D IAGRAMMES

C. L AIR
Catégories modelables et catégories esquissables
Diagrammes, tome 6 (1981), exp. no 5, p. L1-L20
<http://www.numdam.org/item?id=DIA_1981__6__A5_0>

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Diagrammes, Vol. 6 , Paris 1981 .

CATEGORIES

MODELABLES

ET
CATEGORIES

ESQUISSABLES

C. Lair

Introduction,
On sait caractériser intrinsèquement les catégories de
réalisations d'esquisses projectives (voir (E.T.S.A.)): ce
sont exactement les catégories présentables (voir (L.P.L.G.)).
De même, on sait caractériser intrinsèquement les catégories
de réalisations d'esquisses mixtes pour lesquelles les seules limites inductives distinguées sont des sommesi ce sont
exactement les catégories localisables (voir (C.A.L.O.) et
(C.M.F.I.)).
Dans ce travail, nous fournissons une caractérisâtion intrinsèque des catégories de réalisations d'esquisses mixtes quelconques.

1« Terminologie - Notâtions«
On dit que / / £ / / = (!Sf IP, E)
s i , et seulement s i :
- 1S est une catégorie p e t i t e ,

est une esquisse (mixte)

L 2

- IP est un ensemble de limites projectives petites distinguées dans £ ,
- H

est un ensemble de limites inductives petites distin-

guées dans £ •
Une réalisation de

//£//

est un foncteur

F: £

transformant les limites distinguées dans £

> Ens

en des limites

de

Ens . On note alors

Ens'—''

de

Ens—

objets sont ces réalisations, que

dont les seuls

l'on notera désormais
Soit

a

la sous-catégorie pleine

F: //£//

> Ens •

un cardinal*

On dit qu'un ensemble

E

est

a-petit et l'on note

E < a

si, et seulement si, son cardinal est strictement inférieur
au cardinal

a.

On dit qu'une catégorie

£

est

a-petite et l'on note £ < a

si, et seulement si, le cardinal de son ensemble
ches est strictement inférieur à

a•

On dit qu'un foncteur

> Ens

note
C

G < a

G: £

Fl£ de flè-

est

a-petit et l'on

si, et seulement si, G(C) < a

pour tout objet

de la catégorie (quelconque) £ •

Enfin, on dit qu'une esquisse mixte / / £ / / est
et l'on note / / £ / / < a s i , et seulement s i :
- £ < a

,

IP < a

,

IE<a,

- pour toute limite projective
tenant à

(p-i S

> S..).™ , appar-

(s : S'

> s,)jgj

ff,onaj^<a,

- pour toute limite inductive
partenant à
Soit

a-petite

£

* ap-

II , on a J < a •
une catégorie localement petite, D

catégories petites,

S: D

> £

et

3* : D'

et

D'

deux

> £

deux foncteurs (encore appelés, pour la circonstance, diagrammes^

L 3

On dit que

S'

cale de

si, et seulement si:

d

lim
<

est un petit diagramme limite inductive lo-

Hom(3D,C)

<V

lim

D^P

D^D'op

lement en tout objet
Soit

Hom(3'D',C) , naturel-

C

U: £

de £

•> £•

localement petites, C

(voir (C.M.F.I.)).

un foncteur entre catégories

un objet de £•

et

3': D'

un foncteur (encore appelé diagramme) où

D'

est petite.

On dit que
C

3'

est un petit diagramme localement libre sur

(relativement à
lim

> £

U) si, et seulement si:

Hom(3'D',C)

^v

Hom(C',UC) , naturellement

D^°P
en tout objet
Soit

C

de £

9 un ordinal inaccessible (c'est donc un cardi-

nal particulier) et
On dit que

(voir (C.M.F.I.)).

L

est

L

une catégorie localement petite.

9-esquissable si, et seulement si, il

existe une esquisse mixte
(El). L

et

Ens — "

(E2). //£// est
On dit que

L

est

sont équivalentes5

9-petite.
9-modelable si, et seulement si, il exis-

te un ordinal régulier
L' < 9

de

(Ml). L

L

//£// telle que:

3 < 9

et une sous-catégorie pleine

tels que:

possède toutes les limites inductives petites

0-

filtrantesi
(M2). les objets de
de

L'

sont des objets (3-présentables

L 1
(M3). pour tout objet

ma des deux foncteur

L
1

L

de

L , la catégorie
> L<

L'/L

{ L } ) est

(comr
3-fil-

L 4

trantei
(MA). L'

est dense dans

2. Les catégories

L .

