D IAGRAMMES C. H ENRY Sur quelques problèmes de plongements en algèbre Diagrammes, tome 10 (1983), exp. no 1, p. 1-56 © Université Paris 7, UER math., 1983, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 10 , 1983. A.M.S. Sub. Class. 18 C 10 , 08 A 30, 08 B 05 , 08 B 20. SUR QUELQUES PROBLEMES DE PLONGEMENTS EN ALGEBRE (+) C. HENRY. Introduction. On sait qu'une structure algébrique jours une structure algébrique S* alors d'un homomorphisme de vers S S d f un type donné engendre tou- d'un type plus fort donné: on dispose sant de savoir pour quelles structures S' S et il est particulièrement intérescet homomorphisme est un plongè- rent (i. e. est injectif) et, a fortiori, s'il est un plongement pour toute structure S . Par exemple (pour fixer les idées), tout groupe engendre un groupe abélien dans lequel il ne se plonge que lorsqu'il est lui-même commutâtif ! De même, tout monoïde abélien engendre un groupe abélien dans lequel il ne se plonge que s'il est régulier. Par contre, toute algèbre de Lie sur un anneau unitaire, contenant Q comme sous-anneau unitaire,se plonge dans son algèbre envelop- pante, ou encore, tout ensemble ("de générateurs") se plonge dans l'algèbre libre (d'un quelconque type ... non trivial - voir le §1 du Chap. IV !) qu'il engendre (c*est au-moins intuitivement évident). En Algèbre, pour établir de telles propriétés de plongement, on procède, classiquement, en décrivant aussi explicitement que possible la structure à partir de la structure S' S , supposée connue: lorsque cette description est suffisamment simple, il est assez facile de répondre; cependant, en général,. cette description utilise des quotients d'ensembles (construits h partir de ( " ^ ") « eme Thèse de 3 Cycle, préparée sous la direction de C. Lair, présentée à l'Université Paris 7, devant le Jury constitué de MM. M. Zisman (Président), J.-Y. Girard, L. Coppey et C. Lair. S ) ce qui empêche, pratiquement, de constater que S se plonge dans S' ; il faut alors procéder au "coup par coup" , i. e. utiliser des méthodes propres aux types de structures considérés et à la structure S concernée (et encore, lorsque c'est possible, ou lorsque l'on y parvient!). On sait, au moins depuis et (S.A.A.T.) ) C. Ehresmann et F. tW. Lawvere (voir (E.T.S.A.) qu'on peut décrire (i. e. définir) un type de structure al- gébrique au moyen d'une théorie (de Lawvere) ou, plus généralement, d'une esquisse projective, i. o. au moyen d'une catégorie particulière munie rie produits finis, ou de limites projectives. Si T et T' sont deux t e l W ihéories, T' vers qui préserve les produits finis; a'iors, beaucoup dos propriéï *'•*• T' est "plus fort" que T si î'on dispose d'un foncteur d" ; (dites sémantiques) des algèbres de type T (resp. d'oubli canonique de la catégorie des algèbres de gèbres de T T' ) et du foncteur T' vers celle des al- ne résultent, en fait, que des seules propriétés (dites syn- taxiques) des catégories T et T1 et du foncteur qui les compares de ce point de vue, il est naturel d'essayer de traduire les propriétés de plongement des structures S termes de propriétés de dans les structures T et S' qu'elles engendrent en T' et du foncteur qui les compare. Ainsi, Lawvere a établi qu'une condition nécessaire (syntaxique, par conséquent) pour que toute structure S se plonge dans la structure gendre est que le foncteur qui compare cisément, en (C.S.D.P.) T à T' S' soit injectif. Plus pré- est énoncée une condition suffisante syntaxique qui, lorsqu'elle est vérifiée, assure que toute structure dans la»structure S* qu'elle en- S se plonge qu'elle engendre. Le but du présent travail est de montrer que la condition suffisante de (C.S.D.P.) est effective, i. e. permet, dans la pratique, à l'aide de méthodes combinatoires assez simples et systématiques*de conclure à des propriétés de plongements: pour ce faire, nous avons appliqué cette condition dans des cas particuliers soigneusement choisis, en raison de leur caractère générique. En particulier, nous obtenons: - une caractérisation des homomorphismes h: M quels on peut affirmer que tout > M' de monoides pour les- M-ensemble se .plonge dans le M'-ensemble libre qu'il engendre (cette caractérisation est à rapprocher de la caractérisation, en terme de pureté, des homomorphismes V > V1 unitaires commutatifs pour lesquels on peut affirmer que tout se plonge dans le V'-module libre qu'il engendre), d'anneaux V-module - une démonstration purement combinatoire, et relativement simple, du fait que toute algèbre de Lie sur un anneau commutâtif contenant Q se plonge dans son algèbre enveloppante, - la prouve que tout ensemble (de générateurs) se plonge dans la structure algébrique (d'un type quelconque ... non trivial) qu'il engendre librement (ce qui n*a lion de surprenant ... nais dont rous ne connaissons pas de* démonstration, on tout cas aussi simple!), - la prouve que, si T --•— > ! • tures» algébriques (i. e. si T o.st. une comparaison de doux types d^ str-r> T' de Lawvere), alors les structures de type i. e. est un homomorphisme de théories T qui sont régulières pour qui se plongent dans les structures de types T' T' , qu'elles engendrent, sont encore des structures (essentiellement) algébriques, i. e. projectivement esquissables; ainsi, les monoïdes réguliers sont, parmi les monoïdes, ceux qui se plongent dans les groupes qu'ils engendrent: qu'ils soient Project ivement esquissables n'a rien de surprenantj par contre, les semi-groupes réguliers (au sens précédent) sont les semi-groupes qui vérifient les conditions de Lambek, ou Malcev (voir (A.T.S.G.)); il n'est pas trivial, a priori, d'établir qu'ils sont également projectivement esquissables! Les résultats ainsi obtenus complètent ceux de (C.S.D.P.), ils les précisent (notamment, dans l'énoncé de la condition suffisante syntaxique de plongement que l'on s'attache à appliquer systématiquement) et en prouvent l'efficacité. Ils fournissent une réponse complète à la question posée, sur ce sujet, en (S.A.A.T.) et ils infirment, en partie, certaines des affirmations de (A.P.A.T.). Le lecteur trouvera au Chapitre I, tous les rappels de terminologie et notations (ne faisant pas partie de la théorie "standard" des Catégories) que nous utilisons par la suite. Il y trouvera également, outre l'énoncé précis des résultats généraux que nous utilisons (notamment, celui de la condition syntaxique suffisante de plongement) une présentation rapide (à la fin du dernier paragraphe) de la succession des Chapitres I à IV, motivée par une étude des conditions, de moins en moins particulières, d'application de cette condition suffisante. En Appendice, nous avons regroupé quelques considérations, non exclusivement syntaxiques, mais suffisamment systématiques pour pouvoir aboutir à quelques résultats notables. ' 12 bis Rue JONQUOY, 75 014 PARIS FRANCE. CHAPITRE I: GENERALITES, 1. Terminologie et notations préliminaires. Si £ est une catégorie, on note Gr(£) son graphe orienté sous-ja- cent. Si F: £ > £° est un foncteur entre deux catégories et si un objet de £ , on dit que tion de F Si £ est C-fidèle si, et seulement si, la restric- à Hom (C,C) est injective. Pour tout entier 1 < F C est 2 n > 0 , on note z la catégorie représentée par: => 2n-l < > 3< est une catégorie, un foncteur On dit qu'un tel zigzag est fermé en Z: z C > C > 2n+l 2n . est appelé zigzag de C si, et seulement si, Z(l)=C=Z(2n+l) 2. Théories de Lawvere. /T/ = ( T , ( (Tï(n,i))1 ^ . _ ) — — i < i < n n > l rie de Lawvere si, et seulement si (voir (S.A.A.T.)): On rappelle que - T est une catégorie ayant une famille dénombrable (An) ) est une théo- ^ d'obiets n > 0 (on pose a l o r s - A = A e t A = l ) , pour t o u t e n t i e r n > 1 , la famille ( T î ( n , i ) : An — > A ), de 1 < i < n flèches de T_ est un produit, dit distingué, dans T , - A = 1 est un objet final, distingué, de T_ et rr(l,l) = Id. Dans ces conditions, pour tout n > 1 , on note ô :A > A n l'unique flèche de T telle que Tî(n,i).ô = Id , pour tout 1 < i < n , (en particulier, on a donc 6-, = Id ). i. ri m,n>0,si (f.:A > A). ^ . ^ est une famille — i 1< i< n de flèches de T , on note ff-li ^ ^ :A > A (avec tous les abus De même, pour tous L — -iJl /T_V c > T^ sont nuls) l'unique flèche de T_ 1< i< n . sont deux théories de Lawvere, on dit que est un homomorphisme si, et seulement si: - H: T_ est un foncteur tel que H(A ) = A' - H(rr(n,i)) = TTf(n,i) : Af > A' , pour tout , pour tout n > 1 et tout n > 0 , 1< i< n , (autrement dit, un homomorphisme est un foncteur qui respecte les objets - i. e, la graduation des objets - et les produits distingués dans T et T' ). 3. Algèbres d'une théorie de Lawvere. Si /T_/ est une théorie de Lawvere, on dit que une algèbre (ou une réalisation) de /T/ - F: T_ > Ens - F(A ) est un ensemble à un élément, - pour tout F: /T_/ > Ens est si, et seulement si: est un foncteur, n > 1 s la famille (F(fr(n,i)): F(An) > F(A))n — 1 < i < n est un produit dans Ens . /T/ On note, alors, Ens — la sous-catégorie pleine de sont ces algèbres. "" "~ T Ens— dont les objets Dans ces conditions, on sait que: - le plongement de Yoneda y: T Y: T ° P - le foncteur "évaluation en A " r ion /T/ Ev : Ens'— - le foncteur Ev A > Ens— admet une restriction > Ens^ T evA: Ens— A > Ens admet un adjoint à gauche Q A : Ens De plus, il est immédiat d'établir que: > Ens^ , > Ens , admet une restric- n > 0 , on a Y(A.n>) ù^ Q Cri) (où £ = 0 - naturellement en tout et n = [1,. .. ,n} , si n > 1 ) , - Y: Top Si -> Ens /T/ /H/: /T/ est un foncteur plein, fidèle et dense. > /T_'/ est un homomorphisme de théories de Lawvere, /T'/ /T/ » Ens — admetil induit un foncteur d'oubli canonique Ens /H/ E n s 7 - ' • /T/ /TV tant un adjoint à gauche G: Ens — •> Ens — de sorte que les deux diagrammes ci-dessous commutent: rp Q /T'/ Ens 7 - ' Ens -> Ens- /H/ /T'/ -> Ens 7 - 7 ,op -> E n s ^ Hop Ens Ens'I' •|OP -> Ens- Ainsi, pratiquement, pour décrire une théorie /T/ dont la catégorie des algèbres est supposée, a priori, connue, on décrira T : c'est la sous- catégorie pleine de cette catégorie d'algèbres dont les objets sont les structures libres (relativement au foncteur d'oubli canonique vers bre fini n (quelconque) de générateurs. De même, pour décrire un homomorphisme /T_°/ Ens ) à un nom- /H/: /T/ > /T'/ , où /T/ et sont décrites comme précédemment, il suffit alors de préciser la res- triction de l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli (supposé connu), de la catégorie des algèbres de gèbres de /T/ /T_°/ vers celle des algèbres de /T/ , sur les al- libres à un nombre fini de générateurs. 