < r e s P- B = ^lim (F) = gllm (bPi ç ob I (F(I)) ^ ' o n n o t e r a indifféremment: (resp. B' = lim^ (F) = ljj^ (F(I) ) . Kl ICI Un tel cône, ou une telle limite, sera dit petit si, et seulement si, I est un graphe multiplicatif petit.Il sera dit fini si, et seulement si, I est une catégorie finie. Si a q-projectif (resp. est un ordinal régulier, il sera dit q-inductif) si, et seulement si: - (il est petit et) l'ensemble FI I_ est de cardinal strictement inférieur à q . 5. Esquisses. On dit que /S/ = (,S, IP) est une esquisse (projective) si, et seu- lement si (voir (E.T.S.A.)): - S_ est un graphe multiplicatif, - P est une classe de cônes projectifs de On dit que S , dits distingués. /S/ est petite (resp. finie) si, et seulement si: - £ est un graphe multiplicatif petit (resp. fini), - IP est un ensemble (resp. un ensemble fini), - les éléments de IP sont des cônes projectifs petits (resp. finis). Si q est un ordinal régulier, on dit que /S/ est une esquisse q-projective si, et seulement si: - les éléments de IP sont des cônes q-projectifs. 6. Structures algébriques (ensemblistes). Soit /S/ une esquisse projective. On dit que > Ens /R/: /S/ est une réalisation de /S/ dans la catégorie Ens , ou encore une structure algébrique (ensembliste) d'espèce si, et seulement si (voir (E.T.S.A.)): /S/ - R: Ens R est un foncteur (dit sous-jacent à la réalisation), de tout cône projectif distingué (i. e. de tout élé- IP ) est une limite projective de Dans ces conditions, on note algébriques d'espèce /S/ /S/ Ens'— Ens. la catégorie des structures (et de leurs homomorphismes), i. e. la caté- gorie dont les objets sont ces réalisations et dont les flèches sont les transformations naturelles entre les foncteurs qui leurs sont sous-jacent s. Ainsi, il n'est pas difficile de montrer que les catégories de structures algébriques "usuelles" (groupes, anneaux, catégories petites, ...) sont équivalentes à des catégories de structures algébriques d'espèces des esquisses projectives petites (et même finies). 7. Structures algébriques générales et co-structures. Soit /S/ On dit que ou encore une une esquisse projective et /R/ : /S/ R: 15 > £ /S/ une catégorie. est une réalisation de C-structure algébrique d'espèce ture algébrique d'espèce - > £ £ /S/ dans £ , /S/ , ou encore une struc- interne à £, si et seulement si (voir (C.O.S.S.)): est un foncteur (dit sous-jacent à la réalisation), 10 - l'image par ment de R de tout cône projectif distingué (i. e. de tout élé- IP ) est une limite projective dans £ • /S/ Dans ces conditions, on note £ — algébriques d'espèce /S/ la catégorie des C-structures (et de leurs homomorphismes), i. e. la caté- gorie dont les objets sont ces réalisations et dont les flèches sont les transformations naturelles entre les foncteurs qui leurs sont sous-jacent s. Ainsi, par exemple, la catégorie des groupes topologiques est équivalente à la catégorie des Top-structures algébriques d'espèce l'esquisse projective (finie) des groupes (si Top désigne la catégorie des espa- ces topologiques et applications continues). £op-structure algébrique d'espèce On dira qu'une C-co-structure d'espèce /S/ est une /S/ et même, s'il n'y a aucune ambiguïté sur C , une co-structure d'espèce /S/. 8. Produit tensoriel d'esquisses projectives. Soit /S/ = (£, 3P) et A tout objet S /£'/ = (S',IP') deux esquisses projectives. (resp. S' ) de S_ (resp. S' ) , nous associons le foncteur (S,-): (resp. S' > S x S' S' € Ob S' l > (S,SJ) s' € FI S' » > (Ids,s') (~,S'): S > S x S' S e Ob S l > (slfs') s € FI S i > (s,Idsf) Alors, nous désignons par (S,ff') (resp. projectifs de £ x £' , images par de IP' (resp. ). (ff,S')) la classe des cônes (S,-) (resp. (-,S')) des éléments IP ). Dans ces conditions, nous posons (voir (E.G.C.E.)): - ff B F' = ( U S Ç Ob S (S,ff'))U( U S' € Ob S' (ff,Sf) ) , 11 - /S/ 8 /S'/ = (S x S' , IP B IP') . /S/ B /£•/ Ainsi, est une esquisse projective, dite produit tensoriel de /S/ - pour toute catégorie £ (possédant "suffisamment" de limites projecti- par /S'/ , et qui vérifie la propriété suivante (voir (E.G.C.E.)): ves), on a des équivalences de catégories (Ens/*/)/*'/ Remarquons, enfin, que si ~ /£/ Ens'5/l'i'' „ et /£•/ (^/S'/j/S/ § sont des esquisses projectives petites (resp. finies, q-projectives) alors /£/B/£'/ est une esquisse projective petite (resp. finie, q-projective). 9. Structures et co-structures multiples. Soit /S/ une esquisse projective. n , on définit l'esquisse projective fin/S/ , • leme puissance tensorielle n de /S/ , par récurrence comme suit : Pour tout entier - B /S/ = (1,0) , encore notée qu'un seul objet - BX/S/ = /S/ , - si n > 2 Cl et et B ^ / S / 16^ d'espèce pelée /S/ Bn/£/ 1^ est la catégorie n'ayant pour seule flèche), est définie, alors Dans ces conditions, si £ algébrique d'espèce 1^ , (où Bn/S/ = /S/V($n~l/S/) . est une catégorie et n€ IN , une £-structure sera appelée C-structure algébrique n-uple . De même, une £-co-structure d'espèce C-co-structure n-uple d'espèce Bn/£/ sera ap- /S/ . Par exemple, les catégories doubles (de (C.A.S.T.)) sont des structures algébriques (ensemblistes) 2-uples d'espèce l'esquisse de catégories. De même, les structures algébriques (ensemblistes) doubles d'espèce l'esquisse des groupes (i. e. les groupes doubles) sont les groupes abéliens. 12 10. Homomorphismes entre esquisses projectives. Soit /S/ = (£, IP) et /£'/ = (£',IP') deux esquisses projecti- ves. > /£'/ est une réalisation , ou homomorsi, et seulement si (voir (E.T.S.A.)): On dit que phisme, de /S/ /R/: /S/ vers /£'/ - R: £ est un foncteur, - > £• R(IP) c IP' . Dans ces conditions, si £ est une catégorie, une telle réalisation induit un foncteur ("composition par /R/"): R £/ / : ^ / > £ /£/ /R»/ , > /R'.R/ . En particulier, si /R/: /S/ > /S'/ est une réalisation entre esquisses projectives petites, nous avons ("théorème du faisceau associé"): /R/ /S'/ /S/ - le foncteur Ens' ' * Ens — ' > Ens'—' admet un adjoint à gauche. (voir (C.O.S.S.)). 11. Co-structures canoniques. Soit /S/ une esquisse projective petite. A tout objet S de £ , nous associons la réalisation /Sel /: 1 > /S/ telle que Sel.: 1 > S est le foncteur ("sélection de S ") qui associe S à l'unique objet de 1^ . Ainsi, cette réalisation induit le foncteur "évaluation en S " : /Se ev = Ens V - W -/S/ 7 : Ens — S /R/ I 1 Ens 1 = Ens > Ens > R(S) et, d'après le "théorème du faisceau associé", ce foncteur admet un adjoint à gauche: /S/ q : Ens > Ens'—' 13 De même, à toute flèche s: S s> S' de transformation naturelle "évaluation en est associée une s " : /S/ > ev gl : Ens'-' ev g : evg S > Ens , telle que: - pour tout objet /R/ E n s ^ , on a ev (/R/) = R(s). s Par adjonction, il en résulte donc une transformation naturelle: V qs' de >q s :Ens > Ens Dans ces conditions, nous obtenons ainsi un foncteur (canoniquement associé à /S/ ) : Y/s/ s S S i > (Ens^7)015 > q s (l) s t > q s (l) Alors, on sait que ("lemme de Yoneda pour les esquisses projectives petites" - voir (F.O.S.A.)): - naturellement en tout objet /R/ : /£/ turellement en tout objet S de S , on a " / Y / s / 7 s /£/ > Ens de E n s ^ R(S) ~ Hom /q/ (Y /Q/ (S),/R/) , Ens 7 - 7 7 £ 7 ^ (Ens7-7)op est une réalisation et na- (c'est donc une Ens /S/ co-structure d'espèce /£/ : nous dirons, plus simplement, que c'est la co-structure canoniquement associée à /S/ ) . 12. Densité des co-structures canoniques. Soit /S/ une esquisse projective petite. Si /R/: /S/ > Ens est une réalisation, nous lui associons le graphe multiplicatif H(/R/) (de ses hypermorphismes) défini comme suit (voir (C.A.S.T.)): 14 £ ses objets sont les couples (S,x) tels que et x est élément de R(S) , - ses flèches sont les couples que - s: S *• S* les deux flèches S > (S',R(s)(x)) tels (s,x): (S,x) est une flèche de S (s,x): (S,x) est un objet de et x est élément de R(S) , > (S',R(s)(x)) et , (s',x'): (S',x') >> (S",R(s )(x')) sont composables si, et seulement si s: S x' = R(s)(x) et bles dans > S* et S , auquel cas la composée s': S» > S" sont composa- (s'.s,x): ( S , x ) — * • (S,,,R(s')(x,))< est Nous disposons d*un foncteur "projection": h(/R/): H(/R/) >s (S,x) I > S (s,x) I > s Dans ces conditions, nous savons alors que ture canonique") (voir (F.O.S.A.)): - si /R/ est un obtet dp /R/ = = ("densité de la co-struc- E n s ^ , alors on a: 1¾¾. ((ys/)°P.h(/R/)°P ) i i V H(7R/)° P — - > S° P P h(/R/)° ce que nous écrirons aussi, en posant tout objet (S,x) de H(/R/) , /R/ = Urn^ T/s/(Sx) x € R(S) S Ç Ob S " -> Ens^) (Y /S/ )° P H(/R/)(S,x) = S J ( = S ) , pour . 13. Idées. Soit /S/ = (S,n>) une esquisse projective. On dit que le graphe orienté lement si: Z est une idée ri* /s/ si, et seu- 15 - E est un sous-graphe orienté du graphe orienté sous-jacent à £ , pour toute esquisse projective /£/ ,associée à une catégorie £ mu- nie d'un choix de (suffisamment) de limites projectives (constituant les cônes projectifs distingués de > /C/ , si tions) /R/,/R'/: /S/ - E /C/ ), et tous homomorphismes (ou réalisaR. = R'. est le plus petit sous-graphe orienté de alors R = R' , !S possédant ces deux (premières) propriétés, (voir (I.M.S.A.) , où une définition plus précise est fournie - mais dont nous n'avons pas le besoin explicite ici). Intuitivement, dire que /S/ E est une idée pour /S/ c'est dire que admet un système de générateurs (dans un sens que justement (I.M.S.A.) précise). Dans ce qui suit, lorsqu'il s'agira de montrer (rapidement) qu'un type de structures algébriques admet une esquisse, le plus souvent nous nous contenterons d'en décrire une idée (le soin étant laissé au lecteur d'engendrer, à partir de cette idée, l'esquisse voulue). 