D IAGRAMMES Z IANI N OUACER Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki Diagrammes, tome 8 (1982), exp. no 3, p. ZN1-ZN29 © Université Paris 7, UER math., 1982, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Volume 8, Paris 1982. CARACTERES ET SOUS-GROUPES DES GROUPES DE SUZUKI par Ziani Nouacer Cet article rassemble les résultats exposés par moi-même au Séminaire Broué-Enguehard, en 1980, à l'Université Paris 6, et dont le thème était "Les groupes finis de type de Lie". Il était sans doute utile de rassembler dans un seul texte les résultats les plus marquants concernant les groupes de Suzuki, jusqu'ici assez épars dans la littérature , et ceci devrait inciter le lecteur à consulter aussi les textes originaux de Ito, Feit et Suzuki , cités en référence à la fin de lfintroduction. INTRODUCTION, Les travaux sur les groupes de Suzuki ont joué un grand rôle dans la classification des groupes finis (simples). Le premier grand résultat fut démontré en 1957 par Suzuki; voici l'énoncé: Soit G un groupe fini d'ordre pair. Si le centralisateur de toute involution de G est abélien, alors le groupe G vérifie 1* une des trois propriétés suivantes; (i) Les 2-sous-groupes de Sylow de G sont cycliques. (ii) Le groupe G possède un seul 2-sous-groupe de Sylow, qui sera par suite normal dans G. (iii) Le groupe G est le produit direct d'un groupe abélien ZN 2 d'ordre impair et du groupe SL(2,2 ) pour un certain entier n, groupe* 'des matrices 2x2 de déterminant 1 sur le corps à 2 élé- ments. Avant d'énoncer le deuxième grand résultat de classification qui justifie l'intérêt porté aux groupes de Suzuki, on rappellera deux définitions nécessaires à la formulation de cet énoncé. DEFINITION d'un groupe de FROBENIUS. Un groupe H est dit groupe de Frobenius de noyau S lorsque S est un sous-groupe propre de H, normal dans H, vérifiant la propriété suivantes pour tout élément u de S différent de l'élément neutre 1, on a l'inclusion C„(u) c: S , C„(u) désignant le centralisateur de u dans H» On montre alors trivialement que S est unique, qu'il existe un sous-groupe M de H tel que H soit le produit semi-direct de S par M, soit H = S Xt M, De plus, le sous-groupe M vérifie s (uMu ) D M = {l} pour tout u appartenant à H mais non à M. Tout sous-groupe conjugué à M est appelé sous-groupe de Frobenius de H. DEFINITION d'un groupe de ZASSENHAUSS. Un groupe fini G opérant sur un ensemble E est dit groupe de Zassenhauss si G est doublement transitif sur E et si le fixateur d'un point de E est un groupe de Frobenius. On peut maintenant énoncer le deuxième grand résultat de classification sous la forme suivante s ZN 3 Si G est un groupe de Zassenhauss, et si le noyau du fixateur d'un point est un 2-groupe abélien, alors le groupe G est un groupe de Suzuki. Ce résultat a fait espérer, dans les années 60 et au début des années 70, que le problème de la classification des groupes finis se ramènerait à 1*étude de la multiple-transitivité de leurs actions sur des ensembles bien choisis ... En tout cas, le fait que les groupes de Suzuki soient des groupes de Zassenhauss interviendra d'une manière essentielle, comme nous le verrons dans ce qui suit, dans l'obtention des caractères de ces groupes. REFERENCES originales sur le sujet. N.ITO, Notes polycopiées du cours professé à 1' Université de l'Illinois, 1968-1969. W.FEIT A characterization of the simple groups SL ( 2,2 a ), Amer.Journal of Math., Vol. 82, 1960, pp 281-300. M#SUZUKI On characterizations of linear groups, I , II, Trans.Amer.Math.Soc,Vol. 92,1959, pp 191-219. M.SUZUKI On characterizations of linear groups, III, Nagoya Math. J. 21, pp 159-183. M.SUZUKI On a class of doubly transitive groups, Ann.of Math. , Vol. 75, 1962, pp 105-145. On pourra consulter aussi les références citées en finale. ZN 4 1. PRELIMINAIRES. A. Résultats classiques souvent utilisés dans ce qui suit. PROPOSITION 1. (cf. (E.B.)) Soit E un ensemble sur lequel G opère transitivement et soit X le caractère de la représentation linéaire associée. Le rang de l'opération de G sur E est égal à (X,X) G . En particulier G est deux fois transitif sur E si et seulement si (X,X) = 2, et l'on a alors X = lr + \ , où X est un caractère irréductible de G. DEFINITION« Soit TT un ensemble de nombres premiers et soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On dit que H contrôle la fusion des TT-sous-groupes