D IAGRAMMES R. G UITART C. L AIR Existence de diagrammes localement libres Diagrammes, tome 6 (1981), exp. no 4, p. GL1-GL13 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 6 , Paris 1981, EXISTENCE DE DIAGRAMMES LOCALEMENT LIBRES (+) R. Guitart et C. Lair 0« Nous rappellerons comment les catégories esquissables (de C. Ehresmann) contiennent en particulier les catégories localement présentables (de Gabriel et Ulmer) et les catégories localisables (de Diers). Nous énoncerons,dans ce cadre général, un théorème dfexistence de petits diagrammes localement libres (analogue "dans le cas non discret" du théorème dfexistence de petites familles localement libres de Diers généralisant le théorème du faisceau associé). Nous en fournissons une preuve entièrement nouvelle,différente de celle de (5) (pp. 45 à 55), à laquelle nous la comparerons: elle nous semble plus adaptée au concept de formule interne que nous présentons également. Pour plus ou d'autres détails, on pourra consulter utilement (5) ou le texte de la conférence de R. Guitart (voir (4)) au 19 Peripatetic Seminar on Sheaves and Logic qui en résume les principaux résultats et en présente les différents points de vue. ^ Ce texte a f a i t l'objet dfun exposé de R. Guitart à l ' I n t e r national Conférence on Category Theory de Gummersbach (5-10 J u i l let 1981). GL 2 1. On dit (voir (3)) que ject ive si /S/ = (£,IP) est une esquisse Pro- ,S est une catégorie petite et IP est un ensemble de limites projectives petites,dites distinguées, dans S^ • Alors, une réalisation ou modèle de /S/ est un foncteur -> Ens transformant tout élément de Ens . A /S/ IP en une limite projective de est associée la catégorie Mod/S/ , sous-catégorie pleine de Fonc(:S,Ens) ayant pour objets ces réalisations. Dans ces conditions, on dispose d'une restriction Y s S° p > Mod/S/ du plongement de Yoneda et l'on sait ("théorème du faisceau associé") que le foncteur injection canonique Mod/S/ > Fonc(S,Ens) possède un adjoint à gauche. On dit qu'une catégorie localement petite est naturellement projectivement esquissable si elle est équivalente à une catégorie de la forme Mod/S/ • Ainsi, les catégories naturellement pro- jectivement esquissables sont exactement les catégories localement présentables au sens de (8). Plus généralement, une catégorie localement petite est dite projectivement esquissable (voir (6)) s'il existe une co-catégorie interne que /$J dans la catégorie des esquisses projectives telle Hom(/#/,Ens) lui soit équivalente (le cas "naturel" cor- respondant à la co-catégorie co-catégorie canonique sur 2^ B /S/ déduite de la structure de ,2 ). Par exemple, la catégorie Catf dont les objets sont les petites catégories et dont les morphismes sont les tranformations naturelles est projectivement esquissable. GL 3 2. Appelons maintenant (voir (3)) esquisse (mixte) tout //£// * (£> IP* II) où /S/ = (S, IP) ve, dite sous-jacente à //S // , est une esquisse projecti- et H est un ensemble de li- mites inductives petites distinguées dans £ • On définit faci- lement (par analogie avec le §1) les réalisations ou modèles de //£// , la catégorie pleine de Mod/S/ Mod//S_// donc de de ces modèles (sous-catégorie Fonc(S,Ens) ) , les catégories natu- rellement esquissables et les catégories (seulement) esquissables. Par exemple, on montre en (5) que les catégories localisables de (2) sont exactement les catégories naturellement esquissables par une //£// où H est un ensemble de sommes. De même, on prouve en (7) que sont esquissables les catégories co-fibrées scindées sur Ens , les catégories de modèles de théories du er 1 ordre ainsi que les catégories de modèles de sites. 