D IAGRAMMES K AZEM L ELLAHI Construction de foncteurs topologiques Diagrammes, tome 5 (1981), exp. no 4, p. L1-L10 © Université Paris 7, UER math., 1981, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Diagrammes » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Diagrammes, Vol. 5» 1981. CONSTRUCTION DE PONCTEDES TOPOLOGIQUES Kazem Lellahi Différents auteurs (2,3 et 4) ont étudié la notion de foncteur topologique avec des définitions presque semblables,sinon équivalentes. Dans ce travail, nous reprenons cette notion, dfun autre point de vue. Nous considérons la taille des catégories dans lesquelles nous travaillons et nous montrons d'une part que cela peut faciliter la démonstration de certains résultats, sans être pour autant indispensable, d'autre part qu'on peut construire de nouveaux foncteurs topologiques à partir de foncteurs topologiques déjà connus; ainsi, du simple fait que le foncteur d'oubli Top • >Ens est topologique, nous déduisons que le foncteur d'oubli d'une catégorie "algébrico-topologique" vers la catégorie algébrique sous-jacente est topologique, dès lors que cette structure algébrique est définie par une esquisse projective (voir 1 ) . Notations. Soient U et U' deux univers tels que U £ U' et U C U'. Un élément de U s'appelle un ensemble, tandis qu'un élément de U! s'appelle une classe, dès lors qu'on ignore s'il est ou non élément de U. On usera implicitement du fait que U est supposé saturé dans U1 par bijections, c'est-à-dire que toute classe en bi- L 2 jection avec un ensemble est elle-même un ensemble. On notera C/ la classe sous-jacente d'une catégorie C et C sa classe d'objets. Si C/ est un ensemble, on dit que C est petite. Si, pour tout couple (A,B) d'objets de G, Hom(A,B) est un ensemble, on dit que £ est localement petite. Pour qu'une catégorie localement petite soit petite, il faut et il suffit que sa classe d'objets soit un ensemble. Dans la suite, tous les cônes et toutes les esquisses considérés sont projectifs. Une esquisse est petite si son graphe sous-jacent, les catégories sous-jacentes de ses cônes sont petits. Soit A^ , s <£ S , une famille d'isomorphismes de A indexée par l'ensemble S des unités de S. Cette famille détermine un isomorphisme de R vers R', où R' est la réalisation définie par: - R'(s) s A , pour s € S , et - R'(f) = g . .R(f).g"1 , pour f: s s s § La démonstration est évidente.§ Soit F: A >B >s' € s. un foncteur et B un objet de B. Considérons la classe A ( B ) formée des objets A de A tels que F(A) soit isomorphe à B. On désigne par A / B / la classe quotient de A(B) par la relation d'isomorphisme dans A. Nous posons alors laDéfinition J[. Un foncteur F: A >B est dit localement petit si A est une catégorie localement petite, et si, quel que soit l1 objet B de B , la classe A / B / est un ensemble . Proposition 1^ Si F: A > B est un foncteur localement petit, et si S est un graphe multiplicatif petit, alors It : A_ est un foncteur localement petit. Q ^If L 3 § D'abord, A_ est évidemment localement petite (pour une réci- proque concernant ce seul point-ci, voir Diagrammes, Vol. 1, 1979» g l'article de F.Foltz). Soit Rf : S >B un objet de B_. Posons X = A /R'/ et choisissons une classe de représentants R : S 5>A des éléments x de X. Nous devons montrer qu'une telle classe est un ensemble. Par définition, les foncteurs R ne sont pas isomor- phes deux à deux, mais les foncteurs R' = F 0 R sont isomorphes à R'. Soit s C S : dans la classe 5 R (s)X choisissons une O v. X r v -> X >I A famille complète de représentants non isomorphes deux à deux; elle est indexée alors par une certaine sous-classe X de X; cette s classe X s'injecte naturellement dans l'ensemble