D IAGRAMMES G UIDO PALIAS Structures quasi-métriques Diagrammes, tome 6 (1981), exp. no 6, p. P1-P24 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol,6, 1981« STRUCTURES QUASI-METRIQUES, (Généralités, Exemples, Applications) par Guido Pâlias Introduction. On sait que tout groupe topologique possède des structures uniformes sous-jacentes (par exemple, la structure uniforme gauche). Dans le cas de la structure plus générale de catégorie topologique, il n'y a pas de telle structure uniforme sousjacente, mais il y a par contre une structure ''quasi-uniforme" (introduite en {2}). Une telle structure sur un ensemble E consiste en la donnée d'une partition (E.).„ de E et d'une appli- cation T de I dans l'ensemble des filtres sur E x E telle que E.xE. une struc- le filtre ^(i.) définisse par restriction à ture uniforme | de plus, les filtres S*(i) satisfont entre eux un axiome de "corrélation". Dans le cas d'une catégorie topologique "microtransitive" y-stricte (voir {2}), la structure quasi-uniforme sous-jacen- te se construit explicitement. Si de plus il s'agit d'un groupoïde, les E. sont exactement les "fibres" Hom(A,B) et que l'ensemble des couples I n'est autre (A,B) d'objets de la catégorie. P 2 Si I = £i} , la quasi-uniformité se réduit à une uni- formité (cas des groupes topologiques). Si par contre la partition est celle des singletons ( { x } ) . ^ 9 alors la quasi-uniformité devient une topologie "pure et simple" (cas des catégories discrètes), La notion de filtre de Cauchy s'étend au cas des structures quasi-uniformes. L'existence d'une complétion séparée d'une quasi-uniformité a été établie en {2}, Ici, on donne à ce sujet quelques précisions, et on construit explicitement la complétion d'une quasi-uniformité séparée satisfaisant une condition supplémentaire. De même que l'uniformité généralise la structure métrique, la quasi-uniformité "stipule" l'existence de structure quasimétrique. Effectivement, ce type de structure est introduit dans {3}, La topologie sous-jacente d'un espace quasi-métrique est accessible et les filtres de la quasi-uniformité sous-jacente sont à bases dénombrables. Inversement, si ces propriétés "nécessaires" sont vérifiées par une quasi-uniformité à partition finie, et présentant une certaine symétrie de cohésion, alors on peut construire explicitement un espace quasi-métrique dont la quasi-uniformité sous-jacente soit celle donnée (Théorème 1 ) . Des exemples "non triviaux" et "intéressants" de structures quasi-métriques sont présentés ici. Quelques applications aux espaces fonctionnels usuels sont envisagées. Finalement, on définit une structure quasi-métrique naturelle sur l'espace des applications d'un ensemble X quelconque dans un espace quasi- métrique. Je tiens à exprimer ici ma reconnaissance à Laurent Coppey et Christian Lair pour les échanges fructueux et stimulants que j'ai pu avoir avec eux. P 3 I. Définitions des structures quasi-métriques et exemples. Les définitions qui suivent diffèrent un peu des défi* nitions originelles (voir {3}) , mais de façon inessentielle. Définition l.m • Un quasi-écart (en abrégé Qé ) sur un ensemble E est la donnée dfun triplet - (E.).-T - 9 = de E x E - s = est une partition de (d.).^ , 3 , € ) où : E , est une famille d'applications partielles dans l'ensemble € ((E, ) . _ Et , est une application d'une partie de I x I dans 1R, ces données étant soumises aux axiomes suivants : (Qé 1) (Axiome de stabilité des domaines), - Pour tout i € I, le domaine dom(d.) est symétrique et contient la diagonale de E. , que nous noterons //E. • - La diagonale //I nous noterons 6. est contenue dans le domaine la valeur de - Pour qu'un couple € dom(6), et en (i,i), (j,i) , avec il faut et il suffit qu'il existe dans j £ i , soit dans dom(€), E. au moins un point x tel que d.