3. Appelons esquisse concrète tout couple titué d'une esquisse projective /S/ (/S/, 3F) et d'un ensemble cons- IF cônes projectifs petits distingués dans Mod/S/ • On appelle modèle de /S/ (/S/, F ) tout mofèle F de Hom(L,G) = lim de qui vérifies Hom(L ,G) iiF pour tout cône project if 3F . On note alors Mod/S/ (L > L )„ Mod(/S/,lF) op appartenant à la sous-catégorie pleine de dont les objets sont les modèles de cette esquisse concrè- te. A toute esquisse l'esquisse concrète que //£// = (£, IP, II) on peut associer (/S/,Y(H)) et il est facile de vérifier Mod//S// = Mod(/S/,Y( H ) ) . Inversement, on montre en (5) qu'à toute esquisse concrète se mixte //S/// telle que (/S/, IF) Mod //S/ // est associée une esquiset Mod(/S/,F) soient GL 4 équivalentes. Autrement dit, on établit que le point de vue concret (permettant la construction systématique d'esquisses mixtes) et le point de vue abstrait sont équivalents. Par exemple, si /S/ unitaire commutatif et si est une esquisse projective d'anneau F a pour unique élément le cône pro- jectif (de la catégorie des anneaux unitaires commutatifs) < < z 0 alors Mod(/S/,F) ^ 2Z[x] « X » > > Z[X,Y]/XY-1 X est la catégorie des corps commutatifs. Ceci permet une construction explicite d'une esquisse //£' // de corps commutatifs. Cependant il est équivalent d'esquisser "abstraitement" les corps commutatifs en "complétant" l'esquisse projective /S/ d'anneau unitaire commutatif en l'esquisse mixte ! + s* ^ 4. Soit H S£ une catégorie localement petite et F un ensemble de cônes projectifs petits distingués dans tt . On dit d'un objet H de H qu'il valide Hom(L,H) = F si l'on a lim Hom(LT,H) I€I pour tout cône projectif à F (L > L-^.op appartenant . On définit la sous-catégorie pleine "" Val( F ) dont les objets sont ceux qui valident de H F . En (5) on montre que ce point de vue est équivalent à celui de Andréka-Németi développé en (1). Ainsi, il est légitime d'appe- GL 5 1er les éléments de F des formules internes à H . D'autre part, les considérations du §3 montrent que s - si //£// = (£, IP, H ) Mod//S// = Val(Y(n)) - si (/S/, F ) est une esquisse mixte, alors on a (en prenant H = Mod/S/ ) , est une esquisse concrète, on a l'égalité Mod(/S/,F) = Val(F) (en prenant, de nouveau, H = Mod/S/ ). Autrement dit, les limites inductives distinguées dans une esquisse mixte //£// internes à (ou Mod/S/ ) , i. e. des formules "exprima- /S/ sont (à une dualité près) des formules bles dans le langage décrit par /S/ " . De même, les cônes projectifs distingués d'une esquisse concrète (/S/,F) sont des formules internes (concrètes) exprimables dans le langage de /S/ . 5. Etablissons maintenant en toute généralité le théorème d'existence de petits diagrammes localement libres sui suit Théorème 1. Si H est une catégorie localement petite à petites limites inductives, si a si dans F est un ordinal régulier, est un ensemble de cônes projectifs petits distingués H dont les objets de base et les sommets sont q-pré- sentables et dont les projections sont des épimorphismes, alors tout objet H de H définit un petit diagramme D(H): V(H) > Val(F) tel que, naturellement en tout objet Hom(H,K) = lim K de Val(F), on ait: Hom(D(H)(-),K) ( D(H) s'appelle alors un petit diagramme localement libre sur H dans Val(F) ). GL 6 Preuve. Nous supposerons (pour simplifier) que contient qu'un cône projectif petit (s-: L F ne > L ) op (le cas général se traitant par analogie évidente). a). Si Hom(L,H) = 0 , il est clair que est localement libre sur H Hom(L,H) ffc 0 notons l'ensemble des objets te fj.: L x > H fixé, f et, pour tout vérifiant est unique puisque S'il existe un tel f > Val(F) . b). Supposons B(f) {H} I f: L de I fj.Sj. = f sT > H , tels qu'il exis(alors, I pour lequel les éléments de bre sur 0 étant est épi). sont pas tous dans une même composante connexe de