D IAGRAMMES L. VAN DEN B RIL Objets Kar-initiaux Diagrammes, tome 9 (1983), exp. no 2, p. V D 1-V D 32 © Université Paris 7, UER math., 1983, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Volume 9, Paris 1983« OBJETS KAR-INITIAUX L. Van den Bril On donne une version catégorique de la propriété suivantes un A-module est projectif de type fini ssi il est plat et de présentation finie, en caractérisant les modules projectifs de type fini au moyen de la notion dfobjet Kar-initial, intermédiaire entre faiblement initial et initial (Kar pour Karoubi ou idempotent) déjà utilisée par R. Borger et W. Tholen (sous la forme des foncteurs semi-adjoints). Un objet Kar-initial sera un objet faiblement initial muni d'une structure représentant le défaut d'unicité. On retrouve et on complète la caractérisation des Ensdistributeurs ayant tin adjoint à droite (Gouzou-Grunig et Paré). Ainsi, ion distributeur 1^ f — > A a un adjoint à droite ssi c'est une section dfun représentable c'est-à-dire une colimite absolue de représentables et un distributeur B — | m> A a un co-adjoint ssi c'est une extension absolue de représentables. En passant au cas additif, on montre que la catégorie des A-modules projectifs de type fini est la Cauchycompletion additive de l'anneau A , ce qui éclaire leur intervention dans la théorie de Morita classique. Enfin, on montre comment les équivalences dans la bi-catégorie des distributeurs sont engendrées par les foncteurs pleinement et co-pleinement fidèles. Introduction. Un A-module à gauche peut être défini de manière équivalente comme g 1) un foncteur additif A > Ab , VdB 2 2) Un foncteur additif Mat A "•» > Ab. On rappelle que si A est une Ab-catégorie, la catégorie des matrices de A , MatA , a pour objets les suites finies d'objets de A et comme morphismes (a^,...,a ) — — > (&!*•• •f^O les A-matrices m x n . MatA est additive, d'objet nul la suite vide. 3) Un foncteur MatA • •• « • > Ens commutant aux produits finis (si A est un anneau, MatA est la théorie algébrique des A-modules). M M A tout A-module MatA -—— > Ab , on peut donc associer la catégorie produit croisé: M oubli K(M) > MatA , correspondant à MatA — — > Ab > ENS Les objets de K(M) sont donc les suites finies d'éléments de M et les morphismes u s (ux,...,un) > y = (yj^"!^) sont les matrices R de type m x n vérifiant R x = y . Donc, a = (a.,...,a ) est une base de M ssi a est initial dans K(M). Pour caractériser de façon analogue les modules P projectifs de type fini, on utilise le critère suivants - P possède un système générateur a = (a., •. .,a ) (i. e. un objet faiblement initial de K(P) ) muni d'un choix linéaire c'est-à-dire pour tout objet y de K(P) , il existe -> y tel que pour y > z , on ait A i n x correspondant à (P —- ; P) = P > An >P (s t ) a En d'autres termes, si P est projectif de type fini, alors VdB 3 il existe un cône K P > 1 Réciproquement, pour tout y € P on définit a—r > y rapport à y . En effet, pour tout s.(y) = \ (y).i s .La linéarité résulte de celle des *^ (y) par x,y € P , on obtient I (x,y) = ( | x, | y) , puis y(x+y) = |X + i y s ^(x+y) Enfin, on vérifie que H P —,—<— > A n 7 — r — > P (Sj^) (a^ = Id- . n? Définition. Un objet a de la catégorie C est c-à-d pour tout fs x *£<,*\* y x Z—>y * > y € C , ou de manière équivalente une transformation naturelle a Kar-initial s'il existe un lA «•!••*> C(a,-): C > ENS . est initial si, de plus, une des conditions équivalentes ci- dessous est réalisée: - y a est un épimorphisme, - ^(a) = Id , - ^ est une extension, - ^ est une extension absolue (adjonction). Dualement, on définit les objets Kar-finaux • Donc P est projectif de type fini ssi K(P) possède un objet Kar-initial. VdB 4 Théorème. Les conditions ci-dessous sont équivalentes. 1. a est un objet Kar-initial de 2. Il existe 3. > ai C — ^ £ - > C = C C ' C a est faiblement initial et il existe qs B que, pour tous 4. C . a f,gs a > x , f.q = g«q • est faiblement initial et il existe que, pour tous > a tel f ,gs a e: a — > a tel > x , f .e « g.e ; e est alors idempotent• 5. Il existe un idempotent soit initial dans de C C e: a > a tel que (complétion idempotente de sont les couples (x,u) , où x € Ob C et (a,e) C : les objets u: x > x est idempotent et les C - morphismes f t (x,u) sont les C-morphismes f: x tels .que f*u = f = v.f ou encore v.f.u s f ). > y > (ytv) 6. Il existe un carré exact C ============= C ^ >y ou (a,e) > (x,i) — ^ 7. Il existe un idempotent objet x de j es a > (y,l) . > a tel que, pour tout C , il existe un unique f: a > x tel que f.e = f . 