D IAGRAMMES C. L AIR Sesqui-monades et monades locales Diagrammes, tome 9 (1983), exp. no 1, p. L1-L32 © Université Paris 7, UER math., 1983, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Volume 9, Paris 1983 • SESQUI-MONADES ET MONADES LOCALES C. Lair Introduction• Si F: £ >£ e?t un foncteur (d'oubli) entre catégo- ries de structures algébriques, il vérifie (comme de très nombreux autres foncteurs ! ): (i) tout objet C de £ £ engendre un objet libre Bc de , i. e. tel que HomB(Bc,B) Ci Homc(C,FB) , naturel- lement en tout objet B de B • Tout foncteur F: B> ••••••> £ vérifiant (i) admet un adjoint à gauche Ff: C définit une monade de T > jB • Lfadjonction de F1 à gauche de F T s (T = F.F1 , € , p, ) sur C • A la mona- est alors associée une catégorie Alg(T ) (des algèbres de T ) et un foncteur (de comparaison) V: jB > Alg(T ) • Lorsque V est un isomorphisme, on dit que F est monadique et ceci signifie que les objets (et les morphismes) de jB sont définissables dans le seul langage de £ , i» e« sont des systèmes de flèches de £ devant vérifier un système d'équations (sur ce point de vue, désormais bien classique, on pourra consulter, par exemple, (A.O.F.S.) )• Le foncteur dfoubli de la catégorie des corps vers celle des ensembles (par exemple) ne vérifie pas (i). Cependant, il vérifie, comme de nombreux autres foncteurs F s £ > £ , la condition plus faible: L 2 (ii) tout objet C de £ engendre une famille multi-libre ^BCD^DÉD ^ ^C e s t u n e cat®Sorie discrète) d'objets —C de B vérifiant JJ_ Hom^(B ,B) CiHom (C,FB) , naturellement en tout objet Si A B est une catégorie, on note milles de de B_ . Fam(A) la catégorie des fa- A , i. e# la catégorie telle que: - ses objets sont les foncteurs fs D > A , où £ est une catégorie discrète, - ses morpbismes sont les est un foncteur et > ff (g,h): f h: f .g tels que g: D > D' > f ' est une transformation natu- relle. Clairement, A s'identifie à une sous-catégorie pleine de Fam(A). De même, au foncteur Fam(F)s Fam(B) F: £ -• > £ est associé un prolongement > Fam(£) . Il est facile de prouver que F: £ >£ vérifie (ii) si, et seulement si, Fam(F) vérifie (i), c'est-à-dire admet un adjoint à gauche jonction de sur F' , appelé multi-adjoint à gauche de F' à gauche de F • L'ad- Fam(F) définit donc une monade T Fam(£) , appelée multi-monade sur £ . On dispose, alors, d'un plongeraent et d'un foncteur canonique (de comparaison) B Lorsque «v/ V > Fam(B) ^ > Alg( T ) . est un isomorphisme, i, e, lorsque nadique, on dit que les objets de £ seul langage de £ F Fam(F) est mo- est multi-monadique et ceci signifie que (et ses morphismes) sont définissables dans le , i. e, sont des systèmes de flèches de £ devant vérifier un système d'équations et soumises à des conditions d'existence et unicité de solutions d'un autre système d' équations (en certaines inconnues ! ). Ce point de vue fécond, de la multi-monadicité, est développé en (M.A.M.C.) qu'il faut donc consulter. Le foncteur d'oubli de la catégorie des anneaux coramutatifs L 3 unitaires, de caractéristiques différentes de 0 e% 1 , vers celle des anneaux commutâtifs, unitaires, ne vérifie pas (ii). Cependant, comme tous les foncteurs d'oubli entre catégories de er modèles de théories du 1 ordre classique (voir (C.M.C.E.) et (LtCfR.F.) ) et de nombreux autres foncteurs F: £ > £ , il vérifie la condition encore plus faible (voir (CM.CF.) )s ; (iii) tout objet ii£E£ Dç (b C de £ engendre un diagramme localement cd' % > "cD^d. D — > (où D» e D, est une catégorie non nécessairement discrète appar- tenant à une classe ID ,fixée, de catégories) de B> , i. e. tel que 11¾ HomB(BCD,B) ~ Homc(C,FB) , -C ~ ~" naturellement en tout objet Si ID => {11} D-Pro-A B . A est la catégorie des ID-pro-objets A , i, e. la catégorie telle que: - ses objets sont les fpncteurs tient à fs D élément de lim Clairement, A lim tels que D appar- (f ,ô,f')s f > f • tels que d est f Hom (fD,f'D ) . s'identifie à une sous-catégorie pleine de De même, au foncteur D-Pro-F: ID-Pro-B F2 B^ > £ et seulement si, > ©-Pro-£ . D-Pro-F sur >£ vérifie (iii) si, vérifie (i), c'est-à-dire admet un adjoint à gauche T ' , appelé L'adjonction de ID-Pro-A. est associé un prolongement Il est facile de constater que F: £ T > A B , - ses morphismes sont les nade de est une classe fixée de catégories et si une catégorie, on note de B ID-pro-adjoint à gauche de F' à gauche de B-Pro-£ , appelée D-Pro-F F . définit donc une mo- ID-pro-monade sur £ . De nou- veau, on dispose d'un plongement et d'un foncteur canonique (de L 4 comparaison) B Lorsque > D-Pro-B > Alg( T ) . V* est un isomorphisme, i. e. lorsque nadique, on dit que que les objets de F e?t D-Pro-F est mo- 3D-pro-monadique et ceci signifie .B (et ses flèches) sont définissables dans le seul langage de £ , i. e* sont des systèmes de flèches de £ de- vant vérifier un système d'équations et soumises à des conditions d'existence et maximalité d'une famille de solutions d'un autre sytème d'équations (en certaines inconnues). Ce point de vue de la D-pro-monadicité est développé en (P.CM.F.) que l'on peut consulter. Formellement, le point de vue de la D-pro-monadicité englobe celui de la multi-monadicité (prendre 3D comme étant la clas- se des catégories discrètes) et celui de la monadicité (prendre 10 = C^D) s en ce sens, c'est une ré-écriture "généralisante" du point de vue de la multi-monadicité. Intuitivement, le poin^t de vue de la ID-pro-monadicité contient celui de la multi-monadicité car des conditions d'existence et unicité (de familles de solutions d'équations) sont évidemment des conditions d'existence et maximalité particulières? elles ont d'ailleurs ceci de particulier qu'elles sont (pour un logicien) "du 1 e r ordre" alors que les conditions de maximalité sont "du 2 ordre" , ou encore qu'elles s'expriment algébriquement au contraire des secondes. C'est pourquoi le point de vue de la D-pro-monadicité (comme généralisant celui de la monadicité, i. e. celui de la mesure de l'algébricité'des objets de B sur ceux de £ ) ne saurait être pleinement satisfaisant. Si 3D 3 p O ) est une classe de catégories et si une catégorie, notons ID-A la catégorie des A est D-diagrammes de A , i. e. la catégorie telle que: - ses objets sont les foncteurs tient à ID , fs D *> A tels que D appar- L 5 - ses morphismes sont les + (f,â,f'): f » S : D p x D' D o p x D' > Ens > f • tels que: est sous-f oncteur de -; > A0P x A f°P x f + pour tout objet D' ôG-#D'): D p > Ens , HomA A de D' , le foncteur > Ens admet une catégorie d'hy- permorphismes non vide, connexe (et l'on peut même imposer: dont la duale appartient à Clairement, on dispose d'un plongement A ID ) . > D-A et, si F: ]B >£ 1D-F: D-B est un foncteur, il possède un prolongement > 3D £ . En fait, est plus qu'une catégorie: c'est une 2-catégorie D-A dont les Hom sont des ordres (c'est une di-catégorie, au sens de la première partie de cç travail) et ID-F est un 2-foncteur (un di-foncteur, dans la terminologie adoptée ici). De plus, on dispose d'un pseudo-foncteur particulier (appelé ici semi-foncteur gauche) D-Pro-A D-Pro-A en une > D-A transformant toute flèche de (1-) flèche de D-A qui est maximum dans sa composante connexe, pour l'ordre de son Homs ceci explique les conditions de maximalité apparaissant dans le point de vue de la D-pro-monadicité et montre que l'on peut, maintenant, s'en débarrasser. Dans la deuxième partie de ce travail (qui paraitra dans le volume suivant de Diagrammes), nous montrerons que, si F: B^ est un foncteur vérifiant (iii), le di-foncteur D-F > £ admet un "adjoint à gauche généralisé" F' , appelé adjoint local h gauche de F . Nous établirons que, sous certaines conditions, l'adjonction généralisée de ¥• généralisée" sur à gauche de D-F définit une "monade 3D-£ , appelée monade locale sur £ , et que l'on dispose alors d'un plongementjst d'un foncteur canonique (de comparaison) B > D-B > Alg( f ) (où Alg(T ) L 6 est la catégorie des "algèbres généralisées" de la monade généralisée T associée à l'adjonction de T f Enfin, il sera prouvé que, si V D-F à gauche de D-F ). est un isomorphisroe, i. e. si est "monadique généralisé" (auquel cas on dit que F est localement monadique), ceci signifie bien que les objets de B^ (et ses flèches) sont définissables dans le seul langage de par des sytèmes de flèches de £ £ devant vérifier un système d'é- quations et soumises à des conditions d'existence de familles de solutions d'un autre système d'équations (en certaines inconnues). Bien entendu, pour mener à bien ce programme, il nous a fallu tout d'abord préciser ce que l'on entend précisément par adjonction, monade, algèbre et monadicité ... "généralisées" s c'est le but de la première partie de ce travail. Première Partie WPHMMBWMWM SESQUI-MONADES CHAPITRE I: DI-CATEGORIES, SEMI-FONCTEURS, SEMI-^TRANSFORMAXIONS, MODIFICATIONS. 1» Di^catégories. On dit que C = (£, < ) est une di-catégorie si, et seule- ment si: (DC 1) £ est une catégorie, (DC 2) < est une relation d'ordre sur l'ensemble FI £ des flèches de £ , (DC 3) pour toutes flèches x, et x. de X* < x^ , on a nécessairement C telles que domaine x., « domaine X2 et co-domaine x., = co-domaine x~ # (DC 4) pour toutes flèches x: X > X' , x': X' > X" s (où s = 1,2 ) et x": X" > X"' de £ telles que xî < xi , on a x".xî < x".xi et xJ.x < x£.x . Dans la suite, on pose Ob C « Ob £ et X' sont deux objets de et FI C * FI £ .Si X C , on pose aussi: s - C(X,X») a Horo_(X,Xt) » Hom_(X»X») , - Ç(x,x«) - (ccx,x«), < i n d u i t ) . Si U. est un univers (voir (T.H.E.N.)), on dit qu'une dicatégorie C est localement il -petite si, et seulement sis (DC 5) pour tous objets X et X' £(X,X») est élément de A toute catégorie £ Di(C) « (C, » ) . de C , l'ensemble U, . on associe la di-catégorie triviale L9 Bien entendu, une di-catégorie est une 2-catégorie particulière. 