D IAGRAMMES F. M OUEN Sur la caractérisation sémantique des catégories de structures Diagrammes, tome 11 (1984), p. 1-63 © Université Paris 7, UER math., 1984, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 11, 1984. SUR LA CARACTERISATION SEMANTIQUE DES CATEGORIES DE STRUCTURES ^ F . Mouen. INTRODUCTION. On sait, depuis C. Chevalley (avec ses "catégories marquées"),F. W. Lawvere (avec ses "théories"), J. Bénabou (avec ses "types"),C. Ehresmann (avec ses "esquisses projectives")... , que l'on peut décrire un type de structures algébriques à l'aide d'une catégorie munie de limites projectives dfun certain genre (ou, plus généralement, de cônes projectifs). Alors, les foncteurs continus (i. e. transformant les cônes projectifs distingués en limites projectives) d'une telle esquisse Projective vers la catégorie des ensembles sont les réalisations, ou modèles du type de structures algébriques ainsi décrit, c'est-à-dire sont les structures algébriques (classiques) de ce type: elles sont donc les objets d'une catégorie dite projectivement esquissable. De ce point de vue, les catégories projectivement esquissables sont définies extrinsèquement, i. e. comme catégories de réalisations d'une esquisse projective donnée a priori. Réciproquement, on sait définir intrinsèquement de telles catégories: ce sont les catégories localement présentables de Gabriel-Ulmer (voir (L.P.L.G.)). On sait, depuis C. Ehresmann (avec ses "esquisses mixtes"),que l'on peut décrire un type de structures non nécessairement algébriques (par exemple, les modèles d'une théorie du 1 ordre classique - voir (L.C.R.F.)) à l'aide d'une ca- tégorie munie tant de cônes projectifs que de cônes inductifs dfun certain genre. Alors, les foncteurs continus et co-continus (i. e. transformant les cônes projectifs distingués en limites projectives et les cônes inductifs distingués en limites inductives) d'une telle esquisse mixte vers la catégorie des ensembles sont les réalisations, ou modèles, du type de structures (non nécessairement algébriques) ainsi décrit, c'est-à-dire sont les structures de ce type: elles sont les les objets d'une catégorie dite (mixtement) esaui ssable. (+)Lhese TU* de^ 3 QièmeCycle, „ , préparée * , sous la-,^. • „ . * ,a* direction de „C*,Lair, présentée l'Université Paris 7, devant le Jury constitué de MM. F. Norguet (Président), J.-I.. Krivine, L. Coppey et C. Lair. De nouveau, de ce point de vue, les catégories esquissables sont donc définies extrinsèquement et le problème réciproque se pose de les caractériser intrinsèquement "à la Gabriel-Ulmer". Une première réponse à cette question a été fournie par Diers (voir (C.A.L.O.)): ses catégories localisables (dont il donne effectivement une caractérisât ion intrinsèque, à la Gabriel-Ulmer) sont exactement les catégories de réalisations d'une esquisse mixte où les cônes inductifs distingués sont discrètement indexés (i. e. se réalisent en des sommes). Une deuxième réponse à c e ^ e question est fournie par Lair (voir (C.M.C.E.)): il fournit une caractérisation intrinsèque complète de toutes les catégories esquissables, au moyen de ses catégories modelables. Cependant, cette réponse est insatisfaisante dans la mesure où elle ne s'énonce pas en des termes analogues à ceux de Gabriel-Ulmer. C'est justement le but rie ce travail de fournir une caractérisation intrinsèque, h la Gabriel-Ulmer, des catégories esquissables et, donc, de fournir ainsi une réponse complète et .satisfaisante au problème posé. Nous consacrons le Chap. I au rappel de la terminologie, des notations et des résultats préliminaires qui nous sont utiles dans toute la suite. Le Chap. II est consacré à une re-présentation et à une re-démonstrat ion des résultats de Gabriel-Ulmer: nous y montrons, notamment, qu'on peut aboutir à leurs résultats sous des conditions plus faibles que celles qu'ils utilisent. Le Chap. III nous sert à établir effectivement que les catégories localisables de Diers sont bien exactement les catégories de réalisations d'esquisses mixtes où les cônes inductifs distingués sont discrètement indexés: implicite en (C.A.L.O.), parce que n'utilisant pas les termes de la théorie des esquisses, il nous a semblé judicieux d'expliciter son résultat en les termes de cette théorie (ne serait-ce que pour éclaircir la hiérarchie allant du cas particulier des catégories localement présentables de Gabriel-Ulmer au cas le plus général des catégories modelables de Lair, en passant par le cas, dont on établit qu'il est donc intermédiaire, dos catégories localisables de Diers). Au Chap. IV, nous établissons finalement le résultat que nous avons en vue. Nous invitons instamment le lecteur à lire (au moins \me fois) un "parallèle" les Chap. II, III et IV: ils ont d'ailleurs été rédigés dans cette optique! En effet, si nous avons re-présenté et re-démontré les résultats de Gabriel-Ulmer au Chap. II> si nous avons adapté en termes de la théorie des es- quisses ceux de Diers au Chap. III, ce n'est pas suiùemem. (même si cela y contribue) par souci d'esthétisme ou pour énoncer les hypothèses minimales nécessaires à l'obtention de ces résultats.C'est, beaucoup plus fondamentalement, d'une part pour introduire et justifier pleinement les considérations techniques du Chap. IV (et c'était, en procédant ainsi, le seul moyen de souligner leur étroit rapport avec le cas initialement traité par Gabriel-Ulmer) et, d'autre part, pour faire apparaître en quoi la caractérisation intrinsèque (ou,si l'on préfère, sémantique) des catégories localement présentables ou localisables est, en fait et malgré les apparences, une caractérisation de nature "géométrique" de ces catégories, au même titre qu'une esquisse (projective ou quelconque) peut être regardée, suivant en cela l'idée fondamentale initiale de C. Ehresmann, comme une "syntaxe géométrique" d'un type de structure donné. CHAPITRE I: GENERALITES. 1. Préliminaires. Dans tout ce travail, nous raisonnons dans un bon modèle d'une théorie (aussi "naïve" que possible) des ensembles et classes, vérifiant notamment les axiomes de l'infini, du choix, des univers (i. e. de l'existence d'ordinaux inaccessibles majorant strictement tout ordinal donné) ... Précisons, également, que "ordinal" signifie "ordinal d'un ensemble bien ordonné", "ordinal régulier" signifie "ordinal infini régulier" et que les cardinaux sont considérés comme étant des ordinaux particuliers (i. e. initiaux). 2. Pet itesse. On dit qu'une classe est petite si, et seulement si, c'est un ensemble. On dit qu'une catégorie objets E et E' £ est localement petite si, et seulement si, pour tous E_ , la classe de HonLr(E,E') tite). est un ensemble (i. e. est pe- ~~ On dit qu'une catégorie objets, et la classe E est petite dès lors que la classe Ob E_9 de ses FI JE , de ses flèches, sont des ensembles (i. e. sont peti- tes). On note Ens (resp. Cat ) la catégorie, localement petite, dont les objets sont les ensembles (resp. les catégories petites) et dont les flèches sont les applications (resp. les foncteurs). Si a l'on note est un ordinal régulier, on dit qu'un ensemble E < a $ si, et seulement si, son cardinal E E est q-petit, et est strictement infé- rieur h a • De même, on dit qu°une catégorie petite E est q-petite, et l'on note E < q , si, et seulement si, l'ensemble de ses objets et l'ensemble de ses flèches sont q-petits. Si E est une catégorie (quelconque) et si on dit qu'il est objet q-petit, et l'on note E de E , on a Enfin, si E est une catégorie de F Ens est un foncteur, , si, et seulement si, pour tout F(E) < q . quelconque et si E , on dit qu'il est pleinement sous-catégorie pleine de (ce qui impose que F: E G E , ayant G q-petit (dans G est un ensemble d'objets E ) si, et seulement si, la pour ensemble d'objets, est est, au moins, un ensemble q-petite q-petit). 3. Cônes et limites. Soit teur F F: _I > E un foncteur. Une transformation naturelle vers le foncteur constant sur un objet cône inductif, indexé par (Sj.: F(I) > E)I I_ , de base E F, de sommet E E du fonc- sera appelée un dans E_ et notée . Bien entendu, un tel cône inductif peut présenter dans de s E_ du foncteur E comme une limite inductive F . Dans ce cas, nous dirons aussi que ce cône inductif est une limite inductive (naturalisée) . S'il en est ainsi, nous dirons qu'il s'agit: - oMne somme (naturalisée) si, et seulement si, I_ est une catégorie discrète, - d'une limite inductive petitement indexée si, et seulement si, I est une petite catégorie, - d'une limite inductive connectivement indexée si, et seulement si, I est une catégorie connexe. Soit q un ordinal régulier. On dit qu°une catégorie _I - pour toute catégorie q-petite un cône inductif (G(J) est q-filtrante si, et seulement si: J > I) On dit qu'une limite inductive et tout foncteur de base (s : F(I) G > E) dans G: J I_ . , d'un foncteur est q-f iltrée si, et seulement si, Si _E est une catégorie localement petite, on dit qu'un objet q-présentable (dans I_ est une catégorie E ) si, et seulement si: > ^1 , il existe F: I_ — > E , q-f iltrante. E' de E est - pour toute limite inductive q-filtrée dans (s : F(I) , petitement indexée et E , (HomE(E' ,s ) : Hom£(E',F(I)) limite inductive dans Ens . — > Hom^(E',E)) ~" On dit qu'une limite inductive où > E) ~~ (s : F(I) > E) est une ~~ d'un foncteur F: I_ > E_ , E_ est une catégorie localement petite, est q-présentée si, et seulement si: - pour tout objet I de I_ , F(I) est un objet Enfin, on dit qu'une limite inductive F: I_ q-présentable de (s : F(I) > E) E . , d'un foncteur > _E , est q-indexée si, et seulement si, I_ est une catégorie q-petite. Dans ces conditions, il est facile de prouver que: Proposition 1 . Dans une catégorie localement petite, le sommet de toute limite inductive q-indexée et q-présentée est un objet q-présentable. Dualement, on utilise des notations et une terminologie analogue pour ce qui concerne les cônes projectifs et les limites projectives: nous laissons au lecteur le soin de les préciser. 4. Diagrammes et diagrammes localement limites. On dit qu'un foncteur 6: D_ > ]E est aussi un diagramme indexé par D dans JE . Lorsqu'il n'y a pas risque d'ambiguïté, on le note aussi Lorsque D est une catégorie discrète, on dit que le diagramme une famille (indexée par £ ) dans (ô(D)) E est "~ Lorsque £ D est une catégorie petite, on dit que petit dans (ô(D)) (ô(D))n-n est un diagramme E . Enfin, les objets Ô(D) de E , lorsque D parcourt la classe des objets de D , sont appelés les objets du diagramme, ou encore les éléments de la famille considérée - lorsque Soit q D est discrète. un ordinal régulier et (^(^)) u n dia 6 r a i ™ e de la catégorie JE . On dit qu'il s'agit d'un diagramme q-petit si, et seulement si, D est une caté- gorie q-petite. On dit qu'il s'agit d'un diagramme q-présenté si, et seulement si, E est loca- lement petite et tous les objets de ce diagramme sont des objets q-présentables de E . et Soit F: I 6 :£ > £ un diagramme de (s : F(I) On dit que > E ô(d).s]. i: I s: Ô(D) est un diagramme localement limite I et toute flèche d: D > D' de D , = s It Dl.F(i) , de > E^ifi (s': F(I) ' i n d e x é P ar L ' d e b a s e E , il existe au moins un objet E , dans > E est un diagramme localement limi- D (ô(D))"T > I' de - pour tout cône inductif et de sommet ,Ç1 si, et seulement si: - pour toute flèche on a est une catégorie localement petite E^ . > ô(D))f te inductive naturalisée (et que inductive) de F E un foncteur, où E D de D F et une flèche tels que: + s.s = s' JL , D + si Dc , pour tout objet I de I_ , D s': ô(D')—> E est A. est un autre objet de une autre flèche de tout objet I E tels que de _I , alors et s'.s s et s' = si , pour sont deux objets d' une même composante connexe de la catégorie £/E . On constatera facilement que ductive du foncteur F est un diagramme localement limite in- si, et seulement si: - naturellement en tout objet JLim (ô(D)) „ (I°P > E° P " F° P ~ E de E , on a > Ens) * Jim HomE(-,E) (D°P > E° P > Ens), P " Ô° HomE(-,E) (on pourra consulter ( C M . C F . ) , où l'on trouvera des exemples). Si I_ est une catégorie petite, on dit qu'il s'agit d'un diagramme localement limite inductive petitement indexée. Si l_ est discrète, on dit qu'il s'agit d'un diagramme localement somme. Si D est une catégorie petite, on dit qu'il s'agit d'un diagramme petit loca- lement limite inductive. Si D est discrète, on dit qu'il s'agit d'une famille localement limite induc- tive. Si m est un ordinal régulier, on dit qu'il s'agit: - d'un diagramme localement limite inductive q-indexée, si I_ est une catégo- rie q-petite, - d'un diagramme localement limite inductive q-présentée. si, pour tout objet I de £ , F(I) est un objet q-présentable de £ , - d'un diagramme q-petit localement limite inductive, si D est une catégorie q-petite, - d'un diagramme q-présenté localement limite inductive, si, pour tout objet de £ , Ô(D) est un objet D q-présentable de £ . Dans ces conditions, il est facile de vérifier que: Proposition 2 . S£ q est un ordinal régulier et si £ est une catégorie loca- lement petite, les objets de toute famille localement limite inductive et q-présentée sont des otjets q-présentables de la catégorie q-indexée £ . On remarquera, par contre, que, sous les mêmes hypothèses, on ne peut affirmer, en général, que les objets d°un diagramme (même petit),non nécessairement discret, localement limite inductive q-indexée et q-présentée, sont automatiquement des objets q-présentables de E . 