4. Foncteurs à plongements et foncteurs d'oubli à plongements libres. Supposons que U: C' gauche G: C -> C > C et notons est un foncteur admettant un adjoint à e: Id, => U.G : C mation naturelle associée à cette adjonction. On dira que C U la transfor- est à plonge- ments si, et seulement si: - pour tout objet phisme de C de £ , la flèche e :C ->UG(C) est un monomor- C , (autrement dit, U de C est à plongements si, et seulement si, toute "structure1 se "plonge" dans la structure de C' qu'elle engendre). Il est facile de vérifier que: Proposition gauche G 1. Si G: C U: C' > C' > C est un foncteur admettant un adjoint à alors, U est à plongements si, et seulement si, est fidèle. Supposons, maintenant, que /H/: /T/ de théories de Lawvere. Alors, le foncteur /T/ admet un adjoint a gauche > /T'/ est un homomorphisme /H/ /T'/ /T/ U = Ens : Ens — > Ens — /T'/ > Ens — G: Ens — Dans ces conditions, nous dirons que U • est à plongement s libres si, et seule- ment si: - pour tout n > 0 , la flèche e : Y(An) Y(An) /T/ est un monomorphisme de Ens — , > UG(Y(An)) = U(Y'(A'n)) (autrement dit, si et seulement si les algèbres libres de /T/ , à un nombre fini de générateurs,se plongent dans les algèbres de qu* elles engen- drent, qui sont des algèbres libres de /T_'/ teurs). Evidemment, si le foncteur d'oubli U = Ens /T// ayant le même nombre de généra/H/ est à plongements, il est à plongements libres nais la réciproque est fausse en général. Précisément, on montre facilement (en utilisant le fait que les plongements de Yonéda sont pleins, fidèles et denses) que: > /T9/ est un homomorphisme de théories de lY[i /T » / 7x/ Lawvere, pour que le foncteur d'oubli canonique Ens : Ens — > Ens — soit à plongements libres, il faut et il suffit que H: T_ > T' soit un /H/ foncteur fidèle. Pour que Ens soit à plongements, il est donc nécessaire Proposition 2 . Si^ /H/: /T/ ue H soit fidèle. 5. Condition syntaxique suffisante pour qu'un foncteur d'oubli soit à plongements. Supposons que /H/: /T/ > /TJ/ est un homomorphisme entre deux théories de Lawvere, la proposition 2 précédente énonce une condition néces- 7ÏÏ/ saire syntaxique (i. e. ne portant que sur H: T_ > T 1 ) pour que Ens /H/ soit à plongements. Une condition syntaxique suffisante pour que Ens soit à plongements est que (voir (C.S.D.P.)); (CS) si Z: z T est un zigzag de T tel que Z(l) = A = Z(2n+1) n et si l'on dispose d'un diagramme commutatif de T' tel que cidessous: -> 3 <- l A <- -> A A' A' «- <•—...—> A 2n-l « 2n '2n-l J 2n 5> 2n+l -> A ]. I A."2n-1 „_A^n = Id, alors, il existe un foncteur et N(2m+1) = 2n+l N: z m > z n tel que N(l) = 1 et un diagramme commutatif de T tel que ci- dessous: 1 « $> 2m+l A <- Cette condition précise celle qui est énoncée en (C.S.D.P.) et se démontre d'une manière tout à fait analogue. On établit facilement que si /H/ vérifie cette condition, alors il est fidèle. On remarquera, enfin, que cette condition n'énonce pas que l'image par H du second diagramme commutatif doit être le premier : elle énonce simplement que s'il existe un diagramme commutatif tel que le premier, alors il existe un diagramme commutatif tel que le second. Bien sûr, il est naturel, pour établir qu'un homomorphisme /H/ vérifie (CS) (et donc prouver qu'il induit un foncteur d'oubli à plongements), de commencer par essayer de prouver que, si l'on dispose d'un diagramme commutatif tel que le premier, il est nécessairement image par commutatif tel que le second (où H d'un diagramme n = m ) : c'est ce cas qui est étudié au Chapitre II . A défaut d'une telle éventualité, il est normal d'essayer d'associer (par constructions fonctorielles) à un diagramme commutatif tel que le premier un diagramme commutatif tel que le second, par exemple sant que H: T > T^' en suppo- admet une sorte d'inverse à gauche: c'est ce pro- cédé qui est étudié au Chapitre III. Si ces deux premières méthodes échouent, c'est que le cas considéré est "vraiment" général, il reste donc à l'étudier comme tel: des exemples de cette nature sont traités dans le Chapitre IV. CHAPITRE IIsCAS DES HOMOMORPHISMES DIVISIBLES. 1. Homomorphismes divisibles. Si > /T'/ /H/: /T/ est un homomorphisme entre deux théories de Lawvere, on dit qu'il est divisible si, et seulement si: - le foncteur H: T > T ' est A-fidèle (voir Chap. I, §1 ), - pour toutes flèches t : A > Am et t : A > A de T et toute m P flèche t': A' > A' de T' telles que t\H(t ) = H(t2) , il existe une flèche t: A m > AP de T telle que H(t) = t' et t.t. = t~ . Dans ces conditions, nous avons: Proposition 3. S_i /H/: /T/ > /TJ/ est un homomorphisme divisible, le /H/ /T ° / /T/ foncteur Ens : Ens — > Ens — est à plongements (voir Chap. I, §4). /H/ Preuve. Pour montrer que Ens est à plongements, il suffit d'établir que Iehomomorphisme /H/ vérifie la condition (CS) (voir Chap. I, §5). Pour ce faire, supposons que A = A. < A > A. < 1 XT 02 x^ 3 1 2 > A. . < A. > A. - = A 2n-l x^ ,2n x 0 2n+l 2n-l 2n est un zigzag de T_ , fermé en A0 = H(A-) = A' < 1 l N ut \ H(x l) A, et supposons que u/ \ / H ( x 2n ) \ > Ai - = H(A0 .. ) = A' 2 n+l 2n+l /62n+l = IdA' ./ A" est un diagramme commutatif de T * . 11 Comme /H/ telle que est divisible, il existe une flèche g3-x2 = ^ Supposons que, si ^ g :A > A de T = x . 1< p< n , on dispose du diagramme commutatif de T *> A. 2p+l où H(gi) = g£ , pour tout Comme /H/ 1 < i < 2p+l . est divisible, il existe une flèche g0 : A^ ^ -^> A de 2p+-3 2p+3 T t e l l e que S 2 p f 3 . x 2 p + 2 = 8 2 p + 1 . « 2 p + 1 e t M&2^3) = 8^3 . Au t o t a l , i l e x i s t e bien un diagramme commutatif de T t e l que c i - d e s s o u s : A = A. <- Id A=êl 4c^ où H(gi) = g' , pour tout 1 < i < 2n+l . On a, en particulier, H(g 2 n + 1 ) = IdA0 . Comme duit H est A-fidèle, on en dé- g 2n+l = Id A e t l a c o n d i t i o n (cs) e s t b i e n vérifiée. D'où la conclusion. Fin de la preuve. 2. Application aux monoïdes d'opérateurs. Supposons que h: M > M° On dit que M est un sous-monoïde d'un monoïde M' et notons 1'homomorphisme injection canonique. M est divisible dans M° (ou que 1'homomorphisme h de monoïdes est divisible) si, et seulement si: - pour tous éléments m et m de M et tout élément m' de M' tels que 12 m'.m = nu , alors m' On note (resp. M'-Ens) la catégorie des M-ensembles (resp. des M-Ens est nécessairement élément de M . M'-ensembles), i. e. la catégorie telle que: - ses objets sont les ensembles munis d'une opération de M (resp. M' ) à gauche, - ses morphismes sont les applications compatibles avec ces opérations. Clairement, 1°homomorphisme injection canonique h: M > M' induit un foncteur d'oubli IL: M'-Ens > M-Ens . h Il est facile de constater qu'il existe une unique théorie de Lawvere /T / (resp. /Tw,/) telle que M-Ens (resp. M'-Ens) et Ens'-M' (resp. ITJ Ens'^l0' ) sont équivalentes. Précisément, T^V morphe à) la sous-catégorie pleine de M-Ens (resp. T M ,° P ) est (iso- (resp. M'-Ens) dont les ob- jets sont les M-ensembles (resp. M'-ensembles) libres à n générateurs, quand foncteur L(n) (resp. L'(n)) varie dans IN . De même, il est évident que le /H / est équivalent au foncteur Ens h , où / H * V S / T N / ^^M'^ U n est 1'homomorphisme de théories tel que joint à gauche de U (voir H soit la restriction de l'ad- Chap. I, §3). Montrons que: Proposition 4. L'homomorphisme de monoïdes injection canonique est divisible si, et seulement si, l'homomorphisme h: M > M' > ^¾^ /H / : /T^/ de théories de Lawvere qu'il induit est divisible. Preuve. Le demment où M-ensemble (resp. le M'-ensemble) libre à f(m,x) = mx (resp. x (resp. x') de M EncL f EncL > M) L(l) = (M,f : M x M 1 générateur est évi- (resp. L'(l) = (M',f': M' x M' > M')) f'(m',x') = m'x°) pour tous éléments m (resp. m') et (resp. M') . Par conséquent (M',f) ) est le monoïde M° P End^ s^ M,f ^ (resp. (resp. M'° P ) . On en déduit que (A = L(l)) (resp. EncL, (A' = L'(l)) ) est le monoïde M ou encore que l'on dispose d'un diagramme commutatif de foncteurs > T MO M y' ±M' * M f y > IM (resp. M-1) 13 où y et y' sont pleins et fidèles. Supposons, tout d'abord, que éléments de M on en déduit et m1 est un élément de M' s: A s. y (m.) = y(nu). Comme élément de > A y y(s) = s . Comme fidèles et élément y tels que sont deux m'.h(m-) = l^nu), /H / est divisible, de IL, telle que H (s) = y'(m') et s de M h y' est une injection canonique, y et sont H,_ est A-fidèle, il vient h (s) = m' , autrement dit m° est h M . Par conséquent M est bien un sous-monoïde divisible de M 0 . s, ,s n : A l7 2 comme m,, nu est plein, il existe donc un élément Réciproquement, supposons que Si est divisible. Si y'(m').H (y(m )) = H (y(nu)) et, comme il existe une flèche tel que /H / > A M est un sous-monoïde divisible de M' • sont deux flèches de T.. telles que H, (s_) = H, (s0) , —M h 1 h 2 est plein et fidèle, il existe un unique élément s„ de M tels que y(s-) = s1 et s. et un unique y(s2) = s 2 . Il en résulte que y*(h(s" ) = y'(h(s2)) = H (s.) = H (s2) . Comme y' est fidèle, s il vient h(s1) = h(s?) et, puisque h est injectif, s = s 2 et donc i = so * ^ u " trement dit, H, est A-fidèle, h Notons, pour plus de commodité, (a.)