14. Structures algébriques duales (de même espèce) et espèces duales. Soit /S/ = (S, IP) une esquisse projective (petite). Si P = (sT: S un élément de > S ) IP ) , nous notons graphe multiplicatif Si g: I_ est un cône projectif distingué (i. e. G(P) le groupe des automorphismes du I_ . > I_ est un tel automorphisme, on en déduit donc un nouveau cône prjjectif (non nécessairement distingué) p g = (sg(DîS >s g(i))iei . Considérons, maintenant, le groupe produit: G(P) = TT G(P) P € P Alors, à tout élément g = (g p ) p - w semble de cônes projectifs de G( IP) , nous associons l'en- IP = { P / P Ç IP } , de sorte que 6 6p 16 /S/ = (S,JP ) o est encore une esquisse projective. o Il est alors facile de vérifier que, si /R/: /S/ >£ £ est une catégorie et si est une réalisation, alors /R/ : /S/—> *£ est encore une réalisation (de même foncteur sous-jacent). Ainsi, obtient-on un isomorphisme: Y£,g' £ 7 - 7 /R/ > £ "s > /R/ . Dans ces conditions (voir (D.S.A.E.)): - si /S/ et /S/ ne sont pas isomorphes, nous dirons que /S/ est une espèce de structures algébriques duale de l'espèce de structures algébriques /S/ (et — y est rr xm isomorphisme entre catégories de C-struc— L^,g tures algébriques dont les espèces sont duales), - si /Q/: /S/ > /s/ est un isomorphisme, alors o > c 7i/* c/y - - Y£,g > « /Q/ £ £ /S/ , i. e. h: /R/ > /R'/ C-structure algébrique vers la C-structure algébrique et seulement si (voir (D.S.A.E.)): - > g'C/R1/) est une flèche de h: g(/R/) une catégorie. /R'/:/S/ • > £ si, c/-' (i. e. un "véri- table" homomorphisme). Si e = Id / Q / morphisme , un homomorphisme g-coritra-variant appelé homomorphisme (e,g)-variant sera appelé homo- et un homomorphisme (g',e)-variant sera g'-co-variant. Il est facile de vérifier que les homomorphismes contra-variants (resp. /S/ covariants) à variances parcourant Dual(C — ) constituent les flèches "" /S/ /S/ d'une catégorie ayant mêmes objets que £ — et admettant £ — pour sous-catégorie. Par exemple, si £ = Ens et /S/ çst l'esquisse de catégories (voir /S/ """ (E.T.S.A.) ), alors Ens— 7 est équivalente à Cat et lfon a: Dual(Cat) = ( { l d C a t X O 0 P } , * ) . Ainsi, un homomorphisme h: A (-) -contra-variant (resp. > B , de la petite catégorie est un foncteur h: (A)°P A (-) -co-variant ) vers la petite catégorie > 0 O ° P ) , i. e. > ,B (resp. h: A un foncteur contra-variant (au sens usuel) de A £ , vers B , 16. Morphismes entre structures algébriques. Désignons par Esq la catégorie dont les objets sont les esquisses 18 projectives petites et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces esquisses. Nous notons alors Prot la sous-catégorie pleine de jets sont les prototypes projectifs petits tives petites - £ - Esq dont les ob- i. e. les esquisses projec- /S/ = (S, IP) telles que (voir (E.T.S.A.)): est une catégorie (nécessairement petite), tout cône projectif distingué (i. e. tout élément de IP ) est une limite projective de £ . Alors, on sait que ("existence du prototype engendré par une esquisse"): " le foncteur injection canonique à gauche rr: Esq > Prot > Esq i: Prot admet un adjoint (voir (E.T.S.A.)). Désignons, maintenant, par /Sç t / l'esquisse projective petite dont le graphe orienté sous-jacent, les équations de définition de la loi de composition des flèches de sont précisés par le diagramme S et les cônes projectifs distingués 1 (ci-joint). Alors, /S^ / est l'es- quisse des catégories, puisqu'il est facile de vérifier que les catécories Cat et Ens sont équivalentes. Dans ces conditions, nous dirons qu'un foncteur Z: S > Esq° P est u n e Pro-co-catégorie (dans Esq ) si, et seulement si: - .Z/: S Ç ^ est une réalisation (i. e. une Prot- /TT > Prot co-structure d'espèce l'esquisse des catégories, ou encore une co-catégorie dans Prot ). Si £ gorie, si est une catégorie, si > £ /R/s Z(sp tions, i. e. deux /M/: /R/ > Esqopest une pro-co-caté- Z: S ^ et /R'/: Z ^ ) >C C-structures algébriques d'espèce > /R»/ est sément encore,d'espèce un morphisme (d'espèce Z ) de /R/ vers (voir (C.R.M.S.)): - /M/: Z(S2) > £ - /M/.Z(dom) = /R/ est une réalisation, et /M/.Z(cod) = /R'/ . /R'/ sont deux réalisaZ ( S ^ , nous dirons que Z(S ) , ou, plus précisi, et seulement si 19 graphe orienté sous-jacent dom.i = Id„ p c o d . i = Id r P 1 -J 2 = i . c o d = v dom.p k.j, = = d r j i = I d s, P # 2 -U = i.dom = u P 2 . J 2 = ids^ ^ cod.p 2 = d k . j 2 = id s ^ P2.qx = e p..w = k.q = h 'I'"! 1 1 P P1«Q2 = e P r w 2 = P l . q i = rx P 2 .w 2 = k.q2 = h 2 k.k = k.k2 = h équations de d é f i n i t i o n cônes projectifs distingués Diagramme 1 2' W 1 = V«2 = r 2 20 Nous désignons, alors, par £(Z) la catégorie des C-structures algébriques d'espèce tégorie 2(S-) et de leurs morphismes d'espèce Z , i. e. la ca- telle que: - ses objets sont les £-structures algébriques d'espèce - ses flèches sont les morphismes d'espèce Z Z(S ) , entre ces structures, la composition des flèches est donnée par Z(k) • Z(S ) Bien entendu, les catégories £ et £(Z) ont exactement les mêmes objets (à savoir les £-structures algébriques d'espèce Z(S ) ) mais leurs flèches sont, en générales, totalement différentes. Notons que, si /S/ est une esquisse projective petite, il lui est associée une pro-co-catégorie z /q/ : ^ > t ^S(l canonique telle que (notamment): - Z(S X ) = 1 M /S/ » /S/ , - Z(S 2 ) = _2 H /S/ (où £ est identifiée à l'esquisse (£,0) ) , - Z(S3) = £ » /S/ (où est identifiée à l'esquisse (£,0) ) , - Z(S^) = 4 H /£/ (où 4 est identifiée à l'esquisse (4,0) ) . 2 /S/ Alors, il est facile de vérifier que £ — ' et £(Z,„y) sont des catégories isomorphes, autrement dit que les homomorphisme s" "naturels" entre £-structures algébriques d'espèce /£/ sont des morphismes canoniques (i. e. de l'espèce z /c/ canoniquement associée à /£/ ) . Par exemple, si /S/ est une esquisse projective petite et si /S/ E désigne la classe (d'objets de Ens — ) des structures algébriques ensemblistes d'espèce /S/ , la catégorie EE , des couples d'éléments de E ., est isomorphe à la catégorie Ens(ZÎ ,) , où Z! ,: S^ — > Esq'op est la pro-co-catégorie telle que (notamment): "" - z ^ c s ^ = /s/ , - Z' (S 2 ) = /S/ + /S/ dans Esq , - Z ' ( S 3 ) = /S/ + /S/ + /S/ dans Esq , - Z / , S/ (S 4 ) = /S/ + /S/ + /S/ + /S/ dans Esq . "" 21 17. Quelques rappgls sur l e s bi-modules. Soit A et B deux anneaux u n i t a i r e s . I l e s t f a c i l e de v é r i f i e r que l e Z-module A B B , produit t e n s o r i e l Z (dans la catégorie des groupes abéliens) du Z-module (sous-jacent à) A par le Z-module (sous-jacent à) B, est canoniquement muni d'une structure de Soit Si M (A,B)-bi-module que nous notons, pour simplifier, A * B • A ,B est un admettent un nous notons et C trois anneaux unitaires. (A,B)-bi-module et si N est un (B,C)-bi-module, ils (A,C)-bi-module "produit tensoriel de M par N " , que M B N (ou encore, plus simplement, s'il n'y a pas A,B,C risque d'ambigUité, M B N ). En particulier, nous poserons (A*B) B (B*C)=A*B*C (qui A,B,C est donc un Soit Si M et si (A,C)-bi-module). A , B et trois anneaux unitaires. (resp. N ) est un P est un néaires (resp, vers C P (A,B)-bi-module (resp. un (B,C)-bi-module), (A,C)-bi-module, l'ensemble des applications C-linéaires) à gauche (resp. à droite) de M est canoniquement muni d'une structure de /S/A DN 0 . / (resp. N) (B,C)-bi-module (resp. de (A,B)-bi-module) que nous notons £ M ,P £ .. A,B A,B,C ] N , P ] ) ( 1 ). B,C A,B,C Soit A et B deux anneaux u n i t a i r e s . Nous désignons par A-li- (resp. l ' e s q u i s s e p r o j e c t i v e p e t i t e des — \ A , D ^—Dim (A,B)-bi-modules, dont une idée est représentée par le diagramme 2 ci-joint (esquisse que nous laissons le soin au lecteur de préciser entièrement!). Alors, i l e s t f a c i l e de v é r i f i e r que l a c o - s t r u c t u r e canonique 1 Y /S I ,X ^ A B)-Bim/ " " > (CA,B)-Bim)° P /iCA.B^Bin/ " '^A.BHJiii/ En particulier, nous avons donc: - M A)B c T f ) r t x c r # r est une famille de -c .c (c ,cj t ZT)L foncteurs (indexée par la classe £*£ des couples de flèches composa- bles de £ ) . Dans ces conditions, nous dirons aussi que (T,B) est un C-système mul- tiplicatif. 2. Systèmes multiplicatifs associatifs. On dit que TT = (£;T,K,a) est un système multiplicatif associatif si, et seulement si: - (£;T,B) est un système multiplicatif, - a = (V,c',c î ( ""c"ïc'" ) c".c'V ) * V , îc'.c ( "c'ïc"' )) (c M ,c',c)€£^C est une famille d'équivalences naturelles (indexée par la classe £*£*£ des triplets de flèches composables de £ ). Dans ces conditions, nous dirons aussi que (T,B,a) est un C-système 25 H< o o O O o o . o o /-s I m O o •V o o m v-/ O Wo • o O o I I c w I o 0« m O o o o o a* I a . I O U m m I O a rt "b o i o i I s] 26 multiplicatif associâtî.f. Un tel système (ou £-système) multiplicatif associatif sera dit cohérent si, et seulement si: - pour tout quadruplet (c"',c",c',c) de flèches composables de £ , le diagramme d'équivalences naturelles 3 (ci-joint) est commutâtif. 3. Systèmes multiplicatifs unitaires. On dit que TT = (£;T,B,I,u) est un système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) si, et seulement si: - (£;T,B) est un système multiplicatif, "" I = (I c € Ob T I d ) c ç Q b c est une famille d'objets (indexée par la classe C ), Ob £ des objets de > 1¾ u = (uc: - c » d o m ( c ) I d o m ( e ) —C U = ( V W c ) Id A( > "c COÛKCJ Id (resp >c € FI C T — > 6St >C€F1C —c Une fmi1 ' — le d'équivalences naturelles (indexée par la classe de £ ). Dans ces conditions, nous dirons aussi que * FI £ des flèches (T,B,I,u) est un C-système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche). De plus, on dit que TT = (£;T,B,I,g,d) est un système multiplica- tif unitaire si, et seulement si: - (£;T,B,I,d) est un système multiplicatif unitaire à droite, - (£;T,B,I,g) est un système multiplicatif unitaire à gauche. Dans ces conditions, nous dirons aussi que (T,B,I,g,d) est un C-sys- tème multiplicatif unitaire. Enfin, un tel système (ou £-système) multiplicatif unitaire sera dit cohérent si, et seulement si: - (£;T,B,I,d) 'est un système multiplicatif unitaire à droite, - (£;T,B,I,g) est un système multiplicatif unitaire à gauche, 27 -> -c',c fB ( x- BT^ c,Id ^c'ïc^.cïldjj V c a C O cffcfId c',c (cohérence de !