A/R'(s)/, et cf s est donc un ensemble. Soit Y = U^ s cS X : c'est un ensemble car S s o et les X a s sont des ensembles. Res?e à prouver que X — Y est aussi un ensemble. Soit C la sous-catégorie pleine de A ayant pour objets les R (s), où x Ê Y. Il est clair que C est une petite catégorie. Soit alors x € X — Y; pour s € S , il existe au moins un y(x) •y(x)1 élément de Y tel que Rx(s) soit isomorphe à R / \(s), d'après le choix du début; prenons un tel isomorphisme g : R x ( s ) """-^VCx^ 8 ^ D'après le lemme de transport (appliqué à l'esquisse (S,0)) on fait ainsi correspondre à R un foncteur R': S >A, qui prend ses valeurs dans C et qui est isomorphe à R ; il est défini par: - R^(s) = Ry(x)(s) , pour s € S o , et - R;U) = ex,s.-Rx(f)-Sx]s ' pour f: s — > s ' e s# Ceci définit une application de X — Y dans Fonct(S,C); cette application est injective, car si R' = R', , alors R XX et R t sont JL J\. isomorphes, et donc égaux, et x = x f . Comme C est petite, ainsi que S, Fonct(S,C) est un ensemble , donc X — Y aussi.§ Corollaire. Si CT est une esquisse pro.jective petite et si le foncteur F: A 5>B est localement petit et commute aux limi- tes pro.iectives. alors, le foncteur F localement petit. :^ — — B^ est encore L 4 Soit F: A >B un foncteur et supposons que A/ et B/ soient des classes propres. Définition 2. On dit qu'un cône L, de base R: S >A et de sommet A € A , est F-initial si et seulement si, pour tout autre cône N, de même base R et de sommet A1 £ A , et pour toute flèche u: FA' >»FA satisfaisant (FL)u = FN, il existe une unique flè- che u': A' >A satisfaisant Fuf = u Définition j[. On dit qu'un foncteur T: A et Lu' = N. >B est un foncteur topologique (comparer à 2 et 3) si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites: (i) Condition d'initialité. Pour tout graphe S, petit ou non, pour tout foncteur R: S >A et pour tout cône M de base TR et de sommet B € B , il existe un cône T-initial L, de base R et de o ' sommet A, et un isomorphisme h: B >TA tel que (TL)h = M. (ii) Condition de taille. T est un foncteur localement petit. Exemples. Les foncteurs d'oubli vers Ens des catégories de structures suivantes sont des foncteurs topologiques: espaces topologiques, espaces uniformes, 0"-algèbres (ou tribus), espaces quasi topologiques (de toutes natures), ensembles préordonnés. Proposition 2. Un foncteur topologique est fidèle (voir 3»Théorème n° 3.1). § Soit T: A > B un foncteur topologique. Soit v et v':A >B deux morphismes distincts de A tels que Tv = Tv' = w. Considérons une catégorie discrète S = S' U ^0}, où 0 f. S' et où S' est une classe propre. Soit R: S ^ A le foncteur défini par R(o) = A et R(s) SS B pour tout s € S'. Définissons le cône M de base TR et de sommet TA par: H = 1 . et M = w pour tout s € S'. Comme T est topologique, il existe un cône T-initial L, de base R et de sommet C, et un isomorphisme h: TA >TC vérifiant (TL)h = M. L 5 A tout élément s de S' on fait correspondre le cône L, de base R S S et de sommet A, suivant : L 0 s 1 , L. = v' pour tout t € S' et différent de s, et L = v. Comme L est T-initial, il existe un unique g tel que Tgs = h et Lgs = L ; si s jt s', on voit que L fi L car, par exemple, Lss = L sg s = v tandis que Ls' s = v'; alors g s fi g sf d'où une injection de S' dans Hom(B,C), c'est-à-dire une contradiction puisque Hom(B,C) est un ensemble. La seule possibilité est donc: v = vf et T est fidèle. § Proposition j£. Si T: A > B est un foncteur topologique, alors tout cône limite dans A est T-initial (voir 3, Théorème 5.1). § Soit L un cône limite, de base R: S • >A et de sommet A-. Comme T est topologique, il existe un cône T-initial N, de base R et de sommet