D IAGRAMMES

C. L AIR
Diagrammes localement libres extensions de corps et théorie de Galois
Diagrammes, tome 10 (1983), exp. no 2, p. L1-L17
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1983__10__A2_0>

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Diagrammes, Vol. 10 , 1983.

A.M.S. Sub. Class.
18 A 40 , 20 J 99,
12 A 55.

DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES
EXTENSIONS DE CORPS
ET
THEORIE DE GALOIS

C

Lair

Introduction.
En (CM.CF.) nous avons introduit la notion de "diagramme
localement libre" qui généralise celle dfobjet libre et celle de
"famille localement libre" de (C.A.L.O.): si U: A

" • > B est

un foncteur entre deux catégories localement petites, on dit que
le foncteur

ôr D

> A

est un diagramme localement libre

(relativement à U ) sur l*objet

B

de

B

si, et seulement si,

on dispose, naturellement en tout objet

A

de

A , d*une bijec-

tion
HomB(B,UA) -2L->

1 ¾ HomA(6D,A)

entre ensembles (on trouvera une définition équivalente plus
"concrète" au §1).
Avec cette terminologie, tout objet

B

le foncteur canonique

pour diagramme localement li-

U/B

> A

de £

possède toujours

bres il est, en quelque sorte, maximum. Plus généralement, un
même objet

B

de

B

peut fort bien posséder deux diagrammes lo-

L 2
calement libres

6: D •»•

> A

et

ôfs D1

> A

dis-

tincts: bien qufon puisse toujours les "comparer" formellement
(dans un sens que nous ne préciserons pas ici), ils ne sont pas
nécessairement naturellement isomorphes (au sens précis du §1).
En fait, la notion générale de diagramme localement libre ne
prend d'intérêt que si l'on spécifie la forme de la catégorie

D

recherchée. Par exemple:
- si l'on impose que

D = 1 , écrire que

calement libre sur B

équivaut à écrire que

de

A

libre sur

B

ô: 1^ • •• •••» > A

est lo-

6(1) est un objet

(au sens usuel); dans ce cas, un tel dia-

gramme est évidemment unique à isomorphisme près;
- si l'on impose que
6; D

>• •

> A

que la famille

D

est petite et discrète, écrire que

est localement libre sur

B

équivaut à écrire

(6(D))r^0br) e s t localement libre sur B

(au

sens particulier de (CA.L.O.)); dans ce cas, un tel diagramme
est encore unique à isomorphisme près;
- en pratique, on impose toujours que

I) est, au moins, une ca-

f

tégorie petite ... mais ceci n implique pas, en général, son
unicité à isomorphisme près.
Dans ce texte, nous décrivons quelques exemples de diagrammes localement libres petits dont les spécifications de forme en
assurent lfunicité à isomorphisme près. Cependant, notre souci
nfest pas seulement d'ajouter de nouveaux exemples au développement d'un corps de doctrine déjà bien fourni. Il est surtout de
montrer (certes, brièvement) que, même - et, peut-être, justement dans des situations fort classiques, la notion de diagramme localement libre petit s'impose naturellement, sans aucune "acrobatie"
conceptuelle, méthodologique ou technique^ Ainsi, le lecteur
sera peut-être convaincu que la "théorie des extensions de corps
coramutatifs" (en particulier, la "théorie de Galois") est très
exactement une méthode de calcul explicite de petits diagrammes

L 3
localement libres et que c'est vraisemblablement ainsi que Galois
concevait les choses (certes, en des termes bien différents)!