9-modelables sont

Dans tout ce §2, nous notons
et

L

une catégorie

9

9-esquissables.

un ordinal inaccessible

9-modelable au sens du §1 dont nous re-

prenons les notations.
Nous avons tout d'abords
Lemme 1. Tout foncteur

3:D

*

> L• , tel que

D< 3 ,

admet un petit diagramme limite inductive locale
a«. D'

- > L' tel que

(L <

L').3'

un petit diagramme limite inductive locale de
Preuve. Notons

D'

D' = (l's 3D

de

d': D'

et dont les morphisraes

les flèches

d': L'

d'.l' = 1"

, pour tout objet

â» •„ £'

(L <

L').3

la catégorie (évidemment petite) dont les

objets sont les cônes inductifs
L'

soit aussi

> L'

> L"

de
D

> D" sont

L'

de
3'

D . Notons alors
3'(D') = L' .

est bien un petit dia-

gramme limite inductive locale (appelé canonique) de
Pour prouver que

(L <

1

L' ).3

diagramme limite inductive locale de

""

telles que

le foncteur défini par

Il est trivial de constater que

> L') D CT)

3 •

est également un petit
( L <—«

L').3 ,

il suffit d'utiliser l'axiome de filtration (M3).
(On pourra consulter utilement (C.M.F.I.) pour plus de détails sur le calcul des limites inductives locales.) //
Désormais, on ne choisit qu'une catégorie
sante connexe dans le sous-groupoïde de

D

par compo-

Cat des foncteurs in-

versibles. Il est immédiat de constater alors que:

L 5

Lemme 2. L'ensemble

V

tels que

9-petit. De plus, pour tout élément

D < 3

est

des foncteurs

3? D

> L'
3

de V , son petit diagramme limite inductive locale canonique
à t. D ' — — >

L' vérifie

D' < 9 .

Désignons, maintenant, par £
de

Ens—

dont les objets sont:

- d'une part les foncteurs
jet de

la sous-catégorie pleine

HOIIL(L',-) , dès que

L' ,

L'

est ob-

3

est élé-

""

- d'autre part les foncteurs
U

dès que

3: D

a

> L'

lim

Hon^OD,-)

est élément de V .

Par construction, on a:
Lemme 3. La catégorie

£

est

9-petite.

Preuve. Du lemme 1 , on déduit facilement que^si
ment de

V

et si

3'

en est son petit diagramme limite in-

ductive locale canonique, alors
U

a

lim

Hon^O'D',-)

D"^OP
Ceci permet d'exprimer les
quelconques
f

HonLf(L ,L")
la catégorie

S'

et

(où

S"
L'

9-petite

Homq(S',S")

(pour deux objets

de £ 7 en fonction des seuls

et
L'

LM
p

sont des objets variant dans

, identifiée par le plongement

de Yoneda à une sous-catégorie pleine de £ ).
Il suffit, alors, d'utiliser le lemme 2 pour conclure. //
Dans la catégorie

£ , nous distinguons:

- les limites projectives (calculées point par point)

L 6

U

=

lim

Hon^OD,-)

- les limites inductives (calculées point par point)
U^

=

lira

Hon^O'D',-) ,

D^ë? op
dès que 3 est élément de V et 3' en est son petit diagramme limite inductive locale canonique. On définit ainsi
une esquisse mixte //£// •
Si l'on désigne par

y: L' o p

> £

la restriction du

plongement de Yoneda, il est alors évident que, par construction:
Lemme 4. Deux réalisations de

//£// qui égalisent

y

sont

équivalentes.
De plus, des lemmes 2 et 3 résulte immédiatement:
Lemme 5. L'esquisse mixte

//£// est

9-petite.

Enfin, pour toute réalisation F: //£//
> Ens , noop
tons H ( F )
la catégorie comma des deux foncteurs
l

> Ens <
F

c,—>i
et par h ( F ) o p : H ( F ) o p

•

L' o p

-y

> L' o p

le foncteur projec-

F

//£// , la catégorie

tion canonique. On a:
Lemme 6. Pour toute réalisation
H(F) est

de

g-filtrante.

Preuve. Il suffit d'utiliser le lemme 1 puis le fait que F
est bien une réalisation. //

L 7

Nous sommes, maintenant, en mesure de prouver:
Proposition 1. Toute catégorie

O-modelable est

Preuve. Vu le lemme 5 , il suffit d'établir que
sont équivalentes.
A tout objet L de L , on associe le foncteur
FT : S

6-esquissable.
L

et

Ens '—"

> Ens

S I

> S(L) .