5. Commutation, génération et création . Soit Si (s U: £ > £' : F(I) un foncteur entre deux catégories localement petites. > ô(D)), v est un diagramme localement limite in\j.f\JJ\Zl.'X.U -L,JJ ductive d'un foncteur F: £ > £ , on dit que U commute avec ce diagramme localement limite inductive si, et seulement si, (U(s est un diagramme localement limite inductive de U.F: £ ) :UF(I) — > U6(D)) ,^ r\\fi > £' . En particulier, un foncteur peut donc commuter avec des familles localement limites inductives (si £ est discrète) ou des limites inductives (si £ x £ ) et donc aussi, dualement, avec des limites projectives. Si F: £ > £ est un foncteur et si > £' , on dit que inductive de U.F: £ > E%) (si: UF(I) U génère est une limite (resp. crée) une limite inductive (de F) si, et seulement si, il existe une limite inductive (s : F(I) que > E\CJ de F dans U(s ) = s' , pour tout objet E. > avec laquelle I U commute (resp. telle de £ ). Nous laissons au lecteur le soin de définir les foncteurs générant (resp. créant) certaines familles, ou certains diagrammes, localement limites inductives. n 6. Diagrammes localement libres. Soit ô: £ U: £ > £ On dit que > £' un foncteur entre deux catégories localement petites, un diagramme de £ (e : E' et E' > U(ô(D)) un objet de £'. est un diagramme localement libre naturalisé, sur E' , relativement à U sur E', relativement à U ) si, et seulement si: - pour toute flèche est un diagramme localement libre, d: D > D' de £ , on a de £ et toute flèche - pour tout objet E moins un objet de £ D (et que (ô(D)) „ et une flèche + U(e).eD = f + si U(ô(d)).e f: E' e: 6(D) > U(E) , il existe au > E tels que: , D' est un autre objet de £ est une autre flèche de £ alors e et = e t , e' et tels que e': ô(D') > E U(e').e , = f , sont deux objets d'une même composante connexe de la catégorie £/E . On constatera facilement que (ô(D)) est un diagramme localement libre sur E' si, et seulement si: - naturellement en tout objet E de £ , on a Hom-.ÇEMKE)) « ± lim (D°P > E° P > Ens ) P * " Ô° " HomE(-,E) (on pourra consulter (CM.CF.) , où l'on trouvera des exemples). Si £ est une catégorie petite, on dit qu'il s'agit d'un petit diagramme locale- ment libre. Si £ est une catégorie discrète, on dit qu'il s'agit d'une famille localement li- bre (et l'on retrouve la notion initialement introduite en (C.A.L.O.)). Si £ ^ £ , le seul objet du diagramme localement libre considéré est alors un objet libre sur E', au sens classique. Si q est un ordinal régulier, on dit qu'il s'agit: - d'un diagramme q-petit localement libre, lorsque £ est une catégorie q-petite, - d'un diagramme OC-présenté localement libre, lorsque les objets de ce diagramme sont des objets q-présentables de la catégorie E . 10 On dira que le foncteur U admet les petits diagrammes (resp. les petites familles) localement libres si, et seulement si, tout objet de E possède un pe- tit diagramme (resp. une petite famille) localement libre relativement à U . Si q est un ordinal régulier, on dira que U admet les diagrammes q-petits (resp. q-présentés) localement libres si, et seulement si, tout objet de £ possède un diagramme q-petit (resp. q-présenté) localement libre relativement à U . On utilise une terminologie analogue pour les petites familles localement libres. 7. Densité et génération propre. On dit qu'une sous-catégorie pleine £ E' d'une catégorie E est dense dans si, et seulement si: - tout objet E de £ est limite inductive dans £ > £ç E'/E On dit qu'une flèche propre de £ e e: E' > E >£ du foncteur canonique . d'une catégorie E est un épimorphisme si, et seulement si : est un épimorphisme de E , - s i m: E" > E est un monomorphisme de £ et s'il existe une flèche e': E' > E" de £ telle que m.e' = e , alors m est un isomorphisme de £ . Dans ces conditions, on dit qu'un ensemble G, d'objets de £ , est un ensemble générateur (resp. localement générateur) propre si, et seulement si: - pour tout objet E de £ , il existe une somme (resp. une petite famille somme > E') ___ (resp. K yÇY locale) (s : E y y > E'), >_._ v ) d'une petite x (y,x)ÇYxX famille (E ) - d'objets de élément x et un épimorphisme propre) e: E' Soit de £ de X £ .Si G (s :E y,x y et il existe un épimorphisme propre (resp. un une catégorie localement petite et D > E 6: D est un objet de £ , on dit qu'une flèche > E (resp. e: E' un petit diagramme e: Ô(D) épimorphisme localement propre de £ , relativement au petit diagramme si, et seulement si: - pour toutes flèches f,g: E à ft.e dans D/E- " implique > E). > E est un (ô(D)) , ~" > E- de £ , la condition f = g (nous dirons alors que " f.e est connectée e est un épimor- 11 phisme - si £ D-local de £ ), m: E" > E et une flèche est un monomorphisme de £ e': ô(D') me composante connexe de > E" D/E , alors tels que m et s'il existe un objet m.e' et e D' de soient dans une mê- est un isomorphisme. (On remarquera qu'un épimorphisme localement propre,relativement à un diagramme indexé par une petite catégorie discrète,est exactement un épimorphisme propre, au sens précédent.) Dans ces conditions, on dit qu'un ensemble G d'objets de £ est un ensemble localement générateur localement propre si, et seulement si: - pour tout objet E de £ , il existe un petit diagramme (s ^: E y,D y > E°), « N ~ ^ D (y,D)ÇYx£ d'objets de G e: E' > E localement somme d'une petite famille 9 ' , et il existe un objet D de £ (E ) -_. y y£Y et un épimorphisme localement propre, relativement au diagramme (E') 8. Esquisses q-projectives. On dit que /£/ = (£, P ) est une esquisse projective petite si, et seulement si: - £ est une petite catégorie, IP est un ensemble de cônes projectifs (dits distingués) petitement indexés de S . On appelle alors réalisation de tout foncteur R: £ > Ens des limites projectives de Ens— Ens , et l'on note R:/£/ > Ens , qui transforme les cônes projectifs distingués en Ens • Dans ces conditions, nous notons S rie de foncteurs /S/ dans /S/ Ens — la sous-catégorie pleine de la catégo, /S/ dont les objets sont ces réalisations et j: Ens — — > Ens— le foncteur injection canonique. Alors, on sait que ("théorème du faisceau associé"): Théorème 1 • S£ /S/ est une esquisse projective petite, le foncteur injection /s7 S canonique j : Ens — > Ens— admet un adjoint à gauche. Si S q: Ens— /S/ > Ens — S désigne l'adjoint à gauche du foncteur j et si 12 Y':£ > Ens— désigne le plongement de Yoneda, on en déduit un foncteur de Y = q.Y': £ ° P Yoneda > Ens—' . Clairement, on a alors: - naturellement en tout objet S de £ et en tout objet Hom(Y(S),R) « R(S) . De même, associons à toute réalisation R: /£/ R /S/ Ens — , de > Ens , sa catégorie d'hyper- morphismes, i. e. la catégorie H(R) telle que: - ses objets sont les couples (S,x) tels que S soit objet de £ et x soit élément de R(S) , - ses morphismes sont les > S' s: S et notons soit flèche de h(R): H(R) > (S',x') tels que ((S,x),s,(S',x')): (S,x) >£ S et R(s)(x) = x' , le foncteur - h(R)(S,x) = S , pour tout objet tel que : (S,x) de H(R) , - h(R)((S,x),s,(S',x0)) = s , pour toute flèche ((S,x),s,(S',x')) de H(R) . Alors, nous avons (densité du toncteur de Yoneda): Proposition 3 . ££ /£/ est une esquisse projective petite, tout objet Ens - est limite inductive du foncteur H(R)° P > S° h(R)°P Si q P " R de > Ens - . Y est un ordinal régulier, on appelle esquisse q-projective toute es- quisse projective petite - les éléments de /S/ = (£, IP) telle que: IP sont des cônes projectifs q-indexés de S . Dans ces conditions, on établit facilement que: Proposition 4 . Si /£/ est une esquisse q-projective, pour tout objet S de /c / £ , l'objet Y(S) est q-présentable dans Ens-7 . 9. (q, D)-esquisses. On dit que core une //£// = (£, IP, H ) est une esquisse 3D-esquisse petite, si, et seulement si: - S_ est une petite catégorie, 3D-inductive petite, ou en- 13 - IP est un ensemble de cônes projectifs (dits distingués) petitement indexés de £ , - H est un ensemble de cônes inductifs (dits distingués) discrètement et peti- tement indexés de S . On appelle alors réalisation de tout foncteur R: £ > Ens limites projectives de de Ens //£// dans Ens , et l'on note R: //£// > Ens, qui transforme les cônes projectifs distingués en et les cônes inductifs distingués en sonnes Ens . Dans ces conditions, nous notons Ens — la sous-catégorie pleine de la catégoS rie de foncteurs Ens— , dont les objets sont ces réalisations, et j: Ens — > Ens le foncteur injection canonique. Alors, on sait que ("théorème de la petite famille de faisceaux associés" - voir, par exemple, (CM.CF.) ): Théorème 2 .Si 7/S // //S // e s t une ]D-esquisse p e t i t e , l e f o n c t e u r i n j e c t i o n canonique ""s — j: Ens — > Ens— admet les petites familles localement libres. En particulier, si Y': £ -> Ens— désigne le plongement de Yoneda, pour tout Q objet S de £ , l'objet Y'(S) de Ens- admet une petite famille (Y (S)) x IIS II d°objets de Ens — , localement libre relativement à j . On a alors: - naturellement en tout objet S de £ et en tout objet R de Ens S — , S Hom(Y (S),R) ^ R(S) . x€Xs Si q e s t un o r d i n a l r é g u l i e r , on a p p e l l e d u c t i v e p e t i t e , ou que: ( q , 1D)-.esquisse, t o u t e - l e s éléments de P e s q u i s s e r y - p r o i e c t i v e et ID-^squisse p e t i t e sont des cônes p r o j e c t i f s q - i n d e x é s de //£// ID-in- ( £ , IP, H) t e l l e £ . Dans ces c o n d i t i o n s , on é t a b l i t facilement que: P r o p o s i t i o n 5 . S£ / / £ / / est une ( q , ïï))-esquisse, pour t o u t o b j e t S de S , l a f a m i l l e (Y ( S ) ) d ' o b j e t s de Ens "-" , localement l i b r e sur YKS) , e s t x xtA s .. . c o n s t i t u é e d ' o b j e t s q - p r é s e n t a b l e s de E n s ' — 7 ' . 14 10. Esquisses On dit que 9-petites. //£// = (£, IP, IL) est une esquisse (mixte) petite si, et seu- lement si: - £ est une petite catégorie, - P est un ensemble de cônes projectifs (dits distingués) petitement indexés de £ , - IL est un ensemble de cônes inductifs (dits distingués) petitement indexés de S . On appelle encore réalisation de tout foncteur R: £ > Ens //£// dans Ens , et l'on note R: //£//—> Ens, qui transforme les cônes projectifs distingués en limites projectives et les cônes inductifs distingués en limites inductives de Ens. Dans ces conditions, nous notons Ens — la sous-catégorie pleine de la catéS gorie de foncteurs Ens— dont les objets sont ces réalisations et > Ens j: Ens — le foncteur injection canonique. Alors, on sait que ("théorème du petit diagramme de faisceaux associé " -voir, par exemple, (CM.CF.) ): Théorème 3 . S£ Ils // //£// s est une esquisse p e t i t e , le foncteur injection canonique " j: Ens — > Ens— admet les petits diagrammes localement libres. En particulier, si Y ' : £ ° P > E n s - désigne le plongement de Yoneda, pour tout objet S de £ , l'objet Y ' ( S ) de E n s - admet un petit diagramme C Y D ( s )) D /r D //S // dans Ens — "^ , localement libre relativement à - naturellement en tout objet S linL Si 0 £ et en tout objet R //£// = (£, IP, E ) £ est une catégorie IP et II telle que: 9-petite, sont des ensembles de Ens - " , Hom(Y D (S),R) » R(S) . est un ordinal inaccessible, on appelle esquisse esquisse petite - de j . On a alors: 9-petits, 0-petite toute 15 - tout élément de W (resp. IL) est un cône project if (resp. inductif) 9-in- dexé de £ . Notons alors: - i la borne supérieure des cardinaux projectifs de £ , appartenant à - q l'ordinal régulier - s le cardinal de FI S , - i° le cardinal de IP et - j w FI £ W , , d'indice inductifs de £ , appartenant à l'ordinal régulier Comme 9 i+1, j' le cardinal de la borne supérieure des cardinaux -3 des catégories indexant les cônes FI J H des catégories indexant les cônes H , w,,,^ „ ., ^ . t y i , dit associé à //S//. est inaccessible, il en résulte que g < 9 . ) Q la sous-catégorie pleine de Ens 77 - 77 P dont les objets sont les réalisations R: //£// > Ens telles que R < p . Clairement, (Ens — ) est équivalente à une de ses sous-catégories pleines Dans ces conditions, notons (Ens - //S II ^ (Ens'-")g qui est 9-petite. Alors, on établit en (CM.CE.) que: Proposition 6 . £i 9 est un ordinal inaccessible, si //£// est une esquisse (mixte) 9-petite, si p est l'ordinal régulier associé, alors tout objet R' de — S ' — Ensqui est g-petit admet un diagramme 0-petit et B-présenté, relativement //S // s — — à j: Ens — > Ens— (à savoir, avec les notations qui précèdent, le diagramme R'/CEns 77 - 77 )' P > (Ens 7 7 - 7 7 )' P Cette proposition précise le théorème 3 > Ens 77 - 77 ). qui précède, et généralise les proposi- tions 4 et 5 précédentes, moyennant quelque précaution supplémentaire dans la détermination de l'ordinal régulier p . CHAPITRE II: CATEGORIES PROJECTIVEMENT ESQUISSABLES, CATEGORIES PROJECTIVEMENT MODELABLES ET CATEGORIES LOCALEMENT PRESENTABLES. Dans tout ce Chapitre II, on désigne par 1. Catégories a un ordinal régulier. q-projectivement esquissables. On dit qu'une catégorie E est q-projectivement esquissable si, et seule- ment si: (PE) il existe une esquisse q-projective petite /S/ £ et Ens — soient équivalentes. ries /£/ telle que les catégo- Par exemple, les catégories de structures algébriques "usuelles" (monoïdes, groupes, anneaux, graphes, graphes multiplicatifs, catégories, monoïdes d'opérateurs, modules, catégories d'opérateurs ... ) sont Xn~projectivement es- quissables: il est très facile, en effet, de construire explicitement une esquisse X -projective petite pour chacun de ces types de structures. Rappelons que: Proposition 7 . Si E est une catégorie q-projectivement esquissable, alors elle possède toutes les limites projectives petitement indexées. Preuve. Il suffit, évidemment, d'établir que, si /£/ est une esquisse q-pro/S/ jective petite, alors Ens — est à limites projectives petitement indexées. S Or, on sait que la catégorie de foncteurs Ens— possède toutes les limites projectives petitement indexées (il suffit de les y calculer "point par point"). La commutation des limites projectives petitement indexées dans Ens montre alors /S/ S que le foncteur inclusion canonique j: Ens — que le foncteur inclusion canonique j: Ens — > Ens— crée ces limites projectives, d'où la conclusion. Fin de la preuve. Nous avons également: Proposition 8 . £ £ £ est une catégorie q-projectivement esquissable, alors elle possède toutes les limites inductives petitement indexées. 