1. Diagrammes localement libres et isomorphismes.
Nous supposons encore que

U: A

•« •*> ]B est un foncteur

entre deux catégories localement petites.
On établit facilement (voir (CM.C.F.)) que le foncteur
6s D •• •
de

B

> A

est un diagramme localement libre sur l'objet

si, et seulement si, on dispose d'un cône projectif

e = (e D : B
A

de

A

de base

D

bs B

-> UA

-> U6D)

D€D

et toute flèche

* il existe un objet D de
de

A

vérifiant

Ua.e

factorisation de
- si
alors

(D^,a^)
U

D

a_

et

= b

de

et une flèche

B :
a: 6D

(on dit, alors que

—

-> A

(D,a)

est une

(D ,a )

sont deux factorisations de

(A,b),

oo oo

a

sont deux objets d'une même composante connexe

oo

de la catégorie
zag
0 ^

D

tel que, pour tout objet

(A,b) ) ,

et

0

Zs

B

6/A

-> D 2 <-

"1

et il existe dans

(autrement dit, il existe dans

A

D

-> D

'2n+l

^n*"

un diagramme commutât if
> 6D

ÔZ « ÔD Q <-

Dans ces conditions, nous dirons aussi que
localement libre sur

un zig-

B

naturalisé par

6

est un diagramme

e , ou encore que

est un diagramme localement libre naturalisé sur

B

(6,e)

.

Bien entendu, les conditions précédentes constituent une autre dé-

L 4
finition - "concrète" - de la notion de diagramme localement libres c'est celle que nous utiliserons, pour plus de commodité,
dans la suite.
Supposons que

> A , e)

(6s D

(6': D 1

et

> A , e')

sont deux diagrammes localement libres naturalisés sur le même
objet

B

de

B . Nous dirons qu'ils sont isomorphes si, et seu-

lement si, il existes
- un foncteur inversible

f

- une équivalence naturelle

i Df — — >

D ,

y* &-T — >

6' s D'

> A ,

tels que s
- pour tout objet

D'

de

D' , on a

U Y D , . e p D f = e£ t .

2. Cas d'unicité, à isomorphisme près, de diagrammes localement libres.
Nous supposons toujours que

Us A

•

> B^ est un fonc-

teur entre deux catégories localement petites.
Dans le but d'unifier l'énoncé des résultats de ce §2, nous
nous permettons de dire (très pompeusement!) qu'un diagramme localement libre naturalisé

(6s D

> A , e) sur un objet

B^ est un objet localement libre naturalisé sur
objet libre naturalisé sur
si,

D = l

#

B

(i. e.

B

de

un

B ... au sens usuel) si, et seulement

Dans ces conditions, il est parfaitement trivial

de constater que?
Proposition 1 (premier cas d'unicité). Deux objets localement libres naturalisés sur un même objet sont isomorphes.
De même, nous dirons qu'un diagramme localement libre naturalisé

(6? D

> A , e) sur un objet

localement libre naturalisée sur

B

B

de

£

est une famille

si, et seulement si,

D

une catégorie petite et discrète. On établit facilement (voir
(C.A.L.O.) ) que?

est

L 5
Proposition 2 (deuxième cas d'unicité). Deux familles localement
libres naturalisées sur un même objet sont isomorphes»
Corollaire. Si

B

admet une famille localement libre naturalisée

de cardinal strictement supérieur à

1 , il ne peut admettre

d'objet (localement) libre (naturalisé).
Disons, maintenant, qu'un diagramme localement libre naturalisé

(6 s D

> A , e) sur un objet

B

groupe localement libre naturalisé sur B
D

est un groupe petit et

identifie

D

6

de £

est un sous-

si, et seulement si,

est injectif (autrement dit, si 6

à un sous-groupe de A )• Dans ces conditions,

prouvons que;
Proposition 3 (troisième cas d'unicité). Deux sous-groupes localement libres naturalisés sur un même objet sont isomorphes.
Preuve. Supposons que

(6s D

> A , e)

(resp. (6f s Df — > A,e'))

est un sous-groupe localement libre naturalisé sur
tons

D

(resp. D' ) l'unique objet de

identifions à un sous-groupe de

D

B . Nous no-

(resp. D') qua nous

A , en même temps que

6

(resp.

6' ) est assimilée à l'injection canonique.
Par hypothèse, il existe une factorisation
(D',VA) ) de

(D,YD,) (resp.