8. Il existe Js a > a x de 1. et 2. sont équivalentes, de même que 4. il existe un unique f: a tel que, pour tout objet > x tel que f. j = f . Démonstration. Il est clair que et 3. et 7. et 8. . C, VdB 5 La condition 1 implique la condition 4 puisque, si ^a: a > a La condition 3 implique la 4 puisqu'il existe e s q.s vérifie vérifie a* ss a •"*" > b et f.e = f.q.s » g«q«s = g.e. "»' > x , avec gs a f = g.e , de sorte que > x d'où f.e = g.e.e - g.e « f. L'unicité résulte de f.e » f et g.e = g ce qui implique car -> i d c , l• a f .^ a «= g.^fa = f x . La condition 4 implique la 7 car il existe fs a sff. f = g f.e = g.e . La condition 7 implique la condition 5 car dans ÏÏ puisque, pour tout fs a —> x et est unique. g tel que (a,e) est initial (x,u) objet de f .e = f , puis C , il existe g = u.f t (a,e) > (x,ir) La condition 5 implique la 6 puisque 1 exact M' exact A CiTTiT •>c La condition 6 implique la condition 1. En effet, on a Ja » et (a,l) ^•(a,e) est flèche de ÏÏ , d'où Ja* J.a A > ( a ,e) A > J sC > J*14Q . On en déduit > C , c'est-à-dire ^ s a* car J > Id c est pleinement fidèle. La condition 8 implique la condition 7. En effet, soit e: a > a 2 2 2 = e tel que e.j a e, alors e e = e car e .j = e • Pour tout x , il existe fs a ~> x tel que f.j = f et f.e = f résulte de f.e.j = f.e f . e ss f et f.j = f. Enfin, si et g.e = g , alors f,g: a > x f.j = f.e.j = f.e = f g.j = g . e . j « g.e = g , de sorte que f = g . vérifient et VdB 6 Remarques. Si js b alors et > a b C et a est aussi Kar-initial car b est faiblement initial >a a est flèche de »"> b e vérifie est Kar-initial, f.s.e = g.s.e . Donc, si C s possède un objet Kar-initial, faiblement initial équivaut à Karinitial. Deux objets Kar-initiaux (a,e) et (b,u) sont isomorphes dans C f c'est-à-dire qu'il existe un unique couple f: a — — > bj g: b > a tel que f.g.f = f , g.f.g * g p &•* s e et f.g = u $ autrement dit, f et g sont des inverses généralisés. Notation et remarque. E désignera la catégorie à un objet et deux morphismes avec 0.0 = 0 , par exemple le monoïde associé au 0 1 et 0, A-treillis > 1 . La condition 7 devient alors: - il existe un carré exact (a,e) ( C n'est pas la complétion idempotente de C ). On notera que sous cette forme, une généralisation semble possible. Proposition. Soit es a ds A —-> a Kar-initial dans > B . 3 Kar-initial dans est initial ssi A et un foncteur de: Sa > da est B . Démonstration. Si ôe: ôa > da est Kar-initial et b est objet de B , il VdB 7 existe t* a • > x de da < da et de de égalise Y a dt > da > dx et f .dts b La réciproque est évidente. Corollaire. A possède un objet Kar-initial ssi il existe un foncteur initial E > A . Démonstration. En effet, 0 est Kar-initial dans E . Proposition. A possède un objet vérifiant P.J = 1 Kar-initial ssi il existe J A———> B et b. B a un objet initial P > A Démonstration. En effet, on obtient ks b *JPb et Pk: Pb — > Pb est Kar-initial. Exemples. Dans une catégorie à un objet, e est Kar-initial ssi e est absorbant à droite. Dans une catégorie à flèches nulles, tout Os a > a est Kar- initial et Kar-final. Si A possède un objet final 1 , tout a > 1 > a est Kar-final. Remarque. Si A possède un objet Kar-final, A est arbitrairement cofil- VdB 8 trante, en ce sens que pour tout foncteur existe F \ i Id. > a* (en raison de > A FsI il > aA). "• Définitions. Soit A et C des catégories. Une A-présentation de op Si TT: X TT est une C — > ENS est un foncteur final A est un foncteur, une > C . A-présentation de A-présentation de K'(TT) (produit croisé), i. e. un foncteur final A > K'(TT) , ou,de manière équivalente, un carré exact ->i TT Yoneda car rUt -> 1 K'OTT) I X >Jr TT - Yoneda est un carré comma (en raison des propriétés des Yoneda-Structures, TT admet une A-présentation ssi TT est une A-colimite de fonc- teurs représentables - ce qui justifie la terminologie). Soit TTS Y +—'> X un distributeur. Une A-présentation de TT est un carré exact T A X où fT U.V ( IT ^ > Y u n admet donc une v •5>B A-présentation ssi il existe une extension ponctuelle > Y ). Yoneda VdB 9 Théorème. Si C est A-cofiltrante et admet une C possède un objet Kar-final . Réciproquement, si C possède un objet Kar-final, C filtrante pour toute catégorie En particulier, C A-présentation, alors A est A-co- et admet une présentation finie, possède un objet Kar-final ssi C est