17 Preuve. Il suffit, évidemment, d'établir que, si /£/ est une esquisse q-projeccive petite, alors Ens/S/ — possède toutes les limites inductives petitement S indexées. Or, on sait que Ens— possède toutes les limites inductives petitement indexées (il suffit de les y calculer point par point). De plus, /S/ Ens— admet un adon sait que le foncteur inclusion canonique j: Ens — joint à gauche: la conclusion en résulte (mais les limites inductives dans /S/ Ens — ne se calculent plus nécessairement point par point). Fin de la preuve. 2. Catégories q-projectivement modelables. On dit qu'une catégorie £ est q-projectivement modelable si, et seule- ment si: (PMI) £ est une catégorie localement petite, (PM2) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et q-fil- trées, (PM3) £ contient une sous-catégorie £' telle que: (i) £° est petite, (ii) £• est une sous-catégorie pleine de £ , (iii) £' est une sous-catégorie dense dans £ , (iv) tout objet de £' (v) £° est un objet q-présentable de £ , possède toutes les limites inductives q-indexées et le foncteur inclusion canonique £' ^£ commute avec ces limites. Nous montrons au § 4 que les catégories q-project ivement modelables sont exactement les catégories q-projectivement esquissables: ceci fournit autant d'exemples qu'il est souhaitable (mais il peut être intéressant, dans les cas particuliers, de vérifier directement qu'une catégorie de structures algébriques usuelles - par exemple - est X -projectivement modelable, sans utiliser une esquisse du type de structures considéré mais en prenant pour £' gorie pleine de E la sous-caté- dont les objets sont les structures finiment présentées). On notera, d'ailleurs, que la définition d'une catégorie q-projectivement mode- 18 lable est intrinsèque à cette catégorie, au contraire de celle d'une catégorie q-projectivement esquissable. En tout état de cause, nous pouvons déjà établir que: Proposition 9 • ££ £ est une catégorie q-projectivement modelable, si E désigne la sous-catégorie pleine de £ tables de £ et si £' ayant pour objets les objets q-présen- est une sous-catégorie de £ vérifiant les conditions (PM3)(i) à_ (PM3)(v) , alors le foncteur inclusion canonique £' > E est une équivalence de catégories. Preuve. Si E est un objet quelconque de £ , la condition (v) assure que la catégorie £'/E est q-filtrante; de même, les conditions (PMI) et (PM3)(i) as- surent que £°/E est petite. La condition (iii) assure alors que le cône induc9 (s = e : E tif > E). # = E' , p^ F i/p est une limite inductive petitement indexée et q-filtrée dans E • En conséquence, si, de plus, E est un objet q-présentable de £ , il existe un objet E' de £' et deux flèches e°: E > E' et e: E' > E de £ (auquel cas e: E' > E est un objet de E'/E) telles que e.e' = Id^, . On en déduit, facilement, que e: E'—> E — L est un conoyau, dans £ , du couple de flèches de £' (puisque, en vertu de (ii), £° > E' . D'après (v), il en résulte que E est pleine) Id c , e'.e : E' est isomorphe à un objet de £° . Ceci permet de conclure. Fin de la preuve. De même, montrons que: Proposition 10 . £i £ est une catégorie q-projectivement modelable, alors elle possède toutes les limites projectives petitement indexées. Preuve. Notons £' une sous-catégorie de £ vérifiant les conditions (PM3)(i) à (PM3)(v). Si £ est une catégorie petite et si par £ la catégorie telle que: - ses objets sont les cônes projectifs que E c > £ est un foncteur, désignons c = (e : E' > F(I)) T ^ T de £ , tels > E",c'): c > c' tels que soit un objet de £' , - ses morphismes sont les e': E' F: £ > E" (c,e': E' est une flèche de E' et 0 e'.e = e , pour tout objet I de £. Il est clair, dfaprès (PMI) et (PM3)(i), que J est petite. De plus, £' véri- 19 fiant (PM3)(v), il en résulte que J est q-f iltrante. Par conséquent, en ver- tu de (PM2) , le foncteur canonique: G: J > £ > F(I))ia \ (e][: E' > E' admet une limite inductive E . En utilisant (PM3)(iii) et (PM3)(iv), il est alors facile d'établir que E est aussi une limite projective de F . Fin de la preuve. La preuve de la proposition 10 précédente nous autorise à dire que les limites projectives petitement indexées dans £ se calculent "point par point" /S/ (comme dans les catégories Ens — de réalisations d'une esquisse q-projective petite), étant entendu que les "points" d'un objet E de £ sont les ensembles Honv,(E°,E) , où E° varie dans £' (alors que les points d'une réalisation R: £ > Ens d'une esquisse q-projective petite /£/ sont les ensembles R(S) , quand S varie dans £ ). Par analogie, on peut se demander si une catégorie q-projectivement modelable possède toutes les limites inductives petitement indexées (non nécessairement qfiltrées). La réponse est affirmative, mais elles ne s'y calculent pas point par point (au sens précédent) en général: établir ce résultat revient, en fait, à prouver que les catégories q-projectivement modelables sont q-projectivement es- quissables, ce que nous ferons au § 4 . Notons, cependant, que les axiomes (PM2), (PM3)(iii) et (PM3)(iv) assurent que les limites inductives petitement indexées et q-filtrées se calculent encore point par point (au sens précédent) dans une telle catégorie. 3. Catégories localement q-présentables. On dit qu'une catégorie £ est localement q-présentable si, et seulement si: (LP1) £ est localement petite, (LP2) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et q-fil- trées, (LP3) E possède toutes les limites inductives q-indexées et q-présentées, 20 (LP4) £ possède un ensemble générateur propre formé d'objets Nous montrons au § 5 que les catégories localement q-présentables. q-présentables sont exactement les catégories q-projectivement modelables et donc aussi les catégories q-projectivement esquissables (et c'est là le but essentiel de ce Chapitre II): ceci fournit donc autant d'exemples qu'il est souhaitable de catégories localement q-présentables (mais il peut être intéressant, dans la pratique, de vérifier directement qu'une catégorie de structures algébriques usuelles - par exemple - est localement Xn~présentable, en prenant pour ensemble de générateurs propre seulement quelques structures libres à quelques générateurs bien choisies). On remarquera, comme précédemment, que la définition d'une catégorie localement q-présentable est intrinsèque à cette catégorie. Enfin, il convient de signaler que la définition des catégories localement q-présentables introduite ici reprend, bien entendu, l'essentiel de celle de GabrielUlmer (voir (L.P.L.G.)). On notera, cependant, que les conditions que nous imposons sont, formellement, plus faibles que les leurs (qui s'en déduisent): ceci ne correspond pas seulement à un souci esthétique mais permet, aussi, une meilleure généralisation et une meilleure comparaison avec ces généralisations, dans les situations plus générales étudiées aux Chapitres III et IV. 4. Catégories q-projectivement esquissables et catégories q-projectivement modelables. Montrons que: Proposition 11 . Les catégories q-projectivement esquissables sont des catégories q-projectivement modelables. Preuve. Il suffit d'établir que, si /£/ est une esquisse q-projective petite, /S/ la catégorie Ens — est q-projectivement modelable. S Le graphe multiplicatif £ étant petit, la catégorie de foncteurs Ens— est /S/ localement petite et donc aussi sa sous-catégorie pleine Ens — • La condition (PMI) est donc vérifiée. On sait, en vertu de la proposition 8 , que /S/ Ens — possède toutes les limites inductives petitement indexées. En particulier, elle est donc à limites inductives petitement indexées et q-filtrées et la condition (PM2) est également vérifiée. 21 O n sait que les limites inductives petitement indexées se calculent point par S . . point dans la catégorie de foncteurs E n s — ; comme,d'autre part, les limites inductives petitement indexées et q-filtrées commutent, dans tes projectives /S/ j : Ens — Ens , a u x limi- q-indexées, o n e n déduit que le foncteur d'inclusion S > Ens— crée les limites inductives petitement indexées et q - f i l - trées, ou encore que ces dernières limites inductives se calculent point par point dans Ens — .Si Y: S ~~ que, naturellement e n tout objet > Ens — est le foncteur de Y o n e d a , o n sait /S/ S de £ et e n tout objet R de Ens — , on a: - Hom(Y(S),R) « R(S) . On en conclut facilement que, pour tout objet S de /S/ q-présentable dans Ens — . Dans ces conditions, construisons une sous-catégorie S , l'objet Y(S) E' = E* /S/ Ens — par — -q de est récurrence transfinie comme suit : /S/ - o n note El Y ( S ) , quand la sous-catégorie pleine de Ens — S varie dans dont les objets sont les £ ; elle est donc petite, pleine, dense (puisque le foncteur de Yoneda est d e n s e ) et ses o b j e t s , d'après ce qui précède, sont bien q présentables; - si X < q /S/ de Ens — est définie, contient El, * /S/ est petite, pleine, dense et si ses objets sont q-présentables dans Ens — , /S/ on note E° - la sous-catégorie pleine de Ens — ayant pour objets, outre /S/ ceux de E ' , u n e limite inductive choisie (qui existe, puisque Ens — est à r /S/ c limites inductives petitement indexées) pour tout foncteur I — > EL' > Ens — , —" —A. où £ et si la sous-catégorie E' varie dans un ensemble de représentants choisis des classes d'équivalen- ce, rnodulo la relation d'isomorphisme, des catégories q-petites; évidemment, •E^.-i est encore petite, pleine, dense, elle contient E' et ses objets sont /S/ "* encore q-présentables dans Ens — , puisque limites inductives q-indexées et q-présentoes; - si X < q est un ordinal limite et si ( E ' X , ^ x est u n e famille définie de iç, i —A. A. < h sous-catégories emboitées de Ens — , petites, pleines, denses et dont les objets /S/ sont q-présentables dans Ens — , o n pose £>' = U £ ' ( ; o n obtient ainsi /s/ x ' £' , où £ > E*^I£I ' P° u r varie dans un ensemble de représentants c choisis des classes d équivalence, modulo la relation d'isomorphisme, des catégories q-petites: on obtient ainsi une esquisse q-projective /£/ , petite en vertu de (PM3)(i). De plus, nous disposons également d'un foncteur (inclusion canonique) Z: £ ° P = £° >£ qui est, en vertu de (PM3)(ii) et (PM3)(iii), plein, fidèle, dense. A tout objet E de £ , on associe alors le foncteur: > £°P M(E): S Z° > Ens P ; Hom(-,E) par construction et en vertu de (PM3)(v), M(E) est évidemment une réalisation de /£/. On définit donc, ainsi, un foncteur: /S/ •> Ens7-7 M: £ > E Inversement, si R: £ > Ens est une réalisation de constater que la catégorie duale te (puisque jectives £ M(E) . H(R) /£/ , il est facile de de sa catégorie d'hypermorphismes est peti- est petite) et q-filtrante (puisque R q-indexées). On lui associe alors une limite inductive choisie N(R) = Lirn ( H ( R ) U F > Suy ^ h(R)°P " Z dans £ commute aux limites pro- > E ) (et elle existe bien, en vertu de (PM2) ). On définit donc ainsi un foncteur: N: Ens^ > £ R > N(R) . l 23 Il est facile de vérifier que, naturellement en tout objet pose, par construction, d'un isomorphisme E_'/E « H(M(E)) E P de E_ , on dis- rendant le diagram- me de foncteurs ci-dessous commutatif: E'/E H(M(E))°P « /h(M(E))°P En vertu de (PM3)(iii), on en déduit que, naturellement en tout objet E de £ , on a: E « N(M(E)) . /S/ De même, naturellement en tout objet R de Ens — , on dispose d'un isomorphisme £'/N(R) # H(R) p , puisque N(R) est, par construction, une limite inductive petitement indexée et q-filtrée dans £ et tout objet de E' est, en vertu de (PM3)(iv), q-présentable. Il en résulte que, naturellement en tout objet S de S = E°° P , on a: M(N(R))(S) = Hom(S,N(R)) « R(S) . Il en résulte que, naturellement en tout objet Par conséquent, les catégories £ R « et /S/ Ens — R de /S/ Ens — , on a: M(N(R)). sont équivalentes. Fin de la preuve. Il résulte trivialement de la proposition 12 précédente et de la proposition 8 que: Proposition 13. ££ £ est une catégorie q-projectivement modelable, alors elle possède toutes les limites inductives petitement indexées. Preuve. Bien entendu, les propositions 8 et 12 précédentes suffisent largement à prouver l'assertion. Cependant, on peut détailler "une autre" preuve (i. e. une preuve présentée de manière plus interne à £ ) comme suit. Si £• est une petite catégorie et si F': I' > E est un foncteur, on note 24 £' la catégorie telle que: - ses objets sont les couples (E',C) où E' est un objet de £' une composante connexe de la catégorie comma > E" sai.e connexe est une flèche de £ ' C C est E'/F' , - ses morphismes sont les ((Ef ,C),e', (E",C )): (E',C) e': E° et > (E",C) tels que appliquant (par composition) la compo- dans la composante connexe C Clairement, on dispose d'un foncteur canonique: G°: J' (E',C)i *> £' »E' et ce foncteur est évidemment une co-fibration discrète. Si J' est évidemment petite elle n'est pas, en général (sauf, par exemple, si £° est q-filtrante), q-filtrante. On ne peut donc pas calculer la limite induc- tive (dont rien n'assure a priori l'existence!) du foncteur > £' £' >£ • G' Cependant, le foncteur G* : J~° que J° G' engendre certainement une co-fibration discrète > E' qui crée les limites inductives q-indexées. Il en résulte est petite et q-filtrante et donc que le foncteur admet bien une limite inductive J' — — > £ ' G' E ,qui est la limite inductive de F' . (Avec les notations précédentes, on voit facilement que £' des hypermorphismes du foncteur limite inductive dans que £' o p Ens— > £ est la catégorie des M(F(I)) et est celle de la réalisation de /£/ engendrée par ce dernier.) Fin de la preuve. Des propositions 11 et 12 précédentes, on déduit évidemment que: Théorème 4 • Les catégories q-projectivement esquissables sont exactement les catégories q-projectivement modelables. 