D IAGRAMMES

F RANÇOIS F OLTZ
Sur l’existence d’espaces affinés à groupes de translations
non commutatifs
Diagrammes, tome 6 (1981), exp. no 1, p. F1-F6
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Diagrammes, Vol, 6, 1981.

SUR L'EXISTENCE D'ESPACES AFFINES
A GROUPES DE TRANSLATIONS NON COMMUTATIFS.
François Foltz

Dans

{1}

, E.ARTIN pose le problème de trouver un plan

affine dont le groupe des translations soit non commutât if • Si tel
est le cas, les translations ont une unique direction. D.HILBERT a
donné des exemples dfespaces affines (au moins plans) dont les translations ont une unique direction, mais, même dans ces exemples, le
groupe des translations est cependant commutâtif (cf. les géométries
non arguésiennes, voir

{2}

).Si l'on suppose que le groupe des

translations opère simplement transitivement sur chaque droite de
la direction unique de translations prévue, le problème de l'existence de plans affines à groupes de translations non commutatifs revient à celui de la construction de "précorps" (K,+,.) tels que le
groupe sous-jacent (K,+) ne soit pas abélien.
Nous indiquons une construction de tels précorps. Il s'agit
de"structures localement libres" au sens de

{3} et

{4}

. La cons-

truction suivante est donc celle d'une structure localement libre associée à un magma/groupe libre (M,+,.)f où la stratégie de construction est déterminée par le souci de plonger (M,+,.) dans tin précorps
(K,+,.).

F 2

I) Précorps et plans affines.
Définition.

Un précorps (K,+,.) est la donnée d'un groupe (K,+)

et d'un magma (K,.) vérifiant:
i) quel que soit le couple (d-,d2> d'éléments de K,
avec

d1 ^ d? , et quel que soit l'élément c de K,

il existe un unique élément a de K tel que:
-d,.a + d2.a

=

c

(E^

ii) quel que soit le couple (a-,a2> d'éléments de K,
avec

a- f a~ , et quel que soit l'élément b de K,

il existe un unique élément d de K tel que:
d.a- - d.a2

=

b

(E2)

Remarques, i) On conserve la notation additive pour le groupe
(K,+) sous-jacent à un précorps (K,+,.), bien qu'a priori ce groupe puisse être non commutâtif !
ii) On maintient dans les notations 1« principe de prépondérance usuel qui prévaut entre l'addition et la multiplication.
Soit
D® =

(K,+,.) un précorps ayant plus d'un élément. Posons:
Dd

C(a,x) / x € K}
a Ja € K

P

=

K2

et

.
D

=

=

{(x,d.x+c) / x € K}
L

cJc € K

DœU ( U D
Ddd:)
d*o -

Proposition. Le couple (P,D) est un plan affine, pour la relation
d'incidence évidente. Son groupe des translations
(K,+)

op

pour sous-groupe. Déplus, (T,+) =

(T,+) admet

(K,+)°P

si

(K,+)

est non commutâtif.
Nous vérifions successivement les axiomes d'incidence et l'axiome
d'EUCLIDE pour (P,D) .

F 3

a) Les ensembles

D

et

D

définissent des faisceaux dis-

tincts de droites } en effet, si a^ f
et si c, #
1

c0 , D
£

D

n D
a

= 0 • De plus, si d«

0 D
C.

a 2 , alors

a
a

î

d 9 , l'é-

L

C~

0#

£

quation (E, ) assure que D 1 fl D 2
1
cx
c2

est réduit à un élément. Enfin

D

(a,d.a + c ) .

et D
c

a

se rencontrent en p =

b) La droite D?
.
est la seule droite parallèle à D^
b - d.a
c
et passant par le point (a,b).
c) Etant donnés les points p.. =
avec

+ a 2 , seule la droite D

a-

par p., et

» - d.a, + b-

étant l'unique élément de K
d.a.. - d.a^ =
Si

, notée encore

=

(a 2 ,b 2 )

P 1 P 2 , passe

p 2 , où on a posé :
c

d

(a-,b,) et p 2

= - d.a2 + b 2

satisfaisant , d'après (E 2 ) :

b- - b 2

a^ = a 2 = a , alors p*p2

d) Posons t^(a,b) =
a
d ^ - d.a2
assure que les droites

,

•
= D œ , bien sûr !

(a,b + d) . Alors la relation suivante:
=

p-p2

II) Construction d'un précorps

^ - b2
et

t

* (bj + d) - (b2 + d)

t
sont
d P 1 d Po

parallèles.

(K,+,.) tel que

(K,+) soit non

abélien.
On construit par récurrence trois familles :
(F ,+,.) , (G .+,.) et (H ,+,.) , telles que
n
n
n
tisfaits les 7 points suivants, désignés de a) à g) :

F 4

a) On a les inclusions suivantes:
F

n

c:G c H <= F _,,
n
n
n+1

quel que soit
^

n > 1 .
=

b) Les lois de composition, pour les structures suivantes,
sont partielles : (F ,.) , (G ,+) , (H , . ) .
n
n
n
c) (F.,+) est un groupe libre| aucun composé pour la loi "•"
n'est défini.
d) Description du morphisme (injectif):(F ,+,.)