(D'.e*,) (resp. (D,eD) ) . Nous avons donc s

(1) UY Df .e D = e£f

(resp. UY£.e£f = e D ) .

On en déduit que*
-U(Yl),.Y{).eJt = e», -11(1^,).6^, •
(resp. U(Y£.YD,).eD = e D = U(Idj)).eD ) .
Par connexité, puisque toutes les flèches de

D*

(resp, D )

sont inversibles, on en conclut qu*il existe une flèche
(resp, d s D —*» D ) de D'

(2) Y D ..YJ - ^ . 1 ¾ . = %

d^: D f — > D'

(resp. D ) telle que»

(resp. YJ.YD. - V I d D ' ^

h

L6
Supposons, maintenant, que

d': Df

est une flèche de £• (resp. de

•* > D'

(resp. d: D

> D)

D) .

Nous avons, en vertu de (1) et puisque

e' (resp.

e ) est natu-

relle ;
- U ( d ' . y D t ) . e D = Ud'.UY Df .e D = Ud'.e£, = e£. = U^.e^

,

(resp. U(d.Y£).e£t = Ud.UY£.e£t = Ud.eD = e D = U Y £.e D

).

Par connexité et puisque toutes les flèches de £
sont inversibles, il existe donc une flèche
(resp.

P'(d)s D'

p(d')s D —

(resp. d.Y£ = Yry P f (<I> > •

De plus, s i d-: D
^> D (resp. d': D'
autre flèche de D (resp. £• ) vérifiant:
d,

> D

> D' ) telle que:

(3) d'.Yl)t = Y D f . r ( d f )

-

(resp. JD' )

-Y D t = Yjjt-dj

(resp.

d.Y£ 3 Y^d[

)

-> D' )

est une

,

nous avons, compte tenu de (3) :
-

Y^.d*.YD. = Y ^ Y D . . d 1 = Y ^ Y D . . P ( d * )

(resp.

,

YD.-d.YÔ * Y D . . Y ^ d i = Yn^Yp. P ' ( d ) ) •

En utilisant ( 2 ) , i l vient donc:

- d0.dx = d 0 .f(d t ) (resp. d^.dj * d£.P«(d) ) .
D'où il résulte (puisque tout élément d*un groupe est simplifia-

ble ! ) dl = r(d') (resp. dj « P'(d) ) .
En conséquence:
(4) il existe une et une seule flèche
vérifiant

d».YD, = Y D ..P(d»)

P(d')

(resp.

(resp.

d.y^

s

r*(d) )

Y^'P *(d) ).

En utilisant, de nouveau, (2) nous obtenons:
-

d

ô ' V ' YD..Y^.YD. - YD..dQ

(resp. d^yj = Yj.YD..Yj - Yj.dJ).

De (4) résulte donc, en particulier:

(5)

P(d(') = d0

(resp.

P«(d0)»d(J).

L 7
Clairement, de (4) on déduit immédiatement que:
- l'application d'i
> T ( d f ) (resp. d I > T f ( d ) ) définit un foncteur (i. e. un homomorphisme de groupes) f s D f
>D
f
est
(resp.
P* s D
> D' ) dont P
(resp. T )
l'inverse,
" Ynis D
> D ' (resp. Y A 8 D*
^ D ) définit une transformation naturelle Y : 6 - P — - — > ** (resp. y f : 6 f . P '
> 6 ).
Enfin, de (2) et (5) et puisque

P

est un homomorphisme*, il

résulte que1?
- Y n - C Y ^ " 1 ) = (Yn.-Y^.d^1 = Idj,, ,
" ^ . d ^ 1 ) ^ , =YD.YD,.d0-1 = IdD .
En conséquence, Y

est bien une équivalence naturelle.

En utilisant (1), on conclut facilement.