5. Catégories localement q-présentables et catégories q-projectivement mudelables. Montrons que: Proposition 14 . Les catégories q-projectivement modelables sont des catégories localement q-présentables. 25 Preuve. Supposons que E est q-projectivement modelable et désignons par £' une sous-catégorie de £ vérifiant (PM3)(i) à (PM3)(v). Comme (PMI) est vérifiée, (LP1) l'est trivialement. De même, comme (PM2) est vérifiée, (LP2) l'est. En vertu de (PM3)(v) et de la proposition 9 , (LP3) est également vraie. Montrons, enfin, que l'ensemble (c'en est bien un, vu (PM3)(i)) des objets de E' est bien un ensemble Si E générateur propre de £ . est un objet de £ , la condition (PM3)(iii) assure que (s = e : E' = E 1 > E). ^, ^ r-w n/r. est un cône limite inductive f e e (e: E' > E) € E /E _ canonique dans £ • Désignons, alors, par Ts': E' = E' > E ) / e . Ei ^ E)€ObE'/E un cône (discret) somme de la famille £ (E^ = E f ) e - 0bE'/E danS la caté &orie (cette somme existe, vue la proposition 13). Alors, il existe un unique mor- phisme s: E > E de £ - pour toute flèche e: E° Si f,g: E que f.s puisque > E = g.s E tel que: > E , où E' est objet de £' , on a sont deux flèches de £ , pour tout objet telles que > E e: E' s.s^ = s g = e f .s = g.s , on en déduit de £'/E , par conséquent est une limite inductive. En d'autres termes, s: E > E f = g, est un épimorphisme de £ • Si m: E > E est un monomorphisme de £ , il définit un foncteur injectif (composition par m ) £'/m : £ 7 E 2 est une flèche de E > £f/E . Si, de plus, s': E > E2 telle que m.s' = s , on obtient un foncteur n : £'/E e I > £'/E2 > s'.s' e dont on établit facilement qu'il est inverse de £'/m . En vertu de on en déduit que m (PM3)(iii), est un isomorphisme de £ . Autrement dit, s : E > E est un épimorphisme propre. D'où la proposition. Fin de la preuve. Réciproquement, montrons que: Proposition 15. Les catégories localement q-présentables sont des catégories q-projectivement modelables. Preuve. Supposons que gnons par G E est une catégorie localement q-présentable et dési- un ensemble générateur propre. Puisque (LP1) est vérifiée, (PMI) l'est. De même, puisque (LP2) est vérifiée, (PM2) l'est trivialement. 26 Nous construisons une sous-catégorie E* = E' de E par récurrence transfinie comme suit : - on note El la sous-catégorie pleine de £ dont G est l'ensemble des ob- jets; en vertu de (LP1), elle est petite et, en vertu de (LP4), ses objets sont q-présentables dans £ ; - si X < q et si la sous-catégorie petite, pleine et si ses objets sont sous-catégorie pleine de £ £,' de £ q-présentables dans £ , on note > £• > £ , où £ £^ , est E.a- la ayant pour objets, outre ceux de £.' , une limite inductive choisie (qui existe, en vertu de £ est définie, contient (LP3) ) pour tout foncteur varie dans un ensemble de représentants choisis des classes d'équivalence, modulo la relation d'isomorphisme, des catégories q-petites; évidemment, £^,-1 est encore petite, pleine, elle contient objets sont toujours q-présentables dans E £,' et ses , puisque limites inductives q-in- dexées et q-présentées; - si X < q est un ordinal limite et si (EL' ,X , > est une famille définie de sous-catégories emboitées de £ , petites, pleines et dont les objets sont présentables dans catégorie de £ E , on pose 1 U "* X' £' un cône limite inductive > ÏÏ). m donc une unique flèche (s : E' = E' m: S > E de £ est q-filtrante (et localement petite). En consé> E admet, en vertu de (LP2), E^f 9 E'/E et ^ 1 ex^-ste telle que: - pour toute flèche e: E 9 > E de £ , où E' est objet de £' , on a m.s = e e Comme (LP4) est vérifiée, on sait qu'il existe par ailleurs un épimorphisme propre s: E > E de E , où E est le sommet d'un cône discret 27 (pv: E ^ ^ E ) /-v X XtA X * somme dans E d'une f a m i l l e p e t i t e — de l'ensemble de générateurs propre f,g: E^ flèche > E e ^ E' G , qui sont des objets particuliers de £' . sont deux flèches de £ un objet che " S telle que: telles que m.f = m.g , pour toute , où E est une limite inductive petitement indexée et q-filtrée) e(f): E'(f) > E est objet de £' (et donc est q-présentable), (resp. e(g): E'(g) > Ef(f) (resp. e'(g): E' e'(f): E« >E > E il existe (puisque E' d'objets X XfcX On en déduit qu'il existe une unique flèche s': Ê - pour tout élément x d e X , o n a s * . p = s x s.p x Il en résulte, en particulier, que m.s' = s . Si (E ) _,__ e(f)- e, ( f ) = f > e i > E) de £'/E >E'(g) ) dans £ et une flètels que: (resP- s e ( g ) - e , ^ g ) = 8 - e l ) # Il en résulte que: - e(f).e°(f) = m -s e(f) .e'(f) = m.f.e]L = m.g.ei = m.se(g).e'(g) = e(g).e'(g), (et nous notons e cette valeur commune). On en déduit que: - se(f).e'(f) = s e = se(g).e'(g) . Autrement dit, pour toute flèche e : E' > E , où E' varie dans £' , on a: - f.e^ = g.e1 . En utilisant, pour l'objet concernant l'objet - f.m^ = g.m^ E des constructions et notations analogues à celles E , on en déduit que: (puisque E^. est une limite inductive), - f .s = f .m-.s' = g.nu.s! = g.s. . Mais s^ est un épimorphisme (propre), donc Comme s = m.s' , il en résulte que épimorphisme propre). Donc £'/E > £• E m f = g et m est un monomorphisme. est un isomorphisme (puisque s est un est aussi limite inductive canonique du foncteur > £. On peut donc affirmer que £' est dense dans £ , i. e. que la condition (PM3)(iii) est également vérifiée. Fin de la preuve. Des deux propositions 14 et 15 précédentes, on déduit immédiatement que: 28 Théorème 5 . Les catégories q-projectivement modelables sont exactement les catégories localement q-présentables. Bien entendu, ce théorème (ou la seule proposition 1$ permet d'affirmer que les catégories localement q-présentables possèdent toutes les limites projectives et inductives petitement indexées. Cependant, sans calculs supplémentaires auxiliaires (i. e. sans procéder à une completion - par limites inductives q-indexées de l'ensemble générateur propre), on ne peut établir directement l'existence ne serait-ce que des limites projectives: ainsi, on peut relire la preuve de la proposition 15 comme une preuve de l'existence de ces limites (et non comme une preuve de l'équivalence de deux classes de catégories). 6. Catégories q-projectivement esquissables et catégories localement q- présentables. Des théorèmes 4 et 5 on déduit immédiatement: Théorème 6 . Les catégories q-projectivement esquissables sont exactement les catégories localement q-présentables. C'était, évidemment, le but essentiel de ce Chapitre II que de retrou- ver ce résultat (connu). On notera, cependant, que l'introduction de la notion de catégorie q-projectivement modelable, outre qu'elle permet un découpage de la preuve du théorème 6 précédent (et facilite donc la lecture), permet de situer plus précisément le rôle de chacun des axiomes considérés. Plus fondamentalement encore, elle permet de généraliser aux situations étudiées au Chapitre III et, surtout, au Chapitre IV les considérations précédentes. CHAPITRE III: CATEGORIES (q, E))-ESQUISSABLES, CATEGORIES (q, D)-MODELABLES ET CATEGORIES q-LOCALISABLES. Dans tout ce Chapitre III, on désigne par 1. Catégories un ordinal régulier. (q, D)-esquissables. On dit qu'une catégorie (DE) q £ il existe une esquisse telle que les catégories £ et est (q,ïï))-esquissablesi, et seulement si: q-projective et Ens — ID-inductive petite //£// soient équivalentes. Par exemple, la catégorie des anneaux locaux, ou celle des corps, sont (Xn9 ID)-esquissables: il est très facile, en effet, de construire explicitement une esquisse mixte, pour chacun de ces types de structures, où les seuls cônes projectifs distingués sont de base finie et où les seuls cônes inductifs distingués sont de bases petites et discrètes. On trouvera de nombreux autres exemples en (C.A.L.O.), étant entendu que les catégories troduites sont exactement les catégories q-localisables, qui y sont in- (q, ID)-esquissables, comme nous l'éta- blirons au § 6 • Rappelons que: Proposition 16 • S£ £ est une catégorie (q,ïï))-esquissable,alors elle pos- sède toutes les limites projectives petitement et connectivement indexées. Preuve. Il suffit, évidemment, d'établir que, si projective et JD-inductive petite, alors Ens — //£// est une esquisse q- est à limites projectives petitement et connectivement indexées. Or, on sait que la catégorie de foncteurs S Ens— possède toutes les limites projectives petitement indexées (il suffit de les y calculer "point par point"). En particulier, elle possède toutes celles qui sont indexées de manière connexe. La commutation des limites projectives petitement et connectivement indexées, dans tives Ens , tant avec les limites projec- q-indexées qu'avec les limites inductives discrètement et petitement in- 30 l/s U dexées montre alors que le foncteur inclusion canonique Ens — S > Ens— crée les limites projectives petitement et connectivement indexées, d'où la conclusion. Fin de la preuve. Nous avons également : Proposition 17 . ££ £ est une catégorie ( q,3D)-esquissable, alors elle pos- sède toutes les petites familles localement limites inductives petitement indexées. Preuve. Il suffit, évidemment, d'établir que, si //£// est une esquisse q-projective et D-inductive petite, alors Ens — possède toutes les petites faS milles localement limites inductives petitement indexées. Or, on sait que Ens— possède toutes les limites inductives petitement indexées (il suffit de les y calculer point par point). De plus, on sait que le foncteur injection canonique //S // / SS admet les p( j: Ens IIS — > Ens— j: Ens' —' > Ens— admet les petites familles localement libres: la conclusion en résulte. Fin de la preuve. 2. Catégories (q,JD)-modelabiés. On dit qu'une catégorie E est (q,JD)-modelable si, et seulement si: (DM1) £ est une catégorie localement petite, (DM2) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et q-fil- trées, (DM3) £ contient une sous-catégorie £' telle que: (i) £' est petite, (ii) £° est une sous-catégorie pleine de £ , (iii) £' est une sous-catégorie dense dans £ , (iv) tout objet de £' (v) £' est un objet q-présentable de £ , possède les petites familles localement limites induc- tives q-indexées et le foncteur inclusion canonique £• >- E limites. commute avec ces petites familles localement 31 Nous montrons au §4 que les catégories ment les catégories (q, E))-mode labiés sont exacte- (q,ID)-esquissables.Comme nous montrons au §5 que ces dernières sont exactement les catégories q-localisables de (C.A.L.O.), on y trouvera autant d'exemples (nombreux) qu'il est souhaitable (mais il peut être intéressant de vérifier directement que la catégorie des anneaux locaux, ou celle des corps - par exemple - est (VJD)-modelable sans utiliser une esquisse de ces types de structures "presque algébriques"; inversement, il peut être intéressant de construire une esquisse, aussi "petite" que possible, présentant une catégorie (q,ïï))-modelablecomme catégorie de structures "presque algébri- ques"). On notera que la définition d'une catégorie (q, ID)-modelable est intrinsèque à cette catégorie, au contraire de celle d'une catégorie (q, ïï))-esquissable. En tout état de cause, nous pouvons déjà établir que: Proposition 18 . S£ £ est une catégorie sous-catégorie pleine de £ et si E' (q, E))-modelable, s£ E^ désigne la ayant pour objets les objets q-présentables de est une sous-catégorie de £ £ vérifiant les conditions (DM3)(i) £ (DM3)(v), alors le foncteur inclusion canonique £' 3> E est une équiva- lence. Preuve. Si E est un objet quelconque de £ , la condition (v) assure que la catégorie E'/E est q-filtrante; de même, les conditions (DM1) et (DM3)(i) assurent que £'/E ductif est petite. La condition (iii) assure alors que le cône in- (se = e : E^ = E° > E ) ( e . £t GSt U n e limite > E)ÇE'/E inductive petitement indexée et q-filtrée dans £ . En conséquence, si, de plus, E est un objet q-présentable de £ , il existe un objet e t. E > Eo et e: £t jet de £°/E ) telles que > E de £ e.e° = Id (auquel cas E' de £' e: E' et deux flèches > E est un ob- . On en déduit, facilement, que e : E • —•> E est un conoyau, dans £ , du couple de flèches de £' (puisque, en vertu de (ii), E' est pleine) Id„f , e'.e : E' — L > Ef . Autrement dit, {E} est une petite famille localement limite inductive finiment indexée d'un foncteur à valeurs dans £' : d°après (v), il en résulte que E est isomorphe à un objet de £' . Ceci permet de conclure. Fin de la preuve. Le lecteur aura certainement remarqué que la preuve précédente est presque recopiée mot pour mot sur celle de la proposition 9 du Chapitre II, §2 . 