D IAGRAMMES

R. G UITART
C. L AIR
Existence de diagrammes localement libres II
Diagrammes, tome 7 (1982), exp. no 6, p. RG1-RG4
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Diagrammes, Vol. 7 , 1982,

EXISTENCE DE DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES II

R« Guitart et C. Lair

1« Hypothèses et notations.
Dans toute la suite, nous supposons que:
-

H

est une catégorie localement petite possédant les petites

limites inductives,
- A = ( f A « (f J : V*

> Cj)IÇI ) A Ç A
-_A
—

est une petite fa-

mille de cônes projectifs petits et discrets,
- a

est un ordinal limite,

- pour tout

A € A , le foncteur

Hom(v ,-) commute aux limites

inductives indexées par a •
On dit, alors, qu'un objet
lement si, pour tout

] I F I€I
-

:

H

de

H

valide ik

si, et seu-

A € A , le morphisme

f V l Hom(cî,H)

—A

>

^(AH)

—A

est un épimorphisme.
On désigne alors par

Val(Ûl) la sous-catégorie pleine de H

dont les objets sont ceux qui valident th .
2. Constructions«
Si

H

est un objet de

H , posons:

A

A(H) = {A€A / HomOT\H) €*
Si

0 }

et &(H)

.
T-rHomOr,H)
M
I
A € A(H) ~ A

c €CV(H) , notons aussi:

M c - , ,1¾

A

A€A(H) et x€HomOr,H)

<H <—3T
**
x

>c
Ji
c (x)

\A

c (x)

>•

RGCL 2
On définit par récurrence l e s diagrammes
V (H)
CL

ForceQ(H)

et

P

comme suit»

- EQ(H) = Force 0 (H) = £H} ,
- si

p < a,

E p + 1 = { [ G J C / G € Ep(H)

- si

g < a»jFo»e©g^,(H)est réunion de

{G

et

c €A(G) } ,

Force s (H)

et de

> QG-Jc / G ç Ep(H) }

et
C G*—> G
- si X < a

> | j G ] e / G € Ep(H) et G» €

est ordinal l i m i t e ,

Force. (H) =
K

- si X < a

^

E pt (H) ) ,

U Forcefl(H) ,
p
(3 < X

est ordinal limite,

E^(H) = { lim^K / Ks X

> Force, (H) foncteur tel que
K(3)€Eg(H) pour tout 0<X}{,

- si X < a

est ordinal limite, Force. (H) est réunion de

Force. (H) et de
£K(3)

> lim > K / 0<\. et KJ X

> Force. (H) foncteur tel
K(0)€Eg(H) pour tout &<K } ,

que

- 6bjets de V (H) = E ( H ) U (
U
Œ
a
G.,G, € E ( H )
- flèches de V (H) est lfensemble

E (limCG, « — H — > G,)),
2
a - ^ 1

Ot

£G

>G' / G € E a (H), G2 ç Ea(H) , Gf € E (lim^G < —

H

> G 2 ))}.

3« Existence de diagrammes localement libres«
Avec les hypothèses, notations et constructions de 1. et 2. ,
on vérifie facilement que:
- le diagramme

D 0 0 : V (H) <=:

;> Val( A )

est un petit dia-

Val(A) , cfest-à~dire que,

gramme localement libre sur H

dans

naturellement en tout objet

de Val(ZA), on a:

K

Hom(H,K) 2L

lim Hom(D (H)(-),K) .

RGCL 3
4. Remarques,
La notion de petit diagramme localement libre est introduite
en (2) et (3) auxquels on pourra se reporter pour trouver des
exemples ainsi que deux démonstrations différentes dfun même théorème d'existence de diagrammes petits localement libres, dans le
cas particulier où les

f~ du §1 sont des épis. On notera cepen-

dant que le processus de la démonstration générale présentée ici
est déjà contenu dans ces démonstrations particulières (dans tous
les cas il s'agit dfun processus de forçage utilisant des choix
de décompositions)•
La notion de validation utilisée ici est très exactement celle de
(1), Nous avons établi en (2) les liens qu'elle entretient avec
des conditions de continuité et co-continuité.
Grâce au théorème 2.1. p. 26 de (2), le théorème ci-dessus s'applique à la situation envisagée dans le théorème 1 p. 5 de (3)
et le généralise puisque l'hypothèse que les projections sont des
épis n'est pas nécessaires Par suite, dans le théorème 2 p. 9 de
(3) (voir aussi le théorème 4.1, p. 53 de (2) ) l'hypothèse que
les cônes inductifs sont à co-projections des monomorphismes distingués peut être supprimée. Il en résulte que les diagrammes localement libres petits existent toujours pour les structures esquissées par des esquisses projectives et inductives petites.
Ce dernier résultat, qui est de toute façon celui que l'on avait
en vue, au moins du point de vue de la pratique, est établi d'une
manière toute différente (globale) en (5). Il s'applique notamment, par exemple d'après (4), aux modèles de théories du premier
ordre classique.

5. Bibliographie.
(1) H. Andréka et I. Néméti, Formulas and Ultraproducts in Categories, Beit. zur Alg. und Geom. 8 (1979), 133-151.

RGCL 4

(2) R. Guitart et C. Lair, Calcul Syntaxique des Modèles et Calcul des Formules Internes, Diagrammes 4 (Paris 1980), 1-106.
(3) R. Guitart et C. Lair, Existence de Diagrammes Localement
Libres, Diagrammes 6 (Paris 1981), GL 1 - GL 13.
(4) R. Guitart et C. Lair, Limites et Co-limites pour Représenter les Formules, Diagrammes 7 (Paris 1982), GL 1 - GL 24.
(5) C. Lair, Catégories Modélables et Catégories Esquissables,
Diagrammes 6 (Paris 1981), L 1 - L 20.