©

Corollaire. Si B admet un sous-groupe localement libre naturalisé non trivial, il ne peut admettre d'objet (localement) libre (naturalisé).
Avant d'énoncer un dernier cas d'unicité, procédons à quelques mises au point terminologiques.
Supposons que IL est une catégorie associée à un ensemble ordonné

(E, < ) dont toute partie non vide admet un sup . En par-

ticulier, on suppose E non vide et alors;
- on note

D = Sup E ,

- si D < D'

sont deux objets de E , on note

J DD i* D

> D*

l'unique flèche de IL qui leur est associée.
Dans ces conditions, supposons de plus que
F : EL
(où

> Grp c

> Cat

Grp est la catégorie des groupes) est un foncteur tel que*

- si D < D'

sont deux objets de E , alors F(J DI)I ): FD

*-> FD'

L 8
est une injection canonique (ainsi, les
sous-groupes du groupe
- si

P

F(D)

sont tous des

,

est une partie non vide de

le sous-groupe de
F

F(D) )

F(D)

E , alors

F(Sup P)

JJV F(D)

engendré par

est

(autrement dit,

est "compatible avec les sup")#

On dit alors que la 2-limite inductive
Cat

D

du foncteur

est une catégorie prégaloisienne; si
D

injectif, on dit que

F

F

dans

est un foncteur

est galoisienne, Rappelons, notamment,

que;
- les objets de

D

sont les éléments

comparables selon l'ordre
- ses flèches sont les
de

F(D')

<

de

,; D

(ils sont donc

df

-> D' , où

est élément

F(D) , et

dn: D

^

• • ••> D , pour tout

F(D) ),

- pour toutes flèches
D , on a

E

Id D = J D D = Ip-Jpj) » o ù

(en particulier, on a

élément de

de

E ),

d'.j

est l'élément neutre de

D

dQ: D

> D

et

J D D f .d D = F(J D D f )(d) D t .J D D t « d,,,.^.

facile de constater que toute flèche de

~> D #

J DD i* D

D

de

(il est alors

est un monomorphisme).

Nous disons, maintenant, qu'un diagramme localement libre
naturalisé

(6: D

> A , e)

sur un objet

B

de

B^ est ga-

loi sien (resp. prégaloisien) si, et seulement sis
- D

est une catégorie galoisienne (resp. prégaloisienne),

- ô: D - — — >
D

A

est un foncteur injectif (alors, on identifie

à une sous-catégorie de

- si

D

et

D'

une flèche de
che de
- si

D
A

A

et

6

sont deux objets de
telle que

(on dira que

6

est un objet de

E = Ob D , si

A

b; B

Ua.e
est

A , si

> UA

à l'injection canonique),
D

et

a: D

= e D # , alors

> D'
a

est

est une flè-

e-plein),
P

est une partie non vide de

est une flèche de

B

et si, pour

L 9
tout

D Ç P , aJ)s D — — • > A est une flèche de A telle que

D* e D = b ' a l o r s i l existe une famille (d(D)jr : D
> D)„p
de flèches de D et une flèche as D = Sup P
> A de A
telles que s

Ua

+

Ua.e^r = b ,

+

a.d(D)^ .J D - = ap , pour tout

D€ P,

(on dira que 6 est e-filtrant)»
Nous pouvons alors énoncers
Proposition 4 (quatrième cas d'unicité). Deux diagrammes localement libres naturalisés galoisiens sur un même objet sont isomorphes.
Preuve. Supposons que (6: D

> A , e) (resp. (6fs D'

> A,e'))

est un diagramme localement libre naturalisé galoisien sur B •
Si

(resp. D ) est un objet de D f

D*

(resp. D ), on note<

- P(D') (resp. P'(D) ) l'ensemble des objets D^ (resp. D p
de D (resp. D' ) tels qu'il existe une factorisation (D.,a)
(resp. (D',a') ) de (D',e£t) (resp. (D,e D ) ) .
Comme 6 (resp. 6' ) est localement libre sur B , il est clair
que P(D') (resp. P'(D) ) n'est pas vide. On pose alors
f(D') = Sup P(D') (resp. P'(D) = Sup P'(D) ) et l'on choisit,
pour chaque D. € P(D') (resp. D' € P'(D) ) une flèche a^ : D — > D f
(resp.
Uâ

a£ f : D'

> D ) de A telle que Ua^ .e D = e'

D ' - e D i = e D >'

Comme 6

(resp. 6 ' )

est

e - f i l t r a n t , i l existe bien une f l è -

che YD,3 P ( D ' )
> D' (resp. Yry P fD
t e l l e que (en p a r t i c u l i e r ) :
(1)

% t . e p D f = e£ t

(resp.