est clair que "" > Val( F ) B(f) ne I , il est alors localement li- H . c). Supposons que Hom(L,H) ^ 0 et que, pour tout f: L > H, l'ensemble connexe de B(f) est constitué d'objets d'une même composante 1^ . Posons suit: « H H - pour tout et construisons un objet f: L de H comme > H , on choisit une sous-catégorie non vide et connexe - H^ H- I^Cf) de £ est la limite inductive dans contenant B(f), H représentée par g(ffD s(f,I) H = H0< L'(f,I) 5>L(f,I) où g(f ,1) = f , s(f ,i) = Sj et les couples que f: L est objet de > H et De même, pour tout ordinal I (f ,1) sont tels L,(f ). X.+1 < a , on conctruit un VIA '• \ > H x+i GL 7 à partir de H. . \ < oc f on pose: Enfin, pour tout ordinal limite H. = et l'on note lim H^f h, , f : H.t > H. En particulier, ceci définit des les co- project ions. h rt: Ha#0 0 • *> H a (re- latifs aux différents processus de choix de sous-catégories connexes non vides de I ).Comme ces sous-catégories se compa- rent (par inclusion), il en résulte un diagramme de "comparaisons" V(H) petit (le nombre de choix possibles étant petit) entre les H • a d). Reprenons les hypothèses et notations de c) et montrons que les H que valide le cône projectif qui est élément de H sont objets de Supposons que Val(F) , autrement dit que cha- g: L > H ductive oc-f iltrante des H. . Comme H F • est limite in- vX Ut (où \ < oc ) et L est oc-pré- sentable, il existe un X. < a et une g. : L > H. tels que h , . g. = g • Par construction, il existe donc OC» A. A. =3 ^ ¾ ) $ un indice un choix L + T C S J , ) et une (co-projection) 6^.-1 s L_ • ••• I de > H>+i que h.+- ..g, = &\+i,sI • D , ° ù 1 , o n d ^ d u i t Q u e rise bien au travers d'un s_ . Supposons, maintenant, que g': L_.t > H g , i. e. que g£f : L Jf ~ > H x# , X' < tels que p. < a S facto- gf.s-t = g oc-présentable, il existe \ tels possède une autre factorisation est également donc un ^+3/6^) \pX**z{* • Comme Lf X.' < oc et une flèche = g' . Il existe tel que W ' ^ l ' 8 ! " huA',8î"8l' (=h) • On en déduit que I et I' sont éléments de construction, qu'ils sont connectés dans B(h) et, par h I +1( )> d e même que GL 8 h U+l,U-hHA'Vl composant par h , et Vl,U - h uA f ê 6 \ f • P a r ^ s é q u e n t , en , i l en résulte une connexion entre l e s deux décompositions g' et h +1/^+1 d e 6 • Nous venons donc d'établir que l'on dispose bien d'un petit diagramme D(H): V(H) •• > Val(F ) . e ) # Reprenons les hypothèses et notations de c) et d) et établissons que D(H) est bien localement libre sur H. Pour ce faire, supposons que K que k: H > K Pour tout est objet de V a l ( F ) et est une flèche de H . f: L > H , choisissons pour I,(f) la sous- catégorie de _I dont les objets sont les I tels que k.f factorise (et alors ce sera de manière unique) par s- et dont les morphismes permettent de connecter ces factorisations. Comme K valide F , cette sous-catégorie est cer- tainement non vide, connexe et contient B(f) • En réitérant, on détermine une procédure de choix de L (g) mmm K construction de EL (pour X < oc ) . Comme chaque une limite inductive, il en résulte des (uniques) tels que factorisation k. .h. k ss k .h ou encore de H. k. : IL est >K = k . En particulier, on a une ^ . oc cc,0 Si k = k'.h' oc oc,u est une autre factorisation, où > ^OC 0 S **0 **« * ^ 1 e x ^ s t e nécessairement une compa- raison (i. e. une "inclusion"), à chaque étape \ < a $ entre les choix I^(g) conduisant à I^(g) duisant à H' . Il en résulte une comparaison (i. e. une flèche de V(H) ) vs H' oc v.h' - = h a,o H > H et les choix telle que oc ^ con- k .v * k' et a a ^ . a,o Le théorème 1 est donc démontré. 