• > (Gn,+,.)s

(G ,.) est le magma libre engendré par (Fn>.)» ce qui signifie qu'
on ajoute "librement" les composés nécessaires pour rendre la loi "."
totale, alors qu'elle ne l'est pas dans F
loi "+" dans G

! Les composés pour la

sont exclusivement ceux qu'on avait dans F n#

e) Description du morphisme (injectif) :(G ,+,.)

> (H n> +,.) s

(H ,+) est le groupe libre engendré par (G t+)# c'est-à dire le
quotient du groupe libre engendré par G
qui font de (F ,+) un groupe (F

par les seules relations

est identifié à une partie de G n ) .

Les seuls composés pour la loi "." sont ceux de (£*•)•
f) Description du morphisme (injectif) :(H ,+,.)

> ^ F n+l ,+,ê ^

Considérons l'ensemble

A' des triplets (a,b,c) d'éléments de H
n
n
tels que a f b et que l'équation - a.x + b.x = c n'ait pas
de solution dans (H ,+,.) • On remarque que si (a,b,c) est élément

n
A* , alors ( b , a , - c ) est encore élément de A'. On définit, de
n
n
nène, l'ensemble B' des t r i p l e t s ( a , b , c ) d'éléments de H t e l s
de

n
que

a ^

lution dans

b

et que l'équation

n
x.a - x.b

=

c n'ait pas de

so-

(H ,+,.)• Nous remarquons encore que (a,b,c) et (b,a,-c)

sont^simultanément,éléments de B' ou non. Désignons par A (resp. B )
n
n
u
un ensemble équipotent par a (resp. (3 ) à A' (resp. B^) tels que
A , B f, H
soient disjoints.Soit
r la relation définie par:
J
n* n
n
Gt(a,b,c) r
ct(b,a,-c)
p(a,b,c) r
3(b,a,-c)

F 5

On choisit une section

s (resp. t ) de la surjection canonique
n
n
A
• > A /r (resp. B
> B /r) et on pose C ar Im(s )
n
n
n
n
n
n
(resp. D^ * Im(t ) ).
n
n
Pour tout élément de C (resp. D ) , on définit les comn
n
posés formels suivants :
a.a(a,b,c)

(resp. p(a,b,c).b)

qui forment l'ensemble C"
n

(resp. D ).
n

Alors, on définit (F +1 #+) comme étant le quotient du
groupe libre engendré par

H U C U D l)C U D
par les seules
n
n
n
n
n
relations qui font de (H ,+) un groupe, de sorte que H s'injecte
bien dans F .,.
n+1
Les composés pour la loi "." dans F . sont ceux de
(H ,.) , C , D , et par définition :
n'
n
n*
^
b.a(a,b,c) =

a.a(a,b,c) + c

, pour tout a(a,b,c) de C n

(5(a,b,c).a =

c • p(a,b,c).b

, pour tout p(a,b,c) de D^.

g) Les solutions des équations du type

(E.. ) et du type

(E 2 ),

si elles existent dans (F + 1 > + >«) $ sont uniques.
Par suite, le résultat est aussi vrai pour (Gn+\9+**)

et

pour (HR+1,+,.) .
Alors, la réunion commune

K

des

9

F

,G
n

n

, H est natun

rellement munie d'une structure de précorps (K,+,.), et le groupe
sous-jacent (K,+) est non commutâtif puisqu'il contient un sousgroupe non commutâtif (par exemple (F,,+)).
Remarque. La méthode générale indiquée en {3} consisterait à remplacer le couple

((F ,+,.),(G ,+,.)) par un "groupe/magma" libre
n
n
(M ,+,.) engendré par (H _-i,+>») avec la préoccupation que (M,,+)

F 6

se plonge dans
tout

(K,+). Plus précisément, il s'agit de "forcer"

f ,qui ne décomposerait d'aucun des deux côtés dans le dia-

gramme ci-dessous, à se décomposer à gauche :

GM(3)

GM(4)

GM(2)

(Mn,+,.)

où

GM(i) désigne le "groupe/magma" libre à

i

générateurs.

Bibliographie.
{1} E. ARTIN

Algèbre géométrique, "Cahiers Scientifiques",
Fasc. XXVII , Gauthiers-Villars.

{2} D. HILBERT

Les fondements de la géométrie, "Edition
critique" , Dunod.

{3} R. GUITART, C. LAIR

Existence de diagrammes localement libres,
Diagrammes 6, Paris 1981.
(Conférence de R. GUITART à Gummersbach,
International Conférence of Category Theory
5-10 Juillet 1981.

{4} R.GUITART, C. LAIR

Calcul syntaxique des modèles et calcul
des formules internes, Diagrammes 4, 1981,