2. Semi-foncteurs. Si B et C sont deux di-catégories, on dit que F s (Ob F,F1 F): B > C est un semi-foncteur si, et seule- ment si: (SF 1) Ob F : Ob B > Ob C est une application, > (FI g, < ) est une appli- (SF 2) FI F: (FI B, < ) cation croissante, (SF 3) pour toute flèche xs X > X' (FI F)(x)s (Ob F)(X) (SF 4) pour tout objet et (FI F ) ( l O X de B , on a > (Ob F)(X') , de B , les flèches Id(0b F)(X) sont connectées dans l'ensemble ordon- né C((Ob F)(X),(Ob F)(X)) , (SF 5) pour toutes flèches x: X > X' et x': X' > X" de B , les flèches (FI F)(x').(Fl F)(x) et (FI F)(x'.x) sont connectées dans C((Ob F)(X),(Ob F)(X')). Dans la suite, pour tout objet X de B , on pose F(X) » (Ob F)(x). De même, pour toute flèche x de B , on pose F(x) « (FI F)(x) . On dit qufun semi-foncteur F: B > £ est gauche (resp. droit) si, et seulement si: (SF 6) pour tout objet X de B , on a ^(Idj^) > Ï ^ Q Q (resp. ^ 1 ¾ ) < Id F(X) ^ $ (SF 7) pour toutes flèches x: X > X' et x': X' >X de B , on a F(x'.x) > F(x').F(x) , (resp. F(x'.x) < F(x').F(x) ) . On dit qu'un semi-foncteur à la fois gauche et droit est un di-foncteur. tt L 10 A toute di-catégorie de C on associe le di-foncteur identité C , soit Id £ = (Id Qb c , Id F 1 c ) s g Si F: B > C et G: £ teurs, alors > g . > B sont deux semi-fonc>Q F.G = (Ob F . Ob G , FI F . FI G): A est un semi-foncteur, appelé composé de F par G . Il est clair que, si F et G sont gauches (resp. droits), alors F F.G est encore gauche (resp. droit). En particulier, si et G sont deux di-foncteurs, F.G est aussi un di-foncteur. Si Di Cat U. est un univers, on note (resp. Di-Cat^g , g , D i - C a t ^ ) la catégorie dont les objets sont les d di-catégories localement Di-Cat « ^ tl-petites et dont les morphismes sont les di-foncteurs (resp. les semi-foncteurs gauches, les semifoncteurs droits, les semi-foncteurs). On obtient, ainsi, un diagramme commutâtif de foncteurs plongements ,-,Di-Cat us Cat^ > Di-CatUD > Ji-Cat^g. ^ ^ ^ - > Di-Cat a Bien entendu, les di-foncteurs sont des 2-foncteurs particuliers. Les semi-foncteurs gauches (resp. droits) sont des pseudo-foncteurs gauches (resp. droits) particuliers. 3. Structure longitudinale des semi-transformations. Si F , F' : B dit que N = ( N ^ ç Q b B *•»• > C sont deux semi-foncteurs, on sF > F' : B > C est L 11 une semi-transformat ion si, et seulement sis (ST 1) pour tout objet de B , on a ïï^z F(X) X (ST 2) pour toute flèche x: X > X' > F'(X), de B , les flèches F*(x).N^ et N x ,.F(x) sont connectées dans l'ensemble ordonné Ç(F(X) f F'(X')). Dans la suite, pour tout objet X de B , on posera N(X) = N x . On dit qu'une semi-transformation N: F > F* : B > C est gauche (resp. droite)si et seulement sis (ST 3) pour toute flèche x: X > X» de | , on a F'(x).N(X) > N(X').F(x) (resp. F'(x).N(X) < N(X').F(x)). On dit qu'une semi-transformation à la fois gauche et droite est une di-transformation. A tout semi-foncteur mation identité de F F: B > g on associe la di-transfor- , soit > Id F » ( I W x € Ob g ' F = * F ' i si , v,F t . g Ng F > c et N': F' = > «' F": B > g sont deux semi-transformations, on note N' m N : F > F' : B > g la semi-tranformation, dite composée longitudinale de N N', telle que: - pour tout objet X avec de B , on a (N'raN)(X) = N'(X).N(X) . Il est clair que, si N et N' sont toutes deux gauches (resp. droites), alors N'CD N est encore gauche (resp. droite). En par- ticulier, si N sont deux di-transformations, alors N'en N et N' est aussi une di-transformation. B Si B et C sont deux di-catégories, on note (C )zz, la L 12 catégorie telle que: - ses objets sont les di-foncteurs F: B > C (resp. les semi-foncteurs gauches, les semi-foncteurs droits, les semi-foncteurs) si Z = D (resp. si Z = S , Z = S. , Z = S ) , g d - ses morphismes sont les di-transformations (resp. les semitransformations gauches, les semi-transformations droites, les semi-transformations) si Z' = D (resp. Z' = S , Z' = S , Z' = S ) . Posons D {±~\z{ Ozz' • Bien entendu, les di-transformations sont des 2-transformations naturelles particulières. De même, les semi-transformations gauches (resp. droites) sont des pseudo-transformations naturelles particulières. 