C'est évidemment une réalisation de //£// puisque les petites limites tant projectives qu'inductives (distinguées dans
£ ) se calculent point par point dans Ens— •
A toute réalisation
l'objet

F: //£//

> Ens , on associe

L = lim (H(F)
> L'
*
>
h(F)
qui existe bien, vu le lemme 6 et l'axiome (Ml).
En utilisant (M4) , on établit immédiatement que
naturellement en tout objet

L de

> L )

L-, ^
^L

L ,

L ,

De même, en utilisant (M2) et le lemme 6, un raisonnement
classique permet d'établir que FT /v> F , naturellement en
tout objet

F

de Ens ^ - ^ . //

3. Les catégories

9-esquissables sont

Dans toute la suite de ce §2 , 9
dinal inaccessible et l'on suppose que
une esquisse mixte 9-petite.

9-roodelables.

désigne encore un or//£// = (£, IP, H ) est

Nous notons:
- i la borne supérieure des cardinaux Fil des bases 1^
des limites projectives (p-: S
•• > S-)-^. appartenant
à D? ,
""

L 8

-

a

l'ordinal régulier

-

s

le cardinal de

Fl£ ,

-

i'

le cardinal de

P ,

-

j

la borne supérieure des cardinaux

des limites inductives

w, +1

d'indice

(s-: S

i+1 ,

FLJ

des bases J

> S)„

appartenant

an,

""

-

jf

le cardinal de

-

p

l'ordinal régulier

Puisque

9

H ,

w
., . . , W 1
f
sup(a,s,i',j,j') + 1
est inaccessible, il est évidnet que:

Lemme 7. L'ordinal régulier
l'ordinal inaccessible

g

est strictement inférieur à

9 .

Prouvons, maintenant, que:
Lemme 8. La catégorie
inductives petites

//s //
Ens —

Ens —

possède toutes les limites

p-filtrantes et le foncteur d'inclusion

s
—.> Ens—

commute avec ces limites.
S
Preuve. La catégorie Ens— possède évidemment toutes les limites inductives petites et elles s'y calculent point par
point.
Les limites inductives petites
Ens

p-filtrantes commutent dans

d'une part avec toutes les limites inductives petites

et d'autre part avec les limites projectives
Comme les limites inductives appartenant à

(3-petites.
H

et comme les limites projectives appartenant à
p-petites (car elles sont certainement

sont petites
D? sont

a-petites et a < 3 ),

on conclut facilement. //
Notons

(Ens — " )
la sous-catégorie pleine de Ens " P
dont les objets sont les réalisations F': //S//
> Ens

L9

telles que F' < p . Comme 9 est inaccessible, P < 9 et
£ < 9 , il est trivial de constater:
Lemme 9. La catégorie (Ens — " ) Q est équivalente à une sous7"
P
-Tjfjj
n—•—
catégorie pleine 9-petlte, notée (Ens " - " ) ' •
—————————
— — — — ————
p
Etablissons, aussi, que:
Lemme 10. Les objets de (Ens — " ) •
//S II
P
sentables de Ens'-' 7 .
Preuve. Supposons que F's //£//

sont des objets S-pré-

> Ens

est un objet

de (Ens''-'')' (et donc, en particulier, que F' < P ) et
que F = lim Fj est une limite inductive petite p-filJ€J
trante dans

Ens — " .

Nous avons, successivement:
-

Hom(F', lim F T ) =
/ Hom(F'S,( lim F T )(S))
J
—>
•'S
> J
J
J
la catégorie £ étant petite,

,

-

,

Hom(F',lim F T )

—>

=

J

/

Js

J
vu le lemme 8 ,
- Hom(F', lim F T )
—> J

Hom(F'S, lim (FT(S)) )

—>

J

J
=

/
u/S

( lim F T (S) ) p f ( S )
_> J
J

puisque, pour tout objet

( lim F T ( S ) p , ( S ) ) ,
'S
— > J
J
S de £ , on a F'(S) < p et les

limites inductives petites

p-filtrantes commutent dans Ens

avec les limites projectives p-petites,

L 10

-

Hom(F», lim FJT )

—>

=

J

lim

(

>

/

Js

(JF T (S) F ( S ) ) )

J
=

lim
— >

=

lim

/ Hom(F'(S),F(S))
«S

(

Horo(F',F )

)

,

J
puisque les limites petites p-filtrantes commutent dans Ens
avec les limites projectives

p-petites et, £

étant

p-petite,

sa catégorie subdivision l'est aussi.
On peut donc conclure. //
Montrons, maintenant, que s
Lemme 11. Pour tout objet
(Ens " — " )»/F

F

de Ens — " , la catégorie

(comma des deux foncteurs
(Ens //£//),

est

> Ens //s// <

fF3

)

p-filtrante.