(x,x) < €. , et nous noterons €.. la valeur de € en 1 1 -1 ^1 —1 (j,i). Pour un tel couple (j,i) , ô. (0,€. ) o 3. (0,€..) doit ^ j- être contenu dans j j * dom(d.), (Qé 2) Pour tout i € I et pour tout x € E. , d.(x,x) = C, X (Qé 3) (Axiome de symétrie). Pour tout i € I X et pour tout (x,y) € dom(d.) , on a légalité s â.(x,y) = d.(y,x) , (Qé 4) (Axiome de Q-triangularité), Si les conditions de petitesse suivantes sont satisfaites s a^y) < e et a..(y,z) < ejjL , P 4 alors on a l'inégalité s at(x,z) < âi(x,y) * a..(y,z) . (Remarquons que (x,z) € dom(a,) est une conséquence de Qé 1) Nous faisons aussi la convention, dans l'énoncé de cet axiome, que lorsque i = j, alors €.. n'est autre que €. ! Voici une figure destinée à mieux "mémoriser" cette relativement longue définition: dom(a.) dom(a.) dom(âk) i<0>V Légende» (j,i) € dom(€) (i,k) £ dom(€) (k,i) € dom(€) //Et n dom(ôk) = 0. P 5 Définition 2.m • Une quasi-métrique (on abrégé igm) est un quasi- E s = ' C ( i ) i ç I $ â t € ) vérifiant en outre les deux con- écart ditions suivantes : (i) pour tout (ii) si Conventions, que soit i e I 3t(x,y) = et pour tout 0 et Si l'inégalité si (x,y) € dom(â.) , on a x e E. €^ > sup^) , alors x =* y . est satisfaite quel (j,i) dans le domaine de € , les restrictions imposées dans (Qé 4) n'ont plus de raison d'être et on peut omettre carré- ment € de la notation. S, peut considérer € €^= €. quel que soit j C I , on comme ine application de Evidemment, un quasi-écart s = termine une topologie sous-jacente sur I ((E.) E = les B 1 (x f l) = n xÇE. , a , e ) dé- U E. , celle dont le i€I filtre des voisinages du point dans fT*\ L est engendré par les bou- {y / a.(;-,y) < J. } ,où " n = 1,2,3,,.. . Ainsi, le filtre des voisinages de rout point admet une base dénombrable. Le quasi-écart s admet une quasi-uniformité sous-jacente, soit = ^ E i^i€l ' ^ ^ ' d o n t l e s f i l t r e s ^(i) sont engendrés par les ensembles {3^(0,1 )} , où n = 1,2,3,... ,• donc, tout filtre n ^(i) de la quasi-uniformité sous-jacente admet une base dénombrable. U Proposition 1. La topologie sous-jacente d'une structure quasimétrique s = Preuve. Pour tout Soit ( ( E i ) i a , a , € ) est accessible. y € E , avec x € E , il existe y * x . Si (x,y) € d o m ^ ) , alors et par conséquent la boule ne contenant pas boule i € I tel que x € E. . ai(x,y) = r > 0 Bi(x,r) est un voisinage ouvert de x y . Si, au contraire, (x,y) £ dom(â.), alors la Bi(x,l) est un voisinage ouvert de x ne contenant pas y. P 6 Exemple d'espace Qm non séparé. Soit E = E U E- U E 0 o l i , où E S o C° • l l ' E l = 1 l ' 2 C \m& • et Prenons dom(a ) = (E U E- ) , dom(3,) = En , et enfin o o i 1 1 2 dom(a2) - (E.. U E j • En ce qui concerne les valeurs, on poses aQ(x,y) = min [|x - y| , |x - 2 + y|}et 3x(x,y) = 32(x,y) = | x - y| . Enfin, choisissant Ç > 2, nous constituons un espace quasi métrique non séparé, car tout voisinage de voisinage de 0 2 ! Tout espace métrique (E,d) peut être considéré comme un espace quasi-métrique trivial (E, a , € ) dans lequel la par- tition est triviale (i.e, n'a qu'un seul élément et où € > rencontre tout E ! ) , où 3 = d sup(d), Mais, par contre, il existe des espaces quasi- métriques de ce genre te est triviale, où ( E , 3 , € ) , o ù l a partition sous-jacen2 dom(ô) = E , et qui ne sont pourtant pas ( TR , 3 , 1/2) , des espaces métriques • En voici un