nilpotents de G (ou que H est un sous-groupe de TT-nil-controle de G) si les deux conditions sui- vantes sont satisfaites? (1) H contient un conjugué de tout n-sous-groupe nilpotent de G, (2) Si P est un rr-sous-groupe nilpotent de H et si x € G P x = xPx c H, il existe y € H et z € Cç(P) tels est tel que que x = zy . DEFINITION. Pour tout groupe fini G et tout ensemble de nombres premiers TT , on note ZF(G,TT) (resp. R ( G , T T ) ) l'espace vectoriel des fonctions centrales sur G qui prennent même valeur sur un élément s que sur sa TT-composante s (resp. le Z-module des caractères généralisés de G qui appartiennent à ZF(G,*T)). Le Z*-module des caractères généralisés de G sera noté R(G). L'ensemble des caractères irréductibles de G sera noté Irr(G). PROPOSITION 2 . ( c f . (E.B.)) S i H e s t un sous-groupe de TT-nil-contrôle de G, l e s a p p l i G G c a t i o n s ResR , r e s t r i c t i o n d'un caractère de G à H, et Pro„ , prolongement d'un caractère de H à G, induisent des i s o m é t r i e s ZN 5 inverses l'une de l'autre entre R(G,TT) et R(H,IT). PROPOSITION 3 . (cf. (E.B.)) Si H est un groupe de Frobenius et s i H = S Xt M , alors on a l e s é g a l i t é s suivantes: (1) Irr(H) = [ProJJ X | X € Irr(M)} U {indj? Y | Y € ( I r r ( S ) - £ l s 3 ) } , |Pro£ Irr(M)| = |Irr(M) | , | I n ^ ( I r r ( S ) - { l J } ) | = ( |Irr(S) |-D/|M |, où Ind désigne !•induction de S à H. (2) R(H,ÏT(S)) = Z.lH©(Indg(R(S)))° , où -rr(S) = £p premier | p | |S |} et (Ind^(R(S)))° est le sous- groupe de Ind (R(S)) formé des éléments de degré zéro (c1est-à-dire nuls sur l1élément neutre). Remarque. Dans la suite, quand il nfya pas dfambiguité sera encore noté X H Indg X • THEOREME 1. (cf. (C.R.)) Soient G un groupe fini, L un sous-groupe de G et S c: L un sous-ensemble contenant lfélément neutre et vérifiant : (1) si S x = S pour x dans G, alors x est dans L, (2) S fl S x = {l} pour Soient X1,Ju,...,X. x dans G non dans L. des caractères irréductibles de L,nuls sur le complémentaire de S dans L, de même degré (n > 2 ) , alors il existe n caractères X-,X«,...,X irréductibles, distincts, de G tels Hque Pro? A.. - Prof \ . L i L j Ç(X. - X.) , où € = ±1 . 1 j ' = B. Définition des groupes de Suzuki. Soient n > 1, q = 2 n , r = 2n , F le corps à q éléments. ZN 6 Soit 0 l'automorphisme de F défini par ; ,n we =a = a • Pour tout élément (a,3) de F , on notera S ( a , g ) a l a matrice 4x4 t r i a n g u l a i r e suivantes • av o o l o a (a,p) 1 (a,p) 2 a 9 où ( a ,p) x = a 2 e + 1 + a e p + (326 1 et (a,3) 2 = a e + 1 + (3 . On vérifie aisément la relation s s(a,3) s( Y ,6) = s(a+v> <*Ye+ P + ô) L'ensemble de ces matrices est un groupe qufon notera S. Il est 2 0 0 / d'ordre q et non abélien, car ay ^ Y* > s i a ^ Y Soit maintenant,pour tout p, ^ 0, M(p,) la matrice diagonale s V 0 0 n 0 1-9 0 0 0 "s 0 0 (ie-i o n-e ^ L'ensemble de ces matrices forment un groupe cyclique M d'ordre q-1 , isomorphe au groupe multiplicatif F . Q 2 De plus, en utilisant la relation s 20 = Id. , on vérifie ques ,-1 .2-20 MQi) x s(a,3) MQi) = s(tT t D a , |tf ) . Ainsi le groupe M normalise S et l'ensemble H = S,M est un groupe, ZN 7 le groupe produit semi-direct S XE M . De plus S(otf£) est égal à son conjugué par M(|j,) si et seulement s i | i = l ou a = 3 = o (s(a,p) = id). Par suite, H est un groupe de Frobenius de noyau S. Soit maintenant a la matrice d'ordre 2 suivante ! 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 y Le groupe de Suzuki sur le corps à q éléments sera le groupe S(q) engendré par H et a s . On vérifia aisément les relations suivantes s x-1 - OM(u)<7 = M(|i) - S(q) « H U HOH : - H 0 (oHcf) = M , desquelles on déduit S(q) = H U (HOH) = H U HOS et H fl HoS = 0 . Par suite, Card(S(q)) = q 2 (q-l) + q 2 (q-l)q 2 = q 2 (q-l)(q 2 +l) . En faisant opérer S(q) sur les classes à gauche modulo H, on voit aisément que S(q) est doublement transitif, que H est le fixateur de la classe H et M le fixateur des classes H et HcJ. 2 Par suite S(q) est un groupe de Zassenhauss de degré q + 1 . De ce résultat, on déduit que S(q) est simple . ZN 8 RESUME DES RESULTATS EXPOSES, ICI, SUR LES GROUPES DE SUZUKI. .) Card(G) = (q2+l)q2(q-D , q = 2 2tl+1 , r = 2 n , où G = S(q). .) G a q+3 classes de conjugaisons, toutes fortement réelles, sauf les 2 classes de conjugaisons des éléments dfordre 4 qui ne sont pas réelles. • ) G admet une partition en sous-groupes s G ( U S* X ) U ( U M* x ) U ( U A* X ) U ( U A £ X ) U {l}. X6G x€G x€G xÇG = S est un 2-groupe de Sylow. M est cyclique d'ordre q-1 • A. est cyclique dfordre q+(-U" (2r+l) • S,M,A-,A2 sont des sous-groupes de Hall de G • Nn(S) = S 31 M s H est le fixateur de la classe H . G NL(M) s M XE<0> , où C est une involution. G N0(A. ) s A. XL , où a est élément dfordre 4. G î ï l X N„(S) , Iv(M) , N_(A. ) G G Or sont des groupes de Frobenius. 