fini- ment cofiltrante et admet une présentation finie. C'est la version catégorique de l'équivalence: " projectif de type fini" équivaut à " plat et de présentation finie11 car un R-module P est plat ssi la catégorie produit croisé est finiassociée au foncteur MatR > Ab out)ii -> ENS ment cofiltrante et admet une présentation finie ssi il existe une suite exacte ~m > Rn -> 0 , c'est-à-dire -> P P est une colimite finie de modules libres de types finis. Démonstration. -> C un foncteur final et supposons que C Soit ds A est A-cofiltrante. On en déduit A ^> i c > 1 d'où -> 1 rï et e est Kar-final. A > 1 VdB 10 Remarques. Le théorème précédent généralise le théorème dfadjonction de Freyd assurant l*exi8tence d'un objet final à partir d'un ensemble de solutions et d'hypothèses de complétude. Ainsi: lé Si C possède une famille d'objets ( a ^ g j faiblement finale (i. e. pour tout objet x de C , il existe x > a^ et si tout diagramme < •> peut être complété en un carré ooramutatif) alors l'inclusion A > C de la souscatégorie pleine de C ayant pour objets les a^^ est un foncteur final car en particulier, si a est un ordinal régulier tel que A soit a-petite et C soit a-cofiltrante, alors C possède un objet Kar-final. 2. Un foncteur final A > C peut être interprété comme un "ensemble de solutions" au niveau des objets mais aussi au niveau des morphismes: ainsi, l'inclusion (non nécessairement pleine) (b — ^ 1 $ a^ '—^ c e8t ^ 1 f o n c t e u r final ssi, pour tout objet x de C , il existe f : x > a et, pour toute paire f ,g: x il existe des suites finies et r f s Va0 0# r ]/«"t r 2 f t + i ! b ' r r #a l 0 = Val > a , on a f « g ou encore a ,a o l ' •** ,a n s x " " > a ' 2n - l-an - I * r 2n' a n telles <* u e V a l S V*2 ' > b r ' 2n • 1 • a n " * • VdB 11 Proposition (équivalences dans DIST). Soit Js A — > B un foncteur. Les assertions suivantes sont équivalentes s I J est pleinement et copleinement fidèle , >\ J 2. j* (a,3) avec a et p des isomorphismes, 3. J est une équivalence entre A et B au niveau de la bicatégorie des distributeurs. Démonstrat ion. On sait que J • • • > \ J° (6, 1 ?) et que J est pleinement (copleinement) fidèle ssi 6 (*i) est un isomorphisme. Montrons que 1 implique 2. En effet, J° i\, t J ° = 1 et v^ j . J £ = 1 impliquent E " 1 J* . J° *t ~X « 1 et j e " 1 . V " 1 J « 1 , c'est-à-dire J" [J ( C" 1 , V " 1 ) . II est évident que 2 implique 3 . La condition 3 implique la condition 2 car, si J 1 B un foncteur pleinement et copleinemcmt fidèle F: I > A un foncteur de limite gauche aA > F et b A — » > JF . Il existe b — ? > Jx — 3 > b = 1(^ ll_> b* *—> JF * J(x* — > F) et d t o ù Jx * A x - >a tel que ^ .t « X . On en déduit b — > Jx — > Ja tel que: VdB 12 j *f .jt" . s" * j ( f .t A ).s* = JX.S* » V -q*- s * c ^ • Si u,vs b A > Ja A Jvf.u .q = et jx sont t e l s que J ^ . v * . ! . * . Si l'on pose —2—> b —ï Jx ~S >b u > Ja * Jm > Ja s Jn , on a J *f. Jm* = J f. A a . Il en résulte que m = n u.q « v.q , de sorte que u = v (q étant un épiroorphis- me). La démonstration pour les limites droites est identique. Proposition. Soit A !L_NV •i B u un carré commutât if dans CAI. Ce carré est exact dès que s et v sont pleinement et coplei- nement fidèles (ou bien si t et u sont pleinement et coplei- nement fidèles). Alors t et u ont les mêmes propriétés de continuité. Démonstration. -^Y exact exact VdB 13 Corollaire* Si r,^ U) i X NT7 V -, X " ^ •^X >B et si £ A , € X , € Y et 6 B >B sont pleinement et copleinement fidèles, alors \s> y est exact ssx est exact. Théorème. La complètion idempotente A > A est pleinement et copleinement fidèle et le 2-foncteur associé CAT — ^ — > CAT préserve et réfléchit les carrés exacts. Démonstration. En effet, pour tout (a,e) € Ob A , on a > (a,e) = Id (a,e) (a,e) -> (a,D et on applique ensuite le corollaire précédent. Considérons les distributeurs 1 — >ENS < SL A °P _ J I c'est-à-dire On a TT IC m Ç Tta , n € aa ( £ ,V[) et -> A ( - , - ) s A° ( x , r ) ÉObK'tr et fra -> a •> ( x , a ) \ de A , -> ENS x A n TTX 1 ( y , s ) € Ob K c? , m K(r,n) 4 > A s s i i l e x i s t e un objet v^s TT X v é r i f i a n t , pour t o u t TT *• 5>tfy aa a Tra x <3y Vm1s)_> ->(a,y) VdB 14 l fftl» > i = j tf , schématisée par où a € Ob A , m € ira , n € (Ja , f : a fs (m,a,n) > a € A , > (m,a,n) TT(f) m = m, cr(f ) n = n . Une présentation équivalente est donnée par la proposition qui suit. Proposition. Ona ÏÏ \C (€,1) s s i i l existes 1. a € Ob A , m € ira , n € tfa , 2. des transformations naturelles *f s TT ^:a > (-,a) et > (a,-) vérifiants >1T==:Id ( i ) TT ? > ( - > a ) ^ ( i i ) CT - Î L _ > C a .