I l en r é s u l t e que:

"

(resp.

U(

Y D "Vf^ D . ) - e f " » . p D . = e D .

> D)

U Y £.e|n I D = e D ) .

de A

L 10

(resp. U ( Y J . Y p . D ) . e p p , D - e D ),
et, puisque 6' (resp. 6 ) est e'-plein (resp. e-plein), il
vient s
(2) YD..Y|>iD. * P PD»
>D» (resp. Y ^ Y p , D " VP'
est une flèche de D' (resp. de £ ).

D-> D )

Supposons, maintenant, que Z'Î D'
> D 1 (resp. z\ D
> D)
est une flèche fermée de D' (resp. D ). De (1) nous déduisons
que, puisque e' (resp. e ) est naturelle?
- Uz'.UY Dl .ep Df s Uz\e« f = e£f = u Y D .-ep D . *
(resp. Uz.UY£.e|*tD = Uz.eD = e D = ^ . e p ^ ) .
On en déduit facilement, par construction et puisque 6 (resp. 6')
est e-filtrant (resp. e'-filtrant), qu'il existe une flèche
pz's p D ' —•> f D ' (resp. P'zs P'D
> P 'D ) de D telle
que s
(3) Y D I - T * 1

zf

*YDt

(resp. Y r y P ' 2 * Z-Y£ ) •

En vertu de (2) et puisque toutes les flèches de D' (resp. D )
sont des oonomorphismes, il vient!
- P T z ' : P T D f — > P ' p D ' (resp. T P fz- P P fD — > P P fD )
est l'unique flèche de D' (resp. D ) telle que
V ' Y | - V - r , f r V = zf-YD.-Y|->D. (resp. Y £-Yp .„• P P fz= *-Y£-YptD>.
Ainsi, on dispose d'un homomorphisme de groupes3

(resp.

hjj.i F'(D')
z' *

> F'(P'pD')
> fPz1

h£; F(D)
z •

>F(PP'D)
> PP'z
) ,

tel que F'(jp , p^p,).¾. (resp. F(jp p tDfD>.h£ ) est un
automorphisme intérieur de F'(D') (resp. F(D) ). On en déduit
que F'(D') = F'(P'PD') (resp. F(D) e F ( P P ' D ) ) et, puisque
F' (resp. F ) est injectif, il vient s

L 11
(4) pour tout objet
on a
Si

D'

(resp. D ) de D'

P ' P D' = D' (resp.

z's D'

> D'

quelconque de D'

(resp. D )

P P 'D • D ) .
> D^ ) est une flèche

(resp. z: D

(resp. D ), un raisonnement analogue montre

qu'il existe une flèche pz's P D '
> P D'
(resp.
P'z; P'D
> P'D- ) de D (resp. D' ) telle que*
(5) Y D ..Pz f = f-y»,
Si

z s PD'

> PD'

(resp. Y J • P f* * *•% >•
(resp. z": T f D

> P 'D]L) est une au-

tre flèche de D (resp. D' ) telle que
(resp.

YA

Y D f z i = z,,YDi

«zî S Z « Y A ) » n o u s a vons * e n utilisant (4)s

- YpD^DJ- z l = Y h D ' ' Y D ' - P z f = Yp D '- Z, -Y D ' '
(resp. Y p . D -Y^-*! = Yp ' D ^ D ^ P fz = Y p . ^ 0 ¾

> •

En utilisant (2) et le fait que toute flèche de D (resp. D' )
est un monomorphisme, on en déduit

z. » P z '

(resp. z' = P'z )

et donc ;
(6) il existe une et une seule flèche
(resp.

f 'z: P fD

fiant

Y D .-Pz f = Z '.Y D ,

> P ^ )

pz'? P D '

de D

> pD'

(resp. D' ) véri-

(resp. Y£ - P f z = z.Y£ >•

Clairement, de (6) il résulte immédiatement que:
- l'application

z'

> Pz'

(resp. z — — > P'z ) définit

un foncteur

p ; D' — • — > D (resp.