32 De même, montrons que: Proposition 19 . Si £ est une catégorie (q,ïï))-modelable,alors elle pos- sède toutes les limites projectives petitement et connectivement indexées. Preuve. Notons E' une sous-catégorie de £ vérifiant les conditions (DM3)(i) à (DM3)(v). Si I est une catégorie petite et si F: £ par £ E° > F^^I£I c = (eT: E' de — * tels soit un objet de £° , - ses morphismes sont les e°: E' est un foncteur, désignons la catégorie telle que: - ses objets sont les cônes projectifs que > £ > E" (c,e': E' est une flèche de > c' tels que > E",c'): c E' et e'.e' = e , pour tout objet I de £. Il est clair, d'après (DM1) et (DM3)(i), que J est petite. En général, on ne peut toutefois pas conclure, même en utilisant (DM3)(v), que J est q-filtran- te; cependant, il est facile de voir que cela est exact si £ est connexe • Par conséquent, dans ce cas, le foncteur canonique G : J > £ (e l8 E' > F ( I ) ) ifl l ~ > E ' admet, en ve^tu de (DM2), une limite inductive (DM3)(iv), il est alors facile d'établir que de E . En utilisant (DM3)(iii) et E est aussi une limite projective F . Fin de la preuve. Le lecteur aura certainement remarqué que la preuve précédente est largement recopiée sur celle de la proposition 10 du Chapitre II, §2 . La preuve de la proposition 19 précédente nous autorise à dire, de nouveau, que les limites projectives petitement et connectivement indexées dans se calculent point par point (comme dans les catégories Ens — £ de réalisations d'une esquisse q-projective et ID-inductive petite), étant entendu que les points d'un objet £' E de £ sont les ensembles (tandis que les points d'une réalisation projective et D-inductive petite HomF(E',E) , où R: £ > Ens //£// sont les ensembles E' varie dans d'une esquisse R(S) , quand S varie dans £ ). Par a n a l o g i e , on peut se demander s i une catégorie (q, lD)-modelable possède q- 33 toutes les petites familles localement limites inductives petitement indexées (non nécessairement q-filtrées). La réponse est affirmative: établir ce ré- sultat revient, en fait, à prouver que les catégories (q, © ) -modelables sont . Notons, cependant, que (q,ïï))-esquissables,ce que nous ferons au § 4 les axiomes (DM3)(iii) et (DM3)(iv) assurent que les limites inductives peti- tement indexées et q-filtrées se calculent encore point par point (au sens précédent) dans une telle catégorie. 3. Catégories q-localisables. On dit qu°une catégorie £ est q-localisable si, et seulement si: (LOI) £ est localement petite, (L02) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et q-fil- trées, (L03) £ possède toutes les petites familles localement limites inductives q-indexées et q-présentées. (L04) £ possède un ensemble localement générateur propre formé d'objets q-présentables• La définition des catégories q-localisables introduite ici reprend, bien entendu, l'essentiel de celle donnée par Diers en (C.A.L.O.), où l'on trouvera de très nombreux exemples. On notera, cependant, que les conditions que nous imposons sont, formellement, plus faibles que les siennes (qui s'en déduisent): ceci ne correspond toujours pas qu'à un souci esthétique mais permet, en même temps qu'une généralisation à la situation étudiée au Chapitre IV, une meilleure comparaison avec cette généralisation, ou avec le cas particulier étudié au Chapitre II, 4. Catégories (q,ïï))-esquissableset catégories (q, D)-modelabiés. Montrons que: Proposition 20 . Les catégories modelables. (q, D)-esquissables sont des catégories (q, © ) - 34 Preuve. Il suffit d'établir que, si //£// est une esquisse ID-inductive petite, la catégorie de réalisations Ens — a-projective et est (a, ID)-mode- lable. Le graphe multiplicatif £ S En&- étant petit, la catégorie de foncteurs évidemment, petite et donc aussi sa sous-catégorie pleine Ens — est, . La condi- tion (DM1) est donc vérifiée. S On sait que la catégorie de foncteurs Ens— possède toutes les limites inducti- ves petitement indexées: il suffit de les y calculer point par point. De plus, les limites inductives petitement indexées et q-filtrées commutant, dans Ens, tant aux limites inductives(petitement et discrètement indexées) qu'aux limites projectives q-indexées, on en déduit que le foncteur inclusion canonique //S // S Ens — > Ens— crée les limites inductives petitement indexées et trées (qui se calculent donc, aussi, point par point dans Ens — q-fil- ) . La condi- tion (DM2) est donc également vérifiée. IIS II On sait que le foncteur inclusion canonique j: Ens petites familles localement libres. Si p Y': £ S > Ens— — > Ens— est le foncteur de Yoneda, ceci impose, en particulier, que, pour tout objet Y'(S) Ens de Ens— — admet une petite famille . Notons rie dans S et G x l'ensemble (car varie dans X — (Y ( S ) ) - v x XtA- £ admet les S de £ , l'objet localement libre dans est petit) des Y (S) , quand S va- . o Comme les limites inductives petitement indexées et q-filtrées se calculent point par point dans Ens — , comme, naturellement en tout objet tout objet R de - Hom(Y'(S),R) « Ens — , on a (par définition): E Hom(Y (S),R) « R(S) , S de £ et en xÉXg on en déduit facilement que, pour tout objet l'objet Y (S) est q-présentable dans S de Ens ' — ' . £ et tout élément x X de X^, l/S // Dans ces conditions, construisons une sous-catégorie E° = E Q — -q de Ens — par récurrence transfinie comme suit : - on note est El la sous-catégorie pleine de Ens — dont l'ensemble des objets G ; elle est donc petite, pleine et ses objets (d'après ce qui précède) sont q-présentables; -si X < q et si la sous-catégorie E* —A. de Ens — est définie, contient E' , —O 35 est petite et pleine et si ses objets sont note de £• la sous-catégorie pleine de EL' , les objets E , quand x q-présentables dans Ens'—' varie dans Ens — , on ayant pour objets, outre ceux X , d'une petite famille ( E ^ ^ X A. localement limite inductive choisie (qui existe, en vertu de la proposition 17 ) pour tout foncteur £ > EL' > Ens' — " , où £ varie dans un ensemble de représentants choisis des classes d'équivalence, modulo la relation d'isomorphisme, des catégories q-petites; évidemment, £/,-. est encore petite et pleine, //S // q-présentables dans Ens — , puis- elle contient E* et ses objets sont encore —A. qu'éléments de petites familles localement limites inductives q-indexées et q- présentées; - si X < q est un ordinal limite et si (E' \ 9 , est une famille définie de "" //SI/ sous-catégories emboitées de Ens — , petites, pleines et dont les objets sont 11 11 q-présentables dans Ens — , on pose E,' = % U E* ; on obtient, ainsi, ""* \ < \ //S II une sous-catégorie de Ens — qui est encore petite, pleine et dont les objets sont bien q-présentables dans Ens — En particulier, E' = £' vérifie donc (i), (ii), (iv) et, par construction, (v). Pour conclure, il reste donc à prouver que £' ment, il suffit, pour ce faire, d'établir que vérifie également (iii); claireEl est dense dans Ens — >or ceci résulte de sa construction et de la densité du foncteur de Yoneda Y': £ ° P > Ens— . La condition (DM3) est donc établie. Fin de la preuve. Le lecteur aura remarqué que la preuve de la proposition précédente est calquée largement sur celle de la proposition 11 du Chapitre II, §4 . Réciproquement, montrons que: Proposition 21 . Les catégories (q,3D)-modelables sont des catégories (q, D ) - esquissables. Preuve. Supposons que £ sous-catégorie de vérifiant les conditions (DM3)(i) à (DM3)(v). Notons £ £ est une catégorie (q,ïï))-modelableet notons la sous-catégorie pleine de - les foncteurs représentables d'après (DM1)) dès que E9 Ens— Hom(E',-): £ est objet de - les foncteurs sommes canoniques £' une dont les objets sont: > Ens (ce qui a bien un sens, £' , E Hom(E' , -) X xÉX et les foncteurs limites 36 projectives canoniques noniquement) dans Lim Hom(E|,-) (i. e. calculés point par point, ca- Ens- , dès que est une (Ep^ Petite famille localement limite inductive choisie (qui existe en vertu de (DM3)(v) ) d'un quelconque foncteur £°P > £' , où £°Pvarie dans un ensemble de représentants choisis des classes d'équivalence, modulo la relation d'isomorphisme, des catégories expetites. Clairement, la classe des objets de £ est un ensemble et l'on dispose d'un foncteur plein et fidèle: £«° P E' £'° P identifiant E x€X >£ • > Hom(E',-) à une sous-catégorie pleine de £ ; d'autre part, si Hom(E',-) et Lim I€£ X Hom(El,-) sont deux objets de précédemment, naturellement en tout objet E S tels que décrits de £ , on a (par définition des petites familles localement limites inductives): - ( E Hom(E',-) )(E) = xfx x E Hom(E',E) « x xoc Lim Hom(E'E) = ( Lim Hom(Ej,-))(E), *ï?T TêT" il en résulte donc E Hom(E',-) « Lim Hom(E|,-) dans £ ; autrement dit X xÇX T?T encore, tout objet de S est à la fois une somme (éventuellement indexée par 1) petitement indexée et une limite projective (éventuellement indexée par l ) q- indexée d'un foncteur à valeurs dans la sous-catégorie pleine et petite (en vertu de (DM3)(i) ) £'° P petite. Distinguons dans tives canoniques S ; on en déduit facilement que £ est une catégorie les sommes canoniques E Hom(E',-) et les limites projecX xOC J,im Hom(E',-) telles que décrites précédemment: on obtient ainsi une esquisse q-projective et ID-inductive //£// qui est petite, par construction. A tout objet E de £ , on associe le foncteur "évaluation en E" M(E): > Ens £ (s: S > S') | > (s£: S(E) > S'(E)) . 37 Clairement, les limites tant projectives qu'inductives distinguées se E calculant point par point dans la sous-catégorie pleine £ de Ens— et vue la définition de //£// , M(E) est une réalisation de //£//. On définit donc, de cette manière, un foncteur: M . £ ^Ens^-^ E I Inversement, si R: £ > Ens est une réalisation de constater que la catégorie duale du foncteur R': £ C ° P > M(E) H(R')° P //£//, il est facile de de la catégorie d'hypermorphismes > Ens est petite et q-filtrante (en verR tu de (DM3)(v), du choix des limites projectives et inductives distinguées dans l/S II > £ et justement parce que R est une réalisation). On lui associe alors une limite inductive choisie N(R) = Lim => dans £ (H(R')°P > E' . — „ vop — h(R')^ > E) (et elle existe bien, en vertu de (DM2) ). On définit ainsi un foncteur: N: >E Ens ^ - ^ -> N(R) Il est facile de vérifier que, naturellement en tout objet pose, par construction, d'un isomorphisme £'/E ^ E de £ , on dis- H(M(E)') rendant le dia- gramme de foncteurs ci-dessous commutatif: E'/E H(M(E)')°P » / • h(M(E'))° P En vertu de (DM3)(iii), on en déduit que, naturellement en tout objet E de £ , on a: E a N(M(E)). De même, naturellement en tout objet R de phisme £'/N(R) « H(R')°P , puisque N(R) est, par construction, une limite in- E n s ' — " , on dispose d'un isomor- ductive petitement indexée et q-filtrée dans £ et tout objet de £' est, en 38 vertu de (PM3)(iv), q-présentable. Il en résulte que, naturellement en tout objet S de la sous-catégorie pleine £ f de £ , on a: M(N(R))(S) = HomE(S,N(R)) * R(S) . Par construction (tout objet de £ leurs dans £'° P et R et naturellement en tout objet étant limite distinguée d'un foncteur à va- M(N(R)) étant des réalisations), on en déduit que, S de S , on a M(N(R))(S) ^ R(S) . Par conséquent, naturellement en tout objet R de Ens' — " , il vient: R x M(N(R)) . Les catégories £ et Ens — Le lecteur aura remarqué sont donc équivalentes. Fin de la preuve. que la démonstration précédente est inspirée de celle de la proposition 12 du Chapitre II, §4 . Cependant, la construction de l'esquisse //£// associée à la catégorie £ nécessite un peu plus de subtili- té qu'auparavant: en effet, elle ne s'identifie pas à la duale d'une sous-catégorie pleine de £ (i. e. elle ncest pas représentée dans E ) mais à une sousE """ catégorie pleine de Ens— dont les objets ne sont pas tous des foncteurs repré- sentables (mais des limites projectives q-indexées de foncteurs représentables, ou encore des sommes petitement indexées de foncteurs représentables). Ceci est dû au défaut d'existence de suffisamment de limites inductives (même q-indexées) dans £ . Il résulte trivialement de la proposition 21 précédente et de la proposition 17 que : Proposition 22 . £i £ est une catégorie (q, H))-modelable, alors elle pos- sède toutes les petites familles localement limites inductives petitement indexées. Preuve. Evidemment, les propositions 17 et 21 précédentes suffisent amplement à prouver l'assertion. Cependant, on peut détailler "une autre" preuve (i. e. une preuve présentée de manière plus interne à E ) comme suit. Si £° note £' est une petite catégorie et si F': £' > E est un foncteur, on la catégorie telle que: - ses objets sont les couples (E',C) où E° une composante connexe de la catégorie comma est un objet de E'/F' , E' et C est 39 - ses morphismes sont les > E" e': E' sante connexe ((E',C),e ', (E",C ' )): (E',C) est une flèche de C E' > (E",C) tels que appliquant (par composition) la compo- dans la composante connexe C• Clairement, on dispose d'un foncteur canonique: G' : J' > £' (E',C)>—*> E' et ce foncteur est bien entendu une co-fibration discrète. Evidemment, JJ lorsque £' est petite mais, en général, elle n'est pas q-filtrante (sauf est q-filtrante). On ne peut donc pas calculer la limite inductive (dont rien n'assure l'existence) du foncteur £' > £' > £ G' G' engendre une petite famille (G' : J' Cependant, le foncteur >E9) ~, de co-fibrations discrètes qui créent les petites familles localement limites inductives q-indexées. Il en résulte que, pour tout élément x gorie J' J_° est petite et q-filtrante et donc que le foncteur de X , la caté> £' > £ admet bien une limite inductive E . Il est alors facile de constater que la x petite famille (E ) _ _ . est localement limite inductive de F' . x xtX _ (Avec les notations précédentes, on voit aisément que la famille (J' ) ^ est celle des catégories d'hypermorphismes (H(R '))_,-„ de la petite famille x X£A de réalisations (R ) ^ , de //S // , localement libre sur le foncteur x XfcA R: £ > Ens — , limite inductive dans fiant, par conséquent H(R') = £' Ens— des foncteurs M(F(D) , et véri- .) Fin de la preuve. Le lecteur aura de nouveau remarqué que la présentation de la preuve de la proposition 22 précédente est inspirée de celle de la preuve de la proposition 13 du Chapitre II, §4 . Cependant elle nécessite quelque subtilité technique supplémentaire (éclairée et justifiée par la remarque de fin de preuve). Des propositions 20 et 21 précédentes, on déduit que: Théorème 7 . Les catégories (q, ID)-esquissables sont exactement les catégories (q, 1D)-modelables. 