1 .) Les q+3 caractères irréductibles de G sont s (1) le caractère principal 1G , (2) le caractère doublement transitif X Q , (3) £—L caractères de degré q +1 induits de caractères li- néaires de H, (4) 2 caractères de degré r(q-l) dont les restrictions à H sont les 2 caractères non réels et non linéaires de H. (5) 9½½½ caractères de degré (q-2r+l) et S — £ caractè- res de degré (q+2r+l)(q-l) . Ils sont construits à partir tir des caractères de A- et A2 respectivement. Nous avons préféré le symbole Card pour désigner le cardinal d'un ensemble, pensant que cela faciliterait la lecture du texte. ZN 9 2. CLASSES DE CONJUGAISON ET SOUS-GROUPES. Commençons par rappeler un résultat général sur les groupes de Zassenhaus, les notations étant celles des préliminaires : THEOREME 2.1 Soit G un groupe de Zassenhaus simple, et M le fixateur de deux points. Supposons que Card(M) soit impair. Les résultats ci-dessous sfen suivent s 1) M est cyclique et N„(M) est diédral. 2) Les involutions de G sont toutes conjuguées, et leur nombre m est égal à Card(M)x(Card(S) + 1). 3) Le nombre de classes de G fortement réelles, ne rencontrant pas S, est au moins égal à Card(M). DEMONSTRATION. Nous renvoyons le lecteur à (E.B.) . REMARQUE. Si G = S(q) , le point (1) est trivial $ de plus, dans 2 ce cas, le nombre m est égal à (q-l)(q +1) . Dans les groupes de Suziki, en ce qui concerne les classes de conjugaison non réelles, on peut préciser ceci s THEOREME 2.2 Dans S(q) il y a exactement deux classes d'élé- f ments d ordre 4, et ces classes ne sont pas réelles. En d'autres termes, il nfy a pas de groupe de quaternions dans les 2-Sylow de G . DEMONSTRATION. Soit f un élément d'ordre 4 $ comme 2-Sylow, on peut supposer que f = S(a,b) (avec a £ 0 , car S est un f appartient à S. Posons alors 2 f î 1). Soit g un élément de Cf(f) | comme S est le noyau du groupe de Frobenius H, CG(f) est contenu dans S. On peut donc poser g = S(c,d) • Les égalités suivantes sont équivalentes: S(a,b)S(c,d) = S(c,d)S(a,b) et (1) cda9 = a c9 (cf. 1) ZN 10 Envisageons les deux cas suivants : - c = 0 . Alors l'égalité (1) est toujours vérifiée $ donc les q éléments - S(0,d) sont dans C f (f). c £ 0 . Lfégalité (1) devient s a 9 = c 1—2A s en appli- 1—2A 2 quant l'automorphisme 20 , il vient s a " = c , car 20 = 1. En multipliant les deux égalités précédentes terme à terme, on —0 —0 trouve s a « c , et par suite a = c. Les q éléments S(a,d) appartiennent dont à C Q (f) , dont l'ordre est bien 2q. Comme Cç(f) = C g (f) , le nombre de conjugués de f est : (GsS)(SsCs(f)) = ((q2+l)q2(q-l)).l/2q = l/2.(q2+l)q(q-l). L'élément f n'est pas réel s s'il l'était, alors il existerait g dans G tel que s g-1fg = f-1 ; mais f2 est une involution, et - 1 2 - 2 2 2 g f g = f = f ; donc g € C (f ) c: S ; soit donc S(c,d) = g. On a s -1 ef _ A 0+1. ^ -1 o , Jf 0 + K f s S(a,b+av ) et g = S(c,d+c ) . En effectuant g" fg , on obtient s e . 0 0+i c a + a c = a appliquons 20 , il vient s i... -i- * par a"S s c20 + a20 c s a1+20 , et^ en multipliant 20 -1-0 0 _ 1+0 20 1-0 0 % c a +="a ^c^ = a , d'où c a = a c , ce qui entraîne a = c s alors g commuterait avec f , ce qui est absurde car f £ 1. est Le nombre d'éléments de G conjugués à des éléments de S (q 2 +l)(q 2 -l). Le nombre d'éléments de G conjugués à des éléments de S qui ne sont pas des involutions est s ( q 2 + D ( q 2 ~ D - (q 2 +D(q-l) = (q2+l)q(q-l3 . Comme les éléments d'ordre 4 ne sont pas réels, il y a au moins deux classes de conjugaison d'éléments d'ordre 4, et comme chacune ZN 11 2 1/2.(q +l)q(q-l) éléments, il y a exactement d'elles contient deux classes d'éléments d'ordre 4. Fin de la démonstration. REMARQUE. Les classes d'éléments d'ordre 4 dans G sont en bijection avec celles de H . En d'autres termes, le sous-groupe H contrôle la fusion des 2-éléments de G • On peut maintenant calculer les classes de conjugaison de G s THEOREME 2.3 Soit T. = { g Ç G | g fixe i points exactement }, avec i = 0,1,2 $ G = T U T U T U {l} . On a les résultats suivants s (i) Card(T x ) = (q 2 +l)(q 2 -l) et ^ = C(2) U C ^ 4 ) U C 2 (4) où C(2) est la classe des involutions, et C-(4) et C 2 (4) sont les deux classes d'éléments d'ordre 4. (ii) Card(T ) = l/2.