- l a famille

(YJ^PD'

P ' s D •-• >D' ) ,

> D ' ) ^ ^

définit une transformation naturelle
> 6 ).
Y t. ô'.p'
Utilisant 4 posons, pour tout objet

(resp. (YJ: P fD - « ^ o b E ^

YS 6 « P

D'

> ^f

(resp.

(resp. D ) de D'

(resp. D );
(7) YD.-YfiD. = ¾ .

i D'

> D ' (resp. Y ^ Y p . D = V

D _ > D )

'

L 12
Nous avons donc:

- ^D'-V = V * Y h D » * V " YD..dpD, ,
(resp. d D .YD"^-Yp. D .YS-Yj.df» tD ).
En vertu de (6), nous en déduisons s

(8) rt5j.) = dp D ,

(resp. P '(dp) = df, §D ) .

Appliquant (7) et (8), il vient?

- YD,.(Yf,D,.d^"1)=d>f.^t"1= 1¾.
(resp. y».(Yp . ^ ¾ ^ * V V " 1 = IdD * '
- ^ 0 . . ¾ . - 1 ) ^ . = Y,pD..YD..dpDr1 = dp D ,.dp D , " = Idp D ,
(resp. (Yp.D.dD"1)*YD=YP«D-YD,ÏÏh»D"1:=ÏÏh«D#ÏÏh'D""1=Idp»D )#
En conséquence, y

(resp. y* ) est une équivalence naturelle.

Enfin, pour toute flèche

z: D

> D.

(resp.

z*: D*

> D*)

de JD (resp. D* ), posons %

P'(z) = d^,D . f C z ) . ^ ^ " 1

(9)

(resp.

P(z') = dp D ,.P(z').dp I)t " 1 )•
1
**

Clairement, on définit ainsi un foncteur
(resp.

P s D'

P1: D

> D'

> D ).

Pour toute flèche

z's D'

> D'

(resp. z: D

> D^) de

(resp. D ), nous avons alors, en utilisant (6)g
- 2 , -Y D .-Yf D , =Y D ..fz , .Yf' D . ^ . 0 ^ . . ( 1 ^ ^
(resp.

z. Y £.Yp. D = Yj -P^-Yp.,, s Yj - Y p . ^ . P P'»' > *

ce qui s'écrit encore, en utilisant (7) et (9)s
-

z' = P'T(z')

(resp.

(resp. P #

Autrement dit,

P

d'inverse

(resp.

P'

z=p.P'(z)).

D'où la conclusion. 6

p )•
.

) est un foncteur inversible,

D'

L 13

Corollaire. Si

B

admet un diagramme localement libre naturalisé

galoisien non trivial (i. e. non réduit à un seul objet),il ne
peut admettre d'objet (localement) libre (naturalisé).

3. Exemples et applications.
Notons

Corab

la catégorie des corps commutâtifs, Corabc1

la sous-catégorie pleine de

Corab

dont les objets sont les

corps commutâtifs algébriquement clos et

I: Corabcl

• •• > Corab

le foncteur injection canonique.
Dans ces conditions, nous avons:
Exemple 1. Tout objet de

Corab

possède un sous-groupe locale-

ment libre naturalisé (relativement à

I ) , unique à isomorphis-

me près.
Preuve. Soit

K

un corps commutât if et

morphisme de corps présentant
K

(on sait qu'un tel

k

K

k: K — — > K

un homo-

comme clôture algébrique de

existe!).