exemples avec 3(x,y) = | x - y | si | x - yf < 1 (x - yT si |x - y|> 1 , = C'est bien un espace Qm, nais non tin espace métrique, car l'axiome de l'inégalité triangulaire n'est que localement vérifié. La topologie sous-jacente est toujours la topologie naturelle de R. Cependant, un tel espace Qm espace métrique ( E , 3 , € ) est séparé et admet un (E,d) qui lui est uniformément équivalent,i.e. admettant la même uniformité sous-jacente : supposant l'espace Qm normalisé, il suffit de prendre d(x,y) = et 1 3(x,y) < € , et d(x,y) = 3(x,y) y si autrement. Plus généralement, tout sous-espace quasi-métrique s = (x,y) € dom(3) ((E.).^T,3,€) E. d'un espace admet un espace métrique (E.,d.) équivalent dont l'uniformité sous-jacente est engendrée P 7 par les ensembles {ô7 (0,1)11 E. x E . ] i r> cL(x,y) = 3 i (x,y) si Exemples spécifiques. i i . , , et tel que n «^ 1 (x,y) € domO^ et 3 t (x,y) < €..• Les exemples les plus "intéressants" d'es- paces quasi-métriques sont bien sûr des espaces non métrisables , a fortiori non "écartisables", i.e. ceux dont la topologie n'est pas définissable par un écart. Il faut donc chercher (I) soit du côté des uniformités n'admettant pas de bases dénombrables (II) soit du côté des espaces topologiques carrément non uniformisables. Dans l'étude qui suit, nous nous servons des propositions classiques suivantes de topologie générale (voir {l}) s Proposition Bl , Pour un espace métrisable (ou écartisable) E , il est équivalent de dire que E est de type dénombrable ou que E a un sous-espace dénombrable dense dans E, Proposition B2 , Un espace topologique E est métrisable si et seulement si il est séparé et admet une uniformité à base dénombrable. Proposition B3 . Tout ensemble totalement ordonné dont la topolo gie est engendrée soit par les intervalles ouverts, soit par les intervalles semi-ouverts à gauche, soit par les intervalles semiouverts à droite, est un espace complètement normal. Exemple du genre (I). Soit E =["0,1] muni de la topologie "D" engendrée par les intervalles semi-ouverts à droite s alors, les ensembles E n |x, x + I7n| .. - 0 . .. J L ' S avec n = 1,2,3,.,., constituent une base dénombrable de voisinages de x • Cette topologie, plus fine que la topologie naturelle sur E , est donc séparée. Est-elle uni- P 8 formisable ? D'après la proposition B3 ci-dessus, l'espace est complètement normal, et par conséquent uniformisable. L'espace est-il métrisable ? Constatons que les rationnels dans E forment une partie partout dense, aussi bien pour la topologie naturelle de E que pour la topologie "D". Donc, d'après la proposition Bl, si notre espace est métrisable, il doit admettre une base dénombrable pour sa topologie ! Or ceci est manifestement faux s supposons que {[a n ,b n p » a n < b n } n Ç JN s°it une base dénombrable de "D"s comme E est non dénombrable, il existe x e E, distinct des a n et des b n , x ^ 1, de sorte que l'intervalle £ x , y T , avec x < y < 1, n'est pas engendré par cette base, d'où la contradiction. Ainsi notre espace n'est pas métrisable, et par conséquent, toute uniformité compatible avec sa topologie n'admet pas non plus de base dénombrable, vu la proposition B2. Par le même raisonnement, aucun sous-espace non dénombrable de E n'est métrisable. Par contre, toujours par le même raisonnement, tout sous-espace dénombrable de E est métrisable. Remarquons enfin que notre espace (E,D) n'est ni compact, ni même localement compact. Munissons alors E de la structure suivantes s = (({x}) ,--)3) r- -*2 XcE où dora(âx) = [ x,lj et 3 x (y,z) = | y - z | . Est-ce une structure