(q2+l)q2(q-2) et T , classes fortement réelles. (iii) Card(T Q ) = l/2.q 3 (q-l) 2 est formé de Q"£ 2 et T Q est formé de q/2 classes fortement réelles. DEMONSTRATION. (i) n'est qu'une réécriture du théorème 2.1. (ii) Soit g € T 2 5 il existe 2 fois transitif. De plus x tel que g X € M car G est N_(M) contrôle ultra-fortement la fuG sion dans M et Card(Nr(M)) = 2(q-l). Tout élément g de M a donc un nombre de conjugués dans G 2 . , . 2À égal à (q + 2( -il" 1 ) = l 2 f '^2+1^2- P a r suite, on a s Card(T_) = l/2.(q2+l)q2(q-2) = (GïNr(M))xCard(I^). Comme N.(M) est diédral, il y a dans N„(M) 1/2. (q-2) classes d* éléments de M fortement réelles. Chacune de ces classes donne une classe de G fortement réelle. ZN 12 (iii) Card(T ) = card(S(q)) - (Card(T ) + Card(T-) + 1) "\ 7 J = l/2.q (q-ir. Par le théorème (1), G contient (q-1) classes fortement réelles disjointes de T- ; comme T 2 en contient -^- , il y a au moins (q-1) - -^C- = ^ classes fortement réelles dans T (cf. Théorème 2.1). Qu'il n'y ait dans T Q que des classes fortement réelles, et que leur nombre soit exactement «2. va résulter de tout ce qui suit jusqu'à la fin de la proposition 8. Soient C ^2 = .) C 1 = 0 3 f •) C3,..., C . 2 ^ les classes de T 2 , 2 • ) C _,. ,...,C^ les autres classes fortement q+4 t 2 réelles de G. Soient g. € c. = Card C-(g.) et 1 G i .) On sait déjà que G.. Nous posons: a. = Card { (x,y) | x,y involutions i et xy ';= g.} 2 a * (q +l)(q-l) , ^ = Card(G) 2 c2 = q . .) Montrons que a2 = q-2. Soit x une involution qu'on peut supposer dans S . Alors Card { (*,y) ! z.y = x } = q-2 = a^; En effet, soient z et y tels que zy = x , alors zy = yz i z et y sont dans le même dans ce 2-Sylow, donc zyzy = 1 et 2-Sylow, par suite zy est z,y sont dans S. Comme z est dans S, que zy = x et que z f x (car y ^ 1), il s'en suit que f d où l'on déduit bien que y = zx = xz, a~ = q-2. .) Soit g. € C. , pour 3 < i < 3~- . G étant deux fois transitif, on peut supposer que g. est dans M . D'autre part, on sait que N-(M) = M x <0> contrôle ultra- ZN 13 fortement la fusion dans M. Si N_(M) xy = g. , alors et sont les que y = xg. m C où x.y = m xxyx = yx = g. aussi. Or les seules involutions de N_(M) m € M. D'où, si sont les Soit maintenant m € M, les seuls (x,y) tels (m C, a ) . D'où x Ç G tel que x € N r (M) et comme x € M , et donc g. € C. i -*_ ) On sait que u < 2 , car G = on peut supposer que x 2 u .v , où v est impair. ne contient pas de 2-éléments d'ordre supérieur à 4. On voit que ': g. x V est un 2-élément et est dans S. 0U 2 2u S n S 3 , donc x , qui centralise x ( # 1 ) , est dans S. Comme c'est un 2'-élément, il est égal à 1, et x 2 est donc un 2-élément. Si u = 2 , alors x centralise g. et par suite g. est dans S. Ceci est impossible car g est d'ordre ZN 14 impair | donc u «* 1 et x PROPOSITION 2 . Si e s t dans T,. a l o r s C_(g. ) e s t d'ordre e s t un 2-élément de C r ( g . ) , g. l e cen- g. e s t une i n v o l u t i o n . impair. En e f f e t , s i x U tralise et par suite g. qui est impossible car COROLLAIRE. T et x 1 1 sont dans le même 2-Sylow. Ce g ne fixe aucun point. contient -^ classes fortement réelles. DEMONSTRATION. Montrons d'abord que a. = c. , pour -^- < i < t. On sait déjà que une involution inversant g. a. < c. • Soit x (il en existe car g. est fortement réel). Soit y € Cr(g. ) i xy 1 inverse g. volution et Lr qui est d'ordre impairi par suite b. < a. > c.. i xy 1 est une in - î — i Maintenant, en comptant toutes les classes fortement réelles de G, on obtient s (q2+l)(q-l)2 = (q2+l)(q-l) + (q-2)(q2+l)(q-l) + S=^q-i)q2(q2+1) + S CardS(q); ^ 2 tout calcul fait, on trouve s t 5- = S i PROPOSITION 3, Soit g € G Alors 9 ce qui achève la preuve. d'ordre impair et fortement réel. C (g) est abélien maximal. DEMONSTRATION. g. i xy Soit y € C-(g) et x une involution inversant inverse Par suite g d'où (proposition 1) xy est une involution, -1 xyx = y , et Cp(g) est donc abélien, et entant que centralisateur, abélien maximal. COROLLAIRE. C^(g.) est un sous-groupe de Hall de G. \j i — — — — — — — — ZN 15 DEMONSTRATION. Soient Soit p > 2 un diviseur premier de Card(C p (g.)). g € C0(g. ) un élément d'ordre p, et P un ^-Sylow de G G 1 contenant g. Soit y € Z(P). Comme g € Cr(g. ), il existe une -1 -1 involution x telle que xgx • g ; par suite xhx = h pour tout h dans Cr,(g.). En particulier, xyx = y . Donc C^(y) est 1 KM Lr abélien (proposition 3); or P est contenu dans C r (y), donc P est abélien et par suite contenu dans C^(g). Comme g. € C^(g), b on a PROPOSITION 4. des TT.