(c ), ^ . les systèmes générateurs de (resp. L°(q) ) et L(r) , (b.), < . < et L(p) (resp. L'(pT ) » L(q) (resp. L'(r) ) et supposons que sont deux flèches de T w —M que (i. e. deux homomorphismes de M-ensembles) telles Lc(p) < t° L'(q) L'(r) commute dans T^„ (i. e. dans M'-Ens). Ces homomorphismes de M-ensembles ou M'-ensembles libres sont entièrement définis par leurs valeurs sur les générateurs, posons: - t-(a.) = m.c ,.v , pour tout 1 < i < p (où m. est élément de M , pour l i i u(i) — — tout 1 < i < p , et u: [l,...,p} > £l,...,rl est une application), -t 2 (b.) = m.Cf.v , pour tout 1< j< q (où m. est élément de M , pour 14 tout 1 < j < q , et v: {l,...,q} >{l,...,r} est une application), - t'(b.) = m'.a , . >. , pour tout 1 < j < q (où m', est élément de M* J J w(j) ' * - J - H j pour tout 1 < j < q et w: {l,...,q} > {l,...,p} est une application). Clairement, on a: (t )(a.) = h(m.)c ,.. - H , pour tout 1< i< p , - H °P(t0)(b.) = h(în.)c ,.. , pour tout 1 < j < q . h 2 j j v(j) * - J - H Comme H °P(tn).t° = H °P(t.) , il vient: n i h z " H h° P ( t l ) ( m j a w(j) ) = h ( *V C v(j) ' P ° U r tOUt X -j -q 9 c'est-à-dire que: - m!h(m f ..)c f .. = h(m.)c /.. , pour tout j w(j) uw(j) 2 v(j) ' On en déduit que: - m!h(m ...) = h(m.) , pour tout J w^j; Comme M j 1< j< q . - J - 4 1 < j < q , et — u.w = v — est un sous-monoïde divisible de M', il en résulte que m! est élément de M , pour tout 1 < j < q . En conséquence, l'unique homomorphisme de M-ensembles t: L(q) > L(p) tel que: - t(b.) = mîa ,.x , pour tout 1 < j < q , J J w(j) - J -4 ' vérifie bien: - H °P(t) = t' et t-.t = t 0 . h 1 2 En conséquence /H / est bien divisible. Fin de la preuve. De la proposition 3 on déduit donc immédiatement: Corollaire. Si M est un sous-monoïde divisible d'un monoïde M' , tout M- ensemble se plonge dans un M'-ensemble (ou encore, le foncteur d'oubli cano- nique est à plongements). M°-Ens > M-Ens En particulier, comme tout sous-groupe quelconque d'un groupe quelconque en est nécessairement un sous-monoïde divisible, on peut énoncer: Corollaire. Si G est un sous-groupe d'un groupe plonge dans un G'-ensemble. G', tout G-ensemble se 15 3. Application a u x structures affines. Supposons q u e /T_/ est une théorie de Lawvere. k: A n On dit qu'une flèche > A (qui représente u n e loi de compo- sition n-aire) de T_ est idempotente s i , et seulement s i : - k.ô = IdA (où ô : A > A n est la diagonale - voir Chap. I,§2 ). n A n Plus généralement, une flèche quelconque h: A > A de T_ sera dite idempotente si, et seulement si: - pour tout 1 < j < n , la loi rr(n,j).h est idempotente. Dans ces conditions, il est clair que: Lemme 1. Toute flèche identité de T Lemme 2. Pour tous entiers n > 1 est idempotente. e£ 1 < j < n, la projection rr(n,j): A —> est idempotente. Montrons, de plus, que: Lemme 3. S_i k : A n > A P et_ k ' : A m > A n sont deux flèches idempotentes de T , alors k.k': A m > A est idempotente. Preuve. Pour tout 1 < j < n , on a Tî(n, j).k'.6 = Id , puisque k' est idempotente, et donc k'.ô = 6 .On en déduit que, pour tout 1 < i < p , m n — — on a Tf(p,i).k.k'.ô =Tr(p,i).k.6 = Id , puisque k est idempotente. Le m n A lemme en résulte. Fin de la preuve. De même, on a: Lemme 4. Si, pour tout 1 < i < n , f. : A tente de T_ , alors lcunique flèche > A Cf-li < . < est une flèche idempo:A > A de T , rr(n,i).rf.~|, ^ ^ = f• pour~tout" 1 —< i —< n , est une flèche L ' 1^1 < i < n i — idempotente. telle que 3 — a TT(n,i).["f. I dAA , *" i-11.6 m = f. i .5m est idempotente. Le lemme en résulte. F i n de la preuve. est idempol Preuve. En effet,' rpour tout puisque puisque f. f. 1< —i < — n , nous avons Enfin, établissons que: Lemme 5 (de divisibilité). S_i f : A n > Am et^. g: A > A flèches idempotentes de T et si h : A le q u e f = h.g , alors est une flèche idempotente. h > AP sont deux est u n e flèche de T^ t e l - 16 Preuve. Pour tout ——»———— 1 < i < p , nous avons TT(p,i)«g«ô = Id. , puisque g — — n A est idempotente. Nous en déduisons que g.6 = 6 . Il en résulte que, pour tout 1 < j < m , on a: - rr(m,j).h.ô = îr(m,j).h.g.ô = Tr(m,j).f.ô = Id p n n A potente. , puisque f est idem- Le lemme en résulte. Fin de la preuve. Notons aff/T/ l'ensemble des flèches idempotentes. Alors, nous avons: Proposition 5. La partie Aff/T/ de aff/T/ de T définit une sous-théorie de Lawvere /T/ et l'homomorphisme injection canonique /J/: Aff/T/ > /T/ est divisible. Preuve. Les lemmes 1 à 4 prouvent bien que Aff/T/ /T/ et le lemme 5 signifie exactement, puisque J que /J/ est évidemment A-fidèle, est divisible. Fin de la preuve. Appelons structure affine de type si K est une sous-théorie de est un corps commutatif et si /T/ toute algèbre de Aff/T/ (ainsi, /T/ est la théorie des K-espaces vec- toriels, les structures affines de type affines, ou encore Aff/T/ /T/ sont exactement les K-espaces est précisément la théorie de Lawvere des K-es- paces affines). De la proposition 5 précédente et de la proposition 3, nous déduisons: Corollaire. Toute structure affine de type /T/ se plonge dans une algèbre de /T/ Par exemple, tout espace affine sur un corps commutatif K se plonge dans un espace vectoriel sur K ! 4. Compléments et commentaires. 4.1. Nous savons que, si deux théories de Lawvere, le foncteur seulement si > /T°/ /H/: /T/ 7/H/ Ens est un homomorphisme entre est à plongements libres si et /H/ est fidèle (ou, ce qui est équivalent, injectif), mais /H/ ceci n'implique nullement, en général que Ens soit à plongements. Par exemple, si h: M > M' est un homomorphisme injectif de monoïdes, il induit, évidemment, un homomorphisme /H / : /T^/ dèle, mais le foncteur d'oubli canonique M'-Ens > ^¾^ qu ^* e s t f ^" > M-Ens , nécessairement 17 à plongements libres, n'est pas nécessairement à plongements. C'est très > (Z*+) est exactement ce qui se passe si, en particulier, h: (ÏN,+) l'injection canonique. Pour le voir, considérons le (N,+)-ensemble (E,f) tel que: E = * a ô' a o' a i'"'*} ' - f(n,a^) = a^+i , pour tout entier est le (Z,+ )~ensemble et tout entier n +0 - f(n,a^) = a n , pour tout entier On constate facilement que le n et i , f(0,a') = a' . (Z,+)-ensemble librement engendré par (E',f) (E,f) tel que: - E' = {az / z € 2 } , - f°(z',az) = a z 0 + z , pour tous entiers relatifs Dans ces conditions, l'homomorphisme canonique de e (E9 f ) : ^ E , f ) a: > - e(E f)^an^ = a n f pour tout entier J z' et z . (iN,+)-ensembles (E%fC) Q u i e n résulte n'est pas injectif, puisque l'on n ^ 0 - e(E,f)(aO} = e (E,f) (a Ô ) = a 0 • 4.2. Il n'est pas nécessaire qu'un sous-monoïde soit divisible pour que tout M d'un monoïde Mf M-ensemble se plonge dans un M'-ensemble. Par exemple, on vérifie facilement (mais longuement) que tout ble se plonge dans un sible dans (#,x)-ensemble et, cependant, (2,x) puisque, notamment, - 1 x 0 = 0 et (lN,x) ensem- 0N,x) n'est pas divi-1 f IN • 4.3. Nous caractériserons complètement (voir Chap. IV,§§2et 3)les homomorphismes de monoïdes h: M > M° nonique > M-Ens est à plongements: ce sont les homomorphis- U h : M°-Ens pour lesquels le foncteur d'oubli ca- mes dits purs. En particulier, on établit que, si tout élément de M est ré- gulier dans M° h (en identifiant pur si, et seulement si, h 4.4. Supposons que propriété h à une injection canonique) alors est est divisible. /T/ est une théorie de Lawvere. Nous dirons qu'une (P) , susceptible d'être vérifiée par les flèches de T , est cohérente si, et seulement si: 18 - les identités de T - pour tous entiers vérifie (P) , 1 < j < n , la projection iï(n,j): A n n > 1 et > AP A11 k.k° k': A m et vérifie [f ] - si > A et p > A™ (P) et si h: A h (P) . vérifie sont deux flèches de T vérifiant (P) , (P) , alors la flèche f: A > An 1 < i < n , f. : A m - si, pour tout > A m . :A g: A n > AP est une flèche de T > A n vérifie est une flèche de T vérifiant (P) , sont deux flèches de T Dans ces conditions, l'ensemble des flèches de T telle que vérifiant f = h.g , alors qui vérifient (P) définit une sous-théorie /T(p\/ de /T/ et 1'homomorphisme injection canonique / J (p)/ : /-L(p)/ > est évidemment divisible* toute /T/ ty£e /T/ (i. e. toute algèbre de de /T/ . Supposons, par exemple, que f: A /T(p)/ ) > A se (P)-structure de Pionge donc dans une algèbre est une flèche (arbitrairement) choisie dans T . Nous disons qu'une flèche (Pf) h: A n > AP vérifie /T/T) ./ est une 1< — i< — p , on a TT(p,i).h.ôn .f = f . Clairement, (P ) est bien une propriété cohérente et donc sous-théorie divisible de Aff/T/ . Si l'on a choisi V de T (ou encore qu'elle est f-potente) si, et seulement si: (Pr) pour tout Si > A (P) , n - ssi i k: k: A A (P) , alors 1 vérifient /T/ , dont on établit facilement qu'elle contient f = IdA , il est clair que (P est un anneau unitaire commutatif, si ) = Id -potence = idempotence. A /T/ est la théorie de Lawvere des V-modules, on sait que le monoïde (EncL1(A), °) s'identifie au monoïde multiplicatif de V : choisir une flèche choisir un élément v de V fT A (auquel on identifie > A de T , c'est donc f ). Dans ces conditions, on établit sans peine que: - si v est un élément de tures de type V multiplicativement régulier, /T/ sont exactement les structures affines de type /T. p J et Aff/T/ sont isomorphes. v Par contre, si v n'est pas régulier, posons: encore que les (P ^struc/T/ , ou 19 - W = { w € V / v(w-l) = 0 } , n _V - W = f E x.w. / n e N* , w. Ç W v . , i i î v n pour tout 1 < i < n , Z x. € W } . — — ._ - i v 1 = 1 i = l Dans ces conditions, une (P )-structure libre de type comme étant la donnée de Card W /T/ peut s'interpréter espaces affines libres sur V , dotés d'opé- v rations de transition des uns vers les autres, ou encore comme éteint un système de points dans certains états (repérés par W ) pour lesquels on sait dé- terminer l'état dcéquilibre de points d'équilibre. En particulier, si lcon a choisi v = 0 , on a /T/ p \/ = /T/ • 4.5. Il est clair que l'intersection d'une famille (non vide) quelconque de sous-théories divisibles d'une théorie /T_V est encore une sous-théorie divisible. En conséquence: Proposition 6 . Toute sous-théorie petite sous-théorie divisible /H/: /T/ /T/ d'une théorie Div/T/ dans /T'/ engendre une plus /T'/ . Plus généralement, si > /T'/ est un homomorphisme (quelconque) entre deux théories, il admet une décomposition minimum /T/ > Div/H(T_)/ CoImDiv /H/ où Div/H(T)/ > /T_V ImDiv /H/ est la plus petite sous-théorie divisible de /T'/ engendrée par H(T). Par exemple, si /T'/ est une théorie quelconque et si /Tjrns/ est ^-3, théorie de Lawvere des ensembles, il existe un unique homomorphisme (car /Tj.ng/ est un objet initial de la catégorie des théories!) /H_,8/: /T E n s / > et l'on a /TV Div/HT , 0 ^ ) / = Aff/T'/ . De même, si /T°/ est une théorie quelconque, si flèche choisie et si /T^/ est la théorie des unique homomorphisme /H^ /: /T^/ difficulté que n la flèche > A' en est une (ïN,+)-ensembles, il existe un > /T'/ tel que sa restriction (1N, + ) = EncL (A,A) associe à tout entier f: A° f > EncL0(A\A') . Dans ces conditions, on vérifie sans Div/H^ f (T^)/ = /Tj p }/ . Supposons, enfin, que /H/: / ^ / > /ï<;rp/ soit 1 "homomorphisme canonique de la théorie de Lawvere des monoïdes vers celle des groupes. La catégorie Z^on 20 contient le sous-graphe multiplicatif suivant: c P, 2 *o p-.t = t 2 = e.c.p 1 = e.c.p2 de sorte que, pour tout monoïde (M,x) p-,p - :M x M > M M k: M x M e: 1 > M - t-: M x M y de - t2 : M x M et Po^i = k ses flèches s'interprètent comme suit: sont les projections canoniques, est la loi de composition du monoïde, est la sélection de l'élément neutre > M x M vérifie u , t-(x,y) = (u,x.y))pour tous éléments x et M , > M De même, la catégorie p,.t vérifie T^ t~ (x,y) = u , pour tout élément (x,y) de M x M. contient le sous-graphe multiplicatif suivant = t 2 = e.c.p.. = e.c.p2 de sorte que, pour tout groupe , Po^i = k et S -Pn = t9 (G,x) , ses flèches qui appartiennent au-sous graphe précédent s'interprètent comme précédemment et les autres s'interprètent comme suit : - s: G > G - t': G x G Comme t\t1 = t est l'opération de symétrisation, > G vérifie t'(x,y) = x" , on en déduit que Div/H(TK, )/ = Div/T w / . Comme —Mon -Mon t' , pour tout élément (x,y) de G x G est nécessairement flèche de s.t' = p. , on en déduit aussi nque 1 s est 21 nécessairement flèche de Div/T^ / . D'où il résulte que /Iorr)/ = D^v/Lyf0n^* Nous laissons au lecteur le soin de multiplier ce genre d'exemples "concrets". 