Qm ? Manifestement les axiomes d'une structure Qm sont bien vérifiés, en particulier l'axiome de Q-triangularité est "globalement" vérifié, ainsi que l'axiome de stabilité des domaines . La topologie sous-jacente à cette structure Qm est bien la topologie D, car le filtre des voisinages du point x est engendré par les "boules" B x (x,l/n) qui coïncident avec les intervalles semiouverts |^x,x+l/n[. Existe-t-il d'autres structures Qm sur E dont la partition sous-jacente ne soit pas celle des singletons ? Quoiqu'il en soit, l'espace étant séparé, chaque E. doit être métrisable. Donc, vu la remarque ci-dessus, les E. sont au plus dénombrables et ne peuvent, en particulier, contenir d'intervalle. P 9 Le même genre d'exemples peut être fourni par un ensemble totalement ordonné non dénombrable, par exemple la section des ordinaux de 0 à aleph... Exemple du genre (II). Considérons la droite réelle 1R = E U E. où E est l'ensemble des rationnels et En ^ensemble des irrao 1 tionnels. Pour les points de E nous maintenons les voisinages usuels, tandis que nous "raréfions" les voisinages des points de E.. en y enlevant les points de E • Nous obtenons ainsi une topologie sur B plus fine que la topologie usuelle, et pour la quelle l'ensemble E- des irrationnels est manifestement ouvert, et donc l'ensemble E des rationnels se trouve être un fermé. Comme on o ne peut pas séparer un irrationnel de E , il s'en suit que cet espace n f est pas quasi-régulier, et que sa topologie n'est donc pas uniformisable ! Soit s = ((E.)._ T , 3 ) , où 1 1—o, J. a Q (x,y) = |x - y | , et dom(3 x ) = dom(a ) = B x K , o E1 x E1 , avec 3 x (x,y) = (x - yj aussi. Ceci définit bien une structure Qm sur 1R dont la topologie est bien celle décrite plus haut. Voici un autre exemple du même genre. L'ensemble sousjacent: E = U E où E„ = Z , et E = Lf+ k/ Jn} , avec n > 0, e™ m 0 - ' m - P m€ IN k entier > 0 , p étant le m ième nombre premier et non facteur dans k. Nous définissons ensuite 3 = (3 ) ^ ^ ' m m > 0 dom(3 ) = (E n U E, U E. U...U E ) 2 et 3 (x,y) = I x - y i . m 0 1 2 m m ' » Alors s = ( ( E ) ^ ~, 3 ) est manifestement une structure Qm m m > 0 et sa topologie sous-jacente est plus fine que la topologie naturelle induite sur E par celle de JR . Cependant, cet espace E n'est pas quasi-régulier (donc non uniformisable !) s en effet, E Q est un ouvert (donc E - E Q est un fermé) et un point n de E ne peut être séparé du fermé E - E 0 , car celui-ci a pour uni- P 10 que voisinage l'espace tout entier E ! On peut multiplier les exemples de ces deux genres, en effectuant: ssimplement des petites perturbations des topologies des espaces usuels. II. Quasi-uniformités . Définition 0. On appelle quasi-uniformité sur E la donnée d'un couple u = ((E.).^ , ^p> , dans lequel (E.).-T est une parti- tion de E dans l'ensemble des fil- tres de E x E et "f une application de (A) Si et tout filtre I vérifiant : i € I, tout U € ^(i) contient la diagonale //E. , ^f(i) admet une base symétrique. (B) Pour tout U e*f(i) , il existe un V €*f(i) symétrique tel que les conditions "k € I et V n //E £ 0" entraînent 1' .K existence d'un W € *f (k) pour lequel V o W c U. Notons tout de suite les deux cas extrêmes: (i) I = {i} ; alors ^ ( i ) est une uniformité sur (ii) Si T est une topologie sur E = E. . E , et, si pour tout x € E1 ^ x ) est le filtre ayant pour base l'ensemble des V(x) x V(x) , où V(x) parcourt une base de voisinages de x , alors (^x^v^p > Hr ) est une structure quasi-uniforme sur que l'on notera On notera Qu E X(T). pour "structure quasi-uniforme" ou "quasi- uniformité". Une Qu T (u) sur u = ((E.).