-SOUS Vjr 1 C Q (g i ) =3 C G (g) , donc il y a égalité et P ci ( ¾ ^ ) . N„(C(g.)) contrôle ultra-fortement la fusion groupes de G, où seurs premiers de désigne l'ensemble des divi- TT. C(g.). DEMONSTRATION. .) Si à L est un C(g.). Par suite i tous les TT.-sous groupe de Hall, il est conjugué N 0 (C^(g.)) (qui contient L \J i groupes de TT.-SOUS G C-(g.)) contient i \J qui sont abéliens (et donc nilpotents). .) Soit P ^ {1} un TT.-sous groupe de Np(Cr,(g.)) ; P (jr 1 (JT 1 est abélien, donc nilpotent, et contenu dans C p (g.). Si o i contenu dans N^(C p (g. )) pour un x Ç G , alors on a: Lr \a P est 1 (c G ( § i )) x n c G ( 8 i ) => P # {i} . Soit y Ç P; CG(y) = C ( J (g i ) = (C ( } (g i )) x car y est d'ordre impair et fortement r é e l (proposition 3)? par s u i t e , x € N_(C„(g.)). u PROPOSITION 5. Si g € C ( J (g i ) et s i g f 1, alors u 1 g € TQ. DEMONSTRATION. Supposons que g fixe a , al ors g fixe g. ( a ) , g i ( a ) ir a, car g i Ç T Q . On as g C g ^ a » g ^ g ( a ) ) = g ^ a ) . Par s u i t e g 6 T. j on peut supposer g € M , mais alors M6i (1 M contient {g} f {l} | par s u i t e g. € N„(M) = M XL <0> et 1 comme g. est d'ordre impair, alors points - ce qui est absurde - KJ g. € M et fixe donc deux ZN 16 COROLLAIRE. Sachant que l'on a l'inclusion suivantes t * x U (CG(g.))X x€G U j = ^ e= TQ , en choisissant les g. = y. , i = l,2,...,v, tels que les C (y.) 1 3« u x ne soient pas conjugués, et en posant c! = c. = Card(CG(y^))f .i il vient s -¾ ? v r^AfT ï - Q (Q"1) >> y Card(G) ,_, ^ Card(T0) - a - a > ^ E ^ cardN^C^y. ^ V 1 ' • Le but des propositions 6 et 7 est d'établir que v = 2. PROPOSITION 6. (Structure de N_(C_(y. )) ) NG(C(J(yi)) / C Q (y i ) est cyclique d'ordre 4. Soit a une involution inversant y. . On a : DEMONSTRATION. (C G ( yi ) X < 0 » ON G (C G (y.)) . Soit y un élément de N„(C_(y.)) j y" 0y' = 0* V7 est une involu- 1 VJ tion de N„(C„(y.))i donc crf normalise Cr,(y. ) et a9 ne fixe auLr 1 Lr Li 1 * cun point de Cp(y. ), car Cr,(y. ) est impair. Par suite,C'g f = g 1 Lr VJT 1 pour tout g de C„(y. ) (cf. lemme X.2.6 de (E.B.)). Donc 01 = CTgf 1 VJ pour g1 Ç ^(y.^ f soit a1 € ^ ( y ^ H <0>. .) Par l'argument de Frattini appliqué à C.(y. ) XL , Lr 1 N Q (C G (y i )) et <0>, Sylow de C ( } (y i ), on a: N G (C G (y.)) = CG(yi).(NG«tt»nNG(CG(yi))) = cG(yi).(cG(cr) n N G (c G ( yi ))). . ) (C„(y.) XE <0>) fl C_(0) (j x i» = L contient une seule invo- lution, à savoir 0. En e f f e t , s i 0. # 0 é t a i t une autre involu- ZN 17 tion, alors cf-tf en serait une qui fixerait y. d'ordre impair, ce qui est impossible. .) CG(tf) fi N g C C ç ^ ) ) = L CQ(o) est un 2-groupe car l'est déjà i il contient une seule involution! donc ce groupe est soit cyclique, soit quaternionien (cf. Théorème 1.3,8 de (E.B.)). Comme il ne contient que des éléments d'ordre < 4, le groupe L est soit cyclique, soit égal à Q^. Dans Q 3 les éléments d'ordre 4 sont réels. Or dans G les éléments d'ordre 4 ne sont pas réels $ par suite, L est cyclique d'ordre 2 ou 4. Nous avons s C G (0) n N G (C G (y.)) = N G (C G (y.)) / C G (y.). On va montrer que N_(C„(y.)) / C^(y.) est d'ordre 4, S'il u u 1 U 1 était d'ordre 2, nous aurions les inégalités suivantes s q 3 ( q - D 2 >. (q2+l)q2(q-l) 2 2 (q 2 +l)q 2 (q-l) Card(G) ( , , S + 2c.! ^ ^ .Card N G (C G (yj)) C j LJ 2 2 2 2 3 2 d . où (q +Dq (q-l) ^ (q +l)q (q-l) - q (q-l) + E a ou ^^j— _ ... 2 ^ (q-l)(q+l)q2t — Card(G) ( S 2 2 4c' j # i 4C j Card(G)K( 4c! j . N*-< *•' » J •) Premièrement, si v était strictement plus grand que 1, on aurait, pour un j £ i, l'inégalité suivante? (q 2 +l)q 2 (q-l) 2c! l q2(q-l)(q+l) 2 Card(G) ( > ^ 4 c ? *" j J — 1 1 2c! -»7- - 7—r 1 4 , d'où s 3 4c*. Î mais c!i etic*. sont au moins égaux ° à 5 (cf. ciJ J dessous), on aurait alors une contradiction % J} ZN 18 l l < +-L <-± + 20 -I--2 (Card(G))( Z -JTT ) » ~" i= 1 i v c'-l q(q-l) ^ S i soit encore ^ 3 '• > . 