•associâtivité et de lfunitarité à droite) Diagramme 4 C "c'ïldc, ^^o'ïc" -c'îc(IC- 1 ^ . V » » c',Idc,,c d , tB c* c*,c c' ,c (cohérence de Hassociativité et des unitarités à droite et à gauche) Diagramme 5 (I C» Idç.'c'^c'V "id^.cSc * V Id^ïc'.c'VÎcf* c',c (cohérence de l'associâtivité et de l'unitarité à gauche) Diagramme 6 28 ( pour tout objet C de C , on a: eid c ( V 5 *c idc?idc xc — * I c ) « ( d id c ( V' h idcïidc h — * V - 4« Systèmes tensoriels. On dit que TT = (£;T,B,a,I,g,d) est un système tensoriel (de ca- tégories) si, et seulement si: " (£*£.#•#*) e s t u n SyStème multiplicatif associatif et cohérent, " (£;T,B,I,g,d) est un système multiplicatif unitaire et cohérent, - pour toutes flèches c: C > C et c': C > C" trois diagrammes de transformations naturelles 4 , 5 de £ , les et 6 (ci-joints) sont commutatifs (ce qui exprime la cohérence de 1'associâtivité avec l'unitarité). Dans ces conditions, nous dirons aussi que (T,B,a,I,g,d) est un £- système tensoriel. 5. Exemples de systèmes multiplicatifs et tensoriels. Si £ = 1^ , il est facile de vérifier qu'un £-système multiplicatif s'identifie à une catégorie multiplicative, au sens de (C.A.M.U.), et réciproquement. De même, un £-système tensoriel s'identifie à une catégorie monoïdale, au sens de (C.L.C.A.), et réciproquement. Si £ = àkm est la catégorie des couples d'anneaux unitaires, les constructions rappelées au Chap. I , §17 , montrent que la famille des catégories de bimodules ((A,B)-Bim)^. N . „. M est sous-jacente à un £-système tensoriel "canonique". De même, il est facile de construire le (E aatt-système tensoriel 29 (resp. le petites NHoom-système tensoriel ...) des couples de catégories (resp. G M est sur le monoïde M , notons: C , T — —c la catégorie discrète identifiée {c} x M , pour toutes flèches (i. e. tous éléments) c composables) de £ et tous éléments m et et c' (nécessairement m' de M , (c'jin1) ,B (c,m) = (c'.c,m'.Q(c',m)) . c ,c Alors, i l e s t f a c i l e de v é r i f i e r que e s t un £-système m u l t i p l i c a t i f , i(^c>c€F1 £,(^'V\c',c)€£*£> sous-jacent à un £-système t e n s o r i e l Ç$l canoniquement a s s o c i é au produit semi-direct du monoïde ïde £ par l e mono- M. On étudie plus exhaustivement d'autres exemples naturels et u t i l e s au Chap. I I . 6. Morphismes de systèmes m u l t i p l i c a t i f s . Soit TT = (£;T,B) T£* = (£ A ;T*,B) et deux systèmes m u l t i p l i c a - tifs. On d i t que (F;H,h): TT > TT* e s t un morphisme du système mul- tiplicatif TT vers l e système m u l t i p l i c a t i f - F: £ > £* - H = (H : T C - h = (hc.,c8 e s t un foncteur: > T*, O —C —TAC/ H TT* s i , et seulement s i s - _,- „ C Ç FI e s t une f a m i l l e de foncteurs , C c . ( - ) F ( c . ) Ï F ( c ) H c ( - ) ~ ^ H c ' . c ( - c - ! c - » < c ' . c > € C*C 30 est une famille de transformations n a t u r e l l e s . En p a r t i c u l i e r , nous dirons que (F|H,h): T£ > TT est %m homomorphisme du système m u l t i p l i c a t i f TT vers le système m l t i g l i g g r tif TTA s i , et seulement s i : - ( F ; H , h ) : TT - pour tout couple foncteurs > TT* e s t un morphisme de (c',c) De même, s i £ = C' TT* , de flèches composables de £ , les deux Hci(-)F(ct)IIF(c)Hc(.) transformation n a t u r e l l e TT v e r s et Hc,J~0JC-) h t est l ' i d e n t i t é . et s i (Id c *H,h)i TT sont égaux et l a > TT* est un mor- phisme ( r e s p . un homomorphisme) de TT vers TT* , nous dirons que (H,h): (T,B) > (T%B) est un C-morphisme ( r e s p . un C-homomorphisme) du C-système m u l t i p l i c a t i f (T,H) vers le C-système m u l t i p l i c a t i f (T A ,H). 7. Morphismes de sytèmes m u l t i p l i c a t i f s a s s o c i a t i f s . Soit TT = (£;T,B,a) et TT" = (£*;T%B,a A ) deux systèmes multi- p l i c a t i f s a s s o c i a t i f s ( r e s p . a s s o c i a t i f s et cohérents). On dit que (F;H,h): TT > TT* est un morphisme du système multi- p l i c a t i f associatif ( r e s p . associatif et cohérent) TT vers le système m u l t i p l i c a t i f associatif ( r e s p . associatif et cohérent) TT* s i , et seulement s i : - (F;H,h): (£;T,B) > (£*;T%B) est un morphisme de systèmes multi- plicatifs, - pour tout t r i p l e t ( c " , c ' , c ) de flèches composables de £ t Te diagramme de transformations n a t u r e l l e s 7 ( c i - j o i n t ) est commutâtif. On définit facilement, comme précédemment, les homomorphismes ent r e systèmes m u l t i p l i c a t i f s a s s o c i a t i f s ( r e s p . a s s o c i a t i f s et cohérents) les C-morphismes entre C-systèmes m u l t i p l i c a t i f s a s s o c i a t i f s ( r e s p . a s s o c i a t i f s et cohérents) et les C-homomorphismes entre C-systèmes multip l i c a t i f s a s s o c i a t i f s ( r e s p . a s s o c i a t i f s et cohérents). 31 I o m O U o . o o I u I s-/ /"N O • o o o o "b "b O I O * o • O O PCO O tu o O •s o "b «j* o "b • o o ffi s"b /-s O I O o "b O . o O a U o "b W* EU tu /-s I o "b o o I o . o o •H 32 8. Morphismes de systèmes multiplicatifs unitaires. Si ïï= (£;T,B,I,u) et TT* = (£ A ;T A ,B,I A ,u A ) sont deux systèmes multiplicatifs unitaires à droite (resp. à gauche), on dit que (F;H,h,k): TT » TTA est un morphisme du système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) TT vers le système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) TT* si, et seulement si: - (F;H,h): (C;T,B) > (£ A ;T%B) est un morphisme de systèmes multipli- catifs, " h = < V Çcc) - > H id ( I c ) ) c € ob ç pour toute flèche tions naturelles c: C > C e s t une f a r a i l l e de f l è c h e s ' de £ , le diagramme de transforma- 8 (ci-joint) est commutatif. En particulier, nous dirons que (F;H,h,k): TT > TT* est un homomor- phisme du système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) TT vers le système multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) TT* si, et seulement si: - (F;H,h): (£;T_,B) > (£*;TA,B) est un homomorphisme de systèmes multiplicatifs, - pour tout objet che identité. C de £ , on a Ip/ C ) = H I d d c ) et On définit facilement les C-morphismes entre k e s t l a flè c ~ C-systèmes multiplica- tifs unitaires à droite (resp. à gauche) et les C-homomorphismes correspondants. Si ïï = (£;T,B,I,g,d) et TTA = (£ A ;T A ,B,I A ,g A ,d A ) sont deux systèmes multiplicatifs unitaires (resp. unitaires et cohérents), on dit que (F;H,h,k): TT > TTA est un morphisme du système multiplicatif unitaire (resp. unitaire et cohérent) TT vers le système multiplicatif uni- 33 '^A^' * Hc(- c"ldr V c,Id, HC( uc) V^FCc^d^.A '(cîîldp (C) "FCO "c^^cc^idp^jSco • Hc(-) (compatibilité avec l'unitarité à droite ) (resp. H ' Id •» H (- _ . » F(C')" F(c) "^^ c IdCt»c Idc,,c 5 C' I d ^ . ^ F C c ) * ^ H nC( u nc> "FCO ^(C') I d p ^ . ^ c ) H c ( _ ) * (compatibilité avec l'unitarité à gauche) Diagramme 8 Hc(-) ) -) 34 taire (resp. unitaire cohérent) - TT* si, et seulement si: > (£A;TA,B,IA,dA) est un morphisme de (F;H,h,k): (£;T,B,l,d) systèmes multiplicatifs unitaires à droite, - > (£A;TA,B,IA,gA) est un morphisme de (F;H,h,k): (£;T,E,I,g) systèmes multiplicatifs unitaires à gauche. On définit tout aussi facilement les homomorphismes entre systèmes multiplicatifs unitaires (resp. unitaires cohérents), les C-morphismes entre C-systèmes multiplicatifs unitaires (resp. unitaires cohérents) et, enfin, les C-homomorphismes correspondants. 9. Morphismes de systèmes tensoriels. Soit TT = (£;T,B,a,I,g,d) et TTA = (£A;TA,B,aA,IA,gA,dA) deux systèmes tensoriels. On dit que (F;H,h,k): TT > TT* homomorphisme) du système tensoriel TT est un morphisme (resp. un vers le système tensoriel TT* si, et seulement si: - (F;H,h): (£;T,B,a) > (£A;TA,B,aA) est un morphisme (resp. un homomorphisme) de systèmes multiplicatifs associatifs (et cohérents), - (F;H,h,k): (£;T,B,I,g,d) > (£*;TA,E,IA,gA,dA) est un morphisme (resp. un homomorphisme) de systèmes multiplicatifs unitaires (et cohérent s ). On définit facilement les entre C-morphismes et les C-homomorphismes C-systèmes tensoriels. 10. Exemples de morphismes et homomorphismes entre systèmes multiplicatifs et tensoriels. Si £ = jL , il est facile de vérifier qu'un £-morphisme entre £systèmes tensoriels (qui s'identifient à des catégories monoïdales) 35 s'identifie à un foncteur monoïdal, au sens de (C.L.C.A.), et réciproquement. De même, un £-homomorphisme s'identifie à un foncteur monoïdal strict et réciproquement. A tout couple (A,B) d'anneaux unitaires associons le couple F(A,B) de leurs monoïdes multiplicatifs sous-jacents-et associons à tout homomorphisme phisme > M', entre f: M (A,B)-bimodules, 1 •homomor- H /A T5s(f) , sous-jacent, du couple de monoïdes rant sur l'ensemble M F(A,B) , opé- vers le couple de monoïdes F(A,B) , opérant sur l'ensemble M' . Clairement ( F ï( H ( AfB ))( AfB ) Ç FI M m eSt SOUS ~ jacent à un morphisme (qui n'est pas un homomorphisme) du système tensoriel "canonique" des catégories de bimodules vers le système tensoriel des catégories de couples de monoïdes d'opérateurs sur des ensembles. Si C si Q: C x M est un monoïde, si M > M gauche, du monoïde £ et M* et Q': £ x M' > M' sont des opérations, à sur les monoïdes M M' , alors tout phisme du £-système tensoriel et ^mor- Œl vers le £-système tensoriel ffiî' s'identifie à une famille d'applications que: - sont deux autres monoïdes, (f : M pour tout couple (c',c) d'éléments de £ > Mf>c ç Q telles et tout couple (1^,1^) d'éléments de M , on a f f ^(nyfKc',!!^)) = fc , (m2).nf(C ,^(11^)) . En particulier, les familles constantes (fc = f >c ç c s'identifient aux homomorphismes de monoïdes f:M de Cette forme > M* , compati- bles avec les opérations Cl et Cl* . 11. Catégories de morphismes entre systèmes multiplicatifs et tensoriels. Nous dirons qu'un système multiplicatif (resp. un système multiplicatif associatif, associatif et cohérent, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire, unitaire et cohérent, un TT = (£;T,fi, ... ) - C - pour toute flèche est petit système tensoriel ) si, et seulement si: est une catégorie petite. c de £ , la catégorie T^ est petite. 