5. Catégories q-localisables et catégories Montrons que: (q,B)-modelabiés « 40 Proposition 23 . Les catégories (q, E))-modelables sont des catégories q-lo- calisables. Preuve. Supposons que £ sous-catégorie de £ est (q, JD)-modelable et désignons par £' une vérifiant (DM3)(i) à (DM3)(v). Comme (DM1) est vérifiée, (LOI) l'est. De même,comme (DM2) est vérifiée, (L02) l'est. En vertu de (DM3)(v) et de la proposition 18 , (L03) est également vraie. Montrons, enfin, que l'ensemble (c'en est bien un, vu (DM3)(i) ) des objets de £' est bien un ensemble localement générateur propre de Si E E . est un objet de £ , la condition (DM3)(iii) assure que (se = e : E e = E ° > E \ e : E' > E) Ç E'/E eSt U n C ° n e l i m i t e inductive canonique dans £ . Désignons par (s ê,x : E ê = E ' > E ) x ((e: E' > E),x)Ç 0b(£'/E)x X une petite famille localement somme naturalisée de la famille (E1 = E') e eÇ0b£'/E dans la catégorie £ (elle existe en vertu de la proposition 22 ). Il existe alors un unique élément x de X et une unique flèche s: Ê > E tels que: - pour toute flèche e: E° Si f,g : E sont deux flèches de £ que f.se = g.se , pour tout objet > E > E , où E' e: E' est objet de telles que > E E' , on a — s.s' = s =e. e,x e f.s = g.s , on en déduit de £'/E , par conséquent est une limite inductive. En d'autres termes, s: Ê — > E x est un épimorphisme de E . Si m: E 2 > E est un monomorphisme de £ , il définit un foncteur injectif f = g , puisque (composition par E m ) est une flèche de £ £'/m: £'/E2 > £'/E . Si, de plus, s': Ê > E telle que m.s' = s , on obtient un foncteur n : £'/E > £'/E2 e l => s'.s' e,x dont on établit facilement qu'il est inverse de £'/m . En vertu de (DM3)(iii), on en déduit que m est un isomorphisme de E . Autrement dit, s: Êf — x est un épimorphisme propre. D'où la proposition. Fin de la preuve. >E 41 La preuve de cette proposition 23 est évidemment calquée sur celle de la proposition 14 du Chapitre II, §5 . Réciproquement, montrons que: Proposition 24 . Les catégories q-localisables sont des catégories (q, D)-mo- delables. Preuve. Supposons que £ est une catégorie q-localisable et désignons par G un ensemble localement générateur propre. Puisque (LOI) est vérifiée, (DM1) l'est . De même, puisque (L02) est vérifiée, (DM2) l'est. Nous construisons une sous-catégorie E' = E' — de E -q — la sous-catégorie pleine de £ dont par récurrence transfinie comme suit : - on note El G est l'ensemble des ob- jets; en vertu de (LOI), elle est petite et, en vertu de (L04) ses objets sont q-présentables dans £ ; - si X < q et si la sous-catégorie K' de E —A. — est définie, contient petite, pleine et si ses objets sont q-présentables dans £ , on note sous-catégorie pleine de E , quand x E El , est —U E.' la ayant pour objets, outre ceux de £,' , les objets varie dans X , d'une petite famille X (E ) localement limite X Xt:A inductive choisie (qui existe en vertu de (L03) ) pour tout foncteur £ > £° > £ , où £ varie dans un ensemble de représentants choisis des classes d'équivalence, modulo la relation d'isomorphisme, des catégories q-petites; évidemment, E* i est encore petite, pleine, elle contient EJ et ses objets sont toujours q-présentables dans £ , puisqu'éléments de petites familles localement limites inductives q-indexées et q-présentées; - si X < q est un ordinal limite et si (E' ), , ^ x est une famille définie de — —"K A. < A. sous-catégories emboitées de £ , petites, pleines et dont les objets sont présentables dans catégorie de £ E , on pose E? = U £,'f q- ; on obtient, ainsi, une sous- qui est encore petite, pleine et dont les objets sont q-présen- tables dans £ • En particulier, E' = £' vérifie (DM3)(i), (DM3)(ii), (DM3)(iv) et, par cons- truction, (DM3)(v). Il nous reste à montrer que E' est dense dans E . Pour ce faire, supposons 42 que E est un objet de £ . Comme nous venons d'établir que la condition (DM3)(v) est vérifiée par £' , on en déduit que la catégorie £'/E évidemment petite, puisque £' est q-filtrante (et est petite et £ localement petite). En consé- quence, le foncteur canonique £'/E > £• > E admet, en vertu de (L02), un cône limite inductive (s : E' = E' > E ) y e e (e: E' > E)Ç £'/E existe donc une unique flèche m: £ > E de E telle que: Pt- i i X - pour toute flèche e: E° > E de £ , où E » est objet de £' , on a m.s = e • e Comme (L04) est vérifiée, on sait qu'il existe un élément z de l'ensemble et un épimorphisme propre (P > E s: Ê x,z de E , où > E : E' ), y x z (x,z)€ X x Z est une petite famille localement somme d'une famille petite de l'ensemble localement générateur propre que flèche s : Ë f > g (E') z' de Z x w de X , on a s'.px,z II en résulte que: - pour tout élément x de X , on a = s s.p x,z m.s'.p , = m.s = s.p F x,z' s.p x,z x,z ' ce qui assure (par définition des petites familles localement sommes): z = z' Si f, g: E1 flèche et objet " S sont deux flèches de £ > E x , où E' e i : E' Ë telles que m.f = m.g , pour toute est objet de £• (et donc q-présentable), il est une limite inductive petitement indexée et q-filtrée) un e(f): E\'f) e'(f): E' ' m.s'=s. > £ existe (puisque et une uni- tels que: - pour tout élément - d'objets G , qui sont donc des objets particu- liers de £' . On en déduit qu'il existe un unique élément f > E > E'(f) e ( f ) - e , ( f ) = f-el (resp. e(g): E'(g) (resp. e'(g): E' < r e s P- s * E) de £'/E * E'(g) ) dans £ et une flèche tels que: e ( g ) ' e , ( ê ) = 6 - e l }- On en déduit que: - e(f).e'(f) = m.s e ( f ) .e'(f) = m . f ^ = m.g.e 1 = ni.se(g).e'(g) = e(g).e'(g), (et nous notons Z e cette valeur commune). 43 Il en résulte que: - se(f).e'(f) = s e = s e(g) .e'(g). Autrement dit, pour toute flèche e,: E' > E , où E' varie dans E' , on a: - f.e1 = g.e1 . En utilisant, pour l'objet E * des constructions, propriétés et notations analo- gues à celles concernant l'objet - f.m1 = g.m^ (puisque E E , on en déduit: est une limite inductive), - f.Sj = f.rr^.s' = g.m .s' = g.s1 . Mais s^^ est un épimorphisme (propre), donc Comme s = m.s' , il en résulte que épimorphisme propre). Donc £'/E > £• > E . E On peut donc affirmer que £' m f = g et m est un monomorphisme. est un isomorphisme (puisque s est un est aussi limite inductive canonique du foncteur est dense dans £ , i. e. que la condition (DM3)(iii) est également vérifiée. Fin de la preuve. La preuve précédente est largement inspirée de celle de la proposition 15 du Chapitre II, §5 . Cependant, elle nécessite quelque précaution supplémentaire pour la mise en oeuvre de l'ensemble localement générateur propre considéré. Des deux propositions 23 et 24 précédentes, on déduit immédiatement que: Théorème 8. Les catégories (q, ID)-modelabiés sont exactement les catégories localisables. q- Bien sûr, ce théorème (ou la seule proposition 24) permet d'affirmer que les catégories q-localisables possèdent toutes les limites projectives petitement et connectivement indexées, en même temps qu'elles possèdent toutes les petites familles localement limites inductives petitement indexées. Cependant, sans calculs locale" auxiliaires supplémentaires (i. e. sans procéder à une "completion - par petites familles localement limites inductives q-indexées - de l°ensemble localement générateur propre), on ne peut établir directement l'existence de ces limites projectives ou de ces petites familles localement limites inductives: ainsi, on peut relire la preuve de la proposition 24 VG de comme une preu- l'existence de ces limites ou limites locales (et non comme une preuve de l'équivalence de deux classes de catégories). 44 6. Catégories (q, ]D)-esquissables et catégories q-localisables. Des théorèmes 7 et 8 on déduit immédiatement : Théorème 9 . Les catégories (q,ïï))-esquissablessont exactement les catégories q-localisables. C'était, évidemment, le but essentiel de ce Chapitre III que d'établir ce résultat (également établi en ( C M . C F . ) , mais dans un cadre un peu plus restrictif). On pourra comparer ce résultat ("esquissabilité des catégories localisables de Diers") à celui établi en (C.A.L.O.) ("les catégories localisables sont des catégories de foncteurs localement continus"): nous établissons que les catégories localisables sont des catégories de foncteurs continus et co-continus, i. e. respectant la géométrie d'une petite catégorie (ou d'un graphe multiplicatif), alors que les foncteurs localement continus n'en respectent pas la géométrie (mais seulement le "calcul" ensembliste sur certains de ses Hom ). Le point de vue dual de ces remarques syntaxiques vaut pour les catégories q-projectivement modelables ou (q,ïï))-modelabiés:on peut considérer que les axiomes qui les définissent sont des axiomes géométriques (concernant essentiellement la puissance et la nature de la filtrabilité de certaines catégories associées), alors que les axiomes définissant tant les catégories localement q-présentables que les catégories q-localisables apparaissent plus comme des conditions de calcul de certaines limites (i. e. de certains objets). C'est là, à notre avis, tout l'intérêt des catégories modelables (outre l'avantage technique, qu'elles présentent, de hiérarchiser les preuves que nous avons établies): cela sera encore plus manifeste dans la situation plus générale étudiée au Chapitre IV. CHAPITRE IV: CATEGORIES ESQUISSABLES, CATEGORIES MODELABLES ET CATEGORIES MODELISABLES. Dans t o u t c e C h a p i t r e I V , on d é s i g n e p a r 1. C a t é g o r i e s 0 un o r d i n a l inaccessible. 0-esquissables. On d i t q u ' u n e c a t é g o r i e E est 8-(mixtement)-esquissable s i , et seulement si : (ME) il existe une esquisse (mixte) 9-petite //£// telle que les catégories £ et Ens — soient équivalentes. Par exemple, la catégorie des anneaux unitaires de caractéristique différente de 0 et 1 est 0-esquissable (si l'on désigne par 0 le premier ordinal inaccessible): il est très facile, en effet, de construire explicitement une esquisse mixte 0 -petite pour ce type de structures. Plus généralement (et plus er systématiquement), on sait que les catégories de modèles de théories du 1 ordre classiques sont 0 -esquissables (voir (L.C.R.F.)); ce résultat fournit autant d' exemples qu'il est souhaitable! Contrairement aux cas des catégories projectivement esquissables (Chap. II) et des catégories (q,D)-esquissables (Chap. III) on ne peut affirmer, a priori, qu'une catégorie,dont on sait seulement qu'elle est 0-esquissable, possède les limites projectives indexées par un type particulier de catégories petites (non isomorphes à £ ! ): on pourra cependant consulter (F.O.S.A.) et (CM.CF.) sur cette question. Par contre, nous avons: Proposition 25 . ££ £ est une catégorie 0-esquissable, alors elle possède les petits diagrammes localement limites inductives petitement indexées. Preuve. Il suffit, évidemment, d'établir que, si tite, alors Ens — ' //£// est une esquisse 9-pe- possède tous les petits diagrammes localement limites in- ductives petitement indexées. Or, on sait que Ens— possède toutes les limites 46 inductives petitement indexées (il suffit de les y calculer point par point). IIS II De plus, on sait que le foncteur injection canonique j: Ens — S > Ens— admet les petits diagrammmes localement libres: la conclusion en résulte. Fin de la preuve. 