4.6. Les résultats et considérations de tout ce chapitre reprennent ceux de (A.P.A .T.), cependant, ils les complètent, ne serait-ce qu'en fournissant une démonstration simple (i. e. fondée sur un critère systématique) de la proposition 5 . Aux chapitres suivants, nous verrons que, contrairement à ce qui est, au moins implicitement, suggéré en (A.P.A.T.), on peut effectivement ca/H/ ractériser un certain nombre de foncteurs d'oubli de la forme Ens qui sont à plongements sans que relativement systématique. /H/ soit divisible, et ce de manière simple et CHAPITRE III: CAS DES HOMOMORPHISMES RETRACTABLES. 1. Homomorphismes rétractables. Si -> /T'/ est un homomorphisme /H/: /T/ — entre deux théories de Lawvere, on dit qu'il est rétractable si, et seulement si: - il existe un homomorphisme de graphes orientés K: Gr(T*) > Gr(T_) de T' t: AP- (voir Chap. I,§L) tel que: (i) K.H = I d G r ( l ) , (ii) pour toutes flèches -> A'm t': A' et -> AJn de T , on a K(t'.H(t)) = K(f).KH(t) = K(t').t . Dans ces conditions, nous avons: Proposition?. Si foncteur /H/: /T/ /H/ /T'/ Ens' ' : Ens'— ' Preuve. Pour montrer que 1°homomorphisme > /T'/ est un homomorphisme rétractable, le ,/T/ > Ens—' ./H/' Ens' est à plongements. est à plongements, il suffit d'établir que /H/ vérifie la condition (CS) (voir Chap. I, §5). Pour ce faire, supposons que A = A. <• L 1 *2 est un zigzag de T , fermé en A =H < * -> A.2n-l *3 "2n-l *2n > A 2n+1 = A "2n A , et supposons que V - Ai ^ ô ô IdA.=g{ est un diagramme commutatif de T_' . H(x~ ) g 2n+l 2n+l = IdA« 2n+l 23 Comme /H/ est rétractable, nous avons: - K(gJ.H(Xl)) = K(g'). Xl = IdA.Xl = xl . Supposons que, si 1 < p < n , on dispose du diagramme commutatif de T_ suivant : > A.2p+l Id A=Sl où g. = K(g!) , pour tout Comme /H/ 1 < i < 2p+l . est rétractable, on a: - K ( g ^ 3 . H ( x 2 p f 2 ) ) = K ( g ^ 3 ) . x 2 p f 2 = K(g 2 ^ 1 ).x 2 p f l = K ( g ^ 2 ) . Au total, on dispose donc d'un diagramme commutatif de T_ tel que ci-dessous; Id où g A=êl 2n+l g. = K(g.') , pour tout 1 < i < 2n + 1 , et donc g~ +n = Id, D'où la conclusion. Fin de la preuve. 2. Application aux monoïdes d'opérateurs. Si h: M > M' est un homomorphisme de monoïdes, nous dirons qu'il est rétractable si, et seulement si, il existe une application telle que: Cj) k.h = Ic^ , k: M' > M 24 (jj) pour tout élément m de M et tout élément k(m'.h(m)) = k(m').m , (autrement dit, k m' de M' , on a est un homomorphisme de M-ensembles à droite). Dans ces conditions, nous avons: Proposition 8 .Si h: M > M' est un homomorphisme de monoïdes, il est rétractable si, et seulement si, 1'homomorphisme de théories de Lawvere /H / : /T^/ > /L(/ qu'il induit (voir Chap. II, §2) est rétractable. Preuve.Nous reprenons les notations de la preuve de la proposition 4 du Chap. II , §2 . En particulier, nous disposons d'un diagramme commutatif de foncteurs: où y (resp. (resp. y' ) est plein et fidèle et identifie donc le monoïde M M' ) au sous-monoïde Supposons que End^A) (resp. End^A')) . /H / est un homomorphisme rétractable de théories. Il existe donc un homomorphisme K: Gr(T') (ii) du §1. Comme et y y' > Gr(T) vérifiant les conditions (i) et sont pleins et fidèles, il existe donc un unique homomorphisme de graphes orientés k: Gr(M') > Gr(M) rendant le diagram- me ci-dessous commutatif: •> Gr(T*) Gr(M' ) Gr(y') K Gr(y) -> Gr(T) Gr(M) Clairement, ceci signifie que l'application k: Mo- -> M vérifie les condi- tions (j) et (jj) . Réciproquement, supposons que l'homomorphisme h: M > M' est rétractable. -> L'(p) est une flèche de T^„ P (i. e. si t' est un L'(q) homomorphisme du M'-ensemble libre L'(q) , à q générateurs (b.^ < j < q* Si t' vers le M'-ensemble libre L'(p) , à p générateurs ( a ^ < i < p ) définie 25 par: - t'(b . ) = m! a f .v J J v(j) nous notons K , pour tout 1< j< q , H - J - H ( f ) : L(q) tel que: - K°P(t°)(b.) = k(mî) a ,.. > L(p) l'unique homomorphisme de , pour tout M-ensembles 1< j< q . On définit ainsi un homomorphisme de graphes orientés K: Gr(TAt) Si t : L(p) > L(r) est une flèche de L. me du M-ensemble libre (c n}l < n < r - } 1 générateurs ^ue: t(a. ) = m. c •. >. , pour tout 1 (i. e. si c'est un homomorphis- L(p) vers le M-ensemble libre à r telle > ^rCTw) • 1< i< p , — W^IJ — nous avons : H, p(t) (a. ) = kh(m. ) c / . x = m . c ,. > = t(a. ) , pour tout 1 < i < p , h i i w(i) i w(i) i — — on en déduit que K.H = I d - ^ x , et la condition (i) du §1 est vérifiée. Gr(T^) - K D'autre part, nous avons: - K°P(Hh°P(t).t') (b ) = k(mp.m v ( i ) c w y ( j ) , pour tout 1< j< q , - (t.K°P(t')) (bj) = t(k(m«) a v ( j ) ) = k(mp.m v ( i ) c ^ . j , pour tout 1 < j < q , on en déduit que K (H (t).t') = t .K (f) et donc que la condition (ii) du §1 est vérifiée. D'où la conclusion. Fin de la preuve. De la proposition 8 précédente et de la proposition? , on déduit immédiatement que: Corollaire. Si^ h : M tout > M' est un homomorphisme rétractable de monoïdes, M-ensemble se plonge dans un M'-Ens > M-Ens , induit par M'-ensemble (ou encore, le foncteur d'oubli h , est à plongements). 3. Construction d'homomorphismes (de théories) rétractables. Si note /H/: /T/ 1 A'.T > /T'/ est un homomorphisme de théories de Lawvere, on (resp. A.T ) le sous-graphe orienté de Gr(T') (resp. Gr(T)) constitué des flèches A' > A' (resp. A — > A) , où m > 0 . Dans ces conditions, nous avons: Proposition 9 . Un homomorphisme /H/: /T/ > /T'/ entre deux théories de 26 Lawvere est rétractable si, et seulement si, il existe un homomorphisme K : AC.T_' - - > A.T_ de graphes orientés tel que: (i') pour toute flèche t: A m > A de_ A.T , on a K-(H(t)) = t , (ii') pour toute flèche t: A n > AP de T c t : A' P > A' Preuve. Supposons que K: Gr(T') et toute flèche Q t': , de T' , on a Kx(t .H(t)) = K1(t ).t . /H/ est rétractable. Alors, il existe un homomorphisme > Gr(T) vérifiant les conditions (i) et (ii) du §1. Clairement, la restriction K-: A'.T_' > A.T_ vérifie alors les conditions (i') et (ii'). > A.T^ est un homomorphisme de graphes Inversement, supposons que K.. : A'.T_' orientés vérifiant les conditions (i') et (ii'). Pour toute flèche > k*m t': A , n de T' , posons: - K(t») = [K1(Tr'(m,i).t')]1 < . < m . T r i v i a l e m e n t , on d é f i n i t bien a i n s i un homomorphisme K: GrCT') > Gr(T_) de graphes o r i e n t é s . Si t: A > A e s t une f l è c h e de - K(H(t)) = [ K 1 ( ^ T ' ( m , i ) . H ( t ) ) ] 1 < i < = [K1(TT,(m,i)).t]1 < ^ < T , on a: m (puisque K^ vérifie (ii') ) = |~K(H(Tr(m,i))).t"l^ . . (puisque 1 -Jl Am est une flèche de T_ et si t': A'm > A,P est une flèche de T_' , nous avons: - TT(p,j).K(f.H(t)) = iî(p,j).[K1(TT'(p,i).t'.H(t))]1 < i < = K1(iT'(p,j).t'.H(t)) = K-(TT'(pfj).t').t pour tout (puisque. K1 1< j< p , - TT(p,j).K(t').t = TT(p,j).[K1(TT°(p,i).t')]1 < i < .t vérifie (ii') ) , 27 = K_(TT'(P,j).t').t , pour tout on en conclut que K(t'.H(t)) = K(t').t 1 < j< p, et donc que K vérifie bien la condition (ii) du §1. Fin de la preuve. Supposons que > /Tc/ /H/: /T/ et /J/: /T^/ > /T/ sont deux homomorphismes entre théories de Lawvere. Alors, on note: - /H'/ = /H/./J/ , - G: Ens'-' > Ens'- ' e: Id , , Ens7-' > Ens /H/ l'adjoint à gauche de Ens'H': Ens'-'^ .G > Ens'-^, la transformation naturelle associée à cette adjonction, > Ens/H/.G.Y = Ens /H/ .Y'.H° P : T ° P _ ê = e.Y : Y ^ - e = e(A ) , pour tout > Ens7!7 , n> 0. Nous dirons que /H/ est /J/-co-scindé si, et seulement si: - il existe une transformation naturelle (appelée /J/-co-scindage de /H/ ) 9: E n s / H , / . Y « . H ° P = > Ens/J/.Y : T ° P (nous poserons, alors, (i") 0 > Ens^ = 9(A ) , pour tout n > 0 ) telle que: 9 1 . E n s ^ ^ ) = Idy ( A ) , (ii") pour toute flèche t': A'n > A' (nécessairement unique, puisque Y t: A dans > A de T Ens de T' , il existe une flèche et Ens' sont fidèles) telle que le diagramme ci-dessous commute : Ens^'^Y'Ct»)) _î Ens / J / ( e i ) 0n Ens/J/(Y(t)) En particulier, un homomorphisme /H/ sera dit (plus simplement) co-scindé si, et seulement si, il est Id.,-co-scindé. Dans ces conditions, montrons maintenant que: Proposition 10 .Si /J/: /T^/ > /T/ et /H/: /T/ > /T'/ sont deux 28 homomorphismes de théories de Lawvere et si /H/ /H/ est /J/-co-scindé, alors est rétractable. Preuve.D'après la proposition 9 précédente, il suffit d'exhiber un homomorphisme K x : A'.TP Si t': A' > A.T > A' vérifiant les conditions (i') et (ii'). est une flèche de T' , la condition (ii") assure qu'il existe une unique flèche > A K ^ t ' ) : A™ telle que: - E n s ^ C Y Q ^ C f ) ) ) = 0m.Ens/H,/(Y'(t')).Ens/J/(ïï1). On définit donc ainsi un homomorphisme Si t: A > A est une flèche de K.. : A'.T' > A.T de graphes orientés, A.T , nous avons: - Ens/J/(Y(K1(H(t)))) = 0 m .Ens / H V (Y'(H(t ))) . E n s ^ 7 ^ ) = Ens/J/(Y(t)).01.Ens/J/(ê1) = comme Ens et Y Ens'J'(Y(t)) (car (car 0 est naturelle) (i') est vérifiée), sont fidèles, il en résulte que K (H(t)) = t et donc p que K vérifie (i ). Si t": A'n > A' est une flèche de T' et si t: A P > An est une flèche de T_ , nous avons aussi: - Ens/J/(Y(K1(t'0H(t)))) = 0p.Ens/H 'f (Y' (t ' .H(t ))).Ens/J/ ( ê ^ = 0p.Ens/H,/(Y'(H(t)).Ens/Ht/(Y'(f)).Ens/J/(ïï1) = Ens/J/(Y(t)).0n.Ens/HV(Y'(f)).Ens/J/(ïï1) (puisque 0 est naturelle) = Ens/J/(Y(t)).Ens/J/(Y(K1(t'))) (par définition de K ) = Ens^'cYCK^t^.t)) , comme Ens' et donc que K et Y sont fidèles, on en déduit que K-(t'.H(t)) = K (t').t vérifie la condition (ii'). D'où la conclusion. Fin de la preuve. 