D IAGRAMMES R. G UITART L. VAN D EN B RIL Note sur la détermination des homologies par les carrés exacts Diagrammes, tome 6 (1981), exp. no 3, p. GV1-GV7 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 6, 1981, NOTE SUR LA DETERMINATION DES HOMOLOGUES PAR LES .CARRES EXACTS. R. Guitart et L. Van den Bril lt Rappels. est un diagramme La O-suite A (u,v) Dans une catégorie abélienne >X >B où v.u = A 0 , i.e. im u c: ker v. H(u,v) = = ker vj ker v / im u, appelé homologie de (u,v). La catégorie Rel A des relations additives de objets ceux de A R i la composition de > A©B donnée par une O-suite est dite exacte si et seulement si im u sinon son défaut d'exactitude est mesuré par objet de A et pour morphismes de S .R R A vers avec S B A a pour les sous-objets > B © C est > A & C , avec s " (a,c) € S.R si et seulement si il existe b €B tel que (a,b) € R et (b,c) € S La symétrie A © B —>B ® A de B A vers permet df associer à toute relation la relation opposée R° , et ainsi catégorie à involution. En particulier, dans Rel A Rel A ". R est une il y a identi- té entre les sous-objets de X et les quotients de X, et un sous- objet est la même chose qu'un sous-objet S de f X dans Rel A d un quotient de X dans {l} 9 {3} et A , ou un quotient d'un sous-objet (voir (4))1 S>—\—>X peut se représenter par s GV 2 7 'f^ ce carré étant bicartésien. Autrement dit, les quotients (i.e. les sous-objets) de X dans Rel A sont exactement les homologies H(u,v), puisque l'on a s H soit u ->x ->B avec, en notation "ponctuelle" , X x H Z2 En fait, o n a b = \ (x,c) $ vx = 0 r.u = 0 appartenant à alors r sX —\—>L modulo Rel A x telle que r r = est univer- une relation telle r(x ) = 0, donc im u , et factorise par r : H —}— > L r.h . En effet, si (x,d) 6 r, est définie par sa valeur sur € im u , c\ . = et v.r° = 0 , alors il existe une unique vx = 0, donc plus, si x mod im u et^ v.h° = 0, et_ (voir {4 \ ) h h.u = 0 selle pour cette propriété s soit que et r ker v % de ne dépend de x que H . Enfin (voir par exemple .{3} ) un carré exact de A est un carré commutâtif -S» Y (noté s S X U U ->V ) ->B tel que la suite A (s£2 >X@Y >B soit exacte, ou bien, ce qui est équivalent, tel que S.T° <* U°.V dans Rel A Rel A. On sait aussi (£2}) décrire inversement à l'aide GV 3 de A et des carrés exacts dans L'exactitude de A . T S >V U d'une manière non additive : le carré S peut finalement se tester T -> V est exact si U et seulement si pour tout carré N >Y M V ->T X satisfaisant les égalités U.M = V.N et F.S = G.T , on a 2 F.M 2. Lemme. Dans une catégorie abélienne un carré = G.N . s -> v u est exact si et seulement si on a (i) et (ii) s (i) -> ker u ker t est un épimorphisme, -> coker u (ii) coker t est un monomorphisme Preuve. Supposons d'abord le carré exact. On a donc A £ S > Y ex. -> B u ex. -> coker u -> coker u donc, ker(b.e) et comme e = im t = ker e , donc est un épi, ker b = 0 , et e (0) = e (ker b) , b est un monomorphisme. On obtient (i) de manière duale. Réciproquement, supposons (i) et (ii), et montrons que s > v u est exact. Pour cela, considérons la figure suivante s GV 4 ker t> ^—> A ker u>- ->X dans laquelle n sZ 1 ^-i> .