Preuve. Soit

f: J
J I

>

> (Ens ''S-'')•/F
(f j5 Fj
> F)

un foncteur où \J est p-petite.
Le foncteur
(Ens ,f^ H ) '/F
P

> Ens /7 £ ,l

> Ens^-

admet une limite inductive, calculée point par point,
>G,)
% ! F J
J€J '
Par conséquent, on a doùc G1 < p et il existe une unique flèS
che g: G'
> F de Ens— telle que, pour tout objet J de
J , on ait g.gj s fj .

L 11

En conséquence (voir l'Appendice), le foncteur projection canonique
G'/CEns //£//)•

>En."£"

est un petit diagramme localement libre sur

G' , relative-

//S //

ment au foncteur d'inclusion

<5

Ens " — "

> Ens^ .

Nous en déduisons qu'il existe au moins un objet

F' de

(Ens'-'')'

g": F'

tels que

et deux flèches

g's G'

> F'

et

> F

g =* g".g' .

On conclut alors facilement. //
S
Notons

(Ens—)«

S
la sous-catégorie pleine de

les objets sont les foncteurs

G': £

> Ens

Ens— dont

tels que

G' < p . Elle est évidemment équivalente à une de ses sous-catégories pleines

9-petite

(Ens£)'
P

contenant

(Ens ^ - ^ ) ' .
P

Nous avons alors:
Lemme 12. Pour tout objet
clusion

F

de

Ens — " , le foncteur d'in-

(Ens'^^/F

> (Ens£)£/F

est final.
Preuve. Il suffit d'utiliser le fait que tout objet

s

(Ens—)'

G' de

f

admet (voir l Appendice)
G ' / (Ens "^ " )£

> (Ens^)£

pour petit diagramme localement libre, relativement h
l'inclusion

Ens - "

•» - > Ens^

. //

Nous en déduisons:
Lemme 13. Le foncteur d'inclusion
( E n s //i//).

est dense.

>EM//i//

L 12

Y: £ o p

Preuve. Le plongement de Yoneda
demment dense. De plus, comme

> Ens- est évi-

S < p , le foncteur

Y(S): £

> Ens

est, pour tout objet

S de £ , un foncteur p-petit.
S
S
Il en résulte que (Ens-)' est également dense dans Ens^ .
On conclut donc en utilisant le lemme 12. //
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer:
Proposition 2. Toute catégorie

9-esquissable est

O-modelable.

Preuve. C'est exactement ce que signifient les lemmes 8,9,10,11
et 13 lorsque l'on pose:
-

L «

Ens//1// ,

- L» =

(Ens //!//)£

. //

4. Commentaires.
De la définition des catégories

6-modelables du §1 et

des résultats de (C.M.L.L.), on déduit immédiatement que les
catégories de modèles de

Tï -théories sont esquissables (ce

qui justifie la terminologie adoptée). On retrouve ainsi "globalement" un résultat de (CF.P.O.) qui y est établi directement.
On peut montrer que les catégories
les catégories localement petites
un ordinal régulier

p < 0

L

9-modelables sont aussi

pour lesquelles il existe

vérifiants

- L

possède toutes les limites inductives petites

- L

possède les petits diagrammes limites inductives locales

d'objets

p-filtrantes,

p-présentables et ils sont constitués d'objets

sentables,

p-pré-

L 13

- L

possède un ensemble générateur propre constitué d'objets

P-présentables,
- si

L
désigne la sous-catégorie pleine de L dont les ob—p
—
jets sont tous les objets p-présentables de L , alors LQ
—
—p

est équivalente à une de ses sous-catégories pleines

L9

qui

est 9-petite.
Il s'agit donc d'une définition tout à fait analogue à celle
des catégories

p-présentables (de (L.P.L.G.)) ou p-locali-

sables (de (C.A.L.O.)). Si nous avons opté pour la présentation
qui en est fournie au §1 c'est parce qu'elle nous a semblé
mieux adaptée aux preuves des §§2 et 3 que nous avions en vue et
parce qu'elle souligne explicitement le lien avec les catégrries
de modèles (compte tenu des résultats de (C.M.L.L.) signalés
plus haut).
Si