4. Modifications. Si N-,N2? F — - - = > F' : B transformations, on dit que l'on note N- < N_s F N2 X de sont deux semi- est une modification de > F' : B (MO 1) pour tout objet > C N- et > C , si et seulement si: B , on a N ^ X ) < N2(X) . | Si B et C sont deux di-catégories, on note ((C ) ) 7 7 t ZZ B ( (C ~ ) z z , , < ) , où Z,Z' € {D,S ,Sd,S} . (Z,Z') et (Z-,Z') sont deux couples appartenant à l'en- la di-catégorie Si semble {D,S ,S ,S} et tels que tient un di-foncteur plongement: Z < Z1 et Z' < Z' , on ob- L 13 B C( > £ ">\z{ «g ~»zz» Si N.,N2 s F ,." > F' : B > C sont deux semi- transformations, on dit qu'elles sont quasi-connectées si, et seulement si: (QC 1) pour tout objet X de B , les flèches N2(X) sont connectées dans ^(X) et C(F(X),F'(X)). Evidemment, la relation de quasi-connection sur l'ensemble B FI ((C ~ ) ) 7 7 , est plus fine que la relation de connection pour l'ordre (des modifications). 5. Structure latérale des semi-transformations. Si G: A > B N: F -L-J*- > F's B N.G: F.G est un semi-foncteur et si > C est une semi-transformation, on note > g > F'.G : A dite composée latérale de N - pour tout objet A , on a X de Il est clair que, si N (resp. droite), alors N.G avec G , telle que: (N.G)(X) = N(G(X)). est une semi-transformation gauche est encore une semi-transformation gauche (resp. droite).A fortiori, si N.G la semi-transformation, N est une di-transformation, en est aussi une. Si Gs A latérale avec > B G définit donc un di-foncteur P ((C pour tout Z* est un semi-foncteur, la composition B ) ) s z , s ((£ ) ) S 2 , appartenant à De plus, si G A = = > ((g ) ) s z , , {D,S »S.,S} . est un semi-foncteur gauche (resp. un semi-fonc- L U teur droit, un di-foncteur) ((C ))gzf admet un di-foncteur restriction P ((g B A » s z . . ((£ ~)) s z . g ((g * F: B Mg G d )) DZ t > C : «g *»DZ. > B > £ - pour tout objet A , on a de F: B > C F la semi-transformation, avec M , telle que: (F.M)(X) = F(M(X)) . est un di-foncteur, la composition définit ion di-foncteur: A A = A = ((F ) ) z z , , <(J ) ) z z , pour tous Z >• est une semi-transformation, on note F X > « g =))DZ. est un semi-foncteur et si > F.G' : A latérale par d A dite composée latérale de Si > ((C = ) ) g z § , B > G': A F.Ms F.G A d P Si g B ) ) s z , : ((g ~)> s z f ((g > «fi » s z . g P (resp. = et Zf Par contre, si appartenant à F: B > (Cfi - ) ) z z , , {D,S >S.,S3 • > C foncteur, la composition latérale par est seulement un semiF ne définit pas néces- sairement un semi-foncteur mais ce que l'on peut appeler un "quasi-semi-foncteur" [Fâ]ss s((Iê))ss >«S*»ss • i. e. qui vérifie? (QSF 1) [F ~ I maine, A (QSF 2) [ F ""] s s (QSF 3) commute aux applications domaine et co-do- est croissante, pour tout semi-foncteur G: A > B , les semi- L 15 transformations F.Idp et IcL p sont quasi-connec- tées, (QSF 4) pour toutes semi-transformations et M': G' mations > G" : A F.(M'CDM) et M: G = > G': A > B , les semi-transforf (F.M )CD(F.M) sont quasi-con- nectées. 6. Compléments. Nous rassemblons ici quelques (brefs) compléments techniques qui nous seront utiles dans la suite. Si A < -duale . Enfin, on pose A* « (A, < o p ) sa di-catégorie A* o p « (£* ) o p = (A° P )* appelle la di-catégorie di-duale de Si A A° P = ( A , < ) sa est une di-catégorie, on note di-catégorie duale . On note et | et on 1' A • sont deux di-catégories, on note A x g = (A x jB, < x < ) et on l'appelle la di-catégorie produit de A par B (si U. est un univers et si | et B deux di-catégories localement IL-petites, A x B de , Di-Cat Us A par B dans Di-Cat0 , Di-Cat». Si sont est produit ci Di-CatU s et g ) . U, est un univers, on note Ord*, la di-catégorie lo- calement îi -petite telle que: - ses objets sont les ensembles ordonnés appartient à (E, < ) tels que E *IL , - ses morphismes sont les applications croissantes, -si f,f's (E, < ) > (E', < ) sont deux applications croissantes, on pose f < f' si, et seulement si, f(x) < f'(x) pour tout élément de x E . > B L 16 Si ^ ment est un univers et A est une di-catégorie locale- Il -petite, on note A(-,-)s A 0 P x 4 > Ord ^ le di-foncteur admettant pour foncteur sous-jacent A(-,-): A Si H: A > A' x A > Ens^ est un semi-foncteur entre di-catégories localement 1^-petites, on pose: - A'(H-,-) = 4'(-,-). (H 0P x Id A l ): à°P x à' > Ojd^ - A'(-,H-) = £'(-,-). C W A f ° P X H): £'° P x à > Ogd^. Si Fs B > g est un semi-foncteur, on dit qu'il est homogène si, et seulement si: (HO 1) pour tout objet X de B , on a F(IcL.) = I d F(vy Bien entendu, le composé de deux semi-foncteurs homogènes est encore homogène et un di-foncteur est toujours homogène. o 0 o CHAPITRE I l s QUASI-ADJONCTIONS, SEMI-ADJONCTIONS, SESQUI-ARJONCTIONS, DI-ADJONCTIONS. 