2 , q +1 ~* i = 1 i 3 2 Si on avait v > 3, il viendrait? ° 3"— > -s- - -s—, - «—t - -rr, z c qz+l *cl ^c2 3 ^3 3 1 v,6 . ^ 2 ~2 x 5 ^ 5 > : 1 ' ce qui est absurde. . * Si on avait v - 1, on aurait s 3- = — r — ; c' = 2q + 1 et 2 2 c' diviserait (q +l)(q-l)f car c' est impair, q est une puis2 2 sance de 2 et c' divise déjà (q +l)q (q-1). On voit aisément ZN 19 que 2q+l et q-1 sont premiers entre eux, donc que 2q+l divi2 serait q +1, ce qui est absurde, puisque, pour tout n ^ 2, 2n+l 2 2 ne peut diviser n +1 s en effet, supposons n +1 = s(2n+l)j s > 1, 2 car n $ 2j n - 2sn = s-1 et n divise s-1, d'où n < s, et 2 (2n+l)s > 2n +n > n2+1, ce qui est absurde. Finalement v = 2. PROPOSITION 3. T TA ne contient pas d'éléments non fortement réels, = U ( 1 = 2 alors c£ = q+2r+l DEMONSTRATION. réel* soit et C*(y. )x) , et en supposant c' > ci, U x € G c* = q-2r+l , où r = 2 n . Supposons qu'il existe un g de T Q non fortement y un élément de C~(g)s y n'est pas fortement réel, CJ sinon g le serait. On va montrer que Cf(g) est premier avec Soit donc ciel et 2 q (q-1). p un diviseur premier de C n (g), et soit y d'ordre p, CJ P un p-Sylow de G contenant y. Il existerait x dans G tel que y x soit dans C^(y.) (cf. Proposition 4). Si p divisait c'e', y X 2 1 x serait conjugué à un élément de S, et si p divisait q (q-1), y serait conjugué à un élément de M| dans les deux cas, y serait fortement réel, ce qui est absurde. Card G Card(T0) u Ù p £ = (card G ) ( - ^ + 3 £ - ) + E , aC 4C l 2 g € I Card CG c' , et que c' > q + 1, on obtient et comme on a supposé 2 2 q +1 < q +1, ce qui est absurde. Donc N = 0, et on achève en calculant c! et cl comme racines de l'équation s \2 - 2(q+l)\ + q 2 *l = 0 . A. e Cn(y. ) est cyclique, avec THEOREME 2.4. • 1 i = 1,2. 1 CJ DEMONSTRATION. Soit g un élément de A* ; comme g n = 1, g est diagonalisable dans la clôture algébrique de W^ et ses valeurs J racines • . nl'unite. . .. * propres sont^ des n ièmes de Soit \x une valeur propre de g différente de 1 (il en exis2 te car g $ 1)$ Card(<£>) divise q +1$ soit m l'ordre de \i$ 2 2 m divise n, donc divise aussi q +1| les entiers q-1, q -1, et 3 2 q -1 sont premiers avec q +1 , car si p est un facteur premier de q-1, il est forcément différent de 2 et on as 2 3 2 q-1 = q -1 = q -1 = 0 mod(p), tandis que q +1 = 2 mod(p)$ par suite, [ i £ l F , ] F 2 , : i F 3 . 0 r | j , est racine d'un polynôme de degré 4 sur F , par suite p, € ff 4 s les valeurs propres „ de g sont alors s 2 q q q [I , (i , (J, , |i , et donc, 1 n'est pas valeur propre de g. Supposons que A. ne soit pas cyclique. Soit un sous- groupe de type (p,p) de A. (il en existe, puisque par hypothèse, A, possède au moins un p-sous-groupe non cyclique ! ) • Si g € , ZN 21 ièmes les valeurs propres de g sont des racines p de l'unité. Soit ^ une valeur propre de b • Comme a et v une valeur propre de a et b commutent, ils sont diagonalisables par rapT* s r s port à une même base. Alors \i v est valeur propre de a b . Posons v = |i (car p, > p,^ engendre le groupe de Galois de F ) . Choisissons alors des entiers r et s conveqP f nablement , c est-à-dire dans le but d'obtenir une contradictiong on choisit d'abord entraîne aussi s de sorte que (s,p) = 1, ce qui (sq,p) = 1 ; posons maintenant r = -txsq + p ; nous trouvons alors les deux choses suivantes; .) a r b S TÉ 1 , parce que b s ^ 1 , ceci résultant de (s,p) = 1, v r s r-*asq p Ainsi, on aurait un élément de A. , à savoir a b , qui admet- trait 1 pour valeur propre, ce qui contredit le début de la démonstration. 3. LES CARACTERES IRREDUCTIBLES DE G . 1) Le caractère principal et le caractère doublement transitif. .) Soit 1 .) Soit XQ le caractère principal de G. 2 le caractère de degré q dont l'existence est établie dans la proposition 3.2.6 de (E.B.)s il est doublement transitif. 