-.) - J : ( i i i ) f (a) m « V (a) n Tr ' ,> a « Idff , . Démonstration. En e f f e t , on passe d'une présentation à l'autre en posants ^ (x) r = v^(x,a)(r,n) , V (y) s = ^ (a,y)(m,s) V|(x,y)(r,s) = y (y) s . *f(x) r , a x Y&ïï? et y ( y ) s '* y • Remarque. Les associations ^ < 9 — > (^,^ et " V^ est un isomorphisme M y sont des isomorphismes n e sont pas bi Jectives n'est pas équivalent à " f et tt Proposition. Avec les notations de la proposition précédente, soit a € Ob A et m € iîa . On obtient une bijection entre les transformations naturelles *f s TT les morphismes es (a,m) > (->a) , vérifiant \m. t —> (a,«) , représentant comme objet Kar-final de K'Crr) , en posant: = Id^ ,et (a,m) VdB 15 1. e « ^ (a)(m) 5 2. Pour tout x € Ob A et r € TTX , ^(x)r s a > a est 1' unique morphisme vérifiant, dans K'TT , (x,r) ^ 3 ° 1 7 > (a,m) ~ > (a,m) = (x,r) ^ E > (a,m) . > A —2_j > 1 ^ s distributeurs. j C ssi la catégorie TT O G possède un endomor- Corollaire. Soit 1 On a TT phisme ^ (m,a,n) a ——-—> a € A >(m,a,n) (c'est-à-dire m € Tra , n € cra, , Tf(e) m = m et cr(e) n = n ) tel que: - (a,m) ê > (a,m) soit Kar-final dans K' TT , - (a,n) - > (a,n) soit Kar-initial dans K a . Définition. On dira qu'un foncteur cf s A **> ENS est Kar-représentable ssi K a possède un objet Kar-initial. Ainsi, en particulier, P est un R-module projectif de type fini ssi Mat R > Ab >ENS est Kar-représentable. Théorème (cas particulier de distributeurs adjoints). Soit cr? A > ENS un foncteur. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. tf est Kar-représentable. 2. a est une section d'un représentable, c'est-à-dire qu'il O existe 3. a - > (a,-) > a = Id^ . admet un adjoint à gauche dans la bicatégorie des distri- buteurs. 4. a est isomorphe à la restriction d'un foncteur représenta- ble de A , c'est-à-dire VdB 16 > A ENS 5. Il existe un carré exact Proj K C 1 6. a -» A r« —u^y^ A est une colimite absolue de représentables. 7. Il existe un carré exact E • > A coYoneda v ->r=(ENSA)°P . En raison de 4. , a a alors toutes les propriétés de continui- té du représentable ((a,e),-) • L'adjoint à gauche TT est, dans ces conditions, le sous-foncteur TT X = { f s x de de (T (-,a) tel que > a / e.f =: f } . Démonstration. La condition 7 implique la condition 6 car toute E-colimite est une colimite absolue. La condition 6 implique la 2 puisque si est une colimite absolue, il existe a *p s Ô - — > a* s I > A *f! i > di — — -> a -a Id . La condition 2 implique la condition 7 car si l'on a a— > e — 2 L — > a = Id , alors a est une E-colimite (aba solue) de as E > A tel que Se = pq . La condition 5 équivaut à la condition 4 • En effet, un carré est U s -> V T est exact ssi S Tc ->U° V est un isomor- phisme. La condition 5 implique la condition 3, puisque l'on a VdB 17 A l—> 1 A 4 > A des adjoints à gauche dans 1 > 1 , qui ont tous deux DIST. La condition 3 implique la 2, puisque l'on a montré que TT «H C KO entraine l'existence de a > C » Id^ • > (a,-) u La condition 2 implique la condition 1, car K o- > a^A > K tf = IcL. possède un initial, K a , et, comme a >|/ A possède un Kar-initial. La condition 1 implique la condition 5 puisque: K a —- K a exact *>A exact <* _ /i > Ka >A Il reste à montrer que l'adjoint à gauche a la forme indiquée. Soit > (a f n) Kar-initial dans K a . Il en ré- es (a,n) sulte que (a,e) > (a,e) € K' TT • Il suffit alors de mon- trer que ce dernier morphisme est Kar- final dans sulte des f s (b,f ) et, si f,gs (b,f) > (a,e) • Tr(f ) e x TT(g) e , alors , pour tout K' TT . Cela ré- (b,f ) € Ob K' TT , > (a,e) € K f TT , c'est-à-dire e f -e g . Remarque. Compte tenu des propriétés d'exactitude du 2-foncteur Ab-CAT — ^ > Ab-CAT 0ubl1 > CAT , on peut montrer que les modules projectifs de type fini sont ceux qui admettent un adjoint dans Ab-CAT. Proposition (Lemme de Yoneda pour les foncteurs Kar-représentables) < - Tout idempotent de A , es a > a , détermine un foncteur Kar-représentable contravariant .A a e > Â ( ~' (a ' e)) > ENS VdB 18 c'est-à-dire que a est le sous-foncteur de e a (x) » f f: x > a / e f = f } e est Kar-final dans K'(a,e). et (-,a) tel que es (a,e) ~> (a,e) - En raison du théorème précédent, tout foncteur Kar-représentable est isomorphe à un tel foncteur. - Pour tout foncteur TTS A o p > ENS , l'application § > n 9> G(a) e € TT a est une bijection entre a e les transformations naturelles afî > TT et les points fixes de TTa — — > Tra , c'est-à-dire les m € TT a tels que Tf(e) m ** m • La bijection réciproque m — 0 ~ > 0 telle que 9(x)f = Tt(f)m ( fs x > a vérifiant e f = f ) . En particulier, les transformations naturelles a Q > b. sont en bijection avec les f s a > b € A tels que j f e = f. - Par suite, les applications (a,e) £ > (b,j) © > ae > bj définissent une équivalence de catégories entre la complétion idempotente A et la sous-catégorie pleine de A formée des foncteurs Kar-représentables. Corollaire. Un A-module projectif à gauche de type fini phisme près, une A-matrice idempotente P X tel que E X = X . éléments de M est, à isomor- n x m , notée une application linéaire de n —> M P E , et équivaut à un système Remarque. Soit un foncteur TTS A ° P > ENS de "type fini" , c'est-à- dire que K'Orr) possède un objet faiblement final (a,n) ou (-,a) — > TT est un épimorphisme. Dans ces conditions, TT est Kar-représentable ssi TT est projec/s tif dans la catégorie En effet, si *? s C A des préfaisceaux sur A . > t s A°P > ENS est un épi- VdB 19 morphisme et 6s a -> T est quelconque, soit n € as, tel que f (a) n s e(a) e , Alors tf(e) n € tf(a) est un point fixe de cr(e) et H>(a) cr(e) n = rr(e) f (a) n = Tr(e) 0(a) e = 0(a) e . s a > <7 t e l que D'où un unique Y en déduit que ^ .f = 9 e Réciproquement, comme il existe TT car \ ^ ( a ) e = cï(e) n . On *fa •H'(a) e = *f(a) tf(e) n = 0(a) e . s (-,a) •• > (-,a) > TT est un épiroorphisme, > TT = Id TT et TT est Kar- représentable. Théorème. Soit Ss A > B un foncteur. Les conditions ci-dessous sont équivalentes. 1. S°s B > A a un adjoint à droite dans la bicatégorie des distributeurs. 2. Pour tout objet b de B , S>Jjb à-dire un couple V^ s Sa > b a un objet Kar-final, c'est, e s a > a avec vj . Se = 1 , vérifiant la propriété universelle suivantes - pour tout f s Sx »~> b , il existe un unique tel que v^. Sf = f e.v = v entraînent donc 3. Pour tout objet et b e.£ = f* (\|. Su a V^.Sv , e.u = u de u » v ). B , il existe un carré exacts -> 1 > B 4. Il existe un carré exacts 5. S: A -> A fs x a un adjoint à droite. > a et VdB 20 6. Il existe un "foncteur non unitaire" Ts B transformations naturelles in 1 telles que? - l ^ . ^ T s T(Id) = e et > T S > A et des , ^s S T > 1 ^ S . S SL * Id S . Démons trat ion. La condition 1 implique la condition 2 puisque le distributeur composé TT * 1 -—> B 1 > A a un adjoint à droi- op S te, c'est-à-dire TT est Kar-représentable ou K'(TT) = s4t b admet un objet Kar-final. Les conditions 2 et 3 sont équivalentes puisque la donnée d'un foncteur final E > S^ b équivaut à celle d'un carré exact de la forme indiquée. La condition 3 implique la 4 qui est équivalente à la 6. En effet, pour tout objet b de B , on choisit un objet Kar-fiual T b s (T b,0 b) — : che us b > (T b, V^b) dans S ^ b . Pour toute flè- — > c de B , il existe alors un unique Tus Tb — — > Te , appartenant à A , tel que ^c. S T u = u . ^ b et Si b — > d car > c — Tc.Tu = Tu. appartient à B , on a T(vu) =TvTu Y[d. STv . STu s v. V^c . STu = v.u.V\b = ST(vu).v^b I d T(vu) = Tvu et , T d T v T u = Tv Tu . Mais T(Id b ) = L b , car ^b.ST(Id b ) = £b = «£b. rb , X b T(Id b ) s T d c ^ ) lb . t b = tb , et On obtient donc un foncteur non unitaire Ts B une transformation naturelle ^ S I > A et > 1 . En conséquence, T est un foncteur B *> A tel que Tu > c ) - (Tb,tb) > (Te, ic) . T(us b On définit, ensuite, pour tout objet a de A , tas a > TSa au moyen de l|Sa. Sfca = Id ga et TSa . e a = £ a , de sorte que Ja « (a,l) — > (TSa, T S a ) . Alors, fz. est naturelle et vérifie I ^ b , Î T b = t b , Pour vérifier l'exactitude du carré £ , il suffit de montrer que VdB 21 les composés suivants sont exacts? Jtb -> JTb JTb E Ci (Tb, Tb) Tb^ (Tb, t b ) >A Cela résulte aussitSt de (Tb,l) — £ £ i. e. tb > (Tb,l) = (Tb,l) est scindé dans Tt> > (Tb, b) i — ' • \J > (Tb,l) A. La condition 4 implique la condition 1 car S° 0£ J° T J« tb et . La condition A implique la 5 car (-) conserve les carrés exacts. Enfin, la condition 5 implique la condition 4 puisque; -> B exact exact I S -> A I -> B exact exact -> A Remarque. Il résulte de 4 que S conserve toutes les limites droites et que S est un foncteur initial. Proposition. A possède un objet Kar-final ssi A ~> 1 possède un ad- joint à droite dans la bicatégorie des distributeurs. Démonstration. Cela résulte aussitôt de la condition 4 précédente. VdB 22 Remarque. En raison des critères d'obtention d'un objet Kar-final, possède un objet Kar-final ssi il existe une catégorie S^ b I telle que: 1. S^b soit I-filtrante, ce qui signifie > 1 -> 1 K B -> B 2. S ^ b -> b A | *y£> s S K pour tout admet une I-présentation, c'est-à-dire qu'il existe un carré exact: -> 1 rv exact > B Théorème (distributeurs adjoints). Soit \ -» X TTS Y un distributeur. Les conditions suivantes sont équivalentes. 