On notes
-

D

mes de

le sous-groupe de

Corabcl

constitué des

K , i. e. des automorphismes

d: K

K-automorphis-

> K

tels que

d.k = k ,
-

6s D "

> Corabcl

-

e = (e K * k : K

le foncteur injection canonique,
> K ).

On vérifie aisément que
ment libre naturalisé sur

(6,e)

est bien un sous-groupe locale-

K . Son unicité résulte alors du

troisième critère du §2. (v) •
Il convient de remarquer que, dans les traités classiques de
"théorie des corps commutâtifs", on établit bien que "tout corps
commutât if

K

engendre une clôture algébrique

K •• (c'est

d'ailleurs ce résultat que nous nous contentons de formuler de
manière précise!). Cependant, on n'y fait jamais remarquer expli-

L 14
citeraent que K n'est pas, en général, un objet libre sur K
(relativement à I )s comme, par contre, on n'omet pas de souligner que deux clôtures algébriques de K sont isomorphes, on
incite plutôt le lecteur (novice) à penser le contraire (faute
d'exposer les "raisons" de cette unicité à isomorphisme près
... i. e. la proposition 3 ) ,
Désignons, maintenant, par Corab
la catégorie telle quez
- ses objets sont les corps commutatifs "pointés" par un polynôme, i. e. les couples (K,P) formés d'un corps commutatif K
et d'un polynôme P à coefficients dans K , de degré supérieur
ou égal à 1 ,
- ses morphismes sont les
où

k; K

> K'

cients de
en

P

((K,P),k,(K',P'))s (K,P)

->(K',P'),

est un homomorphisme transformant les coeffi-

(c'est-à-dire

P ) en ceux de P'

(c'est-à-dire

P' )| pour plus de commodité, nous noterons d'ailleurs

Notons

Corab -

objets sont les

la sous-catégorie pleine de Corab
(K,P) où K

dont les

est "clos pour les racines de

i. e. où P a toutes ses racines dans K .
On désigne alors par I : Corab ,
••• • > Corab
^
*
P
clp
P
injection canonique.
Dans ces conditions, nous avons s
Exemple 2. Tout objet de

Pf - P.

Corab

P",

le foncteur

possède un sous-groupe locale-

ment libre naturalisé (relativement à

I

) unique à isomorphis-

me près.
Preuve * Soit K un corps commutatif, P un polynôme à coefficients dans K , de degré supérieur ou égal à 1 et ks K
> K
un homomorphisme présentant
Comme

K

K(P)

comme clôture algébrique de K •

est algébriquement clos, P

a 1 , ... , a
-

K

dams K

admet toutes ses racines

• On désigne alors par?

le plus petit sous-corps de K

k(K) ) et <xi1f ... , a n ,

contenant

K

(i. e.

L 15

-

k(P)° K

> K(P)

Bien entendu,

K(P)

que

est un objet de

(K(F),P)

est une flèche de

la restriction de

k .

est "le" corps de rupture de
Corab cl

et

P , de même

((K,P),k(P),(K(P),F))

Corab •
P

On notes
-

D le sous-groupe de Corab .
formé des ((K(P),P),d,(K(P),?))
—
cip
où d; K(^)
~> K(P) est un K-automorphisme, i. e. vérifie
d.k(P) = k(P) ,
-

6; D

> Corab -

le foncteur injection canonique ,

-

e =(((K,P),k(P),(K(P),P))s (K,P)

On vérifie aisément que

(&,e)

ment libre naturalisé sur

> (K(P),P) ) .

est bien un sous-groupe locale-

(K,P) . Son unicité résulte alors du

troisième cas du §2. (v) .
Remarquons que, dans les traités classiques de "théorie des
corps commutatif s" , on énonce évidemment que "tout polynôme
de degré supérieur ou égal à
commutatif

P,

1 , à coefficients dans un corps

K , possède un plus petit corps de rupture

K(P) "

(c'est évidemment ce résultat que nous nous contentons de formuler avec précision). Cependant, on ne précise pas que
n'est pas, en général, librement engendré par
(K(P),P)
I

n'est pas un objet libre sur

P

K(P)