36 Alors, nous notons Smuc , St Sm^ (resp. Sma , Smac , SmucL , Smug^ , Smu , ) la catégorie dont les objets sont ces systèmes multipli- catifs (resp. ... ) petits et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces systèmes. Ainsi, on obtient le diagramme commutâtif de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 9 ci-joint et l'on a: Proposition 1 . Les différentes catégories figurant dans le diagramme commutâtif de foncteurs 9 (ci-joint) sont toutes localement finiment présentables (au sens de (L.P.L.G.)), en particulier elles sont complètes et co-complètes, et les différents foncteurs qui y figurent admettent tous des adjoints à gauche. Preuve. En effet, Situ est équivalente à la catégorie des réalisations d'une esquisse petite et f iniment projective (au sens du Chap. I, §5) et que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter) engendrée par le graphe Z (qui en est une idée , au sens du Chap. I,§13),représenté par le diagramme 10 (ci-joint); ainsi, au système multiplicatif est associé l'unique foncteur - R Tr (S 1 ) = Ob £ -R__(E 1 )= -l-tRJ^E,) = -1—L. U R—,: E , R.JJ.CSJ) = FI £ Ob T T * T > Ens TT = (£;T,B) tel que (notamment): , R.flXSg) = £*£ , , R T r (E 9 ) = -1-1- FIT et (qui sont les ensembles respectifs d'objets, C Ç F I C " - 0 - 0 de flèches et de couples de flèches composables de la catégorie somme c € FI C J - pour ïc >• (c«,c) e c*c ^ i = 1,2 ^ , R__,(comp. ) est l'application de composition des cou- ples de flèches composables (de £ - R„_(tens) est l'application ou de ' I T ), c € FI C ~° "produit tensoriel" , - R™,(p) est la projection qui associe à tout élément (x,c) l'élément c 37 Smao, * Smaj, plein StH Sm 1 Smuc H Smud* plein H Smug H Diagramme 9 tens compn S = comp. Diagramme 10 3 V S2 H 38 De même, Sm^ et Smac^ (resp. Smuc^ et SmugH ) sont équivalentes à des catégories de réalisations d'esquisses petites et finiment projectives (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter) admettant pour idée commune le graphe Ema (resp. E ^ (resp. Unit )» représenté par le diagram- me 11 (ci-joint) où ass et unit) décrit (resp. décri- vent) 1*isomorphisme d»associâtivité (resp. le choix d'unités et l'iso- morphisme d'unitarité). On conclut alors facilement. Fin de la preuve. De même, nous notons Sm (resp. Sma , Smac , Smud , Smug , Smu , Smuc , St ) la catégorie dont les objets sont les systèmes multiplicatifs (resp. ... ) petits et dont les flèches sont les morphismes (quelconques) entre ces systèmes. Ainsi, on obtient le diagramme commutatif de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 12 ci-joint. Notons, d'ailleurs, que les diverses catégories qui y figurent sont encore "esquissables" -au sens généralisé Chap. I, §16. 12. Catégories de morphismes entre C-systèmes multiplicatifs et ten- soriels. Soit C une catégorie (quelconque). On d i t qu'un £-système m u l t i p l i c a t i f ( r e s p . un £-système m u l t i p l i c a - t i f a s s o c i a t i f , a s s o c i a t i f e t c o h é r e n t , u n i t a i r e à d r o i t e , u n i t a i r e à gauche, u n i t a i r e , u n i t a i r e e t c o h é r e n t , un e s t p e t i t s i , e t seulement - pour t o u t e f l è c h e A l o r s , nous notons c £-Sm de £-système t e n s o r i e l ) TT = ( T , B , . . . ) si: £ , la catégorie (resp. T^ est petite. £-Sma H , £-Smac H , £-Smud H , £-Smug H , C-Smu , C-Smuc__ , C-St. ) l a c a t é g o r i e dont l e s o b j e t s sont ces H — H — n m u l t i p l i c a t i f s ( r e s p . . . . ) p e t i t s e t dont l e s f l è c h e s sont l e s mes entre ces £-systèmes. £-systèmes £-homomorphis- Ainsi, on obtient le diagramme commutatif de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 13 ci-joint et l'on a: 39 E 3 tens comp> E ? <- cod 0 >2 * cod. (resp. Unit cod., Diagramme 11 40 Smac -> Sma plein St Sm i Smud" Smu > Smuc plein Smug Diagramme 12 C-Smac, plein -> C-Sma F £-St H C-Smud. l C-Smuc „ H > C-Smu plein H kC-Smug Diagramme 13 H Ç-SmH 41 Proposition 2 . Si £ est une catégorie petite, les différentes ca- tégories figurant dans le diagramme 13 (ci-joint) sont toutes locale- ment finiment présentables (au sens de (L.P.L.G.)), en particulier elles sont complètes et co-complètes, et les différents foncteurs qui y figurent admettent tous des adjoints à gauche. Preuve. En effet, £-5¾ est équivalente à la catégorie des réalisa- tions d'une esquisse petite et finiment projective (au sens du Chap. I,§5, et que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter) graphe £-£ engendrée par le (qui en est une idée, au sens du Chap. I,§13) représenté par le diagramme 14 ci-joint. De même, (resp. £"Sma„ ^SmucL ) est équivalente à une catégorie de réalisations d'une esquisse petite et finiment projective (que nous laissons au lecteur le soin d'expliciter) admettant pour idée le graphe (resp. £-E , ) représenté par le diagramme 15 £""£ma ci-joint. On conclut alors facilement. Fin de la preuve. On en déduit que, si F: £ > £A est un foncteur, il induit un foncteur: F-Sm^: £ A -Sm > £-Sm^ (r,H), ( r e s p . . . . ) et l ' o n Proposition a: 3 . Si^ F : £ petites, le foncteur > £* F-Sm est un foncteur entre deux catégories (resp. ... ) qu'il induit admet un adjoint à gauche. Ainsi, par exemple, tout £-système tensoriel engendre librement une caté- gorie monoïdale (i. e. un ^-système tensoriel): de ce point de vue, les £-systèmes tensoriels peuvent être regardés comme des "systèmes de générateurs et de relations pour les catégories monoïdales". Nous noterons, enfin, £-Sm £-Smug , £-Smu , £-Smuc , £-St ) (resp. £-Sma , £-Smac , £-Smud , la catégorie dont les objets sont les systèmes multiplicatifs (resp. ... ) petits et dont les flèches sont les £-morphismes (quelconques) entre ces £-systèmes. £- 42 dom Jl x > ïtert. > 2,x <- E. = E- • E 0 3,x 2,x 2,x comp cod J 2,c v^^ ^ 0ème ^ ^ 2 proj. '2,c'.c*" tens c',c 2,c' 2,c nere 2,c' ^ x , c , c' variant dans FI C Diagramme 14 1 proj. (c',c) variant dans C*C 43 , x dom '1.x "ïdênt x > E 2,x « ». variant dans FI C ' comp. 3,x (c',c) variant dans C*C cod E 2,c'.c*- tens t c',c E 0 t x En 2,c' 2,c E- ftxE- txEl,c" l,c' l,c '2,c".c'.c«" ass c",c',c ! (c",c',c) (resp. x variant dans variant dans C*C*C FI C dom 'l*x îdSït > E 2,x <" J 3,x comp (c',c) variant dans I cod I 2,c'.c tens . c',c ! C variant dans l Ob £ , l I E Unit > , i,c I Diagramme 15 2,c' C*C 2,c 44 Alors, on obtient le diagramme commutatif de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 16 ci-joint et les diverses catégories qui y figurent sont encore des catégories "esquissables" - au sens généralisé du Chap. I,§16.De plus, si F: £ > £ A est un foncteur, il induit encore un foncteur F-Sm : £ A -Sm > £-Sm tant F-Sm„ (resp. ... ) pour restriction. (resp. ... ) , admet- H 13. Systèmes multiplicatifs et tensoriels opposés. Il est clair que, si TT = (£;T,B, ... ) est un système multiplicatif (resp. un système multiplicatif associatif, associatif et cohérent, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire, unitaire et cohérent, un système tensoriel), alors TT° P = (C;T op = (T ° P ) ^ r1 n9 B ° P , ...) est en— — —C C Ç F1 C core un système multiplicatif (resp. ... ), que l'on appelle l'opposé de TT. Alors, si TT et TT* sont deux systèmes multiplicatifs (resp. .•• ) et si H : TT > TT* est un morphisme de systèmes multiplicatifs (resp. ... ), on dit encore que M : TT > TE* est un co-morphisme du système multiplicatif (resp. ... ) TT vers le système multiplicatif (resp. ... ) TTA .Ainsi, en particulier, les co-homomorphismes sont exactement les homomorphismes. Dans ces conditions, nous notons Sm (resp. Sma , Smac , Smud , co co co co Smug , Smu , Smuc , St ) la catégorie dont les objets sont les co co co co ° systèmes multiplicatifs (resp. ... ) petits et dont les flèches sont les comorphismes entre ces systèmes. On obtient donc le diagramme de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 17 ci-joint ainsi qu'un isomorphisme dtopposition: (-)°P : Sm > Sm co (resp. . . . ) admettant une restriction ( - ) ° p : SmH > SmH (resp. ... ) , qui, compte tenu de la proposition phisme de dualisation 1 , est bien un automor- de structures de même espèce (au sens du Chap. I,§14), 45 De même, on déficit facilement le C-opposé d'un £-système multiplica- tif (resp. ... ) et le^ C-ao-morphismes entre ces £-systèmes (de sorte que, en particulier, les £-co-homomorphismes sont exactement les ^homomorphismes). Si l'on note £-Sm u (resp. £-Sma , C-Smac , C-Smud , C-Smug , *— co — co — co — co £ " S m u c o ' £^ 111110 ^ * £"Stco ^ l a caté Borie dont les objets sont les £systèmes multiplicatifs (resp. ... ) petits et dont les flèches sont les £-co-morphismes entre ces £-systèmes, on obtient le diagramme commutatif de foncteurs d'oubli (tous fidèles et dont certains sont pleins) 18 joint et un isomorphisme de ci- C-opposition P C-(-))°p :: C-Sm — — (resp. ... ) admettant une restriction £-(-)° P : Ç-SII^ > C-Sm — co » £-SmH (resp. ... ) qui, compte tenu de la proposition 2 , est bien un automor- phisme de dualisation de structures de même espace (au sens du Chap. I,§14). 14 • Systèmes multiplicatifs et tensoriels inverses. Il est clair que, si ir = (Ç;T,B = (- c .