4. Application aux modules. Supposons que V (resp. V ) est un anneau commutatif unitaire et que 29 b: V > V est un homomorphisme injectif d'anneaux commutatifs unitaires (identifiant V /T_/ /T vf / ) la théorie de Lawvere des (resp. à un sous-anneau unitaire de V dules): 1'homomorphisme h ) . Nous notons alors V-modules (resp. des Vf-mo- induit alors un homomorphisme de théories de Lawvere /H /: /T./ > /T / /Hh/ /T y0 / Ens : Ens sous-jacent"). > Ens de celle sorte que le foncteur associé /Tv/ est le foncteur d'oubli usuel ("V-module Dans ces conditions, prouvons que: Proposition 11 . Si le V-module l'homomorphisme de théories injectif h: V > V V est facteur direct du V-module /H / : /T / V , alors > /T_v,/ , induit par l'homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires, est rétractable. Preuve. Il suffit de montrer, d'après la proposition 10 précédente, que /H / est co-scindé. On sait que T_ de V-Mod (resp. T.§ ) est (isomorphe à) la sous-catégorie pleine (resp. V'-Mod) dont les objets sont les V-modules (resp. les modules) V (resp. V ) où n > 0 . On vérifie facilement que, pour tout n > 0 , on a Si V a un supplémentaire W - 0 = 0 n : V'n , pour tout > Vn signe la projection de V dans le V-module sur V > V,n . , posons: n > 0 , lorsque V-linéaires 9,: V > V dé- 0 : Ens (0 ) . - définit bien nn /H/ .Y'.H^ 1 ^ ±°Q > Y: TT7 h On a bien entendu :Vn e =h V , parallèlement à W . Clairement, la famille d'applications une t r a n s f o r m a t i o n n a t u r e l l e V- — > V-Mod —V 9-i*ê\ = 9,.h = Id^ , si bien que la condition (i") du §3 est vérifiée. Si t°: V > V'm est une application V'-linéaire, alors 9 .t'.ë- est V-linéaire et la condition (ii") du §3 est également vérifiée. D'où la conclusion. Fin de la preuve. On en déduit (ce qui n'est pas fait pour surprendre) que: Corollaire, Si V est un anneau commutatif unitaire, facteur direct d'un sur- anneau commutatif unitaire plonge dans un V (considéré comme V-module),tout V-module (ou encore, le foncteur d'oubli jacent" est à plongements). V-module se "V-module sous- 30 5. Application aux algèbres de Lie. Dans tout ce §5, on suppose que contenant Q V est un anneau commutatif, unitaire, comme sous-anneau unitaire. On désigne par: - AlgAs la catégorie des V-algèbres associatives et par /T / la théorie —r\S S de Lawvere de ces V-algèbres associatives, - AlgLie ces V-algèbres de Lie et par la catégorie des V-modules et par la théorie de /TV J la théorie de Lawvere de V-modules. Clairement, on dispose d'un homomorphisme /J/: /T . / —"Lie V-algèbres de Lie, - Mod ces la catégorie des 'hiod1 (resp. > /H/: /T . / ~*.i_i i e > /T / (resp. —"As s ^ L i e 7 } de Sorte que 7 /H/ —Ass 7 Ens' ': Ens A b S = AlgAs /T . / E n s 7 J 7 : Ens ""Lie = AlgLie est le foncteur d'oubli canonique /Lip/ ie > AlgLie = Ens /T / > Mod = Ens " ^ o d ) "V-algèbre de Lie sous-jacente" (resp. "V-module sous-jacent" ) . On reprend les notations du §3. En particulier 1'homomorphisme /H'/ = /H/./J/ : /TV / > /T / induit le foncteur d'oubli canonique /H°/ 'ï.Aqq' Ens / H ' : Ens A S S = AlgAs '^Mod' > Mod = Ens ^ ° a à savoir le foncteur "V-module sous-jacent". Dans ces conditions, le foncteur G adjoint à gauche du foncteur Ens /H/ est le foncteur "V-algèbre enveloppante" et le foncteur G' adjoint à gau/H' / che du foncteur Ens' ' est le foncteur "V-algèbre tensorielle (non unitaire)". Montrons que: Proposition 12. L'homomorphisme canonique /H/: /TV . / > /T. / , de la théorie de Lawvere des V-algèbres de Lie vers celle des V-algèbres associatives, est un homomorphisme rétractable, lorsque unitaire contenant Q V est un anneau commutatif comme sous-anneau unitaire. Preuve. En vertu de la proposition 10 du §3 (dont nous reprenons les notations), il suffit d'établir que /H/ est /J/-co-scindé. 31 Pour ce faire, pour tout entier n > 0 , désignons par de Lie libre à n {X-,X~,...,X } : ses éléments peuvent donc générateurs L(n) la V-algèbre s'écrire comme des polynômes (non constants!) , non associatifs et non commutatifs ?[X ,... ,X ~] (mais ces écritures ne sont pas canoniques!). On dési- gne alors par T(L(n)) la V-algèbre tensorielle (non unitaire) du V-mo- dule (sous-jacent à) L(n). Dans ces conditions, on sait que la V-algèbre enveloppante G(L(n)) de V-algèbre T(L(n)) par l'idéal engendré par les éléments de la forme: 1 où L m > 2 pour tout - q et î+l L(n) est la V-algèbre m m l ; £ i < ~l 1 î+l T(L(n))/I i m sont deux entiers et i+lJ m est élément de L(n) , 1 x. , quotient de la L i 1 < j < m. Nous désignons alors par: : T(L(n)) > T(L(n))/I = G(L(n)) 1'homomorphisme de V-algèbres "passage au quotient", - e' : L(n) >T(L(n)) L(n) vers le V-module l'application V-linéaire canonique du V-module T(L(n)) Alors, il est clair que e = q .e' n ^n n ment combinatoirement) que: et l'on vérifie facilement (i. e. pure- - e' n est injective , - e est injectif (c'est le "Théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt" J pour les algèbres de Lie libres sur un anneau quelconque - voir les commentaires). Pour tout entier - C - l'ensemble des intervalles Cf(r) < cf(r+l) < que D a de {l,...,m} , notons: {r,r+l,...,s} de {l,...,m} m > 1 et toute permutation ... < tels a(s) , l'ensemble des éléments maximaux de C (l'intervalle décompose alors, de manière unique, en réunion d'éléments de {l,...,m} se D deux à deux disjoints). De même, pour tous entiers m,k > 1 , nous notons E , l'ensemble des per— m, K mutations a de {l,...,m} telles que Card D = k . Enfin, pour tous entiers n,m > 1 et tous éléments x, ,...,x de L(n) , on définit £x, ,...,x ~] par récurrence comme suit: - [xx] =X]L , " ^ ' • • • , x m - l , V l = ^ X l'"'' X m-l^'Vl y 32 e t l ' o n pose: - ^ • • • • • V = X ("1)k_1 (mkrl (")_1 cl [x aa)—'W K— 1 C76E m,k (ce qui a bien un sens, puisque V contient Q ). On définit, ainsi, une application V-linéaire 0': T(L(n)) n > L(n) . On vérifie, longuement mais de manière purement combinatoire, que 0'(I) = 0 (voir (P.B.W.T.) et les commentaires qui suivent). Par conséquent, on dispose d'une unique application V-linéaire 0 : G(L(n)) > L(n) telle que 0 M .q = 0' . n n n Pour achever la preuve, il nous suffit donc d'établir que la famille (0 ) Si (où 0 t: L(n) 0 = 0 ) définit un /J/-co-scindage de > L(p) est un homomorphisme de V-algèbres de Lie (où n,p > 0 ), il nous faut montrer tout d'abord que naturalité de rateurs /H/ . 0 ). Mais t.0 = 0 .G(t) (i. e. la G(L(n)) est aussi la V-algèbre libre à n géné- [X-,...,X } : ses éléments sont donc les polynômes (non constants), non commutatifs, mais associatifs, en les variables du V-module X-, ... , X . Une base G(L(n)) est donc constituée par les monômes (non constants) en ces variables. Pour montrer l'égalité souhaitée, il suffit donc d'établir que M t0 (x,....x ) = 0 G(t)(xn....x ) , pour tout m > 1 et tous éléments n i m p i m ' — x, ,...,x de {X-,...,X } . Or nous avons (en abrégeant les notations): -^^1---^ = ^^-1^1^-1^-1 E [vu W ) = S ( - D ^ m k ) - 1 ^ ) - 1 Z Ct(x cj(1) ),...,t(x 0(m) )] (puisque t = e,(t(x1)»...6t(x )) p i m , est un homomorphisme) - 0 G(t)(x1....xm) = 0 (G(t)(x1)....G(t)(x )) (puisque G(t) est un homomorphisme) = 0p(G(t)ïïn(Xl) ^¾^)) = 9 (e t(x,)....e t(x )) (puisque = e e est naturelle) p q p ( e J t ( x l ) 8 " - - - ^ ^ 1 0 ^ (puisque % = q p # 6 p Gt est un homomorphisme) = 0'(t(x1)e....®t(xm)) . S 33 Par ailleurs, nous avons: - e1ïï1(x1) = G^e^(X1) = 9{(X 1 ) = x x , etp comme X est base du V-module autrement dit que Enfin, si 0 L(l), on en déduit que 9-i-ei = Idy /A\> vérifie bien la condition (i") du §3. t': G(L(1)) > G(L(n)) est un homomorphisme de V-algèbres as- f sociatives, 0 .t .e, : L(l) > L(n) est bien un homomorphisme de V-al- gèbres de Lie, puisqu'elle est V-linéaire et puisque une algèbre de Lie commutâtive. Autrement dit, 0 L(l) est évidemment vérifie aussi la condition (ii") du §3. La proposition est donc démontrée. Fin de la preuve. De la proposition 12 précédente et de la proposition 7 du §1, on déduit que: Corollaire. Si V est un anneau unitaire, commutatif, contenant Q comme sous-anneau unitaire, toute V-algèbre de Lie se plonge dans sa V-algèbre associative enveloppante (ou encore, le foncteur d'oubli canonique de la catégorie des V-algèbres associatives vers celle des V-algèbres de Lie est à plongement s ). 6. Compléments et commentaires. 6.1. Un homomorphisme h: M > Mf entre deux monoïdes peut être di- visible sans être rétractable. Ainsi, désignons par M libre à deux générateurs ments sont les mots g g., et g le monoïde abélien g« ; en notation multiplicative, ses élé- , où (n,m)^(0,0), ainsi que le mot 0 ; désignons par M' le monoïde commutatif librement engendré par les générateurs et g° e^ la relation g est un symbole "annexe" ) tels que g'g, = g'g2 : ses éléments sont les mots que précédemment et le mot 0 p> 0 et q > 0 , les mots g g-, g9, g ^ ^ (où tels et la loi de composition vérifie: - ( g ' V x g ' V ) = g-p+V*3 . - (g' P 6 q )( 6 l V) = g'Pgq+mfn , _. m n.. r Sv _ 1 ^2 ^^1 ^9 m+r n+s 1 ^2 ' - 0 est l'élément neutre. Alors, l'homomorphisme injection canonique être rétractable. M > M' est divisible et ne peut 34 De même, un homomorphisme h: M — > Mf entre deux monoïdes peut être rétractable sans être divisible: il en est ainsi de l'injection canonique ({0,l},x) —>(N,x). Cependant, si M est régulier à droite dans est simplifiable à droite dans M' (i. e. si tout élément de M M ' ) , on vérifie facilement que h est rétracta- ble si, et seulement si, il est divisible. 