//£// =

(£,ff,H )

est une esquisse mixte (pour la-

quelle nous reprenons les notations du §2) et si
Ys £

> Ens—

pour tout objet

S

désigne le plongement de Yoneda, alors,

de £ , le foncteur

Y(S)s £

•—> Ens

possède (voir l'Appendice) un petit diagramme localement libre
l/S II

S

relativement à l'inclusion Ens —
•• > Ens— •
Il convient de remarquer, dans ces conditions, que:
- si

II est vide (cas des catégories

a-présentables), ce

diagramme peut être choisi discret et même réduit à un objet
(théorème du faisceau associé) qui est alors a-présentable
dans

Ens ^ - ^ ,

- si

IE n'est constitué que de sommes (cas des catégories

a-localisables) ce diagramme peut être encore choisi discret
(mais pas toujours réduit à un objet) et ses objets sont encore
a-présent ables dans
- si

Ens'—'' ,

II n'est ni vide ni constitué que de sommes, ce diagramme

L 14

ne peut pas toujours être choisi discret et ses objets ne sont
plus nécessairement

a-présentables dans

Ens''-'' (avec les no-

tations précédentes, on peut seulement affirmer qu'ils sont
P-présent ables) dans

Ens

-"

.

Ceci justifie l'intervention de l'ordinal inaccessible

9 .

L 15

Appendice.
Dans toute la suite de cet Appendice, on suppose que
//£// = (£> IP> H ) est une esquisse mixte. On note (comme
au §3):
- i la borne supérieure des cardinaux F H
des limites projectives appartenant à IP ,
-

a

l'ordinal régulier

-

s le cardinal de

-

i ' le cardinal de

des bases 1^

w. . ,

Fl£ ,
IP

et

j • le cardinal de

- j la borne supérieure des cardinaux FLJ
des limites inductives appartenant à H ,

II ,

des bases

J

,
.. . ,.vx1 .
sup(a,s,i',j,j f )+l
Pour tout ordinal régulier p' > p , on note ( E n s ' — ) Q f
IIS II
"
la sous-catégorie pleine de Ens —' dont les objets sont
les réalisations p'-petites et ( E n s " - ) '
une de ses
P
sous-catégories pleines petites qui lui est équivalente (il

-

P

l'ordinal régulier

w

&

en existe au moins une car £

est petite).

Etablissons, tout d'abord, le lemme qui suit:
Lemme. Pour tout ordinal régulier

P* > P > tout sous-fonc-

teur

d'une réalisation

p'-petit

F s //£//

G": £

— > Ens

~ > Ens

est sous-foncteur d' (au moins) une

sous-réalisat ion p'-petite F": //£//
> Ens de F.
Preuve. Désignons par K(F) la catégorie comma des deux foncteurs
-> Ens <~
0 I
et par

k(F)s K(F)

- les objets de K(F)

> 1
> £
sont les

la projection canonique. Ainsi:
(x,S) tels que

x

appartient

L 16

à F(S),
- les flèches de K(F) sont les
((x,S),s: S

> S',(x',S')): (x,S)

> (x',S')

tels que F(s)(x) = x' •
La catégorie comma K(G") associée à G" est donc une souscatégorie pleine de K(F) et il s'agit de "saturer" K(G")
dans K(F) en une sous-catégorie pleine qui soit effectivement
de la forme K(F") , où F" est une réalisation. Pour ce faire,
pour toute limite inductive
nant à

(s.: S

> S)JÇJ

apparte-

x de F (S) et tout ordTnal X <a

H , tout élément

non limite:
(c). On choisit un objet

J(X) de J et un élément

x(X)

de F ( s m )) t e l s Q u e F ^ s j ( x ) ^ x ^ ^ = x ^ t e l c o u P l e
existe nécessairement puisque, F étant une réalisation, on a
F(S) =

lim

F(S_)

— >

J

),

J
(c'). Pour tout indice J et tout élément x' de F(Sj)
tels que F(sJ)(x') = x , on choisit un zigzag de J

j . j x <__ J 2 _ > J 3 < ^ . .
J

J

l

et une f a m i l l e

« - ^ V i < — ^ 2 p — > J2p+1= J ° °
J

2
(x. 1 ), ^ * ^ 0 v v ^
~k 1 < k < 2pfl

2p-1

appartenant à

J

2p

TT
F (S )
J
l<k<2p+l
k

t e l s que:
+

xl

= X'

et

Xon+l =

•

x

^

'