* c ~) ( c % c ) ç ^ , ... ) est un système multiplicatif (resp. un système multiplicatif associatif, associatif et cohérent, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire, unitaire et cohérent, un système tensoriel) , alors TT - frop.T » i n v , ~ -inv c,c» c',c '(cc'îeç^c'""' est encore un système multiplicatif (resp. un système multiplicatif associatif, associatif et cohérent, unitaire à gauche, unitaire à droite, unitaire, unitaire et cohérent, un système tensoriel) que l'on appelle l'inverse de TT . Il en résulte un isomorphisme d'inversion f xinv (-) : Sm > Sm 46 C-Smac -> C-Sma plein C-St i £-Smuc C-Sm C-Smud > C-Smu p l e i n "" C-Smug Diagramme 16 Smac -> Sma plein St co Sm co i Smuc co Smud co , Smu co plein Smug co Diagramme 17 C-Smac — co -— >.C-Sma plein — co C-St — co l C-Sm — co C-Smud CO C-Smuc co ^ C-Smu CO pleinr — • £-Smug co Diagramme 18 47 (resp. (-) inv a Sma -> Sma (-) inv ac Smac -> Smac inv Smud dg inv Smug (-) gd (-) inv u (-) -> Smud Smu -> Smu inv : Smuc uc -> Smuc (-) (-) -> Smug inv St -> St Sm. -> Sm admettant une restriction (-) inv H (resp. ) qui, compte tenu de la proposition 1 , est un automorphisme (resp. un automorphisme ou un isomorphisme, selon les cas) de dualisation de structures de même espèce (resp. de dualisation ou entre catégories de structures algébriques d'espèces duales), au sens du Chap. I, §14). De même, on définit facilement le £°P-système multiplicatif (resp. ...) C-inverse d'un £-système multiplicatif (resp. ... ) et l'on obtient ainsi un isomorphisme de C-inversion £-(-)inv C-Sm -> C°P-Sm (resp. admettant une restriction Ç-SmH c-(-)inv H (resp. qui, compte tenu de la proposition çm Çr°P-Smjj ) 2 , est un isomorphisme entre catégo- ries de structures algébriques d'espèces duales, au sens du Chap. I, §14. 48 15. Systèmes multiplicatifs et tensoriels fermés et bi-fermés. On dit que le système multiplicatif gauche si, et seulement si: ÏT = (£;T,B) est fermé à - pour tout couple (c',c) de flèches composables de £ et tout objet X de T^ , le foncteur - c ,B c X : T^, > T^f admet un adjoint à droite [ Xf - [ > T^9 . : T^^ Ainsi, pour tout couple (c',c) de flèches composables de £ , on dispose d'un foncteur (de fermeture à gauche) [- , - [ : T °P x T t c',c "° ^-° >T, -*' de sorte que, naturellement en tous objets X de T , X' —c X" de T^ t , on a l'isomorphisme: - Hoi^ (X'c§B X , X-) ~ Honi -c'.c ' io» pour tout couple X de ' TT = (C;T,B) est (c',c) de flèches composables de £ et tout objet le' ' le f o n c t e u r à droite et (X', [X,X" [ ) . p n*n c',c De même, on dit que le système multiplicatif fermé à droite si, et seulement si: - de T —c' X ' c'ïc " s îc *ïc».c admet ^ ad 3°int ] Xf , - ] : T f C c',c ^ -c Autrement dit, TT est fermé à droite si, et seulement si, son système inverse est fermé à gauche, au sens précédent. En tout état de cause, pour tout couple (c',c) de flèches composables de £ , on dispose alors d'un foncteur (de fermeture à droite) ] - , - ] :T ,OPxT , C ,c de sorte que, naturellement en tous objets X de T , X' —c X" de T^i * on a l'isomorphisme: - Hon^ (X' -c'.c B X , X" ) ~ Honu (X, ] X',X" ] ). 9 ic c' c',c de T et —c* 49 Bien entendu, on dira qu'un système multiplicatif associatif (resp. associatif et cohérent, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire, unitaire et cohérent, un système tensoriel) est fermé à gauche si, et seulement si,son système multiplicatif sous-jacent est fermé à gauche; de même, on dira qu'il est fermé à droite si, et seulement si, ce système multiplicatif sous-jacent est fermé à droite; enfin, on dira qu'il est bi- fermé si, et seulement si, il est fermé à gauche et^ fermé à droite. Notons que, si TT = (£;T,B,a) est un système multiplicatif associa- tif et cohérent, fermé à gauche (resp. à droite), alors, pour tout triplet (cM,c',c) de flèches composables de £ , on a, naturellement en tous objets X et Y de T (resp. X' de T f ) , X' de T t (resp. X" de T „ ) de T ,f „ t : —c .c'.c [ X' B o X , Y [ c ,c c'.c c",c'.c ~ [ X ' , [ X , Y [ [ c' c c".c',c c",c' dans T (resp. ] X" JB c".c' c , c X«,Y ] c".c',c ~ ] X', ] X" , Y ] ] c' c" c",c'.c c',c dans T ). On définit, enfin, facilement les £-systèmes multiplicatifs (resp. ... ) fermés à gauche, fermés à droite ou bi-fermés. 16. Exemples de systèmes tensoriels fermés ou bi-fermés. Si C = 1 , il est facile de vérifier qu'un £-système tensoriel fer- mé à gauche (resp. à droite, bi-fermé) s'identifie à une catégorie monoïdale fermée à gauche (resp. à droite, bi-fermée),au sens de (C.L.C.A.), et réci proquement• Clairement, les considérations du Chap. I » §17 , montrent que le système tensoriel des catégories de bimodules est bi-fermé... Si £ est un groupe, si M est un autre groupe et si est une opération, à gauche, du groupe £ £-système tensoriel groupe C fp par le groupe sur le groupe O: £ x M — > M M , alors le , canoniquement associé au produit semi-direct du M, est bi-fermé. En effet, pour tout couple 50 ((c',m , )»(c,m)) d'éléments de - [ c».c \ c C(c,m),(o»,m») c - ] (c,m),(c',m«) ] C x M , i l suffit de poser: = (c',m«) H cSc'1 (c,m) _ 1 = (cm)"1 H (c',m') CHAPITRE I I I : SYSTEMES MULTIPLICATIFS ET TENSORIELS BI-FERMES DE CATEGORIES DE STRUCTURES ALGEBRIQUES. 1. Procession d'esquisses. On dit que S = (£;/£/) est une procession d'esquisses (projectives petites) si, et seulement si: - £ est une catégorie, - /£/ = (/Sc/)c ç F 1 c (indexée par la classe est une famille d'esquisses (projectives petites), FI £ des flèches de C ). Dans ces conditions, nous dirons aussi que /S/ = (/S /) ^ F 1 r C-procession d'esquisses (projectives petites). est une "" 2. Procession de co-structures. On dit que Z = (£;/£/,/Z/) est une procession de co-structures (et l'on pourra noter l: /S/ > ( E n s ^ ) o p ) si, et seulement si: - (£;/£/) est une procession d'esquisses (projectives petites), /S / - /Z/ = (/Zc7: / j ^ / - * (Ens "° ) o p ) Q € F 1 c est une famille de réali- sations. Dans ces conditions, nous dirons également que (/£/,/Z/) est une C-procession de co-structures. Ainsi, en particulier, à toute procession d'esquisses projectives petites /£/ est associée la procession de co-structures, dite canonique, tf = (£*/S/,(/Yc/)c ^ p i c ) où, pour toute flèche c de £ , on a: 52 - /Y / = /Y /0 ,/:/S / c /S / -c que associée à /S / . /S / > (Ens "° ) o p est la co-structure canoni- 3. Processus multiplicatif de co-structures. On dit que M = (C;/S/,/M/) est un processus multiplicatif de co- structures (et l^on peut noter ]M:/S/B/S/—> (Ens' —')° P ) si,et seulement si: (£;/S/) est une procession d'esquisses, /¾. / - /M/ = v(Ens ^ c' c J)° P ), ,_ . c r „ r est llS V,c' '2c»'-'Sc' " * * '(c',c) € £*£ une famille de réalisations (indexée par la classe £*£ des couples de flèches composables de C ) . Dans ces conditions, nous dirons aussi que (/£/,/M/) est un C-processus multiplicatif de co-structures. 4. Processus multiplicatif de co-structures associé à un système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques. Supposons que: - £ est une catégorie (quelconque), - /S/ = (/S /) - - C C Ç est une C-procession d'esquisses projectives peH L - ^s^ tites (alors, pour toute flèche l'on note /Y / : /S / c —c c de C , on pose T = Ens et — —c > T p la co-structure canonique associée à —c / V >. - TT = (T = (T ) ^ «-i /, » • ) est un système multiplicatif bi-fermé -c c e FI £ /s / (des catégories de structures algébriques T = Ens ). Alors, pour tout couple (c',c) de flèches composables de £ , on dispose du foncteur: M(TT) t : S t x S > (T f x T )° P - » (T f )°P. V,c ^ -^ Ï ( X Y -*• -c -c'.c ( O o p c' c c',c 53 Comme TT est bi-feir *, pour tout objet T f ) , le foncteur - ¥B X : T f v -c' c ,c X (resp. >T f —c' X') de T^ ( r e s p . X' -c'.c B -: T ™>T c ,c admet un adjoint à droite: il en résulte que (- ffi X ) (X' ,B -) /M(ir) f (respo ) v —c -c »c (resp. ) commute aux limites projectives. On en déduit donc que /:/S ^/B/S / — > (T , )° P est une réalisation. Autrement dit* 3M(TT) = (/£/,/M(TT)) est un £-processus multiplicatif de co-structures (dit associé par construction standard à TT ). Nous pouvons donc énoncer: Proposition 4 • A tout système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques est associé par construction standard un processus multiplicatif de co-structures. 5. Système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques associé à un processus multiplicatif de co-structures. Supposons que: - £ - est une catégorie (quelconque), /s/ = (/s /) ç est une £-procession d'esquisses projectives pe- tites (alors, pour toute flèche c l°on note la co-structure canonique associée à /Y /: /S / > T de £ , on pose T = Ens et 1M = (/S/,/M/) est un £-processus multiplicatif de co-structures. Pour tout couple X de T et X' (c',c) de flèches composables de £ et tous objets de T , , on dispose des deux présentations cancni^tn:^ en termes de limites inductives (voir le Chap. I , §12): - X = lim (H(X)OP__> S O P — — - > T ) = lim Y (S ) - * h(X)°P Y/* "* ^ , " * S€Ob S -c - X' = lira (H(X')°P > S ,° P n U ; > T ,) = c» lim x'€X'(S») Y ,(S\) , 54 on pose a l o r s : 1M X» H X = lim ((H(X') •< H(X))° P - » > ° '° (h(X«) x h ( X ) ) o p (S , x S ) ° P ~° «e „ - ^ T „ . op - c . e c ,c Clairement, on définit ainsi (par "naturalité") un foncteur: M - .H - : T , x T c',c -c' —c > T , -c'»c M Autrement d i t , TT( M) = (T = ( T ^ ç F 1 c » » ) e s t un C-système m u l t i p l i c a t i f (que l ' o n d i t a s s o c i é au processus m u l t i p l i c a t i f de c o - s t r u c t u r e s IM par construction standard). Pour tout couple jets X (resp. X' (c',c) de f l è c h e s composables de C e t tous o b - de (resp. T , ) T T , ) et X" de , on a: —c —c' —c'.c /Honu (M (-,-),X")/:/S ,/H/S / > Ens est une réalisation, •Ic'.c c »c -c -c en conséquence, il lui correspond, par 1•isomorphisme (/S ,/H/S /) /S / ^ Ens ~° ~° « (Ens ~° ) ) /5c/ (resp. Ens(/Sc./»/S ^ c/ « (Ens/5c./ ) ), - une réalisation: . - Ic'lc I X" : /S ,/ —*il en résulte alors que: [ c X , X» /S / ,-„ > Ens "° (resp. H x " : /S / |C i —c /S ,/ > Ens "° ) , [ = /Hon^ (X,lc'lc | X" (-))/: /S f/ c',c —c » Ens (resp. ] X* , X" ] = /HOUL, (X', 0 X M ( - ) ) / : /S / c» c',c le» l£J "° est une réalisation, i. e. est un objet de T f > Ens ) (resp. T •—c ). -¾ On définit donc ainsi, par naturalité, un foncteur: (resp. ] - , - ] : T op x T c* c',c -c -c »c > T -c ). 