A, et un isomorphisme h: TAj. >TA tels que (TN)h = TL. La T-initialité de N entraîne l'existence de d: A.J. ^ A tel que Nd = L et T(d) = h. Le fait que L soit u n cône limite entraîne l'existence d'un unique d': A > A T tel que Ld' = N. Dans ce cas, Ndd' = Ld' = N et Ld'd = Nd = L, et les conditions d'unicité, pour les notions de limite et d'initialité, entraînent aussitôt d.d' = 1 et d'.d = 1 A ; ainsi d est inversible et la T-initialité de N se transmet à Nd = L. § Corollaire J^. Tout foncteur topologique T: A > B préserve les limites pro.jectives. § En effet, soit N u n cône limite dans A, de base R et de sommet A^, et soit M un cône, de base TR et de sommet B . Comme T est topologique, il existe u n cône T-initial L, de base R et de sommet A, et u n isomorphisme h: B >TA tel que (TL)h = M . Corme N est limite, il existe u n unique g: A >A^. tel que î^g = L. Alorci, on a: (TN)(Tg.h) = T(Mg) .h = T(L)h = M. Supposons qu'il existe une flèche k: B ^ T A N t e l l e A un foncteur; soit N un cône limite dans B, de base TR et de sommet A^; comme T est topologique, il existe un cône T-initial L, de base R et de sommet A, et un isomorphisme h: TA 5 ^ tel que Nh = TL. Soit Lf un autre cône dans A, de base R et de sommet A 1 . Comme N est un cône limite dans B, et que h est un isomorphisme, il en résulte que TL est aussi un cône limite, et donc qu'il existe une unique flèche k telle que (TL)k = TL'. Comme L est T-initial, on trouve une unique flèche kj telle que D ^ = Lf et Tk = k; si k est telle que Lk 2 = L', on voit que TL.Tkp = TL', de sorte que Tk2 = k et on peut conclure alors que k = k , soit en invoquant la fidélité de T, soit, et c'est mieux, en utilisant une nouvelle fois la T-initialité de L. § Théorème. Si T: A $>B est un foncteur topologique et si B est à petites limites projectives, alors, pour toute petite esquisse projective C , le foncteur T°" : A^f BJ est bien défini. et c'est encore un foncteur topologique• §§ D'après le corollaire 1 de la proposition 3, T préserve les limites projectives, donc T envoie bien A ^ dans B (par com- position par T). D'après le corollaire de la proposition 1, la condition de taille (ii) pour un foncteur topologique est satisfaite par T . Il reste donc à prouver que T satisfait la con- dition d'initialité (i). C'est ce que nous montrons point par point. L 7 Soit R: S B >A un foncteur et soit M un cône dans , de base T R et de sommet X; X est donc une réalisation de 7* dans B, et pour chaque s £, S , M turelle de X vers X est une transformation na- = ToR(s). Désignons par U le graphe multi- s plicatif sous-jacent à l'esquisse T ; à chaque unité u £ U corA et B_ d'où au niveau de T la situation suivante: - un foncteur R : S >A défini par R - un cône M , de base TR = R(-)(u), et et de sommet X(u), dont la valeur en s € S est la valeur de M en u. o s Comme T est topologique, ce cône M se relève, à isomorphisme près, en un cône T-initial L , de base R désignons par h : TY(u) > X ( U ) 1'isomorphisme en question, qui est tel que (TR )h = TL U . Si f : u X(u) et de sommet Y(u); >u' € U, X(f): >X(u') est telle que: MUÎX(f) = TR(-)(f) M U , car les M , s € S , sont des transformations naturelles de X s o vers les X = ToR(s); comme L est T-initial, il existe une unis que flèche, naturellement notée Y(f): Y(u) 5>Y(u'), telle que : LU,Y(f) = R f L U e t où on a posé h"].X(f).hu , R^ = R(-)(f). L'unicité permet d'établir facile- ment que Y (f hh (u I T(Y(f)) = > Y(f)) est un foncteur de U vers A, que >h ) définit un isomorphisme naturel de TY vers X, et que L (u 1— >L ) est un cône de base R et de sommet Y. On doit encore vérifier que Y est bien une réalisation de Ç dans A. Soit donc P