2) Les caractères de G obtenus par induction de caractères du sous-groupe H. .) En notant À. = 1 , puis X 9X ,...,X adéquats ) (avec indices les caractères linéaires de H, on en déduit (cf. proposition X. 2.8 de (E.B.)) des caractères ^-tf^'**-,\i-2 ~2~ ZN 22 2 q +1, de G. qui sont irréductibles de degré •) Autres caractères de G obtenus par induction de caractères de H. Le sous-groupe H a q+2 classes de conjugaison, à savoir les q-1 classes qui contiennent des éléments de M, la classe des involutions et les deux classes d'éléments d'ordre 4. Ainsi H possède 3 caractères non linéaires (de degré au moins deux) qu'on notera p, , à-, d«. (i est le caractère doublement transitif de degré q-1 obtenu à partir de la représentation double transitive de - H/Z(S). H a deux classes de conjugaison réelles, la classe de l'élément neutre et la classe des involutions. Ainsi H ne possède que 2 caractères réels s L, et p. . Par suite, d- = d2. De plus, nous avons s Card(H) = q2(q-l) = (q-1) + (q-1)2 + 2 ( 0 ^ 1 ) ^ , soit ô 1 (l) =r (q-l)(f) % . En appliquant le théorème 1 à H, G et aux caractères d-, S2, on obtient deux caractères Ô* - ô* = X. et X 2 de G vérifiants €(XX- X 2 ) , où e = + 1. En échangeant d- et d2 , on peut supposer € « 1. La relation de réciprocité de Frobenius donne alors s «î'^c • 4iSr + » • A,-» • i. On applique alors le théorème 1, et on obtient s S. = X. + rO , où Cl est une somme de caractères de G, distincts de X. et de X 0 . On a alors JL tL X. „ = à. , et par 1 n 1 ZN 23 suite, X.(l) = r(q-l) . En comparant les degrés, on voit aisément que X^ ï 1 G , X Q , X* , pour j = 1,2,..., 2 1 - . 3) Caractères obtenus k partir des caractères induits des sous-groupes A- et A2« Le sous-groupe N r (A,) est un groupe de Frobenius d'ordre 4(q+2r+l), le sous-groupe N-(A 0 ) d'ordre 4(q-2r+l) ; A. est le noyau de N \j0 (A.) au lieu de Ni0j(A.), # pour i = 1,2 s nous noterons N. i i i pour simplifier l'écriture. - Le sous-groupe N- possède -*r— caractères irréducti- bles non linéaires s a,,a*,.. .,# _, 1 /. q+zr 4 - Le sous-groupe N 2 possède -S-— bles non linéaires s TT^/HL,. .. ,TÏ caractères irréducti- . 4 Comme le noyau de Frobenius de N. est abélien, il s'en suit que les O. et les TT. sont des caractères induits respectivement de A- et de A 2 . Comme A. est cyclique, nous avons CJ. (1) = TT.(1) = 4 , pour tout i et tout j. Dans la suite, nous supposons q > 2 (pour q < 2 , les caractères de G sont faciles à déterminer). Pour q > 2 , on a 3 - — > 3 | on peut donc appliquer le théorème 1 successivement aux caractères Cf. et TT.. On obtient i J alors les résultats suivants? A) G possède les caractères distincts et irréductibles Q. , au nombre de -^r-— , satisfaisants ç£ - c£ « € (6. - 9.> , avec € = + 1 . ZN 24 Ces caractères sont distincts de lç, X Q , X^9 X ^ X 2 . En voici la démonstration. Sur l'identité, ^ - d2 prend la valeur 0, ainsi que sur les éléments de T 2 et ceux de T Q , tandis que les c£ - c£ prennent la valeur 0 sur T 1 j on obtient doncs 0 = (xx - x 2 , Q^ - 9 ) G = (S* - S* , c£ - d*) Q . Par suite, si 0., 6. ne sont pas distincts de X-, X 2 , ils seraient contenus dans X- - X 2 avec le même ordre de multiplicité, ce qui est impossible. Par suite, 6^ £ X ]/ X 2 f pour tout i satisfaisant 1 < i < ^, • . - Par ailleurs, (>J . ^ - e j> G = < * £ ' < ? " tyG = ° ' puisque ^ = 0 sur T et d? - CC s'annule sur l'identité, K U 1 . j sur T- et T 9 . Par suite 6. £ X. pour tout i et pour tout j. - Enfin, par la formule de réciprocité de Frobeniuss (0* X ) = « V V N = ^ E 0i(g)X (g) X i 0G i 0 Nx ° C a r d ( N i ) N2 i (0^(1)1^(1) + Z± a(g)X 0 (g)) Card(Nx) x N^ et comme X Q (1) = q2 , ttCl) = 4 et X Q (g) = -1 pour g € N*, il s*en suit que s (cf, X . ) r = i (4q2 + 4 - Z tf.(g)) 1 ° ^ Card(N1) Nx . - i (4q2+4) = 4 ( S 2 + 1 ) = q-ar+1 . CardCfl^) 4(q+2r+l) Par s u i t e , (B± - 8 , XQ)G = (cr* - CJ* , XQ)G = 0 , d'où suit que l'on a 6. # X pour *0 ^ 1 < i <-^r— . - - 4 B) G possède les caractères distincts et irréductibles Y-, au nombre de ^7 , satisfaisant s ZN 25 TÏ^ - TT\ = € ^ - Y;) 9 avec € = ± 1. De la mime manière que précédemment (en A) , on montre que Yi £ 1 G , X., X , X-, X 2 , pour tout i et tout j convenables. Reste à démontrer donc que Y- £ 0- > pour tout i et tout j. Or nous avons s 0 = (9 i - 0 . ^ ~\>G = (^ " <^/n* - ^ ) G * d'où le résultat cherché. Résumons s nous avons obtenu les caractères irréductibles et distincts de G suivants s - 1 G , X Q de degré q'2 9 - X. , 1 < i < SÇ- , tous de degré q +1 , - X. , X 2 , tous deux de degré r(q-l) , -e. , i < i < ^ - Y, > i < J S3^ , • Soit au total s 2 + 3I2- + 2 + 3^L Le groupe G ayant + 3Z2L = q+3 , q+3 classes de conjugaison, les carac- tères donnés ci-dessus sont les seuls caractères irréductibles de G » Nous achevons notre description en calculants C.) Les degrés des carctères 8. et Y.. Nous allons établir que s 8,(1) = (q-2r+l)(q-l) pour 1 < i £-¾2^ , Y.