F(s J )(x£) = x , pour tout 1 < k < 2p+l ,
k
+ F (S. )(x/) = x/ + 1
, pour tout entier pair k
tel que 2 < k < 2p ,

L 17

+ F (S. )(x/ +1 ) = x/ , pour tout entier impair k
J
k
tel que 1 < k < 2p-l ,
(un tel zigzag et une telle famille existent nécessairement
puisque

F(S) =

lim F(S ) ) .
—>

J

On construit alors la suite

(K(G"X X ^
de sous-catégoA. A. < a
ries pleines de K(F) , qui contiennent K(G") , de la manière
qui suit.
On pose, tout d'abord, K(G") Q = K(G") .
Si X < a est un ordinal admettant un prédécesseur X' et
si K(G"X f est défini, on note K-(G"X l a P l u s Petite
sous-catégorie pleine de K(F) contenant K(G"X , et telle
que:
(i). Si (p : S
appartenant à
tout objet
alors

• > ST)T„

est une limite projective

IP , si x est~~elément de F(S) et si, pour

I de I ,

(F(pI)(x),S][) est objet de K(G")^ t ,

(x,S) est objet de ^ ( G " ) . ,

(ii). Si (s T : S

' ••*> S ) T C T

est une limite inductive

H , si (x,S) est objet de K(G"X , » alors

appartenant à

^ x J f X V S J f X ^ est o b J e t d e
tions de (c) ) ,
(ii'). Si (s T : S T

^S/0"^

^ en re P re nant les nota-

> S) G

est une limite inductive

appartenant à

H , si (x,S) est objet de K(G"X , t si J

est objet de J

, si (x* ,S ) est objet de K(G"X , et si

F(s )(x") = x , alors, pour tout entier
couple

s

(x/* T ) est objet de K-(G"X

1 < k < 2p + 1 , le
(en reprenant les no-

K

tations de (c f ) ) .
On note alors

K(G"X

la plus petite sous-catégorie pleine de

L 18

K(F) contenant
(iii). Si

K-(G"X

et telle que:

(x,S) est objet de

est flèche de £ , alors
Si, maintenant,

X < a

^(G")^

et si

s: S

(F(s)(x),S') est objet de

est un ordinal limite et si

est défini pour tout ordinal

> S*

K(G")X .
K(G"X ,

X' < X , on pose

K(G"X

=

U
K(G"X f
K
X' < X

K

On vérifie, alors, facilement que

K(G")

me

K(F") , où

est bien une réalisation

de

//£// qui, de plus, est

F": £

> Ens

est bien de la for-

p'-petite. //

Nous pouvons, alors, énoncer:
Théorème. Si. P' >

P

G': £

qui est

> Ens

est un ordinal régulier, tout foncteur
p'-petit possède

G'/(Ens / 7 - 7 7 ) '

pour petit diagramme localement libre
clusion

77

Ens -

77

> Ens£

> Ens 77 - 77

—

relativement à l'in-

(et en notant

G'/(Ens 7 7 - 7 7 ) '

la catégorie comma des deux foncteurs

£G.}

>EnsS

(Ens 77 £ 77 )£ f ).

<

Preuve. Supposons, en effet, que

F: //£//

une réalisation et que

> F

ns G'

> Ens

soit

soit une transforma-

tion naturelle.
Notons

G"s £

> Ens

le foncteur image de

point par point). On a évidemment

G" <

p*

n

(calculée

et l'on peu t donc

appliquer le lemme précédent. On en déduit une factorisation
G'

;> F
n

L 19

où

F"

est une réalisation

p'-petite.

Si l'on dispose de deux factorisations de

n :

au moyen de deux réalisations

qui sont

F"

et

F"

on peut construire les images respectives
et

F"

dans

On a donc
teur

G"1

F

et

G"

de

F"

(elles sont calculées point par point).

G" < p'
de

Gï

p'-petites,

F

et

G" < p' . Le plus petit sous-fonc-

possédant

est donc également

G'' et

G"

comme sous-foncteurs

P'-petit. On peut donc lui appliquer le

lemme précédent, ce qui permet de conclure. //
De ce Théorème, nous déduisons immédiatement:
Corollaire. Tout foncteur

G: £

> Ens

possède un petit

diagramme localement libre relativement au foncteur d'inclusion

Ens //s // —

>

E -^r-;

Preuve. En effet, il existe toujours un ordinal régulier
tel que

P' >

P

et

G

soit

p'-petit. //

P1

L 20

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