55 Alors, il est facile d'établir qu'il s'agit là d'un foncteur de fermeture à gauche (resp. à droiit») pour le £-système multiplicatif TT(]M} * Nous pouvons donc énoncer: Proposition 5 • A tout processus multiplicatif de co-structures est associé par construction standard un système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques. 6. Réciprocité des constructions standard. Soit S = (£;/£/) et S* = (£*,/£*/) deux processions d'esquisses projectives petites. On dit que IR = (F;/R/): S > SA est un homomorphisme (ou encore une réalisation) de la procession S vers la procession S A si, et seulement si: > £* - F: £ est un foncteur, - /R/ = (/Rc/: /S£( c )/ tions ( ). > /^c^c € FI C "~ eSt U n e f a m i l l e d e *éalisa~ Alors, on note Pe la catégorie dont les objets sont les processions d'esquisses projectives petites et dont les flèches sont ces homomorphismes. Soit M = (£;/£/,/M/) et 1MA = (£A;/£A/,/MA/) deux processus multiplicatifs de co-structures admettant des processions d'esquisses projec^tives petites sous-jacentes. On dit que (]R,r): M > ]M* est un morphisme du processus multiplicatif de co-structures M vers le processus multiplicatif de co-structures ]MA si, et seulement si: TRi (£;/£/) > (£*;/£*/) est un homomorphisme de processus d'esquisses projectives petites (alors, pour toute flèche c de C , on n©~ /Sf( c) / te L : Ens que Ens/ V : Ens/ V /Se/ > Ens l'adjoint à gauche du foncteur algébri-» ,), > Ens/£(c)/ ^KCJ " r = (r c',c s V . c ' ^ O . P W — * M c',c' CR e' X V une famille de transformations naturelles. Alors, on note Pmc >(c',c) € C*C eSt la catégorie dont les objets sont de tels processus ( ) La raison du sens qui a été choisi, pour chacune des /R /, apparaîtra clairement à la proposition 6. 56 multiplicatifs de co-structures et dont les flèches sont ces morphismes. Disons maintenant* précisément, que (£;/S/,T,B) est un ^ys tème multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques si, et seulement si: - (£;/£/) est une procession d'esquisses projectives petites, - (£>T^15) est un système multiplicatif bi-fermé, - pour toute flèche c Si (£;/£/,TyB) et (£A$/£A/ ,T*,H) sont deux systèmes multiplicatifs bi- de £ , on a T /y = Ens fermés de catégories de structures algébriques, on dit que > (£A;/SA/,TA;B) (F;/R/,H,h): (£;/S/,T,B) est un morphisme du système multiplicatif bi-fermé de catégories de strucatures algébriques (£;/£/,T,S) vers le système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques - (£A;/£A/,TA,B) si, et seulement sis > (£A ;/£*/) est un homomorphisme de proces- IR = (F;/R/): (£;/£/) sions d'esquisses projectives petites, - > (£*;TA,H) est un morphisme de systèmes multi- (F;H,h): (£;T,B) plicatifs bi-fermés, - pour toute flèche H c de £ , on a = Ens c Alors, on note iT = Ens c > T" . = Ens ^KCJ . -F(c) Smbf - la catégorie dont les objets sont ces systèmes mul- tiplicatifs bi-fermés de catégories de structures algébriques et dont les flèches sont ces morphismes. Clairement, l'application (définie au §4 précédent) qui à un système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques 1£ associe le processus multiplicatif de co-structures JM(TT) se prolonge en un foncteur ("processus multiplicatif dgjso- structures associé par construction standard") W(-) : Smb „ > Pmc alg De même, il est clair que l'application (définie au §5 précédent) qui à 57 un processus multiplicatif de co-structures M associe le système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques TT( M ) , se prolonge en un foncteur (dit H système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques associé par construction standard"): TT(-) : Pmc > Smbf _ aig Dans ces conditions, il est facile de vérifier que ("réciprocité à l'équivalence près - des constructions standard"): Proposition 6 . Les deux foncteurs M(-) : Smbf _ . alg < définissent une équivalence de catégories. -> Pmc : TT(-) 7. Exemple» Si /S/ désigne la famille ( / S ^ ^ ^ / ) ^ € F1 M m des es- quisses projectives petites de bi-modules (considérées au Chap. I , §17) alors, il est clair que (Mm;/£/) est une procession d'esquisses projec- tives petites. De même, si (/ /M/ désigne la famille VB,C/s/^A,B)-Bim/B^ des co-structures considérées au Chap. I , §17 , alors il est clair que ( Mm;/S/,/M/) est un processus multiplicatif de co-structures: c'est exactement celui qui est associé, par construction standard, au système multiplicatif bi-fermé canonique des catégories de bi-modules. 8. Tests standard. Soit 3M = (Cj/S/,/M/) un processus multiplicatif de co-structures 58 (et l'on note alors T ( M ) = (£jT,E) le système multiplicatif bi-fermé qui lui est associé p:* construction standard). M On dit que vérifie le test standard d'associâtivité (ou que est ( ]M,a = (ac„ Q I c)(cit ci c ) ç c*C*C^ ^ 1 P r o c e s s u s multiplicatif as- sociatif de co-structures) si, et seulement si: - pour tout triplet (c",c',c) de flèches composables de £ , on a une équivalence naturelle M M a c»,c.,c8 " c ' c ' ^ ' - V . c V c ^ ^ V ^ ^ c ' - A . . ^ - ' - 5 - Nous laissons au'lecteur le soin de préciser à quelle condition nécessaire et suffisante M vérifie le test standard d'associâtivité cohérente (ou ce qu'est un processus multiplicatif associatif et cohérent de co-structures). Dans ces conditions, il est clair qu'à un processus multiplicatif associatif (resp. associatif et cohérent) de co-structures (M,a) correspond, par construction standard,un système multiplicatif associatif (resp. assola ciatif et cohérent) bi-fermé (£;T,H,a) où, pour tout triplet (c",c',c) de flèches composables de C , on a: ac",c',c-c"^ ,x W W x ) . A W . " Ï cM " c " = Œ«H.„. <-.-•-> • V . c ' c„' Bien entendu, la réciproque est vraie: nous laissons au lecteur le soin de formuler cette réciprocité en termes d'équivalence de catégories (par analogie avec le §6). On dit que M vérifie le test standard d'unitarité à droite (resp. à gauche) pour la famille d'objets I = (T ç ob T T J )„,.„,_„ (ou que (3M,I,p,) est un processus multiplicatif unitaire à droite (resp. à gauche) de co-structures) si, et seulement si: - pour toute flèche (resp ' c: C > C de C , on a une équivalence naturelle n t v V-^ïidç xc — * V-> m IVVld^ïcV^—*Yc(-> >• 59 Nous laissons au lecteur le soin de préciser à quelle condition Aèce?.saire et suffisante M vérifie le test standard d'unitarité (resp. d'unitarité cohérente) (ou ce qu'est un processus multiplicatif unitaire (resp. unitaire et cohérent) de co-structures). De même, il précisera facilement ce qu'est un processus tensoriel de co-structures. Dans ces conditions, il est clair qu'à un processus multiplicatif irai* taire à droite (resp. à gauche) de co-structures (M f I,|i) correspond, par construction standard, un système multiplicatif unitaire à droite H (resp. à gauche) bi-fermé (£;T,H,I,u) où, pour toute flèche c: C-s> de C £ , on a: De même, à un processus multiplicatif unitaire (resp. unitaire et cohérent, à un processus tensoriel) de co-structures correspond un système multiplicatif unitaire (resp. unitaire et cohérent, un système tensoriel) bi-fermé. Bien entendu, les diverses réciproques sont vraies: le lecteur les formulera sans difficulté en termes d'équivalences de catégories (par analogie avec le §6). 9. Application 1: Existence de structures de catégories multiplicatives bi-fermées sur une catégorie de structures algébriques. Si £ = 1 seule flèche (est la catégorie n'ayant qu'un seul objet 0 = I(T : Cl > Cl ) , la donnée d'une Cl et une £-procession d'es- quisses projectives petites s'identifie à la donnée d'une esquisse proies tive petite /SQ/ . De même, la donnée d'un £-processus multiplicatif de co-structures s'identifie à celle d'une co-structure double /M0/: /§,/•/§,/ /S f > (Ens "° )° P . En conséquence, en vertu de la proposition 6 , les diverses struc- tures de catégories multiplicatives (resp. multiplicatives associatives* ...) bi-fermées sur Ens sont "classifiées" par les diverses co- 60 structures doubles (^»sp. les diverse co-structures doubles var**?iant le test standard d'ase^ciativité, ... ) : on retrouve, ainai, las résultats de (F.S.C.A.). 10. Exemples. Il est établi en (C.C.F.W.) qu'il n'existe pas de structure de catégorie monoïdale bi-fermée (i. e. de 1-système tensoriel bi-fermé) sur la catégorie Demgrp des demi-groupes: en effet, si /S^/ est une es- quisse de demi-groupe, il est impossible de construire une co-structure double (i. e. un co-demi-groupe double) /MQ/: /SQ/B/S^/ qui soit sous-jacente à un > (Demgrp)on" 1-processus tensoriel de co-structures. De même, il est établi en (C.C.F.W.) qu'il n'existe qu'une seule (à isomorphisme près) structure de catégorie monoïdale bi-fermée sur la catégorie Grpab si est une esquisse de groupes abéliens, on ne peut construire /S / des groupes abéliens (à savoir l'usuelle): en effet, qu'une seule (à isomorphisme près) co-structure double co-groupe abélien double) /MQ/i /SQ/B/S0/ sous-jacente à un (i. e. qu'un seul > (Grpab)°P qui soit 1-processus tensoriel de co-structures. Précisément, il est facile de vérifier que est aussi une esquisse de grou- /S^/B/SQ/ pes abéliens ("les groupes abéliens doubles sont ... les groupes abéliens"), i. e. que l'on a: /V H /V /s0/ Grpab ~ Ens ment /MQ/ = Y / g / I / g f : /^/B/SQ/ ~ Ens alors* nécesc&ire/S /B/S / > (Ens ~ Q " ° ) ° P - (Grpab)°p. 1 1 . A p p l i c a t i o n 2 : Systèmes m u l t i p l i c a t i f s bi-fermés a s s o c i é s par dualité. Supposons que: 61 - /S,/ est une esquisse projective petite, ~ /¾. i^ : / £ ] / * / £ ] / ~~—*• ( E n s /sx/ Q est ) une co-structure double (et donc, d'après le §9 précédent - ou (F.S.C.A.) , i l lui correspond, par /V construction standard, une catégorie multiplicative bi-fermé (Ens , * V* l /S / >- G est un sous-groupe du groupe DuaKEns ) des automorphismes de /SJ dualisation des structures algébriques d'espèce (au sens du Chap. 1^14). Dans ces conditions, posons: , - pour tout élément g de G , /S / = / S / - pour tout couple (g',g) d'éléments de G, Clairement, en identifiant G à une catégorie particulière, on voit que (Gj/S/ = (/S^/) G ) est une procession d'esquisses projectives petites et (Gj/S/,/M/ = (/Mgtfg/)(g,#g)ç G x G ) est un processus multiplicatif de co-structures. En vertu de la proposition 5 du §5 précédent, on en déduit, par construction standard, un système multiplicatif bi-fermé /S / /S / (Gj(Ens ^ = Ens x ) _ „,(- ,B - ) , . . _ ) g € G'v g',g '(g',g) € G x C* dit associé par G-dualité à la catégorie multiplicative bi-fermée 757 (Ens — , I ) et t e l que, pour tout couple naturellement en tous objets X , X' - xVi,x = g.