(l) = (q+2r+l)(q-l) pour 1 < j < ^ ~ . On a : 0l*,\*) G = 1 , (fi*,XQ)G = 1 et (fi*,lç)G = 0 . Posons s U* = X q-2 + i i=l 5 + ?£ q-»2r 4 \*x + al X. + aJC, + £ b.6. + 4 £ c.y.. L z x x * i=i j=i J J ZN 26 La relation de réciprocité de Frobenius et les relations d'orthogonalité donnent alors s (|I $ Xj- X 2 ) G = (|i , 3 ^ a^) G = (|i ,âj- à j ^ = 0 , par suite a- « a2 = a . De la même manière, on obtient s (|i *0 i - Ô . ) G = (|l #Yi " Y^) G = 0 , et par suite les b. sont égaux entre eux et les c. sont égaux entre eux i nous poserons donc b. = b et c. = c. On a alors s (|1*,U*)G = q = 1 + 3 £ + 2 a 2 + 3J2E b 2 + aj2r 2 f ^ a = 2a2 + a « £ b 2 + az2r c2 2 4 4 ' 2 Par suite, on as b et c < 1 (car q = 2r ). Examinons les divers cas possibles % • ) Si b s c s 0 s alors il vient g •& = 2a , soit q = (2a) , ce qui est impossible car q = 2 n'est pas un carré. .) Si b a 1 et c = 0 s alors il vient s # = 2a 2 + S+2E a 2 a r d'où ^ - 2a = •& + -., ou encore, en tenant compte du fait OyyJbl que q = 2 —. et r = 2 0 0 s r - 4a = r, soit (r - 2a)(r + 2a) = r, ce qui est impossible, comme onle voit en mettant la plus haute puissance de 2 contenue dans a en facteur. .) De la même manière on montre qu'on ne peut pas avoir b = 0 et c = 1. • ) Reste donc le seul cas possible s b = c = 1, soit s [1] n* - X n + E 2 X* + 4 E 9. + 4 E y. 0 1*1 x i«l x 3=1 J . ZN 27 En utilisant la relation de réciprocité de Frobenius et les valeurs de \. et v-» on trouves Par s u i t e , nous avons s (3*, Q± - 0 ) Q = (à*, Yt " Y> G = 0. Posons alors: a£ = aXj^ + Cl } comme [2] èL = X. - X_ + c* , l'on a; * *^ + 4 Ç « rXQ + r E \* + aX]L + bX2 + c E Par s u i t e , O * - ru, \ ) Q - ( 2 ^ - ru, at> 4 9. + d E y. = 0 si 1 si i = 2 i = 1 . . Comme (X i ,u*) Q = 0 , l'on obtient ? a - b * (aÇ - ru*, x r x 2 ) G = (è£ - ru*,â* - &*>G = 1 , c'est-à-dire a » b = 1. Les égalités [l] et [2] donnent alors s 4 ax - ru* = aXx + (a-l)X2 + (c-r) E 4 e. + (d-r) E i=l j=l Or, y. . J (a* - ru*,3* - ru*) G = r 2 + 1 ; aussi a-t-on Î r 2 + l = a 2 + (a-1) 2 + S ^ c - r ) 2 + i ï l 2 ! ^ ) 2 . Comme q = 2r et q > 2 5 , l'on a |c-r| , |d-r| < 1. 2 .) Si c d= r , alors 2a(a-l), et comme d'où a ou est impair, il= s'en suit que ar= =2 obligatoirement, q =a-1 8, ce qui cotredit l'hypothèse q > 2 . .) Si |c-rj = 1 et |d-r| = 0, on obtient s r 2 + l . a 2 + (a-1) 2 + S*L = 2a 2 - 2a+ 2 E Î « E + X , ZN 28 soit, après simplification s r2- r « 4(a-l)2 + 4(a-l) = r(r-l) = c'est-à-dire, puisque a ou a-1 est impair, 4(a-l) s 0 4a = 0 (mod r) ou 4a(a-l) , (mod r ) . 4(a-l) * tr $ il s'en suit ,tr r-1 = t C — ^ ce qui est impossible (on commence par voir que t < 2 , puis Supposons que l'on vérifie que l'égalité n'est pas vérifiée pour 4a = tr | alors tr r-1 = tCr— - 1), 4r - 4 = tr - 4 °, il sfen suit que t < 2 , puis que Supposons maintenant que ou encore t = 0,1,2) cette égalité ne peut être vérifiée pour peut donc avoir |c-r| = 1 et .) Supposons maintenant que t = 0,1,2 . L'on ne |d-r| = 0 • |c-r| = 0 et |d-r| = 1 . Il en découle? r2+l s a2+ (a-1)2 + ^ C ~ , soit encore r(r+l) = 4a(a-l), et comme précédemment, on vérifie que c'est impossible. .) Reste donc la seule possibilité s |c-r| = |d-r| = 1 et l'o" a s r 2 + 1 = 1 + 2(a-l)2 + 2(a-l) + ^ 1 + ¾ ^ = 1 + 2 (a-1)2 + 2 (a-1) + J • 1 + 2(a-l)2 + 2(a-l) + r 2 , c'est-à-dire a = 1. On a donc : r 2 + 1 = 1 + (c-r)2 3j2r + ( d . r ) 2 c £ r où c = r + Ç. , d s r + 6. , et f. s i 1 , pour i = 1,2 . La relation £2] devient alors: q-2 q+2r q-2r T~ 4~ 4~ 3* = rXn + r E X* + X, + (r+€ ) E 9. + (r+€ ) E y x u i=l x l l i=l x z j=l J . ZN 29 Or 0*»d*) G = r 2 ( q - l ) + 1 , par suite ; r 2 (q-l) + 1 = r 2 + SI2 r 2 + x + agv 2 ( p K i > 2 + ç^E (^)2 En u t i l i s a n t q » 2r , on obtient; 2 r ( r 2 - 1) = (r+lXr+Cj) 2 + ( r - l ) ( r + € 2 ) 2 5 ^1 + ¾ 3 ° ' ^ 1 8 e i = ^ 1 et Ç 2 s + 1 * ^ 3-2 3+2r s^lv 2 4 4 â* = rX + r E X* + X- + (r-1) E e. + (r+1) E l i=l X i=l x j=l De la même manière que précédemment, on obtient; on en déduit Par suites q-2 q+2r q-2r 2 4 4 ô* = rX + r E X* + X9 + (r-1) E 9, + (r+1) E i«l i=l X j=l y. . J y. . J Par suites 9 Y i|H = ( r ~ 1 ) ( ô i + ô 2 ) + V i|H = ( r+1 >< â i+ V + & ' d'où le résultat recherché (degrés de 0. et de Y-) • REFERENCE. (E.B.) Cours de Enguehard - Broué , Polycopié, Université Paris 7, Année 1980. (C.R.) Curtis W.C. and Reiner I, , Représentation Theory of finite groups and associative algebras, Wiley,Interscience,New York,1962.