6.2. Un homomorphisme h: M > M' entre deux monoïdes peut n'être ni divisible, ni rétractable, et pourtant induire un foncteur d'oubli M'-Ens > M-Ens à plongements: il en est ainsi, par exemple, de l'injection canonique M x ({0,l},x) > M'x (N,x) . Nous caractériserons, complètement, au Chap. IV, §§2 et 3 , de tels homomorphismes: ce sont les homomorphismes purs. 6.3. Si > M' h: M est un homomorphisme de monoïdes, dire qu'il est rétractable signifie aussi que 1'homomorphisme de M°P-ensembles op un homomorphisme de M -ensembles h admet > M , inverse à gauche de h k: M' 6.A. On sait qu'un homomorphisme injectif h: G > G' entre deux groupes est divisible. Il est aussi rétractable. En effet, si l'on choisit dans chaque classe à droite g^' de on définit un homomorphisme de gauche de G' (modulo G°P-ensembles k: G' §(g Q ), > G , inverse à h , en posant : - pour tout élément g' de G' , k(g') = (§(g'))"1.g° pourvu que l'on ait pris soin de choisir neutre de G) un représentant , comme représentant de G l'élément G' (ou G). 6.5. Un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires évidemment induire un foncteur d'oubli que le V-module V V'-Mod > V-Mod > V h: V peut à plongements sans admette un supplémentaire dans le V-module V : on sait qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que l'application V-linéaire h soit pure. Nous n'avons examiné l'exemple du §4 qu'à titre de préparation (simple) à l'étude du §5. 6.6. Dans la preuve de la proposition 12 du § 5 , nous utilisons le fait que e^ : L(n) > T(L(n)) est une application V-linéaire injective. Il est, en effet, facile (et classique) d'établir directement que le foncteur d'oubli canonique AlgAs > Mod est à plongements. On peut l'établir tout aussi facilement en utilisant la condition (CS), appliquée à 1'homomorphisme /H'/: /T M o d / > /T A s g / . Nous avons préféré illustrer cette condition par des exemples plus significatifs. 35 > G(L(n)) Dans cette même preuve, nous utilisons le fait que ê" : L(n) est un homomorphisme de V-algèbres de Lie injectif: il ne s'agit nullement d'une utilisation abusive, comme hypothèse, de la conclusion que l'on cherche à démontrer] En effet, ceci signifie que l'on utilise le fait que le foncteur d'oubli canonique > AlgLie AlgAs est à plongements libres pour établir qu'il est à plongements (quelconques). On peut établir directement que le foncteur d'oubli canonique > AlgLie AlgAs est à plongements libres (c'est la procédure classique), nous l'avons donc admis dans la preuve considérée, pour faire court. Bien sur, il nous aurait été facile d'en donner une traduction syntaxique (justement parceque cette propriété ne concerne que les algèbres de Lie libres, i. e, la sous-catégorie pleine de à-dire justement /T_ . / P AlgLie dont les objets sont les L(n), c'est- ! ). 6.7. Dans la preuve de la proposition 12 du §5, nous utilisons le fait que 0'(I) = 0 . On en trouvera une démonstration purement combinatoire en (P. B.W.T.) , dans le cas où (i. e. contenant preuve lorsque V Q V est un corps de caractéristique nulle comme sous-corps). Il est facile de ré-écrire cette est un anneau commutatif unitaire contenant Q comme sous-anneau unitaire. Son caractère combinatoire signifie exactement qu'elle est facilement traduisible en termes des théories de Lawvere /T. / et /T^ /T, • e / t / , i. e. qu'elle est bien syntaxique. 6.8. Dans la preuve de la proposition 12 du §5, il est essentiel de remarquer que, pour n > 0 , 0 :G(L(n)) > L(n) n°est pas, en général, un ho- momorphisme de V-algèbres de Lie (d'où l'intérêt de la notion de /J/-co-scindage, quand /J/ ^ ^ / T / ' a u contraire du cas particulier étudié au §4). En effet, on vérifie facilement que l'on a: - 9n([xy,yy]) = 0R(xyyy - yyxy) = - [9n(xy),0n(yy)] = 0 , si n > 0 et pour tous éléments - 1/6 [y,x,y,y] , x, y de L(n) • 6.9. La preuve de la proposition 12 du §5 précise l'affirmation (sommaire) de la fin de (C.S.D.P.). CHAPITRE IV: CAS GENERAL. 1. Plongement des générateurs dans les algèbres qu'ils engendrent. Nous notons /T„ / —Ens' la théorie de Lawvere des ensembles, 7 i. e. la théo/T / rie telle que Ens et Ens soient équivalentes: alors, T_ est (isomorphe à) la sous-catégorie pleine de Ens dont les objets sont les n = {l,...,n} (où n > 1 ) et On sait que /T_ / £ = 0 . est un objet initial de la catégorie des théories de Lawvere (dont les objets sont ces théories et dont les flèches sont les homomorphismes). Ainsi, à toute théorie de Lawvere momorphisme que /Uryji /T / "ensemble "sous-jacent" /T'/ est associée un unique ho- f > /T / , qui induit le foncteur d'oubli canoniEns/T'/ — > Ens. Dans ces conditions, nous dirons qu'une théorie AT'/ est triviale si, et seulement si: - 1'homomorphisme canonique /H f/ n'est pas fidèle. Montrons, alors, que: Proposition 13 . Il y a exactement deux théories de Lawvere triviales, à savoir: celle des ensembles de cardinal égal à 1 et celle des ensembles de cardinal inférieur ou égal à 1. Preuve. Si distinctes (ce qui implique m > 2) telles que lL,ç(f) = H 9 (g): A' Il existe donc aussi deux applications que f',g': 1 ^ ( f ) = qT'(m,f(l)) = TT°(m,g'(D) : A'm Il en résulte que, pour tout > m > A' . distinctes telles > A' . p> 0 , (Hom(A'P,iï'(m,i)): Hom(A'P,A'm) > Hom(A'P,A' ) ^ est une présentation de Hom(A'P,A'm) comme produit,dans p > m /T'/ est triviale, il existe donc deux applications f,g: n < i < Ens, de de Hom(A' ,A') pour laquelle les deux projections, d'indices m m copies f'(l) ^ g 9 (D * 37 Hom(A' P ,A') sont égales. Ceci impose que est de cardinal inférieur ou égal P à 1 . On en déduit que, pour tout P q q > 0 , l'ensemble Q Hom(A' ,A' H ) potent à Hom(A' ,A') Mais, si p > 1 , il existe toujours (au moins) une application (équi- ) est de cardinal inférieur ou égal à 1 . P donc une flèche H T § ( h ) : A' > A' cardinal supérieur ou égal à 1 . En d'autres termes, si /T'/ q . Donc P ,q Hom(A' ,A ) est toujours de est triviale, la sous-catégorie pleine p T° , dont les objets sont les A' des couples des objets de et l'on a, de plus: T' , où - soit Hom(A' ,A') est de cardinal - soit Hom(Ac ,A') est vide. > p > h: q TJ^ de p > 1 , est isomorphe au groupoïde 1 , Dans le premier cas, on vérifie bien que /T'/ est la théorie des ensembles de cardinal /T'/ est la théorie des ensembles de 1 et, dans le second, que cardinal inférieur ou égal à 1 . Fin de la preuve. Montrons, maintenant, que si nonique > /T'/ /H_ 0 /: /T / '—Ens /T'/ est non triviale, l'homomorphisme ca- vérifie la condition (CS). Plus précisé- ment : Proposition 14. Le foncteur d'oubli canonique /T'/ Ens - gement si, et seulement si, la théorie de Lawvere /T'/ -> Ens est à pion- est non triviale. Preuve. Compte tenu de la proposition 13 précédente, il est clair que si /T 1 / /T'/ -> Ens n'est certaineest triviale le foncteur d'oubli canonique Ens ment pas à plongements. Réciproquement, supposons que /T'/ est non triviale et que Z : z^- est un zigzag pour lequel on dispose du diagramme commutatif de T' —Ens ci-des- sous: 2n+l 2n -> 2n-l <- -> 3 «- 1 <- I A=l A =p 2 > A -> A ^ n T i = ^ l =£ 3 A' T„ ° P c - -> Ens n -Ens tive, qui est évidemment objet de T_ op , que nous représentons par: P P Il en résulte que H f (s-) = F L ^ s ^ .-•) et, comme Hrft duit que s1 = s2n+]7 est fidèle, on en dé- "" Le calcul des limites inductives dans Ens teur N : z > z et une famille m n IT P N r .N tels que: U ; 1 < i < 2nri-l - N(l) = 1 et N(2m+1) = 2n+l , - 2n + 1== ±1 . indique alors qu'il existe un fonc- (x.), . . . ~ ^n L * £ x £ 2m+l appartenant à x1 = 1 = x 2 m + 1 , - Z°P.N°P(2k-l tout 1 < k < m . > 2 k ) ( x 2 k - l ) = X 2k = Z ° P - N ° P ( 2 k + 1 * 2k)(x2k+l) ' P 0 ™ Autrement dit, nous disposons du diagramme commutatif de T^ » A A SM(') est ^application qui à 1 vérifie la condition (CS). D'où la pro- 39 2. Critères de pureté pour les monoïdes d'opérateurs. Si > M' h: M est un homomorphisme de monoïdes, nous dirons qu'il est pur (à gauche) si, et seulement si, pour toute famille d'éléments de M et toute famille (m?)- . 2 ("O^ < i < 2p - d'éléments de M' telles que: (i) m' = L.Q = m' - (où L, (ii) m.'.h(m. ) - m? .h(m.+1) = m' alors, il existe une application , pour tout (j) NQ(1) = 1 et > {l,...,2p+l} et une telles que: NQ(2q+l) = 2p+l , |N0(j+l)-N0(j)| = 1 , pour tout (jjj) mi = \A = nu +1 1 < i impair < 2p-l N : {l,...,2q+l} (m.)- ^ . ^ 0 - d'éléments de M j 1 < j < 2q+l famille (jj) est l'élément neutre de M' ) , ^°^1 (jv) ^ - 1 ¾ (j) = m j + 1 *M est 1 < j < 2q , *'élément neutre de l = ^+2- 1 ¾ (j+i) ' P ° u r t o u t On vérifie facilement qu'un homomorphisme pur h M ) , < J i m P ai * < 2q-l . est nécessairement injectif (auquel cas, on l'identifiera à une injection canonique). Dans ces conditions, prouvons que: Proposition 15 . Un homomorphisme de monoïdes h: M > M' est pur (à gauche) si, et seulement si, 1'homomorphisme de théories de Lawvere /H /: ITJ tion > /Twt/, qu'il induit (voir Chap. II, §2 ),vérifie la condi- (CS) . Preuve. Supposons, tout d'abord, que /Hh/: /T^/ => /T^,/ vérifie (CS). On sait (voir la preuve de la prop. 4 , §2, Chap. II) que l'on dispose du diagramme commutatif de foncteurs ci-dessous: y» "M ^ H h -^¼ y (resp. y 9 ) monoïde EncL(A) où est plein et fidèle, i. e. identifie (resp. E n d ^ A ' ) ). M (resp. M' ) au 40 Par conséquent, si (nu^ < i < 2 est une famille d'éléments de M vé- rifiant les conditions (i)"~et ""(ii) précédentes, on dispose du zigzag Z: z > T_ et du diagramme commutatif de T_* représentés ci-dessous: -> 3 <- 1 <- A A <- A m nu nu A' < -> 2p-l < -•> A nu m,2p-l nu m.2p-l > nu A' Mais, comme > A' <- /H, / vérifie -> A m,2p+l «- m.2p A' 2p+l nu nu , n 2p m 2p+l — A' — — > A' (CS) , il existe bien un foncteur et un diagramme commutatif de T 1 <- 2p N: z q -> z comme représenté ci-dessous: 2q-l -> 3 <- -> 2q+l 2q Z.N A ^NO) A ^N(2) (où N(l) = 1 Si N_ 0 et A ^)...,^..¾^ JV2S)A,V234) N(2q+1) = 2p+l ). désigne la restriction de N aux objets de z q et z , il est clair P 41 que la famille (m.)- _ . . ~ T .d'éléments de M, ainsi obtenue 7 j l < j < 2q+l ' les conditions (j) à (jv).Par conséquent h est pur. vérifie bien est pur. H „ TT\,f°P On sait que (voir la prop. 4 , §2 , Chap. II ) T^°P r^„ (resp. ) est (isoRéciproquement, supposons que -> M' h: M morphe à) la sous-catégorie pleine de M-Ens (resp. M'-Ens ) dont les objets sont les M-ensembles (resp. M'-ensembles) libres u générateurs, où L(u) (resp. L'(u) ) à u> 0 . Constatons qu'alors t: L(u) de on peut identifier tout homomorphisme (x) M-ensembles>au couple ((t^ O-, < x < u > t*) tel que: - t ( X ) : L(l) = M M-ensembles, pour tout -> M = L(l) est un homomorphisme de > L(v) ) 1< x< u9 > v = {l,...,v} - t": u = {l,...,u} - t(a ) = t^x)(l) b * f v (si {a1,...,au} vement, les ensembles générateurs de Alors, si s: L(v) est une application, L(u) et et {b1,...,bv} sont, respecti- L(v) ), pour tout 1 < x < u . > L(w) est un autre homomorphisme de M-ensembles, nous avons : - (s.t) ( x ) (1) = t (x) (l).s (tA(x)) (l) (ce qui définit entièrement (s.t) (x) ), pour tout 1< x< u 9 (s.t)A = sA.tA . Evidemment, nous procédons à des identifications analogues pour les homomorphismes de M'-ensembles > L'(v) . L'(u) Dans ces conditions, si l'on dispose d'un zigzag diagramme commutatif de T^0 Z :z > T^ tels que ci-dessous: z op T 2p-l L ( l ) _ _ _ > L(u ) < . L(u ) ,.