1. Quasi-projecteurs. Semi-projecteurs. Si F: B un objet de > C C , si B c est une flèche de est un semi-foncteur droit, si est un objet de C , on dit que B et si Cc'Bc>ec*ep C est ecsC est u n > F(B C ) F-quasi- projecteur si, et seulement si: (QP 1) e' associe à tout objet xs C (QP 2) > F(B) de C de B telle que si B est un objet de flèche de C B tels que B de B et à toute flèche une flèche e'(B,x):Bc > B F(e'(B,x)).e < x , et si B , si x: C yi B c est une > F(B) est une flèche de F(y).ec < x , alors On dit qu'un F-quasi-projecteur > B y < e'(B,x) . (C,B ,ec,e') est un F-semi- projecteur si, et seulement si: (QP 3) si B est un objet de est une flèche de C B et si xs C > F(B) , on a F(e'(B,x)).ec - x . On dit qu'un semi-foncteur droit F admet la famille de quasiprojecteurs (resp. de semi-projecteurs) (c*BcfeC*eC^C€Ob C si# et seulement si: (QP 4) pour tout objet C de C , ( c f B c > e c e c^ e s t u n quasi-projecteur (resp. un F-semi-projecteur). F ~ Par di-dualité, on définit les quasi-co-projecteurs et les semi-co-projecteurs relatifs à un semi-foncteur gauche, ainsi que les semi-*foncteurs gauches admettant une famille de quasi-coprojecteurs (resp. de semi-co-projecteurs). L 18 2. Quasi-adjonctions. Semi-adjonctions. Sesqui-adjonctions. Di-adj onct ions. Si TA*- est un univers, si localement UL-petites, si droit, si que f F :C B et F: B > B g > g sont deux di-catégories est un semi-foncteur est un semi-foncteur gauche, on dit (F',E,M,F) est une quas i-ad j onct ion si, et seulement si: (QA 1) E: B(F'-,-) = > g(-,F-): g° P x | = > Ord^ est une semi-traasformation gauche, > B(F'-,-): g° P x § (QA 2) Ms C(-,F-) > Ogd ^ est une semi-transformation droite, (QA 3) pour tout objet B de B l'application croissante et tout objet C de M(C,B)s g(C,FB) g , > |(F'C,B) est adjointe à droite de l'application croissante E(C,B): B(F'C,B) > g(C,FB) . Dans ces conditions, prouvons que: Proposition 1. Si U* est un univers, si F? B > g un semi-foncteur droit entre di-catégories localement et si F admet une famille ( c * B c i e c # e p C çob C est "^-petites dejguasi^pco-- jecteurs, alors il lui est associée une quasi-adjonction (F',E,M,F). Preuve. Pour tout objet C toute flèche > C Si x,^: C xs C > C de C , posons de sont deux flèches de - F(e'(Bcl,ect.x1)).ec < ec,.x1 < e cf .atj , Si C F'(x],) < F ' ^ ) • est im objet de C , nous avons: - F(Ifpfc).ec < Idpptc.eg = ec.Idc , et donc Idp^ < F'(Idc) . et, pour F'(x) = e c ( B c t * e C f x ) ' C , posons x, < X2 i nous avons donc: on en conclut que F'(C) = B Q C telles que L 19 Si xs C > C» de C , on a: et X'Î C* > C" sont deux flèches - F(F'(x,).F,(x)).ec < FF«(x,).FF'(x).ec < FF»(x*).ec, .x < par conséquent F'Cx'^F^x) < F'(x'.x). Nous avons donc construit un semi-foncteur gauche "quasi-adjoint à gauche" de Pour tout objet che y: F'C F': C > B , F . C de C , tout objet > B de B , posons B de B et toute flè- E(C,B)(y) = F(y).er . On définit bien, ainsi, une application croissante E(C,B):B(F'C,B) Pour toutes flèches c: C > C de > g(C,FB) . C , b: B > B' de B es * et y: F'C > B de s B , nous avons: - E(C,B').|(F'c,b)(y) = F(b.y.F'c).ecl < Fb.Fy.FF'c.ect < < Fb.Fy.ec.c = g(c,Fb).E(C,B)(y) , par conséquent > C(-,F-): C° P x £ E: |(F'-,-) > Ord est bien une semi-transformation gauche. Pour tout objet flèche Si C de g , tout objet g , posons B de xs C > FB de x^^: C > FB sont deux flèches de B et toute M(C,B)(x) = e£(B,x) . C telles que x^ < Xy $ nous avons: - F(M(C,B)(x1)).ec = F(e^(B,Xl)).ec < Xj < Y^ , et donc M(C,B)(x1) < e ^ B ^ ) = M C C B X x j ) . Ainsi, on a bien défini une application croissante M(C,B): C(C,FB) Pour toutes flèches c: C > C B de C , on as et x: C > FB > B(F'C,B) . de C , b: B > B' de - F(B(F'c,b).M(C,B)(x)).ecf = F(b.e£(B,x).F'c).ecf < < Fb.F(e'(B,x)).FF'c.ecl < Fb.F(e£(B,x)).ec.c < Fb.x.c , il en résulte que s L 20 - B(F»c,b).M(C,B)(x) < e«,(BSFb.x.c) * M(C*,B*).g(c,Fb)(x) . Par conséquent, M: g(-,F-) = B(F'-,-)j g o p x g > C\-rA >> Ord Vu est bien une semi-transformation droite. On conclut, alors, facilement. // Par "di-dualité", on peut évidemment énoncer: Proposition 2. Si^ IL est un univers, si F* s C > B est un semi-foncteur gauche entre di-catégories localement et si F' (B*CR*mB>mfB^BeOb B admet une famille de K-petites semi-co- projecteurs, alôîrs il lui est associée une quasi-adjonction (F',E,M,F). La réciproque de la proposition 1 (ou de la proposition 2) n'est vraie que dans certains cas particuliers. Plus précisément, IX* est un univers, si si B et C calement % -petites, si F: B droit et si F': C > B s se que sont deux di-catégories lo> £ est un semi-foncteur est un semi-foncteur gauche, on dit (F'#E,M,F) est une quasi-adjonction gauche si, et seulement si* c'est une quasi-adjonction et: (QA 4) F est homogène, (QA 5) pour tout objet toute flèche C de y s F'C g , tout objet > B de B de g et B , on a E(C,B)(y) = F(y).E(C,F'C)(IdFfc) , (QA 6) pour toute flèche x: C — > C de C , on a F'(x) = M(C,F'C')(E(C',F'C')(IdFtct).x) . Dans ces conditions nous avons: Proposition 3, Si 1L est un univers, si Fs g > g est un semi-foncteur droit et homogène entre di-catégories localement li-petites, alors F admet une famille quasi-projecteurs si, et seulement