un cône projectif distingué de G* , de base G: I ^U, et de sommet u; il faut montrer que le cône YP dans A, de base YG et de sommet Y(u), est un cône limite; soit N un cône dans A, de même base YGet de sommet A; le cône TN a pour base TYG; mais , dans B, le cône XP, de base XG et de som- L 8 R (s) uv ' Diagramme visualisant la preuve du théorème, Légende du diagramme. L 9 met X(u) est un cône limite, car X est une réalisation de <3"; puisque h est un isomorphisme naturel, le cône TYP est aussi un cône limite, de sorte qu'il existe une unique flèche dans B, soit n: TA >TY(u), telle que (TYP)n = TN. Pour chaque unité s € S , le cône R(s)P, de base R(s)G et de sommet R(s)(u), est un cône limite, de sorte qu'il existe une unique flèche , soit q : A >R(s)(u) = R (s), satisfaisant: vi£io, ^:% = L°w.N i ; 1 l'unicité en question permet de montrer que l'application q qui à s £ S fait correspondre q 0 S définit enfait un cône, de base u A R et de sommet A. Comme le cône M est T-initial, il existe une u unique flèche m: A >Y(u) telle que: L .m = q et T(m) = n; on peut alors écrire, pour i € I fixé: LG(i).Y(P.).m 1 et comme T(YP..m) = et que L ^ = R p .LU.m i TYP..Tm = = B^ .q = L G(i) .N. , i TYP..n = ( T N ) ± = 1 ( ^ ) , est un cône T-initial, on voit que Y(Pi).m = IL ; on a donc bien une flèche m: A ^Y(u) telle que (YP)m = N; c'est l'unique flèche satisfaisant cette condition; en effet, supposons que (YP)m' = N ; on voit d'une part que: VieiQ, LG(i).Y(P.).m' = R p .LU.m' = L G(i) .N. =R^.L U .m, et comme RP est un cône limite projective (point par point), cela entraîne LU.m' = LU.m ; d'autre part, Tm' = Tm est l'unique flèche n telle que (TMP)n = de conclure que TN. La T-initialité de L U permet m = m'. Ainsi Y est bien une réalisation. Il reste à prouver que le cône L, de base R et de sommet Y est bien T -initial, ce qui se fait aisément, point par point, sans avoir besoin d'utiliser la fidélité de T, mais en utilisant, une fois encore, la T-initialité des cônes L . §§ L 10 Commentaire. A plusieurs endroits, nous avons souligné que la fidélité de T permet de conclure "plus rapidement", mais qu'elle n'est pas indispensable. On aura remarqué aussi que la taille imposée aux classes A / B / est relativement indépendante et de la fidélité et de la T-initialité. Il serait intéressant de mettre en évidence une propriété des foncteurs topologiques où les trois arguments (possibilité pour les bases des cônes T-initiaux d'être grandes, condition d'initialité et condition de taille) interféreraient de façon essentielle ! Application. Du fait que To£ ^Ens est topologique, on dé- duit que pour toute esquisse ^T de structure algébrique, le foncteur d'oubli de la catégorie des structures "algébrico-topologiques" d'espèce T (i.e. Top^3" ) vers la catégorie des structures algébriques sous-jacentes (i.e. Ens ) est un foncteur topolo- gique. En particulier, les oublis suivants: - Groupes(abéliens) topologiques - Anneaux topologiques vers vers Groupes (abéliens)- Anneaux . - Monoïdes topologiques vers monoïdes... Certains résultats encore plus particuliers, par exemple concernant les sous-groupes des groupes topologiques, sont des conséquences immédiates de notre résultat. Références. 1- C.EHRESMANN, -Introduction to the Theory of Structured Catégories, Techn.Report 10,Univ.Kansas, 1966. -Esquisses et Types de Structures Algébriques, Bul.Insti.Polit., Iaçi, XIV, 1968. 2- G.C.L.BRUMER and R.E.HOFFMANN, A charactrization of absolutly Topological Functors, Oberwolfach, 19753- H.HERRLICH, Topological Functors, Gen. Topology Appl.4,1974. 4- R.E.HOFFMANN, Topological Functors Admitting Generalized CauChy-Completions, Lectures Notes, Vol. 540,1976.