> 2 H—> y ~T— 2 -> B u 1 u 2 t .t > Y ,f sX = t et -> coker t V •^coker u n 2 1 u 0 u = u , et soit m s Z > X >T , g s Y > T . Si u.m = v.n , on a 2 g.u.m = g.v.n , 0 = b.p.n , 0 = p.n , n = t .h . Si f.s = g.t , on a f.s.i = g.t.i , f.j.a = 0 , f.j = 0 , f = l.u . 1 2 2 1 Alors , f.m = l.u .m et g.n = g.t^h . Or, u.m = u .u .m = v.n = 2 2 1 f v.t .h = u .k.h , d où u .m = k.h. D'autre part, g.t = g . t 2 ^ 1 = f.s = l.u1.s = l.k.t1 , d'où g.t2 = l.k. On conclut que f.m = l.k.h = g.n . Remarque 1. On utilise en fait seulement les conditions suivantes de la figure s - a est épi et b est mono, - t.i = 0 et q.u = 0 , - A —£—> Y 2 — > . et . J—> x > B sont exactes, Remarque 2. Du lemme résulte aussitôt que les carrés exacts se composent. Remarque 3. Du lemme résulte aussitôt que si s > v est exact (par exemple si c'est un pull back ou un push out) et si u est un épi, alors t est un épi. Et de même si s > v est u exact et si t est un mono, alors u est un mono. 3. Théorème. Dans une catégorie abélienne les 0-suites A —> X ^ — > B et C > Y £ — > D ont même homologie si et seulement si il existe un diagramme du type suivant ? GV 5 ">A1< ex. u X h ex. -> x x <- v •> ... n ex. *2 -> ... X n ex. j ex. V -> -> Bj 0 ex. X <- U -> D n A A ex. ker v ex. -> H ex. -> 0 Les quatre exactitudes indiquées résultent aisément d'une vérification utilisant le lemme du n° 2. H = On obtient de même un diagramme "exact" de ker g / im f . Pour la réciproque, on montre que si I et (f,g) vers II sont exacts: -> C alors ker v / im u 1 est égal (mod s) à on a, d après le n° 1 ; ker g / im f .En effet, GV 6 Comme et s s" est le ker de II et que aussi, et comme s* est un mono, et s s f II est exact, est le coker de I E de le lemme du n° 2 E-homologie I O-suites appelées axiomatiquement A E E-exacts indique la définition de O-suites. Pour que cette "bonne" , il faut imposer à on se donne "suites E-exactes" produit alors une description des carrés des est exact, aussi. correspondant ,et puis le théorème du n° 3 la est un épi, et que Remarque 1. Si dans une catégorie abélienne une classe s E-homologie soit des axiomes qui ne seront pas discu- tés ici • Remarque 2. Soit topologiques. Pour que X^- H(X) — -> Y une inclusion entre espaces -> H (Y) suffit que pour toute chaîne singulière soit un isomorphisme, il c € /\ ...Y , la condition x En effet, ceci signifie, compte â c € /\ X entraîne c e Q q tenu du lemme du n° 2, que le carré suivant est exacts Vi * q + l X >- 4\l q X> -> A ..Y i q+1 X a ou encore, que le carré "renversé" , obtenu en renversanthorizontales et verticales, est exact. On conclut en utilisant le théorème, dont on voit ainsi, sur un exemple, la manière d'être utilisé en topologie. GV 7 4. Références. {1} M.GRANDIS, Sous-quotients et r e l a t i o n s i n d u i t e s dans l e s c a t é g o r i e s e x a c t e s , Cahiers de Top. et Géo. D i f f . , X X I I , 3 , 1981, pp. 231-238. {2) R.GUITART, Relations et carrés e x a c t s , Ann.SC.Math. Québec, IV-2, 1980, pp. 103-125. {3} P.HILTON, Correspondents and exac squares, Proc.Conf.on Cat.alg., La Jolla Springer, 1966. {4} V.ZOBERLEIN, Spectral séquences and bi-Grothendieck filtrations, Oberwolfach,Kategorien, 33, 1975, pp. 107-109.