1. TT admet un adjoint à droite. 2. Pour tout objet y 1 ^H—> X ï > Y de Y , le distributeur composé a un adjoint à droite, c'est-à- dire Tr(-,y)s X op > il existe un idempotent es a avec Tr(e,y) m = m - pour tout objet unique fs x ENS est Kar-représentable, ou encore -> a de X et m € TT(a,y) vérifiant la propriété universelle suivantes x > a de X et tout n 6 Tr(x,y) , il existe un tel que Tr(f) m = n et e f = fs Cela signifie également que, dans la catégorie joint de TT on as VdB 23 3. Il existe un foncteur Vs Y -> X J°k -> X 1T / ^ J ° V , > X 4. TTHfU0 V e t U° a un adjoint à d r o i t e . 5, TTAIS T° T° a un adjoint à d r o i t e . et t e l que > X est une extension absolue de représentables, 6. TTS Y c'est-à-dire qu'il existe un carré exacts >Y Démonstration. Il est évident que 1 implique 2. La condition 2 implique la condition 4. En effet, si X M > c< Y représente le joint de TT , la condition 2 signifie que, pour tout objet y de Y , U b Vy possède un objet Kar-final. Comme U est pleinement fidèle, UiUx possède un objet final. Par suite U° possède un adjoint à droite et TT/VU° V . La condition 4 implique la condition 3 car, en raison du théorème précédent, C - ^ — > X /V C * >X ~^V >X que TT M U° V /V J° R V . Il est clair que la condition 3 implique la condition 1. La condition 4 implique la 5. En effet, on as , de sorte VdB 24 U^Vy -> 1 cartésien > Y T comma C Comme U° possède un adjoint à droite, u4rVy Kar-final. Comme T est une cofibration, le carré cartésien supérieur est exact et U>lVy sorte que T ^ y T° possède un objet >T^y est final, de possède aussi un objet Kar-final. Par suite, possède un adjoint à droite. La condition 5 impliqua la 6, En effet, soit TT W S T° , où T° a un adjoint à droite. Le diagramme ci-dessous > 1 Yoneda £X représente une colimite, car le triangle inférieur est une extension ponctuelle. Or, toute E-colimite est une colimite abso- lue et, par suite, le triangle inférieur est une extension absolue. La condition 6 implique la condition 2 car on remarque que Tr(-,y) est une colimite absolue de représentables et est donc Kar-représentable. Proposition. On sait qu'un foncteur Js X -> Y , pleinement et coplei- VdB 25 nement fidèle, définit une équivalence X /X" Y dans la bica- tégorie des distributeurs. Réciproquement, si X et Y sont des catégories équivalentes dans X DIST , alors il existe > B< Y , où J et K sont pleinement et copleinement fidèles. En général, si X et Y sont équivalentes dans DIST , cette équivalence n'est pas induite par un foncteur pleinement et copleinement fidèle X > Y ou Y >X . Démonstration. Si TT s Y \ > X est une équivalence dans DIST , TT W J° V , y Y >x — ^ > X , où V est un foncteur et J est pleinement et copleinement fidèle avec J 1 J° U . Donc TT /V J° V — | V° J et, par suite, J° V V° J A / 1 , d'où JJ°VV°JJQA;JJ0 ou V V ° A / 1 . De même, 1 A/ v° J J° VA/ v° V . Finalement, on obtient V — J Y ~> x < X , où V et J sont pleinement et copleinement fidèles. Pour construire un contre-exemple, il suffit de considérer une Ab-catégorie C contenant des objets a et b tels que les monoïdes (a,a) et (b,b) et ( a @ b , a © b ) soient deux à deux non isomorphes. Soit, alors X (resp. Y ) la sous-catégorie pleine de C formée des objets a et a © b (resp. b et a © b ) et B la sous-catégorie pleine de C formée des objets a, b et a @ b . Il est immédiat que les inclusions X > B < Y sont pleinement et copleinement fidèles, mais il n'existe pas de foncteur pleinement fidèle X > Y ou Y > X . Proposition (Gouzou-Grunig). Les conditions ci-dessous sont équivalentes. 1. A est à iderapotents scindés, c'est-à-dire 2. E-cocomplète. A est Cauchy-complète, c'est-à-dire que tout distributeur VdB 26 n .g 1 > A qui a un adjoint à droite est représentable, i. e. il existe un foncteur Ks B > A tel que ir n/ (-,K(-)). s° 3. Tout foncteur S s A > B tel que B 1 > A possède un adjoint à droite dans la bicatégorie des distributeurs, possède un adjoint à droite T , i. e. S — - J T s B > A . 