si, F jonction gauohe (F',E,M,F) . (c#Bp»ec*efpceOb € de admet une quasi-ad- L 21 Preuve. Supposons que F (c>Bc*ecfeC^C€Ob C admet la famille de quasi-projecteurs. D'après la proposition 1 (dont nous reprenons les notations et constructions de la preuve), il lui est associée une quasi-adjonction C , tout objet B de B (F',E,M,F). Pour tout objet et toute flèche y: F^(C) C de > B de B , on as - E(C,B)(y) = Fy.ec = Fy.Id^ .ec = Fy.FIdg .ec » F y . E ^ F ' C X l d p ^ ) , et donc (QA 5) est vérifiée. On en déduit que les applications croissantes E(C,B) , F(-).ec s B(F'C,B) sont égales. Comme et F(-).ec te, en a donc flèche E(C,B) admet > g(C,FB) M(C,B) pour adjointe à droite admet, par définition, e£(B,-) pour adjointe à droi- M(C,B) = e'(B,-) . Il en résulte que, pour toute xs C > C de C , on a? - F'(x) = e'(F«C',ect.x) = M(C,F'C')(ect.x) = = M(C,F'Cs)(E(C',F'C')(IdFtcf).x) , et donc (QA 6) est vérifiée. Inversement, supposons que (F',E,M,F) est une quasi-adjonction gauche. Si l'on poses - pour tout objet C de g , e Q = E ^ F ' C X l d p ^ ) , - pour tout objet C de g , tout objet > FB de g , e£(B,x) = M(C,B)(x) , flèche xs C on montre facilement que F admet bien B de g et toute (C^'C^c^pcÇOb C CD pour famille de quasi-projecteurs. // Par "di-dualité", on dit que (F',E,M,F) est une quasi-adjonction droite si, et seulement si, c'est une quasi-adjonction et: (QA 7) F' est homogène, (QA 8) pour tout objet toute flèche B xs C de B , tout objet > FB de C de C , on a g et L 22 M(CfB)(x) « M(FB,B)(IdFB).F'(x) , (QA 9) pour toute flèche y: B > B» de g , on a F(y) s E(FB,B')(y.M(FB,B)(IdFB)) . On peut donc énoncer la proposition "di-duale" de la proposition 3 s Proposition 4. Si W- est un univers, si F's g > B est un semi-foncteur gauche et homogène entre di-caté^ories localement U.-petites, alors F' admet une famille ^^g'^'^^Bçob B de quasi-co-projecteurs si, et seulement si, F' admet une quasiadjonction droite (F',E,M,F) • Plus particulièrement encore, on dit que (F',E,M,F) est une semi-adjonction gauche si, et seulement si, c'est une quasi-adjonction gauche et: (QA 10) ECDM = Id c( F-) . On prouve, alors,facilement que? Proposition 5. Si^ tL est un univers, £i F: B > g est un semi-foncteur droit et homogène entre di-catégories localement W-petites, alors F admet une famille (c'Bc'ec'ePc€0b C semi-projecteurs si, et seulement si, F tion gauche de admet une semi-adjonc- (F',E,M,F) . Par "di-dualité", on dit que (F',E,M,F) est une semi-adjonc- tion droite si, et seulement si, c'est une quasi-adjonction droite et: (QA 11) MCDE = Idj^, j. Alors, il est tout aussi clair que: Proposition 6. SI U, est un univers, si F': g > g est un semi-foncteur gauche et homogène entre di-catégories localement PL-petites, alors F' admet la famille (^9C^9^$^\ç0h de B semi-co-projecteurs si, et seulement si, F' admet une semi-ad- L 23 jonction droite (F',E,M,F) . On appelle sesqui-adjonction gauche toute quasi-adjonction (F',E,M,F) telle que: (SAG 1) (Ff,E,M,F) est une semi-adjonction gauche, (SAG 2) (F',E,M,F) est une quasi-adjonction droite, (SAG 3) F est un di-foncteur et F' est homogène. De même, on appelle sesqui-adjonction droite toute quasi-adjonetion (F',E,M,F) telle que: (SAD 1) (F',E,M,F) est une semi-adjonction droite, (SAD 2) (F',E,M,F) est une quasi-adjonction gauche, (SAD 3) F' est un di-fpncteur et F est homogène. Enfin, on appelle di-adjonction toute sesqui-adjonction à la fois gauche et droites ce £ont donc des 2-adjonctions particulières. (On remarquera que les quasi-adjonctions à la fois gauches et droites - auxquelles nous omettons volontairement de donner ion nom particulier - ne sont pas, en général des di-adjonctionsi de mime, les semi-adjonctions à la fois gauches et droites - que nous omettons tout aussi volontairement de qualifier - ne sont pas,en général,des di-adjonctions.) o 0 o CHAPITRE III: SESQUI-MONADES. SESQUI-MONADICITE. 1. Sesqui-monades. Si C est une di-catégorie, on dit que I * (T» t i|i) est une sesqui-monade sur (SM 1) Ts C > C g si, et seulement si: est un semi-foncteur gauche et homogè- ne, (SM 2) e. : Idr > T :C > C est une di-transforma- > T :Ç > C est une semi-transfor- as tion, o (SM 3) p,: T mation droite, (SM 4) u œ ( e . T ) = IdT, .T = nŒKT.fe) = T.Id , ia C C s ^ (SM 5) \x DB(fJL.T) <\i CD(T.