(X-) 1 ? l g(x) - [ X , X» [ . 8 ~ et (g',g) X" de Ens g' _1 ([ g(X),X"£ ) '' ] ~ , on a: (si {-,-£ désigne la fernœtu- S 6 ] X 1 , X» L G et . /£,/ a gauche de la catégorie multiplicative bi-fermée - d'éléments de (Ens , B ) ), 1,1 g _1 ( 3g'(X'),X" }) (si )-,-} désigne U ferme- /£,/ ture à droite de la catégorie multiplicative bi-fermée (Ens ,B ) . 1,1 62 Ainsi, la famille (* .B,, - ) , , * c de produits tensoriels» r v r associés au produit tensoriel "initial" - B- - , permet-elle de "cl&s- sifier" plus que les seuls homomorphismes entre structures d'espèce /S,/* elle permet aussi de prendre en compte les homomorphismes (g',g)-variant* au sens du Chap. I, §15. De plus il est clair que, si la catégorie m u l t i plicative bi-fermée initiale est sous-jacente à une structure de catégprie multiplicative associative (resp, associative cohérente, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire et cohérente, à une catégorie monoïdale) bi-fermée, alors le système multiplicatif bi-fermé associé par G-dualité est sous-jacent à un système multiplicatif associatif (resp* associatif et cohérent, unitaire à droite, unitaire à gauche, unitaire et cohérent, à un système tensoriel) bi-fermé. 12. Exemple» Supposons que /S./ est l'esquisse de catégories (de sorte que /S / Ens l ~ cat ) et que / ^ ^ : /S^/B/S^ > (Cat) o p est la co-structure double associée, par construction standard, à la structure de catégorie cartésienne fermée (Cat, x )# Dans ces conditions, nous avons s i l'on prend - Dual(Cat ) = (£ldr „,(-) OP }, o ) et, cat G = DuaKCat ) , i l vient: naturellement en toutes petites catégories A Id A et B B = Ax B Id Cat' Cat ~ B = A°PxB = AxB°P B, , <->°P>IdCat A H n - J " i Cat' op A P OP - (-> V>° " = - AopxBop naturellement en toutes petites catégories [ A , B Id Cat [ . Id 9 » A et £, = B £ * ] A , B Id Cat' Cat Id Cat ] Id Id Cat' Cat t 63 (-)^, M c a t Mcat - - Id c J(-)«" op> <-' OP (i "'- - c J c - > - ^ ° V P) = 1 A 1¾ 1 = (jopA.I ^ Cat ( - ^ 1 , 1 (-,•*(.,«•»- (£ A . . (.)0pH, (et ces différentes fermetures prennent en compte tant les foncteurs covariants que les foncteurs contra-variants de 13 A vers B ). * Application 3: Systèmes tensoriels bi-fermés engendrés. Soit G un graphe orienté, dont nous notons flèches non triviales, et (/S /) ç FI G la classe des nt — une famille d'esquisses pro- Q pl nt — jectives petites. Notons L(G) mes objets que G la catégorie librement engendrée par G : elle a les mê- et ses flèches non triviales sont les chemins propres de G , à savoir les n-uplets (où n varie dans ^ g n , g n-l* ••* >&2'&1*'' dom g > l de flèches consécutives et non triviales de Dans ces conditions, (L(G)|(/S^> Y ç ]N* ) cod 6 G . pi L(G)) est évidemment une pro- cession d'esquisses projectives petites lorsque l'on a posé: - pour tout objet - pour toute flèche G de L(G) , /S y = (g , ... ,g ) / = 1 , de L(G) , /S / = /S /B ... B/S / -Y ~€n '-Zi (L(G)j(/S / ) „ , x.(/M /"> ï aB* ' W J W V Y f FI L ( G ) A / V , / V » Y ) L(G)»L(G)) e S t évidemment un processus m u l t i p l i c a t i f de c o - s t r u c t u r e s s i , pour tout couple De même, (Y'»Y) de f l è c h e s composables de L(G) , on a posés " 'W = / Y /S , I1 : ' V V • ' V 7 1 ' 5 * ' * (Ens^'-Y 7 )^ . 64 Ce processus multiplicatif de co-structures v é r i f i e trivialement le t e s t standard d ' a s s o c i â t i v i t é cohérente, de même q u ' i l v é r i f i e le t e s t standard d'unitarité cohérente pour la famille >G € Ob K G ) " On en déduit, par construction standard, un système tensoriel bi-fermé de catégories de structures algébriques: /Sg /«—«/Sg / (L(G),(Ens ». /s I d / l)(gn g i ) 6 F 1 L(£) .(Ens= Ens G W £,«,...) dit canoniquement engendré par la famille de catégories de structures algébriques CEnS >• « F1 nt * 14. Exemples. Soit G le graphe orienté représenté ci-dessous: G > G2 l 6 > S 6 1 2 Choisissons pour pes et pour /S / une esquisse projective petite de grou"^1 /S / une esquisse projective petite d'ensembles ordonnés (on sait que de telles esquisses existent et on laisse au lecteur le soin d'en exhiber). Alors /S, J •vg2>B-i^ = /S /B/S / est une esquisse projec"""^2 ""^1 tive petite de groupes ordonnés. Si Grp (resp. Ord , Grpord ) désigne la catégorie des groupes (resp. des ordres, des groupes ordonnés), naturellement en tous ensembles Et et E 2 , en tous groupes (E',x) et (E£,x) , en tous ordres (E", < ) 65 et (.E"*tx, <) et (E", < ) et en tous groupes ordonnés (E'",x, < ), les fermetures du système tensoriel bi-fermé canoniquement engendré par la famille (/S /,/S -*i - pour tout /) sont définies comme suit: ~~*2 i = 1,2,3 , [ EX,E2 [ = ] Id_ * " Id_ ,Idr G G i i Gi l'ensemble des applications de E., vers E 2 , - [ I d E ,(E»,x) ] Id \ E ,(E',x) G2 [ E. vers E1f(EVf < ) [ g G2 = Id Id 2' G 2 - [ Id E. est est la structure de G2'*l E' " sur l'ensemble des ] est la structure d'or- E' , ] E ,(E!J, < ) G3 Id dre "déduite point par point de celle de plications de ] * - Idr ,Idr G i Gi Idr G i ] Id "déduite point par point de celle de applications de Id = Z H ' G/ groupe [ E 1 ,E 2 vers 6 G3' 2 E" " sur l'ensemble des ap- E" , E ,(E"',x, < ) [ (B2,ei),Id = ] ,(g2,gl) est la structure de groupe ordonné "déduite point par point de celle de E"f " sur l'ensemble des applications de - [ (E',x),(E£,x) [ 6 6 Id 1 homomorphismes de - = g2 Id [ G3 ,6 vers E"' , s l (E'9x) vers [ (E*{, < ),(E£, < ) E- E ,(E"',x, < ) Id ] (E',x),(E£,x) ] g G2' l ] Id l' G 1 (E',x) , = 2 est l'ensemble des Id ] n > 1 est tel que, pour tous entiers tous ensembles E- n et m , K , ...) , non nuls, et naturellement en et E~ et en tous groupes abéliens (E',x) et (E',x) on a: - E- 0 » 0 E 2 = E- x E 2 dans - E x Q H n (B£,x) = J_L a posé - Ens , (Ei>x>e * ( E i ' x ) n B 0 E l (E',x) = (E',x) , pour tout élément e (E',x) B (E',x) 1 n,m z De même, si /S-/ Grpab (où X , °n de E- ), est le produit tensoriel usuel dans Grpab • est une esquisse de groupes, il n'est pas diffi- cile de vérifier que, pour tout groupes abéliens danS n > 2 , B /S / est une esquisse de (i. e. les groupes n-uples sont les groupes abéliens). Alors, le système tensoriel bi-fermé des "groupes multiples" ((]N,+),(Ens)Q € ^ ½ 1 ^ est tel que, pour tous entiers ç M , ( G r p a b ) n > 2' • ' • • • > n > 2 et m > 2 et naturellement en 68 El tous ensembles et E 2 , en tous groupes (E',x) et tous groupes abéliens - Ej^ Q B Q E 2 = E x E2 (E",x) et dans (E",x) , on a: Ens , dans Grp (où l on ( E x ) = (E x) B E ~ E l 0?1 ( E i* x ) = e-Ui' e i> i o l ^ Ci_ a posé (E£,x)e = (E',x) , pour tout élément " E l 0*n (E ï» x) = -U- (E (E',x) et en ' e de E ), ï' x ) e = ( E ï' x ) „•() E l l'on a posé (E!£,x)e = (E^,x) , pour tout élément - (E',x) ^ (BJ|,x) abélianisés de dans Grpab (où e de E est le produit tensoriel usuel, dans (E',x) et ), Grpab , des (E',x) , - (E',x) x B n (E£,x) = (E'^,x) n B x (E',x) est le produit tensoriel usuel, dans Grpab, de l'abélianisé de (E!,x) avec (E",x) , - (E'^,x) n B m (E£,x) est le produit tensoriel usuel dans Enfin, si /S,/ Grpab. est une esquisse de catégories, le système tensoriel bi-fermé "de catégories multiples" qui lui est canoniquement associé cor- respond exactement aux constructions (présentées comme particulières) de (M.U.F.U.). 17. Un exemple de c l a s s i f i c a t i o n . On s a i t , en vertu de la proposition 6 du § 6 précédent, que les Mm-structures de systèmes multiplicatifs bi-fermés de la forme TT*= (((A,B)-Bim) ( A # B ) ç p i Mm,B% sont associées, par constructions standard, aux p l i c a t i f s de co-structures ((/M A M ...) Mm-^processus multi- de la forme: *A,B,C ' ' ^ A , B ) - B i m / B ^ B , C ) - B i m / - ^ ( ( A ' C ) " B i m ) O P ) ( ( A , B ) , ( B , C ) ) € Mm* * k 69 Or, pour tout couple (A,B) d'anneaux unitaires, l'esquisse projective petite /S,, -x _. / de (A,B)-bimodules contient l'esquisse —VA,D)"Dim projective petite /S / des magmas unitaires abéliens, dont le graphe orienté sous-jacent, les équations de définition de la composition des flèches et les cônes projectifs distingués sont précisés dans le diagramme 19 (ci-joint). En conséquence, pour tout triplet (A,B,C) d'anneaux unitaires, K s /S/* T>>* D- / / /n M i>- / contient l'esquisse de magmas unitaires abé—VA,D^—Dim —\Jt>,L j—Dim liens doubles» Or ces magmas unitaires abéliens doubles sont ... les magmas unitaires abéliens. Il en résulte qu'une co-structure de la forme /M * ((A,O-Bin0° P \ , B , C '' ^ A , B ) - B i n / * ^ B , C ) / défi- nit au-moins un co-magma unitaire abélien. Mais les équations (Eq) (figurant dans le diagramme 19) indiquent qu'alors, on a nécessairement (en posant M* n r (S) = E • ), à isomorphisme près: - r A , B , C (S '> = - MAA " M " M E A,B,C + EA,B,C = EA,B,C X EA,B,C = (°' x ) ' P0111* t o u t é l é m e n t c e b » ^ b * P bib» K-Y c =VPb=Vc ^ . - ^ - ¾b.' . b p b'Yc'*Yc.3b=Jb,c p b'-Pb=Mb' = i b',b équations de d é f i n i t i o n Diagramme 21 •Y„ = Y, c e 74 X (A,B)Ï(B,C) Y ~ (X X (A,B)Ï(B,B) E A,B,C } (A,B)Ç(B,C) Y (A,B)Ï(B,C) (EA,B,C (B,B)Ï(B,C) Y ) (pour les structures de bimodules sous-jacentes à E. qui donnent A,B ,C un sens à ces écritures et où B désigne le produit tensoriel canonique). Ainsi, sont décrits (à isomorphismes près) tous les sytèmes multiplicatifs bi-fermés sur la famille des catégories de bi-modules. Si l'on choisit des isomorphismes naturels (en X et Y) , on décrit alors (à isomorphisme près) tous les systèmes multiplicatifs associatifs et bi-fermés sur la famille des catégories de bimodules. Si, en particulier, on choisit pour l'un des deux isomorphismes précédents l'identité, alors on décrit (à isomorphisme près) tous les sytèmes multiplicatifs associatifs cohérents et bi-fermés sur la famille des catégories de bi-modules. Enfin, les systèmes' tensoriels bi-fermés sur la famille des catégories de bi-modules ^sont ceux qui sont associés (comme précédemment) aux familles de-la forme ( E A , B f C ) ( A # B # c ) ç ( Q b M m ) 3 pour lesquelles il existe une famille (I € Ob (A,A)-Bimod). - rtV „ ("d'unités") vériA A t Ob M m ' fiant: - pour tout couple (A,B) d'anneaux unitaires, on a E A,A,B (A,B)?