ç , ^p ) sur E induit une topologie E , dont le filtre des voisinages d'un point est l'ensemble des U(x) , U €*f(i) , où on a posé x € E. U(x) = {y/(x,y) € u}. p 11 On dira qu'une structure Qu est "séparée (resp« compacte,..) selon que la topologie sous-jacente z (u) est séparée (resp. compacte,..). Evidemment , la restriction du filtre définit sur E. u = ( ( E ^ j , ? ) et des quasi-uniformités sur les ensembles j€ J E. x E. E v = ((F.). 6J , ^ ) et F respectivement. (v,f,u) est une application quasi-uniforme si une application de existe à une uniformité. Définition 1 . Soient On dit que ^pd) E dans F telle que, pour tout f est i Ç I, il satisfaisants (1) f(Et) cz F. , (2) quel que soit W €V(J), il existe V Çf(i) tel que (fxf)(V) c H , Revenant aux cas extrêmes ci-dessus, nous voyons que s - si u et v se réduisent à des uniformités, f n'est autre qu'une application uniforme, - si les partitions associées à gletons, f u et v se réduisent aux sin- est simplement une application continue. Définition 2. Soit u = ((E^çj. > *f ) une Qu sur E et soit F un sous ensemble £ . La sous-Qu "induite" par u sur donnée par et de v = ((F.). ç j , f ) où Y (j) est la restriction de Proposition 2» Tout filtre telle que, quel que soit F est J = [j 6 I / F 0 E . = F , ^ 0} *f (j) à F x F . ^ (i) admet une base symétrique (3(i) U Ç (B(i) et (x,y) € U, alors (x,x) et (y,y) € u. Preuve. Soit d'un V U Çl(i) • L'axiome (B) des Qu symétrique, V Ç ^ i ) , V c assure l'existence U, satisfaisant On a alors les inclusions suivantes s V c: V V o V ci U. c: u, où, pour tout P 12 W € ^ ( 0 , W est défini en ajoutant à tels qu'il existe ble (fë(i) des x U , où triques de ^(i) propriété pour lequel U W les couples (x,z) ou (z,z) (z,x) € W. L'ensem- parcourt l'ensemble des éléments symé- est bien une base symétrique de ^(i) ayant la voulue . Définition 3. Une quasi-uniformité u = ((E.).^T , ^p ) est dite • i ici stricte si, pour tout i 6 I , le filtre ^(i) formée d'éléments ayant la propriété suivante s U (y,z) € U, il existe quel que soit admet une base x € E. tel que (y,x) et (z,x) € U . Dans les deux cas "extrêmes" ci-dessus (uniformités et topologies) la structure Qu est stricte. La catégorie quasi-uniformes entre rie pleine Qus Qu Qu "projection" > v u tité, et la structure sur U Qu strictes s soit E i l'application u = Q-uniforme de a pour application sous-jacente l'iden- Qus où, pour tout i 6 I, ^ ( D de la forme des applications est à projections dans la sous-catégo- ayant pour objets les ((E i ) i Ç I , ^ ) une Qu v est définie par v = ((E.).^ , ^ ) est le filtre engendré par les éléments (V(x) x V(x)) , où V(x) est un voisinage de x e E. i x pour la topologie sous-jacente à Définition 4. Une base <&(i) de elle satisfait l'axiome des Qu u . ^i) sera dite connectée si strictes (cf. définition 3) et la condition indiquée dans la proposition 2 . Convention. Dans la suite, sauf mention explicite du contraire, les structures Qu considérées sont censées être des toute base des ^(i) est supposée connectée. Qus et P 13 Avant de passer à la construction d'un à une Qu Qé associé convenable, voici quelques propositions et définitions supplémentaires dont nous aurons besoin par la suite, de toute façon. Proposition 3. soit Soit u = ((E i ) i ç I , ï ) une T c E i x E i . Alors la fermeture de T T = et tout U oT o U Qu sur E et est donnée par : n ( U o T o U ) U €(i) U €(B(i) , il existe (y,b) € U | comme nages du point U U(x) x U(y) (x,y)€T soit symétrique, et ainsi, lorsque Soit alors Pour tout = (x,y) € T . tel que (a,x) et {U(a) x U(b)} U € i 3 ( i ) est une base de voisi- (a,b) , il s'en suit que (a,b) € f . L'inclusion inverse est évidente . Corollaire 1. Soit i € I , alors /7Ë. = 1 JPteuve. La proposition 3 établit que n /JE. = 1 Il est clair que, pour tout V € i 1 existe i z. n K K une suite de points (x0,x-,f...,x ) satisfaisant (xQ,x,) € U, , ( x ^ x ^ € U 2 ,..., (xn_]/xn) e u n f alors la suite ( i ^ i ^ . . . ,i n ) est pleinement trans-connexe. pour toute suite Preuve. Soient et soit L+1 k et p des entiers tels que 0 < k < k+p < n , U Ç Û ^ K O , base (connectée) du filtre *f (i^) • Comme est bien connecté à (j^(ik+1) tels que W i, , il existe W Q € fô(i,) et V^ Ç o V-. <= u (axiome B) . De proche en proche, on définit une suite W.oW-,W0,... ,W - ,W = V , où W €(ïï>(i ) 0 1 2 p-1 p p q q oW et telle que W oW-o.,,oW _ i cz U . De l'hypothèse résulte 1* existence d'une suite (x_,,xn,...,x ) satisfaisant (x i,x Q ) € W , (x^x.,) € W, , ... , (x n,x ) € W . Comme les bases sont connectées , il existe y € E. tel que (x ..,y) € W j alors (x ,,y) L k+p PP € U , d'où (y,y) € U et U fl //E. f 0 . Il s'en suit que x k+p i, + est bien connecté à i, . Venons-en alors au résultat principal de cette partie s Théorème 1. Soit u = ((E.).^ T , T ) une structure faisant les trois conditions suivantes % (I) I est fini . Qu satis- (II) Tout filtre ^P (i) admet une base dénombrable. (III) La relation de "bonne connection" entre indices est symétrique. P 17 Alors , il existe un ture Qu Qé s = ((E.). sous-jacente est Démonstration. écart sur E , 3 , € ) dont la struc- u . Nous allons construire explicitement un quasicompatible avec u• Existence de "bonnes" bases de filtres. La condition (II) assure l'existence, pour tout i € I , d' une base emboitée de ^f (i) , soit Nous allons en extraire une base T* =>T- => T 2 :p... (U = T. ) ^ n vérifiant les n k n > 0 deux propriétés suivantes : (bl) U x fl //E. = 0 si et seulement si (b2) Si (i,j,k) est une suite 1 j est bien connecté à i, Q-connexe à trois termes, alors U .- o U .n o U*\ c U 1 n+1 n+1 n+1 n Soit 3 n. . le plus petit entier tel que T 1 en existe, et n. . = 0 U autrement. Posons (T1 . ) ^ „ est une base de m. + n n > 0 la suite 1 Extrayons de . fl //E. = m. = 1 j€I ^P(i) » — 0 , s'il sup n. . 5 alors U satisfaisant (bl). (T J ) ^ ~ une base "intermédiaire" m. + n n > 0 (U' ) . A n n > 0 satisfaisant, outre (bl), la propriété suivantes (b'2) Si j est bien connecté à i , alors U'* o U'^, c U ' 1 ? n+1 n+1 n à cet effet, 9 prenons U' = T 0 m. et supposons U' = T , déjà n m.+ n. 1 1 construit s d'après l'axiome (B) des entier p. *i pour tout tel Hque T , . m.+ n.+ p. 1 1 1 Qu , il existe un plus petit ait la propriété suivante : * K 1 j convenable (voir l'axiome B), et c'est le cas si j est bien connecté à i , il existe V € Uo(j) tel que T1 A o V m.+ n.A + p. 1 1 *i c U'1 % n P 18 ces p. étant c h o i s i s , d é f i n i s s o n s connecté à p . . , lorsque j e s t bien i , comme l e plus p e t i t e n t i e r pour lequel : T1 ^ ^ o Tj ^ . m.+ n.+ p. m.+n.+ p. . 1 1 1 J autrement, on prend q. = J U' 1 = T 1 . n m.+ n. c iJ 1 | 1 p.. = 0 $ posons alors sup ( p. , sup p. . ) La famille de bases (U' ) ^ ^ n n > 0 et U ^ + 1 = T ^ + n _ + q_ . ainsi extraites satisfait donc (bl) et (b'2) • Pour avoir les "bonnes" bases, i.e. celles qui satisfont (bl) et (b2) , il suffit de prendre U1 Définition des "distances non symétriques" â.' s UQ Pour tout d. i UA i € I , soit i d.