(i. e. que

(K,P) , relativement à

) j comme, par contre, on n'omet pas d'insister sur le carac-

tère "minimum" de

K(P)

et sur son unicité à isomorphisme près,

on incite le lecteur (novice) à penser le contraire (à moins de
disposer des considérations du §2 ! ) .
Notons, enfin,

Corab

la sous-catégorie pleine de
racp

Corab

dont les objets sont les

moins une racine dans

K

(K,P)

tels que

P

admet au

et désignons par

I
i Corab
> Corab
le foncteur injection canonique.
racp
racp
p
Dans ces conditions, nous avons:

L 16
Exemple 3. Tout objet

(K,P) de

Corab

possède un diagram-

me localement libre naturalisé prégaloisien (relativement à
1

). Si^, de plus, le polynôme

P

est séparable, ce diagram-

me est galoisien et donc unique à isomorphisme près.
Preuve•

Nous reprenons les notations de la preuve de l'exemple

2 et nous identifions
On désigne par

D'

K

à son image par

la sous-catégorie de

- les objets sont les sous-corps K'
dans lesquels

P

k(P); K
Corab

> K(P) .

dont s

de K(P) contenant

K

et

a au moins une racine,

- les morphismes sont les K-homomorphismes.
Alors, on notes
- 0 la sous-catégorie de Corab
constituée des
—
racp
f
((K',P),k ,(K",P))° (K',P)
> (K",P) tels que k's K' — > K"
est une flèche de
- 6: D
—

D' ,

> Corab
racp

le foncteur injection canonique,

- e = (((K,P),k|Kf,(K\P))s (K,P)

> (K'.P))^.^) e 0 b D'-

Evidemment, (6,e) est un diagramme localement libre naturalisé prégaloisien sur
De plus, si

P

(K,P).

est séparable, K(P) est une extension galoisien-

ne de K. Il en résulte que, si K' et
de K(P) contenant
K' = K"

sont deux sous-corps

K et tels que K-Aut(K') = K-Aut(K"), alors

("théorème fondamental de la Théorie de Galois"). Au-

trement dit,
D , et

K"

D*

est une catégorie galoisienne, de même que

(6,e) est bien un diagramme localement libre naturalisé

galoisien sur

(K,P). D'où la conclusion, si l'on utilise le qua-

trième critère du §2. ©

.

4. Remarques complémentaires.
On peut évidemment "combiner" entre eux les différents cas
d'unicité (étudiés au §2). Par exemple: un diagramme localement libre

L 17
naturalisé "somme" de sous-groupes est unique à isomorphisme près.
Il ne faut pas croire qu'un cas d'unicité de diagramme localement libre naturalisé en assure, en général, la "minimalité".
Ainsi, un sous-groupe localement libre naturalisé peut fort bien
contenir un diagramme localement libre naturalisé "plus petit";
par exemple, un sous-monoïde qui l'engendre.
Un autre type de spécification de formes de diagrammes localement libres naturalisés peut être recherché? plutôt que de
s'attacher à des formes qui en assurent l'unicité (à isomorphisme près), on peut essayer de préciser des formes qui en assurent
la naturalité quand

B

varie . Il se trouve que, dans les exem-

ples du §3, on peut établir que les formes utilisées impliquent
effectivement la naturalité. Ce point sera développé ultérieurement (voir, cependant, (S.M.M.L.)).

Bibliographie.
(C.A.L.O.)

Y. Diers, Catégories localisables, Thèse, Paris 1977.

(CM.CF.)

R. Guitart et C. Lair, Calcul syntaxique des modèles
et calcul des formules internes, Diagrammes 4,
Paris 1980.

(S.M.M.L.)

ère
C. Lair, Sesqui-monades et monades locales, 1
partie. Diagrammes 9, Paris 1983.

Université Paris 7
U.E.R. de Mathématiques
Tours 45-55, 5 e m e étage
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FRANCE