|i) , (SM 6) pour toute flèche x: C ll(C').T(£(C').x) = T(x) . > C de g , on-a Dans ces conditions, on a: Proposition 7. Si 2t est un univers, si di-catégories localement un di-foncteur, si F': C che et homogène, si B et U-petites, si Fi B > B g sont deux > g est est un semi-foncteur gau- (F',E,M,F) est une sesqui-adjonction gau- che, alors il lui est associée une sesqui-monade T = (F.F',€.,p,) sur C Preuve. Puisque F est un di-foncteur et gauche et homogène, F .F' = T : g gauche et homogène et Comme f F' est un semi-foncteur > g est un semi-foncteur (SM 1) est donc vérifiée. (F ,E,M,F) est une quasi-adjonction gauche (particulière), L 25 il lui est associée une famille ( c ' F?c ' e c' e Pc£Ob c de F " quasi-projecteurs, comme dans la preuve de la proposition 3 (dont nous reprenons les notations et constructions). Pour toute flèche x: C > C de C , nous avons donc: (1) F'(x) = M(C,F'C')(E(C',F'C')(IdFfct).x) = e'(F'C',ecf.x) . Puisque objet (F',EfM,F) est une semi-adjonction gauche, pour tout C de C , (C,F'C,ec,e') est un F-semi-projecteur. B de B , tout objet de > FB de C , nous avons donc: Pour tout objet che x: C C C et toute flè- (2) F(e'(B,x)).ec = x . Comme (F'fE,M,F) est une quasi-adjonction droite, il lui est associée (en vertu de la proposition 4) une famille (B,FB,m B ,m^) BÇOb fi de F'-quasi-co-projecteurs. Pour tout objet B de B , nous avons donc: (3) 1¾ = M(FB,B)(IdpB) = e ^ B , ^ ) . De même, en vertu de (QA 8) , pour tout objet objet C de C et toute flèche x: C B > FB de B , tout de C , nous avons: (4) e£(B,x) a M(C,B)(x) = M(FB,B)(IdFB).F'x = n y F ^ x ) . Pour tout objet C de Alors, pour toute flèche C , posons € (C) = e r : C x: C > C de > TC . C , nous avons, en appliquant (1) et (2)s - T(x).£(C) e FF'(x).ec = F(e£(F'C',ecf.x)).ec = ecf.x = £(C').x. Par conséquent, E : Idn • > T :C C s transformation et (SM 2) est vérifiée. Pour tout objet C de Alors, pour toute flèche que F > C s est une di- 2 C , posons p,(C) « FOIL,,-): T C > TC. x: C > C de C , nous avons, puis- est un di-foncteur et en appliquant (4): - |l(C').T2(x) => FGnp.^.FF'Tx = F(m£ fcf .F'Tx) = F(^ C (F'C ,Tx)). L 26 D'autre part, en appliquant (3), puis (2), et puisque F est un di-foncteur, nous obtenons: - F(F'x.mFfc).eTC * Tx.Fdrip^).^ «= Tx.F(^c(F,C,IdTC)).e^c « = Tx.Id^ = Tx . Il en résulte que F'x.m-,-, < eic(F'C',Tx) et, puisque F est f un di-foncteur, FF'x.Fmp,^ = Tx.|i(C) <|i(C ).T (x) . Ceci prouve que p,: T • • > T: C > g est une semi-trans- formation droite et donc que (SM 3) est vérifiée. Pour tout objet C de C , nous avons, en appliquant (3) et (2); - tl(C).£(TC) = F(m Ffc ).e rc = F(efJc(F'C,IdTC)).ert « Id^. De même, puisque F est un di-foncteur et en appliquant (4) et (1), on obtient * - fl(C).T(e(C)) = F(mFtc).FF'(ec) = FGï^.F'eç) = F(e'(F'C,ec)) = = F(e'(F'C,ec.Idc)) = FF'(Idc) = T(Idc) . Autrement dit, (SM 4) est vérifiée. Pour tout objet C de C , puisque F est un di-foncteur et en appliquant (4), on a: - |l(C).T(|i(C)) = Fdn-^.F'^^)) = F(e' (F'C,^(C))) . En appliquant (3) et (2), il vient aussi: - Jl(C).^(TC).e 0 = p(C).F(nufTr).e = n(C).F(e» (F'TC,Id )).e = T C T C TC T C T C = [l(C).Id s n(C). T*C Puisque F est un di-foncteur, on en déduit que F (c) V C - V T C ^ Vc- ^ et donc que H(C).[i(TC) C de Ç , on a, en ap- L 27 pliquant (1) et (4): - F'(x) = M(C,F'C')(E(C'fF'CfXldp^^.x) « = M(C,F'C')(ecf.x) = M(TC',F'C')(IdFicl).F'(ecf.x) = = niFtcf.F'(ect.x) . D'où il résulte, puisque F est un di-foncteur: - T(x) = |i(C').T(S(C').x) , c'est-à-dire que (SM 6) est vérifiée. // 2. Sesqui-algèbres. Supposons que U- est un univers, C est une di-catégorie localement M.-petite et T = (T,£,[i) est une sesqui-monade sur Ç . Si C flèche de est un objet de C , on dit que C et Xs TC (C,X) est une > C est une T-sesqui-algèbre si, et seulement sis (SA1 1) X.fe(C)= Idc , (SA1 2) X.jl(C) < X.T(X) . On pose, alors, U((C,X)) = C . Si (C*X) et c: C > C (C',Xf) sont deux T-sesqui-algèbres et si est une flèche de c = ((C,X),c,(C',X'))s (C,X) Ç , on dit que > (C',X') est un homomor- phisme (de T-sesqui-algèbres) si, et seulement si: (HM 1) c.X < X'.T(c) . On pose, alors U^c) =s c • A toute T-sesqui-algèbre identique Id^c . x = îdT . (C,X) on associe 1'homomorphisme L 28 Si > (C',Xf) et c': (C',X') es (C,X) > (C",X") sont deux homomorphismes, nous avons, puisque T est un semifoncteur gauche: - XM.T(c'.c) > X".Tc'.Tc > c'.X'.Tc > c'.c.X , par conséquent, c'.c est encore un homomorphisme, dit composé de 0 7 avec 'c • Si Cj,c2s (C,X) > ( C ' A 1 ) sont deux homomorphismes de c^ < e 2 T-sesqui-algèbres, on note c si, et seulement si, x < c2# On désigne, alors, par SAlg(T) la di-catégorie localement ty.petite dont les objets sont les T-sesqui-algèbres et dont les morphismes sont les homomorphismes de T-sesqui-algèbres. Clairement, U: SAlg(T) > C est un di-foncteur. Dans ces conditions, prouvons que: \k* est un univers, à toute sesqui-monade Proposition 8. £i T = (T,€,jx) sur une di-catégorie localement associée une sesqui-adjonction gauche % -petite g est (U',E,M,U: SAlg(T) > g). Preuve. Remarquons, tout d'abord, que si C est un objet de C , si (C'fX') est une T-sesqui-algèbre et si xs C > C est une flèche de C , on a: - (TC,(i(C)) est une T-sesqui-algèbre, - X ' . T ( X ' . T x ) > X ' . T X ' . T 2 x > X ' . | l ( C ' ) . T 2 x > (X' .Tx).fi(C) , par conséquent, £ £((C',X'),x) = XVTÎ : ( T C ^ O ) > (C'A1) est un homomorphisme. Montrons, maintenant, que (C,(TC,ii(C)),£(C)f £ ^ C € 0 b C une famille de U-semi-projecteurs. Pour tout objet C de C , toute T-sesqui-algèbre toute flèche x: C > C eSt (C',Xf) et de C , nous avons: - U(X'.Tx). 