2. Catégories 8-modelables. On dit qu'une catégorie £ un ordinal régulier 3 < 0 est 8-modelable si, et seulement si, il existe tel que: (MM1) E est une catégorie localement petite, (MM2) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et g-fil- trées, (MM3) £ contient une sous-catégorie £' telle que: (i) £° est 9-petite, (ii) £ r est une sous-catégorie pleine de £ , (iii) £ ç est une sous-catégorie dense dans £ , (iv) tout objet de £° (v) E' est un objet possède les diagrammes tives (3-indexées, £0 > £ |3-présentable de £ , 0-petits localement limites induc- le foncteur inclusion canonique commute avec ces petits diagrammes localement limites et génère les conoyaux contractiles. Nous montrons au § 4 catégories que les catégories 0-modelables sont exactement les 0-esquissables: ceci fournit autant d'exemples qu'il est souhaitable, compte tenu des remarques du §1 précédent (mais il est, évidemment, intéressant er de vérifier directement qu'une catégorie de modèles d'une théorie du 1 ordre par exemple - est 0-esquissable, sans utiliser une esquisse du type de struc- tures considéré mais en prenant pour £' les objets sont les modèles la sous-catégorie pleine de £ dont g-présentés, pour un certain ordinal régulier qu°il faut, dans chaque cas, correctement déterminer). g < 0 47 Dans le même ordre d'idée, on notera que la définition d'une catégorie 0-mo- delable est intrinsèque à cette catégorie, au contraire de celle de catégorie 0-esquissable. On comparera facilement, mais utilement, la définition précédente avec celles de catégories q-projectivement modelables et de catégories (q, ]D)-modela- bles des Chap. II, §2 et Chap. III, §2. Etablissons que: Proposition 26 . S£ £ régulier et £' est une catégorie 0-modelable, si g < 0 est un ordinal est une sous-catégorie de £ ,vérifiant les conditions (MM1), (MM2) e£ (MM3)(i) à (MM3)(v), et si EL désigne la sous-catégorie pleine de E "P —— — ayant pour objets les objets g-présentables de £ , alors le foncteur inclusion canonique £• > E est une équivalence. Preuve. Si E est un objet quelconque de £ , la condition (v) assure que la ca- tégorie £'/E est rent que £'/E est petite. La condition (iii) assure alors que le cône inductif (s e = e : Eè = E ' ment indexée et g-filtrante; de même, les conditions (MM1) et (MM3)(i) assu- > E \ e : E° > E)ÇE'/E e S t U n e l i m i t e inductive petiteg-filtrée dans £ . En conséquence, si, de plus, E est un objet g-présentable de £ , il existe un objet et e: E' les que > E e.e' = Id de £ (auquel cas E' de £' e: E' > E et deux flèches est un objet de £'/E ) tel- . On en déduit, facilement, que e: E' > E dans £ , du couple de flèches de £' (puisque, en vertu de (ii), £' IdE, , e'.e : E' e': E — > E' est un conoyau, est pleine) > E° . Puisque, d'après (v), le foncteur inclusion £' génère les conoyaux contractiles,il en résulte que E >£ est isomorphe à un objet de £' . Ceci permet de conclure. Fin de la preuve. Le lecteur remarquera certainement que cette preuve est presque recopiée mot pour mot sur celles des propositions 9 du Chap. II, §2 et 18 du Chap. III, §2 . Contrairement h ce que l'on a pu établir aux propositions 10 du Chap. II, §2 et 19 du Chap. III, §2 , on ne peut affirmer ici qu'une catégorie 0-modelable possède les limites projectives indexées par un type particulier de catégories petites (non isomorphes à 1 ); cette "impossibilité a priori" est à rapprocher de la remarque faite au §1 , concernant les catégories ne peut affirmer a priori qu'une catégorie 0-esquissables. De même, on 0-esquissable possède les petits dia- grammes localement limites inductives petitement indexées: le prouver revient, en 48 fait, à établir que ces catégories sont 0-esquissables (ce que nous ferons au §4): des remarques analogues (cette fois) ont été faites aux Chap. II, §2 et III, §2 . 3. Catégories 0-modélisables. On dit qu'une catégorie un ordinal régulier g < 0 £ est 0-modélisable si, et seulement si, il existe tel que: (MSI) £ est localement petite, (MS2) £ possède toutes les limites inductives petitement indexées et g-fil- trées, (MS3) £ possède les diagrammes 0-petits, g-présentés, localement limites induc- tives (MS4) £ p-indexées et (3-présentées, possède un ensemble, pleinement 0-petit, localement générateur loca- lement propre, formé d'objets g-présentables de £ . On comparera facilement, mais fructueuseument, la définition (originale) de catégorie 0-modélisable à celles de catégorie localement q-présentable (Chap. II, §3) et de catégorie q-localisable (Chap. III, §3) : c'est justement pour permettre cette comparaison facile que nous avons affaibli les définitions initiales de Gabriel-Ulmer (voir (L.P.L.G.)) et de Diers (voir (C.A.L.O.)), tout en conservant un énoncé "à la Gabriel-Ulmer" (ce qui n'est pas tout à fait le cas de celui de la définition de catégorie 0-modelable du §2 , ou de celle, équivalente, donnée initialement en (CM.CE.)). 4. Catégories 0-esquissables et catégories 0-modelables. Montrons que: Proposition 27 . Les catégories 0-esquissables sont des catégories Preuve. Il suffit d'établir que,si gorie de réalisations Ens — est //£// est une esquisse 0-modelable. 0-modelables. 0-petite, la caté- 49 Le graphe multiplicatif localement £ S Ens— est, étant petit, la catégorie de foncteurs petite et donc aussi sa sous-catégorie pleine Ens — . La con- dition (MM1) est donc vérifiée. Supposons que - i //S// = (S, IP , n ) et notons, alors: la borne supérieure des cardinaux distingués (i. e. appartenant à IP ) de - q l'ordinal régulier - s le cardinal de FI S , - i° le cardinal de IP , - j la borne supérieure des cardinaux j ° le cardinal de - g l'ordinal régulier Puisque 0 des bases £ des cônes projectifs //£// , w. - d'indice distingués (i. e. appartenant à - FI £ i+1 , FI J H ) de des bases J des cônes inductifs //£// , H , w , .. . .,N n . sup(q,s,i',],j')+l est inaccessible, il est clair que l'ordinal régulier ment inférieur à 0 . On sait que la catégorie de foncteurs S Ens— p est stricte- possède toutes les limites inductives petitement indexées: il suffit de les y calculer point par point. De plus, les limites inductives petitement indexées et (3-filtrées commutant, dans Ens , tant aux limites inductives(petitement indexées) qu'aux limites projectives q-indexées (puisque, par construction, q < g ) , on en déduit que le foncteur inclusion ca//S // S nonique Ens — > Ens— crée les limites inductives petitement indexées et g-filtrées (qui se calculent donc aussi point par point dans Ens — ' ' ) . La condi- tion (MM2) est donc également vérifiée. Notons, maintenant, (Ens'-'') objets sont les réalisations est inaccessible, p < 0 la sous-catégorie pleine de F': //£// > Ens telles que Le toncteur (MM3)(i) et F' < g . Comme 0 qui est (Ens' - ') P 0-petite. Les (MM3)(ii) sont donc vérifiées. de Yoneda Y*: £ ° P — — > Ens— comme £ < g , le foncteur Y'(S): £ un foncteur dont les et £ < 0 , il est facile de constater que est équivalente à une de ses sous-catégories pleines £' conditions Ens-'' est évidemment dense. De plus, > Ens est, pour tout objet g-petit. Il en résulte, vu la proposition que £° est également dense dans vérifiée. S de S , 6 du Chap. I , § 10 , Ens'-''. La condition (MM3)(iii) est donc 50 Supposons que F': //£// F = est une limite inductive petitement indexée et lim > F > Ens est un objet de (Ens' — ' ' ) g et que g-filtrée dans J JÇJ Ens - — . Nous avons, successivement: Hom(F', U n i F a ) = Ss Hom(F'S,( lirn^ Fj)(S)) Ss Hom(F'S, lin^ (F J (S)) ) , (les limites induc- t i v e s petitement indexées et g - f i l t r é e s se calculant point par point dans Er Ens — ) /s ( lini FJ(S) ) J* lim S de F'(S) F ' (S ) (F (S) ) S , on a (puisque, pour tout objet F'(S) < g petitementindexées et et les limites inductives g-filtrées commutent dans avec les limites projectives Ens g-petites) F ' (S ) liïïi ( J* F (S) ) (puisque, les limites induc- tives petitement indexées et Ens j3-filtrées commutent dans avec les limites projectives étant g-petites et, £ (3-petite, la catégorie subdivision qui lui est associée l'est aussi) = i H k ( Sa b J > Hom(F'S,FS) ) lim. Hom(F',F ) . J ~T^ On en déduit donc que tout objet de (Ens IIS H Ens — — ) est un objet A (3-présentable de * . Il en est donc de même pour tout objet de sa sous-catégorie pleine et la condition (MM3)(iv) £' est bien vérifiée. Il est clair que le foncteur inclusion canonique £' > Ens — génère les conoyaux contractiles (puisqu'ils se calculent point par point dans Ens — ), 51 Supposons que et > £'/F f:£ £ est une catégorie g-petite, F est un objet de J > £°/F f admet une limite inductive en déduit que G' < g — c > E' canonique (g : F > G') ç > Ens " - " É J S > Ens- calculée point par point. On et qu'il existe une unique flèche telle que, pour tout objet De la proposition — est un foncteur. Alors, le foncteur //S // Ens Ens g: G' > F de de J , on ait g.g T = (f(J): F ' — > F ) . 6 du Chap. I, §10 , résulte que le foncteur projection cano- nique >Ens//-// G'/£' est un diagramme 0-petit, localement libre sur G', relativement au foncteur in//S // S clusion canonique Ens — > Ens— . Par conséquent, il existe au moins un S objet F' de £ ' et deux flèches g': G' > F' et g": F' > F de E n s tels que g = g".g' • Ceci signifie que la catégorie £'/F est g-filtrante. On en déduit facilement que la condition (MM3)(v) est vérifiée. Fin de la preuve. Le lecteur aura certainement remarqué que la preuve précédente est sensiblement plus délicate que celles des propositions U du Chap. II, §4 et 20 §4: ceci provient essentiellement du fait que l'ordinal régulier donné a priori (contrairement à l'ordinal régulier g du Chap. III, n'est pas q ) ou, plus précisément en- core, qu'il ne dépend pas que de la taille des seuls cônes projectifs distingués de l'esquisse //£//. Signalons également que la preuve précédente est très largement inspirée de celle fournie initialement en ( C M . C E . ) . Réciproquement, montrons que: Proposition 28 . Les catégories Preuve. Supposons que £ 0-modelables sont des catégories est une catégorie 0-esquissables. 0-modelable et notons ordinal régulier et £ • une sous-catégorie de £ g < 0 un vérifiant les conditions (MM2) et (MM3)(i) à (MM3)(v). Supposons que £ est une catégorie teur. Notons alors £' les cônes inductifs D' = (s': 6D d ° : D' > D" pour tout objet > £' est un fonc- la catégorie (évidemment petite) dont les objets sont sont les flèches D g-petite et que 6: D > E') d': E' de £ ' et dont les morphismes ^ > E " de £ ' de D . Désignons aussi par 6': D' telles que cT.s' = s" > E' le foncteur 52 ôf(D') = E' . De (MM3)(i), on déduit que £' < 0 défini par il résulte facilement que > £' > £ ) est 6' un diagramme localement limite inductive, dit canonique, du foncteur 6: £ —> £' (resp. 6': D' > E' et, de (MM3)(v), (resp. £' > £' > £ ). 6 Dans toute la suite de cette preuve, on choisit désormais une seule catégorie £ £ dans chaque composante connexe du sous-groupoïde de sibles. Alors, l'ensemble V des foncteurs est, en vertu de (MM3)(i), 0-petit. Dans ces conditions, désignons par S ô: £ Cat > £' des foncteurs invertels que £ < g la sous-catégorie pleine de E Ens— dont les objets sont: - d'une part les foncteurs HOIÏL_,(E',-): £ près (MM1) ) , dès que est objet de £' , E' - d'autre part les foncteurs lim HonvXôD,-) DÇD°P que ô est élément de Clairement, puisque objets de £ V > Ens (ce qui a bien un sens, d'a- et Hom_,(ô'D'f-) , dès IJIÏL D'ÇD'°P ~ ~ V . et £' (d'après (MM3)(i)) sont est un ensemble 0-petits, la classe des 0-petit et l'on dispose d'un foncteur plein et fidèle: y. £ . ^ > £ E' identifiant lim DeD° £• HOITL^ÔD,-) P >HomE(E',-) à une sous-catégorie pleine de £ ; d'autre part, si et HomF(ô'D',-) IJITL P ~ D'ÇD'° sont deux objets de £ tels que ~ décrits précédemment, naturellement en tout objet E de E , on a (par défini- tion des petits diagrammes localement limites inductives): - (lim DÇD° HomE(6D,-) )(E) = P lim " D€D° Hon^(ÔD,E) « P " liny Hom^ô'D'.E) D'ÇD'°P " = ( lin^ Hom^'D',-) )(E) , D'ÇD'°P il en résulte donc lim DÇD° HOITL^ÔD,-) « P ~ " lirn^ HOIÏLXÔ'D',-) P D'ÇD'° " dans £ ; autre- 53 ment dit, tout objet de £ tuellement indexées par indexée par est à la fois une limite inductive 1^ ) et une limite projective 0-indexée (éven- g-indexée (éventuellement r 1 ) d un foncteur à valeurs dans la sous-catégorie pleine et tite (d'après (MM3)(i) ) £' o p ; on en déduit facilement que £ rie ©-pe- est une catégo- 0-petite. Distinguons dans £ les limites projectives et les limites inductives telles que décrites précédemment: on obtient bien ainsi une esquisse //S// qui est 0- petite. A tout objet E de £ , on associe le foncteur "évaluation en M(E): £ (s: S E " > Ens > S') | > (s£: S(E) > S'(E)). Clairement, les limites projectives et inductives distinguées de culant point par point dans la sous-catégorie pleine £ que M(E) est une réalisation de Inversement, si R: £ > Ens i du foncteur R': £' c > Ens ^ - ^ > M(E) . est une réalisation de de constater que la catégorie duale H(R')°P op se cal- de Ens— , il en résulte //£// . On définit donc ainsi un foncteur: M: £ E //S// //£// , il est facile de la catégorie d'hypermorphismes >£ > Ens est petite et g-filtrante (en vertu R de (MM3)(v), du choix des limites projectives et inductives distinguées dans //S// et justement parce que R est une réalisation). On lui associe alors une limite inductive choisie N(R) = Uni (H(R')°P > dans £ > E' c > E ) h(R')° p - (et elle existe bien, en vertu de (MM2) ). On définit ainsi un foncteur: N: Ens ^ - ^ R » > £ > N(R) . Il est facile de vérifier que, naturellement en tout objet E se, par construction, d'un isomorphisme £'/E « P me de foncteurs ci-dessous commutâtif: H(M(E)')° de E , on disporendant le diagram- 54 E'/E H(M(E)')°P « E1 En vertu de (MM3)(iii), on en déduit que, naturellement en tout objet E de £ , on a: E « N(M(E)) . De même, naturellement en tout objet R phisme £'/N(R) # H(R') N(R) est, par construction, une limite in- , puisque ductive petitement indexée et de Ens — , g-filtrée dans £ on dispose d'un isomor- et tout objet de £' est, en vertu de (MM3)(iv) , g-présentable. Il en résulte que, naturellement en tout objet S de la sous-catégorie pleine £ f de £ , on a: M(N(R))(S) = HomE(S,N(R)) « R(S) . Par construction (tout objet de foncteur à valeurs dans E' S et étant limite distinguée, ou triviale, d'un R et M(N(R)) étant des réalisations), on en déduit que, naturellement en tout objet S de £ , on a: M(N(R))(S) « R(S) . Par conséquent, naturellement en tout objet R Les catégories £ et Ens — x R de Ens — , il vient: M(N(R)) . sont donc équivalentes. Fin de la preuve. Cette démonstration reprend très largement celle de (CM.CE.). Le lecteur notera qu°elle est très analogue à celle de la proposition 21 du Chap. III, §4 , qu'elle a d'ailleurs très largement inspirée (dans un cas plus particulier). Il résulte trivialement de la proposition précédente et de la proposition 25 que: Proposition 29 . Si £ est une catégorie 0-modelable, alors elle possède tous les petits diagrammes localement limites inductives petitement indexées. 