*..L(u ) >L(u ) < "2p Z Z Z P L P l 2 H T 2p-l > L'(u ) «2p -> L«(u2K- -L'(u3) .T. L»(u2 x ) ~ L'(D 4 = IdL' et d'un 2p+l L(l) L»(l) -2p-l L«(D L'(D 42 alors, on dispose du diagramme commutatif de (m. \ et les familles . Ens ci-dessous\ , d'éléments de M , et (m!)- ^ . ^ _ 1 J- < 1 ^ ^P d ' é l é m e n t s de - m? = t ? i 1 1 < 1 < n , 2p+l M' , t e l l e s que: ( 1 ) , pour t o u t 1 < i < 2p+l , i — — (t^(D) - m. = t. (1) , pour tout 1 < i impair < 2p-l , (1) , pour tout 1 < i pair < 2p , (t! +1 A (D) - m. = t. vérifient les conditions (i) et (ii) précédentes. Comme h est pur, il existe donc une application une famille (m.) ^ j .< ^ n2q+l ,n *> d'éléments de j n1 < N : 2q+l > 2p+l et M, > vérifiant les conditions (j) à (jv). Si > z N: z est l'unique foncteur ayant N pour restriction aux ob- jets, ceci signifie exactement que l'on dispose d'un diagramme commutatif dans T^ tel que ci-dessous: 2q-l -> 2 <•> 2 L(u , L(l) N(2) ... ^(2) ) — 2p-l lz°l L(U N(3) ) m 2q+l > 2p <- 2p+l N(2q-l) L 2q <- m N(2q) N(2q-l)>~^ « V q f — L X <> 43 où l'on a: ~ tj = L - (l) = m., pour tout t N (j)* » P 0 ^ tout X £ J £ 2<1+1 » 1 < j < 2q+l . Comme, en particulier, ceci impose /H / t", = F n n = Id.L(l) * ° n e n déduit Q u e 1 2q+l vérifie (CS). Fin de la preuve. 3. Compléments et commentaires. 3.1. La situation particulière du §1 se généralise comme suit. Disons qu'une théorie de Lawvere / T / est amalgamante si, et seulement si, les /T/ sommes amalgamées se calculent, dans Ens — , point par point (i. e. comme T dans E n s — ) . Ainsi, la théorie des ensembles /T / est amalgamante. —Tins Dans ces conditions, la condition suffisante de plongement (CS) est aussi nécessaire. Précisément, on a: > /T'/ Proposition 16 . Si /H/: /T/ est u n homomorphisme de théories de Lawvere tel que /T/ soit amalgamante, alors le foncteur gements si, et seulement si, Ens' ' est à plon- /H/ vérifie la condition ( C S ) . Preuve. Il est clair que la condition (CS) est ... suffisante! Montrons qu'elle /H/ est nécessaire et, pour ce faire, supposons que Ens est à plongements, i. e. que son adjoint à gauche On sait que T ° p (resp. G est fidèle. T ' o p ) est la sous-catégorie pleine de Ens —' /T '/ (resp. E n s 7 et que H p n ) dont les objets sont les Y(A ) est restriction de G. Si l'on dispose d'un zigzag de T' n (resp. Y'(A' ) ) , où n > 0 , r<>P et du diagramme commutatif Z * :z ci-dessous: ~> 2 <- r Y'(A')—> Y»(A» 2 ) < — Y'(A« 3 ) 2n-l > 2n <- 2n+l ,op .. Y^A') Y«(A« 2 n _ 1 )_>Y'(A' 2 n ) -É-Y'(A') 44 représentons par: 2n+l Y(A) >Y(A *)« Y(A J ) ... Y(A "" *) >Y(A " ) < - •Y(A) op op Zop -> Ens'I' z -> T <=n ,) et, puisque G est fidèle, s.. = s 2 une limite inductive naturalisée de Alors, nous avons G(s1) = G(s2 Comme la limite inductive mées et puisque /T/ L se calcule par une succession de sommes amalga- est amalgamante, la limite inductive point par point. De l'égalité ,• L se calcule Hom(Y(A) ,8-)(14^ .) = Hom(Y(A),s2n+1)(IdY,A0, résulte, vu le calcul des limites inductives dans foncteur N: z > z et une famille m n H T Hom(Y(A),Z(i)) tels que: 1 < i < 2m+l - N(l) = 1 et N(2m+1) = 2n+l , Ens , qu'il existe un (x. ) n . . .0 ., appartenant à i 1 < i < zm+1 " X l = Id Y(A) = X2m+1 ' - Z°P.N°P(2k-l tout > 2k)(x2k_1) = x 2 R = Z°P.N°P(2k+l > 2k)(x 2R+1 ) , pour 1< k < m • On en conclut (comme dans la preuve de la proposition 14 du §1) que /H/ vé- rifie bien (CS). Fin de la preuve. 3.2. Disons que - /T_'/ (/T'/,u) est une théorie pointée si, et seulement si: est une théorie de Lawvere, - u: 1 > A' est une flèche distinguée dans T.* • Si (/T.., w/,u) est la théorie pointée des ensembles pointés, i. e. si: —Tins* est la sous-catégorie pleine de la catégorie - T -41ns* pointés; ayant pour objets les (n, 1) , où n > .1 , - u ( 1 , 1 ) — > (2,1) Ens* y des ensembles est l'application pointée canonique, 45 alors, à toute théorie pointée (/T'/,u) est associé un unique homomorphisme > /T'/ vérifiant H (u) = u . Nous dirons alors qu'une "— u (/T'/,u) est triviale si, et seulement si, /H / n'est pas /H /: /TV, „/ u ""iin s* théorie pointée fidèle. Il est facile de vérifier que la seule théorie pointée triviale est celle des ensembles pointés n'ayant qu'un élément (leur point ! ) • Comme /T_, „/ est évidemment une théorie amalgamante, de la proposition précédente et de manière analogue à ce qui est établi au §1, on déduit alors que: Proposition 17. Si (/T'/,u) est une théorie pointée, le foncteur d'oubli — Tcp-T canonique (induit par /H /) Ens — > Ens* est à plongements si, et seulement si, (/T_'/,u) est non triviale. 3.3. Si des M est un monoïde, on vérifie facilement que la théorie /L./ M-ensembles est amalgamante. On en conclut que: Proposition 18. Si h: M > M' est un homomorphisme de monoïdes une condi- tion nécessaire et suffisante pour que le foncteur d'oubli canonique M'-Ens > M-Ens soit à plongements est que h soit pur (au sens du §2). Preuve. D'après la proposition 15 du §2, on sait que vérifie (CS) si, et seulement si, h précédente, puisque /T^/ /H,/: /T^/ > /T^,/ est pur. D'après la proposition est amalgamante, on sait à plongements si, et seulement si, /H / vérifie M'-Ens 17 > M-Ens est (CS). D'où la proposition. Fin de la preuve. 3.4. On peut établir la proposition 18 précédente d'une autre manière. Si H: T_ > T' est un foncteur entre deux catégorie petites (quelconques), H T ' T le foncteur Ens : Ens— > Ens— admet un adjoint à gauche. Alors, on sait (voir (C.S.D.P.)) qu'une condition nécessaire et suffisante pour que Ens soit à plongements est que la condition (CS) soit vérifiée pour tout Ens soit à pic objet A de T Il est facile de vérifier que h Ens M' : Ens M = M'-Ens bien le foncteur d'oubli canonique (où les monoïdes fiés à des catégories ayant un seul objet) (CS) >• Ens M et = M-Ens M' et que le foncteur si, et seulement si, 1'homomorphisme de monoïdes h est sont identih vérifie est pur ! 46 3.5. Supposons que h: M > M' est un homomorphisme injectif de monoïdes. Alors, nous avons (en identifiant Proposition 19. Si tout élément de M 1'homomorphisme h h est simplifiable à droite dans précédente, il est clair que,si Inversement, supposons que n ,n M' , est pur si, et seulement si, il est divisible. Preuve. En vertu de la proposition 3 du §2 Si à une injection canonique): h h est divisible?alors il est pur. est pur. sont deux éléments de M n'.n- = n1 , alors du Chap. II, de la proposition 18 et n' est un élément de M' tels que (n- = m- f n 2 = nu , n 2 = m^ , n 1 = m^ ) et (mj = 1 ^ , m£ = n x , m^ = n' , m£ = i^ , m»- = 1 M§ ) sont deux familles d'éléments de M et M' donc une application vérifiant les conditions (i) et (ii) du §2. Il existe N Q : {l,...,2q+l} (m.)., ^ . ^ o .i .d'éléments de J 1 < J < 2q+l > Notons k M, vérifiant les conditions (j) à (jv) du §2. le plus petit entier tel que m..n1 = m, .n., ce qui impose , pour tout m. = m- = L. > {1,...,5} et une famille N (2k+l)=3 . Nous avons donc: 1 < j impair < 2k-l , , pour tout 1 < j impair < 2k-l , puisque n^ est simplifiable. Nous avons alors: - ^k-r n i = ™2k+r n 2 = n i = n *- n 2 ' ce qui impose m nv,-i = n' , donc n'ÇM , puisque n~ est simplifiable. D'où l'affirmation. Fin de la preuve. 3.6. Supposons que (h.: M. > M.'). est une famille d'homomorphismes entre monoïdes. Alors, on vérifie facilement que: - si h. : M. > M? est divisible (resp. rétractable) pour tout i€I , > ] \W i€I X l'homomorphisme produit 1 Th. : | | M. iÇI L i€I X (resp. rétractable) et réciproquement, - si I = 1' U I" et si h. est divisible (resp. rétractable) pour tout i Ç I' (resp. i € I" ) , 1'homomorphisme produit - si duit I est fini et si h. l ^' h i est pur, I - si ', ' h. îfl i est divisible est pur pour tout est pur, alors h. i I I h. est pur, i€I X i€I , 1'homomorphisme pro- est pur pour tout élément i de I . 47 Notons que c'est la deuxième assertion qui nous a été utile dans le commentaire 6 .2 du § 6 du Chap. III et que la dernière affirmation ne serait pas exacte si l'on n'y avait pas supposé 3.7. On sait que; si h: V I fini. > V est un homomorphismes d'anneaux unitaires commutatifs, le foncteur d^oubli canonique est à plongements si, et seulement si, h V'-Mod > V-Mod est pur (voir (A.L.C.O.)). On établit facilement la suffisance de cette condition en appliquant la condition (CS) à l'homomorphisme des /H,/: /T / V-modules vers celle des > jT^J de la théorie de Lawvere V'-modules (c'est dans un cas très particulier d'homomorphisme pur que nous avons raisonné au § 4 du Chap. IIL à titre de préparation pour le § 5 ). Pour établir sa nécessité il faudrait "additiviser" les considérations de 3.4 (par exemple): nous laissons ce soin au lec- teur, car nous avons préféré traiter en détail le cas, original, des homomorphismes de monoïdes. 48 APPENDICE. 