6(C) = X'.Tx. £(C) = X'. e(C').x = Id ct .x = x . De plus, si x,: (TC,^(C)) > ( C ' A 1 ) est un homomorphisme tel que x ^ t(C) » U(x x ). 6(C) < x , il vient: L 29 - X ' . T x > X ' . T ( x 1 . € : ( C ) ) > X' . T x r T ( £ (C)) > Xj.jKO.TCe (C)) > x r Par conséquent, nous avons bien construit une famille de U-semiprojecteurs. Notons (U'#E,M,U) la quasi-adjonction associée (comme dans la proposition 1) à cette famille. Comme proposition 5 s'applique et U est un di-foncteur, la (U',Ê,ÏÏ,U) est une semi-adjonction gauche. En conséquence (SAG 1) est vérifiée. Montrons, maintenant, que (U',Ê,M,U) est une quasi-adjonction droite. Pour tout objet C de C , on a: - U'(Idc) = tx(C).T(6(C).Idc) « T^ïd^T = ï d ^ , et donc (QA 7) est vérifiée. Pour toute T-sesqui-algèbre (C'A') > tout objet toute flèche de C , on a: xs C - X'.TX' > X ' . ^ C ) > C , donc V C de C et i (TC',|i(C')) > (C'A') est un homomorphisme, - tl(C').T 2 x > Tx.[i(C) , donc ÎTXTS (C,|i(C)) > (Cf,^(C)) est un homomorphisme, on en déduit que: - M(C,(C',X')(x) = e*((C',X'),x) = X'.Tx = X'.Tx , - M(U(C,X),(C'A,))(Idc).U'(x) = M(C,(C',X'))(Idc).U'(x) = = ^•((C',Xt)>Idc).U'(x) = X'.T(Idc).U'(x) = X M J ^ x ) = = ^ ( 0 - ) . 1 (fc(C').x)=P".TÏÏ , et, par conséquent, (QA 8) est vérifiée. Enfin, pour tout homomorphisme xs (C,X) > (C'A') , on a: - U(£> = x , - Ê(U(CA),(C'A , ))^M(U(C,X),(C,X))(Id c )) = = Ê(C,(C',X'))(x.M(C,(C,X))(Idc)) = ua.M(C,(C,X))(Icic)).e(C) = * U(x).U(M(C,(C,X))(Idc)).€-(C) = U(x).Idc = U(ïï) = x , et, donc, (QA 9) est vérifiée. Au total, (SAG 2) est vérifiée. On conclut facilement. // L 30 3. Sesqui-monadicité. Prouvons que: Proposition 9. Si "IL est un univers, sjL § di-catégories localement di-foncteur, si homogène, si e£ g tl-petites, si Fs B F• : C > B sont deux > g est un est un semi-foncteur gauche et (F',E,M,F) est une sesqui-adjonction gauche, si T = (F.F', 6,|i) est la sesqui-monade qui lui est associée (comme dans la proposition 7) et si (U',E,M,Us SAlg(T) > g) est la sesqui-adjonction gauche associée (comme dans la proposition 8) à cette sesqui-monade, alors il existe un unique di-foncteur, dit de comparaison, V :B > SAlgÇO tel que U.V s F et V.F' = U» . Preuve. Notons (CfF'C,ec,e£)C€()b c la famille de F-semi-pro- jecteurs associée (comme dans la proposition 3) à la semi-adjonction gauche la famille de (F',E,M,F). Notons, également, (^^1¾^¾)^^ B F'-quasi-co-projecteurs associée (comme dans la proposition 4) à la quasi-adjonction droite Pour tout objet B de (F',E,M,F) . B , en appliquant (QA 8), nous avons: - nyF'Fnig s M(FB,B)(IdFB).F'(FmB) = M(TFB,B)(FmB) = s e TFB ( B ' F m B ) ' et, puisque F est un di-foncteur et en appliquant (QA 5) et (QA 10), nous avons aussi: - F(n B .m FfFB ).e rFB = F(m B ).F(m plFB ).e rFB = = F(mB).E(TFB,F'FB)(M(TFB,F'FB)(IdTFB)) = F(mB).IdTFB « F d ^ ) . Il en résulte que m^.F'Fnu > ^ 1 ½ ^ > o u encore que F V T F m B ~ FmB-FmF'FB * Par conséquent: - V(B) = (FB,FIIL) Pour toute flèche est une b: B T-sesqui-algèbre. > B' de B , nous avons, de même: L 31 - m^.F'Fb = e£ B (B',Fb) , - F(b.m B ).e pB = Fb.tfnyepg) = Fb . Il en résulte que m^.F'Fb > b.nig , ou encore que l'on a F(mB§).T(Fb) > Fb.Fdiig) . Par conséquent: - V(b) = FTbT : (FB,FnO > (FB',FmBf ) est un homomorphisme. Clairement, on définit ainsi un di-foncteur V: B Pour tout objet B de > SAlg(T). | , on a: - UV(B) - U(FB,FmB) « FB . Pour toute flèche b: B > B' de B , on a: - UV(b) = U(FTbT) = F(b) . Par conséquent U.V » F • De même, poire tout objet C de g , on a: - VF'(C) a (FF'CFmp^) - (TC,^(C)) = U*(C) . Pour toute flèche es C > C de g , on a: - VF'(c) a F F c = Te = U'(c) . Par conséquent Si V.F' » U . // IL est un univers, si F: g teur entre deux di-catégories localement que F > g est un di-fonc- U-petites, nous dirons est sesqui-monadique (resp. e-sesqui-monadique) si, et seulement si: (SMO 1) F admet une sesqui-adjonction gauche (SMO 2) (F',E,M,F) , f si 1 = (F.F , £,[!) est la sesqui-monade associée à (F',E,M,F), le di-foncteur de comparaison Vs B > sAlg(T) une di-équivalence). o 0 o est un (di-)isomorphisme (resp. BIBLIOGRAPHIE DE LA PREMIERE PARTIE. (A.O.F.S.) F. E. J. Linton,. An Outline of Functoriar Semantic, Lecture Notes in Math. 80, Springer, 1969 (voir aussi l'introduction générale à ce volume). (CM.CE.) C. Lair, Catégories-Modelabiés et Catégories Esquissables, Diagrammes 6, Paris, 1981. (C.M.C.F) R. 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