4. Tout foncteur pleinement et copleinement fidèle A > B est une équivalence de catégories. Démonstration. Il est évident que 2 implique 3 , 3 implique 4 et 4 implique 1. La condition 1 implique la condition 2 car, si TTS B > A a un adjoint à droite, on a montré que TT^J° B > A< est une équivalence, J \ J° A/ Ks A A . Comme J > A , de s o r t e que V V , où TT/^K V • Remarque. Si A est une Ab-catégorie (additive), alors A est une Ab-ca- tégorie (additive). Si (a,e) et (b,j) sont objets de A et > a <_ p est un biproduit dans e <> b q A , alors me < (a,e) ni —> (c,m e p -f n j q) ep est un biproduit dans (h>î) jq A . Lemme. Soit TTS B \ > A un Ab-di s tri buteur. Si B est additive et si TT est représentable dans CAT, c'est- VdB 27 à-dire s'il existe un foncteur phisme de ENS-distributeurs S Ss B fi > A TT est un foncteur additif et les et un isomor- > A(-,S(-)) ^(a^) , alors sont des isomorphis- mes de groupes, i. e. TT est représentable dans Ab-CAT. Démonstration. On remarque, en effet, que, pour tout objet a de A , A(a,S(-)) ^TT(a,-) est un foncteur additif B que ^ (a,b®c) = f (a,b) © f ( a , c ) . Proposition (Cauchy-complétude dans Si A est Cauchy-complète dans complète dans CAT. > Ab et Ab-CAT). Ab-CAT , alors A est Cauchy- Si A est une catégorie additive (Ab-catégorie à biproduits), alors A est Cauchy-complète dans Ab-CAT ssi A est Cauchycomplète dans CAT. Donc Mat A est Cauchy-complète dans CAT et Ab-CAT. Démonstration. Supposons A Cauchy-complète dans Ab-CAT. Comme J s A est pleinement et copleinement fidèle dans dans Ab-CAT , il existe un Ab-foncteur •> A CAT et, a fortiori, Ks A > A que J°/v (-,K(-)) dans Ab-DIST et, par suite, aussi dans ENS-DIST. Donc sont équivalentes Supposons A A et bicatégorie des et Mat B dans additive et Cauchy-complète dans Ab-distributeur TTS B on a encore A j > A tel que TT CAT. CAT, Soit un i tf dans la Ab-distributeurs. Comme J —-\3°i B — \ TT J° ~4 J a s A sont additives, TT J° \ > Mat B, > Mat B . Comme \J a tel A dans la bicatégorie des ENS-distributeurs. Comme A TT J° est représentable dans CAT et, en raison du lemme précé- dent, dans est Cauchy-complète dans CAT, Ab-CAT , autrement dit il existe un foncteur additif VdB 28 S s Mat B > A tel que TT J ° ^ V S et, par suite, ,de sorte que TT est représentable dans TT/^TTJ°JA/SJ Ab-CAT. Théorème (Cauchy-complétude dans Soit A une Ab-CAT - suite). Ab-catégor ie. Les conditions ci-dessous sont équivalentes. 1. A est Cauchy-complète dans 2. A est additive (à biproduits) et à idempotents scindés. 3. A CAT ou > Mat A 4. Tout Ab-CAT. est une équivalence de catégories dans Ab-CAT. Ab-foncteur dèle dans Ab-CAT Ks A > X plein et copleinement fi- est une équivalence dans Ab-CAT ou CAT . Démonstration. Il résulte immédiatement de la proposition précédente que la condition 3 implique la condition 1. La condition 1 implique la condition 4 car un foncteur K pleinement et copleinement fidèle dans K 1 K° JK dans Ab-CAT Ab-DIST . La condition 4 implique la condition 3 car est pleinement et copleinement fidèle dans dans vérifie A > Mat A Ab-CAT (mais pas CAT). Corollaire. Le Ab-foncteur dans A > Mat A est la Cauchy-complétion de A Ab-CAT. On a établi, par ailleurs, que Mat A teurs Kar-représentablesj Mat A op est équivalente aux fonc> Ab ———-—> ENS , correspondant aux A-modules (généralisés) à droite, projectifs, de type fini. Il en résulte que la Cauchy-complétion dans Ab-CAT d'un anneau A s'identifie à la catégorie des à droite projectifs et de type fini. A-modules VdB 29 Théorème (Morita). Soit A et B deux Ab-catégories. Les conditions suivantes sont équivalentes. 1. A et B sont équivalentes dans la bicatégorie 2. Mat A et Mat B 3. Il existe un A sont équivalentes dans A (ou B > Mat A ) ^ > X < ~ Mat A 6. Mat A dans B , où pleinement et copleinement fidèles dans 5. Ab-CAT . Ab-foncteur pleinement et copleinement fidèle > Mat B 4. Il existe Ab-DIST . Ab-CAT . J et K s< Ab-CAT • et Mat B sont équivalentes dans CAT . et Mat B sont équivalentes dans la bicatégorie des ENS-distributeurs. 