6. Remarquons que, si on suppose que les éléments de F sont des cônes projectifs petits à bases discrètes, alors les GL 9 constructions précédentes prouvent que le diagramme localement libre D(H): V(H) > Val(F) est discret (i. e. que V(H) est discrète). Dans ce cas, on obtient un critère d'existence de petites familles localement libres ou encore d'un multi-adjoint à gauche au foncteur d'inclusion Val( F ) >H (voir (2) ). Remarquons également qu'une adaptation immédiate de la preuve du théorème 1 (prendre des j[ (g) qui sont des catégories connexes non vides co-fibrées scindées sur des sous-catégories connexes de 3^ et dont les fibres sont de cardinal inférieur à un cardinal c fixé) permet de substituer à l'hy- pothèse que les projections des cônes projectifs de des épis celle, plus générale, où ces projections des sT c-épis (c'est-à-dire si l'on a, pour tout objet et toute flèche F sont sont H de H 1 fs L > H , Card(Hom(sI,H)"" (f )) < c ). 7. Du théorème 1 nous déduisons le théorème qui suit. Théorème 2. Si //S// * (S, IP, 31) (resp. (/S/, F ) ) est une esquisse mixte (resp. concrète) et si les co-projections (resp. les projections) des limites inductives (resp. des cônes projectifs) de II tingués de (resp. des épimorphismes), alors tout objet de Mod/S/ IP (resp. de F ) sont des monomorphismes dis- possède un petit diagramme localement libre dans la sous-catégorie Mod //S // (resp. dans Mod(/s/,F) ). Preuve. Dans le cas d'une esquisse mixte H = Mod//sy/ ainsi que §§2, 3 et 4 , que par si a Y //S// , posons F = Y ( H ) . Nous savons, d'après les Mod//S// = Val(Y(H)). D'autre part, IQB images de monos de S^ appartenant à 3P sont des épis. Enfin, désigne un ordinal régulier majorant la famille des cardi- naux des bases des limites projectives appartenant à IP , on sait GL 10 que, pour tout objet S de S^ , son image Y(S) est oc-pré- sentable. Le Théorème 1 s'applique donc. Dans le cas d'une esquisse concrète (/S/,F) , posons On sait, en vertu des §§3 et 4 , que Val(F) = Mod(/S/, F ) . D'autre part, Y est dense : tout objet mite inductive petite canonique "d'objets donc trouver un ordinal régulier a G de H = Mod/S/. Mod/S/ est li- Y(S) " $ on peut qui majore la famille (peti- te) des cardinaux des bases des seules limites inductives canoniques associées à tous les objets des cônes projectifs de F • Ces objets sont alors oc-présentables. Le Théorème 1 s'applique de nouveau. 8. On peut évidemment particulariser le Théorème 2 comme on l'a fait au §7 pour le Théorème 1. On obtient un théorème d'existence de petites familles localement libres pour les esquisses mixtes (resp. concrètes) //S// où H (resp. F (resp, (/S/, F ) ) ) est un ensemble de sommes (resp. de cônes projectifs à bases discrètes). Ceci justifie l'affirmation du §2 concernant les catégories localisables. On peut aussi généraliser le Théorème 2 comme on l'a fait au §7 pour le Théorème 1: nous laissons ce soin au lecteur. Enfin, nous invitons à appliquer le Théorème 2 au foncteur inclusion de la catégorie des anneaux unitaires commutatifs de caractéristiques différentes de 0 dans celle des an- neaux unitaires commutatifs (le présenter sous la forme Mod//S// > Mod/S/ ou Mod(/£/, F ) > Mod/S/ de sorte que les hypothèses du Théorème 2 soient satisfaites). 9. En (5) nous donnons une autre démonstration du Théorème 2. GL 11 On commence par montrer que toute flèche de Mod/S/ de but dans Mod//£// n: F > G engendre un petit diagram- me de sous-objets ("images relatives de n ") de G dans Mod//S// . Pour établir ce premier point, on procède comme suit: a). On note H(G) G: £ > la catégorie co-fibrée scindée associée à Ens (ses objets sont les (x,S) tels que x appartienne à G(S) et ses morphismes sont les ((x,S),s,(x',S'))s (x,S) > S' > tels que ss S On note H(F') celle associée au foncteur image "point par point" de dans £ (x',S') et G(s)(x) * x' ). F': £ > Ens H(F') dans