55 Preuve. Evidemment, les propositions 25 et 28 précédentes suffisent amplement à prouver l'assertion. Cependant, nous allons présenter (brièvement) "une autre" preuve plus interne ou intrinsèque à £ • Si £' £' est une petite catégorie et si F': £' > £ est un foncteur, on note la catégorie telle que: - ses objets sont les couples (E',C) où E' est un objet de £' et C est une composante connexe de la catégorie comma E'/F' , - ses morphismes sont les e°: E» ((E' ,C),e', (E",C )): (E',C) > £'• es t u n e flèche de £' sante connexe Cf > (E",C) tels que appliquant (par composition) la compo- dans la composante connexe C . On dispose donc du foncteur canonique: G': J' > £' (E',C) l > E' , et ce foncteur est, bien entendu, une co-fibration discrète. Evidemment, JJ est petite mais, en général, elle n'est pas lorsque £' g-filtrante). On ne peut donc pas calculer la limite inductive est g-filtrante (sauf (dont rien n'assure l'existence) du foncteur £' Cependant, le foncteur G1 > £' >£ . G' engendre un petit diagramme (G' : J' > l £ )noÉ:n0' indexé par une petite catégorie - non nécessairement discrète - £' , de co-fibrations discrètes qui créent les petits diagrammes localement limites inductives g-indexées (mais cette affirmation devrait être détaillée!). Il en résulte que, pour tout objet D* donc que le foncteur de £' , la catégorie J' > £' J' est petite et g-filtrante et > £ admet bien une limite inductive E K ÏÏ D' (en vertu de (MM2)). On en déduit un petit diagramme £' dans £ dans £ (E )t , indexé par et l'on établit sans peine qu'il est bien localement limite inductive du foncteur F° . (Avec les notations précédentes, on voit aisément que le diagramme est celui des catégories d'hypermorphismes (H(R't)) f- , où (J' ) ,- , (Rn,) ,-D, est le diagramme de réalisations localement libre sur le foncteur R: S S limite inductive - calculée point par point - dans Ens— des foncteurs et vérifiant, par conséquent, H(R') = J'° P .) Fin de la preuve. > Ens, M(F(I)) 56 Bien entendu, la présentation de la preuve de la proposition précédente, utilisée ici, est "très analogue" à celle de la preuve de la proposition 22 du Chap. III, § 4. Mais elle nécessite encore un peu plus de subtilité technique (que la remarque de fin de preuve éclaire). Des propositions 27 et 28 précédentes, on déduit que: Théorème 10 . Les catégories 0-esquissables sont exactement les catégories 0- modelables. 5. Catégories 0-modélisables et catégories 0-modelables. Montrons que : Proposition 30 • Les catégories 0-modelables sont des catégories Preuve. Supposons que £ 0-modelable et désignons par régulier et par E' est une sous-catégorie de E 0-modélisables. g < 0 un ordinal tels que les conditions (MM1) à (MM3) soient vérifiées. Comme (MM1) est vérifiée, (MSI) l'est. De même, comme (MM2) est vérifiée, (MS2) l'est. En vertu de (MM3)(v) et de la proposition 26 , (MS3) est également vraie. Montrons que l'ensemble pleinement 0-petit (vu (MM3)(i) ) des objets de £' est bien un ensemble localement générateur localement propre de £ . Si E est un objet de £ , la condition (MM3)(iii) assure que (s = e : E' = E' > E), ^, e e (e: E 1 canonique dans £ . Désignons par (s' e,u : E' = E' ^ „>_ „t/Tn est un cône limite inductive > E)Ç £'/E > Ê_) ((e: E' e D > E),D) Ç 0b(E'/E) x D — ^ un petit diagramme (indexé par la catégorie -non nécessairement discrète - petite D ) localement somme naturalisée de la famille — catégorie £ (E' = E' ) _ ^/-./~\ e e Ç 0bC£f/E; dans la (elle existe en vertu de la proposition 29 ). Il existe alors au moins un objet D de £ et une flèche s: E > E tels que: - pour toute flèche e: E' > E , où E' est objet de E' , on a s.s' _ = s . > E1 sont telles que f .s et g. sJ soient—connectées dans S i f ,g : E e,D £/E, ef on voit que f.s = g.s , pour tout objet e: E' > E de £' /E , par consé- 57 quent f = g , puisque s: E Si > E m: E E est une limite inductive. En d'autres termes, est un épimorphisme > E m ) B'/m : E'/E objet de £ s': Ë' et m.s': E' tégorie -> E £/E £ est un monomorphisme de £ , il définit un foncteur injectif (composition par et £-local de > E > £'/E . Si, de plus, est une flèche de £ D' est un autre tels que s: Ê > E sont deux objets d'une même composante connexe de la ca- , on obtient un foncteur > n: £'/E e \ £,/E2 > s'.s' , e,D' dont on établit facilement (parce que m est un monomorphisme et en utilisant la connexité) qu'il est inverse de £'/m . En vertu de (MM3)(iii) , on en déduit que m est un isomorphisme de £ . D'où la proposition. Fin de la preuve. On peut comparer facilement cette preuve à celle de la proposition 23 du Chap. III, §5 : elle nécessite, cependant, un peu plus de précautions (pour aboutir à un résultat "assoupli"). Réciproquement, montrons que: Proposition 31 . Les catégories Preuve. g < 0 Supposons que £ 0-modélisables sont des catégories 0-modelables. est une catégorie un ordinal régulier et par G 0-modélisable et désignons par un ensemble localement générateur localement propre vérifiant (MSI) à (MS4). Puisque (MSI) est vérifiée, (MM1) l'est. De même, puisque (MS2) est vérifiée, (MM2) l'est. Nous construisons une sous-catégorie E' = El — —g de E — par récurrence transfinie comme suit : - on note El la sous-catégorie pleine de £ en vertu de (MS4), elle est - si X < g dont G est l'ensemble des objets; 0-petite et ses objets sont g-présentables dans £ ; E,' de E est définie, contient El , est —A. — —O 0-petite, pleine et si ses objets sont g-présentables dans £ , on note EA.I la sous-catégorie pleine de E ayant pour objets, outre ceux de E' , les objets — —A. E , quand et si la sous-catégorie D varie dans £ ,d'un diagramme 0-petit ,g-présenté flocalement limite 1 inductive (qui existe en vertu de (MS3)) choisi (et choisi indexé par c'est possible) (E^) D'DÇD , pour tout foncteur ^ I — dès que > E• c > E , où I varie - . - * - 58 dans un ensemble (évidemment 0-petit) de représentants choisis des classes d' équivalence, modulo la relation d'isomorphisme , des catégories g-petites; évi- demment, E^.-i est encore et ses objets sont toujours g-présentables dans £ , en vertu de (MS3) (ou parce que limites inductives - si X < g 0-petite, pleine, elle contient g-présentées et E? g-indexées); est un ordinal limite et si OE/.X t < -v est une famille définie de sous-catégories emboitées, 0-petites, pleines et dont les objets sont sentables dans E , on pose E' = X ~ U E' X' £ > £' (MS2), un cône limite inductive admet, en vertu de (s : E' = E' e e il existe donc une unique flèche m: E > E > E ), „t . „>.- r,/Tr et (e: E' > E)Ç £ /E de £ telle que: - pour toute flèche E' 9 a e: E' > E de £ , où est objet de £' , on m.s = e • e Comme (MS4) est vérifiée, on sait qu'il existe un objet et un épimorphisme gramme (ED)DÇD s: Ê > E D de la catégorie de £ , localement propre relativement au dia- f où (P x,D : E x > V(x,D) Ç X x £ est un petit diagramme localement somme d'une famille petite de l'ensemble localement générateur localement propre (E')^^ s': E t - pour tout élément x >E tels que: de X , on a d'objets G , qui sont donc des ob- jets particuliers de £' . On en déduit qu'il existe un autre objet et une flèche £ s'.p f = s s x,D -PXfD D' de £ 59 Il en résulte que: - pour tout élément x de X , on a m.s'.p , = m.s X,D S = s.p , Xf ' P x,D ce qui assure (par définition des petits diagrammes localement sommes) que m.s': E > E et s: E > E sont dans une même composante connexe de la catégorie £/E . Si f ,g : E > E toute flèche e : E' sont deux flèches de £ > E , où E est une limite inductive petitement indexée et ble), il existe (puisque filtrée) un objet et une flèche E' telles que m.f = m.g , alors pour e(f): E'(f) e'(f): E' > E est objet de £' (et donc (resp. e(g): E'(g) > E'(f) (resp.e'(g): E' g-présentag- > E ) de £'/E > E'(g) ) dans £ tels que: - s e (f) #e '( f ) = f - e i (resp. s e (p)* e, ^6^ = 6,ei ^ • On en déduit que: - e(f).e'(f) = m.s ( . e'(f) = m.f .e = m.g.e^^ = m.s , x.e'(g) = e(g).e'(g) , (et nous notons e cette valeur commune). Il en résulte que: - se(f).e'(f) = s e = s e(g) .e'(g). Autrement dit, pour toute flèche - i • e_ = e : E' > E.. , où E' varie dans £', on a: g•e- • En utilisant, pour l'objet E des constructions, propriétés et notations analo- gues à celles concernant l'objet - f.m = g.m- (puisque Donc, f.s. et g.s., D J E . Or s, E E , on en déduit: est une limite inductive). (tous deux connectés à f.m,.s' = g.m-.s') sont connectés dans est épi £,-local (localement propre relativement au diagramme £. ) , donc f = g et Comme m.s' sont connectés dans £/E , il en résulte que s et phisme (puisque m est un monomorphisme. m est un isomor- s est un épimorphisme localement propre relativement au dia- E gramme ( n)n/:T) ^ * D o n c E'/E > E' ~ > E . E e s t au ssi limite inductive canonique du foncteur 60 On peut donc affirmer que £' est dense dans £ , i. e. que la condition (MM3)(iii) est également vérifiée. Fin de la preuve. La preuve précédente peut être facilement comparée à celles des propositions du Chap. II, §5 15 et 24 du Chap. III, §5 : elle n'en diffère pas sensiblement quant à 1°argumentât ion générale, mais nécessite,cependant, quelque précaution supplémentaire pour la mise en oeuvre de l'ensemble localement générateur localement propre considéré, ainsi que dans le contrôle de la "taille" des sous-catégories pleines que l°on construit. Des deux propositions 30 et 31 Théorème 11. Les catégories précédentes, on déduit immédiatement que: 0-modelables sont exactement les catégories 0- modélisables. Bien entendu, ce théorème (ou la seule proposition 31 ) permet d'affiremer que les catégories 0-modélisables possèdent les petits diagrammes localement li- mites inductives petitement indexées. Cependant, sans calculs auxiliaires supplémentaires (i. e. sans procéder à une "complétion locale" - par petits diagrammes localement limites inductives g-indexées - de l'ensemble localement généra- teur localement propre), on ne peut établir directement l'existence de ces limites inductives locales: ainsi, on peut relire la preuve de la proposition 31 comme une preuve de l'existence de ces limites locales (et non comme une preuve de l'équivalence de deux classes de catégories) Ajoutons, enfin, que le théorème précédent prouve l'affirmation contenue en ( C M . C F . ) , §4, 6. Catégories p. 14 . 9-esquissables et catégories Des théorèmes 10 et 11 Théorème 12 . Les catégories 0-modélisables. on déduit immédiatement: 9-esquissables sont exactement les catégories 0- mod^lisables• C'était évidemment le but, non seulement de ce Chapitre IV, mais de tout ce travail que d'établir ce résultat, i. e. de caractériser "à la Gabriel-Ulmer" les catégories (mixtement et petitement) esquissables. BIBLIOGRAPHIE. (C.A.L.O.) Y. Diers, Catégories localisables, Thèse, Paris, 1977. (CM.CE.) C. Lair, Catégories modelables et catégories esquissables, Diagrammes 6, Paris, 1981. (CM.CF.) R. Guitart et C. Lair, Calcul syntaxique des modèles et calcul des formules internes, Diagrammes 4, Paris, 1980. (F.O.S.A.) C. Lair, Foncteurs d'omission de structures algébriques, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle, XII,2 , Paris, 1971. (L.C.R.F.) R. Guitart et C. Lair, Limites et co-limites pour représenter les formules, Diagrammes 7, Paris 1982. (L.P.L.G.) F. Ulmer, Locally a-presentable and locally a-generated catégories, Lecture Notes in Math. 195, Springer, 1971. SOMMAIRE. INTRODUCTION CHAPITRE I: GENERALITES 1. Préliminaires 4 2. Petitesse 4 3. Cônes et limites „ 5 4. Diagrammes et diagrammes localement limites 6 5. Commutation, génération et création 8 6. Diagrammes localement libres 9 7. Densité et génération propre 10 8. Esquisses a-projectives 11 9. (a, D)-esquisses 12 10. Esquisses 0 - p e t i t e s 14 CHAPITRE I I : CATEGORIES PROJECTIVEMENT ESQUISSABLES, CATEGORIES PROJECTIVEMENT MODELABLES ET CATEGORIES LOCALEMENT PRESENTABLES. 16 1. C a t é g o r i e s a - p r o j e c t i v e m e n t e s q u i s s a b l e s 16 2 . C a t é g o r i e s a - p r o j e c t i v e m e n t modelables 17 3 . C a t é g o r i e s localement a - p r é s e n t a b l e s 19 4 . C a t é g o r i e s a - p r o j e c t i v e m e n t e s q u i s s a b l e s et c a t é g o r i e s a - p r o j e c t i v e m e n t modelables 20 5. C a t é g o r i e s localement a - p r é s e n t a b l e s e t c a t é g o r i e s a - p r o jectivement modelables 24 6. C a t é g o r i e s a - p r o j e c t i v e m e n t e s q u i s s a b l e s et c a t é g o r i e s localement a - p r é s e n t a b l e s 28 63 CHAPITRE I I I : CATEGORIES ( g , ÏÏ))-ESQUISSABLES, CATEGORIES ( g , ïï))-MODELABLES ET CATEGORIES g-LOCALISABLES p . 29 1. C a t é g o r i e s ( g , E > ) - e s q u i s s a b l e s 2. Catégories (g, 29 ïï>)-modelabiés 30 3 . Catégories g-localisables 33 4. Catégories (g, D ) - e s q u i s s a b l e s et catégories (g, D)-modelables 33 5. Catégories g - l o c a l i s a b l e s et catégories ( g , ©)-mode- lables 6. Catégories (g, 39 ïï))-esquissables et catégories g-locali- sables 44 CHAPITRE I V : CATEGORIES ESQUISSABLES, CATEGORIES MODELABLES ET CATEGORIES MODELISABLES 45 1. Catégories 0-esquissables 45 2 . Catégories 0-modelables 46 3. Catégories 0-modélisables 48 4. Catégories 0-esquissables et catégories 0-modelables. ... 48 5. Catégories 0-modélisables et catégories 0-modelables. ... 56 6. Catégories 0-esquissables et catégories 0-modélisables. .. 60 BIBLIOGRAPHIE 61