1. Une condition nécessaire et suffisante de plongement. Dans tout ce qui précède, nous n'avons énoncé et appliqué que le critère syntaxique de plongement (CS) dans le cas de foncteurs algébriques, i. e. de foncteurs induits par des homomorphismes entre théories de Lawvere. Bien entendu, les problèmes de plongement ne se posent pas que dans de tels cas particuliers: ils se posent encore (par exemple) dans le cas de foncteurs essentiellement algébriques, i. e. de foncteurs induits par des réalisations entre esquisses projectives petites (voir (E.T.S.A.)) ou, si l'on préfère, pour des foncteurs admettant des adjoints à gauche entre catégories localement présentables (voir (L.P.L.G.)). Dans ces cas plus généraux, on dispose encore d'une condition suffisante syntaxique de plongement (voir (C.S.D.P.)) dont la condition (CS) n'est qu'une traduction particulière. Cependant, dans certains cas intermédiaires, on peut utiliser une condition sémantique "déduite" de cette condition syntaxique. Ainsi, supposons que /T/ ensemble de cônes inductifs est une théorie de Lawvere et que I_ , distingués dans de G valide >Hom(P T ,F) } Ens , pour tout cône inductif Alors, on note > P\<:T ' indexés par des caté/T/ "" 7 Ens — . On dit alors qu'une algèbre F si, et seulement si: - ( Hom(p ,F): Hom(P,F) dans est un C = (PT : PT gories petites /T/ C Val(C ) sont ceux qui valident C op est une limite projective appartenant à la sous-catégorie pleine de C C Ens'—' dont les objets et il n'est pas difficile d'établir que Val(C^) est localement présentable (ou projectivement esquissable). Si, de plus, un foncteur /H/: /T/ > /T'/ /H/ /T'/ Ens' : Ens'— ' est un homomorphisme de théories induisant /T/ > Ens'— admettant une restriction 49 U: Ens'—'' => Val(C ) , on en déduit que U admet un adjoint à gauche. Dans ces conditions, une condition nécessaire et suffisante pour que U soit à plongements est que: -> T est un zigzag de T tel que Z(l) = A = Z(2n+1) (CNS) si Z: z n et s'il existe un diagramme commutatif de T' tel que représenté ci-dessous : -> 3 I 2n-l <- 2n J J 2n 2n-1 -> A A <- -> 2n+l -> A $> A' c*) = IdA. alors, pour tout algèbre Hom( F de s x ,F) = Hom( /T/ , validant C , on a s 2 n + 1 ,F) : Hom(L.F) > Hom(Y(A),F), lorsque l'on représente par L = L„ Y(A) > Y(A ') « Y(A Y(A) ) ... Y(A r,op une limite inductive de Y.Z :z op -> Ens /T/ 2. Exemples d'applications. Supposons, tout d'abord, que /H/: / T ^ ^ / > /l A b / est I^omomor- 50 phisme de théories de Lawvere induisant le foncteur d'oubli canonique > Monab Ab celle des de la catégorie des groupes abéliens (pour simplifier) vers monoïdes abéliens (pour simplifier). Notons £ l'ensemble pos- sédant pour unique élément le cône inductif (indexé par la catégorie C = (k: M3 > M 2 ) de Monab tel que: - M est le monoïde abélien libre à deux générateurs - M est le monoïde abélien librement engendré par les générateurs et z et la relation - k: M^ et > M 1^ ) x et y , x ,y xfy = x+z , est l'unique homomorphisme de monoïdes tel que k(x) = x k(y) = y = k(z) . Alors, il est clair que Val(C ) est la sous-catégorie pleine de Monab ayant pour objets les monoïdes réguliers abéliens. op Identifions, maintenant, T^ ne de P Monab IN (resp. 2 (où 1 Si Z: z T (resp. T ° P ) à la sous-catégorie plei- (resp. Ab ) ayant les monoïdes (resp. groupes) abéliens libres P ) à p générateurs ( quand est mis à la i place ,si p > 0 ) g. = (0,.. . ,1,... ,0) l 0 ) . est un zigzag et (*) est un diagramme commutatif de -> T -Monab tels que dans l'énoncé de la (CNS) précédente (dont on reprend les nota- tions), si M est un monoïde abélien régulier et si IN IN -> 2 «r- 2n-l est un diagramme commutatif de tout homomorphisme t': 2 P, t'+(l) = Z J a.+ g - P t° (1) = ZiJ 1 a. Li B, ^1 -> 2n <- Monab, posons, pour tout > %^ de groupes abéliens: 2n+l 1 < j < 2p+l et 51 (lorsque, pour tout entier relatif a a , on note a = Sup(a,0) et = Sup(-a,0) ), .. alors, ceci définit deux homomorphismes de monoïdes abéliens P + i t ,t : IN — > (N Dans ces conditions, nous avons: - h 1 (i> + h 3 ( t j " ( D ) = h 3 ( t . « + a ) ) , - h3(t» + ( D ) + h5(t«" (1)) = h 3 (t^~(D) + h 5 (t 5 + (l)), " h 2n-l ( t 2n-l + ( 1 ) ) = h2n-l(t2n-"l(1)) + h 2 n + l ( 1 ) • ce qui permet de conclure (en sommant toutes ces égalités et en utilisant la régularité de M ) que h (1) = lu .(1), donc h = h2 -. Ceci prouve que la (CNS) est vérifiée et donc que tout monoïde abélien régulier se plonge dans le groupe abélien qu'il engendre ... sans utiliser la construction explicite de ce dernier à partir du premier! Bien entendu, on pourrait multiplier de tels exemples "concrets" d'application du critère (CNS) du §1 : nous laissons ce soin au lecteur, en souhaitant que cet exemple particulier l'ait convaincu de l'effectivité du critère. Plus systématiquement, la (CNS) du §1 permet de définir des classes d'homomorphismes entre théories induisant des foncteurs à plongements. Par exemple, disons qu'une théorie de Lawvere /T/ est simple si, et seulement si : /T / - la sous-catégorie pleine de Ens — n ayant les Y(A ) , où n > 0 , pour objets est fermée par sommes fibrées (finies). Désignons, alors, par C l'ensemble de ces sommes fibrées particulières de /T/ Ens — : on vérifie facilement que Dans ces conditions, si /H/: /T/ /T/ Val(C ) = Ens — . > /T'/ est un homomorphisme de théories, /H/ la (CNS) du §1 indique immédiatement que Ens est à plongements si, et seulement si, il est à plongements libres, ou encore si, et seulement si, H est fidèle. Ainsi, on retrouve les résultats du §1 et du §3,3.2 du Chap. IV , puisque /T_F / et /TVp ^/ sont évidemment simples. De même, si K commutatif, la théorie /T^..v tl est un corps des K-espaces vectoriels est simple, par conséquent on peut affirmer que toute théorie /Tj/ donne lieu à un foncteur d'oubli vers K-Vect qui est à plongements. qui contient /T^ / 52 3. Algèbres régulières. Supposons que > /T'/ /H/: /T/ est un homomorphisme de théories de Lawvere. Nous dirons qu'une algèbre de /T/ est /H/-régulière si, et seulement si, elle se plonge dans l'algèbre de /T'/ qu'elle engendre. "" /T/ Nous notons alors Reg/H/ la sous-catégorie pleine de Ens'— dont les objets sont ces algèbres régulières. Dans ces conditions, nous avons: Proposition. La catégorie Reg/H/ est localement finiment présentable (ou encore, finiment projectivement esquissable). Preuve. Si > T Z: z est un zigzag et (*) est un diagramme commutatif de T_' tels que dans l'énoncé de la condition (CNS) du §1 (dont nous repreC ? = (c?: L? nons les notations) nous notons > L ) le cône inductif (indexé par la catégorie _1 ) tel que: Y(A) s Si C ^ L„ 2n+l > Z p; Z > L„ est un conoyau dans Ens — . z désigne l'ensemble de ces cônes C„ , on vérifie facilement que Reg/H/ = Val(C ). D'où la proposition. Fin de la preuve. On remarquera que la proposition précédente n'affirme pas que Reg/H/ est une catégorie d*algèbres d'une théorie de Lawvere (ce qui est faux en général). Par exemple, si /H/: /T^ / > /LAT-/ est I'homomorphisme d e l a théorie des monoïdes abéliens vers celle des groupes abéliens, il est immédiat de constater que Reg/H/ est la catégorie des monoïdes abéliens ... réguliers. De même, si /H/: /T / > /T_ / est l'homomorphisme canonique de la théorie des semi-groupes vers celle des groupes, il est facile de vérifier que Reg/H/ est la catégorie des semi-groupes vérifiant les conditions de Lambek (ou, de manière équivalente, de Malcev), qui ne sont d'ailleurs que des tra- ductions concrètes (i. e. non catégoriques) des conditions de validation des cônes C (voir (A.T.S.G.)). Bien entendu, si /H/ blir que Ens' ' /H/: /T/ > /T'/ est un homomorphisme de théories, éta~~ est à plongements signifie exactement qu'on établit que Reg/H/ = Ens'-' ! 4. Homomorphismes engendrés. Notons °G la catégorie dont les objets sont les théories de Lawvere 53 et dont les flèches sont les homomorphismes de théories. Notons C(TT) la catégorie dont les objets sont les homomorphismes de théories et dont les flèches sont les carrés commutatifs de tels homomorphismes. Notons, enfin, (resp. C(Ç) D ,. ; CCC) ¢(^) uiv Ket ) la sous-catégorie pleine de C(*C) LJ dont les objets sont les homomorphismes divisibles (voir Chap. II ) (resp. les homomorphismes rétractables (voir Chap. IlD; les homomorphismes vérifiant la condition (CS) ). On peut alors montrer que: - C(CC) est projectivement esquissable, - 0(^*0 . est projectivement esquissable, - C(°C*)R. est esquissable (à l'aide d'une esquisse projective et inductive), - C(*0 est esquissable . On en déduit (à l'aide des théorèmes généraux d'existence de structures libres entre catégories de réalisations d'esquisses projectives, et d'existence de diagrammes localement libres, entre catégories de réalisations d'esquisses projectives et inductives - voir (CM.CE.) ) que: - tout homomorphisme de théories engendre un homomorphisme divisible (voir le Chap. II, §4, 4.5), - tout homomorphisme de théories engendre un diagramme localement libre d'homomorphismes rétractables, - tout homomorphisme de théories engendre un diagramme localement libre d'homomorphismes vérifiant la condition (CS). 54 BIBLIOGRAPHIE. (A.L.C.O.) N. Bourbaki, Algèbre Commutative, Chap. 1 et 2, Livre XXVII, Actual. Sci. et Ind. 1290, Hermann (1961). (A.P.A.T) J. R. Isbell, M. I. Klun, S. H. Schanuel, Affine Parts of an Algebraïc Theory I, Journ. of Alg., 44 (1977). (A.T.S.G.) A. H. Clifford, J. M. Preston, The Algebraïc Theory of Semigroups II, Math. Survey 7 , Pub. A. M. S. (1967). (CM.CE.) C. Lair, Catégories Modelables et Catégories Esquissables, Diagrammes 6 , (1981). (C.S.D.P.) C. Lair, Conditions Syntaxiques de Plongement I et II, Diagrammes 2 et 3 , (1979 et 1980). (E.T.S.A.) C. Ehresmann, Esquisses et Types de Structures Algébriques, Bul. Instit. Polit. Iaçi , 14 (18) ,(1968). (L.P.L.C) F. Ulmer, Locally a-Presentable and Locally a-Generated Catégories, Lect. Notes in Math. 195, Springer, (1971). (P.B.W.T.) L. Solomon, On the Poincaré-Birkhoff-Witt Theorem, Journ. of Comb. Th. , 4, (1968). (S.A.A.T.) F. W. Lawvere, Some Algebraïc Problems in the Context of Functorial Semantics of Algebraïc Théories, Lect. Notes in Math. 61, Springer, (1968). 55 SOMMAIRE. INTRODUCTION CHAPITRE I : GENERALITES P. 1 4 1. Terminologie et notations préliminaires 4 2. Théories de Lawvere 4 3 . Algèbres d r une théorie de Lawvere 5 4. Foncteurs à plongements 6 5. Condition syntaxique suffisante pour qu'un foncteur d'oubli soit à plongements CHAPITRE II : CAS DES HOMOMORPHISMES DIVISIBLES 7 10 1. Homomorphismes divisibles 10 2. Application aux monoïdes d'opérateurs 11 3. Application aux structures affines 15 4. Compléments et commentaires 16 CHAPITRE III: CAS DES HOMOMORPHISMES RETRACTABLES 22 1. Homomorphismes rétractables 22 2 . Application aux monoïdes d'opérateurs 23 3. Construction d'homomorphismes rétractables 25 4. Application aux modules 28 5. Aplication aux algèbres de Lie 30 6 . Compléments et commentaires 33 CHAPITRE IV : CAS GENERAL 36 1. Plongement des générateurs dans les algèbres qu'ils engendrent 36 56 2. Critère de pureté pour les monoïdes d'opérateurs 3. Compléments et commentaires APPENDICE P. 39 43 48 1. Une condition nécessaire et suffisante de plongement 48 ? 2 . Exemple d application 49 3 • Algèbres régulières 52 4. Homomorphismes engendrés 52 BIBLIOGRAPHIE 54