(x,y) = l/2n s'il existe = U' 2n . > TR • > TR défini par tel que (x,y) € U 0 n > 0 - U^ +1 , = 0 si non . Définissons alors des i ô'(xfy) = où par la condition suivantes 0 nrl inf£ ^ d a ( j )( z j^ j + i)} > a(0) = i , a ( D , a(2) , ... , a(n-l) est une suite d'indices de où > 1R 9.' s U^ Q-connexe I , (z.,z.+1) € ifp j; pour j = 0,1,2,.. .,n-l, avec z = x et z^ = y, où, enfin, la borne inférieure est prise sur l'ensemble des sommes que l'on peut constituer ainsi . L'inégalité fondamentale. Montrons que d.(x,y) > d'(x,y) > 1/2 d.(x,y) • La première inégalité est évidente. Quant à la seconde, elle est manifestement vraie pour d.'(x,y) > 1/2 car d. (x,y) < 1 . P 19 Nous supposons donc n-1 ^T r = d , . x(z . ,z - ) < 1/2 , et nous établissons, par récurrence sur n , les trois points suivants : (a) (x,z.) Ç U x , pour j = 1,2,...,n | (b) a(j) est bien connecté à a(0) = i > pour j = 1,2,.., n-1 i (c) r > 1/2 di(x,y) . Ces points sont manifestement vérifiés pour n = 1 . Supposons-les vérifiés pour m < n , et reprenons les notations précédentes pour les établir à l'ordre n s il existe un indice h pour lequel s / d ^ . N ( Z . , Z _ - ) < r/2 et >> d /.x(z.,z rj d'où / d / .N(Z.»Z. ... ) < r/2 . L'hypothèse de récurrence enj> h a(j) J 2 ~ traîne aussitôt que s (x,z..) € uj , H a(j-l) est bien connecté à a(0) = i i d^x.z ) < 2(r/2) = r , J § Montrons d'abord que puis que pour j = 1,2,... h. oc(h) est bien connecté à i , et d /•h-\(zh»zv1+i) < V 2 > on a (x,z , ) € U. . Comme (z h ,z h + 1 ) Ç U ^ h ) , et il existe a € E . * tel que (z h> a) É U ^ h ) . D'autre part, d ^ ^ v V * da(h-l)(zh-l'zh) *r/2 <1/4 ' d'où il suit que r* i alors on a s (z ,z ) € U,. ^ - (r, „ \^f„ ^ c iTCt(h-l) TTa(h) (zh,a; = (z ,z )o(z, ,a) t U. o U2 a(h-l) a U^ Vu que d.(x,z ) < r < 1/2 , on a (x,z ) Ç U« , et par conséquent: ra(h-l)_ „i (x,a) = (x,zh)o(zh,a) Ç U^ o uj c U0 ? alors (a,a) 6 U et oc(h) est bien connecté à i, d'après (bl). P 20 On peut écrire alors , en vertu de (b2) s (x,z h+1 ) = ( x , z h ) o ( z n , Z h + 1 ) € U ^ o u 5 ( h ) C u j § Continuons la démonstration de (a),(b) et (c) au rang En appliquant l'hypothèse de récurrence à z n • z 'S"" d /-\( -# -J.-I ) £ r /2 j = h+1 a U ; J J X nous voyons que s a(j-l) est bien connecté à oc(h+l) d a(h+i)(Vi'zj^2(r/2) = t < 1 / 2 -S'il existe un entier alors il existe d \ pour j = h+2,...n. k^0 tel que (z.,z.+1> € \ a. € E ,.v tel Hque (z.,a.) € Ur J J a(j) J J k a(h+i) (z h+l' z h+2 ) + *•• + d a(j) ( z j' a j ) - r / 2 ' 1,h - ^+1 » i comme y P ° t h e s e de récurrence s'applique et donne , en particulier s Wi)(Vi»8j^2^2)<1/2 • -Si , par contre, un tel k n'existe pas, i.e. si d ,.v(z ,,z . + -) = 0, on peut quand même trouver un a. € E ,.v de la manière suivante s on choisit 2 < 1/2 - r , puis on prend l £ ( j ) ,- alors , puisque tel que d •, , \( z h + n> a -) < 1/2 m assez grand pour avoir a. € E ..v de sorte que (z.,a.) € d a ( h + 1 ) (z h + l' z h + 2 ) + '" + d = r + ^ 1 Dans tous les cas, de tels < 1/2 • a. existent , pour h+1 < j < n , ce qui permet d'établir que a(j) est bien connecté à i s en effet, posant c = a. ou z .,- , on a s J 3+1 (x,c) = (x,z h )o(z h ,z h+1 )o(z h+1 ,c) € U* o u £ ( h ) o u * ( h + 1 ) cz uj s> P 21 ainsi, d'une part, (a.,a.) Ç U. et donc a(j) est bien connecté à i d'après (bl) , et , d'autre part, (x,z.+-) € U- ,pour h+1 < j < n . Notons au passage que (z.,z ) = (z.,x)o(x,z ) est J K j K élément de l^ o U^ c= U , pour 0 ^ j ^ k < n , e t que la suite a est pleinement trans-connexe. Enfin, nous savons que s - V x 'V < 1 / 2 ' W v W < 1 / 2 » W ^ i » 7 ^ 1 ' 2 - et que (i,a(h),a(b+l)) est une suite Q-connexe $ soit k le plus petit entier tel que 2—k< r ( k est > 2 ) s alors on a ? Par conséquent, d'après (b2), il vient s (x,y) = (x,z h )o(z h ,z h+1 )o(z h+1 ,y) € u£ o l £ ( h ) o u £ ( h + 1 ) <= U ^ , dt(x,y) £ 2 " k + 1 < 2r . d'où Vérification des axiomes des Qé et définition des ô.. x — - Les 3! satisfont d'où d!