7. Il existe un foncteur pleinement et copleinement fidèle Mat A > Mat B (ou Mat B — > Mat A ) dans CAT. Démonstration. La condition 1 implique la condition 2 car on a Mat A rJA /v B A/ Mat B Mat A ^J Mat B dans Ab-DIST et l'équivalence est représentable, puisque Mat A et Mat B sont Cauchy-completes• La condition 2 implique la 3 puisque A > Mat A est alors pleinement et copleinement fidèle dans > Mat B Ab-CAT . Il est évident que 3 implique 4 et que 4 implique 1 • La condition 2 équivaut à la condition 5 • En effet, une équivalence dans Ab-CAT est vraie car Mat équivalence dans est une équivalence dans A CAT et Mat B CAT . La réciproque sont additives, de sorte qu'une est un foncteur additif. Les conditions 5 , 6 et 7 sont équivalentes s c'est la propriété analogue non additive de l'équivalence des conditions 1, 2 et 3 et elle se démontre de la même façon. Théorème (l'existence d'objets Kar-initiaux est une propriété de nature homologique). Si A est une petite catégorie, le foncteur constant sur Z VdB 30 Z*: A » •• • des foncteurs > Ab est projectif dans la catégorie abélienne A >« > Ab (ou encore EXT(£* , TT ) = 0 , pour tout TT ) ssi chaque composante connexe de A possède un objet Kar-initial. Démonstration. Soit A = • A la 4 décomposition de connexes et, pour tout i , soit a. au moyen de 0. s a. * > IdA i . Alors Z* ~ — > tf « ; ti A. r A en ses composantes un objet Kar-initial de A. , TT détermine i - > TT a. N** S***- ta ~* C a. pour tout i , car £ e s t p r o j e c t i f dans de A , on d é f i n i t e n s u i t e Pour tout objet x M>x:Z >TTX Ab . = l - T - > ^ i - ^ l T > T r X 1 lorsque x est objet de On vérifie, alors, que 1 A, . f est naturelle et que X. *f = €. • Supposons, maintenant! que Z* est projectif. On considère le foncteur A 2 > Ab = A A *~ > CAT — > ENS — ^ > Ab , où le premier foncteur du second membre est le foncteur comma £ a > t f 9 A > A4 a -£i-£ > A lb Ç CAT et le dernier foncteur du second membre est le foncteur groupe abélien libre. Ainsi, on as TT(f)(z-u.+ . •• + z u ) « z.fu--f . . . + z fu , lorsque, pour tout i l nn 1 1 n n i = 1, • • . , n , on a z. € Z e t x. > a ••>•"• > b € A . * Comme 9 0b(A ^a) i — îu. est non vide pour tout f a , on obtient un épi- morphisme \% TT » Z^ tel que s \(a)(z1u,+ ... + z u ) = z.+ ... + z . il n n 1 n VdB 31 > TT tel que \. *f = Id . Il existe donc ^ s Z* Pour tout objet a de A , notons V(a) = { u. , } a = z,u-+ l'ensemble des morphismes figurant dans 1 1 ... + znun On remarque que V(a) n'est pas vide et que, pour toute flèche fs a (fc) > b de A s l'application > V(b) V(a) -Q- -> fus x us x > a est une application partielle surjective. > b Alors, si a est un objet arbitraire de A et us x >a appartient à V(a) , x est faiblement initial dans la composante connexe de a. En effet, soit un chemin -> b x <- -> "2 - b-33 <~4 on choisit alors l x € V(b x ) , 1 3 € V(b 3 ) , 1 5 6 V(b 5 ) « en utilisant la propriété (^*) on obtient: on raisonne de même pour un chemin et a <- Après avoir choisi dans chaque composante connexe A. un objet faiblement initial a. , on construit un nouveau foncteur i * T ïï > Ab = A > ENS > Ab , où le premier foncteur du second membre est défini au moyen de inf ~> ENS A -> A -> ENS s A. —7 ri (a,,-) En d'autres termes, s i x € A. , TT x e s t l e groupe a b é l i e n l i b r e sur l'ensemble ( a . , x ) • Ces ensembles étant non v i d e s , on o b t i e n t encore un épimorphisme X(X)(ZTU-+ et ... +z u ) = Z..+ . . . i l n n l z . 6 Z , e t par s u i t e +z ^ s Z* » Xs TT n , où u.s a. £ j i > TT t e l que , t e l que s > x € A X. ^ = Id • VdB 32 Montrons qu'en fait Soit a. ^ a . = z,u,+ ... +z u zx + ... + z n a 1 , car tout est Kar-initial dans , où u.s a. X. ^ = Id j = 1, ... , n , car "f Ai . > a. . Donc et Tr(uj)vfai = T a i > P° u r est naturelle. Il en résulte que la composition définit une loi de groupe sur {u., ... ,u }. Dans ces conditions, si u^ 2 est l'élément neutre u de ce groupe, la relation ZJU.UJ* ... + n j u n ~ z i u i + ••• ^ ^ n entraine que z = z. et , par suite, z j s ••• B z n • Comme zn+ ... + z = 1 , on a n = 1 et ^ a . = le. , où I n % i J. e. s a. —> a. . Pour tout objet x de k^ , f xs Z > TT X est donc aussi réduit à un morphisme coefficient 1 , car pour tout ts a.^ a. > x , affecté du > x Y x « iKO.^fa « t e. . Cela montre aussi que est Kar-initial dans A. • on a l'égalité -> a. es a — i i i REFERENCES. M.-F. Gouzou et R. Grunig, Distributeurs internes à une bicatégorie exacte, Séminaire J. Bénabou de Théorie des Catégories, 1974. R. Guitart et L. Van Den Bril, Calcul des satellites et présentation des bimodules à l'aide des carrés exacts, à paraître. R. Paré, exposé au Séminaire de Catégories, Oberwolfach, Juillet 1973. R. Borger et W. Tholen, Absehwâchungen das adjunktions begriffs, Preprint, Fernuniversitat, Hagen.