(B,B) h "* A • B ~ h (A,A),(A,B) EA,B,B ' APPENDICE. SYSTEMES TENSORIELS ET BICATEGORIES. 1. Bicatégories. Nous renvoyons à (D. I. S.T.) pour la définition explicite des bicatégories (resp. bicatégories fermées à gauche, bicatégories fermées à droite), définition que, par ailleurs, le lecteur pourra "retrouver" à partir de celle des sytèmes tensoriels (resp. systèmes tensoriels fermés à gauche, systèmes tensoriels fermés à droite), compte tenu des considérations qui suivent. Rappelons simplement, pour fixer les notations, que les "éléments constitutifs" d'une bicatégorie B sont les objets (dont la classe est notée Ob B ), les 1-flèches (dont la classe est notée 1-F1 B ) et les 2-flèches (dont la classe est notée 2-F1 B ) . Nous notons alors Bicat (resp. Bicatfg, Bicatfd ) la catégorie dont les objets sont les bicatégories (resp. les bicatégories fermées à gauche, les bicatégories fermées à droite) petites et dont les flèches sont les morphismes (au sens de (D.I.S.T.) - ou que l'on définit en s'inspirant du Chap. II, § 9 ) entre ces bicatégories. Nous notons, de même, Bicatu H f (resp. BicatfgR , Bicatfc^ ) la sous-catégorie de Bicat (resp. Bicatfg, Bicatfd ), ayant les mêmes objets et dont les flèches sont les seuls homomorphismes (ou encore morphismes stricts). 2. Bicatégorie associée à un système tensoriel. Soit TT = (£;T,B,...) un système tensoriel. Nous lui associons la bicatégorie Bic(TT) telle que (notamment): - Ob BicClT) = Ob C , - 1-F1 Bic(TT) est la classe des (c,X): C > C , tels que c: C -> C est une flèche de £ et X est un objet de T (et la composée d'une 1-flèche telle que (c,X): C > C avec une 1-flèche (cf,Xf ): C — > C" est (cf.c,»f ,JI X) : C > C" ), o ,c - 2-F1 Bic(TT) est la classe des (c,x): (c,X) > (c,X'): C > Cf tels que c: C > C est une flèche de £ et x: X > X' est une flèche de T (et la composée, dans la catégorie 76 Bic(TT)(C,C) = II T c € Hom c (C,C) "* , d'une 2-flèche telle que (c,x): (c,X) > (c,X') avec une 2-flèche telle que (c,x'): (c,X') > (c,X") est (c,x'.x): (c,X) > (c,X"), - les données d^unités et d'associâtivité sont directement déduites de celles de TT (et les propriétés de cohérences en résultent). Clairement, l'application qui à tout système tensoriel petit TT associe la bi-catégorie petite Bic(TT) se prolonge en un foncteur: Bic: St > Bicat qui admet une restriction: Bic^: StR > Bicatjj . De plus, si TT est un système tensoriel fermé à gauche (resp. à droite, bi-fermé), on vérifie sans peine que Bic(TT) est une bicatégorie fermée à gauche (resp. à droite, bi-fermée), au sens de (D.I.S.T.). Ainsi, si l'on désigne par Stfg (resp. Stfd , Stbf ) la sous-catégorie pleine de St dont les objets sont les systèmes tensoriels fermés à gauche (resp. à droite, bi-fermés) petits, le foncteur Bic admet une restriction: (resp. Biefg: Stfg > Bicatfg Bicfd: Stfd ^ Bicatfd , Bicbf : Stbf > Bicatbf ). De même, si l'on désigne par Stfg^ (resp. Stfd„ > s t b f H ^ l a sous " ca " tégorie pleine de St dont les objets sont encore les systèmes tenson riels fermés à gauche (resp. à droite, bi-fermés) petits, le foncteur Bic u admet une restriction: ri (resp. Bicfg H : Stfg f l > BicatfgH BicfcL.: S t f d „ > Bicatfd.» Bicbf jj Stbf „ > Bicatbfjj , ). 77 3. Systèmes tensoriels associés à une bicatégorie. Soit B une bicatégorie. Nous lui associons le système tensoriel LTens(B) = (£( IB),T( B),B,...) tel que (notamment): - Ob £ ( B ) = Ob B , - FI £ ( B ) est la classe des : B est une 1-flèche de la catégorie B > B' , tels que b: B > B' et où désigne sa composante connexe dans B(B,B') (et la composée d'une flèche telle que : B — > B' avec une flèche telle que : B' > B" est : B * B" ) , - pour toute flèche : B > B' de £ ( B ) , T( B ) < b > e s t l a sous ~ catégorie pleine de B(B,B') admettant la composante connexe pour classe d'objets, - la famille M de produits tensoriels, les données d'associâtivité et d'unitarités sont directement déduites de celles de B (et les propriétés de cohérences en résultent). De même, nous associons à B le (second) système tensoriel RTens(B) = (£'( B),T'( B),B,...) tel que (notamment): - Ob £ ' ( B ) = Ob B , - FI £ ' ( B ) est la classe des couples (B',B): B > B' , tels que B et B' sont objets de B (et la composée d'une flèche telle que (B',B): B > B' avec une flèche telle que (B",B'): B' > B" est (B",B): B > B" ), - pour toute flèche (B',B): B > B' de £ ' ( B ) , on a I , ( B ) (B',B)= B(B ' B,) ' - la famille B de produits tensoriels, les données d'associâtivité et d'unitarités sont directement déduites de celles de B (et les propriétés de cohérences en résultent). Clairement, l'application qui à toute bicatégorie petite B associe le système tensoriel petit LTens(B) (resp. RTens(B) ) se prolonge en un foncteur: 78 (resp. LTens: Bicat - * St RTens: Bicat -> St qui admet des r e s t r i c t i o n s : LTensTT: Bicat H H (resp. -> St H - -î> St, U H LTensfg: B i c a t f g — - * Stfg RTensfg: B i c a t f g - -> Stfg LTensfd: Bicatfd — - * Stfd RTensbf : Bicatbf -> Stbf RTens„: Bicat„ (resp. (resp. — (resp. 4. ) , ) , -> s t f & H LTensfgjj: B i c a t f g ^ (resp. ) , RTensfg H : B i c a t f g „ > Stfg LTensfd H : Bicatfd„ RTensfc^: B i c a t f d „ -> Stfd„ H -> S t f d LTensbfH: Bicatbf„ -*• S t b f ) , H ) , H Sur une propriété d'adjonction. I l e s t f a c i l e d ' é t a b l i r que: Proposition 7 . Le foncteur Bic: St t r i c t i o n s ) admet l e foncteur > Bicat ( r e s p . s e s d i v e r s e s r e s - LTens: Bicat > St r e s t r i c t i o n s ) pour adjoint à gauche et l e foncteur (resp. ses diverses RTens: Bicat > St ( r e s p . ses d i v e r s e s r e s t r i c t i o n s ) pour adjoint à d r o i t e . Remarquons que, naturellement en t o u t e b i c a t é g o r i e pour tous o b j e t s connexe, on a B et B' de B , la catégorie LTens(B) «v RTens(B) et B B(B,B') £(B) ~ £'(B) t e l l e que, e s t vide ou e s t (une c a t é g o - r i e a s s o c i é e à) un pré-ordre; c ' e s t , par exemple, l e cas du système t e n s o r i e l des c a t é g o r i e s de bi-modules, indifféremment a s s o c i é , par LTens ou RTens, à l a b i c a t é g o r i e ("standard") des bi-modules. Plus précisément, s i l ' o n note Bicatx l a s o u s - c a t é g o r i e p l e i n e de Bicat 79 dont les objets sont les bi-catégories à "Hom connexes" (i. e. vérifiant la condition précédente) et si l'on note Stpo la sous-catégorie pleine de St dont les objets sont les systèmes tensoriels (C;T,B,...) , où C est un pré-ordre, alors les restrictions Bicpo: Stpo ^ . de Bic et Bicatx : LTensx ~ RTensx LTens (ou RTens) définissent une équivalence. BIBLIOGRAPHIE. (C.A.M.U.) J. 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INTRODUCTION p. 1 CHAPITRE I: TERMINOLOGIE, NOTATIONS ET RESULTATS PRELIMINAIRES 5 1. Graphes orientés 5 2. Graphes multiplicatifs 6 3 • Catégories 7 4. Cônes et limites 7 5 • Esquisses 8 6. Structures algébriques (ensemblistes) 9 7. Structures algébriques générales et co-structures • 9 8. Produit tensoriel d'esquisses projectives 10 9. Structures et co-structures multiples 11 10. Homomorphismes entre esquisses projectives 12 11. Co-structures canoniques • • 12 12. Densité des co-structures canoniques 13 13 • Idées 14 14. Structures algébriques duales (de même espèce) et espèces duales. 15 15. Variance d'homomorphismes entre structures algébriques 17 16. Morphismes entre structures algébriques 17 17. Quelques rappels sur les bi-modules 21 CHAPITRE II: SYSTEMES TENSORIELS ET SYSTEMES TENSORIELS BI-FERMES 24 1. Systèmes multiplicatifs. 24 2. Systèmes multiplicatifs associatifs 24 83 3. Systèmes multiplicatifs unitaires • p. 4. Systèmes tensoriels 26 28 5. Exemples de systèmes multiplicatifs et tensoriels 28 6. Morphismes de systèmes multiplicatifs. • 29 7. Morphismes de systèmes multiplicatifs associa- tifs 30 8. Morphismes de systèmes multiplicatifs unitaires 32 9• Morphismes de systèmes tensoriels 34 10. Exemples de morphismes et homomorphismes entre systèmes multiplicatifs et tensoriels 34 11. Catégories de morphismes entre systèmes multiplicatifs et tensoriels 35 12. Catégories de morphismes entre C-systèmes multi- plicatifs et tensoriels •••• 38 13. Systèmes multiplicatifs et tensoriels opposés. .. • 44 14. Systèmes multiplicatifs et tensoriels inverses. • • • 45 15. Systèmes multiplicatifs et tensoriels fermés et bi-fermés. •••• 48 • 49 16. Exemples de systèmes tensoriels fermés ou bifermés. •••• • • 17. CHAPITRE IIIi SYSTEMES MULTIPLICATIFS ET TENSORIELS BI-FERMES DE CATEGORIES DE STRUCTURES ALGEBRIQUES 1. Procession d'esquisses. •••• 2• Procession de co-structures. 51 • •••• 51 ••••• 3. Processus multiplicatif de co-structures. 51 52 4. Processus multiplicatif de co-structures associé à un système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques • 52 84 5. Système multiplicatif bi-fermé de catégories de structures algébriques associé à un processus multiplicatif de co-structures p. 53 6• Réciprocité des constructions standard 55 7 • Exemple. 57 • 8. Tests standard 57 9. Application 1: Existence de structures de catégories multiplicatives bi-fermées sur une catégorie de structures algébriques 59 10 • Exemples 60 11. Application 2: Systèmes multiplicatifs bi-fermés associés par dualité 60 12. Exemple 62 13. Application 3: Systèmes tensoriels bi-fermés engendrés. 63 14. Exemples 64 15. Application 4 : Systèmes tensoriels bi-fermés canoniques 66 16. Exemples. 67 17. Un exemple de classification 68 APPENDICE. SYSTEMES TENSORIELS ET BICATEGORIES 1. Bicatégories 75 , 2. Bicatégorie associée à un système tensoriel. 75 ... 75 3. Systèmes tensoriels associés à une bicatégorie 77 4. Sur une propriété d'adjonction 78