(x,x) = 0 (Qé 2) car i //E. c: U 1 , pour tout n> 0 , si x € E. . - Montrons que (Qé 4) (axiome de Q-triangularité) est satisfait, en choisissant £ constant et égal à 1/4 . Soient i et j € I , (x,y) € UJ = d o m O p et (y,z) f u j = dom(d'.) , avec d[(x,y) y m = z (x p , X p + 1 ) 6 U ^ p) f satis- ,pour p < n ,et (y ,7 + 1 > € ^ ( q ) , P 22 pour q < m . Par définition des n-1 r â? , on a s x '= jÇ0 WVVl'*^*' 3 0 ' m-1 Il suffit de montrer alors que er l___ças. r + t > ô.'(x,z). Distinguons 2 cas s r > 2â£(x,y) ; alors (i,0(0),3(1),...) est une suite d^Xjy) £2d.'(x,y) < r , et comme Q-connexe , il vient s r + t > d.(x,y) + d 3 ( 0 ) (y, y i ) + ... + ^ ^ ( y ^ z ) > S '( x ,z) ,eme cas * » r < 2d:(x,y) .» on montre que a(n-l) (en passant par d j est bien connecté à i 2) . On a s a(n-l)(xn-l»y) < 1 / 2 ^(y.y) < dt(x,y) < 2Ô«(x,y) < 1/2 et dj(y,z) <2d!(y,z) < 1/2 . On a donc (xn_1,y) € UJ(n""1) , (y,y) Ç uj il existe b € E tel que et (y,z) € U^ j (y,b) € uj . En utilisant l'hypothèse (III) de l'énoncé (c'est le seul endroit !) , on voit que bien connecté à a(n-l) et on en déduit que une suite i est (a(n-l), i , j ) est Q-connexe 5 on peut alors écrire s (xn^1,b) = (xn^,y)o(y,y)o(y,b) € u j ( n " 1 } o uj o uj c:Uj < n - 1 ) d'où à (b,b) € UQ et par conséquent , j est bien connecté ot(n-l) . Ainsi, la suite obtenue en juxtaposant Q-connexe , et, par définition de core 5 a et g est 3.*(x,z) , on a cette fois en- r + t ^ ô.'(x,z) . Les deux inégalités qu'on vient d'établir signifient encore s U k c ôi(°'2~k> C U K - I > d,°ù il suit que [ 0 ^ ( 0 , 2 ^ ) / k > 1} P 23 engendre bien le filtre *f (i) de base symétrique . Cependant, rien ne garantit que les 9? eux-mêmes soient symétriques. Pour remé- dier à ce défaut , on définit les \U,y) = 3. par l'égalité suivante s l/2(â!(x,y) + dî(y,x)) , où (x,y) € uj et i € I. Les propriétés qu'on vient d'établir concernant les d.' sont mani* festement encore vraies pour les d. , avec en plus la symétrie, cette fois. Quant à l'axiome de stabilité des domaines , l'application constante € = 1/4 suffit aussi . Alors est un Qé et la Qu Si u est accessible , alors ((E.).^ T , d ,1/4) sous-jacente est celle du départ s s est un espace u . Qm • La preuve est achevée. Voici encore deux définitions qui vont nous permettre d'énoncer une hypothèse (I') plus faible que (I) dans l'énoncé du théorème précédent, Définition 8. Soit u = ((E.). ç , *f ) dit que est un connecteur pour ^ ( i ) si la condition V ^^(i) V D //E. ^ que u 0 entraîne que j une Qu . Si i £ I , on est bien connecté à i . On dit est connectif si , pour tout i 6 I , ^ (i) admet des con- necteurs . Définition 9. Une structure d'une part, tout indice Qu sera dite finiment connectée si, i € I n'est bien connecté qu'à un nom- bre fini d'indices et, d'autre part , tout indice j € I n'a qu* un nombre fini d'indices qui lui soient bien connectés. On peut alors généraliser le théorème 1 en remplaçant (I) par (I') : (I') u est connectif et finiment connecté . (à suivre ...) P 24 Bibliographie. {l} N. Bourbaki, Topologie générale, Eléments de Mathématiques, Livre III, Hermann, 1951. {2} C. Ehresmann, Catégories topologiques, Koninkl. Nederl. Akad. van Wetenschappen, Séries A, 69, No. 1 et Indag Math. 28 , No. 1 , 1966. {3} G. Palias, Sur la catégorie des applications quasiuniformes, Thèse de 3 Cycle, Paris, 1967.