H(G) . n . b). Il s'agit, ensuite, de "compléter" On procède par récurrence transfinie (indexée par un ordinal régulier a majorant les cardinaux des bases des limites projectives appartenant à en construisant IP ) en posant f H* +1 (F ) à partir de H (F') = H(F') et \ L) H. (F') contient un appar- (x,L) T o n impo- **,+-(F') contienne des antécédents choisis (qui exis- tent car G est modèle de //£// ) (xT,L ) (et des connex- ions choisies - qui existent pour les mêmes raisons - entre ces antécédents) tels que - H x + i( F I ) (x,S) et contient s: S G(sT)(xT) = x , (x',S') dès que > S' est telle que - pour chaque limite projective tenant à que IP , on impose que H^(F') contient H, (F') contient un G(s)(x) = x' , (s' : L' \+]( Ff ) > L'),,., appar- contienne (x,L') dès (G(s')(x),L ) pour tout objet c). Les différents choix possibles à chaque étape J de J \ < oc et GL 12 les comparaisons entre ces choix fournissent un petit diagramH (Ff) qui sont tous de la forme me de F :S > Ens H(F ) , où est évidemment modèle de //S// . C'est ce Ot — petit diagramme qui est celui des "images relatives" de F par n . On montre, ensuite, que ces différentes images relatives (quand n varie et F est fixe) sont en quantité petite, ce qui nécessite la construction fastidieuse de graphes formels (dont on établit qu'ils sont en quantité petite) dont les H (Ff) sont tous (quand n varie) des quotients. Le petit diagramme de toutes ces images relatives (quand est le petit diagramme de n varie) Mod//JS// , localement libre sur F , que l'on recherchait. 10. La démonstration du Théorème 2 fournie en (5) et celle du Théorème 1 vue au §5 sont fondées sur des processus de choix non canoniques: c'est ce qui explique qu'on obtient, en général, plusieurs objets "localement libres" et non un objet libre. Les comparaisons entre des choix différents sont possibles dès que n n'est pas constituée que de sommes: c'est ce qui explique, en général, qu'il convient de rechercher des petits diagrammes (non nécessairement discrets) localement libres et non des petites familles localement libres. La démonstration du Théorème 2 donnée en (5) est ensembliste (utilisation des H(F') ) ou ponctuelle (utilisation de "points" dans la construction formelle signalée au §9). De plus, elle ne peut s'adapter aux hypothèses plus générales du Théorème 1. Par contre, la démonstration du Théorème 1 fournie au §5 n'utilise que des constructions internes à H (ou à Mod/S/ ). Autrement dit, elle s'exprime dans le langage de H GL 13 (ou de Mod/S/ ): c'est d'autant plus judicieux qu'elle éta- blit des propriétés relatives à la donnée de ce que nous avons appelé, au §4 , des formules internes. En définitive, c'est ce point de vue des formules internes et cette méthode de démonstration interne qu'il convient ici de retenir pour essentiels. 11. Bibliographie. 1. H. Andréka et I. Németi, Formulas and ultraproducts in catégories, Beit. zur Alg. und Geom. 8 (1979), 133-151. 2. Y. Diers, Catégories localisables, Thèse (Paris 1977). 3. C. Ehresmann, Esquisses et types de structures algébriques, Bull. Instit. Polit. Iaçi, XIV (1968), 1-14. 4. R. Guitart, The.theory of sketches (revisited), Journées Faisceaux et Logique (23-24 mai 1981), prépub. Univ, Paris-Nord 23 (juin 1981), 21-28. 5. R. Guitart et C. Lair, Calcul syntaxique des modèles et calcul des formules internes, Diagrammes 4 (Paris 1980), 1-106. 6. R. Guitart et C. Lair, Critères de rigidification des morphismes souples entre structures internes, Diagrammes 5 (Paris 1981),GL 1-GL 17 . 7• R. Guitart et C. Lair, La continuité pour représenter les formules du 1 ordre, à paraître dans Diagrammes. 8. F. Ulmer, Locally présentable and locally générâted catégories, Lecture Notes in Math. 195 (1971), 230-247.